пряму?
Через кожні три точки не можна провести пряму. Не існують три точки, через які можна провести пряму.
3. Провідміняй слово: а) точка; б) пряма; в) площина. а) точка; точки; точці; точку; точкою; на точці.
б) пряма; прямої; прямій; пряму; прямою; на прямій.
в) площина; площини; площині; площину; площиною; на площині.
4. 1) Опиши, як взаємно розташовані точки
2)
1) A ∈ p, B ∈
5.
б) ні; в) ні.
6.
малюнку 1.19.
Пряма AB.
9.
Чотири промені.
23. Lines p and k intersect at point M. How many rays have been formed?
Утворилося 4 промені.
htps://shkola.in.ua/3332
AB, якщо точка C
СВ = 5 дм. А. 10 см; Б. 2,5 см; В. 2,5 дм; Г. 1 м.
АВ = 2 • 5 = 10 (дм) = 1 м.
Відповідь: Г.
38.Знайди довжину відрізка, який
Дано: С – середина АВ;
СВ = 35 см;
Знайти: АВ.
Розв'язання.
АВ = 2 • СВ = 2 • 35 = 70 (см).
Відповідь: 70 см.
середина і CB = 5 дм.
Дано: АК = КР = РВ. shkola.in.ua
39.Точка C ділить відрізок AB у відношенні 1 : 2 (мал. 2.13). Знайди:
1) CB, якщо AC дорівнює: 1 см; 3 дм; 10 км;
2) AB, якщо AC дорівнює: 2 см; 5 дм; 30 м;
3) AB, якщо CB дорівнює: 2 см; 6 м; 12 км.
1) Дано: АС : СВ = 1 : 2.
Знайти: СВ.
Розв'язання
СВ = 2 • АС.
Якщо АС = 1 см, то СВ = 2 • 1 = 2 (см); якщо АС = 3 дм, то СВ = 2 • 3 = 6 (дм);
якщо АС = 10 км, то СВ = 2 • 10 = 20 (км).
2) Знайти: АВ.
Розв'язання
АВ = АС + СВ = АС + 2 • АС = 3 • АС.
Якщо АС = 2 см, то АВ = 3 • 2 = 6 (см);
Якщо АС = 5 дм, то АВ = 3 • 5 = 15 (дм); якщо АС = 30 м, то АВ = 3 • 30 = 90 (м).
3) Знайти: АВ.
Розв'язання
АВ = АС + СВ = 1 2 СВ + СВ = 3 2 СВ. Якщо СВ = 2 см, то АВ = 3 2 • 2 = 3 (см); якщо СВ = 6 м, то АВ = 3 2 • 6 = 9 (м);
якщо СВ = 12 км, то АВ = 3 2 • 12 = 18 (км).
40.Знайди довжину
частини і KP = 7 см.
RK, RL, RP, RT, KL, LP, PT, KT.
OA, OB, OC, OD, AB, BC, CD, AD, AC, BD.
10
AB, AC, AD, BC, BD, CD. 48.
52.Точка C лежить між
AB.
Дано: C ∈ AB; AC = 5 см;
BC > AC на 3 см.
Знайти: AB.
Розв'язання
Зарічна
Знайти:
а) Сонячна – Кільцева; 17 – 5,5 = 11,5 (км).
б) Мудрьона – Зарічна; 17 – 4,5 = 12,5 (км).
в) Сонячна – Мудрьона. 12,5 – 5,5 = 7 (км).
За умовою ВС = 5 + 3 = 8 (см).
За основною
АВ = 5 + 8 = 13 (см).
Відповідь: 13 см.
53.Point K lies between points B and P. BK = 8 cm, and the distance PK is 4 cm more. Find BP.
Дано: К ∈ ВР; ВК = 8 см;
РК > ВК на 4 см.
Знайти : ВР.
Розв'язання
За умовою РК = 8 + 4 = 12 (см).
За основною властивістю
РК = 8 + 12 = 20 (см)
Відповідь: 20 см.
54.Розглянь
(мал. 2.17).
Масштаб: 1 : 1 000 000
1 см → 1000000 см
на карті 3,5 см,
АС = 50 + 35 = 85 см
5 • 10 = 50 км
3,5 • 10 = 35 км
а) AX = 2,5 км, XB = 3,4 км; б) AX = 5,3 км, XB на 4,2
AX; в) XB = 2 1 3 км, AX = 6XB.
а) AB = AX + XB = 2,5 + 3,4 = 5,9 (см);
б) AB = AX + XB = 5,3 + 4,2 = 9,5 (см);
в) AB = AX + XB = 2 1 3 + 6 2 3 = 9 (см).
56.Точка M лежить
а) KP = 0,9 дм, KM = 0,3 дм; б) KP = 2 5 6 дм, KM = 1 1 6 дм.
а) MP = КР – КМ = 0,9 – 0,3 = 0,6 (дм);
б) MP = КР – КМ = 2,6 – 1,4 = 1,2 (дм);
в) MP = КР = 25 61 6 = 2 2 3 (дм).
57.Точка A лежить між
MK = 2,7 см, AK = 1,5 см; б) MK = 12,6 м, AK = 8,4 м.
а)
Дано: МК = 2,7 см; АК = 1,5 см. Знайти: АМ.
= МК – АК; АМ = 2,7 – 1,5 = 1,2 (см) Відповідь: 1,2 см.
МК = 12,6 см; АК = 8,4 м.
= МК – АК; АМ = 12,6 – 8,4 = 4,2 (м)
4,2 м.
AB = 1,9 дм, BC = 2,9 дм, AC = 4,9 дм?
59.Чи лежать точки A, M і K
а) AM = 6,8 см, MK = 4,2 см, AK = 10 см;
б) AM = 12,6 см, MK = 4,5 см, AK = 8,1 см?
Якщо так, то яка точка лежить між двома іншими?
а) АМ = 6,8 см; МК = 4,2 см; АК = 10 см.
АМ + МК = АК.
6,8 + 4,2 = 10.
11 ≠ 10. Ні.
б) АМ = 12,6 см; МК = 4,5 см; АК = 8,1 см
АК + МК = АМ
8,1 + 4,5 = 12,6.
12,6 = 12,6.
Точка К лежить між точками А і М.
60.M середина відрізка
якщо KB = 7 см.
Дано: М – середина АВ; К – середина МВ,
КВ = 7 см.
Знайти: АМ, АК, МК і АВ.
Розв’язання
МВ = 2 • КВ; МВ = 2 • 7 = 14 (см);
АМ = МВ = 14 см.
АВ = 2 • МВ = 2 • 14 = 28 (см).
АК = АМ + МК; АК = 14 + 7 = 21 (см).
МК = КВ = 7 см.
Відповідь: 14 см; 21 см; 7 см; 28 см.
61.Точки A, B, C і K
AC = 12 см.
AB = BC = CK.
СК = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см).
62.Точка C
(1–3),
A
1) АВ, якщо АС = 2 см, ВС = 6,2 см.
АВ = АС + ВС; АВ = 2 + 6,2 = 8,2 (см).
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
2) АС, якщо АВ = 10,4 см; ВС = 7,2 см.
АС = АВ – ВС; АС = 10,4 – 7,2 = 3,2 (см).
3) ВС, якщо АС : ВС = 1 : 2; АВ = 15,3 см.
Нехай АС = х см, тоді ВС = 2х см.
АС + ВС = АВ; х + 2х = 15,3; 3х = 15,3;
х = 5,1.
ВС = 2 • 5,1 = 10,2 (см).
Відповідь: 1 – В, 2 – А, 3 – Г.
63.На відрізку XY завдовжки 4,8 дм лежить точка C (мал. 2.18). Знайди
якщо:
а) CY – XC = 1,6 дм; б) CY = 2XC; в) XC : CY = 3 : 5.
СУ = х дм, тоді ХС = (х + 1,3)
Звідси 2х = 3,5; х = 1,75, тоді х + 1,3 = 1,75 + 1,3 = 3,05.
Отже, СУ = 1,75 дм, ХС = 3,05 дм.
1,6, тоді 2х = 2 х 1,6 = 3,2.
EO;
KO : OE = 2 : 7.
КЕ = 12,6 см; О ∈ КЕ;
ОЕ, якщо:
ОЕ > КО на 3 см;
= х см, тоді
= х + 3 (см). КО + ОЕ = КЕ х + х + 3 = 12,6; 2х + 3 = 12,6; 2х = 9,6; х = 4,8.
КО = 4,8 см; ОЕ = 4,8 + 3 = 7,8 (см).
Відповідь: 4,8 см; 7,8 см.
б) ОК < ЕО у 2 рази.
Розв'язання
Нехай ОК = х см, тоді ЕО = 2 х см.
ОК + ЕО = КЕ;
х + 2х = 12,6;
3х = 12,6;
х = 4,2.
ОК = 4,2 см; ЕО = 2 • 4,2 = 8,4 (см).
Відповідь: 4,2 см; 8,4 см.
в) КО : ОЕ = 2 : 7.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді КО = 2 х см, ОЕ = 7 х см.
КО + ОЕ = КЕ,
2х + 7х = 12,6; 9х = 12,6;
х = 1,4.
КО = 2 • 1,4 = 2,8 (см); ОЕ = 7 • 1,4 = 9,8 (см);
Відповідь: 2,8 см; 9,8 см.
65.Чи можна розмістити точки A, B і C так, щоб
а) AB = 5,1 см, BC = 3,5 см, AC = 6,8 см;
б) AB = 3,1 см, BC = 7,2 см, AC = 10,3 см;
в) AB = 2,3 см, BC = 3,5 см, AC = 6,3 см?
а) Оскільки АС > АВ + ВС (6,3 см > 2,3 см + 3,5 см), то точки А, В,
розташувати; б) оскільки АС < АВ + ВС (6,8 см < 5,1 см + 3,5 см), то точки А, В, С можна так розташувати; в) оскільки АС = АВ + ВС (10,3 см = 3,1 см + 7,2 см), то точки А, В, С можна так розташувати: вони лежать на одній прямій, причому точка В між точками А і С. 66.Чи можна розмістити
a) EF = 3,5 см; FK = 7,2 см; EK = 10,7 см. EF + FK = EK.
3,5 + 7,2 = 10,7. 10,7 = 10,7. Так.
б) EF = 7,8 см; FK = 3,4 см; EK = 12 см. EF + FK = EK.
7,8 + 3,4 = 12.
11,2 ≠ 12. Ні.
в) EF = 4,3 см; FK = 6,8 см; EK = 9,2 см. EF + FK = EK.
4,3 + 6,8 = 9,2.
11,1 ≠ 9,2. Ні.
а) AB = 9,2 см, BC = 3,8 см, AC = 13 см;
б) AB = 9,2 см, BC = 3,8 см, AC = 5,4 см;
в) AB = 9,2 см, BC = 13,8 см, AC = 4,6 см?
+
на
АВ. 68.Чи може відрізок FE лежати на промені AF, якщо: а)
AE = 6,8 см; EF = 5,6 см; AF = 12,4 см.
Відрізок FE лежить на промені AF. б)
AE = 6,8 см; EF = 5,6 см; AF = 1,2 см.
Відрізок FE лежить на промені AF. в)
AE = 6,8 см; EF = 15,6 см; AF = 8,8 см.
Відрізок FE не лежить на промені AF.
69.Відомо, що AK = PB (мал. 2.19). Доведи, що AP = KB.
Дано: АК = РВ.
Довести: АР = КВ. Доведення
АР = АК + КР; КВ = РВ + КР. КР – спільна частина,
Відомо, що AP = KB (мал. 2.19). Доведи,
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
= 12
= 4
Дано: МК = 12 см; КР = 4 см.
Знайти: МР.
Розв'язання
I. К ∈ МР.
МР = МК + КР; МР = 12 + 4 = 16 (см).
II. Р ∈ МК.
МР = МК – КР; МР = 12 – 4 = 8 (см).
Відповідь: 16 см або 8 см. 72.Точки А, В, С лежать на одній прямій, АВ = 10
можливі варіанти.
І випадок
(точка С лежить між точками А і В):
АС = АВ – ВС = 10 – 3 = 7 (дм).
ІІ випадок
(точка В лежить між точками А і С):
АС = АВ + ВС = 10 + 3 = 13 (дм).
Відповідь: 7 дм або 13 дм.
73.Точки А, В, С і D лежать на одній прямій,
Знайди AD.
І випадок (точка С лежить між точками А і D):
AD = AB + BC + CD = 2DC + CD = 2 • 7 + 10 = 24 (м).
ІІ випадок
(точок В лежить між точками А і С):
AD = AC – CD = 2BC – CD = 2 • 7 – 10 = 4 (м).
= 3
74.Точки А, В, С і D лежать на одній прямій. Знайди CD, якщо АВ = 10 см, АС = 3 см, BD = 4 см. Розглянь усі можливі варіанти.
І випадок:
CD = AC + CD = AC + (AB – BD) = 3 + (10 – 4) = 9 (см).
ІІ випадок:
CD = AC + AB + BD = 10 + 3 + 4 = 17 (см).
ІІІ випадок:
CD = AB – AC – BD = 10 – 3 – 4 = 3 (см).
IV випадок:
CD = CB + BD = (AB – AC + BD) = = (10 – 3) + 4 = 11 (см).
Відповідь: 3 см, 9 см, або 11 см, або 17 см.
75.Поясніть, як провішують прямі за
віх (мал. 2.20).
5 = 7 + 7 – 3 – 3 –
90° : 3 = 30°.
Відповідь: Б. 84.
1) x = 10° + 35° x = 45°.
2) x = 120° - 97°. x = 23°.
3) x = 90° - 15°; x = 75°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
88.1) Назви
2) Нехай ∠MOA = 25°, ∠AOB прямий, ∠COD = ∠DOB = 30°. Знайди ∠MOB і ∠AOC.
3) Порівняй кути MOC і AOD, AOD і COB.
Гострі: ∠МОА; ∠АОС; ∠COD; ∠DOB; ∠МОС; ∠AOD; ∠COB; ∠MOD.
Прямий: ∠АОВ. Тупий: ∠МОВ.
∠МОВ = ∠МОА + ∠АОВ;
∠МОВ = 25° + 90° = 115°.
∠АОС = ∠АОВ – ∠СОВ;
∠АОС = 90° – 60° = 30°.
∠МОС < ∠AOD; ∠AOD = ∠COB.
89.
область.
135'; 5000'. 135’ = 2°15’; 5000’ = 83°20’.
95.Виконай дії: а) 123°45' + 54°32'; б) 44°14' – 14°44'. а) 123°45’ + 54°32’ = 177°77’ = 178°17’; б) 44°14’ – 14°44’ = 43°74’ – 14°44’ = 29°30’.
96.Запиши
малюнків (мал. 3.19).
1) x + 50° = 90°; x = 90° – 50°; x = 40°.
2) x + 72° + 51° = 180°; x + 123° = 180°; x = 180° – 123°; x = 57°.
3) x + 2x + 45° = 90°; 3x + 45° = 90°; 3x = 90° – 45°; 3x = 45°; x = 15°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
А 10° 100° 60° 90° 100° 180°
B 5° 50° 30° 45° 50° 90°
98.ВК внутрішній промінь кута ABC. Знайди: а) ∠АВС, якщо ∠АВК = 48°, ∠КВС = 32°.
∠АВС = ∠АВК + ∠КВС; ∠АВС = 48° + 32° = 80°. б) ∠АВК, якщо ∠АВС = 64°, ∠КВС = 40°.
∠АВК = ∠АВС – ∠КВС;
∠АВК = 64° – 40° = 24°.
в) ∠КВС, якщо ∠
= 120°, ∠
КВС = ∠АВС – ∠АВК
КВС = 120°2 3 • 120° = 120° - 80° = 40°.
99.Знайди міру кута AOB, якщо OC його внутрішній
= 30°.
∠АОВ = ∠АОС + ∠СОВ = 60° + 30° = 90°.
