Геометрія 7 клас Тадеєв 2015

УДК 514 (075.3) ББК 22.151я72 Т12 Рецензенти: äîêòîð ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê, ïðîôåñîð Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ì. Òàðàñà Øåâ÷åíêà Î.Ã. Êóêóø, вчитель математики Червоноградської ЗОШ № 11, вчитель-методист О.Г. Лапій

Тадеєв В.О. Т12 Геометрія : підручник для 7 кл. загальноосвітн. навч. закл. / В.О Тадеєв. — Тернопіль : Навчальна книга – Богдан, 2015. — 296 с : іл. + 1 електрон. опт. диск (CD). — Електрон. версія. — Режим доступу: http://www.bohdan-digital.com/edu.

ISBN 978-966-10-3446-3

Ïðîïîíîâàíèé ï³äðó÷íèê â³äïîâ³äຠäåðæàâíîìó ñòàíäàðòó ³ ÷èíí³é ïðîãðàì³ ç ìàòåìàòèêè äëÿ çàãàëüíîî ñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â. Ó ï³äðó÷íèêó çíà÷íà óâàãà ïðèä³ëÿºòüñÿ ïèòàííÿì ³ñòîðè÷íîãî, ñâ³òîãëÿäíîãî òà ìåòîäîëîã³÷íîãî õàðàêòåðó. Для учнів і вчителів загальноосвітніх навчальних закладів. УДК 514 (075.3) ББК 22.15я72 Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути відтворена в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва

ISBN 978-966-10-3446-3

© Тадеєв В.О., 2015 © Навчальна книга – Богдан, оригінал-макет, 2015

Піктограмою у підручнику позначено ті його складові, які можна відкрити у pdf-файлі або скориставшись CD, що входить у комплект. У зв’язку з великим обсягом електронної складової підручника, у pdf-файлі активною є тільки її частина. Для завантаження всіх матеріалів треба перейти за посиланням: http://www.bohdan-digital.com/edu.

Переднє слово до учнів Øàíîâí³ äðóç³! Âè розгорнули ï³äðó÷íèê ç ãåîìåòð³¿, íàóêè, ÿêà ñïîêîíâ³êó âðàæàëà ëþäñüêèé ðîçóì ñâîºþ äîâåðøåí³ñòþ. З äàâí³õ-äàâåí геометрія ââàæàëàñÿ íåïåðåâåðøåíîþ øêîëîþ ìóäðîñò³, âèâ÷åííÿ якої ðîçâèâàëî й øë³­ ôóâàëî ìèñëåííÿ. Переказують, ùî íàä âõîäîì äî Àêàäå쳿, ÿêó çàñíóâàâ âèäàòíèé äàâíüîãðåöüêèé ô³ëîñîô Ïëàòîí, áóëî âèð³çüáëåíî íàïèñ: «Íå çàõîäü, íå îá³çíàíèé ç ãåîìåòð³ºþ!». За що ж так цінувалася ця наука? — За те, що розвивала мистецтво аргументації, а аргументація була основою того нового демократичного суспільства, яким так пишалися греки і яке вони всіляко протиставляли східним деспотіям. Символічно, що серед сімох своїх легендарних мудреців-законодавців, котрих греки вважали своїми духовними учителями, на першому місці вони завжди називали ім’я Фалеса, який, власне, законодавцем і не був. Фалес був ученим і, як стверджують легенди, довів лише декілька простих геометричних істин. Однак цим він продемонстрував здатність людського розуму відшукувати об’єктивну істину, і цей постулат став основою західної цивілізації. Отже, навчаючись геометрії, ви навчатиметеся мистецтву аргументації, яке є базовою цінністю сучасного демократичного суспільства. Переміщаючись «машиною часу» далі, потрапляємо у ХVІІ ст. Виникло нове природознавство: Галілей, Кеплер, Декарт, Паскаль, Ньютон… Давня геометрія не тільки не стала осторонь нових тенденцій, а й перетворилася на теоретичну основу експериментальної науки, залишаючись водночас основою раціоналістичної філософії. Своєрідне відображення цієї нової тенденції знаходимо у мандрах казкового Ãóëë³âåðа, героя роману Джонатана Свіфта. Прибувши на літаючий îñòð³â Ëàïóòó, Гуллівер найбільше здивувався тому, що вñå æèòòÿ його мешканців оберталося äîâêîëà ãåîìåòð³¿. Íàâ³òü їхня буденна мова ðÿñí³ëà ãåîìåòðè÷íими термінами. Та якби Гуллівер áóâ íàøèì ñó÷àñíèêîì, òî такого ïîäèâó, ìàáóòü, у нього íå áóëî б. Ãåîìåòðè÷íèìè òåðì³íàìè òåïåð ïðîíèçàí³ íå тільки ïðèðîäíè÷³ ³ òåõí³÷í³ науки, à é ãóìàí³òàðí³, ìèñòåöòâîçíàâñòâî, мова щоденного спілкування. Îñü ëèøå íàéïîøèðåí³ø³ ñëîâà, ÿê³ ïîáóòóþòü ó íàøîìó ìîâëåíí³ й çàïîçè÷åí³ ç ãåîìåòðії: àêñ³îìà, ïàðàëåë³, ïëîùèíà, âåêòîð, ñôåðà, êîîðäèíàòи, ôîêóñ, ïîëþñ, ñåêòîð, âèì³ð, áàãàòîâèì³ðí³ñòü, симетрія òîùî. Ïåâíà ð³÷, аби ïðàâèëüíî ðîçóì³òè ³ âæèâàòè ö³ ñëîâà, ïîòð³áíî

4

Переднє слово до учнів

çíàòè ¿õí³é ïåðâ³ñíèé ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò. «Кíèãà ïðèðîäè», — ÿê влучно сказав ¥àë³ëåé, «íàïèñàíà мовою геометрії». Отже, навчаючись геометрії, ви прилучатиметеся до надбань світової культури, ставатимете обізнаними й компетентними у тих питаннях, в яких без цього відчували б себе немовби прибульцями із варварських епох. І ось ми… у ХХІ ст. Комп’ютерна графіка і дизайн, захмарні архітектурні споруди, мобільний зв’язок, GPS-навігація, проникнення у глибини космосу і матерії… Геометричні ідеї і принципи лежать в основі і цих надбань. Вивчаючи геометрію, ви в цьому не раз переконаєтеся. Отже, і з практичної точки зору геометрія необхідна. Навчання мистецтву аргументації, прилучення до надбань світової культури і практичні застосування геометрії — це ті основні завдання, які ставляться у цьому підручнику. Вони невіддільні одне від одного, як невіддільні, рівнозначні і взаємодоповнюючі Віра, Надія і Любов у християнській моралі. Погортайте підручник, і ви навіть за ілюстративним матеріалом помітите, що кожному із цих завдань відведено належне місце. Крім цього, по всьому тексту ви помітите низку розпізнавальних знаків, кожен з яких має своє символічне значення:

На уроки вас запрошуватиме наш шкільний дзвоник, перев’язаний жовто-блакитною стрічкою. Ðóáðèêó вправ і çàäà÷ усюди супроводжуватиме богиня ìóäðîñò³ Àô³íа. Вибрано рельєфне зображення Афіни з геометричними атрибутами — кутником, циркулем, лінійкою і сферою, створене Філіппом-Роланом Роландом для західного фасаду паризького Лувра. Çàäà÷³ ³ âïðàâè ðîçì³ùåí³ в ê³íö³ кожного ïàðàãðàô³â за порядком наростання їхньої складності. Найпростіші ç íèõ (у тому числі й усні вправи) позначені світлим кружечком, а складніші — темним. Ó кінці кожного розділу ïîäàíі òèïîâ³ çàâäàííÿ äëÿ êîíòðîëüíèõ ðîá³ò (ó äâîõ âàð³àíòàõ). У÷í³, ÿê³ îçíàéîìëÿòüñÿ ç íèìè çàçäàëåã³äü, будуть застраховані від íåïðèºìíèõ «ñþðïðèç³â» íà êîíòðîëüí³é.

Переднє слово до учнів

5

×èìàëî çàäà÷ ó ï³äðó÷íèêó âì³ùåíî ç ðîçâ’ÿçàííÿìè. Відповідна рубрика «Розв’язуємо разом» позначена красномовною світлиною з учителем і ученицею, які разом вирішують задачу. На поданих у тексті прикладах äåìîíñòðóþòüñÿ çàñòîñóâàííÿ âñòàíîâëåíèõ теоретичних ôàêò³â, à â îêðåìèõ âèïàäêàõ — ³ корисні нові відомості та çàãàëüí³ ï³äõîäè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ гео­ метричних çàäà÷. У підручнику є матеріал «Для тих, хто хоче знати більше». Він розрахований на учнів, які вже зараз, не чекаючи старших класів, хочуть дізнаватися про математику більше. Ці тексти супроводжуються портретами ãåí³àëüíèõ ìàòåìàòèê³â Ìèõàéëà Îñòðîãðàäñüêîãî ³ Ñîô³¿ Êîâàëåâñüêî¿. Їхній життєвий шлях переконливо свідчить, ùî ìàòåìàòèêà îäíàêîâî äîñòóïíà ÿê чоловікам, òàê ³ жінкам, і ùî óñï³õè â íàóö³ íå çàëåæàòü â³ä ì³ñöÿ íàðîäæåííÿ: Îñòðîãðàäñüêèé íàðîäèâñÿ íà õóòîð³, à Êîâàëåâñüêà — у столиці. Êð³ì íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó, ï³äðó÷íèê ì³ñòèòü ñïåö³àëüíó ðóáðèêó «Ñòîð³íêè ³ñòî𳿻. Її супроводжує муза історії Кліо зі знаменитої картини Генріха Семирадського «Парнас» (картина прикрашає завісу Львівського оперного театру). Муза тримає книгу й перо, а промовистим порухом лівої руки немовби запрошує озирнутися назад. Оçíàéîìëåííÿ ç поданими у цій рубриці відомостями ðîçøèðèòü âàø êðóãîç³ð, äîïîìîæå çáàãíóòè важливі âíóòð³øí³ ìîòèâè ðîçâèòêó ìàòåìàòèêè. À öå, у ñâîþ ÷åðãó, ñïðèÿòèìå ãëèáøîìó ðîçóì³ííþ íàóêè. У кінці кожного розділу подається зведений перелік усього вивченого теоре­ тичного матеріалу, а в рубриці «Перевір себе» — питання для самоконтролю. Цю рубрику супроводжує зображення міфічної пташки-Ñô³íêñа з погруддям жінки і тулубом лева, яка, за переказами, пропускала далі лише тих подорожніх, хто правильно відповів на її запитання. Áàæàºìî âàì íàòõíåííÿ é óñï³õ³â ó вивченні ãåîìåò𳿠— îäí³º¿ ç íàé­ äàâí³øèõ, íàéçàõîïëèâ³øèõ ³ íàéêîðèñí³øèõ íàóê!

Зірка геометрії. Фрагмент композиції Ігоря Макаревича та Олени Єлагіної «Геометрія космосу» (2008 р.) Зображені у цій композиції креслярські прилади — лінійка, транспортир і косинець — допомагатимуть нам фіксувати ті основні фігури на площині та їхні властивості, які слугують основою геометрії.

Розділ І

Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Вступ

«Мислю — отже, існую» — так коротко охарактеризував сутність людського буття знаменитий французький філософ і математик XVII ст. Рене Декарт. Цим він стверджував, що справжнє життя людини невід’ємне від мислення і неможливе без нього. Мислення багатогранне, як багатогранний світ довкола нас. Зокрема, оскільки ми живемо у просторі, то повинні вміти мислити просторовими образами. Особливо, якщо прагнемо не тільки пристосовуватися до умов, а й пізнавати, удосконалювати світ. Просторові образи інакше називають ще формами або геометричними фігурами. Наука про геометричні фігури називається геометрією. Зародки геометрії виникли дуже давно, ще коли головними просторовими формами, з якими людині доводилося мати справу, були шляхи та ділянки землі. Звідси й назва «геометрія», що в перекладі з грецької якраз і означає «вимірювання землі». Проте з часом до цієї первісної геометрії долучалися нові форми. З удосконаленням будівництва геометричні форми здіймалися вгору, з

Урок 1

Рене Декарт. Портрет голландського художника Франса Хальса. Париж, Лувр.

8

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

успіхами астрономії — поширювалися на космічні простори, з розвитком фізики занурювалися углиб матерії. Придивіться до будь-якої архітектурної споруди і ви побачите, як гармонійно поєднуються у ній численні лінії та інші деталі — відрізки, дуги, кути, трикутники, прямокутники, круги, паралелепіпеди, призми тощо. Отже, у вас уже є певний інструментарій для осми­ сленого сприйняття просторової конструкції. Але чи зможете ви пояснити, як вибрані та взаємопов’язані ці деталі, як розраховані їхні розміри? Те саме можна спитати стосовно плану вашого мікрорайону, парку, спортивного чи торговельного комплексу. А як знаходять відстані до недоступних об’єктів, як визначили розміри Землі та інших планет, як створюють географічні та астрономічні карти? Нарешті, як функціонує комп’ютерна графіка — цей невичерпний сучасний ресурс для проектування й зображення геометричних фігур? Розуміння цих речей потребує значно глибшого вивчення геометрії. Мало закріпити в пам’яті назви

Фрагмент архітектури готичного храму

Ансамбль Маріїнського палацу в Києві

Архітектурний проект, побудований засобами 3D комп’ютерної графіки

§1. Площина. Точки і прямі

геометричних фігур та навчитися їх розпізнавати, навіть, зображати. Потрібно ще й уявляти, як встанов­ люються зв’язки між різними їхніми складовими і як на основі цих зв’язків фігури конструюються. Це так само, як для вправного володіння мовою недостатньо лише певного словникового запасу, а потрібне зна­ ння граматики та синтаксису, або як для музичної творчості недостатньо лише нотної грамоти й набору «акордів», а необхідне знання основ композиції. Для втілення цих ідей вивчення геометрії потрібно розпочати з детального вивчення найпростіших геометричних фігур, аби потім можна було крок за кроком переходити до складніших фігур і відкривати те, як ці складніші конструюються з найпростіших. До найпростіших геометричних фігур належать точки, прямі і площини, а також відрізки, промені і кути. Ці фігури й будуть предметом вивчення у цьому розділі.

§1. Площина. Точки і прямі Площину ми будемо уявляти у вигляді великого аркуша або класної дошки, які можна як завгодно продовжити у будь-якому напрямку. Вважатимемо, що всі геометричні фігури розміщені на площині. Площина — латинською «планум». Тому ту частину геометрії, в якій вивчаються фігури на площині, називають планіметрією. Стереометрія, тобто геометрія у просторі, вивчається у старшій школі. Найелементарнішими фігурами вважаються точ­ ки. Будь-яка інша фігура складена з точок. Уважається, що точка не має розмірів, хоч на рисунках точки зображуються невеликими кружечками. Знаменитий давньогрецький учений Евклід, який написав перший підручник з геометрії, називав точкою «те, що не має частин». Точки можна уявляти

9

10

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

як сліди на аркуші від тонко загостреного олівця. На площині існує безліч точок. Точки зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту. На рис. 1.1 зображено деяку фігуру і позначено декілька її точок A, B, C, D, E, K, M. Ще однією з найпростіших фігур є пряма лі­ нія, або просто пряма. Уявлення про пряму дає лінія, проведена під лінійку (рис. 1.2). Однією з найголовніших властивостей прямої є те, що пряма цілком визначається двома своїми точками: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж — тільки одну. Цю властивість називають властивістю прове­ ден­ня або побудови прямої. На властивості проведення прямої засновується простий практичний спосіб для перевірки правильності лінійки. Якщо через дві точки провести під лінійку дві лінії, по-різному розміщуючи лінійку, як показано на рис. 1.3, і ці лінії не зіллються, то лінійка неправильна. Властивість проведення прямої передбачає, що пряма не має ніякої товщини, бо інакше кожна товщина визначала б свою лінію, яка проходить через ті самі точки. Тим часом така пряма має бути єдиною. Прямі позначають або двома великими літерами, якими позначені які-небудь дві точки прямої, або однією малою латинською літерою. На рис. 1.4 зображено дві прямі — пряму AB (її можна також позначити як ВА) і пряму l. Як і площина, пряма вважається необмеженою, хоча на рисунку, звісно, зображується лише певна обмежена частина прямої. Як і на площині, на кожній прямій існує безліч точок. Якщо якась точка лежить на прямій, то кажуть також, що ця точка належить прямій, або що пряма проходить через цю точку. На рис. 1.5 зображено дві точки А і В, які належать прямій l, а також дві точки P і Q, які не належать їй.

A

B C D K

E M

Ðèñ. 1.1

Ðèñ. 1.2

Ðèñ. 1.3

A

B l

Ðèñ. 1.4

§1. Площина. Точки і прямі

Із властивості проведення прямої випливає, що дві різні прямі можуть мати щонайбільше одну спільну точку. Справді, якби вони мали дві спільні точки, то збігалися б, оскільки через дві точки можна провести лише одну пряму. Про дві прямі, які мають одну спільну точку, кажуть, що вони перетинаються у цій точці. На рис. 1.6 зображено дві прямі m і n, які перетинаються у точці Р. Якщо прямі не мають жодної спільної точки, то вони називаються паралельними (в дослівному перекладі з грецької — «йдуть поруч»). На рис. 1.7 зображено паралельні прямі a і b. Скільки б не продовжувати зображення паралельних прямих, вони ніколи не перетнуться. Уявлення про площину дає не тільки аркуш паперу або класна дошка. Площину може представляти будьяка інша рівна поверхня, наприклад, стола, стелі, стіни, підлоги, спортивного майданчика, навіть просто рівної відкритої місцевості. Так само й точки можуть представлятися не тільки слідами від олівця, а й іншими реальними об’єктами, розмірами яких можна знехтувати. Звісно, тоді проведення прямих виглядатиме по-іншому. На цьому ґрунтуються практичні застосування геометрії. Наприклад, під час розбивки газонів, доріжок, фундаменту під забудову тощо точки фіксують кілками, а прямі проводять за допомогою мотузок (шнура) (рис. 1.8). Аналогічно чинять малярі (рис. 1.9), напинаючи шнур, змащений смолою або крейдою, між точками, через які потрібно провести пряму, а потім відпускаючи його. У кожному із таких застосувань виходить така собі «мотузяна» геометрія. Принципово інакше діють геодезисти. Вони фіксують точки довгими палицями — віхами, а прямі «провішують» за допомогою візуванням. А саме:

11

P

A

B

Q

l

Ðèñ. 1.5

m P n Ðèñ. 1.6

a b

Ðèñ. 1.7

Ðèñ. 1.8

12

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

à)

Ðèñ. 1.9 A

B A1

D1

B1

O

C1

C

D

Ðèñ. 1.11. Ìàëåíüêèé ïðèíö íà ñâî¿é ïëàíåò³. Ðèñóíîê Ñåíò-Åêçþïåð³

á) Ðèñ. 1.10

визначивши пряму двома віхами А і В, інші віхи С, D, … ставлять між ними так, щоби при спостереженні із-за віхи А вони закривали віху В (рис. 1.10, а). За допомогою візування проводять і топографічні зйомки для складання планів місцевості або «прив’язки» до місцевості нового об’єкта для будівництва (рис. 1.10, б). Таку геометрію умовно можна назвати «променевою», оскільки роль прямих у ній відіграють зорові промені. Те, що «мотузяна» геометрія збігається із «про­ ме­ н евою» — радше щаслива випадковість, ніж необхідність. Неважко уявити собі такі фізичні умови, при яких цього не було б. Наприклад, такого не було б на планеті Маленького Принца з відомої повісті Антуана де Сент-Екзюпері (рис. 1.11). Ця планета була дуже маленькою, а тому шнур, напнутий між двома її точками, відхилявся б від зорового променя між ними. Те само стосується й нашої планети Земля, якщо брати її у великих масштабах.

Ðèñ. 1.12

§1. Площина. Точки і прямі

Для великих земних масштабів існує інша гео­ метрія — сферична, яка суттєво відрізняється від гео­ метрії на площині, тобто від планіметрії. Відмінність проявляється уже у властивості проведення прямої: на сфері можливе таке розміщення двох точок, при якому через них можна провести безліч сферичних прямих. Ви легко збагнете це, подивившись на глобус і на його меридіани, які перетинаються на Північному і на Південному полюсах (рис. 1.12). Вивчаючи геометрію на площині, ми й далі не раз проводитимемо порівняння її з геометрією на сфері. Сферичну геометрію започаткували античні астрономи. Для них зручно було вважати, що небесні світила розміщуються на небесній сфері. В астрономії ця модель зоряного неба застосовується й досі. В епоху Великих географічних відкриттів та Відродження, сферична геометрія давніх астрономів «спустилася» з небесної сфери на земний глобус і в такий спосіб стала поруч із прадавньою площинною геометрією. Яскравим відображенням цього нового світогляду стали геометричні та астрономічні атрибути у живописних та графічних творах тієї епохи.

Вправи і задачі

13

Мартен де Вос. Геометрія. Гравюра. Бл. 1600 р.

Жан Леблон. Геометрія. Гравюра (1636 р.)

1°. Побудуйте з допомогою лінійки пряму і позначте на ній три точки А, В, С. Випишіть усі можливі позначення для цієї прямої. 2°. На рис. 1.13 зображено дві прямі a і b та сім точок. 1) Як ще можна позначити ці прямі? a P C 2) Назвіть точки, які належать прямій а, але не B належать прямій b. O Q 3) Назвіть точки, які належать прямій b, але не b A належать прямій a. D K 4) Назвіть точки, які належать кожній із прямих. Ðèñ. 1.13 5) Назвіть точки, які не належать жодній із прямих.

14

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

3°. Позначте в зошиті дві точки А і В та проведіть через них пряму. Позначте потім дві точки K, L, які належать цій прямій, і дві точки M, N, які не належать їй. Що можна стверджувати про взаємне розміщення прямих: а) АВ і KL; б) АВ і KM; в) KN і BA? 4°. Проведіть дві прямі, що перетинаються. Позначте ці прямі і точку їхнього перетину. Скільки спільних точок можуть мати дві прямі? 5°. На рис. 1.14 зображено три прямі. Назвіть ці прямі. Які з них перетинаються? 6°. Побудуйте таке розміщення чотирьох точок А, В, С, D, щоб точки А, В, С належали одній прямій і точки l m В, С, D належали одній прямій. 7. Чи можуть три прямі перетинатися в одній точці? Як взагалі можуть розміщуватися три прямі, щоб кожні дві з них перетиналися? Зробіть відповідні рисунки. A B 8. Проведіть пряму, а потім ще три прямі, які її перетинають. Які можливі харак­терні випадки Ðèñ. 1.14 взаємного розміщення усіх цих прямих? 9. На рис. 1.15 відображено спосіб перевірки якості обробки рейки за допомогою візування. Як би ви його пояснили? 10. Прямі l і m перетинаються в точці О, М — якась точка прямої m. Чи може точка М належати прямій l? 11. Скільком прямим може належати одна взята точка; дві взяті точки; три взяті точки; п’ять узятих точок? Ðèñ. 1.15 12. На рис. 1.16 відображений один із так званих обманів зору (зорову ілюзію): лінії АВ і СD видаються вигнутими, хоча насправді вони прямі. Виконайте цей рисунок у зошиті і перевірте, чи викликатиме він такий самий обман зору. A B 13•. Позначте в зошиті дві точки А і В. Скільки прямих можна провести через точку А? Скільки — через точку В? Скільки — через обидві точки А і В? Чи C D можете ви обґрунтувати свої твердження? 14•. Позначте в зошиті чотири точки А, В, С, D так, як Ðèñ. 1.16 показано на рис. 1.17, а потім через кожні дві з них проведіть пряму. Скільки всього прямих буде проведено? Чи завжди чотири точки визначатиD муть таку кількість прямих? Розгляньте можливі випадки. A B 15•. а) Проведіть такі чотири прямі а, b, c, d, щоби прямі

a, b, c проходили через одну точку і прямі b, c, d проходили через одну точку. б) Будь-які дві із чотирьох прямих перетинаються. Скільки може бути точок перетину? Зобразіть усі можливі випадки.

C Ðèñ. 1.17

§2. Відрізки, промені та півплощини

15

§2. Відрізки, промені та півплощини Друга головна властивість прямої, поряд із властивістю побудови (проведення), стосується роз­ мі­щення точок на ній. Подивіться на рис. 1.18. На прямій l позначено три точки А, В, С, причому одна, і тільки одна з них, а саме, точка С, лежить між двома іншими — між точками А і В. Таке справджується для будь-яких трьох точок прямої: із трьох точок прямої одна, і тільки одна, ле­ жить між двома іншими. Цю властивість називають основною властивістю розміщення точок на прямій. Якщо точка С лежить між точками А і В (див. рис. 1.18), то кажуть також, що точки А і В лежать по різні боки від точки С, або що точки С і В лежать з одного боку від точки А, а точки А і С — з одного боку від точки В. Як і властивість проведення прямої, властивість розміщення точок на прямій теж не виконувалася б у геометрії на планеті Маленького Принца (див. рис. 1.11). Справді, про кожну з трьох точок А, В, С, розміщених на лінії, яка на поверхні кулі відіграє роль прямої, наприклад, на екваторі (рис. 1.19), можна сказати, що вона лежить між двома іншими. Використовуючи властивість розміщення точок на прямій, можна означити перші фігури, які у цьому сенсі є похідними від основних фігур, тобто від точок і прямих. Це — відрізки і промені. Означити або дати означення фігури — це описати властивості цієї фігури, які дають змогу (спосіб) вирізняти її з-поміж інших фігур або проводити побудову. Візьмемо на прямій а дві точки А і В (рис. 1.20). Ними визначається сукупність точок М цієї прямої,

Уроки 2–3

A

Ñ B

l

Ðèñ. 1.18

A

C

B

Ðèñ. 1.19

A M

B

Ðèñ. 1.20

a

16

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

які лежать між точками А і В. Усі ці точки утворюють відрізок. О зн ач ен н я . Відрізком називається частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, які ле­ жать між двома її точками, разом із цими точками. Ці точки називаються кінцями відрізка, а всі решта точок називаються вну­ трішніми точками відрізка. Позначення відрізків утворюються з позначень їхніх кінців. Інколи відрізки позначають і однією малою літерою. На рис. 1.20 зображено відрізок АВ прямої а, А і В — його кінці, М — внутрішня точка. Візьмемо тепер на прямій три точки А, О, В; нехай точка О лежить між точками А і В (рис. 1.21). Цими точками визначаться дві сукупності: 1) сукупність точок Х прямої, які відносно точки О лежать з того самого боку, що й точка А; 2) сукупність точок Y прямої, які відносно точки О лежать з того самого боку, що й точка В. Такі сукупності точок називаються променями або півпрямими. О зн ач ен н я. Променем (або півпрямою) називається частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, які лежать з одного боку від деякої її точки, разом із цією точкою. Ця точка називаються початком променя, а всі решта точок називаються внутрішніми точками променя. Позначають промені двома великими літерами, з яких перша вказує на початок променя, а друга — на яку-небудь внутрішню його точку. Часто промені

Y B

O

Ðèñ. 1.21

A X

§2. Відрізки, промені та півплощини

17

позначають і однією малою літерою — так само, як прямі. На рис. 1.21 точка О служить початком для двох променів: ОА (його можна позначити і як OX) та ОВ (його можна позначити і як OY). У назві «промінь» відображена цілком певна схожість між геометричним і світловим або зоровим променями: усі ці промені мають початок, але не мають кінця, і є прямолінійними. На прямій існує два різні промені, що мають спільний початок, тобто цим початком пряма ніби розбивається на дві половини. Звідси й назва «півпряма» для кожної з них. Означ ен н я . Два різні промені однієї прямої зі спільним початком називаються доповняльними (або взаємно доповняльними). Отже, будь-яка точка прямої розбиває її на два взаємно доповняльні промені. Щось схоже відбувається з площиною, коли на ній провести пряму: пряма розбиває площину на дві півплощини. Подивіться на рис. 1.22. На ньому точки А і В лежать з одного боку від прямої l, а точка С — з іншого. Відповідно, відрізок АВ, що сполучає точки А і В, не перетинає прямої l, а відрізки СА і СВ, що сполучають точку С з точками А і В, перетинають її. Інакше це формулюють так: точки А і В лежать в одній півплощині з граничною прямою l, а точки А і С та В і С — у різних півплощинах. Отже, маємо таку основну властивість роз­мі­ щення точок відносно прямої на площині: кожна пряма розбиває площину на дві півпло­ щини, що мають спільну граничну пряму.

B A

l

C Ðèñ. 1.22

18

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

B A

Сатурн

l

l

C Ðèñ. 1.23

A

B

Ðèñ. 1.24

Знову ж таки, незважаючи на «очевидність», ця властивість теж украй важлива для планіметрії. Щоправда, на підтвердження цього ми вже не мо­ же­мо навести приклад геометрії на планеті Малень­ кого Принца: як показує рис. 1.23 (порівняй його з рис. 1.22), на поверхні кулі ця властивість теж виконується. А от на кільцеподібній планеті, яку гіпотетично можна уявити утвореною, наприклад, унаслідок згущення кілець Сатурна (рис. 1.24), вона уже не виконувалася б. Справді, «пряма» l, яка проходить по зовнішньому обводу кільця, не розбиває його поверхню на дві частини: з точки А у точку В можна перейти через внутрішній бік. Отже, якщо ми хочемо відмежуватися від геометрій таких світів, а розбудовувати геометрію свого світу, то неодмінно маємо зважати на зазначену основну властивість розміщення точок на площині.

Розв’язуємо разом З ад ач а. Нехай А, В, С — довільні три точки на площині, що не лежать на одній прямій (рис. 1.25). Нехай пряма l перетинає відрізки АВ і АС у внутрішніх точках. Обґрунтувати, що тоді пряма l не може перетинати відрізка ВС.

§2. Відрізки, промені та півплощини

Р озв ’ я за н н я . Звернімо увагу на півплощини, на які пряма l розбиває площину. Оскільки відрізок АВ перетинає пряму l, то точки А і В лежать у різних півплощинах. Так само у різних півплощинах лежать точки А і С. Тоді виходить, що точки В і С лежать в одній півплощині — у тій, яка не містить точки А. Якщо ж кінці відрізка ВС лежать в одній півплощині, то сам цей відрізок не перетинає граничної прямої l. Обґрунтування завершене.

A

19

l

B C Ðèñ. 1.25

Вправи і задачі 16. На прямій позначено точки M, P, N, Q (рис. 1.26). M P N Q Які із цих точок лежать між точками: а) М і Q; б) М і N; в) Р і Q; Ðèñ. 1.26 г) N і Q? Чи є серед цих чотирьох точок такі три, які лежать з одного боку від четвертої. Назвіть такі пари точок, які лежать по різні боки від точки Р. 17°. Проведіть пряму і позначте на ній дві точки А і В. Потім позначте кілька точок, які: 1) належать відрізку АВ; 2) належать променю АВ, але не належать відрізку АВ; 3) належать променю ВА, але не належать променю ВА; 4) не належать ні променю АВ, ні променю ВА. 18°. На прямій l точки L і M лежать по різні боки від точки К. Чи може точка M лежати між точками К і L? Як розміщені точки К і М відносно точки L? 19°. Точки Е і F лежать на прямій по один бік від точки D. Яка із цих точок, і чому, не може лежати між двома іншими? 20°. На прямій точка С лежить між точками А і В. Чи є a b взаємно доповняльними такі промені: а) АВ і ВА; б) АВ і СВ; в) ВА і ВС; г) СА і СВ; ґ) ВА і СВ? A B 21. Які із зображених на рис. 1.27 променів a, b, c, d, e c перетинають відрізок АВ? e d 22. На прямій позначено три точки Х, Y і Z, причому точки Х і Z лежать по один бік від точки Y, а точки Ðèñ. 1.27

20

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Y і Z — по один бік від точки Х. Котра із цих трьох точок лежить між двома іншими? 23. Точка М лежить на промені LN, а точка L — на промені NM. Котра із трьох точок L, M, N лежить між двома іншими? 24. Чи можуть два промені однієї прямої не бути взаємно доповняльними? 25. Чи можуть два промені мати єдину спільну точку і при цьому не бути взаємно доповняльними? 26. Обґрунтуйте, що коли точка Х належить відрізку АВ, то вона належить і про­ меню АВ. Чи істинне обернене твердження: якщо точка Х належить променю АВ, то вона обов’язково належить і відрізку АВ? 27. Дано пряму і три точки L, M, N, що не лежать на цій прямій. Відомо, що відрізок LM перетинає пряму, а відрізок LN не перетинає її. Чи перетинає пряму відрізок MN? Обґрунтуйте свою відповідь. 28. Проведіть пряму і позначте дві точки в одній півплощині відносно цієї прямої і три точки в іншій. Проведіть ті відрізки з кінцями у позначених точках, які перетинають проведену пряму. Скільки вийшло відрізків? Чи залежить ця відповідь від конкретного розміщення точок? 29. Проведено пряму і позначено чотири точки А, В, С, D, що не лежать на ній. Чи перетинатиме відрізок АD пряму, якщо: а) АВ, ВС і СD перетинають пряму; б) відрізки АС і ВС перетинають пряму, а відрізок ВD не перетинає; в) відрізки АВ і СD перетинають пряму, а відрізок ВС не перетинає; г) відрізки АВ і СD не перетинають пряму, а відрізок ВС перетинає; ґ) відрізки АВ, ВС і СD не перетинають пряму; д) відрізки АС, ВС і ВD перетинають пряму? Кожний випадок проілюструйте рисунком. 30•. Перелічіть і зобразіть на рисунках усі можливі випадки взаємного розміщення двох променів на одній прямій. 31•. Скільки всього відрізків визначається чотирма точками, позначеними на одній прямій? 32•. На прямій позначено три точки А, В, С. Скільки різних позначень для променів можна утворити за допомогою літер А, В, С? Скільки серед відповідних їм променів буде різних? Як зміниться відповідь на друге запитання, якщо точки А, В, С не лежатимуть на одній прямій? 33•. Точки А, В, С, D не лежать на одній прямій. Відомо, що пряма АВ перетинає відрізок СD, а пряма СD перетинає відрізок АВ. Обґрунтуйте, що відрізки АВ і СD перетинаються. 34•. Відомо, що відрізки АВ і СD перетинаються. Обґрунтуйте, що тоді відрізки АС і ВD за жодних умов не можуть перетинатись.

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

21

§3. Вимірювання і відкладання відрізків Видатний учений-хімік і метролог Д.І. Менделєєв любив повторювати, що справжня наука починається Урок тоді, коли починають вимірювати. 4 Вимірювання у геометрії розпочинається з вимі­ рювання довжин відрізків. Якщо розглядати цю проблему з вузькопрактичної точки зору, то її вирішення спряжене з двома неабиякими труднощами. Перша трудність полягає у запровадженні єдиного масштабу (еталона довжини), а друга — у забезпеченні належної точності самого вимірювання. Дещо про це можна дові­датися з історичного нарису, вміщеного у кінці цього параграфа. Однак у теоретичній геометрії від цих суто практичних аспектів абстрагуються, вважаючи, що єдиний масштаб (наприклад, метр, дециметр, сантиметр тощо) уже запроваджений і що можливе абсолютно точне вимірювання, навіть якщо для цього потрібні не тільки десяті, а й соті, тисячні Д.І. Менделєєв у мантії і так далі частини основного еталона. Одним із найпоширеніших інструментів для вимі­ професора Единбурзького університету. рювання довжин є лінійка з нанесеною на її край Портрет Іллі Рєпіна. сантиметровою і міліметровою шкалою. Незважаючи на простоту, лінійка дає змогу наочно проілюструвати ті властивості вимірювання та відкладання відрізків, які для геометрії є основними. На рис. 1.28, а) відображено вимірювання відрізків АВ і АС, довжини яких менші від A B C довжини лінійки: АВ = 5 см; АС = 7 см 2 мм = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 7,2 см. à) На рис. 1.28, б) відображено вимірюA M B вання відрізка АВ, довжина якого більша за довжину лінійки. Цей відрізок розбива1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 ється на два відрізки АМ і МВ, потім довá) жина кожної частини вимірюється окремо, Ðèñ. 1.28

22

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

а результати підсумовуються: АВ = АМ + МВ = = 10 см + 2 см = 12 см. Отже, маємо таку основну властивість вимі­рю­ вання відрізків: кожний відрізок має певну довжину, що вира­ жа­ється додатним числом. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розби­ вається будь-якою своєю внутрішньою точкою. Äîâæèíó â³äð³çêà íàçèâàþòü òàêîæ â³äñòàííþ ì³æ éîãî ê³íöÿìè. На рис. 1.28, а) відстань між точками А і С дорівнює 7,2 см, а на рис. 1.28, б) відстань між точками А і В дорівнює 12 см. О зн ач ен н я . Якщо відрізки мають однакову дов­жину, то вони називаються рівними.

B

На рис. 1.29 зображено два рівних відрізки АВ і СD; кожен із них має довжину 3 см. Рівність відрізків записується з допомогою звичайного знака рівності, наприклад: АВ = СD. На рисунках рівні відрізки прийнято позначати однаковою кількістю рисочок.

A Ñ Ðèñ. 1.29

О зн ач ен н я. Точка, яка ділить відрізок на дві рівні час­ тини, називається серединою відрізка.

A

M

B

Ðèñ. 1.30

На рис. 1.30 відрізки АМ і МВ рівні між собою, отже, точка М — середина відрізка АВ. У геометрії, а також і в практиці, часто доводиться відкладати відрізки, які мають певну довжину. На рис. 1.31 на промені l від його початку О за допомогою лінійки відкладено відрізок ОА завдовжки 4,5 см. Відрізки можна відкладати й за допомогою інших засобів, наприклад, використовуючи лінійку і циркуль: спочатку з використанням лінійки

D

O

A

l

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ðèñ. 1.31

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

фіксується відповідний розхил циркуля (рис. 1.32, а), а потім цей розхил «переноситься» на промінь (рис. 1.32, б). Звісно, від способу відкладання резуль­ тат не залежить. Отже, справджується така основна властивість відкладання відрізків: на будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок будь-якої заданої довжини, і при­­ тому — тільки один. Відзначимо два важливих наслідки з основних властивостей вимірювання і відкладання відрізків. 1. Нехай маємо два рівних відрізки АВ і СD (рис. 1.33). Рівність цих відрізків означає, що встановлено їхні довжини і вони виявилися рівними. Візьмемо тоді промінь l з початком С, який містить відрізок СD. Відрізок СD буде відкладеним на цьому промені. Якщо ж ми відкладемо від точки С ще й відрізок АВ, то дістанемо той самий відрізок СD, оскільки відрізок з такою довжиною можна відкласти лише один. У результаті відрізок АВ немовби суміститься з відрізком СD. Отже, якщо відрізки рівні, то їх можна су­міс­ти­ти. 2. Нехай тепер маємо два нерівних відрізки АВ і СD, причому довжина відрізка СD більша за довжину відрізка АВ (рис. 1.34). Якщо ми так само, як у попередньому випадку, відкладемо на промені СD відрізок СВ ′, рівний за довжиною відрізку АВ, то точка В ′ неодмінно буде внутрішньою точкою відрізка СD. Справді, збігатися з точкою D вона не може, бо для цього відрізки АВ і СD мають бути рівними. Якби ж вона розмістилася ззовні відрізка СD, то тоді відрізок СВ ′ дорівнював би сумі відрізків СD і DВ ′ і тому мав би довжину, більшу за довжину відрізка СD, а тому й за довжину відрізка АВ, що неможливо.

23

1 2 3 4 5 6 7 8 9

O

à) A

l

á) Ðèñ. 1.32

A B Ñ

D

l

Ðèñ. 1.33

B A B Ñ

D Ðèñ. 1.34

K l

24

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Отже, якщо нерівні відрізки відкласти на одному й тому самому промені від його початку, то відрізок з меншою довжиною буде частиною відрізка з біль­шою довжиною. Відповідно до цього, якщо довжина відрізка СD більша за довжину відрізка АВ, то кажуть, що й сам відрізок СD більший за відрізок АВ, і записують: СD > АВ. Тоді ж відрізок АВ уважається меншим від відрізка СD, і це записується так: АВ < CD.

Розв’язуємо разом З ад ач а. Чи можуть точки А, В, С лежати на одній прямій, якщо АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 10 см? Р озв ’ я за н н я . Якщо три точки Х, Y, Z лежать на одній прямій, то одна, і тільки одна, з них лежить між двома іншими. Нехай точка Y лежить між точками X і Z (рис. 1.35). Це означає, що точка Y належить відрізку XZ. Тоді, за властивістю вимірювання відрізків, XZ = XY + YZ. Отже, XZ — найдовший із трьох відрізків XY, YZ і XZ, які попарно сполучають три точки X, Y, Z, і він дорівнює сумі двох інших відрізків. У нашому випадку найдовшим є відрізок АС = 10 см, однак він не дорівнює сумі двох інших відрізків, оскільки АВ + ВС = 5 + 7 = 12 (см). Отже, точки А, В, С не можуть лежати на одній прямій.

X

Y Ðèñ. 1.35

Z

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

25

Вправи і задачі 35°. Виміряйте і запишіть результати вимірювання для C B усіх відрізків, зображених на рис. 1.36. 36°. Проведіть у зошиті промінь з початком у точці О, D а потім відкладіть на цьому промені відрізки ОА = A = 6 см і ОВ = 2,8 см. Чому дорівнює довжина відрізка ВА? Визначте її двома способами. 37°. Проведіть промінь АX, відкладіть на ньому відрізок Ðèñ. 1.36 АВ завдовжки 4 см і за допомогою лінійки знайдіть його середину С. Потім побудуйте такий відрізок АD, щоб точка В була його серединою. Чому дорівнюють довжини відрізків АС і АD? 38°. На прямій точка N лежить між точками L і M. Який з відрізків з кінцями у цих точках, має найбільшу довжину? 39°. Порівняйте на око довжини відрізків АВ і СD на рис. 1.37 та АВ і ВС на рис. 1.38, а потім перевірте свої враження вимірюванням. B

B D

A Ñ Ðèñ. 1.37

A

C Ðèñ. 1.38

A

C

B

Ðèñ. 1.39

40°. Точка С належить відрізку АВ (рис. 1.39). Визначте довжину відрізка: а) АВ, якщо АС = 4,5 см, СВ = 2,7 см; б) АС, якщо СВ = 3,6 см, АВ = 9,3 см; в) СВ, якщо АС = 5,1 см, АВ = 8 см. 41°. На прямій по різні боки від точки О відкладені відрізки ОА = 3 см і ОВ = 5 см. Чому дорівнює відстань між точками А і В? 42°. Точка О розміщена між точками А і В і віддалена від них на відстанях 2,4 см і 3,6 см. Чому дорівнює відстань між точками А і В? 43. Рівні відрізки АВ і ВС розміщені на одній прямій. Котра із точок А, В, С лежить між двома іншими? 44. Точки А, В, С лежать на одній прямій і відрізок ВС більший за відрізок ВА. Яка із цих трьох точок може лежати між двома іншими?

26

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

45. Чи можуть точки L, M, N лежати на одній прямій, якщо: а) LM = 3 см, LN = 7 см, MN = 9 см; б) LM = 3 см, LN = 6 см, MN = 9 см? Якщо можуть, то зобразіть це на рисунку. 46. Точки С ділить відрізок АВ завдовжки 28 см на частини, різниця яких дорівнює 6 см. Визначте довжини відрізків АС і СВ. 47. Довжина відрізка дорівнює 28 см. На яких відстанях від кінців відрізка розміщені точки, які ділять його у відношенні 3 : 4? 48. Точка С — середина відрізка АВ, а точка D — середина відрізка АС. Визначте довжину відрізка АВ, якщо ВD = 8 см. 49. Точки В і С належать відрізку АD, що має довжину 12 см. Відомо, що АВ = 6 см, а СD = 8 см. Визначте довжину відрізка ВС. • 50 . Точки А, В, С лежать на одній прямій. Визначте довжину відрізка ВС, якщо АВ = 3,3 см, АС = 4,7 см. Скільки розв’язків має ця задача? 51•. Точка В належить променю ОА, причому ОВ = 10 см, АВ = 4 см. Визначте довжину відрізка ОА. Розгляньте два випадки. 52•. На промені з початком О позначені точки А, В, С так, що ОА = 5 см, АВ = 6 см, ВС = 3 см. Визначте можливу відстань між точками О і С. • 53 . Точки А, В, С, D лежать на одній прямій, і при цьому АВ = 13 см, ВС = 8 см, СD = 6 см. Визначте найбільшу і найменшу з можливих відстаней між точками А і D. 54•. Точка ділить відрізок на дві частини, відстань між серединами яких дорівнює 5 см. Чому дорівнює довжина відрізка? 55•. Точка С належить відрізку АВ. Обґрунтуйте, що відстань між серединами відрізків АС і СВ не залежить від розміщення точки С. Чому вона дорівнює, якщо довжина відрізка АВ дорівнює 16 см? 56•. Відрізки АВ і СD лежать на одній прямій і мають спільну середину. Обґрунтуйте, що тоді відрізки АС і ВD — рівні. Чи можна стверджувати, навпаки, що коли відрізки АВ і СD лежать на одній прямій, а відрізки АС і ВD рівні, то відрізки АВ і СD мають спільну середину?

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

Ñ ò î ð ³ í ê è

³ ñ ò î ð ³ ¿

Як вимірювали довжини у різні часи Ñó÷àñíà ëþäèíà çàçâè÷àé íå çàäóìóºòüñÿ íàä òèì, ùî ò³ ÷èñëåíí³ áëàãà öèâ³ë³çàö³¿, ÿêèìè âîíà êîðèñòóºòüñÿ, çàáåçïå÷åí³ íåâòîìíîþ ïðàöåþ âñüîãî ëþäñòâà óïðîäîâæ â³ê³â. Õàðàêòåðíèì ïðèêëàäîì º âèì³ðþâàííÿ äîâæèí ³ â³äñòàíåé. Õòî òåïåð íå çíàº, ùî äîâæèíè, які ñóì³ðí³ ç ðîñòîì ëþäèíè, âè­ì³­ðþþòü ó ñàíòèìåòðàõ, á³ëüø³ — ó äåöèìåòðàõ ³ ìåòðàõ, âåëèê³ â³äñòàí³ — ó ê³­ëîìåòðàõ, à ìàëåíüê³ ïðîì³æêè — ó ì³ë³ìåòðàõ? Õòî íå çíàº, ùî ì³æ öèìè îäèíèöÿìè ³ñíóþòü äóæå ïðîñò³ ñï³ââ³äíîøåííÿ, ÿê³ âèðàæàþòüñÿ ìíîæåííÿì ÷è ä³ëåííÿì íà ñòåï³íü ÷èñëà 10? Íàðåøò³, õòî íå çíàº, ùî äëÿ ïðîâåäåííÿ самих âèì³ðþâàíь âèêîðèñòîâóþòüñÿ ïðîñò³ ïðèëàäè — ë³í³éêè, ñòð³÷êè, ñêëàäí³ ìåòðè, ðóëåòêè òîùî? ² êîæíà ëþäèíà, â ÿê³é áè ÷àñòèí³ ñâ³òó íå проживала, óçÿâøè îäèí ³ç òàêèõ ïðèëàä³â, ìîæå ëåãêî ïåðåâ³ðèòè âêàçàí³ будь-де ðîçì³ðè àáî çàêëàñòè потрібні ðîçì³ðè ó âèð³á, ÿêèé çáèðàºòüñÿ âèãîòîâëÿòè. Àëå òàê áóëî íå çàâæäè. Á³ëüøó ÷àñòèíó ñâ ³ñòî𳿠ëþäñòâî íå ìàëî çàãàëüíîïðèéíÿòèõ ì³ð.

1. Ïåðø³ åòàëîíè — â ëþäèí³ Ïåðøèìè ì³ðàìè äîâæèíè, ïðèðîäíî, ñëóæèëè частиíè ëþäñüêîãî ò³ëà — íàé÷àñò³øå ðóê ³ í³ã. Ùå äàâí³ ºãèïòÿíè, âàâèëîíÿíè òà ³íø³ íàðîäè çàñòîñîâóâàëè òàêó ì³ðó, ÿê ë³êîòü, ùî äîð³âíþâàëà â³äñòàí³ â³ä ë³êòÿ äî ê³íöÿ ðîçïðÿìëåíîãî ñåðåäíüîãî ïàëüöÿ ðóêè. ˳êòÿìè, çîêðåìà, äóæå çðó÷íî âèì³­ ðþâàòè мотузки òà â³äð³çè òêàíèíè. Ïîâíèé îáåðò òêàíèíè äîâêîëà ë³êòÿ íàçèâàâñÿ ïîäâ³éíèì ë³êòåì. Öÿ ì³ðà òåæ çàñòîñîâóâàëàñÿ ó áàãàòüîõ íàðîä³â. ˳êîòü íå ìàâ ñòàëî¿ âåëè÷èíè. Ó ð³çíèõ äåðæàâàõ ³ â ð³çí³ ÷àñè çàñòîñîâóâàëèñÿ ð³çí³ ë³êò³. Навіть â îäí³é державі â îäèí ÷àñ ìîãëè ³ñíóâàòè ð³çí³ ë³êò³.

Міра лікоть

27

28

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Íàéäîâøèì çàçâè÷àé áóâ öаðñüêèé ë³êîòü, ÿêèé çàñòîñîâóâàâñÿ ïðè çáîð³ ïîäàò³. Ó ðóñüê³é äåðæàâ³ ì³ðà, àíàëîã³÷íà ë³êòþ, íàçèâàëàñÿ аðøèíîì. ³äîìèé ðîñ³éñüêèé ³ñòîðèê і ïèñüìåííèê М.Ì. Êàðàìç³í (1766−1826) уâàæàâ, ùî öÿ íàçâà була çàïîçè÷åíà вíàñë³äîê òîðã³âë³ ç³ ñõ³äíèìè íàðî­ äàìè. Çîêðåìà, ó ïåðñ³â ë³êîòü íàçèâàâñÿ «àðø³». Íåäîáðîñîâ³ñí³ êóïö³ ÷àñòî ïî-ñâîºìó òëóìà÷èëè цю ì³ðó. Çâ³äñè бере свій початок відомий вислів «ì³ðÿòè íà ñâ³é àðøèí», ùî îçíà÷ຠ«ïî-ñâîºìó підходити до ñïðàâи, ïèëüíóâàòè ñâî¿ ³íòåðåñè». Äð³áí³øèìè â³ä ë³êòÿ та аршина ì³ðàìè äîâæèíè були: äîëîíÿ (íàïðèêëàä, â þäå¿â, áðèòàíö³â), êóëàê (â àðàá³â) ³ ï’ÿäü (у давніх ðóñè÷³â). Äîëîíÿ — öå øèðèíà êèñò³ ðóêè. У êëàñè÷í³é àíã­ ë³éñü­ê³é ë³òåðàòóð³ ÷àñòî çóñòð³÷àþòüñÿ îïîâ³ä³ ïðî âèì³ðþâàííÿ âèñîòè êîíåé ñàìå äîëîíÿìè. Ìàëà ï’ÿäü — öå â³äñòàíü â³ä ê³íöÿ âåëèêîãî ïàëüöÿ äî ê³íöÿ âêàç³âíîãî, à âåëèêà ï’ÿäü — â³äñòàíü â³ä ê³íöÿ âåëèêîãî ïàëüöÿ äî ê³íöÿ ì³çèíöÿ ïðè íàéá³ëüøîìó ìîæëèâîìó їхньому ðîçâåäåíí³. Ï’ÿä³ çóñòð³÷àþòüñÿ óæå â àêòàõ XIV ñò. Ââàæàëîñÿ, ùî â àðøèí³ ì³ñòяòüñÿ 4 ï’ÿä³. Òîìó ï’ÿäü ÷àñòî íàçèâàëàñÿ òàêîæ ÷âåðòêîþ. Ç ï’ÿääþ ïîâ’ÿçàíèé êðèëàòèé âèñë³â: «Áåðåãòè êîæíó ï’ÿäü ð³äíî¿ çåìë³». Ùå äð³áí³øîþ ì³ðîþ äîâæèíè áóâ ïаëåöü (íàïðèê­ ëàä, ó âàâèëîíÿí) ³ äþéì (â àíãëî-ñàêñîíñüêèõ íàðî­ä³â). Ö³ëêîì ïðèðîäíî, ùî äоëîíÿ äîð³âíþâàëà 4 ïàëüöÿì. Äþéì ïî÷àòêîâî ââàæàâñÿ ð³âíèì äîâæèí³ ñóãëîáà âåëèêîãî ïàëüöÿ. Ïðî öå ãîâîðèòü ³ ñàìà íàçâà: ñëîâî duim ãîëëàíäñüêîþ ìîâîþ ÿêðàç ³ îçíà÷ຠ«âåëèêèé ïàëåöü». Íà ïî÷àòêó XVII ñò. óêàçîì ðîñ³éñüêîãî öàðÿ Ïåòðà ² áóëà âñòàíîâëåíà â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ òðàäèö³éíèìè ðîñ³éñüêèìè і íîâèìè àíãë³éñüêèìè ì³ðàìè — «çàðàäè êðàùî¿ óçãîäæåíîñò³ ç ºâðîïåéñüêèìè íàðîäàìè ó òðàêòàòàõ ³ êîíòðàêòàõ». ³äïîâ³äíî äî öüîãî óêàçó, 1 àðøèí ïðèð³âíþâàâñÿ äî 28 àíãë³éñüêèõ äþéì³â. ²ùå ç ÷àñ³â Êè¿âñüêî¿ Ðóñ³ íà óêðà¿íñüêèõ çåìëÿõ çàñòîñîâóâàëàñÿ òàêà ì³ðà äîâæèíè, ÿê ñаæåíü. Ïðî

Міра долоня

Міра палець

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

öå, çîêðåìà, ñâ³ä÷èòü ³ Íåñòîð-ë³òîïèñåöü. Ñëîâî «ñаæåíü» ìàëî ïåðâ³ñíó ôîðìó «ñÿæåíü». Òîìó йìîâ³ðíî, ùî âîíî ïîõîäèëî â³ä 䳺ñëîâà «ñÿãàòè». Ðîçð³çíÿëè ìаõîâèé ñаæåíü, ùî äîð³âíþâàâ ðîç­ìàõó ðóê, ³ êîñèé ñаæåíü, ð³âíèé â³äñòàí³ â³ä ï’ÿòè ïðàâî¿ íîãè äî ê³íö³â ïàëüö³â âèòÿãíóòî¿ âãîðó ë³âî¿ ðóêè. Çâè÷àéíî, êîñèé ñàæåíü áóâ á³ëüøèì â³ä ìàõîâîãî. Òîìó ïðî кремезних ÷îëîâ³ê³â (çîêðåìà, ïðî êàçêîâèõ ãåðî¿â) êàçàëè, ùî âîíè ìàþòü «êîñèé ñàæåíü ó ïëå÷àõ». ²íêîëè òàêå ïîð³âíÿííÿ ìîæíà ïî÷óòè é íèí³. Ó XVII ñò. áóëî óçàêîíåíî, ùî ì³ðà 1 ñàæåíü ñòàíîâèòü 3 àðøèíè, ùî íà íèí³øí³é âèì³ð äîð³âíþº 2,13 ì. Çîêðåìà, â «Ñîáîðíîìó óêëàä³» 1649 ðîêó ñêàçàíî: «À ñàæåíü, ùîá ì³ðÿòè çåìëþ ÷è ùîñü ³íøå, — ðîáèòè íà òðè àðøèíè, à á³ëüøå àáî ìåíøå òðüîõ àðøèí³â ñàæí³â íå ðîáèòè». Íà â³äì³íó â³ä êîñîãî òà ìàõîâîãî ñàæí³â, öåé íîâèé ñàæåíü íàçèâàâñÿ öаðñüêèì àáî êаçåííèì. Íàéïîøèðåí³øîþ ç ì³ð, ïîâ’ÿçàíèõ ç íîãîþ ëþäèíè, º ôóò. ³í äîð³âíþº ñåðåäí³é äîâæèí³ ñòóïí³ äîðîñëî¿ ëþäèíè (àíãë³éñüêå foot ÿêðàç ³ îçíà÷ຠ«íîãà», «ñòóïíÿ»). Öÿ ì³ðà òåæ çàñòîñîâóâàëàñÿ ó ð³çíèõ íàðîä³â.  Àíã볿 ôóò áóâ óçàêîíåíèé ðàçîì іç äþéìîì ó XIV ñò. êîðîëåì Åäâàðäîì ²²: 1 ôóò ââàæàâñÿ ð³âíèì 12 äþéìàì, ùî íà íèí³øí³é âèì³ð ñòàíîâèòü 30,48 ñì. Ôðàíöóçüêèé êîðîë³âñüêèé ôóò (ÿêèé òåæ ïîä³ëÿâñÿ íà 12 äþéì³â ³ áóâ ó Ôðàíö³¿ îñíîâíîþ ì³ðîþ äîâæèíè àæ äî ââåäåííÿ ìåòðà), ìàâ äîâæèíó 32,5 ñì. Нå ìåíø ö³êàâå ïîõîäæåííÿ îñíîâíî¿ ì³ðè äîâæèíè â àíãëî-ñàêñîíñüêèõ íàðîä³â — ÿðäà. Öÿ ì³ðà áóëà óçàêîíåíà àíãë³éñüêèì êîðîëåì Ãåíð³õîì ² ùå ó 1101 ðîö³. Çã³äíî ç ëåãåíäîþ, 1 ÿðä — öå â³äñòàíü â³ä ê³í÷èêà íîñà öüîãî êîðîëÿ äî ê³íöÿ ñåðåäíüîãî ïàëüöÿ éîãî âèòÿãíóòî¿ ðóêè. Ùîïðàâäà, çà ³íøîþ âåðñ³ºþ ïðîîáðàçîì ÿðäà ñòàâ ìå÷ Ãåíð³õà ². 1 ÿðä уâàæàºòüñÿ ð³âíèì 3 ôóòàì. Íà äàíèé ÷àñ — öå ïðèáëèçíî 91 ñì.

Міра фут

Міра ярд

29

30

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

2. Еталон — ячмінна зернина Ó 1324 ð. àíãë³éñüêèé êîðîëü Åäâàðä ²² óòî÷íèâ âåëè÷èíó äþéìà. Çã³äíî ç êîðîë³âñüêèì óêàçîì, 1 äþéì äîð³âíþâàâ «äîâæèí³ òðüîõ ÿ÷ì³ííèõ çåðíèí, óçÿòèõ ³ç ñåðåäíüî¿ ÷àñòèíè êîëîñêà ³ ïðèêëàäåíèõ îäíå äî îäíîãî ñâî¿ìè ê³íöÿìè». À â àíãë³éñüêîìó ïîáóò³ ùå é äîñ³ çàëèøèëàñÿ ì³ðêà «ÿ÷ì³ííå çåðíÿ», ùî äîð³âíþº òðåòèí³ äþéìà. Ö³êàâî згадати, ùî óëþáëåíà ä³òüìè Äþéìîâî÷êà — ìàëåñåíüêà ä³â÷èíêà ç îäíîéìåííî¿ êàçêè Àíäåðñåíà, ÿêà ìîãëà æèòè ó êâ³òö³ ³ ìàëà çð³ñò 1 äþéì, íàðîäèëàñÿ саме з ÿ÷ì³ííî¿ çåðíèíè. Ó XVI ñò. â³äîìèé òîãî÷àñíèé ó÷åíèé Õðèñòîô Êëàâ³é (1537−1612) çàïðîïîíóâàâ óòî÷íèòè ðîçì³ðè ôóòà çà äîïîìîãîþ òèõ ñàìèõ ÿ÷ì³ííèõ çåðíèí. Ïîëîâèíó ôóòà, çà Êëà⳺ì, ìàëè âèçíà÷àòè 64 çåðíèíè, ïðèêëàäåíі îäíà äî îäíî¿ óïîïåðåê. Öå äàâàëî çìîãó äóæå ïðîñòî â³äòâîðþâàòè äîâæèíó åòàëîíа ó áóäü-ÿêîìó ì³ñö³, îñê³ëüêè товщина ÿ÷ì³ííèõ çåðíèí äóæå ñòàá³ëüíà (çíà÷íî ñòàá³ëüí³øà â³ä ¿õíüî¿ äîâæèíè, ÿêó çàñòîñîâóâàëè äëÿ âèçíà÷åííÿ äþéìà), à âåëèêà ê³ëüê³ñòü óçÿòèõ çåðíèí ïðàêòè÷íî ïîâí³ñòþ çãëàäæóâàëà ³íäèâ³äóàëüí³ â³äõèëåííÿ â³ä ñåðåäíüî¿ âåëè÷èíè. Äî òîãî æ, ÷èñëî 64 º ñòåïåíåì äâ³éêè. À öå äàâàëî çìîãó ïðîñòèì ä³ëåííÿì íàâï³ë діставати ìåíø³ äîë³ ôóòà.

3. ×àñ ÿê â³äñòàíü Ïðèíöèïîâî ³íø³ ñïîñîáè çàñòîñîâóâàëèñÿ äëÿ âñòàíîâëåííÿ îäèíèöü âèì³ðþâàííÿ âåëèêèõ â³äñòàíåé. Âîíè ïîâ’ÿçóâàëèñÿ ç óðàõóâàííÿì ÷àñó íà ¿õíº ïîäîëàííÿ. Íàïðèêëàä, òàêîþ áóëà ì³ðà äîâæèíè ñòаä³é. Уâàæàºòüñÿ, ùî öÿ ì³ðà âèíèêëà ó Äàâíüîìó Âàâèëîí³. Äîñòåìåííî â³äîìî, ùî ñòàä³ÿìè âèì³ðþâàëè â³äñòàí³ äàâí³ ãðåêè. Çîêðåìà, â³ä öüîãî ñëîâà óòâîðèëîñÿ ñó÷àñíå ñëîâî «ñòàä³îí». Çà ïåðåêàçàìè, ñòàä³é äîð³âíþâàâ â³äñòàí³, ÿêó äîðîñëà ëþäèíà ïðîõîäèòü ðîçì³ðåíèì êðîêîì çа ïðîì³æîê ÷аñó â³ä ïîÿâè ïåðøîãî ñîíÿ÷íîãî ïðîìåíÿ ïðè ñõîä³ ñîíöÿ äî òîãî ìîìåíòó, êîëè âåñü ñîíÿ÷íèé äèñê ïîâí³ñòþ ç³éäå íàä ãîðèçîíòîì. Îñê³ëüêè äîáðå

Õðèñòîô Êëàâ³é (Êëàâ³é Øëþññåëü) (1537–1612) — ³òàë³éñüêèé ìàòåìàòèê í³ìåöüêîãî ïîõîäæåííÿ. Íàéá³ëüøå â³äîìèé ÿê êåð³âíèê ïðîåêòó ç óâåäåííÿ Ãðèãîð³àíñüêîãî êàëåíäàðÿ, ÿêèì уâåñü ñâ³ò êîðèñòóºòüñÿ é ïîíèí³.

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

31

â³äîìî, ùî ñõ³ä ñîíöÿ òðèâຠ2 õâ, òî, âðàõîâóþ÷è ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ï³øîõîäà, ëåãêî ä³éòè âèñíîâêó, ùî âåëè÷èíà ñòàä³ÿ ïåðåáóâàëà â ìåæàõ â³ä 160 äî 195 ìåòð³â. ³äîìî, ùî âàâèëîíÿíè ä³ëèëè ñâ³é ñòàä³é íà 360 ë³êò³â. À îñê³ëüêè ë³êîòü ó íèõ ïðèáëèçíî äîð³âíþâàâ 54 ñì, òî çâ³äñè íåâàæêî âèâåñòè, ùî äîâæèíà âàâèëîíñüêîãî ñòàä³ÿ ñòàíîâèëà ïðèáëèçíî 194 ì. Íà îñíîâ³ аналогічних ì³ðêóâàíü ç’ÿñîâàíî, ùî ðèìñüêèé ñòàä³é мав äîâæèíó 185 ì, à ãðåöüêèé îë³ìï³éñüêèé — 192 ì.

Äàâíüîâàâèëîíñüêà ë³í³éêà (áë. 2000 ð. äî í. å.). Îñê³ëüêè öÿ ë³í³éêà º ôðàãìåíòîì íàï³âçðóéíîâàíî¿ ñòàòó¿ öàðÿ Ãóäåÿ, òî ìîæíà ââàæàòè, ùî íåþ âèçíà÷àëàñÿ ïîëîâèíà äàâíüîâàâèëîíñüêîãî öàðñüêîãî ë³êòÿ. ˳í³éêà ïîä³ëåíà íà 16 ð³âíèõ ÷àñòèí, ³ç ÿêèõ äðóãà ó ñâîþ ÷åðãó ïîä³ëåíà íà 6, ÷åòâåðòà — íà 5 рівних частин, øîñòà — íà 4, âîñüìà — íà 3, à äåâ’ÿòà — íà 2 ð³âí³ ÷àñòèíè.

²äåÿ ç âèêîðèñòàííÿì ÷àñîâèõ ïðîì³æê³â äëÿ âñòàíîâëåííÿ ì³ðè äîâæèíè дістала íåñïîä³âàíèé ðîç­âèòîê ó XVII ñò. Ó ðåçóëüòàò³ ô³çè÷íèõ åêñ­ïåðè­ ìåíò³â ç ìàÿòíèêîì (âàæëèâèì åëåìåíòîì ìàÿòíè­ êîâîãî ãîäèííèêà, ÿêèé ÿêðàç òîä³ áóв âèíàéäåíий) ç’ÿ­ñó­âàëîñÿ, ùî ïåð³îä êîëèâàííÿ ìàÿòíèêà çàëå­ æèòü â³ä éîãî äîâæèíè. Íà îñíîâ³ öüîãî ñàìèì âèíàõ³äíèêîì ìàÿòíèêîâîãî ãîäèííèêà ãîëëàíäñüêèì ìàòåìàòèêîì ³ ìåõàí³êîì Õðèñò³àíîì Ãþéãåíñîì (1629−1695) ó 1664 ðîö³ áóëî çàïðîïîíîâàíî çà îäèíèöþ âèì³ðþâàííÿ â³äñòàíåé äîâæèíó òàêîãî ìàÿòíèêà, ïåð³îä êîëèâàííÿ ÿêîãî ñòàíîâèòü 1 ñåêóíäó. À ïîëüñüêèé ïðèðîäîäîñë³äíèê Ò³ò Áóððàò³í³ (1615−1682) ó 1675 ðîö³ çàïðîïîíóâàâ ³ íàçâó äëÿ ö³º¿ íîâî¿ îäèíèö³ — ìåòð, óòâîðèâøè ¿¿ â³ä ãðåöüêîãî ñëîâà «ìåòðåî», òîáòî «âèì³ðþþ». Ïðîòå íåâäîâç³ íåñïîä³âàíî ç’ÿñóâàëîñÿ, ùî ïå­ ð³îä êîëèâàííÿ ìàÿòíèêà çàëåæèòü íå ò³ëüêè â³ä éîãî äîâæèíè, à é â³ä ãåîãðàô³÷íî¿ øèðîòè ì³ñöÿ, äå ïðîâîäèòüñÿ âèì³ðþâàííÿ. Çîêðåìà, ïîáëèçó åêâàòîðà ³ â ñåðåäí³õ øèðîòàõ ö³ âåëè÷èíè ñóòòºâî â³äð³çíÿþòüñÿ

Õðèñò³àí Ãþéґåíñ

32

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

îäíà â³ä îäíî¿. Âèÿâèâøè öåé íåäîë³ê, ïîì³òèëè é ³íøèé, à ñàìå, ùî ïðè ðåàë³çàö³¿ ö³º¿ ³äå¿ îäèíèöÿ âèì³ðþâàííÿ äîâæèíè «ïðèâ’ÿçóâàëàñÿ» äî îäèíèö³ âèì³ðþâàííÿ ÷àñó. À öå â òåîðåòè÷íîìó àñïåêò³ çíà÷íî ã³ðøå, í³æ àáè ö³ âåëè÷èíè âèçíà­÷àëèñÿ íåçàëåæíî îäíà â³ä îäíî¿. Òîìó, íåçâàæàþ÷è íà îðèã³íàëüí³ñòü ³äå¿, â³ä íå¿ â³äìîâèëèñÿ, çàëèøèâøè ëèøå на майбутнє íàçâó «ìåòð» äëÿ îäèíèö³ âèì³ðþâàííÿ äîâæèí.

4. Óí³âåðñàëüíèì ì³ðèëîì îãîëîøåíî Çåìëþ Ó 1670 ðîö³ ôðàíöóçüêèé äîñë³äíèê Ìóòîí âèñóíóâ ùå á³ëüø çàõîïëþþ÷ó ³äåþ — ïîâ’ÿçàòè îäèíèöþ âèì³ðþâàííÿ äîâæèí ç ðîçì³ðàìè âñ³º¿ ìàò³íêè-Çåìë³, òî÷í³øå, ç äîâæèíîþ ¿¿ ìåðèä³àíà. Àëå äëÿ ðåàë³çàö³¿ ö³º¿ ñì³ëèâî¿, à ïî ñóò³ ãëèáîêî ô³ëîñîôñüêî¿ òà ãóìàí³ñòè÷íî¿ ³äå¿, ïîòð³áí³ áóëè îñîáëèâ³ ñóñï³ëüíîïîë³òè÷í³ óìîâè. Âîíè ç’ÿâèëèñÿ ëèøå ÷åðåç ñîòíþ ë³ò ó çâ’ÿçêó ç ðåâîëþö³éíèìè ïîä³ÿìè ó Ôðàíö³¿ íàïðèê³íö³ XVIII ñò. Ëèøå ðåâîëþö³éíèé ðóõ, ÿêèé îõîïèâ òîä³ öþ êðà¿íó, äàâ çìîãó îðãàí³çóâàòè â³äïîâ³äí³ âåëèêîìàñøòàáí³ âèì³ðþâàííÿ, à íàéãîëîâí³øå — ñòèìóëþâàâ ïåðåõ³ä íà íîâó ñèñòåìó ì³ð.  óñ³õ ³íøèõ êîíñåðâàòèâí³øèõ êðà¿íàõ öåé ïåðåõ³ä çàòÿãíóâñÿ á³ëüøå, ÿê íà ñòîë³òòÿ, à â äåÿêèõ íå ðåàë³çîâàíèé ïîâ­íîþ ì³ðîþ é äîñ³. Õàðàêòåðíèì ó öüîìó çâ’ÿçêó º çâåðíåííÿ ôðàí­ öóçü­êîãî óðÿäó äî íàñåëåííÿ 1790 ð.  íüîìó, çîêðåìà, ìîâèëîñÿ: «ßê ìîæóòü äðóç³ ð³âíîñò³ ìèðèòèñÿ ç ðîçìà¿òòÿì ³ íåçðó÷í³ñòþ ì³ð, ÿê³ çáåð³ãàþòü ùå ïàì’ÿòü ïðî ãàíåáíå ôåîäàëüíå ðàáñòâî..., у òîé ÷àñ, ÿê âîíè êëÿëèñÿ çíèùèòè ñàìó íàçâó òèðàí³¿, ÿêîþ á âîíà íå áóëà?.. Äëÿ ñòâîðåííÿ ³ñòèííî ô³ëîñîôñüêî¿ ñèñòåìè ì³ð, ÿêà áóëà á äîñòîéíîþ â³êó ïðîñâ³òíèöòâà, íå ìîæíà âçÿòè í³÷îãî, ùî íå ´ðóíòóâàëîñÿ б íà òâåðäèõ ï³äâàëèíàõ, ùî íå ïîâ’ÿçàíî íàéò³ñí³øèì ÷èíîì ç ïðåäìåòàìè íåçì³ííèìè, í³÷îãî, ùî â ïîäàëüøîìó ìîãëî á çàëåæàòè â³ä ëþäåé ³ â³ä ïîä³é. Ïîòð³áíî çâåðíóòèñÿ äî ñàìî¿ ïðèðîäè ³ âçÿòè îñíîâó ñèñòåìè ì³ð іç ¿¿ íàäð ...».

§3. Вимірювання і відкладання відрізків

5. ßê æå çì³ðÿëè Çåìëþ? Ó áåðåçí³ 1791 ðîêó Íàö³îíàëüí³ çáîðè Ôðàí­ö³¿ çàòâåðäèëè ïðîïîçèö³þ Àêàäå쳿 íàóê, ùî âèõîäèëà â³ä íàéâèäàòí³øèõ òîãî÷àñíèõ ó÷åíèõ Ëàïëàñà, Ëàãðàíæà, Ìîíæà, Ëàâóàçüº òà ³í., — ïðî ñïîðÿäæåííÿ ñïåö³àëüíî¿ åêñïåäèö³¿ äëÿ âèì³ðþâàííÿ çåìíîãî ìåðèä³àíà. Áóëî âèð³øåíî âèì³ðÿòè äîâæèíó ïàðèçüêîãî ìåðèä³àíà ì³æ äâîìà ì³ñòàìè, ðîçì³ùåíèìè íà íüîìó, — Äþíêåðêîì (ïðèìîðñüêèì ì³ñòîì íà ï³âíî÷³ Ôðàíö³¿) ³ Áàðñåëîíîþ (³ñïàíñüêèì ì³ñòîì íà áåðåç³ Ñåðåäçåìíîãî ìîðÿ). Çíàþ÷è ãåîãðàô³÷í³ øèðîòè öèõ ì³ñò, ïîò³ì áóëî ëåãêî îá÷èñëèòè é äîâæèíó âñüîãî ìåðèä³àíà. Âèíÿòêîâî ñïðèÿòëèâîþ îáñòàâèíîþ áóëî òå, ùî îáèäâà âèáðàí³ ì³ñòà çíàõîäèëèñÿ íà ð³âí³ ìîðÿ, îñê³ëüêè öå ñóòòºâî ñïðîùóâàëî âèì³ðþâàííÿ й ï³äâèùóâàëî ¿õíþ òî÷í³ñòü. Êåð³âíèêàìè åêñïåäèö³¿ áóëî ïðèçíà÷åíî àêàäåì³ê³â Æàíà Áàò³ñòà Äåëàìáðà (1749 − 1822) і Ï’ºðà Ìåøåíà (1744 − 1804). Âèì³ðþâàëüí³ ðîáîòè åêñïåäèö³¿ òà â³äïîâ³äí³ ðîç­ðàõóíêè òðèâàëè äåê³ëüêà ðîê³â. Íà â³äñòàí³ áëèçü­êî 1 000 êì ì³æ Äþíêåðêîì ³ Áàðñåëîíîþ çà äîïîìîãîþ ïðîâ³øóâàííÿ áóëî ïîáóäîâàíî й âèì³ðÿíî 115 òðèêóòíèê³â, ðîçì³ùåíèõ óçäîâæ ìåðèä³àíà. Øóêàíà âåëè÷èíà áóëà çíàéäåíà îá÷èñëåííÿì ³ ñóìó­­âàííÿì äîâæèí â³äð³çê³â ìåðèä³àíà, ðîçì³­ùåíèõ уñåðåäèí³ êîæíîãî òðèêóòíèêà. Для цього çàñòîñîâóâàëèñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ, які ³ñíóþòü ì³æ êóòàìè і ñòîðîíàìè òðèêóòíèêà (вè âèâ÷àòиìåте ¿õ ó 9 êëàñ³). Ç îñîáëèâîþ òî÷í³ñòþ âèì³ðþâàëàñÿ ëèøå îäíà ñòîðîíà êðàéíüîãî òðèêóòíèêà — òàê çâàíà áаçа. À â óñ³õ ðåøòè òðèêóòíèêàõ çà äîïîìîãîþ êóòîì³ðíèõ ïðèëàä³â âèì³­ ðþ­âàëèñÿ ëèøå êóòè — ùî çíà÷íî ïðîñò³øå, í³æ âèì³ðþâàííÿ â³äñòàíåé. Çà äîïîìîãîþ ôîðìóë, ÿê³ ïîâ’ÿçóþòü ñòîðîíè й êóòè òðèêóòíèêà, êðîê çà êðîêîì, ïî÷èíàþ÷è â³ä ïåðøîãî òðèêóòíèêà, îá÷èñëþâàëèñÿ ñòîðîíè вñ³õ ³íøèõ òðèêóòíèê³â, à ïîò³ì ³ â³äð³çêè ìåðèä³àíà, ðîçì³ùåí³ âñåðåäèí³ íèõ. Âñòàíîâèâøè äîâæèíó ïàðèçüêîãî ìåðèä³àíà ó ñòàðèõ ôðàíöóçüêèõ ì³ðàõ (òóàçàõ ³ ôóòàõ; 1 òóàç äîð³âíþâàâ 6 ôóòàì), áóëî âèð³øåíî çà îñíîâó íîâî¿

Ñõåìà âèì³ðþâàííÿ äîâæèíè ïàðèçüêîãî ìåðèä³àíà

33

34

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

1 â³ä çíàéäåíî¿ 40 000 000 âåëè÷èíè. Ó ñòàðèõ ôðàíöóçüêèõ ì³ðàõ öå ñòàíîâèëî 3 ôóòè ³ 11,44 ë³í³¿ (1 ë³í³ÿ = 1 фута). 12 ì³ðè — ìåòðà — âçÿòè

6. Åòàëîí ñòâîðåíî Ïåðøèé åòàëîí ìåòðà áóëî âèãîòîâëåíî ó 1799 ðîö³. Àëå íàâ³òü ó Ôðàíö³¿ ïîâíèé ïåðåõ³ä íà íîâó ñèñòåìó âèì³ðþâàííÿ â³äáóâñÿ ëèøå ó 1840 ð. À ì³æíàðîäíîþ ì³ðîþ ìåòð ñòàâ ó 1872 ð. ï³ñëÿ â³äïîâ³äíîãî ð³øåííÿ ñïåö³àëüíî ñêëèêàíî¿ â Ïàðèæ³ ì³æíàðîäíî¿ êîíôåðåíö³¿. Òîä³ æ áóëî çàòâåðäæåíî ì³æíàðîäíèé åòàëîí ìåòðà, ùî áóâ âèãîòîâëåíèé ç³ ñïëàâó ïëàòèíè (90%) òà ³ðèä³þ (10%). Åòàëîí ìຠôîðìó ñòåðæíÿ çàâäîâæêè 102 ñì іç äâîìà ì³òêàìè íà â³äñòàíÿõ 1 ñì â³ä ê³íö³â. ³äñòàíü ì³æ öèìè ì³òêàìè ÿêðàç ³ óîñîáëþº äîâæèíó 1 ì. Ïîïåðå÷íèé ïåðåð³ç åòàëîíà íàãàäóº ë³òåðó Õ. Ñàìå òàêà ôîðìà çàáåçïå÷óº éîìó íàéá³ëüøó ì³öí³ñòü ïðè íàé­ìåíø³é âàç³ (îñòàííº äóæå âàæëèâî, îñê³ëüêè ïëàòèíà, ÿêà äîì³íóº â ñïëàâ³, äîðîæ÷à íàâ³òü за çîëîòо).

Міжнародний òàëîí ìåòðà

§4. Кути та їхнє вимірювання Коли у побуті говорять про кут, наприклад, у кім­ наті, на майданчику, на ділянці, між вулицями тощо, то мають на увазі фігуру, утворену двома відрізкамисторонами. На рис. 1.40 дужкою позначений один із кутів у парку. У геометрії теж використовується схоже поняття про кут, коли, наприклад, говорять про кути трикутника. Однак у застосування геометрії, наприклад, при складанні планів місцевості з допо­ могою візування, доводиться розглядати і кути з як завгодно продовженими сторонами, тобто утвореними променями. Промені містять у собі й відрізки, однак жоден відрізок не вмістить променя. Тому аби можна було користуватися як одним, так і іншим уявленням про кут, приймається таке його означення.

