Tipo de Evaluación Extraordinaria para acreditación del Módulo 3 en la LEM-SEP-UnADM

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

EXAMEN EXTRAORDINARIO PARA EL MÓDULO 3: CÁLCULO Y ELEMENTOS DE ANÁLISIS

QUE SUSTENTA, ÉL: MAT. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO CON NÚMERO DE MATRÍCULA ESTUDIANTIL: AL12509381

EN LA EVIDENCIA RELATIVA AL PROGRAMA EDUCATIVO DE: Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas para el 2° Semestre. ACORDE A LA TEMÁTICA DE: LÍMITE, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE.

ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, A 23 DE MAYO DEL 2019.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL SEMESTRE 2019-1 1. Un globo esfĂŠrico estĂĄ siendo inflado de manera que su radio aumenta a razĂłn de đ?&#x;? đ?’„đ?’Ž/đ?’”. a) Expresa el radio đ?’“ del globo en funciĂłn del tiempo đ?’• (en segundos). La funciĂłn del radio en razĂłn con el tiempo, en este caso se va a definir, por: đ??‘đ??šđ???đ??˘đ??¨ = đ??‘đ??šđ??łĂłđ??§ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ??•đ??žđ??Ľđ??¨đ??œđ??˘đ???đ??šđ??? ∙ đ??“đ??˘đ??žđ??Śđ??Šđ??¨ → đ?’“áˆşđ?’•áˆť = đ?&#x;?đ?’• →∴ đ?’“áˆşđ?’•áˆť = đ?&#x;?đ?’• đ??œđ??Ś. b) Si đ?‘˝ es el volumen del globo en funciĂłn del radio, encuentra e interpreta con tus propias palabras đ?‘˝ ∘ đ?’“ . Considerando que el vĂłlumen de una đ?&#x;’

esferas es: đ?‘˝ = đ?&#x;‘ đ??…đ?’“đ?&#x;‘, donde đ?’“ = đ?’“áˆşđ?’•áˆť que es la funciĂłn del radio de la esfera, esto implica evaluar el valor resultante anterior en esta fĂłrmula, đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;’ es decir đ?‘˝ ∘ đ?’“ = đ??…áˆşđ?&#x;?đ?’•áˆťđ?&#x;‘ = đ??…áˆşđ?&#x;–đ?’•đ?&#x;‘ áˆť = đ??…đ?’•đ?&#x;‘ . Por lo tanto đ?‘˝ ∘ đ?’“ = đ??…đ?’•đ?&#x;‘ đ??œđ??Śđ?&#x;‘ . đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

2. ÂżExiste un nĂşmero đ?’‚ tal que: đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?’™ + đ?’‚ + đ?&#x;‘ đ?’™â†’−đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? đ??Ľđ??˘đ??Ś

Exista?. Si es asĂ­, encuentra el valor de đ?’‚ y el valor del lĂ­mite. Para saber si exista un nĂşmero đ?’‚, debemos considerar la igualaciĂłn de la funciĂłn en su numerador a cero, es decir: đ??Ľđ??˘đ??Ś áˆşđ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?’™ + đ?’‚ + đ?&#x;‘áˆť = đ?&#x;Ž ↔ đ?&#x;‘áˆşâˆ’đ?&#x;?áˆťđ?&#x;? + đ?’‚áˆşâˆ’đ?&#x;?áˆť + đ?’‚ + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž →

đ?’™â†’−đ?&#x;?

→ đ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‚ + đ?’‚ + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž → −đ?&#x;?đ?’‚ + đ?’‚ = −đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;? → −đ?’‚ = −đ?&#x;?đ?&#x;“ →∴ đ?’‚ = đ?&#x;?đ?&#x;“ Este nĂşmero đ?’‚, se sustituye en el lĂ­mite de la funciĂłn: đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?’™ + đ?’‚ + đ?&#x;‘ đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“ + đ?&#x;‘ đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;– đ??Ľđ??˘đ??Ś = đ??Ľđ??˘đ??Ś = đ??Ľđ??˘đ??Ś → đ?’™â†’−đ?&#x;? đ?’™â†’−đ?&#x;? đ?’™â†’−đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? đ?&#x;‘áˆşđ?’™ + đ?&#x;?áˆťáˆşđ?’™ + đ?&#x;‘áˆť đ?&#x;‘áˆşđ?’™ + đ?&#x;‘áˆť đ?&#x;‘áˆşâˆ’đ?&#x;? + đ?&#x;‘áˆť đ?&#x;‘ = đ??Ľđ??˘đ??Ś = = = −đ?&#x;? đ?’™â†’−đ?&#x;? áˆşđ?’™ − đ?&#x;?áˆťáˆşđ?’™ + đ?&#x;?áˆť đ?’™â†’−đ?&#x;? đ?’™ − đ?&#x;? −đ?&#x;? − đ?&#x;? −đ?&#x;‘

