https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
32.1. (Усно.)
5) (x + 3)2;
8) (x + y)2;
32.2. (Усно.) Які з рівностей є правильними:
1) (b − 2)2 = b2 − 22; не правильна
2) (a + 3)2 = a2 + 2 · a · 3 + 32; правильна
3) (x + 5)2 = x2 + x · 5 + 52; не правильна
4) (7 − y)2 = 72 − 2 · 7 · y + y2? правильна
32.3. Які з рівностей є правильними:
1) (a + 7)2 = a2 + 72; не правильна
2) (x − 3)2 = x2 − 2 · x · 3 + 32; правильна
3) (2 − y)2 = 22 − 2 · y + y2; не правильна
4) (b + 3)2 = b2 + 2 · b · 3 + 32? правильна
32.4. Подайте у вигляді многочлена:
2) (a − b)2; 7) (4 − p)2
1) (a + m)2 = а2 + 2аm + m2; 2) (b − x)2 = x2 + 2xp + p2; 3) (x + p)2 = b2 – 2bх + x2; 4) (m − y)2 = m2 – 2mу + у2 .
32.5. Піднесіть до квадрата:
1) (b − p)2 = b2 – 2bp + p2; 2) (x + t)2 = х2 + 2xt + t2; 3) (c − a)2 = c2 – 2ca + a2; 4) (y + d)2 = y2 + 2yd + d2
32.6. (Усно.)
1) (a + 4)2 = а2 + 8а + 16; 2) (x − 3)2 = x2 – 6х + 9; 3) (b + 2)2 = b2 + 4b + 4; 4) (m − 5)2 = m2 – 10m + 25.
32.7. Піднесіть до квадрата: 1) (x − 9)2 = x2 – 18х + 81; 2) (a + 3)2 = а2 + 6а + 9; 3) (10 − m)2 = 100 – 20m + m2; 4) (7 + y)2 = 49 + 14у + y2; 5) (c − 0,2)2 = c2 – 0,4с + 0,04; 6) (0,8 + x)2 = 0,64 + 1,6х + х2 .
32.8. Перетворіть на многочлен:
1) (2x + 5)2 = 4х2 + 20х + 25; 2) (7b − 4)2 = 49b2 – 56b + 16; 3) (10x + 3y)2 = 100x2 + 60ху + 9у2; 4) (9a − 4b)2 = 81а2 – 72ab + 16b2; 5) (1 3x + 3y)2 = 1 9 x2 + 2ху + 9у2; 6) (5m − 0,2t)2 = 25m2 – 2mt + 0,04t2 .
32.9. Перетворіть на многочлен:
1) (a − 3)2 = а2 – 6а + 9; 2) (x + 9)2 = х2 + 18х + 81; 3) (c + 0,3)2 = с2 + 0,6с + 0,09; 4) (2a − 5)2 = 4а2 – 20а + 25; 5) (4y + 3)2 = 16у2 + 24у + 9; 6) (9a − 8b)2 = 81а2 – 144ab + 64b2; 7) (4b + 7a)2 = 16b2 + 56ab + 49а2; 8) (1 2m − 2n)2 = 1 4 m2 – 2mn + 4n2; 9) (0,5p + 2q)2 = 0,25p2 + 2pq + 4q2
32.10. Виконайте дії:
1) (3a + 1)2 − 1 = 9а2 + 6а + 1 – 1 = 9а2 + 6а; 2) 12ab + (2a − 3b)2 =12аb + 4а2 – 12аb + 9b2 = 4а2 + 9b2;
3) (4a + 8)2 − 16(a2 + 4) = 16а2 + 64а + 64 – 16а2 – 64 = 64а;
4) −4y2 + (5x − 2y)2 − 25x2 = –4y2 + 25х2 – 20ху + 4у2 – 25x2 = –20xу.
32.11. Спростіть:
1) 20a + (a − 10)2 = 20а + а2 – 20а + 100 = а2 + 100; 2) (3m + 5)2 − 9m2 = 9m2 + 30m + 25 – 9m2 = 30m + 25;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) (x + 4)2 − 8(x + 2) = х2 + 8х+ 16 – 8х – 16 = х2; 4) (2a − 7b)2 − (4a2 + 49b2) = 4а2 – 28аb + 49b2 – 4а2 – 49b2 = –28аb.
32.12. Перетворіть вираз
1) (a − 2)2 + a(a + 4) = а2 – 4а + 4 + а2 + 4а = 2а2 + 4; 2) (b + 1)(b + 2) + (b − 3)2 = b2 + 2b + b + 2 + b2 – 6b + 9 = 2b2 – 3b + 11.
32.13. Спростіть вираз:
1) (m − 5)2 − m(m − 10) = m2 – 10m + 25 – m2 + 10m = 25; 2) (x + 4)2 + (x + 1)(x − 9) = x2 + 8х + 16 + x2 – 9х + х – 9 = 2х2+ 7.
32.14. Розв’яжіть рівняння:
1) (x + 3)2 − x2 = 12;
x2 + 6x + 9 – x2 = 12;
6х= 12 – 9;
6х = 3;
х = 0,5.
Відповідь: 0,5;
32.15. Розв’яжіть рівняння:
1) (x − 4)2 − x2 = 24;
x2 – 8х + 16 – х2 = 24;
8х = 24 – 16; –
8х = 8;
х = – 1.
Відповідь: –1;
32.16. Заповніть
2) (y − 2)2 = y2 − 2y. y2 – 4у + 4 – у2 = –2у; –4у + 2у = –4; –2у = –4; у = 2.
Відповідь: 2.
2) (y + 5)2 = 5y + y2. у2 + 10y + 25 – у2 = 5у; 10y – 5у = –25; 5у = –25; у = –5.
Відповідь: –5.
1) (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404;
2) 412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681;
3) 992 = (100 – 1)2 = 10000 – 200 + 1 = 9801;
4) 3,82 = (4 – 0,2)2 = 16 – 1,6 + 0,04 = 14,44.
32.19. Обчисліть,
1) (40 − 1)2 = 1600 – 80 + 1 = 1521;
2) 892 = (90 – 1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7921;
3) 5012 = (500 + 1)2 = 250000 + 1000 + 1 = 251001;
4) 4,022 = (4 + 0,02)2 = 16 + 0,16 + 0,0004 = 16,1604.
32.20.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
(x − y)2, (x + y)2, (−y + x)2, (−x − y)2
1) (y + x)2 = (x + у)2 = (–х – у)2; 2) (y − x)2 = (х – у)2 = (–у + х)2 .
32.21. Подайте у вигляді многочлена:
1) (−p + 5)2 = (–(p – 5))2 = (р – 5)2 = р2 – 10p + 25; 2) (−a − 7)2 = (–(а + 7))2 = (а + 7)2 = a2 + 14а + 49;
3) (−p − 2m)2 = (–(р + 2m))2 = (р + 2m)2 = р2 + 4рm + 4m2; 4) (−3b + c)2 = (–(3b – с))2 = (3b – с)2 = 9b2 – 6bc + с2 .
32.22. Перетворіть на многочлен:
1) (−a + 3)2 = (–(а – 3))2 = (а – 3)2 = а2 – 6а + 9;
2) (−b − 5)2 = (–(b + 5))2 = (b + 5)2 = b2 + 10b + 25;
3) (−4m + p)2 = (–(4m – р))2 = (4m – р)2 = 16m2 – 8mp + р2;
4) (−a − 3b)2 = (–(а + 3b))2 = (а + 3b)2 = а2 + 6аb + 9b2 .
32.23. Перетворіть на многочлен:
1) (−9b + 4m)2 = (–(9b – 4m))2 = (9b – 4m)2 = 81b2 – 72bm + 16m2;
2) (−7a − 10b)2 = (–(7а + 10b))2 = (7а + 10b)2 = 49а2 + 140аb + 100b2;
3) (−0,5m − 0,4p)2 = (–(0,5m + 0,4р))2 = (0,5m + 0,4р)2 = 0,25m2 + 0,4рm + 0,16р2;
4) (−11 2x + 6y)2 = (–(–11 2 x – 6y))2 = (3 2 x – 6y)2 = 9 4 x2 – 18xy + 36y2;
5) (0,04p − 50q)2 = 0,0016р2 – 4рq – 2500q2;
6) (−0,25c − 0,2d)2 = (–(0,25с + 0,2d))2 = (0,25с + 0,2d)2 = 0,0625с2 + 0,1сd + 0,04d2 .
32.24. Подайте у вигляді многочлена:
1) (−3a + 5x)2 = (–(3а – 5х))2 – (3а – 5х)2 = 9а2 – 30а + 25х2;
2) (−8x − 5y)2 = (–(8х + 5y))2 = (8х + 5у)2 = 64х2 + 80хy + 25у2;
3) (−4b − 0,5y)2 = (–(4b + 0,5у))2 = (4b + 0,5у)2 = 16b2 + 4bу + 0,25y2;
4) (8x + 1 16y)2 = 64x2 + xy + 1 256y2;
5) (−0,02a − 10b)2 = (–(0,02а + 10b))2 = (0,02а + 10b)2 =0,0004a2 + 0,4аb + 100b2;
6) (−0,15m + 0,1n)2 = (–(0,15m – 0,1n))2 = (0,15m – 0,1n)2 = 0,0225m2 – 0,03mn + 0,01n2 .
32.25. Виконайте дію:
1) (a2 − 9)2 = а4 – 18а2 + 81;
2) (7 − y3)2 = 49 – 14у3 + y6;
3) (2a + c4)2 = 49а2 + 14ас4 + с8;
4) (−5a + b3)2 = (–(5а – b3))2 = (5а – b3)2 = 25а2 – 10аb3 + b6;
5) (4a2 − 5m3)2 = 16а4 – 40a2m3 + 25m6;
6) (1 3p4 + 9q3)2 = 1 9p8 + 6p4q3 + 81q6.
32.26. Піднесіть до квадрата:
1) (a2 + 2a)2 = a4 + 4a3 +4a2;
2) (1 4 m3 − 12m)2 = 1 16 m6 – 6m4 + 144m2;
3) (11 3p7 + 3p2)2 = (4 3p7 + 3p2)2 = 16 9 p14 + 8p9 + 9p4;
4) (7ab − 2b3)2 = 49a2b2 – 28ab4 + 4b6;
5) (10p6 + 1 2p4a3)2 = 100p12+ 10p10a3 + 1 4p8a6;
6) (0,2m2n + 15m3n4)2 = 0,04m4n2 + 6m5n5 + 225m6n8
32.27. Подайте
1) (b7 − 5)2 = b14 – 10b7 + 25;
2) (a3 + 2b4)2 = a6 + 4a3b4 + 4b8;
3) (8x6 − 1 4x2)2= 64x12 – 4x8 + 1 16x4;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
4) (6m3 + 11 6m5)2 = (6m3 + 7 6m5)2 = 36m6 + 14m8 + 49 36 m10;
5) (7a2 + 8ap3)2 = 49a4 + 112a3p3 + 64a2p6;
6) (1 2 b2m3 − 1 3 b3m2)2 = 1 4 b4m6 –1 3 b5m5 + 1 9 b6m4.
32.28. Спростіть вираз:
1) (3a − 4b)2 − (3a + 4b)2 = 9a2 – 24ab + 16b2 – (9a2 + 24ab + 16b2) = = 9a2 – 24ab + 16b2 – 9a2 – 24ab – 16b2 = –48ab; 2) (2a + 3b)2 + (a − 6b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 + (a2 – 12ab + 36b2) = = 4a2 + 12ab + 9b2 + a2 – 12ab + 36b2 = 5a2 + 45b2;
3) a(2a − 1)2 − 4a(a + 5)2 = a(4a2 – 4a + 1) – 4a(a2 +10a + 25) = = 4a3 – 4a2 + a – 4a3 – 40a2 – 100a = –44a2 – 99a; 4) 12m2 − 3(2m − n)2 − 12mn = 12m2 – 3(4m2 – 4mn + n2) – 12mn = = 12m2 – 12m2 + 12mn – 3n2 – 12mn = –3n2.
32.29. Виконайте дії:
1) (7a + 9b)2 − (7a − 9b)2 = 49a2 + 126ab + 81b2 – (49a2 – 126ab + 81b2) = = 49a2 + 126ab + 81b2 – 49a2 + 126ab – 81b2 = 252ab;
2) (10a − 3b)2 + (6a + 5b)2 = 100a2 – 60ab + 9b2 + 36a2 + 60ab + 25b2 = 136a2 + 34b2;
3) 18x2 − 12xy − 2(3x − y)2 = 18x2 – 12ху – 2(9х2 – 6ху + у2) = = 18x2 – 12xу– 18x2 + 12ху – 2y2 = –2у2;
4) a(9a − 1)2 − 81a(a − 2)2 = a(81a2 – 18a + 1) – 81a(a2 – 4a + 4) = = 81a3 – 18a2 + a – 81a3 + 324a2 – 324a = 306a2 – 323a.
32.30. Які одночлени потрібно
«зірочки», щоб утворилася тотожність: 1) (b + 2a)2 = b2 + 4ab + 4a2; 2) (2b – 3)2 = 4b2 – 12b + 9 = 4b2 + 9 – 12b; 3) (3a4 + 5)2 = 9a8 + 30a4 + 25; 4) (5x2 – 3m) = 25x4 – 30x2m + 9m2.
32.31. Замініть «зірочку» одночленом
тотожність: 1) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49; 2) (4p3 + 3)2 = 16p6 + 24р3 + 9 = 16p6 + 9 + 24p3.
32.32. Подайте
1) (x − 2)(x + 1)2 = (х – 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2х2 + х – 2x2 – 4x – 2 = x3 – 3x – 2; 2) (x + 1)(x − 5)2 = (x + 1)(x2 – 10x + 25) = x3 – 10x2 + 25x + x2 – 10x + 25 = = x3 – 9х2 + 15x + 25.
32.33. Доведіть тотожність:
1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2); 2) m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn. (m + n)2 – 2mn = m2 + 2mn + n2 – 2mn = m2 + n2.
32.34. Доведіть тотожність:
1) −4ab = (a − b)2 − (a + b)2; (a – b)2 – (a + b)2 = a2 – 2ab + b2 – a2 – 2ab – b2 = –4ab;
2) (x − y)2 + 2xy = x2 + y2 (x – y)2 + 2xy = х2 – 2xy + y2 + 2xy = x2 + y2.
32.35. Розв’яжіть рівняння:
1) (3x − 4)2 − (3x + 2)2 = −24; 9x2 – 24x + 16 – 9x2 – 12x – 4 = –24; –36x = –24 – 12; –36x = –36; x = 1.
Відповідь: 1;
2) (2x − 3)2 + (1 − x)(9 + 4x) = 18. 4x2 – 12x + 9 + 9 + 4x2 – 9x – 4x2 = 18; –17x = 18 – 18; –17x = 0; x = 0.
Відповідь: 0.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
32.36. Розв’яжіть рівняння: 1) x(x − 2) − (x + 5)2 = −1; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = –1; –12x = –1 + 25; –12x = 24; x = –2.
Відповідь: –2; 2) (2y − 7)2 + (5 − 4y)(y − 7) = 3(y − 6).
4y2 – 28у + 49 + 5y – 35 – 4у2 + 28y = 3у – 18; 5y + 14 = 3у – 18; 5y – 3y = –18 – 14; 2y = –32; у = –16.
Відповідь: –16.
32.37. Використовуючи малюнок, поясніть геометричний зміст формули (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для a > 0, b > 0, a > b. (a − b)2 площа квадрата; a2, b2 —
32.38. Спростіть
1) Куба суми:
(а – b)3 = (а – b)2(а – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) =
32.40. Піднесіть до куба за формулами
1) (2 + a)3 = (а + 2)2(a + 2) = (a2 + 4a + 4)(a +
+
= = а3 + 6а2 + 12а + 8; 2) (2b − 1)3 = (2b – 1)2(2b – 1) = (4b
= 8b3 – 12b2 + 6b –
32.41.
до куба: 1) (x − 2)3 = (x – 2)2(x – 2) – (х2 – 4х + 4)(х – 2) = х3 – 2х2 – 4x2
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
32.43. Знайдіть
104
2n; 2n + 2; 2n + 4 — три
2n(2n + 2) + 104 = (2n + 2)(2n + 4); 4n2 + 4n + 104 = 4n2 + 8n + 4n + 8; 4n − 8n − 4n = 8 − 104; −8n = −96; n = −96 : (−8); n = 12.
I число: 2n = 24; II число: 2n + 2 = 26; III число: 2n + 4 = 28.
Відповідь: 24; 26; 28.
32.44. Доведіть, що значення
1) 810 − 89 + 88 кратне числу 152; 810 – 89 + 88 = 88(82 – 8 + 1) = 88
1) 45 ∙ 30 = 1350 (грн) – вартість бензину;
2) 1350 + 20 = 1370 (грн) – вартість
3) 1500 – 1370 = 130 (грн) – решта.
Відповідь: 130 грн.
32.46. Подайте у вигляді
1) 1 = 12; 2) 9 = 32; 3) 25 = 52; 4) 64 = 82; 5) 100 = 102; 6) 121 = 112; 7) 196 = 142; 8) 900 = 302
32.47. Подайте у
1) x4 = (х2)2; 2) y8 = (у4)2; 3) m6 = (m3)2; 4) p10 = (p5)2; 5) 16a2 = (4a)2; 6) 49b10 = (7b5)2; 7) m2n4 = (mn2)2; 8) 36c2a2 = (6ca)2 .
32.48. Доведіть, що
+ 2) ділиться на 6. (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2); n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n2 + 2n + n + 2) = n((n2 + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) = = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) —
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
33.4. Розкладіть на множники: 1) a2 − 6a + 9 = (a − 3)2; 2) 64 + 16b + b2 = (8 + b)2;
3) 0,01m2 + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)2; 4) 1 25 − 2 5p + p2 = (1 5 − p)2; 5) 4m2 − 12m + 9 = (2m − 3)2; 6) 9c2 + 24cd + 16d2 = (3c + 4d)2.
33.5. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена:
1) a2 + 4a + 4 = (a + 2)2; 2) 9m2 − 6m + 1 = (3m − 1)2; 3) b2 − 1,2b + 0,3b = (b − 0,6)2; 4) 1 49 m2 − 2 7m + 1 = (1 7 m − 1)2; 5) 81a2 + 18ab + b2 = (9a + b)2; 6) 25m2 − 60mn + 36n2 = (5m − 6n)2 .
33.6. Обчисліть зручним способом:
1) 362 + 2 · 36 · 14 + 142 = (36 + 14)2 = 502 = 2500; 2) 1172 − 2 · 117 · 17 + 172 = (117 − 17)2 = 1002 = 10000.
33.7. Обчисліть зручним способом:
1) 872 + 2 · 87 · 13 + 132 = (87 + 13)2 = 1002 = 10000; 2) 1372 − 2 · 137 · 47 + 472 = (137 − 47)2 = 902 = 8100.
33.8. Знайдіть значення
1) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2; Якщо a = 91, то (91 − 1)2 = 902 = 8100.
Якщо a = −19, то (91 − (−19))2 = (91 + 19)2 = 1102 = 12100. 2) 4m2 + 28m + 49 = (2m)2 + 2 ∙ 2m ∙ 7 + 72 = (2m + 7)
m = –3,5, то (2m + 7)2 = (2 ∙ (–3,5) + 7)2 = 0. Якщо m = 0, то (2m + 7)2 = (2 ∙ 0 + 7)2 = 49; 3) 16x2 – 40xy + 25y2 = (4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 5y + (5y)2 = (4x – 5y)2.
Якщо x = 5, у = 4, то (4x – 5у)2 = (4 ∙ 5 – 5 ∙ 4)2 = 0. 33.9. Знайдіть значення виразу:
1) a2 + 10a + 25 = (a + 5)2. Якщо a = −15, то (−15 + 5)2 = (−10)2 = 100.
Якщо a = 95, то (95 + 5)2 = 1002 = 10000. 2) 0,01x2 + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)2. Якщо х = 10, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ 10 + 4)2 = 25.
Якщо х = –40, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ (–40) + 4)2 = 0;
3) 4m2 + 28mn + 49n2 = (2m + 7n)2.
Якщо m = –3, n = –1 7, то (2m + 7n)2 = (2 ∙ (–3) + 7 ∙ (–1 7))2 = (–6–1)2 = (–7)2 = 49. 33.10. Перетворіть тричлен у
1) 1 4 m2 + 4n2 + 2mn = 1 4 m2 + 2mn + 4n2 = (1 2m + 2n)2;
2) −10mn + 0,25m2 + 100n2 = 0,25m2 − 10mn + 100n2 = (0,5m − 10n)2; 3) 9p2 + pq + 1 36q2 = (3p + 1 6q)2;
4) m6 + 4n2 − 4m3n = (n3)2 − 4m3n + 4n2 = (n3 − 2n)2; 5) 25m12 + p6 − 10m6p3 = 25m12 − 10m6p3 + p6 = (5m6 − p3)2.
6) 9 64 c6 − 3dc5 + 16d2c4 = (3 8c3)2 − 3dc5 + (4dc2)2 = (3 8 c3 − 4dc2)2. 33.11.
1) 1 9 a4 + 9b2 + 2a2b = (1 3a2)2 + 2a2b + (3b)2 = (1 3 a2 + 3b)2; 2) −6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = (0,4a2)2 − 6,4a2y4 + (8y4)2 = (0,4a
a6 + 9a2b4 = (a3)2 + 6a4b2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2.
33.12.
1) −1 + 4x − 4x2 = −(1 − 4x + 4x2) = −(1 − 2x)2; 2) −40a + 25a2 + 16 = 25a2 − 40a + 16 = (5a − 4)2; 3) 24xy − 9x2 − 16y2 = −(9x2 − 24xy + 16y2) = −(3x − 4y)2;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
4) −140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 − 140x3y + 49y2 = (10x3 − 7y)2;
5) 4pq − 25p2 − 0,16q2 = −(25p2 − 4pq + 0,16q2) = (5p − 0,4q)2;
6) −0,64m6 − 1,6m3n2 − n4 = −(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = −(0,8m3 + n2)2.
33.13.
квадрата двочлена:
1) −9 − 30x − 25x2 = −(9 + 30x + 25x2) = −(3 + 5x)2;
2) −36b + 81b2 + 4 = 4 − 36b + 81b2 = (2 − 9b)2;
3) 42xy − 49x2 − 9y2 = −(49x2 − 42xy + 9y2) = −(7x − 3y)2; 4) −0,36a4 − 25b6 + 6a2b3 = −(0,36a4 − 6a2b3 + 25b6) = −(0,6a2 − 5b3)2.
33.14. Розв’яжіть рівняння:
1) x2 – 10x + 25 = 0;
(x − 5)2 = 0;
x − 5 = 0; x = 5.
Відповідь: 5.
3) 9x2 + 1 = −6x; 9x2 + 6x + 1 = 0;
(3x + 1)2 = 0;
3x + 1 = 0;
3x = −1;
x = − 1 3 .
Відповідь: 1 3 .
33.15. Розв’яжіть рівняння:
1) x2 + 16x + 64 = 0;
(x + 8)2 = 0;
x + 8 = 0; x = −8.
Відповідь: −8.
3) 4x2 + 9 = −12x; 4x2 + 9 + 12x = 0;
(2x + 3)2 = 0;
2x + 3 = 0;
2x = −3; x = −1,5.
Відповідь: −1,5.
2) 64y2 + 16y + 1 = 0; (8y + 1)2 = 0; 8y + 1 = 0; 8y = −1; y = − 1 8 .
Відповідь: − 1 8 .
4) 16y2 − 56y = −49; 16y2 − 56y + 49 = 0; (4y − 7)2 = 0;
4y − 7 = 0; 4y = 7;
y = 7 4 = 1,75.
Відповідь: 1,75.
2) 36x2 − 12x + 1 = 0; (6x − 1)2 = 0; 6x − 1 = 0; 6x = 1; x = 1 6 .
Відповідь: 1 6 .
4) x2 = 0,4x − 0,04; x2 − 0,4x + 0,04 = 0; (x − 0,2)2 = 0; x − 0,2 = 0; x = 0,2.
Відповідь: 0,2. 33.16.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
33.17.
1) * − 28x + 49 = * − 2 · 7 · x · 2 + 72 = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2; 2) 64a2 − 16a + * = (8a)2 − 2 · 8a + 1 = (8a − 1)2; 3) 25a2 + * + 1 25 b6 = (5a)2 + 2ab3 + (1 5 b3)2 = (5a + 1 5 b3)2; 4) 0,01a8 + 100b6 + * = (0,1a4)2 + * + (10b3)2 = 0,01a8 + 2a4b3 + 100b6 = (0,1a4 + 10b3)2
33.18. Розкладіть
1) (x − 2)2 + 2(x − 2) + 1 = (x − 2 + 1)2 = (x − 1)
≤ 0; 3) −x2 − 8x 16 і 0; −(x2 + 8x + 16) = −(x + 4)2 ≤ 0;
(x2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)2 + 2
1) * − 48xy + *;
36x2 − 48xy + 16y2 = (6x − 4y)2; 9x2 − 48xy + 64y2 = (3x − 8y)2; 144x2 − 48xy + 4y2 = (12x − 2y)2; 2) * + 20ab + *; 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a + 5b)2; 100a2 + 20ab + b2 = (10a + b)2; 1 4 a2 + 20ab + 400b2 = (1 2a + 20b)2 .
33.25. Подайте
1) x2 − 3x + 9, неможливо; 2) 49a2 − 140ab + 100b2 = (7a − 10b)2; 3) 4a2 − 9b2 − 12ab, неможливо; 4) 16y2 + 8y − 1, неможливо; 5) 1 16 x2 + 1 40xy + 1 25y2, неможливо. 6) −xy + 1 16y2 + 4x2 = (1 4y − 2x)2 .
33.26. Для яких значень x: 1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший за квадрат двочлена x – 3; (x + 2)2 = (x − 3)2 + 225; x2 + 4x + 4 = x2 − 6x + 9 + 225; 4x + 6x = 225 + 9 − 4; 10x = 230; x = 230 : 10; x = 23.
Відповідь: 23.
2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази більший за
x + 3? (2x – 6)2 = 4(x + 3)2; 4x2 – 24х + 36 = 4(х2 + 6х + 9);
4х2 – 24х + 36 = 4x2 + 24х + 36; 4х2 – 24х – 4х2 – 24х = 36 – 36; –48х = 0; х = 0.
Відповідь: 0.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
33.27. Спростіть вираз: 1) (m − 2)(m + 3)(m − 5) = (m2 + 3m − 2m − 6) (m − 5) = (m2 + m – 6)(m – 5) = = m3 − 5m2 + m2 − 5m − 6m + 30 = m3 − 4m2 − 11m + 30; 2) (p2 + 1)(p8 – p6 + p4 – p2 + 1) = p10 − p8 + p6 − p4 + p2 + p8 – p6 + p4 – p2 + 1 = p10 + 1.
33.28. Щосереди
ліків становить 580 грн?
580 ∙ 0,15 = 87 (грн) – заощадить пенсіонер.
Відповідь: 87 грн.
33.29. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (х – 3)(х + 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9; 2) (у + 2)(у – 2) = y2 – 2y + 2y – 4 = y2 – 4; 3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m + m – m2 = 1 – m2;
4) (4 – а)(4 + а) = 16 + 4a – 4a – a2 = 16 – a2
33.30. Є піскові годинники двох
34.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) (a − c)(a + c) = a2 − с2, тотожність; 2) (m + p)(m − p) = m2 + p2, ні; 3) (y − x)(y + x) = (y − x)2 ні; 4) (d + n)(d − n) = n2 − d2, ні.
34.2. Закінчіть запис: 1) (c − 5)(c + 5) = c2 − 52 = с2 − 25; 2) (b + 7)(b − 7) = b2 − 72 = b2 − 49.
34.3. Знайдіть добуток: 1) (c − d)(c + d) = c2 – d2; 2) (p + a)(p − a) = р2 – a2.
34.4. Виконайте множення двочленів: 1) (b + t)(b − t) = b2 – t2; 2) (a − t)(a + t) = a2 – t2.
34.5. Виконайте множення: 1) (p − 9)(p + 9) = p2 − 81; 2) (5 + x)(5 − x) = 25 − x2; 3) (3 − c)(3 + c) = 9 − c2; 4) (7 + y)(y − 7) = y2 − 49.
34.6. Перетворіть на многочлен: 1) (m − 2)(m + 2) = m2 − 4; 2) (7 + a)(7 − a) = 49 − a2; 3) (4 − x)(4 + x) = 16 − x2; 4) (11 + b)(b − 11) = b2 − 121.
34.7. Подайте добуток у вигляді многочлена:
1) (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9; 2) (3p + 8)(3p − 8) = 9p2 − 64; 3) (4 + 5a)(5a − 4) = 25a2 − 16; 4) (3m − 4p)(4p + 3m) = 9m2 − 16p2; 5) (7a + 10b)(10b − 7a) = 100b2 − 49a2; 6) �1
34.8. Виконайте множення: 1) (p − 2m)(p + 2m) = p2 − 4m2 . 2) (2p + 7)(2p − 7) = 4p2 − 49; 3) (2c + 5)(5 − 2c) = 25 − 4c2; 4) (8a − 0,3x)(0,3x + 8a) = 64a2 − 0,09x2; 5) (0,1p + q)(q − 0,1p) = q2 − 0,01p2; 6) �2 7 a 3
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
34.10. Виконайте дії: 1) 16 + (3a + 4)(3a − 4) = 16 + (9a2 − 16) = 16 + 9a2 − 16 = 9a2; 2) (5m − 3)(5m + 3) − 25m2 = 25m2 − 9 − 25m2 = −9m2 .
34.11. Спростіть вираз: 1) (8x − 5)(8x + 5) + 25 = 64x2 − 25 + 25 = 64x2; 2) 9m2 + (5 − 3m)(5 + 3m) = 9m2 + (25 − 9m2) = 25; 3) (2b − 3)(2b + 3) − 4b2 = 4b2 − 9 − 4b2 = −9; 4) (4a + 7)(7 − 4a) − 49 = 49 − 16a2 − 49 = −16a2 .
34.12. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x = (2x − 3)(2x + 3) − 4x2; 3x = 4x2 − 9 − 4x2; 3x = −9; x = −9 : 3; x = −3.
Відповідь: −3.
34.13. Знайдіть корені рівняння:
1) 8x = (5x − 4)(5x + 4) − 25x2; 8x = 25x2 − 16 − 25x2; 8x = −16; x = −16 : 8; x = −2.
Відповідь: −2.
34.14. Обчисліть зручним способом:
2) 9x2 + (8 − 3x)(8 + 3x) = 4x; 9x2 + 64 − 9x2 = 4x; 4x = 64; x = 64 : 4; x = 16.
Відповідь: 16.
2) (9 − 4x)(9 + 4x) + 16x2 = 3x; 81 − 16x2 + 16x2 = 3x; 3x = 81; x = 81 : 3; x = 27.
Відповідь: 27.
1) (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599. 2) 81 · 79 = (80 + 1)(80 − 1) = 6400 − 1 = 6399; 3) 1002 · 998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996; 4) 1,03 · 0,97 = (1 + 0,03)(1 − 0,03) = 12 − 0,032 = 1 − 0,0009 = 0,9991.
34.15.
1) (80 + 2)(80 − 2) = 802 − 22 = 6400 − 4 = 6396;
2) 59 · 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 602 − 12 = 3600 − 1 = 3599;
3) 108 · 92 = (100 + 8)(100 − 8) = 1002 − 82 = 10000 − 64 = 9936;
4) 12,3 · 11,7 = (12 + 0,3)(12 − 0,3) = 122 − 0,32 = 144 − 0,09 = 143,91
34.16. Подайте
1) (p2 + 3q)(3q − p2) = (3q)2 − (p2)2 = 9q2 − p4;
2) (2a − m3)(m3 + 2a) = (2a)2 − (m3)2 = 4a2 − m6;
3) (5a − b2)(b2 + 5a) = (5a)2 − (b2)2 = 25a2 − b4;
4) (0,7m + n2)(0,7m − n2) = (0,7m)2 − (n2)2 = 0,49m2 − n4;
5) (4t2 − p4)(4t2 + p4) = 16t4 − p8;
6) (3a3 − 4b4)(3a3 + 4b4) = (3a3)2 − (4b4)2 = 9a6 − 16b8
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
34.17. Виконайте множення:
1) (1,7a − 1,4p3)(1,4p3 + 1,7a) = 2,89a2 − 1,96p6;
2) (3a2 − 1 4 b3)( 1 4 b3 + 3a2) = (3a2 − 1 4 b3)(3a2 + 1 4 b3) = 9a4 − 1 16 b6;
3) (5m2n + 1 7p3)(1 7p3 – 5m2n) = (1 7p3 + 5m2n)( 1 7p3 – 5m2n) = 1 49p6 – 25m4n2;
4) (2 3 a7 + 1,2y8)(1,2y8 − 2 3a7) = (1,2y8 + 2 3 a7)(1,2y8 − 2 3 a7) = 1,44y16 − 2 3 a14 .
34.18. Виконайте множення:
1) (5a + b2)(b2 − 5a) = (b2)2 − (5a)2 = b4 − 25a2;
2) (4a3 − d2)(d2 + 4a2) = (4a3)2 − (d2)2 = 16a6 – d4;
3) (0,7p – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7p)2 − (m7)2 = 0,49p2 – m14; 4) (1 5 m2 + 3b7)(3b7 − 1 5 m2) = (3b7)2 – (1 5m2)2 = 9b14 –1 25m4;
5) (0,2a2b − 0,3ab2)(0,2a2b + 0,3ab2) = (0,2a2b)2 − (0,3ab2)2 = 0,04a4b2 − 0,09a2b4;
6) (1,2p7 − 2 3a8)( 2 3 a8 + 1,2p7) = (1,2p7)2 – (2 3a8)2 = 1,44p14 4 9 a16
34.19. Подайте у вигляді многочлена:
1) (−a2 + 7)(7 + a2) = 72 − (a2)2 = 49 − a4; 2) (−p2 − q7)(p2 − q7) = −(p2 + q7)(p2 − q7) – ((p2)2 − (q7)2) = −(p4 − q14) = q14 – p4; 3) (−8m − 5p)(−8m + 5p) = (5p − 8m)(−8m − 5p) = (8m − 5p)(8m + 5p) = = (8m)2 − (5p)2 = 64m2 − 25p2; 4) (−2a3 − 3b)(−3b + 2a3) = −(2a3 + 3b)(2a3 − 3b) = (3b − 2a3)(2a3 + 3b) = = (3b)2 − (2a3)2 = 9b2 − 4a6.
34.20. Спростіть вираз:
1) (a − b)(a + b)(a2 + b2) = (a2 − b2)(a2 + b2) = (a2)2 − (b2)2 = a4 − b4; 2) (2a + x)(4a2 + x2)(2a − x) = ((2a)2 − x2)(4a2 + x2) = (4a2 − x2)(4a2 + x2) = = (4a2)2 − (x2)2 = 16a4 − x4; 3) (c3 + d2)(c3 – d2)(d4 + c6) = ((c3)2 − (d2)2)(d4 + c6) = (c6 − d
4) (−x − y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = = −(x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x4 − y4)(x4 + y4) = (y4 –
. 34.21. Перетворіть на многочлен:
1) (−a7 + b5)(a7 + b5) = (b5 − a7)(a7 + b5) = (b5)2 − (a7)2 = b10 − a14; 2) (−0,1m3 − p4)(0,1m3 − p4) = − (0,1m3 + p4)(−0,1m3 − p4) = (p4 − 0,1m3)(0,1m3 + p4) = = (p4)2 – (0,1m3)2 = p8 – 0,01m6; 3) (3x − 2p)(3x + 2p)(9x2 + 4p2) = (9x2 − 4p2) (9x2 + 4p2) = 81x4 − 16p4; 4) (−a2 − 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = −(a2 + 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = = −(a4 − 25b6)(a4 + 25b6) = –((a4)2 – (25b6)2) = 625b12 – a8.
34.22. Замість «зірочок» запишіть такі одночлени, щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 7b)(2a − 7b) = 4a2 − 49b2; 2) (0,5m2 − 9p)(0,5m2 + 9p) = 0,25m4 − 81p2; 3) 100a8 − 9b6 = (10a4 + 3b3)(10a4 − 3b3); 4) (4x − 3y)(4x + 3y) = 16x2 − 9y2 .
34.23. Знайдіть корені рівняння:
1) 8x(1 + 2x) − (4x + 1)(4x − 1) = 17; 8x + 16x2 − (16x2 − 1) = 17; 8x + 16x2 − 16x2 + 1 = 17; 8x = 17 − 2; 8x = 16; x = 16: 8; x = 2.
Відповідь: 2.
2) x − 12x(1 − 3x) = 14 − (5 − 6x)(6x + 5); x − 12x + 36x2 = 14 − (25 − 36x2); x − 12x + 36x2 = 14 − 25 + 36x2; −11x = −11; x = −11: (−11); x = 1.
Відповідь: 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) (4x + 1)(4x − 1) + (2x − 3)2 = 5x(4x − 11); 16x2 − 1 + 4x2 − 12x + 9 = 20x2 − 55x;
−12x + 55x = 1 − 9; 43x = −8;
x = −8 : 43;
Відповідь: 8 43 .
34.24. Розв’яжіть рівняння:
1) 5x(4x − 1) − (6x − 1)(6x + 1) = (4x + 3)(3 − 4x);
20x2 − 5x − (36x2 − 1) = 9 − 16x2;
20x2 − 5x − 36x2 + 1 = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 16x2 = 9 − 1;
−5x = 8;
x = 8 : (−5);
x = −1,6.
Відповідь: −1,6.
2) (3x − 4)(3x + 4) − (5x − 2)(5x + 2) = 2x(1 − 8x);
9x2 − 16 − (25x2 − 4) = 2x − 16x2;
9x2 − 16 − 25x2 + 4 = 2x − 16x2;
−2x = 16 – 4;
−2x = 12;
x = 12 : (−2);
x = −6.
Відповідь: −6.
3) (5x − 4)2 − 2x(8x − 5) = (3x − 2)(3x + 2);
25x2 − 40x + 16 − 16x2 + 10x = 9x2 − 4; 9x2 − 40x − 9x2 + 10x = −16 − 4;
−30x = −20;
x = −20 : (−30);
x = 2 3
Відповідь: 2 3 .
34.25. Спростіть вираз: 1) (a + 3)2 − (a + 3)(a − 3) = a2 + 6a + 9 − (a2 − 9) = a2 + 6a + 9 − a2 + 9 = 6a + 18; 2) (8x − 3y)(8x + 3y) − (3x − 8y)2 = 64x2 − 9y2 − (9x2 − 48xy + 64y2) = = 64x2 − 9y2 − 9x2 − 48xy + 64y2 = 55x2 + 48xy − 73y2; 3) (b − 3)2(b + 3)2 = ((b − 3)(b + 3))2 = (b2 − 9)2 = b4 − 18b2 + 81; 4) (a + 5)2(5 − a)2 = ((5 − a)(a + 5))2 = (25 − a2)2 = 625 − 50a2 + a4.
