h-8-al-is

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(Усно.)

1) 12x = 0; - лінійне рівняння.

2) 4x + 2y = 9; - має дві змінні, тому не є рівнянням

3) 7x = x2; - не лінійне, оскільки містить x2 (це квадратне рівняння).

4) 0x = 12; - суперечливе рівняння (немає розв’язків), але не лінійне, бо коефіцієнт біля x дорівнює 0.

5) 1 х – 7 = 0; - не лінійне, оскільки містить 1 х (дробова залежність).

6) 0x = 0. - тотожність (вірне для всіх x), але не є власне рівнянням.

2. Яке із чисел є коренем рівняння x2 – x = 2x + 4:

1) 0; 2) –1; 3) 1;

4) 2; 5) 4; 6) –3?

x2 – x = 2x + 4

x2 – x – 2x – 4 = 0

x2 3x – 4 = 0

(x 4)(x + 1) = 0

x – 4 = 0 ⇒ x = 4

x + 1 = 0 ⇒ x = 1

Тобто коренями є x = 4 і x = 1.

Відповідь: 2 і 5.

3. Яке із чисел є коренем рівняння x2 – 3x = x + 5: 1) 1; 2) 0; 3) –1; 4) 3; 5) 5; 6) –2?

x2 3x = x + 5

x2 3x – x – 5 = 0

x2 4x – 5 = 0

(x 5)(x + 1) = 0

x – 5 = 0 ⇒ x = 5

x + 1 = 0 ⇒ x = 1

Тобто коренями є x = 5 і x = 1.

Відповідь: 3 і 5.

4. Розв’яжіть рівняння: 1) 4х = -8

4х : 4 = -8 : 4

х = -2

2) 9х – 13 = 3х + 5

9х – 3х = 5 + 13

6х = 18

х = 3

3) 7 – (3х + 2) = 5 7 – 3х – 2 = 5 5 – 3х = 5 -3х = 0 х = 0 5) 8 – 2х = -(4х + 3) 8 – 2х = -4х – 3 -2х + 4х = -3 – 8 2х = -11 х = 11 2 = 5 1 2

х = 9 6) 3(х – 3) = 4х + 21

8 х = 9

3х – 9 = 4х + 21

3х – 4х = 21 + 9 -х = 30

х = -30

1) -5х = -20

-5х : (-5) = -20 : (-5)

х = 4

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3) 9 – (5х + 1) = 10

9 – 5х – 1 = 10 8 – 5х = 10 -5х = 10 – 8

5х = 2

2) 7х – 11 = 2х + 1

7х – 2х = 1 + 11

5х = 12

9x + 36 = 0

9х = -36

х = -4 18x + 72 = 0

18х = -72 х = -4

3x = x + 12

3x – x = 12

2x = 12

x = 6

3x = 3 ⋅ 6 = 18 (т.)

Відповідь: 18

на 6

2x + 6 = 48

2x = 42

x = 21 (н.) Відповідь:

5x = 2x +

5x 2x = 18

3x = 18 x = 6 (

5) 7 – 3х = -(2х – 7)

7 – 3х = -2х + 7 -3х = -2х

-3х + 2х = 0

-х = 0

х = 0

6) 9(х – 1) = 8х + 13

9х – 9 = 8х + 13

9х – 8х = 13 + 9 х = 22

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

x + 8

2(x + 8) = 3x

2x + 16 = 3x

16 = 3x 2x

x = 16 (кг) – маса ящика зі сливами.

16 + 8 = 24 (кг) – маса ящика з яблуками. Відповідь: 16 кг; 24 кг. 11. Розв’яжіть

+ 5y

2х 5 3 = 5х+1 9

9(2х – 5) = 3(5х + 1)

18х – 45 = 15х + 3

18х – 15х = 3 + 45

3х = 48

х = 16 7(у + 3) – 9(у – 1) = 24 7у + 21 – 9у + 9 = 24

100х + 5у = 100 ⋅ 16 + 5 ⋅ 3 = 1600 + 15 = 1615

Могилянська академія»)

Розв’яжіть рівняння 2х−1 3 = 3+4х

2х = 16

х = 8

Розв’яжіть

1) ǀхǀ - 2 = 9

= 9 + 2

= 11 х = 11

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

5x + 12 = 52

5x = 40

x = 8 (см) – перша сторона.

3x = 3 ⋅ 8 = 24 (см) – друга сторона.

x + 12 = 8 + 12 = 20 (см) – третя сторона.

Відповідь: 8 см; 24 см; 20 см.

15. В одному

третьому. Скільки

x + 6

відповідно:

(x + 6) + x + 2(x + 6) = 66

(x + 6) + x + 2x + 12 = 66

4x + 18 = 66

4x = 48

x = 12 (кг) – другий мішок. x + 6 = 12 + 6 = 18 (кг) – перший мішок.

2(x + 6) = 2(12 + 6) = 36 (кг) – третій мішок.

Відповідь: 18 кг; 12 кг; 36 кг.

16. За якого значення a рівняння x + a =

1) x + a = 9 ⇒ x = 9 a

2) 4x – a = 3x ⇒ 4x 3x = a ⇒ x = a

Тепер прирівняємо вирази для x

9 – a = a

9 = 2a

а = 9 2 = 4,5

Відповідь: а = 4,5. 17. За якого значення b

1) x – b = 7 ⇒ x = b + 7

2) 5x + b = 4x ⇒ 5x 4x = b ⇒ x = b Тепер прирівняємо

b + 7 = b

b + b = 7

2b = 7

b = −7 2 = 3,5

Відповідь: b = -3,5.

1) c3c5 = с3+5 = с8; 2) m9mm15 = m9+15 = m24; 3) p12 : p3 = р12-3 = р9; 4) (x9)7 = х9⋅7 = х63 19. Подайте у

степеня: 1) p7p2 = p7+2 = p9; 2) tt2t3 = t2+3 = t5; 3) c15 : c5 = c15−5 = c10; 4) (a3)8 = a3⋅8 = a24

20. Виконайте множення: 1) p(x – 2) = p ⋅ x – p ⋅ 2 = px 2p 2) –c(m – 4) = c ⋅ m + c ⋅ 4 = cm + 4c

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3) x(c – 3 – d) = x ⋅ c – x ⋅ 3 – x ⋅ d = xc 3x xd

21. Виконайте множення:

1) t(3 – c) = t ⋅ 3 – t ⋅ c = 3t tc

2) – x(p – 2) = x ⋅ p + x ⋅ 2 = xp + 2x

3) a(t – b – 9) = a ⋅ t – a ⋅ b – a ⋅ 9 = at – ab 9a

22. Знайдіть значення виразу:

1) (–3)4 = 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81

2) (–6)3 = -63 = -(6 ⋅ 6 ⋅ 6) = -216

3) 0,1 ⋅ 103 = 10-1 ⋅ 103 = 102 = 100

4) (2,6 – 2,7)2 = (-0,1)2 = � 1 10�2 = 1 100 =0,01

23. Знайдіть значення виразу:

1) (–2)4 = 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16

2) (–5)3 = -53 = -(5 ⋅ 5 ⋅ 5) = -125

3) 0,2 ⋅ 53 = 5-1 ⋅ 53 = 52 = 25

4) (1,5 – 1,8)2 = (-0,3)2 = � 3 10�2 = 9 100 =0,09

24. Перетворіть вираз на многочлен:

1) 4a2(3 – a) = 4a2 ⋅ 3 4a2 ⋅ a = 12a2 4a3

2) 7(x – 2) – 2(x – 7) = 7x – 14 2x + 14 = 5x

3) (x – 5)(x + 3) = x2 + 3x 5x – 15 = x2 2x 15 4) – 5c2(8 – c3 + c) = 5c2 ⋅ 8 + 5c2 ⋅ c3 5c2 ⋅ c = 40c2 + 5c5 5c3

5) 4(2x – 3) – (8x – 9) = 8x 12 8x + 9 = 3

6) (2b – a)(a + b) = 2b ⋅ a + 2b ⋅ b – a ⋅ a – a ⋅ b = 2ab + 2b2 a2 – ab = ab + 2b2 a2

25. Перетворіть на многочлен вираз:

1) 7b2(b – 3) = 7b2 ⋅ b 7b2 ⋅ 3 = 7b3 21b2

2) 4(b – 3) – 2(2b + 1) = 4b – 12 4b – 2 = 14

3) (m + 2)(m – 4) = m2 4m + 2m – 8 = m2 2m 8 4) –2x3(4 – x2 + x) = 2x3 ⋅ 4 + 2x3 ⋅ x2 2x3 ⋅ x = 8x3 + 2x5 2x4

5) 3(2c – 6) – (5c – 18) = 6c – 18 5c + 18 = c 6) (3x + y)(x – y) = 3x ⋅ x 3x ⋅ y + y ⋅ x

26. Подайте у вигляді многочлена:

1) (b – 6)2 = (b 6)(b 6) = b2 12b + 36

y

y = 3x2 3xy + xy y2 = 3x2 2xy y2

2) (7x + 2)2 = (7x + 2)(7x + 2) = 49x2 + 28x + 4

3) (4a – 1)2 – 16a2 = (16a2 8a + 1) 16a2 = 8a + 1

4) (p – 3)(p + 3) = p2 9

5) (7 + x)(x – 7) = 7x – 49 + x2 7x = x2 49

6) (2y – 3)(2y + 3) + 9 = 4y2 – 9 + 9 = 4y2

27. Подайте у вигляді многочлена:

1) (с + 5)2 = (c + 5)(c + 5) = c2 + 10c + 25

2) (8b – 3)2 = (8b 3)(8b 3) = 64b2 48b + 9

3) (4x + 3)2 – 9 = (16x2 + 24x + 9) – 9 = 16x2 + 24x

4) (c + 2)(c – 2) = c2 4

5) (m – 9)(9 + m) = (m 9)(m + 9) = m2 81

6) (5p – 2)(5p + 2) – 25p2 = (25p2 4) 25p2 = 4

28. Розкладіть на множники:

1) 4a + 12b = 4(a + 3b)

2) 15ac – 20a = 5a(3c 4)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3) a(c – x) + 9c – 9x = a(c x) + 9(c x) = (c x)(a + 9)

4) –7c2 – 21c5 = 7c2(1 + 3c3)

5) a3 + a7 – a5 = a3(1 + a4 a2) = a3(1 + a2(a2 1))

6) 5a + 5b – ay – yb = 5(a + b) y(a + b) = (a + b)(5 y)

29. Розкладіть на множники:

1) 9x – 18y = 9(x 2y)

2) 4 xm + 6m = 2m(2x + 3)

3) m(x – p) + 3x – 3p = m(x p) + 3(x p) = (x p)(m + 3)

4) –2x3 – 8x5 = 2x3(1 + 4x2)

5) b2 – b5 + b3 = b2(1 b3 + b) = b2(b b3 + 1)

6) 7 c + 7n – cx – xn = 7(c + n) x(c + n) = (c + n)(7 x)

30. Знайдіть

1) 256 : 27 ⋅ 8 = 256 ∙ 1 27 ∙ 8

256 = 28, отже: 28 : 27 ⋅ 8 = 28-7 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16

3) 0,59 ⋅ 29 = �1

1) (x2 – 3x)(x + 1) – x2(x – 2) = 3x (x2 3x)(x + 1) = x2(x + 1) 3x(x

(x3 2x2 3x) (x3

2) (2a – 3)2 – (4a – 1) (a + 3) = 23a + 12 (2a 3)2 = (2a 3)(2a 3) = 4a2 12a + 9 (4a 1)(a + 3) = 4a(a + 3) 1(a + 3) = 4a2 +

– 3 (4a2 12a + 9) (4a2 + 11a 3) =

33. Перетворіть

1) m2(m + 3) – (m2 + 4m)(m – 1) = 4m m2(m + 3) = m3 + 3m2 (m2 + 4m)(m 1) = m2(m 1) + 4m(m 1) = m3 m2 + 4m2 4m = m3 + 3m2 4m (m3 + 3m2) (m3 + 3m2 4m) = m3 + 3m2 m3 3m2 + 4m = 4m 2) (9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)2 = 38x 7 (9x 1)(x + 3) = 9x(x + 3) 1(x + 3) = 9x2 + 27x – x – 3 = 9x2 + 26x – 3 (3x 2)2 = (3x 2)(3x

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(9x 1)(4x + 2) = 9x(4x + 2) 1(4x + 2) = 9x ⋅ 4x + 9x ⋅ 2 – 1 ⋅ 4x – 1 ⋅ 2 = 36x2 + 18x 4x – 2 = 36x2 + 14x – 2

(6x 7)(6x +7) = 6x(6x + 7) 7(6x + 7) = 6x ⋅ 6x + 6x ⋅ 7 – 7 ⋅ 6x – 7 ⋅ 7 = 36x2 + 42x 42x –49 = 36x2 – 49

(36x2 + 14x 2) (36x2 49) 36x2 + 14x – 2 36x2 + 49 = 14x + 47

14(−3) + 47 = 42 + 47 = 5

Відповідь:

= 16a2 – 9 (8a 7)(2a 1) =

= 16a2 22a + 7

(16a2 9) (16a2 22a + 7)

16a2 – 9 16a2 + 22a – 7 = 22a – 16 22 ∙ 12 11 16 = 264 11 16 = 264 11 176 11 = 88 11 =8 Відповідь:

2) x5 – 3x3 – 2x2 + 6 = (x2 3)(x3 2)

3) –4x2 + 20x – 25 = (2x 5)2

4) 0,36p8 – c10x12 = 0,36 �р8 с10

5) 64m3c9 + t30

вийде.

6) c2 + 2cd + d2 – 25 = (c + d 5)(c + d + 5) 37.

1) 8p4 – 4p5 + 12p = 4p(2p3 p4 + 3)

2) a5 – 2a2 – 3a3 + 6 = (a2 3)(a3 2)

3) –9m2 – 6m – 1

існує

4) 0,49m4 – t16p2 = 0,49(m4 t16p2)

5) 125a6 – b9 = (5a3)2 і b9 = (b4,5)2

6) a2 – 2ax + x2 – 36 = (a – x 6)(a – x + 6)

38. Розв’яжіть рівняння:

1) 4x2 – x = 0

х(4х – 1) = 0

х = 0 або 4х – 1 = 0

х = 0 х = 1 4

2) 25x2 + 10x + 1 = 0

(5х + 1)2 = 0

5х + 1 = 0

5х = -1

х = 1 5 = 0,2

3) (x – 1)2 – 4 = 0

(х – 1 – 2)(х – 1 + 2) = 0

(х – 3)(х + 1) = 0

х – 3 = 0 або х + 1 = 0

х = 3 х + 1 = 0

х = 3 х = -1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

39. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x2 + x = 0

х(2х + 1) = 0

х = 0 або 2х + 1 = 0

х = 0 х = − 1 2 = −0,5

40.

2) 36x2 – 12x + 1 = 0

(6х – 1)2 = 0

6х – 1 = 0

6х = 1 х = 1 6

12) + n є непарним числом. (2n 3)(5n 1) = 10n2 2n 15n + 3 = 10n2 17n + 3

2n(5n 12) = 10n2 24n (10n2 17n + 3) (10n2 24n) + n

10n2 17n + 3 10n2 + 24n + n (10n2 10n2) + (−17n + 24n + n) + 3 = 8n + 3 Для будь-якого натурального nnn вираз 8n + 3 є

41. Доведіть, що якщо m – натуральне число,

3) (x + 2)2 – 9 = 0

(х + 2 – 3)(х + 2 + 3) = 0

(х – 1)(х + 5) = 0

х – 1 = 0 або х + 5 = 0

х = 1 х = -5

(3m + 2)(4m – 1) – 2m(6m – 7) + m є парним числом. (3m + 2)(4m 1) = 12m2 3m + 8m – 2 = 12m2 + 5m – 2 2m(6m 7) = 12m2 14m (12m2 + 5m 2) (12m2 14m) + m 12m2 + 5m – 2 12m2 + 14m + m (12m2 12m2) + (5m + 14m + m) – 2 = 20m – 2

42. Виконайте множення

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

4) 36 : 9 – 4 = 0; не є функцією

5) c = n2 – n3; функція

Незалежна змінна (аргумент): n

Залежна змінна: c

6) 2 x – 9 > 3; не є функцією

46. (Усно.) Чи є лінійною функція:

1) у = 2х2; Не є лінійною, оскільки містить x2,

2) y = 2x; Лінійна функція.

3) y = 2; Лінійна функція.

x.

4) у = 1 2х−3; Не є лінійною, оскільки змінна x знаходиться в знаменнику.

5) y = 2x – 3; Лінійна функція.

6) y = 2x2 – 3; Не є лінійною, оскільки містить x2.

47. Функцію задано формулою y = 3 – 2x. Знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює –4; 1,5;

Якщо х = -4, то:

y = 3 2(−4) = 3 + 8 = 11

Якщо х = 1,5, то:

y = 3 2(1,5) = 3 – 3 = 0

2) значення аргументу, якщо значення функції

Якщо у = -7, то:

7 = 3 2x

7 – 3 = 2x

10 = 2x

x = 5

Якщо у = 5, то:

5 = 3 2x

5 – 3 = 2x

2 = 2x

x = 1

1) значення функції, якщо значення

х = -1,5, то: y = 4(−1,5) – 5 = 6 – 5 = 11

Якщо х = 6, то: y = 4(6) – 5 = 24 – 5 = 19

2)

Якщо у = -9, то:

9 = 4x 5

9 + 5 = 4x

4 = 4x

x = 1

Якщо у = 1, то:

1 = 4x 5

1 + 5 = 4x

6 = 4x

x = 6 : 4 = 1,5

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) у = 3х – 6, усі числа

D(y) = (−∞; +∞)

3) у = 5

3х−6, усі числа, крім х = 2

D(y) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞)

50. Знайдіть область визначення функції:

1) у = 2х + 4, усі числа

D(y) = (−∞; +∞)

3) у = 7

2х+4, усі числа, крім х = 2

2) у = 3х 6 5 , усі числа

D(y) = (−∞; +∞)

4) у = 7 х+6, усі числа, крім х = 6

D(y) = (−∞; 6) ∪ (−6; +∞)

2) у = 2х+4 7 , усі числа

D(y) = (−∞; +∞)

D(y) = (−∞; 2) ∪ (−2; +∞) 4) у = 9 х−4, усі числа, крім х = 4 D(y) = (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

51. Не виконуючи

1) у = 7х

0 = 7x x = 0

x = 0,5, то y ≈ 2. 2) значення x, якщо y = –0,5; 2; 2,5;

y = –0,5, x ≈ -3 та x ≈ 2.

y = 2, x ≈ -1,5 та x ≈ 1. Якщо y = 2,5, x ≈ -1.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

-4 ≤ x < -3, -0,5 < x < 2.

На інтервалах x ∈ (–4; –2) та x ∈ (1,5; -2).

56. На

знайдіть:

1) значення y, якщо x = –1; –0,5; 2,5; Якщо x = –1, y ≈ 0.

Якщо x = –0,5, y ≈ –1.

Якщо x = 2,5, y ≈ –2,5.

2) значення x, якщо y = –3; –2; 1; Коли y = –3, x ≈ 2.

Коли y = –2, x ≈ 3.

Коли y = 1, x ≈ –2 та x ≈ 4.

3) нулі функції; x ≈ –1, x ≈ 3,5.

4) значення аргументу, для яких

На інтервалах x ∈ (–3; –1) та x ∈ (3,5; 5).

5) значення аргументу, для

На інтервалах x ∈ (–1; 3,5).

57. Не виконуючи побудови,

графіка функції:

1) y = 0,5x – 4

Щоб знайти

0 = 0,5x – 4

0,5x = 4

х = 4

0,5 =8

2) y = 16 – x2

= 16

x2 = 16 x = ±4

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) y = 3 – 2x Щоб знайти

0 = 3 2x

2x = 3

х = 3 2

Отже, точка перетину з віссю x — це (3 2, 0).

Щоб знайти точку

y = 3 2(0) = 3

Отже, точка

з віссю y — це (0, 3). 2) y = x2 + 2x

Щоб знайти точку перетину

0 = x2 + 2x

x(x + 2) = 0

Отже, x = 0 або x = 2.

Точки перетину з віссю x — це (0, 0) і (−2, 0).

Щоб знайти точку

= (0)2 + 2(0) = 0

y =

61. (Усно.)

1) (6; 1); - належить.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2) (8; –2); - не належить.

3) (1; –6); - не належить.

4) (3; 4); - належить.

62. (Усно.) Чи є розв’язком

1) (4; 3); - не є розв’язком 2) (3; 2); - є розв’язком 3) (4; 1); - не є розв’язком

63. Побудуйте графік

1) �

3�� = 12,

2�� +3�� =2;

х = 12 : 3 = 4

2(4) + 3y = 2

8 + 3y = 2

3y = 6

y = 2

Відповідь: (4; -2)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2) � �� = �� 2, 4�� 3�� = 5; 4(y 2) 3y = −5

4y – 8 3y = −5

y – 8 = −5

y = 3

x = 3 – 2 = 1

Відповідь: (1; 3)

68. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:

1) � 4�� = 8,

5�� +2�� =1;

у = (-8) : 4 = -2

5x + 2(−2) = 1

5x – 4 = 1

5x = 5

x = 1

Відповідь: (1; -2)

69. Розв’яжіть способом

1) � 3�� + �� = 2, 2��−�� =3;

(3x + y) + (2x y) = 2 + 3

3x + 2x + y – y = 5

5x = 5

x = 1

3(1) + y = 2

3 + y = 2

y = 1

2) � �� = �� + 3, 2�� 3�� = 8; 2x 3(x + 3) = 8

2x 3x – 9 = 8

x – 9 = 8

x = 1

y = 1 + 3 = 2

3) � 3�� + �� = 3, 4�� +5�� = 7. y = 3 3x

4x + 5(3 3x) = 7 4x + 15 15x = 7 11x + 15 = 7 11x = 22 x = 2

y = 3 3(2) = 3 – 6 = 3

Відповідь: (2; -3)

Відповідь: (-1; 2) 3) � �� 2�� = 5, 3�� +5�� =4.

Відповідь: (1; -1) 2) � 2�� + 3�� = 1, 2�� 4�� = 13; (2x + 3y) (2x 4y) = 1 (−13) 2x + 3y 2x + 4y = 1 + 13 7y = 14 y = 2

70. Розв’яжіть способом

1) � �� + 3�� = 1, −�� +4�� =6; (x + 3y) + (−x + 4y) = 1 + 6

x – x + 3y + 4y = 7

7y = 7

y = 1

x + 3(1) = 1

x + 3 = 1

x = 2

Відповідь: (-2; 1)

2x + 3(2) = 1 2x + 6 = 1

2 x = −5

Відповідь: ( 5 2; 2)

2) � 3�� 5�� = 11, 4�� 5�� = 13; (4x 5y) (3x 5y) = 13 11

4x 3x 5y + 5y = 2 x = 2

3(2) 5y = 11

6 5y = 11

5y = 5

у = 1

Відповідь: (2; 1)

x = 2y + 5

3(2y + 5) + 5y = 4

6y + 15 + 5y = 4

11y + 15 = 4

11y = 11

y = 1

x = 2(−1) + 5 = 2 + 5 = 3

Відповідь: (3; -1)

3) �4�� 3�� = 11, 5�� +9�� =1. 12x 9y = 33 (12x 9y) + (5x + 9y) = 33 + 1

12x + 5x 9y + 9y = 34

17x = 34 x = 2

4(2) 3y = 11

8 3y = 11 3y = 3 y = 1

Відповідь: (2; -1)

3) �4�� 3�� = 15, 8�� +5�� = 19.

