Dedicatedtomyparents
SymbolsUsed xi
1BasicSetTheory1 1.1IntrductiontoSetTheory.................................1 1.2SomeUsefulNotions:....................................3 1.3Cartesianproduct,Relations...............................5 1.4Functions..........................................7
1.5Finitesets,InfinitesetsandCardinalNumbers......................12 1.6Cardinals..........................................12
1.7ANoteonAxiomofChoice................................14
1.8AxiomaticSetTheory...................................16 1.9AxiomsandChoice.....................................16 1.10ProblemsandSolutionsonChapter1..........................18 1.11AdditionalExercisesonChapter1.............................61
2IntroductiontotheSetofRealNumbers73
2.1Introduction.........................................73
2.2Realnumbers:Axiomaticdevelopement.........................73
2.3SpecialsubsetsofRealNumbers:.............................74
2.4Boundsofaset.......................................75
2.5ExtendedRealnumbers..................................76
2.6ArchimedeanPrinciple...................................77
2.7ArithmeticModuloOne..................................78
2.8ProblemsandSolutionsonChapter2..........................78
2.9AdditionalExercisesonChapter2.............................105
3MetricStructureon R andPointSetTopology109
3.1OpenSet,Derivedset,Closedset:............................109
3.2Denseset,Perfectset....................................111
3.3Intervals...........................................111
3.4Characterizationofaninterval..............................112
3.5LocallyFiniteFamily...................................113
3.6ProblemsandSolutionsonChapter3..........................113
3.7AdditionalExercisesonChapter3.............................152
4Real-valuedFunctionsonSubsetsof R 161
4.1Real-valuedfunctions....................................161
4.2Periodicfunctions.....................................162
4.3Convexfunctions......................................162
4.4LocallyBoundedfunctions.................................163
4.5LocallyOpen,Closed,andLocallyIncreasingfunctions.................164
4.6ProblemsandSolutionsonChapter4..........................164
4.7AdditionalExercisesonChapter4.............................181
5SequenceofRealNumbers187
5.1Sequences,Subsequences..................................187
5.2Boundedsequences,Monotonesequences.........................188
5.3Limsup(Upperlimit),Liminf(Lowerlimit).......................188
5.4Limitofafunction:Notionofnearness..........................189
5.5Infinitelimits:........................................192
5.6Limitofasequence.....................................192
5.7ConvergentandDivergentsequences...........................193
5.8Oscillatorysequences....................................195
5.9little o andBig O .....................................195
5.10Decimalrepresentationofarealnumber:.........................198
5.11ProblemsandSolutionsonChapter5..........................200
5.12AdditionalExercisesonChapter5.............................295
6Continuity 315
6.1Introduction.........................................315
6.2LipschitzFunctions.....................................316
6.3Uniformcontinuity.....................................316
6.4DarbouxContinuousfunctions..............................319
6.5Semicontinuity.......................................319
6.6Discontinuity........................................320
6.7Oscillationofafunctionatapoint,onaset.......................321
6.8Category...........................................321
6.9Pointsofcontinuityanddiscontinuity, C(f )and D(f ).......................................322
6.10 Fσ, Gδ sets:.........................................323
6.11ProblemsandSolutionsonChapter6..........................323
6.12AdditionalExercisesonChapter6.............................417
7Differentiablity447
7.1Introduction.........................................447
7.2Differentiablity.......................................447
7.3DiniDerivatives.......................................449
7.4MeanValueTheorems...................................450
7.5Absolutemaximum,minimum:..............................451
7.6Relativemaximum,minimum:...............................451
7.7ProblemsandSolutionsonChapter7..........................452
7.8AdditionalExercisesonChapter7.............................518
8CompactnessandConnectedness529
8.1Introduction.........................................529
8.2Completeness........................................529
8.3CompactSets........................................530
8.4FiniteIntersectionProperty:...............................530
8.5ProblemsandSolutionsonCompactness.........................531
8.6AdditionalExercisesonCompactness...........................549
8.7Connectedness.......................................552
8.8Disconnected,Connected:.................................553
8.9ProblemsandSolutionsonConnectedness........................554
8.10AdditionalExercisesonConnectedness..........................562
9InfiniteSeries 563
9.1BasicResults........................................565 9.2Kummer’sResults:.....................................568
9.3TheTestsofRaabeandGauss..............................569
9.4ProblemsandSolutionsonChapter9...........................572
9.5AdditionalExercisesonChapter9.............................603
10SpecialTopics
615
10.1Measurezero........................................615
10.2Notionofnearness,Nets..................................616 10.3Notionofconvergence...................................617 10.4Functionsofseveralvariables...............................620
10.4.1Functionsfrom R2 to R.(LimitsandContinuity)................620 10.5Differentials.........................................627
10.6Differentiability.......................................630
10.6.1LinearTransformations..............................630
10.6.2Differentiabilityofafunctionofonevariable..................630 10.6.3AffineTransformation:...............................631
10.6.4Differentiabilityofavector-valuedfunctionofonevariable...........631
10.6.5Differentiabilityofavector-valuedfunctionofavectorvariable........632 10.7Partialderivatives.....................................635 10.8Directionalderivative:...................................635 10.9GeometricalIllustration..................................637
10.10Relationshipbetweenthederivatives...........................639 10.11Differentiationofcompositefunctions..........................640
10.12Exercises...........................................642
10.13CantorSet..........................................650
10.13.1Ternaryexpansion.................................650
10.13.2CantorFunction:..................................662
Bibliography 665
BasicSetTheory
Iseeit,butIdon’tbelieveit. ...CantortoDedekind29June1877.
GeorgCantor (1845-1918):
GeorgCantorwasbornonMarch3,1845,inSt.Petersburg,Russia.Hereceivedhisdoctorate inmathematicsfromtheUniversityofBerlinin1867,havingstudiedunderWeierstrass,Kummer andKronecker.In1869heacceptedateachingpositionattheUniversityofHalleandbecameafull professorin1879.CantorwantedtoobtainaprofessorshipattheUniversityofBertin,whereboth payandprestigewerehigher,butKroneckerbelievingthatmuchofCantor’swork(particularlyhis “transfinitenumbers”)wasunsound,stoodfirmlyinCantor’spath.Others,however,acknowledged Cantorisgenius.CantorwasanhonorarymemberoftheLondonMathematicalSocietyandreceived honorarydoctoratesfrombothChristianiaandSt.Andrews.HilbertsaidCantor’sworkwas“...the finestproductofmathematicalgeniusandoneofthesupremeachievementsofpurelyintellectual humanactivity”.Knownasthefounderofsettheory,Cantoralsomadefundamentalcontributions toclassicalana1ysis.Manyconceptsinmodernmathematicsbearhisname,amongwhichare CantorseriesandCantorsets;healsodevelopedthefirstusabledefinitionofthecontinuum.The controversysurroundinghisworktookaheavytollonCantor;beginningin1884,boutsofdeep depressiondrovehimoftentoasanitarium.CantordiedinapsychiatricclinicattheUniversityof Halle(wherehehadremainedasaprofessor)onJanuary6,1918.
1.1IntrductiontoSetTheory
Theterm “set” isanundefinedconcept.Inmostoccasions,wemakeuseoftermsthatareaccepted, understoodwithoutdefinitions.Thetermsweshalldiscussbutnotattempttodefineformallyare object,equals,element,isanelementof. Anyattempttodefineallthetermsusedwillbe anunsuccessfulattempt.Soitwillbeunderstoodna¨ıvely(non-axiomatically).Inourdailylifewe frequentlydealwithnotionsrepresenting“collection”ofcertainthings,which“belong”tothe collectioninquesion,whileotherthingsdonotbelongtoit,e.g.aclassinaschoolisacollection ofpupilsbelongingtotheclass,otherthings(persons,animals,planefiguresetc.)donotbelongto theclass.
Wemeanbya“set”anotionofthetypeoutlinedabove,i.e.asetisunderstoodsimplybya collectionofobjectsandneednotbearanyobviousrelationshiptoeachother.Thewordscollection,
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
familyaresometimesusedassynonymsforset.Anobjectbelongingtoasetiscalled anelement oramember oftheset.Wewrite x ∈ A,tomean x isamemberof A and x/ ∈ A,tomean x is notamemberof A Weshallusetheword “definition” torepresentsomeconceptinasinglewordorphrase,using undefinedtermsorpreviouslydefinedterms.Thatis,“definition”isastatementthatexplainsthe meaningofaterm(aword,phrase,orothersetofsymbols).Asforexample,ingeometry,points andlinesareundefinedtermsbuttrianglesandsqaresaredefinedintermsofpointsandlines.It isnecessarytoknowsomethingaboutnewterms,andaxiomprovidestheinformationaboutthe termsandtheirrelationship.
A statement isasentencewhichiseithertrueorfalse.
An axiom isastatementthatisassumedtobetrue.
A theorem isastatementwhichistrueandfollowsfromtheaxioms,definitionsandknown results.
A lemma isaderivedresultwhoseonlyrealpurposeisatoolintheproofofatheorem.