34.26. Спростіть вираз: 1) (c − 2)2 − (c − 3)(c + 3) = c2 − 4c + 4 − (c2 − 9) = c2 − 4c + 4 − c2 + 9 = −4c + 13; 2) (9x − 2y)(9x + 2y) − (5x − 2y)2 = 81x2 − 4y2 − (25x2 − 20xy + 4y2) = = 81x2 − 4y2 − 25x2 + 20xy − 4y2 = 56x2 − 8y2 + 20xy; 3) (a + 6)2(a − 6)2 = ((a + 6)(a − 6))2 = (a2 − 36)2 = a4 − 72a2 + 1296; 4) (2 − m)2(2 + m)2 = ((2 − m)(2 + m))2 = (4 − m2)2 = 16 − 8m2 + m4. 34.27. Доведіть,
34.28.
((x + y) +
2) (a + b + c)(a
3)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
заасфальтувати ділянку площею 15х м2, а заасфальтували 18(х − 2) м2 .
Рівняння: 15х = 18(х − 2) + 12;
15х = 18х − 36 + 12;
15х − 18х = −36 + 12;
−3х = −24;
х = −24 : (−3);
х = 8.
8 годин мали асфальтувати ділянку
8 годин; 120 м2 . 34.31.
35.1. (Усно.) Які
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
рівностей є тотожностями:
1) c2 − d2 = (c − d)(c − d), не тотожність; 2) p2 − t2 = (p + t)(p − t), тотожність; 3) a2 + b2 = (a + b)(a + b), не тотожність;
4) 32 − b2 = (3 − b)(3 + b), тотожність.
35.2. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб
тотожність:
1) a2 − 1 = (a − 1)(a + 1); 2) 4 − m2 = (2 − m)(2 + m).
35.3. Доберіть замість пропусків такий
1) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1); 2) 9 − c2 = (3 − c)( 3 + c).
35.4. (Усно.) Розкладіть на
1) a2 − 4 = (a − 2)(a + 2); 2) 36 − b2 = (6 − b)(6 + b); 3) 4x2 − 25m2 = (2x − 5m)(2x + 5m); 4) x2y2 − 1 = (xy − 1)(xy + 1).
35.5. Подайте многочлен у вигляді
1) a2 − 25 = (a − 5)(a + 5); 2) 16 − p2 = (4 − p)(4 + p);
3) d2 − 1,44 = (d − 1,2)(d + 1,2); 4) 0,09 − m2 = (0,3 − m)(0,3 + m);
5) b2 − 4 9= (b − 2 3)(b + 2 3); 6) 25 36 − c2 = (5 6− c)(5 6+ c).
35.6. Розкладіть на множники:
1) 36a2 − b2 = (6a − b)(6a + b);
2) −a2 + b2 = b2 − a2 = (b − a)(b + a);
3) 49x2 − 64 = (7x − 8)(7x + 8);
4) 9m2 − 16n2 = (3m − 4n)(3m + 4n);
5) −100m2 + 121k2 = 121k2 − 100m2 = (11k − 10m)(11k + 10m);
6) 0,25 − a2b2 = (0,5 − ab)(0,5 + ab);
7) 16m2a2 − 0,01 = (4ma − 0,1)(4ma + 0,1);
8) p2 − c2d2 = (p − cd)(p + cd);
9) 81p2m2 − n2 = (9pm − n)(9pm + n).
35.7.
1) a2 − 64 = (a − 8)(a + 8);
2) 0,25 − b2 = (0,5 − b)(0,5 + b);
3) −81 + 36x2 = (6x − 9)(6x + 9);
4) 169p2 − q2 = (13p − q)(13p + q);
5) 400a2 − 25m2 = (20a − 5m)(20a + 5m);
6) 49a2b2 − 16 = (7ab − 4)(7ab + 4);
7) 900 – a2b2 = 302 – (ab)2 = (30 – ab)(30 + ab);
8) c2d2 – 4m2 = (cd)2 – (2m)2 = (cd – 2m)(cd + 2m);
9) 100a2b2 – 0,16m2 = (10ab)2 – (0,4m)2 = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m).
35.8. Обчисліть,
1) 672 − 572 = (67 − 57)(67 + 57) = 1240;
2) 432 − 532 = (43 − 53)(43 + 53) = 960;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) 1122 − 882 = (112 + 88)(112 − 88) = 200 · 24 = 4800;
4) 21,52 − 21,42 = (21,5 − 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 · 42,9 = 4,29;
5) 0,7252 − 0,2752 = (0,725 − 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,45 · 1 = 0,45; 6) (52 3)2 − (41 3)2 = (52 3 − 41 3)(52 3 + 41 3) = 11 3 · 10 = 4 3 · 10 = 40 3
35.9. Обчисліть зручним способом:
1) 432 − 332 = (43 − 33)(43 + 33) = 10 · 76 = 760; 2) 272 − 372 = (27 − 37)(27 + 37) = −10 · 64 = −640;
3) 0,972 − 0,032 = (0,97 − 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 · 1 = 0,94.
35.10. Знайдіть значення виразу x2 − y2 ,
1) Якщо x = 55, y = 45, то (x − y)(x + y) = (55 − 45)(55 + 45) = 10 · 100 = 1000; 2) Якщо x = 2,01; y = 1,99, то (x − y)(x + y) = (2,01 − 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 · 4 = 0,08.
35.11. Розв’яжіть рівняння:
1) x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 4 = 0; x = −4.
Відповідь: 4; −4. 2) 1 9 − x2 = 0; (1 3 − x)(1 3 + x) = 0; 1 3 − x = 0; −x = −1 3; x = 1 3;
1 3 + x = 0; x = −1 3 . Відповідь: 1 3; − 1 3 .
3) y2 − 0,25 = 0;
(y − 0,5)(y + 0,5) = 0; y − 0,5 = 0; y = 0,5
або y + 0,5 = 0; y = −0,5.
Відповідь: 0,5; −0,5.
35.12. Знайдіть корені рівняння:
1) x2 − 36 = 0;
(x − 6)(x + 6) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.
Відповідь: 6; −6.
3) 0,49 − x2 = 0;
(0,7 − x)(0,7 + x) = 0;
0,7 − x = 0; x = 0,7 або
0,7 + x = 0; x = −0,7.
Відповідь: 0,7; −0,7.
35.13. Розкладіть
1) c4 − m6 = (c2)2 − (m3)2 = (c2 − m3)(c2 + m3);
2) p8 − a10 = (p4)2 − (a5)2 = (p4 − a5)(p4 + a5);
4) 4x2 − 9 = 0; (2x − 3)(2x + 3) = 0; 2x − 3 = 0; 2x = 3; x = 1,5;
або 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.
Відповідь: 1,5; −1,5.
2) y2 − 1 16= 0; (y − 1 4)(y + 1 4) = 0; y = 1 4 або y = −1 4 .
Відповідь: 1 4; − 1 4 .
4) 64y2 − 49 = 0;
(8y − 7)(8y + 7) = 0;
8y − 7 = 0; 8y = 7; y = 7 8;
або 8y + 7 = 0; 8y = −7; y = −7 8
Відповідь: 7 8; − 7 8
3) a6 − 9m4 = (a3)2 − (3m2)2 = (a3 − 3m2)(a3 + 3m2);
4) 100a6 − 25x8 = (10a3 − 5x4)(10a3 + 5x4);
5) 0,49 – m4p12 = (0,7)2 − (m2p6)2 = (0,7 – m2p6)(0,7 + m2p6);
6) 36x2c14 − 0,16d4 = (6xc7)2 − (0,4d2)2 = (6xc7 − 0,4d2)(6xc7 + 0,4d2);
7) 25 49 a8 − 36 49 b6c2 = (5 7a4)2 − (6 7 b3c)2 = (5 7 a4 − 6 7 b3c)(5 7 a4 + 6 7 b3c);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
8) −0,01m2 + 0,81x6y8 = (0,9x3y4)2 − (0,1m)2 = (0,9x3y4 − 0,1m)(0,9x3y4 + 0,1m);
9) 17 9 t20a24 – 111 25 p16q18 = 16 9 t20a24 − 36 25p16q18 = (4 3 t10a12)2 − (6 5p8q9)2 = = (4 3 t10a12 − 6 5p8q9)( 4 3 t10a12 + 6 5p8q9).
35.14. Розкладіть на множники:
1) a8 − 16m6 = (a4)2 – (4m3)2 = (a4 − 4m3)(a4 + 4m3);
2) 36c6 − 49a10 = (6c3)2 – (7a5)2 = (6c3 − 7a5)(6c3 + 7a5);
3) 0,25 − m12a2 = (0,5)2 − (m6a)2 = (0,5 − m6a)(0,5 + m6a);
4) −121p8c4 + 4a2 = (2a)2 − (11p4c2)2 = (2a − 11p4c2)(2a + 11p4c2);
5) 25 36 a2b4 + 36 49 c6 = 36 49 c6 − 25 36 a2b4 = (6
6)
35.15. Знайдіть
1) (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x + 4 − 1 = x2 + 4x + 3;
2) 4 − (y + 3)2 = 4 – y2 − 6y − 9 – y2 − 6y − 5; 3) (4m − 5)2 − 16 = 16m2 − 40m + 25 − 16 = 16m2 − 40m + 9;
4) 6,25 − (a − 3,5)2 = 6,25 − (a2 − 7a + 12,25) = = 6,25 – a2 + 7a − 12,25 = − 6 – a2 + 7a; 5) (2x − 5)2 − 49 = 4x2 − 20x + 25 − 49 = 4x2 − 20x − 24;
6) 1 − (2x + 1)2 = 1 − (4x2 + 4x + 1) = 1 − 4x2 – 4x – 1 = − 4x2 − 4x.
35.17. Розкладіть на множники:
1) 16x2 − (1 + 3x)2 = (4x − (1 + 3x)) · (4x + (1 + 3x)) = (4x − 1 − 3x)(4x + 1 + 3x) = = (x − 1)(2x + 1);
2) (3y − 5)2 − 16y2 = (3y − 5 − 4y)(3y + 5 + 4y) = (−5 − y)(7y − 5);
3) 49m2 − (a + 3m)2 = (7m − (a + 3m)) · (7m + (a + 3m)) = (4m − a)(10m + a);
4) (5a − 2b)2 − 25a2 = (5a − 2b – 5a)(5a − 2b + 5a) = −2b(10a − 2b).
35.18. Розкладіть на множники:
1) (p + 2)2 − 9 = (p + 2 − 3)(p + 2 + 3) = (p − 1)(p + 5);
2) 16 − (m − 3)2 = (4 − (m − 3))(4 + (m − 3)) = (7 − m)(1 + m);
3) (3x − 2)2 − 36 = (3x − 2 − 6)(3x − 2 + 6) = (3x − 8)(3x + 4);
4) x2 − (2x − 1)2 = (x − (2x − 1))(x + 2x − 1) = (−x + 1)(3x − 1);
5) (5a − 3b)2 − 9b2 = (5a − 3b − 3b)(5a − 3b + 3b) = (5a − 6b) · 5a; 6) (3x + 4y)2 − 100y2 = (3x + 4y − 10y)(3x + 4y + 10y) = (3x − 6y)(3x + 14y).
35.19. Знайдіть корені рівняння:
1) (x − 1)2 − 25 = 0; (x − 1 − 5)(x − 1 + 5) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 4 = 0; x = −4.
Відповідь: 6; −4.
2) 49 − (2x + 5)2 = 0; (7 − (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; (2 − 2x)(12 + 2x) = 0; 2 − 2x = 0; −2x = −2; x = 1 або 12 + 2x = 0; 2x = −12; x = −6.
Відповідь: 1; −6.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) (5x + 3)2 = 64; (5x + 3)2 − 64 = 0; (5x + 3 − 8)(5x + 3 + 8) = 0; (5x − 5)(5x + 11) = 0; 5x − 5 = 0; 5x = 5; x = 1 або
5x + 11 = 0; 5x = −11; x = −11 5 .
Відповідь: 1; −11 5 .
35.20. Розв’яжіть рівняння:
1) (x + 2)2 − 36 = 0; (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0; (x − 4)(x + 8) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 8 = 0; x = −8.
Відповідь: 4; −8.
3) (2x + 7)2 = 49; (2x + 7)2 − 49 = 0; (2x + 7 − 7)(2x + 7 + 7) = 0;
2x(2x + 14) = 0;
2x = 0; x = 0 або
2x + 14 = 0; 2x = −14; x = −7.
Відповідь: 0; −7.
4) (0,1x − 0,5)2 = 0,36; (0,1x − 0,5 − 0,6)(0,1x − 0,5 + 0,6) = 0; (0,1x − 1,1)(0,1x + 0,1) = 0; 0,1x − 1,1 = 0; 0,1x = 1,1; x = 11 або 0,1x + 0,1 = 0; 0,1x = −0,1; x = −1.
Відповідь: 11; −1.
2) (5x − 4)2 − 81 = 0; (5x − 4 − 9)(5x − 4 + 9) = 0; (5x − 13)(5x + 5) = 0; 5x − 13 = 0; 5x = 13; x = 13 5 ;
або 5x + 5 = 0; 5x = −5; x = −1.
Відповідь: 13 5 ; −1.
4) (0,2x − 0,5)2 = 0,09; (0,2x − 0,5 − 0,3)(0,2x − 0,5 + 0,3) = 0; (0,2x − 0,8)(0,2x − 0,2) = 0; 0,2x = 0,8; x = 4 або 0,2x = 0,2; x = 1.
Відповідь: 4; 1.
35.21. Доведіть, що для будь-якого натурального
ділиться на 7. (n + 7)2 − n2 = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7 · (2n + 7) ділиться на 7.
35.22. Подайте вираз у
(n + 7)2 − n2
1) a6 − (b − 5a3)2 = (a3 − (b − 5a3))(a3 + (b − 5a3)) = (a3 − b+5a3)(a2+b−5a3) = (6a3 − b)(b − 4a3); 2) (−3m2 + 4p)2 − 9m4 = (−3m2 + 4p − 3m2)(−3m2 + 4p + 3m2) = (−6m2 + 4p) · 4p; 3) (7x + 2y)2 − (2x − 7y)2 = (7x + 2y − 2x + 7y)(7x + 2y + 2x − 7y) = (5x + 9y)(9x − 5y);
4) (a + b + c)2 − (a + b − c)2 = (a + b + c + a + b − c)(a + b + c − a − b + c) = (2a + 2b) · 2c;
5) a2(a + 1)2 – c8 = (a (a + 1) − c4) (a (a + 1) + c4) = (a2 + a − c4)(a2 + a + c4);
6) (5a − b − 1)2 − (5a + b − 1)2 = (5a − b − 1 − 5a − b + 1)(5a − b − 1+5a+b−1) = −2b(10a − 2).
35.23. Розкладіть на множники:
1) (5a2 − 3b)2 − 16a4 = (5a2 − 3b − 4a2)(5a2 − 3b + 4a2) = (a2 − 3b)(9a2 − 3b);
2) m8 − (3c − 2m4)2 = (m4 − 3c + 2m4)(m4 + 3c − 2m4) = (m4 − 3c)(3c − m4);
3) (2a + 3b)2 − (4a − 5b)2 = ((2a + 3b) − (4a − 5b))((2a + 3b) + (4a − 5b)) = = (2a + 3b − 4a + 5b)(2a + 3b + 4a − 5b) = (8b − 2a)(6a − 2b); 4) (x − y + t)2 − (x − y − t)2 = ((x − y + t) − (x − y − t))((x − y + t) + (x − y − t)) = = (x – y + t – x + y + t)(x – y + t + x – y – t) = 2t(2x − 2y).
35.24. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (5x − 8)2 = 0; ((3x − 4) − (5x − 8))((3x − 4) + (5x − 8)) = 0; (3x − 4 − 5x + 8)(3x − 4 + 5x − 8) = 0; (4 − 2x)(8x − 12) = 0; 4 − 2x = 0; −2x = −4; x = 2 або 8x − 12 = 0; 8x = 12; x = 12 8 ; x = 1,5.
Відповідь: 2; 1,5.
2) x4 − 81 = 0; (x2)2 − 92 = 0; (x2 − 9)(x2 + 9) = 0; (x − 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3; x2 + 9 > 0.
Відповідь: 3; −3.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) 16x4 − 1 = 0; (4x2 − 1)(4x2 + 1) = 0; (2x − 1)(2x + 1)(4x2 + 1) = 0; 2x − 1 = 0; x = 1 2 або 2x + 1 = 0; x = −1 2; 4x2 + 1 > 0.
Відповідь: 1 2; − 1 2 .
35.25.
більше число, дорівнює сумі цих чисел. n, n + 1 — два послідовні числа; (n + 1)2 − n2 — різниця квадратів двох
4) 81x2 + 4 = 0; 81x2 + 4 > 0; рівняння не
коренів. Відповідь: Не має коренів.
чисел; n + (n + 1) — сума цих чисел. (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.
35.26. Спростіть вираз: 1) (t + 1)(t − 7) − (t − 1)(t + 7) = t2 − 7t
2) (a3 − 2b)(a2 + 2b) − (a2
= a6 + 2a3b – 2a2b – 4b2
35.27. Обчисліть, використовуючи
1) 11
3) 60 : 3 = 20 (км)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
36.2. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями:
1) c3 + d3 = (c2 + d2)(c + d) — не є тотожність; 2) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) — тотожність; 3) m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) — тотожність; 4) p3 − t3 = (p − t)(p2 + 2pt + t2) — не є тотожність.
36.3. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями:
1) m3 − p3 = (m2 − p2)(m − p), ні; 2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2) — тотожність;
3) c3 – d3 = (c – d)(c2 + cd + d2) — тотожність; 4) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2)ні.
36.4. Розкладіть на множники: 1) m3 − p3 = (m − p)(m2 + mp + p2); 2) a3 + d3 = (a + d)(a2 − ad + d3);
3) 8 − a3 = (2 − a)(4 + 2a + a2); 4) q3 + 27 = (q + 3)(q2 − 3q + 9);
5) n3 − 64 = (n − 4)(n2 + 4n + 16); 6) 0,001 + t3 = (0,1 + t)(0,01 − 0,1t + t2).
36.5. Подайте вираз
1) 8a3 + 1 = (2a + 1)(4a2 − 2a + 1);
2) 27 − 1 27 c3 = (3 − 1 3c)(9 + c + 1 9c2);
3) y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 − 4xy + 16x2);
4) 0,125b3 − 64y3 = (0,5b − 4y)(0,25b2 + 2by + 16y2);
5) 1 + 1000m3 = (1 + 10m)(1 − 10m + 100m2);
6) 1 125 a3 − 1 216 b3 = (1 3 a − 1 6b)( 1 9 a2 + 1 18 ab + 1 36 b2).
36.6. Розкладіть на множники:
1) 1 27 + b3 = (1 3 + b)( 1 9 − 1 3 b + b2);
2) 1 8 x3 − 8 = (1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4);
3) 1 + 125p3 = (1 + 5p)(1 − 5p + 25p2);
4) 0,064m3 − 1 1000 n3 = (0,4m − 1 10n)(0,16m2 + 1 25 mn + 1 100n2);
5) 27 8 a3 + 8 27 b3 = (3 2 a + 2 3b)( 9 4 a2 − ab + 4 9 b2);
6) 216p3 − 1 216q3 = (6p − 1 6q)(36p2 + pq + 1 36q2).
36.7. Подайте у
многочлена: 1) (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3; 2) (a + 3)(a2 − 3a + 9) = a3 + 27; 3) (1 − d + d2)(1 + d) = 1 + d3; 4) (m − 2)(m2 + 2m + 4) = m3 − 8.
36.8. Перетворіть
многочлен: 1) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3; 2) (m − 1)(m2 + m + 1) = m3 − 1; 3) (b + 4)(b2 − 4b + 16) = b3 + 64; 4) (25 + 5q +
1) (4p − 1)(16p2 + 4p + 1) = 64p3 − 1. Якщо p = −0,25, то 64 · (−0,25)3 − 1 = 64 · (−1 4)3 − 1 = 64 · (− 1 64) − 1 = −1 − 1
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4);
2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)(t8 − t4c3 + c6);
3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)(p12 − p6m8 + m16);
4) −c3 + m15 = m15 − c3 = (m5)3 − c3 = (m5 – c3)(m10 + m5c3 + c6);
5) 1 8 − a24 = −(1 8 + a24) = − ((1 2)3 + (a8)3) = −(1 2 + a8)( 1 8 − 1 2 a8 + a16);
6) −c99 – d60 = −(c99 + d60) = −((c33)3 + (d20)3) = −(c33 + d20)(c60 − c33d20 + d40);
7) (x3y3 + 1) = (xy + 1)(x2y2 − xy + 1);
8) 27 − a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(9 + 3ab3 + a3b9);
9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m3)3 = (x2y4 + m3)(x4y8 − x2y4m3 + m6);
10) 64m6p21 − 125x3 = (4m2p7)3 − 5x = (4m2p7 − 5x)(16m4p14 + 20m2p7x + 25x2);
11) 1 27 c24m18 + 27t9 = (1 3 c8m6)3 + (3t3)3 = (1 3 c8m6 + 3t3)( 1 9 c16m12 + 9t6 – c8m6t3);
12) 343a18b33 − 0,001c36 = (7a6b11)3 − (0,1c12)3 = = (7a6b11 − 0,1c12)(49a12b22 + 0,7a6b11c12 + 0,01c24).
36.12. Запишіть
1) x9 − y6 = (x3)3 − (y2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4);
2) −p12 − 27 = –(p12 + 27) = − ((p4)3 + 33) = –(p4 + 3)(p8 − 3p4 + 9) = (p4 + 3)(–p8 + 3p4 – 9);
3) −a9b6 + 1 = 1 − (a3b2)3 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4);
4) 216p15 + 0,008t18 = (6p5)3 + (0,2t6)3 = (6p5 + 0,2t6)(36p10 – 1,2p5t6 + 0,04t12);
5) 64m21с3 − p30 = (4m7c)3 − (p10)3 = (4m7c − p10)(16m14c2 + 4m7cp10 + p20);
6) 512t24p27 − 729a33 = (8t8p9)3 − (9a11)3 = (8t8p9 − 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22).
36.13. Виконайте множення:
1) (b3 − d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 − d6;
2) (c3 + 2p)(c6 − 2pc3 + 4p2) = c6 + 8p3;
3) (9x2 + 3xy + y2)(3x − y) = 27x3 − y3; 4) (4c + 3d)(16c2 − 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3; 5) (a8 − 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64; 6) (5m2 − 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 − 216p9 .
36.14. Подайте у вигляді многочлена:
1) (a5 − m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 − m6; 2) (25a2 − 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3; 3) (2x − 7y2)(4x2 − 14xy2 + 49y4) = 8x3 − 343y6; 4) (3p2 + 4c3)(9p4 − 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9 .
36.15. Виконайте дії:
1) (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a2 − 5) = a3 + 8 − a3 + 5a = 5a + 8; 2) (b − 3)(b2 + 3b + 9) − b(b − 3)(b + 3) = b3 − 27 − b(b2 − 9) = b3 − 27 − b3 + 9b = 9b − 27; 3) (x + 4)(x2 − 4x + 16) − (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + 64 − (x3 − 1) = x3 + 64 − x3 + 1 = 65; 4) (2b2 − 1)(4b4 + 2b2 + 1) − (2b3 + 1)2 = 8b6 − 1 − (4b6 + 4b3 + 1) = 8b6 − 1 − 4b6 − 4b3 − 1 = = −4b6 − 4b3 − 2.
36.16. Спростіть вираз: 1) (a − 4)(a2 + 4a + 16) − a(a − 2)(a + 2) = a8 − 64 – a(a2 – 4) = a3 − 64 – a3 + 4a = 4a − 64; 2) (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9) – (x2 – 2)(x4 − 2x2 + 4) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35; 3) b(b − 1)2 − (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 − 2b2 + b3 +125 = = 125 + b – 2b2;
4) (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = (a3 − 1)(a3 + 1) = a6 − 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
36.17. Знайдіть значення виразу:
1) (2a + 1)(4a2 − 2a + 1) − 7a3 = 8a3 + 1 − 7a3 = a3 + 1.
Якщо a = −2, то
(−2)3 + 1 = −8 + 1 = −7.
2) (x2 + 5xy + 25y2)(x − 5y) + 25y3 − x3 = x3 − 125y3 + 25y3 − x3 = −100y3
Якщо x = −2015, то
−100y3 = −100 × (0,1)3 = −100 × 0,001 = −0,1.
36.18. Розв’яжіть рівняння:
1) (x − 4)(x2 + 4x + 16) = x3 − 8x; x3 − 64 = x3 − 8x; 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8.
Відповідь: 8.
2) (x3 + 1)(x6 – x3 + 1) = x9 − 5x; x9 + 1 = x9 − 5x; 5x = −1; x = −1 : 5; x = −1 5 .
Відповідь: 1 5 .
3) (9x2 − 6x + 4)(3x + 2) = 3x(3x + 4)(3x − 4) + 32; 27x3 + 8 = 3x(9x2 − 16) + 32; 27x3 + 8 = 27x3 − 48x + 32; 48x = 32 − 8;
48x = 24; x = 24 48; x = 1 2 .
Відповідь: 1 2 .
4) 8(1 2 x − 2)( 1 4 x2 + x + 4) − x(x − 3)2 = 6x2 − 46;
8(1 8 x3 − 8) − x(x2 − 6x + 9) = 6x2 − 46; x3 − 64 − x3 + 6x2 − 9x = 6x2 − 46; −9x = 64 − 46; −9x = 18; x = 18 : (−9); x = −2.
Відповідь: −2.
36.19. Розв’яжіть рівняння:
1) (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 24x + x3; x3 − 8 = 24x + x3; −24x = 8; x = − 8 24; x = − 1 3 .
Відповідь: 1 3 .
36.20. Розкладіть на множники:
2) (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) = 2x(2x − 3)(2x + 3) + 37; 8x3 + 1 = 2x(4x2 − 9) + 37; 8x3 + 1 = 8x3 − 18x + 37; 18x = 37 − 1; 18x = 36; x = 2.
Відповідь: 2.
1) (a + 3)3 − a3 = (a + 3 − a)((a + 3)2 + a(a + 3) + a2) = 3 · (a2 + 6a + 9 + a2 + 3a + a2) = = 3 · (3a2 + 9a + 9) = 9(a2 + 3a + 3);
2) (x − 4)3 + 8 = (x − 4 + 2)(x − 4)2 − 2(x − 4) + 4 = = (x − 2)(x2 − 8x + 16 − 2x + 8 + 4) = (x − 2)(x2 − 10x + 28).
3) 27p3 − (p + 1)3 = (3p − p − 1)(9p2 + 3p(p + 1)) + (p + 1)2) = = (2p − 1)(9p2 + 3p2 + 3p + p2 + 2p + 1) = (2p − 1)(13p2 + 5p + 1);
4) 64x3 + (x − 1)3 = (4x + x − 1)(16x2 − 4x(x − 1) + (x − 1)2) = = (5x − 1)(16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x + 1) = (5x − 1)(13x2 + 2x + 1).
36.21. Розкладіть на множники:
1) (a + 1)3 + a3 = (a + 1 + a)(a2 + 2a + 1 + a2 + a + a2) = (2a + 1)(3a2 + 3a + 1);
2) (b – 2)3 − 8 = (b – 2 − 2)((b − 2)2 + 2(b – 2) + 4) = (b – 4)(b2 − 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = = (b – 4)(b2 – 2b +4);
3) 125b3 − (b − 1)3 = (5b – (b – 1))(25b2 + 5b(b − 1) + (b − 1)2) =
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
= (5b −b + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1); 4) 64a3 + (a + 2)3 = (4a + a +2)(16a2 – 4a(a+2) + (a + 2)2) = = (5a + 2)(16a2 – 4a2 – 8a + a2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a2 – 4a + 4).
36.22. Доведіть, що дві
цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями. 4153 + 853 = (415 + 85)(4152 − 415 · 85 + 852) = 500 · (4152 − 415 · 85 + 852). Останні
Рівняння:
90 − 2x = 5(30 − x);
90 − 2x = 150 − 5x;
−2x + 5x = 150 − 90;
3x = 60; x = 60 : 3; x = 20.
30 − 20 = 10 зошитів
Відповідь: 10 і
Рівняння:
8 1; x = 7.
Відповідь: 7 курей. §37. Застосування кількох способів розкладання
37.1. (Усно.) З формул виберіть ті, що є тотожностями:
1) (a + b)2 = a2 + ab + b2 — ні;
2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) — тотожність;
3) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 — тотожність;
4) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) — тотожність;
5) a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) — ні;
6) a2 − b2 = (a − b)2 — ні.
37.2. Які з формул є тотожностями:
1) (m − n)2 = m2 − mn + n2 — ні; 2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2) — ні; 3) p2 − q2 = (p − q)(p + q) — тотожність;
4) (c + d)2 = c2 + 2cd + d2 — тотожність;
5) m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) — тотожність; 6) a2 − b2 = (a + b)(a + b) — ні.
37.3. Закінчіть розкладання на множники:
1) xa2 − 9x = x(a2 − 9) = x(a2 − 32) = x(a − 3)(a + 3);
2) bm2 − 2mb + b = b(m2 − 2m + 1) = b(m − 1)2 .
37.4. (Усно.) Розкладіть на множники:
1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);
2) mp2 − m = m(p2 − 1) = m(p − 1)(p + 1);
3) b3 − b = b(b2 − 1) = b(b − 1)(b + 1).
37.5. Розкладіть на множники:
1) 5a2 − 5b2 = 5(a2 − b2) = 5(a − b)(a + b);
2) ap2 − aq2 = a(p2 − q2) = a(p − q)(p + q);
3) 2xm2 − 2xn2 = 2x(m2 − n2) = 2x(m − n)(m + n);
4) 7b2 − 7 = 7(b2 − 1) = 7(b − 1)(b + 1);
5) 16x2 − 4 = 4(4x2 − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1);
6) 75 − 27c2 = 3(25 − 9c2) = 3(5 − 3c)(5 + 3c);
7) 5mk2 − 20m = 5m(k2 − 4) = 5m(k − 2)(k + 2);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
8) 63ad2 − 7a = 7a(9d2 − 1) = 7a(3d − 1)(3d + 1);
9) 125px2 − 5py2 = 5p(25x2 − y2) = 5p(5x − y)(5x + y).
37.6. Подайте у вигляді добутку:
1) m3 − m = m(m2 − 1) = m(m − 1)(m + 1);
2) p2 − p4 = p2(1 − p2) = p2(1 − p)(1 + p);
3) 7a − 7a3 = 7a(1 − a2) = 7a(1 − a)(1 + a);
4) 9b5 − 9b3 = 9b3(b2 − 1) = 9b3(b − 1)(b + 1);
5) 81c3 – c5 = c3(81 – c2) = c3(9 − c)(9 + c);
6) 3a5 − 300a7 = 3a5(1 − 100a2) = 3a5(1 − 10a)(1 + 10a).
37.7. Розкладіть на множники:
1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);
2) ma2 − 4mb2 = m(a2 − 4b2) = m(a − 2b)(a + 2b);
3) 28 − 7m2 = 7(4 − m2) = 7(2 − m)(2 + m);
4) p5 − p3 = p3(p2 − 1) = p3(p − 1)(p + 1);
5) b − 4b3 = b(1 – 4b2) = b(1 – 2b)(1 + 2b);
6) a5 – a3c2 = a3(a2 – c2) = a3(a – c)(a + c);
7) 15d − 15d3 = 15d(1 − d2) = 15d(1 − d)(1 + d);
8) 625b3 − b5 = b3(625 − b2) = b3(25 − b)(25 + b);
9) 500a5 − 45a3 = 5a3(100a2 − 9) = 5a3(10a − 3)(10a + 3).
37.8. Розв’яжіть рівняння:
1) 3x2 − 27 = 0;
3(x2 − 9) = 0;
3(x − 3)(x + 3) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3.
Відповідь: 3; −3.
37.9. Знайдіть корені рівняння:
1) 8 − 2x2 = 0; 2(4 − x2) = 0;
2(2 − x)(2 + x) = 0;
2 − x = 0; x = 2; або
2 + x = 0; x = −2.
Відповідь: 2; −2.
37.10. Розкладіть на множники:
2) 5 − 20x2 = 0; 5(1 − 4x2) = 0; 5(1 − 2x)(1 + 2x) = 0; 1 − 2x = 0; −2x = −1; x = 1 2; або 1 + 2x = 0; 2x = −1; x = −1 2 .
Відповідь: 1 2; − 1 2 .
2) 75x2 − 3 = 0; 3(25x2 − 1) = 0;
3(5x − 1)(5x + 1) = 0; 5x − 1 = 0; 5x = 1; x = 1 5; або
5x + 1 = 0; 5x = −1; x = −1 5 .
Відповідь: 1 5; − 1 5
1) 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a2 + 2ab + b2) = 3(a + b)2; 2) −2m2 + 4mn − 2n2 = −2(m2 − 2mn + n2) = −2(m − n)2;
3) −a2 − 4a − 4 = −(a2 + 4a + 4) = −(a + 2)2;
4) 6a2 + 24ab + 24b2 = 6(a2 + 4ab + 4b2) = 6(a + 2b)2;
5) 2am2 + 4am + 2a = 2a(m2 + 4m + 1) = 2a(m + 1)2;
6) 8a4 − 8a3 + 2a2 = 2a2(4a2 − 4a + 1) = 2a2(2a − 1)2 .
37.11.
1) −4a2 + 8ab − 4b2 = −4(a2 − 2ab + b2) = −4(a − b)2;
2) −25by2 − 10by − b = −b(25y2 + 10y + 1) = −b(5y + 1)2;
3) a5 + 6a4m + 9a3m2 = a3(a2 + 6am + 9m2) = a3(a + 3m)2;
4) 6by2 + 36by3 + 54by4 = 6by2(1 + 6y + 9y2) = 6by2(1 + 3y)2 .
37.12. Знайдіть значення виразу:
1) 3m2 − 3n2 = 3(m − n)(m + n).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Якщо m = 41, n = 59, то
3(m − n)(m + n) = 3(41 − 59)(41 + 59) = 3(−18) · 100 = −5400;
2) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2.
Якщо x = 29, y = −28, то
2(x + y)2 = 2(29 − 28)2 = 2 · 1 = 2.
37.13. Знайдіть значення виразу:
1) 5x2 − 5y2 = 5(x − y)(x + y).
Якщо x = 49, y = 51, то
5(x − y)(x + y) = 5(49 − 51)(49 + 51) = 5(−2)(100) = −1000.
2) 3a2 − 6ab + 3b2 = 3(a2 − 2ab + b2) = 3(a − b)2 .
Якщо a = 102, b = 101, то
3(a − b)2 = 3(102 − 101)2 = 3 · 1 = 3.
37.14. Подайте у вигляді добутку:
1) 3a3 − 3b3 = 3(a3 − b3) = 3(a − b)(a2 + ab + b2);
2) 7x3 + 7y3 = 7(x3 + y3) = 7(x + y)(x2 − xy + y2).
3) −pm3 − pn3 = −p(m3 + n3) = −p(m + n)(m2 − mn + n2);
4) 16a3 − 2 = 2(8a3 − 1) = 2(2a − 1)(4a2 + 2a + 1);
5) 125m + m4 = m(125 + m3) = m(5 + m)(25 − 5m + m2);
6) a7 − a4 = a4(a3 − 1) = a4(a − 1)(a2 + a + 1).
37.15. Розкладіть на множники:
1) bx3 − by3 = b(x3 − y3) = b(x − y)(x2 + xy + y2);
2) −2a3 − 2b3 = −2(a3 + b3) = −2(a + b)(a2 − ab + b2);
3) 8a – a4 = a(8 – a3) = a(2 − a)(4 + 2a + a2).
37.16. Розкладіть на множники:
1) a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9)(a2 + 9) = (a − 3)(a + 3)(a2 + 9);
2) 16 − c4 = 42 – (c2)2 = (4 − c2)(4 + c2) = (2 – c)(2 + c)(4 + c2); 3) x8 − 1 = (x4)2 – 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); 4) a4 – b8 = (a2)2 − (b4)2 = (a2 – b4)(a2 + b4) = (a – b2)(a + b2)(a2 + b4).
37.17. Доведіть: a8 – b8 = (a4)2 – (b4)2 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).
37.18. Розв’яжіть рівняння: 1) x3 − x = 0;
x(x2 − 1) = 0;
x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0 або x − 1 = 0; x = 1 або
x + 1 = 0; x = −1.
Відповідь: 0; 1; −1.
3) 64x3 + x = 0;
x(64x2 + 1) = 0; x = 0; 64x2 + 1 > 0.
Відповідь: 0.
2) 112y − 7y3 = 0;
7y(16 − y2) = 0;
7y(4 − y)(4 + y) = 0; 7y = 0; y = 0 або
4 − y = 0; y = 4 або
4 + y = 0; y = −4.
Відповідь: 0; 4; −4.
4) y3 + 4y2 + 4y = 0;
y(y2 + 4y + 4) = 0;
y(y + 2)2 = 0; y = 0
або (y + 2)2 = 0; y + 2 = 0; y = −2.
Відповідь: 0; −2.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
37.19. Розв’яжіть рівняння:
1) y − y3 = 0;
y(1 − y2) = 0;
y(1 − y)(1 + y) = 0; (y = 0) або
1 y = 0; y = 1 або
1 + y = 0; y = −1.
Відповідь:0; 1; −1.
3) 16y3 + y = 0; y(16y2 + 1) = 0; y = 0 або 16y2 + 1 > 0.
Відповідь: 0.
37.20. Розкладіть на множники:
2) 5x3 − 180x = 0;
5x(x2 − 36) = 0; 5x(x − 6)(x + 6) = 0; x = 0 або x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.
Відповідь: 0; 6; −6.
4) x3 − 2x2 + x = 0; x(x2 − 2x + 1) = 0; x(x − 1)2 = 0; x = 0 або x − 1 = 0; x = 1.
Відповідь: 0; 1.
1) 7ab + 21a − 7b − 21 = 7a(b + 3) − 7(b + 3) = (b + 3)(7a − 7) = 7(b + 3)(a − 1);
2) 6mn + 60 – 30m − 12n = (6mn – 30m) + (60 − 12n) = 6m(n − 5) + 12(5 − n) =
= (n − 5)(6m − 12) = 6(n − 5)(m − 2);
3) −abc − 3ac − 4ab − 12a = −(ac(b + 3) − 4a(b + 3)) = −a(b + 3)(c − 4);
4) a3 – ab – a2b + a2 = (a3 − a2b) + (a2 − ab) = a2(a − b) + a(a − b) = (a – b)(a2 + a) = = a(a – b)(a + 1).