100.Find the measure of angle AOB, if OC is its internal ray and ∠AOC = 50°, ∠COB = 20°. Дано: ОС – внутрішній
АОС = 50°; ∠СОВ = 20°.
∠АОВ.
= ∠АОС + ∠СОВ.
АОВ = 50° + 20° = 70° Відповідь: 70°.
101. ∠AOB = 40°, ∠BOC = 24°. Знайди ∠AOC, якщо:
ОВ – внутрішній промінь ∠
АОВ = 40°, ∠ВОС = 24°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання ∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС; ∠АОС = 40° + 24° = 64°.
Відповідь: 64°.
∠АОВ = 40°, ∠ВОС = 24°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання
∠АОС = ∠АОВ – ∠СОВ;
∠АОС = 40° – 24° = 16°.
Відповідь: 16°.
102. ∠MON = 35°, ∠KOM = 20°. Знайди ∠KON, якщо:
–
∠KON; ∠MON = 35°; ∠KOM = 20°.
Знайти: ∠KON.
Розв'язання
∠KON = ∠KOM + ∠MON; ∠KON = 20° + 35° = 55°.
Відповідь: 55°.
Дано: ОК – внутрішній промінь ∠MON; ∠MON = 35°; ∠KOM = 20°.
Знайти: ∠KON.
Розв'язання
∠KON = ∠MON – ∠KOM; ∠KON = 35° – 20° = 15°.
Відповідь: 15°.
а) ∠АОМ < ∠МОВ на 20°.
Розв'язання
Нехай ∠АОМ = х°, тоді ∠МОВ = х + 20°.
∠АОМ + ∠МОВ = ∠АОВ.
х + х + 20 = 120;
2х = 120 – 20; 2х = 100;
х = 50.
∠АОМ = 50°; ∠МОВ = 50° + 20° = 70°.
Відповідь: 50°; 70°.
б) ∠АОМ > ∠МОВ в 4 рази.
Розв'язання
Нехай ∠МОВ = х°, тоді ∠АОМ = 4х°.
∠АОМ + ∠МОВ = ∠АОВ; 4х + х = 120;
5х = 120;
х = 24.
∠
МОВ = 24°; ∠АОМ = 4 • 24 = 96°.
Відповідь: 96°; 24°.
в) ∠АОМ : ∠МОВ = 3 : 7.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності,
∠АОМ = 3х°; ∠МОВ = 7х°.
3х + 7х = 120;
10х = 120;
х = 12.
∠АОМ = 3 • 12 = 36°; ∠МОВ = 7 • 12 = 84°.
Відповідь: 36°; 84°.
109.OC
2х = 60 – 16; 2х = 44;
х = 22.
∠СОВ = 22°; ∠АОС = 22° + 16° = 38°.
Відповідь: 38°; 22°.
б) ∠АОС < ∠СОВ у 3 рази.
Розв'язання
Нехай ∠АОС = х°, тоді ∠СОВ = 3х°.
∠АОС + ∠СОВ = ∠АОВ;
х + 3х = 60;
4х = 60;
х = 15.
∠АОС = 15°; ∠СОВ = 3 • 15° = 45°.
Відповідь: 15°; 45°.
в) ∠АОС : ∠СОВ = 7 : 8.
Розв'язання
Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді ∠АОС = 7х°; ∠СОВ = 8х°.
7х + 8х = 60; 15х = 60;
х = 4.
∠АОС = 7 • 4 = 28°; ∠СОВ = 8 • 4 = 32°.
Відповідь: 28°; 32°.
110.Накресли ∠AOB і його
= 90°,
AOK = 40°, ∠MOB = 30°. Знайди ∠KOM.
КОМ = ∠АОВ – ∠АОК – ∠МОВ = = 90° – 40° – 30° = 20°
111.Накресли ∠KOE, і його
KOE = 120°, ∠AOK = 40°,
∠COE = 50°. Знайди ∠AOC. Дано: ∠КОЕ = 120°; ∠АОК = 40°; ∠СОЕ = 50°. Знайти: ∠АОС.
∠АОС = ∠КОЕ – (∠АОК + ∠СОЕ); ∠АОС = 120° – (40° + 50°) = 30°.
Відповідь: 30°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
112.OL і OE внутрішні
кута KOM (мал. 3.21). Знайди кут LOE, якщо ∠KOE = 55°, ∠LOM = 80°, ∠KOM = 110°.
113.OA і OC внутрішні
Дано: ∠KOE = 55°; ∠LOM = 80°; ∠KOM = 110°.
Знайти: ∠LOE.
Розв'язання
∠KOL = ∠KOM − ∠LOM;
∠KOL = 110° – 80° = 30°.
∠LOE = ∠KOE − ∠KOL;
∠LOE = 55° – 30° = 25°.
Відповідь: 25°.
POK.
AOC, якщо
POC = 60°, ∠AOK = 76°, ∠POK = 100°.
Дано: ∠РОС = 60°, ∠АОК = 76°; ∠РОК = 100°.
Знайти: ∠АОС.
Розв'язання
∠POA = ∠POK − ∠AOK;
∠POA = 100° − 76° = 24°.
∠AOC = ∠POC − ∠POA; ∠AOC = 60° − 24° = 36°. Відповідь: 36°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ВТ – бісектриса ∠АВС;
ВК – бісектриса ∠АВТ; ВР – бісектриса ∠ТВС.
Знайти:
а) ∠КВР, якщо ∠АВС = 80°.
Розв'язання
Нехай ∠АВК = ∠КВТ = ∠ТВР = ∠РВС = х°.
∠АВК + ∠КВТ + ∠ТВР + ∠РВС = ∠АВС.
х + х + х + х = 80;
4х = 80;
х = 20.
∠КВР = ∠КВТ + ∠ТВР.
∠КВР = 20° + 20° = 40°.
Відповідь: 40°.
б) ∠АВС, якщо ∠КВР = 50°.
Розв'язання
Нехай ∠АВК =
∠КВТ + ∠ТВР = ∠КВР;
х + х = 50;
х = 25.
∠АВС = 4 • 25 = 100°.
Відповідь: 100°. 118.OM
119.OM і OK
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
AOB, OK
MOB, ∠AOB = 150°, ∠KOB
40°
∠MOK = ∠BOK = 40°;
∠MOB = 2 • 40 = 80°;
∠AOM = ∠AOB – ∠MOB = 150° – 80° = 70°.
Відповідь: 70°, 40°.
120.BM і BP внутрішні промені кута ABC, BM бісектриса кута ABP, ∠ABM на 20°
менший від ∠ABP. Знайди кути ABM, MBP і PBC, якщо
∠ABC = 100°.
∠АВМ = 20°; ∠АВР = 20° + 20° = 40°.
∠МВР = ∠АВМ = 20°.
∠РВС = ∠АВС – ∠АВР = 100° – 40° = 60°.
Відповідь: 20°; 20°; 60°.
121.Знайдіть кут AOB, якщо ∠AOM = 30°, ∠MOB = 60°. Розгляньте два випадки.
122.Дано
Дано: ВМ – бісектриса ∠АВР, ∠АВМ < ∠АВР на 20°; ∠АВС = 100°.
Знайти: ∠АВМ, ∠МВР, ∠РВС.
Розв'язання Нехай ∠АВМ = х°, тоді ∠АВР = х + 20°.
умовою 2 • ∠АВМ = ∠АВР; 2х = х + 20; 2х – х = 20; х = 20.
1) Дано: ∠АОМ = 30°;
∠МОВ = 60°.
Знайти: ∠АОВ.
Розв'язання
∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ.
∠АОВ = 30° + 60° = 90°.
Відповідь: 90°.
2) Дано: ∠АОМ = 30°;
∠МОВ = 60°.
Знайти: ∠АОВ.
Розв'язання
∠АОВ = ∠МОВ – ∠АОМ;
∠АОВ = 60° – 30° = 30°.
Відповідь: 30°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
1) Дано: ОМ – внутрішній промінь ∠АОВ;
∠АОВ = 120°; ∠МОВ = 50°.
Знайти: ∠АОМ.
Розв'язання
∠АОМ = ∠АОВ – ∠МОВ;
∠АОМ = 120° – 50° = 70°.
Відповідь: 70°.
2) Дано: ОВ – внутрішній промінь ∠АОМ;
∠АОВ = 120°; ∠МОВ = 50°.
Знайти: ∠АОМ.
Розв'язання
∠АОМ = ∠АОВ + ∠МОВ;
∠АОМ = 120° + 50° = 170°.
Відповідь: 170°. 123.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
125.Як
дорівнює:
а) 23°.
∠AOC = 8 • 23° = 184°;
∠BOC = 180°;
∠AOB = ∠AOC – ∠BOC;
∠AOB = 184° – 180° = 4°.
126. а) Виріж
міри.
б) Перегинаючи аркуші
30°; 60°.
2) Дано: ОА –
∠ВОС; ∠АОВ = 40°; ∠АОС > ∠АОВ в 2 рази.
Знайти: ∠ВОС.
Розв'язання
∠АОС = 2 • ∠АОВ = 2 • 40° = 80°.
∠ВОС = ∠АОВ + ∠АОС;
∠ВОС = 40° + 80° = 120°.
Відповідь: 120°.
б) 11°
∠BOC = 16 • 11° = 176°;
∠AOC = 180°;
∠AOB = ∠AOC – ∠BOC;
∠AOB = 180° – 176° = 4°.
127.Знайди периметр прямокутника, якщо
5 см.
Друга сторона прямокутника
2 • (5 + 8) = 2 • 13 = 26 см.
128.Чи на одній прямій розташовані
а) AB = 5 дм, BC = 7 дм, AC = 10 дм;
б) AB = 35 см, BC = 45 см, AC = 1 дм;
в) AB = 3 4 дюйма, BC = 2 3 дюйма, AC = 1 12
Точки
(3 4 дюйма = 2 3 дюйма + 1 12
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
���� ;
���� ?
a) B,C,N; б) ����, ���� , ���� , ����.
1. Б. �������� = 10, �������� ∶ �������� =2 ∶ 3. �������� , �������� ?
AB = 10⋅2 5 =4; BC = 10⋅3 5 =6.
Відповідь: AB =4, BC =6.
2. А. �������� = 2 3 �������� , �������� =5.
�������� , �������� ?
BC = 1 3 AC, тоді AC =3 ⋅ BC =3 ⋅ 5= 15;
AB = 2 3 AC = 2 3 ⋅ 15 = 10.
Відповідь: AB = 10, AC = 15.
2. Б. �������� = 20, �������� = �������� =2�������� . �������� , �������� , ��������, �������� , �������� ?
�������� = �������� + �������� + �������� = �������� +2�������� +2�������� =5�������� ,
тоді �������� = �������� :5= 20:5=4;
BC = CD =2 ⋅ AB =2 ⋅ 4=8;
�������� =2 ⋅ �������� =2 ⋅ 8= 16.
Відповідь: AB =4, BC =8, CD =8, BD = 16.
3. А. Запиши кути:
а) гострі;
б) прямі;
в) тупі.
Гострі: AOB, COD, DOE, COE, BOC;
прямі: AOC, BOD; тупі: AOD, AOE, BOE.
3. Б. ∠2 = 2∠1. ∠1, ∠2?
=
BC = AC 2=6 2=4 (см);
AB = AC + BC =6+4= 10 (см)
2. ∠������������
AC = AB BC =9 4=5 (см).
AC = AB + BC =9+4= 13 (см).
5 см або
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
2.
- бісектриса
∠������������ =2 ⋅∠������������ =2 ⋅ 50∘ = 100∘ .
3. Точки M, N i K
MK = NK + NM = 10 +6= 16 (см).
= 50∘ .
�������� =6 см, �������� = 10 см.
�������� = �������� �������� = 10 6=4 (см).
16 см або 4 см.
=x ∘ , тоді ∠BOC =x ∘ + 20∘
Звідси x+x+ 20 = 80, тоді 2x = 60∘ ;x= 30. Отже, ∠AOC = 30∘ , ∠BOC = 50∘ .
BC = AC +3=4+3=7 (см); �������� + �������� + �������� =4+7= 11 (см
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
2x + 3x = 100,
5x = 100;x= 20.
Отже, ∠AOC =2 ⋅ 20∘ = 40∘ ,
∠������������ =3 ⋅ 20∘ = 60∘ .
Відповідь: 40∘ , 60.
1.
-
Варіант 4
BC = AC:3=9:3=3 (см);
AB = AC + BC =9+3= 12 (см).
2. ОC - бісектриса кута
KT = KP + PT =5+ 12 = 17 (см).
KT = KP PT = 12 5=7 (см).
17 см або 7 см.
170∘ ; В. 90∘ ; Г. 70∘ . А. 50∘ . 8. ОМ- внутрішній промінь кута
50∘ ; В. 90∘ ; Г. 44∘ .
В. 90∘ .
9. B – внутрішня точка відрізка
AB і BC.
А. 2,5 см; Б. 6 см; В. 8,5 см; Г. 3,5 см.
В. 8,5 см.
10. ∠������������
Перевірка: BC = AB + AC = 47 + 25 = 72 см. Відповідь: А. A
4. OK
1
2
1) ∠AOB =
= x – 20°,
∠AOB = ∠AOK + ∠KOB
80° = x + (x – 20°)
80° + 20° = 2x
x = 100° : 2
x = 50° (В) Відповідь: 1 Г, 2 А, 3 В.
5.
O
AO і OB, якщо AO : OB = 2 : 3.
AB = AO + OB;
7,5 = 2x + 3x
7,5 = 5x x = 1,5 AO = 2x =
6. Накресли ∠ABC = 120°.
∠ABM = ∠MBC = ∠ABC : 2 = 120° : 2 = 60°
∠MBK = ∠KBC = ∠MBC : 2 = 60° : 2 = 30°
∠ABK = ∠ABM + ∠MBK = 60° + 30° = 90°
Відповідь: ∠KBC = 30°; ∠ABK = 90°.
7. Точки A, B і C лежать
відрізка AC. Розглянь
1-й випадок
AC = AB + BC = 7,3 + 3,7 = 11 см; 2-
AC = AB − BC = 7,3 − 3,7 = 3,6 см. Відповідь:
∠MOK = ∠MOC + ∠COK
∠MOC = ∠AOC : 2
∠COK = ∠COB : 2
∠AOM + ∠MOC + ∠COK + ∠KOB = ∠AOB
2∠MOC + 2∠COK = 72°
2(∠MOC + ∠COK) = 72°
2∠MOK = 72°
∠MOK = 36°
Відповідь: ∠MOK = 36°.
NRB;
∠AOB = 50°;
∠COB = 180° – ∠AOB = 180° – 50° = 130°.
142.
∠AOB = 160°;
∠BOC = 180° – ∠AOB = 180° – 60° = 20°.
143.
АВС = 34°; б)
= 111°;
= 13°13';
АВС = 135°47'.
а) 180° – ∠ABC = 180° – 34° = 146°;
б) 180° – ∠ABC = 180° – 111° = 69°;
в) 180° – ∠ABC = 180° – 13°31' = 166°47'.
г) 180° – ∠ABC = 180° – 135°47' = 44°13'.
144.
а) ∠AOB = 27°;
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 27° = 153°.
б) ∠AOB = 132°;
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 132° = 48°.
в) ∠AOB = 56°34';
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 56°34' = 179°60' – 56°34' = 123°26'.
г) ∠AOB = 117°48';
∠AOC = 180° – ∠AOB;
∠AOC = 180° – 117°48' = = 179°60' – 117°48' = 62°12'.
145.
Нехай ∠COB = ∠AOB = α, тоді за теоремою
суміжних кутів маємо: α + α = 180°, тоді
2α = 180°; α = 90°.
Отже, ∠COB = ∠AOB = 90°.
146.Запиши
а) 112° + x = 180°; x = 180° – 112°; x = 68°.
в) x + 4x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
147.Знайди
б) x + 90° = 180°; x = 180° – 90°; x = 90°.
г) x + x + 100° = 180°; 2x = 180° – 100°; 2x = 80°; x = 40
від іншого.
