Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad
Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad
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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.
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MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
Semana 7 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria En los ejercicios anteriores hemos identificado la funciĂłn de distribuciĂłn que describe el problema y nos condujo al cĂĄlculo de probabilidades. Una vez que identificamos la funciĂłn de distribuciĂłn vamos a proceder a calcular el valor esperado de la variable. El valor esperado de una variable aleatoria discreta se define como
) %*+ đ?‘Ľ% P(đ?‘‹
đ??¸ đ?‘‹ =
= đ?‘Ľ% ) .
Ejemplo. Considere la siguiente variable aleatoria
đ?‘‹ P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)
0 4 12
1 5 12
Su valor esperado es đ??¸ đ?‘‹ = 0 ∙
2 34
+1∙
6 34
+2∙
2 1 12 3 34
+3∙
4 34
=
38 34
3 2 12
= 1.08.
El valor esperado de una variable aleatoria continua se define como )
đ??¸ đ?‘‹ =
đ?‘ĽP(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ . <)
TambiĂŠn se suele encontrar las notaciones đ?œ‡ = đ?œ‡> = đ??¸ đ?‘‹ . Ejemplo: 3
Sea đ?‘“ đ?‘Ś =
� 8 , cuando 0 ≤ � ≤ 2
2
0, cuando y=0.
Se tiene que 4
4
đ??¸ đ?‘Œ =
đ?‘ŚP đ?‘Œ = đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = +
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+
1 đ?‘Ś đ?‘Ś 8 đ?‘‘đ?‘Ś = 4
4
+
1 2 11 6 2 1 6 1 6 1 6 8 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Ś = 2 − 0 = 2 = 0 20 4 45 20 20 5
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A continuaciĂłn agregamos un enlace en el que se describe el concepto del valor esperado tanto discreto y continuo. AdemĂĄs se muestra el cĂĄlculo del valor esperado por medio de algunos ejemplos.
Mary Salm (2013)Valor esperado [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=K9m5P92ICHE
En el siguiente enlace se muestran algunas propiedades del valor esperado y su demostraciĂłn.
Luis RincĂłn(2013)0625 Esperanza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0kowS0mEOcU
La varianza de una variable aleatoria discreta se define como )
đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ − đ?œ‡
4
(đ?‘Ľ% -Âľ)4 P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ% )
= %*+
La varianza de una variable aleatoria continua se define como đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ − đ?œ‡
4
)
=
(đ?‘Ľ − đ?œ‡)4 P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ .
<)
TambiĂŠn se utiliza la siguiente notaciĂłn đ?œŽ 4 = đ?œŽ>4 = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ .
Ejemplo: De los ejemplos anteriores calcularemos su varianza.
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đ?‘‹=x f(x)=P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ) đ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ)
0 4 12 0
đ?‘Ľ 4 đ?‘“(đ?‘Ľ)
0
1 5 12 5 12 5 12
2 1 12 2 12 4 12
3 2 12 6 12 9 12
Total 1 13 12 18 12
Podemos observar que đ?‘Ľđ?‘“ đ?‘Ľ = 1.083 y que đ??¸ đ?‘‹ 4 =
đ?œ‡=đ??¸ đ?‘‹ =
đ?‘Ľ 4 đ?‘“ đ?‘Ľ = 1.5
por lo tanto, la variancia es: đ?œŽ 4 = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ 4 − đ?œ‡ 4 = 1.5 − (1.083)4 = 0.327 y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?œŽ = 0.571 Ejemplo: 3
Sea đ?‘“ đ?‘Ś =
2
� 8 , cuando 0 ≤ � ≤ 2 0, cuando y=0.
Se tiene que đ??¸ đ?‘Œ = đ??¸ đ?‘Œ4 =
4
4
đ?‘Ś 4 P đ?‘Œ = đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś =
+
+
1 đ?‘Ś 4 đ?‘Ś 8 đ?‘‘đ?‘Ś = 4
4
+
8 5
1 6 11 X 2 1 X 1 X 1 X 8 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Ś = 2 − 0 = 2 = 0 24 4 46 24 24 3
Por lo tanto, la varianza es: 4
đ?œŽ = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹
4
8 8 −đ?œ‡ = − 3 5 4
4
=
8 75
y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?œŽ = 0.3266
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El siguiente enlace corresponde a un video en el que se enuncia la definiciĂłn de la varianza. AdemĂĄs se calcula la varianza a travĂŠs de ejemplos.
Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: definiciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=YiHzJgg0OB8
A continuaciĂłn aparece un enlace de un viedeo en el que se enuncian las propiedades de la varianza y se demuestran. NĂłtese en este caso la diferencia entre las demostraciones y la resoluciĂłn de ejercicios. Las demostraciones nos muestran un poco de la deducciĂłn de las propiedades, i.e., nos aportan formaciĂłn en cuanto a la teorĂa.
Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=I6Gcr5BUJt4
La siguiente table, es un resĂşmen de las funciones de distribuciĂłn mĂĄs importantes. Aparece tambiĂŠn el valor esperado y la varianza correspondiente. En futuros ejercicios se te va a pedir que identifiques el tipo de distribuciĂłn que modela el problema y puedes remitirte a esta tabla para utilizar la ecuaciĂłn correspondiente asĂ como hacer uso del correspondiente valor esperado y varianza. DistribuciĂłn Binomial HipergeomĂŠtrica
Binomial Negativa
EcuaciĂłn đ?‘› [ ]<[ đ?‘? đ?‘ž , đ?‘Ľ = 0,1,2, , ‌ . , đ?‘›. đ?‘Ľ
_ [
`<_ ]<[ ` ]
en donde 0 ≤ � ≤ �.
đ?‘Ś − 1 d e<d đ?‘? đ?‘ž , đ?‘&#x;−1 đ?‘Ś = đ?‘&#x;, đ?‘&#x; + 1, đ?‘&#x; + 22, ‌, 0≤đ?‘?≤1
đ?‘ƒ đ?‘Ś =
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Valor Esperado đ?œ‡ = đ?‘›đ?‘? đ?œ‡=
đ?‘›đ?‘˜ đ?‘
đ?œ‡=
đ?‘&#x; đ?‘?
Varianza đ?œŽ 4 = đ?‘›đ?‘?đ?‘ž đ?œŽ4 =
đ?‘ −đ?‘› đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘› 1− đ?‘ −1 đ?‘ đ?‘
đ?œŽ4 =
đ?‘&#x;(1 − đ?‘?) đ?‘?4
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1 đ?‘? đ?œ‡=đ?œ†
đ?‘?đ?‘ž [<3 , con x=1,2,3,‌
GeomĂŠtrica
fg
Poisson
[!
đ?œ‡=
đ?‘’ <f
1−đ?‘? đ?‘?4 đ?œŽ4 = đ?œ†
đ?œŽ4 =
con � = 1,2,3, ‌ Exponencial
Uniforme
Normal
Gamma
đ?‘“ đ?‘Ľ =
đ?œ†đ?‘’ <f[ , cuando đ?‘Ľ ≼ 0 0, cuando x<0.
3
đ?‘“ đ?‘Ľ =
m<n
0, en otro caso.
đ?‘“ đ?‘Ľ =
1 đ?œŽ 2đ?œ‹ <
đ?‘’
<
.
3 [<u w 4 v .
[
đ?‘Ľ x<3 đ?‘’ y đ?‘“ đ?‘Ľ = βx Γ đ?›ź , 0≤ đ?‘Ľ < ∞ 0, en otro caso.
„
[
đ?‘Ľ (4)<3 đ?‘’ <4 , 0≤ đ?‘Ľ < ∞ đ?‘“ đ?‘Ľ = 2 „4 Γ đ?œ? 2 0, en otro caso. ) Γ đ?›ź = + đ?‘Ľ x<3 đ?‘’ <[ đ?‘‘đ?‘Ľ .
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đ?œ‡=
1 đ?œ†
đ?‘?+đ?‘Ž 2
đ?œŽ4 =
đ?œŽ4 =
1 đ?œ†4
(đ?‘? − đ?‘Ž)4 12
đ?œ‡
đ?œŽ4
đ?œ‡ = đ?›źđ?›˝
đ?œŽ 4 = đ?›źđ?›˝ 4
đ?œ‡=đ?œ?
đ?œŽ 4 = 2đ?œ?
) x<3 <[ đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ . +
Γ đ?›ź = đ?œ’4 (đ??˝đ?‘– − đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž)
, cuando a≤đ?‘Ľ ≤ đ?‘?
đ?œ‡=
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