Issuu

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025 Вибери номер параграфа або завдання: Повт. геометрію №1-80

§1

§2

§3

§4

№1.1-1.34

№2.1-2.44

№3.1-3.36

№4.1-4.42

§5

ДСР 1

ЗПЗ до

§6

§7

№5.1-5.32

(§§ 1–5)

§§ 1–5

№6.1-6.44

№7.1-7.17

§8

§9

§10

ДСР 2

ЗПЗ до

№8.1-8.18

№9.1-9.31

№10.1-10.30

(§§ 6–10)

§§ 6–10

ВПР 1

§11

§12

§13

§14

№1-84 §15

№11.1-11.20 №12.1-12.18 №13.1-13.52 №14.1-14.27 §16

№15.1-15.18 №16.1-16.29 §17

§18

ДСР 3

ЗПЗ до

ВПР 2

(§§ 11–16)

§§ 11–16

№1-40

§19

§20

ДСР 4

№17.1-17.59 №18.1-18.29 №19.1-19.46 №20.1-20.23 ЗПЗ до

ВПР 3

§§ 17–20

№1-34

§24

§25

№24.1-24.34 №25.1-25.36 ЗПЗ за 8 клас

§21

§22

(§§ 17–20) §23

№21.1-21.34 №22.1-22.40 №23.1-23.27 ДСР 5

ЗПЗ до

ВПР 4

(§§ 21–25)

§§ 21–25

№1-34

ЗПС

ЗНО (НМТ)

№1-42

№1-13  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ПОВТОРЮЄМО ГЕОМЕТРІЮ ЗА 7 КЛАС

Елементарні геометричні фігури та їхні властивості. Взаємне розміщення прямих на площині

la. in.

1. (Усно.) Який із поданих кутів гострий, тупий, прямий, розгорнутий: Гострі: Тупі: Прямі: Розгорнуті: 1) ∠A = 32; 3) ∠C = 150°; 2) ∠B = 90°; 5) ∠K = 180°; 6) ∠N = 120°; 4) ∠D = 59° 30′; 7) ∠L = 89°; 8) ∠M = 113° 20′ 2. Знайдіть кут, суміжний з кутом: 1) 25°; 180° – 25° = 155° 2) 90°; 180° – 90° = 90° 3) 116°. 180° – 116° = 64° 3. Знайдіть кут, суміжний з кутом: 1) 140°; 180° – 140° = 40° 2) 83°. 180° – 83° = 97° 4. a∥b, c – січна. Знайдіть ∠1, ∠2, ∠3. ∠3 = 70° (як відповідні кути); ∠1 = 180° – ∠3 = 180° – 70° = 110° (як суміжні); ∠2 = ∠3 = 70° (як вертикальні).

5. m∥n, a – січна. Знайдіть ∠1, ∠2, ∠3. ∠2 = 115° (як відповідні кути); ∠1 = 180° – ∠2 = 180° – 115° = 65° (як суміжні); ∠3 = ∠2 = 115° (як вертикальні).

6. Точка K належить відрізку CD. Знайдіть: 1) CD, якщо CK = 28 мм, KD = 4 см;

CD = CK + KD = 28 мм + 40 мм = 68 мм 2) KD, якщо CD = 5 дм, CK = 2 дм 6 см.  shkola.in.ua

KD = CD – CK = 50 см – 26 см = 24 см 7. Точка M належить відрізку AB. Знайдіть: 1) AM, якщо AB = 5 см, MB = 34 мм;

la. in.

AM = AB – MB = 50 мм – 34 мм = 16 мм 2) AB, якщо AM = 3 дм, MB = 2 дм 5 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AB = AM + MB = 30 см + 25 см = 55 см 8. Промінь OM проходить між сторонами кута BOC. Знайдіть градусну міру кута BOM, якщо ∠BOC = 118°, ∠MOC = 72°. ∠BOM = ∠BOC – ∠MOC = 118° – 72° = 46°

9. Промінь OK проходить між сторонами кута AOD. Знайдіть градусну міру цього кута, якщо ∠AOK = 42°, ∠KOD = 37°. ∠AOD = ∠AOK + ∠KOD = 42° + 37° = 79°

10. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 115°. Знайдіть інші кути та кут між прямими.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

shkola.in.ua

∠2 = 115° (як вертикальні); ∠1 = 180° – 115° = 65° (як суміжні); ∠3 = ∠1 = 65° (як вертикальні). Оскільки, кутом між прямим вважається кут менше 90°, то це кут 65°.

la. in.

11. Накресліть відрізки KL і AB та промінь CD так, щоб відрізок KL був паралельний променю CD і перпендикулярний до відрізка AB. KL ∥ CD KL ⊥ AB

12. Градусна міра одного з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 75°. Знайдіть градусні міри решти семи кутів. Дано: m∥n, с — січна, ∠1 = 75°. ∠2 = 180° − 75° = 105° (як суміжні) ∠3 = ∠1 = 75° (як вертикальні кути) ∠4 = ∠2 = 105° (як вертикальні) ∠3 = ∠5 = 75° (як внутрішні різносторонні кути при m∥n та січній с) ∠2 = ∠8 = 105° (як внутрішні різносторонні кути при m∥n та січній с) ∠7 = ∠5 = 75° (як вертикальні кути) ∠6 = ∠8 = 36° (як вертикальні кути)

13. Один з кутів, що утворилися при перетині паралельних прямих січною, дорівнює 130°. Знайдіть інші сім кутів. Дано: m∥n, с — січна, ∠1 = 130°. ∠2 = 180° − 130° = 50° (як суміжні) ∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути) ∠4 = ∠2 = 50° (як вертикальні) ∠5 = ∠2 = 50° (як внутрішні різносторонні кути при m∥n та січній с) ∠8 = ∠1 = 130° (як внутрішні різносторонні кути при m∥n та січній с) ∠7 = ∠5 = 50° (як вертикальні кути) ∠6 = ∠8 = 130° (як вертикальні кути)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

14. Знайдіть суміжні кути, якщо один із них: 1) на 40° менший від іншого; Нехай більший кут х, тоді менший — х – 40°. Сума суміжних кутів рівна 180°: х + х – 40° = 180° 2х = 180° + 40° 2х = 220° х = 110° — більший кут х – 40° = 110° – 40° = 70° — менший кут 2) становить 80 % від іншого. Нехай більший кут х, тоді менший — 0,8х. Сума суміжних кутів рівна 180°: х + 0,8х = 180° 1,8х = 180° х = 100° — більший кут 0,8х = 0,8 ∙ 100° = 80° — менший кут 15. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них: 1) удвічі більший за інший; Нехай менший кут х, тоді більший — 2х. Сума суміжних кутів рівна 180°: х + 2х = 180° 3х = 180° х = 60° — менший кут 2х = 2 ∙ 60° = 120° — більший кут 2

2) становить від іншого. 7

Нехай більший кут х, тоді менший — х. Сума суміжних кутів рівна 180°: 7

х + х = 180° 7

х = 180°

9х = 180° ∙ 7 х = 20° ∙ 7 х = 140°

х = ∙ 140° = 2 ∙ 20° = 40°

16. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте назву обласного центра України. Точка K належить відрізку AB завдовжки 20 см. AK KB Знайдіть довжини відрізків AK і KB, якщо: AK утричі менший від KB В Я 2 И Н KB становить від відрізка AK 3

AK : KB = 3 : 7 1) Нехай AK = х, тоді KB = 3х: 3х + х = 20 4х = 20

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

х = 5 (см) — літера В 3х = 3 ∙ 5 = 15 (см) — літера Я 2

2) Нехай AK = х, тоді KB = х: 3

х + х = 20 5

х = 20

х = 20 ∙ 3 : 5 х = 12 (см) — літера И 2

х = ∙ 12 = 8 (см) — літера Н

la. in.

3) Нехай AK = 3х, тоді KB = 7х: 3х + 7х = 20 10х = 20 х=2 3х = 3 ∙ 2 = 6 (см) — літера І 7х = 7 ∙ 2 = 14 (см) — літера Ц 5 см 6 см 8 см 8 см 12 см 14 см 15 см В І Н Н И Ц Я 17. Прямі AB, MN і CD перетинаються в точці O, причому AB ⊥ MN (мал. 3). Знайдіть: 1) ∠DOB, якщо ∠CON = 70°; ∠MOD = ∠CON = 70° (як вертикальні) ∠MOB = 90° (оскільки AB ⊥ MN) ∠DOB = ∠MOB − ∠MOD = 90° − 70° = 20° 2) ∠AOC, якщо ∠DON = 105°. ∠MOC = ∠DON = 105° (як вертикальні) ∠MOA = 90° (оскільки AB ⊥ MN) ∠AOC = ∠MOC − ∠MOA = 105° − 90° = 15° 18. Прямі MN, KL і AB перетинаються в точці O, причому MN ⊥ KL (мал. 4). Знайдіть: 1) ∠KOB, якщо ∠NOA = 120°; ∠BOM = ∠NOA = 120° (як вертикальні) ∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL) ∠KOB = ∠BOM − ∠KOM = 120° − 90° = 30° 2) ∠KOA, якщо ∠BON = 40°. ∠AOM = ∠BON = 40° (як вертикальні) ∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL) ∠KOA = ∠AOM + ∠KOM = 40° + 90° = 130° 19. Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, якщо:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1) один із них утричі більший за другий; Нехай менший кут х, тоді більший — 3х. Сума односторонніх кутів рівна 180°: х + 3х = 180° 4х = 180° х = 45° — менший кут 3х = 3 ∙ 45° = 135° — більший кут

la. in.

2) один із них на 25 % більший за другий. Нехай менший кут х, тоді більший — 1,25х. Сума односторонніх кутів рівна 180°: х + 1,25х = 180° 2,25х = 180° х = 80° — менший кут 1,25х = 1,25 ∙ 80° = 100° — більший кут

20. Знайдіть градусну міру кожного з двох внутрішніх односторонніх кутів, що утворилися при перетині двох прямих січною, якщо: 1) один із них на 30° менший від другого; Нехай більший кут х, тоді менший — х − 30°. Сума односторонніх кутів рівна 180°: х + х − 30° = 180° 2х = 180° + 30° 2х = 210° х = 105° — більший кут х − 30° = 105° − 30° = 75° — менший кут 2) їхні градусні міри відносяться як 3 : 2. Нехай більший кут 3х, тоді менший — 2х. Сума односторонніх кутів рівна 180°: 2х + 3х = 180° 5х = 180° х = 36° 3х = 3 ∙ 36° = 108° — більший кут 2х = 2 ∙ 36° = 72° — менший кут

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

21. Кут між прямими a і b дорівнює куту між прямими a і m. Чи можна стверджувати, що прямі b і m паралельні? Згідно з ознакою паралельності, якщо січна утворює з двома прямими рівні відповідні кути, то ці прямі паралельні. Але в умові не сказано, що кут між прямими a і b дорівнює відповідному куту між прямими a і m, отже стверджувати про те, що прямі b і m паралельні не можна.

la. in.

22. (Усно.) Чи існує трикутник з кутами: 1) 60°, 60°, 61°; 2) 20°, 70°, 90°; 3) 10°, 100°, 70°; 4) 50°, 60°, 80°? Щоб з’ясувати, чи існує трикутник, потрібно перевірити суму його кутів. У будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180°. 1) 60° + 60° + 61° = 181° ❌ Не існує 2) 20° + 70° + 90° = 180° ✅ Існує

3) 10° + 100° + 70° = 180° ✅ Існує

4) 50° + 60° + 80° = 190° ❌ Не існує 23. (Усно.) Чи існує трикутник зі сторонами: 1) 7 см, 2 см, 9 см; 2) 12 см, 10 см, 8 см; 3) 3 см, 4 см, 6 см; 4) 8 см, 8 см, 15 см? Щоб з’ясувати, чи існує трикутник за трьома сторонами, використовуємо нерівність трикутника: сума будь-яких двох сторін трикутника повинна бути більшою за третю. 1) 7 + 2 = 9 → не більше, лише дорівнює 2) 12 + 10 = 22 > 8 12 + 8 = 20 > 10 ❌ Не існує 10 + 8 = 18 > 12 ✅ Існує 3) 3 + 4 = 7 > 6 4) 8 + 8 = 16 > 15 3+6=9>4 8 + 15 = 23 > 8 4 + 6 = 10 > 3 8 + 15 = 23 > 8 ✅ Існує ✅ Існує 24. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 5 см, а бічна сторона на 2 см більша за основу. Бічна сторона на 2 см більша, тобто: 5 + 2 = 7 (см) У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні, отже: P = 5 + 7 + 7 = 19 (см) Відповідь: 19 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

25. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 10 см, а основа на 3 см менша від бічної сторони. Основа на 3 см менша, тобто: 10 – 3 = 7 (см) У рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони рівні, отже: P = 7 + 10 + 10 = 27 (см) Відповідь: 27 см. 26. У трикутнику ABC відрізок BK – медіана, AK = 5 см. Знайдіть KC і AC. Оскільки BK — медіана, то точка K — середина відрізка AC: AK = KC А якщо AK = 5 см, то: KC = 5 (см) Тоді довжина AC: AC = AK + KC = 5 + 5 = 10 (см) Відповідь: KC = 5 см; AC = 10 см. 27. У трикутнику ABC відрізок CM – бісектриса, ∠ACB = 80°. Знайдіть градусні міри кутів ACM і BCM. Бісектриса ділить кут навпіл, тобто: 1

∠ACM = ∠BCM = ∙ ∠ACB = Відповідь: ∠ACM = 40°; ∠BCM = 40°.

80∘ 2

= 40°

28. Доведіть, що △AKM = △BKM (мал. 5), якщо AK = BK і ∠AKM = ∠BKM. Розглянемо трикутники △AKM і △BKM: 1) AK = BK — за умовою 2) ∠AKM = ∠BKM — за умовою 3) KM — спільна сторона. Висновок: За двома сторонами і кутом між ними (перша ознака рівності трикутників): △AKM = △BKM.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

29. Доведіть, що △ACK = △BCK (мал. 6), якщо CK ⊥ AB і ∠ACK = ∠BCK. У трикутниках △ACK = △BCK: 1) ∠ACK = ∠BCK = 90° — за умовою 2) ∠ACK = ∠BCK — за умовою 3) CK — спільна сторона. Висновок: За двома кутами і стороною (друга ознака рівності трикутників): △ACK = △BCK.

la. in.

30. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. Знайдіть кут при вершині цього трикутника. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, отже ∠A = ∠C = 70° Сума кутів трикутника: ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∠B = 180° − ∠C − ∠A ∠B = 180° − 70° − 70° ∠B = 40° Відповідь: 40°.

31. Знайдіть кут при основі рівнобедреного трикутника, якщо кут при його вершині дорівнює 100°. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, отже ∠A = ∠C. Позначимо їх як х. Сума кутів трикутника: ∠A + ∠B + ∠C = 180° х + 100° + х = 180° 2х = 180° − 100° 2х = 80° х = 40° Відповідь: 40°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

32. Зовнішній кут при вершині C трикутника ABC дорівнює 110°. Знайдіть кут A, якщо ∠B = 60°. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з ним (згідно властивості зовнішнього кута трикутника): ∠A + ∠B = ∠BCM Підставляємо: ∠A + 60° = 110° ∠A = 110° − 60° ∠A = 50° Відповідь: 50°. 33. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 130°. Знайдіть внутрішній кут трикутника, не суміжний з ним, якщо другий внутрішній кут, не суміжний з ним, дорівнює 80°. Внутрішній кут, суміжний до кута 130° (згідно властивості суміжних кутів): 180° − 130° = 50° Другий внутрішній кут, не суміжний із зовнішнім, дорівнює 80°. Знайдемо третій внутрішній кут. Сума внутрішніх кутів трикутника — 180°: Третій кут = 180° − 50° − 80° = 50° Відповідь: 50°.

34. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠A = 60°. Знайдіть: 1) AC, якщо AB = 10 см; 2) AB, якщо AC = 4 см. Згідно властивостей прямокутного трикутника: Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°: ∠B = 90° − ∠A = = 90° − 60° = 30°; Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи: 1

AC = AB.

1) AC = AB = ∙ 10 = 5 (см); 2

2) AB = 2AC = 2 ∙ 4 = 8 (см). Відповідь: 1) 5 см; 2) 8 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

35. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠A = 30°. Знайдіть: 1) AB, якщо BC = 8 дм; 2) BC, якщо AB = 18 см. Згідно властивостей прямокутного трикутника: Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи: BC = AB ⇒ AB = 2BC 2

1) AB = 2BC = 2 ∙ 8 = 16 (дм); 1

2) BC = AB = ∙ 18 = 9 (см). 2

la. in.

Відповідь: 1) 16 дм; 2) 9 см. 36. Дві сторони трикутника дорівнюють 2,7 см і 6,3 см. Якому найменшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона? Сума будь-яких двох сторін трикутника завжди більша за третю (згідно нерівності трикутників). Дві сторони трикутника: a = 2,7 см, b = 6,3 см. Межі для третьої сторони c: |a − b| < c < a + b |6,3 − 2,7| < c < 6,3 + 2,7 3,6 < c < 9,0 Найменше ціле число в цьому проміжку: 4. Відповідь: 4 см. 37. Дві сторони трикутника дорівнюють 4,8 см і 2,6 см. Якому найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона трикутника? Дві сторони трикутника: a = 4,8 см, b = 2,6 см. Потрібно знайти найбільше ціле значення третьої сторони c, за умови, що утворюється трикутник. Згідно з нерівністю трикутників: |a − b| < c < a + b |4,8 − 2,6| < c < 4,8 + 2,6 2,2 < c < 7,4 Найбільше ціле число, менше за 7,4: 7. Відповідь: 7 см. 38. Одна зі сторін трикутника утричі менша від другої і на 10 см менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 45 см. Позначимо сторони трикутника так: Нехай перша сторона (найменша) — x; Друга сторона — 3x; Третя сторона — x + 10. Периметр: x + 3x + (x + 10) = 45 Розв’яжемо рівняння: x + 3x + x + 10 = 45  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5x + 10 = 45 5x = 35 x=7 Знаходимо сторони: Перша сторона: x = 7 см Друга: 3x = 21 см Третя: x + 10 = 17 см Відповідь: 7 см, 21 см, 17 см. 39. Одна зі сторін трикутника на 3 см менша від другої і удвічі менша від третьої. Периметр трикутника дорівнює 35 см. Знайдіть сторони трикутника. Позначимо невідому сторону як x. Тоді згідно з умовою: Одна сторона — x Друга — x + 3 Третя — 2x Периметр: x + (x + 3) + 2x = 35 Розв’яжемо рівняння: x + x + 3 + 2x = 35 4x + 3 = 35 4x = 32 x=8 Знайдемо сторони: Перша сторона: x = 8 см Друга: x + 3 = 11 см Третя: 2x = 16 см Відповідь: 8 см, 11 см, 16 см. 40. На малюнку 7 AB = BD, AC = CD. Доведіть, що BC – бісектриса кута ABD.

Розглянемо трикутники △ABC і △DBC: BC — спільна сторона; AB = BD — за умовою; AC = CD — за умовою. Отже, трикутники рівні за трьома сторонами (згідно з третьою ознакою рівності трикутників): △ABC = △DBC. Із рівності трикутників випливає, що відповідні кути також рівні: ∠ABC = ∠DBC ⇒ BC — бісектриса кута ∠ABD ✅ Доведено.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

41. Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте ім’я та прізвище видатного українського політичного, державного і військового діяча. Дізнайтеся з інтернету про його біографію та досягнення. У ∆ABC: ∠A = 60°. Визначте градусні міри кутів B ∠B ∠C і C, якщо: кут B на 20° менший від кута C Л О кут B удвічі більший за кут C Р И П К ∠B : ∠C = 1 : 3 У всіх випадках маємо: ∠A = 60° Сума кутів трикутника: ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ ∠B + ∠C = 120° 1) Нехай ∠C = x, тоді ∠B = x − 20 Підставимо в рівняння: x + (x − 20) = 120 2x − 20 = 120 2x = 140 x = 70 Отже: ∠C = 70° — літера О ∠B = 50° — літера Л 2) Нехай ∠C = x, тоді ∠B = 2x x + 2x = 120 3x = 120 x = 40 Отже: ∠C = 40° — літера И ∠B = 80° — літера Р 3) Нехай ∠B = x, тоді ∠C = 3x x + 3x = 120 4x = 120 x = 30 Отже: ∠B = 30° — літера П ∠C = 90° — літера К 30° П

40° И

50° Л

40° И

30° П

70° О

80° Р

50° Л

40° И

90° К

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

42. Один із кутів трикутника на 20° менший від другого й удвічі менший від третього. Знайдіть кути трикутника. Нехай: Перший кут — x Другий кут — x + 20 Третій кут —2x Сума кутів трикутника: x + (x + 20) + 2x = 180° 4x + 20 = 180° 4x = 160° x = 40° Обчислимо всі кути: Перший: x = 40° Другий: x + 20 = 60° Третій: 2x = 80° Відповідь: 40°, 60°, 80°. 43. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо: 1) один із них на 26° більший за інший; Оскільки трикутник прямокутний, то один із кутів дорівнює 90°, а два гострі кути в сумі також дають 90°. Нехай менший кут — x, тоді більший — x + 26°. x + (x + 26) = 90° 2x + 26° = 90° 2x = 64° x = 32° — менший кут x + 26° = 32 + 26° = 58° — більший кут 2) один із них становить 80 % від іншого. Нехай більший кут — x, тоді менший — 0,8x x + 0,8x = 90° 1,8x = 90° x = 50° — більший кут 0,8x = 0,8 ∙ 50° = 40° — менший кут 44. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо: 1) один із них у 5 разів більший за інший; Оскільки трикутник прямокутний, то один із кутів дорівнює 90°, а два гострі кути в сумі також дають 90°. Нехай менший гострий кут — x, тоді інший — 5x: x + 5x = 90° 6x = 90° x = 15° — менший кут 5x = 5 ∙ 15° = 75° — більший кут 2) їхні градусні міри відносяться як 3 : 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай кути: 3x і 2x 3x + 2x = 90° 5x = 90° x = 18° 2x = 2 ∙ 18° = 36° — менший кут 3x = 3 ∙ 18° = 54° — більший кут 45. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AB проведено висоту CK. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника ACK дорівнює 30 см і CK = 12 см. Периметр трикутника ACK: AK + CK + AC = 30 AK + 12 + AC = 30 AK + AC = 18 У трикутнику ABC: AB = 2 ∙ AK AC = BC Отже: P△ABC = AB + AC + BC = 2 ∙ AK + 2 ∙ AC Підставимо з попереднього: 2 ∙ AK + 2 ∙ AC = 2(AK + AC) = 2 ∙ 18 = 36 см Відповідь: 36 см. 46. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою BC проведено медіану AM. Знайдіть периметр трикутника ABM, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 32 см і AM = 8 см. Дано: △ABC — рівнобедрений, з основою BC ⇒ AB = AC (бо в рівнобедреному трикутнику бокові сторони рівні) AM — медіана до основи BC ⇒ Точка M — середина відрізка BC, тобто:

BM = MC =

Розв’язок: Позначимо AB = AC = x, а BC = y Тоді периметр △ABC дорівнює: x + x + y = 32 2x + y = 32 y = 32 − 2x Знайдемо сторону BM

BC 2

Периметр △ABC = 32 см AM = 8 см Потрібно знайти периметр трикутника ABM.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Оскільки M — середина BC, то: y

BM = = 2

32−2x 2

= 16 − x

la. in.

Периметр △ABM — це сума сторін: AB + BM + AM = x + (16 − x) + 8 = 16 + 8 = 24 см. Відповідь: 24 см. 47. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один із них на 24° більший за інший. Скільки випадків слід розглянути? В рівнобедреному трикутнику два кути рівні (згідно властивості кутів рівнобедреного трикутника) — назвемо їх x. Тоді третій кут — y. За умовою: або y = x + 24°, або x = y + 24°. Сума кутів трикутника дорівнює 180°: Випадок 1: Випадок 2: 2x + y = 180° та y = x + 24° 2x + y = 180 та x = y + 24 Підставимо: y = x - 24 2x + (x + 24°) = 180° Підставимо: 3x = 156° 2x + (x - 24) = 180 x = 52° 3x = 204 y = 52 + 24 = 76° x = 68 Кути: 52°, 52°, 76° y = 68 - 24 = 44 Кути: 68°, 68°, 44° Відповідь: Слід розглянути два випадки, бо не вказано, який саме кут на 24° більший: рівний чи відмінний. Обидва випадки дають різні допустимі трикутники: Випадок 1: 52°, 52°, 76°; Випадок 2: 68°, 68°, 44°. 48. Чи існує трикутник із периметром 20 см, одна сторона якого на 4 см більша за другу і на 3 см менша від третьої? Позначимо сторони трикутника як: a — друга сторона; b = a + 4 — перша сторона (на 4 см більша за другу); c = b + 3 = a + 4 + 3 = a + 7 — третя сторона. Периметр трикутника дорівнює 20 см, тобто: a + b + c = 20 Підставляємо b і c через a: a + (a + 4) + (a + 7) = 20 3a + 11 = 20 3a = 9 a=3 Тоді: b=3+4=7 c = 3 + 7 = 10 Отже, сторони: 3 см, 7 см, 10 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Перевірка існування трикутника За нерівністю трикутника, сума будь-яких двох сторін має бути більшою за третю: 1. 3 + 7 = 10 ❌ 2. 3 + 10 = 13 > 7 ✅

r = = 2 дм; 2

б) d = 5 см 5

r = = 2,5 см. 2

la. in.

3. 7 + 10 = 17 > 3 ✅ Відповідь: не існує. 49. (Усно.) Знайдіть: 1) діаметр кола, якщо його радіус дорівнює 6 см; 7 дм; а) r = 6 см d = 2 ∙ 6 = 12 см; б) r = 7 дм d = 2 ∙ 7 = 14 дм. 2) радіус кола, діаметр якого дорівнює 4 дм; 5 см. а) d = 4 дм

50. Знайдіть градусну міру кута, вписаного у коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює: 1) 80°; 2) 200°. Нехай задано коло з центром у точці О. У ньому: ∠BOC – центральний кут; ∠BAC – вписаний кут; Вписаний кут у колі дорівнює половині відповідного центрального кута (це випливає із теореми про вписаний кут), тоді: ∠BAC = ∠BOC : 2

1) Якщо центральний кут ∠BOC = 80°, то ∠BAC = 80° : 2 = 40° 2) Якщо центральний кут ∠BOC = 200°, то ∠BAC = 200° : 2 = 100° Відповідь: 1. 40°; 2. 100° 51. Визначте градусну міру центрального кута, якщо відповідний йому вписаний кут дорівнює: 1) 50°; 2) 110°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай задано коло з центром у точці О. У ньому: ∠BOC – центральний кут; ∠BAC – вписаний кут; Вписаний кут у колі дорівнює половині відповідного центрального кута (це випливає із теореми про вписаний кут), тоді: ∠BAC = ∠BOC : 2 ⇒ ∠BOC = 2 ∙ ∠BAC

la. in.

1) Якщо вписаний кут ∠BAC = 50°, то ∠BOC = 2 ∙ 50° = 100° 2) Якщо вписаний кут ∠BAC = 110°, то ∠BOC = 2 ∙ 110° = 220° Відповідь: 1. 100°; 2. 220° 52. На малюнку 8 точка O – центр кола. Знайдіть градусну міру: 1) кута O, якщо ∠C = 46°; 2) кута D, якщо ∠O = 96°. Трикутник COD — рівнобедрений, оскільки OC = OD (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, а також сума всіх трьох кутів дорівнює 180°.

1) ∠C = ∠D = 46°, тоді ∠O = 180° - (∠C + ∠D) = 180° - (46° + 46°) = 88°. 2) ∠C = ∠D = x, тоді 96° + x + x = 180° 2x = 84° x = 42° Відповідь: 1. ∠O = 88°; 2. ∠D = 42°. 53. На малюнку 8 точка O – центр кола. Знайдіть градусну міру: 1) кута C, якщо ∠O = 94°; 2) кута O, якщо ∠D = 44°. Трикутник COD — рівнобедрений, оскільки OC = OD (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, а також сума всіх трьох кутів дорівнює 180°: ∠C + ∠D +∠O = 180°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1) Нехай ∠C = ∠D = x, тоді: 2) Оскільки ∠D = ∠C = 44°, то: x + x + 94° = 180° 44° + 44° + ∠O = 180° 2x = 86° ∠O = 180° - 88° = 92° x = 43° Відповідь: 1. ∠C = 43°; 2. ∠O = 92°. 54. На малюнку 9 точка O – центр кола, CD – дотична до кола, точка B – точка дотику. Знайдіть: 1) ∠OBA, якщо ∠ABC = 62°; 2) ∠DBA, якщо ∠OBA = 30°. Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної (згідно властивості дотичної до кола), тому ∠OBC = ∠DBO = 90°. 1) ∠OBA = ∠OBC − ∠ABC = 90° − 62° = 28°; 2) ∠DBA = ∠DBO + ∠OBA = 90° + 30° = 120°. Відповідь: 1. ∠OBA = 28° 2. ∠DBA = 120°

55. На малюнку 9 точка O – центр кола, CD – дотична до кола, точка B – точка дотику. Знайдіть: 1) ∠ABC, якщо ∠OBA = 32°; 2) ∠OBA, якщо ∠DBA = 136°. Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику (згідно властивості дотичної до кола), тому ∠OBC = ∠DBO = 90°. 1) ∠ABC = ∠OBC – ∠OBA = 90° – 32° = 58°; 2) ∠OBA = ∠DBA – ∠DBO = 136° – 90° = 46°. Відповідь: 1. ∠ABC = 58° 2. ∠OBA = 46° 56. Точки A і B належать колу і лежать по різні боки від хорди CD, ∠CAD = 76°. Знайдіть ∠CBD. Згідно теореми про вписаний кут, він дорівнює половині дуги на яку опирається. Кути CAD та CBD вписані, відповідно ◡CBD = 2∠CAD = 2 ∙ 76 = 152° Тоді, ◡CAD = 360° − ◡CBD = 360° − 152° = 208° ∠CBD = ◡CAD : 2 = 208° : 2 = 104° Відповідь: ∠CBD = 104°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

57. Радіуси двох кіл дорівнюють 8 см і 5 см. Знайдіть відстань між їх центрами, якщо кола мають: 1) внутрішній дотик; Коли менше коло всередині більшого і дотикається зсередини, то відстань між центрами дорівнює різниці радіусів: d = R − r = 8 - 5 = 3 см 2) зовнішній дотик. Коли кола зовні дотикаються, то відстань між їхніми центрами дорівнює сумі радіусів: d = R + r = 8 + 5 = 13 см Відповідь:1. 3 см; 2. 13 см. 58. Радіуси двох кіл дорівнюють 4 см і 7 см. Знайдіть відстань між їх центрами, якщо кола мають: 1) зовнішній дотик; При зовнішньому дотику відстань між центрами дорівнює сумі радіусів: d = R + r = 7 + 4 = 11 см 2) внутрішній дотик. При внутрішньому дотику менше коло розташоване всередині більшого, а відстань між центрами дорівнює різниці радіусів: d = R − r = 7 − 4 = 3 см Відповідь: 1. 11 см; 2. 3 см. 59. На малюнку 10 точка O – центр кола, ∠COB = 40°. Знайдіть ∠CAB. Із рисунка видно, що ∠COB — центральний кут, що спирається на дугу CB, ∠CAB — вписаний кут, що також спирається на ту саму дугу CB. Вписаний кут, що спирається на ту саму дугу, що й центральний, удвічі менший за центральний (згідно теореми про вписаний кут): ∠CAB = ∠COB : 2 = 40° : 2 = 20° Відповідь: ∠CAB = 20°. 60. На малюнку 10 точка O – центр кола, ∠ACO = 21°. Знайдіть ∠COB. OC = OB (як радіуси), тому △ACO рівнобедрений. Оскільки у рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, то ∠ACO = ∠CAO = 21°. ∠COB — центральний кут, що спирається на дугу CB, ∠CAB — вписаний кут, що також спирається на ту саму дугу CB. Центральний кут вдвічі більший за вписаний, якщо вони спираються на одну й ту ж дугу (згідно теореми про вписаний кут): ∠COB = 2 ∙ ∠CAB = 2 ∙ 21° = 42° Відповідь: ∠COB = 42°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

61. Пряма MK – дотична до кола, точка O – центр кола, точка M – точка дотику (мал. 11). Знайдіть ∠BMK, якщо ∠BOM = 130°. Трикутник OMB — рівнобедрений, оскільки OM = OB (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, а також сума всіх трьох кутів дорівнює 180°: ∠MOB + ∠OBM +∠OMB = 180° Нехай ∠OBM = ∠OMB = x, тоді: x + x + 130° = 180° 2x = 50° x = 25° Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику (згідно властивості дотичної до кола), тому ∠OMK = 90°. Тоді ∠BMK = ∠OMK − ∠OBM = 90° – 25° = 65°. Відповідь: ∠BMK = 65°. 62. Пряма MK – дотична до кола, точка O – центр кола, точка M – точка дотику (мал. 11). Знайдіть ∠MOB, якщо ∠KMB = 70°. Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику (згідно властивості дотичної до кола), тому ∠OMK = 90°. Тоді ∠OMB = ∠OMK − ∠BMK = 90° – 70° = 20°. Трикутник OMB — рівнобедрений, оскільки OM = OB (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні (∠OBM = ∠OMB), а також сума всіх трьох кутів дорівнює 180°: ∠MOB + ∠OBM +∠OMB = 180° ∠MOB + 20° + 20° = 180° ∠MOB = 140° Відповідь: ∠MOB = 140° 63. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 16 см, а їх радіуси відносяться як 5 : 3. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони мають: 1) внутрішній дотик; Позначимо: R — більший радіус r — менший радіус d — відстань між центрами радіусів тоді R = 5x, r = 3x При внутрішньому дотику: R-r=d  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5x - 3x = 16 2x = 16 x=8 Тоді: R = 5x = 40 см, r = 3x = 24 см 2) зовнішній дотик. При зовнішньому дотику: R+r=d 5x + 3x = 16 8x = 16 x=2 Тоді: R = 5x = 10 см, r = 3x = 6 см Відповідь: 1) 40 см, 24 см; 2) 10 см, 6 см. 64. Прямі AB і AC дотикаються до кола із центром O в точках B і C. Знайдіть BC, якщо AB = 4 см, ∠OAC = 30°.

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою (згідно властивості відрізків дотичних, проведених з однієї точки): AB = AC = 4 см Дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику (згідно властивості дотичної до кола): АВ⊥ОВ, АС⊥ОС, отже ΔВОA і ΔCОA – прямокутні. Оскільки AB = AC (катети), АО – спільна сторона (гіпотенуза), то ΔВОA = ΔCОA (згідно ознаки рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою). У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому ∠OAB = ∠OAC = 30°. Розглянемо трикутник ABC. В ньому AD – медіана, бісектриса і висота, отже трикутники CDA та BDA – прямокутні, сторони AB і AC – гіпотенузи. Катет, прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи (згідно властивості прямокутних трикутників):  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

BD = AB : 2 = 4 : 2 = 2 см CD = AC : 2 = 4 : 2 = 2 см Тоді BC = BD + CD = 2 + 2 = 4 см Відповідь: 4 см. 65. Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 2 см, починаючи від основи. Знайдіть периметр цього трикутника.

Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 2 см, AK = 5 см. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: BL = KB = 2 см, AM = AK = 5 см, CM = CL = 5 см. PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 5 см + 2 см + 2 см + 5 см + 5 см + 5 см = 24 см. Відповідь: 24 см. 66. Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 4 см і 3 см, починаючи від вершини, що протилежна основі. Знайдіть периметр цього трикутника. Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 4 см, AK = 3 см. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: BL = KB = 4 см, AM = AK = 3 см, CM = CL = 3 см. PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 3 см + 4 см + 4 см + 3 см + 3 см + 3 см = 20 см. Відповідь: 20 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Ⅱ розв’язок

la. in.

67. Рівнобедрений трикутник ABC з основою AB вписано у коло із центром у точці O, ∠AOB = 100°. Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки розв’язків має задача? Ⅰ розв’язок ∠AOB – центральний кут; ∠ACB – вписаний кут; Вписаний кут у колі дорівнює половині відповідного центрального кута (це випливає із теореми про вписаний кут), тоді: ∠ACB = ∠AOB : 2 = 100° : 2 = 50° Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: ∠CBA = ∠CAB = x Сума кутів трикутника рівна 180°: ∠ACB + ∠CBA + ∠CAB = 180° 50° + х + х = 180° 2х = 130° х = 65° Відповідь: 65°, 65°, 50°.

∠AOB – центральний кут; ∠ACB – вписаний кут; ◡ACB = ∠AOB = 100° ◡ALB = 360° − ◡ACB = = 360° − 100° = 260° Вписаний кут вимірюється половиною дуги на яку він опирається (згідно теореми про вписаний кут): ∠ACB = ◡ALB : 2 = 260° : 2 = 130° Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні: ∠CBA = ∠CAB = (180° − ∠ACB) : 2 = = (180° − 130°) : 2 = 50° : 2 = 25° Відповідь: 25°, 25°, 130°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

РОЗДІЛ 1. ЧОТИРИКУТНИКИ § 1. Чотирикутник, його елементи. Сума кутів чотирикутника 1.1 (Усно) Які з фігур є чотирикутниками? Назвіть опуклі та неопуклі чотирикутники.

la. in.

На мал. 1 фігура не є чотирикутником, бо три точки M, N і P лежать на одній прямій. На мал. 2 фігура не є чотирикутником, оскільки відрізки AC і BD мають спільну точку. На мал. 3 і 4 зображено чотирикутники: KFTL — неопуклий, EGOR — опуклий. 1.2 Назвіть пари протилежних сторін чотирикутника EGOR, пари сусідніх сторін. Назвіть пари сусідніх вершин цього чотирикутника, пари протилежних вершин. Пари протилежних сторін: EG і OR; ER і GO. Пари сусідніх сторін: EG і ER; ER і RO; RO і OG; OG і GE. Пари сусідніх вершин: E і G; G і O; O і R; R і E. Пари протилежних вершин: E і O; G і R.

1.3 Накресліть чотирикутник KLMN. Назвіть пари його протилежних сторін, сусідніх сторін, протилежних вершин, сусідніх вершин. Проведіть діагоналі цього чотирикутника Пари протилежних сторін: LM і KN; LK і MN. Пари сусідніх сторін: KL і KN; KL і LM; LM і MN; MN і KN. Пари протилежних вершин: L і N; K і M. Пари сусідніх вершин: K і L; L і M; M і N; K і N. Діагоналі: LN і KM.

1.4 Накресліть опуклий чотирикутник ABCD і неопуклий PMLK. Проведіть діагональ у кожному з них.

1.5 Чи існує чотирикутник з кутами: 1. 70°, 90°, 100° і 120°; 2. 130°, 60°, 70° і 100°?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. 70° + 90° + 100° + 120° = 380° Відповідь: ні. 2. 130° + 60° + 70° + 100° = 360°. Відповідь: так. 1.6 Чи можуть кути чотирикутника дорівнювати: 1. 140°, 60°, 90° і 70°; 2. 120°, 110°, 80° і 60°? 1. 140° + 60° + 90° + 70° = 360°. Відповідь: так. 2. 120° + 110° + 80° + 60° = 370°. Відповідь: ні. 1.7 Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють: 1. 150°, 110° і 80°; 2. 80°, 60° і 30°. Яким — опуклим чи неопуклим — є кожний чотирикутник? 1. 360° − (150° + 110° + 80°) = 20°. Чотирикутник опуклий. 2. 360° − (80° + 60° + 30°) = 190°. Чотирикутник неопуклий. 1.8 Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три його кути дорівнюють: 1. 20°, 70° і 80°; 2. 120°, 50° і 40°. Яким — опуклим чи неопуклим — є кожний чотирикутник? 1. 360° − (20° + 70° + 80°) = 190°. Чотирикутник неопуклий. 2. 360° − (120° + 50° + 40°) = 150°. Чотирикутник опуклий. 1.9 Знайдіть периметр чотирикутника, сторони якого дорівнюють 34 мм, 2,5 см, 0,4 дм і 0,07 м. P = 34 + 25 + 40 + 70 = 169 (мм). 1.10 Знайдіть периметр чотирикутника, сторони якого дорівнюють 0,08 м, 0,7 дм, 6,3 см і 52 мм. P = 80 + 70 + 63 + 52 = 265 (мм). 1.11 Чи можуть усі кути чотирикутника бути: 1. гострими; 2. прямими; 3. тупими? 1. Ні, оскільки в цьому випадку сума кутів буде меншою від 360°. 2. Так, бо 4 · 90° = 360°. 3. Ні, оскільки в цьому випадку сума кутів буде більшою за 360°. 1.12 Один з кутів чотирикутника дорівнює 120°, а інші — між собою рівні. Знайдіть невідомі кути чотирикутника. (360° − 120°) : 3 = 80°. Відповідь: 80°; 80°; 80°. 1.13 Периметр чотирикутника дорівнює 60 см, а одна з його сторін — 24 см. Знайдіть невідомі сторони чотирикутника, якщо вони між собою рівні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

(60 − 24) : 3 = 12 (см). Відповідь: 12 см; 12 см; 12 см. 1.14 У чотирикутнику ABCD BC = CD і ∠ ACB = ∠ ACD. Доведіть, що ∠ B = ∠ D. 1. BC = CD (за умовою); ∠ACB = ∠ACD (за умовою). AC — спільна сторона трикутників ABC і ADC. Тому ΔABC = ΔADC (за першою ознакою). 2. Оскільки ΔABC = ΔADC, то ∠B = ∠D, що й треба було довести.

la. in.

1.15 У чотирикутнику ABCD ∠ BAC = ∠ ACD, ∠ BCA = ∠ CAD. Доведіть, що AB = CD. 1. ∠BAC = ∠ACD; ∠BCA = ∠CAD (за умовою); AC — спільна сторона трикутників ABC і CDA. Тому ΔABC = ΔCDA (за другою ознакою). 2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то AB = CD, що й треба було довести.

1.16 Знайдіть сторони чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 4, 5, 8 і 9, а периметр чотирикутника дорівнює 65 см. 1. Нехай сторони чотирикутника дорівнюють 4x, 5x, 8x і 9x. Тоді 4x + 5x + 8x + 9x = 65; 26x = 65; x = 2,5. 2. Тоді сторони чотирикутника: 4 · 2,5 = 10 (см); 5 · 2,5 = 12,5 (см); 8 · 2,5 = 20 (см); 9 · 2,5 = 22,5 (см). Відповідь: 10 см, 12,5 см, 20 см, 22,5 см. 1.17 Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 4, 5, 7 і 8. 1. Нехай кути чотирикутника дорівнюють 4x, 5x, 7x і 8x. Тоді 4x + 5x + 7x + 8x = 360°; 24x = 360°; x = 15°. 2. Тоді кути чотирикутника: 4 · 15° = 60°; 5 · 15° = 75°; 7 · 15° = 105°; 8 · 15° = 120°. Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1.18 Знайдіть невідомі кути чотирикутника, якщо один з них дорівнює 90°, другий і третій відносяться як 7 : 5, а четвертий дорівнює півсумі другого та третього. 1. Нехай другий кут дорівнює 7x, а третій — 5x. Тоді четвертий кут: 7𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥. 2 2. Тоді 90° + 7x + 5x + 6x = 360°; 18x = 270°; x = 15°. 3. Отже, невідомі кути чотирикутника: 7 · 15° = 105°; 5 · 15° = 75°; 6 · 15° = 90°. Відповідь: 105°, 75°, 90°. 1.19 Знайдіть невідомі сторони чотирикутника, периметр якого дорівнює 54 см, одна зі сторін 18 см, друга та третя відносяться як 7 : 3, а четверта дорівнює піврізниці другої та третьої. 1. Нехай друга сторона чотирикутника 7x (см), а третя — 3x (см). Тоді четверта сторона: 4𝑥𝑥 7𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = = 2𝑥𝑥 (см). 2 2 2. За умовою 18 + 7x + 3x + 2x = 54; 12x = 36; x = 3 (см). 3. Отже, друга сторона чотирикутника дорівнює 7 · 3 = 21 (см), третя — 3 · 3 = 9 (см), четверта — 2 · 3 = 6 (см). Відповідь: 21 см, 9 см, 6 см. 1.20 Доведіть, що в кожному чотирикутнику є кут, не більший за 90°. 1. Припустимо, що у чотирикутнику всі кути більші за 90°. 2. Тоді сума кутів такого чотирикутника буде більшою за 4 · 90° = 360°. Це суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника. 3. Наше припущення неправильне. Отже, у чотирикутнику є кут, не більший за 90°. 1.21 Доведіть, що в кожному чотирикутнику є кут, не менший від 90°. 1. Припустимо, що у чотирикутнику всі кути менші від 90°. 2. Тоді сума кутів такого чотирикутника буде меншою від 4 · 90° = 360°. Це суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника. 3. Наше припущення неправильне. Отже, у чотирикутнику є кут, не менший за 90°. 1.22 Чи може кут чотирикутника бути більшим за суму інших його кутів? Якщо чотирикутник неопуклий, то один з його кутів більший за 180°, а тоді сума трьох інших — менша від 180°. Отже, в цьому випадку один з кутів чотирикутника більший за суму інших його кутів. Відповідь: так.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1.23 Побудуйте чотирикутник зі сторонами 6 см, 6 см, 3 см, 4 см та кутом 50° між рівними сторонами. Скільки розв'язків має задача? Чотирикутники ABCD1 і ABCD2 — шукані. Задача має два розв’язки. AB = BC = 6 см; ∠B = 50°; AD1 = AD2 = 4 см; CD1 = CD2 = 3 см. 1.24 Побудуйте чотирикутник зі сторонами 5 см, 5 см, 4 см, 3 см та кутом 70° між рівними сторонами. Скільки розв'язків має задача? Чотирикутники ABC1D і ABC2D — шукані. Задача має два розв’язки. AB = AD = 5 см; ∠A = 70°; BC1 = BC2 = 4 см; DC1 = DC2 = 3 см.

1.25 Опуклий чотирикутник називають дельтоїдом, якщо він має дві пари рівних сусідніх сторін. Доведіть, що: 1. діагональ BD ділить навпіл і кут B, і кут D; 2. діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.

1. 2. AB = BC; AD = DC (за умовою), BD — спільна сторона трикутників ABD і CBD. Тому ΔABD = ΔCBD. 1. Оскільки ΔABD = ΔCBD, то ∠ABD = ∠CBD і ∠ADB = ∠CDB. Отже, діагональ BD ділить навпіл як кут B, так і кут D. 2. BO — бісектриса рівнобедреного трикутника, що проведена до основи. Тому BO є також і висотою. Отже, BO ⊥ AC, а тому BD ⊥ AC, тобто діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні. 1.26 Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 29 см, периметр трикутника ADB — 20 см, а трикутника CDB — 21 см. Знайдіть довжину діагоналі BD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

З ΔABD: BD = PΔABD − (AB + AD). З ΔBCD: BD = PΔBCD − (BC + CD). Додаємо ці дві рівності: BD + BD = PΔABD + PΔBCD − (AB + AD + BC + CD); 2BD = PΔABD + PΔBCD − PABCD; 2BD = 20 + 21 − 29; 2BD = 12; BD = 6. Відповідь: 6 см. 1.27 Градусна міра одного з кутів, що утворилися при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 70°. Знайдіть градусні міри решти семи кутів. Нехай ∠1 = 70°, тоді: ∠2 = 180° − 70° = 110° (властивість суміжних кутів); ∠3 = ∠1 = 70° (як вертикальні); ∠4 = ∠2 = 110° (як вертикальні); ∠5 = ∠2 = 110° (як відповідні) або ∠5 = ∠4 = 110° (як внутрішні різносторонні); ∠6 = ∠3 = 70° (як відповідні); ∠7 = ∠5 = 110° (як вертикальні); ∠8 = ∠6 = 70° (як відповідні). Відповідь: Три кути по 70°; чотири — по 110°. 1.28 Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них дорівнює 70°. Скільки розв'язків має задача?

1. 2. Задача має два розв’язки. Випадок 1. В ΔABC AB = BC, ∠B = 70°. Кути при основі рівні, тоді ∠A = ∠C = (180° − ∠B) : 2 = (180° − 70°) : 2 = 55°. Випадок 2. В ΔABC AB = BC, ∠A = 70°. ∠C = ∠A = 70° як кути при основі. ∠B = 180° − (∠A + ∠C); ∠B = 180° − 2 · 70° = 40°. Відповіді: 1. 55°, 55°, 70°; 2. 70°, 70°, 40°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1.29 У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а сума меншого катета й медіани, проведеної до гіпотенузи, — 10 см. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника. У ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, CD — медіана. За властивістю медіани прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенуза, маємо: CD = АВ : 2 = AD = BD. ∠A = 90° − ∠B = 30°. Тоді BC — менший катет, оскільки лежить проти меншого кута. За умовою CD + BC = 10 см. У ΔBCD CD = BD, ∠B = 60°, тоді ΔBCD — рівносторонній, CD = BC = 10 см : 2 = 5 см. AB = 2CD = 2 · 5 см = 10 см. Відповідь: 10 см. 1.30 Пряма AB є січною для прямих KL і MN. Запишіть усі пари внутрішніх односторонніх кутів, внутрішніх різносторонніх кутів та відповідних кутів. Внутрішні односторонні кути: ∠KCD і ∠MDC; ∠NDC і ∠DCL. Внутрішні різносторонні кути: ∠KCD і ∠CDN; ∠DCL і ∠MDC. Відповідні кути: ∠KCA і ∠MDC; ∠ACL і ∠CDN; ∠KCD і ∠MDB; ∠DCL і ∠BDN.

1.31 Яким є взаємне розміщення прямих a і b, якщо: 1. ∠2 + ∠4 = 180°; 2. ∠1 > ∠4; 3. ∠3 = 120°, ∠4 = 121°; 4. ∠2 = 60°, ∠4 = 119°; 5. ∠1 = ∠4 = 122°; 6. ∠3 = ∠4? 1, 5, 6 — прямі a і b паралельні. 2, 3, 4 — прямі a і b перетинаються.

1.32 1. Доведіть, що △ABC = △CDA, якщо AB = CD і ∠BAC = ∠ACD. 2. Доведіть, що BC = AD і ∠BCA = ∠CAD. 3. Чи паралельні прямі BC і AD? 1. AB = CD; ∠BAC = ∠ACD (за умовою). AC — спільна сторона трикутників ABC і CDA. Тому ΔABC = ΔCDA (за першою ознакою). 2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то BC = AD і ∠BCA = ∠CAD. 3. Оскільки ∠BCA = ∠CAD, і ці кути — внутрішні різносторонні, утворені при перетині прямих BC і AD січною AC, то BC || AD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1.33 Тарас і його старша сестра Аліса ведуть здоровий спосіб життя. Кілька разів на тиждень вони пробігають доріжкою навколо парку, який має форму прямокутника зі сторонами 150 і 200 м. Дівчина пробігає доріжкою 4 рази, а хлопець — тричі. Швидкість бігу Тараса — 14 км/год, Аліси — 16 км/год. Хто витрачає більше часу на тренування та на скільки? Відповідь дайте з точністю до секунд. Швидкість Довжина Відстань Час Аліса 16 км/год Ширина – 150 м ← у 4 р. > ? Тарас 14 км/год Довжина – 200 м ← у 3 р. > ? 1. 2 · (150 + 200) = 2 · 350 = 700 (м) — довжина доріжки. 2. (700 м · 4) : 16 = 2,8 км : 16 = 0,175 год = = 0,175 · 60 хв = 10,5 хв = 10 хв 30 с — витрачає Аліса. 3. (700 м · 3) : 14 = 2,1 км : 14 = 0,15 год = = 0,15 · 60 хв = 9 хв — витрачає Тарас. 4. 10 хв 30 с – 9 хв = 1 хв 30 с — на стільки більше. Відповідь: Аліса витрачає на 1 хв 30 с більше часу на тренування. 1.34 (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1964 р.) Знайдіть найбільше значення n, для якого n точок можна розмістити на площині так, щоб кожні три з них були вершинами прямокутного трикутника. Нехай A і B — ті з даних точок, відстань між якими найбільша, а C — будь−яка з інших даних точок. У ΔABC за умовою один з кутів прямий. Оскільки AB — найбільша сторона трикутника, то ∠ACB = 90°. Отже, усі дані точки лежать на колі, побудованому на відрізку AB як на діаметрі. Припустимо, що серед даних точок, крім точки C, є й точка D. У ΔADC — один з кутів прямий. ∠ADC не може бути прямим, бо тоді точка C збігалася б з точкою B (відрізок AC був би діаметром кола). Аналогічно ∠ACD також не може бути прямим. Тому ∠DAC = 90°, а отже, DC — діаметр кола. Довели, що будь−яка інша четверта точка D є кінцем діаметра кола, який проходить через точку C. Така точка єдина. Отже, n = 4. Відповідь: n = 4. § 2. Паралелограм, його властивості й ознаки

2.1 Серед чотирикутників, зображених на малюнках, укажіть паралелограми.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2.2 Накресліть паралелограм ABCD, у якого кут D тупий.

la. in.

2.3 Накресліть паралелограм KLMN, у якого кут K гострий.

2.4 (Усно) Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см. Яка довжина сторони, що їй протилежна? 6 см 2.5 Один з кутів паралелограма дорівнює 50°. Знайдіть інші його кути. Кути, сусідні з кутом 50°, дорівнюють 180° − 50° = 130°. Кут, протилежний даному, рівний йому, тобто дорівнює 50°. Відповідь: 50°, 130°, 130°. 2.6 Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них дорівнює 110°. У паралелограмі: Суміжні кути в сумі дають 180°. Протилежні кути рівні. Якщо один кут дорівнює 110°, то сусідній: 180° − 110° = 70°. Отже, кути будуть: 110°, 70°, 110°, 70°. 2.7 Знайдіть периметр паралелограма, у якого одна сторона дорівнює 12 см, а друга — на 3 см більша за неї. 1. 12 + 3 = 15 (см) — друга сторона; 2. P = 2(12 + 15) = 54 (см). Відповідь: 54 см. 2.8 Знайдіть периметр паралелограма, у якого одна сторона дорівнює 18 см, а друга — удвічі менша. 1. 18 : 2 = 9 (см) — друга сторона; 2. P = 2(18 + 9) = 54 (см). Відповідь: 54 см. 2.9 Розв'яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте прізвище видатної української жінки-математика, науковиці, докторки фізико-математичних наук. Дізнайтеся з інтернету про її життєвий i творчий шлях.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У паралелограмі ABCD (згідно властивостей паралелограма): ∠A + ∠B = 180°, ∠A = ∠C. 1. ∠A + ∠C = 120° ⇒ 2∠A = 120° ⇒ ∠A = 60°, ∠B = 120°.

2. ∠A = ∠B + 20° і ∠A + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 80°, ∠A = 100°.

3. ∠A = ∠B, ∠A + ∠B = 180° ⇒ 3

∠B = 135°, ∠A = 45°.

4. ∠A : ∠B = 3 : 2 ⇒ 5k = 180° ⇒ ∠A = 108°, ∠B = 72°.

45° 60° 72° 80° 100° 108° 120° 135° В І Р Ч Е Н К О Ніна Опанасівна Вірченко — українська математикиня, докторка фізико-математичних наук, професорка КПІ, відома дослідниця спецфункцій, історії математики та  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ∠B + ∠D = 200°; ∠B = ∠D =

200° 2

= 100°.

la. in.

Тоді ∠A = ∠C = 180° − 100° = 80°.

популяризаторка спадщини Михайла Кравчука. У 1948 році була заарештована як учасниця українського руху опору, відбула шість років у таборах Східного Сибіру; згодом викладала в КНУ та КПІ, авторка сотень праць і понад 20 книжок. 2.10 Знайдіть усі кути паралелограма, якщо: 1. сума двох з них дорівнює 200°; 2. один з них на 40° менший від другого; 3. один з них удвічі більший за другий; 4. градусні міри двох з них відноситься як 4 : 5.

2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 40°. Маємо x + x + 40 = 180; 2x = 140; x = 70. Отже, ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 70° + 40° = 110°.

3. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x. Маємо x + 2x = 180; 3x = 180; x = 60. Отже, ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°.

4. Оскільки ∠A : ∠B = 4 : 5, то можна позначити ∠A = 4x, ∠B = 5x. Маємо 4x + 5x = 180; 9x = 180; x = 20. Отже, ∠A = ∠C = 4 · 20° = 80°; ∠B = ∠D = 5 · 20° = 100°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2.11 У паралелограмі ABCD ∠ BAD = 80°, ∠ ACD = 50°. Знайдіть ∠ ACB і ∠ ABC. 1. ∠BCD = ∠BAD = 80°. 2. ∠ACB = ∠BCD − ∠ACD = 80° − 50° = 30°. 3. ∠ABC = 180° − ∠BAD = 180° − 80° = 100°. Відповідь: ∠ACB = 30°; ∠ABC = 100°.

la. in.

2.12 У паралелограмі ABCD ∠ BAC = 35°, ∠ BCA = 40°. Знайдіть кути паралелограма. 1. ∠ABC = 180° − (35° + 40°) = 105°. 2. ∠CDA = ∠ABC = 105°. 3. ∠BAD = ∠BCD = 180° − 105° = 75°. Відповідь: ∠BAD = ∠BCD = 75°; ∠ABC = ∠CDA = 105°. 2.13 (Усно) Які помилки допущено в зображенні паралелограма на малюнках?

На мал. 1 — внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних прямих січною, не рівні між собою. Це суперечить відомій властивості. На мал. 2 одна з діагоналей точкою перетину поділена на нерівні відрізки. Це суперечить властивості паралелограма. На мал. 3 сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 60° + 130° = 190° ≠ 180°. Це суперечить властивості паралелограма. 2.14 Периметр паралелограма дорівнює 40 см. Знайдіть його сторони, якщо: 1. одна з них на 4 см більша за другу; 2. вони відносяться як 3 : 7. 1. Нехай AB = x см, тоді BC = (x + 4) см. Маємо 2(x + x + 4) = 40; 2x + 4 = 20; 2x = 16; x = 8 (см). Отже, AB = CD = 8 (см); BC = AD = 8 + 4 = 12 (см). Відповідь: 8 см; 12 см. 2. Оскільки AB : BC = 3 : 7, то можна позначити AB = 3x, BC = 7x. Маємо 2(3x + 7x) = 40; 10x = 20; x = 2 (см). Отже, AB = CD = 3 · 2 = 6 (см); BC = AD = 7 · 2 = 14 (см). Відповідь: 6 см; 14 см. © shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2.15 Периметр паралелограма дорівнює 36 дм. Знайдіть його сторони, якщо: 1. одна з них на 2 дм менша від другої; 2. одна з них у 5 разів більша за другу. P = 2(a + b), де a і b — сторони паралелограма. 1. Менша сторона — x дм, більша сторона — (x + 2) дм. P = 2(x + x + 2) = 4x + 4. За умовою 4x + 4 = 36, 4x = 32, x = 8. 8 + 2 = 10 (дм). Відповідь: 8 дм, 10 дм. 2. Менша сторона — x дм, більша сторона — 5x дм. P = 2(x + 5x) = 12x. 12x = 36, x = 3. 3 · 5 = 15 (дм). Відповідь: 3 дм, 15 дм.

2.16 О — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Знайдіть діагональ AC, якщо BD = 20см, AB = 15 см, а периметр трикутника AOB дорівнює 32 см. 1. OB =

BD 2

20 2

= 10 (см).

2. AO = PΔAOB − (AB + BO) = 32 − (15 + 10) = 7 (см). 3. AC = 2 · AO = 2 · 7 = 14 (см). Відповідь: 14 см. 2.17 У чотирикутнику ABCD ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4. Доведіть, що ABCD — паралелограм. 1. ∠BAD = ∠2 + ∠3; ∠BCD = ∠1 + ∠4. Але ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4, тому ∠BAD = ∠BCD. 2. ∠B = 180° − (∠1 + ∠3); ∠D = 180° − (∠2 + ∠4). Оскільки ∠2 = ∠1, ∠3 = ∠4, то ∠B = ∠D. 3. Оскільки у чотирикутнику ABCD протилежні кути попарно рівні, то він є паралелограмом, що й треба було довести. 2.18 △ ABC = △ CDA. Доведіть, що ABCD — паралелограм. 1. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то AB = CD і BC = DA. 2. У чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, то він є паралелограмом, що й треба було довести.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2.19 Побудуйте паралелограм за двома сторонами й кутом між ними. Проводимо пряму, обираємо на ній точку A і будуємо кут, рівний α з вершиною в точці A. На сторонах кута відкладаємо відрізки AB = a і AD = b. Проводимо коло радіуса b з центром B і коло радіуса a з центром D. Точка перетину кіл — точка C. ABCD — шуканий паралелограм. 2.20 Побудуйте паралелограм за двома сторонами та діагоналлю. Дві сторони і діагональ утворюють трикутник. Побудуємо ΔABD, у якого AB = a, AD = b, BD = d. Проводимо коло радіуса b з центром B і коло радіуса a з центром D. Точка перетину кіл — точка C. ABCD — шуканий паралелограм. 2.21 Бісектриса кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 48°. Знайдіть кути паралелограма. У паралелограма ABCD бісектриса AK утворює зі стороною BC кут ∠BKA рівний 48°. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD і січній AK. ∠BAK = ∠KAD за умовою. Тоді ∠BAD = 2∠BAK = 2 · 48° = 96°. ∠B = 180° − ∠BAD = 180° − 96° = 84°. Відповідь: 96°, 84°. 2.22 У паралелограмі ABCD бісектриса кута A ділить сторону BC на відрізки BM = 5 см і MC = 7 см. Знайдіть периметр паралелограма. ΔABM — рівнобедрений, оскільки ∠BMA = ∠MAD (як внутрішні різносторонні при AD || BC і січній AM), а ∠BAM = ∠MAD (за означенням бісектриси). Отже, AB = BM = 5 см. BC = BM + MC = 5 см + 7 см = 12 см. PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (5 + 12) = 2 · 17 = 34 (см). Відповідь: 34 см. 2.23 У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 12 см. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці P. Знайдіть BP і PC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠BPA = ∠PAD (як внутрішні різносторонні при AD || BC і січній AP); ∠BAP = ∠PAD (за означенням бісектриси). Тоді ∠BAP = ∠BPA, тобто ΔABP — рівнобедрений, BP = AB = 4 см. BC = BP + PC, PC = BC − BP = 12 см − 4 см = 8 см. Відповідь: 4 см, 8 см. 2.24 Побудуйте паралелограм за стороною і діагоналями. Припустимо, що ABCD — шуканий паралелограм, O — точка перетину його діагоналей. Тоді у нього AO =

𝑑𝑑₁ 2

, DO =

𝑑𝑑₂ 2

, AD = a.

la. in.

У ΔAOD відомі три сторони. Побудова 1. Будуємо ΔAOD за трьома сторонами: AO =

2. На промені AO відкладаємо OC =

𝑑𝑑₁

𝑑𝑑₁ 2

, DO =

𝑑𝑑₂ 2

, AD = a.

, на промені DO — OB =

𝑑𝑑₂ 2

ABCD — шуканий паралелограм. 2.25 Побудуйте паралелограм за двома діагоналями і кутом між ними.

У паралелограмі ABCD діагоналі точкою перетину діляться навпіл і утворюють при цьому кут α. 1. Побудувати кут, рівний α, з вершиною O. 2. На сторонах кута відкласти відрізки OC =

𝑑𝑑₁ 2

і OD =

𝑑𝑑₂ 2

3. Відкласти відрізки CA = d1 і DB = d2. ABCD — шуканий паралелограм. 2.26 На сторонах AD і BC паралелограма ABCD позначено точки M і K так, що ∠ ABM = ∠ CDK. Доведіть, що BMDK — паралелограм. 1. ABCD — паралелограм, тому AB = CD, ∠ABM = ∠KDC. 2. ∠ABM = ∠KDC (за умовою). Тому ΔABM = ΔCDK (за другою ознакою). Отже, AM = CK. 3. Оскільки AM = CK і AD = BC, то MD = BK. 4. MD = BK і MD || BK. Оскільки дві сторони чотирикутника BMDK паралельні й рівні, то за ознакою BMDK є паралелограмом, що й треба було довести. 2.27 На сторонах AD і BC паралелограма ABCD позначено точки M і K так, що AM = KC. Доведіть, що BMDK — паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

то ∠BAM =

1. ABCD — паралелограм, тому AD = BC; AD || BC. 2. За умовою AM = KC. 3. BK = BC − KC; MD = AD − AM. Тому BK = MD. 4. BK || MD і BK = MD. Оскільки дві сторони чотирикутника BMDK паралельні й рівні, то за ознакою BMDK є паралелограмом, що й треба було довести. 2.28 Доведіть, що бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма взаємно перпендикулярні. Якщо AM і BM — бісектриси кутів A і B, ∠A, ∠ABM =

ABCD — паралелограм,

∠B.

тому ∠BAM + ∠ABM = (∠A + ∠B) =

· 180° = 90°.

la. in.

З ΔAMB ∠AMB = 180° − (∠BAM + ∠ABM) = 180° − 90° = 90°. Таким чином, у будь−якому паралелограмі бісектриси його сусідніх кутів перетинаються під прямим кутом. 2.29 У паралелограмі гострий кут дорівнює 60°. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону на відрізки 3 см і 5 см, починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть периметр паралелограма. У паралелограмі ABCD AD = AK + KD = 3 см + 5 см = 8 см. BC = AD = 8 см. BK ⊥ AD — висота. З ΔABK (∠K = 90°) ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°. AB = 2AK = 2 · 3 см = 6 см за властивістю катета, що лежить проти кута 30°. PABCD = 2(AB + AD) = 2 · (6 + 8) = 28 (см). Відповідь: 28 см. 2.30 У паралелограмі ABCD AB = 6 см, ∠ B = 120°. Висота BK ділить сторону AD на два рівних відрізки. Знайдіть периметр паралелограма. ABCD — паралелограм, тоді ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 180° − ∠B = 180° − 120° = 60°. BK ⊥ AD — висота. З ΔABK ∠ABK = 90° − ∠A= 90° − 60° = 30°. 1

AK = AB = 2

· 6 см = 3 см як катет, що лежить проти кута 30°.

AD = 2AK = 2 · 3 см = 6 см за умовою. PABCD = 2(AB + AD) = 2 · (6 + 6) = 24 (см). Відповідь: 24 см. 2.31 У паралелограмі ABCD з вершини гострого кута A проведено висоти AL і AK. ∠ LAK = 140°. Знайдіть кут C паралелограма.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD — паралелограм. AL ⊥ BC, AK ⊥ CD — його висоти. Оскільки BC || AD, AB || CD, то AL ⊥ AD, AK ⊥ AB. ∠LAK = ∠LAD + ∠DAK, ∠DAK = ∠LAK − ∠LAD = 140° − 90° = 50°. Аналогічно, ∠LAB = ∠LAK − ∠BAK = 140° − 90° = 50°.

la. in.

∠BAD = ∠LAK – (∠LAB + ∠DAK) = 140° − (50° + 50°) = 40°. ∠C = ∠BAD = 40° як протилежні кути паралелограма. Відповідь: 40°. 2.32 У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута B проведено висоти BM і BN. ∠ MBN = 70°. Знайдіть кут D паралелограма. Розглянемо чотирикутник MBND. У цьому чотирикутнику: ∠D = 360° − (90° + 70° + 90°) = 110°.

2.33 Бісектриса кута B паралелограма ABCD ділить сторону AD на два відрізки AK і KD так, що AK − KD = 1 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см. За умовою задачі ∠ABK = ∠CBK і AK − KD = 4 см. Але ∠CBK = ∠AKB як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD і січній BK. Тому ΔABK — рівнобедрений, AB = AK = x см. Тоді KD = (x – 1) см, AD = (2x − 1) см. Периметр паралелограма дорівнює (x + 2x – 1) · 2, що за умовою становить 40 см. (AB + BC) = 40 см. (x + 2x – 1) · 2 = 40; 3x – 1 = 20; 3x = 21; x = 7. Отже, AB = AK = 7 см, AD = 7 + 7 – 1 = 13 (см). BC = AD = 13 см; CD = AB = 7 см. Відповідь: 7 см, 13 см. 2.34 Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на два відрізки BK і KC так, що BK : KC = 3 : 7. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 78 см. За умовою AK — бісектриса кута A. ∠BAK = ∠KAD. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD і січній AK. Тоді ∠BAK = ∠BKA, трикутник ABK — рівнобедрений, AB = BK. Нехай x — коефіцієнт пропорційності.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Тоді BK = 3x, KC = 7x, BC = 3x + 7x = 10x. PABCD = 2(AB = BC) = 2(3x + 10x) = 26x. За умовою 26x = 78, x = 3. AB = BK = 3 · 3 = 9 (см); BC = 10 · 3 = 30 (см). Відповідь: 9 см, 30 см. 2.35 Два кути паралелограма відносяться як 5 : 7. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини: 1. тупого кута; 2. гострого кута. 1. ABCD — паралелограм. BK ⊥ AD, BN ⊥ CD — висоти, проведені з вершини тупого кута B. За умовою ∠A : ∠B = 5 : 7. Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді ∠A = ∠C = 5x, ∠B = ∠D = 7x. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. 5x + 7x = 180; 12x = 180; x = 15. Отже, ∠D = 7 · 15° = 105°. Сума кутів чотирикутника KBND = 360°: ∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°; ∠KBN + 90° + 105° + 90° = 360°; ∠KBN = 360° − 285° = 75°. Відповідь: 75°.

2. ABCD — паралелограм. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD — висоти, проведені з вершини гострого кута A. За умовою ∠A : ∠B = 5 : 7. Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді ∠A = ∠C = 5x, ∠B = ∠D = 7x. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°: 5x + 7x = 180; 12x = 180; x = 15. ∠C = 5 · 15° = 75°. Сума кутів чотирикутника AMCN дорівнює 360°: ∠A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°; ∠A + 90° + 75° + 90° = 360°; ∠A + 255° = 360°; ∠A = 105°. Відповідь: 105°. 2.36 Один з кутів паралелограма на 12° більший за другий. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершин:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. гострого кута; 2. тупого кута. Нехай менший кут паралелограма x°, тоді більший кут — (x + 12)°. Сума гострого і тупого кутів дорівнює 180°: x + x + 12 = 180; 2x = 168; x = 84. Отже, в паралелограмі ABCD: ∠A = ∠C = 84°; ∠B = ∠D = 84° + 12° = 96°. 1. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD — висоти, проведені з вершини гострого кута A. Сума кутів чотирикутника AMCN дорівнює 360°: ∠A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°; ∠A + 90° + 84° + 90° = 360°; ∠A + 264° = 360°; ∠A = 96°. Відповідь: 96°.

2. BK ⊥ AD, BN ⊥ CD — висоти, проведені з вершини тупого кута B. Сума кутів чотирикутника KBND дорівнює 360°: ∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°; ∠KBN + 90° + 96° + 90° = 360°; ∠KBN + 276° = 360°; ∠KBN = 84°. Відповідь: 84°. 2.37 Доведіть, що три висоти трикутника або їхні продовження перетинаються в одній точці (ортоцентрі трикутника). Доведення. 1. Нехай AH1, BH2, CH3 — висоти гострокутного трикутника ABC. Проведемо через вершини трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам. Одержимо трикутник A1B1C1. Чотирикутник ABA1C — паралелограм (за побудовою). Тому BA1 = AC. Аналогічно ACBC1 — паралелограм, C1B = AC. Отже, C1B = BA1, точка B — середина A1C1. Оскільки BH2 ⊥ AC і AC || A1C1, то BH2 ⊥ A1C1. Тому BH2 належить середньому перпендикуляру до сторони A1C1 трикутника A1B1C1. Аналогічно AH1 і CH3 належать серединним перпендикулярам до двох інших сторін цього трикутника. Як відомо, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Отже, AH1, BH2 і CH3 перетинаються в одній точці. 2. Якщо △ABC — прямокутний, наприклад ∠ C = 90°, то очевидно, що три висоти перетинаються в точці C.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

3. Якщо △ABC — тупокутний, то продовження трьох висот трикутника перетинаються в одній точці. Доведення аналогічне до доведення п. 1. 1. Нехай AH1, BH2, CH3 — висоти гострокутного трикутника ABC. Проведемо через вершини трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам. Одержимо трикутник A1B1C1.Чотирикутник ABA1C — паралелограм (за побудовою). Тому BA1 = AC. Аналогічно ACBC1 — паралелограм і C1B = AC. Отже, C1B = BA1, точка B — середина A1C1. Оскільки BH2 ⊥ AC і AC || A1C1, то BH2 ⊥ A1C₁. Тому BH2 належить серединному перпендикуляру до сторони A1C1 трикутника A1B1C1. Аналогічно AH1 і CH3 належать серединним перпендикулярам до двох інших сторін цього трикутника. Як відомо, серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Отже, AH1, BH2 і CH3 перетинаються в одній точці. 2. Якщо ΔABC — прямокутний, наприклад ZC = 90°, то очевидно, що три висоти перетинаються в точці C. 3. Якщо ΔABC — тупокутний, то продовження трьох висот трикутника перетинаються в одній точці. 2.38 Знайдіть другий гострий кут прямокутного трикутника, якщо перший дорівнює: 1. 20°; 2. 65°. 1. 90° − 20° = 70°; 2. 90° − 65° = 25°. 2.39 Дві сторони трикутника дорівнюють 7,2 см і 2,5 см. Якому найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона? 7,2 − 2,5 < c < 7,2 + 2,5; 4,7 < c < 9,7. Отже, c = 9 см. Відповідь: 9 см. 2.40 Зовнішній кут трикутника у 2 рази більший за один з внутрішніх кутів, не суміжний з ним. Доведіть, що трикутник є рівнобедреним. ∠BCD — зовнішній кут трикутника ABC. Нехай ∠A = x, тоді ∠BCD = 2x за умовою. ∠BCA = 180° − 2x (як суміжний з ∠BCD). Сума кутів ΔABC дорівнює 180°: ∠B = 180° − (∠A + ∠BCA); ∠B = 180° − (x + (180° − 2x)); ∠B = 180° − x − 180° + 2x = x. Отже, ∠B = ∠A, значить, ΔABC — рівнобедрений.

2.41 Чи можна побудувати чотирикутник зі сторонами 6 см, 6 см, 4 см і 2 см та кутом 60° між рівними сторонами?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Припустимо, що ABCD — шуканий чотирикутник, BD — його діагональ. AB = AD = 6 см, ∠A = 60°. Тоді ΔABD — рівносторонній, BD = 6 см. В ΔBCD: BC + CD = 4 см + 2 см = 6 см. Маємо: BC + CD = BD, що суперечить нерівності трикутника. Відповідь: ні, не можна. 2.42 Знайдіть периметр і площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1. 5 см і 7 см; 2. 2 дм і 14 см. 1. a = 5 см, b = 7 см. 2. a = 2 дм = 20 см, b = 14 см. P = 2(5 + 7) = 24 см; P = 2(20 + 14) = 68 см; 2 S = 5 · 7 = 35 см . S = 20 · 14 = 280 см2. 2.43 1. Фермер зібрав урожай зерна та засипав його в засік, що має форму прямокутного паралелепіпеда завдовжки 12 м і завширшки 8 м. Зерно насипано в засік до висоти 2,5 м. Щоб дізнатися, скільки важить усе зерно, зважили щільність завдовжки 0,5 м, завширшки 0,5 м і заввишки 0,4 м, щільність наповненої зерном. Скільки важило зерно в засіку, якщо зерно в щільнику важило 80 кг? 2. Яким буде виторг фермера від продажу всього зерна за гуртовою ціною, що складає 6000 грн за 1 т? 1. 1) 0,5 · 0,5 · 0,4 = 0,25 · 0,4 = 0,1 (м2) — об'єм ящика. 2) 0,1 м2 — 80 кг 1 м2 — ? 80 · 0,1 = 800 (кг) — важить 1 м2 зерна. 3) 12 · 8 · 2,5 = 12 · 20 = 240 (м2) — об'єм засіка. 4) 240 · 800 = 192 000 (кг) = 192 (т) — загальна вага зерна. 2. 192 · 6000 = 1 152 000 (грн) Відповідь: зерно важить 192 т.; виторг складе 1 152 000 грн. 2.44 Видатні українці. Запишіть по горизонталях прізвища видатних українців (за потреби використайте додаткову літературу та інтернет) й отримаєте у виділеному стовпчику ім’я давньогрецького філософа, математика, релігійного та політичного діяча. 1. Видатний український наукознавець у галузі зварювальних процесів, доктор технічних наук, Герой України. 2. Українська поетеса, публіцистка, діячка ОУН, жінка-борець за незалежність України у XX столітті. 3. Український письменник, поет, публіцист, перекладач, учений, громадський і політичний діяч (1856-1916). 4. Відома спортсменка, рекордсменка України за кількістю олімпійських нагород. 5. Політичний діяч і публіцист, організатор української науки; Голова Центральної Ради Української Народної Республіки.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

6. Українська народна художниця в жанрі «наївного мистецтва», національна легенда України. 7. Українська акторка театру та кіно. Народна артистка України, почесна громадянка Києва.

§ 3. Прямокутник і його властивості 3.1 Які із чотирикутників, зображених на малюнках, є прямокутниками?

3.2 У прямокутнику ABCD діагональ AC дорівнює 5 см. Яка довжина діагоналі BD? BD = AC = 5 см. 3.3 Сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 8 см. Знайдіть його периметр. P = 2 · (5 + 8) = 2 · 13 = 26 (см). 3.4 Знайдіть периметр прямокутника, сторони якого дорівнюють 3 см і 4 см. P = 2 · (3 + 4) = 2 · 7 = 14 (см). 3.5 Якщо чотирикутник є прямокутником, то його діагоналі між собою рівні. Чи правильне обернене твердження? Наведіть приклад.

Ні. 3.6 Сторона BC прямокутника ABCD дорівнює 8 см, а діагональ BD = 12 см. Знайдіть периметр трикутника BOC, де O — точка перетину діагоналей прямокутника. ABCD — прямокутник, BC = 8 см, діагональ BD = 12 см. Діагоналі прямокутника рівні, тому AC = BD = 12 см. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл: 1

BO = CO = BD = 6 см. 2

PΔABC = BD + 2BO = 8 + 2 · 6 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 3.7 O — точка перетину діагоналей прямокутника ABCD. AC = 12 см, периметр трикутника AOB дорівнює 16 см. Знайдіть сторону AB.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У прямокутнику ABCD діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл. Тому BD = AC = 12 см, BO = AO = 12 : 2 = 6 см. PΔAOB = AB + 2AO; AB = PΔAOB − 2AO. AB = 16 − 2 · 6 = 16 − 12 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 3.8 (Усно) Що можна сказати про вид паралелограма, коли відомо, що: 1. жоден з його кутів не є гострим; 2. жоден з його кутів не є тупим; 3. він має три рівних між собою кути? 1−2. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Ці кути не можуть бути обидва гострими або обидва тупими. Тому якщо за умовою жоден з кутів не є гострим (або тупим), то ці кути рівні і прямі. Цей паралелограм є прямокутником. 3. Серед будь−яких трьох кутів паралелограма є пара сусідніх кутів, сума яких становить 180°. Тоді ці кути рівні і дорівнюють кожен 90°. Паралелограм, у якого є прямий кут, — це прямокутник. 3.9 Доведіть, що коли в чотирикутнику три кути прямі, то цей чотирикутник — прямокутник. Нехай в чотирикутнику ABCD ∠A = ∠B = ∠C = 90°. ∠A і ∠B — внутрішні односторонні при прямих AD і BC і січній AB. Оскільки їх сума дорівнює 90° + 90° = 180°, то AD || BC. Аналогічно, сума внутрішніх односторонніх кутів B і C дорівнює 180°, тому AB || CD. ABCD — паралелограм, як чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Оскільки у паралелограма ABCD є прямий кут, то ABCD — прямокутник. 3.10 Доведіть, що коли в чотирикутнику всі кути рівні, то цей чотирикутник — прямокутник. Оскільки у чотирикутника ABCD протилежні кути попарно рівні, то ABCD — паралелограм за ознакою. Сума кутів чотирикутника ABCD дорівнює 360°, кожен з них дорівнює 360° : 4 = 90°. ABCD — прямокутник, як паралелограм, у якого є прямий кут. 3.11 Розв'яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте прізвище першої олімпійської чемпіонки незалежної України.

 shkola.in.ua

la. in.

