Spis treści Wstęp
9
1. Wybrane fakty z analizy i algebry liniowej 11 1.1. Podstawowe pojęcia i definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Symbole Landaua O i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Funkcje macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Wartości i wektory własne macierzy . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Dodatniość w przestrzeniach wektorowych . . . . . . . . 23 1.2.4. Macierze Metzlera i twierdzenie Perrona-Frobeniusa . . 24 1.3. Uogólnienia pojęcia różniczkowalności . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . 33 1.4.1. Twierdzenie Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Równania różniczkowe i różnicowe 37 2.1. Równania różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Liniowe równanie różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2. Równania różnicowe sprowadzalne do równania liniowego 40 2.2. Przegląd równań różniczkowych zwyczajnych mających jawne rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1. Równania o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . 45 2.2.2. Równania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.3. Wybrane równania wyższych rzędów . . . . . . . . . . . 55 2.2.4. Równania redukowalne do równań pierwszego rzędu . . 56 3. Zagadnienie Cauchy’ego 65 3.1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań . . . . . . 66 3.2.1. Pojęcia i wyniki pomocnicze . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5