пряму?
Через кожні три точки не можна провести пряму. Не існують три точки, через які можна провести пряму.
3. Провідміняй слово: а) точка; б) пряма; в) площина. а) точка; точки; точці; точку; точкою; на точці.
б) пряма; прямої; прямій; пряму; прямою; на прямій.
в) площина; площини; площині; площину; площиною; на площині.
4. 1) Опиши, як взаємно розташовані точки
2)
5.
б) ні; в) ні.
6.
малюнку 1.19.
Пряма AB.
9.
Чотири промені.
23. Lines p and k intersect at point M. How many rays have been formed?
Утворилося 4 промені.
htps://shkola.in.ua/3332
AB, якщо точка C
СВ = 5 дм. А. 10 см; Б. 2,5 см; В. 2,5 дм; Г. 1 м.
АВ = 2 • 5 = 10 (дм) = 1 м.
Відповідь: Г.
38.Знайди довжину відрізка, який
Дано: С – середина АВ;
СВ = 35 см;
Знайти: АВ.
Розв'язання.
АВ = 2 • СВ = 2 • 35 = 70 (см).
Відповідь: 70 см.
середина і CB = 5 дм.
Дано: АК = КР = РВ. shkola.in.ua
39.Точка C ділить відрізок AB у відношенні 1 : 2 (мал. 2.13). Знайди:
1) CB, якщо AC дорівнює: 1 см; 3 дм; 10 км;
2) AB, якщо AC дорівнює: 2 см; 5 дм; 30 м;
3) AB, якщо CB дорівнює: 2 см; 6 м; 12 км.
1) Дано: АС : СВ = 1 : 2.
Знайти: СВ.
Розв'язання
СВ = 2 • АС.
Якщо АС = 1 см, то СВ = 2 • 1 = 2 (см); якщо АС = 3 дм, то СВ = 2 • 3 = 6 (дм);
якщо АС = 10 км, то СВ = 2 • 10 = 20 (км).
2) Знайти: АВ.
Розв'язання
АВ = АС + СВ = АС + 2 • АС = 3 • АС.
Якщо АС = 2 см, то АВ = 3 • 2 = 6 (см);
Якщо АС = 5 дм, то АВ = 3 • 5 = 15 (дм); якщо АС = 30 м, то АВ = 3 • 30 = 90 (м).
3) Знайти: АВ.
Розв'язання
АВ = АС + СВ = 1 2 СВ + СВ = 3 2 СВ. Якщо СВ = 2 см, то АВ = 3 2 • 2 = 3 (см); якщо СВ = 6 м, то АВ = 3 2 • 6 = 9 (м);
якщо СВ = 12 км, то АВ = 3 2 • 12 = 18 (км).
40.Знайди довжину
частини і KP = 7 см.
RK, RL, RP, RT, KL, LP, PT, KT.
OA, OB, OC, OD, AB, BC, CD, AD, AC, BD.
10
AB, AC, AD, BC, BD, CD. 48.
52.Точка C лежить між
AB.
Дано: C ∈ AB; AC = 5 см;
BC > AC на 3 см.
Знайти: AB.
Розв'язання
Зарічна
Знайти:
а) Сонячна – Кільцева; 17 – 5,5 = 11,5 (км).
б) Мудрьона – Зарічна; 17 – 4,5 = 12,5 (км).
в) Сонячна – Мудрьона. 12,5 – 5,5 = 7 (км).
За умовою ВС = 5 + 3 = 8 (см).
За основною
АВ = 5 + 8 = 13 (см).
Відповідь: 13 см.
53.Point K lies between points B and P. BK = 8 cm, and the distance PK is 4 cm more. Find BP.
Дано: К ∈ ВР; ВК = 8 см;
РК > ВК на 4 см.
Знайти : ВР.
Розв'язання
За умовою РК = 8 + 4 = 12 (см).
За основною властивістю
РК = 8 + 12 = 20 (см)
Відповідь: 20 см.
54.Розглянь
(мал. 2.17).
Масштаб: 1 : 1 000 000
1 см → 1000000 см
на
3,5 см,
АС = 50 + 35 = 85 см
5 • 10 = 50 км
3,5 • 10 = 35 км
а) AX = 2,5 км, XB = 3,4 км; б) AX = 5,3 км, XB на 4,2
AX; в) XB = 2 1 3 км, AX = 6XB.
а) AB = AX + XB = 2,5 + 3,4 = 5,9 (см);
б) AB = AX + XB = 5,3 + 4,2 = 9,5 (см);
в) AB = AX + XB = 2 1 3 + 6 2 3 = 9 (см).
56.Точка M лежить
а) KP = 0,9 дм, KM = 0,3 дм; б) KP = 2 5 6 дм, KM = 1 1 6 дм.
а) MP = КР – КМ = 0,9 – 0,3 = 0,6 (дм);
б) MP = КР – КМ = 2,6 – 1,4 = 1,2 (дм);
в) MP = КР = 25 61 6 = 2 2 3 (дм).
57.Точка A лежить між
MK = 2,7 см, AK = 1,5 см; б) MK = 12,6 м, AK = 8,4 м.
а)
Дано: МК = 2,7 см; АК = 1,5 см. Знайти: АМ.
= МК – АК; АМ = 2,7 – 1,5 = 1,2 (см) Відповідь: 1,2 см.
МК = 12,6 см; АК = 8,4 м.
= МК – АК; АМ = 12,6 – 8,4 = 4,2 (м)
4,2 м.
AB = 1,9 дм, BC = 2,9 дм, AC = 4,9 дм?
59.Чи лежать точки A, M і K
а) AM = 6,8 см, MK = 4,2 см, AK = 10 см;
б) AM = 12,6 см, MK = 4,5 см, AK = 8,1 см?
Якщо так, то яка точка лежить між двома іншими?
а) АМ = 6,8 см; МК = 4,2 см; АК = 10 см.
АМ + МК = АК.
6,8 + 4,2 = 10.
11 ≠ 10. Ні.
б) АМ = 12,6 см; МК = 4,5 см; АК = 8,1 см
АК + МК = АМ
8,1 + 4,5 = 12,6.
12,6 = 12,6.
Точка К лежить між точками А і М.
60.M середина відрізка
якщо KB = 7 см.
Дано: М – середина АВ; К – середина МВ,
КВ = 7 см.
Знайти: АМ, АК, МК і АВ.
Розв’язання
МВ = 2 • КВ; МВ = 2 • 7 = 14 (см);
АМ = МВ = 14 см.
АВ = 2 • МВ = 2 • 14 = 28 (см).
АК = АМ + МК; АК = 14 + 7 = 21 (см).
МК = КВ = 7 см.
Відповідь: 14 см; 21 см; 7 см; 28 см.
61.Точки A, B, C і K
AC = 12 см.
AB = BC = CK.
СК = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см).
62.Точка C
(1–3),
A
1) АВ, якщо АС = 2 см, ВС = 6,2 см.
АВ = АС + ВС; АВ = 2 + 6,2 = 8,2 (см).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
2) АС, якщо АВ = 10,4 см; ВС = 7,2 см.
АС = АВ – ВС; АС = 10,4 – 7,2 = 3,2 (см).
3) ВС, якщо АС : ВС = 1 : 2; АВ = 15,3 см.
Нехай АС = х см, тоді ВС = 2х см.
АС + ВС = АВ; х + 2х = 15,3; 3х = 15,3;
х = 5,1.
ВС = 2 • 5,1 = 10,2 (см).
Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.
63.На відрізку XY завдовжки 4,8 дм лежить точка C (мал. 2.18). Знайди
якщо:
а) CY – XC = 1,6 дм; б) CY = 2XC; в) XC : CY = 3 : 5.
Нехай СУ = х дм, тоді ХС = (х + 1,3)
Звідси 2х = 3,5; х = 1,75, тоді х + 1,3 = 1,75 + 1,3 = 3,05.
Отже, СУ = 1,75 дм, ХС = 3,05 дм.
1,6, тоді 2х = 2 х 1,6 = 3,2.
KO : OE = 2 : 7.
КЕ = 12,6 см; О ∈ КЕ;
ОЕ, якщо:
ОЕ > КО на 3 см;
= х см, тоді
= х + 3 (см). КО + ОЕ = КЕ х + х + 3 = 12,6; 2х + 3 = 12,6; 2х = 9,6; х = 4,8.
КО = 4,8 см; ОЕ = 4,8 + 3 = 7,8 (см).
Відповідь: 4,8 см; 7,8 см.
б) ОК < ЕО у 2 рази.
Розв'язання
Нехай ОК = х см, тоді ЕО = 2 х см.
ОК + ЕО = КЕ;
х + 2х = 12,6;
3х = 12,6;
х = 4,2.
ОК = 4,2 см; ЕО = 2 • 4,2 = 8,4 (см).
Відповідь: 4,2 см; 8,4 см.
в) КО : ОЕ = 2 : 7.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді КО = 2 х см, ОЕ = 7 х см.
КО + ОЕ = КЕ,
2х + 7х = 12,6; 9х = 12,6;
х = 1,4.
КО = 2 • 1,4 = 2,8 (см); ОЕ = 7 • 1,4 = 9,8 (см);
Відповідь: 2,8 см; 9,8 см.
65.Чи можна розмістити точки A, B і C так, щоб
а) AB = 5,1 см, BC = 3,5 см, AC = 6,8 см;
б) AB = 3,1 см, BC = 7,2 см, AC = 10,3 см;
в) AB = 2,3 см, BC = 3,5 см, AC = 6,3 см?
а) Оскільки АС > АВ + ВС (6,3 см > 2,3 см + 3,5 см), то точки А, В,
розташувати; б) оскільки АС < АВ + ВС (6,8 см < 5,1 см + 3,5 см), то точки А, В, С можна так розташувати; в) оскільки АС = АВ + ВС (10,3 см = 3,1 см + 7,2 см), то точки А, В, С можна так розташувати: вони лежать на одній прямій, причому точка В між точками А і С. 66.Чи можна розмістити
a) EF = 3,5 см; FK = 7,2 см; EK = 10,7 см. EF + FK = EK.
3,5 + 7,2 = 10,7. 10,7 = 10,7. Так.
б) EF = 7,8 см; FK = 3,4 см; EK = 12 см. EF + FK = EK.
7,8 + 3,4 = 12.
11,2 ≠ 12. Ні.
в) EF = 4,3 см; FK = 6,8 см; EK = 9,2 см. EF + FK = EK.
4,3 + 6,8 = 9,2.
11,1 ≠ 9,2. Ні.
а) AB = 9,2 см, BC = 3,8 см, AC = 13 см;
б) AB = 9,2 см, BC = 3,8 см, AC = 5,4 см;
в) AB = 9,2 см, BC = 13,8 см, AC = 4,6 см?
+
АВ. 68.Чи може відрізок FE лежати на промені AF, якщо: а)
AE = 6,8 см; EF = 5,6 см; AF = 12,4 см.
Відрізок FE лежить на промені AF. б)
AE = 6,8 см; EF = 5,6 см; AF = 1,2 см.
Відрізок FE лежить на промені AF. в)
AE = 6,8 см; EF = 15,6 см; AF = 8,8 см.
Відрізок FE не лежить на промені AF.
69.Відомо, що AK = PB (мал. 2.19). Доведи, що AP = KB.
Дано: АК = РВ.
Довести: АР = КВ. Доведення
основною
АР = АК + КР; КВ = РВ + КР. КР – спільна частина,
Відомо, що AP = KB (мал. 2.19).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
= 12
= 4
Дано: МК = 12 см; КР = 4 см.
Знайти: МР.
Розв'язання
I. К ∈ МР.
МР = МК + КР; МР = 12 + 4 = 16 (см).
II. Р ∈ МК.
МР = МК – КР; МР = 12 – 4 = 8 (см).
Відповідь: 16 см або 8 см. 72.Точки А, В, С лежать на одній прямій, АВ = 10
можливі варіанти.
І випадок
(точка С лежить між точками А і В):
АС = АВ – ВС = 10 – 3 = 7 (дм).
ІІ випадок
(точка В лежить між точками А і С):
АС = АВ + ВС = 10 + 3 = 13 (дм).
Відповідь: 7 дм або 13 дм.
73.Точки А, В, С і D лежать на одній прямій,
Знайди AD.
І випадок (точка С лежить між точками А і D):
AD = AB + BC + CD = 2DC + CD = 2 • 7 + 10 = 24 (м).
ІІ випадок
(точок В лежить між точками А і С):
AD = AC – CD = 2BC – CD = 2 • 7 – 10 = 4 (м).
= 3
74.Точки А, В, С і D лежать на одній прямій. Знайди CD, якщо АВ = 10 см, АС = 3 см, BD = 4 см. Розглянь усі можливі варіанти.
І випадок:
CD = AC + CD = AC + (AB – BD) = 3 + (10 – 4) = 9 (см).
ІІ випадок:
CD = AC + AB + BD = 10 + 3 + 4 = 17 (см).
ІІІ випадок:
CD = AB – AC – BD = 10 – 3 – 4 = 3 (см).
IV випадок:
CD = CB + BD = (AB – AC + BD) = = (10 – 3) + 4 = 11 (см).
Відповідь: 3 см, 9 см, або 11 см, або 17 см.
75.Поясніть, як провішують прямі за
віх (мал. 2.20).
5 = 7 + 7 – 3 – 3 –
90° : 3 = 30°.
Відповідь: Б. 84.
1) x = 10° + 35° x = 45°.
2) x = 120° - 97°. x = 23°.
3) x = 90° - 15°; x = 75°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
88.1) Назви
2) Нехай ∠MOA = 25°, ∠AOB прямий, ∠COD = ∠DOB = 30°. Знайди ∠MOB і ∠AOC.
3) Порівняй кути MOC і AOD, AOD і COB.
Гострі: ∠МОА; ∠АОС; ∠COD; ∠DOB; ∠МОС; ∠AOD; ∠COB; ∠MOD.
Прямий: ∠АОВ. Тупий: ∠МОВ.
∠МОВ = ∠МОА + ∠АОВ;
∠МОВ = 25° + 90° = 115°.
∠АОС = ∠АОВ – ∠СОВ;
∠АОС = 90° – 60° = 30°.
∠МОС < ∠AOD; ∠AOD = ∠COB.
89.
область.
135'; 5000'. 135’ = 2°15’; 5000’ = 83°20’.
95.Виконай дії: а) 123°45' + 54°32'; б) 44°14' – 14°44'. а) 123°45’ + 54°32’ = 177°77’ = 178°17’; б) 44°14’ – 14°44’ = 43°74’ – 14°44’ = 29°30’.
96.Запиши
малюнків (мал. 3.19).
1) x + 50° = 90°; x = 90° – 50°; x = 40°.
2) x + 72° + 51° = 180°; x + 123° = 180°; x = 180° – 123°; x = 57°.
3) x + 2x + 45° = 90°; 3x + 45° = 90°; 3x = 90° – 45°; 3x = 45°; x = 15°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
А 10° 100° 60° 90° 100° 180°
B 5° 50° 30° 45° 50° 90°
98.ВК внутрішній промінь кута ABC. Знайди: а) ∠АВС, якщо ∠АВК = 48°, ∠КВС = 32°.
∠АВС = ∠АВК + ∠КВС; ∠АВС = 48° + 32° = 80°. б) ∠АВК, якщо ∠АВС = 64°, ∠КВС = 40°.
∠АВК = ∠АВС – ∠КВС;
∠АВК = 64° – 40° = 24°.
в) ∠КВС, якщо ∠
= 120°, ∠
КВС = ∠АВС – ∠АВК
КВС = 120°2 3 • 120° = 120° - 80° = 40°.
99.Знайди міру кута AOB, якщо OC його внутрішній
= 30°.
∠АОВ = ∠АОС + ∠СОВ = 60° + 30° = 90°.
100.Find the measure of angle AOB, if OC is its internal ray and ∠AOC = 50°, ∠COB = 20°. Дано: ОС – внутрішній
АОС = 50°; ∠СОВ = 20°.
∠АОВ.
= ∠АОС + ∠СОВ.
АОВ = 50° + 20° = 70° Відповідь: 70°.
101. ∠AOB = 40°, ∠BOC = 24°. Знайди ∠AOC, якщо:
ОВ – внутрішній промінь ∠
АОВ = 40°, ∠ВОС = 24°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання ∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС; ∠АОС = 40° + 24° = 64°.
Відповідь: 64°.
∠АОВ = 40°, ∠ВОС = 24°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання
∠АОС = ∠АОВ – ∠СОВ;
∠АОС = 40° – 24° = 16°.
Відповідь: 16°.
102. ∠MON = 35°, ∠KOM = 20°. Знайди ∠KON, якщо:
–
∠KON; ∠MON = 35°; ∠KOM = 20°.
Знайти: ∠KON.
Розв'язання
∠KON = ∠KOM + ∠MON; ∠KON = 20° + 35° = 55°.
Відповідь: 55°.
Дано: ОК – внутрішній промінь ∠MON; ∠MON = 35°; ∠KOM = 20°.
Знайти: ∠KON.
Розв'язання
∠KON = ∠MON – ∠KOM; ∠KON = 35° – 20° = 15°.
Відповідь: 15°.
а) ∠АОМ < ∠МОВ на 20°.
Розв'язання
Нехай ∠АОМ = х°, тоді ∠МОВ = х + 20°.
∠АОМ + ∠МОВ = ∠АОВ.
х + х + 20 = 120;
2х = 120 – 20; 2х = 100;
х = 50.
∠АОМ = 50°; ∠МОВ = 50° + 20° = 70°.
Відповідь: 50°; 70°.
б) ∠АОМ > ∠МОВ в 4 рази.
Розв'язання
Нехай ∠МОВ = х°, тоді ∠АОМ = 4х°.
∠АОМ + ∠МОВ = ∠АОВ; 4х + х = 120;
5х = 120;
х = 24.
∠
МОВ = 24°; ∠АОМ = 4 • 24 = 96°.
Відповідь: 96°; 24°.
в) ∠АОМ : ∠МОВ = 3 : 7.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності,
∠АОМ = 3х°; ∠МОВ = 7х°.
3х + 7х = 120;
10х = 120;
х = 12.
∠АОМ = 3 • 12 = 36°; ∠МОВ = 7 • 12 = 84°.
Відповідь: 36°; 84°.
109.OC
2х = 60 – 16; 2х = 44;
х = 22.
∠СОВ = 22°; ∠АОС = 22° + 16° = 38°.
Відповідь: 38°; 22°.
б) ∠АОС < ∠СОВ у 3 рази.
Розв'язання
Нехай ∠АОС = х°, тоді ∠СОВ = 3х°.
∠АОС + ∠СОВ = ∠АОВ;
х + 3х = 60;
4х = 60;
х = 15.
∠АОС = 15°; ∠СОВ = 3 • 15° = 45°.
Відповідь: 15°; 45°.
в) ∠АОС : ∠СОВ = 7 : 8.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді ∠АОС = 7х°; ∠СОВ = 8х°.
7х + 8х = 60; 15х = 60;
х = 4.
∠АОС = 7 • 4 = 28°; ∠СОВ = 8 • 4 = 32°.
Відповідь: 28°; 32°.
110.Накресли ∠AOB і його
= 90°,
AOK = 40°, ∠MOB = 30°. Знайди ∠KOM.
КОМ = ∠АОВ – ∠АОК – ∠МОВ = = 90° – 40° – 30° = 20°
111.Накресли ∠KOE, і його
KOE = 120°, ∠AOK = 40°,
∠COE = 50°. Знайди ∠AOC. Дано: ∠КОЕ = 120°; ∠АОК = 40°; ∠СОЕ = 50°. Знайти: ∠АОС.
∠АОС = ∠КОЕ – (∠АОК + ∠СОЕ); ∠АОС = 120° – (40° + 50°) = 30°.
Відповідь: 30°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
112.OL і OE внутрішні
кута KOM (мал. 3.21). Знайди кут LOE, якщо ∠KOE = 55°, ∠LOM = 80°, ∠KOM = 110°.
113.OA і OC внутрішні
Дано: ∠KOE = 55°; ∠LOM = 80°; ∠KOM = 110°.
Знайти: ∠LOE.
Розв'язання
∠KOL = ∠KOM − ∠LOM;
∠KOL = 110° – 80° = 30°.
∠LOE = ∠KOE − ∠KOL;
∠LOE = 55° – 30° = 25°.
Відповідь: 25°.
POK.
AOC, якщо
POC = 60°, ∠AOK = 76°, ∠POK = 100°.
Дано: ∠РОС = 60°, ∠АОК = 76°; ∠РОК = 100°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання
∠POA = ∠POK − ∠AOK;
∠POA = 100° − 76° = 24°.
∠AOC = ∠POC − ∠POA; ∠AOC = 60° − 24° = 36°. Відповідь: 36°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ВТ – бісектриса ∠АВС;
ВК – бісектриса ∠АВТ; ВР – бісектриса ∠ТВС.
Знайти:
а) ∠КВР, якщо ∠АВС = 80°.
Розв'язання
Нехай ∠АВК = ∠КВТ = ∠ТВР = ∠РВС = х°.
∠АВК + ∠КВТ + ∠ТВР + ∠РВС = ∠АВС.
х + х + х + х = 80;
4х = 80;
х = 20.
∠КВР = ∠КВТ + ∠ТВР.
∠КВР = 20° + 20° = 40°.
Відповідь: 40°.
б) ∠АВС, якщо ∠КВР = 50°.
Розв'язання
Нехай
∠КВТ + ∠ТВР = ∠КВР;
х + х = 50;
х = 25.
∠АВС = 4 • 25 = 100°.
Відповідь: 100°. 118.OM
119.OM і OK
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AOB, OK
MOB, ∠AOB = 150°, ∠KOB
40°
∠MOK = ∠BOK = 40°;
∠MOB = 2 • 40 = 80°;
∠AOM = ∠AOB – ∠MOB = 150° – 80° = 70°.
Відповідь: 70°, 40°.
120.BM і BP внутрішні промені кута ABC, BM бісектриса кута ABP, ∠ABM на 20°
менший від ∠ABP. Знайди кути ABM, MBP і PBC, якщо
∠ABC = 100°.
∠АВМ = 20°; ∠АВР = 20° + 20° = 40°.
∠МВР = ∠АВМ = 20°.
∠РВС = ∠АВС – ∠АВР = 100° – 40° = 60°.
Відповідь: 20°; 20°; 60°.
121.Знайдіть кут AOB, якщо ∠AOM = 30°, ∠MOB = 60°. Розгляньте два випадки.
122.Дано
Дано: ВМ – бісектриса ∠АВР, ∠АВМ < ∠АВР на 20°; ∠АВС = 100°.
Знайти: ∠АВМ, ∠МВР, ∠РВС.
Розв'язання Нехай ∠АВМ = х°, тоді ∠АВР = х + 20°.
умовою 2 • ∠АВМ = ∠АВР; 2х = х + 20; 2х – х = 20; х = 20.
1) Дано: ∠АОМ = 30°;
∠МОВ = 60°.
Знайти: ∠АОВ.
Розв'язання
∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ.
∠АОВ = 30° + 60° = 90°.
Відповідь: 90°.
2) Дано: ∠АОМ = 30°;
∠МОВ = 60°.
Знайти: ∠АОВ.
Розв'язання
∠АОВ = ∠МОВ – ∠АОМ;
∠АОВ = 60° – 30° = 30°.
Відповідь: 30°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1) Дано: ОМ – внутрішній промінь ∠АОВ;
∠АОВ = 120°; ∠МОВ = 50°.
Знайти: ∠АОМ.
Розв'язання
∠АОМ = ∠АОВ – ∠МОВ;
∠АОМ = 120° – 50° = 70°.
Відповідь: 70°.
2) Дано: ОВ – внутрішній промінь ∠АОМ;
∠АОВ = 120°; ∠МОВ = 50°.
Знайти: ∠АОМ.
Розв'язання
∠АОМ = ∠АОВ + ∠МОВ;
∠АОМ = 120° + 50° = 170°.
Відповідь: 170°. 123.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
125.Як
дорівнює:
а) 23°.
∠AOC = 8 • 23° = 184°;
∠BOC = 180°;
∠AOB = ∠AOC – ∠BOC;
∠AOB = 184° – 180° = 4°.
126. а) Виріж
міри.
б) Перегинаючи аркуші
30°; 60°.
2) Дано: ОА –
∠ВОС; ∠АОВ = 40°; ∠АОС > ∠АОВ в 2 рази.
Знайти: ∠ВОС.
Розв'язання
∠АОС = 2 • ∠АОВ = 2 • 40° = 80°.
∠ВОС = ∠АОВ + ∠АОС;
∠ВОС = 40° + 80° = 120°.
Відповідь: 120°.
б) 11°
∠BOC = 16 • 11° = 176°;
∠AOC = 180°;
∠AOB = ∠AOC – ∠BOC;
∠AOB = 180° – 176° = 4°.
127.Знайди периметр прямокутника, якщо
5 см.
Друга сторона прямокутника
2 • (5 + 8) = 2 • 13 = 26 см.
128.Чи на одній прямій розташовані
а) AB = 5 дм, BC = 7 дм, AC = 10 дм;
б) AB = 35 см, BC = 45 см, AC = 1 дм;
в) AB = 3 4 дюйма, BC = 2 3 дюйма, AC = 1 12
Точки
(3 4 дюйма = 2 3 дюйма + 1 12
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
���� ;
���� ?
a) B,C,N; б) ����, ���� , ���� , ����
1. Б. �������� = 10, �������� ∶ �������� =2 ∶ 3. �������� , �������� ?
AB = 10⋅2 5 =4; BC = 10⋅3 5 =6.
Відповідь: AB =4, BC =6
2. А. �������� = 2 3 �������� , �������� =5. �������� , �������� ?
BC = 1 3 AC, тоді AC =3 ⋅ BC =3 ⋅ 5= 15;
AB = 2 3 AC = 2 3 ⋅ 15 = 10.
Відповідь: AB = 10, AC = 15.
2. Б. �������� = 20, �������� = �������� =2�������� . �������� , �������� , ��������, �������� , �������� ?
�������� = �������� + �������� + �������� = �������� +2�������� +2�������� =5�������� ,
тоді �������� = �������� :5= 20:5=4;
BC = CD =2 ⋅ AB =2 ⋅ 4=8; �������� =2 ⋅ �������� =2 ⋅ 8= 16.
Відповідь: AB =4, BC =8, CD =8, BD = 16.
3. А. Запиши кути:
Гострі: AOB, COD, DOE, COE, BOC; прямі: AOC, BOD; тупі: AOD, AOE, BOE.
3. Б. ∠2 = 2∠1
∠1, ∠2?
∠1 = 1 2 ∠������������ = 1 2 ⋅ 90∘ = 45∘ ;
∠2 = ∠1 = 45∘ .
4. А. ∠������������ = 50∘ ;
∠1 −∠2 = 10∘ .
∠1, ∠2?
∠2 = (∠������������ 10∘ ) ∶ 2= (50∘ 10∘ ) ∶ 2= 20∘ ;
∠1 = 20∘ + 10∘ = 30∘ .
Відповідь: 30∘ , 20∘
4. Б. �������� - бісектриса ∠������������ ,
∠������������ = ∠������������ .
∠������������, ∠������������?
∠MOC = 10∘
∠������������ = ∠������������ =2 ⋅ 10∘ = 20∘ ;
∠������������ =2 ⋅∠������������ =2 ⋅ 20∘ = 40∘ ;
∠MOB = ∠MOC + ∠COB = 10∘ + 20∘ = 30∘ .
Відповідь: 40∘ , 30∘ .
shkola.in.ua
AC = AB − BC =9 − 4=5 (см).
AC = AB + BC =9+4= 13 (см)
=3x ∘ . Звідси x+ 3x = 80, тоді 4x = 80; ���� = 20, звідси 3���� =3 ⋅ 20 = 60∘ .
MK = NK + NM = 10 +6= 16 (см).
�������� = �������� �������� = 10 6=4 (см). Відповідь: 16 см або 4 см. 4.
∠������������ і ∠������������ , якщо ∠������������ = 70∘ .
∠AOC =x ∘ , тоді ∠BOC =x ∘ + 20∘ .
x+x+ 20 = 80, тоді 2x = 60∘ ;x= 30. Отже, ∠AOC = 30∘ , ∠BOC = 50∘
30∘ , 50∘ . Варіант
BC = AC +3=4+3=7 (см); �������� + �������� + �������� =4+7= 11 (см).
Отже, ∠AOC =2 ⋅ 20∘ = 40∘ ,
∠������������ =3 ⋅ 20∘ = 60∘ .
Відповідь: 40∘ , 60. Варіант 4
1. ���� - внутрішня точка відрізка �������� . �������� =9 см, відрізок ВС у з
довжину відрізка АВ.
BC = AC:3=9:3=3 (см);
AB = AC + BC =9+3= 12 (см).
2. ОC - бісектриса
3.
KT = KP + PT =5+ 12 = 17 (см).
KT = KP PT = 12 5=7 (см). Відповідь: 17 см
5. K -
htps://shkola.in.ua/3332
А. 13 см; Б. 7 см; В. 30 см; Г. 8 см. Б. 7 см. 6. Знайдіть
А. 50∘ ; Б. 170∘ ; В. 90∘ ; Г. 70∘ . А. 50∘ 8. ОМ- внутрішній промінь
А. 70∘ ; Б. 50∘ ; В. 90∘ ; Г. 44∘ . В. 90∘ 9. B – внутрішня точка відрізка
3.
Перевірка: BC = AB + AC = 47 + 25 = 72 см. Відповідь: А. A.
4. OK
1 AOB, якщо ∠AOK = 30°,
2 KOB,
1) ∠AOB = ∠AOK + ∠KOB = 30° + 40° = 70° (Г) 2) ∠KOB = ∠AOB – ∠KOA = 79° – 53° = 26° (А)
3) ∠KOB = x, ∠AOK = x – 20°,
∠AOB = ∠AOK + ∠KOB
80° = x + (x – 20°)
80° + 20° = 2x
x = 100° : 2
x = 50° (В) Відповідь: 1 Г, 2 А, 3 В.
5.
O
AO і OB, якщо AO : OB = 2 : 3.
AB = AO + OB;
7,5 = 2x + 3x
7,5 = 5x x = 1,5 AO = 2x =
6. Накресли ∠ABC = 120°.
∠ABM = ∠MBC = ∠ABC : 2 = 120° : 2 = 60°
∠MBK = ∠KBC = ∠MBC : 2 = 60° : 2 = 30°
∠ABK = ∠ABM + ∠MBK = 60° + 30° = 90°
Відповідь: ∠KBC = 30°; ∠ABK = 90°.
7. Точки A, B і C лежать
відрізка AC. Розглянь
1-й випадок
AC = AB + BC = 7,3 + 3,7 = 11 см; 2-
AC = AB − BC = 7,3 − 3,7 = 3,6 см. Відповідь:
∠MOK = ∠MOC + ∠COK
∠MOC = ∠AOC : 2
∠COK = ∠COB : 2
∠AOM + ∠MOC + ∠COK + ∠KOB = ∠AOB
2∠MOC + 2∠COK = 72°
2(∠MOC + ∠COK) = 72°
2∠MOK = 72°
∠MOK = 36°
Відповідь: ∠MOK = 36°.
NRB;
∠AOB = 50°;
∠COB = 180° – ∠AOB = 180° – 50° = 130°.
142.
∠AOB = 160°;
∠BOC = 180° – ∠AOB = 180° – 60° = 20°.
143.
АВС = 34°; б)
= 111°;
= 13°13';
АВС = 135°47'.
а) 180° – ∠ABC = 180° – 34° = 146°;
б) 180° – ∠ABC = 180° – 111° = 69°;
в) 180° – ∠ABC = 180° – 13°31' = 166°47'.
г) 180° – ∠ABC = 180° – 135°47' = 44°13'.
144.
а) ∠AOB = 27°;
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 27° = 153°.
б) ∠AOB = 132°;
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 132° = 48°.
в) ∠AOB = 56°34';
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 56°34' = 179°60' – 56°34' = 123°26'.
г) ∠AOB = 117°48';
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 117°48' = = 179°60' – 117°48' = 62°12'.
145.
Нехай ∠COB = ∠AOB = α, тоді за теоремою
суміжних кутів маємо: α + α = 180°, тоді
2α = 180°; α = 90°.
Отже, ∠COB = ∠AOB = 90°.
146.Запиши
а) 112° + x = 180°; x = 180° – 112°; x = 68°.
в) x + 4x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
147.Знайди
б) x + 90° = 180°; x = 180° – 90°; x = 90°.
г) x + x + 100° = 180°; 2x = 180° – 100°; 2x = 80°; x = 40
від іншого.
а) ∠1 < ∠2 на 42°; Розв'язання Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x + 42°.
x + x + 42° = 180°; 2x = 180° - 42°; 2x = 138°; x = 69°.
∠1 = 69°, ∠2 = 69° + 42° = 111°. б) ∠1 > ∠2 у 3 рази;
∠2 = x°, тоді ∠1 = 3x.
властивістю суміжних кутів: x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°.
∠2 = 45°, ∠1 = 3 • 45° = 135°. Відповідь: 135°; 45°.
Нехай ∠BOC = x°, тоді
∠AOB = x° + 30°. За теоремою про суму суміжних
x + x + 30 = 180. Звідси 2x = 150; x = 75. Отже, ∠BOC = 75°, ∠AOB = 105°.
Відповідь: 75° і 105°.
б)
Нехай ∠AOB = x°,
∠BOC = 2x°.
За теоремою про суму
x + 2x = 180. Звідси 3x = 180; x = 60. Отже,
∠AOB = 60°, ∠BOC = 120°.
Відповідь: 60° і 120°.
149.Знайди міри
а) 4 : 5; б) 3 : 2.
а)
Нехай ∠AOB = 4x°,
∠BOC = 5x°.
За теоремою
4x + 5x = 180. Звідси 9x = 180; x = 20. Отже,
∠AOB = 4 • 20° = 80°, ∠BOC = 5 • 20° = 100°.
Відповідь: 80° і 100°. б)
htps://shkola.in.ua/3332
Нехай ∠AOB = 2x°, ∠BOC = 3x°.
2x + 3x = 180. Звідси 5x = 180; x = 36. Отже,
∠AOB = 2 • 36° = 72°, ∠BOC = 3 • 36° = 108°.
Відповідь: 72° і 108°.
150.Знайди міри суміжних кутів, які відносяться як:
а) 1 : 4;
Нехай x – коефіцієнт пропорційності, тоді ∠1 = x°, ∠2 = 4x°.
За властивістю суміжних кутів: x + 4x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
∠1 = 36°, ∠2 = 4 • 36° = 144°.
Відповідь: 36°; 144°.
б) 7 : 8;
Нехай x –
коефіцієнт пропорційності, тоді
За властивістю суміжних кутів: 7x + 8x = 180°; 15x = 180°; x = 12°.
∠1 = 7 • 12° = 84°, ∠2 = 8 • 12° = 96°.
Відповідь: 84°; 96°.
151.Find the measures of supplementary angles that are related as: а) 1 : 2;
Нехай х – коефіцієнт
За
властивістю суміжних кутів: x + 2x = 180°; 3x = 180°; x = 60°.
∠1 = 60°, ∠2 = 2 • 60° = 120°.
Відповідь: 60°; 120°. б) 2 : 7.
Нехай х – коефіцієнт
За властивістю суміжних кутів: 2x + 7x = 180°; 9x = 180°; x = 20°.
∠1 = 2 • 20° = 40°, ∠2 = 7 • 20° = 140°.
Відповідь: 40°; 140°.
152.Перенеси
Знайти: ∠КОР, якщо:
∠МОЕ = 24°
Розв'язання
∠МОК = 2 • ∠МОЕ = 2 • 24° = 48°;
∠КОР = 180° - ∠МОК;
∠КОР = 180° - 48° = 132°.
Відповідь: 132°.
б) ∠КОЕ = 50°
Розв'язання
∠МОК = 2 • ∠КОЕ = 2 • 50° = 100°;
∠КОР = 180° - ∠МОК;
∠КОР = 180° - 100° = 80°.
Відповідь: 80°.
в) ∠МОЕ = ∠КОР.
∠МОЕ = ∠ЕОК - за умовою.
Отже, ∠МОЕ = ∠ЕОК = ∠КОР.
∠МОЕ + ∠ЕОК + ∠КОР = 180°.
∠КОР = 180° : 3 = 60°.
Відповідь: 60°.
155.
МОС = 30°;
∠ВОМ = 45°; в) ∠АОВ = ∠МОВ.
а)
∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 2∠MOC = = 180° - 2 • 30° = 120°;
б)
∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 2∠MOC = = 180° - 2 • 45° = 90°;
в) ∠AOB = 180° : 3 = 60°.
156.Розглянь малюнок 4.9.
Дано: ∠ACB і ∠ACM – суміжні;
∠ACB = 70°.
Знайти: ∠ACM.
Розв'язання
∠ACM = 180° – ∠ACB;
∠ACM = 180° – 70° = 110°.
Відповідь: 110°.
б)
Дано: ∠KRL і ∠LRF – суміжні; ∠LRF = 125°.
Знайти: ∠KRL.
Розв'язання
∠KRL = 180° – ∠LRF;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай ∠AOB – шуканий, тоді ∠BOC + ∠AOD = 110°, враховуючи, що ∠BOC = ∠AOD як суміжні кути до кута АОВ.
Отже, ∠BOC = ∠AOD = 110° : 2 = 55°,
тоді ∠AOB = 180° - 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
161.Кути
якщо:
а) ∠АОВ – ∠ВОС = 40°;
= 5 : 1;
становить 6 7 ∠АОМ.
Дано: ∠АОВ і ∠ВОС – суміжні;
ОМ – бісектриса ∠АОВ.
Знайти: ∠МОВ, якщо: а) ∠АОВ – ∠ВОС = 40°;
Розв'язання
Нехай ∠ВОС = x°, тоді ∠АОВ = x + 40°.
За властивістю суміжних кутів: x + x + 40° = 180°; 2x + 40° = 180°; 2x = 180° - 40°; 2x = 140°; x = 70°.
∠ВОС = 70°, ∠АОВ = 70° + 40° = 110°.
∠МОВ = 1 2 ∠АОВ = 1 2 • 110 = 55°.
Відповідь: 55°. б) ∠АОВ : ∠ВОС = 5 : 1;
∠АОВ = 5x°, ∠BOC = x°. За
суміжних кутів: 5x + x = 180°;
6x = 180°; x = 30°.
∠ВОС = 30°; ∠АОВ = 5 • 30° = 150°;
∠МОВ = 1 2 ∠АОВ = 1 2 • 150 = 75°.
Відповідь: 75°.
в) ∠MOB = 2∠BOC;
Розв'язання
Нехай ∠BOC = x°, тоді ∠MOB = 2x.
∠AOB = 2 • ∠MOB = 2 • 2x = 4x.
За властивістю суміжних кутів: 4x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
∠MOB = 2 • 36° = 72°.
Відповідь: 72°.
г) ∠BOC становить 6 7 ∠AOM.
Розв'язання
Нехай ∠AOM = x°, тоді ∠BOC = 6 7 x.
