ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
ACTIVIDAD UNIDAD 3
FUNCIONES RACIONALES EN EL DESARROLLO HUMANO.
NOMBRE:
TUTOR:
FECHA
ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
FunciĂłn Racional. Es la que estĂĄ formada por el cociente de dos funciones polinomiales NotaciĂłn Se expresa de la forma: đ?’?(đ?’™) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’…(đ?’™) Donde đ?’?(đ?’™), đ?’…(đ?’™) son funciones polinomiales de cualquier grado. Dominio Es el conjunto de los nĂşmeros reales đ?’™ tales que đ?’…(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž. Rango Es el conjunto de los nĂşmeros reales đ?’š tales que su funciĂłn inversa đ?’™ = đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™) ≠đ?&#x;Ž. BibliografĂa: FarĂas, Esteban. (2008) Concepto de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4-Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores. MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) RecapitulaciĂłn de Funciones Racionales. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana. Ejemplo I. CuĂĄndo đ?’…(đ?’™) es una funciĂłn polinomial lineal. Encuentra el Dominio y Rango de la funciĂłn: đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™+đ?&#x;? Para encontrar el dominio: Se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?’™+đ?&#x;?≠đ?&#x;Ž đ?’™ ≠−đ?&#x;? Por lo tanto: đ?‘Ť = {đ?’™ ∈ â„? |đ?’™ ≠−đ?&#x;?} Es decir, todos los valores de đ?’™ en los nĂşmeros reales, excepto el valor de menos uno. Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘Ť = (−∞, −đ?&#x;?) âˆŞ (−đ?&#x;?, ∞)
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Para corroborar o comprobar computacionalmente el dominio obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28x%29%3 D%281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?domain of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “el dominio de f(x)=(1)/(x+1)â€? Para encontrar el rango: Se determina la funciĂłn inversa đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™), por medio del despeje de đ?’™ en la funciĂłn original. đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™+đ?&#x;? Considerando que: đ?&#x;? đ?’š= đ?’™+đ?&#x;? Implica su operaciĂłn inversa en el lado contrario đ?’š(đ?’™ + đ?&#x;?) = đ?&#x;? Luego, realizando la operaciĂłn multiplicativa en el lado izquierdo: đ?’šđ?’™ + đ?’š = đ?&#x;? DespuĂŠs; se excluye el tĂŠrmino a encontrar, en đ?’šđ?’™ = đ?&#x;? − đ?’š Finalmente; aplicando operaciĂłn inversa en el lado derecho: đ?&#x;?−đ?’š đ?’™= đ?’š Realzando su divisiĂłn, tenemos que: đ?&#x;? đ?’™= −đ?&#x;? đ?’š Para corroborar o comprobar computacionalmente la funciĂłn inversa obtenida, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+f%28x%29%3 D%281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?inverse of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “la inversa de f(x)=(1)/(x+1)â€?
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En este caso; para la funciĂłn racional encontrada, se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?’šâ‰ đ?&#x;Ž Por lo tanto: đ?‘š = {đ?’š ∈ â„? |đ?’š ≠đ?&#x;Ž} Es decir, todos los valores de đ?’š en los nĂşmeros reales, excepto el valor de cero. Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘š = (−∞, đ?&#x;Ž) âˆŞ (đ?&#x;Ž, ∞) Para corroborar o comprobar computacionalmente el rango obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=range+of+f%28x%29%3D %281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?range of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “el rango de f(x)=(1)/(x+1)â€? BibliografĂa: Pimienta Prieto, Julio Herminio. et al. (2007) La determinaciĂłn e intervalos del Dominio y Rango de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas IV-Un Enfoque Constructivista. MĂŠxico: Pearson. et al. significa otr@s autores. Ejercicio 1. De acuerdo con la metodologĂa del Ejemplo I., encuentra el Dominio y Rango de la funciĂłn: đ?&#x;“ đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™âˆ’đ?&#x;– BibliografĂa: Basurto Hidalgo, Eduardo. et al. (2011) Dominio y Rango de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4: Competencias + Aprendizaje + Vida. MĂŠxico: Pearson. et al. significa otr@s autores.
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Ejemplo II. Cuando đ?’…(đ?’™) es una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica incompleta. Encuentra el Dominio de la funciĂłn: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;– đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;? đ?’™ −đ?&#x;• Se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de segundo grado: đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;• ≠đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? ≠đ?&#x;• đ?’™ â‰ Âąâˆšđ?&#x;• Por lo tanto: đ?‘Ť = {đ?’™ ∈ â„? |đ?’™ ≠−√đ?&#x;• & đ?’™ ≠√đ?&#x;•} Es decir, todos los valores de đ?’™ en los nĂşmeros reales, excepto el valor de menos uno. Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘Ť = (−∞, −√đ?&#x;•) âˆŞ (−√đ?&#x;•, √đ?&#x;•) âˆŞ (√đ?&#x;•, ∞) Para corroborar o comprobar computacionalmente el dominio obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28x%29%3 D%2812x-8%29%2F%28x%5E2-7%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs:â€? domain of f(x)=(12x-8)/(x^2-7)â€? que significa: encontrar “el dominio de f(x)= (12x-8)/(x^2-7)â€? BibliografĂa: MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) ObtenciĂłn del Dominio, Contradominio (Codominio) y Rango de una FunciĂłn. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana.
