101221852 by WN PWN

CZĘŚĆ 1. MECHANIKA

Rozdział 3. Ruch prostoliniowy .

SPIS TREŚCI

. 1

Zadania dotyczące ruchu prostoliniowego. . 10

Wykaż, że – zadania dotyczące ruchu prostoliniowego

Rozdział 4/5. Podstawy trygonometrii . . . . 19

Krótkie wprowadzenie do trygonometrii. . . . 19

Odwrotne funkcje trygonometryczne.

Przemieszczenie

Zadania dotyczące składowych wektora .

Wykaż, że – zadania z trygonometrii

Rozdział 4. Drugie prawo dynamiki Newtona

Dodawanie sił w jednym wymiarze

. 21

27 Tarcie statyczne.

Tarcie kinetyczne.

36 Równie pochyłe.

Zadania dotyczące drugiego prawa dynamiki Newtona.

Wykaż, że – zadania dotyczące drugiego prawa dynamiki Newtona

Zadania ze współczynnikami tarcia

Wykaż, że – zadania dotyczące współczynników tarcia

Zadania związane z trygonometrią

Wykaż, że – zadania dotyczące pracy, energii i mocy. .

Rozdział 8. Ruch obrotowy

Prędkość kątowa i liniowa

Przyspieszenie dośrodkowe i siła dośrodkowa.

Moment siły

Zachowanie momentu pędu

Zadania dotyczące ruchu po okręgu

Zadania związane z momentem bezwładności.

dotyczące trygonometrii.

Wykaż, że – zadania dotyczące ruchu obrotowego

Rozdział 9. Grawitacja

Zdania dotyczące grawitacji

Wykaż, że – zadania dotyczące grawitacji

Rozdział 10. Ruch pocisku i satelity

Zadania związane z ruchem pocisku.

Zadania związane z ruchem satelity.

Wykaż, że – zadania dotyczące ruchu pocisku.

Wykaż, że – zadania dotyczące ruchu satelity

50 Wykaż, że – zadania z zastosowaniem trygonometrii.

Rozdział 5 Trzecie prawo dynamiki Newtona

Zadania dotyczące trzeciego prawa dynamiki Newtona.

Wykaż, że – zadania dotyczące trzeciego prawa Newtona.

Rozdział 6. Pęd

Zadania dotyczące pędu

Wykaż, że – zadania dotyczące pędu.

Rozdział 7. Energia

Sprężyny .

Zadania dotyczące pracy i energii.

Zadania dotyczące mocy

Zadania dotyczące sprawności i maszyn .

Zadania dotyczące sprężyn i energii potencjalnej sprężystości

CZĘŚĆ 2. WŁAŚCIWOŚCI MATERII

Rozdział 12. Ciała stałe

Zadania dotyczące ciał stałych.

154

157

160

Wykaż, że – zadania dotyczące ciał stałych . . . 163

Rozdział 13. Ciecze . .

Zadania dotyczące cieczy

Wykaż, że – zadania dotyczące cieczy. .

Rozdział 14. Gazy .

Zadania dotyczące gazów

Wykaż, że – zadania dotyczące gazów

CZĘŚĆ 3. CIEPŁO

Rozdział 15. Temperatura, ciepło i rozszerzalność

Zadania dotyczące ciepła właściwego.

167

171

176

179

182

187

194

Zadania dotyczące rozszerzalności cieplnej . . 198

Wykaż, że – zadania dotyczące ciepła właściwego

Wykaż, że– zadania dotyczące rozszerzalności cieplnej

Rozdział 16. Wymiana ciepła

Przewodzenie.

Promieniowanie

Zdania dotyczące wymiany ciepła

Wykaż, że – zadania dotyczące wymiany ciepła

Rozdział 17. Zmiana stanu skupienia

201

203

205

211

Zadania dotyczące zmiany stanu skupienia . . 215

Wykaż, że – zadania dotyczące zmiany stanu skupienia

Rozdział 18. Termodynamika

Energia wewnętrzna

221

Skale temperatur i prawa dotyczące gazów . . 222 Silniki cieplne i wydajność.

Procesy adiabatyczne w atmosferze

Zadania dotyczące ciepła, pracy i energii wewnętrznej.

Zadania dotyczące praw gazowych.

Zadania dotyczące wydajności

Zadanie związane z procesami adiabatycznymi w atmosferze

Wykaż, że – zadania dotyczące termodynamiki

CZĘŚĆ 4. DŹWIĘK

Rozdział 19. Drgania i fale

Efekt Dopplera – poruszające się źródło.

226

228

229

231

Rozdział 23. Prąd elektryczny

Zadania dotyczące prądu elektrycznego

Wykaż, że – zadania dotyczące prądu elektrycznego.

Rozdział 24/25. Magnetyzm

Zadania dotyczące magnetyzmu

Wykaż, że – zadania dotyczące magnetyzmu

CZĘŚĆ 6. ŚWIATŁO

Rozdział 28. Odbicie i załamanie światła .

Prawo odbicia.

Załamanie

Prawo Snella.

Kąt krytyczny

Ogniskowa soczewki wypukłej

Przebieg promieni światła w soczewce i równanie soczewkowe (dla cienkiej soczewki).

Szkło powiększające.

Soczewka wklęsła (rozbieżna)

Zadania dotyczące odbicia i załamania światła

Wykaż, że – zadania dotyczące odbicia i załamania światła

CZĘŚĆ 7. FIZYKA JĄDROWA

Rozdział 33. Jądro atomowe i radioaktywność

235

236

Efekt Dopplera – poruszający się obserwator 237

Efekt Dopplera – poruszające się źródło i obserwator .

Fala uderzeniowa

Zadania dotyczące drgań i fal.

Wykaż, że – zadania dotyczące drgań i fal. .

Rozdział 20. Dźwięk

Zadania dotyczące dźwięku

Wykaż, że – zadania dotyczące dźwięku. .

