ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
ACTIVIDAD UNIDAD 5
La Diversidad de Funciones en el Tiempo.
NOMBRE:
TUTOR:
FECHA
ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
Instrucción 1.: Lee el siguiente fragmento de: Serrano Liceaga, Claudia América. Et al. (2010) Dominio y Rango de una Función. En. Guía de Estudio para Matemáticas VI del Área 1 y 2. México: D.G.E.N.P.-U.N.A.M.
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Ejemplo 1. Determina el dominio de la siguiente funciĂłn: đ?’‡(đ?’™) = √đ?&#x;? −
đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ đ?’™âˆ’đ?&#x;?
ÂżQuĂŠ caso ocuparĂas del anterior fragmento para determinar la opciĂłn correcta?. Justifique su respuesta de manera conceptual y operacional. Primeramente se debe efectuar la operaciĂłn de resta para un entero y una fracciĂłn, es decir: đ?&#x;? đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ đ?’‡(đ?’™) = √ − đ?&#x;? đ?’™âˆ’đ?&#x;? đ?’‡(đ?’™) = √
(đ?’™ − đ?&#x;?) − (đ?’™ − đ?&#x;‘) đ?’™âˆ’đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = √
đ?’™âˆ’đ?&#x;?−đ?’™+đ?&#x;‘ đ?’™âˆ’đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = √
đ?&#x;? đ?’™âˆ’đ?&#x;?
Consideremos expresar a la funciĂłn đ?’‡(đ?’™), como una correspondencia del radical para el numerador y denominador: đ?’‡(đ?’™) =
√đ?&#x;? √đ?’™ − đ?&#x;?
Luego, se calcula en el numerador la raĂz cuadrada del numerador; a razĂłn de que es exacta, esto conlleva a reescribirla, como: đ?’‡(đ?’™) =
đ?&#x;? √đ?’™ − đ?&#x;?
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Esta funciĂłn simplificada, correspondencia, de: Si đ?’‡(đ?’™) =
đ?’ˆ(đ?’™) đ?’?
√đ?’‰(đ?’™)
se identifica
con
la
regla
de
con đ?’? par implica que el dominio: đ?‘Ťđ?’‡ = {đ?’™ ∈ â„?|đ?’‰(đ?’™) > đ?&#x;Ž}
En este caso, la raĂz cuadrada es par; por que vale dos y solo el denominador lo contiene como funciĂłn de đ?’‰(đ?’™), por lo que decimos que el dominio soluciĂłn, en: đ?‘Ť = đ?‘Ť(đ?’”) = đ?‘Ťđ?’‡ = {đ?’™ ∈ â„?|đ?’™ − đ?&#x;? > đ?&#x;Ž} Despejando la incĂłgnita de esta desigualdad, se concluye que el dominio es: đ?‘Ť = đ?‘Ť(đ?’”) = đ?‘Ťđ?’‡ = {đ?’™ ∈ â„?|đ?’™ > đ?&#x;?} Todos los nĂşmeros reales, excepto el valor 2 y sus valores antecesores. Para corroborar o comprobar computacionalmente el dominio obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+sqrt%281-%28x3%29%2F%28x-2%29%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€? domain sqrt(1-(x-3)/(x-2))â€? que significa: encontrar “el dominio de la raĂz cuadrada(1-(x-3)/(x-2))â€?
BibliografĂa: Salazar Guerrero, Ludwing Javier. Et al. (2007) Dominio de una FunciĂłn. En MatemĂĄticas IV: CĂĄlculo Diferencial. MĂŠxico: Grupo Patria.
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Ejercicio 1: Considerando la guía de estudios para ingresar al nível licenciatura de la U.N.A.M. para sus escuelas, centros y facultades en esta área del conocimiento: https://servicios.dgae.unam.mx/guias_2013/humanidades/examen _muestra.pdf , revise su siguiente reactivo de:
a)¿Qué caso ocuparías del anterior fragmento para determinar la opción correcta?. Justifique su respuesta de manera conceptual y operacional, como en el anterior Ejemplo 1.
b) ¿Te sirvió el material en plataforma o de la Instrucción 1 para resolver este problema?. ¿Por qué?
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Funciones Logaritmicas El propósito original de los logaritmos era muy importante para efectuar cålculos astrónomicos, y durante varios siglos cumplieron satisfactoriamente su cometido. Sus aplicaciones en la cotidianidad estån relacionadas o vinculadas, con: • • • • • • • • • • •
Radioactividad Ley de Enfriamiento de Newton Mezclas Clima Finanzas Crecimiento de Poblaciones EpidemiologĂa Circuitos ElĂŠctricos Precios y Demanda pH en QuĂmica Velocidad en presencia de resistencia del aire.