Урок 5

Ðèñ. 1.40

§4. Кути та їхнє вимірювання

35

О з наче ння .

Кутом називається фігура, що складається з двох променів, які мають спільний початок. При цьому кожен із променів називається стороною кута, а їхній спільний початок — вершиною кута.

На рис. 1.41 зображений кут з вершиною О і сто­ронами ОА, ОВ, які також позначені як a і b. Позначити цей кут можна одним із таких способів: ∠Î, ∠ÀÎÂ, ∠аb або ∠(ab). При цьому позначення у формі ∠Î застосовується лише у тому разі, коли ïðè âåðøèí³ Î íå ðîçãëÿäàюòüñÿ інші кути. Звернемо також увагу, що в позначенні ∠ÀÎÂ вершина кута розміщується між точками, взятими на сторонах. Іíêîëè для спрощення рисунків êóòè позначають öèôðàìè. Íàïðèêëàä, íà ðèñ. 1.42 ïðè âåðøèí³ Î çîáðàæåíî òðè êóòè: ∠1, ∠2 ³ ∠3.

A

Ðèñ. 1.41

3

О зн ач ен н я . ßêùî ñòîðîíè êóòà º âçàºìíî äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè, òîáòî óòâîðþþòü ïðÿìó, òî òàêèé êóò íàçèâàºòüñÿ ðîçãîðíóòèì. Нà ðèñ. 1.43 çîáðàæåíî ðîçãîðíóòèé êóò Î зі сторонами а і b. Фактично — це пряма, з виокрем­ леною на ній точкою, що вважається вершиною розгорнутого кута.

B

O

O

Ðèñ. 1.42

O

a

b

Ðèñ. 1.43

О зн ач ен н я . Кажуть, що промінь з початком у вершині нерозгорнутого кута проходить між його сторонами, якщо він перетинає який-небудь відрізок з кінцями на сторонах кута. На рис. 1.44 зображено промінь с, який лежить між сторонами а і b нерозгорнутого кута О: він

2 1

a A c

C O

B

Ðèñ. 1.44

b

36

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

перетинає відрізок АВ з кінцями на сторонах кута у точці С. Для розгорнутого кута вважається, що будь-який промінь с, який виходить з вершини кута О, лежить між його сторонами а і b (рис. 1.45). Кажуть, що промінь, який проходить між сторонами кута, розбиває його на два кути. На рис. 1.44 і 1.45 промінь с розбиває кут ∠аb на два кути: ∠ас і ∠сb. Точки усіх променів, які проходять між сторонами нерозгорнутого кута, називаються внутрішніми точ­ ками цього кута. Усі інші точки площини називаються зовнішніми. На рис. 1.46 синім кольором позначені внутрішні точки нерозгорнутих кутів А і В, жовтим — зовнішні. Для розгорнутого кута О внутрішніми вважаються всі точки однієї з півплощин, граничну пряму якої утворюють сторони кута, а зовнішніми — точки іншої півплощини (рис. 1.47). Отже, будь-який кут розбиває площину на дві частини. Та частина, яка містить сторони кута і всі внутрішні точки кута, називається опуклим плоским кутом, а та, що містить сторони кута і всі зовнішні точки, — увігнутим плоским кутом. У трикутниках, які вивчатимуться далі, усі плоскі кути опуклі (рис. 1.48), однак уже в чотирикутниках, які вивчатимуться у 8 класі, можуть бути й увігнуті кути (рис. 1.49). У навчальній і креслярській практиці кути вимі­ рюють за допомогою транспортира (рис. 1.50). У гео­ дезичних та астрономічних вимірюваннях застосовуються інші інструменти — астролябії, октанти, секстанти, бусолі, теодоліти. Однак основою їхньої конструкції, як і в транспортирі, є круг або частина круга, з нанесеною на краю шкалою. Детальніше про

c b

a O

Ðèñ. 1.45

A

B Ðèñ. 1.46

O Ðèñ. 1.47

Ðèñ. 1.48

§4. Кути та їхнє вимірювання

це розповідається в історичному нарисі, вміщеному в кінці параграфа. Основною одиницею для вимірювання кутів є гра­ дус (gradus — латинською мовою «крок»). Градуси позначаються з допомогою кружечка °, який записується зверху справа біля відповідного числа. Кутом з градусною мірою 1° уважається 1 180 частина розгорнутого кута. Ця одиниця значно давніша від метричних одиниць, що зараз вико­ристо­ вуються для вимірювання відрізків і відстаней: її застосовували ще античні астрономи, тимчасом, як метричні одиниці набули поширення лише з 2-ї половини ХІХ ст. Дрібнішими одиницями для вимірювання кутів є мінута (minuta — дослівно «менша») і секунда (secunda — дослівно «друга», тобто друга менша одиниця). Одна мінута (позначається 1′) дорівнює 1 частині градуса, а одна секунда (позначається 60 1′′) дорівнює 1 частині мінути, тобто 1 частині 60 3600 градуса. У надточних астрономічних вимірюваннях застосовуються навіть терції (tertia — означає «третя»). Одна терція (позначається 1′′′) дорівнює 1 частині секунди. Вимірювання з такою величезною 60 точністю здійснюється шляхом візування з викорис­ танням телескопів і дуже точних механізмів для їхнього наведення. Величина кута в градусах та частинах градуса називається градусною мірою кута. Якщо, наприклад, кут А має градусну міру 60°, то це записують так: ∠А = 60°. Назва приладу «транспортир» походить від латинського слова transportare, що означає «переносити». Отже, спочатку цей прилад слугував не тільки

Ðèñ. 1.49

b 90° 45°

135°

a

Ðèñ. 1.50

37

38

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

для вимірювання, а й для перенесення (відкладання) кутів. Відповідно до цього, основними властивостями вимірювання та відкладання кутів уважають такі: кожний кут має певну градусну міру, що виражається додатним числом. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами; від будь-якого променя у дану півплощину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою від 180°, і притому — тільки один. На рис. 1.50 показано спосіб вимірювання з допо­ могою транспортира кута ∠ab; його градусна міра дорівнює 115°. На рис. 1.51 цей кут відкладено від променя l у верхню півплощину: ∠lm = 115°. Незважаючи на очевидну схожість між вимі­ рю­ ванням і відкладанням кутів та вимірюванням і відкла­данням відрізків, між ними існують суттєві відмінності. По-перше, для кутів існує абсолютний і незмінний еталон — розгорнутий кут, тимчасом, як для відрізків еталон можна вибирати довільно: це може бути метр, фут, сажень, лікоть тощо. (Згадайте відомий анімаційний фільм «38 папуг», герої якого вимірювали довжину удава і папугами, і мавпами, і навіть слониками.) По-друге, для кутів існує найбільша можлива величина — 180°, а для відрізків найбільшої величини не існує. О зн ач ен н я . Кути, які мають однакові градусні міри, на­ зиваються рівними. Рівність кутів записується за допомогою звичайного знака рівності. На рисунках рівні відрізки часто позначають однаковою кількістю дужок біля вершин.

m °

90

l Ðèñ. 1.51

§4. Кути та їхнє вимірювання

Наприклад, íà ðèñ. 1.52 çà äîïîìîãîþ äâîõ äóæîê ïîçíà÷åíî, що ∠Î = ∠Q. Як і для відрізків, можливість відкладання кутів із заданою градусною мірою забезпечує можливість суміщення рівних кутів і порівняння кутів, які не є рівними. А саме, аналогічно як для відрізків, можна довести: 1. Якщо кути рівні, то їх можна сумістити. 2. Якщо нерівні кути відкласти від одного й того самого променя в одну й ту саму півплощину, то кут з меншою градусною мірою буде частиною кута з більшою градусною мірою. Зважаючи на другу властивість, можна конкре­ ти­ зовувати нерівності між кутами. Ці нерівності позначають за допомогою тих самих знаків > та <, що й для відповідних градусних мір, записуючи, наприклад, ∠A > ∠B.

Q

O Ðèñ. 1.52

Означ ен н я . Ïðîì³íü, ÿêèé âèõîäèòü ç âåðøèíè êóòà, проходить між його сторонами ³ ä³ëèòü кут íà äâà ð³âíèõ êóòè, íàçèâàºòüñÿ á³ñåêòðèñîþ êóòà.

a c

Слово «бісектриса» походить â³ä ëàòèíñüêого bissectrix, що означає «розтинаюча навпіл». Íà ðèñ. 1.53 промінь с — á³ñåêòðèñà êóòà ∠ab. Вона ділить цей кут на два рівних кути ∠ac і ∠cb, що мають спільну сторону c. Íà ðèñ. 1.54 промінь с — á³ñåêòðèñà розгорнутого кута ∠ab. Оскільки розгорнутий кут має градусну міру 180°, то кути ∠ac і ∠cb дорівнюють по 90°. Означ ен н я . Кут, який дорівнює 90°, називається прямим. Ïðÿì³ êóòè íà ðèñóíêàõ ÷àñòî відзначають çíà÷­ êîì .

39

b Ðèñ. 1.53

c 2

1

a

b Ðèñ. 1.54

40

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Для креслення прямих кутів, окрім транспортира, використовується косинець (рис. 1.55). Професійні креслярі використовують рейсшину — інструмент, що складається із двох лінійок різної довжини, скріплених у формі літери Т (рис. 1.56). Прямий кут використовується як засіб для порівняння усіх нерозгорнутих кутів. О зн ач ен н я. Êóò, âåëè÷èíà ÿêîãî ìåíøà â³ä 90°, íàçè­ âàºòüñÿ ãîñòðèì, à êóò, âåëè÷èíà ÿêîãî á³ëüøà çà 90°, àëå ìåíøà â³ä 180°, íàçèâàºòüñÿ òóïèì. Íà ðèñ. 1.57 çîáðàæåíî усі три види нерозгорнутих кутів, залежно від їхньої величини — гострий, прямий і тупий.

Êîñèíåöü Ðèñ. 1.55

Ðåéñøèíà Ðèñ. 1.56

Розв’язуємо разом З ад ач а. Обґрунтувати, що прийняте означення променя, що проходить між сторонами кута, не залежить від вибору відрізка з кінцями на сторонах кута. Тобто, якщо промінь с, що виходить з вершини кута О, перетинає якийсь відрізок АВ з кінцями на сторонах а, b кута, то він перетинає і будь-який інший такий відрізок LM (рис. 1.58). Р озв ’ я за н н я . Проведемо відрізок BL і обґрун­ туємо, що промінь с його перетинає. Точки А і L лежать з одного боку від прямої с, оскільки відрізок AL її не перетинає. Точки А і В лежать по різні боки від прямої с, оскільки відрізок АВ її перетинає. Точка L лежить з того самого боку, що й точка А, отже, по різні боки з точкою В, а тому відрізок ВL перетинає пряму с у деякій точці D.

Ðèñ. 1.57

§4. Кути та їхнє вимірювання

Чи може точка D належати не променю с, а доповняльному до нього променю? Не може, оскільки доповняльний промінь міститься по інший бік від прямої b, ніж відрізок ВL. Отже, відрізок ВL перетинає саме промінь с. Так само, як щойно розглянуто відрізки АВ і ВL, розглянемо відрізки ВL і LМ. Оскільки уже відомо, що промінь с перетинає відрізок ВL, то так само виведемо, що він перетинає і відрізок LМ. Обґрунтування завершено.

a L N c

A C O

D M b

B

Ðèñ. 1.58

Вправи і задачі 57°. Позначте три точки, що не лежать на одній прямій, і накресліть усі кути з вершинами у кожній із цих точок, сторони яких проходять через дві інші точки. Скільки всього кутів буде побудовано? Як зміниться відповідь, якщо точки лежатимуть на одній прямій? 58°. Виміряйте за допомогою транспортира кути А, В, С, D, зображені на рис. 1.59, і на цій підставі зробіть висновок, котрі з цих кутів гості, котрі — тупі, а котрі, можливо, — прямі. 59°. Проведіть промінь ОА і за допомогою транспортира відкладіть від нього в різні півплощини кути ∠АОВ = 55° і ∠АОС = 75°. Визначте градусну міру кута ВОС. Як зміниться результат, якщо кути АОВ і АОС відкласти в одну півплощину? Обґрунтуйте свої відповіді. 60°. За допомогою транспортира накресліть кути з градусними мірами 30°, 60° і 120°, а потім проведіть їхні бісектриси. Утвориться ціла низка нових кутів. Чи будуть серед «старих» і нових кутів рівні? 61°. Скільки різних кутів утворюють чотири промені а, b, с, d, що виходять зі спільного початку (рис. 1.60). Запишіть позначення цих кутів.

A

B C

D

Ðèñ. 1.59

a

b

c d

Ðèñ. 1.60

41

42

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

62°. Чи є промінь а бісектрисою кута АОВ у випадках, зображених на рис. 1.61, а)−в)? A

A

A

a

110° O

40° 50° O

a

110° B a)

a

55° 55°

B

O

B á)

â)

Ðèñ. 1.61

63°. Визначте кути, які утворюють хвилинна і годинна стрілки годинника у кожний момент, коли годинник показує цілу кількість годин. Чи є серед цих кутів рівні? 64°. Чи може сума градусних мір двох гострих кутів бути: а) більшою; б) меншою; в) рівною градусній мірі прямого кута? 65°. Чи може кут між бісектрисою і стороною кута бути: а) тупим; б) прямим? 66. Чи істинні такі твердження: а) кут, який менший від прямого, — гострий, а який більший за прямий — тупий; б) будь-який кут, який менший від тупого, — гострий; в) будь-який кут, який менший від розгорнутого, — тупий г) різниця двох тупих кутів менша від прямого? 67. Промінь с проходить між сторонами кута ∠аb. Визначте: а) ∠аb, якщо ∠ас = 32°, ∠bс = 74°; б) ∠ас, якщо ∠аb = 138°, ∠bс = 61°; в) ∠bc, якщо ∠аb = 90°, ∠ас = 39°. 68. Чи може промінь с проходити між сторонами кута ∠аb, якщо: ∠ас = 30°, ∠bc = 70°, ∠аb = 40°; б) ∠ас = 105°, ∠сb = 80°, ∠аb = 40°; ∠ас > ∠ab? 69. Між сторонами кута ∠аb, градусна міра якого дорівнює 60°, проведено промінь с. Визначте кути ∠ас і ∠bc, якщо: а) кут ∠ас на 20° більший за кут ∠bc; б) кут ∠ас утричі менший від кута ∠bc; в) градусні міри кутів ∠ас і ∠bc відносяться, як 3 : 7. 70. Промінь ОС проходить між сторонами кута АОВ c і при цьому ∠АОС = 45°, ∠СОВ = 60°. Проведено також промінь ОD — такий, що ∠ВOD = 15°. Визнач­ те градусну міру кута АОD. Скільки розв’язків має ця задача? a b 71. На рис. 1.62 промені а і b — доповняльні, с — довільний інший промінь з тим самим початком, що Ðèñ. 1.62

§4. Кути та їхнє вимірювання

43

й у променів а і b. Накресліть такий рисунок у зошиті і проведіть за допомогою транспортира бісектриси кутів ∠ас і ∠сb. Потім виміряйте кут між цими бісектрисами. Можливо, результат, який ви одержите, наштовхне вас на певний загальний висновок? 72. У прямому куті між його сторонами проведено довільний промінь, а потім бісектриси обох кутів, на які цей промінь ділить прямий кут. Чому дорівнює кут між бісектрисами? Як зміниться відповідь, якщо кут буде не прямим, а дорівнюватиме, наприклад, 70° чи 120°? Чи не наштовхують вас ці запитання на певний загальний висновок? 73•. Розгляньте обернену ситуацію до тієї, що описана у попередній задачі. Тобто нехай у якомусь куті О з невідомою градусною мірою проведено промінь між його сторонами, а потім бісектриси кутів, на які цей промінь ділить кут О. Нехай кут між бісектрисами має градусну міру n°. Чи можна знайти градусну міру кута О? 74•. З деякої точки проведено три промені так, що всі кути, які утворюють будь-які два з них, рівні між собою. Визначте ці кути. 75•. Чи можна з деякої точки провести чотири або п’ять променів так, щоб кути, які утворюють будь-які два з них, були рівними між собою? Якщо можна, то якими будуть ці кути? • 76 . У вас є шаблон кута, який дорівнює 75°. Які кути можна побудувати, використовуючи лише цей шаблон?

Сторінки історії Як вимірювали кути у різні часи Ïðèëàäè äëÿ âèì³ðþâàííÿ êóò³â Òðàíñïîðòèð ³ àñòðîëÿá³ÿ. Нàéäàâí³øèì ïðîîáðàçîì òðàíñïîðòèðà áóâ êóòîì³ðíèé ïðèëàä, який використовували астрономи, — аñòðîëÿá³ÿ. Òðàíñïîðòèð — öå ïîëîâèíà àñòðîëÿ᳿. Ââàæàºòüñÿ, ùî àñòðîëÿá³þ âèíàéøîâ ó ²² ñò. äî í. å. çíàìåíèòèé ãðåöüêèé àñòðîíîì óïïàðõ (180−125 äî í.å.), à âäîñêîíàëèâ ñåðåäíüîâ³÷íèé í³ìåöüêèé àñòðîíîì та математик Ðåã³îìîíòàí (Éîãàíí Ìþëëåð) (1436−1476). Цей пðèëàä ñëóãóâàâ äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîëîæåííÿ íåáåñíèõ ñâ³òèë íà íåáåñí³é ñôåð³. Äëÿ ïðèêëàäó, íà ãðàâþð³ ÕV² ñò., â³äòâîðåí³é íà ðèñ. 1.63, â³äîáðàæåíî îäèí ç³ ñïîñîá³â äëÿ

Ðåã³îìîíòàí (Éîãàíí Ìþëëåð) (1436–1476). Àâòîð ïåðøîãî â ªâðîï³ ï³äðó÷íèêà ç òðèãîíîìåòð³¿. Ñêëàâ çíàìåíèò³ àñòðîíîì³÷í³ òàáëèö³.

44

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Ðèñ. 1.63

âèçíà÷åííÿ ãîðèçîíòàëüíîãî íàïðÿìêó íà ñâ³òèëî, ÿêèé çàñòîñîâóâàâñÿ ìîðåïëàâöÿìè. Ïî÷àòêîâî àñòðîëÿá³þ âèêîðèñòîâóâàëè çäåá³ëüøîãî äëÿ âèçíà÷åííÿ âèñîòè ñâ³òèë íàä ãîðèçîíòîì. Із ö³ºþ ìåòîþ ¿¿ âèãîòîâëÿëè ó âèãëÿä³ âàæêîãî ì³äíîãî äèñêà — ë³ìáа, ÿêèé ï³äâ³øóâàëè çà ê³ëüöå ó âåðòèêàëüíîìó ïîëîæåíí³ (ðèñ. 1.64). Ïî êðàþ ë³ìáà íàíîñèëàñÿ øêàëà â³ä 0° äî 360°. Ïðÿìà ÃÃ1, ùî сполучала ïîä³ëêè 0° ³ 180°, çàéìàëà ãîðèçîíòàëüíå ïîëîæåííÿ. Ó öåíòð³ ë³ìáà êð³ïèëàñÿ ðóõîìà ñòð³ëêà ÀÀ1 — аë³äаäа. Íà ¿¿ ê³íöÿõ ðîçì³ùóâàëèñÿ ïåðïåíäèêóëÿðí³ äî ë³ìáà ïëàñòèíêè ç îòâîðàìè — ä³îïòðè. Äëÿ âèçíà÷åííÿ âèñîòè ñâ³òèëà íàä ãîðèçîíòîì ñïîñòåð³ãà÷ ïðèêëàäàâ îêî äî íèæíüîãî ä³îïòðà À ³ ïîâåðòàâ àë³äàäó äîòè, ïîêè ñâ³òèëî íå áóëî âèäíî оäðàçó ÷åðåç îáèäâà ä³îïòðè. Ïîä³ëêà íà øêàë³, íà ÿê³é çóïèíÿâñÿ êðàé àë³äàäè (À ÷è À1), âêàçóâàëà íà âèñîòó ñâ³òèëà íàä ãîðèçîíòîì ó ãðàäóñàõ. Êâàäðàíòè, ñåêñòàíòè òà îêòàíòè. Áóðõëèâèé ðîçâèòîê àñòðîíî쳿, ÿêèé ðîçïî÷àâñÿ â ªâðîï³ іç ïî÷àòêîì åïîõè ³äðîäæåííÿ, âèìàãàâ çíà÷íî á³ëüøî¿ òî÷íîñò³ â³ä àñòðîíîì³÷íèõ âèì³ðþâàíü, í³æ ¿¿ ìîãëè çàáåçïå÷èòè äàâí³ àñòðîëÿ᳿. Öüîãî ìîæíà áóëî

À1 Ã

Ã1

A

Àñòðîëÿá³ÿ Ðåã³îìîíòàíà Ðèñ. 1.64

§4. Кути та їхнє вимірювання

äîñÿãòè ëèøå çà ðàõóíîê çá³ëüøåííÿ ë³ìáà. Àäæå ÷èì á³ëüøà êðóãîâà øêàëà íà éîãî êðàþ, òèì á³ëüøîþ áóäå â³äñòàíü ì³æ ñóñ³äí³ìè ïîä³ëêàìè, à öå äàâàëî çìîãó âèçíà÷àòè íå ò³ëüêè ê³ëüê³ñòü ö³ëèõ ãðàäóñ³â ó êóò³, à é ê³ëüê³ñòü їõí³õ ÷àñòèí — ì³íóò ³ íàâ³òü ñåêóíä. Âîäíî÷àñ áóëî ïîì³÷åíî, ùî â á³ëüøîñò³ àñòðîíîì³÷íèõ âèì³ðþâàíü ôàêòè÷íî âèêîðèñòîâóºòüñÿ íå âñÿ êðóãîâà øêàëà àñòðîëÿ᳿, à ëèøå ïåâíà ¿¿ ÷àñòèíà. Òîìó çàì³ñòü уñ³º¿ àñòðîëÿ᳿ ó çá³ëüøåíîìó âèãëÿä³ âèãîòîâëÿëè ëèøå êâаäðаíòè, ñåêñòаíòè ³ îêòаíòè, òîáòî â³äïîâ³äíî 1 , 1 і 1 частини астролябії. Спосіб 4 6 8 використання êâàäðàíòà â³äîáðàæåíî íà ñòàðîâèíí³é ãðàâþð³, â³äòâîðåí³é íà ðèñ. 1.65. À íà ðèñ. 1.66 çîáðàæåíî ïîºäíàííÿ â îäíîìó ïðèëàä³ êâàäðàíòà é àñòðî­ëÿ᳿, çàïðîïîíîâàíå âèäàòíèì äàíñüêèì àñòðî­ íîìîì Òиõî Áðàãå (1546−1601). Îêð³ì ÷èñëåííèõ ãðàâþð ³ç çîáðàæåííÿì êóòîì³ðíèõ ³íñòðóìåíò³â, ñòâîðåíèõ õóäîæíèêàìè, àñòðîíîìè ùå é ó ñâ³é ñïîñ³á çàñâ³ä÷èëè ñâîþ ëþáîâ ³ ïîâàãó äî öèõ ïðèëàä³â, íàçâàâøè Ñåêñòаíòîì îäíå ³ç ñóç³ð’¿â ó ï³âäåíí³é ÷àñòèí³ íåáà. ³äïîâ³äíó ïðîïîçèö³þ ïîäàâ âèäàòíèé ïîëüñüêèé àñòðîíîì ßí Ãåâåë³é (1611−1687), àâòîð âñåñâ³òíüîâ³äîìîãî àòëàñó çîðÿíîãî íåáà. ²ñòîð³ÿ ñèìâîë³÷íà é ïîâ÷àëüíà. Äëÿ ïðîâåäåííÿ äîñë³äæåíü Ãåâåë³é çáóäóâàâ îáñåðâàòîð³þ й âåëè÷åçíèé ñåêñòàíò ó ñâîºìó ì³ñò³ Ґäàíñüêó. Àëå çàòóðêàí³ é íàñòðàøåí³ ãîðîäÿíè ñïàëèëè ïðèëàä. Òîä³ Ãåâåë³é âèð³øèâ «ïåðåíåñòè éîãî íà íåáî» й óâ³÷íèòè â íàçâ³ ñóç³ð’ÿ, àáè âæå í³êîëè í³÷èÿ çëà ðóêà íå ìîãëà äî íüîãî äîòÿãíóòèñÿ. Однак íà òîé ÷àñ якраз íå áóëî ще íå íàçâàíîãî ñóç³ð’ÿ, ÿêå á ñâîºþ ôîðìîþ íàãàäóâàëî ñåêñòàíò (ïðèíöèï, ùî éîãî äîòðèìóâàëèñÿ ïðè óòâîðåíí³ íàçâ á³ëüøîñò³ ñóç³ð’¿â). Òîìó Ãåâåë³é âèáðàâ ñóç³ð’ÿ, ÿêå õî÷ ³ íå íàãàäóâàëî за ñâî¿ìè êîíòóðàìè ñåêñòàíò, проте çíàõîäèëîñÿ ì³æ ñóç³ð’ÿì Ëåâà (ÿêðàç ï³ä éîãî ëàïàìè) òà óäðè ³ òîìó ìàëî їхній ñèìâîë³÷íèé çàõèñò. Òåëåñêîï ³ òåîäîë³ò. Íàñòóïíå ñóòòºâå óäîñêîíàëåí­ íÿ â êîíñòðóêö³þ àñòðîëÿ᳿ âí³ñ ôðàíöóçüêèé àñòðîíîì

45

ßí Ãåâåë³é âåäå ñïîñòåðåæåííÿ çà äîïîìîãîþ êâàäðàíòà Ðèñ. 1.65

Ðèñ. 1.66

Ñóç³ð’ÿ Ñåêñòàíò. Ðèñóíîê ç àòëàñó Ãåâåë³ÿ

46

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Æàí ϳêàð (1620−1682) â ñåðåäèí³ ÕV²² ñò. ³í çàì³íèâ ä³îïòðè ï³äçîðíîþ òðóáîþ, âèíàéäåíîþ íåçàäîâãî äî öüîãî ¥àë³ëåºì, à äëÿ ïëàâíîãî ïåðåì³ùåííÿ àë³äàäè âèêîðèñòàâ ì³êðîìåòðè÷íèé ãâèíò. Óñå öå çíà÷íî ï³äâèùóâàëî òî÷í³ñòü âèì³ðþâàíü ³ íå ïîòðåáóâàëî âèêîðèñòàííÿ âåëèêèõ øêàë. Ïîäàëüø³ óäîñêîíàëåííÿ àñòðîëÿ᳿ ïðîäîâæèëèñÿ ó íàïðÿìêó âèêîðèñòàííÿ çàì³ñòü ï³äçîðíî¿ òðóáè íàéð³çíîìàí³òí³øèõ òåëåñêîï³â. À äëÿ ïðîâå­ äåííÿ íàçåìíèõ (ãåîäåçè÷íèõ) âèì³ðþâàíü áóëî ñêîíñòðóéîâàíî òåîäîë³ò (ðèñ. 1.67) (назва утворена від грецьких слів «теомай» — дивитися і «доліхос» — довгий). Òåîäîë³ò ìຠäâà ë³ìáè, ðîçì³ùåí³ ó âåðòèêàëüí³é ³ ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèíàõ. Öå äຠçìîãó çàñòîñîâóâàòè öåé ïðèëàä ÿê äëÿ ñêëàäàííÿ ïëàí³â, òàê ³ äëÿ ïðîâåäåííÿ í³âåëþâàííÿ, òîáòî âèçíà÷åííÿ відносних âèñîò. Áóñîëü. Êóòè, ÿê³ çàñòîñîâóþòüñÿ ó ìîðñüê³é òà ïîâ³òðÿí³é íàâ³ãàö³¿, âèì³ðþþòü ó ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³ â³ä íàïðÿìêó íà ï³âí³÷ ïðîòè ðóõó ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè â³ä 0° äî 360°. Êîæåí òàêèé êóò íàçèâàºòüñÿ êóðñîì. Ïðèëàä, ùî äຠçìîãó âèì³ðþâàòè êóðñ, ïîºäíóº â ñîá³ àíòè÷íó àñòðîëÿá³þ ³ êîìïàñ. ³í íàçèâàºòüñÿ áóñîëëþ (рис. 1.68) («бусоль» — дослівно з французької «компас»). Íà ïðèíöèï³ áóñîë³ êîíñòðóþºòüñÿ ñó÷àñíå íàâ³ãàö³éíå îáëàäíàííÿ äëÿ ìîðñüêèõ òà ïîâ³òðÿíèõ ñóäåí. ßê áà÷èìî, çâè÷íèé íàì òðàíñïîðòèð ìຠäóæå äàâíþ ³ñòîð³þ й âîäíî÷àñ уò³ëþºòüñÿ в íàéñó÷àñí³øèõ ïðèëàäàõ.

Ñåêñòàíò Òèõî Áðàãå

Ðèñ. 1.67

Îäèíèö³ äëÿ âèì³ðþâàííÿ êóò³â Ãðàäóñè. Íàéïîøèðåí³øîþ îäèíèöåþ äëÿ âèì³ðþ­ âàííÿ êóò³â º ãðàäóñ. Ëàòèíñüêå ñëîâî gradus, â³ä ÿêîãî óòâîðåíî öþ íàçâó, îçíà÷ຠ«êðîê», «ñòóï³íü». Âåëè÷èíà êóòà 1 ãðàäóñ âèçíà÷àºòüñÿ òàê. ³çüìåìî çà вåðøèíó êóòà öåíòð ÿêîãî-íåáóäü ï³âêîëà, à ñàìå: ï³âêîëî ïîä³ëèìî íà 180 ð³âíèõ ÷àñòèí (ðèñ. 1.69). Òîä³ êóò, ñòîðîíè ÿêîãî ïðîõîäÿòü ÷åðåç ñóñ³äí³ ïîä³ëêè, ³ º êóòîì çàâá³ëüøêè 1 ãðàäóñ (ïèøóòü 1°).

Ðèñ. 1.68

§4. Кути та їхнє вимірювання

Àëå ÷îìó äëÿ âèçíà÷åííÿ êóòà 1° ï³âêîëî ä³ëÿòü ñàìå íà 180 ÷àñòèí? Ùå äàâíüîâàâèëîíñüê³ æåðö³ ïîì³òèëè, ùî ï³ä ÷àñ ð³âíîäåííÿ (òîáòî êîëè äåíü ³ í³÷ ìàþòü îäíàêîâó òðèâàë³ñòü) ñîíÿ÷íèé äèñê óïðîäîâæ ñâîãî ðóõó íåáîñõèëîì (ðèñ. 1.70) âêëàäàºòüñÿ ó ïðîéäåíîìó øëÿõó ð³âíî 2 × 180 ðàç³â. À îñê³ëüêè öåé øëÿõ — ï³âêîëî, òî ö³ëêîì ïðèðîäíî áóëî ðîçáèâàòè éîãî íà 180 òàêèõ ïîäâ³éíèõ êðîê³â Ñîíöÿ. Ñàìå ö³ êðîêè ï³çí³øå й áóëè íàçâàí³ ãðàäóñàìè. Ñïîñòåðåæåííÿ çà ðóõîì Ñîíöÿ âïðîäîâæ äíÿ ï³äòâåðäæóâàëèñÿ ³ â³äïîâ³äíèìè ñïîñòåðåæåííÿìè çà éîãî ð³÷íèì ðóõîì. Ó ò³ ÷àñè ââàæàëîñÿ, ùî ð³ê òðèâຠ360 ä³á. Òîìó âåñü ð³÷íèé øëÿõ Ñîíöÿ íåáîñõèëîì — òàê çâàíå çîä³àêàëüíå êîëî — òåæ ä³ëèâñÿ íà 360 ïîäâ³éíèõ êðîê³â, òîáòî ãðàäóñ³â, à éîãî ïîëîâèíà, â³äïîâ³äíî, — íà 180 ãðàäóñ³â. Íàðåøò³, ñâ³é âïëèâ íà âèá³ð îñíîâè äëÿ âèçíà÷åííÿ ãðàäóñà ìîãëî ìàòè é òå, ùî ó Äàâíüîìó Âàâèëîí³ çàñòîñîâóâàëàñÿ ø³ñòäåñÿòêîâà ñèñòåìà ÷èñëåííÿ, à ÷èñëî 180 ä³ëèòüñÿ без остачі íà îñíîâó 60 ö³º¿ ñèñòåìè. Із öèì ñàìим ïîâ’ÿçàíî ³ ä³ëåííÿ ãðàäóñà íà 60 ì³íóò, à ì³íóòè — íà 60 ñåêóíä.  àíòè÷íó åïîõó ñòàðîâèííó âàâèëîíñüêó ñèñ­ òåìó ïåðåéíÿëè ãðåöüê³ àñòðîíîìè, çîêðåìà, íàéâè­ äàò­í³øèé іç íèõ Êëàâä³é Ïòîëåìåé (²−²² ñò. í. å.). Àâòîðèòåò Ïòîëåìåÿ ñïðèÿâ òîìó, ùî öÿ ñèñòåìà íàáóëà ïîâñþäíîãî ïîøèðåííÿ â åïîõó ³äðîäæåííÿ, à ïîò³ì ³ â ï³çí³ø³ ÷àñè. Ó ðåçóëüòàò³ ìè é òåïåð, ÿê ³ äàâí³ âàâèëîíÿíè, äàâí³ ãðåêè òà ñåðåäíüîâ³÷í³ ºâðî­ïåéö³ âèì³ðþºìî êóòè у ãðàäóñàõ, ââàæàþ÷è, ùî ðîçãîðíóòèé êóò ìຠ180°. Ö³êàâå ïîõîäæåííÿ самого ïîçíà÷åííÿ äëÿ ãðàäóñ­ íî¿ ì³ðè. Êóòè âåëè÷èíîþ 1° Ïòîëîìåé íàçèâàâ ìîé­ðàìè, ùî â ïåðåêëàä³ ç ãðåöüêî¿ ìîâè îçíà÷ຠ«÷àñòèíè». Ñëîâî µοιρα â³í ñêîðî÷óâàâ äâîìà ïåðøèìè ë³òåðàìè, ïðè÷îìó äðóãó літеру ïèñàâ ìåíøîþ â³ä ïåðøî¿ âãîð³ — µο. ϳçí³øå çàëèøèëàñÿ ëèøå ìàëåíüêà ë³òåðà ο. Öå ñêîðî÷åííÿ çàñòîñîâóºòüñÿ é äîñ³.

O Ðèñ. 1.69

Ñîíöå Çàõ³ä

Ãî ðè

çîíò

Ñõ³ä Ðèñ. 1.70

Êëàâä³é Ïòîëåìåé. Ñòàðîâèííà ãðàâþðà

47

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

48

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі І Що вивчається у геометрії

Геометрія — наука про геометричні фігури. Геометричні фігури — систематизовані у свідомості уявлення про реальні або уявні просторові форми. Планіметрія — частина геометрії, в якій вивчаються геометричні фігури, розміщені на площині. Основні геометричні фігури у планіметрії — точки і прямі. На їхній основі означаються (конструюються) усі інші плоскі фігури.

Точки і прямі. Проведення прямої

Ô³ãóðà

Òî÷êà A B

D C

B l A

m P n

Уявлення про точку дає слід на аркуші від тонко загостреного олівця. Вважається, що точка не має розмірів і що на площині існує безліч точок. У застосуваннях геометрії точками можуть уважатися будь-які реальні об’єкти, розмірами яких за даних умов можна знехтувати. Будь-яка геометрична фігура — це певна множина точок. Точки позначаються великими літерами латинського алфавіту. Наприклад: А, В, С, D. Уявлення про пряму дає лінія, проведена під лінійку. Інші реальні прообрази прямої — натягнуті мотузки, світ­лові і зорові промені. На кожній прямій існує безліч точок, однак для проведення прямої достатньо лише двох точок. Основна властивість проведення (побудови) прямої: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж — тільки одну. Прямі позначають або двома великими літерами, якими позначені які-небудь дві точки прямої, або однією малою латинською літерою. Наприклад: АВ, l. Про дві прямі m і n, які мають одну спільну точку Р, ка­жуть, що вони перетинаються у цій точці.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі І

49

Якщо прямі a і b не мають жодної спільної точки, то вони називаються паралельними (в дослівному перекладі з грецької — «йдуть поруч»). Скільки б не продовжувати зображення паралельних прямих, вони ніколи не перетнуться.

a b

Розміщення точок на прямій. Відрізки і промені

A

Ñ B

l

B

A

X l A O

Основна властивість розміщення точок на прямій: із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими. Якщо точка С лежить між точками А і В, то кажуть також, що точки А і В лежать по різні боки від точки С, або що точки С і В лежать з одного боку від точки А, а точки А і С — з одного боку від точки В. Відрізок — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, які лежать між двома її точками, разом із цими точками. Ці точки називаються кінцями відрізка, а всі решта точок називаються внутрішніми точками відрізка. Позначають відрізки зазвичай їхніми кінцями. Наприклад: АВ. Промінь (або півпряма) — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, які лежать з одного боку від деякої її точки, разом із цією точкою. Ця точка називаються початком променя, а всі решта точок називаються внутрішніми точками променя. Позначають промені двома способами: 1) двома великими літерами, з яких перша вказує на початок променя, а друга — на яку-небудь внутрішню точку; 2) однією малою літерою. Наприклад: ОА, OX, l. Два промені однієї прямої зі спільним початком нази­ ваються доповняльними (або взаємно доповняльними).

Розміщення точок на площині відносно прямої. Півплощини B A

l

C

Основна властивість розміщення точок на площині відносно прямої: кожна пряма розбиває площину на дві півплощини, що мають спільну граничну пряму. Це розбиття має таку властивість: кожен відрізок АВ, що сполучає точки однієї півплощини, не перетинає граничної прямої l, а кожен відрізок АС, що сполучає точки різних півплощин, перетинає її.

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

50

Вимірювання і відкладання відрізків. Рівність відрізків

Основна властивість вимірювання відрізків. Кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою своєю внут­рішньою точкою.

B C A AB=AC+CB A

B

M AM=MB

A B Ñ

D

l

CD=AB

Кути

A

1 B

O O a

c O

Відрізки, які мають однакову довжину, називаються рівними. Точка, яка ділить відрізок на дві рівні частини, назива­ ється серединою відрізка. Основна властивість відкладання відрізків: на будь-якому промені від його початку можна від­ класти відрізок будь-якої заданої довжини, і притому — тільки один З основних властивостей вимірювання і відкладання відрізків випливає, що рівні відрізки можна сумістити.

b

Кут — це фігура, що складається з двох променів, які мають спільний початок. При цьому кожен із променів називається стороною кута, а їхній спільний початок — вершиною кута. Якщо О — вершина кута, ОА і ОВ — його сторони, то позначити цей кут можна так: ∠Î або ∠ÀÎÂ. Якщо сторони кута позначені через а і b, то кут позначають у формі ∠аb або ∠(ab). Іíêîëè êóòè позначають öèôðàìè. Íàïðèêëàä, ∠1. ßêùî ñòîðîíè êóòà º âçàºìíî äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè, òî òàêèé êóò íàçèâàºòüñÿ ðîçãîðíóòèì. Промінь з початком у вершині нерозгорнутого кута проходить між його сторонами, якщо він перетинає який-небудь відрізок з кінцями на сторонах кута. Можна обґрунтувати, що промінь, який лежить між сторонами нерозгорнутого кута, перетинає усі відрізки з кін­цями на його сторонах.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі І c b

a

51

Для розгорнутого кута ∠аb уважається, що будь-який промінь с, який виходить з вершини кута О, лежить між його сторонами а і b.

O

Точки усіх променів, які проходять між сторонами нерозгорнутого кута, називаються внутрішніми точками цього кута. Решта точок площини називаються зовнішніми точками кута. Для розгорнутого кута внутрішніми уважаються всі точ­ки однієї з півплощин, граничну пряму якої утворюють сторони кута. Кожен кут розбиває площину на дві частини. Та частина, яка містить сторони кута і всі внутрішні точки кута, нази­ вається опуклим плоским кутом, а та, що містить сторони кута і всі зовнішні точки, — увігнутим плоским кутом.

O

Вимірювання і відкладання кутів. Рівність кутів

Кути вимірюють у градусах, зокрема, за допомогою транспортира. Кутом з градусною мірою 1° уважається 1 180 частина розгорнутого кута. На рисунку ∠ab = 115°. Дрібнішими одиницями для вимірювання кутів є мінута і секунда Одна мінута 1′ дорівнює 1 частині градуса, 60 1 а одна секунда 1′′ дорівнює частині мінути. 60 Основна властивість вимірювання кутів: Кожний кут має певну градусну міру, що виражається додатним числом. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Гра­ дусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

b 90°

a

a c b

ab= ac+ cb b

a

ab=180°

52

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

Основна властивість відкладання кутів: від будь-якого променя у дану півплощину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою від 180°, і притому — тільки один. На рисунку від променя відкладено кут 115°.

m °

90

115° l Q

Кути, які мають однакові градусні міри, називаються рівними. З основних властивостей вимірювання і відкладання кутів випливає, що рівні кути можна сумістити.

O

O= Q a

Ïðîì³íü, ÿêèé âèõîäèòü ç âåðøèíè êóòà, проходить між його сторонами ³ ä³ëèòü кут íà äâà ð³âíèõ êóòè, íàçèâàºòüñя бісектрисою êóòà.

c b

ac= cb

A

A=90°

B

B<90°

C

C>90°

Кут, градусна міра якого дорівнює 90°, називається прямим. Êóò, градусна міра ÿêîãî ìåíøà â³ä 90°, íàçèâàºòüñÿ ãîñòðèì, à êóò, градусна міра ÿêîãî á³ëüøà çà 90°, àëå ìåíøà â³ä 180°, íàçèâàºòüñÿ òóïèì.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі І

53

Перевір себе

1. Як можна охарактеризувати предмет вивчення у геометрії? Назвіть відомі вам приклади геометричних фігур. 2. Які геометричні фігури вважаються основними на площині? Як вони зображуються і позначаються? 3. Сформулюйте основну властивість проведення (побудови) прямої. 4. Яким може бути взаємне розміщення двох прямих на площині? 5. Сформулюйте основну властивість розміщення точок на прямій. 6. Дайте означення відрізка. Як позначаються відрізки? 7. Що таке промінь (півпряма)? Як позначаються промені? 8. Які промені називаються доповняльними? 9. Сформулюйте основну властивість розміщення точок на площині. 10. Що означає вислів: «Пряма розбиває площину на дві півплощини»? 11. Сформулюйте основну властивість вимірювання відрізків. Які відрізки називаються рівними? Як записується рівність відрізків? 12. Що таке відстань між двома точками? 13. Що таке середина відрізка? 14. Сформулюйте основну властивість відкладання відрізків. 15. Обґрунтуйте, що коли відрізки рівні, то їх можна сумістити. 16. Дайте означення кута. Як позначаються кути? 17. Який кут називається розгорнутим? 18. Поясніть, що означає вислів: «Промінь проходить між сторонами кута». 19. Що таке плоский кут? Які плоскі кути називаються опуклими, які — увігнутими? 20. В яких одиницях вимірюються кути? 21. Сформулюйте основні властивості вимірювання та відкладання кутів. 22. Які кути називаються рівними? 23. Як можна обґрунтувати, що коли кути рівні, то їх можна сумістити? 24. Що таке бісектриса кута? 25. Які кути називаються прямими, які — гострими, які — тупими?

Розділ І. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості

54

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу І 1°. а) На рис. 1.71 знайдіть усі прямі, які проходять через точку D, але не проходять через точку В. Випишіть усі можливі позначення для них. б) На рис. 1.71 знайдіть усі прямі, які проходять через точку О, але не проходять через точку С. Випишіть усі можливі позначення для них. 2°. а) За рис. 1.72 випишіть усі промені, які перетинають відрізок АВ, але не перетинають відрізок СD. б) За рис. 1.72 випишіть усі промені, які перетинають відрізок CD, але не перетинають відрізок AB. 3°. а) За рис. 1.73 випишіть позначення трьома буквами усіх кутів з вершиною Q. б) За рис. 1.73 випишіть позначення трьома буквами усіх кутів з вершиною P. A

d A

O B

O

c

a

B

C

e

D E

F

C

Q

D b

P

f

L M

Ðèñ. 1.71

Ðèñ. 1.73

Ðèñ. 1.72

4°. а) Які із тверджень стосовно співвідношення між довжинами відрізків на рис. 1.74, а) є істинними: 1) MN = PQ; 2) MN > PQ; 3) NP > NQ; 4) NQ = NP + PQ; 5) MN + PN + PQ = MQ? б) Які із тверджень стосовно співвідношення між величинами кутів на рис. 1.74, б) є істинними: 1) ∠bd > ∠ad; 2) ∠bd > ∠ac; 3) ∠ab < ∠ac + ∠bd; 4) ∠ab = ∠ad + ∠db; 5) ∠ab = 180°? 5. а) На промені ОА позначено точку С. Відомо, що ОА = 8 см, а відрізок АС більший за відрізок ОА на 3 см. З’ясуйте, котра із точок О, А, С лежить між двома іншими та знайдіть довжину відрізка ОС.

N

M

N

P Q à)

c a

b d á) Ðèñ. 1.74

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу І

55

б) На промені ОК позначено точку Р. Відомо, що ОР = 3 см, а відрізок РК удвічі більший за ОР. З’ясуйте, котра із точок О, К, Р лежить між двома іншими та знайдіть довжину відрізка ОК. 6. а) Точка А належить відрізку PQ. Відрізок РА утричі довший за відрізок АQ. Визначте довжини відрізків РА і РQ, якщо PQ = 12 см. б) Точка Р лежить на прямій АВ так, що точка В розміщена між точками А і Р. Відомо, що відрізок АВ удвічі менший від відрізка ВР. Визначте довжину відрізка ВР, якщо АР = 15 см. 7. а) З вершини розгорнутого кута POQ проведені у різні боки від прямої PQ промені ОА і ОВ так, що ∠РОА = 75°, ∠ QOB = 125°. Визначте кут АОВ. б) З вершини розгорнутого кута АОВ проведені у різні боки від прямої АВ промені ОК і ОМ так, що ∠КОВ = 100°, ∠ МОА = 125°. Визначте кут КОМ. 8. а) Промінь ОА проходить між сторонами кута МОN, що дорівнює 95°. Кут МОА на 25° більший за кут АОN. Визначте кути МОА і АОN. б) Промінь ОР проходить між сторонами кута АОВ, що дорівнює 72°. Кут АОР утричі більший за кут ВОР. Визначте кути АОР і ВОР. 9. а) На відрізку АВ завдовжки 12 см позначені точки P і Q так, що AP = 7 см, PQ = 3 см. Визначте довжину відрізка QB. б) Всередині кута ∠аb, що дорівнює 130°, проведено промені с і d так, що ∠ас = 60°, ∠сd = 20°. Визначте величину кута ∠bd. 10. а) Промені ОВ і ОС проходять усередині кута АОD і ∠АОС = ∠DОВ. Обґрунтуйте, що тоді ∠АОВ = ∠DОС. б) Промені ОВ і ОС не проходять усередині кута АОD і ∠АОС = ∠DОВ. Обґрунтуйте, що тоді ∠АОВ = ∠DОС. 11•. а) На прямій послідовно позначені точки О, Р, А, В так, що ОР = 2 см, РА = = 6 см, ОВ = 14 см. Визначте відстань між серединами відрізків ОА і РВ. б) На прямій послідовно відкладені відрізки АВ, ВС і СD так, що АВ : ВС = 2 : 3, АD = 15 см, CD = 5 см. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і СD. 12•. а) Точки А, В, С лежать на одній прямій і при цьому АВ = 10 см, ВС = 12 см. Яка із цих точок не може лежати між двома іншими? б) Точки А, В, С лежать на одній прямій і при цьому АВ = 8 см, ВС = 3 см. Яка із цих точок не може лежати між двома іншими? 13•. а) ОВ — бісектриса кута АОС, промінь ОD проходить між його сторонами. Відомо, що ∠АОD= 80°, ∠СОD = 20°. Визначте кут ВОD. б) ОВ — бісектриса кута АОС, промінь ОD не проходить між його сторонами. Відомо, що ∠АОD= 140°, ∠СОD = 60°. Визначте кут ВОD. 14•. а) Промінь, проведений з вершини прямого кута, ділить цей кут на два кути. Обґрунтуйте, що кут між бісектрисами цих кутів дорівнює 45°. б) Промінь, проведений з вершини кута О, ділить цей кут на два кути. Кут між бісектрисами утворених менших кутів дорівнює 45°. Обґрунтуйте, що кут О — прямий.

Василь Кандинський. Композиція номер VIII (1923 р.). У цій всесвітньовідомій картині один із засновників живописного абстракціонізму відобразив своє сприйняття геометричних кодів Всесвіту. Приводом стало спостереження сонячного затемнення. Найважливішими формоутворюючими елементами у цих кодах є прямі лінії і кола. Прямі ми детально вивчатимемо у цьому розділі, кола — в останньому розділі.

Розділ ІI

Взаємне розміщення прямих на площині

Вступ

«Той, хто добре вивчив пряму, не матиме труднощів з геометрією», — часто повторював своїм учням у знаменитій Політехнічній школі в Парижі відомий французький математик і громадський діяч Гаспар Монж (1746–1818). На минулих уроках ми розпочали ґрунтовне вивчення прямої. Перші факти, з якими ви ознайомилися, стосувалися саме цієї фігури. То були основні властивості про проведення прямої, про розміщення точок на прямій і про розміщення точок на площині відносно прямої. Отже, йшлося про властивості окремо взятої прямої. Наступним кроком має бути дослідження взаємного розміщення двох прямих. Цьому й присвячуватиметься цей розділ. Однак перш ніж безпосередньо перейти до розгляду цих питань, нам потрібно зробити декілька вкрай важливих для подальшого зауважень. При цьому ми будемо посилатися і на той невеликий досвід вивчення геометрії, який ви вже маєте.

Урок 6

Пам’ятник Гаспару Монжу у містечку Боні (Бургундія), в якому він народився. Відомий скульптор Франсуа Рюд увічнив великого ученого в образі професора під час його лекції з геометрії у Політехнічній школі.

58

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Про аксіоми, теореми і доведення у геометрії

На минулих уроках ви не могли не помітити, що вже при виборі основних фактів для закладення фундаменту геометрії ми постійно вдавалися до певної логічної аргументації. Наприклад, важливість основних властивостей прямої аргументували тим, що ці властивості могли б і не виконуватися, якби геометрія будувалася не для земного, а для якогось іншого світу, наприклад, для невеличкої кулястої планети Маленького принца або для планети у формі бублика. Що ж до небагатьох інших фактів, то ми виводили їх з основних винятково логічними міркуваннями, навіть якщо вони й без того начебто не викликали сумнівів. Так, зокрема, у §1 аргументувалося, що дві прямі не можуть мати більше однієї спільної точки, а в §4 — що рівні відрізки можна сумістити. Геометрія — теоретична наука. Це означає, що всі її положення виведені логічним шляхом, тобто за допомогою міркувань з наведенням відповідних аргументів. Що ж є аргументами у цих міркуваннях? Поперше, — усі зазначені у попередньому розділі основні властивості найпростіших фігур. Їх ще називають аксіомами геометрії (ще дві аксіоми буде долучено пізніше). У дослівному перекладі з грецької слово «аксіома» означає «повага», «авторитет», а в математиці воно вживається у значенні незаперечної істини, підстави для логічних виведень. По-друге, аргументами в логічних міркуваннях у геометрії є раніше виведені факти і висновки (кожен з яких, у кінцевому підсумку, теж ґрунтується на аксіомах). Будь-що інше, окрім аксіом і вже доведених теорем, наприклад, посилання на рисунки, для логічних міркувань не є вагомим. Рисунок може наштовхувати

Усі доказові науки застосовують аксіоми. Ак­ сіо­ м и мають найвищий сту­пінь загальності, а то­ му є початком усього. Аристотель (кінець 4-го — початок 3-го ст. до н. е) — один із найвидатніших учених-природодослідників і філософів усіх часів. Портрет-реконструкція з ан­тичного бюсту. Для мене знайти дове­ ден­ ня математичної тео­ реми — дорожче, ніж заво­ ювати усе перське царство. Демокрит — видатний давньогрецький мислитель, засновник атомізму. Жив на межі 5-го і 4-го століть до н. е. Портрет «Демокрит, що сміється» створив з уяви нідерландський художник Хендрик Тербрюгген у 1628 р.

Про аксіоми, теореми і доведення у геометрії

на певний логічний аргумент, однак у жодному разі не може його замінювати. Обґрунтовані у такий спосіб і важливі для геометрії факти називаються теоремами, а сам процес обґрунтування теореми називається її доведенням. За формою теорема складається із двох частин — умови та висновку. В умові вказуються обмеження, які накладаються на певну фігуру або фігури, а у висновку — наслідки із цих обмежень для властивостей фігур. Умову ще коротко характеризують як те, що дано, а висновок — як те, що потрібно довести. Наприклад, у теоремі «Якщо відрізки рівні, то їх можна сумістити» умовою (обмеженням) є те, що відрізки рівні, а висновком — те, що тоді їх можна сумістити. Слово «теорема» грецьке. Воно походить від слова «теорео», що означає «уважно розглядаю», «придивляюся», і має той самий корінь, що й значно поширеніше тепер слово «теорія». А ще слово «теорема» має значення «вистава», яке близьке до сучасного «шоу». В античні часи у Греції були поширені інтелектуальні розваги у формі публічних диспутів, під час яких їхні учасники обстоювали (доводили) свої твердження або навіть цілі теорії. Ці міні-вистави, які зараз назвали б інтелектуальними «шоу», теж називалися «теоремами». Отже, стежачи за доведенням теореми на класній дошці або знайомлячись із ним за підручником, ви можете уявляти себе присутніми на інтелектуальному шоу і навіть брати у ньому участь. Сподіваємося, що такий погляд на теореми і їхнє доведення позбавить вас деякого остраху, який на початках можуть викликати ці слова.

59

Математичне доведення — це логіка, яка сприяє правильному формуванню розуму, розвиває його здібності, посилює їх настільки, що розум привчається мислити точно і завжди відрізняти істину від хибності, навіть у речах нематематичних. Саме тому єгиптяни, перси і лакедемоняни, як свідчать джерела, рідко вибирали собі правителя, який не був трохи обізнаним з математикою, вважаючи, що необізнаний з математикою зовсім не вміє мислити, а тому неспроможний правити й керувати. Бенджамін Франк­лін (1706– 1780) — видатний американсь­ кий учений-фізик, просвітитель і державний діяч, один із засновників США. Портрет Франкліна перед бюс­т ом Ньютона створив з натури англійський художник Девід Мартін у 1767 р. Експонується в Білому Домі у Вашингтоні.

60

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

§5. Суміжні кути При перетині двох прямих утворюється декілька різних кутів (рис. 2.1). Взаємне розміщення прямих характеризують за допомогою цих кутів. Яких саме? — Це ми зрозуміємо після того, як уважніше придивимося до них. Для цього розглядатимемо їх парами. Одні пари кутів називаються суміжними, інші — вертикальними. Суміжні кути ми вивчатимемо у цьому параграфі, вертикальні — в наступному.

Ðèñ. 2.1

Означення. Два кути називаються суміжними, якщо вони мають одну спільну сторону, а дві інші їхні сторони є доповняльними променями. Побудувати суміжні кути можна так. Візьмемо який-небудь кут ∠аb (рис. 2.2) і проведемо промінь а′, що є доповняльним до променя а. Кути ∠аb і ∠ba′ — суміжні: у них сторона b спільна, а сторони a і a′ є доповняльними променями. Кут, суміжний з кутом ∠аb, дістанемо й тоді, якщо проведемо промінь b′, доповняльний до променя b (рис. 2.3). Отже, для кожного кута ∠аb можна побудувати два суміжних з ним кути ∠ba′ і ∠аb′.

b

a

a Ðèñ. 2.2

b

a

Тео р ема (про суму суміжних кутів). Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Д о в е д е н н я. Нехай кути ∠аb і ∠ba′ — суміжні, і в них сторона b спільна, а сторони a і a′ є доповняльними променями (див. рис. 2.2). Тоді промінь b проходить між сторонами розгорнутого кута зі сторонами а, a′. Відповідно до аксіоми про вимірювання кутів, сума кутів ∠аb і ∠ba′ дорівнює розгорнутому

b Ðèñ. 2.3

§5. Суміжні кути

61

куту ∠аа′, тобто має градусну міру 180°. Теорему доведено. Твердження, яке безпосередньо випливає з теореми, називається наслідком. З теореми про суму суміжних кутів маємо такі наслідки. Н асл ід о к 1. Кут, суміжний з прямим кутом, — прямий. Н асл ід о к 2. Кут, суміжний з гострим кутом, — тупий, а кут, суміжний з тупим кутом, — гострий. Справді, якщо кут ∠аb — прямий (рис. 2.4), то він дорівнює 90°. Тому суміжний з ним кут ∠bа′, за теоремою, дорівнює 180° – 90°, тобто теж 90°, отже, є прямим. Нехай тепер ∠аb — гострий (див. рис. 2.2). Це означає, що його градусна міра менша від 90°. У сумі зі своїм суміжним кутом ∠аb′ він дає 180°. Отже, цей суміжний кут має градусну міру, яка більша за 90°, тобто є тупим. Випадок, коли ∠аb — тупий, розглядається ана­логічно.

Розв’язуємо разом З адач а. Один із суміжних кутів на 60° менший від іншого. Визначити градусні міри цих кутів і побудувати їх. Р озв ’ я за н н я . Позначимо через х градусну міру більшого із кутів. Тоді градусна міра меншого кута дорівнюватиме х – 60°. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то звідси маємо рівняння:

b 90°

90°

a

a Ðèñ. 2.4

62

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

х + х – 60° = 180°. Звідси 2х = 240°, а х = 120°. Отже, більший із кутів дорівнює 120°, а менший — 120° – 60°, тобто 60°. На рис. 2.5 відображено побудову цих кутів за допомогою транспортира.

90°

12

0°

120°

a

60°

Ðèñ. 2.5

Вправи і задачі 77°. На кожному з рис. 2.6, а)–в) укажіть пари суміжних кутів. M

L

P

C

A

Q

O Q

O à)

A M

B

O

B N â)

á) Ðèñ. 2.6

78°. Чи є кути 1, 2, зображені на рис. 2. 7, а)–ґ), суміжними?

1 1 2 à)

1

1 2

2 2 â)

á)

ã)

Ðèñ. 2.7

79°. Назвіть усі пари суміжних кутів, що утворюються прямими АВ і СD, які перетинаються в точці О (рис. 2.8). 80°. Накресліть два нерівних суміжних кути так, щоб їхня спільна сторона проходила вздовж лінійки у вашому зошиті. Укажіть два принципово різні варіанти.

B

C O A Ðèñ. 2.8

D

§5. Суміжні кути

63

81°. Знайдіть інший із суміжних кутів, якщо один із них дорівнює: а) 67°; б) 138°; в) 90°; г) 45° 25′. 82°. Чи можуть у парі суміжних кутів бути: а) обидва кути гострими; б) обидва кути тупими; в) обидва кути прямими; г) один кут гострий, а інший — прямий; ґ) один кут тупий, а інший — прямий; д) один кут тупий, а інший — гострий? 83°. Чому при подвійному складанні аркуша паперу, коли суміщаються краї, одержуються прямі кути? 84. При перетині двох прямих утворилося чотири кути (рис. 2.9). Визначте кути 2, 3 і 4, якщо кут ∠3 = 36°. 1 85. Чому дорівнює кут, якщо два суміжні з ним кути 2 4 дають у сумі 100°? 3 86. Визначте величини суміжних кутів, якщо один із них на 80° більший за інший. 87. Визначте величини суміжних кутів, якщо один із них на 40° менший від іншого. Ðèñ. 2.9 88. Визначте величини суміжних кутів, якщо один із них у 5 разів менший від іншого. 89. Визначте величини суміжних кутів, якщо вони відносяться, як 2 : 3. 90. Доведіть, що коли суміжні кути рівні, то вони — прямі. 91. Доведіть, що коли два прямих кути мають спільну сторону, то вони або суміщаються, або суміжні. 92. Доведіть, що коли кути рівні, то й суміжні з ними кути рівні. 93. Нехай ∠А і ∠В — одна пара суміжних кутів, а ∠С і ∠D — інша. Що можна стверджувати про величини кутів В і D, якщо ∠А < ∠C? Як це обґрунтувати? 94. Які з наведених нижче тверджень є істинними, а які — хибними: 1) для кожного кута можна побудувати не більше одного суміжного з ним кута; 2) якщо два кути суміжні, то один із них гострий, а інший — тупий; 3) якщо два кути суміжні, то один із них менший від іншого; 4) якщо сума двох кутів дорівнює 180°, то вони — суміжні; 5) якщо сума двох кутів дорівнює 180° і вони мають спільну сторону, то кути суміжні; 6) якщо сума двох кутів не дорівнює 180°, то вони — не суміжні; 7) якщо два кути мають спільну сторону, то вони — суміжні; 8) якщо сторона одного з кутів є доповняльним променем до сторони іншого, то кути суміжні? Проілюструйте ваші відповіді рисунками.

64

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

95•. Один із суміжних кутів утричі більший за їхню різницю. Визначте ці кути. 96•. Один із суміжних кутів удвічі менший від їхньої різниці. Визначте ці кути. 97•. Бісектриса кута А утворює з його стороною кут, який удвічі більший за кут, суміжний з кутом А. Визначте кут А. 98•. Величини двох кутів відносяться, як 1 : 3, а величини суміжних з ними кутів — як 4 : 3. Визначте ці кути. 99•. Визначте величину кута, який утворюють бісектриси двох суміжних кутів. 100•. Доведіть, що коли бісектриси двох кутів АОВ і ВОС утворюють прямий кут, то точки А, О, С лежать на одній прямій.

§6. Вертикальні кути Означення. Äâà êóòè називаються âåðòèêàëüíèìè, якщо ñòîðîíè одного з них º äîïîâíÿëüíèìè ïðî­ ìåíÿìè до сторін іншого. При перетині двох прямих утворюється дві пари вертикальних кутів. Справді, кожна із прямих точкою перетину ділиться на два доповняльних промені. Нехай ці промені позначені а, а′ та b, b′ (рис. 2.10). Тоді кути ∠аb і ∠а′b′, а також ∠аb′ і ∠а′b — вертикальні. Назва «вертикальні кути» утворена від латинського слова «vertex», одним зі значень якого є «вершина». Отже, у цій назві відображається те, що вертикальні кути мають спільну вершину, а не те, що вони займають вертикальне, тобто прямовисне, положення. Раніше застосовувалася більш влучна назва: «протилежні кути». Тео р ема (ïðî âåðòèêаëüí³ êóòè). Âåðòèêàëüí³ êóòè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. До вед ення . Íåõàé ìàºìî äâà âåðòèêàëüíèõ êóòè ∠аb і ∠а′b′ (див. ðèñ. 2.10). Êîæåí ³ç íèõ є суміжним з êóòîì ∠аb′, а тому в сумі з цим кутом дає 180°:

Урок 7

a b b a Ðèñ. 2.10

§6. Вертикальні кути

65

∠аb + ∠аb′ = 180°; ∠а′b′ + ∠аb′ = 180°. Звідси ∠аb = 180° – ∠аb′; ∠а′b′ = 180° – ∠аb′. Виходить, що градусні міри кутів ∠аb і ∠а′b′ рівні, а тому рівні й самі ці кути. Теорему доведено.

Перше доведення теореми про вертикальні кути давні історики приписують легендарному фундатору античної науки Фалесу Мілетському. Фалес жив у кінці VI - на початку V ст. до н. е. У ті часи вимірювання кутів у градусах ще не було. Тому най­ імовірніше, що Фалес доводив цю теорему тим, що обґрунтовував можливість суміщення одного із вертикальних кутів з іншим шляхом повороту. Ñïðàâä³, ÿêùî уявити, що півплощину з граничною прямою b, яка містить сторону а одного з вертикальних кутів ∠аb і ∠а′b′ (див. рис. 2.10), повернули â³äíîñíî спільної вершини кутів так, щоб ця пів­ площина сумістилася з іншою півплощиною, то при цьому промінь b суміститься з променем b′, а промінь а — з променем а′. Отже, кут ∠аb ñóì³ñòèòüñÿ ç âåðòèêàëüíèì êóòîì ∠а′b′. А тому, міг звідси робити висновок Фалес, вертикальні êóòè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Цією давньою ідеєю з поворотом фігури для доведення теореми ми ще невдовзі скористаємося.

Фалес. Фрагмент фрески на фасаді національного університету в Афінах

Вправи і задачі 101°. Назвіть пари вертикальних кутів, утворених при перетині прямих АВ і СD на рис. 2.11. 102°. Назвіть усі пари вертикальних кутів, які утворюються при перетині трьох прямих в одній точці на рис. 2.12. 103°. Чи є вертикальними кути, зображені на рис. 2.13? 104°. Накресліть за допомогою транспортира кут, що дорівнює 70°, а потім за допомогою лінійки проведіть прямі, які містять сторони цього кута. Скільки кутів

66

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

C

N

A C A

P B B

O D

M Ðèñ. 2.11

D Ðèñ. 2.12

Ðèñ. 2.13

утворилися при перетині цих прямих? Визначте їхні величини вимірюванням і за допомогою обчислення. Чи збігаються результати? 105°. Чи можуть вертикальні кути бути: а) прямими; б) тупими; в) один гострим, а інший — тупим? 106°. Чи істинне таке твердження: «Якщо два кути рівні, то вони вертикальні»? Проілюструйте відповідь рисунком. 107°. Сума величин двох вертикальних кутів дорівнює 120°. Визначте величину кожного з них. 108°. Якими (гострими, прямими чи тупими) є вертикальні кути, якщо їхня сума: а) менша від 180°; б) більша за 180°; в) дорівнює 180°? 109°. Один із кутів, які утворюються при перетині двох прямих, дорівнює 30°. Чому дорівнюють інші кути? 110. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих ліній, є прямим. Якими можуть бути інші кути? Відповідь обґрунтуйте. 111. Сума двох кутів, які утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 130°. Доведіть, що ці кути — вертикальні. 112. Один із кутів, які утворюються при перетині двох прямих, на 50° менший за інший. Визначте ці кути. 4 35° 113. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, 60° 3 учетверо більший за інший. Визначте ці кути. 1 2 114. Визначте величини кутів, утворених при перетині двох прямих, якщо: а) один із них на 20° більший Ðèñ. 2.14 за інший; б) один із кутів дорівнює половині іншого; в) сума величин двох кутів дорівнює 100°. 115. Відомі два із кутів, утворених при перетині трьох 1 3 прямих в одній точці (рис. 2.14). Визначте кути 1, 2, 3, 4. 2 116. Три прямі перетинаються в одній точці (рис. 2.15), Доведіть, що ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Ðèñ. 2.15

§6. Вертикальні кути

67

117•. Сума двох кутів, що утворилися при перетині двох прямих, на 60° менша від суми двох інших. Визначте ці кути. 118•. Сума вертикальних кутів удвічі більша за кут, суміжний з ними обома. Визначте ці кути. 119•. Визначте кути, які утворюються при перетині двох прямих, якщо сума трьох із них дорівнює 270°. 120•. Один із кутів, що утворилися при перетині двох прямих, удвічі менший від суми решти трьох кутів. Визначте усі ці кути. 121•. Доведіть, що бісектриси вертикальних кутів лежать на одній прямій. 122•. Два рівні кути мають спільну вершину, а їхні бісектриси лежать на одній прямій. Доведіть, що ці кути вертикальні.

Сторінки історії Геометрія і... математика Íàâ÷àëüíà äèñöèïë³íà, на уроках з якої ви у попередніх класах ознайомлювалися ç îêðåìèìè ãåîìåòðè÷íèìè ôàêòàìè, íàçèâàлаñÿ ìаòåìаòèêîþ. Îêð³ì ãåîìåòðè÷íèõ â³äîìîñòåé, íà óðîêàõ з ìàòåìàòèêè âèâ÷àлиñÿ ùå різні ÷èñëà òà îïåðàö³¿ ç íèìè, ñïîñîáè ñêëàäàííÿ òà ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³âíÿíü, à òàêîæ численні ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ öèõ çíàíü äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ³ç ïðàêòè÷íèì çì³ñòîì. Пî÷èíàþ÷è іç 7 êëàñó, ìàòåìàòèêà ðîçä³ëÿºòüñÿ íà äâ³ îêðåì³ ìàòåìàòè÷í³ äèñöèïë³íè — ãåîìåòð³þ й àëãåáðó (à â ñòàðø³é øêîë³ ç àëãåáðè âèîêðåìëяòüñÿ ùå ïî÷àòêè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó). Ïðîòå çâ’ÿçîê ì³æ îêðåìèìè ìàòåìàòè÷íèìè äèñöèïë³íàìè í³êîëè íå буде перериватися. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ãåîìåòðè÷íèõ âåëè÷èí будуть çàñòîñîâóватися алгебраїчні ôîðìóëè й рівняння, а äëÿ àëãåáðà¿÷íèõ ôîðìóë ³ ð³âíÿíü будуватимуться ãåîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ó âèãëÿä³ ãðàô³ê³â, ñõåì, ä³àãðàì, і це ñóòòºâî äîïîìàãàтиме при аналізі öèõ ôîðìóë і ïðè розв’язуванні ð³âíÿíü. Ñëîâî «ìàòåìàòèêà» âèíèêëî у Äàâí³é Ãðåö³¿ ïðèáëèçíî ó V ñò. äî í. å. â ñåðåäîâèù³ ï³ôàãîð³éö³â — ïîñë³äîâíèê³â ëåãåíäàðíîãî ϳôàãîðà. Ïîõîäèòü âîíî â³ä ñëîâà «ìàòåìà», ùî îçíà÷ຠ«â÷åííÿ» àáî

ϳôàãîð. Ñèìâîë³÷íèé ïîðòðåò. Ãðàâþðà íåâ³äîìîãî õóäîæíèêà XVI ñò.

68

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

«çíàííÿ». Äàâí³ ãðåêè âèçíàâàëè чотири ìàòåìà: ïðî ÷èñëà (àðèôìåòèêó), ïðî ô³ãóðè (ãåîìåòð³þ), ïðî ïðîïîðö³¿ у ïðèðîä³ òà ìèñòåöòâ³ (ãàðìîí³þ) та ïðî ôîðìè ñâ³òó (àñòðîíîì³þ). Íåîäì³ííîþ óìîâîþ приналежності певного знання äî ìàòåìàòèêè áóëî âèâåäåííÿ його øëÿõîì ëîã³÷íîãî ì³ðêóâàííÿ, òîáòî çà äîïîìîãîþ ìèñëåííÿ. Õàðàêòåðíî, ùî ³íø³ íàóêè, íàïðèêëàä, ô³çèêó, ãåîãðàô³þ, ³ñòîð³þ ó Äàâí³é Ãðåö³¿ íå ò³ëüêè íå â³äíîñèëè äî «ìàòåìà», à é óçàãàë³ íå ââàæàëè âàðòèìè óâàãè ñïðàâæí³õ ó÷åíèõ (ô³ëîñîô³â). Ââàæàëîñÿ, ùî ò³ëüêè ìàòåìàòèêà ìຠòâåðä³ îñíîâè, îñê³ëüêè âîíè çäîáóò³ ðîçóìîì, òîáòî íàéâèùîþ ñóáñòàíö³ºþ, à íå îðãàíàìè â³ä÷óòòÿ, ÿê³ ÷àñòî ñïîíóêàþòü ëþäèíó ïîìèëÿòèñÿ. Ïåðø³ ï³ôàãîð³éö³ òðèìàëè ìàòåìàòè÷í³ çíàííÿ у ñóâîð³é òàºìíèö³ â³ä íåïîñâÿ÷åíèõ і передавали їх «на віру», без належного обґрунтування. ×åðåç òå ¿õ íàçèâàëè аêóñìаòèêаìè (â³ä ñëîâà «àêóñìà» — «çâóê», «ñâÿùåííèé âèñë³â»). Для збереження òàºìíèö³ ïåðåäà÷à çíàííÿ â³ä ó÷èòåëÿ äî ó÷í³â â³äáóâàëàñü ëèøå â óñí³é ôîðì³. Ïðîòå çãîäîì ãîðó âçÿëè ìаòåìаòèêè, ÿê³ ââàæàëè, ùî ñïðàâæí³ çíàííÿ ìîæóòü ³ ïîâèíí³ áóòè äîñòóïí³ вñ³ì і їх потрібно обґрунтовувати.  åïîõó ñåðåäíüîâ³÷÷ÿ äàâíüîãðåöüêå ñëîâî ìаòå­ ìа­òèêа âæèâàëîñÿ ð³äêî, à наука, яку ми çàðàç називаємо ìàòåìàòèêою, ділилася на аðèôìåòèêу (науку про числа) òà ãåîìåòð³ºþ (науку про фігури). Навчальні дисципліни з такими назвами вивчалися лише на

Франческо ді Стефано (бл. 1422 – 1457). Сім вільних мистецтв. Зверху — фрагменти цієї картини із зображеннями музи Геометрії та Евкліда.

§6. Вертикальні кути

69

Мартен де Вос (1532 – 1603). Алегорія семи вільних мистецтв, 1590 р. Муза Геометрії — на передньому плані ліворуч. У руках у неї циркуль, за допомогою якого вона проводить вимірювання на земному глобусі; біля ніг лежать лінійка й косинець. Поруч з Геометрією — Арифметика, зайнята обчисленнями на дощечці; біля неї книга з написом «ПІФАГОР». У центрі біля небесного глобуса — муза Астрономії; біля її ніг — сонячний годинник.

другому ступені освіти —так званому квадрівіумі. На квадрівіум можна було перейти лише після успішного проходження початкового рівня, який називався трівіумом і включав три навчальні предмети: граматику, логіку і риторику (красномовство). Квадрівіум, як про це свідчить його назва, включав чотири предмети: окрім арифметики й геометрії — ще астрономію та музику (гармонію). Усі сім предметів трівіума і квадрівіума шанобливо називали вільними мистецтвами — у тому сенсі, що вони звільняють людину від виснажливої фізичної праці. В епоху Відродження художники й графіки присвятили їм чимало творів, зображаючи їх прекрасними музами на зразок дев’ятьох античних муз, які вважалися покровительками образотворчих мистецтв.

Åòüºí Äåëîí (1518 – áë. 1583) «Ãåîìåòð³ÿ». Гравюра.

70

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Ó XVI–XVII ñò., êîëè ªâðîïà îçíàéîìèëàñÿ ³ç çäîáóòêàìè ñåðåäíüîâ³÷íî¿ àðàáñüêî¿ íàóêè, ç’ÿâèëàñÿ аëãåáðа. Àðàáñüêîþ áóëà íå ëèøå íàçâà ö³º¿ íàóêè, а й çì³ñò — ðîçâ’ÿçóâàííÿ ð³âíÿíü. Цöèì àíòè÷í³ ìàòåìàòèêè ìàéæå íå çàéìàëèñÿ. Ïåâíèé ÷àñ ç àðàáñüêèì òåðì³íîì «àëãåáðà» êîíêóðóâàâ ëàòèíñüêèé òåðì³í «àíàë³ç», ùî ìàâ òîé ñàìèé çì³ñò. Однак ï³çí³øå àíàë³çîì íàçâàëè â³äãàëóæåííÿ àëãåáðè, ÿêå âèíèêëî ó çâ’ÿçêó ïîíÿòòÿ ôóíêö³¿. Òåðì³í «ìàòåìàòèêà» äëÿ ñóêóïíî¿ íàçâè àðèôìåòèêè, ãåîìåòð³¿, àëãåáðè òà àíàë³çó ïî÷àëè ñèñòåìàòè÷íî çàñòîñîâóâàòè ó XVIII ñò. Ïðîòå ùå ó ïåðø³é ïîëîâèí³ XIX ñò. кîæíîãî визначного ìàòåìàòèêà шанобливо íàçèâàëè ãåîìåòðîì, íàâ³òü ÿêùî â³í ïðîâîäèâ äîñë³äæåííÿ â ³íøій галузі ìàòåìàòèêè. Íåçâàæàþ÷è íà î÷åâèäí³ â³äì³ííîñò³, ð³çí³ ìàòåìà­ òè÷í³ äèñöèïë³íè ìàþòü îäíó ñóòòºâó ñï³ëüíó ðèñó, ÿêà ñïîð³äíþº ¿õ ì³æ ñîáîþ й âèð³çíÿº ç-ïîì³æ ³íøèõ íàóê. Óñ³ ïîíÿòòÿ, ÿê³ âèâ÷àþòüñÿ у ìàòåìàòè÷íèõ íàóêàõ, — ÷èñëà, ô³ãóðè, ôîðìóëè, ôóíêö³¿ òîùî, º ìèñëåííºâèìè îáðàçàìè ³ òîìó ìîæóòü ðîçãëÿäàòèñÿ é àíàë³çóâàòèñÿ îêðåìî â³ä áóäü-ÿêèõ ìàòåð³àëüíèõ íîñ³¿â. ϳñëÿ òîãî, ÿê уñòàíîâëåí³ îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ öèõ ìèñëåííºâèõ îáðàç³â (у ãåîìåò𳿠ö³ âëàñòèâîñò³ íàçèâàþòüñÿ àêñ³îìàìè, â àëãåáð³ — ïðàâèëàìè, çàêîíàìè, формулами), óñ³ ³íø³ âëàñòèâîñò³ âèâîäÿòüñÿ іç íèõ óæå ñóòî ëîã³÷íèì øëÿõîì.

Корнеліс Корт (1533 – 1578). «Геометрія». Гравюра. Іç ñå𳿠«Вільні мистецтва».

П’єр Леґросс молодший (1666–1719). Геометрія. Париж. Лувр.

§7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі

71

§7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі Підведемо підсумок проведеного у попередніх двох параграфах вивчення властивостей кутів, що утворюються при перетині двох прямих. Усього при цьому утворюється чотири кути зі спільною вершиною, сторони яких належать різним прямим (рис. 2.16) (ми не беремо до уваги ще два розгорнуті кути, сторони яких належать кожній прямій). Ці чотири кути розпадаються на дві пари вертикальних кутів, які рівні між собою. Будь-які два кути з різних пар є суміжними, а тому їхня сума дорівнює 180°. Отже, якщо один із суміжних кутів гострий, то інший — тупий, а якщо один із них прямий, то інший теж прямий (і тоді прямими є всі чотири кути, утворені прямими). На підставі цього приймається таке означення. Означ ен н я . Кутом між прямими, що перетинаються, нази­ вається величина гострого або прямого кута, утвореного при перетині цих прямих. Зверніть увагу, що на відміну від кута, утвореного променями, який є фігурою і має свою величину (градусну міру) в межах від 0° до 180°, кут між прямими — це лише величина і вона не перевищує 90°. Кут між прямими а і b позначається так: ∠аb. Наприклад, у випадку, зображеному на рис. 2.17, ∠аb = 60°, а у випадку, зображеному на рис. 2.18, ∠аb = 90°. Означ ен н я . Якщо кут між прямими дорівнює 90°, то такі прямі називаються перпендикулярними (або взаємно перпендикулярними). Кажуть також, що перпендикулярні прямі перетинаються під прямим кутом.

