Taluppfattning handlar om en förståelse för tal, deras värde och hur de förhåller sig till varandra. I kapitlet tar vi bland annat upp hur tal är uppbyggda, de fyra räknesätten och rimlighetsbedömning. En god taluppfattning gör att du kan lösa både matematiska problem och räkna vardagsmatematik.
Att räkna är en del av vår vardag. Du räknar antalet kompisar som kommer till klassfesten, hur många som är med i online-spelet och hur mycket pengar du har sparat, hur många dagar det är kvar till sommarlovet. Här får du repetera det du lärt dig om vårt talsystem.
SIFFRA
Siffror är symboler som används för att skriva tal. I vårt positionssystem används tio olika siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.
TAL
Tal består av en eller fera siffror. Vilket värde ett tal har beror på vilken plats siffrorna har i talet.
HELTAL
Ett heltal är ett helt tal som inte innehåller några decimaler. Några exempel på heltal är: 17, 42, 67 och 73 900.
DECIMALTAL
Ett decimaltal uttrycker värden som är tal mellan heltal. Decimaler är siffror till höger om decimalkommat.
NATURLIGT TAL
De naturliga talen är alla positiva heltal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… och kan användas för att räkna antal.
POSITIONSSYSTEM
Positionssystemet är ett talsystem där varje siffras värde beror på vilken position (plats) den har.
TALLINJE
På en tallinje markeras varje tal med en punkt på linjen. Talets värde ökar mot höger mot tallinjens pilspets.
OLIKHET
En olikhet visar hur två tal förhåller sig till varandra. Symbolerna < (mindre än) och > (större än) används för att jämföra talens storlekar. Gapet är alltid öppet mot det största talet.
NATURLIGA TAL
SIFFROR OCH TAL
I ett positionssystem är det platsen en siffra står på som avgör dess värde. Nollan talar om att en viss position är tom. Det var inte förrän i början av 1500-talet som nollan och positionssystemet accepterades i Europa.
De naturliga talen används för att räkna antal. De kan användas för att besvara frågor som börjar med ”Hur många?”. Ett exempel är “Hur många siffror ser du i bilden? Fyra exempel på naturliga tal är 1, 3, 44 och 8 623. Det minsta naturliga talet är 0 och är detsamma som ”inget alls.”
Det finns många sätt att visa svaret på frågan ”Hur många?”. Så länge talen inte är för stora går det bra att använda streck, tärningar, romerska siffror, ord eller andra symboler. Antalet fingrar på höger hand kan alltså skrivas som ”IIIII”, ⚄, “V”, ”5” eller ”fem”.
Vi använder oss av tio olika siffror när vi skriver tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Ett tal består av en eller flera siffror. Talet 5 består bara av en siffra, medan talet 7 932 består av fyra siffror.
POSITIONSSYSTEMET tusental hundratal tiotal ental
I vårt talsystem, positionssystemet, beror en siffras värde på vilken position den har i ett tal. I andra system, till exempel om du räknar med romerska siffror, har siffran ett bestämt värde. Positionssystemet har många fördelar när man ska göra uträkningar. Vilket tycker du är enklast att räkna ut: 134 · 22 eller CXXXIV · XXII?
I positionssystemet kan man få talet 3 532 genom att lägga samman 3 000 + 500 + 30 + 2. Här har siffran 3 värdet 3 000 eller 30, beroende på dess position i talet.
3532 = 3000 + 500 + 30 + 2
I positionssystemet anger nollan frånvaron av ett tiotal. Utan nolla skulle man inte kunna se skillnad på talen 35, 350 och 305.
Med positionssystemet är det lätt att skriva stora tal. Ofta samlar man siffrorna i grupper om tre för att göra talet lättare att läsa. Visst blir det enklare att läsa talet om siffrorna skrivs grupperat, 72 560 981, än när siffrorna skrivs utan mellanrum, 72560981?
DECIMALTAL hundratal tiotal ental tusendel hundradel tiondel
Alla naturliga tal är heltal. När man delar upp heltalen i mindre delar talar man om decimaltal. Om man till exempel har sprungit 2,43 km under ett löprunda är 2,43 ett decimaltal, som i Sverige skrivs med decimalkomma. De siffror som är till höger om decimalkommat kallas talets decimaler. “4” motsvarar fyra tiondelar och “3” motsvarar tre hundradelar. I talet 532,718 har var och en av de sex positionerna olika värden.
532,718 = 500 + 30 + 2 + 0,7 + 0,01 + 0,008
TALLINJEN
OLIKHETER
Om ett tal är skrivet på decimalform kan vi lägga till en nolla längst till höger utan att talet förändras. Exempelvis är 0,8 = 0,80. Vi har lagt till noll hundradelar. På samma sätt är 5 = 5,0. Vi har lagt till noll tiondelar.
Alla tal kan markeras på en tallinje. Beroende på vilka tal man vill markera på tallinjen kan man välja lämpliga skalstreck. I bilden nedan har vi markerat talen 2 och 6,5. På en tallinje ökar talets värde alltid mot höger, i den riktning pilen visar.
Om två tal är olika måste det ena talet vara större än det andra. För att visa hur storleken på två tal förhåller sig till varandra använder man olikhetstecken. Tecknet “<” betyder “mindre än” och tecknet “>” betyder “större än”.
För att komma ihåg vilken symbol som är “större än” och vilken som är “mindre än” kan man titta på hur symbolerna ser ut. Tecknen gapar alltid mot det större talet.
Exempelvis är talet 8,2 större än talet 8,15 (8,2 ligger till höger om 8,15 på tallinjen), vilket kan skrivas 8,2 > 8,15.
Ett annat sätt att beskriva förhållandet är att skriva 8,15 < 8,2 eftersom 8,15 är mindre än 8,2. Talet 8,15 ligger alltså till vänster om 8,15 på tallinjen. När du jämför två decimaltal med varandra kan det vara enklare att se vilket som är störst om du lägger till nollor, så att talen får lika många decimaler. I exemplet är 8,2 större än 8,15 eftersom 8,2 = 8,20.
EXEMPEL NIV å 1
Ett decimaltal har värdet 4 528,13.
a) Vilken siffra står på hundratalets plats?
b) Vilket värde har siffran 3?
c) Skriv 4 528,13 som en summa av varje siffras värde.
LÖSNING
SVAR
a) Vi tittar på heltalen (siffrorna till vänster om decimalkommat). Från vänster till höger har vi tusental (4), hundratal (5), tiotal (2) och ental (8). Siffran 5 står alltså på hundratalets plats.
b) Siffran 3 står två steg till höger om decimalkommat och har värdet 3 un r l r.
c) Talet 4 528,13 kan skrivas som summan
4 000 + 500 + 20 + 8 + 0,1 + 0,03
a) Siffran 5 står på hundratalets plats.
b) Siffran 3 har värdet 3 hundradelar.
c) 4 528,13 = 4 000 + 500 + 20 + 8 + 0,1 + 0,03
EXEMPEL NIV å 2
Ordna följande tal i storleksordning från minst till störst:
0,4, 0,395, 0,41, 0,049
Förklara hur du tänker med hjälp av positionssystemet.
LÖSNING
För att jämföra talen kan du titta på siffrornas värde position för position, med början från vänster. Jämförelsen blir enklare om alla tal har samma antal decimaler. Detta ordnar du genom att lägga till nollor i slutet. Talen blir då:
0,400, 0,395, 0,410, 0,049
Om du jämför tiondelarna ser du att 0,049 har 0 tiondelar och är minst. Sedan kommer 0,395 som har 3 tiondelar. Både 0,400 och 0,410 har fyra tiondelar, men 0,410 har 1 hundradel mer än 0,400 och är alltså störst.
0,049 < 0,395 < 0,4 < 0,41.
ÖVNINGAR / NIVå 1
1.1.1
Skriv talet med siffror.
a) Fyratusen sexhundratvå
b) Tjugofemtusen åttahundra
c) Åttatusen fyrahundratjugoett
d) 4 tiotusental, 2 tusental, 8 hundratal, 0 t ot l o 5 nt l.
1.1.2
Skriv talet med siffror.
a) Noll komma noll fem
b) Fem hela och tre hundradelar
c) Sju hundratal, tre hela och fyra tusendelar
d) 4 tiotal, 2 ental och 5 tiondelar
1.1.3
Vilket tal är störst?
a) 3 499 eller 3 944
b) 45 099 eller 45 101
c) 0,7 eller 0,08
d) 0,4 eller 0,39
1.1.4
Vilken siffra står på positionen
a) tusental i talet 84 512
b) hundratal i talet 5 632
c) tiondel i talet 4,582
d) tusendel i talet 1,678?
1.1.5
Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan talen
a) 12 300 och 12 030
b) 5 421 och 5 124
c) 23,2 och 22,3
d) 0,3 och 0,29.
1.1.6
Ordna talen från minst till störst.
a) 5 601, 5 061, 5 610
b) 23 321, 22 231, 23 231
c) 1,234, 123,4, 12,34
d) 0,427, 0,374, 0,38
1.1.7
Vilket värde har
a) siffran 7 i talet 7 403
b) siffran 9 i talet 19 250
c) siffran 5 i 4,51
d) siffran 9 i talet 0,129?
1.1.8
Skriv talet med ord. a) 15 030 b) 3,24
1.1.9
Rita en tallinje mellan 0 och 100. Gör skalstreck vid varje tiotal. Markera talen
a) 20 b) 80 c) 55 d) 8
1.1.10
Rita en tallinje mellan 0 och 1. Gör skalstreck vid varje tiondel. Markera talen
a) 0,5 b) 0,9 c) 0,25 d) 0,73
1.1.11
Vilka värden har de tre punkter som är markerade på tallinjen? 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
1.1.12
Vilka värden har de tre punkter som är markerade på tallinjen? 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.1.13
Skriv talet med siffror.
a) Tre miljoner sjuttiotusen fem b) Tolv hela och fem hundradelar
c) 4 ental, 2 tiondelar och 9 tusendelar
d) Femton hela och tolv tusendelar
1.1.14
Jämför talen och förklara hur du ser vilket som är störst:
a) 607 890 och 607 908
b) 1,209 eller 1,21
1.1.15
Vilket är det minsta tal du kan skriva med siffrorna 1, 4, 7, 2, 9 om varje siffra bara får användas en gång?
1.1.16
Vilket är det största möjliga femsiffriga tal du kan skriva med siffrorna 0, 4, 8, 2 och 5 om varje siffra bara får användas en gång?
1.1.17
Vilket tal ligger mitt emellan a) 45 000 och 46 000 b) 0,1 och 0,2?
1.1.18
Hur många gånger mindre är värdet av siffran 4 i talet 5 432 jämfört med värdet av siffran 4 i talet 4 100?
1.1.19
Vad är värdet av siffran 6 i talet 0,162? Skriv svaret som ett decimaltal.
1.1.20
Ordna följande tal från minsta till största och förklara din strategi: 0,303; 0,33; 0,033; 0,3; 0,0303.
1.1.21
Talet A är 10 gånger större än 450. Talet B är 100 gånger mindre än A. Vilket är talet B?
1.1.22
Skapa ett tal där siffran 5 är värd 1 000 gånger mer än siffran 5 i talet 1,25.
1.1.23
Skriv ett tal som är större än 0,12 men mindre än 0,13.
1.1.24
Hur många tusendelar behövs för att bilda en hundradel?
1.1.25
Jämför 0,5 och 0,500. Är de lika mycket värda? Förklara hur du resonerar.
1.1.26
Hur många hundratal finns det i talet 12 500?
1.1.27
Vilken siffra i talet 17 295 har det högsta värdet?
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.1.28
I ett tal flyttas en siffra två steg till vänster och talets värde ökar med 5 940. Vilken var siffran och på vilken plats stod den från början?
1.1.29
Skapa ett sexsiffrigt tal där summan av siffrorna är 12, tusentalsplatsen är dubbelt så stor som tiotalssiffran och talet är så nära 500 000 som möjligt.
1.1.30
En elev påstår att ”0,10 är mer än 0,2 eftersom 10 är mer än 2”. Förklara med hjälp av positionssystemet varför detta är felaktigt och hur eleven bör tänka.
1.1.31
Skriv det tal som har 4 tiotusental, hälften så många tusental, 0 hundratal, 8 tiondelar och resten av platserna fyllda med siffran 5 så att det blir ett tal med tre decimaler.
1.1.32
Jag är ett femsiffrigt tal. Min tiotusentalssiffra är 3. Min tusentalssiffra är dubbelt så stor som min hundratalssiffra. Resten av siffrorna är 0. Summan av alla siffror är 9. Vilket tal är jag?
1.1.33
Kan du lista ut vilket tal som är svar på gåtan?
• D t finns n n noll på nå on pos t on.
• D n störst s f r n finns på två ställ n, m n inte på entalspositionen.
• S f r n ör t otus nt l är tr ån r så stor som s f r n ör t ot l.
• S f r n ör un r tus nt l är n st l r med 1 och 5.
• S f r n ör nt l är m m n r än n o.
• S f r n ör nt l är u lt så stor som s fran för tiotal.
Du vet alldeles säkert vad det betyder om det står “Anna + Einar = Sant”. När du skriver ett ”+” innebär det att du lägger samman två saker. I matematiken säger man att man adderar. Addition innebär att du lägger samman två eller fl r t l. Du nvän r o t t on ör tt räkn ut ur my k t fl r s k r s mm nl t kost r. Här år u r p t r det du har lärt dig om addition och subtraktion.
ADDITION
Addition är ett räknesätt där man lägger samman två eller fera tal. Vid addition används plustecken (+) mellan talen. De tal som läggs samman kallas termer och resultatet kallas summa.
SUBTRAKTION
Subtraktion är ett räknesätt där man räknar ut skillnaden mellan två tal. Vid subtraktion används minustecken (–) mellan talen. De tal som subtraheras kalllas termer och resultatet kallas differens.
TERM
Beteckningen på ett av talen i en addition, eller ett av talen i en subtraktion.
SUMMA
Namnet på resultatet vid addition.
DIFFERENS
Namnet på resultatet vid subtraktion. Resultatet kan också kallas skillnad.
MINNESSIFFRA
Minnessiffror används i addition med uppställning. Om summan
av termerna blir större än nio i en kolumn skriver du minnessiffran i kolumnen till vänster.
VÄXLING
Om den övre termen i en kolumn är mindre än den undre när du räknar subtraktion med uppställning växlar du från kolumnen till vänster (till exempel ett hundratal till tio tiotal).
HUVUDRÄKNING
”Älskar, älskar inte, älskar, älskar inte…” När man plockar kronblad från en blomma subtraherar man antalet kronblad med ett tills svaret förhoppningsvis är “älskar”.
Om man lägger samman två eller flera tal säger man att man adderar dem. Man anger addition med ett plustecken (till exempel 12 + 3). De tal man lägger samman kallas termer och resultatet kallas summa.
summa
12 + 3 = 15
term
Det spelar ingen roll i vilken ordning du adderar termerna – summan blir densamma:
12 + 3 = 3 + 12 = 15
När du adderar två eller flera tal kan du alltid räkna ental för sig, tiotal för sig och hundratal för sig. Om du ska addera 29 + 23 kan du räkna ental för sig och tiotal för sig:
29 + 23 = 20 + 20 + 9 + 3 = 40 + 12 = 52
Det finns många knep för att lösa addition på ett snabbare sätt. I exemplet ovan kan du till exempel tänka att
29 + 23 = 30 + 22 = 52
UPPSTÄLLNING
Ibland behöver du räkna ut svårare additioner än du kan lösa med huvudräkning.
Bilderna visar steg för steg hur du utför additionen 2 690 + 499 skriftligt.
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Addera entalen: 0 + 9 = 9.
Steg 2: Fortsätt med tiotalen: 9 + 9 = 18. Skriv minnessiffran 1 rakt över hundratalen.
Steg 3: Fortsätt med hundratalen och addera minnessiffran: 1 + 6 + 4 = 11. Skriv minnessiffran 1 rakt över tusentalet. Steg 4: Fortsätt med tusentalen: 1 + 2 = 3. Svaret är 3 189.
Om man vill räkna ut skillnaden mellan två tal säger man att man subtraherar dem. Man skriver ett minustecken mellan talen (till exempel 12 – 3).
De tal man subtraherar kallas termer och resultatet kallas differens.
differens
12 − 3 = 9
term
HUVUDRÄKNING
UPPSTÄLLNING
När du subtraherar två tal kan du alltid räkna ental för sig, tiotal för sig och hundratal för sig. Om du ska subtrahera 79 – 34 kan du räkna
79 – 34 = 79 – 30 – 4 = 49 – 4 = 45
Det mindre talet (34) kan alltså delas upp i tiotal (30) och ental (4). Då blir det enklare att räkna ut skillnaden.
Ibland behöver du räkna ut svårare subtraktioner än du kan lösa med huvudräkning. Bilderna visar steg för steg hur du utför subtraktionen 7 423 – 740 skr tl t.
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Subtrahera entalen: 3 – 0 = 3.
Steg 2: Fortsätt med tiotalen. Du ska ta bort 4 tiotal, men du har bara 2 tiotal. Växla ett hundratal till 10 tiotal. Du har nu 12 tiotal och kan plocka bort 4 tiotal: 12 – 4 = 8.
Steg 3: Det överstrukna hundratalet är värt ett mindre. Det fnns alltså 3 hundratal kvar. Du ska ta bort 7 hundratal, men du har bara 3 hundratal. Växla ett tusental till 10 hundratal. Nu har du 13 hundratal och kan plocka bort 7 hundratal: 13 – 7 = 6.
Steg 4: Det överstrukna tusentalet är värt ett mindre. Det fnns alltså 6 tusental kvar. Svaret är 6 683.
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
Beräkna 26,6 + 5,5 med uppställning.
Skriv uppställningen så att decimaltecknen hamnar rakt under varandra. Då hamnar ental under ental och tiondelar under tiondelar.
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst.
Addera tiondelarna: 6 + 5 = 11. Skriv minnessiffran 1 rakt över entalen.
Steg 3: Fortsätt med hundratalen: 1 + 2 + 0 = 3. Svaret är 32,1. , , , , , , , ,
Steg 2: Fortsätt med entalen: 1 + 6 + 5 = 12. Skriv minnessiffran 1 rakt över tiotalen.
26,6 + 5,5 = 32,1.