а) ∠1 < ∠2 на 42°; Розв'язання Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x + 42°.
кутів: x + x + 42° = 180°; 2x = 180° - 42°; 2x = 138°; x = 69°.
∠1 = 69°, ∠2 = 69° + 42° = 111°. б) ∠1 > ∠2 у 3 рази;
∠2 = x°, тоді ∠1 = 3x.
властивістю суміжних кутів: x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°.
∠2 = 45°, ∠1 = 3 • 45° = 135°. Відповідь: 135°; 45°.
Нехай ∠BOC = x°, тоді
∠AOB = x° + 30°. За теоремою про суму суміжних
x + x + 30 = 180. Звідси 2x = 150; x = 75. Отже, ∠BOC = 75°, ∠AOB = 105°.
Відповідь: 75° і 105°.
б)
Нехай ∠AOB = x°,
∠BOC = 2x°.
За теоремою про суму
x + 2x = 180. Звідси 3x = 180; x = 60. Отже,
∠AOB = 60°, ∠BOC = 120°.
Відповідь: 60° і 120°.
149.Знайди міри
а) 4 : 5; б) 3 : 2.
а)
Нехай ∠AOB = 4x°,
∠BOC = 5x°.
За теоремою
4x + 5x = 180. Звідси 9x = 180; x = 20. Отже,
∠AOB = 4 • 20° = 80°, ∠BOC = 5 • 20° = 100°.
Відповідь: 80° і 100°. б)
htps://shkola.in.ua/3332
Нехай ∠AOB = 2x°, ∠BOC = 3x°.
2x + 3x = 180. Звідси 5x = 180; x = 36. Отже,
∠AOB = 2 • 36° = 72°, ∠BOC = 3 • 36° = 108°.
Відповідь: 72° і 108°.
150.Знайди міри суміжних кутів, які відносяться як:
а) 1 : 4;
Нехай x – коефіцієнт пропорційності, тоді ∠1 = x°, ∠2 = 4x°.
За властивістю суміжних кутів: x + 4x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
∠1 = 36°, ∠2 = 4 • 36° = 144°.
Відповідь: 36°; 144°.
б) 7 : 8;
Нехай x –
коефіцієнт пропорційності, тоді
За властивістю суміжних кутів: 7x + 8x = 180°; 15x = 180°; x = 12°.
∠1 = 7 • 12° = 84°, ∠2 = 8 • 12° = 96°.
Відповідь: 84°; 96°.
151.Find the measures of supplementary angles that are related as: а) 1 : 2;
Нехай х – коефіцієнт
За
властивістю суміжних кутів: x + 2x = 180°; 3x = 180°; x = 60°.
∠1 = 60°, ∠2 = 2 • 60° = 120°.
Відповідь: 60°; 120°. б) 2 : 7.
Нехай х – коефіцієнт
За властивістю суміжних кутів: 2x + 7x = 180°; 9x = 180°; x = 20°.
∠1 = 2 • 20° = 40°, ∠2 = 7 • 20° = 140°.
Відповідь: 40°; 140°.
152.Перенеси
Знайти: ∠КОР, якщо:
∠МОЕ = 24°
Розв'язання
∠МОК = 2 • ∠МОЕ = 2 • 24° = 48°;
∠КОР = 180° - ∠МОК;
∠КОР = 180° - 48° = 132°.
Відповідь: 132°.
б) ∠КОЕ = 50°
Розв'язання
∠МОК = 2 • ∠КОЕ = 2 • 50° = 100°;
∠КОР = 180° - ∠МОК;
∠КОР = 180° - 100° = 80°.
Відповідь: 80°.
в) ∠МОЕ = ∠КОР.
∠МОЕ = ∠ЕОК - за умовою.
Отже, ∠МОЕ = ∠ЕОК = ∠КОР.
∠МОЕ + ∠ЕОК + ∠КОР = 180°.
∠КОР = 180° : 3 = 60°.
Відповідь: 60°.
155.
МОС = 30°;
∠ВОМ = 45°; в) ∠АОВ = ∠МОВ.
а)
∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 2∠MOC = = 180° - 2 • 30° = 120°;
б)
∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 2∠MOC = = 180° - 2 • 45° = 90°;
в)
∠AOB = 180° : 3 = 60°.
156.Розглянь малюнок 4.9.
Дано: ∠ACB і ∠ACM – суміжні;
∠ACB = 70°.
Знайти: ∠ACM.
Розв'язання
∠ACM = 180° – ∠ACB;
∠ACM = 180° – 70° = 110°.
Відповідь: 110°.
б)
Дано: ∠KRL і ∠LRF – суміжні; ∠LRF = 125°.
Знайти: ∠KRL.
Розв'язання
∠KRL = 180° – ∠LRF;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Нехай ∠AOB – шуканий, тоді ∠BOC + ∠AOD = 110°, враховуючи, що ∠BOC = ∠AOD як суміжні кути до кута АОВ.
Отже, ∠BOC = ∠AOD = 110° : 2 = 55°,
тоді ∠AOB = 180° - 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
161.Кути
якщо:
а) ∠АОВ – ∠ВОС = 40°;
= 5 : 1;
становить 6 7 ∠АОМ.
Дано: ∠АОВ і ∠ВОС – суміжні;
ОМ – бісектриса ∠АОВ.
Знайти: ∠МОВ, якщо: а) ∠АОВ – ∠ВОС = 40°;
Розв'язання
Нехай ∠ВОС = x°, тоді ∠АОВ = x + 40°.
За властивістю суміжних кутів: x + x + 40° = 180°; 2x + 40° = 180°; 2x = 180° - 40°; 2x = 140°; x = 70°.
∠ВОС = 70°, ∠АОВ = 70° + 40° = 110°.
∠МОВ = 1 2 ∠АОВ = 1 2 • 110 = 55°.
Відповідь: 55°. б) ∠АОВ : ∠ВОС = 5 : 1;
∠АОВ = 5x°, ∠BOC = x°. За
суміжних кутів: 5x + x = 180°;
6x = 180°; x = 30°.
∠ВОС = 30°; ∠АОВ = 5 • 30° = 150°;
∠МОВ = 1 2 ∠АОВ = 1 2 • 150 = 75°.
Відповідь: 75°.
в) ∠MOB = 2∠BOC;
Розв'язання
Нехай ∠BOC = x°, тоді ∠MOB = 2x.
∠AOB = 2 • ∠MOB = 2 • 2x = 4x.
За властивістю суміжних кутів: 4x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
∠MOB = 2 • 36° = 72°.
Відповідь: 72°.
г) ∠BOC становить 6 7 ∠AOM.
Розв'язання
Нехай ∠AOM = x°, тоді ∠BOC = 6 7 x.
∠AOB = 2 ∠AOM = 2x.
За
властивістю суміжних кутів: 2x + 6 7 x = 180°; 20 7 x = 180°; x = 180° • 7 20; x = 63°.
∠AOM = 63°; ∠MOB = ∠AOM = 63°.
Відповідь: 63°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠AOB = 150∘ , ∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 ⋅ 150∘ = 75∘ .
Відповідь: 75∘ .
Нехай ∠AOB =5x ∘ , ∠BOC =4x ∘ , тоді 5x + 4x = 180. Звідси 9x = = 180,x= 20. Отже, ∠AOB =5 ⋅ 20∘ = 100∘ ∠BOC =4 ⋅ 20∘ = 80∘ , ∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 ⋅
Відповідь: 50∘ .
ABCD – квадрат; AB || CD, DC || AD; AB ⊥ DC, BC ⊥ CD; CD ⊥ AD, AD ⊥ AB. 167.
Вертикальні
172.
173.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 і ∠2 – вертикальні; ∠1 + ∠2 = 80°.
Знайти: ∠1; ∠2.
Розв'язання
За властивістю вертикальних кутів:
∠1 = ∠2 = 80° : 2 = 40°.
Відповідь: 40°; 40°.
182.The sum of the measures of two vertical angles is 60°. Find the measure of each of these angles.
Дано: ∠1 і ∠2 – вертикальні; ∠1 + ∠2 = 60°.
Знайти: ∠1; ∠2.
Розв'язання
За властивістю вертикальних кутів:
∠1 = ∠2 = 60° : 2 = 30°.
Відповідь: 30°; 30°.
183.Сума мір двох вертикальних
∠AOB + ∠COD = 120°, тоді за теоремою про вертикальні
Тоді ∠1 + ∠1 = 180°, ∠1 = 60°.
Відповідь: 60°.
184.Знайдіть
дорівнює:
а) 50°; б) 110°; в) n°.
а) Нехай ∠AOB = 50°, тоді ∠COD = 50°,
∠AOC =
=180° - 50° = 130°, ∠BOD = 130°.
Відповідь: 130°, 50°, 130°.
б) Нехай ∠AOB = 110°, тоді ∠DOC = 110°,
∠BOC = 180° - 110° = 70°, ∠AOD = 70°.
Відповідь: 70°, 110°, 70°.
в) Нехай ∠AOB = n°, тоді ∠DOC = n°, тоді ∠DOA = 180° - n°, ∠BOC - n°, n°, 180° - n°.
185.Знайди міри кутів, утворених
дорівнює: а) 35°; б) 140°; в) m°.
Дано: a x b.
Знайти ∠2, ∠3, ∠4, якщо: а) ∠1 = 35°. Розв'язання
∠3 = ∠1 = 35° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 35° = 145°.
∠2 = ∠4 = 145° – як вертикальні.
Відповідь: 145°; 35°; 145°.
б) ∠1 = 140°.
Розв'язання
∠3 = ∠1 = 140° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°.
∠2 = ∠4 = 40° – як вертикальні.
Відповідь: 40°; 140°; 40°.
в) ∠1 = m°.
Розв'язання
∠3 = ∠1 = m° – як вертикальні.
∠4 і ∠1 – суміжні. ∠1 + ∠4 = 180°;
∠4 = 180° - ∠1 = 180° - m°.
∠2 = ∠4 = 180° - m° – як вертикальні.
Відповідь: 180° - m°; m°; 180° - m°.
186.Перенеси
кут Вертикальний
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: a x b.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 240°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠4 = 360° – (∠1 + ∠2 + ∠3) = 360° – 240° = 120°.
∠2 = ∠4 = 120° – як вертикальні.
∠1 + ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 120° = 60°.
∠3 = ∠1 = 60° – як вертикальні.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°.
189.Знайди кути, утворені при перетині
330°.
Дано: a x b;
∠1 + ∠2 + ∠3 = 330°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠3 = 330° – (∠1 + ∠2) = 330° – 180° = 150°.
∠1 = ∠3 = 150° – як вертикальні.
∠1 + ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 150° = 30°.
∠4 = ∠2 = 30° – як вертикальні. Відповідь: 150°; 30°; 150°; 30°.
190.Сума
Дано: a x b; ∠2 + ∠4 = 100°.
Знайти: ∠1.
Розв'язання
Сума вертикальних
Отже, ∠2 = ∠4 = 100° : 2 = 50°.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°;
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 50° = 130°.
Відповідь: 130°.
191.Сума двох кутів, утворених
меншого з утворених кутів.
Дано: a x b; ∠1 + ∠3 = 260°.
Знайти: ∠2.
Розв'язання
вертикальних
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 130° = 50°.
Відповідь: 50°.
192.Прямі AB, CD і
інших
Дано: AB, CD, EF
∠COE = 40°,
100°.
Дано: МТ, РК, EF перетинаються в точці О.
∠РОМ = 50°; ∠TOF = 80°.
Знайти: інші кути.
Розв'язання
∠KOT = ∠MOP = 50° – як вертикальні;
∠FOK = ∠FOT - ∠KOT = 80° - 50° = 30°.
∠POE = ∠FOK = 30°.
∠EOT = 180° - (∠POM + ∠POE) = 180° - (50° + 30°) = 100°.
∠MQF = ∠EOT = 100° - як вертикальні.
Відповідь: 50°; 30°; 30°; 100°; 100°.
194.Запишіть рівняння та знайдіть градусні
1) x і y – суміжні кути. x + y = 180°. y = 115° – як вертикальні кути. x + 115° = 180°; x = 180° - 115°; x = 65°.
Відповідь: 65°; 115°.
2) За властивістю суміжних кутів: x + 5x = 180°;
6x = 180°; x = 30°. z = x = 30° – як вертикальні кути.
Відповідь: 30°; 30°.
3) y = 82° – як вертикальні кути.
82° + x + 82° = 180°; x + 164° = 180°; x = 180° - 164°; x = 16°.
z = x = 16° – як вертикальні.
Відповідь: 16°; 82°; 16°.
4) x = 47° – як вертикальні кути.
47° + 90° + y = 180°;
137° + y = 180°; y = 180° - 137°; y = 43°.
x і z – суміжні кути. x + z = 180° z = 180° - x = 180° - 47° = 133°.
Відповідь: 47°; 43°; 133°.
195.Чи можуть кути, що утворилися при перетині двох прямих, бути пропорційними
числам:
а) 2, 3, 2, 13; б) 1, 4, 1 і 4; в) 3, 4, 5, 6?
а) Не можуть; б) не можуть; в) можуть.
196.Чи можуть кути, що утворилися при перетині
числам:
а) 2, 3, 4 і 5; б) 5, 5, 5 і 8; в) 1, 2, 1, 2?
Чи можуть кути 1, 2, 3, 4 бути пропорційні
a) 2;3;4 i 5 .
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт пропорційності, k ∈ N.
2k + 3k + 4k + 5k = 360∘ .
14k = 360∘ ;
k= 180∘ 7
Відповідь: ні б) 5;5;5;8.
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт пропорційності, k ∈ N
5k + 5k + 5k + 8k = 360∘
23k = 360∘
k= 360∘ 23
Відповідь: ні. в) 1;2;1;2.
Розв'язання
Нехай k - коефіцієнт
x+ 2x +x+ 2x = 360
6x = 360∘
x= 60∘
Відповідь: так.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x° + 20°. Оскільки
суміжні, то x + x + 20 = 180.
Звідси 2x = 160, x = 80. Отже, ∠1 = ∠3 = 180°, ∠2 = ∠4 = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
б) Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = 2x°. Оскільки
Звідси 3x = 180, x = 60.
Отже, ∠1 = ∠3 = 60°, ∠2 = ∠4 = 2 • 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
в) Оскільки сума двох кутів не дорівнює 180°, то
суміжні, то x + 2x = 180.
100°, тоді ∠1 = 80° : 2 = 40°, ∠3 = 40°, ∠2 = 180° - 40° = 140°, ∠4 = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
198.Знайди міри кутів, утворених
один із них на 30° менший за інший;
іншого;
Дано: a x b.
Знайти всі кути, якщо:
а) ∠1 < ∠2 на 30°.
Розв'язання
Нехай ∠1 = x°, тоді ∠2 = x + 30°.
За властивістю суміжних кутів:
x + x + 30 = 180;
2x = 180 - 30; 2x = 150; x = 75°.
∠1 = 75°; ∠2 = 75° + 30° = 105°.
∠3 = ∠1 = 75°; ∠4 = ∠2 = 105° – як вертикальні.
Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°.
б) ∠1 > ∠2 у 3 рази.
Розв'язання
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = 3x.
За властивістю суміжних кутів: x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45.
∠2 = 45°; ∠1 = 3 • 45° = 135°.
∠3 = ∠1 = 135°; ∠4 = ∠2 = 45° – як вертикальні.
Відповідь: 135°; 45°; 135°; 45°.
в) ∠1 + ∠2 = 50°
Розв'язання
Сума вертикальних кутів дорівнює 50°.
Отже, ∠1 = ∠3 = 50° : 2 = 25°.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 25° = 155°;
∠4 = ∠2 = 155° – як вертикальні.
Відповідь: 25°; 155°; 25°; 155°.
199.Знайди
100°.
Нехай ∠AOB – шуканий, тоді ∠BOC + ∠AOD = 110°, враховуючи, що ∠BOC = ∠AOD як
суміжні кути до кута АОВ.
