14
PRZECHYTRZYĆ MURPHY’EGO, CZYLI MATEMATYKA NA CO DZIEŃ
My postaramy się wykazać, że gdy siedząca przy klawiaturze komputera małpa wystarczająco długo będzie stukać w klawisze, to w powstałym ciągu znaków pojawi się tekst wszystkich dzieł Józefa Ignacego Kraszewskiego. Wprowadźmy zatem odpowiednie oznaczenia i przystąpmy do pracy. Niech na klawiaturze dostępnych będzie K znaków. Oczywiście, prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że znak o numerze j, pokryje się ze znakiem sto1 jącym na j-tej pozycji w ciągu znaków dzieł Kraszewskiego, wynosi . WszystK kie dzieła Kraszewskiego tworzą ciąg o liczbie znaków Kr. Ciągi znaków, które powstają dzięki małpie, podzielmy na kawałki Kr1, Kr2, Kr3, . . . Każdy z nich niech składa się z Kr znaków. Prawdopodobieństwo, że ciąg Kr1 pokryje się Kr 1 z ciągiem znaków wszystkich dzieł Kraszewskiego, wynosi . PrawdopoK dobieństwo, że ciąg znaków Kr1 nie pokryje się z ciągiem znaków odpowiada Kr 1 jącym dziełom Kraszewskiego, wynosi: 1 − . K Weźmy teraz pod uwagę Z kolejnych ciągów znaków Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ powstałych przez naciskanie klawiszy komputera przez małpę. Znaki te powstają w sposób niezależny. Zatem prawdopodobieństwo, że w łańcuchu Z kolejnych ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ żaden z nich nie będzie odpowiadał dziełom Kraszewskiego, wynosi Kr !Z 1 1− . K Prawdopodobieństwo, że choć jeden z ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ pokryje się z dziełami Kraszewskiego, wynosi Kr !Z 1 . 1− 1− K Przyjmując, że małpa siedzi przy klawiaturze, produkując znaki wystarczająco długo, otrzymujemy, że ciąg znaków dąży do nieskończoności i wobec tego mamy: Prawdopodobieństwo, że choć jeden z ciągów Kr1, Kr2, Kr3, . . . , KrZ pokryje się z dziełami Kraszewskiego, wynosi Kr !Z 1 . lim 1 − 1 − Z →∞ K Z uwagi na fakt, że K > 1, powyższa granica wynosi 1.