CZĘŚĆ 5. ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM

Rozdział 22. Elektrostatyka

Zadania dotyczące elektrostatyki

Wykaż, że – zadania dotyczące elektrostatyki

238

239

240

245

249

250

254

Radioaktywność i czas połowicznego rozpadu

Zadania dotyczące promieniotwórczości. .

Wykaż, że – zadania dotyczące promieniotwórczości.

Rozdział 34. Rozszczepienie i synteza jądrowa

Zadania dotyczące rozszczepienia i syntezy jądrowej.

Wykaż, że – zadania dotyczące rozszczepienia i syntezy jądrowej.

CZĘŚĆ 8. TEORIA WZGLĘDNOŚCI

Rozdział 35. Szczególna teoria względności

Zadania dotyczące szczególnej teorii względności

Wykaż, że – zadania dotyczące szczególnej teorii względności.

308

311

312

314

318

321

326

329

Ruch prostoliniowy

Przyspieszenie

Średnia prędkość = całkowita przebyta droga przedział czasu ; υ d t 100 mm 2,5. 40 ss d υ t υt km h i υ i

czas0 s 1 s 2 s 3 s 4 s prędkość3 m/s 5 m/s 7 m/s 9 m/s 11 m/s

Spadek swobodny

piłka wznosząca

piłka spadająca piłka na maksymalnej wysokości

i 2 1 0 2 dυtat 2 1 0 2 yυtgt y a

równaniewystępujące zmienne d υt υ0 υk 2 t d , υ0, υ k, t a υk υ0 t υk, υ0 , a, t d υ0 t 1 2 at 2 d , υ0, a, t d υk t 1 2 at 2 d , υk, a, t 2 ad υk 2 υ0 2 a, d , υk, υ0

Przykładowe zadanie 1

Podsumowanie konwersji jednostek

Przykładowe zadanie 2

Przykładowe zadanie 3

Następnie

Przykładowe zadanie 4

Przykładowe zadanie 5 t ? a , a i t

d υ0 t at 2 gt 2 . 2 1 2 1 k ? , a i t k a υk υ0 t υk υ0 gt gt

22 2 11 22 m (2,5s); s dgt 31m k 2 m 9,8(2,5s). s υgt m 25 s 9,8

Przykładowe zadanie 6 y ?

Mamy a, , k

t ?

Mamy a, , k

y ? k ?

t ? k ?

Przykładowe zadanie 7

Teraz trzeba przejść do kolejnych zadań

Zadania dotyczące ruchu prostoliniowego

całkowita droga

całkowity czas

całkowita droga całkowity czas υ

Wykaż, że – zadania dotyczące ruchu prostoliniowego

Przykładowy problem 6

Nellie Newton podnosi samochód za pomoc podno nika samochodowego, jak pokazano na rysunku. Naciska w dó na odleg o d, a samochód podnosi si na mniejsz wysoko h. Podno nik dostarcza si y no nej Fwy do podniesienia samochodu.

(a) Jak du a jest si a, któr Nellie przyk ada do podno nika?

Szukane: Fwe ?

Maszyny raczej zwielokrotniaj si , ni wykonuj prac . Gdy nie ma tarcia, praca na wej ciu maszyny równa si pracy uzyskanej na jej wyj ciu.

Na podstawie Fwe dwe Fwy dwy Fwe dwy dwe Fwy h d Fwy

d h

Nellie musi nacisn w dó tylko za pomoc u amka (h/d) si y potrzebnej do bezpo redniego podniesienia samochodu.

(b) Si a wymagana do podniesienia samochodu wynosi 5000 N. Oblicz Fwe, gdy d wignia zosta a przesuni ta w dó o 27 cm, aby podnie samochód o 0,36 cm.

Rozwi zanie: Fwe h d Fwy 0,36 cm 27 cm (5000 N) 67 N.

Rozwi zanie: Wydajno ?

Z powodu tarcia w podno niki cz w o onej pracy jest przekszta cana w energi ciepln . Wydajno maszyny okre la, jaka cz pracy wej ciowej zamienia si w u yteczn prac wyj ciow .

Wydajno

rzeczywista Wwy Wwe Fwy dwy Fwe dwe (125 N)(27 cm) (5000 N)(0,36 cm) 0,53 lub 53%.

(d) Dlaczego kto chcia by u ywa maszyny, która marnuje 47% w o onej w ni energii?

Odpowied : W przeciwnym razie nie by by w stanie podnie samochodu! Kiedy masz przebit opon , skupiasz si na jej wymianie, a nie na tym, ile energii tracisz. Podno nik samochodowy zwielokrotnia si wej ciow i umo liwia wykonanie zadania, które w innym przypadku by oby niemo liwe. To samo rozumowanie odnosi si np. do wi kszo ci osób zaci gaj cych kredyty na zakup domu; nie mog one zapewni pieni dzy potrzebnych na zakup domu od razu, wi c zgadzaj si p aci kwot , któr mog zapewni przez d u szy czas, mimo e ca kowity koszt jest wi kszy.

Spr yny

Omówienie spr yn w podr czniku jest minimalne, a prawo Hooke’a po raz pierwszy pojawia si w rozdziale 12. Rozci ganie lub ciskanie spr yny wymaga pracy, wi c przedstawimy tutaj krótko zagadnienia dotycz ce spr yn.

Za ó my, e jeste w laboratorium i mierzysz rozci gni cie i si pionowej spr yny zawieszonej na wsporniku. Umieszczasz linijk za spr yn , a nast pnie wieszasz

mas 50 g na ko cu spr yny. Spr yna rozci ga si o 2,0 cm. Nast pnie wieszasz dodatkowe 50 g na sprynie i stwierdzasz, e rozci ga si ona o kolejne 2,0 cm.

