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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA UNIDAD CUAJIMALPA SECRETARÍA ACADÉMICA COMISIÓN DICTAMINADORA DIVISIONAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERÍA. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APLICADAS Y SISTEMAS. “Trabajo Escrito del Tema 4.4. Integración por Partes, acorde al Programa Académico de Cálculo II para Licenciatura en Matemáticas Aplicadas e Ingeniería en Computación.” QUE SUSTENTA: PEDRO DANIEL LARA MALDONADO EN LA PRIMERA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE EVALUACIÓN CURRICULAR COMO: Ayudante “B” Medio Tiempo. CELEBRADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, A 15 DE FEBRERO DEL 2018.

ÍNDICE PÁGINA 1. Introducción ………...…………………………………………1 2. Contenido Técnico…………………………………………......2 2.1. Definición……………………………………………..........2 2.1.1. Fórmula 2.1.2. Atributos 2.1.3. Importancia 2.2. Aplicaciones………………………………………….......3 2.2.1. Ejemplos 3. Conclusión……………………………………….....................4 4. Bibliografía…………………………………….......................5

1. Introducción En esta temática., nos referiremos a la aplicación de la fórmula de integración por partes como el método de integración por partes o simplemente integración por partes (Rivera, 2007). La integración por partes, se le considera cómo un intento de la doble sustitución o cambio de variable (Barrales, 2012). El objeto de la integración por partes es calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable (Fuenlabrada, 2007) La habilidad para calcular integrales por este método se obtiene con la experiencia. A continuación, presentaremos su definición, fórmula y propiedades para que se comprenda cabalmente sus aplicaciones a través de ejemplos que muestran el procedimiento que se debe seguir en casos particulares (Cuéllar, 2008). 2. Contenido Técnico. 2.1. Definición 1

Este mĂŠtodo parte de la regla de la derivada de un producto de funciones (Barrales, 2012). Para explicar el procedimiento quĂŠ se aplica a este mĂŠtodo, consideremos definir a las funciones đ?‘˘(đ?‘Ľ) y đ?‘Ł(đ?‘Ľ) como derivables. Entonces: đ?‘‘ (đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)) = đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ) + đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘ŁÂ´(đ?‘Ľ) ‌ (đ??ź) đ?‘‘đ?‘Ľ Integrando a la ecuaciĂłn ‌ (đ??ź), tenemos que: âˆŤ[đ?‘‘đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)] = âˆŤ đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘ŁÂ´(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ ‌ (đ??źđ??ź) Resulta que la ecuaciĂłn ‌ (đ??źđ??ź), es: đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘ŁÂ´(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ ‌ (đ??źđ??źđ??ź) Despejando âˆŤ đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ de la ecuaciĂłn ‌ (đ??źđ??źđ??ź), implica que: âˆŤ đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ) − âˆŤ đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ ‌ (đ??źđ?‘‰) Como đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘ŁÂ´(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ y đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘˘Â´(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. 2.1.1. FĂłrmula Entonces la regla de integraciĂłn por partes queda, como: âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘ ‌ (đ?‘‰) Esta FĂłrmula se lee como la Integral de una funciĂłn por la diferencial de otra, es igual al producto de dos funciones, menos la integral de la segunda funciĂłn por la diferencial de la primera (Montes, 2013). 2.1.2. Atributos (De Oteyza, 2006). 1. Para utilizar el mĂŠtodo de integraciĂłn por partes debemos identificar el integrando como un producto de la forma đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł. 2. La integral de đ?‘‘đ?‘Ł, tenemos que saber calcularla. 3. Algunas veces identificamos la funciĂłn que se quiere integrar como el producto de dicha funciĂłn por la funciĂłn constante 1. 4. La elecciĂłn de đ?‘˘ y đ?‘‘đ?‘Ł se hace de manera que la integral âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘ sea fĂĄcil de calcular. 2.1.3. Importancia 2

Cabe seĂąalar la importancia de la elecciĂłn para đ?‘˘ y đ?‘‘đ?‘Ł, de tal forma que la integral âˆŤ đ?’—đ?’…đ?’– resulte una integral directa o que se resuelva por sustituciĂłn, o bien, aplicando nuevamente la regla de integraciĂłn por partes (Barrales, 2012). 2.2. Aplicaciones (IbĂĄĂąez, 2008). Entre las aplicaciones mĂĄs importantes de las tĂŠcnicas de integraciĂłn por partes se encuentra la integraciĂłn de: •

Diferenciales que contienen multiplicaciones.

