Didáctica del álgebra en los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

EXAMEN EXTRAORDINARIO PARA EL MÓDULO 9: APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA

QUE SUSTENTA, ÉL: MAT. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO CON NÚMERO DE MATRÍCULA ESTUDIANTIL: AL12509381 EN LA EVIDENCIA RELATIVA AL PROGRAMA EDUCATIVO DE: Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas para el 5° Semestre. ACORDE A LA TEMÁTICA DE: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS APLICADA A SU LABOR ACADÉMICA: En el plantel IEMS Cuajimalpa-“Josefa Ortíz de Domínguez” para la Asignatura: Matemáticas III del Grupo Vespertino Escolarizado 308. ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, A 30 DE MAYO DEL 2019.

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INDICE INTRODUCCIÓN….2 RESEÑA HISTÓRICA DE LA TEMÁTICA. DIFICULTADES DE LA TEMÁTICA PARA TRANSMITIR EL CONOCIMIENTO. PREJUICIOS Y ERRORES CONOCIMIENTO.

DE

LA TEMÁTICA PARA EXPLICAR

EL

OBSTÁCULOS DE LA TEMÁTICA AL MOMENTO DE REALIZAR LA INTERVENCIÓN DOCENTE. INVESTIGACIONES SOBRE EL APOYO DE LA TECNOLOGÍA COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA SU PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN LA TEMÁTICA. DESARROLLO…3 CONSIDERACIÓN DEL SUBSISTEMA EDUCATIVO DEL GOBIERNO ESTATAL DE LA CIUDAD DE MÉXICO EN EL INSTITUTO DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DEL DISTRITO FEDERAL. DESCRIPCIÓN DEL PLAN ESTUDIOS 2005 PARA MATEMÁTICAS III, EN SU MODALIDAD ESCOLARIZADA, ACORDE A LA TEMÁTICA. APRENDIZAJES ESPERADOS Y COMPETENCIAS, A BASE DE OBJETIVOS ACADÉMICOS Y LOGROS EN LAS Y LOS ESTUDIANTES. DIFICULTADES DE LA TEMÁTICA PARA TRANSMITIR A LAS Y LOS ESTUDIANTES EN LA MODALIDAD ESCOLAR. PREJUICIOS Y ERRORES DE LA TEMÁTICA PARA EXPLICAR EL CONOCIMIENTO A LAS Y LOS ESTUDIANTES EN LA MODALIDAD ESCOLAR. OBSTÁCULOS DE LA TEMÁTICA AL MOMENTO DE REALIZAR LA INTERVENCIÓN DOCENTE CON LAS Y LOS ESTUDIANTES QUE ESTAN CURSANDO LA MODALIDAD ESCOLAR. INVESTIGACIONES SOBRE EL APOYO DE LA TECNOLOGÍA QUE REQUIERE LA COMUNIDAD ESTUDIANTIL QUE CURSA SU MODALIDAD ESCOLAR COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA SU PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN LA TEMÁTICA. TRAYECTORIA PARA LOGRAR EL APRENDIZAJE ESTUDIANTES DEL CONTENIDO DE LA TEMÁTICA.

