Issuu

NA ODWROCIE

Biblioteka matematyków Przez tysiące lat nauka matematyki i wiedza matematyczna były domeną (głównie) mężczyzn, którzy mieli dostęp do ośrodków naukowych lub badawczych. Obecnie największe biblioteki znajdują się w Internecie i są dostępne dla wszystkich.

PO LEWEJ

WSTĘP

Tu i tam

Nauka matematyki umożliwiła ludzkości podróżowanie na inne planety i obserwowanie niesamowitych zjawisk z daleka (zarówno w skali mikro jak i makro). Matematyka umożliwiła również głębsze zrozumienie naszej własnej planety i problemów związanych z życiem na niej.

o nie jest książka o matematyce. To książka historyczna. Jest to książka o historii ludzkości, a dokładniej – o historii ludzkiej myśli, a jeszcze dokładniej o historii fascynacji ludzkości wzorami, kształtami i liczbami oraz relacjami między nimi. Stwierdzenie, że nie jest to książka o matematyce, nie jest więc do końca prawdziwe, choć prawdopodobnie nie jest to rodzaj książki o matematyce, jaki większość ludzi przyjęłaby na podstawie tego opisu. Nie ma w niej żadnych obliczeń do wykonania, a na pewno nie ma na końcu rozdziału z odpowiedziami do zadań. Jest ona skierowana do osób zainteresowanych poznaniem aspektu rozwoju ludzkości, który często jest pomijany lub całkowicie unikany. Nie trzeba określać się mianem matematyka, aby zrozumieć zawarte w niej treści. Jednakże, ponieważ żaden szanujący się miłośnik matematyki nie mógłby napisać książki (o czymkolwiek) bez od czasu do czasu zbaczania z tematu, to sporadycznie pojawiają się liczby – i, ośmielę się napisać ‒ równania. W historii ludzkości matematyka nie pojawiała się jedynie okazjonalnie: była obecna praktycznie przez cały czas. Większość podręczników historii tego nie pokazuje, ale niezależnie od tego, którą książkę czytacie lub które muzeum, galerię lub miejsce dziedzictwa kulturowego odwiedzacie, matematyka jest tam obecna, tylko niewidoczna. Jedną z głównych zalet matematyki jest również to, co sprawia, że tak łatwo ją ukryć. Większość historycznych osiągnięć matematycznych zaczyna się od rzeczywistego zadania, które jest badane w celu odkrycia podstawowych schematów, które nim rządzą, usuwania kolejnych warstw kontekstu, dopóki nie pozostają tylko reguły. W tym stanie rzeczy niektórzy uważają, że idee matematyczne można łatwo odrzucić jako nieistotne („kiedy mi to będzie potrzebne?”), chociaż prawda nie może wyglądać inaczej: nieobciążone pierwotnym kontekstem zadanie matematyczne może być swobodnie stosowane w każdej z niewyobrażalnie wielu niepowiązanych sytuacji, które podlegają tym samym podstawowym regułom. Czym jednak jest matematyka? Jest to zaskakująco trudne pytanie, do którego będziemy wracać w trakcie tej książki. Pogląd, że matematyka dotyczy wyłącznie liczb, liczenia i obliczeń, jest bardzo popularnym i błędnym przekonaniem, z którym należy się uporać, chociaż prawdopodobnie wszystko zaczęło się właśnie od liczenia... Thomas K. Briggs, 2025.

{ 8 } wstęp

wstęp { 9 }

{ 10 } WSTĘP

wstęp { 11 }

PIERWSZE 40 000 LAT

PO PRAWEJ I PO PRAWEJ PONIŻEJ

Wczesne wzory Wiele starożytnych malowideł ściennych odkrytych w słynnym stanowisku archeologicznym w Catalhoyuk w Turcji ma powtarzalne wzory geometryczne. Każde badanie kształtu jest – prawdopodobnie – przedsięwzięciem matematycznym. Neolityczny malowany relief z lampartem ze ściany domu w Catalhoyuk. Eksponaty pochodzą z Muzeum Cywilizacji Anatolijskich w Ankarze w Turcji.

40 000 p.n.e.: Kość Lebombo W latach 70. XX wieku w jaskini w południowoafrykańskich górach Lebombo, w pobliżu KwaZulu-Natal, odkryto narzędzie sprzed czterdziestu tysięcy lat, wykonane z kości łydkowej pradawnego krewniaka współczesnego pawiana. Jest ono powszechnie uważane za najstarszy znany artefakt matematyczny, około osiem razy starszy od najwcześniejszych znanych przykładów pisma. Uważa się, że jego dwadzieścia dziewięć celowo wyrzeźbionych nacięć służyło do zapisywania czegoś ważnego, a także sugerowano, że być może to wskazuje na śledzenie miesięcznego cyklu księżycowego, a ponadto może to dowodzić, że pierwszymi matematykami były afrykańskie kobiety, które opracowały system śledzenia cykli menstruacyjnych. Jest to hipoteza, której nie można potwierdzić (a liczba nacięć może nawet nie być dokładna, ponieważ koniec wydaje się odłamany), ale ekscytujące może być zastanawianie się, co podpowiedziało ten pierwszy krok ku matematyce.