Уроки 8–9

Ðèñ. 2.16

b

a

120° 60° 60° 120° Ðèñ. 2.17

a 90°

90°

90°

90°

Ðèñ. 2.18

b

72

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

На рис. 2.18 зображені перпендикулярні прямі а і b. Перпендикулярність прямих позначають за допомогою знака ^. Наприклад: а ^ b, АВ ^ СD тощо. На рис. 2.19 і 2.20 відображені способи побудови перпендикулярних прямих за допомогою косинця. На першому з них пряма b, що перпендикулярна до даної прямої а, проведена через точку А цієї прямої. На другому рисунку пряма b, що перпендикулярна до даної прямої а, проведена через точку А, що лежить поза прямою а. Чи може інша побудова, наприклад, за допомогою транспортира, дати інші перпендикулярні прямі? — Ні, не може, і це можна довести.

b b A A

a

Ðèñ. 2.19

Тео р ема (про єдиність перпендикулярної прямої). Через будь-яку точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої. Д о в е д е н н я . Припустимо, що через точку А, розміщену на прямій а, можна провести дві прямі b і с, перпендикулярні до прямої а (рис. 2.21). Нехай буквами b і с позначені і промені цих прямих, що лежать в одній із півплощин з граничною прямою а. Тоді у цій півплощині матимемо два рівних (прямих) кути ∠аb і ∠ас, відкладених від однієї півпрямої Оа. Оскільки за аксіомою про відкладення кутів таке неможливо, то зроблене припущення хибне. Тому через точку А можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до прямої а. Припустимо тепер, що через точку А, розміщену поза прямою а, можна провести дві прямі b і с, перпендикулярні до прямої а (рис. 2.22). Нехай В і С — точки перетину цих прямих із прямою а. Повернемо подумки ту півплощину з граничною прямою а, в якій знаходиться точка А, відносно середини О відрізка ВС до суміщення з іншою

a

b b A a A a

Ðèñ. 2.20

c

b

A

Ðèñ. 2.21

a

§7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі

півплощиною з тією само граничною прямою а. При цьому точка В переміститься у точку С, точка С — у точку В, прямий кут АВС — у рівний йому прямий кут А′СВ, а прямий кут АСВ — у рівний йому прямий кут А′ВС. Із того, що кути АВС і А′ВС — прямі, випливає, що кут АВА′ — розгорнутий, тобто що точки А, В, А′ лежать на одній прямій. Те ж саме стосується й точок А, С, А′. Виходить, що через точки А і А′ проходять дві прямі. Ці прямі не можуть збігатися, оскільки пряма а перетинає їх у різних точках В і С. Дістали суперечність з аксіомою про проведення прямої, за якою через дві точки А і А′ можна провести лише одну пряму. Із цього можна зробити лише один висновок, а саме той, що зроблене припущення про існування двох перпендикулярних прямих b і с до прямої а — хибне, а тому існує тільки одна така пряма. Теорему доведено. Цікаво зауважити, що, на відміну від перпендикулярної прямої, через будь-яку точку А можна провести дві прямі b і с, які перетинають дану пряму а під заданим кутом, який не є прямим (рис. 2.23, а)–б)) (порівняй з рис. 2.19 і 2.20).

c b A B O C a A Ðèñ. 2.22

c

b

a

A a) A

Інколи доводиться вести мову про перпендикулярність не тільки прямих, а й частин прямих — відрізків і променів. Озн ач ен н я . Відрізки або промені називаються перпен­ дикулярними (кажуть також взаємно перпен­ дикулярними), якщо вони лежать на перпен­ дикулярних прямих. Відрізки або промені називаються перпендикулярними до прямої, якщо вони лежать на прямих, які перпенди­ кулярні до цієї прямої.

73

c

b á)

Ðèñ. 2.23

a

74

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Для короткого запису перпендикулярності відрізків і променів застосовується той самий знак ^, що й для прямих. На рис. 2.24 зображені характерні випадки взаємного розміщення перпендикулярних відрізків, а на рис. 2.25 — характерні випадки взаємного розміщення відрізків, перпендикулярних до прямої.

a)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 2.24

a)

á) Ðèñ. 2.25

â)

О зн ач ен н я . Відрізок, який перпендикулярний до прямої і при цьому один з його кінців належить пря­ мій, називається перпендикуляром до цієї пря­ мої. Спільна точка прямої і перпендикуляра до неї, називається основою перпендикуляра. Аналогічно означається поняття перпендикуляра до променя та до іншого відрізка. Перпендикуляри до відрізків зображені на рис. 2.24, в) і г), а перпендикуляр до прямої — на рис. 2.25, в). Терміни «перпендикулярний», «ïåðïåíäèêóëÿð» óòâîðåíі â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà perpendicularis, ùî îçíà÷ຠ«ïðÿìîâèñíèé». Ïðÿìîâèñíà ë³í³ÿ óòâîðþº

§7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі

ïðяì³ êóòè ç áóäü-ÿêîþ ãîðèçîíòàëüíîþ ïðÿìîþ (ðèñ. 2.26). Öå é ñòàëî ï³äñòàâîþ äëÿ òîãî, àáè áóäüÿê³ ïðÿì³ ÷è â³äð³çêè, ÿê³ óòâîðþþòü ïðÿìèé êóò, íàçèâàòè ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Ó çâ’ÿçêó іç öèì ÷àñòî çàì³ñòü âèðàçó «ïðîâåñòè ïåðïåíäèêóëÿð ç òî÷êè äî ïðÿìî¿» êàæóòü: «îïóñòèòè ïåðïåíäèêóëÿð ç òî÷êè íà ïðÿìó» àáî «ïîñòàâèòè ïåðïåíäèêóëÿð äî ïðÿìî¿ у заданій на ній òî÷ö³», — íàâ³òü òîä³, êîëè ïðÿìà íå çàéìຠãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåííÿ (ðèñ. 2.27). З використанням поняття перпендикуляра уводиться поняття відстані від точки до прямої. Означ ен н я . Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на пряму. Підставою для такого означення є те, що перпендикуляр до прямої є найкоротшим з усіх відрізків, які сполучають цю точку з точками прямої (рис. 2.28). Поки що у нас немає достатнього теоретичного фундаменту, аби довести це твердження. Ми доведемо його у наступному розділі.

Ðèñ. 2.26

Ðèñ. 2.27

Ðèñ. 2.28

Розв’язуємо разом З адач а. Визначити кут між двома прямими, якщо сума трьох кутів, утворених при їхньому перетині, дорівнює 300°. Р озв ’ я за н н я . Як би ми не вибирали три із чоти­ рьох кутів, утворених двома прямими, що перетинаються (рис. 2.29), два з них завжди будуть суміжними, отже, в сумі дадуть 180°. Тоді на третій кут, за умовою цієї задачі, припаде 300° – 180° = 120°.

Ðèñ. 2.29

75

76

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Це — тупий кут, а кут між прямими дорівнює величині гострого або прямого кута. Тому в цьому разі шуканий кут між прямими дорівнює 180° – 120° = 60°. Відповідь. 60°.

Вправи і задачі 123°. Позначте точку і за допомогою лінійки проведіть через неї дві довільні прямі, а потім за допомогою транспортира визначте кут між цими прямими. 124°. Накресліть за допомогою лінійки і транспортира дві прямі, кут між якими дорівнює: а) 30°; б) 60°; в) 90°. 125°. Один із кутів, що утворюється при перетині двох прямих, дорівнює 140°. Чому дорівнює кут між цими прямими? 126°. Жоден із кутів, утворених при перетині двох прямих, не є гострим. Чому дорівнює кут між прямими? 127°. Перерисуйте в зошит зображення точки Р і прямої m, подані на рис. 2.30. Проведіть у кожному випадку за допомогою косинця перпендикуляр із точки Р на пряму m. За допомогою лінійки у кожному випадку визначте відстані від точки Р до прямої а. m

m

P

P P m a)

á) Ðèñ. 2.30

â)

128°. Проведіть пряму і за допомогою лінійки і косинця позначте дві які-небудь точки А і В, що знаходяться від прямої на відстанях відповідно 3 см і 2 см. 129°. Зобразіть за допомогою лінійки і косинця усі характерні випадки взаємного розміщення відрізка і променя, які є взаємно перпендикулярними. 130°. Зобразіть за допомогою лінійки і косинця усі характерні випадки взаємного розміщення двох променів, а також променя і прямої, які є взаємно перпендикулярними. 131. Визначте кут між двома прямими, якщо: 1) сума двох кутів, що утворилися при їхньому перетині, дорівнює 100°; 2) сума двох кутів, що утворилися при їхньому перетині, дорівнює 200°;

§7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі

77

3) сума трьох кутів, що утворилися при їхньому перетині, дорівнює 250°; 4) сума трьох кутів, що утворилися при їхньому перетині, дорівнює 350°. 132. Визначте кут між двома прямими, якщо один із кутів, що утворилися при їхньому перетині, удвічі менший від іншого. 133. Визначте кут між двома прямими, якщо різниця двох кутів, що утворилися при їхньому перетині, дорівнює 70°. 134. Визначте кут між двома прямими, якщо сума двох кутів, що утворилися при їхньому перетині, учетверо менша від суми двох інших. 135. Визначте кут між двома прямими, якщо сума двох кутів, що утворилися при їхньому перетині, більша за суму двох інших на 140°. 136. На рис. 2.31 відображений спосіб перевірки за допомогою лінійки, чи є прямим найбільший кут у косинця (пунктиром зображене попереднє положення косинÐèñ. 2.31 ця). На якій геометричній властивості ґрунтується цей спосіб? 137. На рис. 2.32 відображений спосіб перевірки за допомогою столярного кутника правильності обробки бруса. Як би ви пояснили цей спосіб? На якій геометричній властивості він ґрунтується? 138. На рис. 2.33 відображений спосіб провішування перпендикулярних прямих на місцевості за допомогою екера (у перекладі з французької мови це слово (equerre) означає «кутник»). У найпростішому варіанті екер складається із хрестовини, що кріпиться на ніжці; на кінцях хрестовини вбиті штирки для візування. Як би ви пояснили спосіб використання екера? Ðèñ. 2.32

Ðèñ. 2.33

78

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

139. Три прямі АВ, СD і КМ перетинаються в точці О і при цьому АВ ^ СD, ∠КОВ = 30° (рис. 2.34). Визначте кути АОМ і КОD. 140. На рис. 2.35 СО ^ АВ, DО ^ ОF. Доведіть, що тоді ∠DОС = ∠FОВ. • 141 . Визначте кут між прямими, якщо один із кутів, що утворився при їхньому перетині, у вісім разів менший від суми трьох решти. 142•. На рис. 2.35 ∠АОВ = 180°, ∠DОС = ∠FОВ, ∠АОD = = ∠COF. Доведіть, що тоді СО ^ АВ, а DО ^ ОF. 143•. Три прямі АВ, СD, КМ перетинаються в точці О (див. рис. 2.34) і при цьому ∠КОА = 125°, ∠СОМ = 145°. Доведіть, що тоді АВ ^ СD. 144•. Якого найбільшого і найменшого значення може набувати сума трьох із чотирьох кутів, утворених при перетині двох прямих? 145•. Через одну точку проведено чотири прямі. Скільки серед них може бути взаємно перпендикулярних?

C K O A

B M

D

Ðèñ. 2.34

D

C F

A

O

B

Ðèñ. 2.35

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих Ви вже знаєте, що прямі на площині можуть перетинатися, а можуть і не перетинатися (цим площина суттєво відрізняється від сфери, де будь-які прямі завжди перетинаються). Прямі, які не перетинаються, називаються паралельними. Для запису паралельності прямих застосовується знак ||. Наприклад, запис а || b читається так: «пряма а паралельна прямій b». Дуже легко накреслити прямі, що перетинаються у заданій точці А: одну пряму (позначимо її через а) проводимо довільно, потім беремо поза нею яку-небудь точку В і через точки А і В проводимо шукану пряму b (рис. 2.36). Використовуючи транспортир, пряму b можна провести навіть під заданим кутом до прямої а (рис. 2.37): тоді точку В потрібно брати на промені АВ, який утворює цей кут з одним із променів прямої а.

Уроки 10–11

b B a

A

Ðèñ. 2.36

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

b B

90°

b 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a

A

79

b

B

a a

Ðèñ. 2.37

Ðèñ. 2.38

Накреслити паралельні прямі можна за допомогою лінійки, використовуючи обидва її краї. Так, на рис. 2.38 проведені паралельні прямі а і b. Однак якщо хоч трохи конкретизувати вимогу, наприклад, аби пряма b була паралельна заданій прямій а і проходила через задану точку В (рис. 2.39), то завдання суттєво ускладнюється. Креслярі вирішують його за допомогою лінійки і косинця або навіть двох однакових косинців, як показано на рис. 2.40 і 2.41. Неважко зауважити, що у першому із цих способів побудовані паралельні прямі фактично проведені перпендикулярно до деякої прямої (до лінійки), а в другому утворюють рівні кути з деякою прямою (перемичкою косинця). Якщо зважити, що прямі кути теж рівні, то обидва способи зводяться до одного: паралельні прямі проводяться так, щоб утворювалися рівні кути з деякою січною прямою. Однак прямі а і b, які утворюють рівні кути із січною прямою c, можуть бути й не паралельними (рис. 2.42). Тому для паралельності прямих лише рівності цих кутів недостатньо. Потрібні уточнення щодо їхнього розміщення. Подивіться на ðèñ. 2.43. На ньому дві ïðÿìі à ³ b перетнуті òðåòüîþ ïðÿìîþ ñ. Для спрощення мови пряму с, яка перетинає прямі а і b у різних точках, називають січною цих прямих. При цьому утворюються вісім нерозгорнутих êóò³â ç âåðøèíàìè у точках перетину А і В.

Ðèñ. 2.39

B

b

a

Ðèñ. 2.40

B

b a

Ðèñ. 2.41

c

b

a Ðèñ. 2.42

80

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Для окремих пар цих кутів, які якраз і дають змогу провести згадане уточнення, яке необхідне для паралельності прямих, уведені спеціальні назви. А саме: ∠3 і ∠5, а також ∠4 і ∠6 називаються внутрішніми різносторонніми кутами; ∠3 і ∠6, а також ∠4 і ∠5 називаються внутрішніми односторонніми кутами; ∠1 і ∠5, ∠4 і ∠8, ∠2 і ∠6, ∠3 і ∠7 називаються відповідними кутами. З рисунка видно, що внутрішні різносторонні кути розміщені так, що îäíà ïàðà ¿õí³õ ñòîð³í ìຠñï³ëüíу внутрішню частину À січної (â³äð³çîê), à ³íø³ ñòîðîíè ëåæàòü ç ð³çíèõ áîê³â â³ä ñ³÷íî¿ ñ. Внутрішні односторонні кути розміщені так, ùî îäíà ïàðà ¿õí³õ ñòîð³í так само ìຠñï³ëüíу внутрішню частину À січної, однак ³íø³ ñòîðîíè ëåæàòü уже ç îäíîãî áîêó â³ä ñ³÷íî¿ ñ. Відповідні кути ëåæàòü ç îäíîãî áîêó â³ä ñ³÷íî¿ ñ, à òàêîæ і ç îäíîãî áîêó â³ä îäí³º¿ ç ïðÿìèõ à ÷è b. ²íêîëè виокремлюють ще çîâí³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ (1 ³ 7 òà 2 ³ 8) òà çîâí³øí³ îäíîñòîðîíí³ êóòè (1 ³ 8 òà 2 ³ 7). Якщо ви тепер повернетеся до рис. 2.41, то легко збагнете, що паралельність побудованих на ньому прямих а і b забезпечується рівністю саме внутрішніх різносторонніх кутів, які утворюються при перетині цих прямих із перемичками косинців. Це спостереження приводить нас до ознаки паралельності прямих. Залишається лише сформулювати її та довести за всіма правилами геометрії як теорему. Ознаками у геометрії називають теореми про такі умови щодо фігур, виконання яких є достатніми для виконання певних фундаментальних геометричних властивостей, наприклад, паралельності, перпендикулярності, рівності тощо.

a

c 2 A 1 3 4

b

6 5 7 8 B Ðèñ. 2.43

Англійський математик Вільям Отред (1575–1660). Увів знак || для позначення паралельності прямих і знак ∠ для позначення кутів

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

Теор ема (îçíàêà ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ). ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè ð³âí³, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. До в е д е н н я . Ми доведемо цю теорему способом, який у своїх головних рисах споріднений з тим, яким у попередньому параграфі доведено теорему про єдиність перпендикулярної прямої. Спорідненість полягає у тому, що, по-перше, «йтимемо від супротивного», по-друге — застосовуватимемо уявне суміщення двох півплощин шляхом повороту. Нåõàé ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ à ³ b січною ñ óòâîðþþòüñÿ ð³âí³ âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè з вершинами А і В, які для спрощення позначимо цифрами 1 ³ 2 (ðèñ. 2.44). Зрозуміло, що тоді суміжні з ними внутрішні різносторонні кути 3, 4 теж рівні. Потрібно довести, ùî за цієї умови ïðÿì³ à ³ b ïàðàëåëüí³. Ïðèïóñòèìî супротивне, тобто, що ïðÿì³ à ³ b ïåðåòèíàþòüñÿ â äåÿê³é òî÷ö³ Ñ (рис. 2.45). a

b

c A 1 3 Î 4 2 B

a

1 3 4 2 b Ðèñ. 2.44

C

Ðèñ. 2.45

Зауваження . Незважаючи на те, що таке припущення з першого погляду може здатися абсолютно абсурдним, насправді воно має цілком реальні підстави. Прямі лінії безмежні, і те, що видається неможливим на певному невеликому проміжку, цілком може здійснюватися у великих масштабах. Якби на земній поверхні прокласти широку алею між двома меридіанами від екватора до полюса (рис. 2.46), то, рухаючись нею

c

81

82

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

на автомобілі, ви почали б помічати звуження лише через декілька діб. З літака його можна помітити через декілька годин, тимчасом як з орбіти навколоземної космічної станції це було б очевидно одразу. Отже, реальні підстави для зробленого припущення існують. Проте логічний аналіз такої можливості приведе нас до суперечності з прийнятими аксіомами. Це свідчитиме про те, що в геометрії на площині, яку ми розвиваємо, таке неможливо.

Ðèñ. 2.46

Повернемо подумки ту півплощину з граничною прямою с, у якій знаходиться точка С, відносно середини О відрізка АВ до суміщення з протилежною півплощиною (рис. 2.47). При цьому точка А переміститься у точку В, точка В — у точку А, кут 2 накладеться на рівний йому кут 1, а кут 3 — на рівний йому кут 4. Позначимо через С ′ точку, в яку переміститься точка С. a C

A

c

1,2 3 Î 3,4 1 b B Ðèñ. 2.47

Із того, що кути 1 і 3 — суміжні, випливає, що кут С ′АС — розгорнутий, тобто що точки С ′, А, С лежать на одній прямій. Те ж само стосується й точок С ′, В, С. Виходить, що через точки С і С ′ проходить дві прямі. Ці прямі не можуть збігатися, оскільки пряма с перетинає їх у різних точках А і В. Дістали суперечність з аксіомою про проведення прямої, за якою через дві точки С і С ′ можна провести лише одну пряму. Це свідчить про те, що зроблене припущення

C

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

про перетин прямих а і b — хибне, а тому ці прямі — паралельні. Теорему доведено. З доведеної теореми можна вивести декілька очевидних наслідків, кожен з яких теж є окремою ознакою паралельності прямих. Насл ід о к 1. Дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої, паралельні. До в е д е н н я . Якщо прямі а і b перпендикулярні до січної с (рис. 2.48), то внутрішні різносторонні кути 1 і 2 — прямі, а тому рівні. Отже, відповідно до доведеної теореми, прямі а і b — паралельні.

ñ b 1

2

a

Варто зазначити, що саме внаслідок того, що довгі краї лінійки перпендикулярні до її бічних країв, проведені уздовж них прямі паралельні (див. рис. 2.38).

Ðèñ. 2.48

Насл ід о к 2. ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ â³ä­ïî­ â³ä­í³ êóòè ð³âí³, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. Äîâåäåííÿ. Íåõàé ïðè ïåðåòèí³ ïðÿìèõ à ³ b ñ³÷íîþ ñ â³äïîâ³äí³ êóòè рівні, наприклад, ∠1 = ∠2 (ðèñ. 2.49). Кут 1 рівний куту 3, оскільки ці кути вертикальні. Отже, ∠3 = ∠2. Але ці кути є внутрішніми різносторонніми, а тому, за доведеною теоремою, ïðÿì³ à ³ b — ïàðàëåëüí³. Н асл ід о к 3. ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â äîð³âíþº 180°, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. Д о в е д е н н я . Íåõàé ïðè ïåðåòèí³ ïðÿìèõ à ³ b ñ³÷íîþ ñ ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â äîð³â­íþº 180°, íàïðèêëàä, ∠4 + ∠2 = 180° (äèâ.

c a

1 3 4 2

b Ðèñ. 2.49

83

84

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

ðèñ. 2.49). Îñê³ëüêè ñóìà ñóì³æíèõ êóò³â 4 ³ 3 òåæ äîð³âíþº 180°, òî ∠2 = ∠3. Знову прийшли до рівності внутрішніх різносторонніх кутів. Отже, ïðÿì³ à ³ b — ïàðàëåëüí³. Ïîíÿòòÿ ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ ïðèðîäíèì ÷èíîì ïîøèðþºòüñÿ íà â³äð³çêè òà промені. Íàïðèêëàä, äâà â³äð³çêè íàçèâàþòüñÿ ïàðàëåëüíèìè, ÿêùî âîíè ëåæàòü на ïàðàëåëüíèх прямих. Для позначення паралельності відрізків і променів застосовується той самий знак ||, що й для прямих. Наприклад: АВ || СD, m || n, MN || a (рис. 2.50).

A

B

C

D à) m

n á) N M à â) Ðèñ. 2.50

Про доведення методом «від супротивного» Ïðè äîâåäåíí³ îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ áóâ çàñòîñîâàíèé îñîáëèâèé âèä ì³ðêóâàíü, ÿêèé íàçèâàþòü äîâåäåííÿì «â³ä ñóïðîòèâíîãî» (у попередньому параграфі так само було доведено теорему про єдиність перпендикулярної прямої). Öåé спосіб доведення íàäçâè÷àéíî ïîøèðåíèé ó ìàòåìàòèö³. Тому розглянемо його детальніше. Дîâåäåííÿì «â³ä ñóïðîòèâíîãî» пîëÿãຠó òîìó, ùî на його початку ðîáèòüñÿ ïðèïóùåííÿ, супротивне тому, яке ïîòð³áíî äîâåñòè, à ïîò³ì на цій підставі øëÿõîì ì³ðêóâàíü âèâîäèòüñÿ íàñë³äîê, ÿêèé ñóïåðå÷èòü àáî ñàìîìó зробленому ïðèïóùåííþ, àáî певній аксіомі, або вже доведеній раніше теоремі. ×åðåç öþ ñóïåðå÷í³ñòü зроблене ïðèïóùåííÿ â³äêèäàºòüñÿ ÿê хибне ³ öèì уñòàíîâëþºòüñÿ ³ñòèíí³ñòü òâåðäæåííÿ, ÿêå ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè. Ïîãëÿíьìî ùå ðàç, ÿê öе áóëî âò³ëåíî ïðè äîâåäåíí³ îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ. Ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè, ùî äâ³ ïðÿì³ à ³ b, ÿê³ утворюють із січною с рівні внутрішні різносторонні кути, ïàðàëåëüí³. Ñïî÷àòêó ми ïðèïóñòèëè, ùî ïðÿì³ à ³ b не паралельні, тобто ïåðåòèíàþòüñÿ. Ïîò³ì çâ³äñè âèâåëè, ùî âîíè ìóñÿòü ìàòè ùå îäíó òî÷êó ïåðåòèíó. À îñê³ëüêè такий âèñíîâîê уже ñóïåðå÷èòü аксіомі про проведення прямої, òî çâ³äñè було çðîáëåíî єдиний логічно можливий âèñíîâîê про те, ùî зроблене ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå.

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

85

Îòæå, ïðÿì³ a i b насправді не можуть перетинатися, тобто є паралельними, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. Що є логічною підставою для такого способу міркувань? — Те, що із двох взаємно супротивних тверджень істинним є тільки одне. Тому якщо одне з них веде до якоїсь суперечності, то істинним є інше, оскільки істинне твердження до суперечності вести не може. Інколи, коли ще тільки-но починають застосовувати спосіб доведення «від супротивного», на початку доведення неправильно роблять припущення про істинність того твердження, яке доводять (а не супротивного, як потрібно). Потім на підставі цього приходять до висновку про істинність якогось іншого, уже доведеного твердження і, вважають, що доведення завершене. Однак цим самим потрібного твердження так і не буде доведено. Буде доведено тільки те, що його істинність не суперечить раніше доведеному твердженню. А не суперечити — не означає бути необхідним. Наприклад, мати високий зріст — не суперечить тому, щоб добре грати у баскетбол. Однак це не є необхідним: відомі баскетболісти навіть світового рівня, які мали невисокий зріст. І вже зовсім хибним є спосіб міркувань, коли робиться припущення про істинність твердження, яке потрібно довести, а через кілька логічних кроків одержується висновок про… істинність того самого твердження, і на підставі цього теорема вважається доведеною. Насправді тут уже не буде доведено навіть того, що істинність потрібного твердження не суперечить істинності іншого твердження: вона не суперечить істинності… того самого твердження. Такий помилковий спосіб міркувань називається хибним логічним колом.

Розв’язуємо разом Задача .

Довести методом «від супротивного», що дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої, — паралельні.

Р озв ’ я за н н я . Один із можливих способів для доведення цього твердження абсолютно аналогічний тому, яким вище доведена ознака паралельності.

86

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Дуже радимо читачеві провести це доведення самостійно. Інший спосіб ґрунтується на теоремі про єдиність перпендикулярної прямої. Припустимо, що дві прямі а і b, які перпендикулярні до якоїсь прямої с (рис. 2.51), перетинаються у деякій точці С. Тоді через точку С проходитиме дві прямі а і b, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої с. Це суперечить теоремі про єдиність перпендикулярної прямої. Отже, зроблене припущення хибне, а тому прямі а і b — паралельні, що й треба було довести.

ñ b C a Ðèñ. 2.51

Вправи і задачі 46°. Назвіть і запишіть усі пари паралельних прямих, зображених на рис. 2.52. 1 147°. Назвіть і запишіть усі пари паралельних фігур, зображених на рис. 2.53. l

b

m

D

n

B

C A a

a Ðèñ. 2.52

Ðèñ. 2.53

148°. На рисунках 2.54, а)–в) прямі а і b перетинає січна с. У кожному випадку назвіть кути 1 і 2. a b

1 2

c

b à)

c 1

a

c

a 1 b 2

2 á) Ðèñ. 2.54

â)

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

87

149°. На рисунках 2.55, а)–в) прямі а і b перетинає січна с. У кожному випадку визначте величини відповідних кутів. У якому випадку про прямі а і b можна стверджувати, що вони паралельні? a

c

a

120° b

c

b a

c 70°

110°

125°

b á)

à)

80° 78° â)

Ðèñ. 2.55

150°. На рис. 2.56, а)–в) позначені величини двох кутів, що утворилися при перетині прямих а і b січною с. Чи можемо ми на підставі цих даних стверджувати, що прямі а і b паралельні? c 50°

c a 60°

a b

b

50° à)

120° á)

Ðèñ. 2.56

151°. На рис. 2.57, а)–б) прямі а і b перетинає січна с. Перерисуйте ці рисунки у зошит і на кожному з них позначте на прямій b такі точки М, N, L, щоб кути РАВ і МВА були внутрішніми різносторонніми, кути РАВ і NВА — внутрішніми односторонніми, а кути PAB і LBQ — відповідними. По який бік від січної с у кожному випадку розміщуватимуться точки М, N і L — по той самий, що й точка Р, чи по інший? a

b

c

aP

A

P c A

B Q

b

à)

B Q á)

Ðèñ. 2.57

152. На рис. 2.58 відображений спосіб проведення за допомогою транспортира прямої b, що проходить через задану точку В і паралельна заданій прямій а. Як би ви пояснили цей спосіб?

88

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

153. На рис. 2.59 відображені два способи проведення за допомогою лінійки і косинця прямої b, що проходить через задану точку В і паралельна заданій прямій а. Як би ви пояснили ці способи? 154. На рис. 2.60 відображені два способи проведення за допомогою двох однакових косинців прямої b, що проходить через задану точку В і паралельна заданій прямій а. Як би ви пояснили ці способи? Чи обов’язково косинці мають бути однаковими? B

b a

B

90°

b

a

B

b

B

a B

90°

b

b

a a Ðèñ. 2.58

Ðèñ. 2.59

Ðèñ. 2.60

155. На рис. 2.61 відображений спосіб побудови паралельних прямих на креслярській дошці. Довга креслярська лінійка кріпиться одним кінцем на шарнірі до короткої рейки, яка може ковзати вздовж одного з країв креслярської дошки. Кут взаємного нахилу довгої лінійки і короткої рейки можна фіксувати за допомогою гвинта. Тоді при різних положеннях рейки на краю креслярської дошки довга лінійка визначатиме паралельні прямі. Як ви це можете пояснити? 156. На рис. 2.62 відображений спосіб побудови паралельних прямих за допомогою малки, якою користуються у столярній справі. Як ви можете пояснити цей спосіб? Малка складається із двох планок, кінці яких скріплені на шарнірі за допомогою гвинта; планки можна фіксувати під будь-яким кутом одна до одної. a

b

a B

A

Ðèñ. 2.61

Ðèñ. 2.62

Ðèñ. 2.63

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

89

157. Нарисуйте в зошиті таке розміщення точки В і прямої а, яке показано на рис. 2.63, а потім за допомогою наявних у вас інструментів проведіть через точку В пряму b, паралельну прямій а. Скільки різних способів побудови ви можете запропонувати? Поясніть їх. 158. Доведіть, що коли при перетині двох прямих січною утворені внутрішні різносторонні кути рівні, то рівні й відповідні кути, а сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. 159. На рис. 2.64 ∠1 = ∠2. Доведіть, що прямі a і b паралельні. 160. На рис. 2.64 ∠1 + ∠3 = 180°. Доведіть, що прямі a і b паралельні. 161•. На рис. 2.65 ∠1 = ∠2, ∠2 + ∠3 = 180°. Доведіть, що прямі a і b паралельні. 1

a

2

c 1

a

b b

3

2 3 Ðèñ. 2.64

Ðèñ. 2.65

162•. Кут між прямими а і b дорівнює куту між прямими b і с. Чи можна стверджувати, що прямі а і с паралельні? • 163 . Чотири кути, утворені при перетині двох прямих а і b січною, дорівнюють по 50°, решта чотири — по 150°. Чи можна стверджувати, що прямі а і b паралельні?

Ñòîð³íêè ³ñòî𳿠«Начала» Евкліда — перший підручник з геометрії (бл. 365 – бл. 300 рр. до н.е.) ²ñòîð³ÿ çíຠ÷èìàëî ïðèêëàä³â, êîëè âèäàòí³ òâîðè ö³ëêîâèòî çàòüìàðþâàëè ñëàâó ñâî¿õ òâîðö³â. Îäíèì іç íàéâèäàòí³øèõ òàêèõ òâîð³â став підручник з геометрії під назвою «Íà÷àëà» (грецькою «Стохея», латинською «Елементос») äàâíüîãðåöüêîãî ìàòåìàòèêà Åâêë³äà (бл. 365 – бл. 300 рр. до н.е.). Öÿ äèâîâèæíà êíèãà íàð³âí³ ç³ ñâÿùåííèìè ïèñüìåíàìè ïðîéøëà êð³çü âèïðîáóâàííÿ áàãàòüîõ ñòîë³òü. Âîäíî÷àñ ïðî ñàìîãî Åâêë³äà äîñòåìåííî â³äîìî ëèøå äåê³ëüêà ôàêò³â.

90

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

³äîìî, çîêðåìà, ùî Åâêë³ä áóâ ðîäîì ç Àô³í ³ ùî òàì â³í ùå þíàêîì íàâ÷àâñÿ ó ñàìîãî Ïëàòîíà — îäíîãî ç íàéñëàâåòí³øèõ àíòè÷íèõ ô³ëîñîô³â. Ìîæëèâî, ùî ñàìå Ïëàòîí çàðîíèâ ó íüîãî ³äåþ ïðî ñèñòåìàòèçàö³þ âñüîãî çàïàñó ãåîìåòðè÷íèõ çíàíü òà послідовного âèâåäåííÿ ¿õ ç íåáàãàòüîõ îñíîâíèõ ³ñòèí. ϳçí³øå ö³ ³ñòèíè ó÷åíü Ïëàòîíà Àðиñòîòåëü íàçâàâ àêñ³îìàìè. Îñòàííþ òðåòèíó ñâîãî æèòòÿ Åâêë³ä прожив ó єãèïåòñüê³é Àëåêñàíäð³¿. Òîìó éîãî íàçèâàëè ùå Åâêë³äîì Àëåêñàíäð³éñüêèì. Öå ì³ñòî áóëî ñòîëèöåþ äèíàñò³¿ Ïòîëåìå¿â. Ðîäîíà÷àëüíèê цієї äèíàñò³¿ Ïòîëåìåé ² Ñîòåð був одним із сподвижників Александра Македонського, а коли той помер, то на його честь çàñíóâàâ місто, а в місті створив íàóêîâèé öåíòð — Ìóñåéîí (Áóäèíîê Ìóç). Сюди скликали íàéславеòí³øèõ ó÷åíèõ ç óñ³õ ñâ³ò³â і çà ðàõóíîê öàðñüêî¿ êàçíè давали їм повне утримання та створювали умови для наукової роботи. Ñåðåä çàïðîøåíèõ áóâ ³ Åâêë³ä. Тут він çàïî÷àòêóâàâ ìàòåìàòè÷íó øêîëó, ãó÷íà ñëàâà ÿêî¿ çãîäîì ïîøèðèëàñÿ íà âåñü åëë³í³ñòè÷íèé ñâ³ò. Ìîæëèâî, ùî ñàìå äëÿ ñëóõà÷³â ö³º¿ øêîëè â ïåðøó ÷åðãó й ïðèçíà÷àëèñÿ Åâêë³äîâ³ «Íà÷àëà». ßê çàñâ³ä÷óº àëåêñàíäð³éñüêèé ìàòåìàòèê Ïàïï, ÿêèé æèâ ÷åðåç ø³ñòü ñòîë³òü ï³ñëÿ Åâêë³äà, сам Åâê­ë³ä áóâ ëþäèíîþ äîáðîñåðäå÷íîþ ³ ñêðîìíîþ, àëå âîäíî÷àñ ïðèíöèïîâîþ ³ äóæå íåçàëåæíîþ. Ïîáóòóâàëà ëåãåíäà, яка ÿñêðàâî çàñâ³ä÷óº öå. ͳáèòî ÿêîñü ñàì öàð Ïòîëåìåé, ò³ëüêè-íî îçíàéîìèâøèñü ç «Íà÷àëàìè», ïðèêëèêàâ äî ñåáå Åâêë³äà й çàïèòàâ: «×è íå ìຠá³ëüø êîðîòøîãî øëÿõó до опанування ãåîìåòð³¿, í³æ òîé, що передбачають його «Начала»? — Íà öå Åâêë³ä áåç æîäíîãî ñòðàõó â³äïîâ³â: «Ó ãåîìåò𳿠íåìຠöàðñüêèõ äîð³ã». Àáè äî ê³íöÿ çðîçóì³òè öþ мудру â³äïîâ³äü, ïîòð³áíî знати, ùî â äàâíèíó в ªãèïò³, à òàêîæ ³ â äåÿêèõ ³íøèõ êðà¿íàõ, ñïðàâä³ ³ñíóâàëè îêðåì³ äîðîãè, ¿çäèòè ÿêèìè ìàâ ïðàâî ëèøå öàð ³ éîãî êóð’ºðè. Îòæå, Åâêë³ä

Евклід. Гравюра невідомого художника ХVI ст.

Евкл³ä ïðåçåíòóº Ïòîëåìåþ І Ñîòåðó ñâî¿ «Íà÷àëà» ãåîìåòð³¿.

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

íåäâîçíà÷íî íàòÿêаâ âîëîäàðþ íà òå, ùî у науку øëÿõ лише îäèí: ÿê äëÿ öàð³â, òàê ³ äëÿ ïðîñòîëþäó.  ³íø³é ëåãåíä³ ðîçêðèâàºòüñÿ ñòàâëåííÿ àíòè÷íîãî ó÷åíîãî äî ìèðñüêèõ ðîçêîø³â. ßêîñü îäèí ç þíàê³â, îïàíóâàâøè äåê³ëüêà òåîðåì ç «Íà÷àë», çàïèòàâ ó Åâêë³äà: «À ùî ÿ çàðîáëþ, ÿêùî уñå âèâ÷ó?». Íà ùî Åâêë³ä ïîêëèêàâ ðàáà й çíåâàæëèâî сказав: «Äàé éîìó òðè îáîëè (òîáòî òðè íàéäð³áí³ø³ òîãî÷àñí³ ãðåöüê³ ìîíåòè), á³äîëàõà õî÷å çàðîáèòè на íàâ÷àííі». Îñü öå é óñå, ùî â³äîìî ïðî Åâêë³äà. Îäèí ³ç íàéîá³çíàí³øèõ êîìåíòàòîð³â éîãî «Íà÷àë» Ïðîêë ijîäîõ, ÿêèé æèâ ó V ñò. í.å., òîáòî ÷åðåç â³ñ³ì ñòîë³òü ï³ñëÿ Åâêë³äà, і òðèâàëèé ÷àñ ïðîâ³â â Àëåêñàíäð³¿, âæå íàâ³òü íå çíàâ, äå é êîëè íàðîäèâñÿ ñëàâåòíèé ó÷èòåëü. Íåìîæëèâî ïåðåîö³íèòè òàëàíò ³ çâèòÿãó àâòîðà «Íà÷àë». Ó íàñ ÷àñ ³ñíóþòü ñîòí³ й òèñÿ÷³ ï³äðó÷íèê³â, äåñÿòêè òèñÿ÷ æóðíàëüíèõ ïóáë³êàö³é, à ó÷åí³òåîðåòèêè äî äð³áíèöü ïðîàíàë³çóâàëè îá´ðóíòîâàí³ñòü êîæíîї умови і висновку. І все ж, íåçâàæàþ÷è íà öå, по-справжньому õîðîø³ íàâ÷àëüí³ êíèãè ç’ÿâëÿþòüñÿ íå÷àñòî. À ùî вже êàçàòè ïðî åïîõó Åâêë³äà, êîëè êîðèñòóâàòèñÿ ìîæíà áóëî ëèøå äåê³ëüêîìà ðóêîïèñàìè! Ìàéæå весь зміст ïîòð³áíî áóëî ïðîäóìóâàòè ñàìîìó — аксіоми, ïîñë³äîâí³ñòü викладу, ëîã³÷íó êàíâó êîæíî¿ теми, äîâåäåííÿ êîæíî¿ òåîðåìè й îá´ðóíòóâàííÿ êîæíî¿ ïîáóäîâè. Ç óñ³ì öèì Åâêë³ä уïîðàâñÿ íàñò³ëüêè óñï³øíî, ùî éîãî ïðàöÿ ñëóæèëà îñíîâíèì ï³äðó÷íèêîì ç ãåîìåò𳿠ïîíàä 2000 ðîê³â. Âîíà é äîñ³ çàëèøàºòüñÿ â àðñåíàë³ îñâ³òí³õ книг ³ º êëàñè÷íèì âç³ðöåì äëÿ âèêëàäó íàóêîâî¿ òåî𳿠íà àêñ³îìàòè÷í³é îñíîâ³. Більшість теорем цього ï³äðó÷íèêа теж свого часу були продумані й записані Евклідом у його «Началах». «Íà÷àëà» Åâêë³äà видавалися дуже багато ðàç³â, ó ð³çí³ ÷àñè, ó ð³çíèõ êðà¿íàõ, ð³çíèìè ìîâàìè й різними способами (від прадавнього ручного переписування на папірусі та пергаменті до сучасного офсетного і лазерного друку). Ïðîòå ëèøå îêðåì³ âèäàííÿ áóëè ïîâíèìè. Íàé÷àñò³øå æ âîíè ïðèñòîñîâóâàëèñÿ äî âèêëàäàííÿ íà åëåìåíòàðíîìó ð³âí³, à òîìó ñóòòºâî

91

Фронтиспис рукописного латинського перекладу «Начал» Евкліда, виконаного орієнтовно з 1309 по 1316 рр. з арабського рукопису. Тут ми бачимо прообраз численних пізніших зображень музи Геометрії. Примітно, що вона навчає геометрії ченців. Для свого часу це був доволі сміливий перехід через канони і забобони.

92

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Перша сторінка 1-го друкованого латинського перекладу (з грецької) «Начал» Евкліда (Венеція, 1482 р.). На цій сторінці даються означення основних геометричних фігур, зображених на рисунках.

§8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих

93

Вгорі: репродукції двох з найвідоміших живописних творів на тему «Сім вільних мистецтв» — Джованні дель Понте (1435 р.) і Ло Шеггія (Джованні ді Сер Джованні) (1460 р.). Як правило, у центрі таких композицій завжди була Астрономія, а поруч із нею — Геометрія зі своїми неодмінними атрибутами — циркулем і кутником. Внизу: фрагменти цих картин за участю Геометрії. І в першому, і в другому випадках геометрію супроводжує або сидить біля її ніг герой цього історичного нарису — Піфагор.

94

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Видання «Начал» Евкліда італійською (1545 р.) і французькою (1573 р.) мовами.

Ì.ª. Âàùåíêî-Çàõàð÷åíêî

Видання «Начал» Евкліда англійською мовою 1661 і 1726 рр.

ñêîðî÷óâàëèñÿ, ³íêîëè äîïîâíþâàëèñÿ êîìåíòàðÿìè òà äîäàòêàìè, íå âêëþ÷åíèìè Åâêë³äîì àáî ðîçðîáëåíèìè óæå ï³ñëÿ íüîãî. Îäí³ºþ ç íàéêðàùèõ òàêèõ ïåðåðîáîê Åâêë³äîâèõ «Íà÷àë» ñâîãî ÷àñó були «Íà÷àëà óñ³õ ìàòåìàòè÷íèõ íàóê» í³ìåöüêîãî ìàòåìàòèêà òà ô³ëîñîôà Êðèñò³àíà Âîëüôà (1679 −1754). Öÿ êíèãà вийшла ó 1710 ð. Äëÿ íàñ âîíà ö³êàâà òèì, ùî послужила çà îñíîâó äëÿ êóðñó ìàòåìàòèêè Ôåîôàíа Ïðîêîïîâè÷а (1681−1736), який читався у ÊèºâîÌîãèëÿíñüêî¿ àêàäå쳿. У 2-й половині ХІХ ст. в Україні було здійснено ґрунтовне видання «Начал» Евкліда з численними додатками й коментарями Ìèõàéëа ªãîðîâè÷а ÂàùåíêаÇàõàð÷åíêа (1825 −1912), ïðîôåñîðа Êè¿âñüêîãî óí³âåðñèòåòó ñâ. Âîëîäèìèðà. Êíèãà áóëà âèäðóêóâàíà âèäàâíèöòâîì óí³âåðñèòåòó ó 1880 ð. ³ ìàëà çíà÷íèé âïëèâ íà â³ò÷èçíÿíó íàóêó é îñâ³òó. Âîíà é äîñ³ çàëèøàºòüñÿ îäíèì іç êðàùèõ äîñë³äæåíü òà êîìåíòàð³â Åâêë³äîâèõ «Íà÷àë», ñïðÿìîâàíèì íà ïîòðåáè практичного âèêëàäàííÿ та вивчення ãåîìåòð³¿.

Òèòóëüíà ñòîð³íêà ç ïåðåêëàäó Åâêë³äîâèõ «Íà÷àë» Ì.ª. Âàùåíêà-Çàõàð÷åíêà

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих

95

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих ßê ç’ÿñóâàëîñÿ ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðàô³, ³ñíóþòü ð³çí³ ñïîñîáè äëÿ ïîáóäîâè ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêຠïðèðîäíå çàïèòàííÿ: а чи не залежить ðåçóëüòàò ïîáóäîâè â³ä вибраного способу? Припустимо, що через задану точку В ви проводите пряму b, паралельну прямій а. Нехай перший раз ви провели пряму b′ так, щоб вона утворювала рівні гострі внутрішні різносторонні кути з деякою січною с (рис. 2.66, а), а другий раз — пряму b′′, яка утворює прямі кути з прямою с, перпендикулярною до прямої а (рис. 2.66, б). Чи збігатимуться проведені паралельні прямі b′ і b′′? Можливо, ви скажете, що тут і доводити нічого, мовляв, і так очевидно, що збігатимуться. — Тоді зауважте, що і єдиність перпендикулярної прямої b, проведеної через точку В до прямої а (рис. 2.67, а), може здаватися «очевидною», допоки не зауважити, що на сфері може існувати не одна така пряма (рис. 2.67, б). Тому потрібне було доведення, яке незаперечно виключає таку можливість на площині. Скористатися сферою для аналогічного прикладу з паралельними прямими ми не можемо, оскільки на сфері взагалі відсутні паралельні прямі. Однак існує поверхня, яка дає змогу це зробити. Вона називається псевдосферою (тобто, несправжньою сферою), а за формою нагадує розтруб духових інструментів (рис. 2.68). Її відкрив у 2-й половині ХІХ ст. італійський математик Евженіо Бельтрамі (1835–1900). На псевдосфері через задану точку В можна провести скільки завгодно ліній, що відіграють роль прямих, які не перетинають даної лінії а (рис. 2.69). Цим була поставлена крапка у давній історії з доведенням теореми про єдиність паралельної прямої.

Уроки 12–13

 c

b a

à) c Â

b a

á) Ðèñ. 2.66 b

 a

à) Â a b

b

á) Ðèñ. 2.67

96

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

b

B

b

a Е. Бельтрамі

Ðèñ. 2.68

Ðèñ. 2.69

Ще античні математики, за аналогією з теоремою про єдиність перпендикулярної прямої, намагалися довести й теорему про єдиність паралельної прямої. Однак попри усі зусилля їм цього зробити не вдавалося. І тому у ІІІ ст. до н. е. Евклід у своєму підручнику з геометрії включив її до переліку аксіом. Проте сумніви залишалися, і ще понад дві ти­ сячі років ця проблема продовжувала непокоїти вчених. У першій половині ХІХ ст. троє видатних учених — німецький математик Карл Фрідріх Ґаусс (1777–1855), угорський математик Янош Больяї (1802–1860) і російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792–1856) незалежно один від одного

К.Ф. Ґаусс

Я. Больяї

М.І. Лобачевський

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих

97

і різними способами довели, що припущення «від супротивного» не веде до логічної суперечності, а тому можлива така геометрія, в якій аксіома про єдиність паралельної не виконується. Однак лише Бельтрамі вказав поверхню, на якій здійснюється така геометрія. Це вже незаперечно доводило, що довести єдиність паралельної прямої як теорему неможливо: Евклід був правий, зарахувавши її до аксіом. Отже, у геометрії на площині приймається така аксіома. А кс іома п р о п а р а ле л ь н і п ря м і . ×åðåç òî÷êó ïîçà ïðÿìîþ ìîæíà ïðîâåñòè тільки одну ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é. Íà ðèñ. 2.70 ïðÿìà b — ºäèíà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó В ³ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é à. Розглянемо два важливі бåçïîñåðåäí³ наслідки з аксіоми про паралельні прямі. Перший ç íèõ ÷àñòî âèêîðèñòîâóþòü ÿê ùå îäíó îçíàêó ïàðàëåëüíîñò³. Його íàçèâàþòü òàêîæ òåîðåìîþ ïðî перехід (або òðàíçèòèâí³ñòü) ïàðàëåëüíîñò³ (ëàòèíñüêе transitus — дослівно «ïåðåõ³ä»). Ó ö³é òåîðåì³ éäåòüñÿ ïðî своєрідний «ïåðåõ³ä» âëàñòèâîñò³ ïàðàëåëüíîñò³ ç äâîõ пар ïðÿìèõ íà òðåòþ пару.

b

B

a Ðèñ. 2.70

Теорема (ïðî перехід ïàðàëåëüíîñò³). Äâ³ ïðÿì³, які ïàðàëåëüí³ òðåò³é ïðÿì³é, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ. До в е д е н н я . Íåõàé ó ïëîùèí³ ìàºìî òðè ïðÿì³ à, b, c і при цьому a || c ³ b || c (ðèñ. 2.71). Ïîòð³áíî äîâåñòè, ùî òîä³ a || b. Ïðèïóñòèìî, ùî ïðÿì³ à ³ b íå ïàðàëåëüí³, òîáòî ïåðåòèíàþòüñÿ â äåÿê³é òî÷ö³ С. Òîä³ ÷åðåç òî÷êó С ïðîõîäèòèìå äâ³ ïðÿì³ à ³ b, êîæíà ç ÿêèõ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é ñ. À öå суперечитиме àêñ³îì³ ïðî ïàðàëåëüí³

a C b c Ðèñ. 2.71

98

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

ïðÿì³. Òîìó çðîáëåíå ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. Îòæå, a || b, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. Друга властивість паралельності пов’язана з ку­ тами, які утворюються при перетині паралельних прямих січною. Ви вже знаєте, що, за однакою паралельності, коли äâ³ ïðÿì³ à ³ b óòâîðþþòü ð³âí³ âíóòð³øí³ ð³çíî­ ñòîðîíí³ êóòè ç äåÿêîþ ñ³÷íîþ ñ, òî вони паралельні (ðèñ. 2.72). Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêຠïèòàííÿ: à ÿêùî äëÿ цих ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ à ³ b ïðîâåñòè ³íøó ñ³÷íó m, òî ÷è áóäóòü óòâîðåí³ ïðè öüîìó âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè òåæ ð³âíèìè ì³æ ñîáîþ? Àíàëîã³÷í³ çàïèòàííÿ ìîæíà ïîñòàâèòè й ñòîñîâíî â³äïîâ³äíèõ òà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â. Íà âñ³ ö³ çàïèòàííÿ â³äïîâ³äü ñòâåðäíà, àëå, íà â³ä­ì³íó â³ä îçíàê ïàðàëåëüíîñò³, äîâåäåííÿ öèõ âëàñòèâîñòåé íåìîæëèâî ïðîâåñòè áåç ïîñèëàííÿ íà àêñ³îìó ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³.

a

c

m

b Ðèñ. 2.72

Тео р ема (ïðî êóòè, óòâîðåí³ ïàðàëåëüíèìè ïðÿìèìè ³ç ñ³÷­íîþ). Вíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîííі та відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих íîþ, рівні між собою, à ñóìà âíóòð³øí³õ ñ³÷­ îäíî­ñòîðîíí³õ êóò³â äîð³âíþє 180°. До в е д е н н я . Íåõàé прямі à ³ b — ïàðàëåëüí³, m — äîâ³ëüíà ñ³÷íà, Ì — òî÷êà ïåðåòèíó ñ³÷íî¿ m ç ïðÿìîþ à (ðèñ. 2.73). Äîâåäåìî ñïî÷àòêó, ùî ð³âíèìè º âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè 1 ³ 2. Ïðèïóñòèìî, ùî ö³ êóòè íå ð³âí³. Ïðîâåäåìî òîä³ ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿìó à′ òàê, ùîá êóò 1′, ÿêèé ðàçîì ç êóòîì 2 утворюватиме ïàðó âíóòð³øí³õ ð³çíî­ ñòîðîíí³õ êóò³â, äîð³âíþâàâ êóòó 2. Òîä³, çà îçíàêîþ паралельності, ïðÿì³ à, à′ áóäóòü ïàðàëåëüíèìè. Âèõîäèòü, ùî ÷åðåç òî÷êó Ì ïðîõîäèòèìå äâ³ ïðÿ­ì³

a a

m M 3 1 1 4 5 2

b Ðèñ. 2.73

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих

à ³ à′, ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é b. Прийшли до супереч­ ності з аксіомою ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³. Отже, çðîáëåíå ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. Тому внутрішні різносторонні кути 1 ³ 2 ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Ïåðøå òâåðäæåííÿ òåîðåìè äîâåäåíî. Äîâåäåìî, далі, ùî ð³âíèìè º, наприклад, â³äïîâ³äí³ êóòè 2 ³ 3. Îñê³ëüêè ∠3 = ∠1 (ці кути вертикальні), а за щойно доведеним, ∠1 = ∠2, то ∠3 = ∠ 2, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. Розглянемо, нарешті, âíóòð³øí³ îäíîñòîðîíí³ êóòи, наприклад, 4 і 2. Оскільки кути 1 і 4 — суміжні, то їхня сóìà ∠1 + ∠4 = 180°. Як уже доведено, ∠1 = = ∠2. Отже, ñóìà ∠4 + ∠2 òåæ äîð³âíþº 180°. Òåîðåìó äîâåäåíî ïîâí³ñòþ. Насл ід о к 1. ßêùî одна з паралельних прямих перпенди­ку­ лярна до січної, то й інша пряма теж перпен­ дикулярна до цієї січної. До в е д е н н я . Нåõàé ïðÿì³ à і b ïàðàëåëüí³, à січ­ на ñ ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðÿìî¿ à (ðèñ. 2.74). Тоді ∠1 = 90°. Ïðè ïåðåòèí³ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ січною утворені âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè рівні. Тому ∠2 = ∠1 = 90°. Îòæå, ñ ⊥ b, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

c

a 1

2 b Ðèñ. 2.74

Н асл ід о к 2. ßêùî одна з прямих перпендикулярна до січної, а інша — не перпендикулярна до неї (похила), то ці прямі перетинаються. Ñïðàâä³, íåõàé ïðÿìà à ïåðïåíäèêóëÿðíà äî січної с, à ïðÿìà b íå ïåðïåíäèêóëÿðíà äî íå¿ (ðèñ. 2.75). ßêáè ïðÿì³ à ³ b íå ïåðåòèíàëèñÿ, òîáòî áóëè ïàðàëåëüíèìè, òî, çà íàñë³äêîì 1, ïðÿìà b òåæ áóëà á ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî m. Îñê³ëüêè öå íå òàê, то прямі à ³ b перетинаються, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

c a b Ðèñ. 2.75

99

100 Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Прямі та обернені теореми Теорема про кути, утворені паралельними прямими із січною, дає нам привід поговорити про прямі й обернені теореми. Як ви вже знаєте, у ôîðìóëþâàíí³ êîæíî¿ òåîðåìè виокремлюються äâ³ ÷àñòèíè. Ó ïåðø³é ÷àñòèí³ éäåòüñÿ ïðî òå, ùî äàíî, òîáòî ÿê³ ô³ãóðè ³ â³äíîøåííÿ ì³æ íèìè ðîçãëÿäàþòüñÿ. Ó äðóã³é ÷àñòèí³ âêàçóºòüñÿ íà òå, ùî ïîòð³áíî äîâåñòè, òîáòî ÿê³ âëàñòèâîñò³ âèâîäÿòüñÿ ç òîãî, ùî äàíî. Ïåðøó ÷àñòèíó òåîðåìè íàçèâàþòü ¿¿ óìîâîþ, äðóãó — âèñíîâêîì. ³äïîâ³äíî äî öüîãî êîæíó òåîðåìó ìîæíà символічно çàïèñàòè у ôîðì³: «ÿêùî À, òî » àáî «ç À âèïëèâຠ», де через А коротко позначена умова теореми, а через В — висновок. У ìàòåìàòèö³ êîæåí ôàêò досліджується ìàêñèìàëüíî âñåá³÷íî. Тому ï³ñëÿ äîâåäåííÿ êîæíî¿ òåîðåìè, яка ìຠôîðìó «ç À âèïëèâຠ», як правило ñòàâèòüñÿ ïèòàííÿ ïðî òå, ÷è ñïðàâäæóºòüñÿ âèñíîâîê  ëèøå çà óìîâè À, а ÷è â³í ìîæå ñïðàâäæóâàòèñü й çà ³íøèõ óìîâ. ßêùî âèñíîâîê В ñïðàâäæóºòüñÿ ëèøå çà óìîâè À, òî öå îçíà÷àº, ùî ç  âèïëèâຠÀ. Аби öå ïîêàçàòè, ïîòð³áíî äîâåñòè îáåðíåíó òåîðåìó, â ÿê³é óìîâîþ º âèñíîâîê Â, à âèñíîâêîì — óìîâà À початкової (ïðÿìî¿) òåîðåìè. ³äïîâ³äíî äî öüîãî, якщо пряма теорема має форму «ÿêùî À, òî » àáî «ç À âèïëèâຠ», то îáåðíåíа òåîðåìа має форму: «ÿêùî Â, òî À» àáî «ç  âèïëèâຠÀ». Íàïðèêëàä, оберненою до ознаки паралельності прямих: «Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні» є âëàñòèâ³ñòü ïàðàëåëüíèõ: «ßêùî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³, òî ïðè ïåðåòèí³ ¿õ ñ³÷íîþ âíóòð³øí³ à) ð³çíîñòîðîíí³ êóòè ð³âí³». Íàé÷àñò³øå ó øê³ëüíîìó êóðñ³ ãåîìåò𳿠³ñòèííèìè º îäíî÷àñíî ³ ïðÿìà, і îáåðíåíà теореми. Однак º é âèíÿòêè. Візьмемо, наприклад, теорему ïðî âåðòèêàëüí³ êóòè: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» (рис. 2.76, а). Оберненою до неї була б теорема: á) «ßêùî êóòè ð³âí³, òî âîíè âåðòèêàëüí³». Çâ³ñíî, вона хибна, îñê³ëüêè ð³âí³ êóòè íàâ³òü íå îáîâ’ÿçêîâî ìàþòü Ðèñ. 2.76 ñï³ëüíó âåðøèíó (ðèñ. 2.76, б).

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих

101

Öåé ïðèêëàä показує, ùî з істинності прямої теореми ще не можна автоматично вивести висновок про істинність оберненої. Пряма й обернена теорема можуть навіть ґрунтуватися на різному арсеналі фактів. Наприклад, доведені у попередньому параграфі ознаки паралельності прямих не потребували посилання на аксіому про паралельні прямі, тимчасом як доведення обернених до них властивостей паралельних прямих уже неможливе без цієї аксіоми. Отже, обернена теорема потребує окремого доведення!

Розв’язуємо разом Задача .

Довести, що коли ïðÿìà ïåðåòèíຠîäíó ç äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ, то вона перетинає й іншу.

Р озв ’ я за н н я . Íåõàé ïðÿì³ à ³ b — ïàðàëåëüí³, à ïðÿìà m ïåðåòèíຠïðÿìó à у äåÿê³é òî÷ö³ Ì (ðèñ. 2.77). ßêáè ïðÿìà m íå ïåðåòèíàëà ïðÿìî¿ b, тобто була паралельною їй, òî ÷åðåç òî÷êó Ì ïðîõîäèëî á äâ³ ïðÿì³ à ³ m, ÿê³ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é b, що суперечить àêñ³îì³ ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³. Îòæå, ïðÿìà m ïåðåòèíຠïðÿìó b, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

a

m M

b Ðèñ. 2.77

Вправи і задачі 164°. Використовуючи обидві сторони лінійки, проведіть дві паралельні прямі, а потім — деяку січну. За допомогою вимірювання транспортиром переконайтесь, що утворені при цьому відповідні та внутрішні різносторонні кути рівні. 165°. Використовуючи обидві сторони лінійки, проведіть дві паралельні прямі, а потім за допомогою косинця — січну, перпендикулярну до однієї з них. За допомогою транспортира переконайтесь, що проведена січна перпендикулярна й до іншої з паралельних прямих. 166°. На рис. 2.78 прямі а і b паралельні, с — січна. Чи рівні кути: а) ∠1 і ∠5; б) ∠4 і ∠6; в) ∠1 і ∠7; г) ∠2 і ∠8?

102 Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

167°. На рис. 2.79 прямі a і b паралельні, с — січна, ∠1 = 50°. Визначте величини кутів 2 – 8. 7

c 2 1 3 4 6 5 7 8

a

b

a

6 8 5 3

2 1 4

b Ðèñ. 2.79

Ðèñ. 2.78

c

168°. Сума двох внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 130°. Визначте ці кути. 169°. Сума двох відповідних кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 130°. Визначте ці кути. 170°. Січна перетинає дві паралельні прямі. Чи можуть обидва утворені внутрішні односторонні кути бути гострими? А — тупими? А — негострими й не тупими? 171°. За даними рис. 2.80, а) – б) визначте величини кутів x і y. 70°

a õ

110°

60° b

50°

a 90°

90° b

à)

ó á)

Ðèñ. 2.80

172. На рис. 2.81 а ⊥ с, b ⊥ с. Доведіть, що ∠1 = ∠2. 173. На рис. 2.82 а ⊥ с, ∠1 = ∠2. Доведіть, що b ⊥ с. ñ a

1

a

1 2 b

2 Ðèñ. 2.81

b

ñ Ðèñ. 2.82

174. На рис. 2.83, а) – б) ∠1 = ∠2. Доведіть, що ∠3 + ∠4 = 180°. Сформулюйте обернене твердження. Чи істинне воно?

§9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих 103

a

1

a

3

3

1

4

4

2

b

2

b

à)

á) Ðèñ. 2.83

175. За рис. 2.84, а) – б) визначте кути x, y. 80° 75°

x

y

145° 46° 46°

145° á)

à) Ðèñ. 2.84

176. Один із внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, на 36° більший за інший. Визначте ці кути. 177. Один із внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, у п’ять разів менший від іншого. Визначте ці кути. 178. Внутрішні односторонні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною, відносяться, як 5 : 7. Визначте ці кути. 179. Прямі a і b перпендикулярні до прямої c, а пряма l перетинає пряму a. Чи перетинає пряма l прямі b і с? 180. Прямі а і b перетинаються, а прямі а і с — паралельні. Чи можуть бути паралельними прямі b і с? 181. Дано чотири прямі а, b, с, m. Відомо, що а || b, b || c, а пряма m перетинає пряму а. Доведіть, що пряма m перетинає пряму с. 182. Прямі а і b не паралельні прямій с. Чи можна стверджувати, що прямі а і b не паралельні між собою? 183. Прямі а і b перетинає січна. Чи можна стверджувати, що коли утворені при цьому відповідні кути не рівні, то прямі а і b не паралельні? • 184 . На рис. 2.85, а) – б) AB || DE. Визначте кут BCD. 185•. Сума трьох нерозгорнутих кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 240°. Визначте усі кути. Розгляньте усі можливі випадки. 186•. Доведіть, що бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні.

104 Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

B

A

B

A 60°

120° C

C 145° 50° D à)

E

E

D á)

Ðèñ. 2.85

187•. Доведіть, що бісектриси двох відповідних кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні. 188•. Доведіть, що коли бісектриси двох відповідних кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні, то й прямі паралельні.

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е

§10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі 1. V постулат Евкліда Ìîæå çäàòèñÿ íåéìîâ³ðíèì, ùî â підручниках з геометрії àêñ³îìà ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ ç’ÿâèëàñÿ відносно íåäàâíî. Ââàæàºòüñÿ, ùî âïåðøå — ó 1795 ð. ó âèäàíí³ «Íà÷àë» Åâêë³äà для школи, ï³äãîòîâëåíîìó øîòëàíäñüêèì ìàòåìàòèêîì Äæîíîì Ïëåéôåðîì (1748– 1819). Правда, у Плейфера вона формулювалася трошки інакше, а саме: «Дві прямі, які перетинають одна одну, не можуть бути паралельними одній і тій самій прямій». Та все одно її часто íàçèâàþòü навіть àêñ³îìîþ Ïëåéôåðà. À äî òîãî упродовж 2000 років çàì³ñòü аксіоми Ïëåéôåðà подавалася аксіома Åâêë³äà, ÿêа в його «Началах» áóëа îäíèì ³ç ïîñòóëàò³â геометрії. Тâåðäæåííÿ, ÿê³ ïðèéìàþòüñÿ áåç äîâåäåííÿ, Евклід поділяв íà äâà âèäè. Îäí³ ç íèõ íàçèâàв àêñ³îìàìè, ³íø³ — ïîñòóëàòàìè. Àêñ³îìè ñòîñóâàëèñÿ ê³ëüê³ñíèõ відношень між довільними величинами. Íàïðèêëàä,

§10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі 105

Äæîí Ïëåéôåð і титульна сторінка 9-го видання його адаптації для школи планіметричної частини «Начал» Евкліда (1836 р.).

äî àêñ³îì Åâêë³ä â³äíîñèâ òàê³ òâåðäæåííÿ: «Ð³âí³ îäíîìó й òîìó ж, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ»; «ßêùî äî ð³âíèõ äîäàòè ð³âí³, òî дістанемо ð³âí³», «Ö³ëå á³ëüøå за свою ÷àñòèíу» òîùî. Íà ïðîòèâàãó öüîìó, äî ïîñòóëàò³â â³äíîñèëèñÿ òâåðäæåííÿ стосовно геометричних фігур. У äîñë³âíîìó ïåðåêëàä³ ç ãðåöüêî¿ мови ñëîâî «ïîñòóëàò» îçíà÷ຠ«âèìîãà»; латинською — «петиція». Îòæå, постулати вимагалося ïðèéíÿòè áåç äîâåäåííÿ. Åâêë³ä сôîðìóëþâàâ ï’ÿòü ïîñòóëàò³â-âèìîã. Першими чотирма були òàê³: ². Áóäü-ÿê³ äâ³ òî÷êè ìîæíà сполучити â³äð³çêîì; ²². Áóäü-ÿêèé â³äð³çîê ìîæíà ÿê çàâãîäíî ïðîäîâæèòè çà êîæåí ç éîãî ê³íö³â; ²²². Навколо áóäü-ÿêîãî öåíòðà і áóäü-ÿêèì ðàä³óñîì ìîæíà îïèñàòè êîëî; IV. Будь-які прямі êóòè можна сумістити. Виняткову роль в історії геометрії відіграв п’ятий постулат: V. ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ óòâî­ðþ­ þòüñÿ âíóòð³øí³ îäíîñòîðîíí³ êóòè, ÿê³ â ñóì³ íå äîð³âíþþòü äâîì ïðÿìèì êóòàì, òî ïðÿì³ ïåðåòè­ íàþòüñÿ.

106 Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Фрагмент 2-ї сторінки 1-го друкованого видання «Начал» Евкліда (Венеція, 1482 р.) з формулюванням усіх постулатів і рисунками до III і V з них.

Неважко äîâåñòè, ùî коли прийняти V ïîñòóëàò Åâêë³äà, òî з нього можна вивести аксіому Плейфера ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ (при цьому буде правомірним посилатися на ознаку паралельності, оскільки та була доведена без аксіоми про паралельні прямі). Ñïðàâä³, íåõàé ìàºìî äîâ³ëüíó ïðÿìó à ³ òî÷êó À ïîçà íåþ (ðèñ. 2.86). Ïðîâåäåìî ÷åðåç точку À äîâ³ëüíó ñ³÷íó ñ, à ïîò³ì — ïðÿìó b òàê, ùîá ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â 1 ³ 2 äîð³âíþâàëà 180°. Òîä³, çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñò³, b || à. ßêùî ж ÷åðåç À провести äîâ³ëüíó ³íøó ïðÿìó b′, òî ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â 1 ³ 2′ óæå íå áóäå äîð³âíþâàòè 180°, à тому, çà V ïîñòóëàòîì Åâêë³äà, ïðÿìà b′ ïåðåòíå ïðÿìó à. Îòæå, ïðÿìà b áóäå ºäèíîþ, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ³ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é à, òîáòî ñïðàâäæóâàòèìåòüñÿ àêñ³îìà Плейфера ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³. Íàâïàêè, ç àêñ³îìè Ïëåéôåðà ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ можна вивести òâåðäæåííÿ V ïîñòóëàòó Åâêë³äà. Ñïðàâä³, íåõàé ìàºìî äîâ³ëüíó ïðÿìó à ³ òî÷êó À ïîçà íåþ, à ïðÿìà b′ ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ³ ïðè öüîìó ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â 1 ³ 2′ íå äîð³âíþº 180° (äèâ. ðèñ. 2.86). Ïðîâåäåìî ÷åðåç òî÷êó À òàêó ïðÿìó b, äëÿ ÿêî¿ ñóìà âíóòð³øí³õ îäíî­ ñòîðîíí³õ êóò³â 1 ³ 2 äîð³âíþº 180°. Òîä³, â³äïîâ³äíî äî îçíàêè ïàðàëåëüíîñò³, ïðÿì³ à ³ b — ïàðàëåëüí³. Àëå, çà àêñ³îìîþ Ïëåéôåðà, пряма b — ºäèíà, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç точку À ³ íå ïåðåòèíຠïðÿìî¿ à. Òîìó ïðÿìà b′ íåîäì³ííî ïåðåòíå ïðÿìó à. Îòæå, é âèõîäèòü, ùî

b b

c

a

A 2 1 2 Ðèñ. 2.86

§10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі 107

коли ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â (1 ³ 2′) íå äîð³âíþº äâîì ïðÿìèì êóòàì, òî ïðÿì³ (à ³ b′) ïåðå­ òèíàþòüñÿ, òîáòî ñïðàâäæóºòüñÿ V ïîñòóëàò Åâêë³äà. ßêùî äâà òâåðäæåííÿ ìàþòü òàêó âëàñòèâ³ñòü, ùî ç першого âèïëèâຠдруге, а з другого — перше, òî такі òâåðäæåííÿ íàçèâàþòüñÿ ð³âíîñèëüíèìè àáî åêâ³âàëåíòíèìè. Îñê³ëüêè іç V ïîñòóëàòó Åâêë³äà âèïëèâຠàêñ³îìà Ïëåé­ ôåðà, à ç àêñ³îìè Ïëåéôåðà — V ïîñòóëàò Åâêë³äà, òî ö³ òâåðäæåííÿ — ð³âíîñèëüí³.

2. Аксіома Остроградського Ñåðåä діячів, чиї імена назавжди закарбовані â ³ñòî­ ð³¿ ìàòåìàòè÷íî¿ îñâ³òè, на чільному місці, маємо згадати й нашого ñëàâåòíîãî ìàòåìàòèêà Ìèõàéëà Âàñèëüîâè÷à Îñòðîãðàäñüêîãîр (1801–1862). Ìèõàéëî Îñòðîãðàäñüêèé íàðîäèâñÿ íà Ïîëòàâùèí³ ó äàâí³é êîçàöüê³é ðîäèí³. Çà ëåãåíäîþ, ð³ä Îñòðî­ ãðàäñü­êèõ áóâ îäíèì ç â³äãàëóæåíü ðîäîâîäó çíàìå­ íèòèõ âîëèíñüêèõ äåðæàâíèê³â ³ ïðîñâ³òèòåë³â êíÿç³â Îñòðîçüêèõ, звідки й ïð³çâèùå — Îñòðîãðàäñüê³. Ó 1821 ð. Ìèõàéëî Îñòðîãðàäñüêèé çàê³í÷èâ Õàð­­ê³âñüêèé óí³âåðñèòåò, à після цього впродовж 5 ðîê³â íàâ÷àâñÿ у Ïàðèæ³, äå ñëóõàâ ëåêö³¿ видатних òîãî÷àñíèõ ôðàíöóçüêèõ ó÷åíèõ — Ëàïëàñà, Ïóàññîíà, Êîø³, Àìïåðà, Ôóð’º. Ïîâåðíóâøèñü ³ç-çà êîðäîíó, Îñòðîгðàäñüêèé óïðîäîâæ óñüîãî æèòòÿ àêòèâíî ïðîïàãóâàâ ³ âò³ëþâàâ òðàäèö³ї ôðàíöóçüêèõ ó÷åíèõ ïîºäíóâàòè íàóêîâó ðîáîòó ç викладацькою. Він âèêëàäàâ математику â åë³òíèõ òîãî÷àñíèõ â³éñüêîâèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäàõ ³ ñàìå äëÿ їхніх слухачів написав óí³êàëüíèé «Ï³äðó÷íèê ç åëåìåíòàðíî¿ ãåîìåò𳿻. Öåé ï³äðó÷íèê був виданий трьома окремими випусками у 1855–1860 рр. і íà десятиліття óñòàíîâèâ òàêèé âèñîêèé ð³âåíü âèêëàäàííÿ ìàòåìàòèêè, ÿêèé ще й äîñ³ âèð³çíÿº â³ò÷èçíÿíó ìàòåìàòè÷íó îñâ³òó. Ó ñâîºìó ï³äðó÷íèêó Îñòðîãðàäñüêèé çàì³ñòü àêñ³îìè Ïëåé­ôåðà ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³ óâîäèòü ïîëîæåííÿ, ÿêå, як він уважав, досконаліше õàðàêòåðèçóº ãåîìåò­

Ìèõàéëî Îñòðîãðàäñüêèé. Маловідомий портрет невідомого художника. Ймовірно написаний у той період, коли учений починав працювати над своїм «Підручником з елементарної геометрії».

108 Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Титульна сторінка оригінального видання 2-ї частини «Підручника з елементарної геометрії» М.В. Остроградського

Обкладинка українського перекладу, виданого тернопільським видавництвом «Підручники і посібники» до 200-ліття з дня народження М.В. Остроградського у 2001 р.

ðè÷í³ îñîáëèâîñò³ ðåàëüíîãî ïðîñòîðó. Îäí³ºþ ç êëþ­ ÷îâèõ ïðîñòîðîâèõ õàðàêòåðèñòèê, які àêòèâíî використовуються у íàéð³çíîìàí³òí³øèõ застосуваннях, º íàïðÿìîê. Ïðè öüîìó íàïðÿìîê âèçíà÷àºòüñÿ прямою, а будь-яка інша паралельна їй пряма визначає той самий напрямок. Öåé ôàêò Îñòðîãðàäñüêèé ³ ô³êñóº ó ñâî¿é àêñ³îì³ ïðî ïàðàëåëüí³. Аксіома Остроградського про паралельні прямі. Äâ³ ïðÿì³, ïàðàëåëüí³ òðåò³é прямій, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ. Ó попередньому параграфі öÿ âëàñòèâ³ñòü âèâåäåíà ç àêñ³îìè Ïëåéôåðà ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³. Íåâàæêî ïîêàçàòè, ùî é, íàâïàêè, ç àêñ³îìè Îñòðîãðàäñüêîãî âèïëèâຠàêñ³îìà Ïëåéôåðà. Îòæå, ö³ àêñ³îìè åêâ³âàëåíòí³. Ñïðàâä³, íåõàé ìàºìî òî÷êó A, ðîçì³ùåíó ïîçà ïðÿìîþ b (ðèñ. 2.87). На підставі ознаки паралельності, ÷åðåç òî÷êó A легко провести ïðÿìу à, ïàðàëåëüíу ïðÿì³é b. Òîìó äîâåäåííÿ ïîòðåáóº ëèøå ºäèí³ñòü ö³º¿

a a

A

b Ðèñ. 2.87

§10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі 109

ïðÿìî¿ à. Ïðèïóñòèìî, ùî ³ñíóº ùå ³íøà ïðÿìà à′, ÿêà òåæ ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ³ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é b. Òîä³, îñê³ëüêè îáèäâ³ ïðÿì³ à ³ à′ ïàðàëåëüí³ ïðÿì³é b, òî, çà àêñ³îìîþ Îñòðîãðàäñüêîãî, âîíè ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ. Àëå æ ö³ ïðÿì³ ìàþòü ñï³ëüíó òî÷êó À. Діс­ тали ñóïåðå÷í³ñòü. Òîìó çðîáëåíå ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. Îòæå, ïðÿìà à — ºäèíà, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó À ³ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é l, що й треба було довести.

Ñòîð³íêè ³ñòî𳿠Як з’явилася неевклідова геометрія Одразу після свого створення «Начала» геометрії Евкліда набули загального визнання серед учених. Єдиним слабким місцем у них уважався V постулат. Саме його формулювання, яке було значно довшим, ніж в інших постулатів, спонукало до думки, що насправді це — òåîðåìà, ÿêó ìîæíà äîâåñòè íà підставі ðåøòè àêñ³îì ³ ïîñòóëàò³â. Якщо ж знайти це доведення, то можна буде обійтися і без цього дивного ïîñòóëàòа. Òàê ðîçïî÷àëàñÿ íàéòðèâàë³øà â ³ñòî𳿠íàóêè «êàìïàí³ÿ», ùî ðîçòÿãëàñÿ ìàéæå íà 2,5 òèñ. ðîê³â. ¯¿ ìåòîþ áóëî äîâåäåííÿ V ïîñòóëàòó Åâêë³äà. ßê ìè âæå ìàëè çìîãó ïåðåêîíàòèñÿ, V ïîñòóëàò Åâêë³äà ð³âíîñèëüíèé àêñ³îì³ ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³, à також і аксіомі Остроградського. Отже, якщо прийняти будь-яку із цих аксіом, наприклад, вважати її самоочевидною, то V постулат Евкліда можна легко довести. Àáñîëþòíà á³ëüø³ñòü äîñë³äíèê³â, ÿê³ повідомляли про знайдене ними äîâåäåííÿ, так і чинили, тільки щоразу непомітно для себе використовували інші «самоочевидні» факти. Тільки при ретельнішому аналізі виявлялося, що кожен із таких фактів еквівалентний V постулату. Тому насправді ніякого доведення не було, а створювалося õèáíå ëîã³÷íå êîëî: äîâåäåííÿ проводилося на підставі òîãî, ùî íàñïðàâä³ ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè.

А.М. Лежандр

110

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Íàïðèêëàä, í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê Христофор Êëàâ³é (1537−1612), про якого уже згадувалося на сторінках історії у першому розділі, ó ñâîºìó äîâåäåíí³ V ïîñòóëàòó Åâêë³äà âèêîðèñòàâ ÿê «î÷åâèäí³ñòü» òå, ùî òðè òî÷êè À, Â, Ñ, ÿê³ ëåæàòü ç îäíîãî áîêó â³ä ïðÿìî¿ l ³ ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä íå¿, íàëåæàòü ³íø³é ïðÿì³é (ðèñ. 2.88). Ùå çàìàñêîâàí³øîþ áóëà ëîã³÷íà ïîìèëêà âèäàò­ íîãî ôðàíöóçüêîãî ìàòåìàòèêà Àäð³ºíà Ìàð³ Ëåæàí­ äðà (1752−1833), ÿêèé â îäíîìó ç³ ñâî¿õ äîâåäåíü âèêîðèñòîâóâàâ ÿê «î÷åâèäí³ñòü» òå, ùî ÷åðåç áóäü-ÿêó òî÷êó Ð, óçÿòó âñåðåäèí³ ãîñòðîãî êóòà À (ðèñ. 2.89), çàâæäè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó, ÿêà ïåðåòíå îáèäâ³ éîãî ñòîðîíè. Яê ïåðøå, òàê ³ äðóãå із цих «î÷åâèäíèõ» òâåðäæåíü виявилися еквівалентними V ïîñòóëàòó. Òîìó ні Клавій, ні Лежандр íàñïðàâä³ доведення V постулату Евкліда не дали. Уçÿâøè äî óâàãè ÷èñëåíí³ íåâäàë³ ñïðîáè, à òàêîæ ³ ñâî¿ âëàñí³ íåâäà÷³ íà öüîìó øëÿõó, ðîñ³éñüêèé ãåî­ ìåòð Ìèêîëà Ëîáà÷åâñüêèé (1792−1856) â ñåðåäèí³ 20 ðð. Õ²Õ ñò. ä³éøîâ висновку, ùî Åâêë³ä òàêè áóâ ïðàâèé, âêëþ÷èâøè V ïîñòóëàò äî ôóíäàìåíòó ãåîìåòð³¿, òîáòî, ùî íàñïðàâä³ öå òâåðäæåííÿ äîâåñòè íåìîæëèâî. Àëå ÿê ï³äòâåðäèòè öþ çäîãàäêó? — Ñïîñ³á áóâ ò³ëüêè îäèí: уçÿòè çàì³ñòü V ïîñòóëàòó àáî ÿêîãî-íåáóäü ð³âíîñèëüíîãî éîìó òâåðäæåííÿ, íàïðèêëàä, çàì³ñòü àêñ³îìè ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿì³, ïðîòèëåæíå òâåðäæåííÿ ³ ñïðîáóâàòè çáóäóâàòè íà ö³é підставі íîâó ëîã³÷íî íåñóïåðå÷ëèâó ãåîìåòð³þ. Öå é áóëî çðîáëåíî. Îäí³ºþ ç àêñ³îì íîâî¿ ãåîìåò𳿠ñòàëà така àêñ³îìà.