BibliografĂa: Montes de Oca Puzio, Francisco. (2006) Funciones LogarĂtmicas. En ResoluciĂłn Total de Funciones. MĂŠxico: Skorpio. InstrucciĂłn 2.: Del siguiente: • Libro, de: RuĂz Benjumeda, Francisco. Et al. (2014) Cambios de Base en los Logaritmos. En. MatemĂĄticas IV: Conect@ Estrategias. MĂŠxico: SM. Toma en cuenta, el siguiente: Fundamento. La inversa de la exponencial es la logaritmica y la de logaritmica es la exponencial; es decir, lo puedes expresar, como: đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— ↔ đ?’— = đ?’ƒđ?’– Si y solo si
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đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— → đ?’— = đ?’ƒđ?’–
đ?’— = đ?’ƒđ?’– → đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’—
Siendo b la base numĂŠrica positiva mayor que uno, esto quiere decir đ?’ƒ > đ?&#x;?. Finalmente; dos cosas que debemos tener presentes en todo momento: • Un logaritmo es un exponente. • Conocer cĂłmo efectuar la conversiĂłn en su condiciĂłn ↔ e implicaciĂłn → de la forma exponencial a la logaritmica o a la inversa. Cuando las formas exponencial y logaritmica se cambian las bases son las mismas. Literalmente: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— es el exponente al que la base debe elevarse para obtenerse đ?’—. Ejemplo 2: Encuentra la incĂłgnita o soluciĂłn para la siguiente funciĂłn exponencial o ecuaciĂłn que busca al exponente que se debe aplicar al 2 para obtener el 3. đ?&#x;?đ?’™ = đ?&#x;‘ En este caso, podemos expresar al revĂŠs esta ecuaciĂłn, como: đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’™ Luego; esta igualdad se identifica con menciona, a: đ?’— = đ?’ƒđ?’– → đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’—
la conversiĂłn que
Donde; aquĂ se define, que: đ?’— = đ?&#x;‘, đ?’ƒ = đ?&#x;?, đ?’– = đ?’™; esto implica que el valor de đ?’– sea: đ?’™ = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;? đ?&#x;‘ Es decir, el logaritmo de 3 en la base 2
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Ejemplo 3: Expresar los siguientes ecuaciones logaritmicas a la forma equivalente de una funciĂłn exponencial. Ecuaciones Logaritmicas a) đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;“ đ?’™ = đ?&#x;?
ConversiĂłn
Acomodo
Elementos
đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— → đ?’— = đ?’ƒđ?’–
đ?&#x;? = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;“ đ?’™
b) đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;’
đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— → đ?’— = đ?’ƒđ?’–
đ?&#x;’ = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;”
đ?’–=đ?&#x;? đ?’ƒ=đ?&#x;“ đ?’—=đ?’™ đ?’–=đ?&#x;’ đ?’ƒ=đ?&#x;? đ?’— = đ?&#x;?đ?&#x;”
FunciĂłn Exponencial đ?’™ = đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;’ Es decir: đ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?&#x;”
• Cuadernillo, de: RuĂz Bato, JoaquĂn. (2014) Logaritmos Comunes y Naturales. En. MatemĂĄticas 4: PrecĂĄlculo, funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Patria. Considera el siguiente formulario de las Propiedades de los logaritmos comunes: Producto o MultiplicaciĂłn: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’–đ?’— = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’– + đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— đ?’–
Cociente o DivisiĂłn: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’– − đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’— đ?’—
Potencia: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’–đ?’— = đ?’—đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?’– Sus propiedades permiten simplificar muchas expresiones matemĂĄticas y manejarlas con gran facilidad. Las demostraciones de sus diversas propiedades dependen esencialmente de las leyes de los exponentes ya que cada ecuaciĂłn logarĂtmica tiene una forma exponencial equivalente.
ClasificaciĂłn de las Funciones LogarĂtmicas Comunes Estas pueden, ser: • Naturales. • Decimales.