8x 6y = 30

(8x 6y) (8x + 5y) = 30 19

8x 8x 6y 5y = 11

11y = 11 y = 1

4x 3(−1) = 15

4x + 3 = 15

4x = 12

x = 3

Відповідь: (3; -1)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2

+ �� = 40

�� +2�� = 44

4x + 2y = 80

(4x + 2y) (x + 2y) = 80 44

4x – x + 2y 2y = 36

3x = 36

x = 12

2(12) + y = 40

24 + y = 40

y = 16

Відповідь:

3�� + �� = 44

�� +3�� = 68

3(x + 3y) = 3(68)

3x + 9y = 204

(3x + 9y) (3x + y) = 204 44

3x 3x + 9y – y = 160

8y = 160

y = 20

3x + 20 = 44

3x = 24

x = 8

Відповідь:

1) 2x – 3y = 24;

2x 3(0) = 24

2x = 24

x = 12

Точка: (12; 0)

2(0) 3y = 24

3y = 24

y = 8

Точка: (0; -8)

2) 0 x + 5y = 15; 5y = 15 y = 3

Точка: (0; 3)

3) –4 x = 12. 4x = 12 x = 3

Точка: (-3; 0)

1) 4x + 5y = 40;

4x + 5(0) = 40

4x = 40

x = 10

Точка: (10; 0)

4(0) + 5y = 40

5y = 40

y = 8

Точка: (0; 8)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2) 2x + 0y = –16; 2x = 16

x = 8

Точка: (-8; 0)

75. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � 2�� + 3�� = 0,

4��− 5�� = 22;

4a + 6b = 0

(4a + 6b) (4a 5b) = 0 (−22)

4a 4a + 6b + 5b = 22

11b = 22

b = 2

2a + 3(2) = 0

2a + 6 = 0

2a = 6

a = 3

a = 3, b = 2

3) � 3�� + 5�� = 9, 4�� 3�� = 17.

9x + 15y = 27

20x 15y = 85

(9x + 15y) + (20x 15y) = 27 + (−85)

9x + 20x = 58

29x = 58

x = 2

3(−2) + 5y = 9

6 + 5y = 9

5y = 15

y = 3

x = 2, y = 3

3) 3y = 6. y = 2

Точка: (0; 2)

2) � 4�� 5�� = 1, 3�� + 10�� = 42; 8x 10y = 2

(8x 10y) + (3x + 10y) = 2 + 42

8x + 3x = 44 11x = 44 x = 4

4(4) 5y = 1 16 5y = 1 5y = 15 y = 3

x = 4, y = 3

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) � 2�� 3�� = 7, 5�� +6�� =4; 4m 6n = 14

15m + 18n = 12

(4m 6n) + (15m + 18n) = 14 + 12

4m + 15m = 26

19m = 26 m = 26 19

2 �26 19� − 3�� =7 52 19 − 3�� =7

3�� =7 52 19 3�� = 133 19 52 19

3�� = 81 19 �� = 27 19 m = 26 19; n = 27 19

3) � 4�� + 7�� = 5, 5

12x + 21y = 15

35x 21y = 126

(12x + 21y) + (35x 21y) = 15 + 126

12x + 35x = 141

47x = 141

x = 3

4(3) + 7y = 5

12 + 7y = 5

7y = 7

y = 1

x = 3, y = 1

1) (vb + vt) ⋅ 2 + (vb vt) ⋅ 3 = 88

2vb + 2vt + 3vb 3vt = 88

(2vb + 3vb) + (2vt 3vt) = 88

5vb – vt = 88

2) (vb + vt) ⋅ 4 = (vb vt) ⋅ 5

4vb + 4vt = 5vb 5vt

4vb 5vb = 5vt 4vt

vb = 9vt

3) 5(9vt) – vt = 88

2) � 2�� 3�� = 6, 8�� +5�� = 24; 10x 15y = 30

24x + 15y = 72

(10x 15y) + (24x + 15y) = 30 + 72

10x + 24x = 102

34x = 102

x = 3

2(3) 3y = 6

6 3y = 6 3y = 0

y = 0

x = 3, y = 0

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

45vt – vt = 88

44vt = 88

vt = 2км/год

4) vb = 9 ⋅ 2 = 18км/год

Відповідь: власна швидкість човна vb = 18 км/год, а швидкість течії vt = 2 км/год.

78. Складіть рівняння

�� = ��2−��1

��2−��1

�� = 5−11

2−(−1) = −6 3 = 2

y – 11 = 2(x (−1))

y – 11 = 2(x + 1)

y – 11 = 2x 2

y = 2x + 9

79. Графік лінійної

�� = ��2−��1

��2−��1

�� = 23−2

4 (−3) = 21 7

y – 2 = 3(x (−3))

y – 2 = 3(x + 3)

y – 2 = 3x + 9

y = 3x + 11 80. За 4

1) 4x + 3y = 195

1,1x + 0,8y = 53

2) 11x + 8y = 530

3) 8(4x + 3y) = 8(195) ⇒ 32x + 24y = 1560

3(11x + 8y) = 3(530) ⇒ 33x + 24y = 1590

(33x + 24y) (32x + 24y) = 1590 1560 x = 30

4) 4(30) + 3y = 195

120 + 3y = 195

3y = 195 120

3y = 75 y = 25

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

4) x ≠ 0; x ≠ −2;

5) y ≠ 1; y ≠ −6;

6) будь-яке значення m.

1.9. За t

(у км/год).

v = 240 �� , t (год).

Якщо t = 3 год, то v = 240 3 = 80 км/год;

якщо t = 4 год, то v = 240 4 = 60 км/год.

Відповідь: 80 км/год; 60 км/год.

1.10. Пенсіонерка

1) −2; 2) 9; 3) 0,01; 4) −4,9?

1) �� + 2 8 =

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3) (�� + 2)(�� 3) �� + 4 = 0; � �� + 2 = 0, �� – 3 = 0, �� + 4 ≠ 0; � �� = –2, �� = 3, �� ≠ –4;

4) �� + 1

5�� + 5 = 0; � �� + 1 = 0, 5�� + 5 ≠ 0; �� = –1, �� ≠ –1. Розв’язків немає.

Відповідь: 1) y = 0; y ≠ 7 5; 2) y = –1; y ≠ 0;

3) y = –2; y = 3; y ≠ –4; 4) розв’язків немає.

1.15. Знайдіть допустимі

1) �� + 1 (�� 1)(2�� + 7); (a – 1)(2a + 7) ≠ 0; a – 1 ≠ 0 або 2a + 7 ≠ 0; 2a ≠ –7, a ≠ –3,5.

Відповідь: a – будь-яке, крім 1 і –3,5. 2) �� + 2 �� 2 7�� ; t2 – 7

2 25; m2 – 25 ≠ 0; (m – 5)(m + 5) ≠ 0; m – 5 ≠ 0 або m + 5 ≠ 0 m ≠ 5 m ≠ – 5. Відповідь: m –

-яке,

x – будь-яке, крім 9. 1.16. Знайдіть

1) �� 7 (9 ��)(4�� + 10); (9 – p)(4p + 10); 9 – p ≠ 0 або 4p + 10 ≠ 0, p ≠ 9 4p ≠ –10 p ≠ –2,5

Відповідь: p –

3) �� 4 �� 2 ; 4 – с

-яке, крім 0 і 5.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2| ≠ 4, |�� – 2| ≠ –4; � �� ≠ 6, �� ≠ –2.

Відповідь: 1) a ≠ 2; a ≠ 3; 2) x ≠ ±1; 3) m ≠ 1; m ≠ 0; 4) k ≠ 6; k ≠ –2. 1.19. Знайдіть область визначення виразу:

1) x(x + 2) − 4x − 8 ≠ 0; x(x + 2) − 4(x + 2) ≠ 0; (x + 2)(x − 4) ≠ 0; � �� + 2 ≠ 0, �� − 4 ≠ 0; �� ≠ 2, �� ≠ 4; 2) 4 − |m| ≠ 0; |m| ≠ 4; m ≠ ±4; 3) 1 �� + 1 ≠ 0; 1 + �� ≠ 0; �1 + �� ≠ 0, �� ≠ 0; �� ≠ – 1, �� ≠ 0; 4) |a + 2| − 3 ≠ 0; |a + 2| ≠ 3; � �� + 2 ≠ 3, �� + 2 ≠ 3; � �� ≠ 1, �� ≠ –5;

Відповідь: 1) x ≠ −2; x ≠ 4; 2) m ≠ ±4; 3) x ≠ −1; x ≠ 0; 4) a ≠ 1; a ≠ −5.

1.20. Визначте знак дробу:

1) Додатні, так як x > 0, то x7 > 0; y < 0, то y8 > 0; 2) m + 1 > 0, так як m > 0; n < 0, то n7 < 0, то знак

від’ємний; 3) p < 0, то |p − 1| > 0; якщо n > 0, то n19 > 0, знак

4) якщо a < 0, то |a| + 1 > 0; якщо с < 0, то c8 > 0,

Відповідь: 1) додатнє; 2) від’ємне;

x = −3. Відповідь: −3.

1.24.

1.25. Зведіть дріб: 1) 1 8 до знаменника 24; 2) 2 7 до знаменника 28; 3) 4 15 до знаменника 30; 4) 8 9 до знаменника 63.

1) m3m4 = m3 + 4 = m7; 2) pp7 = p1 + 7 = p8; 3) x9 : x3 = x9 − 3 = x6;

(c4)5 : c12 = c20 : c12 = c20 − 12 = c8 . 1.27.

1) 2a2b · a = 2a3b; 2) 2a2b · b3 = 2a2b4; 3) 2a2b · 2a3 = 4a5b; 4) 2a2b · 8a2b2 = 16a4b3 .

1.28. Розкладіть на множники многочлен:

1) ab – b2 = b(a − b);

2) m7 + m5 = m5(m2 + 1);

3) 8m2 − 4mn = 4m(2m − n);

4) 6a3b + 15a2b2 = 3a2b(2a − 5b);

5) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2; 6) c2 − 10c + 25 = (c − 5)2; 7) x2 − 25 = x2 − 52 = (x − 5)(x + 5);

8) p4 − 49m2 = (p2)2 − (7m)2 = (p2 − 7m)(p2 + 7m); 9) a2 + ab + 7a + 7b = (a2 + ab) + (7a + 7b) =

рівняння:

10x + y = xy + (x + y);

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

10x + y = xy + x + y; 9x − xy = 0; x(9 − y) = 0; x = 0 — не є розв’язком задачі; 9 − y = 0; y = 9.

Тобто x може бути будь-яке число.

Маємо: 19; 29; 39; 49; 59; 69; 79; 89; 99. Відповідь: 9.

2.1. (Усно.) Скоротіть дріб:

2.2.

2.25. Знайдіть

1) y = �� 2 5�� 25 5�� .

Спростимо вираз: �� 2 5��

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

25 5�� = �� (�� 5) −5(�� 5) = �� 5 .

Тобто маємо y = �� 5 , x ≠ 5.

Якщо x = 5, то y = −1.

Відповідь: (5; −1).

2) y = �� 2 + 6�� + 9 3 + ��

Спростимо вираз: �� 2 + 6�� + 9

3 + �� = (�� + 3)2 �� + 3 = x + 3.

Тобто маємо y = x + 3, x ≠ −3. y = x + 3 x 0 3 y 3 0

Відповідь: (−3; 0).

2.26. Обчисліть значення

2.27. Розв’яжіть систему рівнянь:

.

1) �� + 3�� = 2, | ∙ (–3) 3�� 2�� = 17; � 3�� 9�� = 6, 3�� 2�� = 17; –11y = 11; y = –1, то маємо x – 3 = 2; x = 5; (5; −1).

2) � 3�� + 2�� = 2, 7�� 2�� = 22; 10�� = 20; �� = 2, то маємо – 6 + 2y = 2; 2y = 8; y = 4; (−2; 4).

Відповідь: 1) (5; −1); 2) (−2; 4).

2.28. Спростіть вираз: 1) (2x + 3y)2 − (x + 7y)(4x −

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Нехай x – кількість міського населення, тоді x • (1 – 0,38375094) = = x • 0,61624906 – сільське населення.

1) x + x • 0,61624906 = 42 760 516

x • (1 + 0,61624906) = 42 760 516

x = 42 760 516 : 1,61624906

x ≈ 26 456 637 (ос.) – міського населення;

2) 42 760 516 – 26 456 637 = 16 303 879 (ос.) – сільського населення. Відповідь: міського населення – 26 456 637 осіб, сільського – 16 303 879 осіб.

2.31. Катер за течією

3.13.

3.25.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) 15a3b7 = 3ab5 · 5a2b2;

2) 15a3b7 = −5a2b7 · (−3a);

3) 15a3b7 = −b6 · (−15a3b);

4) 15a3b7 = 15ab · a2b6 . 3.27. 1)

7

2) Розглянемо суму (a1 – b1) + (a2 – b2) + (a3 – b3) + ... + (a7 – b7). Оскільки

3) Припустимо,

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: Ні.

4.46. Скільки кілограмів

5% від 60 = 0,05 · 60 = 3 (кг).

Відповідь: 3 кг солі.

4.47. З двох міст одночасно

містами становить s км, швидкості

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2) 2660 : 900 : 1000 = 2394000 : 1000 = 2394 (м2) —

3)

5.24.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Якщо �� = 100, �� = 101, то ��−�� +1 2(�� + �� +1) = 100 101 +1 2(100 + 101 +1) =0.

5.28. Розв’яжіть систему рівнянь:

.

1 8 (�� + ��)= 3, 1 3 (��−��)=5, �� + �� = 24, ��−�� = 15.

2x = 39; x = 19,5.

Тоді y = 24 – 19,5; y = 4,5. ��.

1 3 + ��− 1 2 =2,| ⋅ 6, ��− 1 2 ��− 1 12 = 4 3 ,| ⋅ 12

2(��−��) +3(��− 1) = 12, 6(��− 1) − (��− 1) = 16, �2��− 2+3��− 3= 12, 6��− 6 −�� +1= 16, �2�� +3�� = 17, �� =6��− 21.

2x + 3(6x – 21) = 17; 2x + 18x – 63 = 17; 20x = 80; x = 4.

Тоді y = 6 · 4 – 21; y = 3.

Відповідь: 1. (19,5; 4,5); 2. (4;3).

5.29. Побудуйте графік функції �� = �� 3 8 ��− 2 −�� 2 = (��− 2)(�� 2 +2�� +4)

=2�� +4; D(y) = {x – будь-яке, крім 2}.

1)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

6.18.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) 40000 · 1,1 = 44000 (грн)

2) 44000 · 1,1 = 48400 (грн)

3) 40000 + 44000 + 48400 = 132400 (грн) —

4) 132400 · 0,18 = 23832 (грн) — ППП за 3 місяці.

6.26.

0,7�� + 15 �� + 15 = 0,8.

Маємо 0,7x + 15 = 0,8x + 12;

0,1x = 3; x = 30.

x + 15 = 30 + 15 = 45

45

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

89 – 412 = (23)9 – (22)12 = 227 – 224 = 224(23 – 1) = 224(8 – 1) = 7 · 224 —

��. �� = �

2�� + 4, якщо �� < 0, 4 �� , якщо �� ≥ 0.

Графік функції y = 2x + 4 є пряма. x 0 –2 y 4 0

Графік функції y = 4 – x є пряма. x 0 4 y 4 0 ��. �� = �2�� + 5, якщо �� < – 1, 3, якщо –1 ≤��≤ 4, �� –1, якщо �� > 4.

Графік функції y = 2x + 5 є пряма. x –1 –2 y 3 1

Графік функції y = x – 1 є пряма. x 4 5 y 3 4 Графік функції y = 3 є пряма, що

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��. (��− 1)�� +2 =0; ��(��− 1) =0, �� +2 ≠ 0; �� =0 або �� =1, ��≠−2.

Відповідь: 0; 1.

��. �� 2 2�� 8 =0; �� 2 2�� = 0; �� (��− 2) =0;

�� =0 або ��− 2=0; ��1 =0, ��2 =2.

Відповідь: 0; 2.

�� (�� +2)�� 2 4 =0; �(�� +2)�� =0, ��2 − 4 ≠ 0; � �� =0 або �� = 2, (��− 2)(�� +2) ≠ 0; �� =0 або �� = 2, ��≠ 2, ��≠−2.

Відповідь: 0. �� 2 + �� =0; � �� =0, �� 2 + ��≠ 0;

�� =0, �� (�� +1) ≠ 0; � �� =0, ��≠ 0, ��≠−1.

Відповідь: рівняння розв’язків не

7.37. Розв’яжіть рівняння:

1. 2(x − 3) = 4(x + 7) − 11; 2x − 6 = 4x + 28 − 11; 2x − 4x = 28 – 11 + 6; −2x = 23; �� = 23 2 = 11 1 2 = 11,5;

2. 5(x − 2) − 7(x + 1) = 9(x − 8); 5x − 10 − 7x − 7 = 9x − 72; 5x − 7x − 9x = −72 + 7 + 10; −11x = −55; x = −55 : (−11); x = 5.

7.38. Розв’яжіть

��. 2��− 4 7 = 3�� +1 9 |· 63;

9(2x − 4) = 7(3x + 1); 18x − 36 = 21x + 7; 18x − 21x = 7 + 36;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3x = 43; �� = 43 3 = 14 1 3 .

Відповідь: 14 1 3 . ��. 2��− 11 5 = 3�� + 17 10 |· 10;

2(2x − 11) = 3x + 17;

4x − 22 = 3x + 17;

4x − 3x = 17 + 22; x = 39.

Відповідь: 39.

7.39. Заробітна

8.2. Чи є число 1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

рівняння: 1), 3) Ні; 2), 4) Так.

8.3. Чи є число 2 коренем рівняння: 1), 4) Так; 2), 3) Ні.

8.4. Розв’яжіть рівняння:

Відповідь:

Відповідь: �� =3.

Відповідь: �� = 5.

8.5. Розв’яжіть рівняння:

Відповідь:

8.6. Розв’яжіть рівняння:

Відповідь:

8.7. Розв’яжіть рівняння:

. 3 ��− 2 = 2

3

Відповідь: �� =5.

8.9. Знайдіть корені

Відповідь: �� =1.

x = 60 : 4; x = 15.

То маємо 15 12 15 = 3 15.

Відповідь: 3 15 .

8.16.

Відповідь: 2. 8.17.

Відповідь: 2.

4 4(�� +1) = 3 8 ; 3 4(�� +1) = 3 8 ;

12(�� +1) = 24, ��≠−1; �12�� + 12 = 24, ��≠−1. 12x = −24 − 12; 12x = −36; x = −3.

Відповідь: 3. 8.20.

2�� +6 �� +1 + 3��− 7 ��− 2 =5; (��− 2)(2�� +6) + (�� +1)(3��− 7) (�� +1)(��− 2) = 5 1 ; 2�� 2 +6��− 4��− 12 +3�� 2 7�� +3��− 7 (�� +1)(��− 2)

5�� 2 2��− 19 =5(�� +1)(��− 2), ��≠ 2, ��≠−1;

5x2 – 2x – 19 = 5(x2 – x – 2); 5x2 – 2x – 19 = 5x2 – 5x – 10; 5x2 – 2x – 5x2 + 5x = – 10 + 19; 3x = 9; x = 3.

2)2 + (�� +2)2 8 (��− 2)(�� +2) =0; �� 2 − 4�� +4+ �� 2 +4�� +4 − 8 (��− 2)(�� +2) =0;

x = 9;

x – 5 = 9 – 5 = 4. Відповідь: 4 9

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2; x2 + 8x = x2 + 3x + 2x + 6; x2 + 8x – x2 – 3x – 2x = 6; 3x = 6; x + 3 = 2 + 3 = 5.

2 5 .

0,

2;

8.25. Розв’яжіть рівняння:

0,

1;

2 +4�� =0, ��≠ 0, ��≠ 1; �� (�� +4) =0, ��≠ 0,

8.26.

2;

2,

Відповідь: –4.

0,

2;

8.27. Знайдіть корені рівняння:

Відповідь: –1. ��. |��− 2| 2 �� (��− 4)

4;

Відповідь: Рівняння не має розв’язків.

8.28. Для яких значень a рівняння

��. ��− 2�� (��− 8) =0; ��− 2�� =0, ��≠ 0, ��≠ 8; �� =2��, ��≠ 0, ��≠ 8.

2a = 0 або 2a = 8; a = 0 або a = 4.

Відповідь: a = 0, a = 4. ��. ��−�� +1 �� 2 3�� =0; ��−�� +1 �� (��− 3) =0;

+1=0, �� (��− 3) ≠ 0; �� = ��− 1, ��≠ 0, ��≠ 3; a – 1 = 0 або a – 1 = 3; a = 1 або a = 4.

Відповідь: a = 1, a = 4.

8.29. Для яких значень a рівняння

(��−�� )(��− 2��− 1) ��− 3 =0.

1. (–2)3 = –8; 2. 142 = 196;

3. (–1)11 = –1; 4. 05 = 0;

5. (0,3)3 = 0,027; 6. (–0,8)2 = 0,64;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

8.33. Обчисліть:

1. 25 – 32 = 32 – 9 = 23; 2. (–1)9 + (–1)8 = –1 + 1 = 0; ��. 42 ·

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

8.34. Подайте у вигляді степеня з:

1) основою 2 числа 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) основою 3 числа 81, 243; 3) основою 5 числа 5, 25, 625; 4) основою 10 числа 100, 10 000.

1. 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 16 = 24; 32 = 25; 128 = 27; 512 = 29 .

2. 81 = 34; 243 = 35 .

3. 5 = 51; 25 = 52; 625 = 54 .

4. 100 = 102; 10000 = 104

8.35. У червні 1 кг помідорів на ринку

1) 60 · 0,7 = 42 (грн) — ціна

2) 42 · 0,5 = 21 (грн)

1. Найтитулованіша

2. Інженеравіаконструктор,

4.

Відповідь: А

Відповідь:

10.

2y - 8 - 4 = y + 2; y = 14.

Тоді x = 10.

Відповідь: У

1. a5a3 = a8;

2. b7 : b3 = b4;

3. (c5)4 = c20; 4. m7m = m8;

5. t10 : t = t9; 6. (p7)2 = p14 .

9.31. Піднесіть

1. (mn2)7 = m7n14;

2. (-2p3)2 = 4p6;

3. (-5cm2)3= -125c3m6;

4. (-a2c3)10 = a20c30 .

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. (5m2n)

4) 4= �� +2.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

А = 8 · (2 + 3) + 4 · 2 - 0,01 · 3200 = 8 · 5 + 8 - 32 = 48 - 32 = 16; Б = 8 · (3 + 2) + 4 · 4 - 0,01 · 3600 = 40 + 16 - 36 = 56 - 16 = 40; В = 8 · (4 + 3) + 4 · 1 - 0,01 · 3800 = 56 + 4 - 38 = 60 - 38 = 22;

Г = 8 · (4 + 2) + 4 · 3 - 0,01 · 4200 = 48 + 12 - 42 = 60 - 42 = 18.

9.34. (

Оскільки 72 = 8 · 9 = 2 · 4 · 9, то

(останні дві цифри повинні ділитися на 4).

Можливі два варіанти: 1) 367,92; 2) 867,96. 1) 367,92 : 72 = 5,11; 2) 867,96 : 72 = 12,005 (умові

Відповідь: 5 доларів

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. m3 : m-2 = m3-(-2) = m5;

2. m5 : m6 = m5-6 = m-1;

3. m-3 : m-3 = m-3-(-3) = m-3+3 = m0 = 1;

4. m-1 : m-8 = m-1-(-8) = m-1+8 = m7 .

10.5. Подайте у вигляді степеня частку:

1. c5 : c-1 = c5-(-1) = c6;

2. c2 : c8 = c2-8 = c-6;

3. c-2 : c-3 = c-2-(-3) = c-2+3 = c1 = c;

4. c-4 : c-4 = c-4-(-4) = c-4+4 = c0 = 1.

10.6. Піднесіть степінь до степеня:

1. (x-4)-2 = x8;

2. (x-1)17 = x-17;

3. (x0)-5 = x0 = 1;

4. (x7)-4 = x-28

10.7. Піднесіть степінь до степеня:

1. (n-2)-7 = n14;

2. (n15)-1 = n -15;

3. (n-8)0 = n0 = 1;

4. (n5)-3 = n -15 .

10.8. Подайте a-10 у

1. a-10 = a-3 · a-7;

2. a-10 = a7 · a-17;

3. a-10 = a-1 · a-9;

4. a-10 = a12 · a-22 .

10.9. Подайте

1. m8 = m3 · m5;

2. m-2 = m2 · m-4;

3. m-17 = m-14 · m-3;

4. m0 = m6 · m-6; 10.10. Обчисліть: ��. 2

1. a7 : a3 · a 12 = a4 · a 12 = a 8;

2. (a5) 3 · a12 = a 15 · a12 = a 3;

3. (a 8)3 : a4 = a 24 : a4 = a 28;

4. a0 · (a 3)4 · a5 = 1 · a 12 · a5 = a 7;

5. a 3 · a0 : a5 : a = a 3 : a5 : a = a 8 : a = a 9;

6. (a3) 2 · (a 1) 6 = a 6 · a6 = a0 = 1. 10.13.

