h-8-hm-is by sloven

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1) ∠A = 32;

4) ∠D = 59° 30′;

7) ∠L = 89°;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тупі:

3) ∠C = 150°; 6) ∠N = 120°; 8) ∠M = 113° 20′

2. Знайдіть кут, суміжний з кутом:

1) 25°; 180° – 25° = 155°

2) 90°; 180° – 90° = 90°

3) 116°. 180° – 116° = 64°

3. Знайдіть кут, суміжний

1) 140°; 180° – 140° = 40°

2) 83°. 180° – 83° = 97° 4.

2) ∠B = 90°;

5) ∠K = 180°;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

11.

shkola.in.ua

∠2 = 115° (як вертикальні);

∠1 = 180° – 115° = 65° (як суміжні); ∠3 = ∠1 = 65° (як вертикальні).

(як

6 = ∠8 = 36° (як вертикальні кути)

= 130°.

∠2 = 180° − 130° = 50° (як суміжні)

∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути) ∠4 = ∠2 = 50° (як

5 = ∠2 = 50° (як

8 = ∠1 = 130° (як

5 = 50° (як

кути)

6 = ∠8 = 130° (як вертикальні

2х = 180° + 40°

2х = 220°

х = 110°

2) становить 80 % від іншого.

х + 0,8х = 180°

1,8х = 180°

х = 100° — більший кут

0,8х = 0,8 ∙ 100° = 80° —

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

х = 5 (см) — літера В

3х = 3 ∙ 5 = 15 (см) — літера Я

2) Нехай AK = х, тоді KB = 2 3 х:

х + 2 3 х = 20

5 3 х = 20

х = 20 ∙ 3 : 5

х = 12 (см) — літера И

2 3 х = 2 3 ∙ 12 = 8 (см) — літера Н

3) Нехай AK = 3х, тоді KB = 7х:

3х + 7х = 20

10х = 20

х = 2

3х = 3 ∙ 2 = 6 (см) — літера І

7х = 7 ∙ 2 = 14 (см) — літера Ц

Прямі AB, MN і CD перетинаються

18. Прямі

1) ∠DOB, якщо ∠CON = 70°;

∠MOD = ∠CON = 70° (як вертикальні)

∠MOB = 90° (оскільки AB ⊥ MN)

∠DOB = ∠MOB −

MOD = 90° − 70° = 20°

2) ∠AOC, якщо ∠DON = 105°.

∠MOC = ∠DON = 105° (як вертикальні)

∠MOA = 90° (оскільки AB ⊥ MN)

∠AOC = ∠MOC − ∠MOA = 105° − 90° = 15°

MN ⊥ KL (мал. 4).

Знайдіть:

1) ∠KOB, якщо ∠NOA = 120°;

∠BOM = ∠NOA = 120° (як вертикальні)

∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL)

∠KOB = ∠BOM − ∠KOM = 120° − 90° = 30°

2) ∠KOA, якщо ∠BON = 40°.

∠AOM = ∠BON = 40° (як вертикальні)

∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL)

∠KOA = ∠AOM + ∠KOM = 40° + 90° = 130°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

х + 3х = 180°

4х = 180°

х = 45° — менший кут

3х = 3 ∙ 45° = 135° —

2х + 3х = 180°

5х = 180°

х = 36°

3х = 3

2х = 2

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

22. (Усно.) Чи

1) 60°, 60°, 61°;

2) 20°, 70°, 90°;

3) 10°, 100°, 70°;

4) 50°, 60°, 80°?

будь-якому трикутнику сума

1) 60° + 60° + 61° = 181° ❌ Не існує

2) 20° + 70° + 90° = 180° ✅ Існує

3) 10° + 100° + 70° = 180° ✅ Існує

4) 50° + 60° + 80° = 190° ❌ Не існує

23. (Усно.) Чи існує трикутник

1) 7 см, 2 см, 9 см;

2) 12 см, 10 см, 8 см;

3) 3 см, 4 см, 6 см;

4) 8 см, 8 см, 15 см?

Щоб з’ясувати,

1) 7 + 2 = 9

+ 8 = 18 > 12

5 + 2 = 7 (см)

= 5 + 7 + 7 = 19

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Основа на 3 см менша, тобто: 10 – 3 = 7 (см)

У рівнобедреному трикутнику

P = 7 + 10 + 10 = 27 (см)

Відповідь: 27 см.

26. У трикутнику ABC відрізок BK – медіана, AK = 5 см. Знайдіть KC і AC.

Оскільки BK медіана, то точка K середина відрізка AC:

AK = KC

А якщо AK = 5 см, то: KC = 5 (см)

Тоді довжина AC:

AC = AK + KC = 5 + 5 = 10 (см)

Відповідь:

KC = 5 см; AC = 10 см.

27. У трикутнику ABC відрізок CM – бісектриса, ∠ACB = 80°. Знайдіть

∠ACM = 40°; ∠BCM = 40°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

що △ACK = △BCK (мал. 6), якщо CK ⊥ AB і ∠ACK = ∠BCK.

У трикутниках △ACK = △BCK:

1) ∠ACK = ∠BCK = 90° — за умовою

2) ∠ACK = ∠BCK — за умовою

3) CK — спільна сторона.

Висновок:

трикутників): △ACK = △BCK. 30.

A + ∠B + ∠C = 180° х + 100° + х = 180°

2х = 180° − 100°

2х = 80° х = 40°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Зовнішній кут трикутника

трикутника):

∠A + ∠B = ∠BCM

Підставляємо:

∠A + 60° = 110°

∠A = 110° − 60°

∠A = 50°

Відповідь: 50°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1) AB, якщо BC = 8 дм; 2) BC, якщо AB = 18 см.

трикутників) Дві

|a b| < c < a + b

|6,3 2,7| < c < 6,3 + 2,7

3,6 < c < 9,0

Найменше ціле

BC = 1 2 AB ⇒ AB = 2BC

1) AB = 2BC = 2 ∙ 8 = 16 (дм); 2) BC = 1 2 AB = 1 2 ∙ 18 = 9 (см). Відповідь: 1) 16 дм; 2) 9 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5x + 10 = 45

5x = 35

x = 7

Знаходимо сторони:

Перша сторона: x = 7 см

Друга: 3x = 21 см

Третя: x + 10 = 17 см

Відповідь: 7 см, 21 см, 17 см.

39. Одна зі сторін трикутника на 3 см

Периметр трикутника дорівнює 35 см. Знайдіть сторони трикутника.

Позначимо невідому сторону як x.

Тоді згідно з умовою:

Одна сторона — x

Друга — x + 3

Третя — 2x

Периметр: x + (x + 3) + 2x = 35

Розв’яжемо рівняння: x + x + 3 + 2x = 35

4x + 3 = 35

4x = 32

x = 8

Знайдемо сторони:

Перша сторона: x = 8 см

Друга: x + 3 = 11 см

Третя: 2x = 16 см

Відповідь: 8 см, 11 см, 16 см.

40. На малюнку 7 AB =

∠B : ∠C = 1 : 3

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

випадках маємо: ∠A = 60° Сума кутів трикутника:

∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠B + ∠C = 120°

1) Нехай ∠C = x, тоді ∠B = x 20

Підставимо в рівняння:

x + (x 20) = 120

2x 20 = 120

2x = 140

x = 70

Отже:

∠C = 70° — літера О

∠B = 50° — літера Л

2) Нехай ∠C = x, тоді ∠B = 2x

x + 2x = 120

3x = 120

x = 40

Отже:

∠C = 40° — літера И

∠B = 80° — літера Р

3) Нехай ∠B = x, тоді ∠C = 3x

x + 3x = 120

4x = 120

x = 30

Отже:

∠B = 30° — літера П

∠C = 90° — літера К

Перший кут — x

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Другий кут — x + 20

Третій кут 2x

Сума кутів трикутника:

x + (x + 20) + 2x = 180°

4x + 20 = 180°

4x = 160°

x = 40°

Обчислимо всі кути:

Перший: x = 40°

Другий: x + 20 = 60°

Третій: 2x = 80°

Відповідь: 40°, 60°, 80°.

43. Знайдіть

1) один із них на 26° більший за інший;

Оскільки трикутник

також дають 90°.

Нехай менший

x + (x + 26) = 90°

2x + 26° = 90°

2x = 64°

x = 32°

+ 26° = 32 + 26° = 58°

+ 0,8x = 90°

1,8x = 90°

= 50°

= 0,8

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

кути: 3x і 2x

3x + 2x = 90°

5x = 90°

x = 18°

2x = 2 ∙ 18° = 36° — менший

Периметр трикутника ACK:

AK + CK + AC = 30

AK + 12 + AC = 30

AK + AC = 18 У трикутнику ABC:

AB = 2 ∙ AK

AC = BC Отже:

AB = AC (бо в рівнобедреному

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Оскільки M — середина BC, то:

BM = y 2 = 32−2x 2 = 16 − x

Периметр △ABM — це сума сторін:

AB + BM + AM = x + (16 x) + 8 = 16 + 8 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

47. Знайдіть кути

трикутника) — назвемо їх

умовою: або y = x + 24°, або x = y + 24°.

кутів трикутника дорівнює 180°:

Випадок 1:

2x + y = 180° та y = x + 24°

Підставимо:

2x + (x + 24°) = 180°

3x = 156°

x = 52°

y = 52 + 24 = 76°

Кути: 52°, 52°, 76°

Відповідь:

Слід розглянути два

Випадок 1: 52°, 52°, 76°;

Випадок 2: 68°, 68°, 44°.

48. Чи існує трикутник

3 см менша від третьої?

Позначимо сторони трикутника

Випадок 2:

2x + y = 180 та x = y + 24

y = x - 24

Підставимо:

2x + (x - 24) = 180

3x = 204

x = 68

y = 68 - 24 = 44

Кути: 68°, 68°, 44°

3a + 11 = 20

3a = 9 a = 3

Тоді:

1. 3 + 7 = 10 ❌

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. 3 + 10 = 13 > 7 ✅

3. 7 + 10 = 17 > 3 ✅

Відповідь: не існує.

49. (Усно.) Знайдіть:

1) діаметр кола, якщо його радіус дорівнює

а) r = 6 см

d = 2 ∙ 6 = 12 см;

б) r = 7 дм

d = 2 ∙ 7 = 14 дм.

2) радіус

а) d = 4 дм

r = 4 2 = 2 дм;

б) d = 5 см

r = 5 2 = 2,5 см.

50. Знайдіть градусну міру кута,

1) 80°;

2) 200°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

тоді:

BAC = ∠BOC : 2 ⇒ ∠BOC = 2 ∙ ∠BAC

вписаний кут ∠BAC = 50°, то

∠BOC = 2 ∙ 50° = 100°

2) Якщо вписаний кут ∠BAC = 110°, то

∠BOC = 2 ∙ 110° = 220°

Відповідь: 1. 100°; 2. 220°

1) кута O, якщо ∠C = 46°; 2) кута D, якщо ∠O = 96°.

1) ∠C = ∠D = 46°, тоді

Трикутник COD рівнобедрений, оскільки OC = OD (радіуси кола). Загальна властивість:

∠O = 180° - (∠C + ∠D) = 180° - (46° + 46°) = 88°.

2) ∠C = ∠D = x, тоді 96° + x + x = 180° 2x = 84° x = 42°

1) кута C, якщо

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1) Нехай ∠C = ∠D = x, тоді:

x + x + 94° = 180°

2x = 86°

x = 43°

2) Оскільки ∠D = ∠C = 44°, то:

44° + 44° + ∠O = 180°

∠O = 180° - 88° = 92°

Відповідь: 1. ∠C = 43°; 2. ∠O = 92°

54. На малюнку 9 точка O –

1) ∠OBA, якщо ∠ABC = 62°; 2) ∠DBA, якщо ∠OBA = 30°. Радіус, проведений у точку

55. На малюнку 9 точка

1) ∠ABC, якщо ∠OBA = 32°;

2) ∠OBA, якщо ∠DBA = 136°.

OBC = ∠DBO = 90°.

1) ∠OBA = ∠OBC − ∠ABC = 90° − 62° = 28°;

2) ∠DBA = ∠DBO + ∠OBA = 90° + 30° = 120°.

Відповідь:

1. ∠OBA = 28°

2. ∠DBA = 120°

Дотична

кола), тому

OBC =

DBO = 90°.

1) ∠ABC = ∠OBC – ∠OBA = 90° – 32° = 58°;

2) ∠OBA = ∠DBA – ∠DBO = 136° – 90° = 46°.

1. ∠ABC = 58° 2. ∠OBA = 46°

CAD та

◡CBD = 2∠CAD = 2 ∙ 76 = 152°

Тоді, ◡CAD = 360° − ◡CBD = 360° − 152° = 208°

∠CBD = ◡CAD : 2 = 208° : 2 = 104°

Відповідь: ∠CBD = 104°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

d = R r = 8 - 5 = 3 см

d = R + r = 8 + 5 = 13 см

Відповідь:1. 3 см; 2. 13 см.

1) зовнішній

d = R + r = 7 + 4 = 11 см

2) внутрішній дотик.

різниці радіусів: d = R r = 7 4 = 3 см Відповідь: 1. 11 см;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BMK, якщо

x + x + 130° = 180°

2x = 50°

x = 25°

BOM = 130°.

Трикутник OMB рівнобедрений, оскільки OM = OB (радіуси кола).

Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні,

∠MOB + ∠OBM +∠OMB = 180°

Нехай ∠OBM = ∠OMB = x, тоді:

Дотична до кола є перпендикулярною

Тоді ∠BMK = ∠OMK − ∠OBM = 90° – 25° = 65°.

Відповідь: ∠BMK = 65°.

62. Пряма

Знайдіть ∠MOB, якщо ∠KMB = 70°.

= 90°.

Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який

кола), тому ∠OMK = 90°.

Тоді

∠OMB = ∠OMK − ∠BMK = 90° – 70° = 20°.

Трикутник OMB — рівнобедрений, оскільки OM = OB (радіуси кола). Загальна властивість:

рівнобедреному

MOB + 20°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5x - 3x = 16

2x = 16

x = 8

Тоді:

R = 5x = 40 см, r = 3x = 24 см

2) зовнішній дотик.

При зовнішньому дотику:

R + r = d

5x + 3x = 16

8x = 16

x = 2

Тоді:

R = 5x = 10 см, r = 3x = 6 см

Відповідь: 1) 40 см, 24 см; 2) 10 см, 6 см.

64. Прямі AB і AC дотикаються

AB = 4 см, ∠OAC = 30°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BD = AB : 2 = 4 : 2 = 2 см

CD = AC : 2 = 4 : 2 = 2 см

Тоді

BC = BD + CD = 2 + 2 = 4 см

Відповідь: 4 см.

65.

Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 2 см, AK = 5 см.

За властивістю дотичних,

BL = KB = 2 см, AM = AK = 5 см, CM = CL = 5 см.

PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 5 см + 2 см + 2 см + 5 см + 5 см + 5 см = 24 см.

Відповідь: 24 см.

66. Коло, вписане у рівнобедрений

і 3 см, починаючи

трикутника.

Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 4 см, AK = 3 см. За властивістю дотичних, проведених

точки до кола, маємо: BL = KB = 4 см, AM = AK = 3 см, CM = CL = 3 см.

PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 3 см + 4 см + 4 см + 3 см + 3 см + 3 см = 20 см.

Відповідь: 20 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠ACB = ∠AOB : 2 = 100° : 2 = 50° Кути при основі рівнобедреного

рівні: ∠CBA = ∠CAB = x Сума кутів трикутника рівна 180°:

∠ACB + ∠CBA + ∠CAB = 180°

50° + х + х = 180°

2х = 130°

х = 65°

Відповідь: 65°, 65°, 50°.

∠AOB – центральний кут;

∠ACB – вписаний кут;

◡ACB = ∠AOB = 100°

◡ALB = 360° − ◡ACB = = 360° − 100° = 260°

Вписаний кут

дуги на яку він опирається (згідно теореми

про вписаний кут):

∠ACB = ◡ALB : 2 = 260° : 2 = 130°

Кути при основі рівнобедреного

трикутника рівні:

∠CBA = ∠CAB = (180° − ∠ACB) : 2 = = (180° − 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°

Відповідь: 25°, 25°, 130°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. 70° + 90° + 100° + 120° = 380°

Відповідь: ні.

2. 130° + 60° + 70° + 100° = 360°.

Відповідь: так.

1.6 Чи можуть кути чотирикутника дорівнювати:

1. 140°, 60°, 90° і 70°;

2. 120°, 110°, 80° і 60°?

1. 140° + 60° + 90° + 70° = 360°.

Відповідь: так.

2. 120° + 110° + 80° + 60° = 370°.

Відповідь: ні.

1.7 Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо

1. 150°, 110° і 80°;

2. 80°, 60° і 30°.

Яким

1. 360° − (150° + 110° + 80°) = 20°. Чотирикутник опуклий.

2. 360° − (80° + 60° + 30°) = 190°. Чотирикутник

1.8 Знайдіть четвертий

1. 20°, 70° і 80°;

2. 120°, 50° і 40°.

Яким — опуклим чи неопуклим

1. 360° − (20° + 70° + 80°) = 190°.

2. 360° − (120° + 50° + 40°) = 150°.

1.9 Знайдіть периметр

P = 34 + 25 + 40 + 70 = 169 (мм).

P = 80 + 70 + 63 + 52 = 265 (мм). 1.11

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

(60 − 24) : 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см; 12 см; 12 см.

1.14 У

чотирикутнику ABCD BC = CD і ∠ ACB = ∠ ACD. Доведіть, що ∠ B = ∠ D.

1. BC = CD (за умовою); ∠ACB = ∠ACD (за умовою). AC — спільна сторона трикутників ABC і ADC. Тому ΔABC = ΔADC (за першою ознакою).

2. Оскільки ΔABC = ΔADC, то ∠B = ∠D, що й треба було довести.

1.15 У чотирикутнику ABCD ∠ BAC = ∠ ACD, ∠ BCA = ∠ CAD. Доведіть, що AB = CD.

1. ∠BAC = ∠ACD; ∠BCA = ∠CAD (за умовою); AC спільна сторона трикутників ABC і CDA. Тому ΔABC = ΔCDA (за другою ознакою).

2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то AB = CD, що й треба було довести.

1.16 Знайдіть сторони чотирикутника, якщо

периметр чотирикутника дорівнює 65 см.

1. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють 4x, 5x, 8x і 9x

Тоді 4x + 5x + 8x + 9x = 65;

26x = 65;

x = 2,5.

2. Тоді сторони чотирикутника:

4 · 2,5 = 10 (см);

5 · 2,5 = 12,5 (см);

8 · 2,5 = 20 (см);

9 · 2,5 = 22,5 (см).

Відповідь: 10 см, 12,5 см, 20 см, 22,5 см.

1.17 Знайдіть

1. Нехай кути чотирикутника дорівнюють 4

Тоді 4x + 5x + 7x + 8x = 360°; 24x = 360°; x = 15°.

2. Тоді кути чотирикутника:

4 · 15° = 60°;

5 · 15° = 75°;

7 · 15° = 105°;

8 · 15° = 120°.

Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Нехай

7�� + 5�� 2 = 6��.

2. Тоді 90° + 7x + 5x + 6x = 360°; 18x = 270°; x = 15°.

3. Отже, невідомі кути чотирикутника:

7 · 15° = 105°;

5 · 15° = 75°;

6 · 15° = 90°.

Відповідь: 105°, 75°, 90°.

1.19 Знайдіть

сторін 18 см, друга

третьої.

1. Нехай друга сторона чотирикутника

7�� 3�� 2 = 4�� 2 = 2�� (см).

2. За умовою 18 + 7x + 3x + 2x = 54; 12x = 36; x = 3 (см).

3. Отже, друга

7 · 3 = 21 (см),

третя — 3 · 3 = 9 (см),

четверта — 2 · 3 = 6 (см).

Відповідь: 21 см, 9 см, 6 см.

1.20 Доведіть,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1.24

AB = BC = 6 см; ∠B = 50°; AD1 = AD2 = 4 см; CD1 = CD2 = 3 см.

AB = AD = 5 см;

∠A = 70°;

BC1 = BC2 = 4 см;

DC1 = DC2 = 3 см. 1.25

Доведіть, що:

трикутників ABD і CBD. Тому ΔABD = ΔCBD.

1. Оскільки ΔABD = ΔCBD, то ∠ABD =

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

З ΔABD: BD = PΔABD − (AB + AD).

З ΔBCD: BD = PΔBCD − (BC + CD).

Додаємо ці дві рівності:

BD + BD = PΔABD + PΔBCD − (AB + AD + BC + CD);

2BD = PΔABD + PΔBCD − PABCD;

2BD = 20 + 21 − 29;

2BD = 12;

BD = 6.

Відповідь: 6 см.

1.27

2 = 180° − 70° = 110° (властивість

∠3 = ∠1 = 70° (як вертикальні); ∠4 = ∠2 = 110° (як вертикальні);

∠5 = ∠2 = 110° (як

∠6 = ∠3 = 70° (як відповідні); ∠7 = ∠5 = 110° (як вертикальні);

8 = ∠6 = 70° (як відповідні).

Задача має два розв’язки.

Випадок 1.

В ΔABC AB = BC, ∠B = 70°. Кути при основі рівні, тоді

∠A = ∠C = (180° − ∠B) : 2 = (180° − 70°) : 2 = 55°.

Випадок 2.

В ΔABC AB = BC, ∠A = 70°.

∠C = ∠A = 70° як кути при основі.

∠B = 180° − (∠A + ∠C);

∠B = 180° − 2 · 70° = 40°.

Відповіді:

1. 55°, 55°, 70°; 2. 70°, 70°, 40°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, CD медіана.

що проведена до гіпотенуза, маємо: CD = АВ : 2 = AD = BD.

∠A = 90° − ∠B = 30°. Тоді BC — менший катет, оскільки лежить проти меншого кута. За умовою CD + BC = 10 см.

У ΔBCD CD = BD, ∠B = 60°, тоді ΔBCD — рівносторонній, CD = BC = 10 см : 2 = 5 см.

AB = 2CD = 2 · 5 см = 10 см.

Відповідь: 10 см.

1.30 Пряма AB є січною для прямих KL і MN. Запишіть усі пари внутрішніх

1 > ∠4;

3. ∠3 = 120°, ∠4 = 121°;

4. ∠2 = 60°, ∠4 = 119°;

5. ∠1 = ∠4 = 122°;

6. ∠3 = ∠4?

1. AB = CD; ∠BAC = ∠ACD (за умовою).

— спільна сторона трикутників ABC і CDA. Тому ΔABC = ΔCDA (за першою ознакою).

2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то BC = AD і ∠BCA = ∠CAD.

3. Оскільки ∠BCA = ∠CAD, і ці кути — внутрішні

прямих BC і AD січною AC, то BC || AD.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. 2 · (150 + 200) = 2 · 350 = 700 (м) — довжина доріжки.

2. (700 м · 4) : 16 = 2,8 км : 16 = 0,175 год = = 0,175 · 60 хв = 10,5 хв = 10 хв 30 с — витрачає Аліса.

3. (700 м · 3) : 14 = 2,1 км : 14 = 0,15 год = = 0,15 · 60 хв = 9 хв — витрачає Тарас.

4. 10 хв 30 с – 9 хв = 1 хв 30 с — на стільки більше.

Відповідь: Аліса витрачає на 1 хв 30 с більше часу

1.34 (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1964 р.)

2.3

2.4

Відповідь: 50°, 130°, 130°.

2.6 Знайдіть кути паралелограма, якщо

У паралелограмі:

Суміжні кути в сумі дають 180°.

Протилежні кути рівні. Якщо один кут дорівнює 110°, то сусідній: 180° − 110° = 70°.

Отже, кути будуть: 110°, 70°, 110°, 70°.

2.7 Знайдіть периметр

1. 12 + 3 = 15 (см) — друга сторона; 2. P = 2(12 + 15) = 54 (см). Відповідь: 54 см.

2.8

1. 18 : 2 = 9 (см) —

2. P = 2(18 + 9) = 54 (см).

54 см.

2.9

110°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ∠A + ∠C = 120° ⇒ 2∠A = 120° ⇒

∠A = 60°, ∠B = 120°.

2. ∠A = ∠B + 20° і ∠A + ∠B = 180° ⇒

∠B = 80°, ∠A = 100°.

3. ∠A = 1 3 ∠B, ∠A + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 135°, ∠A = 45°.

4. ∠A : ∠B = 3 : 2 ⇒ 5k = 180° ⇒ ∠A = 108°, ∠B = 72°.