Отже, ∠BOC = ∠AOD = 110° : 2 = 55°,
тоді ∠AOB = 180° - 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
200.Прямі AB, CD і EF перетинаються
Знайди міри кутів AOD, AOE і EOD, якщо
Дано: AB, CD, EF – перетинаються в точці О;
ОЕ – бісектриса ∠СОВ; ∠СОЕ = 36°.
Знайти: ∠AOD; ∠AOE, ∠EOD.
Розв'язання
∠COB = 2∠COE = 2 • 36° = 72°.
∠AOD = ∠COB = 72° – як вертикальні.
∠AOC і ∠COB – суміжні. ∠AOC + ∠COB = 180°;
∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 72° = 108°.
∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 108° + 36° = 144°.
∠EOD = ∠EOB + ∠BOD.
∠EOB = ∠COE = 36°; ∠BOD = ∠AOC = 108°.
Отже, ∠EOD = 36° + 108° = 144°.
Відповідь: 72°; 144°; 144°.
201.Прямі MT, PK і EF
POF, MOE і MOK, якщо
KOT = 48°.
Дано: МТ, РК, EF –
ЕОК; ∠КОТ = 48°.
Знайти: ∠POF; ∠МОЕ, ∠МОК.
Розв'язання
∠ЕОК = 2∠КОТ = 2 • 48° = 96°.
∠POF = ∠ЕОК = 96° – як вертикальні.
∠МОЕ і ∠ЕОТ – суміжні. ∠МОЕ + ∠ЕОТ = 180°.
∠МОЕ = 180° - ∠ЕОТ = 180° - 48° = 132°.
Аналогічно, ∠МОК = 180° - ∠КОТ = 180° - 48° = 132°.
Відповідь: 96°; 132°; 132°.
202.Побудуйте прямі AB, CD і EF так, щоб
вертикальних
htps://shkola.in.ua/3332
k
∠1 = 5k; ∠2 = 4k; ∠3 = 3k.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°; 5k + 4k + 3k = 180°; 12k = 180°; k = 15°.
∠1 = 5 • 15 = 75°; ∠2 = 4 • 15° = 60°; ∠3 = 3 • 15° = 45°.
Відповідь: 75°; 75°; 60°; 60°; 45°; 45°.
205.Знайди кути, утворені
Дано: ∠1 > ∠3 в 2 рази; ∠1 > ∠2 на 20°.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
Нехай
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. x + x - 20° + 1 2 x = 180°; 2,5x = 180° + 20°; 2,5x = 200°; x = 80°.
∠1 = 80°; ∠2 = 80° - 20° = 60°; ∠3 = 1 2 • 80° = 40°.
Відповідь: 80°, 60°, 40°. 206.Знайди кути, утворені
четверту частину від суми інших. Дано: ∠1 = 1/4 (∠2 + ∠3 + ∠4).
всі кути.
∠2 + ∠3 + ∠4 = x°, тоді ∠1 = 1 4 x°. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°; 1 4 x + x = 360°; 5 4 x = 360°; x = 360° • 4 5; x = 288°.
∠2 + ∠3 + ∠4 = 288°; ∠1 = 1 4 • 288° = 72°. ∠3 = ∠1 = 72° – як вертикальні.
1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 72° = 108°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠4 = ∠2 = 108° – як вертикальні.
Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°.
207.Знайди
частину від суми інших.
Дано: ∠1 = 1 5(∠2 + ∠3 + ∠4).
Знайти: всі кути
Розв'язання
Нехай ∠2 + ∠3 + ∠4 = x°, тоді ∠1 = 1 5 x°.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°; 1 5 x + x = 360°; 6 5 x = 360°; x = 360° • 5 6; x = 300°.
∠2 + ∠3 + ∠4 = 300°; ∠1 = 1 5 • 300° = 60°.
∠3 = ∠1 = 60° – як вертикальні.
∠1 і ∠2 – суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°.
∠4 = ∠2 = 120° – як вертикальні.
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°. 208.Знайди кути, утворені
більший за різницю двох інших кутів.
Дано: ∠1 > (∠3 – ∠2) у 3 рази.
Знайти: всі кути.
Розв'язання
∠1 = ∠3; ∠2 = ∠4 – як вертикальні.
Нехай ∠1 = ∠3 = x°, тоді ∠2 = 180° – x; 3(x – (180° – x)) = x; 3(x – 180° + x) = x; 3x – 540° + 3x – x = 0; 5x = 540°; x = 108°.
∠1 = ∠3 = 108°; ∠2 = ∠4 = 180° – 108° = 72°.
Відповідь: 108°; 72°; 108°; 72°.
209.Трипільці
211.
212.
L = 72 см; V – ?.
L = 12 a; a = 72 : 12 = 6 (см).
V = a³; V = 6³ = 216 (см³).
Відповідь: 216 см³.
213.Точка С внутрішня точка
довжину відрізка АС, якщо АС : СВ = 3 : 2.
Дано: АВ = 30 см; АС : СВ = 3 : 2.
Знайти: АС.
Розв'язання
Нехай k – коефіцієнт пропорційності, тоді:
AC = 3k, CB = 2k; 3k + 2k = 30; 5k = 30; k = 6.
AC = 3 • 6 = 18 (см).
Відповідь: 18 см.
214.ОМ бісектриса кута АОВ, ОК
∠КОВ = 20°.
Дано: ОМ – бісектриса
α = 180° − 68° = 112° Відповідь: 112°.
2. Відрізки �������� і
∠AOP = ∠KOP − ∠AOK = 180° − 50° = 130° (як суміжні)
∠BOP = ∠AOK = 50° (як вертикальні)
∠BOK = ∠AOP = 130° (як вертикальні)
Відповідь: ∠AOP = 130°, ∠BOP = 50°, ∠BOK = 130°.
3. Один із суміжних кутів більший
Нехай менший
Оскільки кути суміжні:
x + (x + 18°) = 180°
2x + 18° = 180°
2x = 162°
x = 81°
Більший кут: 81° + 18° = 99°
Відповідь:
180°. α = 180° − 123° = 57°
Відповідь: 57°.
2.
∠MXT = 180° − 65° = 115° (як суміжні)
∠TXN = ∠MXK = 65° (як вертикальні)
∠KXN = ∠MXT = 115° (як вертикальні)
Відповідь: ∠MXT = 115°, ∠TXN = 65°, ∠KXN = 115°.
3.
Їх сума 180° (як суміжні):
x + 3x = 180°
4x = 180°
x = 45°
3x = 135°
Відповідь:
1. Знайди кут, суміжний із кутом 34∘ .
α = 180° − 34° = 146°
Відповідь: 146°.
2. Відрізки �������� і �������� перетинаються у внутрішній точці
міри кутів ������������ , ������������ і ������������
∠AOP = ∠MOC = 48° (як вертикальні)
∠AOM = 180° − 48° = 132° (як суміжні)
∠POC = 180° − 48° = 132° (як суміжні)
Відповідь: ∠AOP = 48°, ∠AOM = 132°, ∠POC = 132°.
3.
сума 180° (як суміжні):
x + (x + 26) = 180
2x + 26 = 180
2x = 154
x = 77
x + 26 = 103
Відповідь: 77° і 103°.
1. Знайди кут, суміжний із кутом 156∘ .
α = 180° − 156° = 24°
Відповідь: 24°
2. Відрізки �������� і �������� перетинаються у внутрішній
міри кутів ������������ , ������������ і ������������
∠AMD = 180° − 35° = 145° (як суміжні)
∠CMB = ∠AMD = 145° (як вертикальні)
∠BMD = ∠AMC = 35° (як вертикальні)
Відповідь: ∠AMD = 145°, ∠CMB = 145°, ∠BMD = 35°.
3.
Нехай менший кут x°, більший 5x°.
Їх сума (як суміжні):
x + 5x = 180°
6x = 180°
x = 30°
5x = 150°
Відповідь: 30° і 150°.
4.
-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Пари суміжних кутів: ∠AOB і ∠BOE, ∠AOC і ∠COE, ∠AOD і ∠DOE.
1. Б. ∠1 = 120∘ , ∠2 = ∠3.
∠2, ∠������������?
∠AOC + ∠COM + ∠MOB = 180°
або
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
Оскільки ∠2 = ∠3, то
∠1 + 2 ∙ ∠2 = 180°
120° + 2 ∙ ∠2 = 180°
2 ∙ ∠2 = 60°
∠2 = 30°
Тоді ∠AOM = ∠1 + ∠2 = 120° + 30° = 150°.
Відповідь: ∠2 = 30°, ∠AOM = 150°.
2. А. ∠1 = 30∘ , ∠2 = 45∘ .
∠A�������� , ∠������������ ?
∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°
∠1 + ∠BOC + ∠2 = 180°
30° + ∠BOC + 45° = 180°
∠BOC = 105°
∠AOC = ∠1 + ∠BOC = 30° + 105° = 135°.
Відповідь: ∠AOC = 135°, ∠BOC = 105°.
2. Б. ∠1 =2∠2.
∠1, ∠2?
Нехай ∠2 = x, тоді ∠1 = 2x. Сума суміжних
x + 2x = 180°
3x = 180°
x = 60° ∠2
2x = 2 ∙ 60° = 120° ∠1
Відповідь: ∠2 = 60°, ∠1 = 120°.
3. А. ∠2 ∠1 = 40∘ .
∠1, ∠2?
∠1 + ∠2 = 180°, звідси ∠1 = 180° ∠2.
∠2 (180° ∠2) = 40°
2 ∙ ∠2 = 40° + 180°
∠2 = 110°
∠1 = 180° − 110° = 70°
Відповідь: ∠2 = 110°, ∠1 = 70°
3. Б. ∠1 ∶∠2 =2 ∶ 7.
∠1, ∠2?
Нехай ∠1 = 2x, тоді ∠2 = 7x. Сума суміжних
∠1 + ∠2 = 180°
2x + 7x = 180°
9x = 180°
x = 20°
∠1 = 2 ∙ 20° = 40°
∠2 = 7 ∙ 20° = 140°
Відповідь: ∠2 = 140°, ∠1 = 40°.
4. А. ∠1 = 60∘ , ∠3 = 40∘ .
∠2, ∠4, ∠5, ∠6?
180°:
∠2 = 180° − (∠1 + ∠3) = 180° − 60° − 40° = 80°
∠4 = ∠1 = 60° (як вертикальні)
∠5 = ∠2 = 80° (як вертикальні)
∠6 = ∠3 = 40° (як вертикальні)
4. Б. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Довести: ∠������������ = 90∘
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
2 ∙ ∠2 + 2 ∙ ∠3 = 180°
2 ∙ (∠2 + ∠3) = 180°
2 ∙ ∠KOP = 180°
∠KOP = 90°.
точку F;
а) АВ ⊥ а – ні; г) FK || а – ні; б) ВМ ⊥ а – так; ґ) ВС || а – так; в) КР ⊥ а – так; д) КР || а – ні.
219.ABCDA₁B₁C₁D₁ прямокутний
1) Назви відрізки:
а) паралельні відрізку АА₁; AA₁ || DD₁; AA₁ || CC₁; AA₁ || BB₁. б) паралельні відрізку AD; AD || A₁D₁; AD || BC; AD || B₁C₁.
перпендикулярні до відрізка АА₁; АА₁ ⊥ В₁А₁; АА₁ ⊥ ВА₁; АА₁ ⊥ DA₁; АА₁ ⊥ D₁А₁. г) перпендикулярні до відрізка AD. AD ⊥ A₁A; AD ⊥ D₁D; AD ⊥ CD; AD ⊥ BA.
2) Яке з тверджень правильне:
а) АА₁ ⊥ AD – так; г) CD || C₁D₁ – так; б) B₁C₁ ⊥ A₁B₁ – так; д) A₁D₁ || AD – так;
(мал. 6.16).
220.
KC ⊥ AB, DF ⊥ AB
K(-4; 0), C(0; -4), D(6; 0), F(0; 6)
KC || FD.
232.За
MF ⊥ OB, MF = 2 см.
240.Draw the perpendicular lines a, b and the point K, which lies at a distance of 2 cm from line a and 2 cm from line b.
241.
CK ⊥ OA, DK ⊥ OB, CK = DK.
CK
CK = DK
CK = DK
AOB = 80°; AOB = 90°; AOB = 120°.
EK = KF; EK = KF; EK = KF. Відрізок
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1, 3, 5 і 7; в) 1, 4, 5 і 8; г) 5, 6, 7 і 8.
∠1 = ∠6 = 75°;
∠2 = ∠5 = 105°;
∠3 = ∠8 = 60°;
∠4 = ∠7 = 120°.
а) ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 75° + 105° + 60° + 120° = 360°; б) ∠1
г) ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 105° + 75° + 120° + 60° = 360°.
|| c, якщо ∠1 + ∠4 = 180°.
4 = 180° – ∠1 = 180° – 63° = 117°
117°.
256.На
7.11
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: а ∥ с; ∠2 = 127°.
Знайти: ∠7.
Розв’язання а ∥ с,
якщо ∠7 = ∠2 = 127° – відповідні.
Відповідь: 127°.
257.
7.12
а) 148° + 42° = 190°; a ≠ b.
б) 35° = 35°; a || b.
в) 123° ≠ 125°; a ≠ b.
г) 13° + 167° = 180°; a || b.
258.Як розташовані
Зроби відповідний малюнок. a ⊥ c; b ⊥ c ⇒ a ∥ b. 259.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) ∠1 і ∠5; Суміжні;
б) ∠6 і ∠3; відповідні;
в) ∠7 і ∠2; відповідні;
г) ∠3 і ∠1; внутрішні різносторонні;
ґ) ∠2 і ∠3; внутрішні односторонні;
д) ∠8 і ∠5. зовнішні односторонні.
260.Скориставшись малюнком 7.14, обчисли:
а) міри кутів 2, 4, 5, 6, 7, 8, якщо ∠1 = 87°, ∠3 = 78°;
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 87° = 93°;
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 78° = 102°;
∠5 = ∠2 = 93°;
∠6 = ∠1 = 87°;
∠7 = ∠4 = 102°;
∠8 = ∠3 = 78°.
б) ∠1 + ∠4 і ∠2 + ∠3, якщо ∠6 + ∠7 = 162°;
∠1 = ∠6, ∠4 = ∠7 (як вертикальні)
∠1 + ∠4 = ∠6 + ∠7 = 162°
∠2 + ∠3 = 360° 162° = 198°
в) ∠5 - ∠3, якщо ∠5 - ∠8 = 48°.
∠3 = ∠8 (як вертикальні), тому ∠5 - ∠3 = 48°. 261.Скориставшись
а) міри кутів 1, 2, 3, 4, 5, 8, якщо ∠7 = 100°, ∠6 = 85°;
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 85° = 95°;
∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 100° = 80°; ∠4 = ∠7 = 100°; ∠5 = ∠2 = 95°; ∠8 = ∠3 = 80°;
∠2 + ∠3 і ∠1 + ∠4, якщо ∠5 + ∠8 = 170°;
1 + ∠4 = (180° - ∠5) + (180° - ∠8) = 360° - (∠5 + ∠8) = 360° - 170° = 180°; в) ∠4 - ∠5, якщо ∠4 - ∠2 = 10°. ∠4 - ∠5 = ∠4 - ∠2 = 10°. 262.
і с (мал. 7.14),
а) ∠6 = 50°, ∠7 = 130°;
a || c, оскільки ∠1 + ∠4 = ∠1 + ∠8 = 50° + 130° = 180°;
б) ∠6 = 65°, ∠8 = 65°?
a ∦ c, оскільки ∠6 ≠ ∠3 = ∠8;
263.Are the lines a and c parallel (Figure 7.14) if:
а) ∠1 + ∠7 = 180°;
a || c, оскільки ∠1 + ∠4 = ∠1 + ∠7 = 180°;
б) ∠2 = 140°, ∠4 = ∠1 + 80°?
a ∦ c, оскільки ∠3 = 140° – 80° = 60° і ∠2 + ∠3 = 140° + 60° ≠ 180°
264.Чи паралельні
а) ∠6 = ∠8.
