2.1Křivka
Přechodnaparametrickévyjádřenílzeukázatnapříkladupřímky.Vpřípaděrovnice(2.1)platí x1 ∈ R akaždéhodnotě x1 jepřiřazenajednakonkrétníhodnota x2 Nynípouzestačíhodnoty x1 ,x2 zapsatjakofunkceparametru u.Rovnicepřímky sezměnína:
x1 (u)= u, (2.4) x2 (u)= Au + B, (2.5)
kdeparametr u ∈ R.Zdesenejednáonijakdramatickouzměnu,alevpřípadě elipsyjepatrnézjednodušeníoprotivztahu(2.2):
x1 (u)= A + p1 cos u, (2.6) x2 (u)= B + p2 sin u. (2.7)
Možnostzavéstsouřadnicebodujakofunkciparametruvýznamněrozšiřuje množstvíútvarů,kterélzepopsat.Nížejeuvedenoněkolikukázek. x1 =cos(2πu)[A cos(12πu)+ B ] ,
πu
Obrázek2.1: Třiparametrickékřivkyvykreslenépodlerovnic(2.8)a(2.9),rozdíl jepouzevkonkrétnívolběkonstanty A
Obrázek2.2: Parametrickákřivkavykreslenápodlerovnic(2.10)až(2.12) x3 = a sin(40πu) (2.12)
x1 =0, 5 |sin(4πu)|− 0, 5, (2.13) x2 =sin(2πu), (2.14) x1 =0, 5sin(4πu)+0, 8. (2.15)
Několikpoznámekkparametrickýmkřivkám:
• Křivkyjsouorientovanévesměrurostoucíhoparametru.
• Křivkamůževícekrátprocházetjednímbodem.Napříkladčervenáosmička naobrázku2.3,kterájevykreslenapodlerovnic(2.14)a(2.15).Parametr u můženabývatlibovolnéhodnotyzoborureálnýchčísel.Pokudje u =0,je vykreslenstředosmičky.Tenvšakjevykreslenipro u =0, 5 a u =1.Při bližšímpohleduzjistíme,želzenajítnekonečněmnohohodnotparametrů u, prokteréjevykreslenstředovýbodosmičky.
Dále,celouosmičkulzevykreslitzapoužitípouzemnožiny u ∈ 0;1).Není třebavyužítvšechhodnotzmnožinyreálnýchčísel.
• Existujevícemožností,jakvykreslitjednukřivku.Napříkladúsečkumůžeme vykreslitpodle:
x1 = u, (2.16) x2 = u, (2.17)
Obrázek2.3: Parametrickákřivkavykreslenápodlerovnic(2.13)a(2.14)–modře, (2.14)a(2.15)–červeně
kde u ∈ 0;1 .Úsečkajeznázorněnanaobrázku2.4vlevo,kdejsouzvýrazněné bodyodpovídajícíhodnotěparametru0;0,25;0,5;0,75a1.Stejnouúsečku lzevykreslitipomocí:
nicméněvtomtopřípadějižbodyúsečkynebudourozloženyuniformně,ale budouvykresloványsvyššíhustotounajednéstraně,vizobrázek2.4vpravo, kdejsouopětzvýrazněnybodyprohodnotuparametru0;0,25;0,5;0,75a1.
2.1.1Tečnývektorkekřivce
Parametrickoukřivkulzechápatjakotrajektorii,kterouurazíbod(průvodič)za určitýčas.Časjevtomtopřípaděreprezentovánparametrem. 1 Derivacetrajektoriepodlečasudefinujerychlostprůvodičevdanémmístě,cožjetečnývektor. Matematickýzápisvypadánásledovně: gi (u)= ∂xi (u) ∂u , (2.20) kde xi jepolohovývektorkřivky, gi jetečnývektora u parametr.Tečnývektorje možnévyužítjakosměrovývektortečnykekřivce: yi = gi u + Ai , (2.21)
1 Jevýhodnépoužívattakovýpopis,abyseparametrpohybovalvrozmezí0až1,aleneníto nutnost.
Obrázek2.4: Úsečkavykreslenápodlerovnic(2.16)a(2.17)–vlevo,(2.18)a(2.19) –vpravo
kde yi jsoubodytečny, Ai značíbod,kterýmtečnaprochází.Tečnývektorlze využítiprovýpočetdélkykřivkypodle:
Zatímcotečnévektoryvjednomboděobecnéprostorovékřivkymohoumítjen dvěorientace,buďvesměruměnícíhoseparametru,neboopačnou,vektorkolmý nakřivkumůžemítvdanémboděnekonečněmnohomožnýchorientací.