A corollary isaresultthatfollowsalmostimmediatelyfromatheorem.
Examples aretheobjectsthatillustratedefinitionsandotherconcepts.Andweshallstudy onlytheconceptsthatcanbedescribedbytheexamples.
Thetermdefinedby“axioms”playanimportantroleinmathematics(andotherareasaswell)and thatcertainothersareofnointerest.Ineverydaylanguage“axiom”meansaself-evidenttruth.But wearenotusingeverydaylanguage;wearedealingwithmathematics.Anaxiomisnotauniversal truth–butoneofseveralrulesspellingoutagivenmathematicalstructure.Theaxiomistrueinthe systemwearestudyingbecausewehaveforcedittobetruebyhypothesis.Itisalicense,inthe particularstructure,todocertainthings.
1.1.1Note. Weshouldrememberonethingthatthewordslemma,theorem,propositionhasno exactmeaningandtheirusesvaryfromauthortoauthor.Thecommonfeatureisthattheyrepresent aderivedresult.
Let S beaset.A variable x(∈ S)inasentence P (oftenwritten P (x)if x occursin P )issaid tobe boundvariable ifitispreceededin P byeither ∀ x or ∃ x;otherwise x is freevariable Asentenceis closed ifitcontainsnofreevariables,otherwiseitis open.Anopensentencewhich involves x asafreevariableiscalleda condition on x. Inotherwords,byanopensentence P ( )on S,wemean P ( )becomesasentenceeithertrueorfalse,whenever“ ”isreplacedbythemembers of S.Thesymbol {x ∈ S; P (x)} representsthesetofmembersof x ∈ S forwhich P (x)istrue. If P (·)isanopensentenceonalinearlyordered(see1.3.10)set S,weconsiderthreetypesof statements:
1. ∃ x ∈ S; P (x).
2. ∀ x ∈ S; P (x).
3. ∃ x′ ∈ S; P (x)suchthat ∀ x>x′; P (x).(isthesymbolicdefinitionofultimately)
Thismeans P (x)istrueforallsufficientlylargevaluesof x
1.2SomeUsefulNotions:
If-thenstatements: Inmathematics,statements A,B tobeprovedcanoftenbeputintheform
1.if A,then B; A ⇒ B (read: A implies B)or B ⇐ A (read: B isimpliedby A). A isthe hypothesis:“whatisgiven”,“whatisknown”; B isthe conclusion:“whatfollows”, “whatistobeproved”.
2. Converse:Ifweinterchangehypothesisandconclusionin A ⇒ B,weget B ⇒ A which iscalledthe converse tothestatement(1).
In A ⇒ B: A isa sufficient conditionfor B (if A istrue, B follows); In B ⇒ A: A isa necessary conditionfor B (i.e. B can’tbetrueunless A isalsotrue,since B implies A).Thefollowingallmeanthesame
1. A implies B.
2.if A then B.
3. A issufficientfor B.
4. A onlyif B.
5. B if A.
6. B whenever A.
7. B isnecessaryfor A.
Equivalentstatements:Wecancombinethetwoimplicationarrowsintoonedouble-ended arrow: A ⇔ B whichisatruestatementifboth A ⇒ B and B ⇒ A aretrue.Ifthisisso,we say A and B are equivalent statements.
Therearetwoverbalformsof A ⇔ B whichareincommonuse.Theyare A ifandonlyif B (abbreviated: A iff B)and A isa necessaryandsufficient conditionfor B. The“ifand onlyif”isalsoseparated:“A, if B”: B ⇒ A;“A, onlyif B”: A ⇒ B
Strongerandweaker.If A ⇒ B istrue,but B ⇒ A isfalse,wesay: A isa stronger statementthan B; B is weaker than A Weturnnowtodiscussastyleofmathematicalproofwhichinvolvesformingthenegativesof statements.
Negation:If A isastatement,wewilluseeithernot-A or ¬A todenoteitsnegation.
Contrapositive proof:Inproving A ⇒ B,sometimesitismoreconvenienttousecontraposition,i.e.toprovethestatementinitscontrapositiveform: ¬B ⇒¬A (contrapositiveof A ⇒ B).
Indirect proof:Togiveanindirectproofthatastatement S istrue,weassumeitisnottrue andderiveacontradiction.Toprove A ⇒ B indirectly,assume A truebut B false,andderive acontradiction: C and ¬C arebothtrue.
Withoutlossofgenerality:Iftheproofsforthecasesinacasedistinctionareverysimilar, itiscustomarytoassume withoutlossofgenerality thatoneofthesesimilarcasesistrue. Thisisnotalossofgenerality,becauseitisassumedthatwhatispresentedenablesthereader tofillintheproof(s)fortheothercase(s).
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
Counterexample:Ifageneralstatementclaimssomethingistrueforeverymemberofsome classofobjects,toshowitisfalseweonlyhavetoproduceasingleobjectinthatclassfor whichthegeneralstatementfailstohold.Suchanobjectiscalleda counterexample tothe generalstatement.
Proofby Mathematicalinduction:Let P (·)beanopensentenceon N.Toprove P (n),n> n0,
1.prove P (n0)(the basisstep);
2.prove P (n +1):intheproofyouareallowedtouse P (n),andifnecessary, P (k)forany lowervalues, n0 <k<n,aswell(the inductionstep).
Proofby StrongMathematicalinduction:Whenoneusesintheproofof P (n)notjust theprecedingvaluebutlowervaluesof n aswell,theproofmethodisgenerallyreferredtoas strong or completeinduction;inthisstyleofinduction,oftenmorethanonevalueof n isneededforthebasisstep.i.e.instronginduction,thebasisstepconsistsofall P (n)not coveredbytheargumentintheinductionstep,i.e.,forwhichtherearenolower P (k)available toimply P (n).
1.2.1Definition. Aset A issaidtobea subset of B or B isa superset of A iffeverymember of A isamemberof B,andisdenotedby A ⊆ B or B ⊇ A.
1.2.2Definition. Twosets A and B aresaidtobe equal iff A ⊆ B and B ⊆ A,andisdenotedby A = B. If A ⊆ B and A = B,then A issaidtobea propersubset of B andisdenotedby A ⊊ B or A ⊂ B.
1.2.3Definition. Asetwhichisasubsetofanyothersetiscalleda nullset or emptyset and isdenotedby ∅. Notealsothat,
1.Allemptysetsareequal.
2.Theemptysethasnoelements.
3.Theonlysetwithnoelementsistheemptyset.Forproofssee(1.10.4.1).
1.2.4Definition. Forthesets A and B,the union(join) denotedby A ∪ B anddefinedby A ∪ B = {x; x ∈ A or x ∈ B}
1.2.5Definition. Forthesets A and B,the intersection(meet) denotedby A ∩ B anddefined by A ∩ B = {x; x ∈ A and x ∈ B}
1.2.6Definition. Twosets A and B aresaidtobe disjoint iftheyhavenocommonelementsi.e. iff A ∩ B = ∅ andthey intersect ifftheyhavecommonelementsiff A ∩ B = ∅
1.2.7Definition. Thefamilyofallsubsetsof X iscalledthe powerset of X,andisdenotedby P(X).
AccordingtoG.Cantor(1845-1918),whoinitiatedthetheoryofsetsinthelastpartofthe nineteenthcentury:“A set isacollectionintoawholeofdefinite,distinctobjectsofourintuition orourthought.Theobjectsarecalledtheelements(members)oftheset.”Werefertothe“whole ofdistinctobjects”inCantor’sdefinitionastheuniversalset.Inotherwords,
1.2.8Definition. Ifallsetsunderconsiderationinacertaindiscussionaresubsetsofaset U , then U iscalledthe Universalset (forthatdiscussion).Let A,B ⊆ U ,thenwedefineaset A \ B = {x; x ∈ A and x/ ∈ B} andcallit complementof B relativeto A. Andtheset AC definedby AC = U \ A iscalledthe complement of A. Thesets A,B generatinganewset A∆B isdefinedby A∆B =(A \ B) ∪ (B \ A)iscalledthe symmetricdifference of A and B.
1.3Cartesianproduct,Relations
Apairofobjects x and y,inwhichtheirorderisrelevantisknownas orderedpair written(x,y) whichisdifferentfromanunorderedpair {x,y} andhavingthecharacteristicproperty(x,y)=(a,b) iff x = a and y = b.Sincethenotionoforderedpairisundefinedone,sodefineasetwhichbehaves asanorderedpairsatisfyingabovecharacteristicproperty.
1.3.1Definition.
1. (Kazimierz-Kuratowskiin1921) An orderedpair (x,y)={{x}, {x,y}}.
2. (Norbert-Wienerin1914) (x,y)= {{{x}, ∅}, {{y}}}
3.(x,y)= {{x, ∅}, {y, {∅}}}
4.(x,y)= {{x, ∅}, {y}}
5.(x,y)= {{x, ∅},y}
Wecanprovethattheseaboveconditionssatisfythedesiredpropertiesthattwoelements x and y,and(x,y)=(a,b)iff x = a and y = b.ThedefinitiongivenbyKazimierz-Kuratowskiisingeneral usetoday.