2.10

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ∠B + ∠D = 200°; ∠B = ∠D = 200° 2 = 100°.

Тоді ∠A = ∠C = 180° − 100° = 80°.

2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 40°.

Маємо x + x + 40 = 180; 2x = 140; x = 70.

Отже, ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 70° + 40° = 110°.

3. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x.

Маємо x + 2x = 180;

3x = 180; x = 60.

Отже, ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°.

4. Оскільки ∠A : ∠B = 4 : 5, то можна

позначити

∠A = 4x, ∠B = 5x.

Маємо 4x + 5x = 180;

9x = 180; x = 20.

Отже, ∠A = ∠C = 4 · 20° = 80°; ∠B = ∠D = 5 · 20° = 100°.

2.11

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD ∠ BAD = 80°, ∠ ACD = 50°. Знайдіть

2.12

ACB і ∠ ABC.

1. ∠BCD = ∠BAD = 80°.

2. ∠ACB = ∠BCD − ∠ACD = 80° − 50° = 30°.

3. ∠ABC = 180° − ∠BAD = 180° − 80° = 100°.

Відповідь: ∠ACB = 30°; ∠ABC = 100°.

ABCD ∠ BAC = 35°, ∠ BCA = 40°.

2.13

1. ∠ABC = 180° − (35° + 40°) = 105°.

2. ∠CDA = ∠ABC = 105°.

3. ∠BAD = ∠BCD = 180° − 105° = 75°.

Відповідь: ∠BAD = ∠BCD = 75°; ∠ABC = ∠CDA = 115°.

2.14 Периметр

1. одна з них на 4 см більша за другу;

2. вони відносяться як 3 : 7.

1. Нехай AB = x см, тоді BC = (x + 4) см.

Маємо 2(x + x + 4) = 40; 2x + 4 = 20; 2x = 16; x = 8 (см).

Отже, AB = CD = 8 (см); BC = AD = 8 + 4 = 12 (см).

Відповідь: 8 см; 10 см.

2. Оскільки AB : BC = 3 : 7, то можна

позначити AB = 3x, BC = 7x

Маємо 2(3x + 7x) = 40; 10x = 20; x = 2 (см).

Отже, AB = CD = 3 · 2 = 6 (см); BC = AD = 7 · 2 = 14 (см).

Відповідь: 6 см; 14 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

P = 2(a + b), де a і b — сторони паралелограма.

1. Менша сторона x дм, більша сторона

— (x + 2) дм.

P = 2(x + x + 2) = 4x + 4.

За умовою 4x + 4 = 36, 4x = 32, x = 8.

8 + 2 = 10 (дм).

Відповідь: 8 дм, 10 дм.

2. Менша сторона x дм, більша сторона

— 5x дм.

P = 2(x + 5x) = 12x.

12x = 36, x = 3.

3 · 5 = 15 (дм).

Відповідь: 3 дм, 15 дм.

2.16 О

2.17

1. OB = BD 2 = 20 2 = 10 (см).

2. AO = PΔAOB − (AB + BO) = 32 − (15 + 10) = 7 (см).

3. AC = 2 · AO = 2 · 7 = 14 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

оскільки ∠BMA = ∠MAD (як внутрішні різносторонні

AD || BC і

Отже, AB = BM = 5 см.

BC = BM + MC = 5 см + 7 см = 12 см.

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (5 + 12) = 2 · 17 = 34 (см). Відповідь: 34 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2.24

∠BPA = ∠PAD (як внутрішні різносторонні

AD || BC і січній AP);

∠BAP = ∠PAD (за означенням бісектриси).

Тоді ∠BAP = ∠BPA, тобто ΔABP — рівнобедрений, BP = AB = 4 см. BC = BP + PC, PC = BC − BP = 12 см − 4 см = 8 см.

Відповідь: 4 см, 8 см.

паралелограм за стороною і діагоналями. Припустимо, що ABCD шуканий паралелограм, O точка перетину його діагоналей.

Тоді у нього AO = ��₁ 2 , DO = ��₂ 2 , AD = a. У ΔAOD

Побудова 1. Будуємо ΔAOD за

AD і BC

ABCD позначено точки M і K так, що ∠ ABM = ∠ CDK. Доведіть, що BMDK — паралелограм.

1. ABCD паралелограм, тому AB = CD, ∠ABM = ∠KDC.

2. ∠ABM = ∠KDC (за умовою). Тому ΔABM = ΔCDK (за другою ознакою). Отже, AM = CK.

3. Оскільки AM = CK і AD = BC, то MD = BK.

4. MD = BK і MD || BK. Оскільки дві

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ABCD паралелограм, тому AD = BC; AD || BC.

2. За умовою AM = KC.

3. BK = BC − KC; MD = AD − AM. Тому BK = MD.

4. BK || MD і BK = MD. Оскільки дві сторони чотирикутника

BMDK паралельні й рівні, то за ознакою BMDK є паралелограмом, що й треба було довести.

2.28 Доведіть, що бісектриси

перпендикулярні.

AB = 2AK = 2 · 3 см = 6 см

AD = AK + KD = 3 см + 5 см = 8 см.

BC = AD = 8 см.

BK ⊥ AD — висота. З ΔABK (∠K = 90°) ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°.

PABCD = 2(AB + AD) = 2 · (6 + 8) = 28 (см). Відповідь: 28 см.

2.30 У паралелограмі ABCD AB = 6 см,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD паралелограм. AL ⊥ BC, AK ⊥ CD його

висоти.

Оскільки BC || AD, AB || CD, то AL ⊥ AD, AK ⊥ AB.

∠LAK = ∠LAD + ∠DAK,

∠DAK = ∠LAK − ∠LAD = 140° − 90° = 50°.

Аналогічно, ∠LAB = ∠LAK − ∠BAK = 140° − 90° = 50°.

∠BAD = ∠LAK – (∠LAB + ∠DAK) = 140° − (50° + 50°) = 40°.

∠C = ∠BAD = 40° як протилежні

паралелограма. Відповідь: 40°.

2.32

MBN = 70°. Знайдіть кут D

2.33

(AB + BC) = 40 см. (x + 2x – 1) · 2 = 40;

3x – 1 = 20;

3x = 21; x = 7. Отже, AB = AK = 7 см, AD = 7 + 7 – 1 = 13 (см). BC = AD = 13 см; CD = AB = 7 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді BK = 3x, KC = 7x, BC = 3x + 7x = 10x.

PABCD = 2(AB = BC) = 2(3x + 10x) = 26x.

За умовою 26x = 78,

x = 3. AB = BK = 3 · 3 = 9 (см); BC = 10 · 3 = 30 (см).

Відповідь: 9 см, 30 см.

2.35 Два кути паралелограма

1. тупого кута; 2. гострого кута.

1. ABCD паралелограм. BK ⊥ AD, BN ⊥ CD

висоти, проведені з вершини тупого

умовою ∠A : ∠B = 5 : 7.

x — коефіцієнт пропорційності, тоді

∠A = ∠C = 5x,

∠B = ∠D = 7x

5x + 7x = 180;

12x = 180; x = 15.

Отже, ∠D = 7 · 15° = 105°.

KBND = 360°: ∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°;

∠KBN + 90° + 105° + 90° = 360°; ∠KBN = 360° − 285° = 75°. Відповідь: 75°.

2. ABCD паралелограм. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD

∠A = ∠C = 5x

B = ∠D = 7x

5x + 7x = 180;

C = 5 · 15° = 75°.

A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°;

A + 90° + 75° + 90° = 360°; ∠A + 255° = 360°;

A = 105°.

105°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. гострого кута;

2. тупого кута.

Нехай менший кут паралелограма x°, тоді

Сума гострого і тупого кутів дорівнює 180°:

x + x + 12 = 180; 2x = 168; x = 84.

Отже, в паралелограмі ABCD:

∠A = ∠C = 84°;

∠B = ∠D = 84° + 12° = 96°.

1. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD висоти, проведені з вершини

гострого кута A.

Сума кутів чотирикутника AMCN дорівнює 360°:

∠A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°;

∠A + 90° + 84° + 90° = 360°;

∠A + 264° = 360°;

∠A = 96°.

Відповідь: 96°.

2. BK ⊥ AD, BN ⊥ CD висоти, проведені з вершини

тупого кута B. Сума кутів чотирикутника KBND дорівнює 360°:

∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°;

∠KBN + 90° + 96° + 90° = 360°;

∠KBN + 276° = 360°;

∠KBN = 84°.

Відповідь: 84°. 2.37

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Нехай AH1, BH2, CH3 —

Одержимо трикутник A1B1C1.Чотирикутник ABA1C —

Тому BA1 = AC. Аналогічно ACBC1 — паралелограм і C1B = AC. Отже, C1B = BA1, точка B — середина A1C1.

Оскільки BH2 ⊥ AC і AC || A1C1, то BH2 ⊥ A1C₁. Тому BH2 належить серединному перпендикуляру до сторони A1C1 трикутника A1B1C1.

Аналогічно AH1 і CH3 належать серединним перпендикулярам до

цього трикутника. Як відомо, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Отже, AH1, BH2 і CH3

3. Якщо ΔABC — тупокутний,

1. 20°;

2. 65°.

1. 90° − 20° = 70°;

2. 90° − 65° = 25°.

2.39

7,2 − 2,5 < c < 7,2 + 2,5;

4,7 < c < 9,7.

Отже, c = 9 см.

Відповідь: 9 см.

2.40 Зовнішній

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Припустимо, що ABCD шуканий чотирикутник, BD — його діагональ.

AB = AD = 6 см, ∠A = 60°.

Тоді ΔABD — рівносторонній, BD = 6 см.

В ΔBCD: BC + CD = 4 см + 2 см = 6 см.

Маємо: BC + CD = BD, що суперечить нерівності трикутника. Відповідь: ні, не можна.

2.42 Знайдіть периметр і площу прямокутника, сторони якого дорівнюють:

1. 5 см і 7 см;

2. 2 дм і 14 см.

1. a = 5 см, b = 7 см.

P = 2(5 + 7) = 24 см; S = 5 · 7 = 35 см2 .

2.43 1. Фермер

2. a = 2 дм = 20 см, b = 14 см.

P = 2(20 + 14) = 68 см;

S = 20 · 14 = 280 см2 .

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.2

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.8 (Усно)

3.9 Доведіть,

Тому BD = AC = 12 см, BO = AO = 12 : 2 = 6 см.

PΔAOB = AB + 2AO;

AB = PΔAOB − 2AO.

AB = 16 − 2 · 6 = 16 − 12 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Нехай BC = x см, тоді AB = (x + 2) см.

P = (x + (x + 2)) · 2 = (2x + 2) · 2 = 4x + 4.

За умовою, 4x + 4 = 40; x + 1 = 10; x = 9.

Отже, BC = 9 см, AB = 9 + 2 = 11 см.

2. Нехай x коефіцієнт пропорційності.

Тоді AB = 2x, BC = 3x.

P = (2x + 3x) · 2 = 10x.

За умовою, 10x = 40; x = 4.

AB = 2 · 4 = 8 см, BC = 3 · 4 = 12 см.

3.12 Периметр прямокутника

1. одна з них на 5 см

2. сторони відносяться як 4 : 1.

1. Нехай a = x см, тоді b = (x − 5) см.

P = (a + b) · 2 = (x + x − 5) · 2 = (2x − 5) · 2

= 4x − 10.

За умовою 4x − 10 = 50;

4x = 60;

x = 15.

a = 15 см, b = 15 − 5 = 10 (см).

Відповідь: 15 см, 10 см.

2. Нехай x коефіцієнт пропорційності.

Тоді a = 4x,

b = x.

P = (4x + x) · 2 = 10x.

За умовою 10x = 50;

x = 5.

a = 4 · 5 = 20 (см), b = 5 см.

Відповідь: 20 см, 5 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.14 Знайдіть за малюнком:

1. ∠3, якщо ∠8 = 50°; 2. ∠2, якщо ∠10 = 41°.

∠1 = ∠5 = ∠4 = ∠8; ∠2 = ∠6 = ∠7 = ∠3; ∠9 = ∠11; ∠10 = ∠12.

1. Якщо ∠8 = 50°, то ∠3 = 90° – 50° = 40°. 2. Якщо ∠10 = 41°, то ∠2 = 10 : 2 = 41° : 2 = 20,5°. Відповідь: 1. 40°; 2. 20,5°.

3.15 Знайдіть за малюнком:

1. ∠5, якщо ∠2 = 40°; 2. ∠12, якщо ∠3 = 32°.

1. Якщо ∠2 = 40°, то ∠5 = 90° – 40° = 50°. 2. Якщо ∠3 = 32°, то ∠12 = 2 · ∠3 = 2 · 32° = 64°. Відповідь:

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У прямокутнику ABCD AC і BD — діагоналі, O — точка їх перетину, AB < BC.

1. Нехай ∠AOB = x, тоді ∠ABO = x − 15°. ∠OAB = ∠ABO як кути при основі

рівнобедреного ΔAOB (AO = BO як половини рівних діагоналей).

Сума кутів трикутника 180°.

x + x + 15 + x 15 = 180;

3x – 30 = 180;

3x = 210;

x = 70.

∠AOB = 70°;

∠ABO = 70° – 15° = 55°.

Відповідь: 55°.

2. Нехай ∠ABO = x, тоді ∠BOC = x + 50°.

∠AOB = 180° − (x + 50°) = 130° − x (як суміжні).

∠OAB = ∠ABO як кути

діагоналей). Сума

x + x + 130 − x = 180;

x + 130 = 180;

x = 50.

∠ABO = 50°.

Відповідь: 50°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

x + x + x + 90 = 180;

3x = 90; x = 30.

∠OBC = 30°.

Відповідь: 30°.

2. Нехай ∠CBO = x, тоді ∠AOB = x + 40°.

Тоді ∠BOC = 180° − ∠AOB = 180° − (x + 40°) = 180° − x − 40° = 140° − x

(∠AOB і ∠COB — суміжні).

∠BCO = ∠CBO як кути при основі рівнобедреного трикутника BOC (BO = CO як

половини рівних діагоналей).

x + x + 140 − x = 180;

x = 180 – 140; x = 40.

∠CBO = 40°.

Відповідь: 40°.

3.20 У прямокутнику ABCD діагоналі

CAB = 70°. Знайдіть ∠ DOE.

ABCD — прямокутник, O — точка перетину його діагоналей; BE = AE; ∠CAB = 70°.

У ΔAOB AO = BO як половини

За умовою OE — медіана рівнобедреного ΔAOB.

Значить, OE ⊥ AB.

У ΔAOE ∠AOE = 90° − ∠OAE = 90° − 70° = 20°.

OE — бісектриса ∠AOB:

∠BOE = ∠AOE = 20°.

∠DOE = ∠DOB = ∠BOE (як суміжні).

∠DOE = 180° − 20° = 160°.

Відповідь: 160°.

3.21 У прямокутнику

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔAOB — рівнобедрений, AO = BO як половини

Тоді бісектриса OP є медіаною і висотою.

∠BOP = 180° − ∠DOP = 180° − 130° = 50° (як суміжні).

∠AOP = ∠BOP = 50° за умовою.

З ΔAOP (∠P = 90°) ∠OAP = 90° 50° = 40°.

Отже, ∠CAB = 40°.

Відповідь: 40°.

3.22 У паралелограмі ABCD

відрізках AO і OC позначено точки M і N так, що OM = OB, ON = OD. Доведіть, що BMDN — прямокутник.

ABCD — паралелограм, O — точка перетину

OM = OB, ON = OD.

ΔBON = ΔMOD за двома сторонами і

∠BON = ∠MOD як вертикальні).

BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма.

Тоді MO = BO = ON = OD і BDО = MN.

Трикутники MOD і BON — рівнобедрені,

основі рівні. З рівності трикутників випливає, що BN = MD, ∠BNO = ∠DMO,

різносторонніми при прямих BN і MD і січній MN. Отже, BN || MD.

MBND — паралелограм (BN || MD, BN = MD).

Раніше довели, що BD = MN, тому MBND — прямокутник. 3.23 Точки B і D

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD — прямокутник.

NO ⊥ BC, MO ⊥ AB,

тоді NO || AB, MO || BC за ознакою паралельності прямих.

MBNO — паралелограм за означенням.

У ΔAOB BO = AO, тоді висота OM є медіаною:

AB = 2BM = 2 · 4 см = 8 см.

Аналогічно BC = 2BN = 2 · 9 см = 18 см.

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 18) = 2 · 26 = 52 (см).

Відповідь: 52 см.

3.25 Бісектриса

ABCD — прямокутник,

AK — бісектриса кута A. BK = KC.

∠BKA = ∠KAD як

Тоді ∠BAK = ∠BKA, у ΔABK AB = BK = 1 2 BC = 20 см : 2 = 10 см.

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (10 + 20) = 2 ·

Відповідь: 60 см.

3.26

A. BK = KC.

∠BKA = ∠KAD

Тоді ∠BAK = ∠BKA, у ΔABK AB = BK = 8 дм.

BC = 2BK = 16 дм.

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 16) = 2 · 24 = 48 (дм).

Відповідь: 48 дм.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.27 На малюнку ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°:

1. OK = a. Знайдіть: DB і AB;

2. AC = m. Знайдіть: AK і CD.

1. ∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD.

ΔABO — рівнобедрений, AO = OB за властивістю діагоналей прямокутника.

Тоді ∠ABO = ∠OAB = 60° як кути при основі.

∠AOB = 180° − 2 · 60° = 60°.

ΔAOB — рівносторонній. Висота BK є медіаною.

AO = 2AK = 2a.

AB = AO = 2a;

BD = 2BO = 2 · 2a = 4a.

Відповідь: 4a і 2a.

2. В ΔACD (∠D = 90°) ∠CAD = 90° − 60° = 30°.

Тоді CD = 1 2 AC = 1 2 m як катет, протилежний куту

∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні

ΔABO — рівнобедрений (AO = BO за властивістю

при основі.

Тоді ΔAOB — рівносторонній.

AB = BO = AO = �� 2 .

BK — висота і медіана.

AK = 1 2 AO = 1 2 · �� 2 = �� 4 .

Відповідь: �� 4 ; �� 2

3.28 На малюнку ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°, AB = b.

OK.

∠BAC = ∠ACD = 60° як

— рівнобедрений (AO = BO

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7x = 35; x = 5.

KN = 2 · 5 = 10 (см).

KL = 3 · 5 = 15 (см).

x коефіцієнт

Тоді KL = 3x, KN = 2x.

В ΔABC ∠B = ∠C = 45°.

Тоді ΔBKN і ΔMLC також прямокутні і рівнобедрені;

NK = BK = ML = LC = 2x.

BC = BK + KL + LC = 2x + 3x + 2x = 7x або 35 см за умовою.

P = 2(KN + KL) = 2 · (10 + 15) = 50 (см).

Відповідь: 50 см.

3.30 У рівнобедрений

прямокутник, який має з трикутником

3.31 З

В ΔABC (∠A = 90°) AB = AC = 20 см, AKMN

(KM = KB, MN = NC). AK = MN, AN = KM так

AKMN –

Отже, KA + KM = KA + KB = AN + NC = AN + NM = 20 см.

PAKMN = 2 · 20 = 40 (см).

Відповідь: 40 см.

паралелограма, якщо BK = 1 2 AB.

ABCD — паралелограм, BK ⊥ AD, BK = 1 2 AB.

ΔABK (∠K = 90°) BK = 1 2AB за умовою,

C = ∠A = 30° як протилежні.

B = 180° − ∠A = 180° − 30° = 150°;

D = ∠B = 150°.

30°; 150°;

2 + x = 180;

3x = 360; x = 120.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

120° : 2 = 60°.

Відповідь: 60°.

Тоді

3 + x = 360;

4x = 360 · 3; x = 270.

270° : 3 = 90°.

Відповідь: 90°.

3.33

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.9

20° · 2 = 40°.

Відповідь: 40°.

4.10

перетину діагоналей.

4.11

BOC

ABCD ромб, ∠A = 36°, O — точка перетину

ромба. ∠ABO = 90° − ∠BAO = 90° − 18° = 72°. Відповідь: 18°,

∠BOC = 90°, ∠OBC = 1 2 ∠B = 1 2 · 118° = 59°.

∠BCO = 90°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.14 ABCD — ромб, ∠ 2 = 66°. Знайдіть ∠ 1 . ∠B = 180° − ∠2 = 180° − 66° = 114°.

∠1 = 1 2 ∠B = 1 2 · 114° = 57°.

Відповідь: 57°.

4.15 ABCD — ромб, ∠ 1 = 58°. Знайдіть ∠ 2 .

B = 2 · ∠1 = 2 · 58° = 116°.

2 = 180° − ∠B = 180° − 116° = 64°.

Відповідь: 64°.

4.16 ABCD — ромб, ∠ 1 = 55°. Знайдіть ∠ 3 .

BDC = ∠1, оскільки ∠B = ∠D,

1 = 1 2 ∠B,

BDC = 1 2 ∠D.

3 = 180° − ∠D = 180° − 110° = 70° (суміжні кути). Відповідь: 70°.

4.17 ABCD — ромб, ∠ 3 = 50°.

Знайдіть ∠ 1 .

∠D = 180° − ∠3 = 180° − 50° = 130° (суміжні кути).

∠B = ∠D як протилежні кути ромба. ∠1 = 1 2 ∠B = 1 2 · 130° = 65° за властивістю діагоналей ромба.

Відповідь: 65°.

4.18 У ромбі ABCD, AB = BD. Знайдіть кути

4.19

Але AB = BC = CD = AD.

Тоді ΔABD — рівносторонній.

∠A = 60°.

∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°.

∠C = ∠A = 60°. ∠D = ∠B = 120°.

60°, 120°, 60°, 120°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

протилежні, тому рівні.

∠A = ∠C = 80° : 2 = 40°.

Тоді ∠B = ∠D = 180° − 40° = 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.

2. Оскільки дані кути не рівні, то

Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = (x + 20)°.

x + x + 20 = 180;

2x = 160;

x = 80.

∠A = ∠C = 80°, ∠B = ∠D = 80° + 20° = 100°.

Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.

4.21 Знайдіть кути ромба, якщо:

1. сума двох його кутів дорівнює 210°;

2. один з них на 50° менший від другого.

1. Сума даних кутів не дорівнює 180°,

протилежні, тому рівні.

∠B = ∠D = 2 ∠105°. Тоді ∠A = ∠C = 180° − 105° = 75°.

Відповідь: 75°, 105°, 75°, 105°.

2. Оскільки кути не рівні, то

∠A = x°;

тоді ∠B = (x + 50)°; x + x + 50 = 180;

2x = 130; x = 65.

∠A = ∠C = 65°;

∠B = ∠D = 65° + 50° = 115°.

Відповідь: 65°, 115°, 65°, 115°.

4.22 (Усно)

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.23

10°.

2x + 2(x + 10) = 180;

4x + 20 = 180;

4x = 160; x = 40.

ABCD ромб. Сторона AB утворює з діагоналями

BAC і ABD.

Нехай ∠BAC = x, тоді ∠ABD = x + 10°.

∠A = 2x, ∠B = 2(x + 10°) за властивостями діагоналей ромба.

∠A + ∠B = 180° як сусідні.

Отже, ∠A = ∠C = 2 · 40° = 80°; ∠B = ∠D = 2 · (40° + 10°) = 100°.

Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.

4.24 Знайдіть

як 2 : 3.

4.25 Побудуйте ромб:

x коефіцієнт

тоді ∠CAD = 2x, ∠BDA = 3x. ∠A = 2∠CAD = 4x; ∠D = 2∠BDA = 6x.

4x + 6x = 180; 10x = 180; x = 18.

∠A = ∠C = 4 · 18° = 72°;

∠B = ∠D = 6 · 18° = 108°.

Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°.

1. за стороною і діагоналлю; 2. за діагоналями.

1. План побудови: 1. Побудувати трикутник ABD за трьома сторонами AB = AD = a, BD = d. Для цього провести пряму, вибрати на

точку A. Побудувати коло радіуса

3. ABCD — ромб. AB = BC = CD = AD = a, BD = d.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.26

2. План побудови:

1. a ⊥ b.

2. OB = OD = 1 2 d1, OA = OC = 1 2 d2

3. ABCD — ромб, BD = d1, AC = d2.

4.27

План побудови:

1. ∠A = α.

2. AB = a, AD = a.

4. ABCD — шуканий ромб.

AK ⊥ BC, AP ⊥ CD, ∠KAP = 110°.