37.21. Подайте вираз у
1) 90 + 3ab − 45a − 6b = (90 − 45a) + (3ab − 6b) = 45(2 − a) + 3b(a − 2) = = (2 − a)(45 − 3b) = (2 − a) · 3(15 − b); 2) −3mn − 9m − 18n − 54 = − 3(mn + 3m + 6n + 18) = −3(m(n + 3) + 6(n + 3)) = = −3(n + 3)(m + 6);
3) a4x + a4 + a3x + a3 = a4(x + 1) + a3(x + 1) = (x + 1)(a4 + a3) = a3(x + 1)(a + 1);
4) p3a2 + pa2 − 3ap3 − 3ap = pa2(p2 + 1) − 3ap(p2 + 1) = (p2 + 1)(pa2 – 3ap) = (p2 + 1) · ap(a – 3).
37.22. Розкладіть на множники:
1) a2 + 2ab + b2 − 16 = (a + b)2 − 16 = (a + b − 4)(a + b + 4);
2) a2 − x2 − 2xy − y2 = a2 − (x2 + 2xy + y2) = a2 − (x + y)2 = (a + x + y)(a − x − y);
3) p2 − x2 + 10p + 25 = (p2 + 10p + 25) − x2 = (p + 5)2 − x2 = (p + 5 − x)(p + 5 + x);
4) p2 − x2 + 20x − 100 = p2 − (x2 − 20x + 100) = p2 − (x − 10)2 = (p + (x − 10))(p − (x − 10)) = = (p + x − 10)(p − x + 10).
37.23. Розкладіть на множники:
1) x2 + 2xy + y2 − 25 = (x + y)2 − 52 = (x + y + 5)(x + y – 5); 2) m2 − a2 + 2ab − b2 = m2 − (a2 − 2ab + b2) = m2 − (a − b)2 = (m − (a − b))(m + (a − b)) = = (m − a + b)(m + a − b).
3) m2 − a2 − 8m + 16 = (m2 − 8m + 16) − a2 = (m − 4)2 − a2 = (m − 4 − a)(m + 4 + a); 4) m2 − b2 − 8b − 16 = m2 − (b2 + 8b + 16) = m2 − (b + 4)2 = m2 − (b + 4)2 = = (m + b + 4)(m − b − 4).
37.24. Подайте вираз у вигляді
1) a2 − 81 + a − 9 = (a2 − 81) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9 + 1) = = (a – 9)(a + 10);
2) m2 – a2 – (a + m) = (m − a)(m + a) + (a + m) = (a + m)(m − a + 1); 3) x2 − y2 – x + y = (x2 − y2) – (x − y) = (x − y)(x + y) – (x − y) = (x – y)(x + y –1);
4) x + x2 – y – y2 = (x − y)(x2 − y2) = (x − y) + (x − y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y);
5) a − 3b + a2 − 9b2 = (a − 3b)(a2 − 9b2) = (a − 3b) + (a − 3b)(a + 3b) = (a − 3b)(1+ a + 3b);
6) 16m2 – 25n2 − 4m − 5n = (16m2 − 25n2) − (4m + 5n) = (4m – 5n)(4m + 5n) – (4m + 5n) = = (4m + 5n)(4m – 5n – 1).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
37.25. Розкладіть на множники:
1) a2 − b2 − (a − b) = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1); 2) p2 − b − p − b2 = p2 − b2 − (b + p) = (p − b)(p + b) − (p + b) = (p + b)(p − b − 1); 3) 16x2 − 25y2 + 4x − 5y = (4x − 5y)(4x + 5y) + (4x − 5y) = (4x − 5y)(4x + 5y + 1); 4) 100m2 − 10m + 9n − 81n2 = (100m2 − 81n2) + (9n − 10m) = = (10m − 9n)(10m + 9n) − (10m − 9n) = (10m − 9n)(10m + 9n − 1).
37.26. Перетворіть вираз на добуток: 1) p2(m − 3) − 2p(m − 3) + (m − 3) = (m − 3)(p2 − 2p + 1) = (m − 3)(p − 1)2; 2) 1 − a2 − 4b(1 − a2) + 4b2(1 − a2) = (1 − a2)(1 − 4b + 4b2) = (1 − a2)(1 − 2b)2 = = (1 − a)(1 + a)(1 − 2b)2 .
37.27. Доведіть тотожність: c2(c − 2) − 10c(c − 2) + 25(c − 2) = (c − 2)(c2 − 10c + 25) = (c − 2)(c − 5)2 .
37.28. Подайте у вигляді добутку:
1) ab2 – b3 – a + b = b2(a − b) – (a − b) = (a − b)(b2 − 1) = (a − b)(b – 1)(b + 1);
2) ax2 – a3 + 7x2 – 7a2 = a(x2 – a2) + 7(x2 – a2) = (x2 – a2)(a + 7) = (x – a)(x + a)(a + 7);
3) p3 + p2q − 4p − 4q = p2(p + q) − 4(p + q) = (p + q)(p2 − 4) = (p + q)(p − 2)(p + 2);
4) a3 − 5m2 + 5a2 − am2 = (a3 + 5a2) + (−5m2 − am2) = a2(a + 5) − m2(a + 5) = = (a + 5)(a2 − m2) = (a + 5)(a − m)(a + m).
37.29. Розкладіть на множники:
1) m3 + n3 + m + n = (m3 + n3) + (m + n) = (m + n)(m2 − mn + n2) + (m + n) = = (m + n)(m2 − mn + n2 + 1);
2) a − b − (a3 − b3) = (a − b) − (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)(1 − a2 − ab − b2);
3) a3 + 8 − a2 − 2a = (a3 + 8) − (a2 + 2a) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a + 2) = = (a + 2)(a2 − 2a + 4 − a) = (a + 2)(a2 − 3a + 4); 4) 8p3 − 1 − 12p2 + 6p = (8p3 − 1) − (12p2 − 6p) = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1) − 6p(2p − 1) = = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1 − 6p) = (2p − 1)(4p2 − 2p + 1).
37.30. Подайте у вигляді добутку:
1) m3 + m2n − m − n = m2(m + n) − (m + n) = (m + n)(m2 − 1) = (m + n)(m − 1)(m + 1); 2) ba2 − 3a2 − 4b + 12 = a2(b − 3) − 4(b − 3) = (b − 3)(a2 − 4) = (b − 3)(a − 2)(a + 2);
3) a3 − b3 + a − b = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 + 1); 4) (x3 + 1) + (−5x − 5) = (x + 1)(x2 − x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 − 5) = = (x + 1)(x2 − x − 4).
37.31. Розв’яжіть рівняння:
1) y3 − 5y2 − y + 5 = 0; y2(y − 5) − (y − 5) = 0; (y − 5)(y2 − 1) = 0; (y − 5)(y − 1)(y + 1) = 0; y − 5 = 0; y = 5 або y − 1 = 0; y = 1 або y + 1 = 0; y = −1.
Відповідь: 5; 1; −1.
2) x3 = 2x2 + 4x − 8;
x3 – 2x2 − 4x + 8 = 0; x2(x − 2) −4(x − 2) = 0; (x − 2)(x2 – 4) = 0; (x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0; x − 2 = 0; x = 2 або x + 2 = 0; x = −2.
Відповідь: 2; −2. 37.32.
x3 − x2 − x + 1 = 0;
x2(x − 1) − (x − 1) = 0;
(x − 1)(x2 − 1) = 0;
(x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0;
x3 − 9x − x2 − 9 = 0; x3 − 9x − x2 + 9 = 0; (x3 − x2) + (−9x + 9) = 0;
x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0;
x − 1 = 0; x = 1 або x + 1 = 0; x = −1.
Відповідь: 1; −1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
(x2 − 9)(x − 1) = 0; (x − 3)(x + 3)(x − 1) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3 або x − 1 = 0; x = 1.
Відповідь: 3; −3; 1.
37.33. Запишіть у вигляді добутку:
1) 9(a + b)2 − (a2 − 2ab + b2) = 9(a + b)2 − (a − b)2 = (3(a + b) − (a − b))(3(a + b) + (a − b)) = = (3a + 3b − a + b)(3a + 3b + a − b) = (2a + 4b)(4a + 2b) = 4(a + 2b)(2a + b). 2)25(3y − 2m)2 − 36(9y2 + 12my + 4m2) = (5(3y − 2m))2 − (6(3y + 2m))2 = = (5(3y − 2m) + 6(3y + 3m))(5(3y − 2m) − 6(3y + 2m)) = = (15y − 10m + 18y + 12m)(15y − 10m − 18y − 12m) = (33y + 2m)(−3y − 22m) = = −(33y + 2m)(3y + 22m).
37.34. Розкладіть на множники:
1) a3 + 8b3 + a2 − 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) + (a2 − 2ab + 4b2) = = (a2 − 2ab + 4b2)(a + 2b + 1); 2) m3 − 8n3 + m2 − 4mn + 4n2 = (m3 − 8n3) + (m2 − 4mn + 4n2) =
= (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2) + (m − 2n)2 = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n).
37.35. Перетворіть многочлен на добуток многочленів:
1) a3 − b3 + a2 − 2ab + b2 = (a3 − b3) + (a2 − 2ab + b2) = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)2 = = (a − b)(a2 + ab + b2 + a − b); 2) c2 + 2cd + d2 − x2 − 2xy − y2 = (c2 + 2cd + d2) − (x2 + 2xy + y2) = (c
2 = = (c + d + x + y)(c + d − x − y).
37.36. Розкладіть тричлен на множники,
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
x(x2 − 4x + 4 + 4x) = 64((1 4x)3 − 13);
x(x2 + 4) = 64( 1 64 x3 − 1);
x3 + 4x = x3 − 64; 4x = −64; x = −64 : 4; x = −16.
Відповідь: −16.
37.40.
(141 – 12х) шт., а смартфонів — (95 – 10х) шт. Рівняння:
141 – 12х = 3(95 –10х); 141 – 12х = 285 – 30х; –12х + 30х = 285 – 141; 18х = 144; х = 8.
Відповідь: через 8 годин. 37.41
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1. Якому многочлену тотожно дорівнює
(m − n)2? (m – n)2 = m2 – 2mn + n2.
Відповідь: Г).
2. Знайдіть добуток (a − x)(a + x): (а – х)(а + х) = а2 – х2 .
Відповідь: Б).
3. Подайте вираз x2 + 2xy + y2 у вигляді квадрата двочлена: x2 + 2ху + y2 = (х + у)2 .
Відповідь: Г).
4. Перетворіть вираз (5x − 1)2 на многочлен: (5х – 1)2 = 25x2 – 10x + 1.
Відповідь: В).
5. Розкладіть двочлен −16 + 9a2 на множники: –16 + 9а2 = 9а2 – 16 = (3а + 4)(3а – 4).
Відповідь: В).
6. Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку: m3 + 64 = m3 + 43 = (m + 4)(m2 – 4m + 16).
Відповідь: А).
7. Розв’яжіть рівняння: x(x + 2) − (x − 3)2 = 7:
х(х + 2) – (х – 3)2 = 7; x2 + 2х – x2 + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.
Відповідь: Г).
8. Спростіть вираз (m2 + 2p)(m4 − 2m2p + 4p2): (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4p2) = (m2)3 + (2р)3 = m6 + 8p3.
Відповідь: Б).
9. Розкладіть многочлен 3ab − 3b + 6a
3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).
Відповідь: Г).
10. Якого найменшого значення
2 + 4x + 3? x2 + 4х + 3 = x2 + 4х + 4 – 1 = (х + 2)2 – 1.
Вираз (х + 2)2 – додатний, тому
Відповідь: В).
11. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 − x − 2 = 0: x3 + 2х2 – х – 2 = 0; x2(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2. Відповідь: А).
(х + 2)2 – 1
–1.
12. Розкладіть вираз (b − 2)3 – b3 на множники: (b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) = = –2(3b2 – 6b + 4). Відповідь: В).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1. 25х2 – 70х + 49 = (5х – 7)2 = (5 · 1,4 – 7)2 = (7 – 7)2 = 0.
2. (5х – 1)(25х2 + 5х + 1) – 125х3 = 125х3 + 1 – 125х3 = 1.
3. 72 – 120х + 50х2 = 2(25х2 – 60х + 36) = 2(5х – 6)2 = 2(7 – 6)2 = 2.
Відповідь: 1 – Б; 2 – В; 3 – Г.
1. Перетворіть вираз на многочлен:
x = 1,4 (А–
ДО §§ 32-37
1) (р + а)2 = р2 + 2ра + а2; 2) (с – m)(с + m) = с2 – m2.
2. Розкладіть на множники: 1) t2 – 2tb + b2 = (t – b)2; 2) d2 – n2 = (d – n)(d + n).
3. Які з рівностей є тотожностями:
1) (р – а)2 = р2 – 2ра + a2 ≠ p2 – ра + а2 — не тотожність;
2) р3 + q3 = (p + q)(p2 – pq + q2) — тотожність;
3) m2 – c2 = (m – с)(m + с) — тотожність;
4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + dt + t2) ≠ (d – t)(d2 + 2dt + t2) — не тотожність.
4. Перетворіть вираз на многочлен:
1) (3а – 5)2 = 9a2– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b2 – 49.
5. Розкладіть многочлен на множники:
1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2; 2) –25 + 36х2 = (6х – 5)(6х + 5); 3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16); 4) 7c2 – 7d2 = 7(с – d)(c + d).
6. Спростіть вираз (2x + 3)2 + (7 − 2x)((7 + 2x)) та
якщо x = –1 12 (2х + 3)2 + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x2 + 12x + 9 + 49 – 4x2 = 12х + 58.
Якщо х = –1 12, то 12х + 58 = 12 ∙ (–1 12) + 58 = –1 + 58 = 57.
7. Розв’яжіть рівняння:
1) 2x3 – 50x = 0;
2х(х2 – 25) = 0;
2х(х – 5)(х + 5) = 0;
х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0;
х = 0 або x = 5 або х = –5;
Відповідь: –5; 0; 5;
8. Спростіть вираз:
1) (–4а + 3b)2 + (–4а + 5b)(5b +
2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а +
2) x3 – 10x2 + 25x = 0; x(x2 – 10x + 25) = 0;
х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або х = 5.
Відповідь: 0; 5.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1. Піднесіть двочлен до степеня:
1) (x − p)2 = x2 − 2px + p2; 2) (m + a)2 = m2 + 2ma + a2; 3) (b − k)2 = b2 − 2bk + k2; 4) (y + c)2 = y2 + 2yc + c2.
2. Перетворіть вираз на многочлен:
1) (3a − 7)2 = 9a2 − 42a + 49; 2) (2b + 5)2 = 4b2 + 20b + 25; 3) (10m − 5k)2 = 100m2 − 100mk + 25k2; 4) (4p + 9q)2 = 16p2 + 72pq + 81q2;
5) (0,1m − 5p)2 = 0,01m2 − mp + 25p2; 6) (1 6 a + 6b)2 = 1 36 a2 + 2ab + 36b2
3. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) (a − 1)2 − (a − 2)2 = a2 − 2a + 1 −
Якщо a = 1,5, то 2a − 3 = 2 · 1,5 − 3 = 3 − 3 = 0. 2) (3b + 2)2 + (3b − 2)2 = 9b2 + 12b + 4 + 9b2 − 12b + 4 = 18b2 + 8.
Якщо b = −1 3 , то 18(−
x — число; x2 — квадрат числа; (x + 3)2 = x2 + 159; x2 + 6x + 9 = x2 + 159; 6x = 150; x = 25.
Відповідь: 25.
5. Чи є рівність (a − b)2 = |a − b|2 тотожністю?
.
значення виразу: 1) −100m2 + 20m − 1 = −(100m2 − 20m + 1) = −(10m − 1)2 .
m = 0,1, то (10 · 0,1 − 1)2 = (1 − 1)2 = 0; якщо m = −0,9, то (10(−0,9) − 1)2 = (−10)2 = 100. 2) −4x2 − 12xy − 9y2 = −(4x2 + 12xy + 9y2) = −(2x + 3y)2
Якщо x = 0,03, y = −0,02, то − (2 · 0,03 + 3(−0,02)) = (−0,06 − 0,06) = 0.
10. Розв’яжіть
1) 3x2 − 2x + 1 3 = 0;
9x2 − 6x + 1 = 0; (3x − 1)2 = 0; 3x − 1 = 0; x = 1 3 .
Відповідь: 1 3 .
11.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) 5y2 + 2y + 1 5 = 0; 25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0; 5y + 1 = 0; 5y = −1; y = −1 5 .
Відповідь: 1 5 .
1) 100m2 + 20mn + n2 = (10m + n)2; 2) 25a2 − 30ab + 9b2 = (5a − 3b)2
1) 4x(4x − 10) + 25 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2 > 0;
2) (a − 2)((a − 2) + 2m) + m2 = (a − 2)(a − 2 + 2m) + m2 = = a2 − 2a + 2am − 2a + 4 − 4m + m2 = (a − 2 + m)2; 3) (a + b)(a + b + 8) + 16 = a2 + ab + 8a + ab + b2 + 8b = (a + b + 4)2 .
§ 34
13. Які з рівностей є тотожностями:
1) (b − x)(b + x) = b2 + x2; b2 − x2 = b2 + x2, не є тотожністю;
2) (c − d)(c + d) = c2 − d2 — тотожність;
3) (m + n)(m − n) = (m + n)2, не є тотожністю; 4) (p − q)(p − q) = p2 − q2 — тотожність.
14. Виконайте множення:
1) (c + 7)(7 − c) = 49 − c2; 2) (0,5m − 3)(0,5m + 3) = 0,25m2 – 9; 3) (3k + 7)(3k − 7) = 9k2 – 49; 4) (2p – 9q)(9a + 2p) = 4p2 – 81q2; 5) (10m + 9n)(9n – 10m) = 81n2 – 100m2; 6) (2
15. Подайте у вигляді многочлена:
1) 4(a − 1)(a + 1) = 4(a2 − 1) = 4a2 − 4; 2) b(b − 2)(b + 2) = b(b2 − 4) = b3 − 4b; 3) 7p(p + 3)(p − 3) = 7p(p2 − 9) = 7p3 − 63p; 4) −3x(x + 4)(x − 4) = −3x(x2 − 16) = −3x3 + 48x. 16.
1) (1,9x − 3)(3 + 1,9x) + 0,39x2 = 3,61x2 − 9 + 0,39x2 = 4x2 − 9 = 4 · 22 − 9 = 4 · 4 − 9 = = 16 − 9 = 7;
2) 9,99 − (5y − 0,1)(5y + 0,01) = 9,99 − (25y2 − 0,01) = 9,99 − 25y2 + 0,01 = 10 − 15y2 .
Якщо y = 1 5, то 10 − 25(1 5)2 = 10 − 25 1 25 = 9;
3) (2x − 3y)(2x + 3y) − (3x + 2y)(3x − 2y) = 4x2 − 9y2 − (9x2 − 4y2) = = 4x2 − 9y2 − 9x2 + 4y2 = −5x2 − 5y2; Якщо x = 1,8, y = −1,8, то −5 · 1,82 – 5(−1,8)2 = −5 · 1,82 − 5 · 1,82 = −10 · 3,24 = −32,4.
4) (ab + 1)(ab − 1)(a2b2 + 1) = (a2b2 − 1)(a2b2 + 1) = a
−
=
· (
) −
= (51 5)4 − 1 =
17. Обчисліть: 740 · 340 − (2120 − 1)(2120 + 1) = 740 · 340 − (2140 − 1) = 740 · 340 − 2140 + 1 = 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
18. Які з рівностей є тотожностями:
1) m2 − p2 = (m + p)(m − p) — тотожність; 2) a2 – 72 = (a − 7)(a + 7) — тотожність; 3) c2 – d2 = (c – d)(c + d) — тотожність; 4) 92 – a2 = (9 – a)2 — не є тотожність.
19. Розкладіть на множники двочлен: 1) x2 − 49 = (x − 7)(x + 7); 2) 100 − p2 = (10 − p)(10 + p);
3) 0,04m2 − n2 = (0,2m − n)(0,2m + n); 4) 25x2 − 36y2 = (5x − 6y)(5x + 6y);
5) 16a2 − b2c2 = (4a − bc)(4a + bc); 6) 121m2a2 − 1 9 b2 = (11ma − 1 3b)(11ma + 1 3b).
20. Розв’яжіть рівняння, де x – змінна:
1) a2x2 − b2 = 0; (ax − b)(ax + b) = 0; ax − b = 0;
ax = b; x = ���� ���� ;
або ax + b = 0;
ax = −b; x = −���� ���� .
Відповідь: ���� ���� ; − ���� ���� .
21. Чи ділиться:
2) x2 − 0,09a2 = 0; (x − 0,3a)(x + 0,3a) = 0; x = 0,3a; x = −0,3a.
Відповідь: 0,3a; −0,3a.
1) 1382 − 1362 = (138 − 136)(138 + 136) = 2 · 274 = 4 · 137 ділиться на 4;
2) 3492 − 3472 = (349 − 347)(349 + 347) = 2 · 696 = 2 · 3 · 232 = 6 · 232 ділиться на 6.
22. Розкладіть на множники вираз:
1) 9 − (2x − 8)(3x + 2) − 2x(5x + 10) = 9 − (6x2 + 4x − 24x − 16) − 10x2 − 20x = = 9 − 6x2 + 20x + 16 − 10x2 − 20x = 9 − 16x2 + 16 = 25 − 16x2 = (5 − 4x)(5 + 4x).
2) (3x + 5)(4x − 5) − 2x(2,5 + 1,5x) = 12x2 − 15x + 20x − 25 − 5x − 3x2 = = 9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5).
2) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2;
m і n; 4) m2 − 2mn + n2 = (m − n)2; —
m і n.
24. Розкладіть на множники:
1) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2); 2) p3 + k3 = (p + k)(p2 − pk + k2); 3) a3 − 64 = (a − 8)(a2 + 8a + 16); 4) 1 125 + b3 = (1 5 + b)( 1 25 − 1 5 b + b2); 5) 0,001m3 − 1 = (0,1m − 1)(0,01m2 + 0,1m + 1); 6) 8x3 + 27p3 = (2x + 3p)(4x2 − 6xp + 9p2).
25. Доведіть, що значення виразу 373 + 133 ділиться на 50. 373 + 133 = (37 + 13)(372 − 37·13 + 132) = 50(372 – 37 · 13 + 132) — ділиться на 50,
із множників є 50. 26. Доведіть тотожність: x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x3 − xy + y2); (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = (x − y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 − xy + y2) = = (x3 – y3)(x3 + y3) = (x3)2 − (y3)2 = x6 − y6.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
27. Закінчіть розкладання
1) ym2 − 4y = y(m2 − 4) = y(m2 − 22) = y(m – 2)(m + 2) ;
2) ca2 + 2ac + c = c(a2 + 2a + 1) = c(a + 1)2 .
28. Розкладіть на множники многочлен:
1) mp2 − mq2 = m(p2 − q2) = m(p − q)(p + q);
2) 20a2 − 5 = 5(4a2 − 1) = 5(2a − 1)(2a + 1);
3) c − c3 = c(1 − c2) = c(1 − c)(1 + c);
4) 64a2 − a4 = a2(64 − c2) = a(82 – a2) = a(8 – a)(8 + a);
5) 5x2 − 10xy + 5y2 = 5(x2 − 2xy + y2) = 5(x − y)2;
6) 2b + 4bn + 2bn2 = 2b(1 + 2n + n2) = 2b(1 + n)2 .
29. Подайте у вигляді добутку:
1) 9a3 − 9b3 = 9(a3 − b3) = 9(a − b)(a2 + ab + b2);
2) 2mn − 2bn + 6m − 6b = (2mn − 2bn) + (6m − 6b) = 2n(m − b) + 6(m − b) = = (m − n)(2n + 6) = 2(m − b)(n + 3);
3) 1 81p4 − 1 = (1 9p2 − 1)( 1 9p2 + 1) = (1 3p − 1)( 1 3p + 1)( 1 9p2 + 1);
4) m2 − 4mn + 4n2 − 25 = (m2 − 4mn + 4n2) − 25 = (m − 2n)2 − 52 = (m − 2n − 5)(m − 2n + 5);
5) b2 − 36 + b − 6 = (b2 − 36) + (b − 6) = (b – 6)(b + 6) + (b − 6) = (b − 6)(b + 6 + 1); 6) m2 − 4m – m2n + 4n = (m2 – m2n) + (−4m + 4n) = m2(m – n) – 4(m – n) = = (m – n)(m2 – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).
30. Розкладіть на множники многочлен: 1) am4 − m4 − an2 + m2 = (am4 − m4) + (−am2 + m2) = m4(a − 1) − m2(a − 1) = = (a − 1)(m4 − m2) = m2(a − 1)(m2 − 1) = m2(a − 1)(m − 1)(m + 1); 2) a3b − a3 − ab + a = (a3b − a3) + (−ab + a) = a3(b − 1) − a(b − 1) = (b − 1)(a3 − a) = = (b − 1) · a(a2 − 1) = a(b − 1)(a − 1)(a + 1); 3) (b3 + 1) + (−b2 − b) = (b + 1)(b2 − b + 1) − b(b + 1) = (b + 1)(b2 − b + 1 − b) = = (b + 1)(b2 – 2b + 1) = (b + 1)(b − 1)2; 4) x3 − 27 + x4 − 9x2 = (x3 − 27) + (x4 − 9x2) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x2(x − 3)(x + 3) = = (x − 3)(x2 + 3x + 9 + x2 (x + 3)) = (x − 3)(x3 – 4x2 + 3x + 9). 31. Доведіть тотожність: 1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)((а+
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.
3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.
38.5.
Нехай ∠3 — невідомий кут трикутника.
1) ∠3 = 180° - (15° + 38°) = 180° - 53° = 127°.
2) ∠3 = 180° - (28° + 105°) = 180° - 133° = 47°.
3) ∠3 = 180° - (7° + 91°) = 180° - 98° = 82°.
38.6.
1) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші два гострі;
2) якщо
38.7.
∠3 = 180° - 126° = 54°.
38.8.
∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 58° = 122°.
38.9.
Нехай ∠1 = 62°. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.
38.10.
shkola.in.ua
38.11.
.
Нехай в ΔABC AB = BC.
властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA. AB = AC, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA =
∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°.
Відповідь: 60°.
shkola.in.ua
CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°,
ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°.
ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°.
38.14.
shkola.in.ua
38.15.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Нехай ΔABC
∠ACB = ∠ABC — як
AC = AB, ∠CAB = 50°.
∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°.
Отже, ∠ACB = ∠ABC = 130° : 2 = 65°.
Відповідь: 65°.
shkola.in.ua
38.16.
38.17.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
Мал. 1. ∠ABC = 70° (як вертикальний
з кутом, який дорівнює 70°).
∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180°(80° + 70°) = 180° - 150° = 30°.
Мал. 2. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який
135°).
∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180°(75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.
Мал. 1. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°).
∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°.
Мал. 2. ∠NML = 180° - 140° = 40°
MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML) = 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.
У ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 70°. ∠C = 180° - (∠A + ∠
shkola.in.ua
∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°.
38.19.
shkola.in.ua
38.20.
shkola.in.ua
38.21.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
У трикутнику MNL ∠M + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°.
∠M + ∠N + ∠L = 180° — як сума кутів трикутника.
∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°,
∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°,
∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°.
Відповідь: 60°, 80°, 40°.
У ΔABC ∠A + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°.
∠A + ∠B + ∠C = 180° — як сума кутів трикутника.
∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°,
∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°,
∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.
Відповідь: 80°, 50°, 50°.
Припустимо, що в трикутнику всі
від 180°, що суперечить теоремі
є кут, не менший ніж 60°.
38.22.
Припустимо, що
від 180°, що суперечить
кут, не більший за 60°.
38.23.
Введемо коефіцієнт пропорційності
Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°.
Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°.
Відповідь: 45°, 60°, 75°.
38.24.
Введемо коефіцієнт
Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за
10х = 180°; х = 18°.
Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 × 18° = 36°, 3 × 18° = 54°, 5 × 18° = 90°.
Відповідь: 36°, 54°, 90°.
38.25. Нехай ΔKLM
shkola.in.ua
∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°. Складемо рівняння: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180° (за теоремою
суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°. Відповідь: 50°, 65°,
38.27
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином,
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай ∠C = х, тоді ∠В = х + 14°. Маємо рівняння:
80° + х + х + 14° = 180°;
2х = 180° – 94°;
2х = 86°;
х = 86° : 2;
х = 43°.
Отже, ∠С = 43°; ∠В = 43° + 14° = 57°.
2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х. Маємо рівняння:
80° + х + 3х = 180°;
х + 3х = 180° – 80°;
4х = 100°;
х = 25°;
Отже, ∠B = 25°; ∠C = 3 × 25° = 75°.
3) ∠В ∠С = 2 3.
∠В = 2х, ∠С = 3х:
80° + 2х + 3х = 180°; 2х + 3х = 180° – 80°; 5х = 100°; х = 20°; 20° ∙ 2 = 40° –
20° ∙ 3 = 60°
shkola.in.ua
38.31.
38.32.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Розглянемо ΔAOB і ΔDOC.
∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути).
∠A = 180° - (∠B + ∠AOB),
∠D = 180° - (∠C + ∠DOC).
Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D.
Отже, ΔAOB = ΔDOC за другою ознакою рівності трикутників.
38.33.
shkola.in.ua
BC = B1C1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1
У ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B).
У ΔA1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1).
Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1.
Отже, ΔABC = ΔA1B1C1
трикутників
shkola.in.ua
цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.
Відповідь: 55°.
38.34. Нехай у ΔABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. BM ⊥ AC, AK ⊥ BC.
shkola.in.ua
У ΔABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки BM — висота). ∠A + ∠ABM + ∠BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.
З ΔABK: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ BC). За теоремою
суму
трикутника
∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°.
∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°. Розглянемо ΔAOB. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°.
∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.
AOM = 180° - 150° = 30°.
30°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
дорівнює 168° : 2 = 84°.
Відповідь: 12°, 84°, 84°.
180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.
Відповідь: 12°, 12°, 156°.
2)
в основі дорівнює 180° - 92° = 88°,
в основі рівнобедреного трикутника рівні).
Відповідь: 92°, 44°, 44°.
38.36.
1)
Відповідь:
Отже, кут у вершині
= 124°.
Відповідь: 28°, 28°, 124°.
2) Один з кутів рівнобедреного
shkola.in.ua
∠DAB, то ∠BAC =
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже,
72°, 72°, 36°. 38.39
3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, кут у
Відповідь: 50°, 65°, 65°.
II випадок. Нехай кут
x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + x + 15° =
3x = 165°; x = 55°. Отже,
дорівнює 55° + 15° = 70°.
Відповідь: 55°, 55°, 70°.
38.40.
Звідси
Отже, ∠
∠K, KP = 5 см.
Оскільки KP — бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM. ∠PKM + ∠LMK
трикутника).
KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
38.44. ΔABC = ΔABD, оскільки AB = AC = CB, AB = AD = DB.
38.45.
висотою, тобто AO ⊥ CD, O ∈ AB, отже, AB ⊥ CD.
1. 1) 20 ∙ 6 = 120 (м2) – площа клумби; 2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.
2. 1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) – ціна упаковки зі знижкою; 2) 7200 : 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин;
3) 2400 ∙ 23,8 = 57120 (грн) – потрібно заплатити за тюльпани. Відповідь: 1) 23,8 грн; 2) 57120 грн.
38.46.
shkola.in.ua
39.6
39.7
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
39.12.
shkola.in.ua
39.13.
shkola.in.ua
39.14.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
ΔABC
вершині В.
∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1).
Отже, ∠BAC + ∠BCA = 100°,
∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні).
Відповідь: 50°.
Нехай ΔMNK рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55°.
∠DNK — зовнішній
∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110°.
Відповідь: 110°.
shkola.in.ua
39.16.
shkola.in.ua
39.17.
shkola.in.ua
= 120°.
∠BCD = ∠A + ∠B (за
трикутника).
Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102°. Відповідь: 102°.
Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.
∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).
∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом C).
∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з
A).
Відповідь: 115°, 110°, 135°.
Нехай ΔKLM даний трикутник, ∠NKL = 110°, ∠LMP = 140°.
∠NKL + ∠LKM = 180° (як суміжні кути).
Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°.
∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).
39.18.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°.
∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника).
Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°.
Відповідь: 70°, 70°, 40°.
shkola.in.ua
1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140°.
Нехай ∠B = x, тоді ∠C = x + 30°.
За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠BAD = ∠B + ∠C.
Складемо рівняння: x + x + 30° = 140°; 2x = 110°; x = 55°.
Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.
Відповідь: 55°, 85°.
2) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠B = x, тоді ∠C = 4x.
кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠C.
Складемо рівняння: x + 4x = 140°; 5x = 140°; x = 28°.
Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° × 4 = 112°.
Відповідь: 28°, 112°. 28° 55° 85° 28°
.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠B = x, тоді ∠A = x + 20°. За властивістю
зовнішнього кута трикутника маємо:
∠BCD = ∠A + ∠B.
Складемо рівняння: x + x + 20° = 120°; 2x = 100°; x = 50°.
Отже, ∠B = 50°, ∠A = 50° + 20° = 70°.
Відповідь: 50°, 70°.
2) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠A = x, ∠B = 3x.
За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо:
∠BCD = ∠A + ∠B.
Складемо рівняння: x + 3x = 120°; 4x = 120°; x = 30°.
Отже, ∠A = 30°, ∠B = 3 × 30° = 90°.
Відповідь: 30°, 90°.
39.20.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
I
BC), ∠A = ∠C. За
∠DBC = ∠A + ∠C = 118°,
∠A = ∠C = 118° : 2 = 59°.
∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62°.
Відповідь: 62°, 59°, 59°.
II випадок. Нехай ΔABC
рівнобедрений трикутник (BA = BC). ∠DAB і ∠BAC — суміжні, їх сума дорівнює 180°.
∠BAC = 180° - 118° = 62°.
Оскільки ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠BCA = 62°.
∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56°.
Відповідь: 62°, 62°, 56°.
39.21. I випадок. Зовнішній
shkola.in.ua
Нехай ΔABC — даний рівнобедрений трикутник (AB = BC).
∠A = ∠C (як кути
∠BDC = ∠A + ∠C за властивістю
трикутника).
42° = ∠A + ∠C, звідси ∠A = ∠C = 42° : 2 = 21°.
∠B = 180° - 42° = 138°.
Відповідь: 21°, 21°, 138°.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
39.24.
shkola.in.ua
39.25.
shkola.in.ua
39.26.
shkola.in.ua
39.27.
∠NLK = ∠K + ∠M = 7x + 9x = 16x. ∠PKL = ∠L + ∠M = 8x + 9x = 17x. ∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15x. Отже, відношення
кутів 17 : 16 : 15.
Відповідь: 17 : 16 : 15.
Нехай ΔPLK даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR суміжні. KM — бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM. KN — бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180°, ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180°, 2∠LKM + 2∠LKN = 180°, 2(∠LKM + ∠LKN) = 180°, ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.
Нехай ОК промінь, що
сторонами ∠AOB, ∠AOK = x, ∠KOB = 90° - x. ∠KOB - ∠AOK = (90° - x) - x = 90° - 2x.
∠AOK + ∠KOB = 90°, 1 3(∠AOK + ∠KOB) = 30°.
Отже, 90° - 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°.
∠AOK = 30°, ∠KOB = 90° - 30° = 60°.
Відповідь: 30°, 60°.
39.28.
Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см.
Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 = 22,8; 5x = 21; x = 4,2.
Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см.
Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.
1. 1) 2 ∙ (32 + 18) = 100 (м) – периметр прямокутної ділянки; 2) 32 ∙ 18 = 576 (м2) – площа ділянок; 3) S□ = a2; a2 = 576 = 24 ∙ 24 ⇒ a = 24 (м) – сторона
4) 24 ∙ 4 = 96 (м) – периметр квадратної ділянки. 100 м > 97 м; 96 м < 97 м. Відповідь:
39.30.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
40.3.
shkola.in.ua
40.4.
shkola.in.ua
мал. 1 трикутники рівні за двома катетами.
Оскільки AC = ML, CB = LP, то ΔACB = ΔMLP.
і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ΔNFE = ΔDKO.
і
кутом.
CM = BA, ∠C = ∠B, то ΔCMK = ΔBAP.
гіпотенузою. Оскільки EF = LN, DF = QN, то ΔEDF = ΔLQN.
40.5.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
40.6.
40.7.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай ∠B = 18°, тоді
∠C = 90° - ∠B = 90° - 18° = 72°.
2) Якщо ∠L = 87°, тоді
∠M = 90° - 87° = 3°.
Відповідь: 1) 72°; 2) 3°.
1) Нехай ∠M = 75°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 75° = 15°.
2) Нехай ∠R = 23°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 23° = 67°.
Відповідь: 1) 15°; 2) 67°.
(∠B = 90°, BA = BC). ∠A = ∠C як
рівнобедреного
BC = 1 2 AB = 1 2 × 14 = 7 (см).
2) AB = 2BC = 2 × 5 = 10 (дм).
1) 7 см; 2) 10 дм.
shkola.in.ua
1) PF = 1 2 PL = 1 2 × 12 = 6 (дм); 2) PL = 2PF = 2 × 4 = 8 (см).
1) 6 дм; 2) 8 см.
40.11.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
40.12.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
Нехай ΔABC даний трикутник, ∠ABK = 36°, ∠KBC = 64°.
∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 36° + 64° = 100°.
З
прямокутного ΔABK маємо:
∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 36° = 54°.
З прямокутного ΔCBK маємо:
∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 64° = 26°.
Відповідь: 100°, 54°, 26°.
Нехай ΔKLM рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN медіана рівнобедреного трикутника, то LN — бісектриса і висота ΔKLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 × 31° = 62°.
Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то
∠K + ∠M + ∠L = 180°,
∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 62° = 118°.
∠K = ∠M як кути в
∠K = ∠M = 118° : 2 = 59°.
Відповідь: 62°, 59°, 59°.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
x + x + 28° = 90°; 2x = 90° - 28° = 62°; x = 62° : 2 = 31°.
∠B = 31°, ∠A = 31° + 28° = 59°.
+ 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.
15°, 75°. shkola.in.ua
∠A = 15°, ∠B = 15° × 5 = 75°.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) Нехай в прямокутному
то маємо: 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.
Отже, ∠A = 2 × 18° = 36°, ∠B = 3 × 18° = 54°.
Відповідь: 36°, 54°.
Відповідь: українська поетеса Ліна Василівна Костенко.
40.16.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
∠A = 2x°, ∠B = 3x°.
1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 4x°.
Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих
90°, то маємо:
x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.
Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° × 4 = 72°.
Відповідь: 18°, 72°.
2) Нехай в прямокутному
Оскільки в прямокутному трикутнику
90°, то маємо:
x + x + 16° = 90°; 2x = 74°; x = 37°.
Отже, ∠A = 37°, ∠B = 37° + 16° = 53°.
Відповідь: 37°, 53°.
3) Нехай в прямокутному
Оскільки
то маємо: 5x + 4x = 90°; 9x = 90°; x = 10°.
Отже, ∠B = 5 × 10° = 50°, ∠A = 4 × 10° = 40°.
KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°,
K = 26°.
ΔKMP: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180°
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
40.19.