Världens längsta man, Robert Wadlow, var 2,72 meter lång. Jesper är 0,9 meter kortare. Hur lång är Jesper?
För att kunna utföra subtraktionen måste alla tal ha lika många decimaler. Eftersom 0,9 har en decimal och 2,72 har två decimaler lägger du till en nolla på hundradelspositionen: 0,9 = 0,90. Skriv uppställningen så att decimaltecknen hamnar rakt under varandra. Då hamnar ental under ental och tiondelar under tiondelar.
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Subtrahera hundradelen: 2 − 0 = 2.
Steg 2: Du ska ta bort 9 tiondelar, men har men har bara 7 tiondelar. Växla en hel till 10 tiondelar. Du har då 10 + 7 = 17 tiondelar och kan plocka bort 9 tiondelar: 17 – 9 = 8.
Jesper är 1,82 m lång.
Steg 3: Det överstrukna heltalet är värt ett mindre. Det fnns alltså 1 heltal kvar. Svaret är 1,82.
1.2.1
Vad är summan av 1 400 och 2 500?
1.2.2
Vad är differensen mellan 8,50 och 3,25?
1.2.3
Beräkna
a) 45 + 32 b) 87 – 24 c) 56 + 28 d) 92 – 37
1.2.4
Beräkna
a) 348 + 211 b) 659 – 432 c) 562 + 489 d) 804 – 257
1.2.5
Beräkna
a) 652 + 47 b) 5276 + 653 c) 408 – 33 d) 2291 – 384
1.2.6
Beräkna
a) 4 521 + 3 165 b) 9 876 – 4 321 c) 4 892 + 7 159 d) 8 054 – 2 317
1.2.7
Beräkna
a) 4,25 + 3,12 b) 8,75 – 4,50 c) 15,60 + 2,45 d) 27,50 – 8,25
1.2.8
Beräkna a) 20,00 – 5,35 b) 10,52 – 8,009
1.2.9
Marco köper en jacka för 1 018 kr och ett par jeans för 421 kr. Hur mycket kostar kläderna tillsammans?
1.2.10
238 personer tittade på en film på premiärdagen. Nästa dag kom 449 fler personer.
Hur många såg filmen den andra dagen?
1.2.11
Ida har 125 kronor och Alf har 45 kronor. Om Ida ger 35 kronor till Alf, hur mycket pengar har Ida och Alf tillsammans?
1.2.12
En tröja kostar 168 kronor på rea. John har 115 kronor. Hur mycket saknar han för att kunna köpa tröjan?
1.2.13
Ett rep är 437 cm långt. Du klipper av 284 cm. Hur mycket är det då kvar av repet?
1.2.14
Under april planterar nio elever blomfrön i rabatten utanför klassrummet. Eleverna jobbar i tre grupper med tre elever i varje grupp.
grupp 1 grupp 2 grupp 3
dag 1 442 353 351
dag 2 298 101 446
dag 3 163 376 226
Vilken grupp har planterat flest frön?
1.2.15
Beräkna
a) 53 – 28 + 14
b) 402 – 187 + 55
c) 2 450 + 7 899 + 102
d) 45,67 + 128,9 – 34,05
1.2.16
Leon delar en stor påse godis med sina kompisar. Det finns 142 godisbitar i påsen. Sara får 15, Johan får 25, Karin 20, Jens 17 och Jasmine 27 godisbitar. Hur många godisbitar har Leon kvar?
1.2.17
Dora har 800 kronor. Hon handlar ett spel för 359 kr och en tröja för 149 kr. Hur mycket pengar har hon kvar?
1.2.18
Liam hoppar 655 cm i längdhopp. Hans kompis Robin hoppar 313 cm. Hur mycket längre hoppar Liam än Robin?
1.2.19
Summan av tre tal är 5 000. Det första talet är 1 250 o t n r är 2 100. V lk t är t tr j talet?
1.2.20
Sara köper ett äpple för 6,50 kr och en smörgås för 24,75 kr. Hon betalar med en femtiolapp. Hur mycket får hon tillbaka?
1.2.21
En påse med äpplen väger 1,25 kg och en påse med apelsiner väger 2,40 kg. Hur mycket väger tre påsar med äpplen och en påse med apelsiner totalt?
1.2.22
V lk t t l är 15,25 störr än r ns n m ll n 80,50 o 30,25?
1.2.23
D r ns n m ll n två m lt l är 4,55. D t m n r t l t är 12,30. V är summ n v två talen?
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.2.24
I subtraktionerna nedan saknas några siffror som är markerade med bokstäver (A–D). Vilka siffror ska stå istället för bokstäverna? Förklara din lösningsmetod.
a) A 4B2 – 1C8D = 3 845
b) 3 A18 – B70C = 1 8D9
1.2.25
Du har en budget på 1 000 kr. Du köper tre varor som kostar 245,75 kr styck och två varor för 89,90 kr styck. Har du råd att köpa ytterligare en vara för 85 kr? Redovisa alla beräkningar tydligt och motivera ditt svar.
1.2.26
Summan av tre på varandra följande heltal är 42. Vilka är de tre heltalen? Förklara hur du kom fram till svaret.
1.2.27
I en längdhoppstävling hoppade Anna 4,15 meter. Bea hoppade 0,85 meter längre än Anna, men 0,30 meter kortare än Cecilia. Vad är summan av hopplängderna?
1.2.28
Leo påstår att differensen mellan 8 000 och 3 456 plus summan av 1 200 och 850 är lika med 6 500. Är Leos påstående korrekt?
1.2.29
En snickare sågar en 10,00 meter lång planka i tre delar. Den första delen är 2,35 meter lång, den andra är 1,80 meter lång och den tredje är lika lång som summan av de två första delarna. Hur lång är plankan som blir över?
1.2.30
Skapa det största möjliga fyrsiffriga talet och det minsta möjliga fyrsiffriga talet av siffrorna 2, 5, 8 och 1. Vad är differensen mellan dessa två tal?
Du får bara använda varje siffra en gång per tal.
1.2.31
Du har siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Vilket är det största talet du kan få om du bildar två tresiffriga tal av siffrorna och sedan adderar talen? Du får bara använda varje siffra en gång.
1.2.32
Summan av två tvåsiffriga tal är 95. Differensen mellan dem är 15. Vilka är de två talen?
Multiplikation är ett sätt att addera samma tal många gånger.
Division handlar om att dela upp i lika stora delar. Om du har syskon vet du hur viktigt det är att dela lördagsgodiset jämnt! Multiplikation och division kan sägas vara varandras motsatser.
MULTIPLIKATION
Multiplikation är ett sätt att addera samma tal många gånger. De tal man multiplicerar med varandra kallas faktorer och resultatet kallas produkt.
FAKTOR
Beteckningen på tal som ingår i en multiplikation.
PRODUKT
Namnet på resultatet av en multiplikation.
MULTIPLIKATIONSTABELLEN
I multiplikationstabellen visas alla produkter för två faktorer mellan 1 och 10. Du ska kunna multiplikationstabellen utantill.
DIVISION
Division är ett räknesätt. Division innebär att man delar två tal med varandra. Det tal som står ovanför bråkstrecket kallas täljare och det tal som står nedanför bråkstrecket kallas nämnare. Resultatet kallas kvot.
KVOT
Namnet på resultatet av en division.
TÄLJARE
Talet som står ovanför bråkstrecket vid en division.
NÄMNARE
Talet som står under bråkstrecket vid en division.
KORT DIVISION
Ett sätt att dividera där man räknar direkt på bråkstrecket och inte skriver ner uträkningarna.
L åNG DIVISION
Ett sätt att dividera där uträkningarna skrivs ner i fera steg. Två vanliga uppställningar är “liggande stolen” och “trappan”.
Innan miniräknaren fanns var kulramen det snabbaste sättet att räkna. Kulramen har funnits i tusentals år och används fortfarande i delar av världen. Hur många kulor fnns det på kulramen?
Multiplikation är ett snabbt sätt att addera samma tal många gånger.
Istället för att skriva 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 kan du skriva 3 · 6 = 18 ll r 6 · 3 = 18.
12 · 3 = 36
12 · 3 = 3 · 12 = 36 produkt faktor
De tal man multiplicerar med varandra kallas faktorer och resultatet kallas produkt. I vilken ordning talen multipliceras spelar ingen roll:
HUVUDRÄKNING
UPPSTÄLLNING
Du ska kunna multiplikationstabellen utantill. De svåraste produkterna att minnas är i sexans, sjuans och åttans tabell. Öva därför lite extra på att lära dig dessa tre tabeller utantill. I tabellen är multiplikationen 8 · 7 = 56 markerad.
Ibland behöver du räkna ut svårare multiplikationer än du kan lösa med huvudräkning. Bilderna visar steg för steg hur du utför multiplikationen 82 · 26 skriftligt.
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Multiplicera entalen: 2 · 6 = 12. Skriv minnessiffran 1 vid sidan om.
Steg 2: Multiplicera det undre entalet med det övre tiotalet: 6 · 8 = 48. Addera sedan minnessiffran: 48 + 1 = 49. Stryk minnessiffran för att markera att den är använd.
Steg 3: Multiplicera det undre tiotalet med det övre entalet 2 · 2 = 4. Skriv produkten på nästa rad, rakt under tiotalet. Multiplicera det undre tiotalet med det övre tiotalet: 8 · 2 = 16.
Steg 4: Addera de nedersta två raderna med varandra. Slutresultatet blir 2 132.
HUVUDRÄKNING
Om man vill dela två tal med varandra säger man att man dividerar dem. Division kan skrivas med ett snedstreck, 12/3, eller med ett bråkstreck: 12 3 =4
täljare
nämnare kvot
Det tal som står ovanför bråkstrecket kallas täljare och det tal som står under bråkstrecket kallas nämnare. Resultatet kallas kvot.
Multiplikation och division hör samman och kan sägas vara varandras motsatser.
Eftersom division kan ses som motsatsen till multiplikation är det ofta enklare att räkna ”baklänges”. Om du ska dela upp 87 godisbitar i tre lika stora högar är det enklare att tänka: ”Hur många bitar ska finnas i varje hög?“. Här kan du testa dig fram:
”Om jag har 30 bitar i varje hög blir det 90 godisbitar. Om jag plockar bort en godisbit ur varje hög blir det tillsammans 87 bitar. Varje hög innehåller alltså 29 bitar!”
UPPSTÄLLNING
KORT DIVISION
Det finns två metoder för att ställa upp två tal som ska divideras: kort division och lång division. Kort division är enklast att använda om du dividerar med ental. Lång division fungerar oavsett hur många siffror du har i nämnaren – välj själv vilken metod som du tycker bäst om!
Bilderna visar steg för steg hur du utför multiplikationen 354/6 med kort division. 3 3 5 4 6
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Börja med hundratalet. Eftersom 3/6 inte ger något heltal skriver du 3 som minnessiffra, rakt över tiotalet.
3 5 3 5 4 6 = 5 9
Steg 3: Avsluta med entalen: 54/6 = 9. Slutresultatet blir 59. = 3 5 3 5 4 6 = 5
Steg 2: Fortsätt med tiotalen. 35/6 ger 5 heltal och resten 5. Skriv heltalskvoten 5 efter likhetstecknet och 5 som minnessiffra, rakt över entalet.
Lång division ger förstås samma resultat som kort division, men kan användas oavsett antal siffror i nämnaren. Det finns två varianter av lång division, “trappan” och “stolen”. I bilderna visas lång division av 354/6 med trappan.
Steg 1: Ställ upp talen –nämnaren på trappsteget och täljaren under trappan. Börja med hundratalet. Eftersom 3/6 inte ger något heltal fortsätter du till tiotalen: 35/6 ger 5 heltal och 5 i rest. Skriv heltalet ovanför strecket.
Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalet: 6 · 5 = 30. Skriv 30 på raden under.
Steg 3: Subtrahera resultatet från 35: 35 – 30 = 5.
Steg 4: Flytta ner entalet (4) och skriv bredvid siffran 5. Talet blir 54.
Steg 5: 54 är delbart med 6 och ger ingen rest. Skriv heltalet ovanför strecket. Multiplicera nämnaren med heltalet: 6 · 9 = 54
Steg 6: Subtrahera resultatet från 54: 54 − 54 = 0. Slutresultatet blir 59, samma resultat som vid kort division.
Den generella principen för lång division är att du upprepar följande yr st :
• Steg 1: Dividera täljaren med nämnaren så att du får en heltalskvot.
• Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten.
• St 3: Su tr r vär t u fi k st 2 rån tälj r n.
• St 4: Flytt n r näst s f r rån tälj r n.
Börja sedan om från steg 1 tills divisionen går jämnt ut.
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
SVAR
Du ska köpa snacks till en filmkväll. Du köper 3 påsar chips som kostar 24,50 kr styck och 4 läsk som kostar 15 kr styck. Hur mycket kostar allt sammanlagt?
Chipsen kostar 3 · 24,50 kr = 73,50 kr. Läsken kostar 4 · 15 kr = 60 kr. Tillsammans kostar de 73,50 kr + 60 kr = 133,50 kr.
Chipsen och läsken kostar sammanlagt 133,50 kr.
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
Lisa går på promenad med sin hund varje morgon och kväll. Det är 3 km till hundrastplatsen. Hur långt går Lisa och hennes hund under ett år?
Det är 3 km till hundrastgården och de går sträckan fyra gånger per dag (fram och tillbaka två gånger). Varje dag går de alltså 3 · 4 km = 12 km. På ett år går det cirka 365 dagar. Använd skriftlig uppställning för att beräkna 365 · 12.
Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Multiplicera det undre heltalet (2) med 365.
Steg 2: Fortsätt med att multiplicera det undre tiotalet (1) med 365.
Steg 3: Addera resultaten. Svaret är 4 380.
Lisa och hennes hund går 4 380 km under ett år. (Det motsvarar avståndet mellan Malmö och Istanbul i Turkiet.)
Under höstlovet åker hälften av Eriks klass, 14 personer, till ett escape room. Kostnaden blir 1 764 kr. Hur mycket ska varje person betala?
Du ska beräkna 1764/14. Du har ett tiotal i nämnaren och bör använda metoden för lång division för att lösa uppgiften.
Steg 1: Ställ upp talen som en trappa – nämnaren på trappsteget och täljaren under trappan. Dividera från vänster till höger. Börja med tusentalet. Eftersom 1/14 inte ger något heltal fortsätter du till hundratalen: 17/14 ger 1 heltal och en rest. Skriv heltalskvoten (1) ovanför strecket på hundratalspositionen.
Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten: 14 · 1 = 14. Subtrahera resultatet från 17: 17 – 14 = 3. Flytt n r t ot l t (6) o skr v bredvid 3. Talet blir 36.
Steg 3: 36/14 ger 2 heltal och en rest. Skriv heltalskvoten (2) ovanför strecket på tiotalpositionen.
Steg 4: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten: 14 · 2 = 28. Subtrahera resultatet från 36: 36 – 28 = 8. Flytta ner entalet (4) och skriv bredvid 8. Talet blir 84.
Steg 5: 84 är delbart med 14 och ger ingen rest: 84 – 84 = 0. Skriv heltalskvoten (6) ovanför strecket på entalspositionen. Divisionen går jämnt ut. Slutresultatet blir 126.
Varje person ska betala 126 kronor.
ÖVNINGAR / NIVå 1
1.3.1
Vad är produkten av 6 och 9?
1.3.2
Vad är kvoten mellan 56 och 7?
1.3.3
Beräkna
a) 8 · 9
b) 54 / 9
c) 16 · 7
d) 84 / 7
1.3.4
Beräkna
a) 7 · 28
b) 345 · 6
c) 4 250 · 8
d) 5 · 7 034
1.3.5
Beräkna
a) 23 · 12
b) 308 · 34
c) 45 · 156
d) 4 050 · 15
1.3.6
Beräkna
a) 3,2 · 4
b) 12,45 · 3
c) 1,5 · 1,2
d) 4,5 2,2
1.3.7
Beräkna a) 4 b) 42 2 c) 4 2 2 d) 4 4
1.3.8
Beräkna a) 4 2 b) 1 44 c) 1 d) 4 4
1.3.9
En chokladkaka kostar 15 kr. Hur mycket kostar fyra chokladkakor?
1.3.10
Ett tåg har sex vagnar med 95 platser i varje vagn. Hur många platser nns det totalt?
1.3.11
Bengt jobbar i en knappfabrik. Varje vecka tillverkar maskinen han arbetar vid 34 995 knappar. Hur många knappar tillverkas varje dag om Bengt jobbar fem dagar i veckan?
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.3.12
Beräkna
a) 205 · 115 b) 1 045 · 307
1.3.13
Johan springer 4,75 km varje dag i en vecka (7 dagar). Hur långt springer han totalt på en vecka?
1.3.14
En träplanka är 14,58 meter lång. Den ska sågas i sex lika långa delar. Hur lång blir varje del?
1.3.15
Rektorn på en skola köper in 134 nya matteböcker för 215 kr styck. Hur mycket kostar böckerna sammanlagt?
1.3.16
Familjen Svensson tankar 45,5 liter bensin. Bensinen kostar 18,40 kr per liter. Vad blir totalkostnaden?
1.3.17
Produkten av 7 och ett okänt tresiffrigt tal är 5 803. V lk t är t l t?
1.3.18
Vad blir skillnaden mellan produkten av 345 och 12 och kvoten av 9 648 och 4?
1.3.19
Du är på resa och ska köpa en tröja som kostar 45 Euro (€). Växelkursen är att 1 € kostar 11,50 svenska kronor (SEK). Du har 500 SEK kvar på ditt kort. Räcker dina pengar till tröjan?
Motivera ditt svar.
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.3.20
Du har siffrorna 2, 4, 6 och 8. Skapa ett tresiffrigt tal och multiplicera det med den kvarvarande siffran så att produkten blir så stor som möjligt. Redovisa din lösning.
1.3.21
Använd siffrorna 2, 3, 4, 5 och 6 exakt en gång vardera för att ställa upp en multiplikation av ett tresiffrigt och ett tvåsiffrigt tal (till exempel 234 · 56). Vilken kombination av dessa siffror ger den största möjliga produkten? Förklara och motivera din metod.
1.3.22
Förklara varför man inte kan dividera ett tal med siffran 0. Resonera utifrån sambandet mellan multiplikation och division.