BC || AD, AK ⊥ BC, тоді AK ⊥ AD.

∠KAP = ∠KAD + ∠DAP,

∠DAP = ∠KAP − ∠KAD = 110° − 90° = 20°.

Аналогічно, ∠KAB = 20°.

∠BAD = ∠KAP − (∠KAB + ∠DAP) = = 110° − (20° + 20°) = 70°.

∠C = ∠A = 70°, ∠B = ∠D = 180° − 70° = 110°.

Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.31

ABCD ромб, ∠B тупий. BK ⊥ AD, BP ⊥ CD.

360°:

∠K + ∠KBP + ∠P + ∠D = 360°,

∠D = 360° − (∠K + ∠KBP + ∠P) = = 360° − (90° + 50° + 90°) = 360° − 230° = 130°.

∠B = ∠D = 130°, ∠A = ∠C = 180° − 130° = 50°.

Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°.

BD = a см, BK ⊥ AD, ∠KBD = 30°.

1. З △BКD ∠BDK = 90° − ∠KBD = 90° − 30° = 60°.

Тоді ∠D = 2 · ∠KBD = 2 · 60° = 120° (за властивістю

∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 180° − ∠D = 180° − 120° = 60°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.

2. Рівнобедрений трикутник

AB = AD = BD = a см, PABCD = 4a см.

Відповідь: 4a см.

4.32 У ромбі

1. кути ромба; 2. периметр ромба,

AB = AD = BC = CD = b см.

= 4b см.

ромба).

− 60° =

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 випадок

ABCD — ромб, тому AB = BC = CD = AD.

AM = CN за умовою.

∠BAM = ∠DAM = ∠BCN = ∠DCN за властивістю ромба.

Тоді △AMB = △AMD = △CNB = △CND за двома сторонами і

кутом між ними.

Звідси BM = BN = DN = DM.

∠BNC = ∠DNC = ∠BMA = ∠DMA, тоді ∠BNM = ∠DNM = ∠BMN = ∠DMN як суміжні з рівними кутами, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих BN і MD та BM і ND та січній MN.

Тоді BN || MD, BM || ND.

MBND — паралелограм, у якого

2 випадок

ABCD — ромб, AC

△

рівносторонній, AMNK ромб. ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∠BMN = ∠A = 60°, ∠NKC = ∠A = 60° як відповідні.

Тоді △MBN і △KNC — рівносторонні.

MN = BN = MB, KC = KN = NC.

PAMNK = 4AM, 4AM = 40 см, AM = 10 см.

4.36 Сторони

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

PABC = AM + MB + NC + AK + KC = 6AM = 60 см. Відповідь: 60 см.

5 : 2 .

см.

4.37 Один із

1. (p − 1) см;

2. p см;

3. (p + 1) см?

Нехай x коефіцієнт пропорційності. Тоді менша сторона дорівнює 2x см, а більша — 5x см.

За умовою: 5x − 2x = 15 3x = 15 x = 5

Периметр паралелограма: (2x + 5x) · 2 = 14x 14 · 5 = 70 (см).

Відповідь: 70 см.

AB = 2CM = 2 · 5 см = 10 см. Відповідь:

ABCD — чотирикутник. AK, BM і DN — бісектриси кутів A, B і D відповідно.

DN ⊥ AK, BM ⊥ AK за умовою.

Тоді BM || DN за ознакою (дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні).

∆APN = ∆ADP за спільним катетом AP і гострим кутом (∠NAP = ∠DAP за умовою).

Звідси ∆ANP = ∆ADP.

∠ANP = ∠NDC — внутрішні різносторонні при прямих AB || CD і січній ND.

За ознакою AB || CD.

MBDN — паралелограм за означенням. ∠NBM = ∠NDM = ∠CBM, ∠NBM = ∠BMC як

внутрішні різносторонні. Тоді ∆MCB = ∆NAD

BC = AD, ∠A = ∠C, AB = CD.

ABCD — паралелограм.

Відповідь: паралелограм.

4.40

1. 5 см; 2. 2,1 дм; 3. 3 4 м; 4. 11 2 дм.

P = 4a, S = a2 .

1. P = 4 · 5 = 20 (см); S = 5 · 5 = 25 (см2).

3. P = 43 4 = 3 (м); S = (3 4)2 = 9 16 (м2).

4.41 Кімната

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 

2. P = 4 · 2,1 = 8,4 (дм); S = 2,12 = 4,41 (дм2).

4. P = 4 · 11 2 = 6 (дм); S = (11 2)2 = (3 2)2 = 9 4 = 21 4 (дм2).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Розглянемо ∆AOK.

За нерівністю трикутника:

OK < AK − OA ; OK < AK − OD − DA ; OK + OD < AK − DA ; d < AK − DA .

Оскільки DA > O, то очевидно, що d < AK. § 5. Квадрат і

5.1 Периметр квадрата дорівнює 24 см. Знайдіть його сторону.

P = 4a , де a — сторона квадрата.

a = P : 4;

a = 24 см : 4 = 6 см.

Відповідь: 6 см.

5.2 Сторона квадрата дорівнює 5 дм.

P = 4 · 5 дм = 20 дм.

5.3 (Усно) На малюнку

5.4

5.6

AB = BC = CD = AD ;

OA = OB = OC = OD ;

AC = BD

AO = 3 см,

AC = 2AO = 6 см,

BD = AC = 6 см,

AC + BD = 6 см + 6 см = 12 см.

12 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC + BD = 16 см,

AC = BD , тоді AC = 16 : 2 = 8 см.

AO = 1 2 AC = 8 : 2 = 4 см.

Відповідь: 4 см.

5.7 Сума довжин двох сторін квадрата дорівнює 12 см. Знайдіть периметр квадрата. P = 2 · 12 см = 24 см.

5.8 Сума довжин трьох сторін квадрата

a = 15 : 3 = 5 дм, P = 4a = 4 · 5 = 20 дм.

5.9

5.11

P = 4a , за умовою 4a – a = 18 см, 3a = 18 см, a = 6 см.

P = 4a = 6 · 4 = 24 см.

5.12

5.13

ABCD прямокутник, AB = BC . Протилежні сторони прямокутника рівні.

Тоді AB = CD , BC = AD , а значить, AB = BC = CD = AD .

ABCD — квадрат.

ABCD ромб, ∠A = 90°.

Тоді ∠C = ∠A = 90° як протилежні; Оскільки, сума

∠B = 180° − ∠C = 180° − 90° = 90° як суміжні;

∠D = ∠B = 90° як протилежні.

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Отже, ABCD — квадрат.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. Будь−який прямокутник є квадратом;

1. Так; 2. Ні; 3. Ні; 4. Так; 5. Ні; 6. Так.

5.15 ABCD — квадрат, EF ⊥ BD. Знайдіть ∠ BFE . У ∆EBF, ∠ABD = ∠ FBD = 45° за

квадрата. Висота є бісектрисою, тоді ∆EBF — рівнобедрений (EB = FB). ∠BFE = 45° (кут

трикутника). Відповідь: ∠BFE = 45°.

5.16 ABCD — квадрат, ∠ BOC = 70°. Знайдіть

5.17

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5.18

3. Відкласти відрізки OA = OB = OC = OD = 1 2 d .

4. ABCD — шуканий квадрат.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD квадрат, O точка перетину його діагоналей; OK ⊥ AB — відстань від точки O до сторони квадрата.

PABCD = 32 см, тоді AB = 32 : 4 = 8 см.

В ∆ABO OA = OB, OA ⊥ OB за властивістю діагоналей. OK – висота і медіана, AK = KB = 1 2 AB = 4 см.

∆OBK — рівнобедрений, AK = OK = 4 см.

Відповідь: 4 см.

5.21 ABCD — квадрат, AE = FC. Доведіть, що BEDF — ромб.

∆ABE = ∆CBF = ∆CDF = ∆ADE рівні за двома сторонами і

між ними (AB = BC = CD = AD, AE = CF за умовою, ∠BAE = ∠BCF = ∠DCF = ∠DAE за властивістю діагоналей).

Тоді BE = BF = DE = DF, EBFD — паралелограм і ромб (протилежні сторони попарно рівні).

5.22 ABCD — квадрат, AE = AF = CG = CH. Доведіть, що EFGH

∆AEF = ∆CHG

(AE = AF = CG = CH за умовою).

Тоді EF = HG. Оскільки сторони

рівні, то EB = BH = GD = DF.

Тому

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ∆ABC кут C = 90°, CA = CB = b см, CMNK квадрат, вписаний у ∆ABC. ∆ABC — прямокутний і рівнобедрений.

Тоді ∠CAB = ∠CBA = 45°.

У ∆NKB ∠NKB = 90° як суміжний із прямим кутом,

∠NBK = 45°, тоді ∠BNK = 90° − 45° = 45°.

∆NKB — прямокутний і рівнобедрений, NK = BK.

MN = CK, як протилежні сторони квадрата.

Отже, катет дорівнює двом сторонам квадрата.

PCMNK = 2CB = 2b (см).

Відповідь: 2b см.

5.25 У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠ C = 90^° )

так, що точки

PLNMK = 12 см, тоді MK = 12 : 4 = 3 см.

AB = AK + KM + MB = 3MK = 3 · 3 = 9 см. Відповідь:

то BK = BP = CP = CT = DT = DN = AN =

= 90°. Тоді ∠KBP = ∠PCT = ∠TDN = ∠NAK = = 360° − (90° + 60° + 60°) = 150°.

= ∆PCT = ∆TDN = ∆NAK

KP = PT = TN = NK і KPTN — ромб. ∠KPT = ∠KPB + ∠BPC + ∠TCP, де ∠BPC = 60°, ∠KPB = ∠TPC

∠KPB = ∠TPC = 180° 150° 2 = 15° Тоді ∠KPT = 15° + 60° + 15° = 90°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

тому ∠C = 2 ∠BCA = 2 · 30° = 60°.

∠A = ∠C = 60° як протилежні.

∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°.

∠D = ∠B = 120° як протилежні.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.

5.28 У чотирикутнику ABCD ∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 3 : 4 :

чотирикутника. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Нехай x — коефіцієнт пропорційності.

Тоді кути ∠A = x, ∠B = 3x, ∠C = 4x, ∠D = 10x.

x + 3x + 4x + 10x = 360; 18x = 360; x = 20.

∠A = 20°, ∠B = 3 · 20° = 60°, ∠C = 4 · 20° = 80°, ∠D = 10 · 20° = 200°.

Оскільки D > 180°, то чотирикутник неопуклий.

5.29 Бісектриса кута B у прямокутнику ABCD

так, що AK : KD = 3 : 5.

110 см.

ABCD — прямокутник, бісектриса BK

AK : KD = 3 : 5.

Тоді AK = 3x, KD = 5x.

∠AKB = ∠KBC як внутрішні різносторонні

∠AKB, ∆ABK рівнобедрений, AB = AK = 3x

CD = AB = 3x, AD = BC = 3x + 5x = 8x як

PABCD = 2(AB + AD) = 2(3x + 8x) = 22x.

За умовою 22x = 110, x = 5.

Тоді AB = CD = 3 · 5 = 15 (см),

BC = AD = 5 · 8 = 40 (см). Відповідь: 15 см; 40 см.

5.30 1.

AD і січній BK. Тоді ∠BKA =

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. 12 · (12 · 0,35) = 12 · 4,2 = 50,4 (м2) –

2. 3 · 2 · 1,7 = 6 · 1,7 = 10,2 (м2) –

3. 10,2 : 50,4 = 0,2024 – відношення

Відповідь: норми дотримано.

5.32 О 12−й

Відповідь: Б. BD

BC Г. AD

Відповідь: В. 145° 3.

P : 4 = 36 : 4 = 9 (см).

A. 5 см Б. 6 см

1. Нехай AB = x см, тоді AD = x + 2 (см).

2. Тоді 2(x + x + 2) = 24; 2x + 2 = 12; 2x = 10; x = 5 (см).

Відповідь: A. 5 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. ABCD — ромб, ∠ A = 50°. Знайдіть ∠ ABD : A. 55° Б. 50° В. 75° Г. 65°

1. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 50° = 130°.

��. ∠ABD = ∠ABC 2 = 130° 2 = 65°.

Відповідь: Г. 65°.

Відношення периметра ромба до його сторони є сталим для всіх ромбів.

числам 2, 3, 5 і 8: A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160°

1. Позначимо кути 2x; 3x; 5x і 8x

Тоді 2x + 3x + 5x + 8x = 360°; 18x = 360°; x = 20°.

2. Найбільший кут чотирикутника 8 · 20° = 160°.

Відповідь: Г. 160°.

8. Висоти, що проведено

30°. Знайдіть тупий

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

то DC || AB, DK — січна при прямих DC і AB. Отже, ∠AKD = ∠KDC як внутрішні різносторонні

паралельних прямих і січній.

Тоді трикутник AKD — рівнобедрений

AK = AD = x см, KB = 3x см.

За умовою задачі 2(x + 4x) = 60, тоді x + 4x = 30;

5x = 30;

x = 6.

Отже, AD = 6 (см), AB = 4 · 6 = 24 (см).

Відповідь: Б. 24 см.

11.

основою DK, оскільки ∠ADK = ∠KDC.

30°, AC = 6 см. Знайдіть периметр ромба. A. 18 см Б. 24 см В. 30 см Г. 36

трикутника ACK маємо:

ACK = 90° − ∠CAK = 90° − 30° = 60°. Оскільки трикутник

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай ABC даний

якому ∠C = 90°, AC = CB, KNML — квадрат. AB = 12 см.

У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений.

Отже, у трикутнику AKN, де ∠AKN = 90° (оскільки KNML — квадрат), теж ∠ANK = ∠KAN = 45°.

Таким чином, трикутник AKN — рівнобедрений, AK = KN.

Аналогічно в трикутнику LMB, де ∠MLB = 90°, ∠LMB = ∠B = 45° і LM = LB.

Оскільки AB = 12 см, то KL = 12 : 3 = 4 (см).

Отже, PKNML = 4KL = 16 см.

Відповідь: Г.

13. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються

Г).

кута AOB. Установіть

1. ∠ABO; 2. ∠AOB; 3. ∠OAD

міра кута A. 36∘ Б.

умовою ∠ABO = ∠AOB – 18°: x = (180° – 2x) – 18°

3x = 162° x = 54°.

AOB =

Отже, ∠AOB = 180° – 2 ∙ 54° = 72°. У прямокутнику ∠BAD = 90°, тому ∠OAD = 90° – ∠OAB = 90° – 54° = 36°.

Відповідь:

1. ∠ABO = 54° → В

2. ∠AOB = 72° → Г

3. ∠OAD = 36° → А

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

100°, 80°, 100°, 80°.

Периметр квадрата дорівнює 7 см · 4 = 28 см.

Відповідь: 28 см.

4. Периметр прямокутника дорівнює

більша за другу.

Нехай x см — менша сторона, тоді (x + 1) см —

Отримуємо рівняння: (x + x + 1) · 2 = 18;

x + x + 1 = 9;

2x + 1 = 9;

2x = 8;

x = 4,

тоді x + 1 = 5.

Оскільки протилежні

дорівнюють 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.

Відповідь: 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.

5. ABCD — ромб, ∠ ABD = 50°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

неопуклим він є?

Позначимо кути даного чотирикутника

Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то

2x + 3x + 4x + 6x = 360.

Отримуємо:

15x = 360, x = 24.

Тоді: 2x° = 48°,

3x° = 72°,

4x° = 96°,

6x° = 144°.

У чотирикутнику всі

Отже, він опуклий.

Відповідь: 48°; 72°; 96°; 144°. Опуклий.

8. Висоти, проведені з вершин

Знайдіть кути ромба.

ромбі ABCD AM ⊥ CD, AK ⊥ BC, ∠KAM = 120°.

чотирикутника MAKC, у

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

x = 4.

Отже, сторони паралелограма

AB = CD = 16 см, AD = BC = 28 см.

Відповідь: 16 см, 28 см, 16 см, 28 см.

10. У рівнобедрений

прямокутник KLMN

якому ∠A = 90°, AC = AB, KLMN —

BC = 23 см. У трикутнику ABC ∠C = ∠B = 45°,

трикутник рівнобедрений.

Отже, у трикутнику BKN, де ∠BKN = 90° (оскільки KLMN — прямокутник), також

∠BNK = ∠KBN = 45°.

Таким чином, трикутник BKN — рівнобедрений, BK = KN.

Аналогічно в трикутнику LMC, де ∠MLC = 90°,

∠LMC = ∠C = 45°, і LM = LC.

Оскільки BC = 23 см,

то KN = (23 − 2) : 3 = 7 см, KL = KN + 2 = 9 см.

Отже, PKLMN = 2(7 + 9) = 32 см.

Відповідь: 32 см.

11. З вершини тупого

6.2

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. 180° − 100° = 80°

2. 180° − 50° = 130°

Відповідь: 80°, 130°.

6.8 Основи

6.10

= 7 + 5 + 2 · 3 = 18 (см).

18 см.

1. 2 : 3 : 4 : 1;

2. 2 : 3 : 5 : 2?

1. 2x + 3x + 4x + x = 360; 10x = 360; x = 36.

∠1 = 2 · 36° = 72°;

∠2 = 3 · 36° = 108°;

∠3 = 4 · 36° = 144°;

∠4 = 36°.

∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°;

∠3 + ∠4 = 144° + 36° = 180°.

Відповідь: так.

360°.

2. 2x + 3x + 5x + 2x = 360; 12x = 360; x = 30.

∠1 = 2 · 30° = 60°;

∠2 = 3 · 30° = 90°;

∠3 = 5 · 30° = 150°;

∠4 = 2 · 30° = 60.

Відповідь: ні,

180°. 6.15

1. 3 : 1 : 2 : 2;

2. 3 : 1 : 2 : 4?

1. 3x + x + 2x + 2x = 360; 8x = 360; x = 45.

∠1 = 3 · 45° = 135°;

∠2 = 45°;

∠3 = ∠4 = 2 · 45° = 90°.

∠1 + ∠2 = 135° + 45° = 180°;

∠3 + ∠4 = 2 · 90° = 180°

Відповідь: так.

2. 3x + x + 2x + 4x = 360; 10x = 360; x = 36.

∠1 = 3 · 36° = 108°;

∠2 = 36°;

∠3 = 2 · 36° = 72°;

∠4 = 4 · 36° = 144°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠

С = ∠

40° + 140° = 180°, отже, ці

Відповідь: Ні, не можна.

= 180° − ∠КВА = 180° − 48° = 132° як суміжні.

= 48° як

= 132°; ∠D = ∠BAD = 48° як кути при основі.

Відповідь: 48°, 132°, 132°, 48°.

6.18 Висота рівнобічної

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

6.22 У

6.23 У

В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 2∠D.

Нехай ∠D = x, тоді ∠C = 2x.

x + 2x = 180;

3x = 180; x = 60.

Отже, ∠D = 60°, ∠C = 2 · 60° = 120°.

Відповідь: 90°, 90°, 120°, 60°.

В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°. Нехай ∠D = x, тоді

C = x + 40°.

x + x + 40 = 180;

2x = 140; x = 70.

Отже, ∠D = 70°, ∠C = 70° + 40° = 110°.

Відповідь: 90°, 90°, 110°, 70°.

ABCD трапеція, AB = CD, BK ⊥ AD

В ∆АВК AB = 2BK, тоді BK —

∠A = 30°, тоді ∠D = ∠A = 30° як

∠B = ∠C = 180° − 30°

кута 30°,

ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, AD = CD = 16 см. Проведемо діагональ AC.

ΔACD — рівнобедрений, ∠D = 60°, тоді

∠CAD = ∠DCA = 60°, ΔACD — рівносторонній, AC = AD = CD = 16 см.

У ΔABC ∠BAC = ∠A − ∠CAD = 90° − 60° = 30°.

BC = 1 2 AC = 1 2 · 16 см = 8 см як катет проти

Відповідь: 8

30°.

45°.

ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 45°, BC = AB = 18 см. Проведемо CK ⊥ AD.

ABCK — квадрат (всі кути

рівні).

Звідси CK = AB = AK = 18 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

45°.

KD = CK = 18 см.

AD = AK + KD = 18 см + 18 см = 36 см.

Відповідь: 36 см.

трапеції.

ΔABD рівнобедрений (AD = BD за умовою).

∠DAB = ∠DBA = (180° − ∠BDA) : 2 = = (180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.

∠CDA = ∠DAB = 70° як кути при основі.

∠BDC = ∠CDA = 70° − 40° = 30°.

∠CBD = ∠BDA = 40° як внутрішні

січній BD.

В ΔBCD ∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 70° + 40° = 110°. Відповідь: 70°, 110°, 110°, 70°.

6.29 Діагональ AC трапеції

ABCD трапеція, AB = BC = CD,

∠BCA = 20°.

ΔABC — рівнобедрений

BCA = 20°.

∠CAD = ∠BCA = 20° як внутрішні

BC || AD і січній AC.

∠BAC =

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 20° = 40°.

∠D = ∠BAD = 40° як кути при основі.

∠B = ∠C = 180° − ∠BAD = 180° − 40° = 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 140°, 40°.

BC. ABCD трапеція, AC діагональ, ∠BAC = ∠

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2a = 18

a = 9

9 − b = 4

b = 5

Отже, AD = 9 см, BC = 5 см. Відповідь: 9 см, 5 см.

6.32 (Ознака рівнобічної трапеції.)

собою

— рівнобічна. Доведіть це.

6.33

Проведемо CK || BD. BCKD паралелограм (CK || BD, BC || AK).

ΔACK — рівнобедрений, оскільки AC = BD = CK,

∠CAD = ∠CDA.

CK || BD, ∠BDA = ∠CKD, тоді ∠CAD = ∠CKD.

ΔABD = ΔDCA (AC = BD, BD — спільна сторона,

∠CAD = ∠CKD),

тоді AB = CD, тобто ABCD рівнобічна трапеція.

трапеції ABCD AB = BC = CD, AC ⊥ CD.

ΔABC ∠BAC = ∠BCA як

BCA = ∠CAD як

AC.

Тоді ∠BAC = ∠CAD, ∠CDA = ∠BAD = 2∠CAD.

∠CAD = x

тоді ∠CDA = 2x. З ΔACD x + 2x = 90; 3x = 90; x = 30.

Тоді ∠BAD = ∠CDA = 2 · 30° = 60°.

∠ABC = ∠BCD = 180 – 60 = 120

Відповідь: 60°, 120°. 6.34 У рівнобічній

кути трапеції.

AD = CD, ∠ BAC = 18°.

У ΔACD ∠CAD = ∠ACD (AD = CD за умовою).

∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні

AC.

Тоді ∠BCA = ∠CAD = ∠ACD.

∠CAD = x, тоді ∠BAD = x + 18°, ∠ABC = ∠BCD = 2x.

x + 18 + 2x = 180;

3x = 162;

x = 54; ∠A = ∠D = 54° + 18° = 72°,

B = ∠C = 54° + 54° = 108°.

72°, 108°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

пряму AD до перетину з CF.

CF || BD, і

Чотирикутник BCFD — паралелограм (BC || DF як основи, BD || CF за побудовою).

Значить, CF = BD, DF = BC, і AF = AD + BC.

ΔACF — прямокутний (оскільки пряма перпендикулярна одній з двох паралельних

прямих, то вона перпендикулярна і другій).

Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто ΔACF

рівнобедрений з основою AF.

Значить, його висота CN є

половині, то CN = 1 2 AF = AD

основою, дорівнюють

∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, ∠BCA = 60°.

∠BCA = ∠CAD, як внутрішній різносторонній

AD ||

AC. Отже ∠CAD = 60°.

Тоді в ΔACD ∠ACD = 180° − 60° − 60° = 60°, тобто ΔACD — рівносторонній, а AD = AC = CD. В ΔABC ∠BAC =

проти кута 30°. Отже, AD : BC = 2 : 1. Відповідь: 2 : 1. 6.37 У прямокутній

гострий.

ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, AC ⊥ CD, ∠BCD = 3∠CDA.

Нехай ∠CDA = x, тоді ∠BCD = 3x x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45.

Отже, ∠CDA = 45°.

У ΔACD ∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = ∠CDA = 45°, ΔACD — рівнобедрений.

Проведемо CK ⊥ AD. CK — висота і медіана, AK = KD.

ABCK — прямокутник, тому BC = AK.

Отже, AD : BC = 2 : 1.

Відповідь: 2 : 1.

6.38 Побудуйте трапецію

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

6.40

ромба.