Je li mia by wpisa dane laboratoryjne do tabeli, to mog aby ona (idealnie) wygl da nastepuj co:

Zmierzone wielko ci

ca kowita masa zawieszona

na spr ynie (g)

ca kowite rozci gni cie spr yny (cm)

ca kowita masa zawieszona

na spr ynie (kg) 1kg 1000g g

Obliczone wielko ci

si a naci gu spr yny (N) mzawiesz g

ca kowite rozci gni cie spr yny (m) 1m 100cm cm

00000

502,00,050,490,02 1004,00,100,980,04 1506,00,151,470,06 2008,00,201,960,08 25010,00,252,450,10

Je li skre lisz dwie ostatnie kolumny danych, zobaczysz, e wykres tworzy lini prost 3. Linia prosta oznacza, e te dwie wielko ci, przy o ona si a i rozci gni cie, s wprost proporcjonalne. Gdy jedna ro nie dwa razy, druga te ro nie dwa razy. Równanie prostej przechodz cej przez pocz tek uk adu wspó rz dnych ma posta :

y wspó czynnik kierunkowy x

Proporcjonalno si y do rozci gni cia (lub ci ni cia) zostaa odkryta przez angielskiego zyka Roberta Hooke’a, yjcego w czasach Isaaca Newtona. Oto prawo Hooke’a: przy o ona si a F kx

przyłożona siła rozciąganie x y x współczynnik kierunkowy y x F x k y

Sta a k jest wspó czynnikiem (sta ) spr ysto ci (zazwyczaj podawanym w jednostkach N/m), który okre la, jaka si a odpowiada danemu rozci gni ciu. Sztywniejsza spr yna b dzie mia a wi ksz sta spr ysto ci –potrzeba wi cej si y, aby rozci gn j o t sam warto . Wiele spr yn i innych „spr ystych” obiektów wykazuje rozci gni cie, które jest proporcjonalne do przy o onej si y, przynajmniej w przypadku ma ych odkszta ce .

Spr yny w zadaniach z zyki maj trzy w asno ci:

l. S liniowe – wielko rozci gni cia lub ci ni cia jest proporcjonalna do wielko ci przy o onej si y.

2. Ich zachowanie jest symetryczne – okre lona si a rozci gnie lub ci nie spr yn o t sam warto

3. S lekkie w porównaniu z przedmiotami, które na nich zawieszamy lub umieszczamy, wi c mo emy w przybli eniu uzna , e maj zerow mas .

3 Powszechn praktyk jest umieszczanie kontrolowanej przez nas zmiennej – zmiennej niezale nej (w tym przypadku wisz cych ci arków) – na osi x, a zmiennej, któr mierzymy – zmiennej zale nej (rozci gni cie spr yny) – na osi y. Tutaj stosujemy odwrotn praktyk , aby wspó czynnik kierunkowy (nachylenie) by sta spr ysto ci i mia jednostk N/m.

Przykładowe zadanie ze sprężynami 1

Pewna spr yna rozci ga si na d ugo x, gdy jest obci ona mas m.

(a) Jaki jest wspó czynnik spr ysto ci spr yny?

Szukane: k ?

Wspó czynnik spr ysto ci okre la, jaka jest si a na „jednostk ” rozci gni cia.

Przy o ona si a to ci ar mg wisz cej masy, a rozci gni cie wynosi x. Wi c

k F x mg x .

(b) O ile rozci gnie si spr yna podtrzymuj ca ci ar o masie 3m (zak adaj c, e spr yna nie dojdzie do swojej granicy spr ysto ci4)?

Szukane: x3m ?

Trzy razy wi ksza masa b dzie przyci gana w dó przez grawitacj z trzykrotnie wi ksz si , wi c spodziewamy si , e rozci gni cie b dzie trzy razy wi ksze.

F kx xm Fm k mg k . Podobnie x 3m F3m k 3mg k 3 mg k 3 x m

(c) Oblicz wspó czynnik spr ysto ci spr yny, która rozci ga si o 4,0 cm, gdy zawiesisz na niej ciarek o masie 100 g. O ile rozci gnie si spr yna, je li zawiesisz na niej 300 g?

Rozwi zanie:

Przelicz wszystkie podane wielko ci na jednostki SI.

100 g 1 kg 1000 g 0,1 kg oraz 1 m 100 cm 0,04 m. 4,0 cm 2 m s (0,1 g)9,8 0,04 m mg k x N m 24,5

Trzy razy wi ksza wisz ca masa rozci gn aby spr yn o 3·(4,0 cm) 12,0 cm.

Przykładowe zadanie ze sprężynami 2

Kiedy rozci gasz (lub ciskasz) spr yn , ma ona energi potencjaln , czyli zdolno do wykonania pracy.

(a) Jak prac trzeba wykona , aby si F rozci gn okre lon spr yn o d ugo x?

Szukane: W ?

Pierwsza my l jest taka, e rozwi zaniem mo e by W Fd Fx

Tak nie jest, gdy pe na warto si y F wyst puje dopiero na samym ko ca rozci gania. Zwykle gdy rozci gasz spr yn o d ugo x, pocz tkowa si a wynosi zero i ro nie liniowo do kx, a wi c rednia wywierana si a wynosi kx/2. Oznacza to, e praca wykonana podczas rozci gania spr yny wynosi:

4 W przypadku niewielkich odkszta ce elastyczne elementy powróc do swojej pierwotnej d ugo ci, gdy usunie si napr enie powoduj ce odkszta cenie. Je li przedmiot zostanie rozci gni ty lub zdeformowany zbyt mocno, poza granic spr ysto ci, to nie wróci on do pierwotnego kszta tu. Je li kiedykolwiek widzia e za bardzo rozci gni t spr yn Slinky (zwykle kolorowa, plastikowa sprz yna, która sama schodzi ze schodów – przyp. red.), to zosta a ona rozci gni ta nieco poza swoj granic elastyczno ci!

x 2 1 średnia 2 1 2 WFxxxkkx .

Praca wykonana podczas rozci gania lub ciskania spr yny jest zamieniana na energi potencjaln spr ysto ci. T zmagazynowan energi mo na przekszta ci w inn posta

(b) Oblicz prac wykonan podczas rozci gania spr yny, gdy si a 50 N rozci ga j o 20 cm (0,2 m).