40.20.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
40.21.
shkola.in.ua
40.22.
AC, BM = CM. Доведемо, що точка
A, тобто ∠BAM = ∠CAM.
ΔABM = ΔACM за гіпотенузою і катетом (AM — спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.
Нехай в прямокутному ΔABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32°.
З ΔBDC: ∠C = 90° - ∠DBC = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).
∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°.
Відповідь: 58°, 32°.
Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°).
CM і BN — бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45°,
∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°.
З ΔCOB за теоремою
∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°.
трикутника маємо:
Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°.
Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 × 20° = 40°.
З ΔABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.
Відповідь: 40°, 50°.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ΔA1B1C1 рівнобедрений, A1B1 = B1C1, BK ⊥ AC, B1K1 ⊥ A1C1.
ΔABK = ΔA1B1K1 (
AB = A1B1 і катетом BK = B1K1).
∠A = ∠A1, AK = A1K1.
є
то AK = KC, A1K1 = K1C1. Враховуючи, що AK = A1K1, маємо AC = A1C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1
(
C = 90°), ∠B = 60°, AB + CB = 30 см, СК — медіана. ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів
трикутника дорівнює 90°). Нехай BC = x, тоді AB = 2x (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює
гіпотенузи). Складемо рівняння: x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10, тоді 2x = 2 × 10 = 20. Отже, AB = 20 см. Оскільки СК — медіана, проведена до гіпотенузи, то CK = 1 2 AB = 1 2 × 20 = 10 (см). Відповідь: 20 см, 10 см.
40.24.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Нехай ΔKMN прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, MP = 4 см.
З ΔKMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки MP — бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30°. Отже, ΔPKM — рівнобедрений, оскільки ∠K = ∠KMP, звідси PK = MP = 4 (см).
З ΔPMN: ∠PMN = 30°. Отже, PN = 1 2 MP = 1 2 × 4 = 2 (см).
KN = PK + PN = 4 + 2 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
40.25.
shkola.in.ua
Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠PAB і
∠ABK - зовнішні кути при вершинах гострих кутів.
Нехай ∠PAB = x°, тоді ∠ABK = x° + 20°.
∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси
∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - x°.
∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси
∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (x° + 20°) = 160° - x°.
Оскільки сума гострих
трикутника
90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2x = 250°; x = 125°.
Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°.
Відповідь: 55°, 35°. 40.26. Нехай у
shkola.in.ua
40.27.
(∠M = 90°) ∠NKL і ∠KLP
зовнішні кути, ∠NKL = 2x°, ∠KLP = 3x°.
∠MKL = 180° - 2x°, ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутів).
∠MKL + ∠KLM = 90°;
Отже, 180° - 2x + 180° - 3x = 90°; 5x = 270°; x = 54°.
Отже, ∠MKL = 180° - 2 × 54° = 180° - 108° = 72°, ∠KLM = 180° - 3 × 54° = 180° - 162° = 18°.
Відповідь: 72°, 18°.
shkola.in.ua
Нехай CM - медіана, PΔACM = PΔCMB. Оскільки PΔACM = AC + CM + AM, PΔCMB = BC + CM + MB і ці периметри рівні, то AC + CM + AM = BC + CM + MB.
Звідси AC + AM = BC + MB. Враховуючи, що AM = MB, матимемо AC = BC.
Отже, у трикутника ABC хоча
рівні,
40.28.
shkola.in.ua
Нехай в ΔABC ∠A = x°, ∠B = x° + 20°, ∠C = 3x°.
трикутника маємо: x + x + 20° + 3x = 180°; 5x = 160°; x = 32°.
Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 × 32° = 96°.
Відповідь: 32°, 52°, 96°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
40.29.
40.30.
shkola.in.ua
Нехай у ∆ABC AB = BC = x см, тоді AC = (x + 3) см. За умовою задачі маємо: x + 3 + 4 = x + x; x + 7 = 2x; x = 7.
Отже, AB = BC = 7 см, AC = 7 + 3 = 10 (см).
PΔABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24 (см).
Відповідь: 24 см.
1) 3,5 × 5,5 = 19,25 ≈ 20 (м2) – площа кімнати.
2) 130 × 20 = 2600 (грн) – потрібно заплатити за лінолеум.
Відповідь: 2600 грн.
40.31.
40.32.
shkola.in.ua
АВ = 89 мм; ВС = 48 мм; АС = 66 мм.
(АВ + ВС) = 89 + 48 = 137 мм > АС = 66 мм; (AB + AC) = 89 + 66 = 155 мм > ВС = 48 мм; (AC + BC) = 66 + 48 = 114 мм > АВ = 89 мм.
Висновок: сума
shkola.in.ua
41.3.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Тоді 8,4 - 2,8 < a < 8,4 + 2,8, тобто 5,6 < a < 11,2.
Оскільки а найбільше ціле число, що задовольняє умові 5,6 < a < 11,2, то a = 11 см.
Відповідь: 11 см.
41.4.
Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см.
Тоді 4,3 - 2,7 < a < 4,3 + 2,7, тобто 1,6 < a < 7.
Оскільки а - найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < a < 7, то a = 2 см.
Відповідь: 2 см.
41.5.
1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m.
Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.
2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m.
Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам
15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.
3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m. Сторони трикутника можуть бути пропорційні
5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника. 41.6.
1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні
трикутника,
2) Сторони трикутника
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1)
2)
(одна сторона дорівнює сумі
інших сторін).
3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати
- 19 дм = 21 дм і виконується
трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін). 41.12.
Припустимо, що такий трикутник існує. Тоді х
другої сторони, (х + 4) см —
x + (x - 2) + (x + 4) = 20; 3x + 2 = 20; 3x = 18; x = 6.
Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см.
сторонами не існує, бо не
10 см = 6 см + 4 см. Відповідь: ні.
41.13.
Припустимо, що такий трикутник
рівняння:
трикутника
12 см > 6 см + 5 см. Відповідь: ні.
41.14.
shkola.in.ua
кутів трикутника маємо: x + 3x + (x - 15°) = 180°; 5x = 195°; x = 39°.
Отже, ∠A = 39°, ∠B = 3 × 39° = 117°, ∠C = 39° - 15
39°, 117°, 24°. 41.15.
shkola.in.ua
Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 - прямокутні. AB = A1B1, BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1, BH = B1H1. ∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, BH = B1H1), тоді ∠A = ∠A1. ∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом і
кутом: AB = A1B1, ∠A = ∠A1).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
41.17.
від’ємні.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) 360° : 32 = 11,25° = 11°15´ - становить
2)
7. Оскільки
кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см.
Правильна відповідь Б).
8.
9.
shkola.in.ua
AK бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°.
CM — бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = 30°.
З ∆AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180°(25° + 30°) = 125°.
Оскільки кутом між прямими є кут
менше ніж 90°, то цим кутом
кутом AOC, який дорівнює 180° - 125° = 55°.
Правильна відповідь Г).
Довжина однієї з його
Правильна відповідь А).
10.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
360°,
3x + 5x + 7x = 360°, 15x = 360°; x = 24°.
∠C = 90°, ∠B = 60°, CM медіана. ∠CAB = 30°, CB —
CB = x см. AB = 2x (за
30°), CM = 1 2AB = x (за
Отже, CM + CB = 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
то
CMB = 90°.
∠MCB = 180° – (∠CMB + ∠MBC) = 180° – (90° + 40°) = 50°. 2. Оскільки
то ∠MCB = 45°.
∠CMB = 180° – (∠MCB + ∠MBC) = 180° – (45° + 40°) = 85°.
3. ∠РBС = 1 2 ∠B = 1 2 × 40° = 20°.
∠MCB = 1 2 ∠С = 1 2 × 90° = 45°.
Згідно теореми про суму
трикутника:
∠CОB = 180° – (∠ОCB + ∠ОBC) = 180° – (45° + 20°) = 115°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
6.
shkola.in.ua
1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.
2) В прямокутному △ABP: ∠A = 90° − 32° = 58°.
3) В прямокутному △PBC: ∠C = 90° − 67° = 23°.
Відповідь: 99°; 58°; 23°.
Нехай третя сторона дорівнює x см. Тоді |6,3 − 5,2| < x < 6,3 + 5,2; 1,1 < x < 11,5. x = 11 (см) — найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя
сторона.
Відповідь: 11 см.
7.
shkola.in.ua
1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x; ∠C = x − 16°.
2) Маємо x + 2x + x − 16° = 180°. 4x = 196°; x = 196° : 4; x = 49°.
3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 · 49° = 98°; ∠C = 49° − 16° = 33°.
Відповідь: 49°; 98°; 33°.
shkola.in.ua
1) Нехай ∠KCB = 112° зовнішній
трикутника.
2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна
позначити ∠B = 3x; ∠A = 5x.
3) Маємо за властивістю зовнішнього
трикутника: 3x + 5x = 112°; 8x = 112°; x = 14°.
4) Отже, ∠B = 3 · 14° = 42°; ∠C = 5 · 14° = 70°.
Відповідь: 42°; 70°.
shkola.in.ua
1) ∠CBM = ∠MBD = 60° 2 = 30°.
2) У △CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).
3) В △CBM: ∠B = 90° − 60° = 30°.
4) Трикутник BMD — рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°, тому MD = MB = 16 (см).
5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).
Відповідь: 24 см.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA
трикутника.
∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6.
Позначимо ∠KAB = 4x; ∠ABM = 5x; ∠NCA = 6x.
2) Маємо 4x + 5x + 6x = 360°.
15x = 360°; x = 360° : 15; x = 24°.
3) Тоді ∠CAB = 180° − 4 · 24° = 84°;
∠ABC = 180° − 5 · 24° = 60°;
∠BCA = 180° − 6 · 24° = 36°.
4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.
1) Нехай AB = x см, тоді AC = (x − 3) см, BC = (x + 5) см.
2) Тоді x + x − 3 + x + 5 = 23; 3x − 5 = 23; 3x = 21; x = 7 (см).
3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 − 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).
4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.
Відповідь: Не існує.
Вправи для повторення теми 8 До § 38
1.
1) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (65° + 29°) = 86°
2) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (37° + 116°) = 27°
Відповідь: 1) 86°; 2) 27°.
2.
shkola.in.ua
1) Оскільки ∠KCB = 32° і СК - бісектриса, то ∠ACB = 2∠KCB = 2 × 32° = 64°. ∠B = ∠ACB = 64°,
– 3x°. Їхня сума
180° - 60° = 120°. Звідси 2x + 3x = 120°; 5x = 120°; x = 24°.
Отже, один із шуканих кутів дорівнює 2 х 24° = 48°, другий - 3 х 24° = 72°.
Відповідь: 48°, 72°.
6.
shkola.in.ua
Нехай ΔABC - рівносторонній, AB = BC = AC, AL, BH - медіани, AH = HC, BL = LC.
Оскільки ΔABC - рівносторонній, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки AL і BH - медіани рівностороннього трикутника, то вони є бісектрисами і висотами, тоді ∠LAH = 60° : 2 = 30°, ∠BHA = 90°.
З ΔAOH: ∠AOH = 180° - ∠OAH - ∠OHA = 180° - 30° - 90° = 60°.
shkola.in.ua
Відповідь: 60°. 7. Нехай в ΔABC: BL бісектриса, BK висота, BK ⊥ AC, ∠KBL = 16°, ∠BCA = 50°. З ΔBKL: ∠BLK = 180° - ∠BKL - ∠KBL = 180°90° - 16° = 74°. ∠BLC + ∠BLK = 180° як
BLC = 180° -
= 180° - 74° = 106°.
З ΔBLC: ∠LBC = 180° - ∠BLC - ∠C = 180° - 106° - 50° = 24°.
Оскільки BL - бісектриса, то ∠ABC = 2 × 24° = 48°.
З ΔABC: ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 48° - 50° = 82°.
Відповідь: 48°, 82°.
8.
1) Нехай x° - шуканий кут, тоді
6x = 180°; x = 30°. Отже, шуканий
30°.
2) Нехай x° - шуканий кут, тоді маємо рівняння: x + 40° = 180° - x; 2x = 140°; x = 70°.
Отже, шуканий кут дорівнює 70°. 9.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай △ABC - рівнобедрений, AC = CB, ∠A = ∠B, AK –бісектриса, ∠AKB = 60°. Нехай ∠KAB = x, тоді ∠CBA = 2x. ∠KAB + ∠CBA + ∠AKB = 180° (за властивістю суми кутів трикутника).
x + 60° + 2x = 180°; 3x = 120°; x = 40°. Отже, ∠KAB = 40°, ∠KBA = 2 × 40° = 80°.
2) Нехай ΔABC - рівнобедрений, AC = AB, ∠A = ∠B. AK - бісектриса, ∠CAK = ∠KAB, ∠AKC = 111°.
∠AKC + ∠AKB = 180° - як суміжні кути. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 111° = 69°.
Нехай ∠KAB = x, тоді ∠B = 2x.
З ΔAKB: ∠KAB + ∠AKB + ∠KBA = 180°, x + 69° + 2x = 180°; 3x = 111°; x = 37°.
Отже, ∠A = ∠B = 37° × 2 = 74°, тоді ∠C = 180° - 2 × 74° = 180° - 148° = 32°.
Відповідь: 1) 80°; 2) 32°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
∠1, ∠2, ∠3 – зовнішні
трикутника MNK
M, N, K відповідно.
11. Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠BCA. ∠BCK + ∠BCA = 180° - як суміжні кути. ∠BCA = 180° - 150° = 30°. ∠A = ∠BCA = 30°.
shkola.in.ua
За теоремою
трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠BCA = 180°.
Звідси ∠B = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 180° - 60° = 120°.
Відповідь: 120°, 30°, 30°. 12.
1) Зовнішній
102° > 80°.
2) Зовнішній кут трикутника, не суміжний
3)
13.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
2x + 3x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠A = 2 × 28° = 56°, ∠C = 3 × 28° = 84°, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 56° - 84° = 40°.
56°, 84°, 40°.
shkola.in.ua
100°, це неможливо
Нехай в ΔKMN ∠PMN = 80°, тоді ∠KMN = 180° - 80° = 100° (оскільки
зовнішнього кута трикутника маємо ∠K+∠L = ∠PMN, ∠K = ∠L = 1 2 ∠PMN = 1 2 ×
Відповідь: 100°, 40°, 40°. 17.
Припустимо, що існує трикутник, у якого зовнішні
120°, тоді кожний внутрішній кут буде меншим 60° і сума внутрішніх кутів трикутника
буде меншою за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
Отже, припущення невірне. Не існує трикутника, у якому
вершин більші за 120°. 18.
shkola.in.ua
Нехай ∠CBF = ∠CAD = ∠C. ∠CBF = 180° - ∠CBA, ∠CAD = 180° - ∠CAB, тоді ∠C = ∠CBF - ∠CAD = 180° - ∠CBA - 180° + ∠CAB = ∠CAB∠CBA.
Звідси ∠CAB = ∠C + ∠CBA. ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки ∠C + ∠CBA = ∠CAB, маємо ∠CAB + ∠CAB = 180°, 2∠CAB = 180°, ∠CAB = 90°. Отже, ΔABC – прямокутний.
1) Не слідує. На мал. ΔABC ≠ ΔDBC, проте BC ΔABC = BC ΔBCD.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
Нехай ΔKLM - прямокутний, ∠K = 3x°, ∠L = 7x°. Оскільки сума
кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3x + 7x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. Отже, ∠K = 3 × 9° = 27°, ∠L = 7 × 9° = 63°. Відповідь: 27°, 63°. 23.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
25.
shkola.in.ua
ΔABC (∠B = 90°), BF ⊥ AC, ∠ABD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC∠DBF = 45° - 15° = 30°. З прямокутного трикутника
FBC
30° = 60°. З прямокутного ΔABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°, оскільки сума
60°, 30°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
29.
shkola.in.ua
Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, AD ⊥ BC, ∠ABC = 120°, AD = a см.
З ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.
З прямокутного ΔADC: AC = 2AD = 2 × a = 2a (см).
Відповідь: 2a см.
Нехай в прямокутному ΔABC CD - медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) × 2 = 60°.
Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині
гіпотенузи, то AB = 2CD = 2 × 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, ΔCDB – рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, ΔCDB – рівносторонній, CB = CD = DB = 10 см. Відповідь: 20 см, 10 см.
Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), CH - висота, CL - бісектриса, CM - медіана, ∠HCL = β. Доведемо, що ∠LCM = β. Оскільки CL - бісектриса, то ∠ACL = ∠LCB = 90° : 2 = 45°, тоді ∠ACH = ∠ACL - ∠HCL = 45° - β.
З прямокутного ΔACH: ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - (45° - β) = 45° + β.
З прямокутного ΔABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° + β) = 45° - β.
ΔCMB - рівнобедрений, оскільки CM = MB (за
гіпотенузи), тоді ∠MCB = ∠B = 45° - β.
Отже, ∠LCM = ∠LCB - ∠MCB = 45° - (45° - β) = 45° - 45° + β = β.
Отже, бісектриса прямого
2)
shkola.in.ua
DA = AB : 2 = 21 : 2 = 10,5 (см).
< 6 + 4 = 10 (см).
см + 2 см. Отже, бічна сторона
см, 2 см.
3) Бічною стороною рівнобедреного трикутника
см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 12 см = 6 см + 6 см. Отже, бічна сторона дорівнює 12 см і сторони трикутника дорівнюють 12 см, 12 см, 6 см. 34.
Нехай одна сторона рівнобедреного трикутника
3m см, друга - 7m см. Сторона 3m см не може бути стороною рівнобедреного трикутника,
оскільки 7m > 3m + 3m. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7m, 7m, 3m,
тоді 7m + 7m + 3m = 51, 17m = 51, m = 3.
Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 × 3 = 21 (см), 3 × 3 = 9 (см).
Відповідь: 21 см, 21 см, 9 см.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
P
Р = 2(х + 6).
Якщо x = 2, то P = 2(2 + 6) = 2 ∙ 8 = 16 (дм);
якщо x = 4, то P = 2(4 + 6) = 2 ∙ 10 = 20 (дм);
якщо x = 5, то P = 2(5 + 6) = 2 ∙ 11 = 22 (дм);
якщо x = 15, то P = 2(15 + 6) = 2 ∙ 21 = 42 (дм).
42.8. Функцію
x = –3, то
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
якщо х = 8, то у = 6 8 = 0,75;
х = –7, то у = 4 ∙ (–7 ) + 3 = –28 + 3 = –25;
якщо х = –5, то у = 4 ∙ (–5) + 3 = –20 + 3 = –17; якщо х = –3, то у = 4 ∙ (–3) + 3 = –12 + 3 = –9;
якщо х = –1, то у = 4 ∙ (–1) + 3 = –4 + 3 = –1;
якщо х = 2, то у = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11;
якщо х = 4, то у = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19;
якщо х = 6, то у = 4 ∙ 6 + 3 = 24 + 3 = 27;
якщо х = 8, то у = 4 ∙ 8 + 3 = 32 + 3 = 35.
–25
Якщо t = 1, то S = 65 ∙ 1 = 65;
якщо t = 2,4, то S = 65 ∙ 2,4 = 156;
якщо t = 3, то S = 65 ∙ 3 = 195; якщо t = 5,8, то S = 65 ∙ 5,8 = 377.
42.16.
2; 7; 13; 20. N = 3n.
n = 2, то N = 3 ∙ 2 = 6;
n = 7, то N = 3 ∙ 7 = 21;
n = 13, то N = 3 ∙ 13 = 39;
n = 20, то N= 3 ∙ 20 = 60. 42.17.
функції:
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
в нуль. 42.19. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1)
9; 15; 2) функція у = 5х – 1
–1; 4; 14. 1) у = –3х.
якщо y = –6: –6 = –3х; х = 6 : 3; х = 2; якщо y = 9: 9 = –3х; х = –9 : 3; х = –3 ; якщо y = 15: 15 = –3х; х = –15 : 3; х = –5; 2) y = 5х – 1. якщо y = –1: –1 = 5х – 1; 5х = 0; х = 0; якщо y = 4: 4 = 5х – 1; 5х = 5; х = 1; якщо y = 14: 14 = 5х – 1; 5х = 15; х = 3.
42.20. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція
12; 2) функція у = 3 – 2х набуває
–1; 3; 17. 1) у = 4х. якщо у = –8: –8 = 4х; х = –8 : 4; х = –2; якщо у = 0: 0 = 4х; х = 0 : 4; х = 0; якщо у = 12: 12 = 4х; х = 12 : 4; х = 3; 2) у = 3
у = 3: 3 = 3 – 2х; 2х = 0; х = 0; якщо у = 17: 17 = 3 – 2х; 2х = –14; х = –7. 42.21. Функцію
2)
4)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2)
1) T = 20 + 5t;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
t = 7; 9; 10. 3)
T = 45; 60; 70. 4)
2) якщо t = 7, то T = 20 + 5 ∙ 7 = 20 + 35 = 55; якщо t = 9, то T = 20 + 5 ∙ 9 = 20 + 45 = 65; якщо t = 10, то T= 20 + 5 ∙ 10 = 20 + 50 = 70;
3) T = 45, якщо: 45 = 20 + 5t; 5t = 25; t = 5; T = 60, якщо: 60 = 20 + 5t; 5t = 40; t = 8; T = 70, якщо: 70 = 20 + 5t; 5t = 50; t = 10;
4) вода закипить, якщо T= 100, тому: 100 = 20 + 5t; 5t = 80; t = 16.
42.28. Велосипедистка
t, для якого s = 34; 55; 70. 1) S = 10 + 15t; 2)
якщо t = 1, то S = 10 + 15 ∙ 1 = 10 + 15 = 25; якщо t = 2, то S = 10 + 15 ∙ 2= 10 +30 = 40; якщо t = 5, то S = 10 + 15 ∙ 5 = 10 + 75 = 85; 3)
якщо S = 34: 34 = 10 + 15t; 15t = 24; t = 1,6; якщо S = 55: 55 = 10 + 15t; 15t = 45; t = 3;
якщо S = 70: 70 = 10 + 15t; 15t = 60; t = 4.
42.29. У таблиці
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
0.
у = 0,6 – 0,3х. x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 1,2 0,9 0,6 0,3 0 –0,3 –0,3 –0,9
1) якщо х = 0, то у = 0,6; 2) у = 0, якщо х = 2.
42.32. Знайдіть значення функції
1) y = �4x – 3, якщо х < 0, – 2x, якщо х ≥ 0,
Якщо x = –5, то y = 4(–5) – 3 = –23;
якщо x = 0, то y = –2 · 0 = 0;
якщо x = 3, то y = –2 · 3 = –6;
42.33. Знайдіть значення функції
1) y = �7x – 2, якщо х ≤ 0, – 3x, якщо х > 0,
Якщо x = –2, то y = 4(–2) – 2 = –16;
х = –5; х = 0; х = 3, якщо:
2) y = � 7, якщо х ≤ 0, – x², якщо х > 0.
Якщо x = –5, то y = 7;
якщо x = 0, то y = 7;
якщо x = 3, то y = 32 = 9.
яке дорівнює –2; 0; 4, якщо:
якщо x = 0, то y = 7 · 0 – 2 = –2; якщо x = 4, то y = –3 · 4 = –12; 2) y = � 3, якщо х ≤ 2, – x², якщо х > 2.
42.34. Знайдіть найменше значення функції
Якщо x = –2, то y = 3; якщо x = 0, то y = 3; якщо x = 4, то y = –42 = –16.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) y = x + 2, де –4 ≤ х ≤ 3;
shkola.in.ua
2) точка С(2; 5) не належить
3) якщо х = –3 , то у = –1; якщо х = 1, то y = 3;
4) y = 1, якщо x = –1; y = 5, якщо x = 3.
43.5. He виконуючи побудови графіка, знайдіть
1) y = 5х; у = 0, якщо: 0 = 5х; х = 0; 2) y = 3х – 6; y = 0, якщо: 0 = 3х – 6; 3x = 6; x = 2;
3) y = –���� 10 ; у = 0, якщо: 0 = –���� 10 ; х = 0;
4) y = 5 x 8 ; y = 0, якщо: 0 = 5 x 8 ; 0 = 5 – x; x = 5.
43.6. He будуючи графіка,
1) y = –3x; y = 0, якщо: 0 = –3х; х = 0;
2) y = 12 – 4х; y = 0, якщо: 0 = 12 – 4x; 4x = 12; х = 3;
3) y = ���� 3 ; y = 0, якщо 0 = ���� 3 ; х = 0;
4) y = x +
2) точка (–2; –2 ) не належить графіку функції у – у2 – 3х, бо: –2 = (–2)2 – 3 ∙ (–2); –2 = 10 — неправильна рівність;
3) точка (0; –3) не належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –3 = 0 – 3 ∙ 0; –3 = 0 — неправильна рівність;
4) точка (–1; 4) належить графіку функції у
4 = (–1)2 – 3 ∙ (–1); 4 = 4 — правильна рівність.
43.10. He будуючи графіка функції у = 2х + х2,
1) Точка (1; 3) належить графіку функції
3 = 2 ∙ 1 + 1; 3 = 3 правильна рівність;
2) точка (–1; 3) не належить графіку функції
3 = 2 ∙ (–1) + (–1)2; 3 = –1 — неправильна рівність;
3) точка (0; 0) належить графіку функції у
0 = 2 ∙ 0 + 0; 0 = 0 — правильна рівність; 4) точка (–2; 4) не належить
функція набуває додатних значень; 5) значення
від’ємних значень.
1) Якщо х = –3, то у = –2; якщо х = –2, то у = –2,5;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2; 0; 1; 2)
shkola.in.ua
у = 2; 4; 6. 1) Якщо х = –2, то у = 3; якщо x = 0, тo y = 5; якщо х = 1, то у = 6; 2) у = 2, якщо x = –3 і х = 3; у = 4, якщо x = –1 і х = 2; у = 6, якщо х = 1.
–2; –1), N(2; 3), L(6; –1).
у = –1; 1; 3. 1) Якщо х = –2, то у = –1; якщо x = 0, то у = 1; якщо х = 2, то у = 3; якщо х = 5, то y = 0; 2) у = –1, якщо x = –2 і x = 6; у = 1, якщо x = 0 і x = 4; у = 2, якщо x = 1 і x = 3.
shkola.in.ua
43.15. He будуючи
1) у = x2 – 4x; у = 0, якщо:
0 = x2 – 4x; x(x – 4) = 0; x = 0 або x – 4 = 0; x = 0 або х = 4; 2) у = 16 – х2; у = 0, якщо: 0 = 16 – х2; (4 – x) (4 + x) = 0; 4 – x = 0 або 4 + x = 0; x = 4 або х = –4; 3) у = 2х2 + 10х; у = 0, якщо: 0 = 2x2 + 10x; 2x(x + 5) = 0; 2x = 0 або x + 5 = 0; x = 0 або x = –5.
43.16. He будуючи графіка, знайдіть
1) у = x2 + 2х; у = 0, якщо: x2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x + 2 = 0; x = 0 або х = –2;
2) у = x2 – 25; у = 0, якщо: x2 – 25 = 0; (х – 5)(x + 5) = 0; x – 5 = 0 або x + 5 = 0; x = 5 або x = –5;
3) у = 12x – 3x2; у = 0, якщо: 12x – 3x2 = 0; 3x(4 – x) = 0; х = 0 або 4 – х = 0; x = 0 або х = 4.
43.17.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
43.18.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
43.19
2)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові. § 44. Лінійна функція, її графік та властивості 44.1. Чи є лінійною функція: 1) Функція, задана формулою у = 2х – 3, є лінійною;
2) функція, задана формулою у = 4х – х2, не є лінійною;
3) функція, задана формулою у = 3, є лінійною;
4) функція, задана формулою у = 4 ���� , не є лінійною функцією;
5) функція, задана формулою y = ���� 3 – 1, є лінійною;
6) функція, задана формулою у = х – 1 – х6, не є лінійною функцією.
44.2. Які з даних функцій є лінійними:
1) Функція у = 2х2 – 7 не є лінійною;
2) у = 3х
4) у = ���� 2 + 3 —
5) у = –4 — лінійна функція; 6) функція у = 7х – x3 не є лінійною.
44.3
1) y = 2х; 5) y = –���� 2 ; 6) y = ���� 2 .
44.4. Чи є
1) у = –3х; 5) у = ���� 3 ; 6) у = –���� 3 .
1) у = –0,8х + 7. Коефіцієнт k
–0,8,
b — 7; 2) у = 6 – х. Коефіцієнт k дорівнює – 1, а коефіцієнт b — 6; 3) y = ���� 3 . Коефіцієнт k дорівнює 1 3, а коефіцієнт b — 0;
4) у = 2,4х. Коефіцієнт k дорівнює 2,4, а коефіцієнт b — 0; 5) у = –15. Коефіцієнт k дорівнює 0,
6) у = 0.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2,5. 1) Якщо х = –12, то у = 0,5 ∙ (–12) + 3 = –6 + 3 = –3; якщо х = 0, то у = 0,5 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 3; якщо х = 18, то у = 0,5 ∙ 18 + 3 = 9 + 3 = 12; 2) якщо у = –4: –4 = 0,5х
у = 2,5: 2,5 = 0,5х + 3; 0,5х = –0,5; х = –1. 44.10. Дано лінійну функцію
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
44.15.
1) y = x – 3;
x 0 3
y –3 0 2) y = –3x + 1; x 0 2 y 1 –5
44.16. Побудуйте
shkola.in.ua
1) y = x + 2; x 0 –2 y 2 0 2) y = –3x + 4;
0 1
4 1
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
3) y = 0,5x – 3; x 0 2 y –3 –2 4) y = 2 3 x – 1; x 0 3 y –1 1
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
5) y = –1; x 0 2 y –1 –1
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
6) y = –x + 2,5. x 0 2,5 y 2,5 0 44.17.
shkola.in.ua
1) y = x – 1; x 0 1 y –1 0
shkola.in.ua
3) y = –0,5x + 3; x 0 2 y 3 2
5) y = 4;
shkola.in.ua
2) y = –2x + 5. x 0 1 y 5 3
4) y = 3 4x + 1; x 0 4 y 1 4
shkola.in.ua
shkola.in.ua
6) y = x – 1,5;
shkola.in.ua
shkola.in.ua
44.18
2 = 1,8
4)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
–4 = –3 ∙ 1 + 7; –4 = 4 —
2) графік функції у = –3х + 7 проходить через
–4),
B(0; 7), бо: 7 = –3 ∙ 0 + 7; 7 = 7 — правильна рівність;
3) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку С(–1; 10), бо:
10 = –3 ∙ (–1) + 7; 10 = 10 — правильна рівність;
4) графік функції y = –3х + 7 не проходить через точку D(10; –37), бо: –37 = –3 ∙ 10 + 7; –37 = –23 — неправильна рівність.
44.24. He виконуючи побудови, знайдіть нулі функції:
1) у = 2х – 6; у = 0, якщо: 2x – 6 = 0; 2х = 6; х = 3;
2) y = –1 2x + 8; y = 0, якщо: –1 2x + 8 = 0; –1 2 х = –8; х = 16;
3) у = 7х; у = 0, якщо: 7х = 0; х = 0; 4) у = –5х; у = 0, якщо: –5х = 0; х = 0.
44.25. He будуючи графіка, знайдіть
1) у = 4х + 12; у = 0, якщо: 4х + 12 = 0; 4х = –12; х = –3;
2) у = –8х; у = 0, якщо: –8х = 0; х = 0.
44.26. Побудуйте графік
1) y = x; x 0 2 y 0 2 2) y = –2,5x; x 0 2 y 0 –5
shkola.in.ua
shkola.in.ua
3) y = –x; x 0 2 y 0 –2 4) y = 1 2 x. x 0 4 y 0 2
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Якщо х = –2, то у = –6; якщо х = 0, то у = –3; якщо х = 4, то у = 3;
2) якщо y = –3, то х = 0; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 6, то х = 6;
3) якщо у – 0, то х = 2 — нуль функції;
4) функція набуває додатних значень, якщо х > 2;
5) функція набуває від’ємних значень, якщо х < 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; –3).
44.30. Графік функції у = kx – 2 проходить через точку (6; –11). Знайдіть значення k. Якщо графік функції у = kх –2 проходить
11 =
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
з віссю абсцис — (54; 0), бо, якщо = 0, то: 18 –1 3х = 0; –1 3 х = –18; х = 54 б) з віссю ординат — (0; 18), бо, якщо x = 0, то: у = 18 –1 34 ∙ 0; y = 18.
44.34. Точка
функцію. Якщо точка
44.35
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
х = 4х – 6; –3х = –6; х = 2. Отже, шукана точка (2; 2);
2) якщо
числа, то: –х = 4х – 6; –5х = –6; х = 1,2. Отже, шукана точка (1,2;
менша за ординату, то: 2х = 4х – 6; –2х = –6; х = 3, тоді у = 2 ∙ 3 = 6.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
функції: y = 2 – 3x, x < 1 x 0 –1 y 2 5
y = 2x – 3, x ≥ 1 x 1 2 y –1 1
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
44.46.
1) y = |x|;
x 0 3 –3
y 0 3 3
3) y = 4x – |x|;
x 0 2 –1 y 0 6 –5
shkola.in.ua
shkola.in.ua
44.47.
1) y = –|x|; x 0 3 –3 y 0 –3 –3
2) y = |x| + x; x 0 3 –3 y 0 6 0
shkola.in.ua
4) y = |2x| + 3x +1. x 0 1 –2 –1 y 1 6 –1 0
shkola.in.ua
shkola.in.ua
2) y = |x| – x; x 0 3 –3 y 0 0 6
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) y = 2x + |x|; x 0 2 –2 y 0 6 –2
shkola.in.ua
4) y = |3x| – x – 1. x 0 2 –2 –1 y –1 3 7 3
shkola.in.ua
44.48. Розв’яжіть рівняння:
1) (2x + 5)2 – (2х – 3)2 = 16;
4х2 + 20х + 25 – (4х2 – 12х + 9) = 16;
4х2 + 20х + 25 – 4х2 + 12х – 9 = 16;
4х2 +20х – 4х2 + 12х = 16 – 25 + 9;
32х = 0; х = 0.
Відповідь: 0; 2) (7х + 1)2 – (49х – 2)(х – 1) = –66; 49x2 + 14х + 1 – (49х2 – 49х – 2х +
44.49. Спростіть вираз: 1) (5m –2)(5m + 2)
2) (a + 4y)2
Рівняння: 73 – х = 2 ∙ (17 + х); 73
х = 34 + 2х;
2х = 34 – 73;
3х = –39; х = 13.
3200
2)
1)
2)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
діаметр кола AB та позначте точку M, що належить колу.
1) Виміряйте довжину діаметра
2) Виміряйте градусну міру кута AMB.
1) AB = 50 мм; AB = 2OA = 2OB.
2) ∠AMB = 90°. 44.54
2) 18 : 2 = 9
3) 18 : 3 = 6
4) 18 : 9 = 2
9; 6; 2.
1.
2.
3.
4.
5. He виконуючи
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1 3
2. y = 0; 0 = 1 3 x – 2; 1 3x = 2; х = 6.
Відповідь: В).
6. На якому з малюнків зображено
Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А).
Відповідь: А).
7. Знайдіть область визначення функції
Областю визначення функції y = 3 x² + x є всі числа, крім тих, для яких; x2 + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1.
Відповідь: Г).
8. Яка з точок належить графіку функції
Графіку функції y = x2 – 2х належить точка (1; –1), бо: –1 = 12 – 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1.
Відповідь: Б).
9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає
абсцис. y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0).
Відповідь: В).
10. Знайдіть для х = 2 значення функції
Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому
формулою у = x2: y = 22; у = 4.
Відповідь: А).
11. Графік прямої пропорційності проходить
також проходить цей графік.
у = kх; –4 = k ∙ 2; k = –2.
Отже, у = –2х. Дане рівняння
Відповідь: Г).
12. He будуючи графіка функції у = 3x – 8,
ордината є протилежними числами. y = –х; –x = 3x – 8; 4х = 8; x = 2; у = –2; (2; –2).
Відповідь: Б).
13. Установіть відповідність між функціями (1–3)
осі координат (А–Г).
1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).
2. у = 4. – А. (0; 4).
3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0).
1)
у = –2х+ 7; х = 5;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2)
5;
у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;
5.
y = 2x – 5
x 0 2 y –5 –1
1) x = 4; y = 3; 2) y = –3; x = 1. 6.
1)
функції; у = 0; у = 0,8х – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 0,8x = 7,2; х = 9;
3. у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.
у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
0 x 0 2 y 6 4
1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6; 2) у > 0, якщо –3 < х < 6; 3) у < 0, якщо х < –3 або х > 6.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
S = 48 – 14t.
1) Якщо t = 1,5,то S = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27;
2) якщо S = 13, то : 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.
4. Знайдіть область визначення функції:
1) у = 12 9����² – 17���� .
9х2 – 17х = 0;
х(9х – 17) = 0;
х = 0 або 9х – 17 = 0;
х = 0 або х = 17 9 .
Областю визначення функції є всі числа,
в нуль;
2) у = x │x│ 1 .
– 1 = 0;
= 1; x = 1 або x = – 1.
4) у = 9 3 │x 1│
3 – |x – 1| = 0;
|х – 1| = 3;
х – 1 = 3 або х – 1 = –3; х = 4 або х = –2. Областю визначення
5) у = 15 │2x 3│ – 5 . |2х – 3| – 5 = 0; |2х – 3| = 5;
2х – 3 = 5
2х – 3 = –5; 2х = 8 або 2х = –2; x = 4
х = –1.
6) у = 2 1 1 x . 1 –1 x = 0; 1 x = 1; x = 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) y = |x + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За означенням
y = � –x – 3, якщо x + 3 < 0, тобто x < –3, x + 3, якщо x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ –3. y = –x – 3, –5 ≤ x < –3 x –5 –4 y 2 1 y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3 x –3 3 y 0 6 До §
.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1)
2)
3) 25
4) Щохвилини виливається 5 л води.
V = 15 + 2,5t — залежність
резервуару водою. V = 50 − 5t — залежність об’єму води
резервуару від води. 13. Побудуйте графік функції.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
45.1.
45.2.
1)
4 = 8 (см);
1) 7 мм; d = 2r = 2 ∙ 7 = 14 (мм); 2) 4,8 см. d = 2r = 2 ∙ 4,8 = 9,6 (см).
1) 8 дм;
r = ���� 2 = 8 2 = 4 (дм); 2) 2,6 см. r
1) 18 см;
r = ����
2 = 18 2 = 19 (см);
2) 3,8 дм.
r = ���� 2 = 3,8 2 = 1,9 (дм);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
45.10.
shkola.in.ua
45.11.
1) 2 см; 2) 5 см; 3) 7 см; 4) 9,8 см; 5) 10,2 см; 6) 1 дм?
1) Може; 2) може; 3) може; 4) може; 5) не може; 6) не
45.12.
1) 1 дм; 2) 4 дм; 3) 6,7 дм; 4) 7,95 дм; 5) 8,3 дм; 6) 1 м? Хорда
1) Може; 2)
shkola.in.ua
shkola.in.ua
45.16.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
ΔOAB – рівнобедрений,
∠A = ∠B.