20 000 p.n.e.: Kość z Ishango Uważa się, że ma około dwudziestu tysięcy lat. Kolejna kość z wyrytymi symbolami przypominającymi znaki liczbowe została odkryta w 1950 roku w wiosce Ishango w Demokratycznej Republice Konga. Kość z Ishango została tak ukształtowana i wypolerowana, że nie jest nawet jasne, do jakiego zwierzęcia pierwotnie należała, choć powszechnie uważa się, że było to ssak. Znajduje się na niej 168 znaków i, w przeciwieństwie do kości z Lebombo, wydają się celowo pogrupowane. Jeśli wyobrazić sobie kość jako walec z możliwością odklejenia i wygładzenia powierzchni bocznej (niczym etykietę z puszki zupy), znaki liczbowe byłyby ułożone w trzech kolumnach równoległych do niej, a następnie podzielone na grupy w obrębie tych trzech kolumn. Również w tym przypadku nigdy nie będziemy w stanie określić pierwotnego znaczenia tych znaków ani ich pochodzenia, ale możemy się zgodzić, że kryje się za tym jakieś prymitywne zastosowanie matematyczne. Wybór i rozmieszczenie tych symboli budzi jednak pewne wątpliwości. Panuje jednakże powszechna zgoda co do tego, że (jak wspomniałem wcześniej) ukrywa ona jakieś podstawowe zastosowanie matematyczne. Istnieją jednak pewne intrygujące aspekty wyboru i rozmieszczenia liczb: kolumna „G” (od francuskiego słowa gauche, oznaczającego „lewo”) wydaje się zawierać liczby pierwsze od dziesięciu do dwudziestu, a kolumny „D” (droite, czyli „prawo”) i „G” mają taką samą łączną liczbę rycin (sześćdziesiąt). Mogą to być oczywiście zbiegi okoliczności, zwłaszcza w przypadku liczb pierwszych, ale uważa się, że znaki i ich grupowanie nie są przypadkowe, a w każdej kolumnie można zaobserwować różne wzory numeryczne. Do jednego końca kości przymocowany jest ostry kawałek kwarcu, co według niektórych sugeruje, że było to narzędzie do grawerowania, a znaki mogą stanowić rodzaj tabeli odniesienia. Obie te kości sugerują, że w początkowym okresie rozwoju ludzkiej myśli matematycznej dużą wagę przywiązywano do liczenia. Jednak wiele prehistorycznych malowideł naskalnych

{ 14 } PIERWSZE 40 000 LAT

PO LEWEJ

Kość z Lebombo Kość z Lebombo jest uważana za najstarszy znany artefakt matematyczny, a datowanie radiowęglowe wskazuje, że ma ponad czterdzieści tysięcy lat. Być może jest to patyk służący do liczenia czegoś ważnego, na przykład dni księżycowego miesiąca.

PIERWSZE 40 000 LAT { 15 }

PO LEWEJ

Civic pride

3 6

4 8

10 5

Replika kości Ishango o wysokości 7 metrów (23 stóp), umieszczona jako pomnik na placu Munt w Brukseli, w Belgii. Oryginalna rzeźbiona kość została znaleziona przez Jeana de Heinzelina de Braucourta w 1950 roku w ówczesnym Kongu Belgijskim. Oryginał jest przechowywany w Królewskim Belgijskim Instytucie Nauk Przyrodniczych.

11 13

17 19

5 7

POWYŻEJ

Kość Ishango Kolejne interpretacje z liczbami wskazującymi wartości, które wydają się być reprezentowane przez każdą grupę nacięć w kolumnach „M”, „D” i „G” (od lewej do prawej na zdjęciu).

POWYŻEJ PO PRAWEJ

Rzeźba Zbliżenia kości Ishango z czterech różnych punktów widzenia, pokazujące poziome wyryte nacięcia w grupach rozciągających się wzdłuż kości w trzech kolumnach.

{ 16 } PIERWSZE 40 000 LAT

zawiera proste kształty geometryczne, takie jak te znalezione w neolitycznej miejscowości Catalhoyuk w Turcji. Nie są one tak stare jak kości Lebombo lub Ishango, ponieważ zostały stworzone przez ludzi żyjących około 7000 r. p.n.e. i nie można z całą pewnością stwierdzić, co te kształty oznaczały dla ludzi, którzy je namalowali. Niezależnie od tego, czy były one symbolicznym odzwierciedleniem koncepcji lub czegoś w świecie rzeczywistym, czy też wczesną próbą ekspresji artystycznej, każda eksploracja kształtu i wzoru ma charakter matematyczny. Może to więc oznaczać pierwsze kroki ludzkości w kierunku geometrii.