1.3.23
Beräkna med lång division. a) 2 2 b) 4 12 c) 144 1 d) 4 24
1.3.24
Petronella säljer paraplyer på höstlovet. Varje paraply kostar 42 kr. Under veckan tjänar hon 2 394 kr. Hur många paraplyer sålde hon?
1.3.25
Bob bygger fågelholkar och sätter upp i parken. Han bygger 19 fågelholkar. Totalt för alla fågelholkar kostar brädor och spikar 969 kr. Hur mycket kostar varje fågelholk?
1.3.26
Ett flygbolag ska transportera 12 450 väskor från en terminal. Varje bagagevagn kan ta max 85 väskor.
a) Hur många vagnar krävs totalt?
Fyra personer jobbar parallellt med att lasta ur varsin vagn. Varje vagn tar exakt 12,5 minuter att lasta ur.
b) Hur lång tid tar hela urlastningen?
Visa dina beräkningar steg för steg.
Världen består av saker som behöver beskrivas med små eller stora tal. Med hjälp av positionssystemet kan du enkelt mult pl r ll r v r t l nom tt flytt m ltecknet.
POSITIONSSYSTEM
Positionssystemet är ett talsystem där varje siffras värde beror på vilken position i talet den har. Varje steg åt vänster ökar siffrans värde med en faktor tio. Varje steg åt höger minskar sifffrans värde med en faktor tio.
MULTIPLIKATION MED 10
Om du multiplicerar ett tal med tio fyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet –
ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare.
DIVISION MED 10
Om du dividerar ett tal med tio fyttas alla siffror ett steg till höger i positionssystemet –tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare.
MULTIPLIKATION MED 0,1
Om du multiplicerar ett tal med en tiondel fyttas alla siffror ett
steg till höger i positionssystemet – tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare.
DIVISION MED 0,1
Om du dividerar ett tal med en tiondel fyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet – ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare.
Astronomer uppskattar att vår hemgalax, Vintergatan, innehåller mellan 100 och 400 miljarder stjärnor medan det fnns det ungefär 3 000 miljarder träd på jorden. Hur många gånger fer träd fnns det än stjärnor i Vintergatan?
I positionssystemet beror siffrornas värde på vilken position de har i talet.
65,8
tiotal ental tiondel
MULTIPLIKATION OCH
DIVISION MED FAKTORN 10
Om du multiplicerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet – ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare. Alla värden multipliceras med alltså med tio.
65,8 · 10 = 658
ental
tiotal
hundratal
Om du dividerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till höger i positionstabellen – tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare.
tiondel
hundradel
65,8 / 10 = 6,58
ental
Om du multiplicerar 65,8 med 100 flyttas alla siffror i positionssystemet två steg åt höger (100 = 10 · 10). Vid division flyttas siffrorna istället åt vänster.
PRAKTISKA KNEP
I tabellen visas resultatet av multiplikation och division med 100 av talet 65,8.
Talet 65,8 6 5 , 8
65,8 · 100 6 5 8 0 ,
65,8 / 100 0 , 6 5 8
Om talet 65,8 multipliceras med 100 blir resultatet 6 580. Alla siffror har flyttats två steg åt höger i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tusental (eftersom du multiplicerar med 100 = 10 · 10 flyttas positionen två steg åt vänster). Du måste sätta en nolla på entalspositionen eftersom antalet heltal är noll.
Om talet 65,8 delas med 100 blir resultatet 0,658. Alla siffror har flyttats två steg åt vänster i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tiondel. Du måste fylla på med en nolla på entalspositionen eftersom antalet heltal är noll.
Att multiplicera med 1 000 (10 · 10 · 10) innebär att alla siffror flyttar 3 steg åt vänster i positionssytemet. Att dividera med 10 000 (10 · 10 · 10 · 10) innebär att alla siffror flyttar 4 steg åt höger.
tusental hundratal
· 10 · 10 · 10 tiotal ental / 10 / 10 / 10 tiondel
10 · 10 hundradel / 10 / 10
I praktiken kan du tänka att 1 000 har tre nollor och att 10 000 har fyra nollor. Multiplikation innebär att kommatecknet flyttas lika många steg till höger som det finns nollor i faktorn. Fyll på med nollor i alla positioner som är tomma.
65,8 · 1 000 = 65, 8 ,0,0, = 65 800
Att dividera innebär på motsvarande sätt att flytta kommatecknet lika
MULTIPLIKATION OCH
DIVISION MED FAKTORN 0,1
många steg till vänster som det finns nollor i faktorn. Fyll på med nollor i alla positioner som är tomma.
65,8 / 1 000 = 0,0,6 , 5, 8 = 0,0658
Om du multiplicerar ett tal med en tiondel flyttas alla siffror ett steg till höger i positionssystemet – hundratal blir tiotal, tiotal blir ental och så vidare.
65,8 · 0,1 = 6,58
hundradel
tiondel ental
Om du jämför detta med den tidigare bilden som visar 65,8 /10 ser du att resultatet är detsamma. Att multiplicera med 0,1 är samma sak som att dividera med 10. På motsvarande sätt är division med 0,1 samma sak som multiplikation med 10.
I tabellen visas resultatet av multiplikation och division med 0,01 av talet 65,8. tusental hundratal tiotal ental tion-del hundradel tusendel
Talet 65,8 6 5 , 8
65,8 / 0,01 6 5 8 0 ,
Om talet 65,8 delas med 0,01 blir resultatet 6 580. Alla siffror har flyttats två steg åt vänster i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tusental eftersom division med 0,01 är detsamma som multiplikation med 100.
Om talet 65,8 multipliceras med 0,01 blir resultatet 0,658. Alla siffror har flyttats två steg åt höger i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tiondel eftersom multiplikation med 0,01 är detsamma som division med 100.
PRAKTISKA KNEP
Att multiplicera med 0,001 (0,1 · 0,1 · 0,1) innebär att alla siffror flyttar 3 steg åt höger i positionssystemet. Att dividera med 0,0001 (0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1) innebär att alla siffror flyttar 4 steg åt vänster.
tusental hundratal
0,1 · 0,1 · 0,1 tiotal ental / 0,1 / 0,1 / 0,1 tiondel · 0,1 · 0,1 hundradel / 0,1 / 0,1
I praktiken kan du tänka att 0,001 har tre nollor och att 0,0001 har fyra nollor. Multiplikation innebär att kommatecknet flyttas lika många steg till vänster som det finns nollor i faktorn. Placera nollor i alla positioner som är tomma. Att dividera innebär på motsvarande sätt att flytta kommatecknet lika många steg till vänster som det finns nollor i faktorn.
Ett alternativt sätt att tänka är att multiplikation med 0,001 är detsamma som division med 1 000 och att division med 0,0001 är detsamma som multiplikation med 10 000. Använd det sätt som passar dig bäst.
MULTIPLIKATION
Multiplikation av decimaltal eller tal som slutar på nollor fungerar på samma sätt som multiplikation av heltal. Det enklaste sättet att utföra beräkningarna är att använda positionssystemet i två steg.
Om du ska multiplicera två tal som slutar på nollor, till exempel 320 · 400, multiplicerar du först talen utan nollor, 32 · 4 = 128. Sedan lägger du till antalet nollor. Talet 320 har en nolla och 400 två nollor. Tillsammans har 320 · 400 tre nollor. Då ska svaret också ha tre nollor: 320 · 400 = 128 000.
Om du ska multiplicera två decimaltal, till exempel 1,2 · 7,4, multiplicerar du först talen utan decimaltecken, 12 · 74 = 888. Sedan justerar du antalet decimaler. Eftersom 12 = 1,2 · 10 och 74 = 7,4 · 10 blir svaret 10 · 10 = 100 gånger större än det korrekta svaret. Du ska flytta kommatecknet två steg åt vänster:
1,2 · 7,4 = 8,88
Det enklaste sättet att tänka kring detta är att addera antalet decimaler på de tal som ska multipliceras: 1,2 · 7,4 har tillsammans två decimaler. Då ska svaret också ha två decimaler.
Generellt gäller att antalet decimaler i svaret är summan av antalet decimaler i var och en av faktorerna.
DIVISION
Division av decimaltal fungerar på samma sätt som division av heltal. Det enklaste sättet att utföra beräkningarna är även här att använda positionssystemet på ett smart sätt.
Om du ska dividera ett tal med ett decimaltal, till exempel 84 / 0,6, tittar du på den minsta decimalen i nämnaren, sex tiondelar. Du multiplicerar nämnaren med tio så att det blir ett heltal: 6 = 0,6 · 10 och täljaren med lika mycket. Uträkningen blir då 84 / 0,6 = 840 / 6 = 140.
Generellt gäller att om du gör om nämnaren till ett heltal genom att multiplicera med en faktor måste du även multiplicera täljaren med samma faktor.
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
SVAR
En klädbutik köper in 350 nya t-shirts. Varje t-shirt kostar 80 kr. Hur mycket kostar alla t-shirts sammanlagt?
Vi börjar med att multiplicera siffrorna utan nollor: 35 · 8 = 280.
Sedan räknar vi nollorna i faktorerna. Det finns en nolla i 350 och en nolla i 80, totalt två nollor. Vi lägger till de två nollorna efter talet 280: 28 000.
Kläderna kostar sammanlagt 28 000 kr.
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
En parfymtillverkare har gjort 120 liter parfym av en ny doft. Parfymen tappas upp på små provflaskor som rymmer 0,004 liter parfym.
Hur många flaskor räcker parfymen till?
Den totala mängden parfym (120 l) ska delas med mängden parfym i de små flaskorna (0,004 g):
12 4
För att göra nämnaren till ett heltal förlänger vi bråket genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med 100: 12 1 4 1 = 12 4 =3
SVAR
Parfymen räcker till 30 000 provflaskor.
1.4.1
Hur många gånger större är värdet av siffran 4 i talet 4 500 jämfört med siffran i talet 450?
1.4.2
Skriv ett tal där siffran 6 är värd 10 gånger mer än vad den är i talet 16.
1.4.3
Beräkna
a) 4,2 · 3
b) 0,7 · 4 c) 2,15 · 2 d) 0,08 · 6
1.4.4
Beräkna
a) 9,6 / 3 b) 0,45 / 5 c) 1,68 / 2 d) 5,5 / 5
1.4.5
Beräkna
a) 35 · 10 b) 100 · 4,2
1.4.6
Beräkna
a) 800 / 10 b) 0,2 / 10
1.4.7
Beräkna
c) 0,41 · 1 000 d) 1,245 · 10
c) 36,5 / 10 d) 23,71 / 100
a) 12 · 0,1 b) 2 600 · 0,001 c) 78,12 · 0,01 d) 0,1 · 10,5
1.4.8
Beräkna
a) 12 / 0,1 b) 3,5 / 0,1 c) 1,234 / 0,001 d) 0,4 / 0,01
1.4.9
Beräkna
a) 14 · 20 b) 300 · 10,5
1.4.10
Beräkna
c) 0,3 · 500 d) 2,5 · 3 000
a) 24 000 / 4 000 b) 560 / 80 c) 450 / 90 d) 2 400 / 400
1.4.11
Beräkna
a) 5 · 0,7 b) 6.5 · 0,04 c) 1,5 · 0,4 d) 0,3 · 120
1.4.12
Beräkna
a) 8 / 0,2 b) 6,36 / 0,06 c) 18,48 / 0,4 d) 8,91 / 0,03
1.4.13
En elev räknade ut att 5,1 · 10 = 510. Är svaret rimligt? Motivera svaret.
1.4.14
Är 3,5 / 10 = 0,35 en rimlig uträkning? Motivera svaret.
1.4.15
Kalle springer 3,5 km varje dag. Hur långt springer han totalt på 4 dagar?
Fem likadana skruvar väger totalt 0,12 kg. Vad väger en skruv?
1.4.16
Ett rep som är 15,6 meter långt ska klippas i 4 exakt lika långa bitar. Hur lång blir varje bit?
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.4.17
Vilket är det saknade talet x?
a) 7,9 / x = 0,79
b) 1,24 · x = 124
c) 2 / x = 20
d) 72 · x = 7,2
1.4.18
Beräkna
a) 0,3 · 0,22
b) 1,2 · 7,4
c) 14,6 · 2,3
d) 15,2 · 3,4
1.4.19
Du köper 3 böcker som kostar 45,50 kr styck. Hur mycket kostar de totalt?
1.4.20
En bambuplanta växer i genomsnitt 0,35 meter per dag. Hur mycket har den vuxit efter 100 dagar?
1.4.21
Ett papper är 0,125 mm tjockt. Hur tjock blir en bunt med 2 000 sådana papper?
1.4.22
En maratonlöpare springer 42,2 km på 4 timmar. Vad är löparens snitthastighet i km per timme?
1.4.23
Förklara med ord hur decimaltecknet ska flyttas när du ska beräkna 0,075 · 1 000. Vad blir svaret?
1.4.24
Vilket tal ska multipliceras med 100 för att produkten ska bli 89,4?
1.4.25
Förklara varför 8 dividerat med 10 ger exakt samma resultat som att multiplicera 8 med 0,1.
1.4.26
Om x / 100 = 0,034, vad är x?
1.4.27
Om du dividerar 12,5 med 0,5, blir svaret större eller mindre än 12,5? Motivera kort varför och beräkna sedan svaret.
1.4.28
Om 1 kg äpplen kostar 24,50 kr, vad kostar då 3,2 kg äpplen?
1.4.29
Om 0,8 kg vindruvor kostar 36,80 kr, vad är då kilopriset för vindruvorna?
1.4.30
En karaff rymmer 2,5 liter vatten. Hur många hela glas som rymmer 0,3 liter vardera kan du fylla från karaffen?
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.4.31
Beräkna
a) 14,4 / 1,2
b) 7,14 / 3,4
c) 36,1 / 0,19
d) 65,61 / 8,1
1.4.32
Ett rep är 15,6 meter långt. Det ska klippas i bitar som är exakt 1,2 meter långa. Hur många bitar får man?
1.4.33
En cyklist cyklar 75,5 km på 2,5 timmar. Vad är cyklistens medelhastighet i km per timme?
1.4.34
Du utgår från talet 0,06. Multiplicera det med 10 000, dividera sedan svaret med 100, och multiplicera till sist med 0,1. Vad blir resultatet?
1.4.35
Om du har ett valfritt tresiffrigt heltal och du dividerar det med 1 000, mellan vilka två heltal kommer resultatet alltid att ligga? Motivera svaret.
1.4.36
En skola ska köpa in 1 000 nya pennor. Ett paket med 8 pennor kostar 35 kr. Ett annat paket med 10 pennor kostar 42 kr.
a) Vilket alternativ är billigast?
b) Hur stor skillnad i pris per penna är det mellan de två alternativen?
1.4.37
Multiplikationen av två ensiffriga tal är 24. Du multiplicerar det ena talet med 10 och dividerar det andra talet med 100. Vad blir produkten? Motivera svaret och visa din tankegång.
1.4.38
Emma räknar ut att 38,4 · 100 / 1000 = 384. Hon har gjort ett misstag. Beskriv på ett välutvecklat sätt vilket misstag hon har gjort avseende positionssystemet och förklara hur hon ska tänka för att få fram det korrekta svaret.
1.4.39
Jämför värdet av 2 400 / 15 och 240 / 1,5. Förklara med egna ord varför resultaten förhåller sig till varandra som de gör, baserat på positionssystemet.
I avsnittet repeterar du det du lärt dig om enheter och omvandling mellan enheter. Vi kommer att fokusera på enheter för längd, massa och volym och hur man omvandlar mellan dem. Kommer du ihåg hur många milliliter det går på en deciliter?
STORHET
En storhet är något som är mätbart, till exempel längd, massa, volym, area och tid. För att beskriva storheten längd behöver enheten anges (till exempel 153 cm).
ENHETER
Enhet används för att beskriva storleken av en storhet. Vanliga enheter för längd är meter (m), för massa kilogram (kg) och för volym liter (l).
PREFIX
Ett prefx är ett ord som sätts framför en måttenhet för att ändra värdet med en faktor.
Exempel på vanliga prefx är kilo (k) tusen, hekto (h) hundra, centi (c) hundradel och milli (m) tusendel.
FAKTOR
En faktor är en storleksskillnad mellan två tal eller två enheter. Till exempel innebär faktorn 10 mellan m och dm att mätetalet framför dm är 10 gånger större än när den anges i m: 7,2 m = 72 dm.
LÄNGDENHETER
Några vanliga längdenheter är mil (10 000 m), km (1 000 m), m, dm (0,1 m), cm (0,01 m) och mm (0,001 m).
MASSENHETER
Några vanliga massenheter är ton (1 000 kg), kg (1 000 g), hg (100 g), g och mg (0,001 g).
VOLYMENHETER
Några vanliga volymenheter är: l, dl (0,1 l), cl (0,01 l) och ml (0,001 l).
En meter är detsamma var du än befnner dig i världen – en simtur i 25-metersbassängen är alltid lika lång. Klarar du att dyka hela vägen?
Om du frågar en pilot hur stort flygplanet är och får ett svar utan enhet, till exempel talet 250, är det mycket svårt att veta vad piloten menar. Menar piloten planets vikt (250 ton), motorernas effekt (250 kW), flygplanets volym (250 m 3) eller kanske antalet sittplatser? Med enheter försäkrar vi oss om att vi pratar om samma sak. Exempel på vanliga enheter är meter, kilogram och sekund.
LÄNGDENHETER
Några vanliga enheter för längd visas i tabellen nedan.
enhet förkortning exempel
kilometer km avståndet till skolan, avståndet mellan Stockholm och Oslo (530 km) på en trafikskylt
meter m en simbassäng (25 m), en löparbana (400 m)
decimeter dm en blyertspenna, handens längd
centimeter cm tumnagelns bredd, två rutor på ett rutat papper (1 cm)
millimeter mm en tändstickas tjocklek, ett sandkorn
Som du ser slutar alla andra längdenheter på meter, men det finns ett tillägg i början av enheten: kilo-, deci-, centi- eller milli-. Detta tillägg kallas prefix.