→ đ??Ľđ??˘đ??Ś

3. La figura:

Muestra una circunferencia đ?‘Şđ?&#x;? con ecuaciĂłn áˆşđ?’™ − đ?&#x;?áˆťđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;? y una circunferencia đ?‘Şđ?&#x;? que se contrae con

radio đ?’“ y centro en el origen. đ?‘ˇ es el punto áˆşđ?&#x;Ž, đ?’“áˆť, đ?‘¸ es el punto de intersecciĂłn superior de las dos circunferencias y đ?‘š es el punto de intersecciĂłn de la recta đ?‘ˇđ?‘¸ con el eje đ?’™. ÂżQuĂŠ pasa con đ?‘š cuando đ?‘Şđ?&#x;? se contrae, es decir, cuando đ?’“ → đ?&#x;Ž+ ? Las coordenadas de đ?‘ˇ en áˆşđ?&#x;Ž, đ?’“áˆť y del punto đ?‘¸ que encontraremos en este momento, son los dos puntos de intersecciĂłn para los dos cĂ­rculos definidos, por: đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? y áˆşđ?’™ − đ?&#x;?áˆťđ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?. Esto implica, considerar que la circunferencia: đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Şđ?&#x;? , por lo tanto se despeja el valor de đ?’š para ambos circulos, es decir: đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? y đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;? − áˆşđ?’™ – đ?&#x;?áˆťđ?&#x;? y se sustituye espectivamente en la igualdad de circunferencia en: đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Şđ?&#x;? , para definir el valor en el eje đ?’™, es decir: → đ?’“đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? − áˆşđ?’™ − đ?&#x;?áˆťđ?&#x;? → đ?’“đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? − áˆşđ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;?áˆť → → đ?’“đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;? → −đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’™ = −đ?’“đ?&#x;? → −đ?&#x;?đ?’™ = −đ?’“đ?&#x;? →∴ đ?’™ =

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’“ đ?&#x;?

Este valor se sustituye en la ecuaciĂłn del circulo principal đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? , para que se defina el valor en su eje đ?’š: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? ྏ đ?’“đ?&#x;? ŕľ° + đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? → đ?’“đ?&#x;’ + đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? → đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;’ → đ?’šđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;? ྏđ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? ŕľ° đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;’

đ?&#x;? đ?&#x;? → đ?’š = ඥđ?’“đ?&#x;? ඨđ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? →∴ đ?’š = đ?’“ඨđ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;?

đ?&#x;?

Por lo tanto la coordenada en đ?‘¸áˆşđ?’™, đ?’šáˆť = đ?‘¸ ቆđ?&#x;? đ?’“đ?&#x;? , đ?’“ටđ?&#x;? − đ?&#x;’ đ?’“đ?&#x;? ቇ, entonces la ecuaciĂłn definida para los puntos đ?‘ˇ y đ?‘¸, es: đ?’š − đ?’“ =

đ?&#x;? đ?&#x;’

đ?’“ටđ?&#x;?− đ?’“đ?&#x;? −đ?’“ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’“ −đ?&#x;Ž đ?&#x;?

áˆşđ?’™ − đ?&#x;Žáˆť.