PIERWSZE 40 000 LAT { 17 }

1850 p.n.e.: Moskiewski papirus matematyczny

PONIŻEJ

Zadanie 14 Pierwsza część zadania 14 z moskiewskiego papirusu matematycznego jest napisana pismem hieratycznym (u góry), a jego tłumaczenie hieroglifami (u dołu). Zadanie przedstawia ścięty ostrosłup (tj. bryłę, która pozostaje po usunięciu mniejszej piramidy ze szczytu większej) wraz z jego wymiarami. Następnie znajduje się opis, jak obliczyć jego objętość.

{ 18 } PIERWSZE 40 000 LAT

Matematyka jest przedmiotem, który wywołuje szeroki wachlarz reakcji wśród ludzi we współczesnym świecie. Jest to prawdopodobnie najbardziej kontrowersyjny z przedmiotów nauczanych obecnie w szkołach, budzący różnorodne opinie i emocjonalne reakcje. Albo się ją kocha, albo nienawidzi; niewielu jest obojętnych. Jednak nawet jeśli poczekamy do pojawienia się pierwszych zapisów matematycznych, jest to przedmiot, który był częścią ludzkiego doświadczenia od co najmniej czterech tysięcy lat, a tematy matematyczne pojawiają się w zapisach ze starożytnego Egiptu i Babilonu. Najstarsze bezsprzecznie matematyczne teksty, do których mamy dostęp, zostały napisane przez starożytnych egipskich i babilońskich matematyków. Jednym z przykładów jest moskiewski papirus matematyczny, nazwany tak, ponieważ znajduje się w Państwowym Muzeum Sztuk Pięknych im. Puszkina w Moskwie, gdzie jest przechowywany od końca XIX lub początku XX wieku. W rzeczywistości pochodzi on z Egiptu i został prawdopodobnie napisany około 1850 roku p.n.e., na początku XII lub XIII dynastii starożytnego Egiptu. Jest to pas papirusu o szerokości od 3,8 do 7,6 centymetrów i długości około 5,5 metra. Prace zakończone w 1930 roku pozwoliły zidentyfikować jego zawartość jako dwadzieścia pięć zadań wraz z rozwiązaniami. Starożytni Egipcjanie znali i stosowali ułamki, a wiele ze znajdujących się w moskiewskim papirusie matematycznym zadań wymagało ich użycia. Obecnie w większości kultur zachodnich ułamki zapisuje się jako parę liczb całkowitych oddzielonych krótką poziomą linią lub „ukośnikiem”. Liczba u góry ułamka to licznik, a liczba u dołu to mianownik. Linia (kreska ułamkowa) między nimi dosłownie dzieli te liczby, więc na przykład ułamek ϯ jest jednym ze sposobów przedstawienia wyniku obliczenia „trzy podzielone przez pięć”. Starożytni Egipcjanie oznaczali ułamki w pozobny sposób, umieszczając symbol licznika nad symbolem mianownika, ale było kilka różnic: nie używali kreski ułamkowej i używali tylko i wyłącznie licznika o wartości 1. Oznaczało to, że prawie wszystkie starożytne egipskie ułamki pojawiają się jako hieroglificzna liczba pod hieroglifem oznaczającym „dzielone przez”, wyglądającym jak usta. Ułamki z licznikiem 1 są określane jako ułamki jednostkowe i można je łączyć poprzez dodawanie, aby przedstawić inne ułamki: byłoby zapisane jako dwa egzemplarze ułamka umieszczone obok siebie. We współczesnej notacji wyglądałoby to + (co oczywiście daje ). Ułamki zapisane jako sumy ułamków jednostkowych są dziś znane jako „ułamki egipskie”. Trzy wyjątki od tej zasady w starożytnym Egipcie stanowiły ułamki , i , z których każdy miał swoje własne specjalne symbole, co sugeruje, że były one używane na tyle często, że uzasadniało to ich specjalne wyróżnienie. Papirus matematyczny z Moskwy nie jest jednak pisany systemem hieroglificznym, zamiast tego jest w nim użyte pismo hieratyczne (patrz strona 27).