∠AOB = 2 ∠AOM = 2x.
За
властивістю суміжних кутів: 2x + 6 7 x = 180°; 20 7 x = 180°; x = 180° • 7 20; x = 63°.
∠AOM = 63°; ∠MOB = ∠AOM = 63°.
Відповідь: 63°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠AOB = 150∘ , ∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 ⋅ 150∘ = 75∘ . Відповідь: 75∘ .
Нехай ∠AOB =5x ∘ , ∠BOC =4x ∘ , тоді 5x + 4x = 180. Звідси 9x = = 180,x= 20. Отже,
B=5 ⋅ 20∘ = 100∘ ∠BOC =4 ⋅ 20∘ = 80∘ , ∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 ⋅
Відповідь: 50∘ .
ABCD – квадрат; AB || CD, DC || AD; AB ⊥ DC, BC ⊥ CD; CD ⊥ AD, AD ⊥ AB. 167.
Вертикальні
172.
173.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 і ∠2 – вертикальні; ∠1 + ∠2 = 80°.
Знайти: ∠1; ∠2.
Розв'язання
За властивістю вертикальних кутів:
∠1 = ∠2 = 80° : 2 = 40°.
Відповідь: 40°; 40°.
182.The sum of the measures of two vertical angles is 60°. Find the measure of each of these angles.
Дано: ∠1 і ∠2 – вертикальні; ∠1 + ∠2 = 60°.
Знайти: ∠1; ∠2.
Розв'язання
За властивістю вертикальних кутів:
∠1 = ∠2 = 60° : 2 = 30°.
Відповідь: 30°; 30°.
183.Сума мір двох вертикальних
∠AOB + ∠COD = 120°, тоді за теоремою про вертикальні
Тоді ∠1 + ∠1 = 180°, ∠1 = 60°.
Відповідь: 60°.
184.Знайдіть
дорівнює:
а) 50°; б) 110°; в) n°.
а)
Нехай ∠AOB = 50°, тоді ∠COD = 50°,
∠AOC =
=180° - 50° = 130°, ∠BOD = 130°.
Відповідь: 130°, 50°, 130°.
б) Нехай ∠AOB = 110°, тоді ∠DOC = 110°,
∠BOC = 180° - 110° = 70°, ∠AOD = 70°.
Відповідь: 70°, 110°, 70°.
в) Нехай ∠AOB = n°, тоді ∠DOC = n°, тоді ∠DOA = 180° - n°, ∠BOC - n°, n°, 180° - n°.
185.Знайди міри кутів, утворених
дорівнює: а) 35°; б) 140°; в) m°.
Дано: a x b.
Знайти ∠2, ∠3, ∠4, якщо: а) ∠1 = 35°. Розв'язання
∠3 = ∠1 = 35° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 35° = 145°.
∠2 = ∠4 = 145° – як вертикальні.
Відповідь: 145°; 35°; 145°.
б) ∠1 = 140°.
Розв'язання
∠3 = ∠1 = 140° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°.
∠2 = ∠4 = 40° – як вертикальні.
Відповідь: 40°; 140°; 40°.
в) ∠1 = m°.
Розв'язання
∠3 = ∠1 = m° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - m°.
∠2 = ∠4 = 180° - m° – як вертикальні.
Відповідь: 180° - m°; m°; 180° - m°.
186.Перенеси таблицю
кут Вертикальний йому
Дано: a x b.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 240°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠4 = 360° – (∠1 + ∠2 + ∠3) = 360° – 240° = 120°.
∠2 = ∠4 = 120° – як вертикальні.
∠1 + ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 120° = 60°.
∠3 = ∠1 = 60° – як вертикальні.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.
189.Знайди кути, утворені
330°.
Дано: a x b;
∠1 + ∠2 + ∠3 = 330°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠3 = 330° – (∠1 + ∠2) = 330° – 180° = 150°.
∠1 = ∠3 = 150° – як вертикальні.
∠1 + ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 150° = 30°.
∠4 = ∠2 = 30° – як вертикальні.
Відповідь: 150°; 30°; 150°; 30°.
190.Сума
Дано: a x b; ∠2 + ∠4 = 100°.
Знайти: ∠1.
Розв'язання
Сума вертикальних
Отже, ∠2 = ∠4 = 100° : 2 = 50°.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°;
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 50° = 130°.
Відповідь: 130°.
191.Сума двох кутів, утворених при
меншого з утворених кутів.
Дано: a x b; ∠1 + ∠3 = 260°.
Знайти: ∠2.
Розв'язання
Сума вертикальних
1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°.
Відповідь: 50°.
100°.
192.Прямі AB, CD і EF перетинаються
інших кутів, що утворилися, якщо
Дано: AB, CD, EF перетинаються в точці О.
∠COE = 40°, ∠BOD = 65°.
Знайти: інші кути.
∠EOB = 180° - (∠AOC + ∠COE) = = 180° - (65° + 40°) = 180° - 105° = 75°. ∠AOF = ∠EOB = 75°.
65°; 40°; 75°; 75°. 193.
Дано: МТ, РК, EF перетинаються в точці О.
∠РОМ = 50°; ∠TOF = 80°.
Знайти: інші кути.
Розв'язання
∠KOT = ∠MOP = 50° – як вертикальні;
∠FOK = ∠FOT - ∠KOT = 80° - 50° = 30°.
∠POE = ∠FOK = 30°.
∠EOT = 180° - (∠POM + ∠POE) = 180° - (50° + 30°) = 100°.
∠MQF = ∠EOT = 100° - як вертикальні.
Відповідь: 50°; 30°; 30°; 100°; 100°.
194.Запишіть рівняння та знайдіть градусні
1) x і y – суміжні кути. x + y = 180°. y = 115° – як вертикальні кути. x + 115° = 180°; x = 180° - 115°; x = 65°.
Відповідь: 65°; 115°.
2) За властивістю суміжних кутів: x + 5x = 180°;
6x = 180°; x = 30°. z = x = 30° – як вертикальні кути.
Відповідь: 30°; 30°.
3) y = 82° – як вертикальні кути.
82° + x + 82° = 180°; x + 164° = 180°; x = 180° - 164°; x = 16°.
z = x = 16° – як вертикальні.
Відповідь: 16°; 82°; 16°.
4) x = 47° – як вертикальні кути.
47° + 90° + y = 180°;
137° + y = 180°; y = 180° - 137°; y = 43°.
x і z – суміжні кути. x + z = 180° z = 180° - x = 180° - 47° = 133°.
Відповідь: 47°; 43°; 133°.
195.Чи можуть кути, що утворилися при перетині двох прямих, бути пропорційними
числам:
а) 2, 3, 2, 13; б) 1, 4, 1 і 4; в) 3, 4, 5, 6?
а) Не можуть; б) не можуть; в) можуть.
196.Чи можуть кути, що утворилися при перетині
числам:
а) 2, 3, 4 і 5; б) 5, 5, 5 і 8; в) 1, 2, 1, 2?
Чи можуть кути 1, 2, 3, 4 бути пропорційні
a) 2;3;4 i 5 .
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт пропорційності, k ∈ N.
2k + 3k + 4k + 5k = 360∘ .
14k = 360∘ ;
k= 180∘ 7
Відповідь: ні б) 5;5;5;8.
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт пропорційності, k ∈ N
5k + 5k + 5k + 8k = 360∘
23k = 360∘
k= 360∘ 23
Відповідь: ні. в) 1;2;1;2.
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт
x+ 2x +x+ 2x = 360
6x = 360∘
x= 60∘
Відповідь: так.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x° + 20°. Оскільки
суміжні, то x + x + 20 = 180.
Звідси 2x = 160, x = 80. Отже, ∠1 = ∠3 = 180°, ∠2 = ∠4 = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
б) Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = 2x°. Оскільки
Звідси 3x = 180, x = 60.
Отже, ∠1 = ∠3 = 60°, ∠2 = ∠4 = 2 • 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
в) Оскільки сума двох кутів не дорівнює 180°, то
суміжні, то x + 2x = 180.
100°, тоді ∠1 = 80° : 2 = 40°, ∠3 = 40°, ∠2 = 180° - 40° = 140°, ∠4 = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
198.Знайди міри кутів, утворених
один із них на 30° менший за інший;
із них у три рази більший від іншого; в) сума
Дано: a x b.
Знайти всі кути, якщо:
а) ∠1 < ∠2 на 30°.
Розв'язання
Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x + 30°.
За властивістю суміжних кутів:
x + x + 30 = 180;
2x = 180 - 30; 2x = 150; x = 75°.
∠1 = 75°; ∠2 = 75° + 30° = 105°.
∠3 = ∠1 = 75°; ∠4 = ∠2 = 105° – як вертикальні.
Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°.
б) ∠1 > ∠2 у 3 рази.
Розв'язання
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = 3x.
За властивістю суміжних кутів: x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45.
∠2 = 45°; ∠1 = 3 • 45° = 135°.
∠3 = ∠1 = 135°; ∠4 = ∠2 = 45° – як вертикальні.
Відповідь: 135°; 45°; 135°; 45°.
в) ∠1 + ∠2 = 50°
Розв'язання
Сума вертикальних кутів дорівнює 50°.
Отже, ∠1 = ∠3 = 50° : 2 = 25°.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 25° = 155°;
∠4 = ∠2 = 155° – як вертикальні.
Відповідь: 25°; 155°; 25°; 155°.
199.Знайди
100°.
Нехай ∠AOB – шуканий, тоді ∠BOC + ∠AOD = 110°, враховуючи, що ∠BOC = ∠AOD як
суміжні кути до кута АОВ.
Отже, ∠BOC = ∠AOD = 110° : 2 = 55°,
тоді ∠AOB = 180° - 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
200.Прямі AB, CD і EF перетинаються
Знайди міри кутів AOD, AOE і EOD, якщо
Дано: AB, CD, EF – перетинаються в точці О;
ОЕ – бісектриса ∠СОВ; ∠СОЕ = 36°.
Знайти: ∠AOD; ∠AOE, ∠EOD.
Розв'язання
∠COB = 2∠COE = 2 • 36° = 72°.
∠AOD = ∠COB = 72° – як вертикальні.
∠AOC і ∠COB – суміжні. ∠AOC + ∠COB = 180°;
∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 72° = 108°.
∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 108° + 36° = 144°.
∠EOD = ∠EOB + ∠BOD.
∠EOB = ∠COE = 36°; ∠BOD = ∠AOC = 108°.
Отже, ∠EOD = 36° + 108° = 144°.
Відповідь: 72°; 144°; 144°.
201.Прямі MT, PK і EF
POF, MOE і MOK, якщо
KOT = 48°.
Дано: МТ, РК, EF –
ЕОК; ∠КОТ = 48°.
Знайти: ∠POF; ∠МОЕ, ∠МОК.
Розв'язання
∠ЕОК = 2∠КОТ = 2 • 48° = 96°.
∠POF = ∠ЕОК = 96° – як вертикальні.
∠МОЕ і ∠ЕОТ – суміжні. ∠МОЕ + ∠ЕОТ = 180°.
∠МОЕ = 180° - ∠ЕОТ = 180° - 48° = 132°.
Аналогічно, ∠МОК = 180° - ∠КОТ = 180° - 48° = 132°.
Відповідь: 96°; 132°; 132°.
202.Побудуйте прямі AB, CD і EF так, щоб
вертикальних
htps://shkola.in.ua/3332
k
∠1 = 5k; ∠2 = 4k; ∠3 = 3k.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°; 5k + 4k + 3k = 180°; 12k = 180°; k = 15°.
∠1 = 5 • 15 = 75°; ∠2 = 4 • 15° = 60°; ∠3 = 3 • 15° = 45°.
Відповідь: 75°; 75°; 60°; 60°; 45°; 45°.
205.Знайди кути, утворені
Дано: ∠1 > ∠3 в 2 рази; ∠1 > ∠2 на 20°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
Нехай
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. x + x - 20° + 1 2 x = 180°; 2,5x = 180° + 20°; 2,5x = 200°; x = 80°.
∠1 = 80°; ∠2 = 80° - 20° = 60°; ∠3 = 1 2 • 80° = 40°.
Відповідь: 80°, 60°, 40°. 206.Знайди кути, утворені
четверту частину від суми інших. Дано: ∠1 = 1/4 (∠2 + ∠3 + ∠4).
всі кути.
∠2 + ∠3 + ∠4 = x°, тоді ∠1 = 1 4 x°. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°; 1 4 x + x = 360°; 5 4 x = 360°; x = 360° • 4 5; x = 288°.
∠2 + ∠3 + ∠4 = 288°; ∠1 = 1 4 • 288° = 72°. ∠3 = ∠1 = 72° – як вертикальні.
1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 72° = 108°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠4 = ∠2 = 108° – як вертикальні.
Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°.
207.Знайди
частину від суми інших.
Дано: ∠1 = 1 5(∠2 + ∠3 + ∠4).
Знайти: всі кути
Розв'язання
Нехай ∠2 + ∠3 + ∠4 = x°, тоді ∠1 = 1 5 x°.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°; 1 5 x + x = 360°; 6 5 x = 360°; x = 360° • 5 6; x = 300°.
∠2 + ∠3 + ∠4 = 300°; ∠1 = 1 5 • 300° = 60°.
∠3 = ∠1 = 60° – як вертикальні.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°.
∠4 = ∠2 = 120° – як вертикальні.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°. 208.Знайди кути, утворені
більший за різницю двох інших кутів.
Дано: ∠1 > (∠3 – ∠2) у 3 рази.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠1 = ∠3; ∠2 = ∠4 – як вертикальні.
Нехай ∠1 = ∠3 = x°, тоді ∠2 = 180° – x; 3(x – (180° – x)) = x; 3(x – 180° + x) = x; 3x – 540° + 3x – x = 0; 5x = 540°; x = 108°.
∠1 = ∠3 = 108°; ∠2 = ∠4 = 180° – 108° = 72°.
Відповідь: 108°; 72°; 108°; 72°.
209.Трипільці
211.
212.
L = 72 см; V – ?.
L = 12 a; a = 72 : 12 = 6 (см).
V = a³; V = 6³ = 216 (см³).
Відповідь: 216 см³.
213.Точка С внутрішня точка
довжину відрізка АС, якщо АС : СВ = 3 : 2.
Дано: АВ = 30 см; АС : СВ = 3 : 2.
Знайти: АС.
Розв'язання
Нехай k – коефіцієнт пропорційності, тоді:
AC = 3k, CB = 2k; 3k + 2k = 30; 5k = 30; k = 6.
AC = 3 • 6 = 18 (см).
Відповідь: 18 см.
214.ОМ бісектриса кута АОВ, ОК
∠КОВ = 20°.
Дано: ОМ – бісектриса
α = 180° − 68° = 112° Відповідь: 112°.
2. Відрізки �������� і
∠AOP = ∠KOP − ∠AOK = 180° − 50° = 130° (як суміжні)
∠BOP = ∠AOK = 50° (як вертикальні)
∠BOK = ∠AOP = 130° (як вертикальні)
Відповідь: ∠AOP = 130°, ∠BOP = 50°, ∠BOK = 130°.
3. Один із суміжних кутів більший
Нехай менший
кути суміжні:
x + (x + 18°) = 180°
2x + 18° = 180°
2x = 162°
x = 81°
Більший кут: 81° + 18° = 99°
Відповідь:
180°. α = 180° − 123° = 57°
Відповідь: 57°.
2.
∠MXT = 180° − 65° = 115° (як суміжні)
∠TXN = ∠MXK = 65° (як вертикальні)
∠KXN = ∠MXT = 115° (як вертикальні)
Відповідь: ∠MXT = 115°, ∠TXN = 65°, ∠KXN = 115°.
3.
Їх сума 180° (як суміжні):
x + 3x = 180°
4x = 180°
x = 45°
3x = 135°
Відповідь:
1. Знайди кут, суміжний із кутом 34∘ .
α = 180° − 34° = 146°
Відповідь: 146°.
2. Відрізки �������� і �������� перетинаються у внутрішній точці
міри кутів ������������ , ������������ і ������������
∠AOP = ∠MOC = 48° (як вертикальні)
∠AOM = 180° − 48° = 132° (як суміжні)
∠POC = 180° − 48° = 132° (як суміжні)
Відповідь: ∠AOP = 48°, ∠AOM = 132°, ∠POC = 132°.
3.
сума 180° (як суміжні):
x + (x + 26) = 180
2x + 26 = 180
2x = 154
x = 77
x + 26 = 103
Відповідь: 77° і 103°.
1. Знайди кут, суміжний із кутом 156∘ .
α = 180° − 156° = 24°
Відповідь: 24°
2. Відрізки �������� і �������� перетинаються у внутрішній
міри кутів ������������ , ������������ і ������������
∠AMD = 180° − 35° = 145° (як суміжні)
∠CMB = ∠AMD = 145° (як вертикальні)
∠BMD = ∠AMC = 35° (як вертикальні)
Відповідь: ∠AMD = 145°, ∠CMB = 145°, ∠BMD = 35°.
3.
Нехай менший кут x°, більший 5x°.
Їх сума (як суміжні):
x + 5x = 180°
6x = 180°
x = 30°
5x = 150°
Відповідь: 30° і 150°.
4.
-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Пари суміжних кутів: ∠AOB і ∠BOE, ∠AOC і ∠COE, ∠AOD і ∠DOE.
1. Б. ∠1 = 120∘ , ∠2 = ∠3.
∠2, ∠������������?
∠AOC + ∠COM + ∠MOB = 180°
або
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
Оскільки ∠2 = ∠3, то
∠1 + 2 ∙ ∠2 = 180°
120° + 2 ∙ ∠2 = 180°
2 ∙ ∠2 = 60°
∠2 = 30°
Тоді ∠AOM = ∠1 + ∠2 = 120° + 30° = 150°.
Відповідь: ∠2 = 30°, ∠AOM = 150°.
2. А. ∠1 = 30∘ , ∠2 = 45∘ .
∠A�������� , ∠������������ ?
∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°
∠1 + ∠BOC + ∠2 = 180°
30° + ∠BOC + 45° = 180°
∠BOC = 105°
∠AOC = ∠1 + ∠BOC = 30° + 105° = 135°.
Відповідь: ∠AOC = 135°, ∠BOC = 105°.
2. Б. ∠1 =2∠2.
∠1, ∠2?
Нехай ∠2 = x, тоді ∠1 = 2x. Сума суміжних
x + 2x = 180°
3x = 180°
x = 60° ∠2
2x = 2 ∙ 60° = 120° ∠1
Відповідь: ∠2 = 60°, ∠1 = 120°.
3. А. ∠2 ∠1 = 40∘ .
∠1, ∠2?
∠1 + ∠2 = 180°, звідси ∠1 = 180° ∠
∠2 (180° ∠2) = 40°
2 ∙ ∠2 = 40° + 180°
∠2 = 110°
∠1 = 180° − 110° = 70°
Відповідь: ∠2 = 110°, ∠1 = 70°.
3. Б. ∠1 ∶∠2 =2 ∶ 7.
∠1, ∠2?
Нехай ∠1 = 2x, тоді ∠2 = 7x. Сума суміжних
∠1 + ∠2 = 180°
2x + 7x = 180°
9x = 180°
x = 20°
∠1 = 2 ∙ 20° = 40°
∠2 = 7 ∙ 20° = 140°
Відповідь: ∠2 = 140°, ∠1 = 40°.
4. А. ∠1 = 60∘ , ∠3 = 40∘ .
∠2, ∠4, ∠5, ∠6?
180°:
∠2 = 180° − (∠1 + ∠3) = 180° − 60° − 40° = 80°
∠4 = ∠1 = 60° (як вертикальні)
∠5 = ∠2 = 80° (як вертикальні)
∠6 = ∠3 = 40° (як вертикальні)
4. Б. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Довести: ∠������������ = 90∘
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
2 ∙ ∠2 + 2 ∙ ∠3 = 180°
2 ∙ (∠2 + ∠3) = 180°
2 ∙ ∠KOP = 180°
∠KOP = 90°.
точку F;
а) АВ ⊥ а – ні; г) FK || а – ні; б) ВМ ⊥ а – так; ґ) ВС || а – так; в) КР ⊥ а – так; д) КР || а – ні.
219.ABCDA₁B₁C₁D₁ прямокутний
1) Назви відрізки:
а) паралельні відрізку АА₁; AA₁ || DD₁; AA₁ || CC₁; AA₁ || BB₁. б) паралельні відрізку AD; AD || A₁D₁; AD || BC; AD || B₁C₁.
перпендикулярні до відрізка АА₁; АА₁ ⊥ В₁А₁; АА₁ ⊥ ВА₁; АА₁ ⊥ DA₁; АА₁ ⊥ D₁А₁. г) перпендикулярні до відрізка AD. AD ⊥ A₁A; AD ⊥ D₁D; AD ⊥ CD; AD ⊥ BA.
2) Яке з тверджень правильне:
а) АА₁ ⊥ AD – так; г) CD || C₁D₁ – так; б) B₁C₁ ⊥ A₁B₁ – так; д) A₁D₁ || AD – так;
(мал. 6.16).
220.
KC ⊥ AB, DF ⊥ AB
K(-4; 0), C(0; -4), D(6; 0), F(0; 6)
KC || FD.
232.За
MF ⊥ OB, MF = 2 см.
240.Draw the perpendicular lines a, b and the point K, which lies at a distance of 2 cm from line a and 2 cm from line b.
241.
CK ⊥ OA, DK ⊥ OB, CK = DK.
CK
CK = DK
CK = DK
AOB = 80°; AOB = 90°; AOB = 120°.
EK = KF; EK = KF; EK = KF.
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1, 3, 5 і 7; в) 1, 4, 5 і 8; г) 5, 6, 7 і 8.
∠1 = ∠6 = 75°;
∠2 = ∠5 = 105°;
∠3 = ∠8 = 60°;
∠4 = ∠7 = 120°.
а) ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 75° + 105° + 60° + 120° = 360°; б) ∠1
г) ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 105° + 75° + 120° + 60° = 360°.
|| c, якщо ∠1 + ∠4 = 180°.
4 = 180° – ∠1 = 180° – 63° = 117°
117°.
256.На
7.11
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: а ∥ с; ∠2 = 127°.
Знайти: ∠7.
Розв’язання а ∥ с,
якщо ∠7 = ∠2 = 127° – відповідні.
Відповідь: 127°.
257.
7.12
а) 148° + 42° = 190°; a ≠ b.
б) 35° = 35°; a || b.
в) 123° ≠ 125°; a ≠ b.
г) 13° + 167° = 180°; a || b.
258.Як розташовані
Зроби відповідний малюнок. a ⊥ c; b ⊥ c ⇒ a ∥ b. 259.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) ∠1 і ∠5; Суміжні;
б) ∠6 і ∠3; відповідні;
в) ∠7 і ∠2; відповідні;
г) ∠3 і ∠1; внутрішні різносторонні;
ґ) ∠2 і ∠3; внутрішні односторонні;
д) ∠8 і ∠5. зовнішні односторонні.
260.Скориставшись малюнком 7.14, обчисли:
а) міри кутів 2, 4, 5, 6, 7, 8, якщо ∠1 = 87°, ∠3 = 78°;
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 87° = 93°;
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 78° = 102°;
∠5 = ∠2 = 93°;
∠6 = ∠1 = 87°;
∠7 = ∠4 = 102°;
∠8 = ∠3 = 78°.
б) ∠1 + ∠4 і ∠2 + ∠3, якщо ∠6 + ∠7 = 162°;
∠1 = ∠6, ∠4 = ∠7 (як вертикальні)
∠1 + ∠4 = ∠6 + ∠7 = 162°
∠2 + ∠3 = 360° 162° = 198°
в) ∠5 - ∠3, якщо ∠5 - ∠8 = 48°.
∠3 = ∠8 (як вертикальні), тому ∠5 - ∠3 = 48°. 261.Скориставшись
а) міри кутів 1, 2, 3, 4, 5, 8, якщо ∠7 = 100°, ∠6 = 85°;
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 85° = 95°;
∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 100° = 80°; ∠4 = ∠7 = 100°; ∠5 = ∠2 = 95°; ∠8 = ∠3 = 80°;
∠2 + ∠3 і ∠1 + ∠4, якщо ∠5 + ∠8 = 170°;
1 + ∠4 = (180° - ∠5) + (180° - ∠8) = 360° - (∠5 + ∠8) = 360° - 170° = 180°; в) ∠4 - ∠5, якщо ∠4 - ∠2 = 10°. ∠4 - ∠5 = ∠4 - ∠2 = 10°. 262.
і с (мал. 7.14),
а) ∠6 = 50°, ∠7 = 130°;
a || c, оскільки ∠1 + ∠4 = ∠1 + ∠8 = 50° + 130° = 180°;
б) ∠6 = 65°, ∠8 = 65°?
a ∦ c, оскільки ∠6 ≠ ∠3 = ∠8;
263.Are the lines a and c parallel (Figure 7.14) if:
а) ∠1 + ∠7 = 180°;
a || c, оскільки ∠1 + ∠4 = ∠1 + ∠7 = 180°;
б) ∠2 = 140°, ∠4 = ∠1 + 80°?
a ∦ c, оскільки ∠3 = 140° – 80° = 60° і ∠2 + ∠3 = 140° + 60° ≠ 180°
264.Чи паралельні
а) ∠6 = ∠8.
6 = ∠8;
1) Чи паралельні відрізки:
АВ і СD. ∠BAC = ∠DCO = 70° – відповідні. Отже, АВ ∥ CD.
СD і КН. ∠DCН = ∠КНС = 70° –
2) Знайти ∠КОН, ∠СОК;
КОН = ∠DOC = 40° – як вертикальні.
COD = 180° – 40° = 140°.
= 105°,
= 93°,
= 75°;
= 87°?
a) AP || BC, оскільки ∠PAB + ∠ABC = 105° + 75° = 180° і
AP і BC та січній AB.
б) AP || BC, оскільки
∠PAB + ∠ABC = 93° + 87° = 180°
AP і BC та січній AB. 269.Через
паралельні
а)
∠APK = 62°, ∠PKB = 118°.
∠APK + ∠PKB = 62° + 118° = 180°.
∠APK і ∠PKB – внутрішні
Отже, PA || KB.
б)
∠APK = 88°, ∠PKB = 102°.
∠APK + ∠PKB = 88° + 102° = 190°.
Отже, PA ∦ KB.
270.ВМ бісектриса
∠КВС = 80°; б) ∠АВМ = 140°; в)
= 50°;
1) ∠KBC = 80°.
∠KBM = 1 2 ∠KBC = 1 2 • 80° = 40°.
∠KBM = ∠BAC = 40° – відповідні.
Отже, АС || ВМ.
2) ∠ABM = 140°.
∠ABM + ∠CAB = 140° + 40° = 180°.
∠ABM і ∠CAB – внутрішні односторонні.
Отже, АС || ВМ.
3) ∠ABC = 50°.
∠KBC = 180° – ∠ABC = 180° – 50° = 130°.
∠KBM = 1 2 ∠KBC = 1 2 • 130° = 65°.
∠BAC = 40°. ∠KBM ≠ ∠BAC – відповідні.
Отже, АС ∦ ВМ.
4) ∠ABM > ∠CAB на 100°.
∠ABM = ∠CAB + 100° = 40° + 100° = 140°.
∠ABM + ∠CAB = 140° + 40° = 180°.
∠ABM і ∠CAB – внутрішні односторонні.
Отже, АС || ВМ.
і:
∠СВМ = 50°; АС || ВМ,
Оскільки AB ⊥ AD, CD ⊥ AD, то AB || CD.
Оскільки BC ⊥ AB, AD ⊥ AB, то BC || AD.
Отже, протилежні сторони прямокутника лежать на паралельних прямих.
273.ABCDA₁B₁C₁D₁ куб (мал. 7.17). Доведи, що сторони А₁А і В₁В лежать на
паралельних прямих.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.
Довести: A₁A і B₁B лежить на ||–них прямих.
Доведення
∠A₁AB і ∠B₁BA – внутрішні односторонні
∠A₁AB + ∠B₁BA = 90° + 90° = 180°.
AA₁ і B₁B і січній AB.
Отже, сторони A₁A і B₁B лежать на паралельних прямих. 274.ABCDA₁B₁C₁D₁ куб (мал. 7.17).
паралельних прямих.
Доведення
∠B₁A₁A і ∠BAA₁
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) ∠4 – ∠1 = 30° і ∠3 = 75°;
б) ∠1 = 60° і ∠2 : ∠3 = 2 : 1?
а) Оскільки ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 75° = 105°,
∠1 = ∠4 - 30° = 105° - 30° = 75° і
∠4 + ∠1 = 105° + 75° = 180°, то a || b.
б)
Оскільки ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°,
∠3 = 120° 2 = 60° і ∠2 + ∠3 = 120° + 60° = 180°, то a || b.
277.Чи
1) ∠2 - ∠3 = 40°; ∠4 = 110°.
Розв'язання
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 110° = 70°.
∠2 = ∠3 + 40° = 70° + 40° = 110°.
∠2 = ∠4 = 110° –
Отже, a || b.
2) ∠3 = 45°; ∠1 : ∠4 = 1 : 3.
Розв'язання
Нехай ∠1 = x°; ∠4 = 3x°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
45° + 3x = 180°; 3x = 180° - 45°; 3x = 135°; x = 45°, ∠1 = 45°.
∠1 = ∠3 = 45° – внутрішні
Отже, a || b.
278.
60% кута 2.
= 20∘ ; ∠2− 0,6∠2 = 20∘ ; 0,4∠2 = 20∘ ; ∠2 = 50∘ ;
∠1 = 180∘ −∠2= 180∘ 50∘ = 130∘
Відповідь: 130∘ і 50∘ . 279.Знайди міри
3 і 4,
Дано: ∠1 + ∠4 = 150°.
Знайти: ∠3 і ∠4, якщо: а) ∠4 < ∠1 у 2 рази.
Розв'язання
Нехай ∠4 = x°, тоді ∠1 = 2x°.
∠1 + ∠4 = 150°; 2x + x = 150°; 3x = 150°.
x = 50°. ∠4 = 50°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 50° = 130°.
Відповідь: 130°; 50°.
б) ∠1 = 80°.
Розв'язання
∠1 + ∠4 = 150°.
80° + ∠4 = 150°; ∠4 = 150° - 80° = 70°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 70° = 110°.
Відповідь: 110°; 70°.
в) ∠3 : ∠1 = 4 : 3.
Розв'язання
Нехай ∠3 = 4x°, тоді ∠1 = 3x°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 4x;
∠1 + ∠4 = 150°;
3x + (180° - 4x) = 150°; -x = -30°;
x = 30°.
∠3 = 4 • 30° = 120°.
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 120° = 60°.
Відповідь: 120°; 60°.
280.Установи взаємне розташування прямих
а) ∠3 = ∠5 = ∠9;
Оскільки
Оскільки ∠1 = ∠4, то ВС || КF;
оскільки ∠2 = ∠5, то АК || CD;
оскільки ∠3 = ∠6, то АВ || DF.
Отже, кожна сторона шестикутника паралельна протилежній стороні.
283.Чи паралельні прямі a і b, c і d, якщо: ∠1 = 60°, ∠2 удвічі більший, а ∠2 – ∠3 = 60° (мал. 7.22)?
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 60° = 120°,
∠3 = ∠2 - 60° = 120° - 60° = 60°.
Оскільки ∠1 + ∠2 = 60° + 120° = 180°, то a || b.
Оскільки ∠1 = ∠3, то c || d.
284.У чотирикутнику, зображеному
Доведіть, що AD || BC, AB || CD.
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 60° = 120°. ∠1 і ∠2 – внутрішні односторонні
∠1 + ∠2 = 60° + 120° = 180°.
ознакою
∠BAD = ∠BCD, ∠DAC = ∠ACB.
= 70°.
∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 • 180° = 90°;
∠MOD = ∠AOM - ∠AOD = 90° - ∠AOD = = 90° - ∠COB = 90° - 70° = 20°.
Відповідь: 90° і 20°. 293.
1)x = 125°; y = 180° - 125° = 55°.
2)x = 180° - 40° = 140°.
y = 180° - x = 180° - 140° = 40°.
3)x = 42°.
y = 180° - x = 180° - 42° = 138°.
z = 65°.
4)x = 45°; y = 60°.
5)y = 60°; x = 180° - 98° = 82°.
z = x = 82°.
296.
a || b, a || c, b || c, x || y, x || z, y || z.
прямих, що є на малюнку. Дано: ∠(a; x) =
Дано: AB || CD; ∠DKO = 30°.
Знайти: ∠AOP.
Розв'язання
∠AOC і ∠DKO – внутрішні різносторонні
Тому ∠AOC = ∠DKO = 30°.
∠AOP і ∠AOC – суміжні. ∠AOP + ∠AOC = 180°.
∠AOP = 180° – ∠AOC = 180° – 30° = 150°.
Відповідь: 150°.
302.Міра одного з кутів, утвореного двома
Дано: a || b; ∠1 = 137°.
Знайти: інші кути.
Розв'язання
∠8 = ∠1 =
∠3 = ∠1 = 137° – як
∠6 = ∠8 = 137° – як вертикальні.
∠2 і ∠8 – внутрішні
∠2 = 180° – ∠8 = 180° – 137° = 43°.
∠4 = ∠2 = 43° – як вертикальні.
∠7 = ∠2 = 43° – як відповідні
∠5 = ∠7 = 43° – як вертикальні.
Відповідь: 43°; 137°; 43°; 43°; 137°; 43°; 137°.
303.Міра одного
∠2 = ∠4 = ∠6 = 55°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° - 55° = 125°.
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = x + 46°.
∠1 і ∠2 – суміжні, ∠1 + ∠2 = 180°. x + 46° + x = 180°; 2x = 180° - 46°; 2x = 134°; x = 67°.
∠2 = 67°; ∠1 = 67° + 46° = 113°
∠4 = ∠2 = 67°; ∠3 = ∠1 = 113° – як вертикальні.
∠6 = ∠2 = 67°; ∠5 = ∠1 = 113°; ∠8 = ∠4 = 67°;
∠7 = ∠3 = 113° – як відповідні
Відповідь: 113°; 67°; 113°; 67°; 113°; 67°; 113°; 67°.
305. Знайди усі кути, утворені
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = x + 52°.
∠1 і ∠2 - суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
x + 52° + x = 180°; 2x = 180° - 52°; 2x = 128°; x = 64°ю
∠2 = 64°; ∠1 = 64° + 52° = 116°.
∠4 = ∠2 = 64°; ∠3 = ∠1 = 116° – як
∠6 = ∠2 = 64°; ∠5 = ∠1 = 116°; ∠8 = ∠4 = 64°;
∠7 = ∠3 = 116° –
116°; 64°; 116°; 64°; 116°; 64°; 116°; 64°.
306. На стороні
∠2 + ∠2 = ∠1 + (180° - ∠1) = 180°.
Отже, ∠2 + ∠3 = 180°.
308. У прямокутнику
Дано: ABCD – прямокутник; ∠ABD > ∠DBC у 2 рази. Знайти: ∠ADB, ∠CDB. Розв'язання
Нехай ∠DBC = x°, тоді ∠ABD = 2x°.
∠ABD + ∠DBC = 90°; 2x + x = 90°; 3x = 90°; x = 30°.
htps://shkola.in.ua/3332
∠DBC = 30°; ∠ABD = 2 • 30° = 60°.
∠ ADB і ∠ DBC – внутрішні
Тому ∠ ADB = ∠ DBC = 30°.
∠ CDB і ∠ ABD – внутрішні різносторонні
Тому ∠ CDB = ∠ ABD = 60°.
Відповідь: 30°; 60°.
309. Знайди міри всіх кутів,
Дано: a || b.
Знайти всі кути, якщо: а) ∠4 = 110°.
Розв'язання ∠1 і ∠4 – внутрішні односторонні
4 = 180°; ∠1 = 180° – ∠4 = 180° – 110° = 70°.
∠6 = ∠1 = 70°, ∠7 = ∠4 = 110° – як
∠3 = ∠6 = 70° – як відповідні при a || b
Відповідь: 70°; 110°; 70°; 110°; 110°; 70°; 110°; 70°.
б) ∠6 + ∠8 = 144°.
Розв'язання
∠1 = ∠6 – як вертикальні.
∠1 + ∠8 = 144°; ∠1 = ∠8 – як
∠6 = 72°. ∠1 і ∠4 – внутрішні
∠1 + ∠4 = 180°.
∠4 = 180° – ∠1 = 180° – 72° = 108°.
∠2 = ∠4 = 108°; ∠3 = ∠1 = 72°
∠7 = ∠2 = 108°; ∠5 = ∠4 = 108° – як відповідні.
Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°; 108°; 72°; 108°; 72°.
в) ∠4 - ∠1 = 30°.
Розв'язання
∠1 = x°, тоді ∠4 = x + 30°.
1,4 внутрішні
c. 1 + 4 = 180°. x + x + 30° = 180°; 2x = 180° - 30°; 2x = 150° x = 75°. ∠1 = 75°; ∠4 = 75° + 30° = 105°.
∠3 = ∠1 = 75°; ∠2 = ∠4 = 105° – як
∠5 = ∠4 = 105°; ∠6 = ∠3 = 75°; ∠7 = ∠2 = 105°; ∠8 = ∠1 = 75° – як
c.
Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°; 105°; 75°; 105°; 75°.
г) ∠3 : ∠2 = 1 : 2.
Розв'язання
Нехай ∠3 = x°, тоді ∠2 = 2x°.
∠2 і ∠3 –
2x + x = 180°;
3x = 180°;
x = 60°; ∠2 = 2 • 60° = 120°.
∠1 = ∠3 = 60°; ∠4 = ∠2 = 120° – як
∠5 = ∠4 = 120°; ∠6 = ∠3 = 60°;
∠7 = ∠2 = 120°; ∠8 = ∠1 = 60° – як
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°; 120°; 60°; 120°; 60°.
310. Знайди
∠7 = 115∘ . г) ∠4 : ∠1 = 3 : 2. Нехай ∠4 = 3x°, ∠1 = 2x°.
і ∠1 – внутрішні
а) Нехай а || b, ∠AOB = 80°, ОМ – бісектриса ∠AOB, тобто ∠MOB = 40°.
Оскільки а || b, то ∠MOB = ∠OCF = 40° як
січній СМ.
б) ∠AOB = 100°; ∠MOB = 50°.
Оскільки а || b, то ∠MOB = ∠OCF = 50°.
Відповідь: а) 40°; б) 50°.
чотирикутника
=
= 80°,
і ∠
= 80°. ∠АКР і ∠ВКР – суміжні.
∠АКР + ∠ВКР = 180°;
∠АКР = 180° – ∠ВКР = 180° – 60° = 120°.
∠СРК і ∠ВРК – суміжні.
∠СРК + ∠ВРК = 180°.
∠СРК = 180° – ∠ВРК = 180° – 80° = 100°.
Відповідь: 60°; 80°; 120°; 100°.
314. Розглянь малюнок
Дано: ∠ABO = ∠OCD.
Довести: ∠A = ∠D.
Доведення ∠ABO і ∠OCD – внутрішні
∠ABO
а) ∠2 – ∠3 = 36°.