PREFIX
MASSENHETER
Ett prefix är ett ord som sätts framför en måttenhet för att ändra värdet med en faktor. I tabellen visas de vanliga prefixen som används i samband med längdenheter. Prefixen betyder samma sak oavsett vilken enhet de står framför, oavsett om det handlar om längdenheter eller andra enheter.
namn symbol betydelse längd i meter
kilo k
deci d
tusen 1 km = 1 000 m
tiondel 1 dm = 0,1 m
centi c hundradel 1 cm = 0,01 m
milli m
tusendel 1 mm = 0,001 m
Några vanliga enheter för massa visas i tabellen nedan.
enhet förkortning exempel
ton en blåval (140 ton), en bil (2 ton)
kilogram kg din egen vikt, en säck planteringsjord (5 kg)
hektogram hg
gram g
milligram mg
godis (3 hg), körsbär (7 hg)
jäst vid bakning (50 g), vikt på brev (200 g)
kalcium i en liter mjölk (120 mg), mygga (40 mg)
Man säger ofta hekto istället för hektogram och kilo istället för kilogram.
VOLYMENHETER
Några vanliga enheter för volym visas i tabellen nedan.
enhet förkortning exempel
liter l volymen av ett akvarium (100 l), mjölkpaket (1 l)
deciliter dl vattenflaska (6 dl), paket vispgrädde (3 dl)
centiliter cl burk läsk (33 cl), tekopp (40 cl)
milliliter ml blodprov (3 ml), hundra vattendroppar (5 ml)
När man lagar mat används ofta ett antal ytterligare volymenheter:
kryddmått (krm) tesked (tsk) matsked (msk)
1 krm = 1 ml
OMVANDLING AV ENHETER
1 tsk = 5 ml 1 msk = 15 ml
Ibland vill man omvandla mellan olika enheter. Om man vill tala om hur långt det är mellan Malmö och Göteborg är det enklare att säga att det är 243 km än 243 000 m. Om man vill tala om hur mycket ett flygplan av mo ll n Bo n 737 vä r är t nkl r tt sä 41 ton än 41 000 k .
Om du omvandlar från en större till en mindre enhet multiplicerar du mätetalet med en faktor. Om du omvandlar från en mindre till en större enhet dividerar du mätetalet med en faktor.
SAMBAND MELLAN LÄNGDENHETER
För längder gäller:
• 1 km = 1 000 m
• 1 m = 10 dm
• 1 dm = 10 cm
• 1 cm = 10 mm
SAMBAND MELLAN MASSENHETER
SAMBAND MELLAN VOLYMENHETER mm cm
Faktor mellan km och m är 1 000. Varje steg mellan var och en av de andra längdenheterna motsvarar en faktor 10.
Om du ska omvandla 1,3 dm till mm är det två steg mellan dm och mm. Du omvandlar från en större enhet (dm) till en mindre (mm). Eftersom varje steg motsvarar en faktor 10 ska du multiplicera med 10 · 10 = 100:
1,3 dm = 1,3 · 100 mm = 130 mm
För massor gäller:
• 1 ton = 1 000 kg
• 1 kg = 10 hg = 1 000 g
• 1 hg = 100 g
• 1 g = 1 000 mg
Varje steg mellan ton, kg, g och mg motsvarar en faktor 1 000.
Faktorn mellan hg och g är 100. Du omvandlar från en större enhet (hg) till en mindre g). Om du ska omvandla 2,3 hg till g multiplicerar du alltså med 100:
2,3 hg = 2,3 · 100 g = 230 g
För volymer gäller följande:
• 1 l = 10 dl
• 1 dl = 10 cl
• 1 cl = 10 ml
10 · 10 · 10 dm m / 10 / 10 / 10 ml cl · 10 · 10 · 10 dl l / 10 / 10 / 10 g kg · 1 000 · 1 000 ton / 1 000 / 1 000
Varje steg mellan l, dl, cl och ml motsvarar en faktor 10.
Faktorn mellan ml och l är 1 000. Du omvandlar från en mindre enhet (ml) till en större (l). Om du ska omvandla 12 ml till l dividerar du med 1 000.
12 ml = 12 / 1 000 l = 0,012 l
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
SVAR
Du ska bygga en hylla med tre hyllplan och köper en träbräda som är 2,5 meter lång. Varje hyllplan ska vara 80 cm långt. Hur många centimeter blir över av brädan?
Båda måtten måste ha samma enhet. Eftersom svaret ska vara i cm, gör vi om 2,5 meter till centimeter: 2,5 meter = 250 cm.
Ett hyllplan är 80 cm. Tre hyllplan är då 3 · 80 cm = 240 cm.
Kvar finns 250 cm – 240 cm = 10 cm.
10 cm av brädan blir över.
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
En liten lastbil får maximalt lastas med 3,5 ton. Du ska flytta till en ny bostad och har ställt in tunga möbler som sammanlagt väger 1 200 kg i lastutrymmet. Resten av utrymmet ska fyllas med flyttkartonger som var och en väger 50 kg.
Hur många flyttkartonger får du plats med i lastbilen om totalvikten inte får överstiga 3,5 ton?
Omvandla 3,5 ton till kg: 3,5 ton = 3 500 kg.
Möblerna väger 1 200 kg. Lastbilen kan alltså lastas med ytterligare 3 500 kg – 1 200 kg = 2 300 kg.
För att ta reda på hur många kartonger som får plats, dividerar vi 2 300 kg med vikten av en enskild kartong: 2 300 kg / 50 kg = 46.
SVAR
Du får plats med 46 flyttkartonger i lastbilen.
ÖVNINGAR / NIVå 1
1.5.1
Omvandla
a) 2 dl till ml
b) 2,5 liter till dl
c) 2,6 kg till g
d) 5 cl till ml
1.5.2
Omvandla
a) 1 500 m till km
b) 650 g till kg
c) 230 mm till cm
d) 4 500 ml till liter
1.5.3
Omvandla
a) 2 500 g = ___ kg och ___ g
b) 15 dl = ___ l och ___ dl
c) 120 cm = ___ m och ___ cm
d) 7 500 ml = ___ l och ___ ml
1.5.4
Beräkna
a) 5 kg + 300 g = ___ g
b) 3 m + 65 cm = ___ cm
c) 2 l + 500 ml = ___ l
d) 300 g + 2 kg = ___ kg
1.5.5
En hund väger 15 kg och en katt väger 3 500 gram. Hur mycket väger hunden och katten tillsammans uttryckt i kg?
1.5.6
En kanna rymmer 2,5 liter saft. Hur många glas som rymmer 250 ml kan du fylla?
1.5.7
Du köper potatis som väger 1 kg och 300 g. Du köper också morötter som väger 900 g. Vilken är den totala vikten i kilogram?
1.5.8
Ett paket socker väger 2,5 kg. Du använder 850 gram för att baka kanelbullar. Hur många gram socker finns kvar i paketet?
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.5.9
Omvandla
a) 0,45 kg till g
b) 0,75 liter till cl
c) 3,2 m till cm
d) 2,05 liter till ml
1.5.10
Omvandla
a) 3 250 g till kg
b) 350 ml till l
c) 85 cl till l
d) 75 g till kg
1.5.11
Omvandla
a) 12 km och 450 m till km
b) 5 m och 8 cm till m
1.5.12
Beräkna
a) 1,2 liter + 4 dl + 50 ml = ___ ml
b) 2,3 m – 145 cm = ___ m
c) 37 g + 0,3 kg = ___ kg
d) 1 liter + 2 dl = ___ cl
1.5.13
Ett recept på lussebullar kräver 450 g mjöl per sats. Du ska baka 8 satser till en skola. Räcker en stor påse med 3 kg mjöl? Visa med beräkningar.
1.5.14
En plåtbehållare väger 1,2 kg när den är tom. När den fylls helt med vatten väger den 5,7 kg. Hur många liter vatten rymmer den om 1 liter vatten väger 1 kg?
1.5.15
En juicepress kan fylla flaskor med 250 ml juice. Hur många hela flaskor kan fyllas om du har en stor tank som rymmer 15,4 liter?
1.5.16
Tre vänner ska dela lika på kostnaden för dryck och snacks. De köper 4 liter dryck som kostar 18 kr/liter och 3 påsar snacks som väger 200 g styck och kostar 12 kr per 100 g. Vad blir kostnaden per person?
1.5.17
Längden snöre i en rulle är 12,5 meter. Du klipper av 4 bitar snöre som var och en är 150 cm långa. Hur många meter snöre finns kvar på rullen?
1.5.18
Patrik har 1 800 m till skolan och 1 100 m till idrottshallen. Han går fram och tillbaka till skolan fem gånger i veckan och tränar karate i idrottshallen två gånger i veckan. Den här veckan hälsar han dessutom på sin kompis Liv en gång och sin mormor två gånger. Liv bor 600 m bort och mormor bor 350 m bort.
Hur långt har Patrik gått denna vecka? Svara i km.
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.5.19
En bagare köper in 6 säckar mjöl som väger 15,5 kg styck. Varje dag går det åt 4 kg och 300 g mjöl i bageriet. Hur många hela dagar räcker mjölet, och hur många gram är då kvar?
1.5.20
Stefan har tre bikupor. En bikupa ger 30 kg honung under ett år.
1.5.21
Stefan fyller 80 burkar med 500 g honung per burk. Resten fyller han i mindre burkar med 250 p r urk. Hur mån urk r onun r han totalt?
1.5.22
Ett stort badkar rymmer 220 liter. Hur många gånger måste du fylla var och en av behållarna för att tömma badkaret?
a) 8 l
b) 12 l
c) 5 l
d) 1,5 l
e) 250 ml
1.5.23
En av dina lärare dricker sex stora koppar kaffe om dagen. En kopp innehåller 20 cl.
Hur mycket kaffe dricker din lärare
a) per dag
b) per vecka c) per år (räkna med att året har 52 veckor)?
På s mm sätt som t finns n or n n ör v m n sk
ör v r n , finns t r l r ör v lk n or n n u
sk räkn ut tt uttry k som nn åll r fl r räkn sätt.
I m t m t k nn är pr or t r n tt v ss räkn sätt räkn s ut före andra.
UTTRYCK
En matematisk formulering bestående av tal och matematiska tecken.
PARENTES
Parenteser, ( ), är tecken som används för att gruppera tal.
PRIORITERINGSREGLER
Regler för i vilken ordning olika beräkningar ska utföras i ett matematiskt uttryck. Först beräknas parenteser och sedan multiplikation och division i valfri ordning. Sist utförs addition och subtraktion i valfri ordning.
Om det fnns fera parenteser inuti varandra börjar du med att räkna ut den innersta.
De tända rummen bildar ett fnt hjärta. Men hur många rum är släckta? Du skulle kunna räkna antalet släckta fönster en och en, men det fnns ett smartare sätt. Med hjälp av prioriteringsreglerna kan du snabbt hitta svaret. Kan du komma på hur?
Att prioritera innebär att göra saker i rätt ordning. Om du ska ha matteprov är det bättre att prioritera att plugga inför provet och sova ordentligt än att spela på datorn hela natten.
På motsvarande sätt finns det en ordning att följa när du ska räkna med flera räknesätt.
Tänk dig att du ska räkna ut vad det kostar att köpa tre paket mjölk för 20 kr styck och två djupfrysta pizzor för 45 kr styck. Du kan säkert hitta svaret direkt med hjälp av huvudräkning genom att tänka såhär: “Tre gånger 20 är 60 och två gånger 45 är 90. Tillsammans blir det 150 kr.”
Om du istället skulle ställa upp frågan som ett uttryck, en blandning av tal och räknesätt, skulle uttrycket skrivas
3 · 20 + 2 · 45
När du använde huvudräkning räknade du först ut all multiplikation, 3 · 20 = 60 och 2 · 45 = 90, och sedan adderade du dessa två tal. Uträkningen blir
3 · 20 + 2 · 45 = 60 + 90 = 150
Multiplikation räknas alltså före addition i ett uttryck. Detsamma gäller för division och subtraktion. Multiplikation och division räknas alltså före addition och subtraktion.
UTTRYCK MED PARENTESER
PRIORITERINGSREGLERNA
Ibland innehåller ett uttryck delar som måste räknas ut först, innan multiplikation och division. Vi tittar på ett exempel.
Tänk dig att pizzorna på din favoritpizzeria kostar 120 kr styck, men att du har fått rabattkuponger som ger 45 kr rabatt per pizza. Du bestämmer dig för att köpa två pizzor och betalar med två hundralappar. Hur mycket växel får du tillbaka?
Här måste du börja med att räkna ut hur mycket en pizza kostar efter rabatt, 120 kr – 45 kr, innan du multiplicerar med 2. För att tala om att subtraktionen ska ske först, sätts priset för pizzan inom parentes. Uttrycket kan skrivas som:
2 · 100 – 2 · (120 – 45)
där 2 · 100 är de två hundralapparna och 2 · (120 – 45) är priset för pizzorna.
Parenteser har högst prioritet – du ska alltid räkna ut värdet av parenteserna först. Uträkningen blir
2 · 100 – 2 · (120 – 45) = 2 · 100 – 2 · 75 = 200 — 150 = 50
När du ska beräkna vilket värde ett uttryck har, är det viktigt att du vet i vilken ordning beräkningarna utförs:
1. Parenteser: ()
2. Multiplikation och division: · /
3. A t on o su tr kt on: + −
FÖRDJUPNING
Om det finns flera parenteser inuti varandra börjar du med den innersta. För att det ska vara lättare att skilja parenteserna åt, skrivs ofta en av parenteserna som en hakparentes, [ ]:
[69 − (26 − 13) · 3]/6 = [69 − 13 · 3]/6 = [69 − 39]/6 = 30/6 = 5
När du dividerar uttryck med bråkstreck ska du tänka dig att det finns osynliga parenteser runt hela täljaren och hela nämnaren. Täljaren respektive nämnaren ska alltså räknas ut före divisionen.
4 2 = 4 2 = 12 =2
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
SVAR
Beräkna värdet av uttrycket 15 – (2 + 12/3) · 2.
Först beräknas parentesens värde: (2 + 12/3). Division räknas före addition: 12/3 = 4. Värdet av parentesen blir (2 + 4) = 6.
Uttry k t är nu 15 – 6 · 2.
Sedan utförs multiplikationen: 6 · 2 = 12. Uttrycket är nu 15 – 12.
Sist utförs subtraktionen: 15 – 12 = 3.
15 – (2 + 12/3) · 2 = 3.
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
Du ska gå på bio med två kompisar. Biobiljetterna kostar normalt 140 kr, men ni har fått en rabatt på 25 kr per biljett. På bion köper ni två stora popcorn för 69 kronor styck som ni delar på. Ni köper också varsin läsk för 40 kr styck. Formulera ett matematiskt uttryck för hela kostnaden och beräkna kostnaden med hjälp av prioriteringsreglerna.
Ni ska köpa 3 biljetter. Varje biljett kostar ordinarie pris minus rabatten (140 kr – 25 kr). Den totala kostnaden för biljetterna blir 3 · (140 kr – 25 kr).
Popcornen kostar 2 · 69 kr och läsken 3 · 40 kr.
Uttrycket för den totala kostnaden blir 3 · (140 – 25) + 2 · 69 + 3 · 40.
Först beräknas parentesens värde: (140 – 25) = 115. Uttryckets värde är nu 3 · 115 + 2 · 69 + 3 · 40.
Sedan görs multiplikationerna: 3 · 115 = 345, 2 · 69 = 138 och 3 · 40 = 120. Uttryckets värde är nu 345 + 138 + 120.
Sist sker additionerna: 345 + 138 + 120 = 603.
SVAR
Den totala kostnaden för biobesöket blir 603 kr.
1.6.1
Beräkna
a) 5 + 4 · 3
b) 20 – 10 / 2
1.6.2
Beräkna
a) 5 · (4 + 2) b) (10 – 3) · 2
1.6.3
Beräkna
a) 40 − 3 · 12
b) 28 + 14 · 3
1.6.4
Beräkna
a) (8 + 2) · (3 + 1)
b) 8 + 2 · 6 – 4
c) 12 / (3 + 1) · 2
d) (8 + 6) / (9 – 2)
1.6.5
c) 4 · 2 + 9 d) 50 / 5 + 5
1.6.8
Beräkna
a) –8 + 3 · (–4)
b) –6 · (3 – 8) – 10
c) 12 – (–4) · 3 + (–5)
d) 24 4 3 2 4
c) 12 / (2 + 4) d) (15 / 3) + 7
c) (50 − 9) · 8 d) (200 − 80) · 5
Skriv uttrycket med siffror och räkna ut
a) Addera 3 och 5. Multiplicera sedan med 4.
b) Multiplicera 6 med 2. Subtrahera sedan 5.
c) Dela 20 med 4. Lägg sedan till 2.
d) Subtrahera 4 från 10. Multiplicera sedan med 3.
1.6.6
En skola har tre våningsplan. På varje våningsplan finns tolv klassrum. Skolan har ytterligare 18 rum. Hur många rum har skolan totalt?
1.6.7
Joel och Emma motionerar på fritiden. Varje vardag springer Joel längs med det röda spåret som är 6,2 km långt medan Emma följer det gula spåret som är 4,6 km långt. Hur mycket längre springer Joel än Emma under en vecka?
1.6.9
Beräkna
a) 2 · [5 + (4 · 2)]
b) 4 · [(10 + 5) / 3]
c) 50 – [2 · (10 + 5)]
d) [(15 / 5) + 7] · 3
1.6.10
Skriv uttrycket med siffror och räkna ut.
a) Lägg ihop 4 och 6, multiplicera resultatet med 3 och dra sedan ifrån 5.
b) Dela skillnaden mellan 20 och 8 med summan av 1 och 2.
c) Kalle köper 3 äpplen för 5 kr styck och 2 bananer för 4 kr styck.
d) Dubbla summan av 15 och 25, och dela sedan resultatet med 4.
1.6.11
Sätt in parenteser på rätt ställen så att likheten stämmer:
a) 5 + 3 · 4 – 2 = 30
b) 10 – 2 · 3 + 1 = 2
1.6.12
Om du plockar bort parenteserna, kommer du att få samma svar?
a) (7 + 3) · 5 = 50
b) (180/9) – 7 = 13
c) 25 + (19 · 30) = 325
d) (154 – 7)/7 = 21
1.6.13
Beskriv med egna ord vad uttrycket 4 · (150 – 25) skulle kunna betyda i en vardaglig situation (till exempel vid inköp).
1.6.14
En schackklubb med 25 medlemmar ska åka på utflykt för att besöka ett museum. Bussen kostar 1 500 kr och inträdet är 45 kr per medlem. M l mm rn år 500 kr r rån klu n. Hur mycket måste varje medlem betala?
Skriv uttrycket med siffror och räkna ut.
1.6.15
På en bondgård bor 367 hönor, 4 katter, 289 får och 15 människor. Hur många ben har de alla tillsammans?