Większość zadań (dziesięć z dwudziestu pięciu) w papirusie matematycznym z Moskwy dotyczy obliczania i porównywania parametrów jakościowych, czyli pefsu, chleba lub piwa. Liczba pefsu jest obliczana poprzez podzielenie liczby bochenków chleba lub dzbanów piwa przez liczbę „hekats” zboża, które zostały użyte do ich produkcji (hekat jest jednostką objętości odpowiadającą około 4,8 litra). Dwa zadania dotyczą wydajności (ile mniejszych kłód można uzyskać z zapasu większych kłód; ile sandałów może wykonać szewc). Wszystkie te zadania zaczynają się od konkretnej sytuacji z życia codziennego, a następnie pokazują wykorzystanie zasad matematycznych do ich rozwiązania. Siedem z tych zadań dotyczy geometrii, od obliczania pola powierzchni trójkąta lub prostokąta po obliczanie objętości ostrosłupa ściętego o podstawie kwadratowej (jeśli od piramidy odetnie się jej wierzchołek, pozostaje ostrosłup ścięty) i pola powierzchni półkuli. Wszystkie te zadania mogą pojawić się w dzisiejszym teście dla nastolatków uczących się matematyki. Te zadania geometryczne nie są bezpośrednio związane z rzeczywistym światem, ale stosunkowo łatwo dostrzec, jak mogłyby być powiązane, na przykład przy próbie obliczenia, jak przechowywać hekaty zboża w silosie o określonym kształcie. Są również zadania polegające na znalezieniu „aha” (słowo oznaczające nieznaną wartość) na podstawie innych informacji, w tym końcowej sumy. Na przykład ostatnie zadanie z papirusu wymaga od czytelników znalezienia wartości wielkości, która jest dodawana do dwukrotności tej samej wielkości, dając w sumie 9. We współczesnej matematyce moglibyśmy użyć x do zastąpienia aha, a następnie przedstawić całe zadanie za pomocą równania 2x + x = 9. Następnie moglibyśmy „rozwiązać” równanie – obliczając, jaka jest rzeczywista wartość tej nieznanej wielkości. Chociaż słowo „algebra” nie było jeszcze wymyślone (patrz strona 94 w rozdziale 3), niektóre z jej kluczowych reguł są w papirusie wyraźnie obecne.

POWYŻEJ

Egipskie żniwa Scena żniw skopiowana z fresku z grobowca Menny w Tebach przez Ninę M. Davies (1881–1965). Wiele z zadań opisanych w moskiewskim papirusie matematycznym dotyczy ilości zboża używanego do wyrobu chleba lub piwa o różnej mocy.

PIERWSZE 40 000 LAT { 19 }

PO LEWEJ

1800 p.n.e.: Plimpton 322 Papirus matematyczny z Moskwy znany jest również jako papirus matematyczny Goleniszczewa. Obie te nazwy wynikają z dość wątpliwej praktyki nazywania znalezisk historycznych imionami osób, które je nabyły lub miejsc, w których są przechowywane, a nie miejsc, z których pochodzą, i osób, które je stworzyły. Nie wiadomo, kto napisał papirus matematyczny z Moskwy, ale na pewno nie został napisany w Moskwie. Innym kluczowym artefaktem w badaniach nad historią matematyki jest gliniana tabliczka znana jako Plimpton 322. Również ta nazwa pochodzi od osoby, która nabyła ją od handlarza artefaktami archeologicznymi około 1922 roku, a 322 to jej numer katalogowy w zbiorach Uniwersytetu Columbia, gdzie znajduje się od połowy lat 30. XX wieku. Ma ona około 13 centymetrów szerokości, 9 centymetrów wysokości i 2 centymetry grubości i pochodzi z Senkereh we współczesnym południowym Iraku, w pobliżu starożytnego miasta-państwa Larsa, będącego częścią Babilonii, która sama w sobie była regionem Mezopotamii. Uważa się, że tabliczka ta jest dokumentem administracyjnym, a nie tekstem o charakterze wyraźnie matematycznym, ale dostarcza ciekawych informacji na temat praktyk matematycznych Babilończyków. Przede wszystkim pokazuje ona, że system liczbowy był częścią systemu pisma klinowego, w którym za pomocą rylca wyciskano w glinie znaki w kształcie klina. Babilończycy używali systemu liczbowego opartego na sześćdziesiątce (podstawa 60). Współczesne systemy liczbowe oparte na dziesiątce (podstawa 10) wykorzystują dziesięć symboli (cyfry od 0 do 9) do przedstawienia wszystkich liczb. Kolejna interesująca informacja pojawia się po zdekodowaniu liczb i zapisaniu ich w formacie bardziej dla nas rozpoznawalnym. Tabliczka wydaje się zawierać tabelę wartości podzieloną na cztery kolumny i piętnaście wierszy. Skrajna prawa kolumna (kolumna 4) jest stosunkowo łatwa do przetłumaczenia: zawiera po prostu liczby od 1 do 15 w kolejności od góry do dołu i zakłada się, że są to numery wierszy, tak jak we współczesnym arkuszu kalkulacyjnym. Kolumny 2 i 3 zawierają liczby całkowite (na przykład w wierszu 1 w drugiej kolumnie znajduje się liczba 119, a w trzeciej 169). Skrajna lewa (pierwsza) kolumna znajduje się wzdłuż złamanej krawędzi tabliczki i zawiera dłuższe (czyli większe) liczby, których początkowe cyfry zostały utracone w wyniku złamania.