1. Нехай BC = x см, тоді AB = (x + 2) см. P = (x + (x + 2)) · 2 = (2x + 2) · 2 = 4x + 4. За умовою, 4x + 4 = 40; x + 1 = 10; x = 9. Отже, BC = 9 см, AB = 9 + 2 = 11 см. 2. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді AB = 2x, BC = 3x. P = (2x + 3x) · 2 = 10x. За умовою, 10x = 40; x = 4. AB = 2 · 4 = 8 см, BC = 3 · 4 = 12 см.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

12 см 11 см 9 см 8 см Б А Ю Л Відповідь: Оксана Баюл. 3.12 Периметр прямокутника дорівнює 50 см. Знайдіть його сторони, коли відомо, що: 1. одна з них на 5 см менша від другої; 2. сторони відносяться як 4 : 1. 1. Нехай a = x см, тоді b = (x − 5) см. P = (a + b) · 2 = (x + x − 5) · 2 = (2x − 5) · 2 = 4x − 10. За умовою 4x − 10 = 50; 4x = 60; x = 15. a = 15 см, b = 15 − 5 = 10 (см). Відповідь: 15 см, 10 см.

2. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді a = 4x, b = x. P = (4x + x) · 2 = 10x. За умовою 10x = 50; x = 5. a = 4 · 5 = 20 (см), b = 5 см. Відповідь: 20 см, 5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.13 (Усно) На малюнку зображено прямокутник ABCD. Знайдіть усі рівні між собою кути. ∠1 = ∠5 = ∠4 = ∠8; ∠2 = ∠6 = ∠7 = ∠3; ∠9 = ∠11; ∠10 = ∠12.

la. in.

3.14 Знайдіть за малюнком: 1. ∠3, якщо ∠8 = 50°; 2. ∠2, якщо ∠10 = 41°. 1. Якщо ∠8 = 50°, то ∠3 = 90° – 50° = 40°. 2. Якщо ∠10 = 41°, то ∠2 = ∠10 : 2 = 41° : 2 = 20,5°. Відповідь: 1. 40°; 2. 20,5°.

3.15 Знайдіть за малюнком: 1. ∠5, якщо ∠2 = 40°; 2. ∠12, якщо ∠3 = 32°. 1. Якщо ∠2 = 40°, то ∠5 = 90° – 40° = 50°. 2. Якщо ∠3 = 32°, то ∠12 = 2 · ∠3 = 2 · 32° = 64°. Відповідь: 1. 50°; 2. 64°.

3.16 Діагональ прямокутника ділить кут прямокутника на два кути, один з яких на 20° більший за другий. Знайдіть ці кути. Нехай перший кут x, тоді другий — x + 20. Оскільки сума кутів складає 90°, складаємо рівняння: x + x + 20 = 90; 2x = 70; x = 35° — перший кут; 35° + 20° = 55° — другий кут. Відповідь: 35°, 55°. 3.17 Доведіть, що навколо прямокутника можна описати коло. Діагоналі прямокутника ABCD рівні і точкою перетину діляться навпіл. Тоді AO = BO = CO = DO, тобто вершини прямокутника рівновіддалені від точки перетину діагоналей. Це означає, що вершини прямокутника лежать на деякому колі з центром O.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.18 Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він: 1. на 15° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони; 2. на 50° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони.

la. in.

У прямокутнику ABCD AC і BD — діагоналі, O — точка їх перетину, AB < BC. 1. Нехай ∠AOB = x, тоді ∠ABO = x − 15°. ∠OAB = ∠ABO як кути при основі рівнобедреного ΔAOB (AO = BO як половини рівних діагоналей). Сума кутів трикутника 180°. x + x + 15 + x − 15 = 180; 3x – 30 = 180; 3x = 210; x = 70. ∠AOB = 70°; ∠ABO = 70° – 15° = 55°. Відповідь: 55°. 2. Нехай ∠ABO = x, тоді ∠BOC = x + 50°. ∠AOB = 180° − (x + 50°) = 130° − x (як суміжні). ∠OAB = ∠ABO як кути при основі рівнобедреного ΔAOB (AO = BO як половини рівних діагоналей). Сума кутів трикутника 180°: x + x + 130 − x = 180; x + 130 = 180; x = 50. ∠ABO = 50°. Відповідь: 50°. 3.19 Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо він: 1. на 90° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони; 2. на 40° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.

ABCD — прямокутник, AC і BD — діагоналі, O — точка їх перетину, BC > AB. 1. Нехай ∠CBO = x, тоді ∠BOC = x + 90°. ∠OBC = ∠OCB як кути при основі рівнобедреного ΔBOC (BO = CO як половини рівних діагоналей). Сума кутів трикутника 180°:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

x + x + x + 90 = 180; 3x = 90; x = 30. ∠OBC = 30°. Відповідь: 30°. 2. Нехай ∠CBO = x, тоді ∠AOB = x + 40°. Тоді ∠BOC = 180° − ∠AOB = 180° − (x + 40°) = 180° − x − 40° = 140° − x (∠AOB і ∠COB — суміжні). ∠BCO = ∠CBO як кути при основі рівнобедреного трикутника BOC (BO = CO як половини рівних діагоналей). x + x + 140 − x = 180; x = 180 – 140; x = 40. ∠CBO = 40°. Відповідь: 40°. 3.20 У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O, E — середина AB, ∠ CAB = 70°. Знайдіть ∠ DOE.

ABCD — прямокутник, O — точка перетину його діагоналей; BE = AE; ∠CAB = 70°. У ΔAOB AO = BO як половини рівних діагоналей. За умовою OE — медіана рівнобедреного ΔAOB. Значить, OE ⊥ AB. У ΔAOE ∠AOE = 90° − ∠OAE = 90° − 70° = 20°. OE — бісектриса ∠AOB: ∠BOE = ∠AOE = 20°. ∠DOE = ∠DOB = ∠BOE (як суміжні). ∠DOE = 180° − 20° = 160°. Відповідь: 160°. 3.21 У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. OP — бісектриса трикутника AOB, ∠ DOP = 130°. Знайдіть ∠ CAB. ABCD — прямокутник, O — точка перетину його діагоналей; OP — бісектриса ΔAOB; ∠DOP = 130°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔAOB — рівнобедрений, AO = BO як половини рівних діагоналей. Тоді бісектриса OP є медіаною і висотою. ∠BOP = 180° − ∠DOP = 180° − 130° = 50° (як суміжні). ∠AOP = ∠BOP = 50° за умовою. З ΔAOP (∠P = 90°) ∠OAP = 90° − 50° = 40°. Отже, ∠CAB = 40°. Відповідь: 40°. 3.22 У паралелограмі ABCD з гострим кутом A діагоналі перетинаються в точці O. На відрізках AO і OC позначено точки M і N так, що OM = OB, ON = OD. Доведіть, що BMDN — прямокутник.

ABCD — паралелограм, O — точка перетину його діагоналей. OM = OB, ON = OD. ΔBON = ΔMOD за двома сторонами і кутом між ними (BO = MO, DO = NO за умовою, ∠BON = ∠MOD як вертикальні). BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма. Тоді MO = BO = ON = OD і BDО = MN. Трикутники MOD і BON — рівнобедрені, їх кути при основі рівні. З рівності трикутників випливає, що BN = MD, ∠BNO = ∠DMO, а ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих BN і MD і січній MN. Отже, BN || MD. MBND — паралелограм (BN || MD, BN = MD). Раніше довели, що BD = MN, тому MBND — прямокутник. 3.23 Точки B і D належать колу із центром O, AC — діаметр кола, AD = BC. Доведіть, що ABCD — прямокутник.

AC — діаметр кола, тому ΔABC і ΔADC — прямокутні. ΔABC = ΔCDA за катетом і гіпотенузою (AD = BC за умовою, AC — спільна гіпотенуза). Звідси ∠CAD = ∠ACB. Ці кути внутрішні різносторонні при прямих AD і BC і січній AC, тому AD || BC. ABCD — паралелограм за ознакою (AD || BC, AD = BC). ABCD — прямокутник за ознакою, як паралелограм, який має прямий кут. 3.24 Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до його сусідніх сторін, дорівнюють 4 см і 9 см. Визначте периметр прямокутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — прямокутник. NO ⊥ BC, MO ⊥ AB, тоді NO || AB, MO || BC за ознакою паралельності прямих. MBNO — паралелограм за означенням. У ΔAOB BO = AO, тоді висота OM є медіаною: AB = 2BM = 2 · 4 см = 8 см. Аналогічно BC = 2BN = 2 · 9 см = 18 см. PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 18) = 2 · 26 = 52 (см). Відповідь: 52 см. 3.25 Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його більша сторона дорівнює 20 см.

ABCD — прямокутник, AK — бісектриса кута A. BK = KC. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AK. Тоді ∠BAK = ∠BKA, 1

у ΔABK AB = BK = BC = 20 см : 2 = 10 см. 2

PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (10 + 20) = 2 · 30 = 60 см. Відповідь: 60 см. 3.26 Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 8 дм.

ABCD — прямокутник, AK — бісектриса кута A. BK = KC. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AK. Тоді ∠BAK = ∠BKA, у ΔABK AB = BK = 8 дм. BC = 2BK = 16 дм. PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 16) = 2 · 24 = 48 (дм). Відповідь: 48 дм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3.27 На малюнку ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°: 1. OK = a. Знайдіть: DB і AB; 2. AC = m. Знайдіть: AK і CD.

la. in.

1. ∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD. ΔABO — рівнобедрений, AO = OB за властивістю діагоналей прямокутника. Тоді ∠ABO = ∠OAB = 60° як кути при основі. ∠AOB = 180° − 2 · 60° = 60°. ΔAOB — рівносторонній. Висота BK є медіаною. AO = 2AK = 2a. AB = AO = 2a; BD = 2BO = 2 · 2a = 4a. Відповідь: 4a і 2a. 2. В ΔACD (∠D = 90°) ∠CAD = 90° − 60° = 30°. 1

Тоді CD = AC = m як катет, протилежний куту 30°. 2

∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD. ΔABO — рівнобедрений (AO = BO за властивістю діагоналей прямокутника) з кутом 60° при основі. Тоді ΔAOB — рівносторонній. 𝑚𝑚 AB = BO = AO = . 2

BK — висота і медіана. 1

AK = AO = · 2

𝑚𝑚

2 2 𝑚𝑚 𝑚𝑚

Відповідь: ; .

𝑚𝑚

= .

3.28 На малюнку ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°, AB = b. Знайдіть BD і OK. ∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD. ΔAOB — рівнобедрений (AO = BO за властивістю діагоналей прямокутника) з кутом 60° при основі. Тоді ΔAOB — рівносторонній. AB = BO = AO = b. BD = 2BO = 2b за властивістю діагоналей прямокутника. В ΔAOB BK — висота і медіана. 1

𝑏𝑏

OK = AO = b = . 2

𝑏𝑏

Відповідь: 2b; . 2

3.29 У рівнобедреній прямокутній трикутній ABC з гіпотенузою BC = 35 см вписано прямокутник KLMN так, що точки K і L лежать на гіпотенузі трикутника, а точки M і N — на катетах. KL : KN = 3 : 2. Знайдіть периметр прямокутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді KL = 3x, KN = 2x. В ΔABC ∠B = ∠C = 45°. Тоді ΔBKN і ΔMLC також прямокутні і рівнобедрені; NK = BK = ML = LC = 2x. BC = BK + KL + LC = 2x + 3x + 2x = 7x або 35 см за умовою.

la. in.

7x = 35; x = 5. KN = 2 · 5 = 10 (см). KL = 3 · 5 = 15 (см). P = 2(KN + KL) = 2 · (10 + 15) = 50 (см). Відповідь: 50 см. 3.30 У рівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 20 см, вписано прямокутник, який має з трикутником спільний гострий кут, а вершина протилежного кута належить гіпотенузі. Знайдіть периметр прямокутника. В ΔABC (∠A = 90°) AB = AC = 20 см, AKMN — прямокутник, ΔKBM і ΔMNC — прямокутні і рівнобедрені (KM = KB, MN = NC). AK = MN, AN = KM так як AKMN – прямокутник. Отже, KA + KM = KA + KB = AN + NC = AN + NM = 20 см. PAKMN = 2 · 20 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 3.31 З вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено висоту BK. Знайдіть кути 1

паралелограма, якщо BK = AB. 2

ABCD — паралелограм, BK ⊥ AD, BK = AB. 1

В ΔABK (∠K = 90°) BK = AB за умовою, 2

тоді ∠A = 30°. ∠C = ∠A = 30° як протилежні. ∠B = 180° − ∠A = 180° − 30° = 150°; ∠D = ∠B = 150°. Відповідь: 30°; 150°; 30°; 150°. 3.32 1. Градусна міра одного з кутів трикутника є середнім арифметичним двох інших кутів. Знайдіть цей кут. 2. Градусна міра одного з кутів чотирикутника є середнім арифметичним трьох інших кутів. Знайдіть цей кут. 1. Нехай x — сума двох кутів трикутника. 𝑥𝑥 Тоді третій кут дорівнює . 𝑥𝑥

+ x = 180;

3x = 360; x = 120.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

120° : 2 = 60°. Відповідь: 60°. 2. Нехай x — сума трьох кутів чотирикутника. 𝑥𝑥 Тоді четвертий кут дорівнює . 3

+ x = 360;

𝑥𝑥

la. in.

4x = 360 · 3; x = 270. 270° : 3 = 90°. Відповідь: 90°. 3.33 Через точку P, що належить внутрішній області кута ABC, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який лежить між сторонами кута, ділив точку P навпіл. Нехай P — деяка точка внутрішньої області кута ABC. Проведемо промінь BP і відкладемо на ньому PN = BP. Побудуємо NK || BC і NM || AB. BKNM — паралелограм. Його діагональ KM точкою P ділиться навпіл. Отже, KM — шукана пряма. 3.34 Дано: AB = BC = CD = DA. Довести: ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D. ΔABD = ΔCBD за трьома сторонами (AB = BC = CD = AD за умовою, BD — спільна сторона). З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів: ∠A = ∠C. Аналогічно ΔABC = ΔABC, ∠B = ∠D. 3.35 Сходовий марш сполучає точки A і B, відстань між якими — 4 м. Скільки сходинок на сходовому марші, якщо кут нахилу сходів дорівнює 30°, висота сходинки — 20 см?

4 м = 400 см.

Сторона прямокутного трикутника проти кута в 30° дорівнює гіпотенузи 2

AB. (Сходи утворюють прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB) BC =

400 2

= 200 см.

Нехай число сходинок x, тоді добуток висоти сходинки на їх кількість буде дорівнювати стороні BC:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

20 см · x = 200 см x = 200 : 20 x = 10 — сходинок. Відповідь: на сходовому марші — 10 сходинок. 3.36 Чи можна розрізати квадрат розміром 6 · 6 на прямокутники розміром 1 · 4 ? Розфарбуємо квадрат 6×6 у два кольори, як на малюнку. Видно, що чорних клітинок на 4 більше. Будь−який прямокутник 1×4 міститиме 2 білих і 2 чорних клітинки. Якщо можливо розрізати квадрат на прямокутники 1×4, то білих і чорних клітинок має бути порівну, але це не відповідає дійсності. Відповідь: ні. § 4. Ромб і його властивості 4.1 (Усно) Які із чотирикутників на малюнках є ромбами?

4.2 Накресліть ромб ABCD, у якого кут B тупий.

4.3 Накресліть ромб ABCD, у якого кут A гострий.

4.4 Периметр ромба дорівнює 24 см. Знайдіть його сторону. 24 см : 4 = 6 см. 4.5 Сторона ромба дорівнює 4 дм. Знайдіть його периметр. P = 4 · 4 дм = 16 дм. 4.6 Гострий кут ромба дорівнює 40°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба? Діагональ ділить кут навпіл: 40° : 2 = 20°. 4.7 Тупий кут ромба дорівнює 130°. Який кут утворює діагональ, проведена із цього кута, зі стороною ромба? Оскільки діагональ ромба є одночасно і бісектрисою, то 130° : 2 = 65°. Відповідь: 65°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.8 Діагональ ромба утворює зі стороною кут 60°. Знайдіть тупий кут ромба. Діагональ BD утворює зі стороною BC ромба кут CBD = 60°. Діагональ ромба ділить кут навпіл, тоді ∠B = 60° · 2 = 120°. Отже, тупий кут ромба дорівнює 120°. Відповідь: 120°. 4.9 Діагональ ромба утворює зі стороною кут 20°. Знайдіть гострий кут ромба. 20° · 2 = 40°. Відповідь: 40°. 4.10 У ромбі ABCD кут A дорівнює 36°. Знайдіть кути трикутника AOB, де O — точка перетину діагоналей. ABCD — ромб, ∠A = 36°, O — точка перетину діагоналей. 1

la. in.

∠BAO = ∠DAO = ∠A = 18°, 2

∠BOA = 90° за властивістю діагоналей ромба. ∠ABO = 90° − ∠BAO = 90° − 18° = 72°. Відповідь: 18°, 90°, 72°. 4.11 O — точка перетину діагоналей ромба ABCD , ∠ B = 118°. Знайдіть кути трикутника BOC . 1

∠BOC = 90°, ∠OBC = ∠B = · 118° = 59°. 2

∠BCO = 90° − ∠OBC = 90° − 59° = 31°. Відповідь: 90°, 59°, 31°.

4.12 Сума довжин трьох сторін ромба дорівнює 21 см. Знайдіть його периметр. Сторони ромба рівні. Одна сторона: 21 см : 3 = 7 см. P = 4 · 7 см = 28 см. Відповідь: 28 см. 4.13 Сума довжин двох сторін ромба дорівнює 16 см. Знайдіть периметр ромба. Сума довжин двох сторін ромба дорівнює 16 см. Знайдіть периметр ромба. Сторона ромба: 16 см : 2 = 8 см. P = 4 · 8 см = 32 см. Відповідь: 32 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.14 ABCD — ромб, ∠ 2 = 66°. Знайдіть ∠ 1 . ∠B = 180° − ∠2 = 180° − 66° = 114°. 1

∠1 = ∠B = · 114° = 57°. 2

Відповідь: 57°.

4.15 ABCD — ромб, ∠ 1 = 58°. Знайдіть ∠ 2 . ∠B = 2 · ∠1 = 2 · 58° = 116°. ∠2 = 180° − ∠B = 180° − 116° = 64°. Відповідь: 64°.

la. in.

4.16 ABCD — ромб, ∠ 1 = 55°. Знайдіть ∠ 3 . ∠BDC = ∠1, оскільки ∠B = ∠D, 1

∠1 = ∠B, 2

∠BDC = ∠D. 2

Тоді ∠D = 2∠BDC = 2 · 55° = 110°. ∠3 = 180° − ∠D = 180° − 110° = 70° (суміжні кути). Відповідь: 70°. 4.17 ABCD — ромб, ∠ 3 = 50°. Знайдіть ∠ 1 . ∠D = 180° − ∠3 = 180° − 50° = 130° (суміжні кути). ∠B = ∠D як протилежні кути ромба. 1

∠1 = ∠B = · 130° = 65° за властивістю діагоналей ромба. 2

Відповідь: 65°.

4.18 У ромбі ABCD, AB = BD. Знайдіть кути ромба. ABCD — ромб, AB = BD за умовою. Але AB = BC = CD = AD. Тоді ΔABD — рівносторонній. ∠A = 60°. ∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°. ∠C = ∠A = 60°. ∠D = ∠B = 120°. Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°. 4.19 (Усно) Які спільні властивості мають ромб і паралелограм? 1. Протилежні сторони попарно паралельні і попарно рівні. 2. Протилежно кути рівні. 3. Сума будь−яких двох сусідніх кутів дорівнює 180°. 4. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4.20 Знайдіть кути ромба, якщо: 1. сума двох його кутів дорівнює 80°; 2. один з них на 20° більший за другий.

la. in.

1. Сума даних кутів не дорівнює 180°, отже, ці кути не можуть бути сусідніми. Вони протилежні, тому рівні. ∠A = ∠C = 80° : 2 = 40°. Тоді ∠B = ∠D = 180° − 40° = 140°. Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°. 2. Оскільки дані кути не рівні, то вони не протилежні, а сусідні; їх сума дорівнює 180°. Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = (x + 20)°. x + x + 20 = 180; 2x = 160; x = 80. ∠A = ∠C = 80°, ∠B = ∠D = 80° + 20° = 100°. Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°. 4.21 Знайдіть кути ромба, якщо: 1. сума двох його кутів дорівнює 210°; 2. один з них на 50° менший від другого. 1. Сума даних кутів не дорівнює 180°, отже, ці кути не можуть бути сусідніми. Вони протилежні, тому рівні. ∠B = ∠D = 2 ∠105°. Тоді ∠A = ∠C = 180° − 105° = 75°. Відповідь: 75°, 105°, 75°, 105°. 2. Оскільки кути не рівні, то вони не протилежні, а сусідні. Їх сума дорівнює 180°: ∠A = x°; тоді ∠B = (x + 50)°; x + x + 50 = 180; 2x = 130; x = 65. ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 65° + 50° = 115°. Відповідь: 65°, 115°, 65°, 115°. 4.22 (Усно) Чи правильне твердження: 1. якщо в чотирикутнику діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом; 2. якщо в чотирикутнику діагоналі не перпендикулярні, то він не може бути ромбом; 3. існує ромб, який є прямокутником; 4. жоден прямокутник не є ромбом? 1. Ні; 2. так; 3. так; 4. ні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

4.23 Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 10°. ABCD — ромб. Сторона AB утворює з діагоналями кути BAC і ABD. Нехай ∠BAC = x, тоді ∠ABD = x + 10°. ∠A = 2x, ∠B = 2(x + 10°) за властивостями діагоналей ромба. ∠A + ∠B = 180° як сусідні. 2x + 2(x + 10) = 180; 4x + 20 = 180; 4x = 160; x = 40. Отже, ∠A = ∠C = 2 · 40° = 80°; ∠B = ∠D = 2 · (40° + 10°) = 100°. Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°. 4.24 Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2 : 3. Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді ∠CAD = 2x, ∠BDA = 3x. ∠A = 2∠CAD = 4x; ∠D = 2∠BDA = 6x. 4x + 6x = 180; 10x = 180; x = 18. ∠A = ∠C = 4 · 18° = 72°; ∠B = ∠D = 6 · 18° = 108°. Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°. 4.25 Побудуйте ромб: 1. за стороною і діагоналлю; 2. за діагоналями. 1. План побудови: 1. Побудувати трикутник ABD за трьома сторонами AB = AD = a, BD = d. Для цього провести пряму, вибрати на ній точку A. Побудувати коло радіуса a з центром A, воно перетне пряму в точці D. Побудувати коло радіуса d з центром D. B — точка перетину двох кіл. 2. Провести два кола з центрами B і D радіуса a. C — точка їх перетину. 3. ABCD — ромб. AB = BC = CD = AD = a, BD = d.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. План побудови: 1. a ⊥ b. 1

2. OB = OD = d1, OA = OC = d2. 2

4.26 Побудуйте ромб за стороною і кутом.

3. ABCD — ромб, BD = d1, AC = d2.

la. in.

План побудови: 1. ∠A = α. 2. AB = a, AD = a. 3. Коло з центром B радіуса a, коло з центром D радіуса a. Точка перетину кіл — C. 4. ABCD — шуканий ромб. 4.27 У ромбі ABCD з вершини тупого кута B проведено висоти BM і BN . Доведіть, що BM = BN. ABCD — ромб, ∠B — тупий, BM ⊥ AD, BN ⊥ CD. △ABM = △CBN за гіпотенузою і гострим кутом (AB = BC, ∠A = ∠C за властивостями ромба). З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін: BM = BN.

4.28 У ромбі ABCD з вершин тупих кутів проведено висоти BK і DL . Доведіть, що BK = DL. ABCD — ромб, ∠D і ∠B — тупі. DL ⊥ AB, BK ⊥ CD. △ADL = △CBK за гіпотенузою і гострим кутом (AD = BC за означенням, ∠A = ∠C за властивостями ромба). Звідси випливає, що DL = BK.

4.29 Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 110°. Знайдіть кути ромба. ABCD — ромб, ∠A — гострий кут. AK ⊥ BC, AP ⊥ CD, ∠KAP = 110°. BC || AD, AK ⊥ BC, тоді AK ⊥ AD. ∠KAP = ∠KAD + ∠DAP, ∠DAP = ∠KAP − ∠KAD = 110° − 90° = 20°. Аналогічно, ∠KAB = 20°. ∠BAD = ∠KAP − (∠KAB + ∠DAP) = = 110° − (20° + 20°) = 70°. ∠C = ∠A = 70°, ∠B = ∠D = 180° − 70° = 110°. Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

4.30 Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють між собою кут 50°. Знайдіть кути ромба. ABCD — ромб, ∠B — тупий. BK ⊥ AD, BP ⊥ CD. Сума кутів чотирикутника KBPD дорівнює 360°: ∠K + ∠KBP + ∠P + ∠D = 360°, ∠D = 360° − (∠K + ∠KBP + ∠P) = = 360° − (90° + 50° + 90°) = 360° − 230° = 130°. ∠B = ∠D = 130°, ∠A = ∠C = 180° − 130° = 50°. Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°. 4.31 Діагональ ромба, проведена з вершини тупого кута, утворює з висотою, проведеною із цієї самої вершини, кут 30°. Менша діагональ ромба дорівнює a см. Знайдіть: 1. кути ромба; 2. периметр ромба. ABCD — ромб, BD — менша діагональ, BD = a см, BK ⊥ AD, ∠KBD = 30°.

1. З △BКD ∠BDK = 90° − ∠KBD = 90° − 30° = 60°. Тоді ∠D = 2 · ∠KBD = 2 · 60° = 120° (за властивістю діагоналі ромба). ∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 180° − ∠D = 180° − 120° = 60°. Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°. 2. Рівнобедрений трикутник з кутом 60° при вершині є рівностороннім. AB = AD = BD = a см, PABCD = 4a см. Відповідь: 4a см. 4.32 У ромбі висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. Знайдіть: 1. кути ромба; 2. периметр ромба, якщо його менша діагональ дорівнює b см. ABCD — ромб, ∠B — тупий, BD = b см — менша діагональ. BK ⊥ AD, AK = KD. У △ABD AB = AD за означенням ромба. Але у △ABD висота BK за умовою є медіаною, отже, AB = BD. Тоді △ABD — рівносторонній. ∠A = ∠C = 60°. ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°. AB = AD = BC = CD = b см. PABCD = 4b см. Відповідь: 1. 60°, 120°, 60°, 120°; 2. 4b см. 4.33 На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і N так, що AM = CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN є ромбом (розгляньте два випадки розміщення точок M і N).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1 випадок ABCD — ромб, тому AB = BC = CD = AD. AM = CN за умовою. ∠BAM = ∠DAM = ∠BCN = ∠DCN за властивістю ромба. Тоді △AMB = △AMD = △CNB = △CND за двома сторонами і кутом між ними. Звідси BM = BN = DN = DM. ∠BNC = ∠DNC = ∠BMA = ∠DMA, тоді ∠BNM = ∠DNM = ∠BMN = ∠DMN як суміжні з рівними кутами, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих BN і MD та BM і ND та січній MN. Тоді BN || MD, BM || ND. MBND — паралелограм, у якого всі сторони рівні, тобто, ромб.

2 випадок ABCD — ромб, AC — його діагональ, AM = CN. △ABM = △CDN за двома сторонами і кутом між ними (AB = CD, AM = CN за умовою, ∠BAM = ∠DCN за властивістю діагоналей). З рівності трикутників BM = DN, ∠BMA = ∠DNC. Ці кути внутрішні різносторонні при прямих BM і DN і січній NM. Тоді BM || DN. У чотирикутнику BMDN протилежні сторони BM і DN паралельні й рівні. Отже, BMDN — паралелограм. Аналогічно, △ABM = △CBN за двома сторонами і кутом між ними. Тому BM = BN. Паралелограм BMDN, у якого сусідні сторони BM і BN рівні — це ромб. 4.34 Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба. ABCD — прямокутник. Точки M, N, P, K — середини його сторін. △MBN = △PCN = △PDK = △MAK за двома катетами (протилежні сторони прямокутника рівні, а значить, рівні і їх половини). З рівності трикутників випливає, що MN = NP = PK = MK. Тоді MNPK — паралелограм (протилежні сторони попарно рівні), а оскільки всі сторони рівні, то MNPK — ромб. 4.35 У рівносторонній трикутник ABC вписано ромб AMNK так, що трикутник і ромб мають спільний кут A , а точка N лежить на стороні BC . Знайдіть периметр трикутника, якщо периметр ромба дорівнює 40 см. △ABC — рівносторонній, AMNK — ромб. ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ∠BMN = ∠A = 60°, ∠NKC = ∠A = 60° як відповідні. Тоді △MBN і △KNC — рівносторонні. MN = BN = MB, KC = KN = NC. PAMNK = 4AM, 4AM = 40 см, AM = 10 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

PABC = AM + MB + NC + AK + KC = 6AM = 60 см. Відповідь: 60 см. 4.36 Сторони паралелограма відносяться як 5 : 2 . Знайдіть периметр паралелограма, якщо різниця цих сторін дорівнює 15 см. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді менша сторона дорівнює 2x см, а більша — 5x см. За умовою: 5x − 2x = 15 3x = 15 x=5 Периметр паралелограма: (2x + 5x) · 2 = 14x 14 · 5 = 70 (см). Відповідь: 70 см. 4.37 Один із кутів трикутника дорівнює сумі двох інших. Знайдіть найбільшу сторону цього трикутника, якщо медіана, проведена до неї, дорівнює 5 см. У ∆ABC ∠C = ∠A + ∠B. Враховуючи, що сума кутів трикутника 180°, маємо, що ∠C = 90°. Його найбільша сторона — гіпотенуза. Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. AB = 2CM = 2 · 5 см = 10 см. Відповідь: 10 см.

4.38 Периметр трикутника дорівнює 2p см. Чи може одна з його сторін дорівнювати: 1. (p − 1) см; 2. p см; 3. (p + 1) см? 1. Так. Тоді сума двох інших сторін дорівнює 2p − (p − 1) = p + 1; p + 1 > p − 1. 2. Ні. 2p − p = p. Сума двох сторін дорівнює третій, що суперечить нерівності трикутника. 3. Ні. 2p − (p − 1) = 2p − p − 1 = p – 1. p + 1 > p − 1. Сторона більша за суму двох інших. Такого трикутника не існує. 4.39 У чотирикутнику ABCD бісектриса кута A перетинає бісектриси кутів B і D під прямим кутом. Визначте вид чотирикутника ABCD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — чотирикутник. AK, BM і DN — бісектриси кутів A, B і D відповідно. DN ⊥ AK, BM ⊥ AK за умовою. Тоді BM || DN за ознакою (дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні). ∆APN = ∆ADP за спільним катетом AP і гострим кутом (∠NAP = ∠DAP за умовою). Звідси ∆ANP = ∆ADP. ∠ANP = ∠NDC — внутрішні різносторонні при прямих AB || CD і січній ND. За ознакою AB || CD. MBDN — паралелограм за означенням. ∠NBM = ∠NDM = ∠CBM, ∠NBM = ∠BMC як внутрішні різносторонні. Тоді ∆MCB = ∆NAD за стороною і прилеглими кутами. Звідси BC = AD, ∠A = ∠C, AB = CD. ABCD — паралелограм. Відповідь: паралелограм. 4.40 Знайдіть периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 5 см; 2. 2,1 дм; 3.

P = 4a, S = a . 1. P = 4 · 5 = 20 (см); S = 5 · 5 = 25 (см2). 2

3. P = 4 = 3 (м); 3 2

S=( ) = 4

(м2).

3 4

м; 4. 1 дм. 2

2. P = 4 · 2,1 = 8,4 (дм); S = 2,12 = 4,41 (дм2). 1

4. P = 4 · 1 = 6 (дм); 1 2

S = (1 ) = ( )2 = = 2 (дм2). 2

4.41 Кімната в будинку Іщуків має 5 м завдовжки, 3,5 м завширшки і 3 м заввишки. Площа дверей і вікон становить

1 6

частину від усієї площі стін.

1. Скільки рулонів шпалер потрібно, щоб обклеїти цю кімнату, якщо довжина рулону становить 10 м, а ширина — 0,5 м? 2. Скільки коштів витратить родина на шпалери, якщо один рулон коштує 180 грн? Врахуйте, якщо купувати шпалери на суму більше за 1000 грн, магазин робить знижку 5%. 1. 2 · (5 · 3) + 2 · (3,5 · 3) = 2 · 15 + 2 · 10,5 = 30 + 21 = 51 (м2) – площина стін кімнати; 1

51 – 51 · = 51 – 8,5 = 42,5 (м2) – площа стін кімнати без дверей та вікон; 6

10 · 0,5 = 5 (м2) – площа рулону шпалер; 42,5 : 5 = 8,5 = 9 – рулонів. 2. 9 · 180 = 1620 (грн) – вартість шпалер без знижки; 1620 грн · 5% = 1620 · (100% − 5%) = 1620 · 95% = 1620 · 0,95 = 1539 (грн) – вартість шпалер зі знижкою. Відповідь: 1. потрібно 9 рулонів шпалер. 2. родина витратить 1539 грн на шпалери. 4.42 (Київська міська олімпіада, 1987 р.) Вписане в трикутник ABC коло дотикається до сторони BC у точці K . Доведіть, що відрізок AK довший за діаметр кола.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Розглянемо ∆AOK. За нерівністю трикутника: OK < AK − OA ; OK < AK − OD − DA ; OK + OD < AK − DA ; d < AK − DA . Оскільки DA > O, то очевидно, що d < AK.

la. in.

§ 5. Квадрат і його властивості 5.1 Периметр квадрата дорівнює 24 см. Знайдіть його сторону. P = 4a , де a — сторона квадрата. a = P : 4; a = 24 см : 4 = 6 см. Відповідь: 6 см. 5.2 Сторона квадрата дорівнює 5 дм. Знайдіть його периметр. P = 4 · 5 дм = 20 дм. 5.3 (Усно) На малюнку зображено квадрат ABCD . Назвіть рівні між собою відрізки на цьому малюнку. AB = BC = CD = AD ; OA = OB = OC = OD ; AC = BD .

5.4 Якщо чотирикутник є квадратом, то його діагоналі рівні та взаємно перпендикулярні. Чи правильне обернене твердження? Наведіть приклад.

ні. 5.5 Точка перетину діагоналей квадрата міститься на відстані 3 см від однієї з його вершин. Знайдіть суму довжин діагоналей цього квадрата. ABCD — квадрат, O — точка перетину діагоналей. AO = 3 см, AC = 2AO = 6 см, BD = AC = 6 см, AC + BD = 6 см + 6 см = 12 см. Відповідь: 12 см. 5.6 Сума довжин діагоналей квадрата дорівнює 16 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до однієї з його вершин.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD — квадрат, O — точка перетину діагоналей. AC + BD = 16 см, AC = BD , тоді AC = 16 : 2 = 8 см. 1

AO = AC = 8 : 2 = 4 см.

la. in.

Відповідь: 4 см. 5.7 Сума довжин двох сторін квадрата дорівнює 12 см. Знайдіть периметр квадрата. P = 2 · 12 см = 24 см. 5.8 Сума довжин трьох сторін квадрата дорівнює 15 дм. Знайдіть периметр квадрата. a = 15 : 3 = 5 дм, P = 4a = 4 · 5 = 20 дм. 5.9 (Усно) Які спільні властивості мають квадрат і ромб? 1. Протилежні сторони попарно паралельні, протилежні сторони попарно рівні. 2. Усі сторони рівні між собою. 3. Діагоналі взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл. 4. Діагоналі ділять кути навпіл. 5.10 (Усно) Які спільні властивості мають квадрат і прямокутник? 1. Протилежні сторони попарно паралельні, протилежні сторони попарно рівні. 2. Діагоналі і квадрата, і прямокутника рівні між собою. 3. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. 4. Точка перетину діагоналей рівновіддалена від усіх вершин. 5.11 Різниця між периметром квадрата і його стороною дорівнює 18 см. Знайдіть сторону квадрата та його периметр. P = 4a , за умовою 4a – a = 18 см, 3a = 18 см, a = 6 см. P = 4a = 6 · 4 = 24 см. 5.12 Сусідні сторони прямокутника рівні. Доведіть, що він є квадратом. ABCD — прямокутник, AB = BC . Протилежні сторони прямокутника рівні. Тоді AB = CD , BC = AD , а значить, AB = BC = CD = AD . ABCD — квадрат. 5.13 Один з кутів ромба — прямий. Доведіть, що цей ромб є квадратом. ABCD — ромб, ∠A = 90°. Тоді ∠C = ∠A = 90° як протилежні; Оскільки, сума любих двох сусідніх кутів ромба рівна 180°, то: ∠B = 180° − ∠C = 180° − 90° = 90° як суміжні; ∠D = ∠B = 90° як протилежні. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Отже, ABCD — квадрат.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5.14 (Усно) Чи правильне твердження: 1. Кожний квадрат є прямокутником; 2. Існує квадрат, який не є ромбом; 3. Кожний ромб є квадратом; 4. Кожний квадрат є ромбом; 5. Будь−який прямокутник є квадратом; 6. Відношення периметра квадрата до його сторони є сталим для всіх квадратів? 1. Так; 2. Ні; 3. Ні; 4. Так; 5. Ні; 6. Так. 5.15 ABCD — квадрат, EF ⊥ BD. Знайдіть ∠ BFE . У ∆EBF, ∠ABD = ∠ FBD = 45° за властивістю діагоналі квадрата. Висота є бісектрисою, тоді ∆EBF — рівнобедрений (EB = FB). ∠BFE = 45° (кут при основі рівнобедреного прямокутного трикутника). Відповідь: ∠BFE = 45°. 5.16 ABCD — квадрат, ∠ BOC = 70°. Знайдіть ∠ OKA . У ∆AOK ∠AOK = ∠BOC = 70° як вертикальні, ∠OAK = 45° за властивістю діагоналі квадрата. ∠OKA = 180° − (∠AOK + ∠OAK) = 180° − (70° + 45°) = 65°. Відповідь: 65°.

5.17 Побудуйте квадрат: 1. за його периметром; 2. за його діагоналлю.

1. План побудови. 1. Побудувати дві взаємно перпендикулярні прямі, A — їх точка перетину. 2. Поділити даний відрізок p на 4 рівні частини. 1

3. Відкласти на цих прямих від точки A відрізки AB = p і 1

AD = p. 4

4. Провести кола радіуса p з центрами в точках B і D. Точка 4

перетину кіл —C . 5. ABCD — шуканий квадрат.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. Нехай d — діагональ квадрата. Побудова базується на властивості: Діагоналі квадрата перпендикулярні, рівні і точкою перетину діляться навпіл. План побудови. 1. Поділити відрізок d навпіл. 2. Побудувати дві взаємно перпендикулярні прямі з точкою перетину O . 1

3. Відкласти відрізки OA = OB = OC = OD = d . 4. ABCD — шуканий квадрат. 5.18 Побудуйте квадрат за сумою його діагоналей.

la. in.

Як і в попередній задачі, для побудови достатньо мати діагоналі. 2 Для цього заданий відрізок (суму двох рівних діагоналей) треба поділити на 4 рівні частини.

План побудови. 1. Розбиваємо заданий відрізок навпіл. Потім кожну половину теж навпіл. 2. Будуємо 2 взаємно перпендикулярні прямі. 3. Із точки перетину прямих будуємо коло, радіус якого дорівнює чверті заданого відрізка. 4. З’єднуємо точки перетину кола з прямими. 5. ABCD — шуканий квадрат. 5.19 Точка перетину діагоналей квадрата віддалена від його сторони на 3 см. Знайдіть периметр квадрата. ABCD — квадрат, O — точка перетину його діагоналей, OK ⊥ AB — відстань від точки O до сторони квадрата AB, OK = 3 см. В ∆ABO OA = OB, OA ⊥ OB за властивістю діагоналей. OK – висота і медіана. ∆OBK ∠OBK = 45°, тоді ∠BOK = 45°, ∆OBK — рівнобедрений. BK = OK = 3 см. AB = 2BK = 2 · 3 = 6 см. PKB = 4 · 6 см = 24 см. Відповідь: 24 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5.20 Периметр квадрата дорівнює 32 см. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторін. ABCD — квадрат, O — точка перетину його діагоналей; OK ⊥ AB — відстань від точки O до сторони квадрата. PABCD = 32 см, тоді AB = 32 : 4 = 8 см. В ∆ABO OA = OB, OA ⊥ OB за властивістю діагоналей. 1

OK – висота і медіана, AK = KB = AB = 4 см. 2

∆OBK — рівнобедрений, AK = OK = 4 см. Відповідь: 4 см.

la. in.

5.21 ABCD — квадрат, AE = FC. Доведіть, що BEDF — ромб. ∆ABE = ∆CBF = ∆CDF = ∆ADE рівні за двома сторонами і кутом між ними (AB = BC = CD = AD, AE = CF за умовою, ∠BAE = ∠BCF = ∠DCF = ∠DAE за властивістю діагоналей). Тоді BE = BF = DE = DF, EBFD — паралелограм і ромб (протилежні сторони попарно рівні).

5.22 ABCD — квадрат, AE = AF = CG = CH. Доведіть, що EFGH — прямокутник. ∆AEF = ∆CHG за двома катетами (AE = AF = CG = CH за умовою). Тоді EF = HG. Оскільки сторони квадрата рівні, то EB = BH = GD = DF. Тому ∆EBM = ∆GDF за двома катетами, звідки EH = FG. EFGH — паралелограм (протилежні сторони попарно рівні). ∆EBH, ∆HCG, ∆EAF, ∆GDF є рівнобедреними прямокутними, їх гострі кути дорівнюють 45°. ∠EGH = 180° − (∠BHE + ∠CHG) = 180° − (45° + 45°) = 90°. Отже, EFGH — прямокутник за ознакою. 5.23 До кола із центром у точці O з точок A проведено дві взаємно перпендикулярні дотичні AB і AC , B і C — точки дотику. Доведіть, що ABOC — квадрат. AC ⊥ AB за умовою, OB ⊥ AB, як радіус, проведений у точку дотику, тоді AC || OB. Аналогічно OC ⊥ AB. Тоді ABOC — паралелограм за означенням. OB = OC, як радіуси кола. Тому ABOC — ромб. Кут A = 90° за умовою, отже, ABOC — квадрат. 5.24 У рівнобедреній прямокутній трикутник ABC (∠ C = 90°) вписано квадрат CMNK так, що прямий кут у ньому спільний, а точка N належить стороні AB. Катет трикутника дорівнює b см. Знайдіть периметр квадрата.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ∆ABC кут C = 90°, CA = CB = b см, CMNK — квадрат, вписаний у ∆ABC. ∆ABC — прямокутний і рівнобедрений. Тоді ∠CAB = ∠CBA = 45°. У ∆NKB ∠NKB = 90° як суміжний із прямим кутом, ∠NBK = 45°, тоді ∠BNK = 90° − 45° = 45°.

la. in.

∆NKB — прямокутний і рівнобедрений, NK = BK. MN = CK, як протилежні сторони квадрата. Отже, катет дорівнює двом сторонам квадрата. PCMNK = 2CB = 2b (см). Відповідь: 2b см. 5.25 У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠ C = 90^° ) вписано квадрат KMNL так, що точки K і M лежать на гіпотенузі трикутника, а точки L і N — на катетах AC і BC відповідно. Периметр квадрата дорівнює 12 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника. ∆ABC — прямокутний і рівнобедрений, тому ∠A = ∠B = 45°. LK ⊥ AB за умовою, тоді в ∆ALK, ∠ALK = 45° і ∆ALK — рівнобедрений, тому LK = AK. Аналогічно в ∆NMB, NM = MB. PLNMK = 12 см, тоді MK = 12 : 4 = 3 см. AB = AK + KM + MB = 3MK = 3 · 3 = 9 см. Відповідь: 9 см. 5.26 На сторонах квадрата зовні побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників, які не є вершинами заданого квадрата, є вершинами іншого квадрата. Розглянемо трикутники ABK, BCP, CDT, DAN. Оскільки вони рівносторонні і побудовані на сторонах квадрата, то BK = BP = CP = CT = DT = DN = AN = AK і всі кути цих трикутників дорівнюють 60°. У квадрата ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Тоді ∠KBP = ∠PCT = ∠TDN = ∠NAK = = 360° − (90° + 60° + 60°) = 150°. ∆AKP = ∆PCT = ∆TDN = ∆NAK за двома сторонами і кутом між ними. Тоді KP = PT = TN = NK і KPTN — ромб. ∠KPT = ∠KPB + ∠BPC + ∠TCP, де ∠BPC = 60°, ∠KPB = ∠TPC (із рівності трикутників) і 180° − 150° ∠KPB = ∠TPC = = 15° 2 Тоді ∠KPT = 15° + 60° + 15° = 90°. Ромб, у якого один з кутів прямий, є квадратом. Отже, KPTN — квадрат.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5.27 У ромбі ABCD діагональ утворює з однією зі сторін кут 30°. Знайдіть кути ромба. Діагональ ромба ABCD ділить його кути навпіл, тому ∠C = 2 ∠BCA = 2 · 30° = 60°. ∠A = ∠C = 60° як протилежні. ∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°. ∠D = ∠B = 120° як протилежні. Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°. 5.28 У чотирикутнику ABCD ∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 3 : 4 : 10. Знайдіть кути чотирикутника. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник? Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді кути ∠A = x, ∠B = 3x, ∠C = 4x, ∠D = 10x. x + 3x + 4x + 10x = 360; 18x = 360; x = 20. ∠A = 20°, ∠B = 3 · 20° = 60°, ∠C = 4 · 20° = 80°, ∠D = 10 · 20° = 200°. Оскільки D > 180°, то чотирикутник неопуклий. 5.29 Бісектриса кута B у прямокутнику ABCD ділить сторону AD на відрізки AK і KD так, що AK : KD = 3 : 5. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 110 см.

ABCD — прямокутник, бісектриса BK перетинає сторону AD у точці K. AK : KD = 3 : 5. Тоді AK = 3x, KD = 5x. ∠AKB = ∠KBC як внутрішні різносторонні при BC ∥ AD і січній BK. Тоді ∠BKA = ∠AKB, ∆ABK рівнобедрений, AB = AK = 3x. CD = AB = 3x, AD = BC = 3x + 5x = 8x як протилежні сторони прямокутника. PABCD = 2(AB + AD) = 2(3x + 8x) = 22x. За умовою 22x = 110, x = 5. Тоді AB = CD = 3 · 5 = 15 (см), BC = AD = 5 · 8 = 40 (см). Відповідь: 15 см; 40 см. 5.30 1. Накресліть чотирикутник, дві сторони якого між собою паралельні, а дві інші — непаралельні. 2. Яка найбільша кількість гострих кутів може бути в такому чотирикутнику?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1 год або 60 хв, її швидкість —

Два гострі кути 5.31 Відповідно до санітарних норм, відношення площі вікон до площі підлоги в класній кімнаті має бути не менше ніж 0,2. Чи дотримано цих норм у класній кімнаті, площа якої — 12 м2, а площа становить 35% від підлоги, якщо в класі три вікна розміром 2 · 1,7 м? 1. 12 · (12 · 0,35) = 12 · 4,2 = 50,4 (м2) – площа підлоги; 2. 3 · 2 · 1,7 = 6 · 1,7 = 10,2 (м2) – площа вікон; 3. 10,2 : 50,4 = 0,2024 – відношення площин. Відповідь: норми дотримано. 5.32 О 12−й годині годинна та хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збігаються? Нехай повний оберт стрілки — це 1. Оскільки хвилинна стрілка проходить циферблат за Годинникова стрілка проходить циферблат за 12 год або 720 хв, її швидкість — Тоді стрілки зустрінуться через: 1 720 720 5 = = = 65 (хв). 1 1 12 – 1 11 11 − 60 720 5 Відповідь: 65 хв. 11

720

Домашня самостійна робота 1 1. Укажіть відрізок, що є діагоналлю чотирикутника ABCD : A. AB Б. BD В. BC Г. AD Відповідь: Б. BD 2. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 35°: A. 125° Б. 135° В. 145° Г. 155° 180° – 35° = 145° Відповідь: В. 145° 3. Знайдіть сторону квадрата, якщо його периметр дорівнює 36 см: A. 4 см Б. 6 см В. 9 см Г. 12 см a = P : 4 = 36 : 4 = 9 (см). Відповідь: В. 9 см. 4. Периметр прямокутника дорівнює 24 см, а одна з його сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть довжину меншої сторони прямокутника: A. 5 см Б. 6 см В. 7 см Г. 8 см 1. Нехай AB = x см, тоді AD = x + 2 (см). 2. Тоді 2(x + x + 2) = 24; 2x + 2 = 12; 2x = 10; x = 5 (см). Відповідь: A. 5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. ABCD — ромб, ∠ A = 50°. Знайдіть ∠ ABD : A. 55° Б. 50° В. 75° Г. 65° 1. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 50° = 130°. ∠ABC 130° 𝟐𝟐. ∠ABD = = = 65°. 2 2 Відповідь: Г. 65°.

la. in.

6. Укажіть правильне твердження: A. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, то він є ромбом. Б. Відношення периметра ромба до його сторони є сталим для всіх ромбів. В. Якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником. Г. Відношення периметра прямокутника, який не є квадратом, до його найменшої сторони є незмінним для всіх прямокутників. Відповідь: Б. Відношення периметра ромба до його сторони є незмінним для всіх ромбів. 7. Знайдіть найбільший кут чотирикутника, у якого градусні міри кутів пропорційні числам 2, 3, 5 і 8: A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160° 1. Позначимо кути 2x; 3x; 5x і 8x. Тоді 2x + 3x + 5x + 8x = 360°; 18x = 360°; x = 20°. 2. Найбільший кут чотирикутника 8 · 20° = 160°. Відповідь: Г. 160°. 8. Висоти, що проведено з вершин тупого кута паралелограма, утворюють між собою кут 30°. Знайдіть тупий кут паралелограма: A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160° Нехай у паралелограмі ABCD BK ⊥ AD, BL ⊥ CD, ∠KBL = 30°. Тоді із чотирикутника BKLD маємо: ∠KDL = 360° − ∠KBL − ∠BKD − ∠BLD = = 360° − 90° − 90° − 30° = 150°. Відповідь: В. 150°. 9. Знайдіть гострий кут ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 40°: A. 25° Б. 30° В. 50° Г. 60° Нехай задано ромб ABCD. ∠BAO − ∠ABO = 40°. Знайти: ∠ABC — ? Нехай ∠ABO = x°, тоді ∠BAO = x° + 40° і з трикутника ABO маємо: x + x + 40 = 90. 2x + 40 = 90; 2x = 50; x = 25.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠ABC = 2∠ABO = 2 ∙ 25° = 50°. Відповідь: B. 50°.

la. in.

10. Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону AB на відрізки AK і KB так, що AK : KB = 1 : 3. Знайдіть AB, якщо периметр паралелограма дорівнює 60 см. A. 26 см Б. 24 см В. 20 см Г. 15 см Нехай у паралелограмі ABCD DK — бісектриса кута D паралелограма і AK : KB = 1 : 3. Оскільки ABCD — паралелограм, то DC || AB, DK — січна при прямих DC і AB. Отже, ∠AKD = ∠KDC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник AKD — рівнобедрений з основою DK, оскільки ∠ADK = ∠KDC. AK = AD = x см, KB = 3x см. За умовою задачі 2(x + 4x) = 60, тоді x + 4x = 30; 5x = 30; x = 6. Отже, AD = 6 (см), AB = 4 · 6 = 24 (см). Відповідь: Б. 24 см. 11. З вершини тупого кута A ромба ABCD проведено висоту AK . ∠CAK = 30°, AC = 6 см. Знайдіть периметр ромба. A. 18 см Б. 24 см В. 30 см Г. 36 см Нехай ABCD — ромб, у якого AK ⊥ BC, тобто AK — висота, ∠CAK = 30°, AC = 6 см. Із трикутника ACK маємо: ∠ACK = 90° − ∠CAK = 90° − 30° = 60°. Оскільки трикутник ACB — рівнобедрений, то ∠CAB = 60°. Тоді ∠B = 180° − 60° − 60° = 60°, отже, трикутник ACB є рівностороннім і за умовою AC = 6 см, то периметр ромба дорівнюватиме 4AB = 24 см. Відповідь: Б. 24 см. 12. У трикутнику △ABC (∠ C = 90°, AC = BC) вписано квадрат KLMN так, що K ∈ AB, L ∈ AB, M ∈ CB, N ∈ AC. Знайдіть периметр квадрата, якщо AB = 12 см. A. 24 см Б. 20 см В. 12 см Г. 16 см

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, KNML — квадрат. AB = 12 см. У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику AKN, де ∠AKN = 90° (оскільки KNML — квадрат), теж ∠ANK = ∠KAN = 45°. Таким чином, трикутник AKN — рівнобедрений, AK = KN. Аналогічно в трикутнику LMB, де ∠MLB = 90°, ∠LMB = ∠B = 45° і LM = LB. Оскільки AB = 12 см, то KL = 12 : 3 = 4 (см). Отже, PKNML = 4KL = 16 см. Відповідь: Г. 13. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Кут ABO на 18∘ менший від кута AOB. Установіть відповідність між кутами (1-3) та їхніми градусними мірами (АГ). 1. ∠ABO; 2. ∠AOB; 3. ∠OAD Градусна міра кута A. 36∘ Б. 48∘ B. 54∘ Г. 72∘ У трикутнику AOB маємо OA = OB (діагоналі прямокутника рівні та перетинаються навпіл), тому він рівнобедрений і ∠OAB = ∠ABO = x. Тоді ∠AOB = 180° – 2x. За умовою ∠ABO = ∠AOB – 18°: x = (180° – 2x) – 18° 3x = 162° x = 54°. Отже, ∠AOB = 180° – 2 ∙ 54° = 72°. У прямокутнику ∠BAD = 90°, тому ∠OAD = 90° – ∠OAB = 90° – 54° = 36°. Відповідь: 1. ∠ABO = 54° → В 2. ∠AOB = 72° → Г 3. ∠OAD = 36° → А Завдання для перевірки знань до §§ 1–5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. Накресліть чотирикутник MNPL і проведіть у ньому діагоналі.

la. in.

У чотирикутника MNPL діагоналями є: MP і NL. 2. Знайдіть кути паралелограма, якщо один із них дорівнює 80°. Сусідні кути до даного кута паралелограма дорівнюють по 180° − 80° = 100°. Четвертий кут даного паралелограма є протилежним до кута 80° і згідно з властивістю кутів паралелограма, дорівнює 80°. Отже, кути паралелограма дорівнюють: 100°, 80°, 100°, 80°. Відповідь: 100°, 80°, 100°, 80°. 3. Знайдіть периметр квадрата, якщо його сторона дорівнює 7 см. Периметр квадрата дорівнює 7 см · 4 = 28 см. Відповідь: 28 см. 4. Периметр прямокутника дорівнює 18 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 1 см більша за другу. Нехай x см — менша сторона, тоді (x + 1) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (x + x + 1) · 2 = 18; x + x + 1 = 9; 2x + 1 = 9; 2x = 8; x = 4, тоді x + 1 = 5. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника дорівнюють 4 см; 5 см; 4 см; 5 см. Відповідь: 4 см; 5 см; 4 см; 5 см. 5. ABCD — ромб, ∠ ABD = 50°. Знайдіть кути ромба. У ромбі ABCD ∠ABD = 50°, тоді ∠ABC = 2∠ABD = 2 · 50° = 100° — за властивістю кутів ромба. ∠BAD = 180° − ∠ABC = 180° − 100° = 80°. Оскільки протилежні кути рівні, то в ромбі ABCD ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 80°, ∠D = 100°. Відповідь: ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 80°, ∠D = 100°. 6. На малюнку ∠ ABD = ∠ BDC, AB = DC. Доведіть, що ABCD — паралелограм. Оскільки ∠ABD = ∠CDB — за умовою і ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і CD та січній BD, то AB ∥ CD. Оскільки AB ∥ CD і AB = DC, то за ознакою паралелограма маємо: ABCD — паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

7. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3, 4, 6 . Опуклим чи неопуклим він є? Позначимо кути даного чотирикутника 2x°, 3x°, 4x° і 6x°. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то 2x + 3x + 4x + 6x = 360. Отримуємо: 15x = 360, x = 24. Тоді: 2x° = 48°, 3x° = 72°, 4x° = 96°, 6x° = 144°. У чотирикутнику всі кути менші від розгорнутого. Отже, він опуклий. Відповідь: 48°; 72°; 96°; 144°. Опуклий. 8. Висоти, проведені з вершин гострого кута ромба, утворюють між собою кут 120°. Знайдіть кути ромба. У ромбі ABCD AM ⊥ CD, AK ⊥ BC, ∠KAM = 120°. Із чотирикутника MAKC, у якому два кути прямі, третій дорівнює 120°, знаходимо: ∠KCM = 360° − 2 · 90° − 120° = 60°. Звідси за властивістю протилежних кутів ромба ∠BAD = ∠BCD = 60°. За властивістю сусідніх кутів ромба маємо: ∠ABC = ∠ADC = 180° − 60° = 120°. Отже, кути ромба: 120°; 60°; 120°; 60°. Відповідь: 120°; 60°; 120°; 60°. 9. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC так, що BK : KC = 4 : 3. Знайдіть сторону паралелограма, якщо його периметр дорівнює 88 см. Нехай у паралелограмі ABCD AK — бісектриса кута A паралелограма. Нехай BK = 4x см, KC = 3x см. Оскільки ABCD — паралелограм, то BC || AD, AK — січна при прямих BC і AD. Отже, ∠AKB = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник AKB — рівнобедрений з основою AK, оскільки ∠BAK = ∠BKA. BK = AB = 4x см, BC = 7x см. Оскільки периметр паралелограма дорівнює 88 см, то маємо рівняння: 2(4x + 7x) = 88, то маємо: 11x = 44,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

x = 4. Отже, сторони паралелограма дорівнюють: AB = CD = 16 см, AD = BC = 28 см. Відповідь: 16 см, 28 см, 16 см, 28 см. 10. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC із гіпотенузою BC = 23 см вписано прямокутник KLMN так, що точки K і L належать гіпотенузі трикутника, а точки M і N — катетам. Сторона KL прямокутника на 2 см більша за сторону LM. Знайдіть периметр прямокутника. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠A = 90°, AC = AB, KLMN — прямокутник. BC = 23 см. У трикутнику ABC ∠C = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику BKN, де ∠BKN = 90° (оскільки KLMN — прямокутник), також ∠BNK = ∠KBN = 45°. Таким чином, трикутник BKN — рівнобедрений, BK = KN. Аналогічно в трикутнику LMC, де ∠MLC = 90°, ∠LMC = ∠C = 45°, і LM = LC. Оскільки BC = 23 см, то KN = (23 − 2) : 3 = 7 см, KL = KN + 2 = 9 см. Отже, PKLMN = 2(7 + 9) = 32 см. Відповідь: 32 см. 11. З вершини тупого кута B ромба ABCD проведено висоту BM, ∠ DBM = 30°. Периметр ромба дорівнює 40 см. Знайдіть меншу діагональ ромба. Нехай ABCD — ромб, у якого BM ⊥ AD, тобто BM — висота, ∠DBM = 30°. Із трикутника DBM маємо: ∠BDM = 90° − ∠DBM = 90° − 30° = 60°. Тоді ∠A = 180° − 60° − 60° = 60°. Оскільки трикутник ABD — рівнобедрений, то ∠ABD = 60°. Оскільки трикутник ABD є рівностороннім і за умовою PABCD = 40 см, то AB = 10 см, і тоді менша діагональ ромба дорівнюватиме 10 см. Відповідь: 10 см. § 6. Трапеція 6.1 На яких малюнках зображено трапецію?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

6.2 Накресліть трапецію PKML (PK ∥ ML). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.

У трапеції PKML (PK ∥ ML) основи: PK і ML, а бічні сторони: MK і LP. 6.3 Накресліть трапецію DMFK (DM ∥ FK). Укажіть основи трапеції, бічні сторони трапеції.

У трапеції DMFK (DM ∥ FK) основи: DM і FK, а бічні сторони: DK і MF. 6.4 Накресліть прямокутну трапецію ABCD (∠ A = ∠ B = 90°).

6.5 Накресліть рівнобічну трапецію ABCD (AB = CD).

6.6 Два кути трапеції дорівнюють 30° і 110°. Знайдіть два інших її кути. Оскільки 30° + 110° = 140° ≠ 180°, то ці кути прилеглі до різних бічних сторін. Тоді інші кути дорівнюють: 1. 180° − 30° = 150° 2. 180° − 110° = 70° Відповідь: 150°, 70°. 6.7 Два кути трапеції дорівнюють 100° і 50°. Знайдіть два інших її кути.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Оскільки 100° + 50° = 150° ≠ 180°, то ці кути прилеглі до різних бічних сторін. Тоді інші кути дорівнюють: 1. 180° − 100° = 80° 2. 180° − 50° = 130° Відповідь: 80°, 130°. 6.8 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 10 см, а периметр — 28 см. Знайдіть бічну сторону трапеції. Оскільки бічні сторони рівнобічної трапеції рівні, то вони дорівнюють: 28 − (8 + 10) = 5 (см). 2 Відповідь: 5 см.

6.9 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 см і 5 см, а бічна сторона — 3 см. Знайдіть периметр трапеції. Ртр = 7 + 5 + 2 · 3 = 18 (см). Відповідь: 18 см.

6.10 Чи існує трапеція, у якої два протилежних кути: 1. гострі; 2. прямі; 3. тупі? У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.

1. Так. 2. Ні. Якщо один з кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 90°, то і другий кут теж прямий. Отримаємо прямокутник, а не трапецію. 3. Так. 6.11 Чи існує трапеція, у якої: 1. основи між собою рівні; 2. три сторони між собою рівні? У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію.

1. Ні. Чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і паралельні — це паралелограм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. Так. 6.12 Чи існує трапеція, у якої: 1. три кути прямі; 2. хоча б два протилежні кути рівні? У разі позитивної відповіді накресліть таку трапецію. 1. Ні. Бо тоді і четвертий кут прямий. 360° − 3 · 90° = 90°. 2. Ні. Бо сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. Якщо два протилежних кути чотирикутника рівні, то і інші два теж рівні. Це паралелограм. 6.13 Сторони AD і BC — основи трапеції ABCD . Доведіть, що ∠ CAD = ∠ ACB.

la. in.

∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. 6.14 Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситися як: 1. 2 : 3 : 4 : 1; 2. 2 : 3 : 5 : 2? Сума кутів трапеції дорівнює 360°. 1. 2x + 3x + 4x + x = 360; 2. 2x + 3x + 5x + 2x = 360; 10x = 360; 12x = 360; x = 36. x = 30. ∠1 = 2 · 36° = 72°; ∠1 = 2 · 30° = 60°; ∠2 = 3 · 36° = 108°; ∠2 = 3 · 30° = 90°; ∠3 = 4 · 36° = 144°; ∠3 = 5 · 30° = 150°; ∠4 = 36°. ∠4 = 2 · 30° = 60. Відповідь: ні, бо сума жодної послідовної ∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°; пари кутів не дорівнює 180°. ∠3 + ∠4 = 144° + 36° = 180°. Відповідь: так. 6.15 Чи можуть кути трапеції, узяті в послідовному порядку, відноситися як: 1. 3 : 1 : 2 : 2; 2. 3 : 1 : 2 : 4? 1. 3x + x + 2x + 2x = 360; 2. 3x + x + 2x + 4x = 360; 8x = 360; 10x = 360; x = 45. x = 36. ∠1 = 3 · 45° = 135°; ∠1 = 3 · 36° = 108°; ∠2 = 45°; ∠2 = 36°; ∠3 = ∠4 = 2 · 45° = 90°. ∠3 = 2 · 36° = 72°; ∠1 + ∠2 = 135° + 45° = 180°; ∠4 = 4 · 36° = 144°. Відповідь: ні, оскільки сума жодної ∠3 + ∠4 = 2 · 90° = 180° послідовної пари кутів не дорівнює 180°. Відповідь: так. 6.16 У трапеції, яка не є рівнобічною, два кути дорівнюють 40° і 140°. Чи можна знайти два інші кути?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

40° + 140° = 180°, отже, ці кути прилеглі до однієї бічної сторони. Відповідь: Ні, не можна.

la. in.

6.17 Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини гострого кута, утворює з бічною стороною кут 42°. Знайдіть кути трапеції.

В ∆АВК ∠КВА = 90° − ∠ВАК = 90° − 42° = 48°. ∠АВС = 180° − ∠КВА = 180° − 48° = 132° як суміжні. ∠ВАD = ∠КВА = 48° як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AB. ∠С = ∠АВС = 132°; ∠D = ∠BAD = 48° як кути при основі. Відповідь: 48°, 132°, 132°, 48°. 6.18 Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 54°. Знайдіть кути трапеції. В ∆АВК ∠А = 90° − 54° = 36°. ∠D = ∠A = 36° як кути при основі рівнобічної трапеції. ∠B = ∠C = 180° − ∠A = 180° − 36° = 144°. Відповідь: 36°, 144°, 144°, 36°.

6.19 У трапеції ABCD AB — більша основа. Прямі BC і AD перетинаються в точці E. ∠ ECD = 40°, ∠ BEA = 70°. Знайдіть кути трапеції. В ∆DEC ∠EDC = 180° − (∠DEC + ∠ECD) = 180° − (70° + 40°) = 70°. ∠A = ∠EDC = 70°, ∠B = ∠ECD = 40° як відповідні при DC || AB і січних AD і BC. ∠CDA = 180° − ∠A = 180° − 70° = 110°, ∠BCD = 180° − ∠B = 180° − 40° = 140° як прилеглі до бічної сторони. Відповідь: 70°, 110°, 140°, 40°. 6.20 У трапеції ABCD BC — менша основа. На відрізку AD взято точку E так, що BE || CD ; ∠ ABE = 60°, ∠ BEA = 40°. Знайдіть кути трапеції. В ∆АВЕ ∠А = 180° − (∠АВЕ + ∠ВЕА) = = 180° − (60° + 40°) = 80°. ∠АВС = 180° − ∠А = 180° − 80° = 100°. ∠CDA = ∠BEA = 40° як відповідні при BE || CD і січній AD. ∠BCD = 180° − ∠D = 180° − 40° = 140°. Відповідь: 80°, 100°, 140°, 40°. 6.21 У прямокутній трапеції гострий кут удвічі менший за тупий. Знайдіть кути трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 2∠D. Нехай ∠D = x, тоді ∠C = 2x. x + 2x = 180; 3x = 180; x = 60. Отже, ∠D = 60°, ∠C = 2 · 60° = 120°. Відповідь: 90°, 90°, 120°, 60°. 6.22 У прямокутній трапеції тупий кут на 40° більший за гострий. Знайдіть кути трапеції. В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°. Нехай ∠D = x, тоді ∠C = x + 40°. x + x + 40 = 180; 2x = 140; x = 70. Отже, ∠D = 70°, ∠C = 70° + 40° = 110°. Відповідь: 90°, 90°, 110°, 70°. 6.23 У рівнобічній трапеції бічна сторона вдвічі більша за висоту. Знайдіть кути трапеції. ABCD — трапеція, AB = CD, BK ⊥ AD В ∆АВК AB = 2BK, тоді BK — катет, що лежить проти кута 30°, тобто ∠A = 30°, тоді ∠D = ∠A = 30° як кути при основі. ∠B = ∠C = 180° − 30° = 150°. Відповідь: 30°, 150°, 150°, 30°. 6.24 У трапеції ABCD ∠ A + ∠ C = 180°. Визначте вид трапеції. ABCD — трапеція; AD і BC — її основи. За умовою ∠A + ∠C = 180°. За властивістю трапеції ∠C + ∠D = 180°, ∠C + ∠D = 180°. Оскільки ∠A = 180° − ∠C і ∠D=180°−∠C, то ∠A = ∠D. За ознакою трапеція ABCD — рівнобічна. Відповідь: рівнобічна трапеція. 6.25 У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Більша бічна сторона й більша основа дорівнюють по 16 см. Знайдіть меншу основу. ABCD — трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, AD = CD = 16 см. Проведемо діагональ AC. ΔACD — рівнобедрений, ∠D = 60°, тоді ∠CAD = ∠DCA = 60°, ΔACD — рівносторонній, AC = AD = CD = 16 см. У ΔABC ∠BAC = ∠A − ∠CAD = 90° − 60° = 30°. 1 1 BC = AC = · 16 см = 8 см як катет проти кута 30°. 2 2 Відповідь: 8 см. 6.26 У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 45°. Менша бічна сторона й менша основа дорівнюють по 18 см. Знайдіть більшу основу. ABCD — трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 45°, BC = AB = 18 см. Проведемо CK ⊥ AD. ABCK — квадрат (всі кути прямі, дві сусідні сторони рівні). Звідси CK = AB = AK = 18 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔCKD — прямокутний рівнобедрений, оскільки гострий кут дорівнює 45°. Отже, KD = CK = 18 см. AD = AK + KD = 18 см + 18 см = 36 см. Відповідь: 36 см. 6.27 У рівнобічній трапеції діагональ утворює з меншою основою кут 40°. Знайдіть кути трапеції. ΔABD — рівнобедрений (AD = BD за умовою). ∠DAB = ∠DBA = (180° − ∠BDA) : 2 = = (180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°. ∠CDA = ∠DAB = 70° (як кути при основі). ∠BDC = ∠CDA − ∠BDA = 70° − 40° = 30°. ∠CBD = ∠BDA = 40° (як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній BD). В ΔBCD ∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 70° + 40° = 110°. Відповідь: 70°, 110°, 110°, 70°. 6.28 У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ утворює із цією основою кут 20°. Знайдіть кути трапеції. ABCD — трапеція, AB = BC = CD, ∠BCA = 20°. ΔABC — рівнобедрений за умовою, тоді ∠BAC = ∠BCA = 20°. ∠CAD = ∠BCA = 20° як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 20° = 40°. ∠D = ∠BAD = 40° як кути при основі. ∠B = ∠C = 180° − ∠BAD = 180° − 40° = 140°. Відповідь: 40°, 140°, 140°, 40°. 6.29 Діагональ AC трапеції ABCD ділить кут A навпіл. Доведіть, що бічна сторона AB дорівнює основі BC. ABCD — трапеція, AC — діагональ, ∠BAC = ∠CAD. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. Тоді ∠BAC = ∠BCA, в ΔABC AB = BC.

6.30 O — точка перетину бісектрис кутів A і B трапеції ABCD (AD || BC). Доведіть, що ∠ AOB = 90°. 1 1 За умовою ∠BAO = ∠A, ∠ABO = ∠B. 2 2 У ΔAOB ∠AOB = 180° − (∠BAO + ∠ABO) = 1 1 = 180° − (∠B + ∠A) = 180° − · 180° = 180° − 90° = 90°. 2

6.31 Висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу трапеції на відрізки 2 см і 7 см. Знайдіть основи трапеції. 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 AK = , KD = , де a і b — основи трапеції. 2 2 Розв’яжемо систему рівнянь: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

�𝑎𝑎 +2 𝑏𝑏 2

= 2;

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 4; � = 7; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 14;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2a = 18 a=9 9−b=4 b=5 Отже, AD = 9 см, BC = 5 см. Відповідь: 9 см, 5 см. 6.32 (Ознака рівнобічної трапеції.) Якщо в трапеції діагоналі між собою рівні, то вона — рівнобічна. Доведіть це. Проведемо CK || BD. BCKD — паралелограм (CK || BD, BC || AK). ΔACK — рівнобедрений, оскільки AC = BD = CK, ∠CAD = ∠CDA. CK || BD, ∠BDA = ∠CKD, тоді ∠CAD = ∠CKD. ΔABD = ΔDCA (AC = BD, BD — спільна сторона, ∠CAD = ∠CKD), тоді AB = CD, тобто ABCD — рівнобічна трапеція. 6.33 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть кути трапеції. У трапеції ABCD AB = BC = CD, AC ⊥ CD. У ΔABC ∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при AD || BC і січній AC. Тоді ∠BAC = ∠CAD, ∠CDA = ∠BAD = 2∠CAD. Нехай ∠CAD = x, тоді ∠CDA = 2x. З ΔACD x + 2x = 90; 3x = 90; x = 30. Тоді ∠BAD = ∠CDA = 2 · 30° = 60°. ∠ABC = ∠BCD = 180 – 60 = 120 Відповідь: 60°, 120°. 6.34 У рівнобічній трапеції ABCD AD — більша основа. AD = CD, ∠ BAC = 18°. Знайдіть кути трапеції. У ΔACD ∠CAD = ∠ACD (AD = CD за умовою). ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. Тоді ∠BCA = ∠CAD = ∠ACD. Нехай ∠CAD = x, тоді ∠BAD = x + 18°, ∠ABC = ∠BCD = 2x. x + 18 + 2x = 180; 3x = 162; x = 54; ∠A = ∠D = 54° + 18° = 72°, ∠B = ∠C = 54° + 54° = 108°. Відповідь: 72°, 108°. 6.35 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і b, а її діагоналі взаємно a+b перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Проведемо через точку C пряму CF || BD, і продовжимо пряму AD до перетину з CF. Чотирикутник BCFD — паралелограм (BC || DF як основи, BD || CF за побудовою). Значить, CF = BD, DF = BC, і AF = AD + BC. ΔACF — прямокутний (оскільки пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій). Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто ΔACF — рівнобедрений з основою AF. Значить, його висота CN є медіаною. А оскільки медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її 1 AD + BC 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 половині, то CN = AF = = . 2 2 2 6.36 У прямокутній трапеції гострий кут і кут, який утворює менша діагональ з меншою основою, дорівнюють 60°. Знайдіть відношення основ трапеції. ABCD — трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, ∠BCA = 60°. ∠BCA = ∠CAD, як внутрішній різносторонній кут при паралельних прямих AD || BC і січній AC. Отже ∠CAD = 60°. Тоді в ΔACD ∠ACD = 180° − 60° − 60° = 60°, тобто ΔACD — рівносторонній, а AD = AC = CD. 1 В ΔABC ∠BAC = 90° − ∠BCA = 90 − 60° = 30°, тоді BC = AC як катет 2 проти кута 30°. Отже, AD : BC = 2 : 1. Відповідь: 2 : 1. 6.37 У прямокутній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а тупий кут утричі більший за гострий. Знайдіть відношення основ. ABCD — трапеція, ∠A = ∠B = 90°, AC ⊥ CD, ∠BCD = 3∠CDA. Нехай ∠CDA = x, тоді ∠BCD = 3x. x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45. Отже, ∠CDA = 45°. У ΔACD ∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = ∠CDA = 45°, ΔACD — рівнобедрений. Проведемо CK ⊥ AD. CK — висота і медіана, AK = KD. ABCK — прямокутник, тому BC = AK. Отже, AD : BC = 2 : 1. Відповідь: 2 : 1. 6.38 Побудуйте трапецію за основами a і b (a > b) та бічними сторонами c і d. Нехай трапеція ABCD має основи AD = a, BC = b і бічні сторони AB = c, CD = d. Проведемо відрізок CE || AB. В ΔCDE CD = d, CE = c, DE = a − b. Будуємо ΔCDE за трьома сторонами c, d, a − b. Продовжуємо відрізок DE на AE = b, отримуємо вершину A трапеції. Проводимо з точки C пряму, паралельну AD і відкладаємо CB = b. ABCD — шуканa трапеція. 6.39 Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 75°. Знайдіть зовнішній кут при вершині кута між бічними сторонами.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. Зовнішній кут кута при вершині дорівнює сумі кутів при основі: ∠BDC = ∠A + ∠C =75° + 75° = 150°. Відповідь: 150°.

la. in.

6.40 Тупий кут ромба дорівнює 120°, а його менша діагональ — 5 см. Знайдіть периметр ромба.

У ромбі ABCD BD = 5 см, ∠ABC = ∠ADC = 120°. Тоді ∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB = 60° (бісектриса ділить кут навпіл). ΔABD = ΔBCD — рівносторонній, AB = BC = CD = AD = BD = 5 см. PABCD = 4 · 5 см = 20 см. Відповідь: 20 см. 6.41 Доведіть, що паралелограм, у якого всі висоти рівні, є ромбом. ABCD — паралелограм, BK ⊥ AD, BM ⊥ CD. ΔABK = ΔCBM за катетом і гострим кутом (BK = BM за умовою, ∠A = ∠C як протилежні). З рівності трикутників AB = BC. Отже, ABCD — ромб, як паралелограм, у якого сусідні сторони рівні. 6.42. З точки A до кола проведено дві дотичні, B і C - точки дотику. Знайдіть довжини відрізків AB і AC дотичних, якщо їхня сума дорівнює 16 см. За властивістю дотичних до кола: дотичні, проведені з однієї точки до кола, рівні (AB = AC). Тому, якщо їхня сума AB + AC = 16 см, то AB = AC = 16 : 2 = 8 (см). Відповідь: 8 см.

6.43 Тренажерний зал у формі прямокутника має розміри 3,8 ⨯ 5,2 м, у ній є двері завширшки 80 см. 1. Скільки метрів плінтуса потрібно придбати для цього залу? 2. Скільки коштуватиме ця покупка, якщо ціна одного погонного метра плінтуса 50 грн? 1. 2 · (5,2 + 3,8) − 0,8 = 2 · 9 − 0,8 = 18 м − 0,8 м = 17,2 (м) – довжина плінтуса. 2. 17,2 · 50 = 860 (грн) – ціна покупки. Відповідь: потрібно придбати 17,2 м плінтуса; ця покупка коштуватиме 860 грн.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

6.44 Чотири магазини деякого підприємства розташовано у вершинах опуклого чотирикутника. Де йому слід розмістити товарний склад, щоб сума відстаней від складу до всіх магазинів була найменшою? Нехай даний чотирикутник — ABCD, а O — деяка точка. OA + OC ≥ AC за нерівністю трикутника, при цьому OA + OC = AC в тому і тільки в тому випадку, коли O ∈ AC. Аналогічно, OB + OD ≥ BD, при цьому OB + OD = BD тоді і тільки тоді, коли точка O лежить на діагоналі BD.

Отже, OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD, при цьому OA + OB + OC + OD = AC + BD тоді і тільки тоді, коли точка O лежить одночасно на діагоналях AC і BD, тобто є точкою перетину діагоналей чотирикутника ABCD. Відповідь: У точці перетину діагоналей чотирикутника.

la. in.

§ 7. Вписані та описані чотирикутники 7.1 На яких малюнках зображено вписані чотирикутники, а на яких — описані?

Описаний — 2, вписаний — 4. 7.2 Чи можна навколо чотирикутника ABCD описати коло, якщо: 1. ∠ A = 30°; ∠ C = 150°; 2. ∠ B = 90°; ∠ D = 80°? 1. Навколо чотирикутника ABCD можна описати коло, якщо сума протилежних кутів дорівнює 180°. За умовою ∠A + ∠C = 30° + 150° = 180°. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то сума іншої пари протилежних кутів теж дорівнює 180°. Отже, навколо чотирикутника ABCD можна описати коло. Відповідь: так. 2. ∠B + ∠D = 90° + 80° = 170° ≠ 180°. Відповідь: ні. 7.3 Чи може чотирикутник MNKL бути вписаним у коло, якщо: 1. ∠ M = 20°; ∠ K = 150°; 2. ∠ N = 90°; ∠ L = 90°? 1. ∠M + ∠K = 20° + 150° = 170° ≠ 180°. Відповідь: ні. 2. ∠N + ∠L = 90° + 90° = 180°. Відповідь: так. 7.4 Чи можна вписати коло в чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як: 1. 5 : 3 : 4 : 7; 2. 3 : 2 : 4 : 5? Щоб у чотирикутник можна було вписати коло, необхідно, щоб суми протилежних сторін були рівними. Нехай x – коефіцієнт пропорційності. 1. 5x, 3x, 4x, 7x — сторони чотирикутника. 5x + 4x = 9x;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

3x + 7x = 10x; 9x ≠ 10x. Отже, у цей чотирикутник коло вписати не можна. 2. 3x, 2x, 4x, 5x — сторони чотирикутника. 3x + 4x = 2x + 5x = 7x. Так, у цей чотирикутник можна вписати коло. 7.5 Чи може бути описаним чотирикутник, сторони якого в порядку слідування відносяться як: 1. 7 : 3 : 2 : 6; 2. 5 : 4 : 3 : 6? Пояснення: 1. 7x, 3x, 2x, 6x — сторони чотирикутника. 7x + 2x = 3x + 6x = 9x. Так, у даний чотирикутник можна вписати коло. 2. 5x, 4x, 3x, 6x — сторони чотирикутника. 5x + 3x = 8x; 4x + 6x = 10x. 8x ≠ 10x. Отже, у даний чотирикутник не можна вписати коло. 7.6 Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо: ∠ C = 133°; ∠ D = 28°. Суми протилежних кутів вписаного в коло чотирикутника дорівнюють 180°. ∠A + ∠C = 180°, ∠A + 133° = 180°, ∠A = 180° − 133°, ∠A = 47°. ∠B + ∠D = 180°, ∠B + 28° = 180°, ∠B = 180° − 28°, ∠B = 152°. Відповідь: 47°, 152°.

7.7 Знайдіть кути C і D чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо: ∠ A = 139°; ∠ B = 48°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Суми протилежних кутів вписаного в коло чотирикутника дорівнюють 180°. ∠A + ∠C = 180°, 139° + ∠C = 180°, ∠C = 180° − 139°, ∠C = 41°. ∠B + ∠D = 180°, 48° + ∠D = 180°, ∠D = 180° − 48°, ∠D = 132°. Відповідь: 41°, 132°.