Skriv uttrycket med siffror och räkna ut.
1.6.16
Använd huvudräkning för att lösa uppgiften (tänk efter först).
a) (354 · 27 + 429 · 62) · 0
b) (312 + 87 · 0) · (200 − 199)
1.6.17
Beräkna
a) 5 · 2 · [ (4 + 6) / 2 ] – 3
b) [ (15 – 3) / 4 ] + 7 · (8 – 6)
c) 100 – 2 · [ 15 – (3 · 4) ] + 10
d) –[4 – 2(5 – 8)] · (–3) – 12 / (–0.5)
1.6.18
Sätt parenteser på rätt ställen för att göra likheten sann:
a) 12 / 2 + 4 · 3 = 6
b) 8 + 4 · 5 – 3 = 16
Till vardags möter du nästan bara negativa tal på termometrar, men i matematiken är negativa tal vanliga. Du vet säkert redan hur du räknar ut skillnaden mellan två temperaturer, även om den ena temperaturen är negativ: ”Hur många grader har temperaturen förändrats om den sjunker från 2 °C till –3 °C?”.
NEGATIVA TAL
Ett tal är negativt om det är mindre än noll. Negativa tal har alltid ett minustecken framför sig.
HELTAL
De naturliga talen (0, 1, 2, 3...) och de negativa talen (...–3, –2, –1) bildar tillsammans heltalen.
Bailonghissen i Kina är världens högsta och snabbaste utomhushiss. Om du står på toppen av byggnaden (0 m) och åker hela vägen ned har du på bara 90 sekunder åkt 326 meter nedåt (motsvarande 100 våningar). Eftersom du börjar på 0 m är du alltså på höjden –326 m jämfört med toppen av hissen.
För att beskriva temperaturer under 0 °C använder man negativa tal. Temperaturen i frysen är –18 °C medan temperaturen i kylen är +4 °C. Du behöver inte skriva ut plustecknet framför positiva tal (inget tecken betyder plus).
Nollan utgör skiljelinjen mellan positiva och negativa tal. När man pratar om
• temperatur används vattnets fryspunkt (0 °C) som referens.
• pengar motsvarar positiva tal tillgångar (att man har pengar) och negativa tal skulder (att man är skyldig pengar).
• höjd över havet används havsnivån (0 m) som referens. Höga berg har en positiv höjd och ubåtar en negativ.
Till vänster om nollan på tallinjen finns de negativa talen och till höger om nollan finns de positiva talen. Nollan fungerar som referenspunkt. I bilden nedan har vi markerat de två talen 1,2 och –3,7.
Genom att använda tallinjen kan du enkelt jämföra tals värden. Talet till höger är alltid större än talet till vänster. Därför är –1 större än –3: –1 > –3.
ADDITION OCH SUBTRAKTION
TYPFALL 1
För att förstå addition och subtraktion av negativa tal är tallinjen till hjälp. De fyra exemplen nedan hjälper dig att förstå varför resultaten blir som de blir. Vi tittar på ett exempel:
15 – (–10)
Uttrycket är en subtraktion mellan två termer, 15 och (–10). Minustecknet mellan termerna kallas operator (de fyra operatorer som du lärt dig är +, −, · o /).
operator
15 – (–10)
andra termen första termen
Alla följande fyra typfallen följer nedanstående regler:
• Tänk n fi ur på t ll nj n som står på vär t ör n örst t rm n. Figuren har gapet riktat åt höger i början: . Det betyder att den är redo att gå mot höger.
• Figuren rör sig alltid i gapets riktning.
• Ett su tr kt onst k n m ll n två t rm r nn är tt fi ur n yt r riktning så att gapet vänds åt andra hållet .
• Om n n r t rm n är pos t v rör s fi ur n r måt, p ts r ktning ··· .
• Om n n r t rm n är n t v rör s fi ur n klän s ···
Om det är –3 °C ute och temperaturen stiger med 4 °C skrivs uträkningen som
–3 + 4 = 1.
TYPFALL 2
Figuren startar på –3. Den andra termen är 4. Figuren går 4 steg framåt och hamnar på 1.
Om du har 20 kr och vill köpa något för 50 kr, måste du låna pengar och du får en skuld. Uträkningen skrivs
20 – 50 = – 30
TYPFALL 3
−30 −20 −10 0 10 20 30
Figuren startar på 20. Subtraktionstecknet mellan termerna innebär att fguren byter riktning. Den andra termen är 50 och fguren går 50 steg i gapets riktning. Den hamnar på –30.
Om du har 50 kr men har lånat 20 kr av en kompis, är mindre än 50 kr dina egna pengar:
50 + (–20) = 30.
Att addera ett negativt tal är samma sak som att lägga till en skuld. Addition av ett negativt tal är detsamma som subtraktion av ett positivt tal:
50 + (–20) = 50 – 20 = 30.
TYPFALL 4
Figuren startar på 50. Den andra termen är –20. Figuren går 20 steg baklänges och hamnar på 30. Resultatet är detsamma som om fguren vänder sig och går 20 steg framåt.
För att hitta skillnaden mellan 2 °C och –6 °C kan du tänka dig att det är 2 steg mellan 2 °C och 0 °C och sedan ytterligare 6 steg mellan 0 °C och –6 °C. Tot lt s tt r t mp r tur n sjunk t m 8 °C:
2 – (–6) = 8
Att subtrahera ett negativt tal är detsamma som att addera det första talet med det andra:
2 – (–6) = 2 + 6 = 8
REGEL
Figuren startar på 2. Subtraktionstecknet mellan termerna innebär att fguren byter riktning, så att gapet pekar mot vänster. Den andra termen är –6 och fguren går därför 6 steg baklänges. Figuren hamnar på 8. Resultatet är detsamma som om fguren startar på 2 och går 6 steg framåt.
Genomgången kan sammanfattas i en enkel regel som alltid fungerar:
När du adderar ett negativt tal kan du skriva det som en subtraktion (olika tecken intill varandra blir minus):
15 + (–10) = 15 – 10 = 5
När du subtraherar ett negativt tal kan du skriva det som en addition (lika tecken intill varandra blir plus):
15 – (–10) = 15 + 10 = 25
Tänk på att negativa tal skrivs inom parentes vid beräkningar. Två tecken får inte stå direkt bredvid varandra. De måste ha en parentes emellan.
SUBTRAKTION
MULTIPLIKATION & DIVISION
På svenska använder vi samma ord, “minus”, både för själva räknesättet subtraktion och för alla negativa tal. Exempelvis läses 6–(–4) som “sex minus minus fyra”. På engelska använder man olika ord. 6–(–4) läses som “six minus negative four”. Räknesättet minus innebär att figuren vänder riktning på tallinjen. Det negativa talet innebär att figuren rör sig i motsatt riktning mot gapets riktning.
Multiplikation och division av ett positivt och ett negativt tal kan användas i vardagen, till exempel för att beskriva en skuld.
Tänk dig att du lånar 50 kr av tre kompisar, vilket betyder att du tar emot en skuld på 50 kr tre gånger. Då har du en total skuld på 150 kr. Ett positivt
UPPREPAD MULTIPLIKATION
tal multiplicerat med ett negativt tal ger ett negativt svar:
3 · (–50) = –150
Det finns tillfällen då matematik inte har några uppenbara tillämpningar i vardagen – multiplikation och division med två negativa tal är ett sådant tillfälle. Du kommer dock att använda negativa tal lite senare i kursen när du räknar med ekvationer.
Det finns en enkel regel för att komma ihåg hur negativa tal multipliceras och divideras, och som alltid fungerar:
Lika tecken ger plus: Om du multiplicerar eller dividerar två positiva tal eller två negativa tal med varandra, blir svaret positivt:
4 · 3 = 12
(–4) · (–3) = 12
Olika tecken ger minus: Om du multiplicerar eller dividerar ett positivt och ett negativt tal med varandra, oavsett ordning, blir svaret alltid negativt.
Exempel:
(–15) / 3 = –5
15 / (–3) = –5
Om du ska multiplicera fler än två tal med varandra finns det ett knep för att ta reda på om resultatet blir positivt eller negativt. Istället för att räkna ut (–6) · 4 · (–3) steg för steg kan du räkna ut 6 · 4 · 3 = 72 och räkna antalet minustecken i faktorerna. Eftersom du har ett jämnt antal minustecken här, blir svaret positivt (två minus efter varandra blir plus).
Räkneregel för tecken i upprepad multiplikation:
• Om antalet minustecken är jämnt är svaret positivt.
• Om antalet minustecken är udda är svaret negativt.
EXEMPEL NIV å 1
LÖSNING
SVAR
Beräkna
a) 12 + (–5) b) –5 – (–3) c) –4 · (–3) d) 88 / (–11)
a) Du adderar ett positivt tal med ett negativt tal. Att addera ett negativt tal är detsamma som att subtrahera ett positivt tal (olika tecken ger minus):
12 + (–5) = 12 – 5 = 7
b) Du subtraherar ett negativt tal från ett negativt tal. Att subtrahera ett negativt tal är detsamma som att addera ett positivt tal (lika tecken ger plus):
–5 – (–3) = –5 + 3 = –2
c) En negativ faktor multiplicerad med en annan negativ faktor ger en positiv produkt (lika tecken ger plus):
–4 · (–3) = 4 · 3 = 12
d) En positiv täljare dividerad med en och negativ nämnare ger en negativ kvot (olika tecken ger minus):
88 / (–11) = –88/11 = –8
a) 12 + (–5) = 7 b) –5 – (–3) = –2 c) –4 · (–3) = 12 d) 88 / (–11) = –8
EXEMPEL NIV å 2
LÖSNING
SVAR
En havsörn flyger 140 meter över vattenytan. Rakt nedanför örnen simmar en säl 28 meter under vattenytan. Hur stort är avståndet mellan havsörnen och sälen?
För att hitta avståndet mellan två punkter kan du tänka i två steg:
• Avståndet från sälen (–28 m) till vattenytan (0 m) är 28 meter.
• Avståndet från vattenytan (0 m) till örnen (140 m) är 140 meter.
Det totala avståndet är 28 + 140 = 168 meter. Avståndet kan också skrivas som differensen mellan det högsta och det lägsta värdet:
140 – (–28) = 140 + 28 = 168 meter.
Avståndet mellan havsörnen och sälen är 168 meter.
1.7.1
Rita en enkel tallinje och markera var talet –4 ligger.
1.7.2
Om du står på –2 på tallinjen och går 5 steg åt höger, vilket tal hamnar du på då?
1.7.3
Vilket tal är störst: –12 eller –7?
1.7.4
Beräkna
a) 5 + (–3) b) –4 + (–2) c) 8 – 10 d) –5 – (–1)
1.7.5
Beräkna a) –2 · (–6) b) 15 / (–3) c) –20 / (–4) d) –3 · 6
1.7.6
Beräkna
a) 190 + (–40) b) –48 + (–29) c) 19 – (–34) d) –35 – (–65)
1.7.7
Beräkna
a) 190 + (–40) b) –48 + (–29) c) 19 – (–34) d) –35 – (–65)
1.7.8
Beräkna a) 12 · (– 10) b) –37 · (– 21)
1.7.9
En dykare befinner sig 15 meter under havsytan (–15 m) och simmar 6 meter rakt uppåt. På vilken nivå befinner sig dykaren nu?
1.7.10
Om du multiplicerar ett negativt tal med ett positivt tal, vilket tecken får svaret?
1.7.11
Temperaturen utomhus är 3 °C och sjunker med 8 °C under natten. Vilken är den nya temperaturen?
1.7.12
Beräkna differensen mellan 5 och –5.
1.7.13
David lånar först 150 kr och sedan 100 kr till av Pernilla. När David får sin lön behöver Pernilla lån l t v onom. H n r nn 600 kr. Pernilla är nu skyldig David pengar, men hur mycket?
1.7.14
Ett flygplan befinner sig på 8 500 meters höjd. En ubåt befinner sig på –350 meters djup. Vad är höjdskillnaden mellan dem?
1.7.15
Ebba har lånat 153 kr av sin kompis Fanny. När Ebba ska betala tillbaka det hon lånat av Fanny har hon ingen växel, utan ger Fanny 200 kr. Hur mycket ska Fanny ge tillbaka?
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.7.16
Beräkna
a) –12,5 + 4,8
b) 3,2 – (–7,9)
c) –0,5 + 1,5
d) 5,6 + (– 2,5)
1.7.17
Beräkna
a) –4,5 · 2,2
b) 18,6 / (–0,3)
c) –1,35 · (–2,5)
d) –4,5 · (–1,2)
1.7.18
Beräkna
a) (–2) · (–2) · (–2)
b) 15 – (–4 × 3) + (–10)
c) –3 · (4 – 7) + (–2)
d) 23 + (15 – 24)
1.7.19
Beräkna
a) (– 36/9 – 4) · 12
b) (– 55 – 3 · 12) – (– 65)
c) 65 − (12 − 35)
d) − 12 · 4 + 39
1.7.20
Du har tre tal: –2, 5 och –4. Multiplicera summan av de två minsta talen med det största talet. Vad blir resultatet?
1.7.21
På planeten Mars varierar temperaturerna mellan –122 °C och +31 °C. Hur stor är skillnaden mellan högsta och lägsta temperatur?
1.7.22
Bajkalsjön i Sibirien är 1 940 m djup, och dess yta ligger 454 m över havsytan. Hur många meter under havsytan ligger sjöns botten?
1.7.23
Klockan 08:00 var temperaturen –4 °C. Fram till klockan 12:00 steg temperaturen med i genomsnitt 1,5 °C per timme. Vad var temperaturen klockan 12:00?
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.7.24
Beräkna
a) 3 · 1,5 – (–4 + 3,7)
b) −11 · 25 + 75 · (−11)
c) 1 – (10 + 8 · (5 · 1) + 9)
d) –2,4 · (–1,5) – 8,2 / (–0,4)
1.7.25
Om a är ett negativt tal, b är ett positivt tal och a – b = c, vad kan du med säkerhet säga om tecknet på c?
1.7.26
En hiss åker från våning –3 upp till våning 8, ner till våning –1 och slutligen upp hälften så många våningar som den har färdats hittills. Vilken våning hamnar hissen på?
1.7.27
Vilket tal ligger exakt mitt emellan –1,5 och 0,5 på tallinjen? Motivera hur du kom fram till svaret.
Om du har handlat och snabbt vill kontrollera att summan på kvittot är rimlig använder du dig av överslagsräkning. Till vardags behöver du sällan räkna exakt – det räcker att göra en uppskattning.
AVRUNDNING
En teknik där man ersätter ett tal med ett närliggande tal som är enklare att räkna med.
AVRUNDNINGSREGLER
Om siffran du ska avrunda är 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundar du nedåt. Om den är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar du uppåt.
RIMLIGHETSBEDÖMNING
En bedömning av om ett svar eller en uppskattning verkar realistisk.
ÖVERSLAGSRÄKNING
En metod där man först avrundar talen för att därefter snabbt räkna ut ett ungefärligt och rimligt svar med huvudräkning.
UNGEFÄR LIKA MED
Symbolen ”ungefär lika med” (≈) används istället för ett likhetstecken när resultatet är avrundat.
Vilka vackra glaspärlor –men hur många fnns det egentligen i bilden? Ett sätt är att räkna dem en och en, men det tar ganska lång tid och det är svårt att komma ihåg exakt vilka man räknat. Hur hade du gjort?
När du ska handla något i affären vill du veta om pengarna på kortet räcker. I vardagen är det ofta viktigare att veta ungefär hur mycket något kostar än att räkna ut ett exakt värde. Du måste därför kunna göra en snabb uppskattning för att avgöra om ett värde är rimligt.
För att förenkla beräkningarna avrundas talen enligt enkla regler. Att avrunda ett tal betyder att man byter ut det mot ett värde som är mindre exakt men ungefär lika stort och enklare att räkna med.
AVRUNDNINGSREGLER
När du avrundar tittar du på siffran direkt till höger om den position du vill avrunda till. Om siffran är:
• 0, 1, 2, 3 ll r 4 vrun r u n åt (o åll r s f r n som n är).
• 5, 6, 7, 8 ll r 9 vrun r u uppåt (o ök r vär t på s f r n m tt).
Om du vill avrunda 35,22 till heltal tittar du alltså på siffran till höger om entalet (5), det vill säga tiondelen (2). Enligt avrundningsreglerna ska 2 avrundas nedåt från 35,22 till 35. Om du ritar 35,22 på en tallinje ser du att talet ligger närmare 35 än 36.
0,22 0,78
”UNGEFÄR LIKA MED”
ÖVERSLAGSRÄKNING
På motsvarande sätt avrundas 34,52 till 30 om du avrundar till tiotal (du avrundar då entalet, 4, nedåt), och till 34,5 om du avrundar till tiondelar (du avrundar då hundradelen, 2, nedåt).
För att visa att ett tal är avrundat används tecknet tecknet ”≈ ”, vilket betyder “ungefär lika med”. För att tala om att 34,52 är avrundat till heltal kan du skriva: 34,52 ≈ 35.
Överslagsräkning handlar inte om att hitta det exakta svaret utan om att snabbt och smidigt hitta ett ungefärligt svar genom att avrunda talen till värden som är lätta att räkna med i huvudet.
Om du till exempel ska köpa en tröja som kostar 298 kr och ett par byxor som kostar 405 kr, kan du avrunda till hundratal: ”Tröjan kostar ungefär 300 kr och byxorna ungefär 400 kr. Tillsammans blir det ungefär 700 kr.”
RIMLIGHETSBEDÖMNING
Ett annat viktigt användningsområde för överslagsräkning är när du ska göra en rimlighetsbedömning av en uträkning. Eftersom 48 · 21 är ungefär lika med 50 · 20 kan du göra en snabb överslagsräkning: 48 · 21 ≈ 1 000. Om din miniräknare visar 100,8 vet du direkt att något har blivit fel.