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Funciones logarĂtmicas Naturales Estas se basan de la funciĂłn exponencial natural đ?’‡(đ?’™) = đ?’†đ?’™ , para todo nĂşmero real x y siendo đ?’† como un nĂşmero aproximado que tiende a đ?’† ≈ đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–. Se considera, como la igualdad funcional del logaritmo natural đ?‘°đ?’? đ?’™; de tal manera que: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’† đ?’™ = đ?‘°đ?’? đ?’™ La funciĂłn exponencial natural đ?’‡(đ?’™) = đ?’†đ?’™ y la funciĂłn logarĂtmica natural đ?’‡(đ?’™) = đ?‘°đ?’? đ?’™ son inversas
Funciones logarĂtmicas Decimales Son las que usan frecuentemente a la base 10, este es considerado como un logaritmo vulgar o de Briggs. Su principal caracterĂstica de esta expresiĂłn es omitir el 10 de la base, como abreviatura o Equivalencia: đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’™ = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’™ Para toda đ?’™ > đ?&#x;Ž
Esta secciĂłn, se puede ver en una Escala de Richter: La cuĂĄl mide la energĂa liberada de un terromoto: en ergios, en donde su magnitud đ?‘š de intensidad đ?‘°, se define, como: đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ
đ?‘° Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘°đ?&#x;Ž
Siendo đ?‘°đ?&#x;Ž como la mĂnima intensidad de la escala y se usa como punto de referencia. Un Caso en nuestro paĂs, es el sismo ocurrido en 1957, donde este fue famoso porquĂŠ provocĂł la caĂda del Ă ngel de la Independencia,
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tuvo una intensidad de 7.7; sin embargo, el terremoto que sacudiĂł a esta misma Ciudad de MĂŠxico el 19 de septiembre de 1985 tuvo una intensidad de 8.1, este lo superĂł y provocĂł mĂĄs daĂąos en la sociedad e infraestructura. Ejemplo 4: Considerando estos detalles del Caso anterior, los terremotos de 1957 y 1985 tuvieron magnitudes de 7.7 y 8.1 en la escala de Richter, respectivamente. ÂżCuĂĄntas veces fue mĂĄs intenso el sismo de 1985 que el de 1957? Datos đ?‘°đ?&#x;Ž = đ?&#x;•. đ?&#x;•
FĂłrmula SustituciĂłn đ?‘° đ?&#x;–.đ?&#x;? đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘°đ?&#x;Ž
đ?‘° = đ?&#x;–. đ?&#x;? đ?‘š =?
Resultado
đ?&#x;•.đ?&#x;•
đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;–. đ?&#x;? − đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;•. đ?&#x;•(đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž%) đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ (đ?&#x;–. đ?&#x;? − đ?&#x;•. đ?&#x;•) Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ (đ?&#x;Ž. đ?&#x;’) Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘š = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž.đ?&#x;’ (đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž%) đ?‘š = đ?&#x;?. đ?&#x;“ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘š = đ?&#x;?. đ?&#x;“(đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž%) đ?‘š = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž %
• Compendio, de: Fermoso DĂaz, MartĂn. Et al. (2011) Inversa del logaritmo y la exponencial. En. GuĂa de Estudio para MatemĂĄticas V. MĂŠxico: D.G.E.N.P.-U.N.A.M. Comprenda el siguiente: Ejemplo 5. Resuelve la siguiente ecuaciĂłn: đ?&#x;“đ?’™ = đ?&#x;?đ?’™+đ?&#x;“ Tomando la Equivalencia. con base 10 en ambos lados; queda, como: đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“đ?’™ = đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?đ?’™+đ?&#x;“ Aplicando las Propiedades de los logaritmos comunes para la Potencia (đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’–đ?’— = đ?’— đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?’–) en toda su igualdad, implica tener a:
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đ?’™ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ = (đ?’™ + đ?&#x;“) đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? Luego, realizando la multiplicaciĂłn de tĂŠrminos del parentesis del lado derecho, tenemos que: đ?’™ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ = đ?’™ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? + đ?&#x;“ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? DespuĂŠs despejando los tĂŠrminos de đ?’™ en el lado derecho, es decir: đ?’™ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ − đ?’™ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? = đ?&#x;“ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? Esto implica; en el lado izquierdo, factorizar el tĂŠrmino de đ?’™, de la siguiente manera: đ?’™ (đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ − đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?) = đ?&#x;“ đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;? Se emplea la Propiedad del logaritmo comĂşn para la Potencia (đ?’— đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?’– = đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’–đ?’— ) en la Ăşnica expresiĂłn logaritmica, de: đ?’™ (đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ − đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?) = đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?đ?&#x;“ Finalmente, se despeja el valor de la incĂłgnita: đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’™= (đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;“ − đ?’?đ?’?đ?’ˆ đ?&#x;?)
