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Nuestra Portada: La portada de la Revista Probabilidad y Estadística, 1era.Edición. Fue diseñada por el estudiante Luis F. Bravo
Compiladores: - Luis F. Bravo -Trino Pabon - Ricardo Torres - César Hernández
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Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana UNEFA-Núcleo Aragua
REVISTA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
EDICION ESPECIAL
Año MMXXI
2021
Número Extraordinario 3
Los artículos de esta revista son producto de investigaciones bibliográficas consultadas por los estudiantes/compiladores a varios autores del tema “Correlación de dos variables”, de la materia Probabilidad y Estadística. La Revista declina en los autores la total responsabilidad de sus opiniones.
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Contenido Páginas
PRESENTACIÓN……………………………………………………………
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Diagrama de dispersión. Definición, características, ejercicio ejemplo aplicado al área de ingeniera ………………………..
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Correlación y regresión lineal. Definición, características, ejercicio ejemplo aplicado al área de ingeniera…………….. Coeficiente
de
correlación
de
Pearson.
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Definición,
características, ejercicio ejemplo aplicado al área de ingeniera…………………………………………………………….
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Correlación no lineal. Definición, características, ejercicio ejemplo aplicado al área de ingeniera………………………..
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Referencias Bibliográficas………………………………………………
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a revista que hoy tenemos la satisfacción de presentarleses sobre el tema de Correlación de Dos Variables, específicamente de los tópicos: Diagrama
de Dispersión, Correlación y Regresión Lineal, Coeficiente de Correlación de Pearson y Correlación No Lineal. La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas. Esta revista es la compilación de la información recabada entre varios autores de la materia Estadísticas y Probabilidades. Agradecemos muy sinceramente el interés y dedicación que nuestros distinguidos colaboradores, el Lcdo. Oswaldo Flores y la TSU. Sara Navas,quienes tuvieron a bien brindarnos de manera virtual en el asesoramiento en la elaboración de la misma. Terminamos dando las gracias ala profesoraMaría Castro, por la coordinación de esta actividad.
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ARTÍCULOS
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Diagrama de dispersión Compilado por Luis F. Bravo
Definición: El diagrama de dispersión permite estudiar las relaciones entre dos conjuntos asociados de datos que aparecen en pares (por ejemplo, (x,y), uno de cada conjunto). El diagrama muestra estos pares como una nube de puntos. Las relaciones entre los conjuntos asociados de datos se infieren a partir de la forma de las nubes. ° Una relación positiva entre x y y significa que los valores crecientes de x están asociados con los valores crecientes de y. ° Una relación negativa significa que los valores crecientes de x están asociados con los valores decrecientes de y. Un Diagrama de dispersión es la forma más sencilla de definir si existe o no una relación causa efecto entre dos variables y que tan firme es esta relación, como estatura y peso. Una aumenta (o disminuye) al mismo tiempo con la otra. El Diagrama de Dispersión es de gran utilidad para la solución de problemas de la calidad en un proceso y producto, ya que nos sirve para comprobar que causas (factores) están influyendo o perturbando la dispersión de una característica de calidad o variable del proceso a controlar.
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¿Para qué se usa un diagrama de dispersión? Entre sus usos está descubrir y mostrar las relaciones entre dos conjuntos asociados de datos y confirmar relaciones anticipadas entre dos conjuntos asociados de datos. El diagrama de dispersión puede estudiar la relación entre: ° Dos factores o causas relacionadas con la calidad. ° Dos problemas de calidad. ° Un problema de calidad y su posible causa.
Características de un diagrama de dispersión
Impacto visual: Un diagrama de dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entre dos variables de un vistazo.
Comunicación: Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.
Guía en la investigación: El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que el simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas de estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en su utilización.
Estratificación: Separar un conjunto de datos en diferentes grupos o categorías, de forma que los datos pertenecientes a cada grupo comparten características comunes que definen la categoría.