BDC = ∠A + ∠C =75° + 75° = 150°.

У ромбі ABCD BD = 5 см, ∠ABC = ∠ADC = 120°.

Тоді ∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB = 60° (бісектриса

ΔABD = ΔBCD — рівносторонній, AB = BC = CD = AD = BD = 5 см.

PABCD = 4 · 5 см = 20 см.

Відповідь: 20 см.

6.41 Доведіть, що паралелограм, у якого

є ромбом. ABCD паралелограм, BK ⊥ AD, BM ⊥ CD. ΔABK = ΔCBM за катетом і

AB + AC = 16 см, то

AB = AC = 16 : 2 = 8 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

O лежить на діагоналі BD.

Отже, OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD, при цьому OA + OB + OC + OD = AC + BD тоді і тільки тоді, коли точка O лежить одночасно на діагоналях AC і BD, тобто є точкою

перетину діагоналей чотирикутника ABCD.

2. ∠B + ∠D = 90° + 80° = 170° ≠ 180°. Відповідь: ні. 7.3

1. ∠ M = 20°; ∠ K = 150°;

N = 90°; ∠ L = 90°?

1. ∠M + ∠K = 20° + 150° = 170° ≠ 180°. Відповідь: ні.

2. ∠N + ∠L = 90° + 90° = 180°. Відповідь: так. 7.4

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3x + 7x = 10x;

9x ≠ 10x.

Отже, у цей чотирикутник

2. 3x, 2x, 4x, 5x — сторони чотирикутника.

3x + 4x = 2x + 5x = 7x

Так, у цей чотирикутник можна вписати коло.

7.5 Чи може бути описаним чотирикутник, сторони якого

порядку слідування відносяться як:

1. 7 : 3 : 2 : 6;

2. 5 : 4 : 3 : 6?

Пояснення:

1. 7x, 3x, 2x, 6x — сторони чотирикутника.

7x + 2x = 3x + 6x = 9x.

Так, у даний чотирикутник можна вписати коло.

2. 5x, 4x, 3x, 6x — сторони чотирикутника.

5x + 3x = 8x;

4x + 6x = 10x.

8x ≠ 10x. Отже, у даний чотирикутник не можна

7.6 Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD,

∠ C = 133°; ∠ D = 28°.

∠A + ∠C = 180°,

∠A + 133° = 180°,

∠A = 180° − 133°,

∠A = 47°.

∠B + ∠D = 180°,

∠B + 28° = 180°,

∠B = 180° − 28°,

∠B = 152°.

Відповідь: 47°, 152°.

7.7 Знайдіть кути C і D чотирикутника ABCD, вписаного в

якщо: ∠ A = 139°; ∠ B = 48°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠A + ∠C = 180°, 139° + ∠C = 180°,

∠C = 180° − 139°,

∠C = 41°.

∠B + ∠D = 180°, 48° + ∠D = 180°,

∠D = 180° − 48°,

∠D = 132°.

Відповідь: 41°, 132°. 7.8

7.9

периметр трапеції.

Тоді P = 5 дм · 4 = 20

AB + CD = BC + AD.

Тоді AB + CD = 1 2 PABCD, 2AB = 1 2 · 16 см.

2AB = 8 см;

AB = 4 см.

Відповідь: 4 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AB = BC = CD за умовою.

Проведемо діагональ AC.

∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC.

В ΔABC ∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного ΔABC. ∠ACD = 90°, бо

спирається на діаметр AD.

Нехай ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = x.

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника

x + x + x + 90 = 180;

3x = 90;

x = 30.

Отже, ∠CAD = 30°.

Тоді в ΔACD (∠C = 90°) CD

PABCD = R + R + R + 2R = 5R.

Відповідь: 5R.

7.13 AB — основа рівнобедреного

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7.15 Пряма EK

∠AOB = ᴗAPB = α.

∠ACB = 1 2 ᴗAPB = α 2 . ∠CAB = ∠CBA = (180° − α 2 ) = 90° − α 4 . Відповідь: α 2 ; 90° − α 4 ; 90° − α 4 .

стороні AB трикутника ABC, E ∈ AC, K ∈ BC. Доведіть, що

CKE = ∠ CBA, ∠ CEK = ∠ CAB. ∠CKE =

1. 15 м · 8 м = 120 (м2) – площа ділянки.

2. 120 · 40 = 4800 (кг) – на всю ділянку.

3. 4800 : 100 = 48 (мішків) – потрібно.

точок.

2. До побудованого

3. Побудуємо промінь OM, N — точка перетину променя OM з колом.

4. З центра O1 проведемо промінь OK, паралельний OM, до перетину з колом.

5. NK спільна зовнішня дотична до даних кіл.

Теорема Фалеса 8.1 (Усно) На малюнку A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 4 см, A2A3 = 4 см, B1B2 = 7 см. Знайдіть B2B3 B2B3 = B1B2 = 7 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = B2B3, A2A3 = 5 см.

A1A2 = A2A3 = 5 см.

M1N1 || M2N2, OM1 = M1M2, ON1 = 6см. Знайдіть ON2. N1N2 = ON1 = 6 см. ON2 = ON1 + N1N2 = 6 см + 6 см = 12 см. 8.4

2. M1M2 = OM1 = 4 см. OM2 = OM1 + M1M2 = 4 см + 4 см = 8 см.

8.5 Поділіть даний відрізок

Побудова.

Нехай AB — даний відрізок.

1. З точки A проведіть довільний промінь AK.

2. На промені AK від точки A відкладають 5 рівних довільних відрізків A1K1 = K1K2 = K2K3 = K3K4 = K4K5.

3. Через точки K5 і B проведіть пряму.

4. Через точки K1, K2, K3, K4 проведіть прямі, паралельні

K5B.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Побудова (лінійка без

поділок + циркуль):

1. Дано відрізок AB.

Проведи з точки A довільний промінь AP.

2. Циркулем відклади на промені 7 рівних відрізків AP1 = P1P2 = … = P6P7.

3. З’єднай P7 з B.

4. Через P1, P2, …, P6 проведи прямі, паралельні P7B, до перетину з AB у точках A1, …, A6.

2 : 5.

AM. Відкладемо на промені AM відрізки AA1 = 2a, A1A2 = 5a, де a

AB.

Маємо: AB1 = 2c, B1B = 5c (за теоремою

AB поділено на 2 частини,

яких дорівнює 2 : 5.

3 : 2. Проводимо довільний промінь AM.

Відкладемо на промені AM відрізки AA1 = 3a,

A1A2 = 2a, де a — деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок A2B. Через точку A1 проведемо пряму, паралельну до відрізка A2B.

B1 — точка її перетину з відрізком AB. Маємо:

AB1 = 3c, B1B = 2c (за теоремою Фалеса).

Отже, відрізок AB поділено на 2 частини, відношення яких дорівнює 3 : 2.

8.9 На малюнку A1A2 = A2A3, A1B1 || A2B2 || A3B3

A1A2 : B1B2 = 3 : 5, B2B3 – A2A3 = 8 см. Знайдіть A1A2, A2A3, B1B2, B2B3

A₁A₂ B₁B₂ = A₂A₃ B₂B₃ ;

За умовою A1A2 : B1B2 = 3 : 5.

Оскільки за теоремою Фалеса A₁A₂ A₂A₃ = B₁B₂ B₂B₃ , то A₂A₃ B₂B₃ = 3 5 .

За умовою B2B3 – A2A3 = 8 см.

Нехай A2A3 = x см, тоді B2B3 = (x + 8) см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5 = �� + 8; 5x = 3x + 24; 2x = 24; x = 12.

Отже, A1A2 = A2A3 = 12 (см); B1B2 = B2B3 = 12 + 8 = 20 (см).

Відповідь: 12 см, 20 см.

8.10 На малюнку ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1 : OM1 = 7 : 4, N1N2 + M1M2 = 33 см.

Знайдіть ON2 і OM2.

8.11 M і N

8.12 Точки E, F і G

За умовою ON1 : OM1 = 7 : 4, тоді N1N2 : M1M2 = 7 : 4.

Нехай N1N2 = x см, тоді M1M2 = (33 – x) см. �� 33 – �� = 7 4;

4x = 7(33 − x); 4x = 231 − 7x; 11x = 231, x = 21.

Отже, ON1 = N1N2 = 21 см; OM1 = M1M2 = 33 − 21 = 12 (см).

Тоді ON2 = 2 · 21 = 42см; OM2 = 2 · 12 = 24 (см).

Відповідь: 42 см, 24 см.

за ознакою (MB || ND, MB = ND як половини рівних сторін). Тоді

AM = MB, то AL = LK. Аналогічно CN : ND = CK : LK, звідки CK = LK. Отже, AL = LK = CK.

AD трикутника ABC на чотири рівні частини (AE = EF = FG = GD). Доведіть, що пряма СG ділить сторону

AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4B. AA1 = A1A2 = A2A3 =

∠CBA. За

D —

BC; DA4 || GA3

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

CD1 = N1D1 Отже, AM1 = M1N1 = N1D1 = D1C, звідки AN1 = N1C, тобто N1 середина AC, BN1 містить медіану трикутника.

8.14 Точка K — середина медіани AD трикутника ABC. Відрізок BK перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть AM : MC.

За умовою D середина BC, K середина AD.

Проведемо DN || BK. Паралельні прямі BM і DN перетинають

сторону трикутника DAC. AK = KD, значить, AM = MN.

Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону кута BCA.

За умовою BD = DC, значить, MN = NC.

Отже, AM = MN = NC. Тоді AM : MC = 1 : 2.

OP = KB = 7 см, OK = PB = 5 см.

= 2KB = 2 ⋅ 7 = 14 (см), BC = 2BP = 2 ⋅ 5 = 10 (см). Відповідь: 14 см, 10 см.

хорди,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠ APB = ∠ ACB + 60°, ∠ BPC = ∠ BAC + 60°,

∠ CPA = ∠ CBA + 60°. Доведіть, що

рівностороннього трикутника.

1. Позначимо через Pa, Pb і P�� основи перпендикулярів, проведених з точки P на сторони ΔABC.

2. Сума кутів неопуклого чотирикутника APBC дорівнює 360°. Тому: ∠PAB + ∠APB + ∠BPC + ∠PCB + ∠CBA = 360°(1).

3. Але ∠APB = ∠ACB + 60°; ∠BPC = ∠BAC + 60°. Підставляючи це

рівність (1) та враховуючи те, що ∠ACB + ∠BAC + ∠CBA = 180°, маємо 180° + ∠PAB + ∠PCB + 60° + 60° = 360°; а, отже, ∠PAB + ∠PCB = 60°.

(оскільки ∠APbP = ∠APcP = 90°). Тому ∠

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.4 KL — середня

1. AB = 16 см. Знайдіть KL; 2. KL = 5 дм. Знайдіть AB. 1.

9.5 KL —

1. AB = 18 см. Знайдіть KL; 2. KL = 3 дм.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7 ⋅ 2 = 14 (см);

8 ⋅ 2 = 16 (см);

10 ⋅ 2 = 20 (см).

P = 14 + 16 + 20 = 50 (см).

Відповідь: 50 см. 9.9

12 : 2 = 6 (дм); 16 : 2 = 8 (дм); 18 : 2 = 9 (дм);

P = 6 + 8 + 9 = 23 (дм).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

8 · 2 = 16 (см); 18 · 2 = 36 (см); 14 · 2 = 28 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

випадків слід розглянути? Нехай в ΔABC AC = 10 см, M середина AB, N середина BC, K — середина AC. MN

MN = 1 2 AC = 1 2 · 10 = 5 (см). Нехай MK = 6 см. Можливі

випадки:

1. Сторона AB у 1,5 рази більша за BC.

BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).

AB = 1,5 · BC = 18 (см).

Відповідь: 12 см і 18 см.

2. Сторона BC у 1,5 рази більша за AB.

BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).

AB = BC : 1,5 = 12 : 1,5 = 8 (см).

Відповідь: 12 см, 8 см.

9.17 E, F, G, H − середини сторін AB, BC, CD і DA

чотирикутника ABCD.

Знайдіть периметр чотирикутника EFGH, якщо AC = 16 см, BD = 10 см. Проведемо діагоналі AC і BD чотирикутника EFGH.

У ΔABC EF — середня лінія, EF || AC, EF = 1 2 AC.

У ΔACD HG — середня лінія, HG || AC, HG = 1 2 AC.

Отже, EF = HG = 1 2 AC = 1 2 · 16 см = 8 см.

Аналогічно FG — середня лінія ΔBCD, EH — середня лінія ΔABD, FG || BD,

FG = 1 2 BD; EH || BD, EH = 1 2 BD.

FG = EH = 1 2 · 10 см = 5 см.

PEFGH = 2 · (8 + 5) = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

9.18 Діагональ

KP || AC, тому MN || KP за

NP — середня лінія ΔBCD, NP = 1 2 BD = 1 2 · 10 см = 5 см (діагоналі

MK — середня лінія ΔABD, MK = 1 2 BD = 1 2 · 10 см = 5 см.

NP || BD, MK || BD, тоді NP || MK. Отже, MNPК — паралелограм за означенням.

NP = MK = KP = MN = 5 см, тому MNPК — ромб.

PMNPK = 4 · 5 = 20 см.

Відповідь: 20 см.

рівні).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.19 O

що MK ⊥ OD.

В ромбі ABCD BD ⊥ AC як діагоналі. MK середня лінія трикутника ACD. Тоді MK || AC, а значить, MK ⊥ BD і MK ⊥ OD (пряма, перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, перпендикулярна і другій).

9.20 AK − медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою BC. Точки P і F середини сторін AB і AC відповідно. Доведіть, що PF ⊥ AK. У ΔABC AB = AC, AK медіана, а значить, і висота, проведена до основи: AK ⊥ BC. PF — середня

умовою, тоді PF || BC. Якщо AK ⊥ BC, то AK ⊥ PF.

середини сторін даних

За умовою ΔA1B1C1 = ΔA2B2C2, тому

рівні: A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, A1C1 = A2C2.

Точки M1, N1, P1 і M2, N2, P2 —

середня лінія.

M1N1 = 1 2 A1C1; M2N2 — середня лінія.

M2N2 = 1 2 A2C2.

Але A1C1 = A2C2 за умовою, тоді M1N1 = M2N2.

Аналогічно M1P1 = M2P2, N1P1 = N2P2.

Отже, ΔM1N1P1 = ΔM2N2P2

M1N1 —

C = 90°).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ΔABC ∠C = 90°, AC = BC, K середина BC, KD ⊥ AB відстань від точки K до гіпотенузи.

У ΔABC ∠A = ∠B = 45°, ΔKDB — рівнобедрений, KD = DB.

Проведемо KP || AC.

За теоремою Фалеса P — середина AB, тобто KP — середня

KP = 1 2 AC.

Оскільки AC = BC, то KP = 1 2 BC = KP.

ΔBKP — рівнобедрений, ∠PKB = 90° (AC ⊥ BC, KP || AC).

В рівнобедреному ΔBKP KD — висота, а значить, медіана.

Точка D — середина гіпотенузи, тоді KD = PD = BD = 1 2 PB =

Відповідь: 5 см.

9.24 Доведіть, що середини сторін ромба є

прямокутника. ABCD ромб, O точка перетину діагоналей.

Точки M, N, P і K — середини сторін.

У ΔABC MN — середня

MN || AC, MN = 1 2 AC.

У ΔACD KP — середня лінія, KP || AC, KP = 1 2 AC.

Оскільки MN || AC і KP || AC, то MN || KP. KP = MN = 1 2 AC.

Чотирикутник MNPK — паралелограм за

AC ⊥ BD за властивістю діагоналей ромба. MN || AC, тоді MN ⊥ BD. У ΔABD MK — середня лінія, MK || BD, тоді MN ⊥ MK. MNPK — прямокутник (як паралелограм, у якого один з кутів

рівнобедреному

У ΔABC AB = AC, M

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

CD ⊥ LM, значить, CD || KP. За теоремою Фалеса D — середина LP.

CD — середня лінія ΔKLP, CD = 1 2 KP, звідки KP = 2 · CD = 2 · 9 = 18 см.

KB : BP = 2 : 1, Отже, KB = 18 : 3 · 2 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

9.27 У трикутнику ABC ∠ A = 40°, ∠ B = 80°, O — центр описаного кола. Знайдіть

∠AOB, ∠ BOC, ∠ COA.

У ΔABC ∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (40° + 80°) = 60°.

∠C — вписаний, ∠C = 1 2 ᴗAmB,

ᴗAmB = 2∠C = 2 · 60° = 120°.

∠AOB — центральний, він спирається

∠AOB = ᴗAmB = 120°.

Аналогічно, ∠BOC = 2∠A = 2 · 40° = 80°;

∠AOC = 2∠B = 2 · 80° = 160°.

Відповідь: 120°, 80°, 160°.

9.28 Одна з діагоналей ромба утворює

BAC = 30°. Діагоналі

AB = AD = BD = 7 см.

PABCD = 4 · 7 = 28 (см).

Відповідь: 28 см. 9.29

BD = 7 см.

саму дугу.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

спортсменів.

BC = 8 см, AD = 2 · BC = 2 · 8 = 16 (см). MN = BC + AD 2 = 8 + 16 2 = 24 2 = 12 (см).

Cередня лінія трапеції:

MN = (�� + ��) : 2 = 30 см.

1. AB = x см, CD = (x − 8) см.

MN = �� + (�� 8) 2 = ��− 4.

x − 4 = 30;

x = 34.

AB = 34 см, CD = 34 − 8 = 26 (см).

2. AB = x см, CD = 4x см.

MN = �� + 4�� 2 = 2,5��.

2,5x = 30; x = 12.

AB = 12 см, CD = 4 · 12 = 48 (см).

3. Нехай CD = 2x, AB = 3x.

MN = 2�� + 3�� 2 = 5�� 2 = 2,5��.

2,5x = 30;

x = 12.

CD = 2 · 12 = 24 (см), AB = 3 · 12 = 36 (см).

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3 : 5.

1. BC = x см, AD = (x + 2) см;

MN = �� + �� + 2 2 = x + 1; x + 1 = 16; x = 15.

BC = 15 (см), AD = 15 + 2 = 17 (см).

Відповідь: 15 см, 17 см.

2. BC = x см, AD = 3x см.

MN = �� + 3�� 2 = 2��.

2x = 16; x = 8.

BC = 8 (см), AD = 3 · 8 = 24 (см).

Відповідь: 8 см, 24 см.

3. BC = 3x, AD = 5x.

MN = 3�� + 5�� 2 = 8�� 2 = 4x; 4x = 16; x = 4.

BC = 3 · 4 = 12 (см), AD = 5 · 4 = 20 (см).

Відповідь: 12 см, 20 см. 10.9 K

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

10.12 Чи може середня лінія трапеції:

1. дорівнювати одній з основ;

2. бути меншою від меншої основи;

3. бути більшою за більшу основу;

4. бути рівною меншій від більшої основи? Нехай

52 − (10 + 12) = 30 (см) сума основ трапеції.

30 : 2 = 15 (см) — середня лінія (півсума основ).

Відповідь: 15 см.

BD у точці N. EN = 5 см, N'F = 3 см. Знайдіть основи трапеції. EF

трапеції ABCD, EF || AD, EF || BC. В ΔABD E — середина AB, EN || AD,

N — середина BD, EN — середня лінія ΔABD. EN = 1 2 AD, AD = 2EN = 2 · 5 = 10 (см).

FN = 1 2 BC, BC = 2FN = 2 · 3 = 6 (см).

середня

AC, MK — середня

MN || AD, MN || BC.

AB, MK || AD, тоді K —

ΔABC.

MK = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 (см).

KN — середня лінія ΔACD, KN = 1 2 AD = 1 2 · 18 = 9 (см).

Відповідь: 6 см, 9 см.

см). За умовою T — середина AE. TK || AD за умовою. Оскільки AD || EF, то TK ||

теоремою

K — середина DF, TK

середня лінія трапеції AEKD (EF || AD). TK = EF + AD 2 = 21 + 30 2 = 51 2 = 25,5 (см).

Відповідь: 21 см, 25,5 см. 10.16

M і N проведено прямі, паралельні BC, які

MK = 12 см, NL = 8 см.

середина MB.

трапеції. ABCD трапеція, BC || AD. MK || BC, значить, MK || AD.

MBCK — трапеція. N — середина AB, NL || BC, значить, NL || MK.

NL = BC + MK 2 ; 8 = BC + 12 2 ;

BC + 12 = 16; BC = 4 см.

Аналогічно, MK — середня

MK = AD + BC 2 ;

12 = AD + 4 2 ; AD + 4 = 24; AD = 20.

Отже, BC = 4 см, AD = 20 см. Відповідь: 4 см, 20 см. 10.17

ABCD.

MBCK.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

основи AD. AK = 4 см, BC = 6 см.

ABCD трапеція, BK ⊥ AD висота, AK = 4 см, BC = 6 см.

Проведемо CP ⊥ AD. Чотирикутник KBCP — прямокутник (BC || KP, BK || CP, ∠BKP = 90°).

KP = BC = 6 см, PD = AK = 4 см (з рівності трикутників ABK і DCP за гіпотенузою і гострим кутом).

AD = AK + KP + PD = 4 + 6 + 4 = 14 (см).

Середня лінія трапеції дорівнює: BC + AD 2 = 6 + 14 2 = 20 2 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

10.19

7 см, а від точки M,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

PN = 1 2 BC = 1 2 · 6 см = 3 см.

MN = 1 2 (BC + AD) = 1 2 (6 + 14) = 10 (см).

KP = MN – (MK + PN) = 10 – (3 + 3) = 4 (см).

Відповідь: 3 см, 4 см, 3 см. 10.22 Діагоналі ділять середню

см. Знайдіть основи трапеції.

ABCD трапеція (AD || BC), MN середня

BD — діагоналі.

Точки K і P — точки перетину діагоналей і

MK = PN = 7 см, KP = 8 см.

AC і

У ΔABC M — середина AB, MK || BC (як частина середньої лінії), тоді за теоремою Фалеса K середина AC.

Отже, MK — середня лінія ΔABC:

MK = 1 2 BC, BC = 2MK = 2 · 7 = 14 (см).

MN = MK + KP + PN = 7 + 8 + 7 = 22 (см).

MN = AD + BC 2 ; 2MN = AD + BC; AD = 2MN − BC;

AD = 2 · 22 − 14 = 44 − 14 = 30 (см).

Відповідь: 14 см, 30 см. 10.23 У трапеції ABCD (AD || BC) ∠ A = 90°, ∠ C = 135°, AB = 6 см. Знайдіть

її

сторони.

ABCD трапеція (AD || BC), ∠A = 90°, ∠C = 135°, AB = 6 см, AC ⊥ CD.

∠BCD = ∠BCA + ∠ACD, ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD = 135° − 90° = 45°.

У ΔABC ∠B = 90°, оскільки ∠A = 90°, a BC || AD, ∠BCA = 45°, тоді ∠BAC = 45°.

ΔABC — рівнобедрений (кут при основі рівні). BC = AB = 6 см. Проведемо CP ⊥ AD.

У ΔACD — ∠D = 180° − ∠BCD = 180° − 135° = 45°.

∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = 45°. ΔACD — рівнобедрений, AC = CD.

Висота CP є медіаною, AP = PD. Але AP = BC, тому AD = 2BC = 2 · 6 = 12 (см).

Середня лінія: AD + BC 2 = 12 + 6 2 = 9 (см). Відповідь: 9

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

MP = 1 2 AD як середня лінія ΔABD.

AD = 2MP = 2 · 6 = 12 (см).

Аналогічно, в ΔBCD BC = 2PN = 2 · 4 = 8 (см).

∠CBD = ∠BDA як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній BD.

Але ∠CBD = ∠ABD за умовою, тоді ∠ABD = ∠BDA, ΔABD — рівнобедрений, AB = AD = 12 см.

PABCD = AD + 2AB + BC = 12 + 2 · 12 + 8 = 44 (см).

Відповідь: 44 см.

10.25 Діагональ рівнобічної трапеції ділить її

лінію – на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції.

ABCD трапеція, AD || BC, AB = CD, MN середня

лінія трапеції.

AC — діагональ, AC — бісектриса кута A.

MK = 3 см, KN = 7 см.

У ΔABC M — середина AB. MK || BC як частина середньої

лінії трапеції.

Тоді K — середина AC за теоремою Фалеса, а MK — середня

Звідки BC = 2MK = 2 · 3 = 6 (см).

Аналогічно, KN — середня лінія ΔACD.