A

B

C

l Ðèñ. 2.88

P A Ðèñ. 2.89 b A a l Ðèñ. 2.90

Аксіома Лобачевського. ×åðåç òî÷êó À ïîçà ïðÿìîþ l ó ïëîùèí³ ìîæíà ïðîâåñòè ïðèíàéìí³ äâ³ ïðÿì³ à ³ b, ÿê³ íå ïåðåòèíàþòü ïðÿìî¿ l (ðèñ. 2.90). Ïðèéíÿòòÿ òàêîãî «äèâíîãî» ïîëîæåííÿ íà òîé ÷àñ áóëî ñïðàâæí³ì íàóêîâèì ³ ãðîìàäÿíñüêèì ïîäâèãîì, áî íàâ³òü âèçíà÷í³ ìàòåìàòèêè íå ñïðèéíÿëè éîãî.

Ðèñ. 2.91

§10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі

Àáñîëþòíà á³ëüø³ñòü ôàêò³â ç íîâî¿ ãåîìåò𳿠ðàçþ÷å êîíòðàñòóâàëà ç ôàêòàìè çâè÷àéíî¿ ãåîìåòð³¿. Çîêðåìà, ó íîâ³é ãåîìåò𳿠íемає ні ïðÿìîêóòíèê³â, í³ êâàäðàò³â, а можливі тільки гострокутні аналоги (рис. 2.91) Ñàì Ëîáà÷åâñüêèé â³äêðèòó íèì íîâó ãåîìåòð³þ íàçèâàâ óÿâíîþ, õî÷à é òâåðäî â³ðèâ, ùî ðàíî ÷è ï³çíî âîíà òåæ ìàòèìå ïðàêòè÷íі çàñòîñóâàííÿ. Òàê âîíî é ñòàëîñÿ. У §9 вже згадувалося, що у 2-й половині ХІХ ст. ³òàë³éñüêèé ìàòåìàòèê Åвæåí³î Áåëüòðàì³ (1835 −1900) â³äêðèâ ïîâåðõíþ — псевдосферу (див. ðèñ. 2.68), íà ÿê³é âèêîíóºòüñÿ ãåîìåòð³ÿ Ëîáà÷åâñüêîãî, так само ÿê çâè÷àéíà ãåîìåòð³ÿ âèêîíóºòüñÿ íà ïëîùèí³. А нà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. í³ìåöüêèé ô³çèê і математик Ãåðìàí ̳íêîâñüêèé (1864 −1909) îá´ðóíòóâàâ, ùî ãåîìåòð³ºþ Ëîáà÷åâñüêîãî îïèñóþòüñÿ ðóõè у так званій спеціальній теорії відносності Ейнштейна. Аíãë³éñüêèé ìàòåìàòèê Äæåéìñ Ñèëüâåñòð (1814−1897) íàçâàâ Ëîáà÷åâñüêîãî «Êîïåðíèêîì ãåîìåò𳿻, íàãîëîøóþ÷è öèì íà òîìó, ùî â³äêðèòòÿ Ëîáà÷åâñüêîãî ìàëî òàêèé ñàìèé ðåâîëþö³éíèé âïëèâ íà íàóêó, ÿê ó ñâ³é ÷àñ â³äêðèòòÿ Êîïåðíèêîì ðóõó Çåìë³ ³ ïëàíåò íàâêîëî Ñîíöÿ. Ñàìå çàâäÿêè öüîìó в íàóö³ óòâåðäèëàñü ³äåÿ ïðî òå, ùî íà ´ðóíòîâíå âèâ÷åííÿ çàñëóãîâóº êîæíà òåîð³ÿ, ÿêà çàñíîâóºòüñÿ íà ëîã³÷íî íåñóïåðå÷ëèâ³é ñèñòåì³ àêñ³îì. Ïðàêòè÷í³ æ íàóêè ìîæóòü âèáèðàòè äëÿ ñâî¿õ ö³ëåé ò³ òåîð³¿, ÿê³ íàéá³ëüø ïîâíî описують ÿâèùà й ïðîöåñè, ùî â íèõ âèâ÷àþòüñÿ. Ãåîìåòð³ÿ Ëîáà÷åâñüêîãî ñòàëà ïåðøîþ ãåîìåòð³ºþ, â³äì³ííîþ â³ä êëàñè÷íî¿ åâêë³äîâî¿ ãåîìåòð³¿, îñíîâè ÿêî¿ áóëè çàêëàäåí³ Åâêë³äîì ùå в античну епоху. Òîìó öþ íîâó ãåîìåòð³þ íàçâàëè íååâêë³äîâîþ ãåîìåòð³ºþ. Òåïåð íååâêë³äîâèõ ãåîìåòð³é ³ñíóº áàãàòî. Êîæíà ç íèõ áàçóºòüñÿ íà ñâî¿é ñèñòåì³ àêñ³îì.

М.І. Лобачевський

Г. Мінковський

А. Ейнштейн

111

112

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІІ Аксіоми, теореми, ознаки

Аксіома (дослівно з грецької «повага», «авторитет», «незаперечна істина») — математичне твердження, істинність якого приймається без доведення. Àêñ³îìà ïðî ïàðàëåëüí³ ïðÿìі. ×åðåç òî÷êó ïîçà ïðÿìîþ ìîæíà ïðîâåñòè тільки одну ïðÿìó, ïàðàëåëüíó äàí³é. Теорема (від грецького слова «теорео» — «уважно розглядаю», «придивляюся», а також «демонстрація», «вистава») — математичне твердження, істинність якого встановлюється шляхом логічного міркування (доведення). Будь-яку теорему символічно можна записати у формі: «Якщо виконується А, то виконується В», або, що те саме: «З А випливає В». Тут А — умова теореми (те, що дано), В — висновок теореми (те, що потрібно довести). Якщо поміняти місцями умову й висновок теореми, то дістанемо обернену теорему. Тоді початкова теорема називається прямою. Отже, якщо пряма теорема: «З А випливає В», то обернена — «З В випливає А». Істинність оберненої теореми автоматично не випливає з істинності прямої, а потребує окремого доведення. Обернена теорема може бути й хибною. Ознака — теорема, умова якої є достатньою для висновку про певні фундаментальні геометричні властивості, наприклад, паралельність, перпендикулярність, рівність фігур тощо. Доведення методом «від супротивного» полягає у припущенні про істинність за даної умови іншого висновку — супротивного тому, який потрібно довести, і логічного виведення звідси протиріччя з умовою або з аксіомою чи раніше доведеною теоремою.

Суміжні і вертикальні кути

b

a

Означення. Два кути називаються суміжними, якщо вони мають одну спільну сторону, а дві інші їхні сторони є доповняльними променями. Теорема (про суму суміжних кутів). Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Д о в е д е н н я . Різні сторони а і а′ суміжних кутів утво­ рюють розгорнутий кут ∠аа′, а спільна сторона b проходить між сторонами цього кута. Тому, за аксіомою a при вимірювання кутів, ∠аb + ∠ba′ = ∠аа′ = 180°. Наслідок 1. Кут, суміжний з прямим кутом, — прямий. Наслідок 2. Кут, суміжний з гострим кутом, — тупий, а кут, суміжний з тупим кутом, — гострий.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІІ

a b

a

113

Означення. Äâà êóòè називаються âåðòèêàëüíèìè, якщо ñòîðîíè одного з них º äîïîâíÿëüíèìè ïðîìåíÿìè до сторін іншого. Теорема (про вертикальні кути). Âåðòèêàëüí³ êóòè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Д о в е де н н я . Êîæåí з âåðòèêàëüíèõ êóòів ∠аb і ∠а′b′ є b суміжним з êóòîì ∠аb′. Тому ∠аb + ∠аb′ = 180°; ∠а′b′ + ∠аb′ = 180°. Звідси ∠аb = 180° – ∠аb′; ∠а′b′ = 180° – ∠аb′. Отже, ∠аb = ∠а′b′.

Кут між прямими. Перпендикулярні прямі a

b a 90°

90°

90°

90°

c

b

A

c b A B O C

A

Означення. Кутом між прямими, що перетинаються, називається величина гострого або прямого кута, утвореного при перетині цих прямих. Кут між прямими а і b позначається так: ∠аb. Величина кута між прямими знаходиться в межах від 0° до 90°. Означення. Якщо кут між прямими дорівнює 90°, то такі прямі називаються перпендикулярними (або взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих позначають за допомогою b знака ⊥. Наприклад: а ⊥ b.

Теорема (про єдиність перпендикулярної прямої). Через будь-яку точку можна провести лише одну пряму, пер­ пендикулярну до даної прямої. Доведення. Якби через точку А прямої а проходило дві a прямі b ⊥ а і с ⊥ а, то два рівних прямих кути ∠аb і ∠ас були б відкладені в одну півплощину від однієї півпрямої Оа, що суперечить аксіомі про відкладання кутів. Якби через точку А поза прямою а проходило дві прямі b ⊥ а і с ⊥ а, то, повернувши ту півплощину з граничною прямою а, яка містить точку А відносно середини О відрізка ВС до суміщення з протилежною півплощиною, ми дістали б, що ті самі прямі b і с мають іншу точку перетину А′, що a суперечить аксіомі про проведення прямої.

114

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Означення. Відрізки або промені називаються перпен­ ди­кулярними до прямої, якщо прямі, на яких вони лежать, перпендикулярні до цієї прямої. Означення. Відрізок, який перпендикулярний до прямої і один з його кінців належить прямій, називається перпендикуляром до цієї прямої. Спільна точка прямої і перпендикуляра до неї називається основою перпендику­ ляра. Означення. Відстанню від точки до прямої назива­ ється довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на пряму. Терміни «перпендикулярний», «ïåðïåíäèêóëÿð», óòâîðåíі â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà perpendicularis, ùî îçíà÷ຠ«ïðÿìî­ âèñíèé». Ïðÿìîâèñíà ë³í³ÿ óòâîðþº ïðяì³ êóòè ç áóäü-ÿêîþ ãîðèçîíòàëüíîþ ïðÿìîþ.

Ознаки паралельних прямих

Назви кутів, утворених при перетині двох прямих тре­ тьою прямою (січною): 2 ∠3 і ∠5, а також ∠4 і ∠6 називаються внутрішніми 1 3 4 різносторонніми; ∠3 і ∠6, а також ∠4 і ∠5 називаються внутрішніми 6 5 односторонніми; 7 8 ∠1 і ∠5, ∠4 і ∠8, ∠2 і ∠6, ∠3 і ∠7 називаються відповідними. Теорема (ознака паралельності прямих). ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ êóòè ð³âí³, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. a C

A

c

1,2 3 Î 3,4 1 b B

C

Дов ед ен н я . Якщо припустити, що за умови ∠1 = ∠2 прямі а і b перетинаються у деякій точці С, а потім повернути ту півплощину з граничною прямою с, яка містить цю точку, відносно середини О відрізка АВ до суміщення з протилежною півплощиною, то дістанемо, що прямі а, b мають ще одну спільну точку С′. Це протиріччя й доводить теорему.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІІ

Наслідок 1. Дві прямі, які перпендикулярні до тре­ тьої прямої, паралельні. Д о в е де н н я . Якщо а ⊥ с і b ⊥ с, то внутрішні різносторонні кути 1 і 2 — прямі. Отже, вони рівні, а тому а || b. Наслідок 2. ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ â³äïîâ³äí³ êóòè ð³âí³, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. Д о в е де н н я . Нехай ∠1 = ∠2. ∠1 = ∠3, оскільки ці кути вертикальні. Отже, ∠3 = ∠2, а тому прямі а і b паралельні. Наслідок 3. ßêùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â äîð³âíþº 180°, òî ïðÿì³ ïàðàëåëüí³. Д о в е де н н я . Нехай ∠2 + ∠3 = 180°. Сума суміжних кутів ∠1 + ∠3 теж дорівнює 180°. Звідси ∠2 = ∠3, тому прямі а і b паралельні.

ñ b

a

1

a

4 3 2

b

Властивості паралельних прямих a C b c

c

a 1

2 b

c a

115

b

Теорема (ïðî перехід ïàðàëåëüíîñò³). Äâ³ ïðÿì³, які ïàðàëåëüí³ òðåò³é ïðÿì³é, ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ. Д о в е д е н н я . Якби прямі а і b, що паралельні прямій с, перетиналися, то через точку перетину С проходило б дві прямі, паралельні прямій с. Дістали суперечність з аксіомою про паралельні прямі. Теорема (ïðî êóòè, óòâîðåí³ ïàðàëåëüíèìè ïðÿìèìè ³ç ñ³÷íîþ). Вíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîííі та відповідні кути, утворені при перетині паралельних прямих ñ³÷íîþ, рівні між собою, à ñóìà âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â äîð³âíþє 180°. До в е д е н н я . Якби внутрішні різносторонні кути 1 і 2 були не рівними, то, провівши пряму а′ так, щоб рівність виконувалася, ми мали б дві прямі а і а′, що проходять через точку М і паралельні прямій b. Це суперечить аксіомі про паралельні прямі. Отже, ∠1 = ∠2. Оскільки ∠1 = ∠3 (ці кути вертикальні), то, з поперед­ нього, ∠3 = ∠3. Оскільки ∠1 + ∠4 = 180° (ці кути суміжні), то, з попе­ реднього, ∠2 + ∠4 = 180°. Наслідок 1. ßêùî одна з паралельних прямих пер­ пендикулярна до січної, то й інша пряма теж пер­ пендикулярна до цієї січної. Доведення. Нехай ∠1 = 90°. Унаслідок паралельності прямих а і b ∠2 = ∠1. Отже, ∠2 = 90°, тобто ñ ⊥ b.

116

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

Наслідок 2. ßêùî одна з прямих перпендикулярна до січної, а інша — не перпендикулярна до неї (похила), то ці прямі перетинаються. Доведення. ßêáè ïðÿì³ à ³ b áóëè ïàðàëåëüíèìè, òî, çà íàñë³äêîì 1, ïðÿìà b òåæ áóëà á ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî с.

Перевір себе

1. Що таке аксіома і що таке теорема? Яке походження цих термінів? 2. Перелічіть усі відомі вам геометричні аксіоми. 3. Які кути називаються суміжними? Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180°. 4. Доведіть, що коли суміжні кути рівні, то вони прямі. 5. Які кути називаються вертикальними? Яке походження цього терміна? Доведіть, що вертикальні кути рівні. 6. Що таке кут між двома прямими? Яких значень може набувати цей кут? 7. Які прямі називаються перпендикулярними? Яке походження цього терміна? 8. Сформулюйте і доведіть теорему про єдиність перпендикулярної прямої. 9. Що таке перпендикуляр до прямої і що таке відстань від точки до прямої? 10. Назвіть усі пари кутів, що утворюються при перетині двох прямих січною. Чи є серед них пари рівних кутів? 11. Що таке паралельні прямі? Сформулюйте ознаки паралельності прямих. Як вони доводяться? 12. У чому полягає метод доведення «від супротивного»? Наведіть відомі вам приклади його застосування. 13. Опишіть усі відомі вам способи побудови паралельних прямих за допомогою креслярських інструментів. На яких геометричних властивостях вони ґрунтуються? 14. Як формулюється аксіома про паралельні прямі? 15. Сформулюйте і доведіть теорему про перехід (транзитивність) паралельності. 16. Які залежності існують між відповідними, внутрішніми різносторонніми та внутрішніми односторонніми кутами, що утворюються при перетині паралельних прямих січною? 17. Дві прямі паралельні, а третя (січна) перпендикулярна до однієї з них. Чи можна стверджувати, що січна перпендикулярна й до іншої прямої? 18. Дві прямі а і b перетинають третю. Одна — під прямим кутом, інша — під гострим. Як довести, що прямі а і b перетинаються? 19. Що таке обернена теорема? Наведіть відомі вам приклади взаємно обернених теорем, які одночасно є істинними.

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІ

117

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІ 1°. а) На якому з рис. 2.92, а – г) зображено суміжні кути?

à)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 2.92

б) На якому з рис. 2.93, а – г) зображено суміжні кути?

à)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 2.93

2°. а) Накресліть два суміжні кути, один з яких має градусну міру 125°. Визначте за допомогою вимірювання та обчислення величину іншого кута. б) Накресліть два суміжні кути, один з яких має градусну міру 95°. Визначте за допомогою вимірювання та обчислення величину іншого кута. 3°. а) Накресліть два вертикальні кути, сума градусних мір яких дорівнює 80°. б) Накресліть два вертикальні кути, рівні зі своїми суміжними. 4°. а) Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює 135°. Визначте решту кутів і кут між прямими. б) Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює 150°. Визначте решту кутів і кут між прямими. 5. а) Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, на 30° менший від іншого. Визначте усі кути і кут між прямими.

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині

118

б) Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, на 70° більший за інший. Визначте усі кути і кут між прямими. 6. а) Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, в чотири рази менший від іншого. Визначте ці кути і кут між прямими. б) Величин двох кутів, утворених при перетині двох прямих, відносяться, як 2 : 7. Визначте ці кути і кут між прямими. 7•. а) Визначте кути, утворені при перетині двох прямих, якщо один із них на 30° більший за різницю двох інших. Чому дорівнює кут між прямими? б) Визначте кути, утворені при перетині двох прямих, якщо один з них утричі більший за різницю двох інших. Чому дорівнює кут між прямими? 8°. а) Сума двох внутрішніх різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 148°. Визначте ці кути. б) Сума двох відповідних кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 72°. Визначте ці кути. 9. а) Якими мають бути кути х, y на рис. 2.94, а) – б), аби прямі m, n були паралельними? б) Якими мають бути кути х, y на рис. 2.95, а) – б), аби прямі m, n були паралельними?

m

x

m

m

x

135°

x n

m

40°

55° n

n

à)

y á)

n

Ðèñ. 2.94

120° à) Ðèñ. 2.95

á)

10. а) Прямі а і b паралельні, ∠2 у п’ять разів більший за ∠1 (рис. 2.96). Визначте ∠3 і ∠4. б) Прямі а і b паралельні, ∠1 на 70° менший від ∠2 (рис. 2.97). Визначте ∠1, ∠2 і ∠3. 11. а) Внутрішні односторонні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих січною, відносяться, як 2 : 3. Визначте ці кути.

a b

1 4 3 2 Ðèñ. 2.96

125°

a

135°

1 b

3 2 Ðèñ. 2.97

55° Ðèñ. 2.98

x

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІ

119

б) Один із внутрішніх односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, на 72° більший за інший. Визначте ці кути. 12•. а) За рис. 2.98 визначте кут x. б) За рис. 2.99 визначте кут x. 13•. а) На рис. 2.100 PQ || EF. Визначте кут QME. б) На рис. 2.101 PQ || EF. Визначте кут MEF. 14•. а) Нехай прямі а і b перетинаються. Доведіть, що яка б не була пряма с, вона буде не паралельною принаймні одній з прямих а і b. б) Прямі а і b паралельні, а прямі а і m — перетинаються. Пряма с паралельна прямій а. Доведіть, що пряма с перетинає пряму m і паралельна прямій b. P F M

x

100°

M 105°

Q 115°

30°

E

40° Q

70°

E

80° Ðèñ. 2.99

Ðèñ. 2.100

F

P Ðèñ. 2.101

Василь Кандинський. Піки на вигині (Spitzen im Bogen) (1927 р.). Вірогідно, що у такий спосіб художник втілив близьку йому ідею коcмічності людського шляху, який проходить довкола Землі під вітрилами-піками, що наповнюються Сонцем. Трикутник був одним з основних виражальних засобів у творах В. Кандинського. Цим художник немовби переносив виняткову роль цієї фігури з геометрії на абстрактний живопис.

Розділ ІII Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Вступ

У 1806 р. в Парижі вийшов з друку перший том тритомного звіту французьких астрономів та геодезистів П’єра Франсуа Андре Мешена (1744–1804) і Жана-Батіста Жозефа Деламбра (1749–1822) про підсумки діяльності очолюваної ними багаторічної експедиції з визначення довжини земного меридіана. На основі проведених вимірювань була встановлена довжина еталона метра — як однієї сорокамільйонної частинки меридіана (детальніше про це вже йшлося на сторінках історії у першому розділі). У передмові до свого звіту автори писали: «З усіх чудових надбань, які залишаться від французької революції, це — те, за що ми заплатили найменшу ціну». Як свідчить заголовок згаданого звіту, експедиція провела точні вимірювання довжини земного меридіана від містечка Дюнкерк, що на півночі Франції, до іспанської Барселони, загалом — близько 1300 км. Як же це можна було здійснити, коли меридіан — то не битий шлях і він не оминає ні високих гір, ані непролазних лісових хащ, ані повноводних рік, ані хаотичних людських поселень?

Урок 14

П’єр Мешен

122 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Для цього був застосований так званий метод тріангуляції (покриття трикутниками), винайдений ще за сто років до того голландським математиком, фізиком та астрономом Віллебрордом Снелліусом (1580–1626). Уздовж усієї вимірюваної ділянки меридіана було визначено понад сотню гігантських трикутників з вершинами на високих скелях, дзвіницях, баштах замків, а то й на спеціально зведених для цього вежах (з кожної такої вершини потрібно було бачити крізь підзорну трубу хоча б дві інші). Потім з допомогою геодезичних вимірювань та обчислень визначені їхні кути і сторони. Маючи усі ці дані, вже неважко було знайти й шукану довжину меридіана.

Жан Деламбр

Загальний вигляд трьох томів і титульна сторінка 1-го тому тритомного звіту «Основи метричної десяткової системи, або Вимірювання дуги меридіана між паралелями Дюнкерка і Барселони, виконані у 1792 році і в наступні роки месьє Мешеном і Деламбром» (Париж, 1806, 1807 і 1810 рр.).

Вступ 123

Геодезичний кутомірний прилад (так званий повторювальний круг Борда) та робота з ним під час експедиції Мешена і Деламбра. Ілюстрації з книги абата Ж. Лорідана «Експедиції французьких астрономів для визначення фігури Землі та її розмірів», виданій у Парижі в 1890 р.

Аби ясніше зрозуміти цю ідею, нам не потрібно сотні трикутників, достатньо декількох з них. Нехай уздовж прямої АВ, відстань між точками А і В якої потрібно визначити, побудовано трикутники ACD, CDE, …, BGH (рис. 3.1). Припустимо, що за допомогою оптичних кутомірних приладів визначені усі кути цих трикутників, а за допомогою безпосереднього вимірювання — сторона EF якого-небудь одного з них. Ця сторона називається базою тріангуляції. Для можливості точного вимірювання база має розмішуватися на ідеально рівній відкритій місцевості без жодних перепон. За допомогою формул, які пов’язують сторони й кути трикутника (ви теж будете вивчати такі формули, але пізніше), з трикутника DEF за відомою стороною EF і відомими прилеглими до неї кутами 1 і 2 можна обчислити сторону ED. Так само з

Підфарбована схема тріангуляції для визначення довжини меридіана між Дюнкерком і Парижем зі звіту Мешена і Деламбра.

124 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

трикутника EFG за відомою стороною EF і відомими прилеглими до неї кутами 3 і 4 можна обчислити сторони EG і FG. На наступному етапі за відомими вже сторонами ED і FG і відповідними кутами можна обчислити сторони СЕ і GH. Продовжуючи ці обчислення далі, ми врешті-решт визначимо всі ланки ламаної ACEGB, що сполучає точки А і В. Після цього залишиться обчислити проекції АС1, С1Е1, Е1G1, G1B цих ланок на пряму АВ (що теж здійснюється за відомими формулами) та додати їх. За допомогою тріангуляції визначаються не тільки окремі відстані, а й складаються цілі карти місцевості. Застосовується тріангуляція і в просторі. Особливо красномовний приклад — так звана GPS-навігація (GPS — абревіатура від Global Positioning System, що означає «Глобальна позиційна система»). GPS-навігація здійснюється за допомогою значної кількості штучних супутників, виведених на навколоземні орбіти з таким розрахунком, щоб у кожний пункт земної поверхні долинав сигнал принаймні від чотирьох із них. Приймальний засіб користувача, кожна пара супутників і наземна станція утворюють низку трикутників. Сторони цих трикутників визначаються за часом проходження сигналів між їхніми вершинами. За цими даними і за допомогою автоматизованих обрахунків точно визначається місцезнаходження користувача. Окрім практичних застосувань, тріангуляція є одним з основних засобів і в самій геометрії. Вивчаючи геометрію далі, ви не раз помічатимете, як при дослідженні складніших фігур їх розбивають на трикутники або ж добудовують трикутники. Нарешті, трикутник сам по собі є надзвичайно цікавою фігурою: він має цілу низку прихованих унікальних властивостей. З деякими з них ви вже

A C

C1 D

E 4 G

5 1

2 F 3 E1 G1

B Ðèñ. 3.1

Віллеброрд Снелліус

Супутники для GPS-навігації

H

§11. Трикутник і його елементи 125

невдовзі ознайомитеся, інші чекатимуть на вас у наступних класах.

§11. Трикутник і його елементи Схема тріангуляції у GPS-навігації

О знач ен н я . Трикутником називається фігура, що склада­ ється з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполу­ чають ці точки. Точки називаються вершина­ ми трикутника, а відрізки — його сторонами. Трикутником називають і частину площини, обмежену сторонами трикутника. У цьому разі інколи додають уточнення: плоский трикутник; тоді для трикутника без обмеженої ним внутрішньої частини застосовується назва лінійний трикутник. У записах трикутник часто позначається значком ∆ (читається «трикутник»), біля якого записуються вершини. Це позначення застосовував ще Папп Александрійський — грецький математик, що жив у ІІІ ст. н. е. На рис. 3.2 зображено трикутник АВС з вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС та АС. Його можна позначити так: ∆АВС, ∆АСВ, ∆САВ тощо. Озн ач ен н я . Кутом трикутника АВС при вершині А називається кут ВАС, утворений променями АВ і АС, що виходять з вершини А трикутника і містять його сторони АВ і АС (рис. 3.3). Аналогічно означаються кути трикутника АВС при інших вершинах. Часто кути трикутника позначають однією літерою, якою позначена відповідна вершина,

Ñ

A

B

Ðèñ. 3.2

Титульна сторінка латинського перекладу праці Паппа Александрійського «Математична колекція», яку вважають підсумком усієї античної математики (видано у Венеції в 1589 р.). У цій книзі вперше вживалося позначення ∆ для трикутника.

126 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

записуючи, наприклад: ∠А, ∠В, ∠С. На рис. 3.3 дужкою відзначений ∠А трикутника АВС. Якщо кути трикутника розглядати разом з обмеженими ними частинами площини, тобто як плоскі кути, то плоский трикутник АВС можна охарактеризувати як перетин (спільну частину) трьох плоских кутів ∠А, ∠В і ∠С (рис. 3.4). Про кути А і В трикутника АВС, сторони яких містять сторону АВ, часто кажуть, що вони прилягають до цієї сторони (або є прилеглими до неї). Так само і сторону АВ вважають прилеглою до кутів А і В. Натомість сторона АВ вважається протилежною до кута С (а кут С — протилежним до сторони АВ). Зауважте, що вершина кута С, який є протилежним до сторони АВ, не належить прямій АВ. Як і для кутів, для сторін трикутника теж застосовують скорочені позначення. Сторони позначають малими латинськими літерами. При цьому дотримуються такого правила: літери беруть однойменні з тими, якими позначені протилежні вершини. Наприклад, сторони ВС, АС і АВ трикутника АВС, які є протилежними відповідно до кутів А, В і С, позначають через а, b і с (рис. 3.5). Відповідно до прийнятих означень, кожний трикутник має три вершини, три сторони і три кути. Вершини, сторони й кути трикутника називаються його елементами (в перекладі з латини це означає — «найпростішими складниками»). Залежно від величини кутів, розрізняють три види трикутників — гострокутні, прямокутні і тупокутні. О зн ач ен н я . Якщо всі кути трикутника гострі, то три­ кутник називається гострокутним. Якщо у трикутнику є прямий кут, то трикутник називається прямокутним, а якщо є тупий кут — то тупокутним (рис. 3.6).

Ñ

A

B

Ðèñ. 3.3

C

A

B

Ðèñ. 3.4 Ñ

b

A

a

c Ðèñ. 3.5

B

§11. Трикутник і його елементи

127

О знач ен н я . Сума довжин усіх сторін трикутника нази­ вається його периметром. Слово «периметр» утворено від грецьких слів «пері» — «навколо» і «метрео» — «вимірюю», отже, буквально означає «міра обводу». Периметр позначають літерою P, записуючи, наприклад, для периметра трикутника АВС: P∆АВС = = АВ + ВС + АС.

Ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê

Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê

Вправи і задачі

Òóïîêóòíèé òðèêóòíèê Ðèñ. 3.6

M G F E Ðèñ. 3.7

P

5 ñì

189°. На прямій позначено три точки E, F, G (рис. 3.7). Чи можуть вони бути вершинами трикутника? Точка М розміщена поза прямою. Скільки трикутників з вершинами у точках М, E, F, G можна накреслити? Виконайте ці побудови. 190°. Дано трикутник PQS (рис. 3.8). Запишіть його вершини, сторони і кути. Які кути є прилеглими до сторони PQ, який кут є протилежним до неї? Яка сторона є протилежною до кута P, які сторони є прилеглими до неї? Чому дорівнює периметр трикутника PQS? 191°. Накресліть який-небудь трикутник і позначте його вершини буквами L, M, N. Запишіть та виміряйте з допомогою лінійки і транспортира сторони ñì та кути цього трикутника. Чому дорів3 нює його периметр? 192°. За допомогою косинця накресліть S прямокутний трикутник, сторони якого, що прилягають до прямого кута, дорівнюють 3 см і 4 см. За допомогою лінійки і транспортира визначте третю сторону і гострі кути цього трикутника.

6 ñì Q Ðèñ. 3.8

128 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

193°. За допомогою лінійки і транспортира побудуйте трикутник із кутом 120°, сторони якого, що прилягають до цього кута, дорівнюють 4 см і 6 см. За допомогою вимірювання визначте третю сторону і гострі кути цього трикутника. 194°. За допомогою лінійки і косинця з гострими кутами по 45° накресліть трикутник зі стороною 5 см і прилеглими до неї кутами по 45°. Визначте за допомогою вимірювання інші дві сторони і третій кут трикутника. 195. За допомогою лінійки і транспортира побудуйте три трикутники зі стороною 5,5 см і рівними прилеглими кутами, які дорівнюють: у першому трикутнику — по 30°, у другому — по 60°, у третьому — по 70°. Виміряйте у кожному трикутнику сторони, протилежні до побудованих кутів, потім кути, що лежать проти даної сторони 5,5 см, а також визначте суму усіх кутів. Можливо, одержані результати наштовхнуть вас на певні загальні висновки? 196. Визначте сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 3 і 6, а периметр трикутника дорівнює 40 см. 197. Сторони трикутника відносяться, як 2 : 3 : 5. Визначте: а) периметр трикутника, якщо його найменша сторона дорівнює 3 см; б) найменшу сторону, якщо периметр дорівнює 50 см: в) найбільшу сторону і периметр, якщо сума двох інших сторін дорівнює 20 см. 198. Перша сторона трикутника в чотири рази менша від другої і на 10 см менша від третьої. Периметр трикутника дорівнює 34 см. Визначте сторони трикутника. 199. У трикутнику АВС сторона АВ = 8 см, сторона ВС утричі більша за АС, а периметр трикутника дорівнює 32 см. Який із кутів трикутника лежить проти найменшої сторони? 200•. Визначте периметр трикутника, якщо він більший за першу сторону на 8 см, за другу — на 9 см, а за третю — на 11 см.

§12. Сума кутів трикутника Виконуючи вправи 192–196 з попереднього параграфа, в яких потрібно було виміряти кути різних трикутників, ви, можливо, зауважили, що у кожному з побудованих трикутників сума усіх кутів дорівнює 180°. Чи випадковість це? — Виявляється, ні, а є наслідком однієї з фундаментальних властивостей трикутника. Ця властивість зовсім неочевидна, але ми вже можемо абсолютно строго довести її логічними міркуваннями, тобто як теорему.

Уроки 15–16

§12. Сума кутів трикутника 129

Теор ема (ïðî ñóìó êóò³â òðèêóòíèêа). Ñóìà êóò³â áóäü-ÿêîãî òðèêóòíèêà äîð³â­ íþº 180°. До в е д е н н я . Нехай маємо довільний трикутник АВС (рис. 3.9). Проведемо через вершину С пряму MN, паралельну прямій АВ. Утворені при цьому кути MCA і NCB позначимо цифрами 1 і 2, а кут С трикутника — цифрою 3. ∠А = ∠1 — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих MN і січній СА. З аналогічних причин ∠В = ∠2. Отже, ∠А + ∠В + ∠С = ∠1 + + ∠2 + ∠3. Кути 1, 3 і 2 в сумі дорівнюють розгорнутому куту, тобто 180°. Тому ∠А + ∠В + ∠С = = 180°, що й треба було довести.

Ñ

M

1

3

N

2

A

B

Ðèñ. 3.9

Н асл ід к и (ïðî величини кутів òðèêóòíèêа). Трикутник не може мати двох негострих кутів — прямих або тупих. У кожному трикутнику принаймні два кути — гострі. Ñóìà ãîñòðèõ êó­ò³â ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþº 90°. Д о в е д е н н я . Якби трикутник мав два негострі кути (прямі або тупі), то їхня сума дорівнювала б 180° або була би більшою за 180°. Тоді яким би не був третій кут, сума всіх кутів трикутника була би більшою за 180°, що суперечить доведеній теоремі. Оñê³ëüêè ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó îäèí іç êóò³â ïðÿìèé, òî ñóìà äâîõ ³íøèõ êóò³â, які є гострими, äîð³âíþº 180° − 90°, òîáòî 90°. Наслідки доведені. При доведенні теореми про суму кутів трикутника ми спиралися на властивості паралельних прямих, а саме — на рівність внутрішніх різносторонніх кутів, що утворюються при перетині двох паралельних прямих січною. У свою чергу, ця властивість доводиться на підставі аксіоми про паралельні

Мартен де Вос. Астрономія. Гравюра (бл. 1630 р.). На небесному глобусі видно сферичний трикутник.

Ðèñ. 3.10

130 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

прямі. Отже, виходить, що теорема про суму кутів трикутника є наслідком аксіоми про паралельні прямі. У геометрія на поверхнях, де не виконується така аксіома, неістинна й доведена на підставі неї теорема. Наприклад, на сфері сума кутів будь-якого трикутника більша за 180° (рис. 3.10), а на псевдосфері, про яку згадувалося у §9, вона менша від 180° (рис. 3.11). На сфері навіть можна накреслити трикутники з двома й трьома прямими чи тупими кутами.

Ðèñ. 3.11

Розв’язуємо разом З ад ач а 1. Äîâåñòè, ùî á³ñåêòðèñè äâîõ âíóòð³øí³õ îäíî­ ñòîðîíí³õ êóò³â, утворених ïðè перетині ïàðà­ ëåëüíèõ ïðÿìèõ січною, ïåðïåíäèêóëÿðí³. Р озв ’ я за н н я . Íåõàé ïðÿì³ à ³ b — ïàðàëåëüí³, ÀÑ ³ ÂÑ — á³ñåêòðèñè âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â MAB ³ NBA, óòâîðåíèõ ç ïðÿìèìè à ³ b ñ³÷íîþ ñ (ðèñ. 3.12). Çà âëàñòèâ³ñòþ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ: ∠MAB + ∠NBA = 180°. Ç ³íøîãî áîêó, ç îçíà÷åííÿ á³ñåêòðèñè êóòà âèïëèâàº, ùî ∠ÂÀÑ = 1 ∠MAB, à ∠ÀÂÑ = 1 ∠NBA. 2 2 Íàðåøò³, îñê³ëüêè ñóìà êóò³â òðèêóòíèêà äîð³âíþº 180°, òî ∠Ñ = 180° – (∠ÂÀÑ + ∠ÀÂÑ) = 180° – 1 – (∠MAB + ∠NBA) = 180° – 1 · 180° = 90°. Îòæå, 2 2 ÀÑ ⊥ ÂÑ. Òâåðäæåííÿ çàäà÷³ äîâåäåíî. З ад ач а 2. Ó òðèêóòíèêó ÀÂÑ ïðîâåäåíî â³äð³çîê ÊÌ òàê, ùî ∠2 = ∠1 (ðèñ. 3.13). Äîâåñòè, ùî òîä³ ∠4 = ∠3. Ро з в’ я з а н н я . Ç ∆ÑKM: ∠4 = 180° − ∠2 − ∠C.

c A

a

M C

b

B

N Ðèñ. 3.12

C

4

2

M

K A

3

1 Ðèñ. 3.13

B

§12. Сума кутів трикутника

131

Ç ∆ÀÂÑ: ∠3 = 180° − ∠1 − ∠C. Îñê³ëüêè ∠1 = ∠2, òî ∠4 = 180° − ∠1 − ∠Ñ. Îòæå, ∠4 = ∠3. Òâåðäæåííÿ çàäà÷³ äîâåäåíî. З ау в аже н н я . Òâåðäæåííÿ ö³º¿ çàäà÷³ ÷àñòî çàñ­ òîñî­âóºòüñÿ для ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, êîëè â³äð³çîê KM ïðîâåäåíèé ç âåðøèíè ïðÿìîãî êóòà ï³ä ïðÿìèì êóòîì äî протилежної сторони (ðèñ. 3.14). ³äïîâ³äíî äî доведеного, êóò 4 ì³æ цим відрізком ³ однією зі сторін трикутника, яка прилягає до прямого кута, äîð³âíþº ãîñòðîìó êóòó 3 òðèêóòíèêà, ÿêèé ïðèëÿãຠäî ³íøîї сторони.

4 1

2 M 3

K Ðèñ. 3.14

Вправи і задачі 201°. Накресліть який-небудь трикутник, виміряйте за допомогою транспортира його кути і знайдіть їхню суму. Чи підтверджують ваші вимірювання теорему про суму кутів трикутника? 202°. Накресліть за допомогою лінійки і транспортира трикутник із кутами 30° і 110°. Визначте за допомогою вимірювання, а потім обчисленням третій кут. Чи збігаються результати? 203°. Чи існує трикутник із кутами: а) 20°, 70° і 80°; б) 90°, 45° і 90°; в) 10°, 100° і 110°; г) 65°, 55° і 75°? 204°. Чи існує трикутник із кутами 30°, 50° і 100°? Чи можете ви довести правильність своєї відповіді? 205°. Чи може трикутник не мати жодного: а) гострого кута; б) прямого кута; в) тупого кута? Як ви обґрунтовуєте свої відповіді? 206°. Визначте третій кут трикутника, якщо два його кути мають величини: а) 60° і 90°; б) 30° і 100°; в) 45° і 80°. 207°. Визначте третій кут трикутника, якщо сума двох його кутів дорівнює: а) 65°; б) 130°; в) 90°. 208°. Чи може прямокутний трикутник бути і тупокутнім, тобто мати ще й тупий кут? 209°. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°. Чому дорівнюють інші його кути? 210. Визначте невідомі кути трикутників, зображених на рис. 3.15, а)–в). 211. Чи можуть усі кути трикутника бути більшими за 60°? А — меншими від 60°? Відповіді обґрунтуйте.

132 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

60°

80° 55° à)

40°

75°

á) Ðèñ. 3.15

40° â)

212. Чи може найбільший кут трикутника дорівнювати 55°? А —найменший 65°? 213. Чи може сума будь-яких двох кутів трикутника бути меншою від 120°? 214. Доведіть, що коли два кути одного трикутника дорівнюють відповідно двом кутам іншого трикутника, то й треті їхні кути рівні. 215. Визначте кути трикутника, якщо вони пропорційні числам: а) 1, 2 і 3; б) 2, 3 і 4; в) 3, 5 і 7; г) 2, 3 і 10. 216. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться, як 4 : 5. Визначте ці кути. 217. Один із гострих кутів прямокутного трикутника на 42° більший за інший. Визначте ці кути. 218. У трикутнику один із кутів удвічі більший за інший, а третій кут дорівнює 60°. Визначте ці кути. 219. У трикутнику один із кутів дорівнює 50°, а два інших відносяться, як 5 : 8. Визначте ці кути. 220. Визначте кути трикутника АВС, якщо ∠А + ∠В = 110°, а ∠В + ∠С = 130°. 221. Доведіть, що коли один із кутів трикутника дорівнює сумі двох інших, то трикутник — прямокутний. 222•. Доведіть, що коли сума будь-яких двох кутів трикутника більша за 90°, то трикутник — гострокутний. 223•. Доведіть, що коли сума двох кутів трикутника менша від 90°, то трикутник — тупокутний. 224•. На рис. 3.16 відображені побудови, які виконував Евклід для доведення теореми про суму кутів A M трикутника. Чи можете ви за цими побудовами відтворити доведення Евкліда? 1 225•. Чому дорівнюють кути, які утворюються при пере3 2 тині бісектрис двох кутів трикутника, якщо третій B C Ðèñ. 3.16 кут цього трикутника дорівнює: а) 50°; б) 120°? 226•. У трикутнику АВС проведені бісектриси кутів В і С, які перетинаються в точці D. Доведіть, що ∠ВDС дорівнює половині кута А.

§13. Зовнішній кут трикутника 133

§13. Зовнішній кут трикутника Якщо розглядати трикутник і його кути як час­ тини площини, що обмежуються сторонами цих фігур, то певна частина кожного кута трикутника розміщується всередині трикутника (рис. 3.17). У зв’язку з цим кути трикутника називаються ще внут­рішніми кутами. Розрізняють також зовнішні кути трикутника.

Уроки 17–18

Означ ен н я . Зовнішнім кутом трикутника називаються кут, суміжний із внутрішнім кутом цього три­ кутника. На рис. 3.18 дужками відзначено зовнішній кут ACN трикутника АВС при вершині C. Очевидно, що при кожній вершині трикутника можна розглядати два зовнішні кути, які один до одного є вертикальними (рис. 3.19). Äóæå âàæëèâå çíà÷åííÿ ó ãåîìåòð³¿, ÿê ìè в цьому не раз ïåðåêîíàºìîñÿ, ìຠнаступна âëàñòèâ³ñòü çîâí³øíüîãî êóòà òðèêóòíèêà.

Ðèñ. 3.17 A

B

C Ðèñ. 3.18

N

A

Теорема (ïðî çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêа). Çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêà äîð³âíþº ñóì³ äâîõ âíóòð³øí³õ êóò³â, íå ñóì³æíèõ ç íèì. Д о в е д е н н я . Íåõàé АВМ — зовнішній кут òðèêóòíèê ABC ïðè âåðøèí³ B (ðèñ. 3.20). Îñê³ëüêè він º ñóì³æíèì ³ç âíóòð³øí³ì êóòîì B òðèêóòíèêà, òî, за властивістю суміжних кутів, ∠ABM = 180° − ∠B. Ç ³íøîãî áîêó, ç òåîðåìи ïðî ñóìó êóò³â òðèêóòíèêà випливає, що ∠A + ∠C = 180° − ∠B. Тому ∠ÀÂÌ = ∠À + ∠Ñ, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

C

B

Ðèñ. 3.19

A

M

B Ðèñ. 3.20

C

(

134 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Н асл ід о к . Çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêà á³ëüøèé за áóäüÿêий âíóòð³øíій êóò, íå ñóì³æíий іç íèì. Ñïðàâä³, îñê³ëüêè çîâí³øí³é êóò трикутника äîð³âíþº ñóì³ äâîõ âíóòð³øí³õ, íå ñóì³æíèõ ç íèì, òî çðîçóì³ëî, ùî öÿ ñóìà á³ëüøà за êîæний іç äîäàíê³â. Наприклад, зовнішній кут АВМ трикутника АВС при вершині В (див. рис. 3.20) більший за кожний із внутрішніх кутів А і В, не суміжних з ним.

Розв’язуємо разом З ад ач а. Відома градусна міра кута À òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Пðîâåäåíî á³ñåêòðèñè ÂВ1 òà ÑС1 внутрішніх кутів В і С трикутника (рèñ. 3.21). Âèçíà÷èòè êóòè, ÿê³ âîíè óòâîðþþòü ïðè ïåðåòèí³.

A C1

B1

P

2 1 Ро з в’ я з а н н я . Íåõàé Ð — òî÷êà ïåðåòèíó про­ B веде­них бісектрис. Шуканий кут ВРС1 є зовнішнім Ðèñ. 3.21 для ∆РВС. Тому, за наслідком з теореми про зовнішній кут, ∠ВРС1 = ∠1 + ∠2 = 1 ∠B + 1 ∠C = 2 2 1 = (∠B + ∠C). З іншого боку, з теореми про суму 2 кутів трикутника, ∠В + ∠С = 180° − ∠А. Отже, ∠ВРС1 = 1 (180° − ∠A) = 90° − ∠A . 2 2 Інший шуканий кут ВРС є суміжним з кутом ВРС1. Тому ∠ВРС = 180° − ∠ВРС1 = 180° − 90° − ∠A = 90° + ∠A . 2 2 90° − ∠A = 90° + ∠A . 2 2 ³äïîâ³äü. 90° − ∠A ; 90° + ∠A . 2 2

)

(

)

C

§13. Зовнішній кут трикутника 135

Вправи і задачі 227°. Які із дев’яти кутів, позначених на рис. 3.22 цифрами, є зовнішніми для зображеного там трикутника? 228°. Сума кутів А і С трикутника АВС, зображеного на рис. 3.23, дорівнює130°. Чому дорівнює зовнішній кут при вершині В? 229°. Зовнішній кут трикутника дорівнює 115°. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів, не суміжних з ним? 230°. Визначте величини зовнішніх кутів трикутника АВС, зображеного на рис. 3.24. 6

7 8 9

4 5

C A

1 3 2

A B

Ðèñ. 3.22

B 45°

C

Ðèñ. 3.23

Ðèñ. 3.24

231°. Чому дорівнює сума внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника, взятих при одній вершині? 232°. Чи може зовнішній кут трикутника бути меншим від внутрішнього кута цього трикутника? 233°. Чи може у трикутнику бути два гострих зовнішніх кути; два прямих зовнішніх кути; два тупих зовнішніх кути? 234°. Скільки всього гострих, прямих і тупих зовнішніх кутів може мати трикутник, якщо при кожній вершині лічити лише один зовнішній кут? 235°. До якого виду належить трикутник, якщо: а) всі його зовнішні кути тупі; б) один із його зовнішніх кутів прямий; в) один із його зовнішніх кутів гострий? 236. Визначте кути трикутника, в якому зовнішні кути при двох вершинах дорівнюють 120° і 150°. 237. Два зовнішніх кути трикутника дорівнюють 100° і 150°. Визначте третій зовнішній кут. 238. У трикутнику один із внутрішніх кутів дорівнює 30°, а один із зовнішніх кутів — 40°. Визначте решту внутрішніх і зовнішніх кутів трикутника.

136 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

239. Зовнішній кут трикутника дорівнює 160°. Визначте внутрішні кути трикутника, не суміжні з ним, якщо: а) вони відносяться, як 3 : 5; б) один із них становить 3/5 іншого; в) один із них більший за іншого на 20°; г) їхня різниця дорівнює 40°. 240. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 128°. Визначте внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо один із них: а) дорівнює 50°; б) на 38° менший від іншого; в) у 7 разів більший за іншого; г) їхні величини відносяться, як 3 : 5. 241. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 130°, а один із внутрішніх — 55°. Визначте інші внутрішні й зовнішні кути трикутника. 242. Визначте кут A трикутника ABC, якщо сума зовнішніх кутів, суміжних із кутами B і C, утричі більша за кут A. 243. Визначте внутрішні кути трикутника, якщо сума двох із них дорівнює 140°, а один із зовнішніх кутів дорівнює 85°. 244. Доведіть, що коли в трикутнику зовнішні кути при двох вершинах рівні, то вони — тупі. 245•. Визначте суму зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній з вершин. 246•. Внутрішні кути трикутника відносяться, як 5 : 6 : 9. Не знаходячи величин цих кутів, визначте відношення зовнішніх кутів цього трикутника. • 247 . Визначте внутрішні кути трикутника, якщо його зовнішні кути відносяться, як 2 : 3 : 4. 248•. Доведіть, що бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника при одній вершині перпендикулярні. 249•. Внутрішній кут трикутника дорівнює різниці зовнішніх кутів, не суміжних із ним. Доведіть, що цей трикутник прямокутний.

§14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників Як і будь-які інші фігури, трикутники називаються рів­ними, якщо їх можна сумістити шляхом пере­міщення. При цьому під переміщенням розуміють не так реальну, як мисленнєву дію. Наприклад, неможливо реально сумістити два однакові трикутники на вежахблизнюках у канадському місті Реджайна (рис. 3.25), однак архітектори, мабуть, сотні разів подумки суміщали їх під час проектування. Зрозуміло, що в рівних трикутників попарно рівні всі сторони і попарно рівні всі кути, причому проти

Уроки 19–20

§14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників 137

рівних кутів лежать рівні сторони, а проти рівних сторін — рівні кути. На рис. 3.26 зображені рівні трикутники АВС і LMN, у яких рівні сторони позначені однаковою кількістю рисок, а рівні кути — однаковою кількістю дужок. Äëÿ ïîçíà÷åííÿ ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â êîðèñòóþòüñÿ çâè÷àéíèì çíà÷êîì ð³âíîñò³ = . Íàïðèêëàä, çàïèñ ∆ABC = ∆LMN çíà÷àº, ùî òðèêóòíèê ÀÂÑ ð³âíèé òðèêóòíèêó LMN. Ïðè öüîìó âåðøèíè ð³âíèõ êóò³â çàïèñóþòüñÿ íà îäíàêîâèõ ì³ñöÿõ. Çîêðåìà, çàïèñ ∆ABC = ∆LMN (див. рис. 3.26) îçíà÷àº, ùî ∠À = = ∠L, ∠B = ∠M, à ∠C = N. ßêùî æ áóäå нàïèñàíî, ùî ∆ABC = ∆NML, òî öå îçíà÷àòèìå âæå çîâñ³ì ³íøå, à ñàìå, ùî ∠À = ∠N, ∠B = ∠M, à ∠C = ∠L. Чи можна стверджувати, навпаки, що коли в три­ кутниках попарно рівні всі сторони і всі кути, то такі трикутники рівні, тобто їх можна сумістити? Простий експеримент продемонструє нам, що відповідь на це питання не така очевидна, як може здатися на перший погляд. Виріжте із цупкого паперу шаблон трикутника АВС з різними довжинами сторін. Потім на чистому аркуші за допомогою цього шаблону обведіть рівний йому трикутник LMN і переверніть шаблон іншим боком (рис. 3.27). Тепер спробуйте сумістити шаблон АВС з трикутником LMN, не відриваючи його від площини рисунка. Незважаючи на попарну рівність усіх сторін і всіх кутів обох трикутників, вам це не вдасться. Однак якщо ви знову перевернете шаблон, то суміщення легко здійснюється. Два різні способи фізичної реалізації переміщення — з виходом за межі площини (і з перевертанням) та без виходу (без перевертання), дають різні відповіді на питання про можливість суміщення трикутників з попарно рівними елементами. У геометрії вважається, що можливі обидва ці переміщення. Це закріплюється у такій аксіомі.

Ðèñ. 3.25 20-поверхові (80 м заввишки) хмарочоси-близнюки у столиці канадської провінції Саскачеван — місті Реджайна (зведені у 1992 р.). Унікальною особливістю цих споруд є похилі стіни у вигляді двох рівних трикутників, кут відхилення яких від вертикалі становить 11°. L

A M C

N

B

Ðèñ. 3.26 L

A

NC M

B

Ðèñ. 3.27

138 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

А ксіома ру хомос т і т р и к у т н и к а . Який би не був трикутник, його можна пере­ містити у задане положення відносно даної півпрямої. На рис. 3.28 зображено трикутник АВС і два рівних йому трикутники А′В ′С ′ та А′′В ′′С ′′, сторони В ′С ′, В ′′С ′′ яких відкладені на півпрямих m, n від їхніх початків, а протилежні вершини А′, А′′ розміщені у заданій півплощині відносно цих півпрямих. При цьому ми можемо говорити, що трикутник А′В ′С ′ одержується з трикутника АВС «без перевертання», а трикутник А′′В ′′С ′′ — «з перевертанням». A

A

A

C B

Â Ñ Ðèñ. 3.28

Ñ

На підставі аксіоми рухомості трикутника вже можна довести, що трикутники з попарно рівними елементами є рівними, тобто, що їх можна сумістити. При цьому навіть не обов’язково вимагати рівності усіх шести пар відповідних елементів — трьох пар сторін і трьох пар кутів. Достатньо лише рівності трьох пар. По-різному комбінуючи пари рівних сторін і пари рівних кутів, можна сформувати і довести три ознаки рівності трикутників. У цьому параграфі ми доведемо першу ознаку. Тео р ема (перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними одного три­ кутника дорівнюють відповідно двом сторонам

Â

§14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників 139

і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні. До в е д е н н я . Нехай у трикутниках АВС і А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ÐА = ÐА1 (рис. 3.29). Потрібно довести, що тоді ∆АВС = ∆А1В1С1. Перемістимо трикутник АВС так, щоб вершина А сумістилася з вершиною А1, сторона АВ розмістилася на півпрямій А1В1, а вершина С — з того боку від прямої А1В1, з якого розміщена точка С1. Згідно з аксіомою рухомості трикутника, цього можна досягти. Оскільки АВ = А1В1, то, за аксіомою про відкла­ дання відрізків, точка В суміститься з точкою В1. Оскільки ÐА = ÐА1, то, за аксіомою про відкла­ дання кутів, кут А суміститься з кутом А1, а півпряма АС — з півпрямою А1С1. Міркуючи далі так само, як стосовно точок В і В1, дійдемо висновку, що точка С суміститься з точкою С1. Оскільки сумістилися кінці відрізків ВС і В1С1, то сумістилися й самі ці відрізки. Виходить, що сумістилися всі три пари сторін трикутників АВС і А1В1С1. Отже, сумістилися й самі трикутники. Тому вони рівні. Теорему доведено. Зауваження для с к е п т ик і в . Декому з учнів, ÿê³ ò³ëüêè-íî ïðèñòóïàþòü äî âèâ÷åííÿ ãåîìåò𳿠і вперше стикаються ç³ ñòðîãèìè ìàòåìàòè÷íèìè обґрун­ туваннями, доведення окремих теорем вида­ ються абсолютно зайвими. «Õ³áà й без доведення íå î÷åâèäíî, — інколи запитують вони, — ùî áóäü-ÿê³ два òðèêóòíèêè, ÿê³ ìàþòü дві пари рівних сторін і рівні êóòè ì³æ íèìè, є рівними?». Вище ми попереджали такі сумніви тим, що демонстрували поверхні, на яких відповідні «очевидні» властивості все-таки не виконуються,. А це вже беззаперечно свідчило про те, що для цілковитої надійності в застосуванні для площини вони потребують дове­ дення.

C

C1

A A1 B

B1

Ðèñ. 3.29

Рівні трикутники на даху

140 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Приклад, який ми зараз наведемо, здається, розвіє такі сумніви. Äóæå схожим íà ïåðøó îçíàêó ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â º òàêå òâåðäæåííÿ: яêùî äâ³ ñòîðîíè й êóò, ùî ïðèëÿ­ ãаº äî îäí³º¿ ç íèõ, одного òðèêóòíèêа, â³äïîâ³äíî ð³âí³ äâîì ñòîðîíàì ³ êóòó, ùî ïðèëÿãаº äî îäí³º¿ ç íèõ, іншого òðèêóòíèêа, òî такі òðèêóòíèêè ð³âí³. (В³ä­ì³í­íîñò³ цього твердження â³ä ïåðøî¿ îçíàêè âèä³ëåí³ êóðñèâîì). Íà ðèñ. 3.30 çîáðàæåí³ äâà òðèêóòíèêè ABC ³ A1B1C1, ÿê³ повністю çàäîâîëüíÿþòü óìîâи öüîãî òâåðäæåííÿ: ó íèõ AB = A1B1, AC = A1C1, ∠C = ∠C1. ² òóò ñïðàâä³ доволі î÷åâèäíî, ùî çîáðàæåí³ òðèêóòíèêè ABC ³ A1B1C1 ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Àëå ÷è ìîæåìî ìè ëèøå íà підставі öüîãî ðèñóíêà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ñôîðìóëüîâàíå òâåðäæåííÿ º ùå îäí³ºþ îçíàêîþ ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â? Погляньте íà òðèêóòíèêè ABC ³ A1B1C1, ÿê³ çîá­ðàæåí³ íà ðèñ. 3.31. Âîíè òåæ çàäîâîëüíÿþòü çàçíà÷åíі óìîâи: AB = A1B1, AC = A1C1, ∠C = ∠C1, однак òåïåð óæå àáñîëþòíî î÷åâèäíî, ùî ці трикутники íå ð³âí³. Òîìó ñôîðìóëüîâàíå òâåðäæåííÿ íåïðàâèëüíå. Виявляється, що рèñ. 3.30, ç ÿêîãî можна було зробити загальний висновок, íå â³äîáðàæຠуñ³õ ìîæëèâèõ ñèòóàö³é. Îòæå, лише на підставі «очевидності», яка випливає з рисунка чи з якогось іншого відчуття (інтуїції тощо), без ëîã³÷íîãî îáãðóíòóâàííÿ, жодне математичне твердження íå ìîæå ââàæàòèñÿ ³ñòèííèì. Ñê³ëüêè б не нарисувати ðèñóíê³â, ¿õ уñå îäíî áóäå ñê³í÷åííà ê³ëüê³ñòü. Òîìó çàâæäè çàëèøàòèìåòüñÿ íåáåçïåêà, ùî ÿêàñü важлива деталь ними не буде врахована.

Розв’язуємо разом Îçíàêè ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â çàñòîñîâóþòüñÿ ó ãåîìåò𳿠äóæå ÷àñòî. Одне з найпоширеніших застосувань — äëÿ â³äøóêàííÿ â³äñòàíåé і êóò³â. Для цього невідомі відрізки або кути âêëþ÷àþòü ó певні

B

A

C B1

A1

C1 Ðèñ. 3.30 B

C

A B1

C1

A1 Ðèñ. 3.31

§14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників

трикутники ³ âèçíà÷àþòü ç òîãî, ùî ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³ ³íøèì трикутникам, â ÿêèõ відповідні елементи є відомими. Ðîçãëÿíåìî îäèí ïðèêëàä âò³ëåííÿ цієї ³äå¿. Ïðèïóñòèìî, ùî äëÿ ðåàë³çàö³¿ певного ïðîåêòó íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè ïðîòÿæí³ñòü îçåðà у íàïðÿìêó AB (ðèñ. 3.32). ³çüìåìî íà áåðåç³ òî÷êó Ñ, ùîá â³äñòàíü Ñ ìîæíà áóëî âèçíà÷èòè áåçïîñåðåäí³ì âèì³ðþâàííÿì, ³ ïîáóäóºìî êóò ÀÑE, ð³âíèé êóòó ÀÑÂ. Ïîò³ì уçäîâæ ïðîìåíÿ CE â³äêëàäåìî â³äð³çîê CD, ùî äîð³âíþº â³äñòàí³ CB. Òîä³ â³äñòàíü AD äîð³âíþâàòèìå øóêàí³é øèðèí³ îçåðà AB. Ñïðàâä³, у òðèêóòíèêàõ AC òà ACD ñòîðîíà ÀÑ ñï³ëüíà. Сòîðîíè CB ³ CD та êóòè ACB і ACD рівні за побудовою. Тому, çà ïåðøîþ îçíàêîþ, ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³. А з ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â âèïëèâຠð³âí³ñòü ñòîð³í, ùî ëåæàòü ïðîòè ð³âíèõ êóò³â. Сòîðîíè AB òà AD ÿêðàç ³ ëåæàòü ïðîòè ð³âíèõ êóò³â, òîìó âîíè й ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Îòæå, ÿêùî áåçïîñåðåäíüî âèì³ðÿºìî îäíó ç íèõ, сторону AD, â îäíîìó òðèêóòíèêó, òî çíàòèìåìî й äîâæèíó ³íøî¿, сторони AB, â ³íøîìó.

141

B

A

C D E Ðèñ. 3.32

Вправи і задачі 250°. Накресліть у різних положеннях два трикутники зі сторонами 3 см і 6 см та кутом між ними 70°. Виміряйте за допомогою лінійки треті сторони накреслених трикутників, а за допомогою транспортира — інші їхні кути. Чи рівні ці елементи в обох трикутниках? 251°. На рис. 3.33 зображені два рівні трикутники АВС і LMN. Доповніть записи: ∆САВ = …; ВС = …; NL = …; ∠С = …; ∠L = …; ∠ВСА = …; ∠MLN = … .

M B

A

L

C N Ðèñ. 3.33

142 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

252°. Дано два рівних трикутники ABC і DEM. Які кути трикутника ABC дорівнюють кутам D, E, M? Які сторони трикутника DEM дорівнюють сторонам АС і ВС? 253°. Дано два рівних трикутники ABC і LMN. 1) AB = 5 см, ∠A = 90°. Чому дорівнюють сторона ML і кут MLN? 2) ∠L = 75°, LM = 10 см, NL = 5 см. Чому дорівнюють кут BAC і сторони AB та AC. 254°. Відомо, що ∆АВС = ∆EFG = ∆LMN і при цьому ∠F = 30°, ∠N = 80°. Визначте невідомі кути усіх трьох трикутників. 255°. Відомо, що ∆АВС = ∆EFG = ∆LMN і при цьому EG = 6 см, LM = 8 см, P∆ABC = = 25 см. Визначте невідомі сторони усіх трьох трикутників. 256°. У трикутнику ABC всі сторони мають різні довжини. Чи рівні трикутники ABC і BAC? 257°. Чи можна стверджувати, що коли трикутник ABC рівний трикутнику A1B1C1, а трикутник A1B1C1 — рівний трикутнику A2B2C2, то трикутники ABC і A2B2C2 рівні між собою? Обґрунтуйте свою відповідь. 258°. Відомо, що трикутники ABC і CAB рівні. Обґрунтуйте, що в трикутнику ABC всі сторони рівні. 259. Периметр одного трикутника більший за периметр іншого. Чи можуть бути рівними ці трикутники? Відповідь обґрунтуйте. 260. Виконайте за допомогою креслярських інструментів такі побудови. Спочатку накресліть дві прямі, що перетинаються в точці О. Потім на одній з них відкладіть рівні відрізки ОА і ОВ, а на іншій — рівні відрізки ОС і ОD. Сполучіть, нарешті, відрізками послідовно точки А, С, В і D. Чи утворилися в результаті цих побудов рівні трикутники? Відповідь обґрунтуйте. D

C

C A

E

O C

M

B

A

D

à)

A

B

á)

N B

â)

C M

C

D

A

D

B

E

B

A

A

D

C ä)

ã) Ðèñ. 3.34

B

§14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників 143

61. Дано: AD = BC, ∠ADB = ∠DBC (рис. 3.34, а). Доведіть, що AB = DC, ∠A = ∠C. 2 262. Дано: AB = AC, ∠BAO = ∠CAO (рис. 3.34, б). Доведіть, що BO = CO. 263. Дано: ∠MAD = ∠NBE, AD = BE, AC = CB (рис. 3.34, в). Доведіть, що CD = CE, ∠ACD = ∠BCE. 264. Дано: AC = BD, ∠CAB = ∠DBA (рис. 3.34, г). Доведіть, що ∠DAB = ∠CBA, AD = CB. 265. Дано: AC = BC; CD = CE (рис. 3.34, ґ ). Доведіть, що ∆ACE = ∆BCD. 266. Дано: MA = MB, AC = BD, ∠MAC = ∠MBD (рис. 3.34, д). Доведіть, що ∠MCD = ∠MDC. 267. У рівних трикутниках ABC і A1B1C1 точки M і M1 — відповідно середини сторін BC і B1C1. Доведіть, що відрізок AM рівний відрізку A1M1. 268. На сторонах кута A відкладено рівні відрізки AC і AD, а потім на цих відрізках узято такі точки E і F, що AE = AF. Доведіть, що ∠CED = ∠DFC. 269. На рис. 3.35 ВО = ОС, АО ⊥ ВС. Доведіть, що AB = AC, DB = DC. 270. На рис. 3.36 зображено спосіб визначення відстані між точками А і В, розділених водоймою. Опишіть деталі цих побудов та обґрунтуйте їх. B

O

D

B

A

C

O C

A Ðèñ. 3.35

D Ðèñ. 3.36

271•. На рис. 3.37 зображено спосіб визначення протяжності озера у напрямку AB з використанням екера для побудови прямих кутів ACB та ACD. Опишіть деталі цих побудов та обґрунтуйте їх. A B

A

A B

C

D

B Ðèñ. 3.37

M N Ðèñ. 3.38

C

N M

D Ðèñ. 3.39

C

144 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

272•. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О, яка є серединою кожного з них. Доведіть, що AD || BC, а AC || BD. 273•. На рис. 3.38 ∆АВM = ∆ACN. Доведіть, що ∆ABN = ∆ACM. 274•. На рис. 3.39 ∆АВС = ∆DCB, BM = CN. Доведіть, що AM || DN. 275•. У трикутнику АВС АВ = АС. Бісектриса кута ВАС перетинає сторону BС у точці D. Доведіть, що AD ⊥ BC.

§15. Друга ознака рівності трикутників Аналогічно до першої ознаки рівності трикутників доводиться друга ознака. Тео р ема (друга ознака рівності трикутників — за сто­ро­ ною і двома прилеглими кутами). Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикут­ ника, то такі трикутники рівні. До в е д е н н я . Нехай у трикутниках АВС і А1В1С1 АВ = А1В1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1 (рис. 3.40). Потрібно довести, що тоді ∆АВС = ∆А1В1С1. Перемістимо трикутник АВС так, щоб вершина А сумістилася з вершиною А1, сторона АВ розмістилася на півпрямій А1В1, а вершина С — з того боку від прямої А1В1, з якого розміщена точка С1. Згідно з аксіомою рухомості трикутника, цього можна досягти. Оскільки АВ = А1В1, то, за аксіомою про від­ кладання відрізків, точка В суміститься з точкою В1. Оскільки ∠А = ∠А1, то, за аксіомою про відкладан­ ня кутів, кут А суміститься з кутом А1, а півпряма АС — з півпрямою А1С1. Міркуючи так само стосовно кутів В і В1, дійдемо висновку, що півпряма ВС суміститься з півпрямою В1С1. При цьому точка С суміститься з точкою С1, оскільки дві півпрямі можуть мати не більше однієї спільної точки.

Уроки 21–22 C

C1

A A1 B

Ðèñ. 3.40

B1

§15. Друга ознака рівності трикутників 145

Виходить, що сумістилися всі три пари вершин трикутників АВС і А1В1С1. Отже, сумістилися і їхні сторони, а тому й самі трикутники. Отже, вони рівні. Теорему доведено.

Розв’язуємо разом З адач а. Íà ñòîðîíàõ êóòà À â³äêëàäåí³ ð³âí³ â³äð³çêè À ³ ÀÑ, à ïîò³ì ³íø³ ð³âí³ â³äð³çêè ÂÊ ³ ÑÌ, ÿê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.41. Íåõàé Î — òî÷êà ïåðåòèíó â³äð³çê³â ÂÌ ³ ÑÊ. Äîâåñòè, ùî ïðîì³íü ÀÎ ä³ëèòü êóò À íàâï³ë, òîáòî º á³ñåêòðèñîþ öüîãî êóòà. Р озв ’ я за н н я . Îñê³ëüêè â³äð³çêè ÀÊ ³ ÀÌ äîð³â­ íþþòü ñóìàì À + ÂÊ òà ÀÑ + ÑÌ â³äïîâ³äíî ð³âíèõ â³äð³çê³â, òî âîíè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Ðîçãëÿíåìî òðèêóòíèêè ÀÊÑ òà ÀÌÂ. Âîíè ìàþòü ñï³ëüíèé êóò ÌÀK ³ ð³âí³ â³äïîâ³äí³ ñòîðîíè, ùî óòâîðþþòü öåé êóò: ÀÊ = ÀÌ, ÀÑ = ÀÂ. Òîìó, çà ïåðøîþ îçíàêîþ, ці òðèêóòíèêè ð³âí³. Çâ³äñè ∠Ê = ∠Ì. Ðîçãëÿíåìî тоді òðèêóòíèêè ÂÎÊ і ÑÎÌ. Ó íèõ ð³âí³ ñòîðîíè ÂÊ ³ ÑÌ, ð³âí³ ïðèëåãë³ äî íèõ êóòè Ê ³ Ì, à òàêîæ рівні êóòè ÂÎÊ òà ÑÎÌ (ÿê âåðòèêàëüí³). Òîìó ð³âíèìè º é ïðèëåãë³ êóòè ÎÂÊ та ÎÑÌ, îñê³ëüêè ñóìà âñ³õ êóò³â òðèêóòíèêà äîð³âíþº 180°. Òîìó, çà äðóãîþ îçíàêîþ, ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³. Çâ³äñè ÂÎ = ÑÎ. Ðîçãëÿíåìî, íàðåøò³, òðèêóòíèêè ÀΠòà ÀÎÑ. Ó íèõ ð³âí³ â³äïîâ³äí³ ñòîðîíè À ³ ÀÑ (çà ïîáóäîâîþ) òà ÂÎ ³ ÑÎ (ÿê ùîéíî ç’ÿñîâàíî), à òàêîæ êóòè ÀÂÎ òà ÀÑÎ ì³æ íèìè (âîíè є суміжними äî ð³âíèõ êóò³â ÎÂÊ і ÎÑÌ). Òîìó, çà ïåðøîþ îçíàêîþ, ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³. Çâ³äñè ∠ÎÀ = ∠ÎÀÑ, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

M

C

A

O B

Ðèñ. 3.41

K

146 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Зауваження. Ðåçóëüòàòîì розв’язаної çàäà÷³ ìîæ­ íà ñêîðèñòàòèñÿ äëÿ ä³ëåííÿ êóòà íàâï³ë, тобто для побудови його бісектриси. Відкладемо на сторонах кута А рівні відрізки À ³ ÀÑ, à ïîò³ì ³íø³ ð³âí³ â³äð³çêè ÂÊ ³ ÑÌ. Найпростіше це зробити за допомогою циркуля, як показано на ðèñ. 3.42 (ніжка циркуля ставиться у точку А). Äàë³ визначимо òî÷êó Î ïåðåòèíó â³äð³çê³â ÂÌ òà ÑÊ. Òîä³ ÀÎ — øóêàíà á³ñåêòðèñà.

M C O B

A

K

Ðèñ. 3.42

Вправи і задачі 276°. Накресліть у різних положеннях два трикутники зі стороною 6 см і прилеглими до неї кутами 45° і 70°. Виміряйте за допомогою лінійки інші сторони накреслених трикутників, а за допомогою транспортира — треті кути. Чи рівні ці елементи в обох трикутниках? 277°. На рис. 3.43 пряма АС містить бісектриси кутів А і С. Доведіть, що ∠B = ∠D. 278°. Накресліть який-небудь нерозгорнутий кут А та проведіть його бісектрису. На бісектрисі візьміть довільну точку М і за допомогою косинця проведіть через неї пряму, перпендикулярну до бісектриси. Позначте літерами В і С точки перетину цієї прямої зі сторонами кута. Переконайтесь за допомогою вимірювання, а потім обґрунтуйте логічно, що відрізки АВ і АС рівні. 279°. На рис. 3.44 ВС = СF, AC = СD, AD ⊥ BF. Доведіть рівність трикутників АВС і DFC, а також рівність відрізків АВ і DF. 280°. На рис. 3.45 АО = СО, ∠А = ∠С. Доведіть рівність трикутників АОВ і СОD, а також рівність відрізків АВ і СD. A

A

C

A B

C

F O

D

B

C Ðèñ. 3.43

D Ðèñ. 3.44

B

D Ðèñ. 3.45

§15. Друга ознака рівності трикутників 147

281. На рис. 3.46 ∠DBC = ∠ACB, ∠ABC = ∠DCB. Доведіть рівність відрізків АВ і DC. 282. На рис. 3.47 ∠В = ∠F, ∠АСF = ∠ВЕD, ВЕ = СF. Доведіть рівність трикутників АВС і DFE. 283. На рис. 3.48 АВ || DC, AD || BC. Доведіть рівність трикутників АВD і СDB. A D

A

A E

B

B

F

C

C

B

D

D Ðèñ. 3.47

Ðèñ. 3.46

C

Ðèñ. 3.48

284. У трикутнику АВС АВ = АС. На сторонах АВ і АС позначені відповідно точки M і N так, що ∠АСM = ∠ABN. Доведіть, що відрізки BN і CN рівні. 285. Накресліть відрізок АВ завдовжки 6 см та проведіть через його середину О яку-небудь пряму m, яка не є перпендикулярною до відрізка АВ. Далі з допомогою косинця проведіть з точок А і В перпендикуляри АD та BF до прямої m. Переконайтесь за допомогою вимірювання, а потім обґрунтуйте логічно, що ці перпендикуляри рівні. 286. На рис. 3.49 ∆АВС = ∆DBC. Доведіть, що тоді ∆АСE = ∆DCE. 287. На рис. 3.50 прямі АС і DB паралельні, а точка О є серединою відрізка АВ. Доведіть, що ця точка є також серединою відрізка CD. 288. Точки М і N розміщені по різні боки від прямої АВ і при цьому МА = NB, ∠МАВ = ∠NBA (рис. 3.51). Доведіть, що відрізки MN і АВ діляться точкою О перетину навпіл. A

M B

E

C

C

A

O D Ðèñ. 3.49

D

A

B Ðèñ. 3.50

B

O N Ðèñ. 3.51

148 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

89. На рис. 3.52 АВ || DC, AD || BC. Доведіть, що АВ = DC, AD = BC. 2 290. На рис. 3.53 ∆AОМ = ∆COL. Доведіть, що тоді ∆ABL = ∆CMB. 291•. На рис. 3.54 ∆ABC = ∆DBC. Доведіть, що тоді ∆AОB = ∆DОC. C

B A A

C

B O

O M D

C

L A

B Ðèñ. 3.53

Ðèñ. 3.52

D Ðèñ. 3.54

292•. Доведіть, навівши відповідний приклад, що коли сторона і два кути одного трикутника дорівнюють стороні і двом кутам іншого трикутника, то трикутники можуть бути й не рівними. 293•. Сторона і три кути одного трикутника дорівнюють стороні і трьом кутам іншого трикутника. Чи обов’язково рівні такі трикутники? 294•. Доведіть, що існують нерівні трикутники з відповідно рівними кутами. 295•. На бісектрисі кута А взято деяку точку K, а на сторонах кута — такі точки M і N, щоб кут AKM дорівнював куту AKN. Доведіть, що тоді пряма MN буде перпендикулярною до АK. 296•. Дано: OA = OB, OC = OD (рис. 3.55). Доведіть, що OE = OF. 297•. На рис. 3.56 відображений спосіб побудови на місцевості для визначення відстані між точками А і В, розділених перешкодою для безпосереднього вимірювання. Спочатку на прямій ВА в доступній її частині ставиться віха С. Потім ставиться віха в деякій точці О, і з допомогою візування та вимірювання знаходяться такі положення віх M, N на прямих ОВ та ОС, для яких ОМ = ОВ, ON = ОС. Нарешті, йдучи по прямій MN, за допомогою візування A

C

F

C

B

B O

O A E Ðèñ. 3.55

D

M

N

Ðèñ. 3.56

L

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості 149

знаходять на ній таку точка L, яка розміщена і на прямій АО. Тоді відстань МL, яку вже можна знайти безпосереднім вимірюванням, дорівнюватиме шуканій відстані ВА. Обґрунтуйте правильність цього способу.

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості Трикутних є однією з найпоширеніших архі­тек­ турних форм, що застосовується як у проектуванні касів споруд, так і в декоруванні. При цьому кар­ як правило застосовуються трикутники, що мають рівні сторони. Такі трикутники називаються рів­ нобедреними і рівносторонніми.