7.8 У рівнобічній трапеції, периметр якої дорівнює 16 см, описано коло. Знайдіть бічну сторону трапеції. Оскільки в трапецію вписано коло, то має виконуватися рівність: AB + CD = BC + AD. 1 1 Тоді AB + CD = PABCD, 2AB = · 16 см. 2 2 2AB = 8 см; AB = 4 см. Відповідь: 4 см. 7.9 Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 5 дм. Знайдіть периметр трапеції. Оскільки трапеція описана навколо кола, то сума її основ дорівнює сумі бічних сторін. Тоді P = 5 дм · 4 = 20 дм. Відповідь: 20 дм. 7.10 У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1, BH2, які перетинаються в точці H. Доведіть, що навколо чотирикутника CH1HH2 можна описати коло, діаметром якого буде відрізок CH. У ∆ABC AH1 ⊥ BC, BH2 ⊥ AC, H — точка перетину AH1 і BH2. Проведемо HC і позначимо точку P — середину HC. Середина P гіпотенузи HC — центр описаного навколо прямокутного ∆HH1C кола, а PH = PH1 = PC — його радіуси. Аналогічно, точка P — центр кола, описаного навколо прямокутника ∆H2HC, і PH = PH2 = PC – радіуси цього кола. Таким чином, точки H, H1, C і H2 рівновіддалені від точки P, тобто лежать на колі з центром P і діаметром HC, описаному навколо чотирикутника HH1CH2. 7.11 Точка M лежить на стороні AB гострокутного трикутника ABC. MP і MK — перпендикуляри до сторін AC і BC відповідно. Доведіть, що навколо чотирикутника MPCK можна описати коло, діаметром якого буде відрізок CM. В ∆ABC M ∈ AB, MP ⊥ AC, MK ⊥ BC. Проведемо MC і позначимо точку O — середину MC. В ∆МКС середина гіпотенузи O — центр описаного кола, OM = OK = OC — радіус цього кола. Аналогічно в ∆MPC OP = OM = OK — радіуси описаного кола з центром O. Таким чином точки P, M, K і C  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

рівновіддалені від точки O. Тоді O — центр кола, описаного навколо прямокутника MPCK, MC — діаметр цього кола. 7.12 Трапеція вписана в коло радіуса R так, що діаметр кола є її більшою основою. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює бічній стороні. Трапеція ABCD вписана в коло, значить, вона рівнобічна (за наслідком із властивості вписаного чотирикутника). AB = BC = CD за умовою. Проведемо діагональ AC. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. В ΔABC ∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного ΔABC. ∠ACD = 90°, бо спирається на діаметр AD. Нехай ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = x. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°: x + x + x + 90 = 180; 3x = 90; x = 30. Отже, ∠CAD = 30°. 1 1 Тоді в ΔACD (∠C = 90°) CD = AD = · 2R = R як катет, що лежить проти кута 30°. 2 2 PABCD = R + R + R + 2R = 5R. Відповідь: 5R. 7.13 AB — основа рівнобедреного трикутника ABC, I — центр вписаного кола. ∠ AIB = a (a > 90°). Знайдіть кути трикутника ABC. В ΔABC AC = BC, I — центр вписаного кола. ∠AIB = α. ΔAIB — рівнобедрений (центр вписаного кола лежить на бісектрисі, а значить, і висоті, і медіані ΔABC). 180° − α ; ∠IAB = ∠IBA = 2

180° − α

= 180° − α; ∠A = ∠B = 2 ∠IAB = 2 2 ∠C = 180° − 2(180° − α) = 180° − 2 · 180° + 2α = 2α − 180°. Відповідь: 180° − α, 180° − α, 2α − 180°. 7.14 AB — основа рівнобедреного трикутника ABC, O — центр описаного кола. ∠ AOB = a (a < 180°). Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки випадків слід розглянути? Можливі два випадки. I випадок. Центр описаного кола знаходиться поза трикутником. ∠AOB = ᴗACB = α, тоді вписаний 1 1 α ∠ACB = ᴗAPB = (360° − α) = 180° − . 2

∠CAB = ∠CBA =

2 α 180° − (180° − ) α α

2 α

Відповідь: 180° − ; ; . 2 4

 shkola.in.ua

= . 4

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

II випадок. Центр описаного кола знаходиться всередині трикутника. ∠AOB = ᴗAPB = α. 1 α ∠ACB = ᴗAPB = . 2

∠CAB = ∠CBA = (180° − ) = 90° − . α

la. in.

Відповідь: ; 90° − ; 90° − . 2 4 4 7.15 Пряма EK паралельна стороні AB трикутника ABC, E ∈ AC, K ∈ BC. Доведіть, що ∠ CKE = ∠ CBA, ∠ CEK = ∠ CAB. ∠CKE = ∠CBA як відповідні при паралельних прямих AB і EK та січній BC. ∠CEK = ∠CAB як відповідні при паралельних прямих AB і EK та січній AC.

7.16 З року в рік лісівники Вінниччини залучають до акції «Майбутнє лісу — у твоїх руках!» школярів. Так, учасники та учасниці учнівських лісництв заклали для висаджування саджанців дуба ділянку прямокутної форми 15 м завдовжки і 8 м завширшки. Скільки мішків чорнозему знадобилося для її закладання, якщо на кожний квадратний метр ділянки потрібно 40 кг, а мішок вміщує 100 кг? 1. 15 м · 8 м = 120 (м2) – площа ділянки. 2. 120 · 40 = 4800 (кг) – на всю ділянку. 3. 4800 : 100 = 48 (мішків) – потрібно. Відповідь: знадобилося 48 мішків чорнозему. 7.17 Побудуйте спільну зовнішню дотичну до двох кіл різних радіусів, які не мають спільних точок. Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r. Побудова: 1. Проведемо коло радіуса R − r з центра O більшого кола. 2. До побудованого кола проведемо дотичну MO1, яка проходить через центр меншого кола. 3. Побудуємо промінь OM, N — точка перетину променя OM з колом. 4. З центра O1 проведемо промінь OK, паралельний OM, до перетину з колом. 5. NK — спільна зовнішня дотична до даних кіл. § 8. Теорема Фалеса 8.1 (Усно) На малюнку A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 4 см, A2A3 = 4 см, B1B2 = 7 см. Знайдіть B2B3.

B2B3 = B1B2 = 7 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

8.2 На малюнку A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = B2B3, A2A3 = 5 см. Знайдіть A1A2.

la. in.

A1A2 = A2A3 = 5 см. 8.3 На малюнку M1N1 || M2N2, OM1 = M1M2, ON1 = 6см. Знайдіть ON2.

N1N2 = ON1 = 6 см. ON2 = ON1 + N1N2 = 6 см + 6 см = 12 см. 8.4 На малюнку M1N1 || M2N2, ON1 = 7 см, N1N2 = 7 см, OM1 = 4 см. Знайдіть OM2.

M1M2 = OM1 = 4 см. OM2 = OM1 + M1M2 = 4 см + 4 см = 8 см. 8.5 Поділіть даний відрізок на 5 рівних частин. Побудова. Нехай AB — даний відрізок. 1. З точки A проведіть довільний промінь AK. 2. На промені AK від точки A відкладають 5 рівних довільних відрізків A1K1 = K1K2 = K2K3 = K3K4 = K4K5. 3. Через точки K5 і B проведіть пряму. 4. Через точки K1, K2, K3, K4 проведіть прямі, паралельні прямій K5B. За теоремою Фалеса ці прямі поділять відрізок AB на 5 рівних відрізків.

8.6 Поділіть даний відрізок на 7 рівних частин. Теорема: якщо через кілька точок на промені провести прямі, паралельні деякій стороні трикутника, то вони ділять іншу сторону пропорційно відрізкам на промені.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Побудова (лінійка без поділок + циркуль): 1. Дано відрізок AB. Проведи з точки A довільний промінь AP. 2. Циркулем відклади на промені 7 рівних відрізків AP1 = P1P2 = … = P6P7. 3. З’єднай P7 з B. 4. Через P1, P2, …, P6 проведи прямі, паралельні P7B, до перетину з AB у точках A1, …, A6. 8.7 Поділіть даний відрізок на дві частини, відношення яких дорівнює 2 : 5. Проводимо довільний промінь AM. Відкладемо на промені AM відрізки AA1 = 2a, A1A2 = 5a, де a — деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок A2B. Через точку A1 проведемо пряму, паралельну до відрізка A2B. B1 — точка її перетину з відрізком AB. Маємо: AB1 = 2c, B1B = 5c (за теоремою Фалеса). Отже, відрізок AB поділено на 2 частини, відношення яких дорівнює 2 : 5. 8.8 Поділіть даний відрізок на дві частини у відношенні 3 : 2. Проводимо довільний промінь AM. Відкладемо на промені AM відрізки AA1 = 3a, A1A2 = 2a, де a — деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок A2B. Через точку A1 проведемо пряму, паралельну до відрізка A2B. B1 — точка її перетину з відрізком AB. Маємо: AB1 = 3c, B1B = 2c (за теоремою Фалеса). Отже, відрізок AB поділено на 2 частини, відношення яких дорівнює 3 : 2. 8.9 На малюнку A1A2 = A2A3, A1B1 || A2B2 || A3B3. A1A2 : B1B2 = 3 : 5, B2B3 – A2A3 = 8 см. Знайдіть A1A2, A2A3, B1B2, B2B3. За умовою A1A2 : B1B2 = 3 : 5. A₁A₂ B₁B₂ Оскільки за теоремою Фалеса = ,

A₁A₂ B₁B₂

A₂A₃

B₂B₃

то

A₂A₃

B₂B₃

= . 5

A₂A₃

B₂B₃

За умовою B2B3 – A2A3 = 8 см. Нехай A2A3 = x см, тоді B2B3 = (x + 8) см.

;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 3

𝑥𝑥

la. in.

= ; 𝑥𝑥 + 8 5x = 3x + 24; 2x = 24; x = 12. Отже, A1A2 = A2A3 = 12 (см); B1B2 = B2B3 = 12 + 8 = 20 (см). Відповідь: 12 см, 20 см. 8.10 На малюнку ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1 : OM1 = 7 : 4, N1N2 + M1M2 = 33 см. Знайдіть ON2 і OM2. За умовою ON1 : OM1 = 7 : 4, тоді N1N2 : M1M2 = 7 : 4. Нехай N1N2 = x см, тоді M1M2 = (33 – x) см. 𝑥𝑥 7 = ; 33 – 𝑥𝑥 4 4x = 7(33 − x); 4x = 231 − 7x; 11x = 231, x = 21. Отже, ON1 = N1N2 = 21 см; OM1 = M1M2 = 33 − 21 = 12 (см). Тоді ON2 = 2 · 21 = 42см; OM2 = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 42 см, 24 см. 8.11 M і N — точки поділу середини сторін AB і CD паралелограма ABCD. Відрізки MD і BN перетинаються діагоналі AC у точках L і K відповідно. Доведіть, що AL = LK = KC. Чотирикутник MBND — паралелограм за ознакою (MB || ND, MB = ND як половини рівних сторін). Тоді BN || MD. Розглянемо кут BAC. За теоремою Фалеса AM : MB = AL : LK. Оскільки AM = MB, то AL = LK. Аналогічно CN : ND = CK : LK, звідки CK = LK. Отже, AL = LK = CK. 8.12 Точки E, F і G ділять медіану AD трикутника ABC на чотири рівні частини (AE = EF = FG = GD). Доведіть, що пряма СG ділить сторону AB у відношенні 3 : 2, починаючи від вершини A. Проведемо через точки E, F і D прямі, паралельні прямій CG. Вони поділять сторону AB на 5 рівних відрізків AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4B. AA1 = A1A2 = A2A3 = за теоремою Фалеса, застосованою до кута BAD. Розглянемо ∠CBA. За умовою D — середина BC; DA4 || GA3 за побудовою, значить, за теоремою Фалеса BA4 = A3A4. Отже, всі п’ять відрізків рівні. Відрізок AA3 містить три таких відрізки, A3B — два. Отже, AA3 : A3B = 3 : 2. 8.13 Точки M і N ділять медіану AD трикутника ABC на три рівні частини (AM = MN = ND). Доведіть, що пряма BN містить медіану трикутника. 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Проведемо через точки M і D прямі, паралельні прямій BN. Оскільки AM = MN = ND за умовою, то AM1 = M1N1 = N1D1 за теоремою Фалеса відносно кута DAC. Сторони кута ACB перетинають паралельні прямі DD1 і NN1. Оскільки CD = DB за умовою, то за теоремою Фалеса CD1 = N1D1. Отже, AM1 = M1N1 = N1D1 = D1C, звідки AN1 = N1C, тобто N1 — середина AC, BN1 містить медіану трикутника. 8.14 Точка K — середина медіани AD трикутника ABC. Відрізок BK перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть AM : MC. За умовою D — середина BC, K — середина AD. Проведемо DN || BK. Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону трикутника DAC. AK = KD, значить, AM = MN. Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону кута BCA. За умовою BD = DC, значить, MN = NC. Отже, AM = MN = NC. Тоді AM : MC = 1 : 2. 8.15 Побудуйте відрізок AB завдовжки 5 см та геометричне місце точок, рівновіддалених від його кінців. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від його кінців, є пряма, перпендикулярна відрізку, яка проходить через його середину. Побудова: 1. Встановіть циркуль на точку A, відкрийте більше ніж половина довжини AB, накресліть дугу. 2. Не змінюючи розкриття, перенесіть циркуль на точку B і накресліть ще одну дугу. 3. Позначте точки перетину дуг по обидва боки відрізка. 4. Проведіть пряму через точки перетину дуг. Ця пряма буде серединним перпендикуляром до AB. 8.16 З точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, які віддалені від центра на відстані 5 см і 7 см. Знайдіть довжини цих хорд. AB і BC — хорди, OK ⊥ AB, OK = 5 см — відстань від центру O кола до хорди AB; OP ⊥ BC = 7 см — відстань від центру O кола до хорди BC. Чотирикутник KOPB — прямокутник (три кути прямі); OP = KB = 7 см, OK = PB = 5 см. За властивістю хорди, перпендикуляр до радіуса, K — середина AB, P — середина BC. Отже, AB = 2KB = 2 ⋅ 7 = 14 (см), BC = 2BP = 2 ⋅ 5 = 10 (см). Відповідь: 14 см, 10 см. 8.17 Висота футбольних воріт — відстань від нижнього контура перекладини до поверхні землі — 8 футів. Ширина футбольних воріт — відстань між стійками — 8 ярдів. Знайдіть в інтернеті як перевести фути та ярди в метри й обчисліть площу футбольних воріт у м2. Результат округліть до десятих м2. 8 футів = 243 см = 2,43 м; 8 ярдів = 731 см = 7,31 м S = 2,43 · 7,31 = 17,8 (м2) – площа воріт. Відповідь: площа воріт 17,8 м2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

8.18 (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1976 р.) У середині гострокутного трикутника ABC дано точку P таку, що ∠ APB = ∠ ACB + 60°, ∠ BPC = ∠ BAC + 60°, ∠ CPA = ∠ CBA + 60°. Доведіть, що основи перпендикулярів, проведених з точки P до сторін трикутника ABC, є вершинами рівностороннього трикутника. 1. Позначимо через Pa, Pb і P𝚌𝚌 основи перпендикулярів, проведених з точки P на сторони ΔABC. 2. Сума кутів неопуклого чотирикутника APBC дорівнює 360°. Тому: ∠PAB + ∠APB + ∠BPC + ∠PCB + ∠CBA = 360°(1). 3. Але ∠APB = ∠ACB + 60°; ∠BPC = ∠BAC + 60°. Підставляючи це в рівність (1) та враховуючи те, що ∠ACB + ∠BAC + ∠CBA = 180°, маємо 180° + ∠PAB + ∠PCB + 60° + 60° = 360°; а, отже, ∠PAB + ∠PCB = 60°.

4. Якщо на AP як на діаметрі побудувати коло, то точки Pb і P𝚌𝚌 лежатимуть на ньому (оскільки ∠APbP = ∠APcP = 90°). Тому ∠APbP𝚌𝚌 = ∠PAPc (як вписані кути, що спираються на ту саму дугу). 5. Аналогічно ∠PPbPa = ∠PCPa, бо точки Pb і Pa лежатимуть на колі діаметра PC. 6. Маємо ∠PaPbPc = ∠PPbP𝚌𝚌 + ∠PPbPa + ∠PAB + ∠PCB = 60°. 7. Аналогічно доводимо, що ∠PbPaPc = 60° і ∠PaPcPb = 60°. Отже, ΔPaPbP𝚌𝚌 – рівносторонній, що й треба було довести.

§ 9. Середня лінія трикутника та її властивість 9.1 (Усно) Які відрізки на малюнку є середніми лініями трикутника ABC, де AM = MB, BK = KC, AL = LC?

MK і ML — середні лінії. 9.2 Накресліть довільний тупокутний трикутник MNK і його найбільшу середню лінію. PS — найбільша середня лінія, бо паралельна і дорівнює половині найбільшої сторони MN.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.3 Накресліть рівнобедрений трикутник ABC і його середню лінію, кінці якої належать бічним сторонам. MN — середня лінія △ABC, кінці якої належать бічним сторонам.

9.4 KL — середня лінія трикутника ABC. 1. AB = 16 см. Знайдіть KL; 2. KL = 5 дм. Знайдіть AB. 1 1 1. KL = AB = ⋅ 16 см = 8 см; 2 1

2. KL = AB, AB = 2KL = 2 ⋅ 5 дм = 10 дм.

la. in.

9.5 KL — середня лінія трикутника ABC. 1. AB = 18 см. Знайдіть KL; 2. KL = 3 дм. Знайдіть AB. 1 1 1. KL = AB = ⋅ 18 см = 9 см; 2 1

2. KL = AB, AB = 2KL = 2 ⋅ 3 дм = 6 дм. 2

9.6 Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 7 см. Знайдіть основу трикутника. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника — це середня лінія. Вона паралельна основі трикутника і дорівнює її половині. Основа дорівнює 7 см ⋅ 2 = 14 см. Відповідь: 14 см.

9.7 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 14 дм. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини бічних сторін трикутника. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника — це середня лінія. Згідно властивості, вона паралельна основі трикутника і дорівнює її половині. Отже: 1 1 DE = AC = ∙ 14 = 7 дм. 2 2 Відповідь: 7 дм.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.8 Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см. Середні лінії вдвічі менші ніж сторони, яким вони паралельні. Отже, сторони дорівнюють: 7 ⋅ 2 = 14 (см); 8 ⋅ 2 = 16 (см); 10 ⋅ 2 = 20 (см). P = 14 + 16 + 20 = 50 (см). Відповідь: 50 см.

la. in.

9.9 Сторони трикутника дорівнюють 12 дм, 16 дм і 18 дм. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії цього трикутника. 12 : 2 = 6 (дм); 16 : 2 = 8 (дм); 18 : 2 = 9 (дм); P = 6 + 8 + 9 = 23 (дм). Відповідь: 23 дм.

9.10 Дано: ED — середня лінія трикутника ABC, E ∈ AC, D ∈ BC. Доведіть: ∠CED = ∠CAB. DE — середня лінія, тоді DE || AB. Кути CED і CAB рівні як відповідні при паралельних прямих DE і AB і січній AC.

9.11 (Усно) Визначте вид трикутника, якщо: 1. дві його середні лінії рівні між собою; 2. три його середні лінії рівні між собою. Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. Тому рівні середні лінії відповідають рівним сторонам. 1. Рівнобедрений; 2. рівносторонній. 9.12 Дано трикутник, периметр якого дорівнює 24 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого є серединами сторін даного трикутника. З'єднавши відрізками середини сторін даного трикутника, отримаємо середні лінії. Середня лінія дорівнює половині сторони. Тоді периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює половині периметра даного трикутника. 24 см : 2 = 12 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.13 Периметр трикутника, вершини якого — середини сторін даного трикутника, дорівнює 18 см. Знайдіть периметр даного трикутника. З'єднавши відрізками середини сторін даного трикутника, отримаємо середні лінії. Середня лінія дорівнює половині сторони. Тоді периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює половині периметра даного трикутника. 18 см ⋅ 2 = 36 см.

la. in.

9.14 Сторони трикутника відносяться як 4 : 3 : 5. Знайдіть його сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 60 см. Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді сторони трикутника дорівнюють 4x, 3x і 5x. Відповідні їм середні лінії вдвічі менші: 4𝑥𝑥 3𝑥𝑥 5𝑥𝑥 ; ; . 2 2 2 Периметр трикутника, утвореного середніми лініями, дорівнює: 4𝑥𝑥 3𝑥𝑥 5𝑥𝑥 12𝑥𝑥 + + = = 6𝑥𝑥. 2 2 2 2 Отже, 6x = 60, звідки x = 10. Сторони трикутника: 4 · 10 = 40 (см); 3 · 10 = 30 (см); 5 · 10 = 50 (см). Відповідь: 40 см, 30 см, 50 см. 9.15 Периметр трикутника дорівнює 80 см. Сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, відносяться як 4 : 9 : 7. Знайдіть сторони даного трикутника.

Нехай x — коефіцієнт пропорційності. Тоді середні лінії трикутника дорівнюють 4x, 9x і 7x. Сторони трикутника вдвічі більші: 8x, 18x, 14x. P = 8x + 18x + 14x = 40x; 40x = 80; x = 2. Сторони трикутника: 8 · 2 = 16 (см); 18 · 2 = 36 (см); 14 · 2 = 28 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.16 Одна зі сторін трикутника дорівнює 10 см, а одна із середніх ліній − 6 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з них у 1,5 раза більша за другу. Скільки випадків слід розглянути? Нехай в ΔABC AC = 10 см, M — середина AB, N — середина BC, K — середина AC. MN не може дорівнювати 6 см, бо 1 1 MN = AC = · 10 = 5 (см). Нехай MK = 6 см. Можливі два 2 2 випадки:

la. in.

1. Сторона AB у 1,5 рази більша за BC. BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см). AB = 1,5 · BC = 18 (см). Відповідь: 12 см і 18 см. 2. Сторона BC у 1,5 рази більша за AB. BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см). AB = BC : 1,5 = 12 : 1,5 = 8 (см). Відповідь: 12 см, 8 см. 9.17 E, F, G, H − середини сторін AB, BC, CD і DA опуклого чотирикутника ABCD. Знайдіть периметр чотирикутника EFGH, якщо AC = 16 см, BD = 10 см. Проведемо діагоналі AC і BD чотирикутника EFGH. 1 У ΔABC EF — середня лінія, EF || AC, EF = AC. 2

У ΔACD HG — середня лінія, HG || AC, HG = AC. 1

Отже, EF = HG = AC = · 16 см = 8 см. 2

Аналогічно FG — середня лінія ΔBCD, EH — середня лінія ΔABD, FG || BD, 1 1 FG = BD; EH || BD, EH = BD. 2

FG = EH = · 10 см = 5 см. 2 PEFGH = 2 · (8 + 5) = 26 (см). Відповідь: 26 см. 9.18 Діагональ прямокутника дорівнює 10 см. Знайдіть периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін цього прямокутника. AC і BD — діагоналі прямокутника ABCD; точки M, N, P, і K — середини його сторін. MN — середня лінія ΔABC, 1 1 MN = AC = · 10 см = 5 см. 2 2 KP — середня лінія ΔACD, 1 1 KP = AC = · 10 см = 5 см. 2 2 MN || AC, KP || AC, тому MN || KP за ознакою паралельних прямих. NP — середня лінія ΔBCD, 1 1 NP = BD = · 10 см = 5 см (діагоналі прямокутника рівні). 2 2 MK — середня лінія ΔABD, 1 1 MK = BD = · 10 см = 5 см. 2 2 NP || BD, MK || BD, тоді NP || MK. Отже, MNPК — паралелограм за означенням. NP = MK = KP = MN = 5 см, тому MNPК — ромб. PMNPK = 4 · 5 = 20 см. Відповідь: 20 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.19 O − точка перетину діагоналей ромба ABCD. Точки M і K − середини сторін AD і DC відповідно. Доведіть, що MK ⊥ OD. В ромбі ABCD BD ⊥ AC як діагоналі. MK — середня лінія трикутника ACD. Тоді MK || AC, а значить, MK ⊥ BD і MK ⊥ OD (пряма, перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, перпендикулярна і другій).

la. in.

9.20 AK − медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою BC. Точки P і F − середини сторін AB і AC відповідно. Доведіть, що PF ⊥ AK. У ΔABC AB = AC, AK — медіана, а значить, і висота, проведена до основи: AK ⊥ BC. PF — середня лінія за умовою, тоді PF || BC. Якщо AK ⊥ BC, то AK ⊥ PF. 9.21 Доведіть, що коли два трикутники рівні, то рівні й трикутники, вершинами яких є середини сторін даних трикутників.

За умовою ΔA1B1C1 = ΔA2B2C2, тому їх відповідні сторони рівні: A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, A1C1 = A2C2. Точки M1, N1, P1 і M2, N2, P2 — середини відповідних сторін трикутників. M1N1 — середня лінія. 1 M1N1 = A1C1; 2 M2N2 — середня лінія. 1 M2N2 = A2C2. 2 Але A1C1 = A2C2 за умовою, тоді M1N1 = M2N2. Аналогічно M1P1 = M2P2, N1P1 = N2P2. Отже, ΔM1N1P1 = ΔM2N2P2 за трьома сторонами. 9.22 Точка M − середина катета AC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Відстань від точки M до гіпотенузи дорівнює a см. Знайдіть гіпотенузу. У ΔABC ∠C = 90°, AC = BC, M — середина AC, MK ⊥ AB, відстань від точки M до гіпотенузи, MK = a. ∠A = ∠B = 45°. У ΔAMK AK = MK = a. Проведемо MN || BC, тоді за теоремою Фалеса N — середина AB, MN — середня лінія. 1 1 У ΔAMN AM = AC, MN = BC, тому AM = MN. 2 2 ΔAMN — рівнобедрений. Висота MK в ньому є медіаною: KN = AK = a. AN = NB, тому AB = 2AN = 2 · 2a = 4a (см). Відповідь: 4a см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.23 Точка K − середина катета BC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC з гіпотенузою AB = 20 см. Знайдіть відстань від точки K до гіпотенузи. У ΔABC ∠C = 90°, AC = BC, K — середина BC, KD ⊥ AB — відстань від точки K до гіпотенузи. У ΔABC ∠A = ∠B = 45°, ΔKDB — рівнобедрений, KD = DB. Проведемо KP || AC. За теоремою Фалеса P — середина AB, тобто KP — середня лінія, 1 KP = AC. 2

la. in.

Оскільки AC = BC, то KP = BC = KP. 2 ΔBKP — рівнобедрений, ∠PKB = 90° (AC ⊥ BC, KP || AC). В рівнобедреному ΔBKP KD — висота, а значить, медіана. 1 1 1 1 Точка D — середина гіпотенузи, тоді KD = PD = BD = PB = · B = · 20 см = 5 см. 2 2 2 4 Відповідь: 5 см. 9.24 Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника. ABCD — ромб, O — точка перетину діагоналей. Точки M, N, P і K — середини сторін. 1 У ΔABC MN — середня лінія, MN || AC, MN = AC. 1

У ΔACD KP — середня лінія, KP || AC, KP = AC. 1

Оскільки MN || AC і KP || AC, то MN || KP. KP = MN = AC. 2 Чотирикутник MNPK — паралелограм за означенням. AC ⊥ BD за властивістю діагоналей ромба. MN || AC, тоді MN ⊥ BD. У ΔABD MK — середня лінія, MK || BD, тоді MN ⊥ MK. MNPK — прямокутник (як паралелограм, у якого один з кутів прямий). 9.25 У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = AC) M − точка перетину медіан. Відомо, що AM = 8 см. Знайдіть відстань від середини бічної сторони до основи трикутника. У ΔABC AB = AC, M — точка перетину медіан CK і AD, AM = 8 см. KP ⊥ BC — відстань від середини бічної сторони до основи трикутника. За властивістю медіани AD: AM : MD = 2 : 1. Відстань 8 : MD = 2 : 1, MD = 4 см. AD = AM + MD = 8 + 4 = 12 см. Медіана AD є висотою, AD ⊥ BC, KP ⊥ BC як відстань від точки K до прямої BC. Тоді KP || AD. 1 1 За теоремою Фалеса P — середина BD. Тоді KP — середня лінія ΔABD, KP = AD = · 2 2 12 = 6 см. Відповідь: 6 см. 9.26 Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника KLM (KL = KM) віддалена від основи трикутника на 9 см. Знайдіть відстань від точки перетину медіан трикутника до вершини K. У ΔKLM KL = KM, KP і MC — медіани, B — точка перетину медіан. CD ⊥ LM — відстань від середини C бічної сторони LK до основи LM, CD = 9 см. KP — медіана, проведена до основи, тоді KP ⊥ LM.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

CD ⊥ LM, значить, CD || KP. За теоремою Фалеса D — середина LP. 1 CD — середня лінія ΔKLP, CD = KP, звідки KP = 2 · CD = 2 · 9 = 18 см. 2 KB : BP = 2 : 1, Отже, KB = 18 : 3 · 2 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 9.27 У трикутнику ABC ∠ A = 40°, ∠ B = 80°, O — центр описаного кола. Знайдіть ∠AOB, ∠ BOC, ∠ COA. У ΔABC ∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (40° + 80°) = 60°. 1 ∠C — вписаний, ∠C = ᴗAmB, 2 ᴗAmB = 2∠C = 2 · 60° = 120°. ∠AOB — центральний, він спирається на ту саму дугу. ∠AOB = ᴗAmB = 120°. Аналогічно, ∠BOC = 2∠A = 2 · 40° = 80°; ∠AOC = 2∠B = 2 · 80° = 160°. Відповідь: 120°, 80°, 160°. 9.28 Одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 30°, а друга діагональ дорівнює 7 см. Знайдіть периметр ромба. ABCD — ромб, AC і BD — його діагоналі, BD = 7 см. ∠BAC = 30°. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тому ∠A = 2∠BAO = 2 · 30° = 60°. Отже, ΔABD — рівносторонній. AB = AD = BD = 7 см. PABCD = 4 · 7 = 28 (см). Відповідь: 28 см. 9.29 У рівнобічній трапеції основи дорівнюють a і b (a > b), а гострий кут — 60°. Знайдіть: 1. бічну сторону трапеції; 2. периметр трапеції; 3. чи можна в трапецію вписати коло. ABCD — трапеція, AB = CD, AD = a, BC = b (a > b). ∠BAD = ∠CDA = 60°. Проведемо BK ⊥ AD — висоту трапеції. У ΔCKD ∠DCK = 90° − ∠CDK = 90° − 60° = 30°, AD − BC 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = . KD = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

1. CD = 2KD = 2 = a – b (за властивістю катета, що лежить проти кута 30°). 2 2. PABCD = 2AB + BC + AD = 2(a – b) + b + a = 2a – 2b + b + a = 3a – b. 3. AB + CD = BC + AD; 2(a − b) = a + b; 2a − a = 2b + b; a = 3b. Відповідь: a = 3b. 9.30 Обчисліть, скільки кубічних метрів повітря очистять за рік автомобільних вихлопних газів 50 каштанів, посаджених уздовж дороги. Відомо, що одне дерево за рік очищує зону завдовжки 100 м, завширшки 12 м, заввишки 10 м. 1. 100 · 12 · 10 = 1200 · 10 = 12000 (м3) – 1 каштан; 2. 12000 · 50 = 600000 (м3) – 50 каштанів. Відповідь: за рік 50 каштанів очистять 600000 м3 повітря.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

9.31 Чи існує трикутник, дві бісектриси якого взаємно перпендикулярні? Припустимо, що такий трикутник існує: у ΔABC бісектриси AP і CD перпендикулярні. Тоді ∠OAC + ∠OCA = 90°. ∠BAC + ∠BCA = 2(∠OAC + ∠OCA) = 2 · 90° = 180°. Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення хибне. Такого трикутника не існує. § 10. Середня лінія трапеції та її властивість 10.1 (Усно) На яких малюнках відрізок EF є середньою лінією трапеції?

la. in.

На малюнку 2 EF – середня лінія трапеції. 10.2 Основи трапеції дорівнюють 7 см і 5 см. Знайдіть середню лінію трапеції. 7 + 5 12 = = 6 (см) 2 2

10.3 Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи дорівнюють 8 см і 12 см. 8 + 12 20 = = 10 (см) 2 2

10.4 Знайдіть основу трапеції, якщо її друга основа дорівнює 8 см, а середня лінія – 6 см. Нехай a і b — основи трапеції, m — її середня лінія. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = ; 2 𝑎𝑎 + 8 = 6; 2 a + 8 = 12; a = 4. Відповідь: 4 см. 10.5 Одна з основ трапеції дорівнює 4 см, а середня лінія – 9 см. Знайдіть другу основу трапеції. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = ; 2 4 + 𝑏𝑏 ; 9 = 2 4 + b = 18; b = 14. Відповідь: 14 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

10.6 Одна з основ трапеції дорівнює 8 см, а друга – удвічі більша за неї. Знайдіть відстань між серединами бічних сторін трапеції. BC = 8 см, AD = 2 · BC = 2 · 8 = 16 (см). BC + AD 8 + 16 24 MN = = = = 12 (см). 2 2 2 Відповідь: 12 см. 10.7 Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте прізвище видатної української легкоатлетки, рекорд світу якої з потрійних стрибків тримався 26 років. Знайдіть в інтернеті інформацію про інші видатні досягнення українських спортсменок і спортсменів.

Cередня лінія трапеції: MN = (𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶) : 2 = 30 см. 1. AB = x см, CD = (x − 8) см. 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 − 8) MN = = 𝑥𝑥 − 4. 2 x − 4 = 30; x = 34. AB = 34 см, CD = 34 − 8 = 26 (см). 2. AB = x см, CD = 4x см. 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 MN = = 2,5𝑥𝑥. 2 2,5x = 30; x = 12. AB = 12 см, CD = 4 · 12 = 48 (см). 3. Нехай CD = 2x, AB = 3x. 5𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 = = 2,5𝑥𝑥. MN = 2 2 2,5x = 30; x = 12. CD = 2 · 12 = 24 (см), AB = 3 · 12 = 36 (см). Відповідь: 12 см 24 см 26 см 34 см 36 см К Р А В Е Інеса Кравець.

48 см Ц

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

10.8 Середня лінія трапеції дорівнює 16 см. Знайдіть основи трапеції, якщо: 1. одна з них на 2 см менша від другої; 2. одна з них утричі більша за другу; 3. їх відношення дорівнює 3 : 5.

la. in.

1. BC = x см, AD = (x + 2) см; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2 = x + 1; MN = 2 x + 1 = 16; x = 15. BC = 15 (см), AD = 15 + 2 = 17 (см). Відповідь: 15 см, 17 см. 2. BC = x см, AD = 3x см. 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 MN = = 2𝑥𝑥. 2 2x = 16; x = 8. BC = 8 (см), AD = 3 · 8 = 24 (см). Відповідь: 8 см, 24 см. 3. BC = 3x, AD = 5x. 8𝑥𝑥 3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = = 4x; MN = 2 2 4x = 16; x = 4. BC = 3 · 4 = 12 (см), AD = 5 · 4 = 20 (см). Відповідь: 12 см, 20 см. 10.9 K – точка перетину діагоналей BD трапеції ABCD з її середньою лінією MN. Доведіть, що BK = KD. Діагональ BD перетинає середню лінію MN у точці K. За властивістю середньої лінії MN || AD, M — середина AB, тоді за теоремою Фалеса K — середина BD. Отже, BK = KD.

10.10 Бічні сторони трапеції дорівнюють 7 см і 9 см, а її середня лінія – 10 см. Знайдіть периметр трапеції. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ, тобто сума основ: 10 · 2 = 20 (см). Pтр = 7 + 9 + 20 = 36 (см). Відповідь: 36 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

10.11 Бічні сторони трапеції дорівнюють 10 см і 12 см, а її периметр – 52 см. Знайдіть середню лінію трапеції. 52 − (10 + 12) = 30 (см) — сума основ трапеції. 30 : 2 = 15 (см) — середня лінія (півсума основ). Відповідь: 15 см.

la. in.

10.12 Чи може середня лінія трапеції: 1. дорівнювати одній з основ; 2. бути меншою від меншої основи; 3. бути більшою за більшу основу; 4. бути рівною меншій від більшої основи? Нехай a і b — основи трапеції a > b, m — середня лінія. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 m = . 2 Перевіримо задані умови. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2. Нехай b < a. 𝟏𝟏. = 𝑎𝑎; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 < 𝑏𝑏 a + b = 2a; 2 a = b. a + b < 2b; Відповідь: ні. a < 2b – b; a < b. Відповідь: ні. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝟑𝟑. > 𝑎𝑎; 𝟒𝟒. = ; 2 2 2 a + b > 2a; a + b = a; b > a. b = 0. Відповідь: ні. Відповідь: ні. 10.13 EF – середня лінія трапеції ABCD, яка перетинає діагональ BD у точці N. EN = 5 см, N'F = 3 см. Знайдіть основи трапеції. EF — середня лінія трапеції ABCD, EF || AD, EF || BC. В ΔABD E — середина AB, EN || AD, за теоремою Фалеса N — середина BD, EN — середня лінія ΔABD. 1 EN = AD, AD = 2EN = 2 · 5 = 10 (см). 2 В ΔBCD FN — середня лінія. 1 FN = BC, BC = 2FN = 2 · 3 = 6 (см). 2 Відповідь: 10 см, 6 см. 10.14 MN – середня лінія трапеції ABCD, яка перетинає діагональ AC у точці K. Знайдіть MK і KN, якщо основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. MN — середня лінія трапеції, MN || AD, MN || BC. У ΔABC M — середина AB, MK || AD, тоді K — середина AC, MK — середня лінія ΔABC. 1 1 MK = BC = · 12 = 6 (см). 2

KN — середня лінія ΔACD, KN = AD = · 18 = 9 (см). 2 2 Відповідь: 6 см, 9 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

10.15 У трапеції ABCD AD = 30 см, BC = 12 см – основи, а точки E і T – середини AB і AE відповідно. Через E і T проведено прямі, паралельні AD. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться між бічними сторонами трапеції. ABCD — трапеція. Точка E — середина AB. EF || AD, оскільки AD || BC, то EF || BC, тоді за теоремою Фалеса F — середина CD. EF — середня лінія трапеції. AD + BC 30 + 12 42 EF = = = = 21 (см). 2 2 2 За умовою T — середина AE. TK || AD за умовою. Оскільки AD || EF, то TK || EF. Тоді за теоремою Фалеса K — середина DF, TK — середня лінія трапеції AEKD (EF || AD). EF + AD 21 + 30 51 TK = = = = 25,5 (см). 2 2 2 Відповідь: 21 см, 25,5 см. 10.16 У трапеції ABCD M – середина бічної сторони AB, N – середина MB. Через точки M і N проведено прямі, паралельні BC, які перетинають CD у точках K і L відповідно. MK = 12 см, NL = 8 см. Знайдіть основи трапеції. ABCD — трапеція, BC || AD. MK || BC, значить, MK || AD. Отже, MBCK — трапеція. N — середина AB, NL || BC, значить, NL || MK. За теоремою Фалеса NL — середня лінія трапеції MBCK.

BC + MK BC + 12 ;8 = ; 2 2 BC + 12 = 16; BC = 4 см. Аналогічно, MK — середня лінія трапеції ABCD. AD + BC MK = ; 2 AD + 4 12 = ; 2 AD + 4 = 24; AD = 20. Отже, BC = 4 см, AD = 20 см. Відповідь: 4 см, 20 см. 10.17 У рівнобічній трапеції ABCD перпендикуляр, проведений з вершини B на більшу основу AD трапеції, ділить її на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть довжину лінію трапеції. ABCD — трапеція, BC || AD, AB = CD, BK ⊥ AD — висота трапеції. Відповідно до доведеного в ключовій задачі 214: AD − BC AD + BC AK = ; KD = ; 2 2 AD + BC — середня лінія. 2 Отже середня лінія трапеції дорівнює 10 + 4 AD + BC = = 7 (см). 2 2 Відповідь: 7 см.

NL =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

10.18 З вершини B тупого кута рівнобічної трапеції ABCD проведено висоту BK до основи AD. AK = 4 см, BC = 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції. ABCD — трапеція, BK ⊥ AD — висота, AK = 4 см, BC = 6 см. Проведемо CP ⊥ AD. Чотирикутник KBCP — прямокутник (BC || KP, BK || CP, ∠BKP = 90°). KP = BC = 6 см, PD = AK = 4 см (з рівності трикутників ABK і DCP за гіпотенузою і гострим кутом). AD = AK + KP + PD = 4 + 6 + 4 = 14 (см). Середня лінія трапеції дорівнює: 6 + 14 20 BC + AD = = = 10 (см). 2 2 2 Відповідь: 10 см. 10.19 Точки A і B лежать по один бік від прямої l. Відстань до неї від точки A дорівнює 7 см, а від точки M, яка є серединою відрізка AB, – 5 см. Знайдіть відстань від точки B до прямої l. AA1 ⊥ l, BB1 ⊥ l, MM1 ⊥ l — відстані від точок A, B і M до прямої l. AA1 || MM1 || BB1, чотирикутник A1ABB1 — трапеція. Точка M1 — середина AB. За теоремою Фалеса M1 — середина A1B1, MM1 — середня лінія трапеції A1ABB1. AA₁ + BB₁ MM1 = ; 2 2MM1 = AA1 + BB1; BB1 = 2MM1 − AA1 = 2 · 5 − 7 = 10 − 7 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 10.20 По один бік від прямої a на відстані 10 см і 16 см від неї позначено точки M і N. Знайдіть відстань від середини відрізка MN до прямої a. C — середина відрізка MN. MM1 ⊥ a, CC1 ⊥ a, NN1 ⊥ a — відстані від точок M, C і N до прямої a. MM1 || NN1 як два перпендикуляри до однієї прямої. M1MNN1 — трапеція. CC1 || MM1 || NN1, тому за теоремою Фалеса C1 — середина M1N1. CC1 — середня лінія трапеції, MM₁ + NN₁ 10 + 16 CC1 = = = 13 (см). 2 2 Відповідь: 13 см. 10.21 Основи трапеції дорівнюють 6 см і 14 см. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин. У трапеції ABCD (BC || AD) BC = 6 см, AD = 14 см. MN — середня лінія, AC і BD — діагоналі; K і P — точки перетину діагоналей з середньою лінією. У ΔABC M — середина AB, MK || BC (як частина середньої лінії), тоді за теоремою Фалеса K — середина AC. Отже, MK — середня лінія ΔABC, 1 1 MK = BC = · 6 см = 3 см. 2 2 Аналогічно, у ΔBCD PN — середня лінія,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

PN = BC = · 6 см = 3 см. 2 1

la. in.

MN = (BC + AD) = (6 + 14) = 10 (см). 2 2 KP = MN – (MK + PN) = 10 – (3 + 3) = 4 (см). Відповідь: 3 см, 4 см, 3 см. 10.22 Діагоналі ділять середню лінію трапеції на три частини, довжини яких 7 см, 8 см і 7 см. Знайдіть основи трапеції. ABCD — трапеція (AD || BC), MN — середня лінія, AC і BD — діагоналі. Точки K і P — точки перетину діагоналей і середньої лінії. MK = PN = 7 см, KP = 8 см. У ΔABC M — середина AB, MK || BC (як частина середньої лінії), тоді за теоремою Фалеса K — середина AC. Отже, MK — середня лінія ΔABC: 1 MK = BC, BC = 2MK = 2 · 7 = 14 (см). 2 MN = MK + KP + PN = 7 + 8 + 7 = 22 (см). AD + BC MN = ; 2 2MN = AD + BC; AD = 2MN − BC; AD = 2 · 22 − 14 = 44 − 14 = 30 (см). Відповідь: 14 см, 30 см. 10.23 У трапеції ABCD (AD || BC) ∠ A = 90°, ∠ C = 135°, AB = 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони. ABCD — трапеція (AD || BC), ∠A = 90°, ∠C = 135°, AB = 6 см, AC ⊥ CD. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD, ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD = 135° − 90° = 45°. У ΔABC ∠B = 90°, оскільки ∠A = 90°, a BC || AD, ∠BCA = 45°, тоді ∠BAC = 45°. ΔABC — рівнобедрений (кут при основі рівні). BC = AB = 6 см. Проведемо CP ⊥ AD. У ΔACD — ∠D = 180° − ∠BCD = 180° − 135° = 45°. ∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = 45°. ΔACD — рівнобедрений, AC = CD. Висота CP є медіаною, AP = PD. Але AP = BC, тому AD = 2BC = 2 · 6 = 12 (см). Середня лінія: AD + BC 12 + 6 = = 9 (см). 2 2 Відповідь: 9 см. 10.24 Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл тупий кут трапеції, а її середню лінію – на відрізки 4 см і 6 см. Знайдіть периметр трапеції. У трапеції ABCD AB = CD, BD — бісектриса кута B, MN — середня лінія, P — точка перетину діагоналі і середньої лінії, MP = 6 см, PN = 4 см. MN || BC, MN || AD за означенням середньої лінії. M — середина AB за умовою, тоді P — середина BD за теоремою Фалеса.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

la. in.

MP = AD як середня лінія ΔABD. 2 AD = 2MP = 2 · 6 = 12 (см). Аналогічно, в ΔBCD BC = 2PN = 2 · 4 = 8 (см). ∠CBD = ∠BDA як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній BD. Але ∠CBD = ∠ABD за умовою, тоді ∠ABD = ∠BDA, ΔABD — рівнобедрений, AB = AD = 12 см. PABCD = AD + 2AB + BC = 12 + 2 · 12 + 8 = 44 (см). Відповідь: 44 см. 10.25 Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут трапеції навпіл а середню лінію – на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції. ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD, MN — середня лінія трапеції. AC — діагональ, AC — бісектриса кута A. MK = 3 см, KN = 7 см. У ΔABC M — середина AB. MK || BC як частина середньої лінії трапеції. 1 Тоді K — середина AC за теоремою Фалеса, а MK — середня лінія ΔABC, MK = BC. 2 Звідки BC = 2MK = 2 · 3 = 6 (см). Аналогічно, KN — середня лінія ΔACD. 1 KN = AD, AD = 2KD = 2 · 7 = 14 (см). 2 ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. Але ∠CAD = ∠BAC за умовою, тоді ∠BCA = ∠BAC і ΔABC — рівнобедрений, AB = BC = 6 см. PABCD = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 14 = 32 (см). Відповідь: 32 см. 10.26 Знайдіть кути M і N чотирикутника MNKL, вписаного в коло, якщо ∠K = 37°, ∠L = 119°. У вписаного в коло чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює 180°. ∠M = 180° − ∠K = 180° − 37° = 143°. ∠N = 180° − ∠L = 180° − 119° = 61°. Відповідь: 143°, 61°.

10.27 Коло вписано в рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює a см. Знайдіть периметр трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У трапеції, описаній навколо кола, суми протилежних сторін рівні. Тобто сума основ дорівнює сумі бічних сторін a + a = 2a (см). Pтр = 2a + 2a = 4a (см). Відповідь: 4a см.

la. in.

10.28 У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120°, більша основа – 14 см, а більша бічна сторона – 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції. В трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 120°. AD = 14 см, CD = 8 см (найбільша бічна сторона, бо похила більша за перпендикуляр). Проводимо CK ⊥ AD. ΔBCK — прямокутник (BC || AK, AB || CK, ∠A = 90°). ∠DCK = ∠BCD − ∠BCK = 120° − 90° = 30°. 1 1 Тоді у ΔCKD KD = CD = · 8 = 4 (см) (за властивістю катета, що лежить проти кута 2 2 30°). У прямокутнику ABCD AK = BC = AD − KD = 14 − 4 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 10.29 Ширина захвату сівалки становить 2 м, рухається вона зі швидкістю 6 км/год. Норма висіву насіння — 150 кг на 1 га. 1. Запишіть формулу залежності витрати насіння m (у кг) від часу t (у год). 2. На який час роботи вистачить 270 кг насіння? 1 га = 10000 м2, 6 км/год = 6000 м/год 1. S = 6000 · 2 = 12000 (м2) – площа посіву за 1 год; 2. 12000 : 10000 = 1,2 – у стільки разів більше площу висіває за 1 год ніж 1 га. 3. 150 · 1,2 = 180 (кг) – витрачає насіння за 1 год; m (кг) = 180 · t (год) – формула витрати насіння. 4. 270 : 180 = 1,5 год = 1 год 30 хв – на стільки вистачить 270 кг. Відповідь: формула залежності витрати насіння m = 180 · t, 270 кг вистачить на 1 год 30 хв. 10.30 Усі стінки й дно картонної коробки без кришки мають форму квадрата зі стороною a. Розріжте розгортку коробки двома розрізами так, щоб з отриманих частин можна було скласти квадрат, площа якого дорівнює 5a2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Домашня самостійна робота 2 (§§ 6–10) 1. На малюнку зображено трапецію. Укажіть її основи. А. KN і ML Б. KL і MN В. KN і MN Г. ML і MN На малюнку зображено трапецію KNML, основами якої є: KL і MN. Відповідь: Б. KL і MN.

la. in.

2. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть сторону цього трикутника. A. 3 см Б. 9 см B. 12 см Г. 18 см У рівносторонньому трикутнику середня лінія дорівнює половині сторони (наслідок з теореми про середню лінію трикутника). Якщо середня лінія = 6 см, то сторона: a = 6 ∙ 2 = 12 (см). Відповідь: В. 12 см. 3. На малюнку M1N1 || M2N2, ON1 = N1N2, OM2 = 16 см. Знайдіть M1M2. А. 4 см Б. 8 см В. 6 см Г. Знайти неможливо 1 1 M1M2 = OM2 = · 16 = 8 (см). 2 2 Відповідь: Б. 8 (см). 4. Чотирикутник ABCD вписано в коло. Кут A = 20°, кут B = 100°. Знайдіть кути C і D цього чотирикутника. А. ∠ C = 80°, ∠ D = 160° Б. ∠ C = 150°, ∠ D = 80° В. ∠ C = 20°, ∠ D = 100° Г. ∠ C = 160°, ∠ D = 80° Оскільки чотирикутник ABCD є вписаним у коло, то у нього суми протилежних кутів дорівнюють по 180°. Тоді ∠C = 180° − ∠A = 180° − 20° = 160°, ∠D = 180° − ∠B = 180° − 100° = 80°. Відповідь: Г. ∠C = 160°, ∠D = 80°

5. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а бічна сторона — 10 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника. А. 11 см Б. 12 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У трикутнику ABC AB = 4 см, BC = 10 см, AC = 10 см. Проведено середні лінії DF, DE, FE. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: 1 1 DF = AC = · 10 = 5 (см), 2 1

2 1

В. 14 см Г. 16 см

DE = BC = · 10 = 5 (см), 2 1

2 1

la. in.

FE = AB = · 4 = 2 (см). 2 2 Тоді PDFE = DF + FE + DE = 5 + 2 + 5 = 12 (см). Відповідь: Б. 12 см. 6. Середня лінія трапеції дорівнює 20 см, а її основи відносяться як 2 : 3. Знайдіть довжину меншої основи. А. 16 см Б. 24 см В. 18 см Г. 8 см Нехай BC = 2x см, тоді AD = 3x см і за теоремою про середню лінію трапеції маємо: BC + AD 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 EF = ; звідси 20 = , 2 2 або 5x = 40; x = 8. Отже, BC = 2x см = 16 (см). Відповідь: А. 16 см. 7. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі й утворює з нею кут 30∘ . Знайдіть тупий кут трапеції. A. 110∘ Б. 95∘ B. 105∘ Г. 115∘ Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD — більша основа, BC — менша, AB = CD — бічні сторони. Діагональ AC = AD, ∠CAD = 30°. У △ACD, AC = AD. Це означає, що △ACD рівнобедрений з основою CD, а його кути при основі рівні (∠ACD = ∠ADC). Сума кутів △ACD = 180°: 30° + 2x = 180° x = 75°. Сума кутів трапеції прилеглих до бічної сторони дорівнює 180° (згідно властивості трапеції): ∠BCD + ∠CDA = 180°. Оскільки, в рівнобічній трапеції кути при основах рівні, тоді: ∠ABC = ∠BCD = 180° − ∠CDA = 180° − 75° = 105°. Відповідь: B. 105°. 8. Коло вписано в рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює 10 см. Знайдіть периметр трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

А. 50 см Б. 20 см В. 30 см Г. 40 см

ABCD — трапеція, описана навколо кола, AB = CD = 10 см, тоді AB + CD = 20 см. Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію ABCD, то AB + CD = BC + AD, тоді PABCD = 20 + 20 = 40 (см). Відповідь: Г. 40 см.

la. in.

9. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, а більша бічна сторона й менша основа — по 18 см. Знайдіть більшу основу трапеції. А. 36 см Б. 24 см В. 27 см Г. 30 см Нехай ABCD — прямокутна трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD. ∠CDA = 60°, BC = 18 см, CD = 18 см (за умовою задачі). Проведемо CH || AD. Оскільки ∠CDA = 60°, то ∠HCD = 90° − 60° = 30°. 1 1 Отже, у трапеції ABCD HD = CD = · 18 = 9 (см) — 2 2 за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°. Тоді AD = BC + HD = 18 + 9 = 27 (см). Відповідь: B. 27 см. 10. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію — на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції. А. 32 см Б. 34 см В. 36 см Г. 38 см Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, MN — середня лінія трапеції ABCD, MK = 4 см, KN = 5 см. ∠BAC = ∠DAC за умовою задачі, тоді: ∠CAD = ∠BCA, як різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AC. Оскільки ∠BAC = ∠DAC і ∠CAD = ∠BCA, то ∠BAC = ∠BCA, отже, трикутник ABC — рівнобедрений. З рівнобедреного трикутника ABC за теоремою про середню лінію трикутника маємо: AB = BC = 2MK = 2 · 4 = 8 см. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: AD = 2KN = 2 · 5 = 10 (см). Тоді PABCD = 3BC + AD = 24 + 10 = 34 (см). Відповідь: Б. 34 см. 11. Точка N — середина медіани AD трикутника ABC. BN перетинає AC у точці F.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Через точку D проведемо прямі DG паралельні прямій BF. Оскільки BD = DC і DG || BF, то CG = GF (за теоремою Фалеса). Оскільки DN = NA і DG || NF, то GF = FA (за теоремою Фалеса). Оскільки CG = GF і GF = FA, то AF = 18 : 3 = 6 (см). Відповідь: А. 6 см.

la. in.

Знайдіть AF, якщо AC = 18 см. А. 6 см Б. 9 см В. 3 см Г. 2 см

12. Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 36 см. Знайдіть відстань від середини катета до гіпотенузи. А. 12 см Б. 6 см В. 18 см Г. 9 см Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, AM = MC, MK ⊥ AB, CO ⊥ AB, AB = 36 (см). У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CO — висота, медіана трикутника ABC, CO = AO. MK — середня лінія трикутника ACO, 1 1 тоді CO = AB = · 36 = 18 (см). 1

MK = CO = · 18 = 9 (см). 2 2 Відповідь: Г. 9 см. 13. MN − середня лінія трапеції ABCD, MN = 8 см, AB = 10 см. Установіть відповідність між відрізками (1−3) та їхніми довжинами (А−Г). Відрізок Довжина відрізка 1. DC A. 3 см 2. MK Б. 4 см 3. KN B. 5 см Г. 6 см Середня лінія трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐷𝐷𝐷𝐷 MN = = 8; 2 AB + DC = 16. За умовою AB = 10, отже DC = 16 – 10 = 6 см. У трикутнику ABD: точка M — середина AD, пряма MN ∥ AB. Отже, MN перетинає BD у середині — це й є точка K.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Аналогічно у трикутнику CBD: точка N — середина CB, пряма MN ∥ DC перетинає BD в її середині. А на відрізку MN точка K ділить його так: 𝐴𝐴𝐴𝐴 MK = = 5, 2 𝐷𝐷𝐷𝐷

KN = = 3. 2 Відповідь: 1. DC = 6 см → Г; 2. MK = 5 см → В; 3. KN = 3 см → А.

la. in.

Завдання для перевірки знань до §§ 6–10 1. Накресліть трапецію MKPF (MK || PF). Укажіть її основи та бічні сторони.

В трапеції MKPF основами є: MK і PF, а бічними сторонами є: MF і KP. 2. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть периметр цього трикутника. У рівносторонньому трикутнику середня лінія дорівнює половині сторони (це наслідок теореми про середню лінію трикутника). Тоді сторона: a = 4 ∙ 2 = 8 см. Периметр: P = 3a = 3 ∙ 8 = 24 см. Відповідь: 24 см. 3. На малюнку A1B1 || A2B2, OB1 = B1B2, OA1 = 2 см. Знайдіть OA2. OA2 = 2OA1 = 2 · 2 = 4 (см). Відповідь: 4 см.

4. Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD, вписаного в коло, якщо ∠C = 140°, ∠D = 70°. Оскільки чотирикутник ABCD є вписаним у коло, то у нього суми протилежних кутів дорівнюють по 180°. Тоді: ∠A = 180° − ∠C = 180° − 140° = 40° ∠B = 180° − ∠D = 180° − 70° = 110° Відповідь: ∠A = 40°; ∠B = 110°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 12 см і 16 см. Знайдіть периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії даного трикутника. У трикутнику ABC AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 16 см Проведено середні лінії DF, DE, FE. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: 1 1 DF = BC = · 12 = 6 (см), 2 1

2 1

DE = AC = · 16 = 8 (см), 2 1

2 1

la. in.

FE = AB = · 10 = 5 (см). 2 2 Тоді PDFE = DF + FE + DE = 8 + 5 + 6 = 19 (см). Відповідь: 19 см. 6. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за другу. Нехай BC = x см, тоді AD = (x + 4) см і за теоремою про середню лінію трапеції маємо: BC + AD EF = ; 2

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 4

; звідси: 8 = 2 або x + 2 = 8; x = 6. Отже, BC = 6 (см), AD = (x + 4) см = 10 (см). Відповідь: 6 см і 10 см. 7. Коло вписано в рівнобічну трапецію, периметр якої дорівнює 20 см. Знайдіть бічну сторону трапеції. ABCD — трапеція, описана навколо кола, AB = CD, PABCD = 20 см. Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію ABCD, то AB + CD = BC + AD = 20 : 2 = 10 (см). Тоді AB = CD = 10 : 2 = 5 (см). Відповідь: 5 см.

8. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, а більша бічна сторона й більша основа дорівнюють по 12 см. Знайдіть меншу основу. Нехай ABCD — прямокутна трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD. ∠CDA = 60°, AD = 12 см, CD = 12 см за умовою задачі. Проведемо CH ⊥ AD. Оскільки ∠CDA = 60°, то ∠HCD = 90° − 60° = 30°. Отже, у трапеції ABCD: 1 1 HD = CD = · 12 = 6 (см) за властивістю 2 2 прямокутного трикутника з кутом 30°. Тоді BC = AD − HD = 12 − 6 = 6 (см). Відповідь: 6 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

9. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут, а середню лінію — на відрізки 9 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, AD || BC, MK — середня лінія трапеції ABCD, KP = 7 см, PM = 9 см. ∠BCA = ∠DCA за умовою задачі, тоді: ∠CAD = ∠BCA як різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC та січній AC. Оскільки ∠BCA = ∠DCA і ∠CAD = ∠BCA, то ∠DAC = ∠DCA, отже, трикутник ADC — рівнобедрений. Із рівнобедреного трикутника ADC за теоремою про середню лінію трикутника маємо: AD = DC = 2PM = 18 см. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: BC = 2KP = 2 · 7 = 14 (см). Тоді PABCD = BC + 3AD = 14 + 54 = 68 (см). Відповідь: 68 см. 10. Точки K, L, M ділять медіану BD трикутника ABC на чотири рівні частини (BK = KL = LM = MD). AM перетинає BC у точці F. Знайдіть CF : FB. Через точки K, L, D проведемо прямі KN, LH, DG, паралельні прямій AM. Оскільки AD = DC і DG || AM, то CG = GF (за теоремою Фалеса). Оскільки DM = ML = LK = KB і AM || LH || DG || NK, то GF = FH = HN = NB (за теоремою Фалеса). Оскільки CG = GF і GF = FH = HN = NB, то CF : FB = 2 : 3. Відповідь: 2 : 3.

11. Точка D — середина катета BC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Відстань від точки D до гіпотенузи трикутника на 15 см менша від гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, DB = DC. DM ⊥ AB, CN ⊥ AB, DM + 15 = AB. У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CN — висота, медіана трикутника ABC, CN = AN. MD — середня лінія трикутника BCN, тоді 1 1 1 CN = AB, MD = CN = AB. 2 1

Отже, AB + 15 = AB; 4 AB + 15 · 4 = 4AB; 3AB = 60; AB = 20 (см). Відповідь: 20 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Вправи для повторення розділу 1 1. Накресліть чотирикутник AMCN. Запишіть вершини, сторони та кути цього чотирикутника. Вершини A, M, C, N; Сторони AM, MC, CN, AN; Кути AMC, MCN, CNA, NAM.

la. in.

2. Чи можуть у чотирикутнику три кути бути прямими, а четвертий: 1. гострим; 2. тупим? Сума кутів чотирикутника 360°. Сума трьох прямих кутів дорівнює 270°. Тоді четвертий кут може бути тільки прямим: 270° + 90° = 360°. Відповідь: а. ні; б. ні. 3. Два кути чотирикутника дорівнюють 40° і 80°, а два інших між собою рівні. Знайдіть невідомі кути чотирикутника. 360° − 120° 360° − (40° + 80°) = = 120° 2 2 Відповідь: 120°, 120°. 4. Запишіть усі можливі варіанти позначення чотирикутника ABCD. ABCD, BCDA, CDAB, DABC. 5. Один з кутів чотирикутника на 10° менший від другого, на 50° менший від третього й удвічі менший від четвертого. Знайдіть кути чотирикутника. ∠1 = x, ∠2 = x + 10°, ∠3 = x + 50°, ∠4 = 2x. x + x + 10 + x + 50 + 2x = 360; 5x = 360 − 60; 5x = 300; x = 60. ∠1 = 60°, ∠2 = 60° + 10° = 70°, ∠3 = 60° + 50° = 110°, ∠4 = 2 · 60° = 120°. Відповідь: 60°, 70°, 110°, 120°. 6. Усі сторони чотирикутника між собою рівні. Доведіть, що сума будь−яких двох сусідніх кутів цього чотирикутника дорівнює 180°. ABCD — чотирикутник, AB = BC = CD = AD. Проводимо діагональ BD. ΔABD = ΔCBD за трьома сторонами. З рівності трикутників ∠ABD = ∠CDB. У ΔABD ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°, ∠A + ∠CDB + ∠ADB = 180°, ∠A + ∠ADC = 180°. Аналогічно можна довести, що сума інших пар сусідніх кутів теж дорівнює 180°. 7. Накресліть паралелограм KMTL, у якого кут K — тупий. Проведіть діагоналі паралелограма й позначте їхню точку перетину O. Укажіть на малюнку пари рівних між собою відрізків.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

8. На малюнку ABCD — паралелограм, ∠1 = 105°. Знайдіть ∠2.

la. in.

∠2 = ∠1 = 105° як відповідні при AD || BC і січній. 9. У чотирикутнику ABCD ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°. Доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм. ∠A + ∠B = 180° за умовою. Ці кути є внутрішніми односторонніми при прямих BC і AD і січній AB. Тоді за ознакою паралельності прямих BC || AD. ∠B + ∠C = 180° — сума внутрішніх односторонніх кутів при прямих AB і CD і січній BC. За ознакою паралельності прямі AB || CD. Отже, в чотирикутнику ABCD AB || CD і BC || AD, за означенням ABCD — паралелограм. 10. На малюнку AD = BC, ∠1 = ∠2. Доведіть, що ABCD — паралелограм. За умовою ∠1 = ∠2; ∠1 і ∠2 — внутрішні різносторонні при прямих BC і AD і січній BD. Тоді BC || AD (за ознакою паралельності прямих). У чотирикутнику ABCD BC || AD і BC = AD, тоді ABCD — паралелограм за ознакою.

11. Прямі a і b перетинаються. Побудуйте паралелограм так, щоб його діагоналі лежали на цих прямих. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Звідси випливає спосіб побудови: на прямій a від точки перетину відкласти по різні боки рівні відрізки — половини однієї діагоналі. на прямій b відкласти теж рівні відрізки. З'єднавши послідовно кінці відрізків, отримаємо паралелограм. 12. Дано паралелограм ABCD і трикутник ENM. Чи можливо, щоб одночасно виконувались рівності ∠A = ∠E, ∠B = ∠N, ∠C = ∠M? Ні, неможливо. ∠E + ∠N + ∠M = 180°, тоді ∠A + ∠B + ∠C = 180° і ∠D = 360° − 180° = 180°. Але це неможливо, кут чотирикутника не може дорівнювати 180°. 13. У паралелограмі ABCD точка M — середина AD, N — середина BC. Доведіть, що відрізки AN і BM точкою перетину діляться навпіл.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

ABCD — паралелограм. BC = AD, BN = BC, AM = AD. 2 2 ABNM — паралелограм (сторони BN і AM рівні і паралельні). У паралелограма діагоналі AN і BM точкою перетину діляться навпіл. 14. Дано три точки, що не лежать на одній прямій. Скільки паралелограмів з вершинами в цих точках можна побудувати?

la. in.

Відповідь: 3. 15. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині. Нехай ∠A = ∠C = α, тоді ∠B = ∠D = 180° − α. У чотирикутнику NBMD сума кутів дорівнює 360°: ∠NBM + ∠BMD + ∠D + ∠BND = 360°; ∠NBM = 360° − (∠BMD + ∠D + ∠BND); ∠NBM = 360° − (90° + 180° − α + 90°) = = 360° − (360° − α) = α. Отже, кут між висотами, проведеними з кута B, дорівнює куту A. 16. Доведіть, що бісектриси протилежних кутів паралелограма або паралельні, або збігаються.

Нехай AF — бісектриса кута BAD, CN — бісектриса кута BCD. 1 1 Тоді ∠FAD = ∠BAD, ∠BCN = ∠BCD. 2 2 ∠BAD = ∠BCD (за властивістю протилежних кутів паралелограма). Отже, їх половини також рівні: ∠FAD = ∠BCN. BC || AD (за означенням паралелограма). Значить, ∠FAD = ∠AFB (як внутрішні різносторонні кути при BC || AD і січній BC). ∠FAD = ∠BCN, ∠FAD = ∠AFB, тоді ∠BCN = ∠AFB. А оскільки ці кути — відповідні при прямих AF і CN і січній BC, то AF || CN (за ознакою паралельності прямих). Якщо всі сторони паралелограма рівні, бісектриси протилежних кутів лежать на одній прямій. В цьому випадку з того, що AB = BC випливає, що ΔABC — рівнобедрений з основою AC, а значить, ∠BAC = ∠BCA (як при основі рівнобедреного трикутника). 17. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 30°. Знайдіть ці висоти, якщо сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 20 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини B, дорівнює куту A. Тобто, ∠A = ∠C = ∠MBK. 1 1 У ΔABM BM = AB = · 8 = 4 (см) (як катет, що 2 2 лежить проти кута 30°). 1 1 Аналогічно в ΔBKC BK = BC = · 20 = 10 (см). 2 2 Відповідь: 4 см, 10 см. 18. Побудуйте паралелограм за двома непаралельними сторонами й висотою, проведеною до однієї з них. План побудови. 1. Провести довільну пряму l і позначити на ній довільну точку K. 2. Через точку K провести пряму, перпендикулярну прямій l і відкласти на ній відрізок KB = h. 3. З центра B провести коло радіуса b, воно перетне пряму l у точці A. 4. Від точки A на прямій l відкласти відрізок AD = a. 5. Побудувати коло з центром B радіуса a і точкою D радіуса c. 6. ABCD — шуканий паралелограм (BC = AD, AB = CD). 19. Накресліть прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см та знайдіть його периметр.

P = 2 · (3 + 5) = 16 (см). 20. У чотирикутнику точка перетину діагоналей ділить діагоналі на чотири рівних між собою відрізки. З’ясуйте вид чотирикутника.

Прямокутник (діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл). 21. Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає продовження сторони DC у точці N. Знайдіть ∠AND.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

∠BKA = ∠KAD = ∠A = 45° як внутрішні різносторонні при 2 AD || BC і січній AK. ∠NKC = ∠BKA = 45° як вертикальні. У ΔKNC ∠KNC = 180° – (∠NKC + ∠NCK) = = 180° – (45° + 90°) = 45°. Відповідь: 45°.

la. in.

22. Побудуйте прямокутник за: 1. стороною і діагоналлю; 2. діагоналлю й кутом, який вона утворює з однією зі сторін; 3. діагоналлю й кутом між діагоналями. 1. Нехай дано сторону a і діагональ прямокутника d. 1. Провести пряму l і вибрати на ній довільну точку A. 2. Побудувати пряму, перпендикулярну l в точці A і відкласти на ній відрізок AB = a. 3. З точки B радіусом d провести дугу кола до перетину з прямою l у точці D. 4. Побудувати коло з центром B радіуса AD і коло з центром D радіуса a. C — точка перетину кіл. Можна замість першого кола побудувати коло з центром A радіуса d. 5. ABCD — шуканий прямокутник.

2. 1. Побудувати кут α з вершиною A. 2. На стороні кута відкласти відрізок AC = d. 3. Побудувати пряму, перпендикулярну до другої сторони кута, яка проходить через точку C. Основа перпендикуляра D. 4. І спосіб. З точок A і C провести кола радіусами, рівними відрізкам d і AD відповідно. II спосіб. Поділити відрізок AC навпіл, через точку перетину провести промінь з точки D і відкласти на ньому відрізок DB = d. 5. ABCD — шуканий прямокутник. 3. 1. Розділити дану діагональ навпіл. 2. Побудувати ∠O = α. 3. На сторонах кута O та на їх продовженнях від точки 1 O відкласти відрізки OA = OB = OC = OD = d. 2 4. ABCD — шуканий прямокутник.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

23. Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає сторону CD у точці M. Знайдіть периметр прямокутника, якщо DM = 5 см, MC = 2 см. ∠BAC = ∠AMD як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній AM. Тоді ∠AMD = ∠DAM, у △ADM AD = DM = 5 см. DC = DM + MC = 5 + 2 = 7 (см). PABCD = 2(AD + CD) = 2 · (5 + 7) = 24 (см). Відповідь: 24 см. 24. Точка перетину діагоналей прямокутника розміщена від меншої сторони на 2 см далі, ніж від більшої. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 см. В прямокутнику ABCD O — точка перетину діагоналей. OM ⊥ BC, ON ⊥ AB — відстані від точки O до сторін прямокутника. У △ABD ON ⊥ AB, AD ⊥ AB, тоді ON || AD. O — середина BD, за теоремою Фалеса N — середина AB. 1 Отже, ON — середня лінія △ABD, ON = AD. 2

Аналогічно, в △ABC OM — середня лінія, OM = AB. 2 AB = 20M, AD = 20N. Нехай OM = x см, тоді ON = (x + 2) см. PABCD = 2(AB + AD) = 2(2x + 2(x + 2)) = 4x + 4x + 8 = 8x + 8; 8x + 8 = 56; 8x = 48; x = 6, AB = 2 · 6 = 12 (см); AD = 2 · (6 + 2) = 16 (см). Відповідь: 12 см, 6 см. 25. Перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута трикутника до гіпотенузи, ділить її у відношенні 1 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо діагональ прямокутника дорівнює a см. ABCD — прямокутник, AC = a — діагональ, BK ⊥ AC; AK : KC = 1 : 3. Нехай O — точка перетину діагоналей. AO = OC, 1 тому AK = KO = a см. 4

Отже, в △ABO висота BK є медіаною, тоді за ознакою рівнобедреного трикутника AB = BO. Але BO = AO, тому AB = BO = OA, △ABO — рівносторонній. 1 1 ∠ABK = ∠ABO = · 60° = 30°. 2

𝑎𝑎

AB = 2AK = 2 · a = (см) (катет проти кута 30°). 𝑎𝑎

Відповідь: см. 2 26. Бісектриси кутів A і D прямокутника ABCD перетинають його сторону BC у точках L і K відповідно. BL = 7 см, LK = 2 см. Знайдіть периметр прямокутника ABCD. Скільки випадків слід розглянути?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Можливі два випадки. ∠BLA = ∠LAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AL. За умовою ∠BAL = ∠LAD, тому ∠BAL = ∠BLA. △ABL — рівнобедрений (за ознакою), AB = BL = 7 см. Аналогічно, у △KCD KC = CD = 7 см. 1 випадок: BC = AD = BL + KC − KL = 7 + 7 − 2 = 12 (см). PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 12) = 38 (см). 2 випадок: BC = AD = BL + LK + KC = 7 + 7 + 2 = 16 (см). PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 16) = 46 (см). Відповідь: 38 см або 46 см. 27. Накресліть ромб MKLN з тупим кутом M та проведіть у ньому висоти MA і MB.

28. У ромбі ABCD діагоналі перетинаються в точці O, ∠BAO = 25°. Знайдіть кути ромба. ∠BAD = 2∠BAO = 2 · 25° = 50°. ∠C = ∠A = 50°. ∠B = ∠D = 180° − ∠A = 180° − 50° =130°. Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°.

29. Знайдіть кути ромба, якщо відношення двох з них дорівнює 2 : 3. У ромбі ABCD відношення кутів 2 : 3. Протилежні кути ромба рівні, отже, в умові задачі мова йде про кути, прилеглі до однієї сторони, їх сума — 180°. 2x + 3x = 180; 5x = 180; x = 36. ∠A = ∠C = 2 · 36° = 72°, ∠B = ∠D = 3 · 36° = 108°. Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°. 30. У ромбі ABCD з вершини гострого кута A проведено висоти AM і AN. Доведіть, що AM = AN. ABCD — ромб; AN ⊥ BC, AM ⊥ CD — висоти. △ABN = △ADM за гіпотенузою і гострим кутом (AB = AD як сторони ромба, ∠NBA = ∠MDA як кути, суміжні з рівними протилежними кутами B і D ромба). З рівності трикутників випливає, що AN = AM. 31. Діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, а його периметр дорівнює m см. Знайдіть сторони паралелограма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Паралелограм, у якого діагоналі перпендикулярні, є ромбом. Всі 𝑚𝑚 його сторони рівні см. 4

см.

Відповідь:

𝑚𝑚

la. in.

32. Кут між продовженням висоти ромба, проведеної з вершини гострого кута, і продовженням діагоналі, що сполучає цей гострий кут, дорівнює 40°. Знайдіть кути ромба. У △BCP ∠CBD = 90° − ∠P = 90° − 40° = 50°. ∠B = ∠D = 2 · 50° = 100°; ∠A = ∠C = 80°. Відповідь: 100°, 80°.

33. Висота ромба дорівнює 10 см, а його периметр − 80 см. Знайдіть: 1. кути ромба; 2. кут між висотою, проведеною з вершини тупого кута ромба, і його меншою діагоналлю. 1. ABCD — ромб, BK ⊥ AD, BK = 10 см — висота. PABCD = 80 см, тоді AB = BC = CD = AD = 80 : 4 = 20 (см). Оскільки катет BK вдвічі менший від гіпотенузи AB, то він лежить напроти кута 30°. Отже, ∠A = 30°, ∠C = ∠A = 30°. ∠B = ∠D = 180° − 30° = 150°. Відповідь: 30°, 150°. 1 1 2. ∠BDK = см ∠D = см · 150° = 75°. 2 2 ∠KBD = 180° − (∠BKD + ∠BDK) = 180° − (90° + 75°) = 15°. Відповідь: 15°. 34. Побудуйте ромб за діагоналлю й висотою. 1. Побудуємо прямі x і y. M — точка їх перетину. 2. Побудуємо коло з центром M і радіусом h. A — Точка перетину кола з прямою y. 3. Побудуємо коло з центром A і радіусом d. C — Точка перетину його з прямою x. 4. З'єднаємо точки A і C. Отримаємо діагональ AC, розділимо її навпіл. O — середина AC. 5. Проведемо пряму z ⊥ AC через точку O. B — точка перетину кола з прямою z і прямої x. 6. Побудуємо коло з центром A радіусом AB. D — Точка перетину кола з прямою z. 7. З'єднаємо точки D і C. Отримаємо шуканий ромб ABCD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

35. На сторонах прямокутника зовні нього побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників є вершинами ромба. △MAN = △PBN = △MDK = △PSK за двома сторонами і кутом між ними. AM = BP = CP = DM = AD = BC, AN = BN = CK = DK = AB = CD; ∠MAN = ∠NBP = ∠PCK = ∠MDK = = 360° − (60° + 90° + 60°) = 150°). З рівності трикутників випливає, що MN = PN = KP = KM. Отже, MNPK — ромб.

la. in.

36. Накресліть квадрат, сторона якого дорівнює 3 см. Знайдіть периметр квадрата.

P = 4 · 3 = 12 (см). 37. Різниця між периметром квадрата та сумою трьох його сторін дорівнює 8 см. Знайдіть сторону квадрата й його периметр. P = 4a, де a — сторона квадрата. 4a − 3a = a, 4a = 8 см. P = 4 · 8 = 32 (см). Відповідь: 8 см, 32 см. 38. У задане коло, положення центра якого відоме, впишіть квадрат. Провести в колі два взаємно перпендикулярні діаметри. З’єднати послідовно кінці діаметрів.

39. Діагональ прямокутника ділить його кут навпіл. Чи є цей прямокутник квадратом? Якщо діагональ прямокутника ділить його кути навпіл, то цей прямокутник є ромбом. Ромб, у якого є прямий кут, — це квадрат.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

40. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD позначено точки A1, B1, C1, D1 так, що AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Визначте вид чотирикутника A1B1C1D1. △A1BB1 = △B1CC1 = △C1DD1 = △D1AA1, за двома катетами (AA1 = BB1 = CC1 = DD1, за умовою, A1B = B1C = C1D = D1A, як частини рівних сторін квадрата без рівних відрізків). Тоді A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1. A1B1C1D — ромб. ∠B1A1D1 = 180° − (∠D1A1A + ∠BA1B1); ∠A1B1C1 = 180° − (∠CB1C1 + ∠BB1A1); ∠B1C1D1 = 180° − (∠B1C1C + ∠DC1D1); ∠C1D1A1 = 180° − (∠C1D1D + ∠A1D1A). З рівності трикутників ∠BA1B1 = ∠CB1C1 = ∠DC1D1 = ∠A1D1A, ∠BB1A1 = ∠CC1B1 = ∠DD1C1 = ∠AA1D1. Тоді ∠B1A1D1 = ∠A1B1C1 = ∠B1C1D1 = ∠C1D1A1. Ромб A1B1C1D1, у якого всі кути рівні, є квадратом. Відповідь: квадрат. 41. У квадрат вписано прямокутник так, що на кожній стороні квадрата лежить по одній вершині прямокутника, а сторони прямокутника паралельні діагоналям квадрата. Знайдіть периметр прямокутника, якщо діагональ квадрата дорівнює d см. У квадраті ABCD AC ⊥ BD. MN || AC за умовою, тоді MN ⊥ BD. 1 ∠ABD = ∠CBD = ∠B = 90° : 2 = 45° (за властивістю 2 діагоналей квадрата). У △MBN BL — висота і бісектриса, тоді △MBN — рівнобедрений, і L — середина MN. У △BLN ∠NBL = ∠BNL = 45°, тоді BL = NL. Аналогічно, розглянувши решту трикутників, отримаємо, що NR = RC = RP, PT = DT = KT. KS = AS = MS. PMPNK = 2(MN + NP) = 2 · AC = 2d (см). Відповідь: 2d см. 42. Накресліть прямокутну трапецію NMLK і рівнобічну DCFH. Укажіть основи трапецій та їхні бічні сторони.

NMLK: основи ML і NK, бічні сторони NM і LK. DCFH: основи CF і DH, бічні сторони CD і FH. 43. Знайдіть периметр рівнобічної трапеції, основи якої 8 см і 5 см, а бічні сторони дорівнюють меншій основі. P = 8 + 5 + 2 · 5 = 23 (см). Відповідь: 23 см. 44. У рівнобічній трапеції один з кутів на 20° більший за висоту. Знайдіть кути трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У рівнобічній трапеції кути при основі рівні, отже, в умові йде мова про кути, прилеглі до бічної сторони. Їх сума становить 180°. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 20°. x + x + 20 = 180; 2x = 160; x = 80°. ∠A = 80°, ∠B = 80° + 20° = 100°. Відповідь: 80°, 100°. 45. У прямокутній трапеції більша бічна сторона вдвічі більша за меншу. Знайдіть кути трапеції. У трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°. Проведемо CK ⊥ AD. ABCK — прямокутник, CK = AB. За умовою CD = 2AB = 2CK. Тоді в △CKD гіпотенуза CD вдвічі більша за катет CK. Це означає, що кут D = 30°. ∠BCD = 180° − ∠D = 180° − 30° = 150°. Відповідь: 90°, 90°, 150°, 30°. 46. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо протилежні її кути відносяться як 4 : 5. Кути при основі рівнобічної трапеції рівні, кути при бічній стороні в сумі становлять 180°. Нехай ∠A = 4x, ∠B = 5x, 4x + 5x = 180°; 9x = 180°; x = 20. Отже, ∠A = 4 · 20° = 80°, ∠B = 5 · 20° = 100°. Відповідь: 80°, 100°, 100°, 80°. 47. У трапеції ABCD з більшою основою AD через точку K – середину CD – проведено пряму BK, що перетинає пряму AD у точці M. Доведіть, що ΔBKC = ΔMKD. △BKC = △MKD за стороною і прилеглими кутами: ∠BCK = ∠KDM як внутрішні різносторонні при BC || AM і січній CD; CK = KD за умовою; ∠BKC = ∠DKM як вертикальні. 48. Висота прямокутної трапеції, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 30° і ділить навпіл більшу основу. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює m см. 1 𝑚𝑚 KD = CD = як катет, що лежить проти кута 30°. 2

𝑚𝑚

За умовою KD = AK, тоді AD = 2 · = m (см). 2 Відповідь: m см.

49. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута, а її основи дорівнюють 10 см і 6 см. Знайдіть периметр трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У трапеції ABCD BC || AD, AB = CD. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC. Але за умовою ∠BCA = ∠ACD, тому ∠CAD = ∠ACD, AC — основа рівнобедреного △ACD, CD = AD = 10 см. PABCD = AD + BC + 2CD = 10 + 6 + 2 · 10 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 50. ABCD — прямокутна трапеція, ∠D = ∠C = 90°, AD — більша основа, ∠BDC = 45°, ∠ABD = 90°, AD = 10 см. Знайдіть BC і CD. Проведемо BK ⊥ AD. У △ABD ∠ADB = ∠ADC − ∠BDC = 90° − 45° = 45°. Тоді ∠BAD = 45° і у △ABD AB = BD. Висота BK є медіаною, проведеною з вершини прямого кута B: 1 1 BK = AK = KD = AD = · 10 = 5 (см). 2 2 CD = BK = 5 см (як відрізки двох перпендикулярів, що містяться між двома паралельними прямими). △BCD є рівнобедреним (він прямокутний і один з гострих кутів — 45°). BC = CD = 5 см. Відповідь: BC = 5 см, CD = 5 см. 51. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює 5 см, а бічна сторона — 3 см, а кути між бічною стороною і більшою основою дорівнюють 60°. Знайдіть периметр трапеції. Проведемо BK ⊥ AD і CF ⊥ AD. △AKB = △DCF за гіпотенузою і гострим кутом (∠A = ∠D, AB = CD за умовою). 1 AK = FD = AB = 1,5 см як катет, що лежить проти кута 30°. 2 KBCF — прямокутник (BK || CF, BK = CF, ∠BKF = 90°). KF = BC = 5 см. PABCD = AB + BC + CD + AD = = 3 + 5 + 3 + (1,5 + 5 + 1,5) = 19 (см). Відповідь: 19 см. 52. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі, а бічна сторона — меншій. Знайдіть кути трапеції. У △ABC AB = BC, тому ∠BAC = ∠BCA. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при AD || BC і січній AC. ∠CDA = BAD за умовою. Нехай ∠BCA = x, тоді ∠BAD = 2x. У △ACD AC = AD за умовою, тоді ∠ACD = ∠ADC = 2x, ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = x + 2x = 3x. ∠BCD + ∠ADC = 180°. Маємо рівняння: 3x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. ∠A = 2 · 36° = 72°, ∠B = 3 · 36° = 108°. ∠C = ∠B = 108°, ∠D = ∠A = 72°. Відповідь: 72°, 108°, 108°, 72°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

53. Побудуйте трапецію за основами та діагоналями.

la. in.

Припустимо, що трапецію побудовано. Проведемо через вершину C пряму, паралельну діагоналі BD, позначимо точку її перетину з основою AD через F. Тоді у △ACF нам відомі всі сторони: AC = d1, CF = d2, AF = b + a. Побудуємо цей трикутник за трьома сторонами, а потім добудуємо до трапеції. План побудови: 1. Будуємо пряму, відкладаємо на ній відрізки AB = b в DF = a. 2. Провести коло з центром A радіуса d1. 3. Провести коло з центром F радіуса d2. 4. Точка перетину кіл — C. 5. Провести коло з центром D радіуса d2. 6. Провести коло з центром C радіуса a. 7. Точка перетину кіл — B. 8. ABCD — шукана трапеція. 54. У трапеції ABСD BC менша основа. Через точку C проведено пряму, паралельну AB, що перетинає AD у точці E. Знайдіть периметр трикутника ЕСD, якщо периметр трапеції дорівнює 56 см, а ВС = 10 см. ABCE — паралелограм (за означенням), BC = AE, CE = AB. P△CED = CE + CD + ED = AB + CD + AD − BC = = AB + CD + AD + BC − 2BC = PABCD − 2BC = = 56 – 2 · 10 = 36 (см). Відповідь: 36 см.

55. Чи можна вписати коло в чотирикутник ABCD, якщо: 1. AB = 5 см, BC = 3 см, CD = 4 см, DA = 6 см; 2. AB = 3 дм, BC = 7 дм, CD = 8 дм, DA = 10 дм? Коло можна вписати в чотирикутник, якщо суми протилежних сторін чотирикутника рівні. 1. AB + CD = 5 + 4 = 9 (см); 2. AB + CD = 8 + 3 = 11 (дм); BC + DA = 3 + 6 = 9 (см); BC + DA = 7 + 10 = 17 (дм); AB + CD = BC + DA. AB + CD ≠ BC + DA. Відповідь: так. Відповідь: ні. 56. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого в порядку слідування відносяться як: 1. 2 : 7 : 10 : 5; 2. 3 : 5 : 8 : 4? 1. 2x + 10x = 12x; 2. 3x + 8x = 11x; 7x + 5x = 12x. 5x + 4x = 9x; Суми пар протилежних кутів рівні. 11x ≠ 9x. Відповідь: так. Суми пар протилежних кутів не рівні. Відповідь: ні.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

57. ABCD – чотирикутник, описаний навколо кола, AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 10 см. Знайдіть AD. AB + CD = 3 + 10 = 13 (см). Значить, BC + AD = 13 (см). AD = 13 см − BC = 13 см − 9 см = 4 (см). Відповідь: 4 см. 58. У чотирикутнику ABCD ∠ABC = 100°, ∠ADC = 80°, ∠BDC = 30°. Знайдіть ∠BAC. 1. Оскільки ∠ABC + ∠ADC = 10° + 80° = 180°, то чотирикутник ABCD є вписаним у коло. 2. Оскільки кути ∠BAC і ∠BDC є кутами, вписаними у коло, що спираються на одну й ту саму дугу, то ∠BAC = ∠BDC = 30°. Відповідь: 30°.

59. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, відносяться в порядку слідування як 3 : 4 : 6. Знайдіть кути чотирикутника Нехай ∠A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 6x. Оскільки чотирикутник вписано в коло, то ∠A + ∠C = ∠B + ∠D. ∠A + ∠C = 3x + 6x = 9x, ∠B + ∠D = 4x + ∠D. 4x + ∠D = 9x, звідки ∠D = 9x − 4x = 5x. 3x + 4x + 6x + 5x = 360, 18x = 360, x = 20. ∠A = 3 · 20° = 60°, ∠B = 4 · 20° = 80°, ∠C = 6 · 20° = 120°, ∠D = 5 · 20° = 100°. Відповідь: 60°, 80°, 120°, 100°. 60. Чотирикутник ABCD вписано в коло, причому AC є діаметром кола. Точка O – точка перетину діагоналей. Знайдіть ∠AOD, якщо ∠BAC = 30°, ∠CAD = 58°. ∠ABC = 90° як вписаний, що спирається на діаметр AC. Тоді в ΔABC ∠ACB = 90° − ∠BAC = 90° − 30° = 60°. ∠DBC = ∠CAD = 58° як вписані, що спираються на ту саму дугу. З ΔBOC ∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = = 180° − (58° + 60°) = 62°. Відповідь: 62°. 61. Гострий кут прямокутної трапеції, описаної навколо кола, у 5 разів менший від тупого. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша бічна сторона дорівнює a см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°. ∠D = x, ∠C = 5x. Тоді x + 5x = 180, 6x = 180, x = 30. Отже, ∠D = 30°. Проведемо CK ⊥ AD. CK = AB = a см як відстані між паралельними прямими. 1 З ΔKCD CK = CD, 2 CD = 2CK = 2a. Оскільки трапеція описана навколо кола, то суми протилежних її сторін рівні. BC + AD = AB + CD = a + 2a = 3a. PABCD = 2 · 3a = 6a (см). Відповідь: 6a см. 62. На малюнку прямі A1B1, A2B2 і A3B3 — паралельні, A1A2 = A2A3. Знайдіть на цьому малюнку й інші пари рівних між собою відрізків. B1B2 = B2B3; A1A3 = B1B3.

63. Поділіть даний відрізок на 9 рівних частин (не використовувати лінійку з поділками). 1. AB — даний відрізок. 2. Промінь AC. 3. На промені AC відкладають 9 рівних відрізків: AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6 = C6C7 = C7C8 = C8C9. 4. Відрізок C9B. 5. Через точки C1, C2, ..., C8 провести прямі, паралельні C9B до перетину з відрізком AB. Ці прямі поділять відрізок AB на 9 рівних частин. 64. Поділіть даний відрізок на 3 частини, довжини яких відносяться як 3 : 1 : 2 (не використовувати лінійку з поділками). 1. AB — даний відрізок. 2. Промінь AC. 3. На промені AC відкладають 6 рівних відрізків (3 + 1 + 2 = 6): AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6. 4. Відрізок C6B. 5. Через точки C3, C4 провести C3M || C6B, C4N || C6B. Оскільки AC3 : C3C4 : C4C6 = 3 : 1 : 2, то за теоремою Фалеса AM : MN : NB = 3 : 1 : 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

65. Точка K ділить медіану AN трикутника ABC у відношенні 2 : 1, починаючи від точки A. Доведіть, що пряма CK ділить сторону AB навпіл. Проведемо NP || CM. У куті NAB AK : KN = 2 : 1 за умовою, тоді за теоремою Фалеса AM : MP = 2 : 1. Розглянемо кут ABC. CM || NP, BN : CN = 1 : 1, за теоремою Фалеса BP : PM = 1 : 1. Отже, AM = 2MP, але MP = PB, тому AM = MB. 66. Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, дорівнює 5 см. Знайдіть третю сторону трикутника. 2 · 5 = 10 (см) — за властивістю середньої лінії. 67. Побудуйте довільний прямокутний трикутник ABC ( ∠C = 90° ) і його найбільшу середню лінію.

Найбільша середня лінія з'єднує середини катетів. 68. EF — середня лінія трикутника ABC ( E ∈ AC, F ∈ BC ), CE = 3 см, CF = 5 см, EF = 7 см. Знайдіть периметр трикутника ABC. 1 CE = AC, AC = 2CE = 2 · 3 = 6 (см). 2 1

CF = BC, BC = 2CF = 2 · 5 = 10 (см). 2 1

EF = AB, AB = 2EF = 2 · 7 = 14 (см). 2 PΔABC = AB + BC + AC = 14 + 10 + 6 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 69. Одна з середніх ліній рівностороннього трикутника дорівнюють 2 см. Знайдіть периметр трикутника. Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. Тоді сторона рівностороннього трикутника дорівнює 2 · 2 см = 4 см. PΔ = 3 · 4 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 70. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 7 см, а периметр — 20 см. Знайдіть середню лінію, кінці якої належать бічним сторонам. Нехай a — основа, b — бічна сторона. PΔ = a + 2b, a = PΔ − 2b, a = 20 − 2 · 7 = 6 (см). Середня лінія, кінці якої належать бічним сторонам, паралельна основі і дорівнює її половині: 6 см : 2 = 3 (см). Відповідь: 3 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

71. Точки D, E, F, — відповідно середини сторін AB, BC і CA трикутника ABC. Доведіть, що чотирикутник DEFA — паралелограм. DE — середня лінія ΔABC за означенням, тому DE || AC. EF — середня лінія ΔABC, EF || AB. Отже, у чотирикутнику ADEF DE || AF, EF || AD. Тоді ADEF — паралелограм.

la. in.

72. Сторона трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з його середніх ліній дорівнює 5 см, а периметр трикутника, утвореного його середніми лініями, дорівнює 18 см. Нехай MNP — трикутник, утворений середніми лініями трикутника ABC. Нехай AC = 12 см. MN || AC, 1 1 MN = AC = · 12 = 6 (см). 2

Нехай MP = 5 см. MP || BC, MP = BC, 2 BC = 2MP = 2 · 5 = 10 (см).

PΔMNP = MN + MP + NP, NP = PΔMNP − (MN + MP) = 18 − (6 + 5) = 7 (см). NP || AB, 1 NP = AB, 2 AB = 2NP = 2 · 7 = 14 (см). Відповідь: 10 см, 14 см. 73. У трикутнику проведено середні лінії. Периметри паралелограмів, що утворилися при цьому, дорівнюють 22 см, 24 см і 26 см. Знайдіть периметр заданого трикутника та трикутника, який утворюють середні лінії. Нехай PAMNP = 22 см, PBNPM = 24 см, PCPMN = 26 см. PAMNP = 2AM + 2AP = AB + AC, PBNPM = 2BN + 2BM = BC + AB, PCPMN = 2CN + 2CP = BC + AC.

AB + AC = 22, AB = 22 − AC , AB = 22 − AC , �AB + BC = 24, �22 − AC + BC = 24, �−AC + BC = 2, AC + BC = 26; AC + BC = 26; AC + BC = 26; AB = 22 − AC , AB = 22 − AC , AB = 10, � 2BC = 28, � BC = 14, �BC = 14, AC + BC = 26; AC + 14 = 26; AC = 12. Отже, AB = 10 см, BC = 14 см, AC = 12 см. PΔABC = 10 + 14 + 12 = 36 (см). 1 1 MN = AC = · 12 = 6 (см), 2 1

2 1

NP = AB = · 10 = 5 (см), 2 1

2 1

MP = BC = · 14 = 7 (см). 2 2 PΔMNP = 6 + 5 + 7 = 18 (см). Відповідь: 36 см, 18 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

74. Побудуйте трикутник за трьома точками – серединами його сторін. 1 спосіб. При побудові скористаємося властивістю середньої лінії трикутника. З’єднаємо три точки, які є серединами сторін трикутника. Отримаємо трикутник. Через кожну вершину даного трикутника проводимо пряму, паралельну протилежній стороні. Точки перетину цих прямих утворюють шуканий трикутник.

la. in.

2 спосіб. Нехай M, N, і P — задані точки. MNP — трикутник, утворений середніми лініями трикутника ABC. Точка M — середина сторони, яка паралельна NP і вдвічі більша за неї. Вимірюємо циркулем NP і будуємо коло з точки M. Аналогічно, вимірюємо MN і будуємо коло з центром P, і з центром N будуємо коло радіусом MP. Точка перетину кіл — вершина шуканого трикутника ΔABC. 75. Послідовно сполучили середини сторін квадрата, діагональ якого дорівнює d см. Визначте вид чотирикутника, що при цьому утворився, та обчисліть його периметр. ABCD — квадрат, M, N, P, K — середини його сторін. AC = BD = d — діагоналі квадрата. 1 𝑑𝑑 У ΔABC NP — середня лінія, NP || AC, NP = AC = . 2

𝑑𝑑

У ΔADC MK — середня лінія, MK || AC, MK = AC = . 2 2 Дві протилежні сторони чотирикутника MNPK паралельні і рівні. MNPK — паралелограм. 1 𝑑𝑑 Аналогічно, MN || BD, MN = BD = . 1

𝑑𝑑

KP || BD, KP = BD = . Отже, MNPK — ромб. 2 2 MN ⊥ MK (MN || BD, MK || AC, BD ⊥ AC), тоді MNPK — квадрат. 𝑑𝑑 PMNPK = 4 = 2d (см). 2 Відповідь: квадрат. 76. Накресліть трапецію ABCD та її середню лінію EF. Виміряйте основи трапеції та обчисліть довжину її середньої лінії. AD + BC EF = . 2

77. Сума бічних сторін трапеції дорівнює 17 см, а середня лінія – 8 см. Знайдіть периметр трапеції. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ. Тоді сума основ: 8 см · 2 = 16 см. Pтр = 16 + 17 = 33 (см). Відповідь: 33 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

78. Різниця основ трапеції дорівнює 2 см, а середня лінія – 14 см. Знайдіть основи трапеції. Нехай a і b — основи трапеції. 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 2, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 2, � 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 � = 14; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 28. 2 2a = 30, a = 15, 15 − b = 1, b = 13. Відповідь: 13 см, 15 см.

la. in.

79. Основи трапеції дорівнюють 20 см і 12 см. Бічну сторону трапеції поділено на 4 рівні частини й через точки поділу проведено прямі, паралельні основам. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться між сторонами трапеції. BC + AD 20 + 12 PK = = = 16 (см). 2 2 (як середня лінія трапеції ABCD); BC + 𝑃𝑃𝑃𝑃 12 + 16 MN = = = 14 (см). 2 2 (як середня лінія трапеції PBCK); PK + AD 16 + 20 RT = = = 18 (см). 2 2 (як середня лінія трапеції APKD). Відповідь: 16 см, 14 см, 18 см. 80. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія, завдовжки 18 см, поділяється діагоналлю на відрізки, один з яких удвічі більший за другий. MN = 18 см — середня лінія. Нехай MK = x см, тоді KN = 2x см. x + 2x = 18; 3x = 18; x = 6. Отже, MK = 6 см, KN = 2 · 6 = 12 (см). MN || BC, MN || AD, за властивістю середньої лінії трапеції. За теоремою Фалеса K — середина AC. Тоді MK — середня лінія ΔABC, BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см). KN — середня лінія ΔACD, AD = 2KN = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 12 см, 24 см. 81. Середня лінія трапеції втричі більша за меншу основу й на 12 см менша від більшої основи. Знайдіть основи трапеції. Нехай a і b — основи трапеції, a > b, m — її середня лінія. За умовою: m = 3b, a − b = −12. За властивістю середньої лінії трапеції: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = ; 2 2m = a + b. Розглянемо систему рівнянь:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

3𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 − 12, 3𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = −12, 3𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = −12, � � � 2 · 3𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏; 6𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 0; 5𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = 0; 2b = 12, b = 6; 3 · 6 – a = −12, a = 30. Отже основи трапеції 6 см і 30 см. Відповідь: 6 см, 30 см. 82. Середня лінія трапеції діагоналями ділиться на відрізки, відношення яких дорівнюють 2 : 3 : 2. Знайдіть відношення основ трапеції.

MN — середня лінія трапеції ABCD, AC і BD — її діагоналі. MP : PK : KN = 2 : 3 : 2. Нехай MP = 2x, PK = 3x, KN = 2x. У ΔABC M — середина AB, MP || BC (MP — частина MN, MN || BC). Тоді за теоремою Фалеса, P — середина AC, MP — середня лінія ΔABC, 1 MP = BC, BC = 2MP = 2 · 2x = 4x. 2 В ΔACD PN — середня лінія, PN = PK + KN = 3x + 2x = 5x. 1 PN = AD, 2 AD = 2PN = 2 · 5x = 10x. AD : BC = 10x : 4x = 5 : 2. Відповідь: 5 : 2. 83. Доведіть, що коли діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.

Проведемо через точку C пряму CF || BD і продовжимо пряму AD до перетину з CF. Чотирикутник BCFD — паралелограм (BC || DF як основи трапеції, BD || CF за побудовою). Значить, CF = BD, DF = BC і AF = AD + BC. ΔACF — прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, що вона перпендикулярна і другій прямій). Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто ΔACF — рівнобедрений з основою AF. Значить, його висота CN є медіаною, а оскільки медіана прямокутного трикутника, 1 AD + BC проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, то CN = AF = , тобто висота CN 2 2 дорівнює середній лінії трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

84. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює a см, бічна сторона – c см, а гострий кут – 60°. Знайдіть середню лінію трапеції.

la. in.

Проведемо BK ⊥ AD, CF ⊥ AD — висоти трапеції. У ΔABK ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°. 1 𝑐𝑐 Тоді AK = AB = (як катет, що лежить проти кута 30°). 2 2 BK || CF (BK ⊥ AD, CF ⊥ AD) BK = CF за гіпотенузою і гострим кутом (AB = CD, ∠A = ∠D за умовою). Тоді KBCF — паралелограм. 𝑐𝑐 BC = KF = AD − (AK + FD) = a − 2 = a – c. 2 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 – 𝑐𝑐 2𝑎𝑎 – 𝑐𝑐 𝑐𝑐 AD + BC = = = 𝑎𝑎 – . Середня лінія: 2 2 2 2 𝑐𝑐 Відповідь: a – . Розділ 2. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ § 11. Узагальнена теорема Фалеса 11.1 (Усно) На малюнку AB ∥ CD. Які з пропорцій справджуються:

Відповідь: 𝟏𝟏. = ; 𝟒𝟒. = . OB BD BD AC 11.2 На малюнку AB ∥ CD, OA = 3, AC = 5, BD = 10. Знайдіть OB.

OB OA = ; BD AC 3 · 10 OA · BD = = 6. OB = 5 AC 11.3 На малюнку AB ∥ CD, OB = 2, BD = 3, OA = 1. Знайдіть AC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

OB OA = ; BD AC 1 · 3 OA · BD = = 1,5. AC = 2 OB 11.4 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута O. AC = 6 см, CE = 2 см, BD = 5 см. Знайдіть BF.

CE · BD

la. in.

. За узагальненою теоремою Фалеса = , звідки DF = CE DF AC 10 2 2 · 5 = = 1 (см). DF = 6 3 6 2 2 BF = BD + DF = 5 + 1 = 6 (см). 3 3 2 Відповідь: 6 см. 3 11.5 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута O. BD = 4 см, DF = 2 см, CE = 3 см. Знайдіть AE.

BD AC = ; DF CE 3 · 4 CE · BD = = 6 (см). AC = 2 DF AE = AC + CE = 6 + 3 = 9 (см). Відповідь: 9 см. 11.6 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута з вершиною O. OA = 3 см, AC = 4 см, BD = 5 см, DF = 2 см. Знайдіть CE і OB.

OB OA = ; BD AC 15 3 OA · BD 3 · 5 = = = 3 (см). OB = 4 4 4 AC BD AC = ; DF CE 4 · 2 8 3 AC · DF = = = 1 (см). CE = 5 5 5 BD 3 3 Відповідь: 3 см, 1 см. 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

OA OB = ; AC BD 4 · 5 20 6 AC · OB = = = 2 (см). OA = 7 7 7 BD BD AC = ; DF CE 3 · 7 21 1 CE · BD = = = 5 (см). DF = 4 4 4 AC 6 1 Відповідь: 2 см, 5 см.

11.7 Паралельні прямі AB, CD і EF перетинають сторони кута з вершиною O. OB = 5, BD = 7, AC = 4, CE = 3. Знайдіть OA і DF.

11.8 Дано відрізки a, b, c. Побудуйте відрізок x =

𝑐𝑐

𝑙𝑙

Побудуємо нерозгорнутий кут з вершиною O. 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑥𝑥 Запишемо рівність x = у вигляді = . 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑏𝑏 На одній із сторін кута відкладаємо відрізок OA = c, і AC = a, на другій стороні — OB = b. Проведемо пряму, паралельну AB. Через точку C проведемо пряму, паралельну AB, яка перетне сторону OB у точці D. За узагальненою теоремою Фалеса: OA OB 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 = ; = ; 𝑥𝑥 = . AC 𝑐𝑐 BD 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑚𝑚 11.9 Дано відрізки l, n, m. Побудуйте відрізок x = .

Побудуємо нерозгорнутий кут з вершиною O.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑙𝑙

la. in.

Запишемо рівність 𝑥𝑥 = у вигляді = . 𝑛𝑛 𝑙𝑙 𝑥𝑥 На одній із сторін кута відкладаємо відрізок OA = n, і AC = m, на другій стороні — OB = l. Через точку C проведемо пряму, паралельну AB, яка перетне сторону OB у точці D. За узагальненою теоремою Фалеса: OA OB 𝑙𝑙 𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑚𝑚 = ; = ; 𝑥𝑥 = . AC 𝑙𝑙 BD 𝑚𝑚 𝑥𝑥 11.10 На малюнку AB ∥ CD, OA = 4, AC = 6. Знайдіть відрізки OB і BD, якщо OD = 15.

Нехай OB = x, тоді BD = 15 − x. За узагальненою теоремою Фалеса: OB OA = ; BD AC 𝑥𝑥 4 = ; 15 − 𝑥𝑥 6 2(15 − x) = 3x; 30 − 2x = 3x; 5x = 30; x = 6. OB = 6; BD = 15 − 6 = 9. Відповідь: 6; 9. 11.11 На малюнку AB ∥ CD, OB = 5, BD = 7. Знайдіть відрізки OA і AC, якщо AC − OA = 1.

Нехай OA = x, тоді AC = x + 1. За узагальненою теоремою Фалеса: AC OA = ⇒; BD OB 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 = ; 7 5 7x = 5(x + 1); 7x = 5x + 5; 2x = 5; x = 2,5. OA = 2,5; Ac = 2,5 + 1 = 3,5. Відповідь: 2,5; 3,5. 11.12 На стороні AB трикутника ABC позначено точку M так, що AM : MB = 1 : 3. У якому відношенні відрізок CM ділить медіану AP трикутника ABC?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Відрізок CM перетинає медіану AP в точці K. Проведемо PN || CM. Розглянемо кут ABC. BP : BC = 1 : 1. Тоді за узагальненою теоремою Фалеса BN : NM = 1 : 1, тобто N — середина BM. За умовою AM : MB = 1 : 3, значить AM : MN = 1 : 1,5. Розглянемо кут BAC. AM : MN = AK : KP, AK : KP = 1 : 1,5 або AK : KP = 2 : 3. Відповідь: 2 : 3. 11.13 AD – медіана трикутника ABC, точка M лежить на стороні AC, відрізок BM ділить AD у відношенні 5 : 3, починаючи від точки A. Знайдіть AM : MC.

K — точка перетину відрізків AD і BM. Проведемо DN || BM. Кут DAC: AK : KD = AM : MN, AM : MN = 5 : 3. Кут BCA: CD : DB = 1 : 1, CN : NM = 1 : 1. Тоді N — середина MC. AM : MC = 5 : (3 + 3); AM : MC = 5 : 6. Відповідь: 5 : 6. 11.14 Діагональ чотирикутника дорівнює 5 см, а периметри трикутників, на які вона розбиває чотирикутник, дорівнюють 12 см і 14 см. Знайдіть периметр чотирикутника.

PΔABC = 12 см, PΔACD = 14 см, AC = 5 см. PΔABC = AB + BC + AC, AB + BC = PΔABC − AC = 12 − 5 = 7 (см). PΔACD = AD + CD + AC, AD + CD = PΔACD − AC = 14 − 5 = 9 (см). PABCD = AB + BC + AD + CD = 7 + 9 = 16 (см). Відповідь:16 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

11.15 Тупий кут прямокутної трапеції дорівнює 120°, а менша діагональ трапеції дорівнює більшій бічній стороні. Знайдіть відношення середньої лінії трапеції до більшої бічної сторони.

la. in.

Проведемо CK ⊥ AD. За умовою ΔACD рівнобедрений, AC = CD. Тоді CK — висота і медіана: AK = KD. ΔBCK — прямокутник, BC = AK. Нехай BC = x, тоді AD = 2AK = 2x. Середня лінія: 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 3𝑥𝑥 BC + AD = = . 2 2 2 У ΔCKD ∠DCK = 120° − 90° = 30°, 1 тоді KD = CD (катет проти кута 30°). 2 CD = 2KD = 2x. Відношення середньої лінії до більшої бічної сторони: 3𝑥𝑥 : 2𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 ∶ 4𝑥𝑥 = 3 ∶ 4. 2 Відповідь: 3 : 4. 11.16 ΔABC = ΔMKL. Заповніть пропуски: У рівних трикутників відповідні елементи рівні: 1. ∠A = ∠M, 2. ∠B = ∠K, 3. ∠C = ∠L, 4. MK = AB, 5. ML = AC, 6. KL = BC. 11.17 Сторони одного трикутника вдвічі більші за відповідні сторони другого трикутника. У скільки разів периметр першого трикутника більший за периметр другого? Нехай сторони першого трикутника a, b і c, тоді його периметр: P1 = a + b + c. Сторони другого трикутника вдвічі більші: 2a, 2b, 2c. Тоді: P2 = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2P1. Відповідь: у 2 рази. 11.18 Дано ΔABC і ΔA1B1C1. Відомо, що ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Чи можна стверджувати, що: 1. ∠C = ∠C1? Так. Сума кутів трикутника 180°. Якщо два з трьох кутів рівні, то і треті кути однакові. 2. ΔABC = ΔA1B1C1? Ні. Сторони можуть бути різними. 11.19 1. Щоб залити один квадратний метр ковзанки потрібно 40 л води. Скільки води  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

знадобиться, щоб залити ковзанку прямокутної форми завдовжки 30 м і завширшки 20 м? 1 м2 = 40 л Довжина – 30 м Ширина – 20 м 1. S = a · b = 30 · 20 = 600 м2 – площа ковзанки; 2. 600 · 40 = 24000 л = 24 м3 – води. Відповідь: щоб залити ковзанку, знадобиться 24 м3. 2. Дізнайтеся, скільки коштує 1 м3 води у вашій місцевості. Обчисліть, яку суму потрібно буде сплатити муніципальній владі за спожиту воду. 1 м3 = 31 грн 24 м3 = ? грн 24 · 31 = 744 (грн) – потрібно сплатити. Відповідь: потрібно сплатити 744 грн. 11.20 Дано квадрат ABCD. Скільки існує точок K у площині цього квадрата таких, що кожний із трикутників ABK, BCK, CDK і ADK — рівнобедрений?

1) Центр квадрата (перетин діагоналей) — 1 точка. 2) Внутрішні вершини рівносторонніх трикутників на кожній стороні — 4 точки. Відповідь: 5 точок.

§ 12. Подібні трикутники 12.1 (Усно) Дано: ΔABC ∼ ΔMNK. Заповніть пропуски: Згідно подібності трикутників: 1. ∠A = ∠M, 2. ∠B = ∠N, 3. ∠C = ∠K. AB 12.2 Дано: ΔABC ∼ ΔKLM, = 3. Заповніть пропуски: KL

Згідно подібності трикутників, якщо = 3, то: KL AC 𝟏𝟏. = 3; KM

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC = 3. LM 12.3 Дано: ΔMLF ∼ ΔPNK. Складіть усі можливі пропорції для сторін трикутників. Згідно властивості, відповідні сторони подібних трикутників пропорційні: MF ML = ; PK PN LF MF = ; NK PK ML MF = . PN PK 12.4 Дано: ΔMNL ∼ ΔABC, ∠M = 50°, ∠B = 70°. Знайдіть невідомі кути обох трикутників. Згідно властивості, відповідні кути подібних трикутників — рівні: ∠A = ∠M = 50°, ∠N = ∠B = 70°; ∠L = ∠C = 180° − (50° + 70°) = 180° − 120° = 60°. 12.5 Дано: ΔABC ∼ ΔDEF, ∠A = 40°, ∠F = 90°. Знайдіть невідомі кути обох трикутників. Згідно властивості, відповідні кути подібних трикутників — рівні: ∠D = ∠A = 40°; ∠C = ∠F = 90°; ∠B = ∠E = 180° − (40° + 90°) = 50°. 12.6 Дано: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 12 см, A1B1 = 3 см. Знайдіть: Згідно властивості подібних трикутників: 12 4 AB = = . 3 1 A₁B₁ A₁B₁ 1 A₁C₁ = = ; 𝟏𝟏. AB 4 AC A₁B₁ 1 B₁C₁ = = . 𝟐𝟐. AB 4 BC 12.7 Дано: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 10, BC = 8, CA = 6, A1B1 = 5. Знайдіть: B1C1 і C1A1. Якщо ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді B₁C₁ A₁C₁ 5 1 A₁B₁ = = = = . BC AC 10 2 AB 1 B₁C₁ 1 B₁C₁ = ; = ; 2 8 2 BC 8 · 1 = 4. B₁C₁ = 2 1 C₁A₁ 1 C₁A₁ = ; = ; 2 6 2 CA 6 · 1 = 3. C₁A₁ = 2 Відповідь: 4 : 3. 12.8 Дано: ΔKLM ∼ ΔK1L1M1, KL = 12, KM = 9, LM = 21, K1L1 = 4. Знайдіть: K1M1, L1M1. Якщо ΔKLM ~ ΔK1L1M1, тоді: 4 1 K₁L₁ = = . 12 3 KL 1 K₁M₁ 1 K₁M₁ = ; = ; 3 9 3 KM

la. in.

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

9 · 1 K₁M₁ = = 3. 3 1 L₁M₁ 1 L₁M₁ = ; = ; 3 21 3 LM 21 · 1 = 7. L₁M₁ = 3 Відповідь: 3; 7. 12.9 Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, відтак прочитаєте прізвище видатної української фахівчині в царині математики, котра стала другою жінкою у світі, яка отримала найпрестижнішу міжнародну премію для математиків – медаль Філдса. Оскільки за умовою AB : BC : AC = 7 : 8 : 9, то і A1B1 : B1C1 : A1C1 = 7 : 8 : 9 (згідно властивості подібності трикутників). Позначимо A1B1 = 7x, B1C1 = 8x, A1C1 = 9x. 1. За умовою A1B1 = 21 см. 7x = 21, x = 3. Отже, B1C1 = 8 · 3 = 24 (см), A1C1 = 9 · 3 = 27 (см). Відповідь: 24 см, 27 см. 2. За умовою A1C1 − B1C1 = 5 см, 9x − 8x = 5, x = 5. A1B1 = 7 · 5 = 35 (см); B1C1 = 8 · 5 = 40 (см); A1C1 = 9 · 5 = 45 (см). Відповідь: 35 см, 40 см, 45 см. 3. За умовою A1B1 + B1C1 + A1C1 = 48 см. 7x + 8x + 9x = 48, 24x = 48, x = 2. A1B1 = 7 · 2 = 14 (см); B1C1 = 8 · 2 = 16 (см); A1C1 = 9 · 2 = 18 (см). Відповідь: 14 см, 16 см, 18 см. 14 см 24 см 35 см 27 см 21 см 16 см 40 см 18 см 45 см В Я З О В С Ь К А Марина Сергіївна В’язовська. 12.10 Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 9. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника у випадках, якщо його: Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1. Оскільки за умовою AB : BC : CA = 5 : 6 : 9, то і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 5 : 6 : 9. Позначимо A1B1 = 5x, B1C1 = 6x, A1C1 = 9x. 1. За умовою C1A1 = 18 см, 9x = 18, x = 2. A1B1 = 5 · 2 = 10 (см);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

B1C1 = 6 · 2 = 12 (см). Відповідь: 10 см, 12 см. 2. За умовою B1C1 − A1B1 = 3 см, 6x − 5x = 3, x = 3. A1B1 = 5 · 3 = 15 (см); B1C1 = 6 · 3 = 18 (см); C1A1 = 9 · 3 = 27 (см). Відповідь: 15 см, 18 см, 27 см. 3. За умовою A1B1 + B1C1 + C1A1 = 100 см. 5x + 6x + 9x = 100, 20x = 100, x = 5. A1B1 = 5 · 5 = 25 (см); B1C1 = 6 · 5 = 30 (см); C1A1 = 9 · 5 = 45 (см). Відповідь: 25 см, 30 см, 45 см. 12.11 Доведіть, що два рівносторонні трикутники між собою подібні. У рівносторонньому трикутнику ΔABC ∠A = ∠B = ∠C = 60°, AB = BC = AC, тому AB : BC : AC = 1 : 1 : 1. У рівносторонньому ΔA1B1C1 ∠A1 = ∠B1 = ∠C1 = 60°, A1B1 = B1C1 = A1C1, тобто A1B1 : B1C1 : A1C1 = 1 : 1 : 1. Отже, ΔABC ~ ΔA1B1C1 за означенням, оскільки всі кути у трикутників рівні, а A1B1 : B1C1 : A1C1 = AB : BC : AC. 12.12 Периметри подібних трикутників відносяться як 2 : 3, а сума їх найбільших сторін дорівнює 20 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 2 : 3 : 4. Відомо, що відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін. Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1. Оскільки за умовою AB : BC : AC = 2 : 3 : 4, то і A1B1 : B1C1 : A1C1 = 2 : 3 : 4. Позначимо AB = 2x, BC = 3x, AC = 4x. P∆ABC AC 2 = = , P∆A₁B₁C₁ A₁C₁ 3 2 4𝑥𝑥 = ; тоді 3 A₁C₁ 4𝑥𝑥 · 3 = 6𝑥𝑥. A₁C₁ = 2 За умовою AC + A1C1 = 20 см; 4x + 6x = 20; 10x = 20; x = 2. AB = 2 · 2 = 4 (см); BC = 3 · 2 = 6 (см); AC = 4 · 2 = 8 (см). AB 2 4 2 = ; = ; A₁B₁ 3 A₁B₁ 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

4 · 3 A₁B₁ = = 6 (см); 2 2 6 2 BC = ; = ; 3 B₁C₁ 3 B₁C₁ 6 · 3 = 9 (см). B₁C₁ = 2 A1C1 = 6 · 2 = 12 (см). Відповідь: 4 см, 6 см, 8 см і 6 см, 9 см, 12 см. 12.13 Периметри подібних трикутників відносяться як 4 : 3, а сума їхніх найбільших сторін дорівнює 21 см. Знайдіть сторони кожного з трикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 3 : 4 : 5. Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1. Оскільки за умовою AB : BC : CA = 3 : 4 : 5, то і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 3 : 4 : 5. Позначимо AB = 3x, BC = 4x, AC = 5x. AB 4 P∆ABC = = ; A₁B₁ 3 P∆A₁B₁C₁ 3𝑥𝑥 · 3 = 2,25𝑥𝑥. A₁B₁ = 4 4 BC = ; 3 B₁C₁ 4𝑥𝑥 · 3 = 3𝑥𝑥. B₁C₁ = 4 4 AC = ; 3 A₁C₁ 5𝑥𝑥 · 3 A₁C₁ = = 3,75𝑥𝑥. 4 За умовою AB + A1B1 = 21 см; 3x + 2,25x = 21; 5,25x = 21; x = 4. AB = 3 · 4 = 12 (см); BC = 4 · 4 = 16 (см); AC = 5 · 4 = 20 (см). A1B1 = 2,25 · 4 = 9 (см); B1C1 = 3 · 4 = 12 (см), A1C1 = 3,75 · 4 = 15 (см). Відповідь: 12 см, 16 см, 20 см і 9 см, 12 см, 15 см. 12.14 У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Знайдіть усі пари рівних трикутників, що при цьому утворилися.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔBOC = ΔDOA за двома сторонами і кутом між ними (BO = OD, AO = OC, ∠BOC = ∠DOA як вертикальні). Аналогічно, ΔABD = ΔCDB. ΔABD = ΔCDB, ΔABC = ΔCDA за трьома сторонами (діагональ — спільна, AB = CD, BC = AD як протилежні сторони). 12.15 Доведіть, що точка перетину бісектрис кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, належить середній лінії трапеції.

la. in.

Нехай бісектриса кута ABC перетинає сторону AD у точці S. Тоді ΔABS – рівнобедрений з основою BS (∠CBS = ∠BSA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD і січній BS, тоді ∠ABS = ∠BSA, AB = AS). Значить, його бісектриса AK є також медіаною, тобто K – середина BS. Якщо MN – середня лінія трапеції, то MN || AD. Оскільки M і K – середини сторін AB і BS, то MK – середня лінія ΔABS і MK || AS. Оскільки через точку M можна провести лише одну пряму, паралельну даній, то точка K лежить на середній лінії трапеції. 12.16 На малюнку пряма KL паралельна стороні BC різностороннього трикутника ABC. Знайдіть усі рівні між собою кути на цьому малюнку.

∠AKL = ∠ABC, ∠ALK = ∠ACB як відповідні. 12.17 Скільки потрібно робітників для перенесення соснової балки розміром 4,5 м ⨯ 20 см ⨯ 55 см? Кожен робітник може підняти в середньому 70 кг. Щільність сосни – 520 кг/м3. Довжина – 4,5 м Ширина – 20 см Висота – 55 см Щільність – 520 кг/м3 1 робітник – 70 кг 1. 4,5 · 0,2 · 0,55 = 0,495 м3 – об'єм балки; 2. 520 · 0,495 = 257,4 (кг) – вага балки; 3. 257,4 : 70 ≈ 3,68 = 4 – робітника. Відповідь: потрібно 4 робітника, щоб перенести соснову балку. 12.18 Точки K і L належать відповідно сторонам AB і AC трикутника ABC. Чи може точка перетину відрізків BL і KC ділити кожний з них навпіл?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Припустимо, що точка O – перетин відрізків BL і KC – ділить кожний з них навпіл. Тоді KO = OC, BO = OL, ∠KOB = ∠COL як вертикальні. ΔKOB = ΔCOL за двома сторонами і кутом між ними. З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів: ∠BKO = ∠LCO, але ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих AB і AC та січній KC. Тоді AB || AC, що суперечить умові. Отже, наше припущення хибне. Точка перетину відрізків не може ділити кожний із них навпіл. Відповідь: ні.

la. in.

§ 13. Ознаки подібності трикутників 13.1 За яких умов два трикутники подібні: 1. Якщо у трикутників є спільний кут, то для подібності потрібно, щоб сторони, які утворюють цей кут, були пропорційні (ознака подібності за двома сторонами і кутом між ними). 2. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого, то трикутники подібні (ознака подібності за двома кутами). 3. Якщо дві сторони одного трикутника дорівнюють двом сторонам другого, то подібність не обов’язково виконується — потрібно ще, щоб кути між цими сторонами були рівні (тоді теж діє ознака за двома сторонами і кутом між ними). 13.2 За яких умов ΔABC ∼ ΔDEF: 2. Подібні, бо два відповідні кути рівні, отже й треті кути теж рівні. 13.3 За яких умов ΔABC ∼ ΔMNK: 2. Дві сторони, що утворюють рівні кути, пропорційні, і кут між ними рівний (ознака подібності за двома сторонами і кутом між ними). 4. Біля рівних кутів прилеглі сторони пропорційні. 13.4 Доведіть, що ΔABC ∼ ΔA1B1C1, якщо: 2 1 AB = = ; 𝟏𝟏. 4 2 A₁B₁ 3 1 BC = = ; 6 2 B₁C₁ 4 1 AC = = . 8 2 A₁C₁ BC AC AB = = . B₁C₁ A₁C₁ A₁B₁ ΔABC ~ ΔA1B1C1 за третьою ознакою. 2. ∠A = ∠A1 = 20°, 3 1 AB = = ; 9 3 A₁B₁ 5 1 AC = = ; 15 3 A₁C₁ AC AB = . A₁C₁ A₁B₁ ΔABC ~ ΔA1B1C1 за другою ознакою. 3. ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (30° + 40°) = 110°. ∠A1 = 180° – (∠B1 + ∠C1) = 180° – (40° + 110°) = 30°. ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔABC ~ ΔA1B1C1 за першою ознакою. 13.5 Доведіть, що ΔMNK ∼ ΔM1N1K1, якщо: 1. ∠M = ∠M1; 5 1 MN = = ; 10 2 M₁N₁ 6 1 MK = = . 12 2 M₁K₁ ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за двома сторонами і кутом між ними. 2. ∠M1 = 180° – (∠N1 + ∠K1) = 180° – (40° + 50°) = 90°. ∠M = ∠M1 = 90°; ∠N = ∠N1 = 50°. ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за двома рівними кутами. MN 3 1 𝟑𝟑. = = ; M₁N₁ 6 2 4 1 NK = = ; 8 2 N₁K₁ 5 1 MK = = . 10 2 M₁K₁ ΔMNK ~ ΔM1N1K1 за трьома сторонами. 13.6 Прямі AB і CD перетинаються в точці O, AC ∥ BD. Доведіть, що ΔAOC ∼ ΔBOD.

ΔAOC ~ ΔBOD за двома кутами: ∠AOC = ∠BOD як вертикальні; ∠ACO = ∠BDO як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AC || BD і січній CD. 13.7 Прямі MN і KL перетинаються в точці O, ∠MLO = ∠NKO. Доведіть, що ΔMOL ∼ ΔNOK.

ΔMOL ~ ΔNOK за двома кутами: ∠MLO = ∠NKO за умовою, ∠MOL = ∠KON як вертикальні. 13.8 На сторонах AB і AC трикутника ABC відповідно позначено точки P і L так, що AP 1 1 = AB, AL = AC. Доведіть, що ΔAPL ∼ ΔABC. 3

ΔAPL ~ ΔABC за двома сторонами і кутом між ними:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠A — спільний; 3 CA 3 AB = , = 1 за умовою. 1 AL 1 AP 13.9 На сторонах KL і KN трикутника KLN відповідно позначено точки A і B так, що KA 2 2 = KL, KB = KN. Доведіть, що ΔKAB ∼ ΔKLN. 3

3 2

la. in.

ΔKAB ~ ΔKLN за двома сторонами і кутом між ними: ∠K — спільний; 2 KL : AK = KL : KL = 3 : 2;

KN : KB = KN : KN = 3 : 2. 3 13.10 Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо: 1. AB : BC : CA = 3 : 4 : 6; A1B1 : B1C1 : C1A1 = 6 : 8 : 11. AB : BC : CA ≠ A1B1 : B1C1 : C1A1. Відповідь: ні. 2. ∠A1 = x, ∠B1 = 2x, ∠C1 = 3x. x + 2x + 3x = 180; 6x = 180; x = 30. ∠A1 = 30°; ∠B1 = 2 ⋅ 30° = 60°; ∠C1 = 3 ⋅ 30° = 90°. ∠A = ∠A1 = 30°, ∠B = ∠B1 = 60°. ΔABC ~ ΔA1B1C1 за двома кутами. Відповідь: так. 13.11 Чи подібні трикутники ABC і A1B1C1, якщо: 1. A1B1 : B1C1 : C1A1 = 4 : 3 : 7. AB : BC : CA = 4 : 3 : 7. ΔABC ~ ΔA1B1C1 за трьома сторонами. Відповідь: так. 2. ∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 4x. Тоді: 2x + 3x + 4x = 180°; 9x = 180° x = 20°. Отже: ∠A = 2 ⋅ 20° = 40°; ∠B = 3 ⋅ 20° = 60°; ∠C = 4 ⋅ 20° = 80°. Трикутники — не подібні. Відповідь: ні. 13.12 На малюнках знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. Мал. 1. ∠BAL = ∠LAB = 90°; ∠BCA = ∠KCL (як вертикальні). Тому ΔBAC ~ ΔKCL (за двома кутами). 2. Мал. 2. KL = LP і NM = NF, тому LP KL = . NF NM Також маємо ∠L = ∠N = 40°; ΔKLP ~ ΔMNF (за двома сторонами і кутом між ними). 3. Мал. 3. ∠CKL = ∠A; ∠C — спільний кут для ΔABC і ΔKLC. Тому ΔABC ~ ΔKLC (за двома кутами). 13.13 На малюнках знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

∠BLK = ∠BCA, ∠B — спільний. ΔABC ~ ΔKBL за двома кутами. На мал. 2 ∠PMT = 180° − 110° = 70°. ∠PMT = ∠HKN, PM : MT = HK : KN. ΔPMT ~ ΔHKN за двома сторонами і кутом між ними. На мал. 3 ∠ABC = ∠FTC, ∠C — спільний. ΔABC ~ ΔFTC за двома кутами. 13.14 O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD). Доведіть, що ΔAOB ∼ ΔCOD.

∠AOB = ∠COD як вертикальні; ∠ABD = ∠BDC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD і січній BD. ΔAOB ~ ΔCOD за двома кутами. 13.15 O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD, у якої AB ∥ CD. AB = 10 см, CD = 5 см, OD = 4 см. Знайдіть OB.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

∠DOC = ∠AOB як вертикальні, ∠CDO = ∠OBA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і DC і січній BD. Тоді ΔCOD ~ ΔAOB за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні: DO CD = ; OB AB AB · DO 10 · 4 = = 8 (см). OB = 5 CD Відповідь: 8 см. 13.16 O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD) поділяє діагональ BD на відрізки DO = 3 см, OB = 9 см. Знайдіть AB, якщо DC = 2 см.

∠DOC = ∠AOB як вертикальні, ∠CDO = ∠OBA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і DC і січній BD. Тоді ΔCOD ~ ΔAOB за двома кутами. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні: CD DO = ; AB OB OB · CD 9 · 2 = = 6(см). AB = 3 DO Відповідь: 6 см. 13.17 У трикутнику ABC (∠C = 90°) на катеті AC і гіпотенузі AB позначено точки M і N 3 3 так, що AM = AC, AN = AB. Доведіть, що ΔAMN – прямокутний. 4

3 AN

ΔABC ~ ΔANM за двома сторонами і кутом між ними (∠A спільний, = ; = ; за AC 4 AB 4 умовою). У подібних трикутниках відповідні кути рівні: ∠AMN = ∠ACB = 90°. 13.18 На катеті BC і гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точки P і F 1 1 1 так, що BP = BC, BF = AB. Доведіть, що PF = CA. 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔABC ~ ΔFBP за двома сторонами і кутом між ними (∠B спільний, BP = BC, BF = AB 3 3 за умовою). У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні: BC AC 3 AB = = = , BP FP 1 FB 1 звідки PF = CA. 3 13.19 Кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикутника. Периметр першого трикутника – 36 см. Знайдіть його сторони, якщо в другого трикутника бічна сторона відноситься до основи як 5 : 2.

∠A = ∠M за умовою. Оскільки ∠C = ∠A, ∠P = ∠M за властивістю рівнобедреного трикутника, то ∠P = ∠C. ΔABC ~ ΔMNP за двома кутами. MN : MP = 5 : 2, тому AB : AC = 5 : 2. Позначимо AB = 5x, AC = 2x. Тоді 5x + 5x + 2x = 36; 12x = 36, x = 3. AB = 5 · 3 = 15 (см); AC = 2 · 3 = 6 (см). Відповідь: 15 см, 15 см, 6 см. 13.20 Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при вершині одного з них дорівнює куту при вершині другого. Периметр першого трикутника – 30 см. Знайдіть його сторони, якщо в другого трикутника основа відноситься до бічної сторони як 1 : 2.

∠ABC = ∠MNP, MN AB = 1, = 1, NP BC отже ΔABC ~ ΔMNP за двома сторонами і кутом між ними. 1 AC 1 MP = , = . 2 AB 2 MN Нехай AC = x,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

тоді AB = BC = 2x. x + 2x + 2x = 30; 5x = 30; x = 6. AC = 6 см, AB = BC = 2 · 6 = 12 (см). Відповідь: 6 см, 12 см, 12 см. 13.21 На малюнку зображено колодязь із «журавлем». Коротке плече має довжину 2 м, а довге – 3 м. На скільки метрів опуститься кінець довгого плеча, коли кінець короткого підніметься на 1 м?

Нехай вісь обертання — точка O. До повороту кінці плеч розташовані в точках A (коротке) і C (довге), після — у B і D відповідно. Позначимо підйом короткого AN = 1 м та опускання довгого CK = ?. 1. Трикутники AOB і COD рівнобедрені (OA = OB = 2, OC = OD = 3) і мають рівні кути при вершинах (∠AOB = ∠COD) (це вертикальні кути). Отже, вони подібні, тому 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑂𝑂𝑂𝑂 3 = = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑂𝑂𝑂𝑂 2 2. Прямі, на яких лежать основи цих рівнобедрених трикутників, паралельні: AB ∥ CD (бо кути при вершині O рівні, а сторони OA і OC, OB і OD лежать на одних прямих). 3. Розглянемо прямокутні трикутники ∆ANB і ∆CDK. Маємо ∠ANB = ∠CDK = 90°, а також ∠NBA = ∠KDC як внутрішні різносторонні при січній BD і паралельних AB ∥ CD. Отже, ∆ANB ~ ∆CDK і 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 = . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 4. Тоді 𝐶𝐶𝐶𝐶 3 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ = 1 ⋅ = 1,5 м. 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 Відповідь: CK = 1,5 м. 13.22 На малюнках ABCD – паралелограм. Знайдіть на цих малюнках усі пари подібних трикутників і доведіть їхню подібність.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Малюнок 1. 1. ∠NAM = ∠CBM (внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині паралельних прямих AD і BC січною AB). 2. ∠NMA = ∠CMB (як вертикальні). 3. Тому ΔNAM ~ ΔCBM (за двома кутами). 4. ∠NDC = ∠NAM (відповідні, утворені при перетині паралельних прямих AB і CD січною ND). 5. ∠N — спільний для ΔNAM і ΔNDC. 6. ΔNAM ~ ΔNDC (за двома кутами). 7. Тоді ΔCBM ~ ΔNDC (за двома кутами). Малюнок 2. 1. ∠KBC = ∠KAL; ∠K — спільний для ΔKBC; ΔKAL. 2. ΔKBC ~ ΔKAL (за двома кутами). 3. ∠CDL = ∠KAL; ∠L — спільний для ΔCDL і ΔKAL; ΔCDL ~ ΔKAL (за двома кутами). 4. Тому ΔCDL ~ ΔKBC. Малюнок 3. 1. Використовуючи перші дві задачі, ΔAPL ~ ΔBPF ~ ΔDKL. 2. ∠FKC = ∠DKL (як вертикальні); ∠CFK = ∠FLD (внутрішні різносторонні). Тому ΔDKL ~ ΔCKF. 13.23 На малюнку ABCD – трапеція, ∠ABC = ∠ACD. Знайдіть подібні трикутники на цьому малюнку і доведіть, що CA2 = BC · AD.

∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC || AD і січній AC. ∠ABC = ∠ACD за умовою. Тоді ΔABC ~ ΔACD за двома кутами. У подібних трикутниках сторони пропорційні: CA BC = , AD CA звідки CA · CA = BC · AD, CA2 = BC · AD. 13.24 Кути одного трикутника відносяться як 2 : 3 : 4, а один з кутів другого трикутника на 20° більший за другий і на 20° менший від третього. Чи подібні ці трикутники? Нехай кути першого трикутника 2a, 3a і 4a. 2a + 3a + 4a = 180, 9a = 180, a = 20. ∠1 = 2 · 20° = 40°; ∠2 = 3 · 20° = 60°;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

∠3 = 4 · 20° = 80°. Кути другого трикутника дорівнюють x, x + 20°, x − 20°. x + x + 20° + x − 20° = 180° 3x = 180°, x = 60°. ∠1 = 60°, ∠2 = 60° + 20° = 80°, ∠3 = 60° − 20° = 40°. Всі кути даних трикутників рівні, значить трикутники подібні. Відповідь: так. 13.25 Кути першого трикутника відносяться як 1 : 3 : 2, а другий трикутник є прямокутним, у якого один з гострих кутів дорівнює половині другого. Чи подібні ці трикутники? Нехай кути першого трикутника a, 3a і 2a. Тоді a + 3a + 2a = 180°, 6a = 180°, тобто a = 30°. ∠1 = 30°; ∠2 = 3 · 30° = 90°; ∠3 = 2 · 30° = 60°. У другого трикутника один кут 90°, менший із двох інших кутів дорівнює x, другий — 2x. x + 2x = 90; 3x = 90; x = 30. Отже, два інших кути 30° і 60°. У даних трикутниках всі кути рівні, значить, трикутники подібні. Відповідь: так. 13.26 У паралелограмі ABCD точки E, F, M і N належать відповідно сторонам AB, BC, EB DM CD і DA. = . Доведіть, що ∠BFE = ∠DNM.

ΔEBF ~ ΔDMN за двома сторонами і кутом між ними: ∠B = ∠D як протилежні за умовою паралелограма. DM EB = за умовою. DN BF З подібності трикутників ΔBFE ~ ΔDNM. AO DO 13.27 Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, = . Доведіть, що ∠BCO = ∠ADO. OB

ΔAOD ~ ΔBOC за двома сторонами і кутом між ними AO DO = ). (∠AOD = ∠COB як вертикальні, OB OC У подібних трикутниках відповідні кути рівні: ∠BCO = ∠ADO.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

13.28 O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD ∥ BC), BO = 4 см, DO = 7 см. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 22 см.

la. in.

ΔBOC ~ ΔDOA за двома кутами (∠BOC = ∠DOA як вертикальні, ∠CBO = ∠ODA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD || BC і січній DB). Середня лінія трапеції дорівнює: AD + BC . 2 AD + BC За умовою = 22 см, 2 AD + BC = 44 см. Нехай AD = x см, тоді BC = (44 − x) см. З подібності трикутників: DO DA = . OB CB 𝑥𝑥 7 = ; 44 − 𝑥𝑥 4 4x = 308 − 7x; 11x = 308; x = 28. Отже, AD = 28 (см), BC = 44 − 28 = 16 (см). Відповідь: 16 см і 28 см. 13.29 O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AD ∥ BC), AD = 11 см, BC = 5 см. Знайдіть відрізки BO і OD, якщо їхня різниця дорівнює 3 см.

ΔBOC ~ ΔDOA за двома кутами (∠BOC = ∠DOA як вертикальні, ∠CBO = ∠ODA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD || BC і січній DB). Нехай BO = x см, тоді OD = (x + 3) см. З подібності трикутників BC BO = . AD OD 5 𝑥𝑥 = ; 11 𝑥𝑥 + 3 11x = 5x + 15; 6x = 15; x = 2,5 см. BO = 2,5 см, OD = 2,5 + 3 = 5,5 (см). Відповідь: 2,5 см, 5,5 см. 13.30 У трикутнику ABC AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 18 см. На стороні AC відкладено  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

відрізок CK = 6 см, на стороні BC – відрізок CP = 4 см. 1. Чи подібні трикутники ABC і KPC? 2. Чи паралельні прямі AB і KP? 3. Знайдіть довжину відрізка PK.

la. in.

6 1 CK = = ; 18 3 CA 4 1 CP = = . 12 3 CB 𝐶𝐶𝐶𝐶 1. ΔCKP ~ ΔCAB подібний до трикутника CAB за двома сторонами і кутом між ними ( C𝐴𝐴

= , ∠C — спільний ). CB 2. AB || KP, оскільки ∠CKP = ∠CAB, а ці кути відповідні при прямих KP і AB і січній AC. 1 PK = ; 𝟑𝟑. 3 BA 9 AB · 1 = = 3 (см). PK = 3 3 13.31 Пряма MN паралельна стороні AB трикутника ABC, M ∈ AC, N ∈ BC. AB = 10 см, MN = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть довжину сторони AC.

ΔMNC ~ ΔABC (лема). AC AB = . MC MN Нехай MC = x см, тоді AC = MC + AM = (x + 2) см. 𝑥𝑥 + 2 10 = ; 𝑥𝑥 4 10x = 4x + 8; 6x = 8; 1 𝑥𝑥 = 1 ; 3 1 1 AC = 1 + 2 = 3 (см). 3 3 1 Відповідь: 3 см. 3 13.32 Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC. KB = 6 см, BC = 12 см, KL = 9 см. Знайдіть довжину сторони AB.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔAKL ~ ΔABC (лема). BC AB = . KL AK Нехай AK = x см, тоді AB = AK + KB = (x + 6) см. 12 𝑥𝑥 + 6 = ; 9 𝑥𝑥 9(x + 6) = 12x; 9x + 54 = 12x; 3x = 54; x = 18. AB = 18 + 6 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 13.33 Знайдіть відстань від подорожнього B, який стоїть на одному березі річки, до дерева A на іншому березі, якщо BN = 30 м, CD = 20 м, BC = 5 м. На малюнку BN ∥ CD.

ΔACD подібний ΔABN за двома кутами (∠A — загальний, ∠ACD = ∠ABN, тому що CD || BN). Із подібності трикутників випливає, що їх відповідні сторони пропорційні: BN AB = . CD AC За умовою: BN = 30 м, CD = 20 м, AB BN 30 тому = = = 1,5; AC CD 20 тобто AB = 1,5AC. На малюнку видно, що з іншого боку: AB = AC + BC = AC + 5. Прирівнюючи отриманий рівності, отримаємо: 1,5AC = AC + 5 ⇒ 1,5AC − AC = 5 ⇒ 0,5AC = 5 ⇒ AC = 10 (м), тоді AB = 1,5 · 10 = 15 (м). Відповідь: відстань від подорожнього до дерева 15 м. 13.34 На малюнку знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔABC ~ ΔBDC за двома сторонами і кутом між ними: ∠C — спільний, 9 + 16 25 5 AC = = = ; 20 20 4 CB 20 5 CB = = . 16 4 CD 13.35 На малюнку знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

ΔABD ~ ΔCBA за двома сторонами і кутом між ними: ∠B — спільний, 2 AB = ; 1 CB 4 2 BD = = . 2 1 BA 13.36 Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при вершині одного з них дорівнює куту при вершині другого. Периметр першого трикутника дорівнює 90 см. Знайдіть його сторони, якщо сторони другого трикутника відносяться як 4 : 7. Скільки випадків слід розглянути?

За наслідком з ознаки подібності трикутників ΔABC ~ ΔMNP. Слід розглянути два випадки. MN 4 𝟏𝟏. = . MP 7 AB 4 Тоді і = . AC 7 Нехай AB = BC = 4x, AC = 7x. AB + BC + AC = 90 см; 4x + 4x + 7x = 90; 15x = 90; x = 6. AB = BC = 4 · 6 = 24 (см), AC = 7 · 6 = 42 (см). Відповідь: 24 см, 24 см, 42 см. MN 4 𝟐𝟐. = . MP 7 AC 4 Тоді і = . AB 7 Нехай AB = BC = 7x, AC = 4x. AB + BC + AC = 90 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

7x + 7x + 4x = 90; 18x = 90; x = 5. AB = BC = 7 · 5 = 35 (см), AC = 4 · 5 = 20 (см). Відповідь: 35 см, 35 см, 20 см. 13.37 Дано два рівнобедрених трикутники. Кут при основі одного трикутника дорівнює куту при основі другого. Сторони одного з трикутників відносяться як 5 : 8, а периметр другого дорівнює 126 см. Знайдіть сторони другого трикутника. Скільки випадків слід розглянути?

За наслідком з теореми про ознаки подібності трикутників ΔABC ~ ΔMNP. Розглянемо два випадки. 1. MN : MP = 5 : 8, тоді AB : AC = 5 : 8. AB = BC = 5x, AC = 8x. За умовою 5x + 5x + 8x = 126; 18x = 126; x = 7. AB = BC = 5 · 7 = 35 (см); AC = 8 · 7 = 56 (см). Відповідь: 35 см, 35 см, 56 см. 2. MN : MP = 5 : 8, тоді AC : AB = 5 : 8. AB = BC = 8x, AC = 5x. За умовою 8x + 8x + 5x = 126, 21x = 126, x = 6. AB = BC = 8 · 6 = 48 (см). AC = 5 · 6 = 30 (см). Відповідь: 48 см, 48 см, 30 см. 13.38 ΔABC ∼ ΔA1B1C1, CD і C1D1 – бісектриси даних трикутників. Доведіть, що ΔADC ∼ ΔA1D1C1.

ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді ∠C = ∠C1. 1 1 ∠C = ∠C1. 2 2 ∠ACD = ∠A1C1D1, ∠A = ∠A1. ΔADC ~ ΔA1D1C1 за двома кутами. 13.39 ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AM і A1M1 – медіани даних трикутників. Доведіть, що ΔAMC ∼ ΔA1M1C1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔABC ~ ΔA1B1C1, тоді ∠C = ∠C1. 1 BC AC BC MC = = 2 = . 1 A₁C₁ B₁C₁ M₁C₁ B₁C₁ 2 ΔAMC ~ ΔA1M1C1 за двома сторонами і кутом між ними. 13.40 На стороні BC трикутника ABC позначено точку F так, що ∠BAF = ∠C, BF = 4 см, AB = 6 см. Знайдіть BC.

ΔBAF ~ ΔBCA за двома кутами (∠B — спільний, ∠BAF = ∠BCA за умовою). AB BF = ; AC BC AB · AB ; BC = BF 6 · 6 BC = = 9 (см). 4 Відповідь: 9 см. 13.41 На стороні AC трикутника ABC позначено точку K так, що ∠ABK = ∠C. Знайдіть KC, якщо AB = 2 см, AK = 1 см.

ΔABC ~ ΔAKB за двома кутами (∠A — спільний, ∠ABK = ∠C за умовою). AC AB = ; AB AK AB² ; AC = AK 2² = 4 (см). AC = 1 KC = AC − AK = 4 − 1 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 13.42 У прямокутний трикутник ABC з катетами a см і b см і прямим кутом A вписано квадрат AKLM, K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ AC. Знайдіть сторону квадрата.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AB = a, AC = b. Нехай AK = KL = LM = AM = x. У ΔBKL: ∠BLK = 90° − ∠B. У ΔABC: ∠C = 90° − ∠B. Отже, ∠BLK = ∠C, тоді за наслідком з теореми про ознаки подібності трикутників ΔBKL ~ ΔLMC. LM BK = ; MC KL 𝑥𝑥 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 = ; 𝑏𝑏 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (a − x)(b − x) = x2; ab − ax − bx + x2 = x2; ab = ac + bx; ab = (a + b)x; 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 = . 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 Відповідь: см. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 13.43 Периметр паралелограма дорівнює 24 см, а його висоти відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони паралелограма.

У паралелограмі ABCD, BK ⊥ AD, BP ⊥ CD. BP : BK = 5 : 3. За умовою 2(AB + BC) = 24. AB + BC = 12. Нехай AB = x см, тоді BC = (12 − x) см. ΔABK ~ ΔCBP (∠A = ∠P). AB BK = ; BC BP 3 𝑥𝑥 = ; 5 12 − 𝑥𝑥 5x = 36 − 3x; 8x = 36; x = 4,5. AB = 4,5 см; BC = 12 − 4,5 = 7,5 (см). Відповідь: 4,5 см, 7,5 см. 13.44 Периметр паралелограма дорівнює 30 см, а його висоти – 4 см і 8 см. Знайдіть сторони паралелограма.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У паралелограмі ABCD BK ⊥ AD, BP ⊥ CD — висоти. BK = 4 см, BP = 8 см. ΔABK ~ ΔCBP за наслідком з ознаки подібності за двома кутами. AB BC Тоді = . BK BP За умовою 2(AB + BC) = 30 см. AB + BC = 15 см. Якщо AB = x см, то BC = (15 − x) см. 𝑥𝑥 15 − 𝑥𝑥 = ; 4 8 8x = 60 − 4x; 12x = 60; x = 5. AB = 5 (см), BC = 15 − 5 = 10 (см). Відповідь: 5 см, 10 см. 13.45 У трикутник ABC вписано ромб AKFP так, що кут A в ньому спільний, P ∈ AB, F ∈ BC, K ∈ AC. Знайдіть сторону ромба, якщо CK = 4 см, PB = 9 см.

ΔPBF ~ ΔKFC за двома кутами (∠BPF = ∠A, ∠FKC = ∠A як відповідні, тоді ∠BPF = ∠FKC; ∠BFP = ∠C, як відповідні). KF PB = ; KC PF PF · KF = PB · KC; PF2 = 9 · 4; PF = 6 (см). Відповідь: 6 см. 13.46 У рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 6 см, а бічна сторона – 10 см, вписано коло. Знайдіть відстань між точками дотику кола до бічних сторін.

Нехай P і K — точки дотику вписаного кола з бічними сторонами AB і BC рівнобедреного ΔABC, H — точка дотику з основою. ΔAPO = ΔAHO за катетом і гіпотенузою (AO — спільна гіпотенуза, PO = HO як радіуси). 1 1 Тоді AP = AH = AC = · 6 = 3 (см). 2 2 BP = AB − AP = 10 − 3 = 7 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Оскільки PB = PK, то ΔPBK ~ ΔABC за кутом при вершині: PK BP = ; AC AB AC · BP 6 · 7 PK = = = 4,2 (см). AB 10 Відповідь: 4,2 см. 13.47 Знайдіть кути трикутника, якщо три його середні лінії рівні між собою.

Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна. Якщо всі три середні лінії рівні, то всі сторони трикутника також рівні, а його кути дорівнюють по 60°. 13.48 У рівнобічній трапеції ABCD (AD ∥ BC) E – середина AD, F – середина BC, K – середина AB. Доведіть, що KE = KF.

Проведемо діагоналі AC і BD трапеції ABCD. K — середина AB, F — середина BC за умовою. 1 Отже, KF — середня лінія ΔABC, KF = AC. 2

Аналогічно, KE — середня лінія ΔABD, KE = BD. 2 Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі рівні, то KF = KE як половини рівних відрізків. 13.49 Кожна з бічних сторін рівнобедреного трикутника дорівнює a см. З точки, узятої на основі трикутника, проведено прямі, паралельні бічним сторонам. Обчисліть периметр паралелограма, який утворився.

MD || DN за умовою. Тоді ∠AMD = ∠B як відповідні при паралельних прямих MD і BC і січній AB. Аналогічно, ∠DNC = ∠B як відповідні при паралельних прямих DN і AB і січній BC. Отже, ΔAMD = ΔDNC. Паралельні сторонам прямі MD і DN витинають від ΔABC трикутники AMD і DNC, подібні йому. Тоді ΔAMD ~ ΔDNC за кути при вершині. AM = MD, DN = NC. PMBND = MB + BN + ND + MD = MB + AM + BN + NC = AB + BC = 2a (см). Відповідь: 2a см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

13.50 Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат.

la. in.

Оскільки бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом, то при їх перетині утворюється прямокутник. Проведемо з вершин B і C прямокутника ABCD перпендикуляри BK і CM на бісектриси кутів D і A відповідно. З рівності прямокутних трикутників AMC і DKB (за гіпотенузою і гострим кутом) випливає, що MC = KB. Довжини цих відрізків — це відстані між бісектрисами протилежних кутів прямокутника ABCD, тобто довжини сторін утвореного прямокутника. Отже, сторони утвореного прямокутника рівні, тоді це квадрат. 13.51 Похила балка підтримується трьома стовпами, встановленими вертикально на однаковій відстані один від одного. Довжини двох менших стовпів – 80 см і 1 м. Знайдіть довжину більшого стовпа.

Маємо: • менша основа — коротший стовп: 80 см, • більша основа — шуканий стовп: x, • середній стовп — середня лінія трапеції, довжиною 1 м = 100 см. Для середньої лінії трапеції відомо: Середня лінія = сума основ розділена на 2. Підставимо дані: 80 + 𝑥𝑥 100 = . 2 Звідси: x = 200 − 80 = 120 см = 1 м 20 см. Відповідь: довжина більшого стовпа — 1 м 20 см. 13.52 Чи можуть бісектриса й медіана, що виходять з вершини прямого кута трикутника, утворювати рівнобедрений трикутник? Якщо так, то знайдіть менший з гострих кутів прямокутного трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ∆ABC (∠C = 90°) CM — медіана, CL — бісектриса. Оскільки CM = MB = AM, то CM ≠ CL. Отже, у ∆CML CL = ML. Тоді ∠CML = ∠MCL = α. ∠CLB = 2α як зовнішній. У ∆CAL ∠ACL = 45°, ∠A = ∠ACM = 45° − α. У ∆ABC ∠B = 90° − ∠A = 90° − (45° − α) = 45° + α. У ∆CLB ∠LCB + ∠CLB + ∠B = 180°; 45° + 2α + 45° + α = 180°; 3α = 90°; α = 30°. Тоді ∠A = 45° − 30° = 15°. Відповідь: так, 15°.

la. in.

§ 14. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику 14.1 (Усно) На малюнку NK – висота прямокутного трикутника PNM (∠N = 90°). Назвіть: 1. проекцію катета NM на гіпотенузу; 2. проекцію катета NP на гіпотенузу.

1. MK 2. PK 14.2 (Усно) NK – висота прямокутного трикутника PNM. Які з рівностей правильні:

Відповідь: 2. NM2 = KM · PM; 4. PK · KM = NK2. 14.3 NK – висота прямокутного трикутника PNM з прямим кутом N. Заповніть пропуски: 1. NK2 = PK · KM; 2. NM2 = PK · KM; 3. PK · PM = NP2; 4. PK · KM = NK2. 14.4 Знайдіть середнє пропорційне відрізків завдовжки: 1. k2 = 2 · 8 = 16; 16 = 42; k = 4 см. 2. k2 = 27 · 3 = 81; 81 = 92; k = 9 дм. 14.5 Знайдіть середнє пропорційне відрізків завдовжки: 1. k2 = 16 · 1 = 16;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

16 = 42; k = 4 дм. 2. k2 = 4 · 9 = 36; 36 = 62; k = 6 см. 14.6 Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 9 см і 25 см.

la. in.

CD2 = AD · DB; CD2 = 9 · 25; CD2 = 225; CD = 15 см. (152 = 225) 14.7 Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену з вершини прямого кута, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 2 см і 8 см.

CD2 = AB · BD; CD2 = 2 · 8; CD2 = 16; CD = 4 см. (4² = 16) 14.8 Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза – 16 см.

AC2 = AB · AD; AC2 = 16 · 4; AC2 = 64; AC = 8 см. 14.9 Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 25 см, а проекція катета на гіпотенузу – 9 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC2 = AB · BD; BC2 = 25 · 9; BC2 = 225; BC = 15 см. 14.10 Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см, а його проекція на гіпотенузу – 9 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

la. in.

BC2 = AB · BD; 182 = AB · 9; 324 = AB · 9; AB = 324 : 9; AB = 36 см. 14.11 Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а гіпотенуза – 9 см. Знайдіть проекцію цього катета на гіпотенузу.

AC2 = AB · AD; 62 = 9 · AD; 36 = 9 · AD; AD = 36 : 9; AD = 4 см. 14.12 Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 8 см і 4,5 см. Знайдіть катети трикутника.

Нехай AD = 4,5 см, BD = 8 см. AB = AD + DB = 8 + 4,5 = 12,5 (см). AC2 = AB · AD; AC2 = 12,5 · 4,5; AC2 = 56,25; AC = 7,5 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

BC2 = AB · BD; BC2 = 12,5 · 8; BC2 = 100; BC = 10 (см). Відповідь: 7,5 см, 10 см. 14.13 Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 50 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу – 18 см. Знайдіть катети трикутника.

AB = 50 см, AD = 18 см, тоді BD = AB – AD = 50 – 18 = 32 см. AC2 = AB · AD; AC2 = 50 · 18; AC2 = 900; AC = 30 (см). BC2 = AB · BD; BC2 = 50 · 32; BC2 = 1600; BC = 40 (см). Відповідь: 30 см, 40 см. 14.14 Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки 1 см і 8 см, починаючи від вершини кута при основі. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, K — середина AC, KD ⊥ BC. CD = 1 см, BD = 8 см. KC2 = BC · CD; KC2 = (CD + BD) · CD; KC2 = 9 · 1; KC2 = 9; KC = 3 см. AC = 2KC = 6 см; BC = 9 см. PΔABC = AC + 2BC = 6 + 2 · 9 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 14.15 Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки 6 см і 2 см, починаючи від вершини, протилежної основі. Знайдіть периметр трикутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У ΔABC AB = BC, K — середина AC, KD ⊥ BC. BD = 6 см, DC = 2 см. BC = BD + DC = 6 + 2 = 8 (см). KC2 = BC · DC; KC2 = 8 · 2; KC2 = 16; KC = 4 см. AC = 2KC = 2 · 4 = 8 см. PΔABC = AC + 2BC = 8 + 2 · 8 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 14.16 Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки, що відносяться як 9 : 16. Знайдіть катети трикутника, якщо його висота дорівнює 24 см.

Нехай AD = 9x, BD = 16x. CD2 = AD · BD; 242 = (9x)2 · (16x)2; 576 = 144x2; x2 = 576 : 144; x2 = 4; x = 2 (x > 0). AD = 9 · 2 = 18 (см); BD = 16 · 2 = 32 (см); AB = 18 + 32 = 50 (см). AC2 = AD · AB; AC2 = 18 · 50; AC2 = 900; AC = 30 см. BC2 = AB · BD; BC2 = 50 · 32; BC2 = 1600; BC = 40 см. Відповідь: 30 см, 40 см. 14.17 Висота, проведена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких дорівнює 16 см, а другий відноситься до висоти як 3 : 4. Знайдіть висоту трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У ΔABC (∠C = 90°) CD ⊥ AB, BD = 16 см. AD : CD = 3 : 4. Нехай AD = 3x см, CD = 4x см. CD2 = AD · BD; (4x)2 = 3x · 16; 16x2 = 48x; x = 3 (x > 0, x ≠ 0). CD = 4 · 3 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 14.18 Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону ромба на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть радіус кола.

OK ⊥ BC як радіус, проведений в точку дотику; ∠BOC = 90° за властивістю діагоналей ромба. Тоді OK2 = BK · KC, OK2 = 1 · 4; OK = 2 см. Відповідь: 2 см. 14.19 Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої 10 см і 8 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

У трапеції ABCD AD || BC, AD = 10 см, BC = 8 см; AC ⊥ CD, CK ⊥ AD — висота, тоді: AD – BC 10 – 8 KD = = = 1 (см), 2 2 AK = AD – KD = 10 – 1 = 9 (см). CK2 = AK ⋅ KD; CK2 = 9 ⋅ 1; CK2 = 9; CK = 3 (см). Відповідь: 3 см. 14.20 Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основа якої 13 см і 5 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У трапеції ABCD, де AD || BC, AB = CD, AD = 13 см, BC = 5 см, AC ⊥ CD, CK ⊥ AD — висота, тоді: 13 – 5 8 AD – BC = = = 4 (см), KD = 2 2 2 AK = AD – KD = 13 – 4 = 9 (см). CK2 = AK ⋅ KD; CK2 = 9 ⋅ 4; CK2 = 36; CK = 6 (см) Відповідь: 6 см. 14.21 Коло, вписане в трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трапеції.

Центр вписаного в трапецію кола — це точка перетину бісектрис кутів трапеції: 1 ∠OCK = ∠C; 2 1

∠ODK = ∠D; 2

∠OCK + ∠ODK= ∠C + ∠D = (∠C + ∠D) = ⋅ 180° = 90°. 2 2 2 2 Тоді ΔCOD — прямокутний, ∠COD = 90°. OK ⊥ CD — радіус, проведений у точку дотику. OK2 = CK ⋅ KD; OK2 = 4 ⋅ 9; OK2 = 36; OK = 6 см. Висота трапеції дорівнює двом радіусам вписаного кола: h = 2OK = 2 ⋅ 6 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 14.22 Коло, вписане в трапецію, ділить точкою дотику одну з бічних сторін на відрізки завдовжки 2 см і 8 см, а іншу – на відрізки, один з яких дорівнює 4 см. Знайдіть периметр трапеції.

ABCD — трапеція (AD || BC), O — центр вписаного кола.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

OP ⊥ AB, OK ⊥ CD — радіуси, проведені в точки дотику. BP = 2 см, AP = 8 см, CK = 4 см. 1 ∠OBA = ∠B; 2 1

∠OAB = ∠A; 2

la. in.

∠OBA + ∠OAB= ∠B + ∠A = (∠B + ∠A) = ⋅ 180° = 90°. 2 2 2 2 ΔAOB — прямокутний (∠AOB = 90°.). OP2 = AP ⋅ PB; OP2 = 2 ⋅ 8; OP2 = 16; OP = 4 см. OK = OP як радіуси. OK2 = CK ⋅ KD; 42 = 4 ⋅ KD; KD = 16 : 4; KD = 4 см. AB = AP + PB = 2 + 8 = 10 (см), CD = CK + KD = 4 + 4 = 8 (см). Оскільки в трапецію вписано коло, то сума її основ дорівнює сумі бічних сторін. Тоді: PABCD = 2(AB + CD) = 2(10 + 8) = 36 (см). Відповідь: 36 см. 14.23 Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює зі стороною трикутника кут 18°. Знайдіть кути трикутника.