KN = 1 2 AD, AD = 2KD = 2 · 7 = 14 (см).

∠BCA = ∠CAD як внутрішні

AC.

Але ∠CAD = ∠BAC за умовою, тоді ∠BCA = ∠BAC і ΔABC — рівнобедрений, AB = BC = 6 см.

PABCD = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 14 = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

10.26 Знайдіть кути

143°, 61°. 10.27

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

a + a = 2a (см). Pтр = 2a + 2a = 4a (см). Відповідь: 4a см.

трапеції. В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 120°.

AD = 14 см, CD = 8 см (найбільша

більша за перпендикуляр).

Проводимо CK ⊥ AD. ΔBCK — прямокутник (BC || AK, AB || CK, ∠A = 90°).

∠DCK = ∠BCD − ∠BCK = 120° − 90° = 30°.

Тоді у ΔCKD KD = 1 2 CD = 1 2 · 8 = 4 (см) (за властивістю

30°).

У прямокутнику ABCD AK = BC = AD − KD = 14 − 4 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

А. KN і ML

Б. KL і MN

В. KN і MN

Г. ML і MN

трикутника.

A. 3 см

Б. 9 см

B. 12 см

Г. 18 см

У рівносторонньому трикутнику

про середню лінію трикутника). Якщо середня лінія = 6 см, то сторона: a = 6 ∙ 2 = 12 (см).

Відповідь: В. 12 см.

3. На

А. 4 см

Б. 8 см

В. 6 см

Г. Знайти неможливо

M1M2 = 1 2 OM2 = 1 2 · 16 = 8 (см).

Відповідь: Б. 8 (см).

4. Чотирикутник

цього чотирикутника.

А. ∠ C = 80°, ∠ D = 160°

Б. ∠ C = 150°, ∠ D = 80°

В. ∠ C = 20°, ∠ D = 100° Г. ∠ C = 160°, ∠ D = 80°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

14 см Г. 16 см

У трикутнику ABC AB = 4 см, BC = 10 см, AC = 10 см. Проведено середні лінії DF, DE, FE.

За теоремою про середню лінію трикутника маємо:

DF = 1 2 AC = 1 2 · 10 = 5 (см), DE = 1 2 BC = 1 2 · 10 = 5 (см), FE = 1 2 AB = 1 2 · 4 = 2 (см).

Тоді

PDFE = DF + FE + DE = 5 + 2 + 5 = 12 (см).

Відповідь: Б. 12 см. 6. Середня лінія трапеції дорівнює 20 см,

Б. 24 см

В. 18 см

Г. 8 см

A. 110∘

Б. 95∘

B. 105∘

Г. 115∘

Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD

основа, BC —

AB = CD —

сторони. Діагональ AC = AD, ∠CAD = 30°. У △ACD, AC = AD. Це означає, що △ACD рівнобедрений

(

ACD = ∠ADC). Сума кутів △ACD = 180°: 30° + 2x = 180° x = 75°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

А. 50 см

Б. 20 см

В. 30 см

Г. 40 см

ABCD трапеція, описана навколо кола, AB = CD = 10 см, тоді AB + CD = 20 см.

Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію

ABCD, то AB + CD = BC + AD, тоді

PABCD = 20 + 20 = 40 (см).

Відповідь: Г. 40 см.

А. 32 см

ABCD

трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD. ∠CDA = 60°, BC =

AD = BC + HD

AB = BC = 2MK = 2 · 4 = 8 см.

AD = 2KN = 2 · 5 = 10 (см).

Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD || BC, MN — середня

трапеції ABCD, MK = 4 см, KN = 5 см.

∠BAC = ∠DAC за умовою задачі, тоді: ∠CAD = ∠BCA, як різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AC. Оскільки ∠BAC = ∠DAC і ∠CAD = ∠BCA, то

∠BAC = ∠BCA, отже, трикутник ABC — рівнобедрений.

PABCD = 3BC + AD = 24 + 10 = 34 (см).

Б. 34 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AF, якщо AC = 18 см.

А. 6 см

Б. 9 см

В. 3 см

Г. 2 см

12 см

6 см

18 см Г. 9 см

BF.

Оскільки BD = DC і DG || BF, то CG = GF (за

Фалеса).

Оскільки DN = NA і DG || NF, то GF = FA (за теоремою Фалеса).

Оскільки CG = GF і GF = FA, то AF = 18 : 3 = 6 (см).

Відповідь: А. 6 см.

Нехай ABC

C = 90°, AC = CB,

AM = MC, MK ⊥ AB, CO ⊥ AB, AB = 36 (см). У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°,

трикутника ABC, CO = AO.

трикутника ACO, тоді CO = 1 2 AB = 1 2 · 36 = 18 (см). MK = 1 2 CO = 1 2 · 18 = 9 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

трикутника)

Тоді сторона: a = 4 ∙ 2 = 8 см.

Периметр: P = 3a = 3 ∙ 8 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

3. На малюнку A1B1 || A2B2, OB1 = B1B2, OA1 = 2 см. Знайдіть OA2. OA2 = 2OA1 = 2 · 2 = 4 (см).

A = 180° − ∠C = 180° − 140° = 40°

B = 180° − ∠D = 180° − 70° = 110°

∠A = 40°; ∠B = 110°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

трикутнику ABC AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 16 см Проведено

DF, DE, FE.

маємо:

DF = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 (см),

DE = 1 2 AC = 1 2 · 16 = 8 (см),

FE = 1 2 AB = 1 2 · 10 = 5 (см).

Тоді PDFE = DF + FE + DE = 8 + 5 + 6 = 19 (см).

Відповідь: 19 см.

Нехай BC = x см, тоді AD = (x + 4)

x + 2 = 8; x = 6.

Отже, BC = 6 (см), AD = (x + 4) см = 10 (см).

6 см і 10 см.

ABCD трапеція, описана

AB = CD, PABCD = 20 см.

ABCD,

то AB + CD = BC + AD = 20 : 2 = 10 (см).

Тоді AB = CD = 10 : 2 = 5 (см).

5 см.

трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD.

∠CDA = 60°, AD = 12 см, CD = 12 см за умовою

Проведемо CH ⊥ AD.

Оскільки ∠CDA = 60°, то ∠HCD = 90° − 60° = 30°.

Отже, у трапеції ABCD: HD = 1 2 CD = 1 2 · 12 = 6 (см) за властивістю

прямокутного трикутника з кутом 30°.

Тоді BC = AD − HD = 12 − 6 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD || BC, MK — середня

трапеції ABCD, KP = 7 см, PM = 9 см.

∠BCA = ∠DCA за умовою задачі, тоді:

∠CAD = ∠BCA як різносторонні

паралельних прямих AD і BC та січній AC.

Оскільки ∠BCA = ∠DCA і ∠CAD = ∠BCA, то ∠DAC = ∠DCA, отже, трикутник ADC рівнобедрений. Із рівнобедреного трикутника ADC за теоремою про середню

AD = DC = 2PM = 18 см.

теоремою

BC = 2KP = 2 · 7 = 14 (см).

Тоді PABCD = BC + 3AD = 14 + 54 = 68 (см).

Відповідь: 68 см.

10. Точки K, L, M ділять медіану

= LM = MD). AM перетинає BC у точці F. Знайдіть CF : FB.

точки K, L, D

прямі KN, LH, DG, паралельні прямій AM.

Оскільки AD = DC і DG || AM, то CG = GF (за теоремою Фалеса). Оскільки DM = ML = LK = KB і AM || LH || DG || NK, то GF = FH = HN = NB (за теоремою Фалеса).

Оскільки CG = GF і GF = FH = HN = NB, то

CF : FB = 2 : 3.

Відповідь: 2 : 3. 11. Точка D —

Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Нехай ABC даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, DB = DC. DM ⊥ AB, CN ⊥ AB, DM + 15 = AB.

У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CN — висота, медіана трикутника ABC, CN = AN. MD — середня лінія трикутника BCN, тоді

CN = 1 2 AB, MD = 1 2 CN = 1 4 AB.

Отже, 1 4 AB + 15 = AB; AB + 15 · 4 = 4AB; 3AB = 60; AB = 20 (см).

Відповідь: 20 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Вершини A, M, C, N;

Сторони AM, MC, CN, AN;

Кути AMC, MCN, CNA, NAM. 2.

2. тупим?

четвертий кут може бути тільки прямим: 270° + 90° = 360°.

Відповідь: а. ні; б. ні.

3. Два кути чотирикутника

ABCD, BCDA, CDAB, DABC.

∠1 = x, ∠2 = x + 10°, ∠3 = x + 50°, ∠4 = 2x.

x + x + 10 + x + 50 + 2x = 360;

5x = 360 − 60;

5x = 300;

x = 60.

∠1 = 60°, ∠2 = 60° + 10° = 70°, ∠3 = 60° + 50° = 110°, ∠4 = 2 ·

60°, 70°, 110°, 120°.

BC і AD і січній AB. Тоді за ознакою паралельності прямих BC || AD.

∠B + ∠C = 180° — сума внутрішніх односторонніх

і точкою перетину

діляться навпіл.

Звідси

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

14.

360°: ∠NBM + ∠BMD + ∠D + ∠BND = 360°;

∠NBM

Значить, ∠FAD = ∠AFB (як

∠FAD = ∠BCN, ∠FAD = ∠AFB, тоді ∠BCN = ∠

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

B, дорівнює куту A.

Тобто, ∠A = ∠C = ∠MBK.

У ΔABM BM = 1 2 AB = 1 2 · 8 = 4 (см) (як катет, що

лежить проти кута 30°).

Аналогічно в ΔBKC BK = 1 2 BC = 1 2 · 20 = 10 (см).

Відповідь: 4 см, 10 см.

18. Побудуйте паралелограм за двома непаралельними сторонами й висотою, проведеною до однієї з них.

План побудови.

1. Провести довільну пряму l і позначити на

ній довільну точку K.

2. Через точку K провести пряму, перпендикулярну

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠BKA = ∠KAD = 1 2 ∠A = 45° як

AD || BC і січній AK.

∠NKC = ∠BKA = 45° як вертикальні.

У ΔKNC ∠KNC = 180° – (∠NKC + ∠NCK) = = 180° – (45° + 90°) = 45°.

Відповідь: 45°.

1. Нехай дано сторону a і діагональ

D. 4. І спосіб. З точок A і C провести кола радіусами, рівними відрізкам d і AD відповідно. II спосіб.

5. ABCD — шуканий прямокутник.

3. 1. Розділити дану діагональ навпіл.

2. Побудувати ∠O = α.

3. На сторонах кута O та на їх продовженнях

4. ABCD — шуканий прямокутник.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AM.

Тоді ∠AMD = ∠DAM, у △ADM AD = DM = 5 см.

DC = DM + MC = 5 + 2 = 7 (см).

PABCD = 2(AD + CD) = 2 · (5 + 7) = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

периметр дорівнює 56 см. В прямокутнику ABCD O точка перетину діагоналей. OM ⊥ BC, ON ⊥ AB —

прямокутника.

У △ABD ON ⊥ AB, AD ⊥ AB, тоді ON || AD. O середина BD, за теоремою

Отже, ON — середня лінія △ABD, ON = 1 2 AD.

Аналогічно, в △ABC OM — середня

AB = 20M, AD = 20N.

Нехай OM = x см, тоді ON = (x + 2) см.

OM = 1 2 AB.

PABCD = 2(AB + AD) = 2(2x + 2(x + 2)) = 4x + 4x + 8 = 8x + 8;

8x + 8 = 56;

8x = 48;

x = 6,

AB = 2 · 6 = 12 (см);

AD = 2 · (6 + 2) = 16 (см).

Відповідь: 12 см, 6 см.

25.

a см.

BK ⊥ AC; AK : KC = 1 : 3.

N середина AB.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Можливі два випадки.

∠BLA = ∠LAD як

і січній AL.

За умовою ∠BAL = ∠LAD, тому ∠BAL = ∠BLA.

△ABL — рівнобедрений (за ознакою), AB = BL = 7 см. Аналогічно, у △KCD KC = CD = 7 см.

1 випадок:

BC = AD = BL + KC − KL = 7 + 7 − 2 = 12 (см).

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 12) = 38 (см).

2 випадок:

BC = AD = BL + LK + KC = 7 + 7 + 2 = 16 (см).

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 16) = 46 (см).

Відповідь: 38 см або 46 см.

∠BAD = 2∠BAO = 2 · 25° = 50°.

∠C = ∠A = 50°.

∠B = ∠D = 180° − ∠A = 180° − 50° =130°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

32.

У △BCP ∠CBD = 90° − ∠P = 90° − 40° = 50°.

∠B = ∠D = 2 · 50° = 100°;

∠A = ∠C = 80°.

Відповідь: 100°, 80°. 33.

ромба; 2.

1. ABCD ромб, BK ⊥ AD, BK = 10 см висота.

PABCD = 80 см, тоді AB = BC = CD = AD = 80 : 4 = 20 (см).

лежить напроти кута 30°.

Отже, ∠A = 30°, ∠C = ∠A = 30°.

∠B = ∠

KBD = 180° − (∠BKD + ∠BDK) = 180° − (90° + 75°) = 15°.

15°.

M точка їх перетину. 2. Побудуємо коло з центром M і радіусом

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

△MAN = △PBN = △MDK = △PSK

AM = BP = CP = DM = AD = BC, AN = BN = CK = DK = AB = CD;

∠MAN = ∠NBP = ∠PCK = ∠MDK = = 360° − (60° + 90° + 60°) = 150°).

що MN = PN = KP = KM.

P = 4 · 3 = 12 (см).

4a − 3a = a, 4a = 8 см.

P = 4 · 8 = 32 (см).

Відповідь: 8 см, 32 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AA1 = BB1 = CC1 = DD1.

З рівності трикутників

△A1BB1 = △B1CC1 = △C1DD1 = △D1AA1, за двома катетами (AA1 = BB1 = CC1 = DD1, за умовою, A1B = B1C = C1D = D1A, як частини

рівних відрізків).

Тоді A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1. A1B1C1D — ромб.

∠B1A1D1 = 180° − (∠D1A1A + ∠BA1B1);

∠A1B1C1 = 180° − (∠CB1C1 + ∠BB1A1);

∠B1C1D1 = 180° − (∠B1C1C + ∠DC1D1);

∠C1D1A1 = 180° − (∠C1D1D + ∠A1D1A).

∠BA1B1 = ∠CB1C1 = ∠DC1D1 = ∠A1D1A,

∠BB1A1 = ∠CC1B1 = ∠DD1C1 = ∠AA1D1.

Тоді ∠B1A1D1 = ∠A1B1C1 = ∠B1C1D1 = ∠C1D1A1.

Ромб A1B1C1D1, у якого всі

Відповідь: квадрат.

41. У квадрат вписано прямокутник так, що на

У квадраті ABCD AC ⊥ BD. MN || AC за умовою, тоді MN ⊥ BD.

∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠B = 90° : 2 = 45° (за властивістю

діагоналей квадрата).

У △MBN BL — висота і

тоді △MBN рівнобедрений, і L — середина MN.

У △BLN ∠NBL = ∠BNL = 45°, тоді BL = NL.

Аналогічно, розглянувши решту трикутників, отримаємо, що NR = RC = RP, PT = DT = KT.

KS = AS = MS.

PMPNK = 2(MN + NP) = 2 · AC = 2d (см).

Відповідь: 2d см.

42. Накресліть

сторони.

NMLK: основи ML і NK, бічні

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

становить 180°.

Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 20°.

x + x + 20 = 180;

2x = 160;

x = 80°.

∠A = 80°,

∠B = 80° + 20° = 100°.

Відповідь: 80°, 100°.

трапеції ABCD ∠A =

B = 90°. Проведемо CK ⊥ AD. ABCK — прямокутник, CK = AB. За умовою CD = 2AB = 2CK.

Нехай ∠A = 4x, ∠B = 5x, 4x + 5x = 180°; 9x = 180°; x = 20.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

трапеції ABCD BC || AD, AB = CD.

∠BCA = ∠CAD як

Але за умовою ∠BCA = ∠ACD, тому ∠CAD = ∠ACD, AC — основа рівнобедреного △ACD, CD = AD = 10 см.

PABCD = AD + BC + 2CD = 10 + 6 + 2 · 10 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

50. ABCD — прямокутна трапеція, ∠D = ∠C = 90°, AD — більша основа, ∠BDC = 45°, ∠ABD = 90°, AD = 10 см. Знайдіть BC і CD.

Проведемо BK ⊥ AD.

У △ABD ∠ADB = ∠ADC − ∠BDC = 90° − 45° = 45°.

Тоді ∠BAD = 45° і у △ABD AB = BD.

Висота BK є медіаною, проведеною з вершини прямого кута B:

BK = AK = KD = 1 2 AD = 1 2 · 10 = 5 (см).

CD = BK = 5 см (як відрізки двох перпендикулярів, що містяться між двома паралельними прямими).

△BCD є рівнобедреним (він прямокутний і один з гострих

BC = CD = 5 см.

Відповідь: BC = 5 см, CD = 5 см.

51. У рівнобічній

(∠A = ∠D, AB = CD

AK = FD = 1 2 AB = 1,5 см як

(BK || CF, BK = CF, ∠BKF =

KF = BC = 5 см.

PABCD = AB + BC + CD + AD = = 3 + 5 + 3 + (1,5 + 5 + 1,5) = 19 (см).

ABC AB = BC, тому

BAC = ∠BCA.

при AD || BC і січній AC. ∠CDA = BAD за умовою.

Нехай ∠BCA = x, тоді ∠BAD = 2x. У △ACD AC = AD за умовою, тоді ∠ACD = ∠ADC = 2x, ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = x + 2x = 3x.

∠BCD + ∠ADC = 180°.

Маємо рівняння: 3x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.

∠A = 2 · 36° = 72°,

∠B = 3 · 36° = 108°.

∠C = ∠B = 108°,

∠D = ∠A = 72°.

Відповідь: 72°, 108°, 108°, 72°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Припустимо, що трапецію побудовано.

Проведемо через вершину C пряму, паралельну діагоналі BD, позначимо точку її

перетину з основою AD через F.

Тоді у △ACF нам відомі всі сторони: AC = d1, CF = d2, AF = b + a.

Побудуємо цей трикутник за трьома сторонами, а потім добудуємо до трапеції. План побудови:

1. Будуємо пряму, відкладаємо на ній відрізки AB = b в DF = a

2. Провести коло з центром A радіуса d1.

3. Провести коло з центром F радіуса d2.

4. Точка перетину кіл — C.

5. Провести коло з центром D радіуса d2.

7. Точка перетину кіл — B.

8. ABCD — шукана трапеція.

54. У трапеції ABСD BC менша

AD у точці E.

BC = AE, CE = AB. P△CED = CE + CD + ED = AB + CD + AD − BC = = AB + CD + AD + BC − 2BC = PABCD − 2BC = = 56 – 2 · 10 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 55. Чи можна вписати коло в чотирикутник ABCD, якщо:

1. AB = 5 см, BC = 3 см, CD = 4 см, DA = 6 см;

2. AB = 3 дм, BC = 7 дм, CD = 8 дм, DA = 10 дм?

Коло можна вписати в

рівні.

1. AB + CD = 5 + 4 = 9 (см); BC + DA = 3 + 6 = 9 (см); AB + CD = BC + DA.

2. AB + CD = 8 + 3 = 11 (дм); BC + DA = 7 + 10 = 17 (дм); AB + CD ≠ BC + DA. Відповідь: ні. 56.

Відповідь: так.

як:

1. 2 : 7 : 10 : 5;

2. 3 : 5 : 8 : 4?

1. 2x + 10x = 12x; 7x + 5x = 12x.

так.

2. 3x + 8x = 11x; 5x + 4x = 9x; 11x ≠ 9x.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

57. ABCD – чотирикутник,

Знайдіть AD.

AB + CD = 3 + 10 = 13 (см).

Значить, BC + AD = 13 (см).

AD = 13 см − BC = 13 см − 9 см = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 10 см.

58. У чотирикутнику ABCD ∠ABC = 100°, ∠ADC = 80°, ∠BDC = 30°. Знайдіть ∠BAC.

59. Три кути чотирикутника,

1. Оскільки ∠ABC + ∠ADC = 10° + 80° = 180°, то чотирикутник ABCD є вписаним у коло.

2. Оскільки кути ∠BAC і ∠BDC є кутами, вписаними у коло, що спираються на одну й ту саму дугу, то ∠BAC = ∠BDC = 30°.

Відповідь: 30°.

∠A = 3x, ∠B =

= 360, x = 20.

∠A = 3 · 20° = 60°, ∠B = 4 · 20° = 80°, ∠C = 6 · 20° = 120°, ∠D = 5 · 20° = 100°.

60°, 80°, 120°, 100°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠D = x, ∠C = 5x.

Тоді x + 5x = 180, 6x = 180, x = 30.

Отже, ∠D = 30°.

Проведемо CK ⊥ AD. CK = AB = a см як

З ΔKCD CK = 1 2 CD,

CD = 2CK = 2a.

Оскільки трапеція

BC + AD = AB + CD = a + 2a = 3a.

PABCD = 2 · 3a = 6a (см).

Відповідь: 6a см.

62. На малюнку прямі

B1B2 = B2B3; A1A3 = B1B3.

1. AB даний відрізок. 2. Промінь AC. 3.

промені AC відкладають 9 рівних

AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6 = C6C7 = C7C8 = C8C9.

паралельні C9B

1. AB даний відрізок.

2. Промінь AC. 3.

(3 + 1 + 2 = 6): AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6.

4. Відрізок C6B.

5. Через точки C3, C4 провести C3M || C6B, C4N || C6B.

AC3 : C3C4 : C4C6 = 3 : 1 : 2,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

NP || CM.

NAB AK : KN = 2 : 1 за

AM : MP = 2 : 1. Розглянемо кут ABC. CM || NP, BN : CN = 1 : 1, за теоремою Фалеса BP : PM = 1 : 1. Отже, AM = 2MP, але MP = PB, тому AM = MB.

66. Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, дорівнює

третю сторону трикутника. 2 · 5 = 10 (см) — за властивістю середньої

67. Побудуйте довільний

71. Точки D, E, F,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

трикутника ABC.

Нехай AC = 12 см. MN || AC, MN = 1 2 AC = 1 2 · 12 = 6 (см).

Нехай MP = 5 см. MP || BC, MP = 1 2 BC, BC = 2MP = 2 · 5 = 10 (см).

PΔMNP = MN + MP + NP, NP = PΔMNP − (MN + MP) = 18 − (6 + 5) = 7 (см).

NP || AB,

NP = 1 2 AB,

AB = 2NP = 2 · 7 = 14 (см).

Відповідь: 10 см, 14 см.

73.

трикутнику

цьому, дорівнюють 22 см, 24 см і

який утворюють середні

�AB + AC = 22, AB + BC = 24,

AC + BC = 26; �

�AB = 22 AC , 2BC = 28,

Нехай PAMNP = 22 см, PBNPM = 24 см, PCPMN = 26 см. PAMNP = 2AM + 2AP = AB + AC, PBNPM = 2BN + 2BM = BC + AB, PCPMN = 2CN + 2CP = BC + AC.

AB = 22 AC , 22 AC + BC = 24, AC + BC = 26; �

AB = 22 AC , AC + BC = 2, AC + BC = 26;

AC + BC = 26; �AB = 22 AC , BC = 14, AC + 14 = 26; � AB = 10, BC = 14, AC = 12.

Отже, AB = 10 см, BC = 14 см, AC = 12 см.

PΔABC = 10 + 14 + 12 = 36 (см).

MN = 1 2 AC = 1 2 · 12 = 6 (см),

NP = 1 2 AB = 1 2 · 10 = 5 (см),

MP = 1 2 BC = 1 2 · 14 = 7 (см).

PΔMNP = 6 + 5 + 7 = 18 (см).

Відповідь: 36 см, 18 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2 спосіб. Нехай M, N, і P — задані

ABCD квадрат, M, N, P, K середини його сторін.

AC = BD = d —

У ΔABC NP — середня лінія, NP || AC, NP = 1 2 AC = �� 2 .

У ΔADC MK — середня лінія, MK || AC, MK = 1 2 AC = �� 2 .

Дві протилежні сторони чотирикутника MNPK паралельні і рівні. MNPK паралелограм.

Аналогічно, MN || BD, MN = 1 2 BD = �� 2

KP || BD, KP = 1 2 BD = �� 2 . Отже, MNPK — ромб.

MN ⊥ MK (MN || BD, MK || AC, BD ⊥ AC), тоді MNPK — квадрат.

