ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
ACTIVIDAD UNIDAD 2
¿CUÁNTOS SOMOS?
NOMBRE:
TUTOR:
FECHA
ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
Conocimientos Elementales Funciones Polinomiales con una variable definida en đ?’™: Son funciones cuyos tĂŠrminos algebraicos son sumandos de la forma đ?’‚đ?’™đ?’? , dĂłnde su coeficiente es un nĂşmero base cualquiera denotado por đ?’‚ y el exponente đ?’? es un entero positivo o cero. Grado: Es la mĂĄxima potencia o exponente al cual estĂĄ elevada la variable respectiva en el polinomio. Coeficiente Principal: Es aquel nĂşmero base que multiplica a la variable con mayor potencia en el polinomio. TĂŠrmino Constante: Es aquel nĂşmero real que no estĂĄ siendo multiplicado por la variable. Ejemplo 1. Identificando funciones polinomiales. Clasificar cada funciĂłn polinomial de acuerdo con su grado y determinar en cada caso su coeficiente principal. a) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;? b) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;? c) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;• d) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;’ e) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ + đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž SoluciĂłn Caso
Grado
a) b) c) d) e)
0 1 2 3 4
FunciĂłn Polinomial Constante Lineal CuadrĂĄtica CĂşbica Cuartica
Coeficiente Principal −đ?&#x;? đ?&#x;‘ −đ?&#x;? đ?&#x;? −đ?&#x;?
TĂŠrmino Constante −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;• −đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
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Instrucciones de la Actividad 1: a) Determina SI es una funciĂłn polinomial o NO con una X en la siguiente tabla: Caso
SI es NO es Polinomial Polinomial
ÂżPor quĂŠ?
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;‘ đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;‘ − đ?’™đ?&#x;’.đ?&#x;“ đ?&#x;“ đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;’ − đ?&#x;?đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ đ?’‡(đ?’™) = đ?’”đ?’†đ?’? đ?’™ Instrucciones de la Actividad 2: b) Completa los siguientes elementos: Caso
Forma decreciente
đ?’‡(đ?’™) = −đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ − đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;— + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;’
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™ đ?&#x;’
đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™
Grado
FunciĂłn Polinomial
Coeficiente Principal đ?&#x;“
TĂŠrmino Constante
Escriba aquĂ la ecuaciĂł
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
đ?&#x;Ž
đ?’‡(đ?’™) = −đ?’™ + đ?’™ + đ?&#x;?
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;’đ?’™
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł
Fuente de consulta para esta secciĂłn: FarĂas, Esteban. (2008) Concepto de FunciĂłn Polinomial. En MatemĂĄticas 4 Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007) Funciones Polinomiales. En MatemĂĄticas IV PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2014) Funciones Polinomiales en x. En MatemĂĄticas 4 PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria.
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Representación Gráfica de las Funciones Polinomiales. Función Polinomial Constante
Forma
Representación
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂
Recta horizontal. Situada a 𝒂 unidades de distancia del eje 𝒙.
Gráfica. Unidades Positivas
Unidades Negativas
Lineal
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Recta oblicua. Pendiente 𝒂 o 𝒎 e intersección 𝒃 en el eje 𝒚 (ordenada al origen).
Pendiente Positiva o Creciente
Pendiente Negativa o Decreciente
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FunciĂłn Polinomial CuadrĂĄtica
Forma
RepresentaciĂłn
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„
ParĂĄbola vertical con vĂŠrtice đ?‘˝ que puede abrir hacia arriba si el coeficiente principal es positivo o hacia abajo si es negativo đ?’‚.
GrĂĄfica. Si đ?’‚ es positivo.
Si đ?’‚ es negativo.
CĂşbica
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’ƒđ?’™đ?&#x;? + đ?’„đ?’™ + đ?’…
Se comporta en forma opuesta.
Cuartica
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;’ + đ?’ƒđ?’™đ?&#x;‘ + đ?’„đ?’™đ?&#x;? + đ?’…đ?’™ + đ?’†
Se comporta igual a izquierda y derecha
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La Pendiente de una FunciĂłn Polinomial Lineal como RazĂłn de Cambio. Si tomamos dos puntos diferentes de una recta no vertical, veremos la diferencia entre sus ordenadas determina la elevaciĂłn (desnivel) de un punto con respecto del otro, mientras que la diferencia entre sus abscisas corresponde al corrimiento de un punto con respecto al otro. La razĂłn de cambio entre el desnivel y el corrimiento se llama pendiente: đ?‘Ťđ?’†đ?’”đ?’?đ?’Šđ?’—đ?’†đ?’? (đ?‘Şđ?’‚đ?’Žđ?’ƒđ?’Šđ?’? đ?’—đ?’†đ?’“đ?’•đ?’Šđ?’„đ?’‚đ?’?) đ?‘ˇđ?’†đ?’?đ?’…đ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’† = đ?‘Şđ?’?đ?’“đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’? (đ?‘Şđ?’‚đ?’Žđ?’ƒđ?’Šđ?’? đ?’‰đ?’?đ?’“đ?’Šđ?’›đ?’?đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’?) Esto quiere decir que, la pendiente es el grado de inclinaciĂłn de la recta que tiene con respecto al eje horizontal. Para determinar su valor numĂŠrico en el plano, se obtiene por medio de la siguiente fĂłrmula: đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? đ?’Ž= đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? QuĂŠ esta determina, los siguientes casos: Caso I. CuĂĄndo no estĂĄ definida por el infinito o cero. Ejemplo A. Calcular la pendiente del punto đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;?) y đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;‘) Datos FĂłrmula SustituciĂłn Resultado đ?&#x;‘−đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’Ž= đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?&#x;?−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;Ž
đ?’Ž=∞
đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’Ž =? Ejemplo B. Calcular la pendiente del punto đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;‘) y đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;’, đ?&#x;‘) Datos FĂłrmula SustituciĂłn Resultado đ?&#x;‘−đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’Ž= đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’ đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’Ž =?
