Cinemática e Dinâmica para Engenharia 9789727229529

CINEMÁTICA E DINAMICA PARA ENGENHARIA

Uma Abordagem Prática

Fernando Antunes

CINEMÁTICA E DINAMICA PARA ENGENHARIA Prática

Os livros de Engenharia da LIDEL agora são FCA!

O Grupo LIDEL é reconhecido pelas suas competências editoriais e padrões de qualidade na publicação de livros técnicos em língua portuguesa. Nos seus longos anos de atividade, foram várias as coleções criadas, de entre as quais se destaca a já reputada coleção Engenharia , dedicada quer aos estudantes do ensino superior, quer aos pro ssionais, engenheiros que pretendem consolidar os seus conhecimentos.

E porque a nossa missão é tornar cada livro não só numa ferramenta de trabalho e de divulgação do conhecimento, mas também num objeto que agrade pela sua excelência estética, decidimos renovar o gra smo da coleção e integrá-la na nossa editora FCA, que assumiu as publicações de todas as engenharias do Grupo LIDEL.

Esperamos assim continuar a corresponder às necessidades dos nossos leitores, com mais e variados títulos, com qualidade e atualidade, sempre com os olhos postos no futuro.

Fernando Antunes

Professor Associado com Agregação na Universidade de Coimbra, com grande experiência na lecionação das disciplinas de Mecânica Aplicada. Investigador Integrado no Centro de Engenharia Mecânica, Materiais e Processos na área do comportamento mecânico de materiais, com ênfase no estudo da fadiga. Membro da Ordem dos Engenheiros e da Sociedade Portuguesa de Fratura e Integridade Estrutural .

Os seres humanos desenvolveram uma multiplicidade objetivos. Estas máquinas têm um funcionamento e forças. O presente livro estuda a cinemática partes, dedicadas aos conceitos fundamentais, mento e forças, e às vibrações.

O movimento é estudado seguindo uma Assim, estudam-se, sucessivamente, a partícula, máquinas. A análise conceptual das máquinas nomeadamente o elemento principal, que mento, os mecanismos modi cadores do

A relação entre movimento e forças, estudada sentido, são apresentados, com detalhe, rotação e equivalente. A dinâmica é estudada são recomendadas para um só corpo rígido, interessantes em mecanismos e máquinas.

As vibrações mecânicas são importantes no Neste estudo introdutório, analisam-se sistemas em vibração livre ou vibração forçada. São como frequência natural de vibração, fator

Do mesmo autor:

Tendo em vista a consolidação de conhecimentos, gente de exercícios propostos e resolvidos, observadas pelo autor.

Trata-se, pois, de uma ferramenta valiosa namento mecânico do mundo, tendo como engenharia e todos os pro ssionais da área.

Destacam-se

Fundamental para perceber o funcionamento mecânico do mundo, a partir de uma abordagem teórico-prática. Com exercícios baseados em situações reais. Para estudantes, engenheiros e outros interessados.

ISBN 978-972-722-952-9 ENGENHARIA

Visite-nos em www.fca.pt

9 789727 229529

Cinemática e Dinâmica para Engenharia

Uma Abordagem Prática

Este produto tem reservados todos os direitos de autor, sendo proibida a sua reprodução total ou parcial em qualquer formato ou suporte, difusão, modificação, publicação ou qualquer uso comercial ou não comercial de qualquer conteúdo, assim como é proibida a utilização em bases de dados, ferramentas de data mining, robots, ou ferramentas similares de extração e compilação de dados, incluindo a sua consulta e uso por sistemas de inteligência artificial, quaisquer que sejam os seus objetivos, sem prévia autorização por escrito da Editora.

EDIÇÃO

FCA Editora

Av. Praia da Vitória, 14 A – 1000-247 LISBOA

Tel: +351 213 511 448 geral@fcapactor.pt www.fca.pt

DISTRIBUIÇÃO

Lidel – Edições Técnicas, Lda.

Rua D. Estefânia, 183, R/C Dto. – 1049-057 Lisboa Tel: +351 213 511 448 lidel@lidel.pt www.lidel.pt

LIVRARIA

Av. Praia da Vitória, 14 A – 1000-247 Lisboa Tel: +351 213 541 418 livraria@lidel.pt

© Copyright 2026, FCA PACTOR Editores, Lda. ® FCA e PACTOR são marcas registadas de FCA PACTOR Editores, Lda. ISBN edição impressa: 978-972-722-952-9 1.ª edição impressa: março de 2026

Paginação: Carlos Mendes Impressão e acabamento: Cafilesa – Soluções Gráficas, Lda. – Venda do Pinheiro Depósito Legal: 561789/26

Capa: José Manuel Reis

Todos os nossos livros passam por um rigoroso controlo de qualidade, no entanto aconselhamos a consulta periódica do nosso site (www.fca.pt) para fazer o download de eventuais correções.