Уроки 23–24

Означ ен н я . Тðèêóòíèê íàçèâàºòüñÿ ð³âíîáåäðåíèì, ÿêùî він має äâ³ рівні ñòîðîíè. гâí³ ñòîðîíè ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà íàçèâàþòüñÿ á³÷íèìè ñòîðîíаìè, à òðåòÿ ñòîðîíà — îñíîâîþ. Òðèêóòíèê, ó ÿêîãî âñ³ ñòîðîíè ð³âí³, íàçèâàºòüñÿ ð³âíîñòîðîíí³ì àáî ïðаâèëüíèì. Зазначимо також, що трикутник, у якого всі сторони різні, інколи називають різностороннім. Íà ðèñ. 3.57, а) çîáðàæåíî ð³âíîáåäðåíèé òðèêóò­ íèê ÀÂÑ ç á³÷íèìè ñòîðîíàìè À ³ АÑ та îñíîâîþ ВÑ, à íà ðèñ. 3.57, б) — ð³âíîñòîðîíí³é òðèêóòíèê LMN. Коли говорять про вершину рівнобедреного три­ кут­­ ника, то зазвичай мають на увазі ту із трьох його вершин, яка є протилежною до основи. Інші дві вершини називають вершинами при основі. На рис. 3.57, а) А — вершина рівнобедреного трикутника АВС, В і С — вершини при його основі. На рис. 3.58 вміщена добірка ілюстрацій архі­тек­ турних споруд різних часів, стилів і призначення, які мають деталі у формі рівнобедрених трикутників. Та найвидатнішим пам’ятником рівнобедреному трикутнику безсумнівно стане паризька «Трикутна

A

B

C

a) L

M

N

á) Ðèñ. 3.57

150 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Ðèñ. 3.58

вежа» (La tour Triangle), якщо цей грандіозний «кришталевий» проект буде реалізований (на рис. 3.59 зображений його макет). Планується, що вежа матиме 42 поверхи та 180 м у висоту. Це буде третя за висотою споруда Парижа після знаменитої Ейфелевої вежі (1887 р., 324 м) та вежі Монпарнас (1972 р., 210 м). Будівництво вежі було заплановане на 2015–17 рр., однак після спеціального голосування депутатів паризької міської ради, що відбулося у

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості

151

Ðèñ. 3.59

листопаді 2014 р., відкладене на невизначений термін: серед громадськості побутує думка про надмірну дорожнечу проекту і про його шкідливість для природного та історико-культурного довкілля. Найпростіше побудувати рівнобедрений трикутник за кутом при вершині і бічною стороною. Спочатку будують кут А, що має потрібну величину, а потім на його сторонах від вершини відкладають рівні відрізки АВ і АС потрібної довжини (рис. 3.60). Сполучивши точки В і С відрізком, дістають рівнобедрений три­ кутник АВС із заданим кутом при вершині і заданою бічною стороною. Побудови ускладнюються, якщо трикутник повинен мати задані бічну сторону і основу. Для реалізації таких побудов потрібен циркуль. Зафіксуємо розхил циркуля на величину бічної сторони. Поставимо його ніжку в кінець В відрізка ВС, що рівний основі трикутника, і проведемо дугу (рис. 3.61). Всі точки цієї дуги віддалені від точки В на одну й ту саму відстань, яка дорівнює величині розхилу циркуля. Якщо потім поставимо ніжку циркуля у точку С і тим самим розхилом проведемо ще одну дугу, то перетин обох дуг дасть точку А, яка віддалена від обох точок

A

C

B Ðèñ. 3.60

A

B

C Ðèñ. 3.61

152 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

В і С на величину розхилу циркуля, тобто на довжину заданої бічної сторони трикутника. Залишається тільки з допомогою лінійки провести відрізки АВ і АС. Трикутник АВС — шуканий, ВС — його основа, АВ і ВС — рівні бічні сторони. Якщо виміряти за допомогою транспортира кути при основі побудованих рівнобедрених трикутників, то вони виявляться рівними. Це — властивість будьякого рівнобедреного трикутника. Провести доведення цієї властивості, а також сформулювати і довести інші властивості рівно­бед­ рених трикутників зручно з використанням означень бісектриси, медіани і висоти трикутника. О зн ач ен н я . Á³ñåêòðèñîþ òðèêóòíèêà íàçèâàºòüñÿ â³äð³çîê бісектриси його внутрішнього кута, ùî спо­ лучає âåðøèíó òðèêóòíèêà іç òî÷êîþ íà ïðîòèëåæí³é ñòîðîí³. Íà ðèñ. 3.62 АL — á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà ÀÂÑ, проведена з вершини А до протилежної сторони ВС. Òåðì³í «á³ñåêòðèñà» çàïîçè÷åíèé ç ôðàíöóçüêî¿ ìîâè. Ó ñâîþ ÷åðãó, ôðàíöóçüêå ñëîâî bissectrice ут­ во­ рилося â³ä ëàòèíñüêèõ ñë³â bis — «äâ³÷³» òà secare — «ðîçòèíàòè» ³ äîñë³âíî îçíà÷ຠ«ðîçòèíàòè íàâï³ë». О зн ач ен н я . Ìåä³аíîþ òðèêóòíèêà íàçèâàºòüñÿ â³äð³çîê, ùî сполучає âåðøèíó òðèêóòíèêà ³ç ñåðå­ äèíîþ ïðîòèëåæíî¿ ñòîðîíè. Íà ðèñ. 3.62 АÌ — ìåä³àíà òðèêóòíèêà ÀÂÑ, проведена з вершини А до середини М протилежної сторони ВС. Òåðì³í «ìåä³àíà» утворений â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà medius — ñåðåäí³é.

A

B

H L M Ðèñ. 3.62

C

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості 153

О знач ен н я . Висотою трикутника називається перпенди­ куляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону. На рис. 3.62 АH — висота трикутника АВС, проведена з вершини А до прямої, що містить протилежну сторону ВС. Теорема (ïðî âëаñòèâîñò³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêа). Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, ділить трикутник на два рівних трикутники, а також є медіаною й висотою трикутника. Кути при основі рівно­ бедреного трикутника рівні. Д о вед ення . Íåõàé ÀL — á³ñåêòðèñà рівнобедре­ ного òðèêóòíèêа ÀÂÑ, проведена ç вершини А до îñíîâи ÂÑ (ðèñ. 3.63). Îñê³ëüêè, çà îçíà÷åííÿì ð³â­ íîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, AB = AÑ, à çà îçíà÷åííÿì á³ñåêòðèñè, ∠BAL = ∠CAL, òî, çà ïåðøîþ îçíàêîþ рівності трикутників, ∆ALB = ∆ALC. Отже, справді, бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, ділить трикутник на два рівних трикутники. Ç ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â ALB і ALC âèïëèâàº, ùî BK = CK. Оòæå, AL — ìåä³àíà òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Крім цього, ∠AKB = ∠AKC, à оскільки ö³ êóòè óòâîðþþòü ðîçãîðíóòèé êóò, òî âîíè — ïðÿì³. Îòæå, AL — âè­ ñîòà òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Нарешті, ∠ = ∠Ñ, а тому кути ïðè îñíîâ³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà рівні. Òåîðåìó äîâåäåíî. Îñê³ëüêè äîâåäåíîþ òåîðåìîþ âñòàíîâëåíî, ùî á³ñåêòðèñà, ìåä³àíà й âèñîòà ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóò­ íèêà, ïðîâåäåí³ äî îñíîâè, çá³ãàþòüñÿ, òî ³ñòèííèìè º й òàê³ òâåðäæåííÿ: 1) медіана ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêа, ïðîâåäåíа äî îñíîâè, º âîäíî÷аñ á³ñåêòðèñîþ і âèñîòîþ;

A

B

C L Ðèñ. 3.63

154 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

2) âèñîòа ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêа, ïðîâåäåíа äî îñíîâè, º âîäíî÷аñ á³ñåêòðèñîþ і ìåä³аíîþ. Безпосереднім наслідком з доведеної теореми є наступна теорема. Тео р ема (ïðî властивість кутів рівностороннього òðè­ êóò­íèêа). Всі кути рівностороннього трикутника рівні і дорівнюють по 60°. Доведення. Нехай маємо рівносторонній трикут­ ник АВС (рис. 3.64). З рівності його сторін АВ і АС за доведеною теоремою випливає рівність кутів 1 і 2, а з рівності сторін ВА і ВС — рівність кутів 2 і 3. Отже, всі три кути рівностороннього трикутника рівні. А оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то кожен із кутів 1, 2, 3 дорівнює третині від цієї суми, тобто 60°. Теорему доведено.

A

3 60°

1 60°

60° 2

B

C Ðèñ. 3.64

Застосування у конструкції старовинних ватерпасів Вàòåðïàñ — ïðèëàä äëÿ ïåðåâ³ðêè горизонталь­ ного розміщення прямолінійних предметів, на­ приклад, рейок і брусів. Íàéïðîñò³øèé âàòåðïàñ, що застосовувався колись у будівництві, ñêëàäàвñÿ іç äåðåâ’ÿíîãî ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑ, äî F îñíîâè À ÿêîãî прилягала вивірена ð³âíа дошка FG, à äî âåðøèíè Ñ íà íèòö³ підвішувався òÿãàðåöü Å (ðèñ. 3.65). ßêùî òÿãàðåöü ðîçì³ùóвавñÿ ñòðîãî íàä çóáöåì D, ÿêèé уособлював ñåðåäèíó îñíîâè ÀÂ, òî öå означало, ùî нитка ÑÅ спрямована ïî ìåä³àí³ CD ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑ, а îòæå, й ïî éîãî âèñîò³. Òîä³ дошка FG — ïåðïåíäèêóëÿðíа äî ë³í³¿ ÑŠ䳿 ñèëè òÿæ³ííÿ, òîáòî çàéìຠãîðèçîíòàëüíå ïîëîæåííÿ. У ïðîòèâíîìó ðàç³ її ïîëîæåííÿ íå º ãîðèçîíòàëüíèì.

C A

D

E

B G

Ðèñ. 3.65

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості 155

Лише знаючи ці обставини, можна розгадати значення ватерпаса, з яким французькі художники ХІХ ст. зображали Маріанну — символічний образ французької республіки. На рис. 3.66 відтворений один із найвідоміших таких творів — картина Жуля Клода Зіглера «Республіка» (1848 р.). У правій руці Маріанна тримає ватерпас, яким урівноважує три найголовніші чесноти республіки, записані за нею золотистими літерами (теж у вершинах рівнобедреного трикутника): Свобода, Рівність Братерство (Liberté, Égalité, Fraternité).

Ðèñ. 3.66

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е Яким може бути розміщення висот у трикутнику З означення бісектриси і медіани трикутника оче­ видно, що ці відрізки проходять усередині трикутника (див. рис. 3.62, на якому АL — бісектриса, АM — медіана трикутника АВС). Щодо висоти АH, то ситуація не така очевидна. На рис. 3.67, а) відображений випадок, коли обидва кути В і С — гострі. Доведемо, що в усіх таких випадках висота АH проходить усередині трикутника. Пðèïóñòèìî супротивне. Мîæëèâі äâ³ ñèòóàö³¿: àáî òî÷êà H ëåæèòü áëèæ÷å äî òî÷êè B, í³æ äî òî÷êè C (ðèñ. 3.67, á), àáî òî÷êà H ëåæèòü áëèæ÷å äî òî÷êè C, í³æ äî òî÷êè B (ðèñ. 3.67, â). Ïðè ïåðø³é ñèòóàö³¿ çîâí³øí³é êóò ABC ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ADB, ÿêèé є ãîñòðèм кутом трикутника АВС, áóâ áè á³ëüøèì за прямий внутрішній êóò H, ùî íåìîæëèâî. Ïðè äðóã³é ñèòóàö³¿ з аналогічних причин гострий кут С трикутника АВС був би більшим за прямий кут H трикутника AHC. Îñê³ëüêè æîäíà ³ç öèõ ñèòóàö³é íåìîæëèâà, òî çðîáëåíå ïðèïóùåííÿ неправильне. Îòæå, âèñîòà AH òðèêóòíèêà ó öüîìó разі ñïðàâä³ ïðîõîäèòü уñåðåäèí³ òðèêóòíèêà.

A

B

C

H à) A

H

C

B á) A

B

C â) Ðèñ. 3.67

H

156 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

ßêùî ó òðèêóòíèêó âñ³ êóòè ãîñòð³, òîáòî òðèêóòíèê є ãîñòðîêóòíèм, òî ç äîâåäåíîãî âèïëèâàº, ùî тоді âñ³ три éîãî âèñîòè ïðîõîäÿòü уñåðåäèí³ òðèêóòíèêà (ðèñ. 3.68). На уроках геометрії у 8 класі буде доведено, ùî âñ³ âîíè ïåðåòèíàþòüñÿ â îäí³é òî÷ö³. Якщо ж у трикутнику АВС один із кутів В або С є прямим, то очевидно, що тоді висота АH збігається з однією зі сторін, яка прилягає до прямого кута (рис. 3.69). Інша сторона прямого кута міститиме другу висоту трикутника, а третя висота, як доведено вище (оскільки кути А і С — гострі), проходитиме всередині трикутника. Тоді й без доведення очевидно, що всі три висоти перетинаються в одній точці — у вершині прямого кута. Нехай тепер один із кутів В або С трикутника АВС, íàïðèêëàä, B — òóïèé. Òîä³ âèñîòà AH ïðîõîäèòèìå ççîâí³ òðèêóòíèêà (ðèñ. 3.70, à). Ñïðàâä³, ÿêùî ïðè­ A

H

Ðèñ. 3.68 A

B C H Ðèñ. 3.69

A

C

B à)

B

H

C

á) Ðèñ. 3.70

ïóñ­òèìî супротивне (ðèñ. 3.70, á), òî матимемо, ùî çîâí³øí³é êóò AHC ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà AHB, ÿêèé º ïðÿìèì, á³ëüøèé за тупий внутрішній êóò B. Îñê³ëüêè òàêå íåìîæëèâå, òî ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. Îòæå, âèñîòà AH òðèêóòíèêà в öüîìó разі ñïðàâä³ ïðîõîäèòü ççîâí³ òðèêóòíèêà. Ó òðèêóòíèêó ìîæå áóòè ëèøå îäèí òóïèé êóò, і òîä³ äâà інші éîãî êóòè îáîâ’ÿçêîâî ãîñòð³. Òîìó îäíà ç âèñîò тупокутного òðèêóòíèêà ïðîõîäèòü уñåðåäèí³ òðèêóòíèêà, à äâ³ ³íø³ — ççîâí³ íüîãî (ðèñ. 3.71).

Ðèñ. 3.71

Ðèñ. 3.72

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості 157

У 8 класі буде äîâåäåнî, ùî âñ³ òðè ïðÿì³, ÿê³ ì³ñòÿòü ö³ âèñîòè, ïåðåòèíàþòüñÿ â îäí³é òî÷ö³. Принагідно зазначимо, що всі три медіани і всі три бісектриси трикутника також перетинаються в одній точці. Для медіан цю властивість (рис. 3.72) буде теж доведено у 8 класі, а для бісектрис — уже невдовзі, при вивченні останнього розділу цього підручника.

Вправи і задачі 298°. Накресліть кут А, що дорівнює 70°, і проведіть його бісектрису. Потім через точку L бісектриси, яка знаходиться на відстані 5 см від точки А, проведіть пряму, перпендикулярну до бісектриси, і позначте буквами В і С точки перетину цієї прямої зі сторонами кута А. Виміряйте сторони і кути трикутника АВС. Які висновки про вид цього трикутника ви зробите? 299°. Накресліть відрізок ВС завдовжки 5 см, а потім за допомогою циркуля опишіть розхилом 5 см два кола із центрами В, С. Нехай А і D — точки перетину цих кіл. Сполучіть відрізками кожну з точок А і D з точками В і С. До якого виду належать одержані трикутники АВС і DВС? Чому дорівнюють їхні кути? 300°. На рис. 3.73 зображена арка над вхідними дверми готичного кафедрального собору в Севільї (Іспанія) (собор зведений у 1506 р.). Арка вписується у декоративний трикутник. Визначте з допомогою вимірювання кути цього трикутника. До якого виду (за сторонами і за кутами) він належить? 301°. На рис. 3.74 відтворена одна із композицій художника-абстракціоніста В. Кандинського, на якій, як уважається, з допомогою послідовності три­­кутників відображено перехід земної і людської енергії (тепліші кольори) у космічну (холодні кольори). Чи є тут геометрично рівні фігури? 302°. У трикутнику LMN MN = LN. Чи є в цьому трикутнику рівні кути? Чому вони дорівнюють, якщо кут N дорівнює 100°? 303°. У трикутнику АВС сторони, які прилягають до кута Ðèñ. 3.73 С, рівні. Рівні також кути, що прилягають до сторони АС. Яким є цей трикутник?

158 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

304°. Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 18 см. Визначте довжину його сторони. 305°. Визначте периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 7 см, а основа на 3 см менша від бічної сторони. 306°. Доведіть, що зовнішні кути при вершинах основи рівнобедреного трикутника рівні. 307°. Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 120°. Визначте кути при основі трикутника. 308°. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 45°. Визначте кут між його бічними сторонами. 309°. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 50°. Визначте зовнішні кути при вершинах основи. Ðèñ. 3.74 310°. Зовнішній кут при основі рівнобедреного трикут­ ника дорівнює 130°. Визначте зовнішній кут при вершині. 311°. Доведіть, що коли основа й кут при основі одного рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють основі й куту при основі іншого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. 312°. Доведіть, що рівнобедрені трикутники рівні, якщо бічна сторона й кут при вершині одного трикутника дорівнюють відповідно бічній стороні й куту при вершині іншого трикутника. 313. На рис. 3.75 подано дві світлини, на яких у різних ракурсах зображено споруду Музею сучасного мистецтва у Клівленді (США, штат Огайо), зведену

Ðèñ. 3.75

§16. Рівнобедрений трикутник і його властивості 159

за проектом британської архітекторки іранського походження Фаршид Муссаві (нар. 1965 р.) (музей відкритий для відвідувачів у серпні 2012 р.). Як ви гадаєте, які трикутники взяті за основу цього проекту, і скільки їх? Точніше відповісти на ці запитання вам допоможе каркасна модель споруди, зображена на рис. 3.76. 314. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює Ðèñ. 3.76 15 см, а його бічна сторона вдвічі більша за основу. Визначте довжини сторін цього трикутника. 315. Основа й бічна сторона рівнобедреного трикутника відносяться, як 2 : 3. Визначте сторону цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 16 см. 316. Визначте основу рівнобедреного трикутника, якщо вона на 5 дм менша від його бічної сторони, а периметр трикутника дорівнює 46 дм. 317. У рівнобедреному трикутнику основа більша за бічну сторону на 2 см, але менша від суми бічних сторін на 3 см. Визначте сторони трикутника. 318. Одна зі сторін рівнобедреного трикутника дорівнює 7 см, а його периметр — 19 см. Визначте сторони цього трикутника. 319. Медіана рівнобедреного трикутника ділить його периметр на частини, що дорівнюють 9 см і 12 см. Визначте сторони трикутника. 320. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 20 дм, а одна з його сторін удвічі більша за іншу. Визначте сторони трикутника. Розгляньте два випадки. 321. Дано: CA = CB, AM = BN, ∠А = ∠В (рис. 3.77). Доведіть, що трикутник CMN — рівнобедрений. 322. Дано: DA = DB, ∠CDA = ∠CDB (рис. 3.78). Доведіть, що трикутник ABC — рівнобедрений. 323. Дано: AB = AC, ∠BAD = ∠CAD (рис. 3.79). Доведіть, що трикутник BCD — рівнобедрений. C B

C

D

D A

M

N

Ðèñ. 3.77

B

A

B Ðèñ. 3.78

A C Ðèñ. 3.79

160 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

324. Доведіть, що у рівносторонньому трикутнику: а) усі медіани рівні; б) усі висоти рівні; в) усі бісектриси рівні. 325. Доведіть, що у рівних трикутниках медіани, проведені до рівних сторін, рівні між собою. 326. Доведіть, що якщо у трикутнику ABC сторони AB і ÀC не рівні, то медіана AM цього трикутника не є його висотою. 327. На бічних сторонах CA і CB рівнобедреного трикутника ABC від його вершини C відкладено рівні відрізки CM і CN (рис. 3.80). Доведіть, що відрізки AN і BM рівні. 328. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено медіану BM. На сторонах AB і CB позначено відповідно точки E та F так, що AE = CF. Доведіть, що ∆BME = ∆BMF, а ∆AME = ∆CMF. 329. На рис. 3.81 периметр рівнобедреного трикутника ABC з основою AC дорівнює 40 см, а периметр рівностороннього трикутника ABD дорівнює 45 см. Визначте сторони трикутника ABC. B

B D

C M

P

N Q A

A

B Ðèñ. 3.80

Ðèñ. 3.81

C

A

R Ðèñ. 3.82

C

330•. Доведіть, що середини сторін рівнобедреного трикутника є вершинами іншого рівнобедреного трикутника. 331•. Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін, рівні. Чи істинні аналогічні твердження стосовно бісектрис і висот? 332•. Доведіть, що коли у трикутнику дві висоти є бісектрисами, то цей трикутник — рівносторонній. 333•. На сторонах рівностороннього трикутника ABC відкладено рівні відрізки AP, BQ і CR (рис. 3.82). Доведіть, що трикутник PQR — рівносторонній. 334•. Рівнобедрені трикутники ABC і DBC мають спільну основу BC (рис. 3.83, а, б). Доведіть, що в кожному можливому випадку взаємного розміщення цих трикутників ∆BAD = ∆CAD. Доведіть також, що пряма AD проходить через середину відрізка BC. 335•. У рівнобедреному трикутнику ABC бічні сторони AB і BC дорівнюють по 18 см. Через середину M сторони AB проведено пряму, перпендикулярну до

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника

161

B

A M A N B

C D à)

D B

á)

C

A

C Ðèñ. 3.84

Ðèñ. 3.83

цієї сторони. Проведена пряма перетинає сторону BC в точці N (рис. 3.84). Визначте основу AC, якщо периметр трикутника ANC дорівнює 27 см.

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника Ó попередньому параграфі було розглянуто два способи побудови рівнобедрених трикутників — за кутом при вершині і бічною стороною та за основою і бічною стороною. Існує доволі простий спосіб побудови за основою і кутом при основі. Нехай ВС — задана основа (рис. 3.85). Відкладемо від променів ВС і СВ в одну й ту саму півплощину кут заданої величини. Нехай А — точка перетину сторін цих кутів, які не належать прямій ВС. Тоді АВС — шуканий рівнобедрений трикутник: ВС — його основа, ∠В і ∠С — задані кути при основі. Стверджувати це можна на підставі ознаки рівнобедреного трикутника, яку ми зараз же й до­ведемо. Теор ема (îçíàêà ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà за кутами). ßêùî ó òðèêóòíèêó äâà êóòè ð³âí³, òî â³í — ð³âíîáåäðåíèé.

Уроки 25–26 A

C

B Ðèñ. 3.85

162 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

До в е д е н н я . Íåõàé ó òðèêóòíèêó ÀÂÑ ∠ = ∠Ñ (ðèñ. 3.86). Ïðîâåäåìî á³ñåêòðèñó AL. Дістанемо äâà òðèêóòíèêè ALB òà ALC ç³ ñï³ëüíîþ ñòîðîíîþ AL. Îñê³ëüêè â íèõ ð³âí³ äâ³ ïàðè êóò³â: ∠ =∠Ñ ³ ∠ÂÀL = ∠CAL, òî ð³âí³ й òðåò³ êóòè: ∠ALB = ∠ALC (àäæå ñóìà êóò³â òðèêóòíèêà дорівнює 180°). Òîìó çà ñï³ëüíîþ ñòîðîíîþ AL ³ ïðèëåãëèìè äî íå¿ êóòàìè (тобто за другою ознакою), ∆ALB = ∆ALC. Çâ³äñè AB = AC. Отже, трикутник АВС — рівнобедрений. Òåîðåìó äîâåäåíî.

A

B

Äîâåñòè îñòàííþ òåîðåìó ìîæíà ³íàêøå, без додат­ кових побудов і без посилання на òåîðåìу ïðî ñóìó êóò³â òðèêóòíèêà. Застосуємо äðóãó îçíàêó ð³âíîñò³ трикутників äî òðèêóòíèêà ÀÂÑ ³ òðèêóòíèêà ÀÑ — òîãî ñàìîãî òðèêóòíèêà АВС, але «перевернутого» (рис. 3.87). Îñê³ëüêè ñòîðîíà ÂÑ äîð³âíþº ñòîðîí³ ÑÂ, ∠Ñ = ∠Â, à ∠ = ∠Ñ, òî ∆ABC = ∆ACB. Çâ³äñè À = ÀÑ. Отже, òðèêóòíèê ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé.

L Ðèñ. 3.86

AA

C

B

B

Насл ід о к . Трикутник, у якому всі кути рівні (по 60°), є рівностороннім. Доведення цього наслідку проведіть самостійно. Доведена ознака є оберненою теоремою до одного із тверджень теореми про властивості рівнобедреного трикутника, доведеної у попередньому параграфі. Іншим висновком тієї теореми було твердження про те, ùî у ð³âíîáåäðåíîìó òðèêóòíèêó âèñîòà, ìåä³àíà ³ á³ñåêòðèñà, ïðîâåäåí³ äî îñíîâè, збігаються. Öÿ âëàñòèâ³ñòü òåæ õàðàêòåðíà ëèøå äëÿ ð³âíîáåäðåíèõ òðèêóòíèê³â, тобто є їхньою ознакою. Òî÷í³øå, цих ознак аж три: по тому, які два із згаданих відрізків збігаються.

C

C Ðèñ. 3.87

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника 163

Теор ема (îçíàêи ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà за відрізками). Якщо у трикутнику çá³ãàþòüñÿ ÿê³-íåáóäü äâà іç òðüîõ â³äð³çê³â, що є медіаною, висотою і бі­ сектрисою, проведеними з однієї вершини, то трикутник — рівнобедрений. Äîâåäåííÿ. 1. Íåõàé AL — одночасно ìåä³àíà й âèñîòà òðèêóòíèêà ÀÂÑ (äèâ. ðèñ. 3.86), òîáòî L = = LÑ і AL ⊥ BC. Òîä³ ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ALB ³ ALC ð³âí³ çà ïåðøîþ îçíàêîþ. Çâ³äñè À = ÀÑ. Îòæå, òðèêóòíèê ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé. 2. Íåõàé AL — âèñîòà ³ á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà ÀÂÑ (äèâ. ðèñ. 3.86). Òîä³ ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ALB ³ ALC ð³âí³ çà äðóãîþ îçíàêîþ, îñê³ëüêè êàòåò AL ó íèõ ñï³ëüíèé, à ïðèëåãë³ äî íüîãî ãîñòð³ êóòè ÂÀL ³ ÑÀL ð³âí³. Çâ³äñè À = ÀÑ, òîáòî òðèêóòíèê ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé. 3. Íåõàé AL — ìåä³àíà ³ á³ñåêòðèñà (ðèñ. 3.88). Ïðîäîâæèìî ìåä³àíó AL íà òàêó ñàìó äîâæèíó LA1 = AL ³ сполучимо òî÷êó À1 ç òî÷êàìè  ³ Ñ. ∆A1LB = ∆ALC (êóòè ïðè âåðøèí³ L ð³âí³ як âåð­ òèêàëüí³, à ñòîðîíè, що óòâîðþþòü ö³ êóòè, ð³âí³ çà óìîâîþ й за ïîáóäîâîþ). Çâ³äñè ∠BA1L = ∠CAL. Зà óìîâîþ ∠CAL = ∠BAL. Îòæå, ∠BA1L = ∠BAL. Òîä³, çà попередньою теоремою, òðèêóòíèê ÂÀÀ1 — ð³âíîáåäðåíèé ³, îòæå, ìåä³àíà ÂK ó íüîìó º âèñîòîþ, тобто BL ⊥ AL. Виходить, що відрізок ÀL º âèñîòîþ ó òðèêóòíèêó ÀÂÑ. Отже, çà äîâåäåíèì у першому або другому пункті цієї теореми, òðèêóòíèê АВС — ð³âíîáåäðåíèé. Теорему доведено.

A

B

L

A1 Ðèñ. 3.88

C

164 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Розв’язуємо разом З ад ач а. Ó òðèêóòíèêó ÀÂÑ á³ñåêòðèñè êóò³â  ³ Ñ ïåðåòè­ íàþòüñÿ â òî÷ö³ Q (ðèñ. 3.89). ×åðåç òî÷êó Q ïðîâåäåíî â³äð³çîê MN, ïàðàëåëüíèé îñíîâ³ ÂÑ, ê³íö³ ÿêîãî íàëåæàòü á³÷íèì ñòîðîíàì òðèêóòíèêà. Äîâåñòè, ùî â³äð³çîê MN äîð³âíþº ñóì³ â³äð³çê³â BM ³ CN. Розв’язання. Çà îçíà÷åííÿì á³ñåêòðèñè, ∠MBQ = = ∠QBC, à çà âëàñòèâ³ñòþ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ, ∠QBC = ∠BQM (MN || ÂÑ, BQ — ñ³÷íà). Отже, ó òðèêóòíèêó MBQ ∠MBQ = ∠BQM. Òîìó öåé òðèêóòíèê ð³âíîáåäðåíèé і в ньому MQ = BM. Òàê ñàìî ç’ÿñîâóºìî, ùî ð³âíîáåäðåíèì º òðèêóò­ íèê NCQ ³ â íüîìó QN = CN. Äîäàâøè îäåðæàí³ ð³âíîñò³, ìàòèìåìî: MQ + QN = = ÂÌ + CN, à çâ³äñè MN = BM + CN. Òâåðäæåííÿ çàäà÷³ äîâåäåíî.

A

M

Q

B

N C

Ðèñ. 3.89

Вправи і задачі 336°. Накресліть за допомогою лінійки і транспортира рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 6 см, а кут при основі 35°. Визначте кут при вершині побудованого трикутника. 337°. У трикутнику є два рівні кути. Що можна стверджувати про його сторони? Чи можна стверджувати, що цей трикутник рівносторонній? 338°. Один учень якось сказав: «Рівносторонній трикутник є рівнокутнім». Що він мав на увазі? Чи правильно він висловився? 339°. У трикутнику АВС кути, що прилягають до сторони ВС, рівні. Рівні також сторони, що прилягають до кута В. Що це за трикутник? 340°. Чому дорівнюють зовнішні кути рівностороннього трикутника?

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника 165

341°. Зовнішні кути при двох вершинах трикутника дорівнюють по 120°. Доведіть, що цей трикутник рівносторонній. 342°. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC зовнішній кут при вершині A дорівнює 150°. Визначте кути при основі трикутника. 343°. У трикутнику АВС ∠В = ∠С, ВL — бісектриса кута А. Доведіть, що ВL = LB. 344°. У трикутнику АВС ∠В = ∠С, ВМ = МС. Доведіть, що АМ ⊥ ВС. 345°. У рівнобедреному трикутнику один із кутів при основі дорівнює 45°. До якого виду (за кутами) належить цей трикутник? 346°. Дано: АВ = АС (рис. 3.90). Доведіть, що ∠1 = ∠2. 347°. Дано: АВ = ВС, ∠В = 65° (рис. 3.91). Визначте ∠АСD. 348°. Основа й прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутника дорівнюють відповідно основі й прилеглому до неї куту іншого рівнобедреного трикутника. Чи рівні ці трикутники? 349. На рис. 3.92 ВH = HC, AH ⊥ BC. Доведіть, що трикутник АВС — рівнобедрений. Запропонуйте на цій підставі спосіб побудови рівнобедреного трикутника за основою і висотою, використовуючи лінійку і косинець. A A A 1

2 C

B Ðèñ. 3.90

C

B Ðèñ. 3.91

D

B

H

C

Ðèñ. 3.92

350. Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 140°. Чому дорівнюють внутрішні кути цього трикутника? 351. Визначте кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при його основі удвічі більший за кут при вершині, яка протилежна основі. 352. Визначте кути рівнобедреного трикутника, якщо один із них дорівнює: а) 50°; б) 110°. 353. Чому дорівнюють кути, що утворюються при перетині двох бісектрис рівностороннього трикутника? 354. Визначте кути рівнобедреного трикутника, якщо один із них учетверо більший за інший. Розгляньте два випадки. 355. Один із кутів рівнобедреного трикутника на 48° більший за інший. Визначте кути цього трикутника. Розгляньте два випадки.

166 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

356. Доведіть, що кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює половині зовнішнього кута при його вершині. 357. Дано: ∆ABC — рівнобедрений; MN || AB (рис. 3.93). Доведіть, що ∆MNC теж рівнобедрений. 358. Доведіть, що пряма, яка перетинає бічну сторону рівнобедреного трикутника і паралельна іншій його бічній стороні, відтинає від даного трикутника рівнобедрений трикутник. 359. Дано: ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 (рис. 3.94). Доведіть, що AC = BC. C

C C1 C 3

N

M A

B Ðèñ. 3.93

4 O

A

1

B 2

Ðèñ. 3.94

A B

B1

A1 Ðèñ. 3.95

60. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі рівні. 3 361. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику висоти, проведені до бічних сторін, рівні. 362. На основі AB рівнобедреного трикутника ABC взято точки M і N так, що AM = BN. З точок M, N до AB поставлено перпендикуляри MP і NQ, які перетинають бічні сторони трикутника відповідно у точках P і Q. Доведіть, що PM = QN. 363. Доведіть, що в рівних трикутниках рівними є бісектриси і висоти, проведені з вершин рівних кутів. 364. Доведіть рівність рівнобедрених трикутників за рівними висотою, проведеною до основи, і кутом при вершині, протилежній цій основі. 365. Дано: ∆ABC — рівносторонній, BB1 = CC1 = AA1 (рис. 3.95). Доведіть, що ∆A1B1C1 — теж рівностоC ронній. 366•. Один із кутів між бісектрисами кутів при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 124°. Визначте R кути трикутника. 367•. Два зовнішні кути рівнобедреного трикутника відноQ P сяться, як 2 : 5. Визначте внутрішні кути трикутника. • 368 . Дано: ∆ABC — рівносторонній, ∠RAC = ∠PBA = A B = ∠QCB (рис. 3.96). Доведіть, що ∆PQR теж рівноÐèñ. 3.96 сторонній.

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника 167

369•. У трикутнику ABC ∠A = 50°, а ∠B = 60°. На продовженнях сторони AB відкладено відрізки AD = AC і BF = BC (рис. 3.97) . Визначте кути трикутника CDF. 370•. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC з вершин A і C проведені медіани, що перетинаються в точці G. Доведіть, що трикутник AGC — рівнобедрений. 371•. Дано: ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 (рис. 3.98). Доведіть, що AB ⊥ СD. O C 1 3

C

2 4 D

B A Ðèñ. 3.97

F

B

A B

A

N

D Ðèñ. 3.98

M Ðèñ. 3.99

372•. Дано: AO = OB; AM ⊥ OA, BN ⊥ OB (рис. 3.99). Доведіть, що ∠AMN = ∠BNM.

Ñòîð³íêè ³ñòî𳿠Фалес і зародження великої грецької науки Íà ïî÷àòêó VI ñò. äî í. å. âèíèê íîâèé ïîòóæíèé öåíòð êóëüòóðíîãî æèòòÿ ñòàðîäàâíüîãî ñâ³òó — Ãðåö³ÿ. Çàâäÿ÷óþ÷è íîâ³é äåìîêðàòè÷í³é ôîðì³ ïðàâë³ííÿ, â ãðåöüêèõ ì³ñòàõ-äåðæàâàõ ç íåáà÷åíîþ äî òîãî ³íòåíñèâí³ñòþ розвивалися ìèñòåöòâà. З’явилися й ô³ëîñîôñüê³ øêîëè, â ÿêèõ проводилися ³íòåëåêòóàëüí³ ïîøóêè ºäèíèõ ïðèíöèï³â ñâ³òîáóäîâè ³ ñïðàâåäëèâèõ çàêîí³â îáëàøòóâàííÿ ñóñï³ëüíîãî æèòòÿ. Ëåãåíäàðíèì óîñîáëåííÿì öüîãî ðóõó до знань, «íàéïåðøèì ç ãðåöüêèõ ìóäðåö³â», ââàæàþòü Ôàëåñà. Ôàëåñ íàðîäèâñÿ â àç³éñüê³é ãðåöüê³é êîëîí³¿ ̳ëåò. Ó ìîëîä³ ðîêè, éìîâ³ðíî, áóâ êóïöåì ³ çä³éñíèâ äåê³ëüêà ïîäîðîæåé äî ªãèïòó ³ Âàâèëîí³¿. Òàì â³í ïðèëó÷èâñÿ

Фалес

168 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

äî ñêàðáíèö³ ñõ³äíî¿ ìóäðîñò³, à ïîâåðíóâøèñü íà áàòüê³âùèíó, çàñíóâàâ ïåðøó íàóêîâó øêîëó. Çîêðåìà, Ôàëåñ — ïåðøèé ç ó÷åíèõ, ç ÷è¿ì ³ì’ÿì ïîâ’ÿçóþòü äîâåäåííÿ êîíêðåòíèõ ãåîìåòðè÷íèõ ³ñòèí. Ó÷åíèé V ñò. í. å. Ïðîêë ijîäîõ ó ñâî¿х êîìåíòàðÿõ äî «Íà÷àë» Åâêë³äà, ïîñèëàþ÷èñü íà âòðà÷åíó «²ñòî­ ð³þ ãåîìåò𳿻 ªâäåìà Ðîäîñüêîãî (IV ñò. äî í.å.), ñòâåðäæóº, ùî Ôàëåñ ïåðøèì â³äêðèâ, ùî ïðè ïåðåòèí³ äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ñ³÷íîþ óòâîðþþòüñÿ ð³âí³ â³äïîâ³äí³ êóòè. ³äêðèâ Ôàëåñ ³ òåîðåìó ïðî ð³âí³ñòü äâîõ òðèêóòíèê³â, ó ÿêèõ ð³âí³ ñòîðîíè ³ äâà ïðèëåãëèõ äî íå¿ êóòè. ªâäåì ïðèïèñóº öå â³äêðèòòÿ ñàìå Ôàëåñó íà ò³é ï³äñòàâ³, ùî áåç íüîãî íåìîæëèâî âèð³øèòè çàäà÷ó ïðî çíàõîäæåííÿ â³äñòàí³ äî êîðàáëÿ íà ìîð³, ÿêó, çà легендою, вирішив Ôàëåñ. Äîñ³ äîñòåìåííî íåâ³äîìî, ÿêèì ñàìå áóëî ðîçâ’ÿçàííÿ Ôàëåñà. Най­ імовірніші äâà âàð³àíòè — «ãîðèçîíòàëüíèé» ³ «âåðòè­ êàëüíèé».

Фалес (третій зліва, що вказує на небесну сферу) серед легендарних сімох мудреців давнини. Помпейська мозаїка І ст. до н. е.

§17. Ознаки рівнобедреного трикутника 169

Серед «наймудріших» Фалес був єдиним представником від природознавчої науки. Усі інші — правителі та законодавці. Їхні список непостійний. Крім Фалеса, майже завжди називаються тільки афінянин Солон та спартанець Хілон. «Горизонтальний спосіб». Äëÿ âèçíà÷åííÿ â³äñòàí³ â³ä äîñòóïíî¿ òî÷êè À äî íåäîñÿæíî¿ òî÷êè  (íàïðèê­ ëàä, äî êîðàáëÿ íà ìîð³) íà ð³âí³é ì³ñöåâîñò³ áåðóòü ÿêèé-íåáóäü â³äð³çîê AD (ðèñ. 3.100) ³ ô³êñóþòü éîãî ñåðåäèíó Ñ. Ïîò³ì ÷åðåç òî÷êó D ïðîâîäÿòü ïðîì³íü DE ï³ä òèì ñàìèì êóòîì äî â³äð³çêà AD, ï³ä ÿêèì éîãî ïåðåòèíຠïðîì³íü ÀÂ, àëå у ïðîòèëåæíîìó äî À íàïðÿìêó. Íàðåøò³, íà ïðîìåí³ DE çíàõîäÿòü òàêó òî÷êó Å, ùîá òî÷êè Å, Ñ ³  ðîçì³ùóâàëèñÿ íà îäí³é ïðÿì³é. Òîä³ äîâæèíà â³äð³çêà DE äîð³âíþâàòèìå øóêàí³é â³äñòàí³ ÀÂ. Ñïðàâä³, îñê³ëüêè ó òðèêóòíèêàõ ÑÀ ³ CDE çà ïîáóäîâîþ AC = CD, ∠A = ∠D, à ∠ÀÑ = ∠DCE (ÿê âåðòèêàëüí³), òî, çà äðóãîþ îçíàêîþ, ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³. Òîìó ð³âíèìè º ³ ¿õí³ ñòîðîíè, ÿê³ ëåæàòü ïðîòè ð³âíèõ êóò³â, çîêðåìà, AB = DE. «Âåðòèêàëüíèé» ñïîñ³á âèì³ðþâàííÿ ì³ã ïîëÿãàòè ó âèçíà÷åíí³ êóòà çîðó ÀD íà íåäîñÿæíèé ïðåäìåò  ç ïîçèö³¿ D, ðîçòàøîâàíî¿ íà ñêåë³ ÷è íà вежі (ðèñ. 3.101) ç íàñòóïíîþ ïåëåíãàö³ºþ ï³ä öèì êóòîì ïåâíîãî îá’ºêòà Ñ íà ñóø³, â³äñòàíü äî ÿêîãî â³äîìà. Òîä³ øóêàíà â³äñòàíü À äîð³âíþє â³äîì³é â³äñòàí³ ÀÑ. Öå âèïëèâຠç ð³âíîñò³ (çà äðóãîþ îçíàêîþ) ïðÿìîêóòíèõ òðèêóòíèê³â DÀ i DÀÑ. Ñåðåä ³íøèõ ãåîìåòðè÷íèõ ôàêò³â, äîâåäåííÿ ÿêèõ ªâäåì ïðèïèñóº Ôàëåñó, — òåîðåìà ïðî ð³âí³ñòü êóò³â ïðè îñíîâ³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà. Íåçâàæàþ÷è íà âñþ ñâîþ î÷åâèäí³ñòü ³, çäàâàëîñÿ á, òðèâ³àëüí³ñòü, öåé ôàêò âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó ãåîìåò𳿠íàäçâè÷àéíî ÷àñòî, çîêðåìà, ïðè äîâåäåíí³ ³íøèõ äóæå âàæëèâèõ òåîðåì. ² ñåðåä íèõ — òðåòя îçíàêа ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â, яку ми вивчатимемо у наступному параграфі.

D

B C

E

A

Ðèñ. 3.100

D

A C Ðèñ. 3.101

B

170 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§18. Третя ознака рівності трикутників Ïðàêòè÷íèé äîñâ³ä ïåðåêîíóº, ùî трикутні ôîðìè не піддаються деформації. У зв’язку із цим äëÿ ïîñèëåííÿ âåëèêèõ несучих êîíñòðóêö³é, íàïðèêëàä, ôåðì ï³äéîìíèõ êðàí³â, перекидних ìîñò³â, âåëèêèõ перекриттів òîùî ¿õ ÷àñòî укріплюють ÷èñëåííèìè òðèêóòíèìè перемичками (рис. 3.102, 3.103). Юний експериментатор, якого ви бачите на рис. 3.104, в ефективності цього прийому переконався дослідним шляхом, а от сконструювати з трикутників бамбукові ноші, зображені на рис. 3.105, мабуть, допомогла інтуїція. Для створення ж конструкцій, схожих на головну спортивну арену для Всесвітньої літньої універсіади в Шеньчжені 2011 р. (рис. 3.106), потрібна була та ж інтуїція і глибока науково-інженерна думка.

Ðèñ. 3.102

Ðèñ. 3.103

Уроки 27–28

Ðèñ. 3.104

Пðè÷èíîþ æîðñòêîñò³ òðèêóòíèõ ôîðì º òå, ùî òðèêóòíèê ïîâí³ñòþ âèçíà÷àºòüñÿ ñâî¿ìè ñòîðîíàìè. Öå îçíà÷àº, що ñïðàâäæóºòüñÿ òàêà òðåòÿ îçíàêà ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â. Тео р ема (третя ознака рівності трикутників — за трьо­ ма сторонами). ßêùî òðè ñòîðîíè îäíîãî òðèêóòíèêà â³äïî­ â³äíî ð³âí³ òðüîì ñòîðîíàì ³íøîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³.

Ðèñ. 3.105

§18. Третя ознака рівності трикутників

171

Ðèñ. 3.106

До в е д е н н я . Íåõàé ó òðèêóòíèêàõ ÀÂÑ ³ À1Â1Ñ1 À = À1Â1, ÂÑ = Â1Ñ1, ÀÑ = À1Ñ1 (ðèñ. 3.107). По­ трібно довести, що ці трикутники рівні. Ïåðåì³ñòèìî òðèêóòíèê À1Â1Ñ1 так, ùîá сторона À1В1 ñóì³ñòèëàñÿ çі стороною АВ, а âåðøèíà Ñ1 ðîçì³ñòèòüñÿ ç ïðîòèëåæíîãî áîêó äî òî÷êè Ñ â³äíîñíî ïðÿìî¿ À (ðèñ. 3.108). Таке переміщення можливе — за аксіомою рухомості трикутника. Проведемо, далі, â³äð³çîê ÑÑ2. Оñê³ëüêè ÀÑ = ÀÑ1, ÂÑ = ÂÑ1, то òðèêóòíèêè ÀÑÑ1 ³ ÂÑÑ1 ð³âíîáåäðåíі. Тому ∠ÀÑÑ2 = ∠ÀÑ1Ñ, ∠ÂÑС2 = ∠ÂÑ2Ñ. Можливі три випадки взаємного розміщення відрізків АВ і СС1: 1) ïåðåòèí ó âíóòð³øí³é òî÷ö³ â³äð³çêà À (ðèñ. 3.108, а); C

C

B

A

A

à)

á) Ðèñ. 3.108

B

A C1 A1

B1 Ðèñ. 3.107

C

B

C1

C1

C

B

A

C1

â)

172

Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

2) ïåðåòèí â îäíîìó ç ê³íö³â â³äð³çêà À (ðèñ. 3.108, б); 3) відсутність точки перетину (ðèñ. 3.108, в).  óñ³õ òðüîõ âèïàäêàõ ð³âíèìè º êóòè ÀÑ òà ÀÑ1Â. Ó ïåðøîìó âèïàäêó âîíè äîð³âíþþòü ñóì³ ð³âíèõ êóò³â, ó òðåòüîìó — ð³çíèö³, à â äðóãîìó — º êóòàìè ïðè îñíîâ³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ÂÑÑ1. Îòæå, ó êîæíîìó âèïàäêу òðèêóòíèêè ÀÂÑ ³ ÀÂÑ1 ð³âí³ çà äâîìà ñòîðîíàìè òà êóòîì ì³æ íèìè. Тому ∆ABC = ∆A1B1C1. Теорему доведено. Цþ îçíàêó мîæíà äîâåñòè ³íàêøå. Ñóì³ñòèìî, ÿê ³ â ïåðøîìó ñïîñîá³, ñòîðîíè À і À1Â1 òðèêóòíèê³â ÀÂÑ ³ À1Â1Ñ1, à âåðøèíó Ñ1 ðîçì³ñòèìî з того боку â³ä ïðÿìî¿ ÀÂ, де розміщена òî÷êà Ñ (ðèñ. 3.109). Òîä³ достатньо буде äîâåñòè, ùî òî÷êè Ñ ³ Ñ1 çá³ãàþòüñÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî öå íå òàê ³ ïîçíà÷èìî ÷åðåç Ì ñåðåäèíó â³äð³çêà ÑÑ1. Ìàòèìåìî äâà ð³âíîáåäðåíèõ òðèêóòíèêè ÀÑÑ1 ³ ÂÑÑ1 ç³ ñï³ëüíîþ îñíîâîþ ÑÑ1, а ¿õí³ ìåä³àíè ÀÌ і ÂÌ áóäóòü îäíî÷àñíî é âèñîòàìè. Òî÷êи А, В і Ì íå можуть ëåæàòè на одній прямій, îñê³ëüêè â³äð³çîê ÑÑ1, що ì³ñòèòü òî÷êó М, весь ëåæèòü ç îäíîãî áîêó â³ä ïðÿìî¿ ÀÂ. Виходить, що ÷åðåç òî÷êó Ì ïðîõîäèòü äâ³ ïðÿì³ ÀÌ ³ ÂÌ, ïåðïåíäèêóëÿðí³ äî îäí³º¿ é ò³º¿ ñàìî¿ ïðÿìî¿ ÑÑ1. Îñê³ëüêè òàêå íåìîæëèâå, òî çðîáëåíå ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. Îòæå, òî÷êè Ñ ³ Ñ1 çá³ãàþòüñÿ. Òîìó ∆ABC = ∆A1B1C1.

C M

C1

B

A Ðèñ. 3.109

Розв’язуємо разом З ад ач а. Äîâåñòè, ùî коли відрізки АВ і DC, АD і ВС ïî­­ïàð­ íî ð³âí³ (рис. 3.110), то вони попарно па­ралельні. Розв’язання. Ïðîâåäåìî відрізок ÀÑ ³ ðîçãëÿíåìî òðèêóòíèêè ÀÂÑ і ÑDÀ. Âîíè ð³âí³, çà òðåòüîþ îçíà­ êîþ. Ç ð³âíîñò³ öèõ òðèêóòíèê³â âèïëèâàº, ùî ∠ÑÀ =

C

D

A

B Ðèñ. 3.110

§18. Третя ознака рівності трикутників

173

= ∠ACD, à ∠ÂÑÀ = ∠DAÑ. Ці кути є внутрішніми різносторонніми для пар прямих АВ і DC, АD і ВС та січної АС. Тому, çà îçíàêîþ ïàðàëåëüíîñò³, ÀÂ || CD, BC || DA. Òâåðäæåííÿ çàäà÷³ äîâåäåíî.

Вправи і задачі 373°. Чи рівні трикутники, зображені на рис. 3.111 (розміри сторін подані у сантиметрах)? Як їх можна сумістити? 374°. Чи рівні віконця, зображені на рис. 3.112? Чи можна їх поміняти місцями? Відповідь поясніть.

3

2,5

3

2,5

2

2

Ðèñ. 3.112

Ðèñ. 3.111

375°. Чи будуть рівними рівносторонні трикутники, якщо вони мають рівні периметри? 376°. Периметри двох трикутників рівні. Чи випливає звідси рівність трикутників? 377°. Доведіть рівність трикутників АВС і DCB, зображених на рис. 3.113. 378°. Доведіть рівність трикутників АВС і DВС, зображених на рис. 3.114. 379°. Дано: AB = BC, AD = DC (рис. 3.115). Доведіть, що ∠A = ∠С. B A

A

C

B

C

B

D D Ðèñ. 3.113

D Ðèñ. 3.114

A

C Ðèñ. 3.115

174 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

380°. Доведіть, що коли основа й бічна сторона одного рівнобедреного трикутника дорівнюють відповідно основі й бічній стороні іншого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. 381. На рис. 3.116 АВ = DC, АС = DВ. Доведіть рівність трикутників АВС і DСВ. 382. На рис. 3.116 АВ = DC, АС = DВ. Доведіть рівність трикутників АОВ і DОС. 383. На рис. 3.117 ∆АВD = ∆СDB. Доведіть, що ∆DAC = ∆BCA. 384. Дано: AB = BC, AD = DC (див. рис. 3.115). Доведіть, що ВD — бісектриса кута В. 385. На рис. 3.118 АВ = LM, АС = LN, ВN = CM. Доведіть, що трикутник ОNC — рівнобедрений. L

A

D

A

B

A

O

O B

C

D

B N

C Ðèñ. 3.117

Ðèñ. 3.116

C M Ðèñ. 3.118

86. Дано: AC = BD, OC = OD (рис. 3.119). Доведіть, що AD = BC. 3 387. Дано: AC = BD, AD = BC (рис. 3.119). Доведіть, що OC = OD. 388. Дано: AB = AD, BC = CD (рис. 3.120). Доведіть, що ∠BAO = ∠DAO, ∠BCO = = ∠DCO, BO = OD, AC ⊥ BD. 389. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О і ця точка є серединою кожного з них. Доведіть, що ∆ACD = ∆BDC. 390. Всередині рівнобедреного трикутника АВС з основою ВС взято точку М, рівновіддалену від вершин В і С. Доведіть, що промінь АМ перпендикулярний до ВС і є бісектрисою кута А. A C D

C

B

O

D

B

D

O A

B Ðèñ. 3.119

A Ðèñ. 3.120

A1 Ðèñ. 3.121

C

§19. Прямокутні трикутники 175

391•. Точки В, D і С лежать на одній прямій, а ∆АВС = ∆А1ВС (рис. 3. 121). Доведіть, що тоді ∆АDC = ∆ A1DC. 392•. Кожна з точок M і N рівновіддалена від кінців відрізка AB. Доведіть, що пряма MN перпендикулярна до відрізка АВ і ділить його навпіл. 393•. Доведіть рівність трикутників за двома сторонами і медіаною, проведеною до третьої сторони. 394•. Доведіть рівність рівнобедрених трикутників за бічною стороною і медіаною, проведеною до неї.

§19. Прямокутні трикутники Íàãàäàºìî, ùî òðèêóòíèê íàçèâàºòüñÿ ïðÿìîêóòíèì, ÿêùî у ньому є ïðÿìèé êóò. О зн ач ен н я . Дві сòîðîíè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, ÿê³ прилягають до прямого кута, íàçèâàþòüñÿ катетами, à òðåòÿ ñòîðîíà, яка ëåæèòü ïðîòè ïðÿìîãî êóòà, називається ã³ïîòåíóçîþ. Íà ðèñ. 3.122 çîáðàæåíî ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ABC. Ó íüîìó êóò Ñ — ïðÿìèé, CA ³ CB — êàòåòè, AB — ã³ïîòåíóçà. Òåðì³íè «êàòåò» ³ «ã³ïîòåíóçà» ãðåöüêîãî ïîõîä­ æåííÿ. Ñëîâî «êàòåòîñ» у ïåðåêëàä³ ç ãðåöüêî¿ ìîâè îçíà÷ຠ«ïðÿìîâèñíèé». Пðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè часто çîáðàæàþòü òàê, ùî îäíà ç³ ñòîð³í, ÿêà óòâîðþº ïðÿìèé êóò, óÿâëÿºòüñÿ ðîçì³ùåíîþ âåðòèêàëüíî, à ³íøà — ãîðèçîíòàëüíî. Вåðòèêàëüíó ñòîðîíó êîëèñü íàçèâàëè катетом, à горизонтальну — îñíîâîþ. ϳçí³øå çà îáîìà öèìè ñòîðîíàìè çàêð³ïèëàñÿ ñï³ëüíà íàçâà «êàòåòè». На рис. 3.123 і 3.124 зображені об’єкти, які мають форми прямокутних трикутників, розміщених так, що один з катетів займає вертикальне положення, тобто відповідає своїй первинній назві. Шпаківня — цілком реальна, а архітектурні споруди (житлова та офісна вежі, розділені штучною лагуною) — поки

Уроки 29–30

A

B C Ðèñ. 3.122

Ðèñ. 3.123

176 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Ðèñ. 3.124

що лише змодельовані: відповідний проект для столиці Камбоджі Пномпеня у 2010 р. запропонували чилійські архітектори Хорхе Ґарсес і Лала Маркес. Чимось схожий на цей, але значно грандіозніший і вже реалізований архітектурний проект зображений далі на рис. 3.129. Ñëîâî «ã³ïîòåíóçà» â äîñë³âíîìó ïåðåêëàä³ з грець­ кої мови îçíà÷ຠ«òà, ùî ñòÿãóº» (ìàºòüñÿ íà óâàç³ «ñòÿãóº ïðÿìèé êóò»). Åâêë³ä ã³ïîòåíóçó òàê ³ íàçèâàâ: «ñòîðîíà, ùî ñòÿãóº ïðÿìèé êóò». Із того, що прямокутний трикутник має прямий кут, випливає, що два інші його кути — гострі і що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Істинним є також обернене твердження, яке є оз­ накою прямокутних трикутників: якщо сума двох кутів трикутника дорівнює 90°, то трикутник — прямокутний. Справді, сума всіх трьох кутів трикутника дорів­ нює 180°, і якщо на два з них припадає 90°, то третій дорівнює 180° – 90° = 90°, тобто є прямим. При з’ясуванні рівності прямокутних трикутників береться до уваги те, що в них завжди є рівні еле­ менти — прямі кути, а також те, що одним із гострих

Замфір Думітреску. Прямокутний трикутник

§19. Прямокутні трикутники

кутів визначається й інший, оскільки він доповнює його до 90°. Взявши до уваги перший фактор, з першої ознаки рівності довільних трикутників безпосередньо виводиться ознака рівності прямокутних три­ кутників за двома катетами: яêùî êаòåòè îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðè­ êóòíèêа відповідно дорівнюють катетам ³íøîãî прямокутного трикутника, òî òаê³ òðèêóòíèêè ð³âí³ (рис. 3.125). Якщо ж узяти до уваги обидва згадані фактори, то з другої ознаки рівності довільних трикутників легко виводяться ознаки рівності прямокутних три­кутників за катетом та прилеглим або про­ лежним гострим кутом та за гіпотенузою ти­ і при­леглим гострим кутом: яêùî êàòåò ³ ïðèëåãëèé (або протилежний) ãîñòðèé êóò îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî êàòåòó òà ïðèëåãëîìó (або протилежному) ãîñòðîìó êóòó ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³ (рис. 3.126, а, б). ßêùî ã³ïîòåíóçа ³ ïðèëåãëèé ãîñòðèé êóò îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî ã³ïîòåíóç³ òà ïðèëåãëîìó ãîñòðîìó êóòó ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³ (рис. 3.127). Ñïðàâä³, íåõàé ó äâîõ ïðÿìîêóòíèõ трикутників ð³âí³ êàòåòè ³ ïî îäíîìó ç ïðèëåãëèõ äî íèõ ãîñòðèõ êóò³â (див. рис. 3.126, а). Оñê³ëüêè ð³âíèìè º ùå é ïðÿì³ êóòè, ÿê³ òåæ ïðèëÿãàþòü äî цèõ êàòåò³â, òî, çà äðóãîþ îçíàêîþ, òðèêóòíèêè ð³âí³. ßêùî æ ó ïðÿìîêóòíèõ òðèêóòíèêàõ ð³âí³ ã³­ïî­ òå­íóçè ³ ïî îäíîìó ç ãîñòðèõ êóò³â (ðèñ. 3.127), òî ð³âíèìè º é ³íø³ ãîñòð³ êóòè, — îñê³ëüêè â ñóì³ ãîñòðі êóòè äàþòü 90°. Îòæå, òðèêóòíèêè ð³âí³ çà òîþ самою äðóãîþ îçíàêîþ.

Ðèñ. 3.125

à)

á) Ðèñ. 3.126

Ðèñ. 3.127

177

178

Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Ще одна ознака рівності прямокутних трикутників потребує окремого доведення. Тео р ема (ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою). ßêùî êàòåò ³ ã³ïîòåíóçà îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî êàòåòó é ã³ïîòåíóç³ ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³. Доведення. Нехай маємо прямокутні трикутники АВС і А1В1С1, у яких ∠С = ∠С1 = 90°, ВС = В1С1, АВ = А1В1 (рис. 3.128, а). Перемістимо трикутник А1В1С1 так, щоб сумістилися катети АС і А1С1, а вершини В і В1 розмістилися по різні боки від прямої АС (рис. 3. 128, б). Дістанемо ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê АВВ1, у ÿêîìó АС — âèñîòà, ïðîâåäåíà äî îñíîâè ВВ1. Îñê³ëüêè öÿ âèñîòà º é á³ñåêòðèñîþ, òî ∠ВАС = = ∠В1АÑ. Îòæå, òðèêóòíèêè ÀÂÑ ³ À1С1В1 ð³âí³ çà ïåðøîþ îçíàêîþ. Теорему доведено.

A A1

B

B

C C1 à) A,A1

C,C1 á) Ðèñ. 3.128

Чудовою наочною ілюстрацією усіх ознак рівності прямокутних трикутників є вежі Всесвітнього торго­ вого центру в Бахрейні (рис. 3.129), зведені у 2008 р. (загальна висота кожної вежі 240 м). Застосуємо одну з ознак для доведення цікавої властивості прямокутних трикутників, ùî мають êóòи 30°. Тео р ема (ïðî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ç ãîñòðèì êóòîì 30°). Êàòåò прямокутного трикутника, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà 30°, äîð³âíþº ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè. Навпаки, якщо катет прямокутного три­кут­ ника дорівнює половині гіпотенузи, то гострий кут, що лежить проти цього катета, дорів­ нює 30°.

Ðèñ. 3.129

B1

B1

§19. Прямокутні трикутники 179

До в е д е н н я . Íåõàé ó òðèêóòíèêó ÀÑ ∠Ñ = 90°, ∠À = 30° (ðèñ. 3.130). Òîä³ ∠ = 60°. Ïðîäîâæèìî êàòåò ÂÑ çà âåðøèíó Ñ íà òàêó ñàìó äîâæèíó ÑÂ1 = = ÂÑ ³ сполучимо â³äð³çêîì òî÷êè À ³ Â1. Дістанемо ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ÀÑÂ1, ÿêèé, çà ïåðøîþ îçíàêîþ, ð³âíèé òðèêóòíèêó ÀÑÂ. Òîìó ∠ = ∠Â1 = = 60°. Звідси випливає, що ∆ABB1 — ð³âíîñòîðîíí³é. Îòæå, À = BB1. Àëå ÂÂ1 = 2ÂÑ. Отже, АВ = 2ВС. Тому катет ВС дорівнює половині гіпотенузи АВ. Обернене твердження доведіть самостійно.

A 30°

B1

C Ðèñ. 3.130

B

Вправи і задачі 395°. Накресліть рівнобедрений трикутник АВС з основою ВС і проведіть його висоту АН. Доведіть рівність прямокутних трикутників АВН і АСН на підставі різних ознак рівності прямокутних трикутників. 396°. Накресліть рівнобедрений прямокутний трикутник з катетами по 6 см і визначте його гострі кути — спочатку вимірюванням, а потім обчисленням. Чи збігаються результати? 397°. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 45°. Доведіть, що цей трикутник — прямокутний. 398°. Накресліть рівносторонній трикутник АВС зі стороною 7 см, а потім проведіть його медіану АМ. Визначте кути трикутника АМВ — спочатку вимірюванням, а потім обчисленням. Чи збігаються результати? 399°. Визначте гострі кути прямокутного трикутника, якщо їхня різниця дорівнює 20°. 400°. Визначте гострі кути прямокутного трикутника, якщо один із них учетверо менший від іншого. 401°. У трикутнику АВС ∠С = 90°, ∠А = 45°, АС = 5 см. Визначте ВС. 402°. У прямокутному трикутнику ABC кут A дорівнює 30°, а катет BC — 40 см. Визначте гіпотенузу AB. 403°. У прямокутному трикутнику ABC кут B дорівнює 60°, а гіпотенуза AB — 10 см. Визначте катет BC. 404. Визначте гострі кути прямокутного трикутника, якщо їхні градусні міри відносяться, як 3 : 7. 405. Визначте гострі кути прямокутного трикутника, якщо один із його зовнішніх кутів дорівнює 135°.

180 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

06. На рис. 3.131 ∠В = ∠С, ∠АМВ = ∠АМС. Доведіть, що АВ = АС. 4 407. На рис. 3.132 ∠АСD = ∠САВ = 90°, АD || ВС. Доведіть, що АВ = DC. 408. На рис. 3.133 СН — висота прямокутного трикутника АСВ, проведена до гіпотенузи. Визначте гострі кути трикутника АВС, якщо ∠НСВ = 40°. A

B

A

A H

B

M Ðèñ. 3.131

C

D

C Ðèñ. 3.132

40° B C Ðèñ. 3.133

A 409. На рис. 3.134 АМ ⊥ ВN, BN ⊥ MN, AM = BN. Доведіть, що точка О є серединою кожного з відрізків N АВ і MN. M O 410. На рис. 3.134 АМ ⊥ ВN, BN ⊥ MN, MO = ON. Доведіть, що точка О є серединою відрізка АВ. B 411. На рис. 3.134 АМ ⊥ ВN, BN ⊥ MN, АO = OВ. ДовеÐèñ. 3.134 діть, що точки А і В рівновіддалені від прямої MN. 412. На рис. 3.135 ∠В = ∠D, АС — бісектриса кута А. A Доведіть, що АВ = АD, СВ = DВ. 413. Доведіть, що висота прямокутного трикутника, B D проведена до гіпотенузи, ділить прямий кут на кути, що дорівнюють гострим кутам трикутника. 414. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і медіаною, проведеною до нього. 415. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катеC том і медіаною, проведеною до іншого катета. Ðèñ. 3.135 416. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і висотою, проведеною до гіпотенузи. 417. Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом і бісектрисою, проведеною до гіпотенузи. 418. Доведіть, що в рівнобедреного трикутника дві висоти рівні. 419. Доведіть, що коли трикутник має дві рівні висоти, то він — рівнобедрений. 420. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, утворює з бічною стороною кут 60°. Визначте довжину цієї висоти, якщо бічна сторона трикутника дорівнює 12 см.

§20. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника

181

421. Прямі AB і CD паралельні. Визначте довжину їхнього спільного перпендикуляра, якщо AD = 8 см, а ∠ADC = 30°. 422. Пряма перетинає дві паралельні прямі. Один із кутів, які вона утворює з однією із цих прямих, дорівнює 150°. Визначте довжину відрізка січної з кінцями на паралельних прямих, якщо довжина спільного перпендикуляра між цими прямими дорівнює 7 см. 423. У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, а сума гіпотенузи й меншого катета — 60 см. Визначте довжину гіпотенузи. 424•. Доведіть методом «від супротивного», що висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, лежить усередині трикутника. 425•. Визначте кут між прямими, які містять бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника. • 426 . Доведіть, що медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи. 427•. Доведіть рівність гострокутних трикутників за стороною та проведеними до неї медіаною і висотою. 428•. Доведіть, що коли медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з гіпотенузою кут 30°, то гіпотенуза трикутника учетверо більша за висоту, проведену до неї. 429•. Доведіть, що коли гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 15°, то висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює чверті гіпотенузи. Чи істинне обернене твердження?

§20. Співвідношення між сторонами Уроки і кутами трикутника 31–32 У §16 розглядався спосіб побудови рівнобедреного трикутника за допомогою циркуля і лінійки, коли задано основу ВС і бічну сторону АВ (див. рис. 3.61). Тоді нас цікавили властивості рівнобедреного трикутника і ми не зауважили, що описані побудови можуть не дати потрібного результату. Справді, якщо задана бічна сторона АВ буде мен­шою від половини основи ВС, то дуги, які ми проводили із центрів В і С для визначення вершини А трикутника, не перетнуться (рис. 3.136). Тому рівнобедреного трикутника з такими довжинами сторін не існує.

A

B

C Ðèñ. 3.61

182 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Описана побудова має важливе узагальнення, яке ми детально розглянемо в наступному розділі. Воно полягає у тому, щоб побудувати різносторонній трикутник, коли задані всі його сторони. У зв’язку з цим виникає питання про те, які співвідношення між сторонами трикутника можливі. Відповідь на це питання ми дістанемо у кінці цього параграфа. А для цього нам потрібно попередньо з’ясувати, які залежності існують у трикутнику між довжинами сторін і величинами протилежних їм кутів. Із âëàñòèâîñòåé òà îçíàê ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóò­ íèêà âèïëèâàº, ùî ïðîòè ð³âíèõ ñòîð³í ó такому òðè­ êóòíèêó ëåæàòü ð³âí³ êóòè, à ïðîòè ð³âíèõ êóò³â — ð³âí³ ñòîðîíè. À ÿêùî ñòîðîíè íå ð³âí³, òî ÿêå ñï³ââ³äíîøåííÿ існує ì³æ êóòàìè, ùî ëåæàòü ïðîòè íèõ? Або: ÿêùî êóòè íå ð³âí³, òî ÿêå ñï³ââ³äíîøåííÿ існує ì³æ ñòîðîíàìè, ùî ëåæàòü ïðîòè íèõ? У òîìó разі, êîëè довжини ñòîð³í àáî âåëè÷èíè êóò³â â³ä÷óòíî â³äð³çíÿþòüñÿ, іç êîíêðåòíèõ ðèñóíê³â äîâîë³ î÷åâèäíо, ùî ïðîòè á³ëüøîãî êóòà ëåæèòü і á³ëüøà ñòîðîíà, à ïðîòè á³ëüøî¿ ñòîðîíè — á³ëüøèé êóò (рис. 3.137). Виявляється, що ця закономірність справджується завжди, навіть тоді, коли з рисунка вона не очевидна.

B

Ðèñ. 3.136

Ðèñ. 3.137

Тео р ема (ïðî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè і êóòàìè òðèêóòíèêà). Ó áóäü-ÿêîìó òðèêóòíèêó ïðîòè á³ëüøî¿ ñòîðîíè ëåæèòü á³ëüøèé êóò, à ïðîòè á³ëüøîãî êóòà — á³ëüøà ñòîðîíà. До в е д е н н я . Íåõàé ó òðèêóòíèêó ÀÂÑ ñòîðîíà À á³ëüøà çà ñòîðîíó ÀÑ (ðèñ. 3.138). Äîâåäåìî, ùî òîä³ êóò Ñ á³ëüøèé за кут Â. Äëÿ öüîãî â³äêëàäåìî íà ñòîðîí³ À â³äð³çîê ÀÑ1, ð³âíèé ìåíø³é ñòîðîí³ ÀÑ трикутника, і сполучимо òî÷êè Ñ ³ Ñ1. Дістанемо

C

C

A

C1 Ðèñ. 3.138

B

§20. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника 183

ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê ÀÑÑ1 ç îñíîâîþ ÑÑ1. Îòæå, ∠ÀÑÑ1 = ∠ÀÑ1Ñ. Àëå êóò ÀÑÑ1 є ÷àñòèíîþ êóòà ÀÑÂ, тому âåñü êóò ÀÑ á³ëüøèé за кут ÀÑÑ1. Ç ³íøîãî áîêó, êóò ÀÑ1Ñ º çîâí³øí³ì äëÿ òðèêóòíèêà ÑÑ1Â. Òîìó â³í á³ëüøèé за íåñóì³æíий ç íèì êóò Â. Âèõîäèòü, ùî êóò Ñ òðèêóòíèêà á³ëüøèé, à êóò  — ìåíøèé â³ä ð³âíèõ êóò³â ÀÑÑ1 і ÀÑ1Ñ. Òîìó ∠Ñ > ∠B, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. Íåõàé тепер, навпаки, êóò Ñ á³ëüøèé за кут  (ðèñ. 3.139). Äîâåäåìî, ùî òîä³ é ñòîðîíà À á³ëüøà за сторону ÀÑ. Ñïðàâä³, ö³ ñòîðîíè íå ìîæóòü áóòè ð³âíèìè, áî òîä³ ïðîòè ð³âíèõ ñòîð³í ëåæàëè á ð³âí³ êóòè Ñ і Â, àëå, çà óìîâîþ, âîíè íå ð³âí³. Êð³ì öüîãî, ñòîðîíà À íå ìîæå áóòè é ìåíøîþ â³ä ñòîðîíè ÀÑ, áî òîä³, ÿê ùîéíî äîâåäåíî, êóò Ñ áóâ áè ìåíøèì â³ä êóòà Â. Òîìó çàëèøàºòüñÿ ºäèíà ìîæëèâ³ñòü: ñòîðîíà À á³ëüøà за сторону ÀÑ. Òåîðåìó äîâåäåíî. Н асл ід о к 1. У прямокутному трикутнику гіпотенуза біль­ ша за будь-який з катетів. Н асл ід о к 2. У тупокутному трикутнику сторона, що ле­ жить проти òóïîãî êóòà, є найбільшою. Твердження обох наслідків випливають із того, що ó òðèêóòíèêó ìîæå áóòè ëèøå îäèí ïðÿìèé і один òóïèé êóò, ³ тоді â³í є íàéá³ëüøèм ç-ïîì³æ óñ³õ êóò³â. Òîìó ïðîòè íüîãî лежить ³ íàéá³ëüøà ñòîðîíà. Тепер доведемо основну теорему цього параграфа — про співвідношення між сторонами будь-якого три­кут­ника. Те орема (ïðî íåð³âí³ñòü òðèêóòíèêà). У трикутнику кîæíà ñòîðîíà ìåíøà â³ä ñóìè äâîõ ³íøèõ ñòîð³í.

C

B

A Ðèñ. 3.139

184 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

До в е д е н н я . Íåõàé ìàºìî äîâ³ëüíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ (ðèñ. 3.140). Äîâåäåìî, äëÿ ïðèêëàäó, ùî ÀÑ < À + ÂÑ. Äëÿ öüîãî ïðîäîâæèìî ñòîðîíó À çà òî÷êó  ³ â³äêëàäåìî íà öüîìó ïðîäîâæåíí³ â³äð³çîê ÂÂ1 = ÑÂ. Сполучивши òî÷êè Â1 ³ Ñ, дістанемо ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê ÂÑÂ1 ç îñíîâîþ ÑÂ1. Ó öüîìó òðèêóòíèêó ∠ÂÑÂ1 = ∠ÂÂ1Ñ. Ç ³íøîãî áîêó, êóò ÀÑ º ò³ëüêè ÷àñòèíîþ êóòà ÀÑÂ1. Òîìó ∠ÀÑÂ1 á³ëüøèé за кут ÂÑÂ1 ³, îòæå, á³ëüøèé за кут ÂÂ1Ñ. Òîìó â òðèêóòíèêó ÀÑÂ1 ïðîòè ìåíøîãî êóòà Â1 ëåæèòü ìåíøà ñòîðîíà ÀÑ, í³æ ïðîòè á³ëüøîãî êóòà Ñ: AC < AB1. À ÿêùî â³çüìåìî äî óâàãè, ùî ÀÂ1 = À + ÂÑ, òî çâ³äñè é дістанемо ïîòð³áíó íåð³âí³ñòü: ÀÑ < AB + BC. Íåð³âí³ñòü AC < AB + BC äëÿ ñòîð³í òðèêóòíèêà ÀÂÑ íàçèâàþòüñÿ íåð³âí³ñòþ òðèêóòíèêà.

C

A

B Ðèñ. 3.140

B1

Н асл ід о к 1 . У трикутнику кîæíà ñòîðîíà á³ëüøà за різницю двох інших сторін. Доведення. ³äí³ìàþ÷è À â³ä îáîõ ÷àñòèí до­ве­ деної íåð³âíîñò³ ÀÑ < AB + BC, маємо: ÂÑ > AC – AB. Аналогічно ìîæíà îäåðæàòè, що AB > AC – BC. À ÿêùî âçÿòè äî óâàãè ³íøу нерівність äëÿ ñóì ñòîð³í: À < AC + BC, òî так само дістанемо: ÀC > AB – ÂC. Наслідок äîâåäåíî. Насл ід о к 2 . ßêùî ñïðàâäæóºòüñÿ ð³âí³ñòü ÀÑ + Ñ = ÀÂ, òî òî÷êà Ñ íàëåæèòü â³äð³çêó À (ðèñ. 3.141). Д о в е д е н н я . Ïðèïóñòèìî, ùî òî÷êà Ñ ëåæèòü ïîçà ïðÿìîþ ÀÂ. Òîä³ çà íåð³âí³ñòþ òðèêóòíèêà AC + CB > AB. À öå ñóïåðå÷èòü óìîâ³ ÀÑ + Ñ = ÀÂ. Îòæå, це ïðèïóùåííÿ íåïðàâîì³ðíå. ßêáè òî÷êà Ñ ëåæàëà íà ïðÿì³é À çà ìåæàìè â³äð³çêà ÀÂ, òî àáî â³äð³çîê ÀÑ, àáî â³äð³çîê ÂÑ áóâ áè á³ëüøèì çà ÀÂ. Òîìó ð³âí³ñòü ÀÑ + Ñ = A òåæ íå ìîãëà á

A

C Ðèñ. 3.141

B

§20. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника 185

âèêîíóâàòèñÿ. Îòæå, çàëèøàºòüñÿ ºäèíà ìîæëèâ³ñòü: òî÷êà Ñ належить â³äð³çêó ÀÂ. À äëÿ öüîãî âèïàäêó ð³âí³ñòü ÀÑ + Ñ = À випливає з аксіоми про вимірювання відрізків. Нàñë³äîê äîâåäåíî.

Розв’язуємо разом З адач а. Точки А і В лежать по один бік від прямої m (рис. 3.142). Знайти на прямій таку точку М, для якої сума відстаней АМ і МВ набуває найменшого значення. Р озв ’ я зан н я . Проведемо через точку А пряму, перпендикулярну до прямої m, і відкладемо від точки Н її перетину з прямою m відрізок НА1 = АН. Нехай О — точка перетину прямих m і А1В. Відрізок ОН є медіаною і висотою у трикутнику ОАА1. За відповідною ознакою, цей трикутник — рівнобедрений. Тому АО = А1О. Аналогічно з’ясовуємо, що АМ = А1М. Звідси випливає, що сума АМ + МВ = А1М + МВ. За нерівністю трикутника, А1М + МВ > А1В. Отже, яка б не було точка М на прямій m, завжди А1М + МВ > > А1О + ОВ. Тому точка О є шуканою. Зауваження. Оскільки ∠АОН = ∠А1ОН (у рів­ но­бедреному трикутнику ОАА1 медіана ОН є бісек­ трисою), а ∠А1ОН = ∠ВОМ (як вертикальні), то ∠АОН = ∠ВОМ. Це означає, що прямі АО і ОВ утво­ рюють з прямою m рівні кути. Зважаючи на відомий фізичний закон відбивання світла, звідси випливає такий цікавий факт: шлях світлового променя від точки А до точки В з відбиванням від прямої m є най­ коротшим з усіх можливих. Ньютон уважав, що Бог створив світ за зако­ нами геометрії. Як тут не повіриш у це!

B A H O

M

m

A1 Ðèñ. 3.142

Фронтиспис так званої моралізаторської Біблії (Bible moralise′e) 1250 р. — французької рукописної Біблії у картинках з короткими моральними настановами. Зображено Бога-творця, який з допомогою циркуля окреслив межі Всесвіту і створив круглі Сонце (праворуч) і Місяць (ліворуч). Безформна маса, в яку встромлена ніжка циркуля, — ще не сформована Земля.

186 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Вправи і задачі 430°. Накресліть який-небудь різносторонній гострокутний трикутник. Виміряйте з допомогою лінійки усі його сторони, а з допомогою транспортира усі кути, та переконайтесь, що твердження теореми про співвідношення між сторонами і кутами трикутника виконується. 431°. У трикутнику АВС АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 10 см. Який кут трикутника найбільший, а який — найменший? 432°. У трикутнику АВС ∠А = 55°, ∠С = 30°. Яка сторона трикутника найбільша, а яка — найменша? 433°. Порівняйте кути трикутника АВС, якщо AB < BC < AC. Які кути цього трикутника не можуть бути ні прямими, ні тупими? 434°. Порівняйте сторони трикутника LMN, якщо ∠L > ∠M > ∠N. 435°. Чи може існувати трикутник з такими довжинами сторін: а) 5 см, 6 см, 7 см; б) 5 см, 6 см, 12 см? 436°. Чи можуть довжини сторін трикутника відноситися, як: а) 1 : 2 : 3; б) 4 : 7 : 9; в) 5 : 7 : 12? 437°. Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 3 см і 7 см. Визначте периметр трикутника. 438. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 6 см. Якою може бути його основа, якщо вона має виражатися цілим числом? 439. У рівнобедреному трикутнику одна сторона дорівнює 4 см, а інша — 9 см. Котра із них основа, а котра — бічна сторона? 440. Який кут у рівнобедреному трикутнику більший — при основі чи при вершині, якщо основа дорівнює 6 см, а сума бічних сторін — 13 см? 441. Що більше — основа чи бічна сторона рівнобедреного трикутника, якщо зовнішній кут при основі дорівнює 135°? 442. Чи може існувати трикутник, у якого периметр і одна зі сторін відповідно дорівнюють: а) 17 см і 9 см ; б) 17 см і 5 см? 443. У трикутнику АВС АС < AB, ∠B > ∠A. Котрий із кутів трикутника є найбільшим? 444. У рівнобедреному трикутнику АВС ∠А > ∠B, BC > AB. Яка сторона є основою трикутника? 445. Одна зі сторін рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, а периметр — 19 см. Визначте сторони трикутника. 446. Одна зі сторін рівнобедреного трикутника на 2 см менша від іншої, а периметр трикутника дорівнює 22 см. Визначте сторони трикутника.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ

187

447. Доведіть, що відрізок, який сполучає вершину рівнобедреного трикутника з будь-якою точкою на його основі, яка не є вершиною, менший від бічної сторони трикутника. 448. Доведіть, що кожна сторона трикутника менша від половини його периметра. 449•. Доведіть, що сума двох сторін трикутника більша за його півпериметр. 450•. Доведіть, що медіана CM трикутника ABC менша від півсуми сторін СA і CB. 451•. Доведіть, що сума медіан трикутника менша від його периметра. 452•. Точка М лежить усередині трикутника АВС. Доведіть, що АВ + АС > МВ + МС. 453•. Точка лежить усередині трикутника. Доведіть, що сума відстаней від цієї точки до вершин трикутника більша за його півпериметр. 454•. Доведіть, що сума висот трикутника менша від його периметра.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ Трикутник і його елементи

Ñ

A

B

Трикутник — це фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки — сторонами. Позначення: DАВС, DАСВ, DСАВ тощо. Тут А, В, С — вершини, АВ, ВС, АС — сторони. Кутом (внутрішнім кутом) трикутника АВС при вершині А називається кут ВАС, утворений променями АВ і АС. Позначення: ∠А, ∠В, ∠С. Кут А уважається проти­ лежним до сторони ВС, а сторони АВ і АС — прилеглими до кута А. Елементи трикутника — це його вершини, сторони і кути. Периметр трикутника — сума довжин усіх його сторін. Периметр позначається літерою P. Отже, PDАВС = АВ + ВС + + АС. Слово «периметр» походить від грецьких слів «пері» — «навколо» і «метрео» — «вимірюю». Буквально означає «міра обводу».