6 = ∠8;
1) Чи паралельні відрізки:
АВ і СD. ∠BAC = ∠DCO = 70° – відповідні. Отже, АВ ∥ CD.
СD і КН. ∠DCН = ∠КНС = 70° –
2) Знайти ∠КОН, ∠СОК;
КОН = ∠DOC = 40° – як вертикальні.
COD = 180° – 40° = 140°.
= 105°,
= 93°,
= 75°;
= 87°?
a) AP || BC, оскільки ∠PAB + ∠ABC = 105° + 75° = 180° і
AP і BC та січній AB.
б) AP || BC, оскільки
∠PAB + ∠ABC = 93° + 87° = 180°
AP і BC та січній AB. 269.Через
паралельні
а)
∠APK = 62°, ∠PKB = 118°.
∠APK + ∠PKB = 62° + 118° = 180°.
∠APK і ∠PKB – внутрішні
Отже, PA || KB.
б)
∠APK = 88°, ∠PKB = 102°.
∠APK + ∠PKB = 88° + 102° = 190°.
Отже, PA ∦ KB.
270.ВМ бісектриса
∠КВС = 80°; б) ∠АВМ = 140°; в)
= 50°;
1) ∠KBC = 80°.
∠KBM = 1 2 ∠KBC = 1 2 • 80° = 40°.
∠KBM = ∠BAC = 40° – відповідні.
Отже, АС || ВМ.
2) ∠ABM = 140°.
∠ABM + ∠CAB = 140° + 40° = 180°.
∠ABM і ∠CAB – внутрішні односторонні.
Отже, АС || ВМ.
3) ∠ABC = 50°.
∠KBC = 180° – ∠ABC = 180° – 50° = 130°.
∠KBM = 1 2 ∠KBC = 1 2 • 130° = 65°.
∠BAC = 40°. ∠KBM ≠ ∠BAC – відповідні.
Отже, АС ∦ ВМ.
4) ∠ABM > ∠CAB на 100°.
∠ABM = ∠CAB + 100° = 40° + 100° = 140°.
∠ABM + ∠CAB = 140° + 40° = 180°.
∠ABM і ∠CAB – внутрішні односторонні.
Отже, АС || ВМ.
і:
∠СВМ = 50°; АС || ВМ,
Оскільки AB ⊥ AD, CD ⊥ AD, то AB || CD.
Оскільки BC ⊥ AB, AD ⊥ AB, то BC || AD.
Отже, протилежні сторони прямокутника лежать на паралельних прямих.
273.ABCDA₁B₁C₁D₁ куб (мал. 7.17). Доведи, що сторони А₁А і В₁В лежать на
паралельних прямих.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.
Довести: A₁A і B₁B лежить на ||–них прямих.
Доведення
∠A₁AB і ∠B₁BA – внутрішні односторонні
∠A₁AB + ∠B₁BA = 90° + 90° = 180°.
Отже, сторони A₁A і B₁B лежать на паралельних прямих. 274.ABCDA₁B₁C₁D₁ куб (мал. 7.17).
паралельних прямих.
Доведення
∠B₁A₁A і ∠BAA₁
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) ∠4 – ∠1 = 30° і ∠3 = 75°;
б) ∠1 = 60° і ∠2 : ∠3 = 2 : 1?
а) Оскільки ∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 75° = 105°,
∠1 = ∠4 - 30° = 105° - 30° = 75° і
∠4 + ∠1 = 105° + 75° = 180°, то a || b.
б)
Оскільки ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°,
∠3 = 120° 2 = 60° і ∠2 + ∠3 = 120° + 60° = 180°, то a || b.
277.Чи
1) ∠2 - ∠3 = 40°; ∠4 = 110°.
Розв'язання
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 110° = 70°.
∠2 = ∠3 + 40° = 70° + 40° = 110°.
∠2 = ∠4 = 110° –
Отже, a || b.
2) ∠3 = 45°; ∠1 : ∠4 = 1 : 3.
Розв'язання
Нехай ∠1 = x°; ∠4 = 3x°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
45° + 3x = 180°; 3x = 180° - 45°; 3x = 135°; x = 45°, ∠1 = 45°.
∠1 = ∠3 = 45° – внутрішні
Отже, a || b.
278.
60% кута 2.
= 20∘ ; ∠2− 0,6∠2 = 20∘ ; 0,4∠2 = 20∘ ; ∠2 = 50∘ ;
∠1 = 180∘ −∠2= 180∘ 50∘ = 130∘
Відповідь: 130∘ і 50∘ . 279.Знайди міри
3 і 4,
Дано: ∠1 + ∠4 = 150°.
Знайти: ∠3 і ∠4, якщо: а) ∠4 < ∠1 у 2 рази.
Розв'язання
Нехай ∠4 = x°, тоді ∠1 = 2x°.
∠1 + ∠4 = 150°; 2x + x = 150°; 3x = 150°.
x = 50°. ∠4 = 50°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 50° = 130°.
Відповідь: 130°; 50°.
б) ∠1 = 80°.
Розв'язання
∠1 + ∠4 = 150°.
80° + ∠4 = 150°; ∠4 = 150° - 80° = 70°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 70° = 110°.
Відповідь: 110°; 70°.
в) ∠3 : ∠1 = 4 : 3.
Розв'язання
Нехай ∠3 = 4x°, тоді ∠1 = 3x°.
∠3 і ∠4 – суміжні. ∠3 + ∠4 = 180°.
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 4x;
∠1 + ∠4 = 150°;
3x + (180° - 4x) = 150°; -x = -30°;
x = 30°.
∠3 = 4 • 30° = 120°.
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 120° = 60°.
Відповідь: 120°; 60°.
280.Установи взаємне розташування прямих
а) ∠3 = ∠5 = ∠9;
Оскільки
Оскільки ∠1 = ∠4, то ВС || КF;
оскільки ∠2 = ∠5, то АК || CD;
оскільки ∠3 = ∠6, то АВ || DF.
Отже, кожна сторона шестикутника паралельна протилежній стороні.
283.Чи паралельні прямі a і b, c і d, якщо: ∠1 = 60°, ∠2 удвічі більший, а ∠2 – ∠3 = 60° (мал. 7.22)?
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 60° = 120°,
∠3 = ∠2 - 60° = 120° - 60° = 60°.
Оскільки ∠1 + ∠2 = 60° + 120° = 180°, то a || b.
Оскільки ∠1 = ∠3, то c || d.
284.У чотирикутнику, зображеному
Доведіть, що AD || BC, AB || CD.
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 60° = 120°.
∠1 і ∠2 – внутрішні односторонні
∠1 + ∠2 = 60° + 120° = 180°. За ознакою
3 = ∠2 - 60° = 120° - 60° = 60°.
∠1 = ∠3 = 60°.
b ⊥ a, c ⊥ a, тоді b ∥ c.
∠BAD = ∠BCD, ∠DAC = ∠ACB.
= 70°.
∠MOB = 1 2 ∠AOB = 1 2 • 180° = 90°;
∠MOD = ∠AOM - ∠AOD = 90° - ∠AOD = = 90° - ∠COB = 90° - 70° = 20°.
Відповідь: 90° і 20°. 293.
1)x = 125°; y = 180° - 125° = 55°.
2)x = 180° - 40° = 140°.
y = 180° - x = 180° - 140° = 40°.
3)x = 42°.
y = 180° - x = 180° - 42° = 138°.
z = 65°.
4)x = 45°; y = 60°.
5)y = 60°; x = 180° - 98° = 82°.
z = x = 82°.
296.
a || b, a || c, b || c, x || y, x || z, y || z.
(a;
Дано: AB || CD; ∠DKO = 30°.
Знайти: ∠AOP.
Розв'язання
∠AOC і ∠DKO – внутрішні різносторонні
Тому ∠AOC = ∠DKO = 30°.
∠AOP і ∠AOC – суміжні. ∠AOP + ∠AOC = 180°.
∠AOP = 180° – ∠AOC = 180° – 30° = 150°.
Відповідь: 150°.
302.Міра одного з кутів, утвореного двома
Дано: a || b; ∠1 = 137°.
Знайти: інші кути.
Розв'язання
∠8 = ∠1 =
∠3 = ∠1 = 137° – як
∠6 = ∠8 = 137° – як вертикальні.
∠2 і ∠8 – внутрішні
∠2 = 180° – ∠8 = 180° – 137° = 43°.
∠4 = ∠2 = 43° – як вертикальні.
∠7 = ∠2 = 43° – як відповідні
∠5 = ∠7 = 43° – як вертикальні.
Відповідь: 43°; 137°; 43°; 43°; 137°; 43°; 137°.
303.Міра одного
∠2 = ∠4 = ∠6 = 55°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 180° - 55° = 125°.
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = x + 46°.
∠1 і ∠2 – суміжні, ∠1 + ∠2 = 180°. x + 46° + x = 180°; 2x = 180° - 46°; 2x = 134°; x = 67°.
∠2 = 67°; ∠1 = 67° + 46° = 113°.
∠4 = ∠2 = 67°; ∠3 = ∠1 = 113° – як вертикальні.
∠6 = ∠2 = 67°; ∠5 = ∠1 = 113°; ∠8 = ∠4 = 67°;
∠7 = ∠3 = 113° – як відповідні при a
Відповідь: 113°; 67°; 113°; 67°; 113°; 67°; 113°; 67°.
305. Знайди усі кути, утворені
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠1 = x + 52°.
∠1 і ∠2 - суміжні. ∠1 + ∠2 = 180°.
x + 52° + x = 180°; 2x = 180° - 52°; 2x = 128°; x = 64°ю
∠2 = 64°; ∠1 = 64° + 52° = 116°.
∠4 = ∠2 = 64°; ∠3 = ∠1 = 116° – як вертикальні.
∠6 = ∠2 = 64°; ∠5 = ∠1 = 116°; ∠8 = ∠4 = 64°;
∠7 = ∠3 = 116°
116°; 64°; 116°; 64°; 116°; 64°; 116°; 64°.
306. На стороні
∠2 + ∠2 = ∠1 + (180° - ∠1) = 180°.
Отже, ∠2 + ∠3 = 180°.
308. У прямокутнику
Дано: ABCD – прямокутник; ∠ABD > ∠DBC у 2 рази. Знайти: ∠ADB, ∠CDB. Розв'язання
Нехай ∠DBC = x°, тоді ∠ABD = 2x°.
∠ABD + ∠DBC = 90°; 2x + x = 90°; 3x = 90°; x = 30°.
htps://shkola.in.ua/3332
∠DBC = 30°; ∠ABD = 2 • 30° = 60°.
∠ ADB і ∠ DBC – внутрішні
Тому ∠ ADB = ∠ DBC = 30°.
∠ CDB і ∠ ABD – внутрішні різносторонні
Тому ∠ CDB = ∠ ABD = 60°.
Відповідь: 30°; 60°.
309. Знайди міри всіх кутів, зображених
Дано: a || b.
Знайти всі кути, якщо: а) ∠4 = 110°.
Розв'язання ∠1 і ∠4 – внутрішні односторонні
4 = 180°; ∠1 = 180° – ∠4 = 180° – 110° = 70°.
∠6 = ∠1 = 70°, ∠7 = ∠4 = 110° – як
∠3 = ∠6 = 70° – як відповідні при a || b
Відповідь: 70°; 110°; 70°; 110°; 110°; 70°; 110°; 70°.
б) ∠6 + ∠8 = 144°.
Розв'язання
∠1 = ∠6 – як вертикальні.
∠1 + ∠8 = 144°; ∠1 = ∠8 – як
∠6 = 72°. ∠1 і ∠4 – внутрішні
∠1 + ∠4 = 180°.
∠4 = 180° – ∠1 = 180° – 72° = 108°.
∠2 = ∠4 = 108°; ∠3 = ∠1 = 72°
∠7 = ∠2 = 108°; ∠5 = ∠4 = 108° – як відповідні.
Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°; 108°; 72°; 108°; 72°.
в) ∠4 - ∠1 = 30°.
Розв'язання
∠1 = x°, тоді ∠4 = x + 30°.
1,4 внутрішні
c. 1 + 4 = 180°. x + x + 30° = 180°; 2x = 180° - 30°; 2x = 150° x = 75°. ∠1 = 75°; ∠4 = 75° + 30° = 105°.
∠3 = ∠1 = 75°; ∠2 = ∠4 = 105° – як
∠5 = ∠4 = 105°; ∠6 = ∠3 = 75°; ∠7 = ∠2 = 105°; ∠8 = ∠1 = 75° – як
c.
Відповідь: 75°; 105°; 75°; 105°; 105°; 75°; 105°; 75°.
г) ∠3 : ∠2 = 1 : 2.
Розв'язання
Нехай ∠3 = x°, тоді ∠2 = 2x°.
∠2 і ∠3 –
2x + x = 180°;
3x = 180°;
x = 60°; ∠2 = 2 • 60° = 120°.
∠1 = ∠3 = 60°; ∠4 = ∠2 = 120° – як
∠5 = ∠4 = 120°; ∠6 = ∠3 = 60°;
∠7 = ∠2 = 120°; ∠8 = ∠1 = 60° – як
Відповідь: 60°; 120°; 60°; 120°; 120°; 60°; 120°; 60°.
310. Знайди
а) Нехай а || b, ∠AOB = 80°, ОМ – бісектриса ∠AOB, тобто ∠MOB = 40°.
Оскільки а || b, то ∠MOB = ∠OCF = 40° як
січній СМ.
б) ∠AOB = 100°; ∠MOB = 50°.
Оскільки а || b, то ∠MOB = ∠OCF = 50°.
Відповідь: а) 40°; б) 50°.
чотирикутника
=
= 80°,
і ∠
= 80°. ∠АКР і ∠ВКР – суміжні.
∠АКР + ∠ВКР = 180°;
∠АКР = 180° – ∠ВКР = 180° – 60° = 120°.
∠СРК і ∠ВРК – суміжні.
∠СРК + ∠ВРК = 180°.
∠СРК = 180° – ∠ВРК = 180° – 80° = 100°.
Відповідь: 60°; 80°; 120°; 100°.
314. Розглянь малюнок
Дано: ∠ABO = ∠OCD.
Довести: ∠A = ∠D.
Доведення ∠ABO і ∠OCD – внутрішні
∠ABO
а) ∠2 – ∠3 = 36°.
∠1 і ∠4 – внутрішні
Оскільки ∠1 + ∠4 = 180°, тоді a || b.
Тоді ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 – як внутрішні
∠3 + ∠2 = 180°.
Нехай ∠2 = x°, тоді ∠3 = 180° – x; ∠2 – ∠3 = 36°.
x – (180° – x) = 36°.
x – 180° + x = 36°.
2x = 36° + 180°;
2x = 216°; x = 108°. ∠2 = 108°.
∠2 і ∠6 – суміжні. ∠2 + ∠6 = 180°.
∠6 = 180° – ∠2 = 180° – 108° = 72°.
Відповідь: 108°; 72°.
б) ∠3 < ∠2 у 2 рази.
Розв'язання
∠1 і ∠4 – внутрішні односторонні
Оскільки ∠1 + ∠4 = 180°, тоді a || b.
∠2 і ∠3 – внутрішні односторонні
Нехай ∠3 = x°, тоді ∠2 = 2x°.
2x + x = 180°; 3x = 180°; x = 60°. ∠3 = 60°
∠2 = 2 • 60° = 120°.
∠6 і ∠3 – відповідні при a || b і
Тоді ∠6 = ∠3 = 60°.
Відповідь: 120°; 60°.
320.Скориставшись
∠1 = 180∘ 50∘ 2 = 65∘ , тоді ∠3 = ∠1 = 65∘ .
Відповідь: 65∘ , 115∘ .
б) ∠4 в 3 рази більший за ∠6.
