ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
ACTIVIDAD UNIDAD 4
OCURRENCIAS Y PREDICCIONES DE UNA POBLACIÓN FINITA. Panorama del Fin de Curso, en: https://w2.televisioneducativa.gob.mx/educamedia/telebachillerato?seccion=2&subSe ccion=7&curso=48
NOMBRE:
TUTOR:
FECHA
ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
Funciones polinomiales. En las anteriores unidades hemos visto que una funciĂłn se llama algebraica si se puede construir a partir de las funciones polinomiales de adiciĂłn+, sustracciĂłn−, multiplicaciĂłn, divisiĂłn o đ?&#x;‘ radicaciĂłn cuadrada, cĂşbica √ , √ , ‌ Tomemos en cuenta que cualquier funciĂłn racional es algebraica. Funciones trascendentes Son las funciones que no son algebraicas, como: • Funciones Exponenciales. • Funciones LogarĂtmicas. • Funciones trigonomĂŠtricas. Para este curso, se considerarĂĄ el detallado repaso del primer y segundo punto en la cotidianidad. FunciĂłn Exponencial. FunciĂłn en la que una constante se encuentra elevada a una variable. Recordemos que en el estudio de funciones algebraicas se esturdĂan aquellas en que se considera lo siguiente đ?? đ??€đ??’đ??„ đ??•đ??€đ??‘đ??ˆđ??€đ?? đ??‹đ??„đ???đ??Žđ??“đ??„đ???đ??‚đ??ˆđ??€ đ??‚đ??Žđ???đ??’đ??“đ??€đ???đ??“đ??„ Como, por ejemplo đ?&#x;‘
đ?’™đ?&#x;? , đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;‘ , đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;?.đ?&#x;” , đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;“ , đ??žđ??đ??œ. Ahora centraremos nuestra atenciĂłn en aquellas funciones de esta temĂĄtica en que se tiene đ?? đ??€đ??’đ??„ đ??‚đ??Žđ???đ??’đ??“đ??€đ???đ??“đ??„ đ???đ??Žđ??“đ??„đ???đ??‚đ??ˆđ??€ đ??•đ??€đ??‘đ??ˆđ??€đ?? đ??‹đ??„ Como, por ejemplo đ?&#x;? đ?’™ đ?’™ đ?&#x;? , (đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;Ž)đ?&#x;’đ?’™ , đ?&#x;–−đ?’™ , đ??žđ??đ??œ. ( ) , đ?&#x;? NotaciĂłn Se expresa de la forma: đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?‘¨đ?’ƒđ?’™ Donde: En el sentido de la matemĂĄtica pura: đ?‘¨ y đ?’ƒ es un nĂşmero real positivo mayor que cero. x es un nĂşmero real cualquiera. En el sentido de la matemĂĄtica aplicada: đ?‘¨ es el coeficiente correspondiente al valor inicial. đ?’ƒ es el factor de crecimiento (cuando es mayor a đ?&#x;Ž) o decaimiento (cuando es menor a đ?&#x;Ž)
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Ejemplo Gráfico del factor de Crecimiento:
Ejemplo Gráfico del factor de Decaimiento:
Esta interviene en muchas aplicaciones tales como: 1. Crecimiento de Bacterias 2. Crecimiento de Poblaciones 3. Intensidad de Sonido. 4. Presión Atmosférica. 5. Materiales Radioactivos. 6. Ley de Enfriamiento de Newton 7. Escala de Richter de los terremotos Como podemos observar estas funciones contribuyen a describir cómo crecen o decrecen las magnitudes de la naturaleza.
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Peculiaridad del Factor de Crecimiento. Es una base fundamental de una funciĂłn exponencial, que generalmente se encuentra expresado como una proporciĂłn de la poblaciĂłn. NotaciĂłn Se expresa de la forma: đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?‘¨(đ?&#x;? + đ?’ƒ)đ?’™ Donde: đ?‘¨ es la tasa inicial. đ?’™ es el nĂşmero de aĂąos transcurridos despuĂŠs del aĂąo inicial. đ?’š es la tasa despuĂŠs de t aĂąos. đ?’ƒ es el porcentaje anual de cambio en la tasa (expresado en decimales). CaracterĂstica Para obtener la tasa anual de crecimiento en cualquier aĂąo đ?’™ se multiplica la tasa del aĂąo anterior (siempre que ĂŠsta sea positiva), por el factor de crecimiento (đ?&#x;? + đ?’ƒ), si đ?‘¨ > đ?&#x;Ž con su NotaciĂłn definida en đ?’š. En ambos casos hay que tener en cuenta que, si se tiene un aumento en la tasa, đ?’ƒ es positiva y en caso de tener una disminuciĂłn es negativa. Aplicaciones de esta temĂĄtica para la asignatura obligatoria de EstadĂstica y Probabilidad y optativas del CĂĄlculo en mi Vida Cotidiana y Una Mirada a la OptimizaciĂłn EconĂłmica. 1. El precio de venta en un producto o servicio. 2. Los gastos de operaciĂłn 3. El costo de un artĂculo. 4. El interĂŠs compuesto. BibliografĂa: FarĂas, Esteban. (2008) Concepto de FunciĂłn Exponencial. En MatemĂĄticas 4-Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores. IbĂĄĂąez Carrasco, Patricia. et al. (2011) Tasa y Factor de Crecimiento. En MatemĂĄticas IV-con EnfoquĂŠ en Competencias. MĂŠxico: Cengage Learning. MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) FunciĂłn Exponencial. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana. Montes de Oca Puzio, Francisco. (2006) Funciones Exponenciales. En ResoluciĂłn Total de Funciones. MĂŠxico: Skorpio. et al. significa otr@s autores.
