ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
ACTIVIDAD UNIDAD 2
¿CUÁNTOS SOMOS?
NOMBRE:
TUTOR:
FECHA
ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
Conocimientos Elementales Funciones Polinomiales con una variable definida en đ?’™: Son funciones cuyos tĂŠrminos algebraicos son sumandos de la forma đ?’‚đ?’™đ?’? , dĂłnde su coeficiente es un nĂşmero base cualquiera denotado por đ?’‚ y el exponente đ?’? es un entero positivo o cero. Grado: Es la mĂĄxima potencia o exponente al cual estĂĄ elevada la variable respectiva en el polinomio. Coeficiente Principal: Es aquel nĂşmero base que multiplica a la variable con mayor potencia en el polinomio. TĂŠrmino Constante: Es aquel nĂşmero real que no estĂĄ siendo multiplicado por la variable. Ejemplo 1. Identificando funciones polinomiales. Clasificar cada funciĂłn polinomial de acuerdo con su grado y determinar en cada caso su coeficiente principal. a) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;? b) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;? c) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;• d) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;’ e) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;’ + đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž SoluciĂłn Caso
Grado
a) b) c) d) e)
0 1 2 3 4
FunciĂłn Polinomial Constante Lineal CuadrĂĄtica CĂşbica Cuartica
Coeficiente Principal −đ?&#x;? đ?&#x;‘ −đ?&#x;? đ?&#x;? −đ?&#x;?
TĂŠrmino Constante −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;• −đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
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Instrucciones de la Actividad 1: a) Determina SI es una funciĂłn polinomial o NO con una X en la siguiente tabla: Caso
SI es Polinomial
NO es Polinomial
ÂżPor quĂŠ?
đ?’‡(đ?’™) = √đ?’™ đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;? − đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;” đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;? đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;“ đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;“ Instrucciones de la Actividad 2: b) Completa los siguientes elementos: Caso
Forma decreciente
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;“ + đ?’™
đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;’ + đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;‘ + đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;“
đ?’‡(đ?’™) = −đ?&#x;— + đ?&#x;’đ?’™ + đ?’™
đ?&#x;‘
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Grado
FunciĂłn Polinomial
Coeficiente Principal −đ?&#x;’
TĂŠrmino Constante
Escriba aquĂ la ecuaciĂł
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;’đ?’™
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;’đ?’™
đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;?
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn. Escriba aquĂ la ecuaciĂł
đ?&#x;?
đ?’‡(đ?’™) = đ?’™
Escriba aquĂ la ecuaciĂłn.
Fuente de consulta para esta secciĂłn: FarĂas, Esteban. (2008) Concepto de FunciĂłn Polinomial. En MatemĂĄticas 4 Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007) Funciones Polinomiales. En MatemĂĄticas IV PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2014) Funciones Polinomiales en x. En MatemĂĄticas 4 PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria.
đ?&#x;Ž
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Representación Gráfica de las Funciones Polinomiales. Función Polinomial Constante
Forma
Representación
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂
Recta horizontal. Situada a 𝒂 unidades de distancia del eje 𝒙.
Gráfica. Unidades Positivas
Unidades Negativas
Lineal
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Recta oblicua. Pendiente 𝒂 o 𝒎 e intersección 𝒃 en el eje 𝒚 (ordenada al origen).
Pendiente Positiva o Creciente
Pendiente Negativa o Decreciente
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FunciĂłn Polinomial CuadrĂĄtica
Forma
RepresentaciĂłn
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„
ParĂĄbola vertical con vĂŠrtice đ?‘˝ que puede abrir hacia arriba si el coeficiente principal es positivo o hacia abajo si es negativo đ?’‚.
GrĂĄfica. Si đ?’‚ es positivo.
Si đ?’‚ es negativo.
CĂşbica
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’ƒđ?’™đ?&#x;? + đ?’„đ?’™ + đ?’…
Se comporta en forma opuesta.
Cuartica
đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚đ?’™đ?&#x;’ + đ?’ƒđ?’™đ?&#x;‘ + đ?’„đ?’™đ?&#x;? + đ?’…đ?’™ + đ?’†
Se comporta igual a izquierda y derecha
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La Pendiente de una FunciĂłn Polinomial Lineal como RazĂłn de Cambio. Si tomamos dos puntos diferentes de una recta no vertical, veremos la diferencia entre sus ordenadas determina la elevaciĂłn (desnivel) de un punto con respecto del otro, mientras que la diferencia entre sus abscisas corresponde al corrimiento de un punto con respecto al otro. La razĂłn de cambio entre el desnivel y el corrimiento se llama pendiente: đ?‘Ťđ?’†đ?’”đ?’?đ?’Šđ?’—đ?’†đ?’? (đ?‘Şđ?’‚đ?’Žđ?’ƒđ?’Šđ?’? đ?’—đ?’†đ?’“đ?’•đ?’Šđ?’„đ?’‚đ?’?) đ?‘ˇđ?’†đ?’?đ?’…đ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’† = đ?‘Şđ?’?đ?’“đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’Šđ?’†đ?’?đ?’•đ?’? (đ?‘Şđ?’‚đ?’Žđ?’ƒđ?’Šđ?’? đ?’‰đ?’?đ?’“đ?’Šđ?’›đ?’?đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’?) Esto quiere decir que, la pendiente es el grado de inclinaciĂłn de la recta que tiene con respecto al eje horizontal. Para determinar su valor numĂŠrico en el plano, se obtiene por medio de la siguiente fĂłrmula: đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? đ?’Ž= đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? QuĂŠ esta determina, los siguientes casos: Caso I. CuĂĄndo no estĂĄ definida por el infinito o cero. Ejemplo A. Calcular la pendiente del punto đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;?) y đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;‘) Datos FĂłrmula SustituciĂłn Resultado đ?&#x;‘−đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’Ž= đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?&#x;?−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;Ž
đ?’Ž=∞
đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’Ž =? Ejemplo B. Calcular la pendiente del punto đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;?, đ?&#x;‘) y đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;’, đ?&#x;‘) Datos FĂłrmula SustituciĂłn Resultado đ?&#x;‘−đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’Ž= đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’ đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;‘ đ?’Ž =?