Оскільки а ‖ b, то ∠5 + ∠4 = 3∠6, тоді
∠5 = 180∘ ⋅ 3 4 = 135∘ ,
∠6 = 180∘ ⋅ 1 4 = 45∘ ,
∠3 = ∠6 = 45∘ . ∠4 = ∠5 = 135∘ .
Відповідь: 45∘ , 135∘ .
321.Кожна сторона чотирикутника ABCD паралельна
Доведи, що:
а) ∠A + ∠B = 180°;
Оскільки AD || BC, то ∠A + ∠B = 180° як
AD і CD та січній AB.
б) ∠B = ∠D.
Оскільки
– ∠B = 180° – ∠D, тоді ∠B = ∠D.
322.Each side of the quadrilateral ABCD is parallel to the opposite side (Figure 8.20).
Prove that:
а) ∠B + ∠
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Оскільки AD || BC, тоді ∠B + ∠A = 180°,
∠C + ∠D = 180°, звідси
∠A = 180° – ∠B, ∠D = 180° – ∠C. Оскільки ∠B = ∠C = α, тоді
∠A = 180° – α, ∠D = 180° – α. Отже, ∠A = ∠D.
б) ∠A + ∠C = 180°.
Оскільки AD || BC, тоді ∠A + ∠D = 180°.
Враховуючи, що ∠B = ∠C, то ∠A + ∠C = 180°.
324.На малюнку 8.22 ∠1 = 55°, ∠2 = 60° і AB || CD. Установи відповідність
заданими умовами (1–3), та їх
1) ∠CAB - ?
Розв'язання
∠CAB = ∠4.
∠1 і ∠4 –
Отже, ∠CAB = 55°.
Відповідь: 1–Б.
2) ∠ACB - ?
Розв'язання
∠ACB = ∠3.
∠1 + ∠3 + ∠2 = 180°.
55° + ∠3 + 60° = 180°;
∠3 = 180° – 55° – 60°;
∠3 = 65°.
Відповідь: 2–А.
3) ∠ABC - ?
Розв'язання
∠ABC = ∠5.
∠2 і ∠5 –
∠ABC = 60°.
Відповідь: 3–В.
325.На малюнку 8.22 ∠1 = 70°, ∠2 = 50° і AB ||
тоді 1 = 4 = 55°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 = 70°; ∠2 = 50°; AB || CD.
Знайти: ∠A; ∠B; ∠C.
Розв'язання
∠C = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 70° + 50° = 60°.
∠B = 5.
∠5 і ∠2 – внутрішні різносторонні при AB || CD і січній CB. Тоді ∠5 = ∠2 = 50°.
∠B = 50°.
∠A = ∠4. ∠4 і ∠1 – внутрішні різносторонні
Тоді ∠4 = ∠1 = 70°.
∠A = 70°.
Відповідь: 70°; 50°; 60°.
326.На малюнку 8.23
АРК.
Дано: АК бісектриса ∠ВАС;
ВАС = 80°; РК || АС.
Знайти: ∠РАК, ∠АРК, ∠РКА.
Розв'язання
∠РАК = 1 2 ∠ВАС = 1 2
при
|| АС і січній АР.
Тоді ∠АРК + ∠РАС = 180°.
∠АРК + 80° = 180°;
∠АРК = 180° – 80°; ∠АРК = 100°.
= 40°.
Відповідь: 40°; 100°; 40°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Оскільки AB || CD, то ∠4 = ∠1 = 70°,
∠5 = ∠2 = 60°,
∠3 = 180° – ∠1 – ∠2 = 180° – 70° – 60° = 50°.
Відповідь: 70°, 50°, 60°.
328.На малюнку 8.24 ∠АВО = 140°, ∠ОРК = 158°, АВ || КР. Знайди ∠ВОР.
Дано: ∠ABO = 140°; ∠OPK = 158°; AB || KP.
Знайти: ∠BOP.
Розв'язання
Проведемо ОМ || КР.
∠РОМ і ∠КРО – внутрішні
180°; ∠РОМ = 180° – ∠ОРК = 180° – 158° = 22°.
∠
Тоді ∠МОВ + ∠АВО = 180°. ∠МОВ = 180° – ∠АВО = 180°
329.На малюнку 8.25 ∠АВС = 50°,
Оскільки MN || AB, то ∠NCB = ∠ABC = 50°. Оскільки MN || ED, то ∠DCN = ∠EDC = 36°.
Тоді ∠BCD = ∠BCN + ∠NCD = 50° + 36° = 86°.
Відповідь: 86°.
330.
+
Нехай
+ ∠
2 = x°,
ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб; A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ – вершини куба; AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ – ребра куба; ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, DCC₁D₁, ADD₁A₁ – грані куба.
а) паралельні ребру AA₁: BB₁, CC₁, DD₁; б) паралельні ребру AB: A₁B₁, C₁D₁, CD.
339.
належать.
2) Із трьох
341.Сформулюй аксіому
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки
пряму, паралельну даній.
342.Чи існують 4 точки, через
343.Сформулюй ознаку подільності
348.
Вірне. Якщо a = 5n, b = 5k, c = 5m,
тоді a + b + c = 5n + 5k + 5m = 5(n + k + m).
б) Неправильне.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
а) якщо a || b і b || c, то a || c;
б) якщо a ⊥ b і b ⊥ c, то a || c. Чи правильні ці твердження, якщо
а) Дві прямі, паралельні третій, паралельні.
Доведення наведене в §7 (теорема 7).
Твердження вірне, якщо прямі a, b, c не лежать в одній площині. б) Дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні. Доведення наведено в §6 (наслідок із
теореми 5).
Якщо a, b, c не лежать в одній площині, то твердження неправильне, наприклад,
рисунку AA₁ ⊥ AD, AA₁ ⊥ A₁B₁, проте AD ∦ A₁B₁.
356.Доведи, що: а) якщо кут
AB = KP, KP = MT, то AB = MT.
180°.
AO ⊥ OC, OB ⊥ OD.
∠AOB = ∠AOC + ∠COB = 90° + ∠COB, ∠COD = ∠DOB + ∠COB = 90° + ∠COB, тоді ∠AOB = ∠COD.
AO ⊥ OC, OB ⊥ OD.
∠KOB = ∠KOC - ∠BOC = 90° - ∠BOC,
∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 90° - ∠BOC, звідси
∠KOB = ∠COD.
∠AOB + ∠COD = ∠AOB + ∠KOB = 180°.
АВ, DB, PK, KT; PT, AC.
363.Дюйм це 2,5
3x + 2x = 180°
5х = 180°
х = 36°
∠1 = 3 ∙ 36° = 108°
∠2 = 2 ∙ 36° = 72°
Оскільки
Оскільки
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 36°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 36° = 144° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 36° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 144° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 144° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 36° (як відповідні);
∠7 = ∠4 = 144° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 36° (як відповідні).
2. Один із внутрішніх односторонніх
112°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠2 = 112°.
∠1 = 180° − ∠2 = 180° − 112° = 68° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 68° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 112° (як вертикальні);
∠5 = ∠4 = 112° (як внутрішні різносторонні);
∠6 = ∠1 = 68° (як внутрішні різносторонні);
∠7 = ∠4 = 112° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 68° (як відповідні).
2. Один із внутрішніх односторонніх
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = х, тоді ∠5 = 3х
62°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 62°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 62° = 118° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 62° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 118° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 118° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 62° (як відповідні);
∠7 = ∠4 = 118° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 62° (як відповідні).
2. Один
a
х + х + 54° = 180°
2х = 126°
х = 63° ∠1
х + 54° = 63° + 54° = 117° ∠5
Відповідь: 63° і 117°.
134°.
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠2 = 134°.
∠1 = 180° − ∠2 = 180° − 134° = 46° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 46° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 134° (як вертикальні);
∠5 = ∠4 = 134° (як внутрішні різносторонні);
∠6 = ∠1 = 46° (як внутрішні різносторонні);
∠7 = ∠4 = 134° (як відповідні);
∠8 = ∠1 = 46° (як відповідні)
2. Один із внутрішніх односторонніх
2х = 2
гострим.
замість * у записі ∠������������ ∗∠������������ ?
Якщо AO ∥ PC, то внутрішні
Отже, ∠AOP = ∠OPC.
Відповідь: Б. =.
4.
є частиною
MP. Оскільки CP ⟂ MP, то CB ⟂ LP.
Відповідь: Г. ⟂
5. Які з прямих паралельні? CB ⟂ AB і CB ⟂ LP (як
⇒ AB ∥ LP.
B. AB і LP.
6.
?
∠ABP + ∠ABC = 180° (як суміжні)
AB ⟂ CP ⇒ ∠ABP = 90°
∠ABC = 180° − 90° = 90°
Відповідь: В. прямим.
7. ∠������������ = 130∘ .
AB ⟂ CP і MP ⟂ CP. За ознакою:
прямої, то вони паралельні. Отже AB ∥ MP.
∠LAB = ∠ALM = 130° (як внутрішні
Відповідь:
AB ∥ MP).
AB ⟂ CP і MP ⟂ CP ⇒ AB ∥ MP (перпендикулярні
ALP і ∠LAB
∠ALP + ∠LAB = 180°.
Нехай ∠ALP : ∠LAB = 2 : 3 ⇒ ∠ALP = 2x, ∠LAB = 3x
2x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 36°
∠ALP = 2x = 72°
Відповідь: Г. 72°.
�������� , якщо �������� = ��������
точки
Нехай a ∥ b, c – січна, ∠1 = 45°.
∠2 = 180° − ∠1 = 180° − 45° = 135° (як суміжні);
∠3 = ∠1 = 45° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 135° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 135° (як відповідні);
∠6 = ∠3 = 45° (як відповідні);
∠7 = ∠5 = 135° (як вертикальні);
∠8 = ∠6 = 135° (як вертикальні).
3. Доведи, що a ∥ b (мал. 9.10).
∠2 = 68° (як вертикальні);
∠3 = 180° − ∠2 = 180° − 68° = 112° (як суміжні);
∠6 = 180° − 112° = 68° (як суміжні);
Оскільки відповідні
4.
Тоді α = 180° − 120° = 60°.
+ (x + 36)
+ 36 = 180
2x = 144
x = 72
x + 36 = 108 Відповідь: 72° і 108°.
∠AMN + ∠MNC = 113° + 67° = 180° ⇒ AB∥CD (за ознакою паралельності прямих);
∠KPM = ∠PKD = 54° (як внутрішні різносторонні
січній PK).
Відповідь: 54°.
7. AB ∥ CD, PK бісектриса кута BPE (мал. 9.12).
∠BPK = ∠PKE = 58° (як внутрішні
PK).
при паралельних AB і CD та
Оскільки PK бісектриса кута BPE, то ∠BPE = 2∠BPK = 116°.
∠PEK = 180° ∠BPE = 180°
AB і CD та січній PE).
Відповідь: 64°.
8. Відрізок PK перетинає сторони
чотирикутника АРKС, якщо ∠BAC = ∠BPK = 62° і ∠BCA = 48°.
Оскільки ∠BAC = ∠BPK, то PK∥AC при січній BA (за ознакою паралельності
∠PKC = 180° − ∠KCA = 180° − 48° = 132° (як внутрішні односторонні).
∠APK = 180° ∠PAC = 180° 62° = 118° (як внутрішні односторонні).
Відповідь: 62°, 118°, 132°, 48°.
9. Відрізки AB і KP перетинаються в точці O. Доведи: якщо ∠AKO = ∠OPB, то ∠KAO = ∠OBP.
∠AKO = ∠OPB, а KO і OP протилежні промені (лежать на одній прямій KP).
⇒ KA ∥ PB (як внутрішні різносторонні при січній KP).
AB січна до KA ∥ PB.
⇒ ∠KAO = ∠OBP (як внутрішні різносторонні при KA ∥ PB, січна AB).
Доведено. Розділ 3. Трикутники §10. Трикутник
364.Чим відрізняється бісектриса
366.Скільки
2 висоти.
367.Чи може висота трикутника збігатися
Так.
368.Знайди периметр трикутника ABC, якщо:
а) AB = 6 см, BC = 3 см, AC = 7 см; P = AB + BC + AC; P = 6 + 3 + 7 = 16 (см).
б) AB = 2,2 дм, BC = 8,5 дм, AC = 8,8 дм.
P = AB + BC + AC; P = 2,2 + 8,5 + 8,8 = 19,5 (см).
369.Чи існує трикутник зі сторонами:
а) 3 см, 4 см і 8 см;
3 + 4 < 8. Ні.
б) 3 см, 4 см і 5 см;
3 + 4 > 5. Так.
в) 5 м, 5 м і 10 м?
5 + 5 = 10. Ні.
370.Скільки різних трикутників зображено
10.6 (а, б)?
371.
KP, PT, KT сторони ∠PKT, ∠KTP, ∠KPT
P∆KPT = 3 + 4 + 5 = 12 (см)
372.Накресли гострокутний
АН – висота, AМ – бісектриса,
АL – медіана.
373.Чи правильно,
Висоти: AC, BC, CD.
376.
P = a + b + c = 2,6 + 5,3 + 6,8 = 14,7 (дм)
Відповідь: 14,7 дм.
377.Довжини сторін
P = 3,8 + 4,5 + 7,5 = 15,8 (см).
Відповідь: 15,8 см.
378.CK і BE медіани трикутника ABC, AK = 8 см, CE = 10 см. Знайди
трикутника ABC, якщо BC = 28 см.
AB = 2 AK = 2 • 8 = 16 (см); AC = 2 CE = 2 • 10 = 20 (см). P = AB + BC + AC. P = 16 + 28 + 20 = 64 (см).
379.AM і BN медіани трикутника ABC, AN = 5 см, BM = 7 см. Знайди периметр трикутника ABC, якщо AB = 15 см.
Оскільки AN = NC = 5 см, то AC = 10 см. Оскільки BM = CM = 7 см, то BC = 14 см.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
P∆KPT = AB + BC + AC = 15 + 14 + 10 = 39 (см).
Відповідь: 39 см.
380.Периметр трикутника ABC дорівнює 26 см.
сторони, якщо AC = 10 см і:
�������� + �������� + 10 = 26, звідки �������� + �������� = 26 10 = 16 см.
Тепер розв'яжемо для кожного випадку:
а) �������� =3��������: Замінимо �������� у рівнянні �������� + �������� = 16: �������� + 3�������� = 16 ⟹ 4�������� = 16 ⟹ �������� =4 см.
�������� =3 ⋅ 4= 12 см.
б) �������� : �������� =3:5: Нехай �������� =3���� і �������� =5���� . Підставимо у рівняння �������� + �������� = 16: 3���� + 5���� = 16 ⟹ 8���� = 16 ⟹���� =2.
�������� =3 ⋅ 2=6 см.
�������� =5 ⋅ 2= 10 см.
в) �������� = �������� : Замінимо �������� на �������� у рівнянні �������� + �������� = 16: �������� + �������� = 16 ⟹
16 ⟹ �������� =8 см.
�������� =8 см.
г) �������� − �������� =6 см: Маємо систему рівнянь:
1. �������� + �������� = 16
2. �������� �������� =6
Додамо рівняння:
(�������� + �������� )+(�������� �������� )= 16 + 6 ⟹ 2�������� = 22 ⟹ �������� = 11 см.
Підставимо �������� у
см. ґ) �������� = �������� 2 см: �������� = 10 2=8 см.
�������� + �������� = 16:
8 + �������� = 16 ⟹ �������� =8 см.
д) �������� =0,5�������� +6 см: 10 =0,5�������� +6 10 6=0,5�������� ⟹ 4=0,5�������� ⟹ �������� =4 ∶
Підставимо �������� у рівняння �������� + �������� = 16: 8+ �������� = 16 ⟹ �������� =8 см.
381.Периметр трикутника ABC дорівнює 38 см.
сторони, якщо AB = 14 см і:
Дано: ∆ABC; P = 38 см; AB = 14 см.
Знайти: AC, BC, якщо: 1) BC = AC.
Розв'язання
Нехай BC = AC = x. P = AB + BC + AC.