У ΔABC (∠C = 90°), BD — бісектриса; ∠CBD=18°. Тоді: ∠B = 2∠CBD = 2 ⋅ 18° = 36°. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 36° = 54°. Відповідь: 36°, 54°. 14.24 Про трикутники ABC і KLM відомо, що ∠A + ∠B = ∠K + ∠L, ∠B + ∠C = ∠L + ∠M. Чи подібні ці трикутники? Так. Трикутники подібні за двома кутами. У ΔABC ∠C = 180° − (∠A + ∠B), ∠A = 180° − (∠B + ∠C). У ΔKLM ∠M = 18° − (∠K + ∠L), ∠K = 180° − (∠L + ∠M). За умовою: ∠A + ∠B = ∠K + ∠L, тоді ∠C = ∠M; ∠B + ∠C = ∠L + ∠M, тоді ∠A = ∠K. 14.25 У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут навпіл. Доведіть, що тупий кут трапеції дорівнює тупому куту між діагоналями.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD; O — точка перетину діагоналей ∠BAC = ∠CAD. Позначимо для зручності ∠BAC = ∠CAD = α. Тоді: ∠A = 2α. ∠B = 180° − ∠A = 180° − 2α. ∠BCA = ∠CAD = α, як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD і січній AC. У ΔCBO ∠CBO = ∠BCO = α, кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠BOC = 180° − (∠CBO + ∠BCO) = 180° − 2α. Отже, ∠ABC=∠BOC. 14.26 Студенти агроекологічного коледжу на експериментальній ділянці завдовжки 40 м і завширшки 20 м висаджують картоплю раннього сорту. Обчисліть, скільки знадобиться картоплі для такої ділянки, якщо в середньому на 1 а потрібно 40 кг картоплі. Довжина – 40 м Ширина – 20 м 40 кг – 1 а ? кг – S 1. 40 · 20 = 800 м2 = 8 (а) – площа ділянки; 2. 40 · 8 = 320 (кг) – потрібно картоплі. Відповідь: знадобиться 320 кг картоплі. 14.27 (Олімпіада Нью-Йорка, 1976 р.) Висоти гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці O, а на відрізках OB і OC позначено точки B₁ і C₁, для яких ∠AB1C = ∠AC1B = 90°. Доведіть, що AB1 = AC1.

У ΔAB1C, AB12 = AN ⋅ AC. У ΔAC1B, C1A2 = AK ⋅ AB. ΔABN ~ ΔACK за двома кутами (∠A — спільний, ∠CKA = ∠BNA = 90°). AK AC = , Тоді: AN AB звідки AC ⋅ AN = AB ⋅ AK. Отже, AB12 = AC12, а оскільки AB1 > 0 і AC1 > 0, то AB1 = AC1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

§ 15. Властивість бісектриси трикутника 15.1 BP – бісектриса трикутника ABC. Які з рівностей є пропорціями:

la. in.

Пропорціями є лише: BC CP 𝟐𝟐. = ; AB AP AP BA 𝟑𝟑. = ; CP BC BC AB = . 𝟒𝟒. PC AP 15.2 BP – бісектриса трикутника ABC. AP : PC = 1 : 2, AB = 3 см. Знайдіть BC.

AP : PC = 1 : 2, тоді AB : BC = 1 : 2, 3 : BC =1 : 2, BC = 3 ⋅ 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 15.3 BP – бісектриса трикутника ABC. AB : BC = 1 : 2, AP = 5 см. Знайдіть PC.

𝐵𝐵𝐵𝐵

AB : BC = 1 : 2, тоді AP : PC = 1 : 2, 5 : PC = 1 : 2, PC = 5 ⋅ 2 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 15.4 BD – бісектриса трикутника ABC, AD = 3 см, DC = 9 см. Знайдіть відношення сторін 𝐴𝐴𝐴𝐴 .

AD 3 1 AB = = = . DC 9 3 BC 1 Відповідь: . 3 15.5 MA – бісектриса трикутника MNL, ML = 4 см, MN = 16 см. Знайдіть відношення 𝐿𝐿𝐿𝐿 відрізків . 𝐴𝐴𝐴𝐴

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Згідно властивості бісектриси трикутника: ML 4 1 LA = = = . MN 16 4 AN 1 Відповідь: . 4 15.6 MD – бісектриса трикутника KMP, KM = 8 см, MP = 6 см. Менший з відрізків, на які бісектриса MD ділить сторону KP, дорівнює 3 см. Знайдіть KP.

KM : MP = KD : DP. Оскільки MP < KM, то DP < KD, тоді маємо: 8 : 6 = KD : 3; 8 ⋅ 3 24 KD = = = 4 (см). 6 6 KP = KD + DP = 4 + 3 = 7 (см). Відповідь: 7 см. 15.7 У трикутнику ABC AB = 6 см, BC = 12 см. Більший з відрізків, на які бісектриса BK ділить сторону AC, дорівнює 6 см. Знайдіть AC.

Оскільки BC > AB, то KC > AK, тоді KC = 6 см. BC AB = ; KC AK AB ⋅ KC ; AK = BC 6 ⋅ 6 = 3 (см). AK = 12 AC = AK + KC = 3 + 6 = 9 (см). Відповідь: 9 см. 15.8 AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 15 см, AC = 12 см, BC = 18 см. Знайдіть BL і LC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай CL = x, тоді BL = (18 – x) см. AB AC = ; BL CL 15 12 = ; 18 – 𝑥𝑥 𝑥𝑥 216 – 12x = 15x; 27x = 216; x = 8. Отже, CL = 8 см, BL = 18 – 8 = 10 (см). Відповідь: 8 см, 10 см. 15.9 Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця довжин яких 1 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 8 см і 6 см.

BL — бісектриса ΔABC. Відомо: AB = 8 см, BC = 6 см. Оскільки AB > BC, то AL > LC. Нехай LC = x см, тоді: AL = (x + 1) см. BC AB = ; LC AL 6 8 = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 8x = 6x + 6; 2x = 6; x = 3. Отже, LC = 3 см, AL = 3 + 1 = 4 (см). PΔABC = AB + BC + AC = 8 + 6 + (3 + 4) = 21 (см). Відповідь: 21 см. 15.10 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а бісектриса ділить бічну сторону на відрізки, з яких той, що суміжний з основою, дорівнює 12 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD — бісектриса кута A. AC = 18 см, DC = 12 см. Нехай BD = x см, тоді AB = (x + 12) см. За властивістю бісектриси AC AB = ; CD BD 18 𝑥𝑥 + 12 = ; 12 𝑥𝑥

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

12x + 144 = 18x; 18x − 12x = 144; 6x = 144, x = 24. Отже, BD = 24 см, AB = BC = 24 + 12 = 36 (см). PΔABC = 2AB + AC = 2 ⋅ 36 + 18 = 90 (см). Відповідь: 90 см. 15.11 У рівнобедреному трикутнику основа менша від бічної сторони на 9 см, а бісектриса ділить бічну сторону на відрізки, що відносяться як 2 : 5. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD — бісектриса. DC : BD = 2 : 5. Нехай AC = x см, тоді AB = (x + 9) см за умовою. BD AB = ; DC AC 5 𝑥𝑥 + 9 = ; 2 𝑥𝑥 5x = 2x + 18; 3x = 18, x = 6. AC = 6 см, AB = 6 + 9 = 15 (см). PΔABC = 2AB + AC = 2 ⋅ 15 + 6 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 15.12 У трикутнику, сторони якого дорівнюють 15 см, 21 см і 24 см, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр півкола ділить більшу сторону?

У ΔABC AC = 24 см, AB = 15 см, BC = 21 см. OK ⊥ AB, OP ⊥ BC — радіуси вписаного півкола. ΔKOB = ΔPOB за катетом і гіпотенузою (BO — спільна гіпотенуза, KO = PO як радіуси). З рівності трикутників ∠KBO = ∠PBO, BO — бісектриса кута B. Нехай AO = x см, тоді CO = (24 − x) см. BC AB = ; OC AO 21 15 = ; 24 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

15(24 − x) = 21x, 360 − 15x = 21x, 36x = 360, x = 10. Отже, AO = 10 (см), CO = 24 − 10 = 14 (см). Відповідь: 10 см, 14 см. 15.13 У трикутник ABC вписано ромб CKLM так, що кут C у них спільний, K ∈ AC, L ∈ AB, M ∈ BC. Знайдіть довжини відрізків AL і LB, якщо AC = 18 см, BC = 12 см, AB = 20 см.

la. in.

Діагональ CL ромба, вписаного в ΔABC, є бісектрисою кута C. Тоді AC : AL = BC : LB. AB = 20 см, нехай AL = x см, тоді BL = (20 − x) см. Таким чином, 12 18 = ; 20 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 360 − 18x = 12x; 30x = 360, x = 12. Отже, AL = 12 см, LB = 20 − 12 = 8 (см). Відповідь: 12 см, 8 см. 15.14 Сторони паралелограма дорівнюють a і b (a > b). Знайдіть відрізки, на які бісектриса гострого кута ділить його більшу сторону.

Нехай ABCD заданий паралелограм, у якого AD = BC = a, AB = CD = b. Бісектриса кута A перетинає сторону BC в точці E. Знайти CE і BE. ∠BEA = ∠EAD (як внутрішні різносторонні паралельних BC∥AD при січній AE). Оскільки ∠BEA = ∠EAB, то ∆EAB – рівнобедрений. Отже BE = AB = b. Тоді CE = BC – BE = a – b. Відповідь: b і a – b. 15.15 Чи може діагональ AC трапеції ABCD ділити навпіл і кут A, і кут C?

Нехай діагональ AC трапеції ABCD є бісектрисою кута A: ∠BAC=∠CAD. ∠BCA=∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC і січній AC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Якщо б AC була бісектрисою і для кута C, то ∠ACD дорівнював би куту CAD, і кут A дорівнював би куту C. Але це неможливо, оскільки протилежні кути трапеції не рівні. Отже, бісектриса кута A не може бути бісектрисою кута C. Відповідь: ні. 15.16 У трикутнику ABC проведено висоту CH, причому CH2 = AH · BH і точка H належить стороні AB. Доведіть, що трикутник ABC – прямокутний (∠C = 90°).

la. in.

За умовою: CH2 = AH ⋅ BH, CH AH = . звідки BH CH Тоді ΔCHB ~ ΔAHC за двома сторонами і кутом між ними (∠CHB = ∠CHA = 90°). У подібних трикутниках відповідні кути рівні: ∠HAC = ∠HCB, ∠HCA = ∠HBC. Але у ΔAHC (∠AHC = 90°) ∠HAC+∠HCA=90°. Отже, ∠C = ∠HCA + ∠HBC = 90°. Отже, ΔABC — прямокутний (∠C=90°). 15.17 Бригаді з ремонту квартири потрібно потинькувати (поштукатурити) стіни кімнати 3,5 м завширшки, 4,5 м завдовжки і 2,8 м заввишки. Зазвичай, бригада витрачає 6 мішків сухої суміші на 5 м2 поверхні. Кімната має одні двері й одне вікно. Ширина дверей – 0,9 м, висота – 2 м, ширина вікна – 2,2 м, висота – 1,8 м. Скільки мішків сухої суміші потрібно придбати бригаді, щоб повністю поштукатурити стіни від підлоги до стелі? Стіни Двері Вікно Витрачає Потрібно Довжина 4,5 м 2 м 2,2 м 6 м. – 5 ? м. 2 Ширина 3,5 м 0,9 м 1,8 м м Висота 2,8 м 1. 4,5 ⋅ 3,5 ⋅ 2,8 = 44,1 (м2) − площа стін з дверями та вікном; 2. 2 ⋅ 0,9 = 1,8 (м2) – площа дверей; 3. 2,2 ⋅ 1,8 = 3,96 (м2) – площа вікна; 4. 44,1 − 1,8 − 3,96 = 38,34 (м2) – площа стін без дверей та вікна; 5. 6 : 5 = 1,2 (м.) – витрачає на 1 м2; 6. 38,34 ⋅ 1,2 = 46 (м.) – потрібно придбати. Відповідь: бригаді потрібно придбати 46 мішків сухої суміші. 15.18 1. Розв’яжіть задачу та отримаєте прізвище видатного українця – вченого в галузі ракетобудування та космонавтики, конструктора перших штучних супутників Землі й космічних кораблів. Знайдіть кути A і B у паралелограмі ABCD, якщо ... ∠A ∠B Л Р ∠A на 20° більший за ∠B К В ∠A втричі менший від ∠B Ь О ∠A : ∠B = 7 : 5  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. Поцікавтеся (використовуючи різні джерела інформації) біографією та досягненнями нашого видатного земляка. ∠A + ∠B = 180°. 1. Нехай ∠B = x, тоді ∠A = x + 20.

la. in.

x + x + 20 = 180; 2x = 160; x = 80. ∠B = 80°, (Р) ∠A = 80° + 20° = 100°. (Л) 2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 3x.

x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45. ∠A = 45°, (К) ∠B = 3 ⋅ 45° = 135°. (В) 3. Нехай ∠A = 7x, тоді ∠B = 5x.

7x + 5x = 180; 12x = 180; x = 15. ∠A = 7 ⋅ 15° = 105°, (Ь) ∠B = 5 ⋅ 15° = 75°. (О) 45° 75° 80° 75° К

100°

105°

75°

135°

Відповідь: Корольов.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Сергій Павлович Корольов (1907–1966) — видатний український учений і конструктор, уродженець Житомира, засновник практичної космонавтики. Під його керівництвом запущено перший штучний супутник Землі та здійснено політ Юрія Гагаріна в космос.

§ 16. Застосування подібності трикутників до розв’язування задач 16.1 T – точка перетину хорд AB і CD. Які з рівностей є правильними:

la. in.

Правильними є лише: 2. AT ⋅ TB = CT ⋅ TP. 4. CT ⋅ DT = AT ⋅ BT. 16.2 TA – відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках B і C та M і N. Які з рівностей є правильними:

Правильними є лише: 1. TA2 = TB · BC; 2. TA2 = TM · TN. 16.3 Хорди AB і CD кола перетинаються в точці P, AP = 9, PB = 2, DP = 4. Знайдіть CP.

AP ⋅ PB = CP ⋅ PD, AP ⋅ PB ; CP = PD 9 ⋅ 2 CP = = 4,5 (см). 4 Відповідь: 4,5 см. 16.4 Хорди MN і KL кола перетинаються в точці A, KA = 6, AL = 3, MA = 4. Знайдіть AN.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

MA ⋅ AN = KA ⋅ AL, KA ⋅ AL ; AN = MA 6 ⋅ 3 AN = = 4,5 (см). 4 Відповідь: 4,5 см. 16.5 SA – відрізок дотичної до кола, A – точка дотику. Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках B і C, SA = 6 см, SB = 4 см. Знайдіть SC і BC.

SA2 = SB ⋅ SC; SC = SA2 : SB. SC = 62 : 4 = 36 : 4 = 9 (см). BC = SC – SB = 9 – 4 = 5 (см). Відповідь: 9 см, 5 см. 16.6 MP – відрізок дотичної до кола, P – точка дотику. Січна, що проходить через точку M, перетинає коло в точках B і C. MP = 4 см, MC = 8 см. Знайдіть MB і BC.

MP2 = MB ⋅ MC; MB = MP2 : MC; MB = 42 : 8 = 16 : 8 = 2 (см). BC = MC – MB = 8 – 2 = 6 (см). Відповідь: 2 см, 6 см. 16.7 Хорда AB, довжина якої 16 см, перетинається з хордою CD у точці T. AT = 2 см, CT = 1 см. Знайдіть довжину хорди CD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AB = AT + TB, TB = AB – AT = 16 – 2 = 14 (см). AT ⋅ TB = CT ⋅ TD; AT ⋅ TB TD = ; CT 2 ⋅ 14 = 28 (см). TD = 1 CD = CT + TD = 1 + 28 = 29 (см). Відповідь: 29 см. 16.8 Хорда CD завдовжки 13 см, перетинає хорду MN у точці A. CA = 4 см, MA = 2 см. Знайдіть довжину хорди MN.

CD = CA + AD, AD = CD – CA = 13 – 4 = 9 (см). CA ⋅ AD = MA ⋅ AN, CA ⋅ AD 4 ⋅ 9 AN = = = 18 (см). MA 2 MN = MA + AN = 2 + 18 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 16.9 Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а інша січна, що проходить через точку S і центр кола O, – у точках C і D. SA = 4 см, SB = 16 см, SC = 2 см. Знайдіть радіус кола.

За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної: SA ⋅ SB = SC ⋅ SD, SA ⋅ SB . звідки SD = SC 4 ⋅ 16 = 32 (см). SD = 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 1 CD = (SD − SC) = (32 − 2) = 15 (см). 2 2 2 Відповідь: 15 см. 16.10 Січна, що проходить через точку S, перетинає коло в точках A і B, а друга січна, що проходить через точку S і центр кола O, – у точках C і D. SA = 4 см, SB = 9 см, SC = 3 см. Знайдіть діаметр кола.

R =

la. in.

SA ⋅ SB = SC ⋅ SD. Звідки: SA ⋅ SB . SD = SC 4 ⋅ 9 = 12 (см). SD = 3 CD = SD – SC = 12 – 3 = 9 (см). Відповідь: 9 см. 16.11 Для знаходження висоти ліхтаря B1C1 використали жердину BC завдовжки 1,5 м. AB = 1 м, AB1 = 6 м. Знайдіть висоту ліхтаря B1C1.

ΔABC ~ ΔAB1C1 як прямокутні, у яких ∠A — спільний. Тоді: AB₁ C₁B₁ = ; AB CB 1,5 ⋅ 6 CB ⋅ AB₁ = = 9 (м). C₁B₁ = 1 AB Відповідь: 9 м. 16.12 Двірник виміряв висоту ліхтаря B₁C₁, використавши жердину BC з планкою AC. Знайдіть довжину використаної жердини BC, якщо висота ліхтаря склала 8 м, AB1 = 10 м, AB = 2,5 м.

ΔABC ~ ΔAB1C1 (∠AB1C1 = ∠ABC = 90°, ∠A — спільний).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Тоді: AB₁ C₁B₁ = ; AB CB 8 ⋅ 2,5 C₁B₁ ⋅ AB = = 2 (м). CB = 10 AB₁ Відповідь: 2 м. 16.13 Щоб знайти на місцевості відстань від точки A до недоступної точки C, вибрали точку B, а потім на папері побудували трикутник A1B1C1 так, що ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Знайдіть AC, якщо AB = 30 м, A1B1 = 5 см, A1C1 = 7 см.

ΔABC ~ ΔA1B1C1 за двома кутами (∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 за умовою). Тоді: AC AB = , A₁C₁ A₁B₁ 30 ⋅ 0,07 AB ⋅ A₁C₁ = = 42 (м). звідки AC = 0,05 A₁B₁ Відповідь: 42 м. 16.14 Хорди кола AB і CD перетинаються в точці E. AE : BE = 1 : 3, CD = 20 см, DE = 5 см. Знайдіть AB.

За теоремою про пропорційність відрізків хорд: AE ⋅ BE = CE ⋅ DE. За умовою: AE : BE = 1 : 3. Нехай AE = x, BE = 3x, тоді: x ⋅ 3x = (20−5) ⋅ 5; 3x2 = 75; x2 = 25; x = 5. Отже, AE = 5 см, BE = 3 ⋅ 5 = 15 (см). AB = AE + BE = 5 + 15 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 16.15 Через точку M, що розміщена всередині кола, проведено дві хорди AB і CD, AM =  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

MB, CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4. Знайдіть AB.

la. in.

За умовою CM = 16 см, DM : MC = 1 : 4. DM : 16 = 1 : 4, 16 DM = = 4 (см). 4 AM = MB, тому: AM ⋅ MB = CM ⋅ MD; AM2 = 16 ⋅ 4; AM2 = 64; AM = 8 см. AB = 2AM =16 (см). Відповідь: 16 см. 16.16 На малюнку AB – дотична до кола, AB = 3 см. Точка O – центр кола, AO = 5 см. Знайдіть діаметр кола.

За наслідком з теореми про пропорційність відрізків січної і дотичної: AB2 = AO2 − OC2; 32 = 52 − OC2; OC2 = 25 – 9; OC2 = 16; OC = 4 см; CD = 2OC = 2 ⋅ 4 = 8 (см). Відповідь: 8 см. 16.17 На малюнку AB – дотична до кола, точка O – центр кола, AB = 8 см, AO = 10 см. Знайдіть радіус кола.

AB2 = AO2 − OC2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

82 = 102 − OC2; OC2 = 100 – 64; OC2 = 36; OC = 6 (см). Відповідь: 6 см. 16.18 Діаметр кола AB перпендикулярний до хорди CD. AB і CD перетинаються в точці M. AM = 2 см, CM = 4 см. Знайдіть радіус кола.

la. in.

1. За властивістю, діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл. 2. DM = CM = 4 см. 3. За властивістю хорд AM ⋅ MB = CM ⋅ MD; 2 ⋅ MB = 4 ⋅ 4; MB = 8 (см). 4. Радіус кола AB 2 + 8 𝑟𝑟 = = = 5 (см). 2 2 Відповідь: 5 см. 16.19 Діаметр кола MN і хорда AB – взаємно перпендикулярні і перетинаються в точці P. PB = 12 см, NP = 18 см. Знайдіть діаметр кола.

AP ⋅ PB = MP ⋅ PN. Оскільки MN ⊥ AB, то P — середина AB, AP = PB = 12 см. 12 ⋅ 12 = MP ⋅ 18; 144 = MP ⋅ 18; MP = 144 : 18; MP = 8 см. MN = MP + PN = 8 + 18 = 26 (см). Відповідь: 26 см. 16.20 Перпендикуляр, проведений з точки кола до радіуса, дорівнює 24 см і ділить радіус у відношенні 5 : 8, починаючи від центра. Знайдіть радіус кола.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Продовжимо радіус AO до діаметра AK, а перпендикуляр BC до хорди BD. Оскільки AK ⊥ BD, то BC = CD = 24 см. За умовою AC : OC = 8 : 5. Тоді AC = 8x, OC = 5x, OK = AO = 8x + 5x = 13x. KC ⋅ AC = BC ⋅ CD; 8x ⋅ 18x = 242; 144x2 = 576; x2 = 4; x = 2. AO = KO = 13 ⋅ 2 = 26 (см). Відповідь: 26 см. 16.21 Знайдіть бісектрису AL трикутника ABC, якщо AC = 15 см, AB = 12 см, BC = 18 см.

Скористаємось формулою, доведеною в задачі 1 § 17: AL2 = AB ⋅ AC – BL ⋅ CL. Нехай CL = x см, тоді BL = (18 − x) см. За властивістю бісектриси: AB AC = ; BL CL 12 15 = ; 18 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 15 (18 − x) = 12x. 270 − 15x = 12x; 27x = 270; x = 10. Отже, CL = 10 см, BL = 18 − 10 = 8 (см). AL2 = 12 ⋅ 15 – 8 ⋅ 10 = 180 – 80 = 100; AL = 10 (см). Відповідь: 10 см. 16.22 Побудуйте трикутник за двома кутами й бісектрисою, проведеною з вершини третього кута.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

План побудови: 1. Побудуємо довільний ΔA1B1C1, подібний даному, взявши довільний відрізок A1B1 і задані кути α і β. 2. Побудуємо бісектрису C1D1. На ній відкладемо відрізок C1D = l. 3. Проведемо через точку D пряму, паралельну A1B1, до перетину з A1C1 та C1B1. 4. ΔABC1 — шуканий. 16.23 Побудуйте трикутник за двома кутами й висотою, проведеною з вершини третього кута.

План побудови: 1. Побудуємо довільний ΔA1B1C1, подібний даному, взявши довільний відрізок A1B1 і задані кути α і β. 2. З довільної точки D відрізка A1B1 побудувати перпендикуляр до A1B1 і відкласти на ньому відрізок DC = h. 3. Через точку C провести прямі, паралельні A1C1 і B1C1. 4. ΔABC — шуканий. 16.24 Побудуйте трикутник ABC за даним кутом C, відношенням сторін AC : CB = 3 : 2 та медіаною CM.

План побудови: 1. Побудуємо кут C, рівний заданому. 2. На сторонах кута C відкласти відрізки A1C і CB1, які відносяться як 3 : 2. Для цього на одній стороні відкласти 3 рівних відрізки довільної довжини, а на другій — два таких відрізки. 3. Поділити відрізок A1B1 навпіл і провести промінь CM1 (медіану ΔA1B1C). 4. На промені CM1 відкласти відрізок CM = m. 5. Через точку M провести пряму, паралельну A1B1. 6. ΔABC — шуканий. 16.25 PL – бісектриса трикутника PMN, PN = 6 см, PM = 10 см. Більший з двох відрізків, на які бісектриса PL ділить сторону MN, дорівнює 5 см. Знайдіть менший із цих відрізків.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

PN PM = ; NL ML ML ⋅ PN 5 ⋅ 6 NL = = = 3 (см). PM 10 Відповідь: 3 см. 16.26 Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 6. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 52 см. Сторони подібних трикутників пропорційні. Отже, сторони подібного трикутника теж відносяться як 3 : 4 : 6. Позначимо їх 3x, 4x, 6x. Тоді 3x + 4x + 6x = 52; 13x = 52; x = 4. Сторони трикутника: 3 ⋅ 4 = 12 (см), 4 ⋅ 4 = 16 (см), 6 ⋅ 4 = 24 (см). Відповідь: 12 см, 16 см, 24 см. 16.27 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a см і b см (a > b). Знайдіть квадрат висоти трапеції, якщо її бічна сторона перпендикулярна до діагоналі.

За властивістю висоти, проведеної з вершини прямого кута прямокутного трикутника: CK2 = AK ⋅ KD. a + b AD + BC = ; AK = 2 2 a − b AD − BC = . KD = 2 2 a² − b² a + b a − b ⋅ = . CK2 = 2 4 2 a² − b² . Відповідь: 4 16.28 На дачі родини Гордієнків потрібно пофарбувати із зовнішнього та внутрішнього боків бак із кришкою для води. Він має форму куба, ребро якого дорівнює 1,2 м. У магазині є фарба в банках по 1 кг і 2,5 кг. 1. Скільки м2 потрібно пофарбувати? 2. Скільки фарби і яких банок потрібно придбати, якщо на 1 м2 витрачається 0,2 кг фарби? Дано: Ребро куба – 1,2 м  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

S куб – ? м2 0,2 кг – 1 м2 ? кг – 2 ⋅ S куб 1. 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44 (м2) – площа грані куба; 2. 1,44 ⋅ 6 ⋅ 2 = 8,64 ⋅ 2 = 17,28 (м2) – площа куба із зовнішнього та внутрішнього боків; 3. 17,28 ⋅ 0,2 = 3,456 (кг) – потрібно фарби; 4. 3,456 ≈ 1 кг + 2,5 кг = потрібні банки з фарбою. Відповідь: 1. Потрібно пофарбувати 17,28 м2. 2. потрібно придбати 3,5 кг фарби – 1 кг + 2,5 кг банки. 16.29 На продовженні найбільшої сторони AC трикутника ABC відкладено відрізок CM = BC. Чи може кут ABM бути: 1. гострим; 2. прямим?

∠BCM = ∠A + ∠B за властивістю зовнішнього кута трикутника. ΔBCM — рівнобедрений за побудовою (BC = CM). Тому: 180° − (∠A + ∠B) 180° − ∠BCM = ; ∠CBM = ∠BMC = 2 2 2∠B + 180° − ∠A − ∠B 180° − (∠A + ∠B) = ∠ABM = ∠B + ∠CBM = ∠B + 2 2 180° + ∠B − ∠A ∠B − ∠A = = 90° + . 2 2 Оскільки за умовою у ΔABC сторона AC найбільша, то і ∠B — найбільший. Отже, ∠B − ∠A > 0. Таким чином, ∠ABM не може бути ні гострим, ні тупим, бо ∠B − ∠A 90° + . 2 Відповідь: 1. ні; 2. ні.

Домашня самостійна робота 3 1. Дано: AB ∥ CD, OA = 3 см; OB = 4 см; BD = 12 см. Знайдіть AC.

AC OA = ; BD OB AC 3 = ; 12 4 4 ⋅ AC = 3 ⋅ 12; 4AC = 36;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AC = 9 (см) Відповідь: Б. 9 см 2. ΔABC ∼ ΔDEF; AB : DE = 2 : 3. Знайдіть відношення EF : BC. BC AB = ; ΔABC ∼ ΔDEF, тому EF DE 2 BC = ; 3 EF 3 EF = . 2 BC Відповідь: Г. 3 : 2 3. За яких з наведених умов ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Трикутники подібні за умови В. Відповідь: В. ∠B = ∠B1, ∠C = 47°, ∠C1 = 47°. 4. CL – бісектриса трикутника ABC. AC = 6 см, BC = 9 см. Більший з відрізків, на які бісектриса CL ділить сторону AB, дорівнює 3 см. Знайдіть AB.

AL AС = . LB BC 2. Оскільки AC < BC, то AL < LB. За умовою LB = 3 (см). 6 AL 𝟑𝟑. Маємо = ; 9AL = 18; AL = 2 (см). 9 3 4. Тоді AB = AL + LB = 2 + 3 = 5 (см). Відповідь: B. 5 см. 5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція на гіпотенузу – 8 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

𝟏𝟏.

1. В ∆ABC : ∠C = 90°; BC = 12 см; CK — висота трикутника; KB = 8 см. 2. За властивістю катета маємо BC2 = AB · KB; 122 = 8 · AB; AB = 18 (см). Відповідь: Б. 18 см. 6. Хорда AB завдовжки 12 см перетинає хорду CD у точці K, AK = 2 см, CK = 4 см. Знайдіть довжину хорди CD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AK ∙ KB = CK ∙ KD KB = AB – AK = 12 – 2 = 10 см. AK ∙ KB 2 ∙ 10 = = 𝟓𝟓 см. KD = 4 CK CD = CK + KD = 4 + 5 = 9 см. Відповідь: A. 9 см. 7. Сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Знайдіть найменшу сторону подібного йому трикутника, якщо сума його середньої за величиною і найбільшої сторін дорівнює 72 см. 1. Оскільки сторони трикутника відносяться як 3 : 4 : 5, то й сторони подібного йому трикутника відносяться, як 3 : 4 : 5. 2. Позначимо ці сторони як 3x см, 4x см і 5x см. Маємо 4x + 5x = 72; 9x = 72; x = 8 (см). 3. Найменша сторона дорівнює 3 ⋅ 8 = 24 (см). Відповідь: Г. 24 см. 8. ABCD – трапеція, AB і CD – її основи, O – точка перетину діагоналей. AB – CD = 4 см, AO = 8 см, OC = 6 см. Знайдіть AB.

1. Позначимо DC = x см, тоді AB = x + 4 (см). 2. ∠AOB = ∠COD як вертикальні; ∠ABD = ∠BDC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD і січній BD. ΔAOB ~ ΔCOD за двома кутами, тоді AB AO = ; CD CO 𝑥𝑥 + 4 8 = ; 𝑥𝑥 6 8x = 6x + 24; 2x = 24;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

x = 12 (см). 3. Тоді AB = 12 + 4 = 16 (см). Відповідь: Б. 16 см. 9. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, K ∈ AB, L ∈ AC. BC = 9 см, KL = 6 см, KB = 4 см. Знайдіть довжину сторони AB.

la. in.

1. KL || BC, тому ∠AKL = ∠ABC (відповідні кути). 2. ∆AKL ~ ∆ABC (за двома кутами), тому KL AK = . BC AB 3. Позначимо AK = x см, тоді 6 𝑥𝑥 = ; 9 𝑥𝑥 + 4 9x = 6x + 24; 3x = 24; x = 8 (см). 4. Тому AB = 8 + 4 = 12 (см). Відповідь: А. 12 см. 10. Периметр паралелограма дорівнює 30 см, а його висоти – 4 см і 6 см. Знайдіть більшу сторону паралелограма.

1. PABCD = 30 см; 2(AB + AD) = 30; AB + AD = 15. 2. Позначимо AB = x см, тоді AD = 15 – x (см). 3. ∆ABM ~ ∆ADN (за двома кутами). AB BM Тоді = . AD DN 𝑥𝑥 4 𝟒𝟒. = ; 15 – 𝑥𝑥 6 6x = 60 – 4x; 10x = 60; x = 6 (см). 5. Отже, AB = 6 см, AD = 15 – 6 = 9 (см). Відповідь: Б. 9 см. 11. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Висота трапеції дорівнює 6 см і ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює 3 см. Знайдіть меншу основу трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. Розглянемо △ABD. Оскільки діагональ BD ⟂ бічній стороні AB, то ∠ABD = 90°. 2. BK — висота, опущена з прямого кута на гіпотенузу AD. За властивістю висоти в прямокутному трикутнику: BK2 = AK · KD ⇒ 6² = 3 · KD ⇒ KD = 12 (см). 3. Оскільки трапеція рівнобічна, то проєкції бічних сторін на більшу основу рівні. Отже, відрізок біля правої вершини також дорівнює 3 см. 4. Тоді менша основа дорівнює: BC = KD − 3 = 12 − 3 = 9 (см). Відповідь: Б. 9 см. 12. У трикутнику, сторони якого дорівнюють 8 см, 12 см і 15 см, проведено півколо, центр якого належить більшій стороні трикутника і яке дотикається до двох інших сторін. На які відрізки центр півкола ділить більшу сторону трикутника?

1. ∆OKB ~ ∆OLB (за катетом і гіпотенузою), тому ∠KBO = ∠LBO. 2. BO — бісектриса ∆ABC. 3. Позначимо AO = x см, тоді OC = 15 – x см. AB BC 4. За властивістю бісектриси = ; AO OC 12 8 = ; 15 – 𝑥𝑥 𝑥𝑥 120 – 8x = 12x; 20x = 120; x = 6 (см). 5. Отже, AO = 6 см; OC = 15 – 6 = 9 см. Відповідь: A. 6 см і 9 см. 13. У △ ABC: ∠C = 90∘ , CK – висота трикутника, KB = 9 см, AK ∶ CK = 4 ∶ 3. Установіть відповідність між сторонами трикутника ABC(1– 3) та їхніми довжинами (A– Γ).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Для прямокутного трикутника з висотою з прямого кута маємо: 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴. 4 З умови 𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4: 3 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐶𝐶𝐶𝐶. Тоді 3 4 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ⋅ 9 ⇒ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 12 см, 3 4 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⋅ 12 = 16 см, 3 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 16 + 9 = 25 см. Далі 𝐴𝐴𝐶𝐶 2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16 ⋅ 25 = 400 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 20 см, 𝐵𝐵𝐶𝐶 2 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 9 ⋅ 25 = 225 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 15 см. Відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В. AB

Завдання для перевірки знань до §§ 11–16 AC = 3. Знайдіть відношення .

1. ΔABC ∼ ΔLMN, LM LN ∆ABC ~ ∆LMN; AC AB = ; LN LM AC = 3. LN AC Відповідь: = 3. LN 2. Доведіть, що ΔABC ∼ ΔA1B1C1, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A1B1 = 6 см, B1C1 = 8 см, A1C1 = 10 см. 4 5 AB BC AC 3 = , то = = . Оскільки = 8 10 A₁B₁ B₁C₁ A₁C₁ 6 Тому ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (за трьома сторонами). 3. Дано: KL ∥ MN, OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см. Знайдіть KM.

KM OK = ; LN PL KM 2 = ; 6 3 3 · KM = 12; KM = 4 (см). 4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза – 25 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. ∆ABC — прямокутний; AB — гіпотенуза; CD — висота трикутника; BD = 4 см; AB = 25 см. 2. За властивістю маємо: BC2 = AB · BD; BC2 = 25 · 4 = 100, тому BC = 10 (см). Відповідь: 10 см. 5. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AL ділить сторону BC, дорівнює 4 см. Знайдіть BC.

1. За властивістю бісектриси = . AC LC 2. Оскільки AB < AC, то BL < LC. За умовою BL = 4 (см). 8 4 𝟑𝟑. = ; 10 LC 8 · LC = 40; LC = 5 (см). 4. Тоді BC = 4 + 5 = 9 (см). Відповідь: 9 см. 6. Хорда CD завдовжки 9 см перетинає хорду 𝐴𝐴𝐴𝐴 у точці M, CM = 3 см, AM = 9 см. Знайдіть довжину хорди AB.

Згідно теореми про пропорційність відрізків: AM ∙ MB = DM ∙ MC DM = DC – MC = 9 – 3 = 6 см  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

𝐷𝐷𝐷𝐷 ∙ 𝑀𝑀𝑀𝑀 6 ∙ 3 = = 2 см 𝐴𝐴𝐴𝐴 9 AB = AM + MB = 9 + 2 = 11 см. Відповідь: 11 см. 7. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7. Знайдіть невідому сторону подібного йому трикутника, якщо сума його більшої і меншої сторін дорівнює 24 см. 1. Оскільки сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7, то сторони подібного йому трикутника відносяться так само. 2. Позначимо ці сторони 5x см; 6x см і 7x см. За умовою: 5x + 7x = 24; 12x = 24; x = 2 см. 3. Сторони трикутника дорівнюють: 5 · 2 = 10 (см) 6 · 2 = 12 (см) 7 · 2 = 14 (см) Відповідь: 10 см, 12 см, 14 см. 8. O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 20 см.

la. in.

𝑀𝑀𝑀𝑀 =

1. Позначимо AB = x (см), тоді CD = 20 – x (см). 2. За задачею №13.1, маємо ∆AOB ~ ∆COD, AO AB тоді = ; CO CD 𝑥𝑥 6 = ; 15 – 𝑥𝑥 4 120 – 6x = 4x; 120 = 10x; x = 12 (см). Отже, AB = 12 (см), CD = 20 – 12 = 8 (см). Відповідь: 12 см; 8 см. 9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 6 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. Нехай BK — висота рівнобічної трапеції ABCD, основи AD = 10 см; BC = 6 см. AD – BC 10 – 6 4 𝟐𝟐. AK = = = = 2 (см). 2 2 2 3. Тоді KD = 10 – 2 = 8 (см). 4. Оскільки ∠ABD = 90° (за умовою), то BK — висота прямокутного трикутника, яка проведена до гіпотенузи. За властивістю висоти маємо: BK2 = AK · KD; BK2 = 2 · 8 = 16; Тому BK = 4 см. Відповідь: 4 см. 10. У двох рівнобедрених трикутниках кути при вершині між собою рівні. Периметр одного з трикутників дорівнює 56 см. Знайдіть його сторони, якщо дві сторони другого трикутника відносяться як 2 : 3.

1. Нехай у ∆ABC : AB = BC, а у ∆A1B1C1 : A1B1 = B1C1, крім того ∠B = ∠B1. Тоді ∆ABC ~ ∆A1B1C1 (за наслідком з ознаки подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними). 2. P∆ABC = 56 см. Сторони трикутника A1B1C1 відносяться як 2 : 3. Оскільки ∆ABC ~ ∆A1B1C1, то й сторони трикутника ABC відносяться, як 2 : 3. 3. Необхідно розглянути два випадки. І випадок. AB : AC = 2 : 3. Тоді позначимо AB = BC = 2x (см), AC = 3x (см). Маємо 2x + 2x + 3x = 56; 7x = 56; x = 8 (см). Тоді AB = BC = 2 · 8 = 16 (см), AC = 3 · 8 = 24 (см). ІІ випадок. AC : BC = 2 : 3. Тоді позначимо AC = 2x (см), AB = BC = 3x (см). Маємо 2x + 3x + 3x = 56; 8x = 56; x = 7 (см). Тоді AC = 2 · 7 = 14 (см) AB = BC = 3 · 7 = 21 (см). Відповідь: 16 см; 16 см; 24 см або 14 см; 21 см; 21 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

11. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K таку, що ∠ABK = ∠C, AB = 8 см, AK = 4 см. Знайдіть KC.

la. in.

1. ∆ABC ~ ∆AKB (за двома кутами). AB AK 𝟐𝟐. Тому = ; AC AB 4 8 = ; 8 AC 4 · AC = 64; AC = 16 (см). 3. Тоді KC = 16 – 4 = 12 (см). Відповідь: 12 см.

Вправи для повторення розділу 2

1. На малюнку MN ∥ KL. 1. OM : ON = 2 : 3. Знайдіть MK : NL. 2. OL : ON = 7 : 5. Знайдіть OK : OM.

1. MK : NL = 2 : 3; 2. OK : OM = 7 : 5. 2. Паралельні прямі MN і KL перетинають сторони кута з вершиною O. OM = 4, NL = 9, ON = MK. Знайдіть довжину відрізка ON.

За узагальненою теоремою Фалеса: ON OM = . NL MK За умовою ON = MK, тоді: ON OM = , NL ON ON2 = OM ⋅ NL; ON2 = 4 ⋅ 9;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ON2 = 36; ON = 6(ON > 0). Відповідь: 6.

a² 𝑏𝑏

Побудуємо нерозгорнутий кут з вершиною O. Запишемо задану рівність: a²

𝑎𝑎

𝑏𝑏

3. Дано відрізки a і b. Побудуйте відрізок x = .

la. in.

x = у такому вигляді: = . b 𝑥𝑥 𝑎𝑎 На одній зі сторін кута відкладаємо відрізок OB = b і відрізок BD = a, а на другій стороні OA = a. Проведемо пряму AB. Через точку D, паралельно AB, проведемо пряму, яка перетне сторону OA в точці C. За узагальненою теоремою Фалеса: OA OB = ; AC BD 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = ; 𝑥𝑥 𝑎𝑎 a² 𝑥𝑥 = . b 4. На малюнку AE : EC = 2 : 1, BD : DC = 3 : 2. Знайдіть BK : KE.

Проведемо пряму EN || AD. AE : EC = 2 : 1 за умовою, тоді за узагальненою теоремою Фалеса: DN : NC = 2 : 1. BD : DC = 3 : 2; 2 BD : DN = 3 : (2 ) = 9 : 4. 3 Тоді: BK : KE = 9 : 4. Відповідь: 9 : 4. 5. ΔABC ∼ ΔKLM. Заповніть порожні комірки: KL AB = ; 𝟏𝟏. KM AC LM BC = . 𝟐𝟐. KM AC 6. ΔABC ∼ ΔA1B1C1, AB = 8 см, BC = 6 см, A1B1 = 12 см, A1C1 = 18 см. Знайдіть невідомі сторони обох трикутників. ΔABC ~ ΔA1B1C1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

12 3 A₁B₁ = = . 8 2 AB 3 B₁C₁ = ; 2 BC 3 B₁C₁ = ; 2 6 6 ⋅ 3 = 9 (см). B₁C₁ = 2 3 A₁C₁ = ; 2 AC 3 18 = ; 2 AC 18 ⋅ 2 = 12 (см). AC = 3 Відповідь: 9 см, 12 см. 7. Сторони трикутника відносяться як 2 : 5 : 6. Знайдіть периметр трикутника, подібного даному, якщо: 1. його середня за розміром сторона дорівнює 20 см; 2. сума більшої і меншої сторін дорівнює 40 см. Нехай ΔABC ~ ΔA1B1C1. Оскільки за умовою AB : BC : CA = 2 : 5 : 6, то і A1B1 : B1C1 : C1A1 = 2 : 5 : 6. Позначимо A1B1 = 2x, B1C1 = 5x, C1A1 = 6x. 1. За умовою B1C1 = 20 см; 5x = 20, x = 4. A1B1 = 2 ⋅ 4 = 8 (см), C1A1 = 6 ⋅ 4 = 24 (см). PΔA₁B₁C₁ = 8 + 24 + 20 = 52 (см). Відповідь: 52 см. 2. За умовою A1B1 + C1A1 = 40 см. 2x + 6x = 40, 8x = 40, x = 5. A1B1 = 2 ⋅ 5 = 10 (см), B1C1 = 5 ⋅ 5 = 25 (см), C1A1 = 6 ⋅ 5 = 30 (см). PΔA₁B₁C₁ = 10 + 25 + 30 = 65 (см). Відповідь: 65 см. 8. У трикутнику проведено середню лінію. Чи подібний трикутник, що утворився, даному трикутнику?

У ΔABC M — середина AB, N — середина BC.  shkola.in.ua

Тоді MN — середня лінія, 1 MN = AC. 2 У трикутниках ABC і MBN ∠B — спільний, ∠BMN = ∠BAC, ∠BNM = ∠BCA як відповідні (MN||AC). 1 MB = AB, 2 1

NB = BC, 2 1

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

MN = AC. 2 Отже, ΔABC ~ ΔMBN за означенням, бо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. 9. За яких умов два трикутники подібні: 1. дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого; 2. три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого; 3. три кути одного трикутника дорівнюють трьом кутам другого? Умова подібності виконується за умов 2 і 3. 10. На катеті AC і гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точки P і L такі, що ∠APL = 90°. Доведіть, що ΔAPL ∼ ΔACB.

ΔAPL ~ ΔACB за гострим кутом (наслідок з теореми про ознаку подібності за двома кутами), оскільки ∠A — спільний. 11. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, OB = 3OA, OC = 3OD. Доведіть, що ΔAOD ∼ ΔBOC.

ΔAOD ~ ΔBOC за двома сторонами і кутом між ними: ∠AOD=∠BOC як вертикальні, OD 1 OA = = . OC 3 OB 12. Діагоналі трапеції діляться точкою перетину у відношенні 2 : 3. Менша основа трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

ΔBOC ~ ΔDOA за двома сторонами і кутом між ними: ∠BOC = ∠DOA як вертикальні, CO 2 BO = = за умовою. OA 3 OD  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC 2 = , звідки AD 3 3 ⋅ 8 3BC = = 12 (см). AD = 2 2 Відповідь: 12 см. 13. У трикутниках KLM і K1L1M1 ∠K = ∠K1, а сторони трикутника KLM, що утворюють кут K, у 2,5 раза більші за сторони, що утворюють кут K1. Знайдіть LM, якщо L1M1 = 4 см. ΔKLM ~ ΔK1L1M1 за двома сторонами і кутом між ними: ∠K = ∠K1, KM 2,5 5 KL = = = . KM₁ 1 2 KL₁ 5 LM = ; 2 L₁M₁ 5L₁M₁ 5 ⋅ 4 LM = = = 10 (см). 2 2 Відповідь: 10 см. 14. ABCD – трапеція, AD ∥ BC, ∠BAC = ∠ADC. 1. Знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність. 2. Доведіть, що AC2 = AD · BC.

la. in.

Тоді

1. У трикутниках ACB і DAC ∠BAC = ∠ADC за умовою, ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AC. 2. У подібних трикутниках відповідні сторони пропорційні. AC BC = ; AD AC AC2 = BC ⋅ AD. 15. На сторонах AC і BC трикутника ABC позначено точки M і N так, що AC · CM = BC · CN. Знайдіть подібні трикутники та доведіть їхню подібність.

За умовою AC ⋅ CM = BC ⋅ CN, CN AC = . звідки CM BC Тоді ΔABC ~ ΔNMC за двома сторонами і кутом між ними (∠C — спільний). 16. На стороні AC трикутника ABC вибрано точку K так, що ∠BKC = ∠ABC, причому ∠BKC – тупий. Знайдіть BC, якщо AK = 16 см, CK = 9 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ΔABC ~ ΔBKC за двома кутами (∠C — спільний, ∠BKC = ∠ABC за умовою). KC BC = ; Значить, BC AC BC2 = AC ⋅ KC; BC2 = (16 + 9) ⋅ 9; BC2 = 25 ⋅ 9; BC = 15 (см). Відповідь: 15 см. 17. У трикутнику ABC через точку N, що належить стороні BC, проведено прямі, що перетинають сторони AB і AC відповідно в точках M і K і паралельні AC і AB. Доведіть, що MN · NK = BM · CK.

∠BNM = ∠BCA як відповідні при паралельних прямих MN і AC і січній BC. ∠BMN = ∠A як відповідні (MN || AC, AB — січна), ∠A = ∠NKC як відповідні (NK || AB, AC — січна), тоді ∠BMN = ∠NKC. ΔMBN ~ ΔKNC за двома кутами. BM MN = , Звідки NK KC MN ⋅ NK = BM ⋅ KC. 18. ΔABC ∼ ΔA1B1C1, точки I і I1 – точки перетину бісектрис даних трикутників. Доведіть, що ΔAIB ∼ ΔA1I1B1.

1. Оскільки ΔABC ~ ΔA1B1C1, то ∠CAB = ∠C1A1B1 і ∠CBA = ∠C1B1A1. 2. ∠IAB = ∠I1A1B1 (як половини рівних кутів); ∠IBA = ∠I1B1A1 (аналогічно). 3. ΔAIB ~ ΔA1I1B1 (за двома кутами). Що й треба було довести. 19. У трикутник ABC вписано прямокутник KLMN, у якого KN = 16 см, LK = 10 см. Причому K ∈ AC, N ∈ AC, M ∈ BC, L ∈ AB. Знайдіть висоту трикутника, проведену з вершини B, якщо AC = 24 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

LM || KN, отже, LM || AC. Пряма LM, паралельна стороні AC, відтинає від ΔABC подібний йому ΔLBM. Проведемо BS ⊥ AC — висоту ΔABC, тоді BP — висота ΔLBM. LPSK — прямокутник, PS = LK = 10 см. Нехай BS = x см, тоді BP = (x − 10) см. Отже, ΔABC ~ ΔLBM, тоді BS AC = ; BP LM 𝑥𝑥 24 = ; 𝑥𝑥 − 10 16 24x – 240 = 16x; 24x − 16x = 240; 8x = 240; x = 30. Отже, BS = 30 (см). Відповідь: 30 см. 20. BD і AE – висоти гострокутного трикутника ABC. Доведіть, що DC · AC = EC · BC.

ΔAEC ~ ΔBDC за гострим кутом, BC DC = , звідки AC EC DC ⋅ AC = EC ⋅ BC. 21. Накресліть прямокутний трикутник KLM (∠K = 90°) та проведіть у ньому висоту KP. Які відрізки є проекціями катетів KL і KM на гіпотенузу?

LP — проекція катета KL. PM — проекція катета KM на гіпотенузу LM. 22. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на відрізки 1 см і 8 см. Знайдіть менший катет трикутника.

У ΔACB (∠C = 90°), CD ⊥ AB; AD = 1 см, DB = 8 см. AD < DB, AD — проекція катета AC на гіпотенузу, значить, катет AC менший. AC2 = AD ⋅ AB;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC2 = 1 ⋅ (1 + 8); AC2 = 9; AC = 3 (см). Відповідь: 3 см. 23. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 24 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу – 18 см. Знайдіть проекцію другого катета на гіпотенузу та катети трикутника.

la. in.

У ΔABC (∠C = 90°) CD ⊥ AB; CD = 24 см, AD = 18 см. CD2 = AD ⋅ DB; 242 = 18 ⋅ DB; 576 = 18 ⋅ DB; DB = 576 : 18; DB = 32 см. AB = AD + DB = 18 + 32 = 50 (см). AC2 = AD ⋅ AB = 18 ⋅ 50 = 900; AC = 30 см. BC2 = DB ⋅ AB = 32 ⋅ 50 = 1600; AC = 40 см. Відповідь: 32 см, 30 см, 40 см. 24. BM – бісектриса рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC). З точки M до BC проведено перпендикуляр MK. Знайдіть BM і периметр трикутника, якщо KC = 9 см, MK = 12 см.

У ΔABC AB = BC. BM — бісектриса, проведена до основи, значить, BM — висота. MK ⊥ BC, тоді: MK2 = BK ⋅ KC; 122 = BK ⋅ 9, звідки BK =144 : 9 = 16 (см). BC = BK + KC = 16 + 9 = 25 (см). BM2 = BK ⋅ BC; BM2 = 16 ⋅ 25; BM2 = 400; BM = 20 см. MC2 = KC ⋅ BC; MC2 = 9 ⋅ 25; MC2 = 225; MC = 15 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC = 2MC = 2 ⋅ 15 = 30 (см). PΔABC = AC + 2BC = 30 + 2 ⋅ 25 = 30 + 50 = 80 (см). Відповідь: 20 см, 80 см. 25. Перпендикуляр, проведений з вершини кута прямокутника до діагоналі, ділить її на відрізки, довжини яких відносяться як 9 : 16. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його нижня перпендикулярна 12 см.

la. in.

BM — висота, опущена на гіпотенузу AC з вершини прямого кута B ΔABC. AM : MC = 9 : 16, BM = 12 см. Нехай AM = 9x, MC=16x BM2 = AM ⋅ MC; 122 = 9x ⋅ 16x; 144 = 144x2, x2=1, x=1. Отже AM = 9 см, MC = 16 см. AC = AM + MC = 9 + 16 = 25 см. AB2 = MC ⋅ AC. AB2 = 9 ⋅ 25 = 225; AB = 15 см. BC2 = MC ⋅ AC; BC2 = 16 ⋅ 25 = 400; BC = 20 см. PΔABC = 2(AB + BC) = 2 ⋅ (15 + 20) = 2 ⋅ 35 = 70 (см). Відповідь: 70 см. 26. Коло, вписане в ромб, точкою дотику ділить сторону ромба на відрізки 3,6 см і 6,4 см. Знайдіть діагоналі ромба.

ABCD — ромб, центр вписаного кола O — точка перетину діагоналей ромба. AC ⊥ BD, BO = 12BD, CO = 12AC (за властивістю діагоналей ромба). OK ⊥ BC — радіус, проведений в точку дотику. BK = 3,6 см, KC = 6,4 см BC = BK + KC = 3,6 + 6,4 = 10 (см). OB2 = BK ⋅ BC; OB2 = 3,6 ⋅ 10 = 36; OB = 6 см. BD = 2OB = 2 ⋅ 6 = 12 (см)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

OC2 = KC ⋅ BC OC2 = 6,4 ⋅ 10 = 64, OC = 8 см. AC = 2 ⋅ OC = 2 ⋅ 8 = 16 (см). Відповідь: 8 см, 16 см. 27. У рівнобічній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Висота трапеції дорівнює 6 см, а середня лінія – 9 см. Знайдіть основу трапеції.

la. in.

ABCD — трапеція, AD || BC, AC ⊥ BC. CK ⊥ AD — висота, CK = 9 см. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ AD + BC . 2 AD + BC . AK = 2 Тоді AK дорівнює середній лінії: AK = 9 см. CK2 = AK ⋅ KD, CK² 36 KD = = = 4 (см). AK 9 AD = AK + KD = 9 + 4 = 13 (см). AD + BC = 9; 2 13 + BC = 18; BC = 5 (см). Відповідь: 13 см, 5 см. AM AB 1 28. BM – бісектриса трикутника ABC. Знайдіть відношення , якщо = .

Згідно властивості бісектриси трикутника: 1 AM AB = = . 3 MC BC

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

29. BD – бісектриса трикутника ABC. Знайдіть сторону AB, якщо AD : DC = 3 : 5, BC = 20 см.

la. in.

Згідно властивості бісектриси трикутника: AD AB = ; DC BC 3 AB = ; 5 20 20 ⋅ 3 = 12 (см). AB = 5 Відповідь: 12 см. 30. Одна зі сторін паралелограма на 9 см більша за другу. Бісектриса кута паралелограма ділить його діагональ на відрізки 4 см і 10 см. Знайдіть периметр паралелограма.

Нехай AB = x см, тоді BC = (x + 9). За властивістю бісектриси: BC AB = ; KC AK 𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 = ; 10 4 10x = 4x + 36; 6x = 36; x = 6. Отже, AB = 6 см, BC = 6 + 9 = 15 (см). PABCD = 2(AB + BC) = 2 ⋅ (6 + 15) = 42 (см). Відповідь: 42 см. 31. Периметр прямокутника 60 см. Бісектриса, що виходить з вершини кута прямокутника, ділить його діагональ на відрізки, що відносяться як 7 : 8. Знайдіть сторони прямокутника.

ABCD — прямокутник. PABCD = 60 см, 1 1 тоді AB + BC = PABCD = ⋅ 60 = 30 (см). 2 2 Нехай AB = x см, то BC = (30 − x).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AC — діагональ, BP — бісектриса кута B. AP : PC = 7 : 8. AB BC За властивість бісектриси = ; AP PC 30 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = ; 8 7 8x = 7(30 − x); 8x = 210 − 7x; 15x = 210; x = 14. Отже, AB = 14 см, BC = 30 – 14 = 16 (см). Відповідь: 14 см, 16 см. 32. Точка D належить стороні AB трикутника ABC. Порівняйте кути ACD і BCD, якщо AC = 6 см, BC = 8 см, AD = 3 см, DB = 7 см.

Якби відрізок CD був бісектрисою кута C, то виконувалась би рівність AD AC = . BD BC Нехай AD = x см, тоді BD = (3 + 7 – x) = (10 – x) см. 𝑥𝑥 6 = ; 10 – 𝑥𝑥 8 60 – 6x = 8x; 14x = 60; 2 𝑥𝑥 = 4 . 7 2 Отже, якщо CD — бісектриса, то AD = 4 . 7

ko 1

За умовою AD = 3 см, тоді ∠ACD < ∠C, отже, ∠ACD < ∠BCD. 2 Відповідь: ∠ACD < ∠BCD. 33. У рівнобедреному трикутнику радіус вписаного кола в 5 разів менший від висоти, проведеної до основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 90 см.

Центр кола, вписаного в трикутник — це точка перетину бісектрис. CB BO Тоді за властивістю бісектриси CO = . CD OD BO 4 CB 4 За умовою = , тоді = . OD 1 CD 1  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай CD = x см, тоді CB = 4x см. PΔABCD = AB + BC + AC = 4x + 4x + 2x = 10x. За умовою 10x = 90, звідки x = 9. Отже, DC = 9 см, AC = 2 ⋅ 9 = 18 (см). BC = AB = 4 ⋅ 9 = 36 (см). Відповідь: 18 см, 36 см, 36 см. 34. S – точка перетину хорд AB і CD. AS = 4, SB = 1. Якому числу дорівнює добуток CS · DS?

CS ⋅ DS = AS ⋅ SB = 4 ⋅ 1 = 4. 35. Січні a і b виходять з точки M, що лежить поза колом. Січна a перетинає коло в точках A і B, а січна b – у точках C і D. Відомо, що MA · MB = 28, MC = 4. Знайдіть MD і CD.

MA ⋅ MB = MC ⋅ MD; 28 = 4 ⋅ MD; MD = 28 : 4 = 7. CD = MD – MC = 7 – 4 = 3. Відповідь: 7, 3. 36. З точки A до кола проведено дотичну AM та січну AP. Знайдіть довжини відрізків AK і PK, якщо AM = 8 см, AP = 16 см.

AM2 = AK ⋅ AP, звідки AK = AM2 : AP; AK = 82 : 16 = 64 : 16 = 4 (см). PK = AP – AK = 16 – 4 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 37. З точки A до кола проведено дотичну AM та січну, яка перетинає коло в точках K і P. AM = 10 см, AP : AK = 4 : 1. Знайдіть AK, AP і KP.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AM2 = AK ⋅ AP, За умовою AP : AK = 4 : 1, тоді AK = x, AP = 4x. 102 = x ⋅ 4x; 100 = 4x2, x2 = 25, x = 5. Отже, AK = 5 (см), AP = 4 ⋅ 5 = 20 (см). KP = AP – AK = 20 – 5 = 15 (см). Відповідь: 5 см, 20 см, 15 см. 38. Продовження медіани AM рівнобедреного трикутника ABC (AB = AC) перетинає коло, описане навколо трикутника, у точці P. AM = 6 см, BC = 8 см. Знайдіть AP.

У ΔACP, ∠C = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. У ΔABC (AB = AC) AM — медіана, а значить, і висота. Отже, AM ⊥ CB. З ΔACP, за властивістю висоти, опущеної з вершини прямого кута, CM2 = AM ⋅ MP. 2 MP = CM2 ∶ AM = 42 ∶ 6 = 16 ∶ 6 = 2 см. 3 2 2 AP = AM + MP = 6 + 2 = 8 (см). 3 3 2 Відповідь: 8 см. 3 39. У трикутнику ABC з вершини B проведено бісектрису BL. Відомо, що BL = 5 см, AL = 4 см, LC = 5 см. Знайдіть AB і BC.

BL2 = AB ⋅ BC – AL ⋅ CL. За властивістю бісектриси кута трикутника  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AB AL 4 = = . BC LC 5 Нехай AB = 4x, BC = 5x. 52 = 4x ⋅ 5x = 4 ⋅ 5; 25 = 20x2 – 20; 45 = 20x2. 45 2 9 ; 𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 2 = 20 4 3 𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = 1,5. 2 AB = 4 ⋅ 1,5 = 6 (см), BC = 5 ⋅ 1,5 = 7,5 (см). Відповідь: 6 см, 7,5 см. 40. Побудуйте трикутник ABC за даним кутом A, відношенням сторін AC : AB = 4 : 3 і бісектрисою AL.

План побудови 1. Побудувати кут A. 2. На сторонах кута A відкласти відрізки AC1 і AB1 так, що AC1 : AB1 = 4 : 3. Для цього на одній стороні кута відкласти 4 рівних відрізки (AC1), на другій — 3 таких же відрізки (AB1). 3. Поділити кут A навпіл і провести бісектрису AL. 4. На промені AL відкласти відрізок AL = l. 5. Через точку L провести пряму BC, паралельну B1C1. 6. ΔABC — шуканий.

§17. Теорема Піфагора 17.1 (Усно) ΔMKL – прямокутний, ∠M = 90°. Які з рівностей правильні: 1. KM2 = ML2 – KL2; 2. KL2 = ML2 + KM2; 3. ML2 = KL2 + KM2; 4. KM2 = KL2 – ML2; 5. KL2 = ML2 – KM2; 6. ML2 = KL2 – KM2?

2, 4, 6. 17.2 ΔEFP – прямокутний, ∠P = 90°. Заповніть пропуски: 1. EF2 = ...2 + ...2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2. EP2 = ...2 – ...2. 1. EF2 = EP2 + PF2; 2. EP2 = EF2 − PF2. 17.3 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1. 6 см і 8 см; 2. 12 см і 35 см. c2 = a2 + b2, c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏². 1. c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, c = √100 = 10 (см); 2. c = �12² + 35² = √144 + 1225 = √1369 = 37 (см). 17.4 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1. 5 см і 12 см; 2. 8 см і 15 см. 1. c = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см);

2. c = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). 17.5 Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють: 1. 17 см і 8 см; 2. 26 см і 10 см. a = �𝑐𝑐² − 𝑏𝑏², b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎². 1. a = �17² − 8² = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см);

2. b = �26² − 10² = �(26 − 10)(26 + 10) = √16 · 36 = 4 · 6 = 24 (см). 17.6 Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють: 1. 25 см і 7 см; 2. 41 см і 40 см. 1. a = �25² − 7² = �(25 + 7)(25 − 7) = √32 · 18 = √576 = 24 (см);

2. b = �41² − 40² = �(41 + 40)(41 − 40) = √81 · 1 = 9 · 1 = 9 (см). 17.7 Драбину приставлено до вікна, розміщеного на висоті 15 м над землею. Нижній кінець драбини віддалений від стіни будинку на 8 м. Яка довжина драбини?

BC = �AB² + AC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (м).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: довжина драбини 17 м. 17.8 Стовп гімнастичної трапеції укріплений за допомогою троса завдовжки 3 м так, що його нижній кінець віддалений від основи стовпа на 1,8 м. Яка висота стовпа?

la. in.

AC = �BC² − AB² = �3² − 1,8² = √9 − 3,24 = �5,76 = 2,4 (м) Відповідь: висота стовпа 2,4 м. 17.9 Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 5 см. Знайдіть його найменшу сторону. Найбільша сторона прямокутного трикутника — це гіпотенуза, c = 7 см. Нехай b = 5 см. Тоді: a = �𝑐𝑐² − 𝑏𝑏² = �7² − 5² = √49 − 25 = √24 = √4 · 6 = 2√6 (см). Відповідь: 2√6 см. 17.10 Дві менші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 2 см і 3 см. Знайдіть його найбільшу сторону. a = 2 см, b = 3 см. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �2² + 3² = √4 + 9 = √13 (см).

Відповідь: √13 см. 17.11 Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть його діагональ.

У прямокутнику ABCD, AB = CD = 6 см, BC = AD = 8 см. BD2 = AB2 + AD2; BD = �AB² + AD² = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 17.12 Діагональ прямокутника дорівнює 13 см, а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У прямокутнику ABCD, BD = 13 см, AB = 12 см. AD = �BD² − AB² = �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (см). Відповідь: 5 см. 17.13 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а висота, проведена до основи, – 12 см. Знайдіть основу трикутника.

la. in.

У ΔABC, AB = BC = 15 см, BD ⊥ AC, BD = 12 см. Висота BD у рівнобедреному трикутнику є медіаною, отже, AD = CD. З ΔABD: AD = �AB² − BD² = �15² − 12² = √225 − 144 = √81 = 9 (см). AC = AD · CD = 2 · 9 = 18 (см). Відповідь: 18 см. 17.14 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, а висота, проведена до основи, – 15 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

У ΔABC, AB = BC, AC = 16 см, BD ⊥ AC, BD = 15 см. Висота BD у прямокутному трикутнику є медіаною: 1 1 AD = DC = AC = · 16 = 8 (см). 2 2 З ΔABC: AB2 = AD2 + BD2; AB = �AD² + BD² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). Відповідь: 17 см. 17.15 Діагоналі ромба дорівнюють 24 см і 70 см. Знайдіть сторону ромба.

У ромбі ABCD, AC = 70 см, BD = 24 см. Діагоналі ромба перпендикулярні і точкою перетину O діляться навпіл. У ΔAOB (∠O = 90°) 1 1 AO = AC = · 70 = 35 (см), 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 BD = · 24 = 12 (см). 2 2 AB = �AO² + BO² = �35² + 12² = √1225 + 144 = √1369√ = 37 (см). Відповідь: 37 см. 17.16 Сторона ромба дорівнює 13 см, а одна з його діагоналей – 10 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

BO =

la. in.

У ромбі ABCD, AB = 13 см, AC = 10 см. Діагоналі ромба перпендикулярні й точкою перетину O діляться навпіл. У ΔAOB (∠O = 90°) 1 1 AO = AC = · 10 = 5 (см). 2 2 BO = �AB² − AO² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). BD = 2BO = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 17.17 Діагональ квадрата дорівнює 3√2 см. Знайдіть його сторону.

Нехай сторона квадрата a. Тоді a2 + a2 = BD2; 2a2 = (3√2)2; 2a2 = 18; a2 = 9; a = 3. Сторона квадрата 3 см. Відповідь: 3 см. 17.18 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до більшого катета.

У ΔABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 8 см. AM — медіана.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді CM = BM =

1 1 BC = · 8 = 4 (см). 2 2

У ΔAMC, ∠C = 90°, AM = �AC² + CM² = �7² + 4² = √49 + 16 = √65 (см).

la. in.

Відповідь: √65 см. 17.19 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 9 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до меншого катета.

У ΔABC, ∠C = 90°, CB = 9 см, AC = 6 см. BM — медіана, значить, 1 1 A𝑀𝑀 = MC = AC = · 6 = 3 (см). 2 2 У ΔBMC, BM = �CB² + CM² = �9² + 3² = √81 + 9 = √90 = √9 · 10 = 3√10 см. Відповідь: 3√10 см. 17.20 З точки A до кола із центром O проведено дотичну, B – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка AO, якщо OB = 2 см, AB = 7 см.

AB — дотична до кола. OB ⊥ AB як радіус, проведений у точку дотику. AO2 = OB2 + AB2; AO = �OB² + AB² = �2² + 7² = √4 + 49 = √53 см.

Відповідь: √53 см. 17.21 З точки M до кола із центром O проведено дотичну, P – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка PM, якщо OP = 3 см, OM = 6 см.

PM — дотична до кола, OP ⊥ PM — радіус, проведений у точку дотику. PM = �OM² − OP² = �6² − 3² = √36 − 9 = √27 = 3√3 см. Відповідь: 3√3 см. 17.22 Чи є прямокутним трикутник зі сторонами:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. 15; 20; 25; 2. 4; 5; 6? 1. 252 = 625; 152 + 202 = 225 + 400 = 625. 252 = 202 + 152. Відповідь: так. 2. 42 + 52 = 16 + 25 = 41; 62 = 36. 42 + 52 ≠ 62. Відповідь: ні. 17.23 Чи є прямокутним трикутник зі сторонами: 1. 5; 6; 9; 2. 16; 30; 34? 1. 52 + 62 = 25 + 36 = 61; 92 = 81; 52 + 62 ≠ 92. Відповідь: ні. 2. 162 + 302 = 256 + 900 = 1156; 342 = 1156; 162 + 302 = 342. Відповідь: так. 17.24 У колі, радіус якого дорівнює 13 см, проведено хорду, завдовжки 10 см. Знайдіть відстань від центра кола до даної хорди.

OA = OB = 13 см — радіус, AB = 10 см — хорда. OK ⊥ AB — відстань від центра кола до хорди. У ΔAOB (OA = OB), OK — висота і медіана, AK = KB = 10 см : 2 = 5 см. У ΔAOK OK = �AO² − AK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 17.25 У колі проведено хорду завдовжки 16 см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від центра кола до хорди дорівнює 6 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AB = 16 см — хорда, OK ⊥ AB, OK = 6 см — відстань від центра кола до хорди AB. OA = OB — радіуси кола. У ΔAOB, OK — висота і медіана. 1 1 AK = KB = AB = · 16 = 8 (см). 2

la. in.

У ΔAOK AO = �AK² + OK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 17.26 Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 6 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки). I випадок: a = 5 см, b = 6 см — катети, c — гіпотенуза. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �5² + 6² = √25 + 36 = √61 (см). II випадок: a = 5 см — катет, c = 6 см — гіпотенуза, b — катет. b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² = �6² − 5² = √36 − 25 = √11 (см). Відповідь: √61 см або √11 см. 17.27 Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 2 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки). I випадок: a = 5 см, b = 2 см — катети, c — гіпотенуза. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �5² + 2² = √25 + 4 = √29 см. II випадок: a = 2 см — катет, c = 5 см — гіпотенуза, b — катет. b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² = �5² − 2² = √25 − 4 = √21 см.

Відповідь: √29 см або √21 см. 17.28 Від стовпа заввишки 9 м до будинку натягнуто провід, що кріпиться на висоті 3 м від землі. Відстань від будинку до стовпа – 8 м. Обчисліть довжину проводу.

1. 9 − 3 = 6 (м) – протилежний катет (частина стовпа); 2. �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (м) – довжина проводу. Відповідь: довжина проводу 10 м. 17.29 Від стовпа до будинку натягнуто дріт завдовжки 13 м, який закріплено на стіні будинку на висоті 3 м від землі. Обчисліть висоту стовпа, якщо відстань від будинку до стовпа – 12 м.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (м) – довжина частини стовпа; 2. 5 + 3 = 8 (м) – довжина стовпа. Відповідь: довжина проводу − 8 м. 17.30 Катети прямокутного трикутника відносяться як 7 : 24, а гіпотенуза дорівнює 50 см. Знайдіть периметр трикутника.

la. in.

Нехай катети a = 7x см, b = 24x см, гіпотенуза c = 50 см. a2 + b2 = c2; (7x)2 + (24x)2 = 502; 49x2 + 576x2 = 2500; 625x2 = 2500; x2 = 4; x = 2. a = 7 · 2 = 14 (см); b = 24 · 2 = 48 (см). PΔ = a + b + c = 14 + 48 + 50 = 112 (см). Відповідь: 112 см. 17.31 Катет відноситься до гіпотенузи як 8 : 17. Знайдіть периметр трикутника, якщо другий катет дорівнює 30 см.

Нехай катет a = 8x см, гіпотенуза c = 17x см, катет b = 30 см. a2 + b2 = c2; (8x)2 + 302 = (17x)2; 64x2 + 900 = 289x2; 225x2 = 900; x2 = 4; x = 2. a = 8 · 2 = 16 (см); c = 17 · 2 = 34 (см). PΔ = a + b + c = 16 + 30 + 34 = 80 (см). Відповідь: 80 см. 17.32 Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. ΔACD: AC = �AD² − CD² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12; BC = CD + BD = 5 + 11 = 16. x = �AC² + BC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20. Відповідь: 20. 2. ΔABC: BC = �AB² − AC² = �10² − 6² = √100 − 36 = √64 = 8. ΔBCD: ∠D = 90° − ∠BCD = 90° − 60° = 30°. x = 2BC = 2 · 8 = 16. Відповідь: 16. 3. ΔABC: AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10. ΔABD: x = �AB² + BD² = �10 + 2² = √14.

Відповідь: √14. 4. Проведемо CE ⊥ AD, ABCE – прямокутник (BC || AE, AB || CE, ∠A = 90°). CE = AB = 12, AE = BC = 10. DE = AD − AE = 15 − 10 = 5. ΔCED: x = �CE² + ED² = �12² + 5² = √144 + 25 = √169 = 13. Відповідь: 13. 17.33 Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках.

1. ΔBCD: BD2 = BC2 − CD2 = 172 − 152 = (17 − 15)(17 + 15) = 2 · 32 = 64. ΔABD:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

x = �AB² − BD² = �10² − 64 = √100 − 64 = √36 = 6. Відповідь: 6. 2. ΔABC: AB = �AC² + BC² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5. ΔABD: ∠D = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°. AD = 2AB = 2 · 5 = 10. Відповідь: 10. 17.34 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а другий на 2 см менший від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника.

AC = 6 см. Нехай AB = x см, тоді BC = (x − 2) см. За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2. x2 = (x − 2)2 + 62; x2 = x2 − 4x + 4 + 36; 4x = 40, x = 10. AB = 10 см, BC = 10 − 2 = 8 (см). PΔABC = 6 + 10 + 8 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 17.35 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а гіпотенуза на 1 см більша за другий катет. Знайдіть периметр трикутника.

AC = 5 см, BC = x см, AB = (x + 1) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. (x + 1)2 = 52 + x2; x2 + 2x + 1 = 25 + x2; 2x = 24; x = 12. BC = 12 см; AB = 12 + 1 = 13 (см). PΔABC = 5 + 12 + 13 = 30 (см). Відповідь: 30 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

17.36 У △ ABC кут A тупий, BC = 39 см, AB = 17 см. BK – висота трикутника, BK = 15 см. Знайдіть AC.

У ΔAKB: AK = �AB² − BK² = �17² − 15² = �(17 − 15)(17 + 15) = √2 · 32 = √64 = 8 (см). У ΔBCK: KC = �BC² − BK² = �39² − 15² = �(39 − 15)(39 + 15) =

la. in.

= √24 · 54 = √4 · 6 · 6 · 9 = 2 · 6 · 3 = 36 (см). AC = KC − AK = 36 − 8 = 28 (см). Відповідь: 28 см. 17.37 BK – висота трикутника ABC, у якого ∠C – тупий. AB = 20 см, BC = 13 см, CK = 5 см. Знайдіть AC.

У ΔBKC: BK = �BC² − KC² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). У ΔABK: AK = �AB² − BK² = �20² − 12² = �(20 − 12)(20 + 12) =

= √8 · 32 = √8 · 4 · 8 = 8 · 2 = 16 (см). AC = AK − KC = 16 − 5 = 11 (см). Відповідь: 11 см. 17.38 У рівнобедреному △ висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 5 см і поділяє її на два відрізки, так що прилеглий до вершини рівнобедреного трикутника відрізок дорівнює 12 см. Знайдіть основу трикутника.

У ΔABC AB = BC, AH ⊥ BC, AH = 5 см, BH = 12 см. У ΔAHB AB = �AH² + BH² = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см). BC = AB = 13 см, CH = BC − HB = 13 − 12 = 1 (см). У ΔAHC: AC = �AH² + HC² = �5² + 1² = √25 + 1 = √26 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: √26 см. 17.39 Висота BK рівнобедреного трикутника ABC (AB = AC) ділить сторону AC на відрізки AK = 24 см і KC = 1 см. Знайдіть основу трикутника.

la. in.

У ΔABC AB = AC, BK ⊥ CA, AK = 24 см, KC = 1 см. У ΔABC AC = AB = AK + KC = 24 + 1 = 25 (см). BK2 = AB2 − AK2 = 252 − 242 = (25 − 24)(25 + 24) = 1 · 49 = 49 см. У ΔBKC CB = �B𝐾𝐾² + KC² = √49 + 1 = √50 = √25 · 2 = 5√2 (см).

Відповідь: 5√2 см. 17.40 Знайдіть сторони паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см, і одна з них перпендикулярна до сторони.

ABCD — паралелограм, BD ⊥ AB. BD = 8 см, AC = 10 см. 1 1 AO = CO = AC = · 10 = 5 (см). 2 2 1 1 BO = DO = BD = · 8 = 4 (см). 2 2 У ΔABO AB = �AO² − BO² = �5² − 4² = √25 − 16 = √9 = 3 (см). У ΔABD AD = �AB² − BD² = �3² + 8² = √9 + 64 = √73 (см).

Відповідь: 3 см, √73 см. 17.41 Радіус кола, описаного навколо тупокутного рівнобедреного трикутника, дорівнює 37 см, а його основа – 70 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC, ∠B — тупий, тому центр O знаходиться поза трикутником. OB = OC = 37 см, AC = 70 см. OB ⊥ AC, AK = KC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

У ΔOKC OK = �OC² − KC² = �37² − 35² = �(37 − 35)(37 + 35) =

= √2 · 72 = √144 = 12 (см). BK = OB − OK = 37 − 12 = 25 (см). У ΔBKC BC = �BK² + KC² = �25² + 35² = √625 + 1225 = √1850 = 5√74 (см).

la. in.

Відповідь: 5√74 см. 17.42 Висота рівнобедреного гострокутного трикутника, проведена до основи, дорівнює 18 см, а радіус кола, описаного навколо нього, – 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC, ∠B — гострий, тому точка O лежить на висоті BK, проведеної до основи трикутника. BK = 18 см, AO = OB = 13 см. У ΔAOK (∠K = 90°) AK2 = AO2 − OK2. OK = BK − BO = 18 − 13 = 5 см. Тоді: AK2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144. У ΔABK (∠K = 90°) AB = �AK² + BK² = �144 + 18² = √468 = √36 · 13 = 6√13 (см).

Відповідь: 6√13 см. 17.43 Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює √13 см. Подамо число 13 у вигляді суми двох квадратів: 13 = 9 + 4, √13 = 32 + 22. Таким чином, відрізок √13 см — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 3 см і 2 см.

17.44 Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює √10 см. Подамо число 10 у вигляді суми двох квадратів: 10 = 9 + 1; 10 = 32 + 12.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Таким чином, (√10)2 = 32 + 12, тобто відрізок довжиною √10 — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 3 і 1.

la. in.

17.45 Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки завдовжки 10 см і 26 см. Знайдіть периметр трикутника.

Бісектриса AD ділить катет BC на відрізки CD = 10 см і DB = 26 см, тоді AC : AB = 10 : 26 = 5 : 13. Нехай AC = 5x см, AB = 13x см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. BC = CD + BD = 10 + 26 = 36 (см). (13x)2 = (5x)2 + 362; 169x2 = 25x2 + 1296; 144x2 = 1296; x2 = 9; x = 3. Отже, AC = 5 · 3 = 15 (см); AB = 13 · 3 = 39 (см). PΔABC = 15 + 39 + 36 = 90 (см). Відповідь: 90 см. 17.46 Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, що дорівнюють 15 см і 20 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC ∠C = 90°, CL — бісектриса кута C. AL = 15 см, LB = 20 см, AB = AL + LB = 15 + 20 = 35 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

За властивістю бісектриси: AL 15 3 AC = = = . LB 20 4 CB Позначимо AC = 3x см, CB = 4x см. Тоді AB2 = AC2 + BC2; 352 = (3x)2 + (4x)2; 1225 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 1225; x2 = 49; x = 7. AC = 3 · 7 = 21 (см); CB = 4 · 7 = 28 (см). PΔABC = 35 + 21 + 28 = 84 (см). Відповідь: 84 см. 17.47 У прямокутному △ точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 2 см і 10 см. Знайдіть периметр трикутника.

ΔABC — прямокутний, ∠C = 90°. Центр вписаного кола O — точка перетину бісектрис кутів трикутника, OK ⊥ BC — радіус вписаного кола, проведений у точку дотику. CK = 2 см, BK = 10 см. OK = ON = OP. ΔNOC = ΔKOC за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді CN = CK = 2 см. Аналогічно PB = BK = 10 см, AP = AN = x см, AC = (x + 2) см, AB = (x + 10) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (x + 10)2 = (x + 2)2 + (10 + 2)2; x2 + 20x + 100 = x2 + 4x + 4 + 144; 20x − 4x = 148 − 100; 16x = 48; x = 3. AP = AN = 3 см; AC = 3 + 2 = 5 (см); AB = 3 + 10 = 13 (см). PΔABC = AC + BC + AB = 5 + 12 + 13 = 30 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 30 см. 17.48 Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

la. in.

ABCD — трапеція (AD || BC), BD ⊥ AC, BD = 8 см, AC = 6 см. Продовжимо BC і проведемо DK ⊥ AC. Оскільки ACKD — паралелограм, то DK = AC = 6 см. BD ⊥ DK, оскільки BD ⊥ AC а AC || DK. ΔBDK — прямокутний. BK2 = BD2 + DK2. BK = �BD² + DK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). BK = BC + AD, тоді середня лінія дорівнює BK, тобто 5 см. Відповідь: 5 см. 17.49 Рівнобічну трапецію з основами a і b описано навколо кола. Доведіть, що її висота дорівнює √ab.

ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD, AD = a, BC = b. CK ⊥ AD — висота трапеції. Оскільки в трапецію вписано коло, то AB + CD = AD + BC, тоді 2CD = a + b, a + b . CD = 2 AD − BC a − b KD = = . 2 2 CK = �CD2 − KD2

a + b 2 a − b 2 = �� −� � = 2 2

4ab a2 + 2ab + b 2 − a2 + 2ab − b 2 = � = √ab. 4 2

sh =�

17.50 Відношення бічної сторони до основи рівнобедреного трикутника дорівнює 5 : 8, а різниця відрізків, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді AB ∶ AD =

5 4

За властивістю бісектриси трикутника

У ΔABC AB = BC, AB : AC = 5 : 8; BD ⊥ AC — висота, AL — бісектриса. Висота BD, проведена до основи, є медіаною. AD = DC.

la. in.