Rozwi zanie: Rozwi zaniem NIE jest W Fd (50 N) (0,2 m) 10 J. Wykonana praca to rednia si a razy odleg o (tu rednia si a wynosi po ow z 50 N):

W 1 2 (50N)(0,2m) 5J lub u ywamy k 50 N 0,2 m 250 N m ,

250(0,2m. ) Wkx 5 J

22 1 2 1 2 N m

Zauwa , e otrzymujemy rozwi zanie na dwa sposoby. To dobrze, e istnieje wi cej ni jeden sposób rozwi zywania wielu zada z zyki!

Przykładowy problem ze sprężynami 3

Masa m na powierzchni pozbawionej tarcia ciska spr yn o znikomej masie i wspó czynniku sprysto ci k.

Wyprowad równanie na pr dko masy, gdy spr yna zostanie zwolniona. m m υ

Masa w stanie spoczynku.

Sprężyna ściśnięta na odległość x.

Sprężyna nieściśnięta.

Masa poruszająca się z prędkością υ.

Rozwi zanie: Praca potrzebna do ci ni cia spr yny wynosi 1 2 k x2. Praca ta jest magazynowana w sprynie jako energia potencjalna spr ysto ci i jest przekszta cana w EK poruszaj cej si masy. (EP spr ysto ci spr yny)pocz tkowa (EK masy)ko cowa 1 2 kx 2 1 2 mυ 2 υ 2 k m x

Innymi s owy, energia uk adu jest zachowana:

(ca kowita energia uk adu)pocz tkowa (ca kowita energia uk adu)ko owa

(EK EP spr ysto ci)pocz tkowe (EK EP spr ysto ci EP grawitacji)ko cowe.

Mo emy przyj , e grawitacyjna EP uk adu jest równa zero, poniewa wysoko si nie zmienia. Pocz tkowa EK uk adu wynosi zero (poniewa masa pozostaje w spoczynku), a ko cowa EP sprysto ci 0 (poniewa spr yna nie jest ci ni ta ani rozci gni ta). Wi c nasze równanie przyjmuje posta :

(EP spr ysto ci spr yny)pocz tkowa (EK masy)ko cowa, co mo emy rozwi za jak wy ej.

Zadania dotyczące pracy i energii

7-1. Wózek o masie m porusza si z pr dko ci w kierunku x.

(a) Napisz równanie na energi kinetyczn wózka.

(b) Jaka by aby EK wózka, gdyby porusza si w kierunku –x?

7-2. Jan przyk ada sta poziom si F, aby przesun biurko na odleg o d po pod odze.

(a) Jak prac nad biurkiem wykona przy o ona si a?

(b) Oblicz, jaka praca zostanie wykonana, je li w celu przesuni cia biurka na odleg o 2,5 m przy o ona zostanie si a 120 N.

7-3. Pude ko z kluczami o masie m znajduje si na pó ce na wysoko ci y nad pod og .

(a) Jaka jest grawitacyjna energia potencjalna pude ka wzgl dem pod ogi?

(b) Oblicz energi potencjaln pude ka kluczy o masie 2,8 kg, je li wiesz, e klucze s wykonane z wysokiej jako ci stali, a pude ko znajduje si 1,2 m nad pod og

7-4. Podnosisz arbuz o masie m z pod ogi na blat sto u o wysoko ci h.

(a) Napisz równanie okre laj ce, jak prac wykonasz nad arbuzem.

(b) Oblicz prac , jak nale y wykona , aby podnie arbuza o masie 5,5 kg z pod ogi na blat sto u o wysoko ci 93 cm.

7-5. Tsing wykonuje prac W, pchaj c pud o o masie m na odleg o x po poziomej powierzchni.

(a) Z jak si Tsing pcha pud o?

(b) Oblicz sta si , z jak dzia a Tsing, wykonuj c prac 660 J, aby przesun poziomo pud o o masie 28 kg na odleg o 11 m.

7-6. Ci arówka o masie m porusza si z pr dko ci , jad c pod wiatr o pr dko ci V, podczas gdy temperatura nawierzchni wynosi T.

(a) Napisz równanie na energi kinetyczn ci arówki.

(b) Oblicz energi kinetyczn ci arówki o masie 3300 kg, poruszaj cej si z pr dko ci 18 m/s, gdy jedzie pod wiatr wiej cy z pr dko ci 5 m/s a temperatura drogi wynosi 24°C. (Wskazówka: czy potrzebujesz wszystkich podanych tutaj informacji?)

7-7. Okr t wojenny o masie M pokonuje drog x ze sta pr dko ci w czasie t

(a) Jaka jest EK okr tu?

(b) Oblicz EK okr tu o masie 9,0 107 kg, który pokonuje 250 km ze sta pr dko ci w ci gu 4,1 godziny.

7-8. Adam uderza pi k bejsbolow o ci arze w, która opuszcza kij z pr dko ci .

(a) Ile wynosi EK pi ki baseballowej?

(b) Oblicz EK pi ki baseballowej o ci arze 1,5 N, gdy opuszcza ona kij z pr dko ci 38 m/s.

Wykaż, że – zadania dotyczące dźwięku

20-21. D ugo fali d wi ku o cz stotliwo ci 340 Hz w powietrzu wynosi 1,0 m. W wodzie morskiej d wi k przemieszcza si z pr dko ci 1530 m/s.

Wyka , e d ugo fali d wi ku o cz stotliwo ci 340 Hz w wodzie morskiej wynosi 4,5 m.

20-22. Sze sekund po zobaczeniu b yskawicy s ycha d wi k.

Wyka , e obserwator znajduje si w odleg o ci oko o 2 km od b yskawicy.

20-23. Osiem sekund po twoim okrzyku halo w kanionie, echo powraca do ciebie.

Wyka , e znajdujesz si oko o 1400 m od ciany kanionu.

20-24. Najni sza cz stotliwo d wi ku, jak mo e us ysze przeci tny m ody cz owiek, wynosi okoo 20 Hz.

Wyka , e d ugo fali tego d wi ku wynosi oko o 17 m (pr dko d wi ku wynosi 340 m/s).