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Ejemplo I. ResoluciĂłn de Problemas BiolĂłgicos: El Crecimiento de un cultivo de bacterias. ÂżCuĂĄntas bacterias podrĂamos tener en el curso de una infecciĂłn si se reproducen cada 15 minutos y desde su exposiciĂłn (contagio inicial) han transcurrido 7 horas? Asume que solamente te expusiste a una bacteria solamente. Datos FĂłrmula đ?‘¨=đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) đ?’ƒ=đ?&#x;? đ?’š = đ?‘¨đ?’ƒđ?’™ đ?&#x;• đ?’‰đ?’“. (đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?’Žđ?’Šđ?’?. ) đ?’™= đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’Žđ?’Šđ?’?. (đ?&#x;? đ?’‰đ?’“. ) đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’‰đ?’“.∙ đ?’Žđ?’Šđ?’?. đ?’™= đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’Žđ?’Šđ?’?.∙ đ?’‰đ?’“. đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;–
SustituciĂłn đ?’š = (đ?&#x;?)(đ?&#x;?)đ?&#x;?đ?&#x;– đ?’š = (đ?&#x;?)(đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;–, đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“, đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;”)
Resultado
đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;–, đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“, đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;” đ??›đ??šđ??œđ??đ??žđ??Ťđ??˘đ??šđ??Ź
Ejercicio 1. Instrucciones. - Considerando el reactivo de la guĂa de estudios a esta Unidad 4 que se proporcionĂł en archivo PDF a inicios de semana, realiza lo que se te solicita: 1.- Para el siguiente reactivo, que se muestra a continuaciĂłn:
Demuestra lo Correcto del 16,777,216; por medio del procedimiento que se ocupĂł en Ejemplo I. ResoluciĂłn de Problemas BiolĂłgicos; El Crecimiento de un cultivo de bacterias con sus elementos, de: Datos đ?‘¨= đ?’ƒ= ( ) đ?’™= ( )
FĂłrmula đ?’š= đ?’š=
SustituciĂłn đ?’š = ( )( ) đ?’š = ( )( )
Resultado
đ?’™= đ?’™=
đ?’š=
đ??›đ??šđ??œđ??đ??žđ??Ťđ??˘đ??šđ??Ź
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Ejemplo II. Resolución de Problemas Económicos: La Depreciación de un coche. Un coche que hoy cuesta $90,000.00 se deprecia de tal forma que cada año que pasa, el valor es el 95% menos de su valor anterior. ¿Cuál será su precio al pasar 2 años? Datos 𝑨 = $𝟗𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎 𝟗𝟓% 𝒃= 𝟏𝟎𝟎% 𝒃 = 𝟎. 𝟗𝟓 𝒙=𝟐
Fórmula 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒚 = 𝑨𝒃𝒙
Sustitución Resultado 𝟐 𝒚 = ($𝟗𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎)(𝟎. 𝟗𝟓) 𝒚 = ($𝟗𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎)(𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝟓) 𝒚 = $𝟖𝟏, 𝟐𝟐𝟓. 𝟎𝟎
Ejercicio 2. Instrucciones. - Considerando el reactivo de la guía de estudios a esta Unidad 4 que se proporcionó en archivo PDF a inicios de semana, realiza lo que se te solicita: 2.- Para el siguiente reactivo, que se muestra a continuación:
Demuestra lo Correcto del $29,491.20, por medio del mismo procedimiento que se ocupó del Ejemplo II. Resolución de Problemas Económicos: La Depreciación de un coche.; con sus elementos, de: Datos Fórmula 𝑨= 𝒚= 𝒃= 𝒃= 𝒙= Sustitución 𝒚 = ( )( ) 𝒚 = ( )( )
𝒚=
Resultado
𝒚=$
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Ejemplo III. Resolución de Problemas Administrativos: La Gratificación en una Virtud Laboral. Rosa María va a recibir un incremento del 5% de su mesada semestral por su puntualidad. Si su mesada original es de $300.00. ¿Cuánto recibirá al sexto mes? Datos 𝑨 = $𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎 𝟓% 𝒃= 𝟏𝟎𝟎% 𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒙=𝟔
Fórmula Sustitución Resultado 𝟔 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒚 = ($𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎)(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟓) 𝒚 = 𝑨(𝟏 + 𝒃)𝒙 𝒚 = ($𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎)(𝟏. 𝟎𝟓)𝟔 𝒚 = ($𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎)(𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗) 𝒚 = $𝟒𝟎𝟐. 𝟎𝟐
Ejercicio 3. Instrucciones. - Considerando el reactivo de la guía de estudios a esta Unidad 4 que se proporcionó en archivo PDF a inicios de semana, realiza lo que se te solicita: 3.- Para el siguiente reactivo, que se muestra a continuación:
Demuestra lo Correcto del $8508.02, por medio del mismo procedimiento que se ocupó del Ejemplo III. Resolución de Problemas Administrativos: La Gratificación en una Virtud Laboral; con sus elementos, de: Datos 𝑨=
Fórmula 𝒚=
𝒃=
𝒚=
𝒃= 𝒙= Sustitución 𝒚 = ( )( ) 𝒚 = ( )( ) 𝒚 = ( )( )
Resultado
𝒚=$