Оскільки AB > AD, то і BK > KD. Нехай KD = x см, тоді BK = (x + 3) см. 𝑥𝑥 + 3 5 = ; 𝑥𝑥 4 5x = 4x + 12; x = 12. KD = 12 см, BK = 12 + 3 = 15 (см), BD = BK + KD = 15 + 12 = 27 см. У ΔABD AB2 = BD2 + AD2. AB = 5y, AD = 4y. (5y)2 = 272 + (4y)2; 25y2 = 729 + 16y2; 9y2 = 729; y2 = 81; y = 9. AB = 5 · 9 = 45 (см); AD = 4 · 9 = 36 (см); AC = 2 · AD = 2 · 36 = 72 (см). PΔABC = 45 + 45 + 72 = 162 (см). Відповідь: 162 см. 17.51 Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 5 см менша від основи. Відрізки, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, відносяться як 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, AB = AC = 5 см. BD ⊥ AC — висота, AL — бісектриса кута A. 1 У ΔABD BD ⊥ AD, AD = AC (висота є медіаною). 2

Оскільки AB > AD, то BK > KD, тоді BK : KD = 5 : 3. Нехай AC = x см, тоді AB = (x − 5) см, AD = 0,5x см. За властивістю бісектриси: AB : AD = BK : KD,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5 𝑥𝑥 − 5 = ; 3 0,5𝑥𝑥 3x – 15 = 2,5x; 0,5x = 15; x = 30. Отже, AC = 30 см, AB = 30 − 5 = 25 (см). PΔABC = AC + 2AB = 30 + 2 ⋅ 25 = 80 (см). Відповідь: 80 см. 17.52 Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть медіану цього трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо сума гіпотенузи і меншого катета дорівнює 18 см.

У ΔABC (∠C = 90°) 1 CM = AB = AM = BM, 2 1 AC = AB = AM = BM як катет, що лежить проти кута 30°. 2

За умовою AC + AM + BM = 18 см, 3AC = 18 см, AC = 6 см. CM = AC = 6 см. Відповідь: 6 см. 17.53 Коло радіуса 3 см вписано в ромб. Один з відрізків, на які точка дотику ділить сторону ромба, дорівнює 9 см. Знайдіть периметр ромба.

ABCD — ромб, O — точка перетину його діагоналей і центр вписаного кола. OK ⊥ BC — радіус, проведений в точку дотику. OK = 3 см, KC = 9 см. З ΔOKC OC2 = OK2 + KC2 = 32 + 92 = 9 + 81 = 90. З ΔBOC OC2 = BC ⋅ KC, BC = OC2 : KC = 90 : 9 = 10 (см). PΔABC = 4 ⋅ BC = 4 ⋅ 10 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 17.54 Трапецію вписано в коло так, що діаметр кола є її більшою основою, а відношення основ дорівнює 2 : 1. Знайдіть кути трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — трапеція, вписана в півколо. AD — діаметр кола. Проведемо BO і CO — радіуси кола. Тоді AO = BO = CO = DO = BC як радіуси кола, 1 BC = AD за умовою, 2 ΔBOC — рівносторонній, всі його кути дорівнюють 60°. ∠BOA = ∠COD як внутрішні різносторонні з кутами CBO і BCO відповідно. Тоді в рівнобедрених трикутниках ABO і DOC решта кутів також дорівнюють 60°. Отже, у трапеції ABCD ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°. Відповідь: 60°, 120°. 17.55 Побудуйте пряму m та точку A на відстані 2 см від прямої m. Позначте точку B на відстані 3 см від прямої m.

17.56 Побудуйте пряму a та позначте точку B, яка їй не належить. 1. Побудуйте перпендикуляр BK до прямої a. 2. Побудуйте відрізок BM, де M – деяка точка прямої a. 3. Обчисліть довжини відрізків BK і BM.

Позначимо BK = h — це відстань від точки B до прямої a. Нехай KM = x — відхилення точки M уздовж прямої від основи перпендикуляра K. У прямокутному трикутнику BKM: BM = �BK 2 + KM 2 = �h2 + x 2 .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

17.57 Побудуйте паралельні прямі, відстань між якими дорівнює 2 см.

la. in.

m ∥ n, FE ⊥ m, FE ⊥ n, FE = 2 см. 17.58 Потрібно пофарбувати стелю у двох тренажерних залах: один з них квадратної форми зі стороною 3,5 м, а другий – прямокутний, його розміри 4,5 ∙ 4 м. Для фарбування 1 м2 стелі витрачають 240 г фарби. Фарба продається у банках по 2,5 кг. Яку найменшу кількість банок фарби потрібно придбати? 1) S1 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (м2) — площа першого залу; 2) S2 = 4,5 · 4 = 18 (м2) — площа другого залу; 3) S = 12,25 + 18 = 30,25 (м2) — загальна площа; 4) m = 30,25 · 240 = 7260 г = 7,26 кг — кількість фарби; 5) 7,26 : 2,5 = 2,904 (шт) — кількість банок Потрібно купити ціле число банок, отже беремо 3 банки. Відповідь: потрібно придбати 3 банки фарби. 17.59 Чи можна розмістити на площині 6 точок так, щоб будь−які три з них були вершинами рівнобедреного трикутника?

Якщо п’ять точок розмістити на колі на однаковій відстані одна від одної, а шосту точку — в центр цього кола. Будь−який трикутник, вершинами якого є точки A1, ..., A5, є рівнобедреним, бо дві його сторони — рівні хорди. Трикутник, одна з вершин якого — центр кола O, є рівнобедреним, оскільки дві його сторони — це радіуси кола. Відповідь: Так. § 18. Перпендикуляр і похила, їхні властивості 18.1 (Усно) Назвіть на малюнку: 1. перпендикуляр, проведений з точки B до прямої b; 2. основу перпендикуляра; 3. похилу, проведену з точки B до прямої b; 4. основу похилої;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. проєкцію похилої.

la. in.

1. BM; 2. M; 3. BP; 4. P; 5. PM. 18.2 Накресліть пряму m і позначте точку P, що їй не належить. Проведіть перпендикуляр PK і похилу PM до прямої m.

18.3 (Усно) BM – перпендикуляр до прямої b, BP – похила. Порівняйте BM і BP.

BM < BP. 18.4 Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 5 см, а довжина похилої, проведеної до цієї самої точки, – 13 см. Знайдіть проєкцію похилої на дану пряму.

PK = 5 см, PM = 13 см. KM = �PM² − PK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 18.5 Перпендикуляр, проведений з даної точки до прямої, дорівнює 6 см. Із цієї самої точки до прямої проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 8 см. Знайдіть  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

довжину похилої.

la. in.

PK = 6 см, KM = 8 см. PM = �𝑃𝑃𝑃𝑃² + KM² = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 18.6 З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Проекція однієї з них дорівнює 7 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Оскільки рівні похилі мають рівні проекції, то проекція другої похилої теж дорівнює 7 см, а відстань між основами похилих — 7 + 7 = 14 (см). Відповідь: 14 см. 18.7 З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Відстань між їхніми основами дорівнює 12 см. Знайдіть проєкції похилих на дану пряму. Якщо з однієї точки до прямої провести дві рівні похилі, то їх проекції також рівні. Проекція кожної похилої 12 см : 2 = 6 см. Відповідь: 6 см. 18.8 Точка лежить на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та її проекції на пряму.

AC ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. AC = 6 см. AB — похила, ∠ABC = 30°. За властивістю катета, що лежить проти кута 30° 1 AC = AB. 2 AB = 2AC = 2 · 6 см = 12 см. З ΔABC BC = �AB² − AC² = �12² − 6² = �(12 − 6)(12 + 6) = √6 · 18 = 6√3 (см).

Відповідь: 12 см, 6√3 см. 18.9 Точка лежить на відстані 4 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 45°. Знайдіть проекцію похилої на пряму та довжину похилої.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. AC = 4 см. AB — похила, ∠ABC = 45°. Тоді ∠BAC = 90° − ∠ABC = 90° − 45° = 45°. ΔABC — рівнобедрений, BC = AC = 4 см. З ΔABC AB = �AC² + BC² = �4² + 4² = √16 + 16 = 4√2 (см).

la. in.

Відповідь: 4 см, 4√2 см. 18.10 З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 13 см, а її проекція – 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.

MN і MP — похилі, проведені з точки M до прямої a, MN = 13 см. Проведемо MK ⊥ a — перпендикуляр. NK = 5 см — проєкція похилої NK, KP — проєкція похилої MP, ∠MPK = 45°. З ΔMNK MK = �MN² − NK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). У ΔMPK ∠PMK = 90° − 45° = 45°. Тоді ΔMPK — рівнобедрений, MK = KP = 12 см. Відповідь: 12 см. 18.11 З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 12 см та утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину другої похилої, якщо її проєкція на пряму – 8 см.

NM і NK — похилі, NK = 12 см. NP ⊥ a. MP = 8 см — проєкція похилої NM, ∠NKP = 30°. 1 1 З ΔNKP NP = NK = · 12 см = 6 см 2 2 (за властивістю катета, що лежить проти кута 30°). З ΔNMP MN = �NP² + MP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 18.12 З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 13 см і 20 см. Проекція першої на пряму дорівнює 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AB = 13 см, AC = 20 см — похилі, AK ⊥ a. З ΔABK AK2 = AB2 − BK2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144. З ΔACK KC = �AC² − AK² = �20² − 144 = √400 − 144 = √256 = 16 (см). Відповідь: 16 см. 18.13 З точки, що міститься на відстані 24 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 25 см і 26 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

AK ⊥ m — перпендикуляр, AK = 24 см. AB = 25 см і AC = 26 см — похилі. З ΔABK BK = �AB² − AK² = �25² − 24² = �(25 − 24)(25 + 24) = √1 · 49 = 7 (см).

З ΔACK KC = �AC² − AK² = �26² − 24² = �(26 − 24)(26 + 24) =

= √2 · 50 = √100 = 10 (см). I випадок. Точки B і C лежать по різні сторони від K. BC = BK + KC = 7 + 10 = 17 (см). II випадок. Точки B і C лежать по один бік від K. BC = CK − BK = 10 − 7 = 3 (см). Відповідь: 17 см або 3 см. 18.14 З точки, що міститься на відстані 8 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

AK ⊥ m, AK = 8 см — відстань від точки A до прямої m. AB = 10 см, AC = 17 см — похилі. З ΔABK BK = �AB² − AK² = �10² − 8² = √100 − 64 = √36 = 6 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

З ΔAKC KC = �AC² − AK² = �17² − 8² = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). I випадок. BC = BK + KC = 6 + 15 = 21 (см). II випадок. BC = KC − BK = 15 − 6 = 9 (см). Відповідь: 21 см або 9 см. 18.15 З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 5 см і 8 см. Який кут утворює друга похила з прямою, якщо проекція першої похилої на пряму дорівнює 3см?

la. in.

AB = 5 см, AC = 8 см — похилі, AD ⊥ BC, BD = 3 см. З ΔABD AD = �AB² − BD² = �5² − 3² = √25 − 9 = √16 = 4 (см). З ΔACD: катет AD = 4 см дорівнює половині гіпотенузи, AC = 8 см, значить, ∠ACD = 30°. Відповідь: 30°. 18.16 З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з похилих дорівнює 41 см, а її проекція – 9 см. Який кут утворює інша похила з прямою, якщо її проєкція на пряму дорівнює 40 см?

AB = 41 см і AC — похилі, AD ⊥ BC. BD = 9 см, CD = 40 см — проекції похилих. З ΔABD AD = �AB² − BD² = �41² − 9² = �(41 − 9)(41 + 9) = √32 · 50 =

= √16 · 2 · 2 · 25 = 4 · 2 · 5 = 40 (см). У ΔACD AC = CD, тоді ΔACD — прямокутний і рівнобедрений, ∠ACD = 45°. Відповідь: 45°. 18.17 Точки M і N лежать по один бік від прямої a. Із цих точок до прямої a проведено перпендикуляри завдовжки 2 см і 7 см. Знайдіть відстань між основами перпендикулярів, якщо MN = 13 см.

MM1 ⊥ a, NN1 ⊥ a, MM1 = 2 см, NN1 = 7 см, MN = 13 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Проведемо MK ⊥ NN1. M1MKN1 — прямокутник (MM1 || KN1, MK || M1N1, ∠MKN1 = 90°). M1N1 = MK, KN1 = MM1 = 2 см. З ΔMKN NK = NN1 − KN1 = 7 см − 2 см = 5 см. MK = �MN² − NK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). M1N1 = MK = 12 см. Відповідь: 12 см. 18.18 Точки A і B лежать по один бік від прямої m. Із цих точок до прямої m проведено перпендикуляри завдовжки 1 см і 7 см. Знайдіть AB, якщо відстань між основами перпендикулярів дорівнює 8 см.

AA1 ⊥ a, BB1 ⊥ a — перпендикуляри. A1B1 = 8 см, AA1 = 1 см, BB1 = 7 см. Проведемо A1P ⊥ BB₁. Чотирикутник A1APB1 — прямокутник (AA1 || PB1, AP || A1B1, ∠A1 = 90°). Отже, AA1 = B1P = 1 см, AP = A1B1 = 8 см. У ΔABP BP = BB1 − PB1 = 7 − 1 = 6 (см). AB = �AP² + BP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 18.19 3 точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 10 см і 14 см, різниця проєкцій яких дорівнює 8 см. Знайдіть проєкції похилих та відстань від точки до прямої.

AB = 10 см, AC = 14 см — похилі, AD ⊥ BC — відстань від точки A до прямої BC. BD — проекція AB, CD — проекція AC. AB < AC, тому BD < CD. Нехай BD = x см, тоді CD = (x + 8) см. З ΔABD AD2 = AB2 − BD2 = 102 − x2 = 100 − x2. З ΔACD AD2 = AC2 − CD2 = 142 − (x + 8)2 = 196 − x2 − 16x − 64 = 132 − x2 − 16x. Звідси 100 − x2 = 132 − x2 − 16x; 16x = 32; x = 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BD = 2 см, CD = 2 + 8 = 10 (см). AD = �100 − 2² = √100 − 4 = √96 = √16 · 6 = 4√6 (см).

Відповідь: 2 см, 10 см, 4√6 см. 18.20 3 точки до прямої проведено дві похилі, різниця яких дорівнює 2 см. Знайдіть ці похилі та відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 1 см і 5 см.

la. in.

AB і AC — похилі, AC > AB, AC − AB = 2 см. AK ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. BK = 1 см — проекція AB, KC = 5 см — проекція AC. Нехай AB = x см, тоді AC = (x + 2) см. З ΔABK AK2 = AB2 − BK2 = x2 − 12 = x2 − 1. З ΔACK AK2 = AC2 − CK2 = (x + 2)2 − 52 = x2 + 4x + 4 − 25 = x2 + 4x − 21. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні: x2 − 1 = x2 + 4x − 21; 4x = 20; x = 5. AB = 5 см, AC = 5 + 2 = 7 (см). AK = �AB² − BK² = �5² − 1² = √25 − 1 = √24 = 2√6 (см).

Відповідь: 5 см, 7 см, 2√6 см. 18.21 Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть проєкції двох менших сторін на більшу сторону.

У ΔABC AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Проведемо BK ⊥ AC — перпендикуляр, проведений з вершини B до більшої сторони AC. AK — проекція сторони AB, CK — проекція сторони CB на сторону AC. Нехай AK = x см, тоді CK = (15 − x) см. З ΔABK BK2 = AB2 − AK2 = 132 − x2 = 169 − x2. З ΔBCK BK2 = BC2 − CK2 = 142 − (15 − x)2 = 196 − 225 + 30x − x2 = −29 + 30x − x2. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні. 169 − x2 = −29 + 30x − x2; 30x = 198; x = 6,6. Отже, AK = 6,6 см, CK = 15 − 6,6 = 8,4 (см). Відповідь: 6,6 см, 8,4 см. 18.22 Сторони гострокутного трикутника дорівнюють 25 см, 29 см і 36 см. Знайдіть проєкції двох більших сторін на меншу сторону.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У ΔMNP MN = 36 см, NP = 29 см, MP = 25 см. Проведемо NK ⊥ MP — перпендикуляр, проведений з вершини N до меншої сторони MP. MK — проекція сторони MN, KP — проекція сторони NP на сторону MP. Нехай MK = x см, тоді PK = (25 − x) см. З ΔMNK NK2 = MN2 − MK2 = 362 − x2 = 1296 − x2. З ΔNPK NK2 = NP2 − PK2 = 292 − (25 − x)2 = 841 − 625 + 50x − x2 = 50x − x2 + 216. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні. 1296 − x2 = 50x − x2 + 216; 50x = 1296 − 216; 50x = 1080; x = 21,6. Отже, MK = 21,6 см, PK = 25 − 21,6 = 3,4 (см). Відповідь: 21,6 см, 3,4 см. 18.23 3 точки A до прямої m проведено похилі AB і AC та перпендикуляр AK, причому точка K лежить між точками B і C. AB = 15 см, AK = 12 см, KC = 16 см. Знайдіть ∠ BAC.

AB і AM — похилі до прямої m, AB = 15 см. AK ⊥ m, AK = 12 см, KC = 16 см. З ΔABK BK = �AB² − AK² = �15² − 12² = √225 − 144 = √81 = 9 (см).

З ΔAKC AC = �AK² + KC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20 (см). BC = BK + KC = 9 + 16 = 25 (см). У ΔABC AB2 = 152 = 225; AC2 = 202 = 400; BC2 = 252 = 625. 625 = 225 + 400. Отже, BC2 = AB2 + AC2. Тоді за оберненою теоремою Піфагора ∠A = 90°. Відповідь: 90°. 18.24 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 11 см, а її висота – 6 см. Знайдіть діагональ трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — трапеція, AB = CD, CK = 6 см, CK ⊥ AD. BC = 5 см, AD = 11 см. BC + AD AK = ; 2 16 5 + 11 = = 8 (см). AK = 2 2 З ΔACK (∠K = 90°) AC = �AK² + CK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 18.25 Радіуси двох кіл, які мають зовнішній дотик, дорівнюють 1 см і 4 см. Пряма a – спільна дотична цих кіл. Знайдіть відстань між точками дотику прямої a з колами.

O1A ⊥ a, O2B ⊥ a — радіуси, проведені в точці дотику. O1O2 — відрізок, що з'єднує центри кіл. Проведемо O1C ⊥ O2A. CABO2 — прямокутник (AB || CO2, AC || BO2, AC ⊥ AB), тоді CO2 = AB, O2B = CA, тому O1C = O1A – AC = 4 – 1 = 3 (см). З ΔO1CO2 (∠C = 90°) CO2 = �O₁O₂² – CO₁² = �(1 + 4)² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 18.26 У △ ABC (∠C = 90°) проведено середню лінію KL. KL = 3 см, LB = 4 см. 1. У ΔKBL та ΔABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до катета, прилеглого до кута B, і порівняйте отримані значення. 2. У ΔKBL та ΔABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення. 3. У ΔKBL і ΔABC знайдіть відношення катета, прилеглого до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

KL 3 = ; BL 4 AC 2 · 3 3 у ΔABC = = . BC 2 · 4 4 AC KL = . Отже, BC BL 2. У ΔKBL BK = �KL² + LB² = �3² + 4² = √9 + 6 = √25 = 5. 3 KL = . 5 KB У ΔABC AB = 2KB = 2 · 5 = 10 см; AC = 2KL = 2 · 3 = 6. 6 3 KL AC AC = = . = . 10 5 KB AB AB 4 BL = ; 𝟑𝟑. У ΔKBL 5 KB BC 8 4 у ΔABC = = . AB 10 5 BC BL = . AB KB 18.27 Визначте міру кутів трикутника зі сторонами завдовжки: 1. 1 см; √3 см; 2 см; 2. 1 см; 1 см; √2 см. 1. 12 = 1; (√3)2 = 3; 22 = 4. Оскільки 4 = 1 + 3, тобто 22 = 12 + (√3)2, то трикутник прямокутний. Найбільша сторона — гіпотенуза, вона дорівнює 2 см. Один з катетів вдвічі менший — 1 см. Значить, у трикутнику один з гострих кутів 30°, тоді другий — 60°. Відповідь: 90°, 30°, 60°. 2. 12 = 1; (√2)2 = 2. Маємо: (√2)2 = 12 + 12. Тоді трикутник прямокутний. Його катети рівні по 1 см. Отже, гострі кути трикутника дорівнюють по 45°. Відповідь: 90°, 45°, 45°. 18.28 Відомо, що 1 га лісу за рік очищує 18 млн м3 повітря. Скільки м3 повітря очистить за рік ліс площею: 1. 5 га? 2. 2 км2? 2 км2 = 200 га 1. 5 · 18 · 106 = 90 · 106 = 9 · 107 (м3) очистить ліс за рік. 2. 200 · 18 · 106 = 2 · 18 · 108 = 36 · 108 (м3) очистить ліс за рік. Відповідь: ліс за рік очищує: 1. 9 · 107 м3 2. 36 · 108 м3. 18.29 (Задача Стенфордського університету.) Точку P так розташовано всередині прямокутника так, що відстань від неї до вершини прямокутника дорівнює 5 ярдів, до протилежної вершини – 14 ярдів, до третьої вершини – 10 ярдів. Якою є відстань від точки P до четвертої вершини?

la. in.

𝟏𝟏. У ΔKBL

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — прямокутник. PB = 5, PC = 10, PD = 14. Проведемо PK ⊥ BC і PS ⊥ AD. Через точку P можна провести тільки один спільний перпендикуляр до паралельних прямих BC і AD. Тоді ABKS — прямокутник. Нехай AD = BC = b, BK = AS = x, тоді KC = SD = b − x. З ∆BKP KP2 = BP2 − BK2 = 52 − x2 = 25 − x2. З ∆PKC KP2 = PC2 − KC2 = 102 − (b − x)2 = 100 − b2 + 2bx − x2 = −b2 + 2bx − x2. Ліві частини рівностей однакові, значить, і праві частини рівні: 25 − x2 = 100 − b2 + 2bx − x2; b2 − 2bx – 75 = 0. (1) З ∆APS PS2 = AP2 – AS2 = AP2 − x2. З ∆PSD PS2 = PD2 – SD2 = 142 − (b − x)2 = 196 − b2 + 2bx − x2; AP2 − x2 = 196 − b2 + 2bx − x2; AP2 + b2 − 2bx – 196 = 0. (2) 3 (1) і (2): b2 − 2bx − 75 = AP2 + b2 − 2bx − 196. AP2 = 196 − 75; AP2 = 121; AP = 11. Відповідь: 11 ярдів.

§ 19. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника 19.1 Дано △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. sin A; 2. cos B; 3. tg A; 4. cos A; 5. sin B; 6. tg B.

BC 8 4 = = ; AB 10 5 8 4 BC = = ; 𝟐𝟐. cos ∠B = 10 5 AB 8 4 BC = = ; 𝟑𝟑. tg ∠A = 6 3 AC 𝟏𝟏. sin ∠A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC 6 3 = = ; AB 10 5 6 3 AC = = ; 𝟓𝟓. sin ∠B = 10 5 AB 6 3 AC = = . 𝟔𝟔. tg ∠B = 8 4 BC 19.2 Дано △MNK, ∠K = 90°. Знайдіть: 1. cos M; 2. sin N; 3. tg M; 4. sin M; 5. cos N; 6. tg N.

la. in.

𝟒𝟒. cos ∠A =

4 MK = ; 5 MN MK 4 𝟐𝟐. sin ∠N = = ; MN 5 3 KN = ; 𝟑𝟑. tg ∠M = 4 MK KN 3 𝟒𝟒. sin ∠M = = ; MN 5 KN 3 𝟓𝟓. cos ∠N = = ; MN 5 4 MK = . 𝟔𝟔. tg ∠N = 3 KN 19.3 Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера: 1. cos 22°; 2. sin 50°; 3. tg 17°; 4. cos 12°10'; 5. sin 67°30'; 6. tg 81°48'. 1. cos 22° = 0.9272; 2. sin 50° = 0.7660; 3. tg 17° = 0.3057; 4. cos 12°10' = 0,9775; 5. sin 67°30' = 0,9239; 6. tg 81°48' = 6,9395.

𝟏𝟏. cos ∠M =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

19.4 Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера: 1. sin 43°; 2. cos 57°; 3. tg 70°; 4. sin 14°42'; 5. cos 49°30'; 6. tg 15°12'. 1. sin 43° ≈ 0.6820; 2. cos 57° ≈ 0.5446; 3. tg 70° ≈ 2.7475; 4. sin 14°42' ≈ 0,2538; 5. cos 49°30' ≈ 0,6494; 6. tg 15°12' ≈ 0,2717. 19.5 Обчисліть: 1. sin 30° + tg 45°; 2. cos 30° · sin 60°. 1 1 𝟏𝟏. sin 30° + tg 45° = + 1 = 1 ; 2 2 3 √3 √3 · = . 𝟐𝟐. cos 30° · sin 60° = 4 2 2 19.6 Обчисліть: 1. sin 45° − cos 60°; 2. sin 45° : cos 45°. 1 1 𝟏𝟏. tg 45° − cos 60° = 1 − = ; 2 2 √2 2 √2 √2 ∶ = · = 1. 𝟐𝟐. sin 45° ∶ cos 45° = 2 2 2 √2 19.7 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 5 см, BC = 12 см. Знайдіть: sin A, cos A. AB = �AC² + BC² = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см). BC 12 sin ∠A = = ; AB 13 5 AC = . cos ∠A = 13 AB 19.8 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см. Знайдіть: sin B, cos B. AB = �AC² + BC² = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). AC 7 sin ∠B = = ; AB 25 24 BC = . cos ∠B = 25 AB 19.9 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AC, якщо BC = a, ∠B = β; 2. AB, якщо AC = b, ∠A = α. AC AC ; tg 𝛽𝛽 = ; AC = 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽; 𝟏𝟏. tg ∠B = 𝑎𝑎 BC  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ; cos 𝛼𝛼 = ; AB = . AB AB cos 𝛼𝛼 19.10 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. BC, якщо AC = b, ∠A = α; 2. AB, якщо BC = a, ∠B = β. BC BC ; tg 𝛼𝛼 = ; BC = 𝑏𝑏 tg 𝛼𝛼; 𝟏𝟏. tg ∠A = 𝑏𝑏 AC 𝑎𝑎 𝑎𝑎 BC ; cos 𝛽𝛽 = ; AB = . 𝟐𝟐. cos ∠B = AB cos 𝛽𝛽 AB 19.11 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1 1. AB, якщо AC = 5 см, cos A = ; 4

2. AB, якщо BC = 3 см, sin A = 0,6; 3 3. AC, якщо AB = 8 см, sin B = ;

la. in.

𝟐𝟐. cos ∠A =

4. BC, якщо AB = 20 см, cos B = ; 5

5. AC, якщо BC = 10 см, tg B = 0,5. AC AC 1 𝟏𝟏. cos∠A = ; AB = = 5: = 5 · 4 = 20(см); AB cos ∠A 4 BC 3 BC ; AB = = = 5(см); 𝟐𝟐. sin∠A = sin ∠A 0,6 AB AB 3 𝟑𝟑. sin∠B = ; AC = ABsin∠B = 8 · = 6(см); AC 4 BC 4 𝟒𝟒. cos∠B = ; BC = ABcos∠B = 20 · = 16(см); AB 5 AC ; AC = BCtg∠B = 10 · 0,5 = 5(см). 𝟓𝟓. tg∠B = BC 19.12 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1 1. AB, якщо BC = 8 см, cos B = ; 2

2. AB, якщо AC = 10 см, sin B = 0,25; 1 3. BC, якщо AB = 6 см, sin A = ; 3

4. AC, якщо AB = 20 см, cos A = 0,4; 3 5. BC, якщо AC = 12 см, tg A = . 4 BC BC 1 𝟏𝟏. cos∠B = ; AB = = 8: = 8 · 2 = 16(см); AB cos ∠B 2 AC 10 AC ; A𝐵𝐵 = = = 40(см); 𝟐𝟐. sin∠B = sin ∠B 0,25 AB BC 1 𝟑𝟑. sin∠A = ; BC = ABsin∠A = 6 · = 2(см); AB 3 AC ; AC = ABcos∠A = 20 · 0,4 = 8(см); 𝟒𝟒. cos∠A = AB BC 3 𝟓𝟓. tg∠A = ; BC = ACtg∠A = 12 · = 9(см). AC 4 19.13 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AB, якщо AC = 4√3 см, ∠A = 30°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2. AC, якщо AB = 5√2 см, ∠B = 45° AC AC 4 √3 4 √3 · 2 √3 𝟏𝟏. cos ∠A = ; AB = = = 4√3 ∶ = = 8 (см); AB cos ∠A cos 30° 2 √3 AC √2 𝟐𝟐. sin ∠B = ; AC = AB sin ∠B = 5√2 · sin 45° = 5√2 · = 5 (см). AB 2 19.14 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AB, якщо BC = 6√3 см, ∠B = 30° 2. BC, якщо AB = 10√2 см, ∠A = 45° BC BC 6 √3 6 √3 · 2 √3 𝟏𝟏. cos ∠B = ; AB = = = 6√3 ∶ = = 12 (см); AB cos ∠B cos 30° 2 √3 BC √2 ; BC = AB sin ∠A = 10√2 · sin 45° = 10√2 · = 10 (см). 𝟐𝟐. sin ∠A = AB 2 19.15 Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут α, якщо: 1. sin α = 0,4226 2. cos α = 0,8192 3. tg α = 0,2679 4. sin α = 0,8231 5. cos α = 0,9373 6. tg α = 0,6924 1. sin α = 0,4226; α = 25°; 2. cos α = 0,8192; α = 35°; 3. tg α = 0,2679; α = 14°; 4. sin α = 0,8231; α = 55°24'; 5. cos α = 0,9373; α = 20°24'; 6. tg α = 0,6924; α = 34°42'. 19.16 Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут β, якщо: 1. cos β = 0,1908 2. sin β = 0,8387 3. tg β = 0,7265 4. cos β = 0,5493 5. sin β = 0,3518 6. tg β = 1,1792 1. cos β = 0,1908; β = 79°; 2. sin β = 0,8387; β = 57°; 3. tg β = 0,7265; β = 36°; 4. cos β = 0,5493; β = 56°39'; 5. sin β = 0,3518; β = 20°36'; 6. tg β = 1,1792; β = 49°42'. 19.17 У △ABC, ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра: 1. AB, якщо BC = 5 см, ∠A = 42°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. BC, якщо AB = 10 см, ∠B = 37° 3. BC, якщо AC = 4 см, ∠A = 82°

BC ; AB = BC ∶ sin ∠A = 5 ∶ sin 42° ≈ 5 ∶ 0,6691 ≈ 7,47 (см); AB BC 𝟐𝟐. cos ∠B = ; BC = AB cos ∠B = 10 · cos 37° ≈ 10 · 0,7986 ≈ 7,99 (см); AB BC ; BC = AC tg ∠A = 4 · tg 82° ≈ 4 · 7,1154 ≈ 28,46 (см). 𝟑𝟑. tg ∠A = AC 19.18 У △ABC, ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра: 1. AC, якщо AB = 8 см, ∠A = 15° 2. AB, якщо BC = 9 см, ∠A = 43° 3. BC, якщо AC = 5 см, ∠B = 29°

la. in.

𝟏𝟏. sin ∠A =

AC ; AC = AB cos ∠A = 8 cos 15° ≈ 8 · 0,9659 ≈ 7,73 (см); AB BC BC 9 9 𝟐𝟐. sin ∠A = ; AB = = ≈ ≈ 13,20 (см); AB sin ∠A sin 43° 0,6820 AC AC 5 5 𝟑𝟑. tg ∠B = ; BC = = ≈ ≈ 9,02 (см). BC tg ∠B tg 29° 0,5543 19.19 Побудуйте кут: 3 1. тангенс якого дорівнює ;

𝟏𝟏. cos ∠A =

2. синус якого дорівнює ; 7

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3. косинус якого дорівнює .

19.20 Побудуйте кут: 2 1. тангенс якого дорівнює ; 4

2. синус якого дорівнює ;

la. in.

3. косинус якого дорівнює . 3

19.21 Діагональ прямокутника утворює з його стороною, довжина якої a, кут β. Знайдіть периметр прямокутника.

З ΔBCD BC = BC cos β = a cos β; CD = BD sin β = a sin β. PABCD = 2(BC + CD) = 2(a cos β + a sin β) = 2a(cos β + sin β). Відповідь: 2a(cos β + sin β). 19.22 Одна сторона прямокутника дорівнює b. Його діагональ утворює з другою стороною кут α. Знайдіть площу прямокутника.

 shkola.in.ua

BC BC 𝑏𝑏 ; CD = = . CD tg 𝛼𝛼 tg 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑏𝑏² SABCD = BC · CD = 𝑏𝑏 · = . tg 𝛼𝛼 tg 𝛼𝛼 З ΔBCD tg ∠BDC =

Відповідь:

𝑏𝑏²

tg 𝛼𝛼

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

19.23 Кут ромба дорівнює 42°, а діагональ, що лежить проти нього, – 6 см. Знайдіть другу діагональ ромба (з точністю до сотих сантиметра).

У ромбі ABCD ∠A = 42°; BD = 6 см. За властивістю діагоналей ромба AC ⊥ BD, ∠BAO = ∠DAO = 42° : 2 = 21°, 1 1 BO = BD = · 6 = 3 (см). 2 2 BO 3 3 З ΔAOB AO = = ≈ ≈ 7,8145 (см). tg ∠BAO tg 21° 0,3839 AC = 2AO = 2 · 7,8145 = 15,63 (см). Відповідь: 15,63 см. 19.24 Сторона ромба дорівнює 8 см, а один з його кутів – 78°. Знайдіть (з точністю до сотих сантиметра) діагональ ромба, що виходить із цього кута.

В ромб ABCD ∠A = 78°, AB = BC = CD = AD = 8 см. За властивістю діагоналей ромба AC ⊥ BD, 1 ∠BAO = ∠DAO = 78° ∶ 2 = 39°, AO = AC. 2 З ΔAOB cos∠BAO = AO : AB;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AO = AB · cos∠BAO = 8 · cos39° ≈ 8 · 0,7771 ≈ 6,22 (см). AC = 2 · 6,22 = 12,44 (см). Відповідь: 12,44 см. 19.25 Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює c, а один з гострих кутів – α. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

la. in.

З ΔABC (∠C = 90°) BC = AB α cos ∠B = c cos α. З ΔCBD CD = BC sin α = c sin α cos α. Відповідь: c sin α cos α. 19.26 Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо один з його гострих кутів дорівнює β.

CK 𝑛𝑛 = . sin 𝛽𝛽 sin 𝛽𝛽 BC З ∆ABC cos 𝛽𝛽 = ; AB ℎ BC = . AB = sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 З ∆СKВ CB =

ℎ

Відповідь:

sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

19.27 Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета цього трикутника як 8 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

Якщо відношення гіпотенузи до катета дорівнює 8 : 5, то синус одного з гострих кутів дорівнює 5 sin ∠A = ≈ 0,625. 8 Тоді ∠A ≈ 39°. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 39° = 51°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 39°, 51°. 19.28 Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 9 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

la. in.

За умовою тангенс одного з гострих кутів дорівнює: 9 = 1,8. tg ∠A = 5 ∠A = 61°, ∠B = 90° − ∠A = 90° − 61° = 29°. Відповідь: 61°, 29°. 19.29 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть: а. AB і BC, якщо AC = 6 см, cos B = 0,8; б. AC і BC, якщо AB = 13 см, tg A =

𝐚𝐚. За умовою cos ∠B = 0,8 =

4 BC 4 , тобто = . 5 AB 5

Позначимо BC = 4x, AB = 5x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (5x)2 = 62 + (4x)2; 25x2 = 36 + 16x2; 25x2 − 16x2 = 36; 9x2 = 36; x2 = 4; x = 2. Отже, BC = 4 · 2 = 8 (см), AB = 5 · 2 = 10 (см). Відповідь: 8 см, 10 см. 5 BC 5 б. За умовою tg ∠A = , тобто = . 12 AC 12 Позначимо BC = 5x, AB = 12x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; 132 = (12x)2 + (5x)2; 169 = 144x2 + 25x2; 169x2 = 169; x2 = 1; x = 1. BC = 5 · 1 = 5 (см), AC = 12 · 1 = 12 (см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 5 см, 12 см. 19.30 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть: а. AB і BC, якщо AC = 4 см, sin A = 0,6; 8 б. AC і BC, якщо AB = 34 см, tg B = .

а. За умовою sin ∠A = 0,6 =

6 3 3 𝐵𝐵𝐵𝐵 = , тобто = . 10 AB 5 5

la. in.

BC = 3x, AB = 5x. Тоді AB2 = BC2 + AC2; (5x)2 = (3x)2 + 42; 25x2 − 9x2 = 16; 16x2 = 16; x2 = 1; x = 1. BC = 3 · 1 = 3 (см), AB = 5 · 1 = 5 (см). Відповідь: 5 см, 3 см. 8 𝐴𝐴𝐴𝐴 8 б. За умовою tg ∠B = , тобто = . 15 BC 15 Нехай AC = 8x, BC = 15x, тоді AB2 = BC2 + AC2; 342 = (15x)2 + (8x)2; 1156 = 225x2 + 64x2; 289x2 = 1156; x2 = 4; x = 2. AC = 8 · 2 = 16 (см), BC = 15 · 2 = 30 (см). Відповідь: 16 см, 30 см. 19.31 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 2а і 2b (а > b), а гострий кут – α. Знайдіть бічну сторону трапеції.

2𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 AD − BC = = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏. 2 2 AK cos ∠A = ; AB 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 AK = . AB = cos 𝛼𝛼 cos ∠A AK =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь:

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

cos 𝛼𝛼

З ΔABC BC =

19.32 На малюнку ∠ACB = ∠K = 90°, AC = b, ∠ABC = β, ∠BCK = γ. Знайдіть BC, CK, KB.

AC 𝑏𝑏 = . tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽

𝑏𝑏 sin 𝛾𝛾 𝑏𝑏 · sin 𝛾𝛾 = ; tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽 𝑏𝑏 𝑏𝑏 c𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛾𝛾 CK = BC cos 𝛾𝛾 = · cos 𝛾𝛾 = . tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽 Відповідь:

𝑏𝑏

tg 𝛽𝛽

la. in.

З ΔBCK BK = BC sin 𝛾𝛾 =

𝑏𝑏 sin 𝛾𝛾 𝑏𝑏 c𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛾𝛾 tg 𝛽𝛽

tg 𝛽𝛽

19.33 На малюнку ∠ACB = ∠K = 90°, BK = a, ∠ABC = β, ∠BCK = α. Знайдіть BC, AC, AB.

𝑎𝑎 BK = . sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 ; З ΔABC AC = BC tg 𝛽𝛽 = sin 𝛼𝛼 𝑎𝑎 BC = . AB = sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

З ΔBCK BC =

Відповідь:

𝑎𝑎

𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽

𝑎𝑎

sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽

19.34 Сторони прямокутника дорівнюють 19 см і 50 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника (з точністю до хвилин).

З ΔACD tg ∠ACD =

50 AD = ≈ 2,632. 19 CD

∠ACD ≈ = 69°12'. ΔCOD — рівнобедрений (CO = DO), тоді ∠ODC = ∠ACD = 69°12'. ∠COD = 180° − 2 ∙ 69°12' = 180° − 138°24' = 41°36'. Відповідь: 41°36'.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

19.35 Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 12 см. Знайдіть кути ромба (з точністю до хвилини).

la. in.

ABCD — ромб, AC = 12 см, BD = 10 см. 1 1 AO = AC = ∙ 12 = 6 (см); 2 2 1 1 BO = BD = ∙ 10 = 5 (см). 2 2 У ΔAOB ∠O = 90° (за властивістю діагоналей). 1 ∠BAO = ∠A. 2 5 BO = ≈ 0,8333. tg ∠BAO = 6 AO ∠BAO ≈ = 39°48'. ∠A = 2∠BAO = 2 ∙ 39°48' = 79°36'. ∠C = ∠A = 79°36'. ∠B = ∠D = 180° − 79°36' = 100°24'. Відповідь: 79°36', 100°24'. 19.36 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює m, а кут при основі – α. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

Центр O кола, вписаного в ΔABC, лежить у точці перетину бісектрис кутів. AO — бісектриса кута A, BD — бісектриса, висота і медіана, проведена з вершини B. З ΔABD AD = AB cos α = m cos α. 𝛼𝛼 З ΔAOD ∠OAD = , OD — радіус вписаного кола. 2

𝛼𝛼

OD = AD · tg ∠OAD = m cos α · tg . 𝛼𝛼

Відповідь: m cos α · tg . 2

19.37 Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює β, а радіус вписаного кола – r. Знайдіть бічну сторону трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ΔABC — рівнобедрений, ∠A = ∠C = β. Центр O вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис. Бісектриса BD є висотою і медіаною. OD = r — радіус вписаного кола. OD , З ΔAOD tg ∠OAD = AD OD 𝑟𝑟 AD = = . 𝛽𝛽 tg ∠OAD tg 2 AD 𝑟𝑟 З ΔABD AB = = . 𝛽𝛽 cos ∠A tg cos 𝛽𝛽 2 𝑟𝑟 . Відповідь: 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

la. in.

19.38 Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 20 см.

ABCD — паралелограм. ∠A = ∠C = 45°. ∠CBD : ∠ABD = 1 : 2. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°. Позначимо ∠CBD = x, ∠ABD = 2x. x + 2x = 135°; 3x = 135°; x = 45°. Отже, ∠CBD = 45°, ∠ABD = 45° ∙ 2 = 90°. У ΔABD ∠BDA = ∠BAD = 45°, тоді AB = BD; AB 1 AD = = AB ∶ = √2AB. cos 45° √2 PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + √2AB) = 2AB(1 + √2). За умовою 2AB(1 + √2) = 20; 2AB(1 + √2) = 20; AB(1 + √2) = 10; 10 10(√2 – 1) 10(√2 – 1) AB = = = = 10(√2 – 1) (см). 1 + √2 (1 + √2)( √2 − 1) (√2)² − 1 BD = AB = 10(√2 − 1) (см). Відповідь: 10(√2 − 1) см. 19.39 Гострий кут паралелограма дорівнює 60°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 3. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 24 см.

ABCD — паралелограм, ∠A = ∠C = 60°, BD — діагональ.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠CBD : ∠ABD = 1 : 3. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°. ∠CBD = x, ∠ABD = 3x. x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30. Отже, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 3 · 30° = 90°. У ΔABD ∠ADB = 90° − 60° = 30°. 1 Тоді AB = AD, як катет, що лежить проти кута 30°. 2

la. in.

PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + 2AB) = 6AB. За умовою 6AB = 24 см; AB = 4 см. З ΔABD BD = AB · tg ∠A = 4 · tg 60° = 4√3 (см). Відповідь: 4√3 см. 19.40 У трикутнику одна зі сторін дорівнює 10 см, а прилеглі до неї кути – 135° і 30°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до даної сторони.

Тоді ΔABD — рівнобедрений: BD = AD. Нехай AD = x см, тоді CD = (x + 10) см.

ЗΔBCDBD = CD · tg∠C = (𝑥𝑥 + 10) · tg30° =

√3 (𝑥𝑥 + 10)(см). 3

З ΔABD BD = AD · tg ∠A = x tg 45° = x (см). √3 (𝑥𝑥 + 10) = 𝑥𝑥; 3 10√3 √3 𝑥𝑥 + = 𝑥𝑥; 3 3 10√3 √3 ; �1 − � 𝑥𝑥 = 3 3 10√3 �3 − √3�𝑥𝑥 = ; 3 3 (3 − √3)x = 10√3; 10√3 10√3 10�√3 + 1� 10�√3 + 1� x= = = = = 5�√3 + 1�(см). 3 − 1 3 − √3 √3�√3 − 1� �√3 − 1��√3 + 1� Відповідь: 5(√3 + 1) см. 19.41 У трикутнику одна зі сторін дорівнює 8 см, а прилеглі до неї кути – 60° і 45°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У ΔABC ∠A = 60°, ∠C = 45°, BD ⊥ AC, AC = 8 см. У ΔBDC ∠CBD = 90° − ∠C = 90° − 45° = 45°, тоді BD = CD. Нехай CD = x см, тоді AD = (8 − x) см. З ΔABD BD = AD tg ∠A = (8 − x) tg 60° = (8 − x)√3 (см). З ΔBCD BD = CD = x см. Отже, (8 − x)√3 = x. 8√3 − √3x = x; x + √3x = 8√3; x(1 + √3) = 8√3; 8 √3 8√3 (√3 − 1) 8√3 (√3 − 1) 𝑥𝑥 = = = = 4√3 (√3 − 1). 3 − 1 (1 + √3)(√3 − 1) 1 + √3

Отже, BD = 4√3 (√3 − 1) см. Відповідь: 4√3 (√3 − 1) см. 19.42 Похила, проведена з точки до прямої, у два рази більша за перпендикуляр, який сполучає цю точку з прямою. Знайдіть кут між похилою і перпендикуляром.

PS — похила, PK ⊥ a. ΔPKS — прямокутний. 1 За умовою PK = PS, тоді ∠S = 30°. 2

Відповідь: 30°. 19.43 Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція на гіпотенузу – 7,2 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC ∠C = 90°, AC = 12 см. Проведемо CD ⊥ AB. Тоді AD = 7,2 см — проекція катета AC на гіпотенузу AB. За властивістю катета: AC2 = AD · AB;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AB = AC2 : AD = 122 : 7,2 = 20 (см). З ΔABC BC = �AB² − AC² = �20² − 12² = √400 − 144 = √256 = 16 (см). PΔABC = 12 + 20 + 16 = 48 (см). Відповідь: 48 см. 19.44 Побудуйте ромб за висотою і меншою діагоналлю.

План побудови. 1. Накреслити пряму m і через її довільну точку K провести перпендикулярну пряму n. 2. На прямій n відкласти відрізок KA = h. 3. Побудувати коло з центром A радіусом d1. Точка перетину кола з прямою m — C. 4. Поділити відрізок AC навпіл (точка O). 5. Через точку O провести пряму, перпендикулярну AC. D — точка перетину цієї прямої з прямою m. 6. Відкласти OB = OD. 7. ABCD — шуканий ромб. 19.45 Кут 3° розглядають крізь збільшувальне скло, яке збільшує в п’ять разів. Яка градусна міра кута? Збільшувальне скло збільшує лінійні розміри, але градусна міра кута не залежить від розмірів фігури. Тобто при будь-якому збільшенні або зменшенні фігури кут залишається таким самим. Отже, градусна міра кута не зміниться. Відповідь: 3°. 19.46 (Задача Архімеда). Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це.

Нехай a, b, c, d — дані відрізки хорд AB і CD.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай AC = x, BD = y. Тоді за теоремою Піфагора для ΔAED: x2 = a2 + c2. (1) Для ΔBEC: y2 = b2 + d2. (2) Проведемо AK || CD. Тоді BK = 2R — діаметр (оскільки AK || CD, а AB ⊥ CD, то AB ⊥ AK). ACKD — рівнобічна трапеція, оскільки в коло можна вписати лише рівнобічну трапецію і AK = KD = x. ∠BDK = 90° (спирається на діаметр). За теоремою Піфагора для ΔBDK: BD2 + KD2 = BK2; x2 + y2 = (2R)2; a2 + c2 + b2 + d2 = 4R2, тобто AE2 + BE2 + CE2 + DE2 = 4R2.

§ 20. Розв’язування прямокутних трикутників 20.1 За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3 і 4) знайдіть із точністю до сотих. 1. AB = 6 см; ∠A = 30°; 2. AB = 10 дм; ∠B = 45°; 3. AB = 12 см; ∠A = 18°; 4. AB = 15 дм; ∠B = 73°.

1. ∠B = 90° − ∠A, ∠B = 90° − 30° = 60°; 1 BC = AB sin ∠A = 6 · = 3 (см); 2

√3 = 3√3 (см). 2

AC = AB cos ∠A = 6 · cos 60° = 6 ·

Відповідь: 60°, 3 см, 3√3 см. 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.

√2 = 5√2 (дм). 2

AC = AB sin ∠B = 10 · sin 45° = 10

BC = AC = 5√2 (дм). Відповідь: 45°, 5√2 дм, 5√2 дм. 3. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 18° = 72°. BC = AB sin ∠A = 12 · sin 18° ≈ 12 · 0,309 ≈ 3,71 (см). AC = AB cos ∠A = 12 · cos 18° ≈ 12 · 0,9511 ≈ 11,41 (см). Відповідь: 72°, 3,71 см, 11,41 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 73° = 17°. AC = AB sin ∠B = 15 · sin 73° ≈ 15 · 0,9613 ≈ 14,34 (дм); BC = AB cos 73° ≈ = 15 · 0,2924 ≈ 4,35 (дм). Відповідь: 17°, 14,34 дм, 4,35 дм. 20.2 За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3 і 4) знайдіть із точністю до сотих. 1. AB = 14 дм; ∠A = 45°; 2. AB = 6 см; ∠B = 60°; 3. AB = 3 дм; ∠A = 82°; 4. AB = 8 см; ∠B = 25°.

1. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 45° = 45°.

BC = AB sin ∠A = 14 · sin 45° = 14 ·

AC = AB cos ∠A = BC = 7√2 (дм). Відповідь: 45°, 7√2 дм, 7√2 дм. 2. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°. 1 1 BC = AB = · 6= 3 (см). 2

AC = AB sin ∠B = 6 sin 60° = 6 ·

√2 = 7√2 (дм); 2

√3 = 3√3 (см). 2

Відповідь: 30°, 3 см, 3√3 см. 3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 82° = 8°. BC = AB sin ∠A = 3 sin 82° = 3 · 0,9903 ≈ 2,97 (дм); AC = AB cos ∠A = 3 cos 82° = 3 · 0,1392 ≈ 0,417 (дм). Відповідь: 8°, 2,97 дм, 0,417 дм. 4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 25° = 65°. AC = AB sin ∠B = 8 sin 25° ≈ 8 · 0,4226 ≈ 3,38 (см); BC = AB cos ∠B = 8 cos 25° ≈ 8 · 0,9063 ≈ 7,25 (см). Відповідь: 65°, 3,38 см, 7,25 см. 20.3 За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2 і 3) знайдіть із точністю до сотих. 1. AC = 6 см; ∠B = 30°; 2. AC = 12 см; ∠A = 24°; 3. BC = 8 дм; ∠A = 42°; 4. BC = 5 см; ∠B = 45°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 30° = 60°. BC =

AB =

tg ∠B AC

sin ∠B

tg 30° 6

=6:

sin 30°

= 6√3 (см);

√3 1

= 6 : = 12 (см). 2

AB =

cos ∠A

la. in.

Відповідь: 60°, 6√3 см, 12 см. 2. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 24° = 66°. BC = AC tg ∠A = 12 · tg 24° ≈ 12 · 0,4452 ≈ 5,34 (см); cos 24°

≈

0,9135

≈ 13,14 (см).

Відповідь: 66°, 5,34 см, 13,14 см. 3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 42° = 48°. AC =

AB =

tg ∠A BC

sin ∠A

tg 42° 8

≈

sin 42°

0,9004 8

≈

≈ 8,88 (дм);

0,6691

≈ 1,96 (дм).

Відповідь: 48°, 6,66 дм, 8,97 дм. 4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 45° = 45°. AC = BC = 5 см. BC 1 BC = = 5∶ = 5√2 (см). AB = cos 45° cos ∠B √2 Відповідь: 45°, 5 см, 5√2 см. 20.4 За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2 і 3) знайдіть із точністю до сотих. 1. AC = 10 см; ∠A = 60°; 2. AC = 8 дм; ∠B = 12°; 3. BC = 6 см; ∠B = 71°; 4. BC = 12 дм; ∠A = 45°.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°. AB = 2AC = 2 · 10 = 20 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC = AC tg ∠A = 10 tg 60° ≈ 10 · 1,732 ≈ 17,32 (см). Відповідь: 30°, 20 см, 17,32 см. 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 12° = 78°. AB =

tg ∠B AC

sin ∠B

tg 12° 8

≈

sin 12°

0,2126 8

≈

≈ 37,63 (дм).

0,2079

≈ 38,48 (дм).

BC =

Відповідь: 78°, 37,63 дм, 38,48 дм. 3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 71° = 19°. AC = BC tg ∠B = 6 · tg 71° ≈ 6 · 2,904 ≈ 17,42 (см). AB = BC : cos ∠B =

cos 71°

≈

0,3256

≈ 18,43 (см).

AB =

sin ∠A

= 12 :

la. in.

Відповідь: 19°, 17,42 см, 18,43 см. 4. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°. AC = BC = 12 дм. √2 = 12√2 (дм). 2

Відповідь: 45°, 12 дм, 12√2 дм. 20.5 Діагональ прямокутника дорівнює 6 см й утворює кут 25° з однією з його сторін. Знайдіть кут, що утворює діагональ прямокутника з другою стороною, та сторони прямокутника (з точністю до сотих см).

З ΔBCD ∠BDC = 90° – ∠CBD = 90° – 25° = 65°. BC = BD cos ∠CBD = 6 cos 25° ≈ 6 · 0,9063 ≈ 5,44 (см). CD = BD sin ∠CBD = 6 sin 25° ≈ 6 · 0,4226 ≈ 2,54 (см). Відповідь: 65°, 5,44 см, 2,54 см. 20.6 З точки, що розміщена на відстані 6 см від прямої, проведено похилу, яка утворює з прямою кут 52°. Знайдіть кут, який утворює похила з перпендикуляром, проведеним із тієї самої точки, довжину перпендикуляра та проєкцію похилої (з точністю до сотих см).

∠A = 90° – ∠B = 90° – 52° = 38°. 6 6 C = ≈ ≈ 4,69 (см). BC = tg 52° 1,2799 tg ∠B AC 6 6 AB = = ≈ ≈ 7,61 (см). sin ∠B sin 52° 0,7880 Відповідь: 38°, 4,69 см, 7,61 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

20.7 Знайдіть висоту дерева AC, якщо BC = 40 м, а ∠B = 27°.

la. in.

AC = BC · tg ∠B = 40 · tg 27° ≈ 40 · 0,5095 ≈ 20,38 (cм). Відповідь: 20,38 cм. 20.8 Якщо висота сонця над горизонтом 28°, то тінь від башти дорівнює 60 м. Знайдіть висоту башти (з точністю до десятих м).

AB ; BC AB = BC · tg 28° = 60 · 0,5317 = 31,9 (м). 20.9 Телеграфний стовп заввишки 10 м розміщено на березі річки. Верхній кінець стовпа видно з іншого берега під кутом 20° до горизонту. Знайдіть ширину річки (з точністю до десятих м). tg C =

CB AC CB = 10 ∶ 0,364 = 27,5 (м) – ширина річки. AC = tg A Відповідь: ширина річки 27,5 м. 20.10 За малюнком знайдіть відстань від об’єкта B до недоступного об’єкта A, якщо ∠C = 90°, BC = 80 м, ∠B = 57°.

tg A =

80 80 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ≈ ≈ 146,90 (м). cos 57° 0,5446 cos ∠B Відповідь: 146,90 м. 20.11 За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі AB =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

кути з точністю до хвилини: 1. AC = 4 см; BC = 4√3 см; 2. AC = 8 дм; BC = 15 дм; 3. AC = 3 см; BC = 9 см; 4. AC = 7m дм; BC = 24m дм.

tg ∠A =

𝐵𝐵𝐵𝐵

tg ∠A =

𝐵𝐵𝐵𝐵

A𝐶𝐶

la. in.

1. AB = �AC² + BC² = �(4² + (4√3)² = √16 + 48 = √64 = 8 (см). 4√3 = √3; 4

∠A = 60°. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°. Відповідь: 8 см, 60°, 30°. 2. AB = �AC² + BC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (дм). A𝐶𝐶

15 8

= 1,875; ∠A = 61°56'.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 61°56' = 28°4'. Відповідь: 17 дм, 61°56', 28°4'. 3. AB = �AC² + BC² = �3² + 9² = √9 + 81 = √90 = 3√10 (см). BC 9 tg ∠A = = = 3; ∠A = 71°34′. AC 3 ∠B = 90° – 71°34' = 18°26'. Відповідь: 3√10 см, 71°34', 18°26'. 4. AB = �AC² + BC² = �7𝑚𝑚² + 24𝑚𝑚² = �49𝑚𝑚² + 576𝑚𝑚² = �625𝑚𝑚² = 25m (дм).

tg ∠A =

𝐵𝐵𝐵𝐵

A𝐶𝐶

24𝑚𝑚 7𝑚𝑚

= 3,429; ∠A = 73°44'. ∠B = 16°16'.

Відповідь: 25m дм, 73°44', 16°16'. 20.12 За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AC = 2√3 см; BC = 2 см; 2. AC = 8 см; BC = 6 см; 3. AC = 2 дм; BC = 5 дм; 4. AC = 9k дм; BC = 40k дм.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. AB = �AC² + BC² = �(2√3)² + 2² = √12 + 4 = √16 = 4 (см).

𝐵𝐵𝐵𝐵 2 1 = = ; ∠A = 30°. A𝐶𝐶 2 √3 √3 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 30° = 60°. Відповідь: 4 см, 30°, 60°. 2. AB = �AC² + BC² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). 6 3 BC = = = 0,75; ∠A = 36°52′. tg ∠A = 8 4 AC ∠B = 90° – ∠A = 90° – 36°52' = 53°8'. Відповідь: 10 см, 36°52', 53°8'. 3. AB = �AC² + BC² = �2² + 5² = √4 + 25 = √29 дм ≈ 5,39 (дм). 5 BC = = 2,5; ∠A = 68°12′. tg ∠A = 2 AC ∠B = 90° – ∠A = 90° – 68°12' = 21°48'. Відповідь: 5,39 дм, 68°12', 21°48'. 4. AB = �AC² + BC² = �(9𝑘𝑘)² + (40𝑘𝑘)² = �81𝑘𝑘² + 1600𝑘𝑘² = �1681𝑘𝑘² = 41k (дм). 40𝑘𝑘 BC = = 4,444; tg ∠A = 9𝑘𝑘 AC ∠A = 77°19'. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 77°19' = 12°41'. Відповідь: 41k дм, 77°19', 12°41'. 20.13 За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AB = 6 см; AC = 3√3 см; 2. AB = 65 дм; AC = 16 дм; 3. AB = 7 см; AC = 4 см; 4. AB = 13a см; AC = 5a см.

la. in.

tg ∠A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. BC = �AB² – AC² = �6² – (3√3)² = √36 – 27 = √9 = 3 (см).

3 √3 AC = ; ∠B = 60°. AB 2 ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°. Відповідь: 3 см, 60°, 30°. 2. AC = �AB² – AC² = �65² – 16² = �(65 – 16)(65 + 16) = √49 · 81 = 7 · 9 = 63 (дм). BC 16 sin ∠A = = ≈ 0,2462; ∠A ≈ 14°15′. AB 65 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 14°15' = 75°45'. Відповідь: 63 дм, 14°15', 75°45'. 3. BC = �AB² – AC² = �7² – 4² = √49 – 16 = √33 ≈ 5,74 (дм). 𝐴𝐴𝐴𝐴

A𝐵𝐵

= ≈ 0,5714; ∠B ≈ 34°51'. 7

la. in.

sin ∠B =

∠A = 90° – ∠B = 90° – 34°51' = 55°9'. Відповідь: 5,74 дм, 34°51', 55°9'. 4. AC = �AB² – AC² = �(13𝑎𝑎)² – (5𝑎𝑎)² = �169𝑎𝑎² – 25𝑎𝑎² = �144𝑎𝑎² = 12a (см). 5𝑎𝑎 BC = ≈ 0,3846; ∠A ≈ 22°37′. sin ∠A = 13𝑎𝑎 AB ∠B = 90° – ∠A = 90° – 22°37' = 67°23'. Відповідь: 12a см, 22°37', 67°23'. 20.14 За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AB = 8 см; AC = 4√2 см 2. AB = 37 дм; BC = 12 дм 3. AB = 10 см; AC = 7 см 4. AB = 61b дм; BC = 60b дм

1. BC = �AB² – AC² = �8² – (4√2)² = √64 – 32 = √32 = 4√2 (см).

4√2 AC √2 = = . AB 8 2 ∠B = 45°; ∠A = 45°. Відповідь: 4√2 см, 45°, 45°. 2. AC = �AB² – AC² = �37² – 12²() = �(37 – 12)(37 + 12) = √25 · 49 = 5 · 7 = 35 (дм). BC 12 sin ∠A = = ≈ 0,3243; ∠A ≈ 18°55′. AB 37

sin ∠B =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠B = 90° – ∠A = 90° – 18°55' = 71°5'. Відповідь: 35 дм, 18°55', 71°5'. 3. BC = �AB² – AC² = �10² – 7² = √100 – 49 = √51 ≈ 7,14 (см). AC 7 sin ∠B = = = 0,7; ∠B ≈ 44°26′. AB 10 ∠A = 90° – ∠B = 90° – 44°26' = 45°34'. Відповідь: 7,14 см, 44°26', 45°34'. 4. AC = �AB² – AC² = �(61𝑏𝑏)² – (60𝑏𝑏)² = �(61𝑏𝑏 – 60𝑏𝑏)(61𝑏𝑏 + 60𝑏𝑏) =

la. in.

= √𝑏𝑏 · 121𝑏𝑏 = 11b (дм). BC 60𝑏𝑏 = ≈ 0,9836; ∠A ≈ 79°37′. sin ∠A = AB 61𝑏𝑏 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 79°37' = 10°23'. Відповідь: 11b дм, 79°37', 10°23'. 20.15 Тінь від антени мобільного зв’язку, висота якої 5 м, дорівнює 2,6 м. Знайдіть з точністю до хвилин її висоту сонця над горизонтом (кут α).

tg α = 5 : 2,6 ≈ 1,923. α ≈ 62°32′. Відповідь: 62°32′. 20.16 Знайдіть укiс дороги (значення тангенса кута α) за малюнком. Знайдіть мiру кута α.

AC 10 = = 0,02. BC 500 α = 1°9′. Відповідь: 1°9′. 20.17 Переріз залізничного насипу має форму рівнобічної трапеції. Нижня основа трапеції дорівнює 10 м, висота насипу – 2 м, а його укiс – 35°. Знайдіть ширину верхньої частини насипу (верхню основу трапеції).

tg 𝛼𝛼 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

BK ; AK BK 2 2 AK = = ≈ = 2,856 (м). tg ∠A tg 35° 0,7002 BC = AD – 2AK = 10 – 2 · 2,856 = 4,29 (м). Відповідь: ≈ 4,29 м. 20.18 На горі розміщена башта, висота якої l м. За деяким об’єктом A, що розміщений бiля пiднiжжя гори, спостерігають спочатку з вершиною M башти під кутом 60° до горизонту, а потім вiд основи башти N пiд кутом 30°. Знайдіть висоту x гори.

З ∆ABK tg ∠A =

a ∥ b ∥ c. Тоді ∠MAP = 60° (внутрішні різносторонні). ∠KNA = ∠NAP = 30° (внутрішні різносторонні); ∠NAK = ∠KAP – ∠NAP = 60° – 30° = 30°. Тоді ∆NKA – рівнобедрений, NK = KA. З ∆MNK: ∠NMK = 90° – 60° = 30°. 𝑙𝑙 √3 MN = 𝑙𝑙, NK = MN tg 30° = ; 2 MN 2𝑙𝑙 2√3𝑙𝑙 MK = = = . cos 30° 3 √3 2√3𝑙𝑙 ; Тоді AK = 3 2√3𝑙𝑙 3√3𝑙𝑙 √3𝑙𝑙 + = = √3𝑙𝑙. AM = MK + AK = 3 3 3 3 √3 З ∆AMP MP = AM cos 30° = √3 · 𝑙𝑙 · = 𝑙𝑙. 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

NP = MP – MN = 1

Відповідь: l. 2

3 1 𝑙𝑙 – 𝑙𝑙 = 𝑙𝑙. 2 2

20.19 Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 30 см. Знайдіть периметр ромба.

la. in.

BD = 16 см, AC = 30 см. BD ⊥ AC, 1 1 BO = BD = · 16 = 8(см); 2 2 1 1 AO = AC = · 30 = 15(см)(властивостідіагоналейромба). 2 2 З ∆AOB AB = �AO² + BO² = �15² + 8² = √225 + 64 = √289 = 17 (см). Відповідь: 17 см. 3 20.20 У ∆ABC ∠C = 90°, BC = 12 см, sin B = . Знайдіть периметр трикутника. 5

AC 3 = . AB 5 Нехай AC = 3x, AB = 5x. Тоді за теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2; (5x)2 = (3x)2 + 122; 25x2 = 9x2 + 144; 16x2 = 144; x2 = 9; x = 3. Отже, AC = 3 · 3 = 9 (см), AB = 5 · 3 = 15 (см). P∆ABC = 12 + 9 + 15 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 20.21 Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, які дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть найменшу сторону трикутника.

sin ∠B =

За властивістю бісектриси кута трикутника  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AD 30 3 = = . DB 40 4 Нехай AC = 3x см, а CB = 4x см. За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2; (30 + 40)2 = (3x)2 + (4x)2; 4900 = 9x2 + 16x2; 4900 = 25x2; x2 = 196; x = 14. AC = 3 · 14 = 42 (см). Відповідь: 42 см. 20.22 За санітарними нормами на кожного учня в класі повинно припадати не менше ніж 4,5 м3 повітря. Яку найбільшу кількість учнів можна розмістити в кабінеті іноземної мови, якщо висота стін 6 м, ширина менша від довжини в 1,5 раза, а висота складає 80 % від ширини? Враховуючи, що об’єм меблів займає 10 % від об’єму кабінету. 1. 6 : 1,5 = 4 (м) – ширина; 2. 6 · 0,8 = 3,2 (м) – висота; 3. 6 · 4 · 3,2 = 76,8 (м3) – об’єм кабінету; 4. 76,8 : 10 · 9 = 7,68 · 9 = 69,12 (м3) – об’єм повітря в кабінеті; 5. 69,12 : 4,5 = 15,36 ≈ 15 (уч.) – найбільша кількість. Відповідь: у кабінеті іноземної мови можна розмістити найбільше 15 учнів. 20.23 Аркуш паперу склали вчетверо так, що отримали прямокутник зі сторонами вдвічі меншими, ніж сторони аркуша. Потім отриманий прямокутник прокололи у двох місцях, аркуш розгорнули й через кожні дві отримані точки (проколу) провели пряму. Яку найменшу і яку найбільшу кількість прямих при цьому можна отримати?

la. in.

AC ∶ CB =

1. Найменшу кількість прямих отримаємо, якщо проколи зробити так, що вони лежать на прямій, паралельній стороні прямокутника. В цьому випадку після розгортання ми отримаємо 8 точок, розміщених у два ряди. З'єднавши кожну точку першого ряду з кожною точкою другого ряду, отримаємо 4 · 4 = 16 прямих. І ще дві прямі проходять через кожну з четвірок точок. Відповідь: 18 прямих.  shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. Якщо проколи не лежать на прямій, паралельній стороні многокутника, то на розгорнутому аркуші проколи утворюють опуклий восьмикутник. Кожна з 8 точок утворює пару, через яку проведено пряму, з кожною з решти семи точок. Всього 7 · 8 = 56 пар. Оскільки порядок в парі не суттєвий, то пари, наприклад, 1–а і 3–я та 3–я і 1–а точки — це та сама пара. Таким чином, найбільша можлива кількість прямих 56 : 2 = 28. Відповідь: 28.

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА № 4 (§§ 17–20) 1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 7 см і 24 см. c = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). Відповідь: B. 25 см. 2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а один з його катетів – 12 см. Знайдіть другий катет трикутника. a = �15² − 12² = �(15 − 12)(15 + 12) = √3 ⋅ 27 = √81 = 9 (см). Відповідь: Б. 9 см. 3. На малюнку зображено прямокутний трикутник ABC. Знайдіть sin B.

12 AC = . 13 AB 12 Відповідь: A. . sin B =

4. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть сторону ромба.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

16 AC = = 8 (см). 2 2 BD 12 𝟐𝟐. BD = 12 см; OD = = = 6 (см). 2 2 3. У △AOD (∠O = 90°): AD = �AO² + OD² = �8² + 6² =10 (см). Відповідь: Б. 10 см. 5. Точка розміщена на відстані 8 см від прямої. З неї до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з перпендикуляром кут 60°. Знайдіть довжину похилої.

la. in.

𝟏𝟏. AC = 16 см; AO =

1. ∠ABC = 90° − 60° = 30°. 2. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо: AB = 2 ⋅ AC = 2 ⋅ 8 = 16 (см). Відповідь: Г. 16 см. 6. AB – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, AC = 8 см, ∠A = 50°. Знайдіть AB з точністю до десятих.

AC ; AB AC 8 AB = = ≈ 12,4(см). cos A cos 50° Відповідь: В. 12,4 см.

cos A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7. Знайдіть х за малюнком.

1. У △ADC: AC = �10² − 6² = 8 (см).

2. У △ACB: BC = �(√233)² – 8² = √233 – 64 = √169 = 13 (см).

la. in.

3. x = 13 – 6 = 7 (см). Відповідь: Б. 7 см. 8. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 1 см. Знайдіть довжину меншої похилої, якщо проекції похилих дорівнюють 4 см і 7 см.

1. BD = 4 см; DC = 7 см. BD < DC, тому AB < AC. 2. Позначимо AB = x см, тоді AC = x + 1 (см). 3. Маємо у △ABD: AD2 = x2 – 42; а у △ADC: AD2 = (x + 1)2 − 72. 4. Тоді x2 – 16 = x2 + 2x + 1 – 49; 2x = 32; x = 16. Відповідь: Б. 16 см. 9. У ∆ABC ∠C = 90°, AB = 20 см, tgA = 0,75. Знайдіть PABC.

BC BC 3 ; = 0,75 = . AC AC 4 2. Позначимо BC = 3x см; AC = 4x см. 3. Тоді AB2 = BC2 + AC2; 202 = (3x)2 + (4x)2; 400 = 25x2; x2 = 16; x = 4 (см). 4. BC = 3 ⋅ 4 = 12 (см); AC = 4 ⋅ 4 = 16 (см). 𝟏𝟏. tg A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. PABC = 12 + 16 + 20 = 48 (см). Відповідь: Г. 48 см. 10. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 10 см і 26 см. Знайдіть гіпотенузу.

CK AC = . KB AB 2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 10 см; KB = 26 см. AC 10 5 𝟑𝟑. Маємо = = . AB 26 13 Можна позначити AC = 5x см; AB = 13x см. 4. AB2 = AC2 + CB2; (13x)2 = (5x)2 + 362; 144x2 = 362; x2 = 9; x = 3 (см). 5. AB = 13 ⋅ 3 = 39 (см). Відповідь: Б. 39 см. 11. Сторони трикутника – 5 см, 29 см і 30 см. Знайдіть проекцію меншої сторони трикутника на його більшу сторону.

la. in.

𝟏𝟏. AK — бісектриса, тому

1. BK — висота трикутника. Позначимо AK = x см, тоді KC = 30 − x (см). 2. У △ABK: BK2 = 52 − x2, а у △BKC: BK2 = 292 − (30 − x)2. 3. Маємо 25 − x2 = 841 − (900 − 60x + x2); 60x = 84; x = 1,4 (см). Відповідь: А. 1,4 см. 12. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5 10 = ; ∠DAC ≈ 59°2′. 3 6 2. △AOD — рівнобедрений, AO = OD. Тоді ∠AOD = 180° − 2 ⋅ ∠DAC ≈ 62°. Відповідь: В. 62°. 13. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 16 см і утворює кут 30° із прямою. Проекція іншої похилої дорівнює 6 см. Установіть відповідність між відрізками (1−3) та їхніми довжинами (А−Г). Відрізок 1. Проекція першої похилої на пряму 2. Перпендикуляр до прямої 3. Друга похила Довжина A. 6 см; Б. 8 см; B. 8√3 см; Г. 10 см

la. in.

𝟏𝟏. У △ ACD: tg ∠DAC =

1. DB = AB ∙ cos30° = 16 ∙

√3 = 8√3 (см) — В 2

2. AD = AB ∙ sin30° = 16 ∙ 0,5 = 8 (см) — Б 3. AC = √𝐴𝐴𝐴𝐴2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶2 = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10 (см) — Г Відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — Г.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 17–20 1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 10 см і 24 см. c = �10² + 24² = √100 + 576 = √676 = 26 (см). 2. За малюнком назвіть: 1. перпендикуляр, проведений з точки A до прямої m; 2. похилу, проведену з точки A до прямої m; 3. проекцію цієї похилої.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

1. AT; 2. AF; 3. TN. 3. За малюнком знайдіть:

3 ; 5 3 𝟐𝟐. cos B = ; 5 3 𝟑𝟑. tg A = ; 4 4 𝟒𝟒. sin B = . 5 4. Сторона ромба дорівнює 25 см, а одна з його діагоналей – 14 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

𝟏𝟏. sin A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1. AD = 25 см; BD =14 см. 2. OD =

BD 2

14 2

= 7 (см).

la. in.

3. У △AOD (∠O = 90°): AO = �AD² − OD² = �25² − 7² = 24 (см). 4. AC = 2 ⋅ AO = 2 ⋅ 24 = 48 (см). Відповідь: 48 см. 5. Точка міститься на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та довжину проекції похилої на пряму.

1. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо AB = 2 ⋅ AC = 2 ⋅ 6 = 12 (см). 2. У △ABC: BC = �AB² − BC² = �12² − 6² = 6√3 (см). 6. AB = 16 см – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, ∠A = 35°. Розв’яжіть цей прямокутний трикутник. (Сторони трикутника знайдіть із точністю до сотих сантиметра.)

1. ∠B = 90° − 35° = 55°. 2. BC = AB sin A = 16 sin 35° ≈ 9,18 (см). 3. AC = AB cos A = 16 cos 35° ≈ 13,11 (см). Відповідь: ∠B = 55°; BC ≈ 9,18 см; AC ≈ 13,11 см. 7. У △ABC ∠A – тупий, BC = 20 см, AB = 15 см, BK = 12 см – висота трикутника. Знайдіть AC.

1. У △ABK: AK = �AB² − BK² = �15² − 12² = 9 (см). 2. У △ABC: KC=�BC² − BK² = �20² − 12² = 16 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3. AC = KC – KA = 16 – 9 = 7 (см). Відповідь: 7 см.

. Знайдіть PABC.

8. У ∆ABC ∠C = 90°, AC = 24 см, sin A =

la. in.

5 BC BC ; = . 13 AB AB Можна позначити BC = 5x см; AB = 13x см. 2. AB2 = AC2 + BC2; (13x)2 = 242 + (5x)2; 144x2 = 242; x2 = 4; x = 2. 3. BC = 5 ⋅ 2 = 10 (см); AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см). 4. P = 24 + 10 + 26 = 60 (см). Відповідь: 60 см. 9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см. Знайдіть сторони трикутника. 𝟏𝟏. sin A =

1. AK − бісектриса △ABC. AC CK Тому = . AB KB 2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 6 см; KB = 10 см; CB = 6 + 10 = 16 (см). AC 6 3 𝟑𝟑. = = . AB 10 5 Можна позначити AC = 3x см; AB = 5x см. 4. AB2 = AC2 + CB2; (5x)2 = (3x)2 + 162; 16x2 = 162; x2 = 16, x = 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

5. Тоді AB = 5 ⋅ 4 = 20 (см); AC = 3 ⋅ 4 = 12 (см). Відповідь: CB = 16 см; AB = 20 см; AC = 12 см. 10. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть проекції двох менших сторін на більшу сторону.

la. in.

1. BK − висота △ABC. 2. Позначимо AK = x см, тоді KC = 15 – x (см). 3. У △ABK: BK2 = 42 − x2, а у △BKC: BK2 = 132 − (15 − x)2. 4. Тоді 16 − x2 = 169 − (225 − 30x + x2); 30x = 72; x = 2,4 (см). 5. Отже, AK = 2,4 см; KC = 15 − 2,4 = 12,6 (см). Відповідь: 2,4 см; 12,6 см. 11. Діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 12 см. Знайдіть кути ромба з точністю до хвилин.

AC 12 BD 6 = = 6 (см); OD = = = 3 (см). 2 2 2 2 OD 3 𝟐𝟐. У △ AOD (∠O = 90°): tg ∠OAD = = = 0,5; AO 6 ∠OAD ≈ 26°34′. 3. ∠BAD = 53°8′. 4. ∠ABC = 180° − 53°8′ = 126°52′. Відповідь: 53°8'; 126°52'.

𝟏𝟏. AO =

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ РОЗДІЛУ 3 1. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знайдіть: 1. c, якщо a = 11 см; b = 60 см;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2. a, якщо c = 13 см; b = 12 см; 3. b, якщо a = 24 см; c = 25 см. 1. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �11² + 60² = √121 + 3600 = √3721 = 61 (см);

2. a = �𝑐𝑐² – 𝑏𝑏² = �13² – 12² = �(13 – 12)(13 + 12) = √25 = 5 (см);

la. in.

3. b = �𝑐𝑐² – 𝑎𝑎² = �25² – 24² = �(25 – 24)(25 + 24) = √49 = 7 (см). 2. Сторона квадрата – 5 см. Знайдіть його діагональ. d = �𝑎𝑎² + 𝑎𝑎² = �5² + 5² = √2 · 25 = 5√2 (см). 3. У рівнобедреному △ABC AB = AC = 37 см, BC = 24 см. Знайдіть довжину висоти AK.

Висота AK в трикутнику ABC (AC = AB) є медіаною. 1 1 K = BK = BC = · 24 = 12 (см). 2

З ∆ABK AK = �AB² – BK² = �37² – 12² = �(37 – 12)(37 + 12) = √25 · 49 = 5 · 7 = 35 (см). Відповідь: 35 см. 4. Чи є прямокутним трикутник, сторони якого пропорційні числам: 1. 3; 4; 5; 2. 6; 7; 10? 1. 52 = 25; 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 52 = 32 + 42. Відповідь: так. 2.102 = 100; 62 + 72 = 36 + 49 = 85; 102 ≠ 62 + 72. Відповідь: ні. 5. Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін – 3 см. Знайдіть діагональ прямокутника. Нехай a і b – сторони, d – діагональ прямокутника. Sпр = ab; ab = 12; 3b = 12; b = 4. d = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 (см). Відповідь: 5 см. 6. На малюнку AB – дотична до кола із центром у точці O, OC = 3 см, CB = 2 см. Знайдіть AB.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AO = OC = 3 см як радіуси. З △AOB OB = OC + BC = 3 + 2 = 5 (см). AB = �𝑂𝑂B² – O𝐴𝐴² = �5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 7. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 17 см, а більша бічна сторона – 15 см. Знайдіть периметр трапеції.

ABCD – трапеція (BC ∥ AD), BC = 8 см, AD = 17 см; AB ⊥ AD, CD = 15 см. Проведемо CK ⊥ AD, тоді ABCK – прямокутник. AK = BC = 8 см, CK=AB. KD = AD – AK = 17 – 8 = 9 (см). З △CDK CK = �𝐶𝐶𝐶𝐶² – K𝐷𝐷² = �15² – 9² = �(15 – 9)(15 + 9) =

= √6 · 24 = √6 · 6 · 4 = 6 · 2 = 12 (см). PABCD = 12 + 8 + 15 + 17 = 52 (см). Відповідь: 52 см. 8. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 26 см, висота – 12 см, а діагональ – 20 см. Знайдіть меншу основу трапеції та її бічну сторону.

З ΔBDK KD = �BD² – BK² = �20² – 12² = √400 – 144 = √256 = 16 (см). AK = AD – KD = 26 – 16 = 10 (см). З ΔABK AB = �AK² + BK² = �10² + 12² = √100 + 144 = √244 = 2√61 (см). AD + BC KD = ; 2 2KD = AD + BC;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

BC = 2KD – AD = 2 · 16 – 26 = 32 – 26 = 6 (см). Відповідь: 6 см, 2√61 см. 9. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 15 см, а катети відносяться як 3 : 4. Знайдіть периметр трикутника.

la. in.

У ΔABC (∠C = 90°) CM — медіана, тоді M — середина AB, центр описаного кола, AM = BM = CM = 15 см. Нехай AC = 3x см, BC = 4x см. AB2 = AC2 + BC2; (2 · 15)2 = (3x)2 + (4x)2; 900 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 900; x2 = 36; x = 6. AC = 3 · 6 = 18 (см); BC = 4 · 6 = 24 (см). PΔABC = 30 + 18 + 24 = 72 (см). Відповідь: 72 см. 10. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5 : 6. Висота трикутника, проведена до основи, дорівнює 8 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, BD ⊥ AC, BD = 8 см; AB : AC = 5 : 6, тоді AB = BC = 5x, AC = 6x. 1 AD = AC = 6𝑥𝑥 ∶ 2 = 3𝑥𝑥. 2 З ΔABD AB2 = BD2 + AD2; (5x)2 = 82 + (3x)2; 25x2 = 64 + 9x2; 25x2 – 9x2 = 64; 16x2 = 64; x2 = 4; x = 2. AB = BC = 5 · 2 = 10 (см); AC = 6 · 2 = 12 (см). PΔABC = 2 · 10 + 12 = 32 (см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 32 см. 11. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 50 см і 80 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть висоту трикутника, проведену до основи.

la. in.