PMNPK = 4�� 2 = 2d (см).

Відповідь: квадрат.

76. Накресліть трапецію

EF = AD + BC 2 .

Pтр = 16 + 17 = 33 (см).

33 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай a і b основи трапеції.

�� = 2, �� + �� 2 = 14; � �� = 2, �� + �� = 28. 2a = 30, a = 15, 15 − b = 1, b = 13.

Відповідь: 13 см, 15 см.

APKD).

Відповідь: 16 см, 14 см, 18 см.

MN || BC, MN || AD, за

MN = 18 см середня лінія.

Нехай MK = x см, тоді KN = 2x см. x + 2x = 18; 3x = 18; x = 6.

Отже, MK = 6 см, KN = 2 · 6 = 12 (см).

середина AC. Тоді MK — середня

BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).

KN — середня лінія ΔACD, AD = 2KN = 2 · 12 = 24 (см).

Відповідь: 12 см, 24 см.

81. Середня

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3�� = �� 12, 2 · 3�� = �� + ��; � 3�� = 12, 6�� = 0; �3�� = 12, 5�� = 0; 2b = 12, b = 6;

3 · 6 – a = −12, a = 30.

Отже основи трапеції 6 см і 30 см.

Відповідь: 6 см, 30 см.

82. Середня лінія трапеції діагоналями

дорівнюють 2 : 3 : 2. Знайдіть відношення основ трапеції.

MN — середня лінія трапеції ABCD,

AC і BD — її діагоналі.

MP : PK : KN = 2 : 3 : 2.

Нехай MP = 2x, PK = 3x, KN = 2x.

У ΔABC M — середина AB, MP || BC (MP — частина MN, MN || BC).

Тоді за теоремою Фалеса, P — середина AC, MP —

лінія ΔABC, MP = 1 2 BC, BC = 2MP = 2 · 2x = 4x.

В ΔACD PN — середня лінія, PN = PK + KN = 3x + 2x = 5x.

PN = 1 2 AD,

AD = 2PN = 2 · 5x = 10x.

AD : BC = 10x : 4x = 5 : 2.

Відповідь: 5 : 2.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

– 60°.

Проведемо BK ⊥ AD, CF ⊥ AD — висоти трапеції.

У ΔABK ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°.

Тоді AK = 1 2 AB = �� 2 (як катет, що лежить проти кута 30°).

BK || CF (BK ⊥ AD, CF ⊥ AD) BK = CF за гіпотенузою і гострим

∠D за умовою).

Тоді KBCF — паралелограм.

BC = KF = AD − (AK + FD) = a − 2�� 2 = a – c.

Середня лінія: AD + BC 2 = �� + �� – �� 2 = 2��

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC = OB BD ;

AC = OA · BD OB = 1 · 3 2 = 1,5.

11.4 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута O. AC = 6 см, CE = 2 см, BD = 5 см. Знайдіть BF.

За узагальненою теоремою Фалеса AC CE = BD DF , звідки DF = CE · BD AC . DF = 2 · 5 6 = 10 6 = 1 2 3 (см).

BF = BD + DF = 5 + 1 2 3 = 6 2 3 (см).

Відповідь: 62 3 см.

11.5 Паралельні

AB, CD і EF

O. BD = 4 см, DF = 2 см, CE = 3 см. Знайдіть AE.

AC CE = BD DF ; AC = CE · BD DF = 3 · 4 2 = 6 (см).

AE = AC + CE = 6 + 3 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

11.6 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута

вершиною O. OA = 3 см, AC = 4 см, BD = 5 см, DF = 2 см. Знайдіть CE і OB.

AC = OB BD ; OB = OA · BD AC = 3 · 5 4 = 15 4 = 3 3 4 (см).

AC CE = BD DF ; CE = AC · DF BD = 4 · 2 5 = 8 5 = 1 3 5 (см).

Відповідь: 33 4 см, 13 5 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

= 7, AC = 4, CE = 3.

AC = OB BD ;

OA = AC · OB BD = 4 · 5 7 = 20 7 = 2 6 7 (см).

AC CE = BD DF ; DF = CE · BD AC = 3 · 7 4 = 21 4 = 5 1 4 (см).

Відповідь: 26 7 см, 51 4 см. 11.8

OB і BD, якщо OD = 15. Нехай OB = x, тоді BD = 15 − x За узагальненою теоремою Фалеса: OA

OB = AC BD ; 4 6 = �� 15 �� ; 2(15 − x) = 3x; 30 − 2x = 3x; 5x = 30; x = 6.

OB = 6; BD = 15 − 6 = 9.

Відповідь: 6; 9.

11.11 На малюнку AB ∥ CD, OB = 5, BD = 7.

OA і AC, якщо AC − OA = 1.

Нехай OA = x, тоді AC = x + 1. За узагальненою теоремою Фалеса: OA

OB = AC BD ; �� 5 = �� + 1 7 ;

7x = 5(x + 1);

7x = 5x + 5; 2x = 5; x = 2,5.

OA = 2,5; Ac = 2,5 + 1 = 3,5.

Відповідь: 2,5; 3,5. 11.12 На

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відрізок CM перетинає медіану AP в точці K.

Проведемо PN || CM.

Розглянемо кут ABC.

BP : BC = 1 : 1.

Тоді за узагальненою теоремою Фалеса BN : NM = 1 : 1, тобто N — середина BM.

За умовою AM : MB = 1 : 3,

значить AM : MN = 1 : 1,5.

Розглянемо кут BAC. AM : MN = AK : KP, AK : KP = 1 : 1,5 або AK : KP = 2 : 3.

Відповідь: 2 : 3.

11.13 AD – медіана трикутника ABC, точка M лежить на

5 : 3, починаючи

K — точка перетину відрізків AD і BM.

Проведемо DN || BM. Кут DAC:

AK : KD = AM : MN,

AM : MN = 5 : 3.

Кут BCA: CD : DB = 1 : 1, CN : NM = 1 : 1.

Тоді N — середина MC.

AM : MC = 5 : (3 + 3);

AM : MC = 5 : 6.

Відповідь: 5 : 6.

11.14

PΔABC = 12 см, PΔACD = 14 см, AC = 5 см.

PΔABC = AB + BC + AC,

AB + BC = PΔABC − AC = 12 − 5 = 7 (см).

PΔACD = AD + CD + AC,

AD + CD = PΔACD − AC = 14 − 5 = 9 (см).

PABCD = AB + BC + AD + CD = 7 + 9 = 16 (см).

Відповідь:16 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Проведемо CK ⊥ AD.

За умовою ΔACD рівнобедрений, AC = CD.

Тоді CK — висота і медіана: AK = KD.

ΔBCK — прямокутник, BC = AK.

Нехай BC = x, тоді AD = 2AK = 2x.

Середня лінія: BC + AD 2 = �� + 2�� 2 = 3�� 2 .

У ΔCKD ∠DCK = 120° − 90° = 30°,

тоді KD = 1 2 CD (катет проти кута 30°).

CD = 2KD = 2x.

Відношення середньої

3�� 2 : 2�� = 3��∶ 4�� = 3 ∶ 4.

Відповідь: 3 : 4.

11.16 ΔABC =

1. ∠A = ∠M,

2. ∠B = ∠K,

3. ∠C = ∠L,

4. MK = AB,

5. ML = AC,

6. KL = BC.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

м?

1 м2 = 40 л

Довжина – 30 м

Ширина – 20 м

1. S = a · b = 30 · 20 = 600 м2 – площа ковзанки;

2. 600 · 40 = 24000 л = 24 м3 – води.

Відповідь: щоб залити ковзанку, знадобиться 24 м3 .

2. Дізнайтеся, скільки коштує 1 м3

буде сплатити муніципальній владі

1 м3 = 31 грн

24 м3 = ? грн

24 · 31 = 744 (грн) – потрібно

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

��. BC LM = 3.

12.3 Дано: ΔMLF ∼ ΔPNK.

ML PN = MP PK ; MP PK = LP NK ; LP NK = ML PN .

12.4 Дано: ΔMNL ∼ ΔABC, ∠M = 50°, ∠B = 70°.

∠A = ∠M = 50°,

∠N = ∠B = 70°;

∠L = ∠C = 180° − (50° + 70°) = 180° − 120° = 60°.

12.5 Дано: ΔABC ∼ ΔDEF, ∠A = 40°, ∠F = 90°.

∠D = ∠A = 40°;

∠C = ∠F = 90°;

∠B = ∠E = 180° − (40° + 90°) = 50°.

12.6 Дано: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 8 см, A1B1 = 2 см.

трикутників: AB A₁B₁ = 8 2 = 4 1 .

A₁C₁ AC = A₁B₁ AB = 1 4 ;

B₁C₁

= A₁B₁ AB = 1 4 . 12.7 Дано: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 10, BC = 8, CA = 6, A1B1 = 5. Знайдіть: B1C1 і C1A1.

Якщо ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді

A₁B₁ AB = B₁C₁ BC = A₁C₁ AC = 5 10 = 1 2 .

B₁C₁ BC = 1 2 ; B₁C₁ 8 = 1 2 ;

B₁C₁ = 8 · 1 2 = 4.

C₁A₁ CA = 1 2 ; C₁A₁ 6 = 1 2 ;

C₁A₁ = 6 · 1 2 = 3.

Відповідь: 4 : 3. 12.8 Дано: ΔKLM ∼ ΔK1L1M1, KL = 12, KM = 9, LM = 21, K1L1 = 4. Знайдіть: K1M1, L1M1. Якщо ΔKLM ~ ΔK1L1M1, тоді:

K₁L₁ KL = 4 12 = 1 3 .

K₁M₁ KM = 1 3 ; K₁M₁ 9 = 1 3 ;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

K₁M₁ = 9 · 1 3 = 3.

L₁M₁ = 21 · 1 3 = 7. Відповідь: 3; 7.

за умовою

AB : BC : AC = 7 : 8 : 9, то і A1B1 : B1C1 : A1C1 = 7 : 8 : 9 (згідно

Позначимо A1B1 = 7x, B1C1 = 8x, A1C1 = 9x.

1. За умовою A1B1 = 21 см.

7x = 21, x = 3.

Отже, B1C1 = 8 · 3 = 24 (см),

A1C1 = 9 · 3 = 27 (см).

Відповідь: 24 см, 27 см.

2. За умовою A1C1 − B1C1 = 5 см,

9x − 8x = 5, x = 5.

A1B1 = 7 · 5 = 35 (см);

B1C1 = 8 · 5 = 40 (см);

A1C1 = 9 · 5 = 45 (см).

Відповідь: 35 см, 40 см, 45 см.

3. За умовою A1B1 + B1C1 + A1C1 = 48 см.

7x + 8x + 9x = 48, 24x = 48, x = 2.

A1B1 = 7 · 2 = 14 (см);

B1C1 = 8 · 2 = 16 (см);

A1C1 = 9 · 2 = 18 (см).

Відповідь: 14 см, 16 см, 18 см. 14

AB : BC : CA = 5 : 6 :

і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 5 : 6 : 9.

A1B1 = 5x, B1C1 = 6x, A1C1 = 9x. 1.

умовою C1A1 = 18 см, 9x = 18, x = 2.

A1B1 = 5 · 2 = 10 (см);

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

B1C1 = 6 · 2 = 12 (см).

Відповідь: 10 см, 12 см.

2. За умовою B1C1 − A1B1 = 3 см, 6x − 5x = 3, x = 3.

A1B1 = 5 · 3 = 15 (см);

B1C1 = 6 · 3 = 18 (см); C1A1 = 9 · 3 = 27 (см).

Відповідь: 15 см, 18 см, 27 см.

3. За умовою A1B1 + B1C1 + C1A1 = 100 см. 5x + 6x + 9x = 100, 20x = 100, x = 5.

A1B1 = 5 · 5 = 25 (см);

B1C1 = 6 · 5 = 30 (см); C1A1 = 9 · 5 = 45 (см).

Відповідь: 25 см, 30 см, 45 см.

12.11 Доведіть, що два рівносторонні

У рівносторонньому трикутнику

= BC = AC, тому AB : BC : AC = 1 : 1 : 1.

У рівносторонньому ΔA1B1C1

тобто A1B1 : B1C1 :

: B1C1 : A1C1 = AB : BC : AC. 12.12 Периметри

як 2 : 3 : 4.

Відомо, що відношення

відповідних сторін.

Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Оскільки за умовою AB : BC : AC = 2 : 3 : 4,

то і A1B1 : B1C1 : A1C1 = 2 : 3 : 4.

Позначимо AB = 2x, BC = 3x, AC = 4x P∆ABC

P∆A₁B₁C₁ = AC A₁C₁ = 2 3 ,

тоді 4�� A₁C₁ = 2 3 ; A₁C₁ = 4�� · 3 2 = 6��.

За умовою AC + A1C1 = 20 см; 4x + 6x = 20; 10x = 20; x = 2.

AB = 2 · 2 = 4 (см); BC = 3 · 2 = 6 (см);

AC = 4 · 2 = 8 (см).

A₁B₁ = 2 3 ; 4 A₁B₁ = 2 3 ;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

A₁B₁ = 4 · 3 2 = 6 (см); BC

B₁C₁ = 2 3 ; 6 B₁C₁ = 2 3 ;

B₁C₁ = 6 · 3 2 = 9 (см).

A1C1 = 6 · 2 = 12 (см).

Відповідь: 4 см, 6 см, 8 см і 6 см, 9 см, 12 см.

12.13 Периметри подібних трикутників відносяться як 4 : 3, а сума їхніх найбільших

сторін дорівнює 21 см. Знайдіть сторони кожного

них відносяться як 3 : 4 : 5.

Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Оскільки за умовою AB : BC : CA = 3 : 4 : 5, то і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 3 : 4 : 5.

Позначимо AB = 3x, BC = 4x, AC = 5x P∆ABC

P∆A₁B₁C₁ = AB A₁B₁ = 4 3 ;

A₁B₁ = 3�� · 3 4 = 2,25��.

B₁C₁ = 4 3 ;

B₁C₁ = 4�� · 3 4 = 3��.

A₁C₁ = 4 3 ;

A₁C₁ = 5�� · 3 4 = 3,75��.

За умовою AB + A1B1 = 21 см; 3x + 2,25x = 21; 5,25x = 21; x = 4.

AB = 3 · 4 = 12 (см); BC = 4 · 4 = 16 (см); AC = 5 · 4 = 20 (см).

A1B1 = 2,25 · 4 = 9 (см);

B1C1 = 3 · 4 = 12 (см),

A1C1 = 3,75 · 4 = 15 (см).

Відповідь: 12 см, 16 см, 20 см і 9 см, 12 см, 15 см.

12.14

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔBOC = ΔDOA за двома сторонами і кутом

(BO = OD, AO = OC, ∠BOC = ∠DOA як вертикальні).

Аналогічно, ΔABD = ΔCDB.

ΔABD = ΔCDB, ΔABC = ΔCDA за трьома сторонами (діагональ — спільна, AB = CD, BC = AD як протилежні сторони).

ABC перетинає сторону

AD і січній BS, тоді ∠ABS = ∠BSA, AB = AS). Значить, його бісектриса AK є також

MN – середня

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

KO = OC, BO = OL,

ΔKOB = ΔCOL

KC.

Тоді AB || AC, що суперечить умові.

навпіл.

Відповідь:

1. Якщо у трикутників є спільний

ними).

2. Якщо два кути одного трикутника

3. Якщо дві

рівні (тоді теж

13.2 За яких умов ΔABC ∼ ΔDEF:

13.3 За яких умов ΔABC ∼ ΔMNK:

подібності за двома сторонами

4. Біля рівних кутів прилеглі сторони

13.4 Доведіть, що ΔABC ∼ ΔA1B1C1, якщо: ��. AB A₁B₁ = 2 4 = 1 2 ; BC

B₁C₁ = 3 6 = 1 2 ; AC

A₁C₁ = 4 8 = 1 2 . AB A₁B₁ = BC B₁C₁ = AC A₁C₁ .

2. ∠A = ∠A1 = 20°, AB

A₁B₁ = 3 9 = 1 3 ; AC

A₁C₁ = 5 15 = 1 3 ; AB

A₁B₁ = AC A₁C₁ .

~ ΔA1B1C1 за

3. ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (30° + 40°) = 110°.

∠A1 = 180° – (∠B1 + ∠C1) = 180° – (40° + 110°) = 30°.

∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔABC ~ ΔA1B1C1 за першою ознакою.

13.5 Доведіть, що ΔMNK ∼ ΔM1N1K1, якщо:

1. ∠M = ∠M1; MN

M₁N₁ = 5 10 = 1 2 ; MK

M₁K₁ = 6 12 = 1 2 .

ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за двома сторонами і кутом між ними.

2. ∠M1 = 180° – (∠N1 + ∠K1) = 180° – (40° + 50°) = 90°.

∠M = ∠M1 = 90°;

∠N = ∠N1 = 50°.

ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за двома рівними кутами.

��. MN

M₁N₁ = 3 6 = 1 2 ; NK

N₁K₁ = 4 8 = 1 2 ; MK

M₁K₁ = 5 10 = 1 2 .

ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за трьома сторонами.

13.6 Прямі AB і CD перетинаються

ΔAOC ~ ΔBOD за двома кутами:

∠AOC = ∠BOD як вертикальні; ∠ACO = ∠BDO як внутрішні різносторонні

CD. 13.7 Прямі

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠A — спільний;

AB AP = 3 1 , CA AL = 3 1 1 за умовою.

13.9 На

= 2 3KL, KB = 2 3KN. Доведіть, що ΔKAB ∼ ΔKLN.

ΔKAB ~ ΔKLN за двома сторонами і кутом між ними:

∠K — спільний;

KL : AK = KL : 2 3 KL = 3 : 2;

KN : KB = KN : 2 3 KN = 3 : 2.

13.10 Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо:

1. AB : BC : CA = 3 : 4 : 6;

A1B1 : B1C1 : C1A1 = 6 : 8 : 11.

AB : BC : CA ≠ A1B1 : B1C1 : C1A1.

Відповідь: ні.

2. ∠A1 = x, ∠B1 = 2x, ∠C1 = 3x.

x + 2x + 3x = 180;

6x = 180;

x = 30.

∠A1 = 30°;

∠B1 = 2 ⋅ 30° = 60°;

∠C1 = 3 ⋅ 30° = 90°.

∠A = ∠A1 = 30°,

∠B = ∠B1 = 60°.

ΔABC ~ ΔA1B1C1 за двома кутами.

Відповідь: так.

13.11 Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо:

1. A1B1 : B1C1 : C1A1 = 4 : 3 : 7.

AB : BC : CA = 4 : 3 : 7.

ΔABC ~ ΔA1B1C1 за трьома сторонами.

так.

2. ∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 4x.

Тоді: 2x + 3x + 4x = 180°; 9x = 180°

x = 20°.

Отже:

∠A = 2 ⋅ 20° = 40°;

∠B = 3 ⋅ 20° = 60°;

∠C = 4 ⋅ 20° = 80°. Трикутники —

13.12

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Мал. 1. ∠BAL = ∠LAB = 90°;

∠BCA = ∠KCL (як вертикальні).

Тому ΔBAC ~ ΔKCL (за двома кутами).

2. Мал. 2. KL = LP і NM = NF, тому

NM = LP NF .

Також маємо ∠L = ∠N = 40°;

ΔKLP ~ ΔMNF (за двома сторонами і кутом між ними).

3. Мал. 3. ∠CKL = ∠A;

∠C — спільний кут для ΔABC і ΔKLC.

Тому ΔABC ~ ΔKLC (за двома кутами).

13.13

∠BLK = ∠BCA, ∠B — спільний.

ΔABC ~ ΔKBL за двома кутами.

На мал. 2 ∠PMT = 180° − 110° = 70°.

∠PMT = ∠HKN, PM : MT = HK : KN.

ΔPMT ~ ΔHKN за двома сторонами

На мал. 3 ∠ABC = ∠FTC, ∠C — спільний.

ΔABC ~ ΔFTC за двома кутами.

13.14 O – точка перетину

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠DOC = ∠AOB як вертикальні, ∠CDO = ∠OBA як

AB = DO OB ;

OB = AB · DO CD = 10 · 4 5 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

13.16 O –

DO = 3 см, OB = 9 см.

точка

відрізки DO = 3 см, OB = 9 см.

Знайдіть AB, якщо DC = 2 см.

∠DOC = ∠AOB як вертикальні,

∠CDO = ∠OBA як внутрішні

Тоді ΔCOD ~ ΔAOB

MN : MP = 5 : 2,

тому AB : AC = 5 : 2.

Позначимо AB = 5x, AC = 2x.

Тоді 5x + 5x + 2x = 36; 12x = 36, x = 3.

AB = 5 · 3 = 15 (см); AC = 2 · 3 = 6 (см).

Відповідь: 15 см, 15 см, 6 см. 13.20 Дано

ΔABC = ΔMNP, AB BC = 1, MN NP = 1,

~ ΔMNP

MP MN = 1 2 , AC AB = 1 2 .

AC = x,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

тоді AB = BC = 2x. x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10.

AC = 10 см, AB = BC = 2 · 10 = 20 (см).

Відповідь: 10 см, 20 см, 20 см. 13.21

1. Трикутники

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Малюнок 1.

1. ∠NAM = ∠CBM (внутрішні

прямих AD і BC січною AB).

2. ∠NMA = ∠CMB (як вертикальні).

3. Тому ΔNAM ~ ΔCBM (за двома кутами).

4. ∠NDC = ∠NAM (відповідні, утворені

AB і CD січною ND).

5. ∠N — спільний для ΔNAM і ΔNDC.

6. ΔNAM ~ ΔNDC (за двома кутами).

7. Тоді ΔCBM ~ ΔNDC (за двома кутами).

Малюнок 2.

1. ∠KBC = ∠KAL; ∠K — спільний для ΔKBC; ΔKAL.

2. ΔKBC ~ ΔKAL (за двома кутами).

3. ∠CDL = ∠KAL; ∠L — спільний для ΔCDL і ΔKAL; ΔCDL ~ ΔKAL (за двома кутами).

4. Тому ΔCDL ~ ΔKBC.

Малюнок 3.

1. Використовуючи перші дві задачі, ΔAPL ~ ΔBPF ~ ΔDKL.

2. ∠FKC = ∠DKL (як вертикальні);

∠CFK = ∠FLD (внутрішні різносторонні).

Тому ΔDKL ~ ΔCKF.

13.23 На малюнку

BCA = ∠CAD

∠3 = 4 · 20° = 80°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

x + x + 20° + x − 20° = 180°

3x = 180°,

x = 60°.

∠1 = 60°,

∠2 = 60° + 20° = 80°,

∠3 = 60° − 20° = 40°.

Всі

трикутники?

Нехай

Тоді a + 3a + 2a = 180°, 6a

∠1 = 30°;

∠2 = 3 · 30° = 90°;

∠3 = 2 · 30° = 60°. У

2x. x + 2x = 90;

3x = 90; x = 30.

Отже, два інших кути 30° і 60°.

так.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔBOC ~ ΔDOA за двома кутами (∠BOC = ∠DOA як вертикальні, ∠CBO = ∠ODA як

внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD || BC і січній DB).

Середня лінія трапеції дорівнює: AD + BC 2 .

За умовою AD + BC 2 = 22 см,

AD + BC = 44 см.

Нехай AD = x см, тоді BC = (44 − x) см.

З подібності трикутників: DO

OB = DA CB . 7 4 = �� 44 �� ;

4x = 308 − 7x; 11x = 308; x = 28.

Отже, AD = 28 (см), BC = 44 − 28 = 16 (см).

Відповідь: 16 см і 28 см.

13.29

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔAKL ~ ΔABC (лема).

AK = BC KL .

Нехай AK = x см,

тоді AB = AK + KB = (x + 6) см. �� + 6

�� = 12 9 ;

9(x + 6) = 12x;

9x + 54 = 12x;

3x = 54;

x = 24.

AB = 24 + 6 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

13.33 Знайдіть

∠ACD = ∠ABN, тому що CD || BN). Із подібності трикутників випливає, що

сторони

AB AC = BN CD .

умовою: BN = 22 м, CD = 11 м, тому AB AC = BN CD = 22 11 = 2, тобто AB = 2AC.

AB = AC + BC = AC + 5. Прирівнюючи

2AC = AC + 5,

AC = 5 (м), тоді AB = 2 · 5=10 (м).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔABC ~ ΔBDC

CB = 9 + 16 20 = 25 20 = 5 4 ;

CD = 20 16 = 5 4 . 13.35

ΔABD ~ ΔCBA

AB CB = 2 1 ; BD BA = 4 2 = 2 1 13.36

��. MN MP = 4 7 .