1) Якщо ∠A = 52°, то ∠B = 52°,
∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 52° – 52° = 76°.
2) Якщо ∠O = 94°, то
∠B = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 94°) : 2 = 43°.
Відповідь: 1) 76°; 2) 43°.
1) кута O, якщо ∠B = 48°; 2) кута A, якщо ∠O = 102°. ΔAOB – рівнобедрений, оскільки OA = OB
shkola.in.ua
∠A = ∠B.
1) Якщо ∠B = 48°, то ∠A = 48°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 48° – 48° = 84°.
2) Якщо ∠O = 102°, то
∠A = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 102°) : 2 = 39°.
Відповідь: 1) 84°; 2) 39°. 45.17.
shkola.in.ua
45.18. На
shkola.in.ua
–
∠C = ∠B. ∠
Отже, ∠CBA = (180° – ∠COB) : 2 = (180° – 148°) : 2 = 16°.
Відповідь: 16°.
45.20.
shkola.in.ua
45.21.
хорди MB.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
кола), ∠M = 90°.
∠MAB = 90° – 60° = 30°.
AB = 2MB = 2 ∙ 5 см = 10 см.
Відповідь: 10 см.
60°, AB = 18 см.
ΔAMB – прямокутний (згідно
видно діаметр з точки кола), ∠M = 90°.
∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.
MB = 1 2 AB = 1 2 ∙ 18 = 9 см.
Відповідь: 9 см.
45.22. Доведіть, що коли хорди рівновіддалені
shkola.in.ua
Нехай AB і CD – хорди. OM ⊥ AB, ON ⊥ CD і OM = ON. Доведемо, що AB = CD. Оскільки OM ⊥ AB; ON ⊥ CD, то AM = MB, DN = CD, тобто, щоб довести, що AB = CD, досить довести, що AM = CN. ΔAOM = ΔCON (за гіпотенузою і
OM = ON – за умовою, OA = OC – як радіуси кола), тоді AM = CN. Отже, AB = 2AM = 2CN = CD. 45.23. Доведіть, що
shkola.in.ua
Нехай AB = CD, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що OM = ON. Оскільки
45.26.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
45.27. Доведіть рівність
Оскільки ∠CFD = 90°, то ∠CFA = ∠DFA = 90° : 2 = 45°, тоді ∠CFB = ∠DFB = 180° – 45° = 135°.
Відповідь: 135°.
проведеною до бічної сторони. Нехай у рівнобедрених трикутниках KLM і K1L1M1 KL = LM, K1L1 = L1M1, KM = K1M1, KN ⊥ LM, K1N1 ⊥ L1M1, KM = K1M1. Доведемо, що ΔKLM = ΔK1L1M1. ΔKNM = ΔK1N1M1 (за гіпотенузою і катетом: KM = K1M1, KN = K1N1 –
shkola.in.ua
2) 810
0,8775 = 710,775 ≈ 711 (кг) –
46.2. (Усно.)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
46.3.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
46.8. На
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
OMN = 53°; 2) ∠OMN, якщо
46.9. З точки A
shkola.in.ua
KMN = 130°.
1) Оскільки KP дотична до кола, то ∠OMP = ∠OMK 90°. Тому ∠NMP = 90° – ∠OMN = 90° – 53° = 37°.
2) ∠OMN = ∠KMN – 90° = 130° – 90° = 40°.
Відповідь. 1) 37°; 2) 40°.
shkola.in.ua
= ΔQNP за
PM = PN
M,
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
МК і МN – дотичні. OK ⊥ MK, ON ⊥ MN.
З прямокутного ΔOKM: оскільки OM = 2OK, то ∠KMO = 30°. З прямокутного ΔOMN: оскільки OM = 2ON, то ∠OMN = 30°.
Отже, ∠KMN = ∠KMO + ∠OMN = 30° + 30° = 60°.
Відповідь: 60°.
46.14. Прямі MN і MK дотикаються до кола із центром O в точках N і K. Знайдіть NK, якщо ∠OMN = 30°, MN = 7 см.
shkola.in.ua
ΔONM = ΔOKM за двома катетами (ON = OK – як радіуси кола,
MN = MK – як відрізки дотичних, проведених з
кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°.
ΔKMN – рівнобедрений, оскільки MN = MK, ∠MNK = ∠MKN = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°.
Отже, ΔKMN – рівносторонній і NK = NM = 7 см.
Відповідь: 7 см. 46.15.
shkola.in.ua
Нехай ∠A = 1 2 ∠DCB, тоді
рівнобедреного трикутника. 46.16. На малюнку: ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, ∠ADB = 15°, AC = 6 см. Знайдіть BD.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
IBK = 35°, ∠MCI = 25°. ∠CBK = 2
shkola.in.ua
ACB = 2∠MCI (оскільки CI –
ABC = 2 ∙ 25° = 50°. ∠B = 180° – ∠A – ∠C = 180°
C),
.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
ΔCMI = ΔCLI (CM = CL, MI = IL).
ΔAMI = ΔAKI (AM = AK, MI = IK).
ΔKIB = ΔLIB (KB = LB, KI = LI).
47.7. Доведіть,
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
47.12. У △ABC вписано коло, яке дотикається до сторін AB, AC і BC у точках P, F і M
відповідно. Знайдіть AP, PB, BM, MC, CF і FA, якщо AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 12 см. Складемо систему рівнянь: � x − z=2
shkola.in.ua
z+x= 12
x+z= 12 ⇒ � x z=2
x+z= 12
2x = 14, x = 7.
Отже, AP = FA = 7 см, PB = 8 – 7 = 1 см, BM = PB = 1 см, MC = 6 – 1 = 5 см, FC = MC = 5 см.
Відповідь: AP = 7 см, PB = 1 см, BM = 1 см, MC = 5 см, CF = 5 см, FA = 7 см.
47.13. Знайдіть
shkola.in.ua
Нехай BK = 4 см, CL = 6 см, AM = 8 см.
BK = 4 см,
CM = CL = 6 см, AK = AM = 8 см.
AB = AK + BK = 8 см + 4 см = 12 см,
BC = BL + CL = 4 см + 6 см = 10 см, AC = AM + CM = 8 см + 6 см = 14 см.
12 см, 10 см, 14 см.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
бісектрисою й висотою, проведеними з вершини прямого кута. Нехай ΔABC – прямокутний (∠B = 90°), BK ⊥ AC, BM –бісектриса, ∠ABM = ∠CBM. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника
90°, маємо: ∠BCA = 90° 5 ∙ 2 = 18° ∙ 2 = 36°, ∠BAC = 90° – 36° = 54°.
Оскільки BM – бісектриса, то ∠ABM = ∠CBM = 90° : 2 = 45°.
З прямокутного ΔBKC маємо: ∠CBK = 90° – ∠BCK = 90° – 36° = 54°.
Тоді ∠KBM = ∠CBK – ∠CBM = 54° – 45° = 9°.
Відповідь: 9°.
47.18. Яка швидкість поїзда (у км/год),
робить 360
1) C = π ∙ d = 3 ∙ 1,2 = 3,6 (м)
48.3. 1)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) AB = 4,6см.
2) CA = CB.
ΔAMO
ΔCLO
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
ΔABC – рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки в рівносторонньому трикутнику
сторін і одночасно є бісектрисами, то центр вписаного і описаного кола співпадають
∠OAD = 1 2 ∠BAD = 60° : 2 =
shkola.in.ua
48.15. I
90°, 45°, 45°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1)
COB, якщо ∠CAO = 50°; 2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.
shkola.in.ua
48.19.
shkola.in.ua
1) ∠АОС = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠COB = 180° – 80° = 100°.
2) ∠АОС = 180° – 110° = 70°; ∠CAO = (180° – 70°) : 2 = 55°.
1) ∠OMN = (180° – 140°) : 2 = 20°;
∠NMB = 90° – 20° = 70°.
2) ∠OMN = 90° – 65° = 25°.
∠MON = 180° – (25° + 25°) = 180° – 50° = 130°.
Нехай AB = 32 см, EF = 20 см. AE + FB = 32 см – 20
49.2.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) 70°; 2) 190°. 1) 70° : 2 = 35°; 2) 190° : 2 = 95°.
49.3. Визначте
1) 20°; 2) 100°.
49.4. Точки A і
1) 20° ∙ 2 = 40°; 2) 100° ∙ 2 = 200°.
shkola.in.ua
49.5.
A і B
shkola.in.ua
◡ANB + ◡AMB = 360° ⇒ ◡ANB = 360° – ◡AMB = 360° – 140° = 220°.
∠AMB = ◡ANB : 2 = 220° : 2 = 110°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
CPD = 126°.
49.8.
shkola.in.ua
∠CPD = 1 2 ◡CKD. ◡CKD = 2∠CPD = 2 ∙ 126° = 252°.
◡CPD = 360° – ◡CKD = 360° – 252° = 108°.
COD = ◡CPD = 108°.
Відповідь: 108°.
LOK = 128°.
shkola.in.ua
спираються
∠LOK = ◡LAK = 128°. ∠LAK = 1 2 ◡
Сума градусних мір двох дуг 360°:
х + 2х = 360;
3х = 360; х = 120.
Отже, градусні
120° : 2 = 60°; 240° : 2 = 120°.
Відповідь: 60°, 120°.
49.10. Хорда
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
49.11.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
вдвічі менший:
що спирається
∠АСВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.
∠ВАС = ∠АСВ = 40° як кути при основі.
∠АВС = 180° – (∠АСВ + ∠ВАС) = = 180° – (40° + 40°) = 100°.
Відповідь: 40°, 40°, 100°.
II випадок. ∠АОВ = ◡АСВ = 80° (∠АОВ центральний), ◡АКВ = 360° – ◡АСВ = = 360° – 80° = 280°.
∠АСВ — вписаний.
∠АСВ = 1 2 ◡АKВ = 280° : 2 = 140°.
∠CAB = ∠CBA = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 140°) : 2 = 20°.
Відповідь: 140°, 20°, 20°.
III випадок. ∠АОВ = ◡AРВ = 80°, ∠АСВ = 1 2 ◡АРВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.
∠САВ = ∠СВА = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.
Відповідь:
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
49.17.
shkola.in.ua
II випадок. ∠МОК = ◡МNK = 100.
◡МРK = 360° – ◡МNK = 360° – 100° = 260°.
◡МNK = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 260° = 130°.
∠NМК = ∠NКМ = (180° – 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°.
Відповідь: 130°, 25°, 25°.
III випадок. ∠МОК = ◡МРК = 100°.
∠МNК = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 100° = 50°.
КМN = ∠МNК = 50° як кути при основі.
МКN = 180° – (∠КМN + ∠МNК) = = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°.
Відповідь: 50°, 50°, 80°.
shkola.in.ua
= 240° : 2 = 120°;
= 40 : 2 = 20°;
АСВ = 80 : 2 = 40°.
120°, 20°, 40°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) l = 3
32 = 96 (см)
2) 12 ∙ 96 = 1152 см = 11 м 52 см.
11 м 52 см.
49.21. Накресліть відрізок MN завдовжки 6 см.
1)
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
50.7.
1)
дотик; OM = 3 см, O1M = 8 см. OO1 = O1M + OM = 8 см + 3 см = 11 см.
shkola.in.ua
50.8.
shkola.in.ua
50.9. Два
2) внутрішній дотик. OM = 8 см, O1M = 3 с, OO1 = OM – O1M = 8 см – 3 см = 5 см.
shkola.in.ua
як 2 : 5. OO1 = 12 дм, O1M : OM = 2 : 5. Нехай O1M = 2x, OM = 5x, тоді OO1 = 5x – 2x = 3x; 3x = 12; x = 12 : 3 = 4.
Отже, O1M = 2 ∙ 4 = 8 (дм), OM = 5 ∙ 4 = 20 (дм).
Відповідь: 20 дм, 8 дм.
15 см.
2 : 3.
4)
shkola.in.ua
OM = 2x, O1M = 3x. OO1 = OM + O1M = 2x + 3x = 5x.
За умовою OO1 = 15см.
Отже, 5x
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
.
O1O2 ⊥ AB.
shkola.in.ua
ΔAO1O2 = ΔBO1A2 (за трьома сторонами (O1A = O1B – як радіуси, O2A = O2B – як радіуси, O1O2 – спільна сторона).
рівності трикутників маємо: ∠AO1O2 = ∠BO1O2.
– рівнобедрений, оскільки O1A = O1B, O1M –бісектриса, отже, O1M – висота, тобто O1M ⊥ AB, а звідси O1O2 ⊥ AB (так як O1O2 містить O1M).
50.13. Два кола перетинаються в точках C і D. Точки
shkola.in.ua
shkola.in.ua
O1O2 = 14 см, O3B = O3C = 6 см. O1B + O2C = O1A + O2A = O1O2 = 14 см. PΔО1О2О3 = O1O2 + O1B + O2C + O3B + O3C = = 14 см + 14 см + 6 см + 6 см = 40 см. Відповідь: 40 см.
50.16.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
50.17. На малюнку коло
= 1 2 AB = 20 2 = 10 (см) (за
трикутника з кутом 30°).
Відповідь: 10 см.
сторін). Доведіть, що AB + CD = AD + BC.
shkola.in.ua
Нехай K, L, M, N точки дотику. Тоді за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо:
AK = AL, BL = BM, CM = CN, DN = DK.
Додавши почленно
AK + BM + CM + DK = AL + BL + CN + DN; (AK + DK) + (BM + CM) = (AL + BL) + (CN + DN); AD + BC = AB + CD.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
2(a + b) = 12; a + b = 6; (1)
2(a + c) = 13; a + c = 6,5; (2)
2(b + d) = 16; b + d = 8. (3)
Отримаємо: c – b = 0,5.
c + d = 0,5 + 8 = 8,5.
2 ∙ 8,5 = 17 (см).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1)
2)
3)
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) KL = AB.
2)
3)
4)
5) ∆KLM = ∆ABC.
1) AB —
4)
BA.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
51.25. Побудуйте ∆DEF, якщо DE = 6 см, ∠D = 40°, ∠E = 80°.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) DE = 6 см.
2) ∠ADE = 40°.
3) ∠DEB = 80°.
4) Промені DA i EB перетинаються у точці F. 5) ∆DEF— шуканий.
51.26. Побудуйте ∆NPT, якщо NP = 4 см, ∠N = 50°, ∠P = 100°.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) NP = 4 см.
2) ∠ANP = 50°.
3) ∠BPN = 100°.
4) Промені NA і PB перетинаються у точці Т. 5) ∆NPT – шуканий.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
точках A і C.
3) ΔABC — шуканий.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Будуємо AB = 4 см.
2) Будуємо ∠BAC = 70°.
3) Будуємо ∠BAC = 70°.
4) ΔABC — шуканий.
51.32. Побудуйте рівносторонній
1) Будуємо відрізок AC = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього
3) Оскільки
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
51.36.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
A = ∠B = (180° − 80°)
CD → ∠PCD = 90°. Побудуємо бісектрису ∠MCD: ∠KCM = 40°; ∠MCP = 10°
∠KCP = 40° +
Сторони кутів A і B
в т. C.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1)
2)
CA.
3) CM — бісектриса прямого
4) Відкладаємо відрізок CK
бісектрисі CM.
5) Промінь AK перетинає пряму
точці В.
6) ∆ABC — шуканий.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
3) ∆ABC — шуканий.
shkola.in.ua
побудови.
1) Будуємо
2)
3)
4)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1)
2) ∠MAB = ∠A.
3)
4)
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
51.46.
51.47. Не
shkola.in.ua
кути 30° і 60°. 1) Накреслити коло; 2) від довільної т. А відкласти радіус; AB = OA; ∠BOA = ∠OBA = ∠BAO = 60°;
3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL — медіана, бісектриса і висота; ∠BOL = ∠LOA = 30°.
15°. 1) Накреслити коло; 2) від т. А відкласти OA = AB; ∠BOA = 60°; 3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL — медіана, бісектриса і висота; ∠LOA = 30°; 4) поділити кут LOA навпіл: ON — бісектриса; ∠NOM = ∠NOL = 15°.
51.48. Побудуйте без транспортира ∆ABC, у якого: 1) AB = 5 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°;
2) AB = BC = 4 см, ∠B = 150°.
1) 1) Накреслити AB = 5 см; 2) із т. А і т. В радіусом циркуля 5 см опишемо дуги і отримаємо т. М; 3) провести промінь AM; ∠MAB = 60°;
4) продовжити відрізок AB і відкласти від т. В рівні відрізки: NB = BK;
5) з точок N і K провести рівні дуги; з'єднати т. L з т. B; LB ⊥ AB; 6) побудувати бісектрису ∠LBN; ∠NBF = ∠FBL = 45°;
7) продовжити відрізок BF до перетину з AM; т. C — вершина ΔАСВ. АСВ — шуканий трикутник.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
2) Якщо AB = BC, то трикутник рівнобедрений.
∠A = ∠C = (180° – 150°) : 2 = 15°.
1) Побудувати рівносторонній
трикутник APB;
2) поділити AP і PB навпіл: AM = MP, PN = NB; ∠NAB = ∠MBA = 30°;
3) відкласти AK = AB і BM = AB, з'єднати т. A і т. М, т. B і т. K;
4) поділити KB і AF навпіл:
AE = EM, KL = LB;
∠LAB = ∠EBA = 15°;
∠ACB = 150°.
ACB — шуканий трикутник.
51.49. Побудуйте без
1) KM = 4 см, ∠K = 30°, ∠M = 45°;
2) KM = MP = 5 см, ∠M = 120°.
1) 1) Накреслити KM = 4 см; 2) побудувати рівносторонній ΔKMF;
3)
4) продовжити відрізок KM і відкласти від т.
5) з точок C і D провести рівні дуги;
⇒ ∠NKM = 30°;
CM = MD;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
5) відкласти FP = KF. KMP – шуканий трикутник.
51.50
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1)
1)
2) поділити навпіл AB і BC; 3) позначити
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Нехай у ∆ABC: ∠A = 15°; ∠B : ∠C = 7 : 8.
Позначимо ∠B = 7х; ∠C = 8х.
2) Маємо 15° + 7х + 8х = 180°; 15х = 165°; х = 11°.
Отже, ∠B = 7 ∙ 11° = 77°; ∠C = 8 ∙ 11° = 88°.
3) Найменший із зовнішніх кутів
кутом трикутника. ∠KCA = 180° – 88° = 92°.
Відповідь. 92°.
51.53. Доведіть,
кутів, однакової довжини.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Нехай ∆ABC = ∆A1B1C1; CK і C1K1 — бісектриси. 2) Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то BC = B1C1; ∠B = ∠B1. 3) Оскільки ∠ACB = ∠A1C1B1 та CK і
4) ∆KCB = ∆K1C1B1 (за другою ознакою). Тому CK = C1K1, що й треба
у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠A = 30°; AB = 60 см; CK – висота.
1) У ∆ABC за властивістю
2) ∠B = 90° – ∠A = 60°.
3) У ∆CKB: ∠KCB = 180° – (60° + 90°) = 30°.
4) У ∆CKB
5) AK = AB – BK = 60 – 15 = 45 (см).
15 см і 45 см.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
51.55. 1)
S = π ∙ r2 = 3,14 ∙ 15 = 47,1 (м2)
47,1 ∙ 40 = 1884 (л)
2)
35 ∙ 1884 = 65940 (грн).
51.56.
України.
∠ABC = 120°;
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) ∠ABK = x°;
∠KBC = (x + 20)°; x + x + 20 = 120; 2x = 100; x = 50; x + 20 = 70;
2) ∠KBC = x°;
∠ABK = 3x°; x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30; 3x = 90;
3) ∠ABK = 3x°;
∠KBC = 5x°; 3x + 5x = 120; 8x = 120; x = 15; 3x = 45; 5x = 75.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
7
OO1 = 14 см, O1A = x, OA = x + 4.
Тоді x + x + 4 = 14; 2x = 10; x = 5.
Отже, O1A = 5 см, OA = 5 + 4 = 9 (см).
точці A. ∠MKL = 30°, ∠KLN = 70°.
міру кута KAM. А. 30°; Б. 70°; В. 80°; Г. 100° Вписаний кут MKL спирається на хорду ML.
shkola.in.ua shkola.in.ua
хорду,
10 см. А. 10 см; Б. 15 см; В. 20 см; Г. 25 см
Нехай OB = OA = 10 см, ∠MBA = 60°.
З ΔBKM: ∠K = 90°,
∠OMB = 90° – 60° = 30°.
З ΔOMB: ∠B = 90°.
Згідно властивості
навпроти кута 30° маємо:
що
OM = 2OB = 2 ∙ 10 см = 20 см. Відповідь: В) 20 см.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Будуємо пряму, позначаємо точку
2) Визначаємо
3) Будуємо ∠KAB = 65°.
4) Будуємо ∠LBA = 65°.
5) Промені AK і BL перетинаються у точці С.
6) ∆ABC — шуканий.
shkola.in.ua
AK = AL = 5 см, LB = MB = KC = MC = 2 см.
PΔABC = AB + BC + CA = AL + LB + MB + MC + KC + KA = = 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 = 18 (см).
Відповідь: 18 см.
BAC = 60°.
BAC = 60°, OA = 8 см.
= ΔACO (за
BAO = ∠CAO = 1 2 ∠BAC
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
A = 65°, ∠K =
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
7.
shkola.in.ua
Нехай AB = BC = OC = OA, тоді ΔAOB і ΔBOC
∠A = ∠AOB = ∠ABO = 60°, ∠C = ∠OBC = ∠OCB = 60°.
∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 60° + 60° = 120°.
Відповідь: 120°.
8. AB —
shkola.in.ua
AKB = 90°,
x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18. Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° ∙ 4 = 72°.
shkola.in.ua
трикутника MON. Нехай ОК = АК, MN ⊥ OA. З ΔOMK: ∠OMK = 30°, оскільки OK = 1 2 OM. ΔMON – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси, тоді ∠ONM =
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
12.
кола, якщо: 1) OK = 12 см, r = 14 см; 2) r = 7 см, OK = 70 мм; 3) OK = 2 дм, r = 18 см; 4) r = 32 мм, OK = 0,3 дм?
shkola.in.ua
1) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 12 см < 14 см.
2) Пряма p дотикається до кола, оскільки OK = r, 7 см = 70 мм.
3) Пряма p не
оскільки OK > r, 2 дм > 18 см.
4) Пряма p перетинає
OK < r, 0,3 дм < 32 мм.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
дотику.
F, D – точки
За умовою EA : EB = 2 : 3. Нехай EA = 2x, EB = 3x.
точки до кола, маємо:
PΔABC = AB + BC + CA = (2x + 3x) + (3x + 2x) + (2x + 2x) = 14x.
За умовою P = 70 см, отже, 14x = 70 см, x = 5 см.
Тоді AB = BC = 2x + 3x = 5x = 5 ∙ 5 = 25 (см), AC = 2x + 2x = 4x = 4 ∙ 5 = 20 (см).
Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
∠C = 1 2 ◡BD = 1 2 ∙ 5 ∙ 36° = 90°.
∠D = 1 2 ◡AC = 1 2 ∙ 3 ∙ 36° = 54°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
3 см, 8 см і 3 см.
1) AB = 4 см.
2) AB = 4 см. Кола перетинаються.
CA = 3 см, AB = 8 см, BD = 3 см.
AO = AB : 2 = 8 см : 2 = 4 см.
CO = CA + AO = 3 см + 4 см = 7 см.
4 см, 7 см.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
якщо AB = 12 см.
OB = 10x, OA = 7x.
AB = OB – OA = 10x – 7x = 3x. За умовою 3x = 12 см, x = 4 см.
Тоді OB = 10 ∙ 4 = 40 (см), OA = 7 ∙ 4 = 28 (см). Відповідь: 40 см, 28 см.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
якщо вони відносяться як 5 : 3. Розгляньте
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
I випадок. Кола
Нехай O1K = 5x, OK = 3x,
тоді 5x + 3x = 16;
8x = 16; x = 2.
Отже, O1K = 5 ∙ 2 = 10 (см),
OK = 3 ∙ 2 = 6 (см).
Відповідь: 10 см, 6 см.
II випадок. Кола мають
Нехай OK = 5x, O1K = 3x.
дотик.
Тоді O1O = OK – O1K = 5x – 3x = 2x; 2x = 16; x = 8.
Отже, OK = 5 ∙ 8 = 40 (см), O1K = 3 ∙ 8 = 24 (см).
Відповідь: 40 см, 24 см.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1)
2)
C;
з'єднати т. A з т. M, т. A з т. N; ∠BAM = ∠MAD = ∠DAN = ∠NAC = 1 4 ∠BAC ⇒
1) На сторонах
A
точки B і C; з'єднаємо їх; 2) побудуємо ΔOMN = ΔABC, OM = AB, MN = BC, ON = AC; 3) на сторонах кута K позначимо точки F і L; з'єднаємо їх; 4) побудуємо ΔQPE = ΔKFL, KL = PQ, KF = EQ, FL = PE;
5) ∠BAC = ∠MON, ∠FKL = ∠EQP; продовжимо OM і QE до перетину; ∠ODQ є шуканим.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
AB = AC, ∠A = 90° ⇒ ∠B = ∠C = 45°; AK ⊥ BC; BK = AK = KC.
1) Накреслити BC; 2) поділити BC навпіл і провести через т. K
перпендикуляр; 3) відкласти KA = KB = KC; 4) з'єднати т. A з т. B і т. C. ΔABC є шуканим.
shkola.in.ua
1) Накреслити катет AB; 2) на сторонах ∠B провести дугу
3) по трьом сторонам
побудувати ΔBFK = ΔBMN; BF = BN, BK = BM, FK = MN; продовжити промінь BK; 4) від точки A відкласти
провести дуги;
з'єднати т. D з т. A і
промінь
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
AB < AC; ∠C = α.
1) Накреслити відрізок AC;
2) Побудувати ∠C = α;
3) з т. A провести дугу радіусом AB. Точки B1 і В2 — вершина трикутників AB1C і AB2C, які є шуканими. 46.
NT. Тоді ∠LNT= ∠B = ∠C.
shkola.in.ua
2) NP – бісектриса кута ∠LNT. Тоді ∠PNL = ∠KBC.
3) ∠KBC = 180° – (∠C + ∠KBC). Для побудови кута BKC від розгорнутого кута відкладемо ∠C і ∠KBC; ∠DEF = ∠C; ∠DEG = ∠KBC. Тоді ∠GEH = ∠BKC.
4) Будуємо ∠KBC за стороною і двома прилеглими кутами.
5) ∠KBQ = ∠CBK.
6) CK і BQ перетинаються в точці А.
7) ∆ABC – шуканий.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
2)
shkola.in.ua
1) 4х – 5у = 9; 3) 2х + 11y = 0; 5) 0x + 3y = 12. 52.3.
є: 1) 3х – 2y = 5; 2) 2x2 – 3y2 = 1; 4) 4x – 0y = 8; 6) 1 7 x + 1 8y = 1 9;
1) 3х – 2y = 5; 4) 4x – 0y = 8; 6) 1 7 x + 1 8y = 1 9 .
52.6. Які
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
пар чисел (10; 1), (1; 10), (7; 2), (7; –2), (9; 0) є розв’язками
чисел (10; 1) є розв’язком
х – у = 9, бо: 10 – 1 = 9; 9 = 9;
чисел (1; 10) не є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 1 – 10 = –9; –9 ≠ 9;
чисел (7; 2) не є розв’язком
чисел (7; –2) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 7 – (–2) = 7 + 2 = 9; 9 = 9;
чисел (9; 0) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 9 – 0 = 9; 9 = 9.
52.7. Які з пар чисел (2; 1), (2; –1), (0; 5), (1; 3), (–1; 5) є розв’язками рівняння 2х + у = 5?
Пара чисел (2; 1) є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 + 1 = 5; 5 = 5;
пара чисел (2; –1) не є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 – 1 = 3; 3 ≠ 5;
пара чисел (0; 5) є розв’язком рівняння
чисел (1; 3)
1; 5)
52.8. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел (–1; 3):
1) Пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 2х – 17y = 53, бо:
2 ∙ (–1) – 17 ∙ 3 = –2 – 51 = – 53; – 53 ≠ 53;
2) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 3х2 + у2 = 12, бо:
3 ∙ (–1)2 + 32 = 3 + 9 = 12; 12 = 12;
3) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння (х – 3)(у + 2) = –20; бо: ((–1) – 3)(3 + 2) = –4 ∙ 5 = –20; –20 = –20;
4) пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 0x + 4у = –12, бо:
0 ∙ (–1) + 4 ∙ 3 = 12; 12 ≠ –12;
5) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 0x + 0у = 0,
0 ∙ (–1) + 0 ∙ 3 = 0; 0 = 0;
6) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння х
(–1)2 + 1 = 32 – 7 = 2; 2 = 2. 52.9.
1) Пара чисел х = 2; у = –1 є
3 ∙ 2 – 1 = 5; 5 = 5;
2) пара чисел х = 2; у = –1 не є
22 + (–1)2 = 5; 5 ≠ 3;
3) пара чисел х = 2; у = –
2 ∙ 2 + 0 (–1) = 4; 4 = 4;
4)
–6. Якщо х = –3 , то –3 + у = –3; у = 0.
пари чисел (0; –3), (3; –6), (–3 ; 0) є
рівняння; 2) х – 2у = 5.
х = 0, то 0 – 2у = 5; 2у = –5; у = –2,5. Якщо х = = 3, то 3 – 2у = 5; 2у = –2; у = – 1. Якщо х = 5, то 5 – 2у = 5; 2у = = 0; у = 0. Отже, пари чисел (0; –2,5), (3; –1), (5; 0) є
рівняння.
52.11. Знайдіть
1) х – у = 2.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
-
Якщо х = 0, то 0 – у = 2; у = –2.
Якщо х = 3, то 3 – у = 2; у = 1.
Якщо х = –3 , то – 3 – у = 2; у = –5.
Отже, пари чисел (0; –2), (3; 1), (–3; –5) є
розв’язками рівняння; 2) х + 3у = 0.
52.12. Складіть лінійне рівняння з двома
=
Якщо х = 0, то 0 + 3у = 0; 3у = 0; у = 0.
Якщо х = 3, то 3 + 3у = 0; 3у = –3; у = –1.
Якщо х = 6, то 6 + 3у = 0; 3у = –6; у = –2.
Отже, пари чисел (0; 0), (3; –1), (6; –2 ) є розв’язками рівняння.
змінними 5х + 2у = 11, бо: 5 ∙ 3 + 2 ∙ (–2) = 11; 11
52.13
5x + 2у = –10, бо: 5 ∙ (–2) + 2 ∙ 0 = –10; –10 =
х = 9 + 3у.
у. 1) 3х – 2у = 12; –2у = 12 – 3х; у = –6 + 1,5х;
52.17. Виразивши
рівняння:
1) х + у = 29; у = 29 – х.
Якщо х = 0, то у = 29 – 0 = 29.
Якщо х = 9, то у = 29 – 9 = 20.
Отже, пари чисел (0; 29), (9; 20) є
розв’язками рівняння;
3) 3x – 2y = 15$ -2y = 15 – 3x;
y = (15 – 3x) : (-2);
y = 15 : (-2) + (-3x) : (-2);
y = -7,5 + 1,5x;
y = 1,5x – 7,5.
Якщо х = 0, то у = 1,5 ∙ 0 – 7,5 = 7,5.
Якщо х = 4, то у = 1,5 ∙ 4 – 7,5 = 1,5.
Отже, пари чисел (0; -7,5), (4; -1,5) є
розв’язками рівняння.
2) 3х – 2у = 12; 3х = 12 + 2у; х = 4 + 2 3у.
2) 5x + у = 7; у = 7 – 5х.
Якщо х = 0, то y = 7 – 5 ∙ 0 = 7.
Якщо х = 2, то у = 7 – 5 ∙ 2 = –3.
Отже, пари чисел (0; 7), (2; –3) є
розв’язками рівняння.
4) 6у – х = 5; 6у = 5 + х; у = (5 + х) : 6;
Якщо х = 1, то у = (5 + 1) : 6 = 6 : 6 = 1.
Якщо х = 7, то у = (5 + 7) : 6 = 12 : 6 = 2.
Отже, пари чисел (1; 1), (7; 2) є
розв’язками рівняння.
1) х – 2y = –8; х = –8 + 2у.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Якщо у = 0, то х = –8 + 2 ∙ 0 = –8.
Якщо у = 1, то х = –8 + 2 ∙ 1 = –6.
Якщо у = 4, то х = –8 + 2 ∙ 4 = 0.
Отже, пари чисел (–8; 0), (–6; 1), (0; 4) є
розв’язками рівняння;
3) 3х + 2у = 6; 2y = 6 – 3х; у = 3 – 1,5х.
Якщо х = 0,то y = 3 – 1,5 ∙ 0 = 3.
Якщо х = 2, то у = 3 – 1,5 ∙ 2 = 0.
Якщо х = 4, то у = 3 – 1,5 ∙ 4 = –3.
Отже, пари чисел (0; 3), (2; 0), (4; –3) є
розв’язками рівняння;
52.19
2) 7x – у = 9; –у = 9 – 7х; у = 7x – 9.
Якщо х = 0, то у = 7 ∙ 0 – 9 = –9.
Якщо х = 2, то 7 ∙ 2 – 9 = 5.
Якщо х = 4, то у = 7 ∙ 4 – 9 = 19.
Отже, пари чисел (0; –9), (2; 5), (4; 19) є
розв’язками рівняння;
4) 5x – 7y = 12; 5х = 12 + 7y; х = 1,4у + 2,4.
Якщо у = 0, то х = 1,4 ∙ 0 + 2,4 = 2,4.
Якщо у = 5, то х = 1,4 ∙ 5 + 2,4 = 9,4.
Якщо у = 10, то х = 1,4 ∙ 10 + 2,4 = 16,4.
Отже, пари чисел (2,4; 0), (9,4; 5), (16,4; 10) є розв’язками рівняння.
2 ∙ (–5) – р = –13; –10 – р = – 13; –р = –13 + 10; р = 3.
52.20. Пара чисел (n; –1) є розв’язком
n. Якщо пара чисел (n; –1) є розв’язком
3n + 5 ∙ (–1) = 4; 3n = 9; n = 3.
3х + 5y
52.21. Знайдіть m, якщо пара чисел (–1; –3) є розв’язком
1) Якщо пара чисел (–1; –3 ) є розв’язком
8х + 9у = m, то: 8 ∙ (–1) + 9 ∙ (–3) = m; – 8 – 27 = m; m = –35; 2) якщо
чисел (–1; –3 ) є
mх –2у = –9, то: m
(–1) – 2 ∙ (–3) = –9; –m + 6 = –9; –m = –15; m = 15. 52.22. При якому значенні
1) Якщо пара чисел (2; –1) є розв’язком рівняння 7x – 5y = d, то:
7 ∙ 2 – 5 ∙ (–1) = d; 14 + 5 = d; d = 19;
2) якщо пара чисел (2; –1 ) є
3 ∙ 2 + d ∙ (–1) = 8; 6 – d = 8; d = –2.
52.23. Знайдіть два деяких розв’язки
2(х – у) = 3(х +у) + 4;
2х – 2у = 3х + 3у + 4;
2х – 2у – 3х – 3у = 4; – х – 5у = 4;
х = –5y – 4.
Якщо у = 0, то х = –5 ∙ 0 – 4 = –4.
3х + dy = 8, то:
Якщо y = 2, то х = –5 ∙ 2 – 4 = –14. Отже, пари чисел (–4; 0), (–14; 2) є розв’язками рівняння.
52.24. Серед розв’язків рівняння х + 3у = 20
2) якщо
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
17х + 12у = 105, то: 17p – 12p = 105; 5p = 105; p = 21.
52.26. Знайдіть усі
1) 2х + у = –7.
Якщо х і у —
дорівнювати від’ємному числу.
Отже, таких пар натуральних чисел немає; 2) 3х + 2у = 5.
Якщо х і у — натуральні числа, то х може набирати лише значення 1.
Маємо: якщо х = 1, то 3 ∙ 1 + 2у = 5; 2у = 2; у = 1.
Розв’язком рівняння є пара чисел (1; 1);
3) х + 7y = 15.
Якщо х і у — натуральні числа, то у може
Маємо: якщо у = 1, то х + 7 ∙ 1 = 15; х = 8; якщо у = 2, то х + 7 ∙ 2 = 15; х = 1.
Розв’язком рівняння є пари чисел: (8; 1) або (1; 2);
4) ху = 7.
Якщо х і у —
Маємо: якщо у = 1, то x ∙ 1 = 7; х = 7; якщо у = 7, то х ∙
1) (х – 10)2 – х(х + 80) = х2 – 20х + 100 – х2 – 80x = 100 – 100х.
2) (5m + 3)2 – (5m – 3)2 = (5m + 3 – 5m + 3)(5m + 3 + 5m – 3) = 6 ∙ 10m = 60m.
Якщо m = –17 60, то 60m = 60 ∙ (–17 60) = –17.
52.29. Відомо, що а + b = –1, ab = –6.
1) a2b + ba2 = ab(a + b).
значення
Якщо а + b = –1, ab = –6, то ab(a + b) = –6 ∙ (–1) = 6; 2) а2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (а + b)2 – 2ab.
Якщо а + b = –1, ab = –6, то (а + b)2 – 2ab = (–1)2 – 2 ∙ (–6) = 13; 3) (а – b)2 = а2 – 2ab + b2 + 2ab – 2ab = а2 + 2ab + b2 – 2ab – 2ab = (а + b)2 – 4ab.
Якщо а + b = – 1, ab = –6, то (а + b)2 – 4ab = (–1)2 – 4 ∙ (–6) = 25; 4) а3 + b3 = (а + b)(a2 – ab + b2) = (а +
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) 180 ∙ (1 – 0,2) = 180 ∙ 0,8 = 144 (грн) –
2) 28 ∙ 144 = 4032 (грн) –
2) точка (4; –2)
53.2.
= 4?
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
(6; 0) належить
0), В(1; 3), С(3; –1), D(0; 4), Е(5; 1)
Точка A(4; 0) належить
B(1; 3) не
–1)
точка D(0; 4) не
3
–2;
точка E(5; 1) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 5 – 1 = 4; 4 = 4.
53.3. Чи проходить графік рівняння 7x + 5у = 25 через точку:
1) Пряма, що є графіком рівняння 7х + 5у = 25 не проходить через точку А(7; –4), бо:
7 ∙ 7 + 5 ∙ (–4) = 49 – 20 = 29; 29 ≠ 25;
2) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 проходить через точку B(5; –2), бо:
7 ∙ 5 + 5 ∙ (–2) = 25; 25 = 25;
3) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 не
7 ∙ (–1,4) + 5 ∙ 7 = –9,8 + 35 = 25,2; 25,2 ≠ 25;
4) пряма, що є графіком рівняння 7х + 5y = 25
7 ∙ 35 + 5 ∙ (–44) = 245 – 220 = 25; 25 = 25.