У △ABC AB = BC, BD ⊥ AC, AK — бісектриса, BK = 50 см, KC = 80 см. За властивістю бісектриси кута BK 50 5 AB = = = , KC 80 8 AC тобто AB = BC = 5x см, AC = 8x см. BC = BK + KC = 50 + 80 = 130 (см). 5x = 130; x = 26. 1 1 DC = AC = ⋅ 8 ⋅ 26 = 104 (см). 2 2 З △BDC BD = �BC² − CD² = �130² − 104² = �(130 − 104)(130 + 104) = = √26 ⋅ 234 = √26 ⋅ 26 ⋅ 9 = 26 ⋅ 3 = 78 (см). Відповідь: 78 см. 12. У трикутнику ABC AB = √2 см, BC = 2 см. На стороні AC позначено точку K так, що AK = KB = 1 см. Знайдіть довжину AC.

У △ABC, AB = √2 см, BC = 2 см, AK = KB = 1 см. Проведемо KD ⊥ AB. У рівнобедреному △ABK KD — висота і медіана. 1 √2 DB = AB = (см). 2 2 DB √2 √2 = ∶ 1 = , звідси ∠DBK = 45°. cos ∠DBK = BK 2 2 ∠A = ∠DBK = 45°, тоді ∠AKB = 90°. BK 1 З △ BCK cos ∠CBK = = ; BC 2 ∠CBK = 60°. ∠ABC = 45° + 60° = 105°. Відповідь: 105°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ABCD — трапеція (BC ∥ AD), AB = 9 см, BC = 15 см, CD = 12 см, AD = 30 см. N — точка перетину продовжень бічних сторін. 1 За умовою BC ∥ AD, BC = AD, 2

13. Бічні сторони трапеції дорівнюють 9 см і 12 см, а основи – 30 см і 15 см. Знайдіть кут, що утворюють між собою продовження бічних сторін.

la. in.

тоді BC — середня лінія △AND. AN = 2AB = 2 ⋅ 9 = 18 (см). DN = 2CD = 2 ⋅ 12 = 24 (см). AN2 = 182 = 324; DN2 = 242 =576; AN2 + DN2 =324 + 576 = 900. AD2 = 302 =900. Отже, AD2 = AN2 + DN2. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, у △AND ∠N = 90°. Відповідь: 90°. 14. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 25 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо його найменша висота дорівнює 24 см.

З ΔCDK KD = �CD² – CK² = �25² – 24² = �(25 – 24)(25 + 24) = √1 · 49 = 7 (см). KB = KD + DB = 7 + 25 = 32 (см) (середина гіпотенузи рівновіддалена від вершин трикутника). З ΔBCK: BC = �CK² + BK² = �24² + 32² = √576 + 1024 = √1600 = 40 (см). З ΔABC: AC = �AB² – BC² = �50² – 40² = �(50 – 40)(50 + 40) = √10 · 90 = √900 = 30 (см). PΔABC = 50 + 30 + 40 = 120 (см). Відповідь: 120 см. 15. 3 точки до прямої проведено похилу, довжина якої 5 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проекція похилої дорівнює 4 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AK = 5 см, HK = 4 см, AH ⊥ HK — відстань від точки A до прямої. AH = �AK² – HK² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 16. 3 точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою рівні кути. Відстань між основами похилих дорівнює 8 см. Знайдіть проекції похилих на дану пряму.

△ABD = △ACD за катетом і гострим кутом. (AD — спільний катет, ∠ABD = ∠ACD за умовою). Тоді BD = CD = 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 17. 3 точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з прямою кут 60°. Знайдіть перпендикуляр і проекцію похилої, якщо довжина похилої 12 см.

AK ⊥ a, AB — похила, ∠ABK = 60°, AB = 12 см. √3 AK = AB sin 60° = 12 = 6√3 (см). 2 1 BK = AB cos 60° = 12 = 6 (см). 2 Відповідь: 6√3 см, 6 см. 18. 3 точки, що міститься на відстані 4 см від прямої, проведено до неї дві похилі. Довжина однієї з них 5 см, а друга утворює с прямою кут 45°. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AK ⊥ m, AK = 4 см — відстань від точки A до прямої m. AB = 5 см, ∠ACK = 45°. З ΔABK BK = �AB² – AK² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см). З △ACK CK = AK = 4 см (△ACK — прямокутний з гострим кутом 45°). I випадок. BC = BK + KC = 3 + 4 = 7 (см). II випадок. BC = KC – BK = 4 – 3 = 1 (см). Відповідь: 7 см або 1 см. 19. 3 точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 13 : 15, а довжини їхніх проекцій дорівнюють 10 см і 18 см. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до прямої.

AD ⊥ BC — відстань від точки A до прямої BC. AB і AC — похилі. AB : AC = 13 : 15. BD = 10 см, CD = 18 см. Нехай AB = 13x, AC = 15x. З △ABD AD2 = AB2 − BD2 = (13x)2 – 102 = 169x2 − 100. З △ACD AD2 = AC2 − CD2 = (15x)2 – 182 = 225x2 − 324. 169x2 – 100 = 225x2 – 324; 225x2 − 169x2 = 324 − 100; 56x2 = 224; x2 = 4; x = 2. AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см); AC = 15 ⋅ 2 = 30 (см). AD = �169 ⋅ 2² – 100 = √676 − 100 = √576 = 24 (см). Відповідь: 26 см, 30 см, 24 см. 20. Знайдіть меншу з висот трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см.

Менша сторона — це висота, проведена до більшої сторони: BD ⊥ AC. Нехай AD = x см, тоді CD = (15 − x) см. З △ABD BD2 = AB2 − AD2 = 42 − x2 = 16 − x2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

𝟏𝟏. Ні, sin A =

2. так;

𝟑𝟑. ні, tg A = 4. так;

5 ; 13

5 ; 12

𝟓𝟓. ні, cos B =

la. in.

З △BCD BD2 = BC2 − CD2 = 132 − (15 − x)2 = 169 – 225 + 30x − x2 = −56 + 30x − x2. 16 − x2 = −56 + 30x − x2; 30x = 72; x = 2,4. BD = �16 − 2,4² = �16 – 5,76 = √10,24 = 3,2 (см). Відповідь: 3,2 см. 21. На малюнку трикутник ABC – прямокутний. Чи правильні рівності: 5 12 12 12 13 12 𝟏𝟏. sin A = ; 𝟐𝟐. cos A = ; 𝟑𝟑. tg A = ; 𝟒𝟒. sin B = ; 𝟓𝟓. cos B = ; 𝟔𝟔. tg B = . 12 13 5 13 5 5

5 ; 13

6. так. 22. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута M трикутника MNP (∠P = 90°), якщо MP = 24 см, MN = 25 см.

PN = √MN 2 – MP 2 = √252 – 242 = �(25 − 24)(25 + 24) = √49 = 7 (см). PN 7 sin ∠M = = ; MN 25 PM 24 = ; cos ∠M = MN 25 PN 7 tg ∠M = = . MP 24  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

23. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Знайдіть: 1. синус гострого кута, що лежить проти меншого катета; 2. косинус гострого кута, прилеглого до більшого катета; 3. тангенси обох гострих кутів.

la. in.

Знайдемо гіпотенузу: AB = �A𝐶𝐶² + BC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). 8 AC = ; 𝟏𝟏. sin ∠B = 17 AB 15 BC = ; 𝟐𝟐. cos ∠B = 17 AB 15 BC = ; 𝟑𝟑. tg ∠A = 8 AC 8 C = . 𝟒𝟒. tg ∠B = 15 BC 24. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює R. Діагональ прямокутника утворює зі стороною кут α. Знайдіть периметр прямокутника.

Діагональ прямокутника — це діаметр описаного кола: BD = 2R. З △ABD AB = BD sin α = 2R sin α; AD = BD cos α = 2R cos α. PABCD = 2(2R sin α + 2R cos α) = 4R(sin α + cos α). Відповідь: 4R(sin α + cos α). 25. Кут ромба дорівнює 80°, а діагональ, що лежить проти цього кута, – 10 см. Знайдіть (з точністю до сотих см).

Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами кутів ромба. 1 1 У △ AOB AO = AC = ⋅ 10 = 5 (см). 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 ∠B = 40°. 2 5 AO = = 7,78 (см). З △ AOB AB = 0,6428 sin 40° PABCD = 4AB = 4 ⋅ 7,78 = 31,11 (см). Відповідь: 31,11 см. 26. У ΔABC ∠C = 90°, CK – висота, CA = b, ∠A = α. Знайдіть CK і KB. 1. З △ACK△ CK = AC sin ∠A = b sin α. AK = AC cos ∠A = b cos α. 𝑏𝑏 AC = . 𝟐𝟐. З △ ABC AB = cos 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑏𝑏(1 − cos² 𝛼𝛼) BK = AB – AK = – 𝑏𝑏 cos 𝛼𝛼 = . cos 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 Або розглянути △CKB. ∠B = 90° − α, тоді ∠KCB = α.

la. in.

∠ABO =

З △CKB tg ∠KCB =

KB CK

;

KB = CK tg α = b sin α tg α. Відповідь: b sin α, b sin α tg α. 27. У рівнобедреному трикутнику синус кута при основі дорівнює 0,96, а основа – 28 см. Знайдіть бічну сторону.

У △ABC AB = BC, sin ∠A = sin ∠C = 0,96; AC = 28 см, BD ⊥ AC — висота і медіана, AD = AC : 2 = 28 : 2 = 14 (см). BD 96 24 sin ∠A = = 0,96 = = . AB 100 25 Отже, BD : AB = 24 : 25. BD = 24x см, AB = 25x см. З △ABD AB2 = BD2 + AD2; (25x)2 = (24x)2 + 142; 625x2 = 576x2 + 196; 49x2 = 196; x2 = 4; x = 2. AB = 25 ⋅ 2 = 50 (см). Відповідь: 50 см. 28. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює r, а один із гострих кутів – β. Знайдіть катет, прилеглий до цього гострого кута.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Центр кола, вписаного в трикутник, лежить в точці перетину бісектрис кутів трикутника: 𝛽𝛽

AO — бісектриса кута A, ∠CAO = ∠BAO = tg . 2

AC + CD =

la. in.

OD ⊥ AC, OK ⊥ BC — радіуси кола. CDOK — прямокутник, CD = r. OD 𝑟𝑟 З △ AOD AD = = ; 𝛽𝛽 𝛽𝛽 tg tg 2 2 𝑟𝑟 1 + 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 �1 + �. 𝛽𝛽 𝛽𝛽 tg tg 2 2

Відповідь: 𝑟𝑟 �1 +

�.

𝛽𝛽 2

29. Основи трапеції дорівнюють 14 см і 10 см, кути при більшій основі дорівнюють 60° і 30°. Знайдіть висоту діагоналі трапеції.

ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AD = 14 см, BC = 10 см. ∠A = 30°, ∠D = 60°. Проведемо BK ⊥ AD і CP ⊥ AD — висоти, BK = CP. KP = BC =10 см (KBCP — прямокутник). Тоді AK + PD = 14 – 10 =4 (см). Нехай AK = x см, тоді PD = (4 – x) (см). √3 З △ ABK BK = AK tg ∠A = 𝑥𝑥 tg 30° = 𝑥𝑥 ⋅ . 3 З △CPD CP = PD tg ∠D = (4 − x) tg 60° = (4 − x)√3. 𝑥𝑥 √3 BK = CP, = (4 − 𝑥𝑥)√3. 3 x√3 = 12√3 − 3√3x; 4√3x = 12√3; x = 3. Отже, AK = 3 см, PD = 1 см. BK = 3 ⋅

√3 = √3 (см). 3

З △ACP AP = AK + KP = 3 + 10 = 13 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AC = �AP² + PC² = �13² + (√3)² = √169 + 3 = √172 = 2√43 (см).

З △KBD BD = �B𝐾𝐾² + KD² = �(√3)² + (10 + 1)² = √3 + 121 = √124 = 2√31 (см).

la. in.

Відповідь: √3 см, 2√43 см, 2√31 см. 30. З точки до прямої проведено дві похилі, що утворюють з прямою кути 30° і 60°. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо відстань між основами похилих дорівнює a см. Скільки випадків треба розглянути?

AK ⊥ a — відстань від точки A до прямої m. а. KB = x см, KC = (x + a) см. З △ABK AK = KB tg 60° = x√3 (см). З △ACK AK = KC tg 30° = (x + a) ⋅

√3 ; 3 𝑥𝑥 √3 𝑎𝑎√3 + ; 𝑥𝑥√3 = 3 3 3√3x = √3x + √3a; 2√3x = √3a; 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = . 2 √3𝑎𝑎 Отже, AK = . 2 б. KB = x, KC = (a − x).

𝑥𝑥√3 = (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) ⋅

√3 (см). 3

З △ACK AK = KC ∙ tg 30° = (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) ⋅

З △ABK AK = KB ∙ tg 60° = 𝑥𝑥√3 (см). √3 𝑥𝑥√3 = (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) ⋅ ; 3 3√3x = √3a − √3x; 4√3x = √3a; √𝑎𝑎 𝑥𝑥 = . 4 √3𝑎𝑎 Отже, AK = . 4 √3𝑎𝑎 √3𝑎𝑎 Відповідь: або .

√3 (см). 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Проведемо висоту CH до гіпотенузи. З △ABC△ AC = AB ⋅ cos ∠A, BC = AB ⋅ cos ∠B. З △ACH cos ∠A =

AH AC

; AH = AC ⋅ cos ∠A.

31. Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Доведіть, що sin2A + cos2A = 1. (Запис sin2A є тотожним запису (sinA)2.)

la. in.

Тоді AH = (AB ⋅ cos ∠A) ⋅ cos ∠A = AB ⋅ cos2 ∠A. З △BCH BH = BC ⋅ cos ∠B = AB ⋅ cos2 ∠B. AB = AH + BH. AB = AB ⋅ cos2 ∠A + AB ⋅ cos2 ∠B. AB = AB (cos2 ∠A + cos2 ∠B); cos2 ∠A + cos2 ∠B = 1. Зауважимо, що у △ABC sin ∠A =

і cos ∠B =

тому cos2 ∠A + sin2 ∠A = 1. 32. За двома елементами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть інші його сторони та кути: 1. AB = 7 см; ∠A = 19°; 2. AB = 20 дм; ∠B = 48°; 3. BC = 5 см; ∠B = 57°; 4. AC = 18 дм; ∠B = 32°.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 19° = 71°. BC = AC sin ∠A = 7 sin 19° ≈ 7 ⋅ 0,3256 ≈ 2,28 (см). AC = AB cos ∠A = 7 cos 19° = 7 ⋅ 0,9455 ≈ 6,62 (см). 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 48° = 42°. BC = AB cos ∠B = 20 cos 48° ≈ 20 ⋅ 0,6691 ≈ 13,38 (см). AC = AB sin ∠B = 20 sin 48° ≈ 20 ⋅ 0,7431 ≈ 14,86 (см). 3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 57° = 33°. 5 5 BC = ≈ ≈ 9,18 (см). AB = cos 57° 0,5446 cos ∠B AC = BC tg ∠B = 5 ⋅ tg 57° ≈ 5 ⋅ 1,5399 ≈ 7,70 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 32° = 58°. 18 18 AC = ≈ ≈ 28,80 (дм). BC = tg 32° 0,6249 tg ∠B AC 18 18 AB = = ≈ ≈ 33,97 (дм). sin ∠B s𝑖𝑖𝑖𝑖 32° 0,5299 33. За двома сторонами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його третю сторону та гострі кути: 1. AC = 9 см; BC = 12 см; 2. AC = 7 дм; BC = 5 дм; 3. AB = 34 см; BC = 30 см; 4. AB = 8 дм ; AC = 7 дм.

1. AB = �AC² + BC² = �9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 (см). 12 BC = = 1,333; ∠A ≈ 53°8′. tg ∠A = 9 AC ∠B = 90° − ∠A = 36°52′. 2. AB = �AC² + BC² = �7² + 5² = √49 + 25 = √74 = 8,6 (дм). 5 BC = ≈ 0,7143; ∠A ≈ 35°32′. tg ∠A = 7 AC ∠B = 90° − ∠A = 54°28′. 3. AC = �AB² − BC² = �34² − 30² = √1156 − 900 = √256 = 16 (см). 30 BC = = 0,8824; ∠A ≈ 61°56′. sin ∠A = 34 AB ∠B = 90° − ∠A = 28°4′. 4. BC = �AB² − BC² = �8² − 7² = �(8 − 7)(8 + 7) = √15 = 3,87 (дм). AC 7 sin ∠B = = = 0,875; ∠B = ≈ 61°3′. AB 8 ∠A = 90° − ∠B = 28°57′. 34. Для визначення ширини l річки взяли два будинки A і B на одному березі та будинок C на другому, AB = a м, ∠CAB = α, ∠CBA = β. Знайдіть ширину річки.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Позначимо основу перпендикуляра, проведеного з точки C на AB, буквою H. Нехай AH = x м, тоді HB = (a − x) м. З △ACH CH = l = AH tg α = x tg α. З △CBH CH = l = HB tg β = (a − x) tg β. x tg α = (a − x) tg β; x tg α = a tg β − x tg β; x (tg α + tg β) = a tg β; 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 𝑥𝑥 = . tg 𝛼𝛼 + tg 𝛽𝛽 𝑎𝑎 tg𝛽𝛽 tg𝛼𝛼 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 ⋅ tg α = . CH = l = tg𝛼𝛼 + tg𝛽𝛽 tg 𝛼𝛼 + tg 𝛽𝛽

Розділ 4. МНОГОКУТНИКИ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ § 21. Многокутник і його елементи. Сума кутів опуклого многокутника. Многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола 21.1 1. Назвіть усі вершини, сторони, кути п’ятикутника ABCDE. 2. Назвіть деяку пару сусідніх сторін, несусідніх сторін. 3. Назвіть деяку пару сусідніх вершин, несусідніх вершин. 4. Чи є п’ятикутник опуклим?

1. Вершини: A; B; C; D; E; сторони: AB; BC; CD; DE; EA; кути: A; B; C; D; E. 2. Сусідні сторони: AB і AE; несусідні сторони: AB і CD. 3. Сусідні вершини: A і B; несусідні вершини: A і C. 4. П’ятикутник є опуклим. 21.2 Накресліть опуклий шестикутник ABCDEF. Запишіть усі його вершини, сторони й кути.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Вершини: A; B; C; D; E; F; сторони: AB; BC; CD; DE; EF; FA; кути: A; B; C; D; E; F. 21.3 Накресліть опуклий семикутник. A1A2A3A4A5A6A7 та проведіть у ньому всі діагоналі, що виходять з вершини A5.

21.4 Накресліть будь-який неопуклий многокутник, у якого два кути більші за 180°.

21.5 Накресліть будь-який неопуклий п’ятикутник.

21.6 Знайдіть на малюнках вписані та описані многокутники.

На мал. 1 — вписаний многокутник; на мал. 2 та мал. 3 — описані многокутники.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

21.7 Накресліть коло та впишіть у нього п’ятикутник.

la. in.

21.8 Накресліть коло та впишіть у нього будь-який многокутник.

21.9 Накресліть коло та опишіть навколо нього будь-який многокутник.

21.10 Накресліть коло та опишіть навколо нього шестикутник.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

21.11 Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1. n = 12; 2. n = 18. 1. n = 12; 180° · (12 − 2) = 180° · 10 = 1800°; 2. n = 18; 180° · (18 − 2) = 180° · 16 = 2880°. 21.12 Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1. n = 7; 2. n = 22. 1. n = 7; 180° · (7 − 2) = 180° · 5 = 900°; 2. n = 22; 180° · (22 − 2) = 180° · 20 = 3600°. 21.13 В опуклому дев’ятикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути. n = 9; 180° · (9 − 2) = 180° · 7 = 1260° — сума кутів. 1260° : 9 = 140° — градусна міра кожного кута. Відповідь: 140°. 21.14 В опуклому шестикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути. n = 6; 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. 720° : 6 = 120°. Відповідь: 120°. 21.15 (Усно) Чи можна побудувати опуклий п’ятикутник, усі кути якого між собою рівні? Відповідь поясніть. Так. Сума кутів опуклого п’ятикутника: 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. Якщо кути рівні, то градусна міра кожного кута: 540° : 5 = 108°. Відповідь: так. 21.16 (Усно) Чотири кути одного опуклого п’ятикутника відповідно дорівнюють чотирьом кутам другого опуклого п’ятикутника. Чи рівні між собою їхні п’яті кути? Так, оскільки сума кутів будь–якого опуклого п’ятикутника дорівнює 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. 21.17 Чи може найменший кут опуклого п’ятикутника дорівнювати 110°? Сума кутів п’ятикутника 180° · (5 − 2) = 540°. Якщо 110° — це найменший кут, то решта кутів більші за 110°, а їх сума більша за 110° · 5 = 550°. Але це неможливо. Відповідь: ні. 21.18 Чи може найбільший кут опуклого шестикутника дорівнювати 115°? Якщо 115° — це найбільший кут, тоді решта кутів шестикутника менші від 115°, а їх сума менша від 115° · 6 = 690°. Але сума кутів опуклого шестикутника дорівнює 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. Відповідь: ні. 21.19 Визначте кути опуклого шестикутника, якщо їхні градусні міри відносяться як 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7. Сума кутів шестикутника дорівнює 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. Позначимо кути шестикутника 3x, 4x, 5x, 5x, 6x і 7x.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Тоді 3x + 4x + 5x + 5x + 6x + 7x = 720; 30x = 720; x = 24. ∠1 = 3 · 24° = 72°; ∠2 = 4 · 24° = 96°; ∠3 = ∠4 = 5 · 24° = 120°; ∠6 = 6 · 24° = 144°; ∠7 = 7 · 24° = 168°. Відповідь: 72°, 96°, 120°, 120°, 144°, 168°. 21.20 Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого більший за попередній на 10°. Сума кутів: 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. За умовою ∠1 = x; ∠2 = x + 10; ∠3 = x + 20; ∠4 = x + 30; ∠5 = x + 40. x + x + 10 + x + 20 + x + 30 + x + 40 = 540; 5x + 100 = 540; 5x = 440; x = 88. ∠1 = 88°; ∠2 = 88° + 10° = 98°; ∠3 = ∠2 + 10° = 98° + 10° = 108°; ∠4 = ∠3 + 10° = 108° + 10° = 118°; ∠5 = ∠4 + 10° = 118° + 10° = 128°. Відповідь: 88°, 98°, 108°, 118°, 128°. 21.21 Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1. 1080°; 2. 2100°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього сторін і скільки діагоналей. Позначимо кількість сторін многокутника n. 1. Тоді 180° (n − 2) = 1080°; n − 2 = 6; n = 8. Кількість діагоналей: 8 · (8 − 3) 40 = = 20. 2 2 Відповідь: 8, 20. 2. 180° (n − 2) = 2100°; 2 𝑛𝑛 − 2 = 11 . 3 2 𝑛𝑛 = 13 . 3 Але число сторін не може бути дробовим, отже, такий многокутник не існує.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Відповідь: ні. 21.22 Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1. 2500°; 2. 1260°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього вершин і скільки діагоналей. Позначимо кількість вершин многокутника n. 1. 180°(n − 2) = 2500°; 8 𝑛𝑛 − 2 = 13 ; 9 8 𝑛𝑛 = 15 . 9 Але кількість вершин не може бути дробовою. Отже, такий многокутник не існує. 2. 180°(n − 2) = 1260°; n − 2 = 7; n = 9. Число діагоналей: 9 · 6 9 · (9 − 3) = = 27. 2 2 Відповідь: 9, 27. 21.23 Кожен із зовнішніх кутів многокутника дорівнює 30°. Знайдіть кількість його сторін. 360° : 30° = 12. Відповідь: 12 сторін. 21.24 Усі зовнішні кути многокутника – прямі. Визначте вид цього многокутника. 360° : 90° = 4. Відповідь: прямокутник. 21.25 Чи існує многокутник, у якого кількість діагоналей дорівнює кількості сторін? Кількість діагоналей: 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) , де 𝑛𝑛 — кількість сторін. 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 𝑛𝑛, 2 n2 − 3n = 2n; n2 − 5n = 0; n (n − 5) = 0; n = 0 — не задовольняє умови; n – 5 = 0; n = 5. Відповідь: так, п’ятикутник. 21.26 Сума внутрішніх кутів многокутника в 5 разів більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки вершин у многокутника? Сума внутрішніх кутів 180°(n − 2), сума зовнішніх — 360°. За умовою 180°(n − 2) = 5 · 360°; n − 2 = 10; n = 12.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Відповідь: 12. 21.27 Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, якщо сума його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, на 1980° менша від суми внутрішніх кутів. Сума внутрішніх кутів 180°(n − 2), сума зовнішніх — 360°. За умовою 180°(n − 2) = 360° + 1980°; 180°(n − 2) = 2340°; n − 2 = 13; n = 15. Відповідь: 15. 21.28 В опуклому п’ятикутнику ABCDE вершину B сполучено рівними між собою діагоналями з двома іншими вершинами. Відомо, що ∠BEA = ∠BDC, ∠ABE = ∠CBD. Порівняйте периметри чотирикутників ABDE і BEDC.

ΔABE = ΔCBD за стороною і прилеглими кутами (BE = BD, ∠AEB = ∠CDB, ∠ABE = ∠CBD за умовою). Тоді AB = BC, AE = CD. Очевидно, що ABDE = CBED, їх периметри рівні. 21.29 AK і BM – висоти гострокутного трикутника ABC. Використовуючи подібність трикутників, доведіть, що AK · BC = AC · BM.

ΔACK ∼ ΔBCM за двома кутами (∠C — спільний, ∠AKC = ∠BMC = 90°). AK AC = , BM BC звідси AK · BC = AC · BM. 21.30 Навколо кола описано трапецію, периметр якої дорівнює P см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.

Якщо навколо трапеції описане коло, то сума її основ дорівнює сумі бічних сторін і P

дорівнює половині периметра см. 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html P

Середня лінія дорівнює півсумі основ, тобто см. 4

Відповідь: см. 4

4. м. 8

la. in.

21.31 Знайдіть площу прямокутника зі сторонами: 1. 5 см і 9 см; 2. 2,1 дм і 0,8 дм; 3. 7 см і 1 дм; 4. 4,1 дм і 0,32 м. S = ab. 1. 5 · 9 = 45 (см2); 2. 2,1 · 0,8 = 1,68 (дм2); 3. 7 см · 1 дм = 7 см · 10 см = 70 (см2); 4. 4,1 дм · 0,32 м = 4,1 дм · 3,2 дм = 13,12 (дм2). 21.32 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 7 см; 2. 29 мм; 3. 4,5 мм;

S = a2 . 1. S = 72 = 49 (см2); 2. S = 292 = 841 (мм2); 3. S = 4,52 = 20,25 (мм2); 25 2 5 2 𝟒𝟒. S = � � = м . 64 8 21.33 Тренажерний майданчик, що має форму прямокутника 8,5 м завдовжки і 3,5 м завширшки, потрібно покрити плиткою, що має форму квадрата, довжина сторони якого дорівнює 50 см. Скільки грошей буде витрачено на це, якщо одна плитка коштує 50 грн, а вартість додаткових матеріалів та укладання становить 40 % від вартості плитки. 1. 8,5 · 3,5 = 29,75 (м2) – площа майданчика; 2. 0,5 · 0,5 = 0,25 (м2) – площа однієї плитки; 3. 29,75 : 0,25 = 119 (шт.) – кількість плиток; 4. 119 · 50 = 5950 (грн) – вартість плиток; 5. 5950 + 5950 · 0,4 = 5950 + 2380 = 8330 (грн) – буде витрачено; Відповідь: буде витрачено 8330 грн. 21.34 (Національна олімпіада Бразилії, 1983 р.) Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного в коло прямокутного трикутника, знайдуться точки з обох множин. Розіб'ємо всі точки кола на пари діаметрально протилежних точок і в кожній парі одну точку віднесемо до першої множини, а іншу — до другої. Оскільки гіпотенуза будь– якого вписаного прямокутного трикутника є діаметром кола, то вершини гострих кутів трикутника належатимуть до різних множин.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

§ 22. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника 22.1 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 3 см; 2. 5 дм; 3. 12 см; 4. 8 м. S = a 2. 1. S = 32 = 9 (см2); 2. S = 52 = 25 (дм2); 3. S = 122 = 144 (см2); 4. S = 82 = 64 (м2). 22.2 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 2 см; 2. 6 дм; 3. 9 см; 4. 7 м. 1. S = 22 = 4 (см2); 2. S = 62 = 36 (дм2); 3. S = 92 = 81 (см2); 4. S = 72 = 49 (м2). 22.3 Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1. 7 см і 9 см; 2. 12 дм і 4 дм. S = ab. 1. S = 7 · 9 = 63 (см2); 2. S = 11 · 4 = 44 (дм2). 22.4 Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1. 8 см і 6 см; 2. 10 дм і 7 дм. 1. S = 8 · 6 = 48 (см2); 2. S = 10 · 7 = 70 (дм2). 22.5 Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін – 4 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. S 12 S = 𝑎𝑎𝑎𝑎, звідки 𝑎𝑎 = = = 3 (см). 𝑏𝑏 4 22.6 Одна зі сторін прямокутника дорівнює 5 см, а його площа дорівнює 20 см². Знайдіть другу сторону прямокутника. S 20 S = 𝑎𝑎𝑎𝑎, звідки 𝑎𝑎 = = = 4 (см). 𝑏𝑏 5 22.7 (Усно) Знайдіть площі многокутників, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 1 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 · 8 = 28 (см2 ). 2 1 𝟐𝟐. S = 18 + · 6 = 21 (см2 ). 2 22.8 Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1. 4 см2; 2. 25 дм2. 1. a2 = 4 см2; a = 2 см; 2. a2 = 25 дм2; a = 5 дм. 22.9 Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1. 9 дм2; 2. 100 см2. 1. a2 = 9 дм2; a = 3 дм; 2. a2 = 100 см2; a = 10 см. 22.10 Розміри футбольного поля 110 · 70 м. Більша чи менша за гектар його площа? S = 110 · 70 = 7700 м2. 7799 м2 < 10 000 м2; 7700 м2 < 1 га. 22.11 Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 4 см, а одна зі сторін прямокутника – 2 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. Sкв = 42 = 16 (см2); Sпр = Sкв = 16 см2. Sпр = ab, a = 2 см, Sпр 16 b = = = 8 (см). 2 𝑎𝑎 Відповідь: 8 см. 22.12 Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 4 см, а сторона квадрата – 8 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. Sкв = 82 = 64 (см2); Sпр = Sкв = 64 см2. Sпр 64 Sпр = 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎 = 4 см, 𝑏𝑏 = = = 16 (см). 4 𝑎𝑎 Відповідь: 16 см. 22.13 Знайдіть площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а діагональ – 13 см.

la. in.

𝟏𝟏. S = 24 +

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай a і b — сторони прямокутника, d — його діагональ, a = 12 см, d = 13 см. d2 = a2 + b2; b = �d² – a² = �13² – 12² = �(13 − 12)(13 + 12) = √1 · 25 = 5 (см). Sпр = ab = 12 · 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2. 22.14 Діагональ прямокутника дорівнює 17 см, а одна з його сторін – 8 см. Знайдіть площу прямокутника.

la. in.

Нехай a і b — сторони прямокутника, а d — його діагональ. d2 = a2 + b2; 172 = 82 + b2; b2 = 172 – 82; b = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). Sпр = ab = 8 · 15 = 120 (см2). Відповідь: 120 см2. 22.15 Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює: 1. 8 см; 2. d см.

SABCD = AB2. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2; AB² =

BD² BD BD² ; AB = � = (см). 2 2 √2

𝟏𝟏. AB =

8√2

= 4√2 (см). √2 √2 SABCD = (4√2) 2 = 16 · 2 = 32 (см2). Відповідь: 32 см2. 𝑑𝑑 (см). 𝟐𝟐. AB = √2 𝑑𝑑 𝑑𝑑² SABCD = ( )² = (см²). 2 √2

Відповідь:

𝑑𝑑² 2

см2.

22.16 Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4√2 см.  shkola.in.ua

AB =

4√2

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

= 4(см);

la. in.

√2 SABCD = 42 = 16 (см2). Відповідь: 16 см2. 22.17 Периметр прямокутника 26 см, а одна з його сторін на 5 см більша за другу. Знайдіть сторону квадрата, що має таку саму площу, як і прямокутник.

Нехай одна сторона прямокутника x см, а друга — (x + 5) см. Тоді його периметр 2(x + x + 5), що за умовою дорівнює 26 см: 2(2x + 5) = 26; 4x + 10 = 26; 4x = 16; x = 4. Отже, сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 4 + 5 = 9 (см). Sпр = 4 · 9 = 36 (см). Площа квадрата Sкв = Sпр = 36 см2. Сторона квадрата a = √36 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 22.18 Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Периметр прямокутника дорівнює 50 см, а одна з його сторін на 15 см більша за іншу. Знайдіть сторону квадрата.

Нехай менша сторона прямокутника дорівнює x см, тоді його більша сторона (x + 15) см, а периметр Pпр = 2(x + x + 15) = 2(2x + 15) = 4x + 30 (см). За умовою 4x + 30 = 50; 4x = 20; x = 5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 5 + 15 = 20 см. Sпр = 5 · 20 = 100 (см2). За умовою Sкв = Sпр, a2 = 100, a = √100 = 10 (a > 0), де a — сторона квадрата. Відповідь: 10 см. 22.19 Як зміниться площа прямокутника, якщо: 1. одну з його сторін збільшити вдвічі; 2. одну з його сторін зменшити втричі; 3. кожну зі сторін збільшити в 4 рази; 4. одну сторону збільшити вдвічі, а другу – у 5 разів; 5. одну зі сторін збільшити у 12 разів, а другу – зменшити вдвічі? Нехай a і b — сторони прямокутника, S = ab. 1. Якщо одну із сторін збільшити вдвічі, то S1 = 2a · b = 2(ab) = 2S. Площа збільшиться вдвічі. 2. Якщо одну із сторін зменшити втричі, то 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = S. S1 = ( ) · 𝑏𝑏 = 3 3 3 3 Площа зменшиться втричі. 3. Якщо кожну сторону збільшити в 4 рази, то S1 = 4a · 4b = 4 · 4 · ab = 16ab = 16S. Площа збільшиться в 16 разів. 4. Якщо одну сторону збільшити вдвічі, а другу — у 5 разів, то S1 = 2a · 5b = 2 · 5 · ab = 10ab = 10S. Площа збільшиться в 10 разів. 5. Якщо одну сторону збільшити у 12 разів, а другу — зменшити вдвічі, то 𝑏𝑏 12 · 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎 = 6S. S1 = 12𝑎𝑎 · = 2 2 Площа збільшиться в 6 разів. 22.20 Як зміниться площа квадрата, якщо кожну з його сторін: 1. збільшити в 5 разів; 2. зменшити втричі? Площа квадрата дорівнює S = a2. 1. Якщо сторону збільшити у 5 разів, то S1 = (5a)2 = 25a2 = 25S. Площа збільшиться у 25 разів. 2. Якщо сторону зменшити втричі, то 𝑎𝑎² 1 𝑎𝑎 2 S1 = � � = = S. 3 9 3 Площа зменшиться в 9 разів. 22.21 (Усно) Чи можуть два не рівних між собою квадрати мати однакові площі? Ні, не можуть. Якщо a2 = b2, то a = b (a > 0, b > 0). 22.22 1. Чи можуть два не рівних між собою прямокутники мати однакові площі? 2. Два прямокутники мають однакові площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні? 3. Два прямокутники мають однакові площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

якщо одна зі сторін першого прямокутника дорівнює стороні другого? 1. Так, можуть. Наприклад, площу 24 см2 можуть мати прямокутники зі сторонами 1 см і 24 см, 2 см і 12 см, 3 см і 8 см, 4 см і 6 см тощо. 2. Ні, див. пункт 1. 3. Так. 22.23 Сторони квадратів 15 см і 17 см. Визначте сторону квадрата, площа якого дорівнює різниці площ даних квадратів. S1 = 152 = 225 (см2); S2 = 172 = 289 (см2). S3 = S2 – S1 = 289 – 225 = 64 (см2). a = √64 = 8 см (a > 0). Відповідь: 8 см. 22.24 Сторони квадратів 8 дм і 6 дм. Визначте сторону квадрата, площа якого дорівнює сумі площ даних квадратів. S1 = 82 = 64 (дм2); S2 = 62 = 36 (дм2). S3 = S1 + S2 = 64 + 36 = 100 (дм2). a = √100 = 10 (дм) (a > 0). Відповідь: 10 дм. 22.25 Прямокутник, сторони якого 8 м і 6,5 м, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 м. Скільки утворилося квадратів? S1 = 8 · 6,5 = 52 (м2) — площа прямокутника. S2 = (0,5)2 = 0,25 (м2) — площа квадрата. 52 : 0,25 = 208 — кількість квадратів. Відповідь: 208. 22.26 Знайдіть площу квадрата, описаного навколо кола, радіус якого r.

Якщо квадрат описаний навколо кола, то його сторона дорівнює діаметру кола: 2r. Тоді Sкв = (2r)2 = 4r2. Відповідь: 4r2. 22.27 Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 3 : 4, а площа дорівнює 108 см².

Нехай одна сторона прямокутника 3x см, тоді друга його сторона 4x см. Площа прямокутника 3x · 4x, що за умовою дорівнює 108 см2:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

3x · 4x = 108; 12x2 = 108; x2 = 9; x = 3 (x > 0). Отже, сторони прямокутника 3 · 3 = 9 (см) і 4 · 3 = 12 (см). Відповідь: 9 см, 12 см. 22.28 Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 24 см2, а одна зі сторін у 1,5 раза більша за другу.

la. in.

Нехай одна сторона прямокутника x см, тоді друга — 1,5x см. Площа прямокутника x · 1,5x або 24 см2 за умовою. x · 1,5x = 24; 1,5x2 = 24; x² = 16; x = 4 (x > 0). Перша сторона 4 см, друга — 1,5 · 4 = 6 (см). Pпр = 2 · (4 + 6) = 2 · 10 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 22.29 Бісектриса AM кута прямокутника ABCD поділяє сторону BC на відрізки BM = 3 см і MC = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AM. Але ∠BAM = ∠MAD за умовою. Тоді ∠BAM = ∠BMA, у ΔABM AB = BM = 3 см, BC = BM + MC = 3 + 5 = 8 (см). SABCD = AB · BC = 3 · 8 = 24 (см2). Відповідь: 24 см2. 22.30 Бісектриса BK кута прямокутника ABCD поділяє сторону AD на відрізки AK = 7 см і KD = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

∠BKA = ∠CBK як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній BK. Але ∠KBC = ∠ABK за умовою.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Тоді ∠ABK = ∠BKA, AB = AK = 7 см (ΔABK — рівнобедрений). AD = AK + KD = 7 + 5 = 12 (см). SABCD = AB · AD = 7 · 12 = 84 (см2). Відповідь: 84 см2. 22.31 Одна зі сторін прямокутника на 3 см більша за іншу, а діагональ прямокутника дорівнює 15 см. Знайдіть площу прямокутника.

la. in.

Нехай AB = x см, AD = (x + 3) см, BD = 15 см. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2; x2 + (x + 3)2 = 152; x2 + x2 + 6x + 9 = 225; 2x2 + 6x + 9 = 225; 2x2 + 6x − 216 = 0; x2 + 3x − 108 = 0; x1 = −12; x2 = 9. Число −12 не задовольняє умові задачі. Отже, AB = 9 см, AD = 9 + 3 = 12 (см). SABCD = 9 · 12 = 108 (см2). Відповідь: 108 см2. 22.32 Одна зі сторін прямокутника дорівнює 7 см, а його діагональ на 1 см більша за іншу сторону. Знайдіть площу прямокутника.

Нехай AB = 7 см, AD = x см, BD = (x + 1) см. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2; (x + 1)2 = 72 + x2; x2 + 2x + 1 = 49 + x2; 2x = 48; x = 24. Отже, AD = 24 см. SABCD = 7 · 24 = 168 (см2). Відповідь: 168 см2. 22.33 На малюнку ABCD – прямокутник, M – середина відрізка AK. Доведіть, що SABCD = SAKD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

BC || AD, M — середина AK за умовою. Тоді за теоремою Фалеса N — середина KD. Проведемо KP ⊥ BC. ΔABM = ΔKPM за гіпотенузою і гострим кутом (AM = KM за умовою, ∠BMA = ∠KMP як вертикальні) ΔDCN = ΔKPN за гіпотенузою і гострим кутом (KN = ND, ∠KNP = ∠DNC як вертикальні). SABCD = SΔABM + SAMND + SΔDCN; SΔAKD = SΔMKP + SAMND + SΔKNP. Оскільки SΔABM = SΔKMP, SΔDCN = SΔKNP, то SABCD = SΔAKD. 22.34 Відношення площ двох квадратів дорівнює 5. Знайдіть відношення їхніх периметрів. S1 = a12; S2 = a22; 𝑎𝑎₁² S₁ = = 5. S₂ 𝑎𝑎₂² 𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ 2 = √5. � � = 5; 𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P1 = 4a1, P2 = 4a2. 4𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ P₁ = = = √5. 4𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P₂ Відповідь: √5. 22.35 Відношення периметрів двох квадратів дорівнює 3. Знайдіть відношення їхніх площ. P1 = 4a1, P2 = 4a2. 4𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ P₁ = = = 3. 4𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P₂ 𝑎𝑎₁² = 32 = 9. 𝑎𝑎₂² Відповідь: 9. 22.36 Сума кутів одного опуклого многокутника дорівнює сумі кутів іншого опуклого многокутника. Чи можна стверджувати, що многокутники мають однакову кількість сторін? Так, оскільки вираз 180°(n − 2) приймає при кожному натуральному значенні n єдине значення.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

22.37 Доведіть, що навколо паралелограма, який не має прямих кутів, не можна описати коло.

la. in.

Припустимо, що ми змогли описати коло навколо паралелограма ABCD, всі кути якого нерівні. Це означає, що всі вершини паралелограма належать колу. Тоді, наприклад, кут ABC є вписаним, що спирається на діаметр AC, тобто ∠ABC = 90°. Це суперечить умові. Припущення хибне. Коло не можна описати навколо паралелограма. 22.38 Накресліть будь-який паралелограм, у якого одна зі сторін дорівнює 5 см, а висота, що проведена до цієї сторони, – 3 см.

AD = 5 см; BЕ – висота; BЕ = 3см. 22.39 Басейн має форму прямокутного паралелепіпеда, довжина якого дорівнює 50 м, ширина – 25 м і глибина – 4 м. Скільки плиток квадратної форми розміром 50 · 50 см потрібно для облицювання дна та стін басейну? 1. 50 · 25 = 1250 (м2) – площа дна; 2. 2 ⋅ 4 ⋅ (50 + 25) = 8 ⋅ 75 = 600 (м2) – площа стін; 3. 1250 + 600 = 1850 (м2) – площа дна та стін; 4. 0,5 · 0,5 = 0,25 (м2) – площа однієї плитки; 5. 1850 : 0,25 = 7400 (шт.) – всього плитокю Відповідь: для облицювання дна та стін басейну потрібно 7400 плиток. 22.40 Центр трьох рівних між собою кіл є вершинами рівностороннього трикутника. Ці кола не мають спільних точок. Скільки існує кіл, які мають зовнішній або внутрішній дотик з трьома даними колами?

8 кіл: коло з центром у точці перетину бісектрис кутів трикутника, що дотикається трьох  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

кіл зовнішньо; коло з тим же центром, що дотикається всіх трьох кіл внутрішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл внутрішньо, а двох інших — зовнішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл зовнішньо, а двох інших — внутрішньо.

la. in.

§ 23. Площа паралелограма 23.1 Сторона паралелограма дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1. a = 6 см, h = 5 см; 2. a = 7 дм, h = 3 дм. 1. S = ah = 6 · 5 = 30 (см2); 2. S = 7 · 3 = 21 (дм2). 23.2 Сторона паралелограма дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1. a = 5 см, h = 4 см; 2. a = 6 дм, h = 8 дм. 1. S = 5 · 4 = 20 (см2); 2. S = 6 · 8 = 48 (дм2). 23.3 Площа паралелограма дорівнює 24 см2, а одна з його сторін – 6 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони. S = aha, ha = S : a = 24 : 6 = 4 (см). 23.4 Площа паралелограма – 18 дм2, а одна з його висот дорівнює 3 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. S = aha, a = S : ha = 18 : 3 = 6 (дм). 23.5 Діагональ паралелограма завдовжки 5 см перпендикулярна до сторони паралелограма, що дорівнює 6 см. Знайдіть площу паралелограма.

AB = a = 6 см, BD = ha = 5 см. S = aha = 6 · 5 = 30 (см2). Відповідь: 30 см2. 23.6 Сторона паралелограма завдовжки 8 см перпендикулярна до діагоналі паралелограма, що дорівнює 5 см. Знайдіть площу паралелограма.

a = 8 см, ha = 5 см. S = aha = 8 · 5 = 40 (см2).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 40 см2. 23.7 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

la. in.

1. a = 4,5 см, ha = 2 см. S = 4,5 · 2 = 9 (см2). 2. a = 1,5 см, ha = 2,5 см. S = 1,5 · 2,5 = 3,75 (см2). 23.8 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

1. a = 3 см, ha = 2,5 см. S = 3 · 2,5 = 7,5 (см2). 2. a = 4 см, ha = 1,5 см. S = 4 · 1,5 = 6 (см2). 23.9 Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, – 4 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 36 см2.

Нехай a і b – сторони паралелограма. a = 6 см, hb = 4 см. S = b · hb = 36 см2, звідси b = S : hb = 36 : 4 = 9 (см). P = 2(a + b) = 2 · (6 + 9) = 30 (см). Відповідь: 30 см. 23.10 Площа паралелограма дорівнює 48 см2. Одна з його сторін – 8 см, а одна з висот – 4 см. Знайдіть периметр паралелограма.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай a і b – сторони паралелограма. S = aha або 48 см2 за умовою. aha = 48; a · 4 = 48; a = 48 : 4; a = 12 (см). Тоді b = 8 см. P = 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 23.11 Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см. Висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 3 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.

Нехай a = 4 см, b = 5 см. Оскільки a < b, то ha = 3 см. S = aha = 4 · 3 = 12 (см2). Але S = bhb, звідки hb = S : b = 12 : 5 = 2,4 (см). Відповідь: 2,4 см. 23.12 Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до неї, – 6 см. Знайдіть другу сторону паралелограма, якщо його висота, проведена до неї, дорівнює 4,8 см.

Нехай a = 8 см, ha = 6 см, hb = 4,8 см. S = aha = 8 · 6 = 48 (см2). S 48 = = 10 (см). S = 𝑏𝑏ℎb , звідки 𝑏𝑏 = ℎb 4,8 Відповідь: 10 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

23.13 Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а його гострий кут – 30°. Знайдіть площу паралелограма.

В паралелограмі ABCD AD = BC = 12 см, AB = CD = 10 см, ∠A = 30°. Нехай BK ⊥ AC. 1 1 З ΔABK BK = AB = · 10 = 5 (см) як катет, що лежить проти кута 30°. 2

la. in.

S = AD · BK = 12 · 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2. 23.14 Сторона ромба дорівнює 4 см, а один з його кутів – 150°. Знайдіть площу ромба.

В ромбі ABCD AB = BC = CD = AD = 4 см, ∠B = ∠D = 150°, тоді ∠A = ∠C = 180° − 150° = 30°. ВР ⊥ AD. 1 1 З ΔABP BP = AB = · 4 = 2 (см). 2

S = AD · BP = 4 · 2 = 8 (см2). Відповідь: 8 см2. 23.15 Висота паралелограма втричі більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа паралелограма дорівнює 12 см2.

Нехай a = x см, тоді ha = 3x см. S = aha = x · 3x. За умовою x · 3x = 12. 3x2 = 12; x2 = 4; x = 2 (x > 0). ha = 3 · 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 23.16 Сторона паралелограма в 5 разів більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа паралелограма дорівнює 45 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай ha = x см, a = 5x см. S = aha = x · 5x, за умовою — 45 см2. x · 5x = 45; 5x2 = 45; x2 = 9; x = 3 (x > 0). a = 5 · 3 = 15 (см). Відповідь: 15 см. 23.17 Периметр ромба дорівнює P см. Знайдіть його площу, якщо одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 75°.

У ромбі ABCD 4AB = P см.

Тоді AB = BC = CD = AD = . 4

У ΔABD ∠ABD = 75°, тоді ∠ADB = 75°, ∠A = 180° − 2 · 75° = 30°. Проведемо BK ⊥ AD — висоту ромба. 1 1 P P У ΔABK BK = AB = · = (см). 2 2 4 8 P P P² · = (см²). SABCD = BK · AD = 8 4 32 P² Відповідь: см2. 32

23.18 Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, дорівнює 15 см. Знайдіть площу паралелограма.

Нехай a = 8 см, b = 12 см, ha = x см, тоді hb = (15 − x) см. S1 = aha = 8x (см2); S2 = bhb = 12(15 − x) (см2).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

S1 = S2, 8x = 12(15 − x); 8x = 180 − 12x; 20x = 180; x = 9. Отже, ha = 9 см. S = 8 · 9 = 72 (см2). Відповідь: 72 см2. 23.19 Дві висоти паралелограма дорівнюють 2 см і 3 см, а сума двох його суміжних сторін – 10 см. Знайдіть площу паралелограма.

ha = 2 см, hb = 3 см, a = x см, b = (10 − x) см. S1 = aha = x · 2 = 2x (см2); S2 = ahb = (10 − x) · 3 (см2). 2x = 3(10 − x); 2x = 30 − 3x; 5x = 30; x = 6. S = 2 · 6 = 12 (см2). Відповідь: 12 см2. 23.20 Висоти паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а кут між ними – 30°. Знайдіть площу паралелограма.

BK ⊥ AD, BK = 6 см; BP ⊥ CD, BP = 8 см, ∠KBP = 30°. У чотирикутнику KBPD ∠K + ∠B + ∠P + ∠D = 360°; 90° + 30° + 90° + ∠D = 360°; ∠D = 150°. Тоді ∠A = ∠C = 180° − ∠D = 180° − 150° = 30°. З ΔABK AB = 2BK = 2 · 6 = 12 (см). CD = AB = 12 см. SABCD = CD · BP = 12 · 8 = 96 (см2). Відповідь: 96 см2. 23.21 Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см. Чи може його площа  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

дорівнювати: 1. 41 см2; 2. 40 см2; 3. 39 см2?

la. in.

У паралелограмі ABCD AB = CD = 5 см, AD = BC = 8 см. BM ⊥ AD і BN ⊥ CD — висоти. SABCD = AD · BM = CD · BN (BM < BN). Оскільки в прямокутних трикутниках ABM і CBN AB > BM і BC > BN (як гіпотенуза, що більша за катет), то BM < 5 см, BN < 8 см. AD · BM < 8 · 5, AD · BM < 40. Відповідь: 1. ні; 2. ні; 3. так. 23.22 Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 12 см, а одна з його висот – 6 см. Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків має задача?

Задача має два розв’язки. 1. a = 9 см, b = 12 см, ha = 6 см. aha = bhb; 𝑎𝑎ℎₐ 9 · 6 54 = = = 4,5 (см). ℎ𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 12 12 2. a = 9 см, b = 12 см, hb = 6 см. a · ha = b · hb; 𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 12 · 6 72 = = = 8 (см). ℎ𝑎𝑎 = 9 9 𝑎𝑎 Відповідь: 4,5 см або 8 см. 23.23 Сума кутів одного з многокутників на 540° більша за суму кутів другого многокутника. На скільки більше вершин у першого многокутника, ніж у другого? Сума кутів першого многокутника 180°(n1 − 2), тобто − 180°(n2 − 2). Їх різниця за умовою дорівнює 540°. 180°(n1 − 2) − 180°(n2 − 2) = 540°. (n1 − 2) − (n2 − 2) = 3; n1 − n2 = 3. Відповідь: на 3 вершини. 23.24 Середини сторін ромба послідовно сполучено відрізками. Обчисліть площу чотирикутника, що утворився, якщо діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 10 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — ромб, M, N, P, K — середини його сторін. BD ⊥ AC як діагоналі ромба, BD = 10 см, AC = 6 см. У ΔABC MN — середня лінія, MN || AC, 1 1 MN = · AC = · 6 = 3 (см). 2 2 У ΔACD PK — середня лінія, PK || AC, 1 1 PK = AC = · 6 = 3 см. 2 2 Тоді MN || PK, MN = PK. MNPК — паралелограм. У ΔBCD NP — середня лінія, NP || BD, 1 1 NP = BD = · 10 = 5 (см). 2 2 MN || AC, NP || BD, AC ⊥ BD, тоді MN ⊥ NP. MNPK — прямокутник. SMNPK = MN · NP = 3 · 5 = 15 (см2) Відповідь: 15 см2. 23.25 Накресліть два нерівних між собою трикутники, у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 4 см, а висоти, проведені до цих сторін, – 2,5 см.

AC = A1C1 = 4 см; BK і B1K1 — висоти. BK = B1K1 = 2,5 см. При цьому AB ≠ A1B1 і BC ≠ B1C1. Отже, △ABC і △A1B1C1 — нерівні. 23.26 Відношення висоти до ширини екрана телевізора дорівнює 9 : 16. Діагональ екрана телевізора – 32 дюйми. Знайдіть ширину екрана в сантиметрах, якщо 1 дюйм = 2,54 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

𝑥𝑥 = �

Припустимо, що ширина телевізора — 16x, а висота — 9x. Тоді за теоремою Піфагора: (9x)2 + (16x)2 = 322. В одному дюймі 2,54 см. 81x2 + 256x2 = 1024; 337x2 = 1024; 1024 ; 337

la. in.

x = 1,74. 1,74 · 2,54 = 4,43 4,43 · 16 ≈ 71 см Відповідь: ширина екрана телевізора 71 см. 23.27 (Задача ал-Караджи.) Знайдіть площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру.

1. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює x, тоді друга — 2x. 2. За умовою 2x · x = 2(x + x); 2x2 = 2 · 3x; x2 − 3x = 0; x(x − 3) = 0; x = 3. 3. Отже, сторони 3 і 6, а площа 3 · 6 = 18. Відповідь: 18.

§ 24. Площа трикутника 24.1 Сторона трикутника дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1. a = 9 см, h = 6 см; 2. a = 4 дм, h = 7 дм. 1 S△ = 𝑎𝑎ℎ. 2 1 𝟏𝟏. S = · 9 · 6 = 27 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 4 · 7 = 14 (дм²). 2 24.2 Нехай a – сторона трикутника, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1. a = 7 дм, h = 3 дм; 2. a = 5 см, h = 2 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 · 7 · 3 = 10,5 (дм²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 5 · 2 = 5 (см²). 2 24.3 Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють: 1. 5 см і 4 см; 2. 8 дм і 7 дм. 1 𝟏𝟏. S = · 5 · 4 = 10 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 8 · 7 = 28 (дм²). 2 24.4 Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють: 1. 6 см і 2 см; 2. 9 дм і 4 дм. 1 𝟏𝟏. S = · 6 · 2 = 6 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 9 · 4 = 18 (дм²). 2 24.5 Площа трикутника дорівнює 36 дм2, а одна з його висот – 8 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. SΔ = 36 дм2; ha = 8 дм; 1 · 𝑎𝑎 · ℎ𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑎𝑎 ; 2 1 · a · 8 = 36; 2

la. in.

𝟏𝟏. S =

4a = 36; a = 9 (дм). Відповідь: 9 дм. 24.6 Площа трикутника дорівнює 20 см2, а одна з його сторін – 8 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони. Sa = 20 см2; a = 8 см. 1 𝑆𝑆𝑎𝑎 = · 𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎 ; 2 1 20 = · 8ℎ𝑎𝑎 ; 2 20 = 4 · ℎ𝑎𝑎 ; ha = 5 (см). Відповідь: 5 см. 24.7 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 · 3 · 2 = 3 (см2 ); 2 1 𝟐𝟐. SΔMKL = · 2 · 2,5 = 2,5 (см2 ). 2 24.8 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

la. in.

𝟏𝟏. SΔABC =

1 · 2,5 · 4 = 5 (см2 ); 2 1 𝟐𝟐. SΔABC = · 3 · 2 = 3 (см2 ). 2 24.9 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а висота, проведена до основи, – 3 см. Знайдіть площу трикутника. 𝟏𝟏. SΔDEF =

Дано ΔABC: AB = BC = 5 см; BD ⊥ AC, BD = 3 см. AD = CD за властивістю висоти. З ΔABD AC = �AB² – BD² = �5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). 1 AD = AC = 4 см. 2 1 SΔABC = AC · BD = 4 · 3 = 12 (см2 ). 2 Відповідь: 12 см2. 24.10 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 7 см, а гіпотенуза – 25 см. Знайдіть площу трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай a і b — катети, c — гіпотенуза. a = 7 см, c = 25 см. a2 + b2 = c2; b = �c² – a² = �25² – 7² = �(25 – 7)(25 + 7) =

la. in.

= √18 · 32 = √9 · 2 · 2 · 16 = 3 · 2 · 4 = 24 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 7 · 24 = 84(см2 ). 2 2 Відповідь: 84 см2. 24.11 Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай a і a — катети, c = 8 см — гіпотенуза, a2 + a2 = c2; 2a2 = 82; 2a2 = 64; a2 = 32. 1 1 SΔ = 𝑎𝑎2 = · 32 = 16 (см2 ). 2 2 Відповідь: 16 см2. 24.12 Висота рівнобедреного прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу трикутника.

Висота h рівнобедреного прямокутного трикутника є медіаною, а медіана дорівнює половині гіпотенузи c: c = 2h. 1 1 SΔ = ℎ · 𝑐𝑐 = · 6 · 2 · 6 = 36 (см2 ). 2

Відповідь: 36 см2. 24.13 1. Діагоналі ромба дорівнюють 8 см і 10 см. Знайдіть площу ромба. 2. Використовуючи формулу площі прямокутного трикутника, виведіть формулу площі ромба через його діагоналі d1 і d2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — ромб, AC і BD — діагоналі. 1. AC = 10 см, BD = 8 см. 1 1 SABCD = SΔABC + SΔADC = AC · BO + DO · AC = 2 2 1 1 1 = AC (BO + DO) = AC · BD = · 10 · 8 = 40 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 40 см2. 2. AC = 𝑑𝑑1 , BD = 𝑑𝑑2 . 1 1 SABCD = SΔABC + SΔADC = AC · BO + DO · AC = 2 2 1 1 1 = AC (BO + DO) = AC · BD = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 . 2 2 2 1 2 1 Відповідь: d1d2.

24.14 Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 12 см і 6 см.

1 · 12 · 6 = 36 (см2 ). 2 24.15 У прямокутнику ABCD BD = 10 см. Вершина B віддалена від прямої AC на 3 см. Знайдіть площі трикутника ABC і прямокутника ABCD.

Sp =

AC = BD = 10 см як діагоналі прямокутника. BK ⊥ AC — відстань від вершини B до прямої AC, BK = 3 см. 1 1 SΔABC = AC · BK = · 10 · 3 = 15 (см2 ). 2 2 ΔABC = ΔCDA за двома катетами. SABCD = 2SΔABC = 2 · 15 = 30 (см2). Відповідь: 15 см2, 30 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

24.16 Сторона трикутника вдвічі більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа трикутника дорівнює 16 см2.

la. in.

Нехай сторона трикутника a, а висота, проведена до неї — ha. За умовою ha = x см, a = 2x см. 1 SΔ = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 16 = · 2𝑥𝑥 · 𝑥𝑥; 2 x2 = 16; x = 4 (x > 0). a = 2 · 4 = 8 (см). Відповідь: 8 см. 24.17 Висота трикутника в 4 рази більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа трикутника дорівнює 18 см2.

Нехай сторона трикутника a = x см, тоді висота, проведена до неї, — ha = 4x см. 1 SΔ = 𝑎𝑎 · ℎ𝑎𝑎 ; 2 1 18 = 𝑥𝑥 · 4𝑥𝑥; 2 2x2 = 18; x2 = 9; x = 3. ha = 4 · 3 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 24.18 На стороні AC трикутника ABC, площа якого дорівнює 12 см2, узято точку D так, що AD : DC = 1 : 2. Знайдіть площі трикутників ABD і DBC.

Трикутники ABD і DBC мають ту ж саму висоту BK, проведену до прямої AC, яка  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

містить сторони AD і DC. Тоді площі трикутників відносяться як ці сторони. SΔABD : SΔDBC = 1 : 2, SΔDBC = 2SΔABD. Оскільки SΔABD + SΔDBC = SΔABC = 12 см2, то SΔABD = 2SΔABD = 12; SΔABD = 4 (см2). SΔDBC = 2 · 4 = 8 (см2). Відповідь: 4 см2, 8 см2. 24.19 На стороні AB трикутника ABC, площа якого дорівнює 20 см2, узято точку K так, що AK : KB = 1 : 3. Знайдіть площі трикутників ACK і CKB.

Висоти трикутників ACK і CKB рівні, тому SΔACK : SΔCKB = AK : KB = 1 : 3, тобто SΔCKB = 3SΔACK. SΔABC = SΔACK + SΔCKB = SΔACK + 3SΔACK = 4SΔACK. За умовою 4SΔACK = 20; SΔACK = 5 см2. SΔCBK = 3 · 5 = 15 (см2). Відповідь: 5 см2, 15 см2. 24.20 ABCD – трапеція, AD || BC. Доведіть, що SACD = SABD.

1 AD · CK, де CK ⊥ AD. 2 1 SΔABD = AD · BM, де BM ⊥ AD. 2 Але CK = BM, як відстані між паралельними прямими AD і BC. Отже, SΔACD = SΔABD. 24.21 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 1 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.

SΔACD =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

У ΔABC AB = BC, AD ⊥ BC, BD = 4 см, DC = 1 см. BC = AB = BD + DC = 4 + 1 = 5 (см). З ΔABD AD = �AB² – BD² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см) (AD > 0). 1 1 SΔABC = BC · AD = · 5 · 3 = 7,5 (см2 ). 2 2 Відповідь: 7,5 см2. 24.22 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 6 см, починаючи від вершини при основі. Знайдіть площу трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD ⊥ BC, CD = 4 см, BD = 6 см. BC = AB = BD + DC = 6 + 4 = 10 (см). З ΔABD AD = �AB² – BD² = �10² – 6² = √100 – 36 = √64 = 8 (см) (AD > 0). 1 1 SΔABC = BC · AD = · 10 · 8 = 40 (см2 ). 2 2 Відповідь: 40 см2. 24.23 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Катети трикутника a = 6 см, b = 8 см, c — гіпотенуза, hc — висота, проведена до гіпотенузи. За теоремою Піфагора c2 = a2 + b2, c = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 6 · 8 = 24 (см2 ). 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 2SΔ 2 · 24 𝑐𝑐ℎc , звідки ℎc = = = 4,8 (см). 2 10 𝑐𝑐 Відповідь: 4,8 см. 24.24 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

la. in.

SΔ =

Катети трикутника a = 7 см, b = 24 см, c — гіпотенуза, hc — висота, проведена до гіпотенузи. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 7 · 24 = 84 (см2 ). 2 2 1 2SΔ 2 · 84 SΔ = 𝑐𝑐ℎc , звідки ℎc = = = 6,72 (см). 2 25 𝑐𝑐 Відповідь: 6,72 см. 24.25 У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

У ΔABC (∠C = 90°) N, P і K — точки дотику вписаного кола. AP = 9 см, BP = 6 см. ON ⊥ AC, OP ⊥ AB, OK ⊥ BC — радіуси вписаного кола. AN = AP = 9 см, BP = 6 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. СNОК — квадрат, CN = CK = x см. Тоді AC = (x + 9) см, BC = (x + 6) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. AB = AP + PB = 9 + 6 = 15 (см). 152 = (x + 9)2 + (x + 6)2; 225 = x2 + 18x + 81 + x2 + 12x + 36; 2x2 + 30x – 108 = 0; x2 = 12x – 54 = 0; x1 = 3, x2 = –18 – не задовольняє умові x > 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Отже, AB = 3 + 9 = 12 (см), BC = 3 + 6 = 9 (см). 1 1 SΔ = AC · BC = · 12 · 9 = 54 см2 2

Відповідь: 54 см . 24.26 У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 3 см і 5 см. Знайдіть площу трикутника.

la. in.

У ΔABC (∠C = 90°) N, P і K — точки дотику вписаного кола. AN = 5 см, NC = 3 см. ON ⊥ AC, PO ⊥ AB, OK ⊥ BC — радіуси вписаного кола. AP = AN = 5 см, BK = NC = 3 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. AC = AN + CN = 5 + 3 = 8 (см). СNОК — квадрат (PK ⊥ CB, AC ⊥ BC, тому PK ⊥ AC; ON ⊥ AC, BC ⊥ AC, тому ON ⊥ BC). СNОК — паралелограм з прямим кутом і рівними сусідніми сторонами, тобто квадрат. Нехай KB = PB = x см. Тоді AB = (x + 5) см, BC = (x + 3) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2, (x + 5)2 = (x + 3)2 + 82; x2 + 10x + 25 = x2 + 6x + 9 + 64; 10x – 6x = 73 – 25; 4x = 48; x = 12. Отже, BC = 3 + 12 = 15 (см). 1 1 SΔABC = AC · BC = · 8 · 15 = 60 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 60 см . 24.27 Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 6 см. Чи може площа трикутника дорівнювати: 1. 11 см2; 2. 12 см2; 3. 13 см2?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Площа трикутника SΔ = aha. 2

la. in.

Нехай, наприклад, a = 4 см, тоді ha < 6 см, оскільки висота менша за сторону, якщо вони виходять з однієї вершини, а 1 SΔ < · 4 · 6 = 12 (см). 2 Якщо дані сторони — катети прямокутного трикутника, то 1 SΔ = · 4 · 6 = 12 (см2 ). 2 Відповідь: 1. так; 2. так; 3. ні. 24.28 Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, яка є серединою відрізка AB. Знайдіть відношення площ трикутників AOC і BOD, якщо CO = 3 см, DO = 6 см.

Проведемо AK ⊥ OC, BP ⊥ OD — висоти трикутників AOC і BOD. ΔAOK = ΔBOP за гіпотенузою і гострим кутом (AO = BO за умовою, ∠AOK = ∠BOP як вертикальні). З рівності трикутників випливає, що AK = BP. 1 SΔAOC = CO · AK; 2 1 SΔBOD = OD · BP. 2 1 CO · AK SΔAOC CO = 2 = = 1 ∶ 2. 1 OD SΔBOD OD · BP 2 Відповідь: 1 : 2. 24.29 MN – середня лінія трикутника ABC, M ∈ AB, N ∈ AC. Знайдіть відношення площ трикутників AMN і ABC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

MN — середня лінія ΔABC, MN || BC, MN = BC. 2

la. in.

Проведемо AP ⊥ BC. Оскільки MN || BC, то за теоремою Фалеса K — середина AP. Отже, BC = 2MN, AP = 2AK. 1 MN · AK SΔAMN MN · AK 1 · 1 1 = 2 = – = . 1 2MN · 2AK 2 · 2 4 SΔABC BC · AP 2 Відповідь: 1 : 4. 24.30 Навколо кола, радіус якого дорівнює 3 см, описано квадрат. Знайдіть периметр і площу квадрата.

Сторона квадрата дорівнює діаметру вписаного кола: 2 · 3 = 6 (см). Pкв = 4 · 6 = 12 (см); Sкв = 62 = 36 (см2). Відповідь: 24 см, 36 см2. 24.31 Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 1 : 2. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 48 см.

ABCD — прямокутник, AP — бісектриса кута A, BD — діагональ, K — точка їх перетину. BK : KD = 1 : 2. ∠BPA = ∠PAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC і січній AP. Тоді в ΔABP ∠BAP = ∠BPA, AB = BP. ΔBKP ∼ ΔDKA за двома кутами (∠BPK = ∠KAD, ∠BKP = ∠AKD як вертикальні). BK : KD = 1 : 2 за умовою, тоді BP : AD = 1 : 2. Нехай AB = x см, тоді AD = 2x см. PABCD = 2(AB + AD) = 2(x + 2x) = 6x. За умовою 6x = 48 см, звідки x = 8 см. Отже, AB = 8 см, AD = 2 · 8 = 16 см. SABCD = AB · AD = 8 · 16 = 128 (см2). Відповідь: 128 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

24.32 Накресліть трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см, а висота – 4 см.

la. in.

24.33 Чавунна труба має квадратний перетин, її зовнішня ширина дорівнює 25 см, товщина стінок – 3 см. Яка маса одного погонного метра труби? Густина чавуну становить 7,3 г/см3.

1. 2 · 25 · 3 + 2 · (25 − 6) · 3 = 150 + 114 = 264 (см2) – площа перетину труби; 2. 264 · 100 = 26400 (см3) – об’єм труби; 3. 7,3 · 26400 = 192720 г = 192 кг 720 г – маса 1 метра труби. Відповідь: маса одного погонного метра труби 192 кг 720 г. 24.34 Стіна заввишки 3,5 м відкидає тінь завдовжки 5 м. Олександр Семенович, зріст якого 1 м 75 см, стоїть на відстані 10 м від краю тіні. Яку найменшу кількість кроків він має зробити, щоб повністю потрапити в тінь, якщо довжина його кроку 0,5 м?

Об'єкт і його тінь — це катети двох подібних трикутників. Знайдемо довжину тіні чоловіка. MK AC = ; KN CB 1,75 3,5 = ; KN 5 5 · 1,75 = 2,5 (м). KN = 3,5 Щоб повністю потрапити в тінь, Олександр Семенович повинен переміститися в бік  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

стіни на 10 м + 2,5 м = 12,5 м. Кількість кроків: 12,5 м : 0,5 = 25. Відповідь: 25 кроків.

la. in.

§ 25. Площа трапеції 25.1 Нехай a і b – основа трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1. a = 4 см, b = 8 см, h = 5 см; 2. a = 7 дм, b = 3 дм, h = 6 дм. 4 + 8 𝟏𝟏. S = · 5 = 30 (см²); 2 7 + 3 𝟐𝟐. S = · 6 = 30 (см²). 2 25.2 Нехай a і b – основа трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1. a = 5 см, b = 3 см, h = 4 см; 2. a = 1 дм, b = 9 дм, h = 8 дм. 5 + 3 · 4 = 16 (см²); 𝟏𝟏. S = 2 1 + 9 𝟐𝟐. S = · 8 = 40 (см²). 2 25.3 Знайдіть площу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 7 см, а висота – 6 см. S = 7 · 6 = 42 (см2). 25.4 Висота трапеції дорівнює 4 см, а середня лінія – 10 см. Знайдіть площу трапеції. S = 4 · 10 = 40 (см2). 25.5 Основи трапеції дорівнюють 7 см і 13 см, а її площа – 40 см2. Знайдіть висоту трапеції. 2S 2 · 40 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ, звідки ℎ = = = 4 (см). S = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 20 2 Відповідь: 4 см. 25.6 Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її основи – 8 см і 10 см. Знайдіть висоту трапеції. S = 36 см2, a = 8 см, b = 10 см. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2S 2 · 36 S = · ℎ, ℎ = = = 4 (см). 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 8 + 10 Відповідь: 4 см. 25.7 Висота трапеції дорівнює 6 см, а її площа – 24 см2. Знайдіть суму основ трапеції. h = 6 см, S = 24 см2. 2S 2 · 24 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ, ℎ = = = 8 (см). S = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 6 2 Відповідь: 8 см. 25.8 Висота трапеції дорівнює 8 см, а площа – 40 см2. Знайдіть середню лінію трапеції. h = 8 см, S = 40 см2. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

. Середня лінія 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑆𝑆 40 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; = = = 5 (см²). S = 2 ℎ 8 2 Відповідь: 5 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

25.9 Площа трапеції дорівнює 63 см2, одна з її основ – 5 см, а висота – 7 см. Знайдіть другу основу трапеції. S = 63 см2; a = 5 см, h = 7 см. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; S = 2 2S ; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ℎ 2 · 63 2S –a = – 5 = 13 (см). 𝑏𝑏 = 7 ℎ Відповідь: 13 см. 25.10 Одна з основ трапеції дорівнює 17 см, а її висота – 3 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 33 см2. a = 17 см, h = 3 см, S = 33 см2. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; S = 2 2S 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ; ℎ 2 · 33 2S – 𝑎𝑎 = – 17 = 5 (см). 𝑏𝑏 = 3 ℎ Відповідь: 5 см. 25.11 ABCD (AD || BC) – рівнобічна трапеція з тупим кутом B, BK – її висота, AK = 3 см, BC = 5 см, BK = 4 см. Знайдіть площу трапеції.

KD = BC + AK = 5 + 3 = 8 (см). AD + BC 3 + 8 + 5 SΔABC𝐷𝐷 = · BK = · 4 = 32 (см2 ). 2 2 Відповідь: 32 см2. 25.12 ABCD (AB || CD) – прямокутна трапеція з тупим кутом D, DK – висота трапеції, AK = 4 см, CD = 7 см, DK = 5 см. Знайдіть площу трапеції.

BA = CD + AK = 7 + 4 = 11 (см). AB + CD 11 + 7 · DK = · 5 = 45 (см2 ). SΔABCD = 2 2 Відповідь: 45 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

25.13 Площа прямокутної трапеції дорівнює 30 см2, її периметр – 28 см, а менша бічна сторона – 3 см. Знайдіть більшу бічну сторону.

la. in.

SABCD = 30 см2, PABCD = 28 см; AB = 3 см. AB ⊥ AD, отже, AB — висота трапеції. AD + BC SABCD = · AB, звідки 2 2SABCD 2 · 30 AD + BC = = = 20 (см). 3 AB PABCD = AB + BC + CD + AD; CD = PABCD – (AB + BC + AD) = 28 – (3 + 20) = 5 (см). Відповідь: 5 см. 25.14 Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 32 см, її бічна сторона – 5 см, а площа – 44 см2. Знайдіть висоту трапеції. Нехай a і b — основи трапеції, h — її висота, c — бічна сторона, c = 5 см. Pтр = 2c + a + b; a + b = Pтр – 2c = 32 – 2 · 5 = 22 (см). 2Sтр 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 · 44 Sтр = · ℎ, звідки ℎ = = = 4 (см). 2 22 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Відповідь: 4 см. 25.15 У трапеції ABCD менша основа AB дорівнює 6 см, а висота трапеції – 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо площа трикутника ADC дорівнює 40 см2.

ABCD — трапеція, AB ∥ CD. AK ⊥ CD, AK = 8 см — висота трапеції, AB = 6 см. 1 SΔADC = CD · AK, 2 2SΔADC CD = ; AK 2 · 40 CD = = 10 (см). 8 AB + CD 6 + 10 · AK = · 8 = 8 · 8 = 64 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 64 см2. 25.16 У трапеції ABCD основи AD і BC дорівнюють відповідно 10 см і 8 см. Площа трикутника ABD дорівнює 25 см2. Знайдіть площу трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 2SABCD 2 · 25 BP · AD, BP = = = 5 (см). 2 10 AD AD + BC 10 + 8 · BP = · 5 = 45 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 45 см2. 25.17 Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її висота – 6 см. Знайдіть основи трапеції, якщо вони відносяться як 1 : 3. a і b — основи трапеції, h — її висота. 2Sтр 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 · 36 Sтр = · h, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = = = 12 (см). 2 6 ℎ a : b = 1 : 3, тоді a = x см, b = 3x см. x + 3x = 12; 4x = 12; x = 3. a = 3 см, b = 3 · 3 = 9 (см). Відповідь: 3 см, 9 см. 25.18 Основи трапеції відносяться як 1 : 4. Знайдіть ці основи, якщо висота трапеції дорівнює 4 см, а площа трапеції – 50 см2. a : b = 1 : 4, h = 4 см, S = 50 см2. 2S 2 · 50 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · h, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = = = 25 (см). S = ℎ 4 2 a = x см, b = 4x см; x + 4x = 25; 5x = 25; x = 5. a = 5 см, b = 4 · 5 = 20 (см). Відповідь: 5 см, 20 см. 25.19 Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють a см і b см, а бічна сторона завдовжки c см утворює з меншою основою кут 150°.

la. in.

SΔABD =

∠D = 180° − ∠C = 180° − 150° = 30°. 1 𝑐𝑐 Тоді CP = ℎ = CD = (см) (як катет, що лежить проти кута 30°). 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AD + BC 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑐𝑐 · h = · = (см2 ). 2 2 2 4 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑐𝑐 2 Відповідь: (см ). S =

25.20 У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 6 см й утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Знайдіть площу трапеції, якщо її тупий кут дорівнює 135°.

la. in.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, BC = 6 см. ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 135°, ∠BCA = 45°. У ΔABC (∠B = 90°) ∠BCA = 45°, тоді ∠BAC = 45°, AB = BC = 6 см. ∠BCA = ∠CAD = 45° як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC і січній AC. У ΔACD ∠ACD = ∠BCD − ∠BCA = 135° − 45° = 90°. Тоді ∠D = 45°, AC = CD. AB 12 √2 З ΔABC AC = = 6∶ = (см), sin 45° 2 √2 12 CD = AC = (см). √2 1 1 1 1 12 12 SABCD = SΔABC + SΔACD = AB · BC + AC · CD = · 6 · 6 + · · 2 2 2 2 √2 √2 = 18 + 36 = 54 (см2 ). Відповідь: 54 см2. 25.21 У прямокутній трапеції менша бічна сторона дорівнює 4 см й утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Гострий кут трапеції також дорівнює 45°. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, AD ∥ BC, AB = 4 см, ∠A = ∠B = 90°, ∠BCA = 45°, ∠D = 45°. ΔABC — рівнобедрений, AB = CB = 4 см (∠A = 45°, ∠B = 90° − 45° = 45°). ∠BCA = ∠CAD = 45° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD і січній AC). Тоді ∠ACD = 90°. ΔACD — рівнобедрений, AC = CD. AB 4 · 2 8 З ΔABC AC = = = (см). sin 45° √2 √2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

CD = AC =

√2

см.

1 1 1 1 8 8 AB · BC + AC · CD = · 4 · 4 + · · 2 2 2 2 √2 √2 = 8 + 16 = 24 (см2 ). Відповідь: 24 см2. 25.22 Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а більша основа – 12 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см.

la. in.

SABCD = SΔABC + SΔACD =

ABCD — трапеція, BC ∥ AC, ∠A = ∠B = 90°, BC = 4 см, AD = 12 см, BD = 13 см. З ΔABD AD = �BD² − AB² = �13² − 12² = �(13 − 12) (13 + 12) = √25 = 5 (см) — висота трапеції. AD + BC 4 + 12 SABCD = · AB = · 5 = 40 (см2 ). 2 2 Відповідь: 40 см2. 25.23 Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 17 см, а висота – 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 5 см.

ABCD — трапеція, ∠C = ∠D = 90°, BC = 5 см, AC = 17 см. З ΔACD AD = �AC² − CD² = �17² − 8² = �(17 − 8) (17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). BC + AD 5 + 15 SABCD = · CD = · 8 = 80 (см2 ). 2 2 Відповідь: 80 см2. 25.24 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 38 см і 52 см, а бічна сторона – 25 см. Знайдіть площу трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD = 25 см, BC = 38 см, AD = 52 см. BP ⊥ AD і CK ⊥ AD — висоти трапеції. AD − BC 52 − 38 AP = KD = = = 7 (см). 2 2 З ΔABP: BP = �AB² − AP² = �25² − 7² = �(25 − 7)(25 + 7) = √18 · 32 = √9 · 2 · 2 · 16 = 3 · 2 · 4 = 24 (см). AD + BC 52 + 38 · BP = · 24 = 1080 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 1080 см2. 25.25 Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см, бічна сторона – 13 см, а висота – 12 см. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD = 13 см, AD = 18 см, BP = CK = 12 см. З ΔABP: AP = �AB² − BP² = �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (см). KD = AP = 5 см, PK = BC = AD − 2AP = 18 − 2 · 5 = 8 (см). BC + AD 8 + 18 SABCD = · BP = · 12 = 156 (см2 ). 2 2 Відповідь: 156 см2. 25.26 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 6 см, бічна сторона – 5 см, а висота – 3 см. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, BC = 6 см, AB = CD = 5 см, BP ⊥ AD — висота, BP = 3 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

З ΔABP: AP = �AB² − BP² = �5² − 2² = √25 − 9 = √16= 4 (см). AD = AP + PK + KD = AP + BC + AP = 4 + 6 + 4 = 14 (см). AD + BC 14 + 6 SABCD = · BP = · 3 = 30 (см2 ). 2 2 Відповідь: 30 см2. 25.27 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

MNPK — трапеція, NP ∥ MK, NP = 10 см. Діагоналі NK і MR перетинаються в точці O. Проведемо OR ⊥ NP і OB ⊥ MK, O ∈ RB. OR = 2 см, OB = 3 см, RB = OR + OB = 2 + 3 = 5 (см) — висота трапеції. ΔNOP ∼ ΔMOK за двома кутами (∠NOP = ∠MOK як вертикальні, ∠NPM = ∠PMK як внутрішні різносторонні при NP ∥ MK і січній MP). NP OR Тоді = ; MK OB 10 · 3 NP · OB = = 15 (см). MK = 2 OR NP + MK 10 + 15 · RB = · 5 = 62,5 (см2 ). SΔMNPK = 2 2 Відповідь: 62,5 см2. 25.28 Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 см і 6 см. Знайдіть площу трапеції.