LÖSNING
Avrunda 2 548 till
a) hela tusental
b) hela hundratal
c) hela tiotal.
a) Titta på siffran efter tusentalssiffran (hundratalssiffran 5). Enligt avrundningsreglerna avrundar du uppåt eftersom 5 avrundas uppåt (2 548 ligger närmare 3 000 än 2 000). Det innebär att 2 548 ≈ 3 000.
b) Titta på siffran efter hundratalssiffran (tiotalssiffran 4). Enligt avrundningsreglerna avrundar du nedåt eftersom 4 avrundas nedåt (2 548 ligger närmare 2 500 än 2 600). Det innebär att 2 548 ≈ 2 500.
c) Titta på siffran efter tiotalssiffran (entalssiffran 8). Enligt avrundningsreglerna avrundar du uppåt eftersom 8 avrundas uppåt (2 548 ligger närmare 2 550 än 2 540). Det innebär att 2 548 ≈ 2 550.
a) 3 000
b) 2 500
c) 2 550
EXEMPEL NIV å 2
Du köper 4,8 kg äpplen i butiken. Äpplena kostar 24,90 kr/kg.
a) Gör en överslagsräkning för att snabbt ta reda på ungefär vad äpplena kommer att kosta.
b) Beräkna det exakta priset.
c) Ger överslagsräkningen ett rimligt svar?
LÖSNING
a) Värdena avrundas till heltal: 4,8 kg ≈ 5 kg och 24,90 kr/kg ≈ 25 kr/kg. Överslagsräkningen ger: 5 · 25 kr = 125 kr.
b) Det exakta priset är 4,8 · 24,90 kr = 119,52 kr.
c) Överslagsräkningen ligger nära det exakta värdet. Eftersom båda talen avrundas uppåt (från 4,8 till 5 och från 24,90 till 25) ger överslagsräkningen en lite högre värde än det riktiga priset. Överslagsräkningen ger ett snabbt och rimligt svar.
a) 125 kr
b) 119,52 kr
c) Ja.
/ NIVå 1
1.8.1
Avrunda till närmaste heltal a) 5,2 b) 15,8 c) 0,34 d) 123,52
1.8.2
Avrunda till närmaste tiotal a) 74 b) 48 c) 193 d) 85,3
1.8.3
Avrunda till närmaste hundratal a) 350 b) 385 c) 245 d) 1 853
1.8.4
Avrunda till närmaste tusental a) 6 827 b) 4 321 c) 7 499 d) 9 503
1.8.5
Avrunda till närmaste tiondel a) 0,42 b) 8,96 c) 8,75 d) 0,15
1.8.6
Avrunda till närmaste hundradel a) 0,451 b) 3,994 c) 12,344 d) 0,0518
1.8.7
Avrunda 285 192 till a) tiotal b) hundratal c) tusental d) tiotusental
1.8.8
Avrunda 373 737 till närmaste a) tiotal b) hundratal c) tusental d) tiotusental
1.8.9
Använd överslagsräkning för att uppskatta e) 98 + 103 f) 405 – 198 g) 42 + 79 h) 9 · 21
1.8.10
Åt vilket håll ska olikhetstecknet (> och <) vändas? Använd överslagsräkning.
a) 223 + 248 [ ] 500
b) 3 752 + 1 589 [ ] 5 000 c) 774 + 320 [ ] 1 000 d) 5 310 + 4 593 [ ] 10 000
1.8.11
Vilka tal ger en summa som är större än 300?
Använd överslagsräkning.
a) 51 + 23 + 66 + 167
b) 207 + 131
c) 253 + 35
d) 210 + 99
1.8.12
Vilka tal ger en produkt som är större än 10 000?
Använd överslagsräkning.
a) 3 190 · 3
b) 1 380 · 8 c) 2 276 · 4 d) 2 821 · 4
1.8.13
Du köper en tröja för 149 kr och ett par byxor för 299 kr. Gör ett snabbt överslag för att se om 500 kr räcker till att köpa både tröjan och byxorna.
1.8.14
Är det rimligt att påstå att 51 · 19 är ungefär 1 000? Motivera med hjälp av avrundning.
1.8.15
Du ska köpa tre spel. De kostar 198 kr, 412 kr och 289 kr. Gör ett överslag genom att avrunda till närmaste hundratal.
ÖVNINGAR / NIVå 2
1.8.16
Avrunda 4 598 123 till närmaste
a) tusental b) tiotusental
c) hundratusental d) miljontal
1.8.17
Avrunda 0,084 till närmaste
a) tiondel b) hundradel
1.8.18
Använd överslagsräkning för att uppskatta
a) 412 · 19
b) 805 / 4
c) 24,8 / 4,9
d) (19 + 31) · 4,9
1.8.19
I en affär köper du tre varor som kostar 24,90 kr, 12,50 kr och 41,20 kr. Gör en överslagsräkning av den totala kostnaden genom att avrunda varje pris till närmaste tiotal.
1.8.20
Du är i matbutiken och ska köpa snacks till fredagsmyset. Du väljer i en chipspåse för 28 kr, en stor läsk för 19 kr och en chokladkaka för 22 kr. Du har en hundralapp i fickan. Gör en överslagsräkning för att se om pengarna räcker.
1.8.21
Du knappar in 25 · 39 på miniräknaren och får 9 750. Gör en överslagsräkning i huvudet för att
kontrollera om miniräknarens svar kan stämma.
1.8.22
Hitta ett heltal som avrundas till 500 om man avrundar till närmaste hundratal, men som avrundas till 450 om man avrundar till närmaste tiotal.
1.8.23
Kalle påstår att 29 · 41 är ungefär 1 200. Lisa påstår att det är ungefär 800. Vem har rätt av Kalle och Lisa? Motivera.
1.8.24
Om du köper fyra spel som kostar 98 kr styck och betalar med en 500-lapp, får du då mer eller mindre än 100 kr tillbaka? Motivera.
1.8.25
Du ska dividera 50 med 0,8. Blir större eller mindre än 50? Motivera.
1.8.26
Sabah är och handlar. Hon köper 3 burkar läsk för 9 kr styck, en påse chips för 16,95 kr och choklad för 27,50 kr. Ungefär hur mycket ska hon betala?
1.8.27
En elitspelare tränar i genomsnitt tre timmar vattenpolo varje dag i veckan. Gör en överslagsräkning för att uppskatta om hon tränar mer eller mindre än tusen timmar vattenpolo under ett år. Hur resonerar du?
ÖVNINGAR / NIVå 3
1.8.28
Vilket är det minsta respektive största heltal som kan avrundas till a) 50, om man avrundar till närmaste tiotal? b) 25 000, om man avrundar till närmaste tusental?
1.8.29
Ett tal avrundas till närmaste tiondel och blir 7,4. Samma tal avrundas till närmaste hundradel och blir 7,45. Ge ett exempel på vilket tal det kan vara. Motivera.
1.8.30
Din kompis säger: ”Om jag har talet 4,49 och först avrundar det till en decimal får jag 4,5. Om jag sedan avrundar 4,5 till närmaste heltal får jag 5. Därför är 4,49 avrundat till närmaste heltal lika med 5.” Förklara varför din kompis räknar fel.
1.8.31
När Barcelona mötte Real Madrid kom ungefär 59 000 åskådare. Om vi vet att talet är avrundat till närmaste tusental, hur många åskådare var det som minst respektive som mest på fotbollsmatchen?
1.8.32
Helene ska köpa blomfrön till trädgården. Trädgårdens area är 48,6 kvadratmeter. En påse frön räcker till fem kvadratmeter. Varje påse kostar 89,90 kr. Gör ett snabbt överslag i huvudet för att uppskatta hur mycket Helene ska betala.
1.8.33
Du promenerar med hastigheten 1,2 meter per sekund. Gör en överslagsräkning för att uppskatta hur långt du hinner gå på en timme.
1.8.34
Du ska multiplicera 45 · 35. Om du avrundar båda talen uppåt till närmaste tiotal, vad händer med överslaget jämfört med det exakta värdet?
Hur kan du göra ett bättre överslag när båda talen slutar på 5?
1.8.35
Emma tränar tennis 9 timmar i veckan. Hur många timmar tennis tränar hon ungefär på ett år?
1.8.36
Folktandvården rekommenderar att vi borstar tänderna två minuter per gång, en gång på morgonen och en gång på kvällen. Anta att du borstat tänderna i hela ditt liv. Hur många minuter har du borstat tänderna hittills?
Bråk och bråkräkning används för att räkna med delar av en helhet. I kapitlet tar vi bland annat upp hur du räknar med bråktal och hur du jämför storleken på bråk. Kan du se hur stor del av bilden till vänster som är orange?
Ett bråktal kan beskriva hur stor andel man har av något, till x mp l ur stor l v n fi ur som är rö . I tt vsn tt t
får du repetera vad ett bråk är, hur man förkortar och förlänger bråk och hur man översätter mellan bråkform och decimalform.
BRÅK
Bråk är tal som skrivs på formen a/b eller a b , där a kallas täljare och b nämnare. Ett exempel på ett tal skrivet i bråkform är 3 4
NÄMNARE
Nämnaren är talet under bråkstrecket som talar om hur många delar som fnns.
TÄLJARE
Täljaren är talet över bråkstrecket som talar om hur många delar som valts ut.
DECIMALTAL
Decimaltal är tal som är skrivna i decimalsystemet. Bråket 3 4 skrivs i decimalform som 0,75.
FÖRLÄNGNING
Vid förlängning av ett bråk multipliceras täljaren och nämnaren med samma heltal.
FÖRKORTNING
Vid förkortning av ett bråk divideras täljaren och nämnaren med samma heltal.
ENKLASTE BRÅKFORM
Ett bråk som inte går att förkorta sägs vara skrivet i enklaste bråkform.
GEMENSAM NÄMNARE
Två eller fera bråk som förkortas eller förlängs så att de får samma nämnare har en gemensam nämnare.
BRÅKFORM
VISUALISERING AV BRÅK
Kan du beskriva med hjälp av bråk hur stor del av bilden det röda korset utgör? Om du utgår från den röda kvadraten i det vänstra hörnet av bilden får det plats 5 kvadrater på höjden och 8 på breddan. Det röda korset består av 5 kvadrater.
Om du delar upp något i lika stora delar får du ett bråk. Ett bråk skrivs på samma sätt som man skriver division. Det tal som står ovanför bråkstrecket kallas täljare och det tal som står nedanför bråkstrecket kallas nämnare. Talet sägs vara skrivet på bråkform.
Om du till exempel delar en pizza i sex bitar och äter två av dem har du ätit 2 6 av pizzan. Nämnaren berättar hur många delar som finns (6). Täljaren berättar hur många delar som valts ut (2).
Att rita upp figurer är ett av de bästa sätten att förstå vad ett bråk är.
Om du delar en cirkel i fem lika stora delar blir varje del en femtedel av cirkeln.
I en cirkel med fem lika stora delar blir tre delar tillsammans tre femtedelar av cirkeln.
BRÅKFORM OCH DECIMALFORM
Om du delar en rektangel i sju lika delar blir varje del en sjundedel av rektangeln.
I en rektangel med sju lika delar blir fem delar tillsammans fem sjundedelar av rektangeln.
Om du delar ett antal prickar i nio lika stora grupper innehåller varje grupp en niondel av det totala antalet prickar.
Om du delar ett antal prickar i nio lika stora grupper innehåller fem grupper tillsammans fem niondelar av det totala antalet prickar.
Bråkform och decimalform är två olika sätt att beskriva ett tal. I tabellen visas några vanliga bråk du ska kunna översätta till decimalform. Detta räknesätt är användbart att kunna omvandla decimaltal till tiondelar eller hundradelar. I tabellen nedan några vanliga bråk och deras decimalform.
bråkform
Du kan använda denna tabell även om täljaren inte är ett. Om du vet att 2 vet du att 2 2 2 och att 2 .
Om du ritar upp en tallinje ser du att varje bråk har ett värde som kan översättas till decimaltal.
FÖRLÄNGNING AV BRÅK
Lägg märke till att vi, förutom värdena i tabellen, har markerat bråken och . Bråket har ett exakt värde på tallinjen, men oändligt många decimaler om det skrivs på decimalform:
De flesta bråk har oändligt många decimaler om de skrivs på decimalform och måste därför avrundas:
En fördel med bråktal är alltså att talet har ett exakt värde och inte behöver avrundas.
Det finns många sätt att skriva ett bråk på. Eftersom bråk är division får man samma resultat om man skriver
Det beror på att divisionen ger samma svar. Om vi ritar upp det blir det enklare att se:
FÖRLÄNGNING AV BRÅK
FÖRKORTNING AV BRÅK
Om man gör nämnaren och täljaren större samtidigt säger man att man förlänger bråket. Du kan alltid förlänga ett bråk genom att multiplicera det med samma tal i både täljaren och nämnaren:
2 2
Här har vi multiplicerat med 4 både i täljaren och i nämnaren.
Om man gör nämnaren och täljaren mindre samtidigt säger man att man förkortar bråket. Du kan alltid förkorta ett bråk genom att dividera det med samma tal i både täljaren och nämnaren:
6 2
Här har vi dividerat med 3 både i täljaren och nämnaren. Du kan bara förkorta bråket om både täljaren och nämnaren är delbara med samma tal.
Bråktalet kan förkortas om både täljaren och nämnaren kan delas med samma heltal. När du ska förkorta ett tal, försök hitta den multiplikationstabell där både nämnaren och täljaren finns. I exemplet finns både täljaren (6) och nämnaren (9) i treans tabell:
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Därför kan du förkorta bråket med 3.
ENKLASTE FORM
Ett bråk som inte kan förkortas ytterligare sägs vara på enklaste form. Om du vill förkorta till enklaste form ser du att både 5 och 15 finns i femmans tabell (5 10 15 20 25 30 35 40 45 50). Därför kan vi skriva
Ofta behövs mer än en förkortning. Om du vill förkorta 2 6 till enklaste form kan du börja med att konstatera att både 42 och 56 är jämna tal och kan förkortas med 2:
2 6 2 2
GEMENSAM NÄMNARE
Både 21 och 28 finns dessutom i sjuans tabell (7 14 21 28 35 42 49 56 63 70).
Därför kan vi förkorta bråket med 7:
När du ska jämföra två bråk, eller om du ska addera eller subtrahera två bråk med varandra, måste båda bråken ha samma nämnare.
Om bråken har olika nämnare förkortar eller förlänger du det ena eller båda bråken så att de får en gemensam (samma) nämnare. Till exempel kan olikheten
skrivas 6
2 för att lättare kunna jämföra bråken med varandra. Här har båda bråken samma nämnare och kan lätt jämföras. Vi har här förlängt 2 med 8:
och förlängt med 3:
Med dessa förlängningar får båda bråken samma nämnare och kan lätt jämföras med varandra.
Om du ska jämföra två bråk där du inte hittar något samband mellan nämnarna (som i exemplet), kan du alltid förlänga bråken så att de får samma nämnare.
EXEMPEL NIVÅ 1
Hur stor del av figurerna är markerade i färg? Svara med bråk. Förkorta till enklaste form.
a) b) c) d)
LÖSNING SVAR
a) Två av totalt fem fält är färglagda. Bråket 2 är skrivet i enklaste form.
b) Fem av totalt tio fält är färglagda. Bråket kan förkortas med 5 till 2.
c) Tre av totalt åtta fält är färglagda. Bråket är skrivet i enklaste form.
d) Två av totalt sex fält är färglagda. Bråket 2 6 kan förkortas med 2 till a) 2 b) 2 c) d)
EXEMPEL NIVÅ 2
LÖSNING
Förkorta bråket 2 26 till enklaste form.
Eftersom både 42 och 126 är jämna tal kan du förkorta med 2:
Både 21 och 63 finns i sjuans tabell (7 14 21 28 35 42 49 56 63 70). Du kan börja med att förkorta med 7. Du får då . Både 3 och 9 finns i treans tabell (3 6 9 12 15 18 21 24 27 30). Du kan sedan förkorta med 3.
Nu går bråket inte att förkorta mer och är i sin enklaste form.
/ NIVÅ 1
2.1.1
Rita en cirkel och dela den i fyra lika stora delar. Skugga en del. Vilket bråk har du skuggat?
2.1.2
Vilket bråk är störst, 2 eller 2 6 ? Motivera genom att rita en bild.
2.1.3
Tre kompisar ska dela lika på 2 hela pizzor. Hur mycket pizza får var och en? Svara i bråkform.
2.1.4
Rita en tallinje som går från 0 till 1. Markera bråken.
a) 2 b) c) d)
2.1.5
Omvandla från bråk till decimaltal. a) b) 2 c) d)
2.1.6
Omvandla från decimaltal till bråk. a) 0,2 b) 0,08 c) 0,25 d) 0,5
2.1.7
Hur stor andel av figurerna är färgade? Svara som bråk. a) b) c) d)
2.1.8
Vilket tal har bråket förlängts med? a) b) 2
2.1.9 Förläng bråket. a) b)
2.1.10
Vilket tal har bråket förkortats med? a) 2 2 6 b) 2 6
2.1.11
Förkorta bråket. a) 6 b)
2.1.12
Förkorta bråket till sin enklaste form. a) 2 b) 6 c) d)
2.1.13
Hur stor andel av bokstäverna är små? Svara som bråk i enklaste form. a) AaaAaaaAa b) BBbbbBBbbb
2.1.14
Sortera från störst till minst: 2 2 2
ÖVNINGAR / NIVÅ 2
2.1.15
Rita av figuren och skugga antalet rutor som motsvarar bråket.
a) 6 b) c) 2 d) 2
2.1.16
Vilket tal ska stå istället för frågetecknet för att likheten ska gälla? a) 2 b) 6 c) 2 2 d) 2 66
2.1.17
Vilket bråk är störst? Välj rätt tecken (< eller >). a) 2 22 b) c) 6 d)
2.1.18
Hur förhåller sig bråken till varandra? Välj rätt tecken (<, = eller >).
a) 22 b) 6 c) 2 2 d) 6 2
2.1.19
Vilket bråk ligger mitt emellan de två bråken? a) 6 b) 2
2.1.20
Vilket bråk ligger närmast 0,5? a) 2 b) 2 c) 2 2 d)
2.1.21
Sortera från störst till minst: 6 0,85 0,5 2
2.1.22
Hur stor är andelen konsonanter i ordet fallskärmshoppare? Svara som bråk.
2.1.23
Hur stor del av figuren är färgad? Skriv svaret som ett bråktal.
ÖVNINGAR / NIVÅ 3
2.1.24
Sortera från störst till minst:
0,78 0,777
2.1.25
Alla trianglar i bilden är liksidiga. För en liksidig triangel är de tre sidorna lika långa. Om mönstret fortsätter i oändlighet, hur stor andel av den största triangeln är då färgad?