∠1 і ∠4 – внутрішні
Оскільки ∠1 + ∠4 = 180°, тоді a || b.
Тоді ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 – як внутрішні
∠3 + ∠2 = 180°.
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠3 = 180° – x; ∠2 – ∠3 = 36°.
x – (180° – x) = 36°.
x – 180° + x = 36°.
2x = 36° + 180°;
2x = 216°; x = 108°. ∠2 = 108°.
∠2 і ∠6 – суміжні. ∠2 + ∠6 = 180°.
∠6 = 180° – ∠2 = 180° – 108° = 72°.
Відповідь: 108°; 72°.
б) ∠3 < ∠2 у 2 рази.
Розв'язання
∠1 і ∠4 – внутрішні односторонні
Оскільки ∠1 + ∠4 = 180°, тоді a || b.
∠2 і ∠3 – внутрішні односторонні
Нехай ∠3 = x°, тоді ∠2 = 2x°.
2x + x = 180°; 3x = 180°; x = 60°. ∠3 = 60°
∠2 = 2 • 60° = 120°.
∠6 і ∠3 – відповідні при a || b і
Тоді ∠6 = ∠3 = 60°.
Відповідь: 120°; 60°.
320.Скориставшись
∠1 = 180∘ 50∘ 2 = 65∘ , тоді ∠3 = ∠1 = 65∘ .
Відповідь: 65∘ , 115∘ .
б) ∠4 в 3 рази більший за ∠6.
Оскільки а ‖ b, то ∠5 + ∠4 = 3∠6, тоді
∠5 = 180∘ ⋅ 3 4 = 135∘ ,
∠6 = 180∘ ⋅ 1 4 = 45∘ ,
∠3 = ∠6 = 45∘ . ∠4 = ∠5 = 135∘ .
Відповідь: 45∘ , 135∘ .
321.Кожна сторона чотирикутника ABCD паралельна
Доведи, що:
а) ∠A + ∠B = 180°;
Оскільки AD || BC, то ∠A + ∠B = 180° як
AD і CD та січній AB.
б) ∠B = ∠D.
Оскільки
– ∠B = 180° – ∠D, тоді ∠B = ∠D.
322.Each side of the quadrilateral ABCD is parallel to the opposite side (Figure 8.20).
Prove that:
а) ∠B + ∠
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Оскільки AD || BC, тоді ∠B + ∠A = 180°,
∠C + ∠D = 180°, звідси
∠A = 180° – ∠B, ∠D = 180° – ∠C. Оскільки ∠B = ∠C = α, тоді
∠A = 180° – α, ∠D = 180° – α. Отже, ∠A = ∠D.
б) ∠A + ∠C = 180°.
Оскільки AD || BC, тоді ∠A + ∠D = 180°.
Враховуючи, що ∠B = ∠C, то ∠A + ∠C = 180°.
324.На малюнку 8.22 ∠1 = 55°, ∠2 = 60° і AB || CD. Установи відповідність
заданими умовами (1–3), та їх
1) ∠CAB - ?
Розв'язання
∠CAB = ∠4.
∠1 і ∠4 –
Отже, ∠CAB = 55°.
Відповідь: 1–Б.
2) ∠ACB - ?
Розв'язання
∠ACB = ∠3.
∠1 + ∠3 + ∠2 = 180°.
55° + ∠3 + 60° = 180°;
∠3 = 180° – 55° – 60°;
∠3 = 65°.
Відповідь: 2–А.
3) ∠ABC - ?
Розв'язання
∠ABC = ∠5.
∠2 і ∠5 –
∠ABC = 60°.
Відповідь: 3–В.
325.На малюнку 8.22 ∠1 = 70°, ∠2 = 50° і AB ||
тоді 1 = 4 = 55°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 = 70°; ∠2 = 50°; AB || CD.
Знайти: ∠A; ∠B; ∠C.
Розв'язання
∠C = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 70° + 50° = 60°.
∠B = 5.
∠5 і ∠2 – внутрішні різносторонні при AB || CD і січній CB. Тоді ∠5 = ∠2 = 50°.
∠B = 50°.
∠A = ∠4. ∠4 і ∠1 – внутрішні різносторонні
Тоді ∠4 = ∠1 = 70°.
∠A = 70°.
Відповідь: 70°; 50°; 60°.
326.На малюнку 8.23
АРК.
Дано: АК бісектриса ∠ВАС;
ВАС = 80°; РК || АС.
Знайти: ∠РАК, ∠АРК, ∠РКА.
Розв'язання
∠РАК = 1 2 ∠ВАС = 1 2
при
|| АС і січній АР.
Тоді ∠АРК + ∠РАС = 180°.
∠АРК + 80° = 180°;
∠АРК = 180° – 80°; ∠АРК = 100°.
= 40°.
Відповідь: 40°; 100°; 40°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Оскільки AB || CD, то ∠4 = ∠1 = 70°,
∠5 = ∠2 = 60°,
∠3 = 180° – ∠1 – ∠2 = 180° – 70° – 60° = 50°.
Відповідь: 70°, 50°, 60°.
328.На малюнку 8.24 ∠АВО = 140°, ∠ОРК = 158°, АВ || КР. Знайди ∠ВОР.
Дано: ∠ABO = 140°; ∠OPK = 158°; AB || KP.
Знайти: ∠BOP.
Розв'язання
Проведемо ОМ || КР.
∠РОМ і ∠КРО – внутрішні
180°; ∠РОМ = 180° – ∠ОРК = 180° – 158° = 22°.
∠
Тоді ∠МОВ + ∠АВО = 180°. ∠МОВ = 180° – ∠АВО = 180°
329.На малюнку 8.25 ∠АВС = 50°,
Оскільки MN || AB, то ∠NCB = ∠ABC = 50°. Оскільки MN || ED, то ∠DCN = ∠EDC = 36°.
Тоді ∠BCD = ∠BCN + ∠NCD = 50° + 36° = 86°.
Відповідь: 86°.
330.
+
Нехай
+ ∠
2 = x°,
ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб; A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ – вершини куба; AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ – ребра куба; ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, DCC₁D₁, ADD₁A₁ – грані куба.
а) паралельні ребру AA₁: BB₁, CC₁, DD₁; б) паралельні ребру AB: A₁B₁, C₁D₁, CD.
339.
належать.
2) Із трьох
341.Сформулюй аксіому
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки
пряму, паралельну даній.
342.Чи існують 4 точки, через
343.Сформулюй ознаку подільності
348.
а) Вірне. Якщо a = 5n, b = 5k, c = 5m,
тоді a + b + c = 5n + 5k + 5m = 5(n + k + m).
б) Неправильне.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) якщо a || b і b || c, то a || c;
б) якщо a ⊥ b і b ⊥ c, то a || c. Чи правильні ці твердження, якщо
а) Дві прямі, паралельні третій, паралельні.
Доведення наведене в §7 (теорема 7).
Твердження вірне, якщо прямі a, b, c не лежать в одній площині. б) Дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні. Доведення наведено в §6 (наслідок із
теореми 5).
Якщо a, b, c не лежать в одній площині, то твердження неправильне, наприклад,
рисунку AA₁ ⊥ AD, AA₁ ⊥ A₁B₁, проте AD ∦ A₁B₁.
356.Доведи, що: а) якщо кут
AB = KP, KP = MT, то AB = MT.
180°.
359.Доведи, що кути з відповідно перпендикулярними сторонами
180°.
AO ⊥ OC, OB ⊥ OD.
Оскільки ∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 90° + ∠COB, ∠COD = ∠DOB + ∠COB = 90° +
COB, тоді ∠AOB = ∠COD.
AO ⊥ OC, OB ⊥ OD.
∠KOB = ∠KOC - ∠BOC = 90° - ∠BOC, ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 90° - ∠BOC, звідси
∠KOB = ∠COD.
∠AOB + ∠COD = ∠AOB + ∠KOB = 180°.
АВ, DB, PK, KT; PT, AC.
363.Дюйм це 2,5
3x + 2x = 180°
5х = 180°
х = 36°
∠1 = 3 ∙ 36° = 108°
∠2 = 2 ∙ 36° = 72°
Оскільки
Оскільки
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 36°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 36° = 144° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 36° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 144° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 144° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 36° (як відповідні);
∠7 = ∠4 = 144° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 36° (як відповідні).
2. Один із внутрішніх односторонніх
112°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠2 = 112°.
∠1 = 180° − ∠2 = 180° − 112° = 68° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 68° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 112° (як вертикальні);
∠5 = ∠4 = 112° (як внутрішні різносторонні);
∠6 = ∠1 = 68° (як внутрішні різносторонні);
∠7 = ∠4 = 112° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 68° (як відповідні).
2. Один із внутрішніх односторонніх
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = х, тоді ∠5 = 3х.
х = 45° ∠
62°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 62°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 62° = 118° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 62° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 118° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 118° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 62° (як відповідні);
∠7 = ∠4 = 118° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 62° (як відповідні).
2. Один
a ∥ b,
х + х + 54° = 180°
2х = 126°
х = 63° ∠1
х + 54° = 63° + 54° = 117° ∠5
Відповідь: 63° і 117°.
134°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠2 = 134°.
∠1 = 180° − ∠2 = 180° − 134° = 46° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 46° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 134° (як вертикальні);
∠5 = ∠4 = 134° (як внутрішні різносторонні);
∠6 = ∠1 = 46° (як внутрішні різносторонні);
∠7 = ∠4 = 134° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 46° (як відповідні).
2. Один із внутрішніх односторонніх
3х = 180° х = 60°
2х = 2
гострим.
замість * у записі ∠������������ ∗∠������������ ?
Якщо AO ∥ PC, то внутрішні різносторонні
Отже, ∠AOP = ∠OPC.
Відповідь: Б. =.
4.
CB є частиною
Оскільки CP ⟂ MP, то CB ⟂ LP.
Відповідь: Г. ⟂
5. Які з прямих паралельні?
CB ⟂ AB і CB ⟂ LP (як
⇒ AB ∥ LP.
B. AB і LP.
6. Яким є кут ∠������������ ?
∠ABP + ∠ABC = 180° (як суміжні)
AB ⟂ CP ⇒ ∠ABP = 90°
∠ABC = 180° − 90° = 90°
Відповідь: В. прямим.
7. ∠������������ = 130∘ . Знайди ∠������������ .
AB ⟂ CP і MP ⟂ CP. За ознакою: якщо
прямої, то вони паралельні. Отже AB ∥ MP.
∠LAB = ∠ALM = 130° (як внутрішні
Відповідь:
AB ∥ MP).
AB ⟂ CP і MP ⟂ CP ⇒ AB ∥ MP (перпендикулярні
ALP і ∠LAB
∠ALP + ∠LAB = 180°.
Нехай ∠ALP : ∠LAB = 2 : 3 ⇒ ∠ALP = 2x, ∠LAB = 3x
2x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 36°
∠ALP = 2x = 72°
Відповідь: Г. 72°.
�������� , якщо �������� = ��������
точки
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 45°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 45° = 135° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 45° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 135° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 135° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 45° (як відповідні);
∠7 = ∠5 = 135° (як вертикальні);
∠8 = ∠6 = 135° (як вертикальні).
3. Доведи, що a ∥ b (мал. 9.10).
∠2 = 68° (як вертикальні);
∠3 = 180° − ∠2 = 180° − 68° = 112° (як суміжні);
∠6 = 180° − 112° = 68° (як суміжні);
Оскільки відповідні
4.
+ β = 180° (як суміжні).
Тоді α = 180° − 120° = 60°.
+ (x + 36)
2x = 144
x = 72
x + 36 = 108
∠AMN + ∠MNC = 113° + 67° = 180° ⇒ AB∥CD (за ознакою паралельності прямих);
∠KPM = ∠PKD = 54° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних AB і CD та
січній PK).
Відповідь: 54°.
7. AB ∥ CD, PK бісектриса кута BPE (мал. 9.12).
∠BPK = ∠PKE = 58° (як внутрішні
PK).
Оскільки PK бісектриса кута BPE, то ∠BPE = 2∠BPK = 116°.
∠PEK = 180° ∠BPE = 180°
AB і CD та січній PE).
Відповідь: 64°.
8. Відрізок PK перетинає сторони
чотирикутника АРKС, якщо ∠BAC = ∠BPK = 62° і ∠BCA = 48°.
Оскільки ∠BAC = ∠BPK, то PK∥AC при січній BA (за ознакою паралельності прямих).
∠PKC = 180° − ∠KCA = 180° − 48° = 132° (як внутрішні односторонні).
∠APK = 180° ∠PAC = 180° 62° = 118° (як внутрішні односторонні).
Відповідь: 62°, 118°, 132°, 48°.
9. Відрізки AB і KP перетинаються в точці O. Доведи: якщо ∠AKO = ∠OPB, то ∠KAO = ∠OBP.
∠AKO = ∠OPB, а KO і OP протилежні промені (лежать на одній прямій KP).
⇒ KA ∥ PB (як внутрішні різносторонні при січній KP).
AB січна до KA ∥ PB.
⇒ ∠KAO = ∠OBP (як внутрішні різносторонні при KA ∥ PB, січна AB).
Доведено. Розділ 3. Трикутники §10. Трикутник
364.Чим відрізняється бісектриса
366.Скільки
2 висоти.
367.Чи може висота трикутника збігатися
Так.
368.Знайди периметр трикутника ABC, якщо:
а) AB = 6 см, BC = 3 см, AC = 7 см; P = AB + BC + AC; P = 6 + 3 + 7 = 16 (см).
б) AB = 2,2 дм, BC = 8,5 дм, AC = 8,8 дм. P = AB + BC + AC; P = 2,2 + 8,5 + 8,8 = 19,5 (см).
369.Чи існує трикутник зі сторонами:
а) 3 см, 4 см і 8 см;
3 + 4 < 8. Ні.
б) 3 см, 4 см і 5 см;
3 + 4 > 5. Так.
в) 5 м, 5 м і 10 м?
5 + 5 = 10. Ні.
370.Скільки різних трикутників зображено
10.6 (а, б)?
371.
KP, PT, KT сторони ∠PKT, ∠KTP, ∠KPT
P∆KPT = 3 + 4 + 5 = 12 (см)
372.Накресли гострокутний
АН – висота, AМ – бісектриса,
АL – медіана.
373.Чи правильно,
Висоти: AC, BC, CD.
376.
P = a + b + c = 2,6 + 5,3 + 6,8 = 14,7 (дм)
Відповідь: 14,7 дм.
377.Довжини сторін
P = 3,8 + 4,5 + 7,5 = 15,8 (см).
Відповідь: 15,8 см.
378.CK і BE медіани трикутника ABC, AK = 8 см, CE = 10 см. Знайди
трикутника ABC, якщо BC = 28 см.
AB = 2 AK = 2 • 8 = 16 (см); AC = 2 CE = 2 • 10 = 20 (см). P = AB + BC + AC. P = 16 + 28 + 20 = 64 (см).
379.AM і BN медіани трикутника ABC, AN = 5 см, BM = 7 см. Знайди периметр трикутника ABC, якщо AB = 15 см.
Оскільки AN = NC = 5 см, то AC = 10 см. Оскільки BM = CM = 7 см, то BC = 14 см.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
P∆KPT = AB + BC + AC = 15 + 14 + 10 = 39 (см).
Відповідь: 39 см.
380.Периметр трикутника ABC дорівнює 26 см.
сторони, якщо AC = 10 см і:
�������� + �������� + 10 = 26, звідки �������� + �������� = 26 10 = 16 см.
Тепер розв'яжемо для кожного випадку:
а) �������� =3��������: Замінимо �������� у рівнянні �������� + �������� = 16: �������� + 3�������� = 16 ⟹ 4�������� = 16 ⟹ �������� =4 см.
�������� =3 ⋅ 4= 12 см.
б) �������� : �������� =3:5: Нехай �������� =3���� і �������� =5���� . Підставимо у рівняння �������� + �������� = 16: 3���� + 5���� = 16 ⟹ 8���� = 16 ⟹���� =2.
�������� =3 ⋅ 2=6 см.
�������� =5 ⋅ 2= 10 см.
в) �������� = �������� : Замінимо �������� на �������� у рівнянні �������� + �������� = 16: �������� + �������� = 16 ⟹
16 ⟹ �������� =8 см.
�������� =8 см.
г) �������� − �������� =6 см: Маємо систему рівнянь:
1. �������� + �������� = 16
2. �������� �������� =6
Додамо рівняння:
(�������� + �������� )+(�������� �������� )= 16 + 6 ⟹ 2�������� = 22 ⟹ �������� = 11 см.
Підставимо �������� у перше рівняння: �������� + 11 = 16 ⟹ ��������
см. ґ) �������� = �������� 2 см: �������� = 10 2=8 см.
�������� + �������� = 16:
8+ �������� = 16 ⟹ �������� =8 см.
д) �������� =0,5�������� + 6 см: 10 =0,5�������� +6 10 6=0,5�������� ⟹ 4=0,5�������� ⟹ �������� =4 ∶ 0,5 ⟹ �������� =8 см.
Підставимо �������� у рівняння �������� + �������� = 16: 8+ �������� = 16 ⟹ �������� =8 см.
381.Периметр трикутника ABC дорівнює 38 см.
невідомі сторони, якщо AB = 14 см і:
Дано: ∆ABC; P = 38 см; AB = 14 см.
Знайти: AC, BC, якщо: 1) BC = AC.
Розв'язання
Нехай BC = AC = x. P = AB + BC + AC.
14 + x + x = 38; 2x = 38 - 14; 2x = 24;
x = 12. BC = AC = 12 (см).
Відповідь: 12 см; 12 см.
2) AC : BC = 3 : 1.
Нехай BC = x см, тоді AC = 3x.
P = AB + BC + AC; 14 + x + 3x = 38; 4x = 38 - 14; 4x = 24;
x = 6 см; AC = 3 • 6 = 18 (см).
Відповідь: 18 см; 6 см.
3) AC - BC = 8 см.
Розв'язання
Нехай BC = x см, тоді AC = (x + 8) см.
P = AB + BC + AC; 14 + x + x + 8 = 38; 2x = 38 - 14 - 8; 2x = 16;
x = 8. BC = 8 см; AC = 8 + 8 = 16 см.
Відповідь: 16 см; 8 см.
382.Накресліть довільний трикутник
трикутника
2 см,
Дано: △ ABC; AB + BC = 14 см;
AC > AB в 2 р.; AC > BC на 4 см. Знайти: AB, BC, AC.
Нехай AC =x см, тоді
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
b= 24 ⋅ 5 8 − 4 = 30( см );c= 24 ⋅ 8 8 − 4 = 48( см ).
Звідси P=a+b+c= 24 + 30 + 48 = 102 (см).
Відповідь: 102 см .
387.Знайди периметр
на 8 м, а від третьої на 9 м.
Якщо позначити сторони як ���� , ���� , ���� та
= 9 м, звідки ���� = ����− 7, ���� = ����− 8, ���� = ����− 9, а сума сторін ���� =(����− 7)+(����− 8)+(����− 9), що дає ���� =3����− 24, отже 2���� = 24, і ���� = 12 м.
Відповідь: 12 см.
388.Find the perimeter of the triangle if it is 7 meters longer than the first side, 8 meters longer than the second side, and 9 meters longer than the third side.
Дано: ∆ABC; P > AB на 7 м; P > BC на 8 м; P > AC на 9 м.
Знайти: P.
Розв'язання
Нехай P = x см, тоді AB = (x - 7) м, BC = (x - 8) см, AC = (x - 9) см.
P = AB + BC + AC.
x - 7 + x - 8 + x - 9 = x;
3x - x = 24;
2x = 24;
x = 12. P = 12 см.
Відповідь: 12 см.
389.Середнє
Оскільки (a+b+c) 3 = 10 (дм),
30 дм.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
АВ + АМ + ВМ = 16, тобто АВ + (АМ + ВМ) = 16, отже:
Р∆АВС = 16 + 8 = 24 см.
Відповідь: периметр трикутника АВС дорівнює 24 см
391.AK медіана трикутника ABC і AK = KC. Знайди периметр трикутника ABC, якщо
периметр трикутника ABK дорівнює 10 см, AC = 6 см.
ВК = КС, АК = КС за умовою.
Нехай ВК = КС = АК = x см, тоді BC = 2x см.
Р∆АВК = АВ + ВК + АК = АВ + x + x = АВ + 2х.
АВ + 2х = 10; АВ = 10 - 2х.
Р∆АВС = АВ + ВС + АС = 10 - 2х + 2х + 6 = 16 (см).
Відповідь: 16 см.
392.Трикутну підпірку з периметром 22 см
12 см і 16 см (мал. 10.11).
Відповідь: 3 см.
394.BM
Доведи, що AB = BC.
Оскільки Р∆АВМ = Р∆ВМС, то АВ + АМ + ВМ = ВМ + МС + ВМ, тоді АВ + АМ = ВС + МС.
Враховуючи, що АМ = МС будемо мати з рівності АВ + АМ = ВС + МС, що АВ = ВС. 395.На сторонах AB і BC трикутника
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
1 га = (100 м)² = 10 000 м²; 1 ар = (10 м)² = 100 м².
399.Поле прямокутної
20 га : 0,5 км = 10000 м² : 500 м = 20 м.
Відповідь: 20 м.
400.
3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 80° = 100°.
402.Два кути трикутника дорівнюють 30°
∠3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (30° + 30°) = 120°.
403.
∠3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (20° + 80°) = 80°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 = 42°.
Знайти ∠2, ∠3, якщо:
а) ∠2 < ∠1 на 15°.
Розв'язання
∠2 = ∠1 – 15° = 42° – 15° = 27°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (42° + 27°) = 111°.
Відповідь: 27°; 111°.
б) ∠2 > ∠1 в 2 рази.
Розв'язання
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 42° = 84°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (42° + 84°) = 54°.
Відповідь: 84°; 54°.
в) ∠2 = ∠3.
Розв'язання
Нехай ∠2 = ∠3 = x°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
42° + x + x = 180; 2x = 180° – 42°; 2x = 138° x = 69°. ∠2 = ∠3 = 69°.
Відповідь: 69°; 69°.
409.Знайди невідомі
а) на 54° менший за перший кут; б) у три рази менший за перший кут; в) дорівнює третьому куту.
Дано: ∠1 = 102°.
Знайти ∠2, ∠3, якщо:
а) ∠2 < ∠1 на 54°. Розв'язання
2 = ∠1 – 54° = 102° – 54° = 48°.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (102° + 48°) = 30°.
Відповідь: 48°; 30°.
б) ∠2 < ∠1 у 3 рази. Розв'язання
∠2 = 102° : 3 = 34°. За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (102° + 34°) = 44°.
Відповідь: 34°; 44°.
Нехай ∠2 = ∠3 = х.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
102° + х + х = 180°
2х = 180° – 102°
2х = 78°
х = 39°. ∠2 = ∠3 = 39°.
Відповідь: 39°; 39°.
410.
більший за другий у 2 рази, а за третій на 10°.
перший і другий кут трикутника дорівнюють по х°, тоді
+ 30°. Тоді х + х + х + 30 = 180, звідси 3х = 150, х = 50.
дорівнюють 50°, 50°, 80°.
Відповідь: 50°, 50°, 80°.
б) Нехай перший кут трикутника дорівнює х°,
х° - 40°. Звідси 3х = 240, х = 80, тоді х - 20 = 80 - 20 = 60, х - 40 = 40.
Отже, кути трикутника дорівнюють 80°, 60°, 40°.
в) Нехай перший кут трикутника дорівнює х°, тоді
10. Оскільки сума кутів трикутника
2х + х + 2х – 20 = 360, 5х = 380, х = 76.
76°, 38°, 66°.
х + х + х – 24° = 180°;
3х = 180° + 24°;
3х = 204°;
х = 68°. ∠1 = ∠2 = 68°; ∠3 = 68° – 24° = 44°.
Відповідь: 68°; 68°; 44°. б) ∠1 < ∠2 на 28°, ∠1 < ∠3 на 14°. Розв'язання
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
х + х + 28° + х + 14° = 180°.
3х = 180° – 42°;
3х = 138°;
х = 46°. ∠1 = 46°;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠2 = 46° + 28° = 74°; ∠3 = 46° + 14° = 60°.
Відповідь: 46°; 74°; 60°.
в) ∠1 > ∠2 у 3 рази; ∠1 > ∠3 на 16°.
Розв'язання
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = (1 3)х, ∠3 = х – 16°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
(7 3)х = 196;
х = 84. ∠1 = 84°;
∠2 = (1 3) • 84° = 28°; ∠3 = 84° – 16° = 68°.
Відповідь: 84°; 28°; 68°.
412.Знайдіть кути трикутної металевої
a) 180∘ ⋅2 2+3+5 = 36∘ ; 180∘ ⋅3 2+3+5 = 54∘ ; 180∘ ⋅5 2+3+5 = 90∘ .
Відповідь: 36∘ ; 54∘ ; 90∘
180∘ ⋅1 1+5+6 = 15∘ ; 180∘ ⋅5 1+5+6 = 75∘ ; 180∘ ⋅6 1+5+6 = 90∘ . Відповідь: 15∘ ; 75
htps://shkola.in.ua/3332
414.
1+2+3 = 90°.
Нехай у трикутника ABC кут C – прямий, ∠C = 90°, тоді ∠A + ∠B = 180° – ∠C, звідси
∠A + ∠B = 180° – 90° = 90°. Отже, ∠A + ∠B = 90°. Таким
прямокутного трикутника дорівнює 90°.
A і B
C (мал. 11.7).
∠1 = ∠A + ∠B = 65° + 65° = 130°.
130°.
∠KAB = ∠B + ∠C; ∠KAB = 36° + 48° = 84°.
84°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠A + ∠B = 100° і ∠B + ∠C = 120°.
∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 100° = 80°;
∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – 120° = 60°;
∠B = 180° – ∠C – ∠A = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 40°, ∠C = 80°.
419.Find the angles of the triangle FEK, if
∠E + ∠F = 130°, ∠E + ∠K = 80°.
Дано: ∆FEK;
∠E + ∠F = 130°; ∠E + ∠K = 80°.
Знайти: ∠F, ∠E, ∠K.
Розв'язання
Нехай ∠E = x, тоді ∠F = 130° – x, ∠K = 80° – x.
За т. про суму кутів трикутника:
∠F + ∠E + ∠K = 180°.
130° – x + x + 80° – x = 180°.
-x = 180° – 130° – 80°. -x = -30°.
x = 30°. ∠E = 30°.
∠F = 130° – 30° = 100°; ∠K = 80° – 30° = 50°.
Відповідь: 100°; 30°; 50°.
420.∠ABC = 30°. Під
під кутом 45°?
∠BCA = 180° – ∠B – ∠CAB = = 180° – 30° – 45° = 105°.
∠KCB = 180° – ∠BCA = 180° – 105° = 75°.
75°.
421.∠AOB = 50°.
70°?
Дано: ∠AOB = 50°; ∠OBA = 70°.
Знайти: ∠OAB.
Розв'язання
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠AOB + ∠OAB + ∠ABO = 180°;
50° + ∠OAB + 70° = 180°;
∠OAB = 180° – 50° – 70°;
∠OAB = 60°.
422.CH і CL
∠BCA = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 30° – 60° = 90°; ∠ACL = 1 2 ∠BCA = 1 2 • 90° = 45°;
ACH = 180° –
A – ∠H = 180° – 60° – 90° = 30° ∠HCL = ∠ACL – ∠ACH = 45° – 30° = 15°.
15°.
423.BM і BK
∠
РВК = 1 2 ∠В = 1 2 • 70° = 35°.
∠МВК = 35° – 30° = 5°.
Відповідь: 5°.
424.CL бісектриса трикутника ABC, ∠A = 80°, ∠B = 40°. Знайди: ∠CLB і ∠CLA.
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 40° = 60°;
∠ACL = 1 2 ∠ACB = 1 2 • 60° = 30°;
∠CLA = 180° - ∠ACL - ∠CAL = 180° - 30° - 80° = 70°.
∠CLB = 180° - ∠CLA = 180° - 70° = 110°.
Відповідь: 70°, 110°.
425.BE бісектриса трикутника ABC, ∠A = 60°, ∠C = 70°. Знайди: ∠BEA і
Дано: ∆ABC; BE – бісектриса;
∠A = 60°; ∠C = 70°.
Знайти: ∠BEA; ∠BEC.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (60° + 70°) = 50°.
∠ABE = ∠CBE = 1 2 ∠B = 1 2 • 50° = 25°.
∆BEA: ∠BEA = 180° – (∠A + ∠ABE) = 180° – (60° + 25°) = 95°.
∠BEA і ∠BEC – суміжні;
∠BEA + ∠BEC = 180°;
∠BEC = 180° – ∠BEA = 180° – 95° = 85°.
Відповідь: 95°; 85°.
426.У трикутнику ABC бісектриси AP і CK
AOC, якщо ∠B = 70°.
Дано: ∆ABC; AP, CK – бісектриси;
AP X CK в т. O; ∠B = 70°.
Знайти: ∠AOC.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 180° – ∠B = 180° – 70° = 110°.
∠OAC + ∠OCA = (1 2)(∠A + ∠C) = (1 2) • 110° = 55°.
∆AOC: ∠AOC = 180° – (∠OAC + ∠OCA) = 180° – 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
427.У трикутнику
∠AOC = 130°.
Дано: ∆ABC; AP, CK – бісектриси; AP X CK в т. O; ∠AOC = 130°.
Знайти: ∠B. Розв'язання
∠A + ∠B + ∠C = 180°; ∠B = 180° – (∠A + ∠C).
∆AOC: ∠OAC + ∠OCA = 180° – ∠AOC = 180° – 130° = 50°.
∠A + ∠C = 2(∠OAC + ∠OCA) = 2 • 50° = 100°.
∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 100° = 80°.
Відповідь: 80°.
428.У фермі (тримальна
BAK і ∠CAK, якщо:
AK
Дано: ∆ABC;
АК – висота.
Знайти: ∠BAK, ∠CAK, якщо:
а) ∠CBA = 50°; ∠C = 20°.
Розв'язання
За умовою: ∠CKA = ∠BKA = 90°.
∆CAB: ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180°;
∠CAB = 180° – (∠C + ∠CBA) = 180° – (20° + 50°) = 110°.
∆CKA: ∠CAK = 180° – (∠C + ∠CKA) = 180° – (20° + 90°) = 70°.
∠BAK = ∠CAB – ∠CAK = 110° – 70° = 40°.
Відповідь: 40°; 70°.
б) ∠CBA = 30°; ∠C = 20°.
Розв'язання
За умовою ∠CKA = ∠BKA = 90°.
∆CAB: ∠CAB = 180° – (∠C + ∠CBA) = 180° – (20° + 30°) = 130°.
∆CKA: ∠CAK = 180° – (∠C + ∠CKA) = 180° – (20° + 90°) = 70°.
∠BAK = ∠CAB – ∠CAK = 130° – 70° = 60°.
Відповідь: 60°; 70°.
429.CH висота трикутника
A = 30° і ∠B = 70°; б) ∠A = 30° і ∠B = 120°.
∠ACH = 180° –
BCH = 180° –
Відповідь: 60° і 20°.
A – ∠H = 180° – 30° – 90° = 60°;
H = 180° – 70° – 90° = 20°.
∠ACH = 180° –
CBH = 180° –
A – ∠H = 180° – 30° – 90° = 60°;
B = 180° – 120° = 60°.
BCH = 180° – ∠CBH –
H = 180° – 60° – 90° = 30°;
Відповідь: 60° і 30°.
430.
а) ∠A = 40°, ∠B = 50°; б) ∠B = 120°, ∠C = 40°;
в) ∠A + ∠C = 95°, ∠B + ∠C = 135°.
а) ∠1 = 180° - 40° = 140°; ∠2 = 180° - 50° = 130°;
∠3 = 360° - ∠1 - ∠2 = 360° - 140° - 130° = 90°.
Відповідь: 140°, 130°, 90°.
б) ∠1 = 180° - 40° = 140°; ∠2 = 180° - 120° = 60°;
∠3 = 360° - ∠1 - ∠2 = 360° - 140° - 60° = 160°.
Відповідь: 140°, 60°, 160°.
в) ∠2 = 180° - (180° - (∠B + ∠C)) = 180° - (180° - 135°) = 135°;
∠3 = 180° - (180° - (∠A + ∠C)) = 180° - (180° - 95°) = 95°; ∠1 = 360° - (∠2 + ∠3) = 360° - 230° = 130°.
Відповідь: 130°, 135°, 95°.
431.Знайди
а) ∠M = 30°, ∠K = 85°;
б) ∠P = 130°, ∠K = 25°;
в) ∠M + ∠P = 110°, ∠M + ∠K = 130°.
Дано: ∆МРК.
Знайти міри зовнішніх кутів, якщо:
а) ∠M = 30; ∠K = 85°.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°;
∠P = 180° – (∠M + ∠K) = 180° – (30° + 85°) = 65°.
∠1 = ∠P + ∠K = 65° + 85° = 150°;
∠2 = ∠M + ∠K = 30° + 85° = 115°;
∠3 = ∠M + ∠P = 30° + 65° = 95°.
Відповідь: 150°; 115°; 95°.
б) P = 130°; ∠K = 25°.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°;
∠M = 180° – (∠P + ∠K) = 180° – (130° + 25°) = 25°.
∠1 = ∠P + ∠K = 130° + 25° = 155°;
∠2 = ∠M + ∠K = 25° + 25° = 50°;
∠3 = ∠M + ∠P = 25° + 130° = 155°.
в) Дано: ∠M + ∠P = 110°; ∠M + ∠K = 130°.
Розв'язання
Нехай ∠M = x, тоді ∠P = 110° - x; ∠K = 130° - x.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°; x + 110° - x + 130° - x = 180°; -x = 180° - 110° - 130°; x = 60°. ∠M = 60°
∠P = 110° - 60° = 50°; ∠K = 130° - 60° = 70°.
∠1 = ∠P + ∠K = 50° + 70° = 120°;
∠2 = ∠M + ∠K = 60° + 70° = 130°;
∠3 = ∠M + ∠P = 60° + 50° = 110°.
Відповідь: 120°; 130°; 110°.
432.Кути A і B
ABC
∠NCM = ∠MCB (за умовою, бо CM бісектриса кута NCB).
∠CAB = ∠CBA (за умовою).
Оскільки ∠NCB = ∠A + ∠B = 2∠B, тоді
2∠MCB = 2∠B, звідси ∠MCB = ∠B.
Оскільки ∠MCB і ∠B
∠MCB = ∠B, то AB || CM.
433.Знайди суму
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠MNC = ∠1 + ∠4 (бо ∠MNC – зовнішній кут трикутника AND); ∠CMN = ∠2 + ∠5 (бо ∠CMN – зовнішній кут трикутника BEM).
Оскільки ∠MNC + ∠CMN + ∠3 = 180°, то
Отже, сума кутів A, B, C, D, E, п'ятикутної
Ця гра називається танграм. Що таке танграм?
Танграм
із квадрата:
• 2 великих трикутники;
• 1 середній трикутник;
• 2 маленьких трикутники;
• 1 квадрат;
• 1 паралелограм.
437.Відрізок,
Відношення
Відповідь:
439.
Так.
гострокутний?
Ні, ні.
445.а) Трикутники
ΔKPT = ΔABC, то PΔKPT = KP + PT + KT = AB + BC + AC = 3 см + 4 см + 5 см = 12 см.
12 см.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
451.Find the perimeter of the triangle ABC, if ∆KPT = ∆ABC, KP = 13 mm, PT = 24 mm i KT = 15 mm.
Дано: ΔKPT = ΔABC; AB = 3 см; BC = 4 см; AC = 5 см.
Знайти: PΔKPT; PΔABC
Розв'язання
PΔABC = AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 (см).
PΔKPT = PΔABC = 12 (см).
Відповідь: 12 см.
452.Знайди кути трикутника АВС, якщо
∆АВС = ∆КРТ, ∠К = 60° і ∠Р = 60°.
∠A = ∠K = 60°, ∠B = ∠P = 60°,
∠C = 180° - 60° - 60° = 60°.
Відповідь: 60°, 60°, 60°.
453.Фігури ABCD і HTPK рівні (мал. 12.10).
= 70°.
KT = BD = 3,8 см; ∠T = ∠B = 70°.
454.Сторони АВ і РТ
456.∆АВС тупокутний,
можуть бути рівними ці трикутники? Оскільки кути трикутника A1 B1 C1 дорівнюють: 180∘ ⋅ 5 5+6+7 = 50∘ ; 180∘ ⋅ 6 5+6+7 = 60∘ ; 180∘ ⋅
= ∠N =
AB = x см, тоді BC = x + 3 см.
умовою задачі: x + x + 3 + x + x + 3 = 34, тоді 4x = 28, x = 7.
ABCD.
462.
∠A = ∠B = ∠C = 180∘ 3 = 60∘ .
AM, BN - бісектриси.
∠BAO = ∠ABO = 60∘ 20 = 30∘ ;
∠BOM = ∠BAO + ∠AOB = 30∘ + 30∘ = 60∘
Відповідь: 60∘ .
Так.
471.
Так.
472.Учні побудували в зошитах трикутники
473.
1.
2.
3. Зробити висновок
1.
2. Знайти рівні
3.
В △
АВС і △ADC:
1)AB = AD – за умовою;
2)∠1 = ∠2 – за умовою; 3)AC – спільна сторона.
Отже, △ABC = △ADC за першою
476.За малюнком 13.12
Рівні
477.
Дано: △ABC – рівносторонній;
ВМ – бісектриса.
Довести: АМ = МС.
Доведення
В △АВМ і △СВМ:
1) AB = BC – за умовою;
2) ∠ABM = ∠CBM – за умовою;
3) BM – спільна сторона.
Отже, △ABM = △CBM за першою ознакою рівності трикутників.
Тоді АМ = МС як відповідні сторони рівних трикутників.
480.In an equilateral triangle ABC, draw the bisector AL and prove that AL ⊥ BC.
Дано: △АВС – рівносторонній; AL – бісектриса.
Довести: AL ⊥ BC.
Доведення
За т. про суму кутів трикутника:
∠А + ∠В + ∠С = 180°.
∠А = ∠В = ∠С = 180° : 3 = 60°.
∠ВAL = 1 2 ∠А = 1 2 • 60° = 30°.
△ALB: ∠ALB = 180° – (∠BAL + ∠В) = 180° – (30° + 60°) = 90°.
Отже, AL ⊥ DC. 481.Нехай AM медіана
Дано: △ABC, AM – медіана; МК = МА.
Довести: ВК = АС; ВК || АС.
Доведення
В △ВМК і △СМА:
1) ВМ = СМ – за умовою;
2) МК = МА – за умовою;
3) ∠ВМК = ∠СМА – як вертикальні
Отже, △
=
Дано: AB X CD в точці О; АО = ОВ; ∠САО = ∠DВО.
Довести: △АОС = △ВОD.
Доведення
В △АОС і △ВОD:
1) АО = ОВ – за умовою;
2) ∠САО = ∠DВО – за умовою;
3) ∠АОС = ∠ВОD за другою ознакою рівності трикутників.