1.3.2Definition. If X and Y aresets,thenthe cartesianproduct of X and Y isthesetdefined by X × Y = {(x,y); x ∈ X,y ∈ Y }.
1.3.3Definition. If X and Y aresets,thena relationorbinaryrelation from X to Y is anysubset ρ of X × Y. If(x,y) ∈ ρ wewrite xρy or x is ρ-relatedto y or y is ρ-relativeto x or y = ρ(x).If ρ ⊆ X × Y, thenthe domain of ρ isdom(ρ)={x ∈ X;(x,y) ∈ ρ} andthe range of ρ is ran(ρ)={y ∈ Y ;(x,y) ∈ ρ} If ρ ⊆ X × Y, thenthe converse relation ρ 1 = {(y,x);(x,y) ∈ ρ} If X = Y ,thenwesaythat ρ isarelationon X
1.3.4Definition. If X,Y and Z aresets,and α ⊆ X × Y and β ⊆ Y × Z thena composition relation from X to Z isdefinedby β ◦ α = {(x,z);forsome y ∈ Y suchthat(x,y) ∈ α, (y,z) ∈ β}.
1.3.5Definition. Let X beasetand ρ bearelationon X,thenwedefine
1. ρ is reflexive iff∆X ⊆ ρ where∆X = {(x,x); x ∈ X},
2. ρ is irreflexive iff∆X ∩ ρ = ∅ Inotherwords,(x,x) / ∈ ρ ∀ x ∈ X.
3. ρ is symmetric iff ρ 1 ⊆ ρ,
4. ρ is asymmetric iff ρ ∩ ρ 1 = ∅ i.e.if(x,y) ∈ ρ then(y,x) / ∈ ρ.
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
5. ρ is anti-symmetric iff ρ ∩ ρ 1 ⊆ ∆X . Equivalently,if(x,y) ∈ ρ and x = y then(y,x) / ∈ ρ.
6. ρ is transitive iff ρ ◦ ρ ⊆ ρ. Equivalently,if(x,z) ∈ ρ and(z,y) ∈ ρ then(x,y) ∈ ρ.
7. ρ is connected iff ρ ∪ ρ 1 ∪ ∆X = X × X.
8. ρ isan equivalence relationiffitisreflexive,symmetricandtransitive.Inotherwords,iff ∆X ⊆ ρ,ρ 1 ⊆ ρ and ρ ◦ ρ ⊆ ρ.
1.3.6Definition. Afamily P = {Aα; α ∈ Λ} ofsets Aα ⊆ X issaidtobea partition of X iff
1. X = α∈Λ Aα
2. Aα = Aβ if α = β and Aα ∩ Aβ = ∅ if α = β
1.3.7Theorem. Let ρ beanequivalencerelationonaset X,thentheequivalenceclass[x]determinedby x ∈ X isdefinedby[x]= {y;(x,y) ∈ ρ}, andwecanshowthat
1. X = x∈X [x]
2.[x]=[y]or[x] ∩ [y]= ∅ for x,y ∈ X
Thecollectionofequivalenceclassesisapartition Pρ = {[x]; x ∈ X} determinedby ρ of X and isalsodenotedby X/ρ,whatwecalla quotientset of X by ρ andif P isapartitionof X,then therelation ρP on X definedby(a,b) ∈ ρP iff ∃ anelement A ∈P suchthat a,b ∈ A,then ρP isan equivalencerelationon X determinedbythepartition P.Moreover,wehaveanaturalontomap
q : X → X/ρ
definedby q(x)=[x]calledthe quotientmap.Theorem1.3.7basicallysaysthat xρy ifandonly if q(x)= q(y)
1.3.8Definition. Ifarelation ρ on X isreflexive,andtransitive,then ρ iscalleda pre-ordering of X andthepair(X,ρ)iscalleda pre-ordered set.Ifarelation ρ on X isreflexive,anti-symmetric andtransitive,then ρ iscalleda partialordering(ordering) of X andthepair(X,ρ)iscalled a partialordered setorsimplyan ordered set.Thesymbols < or ≤ areoftenusedtodenote orderings.
Inotherwords,ifarelation ρ on X satisfies∆X ⊆ ρ,ρ ∩ ρ 1 ⊆ ∆X and ρ ◦ ρ ⊆ ρ, then ρ iscalled a partialordering(ordering) of X.
1.3.9Definition. Let a,b ∈ X andlet ≤ anorderingof X,wesaythat a,b are comparable in theordering ≤,if a ≤ b or b ≤ a,andare incomparable iftheyarenotcomparable.
1.3.10Definition. Anordering ≤ or < of X iscalleda linear or total orderifanytwoelements of X arecomparablei.e.for x,y ∈ X either x ≤ y or y ≤ x andthenthepair(X, ≤)iscalleda linearlyordered set.If S ⊆ X,where X isorderedby ≤,then S iscalleda chain,ifanytwo elementsof S arecomparable.
1.3.11Definition. Let(X, ≤)beapartiallyorderedset,thenforanon-emptysubset S ⊆ X,
1. b ∈ S iscalleda least elementof S intheordering ≤, if b ≤ x, ∀x ∈ S.
2. b ∈ S iscalleda minimal elementof S,if ∃ no x ∈ S suchthat x ≤ b and x = b.
3. b ∈ S iscalleda greatest elementof S,if x ≤ b, ∀ x ∈ S.
4. b ∈ S iscalleda maximal elementof S,if ∃ no x ∈ S suchthat b ≤ x and x = b.
1.3.12Example.
Let(X, ⊆)beapartiallyorderedsetwhere X = {a,b,c},thenconsider A = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}}, here {a}, {b}, {c} areminimalelementsof A and {a,b}, {b,c}, {c,a} arethemaximalelementsof A Butdoesnothavealeastandagreatestelements.
Let X = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} withthepartialorderrelation“ ≤ ”definedby x ≤ y iff x isa divisorof y.Here2and3areminimalelementsof X butdoesnothavetheleastelementand 24isthegreatestelement.
Let(X, ⊆)beapartiallyorderedsetwhere X = {a,b,c},thenconsider A = {{a}, {b}, {c}, {b,c}} here {a}, {b}, {c} aretheminimalelementsof A and {a}, {b,c} arethemaximalelementsof A anddoesnothavethegreatestelementof A.
1.3.13Definition. Let(X, ≤)beapartiallyorderedset,thenforanon-emptysubset S ⊆ X,
1. a ∈ S iscalleda lowerbound of S intheordering ≤,if a ≤ x, ∀x ∈ S.
2. b ∈ S iscalledthe infimum(inf)orgreatestlowerbound(glb) of S,ifitisthegreatest elementofalllowerboundsof S
3. a ∈ S iscalledthe upperbound of S,if x ≤ a, ∀x ∈ S.
4. b ∈ S iscalledthe supremum(sup)orleastupperbound(lub) of S,ifitistheleast elementofallupperboundsof S.
1.3.14Definition. Let(X, ≤)beapartiallyorderedset,then(X, ≤)issaidtobe
1.a directedset ifeverytwo-elementsubsetof X isboundedabove;
2.a lattice ifeverytwo-elementsubsetof X hasbothlubandglb;
3.an inductivelyorderedset ifeverychainineverysubsetof X hasanupperbound;
4.an well-orderedset ifeverynon-emptysubsetof X hasaleastelement.
1.4Functions
1.4.1Definition. Let X,Y benon-emptysetsthen f issaidtobea mapping or function from X to Y iff
1. f ⊆ X × Y,
2.(x,y)and(x,z) ∈ f ⇒ y = z.
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
Inthisdefinitionfirstpartsaysthat f isarelationfrom X to Y ,andinthesecondpart,wesay that f is well-defined or single-valued. And(x,y) ∈ f means y = f (x),wesaythat y isthe image of x under f ,and x isthe pre-image of y under f. Thus,wesaythat f is well-defined if f (x) = f (y) ⇒ x = y. Inotherwords, x = y ⇒ f (x)= f (y) Ifthedomainof f is X,thenwe write f : X → Y or X f −→ Y andwesay f is on X,ifrangeof f ⊆ Y wesaythat f is into Y , Y iscalledco-comainof f andifrangeof f is Y wesaythat f is onto or surjective.Weseethat if f : X → Y ,then f ⊆ X × Y ;hence f ∈P(X × Y ) Theset {(x,f (x)); x ∈ X} iscalledthethe graph ofafunction f andisdenotedby gr(f )
1.4.2Remark. Thefunction f isidentifiedwiththegraphofafunctioninitsusualdefinition(by meansofcorrespondence),i.e.Theeffectofthefunction f onanelement x of X isdenotedby x → f (x)andthus x → f (x) ⇔ (x,f (x)) ∈ gr(f )
1.4.3Note. Wecandefinean unary operationonaset X isafunction f : X → X,e.g.let X be anysetand P(X)bethepowersetof X,thendefineamapping f : P(X) →P(X)by
(B)= BC ,
B ∈P(X), where BC denotesthecomplementof B.