Ibland råkar man ut för situationer där det inte går jämnt ut när man dividerar. Om du och dina två kusiner ska dela på
50 godisbitar upptäcker ni snart att det inte går jämnt ut. När
v r o n v r r ått 16 t r finns t två t r kv r. För
att det ska bli rättvist kan ni antingen ge bort de två bitarna till någon godissugen förälder eller försöka att dela de två godbitarna så att ni får 2 godisbit var.
KVOT
Resultatet av en division kallas kvot.
REST
Resten är det tal som blir kvar vid division av två heltal.
Heltalskvoten av 7 och 3 är 2. Resten är 1.
BLANDAD FORM
Tal på blandad form skrivs som ett heltal följt av ett tal i bråkform som är mindre än 1. Bråket 7 3
skrivs på blandad form som 2 1 3 .
Du och dina tre kompisar ska dela på tre pizzor. Varje pizza är delad i sex bitar. Hur många bitar får var och en av er? Hur många bitar blir över?
Ibland går det inte att dela ett tal i flera lika stora delar, där varje del är ett heltal.
Om du och dina två kompisar ska dela på sju kakor och ni inte vill dela på någon kaka, får ni två kakor var och en kaka blir över. Om ni däremot kan tänka er att dela kakorna i mindre bitar får ni två och en tredjedels kaka var. Samma division kan alltså beskrivas på två olika sätt.
DIVISION MED REST
Om du vill dela upp kakorna så att ni bara får hela kakor använder du heltalsdivision. Vid heltalsdivision delar man antalet kakor i tre högar med två i varje, Då blir en kaka över. Man kan skriva resultatet av heltalsdivisionen som
2 rest 1 eftersom
7 = 2 · 3 + 1
där 2 är heltalskvoten och 1 är resten. Resultatet illustreras nedan.
2 rest 1
Om du istället delar kakorna i mindre bitar får svaret innehålla bråk. Man kan också tänka sig att man delar på den sista kakan så att du och dina kompisar får en tredjedels bit var, totalt två hela och en tredjedel var. På blandad form kan svaret skrivas
I vardagen är det inte så vanligt med blandad form. Ett undantag är kokböcker, där måtten ofta står i blandad form: "Häll i 2 dl mjölk och rör om."
Att omvandla mellan bråkform och blandad form är enkelt. Att till exempel skriva 2 i bråkform är detsamma som att räkna antalet fjärdedelar:
Här har vi räknat två hela som åtta fjärdedelar:
EXEMPEL NIVÅ 1
LÖSNING
Ett bageri har bakat 23 bullar som ska packas i påsar. Det får plats fyra bullar i varje påse.
a) Hur många fulla påsar kan packas? Hur många bullar blir över? b) Skriv bråket 2 i blandad form.
a) Vi behöver ta reda på hur många fulla påsar med 4 bullar som kan packas. Eftersom vi har 23 bullar kan 4 · 5 = 20 påsar fyllas. Det blir 23 – 20 = 3 ull r öv r.
b) Heltalet i resultatet av divisionen (5) motsvarar antalet fulla påsar. Resten (3) motsvarar täljaren i bråket . Bullarna fyller alltså fem hela och tre fjärdedels påse, .
SVAR
a) 5 fulla påsar kan packas och 3 bullar blir över.
b) I blandad form blir bråket 2 .
EXEMPEL NIVÅ 2
LÖSNING
Du och dina två lillasystrar har i år fått ett stort påskägg av gammelfarmor att dela på. I ägget finns totalt 87 godisbitar (ni har räknat dem tillsammans). Ni bestämmer er för att välja en bit i taget tills alla godisbitarna tagit slut (din minsta syster får naturligtvis börja). Helt plötsligt dyker din kusin upp. Ni kommer (motvilligt) överens om att ni ska dela godisbitarna lika mellan er.
a) Hur många bitar får ni var?
b) Hur stor blir resten?
Ni väljer i tur och ordning en godisbit var. Sedan fortsätter ni att välja tills alla godisbitarna är slut. Om ni gör så kommer ni att få 21 bitar var. Sedan nns t tr t r öv r – m n n är ju yr som sk l !
SVAR
a) Ni får 21 bitar var.
b) Resten blir 3 bitar. (Eftersom du är en snäll storebror får dina systrar och din kusin en bit extra var.)
2.2.1
Hur stor är heltalskvoten?
a) 2 6 b) c) 22 d) 2
2.2.2
Hur stor är resten?
a) 2 6 b) c) 22 d) 2
2.2.3
Du har 17 äpplen som ska fördelas lika på 4 korgar. Hur många äpplen hamnar i varje korg och hur många blir över?
2.2.4
Du ska dela upp 168 godisbitar lika i nio påsar.
a) Hur många godisbitar innehåller varje påse?
b) Hur många godisbitar blir över?
2.2.5
Vid en skolutflykt ska 45 elever åka minibuss. Varje buss tar 8 elever.
a) Hur många bussar behövs?
b) Hur många tomma platser blir det i den sista bussen om alla andra bussar är helt fyllda?
2.2.6
Omvandla till blandad form.
a) 2 b) c) 2 d)
2.2.7
Omvandla till bråkform. a) 2 b) 2 c) d) 2 2
2.2.8
Vilka alternativ är lika med ? a) 6 b) 2 c) d)
2.2.9
Vilket av de fyra alternativen är inte lika med ? a) 6 b) 2 c) 6 6 d) 2 2
2.2.10
Sju kilo ris ska fördelas i tre likadana glasburkar. Hur mycket ris finns i varje burk? Svara som bråk i blandad form.
ÖVNINGAR / NIVÅ 2
2.2.11
Vilket tal är störst, eller ? Visa hur du kom fram till ditt svar.
2.2.12
Om du delar ett tal med 7 blir kvoten 5 och resten 3. Vilket är talet?
2.2.13
Ett tal delas med 4. Vilka heltal är möjliga att få som rest? Förklara din tankegång.
2.2.14
Ett företag producerar 3 450 leksaker på en vecka. Leksakerna packas i lådor som rymmer 8 leksaker vardera.
a) Hur många lådor behövs?
b) Hur många leksaker blir över?
2.2.15
En skola med 235 elever och 14 lärare ska åka på utflykt. En buss rymmer 42 passagerare.
a) Hur många bussar måste bokas för att alla
ska få plats?
b) Hur många åker i den sista bussen?
ÖVNINGAR / NIVÅ
2.2.16
När ett tal divideras med 12 blir kvoten 3 och resten 3. Vilket är talet? Svara på blandad form.
2.2.17
Ge ett exempel på ett fyrsiffrigt tal som vid division med 7 lämnar resten 5. Förklara din tankegång.
2.2.18
I exempel 2 delade du och dina två lillasystrar på 87 godisbitar. Men inte nog med att din kusin nu yk r på sök – nu komm r äv n n l ll systr rs äst komp s! N är tot lt m p rson r nu som ska dela på 87 bitar.
a) Hur många bitar får ni var?
b) Hur stor är resten?
c) Hur många personer måste det vara för att alla ska få lika många hela bitar var om man totalt har 87 godisbitar? En lösning
är att en person får alla 87 bitarna. Kan du hitta de övriga tre lösningarna? Förklara din tankegång.
Ibland kan du behöva räkna med bråk i vardagen. Om du ska göra en god smoothie kan du mixa ingredienserna i receptet som står i bildtexten på nästa sida. Om du ska göra åtta smoothies och glasbehållaren har volymen 1,5 liter, kommer du då att kunna blanda allt i mixern?
ADDITION
Två bråk kan adderas bara om de har gemensam nämnare. Då adderas täljarna med varandra.
SUBTRAKTION
Två bråk kan subtraheras bara om de har gemensam nämnare. Då subtraheras täljarna med varandra.
GEMENSAM NÄMNARE
Två bråk med gemensam nämnare har samma tal under bråkstrecket.
BRÅK MED SAMMA NÄMNARE
Ingredienser till en smoothie:
• 3/4 dl frysta hallon
• 1/4 dl blåbär
• 1/2 dl grekisk yoghurt
• 2/3 dl jordgubbar
• 1/8 tsk vaniljpulver
BRÅK MED OLIKA NÄMNARE
Att addera och subtrahera bråktal där båda bråktalen har samma nämnare är enkelt. Du behåller nämnaren som den är och adderar eller subtraherar täljarna:
Om det går att dela både täljaren och nämnaren med samma tal kan bråket förkortas till enklaste form.
För att addera bråktal med olika nämnare måste bråktalen först få en gemensam nämnare. Om du ska addera till exempel 6 och 2 måste du först se till att de har samma nämnare. Om du förlänger 2 med 2 till 6 kan du addera dem:
ADDITION OCH SUBTRAKTION MED HELTAL OCH BRÅK
Om du kan se direkt att det finns ett samband mellan nämnarna (i exemplet finns 3 och 6 i treans tabell) kan du förlänga båda bråken med 2 direkt.
Om du inte hittar något samband mellan nämnarna kan du alltid multiplicera nämnarna och täljarna med samma tal och på så sätt förlänga bråket så att båda bråken får gemensam nämnare:
Svaret är i emklaste form eftersom bråket inte kan förkortas.
Subtraktion fungerar på motsvarande sätt.
För att addera eller subtrahera heltal med ett bråk gör du först om heltalet till ett bråk med samma nämnare som bråket har
ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK I BLANDAD FORM
För att addera eller subtrahera bråk på blandad form är det enklast att först göra om bråken till enkel form och sedan räkna på vanligt sätt:
EXEMPEL NIVÅ 1
LÖSNING
SVAR
Beräkna 6 2
Eftersom nämnarna är olika kan vi inte addera dem direkt. Vi behöver hitta en gemensam nämnare. Eftersom 6 · 2 = 12 kan sjättedelarna göras om till tolftedelar. Sedan kan vi addera bråken:
EXEMPEL NIVÅ 2
LÖSNING
Du och dina kompisar delar på tre pizzor med olika topping. Den första pizzan delas i tredjedelar, den andra pizzan delas i fjärdedelar och den tredje pizzan delas i tolftedelar. Du tar två bitar av första pizzan och en bit av de båda andra pizzorna.
Har du sammanlagt ätit mer eller mindre än en hel pizza?
Du tar 2 av den första pizzan, av den andra pizzan och 2 av den tredje pizzan. För att addera bitarna ska du beräkna summan 2 2
För att kunna addera måste du hitta en gemensam nämnare till alla tre bråken. Eftersom 12 är delbart med 3, 4 och 12 är 12 en gemensam nämnare.
SVAR
Du har sammanlagt ätit exakt en pizza.
ÖVNINGAR / NIVÅ 1
2.3.1
Beräkna och svara i enklaste form. a) b) c) 2 d) 2 6 2
2.3.2
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) c) 2 d) 6
2.3.3
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) 2 c) 6 d) 2 2
2.3.4
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) c) 6 d)
2.3.5
Vad är skillnaden mellan och ?
2.3.6
Visa två olika sätt att addera ihop två bråk med nämnaren 10 för att få summan .
2.3.7
Du har liter mjölk och dricker upp liter. Hur mycket mjölk finns kvar?
2.3.8
I en påse är av kulorna röda och är blå. Hur stor del av kulorna är antingen röda eller blå?
2.3.9
Anna och Peter delar på en tårta. Anna äter och Peter äter . Hur stor del av tårtan har de ätit tillsammans?
2.3.10
Du blandar liter röd färg med liter blå färg för att få lila färg. Hur mycket lila färg får du totalt?
2.3.11
En vägg ska målas. Per målar av väggen och hans kompis målar av väggen. Hur stor del av väggen är inte målad?
ÖVNINGAR / NIVÅ 2
2.3.12
Beräkna och svara i blandad form.
a) 2 2 b) 2 2 6
2.3.13
Beräkna och svara i blandad form.
a) 2 2 b) 2 c) 2 d) 2 2
2.3.14
Beräkna och svara i enklaste form.
a) 2 2 b) c) 2 2 d) 6
2.3.15
Beräkna och svara i enklaste form.
a) 2 b) c) 2 d) 6
2.3.16
Beräkna och svara i enklaste form.
a) 6 b) 2 6
2.3.17
Skriv summan av och i blandad form.
2.3.18
Vilket av de fyra alternativen är inte lika med ? a) b) 6 2 2 c) 6 6 d) 2 6 2
2.3.19
I en tygpåse är av kulorna röda, är blå och resten är gröna. Hur många av kulorna är gröna?
Svara med ett bråk.
2.3.20
Emma har meter tyg. Hon använder meter för att sy en kjol. Hur mycket tyg har hon kvar?
2.3.21
En rektangel har en kort sida som är 2 cm och en lång sida som är cm. Vad är rektangelns omkrets?
2.3.22
Beräkna och svara på valfri form. a) 6 b) 2 c) 2 d) 6 6
2.3.23
Beräkna och svara i blandad form: 2 2
2.3.24
Johan tränar löpning. På måndagen springer han km, på onsdagen 2 km och på fredagen km. Hur långt har han sprungit totalt?
2.3.25
Du ska sy gardiner och har meter tyg. Du behöver klippa till tre bitar som var och en ska vara exakt meter långa. Räcker ditt tyg till alla tre bitar? Om ja, hur stor del tyg blir över? Om nej, hur stor del saknas? Svara med ett bråk i enklaste form.
2.3.26
En vattentunna är fylld med vatten till av sin totala volym. Först tappas av tunnans totala volym, och därefter tappas ytterligare av tunnans totala volym. Hur stor del av tunnan är fortfarande fylld med vatten?
2.3.27
På en skola cyklar av alla elever till skolan. Av alla elever på skolan är det som går. Resten av eleverna åker buss. Hur stor andel av skolans elever åker buss?
2.3.28
Summan av tre olika bråk är 2 2 . Två av dessa bråk är och 6 . Vilket är det tredje bråket?
2.3.29
En elev påstår att 2 2 2
Förklara vilken missuppfattning eleven har gjort och visa den korrekta lösningen.
2.3.30
Två bilar kör samma sträcka. Bil A kör 2 av sträckan, vilar, och kör sedan till. Bil B kör av sträckan, vilar, och kör sedan till.
a) Vilken bil har kört längst?
b) Hur stor del av hela sträckan skiljer bilarna åt?
2.3.31
En chokladkaka har 24 bitar. Bryt av 18 bitar så att det bildas två chokladkakor. Dela var och en av de båda nya bitarna i två delar där den ena delen är dubbelt så stor som den andra. Du har nu fyra chokladbitar. Om du äter upp de tre största bitarna, hur stor del av chokladkakan är kv r? T ps! R t n ur.
2.3.32
Addera talet 1 till dess hälft, 2, sedan till hälften av hälften och så vidare: 2
Vilket tal närmar sig resultatet, om du fortsätter uträkningen?
Du har redan lärt dig att att addera och subtrahera bråk. Men vilket blir resultatet om du istället multiplicerar eller dividerar två bråk med varandra?
MULTIPLIKATION
Vid multiplikation av två bråk multipliceras nämnarna för sig och täljarna för sig.
MULTIPLIKATION MED HELTAL
Vid multiplikation av ett bråktal med ett heltal multipliceras täljaren med heltalet.
INVERTERAT BRÅK
I ett inverterat bråk har täljaren och nämnaren bytt plats.
Produkten av ett bråk och dess inverterade bråk är ett.
DIVISION
Division med ett bråktal är detsamma som multiplikation med det inverterade bråket.
DIVISION MED HELTAL
Vid division av ett bråktal med ett heltal multipliceras nämnaren med heltalet.
PRIORITERINGSREGLER
Först beräknas parenteser och sedan multiplikation och division i valfri ordning. Sist görs addition och subtraktion i valfri ordning.
MULTIPLIKATION AV
Om du multiplicerar antalet bitar av varje sort i bilden på nästa sida med bråket som står skrivet på biten får du alltid produkten 1. Till exempel fnns det 5 röda bitar som det står 1/5 på.
Att multiplicera två bråk, till exempel och , är enklare än att addera dem. Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna multipliceras varandra. Du behöver alltså inte hitta en gemensam nämnare.
Man kan visa detta geometriskt. Rektangeln nedan är indelad i lika många delar på höjden som nämnaren (3) i det första bråket och indelad på bredden i lika många delar som nämnaren (5) i det andra bråket. Totalt finns det 3 · 5 = 15 rutor, alltså lika många som nämnaren. Antalet rutor som är markerade motsvarar täljaren: 1 · 1 = 1 rutor. av figuren är markerad.
Detta gäller även för bråktal där täljaren inte är ett. Exempelvis är
2 2 6
MULTIPLIKATION AV HELTAL OCH BRÅK
Alla rutor motsvarar nämnaren. Antalet rutor som är markerade motsvarar täljaren: 2 · 3 = 6 rutor. 6 av figuren är markerad. 6 kan sedan förkortas till 2 .
Principen gäller för alla bråktal. Nämnarna multipliceras för sig och täljarna för sig. Om du ska multiplicera bråk på blandad form gör du först om dem till bråkform:
Att multiplicera heltal och bråktal är lika enkelt som att multiplicera två bråk. Eftersom ett heltal, till exempel 3, är detsamma som multiplicerar du helt enkelt täljaren med heltalet: 2 2 2 6
Du har lärt dig att multiplicera två bråk med varandra, till exempel och 2 . Men om du istället vill dividera bråken med varandra måste du använda något som kallas inverterade tal.
Ett exempel på en division mellan två bråk är
INVERTERADE TAL
Om du multiplicerar talen 5 och blir produkten 1:
DIVISION AV TVÅ BRÅK
Talen och 5 sägs vara inverterade tal eftersom produkten blir 1 när du multiplicerar dem. Det är enkelt att hitta det inverterade talet till ett bråk. Du byter helt enkelt plats på täljare och nämnare. Det inverterade talet till är eftersom
Division med ett bråktal är detsamma som multiplikation med det inverterade bråket. Du vet sedan tidigare att division med två är detsamma som multiplikation med en halv. Till exempel är
6 2 6 2
Detta gäller inte bara för heltal, utan för alla bråk. Vi börjar med att visa steg för steg hur det fungerar och sammanfattar sedan. Utgå från bilden och följ resonemanget:
Vi börjar från vänster. Vi vill dividera:
Vi multiplicerar med den inverterade nämnaren i både täljaren och nämnaren:
DIVISION AV HELTAL OCH BRÅK
Nämnaren blir då 1:
Sedan multiplicerar vi täljaren och räknar ut svaret.