485.Відрізки AB і CD перетинаються в точці О так, що CO = OD і ∠ACO = ∠BDO (мал. 13.14). Доведи, що ∆АОС = ∆BOD.
Дано: АВ X СD в точці О; СО = ОD;
∠АСО = ∠ВОD.
Довести: △АОС = △ВОD.
Доведення
В △АОС і △ВОD:
1) СО = ОD – за умовою; 2) ∠АСО = ∠ВОD – за умовою; 3) ∠АОС = ∠ВОD – як вертикальні,
Отже, △АОС = △ВОD за другою ознакою рівності трикутників. 486.На малюнку 13.15 AB = CD, AB || CD. Доведіть, що ∆АОВ = ∆COD. Обговоріть план доведення.
Дано: АВ = CD, АВ || CD.
Довести: △АРВ = △COD.
Доведення
В △АОВ і △COD:
1) AB = CD – за умовою;
htps://shkola.in.ua/3332
2) ∠ABO = ∠CDO – як
3) ∠BAO = ∠DCO – як
Отже, △АОВ = △COD
487.На малюнку 13.15 BC = AD, BC || AD.
Дано: ВС = AD; ВС || AD.
Довести: △ВОС = △DOA
Доведення
В △
і △DOA: 1) ВС = AD – за умовою; 2) ∠СВО = ∠ADO – як
січній BD; 3) ∠
CD.
Дано: P середина AB; AC || BD;
AB X CD в точці P.
Довести: CP = DP
Доведення
В ΔCAP і ΔDBP:
1) AP = BP – за умовою;
2) ∠APC = ∠BPD – як вертикальні;
3) ∠CAP = ∠DBP – як
Отже, ΔCAP = ΔDBP за другою
Тоді CP = DP як відповідні сторони рівних трикутників. 492.На малюнку 13.18 ∠1 =
AB = AD. Доведи, що ∆ABC = ∆ADC.
Дано: ∠1 = ∠2; ∠B = ∠D; AB = AD.
Довести: ΔABC = ΔADC. Доведення
В ΔABC і ΔADC:
1)∠1 = ∠2 – за умовою;
2)∠B = ∠D – за умовою;
3)AB = AD – за умовою.
Отже, ΔABC = ΔADC за першою
493.Доведи, що ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, якщо
AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ і ∠B = ∠B₁.
Оскільки ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, тоді
∠C = ∠C₁ = 180° - ∠A - ∠B.
Оскільки AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁, то
трикутників ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
494.Доведи рівність трикутників ABC і XYZ (мал. 13.19).
Доведення
ΔABC: ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (83° + 50°) = 180° - 133° = 47°.
ΔXZY: ∠Z = 180° - (∠X + ∠Y) = 180° - (83° + 50°) = 180° - 133° = 47°.
Отже, ∠B = ∠Z.
В ΔABC і ΔXZY:
1) AB = XY – за умовою;
2) ∠A = ∠X – за умовою;
3) ∠B = ∠Z – за умовою.
Отже, ΔABC = ΔXZY
ΔAOD = ΔCOB
∆АВС = ∆DCB.
Дано: АВ X CD в точці М;
АВ = CD; АМ = MD.
Довести: ΔАВС = ΔDCB.
Доведення
В ΔАМС і ΔDMB:
1) AM = MD – за умовою;
2) CM = BM – як частини рівних відрізків; 3) ∠AMC = ∠DMB – як вертикальні.
Отже, ΔАМС = ΔDMB за
Тоді, AC = DB, ∠CAM = ∠BDM як
В ΔАВС і ΔDCB:
1) AC = DB – за доведеним;
2) AB = DC – за умовою;
3) ∠CAB = ∠BDC – за доведеним.
ΔАВС = ΔDCB
∠BDA = ∠CDA. Доведи, що:
а) BD = CD; б) BM = CM, де
AD.
рівних
Оскільки ∠BAD = ∠CAD (бо AD бісектриса), ∠BDA = ∠CDA (за умовою), AD –спільна сторона трикутників BAD і CAD, то згідно з другою ознакою рівності трикутників ΔBAD = ΔCAD, тоді BD = CD.
502.На бісектрисі кута К позначено точку М, на сторонах цього кута
що ∠KMA = ∠KMB. Доведи, що: а) АК = ВК; б) ∠КАС = ∠КВС, де
Дано: КМ – бісектриса ∠К; ∠KMA = ∠KMB.
Довести, що:
а) AK = BK.
Доведення
В ΔАКМ і ΔВКМ:
1) КМ – спільна сторона;
2) ∠KMA = ∠KMB – за умовою;
3) ∠AKM = ∠BKM – за умовою.
Отже, ΔАКМ = ΔВКМ за другою
відповідні сторони рівних трикутників.
б) ∠KAC = ∠KBC, С ∈ КМ.
Доведення
В ΔАКС і ΔВКС:
1) АС – спільна сторона;
2) ∠AKC = ∠BKC – за умовою;
3) AK = BK – за доведеним.
Отже, ΔАКС = ΔВКС
відповідні кути рівних трикутників.
503.Бісектриса AL трикутника АВС
АВ = АС.
Тоді AK = BK як
∠BLA = ∠CLA = 90°.
504.Медіана
Дано: ΔАВС; ВМ – медіана;
ВМ ⊥ АС.
Довести: АВ = ВС. Доведення В ΔАМВ і ΔСВМ:
1) AM = CM – за умовою;
2) ∠AMB = ∠CMB – за умовою;
3) BM – спільна сторона.
Отже, ΔАМВ = ΔСМВ
відповідні сторони рівних трикутників.
505.Доведи, що медіани рівних трикутників,
Оскільки ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, то АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁, BC = B₁C₁, тоді ВМ = В₁М₁ (як половини рівних сторін ВС і В₁С₁). ΔВАМ = ΔВ₁А₁М₁, оскільки ВА = В₁А₁, ∠B = ∠B₁, BM = B₁M₁. Із рівності цих трикутників маємо AM = A₁M₁. Отже, медіани рівних трикутників, проведені до рівних сторін, рівні. 506.Доведіть, що в рівних трикутниках рівні
Оскільки ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, то АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁, тоді ∠1 = ∠2 = 90° - ∠B.
ΔBAH = ΔB₁A₁H₁, оскільки BA = B₁A₁, ∠B =
рівності цих трикутників маємо AH = A₁H₁.
B₁, ∠1 =
507.У трикутнику АВС
= ВС.
Дано: ΔABC; AC = BC; AP, BH – медіани.
Довести: ΔAPC = ΔBHC.
Доведення
В ΔAPC і ΔBHC: 1) ∠C – спільний;
2) AC = BC –
3) PC = HC
508.
2; 4; 6; 8; 10; 12; ... 512.
htps://shkola.in.ua/3332
5x + 4x + 4,5x + 1 = 28. 13,5x = 27, x = 2.
сторони. 516.
∠В = 135° · 4 4 + 5 = 60°.
∠В = 135° · 5 4 + 5 = 75°.
Відповідь: 60° і 75°.
2. Б. BO, CO – бісектриси.
∠B�������� ?
∠ВОС = 180° – ∠ОВС – ∠ОСВ = 180° –1 2 ∠
= 180° –1 2(
+ ∠
= 180° –1 2 · 120° = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: 120°.
3. А. ∠1 = 30°, ∠2 = 40°.
∠3, ∠4?
∠АМС = 130° – ∠1 = 130° – 30° = 100°;
∠4 = 180° – ∠АМС = 180° – 100° = 80°.
∠АКС = 130° – ∠2 = 130° – 40° = 90°;
∠3 = 180° – ∠АКС = 180° – 90° = 90°.
Відповідь: 90° і 80°.
3. Б. ∠CAB = ∠ACB = 50°.
∠BAH, ∠CAH?
ВАН = 90° – ∠В = 90° – (180° – ∠
= 90° – (180° – 100°) = 10°.
∠
САН = 90° – ∠С = 90° – 50° = 40°.
Відповідь: 10° і 40°.
4. А. ∠BAC = ∠BCA, ∠1 = ∠2.
∠AKC?
∠А + ∠С = 180°−80° 2 = 50°;
∠1 = ∠2 = 50° 2 = 25°.
∠АКС = 180° – ∠С – ∠2 = 180° – 50° – 25° = 105°.
Відповідь: 105°.
4. Б. AO, BO – бісектриси.
∠C?
сторони
3°. 3.
сторони дорівнюють 21 м, 13 м і 16 м.
Відповідь: 21 м, 13 м і 16 м.
4. PM – висота трикутника KPT є водночас і бісектрисою. Доведи, що
якщо KM = MT. ∆КРМ = ∆ТРМ за другою ознакою рівності
2х + х + 2х – 16 = 124, 5х = 140, х = 28. Отже,
2х + х + 1 = 85.
1.
1.
2.
3.
кут = 180° − 40° − 60° = 80°
Відповідь: Б. 80°.
2. Зовнішні кути трикутника
кут = 180° − 140° = 40° Відповідь: В. 40°.
3. Кути трикутника пропорційні числам 2,
Складаємо суму частин:
2 + 3 + 5 = 10 частин.
Сума кутів трикутника: 180°.
Одна частина: 180° : 10 = 18°.
Найменший кут відповідає числу 2:
2 × 18° = 36°.
Відповідь: Г. 36°.
4.
5.
70° + 60° = 130°,
130° + ∠C = 180°.
∠C = 180° − 130° = 50°.
Оскільки
∠C = ∠C1 Отже, ∠C1 = 50°.
Відповідь: А. 50°.
8. Відрізки AB і
AO = BO (за умовою)
CO = DO (за умовою)
∠AOC і ∠BOD
△AOC = △BOD.
Відповідь: Б. ∆BOD.
9. Відрізки AB і CD перетинаються
дорівнює кут ОАС?
AO = BO (за умовою)
CO = DO (за умовою)
∠AOC = ∠BOD (як
Отже, △AOC = △BOD (за
�������� = �������� + �������� �������� = �������� + �������� Оскільки �������� = �������� , то: �������� + �������� = �������� + ��������
знаємо, що �������� = �������� (за умовою), тому
рівняння: (�������� + �������� ) �������� =(�������� + �������� ) �������� ⇒ �������� = �������� Оскільки �������� = �������� (сторона), ∠������������ =
AOE =△ FOB (за першою
= КС + АК = 11 см + 5 см = 17 см.
17 см.
а) ∆АВС = ∆АКС за другою ознакою рівності трикутників,
умовою, АС – спільна сторона. Із рівності
б) Оскільки AB = AK, то ∆ABK є рівнобедреним
бісектрисою кута A рівнобедреного ABK (оскільки ∠BAO = ∠KAO). За властивістю рівнобедреного трикутника, бісектриса, проведена до основи (AO до BK), є також і медіаною. Як медіана, AO ділить основу BK навпіл, отже, BO = OK. 8. У трикутнику АВС проведено висоти AP і BH. Доведіть,
∠A = (180° - ∠B) : 2 = (180° - 120°) : 2 = 30°
518.
Р = 2 • АВ + AC = 2 • 20 + 10 = 50 (см).
522. Сторони
АС = 5 см – основа.
523. Поясни,
Дано: ΔАВС – рівнобедрений;
Р = 26 см; АС = 10 см.
Знайти: АВ.
Розв'язання
Нехай АВ = ВС = х см.
P = AB + BC + AC;
x + x + 10 = 26;
2x = 26 - 10;
2x = 16;
x = 8. AB = 8 см.
Відповідь: 8 см.
527. Периметр рівнобедреного трикутника
а) основа на 8 см більша за бічну сторону; б) бічна сторона у три рази більша за основу; в) сторони пропорційні числам 1, 2 і 2.
Дано: ΔABC
AB = BC
PΔ = 35 см
Знайти:
AB, BC, AC
а) AC на 8 см > AB
б) AB у 3 р. > AC
в) AC : AB : BC = 1 : 2 : 2
AB = BC = x, тоді AC = x + 8
x + x + x + 8 = 35
3x = 35 - 8
3x = 27
x = 9
AB = BC = 9 см
AC = 9 + 8 = 17 см
Дано:
ABC (AB = BC)
P = 50 см
Знайти:
AB, BC, AC
а) AC на 4 см < AB
б) AB в 2 р. > AC
в) AB : BC : AC = 3 : 3 : 4
a) AC = x, тоді AB = BC = x + 4
x + x + 4 + x + 4 = 50
3x = 50 - 8
3x = 42
x = 14
AC = 14 см, AB = BC = 18 см
б) AC = x, тоді AB = BC = 2x
x + 2x + 2x = 50
5x = 50
x = 10
AC = 10 см
AB = BC = 20 см
в) AB = BC = 3x, тоді AC = 4x
3x + 3x + 4x = 50
10x = 50 x = 5
AB = BC = 3 • 5 = 15 см
AC = 4 • 5 = 20 см
529.
∠B = ∠A + 30∘ , тоді
∠A
∠C = 180∘ ⋅1 5 = 36∘ . OT Отже, кути
Дано: ΔАВС – рівнобедрений;
Знайти кути якщо:
а) ∠A < ∠B на 15°.
Розв'язання
∠A = ∠C – за властивістю рівнобедреного трикутника.
Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 15°, ∠C = x.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°; x + x + 15° + x = 180°;
3x = 180° - 15°; 3x = 165°.
x = 55°. ∠A = ∠C = 55°; ∠B = 55° + 15° = 70°.
Відповідь: 55°; 70°; 55°.
б) ∠B > ∠A в 2 рази.
∠A = ∠C – за властивістю рівнобедреного
Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x, ∠C = x.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°; x + 2x + x = 180°; 4x = 180°; x = 45°.
∠A = ∠C = 45°;
∠B = 2 • 45° = 90°.
Відповідь: 45°; 90°; 45°.
534. Доведи, що якщо який
∠A = ∠C = (180° 60°) 2 = 60°. Отже, ΔABC – рівносторонній.
Дано:
всі кути.
Розв'язання
А = ∠С – за властивістю рівнобедреного трикутника. ∠А = ∠В – за умовою. Нехай ∠А = ∠В = ∠С = х.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠А + ∠В + ∠С = 180°;
х + х + х = 180°;
3х = 180°;
х = 60°.
∠А = ∠В = ∠С = 60°.
Відповідь: 60°; 60°; 60°.
536.
Дано: ΔАВС – рівнобедрений;
∠В = 80°; АР, СК – бісектриси.
Знайти: ∠АОК.
Розв'язання
∠A = ∠C = (180° - ∠B) : 2 = (180° - 80°) : 2 = 50°.
За умовою ∠PAC = ∠KCA = 1 2 • 50° = 25°.
∠AOK – зовнішній кут ΔАОС.
∠AOK = ∠OAC + ∠OCA = 25° + 25° = 50°.
Відповідь: 50°.
541. У трикутнику ABC медіана BD
PΔABC = 2PΔABD - 2BD, тоді 5 = 2 • 4 - 2BD; 2BD = 8 - 5; 2BD = 3; BD = 1,5.
1,5
Нехай МК = КР = х см;
РΔМКР = МК + КР + МР;
х + х + МР = 32;
МР = 32 - 2х.
РΔМКО = МК + КО + МО; х + КО + 1 2МР = 24;
КО = 24 - х1 2 МР = 24 - х1 2 (32 - 2х) = = 24 - х - 16 + х = 8 (см).
Відповідь: 8 см.
543. Знайди кути
Дано: ΔABC; ∠A = 40°; BH – медіана і висота.
Знайти: ∠B; ∠C.
Розв'язання ΔABC – рівнобедрений (за ознакою).
∠B = 180° - (40° + 40°) = 100°. Відповідь: 100°; 40°.
Нехай АВ = ВС = х.
Р = АВ + ВС + АС;
х + х + 16 = 40;
2х = 40 - 16; 2х = 24;
х = 12. АВ = ВС = 12 (см).
Відповідь: 12 см; 12 см; 16 см. 545. Розглянь будову теплиці. ΔABC рівнобедрений (мал. 14.13), AM = KC. Доведи, що ΔMBK рівнобедрений.
Дано: ΔАВС – рівнобедрений;
АМ = КС.
Довести: ΔМВК – рівнобедрений.
Доведення
В ΔАВМ і Δ СВК:
1) АМ = КС – за умовою;
2) АВ = ВС – за умовою;
3) ∠А = ∠
Отже, ΔАВМ = ΔСВК за першою
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
1) АМ = КС – за умовою;
2) ВМ = ВК – за умовою;
3) ∠AMB = ∠CKB – як суміжні
Отже, ΔАВМ = ΔСВК за
відповідні сторони рівних трикутників.
Отже, ΔАВС – рівнобедрений.
547. O
AL = CP і AO = OC.
Нехай ВН медіана і
трикутника ABC, тобто ∠AHB = 90° і AH = CH. ΔAHB = ΔCHB за першою ознакою
сторона, АН =
що AF = CK і AM = MC.
Оскільки в трикутнику ABC AB = BC і ∠B = 36°, то
∠A = ∠C = 180∘ 36∘ 2 = 144∘ 2 = 72,
Оскільки AK бісектриса, то
∠BAK = ∠CAK = ∠A 2 = 72° 2 = 36°.
Оскільки в трикутнику ABK ∠B = ∠BAK, то BK = AK.
∠AKC = 180° - ∠C - ∠CAK = 180° - 72° - 36° = 72°.
Оскільки в трикутнику AKC
∠AKC = ∠ACK = 72°, то AK = AC.
Оскільки BK = AK, AK = AC, то BK = AK = AC.
550. Доведіть, що
сторін, рівні.
Нехай в трикутнику ABC AC = BC, AL і BN – бісектриси трикутника.
Доведемо, що AL = BN.
Оскільки AC = BC, то ∠CAB = ∠CBA,
∠LAB = ∠NBA.
ΔALB = ΔBNA за другою
(AB – спільна сторона, ∠NAB = ∠LBA, ∠NBA = ∠LAB).
що AL = BN. 551. Доведи, що
рівні.
В ΔАВР і ΔСВК:
1) ∠В – спільний;
2) АВ = СВ – за умовою;
3) ВР = ВК – як
відповідні сторони рівних трикутників. 552. Пряма,
C (мал. 14.14). Визнач вид трикутника
= 60°.
Оскільки, BD є
ABC рівнобедрений (з основою AC). Сума кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°, а ∠A = ∠C.
Тоді 2∠A + ∠B = 180°, звідси
∠A = ∠C = (180° − ∠B) : 2.
а) Якщо ∠B = 80°, то
∠A = ∠C = (180° − 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°.
Трикутник гострокутний рівнобедрений.
б) Якщо ∠B = 60°, то
∠A = ∠C = (180° − 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°.
Усі кути по 60°, отже трикутник рівносторонній.
трикутник ABC рівнобедрений, ∠A = ∠C = 50°, ∠B =
∠BAM = 60°, ∠AMC = 120°.
Оскільки B, M, C
при вершині M (промінь MC – продовження променя MB).
∠AMC = ∠ABM + ∠BAM.
Підставляємо:
120° = ∠ABM + 60° ⇒ ∠ABM = 60°.
Тепер у трикутнику ABM:
∠BAM = 60°, ∠ABM = 60°
⇒ ∠AMB = 180° − 60° − 60° = 60°.
Отже, усі кути трикутника ABM по 60°, тому він рівносторонній: AB = BM = AM = a.
Периметр:
PΔABM = AB + BM + AM = a + a + a = 3a.
2. Доведемо, що AM ⟂ BL, де BL бісектриса трикутника ABC.
Оскільки M лежить на BC, то кут при вершині B у
вершині B у трикутнику ABM: ∠ABC = ∠ABM = 60°.
Пряма BL бісектриса кута B трикутника ABC,
цей самий кут є і кутом ∠ABM, тому BL є
ABM. У трикутнику ABM маємо AB
рівнобедреному трикутнику
Периметр трикутника ABM дорівнює 3a; AM ⟂ BL. 554. Знайди сторони
= 2x + y.
1-
2x + y - 30 = x, 2x + y - 40 = y, тоді x + y = 30, 2x = 40, x = 20, y = 10.
AB = BC = 20 см, AC = 10 см.
2-
2x + y - 30 = y, 2x + y - 40 = x, тоді 2x = 30, x + y = 40, x = 15,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
y = 40 - 15 = 25. Отже, AB = BC = 15 см, AC = 25 см.
Відповідь: 20 см, 20 см, 10 см або 15 см, 15 см, 25 см.
555. Доведи, що сума
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
557. Find the measures of the angles of the isosceles triangle if: a) the sum of the measures of two angles is 60°; b) the measure of one exterior angle is 115°.
Дано: ΔАВС – рівнобедрений;
Знайти кути, якщо:
а) ∠A + ∠C = 60°.
Розв'язання
За властивістю рівнобедреного трикутника:
∠A = ∠C = 1 2 • (∠A + ∠C) = 1 2 • 60° = 30°.
∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (30° + 30°) = 120°.
відповідь 30°, 120° 30°.
б) ∠BCK = 115°.
Розв'язання
∠C і ∠BCK – суміжні. ∠C + ∠BCK = 180°.
∠C = 180° - ∠BCK = 180° - 115° = 65°.
За властивістю рівнобедреного трикутника:
∠A = ∠C = 65°
∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (65° + 65°) = 50°.
Відповідь: 65°; 50°; 65°.
558. Знайдіть
1-й випадок:
∠C = 2∠A = 2∠A = 2B, тоді
∠A = ∠B = 180° • 1 4 = 45°;
∠C = 180° • 2 4 = 90°.
Отже, кути дорівнюють 45°, 45° і 90°.
2-й випадок:
∠A = 2∠C = ∠B, тоді ∠A = ∠B = 180° • 2 5 = 72°;
∠C = 180 • 1 5 = 36°. Отже, кути дорівнюють 72°, 72° і 36°.
Відповідь: 45°, 45°, 90° або 72°, 72°, 30°. 559. Сформулюй
△ ABC = ΔA1 B1 C1 за першою
AB =A1 B1 , BC =B1 C1 , ∠B = ∠B1 560. Доведи, що в рівносторонньому трикутнику: а) всі медіани рівні; б) всі висоти рівні; в) всі бісектриси рівні.
а) Нехай АВ = ВС = АС, тоді ∠А = ∠В = ∠С = 60°. AL, BM, CK – медіани, тоді
АМ = МС = AL = CL = ВК = АК.
ΔALC = ΔBMC = ΔAKC
оскільки AC = BC = AC.
LC = MC = AK, ∠ACL = ∠BMC = ∠KAC = 60°. б)
AK
561.
∠1 = ∠2 = (180°−100°) 2 = 40°.
∠2 = ∠4 = (180°−100°) 2 = 40°.
1-й
випадок:
∠A = ∠C = ∠1 + ∠3 = 80°,
∠B = ∠D = 100°.
2-й
випадок:
∠A = ∠C = ∠1 = 40°, ∠B = ∠D = 100° + 40° = 140°.
Отже, кути чотирикутника дорівнюють 100°, 80°, 100°, 80° або 140°, 40°, 140°, 40°.
Відповідь: 100°, 80°, 100°, 80° або 140°, 40°, 140°, 40°.
563. Перемалюй у
567.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
571. ΔABC = ΔKPT. (мал. 15.10).
KPT, якщо: а) кожна сторона трикутника ABC
б) AB = BC = 3 дм, AC = 4 дм.
Дано: ΔABC = ΔKPT.
Знайти: PΔKPT, якщо:
а) AB = BC = AC = 5 см.
Розв'язання
PΔABC = AB + BC + AC = 5 + 5 + 5 = 15 (см).
PΔKPT = PΔABC = 15 см.
Відповідь: 15 см.
б) AB = BC = 3 дм; AC = 4 дм.
PΔABC = AB + BC + AC = 3 + 3 + 4 = 10 (дм).
PΔKPT = PΔABC = 10 (дм).
Відповідь: 10 дм.
572. Два рівні різносторонні
Дано AB = AC; BO = OC.
Довести: ΔAOB = ΔAOC; AO –
бісектриса ∠BAC.
Доведення
В ΔAOB і ΔAOC:
1) AO – спільна сторона;
2) AB = AC – за умовою;
3) BO = OC – за умовою.
Отже, ΔAOB = ΔAOC – за третьою ознакою рівності трикутників. Тоді ∠BAO = ∠CAO як
відповідні кути рівних трикутників АО є бісектрисою ∠BAC. 574. Доведи рівність трикутників ABP і ACP (мал. 15.12), якщо AB = AC і BP = PC. Чи буде PA бісектрисою кута BPC? Відповідь обґрунтуй.
Дано: AB = AC; BP = PC.
Довести: ΔABP = ΔACP.
PA – бісектриса ∠BPC
Доведення
В ΔABP і ΔACP:
1) AP – спільна сторона;
2) AB = AC – за умовою;
3) BP = PC – за умовою.
Отже, ΔABP = ΔACP за третьою
відповідні кути рівних трикутників PA є
575. Точка O рівновіддалена
трикутників. Тоді ∠BPA = ∠CPA як
∠BPC.
A, B і C рівностороннього трикутника (мал. 15.13). Доведи, що ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC. Нехай ΔABC – рівносторонній,
точок A, B, C, то AO = BO = CO.
AB = BC = AC і AO = BO = CO, то ΔABO = ΔBCO = ΔCAO.
що ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC, а також ∠OAB = ∠OBA = ∠OCA.
576. Точка O рівновіддалена
∠OAB = ∠OBC = ∠OCA.
A, B і C
Нехай ΔABC – рівносторонній, тобто AB = BC = AC.
Оскільки точка O рівновіддалена від точок A, B, C, то AO = BO = CO.
Оскільки AB = BC = AC і AO = BO = CO, то ΔABO = ΔBCO = ΔCAO.
Із рівності трикутників маємо, що ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC, а також ∠OAB = ∠OBA =
∠OCA.
577. На малюнку 15.14 AB = DC і AC = DB. Доведи, що: а) ΔABC = ΔDCB; б) ∠A = ∠D; в) BK = CK; г) ∠ACK = ∠DBK.
Дано AB = DC; AC = DB.
Довести, що:
а)ΔABC = ΔDCB.
Доведення
В ΔABC і ΔDCB:
1) AB = DC – за умовою;
2) AC = DB за умовою;
3) CB – спільна сторона.
Отже, ΔABC = ΔDCB за третьою
б) ∠A = ∠D.
Доведення
В ΔCAD і ΔBDA:
1) AD – спільна сторона;
2) AB = DC за умовою;
3) AC = DB за умовою.
Отже, ΔCAD = ΔBDA
в) BK = CK.
= ΔDCB
∠ACK = ∠DBK
ΔCAD = ΔBDA
ACK = ∠
578. In the figure 15.15 AB = DC and AC = DB. Prove that: a) ΔADC = ΔDAB; b) ∠C = ∠B; c) AK = DK.
Дано: AB = DC; AC = DB
Довести, що:
а) ΔADC = ΔDAB.
Доведення
В ΔADC і ΔDAB:
1) AD – спільна сторона;
2) DC = AB – за умовою;
3) AC = DB – за умовою.
Отже, ΔADC = ΔDAB за третьою
б) ∠C = ∠B.
Доведення
В ΔACB і ΔDBC:
1) CB – спільна сторона;
2) AB = DC – за умовою;
3) AC = DB – за умовою.
Отже, ΔACB = ΔDBC за третью
відповідні кути рівних трикутників.
в) AK = DK.
Доведення
ΔADC = ΔDAB – за доведеним.
∠ADC = ∠BAD як відповідні
ΔAKD – рівнобедрений
AK = DK.
579. Якщо
Дано: OA = OB; AX = BX.
Довести: OX – бісектриса ∠AOB.
Доведення
В ΔAOX і ΔBOX:
1) OX – спільна сторона;
2) OA = OB – за умовою;
3) AX = BX – за умовою.
Отже, ΔAOX = ΔBOX за третьою ознакою рівності трикутників.
Тоді ∠AOX = ∠BOX як відповідні кути рівних трикутників.
OX є бісектрисою ∠AOB.
581. Якщо M довільна точка висоти BH
ABC (мал. 15.16), у якому AB = BC, то: а) MA = MC; б) ΔABM = ΔCBM; в) ΔAMH = ΔCMH. Доведіть.
Нехай AB = BC, BH ⊥ AC. Оскільки BH – висота рівнобедреного
також є медіаною (AH = CH) і бісектрисою (∠ABH = ∠CBH). а) ΔAMH = ΔCMH (за першою ознакою рівності
AH = CH, MH –спільна сторона, ∠AHM = ∠CHM = 90°). Із рівності
трикутників маємо MA = MC. б) ΔABM = ΔCBM (за першою
а) ΔOAB = ΔOBC = ΔOCA за трьома сторонами, оскільки OA = OB = OC – як радіуси, AB = BC = AC – за умовою. б) Із рівності трикутників AOB, BOC, OCA маємо ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 360° 3 = 120°.
в) Оскільки AB = BC = AC, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки трикутники OAB, OBC, OCA – рівнобедрені і рівні, то ∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB = ∠OCA = ∠OAC = 60° 2 = 30°.
583. На колі із центром O позначено точки A, B, C так, що AB = BC = CA, а AM діаметр. Доведи, що: а) BM =
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай у трикутнику ABC AB = BC, а у трикутнику A₁B₁C₁ A₁B₁ = B₁C₁ і за умовою
AC = A₁C₁, AB = A₁B₁, тоді BC = B₁C₁.
ΔABC = ΔA₁B₁C₁ за трьома сторонами, оскільки AC = A₁C₁, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁. 585. Доведи, що якщо сторона одного рівностороннього трикутника
стороні іншого рівностороннього трикутника, то такі трикутники рівні.
Нехай ΔABC – рівносторонній (AB = BC = AC), ΔA₁B₁C₁ – рівносторонній (A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁) і за умовою задачі AB = A₁B₁, тоді BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Отже ΔABC = ΔA₁B₁C₁ за трьома сторонами. 586. Доведіть рівність двох трикутників за двома
сторонами й медіаною, проведеною до однієї з них.
Нехай у трикутників ABC і A₁B₁C₁ маємо AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BM = B₁M₁, AM = MC, A₁M₁ = M₁C₁ = 1 2 AC = 1 2 A₁C₁. ΔABM = ΔA₁B₁C₁
сторонами (AB = A₁B₁ – за
умовою, BM = B₁M₁ – за умовою, AM = A₁M₁ – як половина рівних сторін AC і A₁C₁). Із
рівності цих трикутників маємо, що ∠A = ∠A₁. ΔABC = ΔA₁B₁C₁ – за двома сторонами і кутом між ними (AB = A₁B₁ –
умовою, AC = A₁C₁ – за умовою, ∠A = ∠A₁ – за доведеним). 587. Замкнена ламана ABCDA така, що AB = CD і AD = BC (мал. 15.17). Доведи, що ∠A = ∠C і ∠B = ∠D.
ΔABC = ΔCDA за трьома сторонами (AB = CD - за умовою, AD = BC - за умовою. AC -
ΔBCD = ΔDAB за трьома сторонами (AB = CD – за умовою, AD = BC – за умовою, BD –спільна сторона).
ΔABD = ΔCDA
спільна сторона).
трьома
589. Спробуй
(мал. 15.19). Оскільки АВ = СD
590.
в) Оскільки ΔАВС – рівнобедрений і АО
за допомогою ресурсу Mathlearningcentre.
∠C = ∠D = 80°, ∠A = 2 • 70° = 140°,
∠B = 2 • 30° = 60°.
∠A = ∠D = 70°, ∠C = 2 • 80° = 160°, ∠B = 2 • 30° = 60°.
∠B = ∠D = 30°, ∠C = 2 • 80° = 160°, ∠A = 2 • 70° = 140°.
∠C = ∠D = 80°, ∠A = 70° + 30° = 100°, ∠B = 70° + 30° = 100°.
∠A = ∠D = 70°, ∠C = 80° + 30° = 110°, ∠B = 80° + 30° = 110°.
∠B = ∠D = 30°, ∠A = 70° + 80° = 150°, ∠C = 70° + 80° = 150°.
Відповідь: 140°, 80°, 60°, 80°; 70°, 60°, 70°, 160°; 30°, 140°, 30°, 160°; 80°, 100°, 80°, 100°; 70°, 110°, 70°, 110°; 30°, 150°, 30°, 150°. 596.
599.
600. Користуючись
а) ∠A < ∠C, тоді AB > BC;
б) ∠A > ∠C, тоді AB < BC;
в) ∠A = ∠C, тоді AB = BC;
г) ∠A ≤ ∠C, тоді AB ≥ BC;
ґ) ∠A = 60°, ∠B = 70°, тоді AB < BC;
д)
∠B = 80°, ∠C = 40°, тоді AB < BC.
601. Чи існує трикутник, сторони якого пропорційні числам:
а) 5, 5, 8; б) 5, 5, 10?
а) Нехай сторони трикутника
8x < 5x + 5x;
8x < 10x. Такий трикутник існує.
б) Нехай сторони трикутника
10x < 5x + 5x;
10x < 10x. Це хибна нерівність.
Такий трикутник
605. Can the sides of a triangle be equal: a) 6 cm, 8 cm and 15 cm; b) 3 cm, 5 cm and 7 cm? a) 6 см, 8 см і 15 см;
Розв'язання
За нерівністю трикутника:
15 < 6 + 8;
15 < 14. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує.
б) 3 см, 5 см і 7 см.
Розв'язання
За нерівністю трикутника:
7 < 3 + 5;
7 < 8. Такий трикутник не існує.
606. Гра. Один з учнів/ одна з учениць
607.
B = 75°, ∠C = 90°?
A = 45°, ∠B = 60°, то
∠A = 50°, ∠B = 110°,
C = 180° - 100° - 50° = 30°,
A = 180° - 90° - 75° = 15°,
C = 180° - 60° - 45° = 75°,
а) ∠A = 52°, ∠B = 37°;
∠C = 180° – (52° + 37°) = 91°.
∠C – найбільший, тоді AB – найбільша;
∠B – найменший, тоді AC – найменша.
б) ∠A = 48°; ∠C = 112°.
∠B = 180° – (48° + 112°) = 20°.
∠C – найбільший, тоді AB – найбільша;
∠B – найменший, тоді AC – найменша.
в) ∠B = 28°; ∠C = 64°.
∠A = 180° – (28° + 64°) = 88°.
∠C – найбільший, тоді AB – найбільша;
∠B – найменший, тоді AC – найменша.
610. Який кут трикутника ABC найбільший, а який найменший, якщо:
а) AB = 3 м, BC = 4 м, AC = 5 м;
б) AB = 2BC, а BC – AC = 13 см?
1) Оскільки AB = 3 м, BC = 4 м, AC = 5 м, то
∠B – найбільший, а ∠C – найменший.
2) Оскільки AB – BC = 2 м, BC – AC = 1 м, то AB = BC + 2 м, BC = AC + 1 м, тоді
найменшою стороною є AC, а найбільшою – AB, отже ∠B – найменший, ∠C –
найбільший.
611. Який кут трикутника ABC найбільший,
а) AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 10 см;
б) AB – BC = 2 м, BC – AC = 1 м?
а) AB = 5 см; BC = 8 см; AC = 10 см. AC – найбільша,
б) AB – BC = 2 м; BC – AC = 1 м.
AB = BC + 2; BC = AC + 1.
який найменший,
614.
htps://shkola.in.ua/3332
Дано: ΔABC; BD – висота; BK – бісектриса.
Довести: BD ≤ BK.
Доведення
ΔBDK (∠D = 90°):
∠K < ∠D, тоді BD < BK.
В рівнобедреному трикутнику BD = BK.
Отже, BD ≤ BK.
617. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 7 см.
дорівнювати: а) 37 см; б) 38 см; в) 39 см?
Дано: ΔABC; AB = 12 см; BC = 7 см.
Чи може периметр трикутника дорівнювати:
а) 37 см.
P = AB + BC + AC.
AC = P – (AB + BC) = 37 – (12 + 7) = 18 (см).
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC;
18 < 12 + 7;
18 < 19. Такий трикутник існує.
Отже, PΔABC = 37 см.
б) 38 см.
P = AB + BC + AC;
AC = P – (AB + BC) = 38 – (12 + 7) = 19 (см).
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC; 19 < 12 + 7;
19 < 19. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує. Отже, PΔABC ≠ 38 см.
в) 39 см.
P = AB + BC + AC;
AC = P – (AB + BC) = 39 – (12 + 7) = 20 (см).
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC; 20 < 12 + 7;
20 < 19. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує. Отже, PΔABC ≠ 39 см.
618. Сума
Дано: ΔABC; AB + BC = 37 см.
Чи може периметр трикутника дорівнювати:
а) 73 см.
P = AB + BC + AC;
AC = P - (AB + BC) = 73 - 37 = 36 (см);
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC. 36 < 37. Такий трикутник існує. Отже, PΔABC = 73 см.
б) 74 см.
P = AB + BC + AC;
AC = P - (AB + BC) = 74 - 37 = 37 (см);
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
37 < 37. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує. Отже, PΔABC ≠ 74 см.
в) 75 см.
P = AB + BC + AC;
AC = P - (AB + BC) = 75 - 37 = 38 (см).
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
38 < 37. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує. Отже, PΔABC ≠ 75 см.
619. Одна сторона трикутника
існує такий трикутник,
Дано: ΔABC, AB > BC в 2 рази; AB < AC на 5 см.
Чи існує такий трикутник,
а) 30 см.
Нехай AB = x см, тоді BC = 1 2 x см, AC = (x + 5) см.
P = AB + BC + AC x + 1 2 x + x + 5 = 30;
2,5x = 25; x = 10.
AB = 10 см.
htps://shkola.in.ua/3332
BC = 1 2 · 10 = 5 см; AC = 10 + 5 = 15 см.
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
15 < 10 + 5;
15 < 15. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує.
б) 40 см.
Нехай AB = x см, тоді BC = 1 2 x см, AC = (x + 5) см.
P = AB + BC + AC.
x + 1 2 x + x + 5 = 40; 2,5x = 35;
x = 14. AB = 14 см.
BC = 1 2 ⋅ 14 = 7 см; AC = 14 + 5 = 19 см.
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
19 < 14 + 7;
19 < 21. Такий трикутник існує.
620.
Дано: ΔABC; AB < BC в 2 рази; AB < AC на 4 см.
Чи існує такий трикутник, якщо
а) 12 см.
Нехай AB = x см, тоді BC = 2x см, AC = (x + 4) см. P = AB + BC + AC.
x + 2x + x + 4 = 12; 4x = 8; x = 2.
AB = 2 см.
BC = 2 ⋅ 2 = 4 см; AC = 2 + 4 = 6 см. За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
6 < 2 + 4;
6 < 6. Це хибна нерівність.
Такий трикутник не існує. б) 20 см.
Нехай AB = x см, тоді BC = 2x см, AC = (x + 4) см.
P = AB + BC + AC.
x + 2x + x + 4 = 20; 4x = 16;
x = 4.
AB = 4 см.
BC = 2 ⋅ 4 = 8 см; AC = 4 + 4 = 8 см.
За нерівністю трикутника: AC < AB + BC.
8 < 4 + 8; 8 < 12.