MNPK — трапеція, NP ∥ MK, MK = 18 см. Діагоналі NK і MP перетинаються в точці O. Проведемо OR ⊥ NP і OB ⊥ MK, O ∈ RB. OR = 5 см, OB = 6 см, RB = 5 + 6 = 11 (см) — висота трапеції. ΔNOP ∼ ΔMOK за двома кутами (∠NOP = ∠MOK як вертикальні, ∠NPM = ∠PMK як внутрішні різносторонні при NP ∥ MK і січній MP).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

NP OR = ; MK OB 18 · 5 MK · OR = = 15 (см). NP = 6 OB MK + NP 18 + 15 · RB = · 11 = 181,5 (см2 ). SΔMNPK = 2 2 2 Відповідь: 181,5 см . 25.29 Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює h см. Знайдіть площу трапеції.

la. in.

Тоді

Проведемо висоту PK = h через точку перетину діагоналей O. Прямокутні трикутники AOD і BOC — рівнобедрені (з основами AD і BC). Тому їх висоти OP і OK є також медіанами. Тоді за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи 1 1 OK = AD, OP = BC. 2 2 AD + BC AD BC SΔABCD = · PK = � + � · PK = 2 2 2 2 = (OK + OP) · PK = PK · PK = PK = ℎ2 . Відповідь: h2. 25.30 Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, а основи дорівнюють 10 см і 4 см.

Проведемо висоту PK через точку перетину діагоналей O. Прямокутні трикутники AOD і BOC — рівнобедрені з основами AD і BC. Тоді їх висоти OK і OP є також медіанами. За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, 1 1 OK = AD = · 10 = 5 (см); 2 2 1 1 OP = BC = · 4 = 2 (см). 2 2 PK = OK + OP = 5 + 2 = 7 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

AD + BC 10 + 4 · PK = · 7 = 49 (см2 ). 2 2 Відповідь: 49 см2. 25.31 Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

SΔABCD =

la. in.

ABCD — трапеція (BC || AD), ∠A = ∠B = 90°. Проведемо висоти PK (через центр вписаного кола) і CM. ON ⊥ CD — радіус, проведений в точку дотику, CM = 1 см, ND = 4 см. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, CN = PC = 1 см, KD = ND = 4 см. PCMК — прямокутник (PK || CM, PK = CM, ∠K = 90°), тоді KM = PC = 1 см. MD = KD − KM = 4 − 1 = 3 (см). З ∆CMK CM = �CD² − MD² = �5² − 3² = √25 − 9 = √16 = 4 (см). PK = CM = 4 см, 1 ON = PK = 2 см (як радіуси).

AK = BP = 2 см. BC = BP + PC = 2 + 1 = 3 (см); AD = 2 + 4 = 6 (см). BC + AD 3 + 6 SΔABCD = · CM = · 4 = 18 (см2 ). 2 2 Відповідь: 18 см2. 25.32 Обчисліть суму кутів опуклого 17-кутника. 180° · (17 − 2) = 180° · 15 = 2700°. 25.33 Скільки плиток квадратної форми зі стороною 20 см знадобиться, щоб викласти ними підлогу в кімнаті прямокутної форми, довжина якої 4,6 м, а ширина 3,4 м? 1. 4,6 · 3,4 = 15,64 (м2) — площа кімнати; 2. 20 см = 0,2 м2 · (0,2 м)2 = 0,04 м2 — площа однієї плитки; 3. 15,64 : 0,04 = 391 (шт.). Відповідь: 391 шт. 25.34 Один з кутів ромба на 120° більший за другий, а сторона ромба дорівнює 6 см. Знайдіть площу ромба.

ABCD — ромб, AB = BC = CD = AD = 6 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

∠A = ∠B + 120°. Нехай ∠B = x, тоді ∠A = x + 120°. x + x + 120° = 180; 2x = 60; x = 30°. Отже, ∠B = 30°. 1 Тоді висота AK = AB = 3 см (як катет, що лежить проти кута 30°). 2

la. in.

SABCD = BC · AK = 6 · 3 = 18 (см2). Відповідь: 18 см2. 25.35 Скільки кілограмів фарби потрібно, щоб пофарбувати паркан з одного боку, якщо для фарбування 1 м2 паркану витрачається 250 г фарби?

1. 12 · 3 = 36 (м2) — площа прямокутної частини паркана; 2. (12 · 1) : 2 = 6 (м2) — площа трикутної частини паркана; 3. 36 + 6 = 42 (м2) — площа паркана; 4. 42 · 250 = 10500 г = 10 кг 500 г — усього фарби. Відповідь: потрібно 10 кг 500 г фарби. 25.36 З трьох квадратів, довжина сторони кожного з яких є цілим числом сантиметрів, складено прямокутник, площа якого 150 см2. Знайдіть периметр прямокутника.

Квадрати не можуть бути однаковими, бо 150 : 2 = 50, не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 50. 150 = 2 · 5 · 5 · 3. Існує єдиний спосіб подати число 150 у вигляді суми трьох квадратів: 150 = 25 + 25 + 100 = 52 + 52 + 102. P = 2 · (10 + 15) = 2 · 25 = 50 (см). Відповідь: 50 см. Домашня самостійна робота 5 (§§ 21–25) 1. На якому з малюнків зображено п’ятикутник, описаний навколо кола? А. 1; Б. 2; В. 3; Г. 4.

Відповідь: Б.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 7 см і 4 см. А. 28 см; Б. 22 см; В. 28 см2; Г. 11 см2. S = 7 ⋅ 4 = 28 (см2). Відповідь: В. 28 см2. 3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 5 см. А. 40 см2; Б. 26 см2; В. 20 см2; Г. 13 см2. S = 8 ⋅ 5 = 40 (см2). Відповідь: А. 40 см2. 4. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 10-кутника. А. 360°; Б. 1800°; В. 1620°; Г. 1440°. 180°(10 − 2) = 180° ⋅ 8 = 1440°. Відповідь: Г. 1440°. 5. Знайдіть сторону трикутника, якщо його площа дорівнює 24 см², а висота, проведена до цієї сторони, – 6 см. А. 4 см; Б. 18 см; В. 8 см; Г. 12 см. 1 S = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 ⋅ 6𝑎𝑎 = 24; 2 3a = 24; a = 8 (см). Відповідь: В. 8 см. 6. Одна з основ трапеції дорівнює 5 см, а її висота – 4 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 28 см². А. 11 см; Б. 2 см; В. 7 см; Г. 9 см. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 S = ⋅ h; 2 5 + 𝑏𝑏 ⋅ 4 = 28; 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5 + b = 14; b = 9 (см). Відповідь: Г. 9 см. 7. Прямокутник, сторони якого дорівнюють 16 дм і 9,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки отримали квадратів? А. 612; Б. 608; В. 51; Г. 618. 1. S1 = 16 ⋅ 9,5 = 152 (дм2). 2. S2 = 0,52 = 0,25 (дм2). 3. n = S1 : S2 = 152 : 0,25 = 608 (квадратів). Відповідь: Б. 608. 8. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а висота – 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см. А. 50 см2; Б. 52,5 см2; В. 100 см2; Г. 62,5 см2.

1. AB = 5 см — висота трапеції й бічна сторона. 2. У △ABD: AD = �BD² − AD² = �13² − 5² = 12 (см). 12 + 8 AD + BC ⋅ AB = ⋅ 5 = 50 (см2 ). 𝟑𝟑. S = 2 2 Відповідь: А. 50 см2. 9. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см. А. 80 см2; Б. 20 см2; В. 40 см2; Г. 36 см2.

Нехай ABCD заданий ромб. Діагоналі: AC = 10 см, BD = 8 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Згідно означення ромба усі його сторони рівні. Тому, його діагональ ділить ромб на два рівних трикутники (△ABD = △BCD). Тому: SABCD = SABD + SBCD = 2SABD

Згідно властивості ромба. Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

AO = OC = AC : 2 = 5 см. Площа трикутника: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ A𝑂𝑂 8 ⋅ 5 = = 20 см2 2 2

Тоді площа ромба:

la. in.

SABCD = 2 ∙ 20 = 40 см2.

Відповідь: В. 40 см2. 10. У прямокутному трикутнику гіпотенуза точкою дотику вписаного кола ділиться на відрізки 3 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника. А. 60 см2; Б. 50 см2; В. 40 см2; Г. 30 см2.

1. За властивістю відрізків дотичних маємо: BM = BK = 3 см; AL = AK = 10 см. 2. Позначимо MC = CL = x см. 3. У △ABC: AB2 = BC2 + CA2; 132 = (3 + x)2 + (10 + x)2; 169 = 9 + 6x + x2 + 100 + 20x + x2; 2x2 + 26x – 60 = 0; x2 + 3x – 30 = 0. D = 132 – 4 ⋅ 1 ⋅ (−30) = 289 =172. −13 + 17 𝑥𝑥1 = = 2 (см); 2 −13 − 17 𝑥𝑥2 = < 0 − не задовольняє умову. 2 4. Тоді BC = 2 + 3 = 5 (см); AC = 2 + 10 = 12 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 AC ⋅ BC = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: Г. 30 см . 11. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції. А. 75 см2; Б. 50 см2; В. 100 см2; Г. 150 см2.

la. in.

𝟓𝟓. S =

1. △BOC ∼ △DOA (за двома кутами). BO BC Тому = . OD AD 2. △BKO ∼ △DLO (за двома кутами). KO BO = . Тому LO OD BC BO KO BO = і = , тому 𝟑𝟑. Маємо AD OD LO OD KO BC = . LO AD 4. За умовою AD = 12 см; OK = 2 см; OL = 3 см. BC 2 Тоді = ; BC = 8 (см). 12 3 5. KL = KO + OL = 2 + 3 = 5 (см). AD + BC 12 + 8 𝟔𝟔. S = ⋅ KL = ⋅ 5 = 50 (см2 ). 2 2 Відповідь: Б. 50 см2. 12. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 9 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, – 7 см. Знайдіть площу паралелограма. А. 108 см2; Б. 48 см2; В. 36 см2; Г. 27 см2.

 shkola.in.ua

1. Нехай BK і BL — висоти паралелограма. Позначимо BK = x см, тоді BL = 7 − x (см). 2. S = AD ⋅ BK = CD ⋅ BL; 12 ⋅ x = 9(7 − x); 12x = 63 − 9x; 21x = 63; x = 3 (см). 3. S = 12 ⋅ 3 = 36 (см2). Відповідь: Б. 36 см2.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

A. 5 Б. 6 B. 7 Г. 8

la. in.

13. Установіть відповідність між інформацією про многокутник (1−3) та кількістю його сторін (А−Г). Інформація про многокутник 1. Сума внутрішніх кутів дорівнює 900∘ 2. Усі зовнішні кути рівні між собою і 6 становлять по 45∘ 3. Многокутник має 9 діагоналей Кількість сторін многокутника 1. Формула суми внутрішніх кутів многокутника: 𝑆𝑆 = 180° ⋅ (𝑛𝑛 − 2)

180° ⋅ (𝑛𝑛 − 2) = 900°

𝑛𝑛 − 2 = 5 ⇒ 𝑛𝑛 = 7 → В. 7 сторін

2. Сума всіх зовнішніх кутів будь-якого опуклого многокутника = 360°

360° 45°

= 8 → Г. 8 сторін

3. Формула кількості діагоналей: 𝐷𝐷 =

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) 2

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 9 ⇒ 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 18 2

6 ⋅ (6 − 3) = 6 ⋅ 3 = 18 → Б. 6 сторін

Відповідь:1 → В; 2 → Г; 3 → Б.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Завдання для перевірки знань до §§ 21–25 1. Накресліть коло, впишіть у нього п’ятикутник та опишіть навколо нього семикутник. П'ятикутник, вписаний у коло; семикутник, описаний навколо кола.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 9 см. S = 6 ⋅ 9 = 54 (см2) 3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 7 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 4 см. S = 7 ⋅ 4 = 28 (см2) 4. Обчисліть суму кутів опуклого 15-кутника. 180°(15 − 2) = 180° ⋅ 13 = 2340°. 5. Площа трикутника дорівнює 30 см2, а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони. 1 S = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 30 = ⋅ 12 ⋅ ℎ; 2 6h = 30; h = 5 (см). 6. Площа трапеції дорівнює 35 см2, одна з її основ – 8 см, а висота – 7 см. Знайдіть другу основу трапеції. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ h; S = 2 8 + 𝑏𝑏 35 = ⋅ 7; 2 b + 8 = 10; b = 2 (см) 7. Прямокутник, сторони якого 12 дм і 7,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів? 1. S1 = 12 ⋅ 7,5 = 90 (дм2) 2. S2 = 0,52 = 0,25 (дм2) 3. n = S1 : S2 = 360 (квадратів) Відповідь: 360 квадратів. 8. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 6 см і 12 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Нехай ABCD заданий ромб. Діагоналі: AC = 12 см, BD = 6 см.

la. in.

Згідно властивості ромба. Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл: AO = OC = AC : 2 = 6 см. Площа трикутника: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ A𝑂𝑂 6 ⋅ 6 = = 18 см2 2 2

Тоді площа ромба:

SABCD = 2 ∙ 18 = 36 см2.

Відповідь: 36 см2. 9. Менша основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

1. △BOC ∼ △DOA (за двома кутами). BO BC Тому = . OD AD 2. △BKO ∼ △DLO (за двома кутами). KO BO = . Тому LO OD BC BO KO BO = і = , тому 𝟑𝟑. Маємо AD OD LO OD

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

KO BC = . LO AD

la. in.

4. За умовою BC = 12 см; OK = 3 см; OL = 5 см. 12 3 Тоді = ; AD = 20 (см). AD 5 5. KL = KO + OL = 3 + 5 = 8 (см). AD + BC 20 + 12 𝟔𝟔. S = ⋅ KL = ⋅ 8 = 128 (см2 ). 2 2 10. Відношення площ двох квадратів дорівнює 7. Знайдіть відношення їхніх периметрів. 1. Нехай a — сторона першого квадрата, b — сторона другого. 𝑎𝑎² = 7; 𝟐𝟐. Тоді за умовою 𝑏𝑏² 𝑎𝑎 = √7. 𝑏𝑏 4𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑃𝑃₁ = = = √7. 𝟑𝟑. 4𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑃𝑃₂ Відповідь: √7. 11. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а сума двох його суміжних сторін – 22 см. Знайдіть площу паралелограма.

1. BK і BL — висоти паралелограма. 2. Позначимо AD = x см, тоді BC = 22 − x см. 3. S = AD ⋅ BK = CD ⋅ BL; x ⋅ 5 = (22 – x) ⋅ 6; 5x = 132 – 6x; 11x = 132; x = 12 (см). 4. S = 12 ⋅ 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Вправи для повторення розділу 4 1. Накресліть опуклий п’ятикутник A1A2A3A4A5 та неопуклий шестикутник B1B2B3B4B5B6. Проведіть усі діагоналі в п’ятикутнику, обчисліть їхню кількість.

П’ятикутник має 5 діагоналей (за формулою 5 ⋅ 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = = 5, 2 2 де 𝑛𝑛 — кількість сторін (кутів, вершин)).

2. Накресліть коло. Впишіть у нього та опишіть навколо нього будь-які многокутники з однаковою кількістю сторін.

Чотирикутник вписаний у коло та чотирикутник описаний навколо кола. 3. Усі зовнішні кути п’ятикутника між собою рівні. Скільки градусів мають внутрішні кути цього п’ятикутника? Якщо зовнішні кути п’ятикутника рівні, то і суміжні з ними внутрішні кути теж рівні. 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540° — сума всіх кутів п’ятикутника. 540° : 5 = 108° — внутрішній кут. Відповідь: 108°. 4. Знайдіть, скільки діагоналей у восьмикутника. 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) — кількість діагоналей 𝑛𝑛– кутника. 2 8 · 5 8 · (8 − 3) = = 20. Якщо 𝑛𝑛 = 8, то 2 2 Відповідь: 20. 5. Усі внутрішні кути n-кутника дорівнюють по 135°. Знайдіть n.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Сума всіх внутрішніх кутів многокутника дорівнює 180°(n − 2) або 135° · n за умовою. 180(n − 2) = 135n; 180n − 135n = 360; 45n = 360; n = 8. Відповідь: 8. 6. Як зміниться сума внутрішніх кутів опуклого многокутника, якщо кількість його сторін збільшиться на дві? Сума внутрішніх кутів опуклого n–кутника дорівнює 180°(n − 2) = 180°n − 360°. Якщо кількість сторін збільшити на дві, то сума дорівнюватиме 180(n + 2 − 2) = 180n, тобто збільшиться на 360°. Відповідь: збільшиться на 360°. 7. Сума кутів опуклого n-кутника у k разів більша за суму кутів опуклого (n − 1)-кутника (k – натуральне число). Знайдіть k. 180°(n − 2) = 180°n − 360° — сума кутів n–кутника. 180°(n − 1 − 2) = 180°n − 180° · 3 = 180°n − 540° — сума кутів (n − 1)–кутника. За умовою 180°n − 360° = k(180°n − 540°). 180°𝑛𝑛 − 360° 𝑘𝑘 = ; 180°𝑛𝑛 − 540° 180°(𝑛𝑛 − 2) ; 𝑘𝑘 = 180°(𝑛𝑛 − 3) 𝑛𝑛 − 2 𝑘𝑘 = ; 𝑛𝑛 − 3 k приймає натуральне значення, якщо n − 3 = 1, тобто при n = 4. Тоді k = 2. Відповідь: 2.

8. Порівняйте площу квадрата зі стороною 6 см із площею прямокутника зі сторонами 4 см і 9 см. Sкв = 62 = 36 (см2); Sпр = 4 · 9 = 36 (см2). Sкв = Sпр. 9. 1. Накресліть довільний прямокутник, площа якого 12 см2. 2. Накресліть квадрат, площа якого 9 см2. 1. 12 = 3 · 4 = 2 · 6 = 1 · 12; 2. 9 = 32. Значить, можна накреслити прямокутники зі сторонами 3 і 4, 2 і 5 або 1 і 12 та квадрат зі стороною 3 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

10. На продовженні сторони AD квадрата ABCD за вершину A взято точку P, CP = 10 см, ∠CPD = 30°. Знайдіть площу квадрата.

У ΔCPD ∠D = 90°, CP = 10 см, ∠CPD = 30°. 1 1 Тоді CD = CP = · 10 = 5 (см) як катет, що лежить проти кута 30°. 2

SABCD = CD = 5 = 25 (см2). Відповідь: 25 см2. 11. 1. Периметр квадрата дорівнює P см. Знайдіть його площу. 2. Площа квадрата дорівнює S см2. Знайдіть його периметр. 3. Площа квадрата чисельно дорівнює його периметру. Знайдіть сторону квадрата. 1. P = 4a, де a — сторона квадрата. P 𝑎𝑎 = см. 4 P² P 2 (см²). S = 𝑎𝑎² = � � = 16 4 P² Відповідь: см2. 2

2. Sкв = a ; a = �Sкв . 2

P = 4a = 4�Sкв .

Відповідь: 4�Sкв . 3. Sкв = Pкв; a2 = 4a; a = 4. Відповідь: 4. 12. На малюнку зображено геометричне доведення формули (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Поясніть його.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Площа квадрата зі стороною (a + b) дорівнює (a + b)2. Інакше, квадрат складається з двох квадратів і двох прямокутників. Тоді його площа дорівнює сумі площ частин: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Отже, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 13. Скільки треба плиток прямокутної форми зі сторонами 30 см і 20 см, щоб викласти ними частину стіни, що має форму прямокутника зі сторонами 2,4 м і 3,6 м? 1. 2,4 · 3,6 = 8,64 (м2) — площа стіни; 2. 30 см · 20 см = 0,3 м · 0,2 м = 0,06 м2 — площа однієї плитки; 3. 8,64 : 0,06 = 144. Відповідь: 144. 14. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть площу цього прямокутника. Скільки розв’язків має задача?

AK — бісектриса кута A прямокутника ABCD. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AK. Але ∠KAD = ∠BAK, тоді ΔABK — рівнобедрений з основою AK, AB = BK. Можливі два випадки. 1. AB = BK = 4 см, KC = 5 см. BC = 4 + 5 = 9 см. SABCD = AB · BC = 4 · 9 = 36 (см2).

2. AB = BK = 5 см, KC = 4 см. SABCD = AB · BC = 5 · 9 = 45 (см2). Відповідь: 36 см2 або 45 см2. 15. У прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат MNKL так, що точки N і K належать гіпотенузі (причому N лежить між A і K), M належить AC, L належить BC. AN = m, KB = n. Знайдіть площу квадрата.

 shkola.in.ua

la. in.

Позначимо сторону квадрата x. ΔAMN і ΔLBK — прямокутні. ∠AMN = 90° – ∠A, ∠B = 90° – ∠A. Тоді ΔAMN ~ ΔLBK за двома кутами, тому AN LK = ; MN KB 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = ; 𝑛𝑛 𝑥𝑥 x2 = mn. SMNKL = x2, отже, SMNKL = nm. Відповідь: nm.

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

16. Накресліть паралелограм, одна зі сторін якого дорівнює 4 см, а висота, проведена до неї, – 2 см. Знайдіть площу паралелограма.

S = h ∙ a = 4 · 2 = 8 (см2). 17. Знайдіть площу ромба ABCD, у якого AB = 4 см, а висота, проведена до сторони BC, дорівнює 3 см.

У ромбі всі сторони рівні AB = BC = CD = DA = 4 см S = BC · hBC = 4 · 3 = 12 (см2).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

CD = AB = 4 см як протилежні сторони. 1 З ΔCDE CE = CD cos 60° = 4 · = 2 (см). 2

18. У паралелограмі ABCD ∠B – тупий, CE – висота паралелограма, ∠DCE = 60°, AD = 5 см, AB = 4 см. Знайдіть площу паралелограма.

la. in.

SABCD = AD · CE = 5 · 2 = 10 (см2). Відповідь: 10 см2. 19. Чи існує паралелограм, у якого: 1. сторони дорівнюють 6 см і 8 см, а висоти – 3 см і 4 см; 2. сторони дорівнюють 9 см і 6 см, а висоти – 4 см і 2 см? S = aha = bhb. 1. aha = 6 · 4 = 24 (см2); bhb = 8 · 3 = 24 (см2). Відповідь: так.

2. 9 · 4 ≠ 6 · 2; 9 · 2 ≠ 4 · 4. Відповідь: ні. 20. Квадрат і ромб мають рівні між собою сторони, а тупий кут ромба дорівнює 150°. Яка з фігур має більшу площу? У скільки разів?

Нехай сторони квадрата і ромба дорівнюють a см. Площа квадрата S1 = a2 см2. В ромбі ABCD ∠A = 180° – ∠B = 180° – 150° = 30°. BK ⊥ AD. 𝑎𝑎 З ΔABK BK = AB sin ∠A = a sin 30° = (см). 2

𝑎𝑎 𝑎𝑎² Площа ромба S2 = AD · BK = 𝑎𝑎 = . 2 2 𝑎𝑎² S1 ∶ S2 = 𝑎𝑎² ∶ ( ) = 2. 2 Відповідь: площа квадрата у 2 рази більша. 21. У паралелограмі ABCD гострий кут дорівнює 30°, а бісектриса цього кута, перетинаючи сторону, ділить її навпіл. Знайдіть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 24 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — паралелограм, ∠A = 30°, AK — бісектриса кута A, BK = KC. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AK. Але ∠BAK = ∠KAD за умовою. Тоді ∠BAK = ∠BKA. ΔABK — рівнобедрений з основою AK, AB = BK. За умовою BK = KC, тоді BC = 2AB. PABCD = 2(AB + BC) = 2(AB + 2AB) = 2 · 3AB = 6AB. За умовою 6AB = 24 см, отже AB = 4 см. BC = 2AB = 2 · 4 = 8 (см). BP ⊥ AD — висота паралелограма. BP З ΔABP sin ∠A = ; AB 1 BP = AB · sin ∠A = 4 sin 30° = 4 = 2 (см). 2 SABCD = AD · BP = BC · BP = 8 · 2 = 16 (см2). Відповідь: 16 см2. 22. У ромб ABCD вписано коло, радіус якого 8 см. K – точка дотику кола до сторони AB. Знайдіть площу ромба, якщо AK : KB = 1 : 4.

ABCD — ромб. KP — висота, K і P — точки дотику вписаного кола. KO = OP = 8 см. KP = 2 · 8 = 16 (см). У ΔAOB ∠O = 90° (діагоналі перпендикулярні). За умовою AK : KB = 1 : 4, тоді AK = x см, KB = 4x см. OK2 = AK · KB; 82 = x · 4x; 4x2 = 64; x2 = 16; x = 4 (x > 0), AK = 4 см, KB = 4 · 4 = 16 (см). AB = AK + KB = 4 + 16 = 20 (см). SABCD = AB · KP = 20 · 16 = 320 (см2). Відповідь: 320 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 · 𝑎𝑎 · h = · 3 · 4 = 6(см2 ). 2 2

la. in.

23. Накресліть три різних трикутники (гострокутний, прямокутний і тупокутний), у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 3 см, а висота, проведена до неї, – 4 см. Знайдіть площу кожного з трикутників.

24. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 9 см, а висота, проведена до більшої з них, – 4 см. Знайдіть висоту, проведену до меншої з них.

Нехай a = 6 см, b = 9 см, hb = 4 см (b > a). 1 1 SΔ = 𝑏𝑏ℎb = · 9 · 4 = 18 (см2 ); 2 2 1 SΔ = 𝑏𝑏ℎ𝑎𝑎 ; 2 2SΔ 2 · 18 ℎ𝑎𝑎 = = = 6 (см). 6 𝑎𝑎 Відповідь: 6 см. 25. У трикутнику ABC ∠C = 135°, AC = 4 см, BD – висота трикутника, CD = 3 см. Знайдіть площу трикутника.

∠BCD = 180° – ∠BCA = 180° – 135° = 45° (як зовнішній кут). ΔТоді ABCD — рівнобедрений, BD = CD = 3 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 AC · BD = · 4 · 3 = 6 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 6 см . 26. У трикутнику проведено всі середні лінії. Доведіть, що площа кожного із чотирьох 1 трикутників, які утворилися, дорівнює площі початкового трикутника. 4

SΔABC =

la. in.

У ΔABC MN, NK, MK — середні лінії. 1 Тоді MN = AC = AK = KC; 2 1 NK = AB = AM = BM; 2 1 MK = BC = BN = CN. 2 Тоді ΔAMK = ΔMBN = ΔKNC = ΔNKM — за трьома сторонами. Оскільки площа трикутника ABC дорівнює сумі площ цих чотирьох рівних трикутників, 1 то площа кожного з них дорівнює площі ΔABC. 4

27. CK – медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою AB. На цій медіані вибрано деяку точку M. Доведіть, що SAMC = SBMC.

У ΔABC AC = BC. Медіана CK є бісектрисою кута C: ∠ACM = ∠BCM. Тоді ΔAMC = ΔBMC (за двома сторонами і кутом між ними (CM — спільна сторона)). Оскільки рівні фігури мають рівні площі, то SΔAMC = SΔBMC. 28. Накресліть трапецію, основи якої 4 см і 2 см, а висота – 3 см. Знайдіть площу цієї трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

4 + 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ= · 3 = 9(см2 ). 2 2

la. in.

29. Площа трапеції дорівнює 32 см2, а її середня лінія – 8 см. Знайдіть висоту трапеції. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ — площа трапеції, S = 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 — її середня лінія 𝑚𝑚. 2 32 𝑆𝑆 = = 4 (см). Тоді S = 𝑚𝑚ℎ, звідки ℎ = 8 𝑚𝑚 Відповідь: 4 см. 30. Знайдіть площі трапецій, зображених на малюнках. Довжина однієї клітинки дорівнює 0,5 см.

1 + 3 · 2,5 = 5 (см2 ). 2 2 + 3 𝟐𝟐. SMNKP = · 3 = 7,5 (см2 ). 2 1,5 + 3 · 2 = 4,5 (см2 ). 𝟑𝟑. SEFGH = 2 31. Висоти, проведені з вершин меншої основи рівнобічної трапеції, ділять більшу основу на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа й висота дорівнюють по a см.

𝟏𝟏. SABCD =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

ABCD — трапеція, BC || AD, AB = CD. BP ⊥ AD, CK ⊥ AD — висоти, BC = BP = CK = a см. Оскільки AP = KD, то AP + KD = PK. PBCK — прямокутник (PB || CK, PB = CK, BP ⊥ PK). Тоді PK = a см, значить 1 𝑎𝑎 AP = KD = PK = (см). 2 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + = 2𝑎𝑎 (см). AD = 2 2 BC + AD 𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 3𝑎𝑎² ⋅ CK = ⋅ a = (см2 ). SABCD = 2 2 2 3𝑎𝑎² 2 см . Відповідь: 2 2. Обчисліть площу прямокутної трапеції, у якої дві менші сторони дорівнюють по b см, а гострий кут – 45°.

ABCD — трапеція, AB ⊥ AD, CK ⊥ AD — висота. AB = BC = b см, ∠D = 45°. CK = AB = b см ΔCKD — прямокутний і рівнобедрений (∠D = 45°), тоді KD = CK = b см. AK = BC = b см (ΔBCK — квадрат). BC + AD 𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏 3𝑏𝑏² SABCD = ⋅ AB = ⋅ 𝑏𝑏 = (см2 ). 2 2 2 3𝑏𝑏² см2. Відповідь: 2

33. EF – середня лінія трикутника ABC, EF || AB. У скільки разів площа трикутника CEF менша за площу трапеції AEFB?

EF — середня лінія ΔABC,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html 1

EF ∣∣ AB, EF = AB. 2

la. in.

Тоді AB = 2EF. ΔFEC ∼ ΔABC, тоді їх відповідні елементи (сторони, висоти тощо) пропорційні. CE FE CK 1 CF = = = = , тоді KP = CK. BC AB CP 2 AC 1 SΔFEC = EF ⋅ CK; 2 EF + AB EF + 2EF 1 SABEF = ⋅ PK = ⋅ CK = EF ⋅ CK. 2 2 2 3 EF ⋅ CK 3 SABEF = 2 = . 1 1 EF ⋅ CK 2 Відповідь: у 3 рази. 34. У рівнобічну трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

Проведемо через центр вписаного кола висоту MN. OK ⊥ CD — радіус, проведений в точку дотику. CK = 2см, KD = 8см. За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки, CK = MC = 2см, ND = KD = 8см. M — середина BC, N — середина AD, BC = 2MC = 2 ⋅ 2 = 4 (см), AD = 2ND = 2 ⋅ 8 = 16 (см). ΔCOD — прямокутний, оскільки 1 1 1 1 ∠OCD + ∠ODC = ∠C + ∠D = (∠C + ∠D) = ⋅ 180° = 90°. 2

OK2 = CK ⋅ KD; OK = √2 ⋅ 8 = √16 = 4 (см). MN = 2OK = 2 ⋅ 4 = 8 (см). AD + BC 4 + 16 ⋅ MN = ⋅ 8 = 80 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 80 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Завдання для перевірки знань за курс геометрії 8 класу 1. Знайдіть периметр паралелограма, сторони якого дорівнюють 4 см і 9 см. P = 2(4 + 9) = 2 ⋅ 13 = 26 (см). 2. Один з кутів ромба дорівнює 46°. Знайдіть інші кути ромба. Згідно властивостей ромба: 1) Протилежні кути рівні між собою

la. in.

2) Сусідні кути в сумі дають 180°

Протилежний кут: ∠B = 46°

Сусідній кут:

∠C = 180° − 46° = 134°

Відповідь: 46°, 134°, 46°, 134°.

3. Знайдіть площу трикутника, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 5 см. 1 1 S = 𝑎𝑎ℎ = ⋅ 8 ⋅ 5 = 20 (см2 ). 2 2 4. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за іншу.

1. Нехай одна з основ трапеції дорівнює x см, тоді друга — (x + 4) см. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 4 𝟐𝟐. = 12; 2 2x + 4 = 24; 2x = 20; x = 10 (см). 3. Отже, основи трапеції 10 см і 10 + 4 = 14 (см). Відповідь: 10 см і 14 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

5. △ABC ~ △A1B1C1, AB = 4 см, AC = 6 см, A1C1 = 9 см, B1C1 = 12 см. Знайдіть A1B1 і BC. ΔABC ∼ ΔA1B1C1; BC AC AB = = ; B₁C₁ A₁C₁ A₁B₁ BC 6 4 = = ; 12 9 A₁B₁ 4 · 9 A₁B₁ = = 6 (см); 6 12 · 6 BC = = 8 (см). 9 Відповідь: A1B1 = 6 см; BC = 8 см. 6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 10 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до меншого з катетів.

1. У ΔABC: ∠B = 90°; BC = 12 см; AB = 10 см; CM — медіана. AB 10 𝟐𝟐. MB = = = 5 (см) 2 2 3. CM = �MB² + BC² = �5² + 12² = 13 (см)

Відповідь: 13 см. 7. У △ABC ∠C = 90°, AC = 6 см, AB = 10 см. Розв’яжіть цей трикутник (кути трикутника знайдіть із точністю до градуса).

1. BC = �AB² − AC² = �10² − 6² = 8 (см). 6 AC = = 0,75; ∠B ≈ 37°. 𝟐𝟐. tgB = 8 BC 3. ∠A ≈ 90° – 37° = 53°. Відповідь: BC = 13 см; ∠B ≈ 37°; ∠A ≈ 53°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

8. Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 2 : 3, а площа прямокутника дорівнює 96 см2.

la. in.

1. Оскільки сторони прямокутника відносяться, як 2 : 3, то одну з них позначимо 2x см, а іншу — 3x см. 2. Тоді 2x · 3x = 96; 6x2 = 96; x2 = 16; x = 4 (см). 3. Сторони прямокутника 2 · 4 = 8 (см) і 3 · 4 = 12 (см). Відповідь: 8 см і 12 см. 9. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

1. Точка O — центр кола є точкою перетину бісектрис кутів трапеції, зокрема точкою перетину бісектрис кутів BCD і CDA. Тому ∠COD = 90°. 2. Точка K — точка дотику кола до сторони CD; OK ⊥ CD. OK — висота прямокутного трикутника, яка проведена до гіпотенузи. За властивістю висоти: OK2 = CK · KD. OK2 = 2 · 8 = 16; OK = 4 (см) 3. LM = 2OL = 2OK = 2 · 4 = 8 (см) — висота трапеції. 4. AB = LM = 8 (см). 5. Трапеція ABCD — описана, тому AD + BC = AB + CD = 8 + 10 = 18 (см). AB + CD 18 𝟔𝟔. S = · AB = · 8 = 72 (см2 ) 2 2 Відповідь: 72 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Задачі підвищеної складності 1. На сторонах AB і CD паралелограма ABCD зовні нього побудовано два рівносторонніх трикутники ABK і CDL. Доведіть, що відрізок KL проходить через точку перетину діагоналей паралелограма.

la. in.

Розглянемо чотирикутник KBLD. ΔBCL = ΔDAK за двома сторонами і кутом між ними: BC = AD як протилежні сторони паралелограма, CL = AK = AB = CD за побудовою; ∠BCL = ∠BCD + 60°, ∠KAD = ∠BAD + 60°, ∠BCD=∠BAD як протилежні. З рівності трикутників BL = KD. KB = DL як сторони рівних рівносторонніх трикутників. Отже, KBLD — паралелограм (протилежні сторони попарно рівні). Тоді діагоналі BD і KL перетинаються в точці, що є серединою кожної з них, значить, KL проходить через середину діагоналі BD, а це і є точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. 2. На основі AB рівнобедреного трикутника ABC взято довільну точку K. Через цю точку паралельно BC і AC проведено прямі, які перетинають сторони трикутника. Доведіть, що периметр паралелограма, який при цьому утворився, не залежить від положення точки K.

У ΔABC AC = BC, ∠A = ∠B, K ∈ AB, PK ∣∣ BC, KN ∣∣ AC. ∠PKA=∠B як відповідні при паралельних прямих PK і BC та січній AB. Тоді в ΔAPK ∠A = ∠PKA, тому AP = PK. ∠NKB = ∠A як відповідні при паралельних прямих NK і AC і січній AB. Тоді ΔKNB ∠NKB = ∠B, тому NK = NB. PPCNK = PC + CN + NK + PK = PC + AP + CN + NB = AC + BC. Таким чином, периметр не залежить від положення точки K. 3. Точки A, B і C лежать на колі із центром O. ABCO – паралелограм. Знайдіть його кути.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

AO = BO = CO як радіуси. AO = BC як протилежні сторони паралелограма. Тоді BO = CO = BC, ΔOBC — рівносторонній. ∠C = 60°, ∠A = ∠C = 60° як протилежні. ∠B = ∠O = 180° − 60° = 120°. Відповідь: 60°; 120°. 4. Побудуйте паралелограм за двома діагоналями й висотою.

Нехай нам дано висоту h і діагоналі d1 і d2. План побудови: 1. Накреслити пряму a, вибрати на ній довільну точку K і побудувати пряму KP, перпендикулярну до a. 2. На прямій KP відкласти відрізок KB = h. 3. Накреслити коло з центром B і радіусом, рівним d1. Коло перетне пряму a в точці D. 4. Поділити відрізок BD навпіл (точка O). 5. Поділити відрізок d2 навпіл. 𝑑𝑑₂

6. Побудувати коло з центром O і радіусом . 2

A — точка перетину кола з прямою a. 7. На промені AO відкласти відрізок AC = d2. 8. ABCD — шуканий паралелограм. 5. Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники, периметри яких однакові. Визначте вид чотирикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Розглянемо два випадки. 1. Точка O — середина однієї діагоналі і не є серединою іншої діагоналі. Нехай AO = OC, BO < OD. Позначимо на відрізку OD точку B1, так, що OB1 = OB. Оскільки △ABO ∼ △CB1O (за двома сторонами і кутом між ними: AO = CO. BO = B1O, ∠AOB = ∠COB1 (як вертикальні), то AB = CB1. За умовою P△ABO = P△CDO, або AB + AO + OB = OB1 + BD1 + DC + CO. Звідси, враховуючи, що AO = OC і OB = OB1, отримаємо, що AB = B1D + DC або CB1 = B1D + DC. Але в △CB1D CB1 < B1D + DC. Отримали суперечність, значить, перший випадок неможливий.

2. Точка O не є серединою жодної з діагоналей. Нехай AO < OC, BO < OD. Позначимо точки A1 і B1 на відрізках OC і OD, так, що OA1 = OA, OB1 = OB, і розглянемо △OA1B1. Оскільки △AOB = △A1OB1, то AB = A1B1. За умовою P△ABO = P△CDO або AB + AO + OB = OB1 + B1D + DC + CA1 A1O. Звідки, враховуючи рівності OA1 = OA і OB = OB1, отримаємо AB = B1D + DC + CA1 або A1B1 = B1D + DC + CA1. Але в чотирикутнику A1B1DC A1B1 < B1D + DC + CA1. Отримали суперечність, значить, випадок 2 також не може бути. Отже, AO = OC, BO = OD, тому ABCD — паралелограм. А з умови P△AOB = P△COB випливає, що AB = BC, тобто сусідні сторони паралелограма рівні. Тоді ABCD — ромб. Відповідь: ромб. 6. Коло з діаметром AC проходить через середину сторони AB ромба ABCD. Знайдіть тупий кут ромба.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

За умовою M — середина AB, △AOB — прямокутник (AC ⊥ BD), медіана OM дорівнює половині гіпотенузи AB: OM = AM. Але OM = OA як радіуси, тоді OM = AM = OA. У △AOM ∠MOA = 60°. Діагональ AC є бісектрисою кута BAD і ∠BAD = 2∠BAO = 2 ⋅ 60° = 120°. Відповідь: 120°. 7. Зовні прямокутника ABCD вибрано точку K так, що ∠AKC = 90°. Знайдіть ∠DKB.

За умовою ∠AKC = 90°. Тоді в △AKC KO — медіана, 1 KO = AC. 2 Оскільки діагоналі прямокутника рівні, а точка O — середина кожної з них, то в △BKD KO — медіана і KO = BO = OD. Це означає, що ∠BKD = 90°. Відповідь: 90°. 8. На катетах AC і BC прямокутного трикутника ABC побудовано квадрати ACDE і BCKL. Прямі ED і KL перетинаються в точці P. Під яким кутом перетинаються прямі PC і AB?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

△PKC = △ACB за двома катетами (PK = AC, CK = BC за побудовою). Звідси ∠CPK = ∠BAC. ∠PCK ∼ ∠ACR як вертикальні. △PCK = △ACR за двома кутами. Тоді ∠ARC = ∠PKC = 90°. Відповідь: 90°. 9. Сторони прямокутника дорівнюють a і b (a > b). Бісектриса одного кутів прямокутника, що утворюється, утворює чотирикутник. Знайдіть його діагоналі.

△AND — рівнобедрений, оскільки ∠NAD = ∠NDA = 45°. Тому AN = ND. △ABM = △DPC за стороною і прилеглими кутами (AB = CD = b, ∠MBA = ∠BAM = ∠PCD = ∠CDP =45°). Звідси AM = PD. Тоді MN = NP. Аналогічно MK = KP. ∠NMK = 90° як вертикальний до кута BMD. Отже, MNPK — квадрат. ∠NMP = 45°, ∠NMP = ∠MAD, а ці кути є відповідними при прямих MP і AD і січній AM. Тоді MP ∥ AD. Аналогічно можна довести, що AN ∥ KC. AMPS — паралелограм. MP = AS = AD – DS = a – b (△SCD — прямокутний і рівнобедрений, SD = CD = b). NK = MP = a − b. Відповідь: a − b. 10. Доведіть, що бісектриса кута паралелограма ділить його кут між висотами, проведеними з вершини цього кута.

Нехай ∠A = ∠C = α. Тоді ∠B = ∠D = 180° − α.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

= 360° − (360° − α) = α.

Тоді ∠PBL = 𝛼𝛼 − ∠KBL = α − 𝛼𝛼

Отже, ∠KBL = ∠PBL = . 2

𝛼𝛼 𝛼𝛼 = . 2 2

𝛼𝛼 1 1 ∠ABL = ∠B = (180° − 𝛼𝛼) = 90° − . 2 2 2 З △ABK ∠ABK = 90° − α. Тоді ∠KBL = ∠ABL − ∠ABK = 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 = 90° − − (90° − 𝛼𝛼) − 90° − − 90° + 𝛼𝛼 = . 2 2 2 ∠KBP = 360° − (∠BKD + ∠D + ∠BPD) = 360° − (90° + 180° − α + 90°) =

la. in.

11. Усередині квадрата ABCD взято точку P і на відрізку AP, як на стороні, побудовано квадрат APNM, сторона якого PN перетинає сторону AD квадрата ABCD. Порівняйте між собою відрізки BP і DM.

Розглянемо трикутники △ABP і △ADM. AB = AD, AP = AM як сторони квадратів. ∠BAP = 90° − ∠PAD, ∠DAM = 90° − ∠PAD, тоді ∠BAP = ∠DAM. Отже, △ABP = △ADM за двома сторонами і кутом між ними. Значить, AP = DM. Відповідь: AP = DM. 12. Доведіть, що в будь-якій трапеції сума бічних сторін більша за різницю більшої і меншої основ.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD. Нехай BC = a, AD = b. Проведемо CK || AB. ABCK — паралелограм, CK = AB. У △KCD за нерівністю трикутника KC + CD > KD. Оскільки AK = BC = a, то KD = b − a. Тоді KC + CD > b − a, AB + CD > b − a. 13. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Знайдіть периметр трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см. Оскільки існує точка, рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони трапеції, то в неї можна вписати коло. Тоді сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін. Середня лінія дорівнює півсумі основ (бічних сторін). 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Тоді = 10 см, 2 a + b = 20 см; P = 2(a + b) = 2 ⋅ 20 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 14. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції, один з кутів якої дорівнює 40°. Знайдіть інші кути трапеції. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції, — це центр описаного кола. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то вона є рівнобічною, і сума протилежних кутів дорівнює 180°. Отже, якщо один з кутів 40°, то другий кут при тій же основі теж дорівнює 40°. Два інші кути дорівнюють 180°−40°=140°. Відповідь: 140°, 40°, 140°. 15. Основи трапеції дорівнюють a і b (a > b), а сума кутів, прилеглих до більшої основи, дорівнює 90°. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.

Продовжимо бічні сторони трапеції до їх перетину в точці P. За умовою в трикутнику △APD ∠A + ∠D = 90°, тому ∠P = 90°. PM — медіана, проведена з вершини прямого кута. 1 𝑎𝑎 PM = AD = AM = MD = . 2 2 △BPC ∼ △APD за гострим кутом (∠PAD = ∠PBC як відповідні при BC ∥ AD і січній AP). BC PK Отже, = . AD PM 𝑎𝑎 Позначимо KM = 𝑥𝑥, тоді PK = – 𝑥𝑥. 2 𝑎𝑎 – 𝑥𝑥 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎 ; 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎² 𝑎𝑎𝑎𝑎 = – 𝑎𝑎𝑥𝑥; 2 2 𝑎𝑎² – 𝑎𝑎𝑎𝑎 ; 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 𝑥𝑥 = . 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 . 2 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 . Відповідь:

Отже, KM =

16. Діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перетинаються в точці M. Відомо, що ∠ABC = 73°, ∠BCD = 103°, ∠AMD = 110°. Знайдіть ∠ACD.

la. in.

Кут, вершина якого лежить усередині кола, вимірюється півсумою двох дуг, одна з яких міститься між його сторонами, а інша — між продовженням сторін. ᴗBAD = 2∠BCD = 2 · 103° = 206°. ᴗADC = 2∠ABC = 2 · 73° = 146° Шуканий кут ∠ACD вимірюється половиною дуги, на яку він спирається: ᴗAD ∠ACD = . 2 ∠AMB = 180° − ∠AMD = 180° − 110° = 70°. ᴗAB + ᴗCD Але ∠AMB = . 2 Визначимо дугу ᴗAD: ᴗAD = ᴗBAD − ᴗAB або ᴗAD = ᴗADC − ᴗCD. Додамо ці рівності: 2ᴗAD = ᴗADC + ᴗBAD − (ᴗAB + ᴗCD), але ᴗAB + ᴗCD = 70° · 2 = 140°, а ᴗADC + ᴗBAC = 206° + 146° + 352°. Тоді 2ᴗAD = 352° − 140° = 212°, ᴗAD = 106°. 1 1 ∠ACD = ᴗAD = · 106° = 53°. 2 2 Відповідь: 53° 17. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1, BH2 і CH3. H – точка їхнього перетину. Серед семи точок A, B, C, H1, H2, H3 і H укажіть усі такі їхні четвірки, через які можна провести коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів (а значить, і двох інших) дорівнює 180°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Наприклад, у чотирикутнику AH3HH2: ∠H3 + ∠H2 = 90° + 90° = 180°. Відповідь: A, H3, H, H2; H3, B, H1, H; H1, C, H2, H; A, H3, H1, C; B, H3, H2, C; B, H1, H2, A. 18. У п’ятикутнику ABCDE всі кути однакові та всі сторони між собою рівні. Діагоналі AD і BE перетинаються в точці O. Доведіть, що △AED ~ △AOE.

△ABE = △EDA за двома сторонами і кутом між ними (AB = AE = DE, ∠A = ∠E за умовою). Тоді ∠DAE = ∠BEA. У △AED AE = DE, тому ∠DAE = ∠ADE. △AED ∼ △AOE за двома кутами. 19. Через вершину A паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає продовження сторін CB і CD відповідно в точках N і M. Доведіть, що добуток BN · DM не залежить від того, як проведено цю пряму.

∠BNA = ∠DAM як відповідні при паралельних прямих NC і AD і січній NM. ∠NBA = ∠BCD (AB ∥ CD, BC — січна); ∠ADM = ∠BCD (BC ∥ AD, CM — січна) як відповідні. Тоді ∠NBA = ∠ADM. △NBA ∼ △ADM за двома сторонами. BN BA Тому = , DA DM звідки BN ⋅ DM = DA ⋅ AB. 20. Діагональ трапеції ділить її на два подібних трикутники. Визначте довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють a і b.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

△CBA ∼ △ACD за умовою. BC AC Значить, = ; AC AD AC2 = BC ⋅ AD; AC = √BC ⋅ AD = √𝑎𝑎𝑎𝑎. Відповідь: √𝑎𝑎𝑎𝑎. 21. Через середину найбільшої сторони трикутника проведено пряму, яка відтинає від нього трикутник, подібний даному. Знайдіть найменшу сторону трикутника, що відтинається, якщо сторони даного дорівнюють: 1. 42 см; 49 см; 56 см; 2. 42 см; 49 см; 63 см; 3. 42 см; 49 см; 70 см. Скільки розв’язків має задача в кожному з випадків?

I випадок. MK перетинає BC і MK || AC. △ACB ∼ △MKB. Тоді найменша сторона трикутника MKB дорівнює половині найменшої сторони трикутника ABC, тобто половині AC, а саме: 1. 21 см; 2. 21 см; 3. 21 см. II випадок. MK перетинає AC і MK || BC. △AKM ∼ △ACB. В цьому випадку також найменша сторона ΔAKM дорівнює половині AC.

III випадок. MK перетинає BC, проте MK не паралельна AC, тоді ∠C = ∠KMB і △ABC ∼ △KBM. AB AC BC = = ; найменша – KM. KB KM BM 42 49 56 = = ; 𝟏𝟏. KM 28 KB KM = 24 см; KB = 32 см. 63 42 49 𝟐𝟐. = = ; KB KM 31,5 KM = 27 см; KB = 40,5 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

70 42 49 = = ; KB KM 35 KM = 30 см; KB = 50 см. Але KB < CB. Тому неможливо KB = 50 см.

𝟑𝟑.

la. in.

IV випадок. MK перетинає AC, проте MK не паралельна до BC. Тоді ∠AKM = ∠B і △AKM ∼ △ABC. AK AM KM = = . AB AC BC 28 KM AK = = ; 𝟏𝟏. 42 49 56 1 2 AK = 37 см; KM = 32 см. 3 3 AM = 28 см — найменша сторона △AKM. 31,5 KM AK = = ; 𝟐𝟐. 42 49 63 AK = 47,25 см. Це неможливо, оскільки AC = 42 см. AK 35 KM 𝟑𝟑. = = ; 70 42 49 1 AK = 58 см. 3 Це неможливо, оскільки AC = 42 см. Відповідь: 1. 21 см або 24 см або 28 см; 2. 21 см або 27 см; 3. 21 см. 22. У трикутнику ABC кут B – тупий. Позначте на стороні AC таку точку D, щоб виконувалась рівність AB2 = AD · AC.

Побудуємо коло, що проходить через точки B і C і при цьому дотикається до прямої AB в точці B. Діаметр перпендикулярний до прямої AB в точці B. Побудуємо перпендикуляр до AB. Коло проходить через точку C, тоді вписаний кут з вершиною C спирається на діаметр і дорівнює 90°. Будуємо перпендикуляр до BC в точці C. Два перпендикуляри перетинаються в точці K. BK — діаметр кола. Середина BK — центр кола. Коло перетинає сторону AC в точці D. Отже, AB — дотична до кола, AC — січна, що перетинає коло в точках D і C. Тоді за теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної: AB2 = AD ⋅ AC. 23. AD і BC – основи трапеції ABCD. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. AC = 15 см, CE – висота трапеції, AE = 9 см. Знайдіть середню лінію трапеції.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Проведемо через вершину меншої основи трапеції пряму, паралельну діагоналі: CF || BD. Чотирикутник BCFD — паралелограм, оскільки його протилежні сторони лежать на паралельних прямих (CF || BD за побудовою, BC || AD як основи). Отже, DF = BC, CF = BD. Оскільки діагоналі трапеції перпендикулярні, то CF ⊥ AC (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій). Проведемо CE ⊥ AF — висоти трапеції. AE = 9 см — проекція катета AC на гіпотенузу. З △ACE CE2 = AC2 – AE2; CE2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144. З △ACF CE2 = AE ⋅ EF, тоді EF = CE2 : AE = 144 + 9 = 16 (см). AF = AE + EF = 9 + 16 = 25 (см). AF = AD + DF — сума основ трапеції (DF = BC). Середня лінія трикутника ACF дорівнює 1 1 1 1 AF = (AD + DF) = (AD + BC) = ⋅ 25 = 12,5 (см) 2 2 2 2

Відповідь: 12,5 см. 24. Діагоналі чотирикутника ABCD взаємно перпендикулярні. Доведіть, що AD2 + BC2 = AB2 + CD2.

За умовою AC ⊥ BD, O — точка перетину діагоналей. З ΔAOB AB2 = AO2 + BO2. З ΔCOD CD2 = CO2 + DO2. Додамо ці рівності: AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2. (1) З ΔAOD AD2 = AO2 + DO2. З ΔBOC BC2 = BO2 + CO2. Додамо ці рівності: AD2 + BC2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2. (2) Праві частини рівностей (1) і (2) рівні, то ліві також рівні: AB2 + CD2 = AD2 + BC2. 25. Точка M лежить усередині кута, який дорівнює 60°. Відстані від точки M до сторін кута дорівнюють a і b. Знайдіть відстань від точки M до вершини кута.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Нехай MA і MB — перпендикуляри, проведені до сторін кута — відстані до них від точки M. Продовжимо AM до перетину з OB у точці C. ΔAOC ∼ ΔBMC (∠C спільний кут), трикутники прямокутні. AO AC Тоді = ; BM BC ∠CMB = ∠COA = 60°. З ΔBMC BC = BM tg 60° = b√3. MC = 2BM = 2b(∠C = 90° − 60° = 30°). AC = AM + MC = a + 2b. 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏) 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 BM ⋅ AC = = . Отже, AO = BС 𝑏𝑏√3 √3 З ΔAOM OM = �AM² + OA² = �𝑎𝑎² + �

3𝑎𝑎² + 𝑎𝑎² + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏² 3

Відповідь: 2�

𝑎𝑎² + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏²

= 2�

𝑎𝑎² + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏² 3

(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)² (√3)²

= �𝑎𝑎² +

𝑎𝑎² + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏² 3

26. Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їхня спільна зовнішня дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл.

Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r. Радіуси O1M і O2N, проведені в точці дотику, перпендикулярні дотичній, а отже, паралельні. Проведемо відрізок, паралельний MN, з центра меншого кола до радіуса більшого — O2K. KMNO2 — прямокутник (KM || NO2, MN ⊥ KO2, O2N ⊥ MN). Тоді O2K = MN. З ΔO1KO2 O2K2 = MN2 = O1O22 – O1K2 = (R + r)2 − (R − r)2 = = R2 + 2Rr + r2 − R2 + 2Rr − r2 = 4Rr = 2R ⋅ 2r = Dd. 27. 1) У гострокутному трикутнику ABC BH – висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 − 2AC · AH.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

2) У трикутнику ABC ∠A – тупий, BH – висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 + 2AC · AH.

la. in.

1. З ΔABH BH2 = AB2 − AH2. З ΔCBH BH2 = BC2 − CH2 = BC2 − (AC − AH)2 = BC2 − AC2 + 2AC ⋅ AH − AH2. Ліві частини рівностей однакові, тому AB2 – AH2 = BC2 – AC2 + 2AC ⋅ AH − AH2; BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC ⋅ AH + AH2; BC2 = AB2 + AC2 – 2AC ⋅ AH. 2. З ΔABH BH2 = AB2 − AH2. З ΔBCH BH2 = BC2 – (AH + AC)2 = BC2 − AH2 – 2AH ⋅ AC – AC2. AB2 – AH2 = BC2 – AH2 – 2AH ⋅ AC – AC2; BC2 = AB2 – AH2 + AH2 + 2AH ⋅ AC + AC2; BC2 = AB2 + AC2 + 2AC ⋅ AH. 28. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо центр вписаного кола міститься на відстані m√2 від вершини прямого кута.

Точка K ділить гіпотенузу AB так, що: AK : KB = 2 : 3. Тоді AK = 2x, BK = 3x. Проведемо OS ⊥ BC і OP ⊥ AC — радіуси в точки дотику кола з катетами. POSC − квадрат, OC = m√2 − його діагональ. Тоді PC = SC = m. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, AP = AK = 2x, BS = BK = 3x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (2x + 3x)2 = (2x + m)2 + (3x + m)2; 25x2 = 4x2 + 4xm + m2 + 9x2 + 6xm + m2; 12x2 − 10xm − 2m2 = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

6x2 − 5xm − m2 = 0; D = (−5m)2 – 4 ⋅ 6 ⋅ (−m) = 25m2 + 24m2 = 49m2; 5𝑚𝑚 + √49𝑚𝑚2 5𝑚𝑚 + 7𝑚𝑚 = = 𝑚𝑚; 𝑥𝑥1 = 12 12 5𝑚𝑚 − �49𝑚𝑚² < 0 — не задовольняє умові. 𝑥𝑥2 = 12 Отже, AB = 5m; AC = 2m + m = 3m; BC = 3m + m = 4m. P△ABC = 5m + 3m + 4m = 12m. Відповідь: 12m. 29. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза, h – висота, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник зі сторонами h, c + h, a + b – прямокутний.

(c + h)2 − (a + b)2 = c2 + 2ch + h2 − a2 − 2ab − b2. За умовою c2 = a2 + b2. Маємо (c + h)2 − (a + b)2 = a2 + b2 + 2ch + h2 − a2 − 2ab − b2 = 2ch + h2 − 2ab. Площа трикутника можна обчислити двома способами: 1 1 S = 𝑎𝑎𝑎𝑎 або S = 𝑐𝑐ℎ. 2 2 Тоді ab = ch. Отже, (c + h)2 − (a + b)2 = h2, звідки (c + h)2 = h2 + (a + b)2. За оберненою теоремою Піфагора це означає, що трикутник прямокутний, c + h — його гіпотенуза, h і a + b — катети. 30. ABCD – прямокутник, у якого ∠A = B = 90°, AB = a, CD = b, BC = c, BC < DA. Знайдіть відстань від точки B до прямої, що містить CD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

31. Обчисліть: 1. sin 15°; 2. sin 75°.

la. in.

𝑏𝑏

Проведемо CH ⊥ AD. ABCH — прямокутник, тому CH = AB = a. ΔBKC ∼ ΔCHD (∠BKC = ∠CHD = 90°), ∠KCB = ∠CDH — відповідні кути при паралельних прямих BC і AD та січній CD. З подібності трикутників випливає, що: CH BK = , CD BC CH ⋅ BC звідки BK = . BC 𝑎𝑎𝑎𝑎 BK = . 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 Відповідь: .

1. Розглянемо ΔABD, у якого ∠D = 90°; ∠A = ∠B = 45°, і ΔBDC, у якого ∠D = 90°; ∠DBC = 30°. 2. Тоді ∠ABC = 75°. 3. Позначимо AD = BD = 1, тоді AB = √AD2 + BD2 = √12 + 12 = √2. 4. У ΔBDC: DC 1 tg ∠DBC = ; DC = . BD √3

Тоді BC = �BD2 + DC 2 = �1 +

1 4 2 = � = . 3 3 √3

5. Проведемо висоту AK трикутника ABC. 1 1 𝟔𝟔. S△ABC = AC ⋅ BD = BC ⋅ AK; 2 2 2 1 AK; �1 + � ⋅ 1 = √3 √3 √3 + 1 = 2 AK; √3 + 1 AK = . 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

7. У ΔAKB: ∠KAB = 90° – 75° = 15°.

3 + 2 √3 + 1 √3 + 1 = KB = �AB2 − AK 2 = ��√2� − � � �2 − 2 4 2

�(√3 − 1)² 2

8 − 3 − 2 √3 − 1 4 − 2 √3 �√3� − 2√3 + 12 � � � = = = = 4 4 4 √3 − 1 . 2

8. У ΔABK: sin ∠KAB =

KB AB

;

√2(√3 − 1) √6 − √2 = . 2 ⋅ 2 4 2√2 AK √3 + 1 √6 + √2 = = . 𝟗𝟗. sin ∠ABK = sin 75° = 4 AB 2√2 √3 − 1

la. in.

sin 15° =

Відповідь: 1. sin 15° =

√6 − √2 √6 + √2 ; 2. sin 75° = . 4 4

32. Чи існує многокутник, у якого: 1. 20 діагоналей? 2. 21 діагональ?

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) 2

, де n — натуральне.

Кількість діагоналей n–кутника дорівнює 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 20; 𝟏𝟏. 2 n2 − 3n – 40 = 0; n1 = −5 — не задовольняє умові; n2 = 8. Відповідь: так, восьмикутник.

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 21; 2 n2 − 3n – 42 = 0; D = 9 + 4 ⋅ 42 = 177. Рівняння не має натуральних розв’язків. Відповідь: не існує. 33. В опуклому n-кутнику п’ять кутів мають градусну міру 140° кожний, інші кути – гострі. Знайдіть n. 140° ⋅ 5 = 700° — сума даних 5–ти кутів. n = 6, 180° ⋅ (6 − 2) = 180° ⋅ 4 = 720°; 720° − 700° = 20°; n = 7, 180° ⋅ (7 − 2) = 180° ⋅ 5 = 900°; 900° − 700° = 200°.

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Отже, у шестикутника шостий кут 20° — гострий. При n = 7 сума решти двох кутів дорівнює 200°. Тоді серед них обов’язково є тупий кут. Відповідь: n = 6. 34. Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні довжинам цих сторін.

la. in.

PP — довільна точка діагоналі AC паралелограма ABCD. PK ⊥ BC, PT ⊥ CD — відстані від точки P до суміжних сторін. Розглянемо трикутники BOC і COD. Нехай CF ⊥ OD — спільна висота трикутників BOC і COD. 1 SΔBOC = BO ⋅ CF; 2 1 SΔCOD = OD ⋅ CF. 2 Оскільки BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма, то SΔBOC = SΔCOD. 1 Інакше SΔBOC = MO ⋅ BC; 2 1 SΔCOD = ON ⋅ CD, 2 де OM ⊥ ON — відповідні висоти трикутників, проведені до сторін паралелограма. Оскільки площі рівні, то MO ⋅ BC = ON ⋅ CD, MO CD звідки = . ON BC △MOC ∼ △KPC, △NOC ∼ △TPC (прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом). З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін: KP MO = . PT ON CD KP = . Тоді BC PT Що і треба було довести. 35. Усередині прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) взято точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і CMA рівні між собою. Доведіть, що MA2 + MB2 = 5MC2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Проведемо перпендикуляри OM і ON до прямих AC і BC. Нехай площа трикутника ABC дорівнює S. 1 За умовою S△AOC = S або 3 1 1 1 OM ⋅ AC = ⋅ AC ⋅ BC. 3 2 2 Звідси випливає, що: 1 OM = BC. 3 Аналогічно доводимо, що 1 ON = AC. 2 1 CM = AC, 3 2 тому AM = AC – CM = AC. 3 2 Аналогічно, BN = BC. 3 За теоремою Піфагора: 1 4 з △ AOM OA2 = OM 2 + MA2 = BC2 + AC 2 ; 9 9 1 4 з △ BON OB2 = ON 2 + NB 2 = AC 2 + BC 2 ; 9 9 1 1 з △ COM OC 2 = OM 2 + MC 2 = BC 2 + AC 2 . 9 9 2 2 З цих рівностей випливає, що OA + OB = 5 ⋅ OC2. 36. У скільки разів площа трикутника ABC більша за площу трикутника ABM, де M – точка перетину медіан трикутника ABC?

Доведемо, що площа кожного з шести трикутників, на які медіани розбивають трикутник 1 ABC, дорівнює площі △ABC. 6

Розглянемо △ABM. Опустимо з вершини A перпендикуляр AD на пряму CK.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 1 1 MK ⋅ AD = ⋅ KC ⋅ AD = S△AKC 2 2 3 3 (за властивістю медіани CM : MK = 2 : 1). Оскільки медіана ділить △ABC на два трикутники з рівними площами, то S△AKC = S△BKC. 1 1 1 S△AKM = ⋅ S△ABC = S△ABC . 2 3 6 1 1 Тоді S△ABM = 2S△AMK = 2 ⋅ S△ABC = S△ABC . 6 3 Відповідь: у 3 рази. 37. У трикутнику ABC h1, h2, h3 – висоти, проведені відповідно до сторін AB, BC і CA, а d1, d2, d3 – відстані від довільної точки P, що міститься всередині цього трикутника, до d₁

h₁

d₂

h₂

d₃

h₃

= 1.

la. in.

сторін AB, BC і CA відповідно. Доведіть, що

Тоді S△AKM =

1 1 1 AB ⋅ ℎ1 = BC ⋅ ℎ2 = AC ⋅ ℎ3 . 2 2 2 1 1 1 S△ABC = S△APB + S△BPC + S△APC = AB ⋅ 𝑑𝑑1 + BC ⋅ 𝑑𝑑2 + AC ⋅ 𝑑𝑑3 . 2 2 2 Враховуючи ці рівності, маємо: AB ⋅ 𝑑𝑑1 BC ⋅ 𝑑𝑑 2 AC ⋅ 𝑑𝑑 3 AB ⋅ 𝑑𝑑1 + BC ⋅ 𝑑𝑑 2 + AC ⋅ 𝑑𝑑 3 = + + = 1 = 2 2S 2S 2S

S△ABC =

BC ⋅ 𝑑𝑑₂ AC ⋅ 𝑑𝑑₃ 𝑑𝑑₁ 𝑑𝑑₂ 𝑑𝑑₃ AB ⋅ 𝑑𝑑₁ + + = + + . BC ⋅ ℎ₂ AC ⋅ ℎ₃ ℎ₁ ℎ₂ ℎ₃ AB ⋅ ℎ₁ 38. Точка перетину бісектрис трикутника на 3 см віддалена від прямої, що містить одну зі сторін трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо його периметр дорівнює 36 см. =

Точка перетину бісектрис кутів трикутника O є центром вписаного кола. OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ AC — відстані від точки O до сторін трикутника. OM = ON = OP = 3 см, як радіуси вписаного кола. 1 1 1 S△ABC = S△AOC + S△AOB + S△BOC = AC ⋅ OP + AB ⋅ OM + BC ⋅ ON = 2 2 2 1 1 = OP ⋅ (AB + BC + AC) = OP. 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 ⋅ 3 ⋅ 36 = 54 (см2 ). 2 Відповідь: 54 см2. 39. На сторонах AB, BC, AC трикутника ABC позначено точки M, K, P так, що AM : MB = BK : KC = CP : PA = 2 : 1. Площа трикутника ABC дорівнює S. Знайдіть площу чотирикутника APKM.

P△ABC =

la. in.

Поділимо кожну сторону трикутника ABC на три рівних частини і позначимо точки M, K і P так, що AM : MB = BK : KC = CP : AP = 2 : 1. Проведемо MR (BR = RK) і висоти трикутників MBR і MTK: BD ⊥ MR, KE ⊥ MR. △BDR = △KER за гіпотенузою і гострим кутом (BR = RK, ∠BRD = ∠ERK як вертикальні). Тоді BD = KE.

1 MR ⋅ BD; 2 1 S△MRK = MR ⋅ EK, тому S △ MBR = S△MRK . 2 Проведемо KT (PT = CT) і KF ⊥ AC — висоту трикутників PKT і TKC. △REK = △CFK за гіпотенузою і гострим кутом (RK = KC, ∠RKE = ∠CKF як вертикальні). Тоді KF = EK. Отже, KF = KE = BD. 1 S△PKT = PT ⋅ KF; 2 1 S△TKC = TC ⋅ KT. 2 1 Оскільки PT = TC = AC, 3 то S△PKT = S△TKC. △MBR ∼ △SBK ∼ △ABC за двома сторонами і кутом B між ними. 1 Тоді BD = KE = KF = ℎ 3 (h — висота △ABC, проведена до сторони AC), 1 MR = PT = TC = AC. 3 1 1 1 1 1 AC ⋅ ℎ = S. S△MBR = S△MRK = S△PKT = S△TKC = ⋅ AC ⋅ ℎ = 2 3 3 18 9

S△MBR =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

SAMKP = S – 4 ⋅ 5

Відповідь: S. 9

1 5 S = S. 9 9

40. Бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в точці O, яка міститься на відстані d від більшої сторони трапеції. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють m і n.

la. in.

Точка перетину O всіх бісектрис трапеції ABCD — це центр вписаного кола, тоді OK ⊥ AD — радіус цього кола, OK = d, а висота трапеції дорівнює 2d. Оскільки в трапецію вписано коло, то сума основ дорівнює сумі бічних сторін m + n. 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 SABCD = ⋅ 2𝑑𝑑 = (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)𝑑𝑑. 2 Відповідь: (m + n)d. 41. AD і BC – основи трапеції ABCD, CD = c. Точка K – середина більшої сторони AB. Відстань від точки K до прямої, що містить сторону CD, дорівнює d. Знайдіть площу трапеції.

Проведемо відрізок KM паралельно основам трапеції. Оскільки K — середина AB, то M — середина CD, KM — середня лінія трапеції. Вона ділить висоту трапеції h навпіл, значить, висоти трикутників KCM і KMD, ℎ

проведені до сторони KM, дорівнюють . 2 1 ℎ 1 ℎ 1 S△KCD = S△KCM + S△KMD = KM ⋅ + KM ⋅ = KM ⋅ ℎ = 2 2 2 2 2 1 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 ℎ = SABCD . = ⋅ 2 2 2 1 1 SABCD = 2S△KCD = 2(S△KND − S△KNC ) = 2 � KN ⋅ ND– KN ⋅ NC� = 2 2

1 (𝑑𝑑 ⋅ (𝑐𝑐 + NC) – 𝑑𝑑 ⋅ NC) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 ⋅ NC – 𝑑𝑑 ⋅ NC = 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2 Відповідь: dc. 42. У трапеції ABCD M – середина більшої основи AD, AB = BC = CD = a. Точка = 2 ⋅

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

перетину діагоналей трапеції збігається з точкою перетину висот трикутника BMC. Знайдіть площу трапеції.

la. in.

O — точка перетину діагоналей і точка перетину висот трикутника BMC. У △ABC ∠BAC = ∠BCA (кути при основі). ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC. Отже, AC — бісектриса кута A, але діагональ AC містить висоту CP (CP ⊥ BM). Отже, в △ABM AB = AM = a, MD = AM = a. ABCM — ромб (BM ⊥ AC), тоді MC = AB = a. Аналогічно, BM = CD = a. Отже, △ABM = △BMC = △CMD — рівносторонні. 𝑎𝑎²√3 Площа кожного дорівнює . 4 𝑎𝑎²√3 3𝑎𝑎²√3 SABCD = 3 ⋅ = . 4 4 3𝑎𝑎²√3 Відповідь: .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

ГОТУЄМОСЯ ДО ЗНО (НМТ)

1. (2011 р.) На малюнку зображено коло із центром у точці O та рівносторонній трикутник AOB, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN.

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки, у рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють 60°, а △AOB — рівносторонній, то всі його кути рівні. Отже: ∠AOB = 60° 2) Розглянемо кут MDN. Точки M, N та D лежить на колі. Кут MDN є вписаним кутом, який спирається на дугу MN. Центральний кут MON = ∠AOB = 60° 3) Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу (згідно теореми про вписаний кут): ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 60° ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 30° 2 2 Відповідь: Б. 30°.

2. (2015 р.) На діагоналі AC квадрата ABCD задано точку, відстань від якої до сторін AB і BC дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата ABCD.

Розв'язок: 1) Нехай M ∈ AC; MK ⊥ AB; ML ⊥ BC. MK = 2 см, ML = 6 см. 2) KBLM — прямокутник, тому KB = ML = 6 см. 3) Діагональ квадрата ділить кут навпіл, тому: ∠MAK = 45°, отже ∠AMK = 90° − 45° = 45°. Оскільки трикутник AKM рівнобедрений (∠MAK = ∠AMK = 45°), то: AK = KM = 2 см. 4) AB = AK + KB = 2 + 6 = 8 (см). 5) P = 4 · AB = 4 · 8 = 32 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: В. 32 см. 3. (2012 р.) Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону BC в точці M. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо BC = 24 см, AM = 10√2 см.

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки AM — бісектриса кута A прямокутника, а кут A = 90°, то: ∠BAM = 90° : 2 = 45°. 2) У трикутнику ABM:

BM = AM · sin45° = 10√2 ·

√2 = 10 (см); 2 √2

AB = AM · cos45° = 10√2 · = 10 (см). 2 3) У трикутнику ABC (∠ABC = 90°), діагональ AC: AC = �AB 2 + BC2 = �102 + 242 = √100 + 576 = √676 = 26 (см) 4) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі (оскільки діагональ прямокутника є діаметром описаного кола): AC 26 R= = = 13 (см) 2 2 Відповідь: 13 см. 4. (2011 р.) У трикутнику ABC: AB = 31 см, BC = 15 см, AC = 26 см. Пряма a, паралельна стороні AB, перетинає сторони BC і AC у точках M і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо MC = 5 см.

Розв'язок: 1) Оскільки MN ∥ AB, то кути трикутника MNC рівні відповідним кутам трикутника ABC (як кути при паралельних прямих). Отже: △ACB ⁓ △NCM (за двома кутами). 2) Для подібних трикутників відношення периметрів дорівнює відношенню відповідних сторін: P△MNC MC = BC P△ABC 3) Периметр трикутника ABC: P△ABC = 31 + 15 + 26 = 72 (см) 4) Знаходимо периметр трикутника MNC:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Розв'язок:

5 P△MNC = 15 72 5 ⋅ 72 = 24 (см) P△MNC = 15 Відповідь: Б. 24 см. 5. (2013 р.) У трикутник ABC вписано квадрат KLMN (див. мал.). Висота цього трикутника, проведена до сторони AC, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата (у см), якщо AC = 10 см.

1) BD — висота трикутника ABC; BD = 6 см, AC = 10 см. 2) Позначимо сторону квадрата: KN = KL = x; BF = y. Тоді FD = x і x + y = 6. 3) △KBL ⁓ △ABC (за двома кутами), тому: x y KL BF = ⇒ = ⇒ y = 0,6x AC BD 10 6 4) Складаємо систему: x + y = 6 � y = 0,6x Підставляємо: 0,6x + x = 6 ⇒ 1,6x = 6 ⇒ x = 3,75 (см). 5) Периметр квадрата: P = 4 ⋅ x = 4 ⋅ 3,75 = 15 (см) Відповідь: 15 см. 6. (2015 р.) На малюнку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою c та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

Розв'язок:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

la. in.

Косинус гострого кута прямокутного трикутника — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. До кута α прилеглий катет — b, гіпотенуза — c, тому: 𝑏𝑏 cos 𝛼𝛼 = 𝑐𝑐 Відповідь: Д. 7. (2009 р.) У трапеції ABCD: ∠A = 90°, AB = 12 см (див. мал.). Діагональ BD ділить середню лінію KL трапеції на відрізки KM і ML, причому KM = 5,5 см і ML = 3 см. Обчисліть периметр трапеції ABCD (у см).

Розв'язок: Середня лінія трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 , 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 5,5 + 3 = 8,5 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 см 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 2 △ABD ⁓ △KBM (за двома кутами), тому: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 12 ⋅ 5,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 11 см 6 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 17 − 11 = 6 см З точки C опустимо висоту на AD. Отримаємо прямокутний трикутник зі сторонами AB = 12 см, AD − BC = 11 − 6 = 5 см та CD. За теоремою Піфагора: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13 см 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 + 6 + 13 + 11 = 42 см Відповідь: 42 см. 8. (2006 р.) (Задача Л. Пізанського, XII–XIII ст.) Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що розміщена між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах). Розв'язок:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

Розв'язок:

la. in.

1) Оскільки птахи летіли з однаковою швидкістю і прилетіли одночасно, то: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) Позначимо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥, тоді 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 50 − 𝑥𝑥. 3) За теоремою Піфагора у прямокутному △ABK: 𝐵𝐵𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐵𝐵2 + 𝐴𝐴𝐾𝐾 2 = 402 + 𝑥𝑥 2 = 1600 + 𝑥𝑥 2 У прямокутному △CDK: 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 = 𝐶𝐶𝐷𝐷2 + 𝐾𝐾𝐷𝐷2 = 302 + (50 − 𝑥𝑥)2 = 900 + (50 − 𝑥𝑥)2 4) Оскільки 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶, то 𝐵𝐵𝐾𝐾 2 = 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 : 1600 + 𝑥𝑥 2 = 900 + (50 − 𝑥𝑥)2 1600 + 𝑥𝑥 2 = 900 + 2500 − 100𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 1600 = 3400 − 100𝑥𝑥 100𝑥𝑥 = 1800 𝑥𝑥 = 18 (футів) 5) Отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 18 футів, 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 50 − 18 = 32 фути. Відповідь: 18 футів. 9. (2006 р.) У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см2. Обчисліть площу прямокутника ABCD.

1) Оскільки прямі m і n проходять через центр O, то трикутники, які вони утворюють, попарно рівні (вертикальні кути рівні, а відрізки від центра до сторін рівні між собою). Тому: △OFE = △OLK Отже, площа фігури з трьох зафарбованих трикутників дорівнює площі △DOC. 2) Діагоналі прямокутника ділять його на 4 рівних трикутники, тому: 1 𝑆𝑆△𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ⋅ 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 4 3) Отже: 1 ⋅ 𝑆𝑆 = 12 4 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 12 = 48 см2 Відповідь: Д. 48 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

10. (2010 р.) На малюнку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник ABK, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD (у см).

√3

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки △ABK — рівносторонній, то AB = BK = AK. З периметра трикутника: 12 = 4 (см) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 2) З периметра прямокутника ABCD знаходимо BC і AD: 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 2 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20 20 − 2 ⋅ 4 12 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 6 (см) 2 2 3) Периметр п'ятикутника AKBCD складається зі сторін AK, KB, BC, CD, DA: 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 + 4 + 6 + 4 + 6 = 24 (см) Відповідь: 24 см. 11. (2013 р.) Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м та утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника сполучено послідовно. Знайдіть значення S виразу , де S – площа (у м2) утвореного чотирикутника.

Розв'язок: 1. Розглянемо трикутник ABD У прямокутному трикутнику ABD: AB = 16 м, ∠ABD = 60°, AD — протилежний катет. Тоді: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡𝑡𝑡60∘ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑡𝑡𝑡𝑡60∘ = 16 ⋅ √3 = 16√3 2. Чотирикутник KLMN K, L, M, N — середини сторін ⇒ KLMN — ромб. Його діагоналі: 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16√3 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16 3. Площа ромба  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

1 1 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⋅ 𝐿𝐿𝐿𝐿 = ⋅ 16√3 ⋅ 16 = 128√3 2 2 4. Обчислюємо вираз 128√3 𝑆𝑆 = = 128 √3 √3 Відповідь: 128. 12. (2013 р.) У трикутнику ABC точка M – середина сторони BC, AC = 24 см (див. мал.). Знайдіть відстань d (у см) від точки M до сторони AC, якщо площа трикутника ABC дорівнює 96 см2.

Розв'язок:

la. in.

𝑆𝑆 =

1) BK ⊥ AC — висота. За формулою площі трикутника: 1 1 𝑆𝑆 = ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 96 = ⋅ 24 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см 2 2 2) M — середина BC, N — середина KC ⇒ MN — середня лінія △BKC. Згідно властивості: середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна: 𝐵𝐵𝐵𝐵 8 𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 4 см 2 2 3) d = MN = 4 см Відповідь: 4 см. 13. (2014 р.) Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки 13 см і 23 см завдовжки. Обчисліть (у см2) площу трапеції. Розв'язок:

1. Знайдемо основи трапеції. Згідно властивість середньої лінії трапеції:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/2408-hdz-heometriia-8-klas-ister-2016.html

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 , 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 13 = 26 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 23 = 46 см 2. Знайдемо бічні сторони трапеції. Бісектриса ділить кут навпіл: ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷 ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (як внутрішні різносторонні) ⇒ △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений ⇒ AB = BC = 26 см 3. Знайдемо висоту трапеції BP: 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 − 26 𝐴𝐴𝑃𝑃 = = = 10 см 2 2 У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 (теорема Піфагора): 𝐵𝐵𝑃𝑃 = �262 − 102 = 24 см 4. Площа трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 + 26 𝑆𝑆 = ⋅ 𝐵𝐵𝑃𝑃 = ⋅ 24 = 864 см2 . 2 2 Відповідь: 864 см2.

la. in.

𝑀𝑀𝑀𝑀 =

 shkola.in.ua