Procedimiento para hacer un diagrama de dispersión: 1. Recolectar datos pareados (x,y) a partir de dos conjuntos asociados de datos cuya relación va a ser objeto de estudio. Es conveniente contar con 30 pares de datos aproximadamente. 9
2. Rotular el eje x y el eje y. 3. Encontrar los valores mínimo y máximo, tanto para x como para y y utilizar estos valores para elaborar la escala de los ejes horizontal (x) y vertical (y). Ambos deben tener aproximadamente la misma longitud. 4. Plotear los datos pareados (x,y). Cuando haya dos pares de datos que tengan los mismos valores, dibujar círculos concéntricos al punto ploteado o plotear el segundo punto a una corta distancia. 5. Examinar la forma de la nube de puntos para descubrir los tipos y las fuerzas de las relaciones. Cuando hablamos de la relación entre dos tipos de acciones nos referimos a una relación de causa y efecto, a una relación entre una causa y otra, o a una relación entre una causa y dos o más causas.
Ejercicio: Elaboración de diagramas de dispersión y cálculo de índices de covarianza y correlación
a) Elaborar diagramas de dispersión con objeto de evaluar, por inspección visual, el patrón de covariación que
caracteriza a las variables
representadas así como la posible incidencia que sobre dicho patrón puedan ejercer determinados valores de la muestra. b) Calcular los índices de asociación lineal más frecuentes: covarianza y correlación de Pearson.
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La tabla siguiente recoge las puntuaciones de 11 sujetos (N=11) en dos variables X e Y.
X
Y
10
8,04
8
6,95
13
7,58
9
8,81
11
8,33
14
9,963
6
7,24
4
4,26
12
10,84
7
4,82
5
5,68
a.- Construir el diagrama de dispersión de Y en función de X. En base al diagrama construido, a.1. ¿Cómo están relacionada X e Y? a.2. ¿Qué signo tienen la covarianza y la correlación?.
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Solución a) Para construir el diagrama de dispersión, en un sistema de referencia rectangular, dibujamos los puntos correspondientes a las puntuaciones de los sujetos en las variables X e Y. En el eje de abscisas hemos representado a la variable X y en el eje de ordenadas a la variable Y. El gráfico resultante es:
diagrama de dispersión 12 10 8 Y 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
X
a.1. De la forma de la nube de puntos podemos decir que la relación es lineal directa o positiva. a.2. Tanto la covarianza como la correlación tienen que ser positivas.
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CORRELACIÓN Y REGRESION LINEAL Compilado por Trino Pabon
Definición de Correlación: La correlación no es más que cómo se relacionan ambas variables entre sí. En la tabla siguiente te muestro algunos tipos de correlación:
Tipos de Correlación
A continuación algunos ejemplos de estos tipos de correlación: a)
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b)
Por tanto, es una medida estadística que cuantifica la dependencia lineal entre dos variables, es decir, si se representan en un diagrama de dispersión los valores que toman dos variables, el coeficiente de correlación lineal señalará lo bien o lo mal que el conjunto de puntos representados se aproxima a una recta. De una forma menos coloquial, la podemos definir como el número que mide el grado de intensidad y el sentido de la relación entre dos variables.
Siendo: Cov (x;y): la covarianza entre el valor «x» e «y». σ(x): desviación típica de «x». σ(y): desviación típica de «y». 14
Valores que puede tomar la correlación ρ = -1
Correlación perfecta negativa
ρ=0
No existe correlación
ρ = +1
Correlación perfecta positiva Hablamos de correlación positiva si siempre que el valor «x» sube, el
valor «y» sube, y además con la misma intensidad (+1). En el caso opuesto, si siempre que el valor «x» sube, y el valor «y» baja, y además con la misma intensidad, entonces estamos hablando de correlación negativa (-1). Es importante saber que esto no quiere decir que lo hagan en la misma proporción (salvo que tengan la misma desviación típica). Representación gráfica de la correlación 1. Correlación perfecta positiva:
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2. No hay correlaciรณn:
3. Correlaciรณn perfecta negativa:
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Características de la Correlación
El signo del coeficiente indica si la relación entre las variables es positiva o negativa: si el coeficiente es positivo, entonces la relación es positiva. en caso contrario, la relación es negativa.