1. b3 : b7 · b2 = b 4 · b2 = b 2;

2. (b 2)4 · b10 = b 8 · b10 = b2;

3. (b3) 2 : b3 = b 6 : b3 = b 9;

4. b7 · (b 2)3 · b0 = b7 · b 6 · 1 = b1 = b; 5. b0 · b 4 : b3 : b = b 7 : b = b 8; 6. (b 4) 1 · (b2) 2 = b4 · b 4 = b0 = 1. 10.14.

1. 4a 8b7 · 5a10b 3 = 20a2b4; 2. 10m 6n4 · 0,4m6n 9 = 4m0n−5 = 4n−5; ��. 1 3

1. 10m3n 2 · 2m−5n4 = 20m 2n2; 2. 0,02a 8b

·

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. 2,7 · 103 = 2,7 · 1000 = 2700;

2. 1,32 · 105 = 1,32 · 100 000 = 132 000;

3. 4,7 · 10-3 = 4,7 · 0,001 = 0,0047;

4. 3,42 · 10-4 = 3,42 · 0,0001 = 0,000342.

10.37.

1. 4500 + 1200 + 800 = 4500 + 2000 = 6500 (грн) —

2. 4500 + 800 = 5300 (грн) —

3. 1200 · (100% − 10%) = 1200 · 90% = 1200 · 0,9 = 1080 (грн)

знижкою;

4. 5300 + 1080 = 6380 (грн) —

5. 6500 − 6380 = 120 (грн) — заощадить.

10.38. (Олімпіада Нью-Йорка,

2 �� = �� 2 1; 2 �� = (��− 1)(�� +1)

2 �� =2n ⋅ (2�� +2); ��∈ 1;2;3;… 2 �� =2n ⋅

2 �� , де x —

1), 2), 7)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) 5; 2) −17; 3) 1; 4) 0.

11.4. Яким є

1) 5; 2) 12; 3) 0; 4) −1.

11.5. Запишіть

1. 200 000 = 2 · 105;

2. 5800 = 5,8 · 103;

3. 20 500 = 2,05 ·104;

4. 739 = 7,39 · 102;

5. 107,5 = 1,075 · 102;

6. 37,04 = 3,704 ·10;

7. 2700,5 = 2,7005 · 103;

8. 300,8 = 3,008 · 102;

9. 0,37 = 3,7 · 10−1;

10. 0,0029 = 2,9 · 10−3;

11. 0,000007 = 7 · 10−6;

12. 0,010203 = 1,0203 · 10−2.

11.6. Подайте у

1. 50 000 = 5 · 104;

2. 470 000 = 4,7 ·105;

3. 5 030 000 = 5,03· 106;

4. 975 = 9,75 · 102;

5. 32,5 = 3,25 · 10;

6. 409,1 = 4,091 · 102;

7. 12 900,5 = 1,29005 · 104;

8. 87,08 = 8,708 · 10;

9. 0,43 = 4,3 · 10−1;

10. 0,00017 = 1,7 · 10−4;

11. 0,00004 = 4 · 10−5;

12. 0,90807 = 9,0807 · 10−1 .

11.7.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

6. Житомир — 284 236 = 2,84236 ∙ 105

7. Іршава — 9 515 = 9,515 ∙ 103

8. Харків — 1 470 092 = 1,470092 ∙ 106

11.8. Подайте у

1. 27 · 105 = 2,7 · 10 · 105 = 2,7 · 106;

2. 427 · 10−3 = 4,27 · 102 · 10−3 = 4,27 · 10−1;

3. 0,00027 · 105 = 2,7 · 10−4 · 105 = 2,7 · 10;

4. 0,0037 · 10−4 = 3,7 · 10−3 · 10−4 = 3,7 · 10−7.

11.9. Запишіть у

1. 58 · 10−8 = 5,8 · 10 · 10−8 = 5,8 · 10−7;

2. 237,2 · 107 = 2,372 · 102 · 107 = 2,372 · 109;

3. 0,2 · 10−4 = 2 · 10−1 · 10−4 = 2 · 10−5;

4. 0,0017 · 105 = 1,7 · 10−3 · 105 = 1,7 · 102 .

11.10. Подайте у

1. 6,037 · 105 км2 = 603 700 км2;

2. 2,8 · 10−7 мм = 0,00000028 мм;

3. 2,888 · 106 осіб = 2 888 000 осіб;

4. 1,7 · 10−3 кг = 0,0017 кг.

11.11. Округліть число

1. 137 152 ≈ 137 200 = 1,372 · 105;

2. 12 311 ≈ 12 300 = 1,23 · 104;

3. 2197,2 ≈ 2200 = 2,2 · 103;

4. 1000,35 ≈ 1000 = 1 · 103

11.12.

1. 2,735 · 104 = 27 350;

2. 3,7 · 10−3 = 0,0037;

3. 3,17 · 107 = 31 700 000; 4. 1,2 · 10−5 = 0,000012. 11.13.

1. (1,7 · 103) · (3 · 10 8) = (1,7 · 3) · (103 · 10 8) = 5,1 · 10−5; 2. (2,5 · 10−5) · (6 · 10−2) = 15 · 10−7 = 1,5 · 10 · 10−7 = 1,5 · 10−6 11.14.

1. (1,2 · 10−8) · (4 · 105) = (1,2 · 4) · (10−8 · 105) = 4,8 · 10−3; 2. (1,5 · 10

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. (7,2 · 105) : (2,4 · 102) = 3 · 103;

2. (1,7 · 10−3) : (8,5 · 10−7) = 0,2 · 104 = 2 · 10−1 · 104 = 2 · 103.

11.17. Порівняйте числа:

1. 1,7 · 105 < 2,8 · 105;

2. 1,3 · 10−4 > 1,29 · 10−4.

11.18. Порівняйте числа:

1. 2,8 · 10−3 < 3,7 · 10−3;

2. 1,42 · 105 < 1,5 · 105.

1. 2,7 · 103 + 3,2 · 103 = 103(2,7 + 3,2) = 5,9 · 103;

2. 4,7 · 10−15 3,2 · 10−15 = 10−15(4,7 3,2) = 1,5 · 10−15. 11.20.

1. 4,7 · 10−8 + 5,1 · 10−8 = 10−8(4,7 + 5,1) = 9,8 · 10−8;

2. 2,9 · 107 1,8 · 107 = 107(2,9 1,8) = 1,1 · 107

1. 1,8 · 109 = 18 · 108; 2,9 < 18, тому 2,9 · 108 < 1,8 · 109; 2. 10−7 > 10−8, тому 1,12 · 10−7 > 1,12 · 10−8. 11.22. Порівняйте числа:

1. 105 > 104, тому 1,7 · 105 > 1,7 · 104; 2. 1,8 · 10−6 = 18 · 10 7;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

11.27. Виразіть:

1. 8,3 · 106 т = 8,3 · 106 · 106 г = 8,3 · 1012 г;

2. 3,72 · 10−3 г = 3,72 · 10−3 · 10−6 т = 3,72 · 10−9 т;

3. 4,9 · 10−5 км = 4,9 · 10−5 · 105 см = 4,9 см;

4. 4,97 · 107 см = 4,97 · 107 · 10−2 м = 4,97 · 105 м.

11.28. Подайте:

1. 3,87 · 105 см = 3,87 · 105 · 10−5 км = 3,87 км;

2. 4,92 · 10−2 км = 4,92 · 10−2 · 103 м = 49,2 м;

3. 3,7 · 10−3 кг = 3,7 · 10−3 · 10−2 ц = 3,7 · 10−5 ц;

4. 1,8 · 109 т = 1,8 · 109 · 103 кг = 1,8 · 1012 кг.

11.29. У ставку

1. 30 · 24 = 720 (год) − в місяці;

2. 720 : 3 = 240 (разів) − поділів на місяць;

3. 2240 ≈ 1,77 · 1072 (бактерій) − через місяць. Відповідь: через місяць утвориться 1,77 · 1072

Порядок

1. 100a = 102a. Порядок

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(4)= 3 2 3+4 = 2 8 = 1 4 =0,25;

(5)= 5 2 5+4 = 3 9 = 1 3 ;

(6)= 6 2 6+4 = 4 10 =0,4.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2.

4. y = 5;

1. 1) 24 · 60 = 1440 (хв) – у

2) 1440 : 24 = 60 (скл.) – за добу;

3) 60 : 5 = 12 (л) – за добу;

4) 12 · 30 = 360 (л) – за

2. 360 : 100 = 3,6 (діб) – вистачило води.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Нехай

скласти рівняння:100x + 10y + z За умовою, сума

12 ⋅ (x + y + z) = 100x + 10y + z

12x + 12y + 12z = 100x + 10y + z

100x − 12x + 12z – z = 12y – 10y

88x − 11z = 2y

Оскільки 88 і 11 діляться на 11, то і 2y теж

Але 2 не ділиться на 11, отже, y = 0.

Отримуємо: 88x − 11z = 0 | : 11

8x – z = 0

x = 1, y = 0, z = 8.

Перевірка: 108 : (1 + 8) = 108 : 9 = 12

Відповідь: це число 108.

12.6.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

P(12; 11 6).

= �� ; ��(12; 1 1 6).

12 =1 1 6 = 7 6 ;

12 ⋅ 7 6 = 14.

�� = 14 �� .

x = 4, то �� = 8 4 =2; якщо x = 1, то �� = 8 1 =8.

2 ≤ y ≤ 8.

12.19.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2.

3.

1.

2. 0,002 = 2 ·

3. 371,5 = 3,715 · 102;

4.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2x – 7 = 3 або 2x – 7 = –3; 2x = 10 або 2x = 4; x = 5 або x = 2. Отже, x — будь-які, крім 2 і 5.

1. �� 2 −1 ��+1 =0; �� 2 1=0, �� +1 ≠ 0; �(��− 1)(�� +1) =0, ��≠−1; ��− 1=0 або �� +1=0, ��≠−1; �� =1 або �� = 1, ��≠−1.

Відповідь: при x = 1.

2. ��+3 �� 2 −9 =0; �� +3=0, �� 2 9 ≠ 0;

= 3, (��− 3)(�� +3) ≠ 0; �� = 3, ��≠ 3, ��≠−3.

Відповідь: немає таких

x. 3. |��|−2 (��−2)(��+5) =0; �|�� | 2=0, (��− 2)(�� +5) ≠ 0;

|�� | =2, ��≠ 2, ��≠−5;

= 3 або �� =2, ��≠ 2, ��≠−5.

Відповідь: при x = –2.

4. |��|−�� (��−3) =0; �|�� | −�� =0, �� (��− 3) ≠ 0; ��≥ 0, ��≠ 0, ��≠ 3.

a = 20; b = –10, то �� +2�� 3�� = 20 +2 ⋅ ( 10) 3 ⋅ 2 ⋅ ( 10) = 20 20 600 = 0 600 =0.

12.

3 �� – 2 до

1. Оскільки 7a – 14 = 7(a – 2), то

3 ��− 2 = 3 ⋅ 7 7(��− 2) = 21 7��− 14 .

2. Оскільки a2 – 2a = a(a – 2), то

3 ��− 2 = 3�� (��− 2) = 3�� 2 2�� .

3. Оскільки 16 – 8a = 8(2 – a) = –8(a – 2), то 3 ��− 2 = 3 ⋅ (−8) 8(��− 2) = −24 16 8

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

n = 8; 8 – 10 + 16 8 = 0 —

числом; n = 16; 16 – 10 + 16 16 = 7

n = 1 або n = 16.

1. 1; 2; 2. 1; 2; 3; 6; 3. 1; 16.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�� +3�� + �� 3�� 2 − 9 = 18 �� 2 − 9 ;

�� (�� + �� ) +3(��−�� ) �� 2 9 = 18 �� 2 9 ;

�� (�� + �� ) + (3��− 3�� ) = 18;

a+b=0| ⋅ 3 3a 3b = 18; � 3a + 3b =0, 3a 3b = 18;

6�� = 18; �� = 18:6; �� =3; �� = 3.

Відповідь: a = 3; b = –3.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Отже, число 3 не є коренем даного рівняння.

��. ��− 3 �� +1 =0; 3 3 3+1 =0;0=0.

Отже, число 3 є коренем даного рівняння.

��. �� +2 ��− 3 =0; 3+2 3 3 =0

вираз не має змісту. Отже, число 3 не є коренем даного рівняння;

��. �� 2 9 �� =0; 32 9 3 =0; 9 9 3 ;0=0.

Отже, число 3 є коренем даного рівняння.

67. Розв’яжіть рівняння: ��. 3��− 9 2 −�� =0; �3��− 9=0, 2 −��≠ 0, �3�� =9, ��≠ 2; �� =3, ��≠ 2.

Відповідь: 3; ��. 2��− 4 2 −��

4�� =1, ��≠−1; �� = 1 4 , ��≠−1. Відповідь: 1 4 .

дріб 1 2 ? 5+ �� 12 + �� = 1 2 ; �12 + �� =2(5+ �� ), 12 + ��≠ 0;

�� =2. 69.

18�� +4 (3�� +1)(3��− 5) =0;

1,5.

48 + 18(2+ �� ) + 45 +5(��− 1) 18(��− 1) =0; 48 + 36 + 18�� + 45 +5��− 5 18(��− 1) =0; 23�� + 124 18(��− 1) =0; �23�� + 124 =0, ��− 1 ≠ 0; �23�� = 124, ��≠ 1;

�� +2 = 64

2 ; �

80(��− 2) = 64(�� +2), ��≠ 2 ��≠−2;

80x 160 = 64x + 128;

80x 64x = 128 + 160; 16x = 288; x = 288 : 16; x = 18.

Відповідь: 18 км / год．

=

�� 3 .

a = 4, b = 8 то �� 3 = 8 43 = 8 64 = 1 8 .

78.

1. Якщо a = –1, n = 8, то an = (–1)8 = 1; –an = –(–1)8 = –1.

2. Якщо a = 5, n = –2, то �� = (5)−2 = 1 52 = 1 25 ; −�� =

1. Оскільки 7−3 >0, ( 7)3 <0

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

6,35 · 104 (км2).

1. 1 год = 3600 с = 3,6 · 103 с;

2.

5. 1 сторіччя = (75 · 365 · 8,64 · 104 + 25 · 366 · 8,64 · 104) с = 315 576 · 104 с = = 3,15576 · 109 (с).

(2) = 16 2 = 8;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

102. Точка A(–3; 4)

точка: 1) B(1; 12); 2) C(2; –6)?

A( 3;4); �� 3 =4; �� = 3·4= 12.

Отже, �� = 12 �� .

�� B(1; 12); 12 1 = 12 ≠ 12

Отже, точка B

��. C(2; 6); 12 2 = 6; 6= 6.

Отже, точка C

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Якщо �� = 3, то �� ( 3)=( 3)2 =9; якщо �� =0, то ��(0)=02 =0;

�� =5, то ��(5)=52 = 25. 13.3. Для функції y = x2

Якщо �� = 2, то �� ( 2)=( 2)2 =4; якщо �� =1, то ��(1)=12 =1;

�� =6, то ��(6)=62 = 36.

13.4. За

1)

y,

функції y = x2

відповідає

x = –2,5; –1; 1,5; 3; Якщо �� = 2,5, то �� =6,25;

якщо �� = 1, то �� =1;

якщо �� =1,5, то �� =2,25;

якщо �� =3, то �� =9

2) значення x, якому відповідає значення y = 1; 3,5; 9; Якщо �� =1, то ��1 = −1, ��2 =1;

якщо �� =3,5, то ��1 =1,87, ��2 = 1,87; якщо �� =9, то ��1 = 3, ��2 =3.

3) кілька

��1 =2; ��2 =3; ��3 =4; ��4 =5;... ��1 =0; ��2 =0,5; ��3 =1.

13.5. Використовуючи

Якщо �� = 3, то �� =9; якщо �� = 0,5, то �� =0,25; якщо �� =2,5, то �� =6,25. 2)

��1 =0; ��2 =0,5; ��3 =0,8; ��1 =1,5; ��2 =2; ��3 =2,5. 13.6.

1) A(–1; –1);

2) B(–5; 25);

3) C(0; 0);

4) D(25; 5)?

1) A(–4; 16);

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Оскільки ( 4)2 = 16,

2) B(16; –4);

Оскільки

3) C(1 2; 1 4);

Оскільки

4) D(0; 2)?

Оскільки

13.10. Знайдіть область значень функції y = x2 , якщо:

Функція y = x2 на відрізку, що містить 0, має найменше значення при x = 0 тобто ymin = 0,

а найбільше – в точці, де |x| найбільше.

1. -3 ≤ x ≤ 0

x = 0 ⇒ y = 02 = 0 – мінімум.

x = -3 ⇒ y = (-3)2 = 9 – максимум.

Отже, 0 ≤ y ≤ 9.

2. -1 ≤ x ≤ 2

x = 0 ⇒ y = 0 – мінімум.

Порівнюємо модулі кінців: |-1| = 1, |2| = 2, тобто

при x = 2: y = 22 = 4.

Отже, 0 ≤ y ≤ 4.

Відповідь: 1) y ∈ [0; 9]; 2) y ∈ [0; 4].

13.11. Порівняйте

1. x = 2,6 і x = -2,6:

y(2,6) = y(-2,6).

2. x = -1,9 і x = 1,8:

y(-1,9) > y(1,8).

3. x = 0 і x = -3,5:

y(0) < y(-3,5).

4. x = -1,1 і x = 1,2: y(-1,1) < y(1,2).

13.12. Розв’яжіть

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

A(–2; 4) –

Відповідь: –2. 13.13.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

A(2; 4), B(–2; 4) –

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. √16 =4;

2.

49 =7;

1. √25 =5;

2. √36 =6; 3.

0,16 =0,4; 4.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

14.10. Чи

1. √900 = 30; 900 = 303 ; 900 = 900, так;

2. √4 = 2;4=( 2)2 ;4=4, так;

3. √0,9 =0,3;0,9=0,32 ;0,9 ≠ 0,09, ні; 4. √0,64 =0,8;0,64 =0,82 ;0,64 =0,64, так.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) так.

14.11. За

1. √1296 = 36;

2. √9409 = 97;

3.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

9. �5(0,42 +0,64) = �5(0,16 +0,64) = �5 ⋅ 0,8 = √4 =2.

14.14. Обчисліть

1.

2. √�� + ��

3. �� +4√�� .

4.

−�� .

1. √−�� 2 , �� =0; 2. �−(�� +3)2 , �� = −3; 3. √��10 +1, �� – будь-які; ��. √�� − 3 ; ��≥ 0, ��− 3 ≠ 0; ��≥ 0, ��≠ 3; a – будь-які невід'ємні, крім 3.

14.24. Розв’яжіть рівняння: 1. �|2��− 1| =3; |2��− 1|=9; 2��− 1= 9; або 2��− 1=9; 2�� = −9+1; 2�� =9+1; 2�� = 8; 2�� = 10; �� = 4; �� =5.

Відповідь: –4; 5.

2. �5+ √�� =3, ��≥ 0; 5+ √�� =9; √�� =9 5;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

√�� =4; �� = 16.

Відповідь: 16.

3. �1+ �2+ √�� =2, ��≥ 0;

1+ �2+ √�� =4;

2+ √�� =4 1;

2+ √�� =3;

2+ √�� =9;

√�� =9 2;

√�� =7; �� = 49

Відповідь: 49.

14.25. Розв’яжіть рівняння:

1. �|2�� +3| =5; |2�� +3| = 25;

2�� +3= −25 або 2�� +3= 25; 2�� = 25 3; 2�� = 25 3; 2�� = 28; 2�� = 22; �� = 28:2; �� = 22:2; �� = −14; �� = 11.

Відповідь: 14; 11

2. �9+ √�� =4; ��≥ 0; 9+ √�� = 16;

√�� = 16 9;

√�� =7; �� = 49.

Відповідь: 49.

14.26. Спростіть вираз:

)(��− 2)2 ⋅ 5�� +2 (��− 2)2 (�� +2) = 5�� +2 �� +2 ;

��. �� 2 6�� +9+ �� 2 =0; (�� 2 − 6�� +9)+ �� 2 =0; (��− 3)2 + �� 2 =0;

3=0, �� =0; �� =3; �� =0.

�� =3; �� =0.

. |�� +2|+ �� 2 +2�� +1=0; |�� +2|+ (

: �� = 2; �� = 1. 14.28.

. 0,3= 3 10 ;

. 0,25 = 25 100 = 1 4 ;

. 1,2= 12 10 = 6 5 =1 1 5 ; �� 2,5= 25 10 = 5 2 =2 1 2 14.29. Подайте десятковим дробом: ��. 1 2 =0,5; ��. 3 4 =0,75; ��. 2 1 5 =2,2;

. 3 1 4 =3,25.

. 2 3 =0,666 …=0,(6);

. 3 11 =0,2727 …=0,(27);

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

15.1. (Усно.) Чи правильно, що:

1) 5 – натуральне число; Так, 5 – натуральне число;

2) –2,1 – ціле число; ні, 2,1 – не є цілим числом;

3) √3 – раціональне число; ні, √3 – не є раціональним числом;

4) –5 7 – дійсне число?

так, 5 7 – дійсне число.

15.2. Із чисел √7; 0,222...; 52; –2,(4); π; 19; –3,7; 0; –√5; –21 9 випишіть:

1) натуральні числа; 52; 19;

2) цілі невід’ємні числа; 52; 19;0;

3) раціональні від’ємні числа; 2,(4); 3,7; 2 1 9 ; 5;

4) ірраціональні числа. √7; �� ; √5

15.3. Із чисел 8; –√7; –5; 2 3; √17; 3,(7); √13; –11 3; 0; 5,137 випишіть:

1) натуральні числа; 8; 2) цілі недодатні числа; 5;0;

3) раціональні додатні числа; 8; 2 3 ;3,(7); 5,137;

4) ірраціональні числа. √7; √17; √13.

15.4. Подайте

4. �� <3,2;

5. −�� < 3,1;

6. 1,7<1,(7);

7. оскільки √2 ≈ 1,414, то 1,41 > √2;

8.

9. оскільки 2 5 13 ≈ 2,385, то 2 5 13 <2,(39).

15.12. Порівняйте:

1. −2,17 > −2,71; ��. 0< 1 16 ;

3. 2,(3)>2,3;

4.

6. оскільки 1 11 ≈ 0,(09), то 1 11 >0,(08).

15.13. Знайдіть

1. √17 +2,12 ≈

6) A –

Ні, A ⊄ B, бо

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1) C = {1; 7}; D = {1; 5; 17};

Ні, C ⊄ D, бо 7 ∉ D.

1 2 ; 0,(1); 0,11; 1 10 ; 0,01.

0,02; 1 5 ; 0,22; 0,(2); 1 4

1,55; 1,555; 1,5555; 1, 555555; 1(5).

15.22.

2,(3). 2,333; 2,3333; 2,33333; 2,(3).

15.23.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 1 4 ; 1 4 .

4. 9 25 −�� 2 =0; �� 2 = 9 25 ; �� = 3 5

1.

2.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

. �� 2 = 121; ��1 = 11; ��2 = 11; ��. �� 2 = 9; рівняння розв'язків не має; ��. �� 2 = 11; ��1 = −√11; ��2 = √11;

. �� 2 = 4 9 ; ��1 = 2 3 ; ��2 = 2 3 .

16.10. Розв’яжіть рівняння:

��. �� 2 = 49; ��1 = 7; ��2 =7; ��. �� 2 =0,16; ��1 = −0,4; ��2 =0,4; ��. �� 2 = 169; ��1 = 13; ��2 = 13;

�� 2 = 4; рівняння розв’язків не має; ��. �� 2 =5; ��1 = √5; ��2 = √5; ��. �� 2 = 9 16 ; ��1 = 3 4 ; ��2 =

16.11. Знайдіть корені рівняння: ��. �� 2 0,05 =0,04; �� 2 =0,04 +0,05;

�� 2 =0,09; ��1 = −0,3; ��2 =0,3.

Відповідь: ±0,3.

��. 24 + �� 2 = 25; �� 2 = 25 24; �� 2 =1; ��1 = 1; ��2 =1

Відповідь: ±1. ��. �� 2 + 12 =0; �� 2 = 12.

Відповідь: рівняння розв’язків не має. ��. 1 3 �� 2 =7; �� 2 =7·3; �� 2 = 21; ��1 = √21; ��2 = √21.

Відповідь: ±√21.