53.4. Графіки яких рівнянь проходять через
1) Графік рівняння 7х + 9у = 15 не проходить через
7 ∙ (–2) + 9 ∙ 3 = –14 + 27 = 13; 13 ≠ 15;
2) графік рівняння 4х – 17у = –59
4 ∙ (–2) – 17 ∙ 3 = –8 – 51 = –59; –59 = –59;
3) графік рівняння 0x + 5у = 15 проходить
0 ∙ (–2) + 5 ∙ 3 = 0 + 15 = 15; 15 = 15;
4) графік рівняння 1 2 х + 1 6y = –1
0 ∙ (–2) + 0 ∙
5
0
(–2) – 8 ∙ 7 = –10 – 56 = –66; –66 = –66;
рівняння 0x + 3y = 21
(–2) + 3 ∙ 7 = 21; 21 = 21;
рівняння –4x + 7у = 57
4 ∙ (–2) + 7 ∙ 7 = 8 + 49 = 57; 57 = 57.
53.6.
через точку С (–1,4; 7), бо:
через точку D(35; –44), бо:
Р(–2; 3), бо:
–2;
М(–2; 7),
точку М(–2; 7), бо:
5х – 8y = –66, 0x + 3y = 21, і –4х + 7y = 57
(6; 4) і (–5; 0).
53.8.
1) x – y = 5
y = x – 5
x 0 5
y –5 0
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) 0,5x + y = 3 y = 3 – 0,5x x 0 6
3) x + 3y = 0
���� =–x 3 x 0 3 y 0 –1
53.9.
1) x + y = 6 y = 6 – x x 1 5
y 5 1
4) 0,2x – 0,4y = 2 y = 0,5x – 5 x 0 2 y –5 –4
2) y – 2x = 0 y = 2x x 0 2 y 0 4
x
x 4 5 y 0 2
= 2x –
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
5x – 7y = 16
5x – 7 ∙ (–2) = 16; 5x + 14 = 16; 5x = 2; x = 0,4.
53.13. Побудуйте графік рівняння: 1) 0x + 2,5y = 12,5; 2,5y = 12,5; y = 5 x 0 2 y 5 5
2) 7x + 0y = –14; 7x = –14; x = –2 x –2 –2 y 0 2
3x = –12; x = –4 x –4 –4 y 0 2 x –4 0 y –3 –3
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) якщо у = 0, то 5х – 3 ∙ 0 = 15; 5х = 15; х = 3.
Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15
Якщо х = 0, то 5 ∙ 0 – 3у = 15; 3у = –15; у = –5.
Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15
53.18. He виконуючи
осями координат:
1) Якщо у = 0, то 3х + 0 = 18; 3х = 18; х = 6.
Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає
Якщох = 0, то 3 ∙ 0 + у = 18; у = 18.
(3; 0).
(0; –5).
х у точці (6; 0).
Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає вісь у у точці (0; 18); 2) якщо у = 0, то –7x – 2 ∙ 0 = 28; –7x = 28; х = –4.
Отже, графік рівняння –7x – 2у = 28 перетинає
Якщо х = 0, то –7 ∙ 0 – 2у = 28; –2у = 28; у = –14.
Отже, графік рівняння –7х – 2у = 28 перетинає
53.19. Побудуйте графік рівняння:
1) 2(x + y) – 3y = 1; 2x + 2y – 3y = 1; 2x – y = 1; ���� = 2x –1 x 0 2
х у точці (–4; 0).
у у
(0; –14).
1) 5(x y) 4(x + y) = 7; 5x – 5y – 4x – 4y = –7; x – 9y = –7 ���� = 7+x 9 x –7 2 y 0 1 ���� = 6 – 2x 3
53.21. He виконуючи
графік рівняння:
1) 2х – 6у = 0; 2x = 6у; х = 3у.
З рівності х = 3у слідує, що х і у
рівняння 2х – 6у = 0 розміщений у І і III
2) 3х + у = 0; у = –3х. З рівності у = –3х слідує, що х і у
графік рівняння 3х + у = 0 розміщений у II і IV
3) 1,9х = 190; х = 100.
Графіком рівняння 1,9х = 190 є
4) –8y = 720; у = –90. Графіком рівняння
x
3 5 + y+4 3 = 7 15 | ∙ 15;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3(x – 3) + 5(y + 4) = 7; 3x – 9 + 5y + 20 = 7; 3x + 5y = –4; ���� = 3x –4 5 3x + 5y = –4 x 2 –3 y –2 1
53.24.
1) значення у, якщо х = –8; 0; 12; 20; Якщо х = –8 , то у = –1 4 ∙ (–8) = 2;
якщо х = 0,то у = –1 4 ∙ 0 = 0; якщо x = 12, то у = –1 4 ∙ 12 = –3; якщо x = 20, то y = –1 4 ∙ 20 = –5;
53.25. Подайте у вигляді многочлена: 1) 64а2 – (8а – 1)2
2) значення х, якщо у = –2; 3; 10. y = –2, якщо: –2 = –1 4х; х = 8; у = 3, якщо: 3 = –1 4х; х = –12; у = 10, якщо: 10 = –1 4x; х = –40.
2) m2 + 4n2 – (m + 2n)2 – 12mn = m2 + 4n2 – m2 – 4mn – 4n2 – 12mn = –16mn; 3) 2m(m – 5) – (m – 5)2 = 2m2 – 10m – m2 + 10m – 25 = m2 – 25; 4) (х – 3)(х + 5) – (х
— 1,5(х + 20) (км). (x + 20)(2 – 0,5) = 1,5(х + 20) = (1,5x + 30) (км).
Рівняння: 2x + 1,5(х + 20) = 240; 2x + 1,5x + 30 = 240; 3,5x = 210; x = 210 : 3,5; x = 60 (км/год) – швидкість автобуса Швидкість автомобіля дорівнює 60 + 20 = 80 (км/год). Відповідь: 60 км/год і 80 км/год. 53.27. Відомо, що маса
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
53.28.
у = 0,5х + 2 x –4 2
y 0 3 у = 5 – х
x 0 5
y 5 0
А(2; 3) – точка перетину.
53.29. Доведіть, що для будь-якого значення х
х числом додатним. Розглянемо вираз x8 – x5 + x2 – x + 1.
1) Якщо х ≤ 0, то х8 ≥ 0, x5 ≤ 0, тоді –x5 ≥ 0, x2 ≥ 0, x ≤ 0, тоді –x ≥ 0,1 > 0.
Отже, x8 + (–x5) + x2 + (–x) + 1 > 0 ;
2) 0 < x ≤ 1. Врахувавши, що якщо 0 < x ≤ 1,то 0 < xn ≤ 1, одержимо:
х8 – x5 + х2 – x + 1 = х8 + x2(1 – х3) + (1 – x).
1 – x3 ≥ 0,1 – x ≥ 0, x8 > 0, x2 > 0, тому х8 – х5 + х2 – х + 1 > 0;
3) якщо x > 1, то xn > 1. x8 – x5 + x2 – x + 1 = x5(x3 – 1) + х( x – 1) + 1.
Отже, x5 > 1, x3 – 1 > 0, х > 0, х – 1 > 0, тому x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0.
Отже, x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) Пара чисел (2; 3) не є розв’язком системи �x + y = 5, x y = 1, бо: x + y = 2 + 3 = 5; 5 ≠ 1;
3) Пара чисел (3; 2) є розв’язком системи � x + y = 5, x y = 1; �3 + 2 = 5, 3 2 = 1.
54.4. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображено на малюнку 54.4? На малюнку 54.5?
Система, графіки рівнянь якої зображено на мал. 54.4,
(–2 ; 1), а на мал. 54.5 — не має жодного розв’язку, бо графіки рівнянь є паралельними прямими.
54.5. Чи є пара чисел (−2; 1) розв’язком системи:
1) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи
x + 2y = 0, 3x 7y = 13 бо: � 2 + 2 = 0, 3 · ( 2) 7 · 1 = 13; � 0 = 0, 13 = 13.
2) Пара чисел (−2; 1) не є розв’язком системи
5x + 7y = 3
9x 11y = 29. бо: 9 · (−2) − 11 · 1 = −18 − 11 = −29; −29 ≠ −29;
3) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи
2x = 5 9���� , 7y 12x = 31 бо: � 2 · ( 2) = 5 9 · 1 , 7 · 1 − 12 · (−2) = 31, � 4 = 4, 31 = 31.
54.6. Яка з пар (3; −4), (7; 2), (4; −3) є розв’язком системи:
1) Пара чисел (4; −3) є розв’язком системи
2x 3y = 17, 5x 2y = 14, бо: � 2 · 4 3 · ( 3) = 8 + 9 = 17, 5 · 4 + 2 · ( 3) = 20 6 = 14, � 17 = 17, 14 = 14;
2) Пара чисел (7; 2) є розв’язком системи
2x 7y = 0, 3x 5y = 31, бо: � 2 · 7 7 · 2 = 14 14 = 0, 3 · 7 + 5 · 2 = 21 + 10 = 31; � 0 = 0, 31 = 31.
54.7. Складіть систему лінійних
1) (1; −3); 2) (4; 5).
1) Пара чисел (1; −3) є розв’язком,
3x + 2y = 3, 5x − y = 8, бо: �3 · 1 + 2 · ( 3) = 3, 5 · 1 ( 3) = 8;
2) Пара чисел (4; 5) є
3x + 2y = 22, 5x y = 15, бо: �3 · 4 + 2 · 5 = 22, 5 · 4 5 = 15;
1)
y = −x
x 0 3 y 0 −3
y = 4 + x
x −2 0
y 2 4
Графіки перетинаються в точці C(−2; 2). Розв’язком системи є пара чисел (−2; 2).
2) Побудую графіки рівнянь на одній
площині: y = 2x x 0 2 y 0 4 y = 3+ x x 0 2
y 3 5 Графіки
(3; 6).
3) Побудую
x + y = 2
x 1 0 y 1 2 x + 2y = −1 x −1 −3 y 0 1
N(5; −3).
2)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) Побудую графіки рівнянь на одній
координатній площині:
x – y = 1
x 1 2
y 0 1
x – 2y = 4
x 0 4
y −2 0
Графіки перетинаються в точці P(−2; −3).
Розв’язком системи є пара чисел (−2; −3).
4) Побудую графіки рівнянь на одній
координатній площині: 3x + y = 7
x 1 2
y 4 1
x + y = 3
x 0 3
y 3 0
Графіки перетинаються в точці P(2; 1).
Розв’язком системи є пара чисел (2; 1).
54.11. Пара (2; −5) є розв'язком системи
і
Якщо пара чисел (2; −5) є розв'язком: � 2x +by=5, ax 6y = 13, то: � 2·2+b·( 5)=5, a·2 b·( 5)= 13; � 4 5b =5, 2a + 30 = 13; � 5b =1, 2a = 17; �b= 0,2, a= 8,5.
54.12. Знайдіть a і b, якщо пара (10; −2) є розв'язком системи рівнянь. Якщо пара чисел (10; −2) є розв'язком: �ax + 5y = 17, 3x by=9, то: �a· 10 5·( 2)= 17, 3· 10 +b·( 2)=9; �10a + 10 = 17, 30 + 2b =9; � 10a =7, 2b = 21; � a=0,7, b= 10,5.
54.13. Розв’яжіть
2x + 3y = 13 x 5 –1 y 1 5 3x – y = 3 x 1 0 y 0 −3
2)
2)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
.
1)
координатній площині. 2x − y = 5
x 0 2 y −5 −1
3x + y = 7 x 1 3 y 4 −2
Прямі перетинаються в точці E, отже,
система �2���� y = 5, 3x + y = 7 має єдиний розв’язок;
2) система �0,5x y = 4 | · ( 2), x + 2y = 8 � x + 2y = 8, x + 2y = 8
безліч розв’язків;
3) система �x + 5y = 76, y = 0,2x � x + 5y = 7, 0,2x + y = 0 | · 5; � x + 5y = 7, x + 5y = 7 не має розв'язків;
4) побудую графіки рівнянь на одній
координатній площині. x + 2y = 0 x 2 −2 y –1 1 2x + y = 0 x –1 1 y 2 −2
Прямі
2) система
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
x + y = 7, 3x y = 0
x 2y = 5 | · 2, 2x 4y = 7 �2x 4y = 10 2x 4y = 7
3) система � x = 2y | · 1,5, 1,5x 3y = 0 �1,5x − 3y = 0, 1,5x 3y = 0
x –1 0
y −1 −3 x + 5y = 4
x 4 −1
y 0 1 Наближеним розв’язком
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
� x + 3y = 7, 3x + y = 4; � 1,9 + 3 · 1,8 = 7, 3 · 1,9 1,8 = 4; �7,3 ≠ 7, 3,9 ≠ 4.
Отже, пара чисел (1,9; 1,8) не є розв’язком системи. Пара чисел (1,9; 1,7) є розв’язком системи: � x + 3y = 7, 3x y = 4; бо: � 1,9 + 3 · 1,7 = 1,9 + 5,1 = 7, 3 · 1,9 1,7 = 5,7 1,7 = 4; �7 = 7, 4 = 4.
54.19. Не виконуючи побудови, доведіть, що система рівнянь не має розв’язків. Система �x 7y = 8 | · ( 4), 4x + 28y = 31; � 4x + 28y = 32 4x + 28y = 31; не має розв’язків.
54.20
має безліч розв’язків.
Система �2x + 5y = 18 | · ( 1,5), −x − 7,5y = −27; � 3x 7,5y = 27, 3x 7,5y = 27; має безліч розв’язків.
54.21. Знайдіть які-небудь розв’язки системи. Скільки всього розв’язків
Розв’яжіть її. Розв’язком системи � 3x + y = 5, 9x 3y = 15 є,
бо: � 3 · 1 + 2 = 5, 9 · 1 3 · 2 = 15 � 5 = 5, 15 = 15;
Система
(1; 2),
3x + y = 5 | · ( 3), 9x 3y = 15; � 9x 3y = 15, 9x 3y = 15;
Виразимо з першого рівняння першої системи
системи є будь
y = 5 − 3x. 54.22.
1) Система �3x 2y = 5 | · ( 2), 6x + 4y = 10; � 6x + 4y = 10, 6x + 4y = 10;
x: 2y = 3x – 5; y = 1,5x − 2,5.
Розв’язком системи
�x + 3y = 4 | ·3, 3x + 9y = 12; �3x + 9y = 12,
3) 2(7y − 5)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) 7x + 2(4x + 3) = 9.
1) � 7x = 21 | ∶ 7, 2x 3y = 3; � x = 3, 2 · 3 − 3y = 3; � x = 3, 6 − 3y = 3; � x = 3, −3y = −3; � x = 3, y = 1;
Відповідь: (3; 1).
2) � 6x y = 17, 2y = 10 | ∶ ( 2); �6x y = 17, y = 5; �6x + 5 = 17, y = −5; � 6x = 12, y = 5; � x = 2, y = 5.
Відповідь: (2; −5).
55.4. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � x = y + 2, x 2y = 5; � x = y + 2, y + 2 2y = 5; � x = y + 2, y 2y = 5 2; �x = y + 2, y = 3; � x = 1, y = −3.
Відповідь: (−1; −3).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) � y = x 3, 5x + 2y = 29; � y = x − 3, 5x +2(x 3) = 29; � y = x 3, 5x + 2x 6 = 29; � y = x − 3, 5x + 2x = 29 + 6; �y = x − 3, 7x = 35; �y = x − 3, x = 5; �y = 5 3, x = 5; � y = 2, x = 5.
Відповідь: (5; 2).
55.5. Знайдіть розв’язок системи:
1) � 4x = 8 | ∶ ( 4), 5x 2y = 4; � x = 2, 5( 2) 2y =4; � x = 2, −10 − 2y = 4; � x = 2, 2y = 14; � x = 2, 5y = −7.
Відповідь: (−2; −7);
2) � y = x + 5, 7x + 3y = 5; � y = x + 5, 7x +3(x+5) = −5; � y = x + 5, 7x + 3x + 15 = 5; � y = x + 5, 7x + 3x = 5 15; � y = x + 5, 10x = 20; �y = x + 5, x = 2; � y = 3, x = 2.
Відповідь: (−2; 3).
55.6. Знайдіть розв’язок системи:
1) � x + y = 7, 2x + y = 9; � y = 7 x, 2x + 7 x = 9; � y = 7 x, x + 7 = 9; �y = 7 x, x = 2; � y = 5, x = 2.
Відповідь: (2; 5);
2) � x − y = −2, x 2y = 5; � x = y − 2, y 2 2y = 5; � x = y − 2, y 2y = 5 + 2; �x = y 2, y = −7; �x = 7 2, y = 7; � x = 9, y = 7.
Відповідь: (−9; −7);
3) � y x = 0, 4x + y = 15; � y = x, 4x + x = 15; � y = x, 5x = 15; � y = x, x = 3; � y = 3, x = 3.
Відповідь: (3; 3).
4) � 5x + 2y = 2, x 2y = 10; � 5x + 2y = 2, x = 2y + 10; �5(2y + 10) + 2y =2, x = 2y + 10; �10y + 50 + 2y =2, x = 2y + 10; �10y + 2y =2 50, x = 2y + 10; � 12y = 48, x = 2y + 10; � y = −4, x = 2( 4) + 10; �y = −4, x = 2.
Відповідь:(2; −4).
5) � x 3y = 7, 2x 3y = 3; � x = 3y + 7, 2(3y +7) 3y = 3; � x = 3y + 7, 6y + 14 3y = 3; � x = 3y + 7, 6y 3y = 3 14; �x = 3y + 7, 3y = 17; �x = 3y + 7, y = 17 3 ; �x=3 � 17 3 � +7, y = 17 3 ; � x = 10, y = 17 3 .
Відповідь: (−10; 17 3 ).
6) �5x − 3y = −19, 2x + y = −1; �5x − 3y = −19, y = −1 − 2x; �5x 3( 1 2x) = 19, y = 1 2x; �5x + 3 + 6x = 19, y = 1 2x; � 11x = 22, y = −1 − 2x; � x = 2, y= 1 2( 2); �x = 2, y = 3.
Відповідь: (−2; 3).
55.7. Розв’яжіть систему
1) � x + y = 4, 3x + y = 6; � y = 4 x, 3x + 4 x = 6; �y = 4 x, 2x = 2; �y = 4 x, x = 1; � y = 3, x = 1.
Відповідь: (1; 3).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) � x − y = 0, x − 2y = 8; � x= y, x 2y = 8; � x= y, y = 8; � x= y, y = 8; � x= 8, y = 8;
Відповідь: (−8; −8).
3) � y x = 5, 2x + y = 4; � y = x 5, 2x + x 5 = 4; � y = x 5, 2x + x =4 + 5; �y = x 5, 3x = 9; �y = x 5, x = 3; �y = 2, x = 3;
Відповідь: (3; −2).
4) �3x 2y = 6, x + 2y = 2; �3x 2y = 6, x = 2 − 2y; �3(2 2y) 2y = 6, x = 2 2y; �6 6y 2y = 6, x = 2 − 2y; � 6y 2y =6 6, x = 2 2y; � 8y = 0, x = 2 2y; � y = 0, x = 2.
Відповідь: (2; 0).
55.8. He виконуючи побудови, знайдіть
рівнянь х + у = 4 і 2х + 3у = 9.
систему:
x + y = 4, 2x + 3y = 9; � x = 4 y, 2(4 y) + 3y =9; � x = 4 − y, 8 − 2y + 3y = 9;
x = 4 y, 2y + 3y = 9 8; �x = 4 y, y = 1; � x = 3, y = 1.
Відповідь: (3; 1).
55.9. He виконуючи
у = 3 і 3х + 2у = 14.
у = 3, 3x + 2у = 14;
=3+ у, 9 + 3у + 2у = 14; � x =3+ у, 3у + 2у = 14 – 19; �x =3+ у, 5у = 5; �x =3+ у, y = 1; � x =4, y = 1;
Відповідь: (4; 1).
55.10. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � 3x + 4y = 0, 2x 7y = 29; � 3x = 4y, 2x 7y = 29; � x = 4 3 y, 2( 4 3 y 7y = 29 | · 3;
x = 4 3 y, 8y + 21y =
Відповідь: (4; −3).
2) � 8x 5y = 41, 4x + 3y = 7; � 5y = 8x 41, 4x + 3y = 7;
, 20x + 3(8x 41) = 35;
y = 8 · 2 41 5 , x = 2; �y = 5, x = 2.
Відповідь: (2; −5).
3) � 2a 5b = 0, 7a + 4b = 27; � 2a = 5b, 7a + 4b = 27; � a = 5 2 b, 7 5 2 b + 4b = 27 | · 2;
a = 5 2 b, 35b + 8b = 54;
Відповідь: (−5; −2).
= 5 2 b, 27b = 54;
4) � 10m 2n = 9, 9m + 4n = 38; �2n = 10m 39, 9m + 4n = 38; � n = 10m 39 2 , 9m + 4 10m 39 2 = 38;
n = 10m 39 2 , 9m + 20m − 78 = 38;
Відповідь: (1 2; 4). 55.11.
1)
Відповідь: ( 3; 4).
2) �2x + 9���� = 59, 5���� 4y = 38;
= −59 9y
, 5(59 + 9����) +8����
x = −59 9y 2 , 53���� = 371; �x = −59 9y 2 , ���� = −7; �x = −59 −9(−7) 2 , ���� = 7; � x = 2, y = 7.
Відповідь: (2; –7).
3) � 3p – 7q = 0, 2p + 9���� = 41; � 3p – 7q = 0, 2p = 41 – 9q; �3(20,5 –4,5q) – 7q =0, p= 20,5 –4,5q; �61,5 – 13,5q – 7q = 0, p= 20,5 –4,5q; � – 20,5q = – 61,5, p= 20,5 –4,5q; � q =3, p= 20,5 –4,5 ∙ 3; � q =3, p= 7.
Відповідь: (7; 3);
4) � 6a – 7b = 51, 2a + 3b = – 15; � 6a – 7b = 51, 2a = – 15 – 3b; �6a – 7b = 51, a = –15 – 3b 2 ; �6 –15 – 3b 2 – 7b = 51 | · ( 2), a = –15 – 3b 2 ; �6(15 + 3b) + 14b = –102, a = –15 – 3b 2 ;
90 + 18b + 14b = –102, a = –15 – 3b 2 ; � 32b = –192, a = –15 – 3b 2 ; � b = –6, a = –15 – 3(–6) 2 ; � b = –6, a = 1,5.
Відповідь: (1,5; –6).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
55.12. Знайдіть розв’язок
1) �
рівнянь:
7(x – 3) + 8 = 4 + 5x, 4(x – y) – 7y = 6,5; �7x – 21 + 8 = 4 + 5x, 4x – 4y – 7y = 6,5; �7x – 5x = 4 + 21 – 8, 4x – 11y = 6,5; � 2x = 17, 4x – 11y = 6,5; � x = 8,5, 4 · 8,5 – 11���� = 6,5; � x = 8,5, 34 – 11y = 6,5; � x = 8,5, 11y = 27,5; � x = 8,5, y = 2,5;
Відповідь: (8,5; 2,5);
2) � 4(x + y) – 3y = 2, 9(x – 2y) – 6x = – 11; � 4x + 4y – 3y = 2, 9x – 18y – 6x = – 11; � 4x + y= 2, 3x – 18y = – 11;
y= 2 – 4x, 3x – 18(2 – 4x) = – 11; � y= 2 – 4x, 3x – 36 + 72x = – 11; � y= 2 – 4x, 75x = 25;
y= 2 – 4x, x = 1 3 ; � y= 2 – 4 1 3 , x = 1 3 ; � y= 2 3 , x = 1 3 .
Відповідь: (1 3; 2 3)
55.13. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � 4(x + y) – 8y = –4, 7(y + 1) – (y + 3) = 19; � 4x + 4y – 8y = –4, 7y + 7 – y – 3 = 19; �4x – 4y = –4 | ∶ 4, 6y = 15;
x – y = –1, y = 2,5; �x – 2,5 = –1, y = 2,5; �x = 1,5, y = 2,5.
Відповідь: (1,5; 2,5); 2) � 8(x+y)– 12y =6, 6(3x–1) + 18x = 13; � 8x + 8y – 12y = 6, 18x – 6y + 18x = 13;
2y = 4x – 3, 36x – 6y = 13;
Відповідь: (1 6;7 6) 55.14. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) �
8 (x – y) = 9 | · 8, 1 3 (x – y) = 7 | · 3; � x – y = 72, x + y = 21; � x = y + 72, y + 72 + y = 21; �x = y + 72, y = – 25,5; � x = 46,5, y = – 25,5.
Відповідь: (46,5; –25,5); 2) � 0,2(2x + y) = 3 | ·5, 0,7(x – 4y) = –1,05 | ∶ 0,7; � 2x + y = 15, x – 4y = –1,5; � y = 15 – 2x, x – 4(15 – 2x)= –1,5; � y = 15 – 2x, x – 60 + 8x = 1,5; �y = 15 – 2x, 9x = 58,5; �y = 15 – 2x, x = 6,5; � y = 2, x = 6,5;
Відповідь: (6,5; 2).
55.15. Знайдіть розв’язки системи рівнянь: 1) �0,4(x + y) = 12 | ∶ 0,4, 0,6(x – y) = 19 | ∶ 0,6; �x + y = 30, x – y = 15; � y = 30 – x, x – 30 + x = 15; � y = 30 – x, 2x = 45; � y = 30 – x, x = 22,5; � y = 7,5, x = 22,5.
Відповідь: (22,5; 7,5);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
7 (2x + y) = 13 | · 7, 1
3 (x – 3y) = 14 | · 3; �2x + y = 91, x – 3y = 42; � y = 91 – 2x, x – 3(91 – 2x) = 42;
y = 91 – 2x, x – 273 + 6x = 42; �y = 91 – 2x, 7x = 315; �y = 91 – 2x, x = 45; � y = 1, x = 45.
Відповідь: (45; 1);
55.16. Розв’яжіть систему рівнянь:
x + 1
5 + y – 1 3 = 1 | · 15, x + 2
6 + y + 2 3 = 2 | · 6; �3(x + 1) + 5(y – 1) = 15, x + 2 + 2(y + 2) = 12; � 3x + 3 + 5y – 5 = 15, x + 2 + 2y + 4 = 12;
3x + 5y = 17, x + 2y = 6; �3x + 5y = 17, x = 6 – 2����; �3(6 – 2y) + 5y = 17, x = 6 – 2y; �18 – 6y + 5y = 17, x = 6 – 2y;
–y = –1, x = 6 – 2y; � y = 1, x = 4;
Відповідь: (4; 1)
55.17. Розв’яжіть систему рівнянь:
x 4 2 + y + 11 4 = 1 | · 4, x + 7
3 + y 4 7 = 2 | · 21; � 2(x 4) + y + 11 = 4, 7(x + 7) + 3(y 4) = 42; � 2x 8 + y + 11 = 4, 7x + 49 + 3y 12 = 42;
2x + y = 1, 7x + 3y = 5; � y = 1 − 2x, 7x + 3(1 2x) = 5; � y = 1 2x, 7x + 3 6x = 5; � y = 1 − 2x, x = 2;
y = 1 − 2 · 2, x = 2; � y = 3, x = 2.
Відповідь: (2; −3).
55.18. Доведіть, що графіки
2х – 3у = 4 , 4х – 6у = 9;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
–4 = k · (–6) + l, 11 = k · 4 + l; � l = –4 + 2k, 11 = 4k – 4 + 2k; �l = –4 + 2k, 6k = 15; �l = –4 + 2k, k = 2,5;
l = –4 + 2 · 2,5, k = 2,5; � l = 1, k = 2,5;
Відповідь: у = 2,5x + 1.
55.21. При яких значеннях m система:
1) не має розв’язків; �2x + y = 8 | · 2, 4x + my = 10; � 4x + 2y = 16, 4x + my = 10 не має розв’язків, якщо m = 2.
2) має безліч розв’язків? � x 3y = 5 | · 4, mx 12y = 20; � 4x − 12y = 20, mx 12y = 20
55.22. Побудуйте графік
розв’язків, якщо m = 4.
яких у
0; 4. y = 2 3 x x 0 3 y 0 2
1) Якщо х = –6, то у = 74; якщо х = 0, то у = 0; якщо x = 3, то у = 2; 2) у = –2, якщо х = – 3; у = 0, якщо х = 0; у = 4, якщо х = 6.
55.23. Розкладіть многочлен на множники:
1) 9m2 + 12m5 – 18m3 = 3m2 (3 + 4m3 – 6m); 2) 3x4y2 – 9х2y3 + 12x3y = 3х2у(x2
(a4 – 2)(a2 + 3); 4) рq – 6р + р2 – 6q = (pq + р2) – (6р + 6q) = p(q + р) – 6(q + р) = (q + р)(р – 6).
55.24. Доведіть, що рівняння
1) Рівняння x2 + 4 = 0
2) x2 – 6х + 13 = 0; x2 – 6х + 9 + 4 = 0; (х – 3)2 + 4 = 0.
3) 4x2 – 12х + 16 = 0;
4х2 – 12х + 9 + 7 = 0;
(2х – 3)2 + 7 = 0.
1)
3)
2)
1м3 = 1000
1м3 = 35
3,15 грн.
х, х + 1, х
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
56.1. Яке рівняння одержимо,
5x = 15;
2) Якщо
4x + 3y = 9, 4x + y = 1,
4y = 10.
1) �x – 4y = 9 | · 2, – 2x + 7y = 8; � 2x – 8y = 18, – 2x + 7y = 8. Відповідь: На число 2;
–3.
2) �3x + 7y = 19 | · (– 4), 12x 8y = 4; �– 12x – 28y = – 76, 12x 8y = 4. Відповідь: На число – 4.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) � 3x + y = 9, 17x + 19y = 15; � y = 9 – 3x, 17x + 19y = 15 –
й одержимо: 17x + 19(9 – 3x) = 15;
2) � 5x + 7y = 8, 10x 7y = 17; –
15x = 25;
3) �4x + 15y = 27 | · (–3), 12x + 17y = 49; � 12x 45y = 81, 12x + 17y = 49; –
додавання й одержимо рівняння: –28x = –32;
4) � x + y = 10 | · (– 2016), 2015x + 2016y = 2017; �– 2016x – 2016 y = – 20160, 2015x + 2016y = 2017; –
розв’язати способом додавання.
56.5. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:
1) � x + y = 7, x y = 9;
Додамо
x = 8 у перше рівняння системи
8 + y = 7; y = −1.
Відповідь: (8; −1).
2) �2x + y = 3, 2x y = 5.
Додамо
значення x = 2 у
2 · 2 + y = 3; y = −1.
Відповідь: (2; −1);
3) � 4x + 3y = 7, 4x y = 5.
Додамо
значення y = 1
4x + 3 = 7; 4x = 4; x = 1.
Відповідь: (1; 1).
4) � 2x – 8y = 7, 2x + 7y = 5.
Додамо
y = –12
2x − 8 · (−12) = 7; 2x + 96 = 7; 2x = −89; x = −44,5.
Відповідь: (−44,5; −12).
1) � 2x – y = 8, 3x + y = 12
2 · 4 − y = 8; 7 = 0.
(4; 0).
2) � 3x + 2y = 8, 3x + 5y = 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3x + 2 · 1 = 8; 3x = 6; x = 2.
Відповідь: (2; 1).
56.7. Розв’яжіть систему рівнянь
1) �2x + 3y = −1 | · (–1), 4x + 3y = 1; � 2x 3y = 1, 4x + 3y = 1;
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = 2, x = 1. Підставимо
значення x = 1 у друге рівняння системи
4 · 1 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1.
Відповідь: (1; −1).
2) �7x + 2y = 5 | · (–1), 7x 3y = 45; � 7x 2y = 5, 7x 3y = 45
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −5y = −40, y = −8. Підставимо
значення y = −8 у друге рівняння системи й отримаємо: 7x – 3(−8) = 45; 7x + 24 = 45; 7x = 21; x = 3.
Відповідь: (3; −8).
56.8. Знайдіть розв’язок
1) �4x + y = 7 | · (–1), 5x + y = 1; � 4x y = 7, 5x + y = 1.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи:
x = −8 у друге рівняння системи й отримаємо:
−40 + y = −1; y = 39.
Відповідь: (−8; 39).
2) �2x + 3y = 5 | · (–1), 2x − 4y = −9; �−2x − 3y = −5, 2x − 4y = −9.
Додамо почленно ліві
значення y = 2 у
2x − 8 = −9; 2x = −1; x = −0,5.
Відповідь: (−0,5; 2).
56.9. Знайдіть розв’язок
1) �x + y = 4 | · 5, 3x 5y = 20; � 5x + 5y = 20, 3x 5y = 20.
Додамо
значення x = 5 у
3 · 5 − 5y = 20; 15 − 5y = 20; 5y = −5;y = −1. Відповідь: (5; −1);
2) �3x − y = 5 | · 7, 2x + 7y = 11; �21x − 7y = 35, 2x + 7y = 11.
x = 2
2 · 2 + 7y = 11; 4 + 7y = 11; 7y = 7; y = 1. Відповідь: (2; 1). 56.10
1) �x y = 3 | · 3, 2x + 3y = 1; � 3x − 3y = 9, 2x + 3y = 1.
x = 2
4 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1.
(2; −1);
−7y = −14; y = 2.
8x = 40, x = 5.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) �7x + y = 2 | · 4, 5x 4y = 25; � 28x + 4y = 8, 5x 4y = 25.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 33x = 33; x = 1. Підставимо значення x = 1 у друге рівняння системи й отримаємо:
5 − 4y = 25; 4y = −20; y = −5.
Відповідь: (1; −5).
56.11. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) �7x + 2y = −3 | · 2, −14x + 3y = 20; � 14x + 4y = 6, 14x + 3y = 20.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 7y = 14, y = 2. Підставимо
значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: −14x + 6 = 20; −14x = 14; x = −1.
Відповідь: (−1; 2);
2) �3x + 5y = 19 | · 2, 7x 10y = 1; �6x + 10y = 38, 7x − 10y = 1.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13x = 39; x = 3. Підставимо
значення x = 3 у друге рівняння системи й отримаємо: 21 − 10y = 1; 10y = 20; y = 2.
Відповідь: (3; 2).
3) � 4x + 5y = 7, 2x 3y = 2 | · ( 2); � 4x + 5y = 7, 4x + 6y = 4.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 11y = 11; y = 1. Підставимо
значення y = 1 у
рівняння системи
4x + 5 = 7; 4x = 2; x = 0,5.
Відповідь: (0,5; 1).
4) �2x + 9y = 1 | · ( 4), 7x + 36y = 8; � 8x 36y = 4, 7x + 36y = 8.
Додамо почленно ліві і
значення x = 4 у друге рівняння системи
28 + 36y = −8; 36y = −36; y = −1.
Відповідь: (4; −1).
56.12. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) �3x + 2y = 1 | · 3, 9x + 7y = 23; � 9x + 6y = 3, 9x + 7y = 23.
Додамо
y = 2
−9x + 7 · 2 = 23; −9x + 14 = 23; −9x = 9; x = −1. Відповідь: (−1; 2).
2) �4x + 2y = 2 | · 2, 5x 4y = 9; � 8x + 4y = 4, 5x − 4y = 9.
x = 1
5 − 4y = 9; −4y = 4; y = −1.
(1; −1).
3) �5x + 3y = 1 | · ( 3), 15x 7y = 51; � 15x 9y = 3, 15x − 7y = 51.
−x = −4, x = 4. Підставимо
13y = 26; y = 2.
13x = 13; x = 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
5x − 9 = 1; 5x = 10; x = 2.
Відповідь: (2; −3).
4) �4m + 5b = 5| · ( 4), 7m + 20b = 11; � 16m 20b = 20, 7m + 20b = 11;
Додамо почленно
−9m = −9; m = 1. Підставимо значення m = 1 у
4 + 5b = 5; 5b = 1; b = 0,2.
Відповідь: (1; 0,2).
56.13. Знайдіть розв’язок системи способом
1) �2x + 3y = 1 | · ( 3), 3x + 5y = 2 | ·2; � 6x 9y = 3, 6x + 10y = 4;
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння першої системи й отримаємо:
2x + 3 = 1; 2x = −2; x = −1.
Відповідь: (−1; 1).
2) �2a − 3b = 7 | · (−3), 3a + 4b = 2 | · 2; �−6a + 9b = −21, 6a + 8b = 4.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь
17b = −17; b = −1. Підставимо значення b = −1 у перше рівняння
2a + 3 = 7; 2a = 4; a = 2.
Відповідь: (2; −1).
3) �10m 6n = 18 | · ( 3), 15m + 7n = 59 | · 2; � 30 + 18n = 54, 30m + 14n = 118.
Додамо почленно
значення n = 2 у
10m − 12 = 18; 10m = 30; m = 3.
Відповідь: (3; 2).
4) �14x 8y = 6 | · ( 3), 21x + 10y = 2 | · 2;
Додамо
y = 0,5
14x − 4 = −6; 14x = −2; x = −1 7 .
(−1 7; 0,5).
1) �3x + 4y = 10 | · ( 5), 5x − 7y = 3 | ·3; � 15x 20y = 50, 15x 21y = 9;
y = 1 у
3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2.
(2; 1).
−41y = −41; y = 1.
2) �15x − 3y = −15 | · (−7), 20x 7y = 41 | · 3; � 105x + 21y = 105, 60x 21y = 123.
x = 0,4
6 − 3y = −15; −3y = −21; y = 7.
(0,4; 7).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
56.15. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � 5(x 2) = 2y 1, 3(x + 3) = 12(y + 3); � 5x 10 = 2y 1, x + 3 = 4y + 12; �5x 2y = 1 + 10, x 4y = 12 3; �5x 2y = 9 | · ( 2), x 4y = 9; � 10x + 4y = 18), x 4y = 9.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −9x = −9; x = 1. Підставимо
значення x = 1 у перше рівняння четвертої системи й отримаємо: 5 · 1 − 2y = 9; 5 − 2y = 9; 2y = −4; y = −2.
Відповідь: (1; −2); 2) � 4(a + 2b) 5a = 0,4, 7(3a 4b) + 3b = 5,9; � 4a + 8b 5a = 0,4, 21a 28b + 3b = 5,9; � a + 8b = 0,4 | · 21, 21a 25b = 5,9; � 21a 168b = 8,4, 21a 25b = 5,9.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 143b = 14,3; b = 0,1. Підставимо
значення b = 0,1 у перше рівняння передостанньої системи й отримаємо:
−a + 8 · 0,1 = 0,4; −a + 0,8 = 0,4; −a = −0,4; a = 0,4.
Відповідь: (0,4; 0,1).
56.16. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � 7(x + 3) = 3y + 1, 4(2 x) = 5(y + 1) + 1; � 7x + 21 = 3y + 1, 8 4x = 5y + 5 + 1; � 7x 3y = 1 21, 4x 5y = 5 + 1 8; � 28x 12y = 80, 28x 35y = 14.