Тоді і AB AC = 4 7 .

Нехай AB = BC = 4x, AC = 7x.

AB + BC + AC = 90 см; 4x + 4x + 7x = 90; 15x = 90; x = 6.

AB = BC = 4 · 6 = 24 (см), AC = 7 · 6 = 42 (см).

Відповідь: 24 см, 24 см, 42 см.

��. MN MP = 4 7

Тоді і AC AB = 4 7 .

Нехай AB = BC = 7x, AC = 4x.

AB + BC + AC = 90 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7x + 7x + 4x = 90; 18x = 90; x = 5.

AB = BC = 7 · 5 = 35 (см), AC = 4 · 5 = 20 (см).

Відповідь: 35 см, 35 см, 20 см. 13.37 Дано два рівнобедрених

два випадки.

1. MN : MP = 5 : 8, тоді AB : AC = 5 : 8.

AB = BC = 5x, AC = 8x

За умовою 5x + 5x + 8x = 126; 18x = 126; x = 7.

AB = BC = 5 · 7 = 35 (см);

AC = 8 · 7 = 56 (см).

Відповідь: 35 см, 35 см, 56 см.

2. MN : MP = 5 : 8, тоді AC : AB = 5 : 8.

AB = BC = 8x, AC = 5x.

За умовою 8x + 8x + 5x = 126, 21x = 126, x = 6.

AB = BC = 8 · 6 = 48 (см).

AC = 5 · 6 = 30 (см).

Відповідь: 48 см, 48 см, 30 см. 13.38 ΔABC ∼ ΔA1B1C1, CD і C1D1 –

що ΔADC ∼ ΔA1D1C1.

ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді ∠C = ∠C1. 1 2 ∠C = 1 2 ∠C1.

∠ACD = ∠A1C1D1, ∠A = ∠A1.

ΔADC ~ ΔA1D1C1 за двома кутами. 13.39 ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AM і A1M1 –

Доведіть, що ΔAMC ∼ ΔA1M1C1.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді ∠C = ∠C1.

A₁C₁ = BC B₁C₁ = 1 2 BC 1 2 B₁C₁ = MC M₁C₁ .

ΔAMC ~ ΔA1M1C1 за двома сторонами і кутом між ними.

13.40 На стороні BC трикутника ABC позначено точку F так, що ∠BAF = ∠C, BF = 4 см, AB = 6 см. Знайдіть BC.

ΔBAF ~ ΔBCA за двома кутами (∠B — спільний, ∠BAF = ∠BCA за умовою).

BC = AB AC ;

BC = AB · AB BF ; BC = 6 · 6 4 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

13.41 На стороні AC трикутника ABC позначено точку K так,

KC, якщо AB = 2 см, AK = 1 см.

ΔABC ~ ΔAKB за двома

AK = AC AB ; AC = AB² AK ; AC = 2² 1 = 4 (см).

KC = AC − AK = 4 − 1 = 3 (см).

3 см.

AB = a, AC = b.

Нехай AK = KL = LM = AM = x.

У ΔBKL: ∠BLK = 90° − ∠B.

У ΔABC: ∠C = 90° − ∠B.

Отже, ∠BLK = ∠C, тоді за

~ ΔLMC.

BK KL = LM MC ;

Знайдіть сторони паралелограма.

У паралелограмі ABCD, BK ⊥ AD, BP ⊥ CD.

BP : BK = 5 : 3.

За умовою 2(AB + BC) = 24.

AB + BC = 12.

Нехай AB = x см, тоді BC = (12 − x) см.

ΔABK ~ ΔCBP (∠A = ∠P).

BC = BK BP ; �� 12 �� = 3 5 ;

5x = 36 − 3x;

8x = 36; x = 4,5.

AB = 4,5 см; BC = 12 − 4,5 = 7,5 (см).

Відповідь: 4,5 см, 7,5 см.

13.44

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

паралелограмі ABCD BK ⊥ AD, BP ⊥ CD — висоти.

BK = 4 см, BP = 8 см.

ΔABK ~ ΔCBP за наслідком

Тоді AB BK = BC BP .

За умовою 2(AB + BC) = 30 см.

AB + BC = 15 см.

Якщо AB = x см, то BC = (15 − x) см. ��

4 = 15 − ��

8 ;

8x = 60 − 4x;

12x = 60;

x = 5.

AB = 5 (см),

BC = 15 − 5 = 10 (см).

Відповідь: 5 см, 10 см.

13.45 У трикутник ABC

BC, K ∈ AC.

ΔPBF ~ ΔKFC за

BFP

PF = KF KC ;

PF · KF = PB · KC; PF2 = 9 · 4; PF = 6 (см).

PK AC = BP AB;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AM = MD, DN =

PMBND = MB + BN + ND + MD = MB + AM + BN + NC = AB + BC = 2a (см).

2a см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

рівності прямокутних трикутників AMC і DKB (за гіпотенузою і гострим кутом)

випливає, що MC = KB. Довжини цих відрізків — це відстані між бісектрисами протилежних кутів прямокутника ABCD, тобто

Отже, сторони

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∆ABC (∠C = 90°) CM — медіана, CL — бісектриса.

Оскільки CM = MB = AM, то CM ≠ CL.

Отже, у ∆CML CL = ML.

Тоді ∠CML = ∠MCL = α.

∠CLB = 2α як зовнішній.

У ∆CAL ∠ACL = 45°, ∠A = ∠ACM = 45° − α.

У ∆ABC ∠B = 90° − ∠A = 90° − (45° − α) = 45° + α.

У ∆CLB ∠LCB + ∠CLB + ∠B = 180°;

45° + 2α + 45° + α = 180°;

3α = 90°;

α = 30°.

Тоді ∠A = 45° − 30° = 15°.

Відповідь: так, 15°.

1. k2 = 2 · 8 = 16; 16 = 42; k = 4

2. k2 = 27 · 3 = 81; 81 = 92; k = 9

1. k2 = 16 · 1 = 16;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

16 = 42; k = 4 дм.

2. k2 = 4 · 9 = 36; 36 = 62;

k = 6 см

14.6

CD2 = AD · DB; CD2 = 9 · 25; CD2 = 225;

CD = 15 см. (152 = 225)

14.7

CD2 = AB · BD; CD2 = 2 · 8;

CD2 = 16;

CD = 4 см. (4² = 16)

14.8

AC2 = AB · AD; AC2 = 16 · 4;

AC2 = 64; AC = 8 см.

14.9

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC2 = AB · BD;

BC2 = 25 · 9;

BC2 = 225;

BC = 15 см. 14.10

BC2 = AB · BD; 182 = AB · 9;

324 = AB · 9;

AB = 324 : 9;

AB = 36 см.

14.11

AC2 = AB · AD; 62 = 9 · AD; 36 = 9 · AD; AD = 36 : 9; AD = 4 см. 14.12

Нехай AD = 4,5 см, BD = 8 см. AB = AD + DB = 8 + 4,5 = 12,5 (см).

AC2 = AB · AD; AC2 = 12,5 · 4,5; AC2 = 56,25; AC = 7,5 (см).

BC2 = AB · BD;

BC2 = 12,5 · 8;

BC2 = 100;

BC = 10 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 7,5 см, 10 см.

14.13

– 18 см.

AB = 50 см,

AD = 18 см,

тоді BD = AB – AD = 50 – 18 = 32 см.

AC2 = AB · AD;

AC2 = 50 · 18;

AC2 = 900;

AC = 30 (см).

BC2 = AB · BD;

BC2 = 50 · 32;

BC2 = 1600;

BC = 40 (см).

Відповідь: 30 см, 40 см.

14.14

сторони,

Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, K — середина AC, KD ⊥ BC.

CD = 1 см, BD = 8 см.

KC2 = BC · CD; KC2 = (CD + BD) · CD; KC2 = 9 · 1;

KC2 = 9;

KC = 3 см.

AC = 2KC = 6 см; BC = 9 см.

PΔABC = AC + 2BC = 6 + 2 · 9 = 24 (см).

24 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ΔABC AB = BC, K — середина AC, KD ⊥ BC.

BD = 6 см, DC = 2 см.

BC = BD + DC = 6 + 2 = 8 (см).

KC2 = BC · DC;

KC2 = 8 · 2;

KC2 = 16; KC = 4 см.

AC = 2KC = 2 · 4 = 8 см.

PΔABC = AC + 2BC = 8 + 2 · 8 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

14.16

24 см.

Нехай AD = 9x, BD = 16x.

CD2 = AD · BD;

242 = (9x)2 · (16x)2; 576 = 144x2;

x2 = 576 : 144;

x2 = 4;

x = 2 (x > 0).

AD = 9 · 2 = 18 (см);

BD = 16 · 2 = 32 (см);

AB = 18 + 32 = 50 (см).

AC2 = AD · AB;

AC2 = 18 · 50; AC2 = 900;

AC = 30 см.

BC2 = AB · BD;

BC2 = 50 · 32;

BC2 = 1600;

BC = 40 см.

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ΔABC (∠C = 90°) CD ⊥ AB, BD = 16 см.

AD : CD = 3 : 4. Нехай AD = 3x см, CD = 4x см.

CD2 = AD · BD; (4x)2 = 3x · 16; 16x2 = 48x; x = 3 (x > 0, x ≠ 0).

CD = 4 · 3 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

14.18 Коло, вписане в

Знайдіть радіус кола.

OK ⊥ BC як радіус,

∠BOC = 90° за властивістю

Тоді OK2 = BK · KC,

OK2 = 1 · 4;

OK = 2 см.

Відповідь: 2 см. 14.19

перпендикулярна

У трапеції ABCD AD || BC, AD = 10 см, BC = 8 см; AC ⊥ CD, CK ⊥ AD — висота, тоді:

KD = AD – BC 2 = 10 – 8 2 = 1 (см),

AK = AD – KD = 10 – 1 = 9 (см).

CK2 = AK ⋅ KD;

CK2 = 9 ⋅ 1;

CK2 = 9;

CK = 3 (см).

Відповідь: 3 см.

14.20 Знайдіть

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У трапеції ABCD, де AD || BC, AB = CD, AD = 13 см, BC = 5 см, AC ⊥ CD, CK ⊥ AD —

висота, тоді:

KD = AD – BC 2 = 13 – 5 2 = 8 2 = 4 (см),

AK = AD – KD = 13 – 4 = 9 (см).

CK2 = AK ⋅ KD;

CK2 = 9 ⋅ 4;

CK2 = 36;

CK = 6 (см)

Відповідь: 6 см.

14.21

∠OCK = 1 2 ∠C;

∠ODK = 1 2 ∠D;

∠OCK + ∠ODK= 1 2 ∠C + 1 2 ∠

Тоді ΔCOD — прямокутний,

COD = 90°.

OK ⊥ CD — радіус, проведений

OK2 = CK ⋅ KD;

OK2 = 4 ⋅ 9;

OK2 = 36;

OK = 6 см.

h = 2OK = 2 ⋅ 6 = 12 (см).

12 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

OP ⊥ AB, OK ⊥ CD — радіуси, проведені в точки дотику.

BP = 2 см, AP = 8 см, CK = 4 см.

∠OBA = 1 2 ∠B;

∠OAB = 1 2 ∠A;

∠OBA + ∠OAB= 1 2 ∠B + 1 2 ∠A = 1 2 (∠B + ∠A) = 1 2 ⋅ 180° = 90°.

ΔAOB — прямокутний (∠AOB = 90°.).

OP2 = AP ⋅ PB;

OP2 = 2 ⋅ 8;

OP2 = 16;

OP = 4 см.

OK = OP як радіуси.

OK2 = CK ⋅ KD;

42 = 4 ⋅ KD;

KD = 16 : 4; KD = 4 см.

AB = AP + PB = 2 + 8 = 10 (см),

CD = CK + KD = 4 + 4 = 8 (см).

Оскільки в трапецію вписано коло,

Тоді:

PABCD = 2(AB + CD) = 2(10 + 8) = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

14.23 Бісектриса

У ΔABC (∠C = 90°), BD — бісектриса;

∠CBD=18°.

Тоді:

∠B = 2∠CBD = 2 ⋅ 18° = 36°.

∠A = 90° − ∠B = 90° − 36° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

14.24

Чи

ці трикутники?

Так. Трикутники

У ΔABC ∠C = 180° − (∠A + ∠B),

∠A = 180° − (∠B + ∠C).

У ΔKLM ∠M = 18° − (∠K + ∠L),

∠K = 180° − (∠L + ∠M). За умовою:

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD; O — точка перетину діагоналей ∠BAC = ∠CAD.

Позначимо для зручності ∠BAC = ∠CAD = α.

Тоді:

∠A = 2α.

∠B = 180° − ∠A = 180° − 2α.

∠BCA = ∠CAD = α, як внутрішні різносторонні

AC.

У ΔCBO ∠CBO = ∠BCO = α, кути при

∠BOC = 180° − (∠CBO + ∠BCO) = 180° − 2α. Отже, ∠ABC=∠BOC.

– 20 м

кг

14.27 (Олімпіада Нью-Йорка, 1976 р.) Висоти гострокутного трикутника ABC

перетинаються в точці O, а на відрізках OB і OC позначено точки B₁ і C₁,

∠AB1C = ∠AC1B = 90°. Доведіть, що AB1 = AC1

У ΔAB1C, AB1 2 = AN ⋅ AC.

У ΔAC1B, C1A2 = AK ⋅ AB.

ΔABN ~ ΔACK за двома кутами (∠A — спільний, ∠CKA = ∠BNA = 90°).

Тоді: AC AB = AK AN ,

звідки AC ⋅ AN = AB ⋅ AK.

Отже, AB1 2 = AC12,

а оскільки AB1 > 0 і AC1 > 0, то AB1 = AC1

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

15.1 BP –

Пропорціями є лише:

��. BC

AB = CP AP ;

��. AP CP = BA BC ;

��.

AB AP = BC PC .

15.2 BP – бісектриса трикутника ABC. AP : PC = 1 : 2, AB = 3 см.

AP : PC = 1 : 2, тоді AB : BC = 1 : 2,

3 : BC =1 : 2,

BC = 3 ⋅ 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

15.3 BP – бісектриса трикутника ABC. AB : BC = 1 : 2, AP = 5 см. Знайдіть PC.

AB : BC = 1 : 2, тоді AP : PC = 1 : 2,

5 : PC = 1 : 2,

PC = 5 ⋅ 2 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

15.4 BD – бісектриса трикутника ABC, AD = 3 см, DC = 9 см. Знайдіть відношення

�� .

AB BC = AD DC = 3 9 = 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

15.5 MA –

�� .

трикутника MNL, ML = 4 см, MN = 16 см. Знайдіть

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Згідно властивості бісектриси трикутника: LA AN = ML MN = 4 16 = 1 4 .

Відповідь: 1 4 .

15.6 MD –

трикутника KMP, KM = 8 см, MP = 6 см. Менший

KM : MP = KD : DP.

Оскільки MP < KM, то DP < KD, тоді маємо: 8 : 6 = KD : 3;

KD = 8 ⋅ 3 6 = 24 6 = 4 (см).

KP = KD + DP = 4 + 3 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

15.7 У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 12 см.

BK ділить сторону AC, дорівнює 6 см.

Оскільки BC > AB, то KC > AK, тоді KC = 6 см.

AK = BC KC ;

AK = AB ⋅ KC

BC ;

AK = 6 ⋅ 6 12 = 3 (см).

AC = AK + KC = 3 + 6 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

15.8 AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 15 см, AC = 12 см, BC = 18 см. Знайдіть BL і

LC.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай CL = x, тоді BL = (18 – x) см.

AC CL = AB BL ; 12

�� = 15 18 – �� ; 216 – 12x = 15x;

27x = 216; x = 8.

Отже, CL = 8 см, BL = 18 – 8 = 10 (см).

Відповідь: 8 см, 10 см. 15.9 Бісектриса трикутника

BL — бісектриса ΔABC. Відомо: AB = 8 см, BC = 6 см.

Оскільки AB > BC, то AL > LC.

Нехай LC = x см, тоді: AL = (x + 1) см.

AB AL = BC LC ; 8

�� + 1 = 6 �� ;

8x = 6x + 6;

2x = 6;

x = 3.

Отже, LC = 3 см, AL = 3 + 1 = 4 (см).

PΔABC = AB + BC + AC = 8 + 6 + (3 + 4) = 21 (см).

Відповідь: 21 см.

15.10 Основа рівнобедреного

трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD — бісектриса

AC = 18 см, DC = 12 см.

Нехай BD = x см, тоді AB = (x + 12) см. За властивістю

AB BD = AC CD ; �� + 12 �� = 18 12 ;

12x + 144 = 18x; 18x − 12x = 144; 6x = 144, x = 24.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Отже, BD = 24 см, AB = BC = 24 + 12 = 36 (см).

PΔABC = 2AB + AC = 2 ⋅ 36 + 18 = 90 (см).

Відповідь: 90 см.

15.11 У рівнобедреному трикутнику

бісектриса

трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD — бісектриса.

DC : BD = 2 : 5.

Нехай AC = x см, тоді AB = (x + 9) см за умовою.

AC = BD DC ;

�� + 9 �� = 5 2 ;

5x = 2x + 18;

3x = 18, x = 6.

AC = 6 см,

AB = 6 + 9 = 15 (см).

PΔABC = 2AB + AC = 2 ⋅ 15 + 6 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

15.12

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

15(24 − x) = 21x,

360 − 15x = 21x,

36x = 360, x = 10.

Отже, AO = 10 (см), CO = 24 − 10 = 14 (см).

Відповідь: 10 см, 14 см.

15.13 У трикутник ABC вписано ромб CKLM так, що кут C у них спільний, K ∈ AC, L ∈ AB, M ∈ BC. Знайдіть довжини відрізків AL і LB, якщо AC = 18 см, BC = 12 см, AB = 20 см.

Діагональ CL ромба, вписаного в ΔABC, є бісектрисою кута C.

Тоді AC : AL = BC : LB.

AB = 20 см,

нехай AL = x см, тоді BL = (20 − x) см.

Таким чином, 18 �� = 12 20 �� ;

360 18x = 12x; 30x = 360, x = 12.

Отже, AL = 12 см, LB = 20 − 12 = 8 (см).

Відповідь: 12 см, 8 см. 15.14 Сторони

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

За умовою: CH2 = AH ⋅ BH,

звідки AH CH = CH BH .

Тоді ΔCHB ~ ΔAHC за двома

У подібних трикутниках

∠HAC = ∠HCB,

∠HCA = ∠HBC.

Але у ΔAHC (∠AHC = 90°)

∠HAC+∠HCA=90°.

Отже, ∠C = ∠HCA + ∠HBC = 90°.

Отже, ΔABC — прямокутний (∠C=90°).

15.17 Бригаді з ремонту квартири

∠A + ∠B = 180°.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Нехай ∠B = x, тоді ∠A = x + 20.

x + x + 20 = 180;

2x = 160;

x = 80.

∠B = 80°, (Р)

∠A = 80° + 20° = 100°. (Л)

2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 3x.

x + 3x = 180;

4x = 180;

x = 45.

∠A = 45°, (К)

∠B = 3 ⋅ 45° = 135°. (В)

3. Нехай ∠A = 7x, тоді ∠B = 5x

7x + 5x = 180;

12x = 180;

x = 15.

∠A = 7 ⋅ 15° = 105°, (Ь)

∠B = 5 ⋅ 15° = 75°. (О) 45° 75° 80° 75° 100° 105° 75° 135°

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

є лише:

1. TA2 = TB · BC;

2. TA2 = TM · TN.

MA ⋅ AN = KA ⋅ AL,

AN = KA ⋅ AL MA ; AN = 6 ⋅ 3 4 = 4,5 (см).

Відповідь: 4,5 см.

16.5 SA –

SA2 = SB ⋅ SC;

SC = SA2 : SB.

SC = 62 : 4 = 36 : 4 = 9 (см).

BC = SC – SB = 9 – 4 = 5 (см).

Відповідь: 9 см, 5 см.

16.6 MP – відрізок дотичної

MP2 = MB ⋅ MC;

MB = MP2 : MC; MB = 42 : 8 = 16 : 8 = 2 (см).

BC = MC – MB = 8 – 2 = 6 (см). Відповідь: 2 см, 6 см.

16.7

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AB = AT + TB,

TB = AB – AT = 16 – 2 = 14 (см).

AT ⋅ TB = CT ⋅ TD;

TD = AT ⋅ TB CT ; TD = 2 ⋅ 14 1 = 28 (см).

CD = CT + TD = 1 + 28 = 29 (см).

Відповідь: 29 см.

16.8

13 см,

MN.

CD = CA + AD,

AD = CD – CA = 13 – 4 = 9 (см).

CA ⋅ AD = MA ⋅ AN, AN = CA ⋅ AD MA = 4 ⋅ 9 2 = 18 (см).

MN = MA + AN = 2 + 18 = 20 (см). Відповідь: 20 см.

16.9

SC . SD = 4 ⋅ 16 2 = 32 (см).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

R = 1 2 CD = 1 2 (SD−SC) = 1 2 (32 2) = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

16.10

SA ⋅ SB = SC ⋅ SD.

Звідки:

SD = SA ⋅ SB SC .

SD = 4 ⋅ 9 3 = 12 (см).

CD = SD – SC = 12 – 3 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

AB = 1 м, AB1 = 6 м.

~ ΔAB1C1 як

Тоді:

C₁B₁

CB = AB₁ AB ;

C₁B₁ = CB ⋅ AB₁ AB = 1,5 ⋅ 6

D. SA = 4 см, SB = 9 см, SC = 3

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді:

C₁B₁

CB = AB₁ AB ; CB = C₁B₁ ⋅ AB AB₁ = 8 ⋅ 2,5 10 = 2 (м).

Відповідь: 2 м.

Знайдіть AC, якщо AB = 30 м, A1B1 = 5 см, A1C1 = 7 см. ΔABC ~ ΔA1B1C1 за

42 м.

AB.

теоремою

умовою: AE : BE = 1 : 3. Нехай AE = x, BE = 3x, тоді: x ⋅ 3x = (20−5) ⋅ 5;

3x2 = 75;

x2 = 25;

x = 5.

Отже, AE = 5 см, BE = 3 ⋅ 5 = 15 (см).

AB = AE + BE = 5 + 15 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 16.15

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

MB, CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4. Знайдіть AB.

За умовою CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4.

DM : 16 = 1 : 4,

DM = 16 4 = 4 (см).

AM = MB,

тому: AM ⋅ MB = CM ⋅ MD;

AM2 = 16 ⋅ 4;

AM2 = 64;

AM = 8 см.

AB = 2AM =16 (см).

Відповідь: 16 см.

16.16

AB2 = AO2 − OC2;

32 = 52 OC2;

OC2 = 25 – 9;

OC2 = 16;

OC = 4 см;

CD = 2OC = 2 ⋅ 4 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

16.17

AB2 = AO2 OC2;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

82 = 102 OC2; OC2 = 100 – 64; OC2 = 36; OC = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

16.18 Діаметр

M. AM = 2 см, CM = 4 см.

1. За властивістю, діаметр кола,

2. DM = CM = 4 см.

3. За властивістю хорд AM ⋅ MB = CM ⋅ MD; 2 ⋅ MB = 4 ⋅ 4; MB = 8 (см).

4. Радіус кола

�� = AB 2 = 2 + 8 2 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

16.19 Діаметр кола MN і хорда AB –

PB = 12 см, NP = 18 см. Знайдіть

AP ⋅ PB = MP ⋅ PN. Оскільки MN ⊥ AB, то P — середина AB, AP = PB = 12 см.

12 ⋅ 12 = MP ⋅ 18; 144 = MP ⋅ 18; MP = 144 : 18; MP = 8 см.

MN = MP + PN = 8 + 18 = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

16.20 Перпендикуляр,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Продовжимо радіус AO до діаметра AK, а перпендикуляр BC до хорди BD.

Оскільки AK ⊥ BD, то BC = CD = 24 см.

За умовою AC : OC = 8 : 5.

Тоді AC = 8x, OC = 5x, OK = AO = 8x + 5x = 13x.

KC ⋅ AC = BC ⋅ CD; 8x ⋅ 18x = 242; 144x2 = 576; x2 = 4; x = 2.

AO = KO = 13 ⋅ 2 = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

16.21 Знайдіть бісектрису AL трикутника ABC, якщо AC = 15 см, AB = 12 см, BC = 18 см.