16.12. Розв’яжіть рівняння:

1. �� 2 +0,01 =0,26; �� 2 =0,26 0,01;

�� 2 =0,25; ��1 = 0,5; ��2 =0,5.

Відповідь: ±0,5.

2. �� 2 14 =2; �� 2 =2+ 14; �� 2 = 16;

��1 = −4; ��2 =4.

Відповідь: ±4.

3. 17 −�� 2 =0; �� 2 = 17; ��1 = √17; ��2 = √17

Відповідь: ±√17

6 см.

. ��

=4·(7+4)=4· 11 = 44;

16.17. Розв’яжіть рівняння:

��. (��− 2)2 = 36; ��− 2= 6; ��− 2=6; �� = 6+2; �� =6+2; �� = 4; або �� =8.

Відповідь: 4;8 ��. (�� +3)2 =4; �� +3= 2, або �� +3=2, �� = 2 3; �� =2 3 �� = 5; �� = 1

Відповідь: 5; 1

��. (��− 1)2 =0; ��− 1=0; �� =1.

1. ��. (�� +3)2 =7; �� +3= √7, або �� +3= √7, �� = √7 3; �� = √7 3.

Відповідь: −√7 3; √7 3.

��. ��− 5 9� 2 = 4 81 ; ��− 5 9 = 2 9 , ��− 5 9 = 2 9 ; �� = 2 9 + 5 9 ; �� = 2 9 + 5 9 ; �� = 3 9 = 1 3 або �� = 7 9 .

Відповідь: 1 3 ; 7 9 .

��. (�� +5)2 = 9. Відповідь: рівняння не має розв'язків.

16.18. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +1)2 = 16; �� +1= 4, �� +1=4,

�� = −4 − 1; �� =4 − 1; �� = 5; або �� =3.

Відповідь: 5;3.

2. (��− 2)2 = 25;

��− 2= 5, або ��− 2=5, �� = 5+2; �� =5+2

�� = 3; �� =7

Відповідь: 3;7.

3. (�� +2)2 =0; �� +2=0; �� = 2

Відповідь: 2.

4. (��− 2)2 =3; ��− 2= √3, ��− 2= √3, �� =2 √3; або �� =2+ √3.

Відповідь: 2+ √3;2 − √3.

.

2 5 ; 1 5 .

6. (��− 3)2 = 4.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�� 2 =3; �� =±√3.

16.20. Розв’яжіть рівняння:

��. �� +1 6 = 4 ��− 1 ; �(��− 1)(�� +1) = 24, ��≠ 1; �� 2 1= 24, ��≠ 1;

2 = 24 +1, ��≠ 1; �� 2 = 25 ��≠ 1; �� =±5, ��≠ 1; �� =±5.

Відповідь: −5;5.

2. (2��− 3)2 +(2�� +3)2 = 20; 4�� 2 12�� +9+4�� 2 + 12�� +9= 20; 8�� 2 = 20 − 18;8�� 2 =2; �� 2 = 2 8 = 1 4 ; �� =± 1 2 .

Відповідь: − 1 2 ; 1 2 .

16.21. Розв’яжіть рівняння: ��. ��− 2 5 = 12 �� +2 ; �(��− 2)(�� +2) = 60, ��≠−2; �� 2 4= 60, �� +2 ≠ 0;

2 = 60 +4, ��≠−2; �� 2 = 64, ��≠−2; �� =±8, ��≠−2; �� =±8.

Відповідь: 8;8.

2. (3�� +1)2 +(3��− 1)2 =4; 9�� 2 +6�� +1+9�� 2 6�� +1=4; 18�� 2 +2=4; 18�� 2 =4 − 2; 18�� 2 =2; �� 2 = 2 18 = 1 9 ; �� =± 1 3

Відповідь: 1 3 ; 1 3 .

16.22. Розв’яжіть рівняння: 1. �7+ √2+ �� 2 =3;7+ √2+ �� 2 =9; √2+ �� 2 =9 7; √2+ �� 2 =2;2+ �� 2 =4; �� 2 =4 2; �� 2 =2; �� =±√2

Відповідь: √2; √2

2. 2|�� 2 − 5| +3=5;2|�� 2 − 5| =5 − 3; 2|�� 2 5| =2; |�� 2 5| =1; �� 2 5= 1 або �� 2 5=1;

�� 2 = 1+5; �� 2 =1+5; �� 2 =4; �� 2 =6; �� =±2; �� =±√6. Відповідь: 2;2; √6; √6.

16.23. Знайдіть

4=

,

4=5;

2 = 5+4; �� 2 =5+4; �� 2 = −1; �� 2 =9; рівняння розв'язків не має; �� =±3. Відповідь:

17.1.

1. Так; 2. Ні.

17.2.

1. Ні; 2. Так.

17.3.

1.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1.

1) 3 хв · 2 · 4 = 24 (хв) — часу

2) 24 · 7 = 168 (хв) — часу

3) 168 · 4 = 672 (л) — може заощадити сім’я за тиждень.

Відповідь: сім’я за тиждень може заощадити 672 л води.

2.

1) 3 хв · 2 · 4 = 24 (хв) — часу витрачає сім’я за 1 день;

2) 24 · 30 = 720 (хв) — часу витрачає сім’я за місяць;

3) 720 · 4 = 2880 (л) — може заощадити сім’я за місяць.

Тариф — 31,2 грн/м³ або 31,2 грн за 1000 л.

4) 2880 : 1000 · 31,2 = 2,88 · 31,2 = 89,86 (грн) — заощадити.

Відповідь: родина протягом місяця може заощадити 89,86 грн.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1.

2. 1350 · 75 = 101 250 (грн)

3. 1330 · 75 + 2000 = 99 750 + 2000 = 101 750 (грн)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. Якщо �� =1,5, то �� =1,2;

якщо �� =3, то �� =1,7;

якщо �� =4, то �� =2;

якщо �� =6,5, то �� =2,5;

2. якщо �� =1, то �� =1; якщо �� =2,5, то �� =6,3;

3. ��1 =5, ��2 =7; ��(5)>2, ��(7)>2; ��3 =1, ��4 =2; ��(1)<2, ��(2)<2.

19.4. За графіком функції знайдіть y = √�� :

1. Якщо �� =0,5, то �� =0,7;

якщо �� =2, то �� =1,4; якщо �� =5,5, то �� =2,3;

2. якщо �� =0,5, то �� =0,3; якщо �� =4, то �� = 16;

3. ��1 =2, ��2 =3; ��(2)>1, ��(3)>1; ��3 =0,3; ��4 =0,6; ��(0,3)<1, ��(0,6)<1.

19.5. Не будуючи графіка функції y = √�� ,

1. A(36; 4). Оскільки √36 =6 ≠ 4, то

2. B(4; 16). Оскільки √4 =2 ≠ 16, то

3. C(–4; 2). Оскільки вираз √−

4. D(0; 0). Оскільки √0 =0,0=0

5. M(1; –1). Оскільки √1

6. P(0,5; 0,25). Оскільки

19.6. Чи належить

1. F(16; 6). Оскільки √16 =4

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. Для функції y = x2 знайдіть значення y, що

y = x2 , якщо x = –3, то y(–3) = (–3)2 = 9.

Відповідь: В. 9

2. Укажіть вираз, що не має змісту.

Єдиний вираз, що не має змісту (в дійсних числах), це:

Б. √ 4 — підкореневий вираз від’ємний.

Усі інші мають зміст.

Відповідь: Б. √ 4

3. Укажіть число, що є ірраціональним.

Ірраціональним є число:

Г. √5 (бо 5 не є повним квадратом, корінь

дріб).

Відповідь: Г. √5

4.

5. Розв’яжіть рівняння x

x = –3.

9.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

7

4 49 +3�5,29� : ��52 + 122 −�65,61)= = � 7 ⋅ 2 7 +3 ⋅ 2,3� : �√25 + 144 8,1� = =( 2+6,9):(√169 8,1)=4,9:(13 8,1)=4,9:4,9=1.

12. Розв’яжіть рівняння: 1. √5�� +3= 13; √5�� = 13 3; √5�� = 10;

5�� = 102 ;5�� = 100; �� = 100 ∶ 5; �� = 20.

Відповідь: 20. ��. 1 3 √��− 1 =1,2; √��− 1 =1,2 ⋅ 3;

1 =3,6; ��− 1=3,62 ; ��− 1= 12,96; �� = 12,96 +1; �� = 13,96

Відповідь: 13,96. 13. Для яких значень x має зміст вираз:

��. √��− 2; ��− 2 ≥ 0, ��≥ 2;

��. �(��− 3)5 ; ��− 3 ≥ 0; ��≥ 3; ��. √−�� +1 ; ��≤ 0, �� +1 ≠

��. √�� + √−�� ; ��≥ 0, ��≤ 0. Отже, даний вираз

3. √4 = 2 – раціональне число; 4. √13 –

��. 1 3 =0,333 …=0,(3);

2. −29 = −29,000 …;

3. 5,17 =5,17000 …; ��. 7 27 =0, (259).

17. Між якими двома послідовними

��. 1< √2 <2;

2. 2< √7 <3;

3. 9< √99 < 10;

�� 4< √20 <5.

18. Чи правильно, що:

. �� 2 = 5 4 .

2. (�√7)2 = √7;

3. (�3√2)2 =3√2; 4. (�√5)4 = �(�√5)2 �2 =(√5)2 =5.

= 2+4; ��− 1=2; �� = 1; �� =2+1; �� =3. Відповідь: –1; 3. ��. (�� +2)2 5 = 16 5 � ⋅ 5; (�� +2)2 = 16; �� +2= 4; �� +2=4; �� = 4 2; �� =4 2;

�� = 6; або �� =2.

Відповідь: –6; 2. 28. Відомо, що xy = 20, x2 + y2 = 41. Знайдіть x + y.

(�� 2 + �� 2 +2��) − 2�� = 41; (�� + ��)2 2�� = 41; (�� + ��)2 2· 20 = 41; (�� + ��)2 = 41 + 40;

(�� + ��)2 = 81; �� + �� = 9 або �� + �� =9.

–9 або 9. 29. Для яких значень m рівняння x2 = m – 1: 1)

1. ��− 1>0, �� >1. Відповідь: при �� >1;

2. ��− 1=0, �� =1. Відповідь: прим �� =1.

3. ��− 1>0, �� <1.

при �� <1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3. 4 ≤��≤ 16. x 4 9 16 y 2 3 4

1)

2)

3)

1.

3.

1. 3; √14;4; √16,2; √19,1.

��. 0,2; 1 4 ; � 1 11 ; �0,1.

56. Для яких значень x справджується

��. √�� ≥ 1; ��≥ 0; �(√�� )2 ≥ 12 ��≥ 0; , ��≥ 1, ��≥ 0; ��≥ 1.

Відповідь: при ��≥ 1. ��. √�� <2; �(√�� )2 <22 ��≥ 0 , �� <4, ��≥ 0; 0 ≤�� <4.

Відповідь: при 0 ≤�� <4 �� 1< √�� ≤ 4; �(√�� )2 ≤ 42 (√�� )2 >12 ��≥ 0 ,

Відповідь: при 1< ��≤ 16

4. 9 ≤ √�� < 100; �(√�� )2 < 1002 , (√�� )2 ≥ 92 , ��≥ 0; �� < 10 000, ��≥ 81, ��≥ 0; 81 ≤�� < 10 000.

Відповідь: при 81 ≤�� < 10 000

5. √�� > 1; ��≥ 0.

Відповідь: при ��≥ 0. 6. √�� ≤−2,5

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3. 3x2 − 4x + 7 = 0 — повне, не зведене ✘

4. 5x2 = 0 — b = 0 і c = 0 → неповне ✔

5. 7x2 − 21 = 0 — b = 0 → неповне ✔

6. x2 − 1 2 x + 1 4 = 0 — a = 1 → зведене ✔

Відповідь:

а) неповні: 1), 4), 5).

б) зведені: 2), 6).

20.3. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння:

1. а = 2; b = 3; с = –5;

2. а = 3; с = 9; b = 0;

3. а = –1; b = 3; с = 7;

4. а = 3; b = 0; с = 0;

5. а = –1; b = 7; с = 0;

6. а = –1; b = 4; с = 2.

20.4. Складіть квадратне рівняння

1) a = 3; b = 5; c = –2; 2) a = –1; b = 5; c = 0; 3) a = –4; b = 0; c = 0; 4) a = 13; b = 0; c = –39.

1. �� =3, �� =5, �� = 2,3�� 2 +5��− 2=0;

2. �� = −1, �� =5, �� =0, −�� 2 +5�� =0

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

25�� 2 12 =7�� 2 13��; 25�� 2 − 7�� 2 + 13��− 1=0; 18�� 2 + 13��− 1=0;

2. (2��− 3)2 =(�� +2)(��− 7); 4�� 2 12�� +9= �� 2 7�� +2��− 14; 4�� 2 −�� 2 12�� +7��− 2�� +9+ 14 =0; 3�� 2 7�� + 23 =0.

20.7. Замініть рівняння рівносильним

1. (2�� +3)(2��− 3) = �� (9��− 12); (2�� )2 32 =9�� 2 12�� ; 4�� 2 9�� 2 + 12��− 9=0; 5�� 2 + 12��− 9=0;

2. (4�� +1)2 =(��− 3)(�� +2); 16�� 2 +8�� +1= �� 2 +2��− 3��− 6; 16�� 2 −�� 2 +8��− 2�� +3�� +1+6=0; 15�� 2 +9�� +7=0.

20.8. Які із чисел –2; –1; 0; 1; 2 є

1. �� 2 5�� =0, �� =0

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3. 2�� 2 +8=0;2�� 2 = 8; �� 2 = 4.

Відповідь: рівняння розв'язків

4. 5�� 2 + 10 =0; 5�� 2 = 10; �� 2 =2;

��1 = √2; ��2 = √2.

Відповідь: √2; √2.

5. 5,7�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 . ��. 1 9 �� 2 7 9 =0� · 9;

�� 2 =7; ��1 = √7; ��2 = √7.

Відповідь: −√7; √7. 20.11. Знайдіть корені рівняння:

1. 2�� 2 − 2=0;2�� 2 =2; �� 2 =1; ��1 = −1; ��2 =1.

Відповідь: 1;1

2. 3�� 2 +9=0;3�� 2 = 9; �� 2 = 3.

Відповідь: рівняння розв'язків не має.

3. 1,4�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 .

4. 7�� 2 + 21 =0; 7�� 2 = 21; �� 2 =3; ��1 = √3; ��2 = √3.

Відповідь: −√3; √3.

5. 1,8�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 . ��. 1

√5; √5 20.12. Знайдіть корені рівняння: 1. �� 2 +6�� =0; �� (�� +6)=0; �� =0 або �� +6=0; �� =0 або �� = 6.

6;0.

2. 2�� 2 8�� =0;2�� (��− 4)=0; �� =0 або ��− 4=0; �� =0 або �� =4

0;4.

3. 4�� 2 −�� =0; �� (4��− 1)=0; �� =0 або 4��− 1=0; �� =0 або 4�� =1; �� =0 або �� = 1 4

Відповідь: 0; 1 4 .

4. 0,1�� 2 +2�� =0; �� 2 + 20�� =0; �� (�� + 20)=0; �� =0 або �� + 20 =0; �� =0

�� = 20.

Відповідь: 20;0.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. �� 2 +7=0;

2. 5�� 2 =0; 3. �� 2 25 =0; 4. �� 2 13 =0

20.15.

�� 2 +2��− 7=0. �� =3, то �� ·32 +2·3 7=0;9�� +6 7=0; 9��− 1=0;9�� =1; �� = 1 9 .

Відповідь: при �� = 1 9

20.16. За якого

�� 2 + �� 8=0. �� = 2, то ( 2)2 + �� ·( 2) 8=0;4 2��− 8=0; 2�� =8 4;2�� = 4; �� = 2.

Відповідь: при �� = 2.

20.17.

�� 2 + �� +4=0; ��1 =1, ��2 =2; � ��⋅ 12 + ��⋅ 1+4=0, ��⋅ 22 + ��⋅ 2+4=0; � �� + �� = 4, 4�� +2�� = 4;� ⋅ ( 2)

2��− 2�� =8; 4�� +2�� = 4;� + 2�� =4; �� =2;2+ �� = 4; �� = 4 2; �� = 6.

Відповідь: при �� =2, �� = 6.

20.18. За яких значень коефіцієнтів

рівняння

рівняння �� 2 + �� + �� =0.; ��1 =1 i ��2 =3; � 12 + ��⋅ 1+ �� =0, 32 + ��⋅ 3+ �� =0; � 1+ �� + �� =0, 9+3�� + �� =0; � �� + �� = 1, 3�� + �� = 9; � ⋅ ( 1)

−��−�� =1, 3�� + �� = 9;� + 2�� = 8; �� = 4; 4+ �� = 1; �� = 1+4=3.

при �� = 4, �� =3.

20.19. Розв’яжіть рівняння:

1. (��− 2)(�� +3)= −6; �� 2 +3��− 2��− 6+6=0; �� 2 + �� =0; �� (�� +1)=0; �� =0 або �� +1=0; �� =0

�� = 1.

1;0. ��. 1 3 �� (�� +9)= 1 8 �� (��− 16)� ⋅ 24;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

8�� (�� +9)=3�� (��− 16);

8�� 2 + 72�� =3�� 2 48�� ;

8�� 2 3�� 2 + 72�� + 48�� =0;5�� 2 + 120�� =0;

�� 2 + 24�� =0; �� (�� + 24)=0; �� =0 або

�� + 24 =0; �� =0 або �� = 24.

Відповідь: 24;0.

3. (3��− 1)2 =(��− 3)2 ;

9�� 2 6�� +1= �� 2 6�� +9; 9�� 2 −�� 2 6�� +6�� +1 9=0;

8�� 2 8=0; �� 2 =1; ��1 =1; ��2 = 1.

Відповідь: 1;1.

4. (2�� +1)(3��− 1)= �� (��− 2)+3 ��− 1 3�;

6�� 2 2�� +3��− 1= �� 2 2�� +3��− 1; 6�� 2 −�� 2 − 2�� +3�� +2��− 3��− 1+1=0; 5�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

0.

20.20. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +3)(��− 5)= 15; �� 2 5�� +3��− 15 = 15; �� 2 2�� =0; �� (��− 2)=0; ��1 =0; ��2 =2∘ Відповідь: 0;2. �� 2 3 �� (��− 3)= 1 2 �� (�� +4)� ⋅ 6

4�� (��− 3)=3�� (�� +4);4�� 2 12�� =3�� 2 + 12�� ; �� 2 24�� =0; �� (��− 24)=0; ��1 =0; ��2 = 24.

Відповідь: 0; 24.

3. (2��− 3)2 =(3��− 2)2 ; 4�� 2 12�� +9=9�� 2 12�� +4; 5�� 2 =5; �� 2 =1; ��1 = 1; ��2 =1.

Відповідь: 1;1

4. (5�� +1)(2��− 1)= �� (�� +3) 6 �� + 1 6�; 10�� 2 5�� +2��− 1= �� 2 +3��− 6��− 1; 10�� 2 −�� 2

(x + 2)? (3��− 1)(�� +4)+4= �� (�� +2); 3�� 2 + 12��−��− 4+4= �� 2 +2�� ; 3�� 2 −�� 2 + 12��−��− 2�� =0;2�� 2 +9�� =0; �� (2�� +9)=0; �� =0 або 2�� +9=0; �� =0

Відповідь: 2.

20.26.

1. Якщо �� =1, �� =5, �� = 6, то �� 2 4�� =(5)2 4·1·( 6)= 25 + 24 = 49;

2. якщо �� =1, �� = 6, �� =9, то �� 2 4�� =( 6)2 4·1·9= 36 36 =0;

3. якщо �� =2, �� = 3, �� = 5, то �� 2 4�� =( 3)2 4·2·( 5)=9+ 40 = 49;

4. якщо �� =4, �� =5, �� = 9, то �� 2 4�� =52 4·4·( 9)= 25 + 144 = 169. 20.30.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. 600 · (100% − 80%) = 600 · 20% = 600 · 0,2 = 120 (Вт) — споживатиме енергозберігаюча

120 · 10 = 1200 (Вт) — енергозберігаючі щодня;

1200 · 5 = 6000 (Вт) — енергозберігаючі за тиждень;

600 · 10 = 6000 (Вт) — звичайні щодня;

6000 · 5 = 30000 (Вт) — звичайні за тиждень; 30000 − 6000 = 24000 (Вт) — заощадити протягом тижня. Відповідь: в офісі можна заощадити 24000 Ват протягом тижня.

2. 1 кВт·год = 3,6 грн 24000 Вт = 24 кВт

24 кВт · 3,6 грн = 86,4 (грн) — заощадити

= 5 1 6 = 6 6 = 1.

Відповідь: 2 3 ; 1.

4. �� 2 + 10�� + 25 =0; D= 102 4·1· 25 = 100 100 =0;

= −10 2 = 5.

Відповідь: –5 .

5. �� 2 + ��− 90 =0; D=12 4·1· ( 90) =1+ 360 = 361;

= 1+ 19 2 = 18 2 =9; ��2 = 1 19 2 = − 20 2 = −10. Відповідь: 10;9.

6. �� 2 10��− 24 =0; D=( 10)2 4·1·(

Відповідь: –2; 12. 21.7. Розв’яжіть

21.8. Розв’яжіть рівняння:

1.

3. �� 2 +5�� = 6; �� 2 +5�� +6=0; D=52 4·1·6= 25 24 =1; ��1 = −5+1 2 ⋅ 1 = 4 2 = 2; ��2 = 5 1 2 = 6 2 = 3.

3;

5. 81�� 2 +1= −18��; 81�� 2 + 18�� +1=0; D= 182 4·1· 81 = 324 324 =0;

Відповідь: 0,4;0,1.

2. �� 2 +7= 8�� ; �� 2 +8�� +7=0; D=82 4·1·7= 64 28 = 36; ��1 = 8+6

7; 1. 3. 7�� = �� 2 + 12; �� 2 7�� + 12 =0 D=( 7)2 4·1· 12 = 49 48 =1 ��1 = 7+1 2 = 8 2 =4; ��2 = 7 1 2 = 6 2 =3 Відповідь: 3; 4.

1. �� 2 − 2��− 3=0; D=( 2)2 4·1·( 3)=4+ 12 = 16; ��1 = 2+4 2 =

Відповідь: 1;3.

2. �� 2 +2�� =0,5�� +2,5; �� 2 +2��− 0,5��− 2,5=0; �� 2 +1,5��− 2,5=0 ∣· 10; 10�� 2 + 15��− 25 =0 ∣:5;2�� 2 +3��− 5=0; D=32 4·2· ( 5) =9+ 40 = 49; ��1 = 3+7

Відповідь: 2,5;1.

3. 10�� 2 8�� =9�� 2 +2��− 25; 10�� 2 9�� 2 8

Відповідь:

Відповідь: −1;4,5.

3. 4+2��−�� 2 =4�� 2 6��; 4�� 2 + �� 2 6��− 2��− 4=0;5�� 2 8��− 4=0;

D=( 8)2 4·5·( 4)= 64 + 80 = 144;

��1 = 8+ 12 10 = 20 10 =2; ��2 = 8 − 12 2 ⋅ 5 = 4 10 = 0,4.

Відповідь: −0,4;2.

21.12. Розв’яжіть рівняння:

��. (��− 3)2 =2��− 3; �� 2 6�� +9 2�� +3=0; �� 2 8�� + 12 =0; D=( 8)2 4·1· 12 = 64 48 = 16; ��1 = 8+4 2 = 12 2 =6; ��2 = 8 − 4 2 = 4 2 =2.

Відповідь: 2; 6.

2. 3(�� +1)2 =2�� +2;3(�� 2 +2�� +1) =2�� +2; 3�� 2 +6�� +3 2��− 2=0;3�� 2 +4�� +1=0; D=42 4·3·1= 16 12 =4;

Відповідь: 1 3 ; 1. ��. (�� +3)(��− 1)=2�� (��− 2)+5; �� 2 −�� +3��− 3=2�� 2 4�� +5; 2�� 2 −�� 2 4�� + ��− 3�� +5+3=0;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. (�� +2)2 =2�� +3;

�� 2 +4�� +4=2�� +3;

�� 2 +4��− 2�� +4 3=0; �� 2 +2�� +1=0; D=22 4·1·1=4 4=0; �� = �� 2�� = 2 2 = 1.

Відповідь: –1 .