1.4.4Remark. Theword“function”wasusedfirstbyLeibnizin1673,althoughnotquiteinthe present-daymeaning.In1698,inalettertoLeibniz,JohannBernoullinarrowedthemeaningcloser towhatweaccepttoday.Duringthe18thcentury,thenotionevolvedtodescribeanexpressionor formulainvolvingvariablesandconstants.Ittookajointworkofmanymathematiciansthroughout the19thcenturytohammerdownthedefinitionthatweusenowadays.
1.4.5Definition. Let X,Y benon-emptysets,then Y X = {f ; f : X → Y }
1.4.6Remark. Thisisnottheonlyreasonableapproachtothenotionof“function”.(Infact,in categorytheory theorderisreversed:thenotionof“function”isoneoftheprimitivenotions, andthe“set”isdefinedintermsofthese!)However,thepresentapproachisveryconvenientinthe contextofsettheory.
1.4.7Remark. Let Y beanyset.Then ∅⊆∅× Y. Further,because ∅ hasnoelements,itfollows triviallythattoeach x ∈∅ thereisaunique y ∈ Y suchthat(x,y) ∈∅.Hencebydefinition(1.4.1), ∅ isafunctionfrom ∅ to Y. Further, ∅ istheonlyfunctionfrom ∅ to Y (since ∅ istheonlyrelation withdomain(∅)= ∅ )
N.B. Wecannotinterchange ∅ and Y sincefornon-empty Y ,domain(∅) = Y andbydefinitiona functionon Y hasdomain Y.
Inotherwords,foranonemptyset Y ,wehave ∅Y = ∅.Thisisbecausenofunctioncouldhave anonemptydomainandanemptyrange.Ontheotherhand, Y ∅ = {∅} foranyset Y ,because ∅ : ∅→ Y ,but ∅ istheonlyfunctionwithemptydomain.Asaspecialcase,wehave ∅∅ = {∅}
1.4.8Definition. Considerthepowerset P(X)of X andletΛbeanarbitraryset,thendefine afunction f :Λ →P(X)by f (a)= Aa ⊆ X; a ∈ Λ.Thenthefamily {Aα; α ∈ Λ} iscalledan indexed familyofsetswithΛasan index set.
Nowwecangeneralizethenotionof“cartesianproduct”whichwehavedefinedin 1.3.2 fora finitenumberofsetsonly,toanarbitraryfamilyofsets.
1.4.9Definition. Let A = {Xi; i ∈ Λ} beafamily A ofsets.Thecartesianproductofthefamily ofsets Xi isdenotedby i∈Λ Xi andisdefinedby
:Λ
1.4.10Definition. Let f : X → Y ,then f iscalled injectiveor1-1 ifthedistinctelementshave distinctimagesin Y ,i.e. x = y ⇒ f (x) = f (y)whichisequivalentto f (x)= f (y) ⇒ x = y. A functionthatisbothinjectiveandsurjectiveiscalled bijective.
1.4.11Definition. Let f : X → Y ,and A ⊆ X. Thentheset f (A)= {f (x); x ∈ A} iscalledthe directimage of A under f andif B ⊆ Y. thentheset f 1(B)= {x ∈ X; f (x) ∈ B} iscalledthe inverseimage of B under f.
1.4.12Example. Let f : R → R definedby f (x)=4x2 4x. Thenitcaneasilybeverifiedthat f 1(R)= R,f 1(∅)= ∅,f 1[ 1, ∞)= R,f 1( 1, ∞)= R \ 1 2 = −∞, 1 2 1 2 , ∞ , f 1[0, ∞)=(−∞, 0) ∪ [1, ∞),f 1(0, ∞)=(−∞, 0) ∪ (1, ∞),f 1(−∞, 1]= 1 2 ,
f 1(−∞, 1)= ∅,f 1(−∞, 0]=[0, 1],f 1(−∞, 0)=(0, 1),f 1(0)= {0, 1}, f 1(24)= {−2, 3}.f 1(8, 24)=( 2, 1) ∪ (2, 3),f 1[8, 24]=[ 2, 1] ∪ [2, 3].
Weseefromthisexamplethatthepreimageofasetcanbeasinglepoint,orasetofpoints,orit mayevenbeempty.
1.4.13Definition. Let X,Y and Z besetssuchthat g : X → Y and f : Y → Z, then f ◦ g : X → Z iscalledthe composition functiondefinedby(f ◦ g)(x)= f (g(x)), ∀x ∈ X.
1.4.14Note. Itcanbeeasilyverifiedthat,if A ⊆ X and B ⊆ Z then (f ◦ g)(A)= f (g(A))and(f ◦ g) 1(B)= g 1(f 1(B))
1.4.15Definition. Let f : X → Y , g : Y → X and h : Y → X arefunctionssuchthat g ◦ f = ιX and f ◦ h = ιY ,then g iscalledthe leftinverse of f and h iscalledthe rightinverse of f ,where ιA : A → A isdefinedby ι(a)= a ∀ a ∈ A.
1.4.16Definition. Let f : X → Y ,and A ⊆ X thefunction ι : A → X suchthat ι(x)= x, ∀x ∈ A, then ι iscalledan inclusion functionon X. If ι : A → X then g = f ◦ ι : A → Y iscalledthe restriction of f on A andissometimesdenotedby f|A : A → Y. and f iscalledan extension of g
1.4.17Definition. Let X beaset,and A ⊂ X,thefunction χA (or 1A)from X to {0, 1} iscalled the CharacteristicFunction(orindicatorfunction) of A,andisdefinedby
χA(x)= 1, if x ∈ A 0, if x/ ∈ A.
Givenauniversalset X,weobviouslyhave χX =1and χ∅ =0whereby1and0wemean theconstantfunctionsidenticallyequalto1and0,respectively.Let A ⊆ X beanyset,andlet
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
∆=∆A = {(a,a); a ∈ A} bethediagonalin A × A:Then Kronecker’sdelta, δ = χ∆, isthe characteristicfunctionof∆: δxy = δ(x,y)= 1if x = y 0if x = y.
1.4.18Definition. Let ρ beanequivalencerelationon X. As X/ρ isapartitionof X,thenthe function α : X → X/ρ definedby α(x)=[x]iscalledthe quotientmaporcanonicalornatural mapping on X onto X/ρ
1.4.19Remark (Adecompositionofanarbitraryfunction). Usingtheabovewecanwriteafunction f : X → Y asacompositionofainjectiveandsurjectivefunctions.Let ρ betheequivalencerelation on X definedby(x1,x2) ∈ ρ iff f (x1)= f (x2) Let α : X → X/ρ and β : X/ρ → f (X) ⊆ Y, defined by β([x])= f (x) Itclearthat α isontoanditisaneasyexercisetoshowthat β isinjectiveand f = β ◦ α.
1.4.20Definition. Let(X, ≤)and(X′ , ≤′)betwoorderedsets,thenafunction f iscalled orderpreserving(isotone) relativeto“ ≤ ”for X and“ ≤′ ”for X′ iff x ⩽ y implies f (x) ≤′ f (y). An isomorphism betweenthepartiallyorderedsets(X, ≤)and(X′ , ≤′)isasurjectivefunction f : X → X′ whichisorder-preserving,andifsuchafunctionexists,thenitiscalledan isomorphic image oftheotherortheyare isomorphic. If f isanisomorphismthenitisorder-preserving whichimpliesitisinjectiveandhencebijective.Hence f 1 existsanditisorder-preservingas f is order-preserving.
Wewillprovenowthateverypartiallyorderedset(X, ≤)canberepresentedasapartially orderedset(Y, ⊆),where Y⊆P(X).
1.4.21Theorem. (Representationtheorem forpartiallyorderedsets) Let(X, ≤)beapartiallyorderedset,thenthereexistsapartiallyorderedset(Y, ⊆),where Y⊆ P(X), suchthat(X, ≤)isisomorphicto(Y, ⊆).
Proof. For x ∈ X,let X(x)= {y ∈ X; y ≤ x}.Nowlet Y = {X(x); x ∈ X} anddefine f : X →Y by f (x)= X(x) Wecancheckeasilythat f isabijectionfrom X to Y, suchthat x1 ≤ x2 ⇔ f (x1) ⊆ f (x2)
1.4.22Example. Consider(X, ≤)where X = {2, 3, 4, 6, 8, 12} withthepartialorderrelation “ ≤ ”definedby x ≤ y iff x isadivisorof y.Here(X, ≤)canberepresentedby(Y, ⊆)where Y = {{2}, {2, 4}, {2, 4, 8}, {3}, {2, 3, 6}, {2, 3, 4, 6, 12}}
1.4.23Definition. Apartiallyorderedset(X, ≤)is well-odered ifeachnon-emptysubsetof X hasaleastelement.
1.4.24Theorem. Let(X, ≤)beapartiallyorderedset,then 1. S hasatmostoneleastelement, 2.theleastelementof S (ifitexists)istheminimalelement, 3.if S isachain,theneveryminimalelementistheleastelement.