Não nos responsabilizamos por desatualizações das hiperligações presentes nesta obra, que foram verificadas à data de publicação da mesma.

Os nomes comerciais referenciados neste livro têm patente registada.

Reservados todos os direitos. Esta publicação não pode ser reproduzida, nem transmitida, no todo ou em parte, por qualquer processo eletrónico, mecânico, fotocópia, digitalização, gravação, sistema de armazenamento e disponibilização de informação, sítio Web, blogue ou outros, sem prévia autorização escrita da Editora, exceto o permitido pelo CDADC, em termos de cópia privada pela AGECOP – Associação para a Gestão da Cópia Privada, através do pagamento das respetivas taxas.

Introdução

Enquadramento

Os seres humanos desenvolveram muitos equipamentos com os mais variados objetivos. Em casa, há eletrodomésticos (máquina de lavar, aspirador, varinha mágica, batedeira, etc.), mas também as balanças, os estores automáticos, os elevadores e os portões automáticos. Nas suas deslocações, o Homem utiliza automóveis, bicicletas, autocarros, comboios, navios e aviões. Quando chega ao escritório, utiliza agrafadores, furadores, máquinas de cortar papel, impressoras, etc. Em ambiente industrial, na agricultura e na construção civil, são inúmeras as máquinas utilizadas para deslocar cargas e fazer todo o tipo de processamento. Algumas delas são acionadas manualmente, mas a maior parte é movida por motores e cilindros.

Estas máquinas, e, aliás, todo o mundo sensível, têm um funcionamento mecânico que envolve forças e movimento. A mecânica é a ciência física que estuda o movimento dos corpos e a relação existente entre esse movimento e as forças. O movimento dos corpos, dos mecanismos e das máquinas é uma questão geométrica, estudada pelo ramo da mecânica denominado cinemática. A Figura I.1A mostra uma caixa redutora que consiste num fuso e uma roda helicoidal. A rotação do fuso faz rodar a roda, sendo a relação de velocidades determinada pelo número de entradas do fuso e pelo número de dentes da roda. Na Figura I.1B, pode ver-se uma máquina de destruir papel. A rotação do veio motor, posicionado na parte inferior, é transmitida por correia dentada para um veio intermédio e por rodas dentadas para o veio superior, onde é feito o corte do papel. Os números de dentes das diferentes rodas determinam a relação entre as velocidades do motor e de corte de papel.

A relação entre esse movimento e as forças aplicadas é estudada pelo ramo da mecânica denominado dinâmica. A estática estuda as situações em que as forças se equilibram, pelo que existe repouso ou movimento com velocidade constante.

B A

XVI Cinemática e Dinâmica para

Objetivos

O objetivo deste livro é estudar a cinemática e a dinâmica de partículas, corpos rígidos, mecanismos e máquinas. Isto é importante para compreender o funcionamento mecânico do mundo. Os objetivos específicos são:

■ Estudar a cinemática a partir do mais simples para o mais complexo, de modo a permitir adquirir as competências de forma progressiva e também a conseguir uma melhor compreensão física. Assim, estudam-se sucessivamente partículas, corpos rígidos, mecanismos e máquinas. Considera-se uma partícula quando as dimensões do corpo são muito pequenas, em comparação com o movimento, ou quando a rotação é irrelevante para o estudo. A partícula pode ter movimento linear ou curvilíneo. Quando o tamanho e a forma são relevantes, pode ocorrer movimento de rotação, o que motiva o estudo da cinemática do corpo rígido. Os mecanismos são conjuntos de corpos rígidos, com formas adequadas, agrupados de modo a atingir um objetivo específico, sendo importante conhecer as diferentes soluções utilizadas na prática. Finalmente, pretende-se uma compreensão das máquinas, primeiro em termos conceptuais e depois em termos quantitativos;

■ Estudar a dinâmica, que envolve forças, acelerações e inércia. É importante conhecer os conceitos de inércia de translação, inércia de rotação e inércia equivalente. A análise dinâmica pode ser feita utilizando abordagens de Newton, baseadas na segunda lei de Newton, que são adequadas para o estudo da partícula e do corpo rígido. Porém, para o estudo de mecanismos e máquinas, é essencial saber utilizar formulações energéticas, que são de grande simplicidade e eficiência;

■ Apreender conceitos fundamentais de vibrações, nomeadamente frequência própria de vibração, fator de amortecimento e ressonância. O estudo limita-se a sistemas vibratórios com um grau de liberdade em vibração livre ou em vibração forçada, pretendendo ser um primeiro contacto com este componente muito importante do funcionamento dos equipamentos mecânicos.