2. 5(��− 2)2 =3��− 6;

5(�� 2 − 4�� +4) − 3�� +6=0;

5�� 2 20�� + 20 3�� +6=0;

5�� 2 23�� + 26 =0;

D=( 23)2 4·5· 26 = 529 520 =9; ��1 = 23 +3 10 = 26 10 =2,6; ��2 = 23 3 10 = 20 10 =2.

Відповідь: 2;2,6.

3. (�� +2)(��− 3)=2�� (��− 4)+6; �� 2 3�� +2��− 6=2�� 2 8�� +6; 2�� 2 −�� 2 8�� +3��− 2�� +6+6=0;

2 7�� + 12 =0; D=( 7)2 4·1· 12 = 49 48 =1; ��1 = 7+1 2 = 8 2 =4; ��2 = 7 − 1 2 = 6 2 =3.

Відповідь: 3;4.

4. �� (�� 1) (�� 3)(�� +3)=(�� +2)2 1; �� 2 − �� − (��

6;1.

��1 = 2+8 10 = 10 10 =1; ��2 = 2 8 10 = 6 10 = 0,6.

Відповідь: 0,6;1. 2. �� +2 3 + �� 2 1 2 = 1 3� ⋅ 6; 2(�� +2)+3(�� 2 1) =2; 2�� +4+3�� 2 − 3 − 2=0;3�� 2 +2��− 1=0; D=22 4·3·( 1)=4+ 12 = 16; ��1 = 2+4 6 = 2 6 = 1 3 ; ��2 = 2 4 6 = 6 6 = 1.

Відповідь: 1; 1 3 .

3.

корінь другого: y = 1

Відповідь: 23 км.

21.15. Розв’яжіть рівняння:

��4 = 3 5 2 = 8 2 = 4.

Оскільки 1>0, то 1 неєкоренем рівняння.

Відповідь: –4; 4.

3. �� |�� | +3��− 4=0

a) Якщо ��≥ 0, то �� 2 +3��− 4=0; D=32 4·1· ( 4) =9+ 16 = 25; ��1 = 3+5 2 = 2 2 =1; ��2 = 3 5 2 = 8 2 = 4<0.

Оскільки 4<0 то –4 не є коренем рівняння. б) Якщо �� <0, то −�� 2 +3��− 4=0; �� 2 3�� +4=0;

D=32 4·( 1)·( 4)=9 16 = 7<0. Оскільки D<0, то рівняння

Якщо �� >0, то �� 3 �� −��−

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

D=22 4·1·( 3)=4+ 12 = 16;

��3 = 2+4 2 = 2 2 =1; ��4 = 2 4 2 = 3.

Оскільки 1>0, то 1 не є коренем рівняння.

Відповідь: 3;3.

3. �� |�� | 4��− 5=0. а) Якщо ��≥ 0, то �� 2 4��− 5=0;

D=( 4)2 4·1·( 5)= 36; ��1 = 4+6 2 = 10 2 =5; ��2 = 4 − 6 2 = 2 2 = 1.

Оскільки 1<0, то –1 не є коренем рівняння. б) Якщо �� <0, то −�� 2 4��− 5=0; �� 2 +4�� +5=0; D=42 − 4·1·5= 16 − 20 = −4<0.

Оскільки D<0, то рівняння �� 2 +4

5.

4. �� 3 |�� | +4��− 12 =0; ОДЗ: ��≠ 0.

�� >0, то �� 2 +4��− 12 =0; D=42 4·1·( 12)= 64; ��1 = 4+8 2 = 4 2 =2; ��2 = 4 8 2

�� <0

��(0)=0,2·0 15; �� = 15.

(75;0),(0; 15).

1.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

числа 2�� + 65 7 або 3 .

7 або 3.

2. Нехай �� =2�� ( �� натуральне), тобто є парним числом.

Тоді 22�� + 65 = �� 2 .

Тоді �� =2�� + ��

Маємо 22�� + 65 = (2�� + ��)2 ;

22�� + 65 =22�� +2��⋅ 2�� + �� 2 ;

2��⋅ 2�� + �� 2 = 65. Звідси ��≤ 5.

3. Розглядаємо по черзі.

�� =1;22⋅1 + 65 = 69;

�� =2;22⋅2 + 65 = 81 =92 ; тоді �� =4;

�� =3;22⋅3 + 65 = 129;

�� =4;22⋅4 + 65 = 321; �� =5;22⋅5 + 65 = 1089 = 332 ; тоді �� = 10.

Відповідь: �� =4; �� = 10.

1.

22.5.

2. 2�� 2 13�� + 15 =0; D=( 13)2 4·1· 15 = 169 120 = 49; ��1 = 13 +7 4 = 20 4 =5; ��2 = 13 7 4 = 6 4 = 3 2 =1 1 2 ;

+ ��2 = 13 2 =6 1 2 =5+1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

x2 + px + q = 0.

За теоремою, оберненою

p = −(x1 + x2) = −(5 + 1) = −6;

q = x1 · x2 = 5 · 1 = 5.

Отже, x2 − 6x + 5 = 0 — шукане рівняння.

Відповідь: x2 − 6x + 5 = 0.

2) x1 = 2, x2 = −7

p = −(x1 + x2) = −(2 + (−7)) = 5;

q = x1 · x2 = 2 · (−7) = −14.

Відповідь: x2 + 5x − 14 = 0.

3) x1 = −2, x2 = −3

p = −(x1 + x2) = −(−2 + (−3)) = 5;

q = x1 · x2 = (−2) · (−3) = 6.

Відповідь: x2 + 5x + 6 = 0.

4) x1 = 0,7, x2 = −0,1

p = −(x1 + x2) = −(0,7 + (−0,1)) = −0,6;

q = x1 · x2 = 0,7 · (−0,1) = −0,07.

Відповідь: x2 − 0,6x − 0,07 = 0.

22.9. Знайдіть

1. �� 2 − 5�� +6=0; ��1 + ��2 =5, ��1 =2, ��1 ⋅��2 =6; ��2 =3.

Відповідь: 2;3.

2. �� 2 +6�� +8=0;

��1 + ��2 = −6, ��1 = −2, ��1 ⋅��2 =8; ��2 = 4.

Відповідь: 2;4.

3. �� 2 6��− 7=0;

��1 + ��2 =6, ��1 =7, ��1 ⋅��2 = 7; ��2 = 1.

Відповідь: 1;7

4. �� 2 +3��− 4=0; ��1 + ��2 = 3, ��1 = 4, ��1 ⋅��2 = 4; ��2 =1.

Відповідь: 4;1.

5. �� 2 17�� + 42 =0;

��1 + ��2 = 17, ��1 = 14, ��1 ⋅��2 = 42; ��2 =3.

Відповідь: 3; 14.

6. �� 2 5��− 24 =0;

��1 + ��2 =5, ��1 = 3, ��1 ⋅��2 = −24; ��2 =8.

Відповідь: 3;8.

22.10. Знайдіть підбором

1. �� 2 5�� +4=0;

��1 + ��2 =5. ��1 =1, ��1 ⋅��2 =4; ��2 =4.

Відповідь: 1;4.

2. �� 2 −��− 6=0;

��1 + ��2 =1; ��1 =3, ��1 ⋅��2 = 6; ��2 = 2.

Відповідь: 2;3.

3. �� 2 +4�� +3=0;

��1 + ��2 = 4, ��1 = 1,

��1 ⋅��2 =3; ��2 = 3.

Відповідь: −3; −1.

4. �� 2 12�� + 27 =0; ��1 + ��2 = 12, ��1 =3, ��1 ⋅��2 = 27; ��2 =9.

Відповідь: 3; 9 .

5. �� 2 + ��− 6=0;

+ ��2 = 1, ��1 = 3 ��1 ⋅��2 = 6; ��2 =2

Відповідь: 3;2.

6. �� 2 +9��− 22 =0;

��1 + ��2 = −9, ��1 = −11, ��1 ⋅��2 = −22; ��2 =2.

Відповідь: 11;2.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. �� 2 +8�� +5=0;

D=82 4·5= 64 20 = 44 >0;

+ ��2 = −8, ��1 ⋅��2 =5; ��1 <0, ��2 <0;

2. �� 2 12��− 1=0; D=( 12)2 =4·1·( 1)= 144 +4= 148 >0; ��1 + ��2 = 12, ��1 ⋅��2 = 1; ��1 >0, ��2 <0;

3. 3�� 2 + 14��− 7=0; D= 142 − 4·3·(−7)= 196 + 84 = 280 >0;

+ ��2 = 14 3 , ��1 ⋅��2 = 7 3 ; ��1 >0, ��2 <0;

4. 4�� 2 7�� +2=0; D=( 7)2 4·4·2= 49 32 = 17 >0;

+ ��2 = 7 4 , ��1 ⋅��2 = 1 2 ; ��1 >0, ��2 >0. 22.13. Не розв’язуючи рівняння,

коренів:

1. �� 2 13��− 2=0; D=( 13)2 4·1·( 2)>0;

+ ��2 = 13, ��1 ⋅��2 = 2; ��1 >0, ��2 <0;

2. �� 2 + 17�� +1=0; D= 172 − 4·1·1= 289 − 4= 285 >0; ��1 + ��2 = 17, ��1 ⋅��2 =1; ��1 <0, ��2 <0;

3. 5�� 2 14�� +1=0; D=( 14)2 4·1·5= 196 20 = 176 >0;

+ ��2 = 14 5 , ��1 ⋅��2 = 1 5 ; ��1 >0, ��2 >0;

4. 3�� 2 +7��− 18 =0; D=72 4·3·( 18)= 49 + 216 = 265 >0;

+ ��2 = 7 3 , ��1 ⋅��2 = 18; ��1 >0, ��2 <0.

22.14. Один

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

x2 + 6x + q = 0

�� 2 +6�� + �� =0; ��1 = 3,5.

За теоремою Вієта: ��1 + ��2 = 6; 3,5+ ��2 = 6; ��2 = 2,5; �� = ��1 · ��2 =( 3,5)·( 2,5)=8,75.

Відповідь: ��2 = −2,5; �� =8,75.

22.15. Один з коренів рівняння x2 + px – 9 = 0 дорівнює 1,5.

�� 2 + �� 9=0, ��1 =1,5.

теоремою Вієта: ��1 · ��2 = 9;1,5· ��2 = 9; ��2 = 9 1,5 = 90 15 = 6; ��1 + ��2 = −��;1,5+( 6)= −��; �� =4,5. Відповідь: ��2 = 6; �� =4,5

22.16. Корені x1 і x2 рівняння

p. �� 2 + �� 10 =0; �2��1 +5��2 =0, ��1 ⋅��2 = 10; 2��1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(��1 +2) + (��2 +2) =3+4=7; (��1 +2) · (��2 +2) = ��1 ��2 +2��1 +2��2 +4= ��1 ��2 +2(

= 9+2·3+4= 9+ 10 =1.

Отже, �� 2 7�� +1=0.

Відповідь: �� 2 − 7�� +1=0.

22.23. Складіть квадратне

x2 + 2x – 7 = 0

��2 +2��− 7=0; ��1 + ��2 =

+ ��2 ) +9=

= 7 3· ( 2) +9= 7+6+9= 1+9=8.

Отже, �� 2 +8�� +8=0.

Відповідь: �� 2 +8�� +8=0. 22.24.

Відповідь: 4; 28.

22.27.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�� (��− 5)= 204; �� 2 5��− 204 =0.

D=( 5)2 4·2·( 204)= 25 + 816 = 841;

��1 = 5+ 29 2 = 34 2 = 17; ��2 = 5 29 2 <0 (умові задачі не задовольняє); ��− 5= 17 5= 12.

Відповідь: 12; 17.

на 3 більше

�� (�� +3)= 180; �� 2 +3��− 180 =0; D=32 4·1·( 180)=9+ 720 = 729;

√D = 27; ��1 =

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

рівняння: �� (�� + 10)= 375; �� 2 + 10��− 375 =0; D= 102 +4· 375 = 100 + 1500 = 1600;

√D = 40; ��1 = 10 + 40 2 = 30 2 = 15 (м)

умові задачі. �� + 10 = 15 + 10 = 25; P=(15 + 25)·2= 40 ·2= 80 м. Відповідь: 80 м. 23.5.

сторони прямокутника. Нехай �� см – довжина

теоремою Піфагора AB2+BC2

;

��2+196−28�� + ��2 −100=0; 2��2 28�� +96=0; ��2 14�� +48=0; D=( 14)2 4· 48 = 196 192 =4; √D =2; ��1 = 14 +2 2 = 16 2 =8; ��2 = 14 2 2 = 12 2 =6. 14 −�� = 14 − 8=6 або 14 −�� = 14 − 6=8; �� =6·8= 48( см2 ).

Відповідь: 48 см2 .

23.8. Добуток

�� – натуральне

�� (�� +1)> �� +(�� +1) (на 181); �� (�� +1)= �� +(�� +1)+ 181;

2 + �� = �� + �� +1+ 181;

2 + ��−��−��− 1 181 =0; ��

��)2

2

+1= 14 +1= 15.

14; 15. 23.9. Шматок

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

12(3�� 2 36�� + 144) = 468;

3�� 2 36�� + 144 = 39;

3�� 2 36�� + 144 39 =0;

3�� 2 36�� + 105 =0 ∣:3; �� 2 12�� + 35 =0;

��1 =5, 12 −�� = 12 5=7 або

��2 =7,12 −�� = 12 7=5. Відповідь: 5 і 7.

23.14. Дві

не задовольняє). �� +4= 12 +4= 16 (км/год).

12 км/год; 16 км/год. 23.15. Периметр

�� 2 +(22 −�� )2 = 244;

�� 2 + 484 44�� + �� 2 = 244;

�� 2 + 484 44�� + �� 2 244 =0;

2�� 2 44�� + 240 =0; �� 2 22�� + 120 =0; D=( 22)2 4·1· 120 = 484 480 =4; √D =4; ��1 = 22 +2 2 = 24 2 = 12; ��2 = 22 − 2 2 = 20 2 = 10;

22 −�� = 22 12 = 10 або

22 −�� = 22 10 = 12.

Відповідь: 10 см і 12 см

204 см2. Визначте ширину рамки. Нехай �� см – ширина

4�� 2 + 50��− 54 =0;2��

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(6 2�� )(8 2�� ) = 15;

48 12��− 16�� +4�� 2 15 =0;

4�� 2 28�� + 33 =0;

D=( 28)2 4·4· 33 = 784 528 = 256;

√D = 16;

��1 = 28 + 16 8 = 44 8 =5,5

(умові задачі не задовольняє);

��2 = 28 16 2 = 12 8 =1,5.

Відповідь: 1,5 м.

23.18. На

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 1,2 c;1,8 c.

1. 3,8 1,8=2 (м).

2. Якщо �� =0,4 c, то ��0 ·0,4=5·0,4=2; 0,4��0 =2+0,8;0,4��0 =2,8; ��0 = 2,8 0,4 = 28 4 =7;

3. 4,25 1,8=2,45; 4. 7��− 5�� 2 =2,45;5�� 2 7�� +2,45 =0;

D=( 7)2 4·5·2,45 = 49 49 =0; �� = 7 10 =0,7.

Відповідь: через 0,7 c. 23.22. Сигнальна ракета,

1. Якщо �� =2 с, то ��0 ·2 5·22 = 40; 2��0 = 40 + 20;2��0 = 60; ��0 = 30. 2. 30��− 5�� 2 = 44,2;5�� 2 30�� + 44,2=0; D=( 30)2 4·5· 44,2= 900 884 = 16; √D =4; ��1 = 30 +4 10 = 34 10 =3,4; ��2 = 30 4 10 = 26 10 =2,6.

рівняння:

(6 − x) − x(6 x) 6 = 1,5

Помножимо на 6:

6(6 − x) − x(6 − x) = 9

(6 − x)(6 − x) = 9

(6 − x)2 = 9

6 − x = 3 x = 3

Відповідь: 3 л.

23.24. Знайдіть

1. 3�� 2 12 =0;3�� 2 = 12; �� 2 =4; ��1 = 2; ��2 =2

Відповідь: –2; 2.

2. 5�� 2 9�� =0; �� (5��− 9)=0; �� =0 або 5��− 9=0; �� =0 або 5�� =9; �� =0 або �� = 9 5 =1 4 5 =1,8.

Відповідь: 0; 1,8.

3. 3�� 2 + 10�� +3=0; D= 102 − 4·3·3= 100 −

3; 1 3 4. �� 2 +4�� +4=0;(�� +2)2 =0; �� +2=0; �� = 2. Відповідь: –2. 23.25. Розв’яжіть рівняння: 1. (�� +2)2 =5�� +7; �� 2 +4�� +4 − 5��− 7=0; �� 2 −��− 3=0; D=( 1)2 4·1·( 3)=1+ 12 = 13; ��1 = 1+ √13 2 ; ��2 = 1 √13 2 .

4)2 4·1·( 20)= 16 + 80 = 96; ��1 = 4+ √96 2 = 4+ √16 ⋅ 6 2 = 4+4√6 2 = 4(1+ √6) 2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. Укажіть рівняння, що є квадратним.

Відповідь: Б.

2. Якщо дискримінант квадратного

А. Не має коренів

Б. Має один корінь

В. Має два різних корені Г.

3. Нехай x1 і x2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

інших, тобто (�� +1)2+(�� +2)2 , маємо рівняння:

3��2 50=(��+1)2+(��+2)2;

3��2 50=��2+2��+1+��2 +4��+4;

3��2 50=2��2+6��+55; ��2 6�� 55=0. За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =6, ��1 ��2 = 55.

Звідки: ��1 = 11; ��2 = 5 – не є розв'язком

Відповідь: Б.

10. Розв’яжіть рівняння (√�� – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0

3�(2�� 2 +3��− 5) =0;

3=0, ��≥ 0, 2�� 2 +3��− 5=0;

√�� 3=0; √�� =3; �� =9; 2�� 2 +3��− 5=0; �� =2, �� =3, �� = 5; D=32 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5) = 49 =72 ; D>0;

є розв'язком задачі. Відповідь: Г.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

потисків було 36. Маємо рівняння: (��− 1)�� 2 = 36; �� 2 −��− 72 =0.

За теоремою Вієта маемо:

+ ��2 =1, ��1 ��2 = 72, звідки ��1 =9; ��2 = 8 не задовольняє умовам

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г

1. Які з рівнянь є квадратними: Рівняння 1), 3).

�� 2 +4��− 192 =0.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

D=42 4 ⋅ ( 192)= 784; √D = 28;

��1 = 4+ 28 2 = 12;

��2 = −4 − 28 2 <0 не задовольняє умову

Отже, a = x = 12 (см),

b = x + 4 = 12 + 4 = 16 (см).

2. P=2(�� +b)=2(12 + 16)= 56 (см).

Відповідь: 56 см.

7. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +1)2 =4��− 5; �� 2 +2�� +1 4�� +5=0; �� 2 2�� +6=0

D=(−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6<0.

Рівняння не має розв'язків.

3=0; �� 2 2

6=0. D=( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 28; √

Знайдіть три послідовних

.

1; 4 10.

8 команд.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3. �� 2 2�� +5=0; D=(−2)2 − 4·1·5=4 − 20 = −16; D<0; коренів немає;

4. �� 2 +3��− 7=0; D=32 4·1·( 7)=9+ 28 = 37;

D>0;2 кореня.

24.6. Знайдіть корені квадратного тричлена:

1. �� 2 − 6�� +5=0; ��1 =5; ��2 =1;

2. �� 2 4��− 12 =0; ��1 =6; ��2 = 2;

3. 5�� 2 10�� +5=0; �� 2 2�� +1=0; (��− 1)2 =0; ��1 = ��2 =1; 4. 2�� 2 3�� +2=0;2�� 2 +3��− 2=0; D=9

1. �� 2 7�� + 12 =0; ��1 =3; ��2 =4; 2. �� 2 −��− 20 =0; ��1 =5; ��2 = 4;

3. 6�� 2 7�� +1=0;

;

4. 3�� 2 +6��− 3=0; �� 2 2�� +1=0; (��− 1)2 =0; ��1 = ��2 =1.

24.8. Чи можна розкласти

1. 16�� 2 5�� +1; D=( 5)2 4· 16 ·1= 25 64 = 39 <0.

не можна.

2. 4�� 2 +4�� +1; D=42 − 4·4·1= 16 − 16 =0.

можна.

3. 2�� 2 + ��− 19; D=12 4·2·( 19)=1+ 152 = 153 >0.

можна.

1. �� 2 5�� +4=0; ��1 =1; ��2 =4. Отже, �� 2 − 5�� +4=(��− 4)(��− 1).

2. �� 2 +7��− 8=0; ��1 = −8; ��2 =1. Отже, �� 2 +7��− 8=(�� +8)(��− 1).

3. 2�� 2 5�� +2=0; D=( 5) 4·2·2= 25 16 =9; ��1 = 5+3 4 = 8 4 =2; ��2 = 5 3 4 = 2 4 = 1 2 . Отже, 2�� 2 5�� +2=2

4. −�� 2 + 11��− 24 =0; �� 2 11�� + 24 =0; ��1 =3; ��2 =8.

−�� 2 + 11��− 24 = (��− 3)(��− 8)=(3 −�� )(��− 8)

5. 3�� 2 +8�� +3=0;3�� 2 8��− 3=0; D=( 8)2 4·3·( 3)= 64 +

3�� 2 +8�� +3= 3 �� + 1 3� (��− 3)=(3�� +1)(3 −�� )

6. 4�� 2 + ��− 3=0; D=12 4·4· ( 3) =1+ 48 = 49; ��1 = 1+7 8 = 6 8 = 3 4 ; ��2 = 1 7

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��2 = −19 − 23 2 ⋅ 7 = 42 14 = 3.

Отже, 7�� 2 + 19��− 6=7 ��− 2 7� (�� +3)=(7��− 2)(�� +3).

24.11. Покажіть, що квадратні тричлени x2 – 2x – 3, 3x2 – 6x – 9, –4x2 + 8x + 12

1. �� 2 2��− 3=0; ��1 =3; ��2 = 1.

Отже, �� 2 2��− 3=(��− 3)(�� +1);

2. 3�� 2 6��− 9=0 ∣:3; �� 2 2��− 3=0; ��1 =3; ��2 = 1.

Отже, 3�� 2 6��− 9=3(��− 3)(�� +1);

3. 4�� 2 +8�� + 12 =0 ∣:( 4); �� 2 2��− 3=0; ��1 =3; ��2 = 1.

Отже, 4�� 2 +8�� + 12 = 4(��− 3)(�� +1)

24.12. Чи

1. (��− 1)(�� +3)= �� 2 +3��−��− 3= �� 2 +2��− 3

Відповідь: неправильно.

2. 4(��− 1)2 =4(�� 2 2�� +1) =4�� 2 8�� +4

Відповідь: правильно.

24.13. Чи правильно розкладено

��. 3(��− 3)(

правильно.

2. (��− 2)2 = �� 2 4�� +4; 2�� 2 8�� +8=2(�� 2 4�� +4).

Відповідь: неправильно.

24.14.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��1 = 2+4 3 = 2 3 ; ��2 = 2 4 3 = 2.

1) x2 – 4x + 9

4) –x2 + 10x – 25

1. �� 2 4�� +9= �� 2 4�� +4+5=(

2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1+1= �� , ��≠ 0, ��≠ 1; �0=0, ��≠ 0, ��≠ 1. Будь-яке число, крім �� =0, �� =1

25.1.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. �� 4 − 5�� 2 +4=0.

�� 2 = �� , ��≥0.

�� 2 5�� +4=0

теоремою

2. �� 4 − 9�� 2 +8=0. Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 9�� +9=0.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��1 + ��2 =9, ��1 ��2 =8, звідки ��1 =8, ��2 =1.

Обернена заміна: �� 2 =8, �� 2 =1; ��1 =2√2, ��2 = −2√2, ��3 =1, ��4 = 1.

3. �� 4 2�� 2 8=0

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 2��− 8=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =2, ��1 ��2 = 8, звідки ��1 =4, ��2 = 2. ��2 = 2 – не є розв'язком, ��≥ 0.

Обернена заміна: �� 2 =4; ��1 =2, ��2 = 2.

4. 2�� 4 −�� 2 6=0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: 2�� 4 −��− 6=0; D=( 1)2 4·2·( 6)= 49 =72 ;D>0; ��1 = 1+7 2 ⋅ 2 =2; ��1 = 1 7 2 ⋅ 2 = 6 4 = 3 2 ;

не є розв'язком, ��≥ 0.