1.4.25Definition (PMI-1:PrincipleofMathematicalInduction ). If P (n)isastatement containingthevariable n suchthat
1. P (1)istrue,and
2.foreach k ∈ N, P (k)istrueimplies P (k +1)istrue,then P (n)istrueforall n ∈ N.
1.4.26Definition (PMI-2:PrincipleofMathematicalInduction). Supposethat P (n)isa statementcontainingthevariable n. If
1.for k ∈ N,P (k)istrue,and
2.foreach m ∈ N,m ≥ k, P (m)istrueimplies P (m +1)istrue,then P (n)istrueforall n ∈ N,n ≥ k.
1.4.27Remark. ItcanbeshownthatPMI-1andPMI-2areequivalent.
1.4.28Theorem.
1.Thesetofnaturalnumbers N iswellorderedimpliesPMI-1.
2.PMI-1implies N iswellordered.
Proof.
1.(1)⇒ (2)
Assume(1)istrueand P (n)beastatementsuchthat P (1)istrueand P (n)istrueimplies P (n +1)istrue.Let ∃ m ∈ N suchthat P (m)isfalse.Let E = {t ∈ N; P (t)isfalse} Since m ∈ E then E = ∅.By(1) E hasaleastelement,say n,byhypothesis n =1,since n ∈ E ⊆ N,n 1 / ∈ E i.e. P (n 1)istruewhichimplies P (n)istruei.e. n/ ∈ E,acontradiction.
2.(2)⇒ (1)
Weprovethisclaimbycontradiction.Suppose(2)istrueand(1)isfalsei.ethereexistsa subset A ⊆ N whichhasnoleastelement.Nowconsidertheproperty P (n)of n suchthat P (n)istrueif n isalowerboundof A.Let B = {n ∈ N; P (n)istrue}.Clearly1 ∈ B i.e. P (1)istrue.Nowsuppose m ∈ B i.e. P (m)istrue.Since A hasnoleastelement, m/ ∈ A, sowehave m<a ∀ a ∈ A.Thisimplies m +1 ≤ a ∀ a ∈ A,i.e. m +1isalowerboundof A.So P (m +1)istrueimplies m +1 ∈ B. Thus B = N Butthisimplies A = ∅,becauseif x ∈ A then x ∈ N = B whichmeans x isalowerboundof A,hence x istheleastelementof A,whichisimpossible.
1.4.29Theorem. Thefollowingareequivalent:
1.Thesetofnaturalnumbers N hasnoupperbound.
2.If x,y ∈ R and x> 0, then ∃ n ∈ N suchthat nx>y.
3.If x ∈ R and x> 0, then ∃ n ∈ N suchthat0 < 1/n<x.
4.If x ∈ R and x> 0, then ∃ n ∈ N suchthat n ≤ x<n +1
5.If x ∈ R,then ∃ n ∈ N suchthat n>x.
CHAPTER1.BASICSETTHEORY
1.5Finitesets,InfinitesetsandCardinalNumbers.
Weordinarilyassociatewitheveryfinitesetacertainabstractidentity“thenumberofelements” intheset.Forinfinitesets,commonsensedoesnotenvisageacorrespondinguseofnumberslike 0,1,2...Buteveryset,finiteorinfinite,wetakeanattempttogeneralizethenotionofnumbersothat itwillapplytoallsetswithoutrestriction.
Let Sn = {1, 2,..,n} thenwehave
1.5.1Theorem. Let X = ∅ beasetandlet X′ = X \{w} beasetobtainedbydeletinganelement w from X. Thenthereexistsabijectionfrom X to Sn+1 iffthereexistsabijectionfrom X′ to Sn
1.5.2Theorem. Ifthereexistsabijectionfrom Sm to Sn,then m = n.
1.5.3Definition. Aset X issaidtobe finite,iffthereexistsabijectionfrom X to Sn forsome n ∈ N
1.5.4Definition. Aset X issaidtobe infinite,iffitisnotfinite.
1.5.5Theorem. Everynon-emptysubsetofnaturalnumbershasaleastelement.
1.5.6Corollary. Theset N ofallnaturalnumbersisinfinite.
1.5.7Theorem. Let A beanon-emptysubsetofnaturalnumberswith n elements.Thenthere existsauniquebijection f : Sn → A suchthat f (p) <f (q)whenever p,q ∈ Sn and p<q.
1.5.8Note. Theresultoftheabovetheoremsaysineffectthatwecanwriteanyfinitesetofnatural numbersintheform {n1,n2,..,nk},where n1 <n2 <..<nk.Theresultcanbeextendedtoan infinitesetofnaturalnumbers.
1.5.9Theorem. If X isafinitesetwith n elements,theneverysubsetof X isfiniteandhasat most n elements.
Inmathematicswenowandthenrunintoobjectsornotions,whichare “essentiallythesame” Anexampleofsuchacaseisthefieldofcomplexnumbers a + ib andthematrixring ab ba where a,b ∈ R Althoughtheobjectslookradicallydifferent,theybehaveidenticallywithrespecttothe algebraicoperations.Inalgebratheterm“isomorphic”andintopology“homeomorphic”areused todefinethenotions.Andinna¨ıvesettheory,asthesetshavenostructure,soallthatcountsis theirsize(orcardinality).Hencethepropernotioninthiscaseis equivalence
1.6Cardinals
1.6.1Definition. Aset A issaidtobe equivalentorequipotent toaset B iffthereisabijection f : A → B. Wedenotethisby A ≃ B.
1.6.2Definition. Aset S is
1. finite ifitisemptyorforsome n ∈ N,S ≃{1,...,n}
2. infinite ifitisnotfinite.
3. denumerable if S ≃ N
4. countable ifitisfiniteordenumerable.
5. uncountable ifitisnotcountable.
Intheliteraturewealsomeetthesynonyms equipotent,equipollent,similarorareofsame cardinality (german:gleichm¨achtig).
Nowforaset X, definearelation“ ≃ ”on P(X)by A ≃ B iffthereisabijection f : A → B, then“ ≃ ”isanequivalencerelationon P(X).Nowif B belongstotheeqivalenceclass[A] determinedby A,thenwesaythatthetwosets A and B havethesame cardinality i.e.in notation: |A| = |B| or cardA = cardB. Thisisa“safe”imitationofFrege’sdefinitionofcardinals: |∅| =0, |{∅}| =1, |{∅, {∅}}| =2,... and ℵ0 isbydefinitionofthecardinalnumberof N and |R| = c or ℵ1
1.6.3Note. Thewordcardinalindicatesthenumberofelementsintheset.Thecardinalnumbers are0,1,2,..Thefirstinfinitecardinalnumberis alephnull or alephnaught, ℵ0.Wesaythatthe N has ℵ0 elements.Amysteryofmathematicsisthe ContinuumHypothesis whichstatesthat R hascardinality c or ℵ1, thesecondinfinitecardinal.Equivalently,if N ⊆ S ⊆ R, theContinuum Hypothesisassertsthat S ≃ N or S ≃ R.Nointermediatecardinalitiesexist.Itwasshownas recentlyas1963byP.J.Cohenthatthisquestionis‘unanswerable’inthesensethatthehypothesis isindependentoftheusualaxiomsofsettheory.Whatthisamountstoisthatamathematicianmay choosetoacceptorrejectthehypothesisdependingontheneedsofthemathematicshewishesto develop.YoucanpursuethisissueinPaulCohen’sbook-SetTheoryandtheContinuumHypothesis.
1.6.4Theorem. Forallsets X, P(X) ≃{0, 1}X
1.6.5Corollary. P(N) ≃{0, 1}N
1.6.6Definition. Aset A isequivalenttoasubsetof B iff ∃ aninjection f : A → B. Wewrite A ≲ B.
1.6.7Proposition. N isnotequivalentto {0, 1}N
1.6.8Proposition. N isnotequivalentto[0, 1]
1.6.9Remark (Denumerablesets). Thereisacuriousapplicationofsettheorytothefieldofhotel management,whichisattributedtoDavidHilbert.
InatownX,thereisaremarkablehotel,the HilbertHotel,whichisdistinguishedfromtheaverage hotelbyitssize.TheHilbertHoteliswidelyknownforthefactthatitcontainsdenumerablymany rooms,numbered1,2,3,....
AtthedayofabigcongressinXwhenalateguestwishedtoregister,theHilberthotelwasfully booked.Ofcourse,hewaskindly,butfirmly,shownthedoor,butbecauseofhispersistence(the HilbertHotelwasthehotelinX!)thedeskclerkcalledforthemanager.Themanagerapologized profusely,quotingthehotel-axiom:fullisfull.Fortunatelythedaughterofthemanager,who couldn’tsleep,came.Theclevergirlconsideredtheproblemforamomentandthengaveasolution, whichwasbothbrilliantandsimple:“Dad,requesteachguesttomovetotheroomwithnext number,thenthisgentlemancantakethenumber1”.Thissolvedthewholeproblem;themanager, extremelyrelieved,noticedthatinthiswayhecouldaccomodateanotherhundredguests. However,justwheneverybodywasabouttoretirecheerfullyforthenight,abuswiththecomplete delegationdroveup.Now,ifthedelegationhadbeenfinite,themanagercouldhaveaccomodateit easily.