•

Diferenciales que contienen logaritmos.

•

Diferenciales que contienen funciones trigonomĂŠtricas inversas. 2.2.1. Ejemplos

1. Calcular la siguiente integral âˆŤ đ?’†âˆ’đ?’™ đ?’”đ?’†đ?’?đ?&#x;?đ?’™đ?’…đ?’™ (GuzmĂĄn, 2006). Considerando que: đ?‘˘ = đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘˘ = −đ?‘’

−đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ł = − đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ 2

Por lo tanto: 1 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 Volvemos a integrar por partes đ?‘˘ = đ?‘’ −đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ?‘‘đ?‘˘ = −đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ł = đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľ 2 Por lo tanto: 1 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ − (đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ) 2 4 1 1 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ 2 4 4 Transponemos la integral del segundo miembro y efectuamos operaciones: 1 1 1 âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ − đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘›2đ?‘Ľ + đ??ś 4 2 4 3

1 1 1 (1 + ) ∫ 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − 𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶 4 2 4 5 1 1 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − 𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶 4 2 4 Finalmente: 𝟐 𝟏 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − 𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝑪 𝟓 𝟓 2. Calcular la siguiente integral ∫ 𝒆𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙𝒅𝒙 (Montes, 2013). Considerando que: 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑢 = 𝑎𝑒

𝑎𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣=− 𝑛

Por lo tanto: ∫𝑒

𝑎𝑥

𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 = − + ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑛 𝑛

Volvemos a integrar por partes 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑎𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝑛 En consecuencia: ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 = −

∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 =

𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑎 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑎 + ( − ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 𝑎2 (𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 − 𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥) − ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑛2 𝑛2

Transponemos la integral del segundo miembro y efectuamos operaciones: ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 +

(1 +

𝑎2 𝑒 𝑎𝑥 𝑎𝑥 (𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 − 𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑛2 𝑛2

𝑎2 𝑒 𝑎𝑥 𝑎𝑥 (𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 − 𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 = ) 𝑛2 𝑛2

4

đ?‘›2 + đ?‘Ž2 đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ − đ?‘›đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Ľ) + đ??ś âˆŤ đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘›2 đ?‘›2 Finalmente: âˆŤ đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?’†đ?’‚đ?’™ (đ?’‚đ?’”đ?’†đ?’? đ?’?đ?’™ − đ?’?đ?’„đ?’?đ?’”đ?’?đ?’™) +đ?‘Ş đ?’‚đ?&#x;? + đ?’?đ?&#x;?

3. ConclusiĂłn. En esta temĂĄtica expositiva se aplicĂł la tĂŠcnica de integraciĂłn por partes en la resoluciĂłn de ejemplos con ejercicios prĂĄcticos y problemas que involucran diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse en forma inmediata pero que se puede simplificar a partir de su identificaciĂłn de importancia.

4. Bibliografía. Barrales Guadarrama, Víctor Rogelio. et al. (2012). La Integral. En Cålculo: Concepción Dinåmica. MÊxico.: Grupo Patria. CuÊllar Carvajal, Juan Antonio. (2007). Integración por partes. En Cålculo Integral. MÊxico.: McGrawHill. De Oteyza, Elena. et al. (2006). Integración por partes. En Cålculo Diferencial e Integral. MÊxico.: Pearson Educación. Fuenlabrada de la Vega Trucíos, Samuel. (2007). MÊtodos de Integración. Integración por partes. En Cålculo Integral. MÊxico.: McGraw-Hill. Guzmån Hernåndez, JosÊ. et al. (2006). MÊtodos de Integración. En Cålculo Integral: Libro de Texto. MÊxico.: UAEMÉX. Ibåùez Carrasco, Patricia. et al. (2008). Integral definida y MÊtodos de Integración. En Cålculo Integral. MÊxico.: Cengage Learning. Montes de Oca Puzio, Francisco. (2013). Integración por partes. En MÊtodos Fundamentales de Integración. MÊxico.: Skorpio. Rivera Figueroa, Antonio. (2007). MÊtodos de Integración. En Cålculo y sus fundamentos para Ingeniería y Ciencias. MÊxico.: Grupo Patria. 5

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