MĂłdulo 4 Unidad 3. Inferencia estadĂstica Hacemos ĂŠnfasis en la restricciĂłn de la desigualdad de Markov, la variable tiene que tomar valores positivos. Para aplicar dicha desigualdad no necesitamos conocer la distribuciĂłn de la variable pero si el valor esperado. No necesitamos conocer la desviaciĂłn estĂĄndar. A continuaciĂłn se enuncia el teorema de Chebyshev, para poderlo aplicar necesitamos conocer el valor de la media y la desviaciĂłn estĂĄndar. En ningĂşn momento se especifica la distribuciĂłn de la variable. Teorema de Chebyshev. La probabilidad de que una variable aleatoria đ?‘‹ tome un valor dentro de k desviaciones estĂĄndares respecto a la media es por lo menos 1 âˆ’ 1/đ?‘˜ - . Esto es, 1 P đ?œ‡ âˆ’ đ?‘˜đ?œŽ < đ?‘‹ < đ?œ‡ + đ?‘˜đ?œŽ â‰Ľ 1 âˆ’ - . đ?‘˜ Ejemplo 1 Una variable aleatoria đ?‘‹ tiene una media đ?œ‡ = 10, y una varianza đ?œŽ - = 4 y una distribuciĂłn de probabilidad desconocida. Encuentre a) P(4 < đ?‘‹ < 16), b) P( đ?‘‹ âˆ’ 10 < 4) y c) P( đ?‘‹ âˆ’ 10 > 6). P 4 < đ?‘‹ < 16 = P 10 âˆ’ 3 2 < đ?‘‹ < 10 + 3 2 â‰Ľ1âˆ’ 1 7 = . @ 2 8 P đ?‘‹ âˆ’ 10 â‰¤ 4 = P(10-4< X < 10+4)=P 10 âˆ’ 2 2 < đ?‘‹ < 10 + 2 2 >1âˆ’ 1 3 = . 2 4 P đ?‘‹ âˆ’ 10 > 8 = 1 âˆ’ P 10 âˆ’ 8 < đ?‘‹ < 10 + 8 = 1 âˆ’ P 10 âˆ’ 4 2 < đ?‘‹ < 10 + 4 2 = â‰¤ 1 . 16 1 2E Ejercicios 1. Una variable aleatoria đ?‘‹ solamente toma valores no negativos, tiene distribuciĂłn desconocida con media đ?œ‡ = 5 y varianza desconocida. Utilice el teorema de Markov para estimar las siguientes: a. P(đ?‘‹ > 4) b. P(đ?‘‹ < 6) c. P(3 < đ?‘‹ < 8) UNADM | DCEIT | EM | EMPE 4