Unfotunately,thedelegationwasdenumerable!Itwasagainthedaughterofthemanager,who providedthesolution:“Itisquitesimple,Dad,thistimeyourequesteveryguesttomovetothe roomofwhichthenumberistwicethenumberofhispresentroom.Thenallroomswithanodd numberwillbevacant,andtherepresentativescanbeputintheserooms”.Thereadercaneasily verifythatherproposalwascorrect;everythingworkedoutperfectly.
SofartheHilbertHotelhadovercomealldifficulties.Therealproblemstartedonly,whenthenext dayeachguestwantedtoaccomodatedenumerablymanyfriends.Howthemanagerwillprovide everybodywitharoom?Eventhedaughterfoundthattheproblemnottotallytrivial(asshesaid herself).Sheretreatedinasmallroomnexttoreceptiondesk,fromwhichsheimmergedaftera quarterofanhour,withthewords:“Dad,itistrivialafterall”.Indeed,hersolutionturnedoutto benotsocomplicated.(Hint:Denumerableunionofdenumerablesetsisdenumerable.)Thereader isinvitedtogiveasolutionhimself.
TheHilbertHotelisstillflourishing.Whathasbecomeofthecleverdaughterisnotknowntous; somesayshetookupthestudyofMathematics,othersayshehasmarriedandlivescomfortably andcontentlyinamodestcottageattheedgeoftheforest.......
1.7ANoteonAxiomofChoice
1.7.1Note.(AxiomofChoice)
Let C beacollectionofnon-emptysets.Thenwecan choose amemberfromeachsetinthat collection.Inotherwords,thereexistsafunction f definedon C withththepropertythat,foreach set S ∈C,f (S) ∈ S. Thefunction f isthencalleda choicefunction. Tounderstandthisaxiom better,letusconsiderafewexamples:
if C bethecollectionofnon-emptysubsetsof N = {1, 2, 3,...}, thenwecandefine f quite easily:justlet f (S)bethesmallestmemberof S.
if C bethecollectionofnon-emptyboundedintervalsin R,thesetofrealnumbers,thenwe candefine f (S)tobethemidpointoftheinterval S
if C besomemoregeneralcollectionofsubsetsof R,wemaybeabletodefine f byusinga morecomplicatedrule.
However,if C beanyarbitrarycollectionofnon-emptysubsetsof R,itisnotclearhowtofinda suitablefunction f ,suchthatfor S ∈C,f (S) ∈ S. Infact,noonehaseverfoundasuitablefunction f foranycollectionofsets.
1.7.2Definition.(AxiomofChoice:) Consideraset X and C beafamilyofnon-emptypairwise disjointsubsetsin P(X),thenthere exists aset D consistingofexactlyonepointfromeachmember of C
Ifwewanttoobtainasetbyapplicationofthisexistentialaxiom,thatcannotbeuniquely determined.Wecanovercomethecontroversy,ifwecaninterpretthewords“choose”and“exists” intheaxiom.Ifwefollowtheconstructivists,and“exists”means“find”,thentheaxiomisfalse, sincewecannotfindachoicefunctionforthenon-emptysubsetsofthereals.However,mostpeople give“exists”amuchweakermeaning,andtheyconsidertheAxiomtobetrue:Todefine f (S),just arbitrarily“pickanymember”of S.
Ineffect,whenweaccepttheAxiomofChoice,thismeansweagreetheconventionthatweshall permitourselvestouseachoicefunction f inproofs,asthoughitexistsinsomesense,eventhough wecannotgiveanexplicitexampleofitoranexplicitalgorithmforit.
1.7.3Note.
Aquestion:“Doweneedtheaxiomofchoice?”Itpurelydependsonwhatkindof mathematicsweareengagedin.
Illustrationoftheuseofaxiomofchoice: (ByM.E.Rudin.)
Letusconsidersomebanalitylikethefollowing.
Weknowthatcountableunionofcountablesetsiscountable.Inotherwords,wewanttoshow that:
If Ai = ∅ iscountablefor i ∈ N, then A = ∞ i=1 Ai iscountable. Thisisusedinrealanalysisalloverandmostofusdonotevenrealizethattheproofusesthe axiomofchoice.Theproofgoeslikethis.Sinceeach Ai iscountable,sotheenumeration Ai foreach i asfollows.Consider
Hencewecanarrangetheelementsoftheunionintoacountablesequenceusingwellknown countingmethod.
Sowhereistheaxiomofchoice?Letusgoovertheproofoncemore,wearegivenacountable collectionofsets A = {A1,A2,..,Ai,..}.Each Ai isacountablesetandsoforeach i, there existsanenumerationof Ai = {ai1,ai2,....,aij ,..}.However,thereexistsmorethanone enumerationof Ai Ifforeach i,Ei denotesthesetofallenumerationsoftheform(1.2),then weareconfrontedwiththefollowingproblem: Ifwewanttoapplythediagram(1.1),wehavetochooseonespecificenumerationof Ai,for each i. Inotherwords,wehavetochooseoneelementfromeach Ei.Andhereweare;weneed achoicefunctiononthefamily A = {A1,A2,....,Ai,..}.Naturallytheargumentaboveshows thataxiomofchoiceisusedintheparticularproofofthetheorem,thatcountableunionof countablesetsiscountable.Alsonotethatitdoesnotruleoutthepossibiltyoffindingan alternativeproofthatwouldmakenoreferencetotheaxiomofchoice.
Anotherapplication:Foranymapping α : S → T ,thereexistsasurjection β andaninjection γ suchthat α = γ ◦ β.(Compare1.10.65)
Another random document with no related content on Scribd:
The Project Gutenberg eBook of Kun mies on mies
This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook.
Title: Kun mies on mies
Author: Harold Bell Wright
Release date: September 22, 2023 [eBook #71702]
Language: Finnish
Original publication: Porvoo: WSOY, 1957
Credits: Tapio Riikonen
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK KUN MIES ON MIES ***
Kirj.
Harold Bell Wright Suomennos
Helsingissä, Minerva Kustannus, 1925.
SISÄLLYS:
I. Juhlan jälkeen.
II. Metsärajalla.
III. Suurella laitumella.
IV. Aitauksessa.
V. Palanen menneisyyttä.
VI. Juoksuaita.
VII. Iltahämärissä.
VIII. Keskustelua polttomerkeistä.
IX. Tailholt Mountainin miehet.
X. Karjankierros.
XI. Karjankierroksen jälkeen.
XII. Ratkaisun päivä.
XIII. Graniittiylängöllä.
XIV. Lähteen partailla.
XV. Setririnteellä.
XVI. Taivaanrannan taa.
I LUKU.
Juhlan jälkeen.
On olemassa maa, jossa miehen, voidakseen elää, täytyy olla mies. Se on graniitin, marmorin ja kullan maa — ja siellä täytyy miehellä olla alkuvuorien voima. Se on tammien ja setripuiden ja mäntyjen maa — ja miehellä täytyy olla taipumattomien puiden ryhti. Se on korkealla kulkevien tahrattomien pilvien maa, missä tuuli puhaltaa vapaana ja taltuttamattomana ja ilma on niin puhdas kuin se on vain siellä, missä luonto on pysynyt sellaisena kuin Jumala sen loi. Ja miehen sielun täytyy olla kuten tahrattomat pilvet, kuten taltuttamaton tuuli ja puhdas ilma. Se on avaroiden, aaltoilevien laidunmaiden ja muokkaamattomien niittyjen maa. Siellä miehellä täytyy olla vapaus, joka ei ole aran ja pikkumaisen orjallisuuden kahlehtimaa.
Tässä maassa on jokainen mies oma kuninkaansa, hän on oma neuvonantajansa, oma arvostelijansa, oma tuomarinsa ja tarpeen tullen oma rankaisijansa. Ja tässä maassa, missä miehen voidakseen elää täytyy olla mies, on nainen, jollei hän ole oikea nainen, varmasti surkastuva ja menehtyvä.
Tämä on kertomus miehestä, joka sai takaisin sen, minkä nuoruudessaan oli menettänyt, se on kertomus siitä, kuinka hän, vaikka olikin löytänyt sen, mikä häneltä oli riistetty, kaikesta huolimatta maksoi menetyksensä hinnan. Se on myös kertomus naisesta, joka pelastui oman itsensä kourista, joka oppi pitämään kiinni siitä, minkä menetyksen mies oli saanut maksaa kalliisti.
Kertomus alkaa Prescottissa Arizonassa heinäkuun neljännentoista päivän vuosijuhlan jälkeisenä päivänä, eräänä vuonna, jolloin kaukainen länsi näki viimeisten intiaanien häviävän ja auton ilmestyvän sen teiden herraksi.