Detta är en lång förklaring av hur man dividerar två bråk med varandra, steg för steg.
Men när du räknar kan du hoppa över nästan alla stegen. Du behöver bara tänka på att division med ett bråktal är samma sak som multiplikation med det inverterade bråket: 2 2 6
Att dividera bråktal med heltal är lika enkelt som att dividera två bråk. Även här kan du räkna med inverterade bråk.
Om du till exempel dividerar bråktalet med heltalet 5, multiplicerar du istället med , det inverterade talet till 5:
Resultatet blir detsamma som att multiplicera nämnaren med heltalet.
Att dividera heltal med bråktal fungerar på motsvarande sätt och är lika enkelt som att dividera två bråk. Om du till exempel dividerar heltalet 5 med bråktalet multiplicerar du istället med 3, det inverterade talet till :
EXEMPEL NIVÅ 1
Beräkna:
LÖSNING
a) Täljare och nämnare multipliceras med varandra: 2
b) Täljaren multipliceras med den inverterade nämnaren: 2
2
SVAR
EXEMPEL NIVÅ 2
LÖSNING
Jonas har kokat liter hallonsaft. Saften ska hällas upp i små glas som rymmer liter vardera. Hur många glas kan Jonas fylla?
För att ta reda på hur många glas som kan fyllas måste den totala mängden saft delas med den mängd som får plats i ett glas:
SVAR
Täljaren multipliceras med den inverterade nämnaren: 2
Förenkla bråket genom att räkna ut divisionen: 2 6
Jonas kan fylla sex glas med hallonsaft.
2.4.1
Beräkna och svara i enklaste form. a) 6 b) 2 c) 2
2.4.2
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) c)
2.4.3
Beräkna och svara i enklaste form. a) b) 2 c) 6
2.4.4
Beräkna och svara i enklaste form.
a) 2 b) 2 c) 6 d)
2.4.5
Beräkna och svara i enklaste form.
a) b) 2 c) d) 2
2.4.6
Beräkna och svara i enklaste form a) 2 b) c) 2 6 d)
2.4.7
Om du multiplicerar talet 4 med 2, blir produkten då större eller mindre än 4? Förklara hur du tänker.
2.4.8
Peter har 4 liter juice. Han häller upp den i glas som rymmer liter vardera. Hur många glas kan han fylla?
2.4.9
Kalle har liter saft som han delar med två kompisar. Hur mycket saft får var och en?
2.4.10
Anna äter av en halv pizza. Hur stor del av en hel pizza äter hon?
2.4.11
Hur mycket är hälften av ? Svara som bråk.
2.4.12
Ett recept kräver 2 dl socker för en hel sats. Du vill baka en halv sats. Hur mycket socker behövs?
2.4.13
En skål innehåller 24 frukter. av dem är äpplen. Hur många äpplen finns det i skålen?
2.4.14
En tygbit är meter lång. Den ska klippas i 3 lika långa delar. Hur lång blir varje del i meter?
2.4.15
av eleverna på skolan vill åka alla karuseller på tivolit. Totalt går det 232 elever på skolan. Hur många elever vill åka alla karuseller?
ÖVNINGAR / NIVÅ 2
2.4.16
Beräkna och svara i enklaste form.
a) 2 2 b) 2 c) 2 2 d) 2
2.4.17
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 2
2.4.18
Förklara varför följande likhet gäller.
2.4.19
Vilket tal måste du multiplicera med för att få 1?
2.4.20
En rektangel har sidolängderna meter och meter. Vad är rektangelns area?
2.4.21
Anna ska fylla vattenflaskor inför en handbollsturnering. Hon har en dunk med 12 liter vatten. Varje flaska rymmer liter. Skriv en lösning som visar hur många flaskor hon kan fylla.
2.4.22
1 liter hostmedicin ska hällas upp i små bägare som rymmer dl.
Hur många bägare räcker medicinen till?
2.4.23
En flicka och hennes föräldrar dricker 2 l mjölk om dagen per person.
a) Hur mycket mjölk dricker familjen på en vecka?
b) Hur många 1,5-litersförpackningar motsvarar detta?
Svara i decimalform.
2.4.24
Vilket bråk ska stå istället för frågetecknet för att likheten ska stämma? a) 2 b) c) d) 2
2.4.25
Beräkna och svara i blandad form. a) 2 b) 2 c) 2 d) 2
2.4.26
Beräkna och svara i blandad form. a) 2 b) 6
2.4.27
Hur mycket är dubbelt så mycket som 2? Svara i blandad form.
2.4.28
Anna bakar 3 satser kanelbullar. Varje sats kräver 2 dl mjölk. Hur mycket mjölk behövs totalt? Svara som ett heltal.
2.4.29
Martin fyller 6 2 l färskpressad apelsinjuice på -litersflaskor.
Hur många flaskor behöver han?
2.4.30
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 6 b) 2 6 c) 2 2 d)
2.4.31
Beräkna och svara i enklaste form. a) 2 b) 2 c) 2 2 2 d) 6
2.4.32
Lägg ihop produkten av 2 2 med kvoten av . Vad blir summan?
2.4.33
Sara har fyllt elva påsar med kg hundmat i vardera, sju påsar med kg och nio påsar med 2 2 kg. Hur mycket väger påsarna tillsammans? Svara i kg.
2.4.34
En rektangulär tomt har arean 2 kvadratkilometer. Dess bredd är km. a) Vad är tomtens längd?
b) Om man vill bygga ett staket runt hela tomten, hur långt blir staketet?
2.4.35
I en skola spelar av alla elever ett musikinstrument. Av de elever som spelar ett instrument, är det 2 som spelar piano. Hur stor andel av skolans elevantal spelar inte piano, utan spelar ett annat instrument?
2.4.36
I dansgruppen Crazy Feet är det 9 pojkar och 12 flickor. Vid senaste träningen var av pojkarna och av flickorna hemma på grund av influensa.
Hur stor del av gruppen deltog i träningen?
Svara i enklaste form.
2.4.37
Beräkna och svara i enklaste form.
2
2.4.38
Anta att du multiplicerar två positiva bråk. Båda bråken har ett värde som är mindre än 1. Kan produkten någonsin bli större än något av de två ursprungliga bråken? Motivera ditt svar.
2.4.39
Visa geometriskt att 2
I l n rus r t n r m – l n känns t som tt n står st ll . En v k s sols m st r fly r vä , m n m
minuter i tandläkarstolen känns som en evighet. Men vad tid egentligen är vet faktiskt ingen. Den berömde fysikern
Albert Einstein sade att ”Tid är vad klockan visar”. I det här avsnittet nöjer vi oss med att undersöka om hur tiden kan delas in i olika enheter och hur man kan översätta mellan dessa enheter.
TIDSENHETER
Vanliga tidsenheter är år (365 dygn), dygn (24 h), timmar (60 min), minuter (60 s) och sekunder.
BLANDAD ENHET
En tidsangivelse med blandade enheter skrivs med mer än en
måttenhet. Exempelvis varar en fotbollsmatch 1 timme och 30 minuter.
TIDPUNKT
En tidpunkt kan vara ett klockslag, ett årtal, ett datum, en månad eller en veckodag.
TIDSINTERVALL
Ett tidsintervall är den tid som har förfutit mellan två tidpunkter.
TIDSENHETER
Bilden visar världens äldsta fungerande astronomiska klocka. Den fnns i Prag och byggdes 1410. Klockan har både romerska och arabiska siffror och 24 timmar på ett varv. Dessutom visar den solens astrologiska tecken.
Det finns många tidsenheter, till exempel år, månader, veckor, dygn, timmar, minuter och sekunder. I avsnittet fokuserar vi på omvandlingen mellan dygn, timmar (h), minuter (min) och sekunder (s).
Vid längdenheter multiplicerar eller dividerar du med faktorn 10 för att omvandla mellan enheter, men när du mäter tid används andra faktorer:
• 1 dygn = 24 h
• 1 h = 60 min
• 1 min = 60 s
En viktig anledning till att man delar in 1 dygn i 24 timmar och 1 timme i 60 minuter är att man kan dela in tidsenheterna i mindre, användbara delar.
På en analog klocka visas både timmar och minuter. Talen 24 och 60 kan verka konstiga för oss som är vana vid att räkna med en faktor tio, men de används eftersom man förr hellre räknade med delar än med decimaler. 24 går att dela i 2, 3, 4 och 6 hela delar och 60 kan delas i ännu fler: 2, 3, 4, 5, och 6.
OMVANDLING AV TIDSENHETER
Timvisaren rör sig två varv (2 · 12 h) på ett dygn. På en timme rör sig minutvisaren ett varv. De 60 kortare skalstrecken visar minuterna och de lite längre skalstrecken visar var femte minut. I dagligt tal delar vi in timmen i ytterligare delar: en kvart är 15 minuter och en halvtimme är 30 minuter.
Tidsenheter uttrycks ofta som bråk. En minut är 6 h, en halvtimme är 6 h = 2 h = 0,5 h och en kvart är 6 h = h = 0,25 h. Du kan alltså skriva tid på flera sätt: som bråk, decimaltal och i minuter:
BLANDADE ENHETER
För att gå från en större till en mindre tidsenhet multiplicerar du med faktorn 60:
4 h = 4 · 60 min = 240 min
För att gå från en mindre till en större tidsenhet dividerar du med faktorn 60:
TIDSINTERVALL
En fotbollsmatch varar 90 minuter, detsamma som en och en halv timme. Om du ska skriva detta med enheter blir det:
90 min = 1 h 30 min
När man skriver på detta sätt säger man att man använder blandade enheter.
En tidpunkt kan vara ett klockslag men även ett årtal, ett datum, en månad eller en veckodag. Ett tidsintervall är den tid som har förflutit mellan två tidpunkter.
Det enklaste sättet att räkna ut hur lång tid det är mellan 18.20 och 02.13 är att dela upp tidsintervallet i mindre delintervall som är enklare att räkna på:
• Från 18.20 till 19.00 är det 40 min.
• Från 19.00 till 00.00 är det 5 h.
• Från 00.00 till 02.00 är det 2 h.
• Från 02.00 till 02.13 är det 13 min.
Tidsintervallet är alltså summan av dessa delintervall: 40 min + 7 h + 13 min = 7 h 53 min.
EXEMPEL NIVÅ 1 LÖSNING SVAR
Tåget från Malmö till Göteborg avgår 14:15 och är framme 16:45. Hur lång tid tar tågresan? Svara med blandade enheter (timmar och minuter) och på blandad bråkform.
Från 14:15 till 16:15 har det gått 2 timmar. Från 16:15 till 16:45 är det 30 minuter. Den totala restiden är 2 h och 30 min. Eftersom 30 minuter är detsamma som en halvtimme 2 , kan tiden skrivas som 2 2 h.
Tågresan tar 2 h och 30 min eller 2 2 h.
EXEMPEL NIVÅ 2
LÖSNING
Amina tränar inför en simtävling. På måndagen tränar hon i h och på tisdagen i 1,5 h. Hennes mål är att träna totalt 5 timmar under veckans tre första dagar. På onsdagen börjar hon sitt sista träningspass kl. 17:50. Vilken tid kan hon sluta om hon ska nå sitt mål?
Omvandla först alla tider till en och samma enhet. Under måndagen tränar Amina h. Eftersom h = 45 min tränar hon totalt 60 + 45 = 105 min. Under tisdagen tränar hon 1,5 h = 90 min. Under måndagen och tisdagen har hon totalt tränat 105 + 90 = 195 minuter.
Mål t är tt trän 5 = 300 m nut r. Då åt rstår 300 – 195 = 105 m nut r (1 h och 45 minuter) att träna under onsdagen.
Amina startar träningen 17:50. När hon har tränat en timme är klockan 18:50 och 45 minuter senare är den 19:35.
Amina kan sluta träna 19:35 om hon ska nå sitt mål.
2.5.1
Skriv om tiderna till minuter och sekunder. a) 2,5 minuter b) 400 sekunder
2.5.2
Omvandla tiderna till den angivna enheten. a) 3 min = ___ s
b) 4 h = ___ min
c) 1 800 s = ___ min
d) 5 h 13 min = ___ min
e) 4 min 12 s = ___ s f) 3 h och 20 min = ___ min g) 2,5 min = ___ s
2.5.3
Hur lång tid är det mellan tidpunkterna? Svara med blandade enheter. a) 13:56 och 17:44 b) 09:14 och 16:17
2.5.4
Omvandla till timmar. Svara i bråkform. a) 10 minuter b) 60 minuter
2.5.5
Hur stor del av en timme har minutvisaren rört sig? Svara i bråkform.
2.5.7
En film är 1 timme och 45 minuter lång. Den börjar 18:30. Vilket klockslag slutar filmen?
2.5.8
Det tar 15 minuter att cykla till skolan. Om du måste vara framme 08:00, när måste du cykla hemifrån?
2.5.9
En fotbollsmatch slutar 21:15. Den pågår i exakt 90 minuter utan paus. När började matchen?
2.5.10
Du bakar en kaka som ska vara i ugnen i 40 minuter. Klockan är nu 15:35. När ska kakan tas ut ur ugnen?
2.5.11
Ett prov pågår från kl. 08:45 till kl. 10:10. Hur många minuter långt är provet?
2.5.12
På en vecka tränar Johan 45 minuter om dagen i 4 dagar. Hur många timmar har han tränat totalt?
2.5.13
Klockan är "kvart över åtta på kvällen". Vad är klockan om 4 timmar och 50 minuter?
2.5.14
Klockan är nu 14:00. Vad var klockan för exakt 3 timmar och 15 minuter sedan?
2.5.6
Du ska sova i 8 timmar. Om du somnar 22:00, när ringer väckarklockan och väcker dig?
/ NIVÅ 2
2.5.15
Omvandla tiderna till timmar. Svara i bråkform. a) 15 min b) 36 min c) 4 860 s d) 126 min
2.5.16
Omvandla tiderna till minuter. Svara i decimalform.
a) 36 s b) 1 min 48 s c) 3,2 h d) 2 h och 55 min
2.5.17
Skriv om tiderna till timmar och minuter.
a) 3,5 h b) 2 c) 2 d) 3,23 h
2.5.18
Ett tvättprogram på tvättmaskinen tar 1 timme och 8 minuter. Du startar maskinen 19:55. Vilket klockslag är den klar?
2.5.19
Ett tåg från Stockholm till Göteborg tar vanligtvis 3 timmar och 15 minuter. I dag blev tåget försenat 45 minuter. Om tåget avgick 14:48, vilket klockslag anlände det till Göteborg?
2.5.20
Bussen avgår 14:52 och kommer fram 15:37. Hur många minuter tog bussresan?
2.5.21
Beräkna den totala tiden för tre låtar som är 3 min 45 sek, 4 min 10 sek, och 2 min 55 sek långa. Svara i minuter och sekunder.
2.5.22
En bilresa tar 2 timmar och 12 minuter. Om du anländer kl. 16:05, när startade resan?
2.5.23
En idrottare springer ett varv på en bana på 1,25 minuter. Hur lång tid tar det att springa 12 varv med samma hastighet? Svara i minuter och sekunder.
2.5.24
Astrid ska hälsa på sin faster. Hon tar tåget klockan 14.32 och åker i 2 timmar och 10 minuter. Sedan måste hon byta till buss. Hon väntar i 14 minuter på bussen. Bussresan tar 2 timmar och 2 minuter. När hon kommer fram möter hennes faster henne. Efter 3 minuter ta de bilen till fastern och bilfärden tar 12 minuter. När är Astrid framme vid sin fasters hus?
2.5.25
Under en stafett springer fyra personer. Deras individuella tider var 12 min 45 sek, 13 min 10 sek, 11 min 55 sek och 12 min 30 sek. Vad blev lagets totala tid i minuter, uttryckt i decimalform?
2.5.26
Du planerar en fest. Det tar 1 timme och 45 minuter att laga maten, 30 minuter att duka, och 1 timme att städa. Du vill ta en paus på 20 minuter mellan städningen och dukningen. Om gästerna kommer kl. 18:00 och allt ska vara klart exakt då, när måste du allra senast börja förbereda dig?
2.5.27
En tågresa tar 665 minuter. Skriv restiden i timmar. Svara som bråk i blandad form.
2.5.28
En trasig vattenkran läcker 10 ml vatten per minut. Hur många liter vatten läcker under ett dygn?
2.5.29
Ditt abonnemang tillåter dig att lyssna på ljudböcker i exakt 20 timmar i månaden. Om du lyssnar i 45 minuter om dagen i 22 dagar, hur stor del av din totala månadstid har du då förbrukat? Svara i enklaste bråkform.
2.5.30
Det tar Kalle timme att cykla till jobbet. Sträckan är 15 km. Hur många minuter skulle det ta honom att cykla till jobbet om han ökade hastigheten så att restiden minskade med ?
2.5.31
I dag var vädret sisådär. På morgonen sken solen i 50 minuter. Sedan regnade det. Vid lunchtid sken solen i 40 minuter innan det mulnade på. På eftermiddagen var det sol i tre timmar och på kvällen sken solen i 110 minuter. Hur många timmar sken solen? Svara som bråk i blandad form.
2.5.32
Stefan och Mattias tränar längdskidåkning. Stefan börjar träna klockan 13:50 och slutar efter timme. Mattias tränar 2 2 timme och blir klar klockan 14:35.
a) Vad var klockan när Stefan var klar? b) Vad var klockan när Mattias började?
2.5.33
En mekanisk klocka är trasig och saktar sig 2 minuter för varje timme som går i verkligheten. Den ställs in på exakt rätt tid kl. 12:00 på måndagen. Vilket klockslag visar denna felaktiga klocka när den riktiga tiden är exakt 08:00 på tisdag morgon?
2.5.34
Enheterna vi använder för tidräkning innebär att vi inte kan använda våra vanliga uppställningar för addition och subtraktion när klockan slår över till en ny timme.
Under en idrottsdag springer eleverna en löprunda på tid. Tidpunkterna för start (11:37) och målgång (13:22) antecknas i en skriftlig uppställning. Resultatet av uträkningen, att löprundan tog 1 h och 85 min, visas i uppställningen nedan.
a) Vilket är felet i uppställningen?
b) Hur lång tid tog löprundan i verkligheten?
c) Om du skulle vilja göra en uppställning för att hitta tidsskillnaden mellan två tidpunkter, hur skulle den fungera? Visa uppställningen och förklara hur du tänker.