188 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Бісектриса, медіана і висота трикутника A

B

H L M

Á³ñåêòðèñîþ òðèêóòíèêà íàçèâàºòüñÿ â³äð³çîê бісектриси його внутрішнього кута, ùî сполучає âåðøèíó òðèêóòíèêà іç òî÷êîþ íà ïðîòèëåæí³é ñòîðîí³. Ìåä³аíîþ òðèêóòíèêà íàçèâàºòüñÿ â³äð³çîê, ùî сполучає âåðøèíó òðèêóòíèêà ³ç ñåðåäèíîþ ïðîòèëåæíî¿ ñòîðîíè. Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону. На рисунку АL — á³ñåêòðèñà, АÌ — ìåä³àíà, АH — C висота òðèêóòíèêà ÀÂÑ, проведені з вершини А до протилежної сторони ВС.

Види трикутників за величинами кутів

Якщо всі кути трикутника гострі, то трикутник називається гострокутним. Якщо у трикутнику є прямий кут, то трикутник називається прямокутним, а якщо є тупий кут — то тупокутним.

Ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê

Ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê

Òóïîêóòíèé òðèêóòíèê

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ 189

Сума кутів трикутника

Ñ

M

1

3

N

2

A

B

Òåîðåìà (ïðî ñóìó êóò³â òðèêóòíèêа). Ñóìà êóò³â áóäü-ÿêîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþº 180°. Д о в е де н н я . Проведемо MN || АВ. ∠А = ∠1 — як внутрішні різносторонні при паралельних прямих MN і січній СА. Так само ∠В = ∠2. Отже, ∠А + ∠В + ∠С = ∠1 + + ∠2 + ∠3 = 180°. Íàñë³äêи (ïðî величини кутів òðèêóòíèêа). Трикут­ ник не може мати двох негострих кутів — прямих або тупих. У кожному трикутнику принаймні два кути — гострі. Ñóìà ãîñòðèõ êóò³â ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþº 90°.

Зовнішній кут трикутника

Зовнішній кут трикутника — це кут, суміжний із внутрішнім кутом. ∠АВМ — зовнішній для DАВС. Òåîðåìà (ïðî çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêа). Çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêà äîð³âíþº ñóì³ äâîõ âíóòð³øí³õ êóò³â, íå ñóì³æíèõ ç íèì. Д о в е де н н я . ABM = 180° - ∠B. ∠A + ∠C = 180° - ∠B. C Тому ∠ÀÂÌ = ∠À + ∠Ñ, Наслідок. Çîâí³øí³é êóò òðèêóòíèêà á³ëüøèé за будь-який âíóòð³øíій êóò, íå ñóì³æíий ç íèì.

A

M

B

Рівність трикутників

L

A M C

N

B A

A

C B

Â

Ñ

Трикутники називаються рівними, якщо їх можна сумістити шляхом переміщення. У рівних трикутниках рівні всі відповідні елементи — сторони і кути. Позначення: DABC = DLMN. Цей запис означає, що ∠À = ∠L, ∠B = ∠M, ∠C = N. Аксіома рухомості трикутника. Який би не був три­ кутник, його можна перемістити у задане положення відносно даної півпрямої. Трикутник А′В ′С ′ — переміщене положення трикутника АВС у положення, визначене півпрямою m.

190 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

Ознаки рівності трикутників

C

C1

A A1 B

C

C1

A A1 B

Перша ознака рівності трикутників — за двома сторонами і кутом між ними. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні. До в е д е н н я . Перемістимо DАВС так, щоб вершина А сумістилася з А1, сторона АВ розмістилася на півпрямій B1 А В , а вершина С — з того боку від прямої А В , з якого 1 1 1 1 розміщена точка С1. Оскільки АВ = А1В1, то точка В суміститься з точкою В1. ÐА = ÐА1, тому кут А суміститься з кутом А1, а півпряма АС — з півпрямою А1С1. Оскільки АС = А1С1, то точка С суміститься з точкою С1. Отже, DАВС сумістився з DА1В1С1. Тому вони рівні. Друга ознака рівності трикутників — за стороною і двома прилеглими кутами). Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикут­ ника, то такі трикутники рівні. До в е д е н н я . Перемістимо DАВС так, щоб вершина А сумістилася з вершиною А1, сторона АВ розмістилася на півпрямій А1В1, а вершина С — з того боку від прямої А1В1, B1 з якого розміщена точка С . Оскільки АВ = А В , то точка 1 1 1 В суміститься з точкою В1. Оскільки ÐА = ÐА1, то кут А суміститься з кутом А1, а півпряма АС — з півпрямою А1С1. Так само півпряма ВС суміститься з півпрямою В1С1. Тоді точка С суміститься з точкою С1, оскільки дві півпрямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Отже, DАВС сумістився з DА1В1С1. Тому ці трикутники рівні.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ

C M

191

Третя ознака рівності трикутників — за трьома сторонами. ßêùî òðè ñòîðîíè îäíîãî òðèêóòíèêà â³äïîâ³äíî ð³âí³ òðüîì ñòîðîíàì ³íøîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³. До в е д е н н я . Ñóì³ñòèìî ñòîðîíè À і À1Â1 òðèêóòíèê³â ÀÂÑ ³ À1Â1Ñ1, à âåðøèíó Ñ1 ðîçì³ñòèìî з того боку â³ä ïðÿìî¿ ÀÂ, де розміщена òî÷êà Ñ. Ïðèïóñòèìî, ùî при цьому òî÷êè Ñ ³ Ñ1 не сумістилися. Нехай тоді Ì — ñåðåäèíа â³äð³çêà ÑÑ1. У ð³âíîáåäðåíèõ трикутниках ÀÑÑ1 ³ ÂÑÑ1 ìåä³àíè ÀÌ і ÂÌ є âèñîòàìè. Отже, ÷åðåç òî÷êó Ì B ïðîõîäèòü äâ³ ïðÿì³ ÀÌ ³ ÂÌ, ïåðïåíäèêóëÿðí³ äî îäí³º¿ é ò³º¿ ñàìî¿ ïðÿìî¿ ÑÑ1. Îñê³ëüêè òàêå íåìîæëèâå, òî òî÷êè Ñ ³ Ñ1 çá³ãàþòüñÿ. Òîìó DABC = DA1B1C1.

C1

A

Рівнобедрений і рівносторонній трикутники A

B

C

a) L

M

N

á)

Тðèêóòíèê íàçèâàºòüñÿ ð³âíîáåäðåíèì, ÿêùî він має äâ³ рівні ñòîðîíè. гâí³ ñòîðîíè ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà íàçèâàþòüñÿ á³÷íèìè ñòîðîíаìè, à òðåòÿ ñòîðîíà — îñíîâîþ. Коли говорять про вершину рівнобедреного трикутника, то зазвичай мають на увазі ту, яка протилежна основі. Інші дві вершини називають вершинами при основі. На рисунку DÀÂÑ — рівнобедрений, À ³ АÑ — його бічні сторони, ВÑ — основа, А — вершина, В і С — вершини при основі. Òðèêóòíèê, ó ÿêîãî âñ³ ñòîðîíè ð³âí³, íàçèâàºòüñÿ ð³âíîñòîðîíí³ì àáî ïðаâèëüíèì. На рисунку DLMN — ð³âíîñòîðîíí³é.

192 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

A

B

L

C

A

3 60°

1 60°

60° 2

B

C

A

B

L

C

A

B

L

C

Властивості ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêа. Бісек­ триса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, ділить трикутник на два рівних трикутники і є медіаною та висотою. Кути при основі рівнобе­ дреного трикутника рівні. Доведення. Íåõàé ÀL — á³ñåêòðèñà рівнобедреного òðèêóòíèêа ÀÂÑ. Îñê³ëüêè AB = AÑ, ∠BAL = ∠CAL, òî, çà ïåðøîþ îçíàêîþ рівності трикутників, DALB = DALC. Звідси BK = CK. Оòæå, AL — ìåä³àíà òðèêóòíèêà DÀÂÑ. ∠AKB = ∠AKC. Ці кути суміжні, а тому âîíè — ïðÿì³. Îòæå, AL — âèñîòà òðèêóòíèêà DÀÂÑ. ∠ = ∠Ñ, а тому кути ïðè îñíîâ³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà рівні. Наслідок. Всі кути рівностороннього трикутника рівні і дорівнюють по 60°. Д о в е д е н н я . Оскільки АВ = АС, то ∠1 = ∠2, а оскільки ВА = ВС, то ∠2 = ∠3. Отже, всі три кути рівностороннього трикутника рівні. Тому кожен з них дорівнює третині від 180°, тобто 60°. Оçíàêà ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà за кута­ ми. ßêùî ó òðèêóòíèêó äâà êóòè ð³âí³, òî â³í — ð³âíîáåäðåíèé. Доведення. Íåõàé ∠ = ∠Ñ. Ïðîâåäåìî á³ñåêòðèñó AL. ∠ =∠Ñ, ∠ÂÀL = ∠CAL, òîму ∠ALB = ∠ALC (ñóìà êóò³â òðèêóòíèêà дорівнює 180°). Òîìó çа за другою ознакою DALB = DALC. Çâ³äñè AB = AC. Отже, трикутник АВС — рівнобедрений. Наслідок. Трикутник, у якому всі кути рівні (по 60°), є рівностороннім. Ознаки ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà за відрізка­ ми. Якщо у трикутнику висота збігається з медіаною або з бісектрисою, то трикутник — рівнобедрений. Äîâåäåííÿ. 1. Íåõàé AL — ìåä³àíà й âèñîòà òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Òîä³ ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ALB ³ ALC ð³âí³ çà ïåðøîþ îçíàêîþ. Çâ³äñè À = ÀÑ. Îòæå, òðèêóòíèê ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé. 2. Íåõàé AL — âèñîòà ³ á³ñåêòðèñà òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Òîä³ ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ALB ³ ALC ð³âí³ çà äðóãîþ îçíàêîþ, îñê³ëüêè êàòåò AL ó íèõ ñï³ëüíèé, à ïðèëåãë³ ãîñòð³ êóòè ð³âí³. Çâ³äñè À = ÀÑ. Отже, òðèêóòíèê ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ 193

Прямокутні трикутники

A

C

B

Тðèêóòíèê íàçèâàºòüñÿ ïðÿìîêóòíèì, ÿêùî він має ïðÿìèé êóò. Сòîðîíè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, ÿê³ прилягають до прямого кута, íàçèâàþòüñÿ катетами, à ñòîðîíà, яка ëåæèòü ïðîòè ïðÿìîãî êóòà, називається ã³ïîòåíóçîþ. На рисунку АС і ВС — катети, АВ — гіпотенуза. Òåðì³íè «êàòåò» походить від грецького «êàòåòîñ», що îçíà÷ຠ«ïðÿìîâèñíèé». Ñëîâî «ã³ïîòåíóçà» â äîñë³âíîìó ïåðåêëàä³ з грецької мови îçíà÷ຠ«òà, ùî ñòÿãóº» (ìàºòüñÿ íà óâàç³ «ñòÿãóº ïðÿìèé êóò»). У прямокутному трикутнику два кути гострі. Сума го­ стрих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Ознака прямокутного трикутника. Якщо сума двох кутів трикутника дорівнює 90°, то трикут­ ник — прямокутний. До в е д е н н я . Сума усіх кутів трикутника дорівнює 180°, тому якщо два з них у сумі дають 90°, то третій дорівнює 180° – 90° = 90°, тобто є прямим.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

1. За двома катетами. ßêùî êаòåòè îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêа відповідно дорівнюють катетам ³íøîãî прямокутного трикутника, òî òаê³ òðèêóòíèêè ð³âí³. 2. За катетом та прилеглим або протилежним гострим кутом. ßêùî êàòåò ³ ïðèëåãëèé (або протилеж­ ний) ãîñòðèé êóò îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî êàòåòó òà ïðèëåãëîìó (або протилежному) ãîñòðîìó êóòó ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³. 3. За гіпотенузою і прилеглим гострим кутом. ßêùî ã³ïîòåíóçа ³ ïðèëåãëèé ãîñòðèé êóò îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî ã³ïîòåíóç³ òà ïðèëåãëîìó ãîñòðîìó êóòó ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³.

194 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

A , A1

B

C,C1

B1

4. За катетом і гіпотенузою. ßêùî êàòåò ³ ã³­ïî­ òåíóçà îäíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî êàòåòó é ã³ïîòåíóç³ ³íøîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà, òî òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³. Д о в е д е н н я . Нехай у трикутниках АВС і А1В1С1 ∠С = ∠С1 = 90°, ВС = В1С1, АВ = А1В1. Перемістимо трикутник А1В1С1 так, щоб сумістилися катети АС і А1С1, а вершини В і В1 розмістилися по різні боки від прямої АС. Дістанемо ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê АВВ1, у ÿêîìó АС — âèñîòà, ïðîâåäåíà äî îñíîâè ВВ1. Îñê³ëüêè вона º é á³ñåêòðèñîþ, òî ∠ВАС = ∠В1АÑ. Îòæå, òðèêóòíèêè ÀÂÑ ³ À1С1В1 ð³âí³ çà ïåðøîþ îçíàêîþ.

Властивість прямокутного трикутника з кутом 30°

A 30°

B1

B

C

Êàòåò прямокутного трикутника, ùî ëåæèòü ïðîòè êóòà 30°, äîð³âíþº ïîëîâèí³ ã³ïîòåíóçè. Навпаки, якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний го­ стрий кут дорівнює 30°. Д о в е де н н я. Íåõàé ó DÀÑ ∠Ñ = 90°, ∠À = 30° (ðèñ. 3.130). Òîä³ ∠ = 60°. Відкладемо ÑÂ1 = ÂÑ. DÀÑÂ1 = DÀÑÂ. Òîìó ∠ = ∠ = 60°. Отже, DABB1 — ð³âíîñòîðîíí³é і À = BB1. Àëå ÂÂ1 = 2ÂÑ. Тому АВ = = 2ВС. Навпаки, якщо АВ = 2ВС, то АС є медіаною і висотою у DABB1. Отже, цей трикутник рівнобедрений, а тому й рівносторонній. Тому ∠В = 60°, а ∠∠А = 90° – 60° = 30°.

Співвідношення між сторонами і кутами в довільному трикутнику C

A

C1

B

Теорема (ïðî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè і êóòàìè òðèêóòíèêà). Ó áóäü-ÿêîìó òðèêóòíèêó ïðîòè á³ëüøî¿ ñòîðîíè ëåæèòü á³ëüøèé êóò, à ïðîòè á³ëüøîãî êóòà — á³ëüøà ñòîðîíà Д о в е де н н я. Íåõàé À > ÀÑ. В³äêëàäåìî ÀÑ1 = ÀÑ. DÀÑÑ1 рівнобедрений, тому ∠ÀÑÑ1 = ∠ÀÑ1Ñ. ∠ÀÑÑ1 є ÷àñòèíîþ êóòà ÀÑÂ, тому ∠ÀÑ > ÀÑÑ1. Ç ³íøîãî áîêó, ∠ÀÑ1Ñ º çîâí³øí³ì äëÿ DÑÑ1Â. Òîìó ∠ÀÑ1Ñ > ∠Â. Отже, ∠Ñ á³ëüøèé, à ∠ — ìåíøèé â³ä ð³âíèõ êóò³â ÀÑÑ1 і ÀÑ1Ñ. Òîìó ∠Ñ > ∠B, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ 195

C

B

A

C

A

B

B1

Íåõàé, навпаки, ∠Ñ > ∠Â. Còîðîíè AB і AC íå ìîæóòü áóòè ð³âíèìè, áî òîä³ й êóòè Ñ і  були б рівними. Сторона À íå ìîæå áóòè ìåíøîþ â³ä ÀÑ, áî òîä³, ÿê ùîéíî äîâåäåíî, ∠Ñ áóâ áè ìåíøèì â³ä ∠Â. Òîìó çàëèøàºòüñÿ ºäèíà ìîæëèâ³ñòü: À > ÀÑ. Òåîðåìó äîâåäåíî. Наслідки. 1. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за будь-який з катетів. 2. У тупокутному трикутнику сторона, що ле­ жить проти òóïîãî êóòà, є найбільшою. Теорема (ïðî íåð³âí³ñòü òðèêóòíèêà). У будь-якому трикутнику АВС справджується нерівність трикут­ ника: ÀÑ < AB + BC. Доведення. Пðîäîâæèìî À çà òî÷êó  ³ â³äêëàäåìî ÂÂ1 = ÑÂ. У рівнобедреному òðèêóòíèêу ÂÑÂ1 ∠ÂÑÂ1 = ∠ÂÂ1Ñ. Кóò ÀÑ º ÷àñòèíîþ êóòà ÀÑÂ1. Òîìó ∠ÀÑÂ1 > ∠ÂÑÂ1 ³, îòæå, ∠ÀÑÂ1 > ∠ÂÂ1Ñ. Òîìó в DÀÑÂ1 AC < AB1. À оскільки ÀÂ1 = À + ÂÑ, òî ÀÑ < AB + BC.

Перевір себе

1. Що таке трикутник? Назвіть елементи трикутника і дайте їхні означення. 2. Дайте означення кута трикутника. Як класифікуються трикутники залежно від величин їхніх кутів? 3. Що таке периметр трикутника? 4. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів трикутника. Які наслідки вона має? 5. Що таке зовнішній кут трикутника? Сформулюйте і доведіть теорему про зовнішній кут трикутника. Які наслідки вона має? 6. Які трикутники називаються рівними? Як записується рівність трикутників? 7. Сформулюйте аксіому рухомості трикутника. 8. Сформулюйте і доведіть першу ознаку рівності трикутників. 9. Сформулюйте і доведіть другу ознаку рівності трикутників. 10. Дайте означення рівнобедреного трикутника і його елементів. 11. Що таке рівносторонній трикутник? 12. Дайте означення бісектриси, медіани і висоти трикутника.

196 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

13. Сформулюйте і доведіть теорему про властивості рівнобедреного трикутника. Які наслідки вона має для рівностороннього трикутника? 14. Сформулюйте і доведіть ознаку рівнобедреного трикутника за кутами. 15. Сформулюйте і доведіть ознаку рівнобедреного трикутника за відрізками. 16. Сформулюйте і доведіть третю ознаку рівності трикутників. 17. Дайте означення прямокутного трикутника і його елементів. 18. Сформулюйте і доведіть ознаку прямокутного трикутника за кутами. 19. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності прямокутних трикутників. 20. Сформулюйте і доведіть властивість прямокутного трикутника, що має гострий кут 30°. 21. Сформулюйте і доведіть теорему про співвідношення між сторонами і кутами у довільних трикутниках. Які наслідки вона має для прямокутних і тупокутних трикутників? 22. Сформулюйте і доведіть теорему про співвідношення між сторонами трикутника. Що таке нерівність трикутника?

Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІІ 1°. а) За рис. 3.143, а) визначте довжину відрізка ВС і градусну міру кута А. б) За рис. 3.143, б) визначте довжину відрізка DС і градусну міру кута D. A

B

B

10 ñì 15 ñì D

135° C

A

120°

D

à)

C

á)

Ðèñ. 3.143

2°. а) На рис. 3.144, а) точка О — середина відрізка MN. Визначте кут В. б) На рис. 3.144, б) трикутник АВС — рівнобедрений з основою ВС. Визначте кут САN. 3°. а) Чи є трикутник АВС на рис. 3.145, а) рівнобедреним? Обґрунтуйте. б) Чи є трикутник АВС на рис. 3.145, б) рівнобедреним? Обґрунтуйте. 4°. а) За рис. 3.146, а) визначте кут В. Обґрунтуйте. б) За рис. 3.146, б) визначте кут M. Обґрунтуйте.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ 197

B

A

30° M

B

30° O

M

C

100°

N

40° 40°

115° B

N A á)

à)

80° B C

A

65° C à)

A á)

Ðèñ. 3.145

Ðèñ. 3.144

45° L

A 35°

110°

60° B

C

M

N á)

à) Ðèñ. 3.146

5. а) Один із кутів трикутника дорівнює 25°, а різниця двох інших кутів дорівнює 75°. Визначте невідомі кути. б) Різниця двох кутів трикутника дорівнює 10°, а кут, суміжний із третім кутом, дорівнює 140°. Визначте кути трикутника. 6. а) Дано: AO = OB, CO = OD (рис. 3.147, а). Доведіть, що ∠А = ∠В, ∠C = ∠D. б) Дано: АО = СО, ОВ = ОD (рис. 3.147, б). Доведіть, що ∠А = ∠С, ∠В = ∠D. A

D D O

A C

C

O B

B

à)

á) Ðèñ. 3.147

7. а) Дано: AB = AC, ∠B = ∠C (рис. 3.148, а). Доведіть, що ∠1 = ∠2. б) Дано: OA = OB, ∠1 = ∠2 (рис. 3.148, б). Доведіть, що OC = OD. 8. а) Дано: AD = BC; ∠1 = ∠2 (рис. 3.149, а). Доведіть, що OC = OD. б) Дано: АС = BC; AM = BN (рис. 3.149, б). Доведіть, що AN = BM.

198 Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

A 1 2 B

C

D O

2

1 C

à)

B

A

á)

Ðèñ. 3.148 C D

C O

A

1

M 2

N

B A

à)

B

á) Ðèñ. 3.149

9. а) Доведіть, що коли всі кути трикутника дорівнюють по 60°, то цей трикутник рівносторонній. б) Доведіть, що коли у рівнобедреному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, то цей трикутник рівносторонній. 10. а) Доведіть рівність прямокутних трикутників за гострим кутом і висотою, проведеною до гіпотенузи. б) Доведіть рівність гострокутних трикутників за двома сторонами і висотою, проведеною до третьої сторони. 11. а) У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 30°, а бічна сторона — 8 см. Визначте довжину медіани трикутника, проведеної до основи. б) У рівнобедреному трикутнику кут між бічними сторонами дорівнює 120°, а бічна сторона — 8 см. Визначте бісектрису, проведену до основи. 12. а) У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 60°, а різниця гіпотенузи й меншого катета дорівнює 5 см. Визначте довжину гіпотенузи. б) У прямокутному трикутнику різниця гострих кутів дорівнює 30°, а сума гіпотенузи й меншого катета дорівнює 9 см. Визначте довжину гіпотенузи. 13•. а) Дано: OC = OD, ∠1 = ∠2 (рис. 3.150). Доведіть, що ∠3 = ∠4, а OQ — бісектриса кута O.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IІІ 199

б) Дано: OA = OB, ∠3 = ∠4 (рис. 3.150). Доведіть, що ∠1 = ∠2, а OQ — бісектриса кута O. 14•. а) Дано: AB = BC, AM = MC (рис. 3.151). Доведіть, що AD = DC. б) Дано: AB = BC, AD = DC (рис. 3.151). Доведіть, що AM = MC. B A D

3 C

O

1 Q 2 D

A

C

4

Ðèñ. 3.150

B

M Ðèñ. 3.151

15•. а) У трикутнику ABC AB = AC, K — точка перетину бісектрис кутів B і C. Доведіть, що AK ⊥ BC. б) У трикутнику ABC AB = AC, H — точка перетину висот, проведених з вершин B і C. Доведіть, що AH ⊥ BC. • 16 . а) Точка, що лежить на висоті трикутника, рівновіддалена від кінців сторони, до якої проведена ця висота. Доведіть, що трикутник рівнобедрений. б) Точка лежить усередині рівнобедреного трикутника і рівновіддалена від вершин основи. Доведіть, що ця точка лежить на висоті трикутника, проведеній до основи.

Ó öåíòð³ — êîìïîçèö³ÿ Ìà𳿠Ïðèéìà÷åíêî «Ñîíÿøíèê æèòòÿ», 1963

Розділ ІV

Êîëî ³ êðóã. Геометричні побудови

Вступ

Óæå íå ðàç у цьому підручнику çàçíà÷àëîñÿ, ùî äàâíüîãðåöüêîãî ìóäðåöÿ Ôàëåñà ââàæàþòü ïåðøèì, õòî çàïðîâàäèâ ó ãåîìåòð³þ äîâåäåííÿ. Çîêðåìà, Ôàëåñ, як уважається, першим äîâ³â òàê³ ãåîìåòðè÷í³ ³ñòèíè: 1) ð³âí³ñòü âåðòèêàëüíèõ êóò³â; 2) äðóãó îçíàêó ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â; 3) ð³âí³ñòü êóò³â ïðè îñíîâ³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà. А ще Фалесу приписують доведення двох властивостей кола і круга: 1) діаметр круга ділить круг на дві рівні частини (рис. 4.1); 2) з будь-якої точки кола його діаметр видно під прямим кутом (рис. 4.2). ßêîþ á î÷åâèäíîþ íå âèäàâàëàñÿ перша із цих âëàñòèâостей, àëå ùîá ñòàòè незаперечним ãåîìåòðè÷íèì ôàêòîì ¿¿ ïîòð³áíî äîâåñòè çà âñ³ìà ïðàâèëàìè ãåîìåòð³¿, òîáòî âèâåñòè ç óæå âñòàíîâëåíèõ ³ñòèí. Ìè зможемо äîâåсти її через один урок — як наслідок з теореми про âëàñòèâість ä³àìåòðà êîëà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äî õîðäè. Натомість друга з доведених Фалесом властивостей кола аж ніяк не очевидна. Легенда стверджує, що за її доведення Фалес приніс у жертву бика. Однак після того, як вона була відкрита, довести її навіть легше, ніж першу, і ми це зробимо вже на цьому уроці. На наступних кількох уроках ðîçãëÿдатимуться ð³çí³ ìîæëèâîñò³ äëÿ âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ êîëà

Уроки 33–34

Ðèñ. 4.1

Ðèñ. 4.2

202 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

³ ïðÿìî¿, à òàêîæ взаємного розміщення äâîõ ê³ë. Îñîáëèâî виокремлюють ãðàíè÷í³ âèïàäêè, êîëè ці ô³ãóðè äîòèêàþòüñÿ îäíà äî îäíî¿ (рис. 4.3 і рис. 4.4). Àíàëîã³÷í³ ãðàíè÷í³ âèïàäêè äëÿ взаємного ðîçì³ùåííÿ кола і трикутника õàðàêòåðèçóþòüñÿ ïîíÿòòÿìè âïèñàíîãî та îïèñàíîãî кіл. Зокрема, ви довідаєтеся, що навколо будь-якого трикутника можна описати коло (рис. 4.5) і в будь-який трикутник можна вписати коло (рис. 4.6), причому для кожного трикутника кожне із цих кіл буде лише одне. Ó äðóã³é частині ðîçä³ëó ðîçãëÿäàтимуòüñÿ теорети÷í³ основи геометричних ïîáóäîâ çà äîïîìîãîþ öèðêóëÿ і ë³í³éêè. Ці ïîáóäîâè ìàþòü äàâíþ ³ñòîð³þ, ³ âони çíà÷íою ì³ðою ñòèìóëþâàëè ðîçâèòîê геометрії. Зокрема, ви довідаєтеся про застосування в геометричних побудовах ліній з певними властивостями — так званих геометричних місць точок. Одним із найважливіших геометричних місць точок є коло. Буде розглянуто й декілька інших важливих прикладів.

Фалес. Гравюра на основі античного бюсту з музею скульптури Ватикану

Ðèñ. 4.3

Ðèñ. 4.4

Ðèñ. 4.5

Ðèñ. 4.6

§21. Коло і круг 203

§21. Коло і круг Усім добре відома геометрична фігура, яку креслять за допомогою циркуля (рис. 4.7). Це — коло. Відомий також спосіб побудови кола за допомогою мотузки і двох кілків, який інколи застосовують для розбиття клумб (рис. 4.8). У кожному разі всі точки побудованого кола знаходяться на однаковій відстані від однієї точки (О), в якій застромлена ніжка циркуля або нерухомий кілок. О зн ач ен н я . Кîëîì íàçèâàºòüñÿ геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, які рів­ новіддалені від деякої точки. Цю точку на­ зивають центром кола, а відстань від центра кола до будь-якої його точки — радіусом кола. Рàä³óñîì êîëà íàçèâàºòüñÿ ³ áóäü-ÿêèé з â³äð³çків, ÿêі сполучають öåíòð êîëà ç éîãî òî÷êами. На рис. 4.9 зображено коло з центром О і два його радіуси ОM і ОN. Слово «центр» походить від латинського слова «центрум», а те, у свою чергу, від грецького «кентрон», що означає «вістря», «гострий кінець палиці». Ñëîâî «ðàä³óñ» â ïåðåêëàä³ ç ëàòèíè îçíà÷ຠ«ïðîì³íü». Рàä³óñè êîëà справді âèõîäÿòü іç éîãî öåíòðà, неíà÷å ïðîìåí³. Із цим порівнянням пов’язані й ô³çè÷íі òåðì³íи «ðàä³îàêòèâíèé» òà «ðàä³àö³éíèé». Рàä³óñ êîëà íàé÷àñò³øå ïîçíà÷àþòü ïåðøîþ літерою éîãî ëàòèíñüêî¿ íàçâè — R àáî r. ³äð³çîê ç ê³íöÿìè íà êîë³ íàçèâàºòüñÿ õîðäîþ êîëà. Íà рис. 4.10 À — îäíà ³ç õîðä зображеного êîëà ç öåíòðîì Î. Ñëîâî «õîðäà» áåðå ñâ³é ïî÷àòîê â³ä ãðåöüêîãî ñëîâà «êóåðäà», ùî îçíà÷ຠ«òÿòèâà ëóêà», а також

Ðèñ. 4.7

Ðèñ. 4.8 M R O

N

Ðèñ. 4.9 B A O

Ðèñ. 4.10

204 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

«струна». ßêùî äóãó ëóêà óÿâëÿòè ó ôîðì³ äóãè êîëà, òî òÿòèâà, ÿêà ñòÿãóº ê³íö³ ö³º¿ äóãè, ñïðàâä³ áóäå õîðäîþ (рис. 4.11). У зв’язку з цим і про хорду кола кажуть, що вона стягує його дугу. ßêùî õîðäà À ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð êîëà (рис. 4.12), òî âîíà íàçèâàºòüñÿ ä³àìåòðîì êîëà («ä³àìåòðос» в перекладі з грецької означає «ïîïåðå÷íèê»). Î÷åâèäíî, ùî ä³àìåòð êîëà äîð³âíþº äâîì éîãî ðàä³óñàì. Кінці діаметра інколи називають діаметрально протилежними точками кола. Такими на рис. 4.12 є точки А і В. Вони розміщуються на однакових відстанях по різні боки від центра. Часто цей термін використовується і в розмовній мові — коли говорять про цілком протилежні точки зору (погляди) на якусь подію чи явище. Ëåãêî äîâåñòè, ùî áóäü-ÿêà õîðäà êîëà, ÿêà íå º éîãî ä³àìåòðîì, ìåíøà â³ä ä³àìåòðà. Ñïðàâä³, íåõàé õîðäà ÑD íå ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð Î êîëà (рис. 4.13). Òîä³ òî÷êè Î, Ñ, D íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é, òîáòî º âåðøèíàìè äåÿêîãî òðèêóòíèêà. ³äïîâ³äíî äî íåð³âíîñò³ òðèêóòíèêà, ÑD < ÎÑ + ÎD, à çâ³äñè ÑD < 2R, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. ßêùî â³äñòàíü ÎР â³ä öåíòðà êîëà О äî якоїсь òî÷êè Р площини ìåíøà â³ä ðàä³óñà êîëà, òî ïðî òàêó òî÷êó Р êàæóòü, ùî âîíà ëåæèòü уñåðåäèí³ êîëà (рис. 4.14). ßêùî ж â³äñòàíü ÎР â³ä öåíòðà äî òî÷êè Р більша за ðàä³óñ, то про таку точку Р кажуть, що вона лежить зовні кола (рис. 4.15). О зн ач ен н я . Ñóêóïí³ñòü óñ³õ òî÷îê ïëîùèíè, ÿê³ ëåæàòü на колі й уñåðåäèí³ нього, íàçèâàºòüñÿ êðóãîì (рис. 4.16). Öåíòð і радіус êîëà íàçèâàюòüñÿ також öåíòðîì і радіусом êðóãà. Коротко кажуть, що круг — це сукупність усіх точок площини, обмежених колом. Очевидно, також

Ðèñ. 4.11

A

B

O

Ðèñ. 4.12 C D

R R O

Ðèñ. 4.13

P

O

Ðèñ. 4.14

§21. Коло і круг 205

ùî êðóã — öå ñóêóïí³ñòü óñ³õ òî÷îê ïëîùèíè, ÿê³ çíàõîäÿòüñÿ â³ä центра íà â³äñòàíÿõ, ùî íå ïåðåâèùóþòü його радіуса. Õîðäи і ä³àìåòðи êîëà íàçèâàþòüся відповідно õîðäами і ä³àìåòðами îáìåæåíîãî íèì êðóãà. Зауважте, що центр, будь-який радіус, діаметр чи будь-яка хорда круга належать кругу, однак не належать колу, яке його обмежує. Форму кола або круга має один із найдавніших і найвидатніших винаходів людства — колесо. Çîáðàæåííÿ êîë³ñ ç³ øïèöÿìè (фізичних прообразів кіл та їхніх радіусів) знаходимо навіть у íàéдавн³øèõ ïàì’ÿòêàõ ºãèïåòñüêî¿ êóëüòóðè (рис. 4.17). Ç ïðàäàâí³õ ÷àñ³â ïîì³÷åíî, ùî êðóãîâèì º äîáîâèé ðóõ Ñîíöÿ, ̳ñÿöÿ òà ç³ðîê по íåáîñõèëу. У зв’язку з цим тривалий час (аж до XVII ст.) коло було основним геометричним елементом у побудові моделей всесвіту (рис. 4.18). Êð³ì óñüîãî öüîãî, êîëî ³ êðóã ìàþòü äîâåðøåí³ (ñèìåòðè÷í³) ôîðìè, òîìó âîíè çäàâíà використоâóþòüñÿ äëÿ ïðîåêòóâàííÿ àðõ³òåêòóðíèõ ñïîðóä і ñòâîðåííÿ îðíàìåíò³â (рис. 4.19). Óñå öå ñïîíóêàëî âæå íàéäàâí³øèõ учених äî ´ðóíòîâíîãî дослідження ãåîìåòðè÷íèõ âëàñòèâîñòåé êîëà ³ êðóãà.

P

O

Ðèñ. 4.15

O

Ðèñ. 4.16

Ðèñ. 4.17

Ðèñ. 4.18. Ñèìâîë³÷í³ çîáðàæåííÿ êðóãîâèõ ñèñòåì ñâ³òó Ïòîëåìåÿ (ïëàíåòè ðóõàþòüñÿ ïî êîëàõ íàâêîëî Çåìë³) ³ Êîïåðíèêà (ïëàíåòè ðóõàþòüñÿ ïî êîëàõ íàâêîëî Ñëíöÿ).

206 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Тео р ема Фа лес а (про кут, під яким діаметр кола видно з точки на колі). З будь-якої точки кола його діаметр видно під прямим кутом. До вед ення . Нехай АВ — діаметр кола, О — його центр, С — довільна точка на колі (рис. 4.20). Потрібно довести, що ∠АСВ = 90°. Трикутник ОАС — рівнобедрений, оскільки ОА = ОС (як радіуси кола). Тому ∠ОАС = ∠ОСА. Аналогічно доводимо, що ∠ОВС = ∠ОСВ. Якщо додамо праві й ліві частини останніх двох рівностей, то дістанемо: ∠А + ∠В = ∠С. Підставляючи цей результат замість перших двох доданків у рівність для суми кутів трикутника: ∠А + ∠В + ∠С = 180°, матимемо: 2∠С = 180°. Звідси ∠С = 90°, що й треба було довести. Зауваження. Аби бути зовсім точним, то у формулюванні теореми Фалеса потрібно вказувати, що у ній не беруться до уваги ті дві точки кола, які є кінцями взятого діаметра. Справді, якщо точка С збігається з кінцем А чи В діаметра АВ (див. рис. 4.20), то кути С стають невизначеними.

Ðèñ. 4.19. ³òðàæ ñîáîðó Ïàðèçüêî¿ Áîãîìàòåð³

C

A

O

B

Ðèñ. 4.20

Вправи і задачі 455°. Накресліть коло з радіусом 3 см, позначте його центр літерою О. Проведіть який-небудь радіус цього кола, потім діаметр, а після цього яку-небудь хорду, яка не є діаметром. Чи може хорда мати довжину 3 см? Якщо так, то як побудувати хорду саме такої довжини? Чи може хорда мати довжину 7 см? 456°. Накресліть коло з діаметром 7 см. Позначте всередині кола яку-небудь точку М, що не збігається з центром, а на колі — яку-небудь точку Р. Проведіть через ці точки радіус, діаметр і по одній хорді. Яку найбільшу довжину можуть мати хорди? Чи можна було б виконати ці побудови для точки М, якби вона лежала поза колом?

§21. Коло і круг 207

457°. Ви виміряли діаметр скла круглого наручного годинника. Чи можна за цими даними визначити довжину хвилинної стрілки? 458°. На колі взято довільну точку. Скільки діаметрів і скільки хорд можна провести через цю точку? Чи всі вони будуть різними за довжиною? 459°. Усередині кола взято точку. Скільки діаметрів і скільки хорд можна через неї провести? Чи всі вони будуть різними за довжиною? 460°. Дано коло. Яку лінію утворюють всі точки площини, відстані від яких до центра кола: а) вдвічі менші від його радіуса; б) вдвічі менші від діаметра; в) вдвічі більші за діаметр? 461°. Чи може хорда кола дорівнювати: а) радіусу; б) двом радіусам; в) трьом радіусам; г) половині радіуса? 462°. На рис. 4.21 зображені різні прямолінійні відрізки у крузі (O — центр круга). Які з них є: діаметрами; хордами; радіусами? Чи істинне таке твердження: «Діаметри й радіуси круга є його хордами»? 463°. Діаметр кола на 4 см довший за радіус. Яким є радіус і яким — діаметр? 464°. Побудуйте коло з діаметром АВ, що дорівнює 6 см, а на ньому — точки М і Р, для якої хорди АМ і ВР відповідно дорівнюють 2,5 см і 1,5 см. Виміряйте за допомогою транспортира кути АМВ і АРВ. Чи впевнені ви у тих результатах, які одержали? 465°. На рис. 4.22 AB і CD — діаметри кола. Доведіть, що: 1) AC = DB; 2) AC || DB. Обґрунтуйте, як на підставі цієї властивості, лише за допомогою однієї лінійки, можна побудувати дві рівні або дві паралельні хорди кола. 466°. На рис. 4.23 AB — діаметр кола, AC = CB. Визначте кути A, B і C. Чому дорівнює кут AOC? D

A

D

P

C B

Q

B B

O

O

O

E F

A A

C Ðèñ. 4.21

C Ðèñ. 4.22

Ðèñ. 4.23

467°. На рис. 4.24 хорди AB і BC рівні. Доведіть, що кути 1 і 2 теж рівні. Чи обов’язково будуть рівними AB і BC, якщо рівні кути 1 і 2? 468. На рис. 4.25 AB — діаметр кола, CB і DB — рівні хорди. Доведіть, що ∠1 = = ∠2. Чи обов’язково будуть рівними хорди CB і DB, якщо ∠1 = ∠2?

208 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

B

B A

C

C

1 2 1 2

A

O

B

D Ðèñ. 4.24

C

O

A Ðèñ. 4.26

Ðèñ. 4.25

469. На рис. 4.26 AB — діаметр кола, O — його центр. Доведіть, що ∠AOC = = 2∠OBC. 470. На рис. 4.27 AB — діаметр кола, O — його центр, BC = BO. Визначте ∠ABC. 471. На рис. 4.28 AB — діаметр кола, AE || BF. Доведіть, що AE = BF. B C

F

B O

O

E

A A Ðèñ. 4.27

Ðèñ. 4.28

§22. Коло і круг як геометричні місця точок Ви знаєте, що будь-яка сукупність точок площини називається геометричною фігурою. Якщо ж про точки геометричної фігури відомо, що вони характеризуються певною властивістю, і немає інших точок на площині, які мають цю властивість, то таку геометричну фігуру називають геометричним місцем точок. Оз н ач ен н я . Геометричним місцем точок називають фі­ гуру, яка складається з усіх тих, і лише

Урок 35

§22. Коло і круг як геометричні місця точок 209

тих точок площини, що мають певну влас­ тивість. Зверніть увагу на слова, виділені в цьому означенні жирним шрифтом. Вони дуже важливі. Наприклад, відповідно до цього означення, коло є геометричним місцем точок площини, рівновідда­ лених від деякої точки (центра кола). Справді, по-перше, усі точки кола рівновіддалені від його центра. А по-друге, лише ці точки віддалені від центра на ту саму відстань, тобто на площині немає інших точок, які мають цю властивість. На противагу цьому, наприклад, дуга кола, тобто частина кола, обмежена якими-небудь двома його точками А і В (рис. 4.29), або круг (рис. 4.30) уже не є геометричними місцями точок, рівновіддалених від центра О. У першому випадку зазначена фігура (дуга кола) не вміщує всіх точок площини, рівновіддалених від точки О, а в другому випадку вказаній фігурі (кругу) належать не лише ті точки, що рівновіддалені від центра на певну відстань, а ще й ті, що знаходяться від центра ближче за цю відстань. Однак можна сказати, що круг є геометричним місцем точок площини, відстані від яких до центра круга не перевищують певної величини. Отже, для того, аби можна було стверджувати, що якась фігура (множина точок) є геометричним місцем точок з певною властивістю, потрібно довести два взаємно обернені твердження: 1) кожна точка цієї фігури має зазначену вла­стивість; 2) якщо точка має зазначену властивість, то вона належить цій фігурі. У попередньому параграфі було доведено теорему Фалеса, згідно з якою, з будь-якої точки С кола його діаметр АВ видно під прямим кутом (рис. 4.31). Чи можна на підставі цього стверджувати, що коло з

B

A O

Ðèñ. 4.29

O

Ðèñ. 4.30

C

A

O

Ðèñ. 4.31

B

210 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

діаметром АВ є геометричним місцем точок М, з яких цей діаметр видно під прямим кутом (рис. 4.32)? Ні, не можна, адже, як уже зауважувалося у попередньому параграфі, точки А і В кола не мають цієї властивості. То, може, все коло без цих двох виняткових точок А і В є таким геометричним місцем точок? Аби це довести, потрібно показати, що жодна точка N, яка лежить усередині кола або ззовні нього, не має зазначеної властивості. Якщо точка N належатиме прямій АВ, то у разі розміщення її всередині кола (рис. 4.33, а) кут АNВ дорівнюватиме 180°, а при розміщенні ззовні кола (рис. 4.33 б) — 0°, тобто в жодному із цих випадків кут АNВ не дорівнюватиме 90°. Нехай точка N лежить усередині кола і не належить прямій АВ (рис. 4.34). Позначимо через К точку перетину прямої ВN з колом. За теоремою Фалеса, кут АКN — прямий. Кут АNВ є зовнішнім для трикутника АКN, а тому він більший за внутрішній кут АКN. Отже, з усіх внутрішніх точок N діаметр АВ видно під тупим кутом. Нехай тепер точка N лежить ззовні кола і не належить прямій АВ. Можливі декілька характерних випадків розміщення точки N відносно прямих а і b, проведених через точки А і В перпендикулярно до діаметра АВ. Якщо точка N належатиме прямій а чи b (рис. 4.35, а), то у прямокутному трикутнику NАВ кут N буде гострим. В усіх інших випадках (див. рис. 4.35, б-г) принаймні одна із прямих АN чи ВN перетинатиме коло у деякій точці К, а тому, за теоремою Фалеса, кут АКВ буде прямим. Цей кут є зовнішнім для трикутника КВN, а тому внутрішній кут N буде гострим. Виходить, що з усіх точок N, розміщених поза колом, діаметр АВ видно під гострим кутом. Цим завершено обґрунтування такого твердження.

M

B

A

Ðèñ. 4.32

A

N O

B

à)

B

A M

O

á) Ðèñ. 4.33

K N

A

O

Ðèñ. 4.34

B

§22. Коло і круг як геометричні місця точок

a N

A

b

N

a K

O

à)

B A

O

b a N

b

a

b

K

B A

á)

211

N

K

O

â)

B A

O

B

ã)

Ðèñ. 4.35

Геометричним місцем точок площини, з яких заданий відрізок видно під прямим кутом, є коло, побудоване на цьому відрізку як на діаметрі, з якого вилучені дві точки — кінці діаметра. Це геометричне місце точок інколи називають геометричним місцем точок Фалеса.

Вправи і задачі 472°. Хорда круга дорівнює 4 см. Чи може діаметр цього круга дорівнювати: а) 4 см; б) 3 см; в) 10 см? 473°. АВ — хорда у крузі з центром О (рис. 4.36). Визначте: а) кути А і В, якщо кут О дорівнює 70°; O б) кут О, якщо кут А дорівнює 40°. 474°. АВ — діаметр кола з центром О, С — точка на колі 70° (рис. 4.37). Визначте: а) кут ВОС, якщо кут С дорівнює 36°; B A б) кут А, якщо кут ВОС дорівнює 52°. Ðèñ. 4.36 475. Які найбільше і найменше значення можуть мати кути А і ВОС на рис. 4.37? 476. Яка фігура є геометричним місцем точок, відстані від яких до заданої точки більші або дорівнюють певній величині?

212 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

477. Що є геометричним місцем точок, з яких заданий відрізок видно: а) під кутом 0°; б) під кутом 180°; в) під гострими кутами; г) під тупими кутами? 478. Користуючись рис. 4.38, запропонуйте спосіб побудови точок кола за допомогою косинця, коли задано діаметр АВ. M A C B

A

O

A

60° O

B

B

Ðèñ. 4.37

Ðèñ. 4.38

Ðèñ. 4.39

479. У крузі з центром О і діаметром АВ = 7 см проведено хорду АМ (рис. 4.39). Виявилося, що кут АОМ дорівнює 60°. Чи можна за цими даними без додаткових вимірювань визначити довжину хорди АМ? А якби було відомо довжину хорди АМ і те, що кут АОМ дорівнює 60°, — то чи можна було б тоді обчислити довжину діаметра? 480. З однієї точки кола проведено дві хорди, які дорівнюють радіусу кола. Визначте кут між цими хордами. 481. У крузі проведено два радіуси під кутом 120° один до одного. Визначте відстань від центра круга до хорди, якщо діаметр круга дорівнює 8 см. 482. Відстань від центра О круга до хорди АВ удвічі менша від радіуса круга. Визначте кут АОВ. 483. Відстань від центра круга до хорди удвічі менша від самої хорди. Визначте, під яким кутом цю хорду видно із центра круга. 484•. Доведіть, що з точки, взятої всередині круга, діаметр круга видно під тупим кутом (рис. 4.40, а), а з точки, взятої ззовні круга, — під гострим (рис. 4.40, б). 485•. Хорда кола перетинає діаметр під кутом 30° і ділиться діаметром на частини завдовжки 6 см і 14 см. Визначте відстані від кінців хорди до цього діаметра. 486•. Дано коло з радіусом R. Яку довжину матимуть дві рівні хорди, аби при будь-якому розміщенні їхніх кінців на колі вони перетиналися? 487•. АВ — хорда кола з центром О, точка С лежить на колі з того самого боку від прямої АВ, що й точка О. Доведіть, що незалежно від розміщення точок А, В відносно прямої СО — по різні боки (рис. 4.41, а) чи з одного боку (рис. 4.41, б), кут АОВ завжди удвічі більший за кут АСВ.

§23. Властивість діаметра, перпендикулярного до хорди 213

à)

á) Ðèñ. 4.40

C

D

O

O

A B

C A

B

B

A

D

O

E

C

D à)

á) Ðèñ. 4.41

Ðèñ. 4.42

488•. На продовженні хорди АВ кола з центром О відкладено відрізок ВС, що дорівнює радіусу кола (рис. 4.42). Пряма ОС перетинає коло у точках D, E. Доведіть, що ∠DОА = 3∠АСD.

§23. Властивість діаметра, перпендикулярного до хорди Теор ема (ïðî âëàñòèâ³ñòü ä³àìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äî õîðäè). ijàìåòð кола (круга), ÿêèé ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî õîðäè, ä³ëèòü öþ õîðäó íàâï³ë. Д о в е д е н н я . Íåõàé Î — öåíòð êîëà, À — äîâ³ëüíà õîðäà êîëà, діаметр ÑD ïåðïåíäèêóëÿðíèé

Урок 36

214 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

äî ÀÂ, Ì — òî÷êà ¿õíüîãî ïåðåòèíó (ðèñ. 4.43). Ïîòð³áíî äîâåñòè, ùî ÀÌ = ÌÂ. Òâåðäæåííÿ î÷åâèäíå, ÿêùî õîðäà À òåæ º ä³àìåòðîì (рис. 4.43, а), — àäæå áóäü-ÿê³ äâà ä³àìåòðè ïåðåòèíàþòüñÿ â öåíòð³ êîëà, à öåíòð êîëà ä³ëèòü êîæåí ä³àìåòð íà äâà ðàä³óñè, òîáòî íàâï³ë. ßêùî æ õîðäà À íå º ä³àìåòðîì (рис. 4.43, б), òî маємо äâà ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÎÌÀ òà ÎÌÂ. Ці трикутники рівні, оскільки у íèõ ð³âí³ ã³ïîòåíóçè ÎÀ ³ Π— ÿê ðàä³óñè êîëà, ³ ñï³ëüíèé êàòåò ÎÌ. Тому ð³âíèìè º й êàòåòè ÀÌ òà ÌÂ. Теорему доведено. Тео р ема о б е р н е н а (ïðî âëàñòèâ³ñòü ä³àìåòðà, який ділить хорду навпіл). Яêùî ä³àìåòð êîëà ä³ëèòü õîðäó, яка íå º ä³àìåòðîì, íàâï³ë, òî â³í ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî ö³º¿ õîðäè. До в е д е н н я . Íåõàé тепер діаметр CD проходить через середину М хорди АВ і при цьому хорда АВ не є діаметром, тобто точка М не збігається з центром Î êîëà (ðèñ. 4.44). Ïîòð³áíî äîâåñòè, що ä³àìåòð ÑD ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî õîðäè ÀÂ. Оскільки ÎÀ = Π— ÿê ðàä³óñè êîëà, а за умовою ÀÌ = ÌÂ, òî òðèêóòíèêè ÎÌÀ ³ ÎÌ ð³âí³ çà òðüîìà ñòîðîíàìè. Òîìó ð³вними є їхні êóòè ÎÌÀ òà ÎÌÂ, ùî ëåæàòü ïðîòè ð³âíèõ ñòîð³í ÎÀ і ÎÂ. À îñê³ëüêè ö³ êóòè ñóì³æí³, òî âîíè — ïðÿì³. Îòæå, CD ^ AÂ. Òåîðåìó äîâåäåíî. Íàñë³äêîì ç òåîðåìè ïðî âëàñòèâ³ñòü ä³àìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äî õîðäè, º ще одна òåîðåìà Ôàëåñà, яка çãàäувалася íà ïî÷àòêó цієї теми. Тео р ема Фа лес а (ïðî ïîä³ë êðóãа ä³àìåòðîì íà äâ³ ð³âí³ ÷àñòèíè). Êîæåí ä³àìåòð ðîçáèâຠкруг (і обмежуюче його коло) íà äâ³ ð³âí³ ô³ãóðè — півкруги (і півкола).

C

O M

A

B

D à) C

O M B

A D á) Ðèñ. 4.43

C

O A

M D Ðèñ. 4.44

B

§23. Властивість діаметра, перпендикулярного до хорди 215

Дов ед ення . Íåõàé АВ — діаметр êðóга ç öåí­ òðîì Î (ðèñ. 45). Óÿâ³ìî ñîá³, ùî ïðîâåäåíо âñ³ õîðäè öüîãî êðóãà, ÿê³ ïåðïåíäèêóëÿðí³ äî ä³àìåòðà ÀÂ. Через кожну точку круга проходитиме своя хорда, тому усі ці хорди повністю заповнять круг. В³äïîâ³äíî äî äîâåäåíî¿ òåîðåìè, кожна з хорд òî÷êîþ ïåðåòèíó ç ä³àìåòðîì АВ ділиться íàâï³ë, íàïðèêëàä, õîðäà ÑD — òî÷êîþ Ì. À öå îçíà÷àº, ùî ÿêáè ïåðåãíóòè êðóã уçäîâæ ä³àìåòðà ÀÂ, òî êîæåí â³äð³çîê ÑÌ ñóì³ñòèâñÿ á ç â³äïîâ³äíèì éîìó â³äð³çêîì DÌ. À îñê³ëüêè âñ³ â³äð³çêè ÑÌ çàïîâíþþòü îäèí ³ç ï³âêðóã³â, à âñ³ â³äð³çêè DÌ — ³íøèé, òî îäèí ³ç ï³âêðóã³â ïðè öüîìó ñóì³ñòèâñÿ á ç ³íøèì (à ï³âêîëî — ç ³íøèì ï³âêîëîì). À öå é îçíà÷àº, ùî îáèäâà ï³âêðóãè (³ îáèäâà ï³âêîëà) ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Теорему доведено. ßêùî у цьому äîâåäåíí³ брати до уваги ëèøå такі â³äð³çêè CD, кінці яких належать якійсь äóç³ PAQ (ðèñ. 46, а), òî ç ð³âíîñò³ ÷àñòèí ÑÌ ³ ÌD цих відрізків âèïëèâàòèìå ìîæëèâ³ñòü ñóì³ùåííÿ äóã РА òà QA. Îòæå, ö³ äóãè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Òàê ñàìî äîâåäåìî, ùî ð³âí³ é äóãè РВ òà QB. Отже, д³àìåòð кола, ÿêèé ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî õîðäè, ä³ëèòü íàâï³ë êîæíó з обох äóã, які ñòÿãóº öÿ õîðäà. Якщо ж узяти до уваги лише такі відрізки CD, які лежать між паралельними хордами PQ і KN (ðèñ. 46, б), то дійдемо висновку про рівність дуг PK і QN між цими хордами. Отже, дóãè êîëà, ðîçì³ùåí³ ì³æ ïàðàëåëüíèìè õîðäàìè, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ.

A M

C

D

O

B Ðèñ. 4.45

A M

C

D

P

Q O

B à) A P C

Q M

D

O K

N

B á) Ðèñ. 4.46

216 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Розв’язуємо разом З ад ач а. Довести, що р³âí³ õîðäè круга ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä його öåíòðà. Íàâïàêè, õîðäè, ÿê³ ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä öåíòðà круга, — ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Розв’язання. Істинність цих тâåðäæåíь î÷åâèäíа, ÿêùî рівні õîðäè º ä³àìåòðàìè (рис. 4.47). Тоді вони проходять через центр круга, а тому їхні â³äñòàí³ від öåíòðà круга äîð³âíþþòü íóëþ, тобто є ð³âíими. Íàâïàêè, ÿêùî рівні â³äñòàí³ від хорд до центра круга äîð³âíþþòü íóëþ, òî ці õîðäè проходять через центр круга, тобто º ä³àìåòðàìè, а діаметри круга ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Нехай òåïåð ð³âí³ õîðäè À і À1Â1 íå º ä³àìåòðàìè, а відрізки ÎÌ ^ À та ÎÌ1 ^ À1Â1 визначають їхні відстані від центра круга (рис. 4.48). За доведеною теоремою, точки Ì і Ì1 є серединами хорд. А оскільки хорди рівні, то ÀÌ = À1Ì1. Рîçãëÿíåìî ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÎÌÀ òà ÎÌ1À1. Âîíè ð³âí³ çà êàòåòîì (ÀÌ = À1Ì1) і ã³ïîòåíóçîþ (ÎÀ = ÎÀ1 — ÿê ðàä³óñè круга). Çâ³äñè ÎÌ = ÎÌ1, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. Íàâïàêè, ÿêùî будуть рівними перпендикуляри ÎÌ і ÎÌ1, òî з рівності ïðÿìîêóòíих òðèêóòíèêів ÎÌÀ ³ ÎÌ1À1 випливатиме рівність відрізків ÀÌ і À1Ì1, а звідси — рівність хорд À і À1Â1, що удвічі довші за ці відрізки. Твердження задачі доведено.

O

Ðèñ. 4.47

B A

M A1 O

M1 B1

Ðèñ. 4.48

§23. Властивість діаметра, перпендикулярного до хорди

217

Вправи і задачі 489°. Накресліть коло, позначте його центр літерою О і проведіть яку-небудь хорду АВ. Користуючись лише косинцем і не задіюючи його сантиметрової шкали, поділіть хорду АВ навпіл. 490°. Накресліть коло, позначте його центр літерою О і проведіть яку-небудь хорду CD. Користуючись лише лінійкою зі шкалою, проведіть діаметр, перпендикулярний до хорди CD. 491°. За допомогою шаблона нарисовано коло. Як за допомогою косинця й лінійки зі шкалою знайти його центр? 492°. Діаметр кола ділить хорду навпіл, однак не перпендикулярний до неї. Доведіть, що хорда — теж діаметр. 493. На рис. 4.49 відображено принцип дії одного із центрошукачів — креслярського приладу для відшукання центра круга (наприклад, у слюсарній справі). Як, на ваш погляд, застосовується цей прилад? 494. Частину кола, нарисованого на дошці, і його центр стерли. Чи можна за допомогою креслярських інA B струментів відновити це коло? 495. Із паперу за допомогою шаблона вирізали круг. Ðèñ. 4.49 Чи можна знайти його центр, не використовуючи креслярських інструментів? 496. Як поділити дугу заданого кола навпіл? 497. На рис. 4.50 радіус OD перпендикулярний до хорди AB. Доведіть, що AD = DB. 498. На рис. 4.50 хорди AD і DB рівні, OD — радіус. Доведіть, що OD ^ АВ. O 499. Доведіть, що всі хорди, які діляться навпіл одним із діаметрів кола, паралельні. 500. Через точку всередині круга проведіть хорду, яка A B цією точкою ділилася б навпіл. D 501. Дано коло. Через середину його радіуса проведено Ðèñ. 4.50 перпендикулярну до нього хорду. Доведіть, що цю хорду видно із центра кола під кутом 120°. 502•. Дано квадрат. Побудуйте коло, для якого сторони даного квадрата були б його хордами.

218 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

503•. Із точки A кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, віддалені від центра кола на відстань 4 см. Визначте довжину кожної хорди. 504•. Хорда завдовжки 16 см відтинає від кола його чверть. Визначте відстань від центра кола до цієї хорди. 505•. У колі проведено дві паралельні хорди, кожна з яких відтинає від кола його чверть. Визначте відстань між хордами, якщо довжина однієї з них дорівнює 10 см. 506•. У крузі проведено дві взаємно перпендикулярні хорди. Доведіть, що відстань від центра круга до точки їхнього перетину дорівнює відстані між серединами цих хорд.

§24.

Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична до кола

Äëÿ àêòèâíèõ êîðèñòóâà÷³â ãåîìåòð³¿, íàïðèêëàä, для äèçàéíåð³â òà àðõ³òåêòîð³â, ïîòð³áíî âì³òè êîìá³íóâàòè êîëî ç íàéð³çíîìàí³òí³øèìè фігурами. Звісно, у першу чергу ñë³ä çíàòè, ÿê ìîæóòü ðîçì³ùóâàòèñÿ îäíå â³äíîñíî îäíîãî êîëî ³ ïðÿìà. Накресліть у зошиті коло з радіусом 3,5 см. Потім покладіть на нього лінійку і почніть поступово відсувати її від центра кола. Ви помітите, що край лінійки якийсь час перетинатиме коло у двох доволі віддалених одна від одної точках (рис. 4.51, а). Потім ці точки почнуть поступово зближатися, аж поки не зіллються в одну — тоді край лінійки немовби торкнеться до кола (рис. 4.51, б). При подальшому

à)

á) Ðèñ. 4.51

Урок 37

â)

§24. Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична до кола 219

відсуванні лінійки від центра точок перетину уже не буде (рис. 4.51, в). Цей простий експеримент наштовхує на думку, що можливі три характерні випадки взаємного розміщення прямої і кола: 1) перетин прямої з колом у двох точках; 2) перетин в одній точці, або дотик; 3) відсутність спільних точок. З’ясуємо геометричні умови із цих випадків. Нехай Q — основа перпендикуляра, опущеного із центра О кола на пряму (тобто OQ — відстань від центра кола до прямої), R — радіус кола (ðèñ. 4.52). Ìîæëèâ³ òðè ñóòòºâî â³äì³ííèõ îäèí â³ä îäíîãî âèïàäêè: 1) òî÷êà Q ëåæèòü усåðåäèí³ êîëà, òîáòî відстань ÎQ < R (ðèñ. 52, а); 2) òî÷êà Q ëåæèòü íà êîë³, òîáòî ÎQ = R (ðèñ. 52, á); 3) òî÷êà Q ëåæèòü ççîâí³ êîëà, òîáòî ÎQ > R (ðèñ. 52, в). У першому випадку можна побудувати два, і тільки два, прямокутні трикутники OQM1 і OQM2, що мають: спільний катет OQ; прямі кути при вершині Q і рівні гіпотенузи ОМ1 та ОМ2 завдовжки R > OQ. Ці трикутники розміщуватимуться по різні боки від прямої OQ. При цьому точки М1, М2 лежатимуть і на прямій (оскільки ОМ1 ^ OQ і ОМ2 ^ OQ), і на колі (оскільки ОМ1 = ОМ2 = R), тобто будуть точками перетину прямої з колом. Інших спільних точок прямої з колом у цьому разі існувати не може. Ó äðóãîìó âèïàäêó візьмемо на прямій довільну точку Ì, що не збігається з Q, і розглянемо прямокутний трикутник OQM. Оскільки гіпотенуза ОМ зажди більша за катет OQ = R, то всі точки М лежатимуть ззовні кола, тобто точка Q у цьому разі буде єдиною спільною точкою прямої і кола. У третьому випадку так само візьмемо на прямій довільну точку М і так само розглянемо прямокутний трикутник OQM. Тепер уже й катет OQ буде більшим за радіус кола R, а гіпотенуза OM — і поготів. Тому

O M2

R M1

Q à)

O

R Q á)

M

O

R Q â) Ðèñ. 4.52

M

220 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

вже всі точки прямої лежатимуть ззовні кола, тобто пряма з колом не матимуть жодної спільної точки. О зн ач ен н я . Пряма, яка має з колом дві спільні точки, називається січною для кола. Ïðÿìà, ÿêà ìຠç êîëîì ºäèíó ñï³ëüíó òî÷êó, íàçèâàºòüñÿ äîòè÷íîþ äî êîëà. Результати проведеного дослідження такі: яêùî â³äñòàíü â³ä öåíòðà êîëà äî ïðÿìî¿ ìåíøà â³ä ðàä³óñà êîëà, òî ïðÿìà ³ êîëî ìàþòü ð³âíî äâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè (тобто пряма є січною для кола). Яêùî â³äñòàíü â³ä öåíòðà êîëà äî ïðÿìî¿ äîð³âíþº ðàä³óñó кола, òî ïðÿìà ³ êîëî ìàþòü ºäèíó ñï³ëüíó òî÷êó (тобто пряма є дотичною до кола), причому радіус кола, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної. ßêùî ж â³äñòàíü â³ä öåíòðà êîëà äî ïðÿìî¿ á³ëüøà çà ðàä³óñ êîëà, òî ïðÿìà ³ êîëî íå ìàþòü æîäíî¿ ñï³ëüíî¿ òî÷êè. Враховуючи, ùî êîæåí ³ç ðîçãëÿíóòèõ âèïàäê³â âèêëþ÷ຠ³íø³, істинними є й обернені твердження: якщо пряма є січною для кола, то відстань до неї від центра кола менша від радіуса кола. Якщо пряма є дотичною до кола, то відстань до неї від центра кола дорівнює радіусу, причому точкою дотику є кінець радіуса, перпендикулярного до дотичної. Якщо ж пряма не має з колом жодної спільної точки, то відстань від до неї від центра кола більша за радіус. З усіх цих тверджень найчастіше застосовуються ті, що стосуються дотику прямої з колом. Їх формулюють у вигляді таких двох теорем. Тео р ема (властивість дотичної до кола). Дотична до кола перпендикулярна до радіуса кола, проведеного у точку дотику.

Джон Бірні Філіп (1824–1875). Статуя Геометрії на меморіалі принца Альберта у Лондоні (1876 р.)

§24. Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична до кола 221

Теор ема (обернена: ознака дотичної). Якщо пряма проходить через точку кола і пер­­ пендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, то вона є дотичною до кола. Дîòè÷íà äî êîëà íàçèâàºòüñÿ òàêîæ äîòè÷íîþ äî îáìåæåíîãî íèì êðóãà. Дотична до круга має з кругом єдину спільну точку. ѳ÷íà êîëà ïåðåòèíຠîáìåæåíèé íèì êðóã ïî õîðä³ і називається січною цього круга. Ïðÿìà, ÿêà íå ïåðåòèíàºòüñÿ ç êîëîì, íå ïåðåòè­ íàºòüñÿ ³ ç îáìåæåíèì íèì êðóãîì.

Розв’язуємо разом З адач а 1. На площині задано коло і точку Р. Провести через точку Р дотичну до заданого кола. Роз в ’ я з а ння . Якщо пряма а є дотичною до кола з центром О, то радіус ОQ, проведений у точку дотику Q, перпендикулярний до дотичної (рис. 4.53). Крім цього, кожна точка М прямої а, відмінна від точки дотику Q, лежить ззовні кола, оскільки відстань ОМ, як гіпотенуза у прямокутному трикутнику OQM, більша за катет ОQ. Звідси випливає, що коли точка Р лежить усередині кола (рис. 4.54), то через неї неможливо провести жодної дотичної до кола, а якщо точка Р лежить на колі (рис. 4.55), то існує єдина дотична, яка проходить через цю точку — це пряма а, перпендикулярна до радіуса ОР. Її можна провести, наприклад, за допомогою косинця. Проаналізуємо тепер ситуацію, коли точка Р лежить ззовні кола (рис. 4.56). Оскільки радіус ОQ,

a

Q

M

O

Ðèñ. 4.53

P O

Ðèñ. 4.54

222 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

проведений у точку дотику Q, має бути перпендикулярним до дотичної, то це означає, що відрізок ОР має бути видно із точки Q під прямим кутом. З тео­ реми Фалеса відомо, що таку властивість мають точки кола з діаметром ОР. Звідси випливають такі побудови: 1) ділимо відрізок ОР навпіл; нехай точка С — точка поділу; 2) проводимо коло з центром С і радіусом СО; 3) через точки Q і Q′ перетину цього кола із заданим колом проводимо шукані дотичні РQ і РQ′. Прямокутний трикутник з гіпотенузою OP і катетом, що дорівнює радіусу кола і виходить з точки О, можна побудувати однозначно з кожного боку від прямої ОР, оскільки усі трикутники, що мають рівні гіпотенузи і рівні катети, рівні між собою. Тому в цьому разі існує рівно дві дотичні PQ і PQ′, які проходять через точку Р, причому відрізки цих дотичних від точки Р до точок дотику Q і Q′ рівні між собою. Останній висновок із наведеного розв’язання часто використовується при розв’язуванні інших задач. Тому його формулюють у вигляді тереми. Тео р ема (властивість відрізків äîòè÷íих, ïðîâåäåíих з однієї точки äî êîëà). ³äð³çêè äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ з однієї òî÷êè äî êîëà, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Розглянемо приклад задачі на використання цієї теореми. З ад ач а 2. ×åðåç òî÷êó À, ùî ëåæèòü ççîâí³ êîëà, ïðîâåäåíî äî êîëà äîòè÷í³ ÀÊ ³ ÀL (Ê, L — òî÷êè äîòèêó) (ðèñ. 4.57). Íà ìåíø³é ³ç äóã, îáìåæåíèõ òî÷êàìè Ê ³ L, âçÿòî äîâ³ëüíó òî÷êó Ì ³ ÷åðåç íå¿ ïðîâåäåíî òðåòþ äîòè÷íó äî êîëà. Íåõàé  ³ Ñ — òî÷êè ïåðåòèíó ö³º¿ äîòè÷íî¿ ç äîòè÷íèìè

P

a

O

Ðèñ. 4.55

Q

O

Ñ Q Ðèñ. 4.56

P

§24. Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична до кола 223

ÀÊ ³ ÀL. Äîâåñòè, ùî ïåðèìåòð òðèêóòíèêà ÀÂÑ íå çàëåæèòü â³ä ðîçì³ùåííÿ òî÷êè Ì.

A

Р о з в ’ я з а н н я . Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà ÀÂÑ äîð³âíþº ñóì³ À + ÂÑ + ÀÑ, àáî À + ÂÌ + ÌÑ + + ÀÑ. Водночас, çà âëàñòèâ³ñòþ äîòè÷íèõ, проведених з однієї точки äî êîëà, ÂÌ = ÂÊ, à ÌÑ = ÑL. Òîìó Р = À + ÂÊ + ÑL + ÀÑ = ÀÊ + ÀL, ùî ñïðàâä³ íå çàëåæèòü â³ä ðîçì³ùåííÿ òî÷êè Ì. Òâåðäæåííÿ çàäà÷³ äîâåäåíî.

B M

K

C L

O

Ðèñ. 4.57

Вправи і задачі 507°. Чи істинним є таке твердження: «Будь-яка пряма, яка перпендикулярна до радіуса, дотикається до кола»? А таке: «Будь-яка пряма, яка перпендикулярна до радіуса і проходить через його кінець, дотикається до кола»? 508°. Чи можна сказати, що дотична до кола — це пряма, яка має з колом менше двох спільних точок? 509°. Побудуйте коло з діаметром 8 см, а також три прямі, які віддалені від центра кола на відстанях 3 см, 4 см і 5 см. Як розміщені ці прямі відносно кола? 510°. Накресліть коло з радіусом 3 см і позначте на ньому точку Р. Як за допомогою косинця або транспортира побудувати дотичну до кола, що проходить через точку Р? А якщо точку Р буде взято ззовні кола? 5 11°. На рис. 4.58 АВ — дотична до кола, Р — точка дотику, ∠МРВ = 32°. Визначте кути ОРМ і АРМ. 512°. На рис. 4.59 АВ — дотична до кола, Р — точка дотику, ∠МОР = 80°. Визначте кути АРМ і МРВ. 513. Р — точка дотику дотичної АР до кола з центром О, кут ОАР дорівнює 30°. Визначте діаметр кола, якщо ОА = 4 см. 514. Доведіть, що дві дотичні до кола, які проходять через кінці одного й того самого діаметра, паралельні між собою. Чи істинне обернене твердження?

O M

À

Ð Ðèñ. 4.58

Â

O M

À

Ð Ðèñ. 4.59

Â

224 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

515. Діаметр кола ділить хорду, яка не є діаметром, навпіл. Доведіть, що дотичні до кола, проведені через кінці цього діаметра, паралельні заданій хорді. 516. Пряма дотикається до кола з центром O, A — точка дотику. На цій прямій по різні боки від точки A відкладено рівні відрізки AB і AC. Доведіть, що OB = OC. 517. Дано кут 30°. Коло радіуса R дотикається до прямої, яка містить одну зі сторін кута, а його центр належить іншій стороні. Визначте відстань від центра кола до вершини кута. 518. З точки Р проведені до кола дві дотичні РА і РВ. Доведіть, що центр кола лежить на бісектрисі кута АРВ. 519. З точки, що лежить поза колом, проведені дві дотичні до кола. Відстань від точки до центра кола вдвічі більша за радіус кола. Визначте кут між дотичними. 520. Відстань від точки M до центра кола менша від його радіуса. Доведіть, що будь-яка пряма, яка проходить через M, перетинає коло у двох точках. 521. До кола проведено дві паралельні дотичні. Доведіть, що відрізок, який сполучає точки дотику, проходить через центр кола. 522. Точки A і B лежать на колі з центром O. Через ці точки до кола проведені дві дотичні, які перетинаються в точці C. Доведіть, що прямі AB і AC перпендикулярні. 523. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що дотикаються до заданої прямої у заданій на ній точці A. 524. На рис. 4.60 відображено принцип дії центрошукача (приладу для знаходження центра суцільного круга). Прилад складається із трьох лінійок. Дві крайні лінійки взаємно перпендикулярні, а один бік середньої лінійки ділить кут між ними навпіл. Як, на ваш погляд, застосовується цей прилад? Ðèñ. 4.60 525•. Побудуйте два кола зі спільним центром О, одне — з радіусом 2 см, інше — з радіусом 4 см. Потім T проведіть таку хорду АВ більшого кола, яка дотикалася б до меншого кола. Доведіть, що точка дотику Q С ділить хорду АВ навпіл і визначте кут АОВ. 526•. На рис. 4.61 відображено спосіб побудови дотичних O P до кола, проведених через довільну зовнішню точку Р: шукані точки дотику Q і Q′ належать основам Q рівнобедрених трикутників РОТ і РОТ′; довжини цих основ дорівнюють двом радіусам кола. Деталізуйте T та обґрунтуйте цей спосіб. Ðèñ. 4.61

§25. Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника 225

527•. Кут між діаметром AB і хордою AC дорівнює 30°. Через точку С проведено дотичну, яка перетинає пряму AB у точці D. Доведіть, що OC = DВ. 528•. Доведіть, що два різних кола з однаковими радіусами мають дві спільні дотичні, які паралельні прямій, що проходить через їхні центри. 529•. Дано коло з радіусом R. Із зовнішньої точки P до нього проведено дві взаємно перпендикулярні дотичні PA і PB, C — довільна точка меншої із дуг, обмежених точками A і B, MN — дотична до кола, проведена через точку C (точка M належить прямій PA, а точка N — прямій PB). Визначте периметр трикутника PMN. 530•. До двох кіл з радіусами R і r (R > r) проведено дві спільні дотичні так, що відносно кожної з них обидва кола лежать з одного боку. Кут між дотичними дорівнює 90°. Визначте довжини відрізків дотичних між точками дотику. Як зміниться відповідь до задачі, якщо кола лежатимуть з різних боків від кожної з дотичних?

§25. Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника Як відомо, пряма лінія повністю визначається двома своїми точками. Виникає природне запитання: скількома точками визначається коло? Äëÿ âèçíà÷åííÿ êîëà ïîòð³áíî çàäàòè éîãî öåíòð ³ ðàä³óñ. Çðîçóì³ëî, ùî ³ñíóº ëèøå îäíå êîëî іç заäàíèìи öåíòðîì Î ³ ðàä³óñîì R (рис. 4.62). Ïðîòå ÷àñòî äîâîäèòüñÿ áóäóâàòè êîëî íå çà öèìè äàíèìè, à çà îêðåìèìè òî÷êàìè, ÷åðåç ÿê³ âîíî ìຠïðîõîäèòè — íàïðèêëàä, êîëè éîãî ïîòð³áíî îïèñàòè íàâêîëî триêóòíèêà. Òîìó-то ïèòàííÿ ïðî òå, ñê³ëüêè òî÷îê ïîòð³áíî çàäàòè, àáè âèçíà÷èòè êîëî, ÿêå ÷åðåç íèõ ïðîõîäèòü, ³ ÿê çà öèìè òî÷êàìè çíàéòè öåíòð ³ ðàä³óñ кола, має й практичне значення. Зрозуміло, що чåðåç îêðåìî âçÿòó òî÷êó À ìîæíà ïðîâåñòè áåçë³÷ ê³ë. ¯õí³ìè öåíòðàìè ìîæóòü бути áóäü-ÿê³ òî÷êè Î, Î1, Î2, ... ïëîùèíè (рис. 4.63). Тоді в³äïîâ³äíèìè ðàä³óñàìè áóäóòü â³äð³çêè ÎÀ, Î1À, Î2À, ... .

Урок 38

R O

Ðèñ. 4.62

O2

O1 A O

Ðèñ. 4.63

226 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Íåõàé òåïåð íà ïëîùèí³ ìàºìî äâ³ òî÷êè À ³  (рис. 4.64). Öåíòð êîëà, ÿêå ïðîõîäèòü ÷åðåç ö³ òî÷êè, ìຠáóòè ð³âíîâ³ääàëåíèì â³ä íèõ. Îäí³ºþ ç òàêèõ òî÷îê º ñåðåäèíà Ì â³äð³çêà ÀÂ. Óñ³ ³íø³ òî÷êè Î ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê âåðøèíè ð³âíîáåäðåíèõ òðèêóòíèê³â ç³ ñï³ëüíîþ îñíîâîþ ÀÂ. Òîìó, âðàõîâóþ÷è âëàñòèâîñò³ ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî âñ³ можливі центри ëåæàòü íà ïðÿì³é ÌÎ, ïðîâåäåí³é ÷åðåç ñåðåäèíó Ì â³äð³çêà À ïåðïåíäèêóëÿðíî äî íüîãî (рис. 4.65). Òàêó ïðÿìó íàçèâàþòü ñåðåäèííèì ïåðïåíäèêóëÿðîì äî â³äð³çêà ÀÂ. О зн ач ен н я. Ïðÿìà, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç ñåðåäèíó â³ä­ ð³çêà ³ ïåðïåíäèêó­ëÿð­íà äî íüîãî, íàçè­ âàºòüñÿ ñåðåäèííèì ïåðïåíäèêóëÿðîì äî öüîãî â³äð³çêà. Îòæå, óñ³ öåíòðè ê³ë, ïðîâåäåíèõ ÷åðåç òî÷êè À ³ Â, íàëåæàòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî â³äð³çêà ÀÂ. Íåâàæêî довести, ùî é íàâïàêè, êîæíà òî÷êà Q ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ÎÌ äî â³äð³çêà À áóäå ð³âíîâ³ääàëåíîþ â³ä éîãî ê³íö³â À ³ Â. — Öå âèïëèâຠç рівності прямокутних трикутників QМА і QМВ, що мають спільний катет QМ і рівні катети МА та МВ; звідси QA = QB. Отже, êîæíó òî÷êó Î ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà до відрізка АВ ìîæíà âçÿòè çà öåíòð êîëà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç çàäàí³ òî÷êè À ³ Â. Раä³óñîì öüîãî êîëà áóäå â³äð³çîê ÎÀ. Óñ³õ òàêèõ ê³ë — áåçë³÷. Те, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка, і, навпаки, точка, яка рівновіддалена від відрізка, належить серединному перпендикуляру, означає, що справджується така теорема.