Такий трикутник існує. 621. У трикутнику ABC сторони AB і
цілому числу сантиметрів
Якщо AB = 5 см, AC = 8 см, то
BC < AB + AC = 5 + 8 = 13 (см),
BC > AC - AB = 8 - 5 = 3 (см).
Отже, 3 см < BC < 13 см.
Відповідь: 3 см < BC < 13 см.
622.
Нехай AB = 3 см, BC = 4 см, тоді 4 – 3 < AC < 4 + 3
або 1 см < AC < 7 см.
Відповідь: 1 см < AC < 7 см.
623.
2AB
(мал. 16.7).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1 < 999. Такий трикутник існує. shkola.in.ua
Оскільки АВ < ВС + АС, АС < СD + АD, то
АВ < ВС + АС < ВС + (СD + AD) = BC + CD + AD.
Отже, AB < BC + CD + AD.
Таким чином, кожна сторона чотирикутника менша від
630. Периметр квадрата дорівнює 4
якого дорівнює 3 дм?
Дано: P■ = 4 дм.
Чи можна з нього вирізати трикутник,
Розв'язання
AB = P■ : 4 = 4 : 4 = 1 (дм).
ΔABK: AB = 1 дм.
Нехай x - деяке число, тоді BK = (1 + x) дм, AK = (1 - x) дм.
P = AB + BK + AK = 1 + 1 + x + 1 - x = 3 (дм)
Відповідь: так.
631. Чи існує трикутник, периметр
з висот?
Дано: PΔ > a в 1000 р. PΔ > h в 1000 р.
Чи існує такий трикутник?
Розв'язання
Нехай a = x, тоді PΔ = 1000x, b + c = PΔ - a = 1000x - x = 999x.
За нерівністю трикутника: a < b + c. x < 999x.
інших кутів.
Нехай ∠1 + ∠3 = 200°, тоді, враховуючи, що
∠1 = ∠3, маємо ∠1 = ∠3 = 200° : 2 = 100°.
∠2 = ∠4 = 180° - 100° = 80°.
Відповідь: 80° і 80°.
634. На сторонах PK і MK трикутника MPK
трикутника AKB
Дано: ΔMPK; AB || MP.
Довести: кути ΔAKB дорівнюють
Доведення
ΔMPK.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC) і MN || AB.
Оскільки MN || AB, то ∠1 = ∠3 (як
AC).
Оскільки ∠1 = ∠2, ∠1 = ∠3, то ∠2 = ∠3, і, отже, ΔMNC – рівнобедрений. §17. Прямокутний трикутник 636. Які з трикутників, зображених
Для кожного прямокутного трикутника
Прямокутні трикутники:
1)ΔABC; AB – гіпотенуза; AC і BC – катети.
2)ΔSNT; ST – гіпотенуза; SN і TN – катети.
3)ΔFOP; FP – гіпотенуза; FO і HO – катети.
4)ΔQRD; QD – гіпотенуза; QR і DR – катети.
637. Сторони прямокутного
гіпотенуза?
Гіпотенуза дорівнює 5 м. 638. Знайди
а) 30°.
∠1 = 30°, тоді ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 30° = 60°.
Відповідь: 30°; 60°; 90°.
б) 45°.
∠1 = 45°, тоді ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 45° = 45°.
Відповідь: 45°; 45°; 90°.
в) 70°.
∠1 = 70°, тоді ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 70° = 20°.
Відповідь: 70°; 20°; 90°.
639. Гра.
Розв'язання
∠1 + ∠2 = 90°;
∠1 = ∠2 = 90° : 2 = 45°.
Відповідь: 45°; 45°.
641. Користуючись малюнком 17.11,
а) катета AC, якщо AB = 12 см; б) гіпотенузи, якщо AC = 5 см.
1) якщо АВ = 12 см, то АС = 1 2 AB = 1 2 • 12 = 6 см.
2) якщо АС = 5 см, то АВ = 2 AC = 2 • 5 = 10 см.
642.
1) x = 1 2 • 20 = 10 см;
2) x = 2 • 17 = 34 дм; 3) x = 1 2 • 44 = 22 см;
4) x = 2 • 6 = 12 см.
3x = 90°; x = 30°. ∠2 = 30°; ∠1 = 2 • 30° = 60°.
Відповідь: 60°; 30°.
б) ∠1 > ∠2 у 9 разів.
Розв'язання
Нехай ∠2 = x, тоді ∠1 = 9x.
∠1 + ∠2 = 90°; 9x + x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. ∠2 = 9°; ∠1 = 9 • 9° = 81°.
Відповідь: 81°; 9°.
в) ∠1 > ∠2 на 30°.
Розв'язання
Нехай ∠2 = x, тоді ∠1 = x + 30°.
∠1 + ∠2 = 90°;
x + 30° + x = 90°; 2x = 60°;
x = 30°. ∠2 = 30°; ∠1 = 30° + 30° = 60°.
Відповідь: 60°; 30°.
644. Один із
разів більший за інший.
а) x + x + 10° = 90°; 2x = 90° - 10°; 2x = 80°; x = 40°;
40° + 10° = 50°.
б) x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°; 5 • 15° = 65°.
Відповідь: а) 40° і 50°; б) 15° і 65°.
645.
прямокутний.
Знайдемо найбільший
(180° • 8) (3+5+8) = (180° • 8) 16 = 90°.
Отже, даний трикутник
646.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай ∠C = x°, тоді ∠B = x° - 30°, ∠A = x° + 30°.
Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то
x + x - 30 + x + 30 = 180, звідси 3x = 180, x = 60°. Отже, ∠C = 60°, ∠B = 30°, ∠A = 90°.
Відповідь: 30°, 60°, 90°.
647. Знайди кути прямокутного трикутника, якщо його висота, проведена
прямого кута, утворює з більшим катетом кут 50° (мал. 17.13).
На рисунку AB ⊥ BC, BK ⊥ AC, ∠ABK = 50°, ∠ABC = 90°.
трикутника ABK маємо ∠A = 90° - ∠ABK = 90° - 50° = 40°.
∠C = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°. Отже, кути трикутника
Відповідь: 40°, 50°, 90. 648. Знайди
Дано: ΔABC (∠C = 90°);
– висота; ∠DCB = 35°.
A
ΔCDB (∠D = 90°):
∠B = 90° - ∠DCB = 90° - 35° = 55°.
ΔFDC (∠C = 90°) :
∠A = 90° - ∠B = 90° - 55° = 35°.
Відповідь: 35°; 55°.
649. З
40°, 50°,
ΔABD = ΔCBD за гіпотенузою і гострим кутом, бо ∠1 = ∠2 – за умовою, BD – спільна сторона.
рівності цих трикутників випливає, що DA = DC. 650. З точки B, яка лежить на внутрішньому промені
проведено рівні перпендикуляри
АО = ОВ. Проведемо ВК ⊥ m, AL ⊥ m.
ΔАLО = ΔВКО за гіпотенузою і гострим кутом (АО = ВО – за умовою, ∠1 = ∠2 – як вертикальні). Із рівності цих трикутників маємо AL = BK. Отже, точки А і В рівновіддалені від прямої m.
653. За допомогою завдання в GeoGebra (авт. Л. Кущенко) https://www.geogebra.org/m/at86ez8c, переміщуючи
що лежить проти кута 30°.
654. У ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 30°, AB = 32 см. Знайди AC.
Оскільки ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30° і AB = 32 см, то AC =
Відповідь: 16 см.
655. У ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, BC = 12 см. Знайди AB.
Дано: ΔABC (∠C = 90°)
∠A = 30°
BC = 12 см
Знайти: AB
∠A = 30° → AB = 2 • CB
AB = 12 • 2 = 24 см
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
656. Дано ΔFKE, ∠E = 90°, ∠F = 60°, FK = 18 см. Знайди FE.
Дано:
ΔFKE (E = 90°), ∠F = 60°, FK = 18 см
Знайти: FE
У ΔFKE ∠E = 90°
F + K = 90°
Отже, ∠K = 90° – 60° = 30°
FE = 1 2 FK
FE = 18 : 2 = 9 см
657. Given ΔMKP, ∠P = 90°, ∠K = 60°, PK = 6 cm. Find MK.
Дано: ΔMKP (∠P = 90°);
∠K = 60°; PK = 6 см.
Знайти: MK.
Розв'язання
∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°.
За властивістю катета, що
Відповідь: 12 см.
30°: MK = 2 • PK = 2 • 6 = 12 (см)
658. У ΔABC ∠C = 90°, ∠A = 45°, BC = 10 см. Знайди AC.
Дано: ΔABC (∠C = 90°);
∠A = 45°; BC = 10 см.
Знайти: AC.
shkola.in.ua
Розв'язання
∠B = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°.
∠A = ∠B, тоді ΔABC – рівнобедрений.
AC = BC = 10 см.
Відповідь: 10 см.
659. За малюнком 17.14 поясніть, як
прямокутного рівнобедреного трикутника.
Оскільки в прямокутному рівнобедреному трикутнику ABC (∠C = 90°) катети рівні AC = BC, то
Дано: ΔABC (∠C = 90°);
BC = 1 2 AB.
Довести: ∠BAC = 30°.
Доведення
На прямій ВС відкладемо відрізок CD, що
В ΔВСА і ΔDСА:
1) BC = CD – за побудовою;
2) AC – спільна сторона.
Отже, ΔBCA = ΔDCA за двома катетами. Тоді AB = AD як
трикутників. За умовою BC = 1 2 AB, тоді BD = AB. Тому ΔDAB – рівносторонній.
∠A = ∠B = ∠D = 180° : 3 = 60°.
Медіана АС також є бісектрисою ΔDAB.
Тоді ∠BAC = 1 2 ∠A = 1 2 • 60° = 30°.
662. Кут при
Дано: ABC – рівнобедрений;
ВК – медіана;
∠B = 120°; AB = 16 см.
Знайти: ВК.
Розв'язання
ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - ∠B) : 2 = (180° - 120°) : 2 = 30°.
Медіана ВК також є висотою ΔABC.
ΔABK (∠K = 90°): ∠A
ВК = 1 2 AB = 1 2 • 16 = 8 (см)
Відповідь: 8 см.
663. Кут при вершині
Розв'язання
ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - ∠B) : 2 = = (180° - 120°) : 2 = 30°.
Бісектриса BE також є висотою ΔABC
ΔABE (∠E = 90°): ∠A = 30°, тоді за властивістю
проти кута 30°: BE = 1 2 • AB = 1 2 • 24 = 12 см.
Відповідь: 12 см.
664. Висота, проведена з вершини
трикутника дорівнює 5 м (мал. 17.16). Знайди
Дано: ΔABH (∠H = 90°); AH = BH; HD = 5 м – висота.
Знайти: AB.
Розв'язання
ΔAHB (∠H = 90°): ∠A = ∠B = 90° : 2 = 45°.
ΔADH (∠D = 90°):
∠DHA = (90° – ∠A) = 90° – 45° = 45°.
Отже, ΔADH – рівнобедрений; AD = HD = 5 м.
Тоді висота HD також є медіаною ΔAHB,
AB = 2 • AD = 2 • 5 = 10 (м)
Відповідь: 10 м.
665. Гіпотенуза рівнобедреного
довжину висоти, проведеної
Дано: ΔABC (∠C = 90°); AC = CB; AB = 42 см; CH – висота.
Знайти: CH.
Розв'язання
ΔABC (∠C = 90°): ∠A = ∠B = 90° : 2 = 45°.
Висота CH також є медіаною; HB = 1 2 AB = 1 2 • 42 = 21 (см)
ΔCBH (∠H = 90°):
∠HCB = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°.
Отже, ΔCBH – рівнобедрений; CH = HB = 21 см.
Відповідь: 21 см.
666. Кут при вершині рівнобедреного
трикутника, проведену
Дано: ΔABC – рівнобедрений;
∠B = 120°; AC = 32 см;
AH – висота.
Знайти: AH.
Розв'язання
ΔABC: ∠A = ∠C = (180° -
ΔAHC (∠H = 90°): ∠C = 30°,
AH = 1 2 • AC = 1 2• 32 = 16 (см).
Відповідь: 16 см.
667. Кут
AC = 2 • AH = 2 • 17,2 = 34,4 (см).
Відповідь: 34,4 см.
668. Гіпотенуза
Дано: ΔACB (∠C = 90°); СК – висота,
АВ = 20 см; ∠B = 30°.
Знайти: АК.
Розв'язання
ΔACB (∠C = 90°): ∠B = 30°, тоді за властивістю
AC = 1 2 AB = 1 2 • 20 = 10 (см).
∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.
ΔACK (∠K = 90°):
∠ACK = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.
Тоді за властивістю
АК = 1 2 AC = 1 2 • 10 = 5 (см)
Відповідь: 5 см. 669. СН
АВ. Дано: ΔАВС (∠
= 60°;
= 8 см.
= 90°):
= 90° -
= 90° - 60° = 30°,
= 2 • 8 = 16 (см).
(∠С = 90°):
= 90° -
= 2
= 90° - 60° = 30°,
= 2 • 16 = 32 (см). Відповідь: 32 см.
670. У
(А
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
(мал. 17.17) ∠C=90°, ∠ABC=60°, BM
1) BM - ?
Розв'язання
∠CBM = 1 2 ∠ABC = 1 2• 60° = 30°;
ΔBCM (∠C = 90°): ∠CBM = 30°, тоді за
BM = 2 • CM = 2 • 5 = 10 (см).
2) AC - ?
Розв'язання
ΔABC (∠C = 90°):
∠A = 90° - ∠ABC = 90° - 60° = 30°.
В ΔBHM і ΔAHM:
1) MH – спільна сторона;
2) ∠MBH = ∠MAH = 30°.
3) ∠BHM = ∠AHM = 90°.
Отже, ΔBHM = ΔAHM за катетом і
Тоді BM = AM як відповідні
CM = 5 см.
AM = 10 см. AC = CM + AM = 5 + 10 = 15 (см).
3) MH - ?
Розв'язання
ΔMHA (∠H = 90°): ∠A = 30°, тоді
MH = 1 2 AM = 1 2 • 10 = 5 (см).
1-Г, 2-Д, 2-Б. 671. У трикутнику ABC (мал. 17.18) AB = 18 м, ∠B = 30°, ∠C = 90°. Знайди:
від точки С до прямої АВ дорівнює
відрізка
АК = 1 2 АВ = 1 2 • 19 = 9,5 (м).
Відповідь: а) 9,5 м; б) 9,5 м. 673.
ABK = 30°,
маємо: AK = 1 2 AB = 1 2 • 54 = 27 (см). 674. Доведи,
htps://shkola.in.ua/3332
= 180° - (1 2 ∠A + 1 2 ∠B) = 180°1 2 (∠A + ∠B) = = 180°1 2 • 90° = 180° - 45° = 135°.
Тоді ∠BOL = 180° - ∠AOB = 180° - 135° = 45°.
Отже, кут
675. Знайди кути прямокутного трикутника,
перетинаються під кутом 70°.
Нехай ∠B = 90°, ∠1 = ∠2 = 45°, ∠3 = ∠4, ∠AOL = 70°, тоді ∠AOL = 180° - 70° = 110°.
Із трикутника АОВ маємо: ∠3 = 180° - ∠AOB - ∠ABO = = 180° - 110° - 45° = 25°.
Тоді ∠A = 2∠3 = 2 • 25° = 50°.
∠C = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°.
Отже, кути трикутника дорівнюють 40°, 50°, 90°.
Відповідь: 40° 50° 90°. 676. Чи
ΔABC = ΔADC за трьома сторонами. Із рівності цих трикутників маємо, що
∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 45°.
ΔBCD = ΔBAD за трьома сторонами. Із рівності
∠8 = 45°.
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA за стороною
AO = BO = CO = DO,
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.
Отже, квадрат ABCD відрізками АС і BD розбивається
рівнобедрених трикутники.
678. Медіана якого
681. ∆АВС = ∆МNК, ∠А = 70°, ∠В = 80°. Знайди кути трикутника МNК.
Оскільки ΔABC = MNK, ∠A = 70°, ∠B = 80°, тоді
∠M = ∠A = 70°, ∠N = ∠B = 80°, ∠K = 180° - 70° - 80° = 30°.
Відповідь: 30°, 70°, 80°.
682. Чи існує трикутник, кути якого дорівнюють 91°, 52° і 44°? Такого трикутника не існує, бо сума кутів не дорівнює 180°: 91° + 52° + 44° = 187° ≠ 180°.
Відповідь: не існує.
683. Рівні відрізки АВ і СD
Оскільки AB = CD і AO = CO, то BO = DO. ΔAOD = ΔCOB. Оскільки
трикутника СОВ пропорційні
(180° • 2) (2+3+5) = 36°, (180° • 3) (2+3+5) = 54°, (180° • 5) (2+3+5) = 90°.
Відповідь: 36°, 54°, 90°. Самостійна
трикутнику MNK ∠K = 90°, ∠M = 30°, KN = 18 см.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Тоді MN = 2·KN = 2·18 = 36 (см).
Відповідь: MN = 36 см.
2. △ABC прямокутний (∠C = 90°). Знайди ∠A, якщо ∠B = 70°.
Розв’язання:
∠A + ∠B = 90° (сума гострих кутів прямокутного трикутника)
∠A + 70° = 90°
∠A = 20°
Відповідь: ∠A = 20°.
3. Точки K і M лежать на основі AC рівнобедреного трикутника ABC. Доведи, що AK = CM, якщо ∠ABK = ∠CBM.
Доведення:
Розглянемо трикутники ABK і CBM.
У них:
• AB = CB (як бічні сторони рівнобедреного △ABC);
• ∠BAK = ∠BCM (як кути при основі рівнобедреного
• ∠ABK = ∠CBM (за умовою).
Отже, △ABK = △CBM за другою
кути).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AP ⟂ BC (бо AP висота), тому ∠PAC = 90° − ∠C = 90° − 50° = 40°.
Відповідь: ∠PAC = 40°.
Варіант 2
1. У трикутнику PMK ∠K = 90°, ∠M = 30°, PM = 14 см. Знайди PK.
Розв’язання:
Розглянемо △PMK.
PM гіпотенуза (бо ∠K = 90°).
PK катет, що лежить напроти ∠M.
У прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти
гіпотенузи (властивість трикутника з кутом 30°).
PK = PM : 2 = 14 : 2 = 7 (см).
Відповідь: PK = 7 см.
30°,
2. △ABC рівнобедрений, AB = BC. Знайди ∠A, якщо ∠B = 70°.
Розв’язання:
AB = BC ⇒ ∠A = ∠C (при основі рівнобедреного трикутника)
∠A + ∠B + ∠C = 180° (сума кутів трикутника)
∠A + 70° + ∠A = 180°
2∠A = 110°
∠A = 55°
Відповідь: ∠A = 55°.
3. Точки K і M лежать на основі AC рівнобедреного трикутника ABC. Доведи, що BK = BM, якщо AK = CM.
Доведення:
ABK і CBM.
1. AB = CB (як бічні сторони
2. AK = CM (за
3. ∠BAK = ∠BCM (як
Розв’язання:
Нехай ∠A = ∠C = x (як кути при основі рівнобедреного трикутника).
Тоді ∠B = 3x (за умовою).
x + 3x + x = 180°
5x = 180°
x = 36°
Отже, ∠B = 108°.
AM бісектриса ⇒ ∠BAM = ∠MAC = ∠A : 2 = 36° : 2 = 18°.
У △AMC:
∠ACM = ∠C = 36°.
Тоді ∠AMC = 180° − ∠MAC
Відповідь: ∠AMC = 126°.
У трикутнику BMK ∠K = 90°, ∠M = 30°, KB = 8 см. Знайди BM.
Розв’язання:
Розглянемо △BMK.
BM гіпотенуза (бо ∠K = 90°).
KB катет, що лежить напроти ∠M = 30°.
У прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута 30°, дорівнює половині
гіпотенузи (властивість трикутника з кутом 30°).
Отже, KB = BM : 2 ⇒ BM = 2·KB = 2·8 = 16 (см).
Відповідь: BM = 16 см.
2. △ABC прямокутний, ∠C = 90°. Знайди
Доведення:
Розглянемо трикутники ABK і CBM.
1. AB = CB (як бічні сторони рівнобедреного △ABC).
2. ∠BAK = ∠BCM (як кути при основі рівнобедреного △ABC, бо K і M лежать на AC).
3. ∠ABK = ∠CBM (за умовою).
Отже, △ABK = △CBM за другою ознакою рівності трикутників
кути).
Звідси випливає рівність
Доведено.
4. AH висота рівнобедреного
∠A + ∠B + ∠C = 180° (x − 15°) + x + (x − 15°) = 180°
3x − 30° = 180° x = 70°
Отже, ∠ABC = 70°. AH ⟂ BC (бо AH
Тоді ∠HAB = 90° − 70° = 20°. Відповідь: ∠HAB = 20°.
4
1. У трикутнику EMK ∠K = 90°, ∠M = 30°, ME = 22 см. Знайди KE.
Розв’язання:
Розглянемо △EMK.
ME гіпотенуза (бо ∠K = 90°).
KE катет, що лежить напроти ∠M = 30°.
У прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута 30°, дорівнює половині
гіпотенузи (властивість трикутника з кутом 30°).
KE = ME : 2 = 22 : 2 = 11 (см).
Відповідь: KE = 11 см.
2. △ABC рівнобедрений, AB = BC. Знайди ∠B, якщо ∠C = 50°.
Розв’язання:
AB = BC ⇒ ∠A = ∠C (при основі рівнобедреного трикутника)
∠A = 50°
∠A + ∠B + ∠C = 180° (сума кутів трикутника)
50° + ∠B + 50° = 180°
∠B = 80°
Відповідь: ∠B = 80°.
3. Точки K і M лежать на основі AC рівнобедреного
ABC, AK = CM. Доведи, що ∠AKB = ∠CMB. Доведення:
трикутники ABK і CBM.
1. AB = CB (як бічні сторони
2. AK = CM (за умовою).
3. ∠BAK = ∠BCM (як кути
△ABC).
4. AL
Розв’язання:
У рівнобедреному △ABC кути при основі рівні:
нехай ∠A = ∠C = x.
Тоді кут при вершині ∠B = x − 12°.
Скористаємося сумою кутів трикутника:
x + (x − 12°) + x = 180°
3x − 12° = 180°
3x = 192° x = 64°.
Отже:
∠A = 64°, ∠B = 52°.
AL бісектриса кута A, тому
∠BAL = ∠LAC = 64° : 2 = 32°.
Тоді
∠ALB = 180° − 32° − 52° = 96°.
Відповідь: ∠ALB = 96°.
1. А. BC = a. AB?
Розв’язання:
∠A + ∠B = 90° (сума
∠A + 60° = 90°
∠A = 30°
(сторінка 158)
BC = a катет напроти 30°, тому BC = AB : 2 ⇒ AB = 2a. Відповідь: AB = 2a.
1. Б. ∠1 = ∠2, �������� = 10.
АК, КС?
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠B = 90° − ∠A = 90° − 30° = 60°,
∠1 = ∠2 = ∠B : 2 = 60° : 2 = 30°.
△AKB рівнобедрений, тоді AK = BK = 10.
△BKC прямокутний (∠C = 90°, ∠2 = 30°), тоді
KC = 1 2 BK = 1 2 · 10 = 5.
Відповідь: 10 і 5.
2. А. AK = KB = 8. CB, KM?
∠KAM = ∠KBM = 30°, оскільки AK = KB = 8.
Із прямокутного трикутника AKM маємо KM = 1 2 AK = 1 2 · 8 = 4.
∠CAB = 90° − ∠B = 60°, ∠CAK = 60° − ∠KAM = 60° − 30° = 30°.
Із прямокутного трикутника ACK маємо CK = 1 2 AK =
Тоді CB = CK + KB = 2 + 8 = 10.
Відповідь: CB = 10, KM = 4.
2. Б. �������� = ��������, �������� = �������� .
∠������������ ?
△BAC = △CDB за трьома сторонами
(AB = CD за умовою, AC = BD за умовою, BC спільна сторона), тоді ∠D = 30°.
Оскільки ∠AOD зовнішній кут трикутника OCD, тоді
∠AOD = ∠OCD + ∠ODC = 60° + 30° = 90°.
90°.
3. А. �������� = �������� , �������� = �������� .
AD ‖ ��������
ABC = △CDA
Оскільки ∠1 = ∠2, то △ABM = △ACM, отже △ABC рівнобедрений (AB = AC).
AM його медіана (BM = MC), тоді AM висота, отже AM ⟂ BC.
4. А. ∠1 = ∠2, ∠1 = ∠2.
Довести: ∆АВO = ∆DCO
Оскільки ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, тоді ∠BAD = ∠CDA = 180° − ∠1 − ∠4.
△ABD = △DCA за другою ознакою рівності трикутників (AD спільна сторона, ∠4 = ∠3 за умовою, ∠BAD = ∠CDA за доведенням).
AB = CD.
△ABO = △DCO за другою ознакою (AB = CD
AOB). 4. Б. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
�������� ⊥ �������� △DAB = △DCB
3 = ∠4
2.
x + x + 100° = 180°
2x = 80°
x = 40°.
Отже,
3.
Відповідь: А. 45°.
5. Гіпотенуза
гіпотенузи. Отже, менший катет дорівнює 20 : 2 = 10
У прямокутнику AB ⟂ BC, AB ∥ CD, BC ∥ AD.
А) △ABC = △CDA істинне (AC спільна, AB = CD, BC = AD).
Б) ∠BAC = ∠ACD істинне (AB ∥ CD, тому це внутрішні різносторонні при січній AC).
В) ∠ACB = ∠ACD хибне, бо ∠ACB утворений променями CA і CB, а ∠ACD
променями CA і CD; взагалі CB не ∥ CD, тому ці кути не рівні.
Г) ∠ABC = ∠ADC істинне (обидва по 90°).
Відповідь: В.
8. Один із катетів прямокутного трикутника
Гіпотенуза трикутника дорівнює:
Якщо прилеглий кут дорівнює 60°, то інший
90° − 60° = 30°.
Отже, катет, що лежить
У прямокутному трикутнику катет, що лежить
гіпотенузи.
Тому гіпотенуза дорівнює
5 · 2 = 10 (см).
Відповідь: А. 10 см.
9. У трикутнику ������������ ∠���� =
�������� ∗ �������� ?
Знайдемо третій кут:
∠C = 180° − 50° − 70° = 60°.
У трикутнику більший
• Проти ∠A = 50° лежить сторона BC;
• Проти ∠C = 60° лежить
1.
сторону.
Розв’язання:
Нехай бічна сторона дорівнює x см.
Тоді периметр:
x + x + 34 = 112
2x = 112 − 34
2x = 78
x = 39
Відповідь: Б. 39 см.
2. У △ABC AB = BC = 12 см, ∠B = 120°. Знайди
Оскільки AB = BC, то △ABC рівнобедрений
Медіана BM, проведена з
висотою і бісектрисою.
Отже, ∠ABM = ∠MBC = 120° : 2 = 60°, і △
гіпотенузою AB = 12 см
У △ABM кут при A дорівнює
BM = 1 2 · AB = 1 2 · 12 = 6 (см). Відповідь: В. 6 см. 3.
|12 −
медіани BM.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
У прямокутному △ABH: AB = 9 см гіпотенуза, BH = 4,5 см = 1 2 AB, тому ∠BAC = 30°
(катет проти 30° дорівнює
Тоді ∠ABH = 60° (сума гострих кутів прямокутного трикутника).
Оскільки BH бісектриса при B, то ∠HBC = ∠ABH = 60°, а ∠ABC = 60° + 60° = 120°.
Відповідність:
1 – А (30°)
2 – В (60°)
3 – Д (120°)
5. Через точку O середину
Доведи, що MO = OK.
Доведення:
Розглянемо трикутники AOM і BOK.
1. OA = OB (бо O середина AB).
2. ∠AOM = ∠BOK (як вертикальні,
3. ∠AMO = ∠BKO (за умовою).
Отже, △AOM = △BOK за другою
кути).
Тому відповідні сторони рівні: MO = OK.
Доведено.
6.
трикутника ABC
△ABC;
трикутника ABC;
в) 8 см.
7. CH висота трикутника ABC. Знайди BH, якщо AC = 24 см, ∠ACB = 105° і ∠ACH : ∠BCH = 4 : 3.
Розв’язання:
∠ACH + ∠BCH = ∠ACB = 105°
Нехай ∠ACH = 4x, ∠BCH = 3x, тоді
4x + 3x = 105°
7x = 105°
x = 15°
∠ACH = 60°, ∠BCH = 45°.
CH ⟂ AB (бо CH висота), тому △ACH і △BCH прямокутні (∠AHC = ∠BHC = 90°).
У прямокутному △ACH: AC = 24 см, ∠ACH = 60°, отже ∠A = 30° (із суми
тому CH = 24 : 2 = 12 см.
У прямокутному △BCH: ∠BCH = 45°, отже
BH = CH = 12 см. Відповідь: BH = 12 см.
8. Знайди міру кута ∠COD, якщо AB = CD, BD = AC, ∠
Розв’язання: 1. Розглянемо трикутники ABD і DCA. AB = CD (за умовою), BD = AC (за умовою), AD = AD (спільна сторона).
Отже, △ABD = △DCA (за третьою ознакою рівності трикутників).
2. Тоді відповідні
Доведення:
Оскільки BM медіана △ABC, то M середина AC, отже AM = MC = 1 2 AC.
Аналогічно, B1M1 медіана △A1B1C1, тому A1M1 = M1C1 = 1 2 A1C1.
З умови AC = A1C1 маємо AM = A1M1.
Розглянемо трикутники ABM і A1B1M1.
1. AB = A1B1 (за умовою);
2. BM = B1M1 (за умовою);
3. AM = A1M1 (доведено вище).
Отже, △ABM = △A1B1M1 за третьою ознакою рівності трикутників.
Звідси випливає, що ∠MBA = ∠M1B1A1
Аналогічно розглянемо трикутники CBM і C1B1M1.
Маємо:
CB = C1B1 (бо CB = AB = A1B1 = C1B1 як відповідні сторони рівних трикутників),
BM = B1M1 (за умовою),
CM = C1M1 (бо CM = AM, C1M1 = A1M1).
Отже, △CBM = △C1B1M1
Таким чином, у трикутниках ABC і A1B1C
сторони рівні, тому △ABC = △A1B1C1 (доведено).
684.Назви: а) радіус кола; б) діаметр кола; в) хорду кола.
а) ОМ – радіус; б) АВ – діаметр; в) CE, MB – хорди. 685.Скільки хорд
686.Знайди АВ, якщо ОМ = 8 см.
ОМ = 8 см, тоді АВ = 2 • ОМ = 2 • 8 = 16 (см).
687.Знайди ОВ, якщо АВ = 6 см.
АВ = 6 см, тоді ОВ = 1 2 АВ = 1 2 • 6 = 3 (см).
688.Встанови
(мал. 18.16).
Червоний відрізок – радіус;
жовтий відрізок – хорда.
690.Гра. Один з
радіус. Потім учні міняються ролями.
Приклад виконання гри
Учень 1: Називаю діаметр кола 10 см.
Учень 2: Радіус дорівнює половині діаметра:
r = ���� 2 = 10 2 = 5 см
Відповідь: r = 5 см.
Потім учні міняються ролями.
Учень 2: Називаю діаметр кола 14 см.
Учень 1: Радіус:
r = ����
2 = 14 2 = 7 см
Відповідь: r = 7 см.
691.Дано коло із центром
променем ОМ?
а) 2 спільні точки; б) 1 спільну точку.
692.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
= CD, тоді
= ΔCDO
698.АВ і СD
Дано: коло (О; ОА); AB, CD – діаметри.
Довести: AC = BD.
Доведення
В ΔАОС і ΔBOD:
1) ∠АОС = ∠DOB – як вертикальні;
2) АО = ВО – як радіуси;
3) СО = DO – як радіуси.
Отже, ΔАОС і ΔBOD за першою
відповідні сторони рівних трикутників.
699.
довжину діаметра,
СО = ВС = 5 дм.
= 2 • СО = 2 • 5 = 10 (дм). Відповідь: 10 дм.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
(мал. 18.20)
Дано: коло К (О; ОА);
∠АОВ = ∠DOC.
Довести: АВ = CD.
Доведення
В ΔАОВ і ΔDOC:
1)∠АОВ = ∠DOC – за умовою;
2)АО = DO – як радіуси;
3)ВО = СО – як радіуси.
Отже, ΔАОВ = ΔDOC
Тоді АВ = CD як відповідні сторони рівних трикутників.
і COD рівні.
Дано: коло
Дано: коло К (О; ОА); AD = 12 см; АВ = CD = 6 см.
Знайти: ВС.
Розв'язання
ОА = OD = 1 2 AD = 1 2• 12 = 6 (см).
ОВ = ОА = 6 см; ОС = OD = 6 см.
ΔАВО і ΔОСD – рівності, тоді
∠ВОС = 180° – (∠АОВ + ∠DOC) = = 180° – (60° + 60°) = 60°. Тоді
ВС = ОВ = 6 см.
Відповідь: 6 см.
703.АВ і
(мал. 18.21).
Дано: коло К (О; ОА); ∠АВО = 35°.
Знайти: ∠ВОС.
Розв'язання
ΔАОВ:
Дано: коло К (О; ОА);
∠ВОС = 100°.
Знайти: ∠АВО.
Розв'язання
ΔАОВ: АО = ВО, тоді ΔАОВ рівнобедрений.
Нехай ∠АВО = ∠ВАО = х.
За властивістю зовнішнього кута:
∠ВОС = ∠АВО + ∠ВАО.
х + х = 100°;
2х = 100°;
х = 50°.
∠АВО = 50°.
Відповідь: 50°.
705.Знайдіть відстань між центрами
ОО₁ = ОА + О₁А = 5 + 7 = 12
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
Розв'язання
1)кола дотикаються зовнішньо:
О₁О₂ = r₁ + r₂ = 8 + 3 = 11 (см).
2)кола дотикаються внутрішньо:
О₁О₂ = r₁ – r₂ = 8 – 3 = 5 (см).
Відповідь: 1) 11 см; 2) 5 см.
707.Чи мають спільні точки два кола, радіуси яких дорівнюють 3 см і 4
між їх центрами дорівнює 5 см?
Два кола, радіуси яких 3 см і 4 см,
На рисунку АО = 3 см, О₁А = 4 см, ОО₁ = 5 см.
708.Чи мають спільні точки два кола, радіуси яких
між їх центрами дорівнює 15 см?
5 см і 7 см, якщо
Дано: кола К₁ (О₁; r₁), К₂ (О₂; r₂); r₁ = 7 см; r₂ = 5 см; О₁О₂ = 15 см.
Чи мають спільні точки два кола?
Розв'язання
r₁ + r₂ = 7 + 5 = 12 (см).
О₁О₂ = 15 см, тоді О₁О₂ > r₁ + r₂.
Кола не мають спільних точок. 709.Відстань між центрами двох кіл дорівнює
радіусами, заданими умовами (1–4) та взаємним розміщенням цих кіл (А–Г).
Дано: кола К₁ (О₁; r₁) і К₂ (О₂; r₂); О₁О₂ = 9 см.
Установіть відповідність:
Розв'язання
1) r₁ = 2 см; r₂ = 10 см. r₁ + r₂ = 2 + 10 = 12 (см).
О₁О₂ = 9 см, тоді О₁О₂ < r₁ + r₂; Кола перетинаються.
2) r₁ = 5 см; r₂ = 4 см. r₁ + r₂ = 5 + 4 = 9 (см).
О₁О₂ = 9 см, тоді О₁О₂ = r₁ + r₂. Кола мають
3) r₁ = 3 см; r₂ = 5 см. r₁ + r₂ = 3 + 5 = 8 (см).
О₁О₂ = 9 см, тоді
> r₁ + r₂.
4) r₁ = 12 см; r₂ = 3 см. r₁ – r₂ = 12 – 3 = 9 (см). О₁О₂ = 9
спільних
Нехай В, С – точки дотику до кола прямих АВ і АС,
∠ВАС = 60°, АО = 10 см.
АО – бісектриса кута ВАС (задача 515), тоді
∠ОАВ = ∠ОАС = 30°.
Із трикутника АВО маємо
ВО = 1 2 АО = 1 2 • 10 = 5 (см).
Відповідь: 5 см.
711.Two tangents are drawn from point A to the circle with center O, the measure of the angle between them is 60°. Find OA if the radius of the circle is 3 cm.
Дано: коло К (О; ОВ);
АВ, АС – дотичні;
∠ВАС = 60°; ОВ = 3 см.
Знайти: ОА.
Розв'язання
В ΔОВА і ΔОСА:
1) ∠ОВА = ∠ОСА = 90°; 2) ОВ = ОС – як радіуси; 3) ОА – спільна сторона.
Оскільки АВ = АС = ВС, то ΔАВС – рівносторонній і ∠А = 60°.
Відповідь: 60°.
713.Коло
якщо
АВ = 7 см і ∠ВАС = 60°.
Дано: К(О; ОВ);
АВ, АС – дотичні; АВ = 7 см; ∠ВАС = 60°.
Знайти: РΔАВС.
Розв'язання
В ΔОВА і ΔОСА:
1) ∠ОВА = ∠ОСА = 90°; 2) ОВ = ОС – як радіуси;
3) ОА – спільна сторона.
Отже, ΔОВА = ΔОСА за гіпотенузою і катетом.
Тоді АВ = АС як відповідні сторони рівних
ΔВАС: ∠В = ∠С = (180° – ∠А) : 2 = = (180° – 60°) : 2 = 60°.
РΔАВС = 3 • АВ = 3 • 7 = 21 (см).
Відповідь: 21 см.
714.Кожна
Дано: коло К (О; ОА);
АВ = ВС = ОА.
Знайти: кути ΔАВС.
Розв'язання
ΔАОВ: АВ = ОА, тоді АВ = ОВ.
ΔАОВ – рівносторонній.
ΔABD (∠D = 90°): ∠ABD = 60°, тоді
∠BAD = 90° – ∠ABD = 90° – 60° = 30°.
Відповідь: 30°; 60°; 90°.
715.Кола із центрами О і О₁ перетинаються
Дано: К (О; ОА), К₁(О₁; О₁А)
Довести: ΔОАО₁ = ΔОВО₁.
Доведення
В ΔОАО₁ і ΔОВО₁:
1) ОО₁ – спільна сторона;
2) ОА = ОВ – як радіуси;
3) О₁А = О₁В – як радіуси.
Отже, ΔОАО₁ = ΔОВО₁
Оскільки ОА = О₁А = ОО₁ – як радіуси, то ΔОАО₁ – рівносторонній і, отже,
∠ОАО₁ = ∠АО₁О = ∠АОО₁ = 60°.
Оскільки ОВ = О₁В = ОО₁ – як радіуси, то ΔОВО₁ – рівносторонній і, отже,
∠ОВО₁ = ∠ВО₁О = ∠ВОО₁ = 60°.
Тоді ∠АОВ = ∠АОО₁ + ∠ВОО₁ = 60° + 60° = 120°.
Відповідь: 120°, 60°.