A aprendizagem é feita com situações realistas, localizadas à superfície da Terra, onde os corpos estão sujeitos à força gravítica desta e à ação da atmosfera. De facto, a mecânica tem a grande vantagem de existirem à nossa volta inúmeras situações e máquinas interessantes para serem estudadas. Aliás, o presente livro cresceu e organizou-se a partir desta realidade, procurando explicar o seu funcionamento. Há uma procura da compreensão física, contudo, a passagem do mundo físico para o mundo matemático é fundamental. A abordagem aqui seguida é essencialmente analítica, baseada no desenvolvimento e na resolução de modelos matemáticos. No entanto, na análise dinâmica de situações com aceleração variável, é também proposta uma abordagem numérica.

Estrutura do livro

O livro estrutura-se em quatro partes fundamentais, como se representa esquematicamente de seguida:

Conceitos fundamentais No Capítulo 1, apresentam-se os conceitos fundamentais da mecânica, nomeadamente os conceitos de espaço, tempo, matéria e energia. São identificadas as premissas sobre as quais assenta o estudo da mecânica do corpo rígido.

Cinemática No Capítulo 2, estuda-se a cinemática da partícula.

No Capítulo 3, analisa-se a cinemática do corpo rígido. Abordam-se sucessivamente os movimentos básicos (translação segundo um eixo, T, e rotação em torno de um eixo, R) e os movimentos compostos (translação plana e movimento plano, T + R).

No Capítulo 4, desenvolve-se a cinemática de mecanismos. É dada uma atenção especial aos mecanismos utilizados para alterar o movimento de rotação e para transformar rotação em translação, mas apresentam-se outros mecanismos.

No Capítulo 5, estudam-se máquinas. É proposta uma análise conceptual, a que se segue uma análise quantitativa.

Dinâmica No Capítulo 6, apresentam-se a inércia de translação, a inércia de rotação e a inércia equivalente.

No Capítulo 7, estuda-se a dinâmica da partícula e de conjuntos de partículas. São apresentados os teoremas do movimento do centro de inércia, bem como de variação da quantidade de movimento e do momento angular.

No Capítulo 8, aborda-se a dinâmica de um corpo rígido com movimento de translação (T), de rotação (R) e plano (R + T), usando formulações de Newton.

No Capítulo 9, expõe-se a dinâmica de mecanismos e máquinas através de formulações energéticas. Apresentam-se quantidades relevantes como energia cinética, energia potencial, trabalho e potência de forças e momentos.

Vibrações No Capítulo 10, estuda-se a vibração de sistemas com um grau de liberdade: a vibração livre, não amortecida e amortecida, e a vibração forçada sinusoidal.

Material complementar

As soluções dos exercícios propostos estão disponíveis para download no site da editora, em www.fca.pt.

Máquinas

Introdução

O Homem tem atualmente à sua disposição uma multiplicidade de máquinas que cumprem os mais variados objetivos. Assim, os relógios medem o tempo, os berbequins fazem furos, as batedeiras misturam os ingredientes de um bolo, o monta-cargas transporta e eleva cargas, os brinquedos servem para brincar, os automóveis transportam as pessoas, etc. De notar que podem existir diferentes soluções para uma mesma necessidade, como acontece com os diferentes brinquedos mecânicos feitos para as crianças. Neste capítulo, descreve-se a cinemática das máquinas, começando por uma análise conceptual, a que se se segue uma análise quantitativa.

5.1 Análise conceptual

Apesar da enorme diversidade de máquinas, é possível verificar que todas elas se organizam de um modo similar. A Figura 5.1 é uma representação esquemática, conceptual, das máquinas. O elemento principal da máquina é o que faz o trabalho: é a broca do berbequim, a escova do limpa-vidros do carro, a lâmina do serrote de corte, os ponteiros do relógio ou as pás da batedeira.

De facto, as máquinas centram-se no objetivo a que se propõem.

É à volta deste elemento fundamental que a máquina se organiza. As máquinas precisam de ser acionadas, pelo que um segundo componente essencial das máquinas é o seu acionamento. Este pode ser humano, por motor (elétrico ou de combustão interna) ou por cilindro. Em algumas situações, o acionamento é feito pela força gravítica, o que acontece numa bicicleta a descer uma estrada inclinada, ou por mola, como se verifica nas pistolas de brincar.