Liczby babilońskie

System dziesiętny (o podstawie 10) i sześćdziesiętny (o podstawie 60) W systemach dziesiętnych zapisuje się wiele symboli obok siebie w tzw. kolumnach, które reprezentują wartości rosnące dziesięciokrotnie liczone od prawej do lewej. Na przykład liczba dziesiętna 2468 oznacza liczbę złożoną z dwóch tysięcy, czterech setek, sześciu dziesiątek i ośmiu jednostek. Dziesięć symboli (cyfr) oznacza, że zabraknie nam miejsca, gdy przekroczymy dziewięć w jednej kolumnie, a następnie używamy tych samych symboli do liczenia w dziesiątkach w drugiej kolumnie, a następnie w setkach w trzeciej. Systemy liczbowe, w których wartość cyfry jest wyznaczana przez jej pozycję w liczbie, nazywane są systemami pozycyjnymi. System liczbowy Babilończyków działa w podobny sposób, z tym wyjątkiem, że używali oni symboli (lub grup symboli) dla liczb od jednego do pięćdziesięciu dziewięciu, więc nie musieli przechodzić do drugiej kolumny, dopóki nie osiągnęli sześćdziesiąt, ani do trzeciej kolumny, dopóki nie osiągnęli trzy tysiące sześćset (czyli sześćdziesiąt razy sześćdziesiąt).

Starożytni Babilończycy przedstawiali liczby poprzez wciskanie rysika z klinowym końcem w miękką glinę. Tabela pokazuje przedstawienie liczb od 1 do 59 w ich systemie liczbowym, to znaczy opartym na podstawie 60 (w miejscu, gdzie w bardziej nowoczesnych systemach wartości pozycyjnych znajdowałaby się cyfra zero, w tym systemie liczbowym pozostawiono puste miejsce).

PO PRAWEJ

Tajemnica Plymptona Chociaż dokładna zawartość glinianej tabliczki Plimpton 322 jest przedmiotem dyskusji, wiadomo, że zawiera ona listę liczb (w starożytnym babilońskim systemie liczbowym o podstawie 60), które wydają się być powiązane z tym, co dzisiaj znane jest jako twierdzenie Pitagorasa – ponad tysiąc lat przed narodzinami imiennika twierdzenia.

{ 20 } PIERWSZE 40 000 LAT

PIERWSZE 40 000 LAT { 21 }

Około 600 p.n.e.: Shatapatha Brahmana Dowód Dowodu matematycznego nie należy mylić z rodzajami dowodów, które pojawiają się w salach sądowych, a nawet w badaniach naukowych: w obu przypadkach takie „dowody” często można lepiej opisać jako „poszlaki”, a nawet „argumenty”. Sąd próbuje udowodnić rzeczy ponad wszelką wątpliwość; dowody matematyczne tworzą wyczerpujący łańcuch logicznego rozumowania w celu ustalenia wniosków, które są niezaprzeczalnie prawdziwe. Teorie naukowe są akceptowane, gdy dowody sugerują, że oferują one najlepsze aktualne wyjaśnienie zjawiska (w tym prognozy dotyczące przyszłych wydarzeń, które są niesprzecznie uznawane za trafne w porównaniu z obserwacjami). Pozostawia to miejsce na ewentualne odkrycie alternatywnej teorii, która lepiej wyjaśnia dane zjawisko. Jeśli jednak idea została udowodniona matematycznie, oznacza to, że jest ona prawdziwa, będzie zawsze prawdziwa i była prawdziwa nawet przed jej odkryciem. Dowód jest włóknem drewna, które przebiega przez rdzeń naszego drzewa matematyki, umożliwiając mu wspieranie jego dalszego wzrostu. Dowód Zhoubi nie do końca spełnia standardy współczesnej matematycznej rygorystyczności, ale jest jednym z najwcześniejszych znanych przykładów tego kluczowego aspektu matematyki.