El valor numérico del coeficiente de correlación varia entre -1 y +1 y éste describe la magnitud de la relación entre las variables.
Si r = -1 entonces existe una relación lineal perfecta negativa entre las variables.
Si r = 0 entonces no existe una relación entre las variables.
Si r = +1 entonces existe una relación lineal perfecta positiva entre las variables.
Regresión lineal
Definición: El análisis de regresión lineal es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre variables. La correlación lineal y la regresión lineal simple son métodos estadísticos que estudian la relación lineal existente entre dos variables. Antes de profundizar en cada uno de ellos, conviene destacar algunas diferencias: La correlación cuantifica como de relacionadas están dos variables, mientras que la regresión lineal consiste en generar una ecuación (modelo) que, basándose en la relación existente entre ambas variables, permita predecir el valor de una a partir de la otra.
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El cálculo de la correlación entre dos variables es independiente del orden o asignación de cada variable a X e Y, mide únicamente la relación entre ambas sin considerar dependencias. En el caso de la regresión lineal, el modelo varía según qué variable se considere dependiente de la otra (lo cual no implica causa-efecto). El objetivo de un modelo de regresión es tratar de explicar la relación que existe entre unavariable dependiente (variable respuesta) Y un conjunto de variables independientes (variablesexplicativas) X1,..., Xn. El modelo de regresión lineal simple tiene la siguiente expresión:
Y = α+βX+ ε En donde es la ordenada en el origen (el valor que toma Y cuando X vale 0), es la pendientede la recta (e indica cómo cambia Y al incrementar X en una unidad) y εuna variable queincluye un conjunto grande de factores, cada uno de los cuales influye en la respuesta sólo enpequeña magnitud, a la que llamaremos error. X e Y son variables aleatorias, por lo que no sepuede establecer una relación lineal exacta entre ellas.
Método de mínimos cuadrados Para hacer una estimación del modelo de regresión lineal simple, trataremos de buscar una recta de la forma:
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de modo que se ajuste a la nube de puntos. Para esto utilizaremos el mĂŠtodo de mĂnimos cuadrados. Este mĂŠtodo consiste en minimizarla suma de los cuadrados de los errores:
Es decir, la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores reales observados y los valores estimados.
Con este mĂŠtodo, las expresiones que se obtiene para a y b son las siguientes:
En donde đ?‘Ľe đ?‘Ś denotan las medias muestrales de X e Y (respectivamente), S2X es la varianza muestral de X y Sxy es la covarianza muestral entre X e Y
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Para calcular la recta de regresiรณn de X sobre Y se hace aproximando X por Xห , del modo
El coeficiente de regresiรณn nos da informaciรณn sobre el comportamiento de la variable Y frente a la variable X, de manera que:
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Ejercicio 1. Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para investigar la relación cuenta con los siguientes datos:
X representa la renta nacional en millones de euros e Y representa las ventas de la compañía en miles de euros en el periodo que va desde 1990 hasta 2000 (ambos inclusive). Calcular: 1) La recta de regresión de Y sobre X. 2) El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. 3) Si en 2001 la renta nacional del país fue de 325 millones de euros. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?
Solución: La recta de regresión de Y sobre X.
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2) El coeficiente de correlaciรณn lineal e interpretarlo.
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Es un coeficiente de correlación positivo y cercano a uno, por lo que la correlación es directa y fuerte. 3) Si en 2001 la renta nacional del país fue de 325 millones de euros. ¿Cuál será la predicción para las ventas de la compañía en este año?
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Coeficiente de correlación de Pearson
Compilado por Ricardo Torres Definición:
El
coeficiente
de
correlación
de
Pearson
es la
covarianza
estandarizada, y su ecuación difiere dependiendo de si se aplica a una muestra, Coeficiente de Pearson muestral (r), o si se aplica la población Coeficiente de Pearson poblacional (ρ).