Entre o acionamento e o elemento principal existem normalmente componentes mecânicos que alteram as características de força e movimento. Muitas vezes, faz-se a redução de velocidade e, noutros casos, transforma-se rotação em translação. No Capítulo 4, foram apresentados vários mecanismos com diferentes objetivos.

Finalmente, todos estes componentes (elemento principal, acionamento e elementos modificadores) devem ser posicionados adequadamente, de modo a funcionarem em conjunto, o que é conseguido pelo chassis da máquina.

Em relação às máquinas, vale, pois, a máxima “todas diferentes, mas todas iguais”.

De notar que a capacidade de se focar num objetivo é exemplar. Também os seres humanos conseguem melhores desempenhos quando focados num objetivo. Nas secções 5.1.1 a 5.1.4, analisam-se os diferentes componentes das máquinas.

Elementos cinemáticos modificadores (mecanismos)

Elemento principal Acionamento

5.1 Análise conceptual das máquinas

5.1.1 Elemento principal

Os componentes principais das máquinas são os que cumprem o objetivo a que a máquina procura dar resposta. No caso de um berbequim, o elemento principal é a broca, pois é esta que faz o furo. No caso de uma fiambreira, o elemento principal é a lâmina que corta o fiambre. Outros exemplos são:

■ Bomba de ar – cilindro que faz a compressão;

■ Leitor de CD – cabeça de leitura;

■ Afiadora de facas – mós que fazem o desbaste;

■ Saca-rolhas – hélice que entra na rolha e a puxa;

■ Batedeira – pás que fazem a mistura;

■ Esmeril – mó;

■ Rebarbadeira – disco.

Na Figura 5.2, ilustram-se diferentes elementos principais das mais variadas máquinas.

Inércia

Introdução

Em muitas situações, os corpos e as máquinas alteram a sua velocidade, isto é, têm aceleração. Isto acontece:

■ Na queda de corpos;

■ No arranque das máquinas (eletrodomésticos, elevadores, etc.), em que há um período transitório, normalmente muito curto, durante o qual a velocidade sobe de zero até à velocidade de trabalho;

■ Nos veículos (bicicletas, automóveis, comboios, barcos, aviões), durante os períodos de aceleração e travagem;

■ Em mecanismos com movimento alternativo (como motores de combustão interna, máquinas de cortar sebes, facas de cozinha elétricas ou serras tico-tico).

Noutros casos, além da modificação da magnitude da velocidade, há alterações de direção de movimento. Alguns exemplos são um carro em movimento numa cidade, os carrinhos de choque e outras diversões de feira, bem como jogos de basquetebol, andebol, futebol, hóquei em patins ou pingue-pongue.

As acelerações resultam da aplicação de forças que não se equilibram, ou seja, que não se anulam. De facto, se existir equilíbrio de forças e momentos, isto é, F eq = 0 e Meq,A = 0, o corpo está em repouso ou tem velocidade (linear e angular) constante. As situações em que isto acontece são estudadas pela estática. Pelo contrário, se não existir equilíbrio das solicitações externas, isto é, se F eq ≠ 0 e/ou Meq,A ≠ 0, o corpo tem um movimento acelerado.

A dinâmica é o ramo da mecânica que relaciona as forças aplicadas com as acelerações resultantes.

A Figura 6.1 indica os intervenientes na dinâmica. Além das forças e das acelerações, a inércia (resistência oferecida pelas massas à variação da sua velocidade) é um ator principal. Estes três intervenientes da dinâmica são evidentes na segunda lei de Newton (lei

fundamental da dinâmica), F = m × a, em que se pode observar que a inércia (a massa, neste caso) é a constante de proporcionalidade existente entre as forças e a aceleração.

Neste capítulo, foca-se a inércia dos corpos, dos mecanismos e das máquinas.

A inércia é a propriedade que os corpos têm de resistir à alteração do seu estado de repouso ou de movimento.

Por outras palavras, um corpo em repouso só inicia o seu movimento se for aplicada uma força, e um corpo em movimento só para se for forçado a isso.