Eräällä niitä harvoja teitä, jotka johtavat pienestä kaupungista maalle, vuoristorotkojen ja solien kautta laajoille, asumattomille harjanteille ja laaksoissa ja lakeuksilla sijaitseville yksinäisille karjakartanoille, kulki muuan mies. Päättäen siitä, että hän kulki jalan maassa, missä välimatkat ovat niin pitkiä, että ratsastaminen on tavallisin ja miltei ainoa matkaamistapa, ja kaikista niistä merkeistä, joita ympäristö ja kasvatus meihin painaa, saattoi huomata, että kulkija oli muukalainen näillä seuduin. Hän oli parhaassa nuoruuden kukoistuksessa, pitkä ja vartaloltaan sopusuhtainen, ja hänen kulkiessaan pölyistä tietä ilmaisi hänen ryhtinsä ja kävelytapansa, että hän paremmin oli tottunut tasaisiin katuihin kuin karkeaan ja kiveämättömään vuoristotiehen. Hänen pukunsa oli ilmeisesti ensiluokan räätälin tekemä. Koko hänen olemuksessaan vallitsi se yksityiskohtien sopusointu ja huolellisuus, jonka vain ne saattavat sallia itselleen, joilla on siihen sekä varaa, aikaa että varma maku. Hänen liikkeensä ja olemuksensa todistivat myös, ettei hän kuulunut niihin, jotka Prescottin vuoristoilmasta etsivät uuden terveyden lähdettä. Mutta kaikesta huolimatta ilmaisi jokin hänessä sen
miehekkään voiman ja jäntevyyden puutetta, joka hänen olisi tullut omistaa.
Ihmistuntija olisi sanonut luonnon määränneen tämän miehen ruumiinvoimiensa ja sielunkykyjensä puolesta miesten toveriksi ja johtajaksi, mieheksi miesten joukossa. Mutta sama ihmistuntija olisi häntä lähemmin tarkasteltuaan lisännyt, että hän jostakin syystä, kohtalon julman oikun takia, oli menettänyt tämän oikeutensa.
Päivä oli juuri koittanut, kun muukalainen saavutti ensimmäisen harjanteen huipun, mistä tie kääntyi jyrkkänä ja mutkittelevana alaspäin yksinäisten mäntyjen ja tiheiden tammien lomitse Burnt Ranchia kohden.
Hänen takanaan alkoi pieni kaupunki — maalauksellisena muokkaamattoman metsämaiseman keskellä, joka ulottui sen kynnyksille saakka — vähitellen herätä juhlayön jälkeen. Torin reunoilta alettiin korjata pois telttoja, joissa mauttomat ilveilyt olivat hauskuuttaneet väkijoukkoa, ja lautakojuja, joissa kovaääniset kuuluttajat olivat houkutelleet kansaa arvottomien lelujen tai kirjavan rihkaman toivossa koettamaan pelissä onneaan. Torilla, joka on kaupungin keskus ja tavallisesti hyvin hoidettu, näytti uljaan ratsastajan O'Neilin ja hänen ratsunsa pronssipatsas olevan väärässä ympäristössä monivärisen paperisilpun, laukaistujen ilotulitusainesten ja juhlivien kansalaisten sekä heidän vieraidensa nauttimain ateriain jäännösten keskellä. Köynnökset ja liput, jotka ovista ja ikkunoista, katoilta ja tangoista liehuen olivat antaneet juhlapäivälle värikkään ja hilpeän leiman, riippuivat räsyisinä ja liikkumattomina ikäänkuin tuntien hilpeytensä aiheen ja tarkoituksen olevan mennyttä ja odottaen joutumistaan uuniin tai rikkaläjälle.
Mies pysähtyi ja kääntyi katsomaan taakseen.
Hän seisoi hetkisen kuten ihminen, joka tehtyään päätöksen vieläkin epäröi — empien ja katuen — uuden elämänvaiheen alkaessa. Sitten hän kääntyi ja lähti kulkemaan edelleen huolettoman ripeänä, aivan kuin lopullisesti olisi kääntänyt selkänsä sille, joka nyt jäi taakse. Näytti siltä kuin tällekin miehelle juhlapäivä hälisevine riemuineen ja hilpeine huvituksineen olisi häipynyt menneisyyden varjoon.
Puolimatkassa selänteeltä johtavalla tiellä mies jälleen pysähtyi, tällä kertaa puoliksi kääntyen ja kallistaen päänsä kuuntelevaan asentoon. Tieltä, jota hän oli tullut, sattui kärrynpyörien ratina hänen korvaansa.
Kavioiden kapseen ja pyörien ratinan käydessä kuuluvammaksi levisi hänen kasvoilleen omituinen epävarmuuden ja päättäväisyyden sekainen ilme, ja hänen katseensa kävi miltei pelokkaaksi. Hän astui pari askelta eteenpäin, epäröi, katsoi taakseen ja kääntyi sitten tien vieressä kasvavia puita kohden. Sitten hän viimein näytti tekevän päätöksensä, astui tieltä ja hävisi tiheään tammipensaikkoon juuri ennen kuin parivaljakon vetämät kärryt ilmestyivät näkyviin tien käänteen takaa.
Mies, jonka ulkomuoto ilmaisi hänet karjanomistajaksi, ajoi tulista parivaljakkoa. Hänen vieressään istui kookas nainen ja pieni poika.
Tammipensaikon kohdalla teki toinen hevonen äkkinäisen hyppäyksen sivulle. Ensimmäistä hypähdystä seurasi salamannopeasti toinen, ja pelästyneenä vierushevonen yhtyi leikkiin. Mutta niin nopea kuin tämä liike oli ollutkin, oli ajajan harjaantunut käsi samassa silmänräpäyksessä tarttunut ohjaksiin ja pakottanut hevoset pysähtymään tielle.
»Hätähousut», kuului ajaja hyväntahtoisesti nuhtelevan hevosiaan
kärryjen hävitessä näkyvistä, »olette kasvaneet karjakartanossa ja pelästytte pensaikossa märehtivää vasikkaa.»
Muukalainen astui verkalleen esiin tiheiköstä. Hän palasi varovasti tielle. Hänen huulilleen levisi omituinen ivahymy. Mutta hän näytti ivaavan itseään, sillä hänen tummissa silmissään hehkui katse, joka kuvasti itsehalveksuntaa ja häpeää.
Vaeltajan saapuessa tienkäänteeseen Burnt Ranchin luona tuli
Joe Conley suuresta veräjästä taloon vievää tietä taluttaen hevosta lassonuorasta. Tultuaan tallirakennusten kohdalle hän meni sisään pienestä ovesta pitäen yhä talutusnuoraa kädessään ja pakottaen hevosen odottamaan ulkopuolella hänen paluutaan.
Nähdessään paimenen muukalainen jälleen pysähtyi ja jäi epäröiden seisomaan. Mutta Joen palatessa tallista suitset, loimi ja satula mukanaan hän kuin välttämättömyyden pakosta otti pari askella eteenpäin.
»Hyvää huomenta», sanoi muukalainen kohteliaasti, ja hänen äänensä vastasi hänen pukuaan ja olemustaan ja hänen ilmeensäkin muuttui hiotun maailmanmiehen hillityksi tyyneydeksi.
Katsahtaen muukalaiseen nopeasti ja arvostelevasti Joe vastasi tervehdykseen ja lähestyi hevostaan. Eläin hypähti taaksepäin leimuavin silmin ja pystypäin, mutta sen oli pakko alistua, sillä sen isäntä, jolle vastarinta nähtävästi oli varsin luonnollinen ja jokapäiväinen tapahtuma, ei ollut siitä millänsäkään, vaan heilautti tottuneella liikkeellä raskaan satulan paikoilleen.
Paimenen kiinnittäessä satulavyötä häilähti muukalaisen kasvoilla miltei intohimoisen harras ilme — katse, jossa kuvastui kaipausta, ihailua ja kateutta.
Päästäen jalustimet riippumaan katsahti Joe jälleen muukalaiseen, tällä kertaa kysyvästi ja avomielisin, rohkein ilmein, joka on hänenlaisilleen miehille luonteenomainen.
Muukalaisen jälleen puhuessa oli hänen äänessään omituinen sävy, ikäänkuin hän olisi menettänyt äskeisen tyyneytensä. Se kuului miltei anteeksipyynnöltä, ja hänen silmiinsä palasi jälleen häpeää ja itsehalveksuntaa ilmaiseva katse.
»Suokaa anteeksi», hän sanoi, »mutta olkaa hyvä ja sanokaa, viekö tämä tie Williamson Valleyhin?»
Muukalaisen ääni ja ilme oli niin ilmeisessä ristiriidassa hänen muun olemuksensa kanssa, että paimen ei kyennyt salaamaan hämmästystään vastatessaan kohteliaasti:
»Kyllä, herra.»
»Ja minä pääsen siis suoraa päätä Risti-Kolmio-Kartanolle?»
»Kyllä, jos kuljette laaksoa kohden. Jos poikkeatte oikeanpuoleiselle tielle vuohikartanon yläpuolella kulkevaa selännettä, tulette Simmonsille, josta myös vie tie Risti-KolmioKartanolle. Metsärajan huipulta saatatte nähdä laakson ja kartanon.»