Condiciones
La relación que se quiere estudiar entre ambas variables es lineal (de lo contrario, el coeficiente de Pearson no la puede detectar).
Las dos variables deben de ser cuantitativas.
Normalidad: ambas variables se tienen que distribuir de forma normal. Varios textos defienden su robustez cuando las variables se alejan moderadamente de la normal.
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Homocedasticidad: La varianza de Y debe ser constante a lo largo de la variable X. Esto se puede identificar si en el scatterplot los puntos mantienen la misma dispersión en las distintas zonas de la variable X.
Características
Toma valores entre [-1, +1], siendo +1 una correlación lineal positiva perfecta y -1 una correlación lineal negativa perfecta.
Es una medida independiente de las escalas en las que se midan las variables.
No varía si se aplican transformaciones a las variables.
No tiene en consideración que las variables sean dependientes o independientes.
El coeficiente de correlación de Pearson no equivale a la pendiente de la recta de regresión.
Es sensible a outliers, por lo que se recomienda en caso de poder justificarlos, excluirlos del análisis.
Interpretación Además del valor obtenido para el coeficiente, es necesario calcular su significancia. Solo si el p-value es significativo se puede aceptar que existe correlación y esta será de la magnitud que indique el coeficiente. Por muy cercano que sea el valor del coeficiente de correlación a +1 o -1, si no es significativo, se ha de interpretar que la correlación de ambas variables es 0 ya que el valor observado se puede deber al azar. (Ver más adelante como calcular la significancia).
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La covarianza de (X,Y) es la desviación típica de la variable X es la desviación típica de la variable Y,de manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico muestral, denotado como a: Coeficiente de Correlación de Pearson
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Ejemplo 1. Una empresa de fabricación de jabón se plantea cambiar la composición de uno de sus productos utilizando una nueva materia prima. Antes de tomar una decisión, la empresa decide realizar un ensayo para estudiar la posible relación entre la utilización dicha materia prima y el número de no conformidades. Para ello analiza lotes con diferentes porcentajes de la nueva materia prima y toma los siguientes datos:
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Con estos datos, elaboraremos el siguiente diagrama de dispersión:
¿Qué podemos analizar del gráfico? En este caso, tendremos una correlación negativa (a medida que aumentamos el % de la nueva materia prima, disminuye el número de productos no conformes). Con estos resultados la empresa podría plantearse la introducción de la nueva materia prima, aunque debería combinarlo con otras herramientas para una mejor toma de decisiones.
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correlaciónlineal Definición: Es una medida de la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala medida de las variables. De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas. En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre una población; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra, siendo la expresión que nos permite calcularlo.
Características:
La r de Pearson es una medida que indica hasta que punto los mismos individuos o sucesos ocupan la misma posición relativa a 2 variables.
La r de Pearson refleja únicamente la relación lineal entre 2 variables.
Cuando la relación es perfecta positiva, cada individuo obtiene exactamente las mismas calificaciones en ambas variables.
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
Un valor alto positivo alto de r de Pearson indica que cada individuo obtiene, aproximadamente, las mismas calificaciones en ambas variables.
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Correlación No Lineal Compilado por César Hernández
Definición: Si X y Y son las dos variables en consideración, un diagrama de dispersión sirve para mostrar la localización de los puntos (X, Y) en un sistema de coordenadas rectangulares. Si en este diagrama de dispersión todos los puntos parecen encontrarse cerca de una línea recta a la correlación se le llama lineal. En estos casos, una ecuación lineal es lo apropiado con el propósito de regresión (o estimación). Si Y tiende a aumentar a medida que X aumenta, se dice que la correlación es una correlación positiva o directa. Si Y tiende a disminuir a medida que X aumenta, se dice que es una correlación negativa o inversa. Si todos los puntos parecen encontrarse en una curva, esta correspondencia se llama no lineal, lo apropiado para la regresión es una ecuación no lineal. Es claro que la correlación no lineal puede ser algunas veces positiva y otras veces negativa.