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −47y = −94; y = 2. Підставимо
значення y = 2. у перше рівняння передостанньої
7x − 6 = −20; 7x = −14; x = −2.
Відповідь: (−2; 2).
2) � 4(m 2n) 7m = 9,6, 5(4m + 3n) + 8n = 18,5;
7m = 9,6, 20m + 15n + 8n = 18,5; � 3m 8n = 9,6 | · 20, 20m + 23n = −18,5 = | · 3;
n = –1.5
–3m + 12 = 9,6; –3m = −2,4; m = 0,8
(0,8; −1,5).
60m 160n = 192, 60m + 69n = −55,5.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
b = 3k + 6, k = 2 3 ; �b = 3( 2 3) + 6, k = 2 3 ; � b = 4, k = 2 3 .
56.18.
функцію формулою. Якщо графік лінійної
5 = 1+ b; b = 4.
Відповідь: у = –0,25х + 4. 56.19. Розв’яжіть систему
x + 2y = 7, x + 2y = 5.
Додамо почленно
–x + 6 = 7; x = –1.
Відповідь: (–1; 3).
2) � (х – 1)² + у = (х + 2)² – 23, (х + 2)² + (у – 1)² = х² + (у + 7)²;
х² + 2х + 1 + у = х² + 4х + 4 – 23,
х² – 2х + у
х² –
=
–
–
х² + 4х + у² – 2у – х² – у² – 14у = 49 – 4 – 1; � – 6х + у = –20, 4х – 169у = 44 | · 1,5; �– 6х + у = –20, 6х – 24у = 66. –23у = 46; у = –2; –6х + (–2) = –20; –6х = –18; х = 3. Відповідь: (3; –2). 56.20. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � x + 3 4 y 4
y = − 2 3 x + 4.
| · 18; � 2(x+3) (y 4) = 14, 3(x 4) +2(y+2) = 9; � 2x + 6 y + 4 = 14, 3x 12 + 2y + 4 = 9;
2x − y = −9 + 12 − 4, 3x + 2y = −9 + 12 − 4; �2x y = 4 | · 2, 3x + 2y = 1; � 4x − y = 8, 3x + 2y = −1.
(1; –2); 2) � (x y)(y + 2) = x(y – 1) , x(y + 3) = (x + 1)(y − 2); � xy + 2x y 2 = xy x , xy + 3x = xy 2x + y 2; � xy + 2x y xy + x = 2 , xy + 3x xy + 2x y = 2; �3x y = 2 | · ( 1) , 5x y = 2; � 3x + y = 2, 5x y = 2.
2x =
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
6 + y = –2; y = –8.
Відповідь: (–2; –8).
56.21. З’ясуйте, чи
1) �3x y = 2 | · ( 2), 6x + 2y = 5; � 6x + 2y = 4, −6x + 2y = 5; — cистема не має розв’язку.
Відповідь: Не має розв’язку;
2) � 4x + 3y = 7 |· 2, 8x + 6y = 14; � −8x + 6y = 14, −8x + 6y = 14; — cистема має безліч розв’язків.
Відповідь: Має безліч розв’язків.
56.22. Чи належать графіку функції у = –4,5х + 1 точки: А(–2; 10), B(0; –1), С(4; 17), D(10; –44)?
1) Точка А(–2; 10) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: 10 = –4,5 ∙ (–2) + 1; 10 = 9 + 1; 10 = 10 — правильна рівність;
2) точка B(0; –1) не належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –1 = –4,5 ∙ 0 + 1; –1 = 1 — неправильна рівність;
3) точка С(4; 17) не належить графіку функції у
4,5x + 1, бо: 17 = –4,5 ∙ 4 + 1; 17 = –18 + 1; 17 = –17 —
4) точка D(10; –44) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –44 = –4,5 ∙ 10 + 1; –44 = –44 — правильна рівність. 56.23. Пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: Знайдіть a і b.
Якщо пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: � ax – 2y = 8, bx – ay = 7; то повинна
� – 2a + 6 = 8, – 2b + 3a = 7; � – 2a = 2, – 2b + 3a = 7; � a = –1, – 2b – 3 = 7; � a = –1, b = –5.
Відповідь: a = –1; b = –5.
1) 400 : 4 = 100 (г)
2) 100 + 60 = 160 (г) – яблук;
3) 100 : 5 = 20 (г) – горіхів;
4) 20 : 2 = 10 (г) – лимонного соку.
5) 400 – (100 + 100 + 160 + 20 + 10) = 10 (г)
56.26.
x2 + 2018 = у2; x2 – y2 = –2018; (х – у)(х + у)= –2018.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
скільки за другу?
Нехай кухар
Система:
�x + y = 260, y – x = 20; � x + y = 260, –x + y = 20; 2y = 280; у = 140.
х + 140 = 260; х = 120.
Відповідь: 120 пельменів; 140 пельменів.
57.3. За
x+ 3y = 32│
(–3), 3x+y = 24;
системи отримаємо:
+ 3 ∙ 9 = 32; х + 27 = 32; х = 5.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
за один футбольний?
Нехай футбольний м’яч коштує
3x + 2y = 1088, 2y – x = 192│ ∙ 3; � 3x + 2y = 1088, – 3x + 6y = 576; 8y = 1664; у = 208.
рівняння першої системи
2 ∙ 208 – x = 192; х = 224.
. 2 акумулятори і 3
3(x + y) + 2(x – y) = 92, 9(x + y) = 5 · 2x; �3x + 3y + 2x – 2y = 92, 9x + 9y = 10x; �5x + y= 92, 9y = x; �5 · 9y + y = 92, x = 9y; �46y = 92, x = 9y; � y= 2, x = 18. Відповідь:
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2(x + y) + 5(x – y) = 110, 0,7(x + y) = x – y; �2x + 2y + 5x – 5y = 110, 0,7x + 0,7y – x + y = 0; � 7x – 3y = 110, –0,3x + 1,7y = 0 | · 10; � 7x – 3y = 110 | · 3, – 3x + 17y = 0 | · 7; � 21x – 9y = 330, – 21x + 119y = 0; 110y = 330; y = 3 З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 7x – 9 = 110; 7x = 119; x = 17. Відповідь: Власна швидкість човна 17 км/год, швидкість течії 3 км/год. 57.13.
3x + 3y = 168, 6y – 6x = 168 | ∶ 2; � 3x + 3y = 168, – 3x + 3y = 84; y = 42.
Швидкість велосипедиста 14 км/год, а
— 42 км/год. 57.14. Сума двох чисел дорівнює 62. Знайдіть
60 % від другого разом складають
х + 38 = 62; х = 24.
дорівнює 72.
3���� = 2.
4y = –40; y = 10.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
.
системи:
1) �x + y= 17, x – y = 5; 2х = 22; х = 11. З першого рівняння системи отримаємо:
11 + у = 17; y = 6.
Відповідь: (11; 6).
За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: сума
чисел дорівнює 17, а їх різниця — 5. Знайти ці числа.
2) � 2x + 3y = 15, x – y = 1 | ∙ 3; �2x + 3y = 15, 3x – 3y = 3;
5х = 18; х = 3,6.
З другого рівняння системи отримаємо: 3,6 – у = 1; у = 2,6.
Відповідь: (3,6; 2,6).
За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку
заплатили 15 грн. Скільки
1) � x – y = 8, x + y = 12; 2х = 20; х = 10. З першого рівняння системи отримаємо: 10 – у = 8; у = 2.
Відповідь: (10; 2).
За допомогою цієї системи
12 років. Скільки років
2) �2x + y = 18, 3x – y = 2; 5х –
8 + у = 18; у =10.
(4; 10).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
� x + y = 200, 11 24 ���� = 3 8 y | · 24; �x + y = 200, 11x = 9y; � x = 200 – у, 11(200 – у) = 9y; � x = 200 – у, 2200 – 11у = 9y; � x = 200 – у, 2200 = 20y; �x = 200 – у, у = 110; � x = 90, у = 110.
Відповідь: Перше число 90,
x + y = 20 | · (–6), 6x + 7,5���� = 132; � – 6x – 6y = – 120, 6x + 7,5���� = 132; 1,5y = 12; y = 8.
: x + 8 = 20; x = 12.
Відповідь: 12
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
вартість світильника становить х – 0,15 х = 0,85х (грн), а ліхтарика — y + 0,1y – 1,1y (грн). Друге рівняння: 0,85х + 1,1y = 196. Система: � 5x + 4y = 896│ ∙ 1,1, 0,85x + 1,1y = 196 │ ∙ (–4); � 5,5x + 4,4y = 985,6, –3,4x – 4,4y = – 784; 2,1x = 201,6; х = 96.
З першого рівняння першої системи отримаємо: 480 + 4у = 896; 4y = 416; у = 104.
Відповідь: Світильник коштував 96 грн, а ліхтарик — 104 грн.
57.27. Два кондитерських цехи
x + y = 300 │ ∙ 0,6, 0,55x – 0,6y = 27; �0,6x + 0,6y = 180, 0,55x – 0,6y = 27; 1,15х = 207; х = 180.
180 + у = 300; у = 120. Відповідь: 180 тортів і 120 тортів. 57.28
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
(0,02x + 0,06у) грамів.
0,02х + 0,06у = 0,05 ∙ 200; 0,02х + 0,06у = 10. Система:
x + y = 200; 0,02x + 0,06y = 10│: (–0,02); � x + y = 200; –x – 3y = – 500; –2у = –300; у =150.
З першого рівняння першої
х + 150 = 200; х = 50.
+ 0,24у)
x + y = 260
(–0,09); 0,09x + 0,24y = 39; �–0,09x – 0,09y = – 23,4; 0,09x + 0,24y = 39; 0,15y = 15,6; у = 104.
першого рівняння першої системи
х + 104 = 260; х = 156. Відповідь: 156 г першого
x
4=8(y – 4), x + 20 = 2y + 40; �x – 4 = 8y – 32, x – 2y = 20;
х – 16 = 20; х = 36.
(10x + y) = 9; 10y + x – 10x – y = 9; 9y – 9x = 9; y – x = 1. Система:
5(x + y) = 10x + y, 10x + y = 10y + x + 9;
5x + 5y – 10x – y = 0, 10x + x – 10y – y = 9;
4y – 5x =0; 9y – 9x = 9; � x=0,8y; y – x = 1; � x=0,8y; 0,2y = 1; �x=0,8y; y = 5; �y=0,8 · 5; y = 5; � x=4; y = 5.
число – 45.
45.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
57.36. Побудуйте
y = � – 3x, якщо x < –1, 3, якщо –1 ≤ x ≤ 1, 2x + 1, якщо x > 1.
y = –3x, x < –1
x –2 –3
y 6 9
y = 3, –1 ≤ x ≤ 1
x –1 1
y 3 3
y = 2x + 1, x > 1
x 2 3
y 5 7
57.37. Діти 11–15 років на
1) 2,6 + 2,3 + 10,4 = 15,3 (г)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
5. Розв’яжіть способом
3���� – y = 5, 4x + 3y = 11; � y = 3x – 5, 4x + 3(3x – 5) = 11; � y = 3x – 5, 4x + 9x – 15 = 11; �y = 3x – 5, 13x = 26; �y = 3 · 2 – 5, x = 2; � x = 2, y = 1.
Відповідь: А).
6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь � 4x – 7���� = 11, 3x + 7y = –4; � 7x = 7, 3x + 7y = –4; � x = 1, 3 · 1 + 7y = –4; � x = 1, 7y = –7; � x = 1, y = –1.
Відповідь: Г).
7. Серед розв'язків рівняння x + 2y = −18
x + 2y = −18; х = –2у – 18.
Якщо у = –6, то х = –2 · (–6) – 18; х = –6.
Відповідь: Б).
8. Для якого значення m графік рівняння mx + 3y = 5
3)? mx + 3y = 5; mx = 5 – 3y; ���� = 5−3���� ���� ; ���� =
Відповідь: A).
9. З пунктів A i В, відстань
рівняння: 5х + 60 = 5у.
3x + 3y = 60, 5x + 60 = 5y;
x + y = 20, y – x = 12;
x + y = 20, 2y = 32;
Отже швидкість пішохода дорівнює 4 км/год.
Відповідь: Б).
x + 16 = 20, y = 16; � x = 4, y = 16.
10. Скільки є пар натуральних чисел, які є розв'язками рівняння 2x + y = 9? y = 9 – 2x > 0; 9 – 2x > 0; 2x < 9; x < 4,5.
Оскільки х натуральне число, можливі значення х: 1, 2, 3, 4.
Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 1 = 9 – 2 = 7;
Якщо х = 2, то y = 9 – 2 · 2 = 9 – 4 = 5;
Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 3 = 9 – 6 = 3;
Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 4 = 9 – 8 = 1.
Можливі 4 пари: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
Відповідь: Б).
11. Графік функції y = kx + b проходить через точки (1; 4) і (−2; 13). Знайдіть k. Точка (1; 4): тобто k · 1 + b = 4; Точка (–2; 13): тобто k · (–2) + b = 13;
систему рівнянь: � ���� + ���� =4, 2k +b= 13;
перше рівняння від другого: (–2k + b) – (k + b) = 13 – 4; –3k = 9; k = –3.
Відповідь: B).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
пропорційні: 2 a = –3 –6 = 8 16 = 1 2; 2 a = 1 2, звідки а = 4.
Відповідь: A).
13. Установіть відповідність між
осями координат (А–Г).
1. 2х – 5у = 10 – В. (5; 0), (0; –2).
2. 5х + 3у = 15 – Г. (3; 0), (0; 5).
3. –3x + 4у = 12 – А. (–4; 0), (0; 3).
Відповідь: 1 – В); 2 – Г); 3 – А).
1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними:
1) 2х + 3у = 9.
2. Чи є розв’язком рівняння 2х + у = 7 пара чисел:
1) 2 ∙ 3 + (–5) ≠ 7;
6 – 5 ≠ 7; 1 ≠ 7.
Отже, пара чисел (3 ;–5) не є розв’язком
2х + у = 7; 2) 2 ∙ 4 + (–1) = 7;
§§ 52-57
1) (6; 5) – Ні. 2) (7; 4) –
y =3���� , 2x +y =–5 у = 3х x 0 1 y 0 3 2х + у = –5 x –2 0 y –1 –5
(–1; –3).
Відповідь: (2; −1).
x 3y = 5, 2x + y = 3; � x = 3y + 5, 2(3y + 5) + y = 3; � x = 3y + 5, 6y + 10 + y = 3; �x = 3y + 5, 7y = 7; �x = 3(−1) + 5, y = −1; � x = 2, y = 1.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
6. Розв’яжіть способом
� 5x + 3y = 3, 4x 3y = 24; � 9x = 27, 4x − 3y = 24; � x = 3, 4 · 3 − 3y = 24; � x = 3, 12 − 3y = 24; � x = 3, 3y = 12; � x = 3, y = 4.
Відповідь: (3; −4).
7. Розв’яжіть систему рівнянь: � 2(x + 3) = 7y 5, 6(x − 3) − 5(y + 1) = −24; � 2x + 6 7y = 5, 6x 18 5y 5 = 24; �2x 7y = 11 | · –3, 6x 5y = 1; � 6x + 21y = 33, 6x 5y = 1; � 6x + 21y = 33, 16y = 32; � 6x + 21 · 2 = 33, y = 2; � 6x = –9, y = 2. �x = 1,5, y = 2.
Відповідь: (1,5; 2).
8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили
8х + 3у = 93.
— y – 0,1y = 0,9y (грн).
рівняння: 1,15х + 0,9y = 20,4.
Система:
8x + 3y = 93 │ ∙ 1,2, 1,15x + 0,9y = 20,4 │ ∙ (–4); �9,6x + 3,6y = 111,6, –4,6x – 3,6y =
5x = 30; х = 6.
З першого рівняння
Відповідь: зошит коштував 6 грн,
48 + 3у = 93; 3y = 45; у = 15.
— 15 грн. 9. Побудуйте графік рівняння x + 2 4 + y – 3 6 = –1 12 | · 12;
3(x + 2) + 2(y – 3) = –1;
3x + 6 + 2y = –1; 3x + 2y = –1; 2y = –3x – 1; y = –1,5x – 0,5. y = –1,5x – 0,5 x –1 1 y 1 –2
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
y = kx + b
4 = 3k + b, 9 = 12k + b; � 4 = 3k b, 9 = 12k + b; � 5 = 15k, 4 = – 3k – b; � k = 1 3 , 4 = –3 · 1 3 – b; � k = 1 3 , b = –5.
Відповідь: k = 1 3, b = −5.
11. Для якого значення a система рівнянь
7x – ay = 5 │ ∙ 3, 21x + 6y = 15; � 21x – 3ay = 15, 21x + 6y = 15;
Віднімемо рівняння і отримаємо: –3ay – 6y = 0; –6y = 3ay; a = –2. Вправи для повторення теми 11
1. Чи є пара чисел (7; 1) розв’язком рівняння х – у = 6? Знайдіть ще
чотири розв’язки цього рівняння.
Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 7 – 1 = 6; 6 = 6;
пара чисел (9,5; 3,5) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 9,5 – 3,5 = 6; 6 = 6;
пара чисел (–8; –14) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: –8 + 14 = 6; 6 = 6;
пара чисел (122 3; 62 3) є розв’язком рівняння x – у = 6,
2. Знайдіть два будь–яких розв’язки рівняння:
1) Розв’язками рівняння 2x + у = 4 є, наприклад, пара
чисел (–5; 14), бо: 2 ∙ (–5) + 14 = 4; 4 = 4;
2) розв’язками рівняння х – 3у = 7 є, наприклад, пара
чисел (11,5; 1,5),
11,5 – 3 ∙ 1,5 = 7; 7 = 7. 3. Виразіть: 1) змінну у через
3х + 9у = 0; 3)
рівняння 8х + 15у = 24.
1) 7х – у = 18; у = 7x – 18; 2) 3x + 9у = 0; 3х = –9у; х = –3у;
4. Замініть «зірочки» числами
рівняння х – 3у = 9.
Пара чисел (18; 3) є розв’язком рівняння
3) 13х – 2у = 6; 2у = 13х – 6; у = 6,5х – 3; 4) 8х + 15у = 24; 8x = 24 – 15у; х = 3 – 1,875х.
(*; 3); (6; *); (*; –3); (15; *) була
(0; 2); (1; 1); (2; 0).
(0; 2); (0; –2), (–1; 1); (–1; –1); (1; 1); (1; –1); (
; 0); (2; 0).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
9х + 5у = 27. Якщо у = 0, то: –9х = 27; х = –3.
10. Побудуйте графік рівняння:
1) |x| + y = 0;
y = – � x , якщо ���� < 0. –x, якщо ���� ≥ 0. y = x, x < 5
x –2 –5
y –2 –5
y = –x, x ≥ 0
x 2 3
y –2 –3
2) |x| + x – y = 0; y = |x| = x; y = � 0 , якщо ���� < 0. 2x, якщо ���� ≥ 0. y = 0, x < 0
x –1 –5
y 0 0
y = 2x, x ≥ 0
x 0 2
y 0 4
11. Побудуйте частину графіка рівняння 2x + y = 6, яка розташована
частина графіка 2x + y = 6
у першій чверті, то x ≥ 0 і y ≥ 0. 2x + y = 6, x ≥ 0, y ≥ 0
x 0 3
y 6 0
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) Пара чисел (5; 5) не є розв’язком системи �x − y = 0, x + y = 8, бо: x + y = 5 + 5 = 10; 10 ≠ 8;
2) Пара чисел (4; 4) є розв’язком системи �x y = 0, x + y = 8, бо: � 4 4 = 0, 4 + 4 = 8; � 0 = 0, 8 = 8.
13. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1)
= –4x
0 1
0 –4 2x + y = –6
–1 –2
–4 –2
перетинаються в точці S(3; –12). Розв’язком системи є пара чисел (3; –12); 2)
5x + y = 3
x 0 1
y 3 –2
x + 2y = –3
x 1 –3
y –2 0
Графіки перетинаються в точці
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) 7,1x = –14,2; x = –2. x = –2 x –2 –2
y 3 0 2x + 7y = 17 x 5 –2 y 1 3
Графіки перетинаються в точці B(–2; 3).
Розв’язком системи є пара чисел (–2; 3).
15. При якому значенні a система рівнянь:
1)
Система: �2x + y = 5 | · 3, 6x + ay = 15; � 6x + 3y = 15, 6x + ay = 15; має безліч розв’язків, якщо a = 3;
2) Система �3x – 2y = 7 | · (–2), – 6x + 4y = a; �– 6x + 4y = – 14, – 6x + 4y = a; не
розв’язків, якщо a ≠ –14. 16.
1) � x = y 7, 2x y= 6; � x = y 7, 2(y 7) y= 6; � x = y 7, 2y 14 y= 6; �x = y 7, y = 8; � x = 1, y = 8.
Відповідь: (1; 8).
2) � 2x + y = 1, 3x 5y = 21; � y = 1 2x, 3x 5(1 2x) = 21; � y = 1 2x, 3x 5 + 10x = 21; �y = 1 2x, 13x = 26; �y = 1 2x, x = 2; �y = 3, x = 2.
Відповідь: (2; −3).
3) �3x − 4y = −19, x + 7y = 27; �3x − 4y = −19, x = 27 7y; �3(27 7y) 4y = 19, x = 27 7y; �81 21y 4y = 19, x = 27 7y; �−25y = −100, x = 27 − 7y; � y = 4, x = 1.
Відповідь: (−1; 4);
4) � 5x + 7y = −3, 8x − y = −17; �5x + 7y = −3, y = 8x + 17; �5x + 7(8x + 17) = −3, y = 8x + 17; �5x + 56x + 119 = 3, y = 8x + 17; � 61x = 122, y = 8x + 17; �x = 2, y = 1.
Відповідь: (−2; 1).
17.
розв’язати систему.
2x + 3y = 0
4x − 5y = −22
1) � 2x + 3y = 0, 4x 5y = 22; � x = 1,5y, 4( 1,5y) 5y = 22; � x = 1,5y, 6y 5y = 22; � x = 1,5y, 11y = 22; �x = 1,5y, y = 2; �x = 3, y = 2.
Відповідь: (−3; 2).
2) � 4x − 7y = 34, 2x + 7y = 4; � 7y = 34 + 4x, 2x 34 + 4x = 4; �7y = 34 + 4x, 6x = 30; �7y = 34 +4 ∙ 5, x=5; �7y = 14, x=5; �y= 2, x=5;
Відповідь: (5; –2).
18. Розв’яжіть систему
1)
3(у х) 4 = 7y, 5(х + у) + 9 = 8х; �3у 3х 4 = 7y, 5х + 5у + 9 = 8х;
3х = 10y 4, 5y − 3x = −9;
Відповідь: (22 3 ; 13 5 ).
2) � x 2 + y = 5 | · 2, x − y 3 = 3 | · 3; �x + 2y = 10, 3x y = 9; � x = 10 2y, 3(10 − 2y) − y = 9; � x = 10 2y, 30 6y y = 9; �x = 10 2y, 7y = 21; �x = 10 2y, y = 3; �x = 4, y = 3.
Відповідь: (4; 3).
19. Розв’яжіть систему рівнянь:
2x 1 5 + y + 7 2 = 5 | · 6, 3x 1 5 + 2y + 1 3 = 2x + 8y 15 | · 15; � 2(2x 1) + 3(y + 7) = 30, 3(3x 1) + 5(2y + 1) = 6x + 8y;
4x 2 + 3y + 21 = 30, 9x 3 + 10y + 5 = 6x + 8y; � 4x + 3y = 11, 3x + 2y = 2; � 4x + 3y = 11, 2y = 2 3x;
4x + 3y = 11, y = −2 3x 2 ; �4x + 3 −2 3x 2 = 11 | · 2, y = −2 3x 2 ; �8x − 3(2 + 3x) = 22, y = −2 3x 2 ;
8x 6 9x = 22, y = −2 3x 2 ; �x = 28, y = 41.
Відповідь: ( 28; 41).
20. Розв’яжіть рівняння з двома змінними: 1) |x − y| + (x + 2y − 1)2 = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює
нулю. Отже, розв’язком
(4; 2).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) � 2x + y = 3, 3x y = 7; 5x = 10, x = 2.
З
першого рівняння системи отримаємо:
4 + y = 3; y = −1.
Відповідь: (2; −1).
3) �x + 9y = 7 | · ( 3), 3x 7y = 13; � 3x 27y = 21, 3x 7y = 13; −34y = 34; y = −1. З
рівняння першої системи
отримаємо: x − 9 = −7, x = 2.
Відповідь: (2; −1);
22. Розв’яжіть систему рівнянь способом
1) �7x + 2y = 3 | · ( 3), 4x + 3y = 2 | · 2;
21x − 6y = −9, 8x + 6y = 4; −13x = −13, x = 1.
З першого рівняння першої
отримаємо:
7 + 2y = 3; 2y = −4; y = −2.
Відповідь: (1; −2);
3) �4x + 7y = 5 | · ( 3), 6x + 9y = 6 | · 2;
12x − 21y = −15, 12x + 18y = −12; −3y = −3; y = 1. З першого рівняння
отримаємо: 4x − 7 = −5; 4x = 2, x = 0,5.
Відповідь: (0,5; −1);
2) �5x + y = 6 | · ( 1), 5x + 9y = 14; � 5x y = 6, 5x + 9y = 14; 8y = 8; y = 1. З
отримаємо: 5x + 1 = 6; 5x = 5; x = 1.
Відповідь: (1; 1);
4) �4x 5y = 2 | · 3, 7x + 15y = 51; � 12x 15y = 6, 7x + 15y = 51; 19x = 57; x = 3.
першого рівняння першої системи
отримаємо: 12 – 5y = 2; 5y = 10; y = 2.
Відповідь: (3; 2).
2) �7x + 12y = 53 | · ( 3), 5x 18y = 2 | · 2; �21x + 36y = 159, 10x 36y = 4; 31x = 155; x = 5.
рівняння
отримаємо: 35 + 12y = 53, 12y = 18; y = 1,5.
Відповідь: (5; 1,5).
4) � 5(a 3b) + 6a = 7, 0,5(a + 6b) 1,5b = 2,5; � 5a 15b + 6a = 7, 0,5a + 3b 1,5b = 2,5; � 11a − 15b = 7, 0,5a + 1,5b = 2,5 | · 10; � 11a − 15b = 7, 5a + 15b = 25; 16a = 32; a = 2.
отримаємо: 22 – 15b = 7; 156 = 15; b = 1.
Відповідь: (2; 1).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2x + y = 3 | · 2, 4x + ay = 6; �4x + 2y = 6, 4x + ay = 6.
1) a) Розв’язування системи рівнянь
способом: x − 2y = 5
x 3 5
y 0 1 x + y = −1
x 0 2 y −1 −3
Графіки перетинаються в точці L(1; −2).
Розв’язком системи є пара чисел (1; −2).
б) розв’язування системи рівнянь методом підстановки: � x 2y = 5, x + y = 1; � x 2y = 5, x = 1 y; � 1 y 2y = 5, x = 1 y; � 3y = 6, x = 1 y; �y = 2, x = 1.
Відповідь: (1; −2).
в) розв’язування системи рівнянь методом додавання: �x 2y = 5 | · ( 1), x + y = −1; � x + 2y = 5, x + y = 1; 3y = −6; y = −2.
З другого рівняння першої
Відповідь: (1; –2); 2) а) розв’язування системи рівнянь
графічним способом: 2x + y = 7 x 1 2 y 5 3
−x + 3y = 0
x −3 0 y −1 0
перетинаються в точці E(3; 1).
системи є пара чисел (3; 1).
розв’язування
� 2x + y = 7, x + 3y = 0; � y = 7 2x, −x + 3(7 − 2x) = 0; � y = 7 2x, x + 21 6���� = 0; � y = 7 2x, 7x = 21; �y = 7 2x, x = 3; �y = 1, x = 3.
Відповідь: (3; 1);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
розв’язування системи рівнянь
2x + y = 7, x + 3y = 0 | · 2; � 2x + y = 7, 2x + 6y = 0; 7y = 7; y = 1.
З першого рівняння першої системи отримаємо:
2x + 1 = 7; 2x = 6; x = 3.
Відповідь: (3; 1).
25. Знайдіть розв’язок системи рівнянь:
1) � 2 5x = 3(1 y), 2(x + y)= 0,5x + 5,5; � 2 5x = 3 3y, 2x + 2y = 0,5x + 5,5; �3y 5x = 1 | · ( 2), 1,5x + 2y = 5,5 | · 3. � 10x 6y = 2,
4,5x + 6y = 16,5; 14,5x = 14,5; x = 1.
З
першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 – 6y = −2; −6y = −12; y = 2.
Відповідь: (1; 2); 2) �4(x + 7) 9(y 136) = 139, 5(x 1) + 4(3 y) = 15; �4x + 28 9y + 117 = 139, 5x 5 + 12 4y = 15; �4x 9y = 6 | · ( 5), 5x 4y = 22 | · 4; � 20x + 45y = 30, 20x − 16y = −88; 29y = −58; y = −2.
З
першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 4x + 18 = −6; 4x = −24; x = −6.
Відповідь: (−6; −2).
26. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � 2���� 3 4���� 5 = 2 4 15 | · 15, 3���� 7 2���� 5 = 13 35 | · 35; � 5 · 2x 3 · 4y = 34, 5 · 3x + 7 · 2y = 13;
10x 12y = 34 | · 1,5, 15x + 14y = 13; � 15x + 18y = 51, 15x + 14y = 13; 32y = −64; y = −2.
З
рівняння передостанньої системи отримаємо: 10x + 24 = 34; 10x = 10; x = 1.
Відповідь: (1; −2);
2) � 2x 5 y 4 = 23 40 | · 40, 4x 15 3y 5 = 1 1 30 | · 30; � 16x 10y = 23, 8x 18y = 31 | · ( 2);
16x − 10y = 23, 16x + 36y = 62; 26y = −39; y = −1,5.
8x + 27 = 31; 8x = 4; x = 0,5.
Відповідь: (0,5; 1,5). 27. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � x + 2 3 + y 5 3 = 2 | · 3, x + 2 5 y 5 6 = 5 3 | · 6; � x + 2 + y 5 = 6, 3(x + 2) +( y 5) = 10; � x + y = 9, 3x + 6 ���� + 5 = 10; � x + y = 9, 3x ���� = 1; 4x = 8; x = 2.
2 + y = 9; y = 7.
Відповідь: (2; 7);
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) �2���� + 1 7 2���� + 2 6 = 1 5 | · 35, 3���� 2 2 ���� + 4 4 = 4 | · 4; �5(2x + 1) + 7(2y + 2) = 7, 2(3x 2) + ���� + 4 = 16; �10x + 5 + 14y + 14 = 7, 6x 4 + ���� + 4 = 16; �10x + 14y = −12 | ∶ 2, 6x + ���� = 16 | · ( 7); � 5x + 7y = 6, 42x 7���� = 112; З другого рівняння передостанньої системи отримаємо:
6 · 3 7 37 + y = 16; y = 16 – 19 5 37 = −3 5 37
Відповідь: (3 7 37; –3 5 37).
28. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) Система � 2���� + y = –2, – 6x– 3y =6|:(–3); � 2���� + y = –2, 2x + y = –2; має безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x).
Відповідь: безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x).
2) Система ����� – 3y = 5 | · 2, 2x – 6y = 7; �2x – 6y = 10, 2x – 6y = 7; не має розв’язку.
Відповідь: Не має розв’язку.
29. Чи має розв’язок система рівнянь:
1) �4x + 3y = 1, 7x + 5y = 2, 3x + 2y = 4.
Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь (наприклад, першого і третього), а потім
перевіряємо, чи буде знайдений
Маємо: �4x + 3y = 1 | · ( 2), 3x + 2y = 4 | · 3; � 8x 6y = 2, 9x + 6y = 12; x = 10.
40 + 3y = 1; 3y = −39; y = −13.
Підставляємо значення x = 10 і y = −13 у
70 − 65 = 5; 5 ≠ 2. Отже, задана
Відповідь: Не має розв’язку.
2) �3x 4y = 10, 4x + 7y = 1, 5x + 6y = 4.
Розв’язуємо систему, утворену
Маємо: �3x 4y = 10 | · ( 4), 4x + 7y = 1 | · 3; � 12x 16y = 40, 12x + 21y = 3; 37y = −37; y = −1. З першого рівняння першої системи отримуємо: 3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2.
Підставляємо значення x = 2 і y = −1 у
2) З’ясуйте, чи
Графік
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
y = 1,25x – 5
−105 = 1,25 · (−80) – 5; −105 = −105.
Відповідь: так.
31. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) �3(x − 2y) + x(7 − 2y) = 2y(1 − x), 4(x – y – 1) + 5(x + y – 1) = 32; �3x − 6y + 7x − 2xy = 2y − 2xy, 4x – 4y – 4 + 5x + 5y – 5 = 32; �3x − 6y + 7x − 2xy − 2y + 2xy = 0, 4x – 4y + 5x + 5y = 32 + 4 + 5; � 10x − 8y = 0, 9x + y = 41 | · 8; � 10x 8y = 0, 72x + 8y = 328. 82x = 328; x = 4. З першого рівняння останньої системи отримаємо:
40 – 8y = 0; 8y = 40; y = 5.
Відповідь: (4; 5); 2) � (x + 2)² + (y 1)² = (x + 3)² + (y + 1)², (y − 2)² + (y + 2)² = (x + 6)² − (x − 1)²; � x² + 4x + 4 + y² 2y + 1 = x² + 6x + y² + 2y + 1, y² 4y + 4 y² 4y 4 = x² + 12x + 36 x² + 2x 1;
x² + 4x + y² 2y x² 6x y² 2y = 9 + 1 4 1, y² 4y y² 4y x² 12x + x² 2x = 36 1; ,
2x − 4y = 5 | · (−2), 14x 8y = 35; � 4x + 8y = 10, 14x 8y = 35. −10x = 25; x = −2,5.
З першого рівняння
−10 + 8y = −10; 8y = 0; y = 0.
Відповідь: (−2,5; 0). 32
12x – 9y = 15, 4x + by = 5
b = –3; 2) � 12x – 9y = 15, 4x + by = 5 | · 3; � 12x – 9y = 15, – 12x – 3by = – 15; –9y – 3by = 0; (–9 – 3b)y = 0.
y = 0, 12x = 15; x = 1,25.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3x + 5y = 450, y – x = 10 │ ∙ 3; � 3x + 5y = 450, – 3x + 3y = 30; 8y = 480; y = 60.
7x + 2y = 468 │ ∙ (–3), 3y – 2x = 27 │ ∙ 2; � – 6y – 21x = – 1404, 6y – 4x = 54;
Система:
3(x + y) + 2(���� – ����) = 142, 4(x – y) – 3(x + y) = 14; � 3x + 3y + 2���� – 2���� = 142, 4x – 4y – 3x – 3y = 14; � 5x + y = 142, x – 7y = 14 | · (–5);
5x + y = 142, – 5x + 35y = – 70; 36y = 72; y = 2.
рівняння передостанньої
Система: � 2y + 3(x + y) = 114, 2x = 3y; � 2y + 3x + 3y = 114, 2x – 3y = 0; � 3x + 5y = 114 | · | (–2), 2x – 3y = 0 | ·3; � – 6x – 10y = – 228,
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
рівняння: 0,5x – 0,75y = 8 | · 4; 2x – 3y = 32. Перше
x –1 7 x = 6 7x,
рівняння: 6 7 x + 11 9y = 100.
— y + 1 9y = 11 9y.
Система: � 2x – 3y = 32, 6 7 x + 10 9 y = 100 | · 63; �2x – 3y = 32 | · (– 27), 4(x – 44) = y + 44;
– 54x + 81y = – 864, 54x + 70y = 6300; 151y = 5436; y = 36.
рівняння
2x – 108 = 32; 2x = 140; x = 70. Відповідь: Перше число дорівнює 70, а друге — 36.
40. Сума трьох чисел,
число збільшити на 15 %, третє зменшити на 10 %, а
х = 5(140 – х – у); х = 700 – 5х – 5у; 6х +5у = 700.
дорівнює х + 0,15х = 1,15х,
— у –0,1у = 0,9у.
Друге рівняння: 1,15х + 0,9у + 140 – х – у = 139,5; 0,15х – 0,1у = –0,5.
Система: � 6x + 5y = 700 │ ∙ 2, 0,15x – 0,1y = –0,5 │ ∙ 100; � 12x + 10y = 1400, 15x – 10y = – 50; 27х = 1350; х = 50.
300 + 5у = 700; 5у = 400; у = 80.
число дорівнює: 140 – 50 – 80 = 10.
Відповідь: Перше число 10, друге — 50, третє — 80. 41. Периметр прямокутника
42 + 2y = 154; 2y = 112; y = 56.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
10у + х – 10х – у = 18; 9у – 9х = 18; у – х = 2.
Система: � x + y = 8, y – x = 2; 2y = 10; у = 5.
З першого рівняння системи отримаємо:
5 + х = 8; x = 3.
Шукане число 35.
Відповідь: 35.
10 + 2y = 40; 2y = 30; y = 15.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) 3а2 – 12b2 = 3(а2 – 4b2) = 3(а – 2b)(а + 2b).
ΔABC
AB = BC = 9 см, PΔABC = 24 см, тоді AC = PΔABC – (AB + BC) = 24 – (9 + 9) = 24 – 18 = 6 (см). Відповідь: 6 см.
трикутника.
shkola.in.ua
Нехай ΔABC
трикутник, ∠B = 68°. Нехай ∠A = x°, тоді ∠C = x° + 14°.
∠A + ∠B + ∠C = 180°, x + 68° + x + 14° = 180°; 2x = 98°; x = 49°.
Отже, ∠A = 49°, ∠C = 49° + 14° = 63°.
Відповідь: 49°, 63°.
8. Розв’яжіть систему рівнянь: �3x + 2y = 5 | · (–3), – 4x + 3y = 16 | · 2; � – 9x – 6y = – 15, – 8x + 6y = 32; � – 17x = 17, – 8x + 6y = 32; � x = –1, –8· (–1) + 6y = 32; � x = –1, 6y = 32 – 8; � x = –1, 6y = 24; � x = –1, 6y = 4;
Відповідь: (–1; 4).
9. З пункту
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
якщо х = 2, то (a + 2) ∙ 2 = 8; а + 2 = 4; а = 2;
якщо х = 4, то (а + 2) ∙ 4 = 8; а + 2 = 2; а = 0;
якщо х = 8, то (а + 2) ∙ 8 = 8; а + 2 = 1, а = –1.
Відповідь: –1, 0, 2, 6.
2. Перша цифра чотирицифрового
число.
Нехай
позначимо abc = х.
Рівняння:
7000 + х – 10x – 7 = 1746;
9х = 5247;
х = 583.
Початкове число 7583.
Відповідь: 7583.
3. He розв’язуючи рівняння 5(2024х + 2025) = 13, доведіть,
числом.
Припустимо, що корінь рівняння 5(2024х + 2025) = 13 є цілим числом, тоді 2024х + 2025 також ціле число. Отже, число 13 є добутком
5,
оскільки 13 — просте число.