20-25. Najwy sza cz stotliwo d wi ku, jak mo e us ysze przeci tny m ody cz owiek, wynosi oko o 20 000 Hz.

Wyka , e d ugo tej fali d wi kowej wynosi oko o 1,7 cm.

20-26. Podczas wielu koncertów Paul siedzia zbyt blisko g o ników; obecnie najkrótsze fale d wikowe, jakie s yszy Paul, maj d ugo 3,0 cm.

Wyka , e najwy sza cz stotliwo d wi ku, jaki obecnie mo e us ysze Paul, wynosi nieco ponad 11 000 Hz.

20-27. Medyczne ultrad wi ki o cz stotliwo ci 20 MHz s u ywane do diagnozowania dolegliwo ci w ciele (badanie USG). Pr dko ultrad wi ków w tkance cia a wynosi 1500 m/s.

Wyka , e je li g boko wnikania ultrad wi ków w tkank wynosi oko o 400 d ugo ci fali, to ultrad wi ki mog przenikn na g boko oko o 3 cm.

20-28. Niektóre aparaty fotogra czne z autofokusem wykorzystuj impulsy ultrad wi kowe do okre lania odleg o ci. Wyka , e dla opó nienia mi dzy emisj a detekcj , wynosz cego 0,01 s, obiekt znajduje si 1,7 m przed obiektywem.

20-29. Skrzypce i fortepian jednocze nie wydaj d wi ki o cz stotliwo ciach 434 Hz i 440 Hz.

Wyka , e s yszana cz stotliwo dudnie wynosi 6 Hz.

20-30. Skrzypaczka dostrajaj ca swój instrument do d wi ku fortepianu o cz stotliwo ci 440 Hz wykrywa 4 dudnienia na sekund .

Wyka , e cz stotliwo skrzypiec mo e wynosi 436 Hz lub 444 Hz.

20-31. Cz stotliwo dudnie jest s yszalna, gdy d wi ki o cz stotliwo ciach 240 Hz i 245 Hz brzmi razem.

Wyka , e taka sama cz stotliwo dudnie wyst puje, gdy d wi ki o cz stotliwo ciach 200 Hz i 205 Hz s emitowane razem.

22 Elektrostatyka

Elektrostatyka to nauka o adunkach elektrycznych pozostaj cych w spoczynku. G ówn zasad elektrostatyki jest to, e adunki jednoimienne odpychaj si , a adunki ró noimienne przyci gaj si . Elektrony (–) przyci gaj protony ( ) i odpychaj inne elektrony (–).

adunek mierzymy w kulombach (C), gdzie 1 C jest adunkiem 6,25 1018 elektronów. adunek oznaczamy symbolem q. Si przyci gania lub odpychania mi dzy dwoma adunkami q1 i q2 pozostaj cymi w odleg o ci d

jeden od drugiego okre la prawo Coulomba: 12 2 Fqq k d 1 (gdzie k to sta a elektrostatyczna 2 9 2 N·m 9,010 C ), które wskazuje, e si a dzia aj ca mi dzy dwoma na adowanymi cia ami jest wprost proporcjonalna do ich adunków, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg o ci mi dzy nimi i dzia a wzd u linii cz cej te cia a przy za o eniu, e rozmiary tych cia s ma e w porównaniu z ich odleg o ci . (Zauwa , e forma prawa Coulomba jest analogiczna do prawa powszechnego ci enia (grawitacji) Newtona.)

Wokó ka dego adunku istnieje pole elektryczne, które mo e wywiera si na inne adunki. Aby okre li nat enie pola elektrycznego, mierzymy si F dzia aj c na ma y adunek próbny q0 umieszczony w polu2

Nat enie pola elektrycznego dane jest wzorem EF q0 w (N/C). (Zwró uwag na podobie stwo pola elektrycznego do pola grawitacyjnego g F m w (N/kg) – patrz z rozdz. 9.)

Ró nica potencja ów V mi dzy dwoma punktami, np. A i B, jest prac na kulomb, jak nale y wykona , aby przesun ma y adunek testowy q0 z A do B. Ró nica potencja ów jest mierzona w woltach (V), (1 V 1 J C ) i jest skalarem.

Zale no pola elektrycznego E mi dzy dwiema na adowanymi p ytkami kondensatora odleg ymi o d i potencja u V mi dzy tymi p ytkami ma posta EV d . Wynika to ze wzoru:

siłaodległość praca ładunek siłasiłaodległość ładunek ładunekładunekodległośćodległośćodległość

Przykładowe zadanie 1

Dwa adunki punktowe q1 i q2 s oddalone od siebie o d.

(a) Napisz równanie na si dzia aj c mi dzy nimi.

Rozwi zanie: Z prawa Coulomba wynika, e 12 2 qq Fk d

(b) Oblicz si elektryczn dzia aj c mi dzy adunkiem +2,0 C (2 10 6 C) i adunkiem –3,0 C oddalonymi od siebie o 35 cm.

1 ci le mówi c, zapisane równanie ma zastosowanie do si mi dzy adunkami punktowymi lub mi dzy równomiernie na adowanymi kulami. Je li na adowane obiekty s ma e w porównaniu z odleg o ci mi dzy nimi, traktowanie obiektów jako cz stek punktowych daje doskona e przybli enie.

2 Zgodnie z konwencj , q0 jest dodatnim adunkiem punktowym o wystarczaj co ma ej wielko ci, aby nie wp ywa na mierzone pole, a kierunek pola elektrycznego jest kierunkiem si y dzia aj cej na dodatni adunek próbny.

Odpowied : Jednostk k jest N m 2 C2 , zatem adunek powinien by w kulombach (C), a odleg o w metrach (m).

Fqq k d 0,44N 2 2 2

12 2 6 6 9 N·m(2,010C)(3,010C) 9,010. C(0,35m)

Znak ujemny wskazuje, e si a jest przyci gaj ca.

Przykładowe zadanie 2

Odleg o mi dzy dwiema jednakowo na adowanymi cz stkami wynosi r.