Características
Algunas veces puede ser negativa y otras veces positiva
Es apropiado una ecuación no lineal
Se establece una regresión
Tienen que encontrarse todos los puntos en una curva
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Ejercicio 1. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (x) y las unidades producidas(y), determinar la recta de regresión de (y) sobre (x), el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. Horas (x)
Producción (y)
80
300
79
302
83
315
84
330
78
300
60
250
82
300
85
340
79
315
84
330
80
310
62
240
Solución: 𝒙𝒊
𝒚𝟐 𝒊
𝒙𝟐 𝒊
𝒚𝒊
𝒙𝒊 . 𝒚𝒊
80
300
6400
90000
24000
79
302
6241
91204
23858
83
315
6889
99225
26145
84
330
7056
108900
27720
78
300
6084
90000
23400
60
250
3600
62500
15000
82
300
6724
90000
24600
32
85
340
7225
115600
28900
79
315
6241
99225
24885
84
330
7056
108900
27720
80
310
6400
96100
24800
62
240
3844
57600
14880
936
3632
73760
1109254
285908
Calculamos los promedios: đ?’™=
đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;•đ?&#x;– ; đ?’š = = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?
Calculamos la covarianza, las varianzas y las desviaciones estĂĄndares: đ??ˆđ?’™đ?’š = đ??ˆđ?&#x;? đ?’™ = đ??ˆđ?&#x;? đ?’š =
đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;– − đ?&#x;•đ?&#x;– . đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;•đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;’đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž − đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
= đ?&#x;”đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;• ⇒ đ??ˆđ?’™ =
đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;?
= đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;”đ?&#x;• ⇒ đ??ˆđ?’š =
El coeficiente de correlaciĂłn estĂĄ dado por: đ?’“=
đ?&#x;”đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;• = đ?&#x;•, đ?&#x;—đ?&#x;? đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;”đ?&#x;• = đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;–
đ??ˆđ?’™đ?’š đ??ˆđ?&#x;? đ?’š
đ??ˆđ?’™đ?’š đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;’đ?&#x;? = = đ?&#x;Ž, đ?&#x;—đ?&#x;“ đ??ˆđ?’™ . đ??ˆđ?’š đ?&#x;•, đ?&#x;—đ?&#x;? . (đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;–)
La recta de regresiĂłn de (y) sobre (x), es aquella que pasa por el punto(đ?‘Ľ , đ?‘Ś) đ??ˆđ?’™đ?’š y tiene pendienteđ??ˆđ?&#x;? đ?’™
đ?’š − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;• = đ?&#x;‘, đ?&#x;’đ?&#x;• đ?’™ − đ?&#x;•đ?&#x;– Despejamos y obtenemos la recta de regresiĂłn: đ?’š = đ?&#x;‘, đ?&#x;’đ?&#x;• + đ?&#x;‘đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;?
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
https://psicologiaymente.com/miscelanea/coeficiente-correlacion-pearson https://www.webyempresas.com/coeficiente-de-correlacion-de-pearson/ https://www.superprof.com https://sites.google.com/site/estadisticadescriptivaenedu/home/unidad-1/6--regre https://rpubs.com/Joaquin_AR/223351 https://es.slideshare.net/JoanFernandoChipia/anlisis-de-correlacin-yregresin-lineal-simple https://lamenteesmaravillosa.com/analisis-de-regresion-lineal-concepto-ycaracteristicas/ https://www.monografias.com/trabajos82/regresion-y-correlacionlineal/regresion-y-correlacion-lineal.shtml https://aprendiendocalidadyadr.com/diagrama-de-dispersion/ https://www.esan.edu.pe/apuntes-empresariales/2019/10/diagrama-dedispersion-como-usar-esta-herramienta-de-control-de-calidad/ Morales, P. (2008). Estadística aplicada a las Ciencias Sociales. Madrid: Universidad Pontificia Comillas Spiegel Murray, M. (2009). Probabilidad y Estadística. Editorial: McGrawHill. 4ta Edición
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