718.Доведи, що рівні
Нехай АВ = CD, ОК ⊥ АВ, ОМ ⊥ CD, тоді
АК = КВ, СМ = MD.
ΔАОК = ΔСОМ
Довести: АВ = CD.
Доведення
В ΔОМВ і ΔOND:
1) ∠ОМВ = ∠OND = 90°;
2) ОМ = ON – за умовою;
3) ОВ = OD – як радіуси.
Отже, ΔОМВ = ΔOND за гіпотенузою і катетом.
МВ = ND як відповідні сторони рівних трикутників.
ΔАОВ і ΔCOD – рівнобедрені, тоді висоти ОМ і ON є медіанами.
Звідси АВ = CD.
720.Пряма АК дотикається
∠
= 100°.
Дано: коло К (О; ОР);
ОК ⊥ АК;
∠КОР = 100°.
Знайти: ∠АКР.
Розв'язання
ОР = ОК – як радіуси, тоді
∠ОРК = ∠ОКР = (180° – ∠КОР) : 2 = = (180° – 100°) : 2 = 40°.
∠АКР = 180° – (∠ОКР + 90°) = = 180° – (40° + 90°) = 50°.
Відповідь: 50°.
721.Пряма
∠АКР = 55°.
Дано: коло К (О; ОР);
ОК ⊥ АК;
∠АКР = 55°.
Знайти: ∠КОР.
Розв'язання
ОР = ОК – як радіуси, тоді ΔКОР – рівнобедрений.
∠ОРК = ∠ОКР = 180° – (90° + ∠АКР) = = 180° – (90° + 55°) = 180° – 145° = 35°.
ΔКОР: ∠КОР = 180° – (∠ОРК + ∠ОКР) = = 180° – (35° + 35°) = 180° – 70° = 110°.
Відповідь: 110°.
722.Два
18.23). Знайди
O₁A
СО ⊥ АС. ΔАВО = ΔАСО – як рівнобедрені
= ∠САО = 45°. Звідси
ВАС = 2 • ∠ВАО = 2 • 45° = 90°.
Відповідь: 90°.
Дано: коло К (О; ОС);
АС, АВ – дотичні;
∠А = 90°; ОС = 5 см.
Знайти: АС
Розв'язання
ОС ⊥ СА, ОВ ⊥ ВА –
⊥ АВ – за умовою; ОС = ОВ – як радіуси.
Отже, ОСАВ – квадрат; АС = ОС = 5 см.
Відповідь: 5 см.
726.Коло із
Дано: коло К (О; ОВ);
АВ, АС – дотичні;
∠
ВОС = 120°; ВС = 12 см.
Знайти: РΔАВС
Розв'язання
В ΔОВА і ΔОСА:
1) ∠ОВА = ∠ОСА = 90°;
2) ОВ = ОС – як радіуси;
3) ОА – спільна сторона.
Отже, ΔОВА = ΔОСА за гіпотенузою і катетом. Тоді АВ = АС як відповідні сторони рівних трикутників.
ΔВОС: ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – ∠ВОС) : 2 = = (180° – 120°) : 2 = 30°.
∠АВС = 90° – ∠ОВС = 90° – 30° = 60°.
Отже, ΔВАС – рівносторонній.
РΔАВС = 3 • ВС = 3 • 12 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
727.Коло із центром
ВОС
Дано: коло К (О; ОВ);
АВ, АС – дотичні;
∠ВОС = 120°; ОВ = 8 см.
Знайти: ОР, АР.
Розв'язання ΔВОС: ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – ∠ВОС) : 2 = = (180° – 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.
ΔВОС (∠Р = 90°): ∠ОВР = 30°, тоді
ОР = 1 2 ОВ = 1 2 • 8 = 4 (см).
ΔОВА (∠В = 90°):
∠ВОА = 1 2 ∠ВОС = 1 2 • 120° = 60°.
∠ВАО = 90° –
30°:
= 90° – 60° =
ОА = 2 • ОВ = 2 • 8 = 16 (см). АР = ОА – ОР = 16 – 4 = 12 (см). Відповідь: 4
Оскільки O₁O₂ = O₂O₃ =
Три
=
= ТК.
= О₃О₁;
Оскільки O₁K = KO₂ = O₂P = PO₃ = O₃T = TO₁ як радіуси рівних кіл, то O₁O₂ = O₂O₃ = O₃O₁. ΔO₁O₂O₃ – рівносторонній. б) ΔO₁TK = ΔO₂KP = ΔO₃PT – за першою ознакою рівності трикутників (O₁T = O₂K = OP – як радіуси, O₁K = O₂P = O₃T – як радіуси, ∠O₁ = ∠O₂ = ∠O₃ = 60°).
Оскільки
ΔОАС = ΔОВА = ΔОСА за третьою ознакою рівності трикутників (ОА = ОВ = ОС
радіуси, АС = ВА = СВ), тоді ∠СОА = ∠АОВ = ∠СОВ = 360° 2 = 120°.
Оскільки
дорівнює 3 см, тоді (2πR) 3 = 3; 2πR = 9; R = 9 (2π) ≈ 1,4 (см).
Відповідь: 120°; 9 (2π) ≈ 1,4 см.
731.Доведи, що
середньому
m, тобто S = lm (мал. 18.26).
Слайд 3. Коло навколо нас
Приклади:
• кільце
• обруч
• край чашки
• обід велосипедного колеса
Слайд 4. Висновок
Коло це тільки лінія, яка утворює межу фігури.
б) Круг навколо нас
Слайд 1. Що таке круг
Круг це частина площини, обмежена колом.
Слайд 2. Частини круга
Круг складається з:
• кола (межі)
• усіх точок всередині нього
Слайд 3. Круг навколо нас
Приклади:
• тарілка
• монета
• піца
• кришка банки
Слайд 4. Висновок
AD – бісектриса,
= 20 см,
= 40 см,
= 30 см, тоді
+ 2AD = РΔАВD + РΔАDC; 40 + 2AD = 20 + 30, звідси 2AD = 10, AD = 5. Отже, AD = 5 см.
5 см.
736.Знайди
= 10 см.
Так.
762.Given a segment MP with length 8 cm. What are the locus that are 3 cm from one end point and 5 cm from the other?
а) Якщо ABCD – даний прямокутник (АВ = 3 см, ВС = 5 см), то шукане геометричне
місце точок – прямокутник KLMN, причому KL = 3 см, LM = 1 см, KL || BC, LM || CD.
б) Якщо ABCD – даний прямокутник (АВ = 3 см, ВС = 5 см), то шукане геометричне
місце точок – чотири відрізки KL, MN, PR, QS, причому KL = PR = BC = 5 см, KL || BC, PR || AD, MN = CD = QS = 3 см, MN || CD, QS || AB. 764.Доведи, що точка
трикутника.
Дано: ΔABC; точка О – перетин серединних ⊥
Довести: OA = OB = OC.
Доведення
В ΔAKO і ΔCKO:
1) ∠AKO = ∠CKO = 90°;
2) OK – спільна сторона;
3) AK = KC – за умовою.
Отже, ΔAKO = ΔCKO за двома катетами.
Тоді OA = OC як
Аналогічно доводиться, що ΔCMO = ΔBMO. Тоді OC = OB. Звідси OA = OC = OB. 766.У якому трикутнику
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠AOC = (180° • 3) (1+3) = 135°;
∠COB = (180° • 1) (1+3) = 45°;
Відповідь: 125°.
770.
30°.
Дано: ΔABC (∠C = 90°), AB = 10 см.
Знайти: ВС.
Розв'язання
За властивістю
Відповідь: 5 см.
771.Висота рівнобедреного
Висота CD також є медіаною.
Відповідь: 14 см. §20. Коло і трикутник
772.Скільки спільних точок
Три.
773.
Три.
774.Установи відповідність між умовами (1–2) та (А–Г).
1 Центр
2) Визначити точку О, у якій ці серединні перпендикуляри
3) Із центра О провести коло радіуса ОА.
776.
Мал. Г.
781.
периметром 8 см?
Дано: АС = 1 м.
Чи може Р∆АВС = 8 м;
Р∆АВС = 8 см?
Розв’язання r = 1 2 AC = 1 2 • 1 = 1 2 (м). l = 2πr; l = 2 • 3,14 • 1 2 = 3,14 м.
Оскільки l > P∆ABC, то P∆ABC ≠ 8 м.
АС = 1 м = 100 см, тоді P∆ABC ≠ 8 см.
782.Що буде намальовано в
середовищі Python (модуль
50 це радіус
∆АВС (∠С = 90°) – вписаний в коло. r = 2 см; AB = 4 см; AC = 3,4 см; BC = 1,9 см. l = 2πr; l = 2 • 3,14 • 2 = 12,56 (см).
P = AB + AC + BC; P = 4 + 3,4 + 1,9 = 9,3 (см).
Отже, l > Р∆АВС. 789.Доведи,
Доведення
В ∆ОКВ і ∆ОРВ:
1) ∠ОКВ = ∠
2)
3) ВО – спільна сторона.
Отже, ∆ОКВ = ∆ОРВ
Довести:
Доведення
Оскільки О ∈ ВК, то ВК ⊥ АС. В ∆АКВ і ∆СКВ:
1) ∠АКВ = ∠СКВ = 90°;
2) ∠АВК = ∠СВК – за умовою; 3) ВК – спільна сторона.
Отже, ∆АКВ = ∆СКВ за
Тоді АВ = СВ як відповідні сторони рівних трикутників.
Звідси ∆АВС – рівнобедрений.
792.Центр кола, вписаного в трикутник, належить
трикутник рівнобедрений.
Дано: ∆АВС, вписаний в коло, ВD
Довести: ∆АВС – рівнобедрений.
Доведення
Оскільки О ∈ BD, то BD ⊥ AC.
B ∆ABD i ∆CBD:
1) ∠ADB = ∠CDB = 90°; 2) BD – спільна сторона; 3) AD = DC – за
Отже, ∆ABD = ∆CBD за двома катетами.
Тоді АВ = СВ як
до хорди.
2)
3) тупокутний трикутник.
Оскільки радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює
то радіус цього
ВС = 6 см.
Дано: ∆АВС (∠С = 90°) – вписаний
ВС = 6 см; ∠А = 30°.
Знайти: ОА.
Розв’язання
Центром описаного
АВ = 2 • ВС = 2 • 6 = 12 (см).
ОА = 1 2 • АВ = 1 2 • 12 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
Знайти: ОА.
Розв’язання
Центром описаного кола є середина АС. ОА = ОВ – як радіуси, тоді ОА = 7 м.
Відповідь: 7 м.
798.Радіус кола, описаного
довжину медіани, проведеної до
Знайти: ВО. Розв’язання
Дано: ∆АВС (∠В = 90°) – вписаний і
АС = 15 м; ВС = 12 м; АВ = 9 см.
Знайти: r, l1; R, l2.
Розв’язання
1) Вписане коло К1(О1; r).
r = (���� + ���� ���� ) 2 = (12+9−15) 2 = 6 2 = 3 (м).
l1 = 2πr = 2π • 3 = 6π (м).
2) Описане коло К2(О2; R).
R = 1 2AC; R = 1 2 • 15 = 7,5 (м).
l2 = 2πR = 2π • 7,5 = 15π (м).
Відповідь: 3 м, 6πм; 7,5 м, 5πм.
802.Трикутник
Знайти: а) r, l1; б) R, l2.
Розв’язання
а) Вписане коло К1(О1; r).
r = (���� + ���� ���� )
2 = (24+10−26) 2 = 8 2 = 4 (м).
l1 = 2πr = 2π • 4 = 8π (см).
б) Описане коло К2(О2; R).
R = 1 2 AВ = 1 2 • 26 = 13 (см).
l2 = 2πR = 2π • 13 = 26π (см).
Відповідь: а) 4 м, 8π см; б) 13 см, 26π см.
803.На колі з діаметром АВ взято
якщо АМ = 15 см.
Дано: коло К (О; ОА);
М ∈ колу; ∠МВА = 30°; АМ = 15 см.
Знайти: ОА.
Розв’язання
М ∈ колу, тоді ∠АМВ = 90°. ∆АМВ (∠М = 90°);
∠В = 30°, тоді за властивістю
АВ = 2 • АМ = 2 • 15 = 30 (см).
ОА = 1 2 АВ = 1 2 • 30 = 15 (см).
Відповідь: 15 см.
804.On a circle of diameter AB, a point P is chosen so that the measure of the angle PAB is 30°. Find the radius of the circle if PB = 21 cm.
Дано: коло К (О; ОА); Р ∈ кому;
∠РАВ = 30°; РВ = 21 см.
Знайти: ОА.
Розв’язання
Р ∈ колу, тоді ∠АРВ = 90°.
∆АРВ (∠Р = 90°); ∠А = 30°, тоді за
АВ = 2 • РВ = 2 • 21 = 42 (см).
ОА = 1 2 АВ = 1 2 • 42 = 21 (см).
Відповідь: 21 см.
805.
6 см і 9 см.
Дано: ∆ВС, описаний
= 6 см; МА = 9 см; Р∆АВС = 46 см. Знайти: АВ, ВС, АС.
МВ = ВР = 6 см; АМ = АК = 9 см;
КС = РС = х см.
Звідси АВ = АМ + МВ = 9 + 6 = 15 см.
ВС = ВР + РС = (6 + х) см;
АС = АК + КС = (9 + х) см.
Р∆АВС = АВ + ВС + АС; 15 + 6 + х + 9 + х = 46;
2х = 16; х = 8.
ВС = 6 + 8 = 14 (см); АС = 9 + 8 = 17 (см).
Відповідь: 15 см; 14 см; 17 см.
806.
Дано: ∆АВС – рівнобедрений і
Знайти: АВ; ВС; АС.
Розв’язання
Нехай ВМ = 3х см, МА = 2х см, тоді
АВ = ВМ + МА = 3х + 2х = 5х см.
За умовою АВ = ВС; ВС = 5х см.
Центром вписаного кола є точка перетину
Тоді АК = АМ = 2х; РС = АМ = 2х; АК = КС = 2х.
Звідси АС = АК + КС = 2х + 2х = 4х (см).
Р∆АВС = АВ + ВС + АС; 5х + 5х + 4х = 28; 14х = 28; х = 2.
АВ = 5 • 2 = 10 (см).
ВС = 5 • 2 = 10 (см), АС = 4 • 2 = 8 (см).
Відповідь: 10 см; 10 см; 8 см. 807.Навколо рівностороннього
1) АВ = ВС – за умовою;
2) ОА = ОС – як радіуси описаного кола;
3) ОВ – спільна сторона.
Отже, ∆ОАВ = ∆ОВС за третьою
Аналогічно доводиться, що ∆ОВС = ∆ОСА,
∆ОСА = ∆ОАВ.
За умовою ∠А = ∠В = ∠С = 60°.
∆АОВ: ∠ОАВ = ∠ОВА = 1 2 • 60° = 30°.
∠АОВ = 180° – (30° + 30°) = 120°.
Відповідь: 30°; 30°; 120°.
трикутника.
810.Центр кола О, описаного навколо рівностороннього трикутника
відрізками
2)
з кутом OAD, що дорівнює 30°, то OD : AO =
812.
а трикутник AOD – прямокутний
СК + ВТ = АТ +
+ СР; б) ВК = 0,5(АВ + ВС – АС).
Оскільки
АР + СК + ВТ = АТ + ВК + СР, що і треба
б) АВ + ВС – АС = = АТ + ТВ + ВК + СК – (АР + РС) = = АТ + ВК + ВК + СК – (АТ + + СК) = = АТ + 2ВК + СК – АТ – СК = 2ВК.
Оскільки АВ + ВС – АС = 2ВК, то
ВК = 0,5(АВ + ВС –
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Тоді СР = СМ, АР = РК, ВК = ВМ.
Оскільки ОР = ОМ = 2 см, то СМ = СР = 2 см.
Нехай АР = АК = х см, тоді
АС = АР + СР = (х + 2) см;
ВК = АВ – АК = (13 – х) см;
СВ = СМ + ВМ = 2 + 13 – х = (15 – х) см.
Р∆АВС = АВ + СВ + АС;
Р∆АВС = 13 + 15 – х + х + 2 = 30 (см)
Відповідь: 30 см.
814.Знайдіть периметр прямокутного трикутника,
гіпотенуза дорівнює с.
Оскільки 2r = a + b – c, то a + b = 2r + c, тоді
Р = a + b + c = (2r + c) + c = 2r + 2c.
Відповідь: 2r + 2c.
815.
+ АР = (КВ + АО) = (ВМ +
+
= = 2АВ = 2 • 17 = 34 (см).
Знайти: АМ; МС.
Розв’язання
Центром вписаного кола є точка перетину
Тоді АР = АМ, ВР = ВК, СК = СМ.
Нехай АР = АМ = х см, тоді ВР = ВК = (10 – х) см;
СК = СМ = 12 – (10 – х) = 12 – 10 + х = (2 + х) см.
АС = АМ + МС; х + 2 + х = 15;
2х = 13;
х = 6,5.
АМ = 6,5 см; МС = 6,5 + 2 = 8,5 (см).
Відповідь: 6,5 см; 8,5 см.
817.Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 8 см і 12 см. Знайди
Дано: ∆АВС, описаний навколо кола;
АВ = 6 см; ВС = 8 см; АС = 12 см.
Знайти: ВР, АР.
Розв’язання
Центром вписаного кола є точка
Тоді АР = АМ, ВР = ВН, СК = СМ.
Нехай ВР = ВК = х см, тоді СК = СМ = (8 – х) см;
АМ = АР = 12 – (8 – х) = 12 – 8 + х = (4 + х) см.
АВ = АР + ВР; 4 + х + х = 6;
2х = 2; х = 1.
ВР = 1 см; АР = 4 + 1 = 5 (см).
Відповідь: 1 см; 5 см.
818.На сторонах
Нехай АВ = ВС = 4 см,
= ∠СВО = 60°. ∆ВАО – рівнобедрений,
=
Отже, радіус кола дорівнює 4 см.
Відповідь: 4 см.
819.Бічна сторона рівнобедреного
радіус описаного кола.
Дано: ∆АВС, вписаний в коло, АВ = ВС = 5
Знайти: ОВ
Розв’язання
∆ADB (∠D = 90°): ∠A = 30°,
∠ABD = 90° – ∠A = 90° – 30° = 60°. ОА = ОВ
ОВ = АВ = 5 см.
Відповідь: 5 см.
Отже, АВ = CD = 40 (м), AD = ВС = 1,5 • 40 = 60 (м).
Тоді S = AB • AD = 40 • 60 = 2400 (м2).
Відповідь: 2400 м2 .
824.∆АВС = ∆МNК.
N
Оскільки ∆АВС = ∆MNK і сторони
дорівнюють:
45 • 2
2+3+4 = 10 (см),
45 • 3
2+3+4 = 15 (см),
45 • 4
2+3+4 = 20 (см).
Відповідь: 15 см, 10 см, 20 см. 825.Сторони трикутника
15 см, 21 см, 24 см. б)
третя сторона дорівнює 15 • 7 5 = 24 • 7 8 = 21 (см).
Відповідь: 15 см, 21 см, 24 см.
в) Нехай 7х см, 5х см, 8х см – сторони трикутника, тоді 5х + 12 = 7х+5х+8х 2 ,
5х + 12 = 10х, 5х = 12, х = 2,4.
Отже, сторони трикутника дорівнюють
7х = 7 • 2,4 = 16,8 (см), 5х = 5 • 2,4 = 12 (см),
8х = 8 • 2,4 = 19,2 (см).
Відповідь: 12 см, 16,8 см, 19,2 см.
г) Нехай 7х см, 5х см, 8х см – сторони трикутника, тоді 8х – 8 = 7х + 5х.
Звідси 4х = 8, х = 2. Отже, сторони трикутника дорівнюють
7х = 7 • 2 = 14 (см), 5х = 5 • 2 = 10 (см),
8х = 8 • 2 = 16 (см).
Відповідь: 10 см, 14 см, 16 см.
https://mathopenref.com/constbisectline.html
https://mathopenref.com/constbisectangle.html
htps://shkola.in.ua/3332
в) https://mathopenref.com/constcopytriangle.html
г) https://mathopenref.com/constcopyangle.html
а)Ділення
1)Розмістіть
2)Розхилом
3)Не змінюючи розхил циркуля, повторіть для іншого
4)Проведіть
б)Ділення кута навпіл.
1)Розмістити ніжку циркуля
2)Намалювати
3)Цим
4)Провести
1)Позначте т. Р як вершину нового кута.
2)Накресліть промінь PQ. Це буде одна сторона нового кута.
3)Розмістіть ніжку циркуля в т. А та проведіть дугу через обидві сторони кута, утворивши точки J і K.
4)Перемістіть ніжку циркуля в т. Р і намалюйте подібну дугу, що перетинає PQ у
5)Розмістіть
7)Проведіть
1)Через т. К і А проведіть пряму AL.
2)Побудуйте ∠LKD, що дорівнює
KD, AB і січній АК.
3)Пряма CD – шукаю. 829.Побудуй прямий
2-
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
5-6)з точок С і В проводимо
7)проводимо пряму OD, ∠COD = ∠DOB = 45°.
б)1)Проводимо коло з центром О і діаметром АВ; 2-3)з точок А і В проводимо кола радіуса АС > АВ; 4)проводимо пряму СО ∠СОВ = 90°; 5-6)з точок
7)проводимо пряму OD, ∠COD = ∠DOB = 45°; 8-9)з точок В і К проводимо
точці D;
832.
4)проводимо
4
835.
1)Проводимо
5
Нехай АВ – сторона рівностороннього трикутника.
1)На довільній прямій а відкладаємо А₁В₁, А₁В₁ = АВ; 2–3)із точок А₁ і В₁ проводимо кола, радіуси яких дорівнюють АВ, які перетинаються
точці С.
ΔА₁В₁С – шуканий.
839.
АС = b.
ΔАВС
841.
Нехай
1–
Нехай а – сторона, ∠В і ∠С – кути шуканого трикутника.
1)На довільній
2–5)будуємо кут В₁, який дорівнює куту В; 6–9)будуємо кут С₁, який дорівнює
Нехай 3 см, 4 см, 5 см –
Побудуємо
2–3)із
846.Build a triangle with sides 6 cm, 8 cm, and
3)Розхилом
4)Точку
5)ΔАВС – шуканий.
847.
Нехай АВС – даний трикутник.
1)Будуємо середину N відрізка AB, NC – медіана;
2)будуємо середину M відрізка BC, AM – медіана;
3)через точку О перетину медіан NC і AM проводимо медіану ВК. АМ, ВК і CN – медіани трикутника АВС. 848.Дано трикутник. Побудуй його бісектриси.
Нехай АВС – даний трикутник.
1)Будуємо бісектрису
2)будуємо
3)будуємо
ВК, СN
849.Дано трикутник.
а)
ΔАВС – гострокутний.
1)проводимо AN ⊥ BC;
2)проводимо BK ⊥ AC; 3)проводимо CM ⊥ AB.
Висоти AN, BK, CM трикутника ABC перетинаються в точці О. б)
ΔАВС – прямокутний (∠A = 90°). Оскільки AB ⊥ AC, то проведемо AN ⊥ BC.
Висоти АВ, АС, AN перетинаються в точці А. в)
ΔАВС – тупокутний (∠B > 90°).
1)Проводимо BK ⊥ AC; 2)проводимо AL ⊥ BC; 3)проводимо CM ⊥ AB. Продовження висот AL, BK
α = 90°, β = 30°.
2)
CD.
ΔADM (∠D = 90°):
MD = 1 2 AD, тоді ∠ MAD = 30°.
Аналогічно, ∠BAK = 30°.
∠KAM = 90° – (30° + 30°) = 30°.
855.Доведи,
Нехай α + β = 180° - γ, тоді 180° - γ < γ,
звідси 180° < 2γ, γ > 90°.
Отже, ΔАВС – тупокутний.
Відповідь: тупокутний.
857.Під яким кутом перетинаються дві медіани рівностороннього трикутника?
Оскільки ΔАВС – рівносторонній, то ВК, АМ –
О – точка перетину
а, h – основа і
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1) Будуємо АС, АС = а; 2) ділимо АС навпіл, AD = DC; 3) проводимо DB ⊥ AC;
4) на DB відкладаємо DB = h.
∆BD – шуканий, АС = а, BD ⊥ АС, BD = h. 859. Побудуй прямокутний трикутник: 1) за гіпотенузою й гострим кутом; 2) за гіпотенузою й катетом;
3) за катетом і прилеглим до нього гострим кутом; 4) за катетом і протилежним кутом. 1)
Нехай с – гіпотенуза,
Нехай ∠В = 90°, АМ = МВ = МВ = а.
= 2а. АМ = МС.
Нехай
ВС = а, АС = b, AD = m, BD = DC.
= b, AD = ma, DC = a 2
Нехай ВС = а, CD ⊥ AB, hc = CD.
Будуємо прямокутний трикутник BCD
∆АВС – шуканий.
863.
873.
874. How do you construct the common tangent line of two circles whose radii are different?
Це
арифметична прогресія кожна наступна
на 3: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …
Загальна формула n-го члена: an = 5 + 3(n −1) = 3n + 2 882. Покажи, як можна наближено поділити: а) коло на 7 рівних частин; б) довільний кут на 3 рівні частини; в)
Оскільки AC = 10 см, то:
AM = 1 2 ⋅ AC = 1 2 ⋅ 10 =5 (см)
HM = AM − AH = 5 − 3 = 2 (см)
б) Нехай BH ⊥ AC, AM = MC, AH = 3 см, AC = 10 см.
AM = 1 2 ⋅ AC = 1 2 ⋅ 10 =5 (см)
HM = AH + AM = 3 + 5 = 8 (см)
Відповідь: 1) 2 см; 2) 8 см. 885. Точку, рівновіддалену
(мал. 22.8).
трикутники AOB, BOC і COA рівні.
Нехай ����2 ���� = ���� , тоді ����1 ���� =3���� і ����1 ���� = ����1 ����2 + ����2 ����, то маємо рівняння 3���� = 10 + ���� .
Звідси 2���� = 10, ���� =5. Отже, ����2 ���� =5, ����1 ���� = 15.
Відповідь: ����2 ���� =5, ����1 ���� = 15.
3. А. �������� =2,5��������, �������� = 18. �������� , �������� ?
Нехай �������� =
Отже, �������� =9, �������� =3 ⋅ 9= 27.
Відповідь: �������� =9, �������� = 27
3. Б. �������� - спільна дотична. CO2 ?
Звідси 2���� ����2 = 15 + ���� ����2 , тоді ���� ����2 = 15.
Відповідь: ���� ����2 = 15.
4. А. �������� =2, �������� =7. ����△������������ = 24. �������� ?
Відповідь: 10.
4. Б. ���� , ����, ���� - точки дотику, ����△������������ = 12. OB?
����Δ������������ = 12, тоді �������� + �������� + �������� + �������� = 12
Враховуючи, що за властивістю
�������� = �������� , �������� = �������� , �������� = �������� , то маємо: �������� + �������� + �������� + �������� = 12, (�������� + ��������)+(�������� + �������� )= 12, �������� + �������� = 12.
Оскільки �������� = �������� , то 2�������� = 12, �������� =6. Оскільки ����
кута), �������� = �������� =6
Відповідь: 6.
5. А. ∠A = 60°, OB = 5. AK
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
6. А. AB = BC, BN = 5, KC = 3.
PΔABC
а) �������� = �������� =5, �������� = �������� =3, тоді �������� = �������� =5+3=8, тоді
�������� = �������� �������� = �������� �������� =8 5=3, тоді �������� = �������� =3.
���������������� = �������� + �������� + �������� =8+8+6= 22.
Відповідь: 22.
6. Б. MB = 3, AM = 5, PΔABC = 30. BC, AC �������� = �������� =3, �������� = �������� =5, тоді �������� = �������� = 1 2 (
тоді �������� = �������� + �������� =3+7= 10, �������� = �������� + �������� =5+7= 12
Відповідь: �������� = 10, �������� = 12.
7. А. AB = 25, AC = 7, BC = 24. r ���� = �������� + �������� �������� 2 = 7+ 24 25 2 = 6 2
Відповідь: ���� =3.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
7. Б. AN : NB = 3 : 2, ON = 4, PΔABC = 48.
AB, BC, AC Нехай �������� =
�������� = �������� = 12, �������� = �������� =8.
1.
Дано: △ABC (∠С = 90°), O – центр описаного кола;
АВ = 26 см; ВС = 24 см; АС = 10 см.
Знайти: R радіус описаного кола.
Розв'язання
трикутника
Дано: △ABC, O – центр вписаного кола; точки дотику: M ∈ AB, H ∈ BC, K ∈ AC; AK = 4 см, HC = 5 см, MB = 2 см.
Знайти: P△ABC.
Розв'язання
Точки дотику кола до сторін кута
AK = AM = 4 см;
MB = MH = 2 см;
HC = KC = 5 см.
AB = AM + MB = 4 + 2 = 6 (см);
BC = BH + HC = 2 + 5 = 7 (см);
AC = AK + KC = 4 + 5 = 9 (см).
P△ABC = AB + BC + AC = 6 + 7 + 9 = 22 (см).
Відповідь: 22 см.
4. Побудуй трикутник зі сторонами 4 см, 6 см і 9 см.
Побудова
За даними сторонами: a = 4 см, b = 6 см, c = 9 см.
тому:
Перевіримо нерівність трикутника: 4 + 6 = 10 > 9 ✓ трикутник існує.
Кроки побудови:
1. За допомогою лінійки проводимо
см.
2. З точки B, розхилом циркуля 4 см, описуємо дугу кола.
3.
Дано: △ABC (∠С = 90°), O – центр описаного кола;
АВ = 10 см; ВС = 8 см; АС = 6 см.
Знайти: R радіус описаного кола.
Розв'язання
Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.
Гіпотенуза трикутника це АВ = 10 см.
Відповідь: 5 см. 2. У колі із центром
OA = OB як радіуси, тому
∠OAB = ∠OBA = (180° – ∠AOB) : 2 = (180° – 80°) : 2 =
∠BAM = ∠OAM – ∠OAB = 90° – 50° = 40°. Відповідь: ∠BAM = 40°. 3.
Знайти: P△ABC.
Розв'язання Точки
AT = AM = 7 см;
BP = BM = 4 см; CT = CP = 6 см.
AB = AM + BM = 7 + 4 = 11 (см);
BC = BP + CP = 4 + 6 = 10 (см);
AC = AT + CT = 7 + 6 = 13 (см).
P△ABC = AB + BC + AC = 11 + 10 + 13 = 34 (см).
Відповідь: 34 см.
4. Побудуй трикутник зі сторонами 3 см, 5 см і 6 см.
Побудова
За даними сторонами: a = 3 см, b = 5 см, c = 6 см.
Перевіримо нерівність трикутника: 3 + 5 = 8 > 6 ✓ трикутник існує.
Кроки побудови:
1. За допомогою лінійки проводимо довільну
точку B. Відкладаємо циркулем відрізок BC = 6 см.
2. З точки B, розхилом циркуля 3 см, описуємо
3. З точки C, розхилом циркуля 5 см, описуємо
прямої BC.
4. Точку перетину A цих
ABC шуканий, бо BC = 6 см, AB = 3 см, AC = 5
= 15 см. ���� = 1 2 ⋅ �������� = 1 2 ⋅ 15 =7,5 (см)
Відповідь: 7,5 см.
2.
Розв'язання
OB ⊥ MK за властивістю дотичної
∠OBA = ∠OBM – ∠MBA = 90° – 20° = 70°.
OA = OB як радіуси, тому △AOB рівнобедрений.
∠OAB = ∠OBA = 70°.
∠AOB = 180° – (∠OAB + ∠OBA) = 180° – (70° + 70°) = 40°.
Відповідь: ∠AOB = 40°.
3. Коло, вписане у трикутник,
AP = AF = 5 см; PB = BN = 7 см; FC = NC = 4 см.
AB = AP + PB = 5 + 7 = 12 (см);
BC = BN + NC = 7 + 4 = 11 (см); AC = AF + FC = 5 + 4 = 9 (см).
P△ABC = AB + BC + AC = 12 + 11 + 9 = 32 (см).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Відповідь: 32 см.
4. Побудуй трикутник зі сторонами 5 см, 7 см і 9 см.
Побудова
За даними сторонами: a = 5 см, b = 7 см, c = 9 см.
Перевіримо нерівність трикутника: 5 + 7 = 12 > 9 ✓ трикутник існує.
Кроки побудови:
1. За допомогою лінійки проводимо довільну
Відкладаємо циркулем відрізок BC = 9 см.
2. З точки B, розхилом циркуля 5 см, описуємо дугу кола.
3. З точки C, розхилом циркуля 7 см, описуємо дугу
прямої BC.
4. Точку перетину A цих дуг сполучаємо відрізками з точками B і C.
Трикутник ABC шуканий, бо BC = 9 см, AB = 5 см, AC = 7 см. Варіант 4
Розв'язання
OA = OB як радіуси, тому △AOB рівнобедрений.
∠OAB = ∠OBA = (180° – ∠AOB) : 2 = (180° – 70°) : 2 = 55°.
OB ⊥ FE за властивістю дотичної до кола, тому ∠OBF = 90°.
∠FBA = ∠OBF – ∠OBA = 90° – 55° = 35°.
Відповідь: ∠FBA = 35°.
3. Коло, вписане у трикутник, дотикається до його сторін
Дано: △ABC, O – центр
см, FC = 6 см, AE = 5 см.
Знайти: P△ABC.
BF = BD = 9 см; FC = EC = 6 см; AE = AD = 5 см.
AB = AD + BD = 5 + 9 = 14 (см); BC = BF + FC = 9 + 6 = 15 (см); AC = AE + EC = 5 + 6 = 11 (см).
P△ABC = AB + BC + AC = 14 + 15 + 11 = 40 (см).
40 см.
Відкладаємо циркулем відрізок BC = 7 см.
2. З точки B, розхилом циркуля 4 см, описуємо
3. З точки C, розхилом циркуля 5 см, описуємо
4. Точку перетину A цих дуг сполучаємо відрізками з точками B і C. Трикутник ABC шуканий, бо BC = 7 см, AB = 4 см, AC = 5 см.
Тестові завдання (сторінка 204)
1. Діаметр кола дорівнює 6 см. Довжина
Дано: d = 6 см, тому r = 3 см. l = 2πr = 2π · 3 = 6π (см).
Відповідь: А 6π см.
2.
A бісектрис Б медіан В висот
Г серединних перпендикулярів
Відповідь: А бісектрис.
3. Центр кола, описаного
катета;
гіпотенузи;
бісектриси.
12 см; Г. 2 см.
Відповідь:
5.
А. 10 см;
Б. 6 см;
В. 4 см;
Г. 12 см.
Радіус
R = c 2 = 12 2 = 6 (см)
Відповідь: Б 6 см.
6. Із
правильне?
А. AB = AC;
Б. AB ˃ AC;
В. AB ˂ AC;
Г. AB ≠ AC.
Точки
Відповідь: А AB = AC.
7. Кола радіусів 3 см
А. 2 см;
Б. 4 см;
В. 10 см;
Г. 5 см.
При зовнішньому
����1 ����2 = ����1 + ����2 =3+7= 10 (см)
Відповідь: В 10 см.
8. Знайди
А. 8 см;
Б. 2 см;
В. 4 см;
Г. 4π см.
= ����2 −����1 =5 3=2 (см)
AB = AC.
В. круг; Г. куб.
Відповідь: А коло.
1. Знайди найбільшу сторону прямокутного трикутника, якщо медіана, проведена з
вершини прямого кута, дорівнює 3 см. А 3 см Б 6 см В 9 см Г 1,5 см
Медіана,
гіпотенузи.
Медіана, проведена з
���� =2 ⋅ 3=6 (см)
Відповідь: Б 6 см.
2. Навколо трикутника ABC з кутами
якщо AB = 10 см. А 5 см Б 10 см В 20 см
∠A = 30°, ∠B = 60°, тому ∠C = 180° – 30° – 60° =
AB. ���� = 1 2 ⋅ �������� = 1 2 ⋅ 10 =5 (см)
∠PKA = ∠OKA – ∠OKP = 90° – 35° = 55°.
Відповідність:
Нехай r₁ = 3x см, r₂ = 5x см. При зовнішньому
r₁ + r₂ = 16;
3x + 5x = 16; 8x = 16; x = 2.
r₁ = 3 · 2 = 6 (см);
r₂ = 5 · 2 = 10 (см).
Відповідь: 6 см і 10 см. 6. Побудуй
OM ⊥ AM
∠MOA = ∠MON : 2 = 120° : 2 = 60°.
У △OMA (∠OMA = 90°, ∠MOA = 60°):
∠OAM = 180° – 90° – 60° = 30°.
За властивістю
30°:
OM = 1 2 · OA, тому OA = 2 · OM = 2 · 8 = 16 (см).
OM = ON як радіуси, тому △OMN рівнобедрений. Бісектриса кута
висотою △OMN, тому OA ⊥ MN, тобто ∠OKM = 90°.
У △OKM (∠OKM = 90°, ∠MOK = 60°):
∠KMO = 30°, тому за властивістю
KO = 1 2 · OM = 1 2 · 8 = 4 (см).
AK = AO – KO = 16 – 4 = 12 (см).
Відповідь: AK = 12 см, KO = 4 см. 8. У прямокутний трикутник
M,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠MOE = 360° – 90° – 90° – 90° = 90°.
Розглянемо чотирикутник OPBE (∠OPB = ∠OEB = 90°):
∠POE = 360° – 90° – 90° – 40° = 140°.
Розглянемо чотирикутник OMAP (∠OMA = ∠OPA = 90°):
∠MOP = 360° – 90° – 90° – 50° = 130°.
OM = OE = OP як радіуси, тому △MOE, △POE, △MOP рівнобедрені.
У △MOE: ∠OME = ∠OEM = (180° – 90°) : 2 = 45°.
У △POE: ∠OPE = ∠OEP = (180° – 140°) : 2 = 20°.
У △MOP: ∠OMP = ∠OPM = (180° – 130°) : 2 = 25°.
Тому:
∠MPE = ∠OPM + ∠OPE = 25° + 20° = 45°.
∠MEP = ∠OEM + ∠OEP = 45° + 20° = 65°.
∠PME = ∠OMP + ∠OME = 25° + 45° = 70°.
Відповідь: ∠MPE = 45°, ∠MEP = 65°, ∠PME = 70°. 9. Доведи, що якщо два кола із
OO1 (мал. 22.9).
OA = OB як радіуси кола K(O; OA), тому △OAB рівнобедрений.
O₁A = O₁B як радіуси кола K₁(O₁; O₁A), тому △O₁AB рівнобедрений.
Нехай M точка перетину прямих OO₁ і AB.
У рівнобедреному △OAB медіана OM, проведена до основи AB, є також висотою, тому OM ⊥ AB.
У рівнобедреному △O₁AB медіана O₁M, проведена до основи AB, є також висотою, тому O₁M ⊥ AB.
Оскільки OM ⊥ AB і O₁M ⊥ AB, то точки O, M і O₁ лежать на одній прямій прямій OO₁.