DE

LAS

Y LOS

RESULTADOS, CONCLUSIONES Y FUENTES BIBLIOGRÁFICAS…8

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INTRODUCCIĂ“N RESEĂ‘A HISTĂ“RICA DE LA TEMĂ TICA.: Los sistemas de ecuaciones o ecuaciones simultĂĄneas con dos incĂłgnitas, fueron ya resueltos por los babilonios, quienes llamaban a las incĂłgnitas con palabras tales como longitud, anchura, ĂĄrea o volumen, sin que tuvieran relaciĂłn con problemas de medida (Ă vila, 1987). Un ejemplo tomado de una tablilla babilĂłnica plantea la resoluciĂłn de un sistema de ecuaciones en los siguientes tĂŠrminos: 1 đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž + đ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = 7 đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ 4 đ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ + đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž = 10 đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘ Para resolverlo comenzaban asignando el valor 5 a una mano y observaban que la soluciĂłn podĂ­a ser: đ?‘Žđ?‘›đ?‘?â„Žđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž = 20, đ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = 30. Para comprobarlo utilizaban un mĂŠtodo parecido al de eliminaciĂłn. Los griegos tambiĂŠn resolvĂ­an algunos sistemas de ecuaciones con dos incĂłgnitas, pero usando mĂŠtodos geomĂŠtricos, esta situaciĂłn se remonta al siglo IV. a.C., con Thymaridas de Paros, quien habĂ­a encontrado una fĂłrmula para resolver un determinado sistema de đ?‘› ecuaciones con đ?‘› incĂłgnitas, que determinĂł las reglas cruciales para resolverlas. Otros trabajos, acorde a esta temĂĄtica se deben a Diophante, a razĂłn de que realizaba el proceso de transformaciĂłn para que quedarĂĄ sĂłlo soluciones positivas con la simplicidad de una ecuaciĂłn lineal para un problema cotidiano, tambiĂŠn aparecen la metodologĂ­a de resoluciĂłn en los documentos hindĂşes, que redactĂł Mahavira y finalmente con los chinos, a travĂŠs del Arte MatemĂĄtico (siglo III. a.C.), cuyo autor es desconocido, contiene algunos problemas donde se resuelven concretamente, este tipo de ecuaciones, que da un esbozo general matricial para encontrar las soluciones correspondientes para un sistema definido (HernĂĄndez, 2010). DIFICULTADES DE LA TEMĂ TICA PARA TRANSMITIR EL CONOCIMIENTO.: El esbozo de graficar en la computadora las ecuaciones simultaneas, nos conduce a una clasificaciĂłn concreta del tipo de soluciones que presenta (HernĂĄndez, 2010), sin embargo, en el sentido algebraico, existe una amplia diversidad de mĂŠtodos particulares, respecto a los procedimientos de solucionar el sistema; que a su vez resulta ser tedioso y laborioso, de perder el objetivo concreto de aterrizar y centrar el valor correspondiente para cada incĂłgnita (Ă vila, 1987). PREJUICIOS Y ERRORES DE LA TEMĂ TICA PARA EXPLICAR EL CONOCIMIENTO.: La diversidad de mĂŠtodos algebraicos para los sistemas de ecuaciones, estĂĄ en funciĂłn de las posiciones epistemolĂłgicas que se adoptan y, en relaciĂłn con ellas, las lĂłgicas de inferencia o deducciĂłn cientĂ­fica que resulta preferenciales para el intelectualismo de la o el instructor y no beneficia a la o el aprendiz cognoscente, solo deja con el escepticismo pragmĂĄtico (Contreras, 2009) entre lo concreto y abstracto de corroborar con seguridad y certeza las soluciones de manera aritmĂŠtica, geomĂŠtrica, computacional.

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OBSTÁCULOS DE LA TEMÁTICA AL MOMENTO DE REALIZAR LA INTERVENCIÓN DOCENTE.: La enseñanza de las matemáticas, y en particular el uso de lenguajes, modelos y símbolos en dicha noción temática para las ecuaciones simultáneas requiere poseer una idea suficiente clara de la abstracción que evoca la noción concreta de: poder encontrar una fórmula general algebraica en las soluciones o incógnitas algebraicas del sistema (Montes, 2004). INVESTIGACIONES SOBRE EL APOYO DE LA TECNOLOGÍA COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA SU PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN LA TEMÁTICA.: La tecnología es un método didáctico para resolver los problemas prácticos en los casos que presentan las ecuaciones simultáneas, dónde se incluye las herramientas, técnicas y procedimientos para aplicar los conocimientos de la ciencia matemática pura en el sentido algebraico-geométrico, como una aplicación del saber a fines de llegar a una simplicidad del objetivo propuesto de comprobar su resultado (Montes, 2004), esto a su vez, permite como instructor de aprendices: obtener predicciones de cómo serán las soluciones del sistema mediante la observación geométrica analítica para su sistema.

DESARROLLO CONSIDERACIÓN DEL SUBSISTEMA EDUCATIVO DEL GOBIERNO ESTATAL DE LA CIUDAD DE MÉXICO EN EL INSTITUTO DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DEL DISTRITO FEDERAL.: Ser Docente-Tutor e Investigador en la Asignatura de Matemáticas, requiere poner interés y énfasis al asesoramiento de la y el estudiante en su proceso de aprendizaje semanal, mediante el uso de las asesorías individualizadas en un tiempo determinado, para contemplar su seguimiento de los objetivos o competencias que debe adquirir o cubrir a lo largo de su evaluación formativa y tenga así un mejor desempeño en el curso (Lucio, 2006). DESCRIPCIÓN DEL PLAN ESTUDIOS 2005 PARA MATEMÁTICAS III, EN SU MODALIDAD ESCOLARIZADA, ACORDE A LA TEMÁTICA.: Esta asignatura, se imparte en el tercer semestre (Lucio, 2006), cuyas ramas de la matemática involucradas a esta temática de ecuaciones simultáneas, es: Álgebra y Geometría Analítica. APRENDIZAJES ESPERADOS Y COMPETENCIAS, A BASE DE OBJETIVOS ACADÉMICOS Y LOGROS EN LAS Y LOS ESTUDIANTES.: En esta temática, se basa por medio de los objetivos: 1. La y el estudiante desarrollará su capacidad de razonamiento analítico y uso de lenguaje algebraico, 3. Interpretará propiedades geométricas usando expresiones algebraicas y realizará operaciones con estas últimas (Lucio, 2006).