(a) W którym miejscu mi dzy cz stkami si a dzia aj ca na dodatni adunek próbny q0 wynosi zero?

Szukane: Znale d takie, e Fwyp 0.

r ? ? qq q0

adunek po lewej stronie rysunku dzia a w prawo na adunek próbny z si Fkqq0 d 2 adunek po prawej stronie rysunku dzia a w lewo na adunek próbny z si Fkqq0 (rd )2

Si a wypadkowa dzia aj ca na adunek próbny b dzie równa zeru w punkcie, w którym jest on jednakowo przyci gany lub odpychany przez pozosta e dwa adunki. Oznacza to, e Fwyp 0, gdy kqq0 d 2 kqq0 (rd )2 1 d 2 1 (rd )2. Wyci gaj c pierwiastek kwadratowy z obu stron równania, otrzymujemy 1 d 1 rd drd 2 dr d r 2

Ta odpowied ma sens. Oba adunki s identyczne, ka dy z nich dzia a na adunek próbny tak sam si tylko wtedy, gdy ten ostatni znajduje si w takiej samej odleg o ci od ka dego adunku. Tak wi c adunek próbny do wiadcza zerowej si y w odleg o ci r/2 od któregokolwiek adunku, tj. w po owie odleg o ci mi dzy nimi.

(b) Czy odpowied zale y od tego, czy identyczne adunki s dodatnie, czy ujemne?

Odpowied : Nie. W punkcie rodkowym mi dzy identycznymi adunkami dodatni adunek testowy by by albo jednakowo przyci gany do ka dego z nich, gdyby oba by y na adowane ujemnie, albo jednakowo odpychany przez ka dy z nich, gdyby oba by y na adowane dodatnio. W obu przypadkach Fwyp 0.

Przykładowe zadanie 3

Cz stka o masie m i adunku q do wiadcza si y F, gdy znajduje si w jakim punkcie pola elektrycznego.

(a) Napisz równanie na nat enie pola elektrycznego w tym punkcie.

Odpowied : E F q .

(b) adunek elektronu jest oznaczany symbolem e. Napisz równanie na si , której do wiadczy by elektron w tym punkcie.

Rozwi zanie: F ? Ze wzoru E F q FqE eE.

Rozwi zanie: a F m eE m

(d) Oblicz przyspieszenie elektronu w polu elektrycznym o nat eniu 540 N/C. Masa elektronu wynosi 9,11 10 31 kg, a adunek elektronu wynosi 1,60 10 19 C.

Rozwi zanie:

N C 31 (1,6010C)540 9,1110kg eE a m 13 2 m 9,510 s

Przykładowe zadanie 4

Dwie równoleg e metalowe p ytki maj równe i przeciwne adunki, odleg o mi dzy nimi wynosi d, a ró nica potencja ów wynosi V.

(a) Jak prac nale y wykona , aby przemie ci elektron z p ytki na adowanej dodatnio do p ytki na adowanej ujemnie?

Szukane: W ? Jednostk ró nicy potencja ów V s wolty (V, 1V 1 J/C), jest to praca (w d ulach) potrzebna do przemieszczenia adunku o warto ci

1 kulomba mi dzy p ytkami, zatem z V W q WqV eV

Zwró uwag , e jednostki si zgadzaj . Praca jest podana w d ulach (J), e w kulombach (C), a jednostk ró nicy potencja ów V jest d ul/kulomb (J/C), wi c jednostk eV jest d ul (J) – jednostka pracy. Sprawdzanie jednostek daje pewno , czy jeste na w a ciwej drodze, czy te nie!

(b) Gdyby teraz uwolni elektron blisko p ytki ujemnej, jak energi kinetyczn mia by on po dotarciu do p ytki dodatniej?

Szukane: EK ?

Tu obowi zuje zasada zachowania energii. Wykona e prac eV, aby przenie elektron z p ytki dodatniej na ujemn . W rezultacie elektron ma elektryczn energi potencjaln eV. Po uwolnieniu elektronu ta energia potencjalna jest przekszta cana w energi kinetyczn , zatem ilo energii kinetycznej, któr ma elektron po dotarciu do p ytki dodatniej, wynosi eV.

Szukane: F ? Na elektron umieszczony mi dzy p ytkami dzia a pole elektryczne.

Ze wzoru E q FqEeE F , gdzie e jest adunkiem elektronu.

Para na adowanych p ytek stanowi kondensator, a pole elektryczne mi dzy p ytkami wynosi E V d , zatem Fe V d eV d . Innym sposobem uzyskania tego samego wyniku jest zauwa enie, e praca W, która zosta a wykonana w celu przemieszczenia elektronu mi dzy p ytkami, wynosi a eV. WFdeVFdF eV d . Si a ta jest taka sama wsz dzie mi dzy p ytkami, poniewa pole elektryczne w kondensatorze o p ytach równoleg ych jest sta e.

Prawo Faradaya jest najwa niejszym elementem rozdzia u 25 podr cznika Fizyka wokó nas i jest traktowane jako ciowo. Wyobra my sobie linie si magnetycznych przechodz ce przez obszar zamkni ty p tl przewodu. Iloczyn pola magnetycznego i powierzchni p tli jest nazywany strumieniem magnetycznym i oznaczany symbolem . Zgodnie z prawem Faradaya, ka da zmiana w „ilo ci” strumienia magnetycznego przez obszar p tli (lub zwoju p tli) indukuje napi cie w tej p tli (lub zwoju). Strumie ten mo e si zmienia w wyniku:

1. zwi kszenia lub zmniejszenia pola magnetycznego B,

2. zmiany pola powierzchni p tli lub cewki w polu,

3. zmiany k ta ustawienia p tli wzgl dem pola.