O

A

B M Ðèñ. 4.64

O Q

A

M

Ðèñ. 4.65

B

§25. Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника 227

Теор ема (про властивість серединного перпендикуляра). Сåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äî â³äð³çêà º ãåîìåò­ ðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä ê³íö³â öüîãî â³äð³çêà. ³çüìåìî òåïåð íà ïëîùèí³ òðè òî÷êè. ßêùî âîíè ëåæàòèìóòü íà îäí³é ïðÿì³é, òî æîäíîãî êîëà ÷åðåç íèõ ïðîâåñòè íå âäàñòüñÿ, îñê³ëüêè, ÿê ç’ÿñîâàíî у §24, êîëî ç ïðÿìîþ ìîæå ìàòè ùîíàéá³ëüøå äâ³ ñï³ëüíі òî÷êè (а тут би їх було вже три). Тому íåõàé çàäàí³ òðè òî÷êè À, Â, Ñ íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é (рис. 4.66). Øóêàíèé öåíòð Î êîëà, ÿêå ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè À, Â, Ñ, ïîâèíåí áóòè ð³âíîâ³ääàëåíèì â³ä óñ³õ öèõ òî÷îê. Ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä òî÷îê À ³ Â, º ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð l äî â³äð³çêà ÀÂ, à ãåî­ ìåòðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä òî÷îê À, Ñ, — ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð m äî â³äð³çêà ÀÑ. Íåõàé Î — òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìèõ l ³ m (ö³ ïðÿì³ îáîâ’ÿçêîâî ïåðåòíóòüñÿ, áî ÿêáè âîíè áóëè ïàðàëåëüíèìè, òî ïåðïåíäèêóëÿðí³ äî íèõ ïðÿì³ À ³ ÀÑ çá³ãàëèñÿ á, îòæå, òî÷êè À,  ³ Ñ ëåæàëè á íà îäí³é ïðÿì³é). Òîä³ ÎÀ = Π³ ÎÀ = ÎÑ. Îòæå, óñ³ òðè â³äð³çêè ÎÀ, ÎÂ, ÎÑ ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî òî÷êà Î є öåíòðом øóêàíîãî êîëà, à ÎÀ, Π³ ÎÑ — éîãî ðàä³óñè. Причому, з рівності ОВ = ОС виходить, що òðåò³é ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð n äî â³äð³çêà ÂÑ теж ïðîõîäèòü ÷åðåç òó ñàìó òî÷êó Î, ùî é ïåðø³ äâà l ³ m, адже âñ³ òî÷êè, ÿê³ ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä точок В і С, íàëåæàòü ïðÿì³é n). Чи може існувати інше коло, яке теж проходить через точки А, В, С? — Ні, не може, адже його центр неодмінно мав би належати прямим l і m, а ці прямі перетинаються лише в одній точці О. Тоді й радіус ОА, як відстань між двома цілком визначеними точками, визначається однозначно.

C n

m O

B

A l Ðèñ. 4.66

228 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Îòæå, äîâåäåíî òàêó òåîðåìó. Тео р ема (ïðî çàäàííÿ êîëà òðüîìà òî÷êàìè). Іñíóº ºäèíå êîëî, ÿêå ïðîõîäèòü ÷åðåç три задані òî÷êè, ùî íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é. Âàæëèâèì íàñë³äêîì іç ö³º¿ òåîðåìè º можливість описати коло навколо будь-якого òðèêóòíèêà. О зн ач ен н я . Коло називається описаним навколо трикут­ ника, а трикутник — відповідно, вписаним у коло, якщо це коло проходить через усі вершини трикутника. Тео р ема (про існування і єдиність кола, описаного навколо трикутника). Навколо будь-якого трикутника можна описа­ ти коло, причому єдине. Цåíòðом цього кола є точка ïåðåòèíó ñåðåäèííèõ ïåðïåíäèêóëÿð³â äî ñòîð³í òðèêóòíèêà (äèâ. ðèñ. 4.66).

Геометрія, що описує коло. Скульптура на будівлі колишньої чоловічої школи Лондонського Сіті (City of London School) на набережній Вікторії.

Розв’язуємо разом З ад ач а. Довести, що центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай маємо прямокутний трикутник АВС з прямим кутом С, О — середина гіпотенузи АВ (рис. 4.67). Проведемо коло з центром О і радіусом ОА. Відомо, що це коло, якщо його взяти без точок А і В, є геометричним місцем точок, з яких відрізок АВ видно під прямим кутом (геометричним місцем точок Фалеса). Отже, вершина прямого

A

O

C

B

Ðèñ. 4.67

§25. Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника 229

кута С лежить на ньому. Тому це коло є описаним навколо трикутника АВС. А оскільки описане коло — єдине, то цим твердження задачі доведено. Із твердження цієї задачі випливає такий наслідок: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, отже, є радіусом описаного кола.

Вправи і задачі 531°. На якому з рисунків 4.68, а) – г) зображене коло, описане навколо трикутника?

à)

á)

â)

ã)

Ðèñ. 4.68

532°. Накресліть коло з радіусом 3,5 см, а потім який-небудь трикутник, вписаний у це коло. Як вписати у коло прямокутний трикутник? 533°. Накресліть рівнобедрений трикутник з основою 5 см і з кутами при основі по 75°, а потім опишіть навколо нього коло. Що можна стверджувати про розміщення центра цього кола? 534°. Виконайте завдання попередньої вправи для рівнобедреного трикутника з бічною стороною 3 см і кутом при вершині 120°. 535°. Побудуйте прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см, а потім опишіть навколо нього коло. Де розміщується його центр? 536. Два населених пункти A і B розташовані по різні боки від річки. В якому місці потрібно побудувати міст через річку, аби він був однаково віддалений від населених пунктів?

230 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

537. Позначте точку А і побудуйте відрізок а завдовжки 2,5 см. Знайдіть і побудуйте геометричне місце центрів кіл з радіусом R, що дорівнює відрізку а, які проходять через точку A. 538. Позначте дві точки А і В. Знайдіть і побудуйте геометричне місце центрів кіл, які проходять через ці точки. 539. Накресліть трикутник АВС. Знайдіть і побудуйте точку, рівновіддалену від усіх вершин цього трикутника. Чи завжди є така точка? 540. Позначте три точки. Знайдіть і побудуйте точку, рівновіддалену від цих точок. Чи завжди є така точка? У якому випадку задача не має розв’язків? 541. Навколо рівнобедреного трикутника АВС з основою ВС описано коло з центром О (рис. 4.69). Визначте A кут ВАС, якщо кут ВОС дорівнює 100°. 542. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, належить прямій, яка містить медіану, проведену до основи трикутника. O 543. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рів100° нобедреного трикутника, належить прямій, яка містить бісектрису, проведену до основи трикутC B ника. 544. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівÐèñ. 4.69 ностороннього трикутника, збігається з точкою перетину його бісектрис. 545. Доведіть, що коли центр кола, описаного навколо трикутника, збігається з точкою перетину його медіан, то цей трикутник — рівносторонній. 546. У трикутнику центр описаного кола належить висоті. Доведіть, що цей трикутник — рівнобедрений. 547. Чи буде висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців основи? 548. Із середини відрізка проведено промінь, перпендикулярний до цього відрізка. Чи буде він геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка? 549. Дано кут і дві точки A і B. На сторонах кута знайдіть точки, рівновіддалені від точок A і B. • 550 . Чи буде пряма, на якій лежить медіана трикутника, геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців основи? 551•. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а кут при основі — 30°. Визначте радіус кола, описаного навколо цього трикутника. 552•. У трикутнику центр описаного кола належить медіані. Доведіть, що цей трикутник — рівнобедрений або прямокутний.

§26. Взаємне розміщення двох кіл 231

553•. Доведіть, що коли центр кола, описаного навколо трикутника, належить його стороні, то цей трикутник — прямокутний, причому згадана сторона є його гіпотенузою.

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е

§26. Взаємне розміщення двох кіл ßêùî äâà êîëà íà ïëîùèí³ ìàþòü òðè ñï³ëüí³ òî÷êè, òî, çà òåîðåìîþ ïðî çàäàííÿ êîëà òðüîìà òî÷êàìè, âîíè збігаються. Îòæå, ìîæíà ïåðåäáà÷èòè, ùî äâà ð³çí³ êîëà ìîæóòü ìàòè àáî äâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè, àáî îäíó, àáî жодної. Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî êîæíà ³ç öèõ ìîæ­ëè­ âîñ­òåé ñïðàâä³ ìîæå ðåàë³çîâóâàòèñÿ. ßêùî íà ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿð³ äî â³äð³çêà À â³çüìåìî äâ³ які-небудь òî÷êè Î1, Î2 (рис. 4.70), òî äâà êîëà ³ç öåíòðàìè у цих точках і з ðàä³óñàìè Î1À òà Î2À ìàòèìóòü лише äâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè À ³ Â. Означе ння. Про кола, які мають дві спільні точки, кажуть, що вони перетинаються. Як випливає з нерівностей трикутника, у випадку перетину двох кіл, і тільки в цьому разі, відстань О1О2 між їхніми центрами менша від суми радіусів R і r, але більша за їхню різницю: R + r > О1О2 > R – r. ßêùî, äàë³, íà ÿêій-íåáóäü прямій Î1Î2 â³çüìåìî äîâ³ëüíó òî÷êó À ³ ïðîâåäåìî äâà êîëà ç öåíòðàìè Î1, Î2 ³ ðàä³óñàìè Î1À = R òà Î2À = r (рис. 4.71 і 72), òî ö³ êîëà ìàòèìóòü ëèøå одну ñï³ëüíу òî÷êó À. Справді, припустимо, що існує ще якась спільна точка В. Зрозуміло, що вона не може лежати на пря­мій О1О2, бо тоді, маючи дві спільні діаметрально проти­лежні точки А і В, обидва кола збігалися б, отже, збігалися б і їхні центри О1, О2. В такому разі, зà íàñë³äêîì ç íåð³âíîñò³ òðèêóòíèêà: Î2 > |Î1Î2 – Î1Â| = |Î1Î2 – R|. Якщо маємо ситуацію, зображену на рис. 4.71, то Î1Î2 =

O1

A

B O2

Ðèñ. 4.70 B A O1 R

r O 2

Ðèñ. 4.71 B r R O1 O2

Ðèñ. 4.72

A

232 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

= Î1À + Î2À = R + r. І тоді Î2 > r. Якщо ж маємо ситуацію, зображену на рис. 4.72, то Î1Î2 = Î1À - Î2À = = R – r. І тоді так само Î2 > r. À öå îçíà÷àº, ùî в жодному із цих випадків òî÷êà  íå íàëåæèòü äðóãîìó êîëó (причому, в першому випадку одне коло лежить ззовні іншого, а в другому — всередині іншого). Одержана суперечність свідчить про те, що ïîáóäîâàí³ êîëà справді ìàþòü ºäèíó ñï³ëüíó òî÷êó А. О значе ння. Ïðî êîëà, ÿê³ ìàþòü ëèøå îäíó ñï³ëüíó òî÷êó, êàæóòü, ùî âîíè äîòèêàþòüñÿ ó ö³é òî÷ö³, à ñàìà öÿ òî÷êà íàçèâàºòüñÿ òî÷êîþ äîòèêó. Êîëà ìîæóòü äîòèêàòèñÿ çîâíішньо, ÿê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.71, àáî внутрішньо, як показано на ðèñ. 4.72.  îáîõ âèïàäêàõ òî÷êà äîòèêó À ëåæèòü íà ïðÿì³é Î1Î2, що сполучає їхні центри (так званій лінії центрів), а пряма, що проходить через цю точку ³ ïåð­ïåíäèêóëÿðíà äî лінії центрів Î1Î2, є спільною дотичною до обох кіл. У випадку зовнішнього дотику кола розміщуються по різні боки від спільної дотичної, а у випадку внутрішнього дотику — з одного боку від неї. Неважко довести, що завжди, коли кола дотикаються зовнішньо (рис. 4.71), то відстань О1О2 між їхніми центрами дорівнює сумі радіусів: О1О2 = R + r, а якщо внутрішньо (рис. 4.72), — то різниці радіусів: О1О2 = R – r. Íåõàé òåïåð äâà êîëà ðîçì³ùåí³ òàê, ùî â³äñòàíü О1О2 ì³æ ¿õí³ìè öåíòðàìè á³ëüøà çà ñóìó ðàä³óñ³â R + r (рис. 4.73): О1О2 > R + r. Çðîçóì³ëî, ùî ñï³ëüíі òî÷êи цих ê³ë íå ìîæуть лежати íà лінії центрів Î1Î2. Припустимо, що існує якась спільна точка М поза цією прямою. Тоді, зà íàñë³äêîì ç íåð³âíîñò³ òðèêóòíèêà, Î2Ì > |Î1Î2 – Î1Ì| = Î1Î2 – R. Îòæå, Î2Ì > r, à òîìó òî÷êà Ì íå ìîæå íàëåæàòè äðóãîìó êîëó. Одержана суперечність свідчить про те, що в цьому разі кола не перетинаються, причому всі точки одного коло лежать ззовні іншого.

П’єро Форназетті (1913–1988). Вгорі: Два круги з обличчями. Внизу: Півмісяць

M A

R O1

A

Ðèñ. 4.73

r O2

§26. Взаємне розміщення двох кіл 233

Аналогічно можна показати, що коли відстань О1О2 між центрами двох кіл буде меншою від різниці їхніх радіусів (рис. 4.74): О1О2 < R – r, то кола теж не перетинатимуться, причому коло з мен­ шим радіусом лежатиме всередині кола з більшим радіусом. Ця ситуація, зокрема, характерна для так званих концентричних кіл — кіл зі спільним центром (рис. 4.75). Підсумовуючи, маємо такі умови взаємного розміщення двох кіл з радіусами R і r, відстань між центрами яких дорівнює О1О2: 1) ÿêùî О1О2 > R + r, òî êîëà íå ïåðåòèíàþòüñÿ ³ îä­íå ç íèõ ëåæèòü ççîâí³ ³íøîãî; 2) ÿêùî О1О2 = R + r, òî êîëà äîòèêàþòüñÿ çîâ­ í³øíьо; 3) ÿêùî R – r < О1О2 < R + r (R > r), òî êîëà ïåðå­ òèíàþòüñÿ; 4) ÿêùî О1О2 = R – r (R > r), òî êîëà äîòèêàþòüñÿ âíóò­ð³øíьо; 5) ÿêùî О1О2 < R – r (R > r), òî êîëà íå ïåðå­ òèíàþòüñÿ ³ îäíå ç íèõ ëåæèòü âñåðåäèí³ ³íøîãî; çîêðåìà, при d = 0 êîëà º êîíöåíòðè÷íèìè.

O1

O2 r

R Ðèñ. 4.74

Ðèñ. 4.75

Вправи і задачі 554°. Зобразіть за допомогою креслярських інструментів різні можливі випадки взаємного розміщення двох кіл з радіусами 2 см і 3 см. Якою є відстань між центрами цих кіл у кожному випадку? 555°. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 8 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їхні радіуси дорівнюють: а) 3 см і 4 см; б) 7 см і 5 см; в) 9 см і 2 см; г) 9 см і 1 см; ґ) 3 см і 5 см; д) 12 см і 3 см. 556°. Радіуси двох кіл дорівнюють 5 см і 9 см. Визначте відстань між їхніми центрами, якщо кола дотикаються одне до одного: а) зовнішньо; б) внутрішньо. 557°. Яким є взаємне розміщення двох кіл, якщо: а) радіуси кіл дорівнюють 8 см і 2 см, а відстань між їхніми центрами — 10 см;

234 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

б) радіуси кіл дорівнюють 11 см і 7 см, а відстань між їхніми центрами — 4 см; в) діаметри кіл дорівнюють 32 см і 8 см, а відстань між їхніми центрами — 20 см; г) діаметри кіл дорівнюють 42 см і 26 см, а відстань між їхніми центрами — 8 см? 558°. Визначте радіуси двох концентричних кіл, якщо діаметр більшого кола ділиться меншим колом на три частини, які дорівнюють 9 см, 12 см і 9 см. 559. Два кола з центрами О1 і О2 перетинаються в точках А і В. Доведіть, що пряма АВ перпендикулярна до прямої О1О2. 560. Два кола з центрами О1 і О2 перетинаються в точках А і В. Доведіть, що промінь О1О2 є бісектрисою кута АО1В, а промінь О2О1 — бісектрисою кута АО2В. 561. Доведіть, що коли два кола дотикаються (зовнішньо або внутрішньо), то точка їхнього дотику лежить на лінії центрів. 562. Спільна точка A двох кіл із центрами O1 і O2 лежить на прямій O1O2. Доведіть, що ці кола дотикаються одне до одного в точці A. 563. Два кола дотикається зовнішнім чином. Їхні радіуси відносяться, як 2 : 3. Визначте радіуси кіл, якщо відстань між їхніми центрами дорівнює 10 см. 564. Три кола з радіусами 2 см, 3 см і 4 см зовнішньо попарно дотикаються одне до одного. Визначте периметр трикутника з вершинами у центрах цих кіл. 565. Знайдіть геометричне місце центрів кіл із радіусом R, що дотикаються до даного кола з радіусом r. 566•. Три кола зовнішньо попарно дотикаються одне до одного ззовні. Відстані між центрами цих кіл дорівнюють 6 см, 7 см і 9 см. Визначте радіуси цих кіл. O1 567•. На рис. 4.76 кола з центрами О1, О2 дотикаються зовнішньо у точці А, АМ і ВС — їхні спільні дотичні. O2 A Доведіть, що кут О1МО2 — прямий. C 568•. Два рівних круги, що дотикаються один до одноM го, внутрішньо дотикаються до третього круга. B Сполучивши їхні центри, дістанемо трикутник з пеÐèñ. 4.76 риметром 18 см. Визначте радіус більшого круга.

§27. Коло, вписане у трикутник 235

§27. Коло, вписане у трикутник Кîëî äîòèêàºòüñÿ äî â³äð³çêà, ÿêùî âîíî äîòè­ êà­ºòüñÿ äî ïðÿìî¿, ÿêà ì³ñòèòü öåé â³äð³çîê, à òî÷êà äîòèêó íàëåæèòü цьому â³äð³çêó (рис. 4.77, à). Àíàëîã³÷íî îçíà÷àºòüñÿ äîòèê êîëà äî ïðîìåíÿ (рис. 4.77, б). Êîëî íàçèâàºòüñÿ âïèñàíèì ó êóò, ÿêùî âîíî äîòèêàºòüñÿ äî îáîõ ñòîð³í öüîãî êóòà (рис. 4.77, в). Òàêå ðîçì³ùåííÿ ô³ãóð дістанемо, íàïðèêëàä, ÿêùî ç äåÿêî¿ çîâí³øíüî¿ òî÷êè êîëà ïðîâåäåìî äî кола дві äîòè÷í³.

Уроки 40–41

à)

О знач ен н я . Êîëî íàçèâàºòüñÿ âïèñàíèì ó òðèêóòíèê, а трикутник — відповідно, описаним навко­ ло кола, ÿêùî коло äîòèêàºòüñÿ äî âñ³õ ñòîð³í трикутника (рис. 4.77, г).

á)

Îñíîâíа мета öüîãî параграфа ïîëÿãຠó òîìó, ùîá ç’ÿñóâàòè, ÿê çíàéòè öåíòð ³ ðàä³óñ êîëà, âïèñàíîãî ó заäàíèé òðèêóòíèê. Ïðè öüîìó ìè áóäåìî âðàõîâóâàòè òàêó î÷åâèäíó ð³÷: яêùî êîëî âïèñàíå у òðèêóòíèê, òî âîíî âïèñàíå ³ â êîæíèé ç éîãî êóò³â. Òîìó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïîñòàâëåíîãî çàâäàííÿ ïîòð³áíî ñïî÷àòêó äîñë³äèòè ïèòàííÿ ïðî розміщення ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò.

â)

ã)

Те орема (ïðî ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò). Ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò, º á³ñåêòðèñà öüîãî êóòà. Доведення. Äîâåäåìî спочатку, ùî êîæíà òî÷êà Q á³ñåêòðèñè ÀF кута А є öåíòðîì êîëà, âïèñàíîãî â цей êóò À (рис. 4.78). Äëÿ öüîãî ïðîâåäåìî ïåðïåíäèêóëÿðè QÌ і QN äî ñòîð³í êóòà. Дістанемо ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÀÌQ і ÀNQ ç³ ñï³ëüíîþ

Ðèñ. 4.77

F

N Q A

M Ðèñ. 4.78

236 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

ã³ïîòåíóçîþ ÀQ і ð³âíèìè ãîñòðèìè êóòàìè ÌÀQ і NÀQ. Оскільки ö³ òðèêóòíèêè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ, то QÌ = QN. Îòæå, êîëî ç öåíòðîì Q ³ ðàä³óñàìè QÌ òà QN áóäå âïèñàíèì ó çàäàíèé êóò À. Äîâåäåìî тепер, ùî öåíòðè óñ³õ ê³ë, âïèñàíèõ ó çàäàíèé êóò À, íàëåæàòü á³ñåêòðèñ³ ÀF öüîãî êóòà (рис. 4.79). Íåõàé Î — öåíòð ÿêîãî-íåáóäü îäíîãî ³ç вписаних ê³ë,  ³ Ñ — òî÷êè éîãî äîòèêó ç³ ñòîðîíàìè êóòà. Òîä³, çà âëàñòèâ³ñòþ äîòè÷íî¿, ∠ÀÂÎ = ∠ÀÑÎ = = 90°. À òîìó ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÀÂÎ ³ ÀÑÎ ð³âí³ çà êàòåòîì (Π= ÎÑ — ÿê ðàä³óñè êîëà) òà спільною ã³ïîòåíóçîþ ÀÎ. Ç ð³âíîñò³ öèõ òðèêóòíèê³â âèïëèâຠð³âí³ñòü ¿õí³õ êóò³â ÎÀ òà ÎÀÑ. Îòæå, ÀÎ — á³ñåêòðèñà êóòà À. Òåîðåìó äîâåäåíî.

B

F O

A

C Ðèñ. 4.79

Тео р ема (ïðî ³ñíóâàííÿ і єдиність кола, вписаного у трикутник). Ó áóäü-ÿêèé òðèêóòíèê ìîæíà âïèñàòè êîëî ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíå. Öåíòð âïèñàíîãî êîëà çá³ãàºòüñÿ ç òî÷êîþ ïåðåòèíó á³ñåêòðèñ òðèêóòíèêà. До в е д е н н я . Íåõàé ìàºìî довільний òðèêóòíèê ÀÂÑ (рис. 4.80). Ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò À, º á³ñåêòðèñà öüîãî êóòà. Òàê ñàìî, ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò Â, º á³ñåêòðèñà êóòà Â. Îòæå, öåíòðîì êîëà, âïèñàíîãî îäíî÷àñíî â îáèäâà êóòè À ³ Â, º òî÷êà Î ïåðåòèíó öèõ á³ñåêòðèñ. Точка О неодмінно існує, оскільки бісектриса кута А перетинає будь-який відрізок з кінцями на сторонах цього кута, зокрема, й бісектрису кута В. Îñê³ëüêè ð³âíèìè º â³äñòàí³ ÎÌ ³ ÎN â³ä òî÷êè Î äî ñòîð³í À ³ ÀÑ êóòà À, à òàêîæ â³äñòàí³ ÎÌ ³ ÎL â³ä òî÷êè Î äî ñòîð³í ÂÀ ³ ÂÑ êóòà Â, òî ð³âí³ é â³äñòàí³ ÎN òà ÎL â³ä òî÷êè Î äî ñòîð³í ÑÀ ³

C

N

A

O

L

B M Ðèñ. 4.80

§27. Коло, вписане у трикутник 237

Ñ êóòà Ñ. Тому рівними є прямокутні трикутники СОN і СОL, звідки випливає рівність їхніх кутів ОСN та ОСL. А цå îçíà÷àº, ùî òî÷êà Î íàëåæèòü ùå é á³ñåêòðèñ³ òðåòüîãî êóòà Ñ òðèêóòíèêà АВС, тобто є центром кола, вписаного і в кут С. Оскільки коло вписане в кожен із кутів трикутника, то воно вписане і в сам трикутник. Кожна з бісектрис трикутника визначається однозначно, тому однозначно визначається й центр О кола, вписаного трикутник. Îäíîçíà÷íî âèçíà÷àºòüñÿ й ðàä³óñ цього êîëà, îñê³ëüêè â³í äîð³âíþº äîâæèí³ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåíîãî ç точки О íà яку-небудь ç³ ñòîð³í òðèêóòíèêà. Òåîðåìó äîâåäåíî. Н асл ід о к (ïðî ïåðåòèí á³ñåêòðèñ òðèêóòíèêà). Á³ñåêòðèñè òðèêóòíèêà ïåðåòèíàþòüñÿ â îä­ í³é òî÷ö³.

Розв’язуємо разом З адач а. Äîâåñòè, ùî â³äñòàíü â³ä âåðøèíè À òðèêóòíèêà äî áëèæ÷их від неї òî÷ок К, L äîòèêó âïèñàíîãî êîëà äîð³âíþº ð³çíèö³ ì³æ ï³âïåðèìåòðîì ð òðèêóòíèêà ³ ñòîðîíîþ à, ïðîòèëåæíîþ äî âåðøèíè À: ÀÊ = ð - à (рис. 4.81). Розв’язання. Íåõàé Ì — òî÷êа äîòèêó сторони а. Òîä³, çà âëàñòèâ³ñòþ äîòè÷íèõ, ÀÊ = ÀL, ÂÊ = ÂÌ, ÑL = ÑÌ. Òîìó 2ð = À + ÂÑ + ÀÑ = 2ÀÊ + 2ÂÌ + + 2ÑÌ = 2ÀÊ + 2(ÂÌ + ÑÌ) = 2ÀÊ + 2à. Çâ³äñè ð = = ÀÊ + à, îòæå, ÀÊ = ð - à, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.

A

L K

B

C M a Ðèñ. 4.81

238 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е 1. Про геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута Доведену вище допоміжну теорему про геометричне місце центрів кіл, вписаних у кут, інколи без достатнього обґрунтування формулюють у такому вигляді: гåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä ñòîð³í кута, º á³ñåêòðèñà öüîãî êóòà. Таке формулювання неточне. Джерелом неточності є неналежне обходження з поняттям відстані від точки до сторін кута. Взагалі, в³äñòàííþ â³ä òî÷êè äî ô³ãóðè íàçè­âàþòü äîâæèíó íàéêîðîòøîãî ç â³äð³çê³â, ùî сполучають öþ òî÷êó ç òî÷êàìè ô³ãóðè. Íåõàé à — ïðîì³íü, Î — éîãî ïî÷àòîê, Ì — äîâ³ëüíà òî÷êà ïëîùèíè, Ì1 — îñíîâà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåíîãî ç Ì íà ïðÿìó, ùî ì³ñòèòü ïðîì³íü а (рис. 4.82). Яêùî òî÷êà Ì1 íàëåæèòü ïðîìåíþ, òî â³äñòàíь â³ä точки Ì äî ïðîìåíÿ äîð³âíþє äîâæèí³ ïåðïåíäèêóëÿðà ÌÌ1 (рис. 4.82, à), як і передбачається в наведеному неточному формулюванні теореми. Однак якщо точка Ì1 íå íàëåæèòü ïðîìåíþ (рис. 4.82, á), òî â³äñòàíü â³ä Ì äî öüîãî ïðîìåíÿ уже не дорівнює відрізку ММ1, а дорівнює â³äñòàí³ ÌÎ від точки М до ïî÷àòêó променя. Öå âèïëèâຠç òîãî, ùî в цьому разі для будь-якої внутрішньої точки Х променя відрізок МХ буде довшим за відрізок МО. Отже, відрізок МО буде найкоротшим з усіх відрізків, які сполучають точку М з точками променя а. Справді, кут О у трикутнику МОХ буде тупим — як зовнішній кут прямокутного трикутника ММ1О, а тому сторона МХ, що лежить проти тупого кута, буде á³ëüøою çà сторону ÌÎ. Взявши це до уваги, рівновіддаленими від сторін кута ВАС (рис. 4.83) потрібно вважати не тільки точки його бісектриси АD, а й усі точки М, розміщені всередині кута ЕАF, сторони якого перпендикулярні

M a O

M1 à) M a M1 O X á) Ðèñ. 4.82

§27. Коло, вписане у трикутник 239

до сторін кута ВАС. Справді, відстані від кожної такої точки М до кожної сторони кута ВАС дорівнюють довжині відрізка МА, тобто рівні між собою. Аби «відсікти» такі рівновіддалені точки, які до питання про вписане коло не мають жодного стосунку, наведене вище формулювання потрібно уточнити вказівкою про розміщення точок всередині кута: Ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, розміщених все­ редині кута і ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä його ñòîð³í, º á³ñåêòðèñà öüîãî êóòà. У такому вигляді теорема є істинною, однак її доведення теж потребує відповідного корегування. ßêùî êóò À ãîñòðèé àáî ïðÿìèé (рис. 4.84), òî îñíîâè ïåðïåíäèêóëÿð³â РМ і РN, îïóùåíèõ ç áóäüÿêî¿ éîãî âíóòð³øíüî¿ òî÷êè Р íà ïðÿì³, що ì³ñòÿòü ñòîðîíè кута, íàëåæàòü öèì ñòîðîíàì. Òîìó äëÿ òàêèõ êóò³â òî÷êè, ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä ñòîð³í кута, çá³ãàþòüñÿ ³ç öåíòðàìè âïèñàíèõ ê³ë. Îòæå, у цьому разі видозмінену теорему можна вважати доведеною на підставі теореми про геометричне місце центрів вписаних кіл. ßêùî æ êóò À — òóïèé (рис. 4.85), òî â íüîìó º é òàê³ òî÷êè Ê, äëÿ якèõ îñíîâи ïåðïåíäèêóëÿðів КМ, îïóùåíих íà ïðÿìу, ùî ì³ñòèòü ñòîðону а êóòà, уже íå íàëåæаòü ö³é ñòîðîí³ (якщо через вершину А провести пряму n, перпендикулярну до сторони а, то такі точки К розміщуються з того боку від прямої n, де немає точок променя а). Òîìó â³äñòàíü від точок К äî ñòîðîíè а âèì³ðþºòüñÿ íå ïåðïåíäèêóëÿðами КМ, à â³äð³çêами ÊÀ. Однак äëÿ òàêèõ òî÷îê К â³äñòàíü ÊN äî ³íøî¿ ñòîðîíè êóòà b çà æîäíèõ óìîâ íå ìîæå äîð³âíþâàòè â³äñòàí³ ÊÀ, îñê³ëüêè ÊN — êàòåò, à ÊÀ — ã³ïîòåíóçà ó ïðÿìîêóòíîìó òðèêóòíèêó ÊNÀ. Îòæå, із точок, розміщених всередині тупого кута, ð³âíîâ³ääàëåíèìè â³ä ñòîð³í êóòà ìîæóòü áóòè ëèøå òàê³ òî÷êè Q, äëÿ ÿêèõ çàçíà÷åí³ îñíîâè ïåðïåíäèêóëÿð³â íàëåæàòü ñòîðîíàì. À öå, ÿê äîâåäåíî, — òî÷êè á³ñåêòðèñè ÀF.

B E D

A M

C F Ðèñ. 4.83

N P

A

M Ðèñ. 4.84

n b

F

K

Fc Q

N

MA Ðèñ. 4.85

a

240 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

2. Про кола, вписані ззовні у трикутник Êîëî, ÿêå äîòèêàºòüñÿ äî âñ³õ ñòîð³í òðè­êóò­íèêà, òîáòî º âïèñàíèì ó òðèêóòíèê, — îäíå. Àëå ö³êàâî ðîçãëÿíóòè é êîëà, ÿê³ äî­òèêàþòüñÿ äî ïðÿìèõ, ùî ì³ñòÿòü ñòîðîíè òðèêóòíèêà, íå îáîâ’ÿçêîâî äîòè­ êàþ÷èñü äî ñàìèõ éîãî ñòîð³í. Òàê³ êîëà íàçèâàþòüñÿ ççîâí³âïèñàíèìè, îñê³ëüêè вони розміщуються ççîâí³ òðèêóòíèêà. Íåõàé ìàºìî äîâ³ëüíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ (рис. 4.86). Ïîêàæåìî, ùî ³ñíóº ççîâí³âïèñàíå êîëî, ÿêå äîòèêàºòüñÿ äî ñòîðîíè ÂÑ ³ äî ïðîäîâæåíü ñòîð³í À ³ ÀÑ çà ìåæі òðèêóòíèêà. Çðîçóì³ëî, ùî òàêå êîëî ìຠáóòè âïèñàíèì ó êóò ÂÀÑ, à òîìó éîãî öåíòð Î1 ìóñèòü ëåæàòè íà á³ñåêòðèñ³ öüîãî êóòà. Ç ³íøîãî áîêó, öå êîëî ìຠáóòè âïèñàíèì ó çîâí³øí³é êóò ÑÂÊ òðèêóòíèêà, à òîìó éîãî öåíòð Î1 ìóñèòü ëåæàòè íà á³ñåêòðèñ³ âæå öüîãî êóòà. Îòæå, Î1 — òî÷êà ïåðåòèíó âêàçàíèõ á³ñåêòðèñ. Âðàõîâóþ÷è âëàñòèâîñò³ á³ñåêòðèñ, Î1G = Î1Å, à Î1Å = = Î1J, äå Î1Å, Î1G, Î1J — ïåðïåíäèêóëÿðè, îïóùåí³ ç òî÷êè Î1 відповідно íà ïðÿì³ ÀÂ, ÀÑ òà ÂÑ. Çâ³äñè âèïëèâຠð³âí³ñòü óñ³õ òðüîõ öèõ ïåðïåíäèêóëÿð³â, à öå é îçíà÷àº, ùî òî÷êà Î1 º öåíòðîì øóêàíîãî ççîâí³âïèñàíîãî êîëà. Ïðè öüîìó, îñê³ëüêè Î1G = Î1J, òî öåíòð Î1 íàëåæèòü ³ á³ñåêòðèñ³ çîâí³øíüîãî êóòà ÂÑL, òîáòî º ñï³ëüíîþ òî÷êîþ á³ñåêòðèñè îäíîãî ³ç âíóòð³øí³õ êóò³â òà äâîõ çîâí³øí³õ êóò³â òðèêóòíèêà ÀÂÑ.

L O1

G C B J

O1

O3 A

A

B E Ðèñ. 4.86

K

O2

C

Ðèñ. 4.87

§27. Коло, вписане у трикутник 241

Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àються ùå äâà ççîâí³âïèñàí³ êîëà. Îòæå, çàãàëîì äëÿ êîæíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑ òàêèõ ê³ë ³ñíóº ð³âíî òðè (рис. 4.87).

Вправи і задачі 569°. На якому з рис. 4.88, а) – ґ) зображено коло, вписане у трикутник?

à)

á)

â)

ã)

´)

Ðèñ. 4.88

570°. Накресліть гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники, а потім за допомогою транспортира, лінійки і циркуля побудуйте кола, вписані у кожний з цих трикутників. 571°. Побудуйте кут з градусною мірою 110°, а потім за допомогою креслярських інструментів впишіть у нього два кола. 572. Усередині трикутника знайдіть точку, рівновіддалену від усіх трьох його сторін. Скільки існує таких точок? 573. Накресліть кут з градусною мірою 70° і впишіть у нього коло з радіусом 2,5 см. 574. Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 7 см. Визначте периметр трикутника. 575. Доведіть, що для рівностороннього трикутника центри вписаного й описаного кіл збігаються. 576. Доведіть, що для рівнобедреного трикутника центр вписаного кола належить висоті (медіані), проведеній до основи трикутника. 577. Побудуйте коло, а потім за допомогою косинця опишіть навколо нього трикутник. Як досягти, щоб описаний трикутник був: прямокутним; рівнобедреним; правильним? 578. Центр кола, яке перетинає сторони кута, лежить на бісектрисі цього кута (рис. 4.89). Доведіть, що таке коло відтинає на сторонах кута рівні відрізки? Чи істинне обернене твердження?

242 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

579. У трикутнику центр вписаного кола лежить на медіані. Доведіть, що цей трикутник рівнобедрений. 580. У трикутнику центр вписаного кола лежить на висоті. Доведіть, що цей трикутник рівнобедрений. 581•. Коло вписане у рівнобедрений трикутник. Доведіть, що пряма, яка сполучає точки дотику з бічними O сторонами, паралельна основі трикутника. • 582 . Доведіть, що коли для трикутника центри вписаного й описаного кіл збігаються, то цей трикутник — правильний. Ðèñ. 4.89 583•. Сторони трикутника ABC дорівнюють 5 см, 10 см і 11 см. Визначте довжини відрізків, на які ці сторони розбиваються точками дотику вписаного кола. 584•. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які розміщені всередині трикутника і дотикаються не менше, ніж до двох його сторін. 585•. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних пересічних прямих. 586•. Дано кут і точку M всередині нього. Знайдіть таку точку, яка однаково віддалена від обох сторін кута і знаходиться від точки M на даній відстані p. 587•. Доведіть, що діаметр d кола, вписаного у прямокутний трикутник з катетами a і b та гіпотенузою c визначається за формулою: d = a + b – c.

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е

§28. Знаходження кривини довільної плавної лінії ×èì á³ëüøèì º ðàä³óñ êîëà, òèì éîãî òî÷êè, âçÿò³ íà невеликому ïðîì³æêó, ìåíøå â³ääàëÿþòüñÿ â³ä äî­ òè÷íî¿ äî êîëà, ïðîâåäåíî¿ ÷åðåç ñåðåäíþ òî÷êó цього ïðîì³æêó (рис. 4.90). À ÿêùî ðàä³óñ êîëà áóäå äóæå âåëèêèì, òî íà доволі âåëèêîìó ïðîì³æêó âîíî ïðàê­ òè÷íî çëèâàòèìåòüñÿ ç³ ñâîºþ äîòè÷íîþ. Òîìó, çîêðåìà, îêðóãë³ñòü зåìíî¿ êóë³ ëþäèíîþ íå ïîì³÷àºòüñÿ. Îòæå, ÷èì á³ëüøèé ðàä³óñ R êîëà, òèì éîãî âèêðèâ­ ëåí³ñòü ìåíøà. Ó çâ’ÿçêó іç öèì âåëè÷èíó k = 1 , R îáåð­íåíó äî ðàä³óñà, íàçèâàþòü êðèâèíîþ êîëà.

Ðèñ. 4.90

§28. Знаходження кривини довільної плавної лінії 243

Ö³ëêîì ïðèðîäíî ââàæàòè, ùî íà âñ³õ ñâî¿õ ä³ëÿíêàõ êîëî ìຠîäíàêîâó êðèâèíó. Çîâñ³ì íå òàê ç ³íøèìè ïëàâíèìè ë³í³ÿìè. Íà îäíèõ ïðîì³æêàõ, ÿê, íàïðèêëàä, íà À (рис. 4.91), âîíè «çàêðó÷óþòüñÿ» á³ëüøå, òîáòî ìàþòü á³ëüøó êðèâèíó, íà ³íøèõ, ÿê íà ÑD, — ìåíøå, òîáòî ìàþòü ìåíøó êðèâèíó. ²íêîëè âàæëèâî âì³òè âèçíà÷èòè öþ êðèâèíó. Çîêðåìà, òàê³ çàäà÷³ âèíèêàþòü ó ô³çèö³ ïðè ðåºñòðàö³ї åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê ó òàê çâàí³é êàìåð³ ³ëüñîíà, ñêîíñòðóéîâàí³é ó 1912 ð. àíãë³éñüêèì ô³­çè­êîì, Íîáå­ ë³âñü­êèì ëàóðåàòîì ×àðëüçîì ³ëüñîíîì (1869–1959). ijÿ êàìåðè ³ëüñîíà ´ðóíòó­ºòüñÿ íà êîíäåíñàö³¿ дрібних пузирчиків ïàðè уздовж тра­ єк­ торії åëåìåíòàðíî¿ ÷àñòèíêè, що ïðîë³тає крізь êàìåðó, й утворення у такий спосіб ñë³äó (рис. 4.92). Öåé ñë³ä (ô³çèêè éîãî íàçèâàþòü òðåêîì) ôîòîãðàôóþòü ³ за його êðèâèíою ðîáëÿòü âèñíîâîê ïðî åíåðã³þ ÷àñòèíêè та ïðî ¿¿ âèä. Äëÿ âèçíà÷åííÿ êðèâèíè ë³í³¿ íà певній ä³ëÿíö³, öþ ä³ëÿíêó íàáëèæåíî çàì³íþþòü ÷àñòèíîþ êîëà. À äëÿ öüîãî íà í³é áåðóòü òðè òî÷êè À, Â, Ñ ³ ïðî­âîäÿòü ñåðå­äèíí³ ïåðïåíäèêóëÿðè äî â³äð³çê³â À ³ ÂÑ (рис. 4.93). Òî÷êà Î ïåðåòèíó öèõ ñåðåäèííèõ ïåðïåíäèêóëÿð³â áóäå öåíòðîì êîëà-замінника, à éîãî ðàä³óñом R = ÎÀ, отже, наближено âèçíà÷èòüся êðèâèíа k ë³í³¿ íà взят³é ä³ëÿíö³ — за формулою: k= 1. R

B A C D Ðèñ. 4.91

Ðèñ. 4.92 B C

A O

Ðèñ. 4.93

244 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл)

Як ви вже знаєте, геометричною фігурою називається будь-яка множина точок. Проте про фігури, складені з точок хаотично, без системи, нічого певного й не скажеш. Для того, аби стати предметом вивчення у геометрії, фігуру потрібно означити. Означення геометричних фігур бувають двох видів: конструктивні та описові. У конструктивних означеннях безпосередньо вказується, як можна побудувати означувану фігуру. Наприклад, коли ми означуємо прямий кут як такий, що дорівнює 90°, то цим фактично вказуємо й на спосіб побудови прямого кута за допомогою транспортира. Це — приклад конструктивного означення. Конструктивними також є означення суміжних та вертикальних кутів, різних видів трикутників, залежно від величини їхніх кутів, елементів трикут­ ника — бісектриси, медіани і висоти, елементів кола — радіуса, хорди, діаметра. На противагу цьому, в описових означеннях указуються властивості, які повинна мати означувана фігура, однак не вказується способу її побудови. Наприклад, означення дотичної до кола як прямої, яка має з колом лише одну спільну точку, є описовим, оскільки у ньому зазначається властивість, яку повинна мати дотична пряма, однак не вказується способу її побудови. Іншими відомими вам прикладами є означення паралельних прямих, як таких, що не мають спільних точок, різних видів трикутників, залежно від величини їхніх сторін, описаного та вписаного кіл. Особливістю описових означень є те, що у них наперед невідомо, за яких умов означувана фігура існує і навіть достеменно невідомо, чи існує вона

Урок 41-42 Геометричні інструменти, особливо циркуль, здавна чинили на людину, яка прагне до пізнання, особливу магічну дію. Це добре знали художники й графіки минулого, які часто розміщували ці атрибути на своїх картинах та гравюрах.

Йос ван Вассенхове (Юстус з Гента). Евклід, близько 1474.

Олексій Бельський. Уранія (муза астрономії). 1756 р.

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) 245

взагалі. Наприклад, за аналогією з означенням кола, вписаного у трикутник, можна сформулювати описове означення кола, вписаного у прямокутник — як кола, що дотикається до усіх сторін прямокутника. Але такого кола не існує: коло може дотикатися щонайбільше до трьох із чотирьох сторін прямокутника (рис. 4.94). Єдиним способом переконатися в існуванні фігури за її описовим означенням є побудова. Але якими інструментами можна користуватися? Досі таке питання у нас навіть не виникало: що було під руками, тим і користувалися — лінійками, косинцями, циркулями, транспортирами, можливо, навіть, шаблонами… Не особливо задумувалися і над тим, які ж елементарні операції з цими інструментами можна виконувати. Наприклад, чи можна вважати лінійку «двосторонньою» чи «односторонньою», інакше кажучи, чи можна з її допомогою проводити паралельні прямі, чи ні? Якою має бути довжина цієї лінійки, тобто наскільки можуть бути віддалені точки, аби через них можна було провести пряму? Або: чи будь-які відрізки можна відкладати з допомогою лінійки, а чи тільки ті, які вдається виміряти з допомогою нанесеної на неї міліметрової шкали? Аналогічні запитання стосуються й інших інструментів. Наприклад, чи можна за допомогою циркуля «переносити» відрізки, а чи це неодмінно потрібно робити за допомогою лінійки? Або: чи можна за допомогою транспортира проводити коло? Для теоретичної геометрії такі невизначеності неприпустимі. Так само, як при доведенні теорем можна користуватися лише зафіксованим набором основних фактів (аксіом), так і в геометричних побудовах використання інструментів регламентується чітким переліком основних побудов. Фундатори геометрії, які жили ще в античну епоху, заклали традицію виконувати геометричні побудови за допомогою

Ðèñ. 4.94

Символічне зображення ñóç³ð’ÿ «Öèðêóëü» ç атласу «Óðàíîëîã³я» í³ìåöüêîãî àñòðîíîìà Éîãàííà Áîäå (1801 ð.). Ñóç³ð’ÿ знаходиться ó ϳâäåíí³é ÷àñòèí³ íåáà ³ òîìó íåâèäèìå ó ϳâí³÷í³é ï³âêóë³. Його нàçâó ó 1752 ð. çàïðîïîíóâàâ ôðàíöóçüêèé àñòðîíîì ͳêîëà Ëó¿ Ëàêàéëü (1713–1762) íà â³äçíà÷åííÿ виняткового значення öèðêóëÿ в науці.

246 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

проведення прямих і кіл, тобто лінійкою і циркулем. При цьому вони відповідним чином «ідеалізували» ці інструменти. А саме, у геометрії вважається, що: 1) çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè можна ïðîâåñòè ïðÿìó ÷åðåç áóäü-ÿê³ äâ³ òî÷êè площини; 2) çà äîïîìîãîþ öèðêóëÿ можна провести коло з центром у áóäü-якій точці площини і з ðàä³óñом, ÿêий äîð³âíþº áóäü-ÿêîìó çàäàíîìó â³äð³çêó. Отже, «ідеальність» лінійки полягає у тому, що вона, по-перше, нескінченна, тобто дає змогу без щонайменших відхилень проводити прямі через дві точки, навіть як завгодно віддалених одна від одної; по-друге, — лінійка «одностороння», по-третє, вона не має шкали для вимірювання відрізків. «Ідеальність» циркуля полягає у тому, що він дає змогу ïðîâодити êîëà ç öåíòðами у будь-якій точці ïëîùèíè ³ ç ÿê çàâãîäíî âåëèêèìи ÷è ìàëèìи ðàä³óñами. Жодних інших операцій, крім зазначених, у геометричних побудовах циркулем і лінійкою робити не можна. Наприклад, çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè íå можна â³äêëàäàòè â³äð³çêè, що дорівнюють çàäàíèì, наприклад, ïîçíà÷аючи олівцем ¿õí³õ äîâæèí íà êðàю ë³í³éêè. Не можна проводити дотичні до кола, спільні дотичні до двох кіл тощо. А за допомогою циркуля не можна провести кола, що дотикається до заданої прямої чи до іншого кола, підбираючи «на око» центр або радіус. Виконати побудову фігури із заданими властивостями означає вказати послідовність (алгоритм) із указаних вище двох елементарних побудов, після виконання яких буде отримано цю фігуру, а також довести, що побудована фігура справді має потрібні властивості. Ïðè öüîìó саме ілюстрування побудов çà äîïîìîãîþ реальних êðåñëÿðñüêèõ ³íñòðóìåíò³â ó ãåîìåò𳿠íîñиòü äîïîì³æíèé, схематичний õàðàêòåð. Головне — це алгоритм і доведення.

Ґеорґ Гловер. Геометрія (1630 р.)

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) 247

З максимальною òî÷í³ñòþ ïîáóäîâè âèêîíóþòü ëèøå у çàñòîñóâàííях ãåîìåòð³¿, íàïðèêëàä, ó êðåñëåíí³ чи ³íæåíåðí³é ãðàô³ö³. Äî îñíîâíèõ ïîáóäîâ â³äíîñÿòü: â³äêëàäàííÿ â³äð³çê³â ³ êóò³â, ïîáóäîâó òðèêóòíèêа за трьома сторонами, ïîä³ë â³äð³çê³â ³ êóò³â íàâï³ë, а також ïðîâåäåííÿ ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ïðÿìèõ. Рîçãëÿíåìî äåòàëüíî ö³ ïîáóäîâè. Побуд о ва 1. На заданому промені від його початку â³äêëàñòè â³äð³çîê, ð³âíèé äàíîìó â³äð³çêó. Р о з в ’ я з а н н я . Íåõàé çàäàíî промінь ОХ та â³äð³çîê а (рис. 4.95) і ïîòð³áíî на промені ОХ â³ä його початку Î â³äêëàñòè відрізок, ð³âíèé â³äð³çêó а. За допомогою циркуля бóäóºìî êîëî ç öåíòðîì O і ðàä³óñîì OC = а; нехай А — точка його перетину з променем ОХ (інша точка В перетину прямої ОХ з проведеним колом не належатиме променю ОХ). Оскільки пряма ОХ проходить через центр О кола, то ОА — його радіус. Тому ÎА = OC = а. Îòæå, â³äð³зок ÎА — øóêàний: він â³äêëàäåíий на промені ОХ â³ä його початку Î і äîð³âíþє çàäàíîìó â³äð³çêó а.

x

A a

O a C

B a

Ðèñ. 4.95

A M O Ðèñ. 4.96

П обуд о ва 2. ³ä äàíî¿ ï³âïðÿìî¿ â³äêëàñòè êóò, ð³âíèé заäàíîìó нерозгорнутому êóòó. Р озв ’ я за н н я . Íåõàé äàíî нерозгорнутий êóò À ³ півпряму OM (рис. 4.96), à ïîòð³áíî â³ä півпрямої ÎÌ â³äêëàñòè êóò, ð³âíèé êóòó À, òîáòî ïîáóäóâàòè êóò В1ОС1, îäíà çі сторін якого належить півпрямій ÎÌ, à його âåëè÷èíà äîð³âíþє величині êóòа À. За допомогою циркуля áóäóºìî äâà êîëà ð³âíèõ ðàä³óñ³â, îäíå ç öåíòðîì À, ³íøå — ç öåíòðîì Î (рис. 4.97). Íåõàé Â, Ñ — òî÷êè ïåðåòèíó ïåðøîãî êîëà ç³ ñòîðîíàìè êóòà À, Â1 — òî÷êà ïåðåòèíó äðóãîãî êîëà ç півпрямою ÎÌ.

C A

B

C1 M

O

B1 C2

Ðèñ. 4.97

248 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

За допомогою лінійки пðîâодиìî â³äð³çîê ÂÑ, а потім за допомогою циркуля — êîëî ç öåíòðîì Â1 і радіусом ВС. Íåõàé Ñ1, Ñ2 — òî÷êè ïåðåòèíó öüîãî êîëà ç ðàí³øå ïîáóäîâàíèì êîëîì іç öåíòðîì Î. Òîä³ êóòè Â1ÎÑ1 ³ Â1ÎÑ2 — øóêàí³. Öå âèïëèâຠç òîãî, ùî îáèäâà òðèêóòíèêè ÎÂ1Ñ1 ³ ÎÂ1Ñ2 ð³âí³ òðèêóòíèêó ÀÂÑ çà òðüîìà ñòîðîíàìè. Òîìó é êóòè Â1ÎÑ1 òà Â1ÎÑ2 öèõ òðèêóòíèê³â ð³âí³ â³äïîâ³äíîìó ¿ì êóòó À òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Îäèí ³ç побудованих êóò³â ëåæèòü ç îäíîãî áîêó â³ä півïðÿìî¿ ÎÌ, а ³íøèé — ç ³íøîãî. Çàóâàæåííÿ.  ðåàëüí³é êðåñëÿðñüê³é ïðàêòèö³ для більшої прозорості рисунка зображення допоміжних кіл як правило обмежують невеличкими дугами (засічками). Íàïðèêëàä, ó ðîçãëÿíóò³é ùîéíî побудові çàì³ñòü ïîâíèõ ê³ë іç öåíòðàìè Î ³ Â1 (див. рис. 4.97) кресляр обмежується äóãамè (рис. 4.98). Ïðîòå ó ãåîìåò𳿠â³äïîâ³äíîþ åëåìåíòàðíîþ ïîáóäîâîþ º ïî­áóäîâà ñàìå êîëà, à íå äóãè. Òîìó ïðàâèëüí³øå áóäóâàòè ïîâí³ êîëà, à íå îáìåæóâàòè ¿õ засічками.

C1

O

M

B1 C2 Ðèñ. 4.98

По буд о ва 3 . Ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê çà òðüîìà äàíèìè ñòîðîíàìè. Р озв ’ я за н н я . Íåõàé äàíî òðè â³äð³çêè a, b, c (рис. 4.99) ³ ïîòð³áíî ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê, ñòîðîíè ÿêîãî äîð³âíþють öèì â³äð³çêàì. За допомогою лінійки бóäóºìî äîâ³ëüíó ïðÿìó l. На прямій l â³ä áóäü-ÿêî¿ òî÷êè A на будь-якому з променів з початком A â³äêëàäàºìî â³äð³çîê ÀÂ, ùî äîð³âíþº одному ³ç çàäàíèõ â³äð³çê³â, íàïðèêëàä, ñ — як описано у побудові 1) (рис. 4.100). Ïîò³ì за допомогою циркуля ïðîâîäèìî два кола, одне — ç öåíòðîì À ³ ðàä³óñîì b, інше — ç öåíòðîì  ³ ðàä³óñîì a. ßêùî ö³ êîëà ïåðåòíóòüñÿ і Ñ, С1 — точки їхнього ïåðåòèíó, òî òðèêóòíèêи ÀÂÑ і АВС1 будуть øóêàíими. Справді, наприклад, для трикутника АВС сторона АВ дорівнює відкладеному від точки А відрізку

a b c Ðèñ. 4.99

C a

b l A

c

B C1

Ðèñ. 4.100

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) 249

с, а сторони АС і ВС — радіусам проведених кіл, тобто а і b. Уìîâîþ ³ñíóâàííÿ òðèêóòíèêà ç³ ñòîðîíàìè a, b ³ c º âèêîíàííÿ íåð³âíîñòåé òðèêóòíèêà. Наприклад, ñòîðîíà ñ ïîâèííà áóòè ìåíøîþ â³ä ñóìè a + b ³ á³ëüøîþ â³ä ð³çíèö³ b – a ñòîð³í a ³ b. Якщо ці умови виконуються, то проведені кола з центрами А і В ïåðåòнуòüñÿ, à îòæå, òðèêóòíèêи ÀÂÑ і ÀÂÑ1 із заданими ñòîðîíàìè a, b ³ c ³ñíóватимуть. Якщо ж зазначені умови не виконуються, то побудовані кола не перетнуться (рис. 4.101, а, б) і трикутника зі ñòîðîíàìè a, b ³ c не існуватиме. Побуд о ва 4. Çàäàíèé нерозгорнутий êóò ïîä³ëèòè íàâï³ë. Інакше кажучи: ïîáóäóâàòè á³ñåêòðèñó заданого нерозгорнутого êóòà. Р о з в ’ я з а н н я . Íåõàé ïîòð³áíî ïîáóäóâàòè á³ñåêòðèñó êóòà Î (рис. 4.102). За допомогою циркуля пðîâåäåìî ÿêå-íåáóäü êîëî ç öåíòðîì Î. Íåõàé À ³  — òî÷êè ïåðåòèíó öüîãî êîëà ç³ ñòîðîíàìè êóòà. Ïðîâåäåìî ùå äâà êîëà з тим ñàìим ðàä³óñом ÎÀ — ç öåíòðàìè À ³ Â. Однією точкою їхнього перетину буде точка О. Нехай С — інша точка перетину. Òîä³ ïðîì³íü ÎÑ — øóêàíà á³ñåêòðèñà. Ñïðàâä³, òðèêóòíèêè ÎÀÑ ³ ÎÂÑ ð³âí³ çà òðüîìà ñòîðîíàìè. Òîìó ð³âíèìè º ¿õí³ êóòè ÀÎÑ òà ÂÎÑ, ùî ëåæàòü ïðîòè ð³âíèõ ñòîð³í ÀÑ ³ ÂÑ. À öå é îçíà÷àº, ùî ÎÑ — á³ñåêòðèñà êóòà À. Çàóâàæåííÿ. Á³ñåêòðèñà ÎÑ íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó äî â³äð³çêà ÀÂ. Öå âèïëèâຠç òîãî, ùî á³ñåêòðèñà êóòà Î ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà ÎÀ º îäíî÷àñíî ìåä³àíîþ й âèñîòîþ öüîãî òðèêóòíèêà. Тому ïîáóäîâó òî÷êè Ñ øóêàíî¿ á³ñåêòðèñè ÎÑ ìîæíà ïðîâîäèòè й çà äîïîìîãîþ ³íøèõ ê³ë ç öåíòðàìè À ³ Â, íàïðèêëàä, ç радіусом, що дорівнює довжині відрізка À (рис. 4.103).

a

b c

A

l

B

à)

a

c b A B

l

á) Ðèñ. 4.101

C A O

B

Ðèñ. 4.102

À

Î

Ðèñ. 4.103

Ñ Â

250 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Вправи і задачі

Усі вказані тут побудови, окрім тих, що окремо обумовлені, потрібно виконувати за допомогою проведення прямих і кіл (лінійкою і циркулем). 588°. Дано точку A і відрізок p. Побудуйте точку, яка знаходиться від точки A на відстані, що дорівнює довжині відрізка p . Скільки розв’язків має ця задача? 589°. Дано пряму a, точку A, яка їй не належить, і відрізок p. Побудуйте на прямій a таку точку, яка віддалена від точки A на відстань, що дорівнює довжині відрізка p. Скільки розв’язків може мати ця задача? 590°. Накресліть за допомогою косинця прямий кут, а потім за допомогою циркуля і лінійки побудуйте рівний йому кут. 591°. Накресліть за допомогою транспортира тупий кут, а потім за допомогою циркуля і лінійки побудуйте рівний йому кут. 592°. Побудуйте рівносторонній трикутник за даною стороною a. 593°. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою b і бічною стороною a. 594°. Накресліть за допомогою косинця прямий кут, а потім за допомогою циркуля і лінійки побудуйте його бісектрису. 595. Побудуйте трикутник за стороною і прилеглими до неї кутами. 596. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і кутом при основі. 597. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і кутом між бічними сторонами. 598. Побудуйте в зошиті фігури, рівні зображеним на рис. 4.104, а) – б). 599. Дано трикутник. Побудуйте точку перетину його бісектрис. 600. Побудуйте кут 60°, а потім проведіть його бісектрису. 601. Побудуйте кути 30°, 15° і 120°. à) 602. Даний кут поділіть на 4 рівні частини. 603•. Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, проведеної до більшої з них. 604•. За даними двома гострими кутами трикутника побудуйте його третій кут. á) 605•. За кутом при основі рівнобедреного трикутника побудуйте кут між його бічними сторонами. Ðèñ. 4.104 606•. За кутом між бічними сторонами рівнобедреного трикутника побудуйте його кут при основі.

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) 251

Побуд о ва 5. Заданий відрізок поділити навпіл. Р озв ’ я за н н я . Íåõàé дано â³äð³çîê ÀÂ, який потрібно поділити навпіл (рис. 4.105). За допомогою циркуля пðîâоäиìî äâà êîëà, ðàä³óñè ÿêèõ äîð³âíþþòü â³äð³çêó ÀÂ: îäíå ç öåíòðîì À, ³íøå — ç öåíòðîì Â. Íåõàé Ñ1, Ñ2 — òî÷êè ïåðåòèíó öèõ ê³ë. За допомогою лінійки проводимо пряму С1С2 і знаходимо точку М її перетину з прямою АВ. Точка М — шукана середина відрізка АВ. Справді, òî÷êè Ñ1, Ñ2 ð³âíîâ³ääàëåí³ â³ä òî÷îê À, Â, îñê³ëüêè â³äñòàí³ ÀÑ1 ³ ÂÑ1, à òàêîæ ÀÑ2 ³ ÂÑ2 äîð³âíþþòü ðàä³óñàì ïîáóäîâàíèõ ê³ë. Îòæå, ö³ òî÷êè íàëåæàòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó до відрізка АВ. Висота С1М у рівнобедреному трикутнику С1АВ є й медіаною. Тому АМ = МВ. Çàóâàæåííÿ. Çàì³ñòü ê³ë ç ðàä³óñàìè À ìîæíà áóëî ïðîâîäèòè êîëà ç áóäü-ÿêèìè ³íøèìè ð³âíèìè ðàä³óñàìè ³ ç òèìè ñàìèìè öåíòðàìè À ³  (рис. 4.106), àáè ò³ëüêè âîíè ïåðåòèíàëèñÿ. À ïåðåòèíàòèñÿ âîíè áóäóòü тоді, ÿêùî ¿õí³ ðàä³óñè áóäóòü á³ëüøèìè çà ïîëîâèíó â³äð³çêà ÀÂ, çîêðåìà, — á³ëüøèìè çà сам цей відрізок ÀÂ.

Урок 43 C1 M B

A

C2 Ðèñ. 4.105

C1

M B

A

C2 Ðèñ. 4.106

Побуд о ва 6. ×åðåç òî÷êó, çàäàíó íà ïðÿì³é, ïðîâåñòè ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ö³º¿ ïðÿìî¿. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай потрібно через точку М прямої l провести перпендикуляр до цієї прямої (рис. 4.107). За допомогою циркуля проведемо яке-небудь коло з центром М; нехай А, В — точки його перетину з прямою l. Далі за допомогою циркуля проведемо два кола цент­р ами А і В, радіуси яких дорівнюють АВ. Нехай С1, С2 — точки їхнього перетину. Тоді пряма С1С2 — шукана.

C1 A

M B

C2 Ðèñ. 4.107

l

252 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Справді, оскільки кожна з точок С1, С2 рівновіддалена від точок А і В, то пряма С1С2 — серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Вона перпендикулярна до цього відрізка (отже, й до прямої l) і проходить через його середину, тобто через точку М. По буд о ва 7 . Через точку, розміщену поза прямою, провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої. Р озв ’ я за н н я . Нехай чåðåç òî÷êó N, çàäàíó ïîçà ïðÿìîþ l, потрібно ïðîâåñòè ïðÿìó, ïåðïåíäèêó­ëÿðíó äî ïðÿìî¿ l (рис. 4.108). ³çüìåìî ÿêó-íåáóäü òî÷êó M, ùî ëåæèòü ç ³íøîãî áîêó â³ä ïðÿìî¿ l, í³æ òî÷êà N, ³ за допомогою циркуля ïðîâåäåìî êîëî ç öåíòðîì N ³ ðàä³óñîì NM. Öå êîëî ïåðåòíå ïðÿìó l ó äâîõ òî÷êàõ À ³ Â. Далі за допомогою циркуля проводимо два кола з центрами А і В з одним і тим самим радіусом, що дорівнює довжині відрізка АВ. Нехай С1, С2 — точки перетину цих кіл. Тоді пряма С1С2 — шукана. Справді, кожна з точок N, С1, С2 ð³âíîâ³ääàëåíа â³ä кінців відрізка АВ, а тому лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Отже, пряма С1С2 перпендикулярна до прямої l і проходить через точку N. Інколи до основних побудов відносять також пîáóäîâи òðèêóòíèê³â çà äâîìà ñòîðîíàìè ³ êóòîì ì³æ íèìè, çà ñòîðîíîþ ³ äâîìà ïðèëåãëèìè êóòàìè, прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою, а також паралельних прямих. Однак ці побудови, як і багато інших важливих побудов, легко зводяться до виокремлених вище основних. Розглянемо на двох прикладах, як це здійснюється.

C1 N l A M

B

C2 Ðèñ. 4.108

§29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) 253

Розв’язуємо разом З адач а 1. Ïîáóäóâàòè ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê çà êàòåòîì ³ ã³­ïîòåíóçîþ. Р озв ’ я за н н я . Íåõàé çàäàíî êàòåò à ³ ã³ïîòåíóçó ñ ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà (рис. 4.109). Ïîáóäóºìî ïðÿìèé êóò MCN (äèâ. основну побудову 6) (рис. 4.110) ³ íà îäí³é ç éîãî ñòîð³í CN â³äêëàäåìî â³äð³çîê CB, ð³âíиé â³äð³çêó a (побудова 1). Ïîò³ì за допомогою циркуля поáóäóºìî êîëî ç öåíòðîì  ³ ðàä³óñîì ñ. Íåõàé À — одна з òî÷ок ïåðåòèíó öüîãî êîëà ç ³íøîþ ñòîðîíîþ CM ïîáóäîâàíîãî ïðÿìîãî êóòà. Òîä³ òðèêóòíèê ÀÂÑ — øóêàíèé. Îñê³ëüêè ã³ïîòåíóçà ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà çàâæäè á³ëüøà â³ä áóäü-ÿêîãî ç êàòåò³â, òî íåîáõ³äíîþ óìîâîþ äëÿ ³ñíóâàííÿ ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ çàäà÷³ º âèêîíàííÿ íåð³âíîñò³ a < c. Öÿ óìîâà º é äîñòàòíüîþ, îñê³ëüêè ïðè ¿¿ âèêîíàíí³ öåíòð ïðîâåäåíîãî êîëà ðîçì³ùóâàòèìåòüñÿ íà â³äñòàí³ à â³ä ïðÿìî¿ CM, ÿêà ìåíøà â³ä ðàä³óñà ñ, à òîìó êîëî ³ ïðÿìà ïåðåòíóòüñÿ. Îòæå, òî÷êà À ³ñíóâàòèìå, à ç íåþ існуватиме ³ òðè­ êóòíèê ÀÂÑ.

a c Ðèñ. 4.109 M A c C

a B

N

Ðèñ. 4.110

З адач а 2. ×åðåç òî÷êó, ðîçì³ùåíó ïîçà ïðÿìîþ, ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó даній ïðÿì³é. Р озв ’ я зан н я . Нехай чåðåç òî÷êó À, ðîçì³ùåíó ïîçà ïðÿìîþ l, потрібно ïðîâåñòè ïðÿìó, ïàðàëåëüíó ïðÿì³é l (рис. 4.111). В³çüìåìî íà ïðÿì³é l ÿêó-íåáóäü òî÷êó  ³ за до­ по­могою лінійки ïðîâåäåìî ïðÿìó ÀÂ. Íåõàé Ñ — ÿêà-íåáóäü ³íøà òî÷êà ïðÿìî¿ l. В³äêëàäåìî â³ä ïðîìåíÿ À êóò BAD, ð³âíèé êóòó ÀÂÑ ³ ðîçì³ùåíèé

A

C

B Ðèñ. 4.111

D

l

254 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

ç ïðîòèëåæíîãî áîêó â³ä ïðÿìî¿ À (побудова 3). Пряма AD — шукана. Справді, оскільки äëÿ ïðÿìèõ l ³ AD òà ñ³÷íî¿ À рівні êóòè BAD ³ ABC º âíóòð³øí³ми ð³зíîñòîðîíí³ми, то прямі l ³ AD — паралельні.

Вправи і задачі 07°. Накресліть довільний відрізок і поділіть його навпіл. 6 608°. Накресліть довільний відрізок і побудуйте його серединний перпендикуляр. 609°. Накресліть довільний трикутник і побудуйте одну з його висот. 610°. Дано довільний трикутник. Як побудувати точку перетину прямих, які містять його висоти? 611°. Задано розгорнутий кут. Побудуйте його бісектрису. 612°. Як заданий відрізок поділити на 4 рівні частини. 613. Побудуйте прямокутний трикутник за двома катетами. 614. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом. 615. Побудуйте прямий кут, а потім проведіть його бісектрису. 616. Побудуйте кут 45°. 617. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і висотою, проведеною до основи. 618. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і гострим кутом. 619. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник за гіпотенузою. 620. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і висотою, проведеною до основи. 621. Впишіть коло у даний кут. 622. Впишіть у даний кут коло, яке проходить через задану точку на стороні кута. 623•. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і бісектрисою прямого кута. 624•. Побудуйте рівносторонній трикутник за його медіаною. 625•. Побудуйте прямокутний трикутник за гострим кутом і висотою, проведеною до гіпотенузи. 626•. Побудуйте дотичну до кола, яка паралельна даній прямій. 627•. Побудуйте дотичну до кола, яка перпендикулярна даній прямій.

§30. Орієнтовна схема для розв’язування задач на побудову 255

§30. Орієнтовна

схема для розв’язування задач на побудову

Рîçâ’ÿçóâàííÿ êîæíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ çàäà÷³ íà ïîáóäîâó, çà âèíÿòêîì, ìîæëèâî, íàéïðîñò³øèõ, ìîæíà ïîð³âíÿòè ç³ çâåäåííÿì áóä³âë³ ÷è ñêëàäàííÿì ìàøèíè. Ïåðø í³æ ïðèñòóïèòè äî ñàìèõ ïîáóäîâ, â óÿâ³ ïîâèíåí ç’ÿâèòèñÿ îáðàç òîãî, ùî õî÷åø ïîáóäóâàòè. Ïîò³ì, â³äøòîâõóþ÷èñü â³ä öüîãî îáðàçó, немовби â³ä óæå ðåàë³çîâàíîãî, êðîê çà êðîêîì àíàë³çóþòü óñ³ éîãî äåòàë³, àæ ïîêè íå ñôîðìóºòüñÿ ïîñë³äîâí³ñòü (àëãîðèòì) ïîáóäîâ. Однак після цього ïîòð³áíî ùå âïåâíèòèñÿ (у математиці це називається доведенням), ùî ï³ñëÿ ðåàë³çàö³¿ намічених ïîáóäîâ ñïðàâä³ îäåðæèòüñÿ òå, ùî áóëî ïîòð³áíî. Íàðåøò³, áàæàíî îö³íèòè (äîñë³äèòè), ñê³ëüêè розв’язків ìîæå ³ñíóâàòè ³ ÿê âîíè â³äð³çíÿþòüñÿ îäèí â³ä îäíîãî. Тому ðîçâ’ÿçóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷ íà ïîáóäîâó ÿê ïðàâèëî ðîçáèâàþòü íà 4 åòàïè. Ïåðøèé åòàï (аналіз). Ñïî÷àòêó ïðèïóñêàþòü, ùî задача ðîçâ’ÿçàíà ³ ùî, îòæå, ô³ãóðà ç ïîòð³áíèìè âëàñòèâîñòÿìè ïîáóäîâàíà. Ïðè öüîìó âèêîíóþòü ñõåìàòè÷íèé ðèñóíîê (çàçâè÷àé â³ä ðóêè), íà ÿêîìó â³äîáðàæàþòü óñ³ çàäàí³ é шукані ô³ãóðè. Ïîò³ì, óâàæíî ðîçãëÿäàþ÷è óñ³ ö³ ô³ãóðè, íàìàãàþòüñÿ â³äøóêàòè âèçíà÷àëüí³ çàëåæíîñò³ ì³æ íèìè, ÿê³ çâîäèëè б ïîáóäîâó øóêàíî¿ ô³ãóðè äî âèêîíàííÿ åëåìåíòàðíèõ ïîáóäîâ. Ó ðåçóëüòàò³ цього âèíèêຠïåâíà ñòðàòåã³ÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Äðóãèé åòàï (побудова). ϳñëÿ òîãî, ÿê ç’ÿâèëàñÿ певна ñòðàòåã³ÿ побудов, ¿¿ äåòàë³çóþòü ó âèãëÿä³ êîíêðåòíîãî àëãîðèòìó, â ÿêîìó ÷³òêî, êðîê çà êðîêîì, îïèñóþòüñÿ óñ³ ïîáóäîâè, ðåçóëüòàòîì ÿêèõ ìຠñòàòè ïîáóäîâà øóêàíî¿ ô³ãóðè. При цьому самі побудови на рисунку можуть проводитися не всі або відображатися лише схематично.

Урок 44

Ґеорґ Пенц. Геометрія (1541 р.)

256 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Òðåò³é åòàï (доведення). Îñê³ëüêè àíàë³ç çàäà÷³ ìຠòàê áè ìîâèòè äîðàä÷ó ôóíêö³þ, òî ö³ëêîì ìîæå òðàïèòèñÿ, ùî ç’ÿñîâàí³ ïðè éîãî ïðîâåäåíí³ необхідні óìîâè не є äîñòàòí³ìè äëÿ побудови шуканої фігури. Òîìó äëÿ гарантування ïðàâèëüíîñò³ ðîçâ’ÿçàííÿ ïîòð³áíî îáîâ’ÿçêîâî äîâåñòè, ùî ïîáóäîâàíà за вказаним алгоритмом ô³ãóðà ñïðàâä³ çàäîâîëüíÿтиме óñ³ âèìîãè çàäà÷³. ×åòâåðòèé åòàï (дослідження). Íàðåøò³, äëÿ ïîâíîòè ðîçâ’ÿçàííÿ áàæàíî дослідити, ïðè ÿêèõ ñï³ââ³äíîøåííÿõ ì³æ çàäàíèìè åëåìåíòàìè задача ìຠðîçâ’ÿçîê ³ ñê³ëüêè öèõ ðîçâ’ÿçê³â ìîæå áóòè. ßêùî задача íåñêëàäíà, òî â çàïèñ³ ¿¿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ àíàë³ç, à ³íêîëè é äîñë³äæåííÿ ïðîïóñêàþòü, à âêà­ çóþòü ëèøå àëãîðèòì ïîáóäîâи і äîâåäåííÿ. Ñàìå òàê на попередніх уроках ðîçâ’ÿçувалися îñíîâí³ çàäà÷³ íà ïîáóäîâó. Рîçãëÿíåìî äåê³ëüêà ïðèêëàä³â, які покажуть, що в складніших ситуаціях описану ñõåìó розв’язування бажано çàñòîñîâóâàòè у ïîâíîìó îáñÿç³.

Розв’язуємо разом З ад ач а 1. Ïîáóäóâàòè ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê çà á³÷íîþ ñòîðîíîþ ³ âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ äî îñíîâè. Р îçâ ’ ÿçàííÿ . Ïðîâåäåìî àíàë³ç çàäà÷³. Ïðèïóñòèìî, ùî ïîòð³áíèé ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ ïîáóäîâàíî ³ ùî â íüîìó á³÷í³ ñòîðîíè ÂÀ ³ ÂÑ ð³âí³ çàäàíîìó â³äð³çêó à, à âèñîòà ÂÌ, ïðîâåäåíà äî îñíîâè ÀÑ, рівна çàäàíîìó â³äð³çêó h (рис. 4.112). ³äîìî, ùî âèñîòà ð³âíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà, ïðî­ âåäåíà äî îñíîâè, º його ìåä³àíîþ, òîáòî ÀÌ = ÌÑ. Òîìó ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÂÌÀ ³ ÂÌÑ ð³âí³ çà ïåðøîþ îçíàêîþ. Îòæå, ÿêùî ïîáóäóºìî îäèí іç íèõ,

B

A

C

M h a Ðèñ. 4.112

§30. Орієнтовна схема для розв’язування задач на побудову 257

íàïðèêëàä, ÂÌÀ, òî, ïðîäîâæèâøè â³äð³çîê ÀÌ çà òî÷êó Ì íà òàêó ñàìó äîâæèíó, дістанемо é òðåòþ âåðøèíó Ñ òðèêóòíèêà ÀÂÑ. Çâ³äñè âèïëèâຠòàêèé àëãîðèòì ïîáóäîâè: 1) áó­äóºìî ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ÂÌÀ çà êàòåòîì ÂÌ = h òà ã³ïîòåíóçîþ ÂÀ = a (задача 1 із попереднього уроку); 2) íà промені ÀÌ â³ä початку Ì â³äêëàäàºìî â³äð³çîê ÌÑ, ð³âíèé â³äð³çêó ÀÌ. Òðèêóòíèê ÂÀÑ — øóêàíèé. Äîâåäåìî öå. Îñê³ëüêè ∠ÂÌÑ ñóì³æíèé ç ïðÿìèì êóòîì ÂÌÀ, òî â³í òåæ ïðÿìèé. Îòæå, ïðÿìîêóòí³ òðèêóòíèêè ÂÌÀ ³ ÂÌÑ ð³âí³ çà äâîìà êàòåòàìè. Çâ³äñè ÂÀ = ÂÑ. Òîìó ïîáóäîâàíèé òðèêóòíèê ÂÀÑ ñïðàâä³ ð³âíîáåäðåíèé. Çà ïîáóäîâîþ, ÂÌ — âèñîòà öüîãî òðèêóòíèêà ³ âîíà äîð³âíþº h. Òîìó трикутник ÂÀÑ — øóêàíèé. Дослідження. Задача ìຠðîçâ’ÿçêè òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ³ñíóº ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ÂÌÀ ç êà­òåòîì h ³ ã³ïîòåíóçîþ à, òîáòî ïðè à > h. Óñ³ òðèêóòíèêè ÂÌÀ, ÿê³ ìîæíà ïîáóäóâàòè çà öèìè äàíèìè, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Òîìó ð³âí³ ³ âñ³ òðèêóòíèêè ÂÀÑ.

Джон Хеннінг молодший (1801–1857). Геометрія

З адач а 2. Ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê ÀÂÑ çà äàíîþ ñòîðîíîþ ÀÑ = b, êóòîì À ³ ñóìîþ a + c äâîõ ³íøèõ ñòîð³í. Розв’язання. Àíàë³ç. Ïðèïóñòèìî, ùî ïîòð³áíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ ïîáóäîâàíî (рис. 4.113), òîáòî â íüîìó ñòîðîíà ÀÑ äîð³âíþº çàäàíîìó â³äð³çêó b, êóò À — çàäàíîìó êóòó, à ñóìà ñòîð³í À + ÂÑ — ³íøîìó çàäàíîìó â³äð³çêó, ùî ïîçíà÷åíèé ÿê à + ñ. Ïðîäîâæèìî â³äð³çîê À çà òî÷êó  íà â³äñòàíü BD, ùî äîð³âíþº ñòîðîí³ ÂÑ, ³ сполучимо â³äð³çêîì òî÷êè Ñ ³ D. Îäåðæèìî òðèêóòíèê ACD, ÿêèé ìîæíà ïîáóäóâàòè çà äâîìà ñòîðîíàìè b ³ a + c òà êóòîì À ì³æ íèìè. Ç ³íøîãî áîêó, âåðøèíà  òðèêóòíèêà ÀÂÑ ð³âíîâ³ääàëåíà â³ä òî÷îê C ³ D, îòæå, наëåæèòü

C b A

C1

a c

C2 a B a+c

b A Ðèñ. 4.113

D

258 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿð³ Ñ1Ñ2 äî â³äð³çêà CD. Òîìó вона âèçíà÷àºòüñÿ ïåðåòèíîì ïðÿìî¿ Ñ1Ñ2 ç â³ä­ ð³çêîì AD. Ïîáóäîâà. 1. Áóäóºìî òðèêóòíèê ÀÑD çà äâîìà ñòîðîíàìè b òà à + ñ ³ êóòîì À ì³æ íèìè. 2. Ïðîâîäèìî ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð Ñ1Ñ2 äî ñòîðîíè CD ïîáóäîâàíîãî òðèêóòíèêà. 3. Âèçíà÷àºìî òî÷êó  ïåðåòèíó ïðÿìî¿ Ñ1Ñ2 ç³ ñòîðîíîþ AD. Òðèêóòíèê ÀÂÑ — øóêàíèé. Д о в е д е н н я . Ñïðàâä³, ó побудованому трикутнику АВС ñòîðîíà ÀÑ ³ êóò À ð³âí³ çàäàíèì. Сума сторін À + ÂÑ = À + ÂD = à + ñ òåæ äîð³âíþº çàäàíîìó â³äð³çêó. Îòæå, трикутник ÀÂÑ çàäîâîëüíÿº óñ³ âèìîãè çàäà÷³. Äîñë³äæåííÿ. Òðèêóòíèê ACD çà ñòîðîíàìè b ³ à + ñ òà êóòîì À ì³æ íèìè çàâæäè ìîæíà ïîáóäó­ âàòè, ³ âñ³ òàê³ òðèêóòíèêè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Ùî æ äî øóêàíîãî òðèêóòíèêà ÀÂÑ, òî для його існування серединний перпендикуляр С1С2 до сторони СD повинен перетинати сторону AD. Якщо це не виконуватиметься (рис. 4.114), то задача розв’язків не матиме.