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DIFICULTADES DE LA TEMÁTICA PARA TRANSMITIR A LAS Y LOS ESTUDIANTES EN LA MODALIDAD ESCOLAR.: Las asignaturas de los cursos del Plan de Estudios 2005, no son seriadas (Lucio, 2006), esto trae como consecuencia, que las y los estudiantes, no comprendan y aprendan cabalmente los conocimientos de ecuaciones simultáneas. PREJUICIOS Y ERRORES DE LA TEMÁTICA PARA EXPLICAR EL CONOCIMIENTO A LAS Y LOS ESTUDIANTES EN LA MODALIDAD ESCOLAR.: Hay un rezago en los conocimientos matemáticos aritméticos, algebraicos y geométricos; que trae la y el estudiante, desde su educación secundaria y su primer semestre en el plantel (Lucio, 2006), es decir, que actitudes, habilidades y conocimientos traen consigo las y los aprendices para las temáticas de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. OBSTÁCULOS DE LA TEMÁTICA AL MOMENTO DE REALIZAR LA INTERVENCIÓN DOCENTE CON LAS Y LOS ESTUDIANTES QUE ESTAN CURSANDO LA MODALIDAD ESCOLAR.: No hay recursos tecnológicos suficientes, como proyector disponible para transmitir las diapositivas llamativas o computadoras para cada alumno en realizar la ejecución de las tecnologías en el proceso de corroboración de resultados para abarcar la totalidad de la temática. INVESTIGACIONES SOBRE EL APOYO DE LA TECNOLOGÍA QUE REQUIERE LA COMUNIDAD ESTUDIANTIL QUE CURSA SU MODALIDAD ESCOLAR COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA SU PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE EN LA TEMÁTICA.: Incentivar la enseñanza de sintaxis del idioma inglés en las tecnologías de la información y comunicación, llamadas: calculadora, programas(software), buscador y aplicaciones (apps), ayuda a las y los estudiantes en su proceso de aprendizaje de corroborar el resultado geométrico y su respectiva solución algebraica, motiva a la y el estudiante a seguir interesado por la temática

TRAYECTORIA PARA LOGRAR EL APRENDIZAJE DE LAS Y LOS ESTUDIANTES DEL CONTENIDO DE LA TEMÁTICA. a) Lugar.: Aula Física o Salón de Clase b) Objetivo General.: La y El estudiante establecerá el concepto de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas para que así pueda resolverlas mediante la utilización de diferentes métodos. c) Conocimientos Previos que trae la y el estudiante para comprender la temática.: Ley de los signos para las operaciones básicas, Sustitución de variables para un valor numérico, Esbozo geométrico en el plano cartesiano y comprobación manual de ecuaciones o igualdades.

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d) Logro de Aprendizaje en la y el estudiante.: Conocer la clasificación de las soluciones que presenta un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, Diferenciar el método apropiado para resolver ecuaciones simultáneas, Identificar e Interpretar las distintas aplicaciones cotidianas con sus respectivos resultados encontrados (Ruíz, 2007). e) Análisis de dificultades, obstáculos y errores que tiene la y el estudiante de que aprenda significativamente el contenido temático.: Confusión del procedimiento de los métodos efectivos para solucionar un sistema de ecuaciones, de la identificación de variables algebraicas y numéricas y de la implementación de la ley de los signos en operaciones básicas. f) Tres Hipótesis sobre transmitir el conocimiento de la temática para que la y el estudiante aprenda significativamente. 1.Iniciar con el método de reducción o suma-resta, luego con el de sustitución, el de igualación, gráfico y finalmente con el de determinantes (Ávila, 1987), 2. Iniciar con el método gráfico, después con el de reducción, el de sustitución, el de igualación y por el último el de determinantes (Méndez, 2009), 3. Iniciar con el método gráfico para conocer que tipo de soluciones presenta, siguiendo con el de determinantes, sustitución, reducción e igualación (Hernández, 2010). g) Dos Alternativas que esquematizan el proceso de enseñanza y aprendizaje en la temática, cuándo se imparte crucialmente en el aula. Por medio de la hipótesis 3., se puede esquematizar dos alternativas cruciales, para la solución de ecuaciones simultáneas: A. Método Gráfico: Para conocer que tipo de soluciones presenta: • Sin solución: Hemos concluido. • Con solución: Se consideraría iniciar con el de determinantes, sustitución, reducción e igualación. h) Labores constructivas y efectivas para que las y los estudiantes se les inculquen las habilidades y capacidades de comprender la temática. Para comprender realmente y aprender cabalmente, donde siempre existan siempre las soluciones numéricas para cada valor de sus incógnitas, se debe iniciar con el método algebraico concreto de la fórmula de determinantes para cada valor de la incógnita del sistema.