Обернена заміна: �� 2 =2; ��1 = √2, ��2 = √2.

5. �� 4 +5�� +4=0. Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 +5�� +4=0. За теоремою Вієта

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��1 + ��2 = 17, ��1 ��2 = 16, звідки ��1 = 16, ��2 =1.

Обернена заміна:

�� 2 = 16, �� 2 =1 ⇔ ��1 =4, ��2 = 4, ��3 =1, ��4 = 1.

2. �� 4 6�� 2 +8=0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 6�� +8=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =6, ��1 ��2 =8, звідки ��1 =4, ��2 =2.

Обернена заміна: �� 2 =4, �� 2 =2 ⇔ ��1 =2, ��2 = 2, ��3 = √2, ��4 = √2.

3. �� 4 +2�� 2 15 =0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 +2�� +5=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = 2, ��1 ��2 = 15, звідки ��1 = −5, ��2 =3; ��1 = −5 – не задовольняє умові ��≥ 0.

Обернена заміна: �� 2 =3; ��1 = √3, ��2 = √3.

4. 3�� 4 2�� 2 8=0. Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: 3�� 2 2��− 8=0; D=(−2)2 − 4·3·(

�� 2 + 10�� +9=0.

6. 25�� 4 10�� 2 +1=0; (5�� 2 1)2 =0; 5�� 2 1=0;5�� 2 =1;

�� 2 = 1 5 ; ⎩ ⎪ ⎨ ⎪

= 1 √5 , ��2 = 1 √5 ; ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ��1 = √5 5 , ��2 = √5 5 .

Відповідь:

1. ±4;±1;2.±2;±√2; 3.±√3; 4. ±√2; 5. коренів немає; 6 ± √5 5

Розв’яжіть рівняння:

2

.

2

2=0. За теоремою Вієта маємо:

+ ��2 =1, ��1 ��2 = 2. Звідки ��1 =2, ��2 = 1. Звідки

=2, ��2 = 1, ��≠−3. ��. �� 2 + ��− 6 ��− 2 =0;

6=0. За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = 1, ��1 ��2 = 6. Звідки ��1 = 3, ��2 =2.

Маємо: ��1 = 3, ��2 =2, ��≠ 2; корінь рівняння: �� = 3.

Відповідь: 1. 1;2; ��≠−3; 2. 3; ��≠ 2. 25.6. Розв’яжіть

Тобто

=4, ��2 = 3, ��≠−3; корінь рівняння �� =4.

рівняння �� = 5, ��≠ 3.

теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =8, ��1 ��2 = 9.

Звідки ��1 =9, ��2 = 1. Тобто ��1 =9, ��2 = 1, ��≠ 0, ��≠−3. ��. 2��− 3 �� +2 = �� +6 ;

(2��− 3)(�� +6) = �� (�� +2), �� +2 ≠ 0, �� +6 ≠ 0; �2�� 2 + 12��− 3��− 18 =

2 7��− 18 =0, ��≠−2, ��≠ 6; �� 2 7�� + 18 =0

теоремою Вієта маємо:

+ ��2 =7, ��1 ��2 = 18 ⇔ ��1 =9, ��2 = 2. Тобто

теоремою Вієта

��1 =5, ��2 = 2, ��≠ 3.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�(��− 2)(�� +2) =3�� , ��≠ 0,

�� +2 ≠ 0; �� 2 4=3�� , ��≠ 0, ��≠−2; �� 2 3��− 4=0.

теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =3, ��1 ��2 = 4 ⇔ ��1 =4, ��2 = 1.

Маємо: ��1 =4, ��2 = 1, ��≠ 0, ��≠−2.

��. 3��− 1 �� +3 = �� +1 ;

(3��− 1)(�� +1)= �� (�� +3), �� +3 ≠ 0, �� +1 ≠ 0;

3�� 2 +3��−��− 1= �� 2 +3�� , ��≠−3, ��≠−1; 2�� 2 −��− 1=0; D=12 − 4·2·(−1)=1+8=9=32 ;D>0; ��1 = 1+3 4 =1; ��2 = 1 3 4 = − 1 2 .

Маємо: ��1 =1, ��2 = 1 2 , ��≠−1, ��≠−3. ��. 3 4 −�� = �� ; �3= �� (4 −�� ), 4 −��≠ 0; �4��−�� 2 3=0, ��≠ 4; �� 2 4�� +3=0, ��≠ 4; �� 2 4�� +3=0.

теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = 4, ��1 ��2 =3 ⇔ ��1 =3, ��2 =1.

Тобто ��1 =3, ��2 =1, ��≠ 4. ��. 6 �� =2��− 1;

6=(2��− 1)�� , �2�� 2 −��− 6=0, ��≠ 0; 2�� 2 −��− 6=0; D=( 1)2 4·2·( 6)= 49 =72 ;D>0; ��1 = 1+7 4 = 8 4 =2; ��2 = 1 7 4 = − 6 4 = −1,5. ��1=−1,5, ��≠ 0.

Маємо: ��2=2,

Відповідь:

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. 4; 1; 2. 1; 1 2; 3. 3;1; 4. 1,5;2. 25.11. Розв’яжіть рівняння,

1. �� 3 4�� =0; �� (�� 2 4) =0;

=0, �� 2 4=0; ��1 =0, �� 2 =4; ��1 =0, ��2 =2, ��3 = 2;

2. �� 3 +9�� =0; �� (�� 2 +9) =0; �� =0 або �� 2 +9=0; �� 2 ≠−9; коренів немає, тобто �� =0 – єдиний корінь рівняння.

3. 4�� 4 −�� 2 =0; �� 2 (4�� 2 1) =0;

2 =0, 4�� 2 1=0; ��1 =0, �� 2 = 1 4 ; ��1 =0, ��2 = 1 2 , ��3 = 1 2 ;

4. �� 3 + �� 2 6�� =0; �� (�� 2 + ��− 6) =0;

=0, �� 2 + ��− 6=0; �� 2 + ��− 6=0.

теоремою

=0, ��2 = 3, ��3 =2. Відповідь: 1. 0 ; ±2; 2 0 ; 3 0 ; ± 1 2; 4 –3 ; 0;2 25.12.

1. �� 3 9�� =0; �� (�� 2 9) =0;

=0 �� 2 9=0; ��1 =0, �� 2 =9; тобто ��1 =0, ��2

=0, ��2 = 4, ��3 =3.

Відповідь: 1. 0;±3;2.0; 3. 0;± 1 4 ; 4. 4; 0;3.

25.13. Розв’яжіть рівняння:

�� 20 �� 20 �� +1 =1; 20(�� +1) − 20�� (�� +1) =1;

20�� + 20 − 20�� = �� (�� +1),

��≠ 0,

�� +1 ≠ 0;

2 + ��− 20 =0,

��≠ 0,

��≠−1;

�� 2 + ��− 20 =0. За теоремою Вієта маємо:

+ ��2 = −1, ��1 ��2 = −20 ⇔ ��1 = 5, ��2 =4, тобто

= 5,

��2 =4,

��≠ 0, ��≠−1;

��. 2 �� 1 ��− 2 =1; 2(��− 2) + �� (��− 2) =1; �2��− 4+ �� = �� (��− 2),

��≠ 0,

��− 2 ≠ 0; �� 2 2��− 3�� +4=0, ��≠ 0, ��≠ 2; �� 2 5�� +4=0. За теоремою

+ ��2 =5, ��1 ��2 =4 ⇔ ��1 =4, ��2 =1, тобто

=4, ��2 =1, ��≠ 0, ��≠ 2. Відповідь: 1. –5; 4; 2. –4; 3.

Розв’яжіть рівняння: ��. 12 �� 12 �� +1 =1; 12(�� +1) 12�� (�� +1) =1;

12�� + 12 12�� = �� 2 + �� , ��≠ 0, ��≠−1;

2 + ��− 12 =0, ��≠ 0, ��≠−1; �� 2 + ��− 12 =0.

+ ��2 = 1, ��1 ��2 = 12 ⇔ ��1 = 4, ��2 =3, тобто ��1 = 4, ��2 =3, ��≠ 0, ��≠−1; ��. 3 �� + 1 ��− 4 =1; 3(��− 4)+ �� (��− 4) =1;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�3��− 12 + �� = �� 2 4�� , ��≠ 0, ��≠ 4; �� 2 8�� + 12 =0, ��≠ 0, ��≠ 4; �� 2 8�� + 12 =0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =8, ��1 ��2 = 12 ⇔ ��1 =6, ��2 =2, тобто ��1 =6, ��2 =2, ��≠ 0, ��≠ 4.

Відповідь: 1. 1; 4; 2. 2; 6. 25.15. Розв’яжіть рівняння: ��. �� 4 10�� 2 +9 �� +3 =0; �� 4 10�� +9=0, �� +3 ≠ 0, ��≠ 3; �� 4 − 10�� 2 +9=0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥. �� 2 10�� +9=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 = 10, ��1 ��2 =9, звідки ��1 =9, ��2 =1.

Обернена заміна: �� 2 =9, �� 2 =1 ⇔�� =±3, ��≠ ±1.

Отже,

,2 =±3, ��3,4 =±1, корені рівняння: ��≠−3.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

��1 + ��2 = −5, ��1 ��2 = 14, звідки: ��1 = 7, ��2 =2.

Отже, ��1 = 7, ��2 =2, ��≠ ±2.

Корінь рівняння �� = −7. ��. 4�� +2 1+2�� =6�� +5; �(4�� +2) = (6�� +5)(1+2�� ), 1+2��≠ 0;

4�� +2=6�� + 12�� 2 +5+ 10��, ��≠ 1 2 ;

12�� 2 + 12�� +3=0, ��≠ 1 2 . 12�� 2 + 12�� +3=0 ∣:3;4�� 2 +4�� +1=0; (2�� +1)2 =0;2�� +1=0; �� = 1 2 .

Отже, �� = 1 2 , ��≠− 1 2 .

Коренів немає.

Відповідь: 1. 3;±1; ��≠−3; 2. 6; ��≠ 1 3; 3. 7; ��≠ ±2; 4. коренів немає.

25.16. Розв’яжіть рівняння:

4 + �� 2 2=0 Заміна: �� 2 = �� , ��≥.

�� 2 + ��− 2=0.

теоремою

заміна: �� 2 =1, то ��1 =1, ��2 = 1. Отже, ��1 =1, ��2 = −1, ��≠−1.

. 6�� 2 +7��− 5 1 − 2�� =4; �6�� 2 +7��− 5=4(1 2�� ), 1 2��≠ 0;

6�� 2 +7��− 5=4 8�� ,

1 2 ; �6�� 2 + 15��− 9=0, ��≠ 1 2 ;

�� 2 + 15��− 9=0; D= 152 4·6·( 9)= 225 + 216 = 441 = 212 ; D>0;

= 15 + 21 12 = 6 12 = 1 2 ; ��2 = 15 21 12 = 36 12 = −3. Отже,

= 1 2 , ��2 = −3, Корінь рівняння: �� = −3.

3�� 2 10�� +3=2�� 2 18,

��≠ ±3;

2 10�� + 21 =0, ��≠ ±3; �� 2 10�� + 21 =0. За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = 10, ��1 ��2 = 21, звідки ��1 =7, ��2 =3, ��2 =3 не задовольняє умові.

Отже, корінь рівняння �� =7. ��. 8�� +2

1+4�� = 12�� +5; �8�� +2=(12�� +5)(1+4�� ),

1+4��≠ 0; �8�� +2= 12�� + 48�� 2 +5+ 20�� , ��≠− 1 4 ;

48�� 2 + 24�� +3=0, ��≠− 1 4 ; �:3 �16�� 2 +8�� +1=0, ��≠− 1 4 ; �(4�� +1)2 =0, ��≠− 1 4 ; 4�� +1=0; �� = 1 4 .

Коренів немає. Відповідь:

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. 1; ��≠−1;2. 3; ��≠ 1 2 ; 3.7; ��≠ ±3; 4. коренів немає. 25.17. Розв’яжіть рівняння:

��. �� +7 �� +2 + ��− 4 ��− 2 =1; (�� +7)(��− 2) + (��− 4)(�� +2) (�� +2)(��− 2) (�� +2)(��− 2) =0;

2 2�� +7��− 14 + �� 2 +2��− 4��− 8 −�� 2 +4=0, �� +2 ≠ 0, ��− 2 ≠ 0;

2 +3��− 18 =0, ��≠ ±2; �� 2 +3��− 18 =0;

теоремою Вієта маємо:

+ ��2 = −3, ��1

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

+ ��2 =2, ��1 ��2 = 15, звідки ��1 =5, ��2 = 3.

Отже, ��1 =5, ��2 = −3, Корінь рівняння: �� = −3. ��≠ ±5.

��. 2�� +2 ��− 3 18 �� 2 9 = �� +6 �� +3 ; 2�� +2 ��− 3 18 (��− 3)(�� +3) �� +6 �� +3 =0; (2�� +2)(�� +3) − 18 − (�� +6)(��− 3) (��− 3)(�� +3) =0;

2�� 2 +6�� +2�� +6 18 −�� 2 +3��− 6�� + 18 =0, ��− 3 ≠ 0, �� +3 ≠ 0;

2 +5�� +6=0, ��≠ 3, ��≠−3; �� 2 +5�� +6=0. За теоремою Вієта маемо: ��1 + ��2 = 5, ��1 ��2 =6, звідки ��1 = 3, ��2 = 2.

Отже, ��1 = 3, ��2 = 2, Корінь рівняння: �� = 2. ��≠ ±3. Відповідь: 1. 6;3; ��≠ ±2; 2. 1 2 3 ; 2; ��≠ ± 2 3 ; 3. −3; ��≠ ±5; 4. 2; ��≠ ±3.

25.18. Розв’яжіть рівняння: ��. 3�� +9 �� +1 + ��− 6 ��− 1 =3; (3�� +9)(��− 1) + (��− 6)(�� +1) 3(�� +1)(��− 1) (�� +1)(��− 1) =0; �3�� 2 3�� +9��− 9+ �� 2 + ��− 6��− 6 3�� 2 +3=0, �� +1 ≠ 0, ��− 1 ≠ 0; �� 2 + ��− 12 =0, ��≠−1, ��≠ 1; �� 2 + ��− 12 =0 За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = −1, ��1 ��2 = −12.

Отже, ��1 = 4, ��2 =3.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Звідки ��1 = 4, ��2 =3, ��≠ ±1.

Відповідь: 4;3; ��≠ ±1.

��. 2�� +8 �� +5 + 10 �� 2 25 = ��− 4 ��− 5 ; 2�� +8

�� +5 + 10 (��− 5)(�� +5) = ��− 4 ��− 5 ; (2�� +8)(��− 5)+ 10 (��− 5)(�� +5) = (��− 4)(�� +5) (�� +5)(�� +5) ;

2�� 2 10�� +8��− 40 + 10 = �� 2 +5��− 4��− 20, ��− 5 ≠ 0, �� +5 ≠ 0;

2 3��− 10 =0, ��≠ 5, ��≠−5; �� 2 3��− 10 =0.

теоремою Вієта маємо:

+ ��2 =3, ��1 ��2 = 10

��1 =5, ��2 = 2. Отже,

=5, ��2 = 2, ��≠ 5, ��≠−5.

рівняння

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

. 6 �� 2 9 4 �� 2 +6�� +9 = 1 ��− 3 ; 6

(��− 3)(�� +3) 4 (�� +3)2 = 1 ��− 3 ;

6(�� +3) 4(��− 3)

(�� +3)2 (��− 3) = (�� +3)2 (�� +3)2 (��− 3) ;

6�� + 18 4�� + 12 = �� 2 +6�� +9,

�� +3 ≠ 0,

��− 3 ≠ 0;

2 +4��− 21 =0,

��≠−3,

��≠ 3;

�� 2 +4��− 21 =0.

теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 = 4,

��1 ��2 = 21, звідки ��1 = 7, ��2 =3.

Отже, ��1 = 7, ��2 =3, ��≠ 3, ��≠−3.

Корінь рівняння �� = 7

Відповідь: –7 .

��. 6 �� 2 − 36 3 �� 2 +6�� = �� + 12 �� 2 − 6�� ; 6 (��− 6)(�� +6) 3 �� (�� +6) = �� + 12 �� (��− 6) ;

6��− 3(��− 6)

�� (��− 6)(�� +6) = (�� + 12)(�� +6) �� (��− 6)(�� +6) ; �6��− 3�� + 18 = �� 2 +6�� + 12�� + 72,

��≠ 0,

��− 6 ≠ 0,

�� +6 ≠ 0;

2 + 15�� + 54 =0,

��≠ 0,

��≠ 6,

��≠−6;

=9, ��2 = 6,

0,

6,

6; �� 2 + 15�� + 54 =0

теоремою Вієта: ��1 + ��2 = 15, ��1 ��2 = 54 ⇔ ��1 = 9, ��2 = 6.

корінь рівняння �� = −9.

9; ��≠ 0; ��≠ ±6.

що �� 2 2��− 3=(��− 3)(�� +1)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

+ ��2 =2, ��1 ��2 = 3, звідки ��1 =3, ��2 = 1.

Тобто:

3�� +2

�� +1 + �� +4 ��− 3 = 3�� 2 +1 (��− 3)(�� +1) ; (�� +1)(��− 3)+(�� +4)(�� +1) (�� +1)(��− 3) = 3�� 2 +1 (��− 3)(�� +1) ;

3�� 2 9�� +2��− 6+ �� 2 + �� +4�� +4=3�� 2 +1,

�� +1 ≠ 0,

��− 3 ≠ 0; �� 2 2��− 3=0,

��≠−1,

��≠ 3;

�� 2 2��− 3=0.

теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =2, ��1 =3, ��1 ��2 = −3, ��2 = −1 Не задовольняють умові.

розв'язків немає. 25.20. Розв’яжіть рівняння:

��≠ 0, ��≠ 2,

��≠−2;

5�� 2 +7�� + 90 =0,

��≠ 0, ��≠ 2,

��≠−2;

3

(��− 2)

2 + 4 (��− 2)(�� +2) + 1 �� +2 =0;

3(�� +2)+4(��− 2)+(��− 2)2 (��− 2)2 (�� +2) =0;

3�� +6+4��− 8+ �� 2 4�� +4=0,

��− 2 ≠ 0,

�� +2 ≠ 0;

2 +3�� +2=0,

��≠ 2,

��≠−2;

�� 2 +3�� +2=0.

За

теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 = 3,

��1 ��2 =2; звідки ��1 = 2, ��2 = 1

��1 = 2 – не задовольняє умові.

Відповідь: 1; ��≠ ±2

��. 5 �� 2 + 10�� + �� + 20 �� 2 10�� = 10 �� 2 100 ; 5

�� (�� + 10) + �� + 20 �� (��− 10) = 10 (��− 10)(�� + 10) ;

5(��− 10)+(�� + 20)(�� + 10) �� (�� + 10)(��− 10) = 10�� (��− 10)(�� + 10) ;

5��− 50 + �� 2 + 10�� + 20�� + 200 �� (�� + 10)(��− 10) = 10�� (��− 10)(�� + 10) ;

2 + 35�� + 150 =0,

��≠ 0,

�� + 10 ≠ 0,

��− 10 ≠ 0; �� 2 + 25�� + 150 =0, ��≠ 0, ��≠ 10, ��≠−10;

�� 2 + 25�� + 150 =0

За теоремою Вієта: ��1 + ��2 = 25, ��1 ��2 = 150 ⇔ ��1 = 15, ��2 = 10; ��2 = 10 – не задовольняє умові.

рівняння �� = 15

−15; ��≠ 0; ��≠ ±10. ��. 2�� +7 �� +4 ��− 2 ��− 1 = 5 �� 2 +3��− 4 .

що: �� 2 +3��− 4=(�� +4)(��− 1). �� 2 +3��− 4=0.

теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = −3, ��1 ��2 = 4 ⇔ ��1 = −4, ��2 =1. Маємо: 2�� +7 �� +4 − ��− 2 ��− 1 = 5 (�� +4)(��− 1) ;

+7)(

(

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2 +3�� +1=5, �� +4 ≠ 0, ��− 1 ≠ 0; �� 2 +3��− 4=5, ��≠−4, ��≠ 1; �� 2 +3��− 4=0; ��1 = −4, ��2 =1 � –

)(�� +2) = 6�� (1 −�� )(�� +2) ; −�� 2 +7�� + 12 (1 −�� )(�� +2) = 6�� (1 −�� )(�� +2) ;

2 +7�� + 12 =6�� , 1 −��≠ 0, �� +2 ≠ 0;

2 + �� + 12 =0, ��≠ 1, ��≠−2;

2 −��− 12 =0, ��≠ 1, ��≠−2; �� 2 −��− 12 =0. За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =1, ��1 ��2 = 12 ⇒ ��1 =4, ��2 = 3. Відповідь: 4; 3; ��≠ 1; ��≠−2 ��. 2 ��− 3 + 6 �� +3 = 2 ��− 3 : 6 �� +3 ; 2(�� +3)+6(��− 3) (��− 3)(�� +3) = 2(�� +3) (��− 3) ⋅ 6 ; 2�� +6+6��− 18 (��− 3)(�� +3) = (�� +3) 3(��− 3) ; 8��− 12 (��− 3)(�� +3) = (�� +3) 3(��− 3) ; 4(2��− 3) (��− 3)(�� +3) = (�� +3) 3(��− 3) ; 4(2��− 3) �� +3 = �� +3 3 ;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�12(2��− 3)=(�� +3)2 , ��≠ ±3; 24��− 36 = �� 2 +6�� +9; �� 2 18�� + 45 =0; ��1 + ��2 = 18, ��1 ��2 = 45; ��1 = 15, ��2 =3; �� =3 – не задовольняє умові. Відповідь: 15; ��≠ 3. 25.22. Розв’яжіть рівняння, розклавши

1. �� 3 2�� 2 9�� + 18 =0; �� 2 (��− 2) 9(��− 2) =0; (��− 2)(�� 2 9) =0; (��− 2)(��− 3)(�� +3) =0;

2=0, ��− 3=0, �� +3=0; ��1 =2, ��2 =3, ��3 = 3; 2. 3�� 2 +3�� 2 4��− 4=0; 3�� 2 (�� +1) − 4(�� +1) =0; (�� +1)(3�� 2 − 4) =0; (�� +2)�√3��− 2��√3�� +2� =0; ⎩

⎪ ⎧ �� +1=0, √3��− 2=0, √3�� +2=0; ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧��1 = 1, ��2 = 2 √3 , ��3 = 2 √3 ; ; ⎩

⎨ ⎪ ⎧��1 = 1, ��2 = 2

3 3 , ��3 = 2√3 3 . Відповідь: 1. −3;2;3; 2. 2√3 3 ; 1; 2√3 3 .

25.23. Розв’яжіть рівняння, розклавши

1. �� 3 −�� 2 4�� +4=0; �� 2 (��− 1) 4(��− 1) =0; (��− 1)(�� 2 4) =0; ��− 1=0 aбо �� 2 4=0; ��1 =1. �� 2 =4; ��2 =2; ��3 = 2. 2. 4�� 3 +8�� 2 − 3��− 6=0; 4�� 2 (�� +2) 3(�� +2) =0; (�� +2)(4�� 2 3) =0; �� +2=0 або 4�� 2 3=0; ��1 = 2. �� 2 = 3 4 ��2,3 =± √3 2 .

Відповідь: 1. 1;2; 2;2. 2;± √3 2

25.24. Розв’яжіть рівняння:

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. (�� 2 +3)2 3(�� 2 +3) 4=0.

Заміна: �� 2 +3= �� .

Маємо: �� 2 3��− 4=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =3, ��1 ��2 = 4; звідки ��1 =4, ��2 = 1.

Обернена заміна: �� 2 +3=4, �� 2 +3= 1 ⇔ �� 2 =1, �� 2 = 4; �� 2 =1; ��1 =1, ��2 = −1; �� 2 = 4 – коренів немає.

2. (�� 2 −�� )2 +2(�� 2 −�� ) 8=0

Заміна: �� 2 −�� = �� .

Маємо: �� 2 +2��− 8=0.

За теоремою Вієта маємо:

+ ��2 = 2, ��1 ��2 = 8. Звідки ��1 = 4, ��2 =2.

Обернена заміна:

�� 2 −�� = 4, �� 2 −�� =2; �� 2 −�� +4=0, �� 2 −��− 2=0; �� 2 −�� +4=0;D=1 4·4= 15; D<0;

коренів немає;

�� 2 −��− 2=0; ��1 + ��2 =1, ��1 =2, ��1 ��2 = 2; ��2 = 1.