Rysunek 25.1 w podr czniku Fizyka wokó nas ilustruje pierwszy przypadek. Wsuni cie magnesu sztabkowego do cewki lub wysuni cie z niej wzmacnia lub os abia pole przechodz ce przez cewk (czyli strumie ) i indukuje napi cie. Na rysunku 25.8 w tym samym podr czniku pokazano, jak strumie przechodz cy przez p tl mo e si zmienia , gdy p tla obraca si w jednorodnym polu magnetycznym. Zale no mi dzy indukowanym napi ciem a zmieniaj cym si strumieniem jest nast puj ca:

napięcie indukowane liczba pętli · (pole magnetyczne powierzchnia pętli) czas N t ,

gdzie jest si elektromotoryczn (w rzeczywisto ci indukowanym napi ciem), N jest liczb p tli w cewce, a t to szybko zmian strumienia magnetycznego2.

Znak ujemny pojawia si , poniewa eksperymenty pokazuj , e indukowane napi cie zawsze powoduje powstanie pr du, którego pole magnetyczne przeciwstawia si zmianie strumienia. Jest to znane prawo (regu a) Lenza. Gdyby prawo Lenza nie obowi zywa o, indukowany pr d móg by wytwarza strumie w tym samym kierunku co zmiana i rosn w coraz wi kszym tempie, co jest niezgodne z zasad zachowania energii! Prawo Lenza jest zgodne z zasad zachowania energii.

Przykładowe zadanie 1

Cz stka o masie m i dodatnim adunku q porusza si w prawo z pr dko ci w jednorodnym polu magnetycznym B. Pr dko i pole B s wzgl dem siebie prostopad e.

(a) Napisz równanie na si , z jak pole magnetyczne dzia a na cz stk . Odpowied : F q B (rozwi zanie w jednym kroku).

(b) Pole magnetyczne B jest skierowane na zewn trz kartki. W jakim kierunku cz stka zostanie odchylona przez pole magnetyczne?

Kierunek F=?

2 Strumie magnetyczny w cewce jest iloczynem pola B i powierzchni cewki, przez któr przechodz linie pola magnetycznego ( BS). Strumie jest maksymalny, gdy linie pola s prostopad e do p tli. Je li cewka stale si obraca, zmienia si sinusoidalnie od maksimum do minimum i z powrotem przy ka dym pe nym obrocie (patrz rysunek 25.8 w podr czniku). Ilo ciowy opis zmiany , jaka ma miejsce w generatorach, wymaga znajomo ci radianów (jednostek miary ukowej, które nie s omówione w podr czniku. przedstawienie pola magnetycznego skierowanego poza kartkę przedstawienie pola magnetycznego skierowanego do kartki wektor pola magnetycznego

Zgodnie z konwencj , kierunek wektora pola magnetycznego przedstawiamy za pomoc strza y z piórami lotki. Je li pole jest skierowane na zewn trz strony, widzimy tylko okr g g ówk strza ki i czubek jej grotu. Je li pole jest skierowane w stron grota strza y, widzimy tylko pióra lotki.

Mo emy okre li kierunek si y magnetycznej za pomoc regu y prawej d oni. Je li skierujemy palec wskazuj cy w prawo (kierunek ), a palec rodkowy poza stron (kierunek B), kciuk wska e w dó (kierunek F). Cz stka zostanie odchylona w dó . Gdyby q by o adunkiem ujemnym poruszaj cym si w tym samym kierunku, si a dzia a aby w kierunku przeciwnym, czyli w gór .

(c) Poniewa si a magnetyczna dzia aj ca na na adowan cz stk jest zawsze prostopad a do pr dko ci, tor ruchu na adowanej cz stki w obszarze pola magnetycznego b dzie ukiem okr gu3 . Wyprowad równanie na promie tego uku.

Szukane: r ?

Przypomnijmy, e na cz stk poruszaj c si po torze ko owym musi dzia a si a do rodkowa. Wielko tej si y do rodkowej jest okre lona wzorem m 2/r. W tej sytuacji si a magnetyczna dzia a na cz stk jako si a do rodkowa.

Ze wzoru qvB mv 2 r r mv qB . Ta odpowied ma sens. Silniejsze pole magnetyczne lub silniej na adowana cz stka spowoduj powstanie du ej si y magnetycznej „wci gaj cej” cz stk na tor o mniejszym promieniu. Bardziej masywna lub szybsza cz stka b dzie mia a wi ksz tendencj do poruszania si po linii prostej, wi c b dzie zakre la okr g o wi kszym promieniu.

(d) Oblicz promie uku, po którym porusza si cz stka, je li masa cz stki wynosi 1,5 10 9 kg, jej adunek 5,0 10 5 C, pr dko 1,2 103 m/s, a pole magnetyczne wynosi 0,18 T.

Rozwi zanie: r mv qB (1,5 10 9 kg)(1,2 10 3 m/s) (5,0 10 5 C)(0,18 T) 0,2m

Przykładowe zadanie 2

Si a dzia aj ca na na adowan cz stk poruszaj c si prostopadle do pola magnetycznego jest dana wzorem F = q B.

(a) Wyka , e równanie na si magnetyczn dla pr du elektrycznego ma posta F = ILB, gdzie I jest nat eniem pr du, L jest d ugo ci przewodu w polu magnetycznym, które jest prostopad e do niego, a B to pole magnetyczne.

Szukane: F ?

Za ó my, e adunek q potrzebuje czasu t, aby przeby d ugo przewodu L, zatem pr dko adunku wynosi v L t . Skoro adunek q potrzebuje czasu t, aby przej przez punkt w przewodzie, to natenie pr du I w przewodzie wynosi Iq t . Podsumowuj c:

FqvBq L t Bq t LB ILB.

3 Si a magnetyczna zawsze dzia a prostopadle do kierunku ruchu cz stki, nie ma zatem sk adowej si y magnetycznej wzd u kierunku ruchu, a wi c si a magnetyczna nie wykonuje adnej pracy nad cz stk , czyli energia kinetyczna cz stki (a tym samym jej pr dko ) nie ulega zmianie.

(b) Napisz równanie na si magnetyczn dzia aj c na przewód o d ugo ci L, w którym p ynie pr d o nat eniu I, umieszczony pod k tem prostym do pola

Odpowied : Równanie na si jak w punkcie (a) F ILB.