Considerando, el dato de este problema, cuando la intersecciĂłn de đ?’™âˆ’ , con đ?’š = đ?&#x;Ž, esto implica, que: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? − đ?&#x;? á‰†ŕś§đ?&#x;? − đ?&#x;’ đ?’“đ?&#x;? + đ?&#x;?ቇ đ?’“ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™ = −đ?’“ = = đ?&#x;? á‰Œŕś¨đ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? + đ?&#x;?á‰? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;? − đ?&#x;’ đ?’“đ?&#x;? − đ?&#x;? đ?’“ á‰†ŕś§đ?&#x;? − đ?&#x;’ đ?’“đ?&#x;? − đ?&#x;?ቇ Finalmente, con este dato, se procede a encontrar el lĂ­mite cuando đ?’“ → đ?&#x;Ž+ : đ?&#x;? đ?&#x;? đ??Ľđ??˘đ??Ś+ đ?’™ = đ??Ľđ??˘đ??Ś+đ?&#x;? á‰Œŕś¨đ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? + đ?&#x;?á‰? = đ??Ľđ??˘đ??Ś+đ?&#x;? á‰Œŕś¨đ?&#x;? − áˆşđ?&#x;Žáˆťđ?&#x;? + đ?&#x;?á‰? =→ đ?’“ →đ?&#x;Ž đ?’“ →đ?&#x;Ž đ?’“ →đ?&#x;Ž đ?&#x;’ đ?&#x;’

→= đ??Ľđ??˘đ??Ś+ đ?&#x;?ྍΞđ?&#x;? − đ?&#x;Ž + đ?&#x;?ྯ = đ??Ľđ??˘đ??Ś+ đ?&#x;?ྍΞđ?&#x;? + đ?&#x;?ྯ = đ??Ľđ??˘đ??Ś+đ?&#x;?áˆşđ?&#x;? + đ?&#x;?áˆť = đ?&#x;’ = áˆşđ?&#x;’, đ?&#x;Žáˆť đ?’“ →đ?&#x;Ž

đ?’“ →đ?&#x;Ž

đ?’“ →đ?&#x;Ž

4. Dada la siguiente funciĂłn: đ?&#x2019;&#x2122;+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;¤ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x;? < đ?&#x2019;&#x2122; < đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = { đ?&#x2019;&#x2122; Ξđ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;Ľ đ?&#x;&#x2018; Encuentra los nĂşmeros en los que đ?&#x2019;&#x2021; es discontinuĂĄ a traves del teorema de continuidad y traza la grĂĄfica de la funciĂłn. Las tres funciones contenidas en đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť, son continuas en todo su dominio, pero se debe corroborar las condiciones de los intervalos que se presentan en este caso. Entonces se debe considerar el anĂĄlisis mediante, dos subcasos de intervalo: Cuando el intervalo es cerrado, para el punto đ?&#x;?, notamos que estas funciones relacionadas a sus lĂ­mites son: đ?&#x;? đ??Ľđ??˘đ??Ś á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?á&#x2C6;ť = đ??Ľđ??˘đ??Ś ྏ ŕľ° â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;´ đ?&#x;? â&#x2030; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; Entonces este desigual, implica que estas dos funciones no son continuas en el intervalo cerrado, es decir discontinuas en el intervalo cerrado. Cuando el intervalo es abierto, para los puntos đ?&#x;? y đ?&#x;&#x2018;, notamos que estas funciones relacionadas a sus lĂ­mites son: đ?&#x;? đ??Ľđ??˘đ??Ś ྏ ŕľ° = đ??Ľđ??˘đ??ŚŕľŤÎžđ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;ྯ â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;´ đ?&#x;? â&#x2030; đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; Entonces este desigual, implica que estas dos funciones no son continuas en el intervalo abierto, es decir discontinuas en el intervalo abierto. Corrobando, grĂĄficamente mediante el software de Symbolab, la funciĂłn đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť es discontinua para sus intervalos cerrados y abiertos.