»Kiitos.»
Muukalainen aikoi kääntyä, kun paimen uudelleen puhutteli häntä.
»Rovasti ajoi Stellan ja pikku Billyn kanssa kärryissään tästä ohitse noin tunti sitten matkalla kotiin juhlasta. Kas kun he eivät ottaneet teitä kärryihin, jos kerran olette matkalla sinne.»
Muukalainen vaikeni hetkisen, kysyen sitten:
»Rovasti?»
Paimen hymyili. »Herra Baldwin, Risti-Kolmion omistaja.»
»Oh!» Muukalainen hämmästyi silminnähtävästi. Kenties hän muisti tammipensaikon tien vieressä.
Joe irroitti parhaillaan lasson hevosensa kaulasta ja näytti miettivältä kehiessään sitä vyyhdelle. Sitten hän lausui:
»Ette suinkaan aio kävellä Risti-Kolmioon saakka?»
Halveksiva hymy karehti jälleen muukalaisen huulilla, mutta hänen äänessään oli päättäväinen sointu hänen vastatessaan:
»Aion kyllä.»
Jälleen paimen loi muukalaiseen avoimen katseensa. Sitten hän astui pari askelta porttia kohden, lassovyyhti toisessa, suitset toisessa kädessä. »Lainaan teille hevosen», hän sanoi tyynesti.
Muukalainen vastasi nopeasti: »Ei, ei, älkää vaivautuko.»
Joe vaikeni hetkiseksi. »Herra Baldwinin ystävä, olkoonpa hän ken hyvänsä, on tervetullut vieras Burnt Ranchille.»
»Mutta minä — hm — minä — en ole koskaan tavannut herra Baldwinia», selitti muukalainen heikosti.
»Ei tee mitään», väitti paimen. »Olette menossa hänen luokseen, ja se on sama asia.» Jälleen hän astui askelen tallia kohden.
»Mutta minä — anteeksi — te olette hyvin ystävällinen — mutta minä — kävelen kernaammin.»
Joe käännähti jälleen hämmästyneen ilmeen levitessä hänen päivänpaahtamille ja ahavoituneille kasvoilleen. »Kai tiedätte, ettei matka ole leikintekoa», hän virkkoi empien, ikäänkuin miehen tietämättömyys olisi ollut ainoa selitys hänen uskomattomalle aikeelleen.
»Tiedän sen. Mutta se tekee minulle hyvää. Kävelen todellakin kernaammin.»
Sanaakaan sanomatta paimen kääntyi hevoseensa päin ja alkoi tyynesti sitoa lassovyyhteä satulaan. Tuhlaamatta enää ainoatakaan katsetta muukalaiselle, joka vaieten katseli hänen puuhiaan, hän heitti suitset hevosen pään yli, tarttui satulannuppiin ja hyppäsi hevosen selkään kannustaen sen tielle.
Muukalainen kiiruhti jatkamaan matkaansa.
Tienkäänteen puolimaissa paimen pysähdytti hevosensa ja katsahti taakseen kulkijaan, joka vaelsi harjanteen laelle johtavaa petäjien varjostamaa tietä. Miehen hävittyä harjanteen toiselle puolen mumisi paimen jonkin ihmettelyä ilmaisevan sanan ja kannusti hevosensa juoksuun, ikäänkuin luopuen pohtimasta arvoitusta, joka hänen yksinkertaiselle järjelleen oli liian monimutkainen.
Koko päivän vaeltaja seurasi pölyistä tietä. Hänen yllään säteili avara, kirkas, pilvetön taivas. Suurilla, avoimilla selänteillä, aukeamilla ja laaksoissa makasi karja tammien, setri- ja saksanpähkinäpuiden varjossa tai kulki hitain, äänettömin liikkein juomapaikoille janoaan sammuttamaan. Metsän eläimet olivat piiloutuneet kallionkoloihin ja tiheihin lehvikköihin odottamaan viileän illan tuloa. Ilma oli liikkumaton, ikäänkuin väsymätön tuulikin olisi vaipunut lepoon.
Ja keskellä tämän maan hiljaista suurenmoisuutta kulki mies yksinään ajatuksineen, ehkä miettien sitä, mikä oli tuonut hänet tänne, kenties haaveillen siitä, mitä olisi saattanut tapahtua tai mikä ehkä vielä tulisi tapahtumaan, katsellen kysyvin, ihmettelevin, puolipelokkain silmin valtavia, koskemattomia maisemia, jotka joka suunnalla levisivät hänen ympärillään. Kukaan ei nähnyt häntä, sillä heti kun hän kuuli lähenevän hevosen tai kärryjen äänen, hän piiloutui pensaikkoon tai suojelevan kallionlohkareen taakse. Ja aina kun hän jälleen tuli esiin piilopaikastaan jatkaakseen matkaansa, väikkyi hänen kasvoillaan sama itsehalveksunnan hymy.
Puolenpäivän aikaan hän pysähtyi hetkeksi tienviereen syödäkseen pari voileipää, jotka hän otti takkinsa taskusta. Sitten hän alkoi uudelleen päättäväisenä kulkea sen maan sydäntä ja keskustaa kohden, joka kaikesta päättäen oli hänelle uusi ja vieras. Iltapäivä kallistui jo loppuaan kohden, kun hän uupuneena, kumaraisin hartioin ja verkkaisin askelin saapui Metsärajalle, joka muodostaa Williamson Valleyn itärajan.
Harjanteen huipulla, missä tie tekee äkkikäännöksen lähtien jyrkästi laskeutumaan selänteen loiselle puolelle, hän pysähtyi. Hänen väsynyt vartalonsa suoristautui. Hänen kasvojaan valaisi
hämmästynyt ja ihastunut ilme, ja hänen huuliltaan pääsi huudahdus, kun hänen silmänsä kohtasivat avaran näköalan, joka silmänkantamattomiin levisi hänen jalkainsa juuressa.
Pilvettömän, syvänsinisen taivaan alla levisi vuorien ja metsien ja niittyjen maa, joka oli vertaansa vailla suurenmoisessa ja koskemattomassa kauneudessa. Monien mailien päässä, sinertävän auringonsumun himmentäminä, kohosivat taivaanrannalla jylhät vuoret kuin tuhatpäinen suojavartio. Metsäisten rinteiden tumma viheriä, tammilehtojen vaaleampi lehvikkö, laajojen ketojen vaalea nurmi ja metsäniittyjen helakka väri yhtyivät hienon sinen peittäminä värisoinnuiksi, joita ihmiskäsi ei saata kuvata. Ja lähempänä, vuorivartion johtajana ja ympäröivien maiden herrana kohotti Granite Mountain huippujaan taivaanlakea kohden kuin uhmaten vuosien valtaa ja ihmisen mahtia.
Tämän ihanan maan keskessä, jota muukalainen ylhäältä Metsärajalta tarkasteli, sijaitsee Williamson Valley, rehevä, tummanvihreä luonnonniitty Jos muukalaisen silmä olisi ollut tottuneempi pitkiin välimatkoihin, olisi hän sinervässä sumussa erottanut Risti-Kolmio-Kartanon punaiset katot.
Mies seisoi hetkisen liikahtamatta paikallaan luonnon tenhovoiman valtaamana. Hänen kasvojensa hillitty ilme oli hävinnyt. Hänen itsehalveksuntansa ja ivansa oli unohtunut. Hänen silmissään hehkui toivo ja luja päättäväisyys. Sitten äkkiä, ikäänkuin menneisyyden haamu olisi koskettanut hänen olkapäätään, hän katsahti taakseen tielle. Valo hänen silmissään sammui raskaiden muistojen täyttäessä hänen mielensä. Hänen ilmeensä, josta päivän yksinäisyys oli karkottanut sen tavallisen sulkeutuneisuuden, synkkeni tuskasta ja häpeästä. Oli kuin hän olisi luonut katseensa yli pienen kaupungin,
jonka markkinarihkaman hän tänä aamuna oli jättänyt taakseen, pöyhkeilevien repaleiden ja teeskentelyn maailman, jossa miehet myyvät sielunsa arvottomista leikkikaluista, jotka ovat voittoina pelissä.
Ja kaikesta huolimatta kuvastui miehen silmissä yhtä paljon kaipausta kuin katumusta. Hän näytti tuntevan saapuneensa elämässään rajalle, mistä saattoi nähdä kaksi eri suuntiin lähtevää tietä. Niistä hän oli päättänyt hylätä sen, jolle hänen kaipuunsa veli, ja valita sen, joka hänestä tuntui vaikeammalta.
Viimein hän uupuneena ruumiiltaan ja sielultaan laahautui muutaman askelen tien sivuun ja heittäytyi kallionlohkareelle syventyäkseen eteensä leviävän näköalan ihailemiseen. Jälleen hänen tottumattomalta silmältään jäi huomaamalta jotakin, joka varmasti olisi kiinnittänyt seudun asukkaan huomiota. Hän ei nähnyt pientä pistettä tiellä. Piste oli ratsastaja, joka tuli häntä kohden.