2.1.2Bézierovakřivka
Přestožedoposuduvedenéparametricképopisykřivkyznačněrozšiřujímnožství tvarů,kterélzematematickypopsat,stálejetujistáobtížsnalezenímté„správné“ funkce.Funkce,kterábudepopisovatpožadovanýtvarapřitombudedostatečně jednoduchá.TentoproblémpřekonáváBézierovakřivka,jejížpolohovývektorje definovánnásledovně:
x(u)= M j =0 rj B M j (u), (2.23)
kde u ∈ 0;1 jeparametr, x jepolohovývektorbodůvlastníkřivky.Vektory rj jsoupolohovévektorytakzvaných řídicíchbodů ,kteréurčujítvarkřivky.Řídicích bodůjecelkem M +1 B M j jsou Bernsteinovypolynomy :
B M j (u)= M j uj (1 u)M j . (2.24)
Naobrázku2.5jezobrazenaukázkaBézierovykřivky.Počátekkřivkyjevždy totožnýsřídicímbodemčíslo0avždykončívřídicímboděčísloM(vtomto případě M =6).Tečnývektorlzevypočítatdosazenímvztahu(2.23)do(2.20)
Obrázek2.5: Bézierovakřivkavč.očíslovanýchřídicíchbodůstečnamivedenými počátečnímakoncovýmbodemkřivky
suváženímrovnice(2.24).Výslednývztahprovýpočettečnéhovektoruje:
VztahprotečnývektorBézierovykřivkylzesnadnoodvodit.Derivacívýrazu(2.23) podleparametru u vznikne:
Následujerozepsánívšechčlenůsumace:
+ rj M j juj 1 (1 u)M j uj (M j)(1 u)M j 1 + . + rM 1 M M 1 (M 1) u M 2 (1 u)M M +1 u M 1 (M M +1)(1 u)M M + + rM M M MuM 1 (1 u)M M u M (M M )(1 u)M M 1 . (2.27)
Nejprvetozjevné:červenéčlenyjsounulové.Nynístačíupravitpouzemodréčleny, kteréjsounapsánysobecnýmsčítacímindexem j,takžeautomatickyplatíprovšechny zbývajícíčlenysumace.2 Kombinačníčíslalzeupravitnásledovně: M j = M ! (M
Dosazenímvýrazů(2.29)a(2.28)dorovnice(2.27)avtaženímjmenovateledohranaté závorkylzepřepsatmodréčlenynásledovně:
Dosazenímlibovolnéhočíslaod1do M zaindex i lzeobdržetkonkrétnídvojici sčítancůzrovnice(2.27).Sečtenímzelenýchčástíprovšechnymožnéindexy i lzetedy získattvar(2.25).
2 Stačídosazovatkonkrétníhodnoty j
Dalšíanalýzaukazuje,žetečnývektorvpočátečnímboděkřivkyjedefinován řídicímibody0a1.Stačídosaditdovztahu(2.25) u =0,cožvedek:
Podobně,tečnavkoncovémboděkřivkyjeurčenařídicímibodyčíslo M 1 a M .Opětjetozřejmépodosazenídovztahu(2.25),tentokrátvšak u =1:
Bez Béziera bych neexistovala.
2.2Plocha
Plochajedvourozměrnýobjekt,takžekjehopopisujsoupotřebnédvaparametry. Obecnáfunkce(polohovývektor)probodparametricképlochypakje x(u,v),kde u a v jsouvýšezmíněnéparametry.Polohovývektor x můžemítlibovolnýpočet dimenzí,zdevšakbudouuvažoványpouzedvěnebotři,podlepotřeby. Jednoduchourovinulzezapsatnásledovně: x1 = u, (2.32) x2 = v, (2.33)
kde u,v ∈ R.Bodyplochyjsouvprostorurozloženyrovnoměrně.Avšakstejnou plochulzezapsattřebainásledujícímzpůsobem: x1 = u 3 , (2.34) x2 =1+ v. (2.35)
Zdejižbodyplochynejsourovnoměrněrozloženy,aleopětjipopisujícelou.Rozdíl vevýšeuvedenýchzápisechjeznázorněnnaobrázku2.6.
Obrázek2.6: Parametrickáplocha,vlevovykreslenápodlevztahů(2.32)a(2.33), vpravovykreslenápodle(2.34)a(2.35)
Ukázkaoněcosložitějšíplochysenacházínaobrázku2.7,kterájevykreslena podlerovnic(2.36)až(2.38).Jednáseokrycídiskčerpadla. x1 =(A + vB )cos(2πu), (2.36) x2 =(A + vB )sin(2πu), (2.37) x3 = D + C e vB , (2.38)
kdekonstanty A =2, B =5, C =2, D =1.Parametry u,v ∈ 0;1 .
Vlastnostiparametricképlochyjsoupodobnéjakovpřípaděparametrických křivek.Plochajeorientovaná,můževícekrátprocházetstejnýmbodemaexistuje vícemožností,jakpopsatjedentvar.