Отже, AB ⊥ OO₁.
Що і треба було довести.
на 6 частин.
6 частин.
на 7 частин.
AM у 3 рази
AM : BM = 3 : 2;
г) AB = 3AM.
а) Нехай BM х см, тоді AM = х + 2 см. За властивістю AB
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Зх + 2х = 5, 5х = 5, х = 1. BM = 2 см, AM = 3 см.
Відповідь: 2 см; 3 см.
г) AB = З AM , тоді AM = AB : 3 = 5 : 3 = 12 3 см; MB = 5 –12 3 = 31 3 см.
Відповідь: 12 3 см; 31 3 см. 893.Точки A, B і C лежать на
відрізка BC. Знайди відрізки AB і BC, якщо AC = 8 см. Скільки розв’язків
Нехай АВ = х см, тоді BC = 3х см. Одержуємо рівняння:
= 2 см, BC = 6 см. Задача має 2 розв’язання.
Відповідь: 2 см; 6 см.
894.Точки A, B, C і D
1) AD = AB + BC + CD = 2 + 4 + 7 = 13 см.
Відповідь: 13 см.
2) AD = AB + BD = 2 + 3 = 5 см.
BD = CD – CB = 7 – 4 = 3 см.
3 см.
3) AD = BD – АВ = 11 – 2 = 8 см.
BD = BC + CD = 4 + 7 = 11 см. Відповідь: 11 см.
895.Точка
AD : AB, AD : BC, BC : DC.
AD : AB = 1 : 4. AD : BC = 1 : 2. BC : DC = 2 : 1.
896.Точка C середина відрізка AB, точка D середина
відрізка AB, якщо:
а) CD = 2 см; б) BC - CD = 3 см; в) AC - DC = 4 см.
a) AB = 4CD = 2 • 4 = 8 см.
б) BC – CD = 3 см. Якщо точка D середина BC, то BC в 2 рази більше CD, тоді CB = 3 • 2 = 6 см.
AB = 6 • 2 = 12 см, оскільки точка C середина АВ.
в) AC – DC = 4 см. Оскільки AC = CB, а CD = 1 2 CB, то AC = 8 см, AB = 16 см.
897.M внутрішня точка відрізка AB. K і P середини
Знайди довжину відрізка KP, якщо AB = 10 см.
AB = 10 см, KP = KM + MP, КM = 1 2AM, MP = 1 2 MB.
Оскільки AK = KM, a MP = PB, то
КP = 1 2 AB = 10 : 5 = 5 см.
898.Точка M середина відрізка AB, а точка K
AK : KM = 1 : 2. Знайди довжину відрізка MK, якщо:
а) AB = 12 см; б) BM = 9 см; в) MB - AK = 10 см.
a) AB = 12 см, оскільки AM середина AB, то AM = 12 : 2 = 6 см. AK : KM = 1 : 2, тоді AK = х см, KM = 2х см.
Одержуємо рівняння: х + 2х = 6; Зх = 6; х = 2. Оскільки MK = 4 см.
Відповідь: 4 см.
б) BM = 9 см, тоді й AM = 9 см.
Одержуємо рівняння: х + 2х = 9; 3х = 9; х = 3.
Оскільки, MK = 6 см.
Відповідь: 6 см.
в) MB – AK = 10 см. MB = AM, оскільки точка M середина AB, оскільки, AM – AK = 10
см і AM – AK = KM, KM = 10 см.
Відповідь: 10 см.
899.На прямій a лежать точки A, B і C, причому AB = 12 см, AC + CB = 15 см. Знайди
відрізків AC і BC.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AC + CB = 15. AB = 12. Оскільки точка В
AC = 15 – BC.
між точками А і С, то AB + BC = AC і
Нехай довжина BC = х см, одержуємо рівняння: 12 + х = 15 – х; 2х = 3; х = 1,5.
Оскільки, BC = 1,5 см, AC = 12 + 1,5 = 13,5 см.
Відповідь: 1,5 см; 13,5 см.
900.Точки A, B і C лежать на одній прямій. BC = 6 см, AB + AC = 10 см. Знайди довжини
відрізків AB і AC.
Оскільки точка В лежить між точками А і С, то AC = AB + BC.
За умовою AB + AC = 10 см, BC = б см. Тоді AC = 10 – AB.
Нехай довжина АВ = х см. Одержуємо рівняння: 10 – х = х + 6; 2х = 4; х = 2.
Тому що, AB = 2 см, AC = 2 + 6 = 8 см.
901.AB = 10 см. Точка C середина відрізка AB.
що: DA + DB + DC = 12 см.
Якщо точка C середина AB = 10 см і DA + DB + DC = 12 см, то точка D
між точками A i C так, що AD = 3 см.
Тоді DC = 2 см, а DB = 7 см. Або точка D
що DB = 3 см, тоді DC = 2 см, a AD = 7 см.
902.Точки A і B лежать по різні
M
a, AM = 10 см, BM = 15 см, AB = 23 см. Чи є точка M точкою
Ні, якби
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
б) ∠BOM на 20° більший за ∠AOM;
в) ∠AOM : ∠BOM = 1 : 3;
г) ∠BOM = ∠AOM.
а) Нехай ∠MOA = х, тоді ∠MOB = 3x. Одержуємо рівняння: х + 3х = 80°; 4х = 80°; х = 20°.
Тоді ∠AOM = 20°, ∠MOB = 60°.
б) Нехай ∠AOM = х , тоді ∠BOM = х + 20°. Одержуємо рівняння: х + х + 20° = 80°; 2х = б0°; х = 30°.
Тоді ∠AOM = 30°, ∠MOB = 50°.
в) ∠AOM = х, тоді ∠BOM = 3x та див. а).
г) Якщо ∠BOM = ∠AOM,
∠BOM = ∠AOB : 2 = 80° : 2 = 40°, ∠AOM = 40°.
905.Прямий
більший
Якщо ∠ACM = х, тоді ∠MCK = х – 20°, a
∠KCM = х + 20°.
умовою ∠ACB = 90°.
+ х – 20° + х + 20° = 90°; 3х = 90°; х = 30°. Оскільки, ∠ACM = 30°, ∠MCK = 10°, ∠KCM = 50°.
MOC.
907.∠AOB = 80°, ∠BOC = 20°, OM бісектриса
можливі варіанти.
1) За умовою ∠BOC = 20°, ∠AOB = 80°, OM бісектриса ∠AOC, тоді ∠MOC = ∠AOC : 2.
∠AOC = ∠AOB – ∠BOC = 80° – 20° = 60°.
∠MOC = 60° : 2 = 30°.
Відповідь: 30°.
2) За умовою ∠BOC = 20°, ∠AOB = 80°, OM бісектриса
∠AOC = ∠СОВ + ∠BOA = 20° + 80° = 100°. ∠MOC = 100° : 2 = 50°.
Відповідь: 50°.
908.OC
AOB, якщо ∠MOC = 60° і ∠AOM : ∠MOC = 1 : 3.
∠AOB , оскільки, ∠AOC = ∠COB. ∠AOM : ∠MOC = 1 : 3. ∠MOC = 60°.
∠AOM = х, тоді ∠MOC = 3х.
рівняння: 3х = 60°; х = 20°.
∠AOM = 20°, ∠AOB = 2∠AOC. ∠AOC = ∠AOM + ∠MOC = 60° + 20° = 80°; ∠AOB = 2 • 80° = 160°.
911.OC
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AOB, OA
За умовою OC − 6 ісектриса ∠AOB, OA − 6 бісектриса ∠MOC. Доведемо ∠MOC = ∠AOM+∠BOM 2 , тому що ОС -
бісектриса ∠AOB, то ∠AOC = ∠COB, а оскільки
ОА - бісектриса ∠MOC, то ∠MOA = ∠AOC, тоді ∠MOA = ∠AOC = ∠COB й ∠MOB = 3∠MOA. ∠AOM + ∠BOM 2 = ∠AOM + 3∠AOM 2 = 2∠AOM
a∠MOC = 2∠AOM, виходить, ∠MOC = ∠AOM+∠BOM 2 . 912.
2х = 160°; х = 80°.
Оскільки, ∠AOB = 80°.
Відповідь: 80°.
в) Нехай ∠BOC = х, тоді
Оскільки ∠AOB = 144°.
Відповідь: 144°. г)
+ 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.
Оскільки ∠AOB = 108°.
Відповідь: 108°. д) Нехай
Нехай прямі AB і CD перетинаються
Доведемо, що OM ⊥ OK.
∠МОК = 1 2 ∠АОС + 1 2 ∠СОВ = 1 2 (∠АОС + ∠СОВ).
∠AOC + ∠COB = 180° як суміжні кути.
Оскільки ∠MOK = 1 2 • 180° = 90°, значить, OM ⊥ OK. 915.Прямі AB і CD перетинаються в точці O, OE
Знайди ∠AOC і ∠COB.
Нехай прямі AB і CD перетинаються в точці О.
OE – бісектриса ∠BOD. ∠ODE = 55°.
Знайдемо величини кутів AOC і ∠COB.
= 180° як суміжні кути.
За умовою OE – бісектриса ∠BOD,
Виходить, ∠AOC = 110°,
∠COB = 180° – 110° = 70°.
Відповідь: 110°, 70°.
916.∠AOB і ∠BOC
917.
кута BOD, ∠DOE = 55°.
BOD = 2∠DOE = 2 • 55° = 110°.
∠2 = 144°45’.
Відповідь: 35°25’; 144°45’; 144°45’.
918.Один із кутів, утворених при перетині
Визнач міри утворених кутів. Нехай при перетинанні двох прямих
Нехай
Одержуємо рівняння: х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°.
Оскільки ∠1 = 60°, ∠4 = 120°. ∠
120°.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°. 919.Прямі AB і CD перетинаються
прямих, у 2 рази більший
htps://shkola.in.ua/3332
Нехай ∠1 = x, тоді ∠3 = х, оскільки
1, 2, 3, 4.
рівняння: 9х = х + 180° – х + 180° – х; 9х = 360° – х; 10x = 360°; х =
Відповідь: 144°; 36°; 144°; 36°. 922.Один
Нехай ∠1 = х, тоді ∠3 = x (як вертикальні кути),
160°; 20°, 160°, 20°.
924.
AOB = 120°.
925.Площа квадрата ABCD
CD. SABCD = 16 см2 SABCD = AB • AB, AB = 4 см. ABCD
926.Периметр прямокутника ABCD дорівнює 20
Нехай АВ = х см, тоді ВС = х + 2 см. Одержуємо рівняння: 2(х + х + 2) = 20; 2х + 2 = 10; 2х = 8; х = 4.
Оскільки AB = 4 см, BC = 6 см, BC = AD як протилежні сторони прямокутника.
Відповідь: AB = 4 см, AD = 6 см. 927.∠AOB і ∠BOC суміжні кути. Чи перпендикулярні промені OM і ON (M внутрішня точка кута AOB, N внутрішня точка кута BOC), якщо:
а) ∠BOC = 50°, ON бісектриса кута BOC, ∠AOM = 70°; б) ∠AOB : ∠BOC = 2:1, ∠MOB = 1 3 ∠AOB, ∠CON = 10°;
в) ∠AOB - ∠BOC = 20°, ∠MOB = ∠NOC = 40°;
г) ∠BOC = 2 3 ∠AOB, ∠NOC : ∠NOB = 1:2, ∠AOM - ∠BOM = 24°?
Нехай ∠AOB і ∠BOC суміжні, OM і ON промені, що
між сторонами AOB й BOC.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Доведемо, що OM ⊥ ON, якщо:
a) ∠BOC = 50°, ON бісектриса ∠BOC,
∠AOM = 70°, OM ⊥ ON, якщо OM і ON бісектриси кутів AOB і BOC.
Якщо ∠BOC = 50°, то суміжний йому
∠AOB = 180° – 50° = 130°.
Якщо ∠AOM = 70°, то OM не бісектриса ∠AOB, інакше ∠AOM дорівнював би 130° : 2 = 65°.
Відповідь: ні.
б) ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1. ∠MOB = 1 3 ∠AOB, ∠CON = 10°. ∠MON = ∠MOB + ∠BON.
Оскільки ∠AOB : ∠BOC = 2 : 1, тоді ∠AOB = 2х, ∠BOC = х. ∠AOB + ∠BOC = 180° як суміжні.
2х + х = 180°; 3x = 180°; х = 60°.
Оскільки ∠AOB = 120°, ∠BOC = 60°.
∠MOB = 1 3• 120° = 40°, ∠BON = 60° – 10° = 50°.
Тоді ∠MON = 40° + 50° = 90°. Оскільки OM ⊥ ON.
в) ∠AOB – ∠BOC = 20°, ∠MOB = ∠NOC = 40°. ∠AOB + ∠BOC = 180° як суміжні
Нехай ∠BOC = х, тоді ∠AOB = х + 20°.
Одержуємо рівняння: х + х + 20° = 180°;
2х = 160°; х = 80°.
Оскільки ∠BOC = 80°, ∠AOB = 100°.
∠MON = ∠MOB + ∠BON,
∠BON = ∠BOC – ∠CON = 80° – 40° = 40°.
Тоді ∠MON = 40° + 40° = 80°, бо MO не перпендикулярний
г) ∠DOC = 2 3 ∠AOB, ∠AOB : ∠BOC = 1 : 2,
∠AOM – ∠BOM = 24°. У підручнику
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
929.BM бісектриса кута ABC (мал. 23.3). Чи паралельні
а) ∠1 = 160°, ∠ABM = 80°;
б) ∠CBM = 50°, ∠1 = 120°;
в) ∠ABM у 2 рази менший від ∠1?
а) Якщо а ∥ b, то за теоремою ∠1 = ∠CBA.
a і b, якщо:
Якщо ∠ABM = 80° й MB бісектриса ∠CBA, то ∠CBA = 80° • 2 = 160°.
Виходить, а ∥ b.
б) Якщо ∠CBM = 50° й BM бісектриса ∠CBA, то ∠CBA = 50° • 2 = 100°.
∠CBA і ∠1 відповідні. За умовою ∠1 = 120°, виходить, ∠1 ≠ ∠CBA і а непаралельна b.
в) Якщо ∠1 = х°, тоді ∠ABM = 1 2 х.
Оскільки BM бісектриса ∠CBA, то
CBA = 1
∠1 = 120°, ∠2 = 70°, ∠3 = 60°;
∠1 = 120°, ∠3 = 80°, ∠4 = 100°;
∠2 = 60°, ∠3 = 80°, ∠4 = 120°;
г)
∠3 = ∠2 = 60°, ∠4 = 120°.
а) Якщо ∠1 = 120°, то ∠5 = 120° як вертикальний
∠1 + ∠5 = 120° + 70° = 190°, бо а ∥ b (як внутрішні однобічні кути).
Якщо ∠5 = 120°, а ∠3 = 60°, то ∠5 + ∠3 = 120° + 60° = 180° (внутрішні однобічні кути).
Оскільки с ∥ d.
б) ∠1 = ∠5 = 120°, як
кути, виходить, с ∦ d. ∠4 = ∠6 як вертикальні, ∠3 і ∠6 внутрішні
3 +
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠3 + ∠6 = 120° + 60° = 180°, виходить,
931.Доведи, що
932.У чотирикутнику ABCD ∠BAD у 2 рази менший
∠ABC, а ∠ABC на 60° більший за ∠BAD. Доведи, що BC || AD.
Нехай ∠BAD = х°, тоді ∠ABC = 2х°. Одержуємо рівняння: 2х – х = 60°; х = 60°. Виходить, ∠BAD = 60°, ∠ABC = 120°. ∠BAD і ∠ABC внутрішні однобічні, ∠BAD + ∠ABC = 60° + 120° = 180°, оскільки BC ∥ AD.
933.У чотирикутнику ABCD пряма BD ділить навпіл ∠ABC і ∠ADC. Чи паралельні протилежні сторони чотирикутника, якщо: а) ∠ABC = 140°, ∠BDC = 70°; б) ∠ABC = ∠ADC?
a) ∠ABC = 140°, ∠BDC = 70°, ∠ABD = ∠DBC, ∠ADB = ∠BDC.
Якщо ∠ABC = 140° й ∠ABC = ∠DBC, то ∠ABC = 140° : 2 = 70°.
ABD і ∠DBC внутрішні різнобічні
рівні, оскільки BC ∥ AD.
∠1 = 70°, ∠2 = 80°, ∠3 = 110°;
∠1 = 60°, ∠2 = 60°, ∠3 = 100°;
∠1 = 50°, ∠2 = 80°, ∠3 = 100°;
∠1 = ∠2 = 40°, ∠3 = 140°.
∠1 = 120°,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠3 + ∠2 = 110° + 80° = 190°, то c ∦ d.
∠4 ≠ ∠5, вони внутрішні
∠2 = 80°, тоді ∠6 = 180° – 80° = 100°, вони суміжні. ∠4 + ∠6 = ∠1 + ∠6 = 70° + 100° = 170°, оскільки а ∦ с.
б) ∠1 + ∠4 = 60°, ∠2 = 60°,
∠6 = 180° – 60° = 120°, ∠5 = ∠3 = 100°.
∠4 + ∠6 = 120° + 60° = 180°, то a ∥ c.
∠2 + ∠5 = 60° + 100° = 160°, c ∦ b.
∠4 + ∠5 = 60° + 100° = 160°, a ∦ b.
в) Якщо a ∥ c, тo ∠4 + ∠6 = 180°. ∠4 = ∠1 = 50°, ∠6 = 180° – ∠2 = 100°, 50° + 100° = 150°, оскільки а ∦ с.
Якщо с ∥ b, то ∠2 + ∠5 = 180°. 80° + 100° = 180° , то ∠5 = ∠3. Виходить, c ∥ b.
Якщо а ∥ b, то ∠4 + ∠5 = 180°. 50° + 100° = 150°, значить а ∦ b.
г) Якщо a ∥ b ∥ с, то ∠1 = ∠4 = ∠2 й
∠2 + ∠3 = 180°.
За умовою ∠1 = ∠2 = 40°, знайдемо
∠2 + ∠3 = 40° + 140° = 180°, оскільки а ∥ b; b ∥ с; а ∥ с.
935.На сторонах AB і BC трикутника ABC (мал. 23.6) узято точки M і N так, що MC
бісектриса кута AMN, ∠ACM = 50°. Доведи, що MN || AC, якщо ∠BMN = 80°.
Якщо MN ∥ AC, то ∠ACM = ∠CMN (вони внутрішні різнобічні). ∠CMN = 1 2 ∠AMN, оскільки MC бісектриса ∠AMN. ∠AMN + ∠NMC = 180°, оскільки вони суміжні, виходить,
∠AMN = 180° – 80° = 100°, тоді ∠CMN = 1 2 • 100° = 50° й ∠CMN = ∠ACM, виходить, MN ∥ AC. До § 8 936.Прямі a і b паралельні (мал. 23.7). Знайди ∠3, якщо:
а) ∠1 = 70°; б) ∠1 на 30° менший від ∠2; в) ∠1 : ∠2 = 4 : 5; г) ∠1 становить 3 5 ∠2.
а) Якщо а ∥ b, то ∠3 = ∠4 як відповідні.
Оскільки ∠1 й ∠4 вертикальні, то ∠1 = ∠4, значить ∠3 = 70°.
Відповідь: 70°.
б) за доведеним в a). ∠1 = ∠3, ∠3 + ∠2 = 180° як суміжні.
30°.
Одержуємо рівняння: х + х + 30° = 180°; 2х = 150°; х = 75°.
Виходить, ∠1 = ∠3 = 75°.
Відповідь: 75°.
в) ∠1 = ∠3, ∠1 + ∠2 = 180°, оскільки
∠3 + ∠2 = 180° (як суміжні).
Нехай одиничний кут х°, тоді ∠1 = 4х°, ∠2 = 5х°.
Одержуємо рівняння: 4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°.
Отже, ∠3 = 80°.
Відповідь: 80°.
г) Нехай ∠2 – x°, тоді ∠1 = 3 5 х°.
Одержуємо рівняння: х + 3 5= 180°; 13 5 х = 180°;
х = 180° : 8 5; х = (180 • ����) 8 ; х = 67°30’.
Відповідь: 67°30’.
937.Розв’яжи
23.8: а) ∠1 = 80°, ∠2 = 100°, ∠3 = 60°.
4 = ∠3,
а) Оскільки ∠1 + ∠2 = 80° + 100° = 180°, то a ∥
c) ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 60° = 120°
∠4 + ∠5 = 180° (як суміжні)
∠4 = 180° - ∠5 = 180° - 120° = 60°
4 =∠3 = 60° (як
∠4 = ∠3 (як відповідні), то a ∥ b. ∠1 + ∠2 = 180° (як внутрішні
1 + 2∠1 = 180°; 3∠1 = 180°;
1 = 60°; ∠2 = 120°
Оскільки ∠1 + ∠2 = 55° + 125° = 180°, то a ∥ b. ∠3 + ∠5 = 180° (як
∠3 = x, ∠5 = 3x: x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°.
∠3 = 45°, ∠5 = 135°.
∠4 + ∠5 = 180° (як суміжні).
∠4 = 180° – 135° = 45°.
Або просто ∠4 = ∠3 = 45° (як відповідні).
г) Оскільки ∠3 + ∠5 = 70° + 110° = 180°, то a ∥ b.
∠1 + ∠2 = 180° (як внутрішні односторонні кути при a ∥ b та січній d).
∠2 – ∠1 = 70°, тому ∠2 = ∠1 + 70°:
∠1 + ∠1 + 70° = 180°; 2∠1 = 110°;
∠1 = 55°; ∠2 = 125°.
938.AB || CD, AD бісектриса кута CAB (мал. 23.9). ∠ADC = 50°. Знайди ∠ACD.
Якщо AD бісектриса ∠CAB, то ∠CAD = ∠DAB; ∠CAB = 2∠CAD.
За умовою AB ∥ CD, AD січна, тоді ∠ADC = ∠DAB = 50° й ∠ADC = ∠CAD, тоді
∠CAB = 2 • 50° = 100°.
∠ACD = ∠CAB = 180° як внутрішні
Виходить, ∠ACD = 180° – 100° = 80°.
Відповідь: 80°.
939.На сторонах AB і BC трикутника
M лежить на стороні
AMN
65° • 2 = 130°. ∠AMN + ∠NMB = 180°, оскільки вони суміжні, тоді ∠BMN = 180° – 130° = 50°, ∠BMN =
= 50°.
50°, 50°. 940.Чи паралельні прямі a і c (мал. 23.10), якщо: а) ∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 = ∠4; б) ∠2 = 50°, ∠3 = 100°, ∠4 = 100°, ∠1 - ∠4 = 30°; в) ∠2 : ∠3 = 1 : 2, ∠3 - ∠2 = 60°, ∠1 = ∠3, ∠4 = 130°?
а) Якщо ∠3 = ∠4, а вони відповідні, то b ∥ c, як – що ∠1 + ∠2 = 180°, ∠1 =
вертикальні, то ∠1 + ∠5 = 180°, а вони внутрішні однобічні кути,
то а ∥ b, виходить, а ∥ с.
Відповідь: так.
б) ∠3 = ∠4 = 100°, а вони відповідні, оскільки, b ∥ с.
Якщо ∠1 – ∠4 = 30°, то ∠1 = 100° + 30° = 130°, ∠1 = ∠5 як вертикальні, ∠5 + ∠2 = 130° + 50° = 180°, a ∠5 і ∠2 ,
с.
Відповідь: так.
в) Якщо ∠2 = x°, то ∠3 = 2x°, одержуємо рівняння: 2х – х = 60°; х = 60°. Оскільки ∠2 = 60°, ∠3 = 120°. ∠1 = ∠3, за умовою,
вертикальні кути й ∠5 + ∠2 = 120° + 60° =
∠4 = 130°, a ∠3 = 120°,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∥ b, ∠1 і ∠2 зовнішні
кути, утворені січною з паралельними прямими, в сумі дорівнюють 180°.
а ∥ b, с січна, ∠1 і ∠2 зовнішні різнобічні кути. Доведемо, що ∠1 + ∠2 = 180°. Позначимо ∠3 й ∠4. Якщо a ∥ b, то ∠1 = ∠4, ∠3 = ∠2 як відповідні кути, a ∠3 + ∠4 = 180°, оскільки
тоді
∠1 + ∠2 = 180°. 944.Доведи, що
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
947. У чотирикутнику ABCD BC || AD. Доведи,
D.
AD ∥ BC за умовою. Доведемо:
∠A + ∠B = ∠C + ∠D.
Якщо AD ∥ BC й AB січна, то ∠A + ∠B = 180° (як внутрішні однобічні кути).
Якщо AD ∥ BC й CD січна, то ∠C + ∠D = 180° (як внутрішні однобічні кути).
Виходить, ∠A + ∠B = ∠C + ∠D. 948. У трикутнику
трикутника
htps://shkola.in.ua/3332
Р = 5 см + 8 см + 10 см = 23 см. 951. З
АС = 10 см, АК = 3 см. Розглянь
∆ABC, BK висота. AC = 10 см, AK = 3 см, ∠A
Знайдемо KC. AC = AK + KC, тоді
KC = AC – AK = 10 –3 = 7 см.
Відповідь: 7 см.
б) ∠A тупий. KC = AK + АС = 10 + 3 = 13 см.
952. У ΔАВС проведено
АК і КС, якщо:
а) ∠А гострий; б) ∠А тупий.
а) Нехай ∆ABC даний трикутник, BK висота. AK : KC = 3 : 5. AC = 16 см.
Знайдемо AK і KC. Нехай одиничний відрізок х, тоді AK = 3х см, KC = 5х см.
Одержуємо рівняння: 3х + 5х = 16;
8х = 16;
х = 2.
Виходить, AK = 6 см, KC = 10 см.
Відповідь: 6 см, 10 см.
б) Одержуємо рівняння:
5х – 3х = 16;
2х = 16; х = 8.
Виходить, AK = 24 см, KC = 40 см.
Відповідь: 24 см, 40 см. 953. Висота
вершини.
∆ABC, ∠ACB = 90°, CK висота, CD
∠DCK = ∠KCB.
За умовою ∠ACB = 90°, ∠ACD = ∠DCK = ∠KCB, тоді ∠ACD =
30°.
Оскільки CM бісектриса
∠ACB, то ∠ACM = ∠BCM = 45°.
∠ACM = ∠ACD + ∠DCM,
∠DCM = 45° – 30° = 15°.
Виходить, ∠MCK = 15°.
Відповідь: 15°.
954.
∠ACB. ∠ACD =
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
У ∆ABC ∠ABC тупий, BK висота, BM бісектриса ∠ABC, BD
∠MBK в два рази більший ∠MBD. ∠DBK = 60°.
Знайдемо ∠MBK й ∠MBD.
∠DBK = ∠DBM + ∠MBK.
Нехай ∠DBM = х°, тоді ∠MBK = 2х°. Одержуємо рівняння: x + 2x = 60°; 3х = 60°; х = 20°.
Виходить, ∠DBM = 20°, ∠MBK = 40°.
Відповідь: 20°, 40°.
До § 11
955. Знайди кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 7.
Нехай одиничний кут х°, тоді кути трикутника мають величини 2x°; 3х°; 1х°.
За теоремою, сума кутів трикутника 180°.
Одержуємо рівняння:
2х + 3х + 7х = 180°;
12х = 180°; х = 15°.
Виходить, величини кутів трикутника дорівнюють 30°, 45°, 105°.
Відповідь: 30°, 45°, 105°.
956. Знайди внутрішні
кутів трикутника 100°. Нехай
3х.
рівняння: х + 3х = 100°,
4х = 100°,
х = 25°.
Оскільки один
Відповідь: 25°, 75°, 80°. 957. Знайди
4 і 5.
Нехай величина одиничного
Одержуємо рівняння: 3х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; х = 30°.
Виходить,
180° – 90° = 90°; 180° – 120° = 60°; 180° – 150° = 30°. Відповідь: 90°, 60°, 30°. 958.
∆ABC, ∠ACB = 90°, CM бісектриса
∠ACB, CK висота, ∠MCK = 20°.
Якщо CM бісектриса ∠ACB = 90°, то
∠ACM = ∠MCB = 45°, тоді
∠KCB = ∠MCB – ∠MCK = 45° – 20° = 25°.
У ∆CKB, ∠CKB = 90° (CK висота),
∠KCB = 25°, виходить, ∠B = 90° – 25° = 65°.
Тоді ∠A з ∆ABC дорівнює 90° – ∠B = 90° – 65° = 25°.
Відповідь: 25°, 65°. 959.У прямокутному трикутнику
∠HCB = ∠CAB.
∆ABC, ∠ACB = 90°, CH висота. Доведемо, що ∠HCB = ∠CAB.
У ∆ABC і ∆CHB, ∠ACB = 90° і ∠CHB = 90° (оскільки CH висота). ∠B – спільний
Виходить, ∠CAB = 90° – ∠B (з
∠HCB = 90°– ∠B, виходить,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∆ABC, CK і AD бісектриси, точка O точка їхнього
Нехай ∠A = х°, тоді ∠C = х° – 20°,
∠B = х + 50°.
Сума кутів трикутника 180°. Одержуємо рівняння: х + х – 20° + х + 50° = 180°; 3х + 30° = 180°;
3х = 150°; х = 50°.
Оскільки ∠A = 50°, ∠C = 30°, ∠B = 100°.
Знайдемо кут між бісектрисами AD та CK, ∠DOC. У ∆BAD ∠B = 100°, ∠BAD = 50° : 2 = 25°
(бо AD бісектриса ∠BAD),
тоді ∠ADB = 180° – (100° + 25°) = 55°.
∠ADC = 180° – ∠ADB (оскільки вони суміжні), тоді ∠ADC = 180° – 55° = 125°.
У ∠DOC ∠ODC = 125°,
∠DCO = ∠BCA : 2 = 30° : 2 = 15°,
тоді ∠DOC = 180° – (125° + 15°) = 40°.
Відповідь: 40°.
962.У трикутнику ABC ∠A = 70°, ∠B = 30°. Знайди
а) бісектрисами, проведеними з вершин A і C; б) висотами, проведеними з вершин A і C.
∠ABC, ∠A = 70°, ∠B = 30°, AK, CM бісектриси ∠BAC й ∠BCA.
Знайдемо ∠COK. За умовою ∠A = 70°, ∠B = 30°, тоді ∠ACB = 180° – (70°+ + 30°) = 80°.
У ∆ABK ∠B = 30°, ∠BAK = ∠BAC : 2 (тому що AK бісектриса ∠BAC).
∠BAK = 70° : 2 = 35°, а тоді ∠AKC = ∠В + ∠BAK (як зовнішній кут трикутника АВК).
∠AKC = 30° + 35° = 65°. У ∆OKC ∠OKC = 65°, ∠OCK = ∠ACK : 2 = 80° : 2 = 40° (тому що CM бісектриса ∠ACB), тоді
∠KOC = 180° – (65° + 40°) = 75°.
Відповідь: 75°.
963.Доведи, що
AB = AC. BM бісектриса ∠ABC,
BK висота.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Доведемо ∠MBK = (∠С ∠А) 2 .
З ∆BMK (∠BKM = 90°, тому що BK висота).
∠MBK = 90° – ∠BMK. ∠BMK зовнішній
∆ABM, виходить, ∠BMK = ∠A + ∠ABM,
∠ABM = 1 2 ∠ABC (тому що BM бісектриса кута ABC), тоді ∠BMK = ∠А + 1 2 ∠ABC.
З ∆BKC, ∠BKC = 90° (тому що BK висота) ∠KBC = 90° – ∠C.
Виходить, 1 2 ∠ABC = ∠MBC = ∠MBK + 90° – ∠C, тоді ∠MBK = 90° – ∠A – (∠MBK + 90° –
∠C) = 90° – ∠A – ∠MBK –90° + ∠C.
∠MBK + ∠MBK = ∠C – ∠А.
2∠MBK – ∠C – ∠A.
2∠MBK = (∠С ∠А) 2 .
точка N відрізок CD, якщо CD = AB і
CN : ND = 1 : 5?
За умовою CD = AB, AB = 5 + 7 = 12 см, тоді CD = 12 см.
Точка N належить відрізку CD. Нехай
Одержуємо рівняння: х + 5х = 12; 6х = 12; х = 2.
Оскільки, CN = 2 см, ND = 10 см.
Відповідь: 2 см, 10 см.
965.∠AOB = ∠COD, OM
∠MOD – ∠COM = 30°. Знайди ∠AOB.
Оскільки OM внутрішній промінь ∠COD, то він
COD,
Нехай одиничний кут х°, тоді ∠COM = 2х°, ∠MOD = 2х°.
Одержуємо рівняння: 3х – 2х = 30°; х = 30°.
Отже, ∠COM = 60°, ∠MOD = 90° і
∠COD = 60° + 90° = 150°.
За умовою ∠AOB = ∠COD, виходить,
∠AOB = 150°.
Відповідь: 150°.
966.ΔABC = ΔA₁B₁C₁. ∠A = 70°, ∠B = 50°. Знайди ∠C₁.
У ∆ABC, ∠A = 70°, ∠B = 50°, тоді
∠C = 180° – (70° + 50°) = 60°.
Відповідь: 60°.
967.ΔABC = ΔA₁B₁C₁. AC = 7 см, AB – BC = 2 см. Знайди
його периметр дорівнює 21 см. За умовою ∆ABC = ∆А1В1С1, виходить,
P∆АВС = Р∆А1В1С1 = 21 см і AB = А1В1, BC = В1С1, AC = А1С1.
Нехай BC х см, тоді AB х + 2 см.
Одержуємо рівняння: 7 + х + х + 2 = 21;
2х = 12; х = 6.
Тоді BC = 6 см, AB = 8 см.
Виходить, A1B1 = 8 см, B1C1 = 6 см, A1C1 = 7 см.
Відповідь: 8 см, 6 см, 7 см.
COM : ∠MOD = 2:3, а
htps://shkola.in.ua/3332
968.Чи рівні
A₁B₁C₁
числам 7, 5 і 8? Якщо
Одержуємо рівняння: 7х + 5х + 8х = 180°, 20х = 180°, х = 9°. Тоді кути А₁ = 63°, ∠В₁ = 45°, ∠С₁ = 72°.
У ΔАВС, ∠А = 70°, ∠В = 80°.
Оскільки ΔАВС ≠ ΔА₁В₁С₁.
Відповідь: ні.
969.Чи рівні квадрати ABCD і A₁B₁C₁D₁, якщо периметр квадрата ABCD дорівнює 20 см,
а площа квадрата A₁B₁C₁D₁ дорівнює: а) 36 см²; б) 25 см²?
а)
Якщо площа квадрата A₁B₁C₁D₁ = 36 см², то довжина його сторони 6 см, а якщо
периметр квадрата ABC дорівнює 20 см, то довжина його сторони 20 : 4 = 5 см.
Виходить, квадрати не рівні.
Відповідь: ні.
б) Якщо площа квадрата A₁B₁C₁D₁ = 25
ABCD та A₁B₁C₁D₁ рівні.
Відповідь: так.
970.Радіус
Якщо радіус
довжина 2π • 5 = 10π см.
Виходить, окружності рівні.
Відповідь: так.
971.Довжина
см². Чи рівні ці кола?
Якщо площа кола, обмеженого
64, виходить, r = 8 см.
Якщо
AB = CD, ∠ABC = ∠BCD. Доведемо, що AC = BD.
Оскільки ∠ABC = ∠BCD, то AC = BD як сторони
напроти рівних кутів. 974.Дано відрізок AB й точки C і D
AC
BD.
AB і в різних
2. ∠ABC = ∠BAD за умовою.
3. ∠CAB = ∠ABD за умовою. Отже, ∠ABC = ∠BAD
Розглянемо трикутники ABC і ABD:
1. AB спільна сторона.
2. ∠CAB = ∠ABD за умовою.
3. ∠ABC = ∠BAD за умовою.
Незважаючи на те, що
Тому ∠ABC = ∠ABD за другою ознакою.
З рівності цих трикутників
відповідних трикутників за стороною AB та двома прилеглими кутами.
AB = CD. Доведи, що AC || BD.
AB = CD, а ∥ b. Якщо
3 = ∠4, а вони внутрішні різнобічні
AC
BD. 976.Відрізки AB і CD перетинаються
точці O. AO = CO, BO = DO. Доведи, що ∠OBD = ∠ODB.
AO = CO, OB = OD. Розглянемо ∆BOC й ∆DOA. OD = OB, OA = OC за умовою, ∠AOD = ∠COB як вертикальні, виходить, ∆BOC = ∆DOA за першою ознакою, тоді CB = AD, ∠C = ∠A.
У ∆BAD і ∆DBC, AD = CB, AB = CD (оскільки вони складаються з рівних частин) ∠C = ∠A, тоді ∆BAD = ∆DCB, виходить, ∠CDB = ∠ABD, виходить, ∠OBD = ∠ODB (точка O належить відрізкам AB і CD). 977.У колі із центром O проведено діаметри AB і CD. Доведи, що AC = BD і AC || BD.
∆AOC = ∆BOD за першою ознакою рівності. AO = OB = OB = OD як половини діаметрів AC та CD, ∠AOC = ∠DOB як вертикальні. Виходить, AC = DB. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, a ∠1 та ∠2 і ∠3 та ∠4 внутрішні різнобічні кути при січній CD і AB, отже, AC ∥ DB. 978.На колі із центром O по один бік від
AD
точки B і C так, що ∠AOB = ∠COD. Доведи, що BD = AC.
Якщо ∠AOB = ∠COD й оскільки ∠AOB = ∠AOC + ∠COB, ∠COD = ∠DOB + ∠COB, то ∠AOC = ∠DOB. Розглянемо ∆АОС й ∆DOB, ∠AOC = ∠DOB за доведеним, OA = OC = OB = OD як радіуси окружності, виходить, ∆AOC = ∆DOB за першою ознакою, тоді AC = DB.
979.CD медіана трикутника ABC, C₁D₁ медіана трикутника A₁B₁C₁. Доведи, що
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, якщо ΔADC = ΔA₁D₁C₁.
ΔABC і ΔA₁B₁C₁, CD і C₁D₁ медіани.
ΔADC = ΔA₁D₁C₁.
Доведемо, ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
(На зображенні показано два трикутники: ΔABC з медіаною CD та ΔA₁B₁C₁ з медіаною C₁D₁)
За умовою ΔADC = ΔA₁D₁C₁, тоді AC = A₁C₁, DC = D₁C₁, AD = A₁D₁.
∠A = ∠A₁, ∠ADC + ∠A₁D₁C₁, ∠DCA = ∠ D₁C₁A₁. Якщо CD і C₁D₁ медіани, то AD = DB = A₁D₁ = D₁B₁, тоді AB = A₁B₁. Виходить, у ΔABC і ΔA₁B₁C₁ AC = A₁C₁, AB = A₁B₁;
∠A = ∠A₁ і вони рівні за першою ознакою. 980.ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Доведи, що бісектриси, проведені з вершин B і B₁, рівні.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, BK і B₁K₁ бісектриси. Якщо ΔABC = ΔA₁B₁C₁, то AB = A₁B₁, BC = B₁C₁,
AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁, ∠C = ∠C₁.
