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TE GRA APLICANDO INTEGRALES DEFINICION TEOREMAS EJERCICIOS
Bachiller: Luz Alejandra Barrios Rodriguez MATEMÁTICA II CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIA
Editorial ………………………………………………….…3 Integrales indefinidas…………………………………....…4 Ejercicios………………………………………………….…5 Teoremas……………………………………………….……6 Integrales inmediatas………………………………….……7 Ejercicios……………………………………………….….…8 Métodos de integración………………………………….…9 Ejercicios de cambio de variable………………………...10 Ejercicios de integración por parte……………………….11
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Este tema se basa en el concepto de integración indefinida y sus métodos para calcular integrales indefinidas. La integración indefinida es la operación contraria a la derivación. • La integral Indefinida nos permite hallar una función conocida su deriva. • Integral Definida es la que nos permite el calculo de área de figuras planas delimitadas por curvas o volúmenes de revolución.
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Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), se trata de buscar aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x) Si una función f(x) tiene primitiva entonces tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA ✓ La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
✓ La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
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EJERCICIOS
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TEOREMAS
1. Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una constante tal que para todo
4. Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo entonces
5. Si las funciones están definidas en el mismo intervalo entonces
2.
6. Si n es un numero racional, entonces
3.
Donde a es una constante
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Las integrales inmediatas o directas son las integrales qu no requieren aplicar ningún método de integración porque son muy sencillas. Por ejemplo, la integral de 2x es 𝑥 2 + c , dinde c es la constante de integración. A veces el integrando es una función multiplicada por su derivada. En este caso, la integrla es la propia función. ∫ 𝑓(𝑥). 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
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EJERCICIOS
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Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos de los cuales los mas extendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y de integración por partes. CAMBIO DE VARIABLE Uno de los procedimientos mas habituales para la resolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o cambio de variable.
Esta técnica consiste en introducir una nueva variable para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea mas fácil de integrar. Por ejemplo la integral:∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 INTEGRACION POR PARTES El método de la integración por partes se emplea para simplificar el calculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como el tipo u (x).v¿(x). La formula de la integración por partes es la siguente: ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
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EJERCICIOS DE CAMBIO DE VARIABLE
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EJERCICIOS DE INTEGRACION POR PARTE
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