4. Розв’яжіть рівняння:
1) |х| + |х – 2| = 0; |х| = 0 і |х – 2| = 0;
х = 0 і х – 2 = 0; х = 0 і х = 2 — не має розв’язку.
Відповідь: He має розв’язку;
5. Скільки розв’язків залежно
ах = 0?
1) ах = 2.
2х| =
х – 3 = 0 і 6 – 2х = 0; х = 3 і х = 3.
Відповідь: 3.
Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 2 — рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то х = 2 : а.
Відповідь: Якщо а = 0, то
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3) (а – 3)х = 7.
Якщо а ≠ 3, то х = 7 ���� – 3 ;
якщо а = 3, то 0 ∙ х = 7 — рівняння не має а – 3 коренів.
Відповідь: Якщо а ≠ 3, то х = 7 ���� – 3 ;
якщо а = 3, то коренів немає;
5) ах + 1 = x + а;
ax – х = а – 1;
х(а – 1) = а – 1.
Якщо а = 1, то х ∙ 0 = 0 — будь-яке число;
якщо а ≠ 1, то х = а – 1 а – 1; х = 1.
Відповідь: Якщо а ≠ 1, то х = 1; якщо а = 1, то х будь–яке число;
4) ах = а. Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 0, де х —
число; якщо а ≠ 0, то х = a ���� ; х = 1.
-яке
Відповідь: Якщо а = 0, то х — будь-яке
число; якщо а ≠ 0, то х = 1;
6) а(х – 2) = х(а + 3);
ах – 2а = ах + 3х;
ах – ах – 3х = 2а; – 3х = = 2а; х = –2а 3 — для всіх значень а.
Відповідь: х = –2а 3 для всіх значень а.
7. Для якого значення параметра а є рівносильними рівняння:
1) 7х + а = 5(х – а);
7х + а = 5х – 5а;
7х – 5х = – 5а – а;
2х = –6а;
х = –3а.
7(х + а) = 4(10 – а);
7х + 7а = 40 – 4а; 7х = 40 – 4а – 7а;
–4.
Отже, рівняння 7х + а = 5(х – а) і 7(х + а) = 4(10 – а) — рівносильні,
Якщо а = –4; 2) (а + 7)х = 18 — рівняння
якщо а = –7; |х| = –1
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
а) (27х – 171)
б) (9х + 9)
Рівняння:
27х – 171 = 9х + 9;
18х = 180; х = 10.
Довжина потяга дорівнює 9 ∙ 10 + 9 = 99 (м). Відповідь: 10 м/с; 99 м.
Відповідь:
по (0,25х)°.
Рівняння:
х + 0,25х + 0,25х = 180; 1,5х = 180;
х = 120.
Кути
2)
вершині — 0,25х°.
Рівняння:
х + х + 0,25х = 180; 2,25х = 180;
х = 80.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
рулонів, а другої — 2 3 (0,5x + 2) рулонів.
Рівняння:
(0,5х + 2) + 2 3 (0,5х + 2) + 1 = х;
1 2 х + 2 + 1 3 х + 4 3 + 1 = х | ∙ 6;
3х +12 + 2х + 8 + 6 = 6х; х = 26.
Відповідь: 26 рулонів.
13.
Рівняння:
1 7(х + 320) + 0,4х = 100 │ ∙ 7; х + 320 + 2,8х = 700;
3,8х = 380; х = 100.
Початкова
Відповідь: 520 г.
14. Рівність (І + В + А + H)4 = ІВАН є правильною.
буквам відповідають різні цифри.
Цифри І, В, A, H можуть набувати
комбінації з іншими, навіть з найменшими дорівнює: 7 + 0 + 1 + 2 = 10, а 104 = 100000 є
п’ятизначне число, що суперечить умові. Найменше сума цифр
0 + 1 + 2 + 3 = 6. Отже, 6 ≤ І + В + А +
74 = 2401; 84 =
94 = 6561
15.
2401.
довжина прямокутника х см, а ширина — y см, тоді площа дорівнює
На 38%.
16. Що більше:
10¹⁵ + 1
10¹⁶ + 1 = (10¹⁵ + 1)(10¹⁷ + 1) (10¹⁶ + 1)(10¹⁷ + 1); 10¹⁶ + 1
10¹⁷ + 1 = (10¹⁶ + 1)(10¹⁶ + 1) (10¹⁷ + 1)(10¹⁶ + 1) . (1015 + 1)(1017 + 1) = 1032 + 1015 + 1017 + 1 = 1015(1017 + 102 + 1) + 1 = 1015(1017 + 101) + 1; (1016 + 1)(1016 + 1) = 1032 + 2 · 1016 + 1 = 1015(1017 + 2 · 10) + 1 = 1015(1017 + 20) + 1. 1015(1017 + 101) + 1 > 1015(1017 + 20) + 1.
Отже, 10¹⁵ + 1
10¹⁶ + 1 > 10¹⁶ + 1 10¹⁷ + 1 .
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
+ 1
саме?
Нехай шукане натуральне число дорівнює n.
Якщо n2 =2007∙ 2009 + 1, то n2 – 1 = 2007 ∙ 2009; (n – 1)(n + 1) = 2007 ∙ 2009, де n – 1 і n + 1 — суміжні до 2008.
Отже, n = 2008.
18. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n
n кратне числу 24. 8n3 – 8n = 8n(n2 – 1) = 8n(n – 1)(n + 1) — кратне 24, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n, n + 1 існує число, кратне 3.
19. Подайте вираз 2m2 + 2n2 у
2m2 + 2n2 = m2 + m2 + 2mn – 2mn + n2 + n2 = m2 + 2mn + n2 + m2 – 2mn + n2 = = (m + n)2 + (m – n)2.
20. Який
тотожність: 1) (х + 1)(х – 5) = x2 – 5х + х – 5 = x2 – 4х – 5; 2) (x2 – х + 1)(х + 3) = x3 + 3х2 – x2 – 3х + х + 3 = х3 + 2x2 – 2х + 3. 21. Розкладіть на множники:
1) а2b2 – 2аb2 + b2 + а4 – 2a2 + 1 = (ab – b)2 + (а2 – 1)2 = (b(а – 1))2 + ((а – 1)(a + 1))2 = = b2(а – 1)2 + (а – 1)2(а + 1)2 = (а – 1)2(b2 + (а + 1)2) = (a – 1)2(b2 + a2 + 2a + 1); 2) 1 –3t + 3t2 – t3 = (1 – t3) – (3t – 3t2) = (1 – t)(1 + t + t2) – 3t (1 – t) = (1 – t)(1 + t + t2 – 3t) = = (1 – t)(1 – 2t + t2) = (1 – t)(1 – t)2 = (1 – t3); 3) x6 – 3х4 + 6х2 – 4 = x6 + 8 – 3х4 + 6х2 – 12 = (х6 + 8) – 3(х4 – 2x2 + 4) = = (х2 + 2)(х4 – 2х2 + 4) – 3(х4 – 2х2 + 4) = (х4 – 2х2 +4)(х2 + 2 – 3) = (х4 – 2х2 + 4)(х2 – 1) = = (х4 – 2х2 + 4)(х – 1)(х + 1); 4) 2(m + 3n) + (m – n)(m + n) – 8 = 2m + 6n + m2 – n2 – 8 = (m2 + 2m + 1) – (n2 – 6n + 9) = = (m + 1)2 – (n – 3)2 = (m + 1 – n + 3)(m + 1 + n – 3) = (m – n + 4)(m + n – 2);
5) a3 + a2 – b3 – b2 = a3 – b3 + a2 – b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + (a – b)(a + b) = = (a – b)(a2 + ab + b2 + a + b);
6) 8x3 + 4x2 – 2 = (8x3 – 1) + (4x2 – 1) = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) + (2x – 1)(2x + 1) = = (2x – 1)(4x2 +
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Задача Лагранжа. Доведіть тотожність (x2 + y2 + z2)(m2+ n2+р2) – (xm + yn + zp)2 = x2m2 + x2n2 + х
+ y2n2 +
+ z2m2 + z2n2 + z2p2 – x2m2 – y2n2 – z2p2 – 2xmyn – 2xmzp – 2ynzp = (x2n2 – 2xmyn + z2m2) + (z2p2 –2xmzp + z2m2) + (z2n2 – 2ynzp + y2p2) =(xn – ym)2 + (xp – zm)2 + (yp – zn)2.
Тотожність (x2 + у2 + z2)(m2 + n2 + p2) – (xm + yn + zp)2 = (xn – ym)2 +(xp – zm)2 + (yp –zn)2 — доведена.
26. Доведіть, що число аbсаbс є кратним числам 7, 11 і 13. аbсаbс = 1000abc + abc = 1001abc = 7 ∙ 11 13abc — кратне 7, 11, 13.
27. Доведіть, що значення виразу 555777 + 777555
555777 + 777555 = (111 ∙ 5)777 + (111
7555) = (37 ∙3)555(111222 ∙ 5777 + 7555) —
28. Яке трицифрове число
трицифрове
5, 6, 7, 8 і 9, піднесені до третього
53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729.
чисел лише 729 є квадратом числа 27.
729 = 93 і 729 = 272 . 29. Доведіть, що значення виразу 1916 + 7346 – 5933
10. Число 1916 закінчується
2) (x2 + 3х + 1)2 = (х2 + 3х + 1)(x2 + 3х + 1) = x
+
+
+ 3х
+ 9x2 + 3х +
+ 3х + 1 = = x4 + 3х3 + 3х3 + 9x2 + 2x2 + 6х + 1 = x3(x + 3) + 3х
(х + 3) + 2х(х + 3) + 1 = = (х + 3)(х3 + 3х2 + 2х) + 1 = (х + 3)x(x2 + 3х + 2) + 1 = (х + 3)x(x2 + 2х + х + 2) + 1 = = (х + 3)x(x(х + 2) + (х + 2)) + 1 = х(х + 3)(х + 2)(х + 1) + 1
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
8. (2n + 2)3 – (2n)3 = (2n + 2 – 2n)((2n + 2)2 + 2n(2n + 2) + (2n)2) = 2(4n2 + 8n + 4 + 4n2 + 4n + 4n2) = 2(12n2 + 12n + 4) = 24n2 + 24n + 8 = 24(n2 + n) + 8 = 24n(n + 1) + 8 ділиться
48
8.
35. Розкладіть на множники:
1) у5 + у + 1 = (у5 – у2) + (у2 + у + 1) = y2(y3 – 1) + (y2 + у + 1) = = y2(y – 1)(y2 + y + 1) + (y2 + y + 1) = (y2 + y + 1)(y2(y – 1) + 1) = (y2 + у + 1)(y3 – y2 + 1);
2) m4 + m2 + 1 = (m4 + 2m2 + 1) – m2 = (m2 + 1)2 – m2 = (m2 + 1 – m)(m2 + 1 + m);
3) x4 + 5x2 + 9 = (х4 + 6х2 + 9) – x2 = (х2 + 3)2 – x2 = (х2 + 3 – х)(х2 + 3 + х);
4) n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 = (n2 + 2)2 – 4n2 = (n2 + 2 – 2n) ∙ (n2 + 2 + 2n);
5) x4 + 2a2x2 – 4a2b2 – 4b4 = (х4 + 2а2x2 + а4) – (а4 + 4а2b2 + 4b4) = (х2 + а2)2 –
2 +
2)2 = = (х2 + а2 – а2 – 2b2)(х2 + а2 + а2 + 2b2) = (х2 – 2b2)(х2
– у)(x2 + y2) – 2x2y – 4xy2) = (x +
= (х + у)(х3 – 3ху2 – 3х2у – у3).
36. Порівняйте 515 і 323 . 515 = 5(52)7 = 5 ∙ 257; 323 = 32 ∙ 321 = 9(33)7 = 9 ∙ 277; 9 ∙ 277 > 5 ∙ 257 . Отже, 323 > 515.
37. Побудуйте графік функції: 1) y = 2|x| + x; y = �2(–x) + x, якщо x < 0, 2x + x, якщо x ≥ 0; y = � –x, якщо x < 0, 3x, якщо x ≥ 0. y = –x, x < 0 x –1 –3 y 1 3 y = 3x, x ≥ 0
2) y = |x| – 3x;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
y = �–x – 3x, якщо x < 0, x – 3x, якщо x ≥ 0; y = � – 4x, якщо x < 0, – 2x, якщо x ≥ 0. y = –4x, x < 0
x –1 –2
y 4 8
y = –2x, x ≥ 0
x 0 1
y 0 –2
3) y = |2x| + 2x – 1;
y = �– 2x + 2x – 1, якщо x < 0, 2x + 2x, якщо x ≥ 0; y = � –1, якщо x < 0, 4x –1, якщо x ≥ 0. y = –1, x < 0
x –1 –3
y –1 –1
y = 4x – 1, x ≥ 0
x 0 1
y –1 3
4) y = 3x – |4x| + 3; y = �3x – (– 4x) + 3, якщо x < 0, 3x – 4x + 3, якщо x ≥ 0; � 7x + 3, якщо x < 0, –x + 3, якщо x ≥ 0. y = 7x + 3, x < 0
x –1 –0,5 y –4 –0,5
y = –x + 3, x ≥ 0 x 0 3 y 3 0
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2x +1, якщо x ≤ 0, – 3x +3, якщо x > 0. y = � 4x + x, якщо x ≤ 0, – 4x + 3, якщо x > 0.
a) � y = 2x + 1, y = 4x + 3, якщо х ≤ 0;
2х + 1 = 4х + 3;
2х – 4х = 3 – 1; –2х = 2; х = –1.
Підставимо у перше рівняння системи
значення х = –1 : у = 2 ∙ (–1) + 1 = – 1.
Шукана точка (–1; –1);
б) � y = – 3x + 1, y = – 4x + 3, якщо х > 0; –3х + 1 = –4х + 3; –3х + 4х = 3 – 1; х = 2.
Підставимо у перше рівняння системи
x = 2; у = –3 ∙ 2 + 1 = –5. Шукана точка (2; –5). Відповідь:
Рівняння:
7х + 3у = 3х + 4у;
4х = у;
х = y 4 = 0,25у;
0,25 = 25%;
х = 25% від у.
Відповідь: 25%.
42. Чи має розв’язки
1) Рівняння x2 + y2 = –1 не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 2) розв’язком рівняння |у| + х = 0 є,
= 5 є, наприклад, пара чисел (3; 4); 4) розв’язком рівняння 5x2 + у8 + |х| = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0).
43. У рівнянні ах + by = 43
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
дорівнюють нулю: х + 1 = 0; х = –1 і у = 0.
Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (–1; 0).
Відповідь: Один розв’язок; 2) x2 + у2 + (у – 2)2 = 0.
Сума квадратів трьох виразів дорівнює
дорівнюють нулю: х = 0 і у = 0, i у = 2. Змінна у не
значень 2 та 0, отже, рівняння не має розв’язків.
Відповідь: Жодного розв’язку;
3) |х| + (у + 1)2 = 0.
Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю
нулю: |х| = 0 і (у + 1)2 = 0, тоді х = 0 і у = –1.
Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (0; –1).
Відповідь: Один розв’язок;
4) х((х – 3)2 + (у + 4)2) = 0.
Добуток
нулю: х = 0 або (х – 3)2 + (у + 4)2 = 0. Якщо х = 0, то
Отже, рівняння має безліч розв’язків.
Рівняння:
10х + 12,5у = 150;
10х = 150 – 12,5у;
х = 15 – 1,25у.
Оскільки х
Відповідь: 5 або 10 зошитів.
46. Побудуйте
1) (х + 1)(х – 2у) = 0;
х + 1 = 0 або х – 2у = 0; х = –1 або у = 0,5х.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2) х2 – ху = 0;
x(x – у) = 0;
x = 0 або у = х.
Будуємо графіки прямих x = 0 і у = x.
x = 0
x 0 0
y 1 3
у = х
x 0 2
y 0 2
3) (x2 – 4)(y2 + 4) = 0;
x2 – 4 = 0 або y2 + 4 = 0 — не має
розв’язків;
x2 = 4;
x = 2 або x = –2.
Будуємо графіки прямих x = 2 і x = –2. x = 2
x 2 2 y 1 3
x = –2
x –2 –2
y 0 2
4) (|x| + 1)( |у| – 3) = 0;
|x| + 1 = 0 — не має розв’язків або
|у| – 3 = 0;
|у| = 3;
у = 3 i у = –3.
Будуємо графіки прямих у = 3 і у = –3. y = 3
x 2 4
y 3 3 y = –3
x –2 1
y –3 –3
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
5) |x| + x = y.
Якщо x < 0, то рівняння матиме вигляд:
–
x + x = y; y = 0,
а якщо x ≥ 0, то: x + x = y; y = 2x.
Будуємо графік функції:
y = � 0, якщо x < 0, 2x, якщо x ≥ 0. y = 0, x < 0
x –1 –3
y 0 0
y = 2x, x ≥ 0
x 0 2
y 0 4
6) х = у|х|.
Якщо х < 0, то: х = –ху, х + ху = 0; х(1 + у) = 0;
х = 0 — не підходить або 1 + у = 0;
у = – 1.
Якщо х ≥ 0, то: х = ху;
х – ху = 0;
х(1 – у) = 0;
х = 0 або у = 1.
Будуємо графік функції:
y = � –1, якщо х < 0, 1 або х = 0, якщо х ≥ 0. y = –1, x < 0
x –1 –3
y –1 –1 y = 1,
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) у = 0, якщо: x2 = 4; х = 2 або х = –2.
Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає
точках (–2; 0) і (2; 0); 2) якщо х = 0, то у = 4.
Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає вісь у в точці (0; 4).
49. Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння 11x + 8у = 104. 11x = 104 – 8у; 11x = 8(13 – у) — кратне 8, тому х може приймати значення лише 8. Якщо х = 8, то 88 + 8у = 104; 8у = 16; у = 2.
Отже, рівняння 11x + 8у = 104 задовольняє лише пара натуральних
50. He виконуючи
3)(у + 5) = 0: 1) з віссю х; 2) з віссю у.
1) у = 0, якщо: 5(х – 3) = 0;
х – 3 = 0;
х = 3.
Отже,
2) якщо х = 0, то – 3(у + 5) = 0;
у + 5 = 0;
у = –5.
Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0
6х ∙ 6у = х6 ∙ у6; (60 + х)(60 + у) = (10х + 6)(10у + 6); 3600 + 60у + 60х + ху = 100xy + 60х + 60у + 36; 60у + 60х + ху – 100xy – 60х – 60у = 36 – 3600; 99ху = 3564; ху = 36.
Останню рівність
шукані числа: 69 і 64.
69 і 64.
(3; 0);
(8; 2).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2у = 99 – 11x; 2у = 11(9 – х) —
на осі у?
Знайдемо координати точки
1)
2x – y = 7, mx – y = 5;
2x – y = 7, 2x – y = 5
3x + 2y = 6, 1,5x + y = m │ ∙ 2;
3x + 2y = 6, 3x + 2y = 2m
розв’язку, якщо m ≠ 3;
3) система �mx– 2y = 1│ ∙ 4, 4x – 8y = 4; �4mx – 8y = 4, 4x – 8y = 4, m = 1 і
4x – 3y = 10, 2x + 5y = –8, a(x + y) = 7.
Розв’яжемо систему, утворену
4x – 3y = 10, 2x + 5y = – 8│ ∙ (–2); � 4x – 3y = 10, – 4x – 10y = 16; –13y = 26; у = –2.
Підставимо значення
Підставимо значення х = 1 i у =
а ∙ (1 – 2) = 7; а = –7.
а = –7. 56. Розв’яжіть
1) � x – y = 2, y – z = 3, z + x = 5.
– y + y – z + z + x = 10; 2x = 10; х = 5.
5 – y = 2; y = 3. 3
3 – z = 3; z = 0. Відповідь: х = 5, y = 3, z = 0;
2) � x + y = 7, y + z = 5, z + x = –4.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2х + 2y + 2z = 8; х + y + z = 4.
Віднімемо
z = –3; x = –1; y = 8. Відповідь: х = –1, y = 8, z = –3. 57. У
одержали в добутку. (4х3 – 2х2 + 3х – 8)(aх2 + bх + 1) = 4ах5 +
8ах2 – 8bx – 8 = 4ах5 + х4(4b – 2a) + х3(4 – 2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8. Якщо многочлен не містить ні х4, ні х3, то а) 4b – 2а = 0; 4b = 2а; а = 2b; б) 4 – 2b + 3а = 0; 4 – а + 3а = 0; 4 + 2а = 0; 2а = –4; а = –2.
Підставимо значення а = –2 у рівність а = 2b і одержимо: 2b = –2; b = –1. Шуканий
многочлен буде мати вигляд: 4aх5 + х4(4b – 2а) + х3(4 –2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 –8b) – 8 = –8х5 + х2(–2 – 3 + 16) + х(3 + 8) – 8 =
8х5 + 11x2 + 11x – 8.
58. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) �(x – 1)(y – 4x) = 0, x + y = 3, �x – 1 = 0 або (y – 4x) = 0, x + y = 3,
Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем:
a) � x – 1 = 0, x + y = 3, �x = 1, y = 2, б) �y – 4x = 0, x + y = 3, � y = 4x, x + 4x = 3, � y = 4x, 5x = 3, � y = 2,4, x = 0,6.
Відповідь: (1; 2); (0,6; 2,4);
2) � (x – 1)(x + y) = 0, (y – 2)(x + y – 6) = 0; � ���� – 1 = 0 або x + 1 = 0, y – 2 = 0 або x + y – 6 = 0.
Розв’язування системи зводиться до розв’язування чотирьох систем: a) � x – y = 0, y – 2 = 0, �x = 2, y = 2, б) � x – y = 0, x + y – 6 = 0, � x = y, 2x – 6 = 0, � y = 3, x = 3;
в) �x + 1 = 0, y – 2 = 0; � x = –1, y = 2; г) � x + 1= 0, x + y – 6 = 0; � x = –1, y = 7.
Відповідь: (2; 2); (3; 3); (–1; 2); (–1; 7);
3) �x² − y² = 0, 3x − y = 4, �(x y)(x + y) = 0, 3x y = 4, �x y = 0 або x + y = 0, 3x − y = 4.
Розв'язання системи
а) � x y = 0, 3x y = 4; � x = y, 3x x = 4; � x = 2, y = 2.
б) � x + y = 0, 3x y = 4; � x = 4, 3x + x = 4; � x = 1, y = 1. Відповідь: (2; 2); (1; −1).
4) �x² + 2xy + y² 1 = 0, 3x y = 3; �(x + y)² = 1, 3x y = 3; �x + y = 1 або ���� + ���� = 1, 3x y = 3.
а) � x + y = 1, 3x y = 3; � x = 1, y = 0. б) � x + y = −1, 3x y = 3; � x = 0,5, y = −1,5.
Відповідь: (1; 0); (0.5; −1.5).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) (x − 2)2 + (3x − y)2 = 0.
системи: � x 2 = 0, 3x y = 0; � x = 2, y = 6.
Розв'язком системи і
Відповідь: (2; 6);
2) (2x − y)2 + x2 + 8x + 16 = 0; (2x − y)2 + (x + 4)2 = 0.
(2; 6).
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно
дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: �2x y = 0, x + 4 = 0; � x = 4, y = 8.
Розв'язком системи і рівняння
Відповідь: (−4; −8);
3) (1x + y − 3)2 + x2 + 2xy + y2 = 0; (7x + y − 3)2 + (x + y)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів
дорівнюють
7x + y 3 = 0, x + y = 0; � 7y + y 3 = 0, x = −y; � 6y = 3, x = 0,5.
Розв'язком
Відповідь: (0,5; −0,5).
4) |x − y + 5| + x2 – 4xy + 4y2 = 0; |x − y + 5| + (x − 2y)2 = 0.
Сума двох невід'ємних
дорівнюють нулю. Отже, розв'язком
� x y + 5 = 0, x 2y = 0 | · ( 1); �x y + 5 = 0, x + 2y = 0; y + 5 = 0; y = −5.
Підставимо у перше рівняння
x + 5 + 5 = 0; x = −10.
Розв'язком системи рівняння
Відповідь: (−10; −5).
5) x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0; (x2 − 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = 0; (x – 2)2 + (y + 1)2 = 0.
Сума квадратів
� x 2 = 0, y + 1 = 0; � x = 2, y = 1.
(2; −1); 6) x2 − 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0; (x2 − 2xy + y2) + (y2 + 6y + 9) = 0; (x – y)2 + (y + 3)2 = 0.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
� x − y = 0, y + 3 = 0; � y = 3, x = 3.
Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−3; −3).
Відповідь: (−3; −3).
60. Число b на 10 % більше за число а і на 30 % більше
якщо а на 8 більше за с.
Нехай а, b і с — числа, для яких виконуються умови:
а – с = 8; b = 1,1a; b = 1,3с; 1,1а = 1,3с.
Система рівнянь: � а – с = 8,
1,1a = 1,3c; � a = c + 8, 1,1(c + 8) = 1,3c; � a = c + 8, 1,1c + 8,8 – 1,3���� = 0; � a = c + 8,
0,2c = 8,8; � a = 52, c = 44.
Далі маємо: b = 1,1; a = 1,1 · 52 = 57,2.
Отже, шукані числа: a = 52; b = 57,2; c = 44.
Відповідь: a = 52; b = 57,2; c = 44.
61.
5y + 10x = 10, 5y 7x = 8; 3x = 18; x = 6. Підставимо у
5y − 42 = 8; y =
6x 3y = 6 | · 2, 7x 2y = 16 | · ( 3);
24 − 3y = 6; 3y = 18; y = 6.
46.
12x 6y = 12, 21x + 6y = 48; −9x = −36; x = 4.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
y = 2z, x + y + z = 13, 99x 99z = 495 | ∶ 99; � y = 2z, x + y + x = 13, x − z = 5; � y = 2z, x + 3z = 13, x − z = 5 | · 3; � y = 2z, x + 3z = 13, 3x 3z = 15;
y = 2x, 4x = 28, x z = 5; �y = 4, x = 7, x = 2.
Отже, шукане число: 742.
Відповідь: 742.
64.
1,1x + 1,15y = 1,13(x + y) | · 100,
0,95x + 0,9y = x + y – 48 | · 100 ; � 110x + 115y = 113(x + y), 95x + 90y = 100x + 100y 4800;
110x + 115y 113x 113y = 0, 95x + 90y − 100x − 100y = −4800; � 3x + 2y = 0, 5x 10y = 4800; � 3x + 2y = 0, x 2y = 960; � 4x = 960 , x + 2y = 960; � x = 240, 240 + 2y = 960; � x = 240, 2y = 720; � x = 240, y = 360.
Відповідь: 240; 360.
ширина — (у + 2) см, а площа — (х + 3)(у + 2) (см2).
Перше рівняння:
(х + 3)(y + 2) – xу = 37; xy + 2х + 3y + 6 – хy = 37; 2х + 3y = 31.
Після другої зміни розмірів
(у – 1)см, а площа — (х – 1)(y – 1)(см2).
Друге рівняння:
ху – (х – 1)(у – 1) = 12;
ху – ху + х + у – 1 = 12; х + y = 13.
Система: � 2x + 3y = 31, x + y = 13 │ ∙ (–2); � 2x + 3y = 31, – 2x – 2y = – 26; y = 5.
З першого рівняння системи отримаємо:
2х + 15 = 31; 2х = 16; х = 8.
Периметр
Відповідь: 26 см.
2 ∙ (8 + 5) = 26 (см).
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1 год 40 хв = 140 60 = 12 3 = 5 3 (год).
Перше рівняння:
x 10 + y 3 = 5 3 │ ∙ 30;
3х + 10y = 50.
У
турист витратив y 15 год,
горизонтальну частину шляху — x 12 год 58 хв = 58/60 год.
Друге рівняння:
y 15 + x 12 = 58 60 │ ∙ 60; 4у+ 5х + 58.
Система: �
3x + 10y = 50 │ ∙ (–5), 5x + 4y = 58 │ ∙ 3; �– 15x – 50y = – 250, 15x + 12y = 174; –38y = –76; y = 2. З
5х + 8 = 58; 5x = 50; х = 10.
Отже, від села до міста — 2 + 10 = 12 (км).
Відповідь: 12 км.
резервуар виявиться
рівняння: х + 0,5y = 1050. Якщо
резервуар
рівняння: 1 3x + y = 1050.
Система: � x + 0,5y = 1050, 1 3 x + y = 1050 │ ∙ (–3); � x + 0,5y = 1050, –x – 3y = –3150; –2,5y = –2100; y = 840.
Перше рівняння: 12 60 х + 12 60y = 24.
х = 45.
–37x = –1544; х = 42.
168 + 3y = 222; 3у = 54; у = 18.
Швидкість
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
Система: � 1 5 6 x = 1 2 y │ ∙ 6, 3 1 3 х + 2y = 48 | ∙ 3; � 11x – 3y = 0, 10x + 6y = 144 │∶ 2; � 11x – 3y = 0, 5x + 3y = 72; 16x = 72; x = 4,5. З
рівняння останньої системи отримаємо: 22,5 + 3у = 72; 3у = 49,5; у = 16,5. Відповідь: Швидкість туриста 4,5 км/год,
= 11 3 х ( км), автобус — 11 3у (км).
Перше рівняння: 11 3 x + 11 3y = 120.
7 12у (11 – 9) = 7 6у (км).
Друге рівняння: 2х + 7 6у = 120.
Система: �1 1 3 x + 1 1 3 y = 120 | · 3, 2х + 7 6 у = 120 | · 6; �4x + 4y = 360
–5y = –360; у = 72.
З
рівняння системи
12х + 504 = 720; 12х = 216; х = 18.
Швидкість другого
∙ (–3), 12x + 7y = 720; �– 12x – 12y = – 1080, 12x + 7y = 720;
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
3.
1) 1 пряма;
Нехай ∠AOK = x.
Тоді ∠KOB = 120 – x.
3x – 2(120 – x) = 10;
3x – 240 + 2x = 10; 5x – 240 = 10; 5x = 250; x = 50.
∠AOK = 50°; ∠KOB = 70°.
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
1) 1 3 x + 5 6(180 – x) = 90; 2x + 900 – 5x = 540; 3x = 360; x = 120; α = 120°;
180°.
shkola.in.ua
KO ⊥ OB; OL ⊥ AO.
∠AOK = 90° – β; ∠LOB = 90° – β; 90° – β + β + 90° – β = α; α + β =
2) 1 3 x + 5 6x = 90; 2x + 5x = 540; 7x = 540; x = 771 7; α = 77
2,6x = –x + 360; 3,6x = 360; x = 100.
AC.
shkola.in.ua
що
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
NLK = ∠MKL.
AM = 1 2 AB = 1 2AC = AN; ∠A — спільний; ∠AMK = ∠ANL = 90° ⇒ ΔAMK = ΔANL ⇒ MK = NL. ΔMLK і ΔNLK: MK = LN; ∠LMK = ∠LNK = 90°; LK — спільна сторона ⇒ ΔMLK = ΔNLK ⇒ ∠NLK = ∠MKL.
shkola.in.ua
Тоді AB + BO + OC + AC = 40 + 10 + x + 30 + x = 100; 2x + 80 = 100; x = 10. AC = 10; AO = 40 – OC.
що ∠ALC = ∠BKC.
ΔAB1B = ΔAA1B: AB спільна; AB1 = BA1;
∠A = ∠B ⇒ ΔAB1B = ΔAA1B ⇒ AA1 = BB1, BL = AK.
ΔABL = ΔABK: AB — спільна; BL = AK; ∠A1AB = ∠B1BA ⇒ ΔABL = ΔABK; AL = BK.
∠LAB = ∠KBA, ∠LAC = ∠KBC ⇒ ΔALC = ΔBKC. 21.
∠A + ∠C < 180° ⇒ ∠OAC + ∠OCA < 90° ⇒ ∠AOC > 90°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
трикутника. Доведіть, що
shkola.in.ua
1) Нехай AB = A1B1; BC = B1C1 і BM = B1M1, де BM і B1M1 — медіани трикутників ABC і A1B1C1. 2) Продовжимо BM за точку M на відрізок BM; MD = BM; аналогічно B1M1 за точку M1 на відрізок M1D1 = B1M1.
3) Оскільки AM = MC і ∠AMD = ∠BMC (як вертикальні), то ∆AMD = ∆CMB, тому AD = BC. Аналогічно A1D1 = B1С1
4) ∆ABD = ∆A1B1D1 (за третьою ознакою), тому ∠ABM = ∠A1B1M1
5) ∆ABM = ∆A1B1M1 (за першою ознакою), тому AM = A1M1, а отже і AC = A1С1 (як
подвоєні рівні відрізки).
6) Отже, ∆ABC = ∆A1B1С1 (за трьома сторонами),
24. Визначте вид трикутника (за кутами), якщо:
1) сума будь-яких двох його
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Позначимо ∠CAD = ∠DAB = х.
2) CP — серединний перпендикуляр
∆ABC. Тому АР— висота ∆ADO.
3) Оскільки висота ∆ADO є також і медіаною, то AD = AO, а тому AP також і бісектриса ∆ADO. Маємо ∠OAP = х.
4) OA = OC (як радіуси), тому
∠OCA = ∠OAC = 3х.
5) Але в ∆ACP: ∠C = 90° – 2х.
Маємо 3х = 90° – 2х; 5х = 90°; х = 18°.
6) Отже, ∠CAB = ∠CBA = 2 ∙ 18° = 36°; ∠ACB = 180° – 2 ∙ 36° = 108°.
Відповідь: 36°; 36°; 108°.
Відрізки AC і
shkola.in.ua
ΔABC: AB > AC ⇒ ∠BCA > ∠ABC. ∠CBD < ∠ABC, ∠BCD > ∠BCA ⇒ BD > CD. 28. У трикутнику ABC AB > AC, AM — медіана. Доведіть, що ∠CAM > ∠MAB.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1) Продовжимо медіану AM за точку M на довжину AM, отримаємо точку D.
2) ∠CMD = ∠AMB (як вертикальні). Тому ∆CMD = ∆BMA (за першою ознакою). Тому ∠CDM = ∠MAB i CD = AB.
3) Оскільки AB > АС, то й CD > АС. 4) У ∆CAD: CD > АС, а тому ∠CAD > ∠CDA. Тому ∠CAM > ∠MAB, що
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Позначимо ∠B = х, тоді ∠A = 2х.
Тоді х + 2х = 90°; 3x = 90°; x = 30°.
2) Отже, ∠B = 30°, а тому AC = �������� 2
3) Позначимо AC = у (см), тоді AB = 2у см.
За умовою у + 2у = а; 3у = а; у = ���� 3 (см).
4) Оскільки у прямокутному трикутнику радіус
гіпотенузи, то R = 2���� 2 = у = ���� 3 (см).
Відповідь: ���� 3 см.
кола R
31. У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах AB і BC позначено точки
shkola.in.ua
shkola.in.ua
і CK = CA. 5) ∠CLA = 90° – 45° = 45°; тому ∆CLA –
і CL = CA.
6) CK =CA і CL = CA, тому CK = CL; тобто ∆CLK —
і ∠LKC = ∠CLK = 180° –
85°.
1) За умовою AA1 ⊥ BC; BB1 ⊥ AC; AA1 = BB1 і AB1 = CA1.
2) ∆ABB1 = ∆CAA1 (за двома катетами), тому AB = CA, ∠ABB1 = ∠CAA1 і ∠C = ∠BAB1.
3) Оскільки ∠C = ∠BAB1, то ∆ABC рівнобедрений і AB = BC.
4) AB = CA і AB = BC, тому AB = CA = BC; ∆ABC — рівносторонній; ∠C = 60°.
60°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
2)
3) Отже, точки А, М, N і L
дорівнює a см, описано коло. Знайдіть його радіус.
shkola.in.ua
1) Нехай ∆ABC рівнобедрений; ∠ACB = 120°; AC = CB = а (см); точка O —
2) OC — серединний перпендикуляр до AB, а тому CD — висота ∆ABC.
3) ∆ABC — рівнобедрений
бісектрисою; ∠OCB = 120 2 = 60°.
AB, тому CD
4) OC = OB (як радіуси), тому ∆OCB — рівнобедрений і ∠OBC = ∠OCB = 60°.
5) ∠СОВ = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.
6) ∆COB — рівносторонній; OC = CB = а см. Відповідь: а см.
35. AM і AN — дотичні до кола, AM = m см.
BC
K. Знайдіть периметр трикутника ABC.
shkola.in.ua
CN.
AN = AM = m cм,
ABC.
Тоді P = AB + BC + CA = AB + BK + KC + CA = AB + BM + CN + CA = (AB + BM) + (АС + CN) = AM + AN = m + m = 2m (см).
2m см.
shkola.in.ua
4) Маємо 2R = 20; R = 10 (см). Відповідь: 10 см.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
4)
5) AK = AC – KC = b – r; BL = BC – CL = а – r.
6) Маємо AM = AK = b – r ; BM = BL = а – r.
7) AB = AM + MB; c = b – r + a – r; 2r = a + b – c ; r =
1) Нехай BC = a; AC = b; AB = с; К; L і М — точки дотику.
2) CO — бісектриса
= 45°.
3) У ∆KCO: ∆КОС = 90° – 45° = 45°; ∆KCO — рівнобедрений і CK = OK = r.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
2.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2)
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1)
2)
3)
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1)
shkola.in.ua
2)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
2)
4) ∆AB1C і ∆AB2C — шукані.
shkola.in.ua
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
shkola.in.ua
shkola.in.ua
1)
цієї сторони. Нехай АС сторона трикутника, BL –висота, проведена до АС, r
shkola.in.ua
shkola.in.ua
описаного кола.
1) Будуємо рівнобедрений ∆OAC за
стороною АС та радіусом r;
2) Будуємо коло радіусом r з
3) Будуємо серединний перпендикуляр
4) З точки перетину відрізка АС
5)
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) Нехай AB основа рівнобедреного трикутника.
Тоді P∆АВС – AB = 18 (см).
2) Але P∆АВС – AB = AC + CB. Оскільки AC = CB, то
AC = CB = 18 2 = 9 (см).
Відповідь: так, 9 см.
1) Нехай ∠ABL = 120°
2) ∠ABC = 180° – 120° = 60°.
3) ∠A = 90° – 60° = 30°. 4) 3а
shkola.in.ua
1) Нехай радіус кола із центром у точці O1 дорівнює r.
2) Тоді O1O2 = r, і коло, центром якого є точка O2 також має радіус r.
3) В ∆O1AO2: O1O2 = O1A = O2A = r.
Тому AO1O2 — рівносторонній, і ∠O1AO2 = 60°.
4) ∠AO1O2 = ∠O2O1B = 60°.
Тому ∠AO1B =120°.
https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html
shkola.in.ua
1) За умовою ad = 6; ab = 16; cd = 15; bc = x (див. схему).
2) Оскільки ad = 6 і bс = х, то abcd = 6х.
3) Оскільки ab = 16 і cd = 15, то abcd = 16 ∙ 15; abcd = 240.
4) Тому 6х = 240; х = 40.
Відповідь. 40.