Скористаємось формулою, доведеною

AL2 = AB ⋅ AC – BL ⋅ CL.

Нехай CL = x см, тоді BL = (18 − x) см. За властивістю бісектриси: AC CL = AB BL ; 15 �� = 12 18 �� ; 15 (18 − x) = 12x. 270 − 15x = 12x; 27x = 270; x = 10.

Отже, CL = 10 см, BL = 18 − 10 = 8 (см).

AL2 = 12 ⋅ 15 – 8 ⋅ 10 = 180 – 80 = 100; AL = 10 (см).

Відповідь: 10 см. 16.22

кута.

План побудови:

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

PM ML = PN NL ;

NL = ML ⋅ PN PM = 5 ⋅ 6 10 = 3 (см).

Відповідь: 3 см.

16.26 Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 6.

трикутника, периметр якого дорівнює 52 см.

Сторони подібних трикутників пропорційні.

Отже, сторони подібного трикутника теж відносяться як 3 : 4 : 6.

Позначимо їх 3x, 4x, 6x.

Тоді 3x + 4x + 6x = 52;

13x = 52; x = 4.

Сторони трикутника:

3 ⋅ 4 = 12 (см),

4 ⋅ 4 = 16 (см),

6 ⋅ 4 = 24 (см).

Відповідь: 12 см, 16 см, 24 см. 16.27 Основи рівнобічної

1. гострим; 2. прямим?

∠

Отже, ∠B − ∠A > 0. Таким чином, ∠ABM

90° + ∠B

AC = 9 (см)

Відповідь: Б. 9 см

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. ΔABC ∼ ΔDEF; AB : DE = 2 : 3. Знайдіть відношення EF : BC.

ΔABC ∼ ΔDEF, тому AB DE = BC EF ; BC

EF = 2 3 ; EF

BC = 3 2 .

Відповідь: Г. 3 : 2

3. За яких з наведених умов ΔABC ∼ ΔA1B1C1?

Трикутники подібні за умови В.

Відповідь: В. ∠B = ∠B1, ∠C = 47°, ∠C1 = 47°.

4. CL – бісектриса трикутника ABC. AC = 6 см, BC = 9 см. Більший з відрізків, на

бісектриса CL ділить сторону AB,

��. AС BC = AL LB

2. Оскільки AC < BC, то AL < LB.

За умовою AL = 3 (см).

3 см.

AB.

��. Маємо 6 9 = 3 LB ; 6LB = 27; LB = 4,5 (см).

4. Тоді AB = 3 + 4,5 = 7,5 (см).

Відповідь: A. 7,5 см.

трикутника

1. В ∆ABC : ∠C = 90°; BC = 12 см; CK —

2. За властивістю катета маємо BC2 = AB · KB; 122 = 8 · AB; AB = 18 (см).

Відповідь: Б. 18 см.

6. Хорда AB завдовжки 12 см

хорди CD.

трикутника; KB = 8 см.

хорду CD у точці K, AK = 2 см, CK = 4 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AK ∙ KB = CK ∙ KD

KB = AB – AK = 12 – 2 = 10 см.

KD = AK ∙ KB CK = 2 ∙ 10 4 = �� см.

CD = CK + KD = 4 + 5 = 9 см.

Відповідь: A. 9 см.

7. Сторони

трикутника,

72 см.

1. Оскільки сторони трикутника відносяться

трикутника відносяться, як 3 : 4 : 5.

2. Позначимо ці сторони як 3x см, 4x см і 5x см. Маємо 4x + 5x = 72; 9x = 72; x = 8 (см).

3. Найменша сторона дорівнює 3 ⋅ 8 = 24 (см).

Відповідь: Г. 24 см.

8. ABCD – трапеція, AB і CD – її основи,

AO = 8 см, OC = 6 см. Знайдіть AB.

1. Позначимо DC = x см, тоді AB = x + 4 (см).

2. ∠AOB = ∠COD як вертикальні;

∠ABD = ∠BDC як

ΔAOB ~ ΔCOD за двома кутами, тоді AO CO = AB CD ;

8 6 = �� + 4 �� ;

8x = 6x + 24;

2x = 24;

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

x = 12 (см).

3. Тоді AB = 12 + 4 = 16 (см).

Відповідь: Б. 16 см.

9. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC. BC = 9 см, KL = 6 см, KB = 4 см. Знайдіть довжину сторони AB.

1. KL || BC, тому ∠AKL = ∠ABC (відповідні кути).

2. ∆AKL ~ ∆ABC (за двома кутами), тому

AB = KL BC .

3. Позначимо AK = x см, тоді ��

�� + 4 = 6 9 ;

9x = 6x + 24; 3x = 24; x = 8 (см).

4. Тому AB = 8 + 4 = 12 (см).

Відповідь: А. 12 см.

10. Периметр паралелограма

сторону паралелограма.

30 см,

1. PABCD = 30 см; 2(AB + AD) = 30; AB + AD = 15.

2. Позначимо AB = x см, тоді AD = 15 – x (см).

3. ∆ABM ~ ∆ADN (за двома кутами).

Тоді AB AD = BM DN . ��. �� 15 – �� = 4 6 ; 6x = 60 – 4x; 10x = 60; x = 6 (см).

5. Отже, AB = 6 см, AD = 15 – 6 = 9 (см).

Б. 9 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Оскільки ∠ABD = 90°, то за

BK2 = AK · KD; 62 = 3 · KD; KD = 12 (см).

2. MD = AK = 3 см.

3. BC = KM = KD – MD = 12 – 3 = 9 (см).

Відповідь: Б. 9 см.

12. У трикутнику,

1. ∆OKB ~ ∆OLB (за катетом і гіпотенузою),

тому ∠KBO = ∠LBO.

2. BO — бісектриса ∆ABC.

3. Позначимо AO = x см, тоді OC = 15 – x см.

4. За властивістю бісектриси AB AO = BC OC; 8 �� = 12 15 – �� ; 120 – 8x = 12x; 20x = 120; x = 6 (см).

5. Отже, AO = 6 см; OC = 15 – 6 = 9 см.

Відповідь: A. 6 см і 9 см.

13. У △ ABC: ∠C = 90∘ , CK –

(A– Γ).

трикутника, KB =9 см, AK ∶ CK =4 ∶ 3.

ABC(1–3) та їхніми

2 = �� ⋅ ��, �� 2 = �� ⋅ �� ,

�� 2 = �� ⋅ �� .

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

умови �� : �� =4:3 ⇒ �� = 4 3 �� . Тоді �� 2 = �� ⋅ �� = 4 3 �� ⋅ 9 ⇒ �� = 12 см, �� = 4 3 ⋅ 12 = 16 см, �� = �� + �� = 16 +9= 25 см. Далі �� 2 = �� ⋅ �� = 16 ⋅ 25 = 400 ⇒ �� = 20 см, �� 2 = �� ⋅ �� =9 ⋅ 25 = 225 ⇒ �� = 15 см. Відповідь: 1 —

1. ΔABC ∼ ΔLMN, AB LM = 3. Знайдіть

∆ABC ~ ∆LMN; AB LM = AC LN ; AC LN = 3.

Відповідь: AC LN = 3.

2. Доведіть, що ΔABC ∼ ΔA1B1C1, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A1B1 = 6 см, B1C1 = 8 см, A1C1 = 10 см.

Оскільки 3 6 = 4 8 = 5 10 , то AB A₁B₁

Тому ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (за трьома сторонами).

3. Дано: KL ∥ MN, OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см. Знайдіть KM. OK PL = KM LN ; 2 3 = KM 6 ; 3 · KM = 12; KM = 4 (см). 4.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ∆ABC — прямокутний; AB — гіпотенуза; CD — висота трикутника; BD = 4 см; AB = 25 см.

2. За властивістю маємо:

BC2 = AB · BD;

BC2 = 25 · 4 = 100, тому BC = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

5. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Менший

бісектриса AL ділить сторону BC, дорівнює 4 см.

1. За властивістю бісектриси AB AC = BL LC .

2. Оскільки AB < AC, то BL < LC.

За умовою BL = 4 (см).

��. 8 10 = 4 LC ; 8 · LC = 40; LC = 5 (см).

4. Тоді BC = 4 + 5 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

6. Хорда CD завдовжки 9 см

AM ∙ MB = DM ∙ MC DM = DC – MC = 9 – 3 = 6 см

BC.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

�� = �� ∙ �� = 6 ∙ 3 9 =2 см

AB = AM + MB = 9 + 2 = 11 см.

Відповідь: 11 см.

7. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7.

1. Оскільки сторони трикутника

трикутника відносяться так само.

2. Позначимо ці сторони 5x см; 6x см і 7x см. За умовою: 5x + 7x = 24; 12x = 24; x = 2 см.

3. Сторони трикутника дорівнюють:

5 · 2 = 10 (см)

6 · 2 = 12 (см)

7 · 2 = 14 (см)

Відповідь: 10 см, 12 см, 14 см.

8. O – точка перетину

трапеції ABCD (AB ∥ CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Знайдіть

1. Позначимо AB = x (см), тоді CD = 20 – x (см).

2. За задачею №13.1, маємо

тоді AO CO = AB CD ;

6 4 = �� 15 – �� ;

120 – 6x = 4x;

120 = 10x; x = 12 (см).

Отже, AB = 12 (см), CD = 20 – 12 = 8 (см).

Відповідь: 12 см; 8 см.

BK —

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

��. AK = AD – BC 2 = 10 – 6 2 = 4 2 = 2 (см).

3. Тоді KD = 10 – 2 = 8 (см).

4. Оскільки ∠ABD = 90° (за умовою), то BK —

проведена до гіпотенузи.

За властивістю висоти маємо:

BK2 = AK · KD; BK2 = 2 · 8 = 16;

Тому BK = 4 см.

Відповідь: 4 см.

10. У двох рівнобедрених трикутниках

ними).

2. P∆ABC = 56 см.

Сторони трикутника A1B1C1 відносяться як 2 : 3.

Оскільки ∆ABC ~ ∆A1B1C1, то

3. Необхідно розглянути два випадки.

І випадок.

AB : AC = 2 : 3.

Тоді позначимо AB = BC = 2x (см), AC = 3x (см).

Маємо 2x + 2x + 3x = 56; 7x = 56; x = 8 (см).

Тоді AB = BC = 2 · 8 = 16 (см), AC = 3 · 8 = 24 (см).

ІІ випадок.

AC : BC = 2 : 3.

Тоді позначимо AC = 2x (см), AB = BC = 3x (см).

Маємо 2x + 3x + 3x = 56; 8x = 56; x = 7 (см).

Тоді AC = 2 · 7 = 14 (см)

AB = BC = 3 · 7 = 21 (см).

Відповідь: 16 см; 16 см; 24 см або 14 см; 21 см; 21 см.

AD = 10 см; BC = 6 см.

як 2 : 3.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AK = 4

1. ∆ABC ~ ∆AKB (за двома кутами).

��. Тому AB AC = AK AB ; 8 AC = 4 8 ;

4 · AC = 64; AC = 16 (см).

3. Тоді KC = 16 – 4 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

1. На малюнку MN ∥ KL.

1. OM : ON = 2 : 3.

MK : NL.

2. OL : ON = 7 : 5. Знайдіть OK : OM.

1. MK : NL = 2 : 3; 2. OK : OM = 7 : 5.

2. Паралельні прямі

ON2 = 36; ON = 6(ON > 0). Відповідь: 6. 3.

узагальненою теоремою Фалеса:

BD = OA

малюнку AE : EC = 2 : 1, BD : DC = 3 : 2.

Проведемо пряму EN || AD.

AE : EC = 2 : 1 за умовою,

DN : NC = 2 : 1.

BD : DC = 3 : 2;

BD : DN = 3 : (22 3) = 9 : 4.

Тоді: BK : KE = 9 : 4.

Відповідь: 9 : 4.

5. ΔABC ∼ ΔKLM.

AB AC = KL KM ;

BC AC = LM KM .

BK : KE.

6. ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 8 см, BC = 6 см, A1B1 = 12 см, A1C1 = 18

ΔABC ~ ΔA1B1C1.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

A₁B₁

AB = 12 8 = 3 2 .

B₁C₁

BC = 3 2 ;

B₁C₁ 6 = 3 2 ;

B₁C₁ = 6 ⋅ 3 2 = 9 (см).

A₁C₁

AC = 3 2 ; 18

AC = 3 2 ;

AC = 18 ⋅ 2 3 = 12 (см).

Відповідь: 9 см, 12 см.

7. Сторони трикутника відносяться як 2 : 5 : 6.

даному, якщо:

1. його середня за розміром сторона

Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1.

Оскільки за умовою AB : BC : CA = 2 : 5 : 6,

то і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 2 : 5 : 6.

Позначимо A1B1 = 2x,

B1C1 = 5x,

C1A1 = 6x

1. За умовою B1C1 = 20 см; 5x = 20, x = 4.

A1B1 = 2 ⋅ 4 = 8 (см), C1A1 = 6 ⋅ 4 = 24 (см).

PΔA₁B₁C₁ = 8 + 24 + 20 = 52 (см).

Відповідь: 52 см.

2. За умовою A1B1 + C1A1 = 40 см. 2x + 6x = 40, 8x = 40, x = 5.

A1B1 = 2 ⋅ 5 = 10 (см),

B1C1 = 5 ⋅ 5 = 25 (см),

C1A1 = 6 ⋅ 5 = 30 (см).

PΔA₁B₁C₁ = 10 + 25 + 30 = 65 (см).

Відповідь: 65 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді MN — середня лінія, MN = 1 2 AC.

У трикутниках ABC і MBN

∠B — спільний,

∠BMN = ∠BAC,

∠BNM = ∠BCA як відповідні (MN||AC).

MB = 1 2AB,

NB = 1 2BC,

MN = 1 2 AC.

Отже, ΔABC ~ ΔMBN за

пропорційні.

9. За яких

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді BC AD = 2 3 , звідки

AD = 3BC 2 = 3 ⋅ 8 2 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

13. У трикутниках KLM і K1L1M1 ∠K = ∠K1,

сторони трикутника KLM, що

K, у 2,5 раза більші за сторони, що утворюють кут K1.

LM, якщо L1M1 = 4 см.

ΔKLM ~ ΔK1L1M1 за двома сторонами і кутом між ними: ∠K = ∠K1, KL

KL₁ = KM KM₁ = 2,5 1 = 5 2 . LM

L₁M₁ = 5 2 ;

LM = 5L₁M₁ 2 = 5 ⋅ 4 2 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

14. ABCD – трапеція, AD ∥ BC, ∠BAC = ∠ADC. 1. Знайдіть подібні трикутники та

2. Доведіть, що AC2 = AD · BC.

1. У трикутниках ACB і DAC ∠BAC = ∠ADC за умовою, ∠BCA = ∠CAD як внутрішні

BC AC = AC AD ; AC2 = BC ⋅ AD.

сторонах

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔABC ~ ΔBKC за двома

Значить, BC AC = KC BC ;

BC2 = AC ⋅ KC;

BC2 = (16 + 9) ⋅ 9;

BC2 = 25 ⋅ 9;

BC = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

17. У трикутнику ABC через точку N, що

сторони AB і AC відповідно

що MN · NK = BM · CK.

∠BNM = ∠BCA як відповідні при

∠BMN = ∠A як відповідні (MN || AC, AB — січна),

∠A = ∠NKC як відповідні (NK || AB, AC — січна), тоді ∠BMN = ∠NKC.

ΔMBN ~ ΔKNC за двома кутами.

Звідки MN KC = BM NK , MN ⋅ NK = BM ⋅ KC.

18. ΔABC ∼ ΔA1B1C1, точки I і I

Доведіть, що ΔAIB ∼ ΔA1I1B1.

1. Оскільки ΔABC ~ ΔA1B1C1, то ∠CAB = ∠C1A1B1 і ∠CBA = ∠C1B1A1.

2. ∠IAB = ∠I1A1B1 (як половини рівних

∠IBA = ∠I1B1A1 (аналогічно).

3. ΔAIB ~ ΔA1I1B1 (за

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

LM || KN, отже, LM || AC.

Пряма LM, паралельна стороні AC, відтинає

ΔABC подібний йому ΔLBM.

Проведемо BS ⊥ AC — висоту ΔABC, тоді BP — висота ΔLBM.

LPSK — прямокутник, PS = LK = 10 см.

Нехай BS = x см, тоді BP = (x − 10) см.

Отже, ΔABC ~ ΔLBM, тоді

LM = BS BP ; 24

16 = �� 10 ;

24x – 240 = 16x;

24x − 16x = 240;

8x = 240; x = 30.

Отже, BS = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

20. BD і AE – висоти гострокутного

ΔAEC ~ ΔBDC за гострим кутом,

звідки

EC = BC AC ,

DC ⋅ AC = EC ⋅ BC.

AC2 = AD ⋅

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC2 = 1 ⋅ (1 + 8);

AC2 = 9; AC = 3 (см).

Відповідь: 3 см.

23.

У ΔABC (∠C = 90°) CD ⊥ AB;

CD = 24 см, AD = 18 см.

CD2 = AD ⋅ DB; 242 = 18 ⋅ DB; 576 = 18 ⋅ DB; DB = 576 : 18; DB = 32 см.

AB = AD + DB = 18 + 32 = 50 (см).

AC2 = AD ⋅ AB = 18 ⋅ 50 = 900; AC = 30 см.

BC2 = DB ⋅ AB = 32 ⋅ 50 = 1600; AC = 40 см.

Відповідь: 32 см, 30 см, 40 см.

24. BM – бісектриса рівнобедреного

KC = 9 см, MK = 12 см.

У ΔABC AB = BC.

BM — бісектриса, проведена до основи, значить, BM — висота.

MK ⊥ BC, тоді:

MK2 = BK ⋅ KC; 122 = BK ⋅ 9,

звідки BK =144 : 9 = 16 (см).

BC = BK + KC = 16 + 9 = 25 (см).

BM2 = BK ⋅ BC; BM2 = 16 ⋅ 25; BM2 = 400;

BM = 20 см.

MC2 = KC ⋅ BC; MC2 = 9 ⋅ 25; MC2 = 225; MC = 15 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC = 2MC = 2 ⋅ 15 = 30 (см).

PΔABC = AC + 2BC = 30 + 2 ⋅ 25 = 30 + 50 = 80 (см).

Відповідь: 20 см, 80 см. 25. Перпендикуляр,

12 см.

BM — висота, опущена на гіпотенузу AC

AM : MC = 9 : 16,

BM = 12 см.

Нехай AM = 9x, MC=16x

BM2 = AM ⋅ MC; 122 = 9x ⋅ 16x; 144 = 144x2 , x2=1, x=1.

Отже AM = 9 см, MC = 16 см.

AC = AM + MC = 9 + 16 = 25 см.

AB2 = MC ⋅ AC.

AB2 = 9 ⋅ 25 = 225;

AB = 15 см.

BC2 = MC ⋅ AC;

BC2 = 16 ⋅ 25 = 400; BC = 20 см.

PΔABC = 2(AB + BC) = 2 ⋅ (15 + 20) = 2 ⋅ 35 = 70 (см).

Відповідь: 70 см.

26. Коло,

ромба.

ABCD

AC ⊥ BD, BO = 12BD, CO = 12AC (за

OK ⊥ BC

BK = 3,6 см, KC = 6,4 см

ромба).

BC = BK + KC = 3,6 + 6,4 = 10 (см).

OB2 = BK ⋅ BC;

OB2 = 3,6 ⋅ 10 = 36;

OB = 6 см.

BD = 2OB = 2 ⋅ 6 = 12 (см)

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

OC2 = KC ⋅ BC

OC2 = 6,4 ⋅ 10 = 64,

OC = 8 см.

AC = 2 ⋅ OC = 2 ⋅ 8 = 16 (см).

Відповідь: 8 см, 16 см.

27. У рівнобічній трапеції

дорівнює 6 см, а середня

ABCD — трапеція, AD || BC, AC ⊥ BC.

CK ⊥ AD — висота, CK = 9 см.

Середня лінія трапеції

AD + BC

2 . AK = AD + BC 2 .

Тоді AK

AK = 9 см.

CK2 = AK ⋅ KD,

середній

KD = CK² AK = 36 9 = 4 (см).

AD = AK + KD = 9 + 4 = 13 (см).

AD + BC 2 = 9; 13 + BC = 18; BC = 5 (см).

Відповідь: 13 см, 5 см.

28. BM –

AM MC = AB BC = 1 3 .

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Згідно властивості бісектриси трикутника:

BC = AD DC ;

AB 20 = 3 5 ;

AB = 20 ⋅ 3 5 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

30.

Нехай AB = x см, тоді BC = (x + 9).

За властивістю бісектриси:

AK = BC KC ; ��

4 = �� + 9

10 ; 10x = 4x + 36;

6x = 36; x = 6.

Отже, AB = 6 см, BC = 6 + 9 = 15 (см).

PABCD = 2(AB + BC) = 2 ⋅ (6 + 15) = 42 (см).

Відповідь: 42 см.

31. Периметр прямокутника 60 см.

сторони прямокутника.

ABCD — прямокутник.

PABCD = 60 см,

тоді AB + BC = 1 2PABCD = 1 2 ⋅ 60 = 30 (см).

Нехай AB = x см,

то BC = (30 − x).

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC — діагональ, BP — бісектриса кута B.

AP : PC = 7 : 8.

За

властивість бісектриси AB AP = BC PC ;

��

7 = 30 �� 8 ;

8x = 7(30 − x);

8x = 210 − 7x;

15x = 210; x = 14.

Отже, AB = 14 см, BC = 30 – 14 = 16 (см).

Відповідь: 14 см, 16 см.

32. Точка D належить стороні AB трикутника ABC.

AC = 6 см, BC = 8 см, AD = 3 см, DB = 7 см.

Якби відрізок CD був бісектрисою кута C, то

AC BC = AD BD .

Нехай AD = x см,

тоді BD = (3 + 7 – x) = (10 – x) см. 6 8 = �� 10 – �� ; 60 – 6x = 8x; 14x = 60; �� = 4 2 7 .

якщо CD — бісектриса,

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай CD = x см, тоді CB = 4x см.

PΔABCD = AB + BC + AC = 4x + 4x + 2x = 10x.

За умовою 10x = 90, звідки x = 9.

Отже, DC = 9 см, AC = 2 ⋅ 9 = 18 (см).

BC = AB = 4 ⋅ 9 = 36 (см).

Відповідь: 18 см, 36 см, 36 см.

34. S – точка перетину хорд AB і CD. AS = 4, SB = 1. Якому числу дорівнює

CS · DS?

CS ⋅ DS = AS ⋅ SB = 4 ⋅ 1 = 4.

A і B, а січна b – у точках C і D. Відомо,

CD.

MA ⋅ MB = MC ⋅ MD; 28 = 4 ⋅ MD; MD = 28 : 4 = 7.

CD = MD – MC = 7 – 4 = 3.

Відповідь: 7, 3.

36. З точки A

і PK, якщо AM = 8 см, AP = 16 см.

AM2 = AK ⋅ AP, звідки AK = AM2 : AP; AK = 82 : 16 = 64 : 16 = 4 (см).

PK = AP – AK = 16 – 4 = 12 (см). Відповідь: 12 см.

37. З точки A

AM = 10 см, AP : AK = 4 : 1. Знайдіть AK, AP і KP.

AM2 = AK ⋅ AP,

За умовою AP : AK = 4 : 1,

тоді AK = x, AP = 4x

102 = x ⋅ 4x;

100 = 4x2 , x2 = 25, x = 5.

Отже, AK = 5 (см), AP = 4 ⋅ 5 = 20 (см).

KP = AP – AK = 20 – 5 = 15 (см).

Відповідь: 5 см, 20 см, 15 см.

38. Продовження

У ΔACP, ∠C = 90° як вписаний

ΔABC (AB = AC) AM —

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC = AL LC = 4 5.

Нехай AB = 4x, BC = 5x.

52 = 4x ⋅ 5x = 4 ⋅ 5;

25 = 20x2 – 20;

45 = 20x2 .

�� 2 = 45 20 ; �� 2 = 9 4 ;

�� = 3 2 ; �� = 1,5

AB = 4 ⋅ 1,5 = 6 (см),

BC = 5 ⋅ 1,5 = 7,5 (см).

Відповідь: 6 см, 7,5 см.

40. Побудуйте трикутник ABC

бісектрисою AL.

План побудови

1. Побудувати кут A.

(AB1).