Kolejnym traktatem wedyjskim, który pozornie jest tekstem religijnym, ale zawiera przykłady starożytnej indyjskiej matematyki jest Shatapatha Brahmana. Oprócz użycia słów odnoszących się do dużych liczb, można w nim znaleźć pewne idee związane z geometrią: niektóre rytuały wedyjskie obejmują budowę różnych rodzajów ołtarzy, które muszą mieć określone kształty, podane są szczegółowe instrukcje ich budowy z podstawowych jednostek w postaci dwóch rodzajów cegieł, każda o określonym kształcie i wymiarach. Konstrukcje te pokazują również znaczenie, jakie przypisywano reprezentacji numerycznej we wczesnej kulturze indyjskiej. Na przykład liczba cegieł użytych do budowy każdej warstwy określonych rodzajów ołtarzy była powiązana z liczbą dni w danych okresach rytualnych. Podobnie, powiązania są tworzone między bardziej abstrakcyjnymi pojęciami a wydarzeniami ze świata rzeczywistego, takimi jak liczba dzielników liczby 720 (15) porównywana do liczby dni, przez które księżyc rośnie i maleje każdego miesiąca. Pojawiają się również niektóre (bardzo) stare ulubione motywy: obliczenia astronomiczne w dziele sugerują, że stosunek obwodu koła do jego średnicy (witaj ponownie π) był rozumiany jako wartość 339∕8 (czyli około 3,139); podany jest także opis pewnego trójkąta prostokątnego, w którym dwa krótsze boki mają długość 36 i 15 jednostek, a pozostały (najdłuższy) bok ma długość 39 jednostek. Mamy więc trójkę pitagorejską, która ponownie poprzedza narodziny Pitagorasa. PO LEWEJ

Wisznu PO PRAWEJ

Dowód dowodu „Dowód bez słów”, zgodnie z którym dodanie szeregów kolejnych liczb nieparzystych, zaczynając od 1, zawsze da w rezultacie doskonałą liczbę kwadratową.

Przedstawienie Wisznu w jego inkarnacji jako człowieka-dzika Varaha, ratującego Bhudevi z głębin kosmicznego oceanu na swoim kle, które można znaleźć w jaskiniach Udayagiri. w Indiach. Wczesna matematyka indyjska miała bliski związek z religią i świętymi rytuałami.

Lewy dolny (czarny) kwadrat reprezentuje pierwszą liczbę nieparzystą,1. Następna, 3, jest reprezentowana przez trzy białe kwadraty, które łączą się z czarnym, tworząc większy kwadrat. Każdy kolejny zestaw kwadratów (naprzemiennie czarnych i białych) reprezentuje kolejną liczbę nieparzystą i otacza mniejszy kwadrat, tworząc większy. Łatwo można zobaczyć, jak ten diagram kontynuować bez naruszania wzoru.

{ 32 } PIERWSZE 40 000 LAT

PIERWSZE 40 000 LAT { 33 }

PONIŻEJ PO LEWEJ

Carl Friedrich Gauss Portret niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa, który podobno opisał matematykę jako „królową nauk”. PONIŻEJ PO PRAWEJ

Siedemnastokąt gwiaździsty Gauss jako pierwszy udowodnił, że można skonstruować siedemnastokąt foremny. Tę siedemnastoramienną gwiazdę można zobaczyć na pomniku w jego rodzinnym mieście Braunschweig.

{ 38 } PIERWSZE 40 000 LAT

To, że matematyka jest ogrodzonym ogrodem, odciętym od świata zewnętrznego, odrębnym od wszystkich innych dyscyplin i ukrytym przed wzrokiem każdego, kto nie urodził się z odpowiednim oprogramowaniem mentalnym, jest kolejną niezasłużoną reputacją. Wiele z osiągnięć, które będziemy świętować podczas tej podróży, będzie wynikało z poszukiwania wiedzy w innych dyscyplinach, a następnie umożliwi dalszy rozwój. Ta wizja matematyki może pomóc nam nieco zrozumieć, dlaczego trudno jest podać krótką, zwięzłą definicję matematyki, z którą zgodziliby się wszyscy współcześni matematycy. Nawet powracając do starożytnej Grecji, aby znaleźć początki tego słowa, odkrywamy máthēma, co dosłownie oznacza „to, czego się uczy”. Dla starożytnych Greków matematyka obejmowała dosłownie wszystko, co warte było studiowania.

PONIŻEJ PO LEWEJ

Carl Friedrich Gauss Portret niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa, który podobno opisał matematykę jako „królową nauk”. PONIŻEJ PO PRAWEJ

{ 38 } PIERWSZE 40 000 LAT

Oprócz dokładnego omówienia równań trzeciego stopnia Ars Magna zawiera również pierwsze opublikowane rozwiązanie algebraiczne równań czwartego stopnia. Cardano przyznaje, że jest to metoda Ferrari, ale dwadzieścia różnych przypadków użytych do jego zademonstrowania wymaga sprytnej sztuczki z podstawianiem, która tworzy to, co dziś znane jest jako „rozwiązująca sześcienna” dla równania czwartego stopnia i sprowadza zadanie do rozwiązania równania trzeciego stopnia. Ogólny wzór na rozwiązywanie równań piątego stopnia nie tylko nie został do dziś odkryty, ale został uznany za niemożliwy w 1824 roku przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela (1802–1829). Nawiązuje on do oryginalnego stwierdzenia i częściowego dowodu włoskiego matematyka Paolo Ruffiniego (1765–1822) z 1799 roku, według którego nie istnieje ogólny wzór rozwiązań dla równań piątego stopnia lub wyższych. Cardano znany jest z wkładu w różne dziedziny nauki, w tym inżynierię, fizykę i astronomię, medycynę, anatomię i muzykę, a także matematycznej teorię prawdopodobieństwa. Ars Magna może wydawać się kroplą w morzu potrzeb, ale niektórzy sugerują, że wprowadzenie przez niego kompleksowego zestawu metod rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia było największym wkładem w algebrę od czterech tysięcy lat. PO LEWEJ