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Ejercicio 2. De acuerdo con la metodologĂa del Ejemplo II., encuentra el Dominio de la funciĂłn: đ?&#x;‘ đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;? đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;“ Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ en el siguiente espacio en blanco:
BibliografĂa: Salazar Guerrero, Ludwing Javier. et al. (2007) Dominio y contradominio de una FunciĂłn. En CĂĄlculo Diferencial. MĂŠxico: Grupo Patria. et al. significa otr@s autores.
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AsĂntota de una FunciĂłn Racional. Es una recta a la cual se aproxima la grĂĄfica, al crecer indefinidamente |đ?’™| o |đ?’š|. En pocas palabras, se considera como unas lĂneas que son como una “barreraâ€? pero sirven como una “guĂaâ€? de la grĂĄfica. Esto quiere decir que se acerca a la curva, sin tocarla, excepto en un punto, cuando su grĂĄfica se encuentra en el infinito −∞ o ∞ y le da forma a la funciĂłn racional. ClasificaciĂłn de la AsĂntota. AsĂntota Vertical. Se define por el valor o para cada uno de los valores en đ?’™ que solucionan la ecuaciĂłn del denominador đ?’…(đ?’™) = đ?&#x;Ž. Su recta o rectas se considera en el eje de las: đ?’™ = đ?’…(đ?’™) AsĂntota Horizontal. Su Ăşnica recta estĂĄ localizada, en: đ?’?(đ?’™) đ?’‚đ?’™đ?’Ž + â‹Ż + đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = = đ?’…(đ?’™) đ?’ƒđ?’™Ăą + â‹Ż + đ?’ƒđ?&#x;Ž Cuando el grado, de: 1- El grado de đ?’Ž < Ăą (= sea menor), implica que đ?’š = đ?’™ đ?’‚ 2- El grado de đ?’Ž = Ăą (= sea igual), implica que đ?’š = đ?’ƒ 3- El grado de đ?’Ž > Ăą (> sea mayor), implica que NO tiene AsĂntota Oblicua (Inclinada). Solamente existe la recta en đ?’š, si en una funciĂłn racional el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador (El grado de đ?’Ž > Ăą) y se determina mediante el cociente đ?’„(đ?’™) de dividir a đ?’?(đ?’™) por đ?’…(đ?’™), es decir: đ?’?(đ?’™) đ?’š = đ?’„(đ?’™) = đ?’…(đ?’™) BibliografĂa: FarĂas, Esteban. (2008) Concepto de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4-Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007). Funciones Racionales. En MatemĂĄticas IV. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.
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Ejemplo III. Los elementos asintĂłticos de una funciĂłn racional. Encontrar la asĂntota vertical, horizontal y oblicua de la funciĂłn: đ?&#x;?đ?’™ đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™âˆ’đ?&#x;? Para encontrar la asĂntota vertical: Se debe establecer que el denominador debe ser igual a cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?’™âˆ’đ?&#x;?=đ?&#x;Ž Por lo tanto: đ?’™=đ?&#x;? Para encontrar la asĂntota horizontal: En la funciĂłn propuesta đ?’‡(đ?’™); se nota que las funciones polinomiales en su numerador y denominador, es cuĂĄndo su grado tiene a đ?’Ž = Ăą, por lo que esto implica: đ?’‚ đ?’š= đ?’ƒ đ?&#x;? đ?’š= đ?&#x;? đ?’š=đ?&#x;? Para encontrar la asĂntota oblicua: En este caso; se tiene que ver, si no se obtuvo la asĂntota horizontal para poder calcularla; sin embargo, para esta situaciĂłn si se determinĂł en đ?’š = đ?&#x;? y por este motivo nos conduce a que no exista tal recta en los nĂşmeros reales. Para corroborar o comprobar computacionalmente las asĂntotas encontradas, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+of+f%28x%2 9%3D%282x%29%2F%28x-2%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs:â€? asymptotes of f(x)=(2x)/(x-2)â€? que significa: encontrar “las asĂntotas de f(x)=(2x)/(x-2)â€? BibliografĂa: RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007). Funciones Racionales. En MatemĂĄticas IV. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.
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Ejercicio 3. De acuerdo con la metodologĂa del Ejemplo III., encuentra la asĂntota vertical, horizontal y oblicua para la funciĂłn: đ?’™+đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™âˆ’đ?&#x;? Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ en el siguiente espacio en blanco:
BibliografĂa: Ortiz Campos, Francisco JosĂŠ. (2006) FunciĂłn Racional. En CĂĄlculo Diferencial. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.
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Las Concepciones de AsĂntota Horizontal en la Realidad. Ejercicio 4. Derrame Petrolero. La funciĂłn đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;’(đ?’™ + đ?&#x;?) Representa el porcentaje de residuos de hidrocarburo que permanece en el mar despuĂŠs de ocurrir un derrame en un buque cisterna transportador de petrĂłleo, y de efectuarse durante cuatro meses las tareas de recuperaciĂłn y limpieza por la empresa responsable. Transcurrido ese tiempo, el proceso continĂşa mĂĄs lentamente por la acciĂłn de los procesos de biodegradaciĂłn. ÂżCuĂĄl es el mĂĄximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo con este modelo? Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ en el siguiente espacio en blanco: ResoluciĂłn: đ?’š = đ?’‡(đ?’™) =
ConclusiĂłn: Esto significa que quedarĂĄn cerca de un ____% de contaminantes, por lo que la disminuciĂłn alcanzarĂĄ un mĂĄximo aproximado de ochenta y cinco por ciento. BibliografĂa: RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007). AsĂntotas Horizontales. En MatemĂĄticas IV. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.