14 + x + x = 38; 2x = 38 - 14; 2x = 24;
x = 12. BC = AC = 12 (см).
Відповідь: 12 см; 12 см.
2) AC : BC = 3 : 1.
Нехай BC = x см, тоді AC = 3x.
P = AB + BC + AC; 14 + x + 3x = 38; 4x = 38 - 14; 4x = 24;
x = 6 см; AC = 3 • 6 = 18 (см).
Відповідь: 18 см; 6 см.
3) AC - BC = 8 см.
Розв'язання
Нехай BC = x см, тоді AC = (x + 8) см.
P = AB + BC + AC; 14 + x + x + 8 = 38; 2x = 38 - 14 - 8; 2x = 16;
x = 8. BC = 8 см; AC = 8 + 8 = 16 см.
Відповідь: 16 см; 8 см.
382.Накресліть довільний трикутник
трикутника
2 см,
Дано: △ ABC; AB + BC = 14 см;
AC > AB в 2 р.; AC > BC на 4 см. Знайти: AB, BC, AC.
Нехай AC =x см, тоді
b= 24 ⋅ 5 8 − 4 = 30( см );c= 24 ⋅ 8 8 − 4 = 48( см ).
Звідси P=a+b+c= 24 + 30 + 48 = 102 (см).
Відповідь: 102 см .
387.Знайди
на 8 м, а від третьої на 9 м.
Якщо позначити сторони як ���� , ���� , ���� та
Відповідь: 12 см.
388.Find the perimeter of the triangle if it is 7 meters longer than the first side, 8 meters longer than the second side, and 9 meters longer than the third side.
Дано: ∆ABC; P > AB на 7 м; P > BC на 8 м; P > AC на 9 м.
Знайти: P.
Розв'язання
Нехай P = x см, тоді AB = (x - 7) м, BC = (x - 8) см, AC = (x - 9) см.
P = AB + BC + AC.
x - 7 + x - 8 + x - 9 = x;
3x - x = 24; 2x = 24;
x = 12. P = 12 см.
Відповідь: 12 см.
389.Середнє
Оскільки (a+b+c) 3 = 10 (дм), де a, b, c –
Відповідь: 30 дм. 390.ВМ
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
АВ + АМ + ВМ = 16, тобто АВ + (АМ + ВМ) = 16, отже:
Р∆АВС = 16 + 8 = 24 см.
Відповідь: периметр трикутника АВС дорівнює 24 см
391.AK медіана трикутника ABC і AK = KC. Знайди периметр трикутника ABC, якщо
периметр трикутника ABK дорівнює 10 см, AC = 6 см.
ВК = КС, АК = КС за умовою.
Нехай ВК = КС = АК = x см, тоді BC = 2x см.
Р∆АВК = АВ + ВК + АК = АВ + x + x = АВ + 2х.
АВ + 2х = 10; АВ = 10 - 2х.
Р∆АВС = АВ + ВС + АС = 10 - 2х + 2х + 6 = 16 (см).
Відповідь: 16 см.
392.Трикутну підпірку з периметром 22 см
12 см і 16 см (мал. 10.11).
Відповідь: 3 см. 394.BM
Доведи, що AB = BC.
Оскільки Р∆АВМ = Р∆ВМС, то АВ + АМ + ВМ = ВМ + МС + ВМ, тоді АВ + АМ = ВС + МС.
Враховуючи, що АМ = МС будемо мати з рівності АВ + АМ = ВС + МС, що АВ = ВС. 395.На сторонах AB і BC трикутника
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-
1 га = (100 м)² = 10 000 м²; 1 ар = (10 м)² = 100 м².
399.Поле прямокутної
20 га : 0,5 км = 10000 м² : 500 м = 20 м.
Відповідь: 20 м.
400.Сума кутів АОВ і
3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 80° = 100°.
402.Два кути трикутника дорівнюють 30°
∠3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (30° + 30°) = 120°.
403.
∠3 = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - (20° + 80°) = 80°.
404.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
Дано: ∠1 = 42°.
Знайти ∠2, ∠3, якщо:
а) ∠2 < ∠1 на 15°.
Розв'язання
∠2 = ∠1 – 15° = 42° – 15° = 27°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (42° + 27°) = 111°.
Відповідь: 27°; 111°.
б) ∠2 > ∠1 в 2 рази.
Розв'язання
∠2 = 2 • ∠1 = 2 • 42° = 84°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (42° + 84°) = 54°.
Відповідь: 84°; 54°.
в) ∠2 = ∠3.
Розв'язання
Нехай ∠2 = ∠3 = x°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°;
42° + x + x = 180; 2x = 180° – 42°; 2x = 138° x = 69°. ∠2 = ∠3 = 69°.
Відповідь: 69°; 69°.
409.Знайди невідомі
а) на 54° менший за перший кут; б) у три рази менший за перший кут; в) дорівнює третьому куту.
Дано: ∠1 = 102°.
Знайти ∠2, ∠3, якщо:
а) ∠2 < ∠1 на 54°. Розв'язання
2 = ∠1 – 54° = 102° – 54° = 48°.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (102° + 48°) = 30°.
Відповідь: 48°; 30°.
б) ∠2 < ∠1 у 3 рази. Розв'язання
∠2 = 102° : 3 = 34°. За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – (∠1 + ∠2) = 180° – (102° + 34°) = 44°.
Відповідь: 34°; 44°.
Нехай ∠2 = ∠3 = х.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
102° + х + х = 180°
2х = 180° – 102°
2х = 78°
х = 39°. ∠2 = ∠3 = 39°.
Відповідь: 39°; 39°.
410.
більший за другий у 2 рази, а за третій на 10°.
перший і другий кут трикутника дорівнюють по х°, тоді
+ 30°. Тоді х + х + х + 30 = 180, звідси 3х = 150, х = 50.
дорівнюють 50°, 50°, 80°.
Відповідь: 50°, 50°, 80°.
б) Нехай перший кут трикутника дорівнює х°,
х° - 40°. Звідси 3х = 240, х = 80, тоді х - 20 = 80 - 20 = 60, х - 40 = 40.
Отже, кути трикутника дорівнюють 80°, 60°, 40°.
в) Нехай перший кут трикутника дорівнює х°, тоді
10. Оскільки сума кутів трикутника
2х + х + 2х – 20 = 360, 5х = 380, х = 76.
76°, 38°, 66°. 411.
х + х + х – 24° = 180°;
3х = 180° + 24°;
3х = 204°; х = 68°. ∠1 = ∠2 = 68°; ∠3 = 68° – 24° = 44°.
Відповідь: 68°; 68°; 44°.
∠1 < ∠2 на 28°, ∠1 < ∠3 на 14°. Розв'язання
трикутника: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
х + х + 28° + х + 14° = 180°.
3х = 180° – 42°;
3х = 138°;
х = 46°. ∠1 = 46°;
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠2 = 46° + 28° = 74°; ∠3 = 46° + 14° = 60°.
Відповідь: 46°; 74°; 60°.
в) ∠1 > ∠2 у 3 рази; ∠1 > ∠3 на 16°.
Розв'язання
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = (1 3)х, ∠3 = х – 16°.
За т. про суму кутів трикутника:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
(7 3)х = 196;
х = 84. ∠1 = 84°;
∠2 = (1 3) • 84° = 28°; ∠3 = 84° – 16° = 68°.
Відповідь: 84°; 28°; 68°.
412.Знайдіть кути трикутної металевої
a) 180∘ ⋅2 2+3+5 = 36∘ ; 180∘ ⋅3 2+3+5 = 54∘ ; 180∘ ⋅5 2+3+5 = 90∘ .
Відповідь: 36∘ ; 54∘ ; 90∘
180∘ ⋅1 1+5+6 = 15∘ ; 180∘ ⋅5 1+5+6 = 75∘ ; 180∘ ⋅6 1+5+6 = 90∘ . Відповідь: 15∘ ; 75
htps://shkola.in.ua/3332
414.
1+2+3 = 90°.
Нехай у трикутника ABC кут C – прямий, ∠C = 90°, тоді ∠A + ∠B = 180° – ∠C, звідси
∠A + ∠B = 180° – 90° = 90°. Отже, ∠A + ∠B = 90°. Таким
прямокутного трикутника дорівнює 90°.
A і B
C (мал. 11.7).
∠1 = ∠A + ∠B = 65° + 65° = 130°.
130°.
∠KAB = ∠B + ∠C; ∠KAB = 36° + 48° = 84°.
84°.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠A + ∠B = 100° і ∠B + ∠C = 120°.
∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 100° = 80°;
∠A = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – 120° = 60°;
∠B = 180° – ∠C – ∠A = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 40°, ∠C = 80°.
419.Find the angles of the triangle FEK, if
∠E + ∠F = 130°, ∠E + ∠K = 80°.
Дано: ∆FEK;
∠E + ∠F = 130°; ∠E + ∠K = 80°.
Знайти: ∠F, ∠E, ∠K.
Розв'язання
Нехай ∠E = x, тоді ∠F = 130° – x, ∠K = 80° – x.
За т. про суму кутів трикутника:
∠F + ∠E + ∠K = 180°.
130° – x + x + 80° – x = 180°.
-x = 180° – 130° – 80°. -x = -30°.
x = 30°. ∠E = 30°.
∠F = 130° – 30° = 100°; ∠K = 80° – 30° = 50°.
Відповідь: 100°; 30°; 50°.
420.∠ABC = 30°. Під
під кутом 45°?
∠BCA = 180° – ∠B – ∠CAB = = 180° – 30° – 45° = 105°.
∠KCB = 180° – ∠BCA = 180° – 105° = 75°.
75°.
421.∠AOB = 50°.
70°?
Дано: ∠AOB = 50°; ∠OBA = 70°.
Знайти: ∠OAB.
Розв'язання
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠AOB + ∠OAB + ∠ABO = 180°;
50° + ∠OAB + 70° = 180°;
∠OAB = 180° – 50° – 70°;
∠OAB = 60°.
422.CH і CL
∠BCA = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 30° – 60° = 90°;
ACL = 1 2 ∠BCA = 1 2 • 90° = 45°;
ACH = 180° –
A –
H = 180° – 60° – 90° = 30° ∠HCL = ∠ACL – ∠ACH = 45° – 30° = 15°.
15°.
423.BM і BK
∠
РВК = 1 2 ∠В = 1 2 • 70° = 35°.
∠МВК = 35° – 30° = 5°.
Відповідь: 5°.
424.CL бісектриса трикутника ABC, ∠A = 80°, ∠B = 40°. Знайди: ∠CLB і ∠CLA.
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 40° = 60°;
∠ACL = 1 2 ∠ACB = 1 2 • 60° = 30°;
∠CLA = 180° - ∠ACL - ∠CAL = 180° - 30° - 80° = 70°.
∠CLB = 180° - ∠CLA = 180° - 70° = 110°.
Відповідь: 70°, 110°.
425.BE бісектриса трикутника ABC, ∠A = 60°, ∠C = 70°. Знайди: ∠BEA і
Дано: ∆ABC; BE – бісектриса;
∠A = 60°; ∠C = 70°.
Знайти: ∠BEA; ∠BEC.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – (60° + 70°) = 50°.
∠ABE = ∠CBE = 1 2 ∠B = 1 2 • 50° = 25°.
∆BEA: ∠BEA = 180° – (∠A + ∠ABE) = 180° – (60° + 25°) = 95°.
∠BEA і ∠BEC – суміжні;
∠BEA + ∠BEC = 180°;
∠BEC = 180° – ∠BEA = 180° – 95° = 85°.
Відповідь: 95°; 85°.
426.У трикутнику ABC бісектриси AP і CK
AOC, якщо ∠B = 70°.
Дано: ∆ABC; AP, CK – бісектриси;
AP X CK в т. O; ∠B = 70°.
Знайти: ∠AOC.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 180° – ∠B = 180° – 70° = 110°.
∠OAC + ∠OCA = (1 2)(∠A + ∠C) = (1 2) • 110° = 55°.
∆AOC: ∠AOC = 180° – (∠OAC + ∠OCA) = 180° – 55° = 125°.
Відповідь: 125°.
427.У трикутнику
∠AOC = 130°.
Дано: ∆ABC; AP, CK – бісектриси; AP X CK в т. O; ∠AOC = 130°.
Знайти: ∠B. Розв'язання
∠A + ∠B + ∠C = 180°; ∠B = 180° – (∠A + ∠C).
∆AOC: ∠OAC + ∠OCA = 180° – ∠AOC = 180° – 130° = 50°.
∠A + ∠C = 2(∠OAC + ∠OCA) = 2 • 50° = 100°.
∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 100° = 80°.
Відповідь: 80°.
428.У фермі (тримальна
BAK і ∠CAK, якщо:
AK
Дано: ∆ABC;
АК – висота.
Знайти: ∠BAK, ∠CAK, якщо:
а) ∠CBA = 50°; ∠C = 20°.
Розв'язання
За умовою: ∠CKA = ∠BKA = 90°.
∆CAB: ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180°;
∠CAB = 180° – (∠C + ∠CBA) = 180° – (20° + 50°) = 110°.
∆CKA: ∠CAK = 180° – (∠C + ∠CKA) = 180° – (20° + 90°) = 70°.
∠BAK = ∠CAB – ∠CAK = 110° – 70° = 40°.
Відповідь: 40°; 70°.
б) ∠CBA = 30°; ∠C = 20°.
Розв'язання
За умовою ∠CKA = ∠BKA = 90°.
∆CAB: ∠CAB = 180° – (∠C + ∠CBA) = 180° – (20° + 30°) = 130°.
∆CKA: ∠CAK = 180° – (∠C + ∠CKA) = 180° – (20° + 90°) = 70°.
∠BAK = ∠CAB – ∠CAK = 130° – 70° = 60°.
Відповідь: 60°; 70°.
429.CH висота трикутника
A = 30° і ∠B = 70°; б) ∠A = 30° і ∠B = 120°.
∠ACH = 180° –
BCH = 180° –
Відповідь: 60° і 20°.
A – ∠H = 180° – 30° – 90° = 60°;
H = 180° – 70° – 90° = 20°.
∠ACH = 180° –
CBH = 180° –
A – ∠H = 180° – 30° – 90° = 60°;
B = 180° – 120° = 60°.
BCH = 180° – ∠CBH –
H = 180° – 60° – 90° = 30°;
Відповідь: 60° і 30°.
430.
а) ∠A = 40°, ∠B = 50°; б) ∠B = 120°, ∠C = 40°;
в) ∠A + ∠C = 95°, ∠B + ∠C = 135°.
а) ∠1 = 180° - 40° = 140°; ∠2 = 180° - 50° = 130°;
∠3 = 360° - ∠1 - ∠2 = 360° - 140° - 130° = 90°.
Відповідь: 140°, 130°, 90°.
б) ∠1 = 180° - 40° = 140°; ∠2 = 180° - 120° = 60°;
∠3 = 360° - ∠1 - ∠2 = 360° - 140° - 60° = 160°.
Відповідь: 140°, 60°, 160°.
в) ∠2 = 180° - (180° - (∠B + ∠C)) = 180° - (180° - 135°) = 135°;
∠3 = 180° - (180° - (∠A + ∠C)) = 180° - (180° - 95°) = 95°; ∠1 = 360° - (∠2 + ∠3) = 360° - 230° = 130°.
Відповідь: 130°, 135°, 95°.
431.Знайди
а) ∠M = 30°, ∠K = 85°;
б) ∠P = 130°, ∠K = 25°;
в) ∠M + ∠P = 110°, ∠M + ∠K = 130°.
Дано: ∆МРК.
Знайти міри зовнішніх кутів, якщо:
а) ∠M = 30; ∠K = 85°.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°;
∠P = 180° – (∠M + ∠K) = 180° – (30° + 85°) = 65°.
∠1 = ∠P + ∠K = 65° + 85° = 150°;
∠2 = ∠M + ∠K = 30° + 85° = 115°;
∠3 = ∠M + ∠P = 30° + 65° = 95°.
Відповідь: 150°; 115°; 95°.