Відповідь: 1) ±1; 2) 2; –1.

25.25. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� 2 +2)2 2(�� 2 +2) 3=0

Заміна: �� 2 +2= �� .

Маємо: �� 2 2��− 3=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =2, ��1 ��2 = 3 ⇔ ��1 =3, ��2 = 1.

Обернена заміна: �� 2 +2=3, �� 2 +2= 1 ⇔ �� 2 =1, �� 2 = −3; �� 2 =1; ��1 =1; ��2 = 1; �� 2 = 3 коренів не має.

2. (�� 2 + �� )2 5(�� 2 + �� ) 6=0.

Заміна: �� 2 + �� = �� .

Маємо: �� 2 5��− 6=0

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =5, ��1 ��2 = 6. Звідки ��1 =6, ��2 = −1.

Обернена заміна: � �� 2 + �� =6, �� 2 + �� = −1; � �� 2 + ��− 6=0, �� 2 + �� +1=0;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�� 2 + ��− 6=0; ��1 + ��2 = 1, ��1 ��2 = 6 ⇒ ��1 = 3, ��2 =2; �� 2 + �� +1=0;D=1 4·1= 3; D<0;

коренів немає.

Відповідь: 1.±1;2 3;2

25.26. Знайдіть корені рівняння: ��. 1 2(�� 2 +3) 1 3(�� +4) = 1 �� 3 +4�� 2 +3�� + 12 .

Врахуємо, що �� 3 +4�� 2 +3�� + 12 = �� 2 (�� +4) +3(�� +4) = (�� +4)(�� 2 +3).

Маємо: 1 2(�� 2 +3) 1 3(�� +4) = 1 (�� +4)(�� 2 +3) ; 3(�� +4) 2(�� 2 +3) 6(�� 2 +3)(�� +4) = 6 6(�� +4)(�� 2 +3) ; �3�� + 12 2�� 2 6=6, �� 2 +3 ≠ 0, �� +4 ≠ 0; �2�� 2 3�� =0, �� 2 ≠−3, ��≠−4; �� (2��− 3)=0; ��1 =0; ��2 =1,5; ��≠−4.

Відповідь: 1) 0;1,5; ��≠−4.

що �� 2 +3�� +2=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 = 3, ��1 ��2 =2 ⇒ ��1 = 2, ��2 = 1.

�� 2 +3�� +2=(�� +2)(�� +1); �� 3 +2�� 2 −��− 2= �� 2 (�� +2) (�� +2)=(�� +2)(�� 2

2 +4��− 31 =0, x ≠ 1,

2, ��≠−1;

2 +4��− 31 =0; D=42 4· ( 31) = 16 + 124 = 140;D>0;

,2 = 4± √140 2 = 4±2√35 2 = 2± √35.

Відповідь: 2. 2± √35.

25.27. Розв’яжіть рівняння: 1 ��− 3 14 �� 3 −�� 2 9�� +9 = 1 �� 2 +2��− 3 Спростимо знаменник другого і третього дробу, тобто: �� 3 −�� 2 9�� +9= �� 2 (��− 1) 9(��− 1)=(��− 1)(�� 2 9) =(��− 1)(��− 3)· (�� +3); �� 2 +2��− 3=(�� +3)(��− 1). Маємо: 1 ��− 3 14 (��− 1)(��− 3)(�� +3) = 1 (�� +3)(��− 1) ; (��− 1)(�� +3) − 14 (��− 1)(��− 3)(�� +3) = ��− 3 (��− 3)(�� +3)(��− 1) ;

2 +3��−��− 3 14 = ��− 3,

1,

3, ��≠−3; �� 2 + ��− 14 =0;D=1+4· 14 = 57;D>0; ��1,2 = −1±√57 2 .

−1±√57 2 25.28. Розв’яжіть рівняння:

1. �� 5 + �� 4 6�� 3 6�� 2 +5�� +5=0; (�� 5 + �� 4 ) (6�� 3 +6�� 2 ) +(5�� +5)=0; �� 4 (�� +1) 6�� 2 (�� +1)+5(�� +1)=0; (�� +1)(�� 4 6�� 2 +5) =0; �� +1=0, �� 4 6�� 2 +5=0; �� = 1, �� 4 6�� 2 +5=0;

�� 4 − 6�� 2 +5=0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0.

�� 2 6�� +5=0

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =6, ��1 ��2 =5, звідки ��1 =5, ��2 =1.

Обернена заміна: �� 2 =5, �� 2 =1; ��1,2 =±√5, ��3,4 =±1.

Відповідь: ±√5;±1.

2. �� 3 +2�� 2 2��− 1=0 (�� 3 − 1) + (2�� 2 − 2�� ) =0; (��− 1)(�� 2 + �� +1) +2�� (��− 1) =0; (��− 1)(�� 2 + �� +1+2�� ) =0; (��− 1)(�� 2 +3�� +1) =0; � ��− 1=0, �� 2 +3�� +1=0; � �� =1, �� 2 +3�� +1=0; �� 2 +3�� +1=0;D=32 − 4·1=9 − 4=5;D>0;

��1 = 3+ √5 2 ; ��2 = 3 √5 2 .

Отже, � ��1 =1, ��2,3 = 3± √5 2 .

Відповідь: 1; −3±√5 2

25.29. Знайдіть корені рівняння:

1. �� 5 −�� 4 2�� 3 +2�� 2 3�� +3=0; �� 4 (��− 1) 2�� 2 (��− 1) 3(��− 1)=0; (��− 1)(�� 4 − 2�� 2 − 3) =0;

1=0, �� 4 2�� 2 3=0 ⇔ �� =1, �� 4 2�� 2 3=0; �� 4 2�� 2 3=0.

Заміна: �� 2 = �� , ��≥ 0. За теоремою Вієта маємо:

+ ��2 =2, ��1 ��2 = −3, звідки ��1 =3, ��2 = −1, ��1 = 1 – не задовольняє умові, ��≥ 0.

Обернена заміна: �� 2 =3; �� =±√3.

Отже, �� =1, �� =±√3.

Відповідь: 1;±√3. 2. �� 3 3�� 2 6�� +8=0; (�� 3 +8) − 3�� (�� +2)=0; (�� +2)(�� 2 2�� +4) 3�� (�� +2)=0; (�� +2)(�� 2 2�� +4 3�� ) =0; � �� +2=0; �� 2 − 5�� +4=0; � �� = 2; �� 2 − 5�� +4=0; �� 2 5�� +4=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =5, ��1 ��2 =4, звідки ��1 =4, ��2 =1.

Отже, ��1 = 2, ��2 =4, ��3 =1.

Відповідь: –2; 1; 4.

25.30. Розв’яжіть рівняння: 1. ��− √�� − 6=0.

Заміна: √�� = �� , ��≥ 0

Маємо: �� 2 −��− 6=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =1, ��1 ��2 = 6, звідки ��1 =3, ��2 = 2;

= −2 –

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

.

заміна: √�� =3; �� =9

2. (�� 2 +2��− 2)(�� 2 +2��− 4) =8.

Заміна: �� 2 +2��− 2= �� .

Маємо: �� (��− 2) =8; �� 2 2��− 8=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =2, ��1 ��2 = −8, звідки ��1 =4, ��2 = −2.

Обернена заміна: � �� 2 +2��− 2=4, �� 2 +2��− 2= 2; �� 2 +2��− 6=0, �� 2 +2�� =0;

�� 2 +2��− 6=0; �� =1+6=7;

��1 = 1+ √7; ��2 = 1 √7;

�� 2 +2�� =0; �� (�� +2) =0; ��1 =0 або ��2 = 2.

Відповідь: 1. 9; 2. –1 ± √7; 2;0.

3. (��− 2)4 2(��− 2)2 3=0

Заміна: (��− 2)2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 2��− 3=0.

За теоремою Вієта маємо: ��1 + ��2 =2,

��1 ��2 = 3, звідки ��1 =3, ��2 = 1,

��2 = 1 не задовольняє умові, t ≥ 0.

Обернена заміна: (��− 2)2 =3, тобто

��− 2= √3, ��− 2= √3; �� =2+ √3, �� =2 √3; ��. (�� 2 + �� +1)2 8�� 2 8��− 1=0; (�� 2 + �� +1)2 8(�� 2 + �� +1) +8 1=0; (�� 2 + �� +1)2 8(�� 2 + �� +1) +7=0. Заміна: �� 2 + �� +1= �� , ��≥ 0. Маємо: �� 2 8�� +7=0.

теоремою Вієта маємо:

+ ��2 =8, ��1 ��2 =7, звідки ��1 =7, ��2 =1.

заміна: �� 2 + �� +1=7, �� 2 + �� +1=1; �� 2 + ��− 6=0, �� 2 + �� =0; �� 2 + ��− 6=0; ��1 + ��2 = 1, ��1 ��2 = 6; звідки ��1 = 3, ��2 =2, �� 2 + �� =0; �� (�� +1)=0; �� =0 або �� = 1. Відповідь: 3. 2± √3;4. −3; −1;0;2. 25.31. Розв’яжіть рівняння: 1. �� +2√�� 8=0

Заміна: √�� = �� , ��≥ 0.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Маємо: �� 2 +2��− 8=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 = 2, ��1 ��2 = 8, звідки: ��1 = 4, ��2 =2; �� = 4 – не задовольняє умові, ��≥ 0.

Обернена заміна: √�� =2; �� =4.

2. (�� 2 2��− 1)(�� 2 2��− 3) =3

Заміна: �� 2 − 2��− 1= ��, ��≥ 0.

Маємо: �� (��− 2)=3; �� 2 2��− 3=0.

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =2, ��1 ��2 = 3, звідки: ��1 =3, ��2 = 1.

Обернена заміна: � �� 2 2��− 1=3, �� 2 2��− 1= 1; �� 2 2��− 4=0, �� 2 2�� =0; �� 2 2��− 4=0; �� =1+4=5; �� >0;

��1 =1+ √5; ��2 =1 √5; �� 2 2�� =0;x(��− 2)=0; �� =0 або �� =2.

Відповідь: 1. 4;2.1± √5;0;2.

3. (�� +1)2 − 4(�� +1)2 =0.

Заміна: (�� +1)2 = �� , ��≥ 0.

Маємо: �� 2 5��− 6=0

За теоремою Вієта маємо:

��1 + ��2 =5, ��1 ��2 = 6, звідки: ��1 =6, ��2 = −1. �� = 1 – не задовольняє умові, ��≥ 0

Обернена заміна: (�� +1)2 =6; � �� +1= √6 �� +1= √6 ; � ��1 = √6 1, ��2 = √6 1.

Відповідь: √6 1; √6 1. 4. (�� 2 −��− 1)2 4�� 2 +4

�� 2 −��− 1= �� , ��≥ 0.

�� 2 4��− 5=0.

+ ��2 =4, ��1 ��2 = 5,

��1 =5 ��2 = 1 Обернена заміна: � �� 2 −��− 1=5, �� 2 −��− 1= 1; �� 2 −��− 6=0, �� 2 −�� =0; �� 2 −��− 6=0.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

+ ��2 =1, ��1 ��2 = 6; звідки ��1 =3, ��2 = 2; �� 2 −�� =0; �� (��− 1)=0; �� =0 або �� =1. Відповідь: 2;3;1;0.

знайдемо �� і �� . Маємо: �3 ⋅ ( 7)2 + ��⋅ ( 7)+ �� =0, 3 ⋅ �2 3�2 + ��⋅ 2 3 + �� =0;

7�� + 147 + �� =0, 3 ⋅ 4 9 + 2 3 �� + �� =0; �� =7��− 147, 4 3 + 2 3 �� +7��− 147 =0;

4+2�� + 21��− 441 =0; 23�� = 437; �� = 437: 23; �� = 19.

То �� =7· 19 147 = 133 147 = 14.

Маємо квадратний тричлен:

3�� 2 + 19��− 14 =3(�� +7) ��− 2 3� .

Відповідь: 3(�� +7) ��− 2 3�.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3�� +3(�� +4)=

Відповідь: 12 км/год; 16 км/год. 25.36.

щомісяця, з якої утримували

12

25.37.

1 �� + 1 �� +2 = 5 12 ;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

5�� 2 + 10�� = 24�� + 24;

5�� 2 + 10��− 24��− 24 =0; 5�� 2 14��− 24 =0;

+2=4+2=6.

4 і 6.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Отже, �� = 10, ��− 1=9.

9 10

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(�� + 10) = 4200, ��≠ 0, ��≠−10;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

�� 2 + 10�� + 4200 =0. D= 102 − 4·1· (−4200) = 100 + 16800 = 16900; ��1 = 10 + 130 2 = 120 2 = 60;

��2 = 10 130 2 <0

(умові задачі не задовольняє); �� + 10 = 60 + 10 = 70 Відповідь: 60 км/год; 70 км/год.

26.7. Щоб ліквідувати

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

120 �� +1+ 200 ��− 10 =7; 120 �� + 200 ��− 10 =6;

120(��− 10)+ 200��

�� (��− 10) = 6 1 ;

120��− 1200 + 200��

�� (��− 10) = 6 1 ; 320��− 1200 �� (��− 10) = 6 1 ;

6�� (��− 10)= 320��− 1200, ��≠ 0, ��≠ 10;

6�� 2 60��− 320�� + 1200 =0 ∣:2; 3�� 2 190�� + 600 =0;

D=( 190)2 4·3· 600 = 36100 7200 = 28900 = 1702 ;

��1 = 190 + 170

2 ⋅ 3 = 360 6 = 60;

��2 = 190 170

2 ⋅ 3 = 20 6 = 10 3 =3 1 3 ; (не задовольняє умові задачі). Відповідь: 60 км/год.

26.10. Човен,

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Проти течії річки ��− 2 18 18 �� − 2

40 �� + 18 ��− 2 =3; 40(��− 2) + 18�� (��− 2) = 3 1 ;

40��− 80 + 18�� (��− 2) = 3 1 ;

3�� (��− 2) = 58��− 80;

3�� 2 6��− 58�� + 80 =0;3�� 2 64�� + 80 =0; D=( 64)2 4·3· 80 = 4096 960 = 3136;

��1 = 64 + 56 6 = 120 6 = 20;

��2 = 64 56 6 = 8 6 = 4 3 =1 1 3 (не задовольняє умові задачі). Відповідь: 20 км/год.

26.15. Дві бригади працівників

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

26.24.

(�� +7)2 =6; �� +7=±√6; �� = 7± √6.

Відповідь: 7± √6

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Для плитки 30 × 30:

1) 30 · 30 = 900 см2 — площа однієї плитки;

2) 90000 : 900 = 100 — кількість плиток;

3) 100 : 11 ≈ 9,09 ≈ 10 — кількість пачок;

4) 10 · 280 = 2800 грн — вартість.

Відповідь: найменша вартість 2700 грн, плитка 20 × 20.

26.27. Побудуйте графік функції �� = �� 2 +2�� |�� | − 2= ⎩ ⎨

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2�� 2 +3�� +5=0 ∣⋅ ( 1); 2�� 2 − 3�� +5=0; D=( 3)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)= 49 =72 ,D>0; ��1 = 3+7 2 ⋅ 10 4 =2,5; ��1 = 3 7 4 = 1.

Відповідь: А

5. Розв’яжіть рівняння ��² �� – 7 = 49 �� – 7 . �� 2 ��− 7 = 49 ��− 7 ; �� 2 = 49 ��− 7 ≠ 0; ��1 =7, ��2 = 7 ��≠ 7.

Корінь: –7 .

Відповідь: В.

6. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 – 3x = 0, розклавши

�� 3 +2�� 2 3�� =0; �� (�� 2 +2��− 3) =0; �� =0,

2 +2��− 3=0.

+ ��2 = 2, ��1 ��2 = 3. Отже, ��1 = 3, ��2 =1.

Корені: 0; –3; 1.

Відповідь: Г.

7. Скоротіть дріб

Б.

1

Б.

A.

�� 3 +3�� 2 6��− 8=0; (�� 3 8) + (3�� 2 6�� ) =0; (��− 2)(�� 2 +2�� +4) +3�� (��− 2) =0; (��− 2)(�� 2 +2�� +4+3�� ) =0; (��− 2)(�� 2 +5�� +4) =0; (��− 2)(�� +4)(�� +1)=0.

Отже, ��− 2=0, �� +4=0, �� +1=0 ⇒ ��1 =2, ��2 = 4, ��3 = 1. Відповідь: Б. 12.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3 год 18 хв =3 18 60 =3 3 10 = 33 10 год.

3(��− 2) 24 �� +2 + 3(��− 2) 24 ��− 2 = 33 10 ; (3(��− 2) 24) � 1 ��− 2 + 1 �� +2� = 33 10 ; (3(��− 2) 24) ⋅ �� +2+ ��− 2 (��− 2)(�� +2) = 33 10 ; (3��− 6 24) ⋅ 2�� 2 4 = 33 10 ; (3��− 30) ⋅ 2�� 2 − 4 = 33 10 ; (��− 10) ⋅ 2�� 2 4 = 11 10 ; 20�� (��− 10) = 11(�� 2 4); �20�� 2 20�� = 11�� 2 44, ��≠ ±2; 9�� 2 200�� + 44 =0; D= 40000 4 ⋅ 9 ⋅ 44 = 40000 1584 =

задовольняє умові

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

(�� +6)(��− 3)(�� +3)=0;

��1 = 6, ��2 =3, ��3 = 3. (Г.)

��. (�� 2 2)2 4(�� 2 2) 21 =0;

�� 2 2= �� ;

�� 2 4��− 21 =0;

�� =( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 21)= 100, √�� = 10;

��1 =7, ��2 = 3;

�� 2 − 2=7;

�� 2 =9, �� =±3;

�� 2 2= 3;

�� 2 = 1 - немає дійсних коренів;

��1 =3, ��2 = 3. (А.)

Відповідь: 1 — Б; 2 — Г; 3 — А.

1), 4) – квадратні тричлени. 2.

2�� 2 +5��− 2= 2(��− 2) ��− 1 2� =(��− 2)(1 2�� ).

1. �� 4 +3�� 2 4=0

�� 2 = �� , де ��≥ 0, тоді �� 4 = �� 2 .

Маємо �� 2 +3��− 4=0; D=32 4( 4) = 25; ��1 = 3+5 2 =1; ��2 = 3 5 2 = 4 – не задовольняє умову задачі ��≥ 0. �� 2 =1; ��1 =1; ��2 = 1.

. �� 2 �� +4 = 16 �� +4

2 = 16, ��≠−4; �� =4.

1. −1;1;2.4

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

s, км v, км / год t,

60 �� 60 �� +3 =1; 60 + 180 60�� (�� +3) =1;

�� 2 +3��− 180 =0; D=32 − 4 ⋅ (−180)= 729;

��1 = −3+27 2 = 24 2 = 12 (км/год ) II; 12 +3= 15( км/год ) I; ��2 = −3−27 2 <0 – не має змісту, оскільки

Відповідь: 15 км/год ; 12 км/год .

рівняння 1. �� +3√�� 10 =0. √�� = �� , де ��≥ 0. Тоді �� =(√�� )2 = �� 2 .

�� 2 +3��− 10 =0;D=32 4 ⋅ ( 10)= 49; ��1 = 3+7 2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. Перепишіть

зразком: ax2 + bx + c = 0, 2x2 – 1x + 5 = 0:

1. 7x2 - 3x + 5 = 0;

2. -2x2 + 1x – 4 = 0;

3. 3x + 1x2 – 7 = 0;

4. 3x2 = 0;

5. 2x2 – 7 = 0;

6. 2x + 5x2 = 0.

2. Розв’яжіть рівняння:

1. 1,8�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 .

2. 2�� 2 32 =0;2�� 2 = 32; �� 2 = 16; �� =±4.

Відповідь: 4;4. 3. 5�� 2 7�� =0; �� (5��− 7)=0; �� =0 або �� = 7 5 =1 2 5 =1,4;

Відповідь: 0; 1,4.

4. −�� 2 − 9=0; −�� 2 =9; �� 2 = −9<0.

Відповідь: рівняння

��. 1 2 �� 2 +8�� =0; �� 1 2 �� +8� =0; �� =0 або

8;

−16;0. 6. 3�� 2 15 =0;3�� 2 = 15; �� 2 =5; �� =±

Відповідь: 0; 3 4 .

5. Довжина прямокутника у 1,5 раза більша

його площа 54 см2 .

рівняння:

�� ·1,5= 54;1,5�� 2 = 54;

�� 2 = 54 1,5 = 540 15 = 36;

�� =±6; �� = 6 (умові задачі не задовольняє).

1,5�� =1,5·6=9;

P=(6+9)·2= 15 ·2= 30(см).

Відповідь: 30 см.

6. Для яких значень a число 3 є коренем рівняння:

1. �� · 32 7·3+ (�� 2 + 21) =0;

9��− 21 + �� 2 + 21 =0 �� 2 +9�� =0;

�� (�� +9) =0; �� =0 або �� +9=0;

�� =0 або �� = 9

Відповідь: –9 .

2. 32 + (�� 2 4) ·3 9=0; 9+3�� 2 12 9=0;

3�� 2 12 =0; �� 2 4=0; �� 2 =4; �� =±2

Відповідь: –2; 2.

7. Для яких значень a рівняння:

1. �� 2 (4��− 5)�� =0;

�� − (4��− 5)� =0;

��1 =0 або ��− (4��− 5)=0 Для того, щоб рівняння

2. ��2 �� 2 −�� =0.

.

2. 16�� 2 8�� +1=0; (4��− 1)2 =0;4��− 1=0;

4�� =0; �� = 1 4

Відповідь: 1 4

3. 2�� 2 −��− 3=0;

D=( 1)2 4·2·( 3)=1+ 24 = 25;

��1 = 1+5 4 = 6 4 = 3 2 =1,5;

��2 = 1 − 5 4 = 4 4 = 1.

Відповідь: 1;1,5.

4. �� 2 +3��− 10 =0; D=32 − 4·1· (−10) = 49 >0;

��1 = 3+7 2 = 4 2 =2; ��2 = 3 7 2 = 10 2 = 5.

Відповідь: 5;2.

5. �� 2 +4�� +7=0;

D=42 4·1·7= 16 28 <0;

Відповідь: рівняння розв'язків не має. 6. 2�� 2 +5��− 3=0;

3;0,5. 10. Розв’яжіть рівняння:

1. �� 2 =6��− 7; �� 2 − 6�� +7=0; D=( 6)2

Точки A( 1,5; 2,25) та B(2;4) –

Отже, ��1 = 1,5, ��2 =2; �� 2 =0,5�� +3; �� 2 0,5��− 3=0; 10�� 2 5��− 30 =0;2�� 2 −��− 6=0; D=(−1)2 − 4·2·(−6)=1+ 48 = 49; ��1 = 1+7 2 = 8 4 =2; ��2 = 1 7 2 = 6 4 = 3 2 = 1,5. Відповідь: 1,5;2. 12. Розв’яжіть рівняння: 1. 5(��− 2) = (3�� +2)(��− 2);

5��− 10 =3�� 2 6�� +2��− 4; 3�� 2 4��− 5��− 4+ 10 =0; 3�� 2 − 9�� +6=0;3�� 2 − 9�� +6=0 ∣:3; �� 2 3�� +2=0; D=( 3)2 4·1·2=9 8=1, ��1 = 3+1 2 = 4 2 =2; ��2 = 3 − 1 2 = 2 2 =1.

Відповідь: 1;2.

5±2√15 3. �� 2 + √2��− 12 =0;

√2)2 4 ⋅ ( 12)=2+ 48 = 50;

Відповідь: 3√2;2√2. 4. √3�� 2 2��− √3 =0; D=( 2)2 +4

Відповідь: − √3 3 ; √3. 13. Для якого

1. �� 2 +2�� + �� =0; D=(2��)2 4·1· �� =4��2 4�� ; 4��2 − 4�� =0;4��(

0;1. 2. �� 2 4�� +2=0;

D=( 4)2 4·2�� = 16 8��; 16 8�� =0;8�� = 16; �� =2

Відповідь: при �� =2. 14.

2�� 2 + �� 3=0.

D= �� 2 4·( 4)·2= �� 2 + 24. Оскільки �� 2 + 24 >0 при будь–якому

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. |�� 2 +5��− 3| =3;

2 +5��− 3=3, �� 2 +5��− 3= 3; �� 2 +5�� =0, �� 2 +5��− 6=0;

(�� +5)=0, (�� +6)(��− 1)=0; �� =0, �� = 5, �� = 6, �� =1.