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?&#x;’−đ?&#x;? đ?&#x;Ž đ?&#x;‘
đ?’Ž=đ?&#x;Ž
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Caso II. Cuando si estĂĄ definida por un nĂşmero real negativo o positivo. Instrucciones de la Actividad 3 Problema de AplicaciĂłn Cotidiana: Ventas promedio. Un almacĂŠn de artĂculos deportivos vendiĂł al inicio del segundo trimestre đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“ artĂculos y cerrĂł dicho trimestre vendiendo đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;? artĂculos. Suponiendo que las ventas de trimestre mantuvieron siempre el mismo ritmo, ÂżcuĂĄl fue la tasa promedio de variaciĂłn? Datos đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“
FĂłrmula đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
SustituciĂłn đ?’Ž= đ?’Ž=
Resultado đ?’Ž=
đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;—đ?&#x;Ž đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;? đ?’Ž =? Conclusiones del Contexto Completa las siguientes afirmaciones sobre la FĂłrmula en relaciĂłn con sus Datos y su obtenciĂłn de este Resultado. Las unidades de medida para la razĂłn de cambio đ?’Ž son: ____________ por _____________. De esta forma, segĂşn expresemos đ?’Ž, se puede decir que: “Las ventas disminuyeron a razĂłn de: ________ artĂculos por dĂa.â€? Fuente de consulta para esta secciĂłn: Ortiz Campos, Francisco J. (2006) Pendiente y RazĂłn de Cambio. En MatemĂĄticas IV Funciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2005) Forma Punto-Pendiente de la EcuaciĂłn de la Recta. En MatemĂĄticas III GeometrĂa AnalĂtica BĂĄsica. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.
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Despeje para un elemento que conforma una pareja ordenada en FĂłrmula de la Pendiente. Instrucciones de la Actividad 4 Problema en el plano cartesiano. đ?&#x;• La pendiente de una recta es , si pasa por el punto đ?‘ˇđ?&#x;? (đ?&#x;”, đ?&#x;—) y el đ?&#x;?đ?&#x;Ž punto đ?‘ˇđ?&#x;? cuya abscisa es −đ?&#x;’. ÂżCuĂĄl es el valor de su ordenada? Datos đ?’™đ?&#x;? = đ?’šđ?&#x;? =
FĂłrmula . .
đ?’™đ?&#x;? = đ?’šđ?&#x;? =? đ?’Ž=
. đ?’Ž(đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? ) = đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;? đ?’Ž(đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? ) + đ?’šđ?&#x;? = đ?’šđ?&#x;? . đ?’šđ?&#x;? = đ?’Ž(đ?’™đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? ) + đ?’šđ?&#x;?
đ?’Ž=
đ?’šđ?&#x;? −đ?’šđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? −đ?’™đ?&#x;?
SustituciĂłn đ?’šđ?&#x;? = đ?’šđ?&#x;? =
Resultado đ?’šđ?&#x;? =
Fuente de consulta para esta secciĂłn: CONAMAT, A.C. (2009) Pendiente. En GuĂa PrĂĄctica para el examen de ingreso a la Universidad: Conceptos BĂĄsicos y Ejercicios Resueltos. MĂŠxico: Pearson.
Fuentes de consulta de la RepresentaciĂłn GrĂĄfica de las Funciones Polinomiales: Basurto Hidalgo, Eduardo. et al. (2011) Emplea funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. En MatemĂĄticas 4: Competencias + Aprendizaje + Vida. MĂŠxico: Pearson. et al. significa otr@s autores. MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) La funciĂłn polinomial. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana. RuĂz Basto, JoaquĂn. (2007) FunciĂłn Polinomial. En MatemĂĄticas IV PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural. Wolfram, Stephen (2009) Increasing and Decreasing Fuction. En Wolfram|Alpha. United States of America: Wolfram Research. Recuperado de: https://www.wolframalpha.com/input/?i=is+x%2B6+increasing%3F