Rozwi zanie: F ILB 2,0 A 0,1 m 0,003 T 0,0006 N.

(d) Oblicz si dzia aj c na 20 y tego samego przewodu, je li przez ka d z nich przep ywa taki sam pr d w tym samym polu magnetycznym.

Rozwi zanie: Si a magnetyczna dzia a na ka d z 20 y , wi c ca kowita si a dzia aj ca na przewód jest 20 razy wi ksza ni si a dzia aj ca na ka d pojedyncz y .

Zatem F 20 ILB 20 2,0 A 0,1 m 0,003 T 0,012 N.

(e) Je li pr d p ynie przez przewód „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” (patrz rysunki), a pole magnetyczne jest skierowane w gór od dolnego bieguna do górnego bieguna magnesu, to w jakim kierunku dzia a si a na przewód?

Odpowied : Umownie przyjmujemy, e pr d jest ruchem dodatnich no ników adunku. No niki adunku dodatniego mi dzy biegunami magnesu kieruj si do kartki.

B jest skierowane w gór . Regu a prawej d oni wskazuje, e si a F jest skierowana poziomo od magnesu w prawo. Zatem przewód jest wyrzucany z magnesu.

(f) Je li kierunek pr du jest odwrócony, to jak wp ywa to na kierunek si y?

Odpowied : Wektor pr dko ci adunków zmienia kierunek, wi c si a magnetyczna dzia aj ca na nie równie zmienia kierunek. Przewód jest przyci gany do magnesu w lewo. (Silnik jest znanym przyk adem urz dzenia, w którym kierunek si y mo na zmienia raz w lewo, raz w prawo poprzez zmian kierunku przep ywu pr du).

Przykładowe zadanie 3

Transformator (rysunek 25.13 w podr czniku Fizyka wokó nas ) dok adnie wykorzystuje prawo Faradaya. Rozwa my napi cie zmienne 120 V przy o one do podwy szaj cego napi cie transformatora o 140 zwojach w uzwojeniu pierwotnym i 1400 zwojach w uzwojeniu wtórnym.

(a) Jakie jest napi cie na uzwojeniu wtórnym?

Szukane: Napi cie wtórne ?

Na stronie 596 podr cznika Fizyka wokó nas podano zwi zek mi dzy napi ciem pierwotnym i wtórnym w zale no ci od liczby zwojów:

napięcie wejściowe liczba zwojów w uzwojeniu pierwotnym

napięcie wyjściowe liczba zwojów w uzwojeniu wtórnym

Wyznaczmy napi cie wyj ciowe: napięcie wyjściowe napięcie wejścioweliczba zwojów w uzwojeniu wtórnym liczba zwojów w uzwojeniu pierwotnym (120 V)1400 140 1200 V .

Ma to sens. Stosunek zwojów transformatora wynosi 10 do 1, wi c napi cie zostanie zwi kszone dziesi ciokrotnie.

(b) Je li cewka wtórna dostarcza pr d 0,1 A do grza ki lub innego opornika, to jaki pr d p ynie w cewce pierwotnej?

Odpowied : Ten transformator zwi ksza dziesi ciokrotnie napi cie na cewce wtórnej w stosunku do napi cia na cewce pierwotnej, wi c w uzwojeniu wtórnym wyst puje odpowiedni spadek pr du. Moc wej ciowa transformatora jest równa mocy wyj ciowej, pomijaj c niewielkie straty, zatem (IU )wej ciowe (IU )wyj ciowe, co jest zgodne z prawem zachowania energii. St d pr d w uzwojeniu pierwotnym jest dziesi ciokrotnie wi kszy od pr du w uzwojeniu wtórnym, czyli równy 1,0 A.

Szukane: P ?

Ze wzoru P IU wynika, e moc wej ciowa wynosi 1,0 A 120 V 120 W.

(d) O ile zwi ksza si moc w uzwojeniu wtórnym?

Odpowied : Zak adaj c brak znacz cych strat ciep a, moc w obu cewkach jest taka sama. Wprawdzie napi cia i pr dy mog rosn lub male w transformatorze, jednak energia, a zatem moc, pozostaje niemal bez zmian. W idealnym przypadku moc w uzwojeniu wtórnym równie wynosi 120 W.

To wynika z zasady zachowania energii!

Zadania dotyczące magnetyzmu

W kilku z poni szych zada przydatne mog by nast puj ce informacje:

qelektron –1,6 10 19 C; qproton 1,6 10 19 C;

melektron 9,11 10 31 kg;

mproton 1,67 10–27 kg.

25-1. Cz stka o adunku q i pr dko ci przemieszcza si mi dzy biegunami magnesu prostopadle do pola o nat eniu B

(a) Napisz równanie na si magnetyczn dzia aj c na t cz stk w polu magnetycznym.

(b) W jakim kierunku dzia a si a magnetyczna na na adowan cz stk ?

(c) Oblicz wielko i kierunek si y dzia aj cej na cz stk , je li jej adunek wynosi 0,002 C, pr dko – 550 m/s, a pole magnetyczne mi dzy biegunami jest równe 0,002 T.

(d) Jak zmieni by si kierunek dzia ania si y, gdyby adunek wynosi q?

25-2. Wi zka elektronów poruszaj ca si w prawo z pr dko ci jest prostopad a do jednorodnego pola magnetycznego B skierowanego do kartki.

(a) Napisz równanie na si dzia aj c na ka dy elektron.

(b) Oblicz si odchylaj c ka dy elektron w wi zce, je li poruszaj si one z pr dko ci 3000 m/s, a pole magnetyczne wynosi 0,15 T.

25-3. Elektrony poruszaj ce si z pr dko ci w lewo w jednorodnym polu magnetycznym dowiadczaj si y odchylaj cej F skierowanej w dó

(a) Wyprowad równanie na pole magnetyczne wytwarzaj ce si F

(b) Oblicz pole magnetyczne, gdy pr dko elektronów wynosi 2,0 107 m/s, a si a odchylaj ca wynosi 3,0 10 13 N. N S v v