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i) HeurĂ­stica MetodolĂłgica Polya, con las cuatro etapas para que las y los estudiantes tenga consigo un aprendizaje basado en problemas de la temĂĄtica. I. Definir el problema: FĂłrmulas por determinantes para encontrar las dos incĂłgnitas que comprenden un sistema de ecuaciones de la forma: đ?’‚đ??ą + đ?’ƒđ??˛ = đ?’„ đ?’…đ??ą + đ?’†đ??˛ = đ?’‡ II.

Planificar la soluciĂłn:

DĂłnde el valor, para la incĂłgnita:

III.

đ??ą=

đ?’„(đ?’†) − đ?’‡(đ?’ƒ) đ?’‚(đ?’†) − đ?’…(đ?’ƒ)

đ??˛=

đ?’‚(đ?’‡) − đ?’…(đ?’„) đ?’‚(đ?’†) − đ?’…(đ?’ƒ)

Ejecutar el plan: Observaciones:

i. ii. iii. iv. IV.

Se identifica el valor numĂŠrico con su respectivo signo, para cada letra definida en el sistema. La fĂłrmula para las dos incĂłgnitas, en sus denominadores son iguales. Se sustituye el valor numĂŠrico de cada letra, en cada fĂłrmula para encontrar las dos incĂłgnitas. Se emplea el orden de las operaciones bĂĄsicas con su respectiva ley de los signos. Revisar: ConsideraciĂłn.

Cuando se encuentra las dos incĂłgnitas que son las soluciones del sistema, se comprueba o corrobora manualmente en las dos ecuaciones simultĂĄneas, si se cumple en ambas la igualdad sus soluciones son correctas.

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j) El Uso del Recurso DidĂĄctico de Geogebra en relaciĂłn a las labores constructivas y heurĂ­sticas metodolĂłgicas para la temĂĄtica que debe aprender cabalmente la y el estudiante. Encontrar las soluciones del sistema:

•

đ?&#x;”đ??ą + đ?&#x;?đ??˛ = −đ?&#x;? −đ?&#x;’đ??ą + đ??˛ = đ?&#x;” Primeramente, se corrobora por el mĂŠtodo grĂĄfico para saber si tiene o no soluciones en sus incĂłgnitas. Se despeja a la incĂłgnita đ??˛, en el lado izquierdo, para las ecuaciones simultĂĄneas: −đ?&#x;? − đ?&#x;”đ??ą đ?&#x;?đ??˛ = −đ?&#x;? − đ?&#x;”đ??ą đ??˛ = đ??˛ = −đ?&#x;? − đ?&#x;‘đ??ą → →∴ đ?&#x;? đ??˛ = đ?&#x;” + đ?&#x;’đ??ą đ??˛ = đ?&#x;” + đ?&#x;’đ??ą đ??˛ = đ?&#x;” + đ?&#x;’đ??ą

•

EstĂĄs se grafican individualmente en Geogebra:

•

Luego se grafican juntas o interseccionadas en Geogebra y nos damos cuenta, que, si tiene soluciones, en:

•

•

đ??ą = −đ?&#x;? y đ??˛ = đ?&#x;? Luego se emplea el mĂŠtodo de la fĂłrmula de determinantes, para la incĂłgnita: đ??ą=

đ?’„(đ?’†) − đ?’‡(đ?’ƒ) đ?’‚(đ?’†) − đ?’…(đ?’ƒ)

đ??˛=

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đ?’‚(đ?’‡) − đ?’…(đ?’„) đ?’‚(đ?’†) − đ?’…(đ?’ƒ)

DĂłnde, en este caso, se identifica, que: đ?’‚ = đ?&#x;”,

đ?’ƒ = đ?&#x;?,

đ?’„ = −đ?&#x;?,

đ?’… = −đ?&#x;’,

đ?’† = đ?&#x;?,

đ?’‡=đ?&#x;”

Luego, se sustituye, en las respectivas fĂłrmulas y resulta que: đ??ą=

−đ?&#x;?(đ?&#x;?) − đ?&#x;”(đ?&#x;?) đ?&#x;”(đ?&#x;?) − (−đ?&#x;’)(đ?&#x;?) đ??ą=

đ??˛=

đ?&#x;”(đ?&#x;”) − (−đ?&#x;’)(−đ?&#x;?) đ?&#x;”(đ?&#x;?) − (−đ?&#x;’)(đ?&#x;?)

−đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;” − (−đ?&#x;–)

đ??˛=

đ?&#x;‘đ?&#x;” − đ?&#x;– đ?&#x;” − (−đ?&#x;–)

−đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;”+đ?&#x;–

đ??˛=

đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;”+đ?&#x;–

đ??ą=

đ??ą=

−đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;’

đ??˛=

đ??ą = −đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;’

đ??˛=đ?&#x;?

Las soluciones de incĂłgnitas tanto en Geogebra, como en el mĂŠtodo algebraico de determinantes son iguales, esto quiere decir que estas son los verdaderos valores para este sistema.

RESULTADOS, CONCLUSIONES Y FUENTES BIBLIOGRĂ FICAS

RESULTADOS CONCRETOS PARA LA PLANEACIĂ“N DIDĂ CTICA DE LA TEMĂ TICA. Modalidad Asignatura Tema por abordar

Escolar (Presencial) MatemĂĄticas III (Ă lgebra) Sistemas de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas Saber conocer, hacer y ser de esta temĂĄtica. Objetivo General y Logros. 1.5 horas Inicio: Definir el problema y Planificar la soluciĂłn. Desarrollo: Ejecutar el plan Cierre: Revisar o corroborar manualmente y por medio de las tecnologĂ­as de la informaciĂłn y comunicaciĂłn. 1. PizarrĂłn 2. Plumones

Competencia Aprendizajes Esperados Tiempo Secuencia DidĂĄctica de la Clase

Recursos DidĂĄcticos

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3. Proyector para Ejemplificar las diapositivas Power Point y para ocupar la tecnología computacional de Geogebra, WolframAlpha o Symbolab. a. Participación en Equipo de las ejemplificaciones prácticas con los sistemas dados en el pizarrón. b. Ejercitación Individual de resolución para las ecuaciones simultáneas propuestas por el docente.

Aspectos a Evaluar

CONCLUSIONES REFLEXIVAS Y FINALES. •

•

•

¿Qué relación encuentras entre las competencias del módulo y la elaboración de tu evidencia de extraordinario? Qué es multidisciplinario a las ciencias exactas, naturales, sociales y de la educación, para que pueda reflexionar y entender nuestra labor docente en el aula, como un modo de vida crucial en la formación existencial, emocional e intelectual de las y los aprendices. ¿Cómo impacta la realización de tu evidencia de extraordinario en tu perfil de egreso? Demasiado, a razón de que redactas tu bitácora docente que emplearás al momento de su ejecución con las y los estudiantes que deben ser atendidos en el aula. ¿De qué manera tu evidencia de extraordinario cambió tu concepción acerca de la forma como debe diseñarse una clase de álgebra? Qué la matemática no sólo se basa en métodos teóricos, tiene una finalidad de aplicación práctica de encontrar que tipo de resultados puede presentar en la vida cotidiana.

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FUENTES BIBLIOGRÁFICAS. Ávila Aguirre, Alfonso. et al. (1987) Sistemas de Ecuaciones. En Matemáticas, Segundo Curso. México.: Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social del Gobierno del Estado de México. Contreras Burgos, Ana Eugenia. (2009) El Conocimiento como Objeto de Estudio. En Metodología de la Investigación. México.: ST. Hernández García, Domingo. et al. (2010) Historia de los Sistemas de Ecuaciones Lineales. En Álgebra: Libro de Texto. México.: Universidad Autónoma del Estado de México. Lucio Gómez-Maqueo, María Guadalupe. (2006) Curso de Matemáticas III. En Programas de Estudio para Matemáticas del Plan de Estudios 2005 en el Instituto de Educación Media Superior del D.F. México.: Secretaría de Desarrollo Social del Gobierno del Distrito Federal. Recuperado de: http://www.iems.df.gob.mx/pdfs/354275499Temarios_IEMS.pdf Montes de Oca Puzio, Francisco. (2004) Concreto, Abstracto y Tecnología. En Esencias y Experiencias Físico Matemáticas. México.: Skorpio. Méndez Hinojosa, Arturo. et al. (2009) Resolución de Ecuaciones Lineales. En Matemáticas I para Bachillerato con Enfoque por Competencias. México.: Santillana. Ruíz Basto, Joaquín. (2007) Ecuaciones Lineales. En Matemáticas I: Álgebra en Acción. México.: Grupo Patria.

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