5. Determina la derivada de las siguientes funciones:

𝒇ሺ𝒙ሻ = ሺ𝟏 − 𝒆𝒙 ሻሺ𝒙 + 𝒆𝒙 ሻ Derivando mediante la fórmula del producto, qué se define, por: 𝒇ሺ𝒙ሻ = 𝒈ሺ𝒙ሻ𝒉ሺ𝒙ሻ →∴ 𝒇´ሺ𝒙ሻ = 𝒈´ሺ𝒙ሻ𝒉ሺ𝒙ሻ + 𝒈ሺ𝒙ሻ𝒉´ሺ𝒙ሻ Entonces, en este caso: 𝒈ሺ𝒙ሻ = 𝟏 − 𝒆𝒙 →∴ 𝒈´ሺ𝒙ሻ = −𝒆𝒙 𝒉ሺ𝒙ሻ = 𝒙 + 𝒆𝒙 →∴ 𝒈´ሺ𝒙ሻ = 𝟏 + 𝒆𝒙 Finalmente, se sustituye los respectivos valores para la fórmula de 𝒇´ሺ𝒙ሻ, es decir: 𝒇´ሺ𝒙ሻ = −𝒆𝒙 ሺ𝒙 + 𝒆𝒙 ሻ + ሺ𝟏 − 𝒆𝒙 ሻሺ𝟏 + 𝒆𝒙 ሻ → 𝒇´ሺ𝒙ሻ = −𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 − 𝒆𝟐𝒙 →∴ 𝒇´ሺ𝒙ሻ = −𝟐𝒆𝟐𝒙 − 𝒙𝒆𝒙 + 𝟏 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 Se procede mediante la fórmula del producto de derivación, qué se define, por: 𝒚 = 𝒖ሺ𝒙ሻ𝒗ሺ𝒙ሻ →∴ 𝒚´ = 𝒖´ሺ𝒙ሻ𝒗ሺ𝒙ሻ + 𝒖ሺ𝒙ሻ𝒗´ሺ𝒙ሻ

Entonces, en este caso: 𝒖ሺ𝒙ሻ = 𝒙𝟐 →∴ 𝒖´ሺ𝒙ሻ = 𝟐𝒙 𝒗ሺ𝒙ሻ = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 → → 𝒗ሺ𝒙ሻ = 𝒘ሺ𝒙ሻ𝒛ሺ𝒙ሻ →∴ 𝒗´ሺ𝒙ሻ = 𝒘´ሺ𝒙ሻ𝒛ሺ𝒙ሻ + 𝒘ሺ𝒙ሻ𝒛´ሺ𝒙ሻ → → 𝒘ሺ𝒙ሻ = 𝒔𝒊𝒏𝒙 →∴ 𝒘´ሺ𝒙ሻ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 → 𝒛ሺ𝒙ሻ = 𝒕𝒂𝒏𝒙 → 𝒛´ሺ𝒙ሻ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 →∴ 𝒗´ሺ𝒙ሻ = 𝒄𝒐𝒔𝒙ሺ𝒕𝒂𝒏𝒙ሻ + 𝒔𝒊𝒏𝒙ሺ𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙ሻ → Finalmente, se sustituye los respectivos valores para la fórmula de 𝒚´ሺ𝒙ሻ, es decir: 𝒚´ = 𝟐𝒙ሺ𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙ሻ + 𝒙𝟐 ሾ𝒄𝒐𝒔𝒙ሺ𝒕𝒂𝒏𝒙ሻ + 𝒔𝒊𝒏𝒙ሺ𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙ሻሿ → 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒚´ = 𝟐𝒙ሺ𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙ሻ + 𝒙𝟐 ൤𝒄𝒐𝒔𝒙 ൬ ൰ + 𝒔𝒊𝒏𝒙ሺ𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙ሻ൨ → 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚´ = 𝟐𝒙ሺ𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙ሻ + 𝒙𝟐 ሾ𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙ሺ𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙ሻሿ → 𝒚´ = 𝟐𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 → 𝒚´ = 𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙 → →∴ 𝒚´ = 𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙ሺ𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟐𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒙ሻ 𝒈ሺ𝒙ሻ =