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Ejercicio 2: a) Considerando la fuente de consulta que se proporciona en: https://www.elfinanciero.com.mx/nacional/estos-han-sidolos-sismos-de-mayor-magnitud-en-la-cdmx y el desarrollo del Ejemplo 4, resuelva el siguiente planteamiento de la cotidianidad: En la Ciudad de MĂŠxico los terremotos del 19 de septiembre de 1985 y del 7 de septiembre de 2017 tuvieron magnitudes de 8.1 y 8.2 en la escala de Richter, respectivamente. ÂżCuĂĄntas veces fue mĂĄs intenso el sismo de 2017 que el de 1985? Datos đ?‘°đ?&#x;Ž = đ?‘°= đ?‘š =?
FĂłrmula SustituciĂłn đ?‘° đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž% đ?‘š = đ?’?đ?’?đ?’ˆ Ă— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž%
Resultado
đ?‘°đ?&#x;Ž
đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š=
%
Con el Resultado que haz obtenido. ÂżEs cierto lo que dice la pĂĄgina del Financiero para este contexto?. ÂżPor quĂŠ?
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b) Considerando la guía de estudios a esta Unidad 5 que se proporcionó en archivo PDF a inicios de semana, en el siguiente reactivo de:
¿Qué Propiedad o Fundamento del logaritmo común ultilizarías para determinar esta selección acertada?. Expliqué a detalle, sus procedimientos algebraicos que ocupó en su formulario.
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Ejercicio 3: Responde las siguientes preguntas de este quinto ciclo academico que esta culminando en su totalidad: a. Desde que ingresaste a este programa eduacativo del Bachillerato Digital BADI y antes de que ocurriera lo de la pandemia del coronavirus, ¿En qué sede o PILARES realizabas tus actividades escolares con frecuencia?
b. Desde que fuiste admitido a este programa eduacativo del Bachillerato Digital BADI y antes de que pasará el evento del COVID-19 en la Ciudad de México, ¿En qué sede o PILARES realizabas tu evaluación final con regularidad?
c. ¿En qué lugar particular presentaste la evaluación final?. Marca con una X tu opción que le corresponda En tú Domicilio: ____ En Domicilio de un@ de tus familiares:___ En Domicilio de un@ de tus amig@s: ____ En Domicilio de un@ de tus vecin@s: ____ En Domicilio de alguna clínica o hospital: ____ En otro lado: ____
¿En cuál?:__________________________
d. Completa los siguientes elementos de la Dirección en dónde presentaste su evluación final: Calle y Número:___________________________________________ Colonia:___________________________ Código Postal:_________ Alcaldía o Municipio:_______________________________________ Entidad Federativa:________________________________________
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e. ¿Qué dispositivo ocupaste para la evaluación final?. Marca con una X tu opción que le corresponda. En computadora o laptop: ____ En otro: ____
En tablet:_____ En celular: ____
¿En cuál?:_______________________________
f. Proporciona tú fotografía del día que presentaste la evaluación final en dónde muestres el comprobante de inscripción más reciente.
g. En la cuarentena que haz vivido, ¿Te gustaba presentar la evaluación final cómo antes en dónde ibas a la sede o PILARES a realizarlo con otr@ tutor-docente encargado que te escribía la contraseña en la computadora y te supervisaba o la de ahora, en donde tu servidor te proporciona la llave de acceso y te vigila tu seguimiento?. ¿Por qué?.
h. En este lapso de crisis sanitaria en la Ciudad de México, ¿Te gustaba presentar la evaluación final cómo antes a los horarios de servicio que tenía cada sede o PILARES que escogías para poder realizarlo o la de ahora, en los turnos horarios estipulados por la Subdirección de Bachillerato en Línea?. ¿Por qué?.
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i. Respecto al curso que proporciona la plataforma ¿Qué Fortalezas, Oportunidades, Debilidades y Amenazas te ofrece los contenidos del programa de Matemáticas en mi Vida 2 en tú proceso de aprendizaje?
j. Respecto a tú tutor docente asignado ¿Cuáles fuerón sus Fortalezas, Oportunidades, Debilidades y Amenazas ante su desempeño de impartir y asesorar la asignatura de Matemáticas en mi Vida 2?