Розглянемо ΔABK й ΔA₁B₁K₁. AB = A₁B₁; ∠A = ∠A₁, оскільки BK і B₁K₁ бісектриси рівних кутів, то ∠ABK = ∠A₁B₁K₁, тоді ΔABK = ΔA₁B₁K₁ за другою ознакою, виходить, BK = B₁K₁.
981.ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Доведи, що висоти, проведені з вершин A і A₁, рівні.
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, AK і A₁K₁ висоти.
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, тоді AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁,
∠BAC = ∠B₁A₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.
Розглянемо ΔAKC й ΔA₁K₁C₁.
∠AKC = ∠A₁K₁C₁, оскільки AK і A₁K₁ висоти, AC = A₁C₁; ∠C = ∠C₁, виходить, ΔAKC і ΔA₁K₁C₁ рівні за гіпотенузою й гострим кутом, отже, AK = A₁K₁. 982.ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Доведи, що медіани, проведені з вершин B і B₁, рівні.
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, BD і B₁D₁ медіани.
ΔABC = ΔA₁B₁C₁, тоді
AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁, ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
Розглянемо ΔABD й ΔA₁B₁D₁. AB = A₁B₁,
∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁ (оскільки BD і B₁D₁ медіани й відрізки AC і A₁C₁ рівні).
Тоді ΔABD = ΔA₁B₁D₁ за першою ознакою.
Виходить, BD = B₁D₁.
До § 14
983.
Задача має два розв’язання:
1) якщо кут між бічними
кожного (180° – 80°) : 2 = 50°.
Відповідь: 50°, 50°, 80°.
2) якщо кут при основі дорівнює 80°, тоді
рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
180° – 80° • 2 = 20°.
Відповідь: 80°, 20°, 80°.
985.Одна
1) Нехай бічна сторона на 3 см більша основи.
Нехай довжина основи х см, тоді довжина
+ 3) см, оскільки вони в рівнобедреному трикутнику рівні.
Одержуємо рівняння: х + (х + 3) • 2 = 21, х + 2х + 6 = 21, 3х = 15, х = 5.
Виходить, основа 5 см, бічні сторони по 8 см.
Відповідь: 5 см, 8 см, 8 см. 2) Якщо основа на 3 см більша
бічної сторони (вони рівні в рівнобедреному трикутнику)
Одержуємо рівняння: х + х – 3 + х – 3 = 21, 3х = 27, х = 9.
Виходить, довжина
Відповідь: 6 см, 9 см, 9 см. 986.На основі AC рівнобедреного трикутника ABC
N так, що AM = CN. Доведи, що ΔMBN рівнобедрений.
∆ABC, рівнобедрений з основою AC, AM = NC. Доведемо, що ∆MBN рівнобедрений.
Одержуємо висоту BK, що за властивістю є й медіаною, виходить, AK = KC. AK = AM + MK, KC = KN + NC.
За умовою AM = NC, тоді MK = KN, виходить, висота BK буде й медіаною ∆MBN.
Виходить, ∆MBN рівнобедрений.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) ∆ABC, рівнобедрений з основою AC, AK та CM бісектриси ∠BAC і ∠BCA, AK = CM.
∠B = 100°.
Знайти ∠AOM. ∆ABC рівнобедрений з
AC, тоді за теоремою ∠ВАС = ∠BCA.
Оскільки AK і CM бісектриси цих кутів, то ∠BAK = ∠KAC = ∠MCB = ∠MCA.
За умовою ∠B = 100°, тоді
∠BAC = ∠BCA = (180° – 100°) : 2 = 40° та
∠BAK = ∠KAC = ∠MCB = ∠MCA = 40° : 2 = 20°.
У ∆AMC ∠MAC = 40°, ∠ACM = 20°, тоді
∠AMC = 180° – (40° + 20°) = 120°.
У ∆AMO ∠MAO = 20°, ∠AМO = 120°,
тоді ∠MOA = 180° – (20° + 120°) = 40°.
Відповідь: 40°.
б) ∆ABC рівнобедрений з основою AC, AM = CK
Знайдемо ∠AOC. За умовою ∠ABC = 100°, виходить ∠MBA = 180° – 100° = 80° як
суміжний з ∠ABC.
∠MBA зовнішній кут ∆ABC, тоді за
BCA як кути при основі
ВАС = ∠BCA = 80°: 2 = 40°.
=
Розглянемо ∆BOM й ∆BOA, OB спільний катет, оскільки BK бісектриса ∠ABC, то ∠ABO = ∠OBM й ∠BOM = ∠BOA по катету й гострому куту, тоді AB = BM = 10 см.
Оскільки AM – медіана, то ВМ = MC та
BC = 2ВМ = 2 • 10 = 20 см.
Відповідь: 20 см. 989.Доведи, що медіани, проведені до
∆ABC рівнобедрений, AC = CB, MB і
AK медіани. Доведемо, що MB = AK.
Розглянемо ∆ACK й ∆CBM. AC = CB за умовою, CK = CM, оскільки BM і AK
рівних бічних сторін, ∠C спільний.
Виходить, ∆ACK = ∆CBM за першою ознакою рівності, отже, AK = MB. 990.Відрізки AB і CD перетинаються в точці O. AO = CO, BO = DO, AO ≠ BO. K точка перетину прямих AD і CB. Доведи, що ΔDKB рівнобедрений. Розглянь випадки: а) AO < BO; б) AO > BO.
Відрізки AB і CD перетинаються в точці О, точка
CB.
AO = OC, DO = OB, AO ≠ OB.
Доведемо, що ∆DKB рівнобедрений,
∆AOD = ∆СОВ, AO = OC, DO = OB за першою ознакою.
∠AOD = ∠COВ як вертикальні.
Оскільки AD = CB, ∠A = ∠C, ∠ADO = ∠CBO, ∆DAB = ∆BCD, AD = CB, AB = DC,
оскільки дорівнюють сумі рівних відрізків. ∠A = ∠C за першою ознакою рівності трикутників.
Тоді AD = CB. ∠CDB = ∠АBD.
∆AKB = ∆CKD за другою ознакою, AD = CB, ∠A = ∠C, ∠CDB = ∠ABD.
Тоді AK = KC, AK = AD + DK, СВ = СВ + ВК, оскільки AK = CB та CB = AD, то DK = BD і ∆DBK рівнобедрений.
Одержуємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.
Виходить,
Відповідь: 36°, 72°, 72°.
992.Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при вершині дорівнює
проведеними
Розглянемо ∆AOK, ∠AKO = 90°, тоді
∠AOK + ∠KAO = 90°, ∠KAO = 90° – ∠AOK, ∠KAO = 1 2 ∠BAK, оскільки AM
бісектриса ∠ВАС.
Нехай ∠ABC = х, тоді ∠BAK = 2(90° – х),
∠BAC = ∠BCA як кути при
Одержуємо рівняння:
х + (90– х) • 2 + (90– х) • 2 = 180°;
х + 180° – 2х + 180° – 2х = 180°;
3х = 180°; х = 60°.
Виходить, ∠ABC = 60°,
∠ВАС = ∠BCA = (90° – 60°) • 2 = 60°.
Відповідь: 60°, 60°, 60°. 993.У рівнобедреному
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Знайдемо кути ∆ABC. ∠C = ∠BAC як кути при основі. Нехай ∠B = х°, тоді ∠C = ∠BAC = 2х°.
Одержуємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.
Виходить, ∠B = 36°, ∠C = ∠BAC = 72°.
У ∆ADC, ∠C = 72°, ∠DAC = 1 2 ∠BAC (оскільки AD бісектриса), виходить, ∠DAC = 72° • 1 2= 36°, тоді ∠ADC = 180° – (72° + 36°) = 72° й ∆ADC рівнобедрений.
У ∆ABD, ∠B = 36°, ∠BAD = 36°, виходить, ∆ABD рівнобедрений. До § 15 994.Дано відрізок AB і точки C і D поза прямою AB так, що AC = BD і AD = BC. Доведи, що ΔACB = ΔBDA. Розглянь різні випадки розміщення точок C і D.
1) Розглянемо ∆ABC й ∆BDA. AC = BD, AD = BC за умовою. AB спільна сторона, виходить,
2) ∆ACB = ∆BDA за третьою ознакою. AC = BD, AD = BC за умовою. AB – спільна сторона.
995.Протилежні
У чотирикутнику ABCD з’єднаємо вершини А і С.
Розглянемо ∆ACB й ∆CDA, вони
за умовою, AC спільна сторона.
Тоді ∠2 = ∠4, ∠1 = ∠3, ∠B = ∠D. ∠2 і ∠4, ∠3 і ∠1 внутрішні різнобічні кути при
∠4, то AB ∥ CD.
997.Відрізки AB і CD перетинаються
ΔCBD.
Розглянемо △AOD і △COB:
1) AO = CO за умовою;
2) DO = BO за умовою; 3) ∠AOD = ∠COB як вертикальні кути. Отже, △AOD = △COB
кутом між ними).
Тому AD = CB як відповідні
Розглянемо △ADB і △CBD:
1) AD = CB доведено вище; 2) DB спільна сторона; 3) AB = CD, оскільки AO + OB = CO + OD за умовою.
Отже, △ADB = △CBD за третьою
AB = CD, BC = AD,
(трьома сторонами). Що і треба було довести.
998.Усередині рівнобедреного трикутника ABC з основою AC взято точку D так, що AD = CD. Доведи, що ∠ADB = ∠CDB.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AD = DC за умовою ∆ABC
AC, виходить, AB = BC. Тоді у ∆ADB і ∆CDB AD = DC, AB = BC, BD спільна сторона, виходить, ∆ADB = ∆CDB за третьою ознакою, тоді ∠ADB = ∠CDB. 999.Точки C і D лежать по різні
прямої AB, AC = AD і BC = BD. Доведи, що AB бісектриса кута CAD.
Розглянемо ∆ACB й ∆ADB, AC = AD, CB = BD за умовою, AB спільна сторона, виходить,
∆ACB = ∆ADB за третьою ознакою й
∠CAB = ∠DAB, виходить, AB бісектриса ∠CAB.
1000.Трикутники ACB і ADB мають спільну основу AB, AC = AD, BC = BD. Доведи, що AB ⊥ CD.
∆ACB = ∆ADB за третьою ознакою, AC = AD, CB = BD за умовою, AB спільна сторона, виходить, ∠CAB = ∠DAB, ∠DBA = ∠CBA.
∆AOC = ∆AOD за першою ознакою AC = AD, AO
суміжні, виходить, ∠COA = ∠DOA = 90°. Виходить, AB ⊥ CD.
1001.Точки C
За умовою AC = DB й AD = CB.
∆ACB = ∆BAD за третьою ознакою, AC = DB, AD = CB за умовою, AB спільна сторона, виходить, ∠DAB = ∠CBA.
Тоді у ∆AOB 2 кути рівні, виходить, він рівнобедрений.
1002.Точки C і D лежать по один бік від прямої AB, AC = BD і AD = CB. Доведи, що ΔAKB рівнобедрений, де K точка перетину прямих AC і BD.
∆ACB = ∆BDA за третьою ознакою, AC = DB, CB = AD за умовою, AB спільна сторона, виходить, ∠ACB = ∠BDA, ∠DAB = ∠CBA, ∠DBA = ∠CAB.
Якщо ∠DBA = ∠CAB, то у ∆AKB 2 рівних
рівнобедрений. До § 16
1003.У трикутнику ABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. Укажи найбільшу й найменшу сторони трикутника.
У трикутнику напроти більшого
У ∆ABC, ∠A = 70°, ∠B = 80°, тоді за теоремою
∠C = 180° – (70° + 80°) = 30°.
Виходить, найбільша сторона AC, найменша
1004.
трикутника. У ∆ABC, AB : 2 = BC : 3 = AC : 7,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Тоді ∠AKB > ∠C, а відтак, ∠A > ∠C. 1007.
BK
кути A і C.
Нехай дано ∆ABC, BK висота, AK й KC = 1 : 3.
Якщо AK : KC = 1 : 3, то KC > AK й оскільки BK
прямокутні.
Тоді ∠ABK > ∠KBC. Тоді з ∆ABK
∠A = 90° – ∠ABK, з ∆BKC ∠C = 90° – ∠KBC.
Тому що ∠ABK > ∠KBC, то ∠A < ∠C. 1008.Дві сторони
сторону трикутника.
6 см.
1009.Одна сторона рівнобедреного
Знайди інші сторони трикутника.
Якщо основа рівнобедреного трикутника 39 см, тоді нехай бічні
Одержуємо рівняння: 39 + x + х = 157, 2х = 118, х = 59 см.
Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника
рівняння: 39 • 2 + х = 157, х = 79 см, але 79 > 39 • 2, 79 > 78, тоді
AK : KC = 1 : 3.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1,8 – 0,6 < с < 1,8 + 0,6, 1,2 < с < 2,4.
Виходить, с = 2 см, тоді P = 0,6 + 1,8 + 2 = 4,4 см.
Відповідь: 4,4 см. 1012.Дві сторони
основа дорівнює 2 см. Нехай ∆ABC рівнобедрений, BD
є й медіаною).
Тоді 5 – 1 < BD < 5 + 1, 4 < BD < 6.
Виходить, BD = 5 см.
Але ∆ABD прямокутний,
інший.
Нехай один
За теоремою їхня
Одержуємо рівняння:
х + 4х = 90°;
5х = 90°;
х = 18°.
Виходить, один гострий
Відповідь: 18°, 172°.
1014.Кути трикутника пропорційні числам 1,
прямокутний.
Нехай одиничний кут х°, тоді кути трикутника рівні х°,
6х = 180°; х = 30°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
катета (х – 7) см, а гіпотенузи (х + 1) см.
Одержуємо рівняння: х + х – 7 + х + 1 = 30; 3х = 36; х = 12.
Виходить, довжина одного
гіпотенузи 13 см.
Відповідь: 5 см, 12 см, 13 см. 1017.Медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої
трикутник прямокутний.
∆ABC, CD медіана, CD = AD = BD. Доведемо,
За умовою CD = AD = BD, тоді ∆BDC й ∆ADC рівнобедрені,
∠B = ∠DCB, ∠A = ∠DCA.
Виходить, ∠В + ∠А = ∠DCB + ∠DCA = ∠C.
Значить, ∆ABC прямокутний.
1018.Знайди
один із кутів 30°.
Нехай дано ∆ABC, ∠C = 90°; AB = 10 см,
∠A = 30°.
Знайдемо найменший катет. Якщо ∠A = 30°, то
∠B = 90° – 30° = 60°, виходить, CB
За теоремою
htps://shkola.in.ua/3332
AB = 12 см, CD висота.
Знайдемо: BD й DA. За умовою ∆ABC,
∠BCA = 90°; ∠ B = 30°, AB = 12 см, тоді
∠A = 90° – 30° = 60°, за теоремою
AC = AB : 2 = 12 : 2 = 6 см (за властивістю).
У ∆CDA, ∠CDA = 90°, оскільки CD висота,
∠A = 60°, тоді ∠DCA = 30°.
Виходить, AD = AC : 2 = 6 : 2 = 3 см.
Оскільки AC = 12 см й AC = AD + BD, то
BD = 12 – 3 = 9 см.
Відповідь: 9 см, З см. 1020.У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, BP бісектриса, BP = 5 см. Знайди AC.
Нехай даний ∆ABC, ∠C = 90°, ∠CBA = 60°; BP – бісектриса ∠ABC, BP = 5 см.
Знайдемо AC. Якщо ∠CBA = 60° й BP бісектриса ∠ABC, то
∠CBP = ∠PBA = ∠CBA : 2 = 60°: 2 = 30°.
У ∆BCP ∠C = 90°, ∠CBP = 30°, тоді CP = BP: 2 = 5 : 2 = 2,5 см.
У ∆BPA ∠PBA = 30° і ∠A = 30° (за
якщо ∠CBA = 60°, то ∠A = 90° – 60° = 30°).
Значить, він рівнобедрений, отже, BP = PA = 5 см. Тоді AC = CP + PA = 2,5 + 5 = 7,5 см.
Відповідь: 7,5 см. 1021.У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, CK ⊥ AB, K
K до сторони BC, якщо AC = 8 см.
даний ∆ABC, ∠ACB = 90°; ∠A = 30°, CK ⊥ AB, AC = 8 см.
KM
точки K
CB.
∆ACK, ∠CKA = 90°, оскільки CK ⊥ AB, ∠A = 30°, AC = 8 см, тоді
CK = AC : 2 = 8 : 2 = 4 см і ∠ACК = 90° – 30° = 60°
трикутника.
ACB = 90° і ∠ACB = ∠ACK = ∠KCB,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
тоді ∠KCB = 90° – 60° = 30°.
У ∆CKM ∠KMC = 90°, оскільки KM відстань від точки K
CB,
∠KCB = 30°, тоді KM = CK : 2 = 4 : 2 = 2 см (за властивістю).
Відповідь: 2 см.
1022.Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Знайди довжину висоти, проведеної
Нехай даний ∆ABC, ∠BCA = 90°; AC = BC, CD висота. AB = 10 см.
За умовою в ∆ABC, AC = BC і CD висота, виходить,
бісектриса.
Тоді BD = AD. ∠BCD = ∠ACD = 90° : 2 = 45°
(за умовою ∠BCA = 90°).
∠А = ∠B = 90° : 2 = 45° як кути при основі
Тоді ∆BDC й ∠ADC рівнобедрені. Виходить, BC = CD = AD.
Якщо AB = 10 см і AB = BD = AD, то
CD = 10 : 2 = 5 см.
Відповідь: 5 см. 1023.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
MC = CD, виходить, це квадрат, тоді
MC = MK = KD = CD = 10 : 2 = 5 см.
Відповідь: MK = KD = 5 см.
1024.M, N, P і K середини сторін
ABCD. Доведи, що MNPK квадрат.
Нехай даний квадрат ABCD, точки М, N, Р, K середини сторін АВ, BC, CD, AD.
Доведемо, що MNPK квадрат. ∆MBN = ∆NCP = ∆PDK = ∆KAM по двох катетах і є рівнобедреними,
BN = NC = CP = PD = AK = AM = MB = KD, оскільки точки М, N, Р, K середини сторін
АВ, BC, CD, AD.
Виходить, MN = NP = PK = MK та ∠BMN = ∠MNB = ∠CNP = ∠CPN = ∠KPD = ∠DKP = ∠AKM = ∠AMK = 90°.
Розглянемо ∠BNC = ∠BNM + ∠MNC + ∠PNC, оскільки ∠BNM = ∠PNC = 45°, то ∠BNC = 45 • 2 + ∠MNP, ∠BNC розгорнутий, виходить, ∠BNC = 180°, тоді ∠MNP = 90°.
Аналогічно ∠NPK, ∠PKM, ∠KMN теж 90°.
Виходить, MNPK квадрат.
1025.Хорда AB кола із
∠AOB. AB = OA
Виходить, ∠AOB = 60°.
Відповідь: 60°.
1026.
§ 18
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
r, AB хорда, ∠AOB = 120°.
OM відстань від точки O до хорди AB.
Знайдемо ОМ. ∆AOB рівнобедрений, AO = OB = r, ∠AOB = 120°.
Тоді ∠A = ∠B = (180° – 120°) = 30°.
Якщо OM відстань від точки O до хорди AB, то OM ⊥ AB.
Тоді у ∆AOB, OM висота, а виходить, і медіана, і бісектриса.
Виходить, ∠B = 90°– 60° = 30°.
За властивістю ОМ = ОВ : 2 = r : 2 = r 2 .
Відповідь: r 2 .
1027.Діаметри AB і CD кола із центром O перпендикулярні. Доведи, що ∠ACB = 90°.
Нехай дана окружність із центром у точці О.
CD ⊥ AB і є діаметрами окружності.
Доведемо ∠ACB = 90°.
∆СОВ = ∆COA за двома катетами.
∠COB = ∠COА = 90°, бо
CD ⊥ AB. ОС = ОВ = ОА = r.
Тоді вони рівнобедрені, виходить,
∠ACO = ∠OCB = 45°.
Виходить,
∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = 45° + 45° = 90°.
Відповідь: 90°.
1028.У
1029.
Нехай дана окружність із центром у точці О, AB і CD хорди, AB ∥ CD.
Доведемо: AB = CD. У ∆AOB й ∆DOC, AO = OB = OC = OD як радіуси окружності, ∠AOB = ∠CO, як вертикальні, оскільки
∆AOB = ∆DOC за першою ознакою, виходить, AB = CD.
1030.Центр кола, описаного навколо трикутника,
трикутник рівнобедрений.
Дано: △ABC, O – центр описаного кола; BN – висота
Довести: △ABC – рівнобедрений.
Доведення Центр кола, описаного
перпендикулярів до його сторін.
Оскільки O ∈ BN і BN ⊥ AC, то BN є серединним перпендикуляром до AC. Тому N
середина AC, тобто BN медіана.
Розглянемо △ANB і △CNB:
1) AN = CN оскільки N середина AC; 2) ∠ANB = ∠CNB = 90° оскільки BN ⊥ AC;
3) BN спільна сторона. Отже, △ANB = △CNB
AB = CB як
Отже, △ABC рівнобедрений.
Дано: коло K(O; OA); OA, OB радіуси; ∠AOB = 130°; CA, CB дотичні.
Знайти: ∠ACB.
Розв'язання
Оскільки A і B точки дотику, то OA ⊥ AC, OB ⊥ BC.
OA = OB як радіуси, OC спільна сторона трикутників CAO і CBO, тому △CAO = △CBO як прямокутні трикутники за катетом і гіпотенузою.
У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому:
∠AOC = ∠BOC = 130° : 2 = 65°.
∠ACO = ∠BCO.
З прямокутного трикутника CAO:
∠ACO = 90° – ∠AOC = 90° – 65° = 25°.
Тоді ∠ACB = 2 · ∠ACO = 2 · 25° = 50°.
Відповідь: 50°.
1032.Дано два кола з радіусами 3 см і 5 см. Як розміщені
центрами дорівнює: а) 6 см; б) 8 см; в) 10 см?
а) O₁O₂ = 6 см
r₁ + r₂ = 3 + 5 = 8 (см); r₂ – r₁ = 5 – 3 = 2 (см).
Оскільки r₂ – r₁ < O₁O₂ < r₁ + r₂, тобто 2 < 6 < 8, то кола перетинаються.
б) O₁O₂ = 8 см
r₁ + r₂ = 3 + 5 = 8 (см).
Оскільки O₁O₂ = r₁ + r₂, то кола
в) O₁O₂ = 10 см
r₁ + r₂ = 3 + 5 = 8 (см).
Оскільки O₁O₂ > r₁ + r₂, тобто 10 >
1033.Два кола
(2х + 3х) см; (3х + 4х) см й (2х+ 4х) см.
Одержуємо рівняння:
2х + 3х + 3х + 4х + 2х + 4х = 36, 18х = 36, х = 2.
Тоді радіуси окружностей 4 см, 6 см і 8 см.
Відповідь: 4 см, 6 см, 8 см. 1036.З точки А до кола проведено
M (мал. 23.12). Знайди довжини
дорівнює 36 см.
За
властивістю дотичних, проведених
AB = AK + KB, оскільки KB = KM, то AB = AK + KM.
AC = AP + PC, оскільки PM = PC, то AC = AP + PM.
P∆АОВ = AK + KP + AP.
AB + AC = AK + KM + AP + PM, оскільки KM + MP = KC, то
точки AB = AC, KB = KM, PM = PC.
AB + AC = AK + KC + AP = 36 см, оскільки AB = AC, то AB = AC = 36 : 2 = 18 см. Відповідь: 18 см.
1037.З точки A
ABC.
AB і AC. ∠BOC = 120°, AB = 7
Нехай дана окружність із центром у точці О. AB та BC хорди, ∠BOC = 120°, AB = 7 см.
Знайдемо периметр ∆ABC.
Якщо ∠BOC = 120°, то точки А, В, C
рівносторонній.
Тоді P∆АВС = 7 • 3 = 21 см.
Відповідь: 21см.
1038.Знайди ширину кільця, утвореного
Нехай дані дві концентричні
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай задано дві концентричні окружності, радіус більшої окружності OA = 10 см,
AC дотичні, ∠BAC = 60°.
Знайдемо BO. Розглянемо ∆ABO, AO = 10 cм за умовою.
∠OBA = 90° за властивістю дотичної. OA є бісектрисою ∠BAC, значить,
∠BAO = 60° : 2 = 30°, тоді за властивістю
BO = AO : 2 = 10 : 2 = 5 см.
Відповідь: 5 см.
§ 19 1041.Знайди
htps://shkola.in.ua/3332
1046.Знайди геометричне
які дотикаються до цих прямих. Знайдемо
окружності із центрами в точках
2)
3) AB = 2CB
4) AB = 10 см.
5) OA = OB = 5 см.
Відповідь:
1) R = 0,5AC, R
2) Нехай МС = х (см), тоді BM = (9 – х) см, BM = BK = KO = OM = r (радіус уписаної
дорівнює 45°.
3) ∆МОК = ∆COL; LA = AK;
4) MC = CL = х (см); LA = AK = (15 – х) (см);
5) То AB = AK + KB, 12 = 15 – х + 9 – х; 12 = 24 – 2х; –12 = –2х; х = 6.
7) KO = OM = OL = BM = 9 – 6 = 3 (см).
Відповідь: R = 7,5 см, r = 3 см.
BL
htps://shkola.in.ua/3332
1) ∆КОА = ∆АОМ,
2) Нехай NC = х (см), тоді ВС = (3 + х) (см).
AM = (20 – х) (см); AB = (20 – х) + 3 (см);
Р = 3 + х + 23 – х + 20 = 46 (см).
Відповідь: 46 см.
1053.Точка
1) P = 44 см.
2) 44 – (5 + 7) = 44 – 12 = 32 (см).
3) 32 = 5 + х + х + 7; 32 = 12 + 2х; 20 = 2х;
х = 10. AB = 15 см; AC = 17 см.
Рівність
Відповідь: 15 см; 17 см. 1054.У
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∆AOC = ∆MOA; ∆BOM = ∆BON за катетом і гіпотенузою, тому MB = BN = х (см); MA = 2х (см); AN = 2х (см); KC = (15 – x) (см); NC = (15 – х) (см).
3) Складемо рівняння: 2х + х + х + 15 – 2х = 27; 2х + 15 = 27; 2х = 12 х = 6. MB = 6 см; AM = 12 см; AB = 6 + 12 = 18 см; BN = 6 см; NC = 15 – 12 = 3 см; BC = 6 + 3 = 9 см.
Відповідь: 18 см; 9 см. 1055.Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 7 см і 10 см. Знайди відрізки, на які точка дотику вписаного кола ділить найбільшу сторону трикутника.
1) ∆AOK = ∆AOD; ∆KOB = ∆МОВ; ∆MOC = ∆DOC за катетом і гіпотенузою;
2) AD = AK; KB = BM; MC = CD.
3) Нехай ВМ = х (см), AK = (7 – х) (см); AD = AK = (7 – х) см; MC = CD = (5 – х) (см).
4) Складемо рівняння: 5 – х + 7 – х = 10; 12х – 2х = 10; –2х = –2; х = 1.
AD = 6 см;
DC = 4 см.
Відповідь: 6 см; 4 см. 1056.Бічна сторона
htps://shkola.in.ua/3332
трикутнику. Кожний кут цього трикутника дорівнює 60°. Відповідь: 60°.
1058.Висота
Дано: △ABC рівносторонній;
кіл; BN = h.
Довести: r + R = h.
Доведення У рівносторонньому
= R
= r як
Тому: h = BN = BO + ON = R + r.
Отже, r + R = h. Що і треба
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
x + a – x + a – x + b – x + b – x + x = р; 2а + 2b – 2х = р; a + b – х = p 2 ; b – х = p 2 – a.
1060.У прямокутний трикутник зі сторонами AB = 10 см, AC = 8 см і BC = 6 см вписано коло. MN дотична до кола, проведена паралельно до сторони BC (M ∈ AB, N ∈ AC). Знайди периметр трикутника AMN.
1) Нехай: AL = AD = х, тоді LC = (8 – х) (см), PB = (10 – х) (см).
2) Складемо рівняння: 8 – х + 10 – х = 6; 18 – 2х = 6; – 2х = –12; х = 6.
3) LN = ND; DM = MP за властивістю дотичної окружності. P∆ANM = AL + AP = 6 + 6 = 12 см. 1061.Дано ΔABC зі сторонами 7 см, 9 см
точки P і K так, що пряма
трикутника PBK.
Пояснення аналогічне №1060. 7 – х + 9 – х = 10; 16 – 2х = 10; –2х = –6; х = 3. PB = PK = 3
AN : NB = 1 : 3.
4)
5)
1.
2.
Побудувати прямокутний трикутник за катетами а та b.
1) Довільна пряма, довільна точка А.
2) Від точки А відкласти відрізок довжиною а. Позначити іншу точку.
3) Із точки А побудувати перпендикуляр до прямої через точку, що лежить на прямій. 4) На цьому перпендикулярі відкласти від А другий катет.
5) З’єднати точки кінців катетів. ∆ABC
6)
7) Одержали точку D. Відрізок CD = DB = DA = R. 8)
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1074.Побудуй прямокутник,
відносяться як 2 : 3.
1) р = 20 см. Складемо рівняння, щоб знайти сторони прямокутника. (2х + 3х) • 2 = 20; 5х = 10; х = 2. Ширина 2 • 2 = 4 см; довжина 2 • 3 = 6 см.
2) Побудуємо прямокутний трикутник, у якому
(схема № 1069). 3) З побудованої точки В провести пряму, паралельну AC.
4) BD = AC. 5. ABCD заданий прямокутник. 1075.Дано прямі a і c, що перетинаються, і
ньому MN = h.
3. Через точку N проводимо пряму l, паралельну BC.
4. Будуємо коло з центром у точці C радіуса b.
5. Позначаємо A точку перетину кола з прямою l.
6. Сполучаємо A з B і C. Трикутник ABC шуканий.
Доведення
побудовою BC = a і AC = b (як радіус
MN = h, а
вершини A, дорівнює h. 1077.
60°;
15°; г) 120°; ґ) 150°; д) 75°. Побудова
б) Кут 60°
1)
3)
рівні. 1080.Упиши
а) 1) Проведіть два взаємно перпендикулярних
вершинами квадрата, уписаного в окружність.
3) ABCD заданий квадрат.
б) 1) Ділимо окружність
Побудова
1. Будуємо
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4. Позначаємо
5. Будуємо
Дано: середина АР;
Р – середина АС;
Т – середина ВС.
Довести: КР = ВТ.
Доведення Припустимо, що КР = ВТ = х;
АР = АК + КР = (х + РВ) + х = 2х + РВ;
РС = РТ + ТС = (РВ + х) + х = 2х + РВ.
Маємо АР = РС.
Тому припущення правильне. КР = ВТ.
1091.Точка С середина відрізка АВ. Знайди на відрізку
щоб виконувалася рівність ХА = 1,5(ХВ + ХС).
Дано: С – середина АВ;
ХА = 1,5(ХВ + ХС).
Знайти: точку Х.
Розв’язання Припустимо, що Х
середина СВ, тоді ХА = 1,5АС = 1,5(ХВ + ХС).
Тому припущення правильне. Х – середина СВ. 1092. Один із суміжних
Дано: ∠1 і ∠2 – суміжні;
∠1 > ∠1 – ∠2 в 3 рази.
Знайти: ∠1; ∠2.
Розв’язання
Нехай ∠1 – ∠2 = х, тоді ∠1 = 3х; ∠2 = 3х – х = 2х.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 = 180°.
3х + 2х = 180°; 5х = 180°;
х = 36°.
∠1 = 3 · 36° = 108°;
∠2 = 2 · 36° = 72°.
Відповідь: 108°; 72°. 1093. Точки А, В, С і D розміщені
ADB.
Дано: АВ = ВС = СА; DA = DB = DC.
Знайти: ∠ADB.
Розв’язання
∆АВС – рівносторонній;
∠А = ∠В = ∠С = 60°.
∆ADB: ∠DAB = ∠DBA = 1 2 · 60° = 30°.
∠ADB = 180° – (∠DAB + ∠DBA) = 180° – (30° + 30°) = 120°.
Відповідь: 120°.
1094. Знайди суму кутів A, B, C, D, E, F і K семикутної
Дано: семикутна зірка.
Знайти: ∠А + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠K.
Розв’язання
(мал. 23.14).
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠K = 180° – (∠AED + ∠ADE) + 180° – (∠BFE +
BEF) + 180° – (∠CKF + ∠CFK) + 180° – (DAK + ∠DKA) + 180° – (
EBA + ∠EAB) + 180° – (∠FCB + ∠FBC) + 180° – (∠KDC + ∠KCD) = 180° · 7 – 180° · 6 = 180°.
180°.
1095.
1.
2.
P∆ABC = 1 2(a + b + c).
Відповідь: 1 2(a + b + c).
1099. Доведи, що сума
Дано: ∆АВС;
АК, ВМ, СL – медіани.
Довести: 1 2
Р∆ < AK + BM + CL < P∆.
Доведення
AK < AC, BM < AB, CL < BC,
тоді AK + BM + CL < P∆ABC; AK > 1 2AC, BM > 1 2AB, CL > 1 2BC,
тоді AK + BM + CL > 1 2 P∆ABC.
Отже, 1 2 P∆ABC < AK + BM + CL < P∆ABC.
1100. Доведи, що
трикутників.
Дано: ∆АВС Довести: ∆АВС
Проведемо висоту BD.
∆BDA (∠D = 90°) : DK = AK, DK = KB, тоді ∆AKD i ∆DKB – рівнобедрені.
∆BDC (∠D = 90°).
DM = CM, DM = BM, тоді ∆DMC i ∆BMD – рівнобедрені.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1101. Відрізки AB і CD
що OC = OD.
Дано: АВ Х CD в точці О;
АС = АО = ВО = BD.
Довести: ОС = OD.
Доведення
В ∆AOC i ∆BOD:
1) AC = BD – за умовою;
2) АО = ВО – за умовою;
AC = AO = BO = BD.
3) ∠САО = ∠DBO – як кути при вершині рівнобедрених трикутників.
Отже, ∆АОС = ∆BOD за першою ознакою рівності трикутників.
Тоді ОС = OD як відповідні сторони рівних трикутників. 1102. Відрізок BB₁ бісектриса
Дано: ∆АВС;
АВ = ВС, М ∈ АС.
Довести: MK + MD – стала величина.
Доведення
Проведемо MD ∥ AB, D ∈ BC.
∆MDC: ∠DMC = ∠A, ∠A = ∠C,
тоді ∠DMC = ∠C.
Отже, ∆MDC – рівнобедрений; DM = DC.
Проведемо МК ∥ ВС, К ∈ АВ.
∆АКМ: ∠КМА = ∠С, ∠С = ∠А, тоді ∠КМА = ∠А
Отже, ∆АКМ – рівнобедрений; МК = АК.
Звідси МК + MD = BD + DC = DC.
Тоді MK + MD – стала величина.
1104. У трикутнику ABC AB = BC, ∠B = 20°. На стороні AB взято точку M таку, що BM = AC. Знайди кут ACM. Дано: ∆АВС; АВ = СВ;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Тоді ∠ВСМ = ∠АВК = 1 2 · 20° = 10°. як
∠ВСМ = 80° – 10° = 70°.
Відповідь: 70°.
1105. Гострі
Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ∠А : ∠В = 1 : 3. СК – бісектриса.
Довести: СК = СВ.
Доведення
Нехай ∠А = х°, тоді ∠В = 3х°.
∠А + ∠В = 90°;
х + 3х = 90°;
4х = 90°; х = 22,5°.
∠А = 22,5°; ∠В = 3 · 22,5 = 67,5°.
∆ВСК (∠ВСК = 45°): ∠ВСК = 180° – (∠ВСК + ∠В)
Отже,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠BCD = 90° – (x + n°) = 90° – x – n°.
∆AMC: AM = MC, тоді ∆АМС – рівнобедрений;
∠АСМ = ∠А = х.
∠MCD = 90° – (∠ACM + ∠BCD) = 90° – (x + 90° – x – n°) = 90° – x – 90° + x + n° = n°.
частини. Знайди кути
АСМ = ∠МСН = ∠НСВ.
Знайти: ∠А; ∠В; ∠С.
Розв’язання
∠ВОС = 90° + 0,5∠А.
1109.
що KA + KB = KC.
Дано: ∆АВС – рівносторонній,
Довести: КА + КВ = КС.
Доведення
Проведемо BL ∥ AK.
∆KBL – рівносторонній, тоді KB = KL.
Проведемо СМ ∥ КВ.
∆LMC – рівносторонній, тоді MC = LC; AK = MC ⇒ AK = LC; KA + KB = LC + LK = KC.
Отже, КА + КВ = КС. 1110. Гіпотенуза прямокутного
CD = x, тоді
= АМ = MD = 2x.
= 4х,
∆CDM (∠D = 90°): CD = x, CM = 2x, тоді ∠CMD = 30°.
∠AMC = 180° – 30° = 150°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∆AMC: AM = CM,
тоді ∆АМС – рівнобедрений.
∠А = ∠МСА = (180° – ∠АМС) : 2 = (180° – 150°) : 2 = 30° : 2 = 15°.
∆АВС(∠С = 90°) : ∠В = 90° – ∠А = 90° – 15° = 75°.
Відповідь: 15°; 75°.
1111. Знайди помилку в міркуваннях.
Доведемо, що прямий кут дорівнює тупому. Нехай ∠ABC тупий,
(мал. 23.15). Відкладемо AD = BC, проведемо відрізок DC і серединні перпендикуляри KO і PO до відрізків AB та CD. Вони перетнуться в деякій точці O, бо прямі AB і CD не паралельні. Сполучивши точку O з точками A, B, C і D, одержимо
OAD і OBC (за трьома сторонами). Отже, ∠OAD
Побудова
Нехай с – b = x; c = b + x.
За т. Піфагора: c2 = a2 + b2; (b + x)2 = a2 + b2; b2 + 2bx + x2 = a2 + b2; 2bx + x2 = a2; b = ����2 ���� 2 2x ; b = 32 1,52 2 · 1,5 = 9−2,25 3 (cм).
Побудова Нехай а – b = x; а = b + x.
За т. Піфагора: а2 + b2 = c2; (b + x)2 + b2 = c2; b2 + 2bx + x2 + b2 – c2 = 0; 2b2 + 2bx + x2 – c2 = 0.
Розв’яжемо квадратне рівняння для b: D1 = k2 – ac; a = 2; k = x; c = x2 – c2;
(см). a = b + x; a = 2,4 + 2 = 4,4 (см).
Дано: SABCD = S.
Нехай b – a = x; b = a + x.
γ = 180° – (α + β);
γ = 180° – (50° + 84°) = 46°.
1.
1116. Дано тупокутний
Побудова:
γ = 180° – (α + β).
γ = 180° – (40° + 85°) = 55°.
1. Побудуємо ∠С = 55°.
2.
4.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