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?&#x;’−đ?&#x;? đ?&#x;Ž đ?&#x;‘
đ?’Ž=đ?&#x;Ž
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Caso II. Cuando si estĂĄ definida por un nĂşmero real negativo o positivo. Instrucciones de la Actividad 3 Problema de AplicaciĂłn Cotidiana: RazĂłn de cambio Promedio. En estos tiempos de crisis sanitaria, un padre de familia trabaja en una fĂĄbrica de bozales en la cual cumple con una jornada semanal de đ?&#x;’đ?&#x;Ž horas. Su salario fijo es de $đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž, pero a veces tiene oportunidad de laborar tiempo extra, el cual le pagan a $đ?&#x;”đ?&#x;Ž por hora. El nĂşmero mĂĄximo de horas extra que le son asignadas es de đ?&#x;?đ?&#x;“ a la semana. ÂżCuĂĄl es el aumento promedio del salario semanal del papĂĄ por cada hora extra que labora? Datos đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
FĂłrmula đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
SustituciĂłn đ?’Ž= đ?’Ž=
Resultado đ?’Ž=
đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?’Ž =? Conclusiones del Contexto Completa las siguientes afirmaciones sobre la FĂłrmula en relaciĂłn con sus Datos y su obtenciĂłn de este Resultado. Las unidades de medida para la razĂłn de cambio đ?’Ž son: ____________ por _____________. De esta forma, segĂşn expresemos đ?’Ž, se puede decir que: “El padre que mantiene una familia, recibe un aumento promedio del salario semanal de: _________ por cada hora extra que trabaja en la fĂĄbrica.â€?
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Fuente de consulta para esta secciĂłn: Ortiz Campos, Francisco J. (2006) Pendiente y RazĂłn de Cambio. En MatemĂĄticas IV Funciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural. FarĂas, Esteban. (2008) ÂĄMe ejercito!, en las Funciones Polinomiales. En MatemĂĄticas 4: Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores.
Despeje para un elemento que conforma una pareja ordenada en FĂłrmula de la Pendiente. Instrucciones de la Actividad 4 Problema en el plano cartesiano. La pendiente de una recta es −đ?&#x;‘ , si pasa por el punto đ?‘ˇđ?&#x;? cuya ordenada es −đ?&#x;’. ÂżCuĂĄl es el valor de su abscisa, cuando tiene un extremo en đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;Ž, đ?&#x;?)? Datos đ?’™đ?&#x;? =?
FĂłrmula .
đ?’™đ?&#x;? =
. đ?’Ž(đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? ) = đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? . đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? = đ?’Ž đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? . − đ?’™đ?&#x;? = đ?’Ž
đ?’šđ?&#x;? = đ?’Ž=
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;?
đ?’šđ?&#x;? =
−đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? =
đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? đ?’Ž −đ?&#x;?
−đ?’šđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? đ?’Ž
SustituciĂłn đ?’™đ?&#x;? = +
Resultado
đ?’™đ?&#x;? =
+
đ?’™đ?&#x;? =
đ?’™đ?&#x;? =
+
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Fuente de consulta para esta sección: Mata Holguín, Patricia (2007) Autoevaluación de la Unidad 1 Sistemas de Ejes Coordenados. En Matemáticas 3: Geometría Analítica. México: ST. Fuentes de consulta de la Representación Gráfica de las Funciones Polinomiales: Basurto Hidalgo, Eduardo. et al. (2011) Emplea funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. En Matemáticas 4: Competencias + Aprendizaje + Vida. México: Pearson. et al. significa otr@s autores. Méndez Hinojosa, Arturo. (2007) La función polinomial. En Matemáticas 4. México: Santillana. Ruíz Basto, Joaquín. (2007) Función Polinomial. En Matemáticas IV Precálculo: Funciones y Aplicaciones. México: Grupo Patria Cultural. Wolfram, Stephen (2009) Increasing and Decreasing Fuction. En Wolfram|Alpha. United States of America: Wolfram Research. Recuperado de: https://www.wolframalpha.com/input/?i=is+x%2B6+decreasing%3F