б) P = 130°; ∠K = 25°.
Розв'язання
За т. про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°;
∠M = 180° – (∠P + ∠K) = 180° – (130° + 25°) = 25°.
∠1 = ∠P + ∠K = 130° + 25° = 155°;
∠2 = ∠M + ∠K = 25° + 25° = 50°;
∠3 = ∠M + ∠P = 25° + 130° = 155°.
в) Дано: ∠M + ∠P = 110°; ∠M + ∠K = 130°.
Розв'язання
Нехай ∠M = x, тоді ∠P = 110° - x; ∠K = 130° - x.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠M + ∠P + ∠K = 180°; x + 110° - x + 130° - x = 180°; -x = 180° - 110° - 130°; x = 60°. ∠M = 60°
∠P = 110° - 60° = 50°; ∠K = 130° - 60° = 70°.
∠1 = ∠P + ∠K = 50° + 70° = 120°;
∠2 = ∠M + ∠K = 60° + 70° = 130°;
∠3 = ∠M + ∠P = 60° + 50° = 110°.
Відповідь: 120°; 130°; 110°.
432.Кути A і B
ABC
∠NCM = ∠MCB (за умовою, бо CM бісектриса кута NCB).
∠CAB = ∠CBA (за умовою).
Оскільки ∠NCB = ∠A + ∠B = 2∠B, тоді
2∠MCB = 2∠B, звідси ∠MCB = ∠B.
Оскільки ∠MCB і ∠B
∠MCB = ∠B, то AB || CM.
433.Знайди суму
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
∠MNC = ∠1 + ∠4 (бо ∠MNC – зовнішній кут трикутника AND); ∠CMN = ∠2 + ∠5 (бо ∠CMN – зовнішній кут трикутника BEM).
Оскільки ∠MNC + ∠CMN + ∠3 = 180°, то
Отже, сума кутів A, B, C, D, E, п'ятикутної
Ця гра називається танграм. Що таке танграм?
Танграм
із квадрата:
• 2 великих трикутники;
• 1 середній трикутник;
• 2 маленьких трикутники;
• 1 квадрат;
• 1 паралелограм.
437.Відрізок,
Відношення
Відповідь:
439.
Так.
гострокутний?
Ні, ні.
445.а) Трикутники
ΔKPT = ΔABC, то PΔKPT = KP + PT + KT = AB + BC + AC = 3 см + 4 см + 5 см = 12 см.
12 см.
htps://shkola.in.ua/3332-hdz-heometriia-7-klas-bevz.html
451.Find the perimeter of the triangle ABC, if ∆KPT = ∆ABC, KP = 13 mm, PT = 24 mm i KT = 15 mm.
Дано: ΔKPT = ΔABC; AB = 3 см; BC = 4 см; AC = 5 см.
Знайти: PΔKPT; PΔABC
Розв'язання
PΔABC = AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 (см).
PΔKPT = PΔABC = 12 (см).
Відповідь: 12 см.
452.Знайди кути трикутника АВС, якщо
∆АВС = ∆КРТ, ∠К = 60° і ∠Р = 60°.
∠A = ∠K = 60°, ∠B = ∠P = 60°,
∠C = 180° - 60° - 60° = 60°.
Відповідь: 60°, 60°, 60°.
453.Фігури ABCD і HTPK рівні (мал. 12.10).
= 70°.
KT = BD = 3,8 см; ∠T = ∠B = 70°.
454.Сторони АВ і РТ
456.
бути
AB = x см, тоді BC = x + 3 см.
умовою задачі: x + x + 3 + x + x + 3 = 34, тоді 4x = 28, x = 7.
ABCD.
462.
∠A = ∠B = ∠C = 180∘ 3 = 60∘ .
AM, BN - бісектриси.
∠BAO = ∠ABO = 60∘ 20 = 30∘ ;
∠BOM = ∠BAO + ∠AOB = 30∘ + 30∘ = 60∘
Відповідь: 60∘ .
Так.
471.
Так.
472.Учні побудували в зошитах трикутники
473.
1.
2.
3. Зробити висновок
1.
2. Знайти рівні
3.
В △
АВС і △ADC:
1)AB = AD – за умовою;
2)∠1 = ∠2 – за умовою; 3)AC – спільна сторона.
Отже, △ABC = △ADC за першою
476.За малюнком 13.12
Рівні
477.
Дано: △ABC – рівносторонній;
ВМ – бісектриса.
Довести: АМ = МС.
Доведення
В △АВМ і △СВМ:
1) AB = BC – за умовою;
2) ∠ABM = ∠CBM – за умовою;
3) BM – спільна сторона.
Отже, △ABM = △CBM за першою ознакою рівності трикутників.
Тоді АМ = МС як відповідні сторони рівних трикутників.
480.In an equilateral triangle ABC, draw the bisector AL and prove that AL ⊥ BC.
Дано: △АВС – рівносторонній; AL – бісектриса.
Довести: AL ⊥ BC.
Доведення
За т. про суму кутів трикутника:
∠А + ∠В + ∠С = 180°.
∠А = ∠В = ∠С = 180° : 3 = 60°.
∠ВAL = 1 2 ∠А = 1 2 • 60° = 30°.
△ALB: ∠ALB = 180° – (∠BAL + ∠В) = 180° – (30° + 60°) = 90°.
Отже, AL ⊥ DC. 481.Нехай AM медіана
Дано: △ABC, AM – медіана; МК = МА.
Довести: ВК = АС; ВК || АС.
Доведення
В △ВМК і △СМА:
1) ВМ = СМ – за умовою;
2) МК = МА – за умовою;
3) ∠ВМК = ∠СМА – як вертикальні
Отже, △
=
Дано: AB X CD в точці О; АО = ОВ; ∠САО = ∠DВО.
Дове сти: △АОС = △ВОD.
Доведення
В △АОС і △ВОD:
1) АО = ОВ – за умовою;
2) ∠САО = ∠DВО – за умовою;
3) ∠АОС = ∠ВОD за другою ознакою рівності трикутників.
485.Відрізки AB і CD перетинаються в точці О так, що CO = OD і ∠ACO = ∠BDO (мал. 13.14). Доведи, що ∆АОС = ∆BOD.
Дано: АВ X СD в точці О; СО = ОD;
∠АСО = ∠ВОD.
Довести: △АОС = △ВОD.
Доведення
В △АОС і △ВОD:
1) СО = ОD – за умовою; 2) ∠АСО = ∠ВОD – за умовою; 3) ∠АОС = ∠ВОD – як вертикальні,
Отже, △АОС = △ВОD за другою ознакою рівності трикутників. 486.На малюнку 13.15 AB = CD, AB || CD. Доведіть, що ∆АОВ = ∆COD. Обговоріть план доведення.
Дано: АВ = CD, АВ || CD.
Довести: △АРВ = △COD.
Доведення
В △АОВ і △COD:
1) AB = CD – за умовою;
2) ∠ABO = ∠CDO – як
3) ∠BAO = ∠DCO – як
Отже, △АОВ = △COD
487.На малюнку 13.15 BC = AD, BC || AD.
Дано: ВС = AD; ВС || AD.
Довести: △ВОС = △DOA
Доведення
В △
і △DOA: 1) ВС = AD – за умовою; 2) ∠СВО = ∠ADO – як
3) ∠
CD.
Дано: P середина AB; AC || BD;
AB X CD в точці P.
Довести: CP = DP
Доведення
В ΔCAP і ΔDBP:
1) AP = BP – за умовою;
2) ∠APC = ∠BPD – як вертикальні;
3) ∠CAP = ∠DBP – як
Отже, ΔCAP = ΔDBP за другою
Тоді CP = DP як відповідні сторони рівних трикутників. 492.На малюнку 13.18 ∠1 =
AB = AD.
Дано: ∠1 = ∠2; ∠B = ∠D; AB = AD.
Довести: ΔABC = ΔADC. Доведення
В ΔABC і ΔADC:
що ∆ABC = ∆ADC.
1)∠1 = ∠2 – за умовою;
2)∠B = ∠D – за умовою;
3)AB = AD – за умовою.
Отже, ΔABC = ΔADC за першою
493.Доведи, що ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, якщо
AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁ і ∠B = ∠B₁.
Оскільки ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, тоді
∠C = ∠C₁ = 180° - ∠A - ∠B.
Оскільки AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁, то
трикутників ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
494.Доведи рівність трикутників ABC і XYZ (мал. 13.19).
Доведення
ΔABC: ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (83° + 50°) = 180° - 133° = 47°.
ΔXZY: ∠Z = 180° - (∠X + ∠Y) = 180° - (83° + 50°) = 180° - 133° = 47°.
Отже, ∠B = ∠Z.
В ΔABC і ΔXZY:
1) AB = XY – за умовою;
2) ∠A = ∠X – за умовою;
3) ∠B = ∠Z – за умовою.
Отже, ΔABC = ΔXZY
ΔAOD = ΔCOB
∆АВС = ∆DCB.
Дано: АВ X CD в точці М;
АВ = CD; АМ = MD.
Довести: ΔАВС = ΔDCB.
Доведення
В ΔАМС і ΔDMB:
1) AM = MD – за умовою;
2) CM = BM – як частини рівних відрізків; 3) ∠AMC = ∠DMB – як вертикальні.
Отже, ΔАМС = ΔDMB за
Тоді, AC = DB, ∠CAM = ∠BDM як
В ΔАВС і ΔDCB:
1) AC = DB – за доведеним;
2) AB = DC – за умовою;
3) ∠CAB = ∠BDC – за доведеним.
ΔАВС = ΔDCB
∠BDA = ∠CDA. Доведи, що:
а) BD = CD; б) BM = CM, де
AD.
рівних
Оскільки ∠BAD = ∠CAD (бо AD бісектриса), ∠BDA = ∠CDA (за умовою), AD –спільна сторона трикутників BAD і CAD, то згідно з другою ознакою рівності трикутників ΔBAD = ΔCAD, тоді BD = CD.
502.На бісектрисі кута К позначено точку М, на сторонах цього кута
що ∠KMA = ∠KMB. Доведи, що: а) АК = ВК; б) ∠КАС = ∠КВС, де
Дано: КМ – бісектриса ∠К; ∠KMA = ∠KMB.
Довести, що:
а) AK = BK.
Доведення
В ΔАКМ і ΔВКМ:
1) КМ – спільна сторона;
2) ∠KMA = ∠KMB – за умовою;
3) ∠AKM = ∠BKM – за умовою.
Отже, ΔАКМ = ΔВКМ за другою
відповідні сторони рівних трикутників.
б) ∠KAC = ∠KBC, С ∈ КМ.
Доведення
В ΔАКС і ΔВКС:
1) АС – спільна сторона;
2) ∠AKC = ∠BKC – за умовою;
3) AK = BK – за доведеним.
Отже, ΔАКС = ΔВКС
відповідні кути рівних трикутників.
503.Бісектриса AL трикутника АВС
АВ = АС.
Тоді AK = BK як
∠BLA = ∠CLA = 90°.
504.Медіана
Дано: ΔАВС; ВМ – медіана;
ВМ ⊥ АС.
Довести: АВ = ВС. Доведення В ΔАМВ і ΔСВМ:
1) AM = CM – за умовою;
2) ∠AMB = ∠CMB – за умовою;
3) BM – спільна сторона.
Отже, ΔАМВ = ΔСМВ
відповідні сторони рівних трикутників.
505.Доведи, що медіани рівних трикутників,
Оскільки ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, то АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁, BC = B₁C₁, тоді ВМ = В₁М₁ (як половини рівних сторін ВС і В₁С₁). ΔВАМ = ΔВ₁А₁М₁, оскільки ВА = В₁А₁, ∠B = ∠B₁, BM = B₁M₁. Із рівності цих трикутників маємо AM = A₁M₁. Отже, медіани рівних трикутників, проведені до рівних сторін, рівні. 506.Доведіть, що в рівних трикутниках рівні
Оскільки ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, то АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁, тоді ∠1 = ∠2 = 90° - ∠B.
ΔBAH = ΔB₁A₁H₁, оскільки BA = B₁A₁, ∠B =
Із рівності цих трикутників маємо AH = A₁H₁.
B₁, ∠1 =
507.У трикутнику АВС
= ВС.
Дано: ΔABC; AC = BC; AP, BH – медіани.
Довести: ΔAPC = ΔBHC.
Доведення
В ΔAPC і ΔBHC: 1) ∠C – спільний;
2) AC = BC –
3) PC = HC
508.
2; 4; 6; 8; 10; 12; ... 512.
htps://shkola.in.ua/3332
5x + 4x + 4,5x + 1 = 28. 13,5x = 27, x = 2.
сторони. 516.
∠В = 135° · 4 4 + 5 = 60°.
∠В = 135° · 5 4 + 5 = 75°.
Відповідь: 60° і 75°.
2. Б. BO, CO – бісектриси.
∠B�������� ?
∠ВОС = 180° – ∠ОВС – ∠ОСВ = 180° –1 2 ∠
= 180° –1 2(
+ ∠
= 180° –1 2 · 120° = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: 120°.
3. А. ∠1 = 30°, ∠2 = 40°.
∠3, ∠4?
∠АМС = 130° – ∠1 = 130° – 30° = 100°;
∠4 = 180° – ∠АМС = 180° – 100° = 80°.
∠АКС = 130° – ∠2 = 130° – 40° = 90°;
∠3 = 180° – ∠АКС = 180° – 90° = 90°.
Відповідь: 90° і 80°.
3. Б. ∠CAB = ∠ACB = 50°.
∠BAH, ∠CAH?
ВАН = 90° – ∠В = 90° – (180° – ∠
= 90° – (180° – 100°) = 10°.
∠
САН = 90° – ∠С = 90° – 50° = 40°.
Відповідь: 10° і 40°.
4. А. ∠BAC = ∠BCA, ∠1 = ∠2.
∠AKC?
∠А + ∠С = 180°−80° 2 = 50°;
∠1 = ∠2 = 50° 2 = 25°.
∠АКС = 180° – ∠С – ∠2 = 180° – 50° – 25° = 105°.
Відповідь: 105°.
4. Б. AO, BO – бісектриси.
∠C?
htps://shkola.in.ua/3332
180° – 120° – 57° = 3°.
Відповідь: 3°.
3. Периметр трикутника
х + х – 8 + х – 5 = 50. Звідси 3х – 13 = 50, 3х = 63. х = 21.
дорівнюють 21 м, 13 м і 16 м.
Відповідь: 21 м, 13 м і 16 м.
4. PM – висота трикутника KPT є водночас і бісектрисою.
якщо KM = MT.
htps://shkola.in.ua/3332
4.
1.
1.
2.
3.
кут = 180° − 40° − 60° = 80°
Відповідь: Б. 80°.
2. Зовнішні кути трикутника
кут = 180° − 140° = 40° Відповідь: В. 40°.
3. Кути трикутника пропорційні числам 2,
Складаємо суму частин:
2 + 3 + 5 = 10 частин.
Сума кутів трикутника: 180°.
Одна частина: 180° : 10 = 18°.
Найменший кут відповідає числу 2:
2 × 18° = 36°.
Відповідь: Г. 36°.
4.
5.
70° + 60° = 130°,
130° + ∠C = 180°.
∠C = 180° − 130° = 50°.
Оскільки
∠C = ∠C1 Отже, ∠C1 = 50°.
Відповідь: А. 50°.
8. Відрізки AB і
AO = BO (за умовою)
CO = DO (за умовою)
∠AOC і ∠BOD
△AOC = △BOD.
Відповідь: Б. ∆BOD.
9. Відрізки AB і CD перетинаються
дорівнює кут ОАС?
AO = BO (за умовою)
CO = DO (за умовою)
∠AOC = ∠BOD (як
Отже, △AOC = △BOD (за
= �������� + ��������
�������� = ��������
(
�������� ) �������� =(�������� + �������� ) ��������
=
Оскільки �������� = �������� (сторона), ∠������������ = ∠������������ (кут), і �������� = �������� (сторона),
6. BK