𝒙 ξ𝒙𝟐 + 𝟏

Derivando mediante la fórmula del cociente, qué se define, por: 𝒈ሺ𝒙ሻ =

𝒉ሺ𝒙ሻ 𝒉´ሺ𝒙ሻ ∙ 𝒊ሺ𝒙ሻ − 𝒉ሺ𝒙ሻ ∙ 𝒊´ሺ𝒙ሻ →∴ 𝒈´ሺ𝒙ሻ = ሾ𝒊ሺ𝒙ሻሿ𝟐 𝒊ሺ𝒙ሻ

Entonces, en este caso: 𝒉ሺ𝒙ሻ = 𝒙 →∴ 𝒉´ሺ𝒙ሻ = 𝟏 𝟏

𝟏 𝟏 𝟐 ሺ𝒙 + 𝟏ሻ𝟐−𝟏 ሺ𝟐𝒙ሻ → 𝟐 𝒙 →∴ 𝒊´ሺ𝒙ሻ = ξ𝒙𝟐 + 𝟏

𝒊ሺ𝒙ሻ = ඥ𝒙𝟐 + 𝟏 → 𝒊´ሺ𝒙ሻ = ሺ𝒙𝟐 + 𝟏ሻ𝟐 → 𝒊´ሺ𝒙ሻ = → 𝒊´ሺ𝒙ሻ =

𝟏 𝟐𝒙 𝟐 ሺ𝒙 + 𝟏ሻ−𝟐 𝟐

Finalmente, se sustituye los respectivos valores para la fórmula de 𝒈´ሺ𝒙ሻ, es decir: ξ𝒙𝟐 + 𝟏ሺ𝟏ሻ − 𝒙 ൬ 𝒈´ሺ𝒙ሻ =

𝒙 𝒙𝟐 ξ𝒙𝟐 + 𝟏 − ൰ ξ𝒙𝟐 + 𝟏 = ξ𝒙𝟐 + 𝟏 →

ൣξ𝒙𝟐 + 𝟏൧

𝟐

ൣξ𝒙𝟐 + 𝟏൧

𝟐

𝟐

ξ𝒙𝟐 + 𝟏൫ξ𝒙𝟐 + 𝟏൯ − 𝒙𝟐 ൫ξ𝒙𝟐 + 𝟏൯ − 𝒙𝟐 ሺ𝒙𝟐 + 𝟏ሻ − 𝒙𝟐 ξ𝒙𝟐 + 𝟏 ξ𝒙𝟐 + 𝟏 ξ𝒙𝟐 + 𝟏 → 𝒈′ ሺ𝒙ሻ = = = 𝟐 𝟐 𝟐 → 𝟐 𝟐 𝟐 ൣξ𝒙 + 𝟏൧ ൣξ𝒙 + 𝟏൧ ൣξ𝒙 + 𝟏൧ 𝟐 𝟐 ሺ𝒙 + 𝟏ሻ − 𝒙 𝟏 𝒈´ሺ𝒙ሻ = 𝟑 →∴ 𝒈´ሺ𝒙ሻ = ሺ𝒙𝟐 + 𝟏ሻ𝟑/𝟐 ൣξ𝒙𝟐 + 𝟏൧ 𝟔 𝒙 𝒚=[ 𝟑 ] 𝒙 +𝟏 Esta función, se puede expresar, equivalentemenete, como: 𝒚=[

𝟔 𝒙 𝒙𝟔 ] → 𝒚 = ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔 𝒙𝟑 + 𝟏

Luego, se procede a derivar mediante la fórmula del cociente, qué se define, por: 𝒚=

𝒖ሺ𝒙ሻ 𝒖´ሺ𝒙ሻ ∙ 𝒗ሺ𝒙ሻ − 𝒖ሺ𝒙ሻ ∙ 𝒗´ሺ𝒙ሻ →∴ 𝒚´ = ሾ𝒗ሺ𝒙ሻሿ𝟐 𝒗ሺ𝒙ሻ

Entonces, en este caso: 𝒖ሺ𝒙ሻ = 𝒙𝟔 →∴ 𝒖´ሺ𝒙ሻ = 𝟔𝒙𝟓 𝒗ሺ𝒙ሻ = ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔 → 𝒗´ሺ𝒙ሻ = 𝟔ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔−𝟏 ሺ𝟑𝒙𝟐 ሻ →∴ 𝒗´ሺ𝒙ሻ = 𝟔ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟓 ሺ𝟑𝒙𝟐 ሻ Finalmente, se sustituye los respectivos valores para la fórmula de 𝒚´, es decir: 𝒚´ =

𝟔𝒙𝟓 ሺሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔 ሻ − 𝒙𝟔 ቀ𝟔ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟓 ሺ𝟑𝒙𝟐 ሻቁ

→ ሾሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔 ሿ𝟐 ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟔 ∙ ൫𝟔𝒙𝟓 ൯ − 𝟔𝒙𝟔 ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟓 ሺ𝟑𝒙𝟐 ሻ → 𝒚´ = → ሺ𝒙𝟑 + 𝟏ሻ𝟏𝟐

á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2122; ྍđ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x201C; ྯ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2013; á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x201C; á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ť â&#x2C6;&#x2122; ྍđ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x201C; ྯ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2013; đ?&#x2019;&#x161;´ = â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161;´ = á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;?đ?&#x;? á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2013; đ?&#x2019;&#x161;´ = â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;´ đ?&#x2019;&#x161;´ = á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x2022; á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x2022; đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161; Empleando la derivaciĂłn implicita a esta ecuaciĂłn: đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x;? á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? á&#x2C6;ť â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161;á&#x2C6;şâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161;´ = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161;´ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161;´ = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161;´ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161;´ = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161;´á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x161;á&#x2C6;ť = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;´ đ?&#x2019;&#x161;´ = đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x161; 6. Una pĂĄgina tendrĂĄ un ĂĄrea impresa de 24 pulgadas cuadradas, un margen de 1.5 pulgadas en la parte inferior y superior, y un margen de 1 pulgada en los lados izquierdo y derecho. ÂżCuĂĄles son las dimensiones de la pĂĄgina mĂĄs pequeĂąa que cumple con las condiciones establecidas? Sea đ?&#x2019;&#x2122; la base y su altura del ĂĄrea impresa se denota por la đ?&#x2019;&#x161;, considerando que los mĂĄrgenes superiores e inferiores de đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;?

pulgadas es equivalente a đ?&#x;? đ?&#x;? de pulgada, esquematizando por el software de dibujo Paint:

Con esto, se concluye que la pĂĄgina tiene đ?&#x;&#x201D; pulgadas de ancho y đ?&#x;&#x2014; de alto. 7. Utiliza la tĂŠcnica mĂĄs adecuada para resolver las siguientes integrales: â&#x2C6;Ť

đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; Ξđ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;&#x2122;

Esta integral se puede expresar, como: đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; Ξđ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?/đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?+đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;Ť ྏđ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; ŕľ° đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019; + đ?&#x2018;Ş =â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;? + đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; + đ?&#x2018;Ş = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x2018;Ş đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = Se identifica que la integral trigonomĂŠtrica de forma â&#x20AC;Ťđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x201D; ׏â&#x20AC;Ź, donde al menos uno de los exponentes es un nĂşmero positivo impar, en este caso cuando đ?&#x2019;? = đ?&#x;&#x2018;, entonces este nĂşmero es impar y debemos emplear la fĂłrmula: â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;Ťá&#x2C6;şđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;Ťá&#x2C6;şđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť

đ?&#x;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; =â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;Ťá&#x2C6;şđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť =â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x;? đ?&#x;? â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2022; đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2018;Ş đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x2022; â&#x2C6;Ť đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;°đ?&#x2019;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = Esta integral, se puede expresar, como:

∫ 𝟒𝒙 𝑰𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒙 𝑰𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Utilizando la fórmula de integración por partes: ‫ 𝒗𝒖 = 𝒗𝒅𝒖 ׬‬− ‫𝒖𝒅𝒗 ׬‬, para ‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝒏𝑰 𝒙 ׬‬, se considera a: 𝒖 = 𝑰𝒏 𝟐𝒙

𝒅𝒖 = 𝒖´𝒅𝒙 → 𝒅𝒖 =

𝟐 𝟏 𝒅𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒙

𝒙𝟐 𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒗 = ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙𝒅𝒙 →∴ 𝒗 = 𝟐 Entonces, resulta que: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟏 𝟒 ∫ 𝒙 𝑰𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 ቈ𝑰𝒏𝟐𝒙 ቆ ቇ − ∫ ൬ 𝒅𝒙൰቉ =→ 𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙 𝟒 ቈ 𝑰𝒏𝟐𝒙 − ∫ 𝒅𝒙቉ = 𝟒 ቈ 𝑰𝒏𝟐𝒙 − ∫ 𝒅𝒙቉ =→ 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟒 ቈ 𝑰𝒏𝟐𝒙 − + 𝑪቉ = 𝟐𝒙𝟐 𝑰𝒏𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟒 ∫

𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒

Ocupando el método de sustitución, en este caso se considera: 𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟒 y 𝒅𝒖 = 𝒖´𝒅𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 →

𝒅𝒖 𝟐

𝟏

= 𝒙𝒅𝒙 →∴ 𝟐 𝒅𝒖 = 𝒙𝒅𝒙

Luego se debe realizar el cambio de variable, en la integral:

𝟏 𝒅𝒖 𝟏 𝒅𝒖 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 = ∫𝟐 = ∫ = 𝑰𝒏ȁ𝒖ȁ + 𝑪 = 𝑰𝒏ห𝒙𝟐 − 𝟒ห + 𝑪 𝒙 −𝟒 𝒖 𝟐 𝒖 𝟐 𝟐 𝝅 𝟐

∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎

Ocupando el método de sustitución, sean consideradas: 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙

y 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Luego se debe evaluar el límite superior e inferior para 𝒖, entonces cuando: 𝒙=

𝝅 𝝅 → 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏 ቀ ቁ →∴ 𝒖 = 𝟏 𝟐 𝟐

𝒙 = 𝟎 → 𝒖 = 𝒔𝒊𝒏ሺ𝟎ሻ →∴ 𝒖 = 𝟎 Por lo tanto, esto implica, que:

đ??&#x2026; đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x;&#x2019; á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x2019; á&#x2C6;şđ?&#x;&#x17D;á&#x2C6;ťđ?&#x;&#x2019; đ?&#x;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;Ť đ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013; = á&#x2030;&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019; = đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x17D;

8. Determina el ĂĄrea limitada por las dos curvas: đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2122; y đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; Graficando las dos curvas, mediante las definiciones de la integral definida y mediante el software de Winplot, notamos que:

Las dos curvas, definen sus puntos de intersecciĂłn en el origen á&#x2C6;şđ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x17D;á&#x2C6;ť, á&#x2C6;şđ?&#x;&#x2018;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018;á&#x2C6;ťđ?&#x2019;&#x161; á&#x2C6;şđ?&#x;&#x2019;, đ?&#x;&#x17D;á&#x2C6;ť.

Con esto decimos, que:

9. Halla el vĂłlumen generado cuando el ĂĄrea plana acotada por: đ?&#x2019;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x201D; y por đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x17D; Se hace girar alrededor del eje đ?&#x2019;&#x2122;.

10. Expresa las siguientes funciones como serie de Taylor centrada en đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x;? La Serie de Taylor se define en este caso, por: đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ťá&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť +

đ?&#x2019;&#x2021;´´á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ťđ?&#x;? + â&#x2039;Ż đ?&#x;?!

đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ťá&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť +

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Encontrando las derivadas de đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť y respectivamente evaluandolas en la centrada de đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?: đ?&#x2019;&#x2122;

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En este caso, serĂ­a: đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ťá&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ť +

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đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2020; + á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ť + á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;? + â&#x2039;Ż = đ?&#x2019;&#x2020; + đ?&#x2019;&#x2020;á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2020;á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ťđ?&#x;? + â&#x2039;Ż đ?&#x;? đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;? đ?&#x;&#x2013; đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2018;°đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; La Serie de Taylor se define en este caso, por: đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ťá&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť +

đ?&#x2019;&#x2021;´´á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť á&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ťđ?&#x;? + â&#x2039;Ż đ?&#x;?!

Encontrando las derivadas de đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť y respectivamente evaluandolas en la centrada de đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?: đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2018;°đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť = đ?&#x2018;°đ?&#x2019;? á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť =â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť =

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En este caso, serĂ­a: đ?&#x2018;­á&#x2C6;şđ?&#x2019;&#x2122;á&#x2C6;ť = đ?&#x2019;&#x2021;á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ť + đ?&#x2019;&#x2021;´á&#x2C6;şđ?&#x;?á&#x2C6;ťá&#x2C6;şđ?&#x2018;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?á&#x2C6;ť +

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