C

C2

b C1 M BA

c+a

D

Ðèñ. 4.114

Вправи і задачі 628°. Побудуйте прямокутний трикутник, якщо дано його гострий кут і бісектрису цього кута. 629°. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і висотою, проведеною до гіпотенузи. 630°. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і медіаною, проведеною до іншого катета. 631°. Побудуйте трикутник за двома сторонами і кутом, протилежним до більшої сторони. 632°. Побудуйте трикутник за двома сторонами і кутом, що лежить проти меншої сторони. 633. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і радіусом вписаного кола.

§31. Метод геометричних місць у розв’язуванні задач на побудову 259

634. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і радіусом описаного кола. 635. Побудуйте трикутник за стороною, висотою і медіаною, проведеними до цієї сторони. 636. Дано коло і точку всередині нього. Проведіть через цю точку хорду, яка ділиться нею навпіл. 637. Через точку, взяту всередині кута, проведіть пряму, яка відтинає на сторонах кута рівні відрізки. 638. Побудуйте трикутник за основою і висотами, проведеними до бічних сторін. 639. Побудуйте трикутник за основою, одним із кутів при основі і радіусом вписаного кола. 640. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і радіусом вписаного кола. 641. Побудувати трикутник, якщо задані точки дотику вписаного кола до бічних сторін. 642•. Побудуйте трикутник за двома кутами й сумою протилежних їм сторін. 643•. Побудуйте трикутник за кутом, різницею двох прилеглих до нього сторін і висотою, проведеною до однієї із цих сторін. 644•. Побудуйте прямокутний трикутник за сумою катетів та гострим кутом. 645•. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і різницею гіпотенузи та іншого катета. 646•. Побудуйте трикутник за кутами при основі і сумою бічних сторін. 647•. Побудуйте трикутник за стороною, кутом при основі та різницею бічних сторін. 648•. Побудуйте трикутник за кутом, прилеглою до нього стороною та периметром. 649•. Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, проведеною до третьої сторони.

§31. Метод

геометричних місць у розв’язуванні задач на побудову

Ùå äàâí³ ãåîìåòðè â³äêðèëè óí³âåðñàëüíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ïîáóäîâó, ÿêèé òåïåð íàçè­ âàþòü ìåòîäîì ãåîìåòðè÷íèõ ì³ñöü òî÷îê. За цим методом побудову шуканої фігури зводять до побудови деякої ключової точки, для якої вказують геометричні місця точок, яким вона належить. Тоді ключова точка визначиться перетином указаних гео­ метричних місць. Нам уже відомі такі геометричні місця точок:

Урок 45

260 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

1. Геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на відстань, що дорівнює довжині заданого відрізка — коло із центром у заданій точці і радіусом, що дорівнює довжині заданого відрізка. 2. Геометричне місце точок (Фалеса), з яких заданий відрізок видно під прямим кутом — коло, діаметром якого є заданий відрізок (без кінців цього діаметра). 3. Геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців заданого відрізка — серединний перпендикуляр до цього відрізка. 4. Геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін заданого кута — бісектриса цього кута. Разом із цими геометричними місцями точок при розв’язуванні задач на побудову часто використовується ще одне: 5. Геометричне місце точок, які лежать з одно­ го боку від прямої і віддалені від неї на довжину заданого відрізка. Доведемо, що цим геометричним місцем точок є інша пряма, паралельна даній. Візьмемо на даній прямій l довільну точку A1 і пос­тавимо в ній перпендикуляр A1A до прямої l, довжина якого дорівнює довжині заданого відрізка p (рис. 4.115). Далі через точку A проведемо пряму а, перпендикулярну до прямої AA1. Як відомо, пряма а паралельна прямій l і всі її точки лежать з одного боку від прямої l. Покажемо, що будь-яка точка B прямої а віддалена від прямої l на довжину відрізка p. Проведемо перпендикуляр ВВ1 до прямої l і розглянемо прямокутні трикутники А1АВ і ВВ1А1. Вони рівні за спільною гіпотенузою А1В і гострими кутами А1ВА та ВА1В1, які є внутрішніми різносторонніми при паралельних прямих a, l та січній А1В. Звідси випливає рівність їхніх катетів АА1 і ВВ1, що й треба було довести.

C

A

p

B

p

p

A1

B1

a l

C1

p

Ðèñ. 4.115

§31. Метод геометричних місць у розв’язуванні задач на побудову 261

Навпаки, нехай С — довільна точка площини, яка розміщена з того самого боку від прямої l, що й точка А, і для якої довжина перпендикуляра СС1 до прямої l так само дорівнює p. Два перпендикуляри АА1 і СС1 до прямої l паралельні, тому внутрішні різносторонні кути С1СА1 СА1А при січній СА1 рівні. Тому трикутники С1СА1 і АА1С рівні за двома сторонами і кутом між ними. Звідси випливає рівність їхніх кутів при вершинах С1 і А. Отже, кут при вершині А — прямий, а тому пряма АС паралельна прямій l. Але через точку А проходить єдина пряма, паралельна прямій l. Отже, точка С належить прямій l. Доведення завершене.

Розв’язуємо разом Рîçãëÿíåìî äâà ïðèêëàäè розв’язування задач на побудову методом геометричних місць точок. З адач а 1. Ïîáóäóâàòè ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê çà îñíîâîþ і ðàä³óñîì îïèñàíîãî êîëà. Р о з в ’ я з а н н я . Àíàë³ç. Ïðèïóñòèìî, ùî шуканий ð³âíîáåäðåíèé òðèêóòíèê ÀÂÑ ïîáóäîâàíî (рис. 4.116), îòæå, ó íüîìó îñíîâà ÂÑ äîð³âíþº çàäàíîìó â³äð³çêó à, à ðàä³óñè ÎÀ, ÎÂ, ÎÑ îïèñàíîãî êîëà — çàäàíîìó â³äð³çêó R. Виберемо за ключову точку для побудови цåíòð Î îïèñàíîãî êîëà. Ця точка, ç îäíîãî áîêó, ð³âíîâ³ääàëåíа â³ä âåðøèí  ³ Ñ трикутника, îòæå, íàëåæèòü ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó Ñ 1Ñ 2 äî â³äð³çêà ÂÑ. Ç ³íøîãî áîêó, òî÷êà Î â³ääàëåíà â³ä òî÷êè Ñ (àáî Â) íà çàäàíó â³äñòàíü R, тобто íàëåæèòü êîëó ç öåíòðîì Ñ ³ ðàä³óñîì R. Отже, òî÷êà Î º ïåðåòèíîì îáîõ цих ãåîìåòðè÷íèõ ì³ñöü òî÷îê.

a R A

O R C1 B

M

C

C2 Ðèñ. 4.116

262 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Ïîáóäîâà. ³äêëàâøè â³ä äîâ³ëüíî¿ òî÷êè  â³äð³çîê ÂÑ = à, áóäóºìî ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð Ñ1Ñ2 äî цього відрізка, а потім — êîëî ç öåíòðîì Ñ ³ ðàä³óñîì R. Äàë³ çíàõîäèìî òî÷êó Î ïåðåòèíó öèõ ô³ãóð ³ â³äêëàäàºìî â³ä íå¿ íà ïðÿì³é Ñ1Ñ2 â³äð³çîê ÎÀ = R. Òðèêóòíèê ÀÂÑ — øóêàíèé. До в е д е н н я . Îñê³ëüêè òî÷êà À íàëåæèòü ñåðå­ äèí­íîìó ïåðïåíäèêóëÿðó Ñ1Ñ2 äî â³äð³çêà ÂÑ, òî À = ÀÑ, îòæå, трикутник ÀÂÑ — ð³âíîáåäðåíèé. Ç тієї самої ïðè÷èíи Π= ÎÑ = R, à, çà ïîáóäîâîþ, é ÎÀ = R. Òîìó ðàä³óñ êîëà, îïèñàíîãî íàâêîëî òðèêóòíèêà ÀÂÑ, ñïðàâä³ äîð³âíþº çàäàí³é âåëè÷èí³ R. Çà ïîáóäîâîþ òàêîæ ³ îñíîâà ÂÑ äîð³âíþº çàäàí³é âåëè÷èí³ à. Îòæå, трикутник ÀÂÑ çàäîâîëüíÿº óñ³ âèìîãè çàäà÷³. Äîñë³äæåííÿ. Задача ìຠðîçâ’ÿçîê çàâæäè, êîëè ³ñíóº òî÷êà Î, òîáòî, ÿêùî â³äñòàíü ÎÑ не менша â³ä ÌÑ. Îòæå, ìຠâèêîíóâàòèñÿ íåð³âí³ñòü R ≥ a/2. Якщо R > a/2, то íà ïðÿì³é Ñ1Ñ2 ³ñíóº äâ³ òî÷êè Î ç ïîòð³áíîþ âëàñòèâ³ñòþ — ðîçì³ùåí³ ïî ð³çí³ áîêè â³ä ïðÿìî¿ ÂÑ. Ó ñâîþ ÷åðãó, äëÿ êîæíî¿ ç íèõ ³ñíóº ïî äâ³ òî÷êè À ³ À1, â³ää³ëåíі â³ä Î íà ïîòð³áíó â³äñòàíü R. На ðèñ. 4.116 і рис. 4.117 зоб­ ражені шукані трикутники АВС і А1ВС для однієї із точок О. Òðèêóòíèêè, ùî îäåðæàòüñÿ äëÿ òî÷êè Î, ðîçì³ùåíî¿ ç ³íøîãî áîêó â³ä ïðÿìî¿ ÂÑ, áóäóòü ð³âíèìè òðèêóòíèêó ÀÂÑ ³ òðèêóòíèêó À1ÂÑ. Якщо ж R = a/2, то точка О буде одна і збігатиметься із серединою відрізка АВ. Трикутник АВС тоді буде прямокутним (рис. 4.118). Ó äðóãîìó ïðèêëàä³ îáìåæèìîñÿ ëèøå àíàë³çîì та дослідженням çàäà÷³. З ад ач а 2. Ïîáóäóâàòè ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê çà ã³ïîòåíóçîþ ³ âèñîòîþ, ïðîâåäåíîþ äî ã³ïîòåíóçè.

A

R O R B

C A1 Ðèñ. 4.117

A

B

C

Ðèñ. 4.118

§31. Метод геометричних місць у розв’язуванні задач на побудову 263

Àíàë³ç. Припустимо, що шуканий прямокутний трикутник АВС побудовано і в ньому гіпотенуза АВ і висота СН, проведена до гіпотенузи, дорівнюють заданим відрізкам с і h відповідно (рис. 4.119). Îñê³ëüêè ã³ïîòåíóçà À çàäàíà, òî, â³äêëàâøè ¿¿ від довільної точки, çâåäåìî çàäà÷ó äî ïîáóäîâè âåðøèíè Ñ ïðÿìîãî êóòà. Відомо, що òî÷êà Ñ íàëåæèòü ãåîìåòðè÷íîìó ì³ñöþ òî÷îê Ôàëåñà, ç ÿêèõ â³äð³çîê À âèäíî ï³ä ïðÿìèì êóòîì, òîáòî — êîëó ç ä³àìåòðîì ÀÂ. Ç ³íøîãî áîêó, òî÷êà Ñ ìຠçíàõîäèòèñÿ íà çàäàí³é â³äñòàí³ h â³ä ïðÿìî¿ ÀÂ, òîáòî ëåæàòè íà îäí³é ç äâîõ ïðÿìèõ à, à′, ïàðàëåëüíèõ ïðÿì³é À ³ â³ääàëåíèõ â³ä íå¿ íà â³äñòàíü h. Îòæå, òî÷êà Ñ º ïåðåòèíîì âêàçàíîãî êîëà òà ïðÿìèõ à, à′. Дослідження. Якщо відрізок h буде меншим від половини відрізка с, то при вибраному розміщенні гіпотенузи АВ матимемо чотири можливих розміщення для точки С і, відповідно, — чотири трикутники АВС. Усі ці трикутники будуть рівними між собою. При h = c/2 трикутників буде два (вони будуть рівнобедреними). При h < c/2 задача розв’язків не матиме.

C

a h

A

B

c O a h c Ðèñ. 4.119

Вправи і задачі 650°. На заданій прямій побудуйте центр кола, яке проходить через дві задані точки. 651°. На даному колі (даній прямій) побудуйте точку: а) рівновіддалену від заданих точок P і Q; б) віддалену від даної точки P на відстань p. 652°. Знайдіть точку, віддалену на відстань p від даної прямої a і на відстань m від даної точки M. 653°. Дано кут ABC і точку D. Побудуйте точку, що лежить всередині кута, яка рівновіддалена від його сторін і знаходиться на відстані p від точки D. ° 654 . Побудуйте коло даного радіуса з центром на одній стороні даного кута, яке дотикається до іншої сторони цього кута.

264 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

55°. Впишіть у даний кут ABC коло з даним радіусом R. 6 656°. Знайдіть і побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних паралельних прямих. 657°. Знайдіть і побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих, що перетинаються. 658. На заданій прямій a знайдіть точку, рівновіддалену від прямих b і c, які перетинаються. 659. На даному колі побудуйте точку, рівновіддалену від двох даних прямих, що перетинаються. Скільки розв’язків має задача? 660. Побудуйте коло, що проходить через задану точку В і дотикається до даної прямої a в заданій на ній точці А. 661. Побудуйте коло з даним радіусом R, що проходить через дану точку A і дотикається до даної прямої a. 662. Побудуйте коло, що дотикається до двох даних паралельних прямих і проходить через дану точку, яка лежить між ними. 663. Побудуйте трикутник за двома сторонами й висотою, проведеною до однієї з них. 664. Побудуйте трикутник за кутом, прилеглою до нього стороною й висотою, проведеною до цієї сторони. 665. Побудуйте трикутник ABC за кутом A і висотами, проведеними до сторін AB та AC. 666•. Побудуйте трикутник за стороною, висотою, проведеною до цієї сторони, та радіусом описаного кола. 667•. Побудуйте трикутник за кутом, бісектрисою, проведеною з вершини цього кута, і висотою, проведеною до прилеглої до цього кута сторони. • 668 . Побудуйте трикутник за кутом, протилежною йому стороною й висотою, проведеною до іншої сторони.

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці 265

Д л я ти х , х то х о ч е з н а ти б і л ь ш е

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці Îñê³ëüêè ïðÿìà ³ êîëî — найпростіші ô³ãóðè ó ãåîìåòð³¿, òî ïðèðîäíî, ùî ïðè êîíñòðóþâàíí³ но­ вих ôîðì ó òåõí³ö³, áóä³âíèöòâ³, óæèòêîâîìó ìèñòåö­ ò­â³ тощо у ïåðøó ÷åðãó íàìàãàþòüñÿ îáõîäèòèñÿ ñàìå öèìè ë³í³ÿìè. Тимчасом пðè ïîºä­íàíí³ цих най­ простіших åëåìåíò³â конструкції може виникнути потреба в тому, щоб äîñÿãòè максимальної ïëàâíîñò³ ïåðåõîäó â³ä îäíîãî ç íèõ äî ³íøîãî. ×àñòî öÿ âèìîãà ïðîäèêòîâóºòüñÿ ëèøå åñòåòè÷íèìè ì³ðêóâàííÿìè (рис. 4.120, 4.121), àëå íåð³äêî äî öüîãî äîëó÷àþòüñÿ é ôóíêö³îíàëüí³ ÷èííèêè. Íàïðèêëàä, ïðè ïðîåêòóâàíí³ ñêëåï³íü (рис. 4.122) ïëàâí³ñòü ó ïåðåõîäàõ çàáåçïå÷óº ïîñòóïîâ³ñòü ó ïåðåäà÷³ навантаження ïî âñ³é êîíñòðóêö³¿, ó êóëà÷êîâèõ ðîçïîä³ëü÷èõ âàëàõ (рис. 4.123) ïëàâí³ñòü ë³í³é êîíòóðà êóëà÷êà çàáåçïå÷óº ïëàâí³ñòü ðóõó øòîâõà÷à, ÿêèé â³äêðèâຠта çàêðèâຠêëàïàí äëÿ ïîäà÷³ ïàëüíîãî ó öèë³íäð äâèãóíà, à ïëàâí³ñòü çàîêðóãëåííÿ çàë³çíè÷íî¿ êî볿 äຠçìîãó безпечно ðóõàòèñя потягам. Òàê³ ïëàâí³ ïåðåõîäè â³ä îäí³º¿ ë³í³¿ äî ³íøî¿ íàçèâàþòüñÿ ñïðÿæåííÿìè ë³í³é. Ö³êàâèì ïðèêëàäîì ñóòî åñòåòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ ñïðÿæåíü відрізків ³ ê³ë º ãåîìåòðè÷íå êîíñòðóþâàííÿ дру­карських øðèôò³â, çàïî÷àòêîâàíå âèäàòíèìè ä³ÿ­ ÷àìè åïîõè ³äðîäæåííÿ. Äëÿ ïðèêëàäó, íà ðèñ. 4.124 çîáðàæåíî л³òåðó À, îäåðæàíó îäíèì ³ç òàêèõ ñïîñîá³â. Ç òî÷êè çîðó ãåîìåò𳿠ñïðÿæåí³ñòü ë³í³é îçíà÷ຠíàÿâí³ñòü ó них ñï³ëüíî¿ äîòè÷íî¿ ó òî÷ö³ ñïðÿæåííÿ, тобто в точці, де îäíà ç ë³í³é ïåðåõîäèòü â ³íøó. Íàéïðîñò³øèìè º ñïðÿæåííÿ, ùî ñêëàäàþòüñÿ лише ç äâîõ åëåìåíò³â: а) â³äð³çêà й äóãè êîëà; б) äâîõ äóã кола.

C

D F B

Ðèñ. 4.120. Ïðîô³ëü âåðõíüî¿ ÷àñòèíè ï³ëÿñòðè ç ïåðåõîäîì ó êàï³òåëü. Ñïðÿæåííÿ ï³ëÿñòðè é êàï³òåë³ çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ äóãè ÑÂ. Ãîðèçîíòàëüí³ ë³í³¿ âåðõíüîãî âàëèêà ñïðÿæåí³ ï³âêîëîì DF.

Ðèñ. 4.121. Ïðîô³ëü âàçè, óòâîðåíèé çà äîïîìîãîþ ñïðÿæåííÿ â³äð³çê³â і четвертинок êîëà.

266 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови C E F

D B

A à)

O

Q

F

D G A

H E P á) Ðèñ. 4.122.

B B

F â)

A

Q

O

P ã)

G

H

à) Ñõåìà àðêàäè. Äóãà êîæíî¿ àðêè ñïðÿæåíà ç êî­ëîíàìè, íà ÿê³ âîíà ñïèðàºòüñÿ. á) Ñõåìà ïîáóäîâè íàï³âîâàëüíîãî (çíèæåíîãî) ñêëå­ï³ííÿ. Öå ñêëåï³ííÿ ñêëàäàºòüñÿ ç òðüîõ ñïðÿæå­íèõ äóã ³ç öåíòðàìè Î, Р ³ Q. â) Ñõåìà ïîáóäîâè ãîòè÷íîãî ñêëåï³ííÿ. Äóãà ÂÑ ìຠöåíòð À ³ ðàä³óñ ÀÂ, à äóãà ÀÑ — öåíòð  ³ ðàä³óñ ÂÀ. Äóãà ÀÑ ñïðÿæåíà ç â³äð³çêîì ÅÀ, à äóãà ÂÑ — ç â³äð³çêîì ÂF. ã) Ñõåìà ïîáóäîâè ìàâðèòàíñüêîãî ñêëåï³ííÿ. ³äð³çêè À òà DÅ ñïðÿæåí³ äóãîþ ÂD, à â³äð³çêè ÍG òà ÅF — äóãîþ FG. Êð³ì öüîãî, äî îñíîâíèõ â³äíîñÿòü òàêîæ ñïðÿæåííÿ, ùî ñêëàäàºòüñÿ іç òðüîõ åëåìåíò³â: 1) äâîõ â³äð³çê³â ³ äóãè ì³æ íèìè; 2) äâîõ äóã ³ â³äð³çêà ì³æ íèìè; 3) äâîõ äóã ³ â³äð³çêà збоку; 4) òðüîõ äóã. Ïîáóäîâà êîæíîãî ³ç öèõ ñïðÿæåíü º îêðåìîþ ãåîìåòðè÷íîþ çàäà÷åþ íà ïîáóäîâó. Рîçãëÿíåìî ñõåìàòè÷íî ðîçâ’ÿçóâàííÿ êîæíî¿ ç íèõ. а) Äëÿ ñïðÿæåííÿ â³äð³çêà а й äóãè êîëà дуга має дотикатися до â³äð³çка у його кінці А, а тому радіус ОА дуги повинен бути ïåðïåíäèêóëÿðíим äî відрізка (рис. 4.125). ³äêëàâøè íà перпендикулярі b до відрізка â³ä òî÷êè À ïîòð³áíèé ðàä³óñ R, дістанемо öåíòð Î äóãè. Радіус R дуги можна вибирати довільно. б) Öåíòðè äâîõ ñïðÿæåíèõ äóã, à òàêîæ òî÷êà ñïðÿæåííÿ ìàþòü ëåæàòè íà îäí³é ïðÿì³é. Ïðè öüîìó êîëà, яким належать ц³ äóãè, ìîæóòü äîòèêàòèñÿ як зовнішньо, так і внутрішньо (рис. 4.126). 1) Íåõàé ïîòð³áíî âèêîíàòè ñïðÿæåííÿ äâîõ â³ä­ ð³çê³â, ðîçì³ùåíèõ ï³ä ïåâíèì êóòîì À, за äîïîìîãîþ äóãè êîëà ç ðàä³óñîì R. Êóò À ìîæå áóòè ãîñòðèì, ïðÿìèì àáî òóïèì (рис. 4.127).

Ðèñ. 4.123

Ðèñ. 4.124

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці 267

b A R O

R

a

a2

B2

a1

O

R

Ðèñ. 4.125 A

B1 R a2 O

B2

a1 R

A

B1

Ðèñ. 4.126

Îñê³ëüêè äóãà ïîâèííà äîòèêàòèñÿ äî îáîõ ñòîð³í êóòà, òî ¿¿ öåíòð Î ìຠðîçì³ùóâàòèñÿ âñåðåäèí³ êóòà íà â³äñòàíÿõ R â³ä éîãî ñòîð³í. Òîìó, ïðîâ³âøè âñåðåäèí³ êóòà ïðÿìі à1, à2, íà â³äñòàí³ R â³ä êîæíî¿ ñòîðîíè êóòà, ó ïåðåòèí³ дістанемо ïîòð³áíó òî÷êó Î. Òî÷êè ñïðÿæåííÿ Â1 ³ Â2 çíàéäåìî ÿê îñíîâè ïåðïåíäèêóëÿð³â, îïóùåíèõ ç òî÷êè Î íà ñòîðîíè êóòà. 2) Ïîáóäîâа ñïðÿæåíü ³ç äâîõ колових äóã ³ â³äð³çêà ì³æ íèìè (рис. 4.128) зводиться до побудови спільної дотичної двох кіл. Ці побудови відображені окремо на рис. 4.129 і 4.130. 3) Ìîæëèâ³ ñõåìè ñïðÿæåíü äâîõ äóã ³ â³äð³çêà ñêðàþ відоáðàæåí³ íà ðèñ. 4.131. 4) Äâ³ ç ìîæëèâèõ ñõåì ïîñë³äîâíîãî ñïðÿæåííÿ òðüîõ êîëîâèõ äóã çîáðàæåí³ íà ðèñ. 4.132. Ó ïåðø³é ç íèõ êðàéí³ êîëà äîòèêàþòüñÿ äî ñåðåäíüîãî зовнішньо, à â äðóã³é — внутрішньо. Якщо äóãè ç öåíòðàìè Î1, Î2 òà ðàä³óñàìè R1, R2 çàäàí³ ³ çàäàíî òàêîæ ðàä³óñ R «ñåðåäíüî¿» äóãè äëÿ ¿õíüîãî ñïðÿæåííÿ, то öåíòð Î середньої äóãè ó ïåðøîìó âèïàäêó âèçíà÷àºòüñÿ ïåðåòèíîì äóã ç öåíòðàìè Î1, Î2 òà â³äïîâ³äíî ðàä³óñàìè R + R1 ³ R + R2, à â äðóãîìó — ïåðåòèíîì äóã ç òèìè ñàìèìè öåíòðàìè òà â³äïîâ³äíî ðàä³óñàìè R – R1 ³ R – R2.

R

a2 O

B2 A

B1 Ðèñ. 4.127

Ðèñ. 4.128

a1 R

268 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

K B

A

A

O2

K

O1

O2

O1

B K1 Ðèñ. 4.129

Ðèñ. 4.130

R1+R

r O1

R

O1

R1

R1

R–R1

R O

R O

R2 r

R2 R2+R

R–R2 O2

O2

R

à)

á) Ðèñ. 4.132

Ðèñ. 4.131

O R1 R–R1

O1

R2 O2

R+R1

R R+R2

O

R–R2

R

à)

R2

R1 O1 á)

Ðèñ. 4.133

O2

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці 269

Ðèñ. 4.134

Ùå äâ³ ñõåìè äëÿ ñïðÿæåííÿ òðüîõ äóã çîáðàæåíî íà ðèñ. 4.133. Îá´ðóíòóâàííÿ ö³ëêîì àíàëîã³÷íå äî ïîïåðåäíüîãî.  îáîõ цих випадках îäíå ç êðàéí³õ ê³ë äîòèêàºòüñÿ äî ñåðåäíüîãî ççîâí³, à ³íøå — çñåðåäèíè. Íà ðèñ. 4.134 çîáðàæåíî ïðèêëàäè òåõí³÷íèõ äåòàëåé, ó ÿêèõ çàñòîñîâàíі ð³çí³ âèäè ñïðÿæåíü. Çà äîïîìîãîþ ñïðÿæåííÿ äåê³ëüêîõ êîëîâèõ äóã ìîæíà îäåðæàòè çàìêíåíó ë³í³þ. Так, çîêðåìà, одержують îâî¿äè (äîñë³âíî «ÿéöåïîä³áí³») òà îâàëè. Якщо у схемі, відображеній на рис. 4.132, б), спряження провести по обидва боки від лінії центрів О1О2, то у випадку різних радіусів R1, R2 дістанемо îâî¿ä (рис. 4.135), а у випадку однакових радіусів — овал (рис. 4.136). Îñê³ëüêè äëÿ îâî¿ä³â ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ðàä³óñàìè R1, R2, R ñïðÿæåíèõ äóã, à òàêîæ â³äñòàíü Î1Î2 ì³æ öåíòðàìè êðàéí³õ ³ç íèõ ìîæå çì³íþâàòèñÿ â äóæå øèðîêèõ ìåæàõ, òî ³ñíóº âåëèêå ð³çíîìàí³òòÿ öèõ ô³ãóð. Р³çíîìàí³òòÿ îâàë³â менше, однак òåæ äîâîë³ øèðîêå, àáè âèáðàòè ñàìå òó ôîðìó, ÿêà ïîòð³áíà для êîíêðåòíî¿ ïðèêëàäíî¿ çàäà÷³. ×àñòî îêðåì³ âèäè îâî¿ä³â òà îâàë³â áóäóþòü íå çà îïèñàíèì çàãàëüíèì ñïîñîáîì, à íà îñíîâ³ îêðåìèõ ïðèéîì³â, ÿê³ âèçíà÷àþòüñÿ ïðèêëàäíèìè задачаìè, äëÿ ÿêèõ ö³ ô³ãóðè çàñòîñîâóþòü. Íàïðèêëàä, îâî¿ä, ÿêèì âèçíà÷àºòüñÿ ïðîô³ëü однієї із конструкцій êóëà÷ê³â ðîçïîä³ëü÷îãî âàëó (див. рис. 4.123), áóäóþòü òàê (рис. 4.137). Âèçíà÷àëüíèì º êîëî ç öåíòðîì Î2 ³ ðàä³óñîì R2. Його п³âêîëî ç ä³àìåòðîì À — îäíà ³ç äóã öüîãî îâî¿äà. Íà ³íøîìó ï³âêîë³ з діаметром АВ ðîçì³ùóºòüñÿ öåíòð Î1 ³íøî¿ äóãè îâî¿äà ç ðàä³óñîì r.

R R2

R1 O1

O2 R Ðèñ. 4.135 l O2

R2

R1

O1

Ðèñ. 4.136

A C r

O2 R2

R

O1 D

B Ðèñ. 4.137

270 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Öåíòðàìè ñåðåäí³õ äóã º òî÷êè À ³ Â, à ðàä³óñàìè — â³äð³çîê ÀÂ. Òî÷êà ñïðÿæåííÿ Ñ ëåæèòü íà îäí³é ïðÿì³é ç òî÷êàìè  ³ Î1, à òî÷êà ñïðÿæåííÿ D — íà îäí³é ïðÿì³é ç òî÷êàìè À ³ Î1. Îâàëè, ÿê³ çàñòîñîâóþòü ó êðåñëåíí³ äëÿ ïîáóäîâè ³çîìåòðè÷íèõ àêñîíîìåòðè÷íèõ ïðîåêö³é, îäåðæóþòü òàê. Ñïî÷àòêó áóäóþòü ðîìá ÀÂÑD ç ãîñòðèì êóòîì À, ùî äîð³âíþº 60° (рис. 4.138). Ñåðåäèíè Ê, L, Ì, N éîãî ñòîð³í беруться за òî÷êè ñïðÿæåííÿ ñóñ³äí³õ äóã. Öåíòðàìè á³ëüøèõ äóã º âåðøèíè  ³ D òóïèõ êóò³â ðîìáà, à ðàä³óñàìè — â³äð³çêè ÂÌ ³ DL. Öåíòðàìè ìåíøèõ äóã º òî÷êè Î1, Î2, â ÿêèõ ä³àãîíàëü ÀÑ ïåðåòèíຠðàä³óñè DL òà DÊ, à ðàä³óñàìè öèõ äóã — â³äð³çêè Î1Ì òà Î2Ê. Îñê³ëüêè, íàïðèêëàä, òî÷êà L ëåæèòü íà îäí³é ïðÿì³é ç öåíòðаìи D ³ Î1 äóã, ÿê³ â í³é ñõîäÿòüñÿ, òî вона ñïðàâä³ º òî÷êîþ ñïðÿæåííÿ. Àíàëîã³÷í³ óìîâè âèêîíóþòüñÿ й äëÿ òî÷îê Ê, N ³ Ì. Îâàëè ó êðåñëåíí³ çàñòîñîâóþòüñÿ ÿê íàáëèæåííÿ äëÿ åë³ïñ³â — ïàðàëåëüíèõ ïðîåêö³é êîëà. Çàì³íó åë³ïñ³â íà îâàëè ïðîâîäÿòü ó çâ’ÿçêó ç òèì, ùî åë³ïñ — äîâîë³ ñêëàäíà äëÿ ïîáóäîâè ô³ãóðà, à îâàë ëåãêî будується çà äîïîìîãîþ íàéïðîñò³øèõ êðåñëÿðñüêèõ ³íñòðóìåíò³â. Ïðè öüîìó òî÷í³ñòü íàáëèæåííÿ ö³ëêîì äîñòàòíÿ äëÿ ïðàêòè÷íèõ ïîòðåá.

Сторінки історії Задача про трисекцію кута Óæå àíòè÷í³ ãåîìåòðè ïîì³òèëè, ùî íå âñ³ çàäà÷³ íà ïîáóäîâó ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè ïðîâåäåííÿì ïðÿìèõ ³ ê³ë, òîáòî çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè òà öèðêóëÿ. Ìîæëèâî, öå ¿õ íå çäèâóâàëî б ³ íå ñòóðáóâàëî, ÿêáè то áóëè ÿê³ñü ñïåö³àëüíî âèãàäàí³ çàäà÷³, îáòÿæåí³ ñêëàäíèìè êîìá³íàö³ÿìè çàäàíèõ ³ øóêàíèõ ô³ãóð. Та серед таких нерозв’язних задач виявилися і вкрай прості за формулюванням. Однією з найвідоміших серед них стала задача про трисекцію кута: заданий кут поділити на три рівні частини.

B K A

O2 N

L O1 M

D Ðèñ. 4.138

C

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці

Для деяких кутів задачу неважко розв’язати. Наприклад, пðÿìèé êóò íà òðè ð³âí³ ÷àñòèíè ìîæíà ïîä³ëèòè òàê. Íà îäí³é ç³ ñòîð³í êóòà â³ä éîãî âåðøèíè â³äêëàäàºìî äîâ³ëüíèé â³äð³çîê ÎÀ ³ íà íüîìó, ÿê íà îñíîâ³, âñåðåäèí³ êóòà áóäóºìî ð³âíîñòîðîíí³é òðèêóòíèê ÎÀ (рис. 4.139). Ïîò³ì проводимо á³ñåêòðèñó ÎD êóòà ÀÎÂ. Òîä³ ïðîìåí³ Î ³ ÎD ïîä³ëÿòü äàíèé ïðÿìèé êóò íà òðè ð³âíèõ ÷àñòèíè. Ñïðàâä³, îñê³ëüêè ∠ÂÎÀ = 60°, òî ∠AOD = ∠ÂÎD = = 30°. Зрозуміло, що é êóò ÂÎÑ äîð³âíþº 30°. Аналогічним способом можна здійснити трисекцію êóòà POQ, ùî äîð³âíþº 45° (рис. 4.140): побудувавши рівносторонній трикутник ÎÀÂ, дістанемо кут ∠BOQ = = 60° - 45° = 15°. Çàëèøàºòüñÿ â³äêëàñòè öåé êóò â³ä ñòîð³í ÎР ³ OQ çàäàíîãî êóòà POQ âñåðåäèíó íüîãî. Можна довести, що трисекція можлива для будь-яко го кута з âåëè÷èíîþ 180 ïðè n = 0, 1, 2, 3, ... . Довга 2n історія пошуку розв’язання задачі в загальному випадку завершилася аж у Õ²Õ ñò., коли ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê Ï’ºð Ëîðàí Âàíöåëü (1814 - 1848) довів, що в загальному випадку здійснити трисекцію кута за допомогою цир­куля і лінійки неможливо. Під час пошуків розв’язку задачі про трисекцію кута çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè і öèðêóëÿ було відкрито низку надзвичайно дотепних способів із використанням інших засобів. Нижче описуються три найвідоміші з них. 1. (Ñïîñ³á Àðõ³ìåäà). ³äñòóï Àðõ³ìåäà â³ä êàíîí³â êëàñè÷íèõ ãåîìåòðè÷íèõ ïîáóäîâ ë³í³éêîþ і öèðêóëåì áóâ òàêèì ì³çåðíèì, ùî ïðè ïåðøîìó îçíàéîìëåíí³ з ним цього відступу ìîæíà é íå ïîì³òèòè. А ïîëÿãàâ він ó òîìó, ùî Àðõ³ìåä íà ë³í³éö³ ñòàâèâ äâ³ çàñ³÷êè, îäíó ç ÿêèõ ï³ä ÷àñ ïîáóäîâ ñóì³ùàâ ç òî÷êîþ íà ïåâí³é ïðÿì³é, à ³íøó — ç òî÷êîþ íà ïåâíîìó êîë³. Однак, як ви вже знаєте, тàê³ ä³¿ íå íàëåæàòü äî åëåìåíòàðíèõ ïîáóäîâ ë³í³éêîþ і öèðêóëåì. Àëãîðèòì äëÿ òðèñåêö³¿ êóòà ÀÎÂ, çà Àðõ³ìåäîì, áóâ òàêèì (рис. 4.141). Ïðîâîäèòüñÿ êîëî ç öåíòðîì Î, ðàä³óñ Πÿêîãî äîð³âíþº â³äñòàí³ ED ì³æ çàñ³÷­ êàìè íà ë³í³éö³. Ïîò³ì ë³í³éêà ïðèêëàäàºòüñÿ äî

C

271

B D

O

A Ðèñ. 4.139

B

Q

15° O

A Ðèñ. 4.140

P

B D E O

Ðèñ. 4.141

A

272 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

òî÷êè  íà êîë³ так, ùîá çàñ³÷êà D ðîçì³ñòèëàñÿ íà êîë³, à çàñ³÷êà Å — íà ïðîäîâæåíí³ ñòîðîíè ÎÀ êóòà çà âåðøèíó Î. Ïðè öüîìó îäåðæàíèé êóò DEO äîð³âíþâàòèìå ð³âíî òðåòèí³ â³ä çàäàíîãî êóòà ÀÎÂ. Îòæå, ïîäàëüø³ ïîáóäîâè çâîäèëèñÿ äî â³äêëàäåííÿ êóòà ÂÅÎ â³ä ñòîð³í çàäàíîãî êóòà ÀÎÂ. Доведення. Îñê³ëüêè DE = DO, òî ∠DOE = ∠DEO. Òîìó, çà âëàñòèâ³ñòþ çîâí³øíüîãî êóòà трикутника, ∠BDO = 2∠DEO. Ó DDOB êóò OBD äîð³âíþº êóòó BDO, òîáòî 2∠DEO. Íàðåøò³, ∠AOB º çîâí³øí³ì äëÿ DBEO. Îòæå, ∠AOB = ∠DEO + ∠OBD = ∠DEO + + 2∠DEO = 3∠DEO, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. 2. (За допомогою трисектора). Ó ïðàêòè÷íèõ çàñòîñóâàííÿõ, íàïðèêëàä, ó êðåñëåíí³, çíà÷íî çðó÷í³øèì â³ä ñïîñîáó Àðõ³ìåäà º âèêîðèñòàííÿ ñïåö³àëüíîãî ïðèëàäó — òðèñåêòîðà, ùî ñêëàäàºòüñÿ ³ç êóòíèêà ³ ï³âêðóãà, ç’ºäíàíèõ, ÿê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.142. Рàä³óñ QC ï³âêðóãà äîð³âíþº äîâæèí³ ÀÑ ìåíøî¿ ñòîðîíè êóòíèêà. Äëÿ òðèñåêö³¿ çàäàíîãî êóòà ÀΠ(рис. 4.143) òðèñåêòîð ðîçì³ùóþòü òàê, ùîá âåðøèíà Î êóòа розміщувалася íà êðàþ á³ëüøî¿ ñòîðîíè êóòíèêà, при цьому îäíà ç³ ñòîð³í ÎÀ êóòà ïðîéøëà ÷åðåç ê³íåöü ìåíøî¿ ñòîðîíè êóòíèêà, à ³íøà ñòîðîíà Π— äîòèêàëàñÿ äî ï³âêðóãà (íåõàé ó òî÷ö³ D). Òîä³ ïðîìåí³ ÎÑ ³ ÎQ ïîä³ëÿòü êóò ÀΠíà òðè ð³âíèõ ÷àñòèíè. Ñïðàâä³, îñê³ëüêè ÎÑ — ñåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äî â³äð³çêà AQ, òî ÎÀ = OQ, òîáòî DOAQ — ð³âíîáåäðåíèé. Òîä³ éîãî âèñîòà ÎÑ º é á³ñåêòðèñîþ. Ç ³íøîãî áîêó, îñê³ëüêè OC i OD — äîòè÷í³ äî êîëà ç öåíòðîì Q, òî ∠COQ = ∠QOB. Îòæå, уñ³ òðè êóòè ÀÎÑ, COQ ³ QOB ð³âí³ ì³æ ñîáîþ, ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè. 3. (За допомогою конхоїдального циркуля). Îñîáëèâî ïðîäóêòèâíèì äëÿ ðîçâèòêó ìàòåìàòè÷íèõ ³äåé áóâ òîé íàïðÿìîê ó ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ íà ïîáóäîâó, êîëè îêð³ì ïðÿìèõ ³ ê³ë âèêîðèñòîâóâàëèñÿ ùå é ³íø³ ë³í³¿, ñïåö³àëüíî äëÿ öüîãî âèíàéäåí³ (çâ³äñè, äî ðå÷³, é áåðå ñâ³é ïî÷àòîê ìåòîä ãåîìåòðè÷íèõ ì³ñöü òî÷îê ó ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ íà ïîáóäîâó). ßñêðàâèì

A

Q C Ðèñ. 4.142 B D Q C

O

A Ðèñ. 4.143

§32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці 273

таким ïðèêëàäîì º çàñòîñóâàííÿ äî òðèñåêö³¿ êóòà êîíõî¿äè ͳêîìåäà, âèíàéäåíî¿ ãðåöüêèì ãåîìåòðîì ͳêîìåäîì ó ²² ñò. äî í. å. (êîíõî¿äà — äîñë³âíî «ñõîæà íà ìóøëþ»). Êîíõî¿äà îçíà÷àºòüñÿ òàê. Áåðåòüñÿ äåÿêà ïðÿìà l (áàçà êîíõî¿äè) ³ òî÷êà Î (фокус) ïîçà прямою l (рис. 4.144). ×åðåç òî÷êó Î ïðîâîäÿòüñÿ âñ³ ìîæëèâ³ ïðîìåí³ ÎÕ äî ïåðåòèíó ç ïðÿìîþ l, íà ÿêèõ â³ä òî÷îê L ïåðåòèíó ç l â³äêëàäàþòüñÿ â³äð³çêè LM ñòàëî¿ äîâæèíè à. Ìíîæèíà òî÷îê Ì ³ óòâîðþº êîíõî¿äó ͳêîìåäà. ³äîìà êîíñòðóêö³ÿ òàê çâàíîãî êîíõî¿äàëüíîãî öèðêóëÿ — ìåõàí³÷íîãî ïðèëàäó äëÿ êðåñëåííÿ êîíõî¿äè (рис. 4.145). Îñíîâîþ ïðèëàäó º Ò-ïîä³áíà ðàìêà ç ïðÿìîë³í³éíèìè ïðîð³çàìè âñåðåäèí³. Òðåòÿ ïëàíêà ÎL ô³êñóºòüñÿ çà äîïîìîãîþ øàðí³ðà ó òî÷ö³ Î, àëå завдяки прорізу ìîæå здійснювати комбінований рух, що є результатом поступального руху шипа L уздовж прямої l та обертального навколо точки О. Ó ðåçóëüòàò³ òàêîãî ðóõó òî÷êà Ì îïèñóº êîíõî¿äó. Íåõàé ïîòð³áíî çä³éñíèòè òðèñåêö³þ довільного êóòà LOK (рис. 4.146). Ïðîâîäèìî ÿêó-íåáóäü ïðÿìó LK, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî îäí³º¿ ç³ ñòîð³í êóòà, ³ áóäóºìî êîíõî¿äó ç áàçîþ LK òàê, ùîá â³äñòàíü LM äîð³âíþâàëà 2LO. Äàë³ ç òî÷êè L ñòàâèìî ïåðïåíäèêóëÿð NL äî LK (òî÷êà N ëåæèòü íà êîíõî¿ä³) ³ ïðîâîäèìî ïðÿìó NO. Òîä³ ∠NOK = 1 ∠LOK. 3

Àðõ³ìåä. Ñèìâîë³÷íèé ïîðòðåò італійського художника Äîìåí³êî Ôåòò³ (XVII ñò.)

M X M a

a a a a a a a a a a L

l L l O

O Ðèñ. 4.144

Ðèñ. 4.145

274 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

N M Q

K P L

l

O Ðèñ. 4.146

Дов ед ен н я . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç P òî÷êó ïåðåòèíó ïðÿìèõ NO ³ LK, à ÷åðåç Q — ñåðåäèíó â³äð³çêà NP. Îñê³ëüêè NL || OK, òî ∠LNQ = ∠NOK. À îñê³ëüêè DNLP — ïðÿìîêóòíèé ³ Q — ñåðåäèíà éîãî ã³ïîòåíóçè, òî âîíà º öåíòðîì îïèñàíîãî êîëà; çâ³äñè QL = QN ³, îòæå, ∠LNQ = ∠NLQ. Çà âëàñòèâ³ñòþ çîâí³øíüîãî êóòà òðèêóòíèêà, ∠LQO = 2∠LNQ, îòæå ∠LQO = 2∠NOK. Íàðåøò³, îñê³ëüêè у òðèêóòíèêó LOQ, çà ïîáóäîâîþ, LO = LQ, òî ∠LQO = ∠LON. Îòæå, ∠LON = 2∠NOK, ³ òîìó ∠NOK = 1 ∠LOK, що й треба було довести. 3 Íàìàãàþ÷èñü àíàëîã³÷íèì ÷èíîì ðîçâ’ÿçàòè ³íø³ нерозв’язні çàäà÷³ íà ïîáóäîâó, àíòè÷í³ ìàòåìàòèêè â³äêðèëè ö³ëó íèçêó ö³êàâèõ ë³í³é, çîêðåìà, êîí³÷í³ ïåðåð³çè. Íà äîñë³äæåíí³ öèõ ë³í³é âèïðîáîâóâàëè ñâî¿ ñèëè äîñë³äíèêè óñ³õ íàñòóïíèõ åïîõ àæ äî íàøîãî ÷àñó, à самі ці лінії äèâîâèæíèì ÷èíîì çíàéøëè çàñòîñóâàííÿ ó ô³çèö³. Ïàðàäîêñàëüíî, àëå ïàðàáîë³÷í³ é ã³ïåðáîë³÷í³ àíòåíè ìè çàðàç ìàºìî ñàìå òîìó, ùî êîëèñü ñèâ³ ìóäðåö³, ðîçâ’ÿçóþ÷è «øê³ëüí³» çàäà÷³ íà ïîáóäîâó, â³äêðèëè ë³í³¿, ÿê³ çäàòí³ ôîêóñóâàòè ïðîìåí³. Àëå ïðî öå âæå â íàñòóïíèõ êëàñàõ!

Хуан Корреа (Мексика) (1674–1739). Геометрія. Із циклу «Вільні мистецтва» (1670 р.). Музей декоративних мистецтв у Мехіко

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 275

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV Основні означення і властивості кола і круга M R O

C R R A

O

M P A

O C D C

A

O

Коло — геометрична фігура (геометричне місце точок), що складається з усіх точок М площини, які рівновіддалені від деякої точки О. Точка О — центр кола, а відрізок і відстань ОМ — радіус кола. Слово «центр» походить від латинського «центрум» і грецького «кентрон», які означають «вістря». Слово «радіус» в перекладі з латини означає «промінь». Радіус кола часто позначається літерами R або r. Хорда кола — відрізок CD, що сполучає дві точки на колі. Діаметр кола — хорда AB, що проходить через центр кола. Слово «хорда» походить від грецького «куерда» — «тяD тива лука», «струна». Слово діаметр походить від грецького «діаметрос» — B «поперечник». Діаметр дорівнює двом радіусам. Діаметр більший за будь-яку іншу хорду. Справді, за нерівністю трикутника, СD < OC + OD. Звідси СD < AB. Точка Р лежить усередині кола, якщо відстань ОР до центра кола менша від радіуса. Круг — геометрична фігура, що складається з усіх точок Р площини, які лежать на колі і всередині нього. B Центр О, радіус OM, хорда СD і діаметр АВ кола називаються відповідно центром, радіусом, хордою і діа­ метром круга. Теорема Фалеса (про кут, під яким діаметр кола видно з точки на колі). З будь-якої точки С кола його діаметр АВ видно під прямим кутом. Д о в е де н н я . ∠ОАС = ∠ОСА, ∠ОВС = ∠ОСВ. Додавши ці рівності, матимемо: ∠А + ∠В = ∠С. B Але ∠А + ∠В + ∠С = 180°, звідси 2∠С = 180°, ∠С = 90°. Геометричним місцем точок С площини, з яких заданий відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло, побудоване на цьому відрізку як на діаметрі, з якого вилучені дві точки — кінці діаметра АВ.

276 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

C

O M B

A D

O Q M2

R M1

Теорема. ijàìåòð кола, ÿêèé ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî õîðäè, ä³ëèòü öþ õîðäó íàâï³ë. Д о в е де н н я . ∠ОМА = ∠ОМВ, ÎÀ = ÎÂ, тому DÎÌÀ = = DÎÌÂ. Звідси ÀÌ = ÌÂ. Теорема. Яêùî ä³àìåòð êîëà ä³ëèòü õîðäó, яка íå º ä³àìåòðîì, íàâï³ë, òî â³í ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî ö³º¿ õîðäè. Доведення. ÀÌ = ÌÂ, ÎÀ = ÎÂ, òîму DÎÌÀ = DÎÌÂ. Звідси ∠ОМА = ∠ОМВ = 90°. Пряма називається січною для кола, якщо вона має з ко­ лом дві спільні точки. Якщо а — січна, то відстань OQ до неї (як катет у DOQM1) менша від радіуса OM1 = R (гіпотенузи). Навпаки, якщо відстань OQ менша від радіуса OM1, то існує рівно два рівних прямокутник трикутники OQM1 і OQM2 зі спільним катетом OQ і гіпотенузою R. Тому пряма а є січною.

Дотична до кола

Пряма називається дотичною до кола, якщо вона має з колом єдину спільну точку.

O R a Q

M

O

Q

N

Q

Теорема (ознака дотичної). Якщо пряма проходить через точку кола і перпендикулярна до радіуса, прове­ деного в цю точку, то вона є дотичною. Д о в е де н н я . Нехай а ^ OQ. Тоді у DOQM: OM > OQ, тобто OM > R. М не належить колу. Q — єдина спільна точка прямої а і кола. a — дотична. Теорема (властивість дотичної). Дотична до кола пер­ пендикулярна до радіуса кола, проведеного у точку дотику. Або інакше: Відстань від центра кола до січної до­ рівнює радіусу. Доведення. Нехай Q — точка дотику дотичної a. Якщо OQ — не перпендикуляр до а, то проведемо перпендикуляр ON і побудуємо DONQ ′, рівний DONQ з іншого боку від прямих ON. Тоді на прямій а матимемо ще одну спільну точку з колом — Q ′. Протиріччя. Отже, а ^ OQ.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 277

Теорема (властивість відрізків äîòè÷íих, ïðîâåäåíих з однієї точки äî êîëà). ³äð³çêè äîòè÷íèõ, ïðîâåäåíèõ з однієї òî÷êè äî êîëà, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. P До в е д е н н я . Трикутники OQP і OQ ′ P рівні за катетом (OQ = OQ ′) і гіпотенузою OP. Тому PQ = PQ ′.

Q

O Q

Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника

O

l

M

A

Q

C m O

A l

Серединний перпендикуляр до відрізка — пðÿìà, що ïðîõîäèòü ÷åðåç ñåðåäèíó â³äð³çêà ³ ïåðïåíäèêó­ëÿð­íà äî íüîãî. Теорема (про властивість серединного перпендикуляра). Сåðåäèííèé ïåðïåíäèêóëÿð äî â³äð³çêà º ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä ê³íö³â â³äð³çêà. Д о в е де н н я . 1. Нехай О — довільна точка серединного перпендикуляра l до відрізка АВ. DОМА = DОМВ за двома катетами. Тому ОА = ОВ. B 2. Навпаки, нехай QA = QB. Тоді DОМА = DОМВ за трьома сторонами. Тому ∠QMA = ∠QMB = 90°. Отже, точка Q належить l. Теорема (ïðî çàäàííÿ êîëà òðüîìà òî÷êàìè). Іñíóº ºäèíå êîëî, ÿêå ïðîõîäèòü ÷åðåç три задані òî÷êè, ùî íå ëåæàòü íà îäí³é ïðÿì³é. Д о в е де н н я . Нехай А, В, С — задані точки. Центр О n шуканого кола може належати тільки серединним перпендикулярам l, m і n до відрізків АВ, АС і ВС. Прямі l, m обов’язково перетнуться, бо якби були паралельними, то перпендикулярні до них прямі АВ і АС збігалися б. Для точки О перетину маємо: ÎÀ = Π³ ÎÀ = ÎÑ. Звідси B ОВ = ОС, а тому точка О належить і третьому серединному перпендикуляру n. Отже, òî÷êà Î є центром øóêàíîãî êîëà і вона визначається однозначно. Так само однозначно визначається й радіус — як відстань від точки О до якоїсь із рівновіддалених точок А, В, С.

278 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

Коло називається описаним навколо трикутника, а трикутник — відповідно, вписаним у коло, якщо це коло проходить через усі вершини трикутника. Теорема (про існування і єдиність кола, описаного навколо трикутника). Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому єдине. Цåíòðом цього кола є точка ïåðåòèíó ñåðåäèííèõ ïåðïåíäèêóëÿð³â äî ñòîð³í òðèêóòíèêà. Теорема є простим наслідком з теореми про задання кола трьома точками.

Взаємне розміщення двох кіл r

R

Яêùî d > R + r, òî êîëà íå ïåðåòèíàþòüñÿ ³ îäíå ç íèõ ëåæèòü ççîâí³ ³íøîãî.

d

Яêùî d = R + r, òî êîëà äîòèêàþòüñÿ çîâí³øíьо. r

R d

Яêùî R – r < d < R + r (R > r), òî êîëà ïåðåòèíàþòüñÿ. R

r d

Яêùî d = R – r (R > r), òî êîëà äîòèêàþòüñÿ âíóòð³øíьо. d

r R

d

r R

Яêùî d < R – r (R > r), òî êîëà íå ïåðåòèíàþòüñÿ ³ îäíå ç íèõ ëåæèòü âñåðåäèí³ ³íøîãî; çîêðåìà, при d = 0 êîëà º êîíöåíòðè÷íèìè.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 279

Вписане коло

Кîëî äîòèêàºòüñÿ äî â³äð³çêà, ÿêùî âîíî äîòèêàºòüñÿ äî ïðÿìî¿, ÿêà ì³ñòèòü öåé â³äð³çîê, à òî÷êà äîòèêó íàëåæèòü â³äð³çêó. Кîëî äîòèêàºòüñÿ äî променя, ÿêùî âîíî äîòèêàºòüñÿ äî ïðÿìî¿, ÿêà ì³ñòèòü öåé промінь, à òî÷êà äîòèêó íàëåæèòü променю. Êîëî íàçèâàºòüñÿ âïèñàíèì ó êóò, ÿêùî âîíî äîòèêà­ ºòüñÿ äî îáîõ ñòîð³í öüîãî êóòà.

Êîëî íàçèâàºòüñÿ âïèñàíèì ó òðèêóòíèê, а трикутник — відповідно, описаним навколо кола, ÿêùî коло äîòèêàºòüñÿ äî âñ³õ ñòîð³í трикутника.

Ñ N

O Q M

A

Â

Ñ N

O Q

A

M

Â

Теорема (ïðî ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå öåíòð³â ê³ë, âïèñà­ íèõ ó êóò). Ãåîìåòðè÷íèì ì³ñöåì öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóò, º á³ñåêòðèñà öüîãî êóòà. Д о в е де н н я . 1. Нехай Q — довільна точка бісектриси кута А, ОM і ОN — перпендикуляри до сторін кута. F DÀÌQ = DÀNQ — çа ñï³ëüíîþ ã³ïîòåíóçîþ ÀQ і ð³âíèìè ãîñòðèìè êóòàìè ÌÀQ і NÀQ. Тому QÌ = QN. Отже, точка Q є центром кола, вписаного в кут А. 2. Навпаки, нåõàé Î — öåíòð довільного кола, вписаного у кут А,  ³ Ñ — òî÷êè éîãî äîòèêó ç³ ñòîðîíàìè êóòà. Òîä³ ∠ÀÂÎ = ∠ÀÑÎ = 90°. Тîìó DÀÂÎ = DÀÑÎ — çà êàòåòîì (Π= ÎÑ — ÿê ðàä³óñè êîëà) òà ã³ïîòåíóçîþ ÀÎ. Звідси ∠ÎÀ = ∠ÎÀÑ. Îòæå, ÀÎ — á³ñåêòðèñà êóòà À. Властивість бісектриси. Бісектриса кута є гео­ метричним місцем точок, розміщених усередині кута і рівновіддалених від його сторін. F До в е д е н н я . 1. Бісектриса кута А розміщена всередині кута і, як доведено у попередній теоремі, для будь-якої її точки Q: QÌ = QN. Отже, точка Q рівновіддалена від сторін кута.

280 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

X K

Y

N

Z A

C

N

A

O

M

L

B

2. Навпаки, якщо точка О рівновіддалена від сторін кута А і кут А не тупий, то основи перпендикулярів ОВ і ОС завжди належатимуть сторонам кута. Оскільки Π= ÎÑ, то DАВО = DАСО. Звідси ∠ÎÀ = ∠ÎÀÑ. Îòæå, ÀÎ — á³ñåêòðèñà êóòà À. Якщо ж кут А — тупий, то, провівши всередині кута два промені, перпендикулярні до його сторін, розіб’ємо цей кут на три області X, Y, Z. Основи перпендикулярів, опущених з будь-якої точки області Y на сторонни кута, належать сторонам кута. Тому для них залишається в силі доведення, проведено для гострого кута, за яким усі точки, рівновіддалені від сторін кута А, належать його бісектрисі. Тому для завершення доведення потрібно показати, що жодна точка K з області X чи Z не може бути рівновіддаленою від сторін кута. Відстань від точки K до однієї зі сторін кута вимірюється катетом KN, а до іншої — гіпотенузою KA трикутника KNA. Звісно, що ці відстані не можуть бути рівними. Теорема (ïðî ³ñíóâàííÿ і єдиність кола, вписаного у трикутник). Ó áóäü-ÿêèé òðèêóòíèê ìîæíà âïèñàòè êîëî ³ äî òîãî æ ò³ëüêè îäíå. Öåíòð âïèñàíîãî êîëà çá³ãàºòüñÿ ç òî÷êîþ ïåðåòèíó á³ñåêòðèñ òðèêóòíèêà. Д о в е д е н н я . Ãåîìåòðè÷íèìи ì³ñöями öåíòð³â ê³ë, âïèñàíèõ ó êóòи À і В º á³ñåêòðèñи öих êóòів. Тому öåíòðîì êîëà, âïèñàíîãî îäíî÷àñíî â îáèäâà êóòè À ³ Â, º òî÷êà Î ïåðåòèíó öèõ á³ñåêòðèñ. Точка О неодмінно існує, оскільки бісектриса кута А перетинає будь-який відрізок з кінцями на сторонах цього кута, зокрема, й бісектрису кута В. ÎÌ = ÎN, ÎÌ = ÎL, тому ÎN = ÎL. Звідси DСОN = DСОL і тому ∠ОСN = ∠ОСL. Отже, òî÷êà Î íàëåæèòü á³ñåêòðèñ³ й òðåòüîãî êóòà Ñ òðèêóòíèêà АВС, тобто є центром кола, вписаного в кут С, тобто і в трикутник. Кожна з бісектрис трикутника визначається однозначно, тому центр і радіус вписаного кола теж визначаються однозначно.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 281

Задачі на побудову лінійкою і циркулем

Задачі на побудову лінійкою і циркулем (проведенням прямих і кіл) розв’язуються на основі таких двох правил (елементарних побудов): 1) çà äîïîìîãîþ ë³í³éêè можна ïðîâåñòè ïðÿìó ÷åðåç áóäü-ÿê³ äâ³ òî÷êè площини; 2) çà äîïîìîãîþ öèðêóëÿ можна провести коло з центром у áóäü-якій точці площини і з ðàä³óñом, ÿêий äîð³âíþº áóäü-ÿêîìó çàäàíîìó â³äð³çêó. Виконати побудову геометричної фігури із заданими властивостями (розв’язати задачу на побудову) означає вказати послідовність (алгоритм) із вказаних вище двох елементарних побудов, після виконання яких буде отримано цю фігуру, а також довести, що побудована фігура справді має потрібні властивості.

Основні побудови

(У кружечках на рисунках указується послідовність кроків відповідної побудови) Побудова 1. 1 На заданому промені ОХ від його початку â³äêëàñòè a A 2 X â³äð³çîê, ð³âíèé äàíîìó â³äð³çêó а. O a a

Побудова 2. ³ä äàíî¿ ï³âïðÿìî¿ ОМ â³äêëàñòè êóò, ð³âíèй заданому нерозгорнутому êóòó САВ.

C A

B

5 1 6 O 2

C1

4

3

M B1

C2

282 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

a b

Побудова 3. Ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê çà òðüîìà äàíèìè ñòîðîíàìè а, b, c.

c 2

C4 3 a6 5b 1 B A c C1 2 C4

1

Побудова 4. Çàäàíèé нерозгорнутий êóò О ïîä³ëèòè íàâï³ë.

A 5 O

B 3

3 C1

1 A

2

Побудова 5. Заданий відрізок АВ поділити навпіл.

5 M B 4 3 C2

Побудова 6. ×åðåç òî÷êó М, çàäàíó íà ïðÿì³é l, ïðîâåñòè ïðÿìó, ïåðïåíäèêóëÿðíó äî ö³º¿ ïðÿìî¿. 3

5 C1 4 2 1 A

M B

4 C2

l

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 283

Побудова 7. Через точку N, розміщену поза прямою l, провести пря4 му, перпендикулярну до цієї прямої.

6 2 C1 5

3

N l A

B

M 1 5 C2

Орієнтовна схема розв’язування задач на побудову: 1) аналіз; 2) побудова (алгоритм побудови); 3) доведення; 4) дослідження. Мåòîä ãåîìåòðè÷íèõ ì³ñöü òî÷îê у розв’язуванні задач на побудову Полягає у зведенні побудови шуканої фігури до побудови деякої ключової точки, для якої вказуються геометричні місця точок, яким вона належить. Тоді ця точка визначається як перетин указаних геометричних місць. Основні геометричні місця точок, що використовуються при розв’язу­ ванні задач на побудову 1. Геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на відстань, що дорівнює довжині заданого відрізка — коло із центром у заданій точці і радіусом, що дорівнює довжині заданого відрізка. 2. Геометричне місце точок (Фалеса), з яких заданий відрізок видно під пря­ мим кутом — коло, діаметром якого є заданий відрізок (без кінців цього діаметра). 3. Геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців заданого відрізка — серединний перпендикуляр до відрізка. 4. Геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін заданого кута — бісектриса кута. 5. Геометричне місце точок, які лежать з одного боку від прямої і віддалені від неї на довжину заданого відрізка — дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на довжину даного відрізка.

Перевір себе

1. Дайте означення кола і круга. Що таке хорда та діаметр кола і круга? Яка залежність між довжинами діаметра і хорди, проведеними в одному крузі? 2. Сформулюйте теорему Фалеса про кут, під яким діаметр видно з точки кола. Як довести цю теорему? Яке геометричне місце точок можна означити на підставі цієї теореми? 3. Які властивості має діаметр кола (круга), проведений перпендикулярно до хорди або через її середину? Як довести ці властивості?

284 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

4. Сформулюйте теорему Фалеса про поділ круга діаметром. Які ідея покладена в основу її доведення? Які наслідки можна вивести із цієї теореми? 5. Яким може бути взаємне розміщення прямої і кола на площині? 6. Що таке дотична до кола? Яку характерну властивість вона має? Як можна провести дотичну до кола із зовнішньої точки? 7. Скільки кіл можна провести на площині через одну точку? А через дві? Як розміщені центри цих кіл? 8. Сформулюйте теорему про властивість серединного перпендикуляра до відрізка. 9. Скільки кіл можна провести на площині через три фіксовані точки? Сформулюйте й доведіть відповідну теорему. Який наслідок для трикутника з неї можна вивести? 10. Яким може бути взаємне розміщення двох кіл на площині? 11. Коли коло називають вписаним у кут? А — в трикутник? Де розміщуються центри всіх кіл, вписаних у кут? Сформулюйте і доведіть відповідну теорему. 12. Скільки кіл можна вписати у трикутник? Сформулюйте і доведіть відповідну теорему. 13. Що таке геометричні побудови за допомогою циркуля і лінійки? До яких елементарних побудов має зводитися кожна побудова за допомогою циркуля та лінійки? 14. Які із задач на побудову вважають основними? Як вони розв’язуються? 15. Якою є орієнтовна схема розв’язування задач на побудову? У чому полягає кожен з етапів? 16. У чому полягає метод геометричних місць для розв’язування задач на побудову? Назвіть відомі вам приклади геометричних місць точок.

Завдання для повторення та проведення контрольних робіт до розділу ІV

1. а) Хорда кола перетинає діаметр під кутом 30° і ділиться цим діаметром на частини завдовжки 6 см і 12 см. Визначте відстані від кінців хорди, а також від її середини до діаметра. б) Хорда кола перетинає діаметр під кутом 30° і ділить його на два відрізки завдовжки 5 см і 15 см. Визначте відстань від центра кола до цієї хорди. 2. а) У трикутнику центр описаного кола лежить на висоті. Доведіть, що цей трикутник — рівнобедрений. б) У трикутнику центр описаного кола збігається з точкою перетину двох медіан. Доведіть, що трикутник — рівносторонній.

Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі IV 285

3. а) На рис. 4.147, а) DA — дотична до кола в точці A. Визначте кут BAD. б) На рис. 4.147, б) AD — дотична до кола в точці A. Визначте кут BOA. A

A

D 50° 100° O

D

O

B B à)

á) Ðèñ. 4.147

4. а) У трикутнику центр вписаного кола лежить на висоті. Доведіть, що трикутник — рівнобедрений. б) У трикутнику центр вписаного кола лежить на серединному перпендикулярі до однієї зі сторін. Доведіть, що трикутник — рівнобедрений. 5. а) Сторони трикутника ABC дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см. Визначте довжини відрізків, на які ці сторони розбиваються точками дотику вписаного кола. б) Сторони трикутника ABC дорівнюють 7 см, 8 см і 13 см. Визначте довжини відрізків, на які ці сторони розбиваються точками дотику вписаного кола. 6. а) Два кола розміщені одне всередині іншого. Діаметр більшого кола, що проходить через центр меншого кола, ділиться меншим колом на три частини, які дорівнюють 2 см, 10 см і 6 см. Визначте діаметри кіл і відстань між їхніми центрами. б) Два кола, радіуси яких відносяться, як 2 : 5, розміщені одне всередині іншого. Діаметр більшого кола, що проходить через центр меншого кола, ділиться меншим колом на три частини, крайні з яких дорівнюють 10 см і 5 см. Визначте радіуси цих кіл і відстань між їхніми центрами. 7. а) Два кола з центрами O1 і O2 перетинаються в точках A і B. Доведіть, що O1O2 ^ AB. б) Два кола з центрами O1 і O2 перетинаються в точках A і B. Доведіть, що пряма O1O2 ділить навпіл кути AO1B та AO2B. 8. а) Побудуйте рівнобедрений трикутник за кутом при основі та висотою, проведеною до бічної сторони. б) Побудуйте рівнобедрений трикутник за кутом при вершині та висотою, проведеною до бічної сторони. 9. а) Дано дві точки і пряму. Проведіть через ці точки інше коло, центр якого належить даній прямій. б) Дано дві точки і коло. Проведіть через ці точки інше коло, центр якого належить даному.

286 Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови

10. а) Дано дві паралельні прямі і точку, яка лежить між ними. Побудуйте коло, яке дотикається до даних прямих і проходить через дану точку. б) Дано дві пересічні прямі і точку, яка лежить між ними. Побудуйте коло, яке дотикається до даних прямих і проходить через дану точку. 11. а) Знайдіть геометричне місце центрів кіл із даним радіусом R, що дотикаються до даної прямої m. б) Знайдіть геометричне місце центрів кіл із даним радіусом R, які відтинають на даній прямій m хорду даної довжини p. 12. Побудуйте коло із даним радіусом r, яке дотикається до даного кола з радіусом R: а) зовнішньо; б) внутрішньо. 13•. а) Побудуйте прямокутний трикутник за сумою катетів та гіпотенузою. б) Побудуйте прямокутний трикутник за катетом та сумою іншого катета і гі­ по­тенузи. 14•. а) Побудуйте прямокутний трикутник за різницею катетів та гіпотенузою. б) Побудуйте прямокутний трикутник за різницею катетів та кутом, протилежним до меншого з катетів.

Предметний покажчик А Аксіома — про паралельні прямі — рухомості трикутника Аксіоми геометрії

Б Бісектриса кута — трикутника Бічні сторони рівнобедреного трикутника

В Вершина кута — рівнобедреного трикутника Вершини трикутника Висота трикутника Відрізок Відстань від точки до прямої

Г Геометричне місце точок — — — Фалеса Геометричні побудови лінійкою та циркулем — — основні Геометрія Гіпотенуза

Д Діаметр кола (круга) Доведення теореми — — методом «від супротивного» Довжина відрізка

288 Предметний покажчик Дотик двох кіл Дотик прямої і кола Дотична пряма (до кола)

К Катет Кінці відрізка Коло — вписане у кут — — — трикутник — описане навколо многокутника — — — трикутника Круг Кут — гострий — зовнішній — лінійний — між прямими — плоский — прямий — розгорнутий — тупий Кути вертикальні — відповідні — внутрішні односторонні — внутрішні різносторонні — рівні — суміжні

М Медіана трикутника Метод геометричних місць точок

Н Нерівність трикутника

О Обернена теорема Ознака — паралельності двох площин — прямої і площини Ознаки паралельності прямих

Предметний покажчик 289 — рівнобедреного трикутника — рівності прямокутних трикутників — — трикутників Основа перпендикуляра — рівнобедреного трикутника

П Паралельні відрізки — промені — прямі Периметр трикутника Перпендикуляр до прямої Перпендикулярні відрізки — промені — прямі Півпряма Планіметрія Площина Початок променя (півпрямої) Промені (взаємно) доповняльні Промінь Пряма (лінія) — паралельні — перпендикулярні

Р Радіус кола — круга Рівні кути — трикутники — фігури

С Серединний перпендикуляр (до відріз­ка) Січна для кола Січна для прямих Стереометрія Сторони кута

Т Теорема — обернена

290 Предметний покажчик Точка — дотику прямої і кола Трикутник — гострокутний — правильний — прямокутний — рівнобедрений — рівносторонній — різносторонній — тупокутний Трикутники рівні

Ф Фігури геометричні — рівні

Х Хорда кола (круга)

Ц Центр кола (круга)

Зміст Переднє слово до учнів..............................................................................3

Розділ 1. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості.......7 Вступ (Урок 1)....................................................................................7 §1. Площина. Точки і прямі......................................................................9 §2. Відрізки, промені та півплощини (Уроки 2 – 3).............................. 15 §3. Вимірювання і відкладання відрізків (Урок 4)................................. 21 Сторінки історії. Як вимірювали довжини у різні часи................ 27 §4. Кути та їхнє вимірювання (Урок 5)................................................. 34 Сторінки історії. Як вимірювали кути у різні часи....................... 43 Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі І.......................................................................................... 48 Перевір себе.............................................................................................. 53 Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу І........................................................................................ 54

Розділ ІІ. Взаємне розміщення прямих на площині.....................57 Вступ (Урок 6).................................................................................. 57 §5. Суміжні кути..................................................................................... 60 §6. Вертикальні кути (Урок 7)............................................................... 64 Сторінки історії. Геометрія і... математика................................... 67 §7. Кут між прямими. Перпендикулярні прямі (Уроки 8 – 9).............. 71 §8. Паралельні прямі. Ознаки паралельності прямих (Уроки 10 – 11)..... 78 Сторінки історії. «Начала» Евкліда — перший підручник з геометрії......................................................................................... 89 §9. Аксіома про паралельні прямі. Властивості паралельних прямих (Уроки 12 – 13)................................................................................ 95

292 Зміст

Для тих, хто хоче знати більше. §10. Альтернативні форми аксіоми про паралельні прямі..................... 104 Сторінки історії. Як з’явилася неевклідова геометрія................ 109 Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІІ....................................................................................... 112 Перевір себе............................................................................................ 116 Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІ.................................................................................... 117

Розділ ІІІ. Трикутники. Ознаки рівності трикутників..................121 Вступ (Урок 14).............................................................................. 121 §11. Трикутник і його елементи............................................................. 125 §12. Сума кутів трикутника (Уроки 15 – 16)........................................ 128 §13. Зовнішній кут трикутника (Уроки 17 – 18).................................. 133 §14. Рівність трикутників. Перша ознака рівності трикутників (Уроки 19 – 20).............................................................................. 136 §15. Друга ознака рівності трикутників (Уроки 21 – 22)..................... 144 §16. Рівнобедрений трикутник і його властивості (Уроки 23 – 24)..... 149 Для тих, хто хоче знати більше. Яким може бути розміщення висот у трикутнику......................... 155 §17. Ознаки рівнобедреного трикутника (Уроки 25 – 26).................... 161 Сторінки історії. Фалес і зародження великої грецької науки....... 167 §18. Третя ознака рівності трикутників (Уроки 27 – 28)..................... 170 §19. Прямокутні трикутники (Уроки 29 – 30)...................................... 175 §20. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника (Уроки 31 – 32).............................................................................. 181 Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІІІ...................................................................................... 187 Перевір себе............................................................................................ 195 Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІІІ................................................................................... 196

Зміст 293

Розділ ІV. Коло і круг. Геометричні побудови.............................201 Вступ (Уроки 33 – 34)................................................................... 201 §21. Коло і круг ..................................................................................... 203 §22. Коло і круг як геометричні місця точок (Урок 35)........................ 208 §23. Вëàñòèâ³ñòü ä³àìåòðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äî õîðäè (Урок 36)..... 213 §24. Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична до кола (Урок 37)....... 218 §25. Задання кола точками. Коло, описане навколо трикутника (Урок 38)......................................................................................... 225 Для тих, хто хоче знати більше. §26. Взаємне розміщення двох кіл......................................................... 231 §27. Коло, вписане у трикутник (Уроки 39 – 40)................................. 235 Для тих, хто хоче знати більше. 1. Про геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута................................................................................................. 238 2. Про кола, вписані ззовні у трикутник........................................ 240 §28. Знаходження кривини довільної плавної лінії................................ 242 §29. Геометричні побудови за допомогою лінійки і циркуля (прямих і кіл) (Урок 41 – 43)....................................................................... 244 §30. Орієнтовна схема для розв’язування задач на побудову (Урок 44)......................................................................................... 255 §31. Метод геометричних місць у розв’язуванні задач на побудову (Урок 45)......................................................................................... 259 Для тих, хто хоче знати більше. §32. Спряження відрізків і кіл в інженерній графіці............................. 265 Сторінки історії. Задача про трисекцію кута.............................. 270 Зведений перелік основних теоретичних відомостей, вивчених у розділі ІV...................................................................................... 275 Перевір себе............................................................................................ 283 Завдання для повторення та проведення контрольної роботи до розділу ІV................................................................................... 284 Предметний покажчик............................................................................ 287 Відповіді до задач і вправ .................http://www.bohdan-digital.com/edu

Опис обкладинки і форзаців Нà êàðòèí³ у öåíòð³ îáêëàäèíêè çîáðàæåíî îñíîâí³ ïðèëàäè äëÿ ïðîâåäåíÿ íàóêîâèõ äîñë³äæåíü ó «äîòåëåñêîïíèé» ïåð³îä, які ìàëè çíà÷íèé âïëèâ íà ðîçâèòîê ãåîìåòð³¿. Ïðàâîðó÷, á³ëÿ íåáåñíîãî ãëîáóñà, із циркулем у лівій руці, а правицею вказує на небо — відомий аñòðîíîì Òèõî Áðàãå (1546–1601). Глобус і сфера у цьому підручнику дають змогу глибше зрозуміти геометрію на площині. Ілюстрації запозичені ç êíèãè: Äóáêîâà Ñ., Ìàðêîâà Í. Èñòîðèÿ àñòðîíîìèи. — Ì.: Áåëûé ãîðîä, 2002. На згині обкладинки — картина фундатора живописного абстракціонізму Василя Кандинського «Піки на вигині» (Spitzen im Bogen) (1927 р.). Трикутник був одним з основних виражальних засобів у творах цього художника. Цим він немовби переносив виняткову роль цієї фігури із геометрії на абстрактний живопис. У картині прочитується ідея космічності людського шляху, який проходить довкола Землі під вітрилами-піками, що наповнюються Сонцем. Íà 1-ó ôîðçàö³ — гðàâþðà з першого тому поширеної у ХІХ ст. чотиритомної праці французького природодослідника і літератора Луї Фіг’є (1819-1894) «Життя славетних учених від давнини до дев’ятнадцятого століття з коротким оглядом їхніх праць» (Louis Figuier. Vie des savants illustres depuis l′antiquité jusqu′à dix-neuvième siècle avec l′appréciation sommaire de leurs travaux. — 1-e édition, Paris, 1866–1870). Гравюра відображає åë³í³ñòè÷íó åïîõó â ³ñòî𳿠науки, ïîâ’ÿçàíó ç тріумфом академічної школи Платона. У той час центр науки перемістився з Афін у єгипетську Алек­сандрію. Ñàìå там Åâêë³ä ñòâîðèâ ñâî¿ çíàìåíèò³ «Íà÷àëà» ãåîìåòð³¿, à âåëèê³ àñòðî­íîìè óïïàðõ і Ïòîëåìåé àêòèâíî çàñòîñîâóâàëè ãåîìåòð³þ â àñòðîíîì³÷íèõ äîñ­ë³ä­æåííÿõ. На 2-у форзаці — фреска італійського художника та архітектора Пеллегріно Тібальді (1527–1596) «Спір між академіками (ліворуч) та стоїками (ліворуч)» (1592 р.) з бібліотеки монастиря св. Лоренсо і резиденції іспанських королів (Ескоріалу) поблизу Мадрида. Якщо академіки на чолі з Платоном сповідували значущість для пізнання лише ідеальних і вічних ідей, то стоїки на чолі із Зеноном Кітіонським головним уважали гар­монійне облаштування земного буття. Відоме їхнє порівняння науки з фруктовим садом, у якому логіка — це садова огорожа, фізика — фруктові дерева, а етика — плоди. Полемізуючи щодо стратегічних завдань науки, академіки й стоїки незмінно нада­ вали великого значення геометрії, що й засвідчують геометричні атрибути на цій кар­тині.

Шановний друже! Геометрія 7 класу завершена. Ми запрошуємо тебе до 8 класу, де ти, з-поміж іншого, вивчатимеш теорему Піфагора і золотий переріз, які знаменитий астроном Йоганн Кеплер уважав найціннішими перлинами геометрії. Саме їх французький художник Лоран Делагір відобразив на аркуші в руках музи Геометрії на цій картині.

Лоран Делагір. Алегорія геометрії (1649 р.)

Навчальне видання Тадеєв Василь Олександрович

Геометрія

Підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів

Головний редактор Богдан Будний Редактор Володимир Дячун Художник обкладинки Ростислав Крамар Дизайн та комп’ютерна верстка Андрія Кравчука Підписано до друку 19.01.2015. Формат 70×90/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Умовн. друк. арк. 30,895. Умовн. фарбо-відб. 123,58. Видавництво «Навчальна книга – Богдан» Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції ДК № 4221 від 07.12.2011 р. Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопіль, 46002 Навчальна книга – Богдан, а/с 529, м. Тернопіль, 46008 тел./факс (0352)52-06-07; 52-19-66; 52-05-48 office@bohdan-books.com www.bohdan-books.com