2.2.1Tečnýanormálovývektorkploše
Kplošejemožnévjednombodědefinovatnekonečněmnohotečnýchvektorů, alevpřípaděparametricképlochyseomezímejennadva.Tečnývektorvesměru parametru u:
gu (u,v )= ∂ x(u,v ) ∂u (2.39) atečnývektorvesměruparametru v :
gv (u,v )= ∂ x(u,v ) ∂v . (2.40)
Pomocítečnýchvektorůjemožnéurčitvektornormálový: n(u,v )= gu (u,v ) × gv (u,v ) |gu (u,v ) × gv (u,v )| (2.41)
Obrázek2.7: Parametrickáplochaznázorňujícíkrycídiskčepadlavykreslenápodle rovnic(2.36)až(2.38)
Pravděpodobněnenítřebapřílišzdůrazňovat,ževelikosttaktodefinovanéhonormálovéhovektorujejedna.
Pomocívýšeuvedenýchvektorůlzenapsatrovnicitečnérovinynebopřímky kolmékploševdanémbodě.Tečnévektorymohouposloužittakékvýpočtu velikostipovrchuparametricképlochy:
2.2.2Bézierovaplocha
RovniceBézierovyplochyopětvycházízBernsteinovýchpolynomů,vizrovnici(2.24):
kdeparametry u,v ∈ 0;1 , x jepolohovývektorbodůvlastníplochy.Vektory ri,j jsoupolohovévektoryřídicíchbodů,kteréurčujítvarplochy.Řídicíchbodůje M +1 vesměru u a N +1 vesměru v,takžecelkem (M +1)(N +1)
Naobrázku2.8jeznázorněnarovinnáBézierovaplochavčetněřídicíchbodů, kteréjsoučísloványtak,žesijelzepředstavitjakočtverecneboobdélník.Prostou změnoupolohyřídicíchbodůplochazměnítvarnakouli,vizobrázek2.9,kdestojí zapovšimnutí,ževšechnyžlutéřídicíbodyjsounastejnémmístě,atotéžplatípro červenéřídicíbody.
JedenrohBézierovyplochyvždyležívřídicímbodě r0,0 adalšírohyplochyleží vřídicíchbodech r0,N , rM,0 a rM,N .Bézierovyplochyjemožnévyužítnapříkladpro
Bod 0,N
Bod 0,0
Bod 0,1
Bod 1,0
Bod i,j u v
Bod M,0
Bod M,N
Obrázek2.8: RovinnáBézierovaplochasezvýrazněnýmiřídicímibody
Obrázek2.9: Bézierovaplochavetvarukoulesezvýrazněnoupolohouřídicíchbodů
návrhgeometrieoběžnéhokolačerpadla[69],kmodelováníprůtočnégeometrie[58] anicnebránívjejichvyužitíkpopisuijinýchnežgeometrickýchvlastností,např. kproloženífunkcetlakuarychlostivhydrodynamickémložisku[42].
Tečnévektorylzezískatpodleobecnýchvztahů(2.39)a(2.40).Postupodvození jestejnýjakovpřípaděBézierovykřivky,takžezdejižnebudeukázán.
vj (1 v)N
(2.44) gv = N M i=0 N j=1 (ri,j ri,j 1) M i u i(1 u)M i
Sodkazemnaobrázek2.8avýšeuvedenérovnicetečnýchvektorů(2.44)a(2.45) lzevyjádřittečnévektoryvrohovýchbodechplochy:
gu(0, 0)= M (r1,0 r0,0), (2.46) gv(0, 0)= N (r0,1 r
gv(M, 0)= N (rM,1 rM,0), (2.49)
gu(0,N )= M (r1,N r0,N ), (2.50)
gv(0,N )= N (r0,N r0,N 1), (2.51)
gu(M,N )= M (rM,N rM 1,N ), (2.52)
gv(M,N )= N (rM,N rM,N 1) (2.53)
Tečnévektoryvobecnémboduavrohovýchbodechplochyjsouznázorněnyna obrázku2.10.
2.3Příklady
A)Napišteparametrickérovniceproplochynaobrázku2.11.
B) Najdětevhodnýpočetapolohuřídicíchbodůtak,abyBézierovakřivkaaproximovala kružnici.Jevhodnévyužítnapř. Excel
C) Unásledujícíchparametrickýchplochvypočítejtepolohustředuatečnévektory vtomtobodě.Parametry u a v vždynáležídointervalu 0;1
r =(u,v, 0)T , s =(u 2 ,v 2 , 0)T ,
t =[A cos(vπ),A sin(vπ),uA]T ; A> 0
D)Nakresletekřivkydefinovanénásledujícímirovnicemi,pokud u ∈ 0;1 Křivkaa)
x1 =10u 2 cos(2πu),
Obrázek2.10: Tečnéanormálovévektoryvobecnémboděavrohovýchbodech Bézierovyplochy
Obrázek2.11: Modrá,červenáazelenáplocha