Forças

Acelerações

Dinâmica

Inércia

6.1 Inércia de translação

Quando uma criança chuta uma bola, esta ganha movimento. Porém, se a criança chutar uma pedra de tamanho semelhante, certamente a pedra mantém a sua posição. A inércia da pedra é substancialmente maior do que a da bola, o que explica a diferença de comportamento. No caso de acidentes de mota, muitas vezes o motociclista desliza sobre o pavimento, o que se deve à sua inércia. Nos acidentes de automóvel, a inércia é bem visível, pois o veículo, e tudo o que está lá dentro, tem tendência a manter o seu movimento. No caso de um comboio descontrolado, há uma grande destruição de tudo o que estiver à sua frente. Nas Figuras 6.2A e 6.2B, ilustra-se uma brincadeira em que se retira rapidamente uma folha onde uma moeda repousa. A moeda mantém a sua posição devido à sua inércia, caindo no copo. Também num martelo a bater num prego, é a inércia da cabeça do martelo que é responsável pelo movimento do prego, como se verifica na Figura 6.2C.

C B A

Esta perceção física da inércia precisa de ser matematicamente quantificada. A inércia de translação é igual à massa do corpo, isto é, à sua quantidade de matéria:

(6.1)

Tal significa que quanto maior for a massa de um corpo, mais difícil é alterar o seu estado de repouso ou de movimento, isto é, a sua velocidade. Isto explica o aumento da gravidade dos acidentes de viação não só com a velocidade do corpo, mas também com a sua massa.

A massa é uma quantidade positiva cuja unidade de medida no Sistema Internacional é o quilograma (kg). Esta quantidade não se altera se o corpo for transportado para a Lua ou se a temperatura for modificada. A determinação da massa pode ser feita de modo:

■ Experimental – utilizando uma balança para determinar o peso e, a partir deste, a massa (m=P/g);

■ Numérico – os programas de modelação 3D, como o Solid Works ou o Inventor, têm ferramentas numéricas para determinar o volume ou a massa, se for definida a massa específica dos materiais;

■ Analítico – nesta abordagem, faz-se a integração sobre todo o volume do corpo:

(6.2)

Neste livro, segue-se uma abordagem analítica a partir do conceito de massa específica. Sendo o corpo homogéneo, isto é, sendo a massa específica igual em todos os seus pontos (ρ = c.te):

(6.3)

Na Internet, é possível encontrar as massas específicas de diferentes materiais e também expressões para determinar o volume de corpos de formas simples. No caso de corpos mais complexos, é possível fazer a sua divisão em partes simples e calcular a massa total como soma das massas parcelares.

Exemplo de aplicação 6.1

Enunciado: Considere a chapa elíptica representada na figura seguinte, feita de uma liga de alumínio (ρ = 2700 kg/m3) e com 1 cm de espessura. O furo tem um diâmetro de 4 cm. Determine a sua massa.

CINEMÁTICA E DINÂMICA PARA ENGENHARIA Uma Abordagem Prática

Os seres humanos desenvolveram uma multiplicidade de máquinas com os mais variados objetivos. Estas máquinas têm um funcionamento mecânico, envolvendo movimento e forças. O presente livro estuda a cinemática e a dinâmica, estando dividido em quatro partes, dedicadas aos conceitos fundamentais, ao movimento, à relação entre movimento e forças, e às vibrações.

O movimento é estudado seguindo uma abordagem de complexidade crescente. Assim, estudam-se, sucessivamente, a partícula, o corpo rígido, os mecanismos e as máquinas. A análise conceptual das máquinas permite identi car elementos comuns, nomeadamente o elemento principal, que cumpre o objetivo da máquina, o acionamento, os mecanismos modi cadores do movimento e o chassis.

A relação entre movimento e forças, estudada na dinâmica, depende da inércia. Neste sentido, são apresentados, com detalhe, os conceitos de inércia de translação, de rotação e equivalente. A dinâmica é estudada utilizando abordagens de Newton, que são recomendadas para um só corpo rígido, e abordagens energéticas, particularmente interessantes em mecanismos e máquinas.

As vibrações mecânicas são importantes no desempenho dos equipamentos mecânicos. Neste estudo introdutório, analisam-se sistemas vibratórios com um grau de liberdade, em vibração livre ou vibração forçada. São apresentados conceitos fundamentais, tais como frequência natural de vibração, fator de amortecimento e ressonância.

Tendo em vista a consolidação de conhecimentos, o livro reúne um conjunto abrangente de exercícios propostos e resolvidos, sendo a maioria baseada em situações reais observadas pelo autor.

Trata-se, pois, de uma ferramenta valiosa para todos os que desejam perceber o funcionamento mecânico do mundo, tendo como principal público-alvo os estudantes de engenharia e todos os pro ssionais da área.

Destacam-se os seguintes temas:

Cinemática

Dinâmica

Vibrações

Corpo rígido

Mecanismos

Máquinas

Material complementar disponível em www.fca.pt, até o livro se esgotar ou ser publicada nova edição atualizada ou com alterações.