Ars Magna Ilustracja, że przesądy i nauka były nadal ze sobą powiązane w XVI wieku, Cardano wierzył, że sny mogą być źródłem wiedzy, przepowiedni i inspiracji. Cardano jest tutaj przedstawiony przez Morina w publikacji Louisa Figuiera z 1868 roku Życie wybitnych uczonych renesansu.

PO LEWEJ

Ars Magna Ważny wynik z Ars Magna: znany jako wzór Cardano. Obliczenie to pozwala na znalezienie wartości t w równaniach trzeciego stopnia postaci t3 + pt + q = 0, gdzie wartości p i q są znane.

REWOLUCJA NAUKOWA { 135 }

DALEJ PO LEWEJ

1741: Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis

Leonhard Euler

Tylko jeden z matematyk jest powszechnie uważany za największego matematyka XVIII wieku, gdyż z pewnością jest jednym z najbardziej wpływowych dzięki licznym opublikowanym badaniom. Jest również znany z tego, że jego nazwisko jest często błędnie wymawiane: Leonhard Euler (wymawiane oy-ler, a nie yoo-ler, 1707–83) napisał ponad pięćset prac, w tym książki, artykuły i korespondencję z innymi naukowcami i matematykami, na tak różnorodne tematy jak optyka, hydrodynamika, astronomia i nawigacja. Stosunkowo znanym zagadnieniem, z którym jest on związany, jest problem mostów w Królewcu. W Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis (Rozwiązanie zadania związanego z geometrią położenia, 1741) Euler opisuje problem, na który zwrócił mu uwagę ówczesny burmistrz Gdańska. Otóż miasto Królewiec (od 1945 r. Kaliningrad) było podzielone na cztery odrębne regiony przez rzekę przepływającą przez miasto. Mówiło się, że mieszkańcy zastanawiali się, czy istnieje trasa przez miasto, która pozwoliłaby im przejść każdy z siedmiu mostów dokładnie raz. Euler odpowiedział, że „odkrycie [rozwiązania] nie zależy od żadnej zasady matematycznej”, ale zauważył, że „nawet pytania, które mają tak niewielki związek z matematyką, są rozwiązywane szybciej przez matematyków niż przez innych”. Zadanie to bardzo go zaintrygowało i uznał, że jest ono powiązane z ideą, którą Leibniz nazwał geometrica situs („geometria położenia”). W swoim artykule Euler szczegółowo opisuje proces, który przeprowadził, aby rozwiązać to zadanie. Zaczął od uproszczonego szkicu i przedstawił spójny ciąg rozumowania, który doprowadził go do wniosków. Jest to jasny i cenny przykład tego, że matematyka nie polega na uzyskaniu jednej, liczbowej odpowiedzi w zadaniu, ale na tym, czego można się nauczyć w trakcie jego rozwiązywania. W rzeczywistości Euler doszedł do wniosku, że nie ma rozwiązania tego zadania (przynajmniej do 1875 r., prawie sto lat po śmierci Eulera, kiedy to zbudowano

XIX-wieczna rycina przedstawiająca Leonharda Eulera.

PO LEWEJ

Teleskop Eulera Fotografia typu „rybie oko” szwajcarskiego teleskopu Eulera, znajdującego się w Europejskim Obserwatorium Południowym La Silla w Chile.

ósmy most). Artykuł ten jest często cytowany jako pierwsze dzieło w historii teorii grafów, choć sam Euler nie miał o tym pojęcia. „Graf ” w tym znaczeniu to diagram używany do przedstawienia relacji między parami obiektów, a określenie to zostało wprowadzone dopiero w 1878 roku. Współcześni teoretycy grafów przedstawiają obszary lądowe Królewca jako nic więcej niż punkty (lub „wierzchołki”), a mosty jako linie (lub „krawędzie”) je łączące. Rozwiązanie zadania, którego Euler nie postrzegał jako matematycznego, przyczyniło się do rozwoju zupełnie nowej gałęzi matematyki.

PO PRAWEJ I NAPRZECIWKO

Rozwiązanie problemu Pierwotny diagram Eulera przedstawiający mosty w Królewcu, gdzie wyspa (A, der Kneiphof ) jest otoczona rzeką z mostami oznaczonymi literami od „a” do „g”. Euler rozszerzył zadanie do sześciu (fikcyjnych) obszarów lądowych od „A” do „F” i piętnastu mostów od „a” do „o”.

{ 174 } MATEMATYKA WSPÓŁCZESNA

MATEMATYKA WSPÓŁCZESNA { 175 }

PO LEWEJ

1969: Basic Statistics (Podstawy statystyki)

PONIŻEJ

David Blackwell David Blackwell prowadzący zajęcia na Uniwersytecie Kalifornijskim w 1963 roku.

PONIŻEJ PO PRAWEJ

Basic Statistics (Podstawy statystyki) Portugalskie wydanie książki Blackwella Bacic Statistics (Podstawy statystyki). Książka była publikowana na całym świecie w wielu różnych językach.

Nagroda pośmiertna

W miarę zbliżania się do współczesności coraz trudniej określić, co jest „ważne” dla historii i rozwoju matematyki, ponieważ każda konkretna książka miała mniej czasu, aby się sprawdzić. W latach 70. XX wieku bardziej właściwe wydaje się uwzględnienie publikacji napisanych w celu pomocy obecnym matematykom w rozwijaniu ich własnej praktyki oraz tych, które otwierają matematykę dla odbiorców spoza wydziałów matematycznych. David Blackwell (1919–2010) urodził się w 1919 roku w stanie Illinois w USA. Studiując, wykazywał się doskonałymi wynikami, zdobył tytuł licencjata z matematyki, a następnie tytuł magistra. W1941 roku, w wieku dwudziestu dwóch lat, został pierwszym Afroamerykaninem, który uzyskał tytuł doktora na Uniwersytecie Illinois – i dopiero siódmym w całych Stanach Zjednoczonych. Został członkiem Instytutu Studiów Zaawansowanych (Institute of Advanced Study, IAS). Członkowie IAS zazwyczaj stawali się honorowymi członkami wydziału pobliskiego Uniwersytetu Princeton, jednak instytucjonalny rasizm panujący w tym czasie w Princeton sprawił, że Blackwell został wykluczony z badań i możliwości uprawiania nauki. Zaczął szukać pracy gdzie indziej. Ostatecznie w 1944 roku dołączył do wydziału matematyki Uniwersytetu Howarda, gdzie na koniec został dziekanem. To tam opublikował różne prace statystyczne, w tym jedną zawierającą twierdzenie, które stało się znane jako twierdzenie Rao-Blackwella, od swojego nazwiska i jego współpracownika, indyjsko-amerykańskiego matematyka C. R. Rao (1920–2023). W latach 1948–1950 Blackwell był konsultantem amerykańskiego think tanku non-profit RAND Corporation, gdzie zajmował się rzeczywistymi zadaniami, które trudno było przeanalizować za pomocą klasycznej statystyki. Zamiast tego zwrócił się ku metodom statystyki bayesowskiej (które zapoczątkował Thomas Bayes w opublikowanym

W 2012 roku Blackwell został pośmiertnie uhonorowany prestiżowym Narodowym Medalem Naukowym w uznaniu jego znaczącego wkładu w statystykę i inne dziedziny matematyki. Nagroda została wręczona członkom rodziny Blackwella przez prezydenta Baracka Obamę.

PONIŻEJ

Więcej statystyki Podręcznik z 1995 r. Statistics: A Bayesian Perspective (Statystyka: Perspektywa bayesowska) biostatystyka Donalda A. Berry’ego został zainspirowany wcześniejszymi pracami Blackwella.

pośmiertnie eseju z 1763 roku, a które w międzyczasie rozwinęli Laplace i inni). W 1954 roku Blackwell podjął pracę na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley. Wśród innych obowiązków prowadził kurs statystyki dla studentów pierwszego roku z różnych wydziałów. Jego notatki z wykładów były tak cenione, że niektórzy studenci zasugerowali mu ich publikację, co uczynił w 1969 roku. Jego książka Basic Statistics została okrzyknięta przełomowym odejściem od standardów, przedstawiając metody bayesowskie osobom studiującym poza wydziałem matematyki. Celem Blackwella przy pisaniu Basic Statistics nie było opracowanie nowych metod statystycznych, ale uporządkowanie zrozumienia tego szeroko stosowanego zestawu pojęć i przedstawienie ich w sposób nie tylko przystępny dla ogółu studentów studiów licencjackich, ale także interesujący. Podobno książka ta była zachętą nie tylko dla studentów rozpoczynających swoją karierę uniwersytecką, ale była także inspiracją do napisania dalszych prac, takich jak podręcznik biostatystyka Donalda A. Berry’ego (1940–) Statistics: A Bayesian Perspective (1995), skierowany do podobnych odbiorców.

{ 224 } PRZYSZŁOŚĆ

PRZYSZŁOŚĆ { 225 }