Відповідь: 6; 5; 01. 2. ‖�� 2 5�� +1| 4|=3; � |�� 2 5�� +1| 4=3, |�� 2 − 5�� +1| − 4= −3; �|�� 2 5�� +1|= 3+4, |�� 2 5�� +1|=3+4; � |�� 2 − 5�� +1| =1, |�� 2 5�� +1| =7; ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ �� 2 5�� +1= 1, �� 2 5�� +1=1, �� 2 5�� +1= 7, �� 2 5�� +1=7; ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ �� 2 5�� +2=0, �� 2 5�� =0, �� 2 5�� +8=0, �� 2 5��− 6=0; 1) �� 2 5��− 6=0; �� 2 5�� +8=0; D=( 5)2 4·1·2= 25 8= 17; �� = 5± √17 2 ; 2) �� 2 5�� =0; �� (��− 5)=0; �� =0 або �� =5; 3) �� 2 +5�� +8=0; D=( 5)2 4·1·8= 25 32 = 7<0.

дане рівняння розв'язків

.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2 + 17�� + 60 =0; ��1 + ��2 = 17, ��1 ⋅��2 = 60;

+ ��2 = 5 2 =2,5, ��1 ⋅��2 = 3 2 =1,5;

. �� 2 4�� +5=0; �� 2 +4�� +5=0;

1. �� 2 7�� + 10 =0; ��1 =5;

· ��2 = 10; то 5��2 = 10; ��2 =2; 2. �� 2 +3��− 18 =0; ��1 = 6; ��1 · ��2 = 18; то 6��2 = 18; ��2 =3.

��1 −��2 =6, ��1 −��2 = 2; +

��1 =4; ��1 =2; ��2 = 2 −��1 = 2 2= 4; �� = ��1 · ��2 =2·( 4)= 8.

��1 =2; ��2 = 4; �� = 8. 20. Доведіть,

2m · 3m = 54; m2 = 9.

x1 = 6; x2 = 9 і p = −(x1 + x2) = −(6 + 9) = −15.

p = −15; x1 = 6; x2 = 9.

5x2 – 6x + c = 0

5�� 2 6�� + �� =0; D=( 6)2 4·5�� = 36 20�� >0;

m = 3.

Відповідь: �� =1,6. 23. Сума квадратів коренів рівняння 3x2 + bx – 12 =

b. 3�� 2 + �� 12 =0; D= �� 2 4·3·( 12)= �� 2 + 144 >0; �� 2 + �� 3 ��− 4=0; ��1 + ��2 = 33 ��1 ⋅��2 = 4; (��12 +2��1 ��2 + ��22 ) 2��1 ��2 = 33; (��1 + ��2 )2 2·( 4)= 33; (��1 + ��2 )2 = 33 8; (��1 + ��2 )2 = 25; ��1 + ��2 = 5 або ��1 + ��2 = 5; �� 3 = 5 або �� 3 =5; �� = 15 або �� = 15.

Відповідь: –15 або 15. 24. Для яких значень a сума

�� 2 8 5 �� + 1 5 =0� ⋅ 5; 5�� 2 8�� +1=0 ��1 ��2 = 4 5 . ��1 + ��2 = 16 5 ;

�� 2 8�� +1=0

Оскільки PАВС = 30 см, то AB + BC = 15 см.

Нехай AB = ��, тоді BC = 15 −�� .

Маємо рівняння: �� (15 −�� )= 54; 15��−�� 2 54 =0; �� 2 15�� + 54 =0. ��1 =6; ��2 =9; 15 −�� = 15 6=9 або 15 −�� = 15 9=6.

Відповідь: 6 см і 9 см.

�� , �� +1, �� + 2 – три

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Нехай AC = �� , BC = ��− 2; AB = 24 (�� + ��− 2) = 24 2�� +2= 26 2�� .

теоремою Піфагора маємо: AB 2 =AC 2 +BC 2 ;(26 2�� )2 = �� 2 +(��− 2)2 ; 676 − 104�� +4�� 2 = �� 2 + �� 2 − 4�� +4; 4�� 2 2�� 2 104�� +4�� + 676 4=0; 2�� 2 100�� + 672 =0; �� 2 50�� + 336 =0; D=( 50)2 4·1· 336 = 2500 1344 = 1156; ��1 = 50 + 34 2 = 84 2 = 42 (умові задачі не задовольняє, бо тоді AB <0 ); ��2 = 50 34 2 = 16 2 =8. ��−

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

V= 11 15 ⋅ 1,1 ⋅ 0,4= 11 15 ⋅ 0,44 = 11 15 ⋅ 4411 10025 = 121 375 (м3 )

або V=0,5·0,9·0,4=0,216(м3 )

Відповідь: 121 375 (м3 ) або 0,216 м3 .

Нехай AB =2�� см, BC =2�� см, MK =2��− 10 см, NP = ��− 10 см,

тоді V=(2��− 10)(��− 10)·5= 10500;

(2�� 10)(�� 10) ·5= 10500:5; (2��− 10)(��− 10)·5= 2100;

2�� 2 20��− 10�� + 100 2100 =0;

2�� 2 30��− 2000 =0; �� 2 15��− 1000 =0.

D=( 15)2 4·1·( 1000)= 225 + 4000 = 4225; ��1 = 15 + 65 2 = 80 2 = 40; ��2 = 15 65 2 <0

(умові задачі не задовольняє).

2�� = 40 ·2= 80 (см).

Відповідь: 40 см і 80 см.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

3. 2�� 2 12�� + 18; �� 2 − 6�� +9;(��− 3)2 =0; �� =3;

4. 4�� 2 +7�� +2;4�� 2 7��− 2=0;

D=( 7)2 4·4·( 2)= 49 + 32 = 81 >0;

��1 = 7+9 8 = 16 8 =2; ��2 = 7 9 8 = 2 8 = 1 4 .

35. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1. �� 2 +3��− 4=0; ��1 = 4; ��2 =1.

Отже, �� 2 +3��− 4=(�� +4)(��− 4);

2. 2�� 2 +7��− 4=0; D=72 4·2·( 4)= 49 + 32 = 81; ��1 = 7+9 4 = 16 4 =4; ��1 = 7 9 4 = 2 4 = 1 2 .

Отже, 2�� 2 7��− 4=2(��− 4) �� + 1 2� =(2�� +1)(��− 4);

3. −�� 2 +3�� + 18 =0; �� 2 3��− 18 =0; ��1 =6; ��2 = 3. Отже, −�� 2 +3�� + 18 = (��− 6)(�� +3)=(6 −�� )(�� +3); 4. 4�� 2 +9��− 2=0;4�� 2 9�� +2=0; �� =(−9)2 − 4·4·2= 81 − 32 = 49; ��1 = 9+7 8 = 16 8 =2; ��1 = 9 7 8 = 2 8 = 1 4 .

Отже, 4�� 2 +9

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

1. �� 2 + �� +4;D=0;

4;4

2. �� 2 +8�� + 64 =0;

1. �� 2 5�� +6�� 2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2. 3�� 4 2�� 2 40 =0.

2)2 4·3·(

Відповідь: 2;2

3. �� 4 + �� 2 +9=0.

Отже, рівняння коренів не має.

Відповідь: ∅.

4. �� 4

Відповідь: 3;3

47. Розв’яжіть рівняння: 1. �� 4 16�� 2 =0; �� 2 (�� 2 16) =0;

�� 2 =0 або �� 2 16 =0; �� =0 або �� 2 = 16�� =0 або �� =±4.

Відповідь: 4;0;4.

2. �� 3 −�� 2 6�� =0; �� (�� 2 −��− 6) =0;

�� =0 або �� 2 −��− 6=0; �� =0 або �� =3 або �� = 2.

Відповідь: 2;0;3.

48. Знайдіть координати

�� 4 3�� 2 4=0; Нехай

(2; 0); (–2; 0). 49.

2�� 2 +5�� +3=0; D=52 − 4·2·3= 25 − 24 =1; ��1 = 5+1 4 = 4 4 = 1; ��2 = 6 4 = 3 2 =

Відповідь: 1,5; 1

. 1 2(1 −�� ) + 1 2 −�� = 3 3

; 1 2(1 −�� ) + 1 2 −�� 3 3 −�� =0; (2 −�� )(3 −�� )+2(1 −�� )(3 −�� ) 3 ⋅ 2(1 −�� )(2 −�� ) 2(1 −�� )(2 −�� )(3 −�� ) =0; 6 2��− 3�� + �� 2 +2(3 −��− 3�� + �� 2 ) 6(2−��− 2�� +

2 )

−�� )(2 −�� )(3 −�� ) =0; 6 5�� + �� 2 +6 8�� +2�� 2 12 + 18��− 6�� 2 2(1 −�� )(2 −�� )(3 −�� ) =0; 3�� 2 +5�� 2(1 −�� )(2 −�� )(3 −�� ) =0; � 3�� 2 +5�� =0, ��≠ 1, ��≠ 2, ��≠ 3;

4�� 2 +5�� +1=0; D=52 − 4· 16 ·1= 25 − 64 <0.

��. 1 (�� +2)2 + 9 (��− 2)2 = 6 �� 2 4 ; 1 (�� +2)2 + 9 (��− 2)2 6 �� 2 4 =0; (�� +2)2 +9(��− 2)2 6(��− 2)(�� +2) (�� +2)2 (�� +2)2 =0; �� 2 4�� +4+9�� 2 + 36�� + 36 6�� 2 + 24 (�� +2)2 (�� +2)2 =0; 4�� 2 + 32�� + 64 (�� +2)2 (�� +2)2 =0; �4�� 2 + 32�� + 64 =0, ��≠ 2, ��≠−2; �� 2 +8�� + 16 =0;(�� +4)2 =0; �� = −4. Відповідь: –4. 6. 3 3�� 2 −�� 4 9�� 2 1 = 4 9�� 2 6�� +1 ; 3 �� (3��−

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2 −�� +6=0, ��≠ 0, ��≠ 2, ��≠−2;

�� 2 + ��− 6=0. ��1 = −3; ��2 =2 (не є коренем).

Відповідь: –3 . ��. 1 1 −�� + 1 �� + �� 2 = 10 ��−�� 3 ; 1 1 −�� + 1 �� (1+ �� ) − 10 �� (1 −�� )(1+ �� ) ; �� (1+ �� )+(1 −�� ) 10 �� (1 −�� )(1+ �� ) =0; �� + �� 2 +1 −��− 10 �� (1 −�� )(1+ �� ) =0; �� 2 9 �� (1 −�� )(1+ �� ) =0;

2 9=0, ��≠ 0, ��≠ 1, ��≠−1; �� 2 =9; �� =±3.

Відповідь: –3; 3. ��. 7�� +6

3 27 = 1 �� 2 +3�� +9 + 1 ��− 3 ; 7�� +6 (��− 3)(�� 2 +3�� +9) 1 �� 2 +3�� +9 1 ��− 3 =0; 7�� +6 − (��− 3) − (�� 2 +3�� +9) (��− 3)(�� 2 +3�� +9) =0;

7�� +6 −�� +3 −�� 2 3�� +( 9) (��− 3)(�� 2 +3�� +9) =0; −�� 2 +3�� (��− 3)(�� 2 +3�� +9) =0; �� 2 +3�� =0, ��≠ 3; �� (3 −�� )=0, ��≠ 3; �� =0 або �� =0, ��≠ 3; �� =±3.

Відповідь: 0.

51. Розв’яжіть рівняння: 1. �� 3 −�� 2 = ��− 1; (�� 3 −�� 2 ) (��− 1)=0; �� 2 (��− 1) (��− 1)=0; (��− 1)(�� 2 1) =0;(��− 1)(��− 1)(�� +1)=0; ��− 1=0; або �� +1=0; �� =1 або �� = 1. Відповідь: 1;1.

2. (�� 2 +2�� )2 2(�� 2 +2�� ) 3=0 Нехай �� 2 +2�� = �� , тоді �� 2 − 2��− 3=0; �� =3 або �� = 1; �� 2 +2�� =3, �� 2 +2�� = 1; �� 2 +2��− 3=0, �� 2 +2�� +1=0; 1. �� 2 +2��− 3=0; ��1 = 3��2 =1. 2. �� 2 +2�� +1=0;(�� +1)2 =0; �� +1=0; �� = 1

Відповідь: −3; −1;1.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

( 2)=4·( 2)= 8.

�3 4 ;3� ;( 2; 8). 53. Розв’яжіть

Знайдіть корені рівняння: 1. (�� 2 4�� )(��− 2)2 +3=0; (�� 2 4�� )(�� 2 4�� +4) +3=0.

Нехай �� 2 4�� = �� , тоді �� (�� +4)+4=0; �� 2 +4�� +3=0; ��1 = 3; ��2 = 1.

Отже, �� 2 4�� = 3, �� 2 4�� = 1; �� 2 4�� +3=0, �� 2 4�� +1=0; 1) �� 2 4�� +3=0; ��1 =1; ��2 =3; 2) �� 2 4�� +1=0; D=( 4)2 4·1·1= 16 4= 12; ��1 = 4+√12 2 = 4+2√3 2 =

1)(��− 2)(��− 3) = 24; �� (��− 3)(��− 1)(��− 2) = 24; (�� 2 3�� )(�� 2 3�� +2) = 24. Нехай �� 2 − 3�� = �� , тоді ��(�� +2) − 24 =0; �� 2 +2��− 24 =0; ��1 = 6; ��2 =4. �� 2 3�� = 6, [�� 2 3�� +6=0; �� 2 3�� =4; [�� 2 3��− 4=0; (коренів немає, бо D<0 ); ��1 =4; ��2 = 1

.

1;4. ��. �� 2 3�� = 8 �� 2 3��− 2 ; �� 2 3��≠ 0. Нехай �� 2 − 3�� = �� , тоді 8 ��− 2 = �� ; �� (��− 2)=0, ��≠ 2; �� 2 2��− 8=0; ��1 =4; ��2 = 2.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2 3�� =4, �� 2 3�� = 2; �� 2 3��− 4=0, �� 2 3�� +2=0;

1) �� 2 3��− 4=0; ��1 =4; ��2 = 1; 2) �� 2 3�� +2=0; ��1 =1; ��2 =2

Відповідь: 1; 1;2;4.

��. (�� +2)(��− 7)= 19 (��− 1)(��− 4) ;

�� 2 5��− 14 = 19 �� 2 − 5�� +4 ; �(�� 2 5�� +4)(�� 2 5�� +4) = 19, ��≠ 1, ��≠ 4.

Нехай �� 2 5�� +4= �� , тоді

��− 18 = 19 �� ⋅�� ;

(��− 14)(�� +4)=0; �� 2 18��− 56 = 19; �� 2 10��− 75 =0;

D=(−10)2 − 4·1·(−75)= 100 + 300 = 400; ��1 = 10 + 20 2 = 30 2 = 15; ��1 = 10 20 2 = 5;

2 5�� = 15, �� 2 5�� = 5; �� 2 5��− 15 =0, �� 2 5�� +5=0; 1) �� 2 5��− 5=0;

D=( 5)2 4·1·( 15)= 25 + 60 = 85;

��1 = 5+ √85 2 ; ��2 = 5 √85 2 ;

2) �� 2 − 5�� +5=0; D=( 5)2 4·5= 25 20 =5; ��3 = 5+ √5 2 ; ��4 = 5 √5 2 . Відповідь: 5±5√85 2 ; 5±√5 2 . ��. 5 �� 2 −��− 1 + 1 �� 2 −��− 5 =2. Нехай �� 2 −�� = �� , тому 5 ��− 1 + 1 ��− 5 =2; 5(��− 5)+ ��− 1 (��− 1)(��− 5) = 2 1 ; 6��− 26 ��− 6�� +5 = 2 1 ; �29�� 2 6�� +5=6��− 26, ��≠ 1, ��≠ 5; 2�� 2 12�� + 10 6�� + 26 =0; 2�� 2 18�� + 36 =0; �� 2 9�� + 18 =0; ��1 =4; ��2 = 2 �� 2 −�� =3, �� 2 −�� =6; �� 2 −��− 3=0, �� 2 −��− 6=0; 1) �� 2 −��− 6=0;

D=( 1)2 4·( 3)=1+ 12 = 13;

+4)(�� +1)(��− 2) =0;

3�� 2 36��− 60 =0, ��≠−4, ��≠−1, ��≠

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

16 �� 16 �� +8 = 8 3 ; 16(�� +8) 16�� (�� +8) = 8 3 ; 16�� + 128 16��

�� (�� +8) = 8 3 ; 128 �� (�� +8) = 8 3 ; �

8�� (�� +8)= 128 ⋅ 3,

��≠ 0,

��≠ 0, ��≠−8; 8�� 2 + 64��− 384 =0 ∣:8; �� 2 +8��− 48 =0; ��1 = 12; ��2 =4; �� = 12 (умові задачі не задовольняє).

�� +8=4+8= 12 (км/год).

Відповідь: 12 км/год.

57. Поїзд, який було затримано на 2 год, компенсував

завдовжки, збільшивши

перегін за розкладом. Нехай �� км/год – швидкість

10;

�� 2 + 20��− 4000 =0; �� 2 + 10��− 2000 =0; D= 102 4·1·( 2000)= 100 + 8000 = 8100; ��1 = 10 + 90 2 = 80 2 = 40; ��2 = 10 90 2 <0

задачі не задовольняє).

400 �� = 400 40 = 10.

Відповідь: за 10 год. 58. Катер проплив

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

20 �� 20 �� + 18 =9; 20(18 + �� ) − 20�� (18 + �� ) =9; 360�� + 20��− 20�� (18 + �� ) = 9 1 ; 360 �� (18 + �� ) = 9 1 ; �

9�� (�� + 18)= 360,

��≠ 0, ��≠−18; 9�� 2 + 162��− 360 =0 ∣:9; �� 2 + 18��− 40 =0; �� = 20 <0 умові задачі не задовольняе.

Отже, 20 18 + �� = 20 18 +2 = 20 20 =1 (год).

17 +1= 18.

Відповідь: 18 год.

60.

і через 3

��2 = 10; �� = 10 >5. умові задачі не задовольняє. От же, �� =2. Відповідь: 2

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

+ 20) = 2400,

0, ��≠−20; �� 2 + 20��− 2400 =0. D= 202 4·1· ( 2400)

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

рівняння: 4

��− 3 + 3 �� =1; 4�� +3(��− 3) �� (��− 3) =1; 4�� +3�� 9 �� (�� 3) = 1 1 ; 7��− 9 �� (��− 3) = 1 1 ; �� (��− 3)=7��− 9, ��≠ 0, ��≠ 3; �� 2 3��− 7�� +9=0; �� 2 10�� +9=0; ��1 =1; ��2 =9; �� =1 (умові задачіне задовольняє).

Отже, �� =9; ��− 3=9 3=6

Відповідь: 6 год; 9 год. 65. Зливок міді й цинку,

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

рівняння:

5�� + �800 �� 6� (�� +5) = 830;

5�� + 800 + 4000 �� 6��− 30 = 830; 4000 �� −�� = 830 + 30 800; 4000 �� −�� = 60; 4000 −�� 2 ��

5�� 2 72��− 45 =0; �� =( 72)2 4 ⋅ 5 ⋅ ( 45)= = 6084; √�� = 78; ��1 = 72 + 78 10 = 15 (км/год); ��2 = 72 78 10 <0

Відповідь: 15 км/год.

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

⋅ (19 √9)=5 ⋅ (19 3)=5 ⋅ 16 = 80; 3. �� 2 + �� 2 = (��

корінь �� =1

−4; −3. 2. (��− 4)�� 2 + (2��− 8)�� + 15 =0; D= (2��− 8)2 4(��− 4) · 15 =4�� 2 + 64 32��− 60�� + 240 =4�� 2 92�� + 304 =4(��2 23�� + 76); �� 2 23�� + 76 =0; ��1 = 19; ��2 =4.

�� =4, то

19. 29. Розв’яжіть рівняння: 1. 2(�� 1)�� 2 +(��− 1)�� +1=0

1. якщо �� = 1, то �� = 1; якщо ��≠−1, то ��1 = 2�� +1 , ��2 = 1.

Знайдіть

=0,

3=0; �� (�� +1)=0, ��1 =3, ��2 = 1; �� =0 або �� = 1, �� = 1 або �� =3; �� = 1. Відповідь: –1 . 2. �� 2 4�� +4+ |�� 2 +2��− 8| =0; (��− 2)2 + |�� 2 +2��− 8| =0; ��− 2=0, �� 2 +2��− 8=0; �� =2, �� = −4 або �� =2; �� =2. Відповідь: 2. 3. |��− √�� 6|+ √�� 2 4�� =0; ��− √�� 6=0, �� 2 4�� =0, ��≥ 0; 1) ��− √�� 6=0.

2

Нехай √�� = ��≥ 0, тоді �� = �� 2 . �� 2 −��− 6=0; ��1 =3, ��2 = 2<0; √�� =3; �� =9;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2) �� 2 4�� =0; �� (��− 4)=0; �� =0 або �� =4.

Отже, �� =9, �� = 0 або �� =4; Ø.

3 7

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

рівняння:

+6=0;

+7 1=0; (�� 3 1) (7

7)=0; (��− 1)(�� 2 + �� +1) 7(��− 1)=0; (

1)(�� 2 + �� +1 − 7) =0; (

1)(�� 2 + ��− 6) =0;

1=0 або �� 2 + ��− 6=0; �� =1 або �� = −3, або �� =2.

Відповідь: 3;1;2. 2. �� 3 6�� 2 +5=0; �� 3 6�� 2 +5=0; �� 3 − 6�� 2 +6 − 1=0; (�� 3 − 1) − 6(�� 2 − 1) =0; (��− 1)(�� 2 + �� +1) 6(��− 1)(�� +1)=0; (��− 1)(�� 2 + �� +1 6��− 6) =0; (��− 1)(�� 2 5��− 5) =0; ��− 1=0, �� =1 або �� 2 5��− 5=0; D= 25 4·1·( 5)= 25 + 20 = 45; ��1

1, 5±3√5 2 . ��. �� 3 − 5�� 2 +6=0; �� 3 − 5�� 2 +5+1=0; (�� 3 +1) 5(�� 2 1) =0; (�� +1)(�� 2 −�� +1) 5(��− 1)(�� +1)=0; (�� +1)(�� 2 −�� +1 5�� +5) =0; (�� +1)(�� 2 6�� +6) =0; �� +1=0, �� = 1 aбo �� 2 6�� +6=0; D=( 6)2 4·1·6= 36 24 = 12;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Відповідь: 1;3± √3

4. �� 4 − 2�� 3 − 3�� 2 − 4��− 1=0;

�� 4 2�� 3 + �� 2 4�� 2 4��− 1=0;

(�� 4 2�� 3 + �� 2 ) (4�� 2 +4�� +1) =0;

�� 2 (�� 2 2�� +1) (2�� +1)2 =0;

�� 2 (��− 1)2 − (2�� +1)2 =0; (�� (��− 1))2 (2�� +1)2 =0;

(�� 2 −��− 2��− 1)(�� 2 −�� +2�� +1) =0; (�� 2 3��− 1)(�� 2 + �� +1) =0; �� 2 − 3��− 1=0; �� =( 3)2 4·( 1)=9+4= 13; �� = 3± √13 2 ;

або �� 2 + �� +1=0; D=1 4·1·1= 3<0; коренів

Відповідь: 3±√13 2 39. Розв’яжіть відносно x рівняння: 1) (

2 +

2)�� = ��− 1.

�� 2 + ��− 2=0; ��1 =1; ��2 = −2.

�� =1, то

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

0, тоді �� 4 = �� 2 .7�� 2 55�� + 108 =0. D=(−55)2 − 4·7· 108 = 3025 − 3024 =1; ��1 = 55 +1 14 = 56 14 = 8 2 =4;

2;2; 9√21 7 ; 9√21 7 .

46. Розв’яжіть рівняння: 1. √��− 5 = ��− 11.

√��− 5 = ��≥ 0,

�� 2 = ��− 5; �� 2 +5 − 11 =

; �� 2 −��− 6=0; ��1 =3; ��2 = −2<0. Отже, √��− 5 = 3; ��− 5=9; �� =9+5; �� = 14.

14. 2. √�� 2 + 20 = 22 −�� 2 . Нехай √�� 2 + 20 = �� >0, тоді �� 2 = �� 2 + 20; �� 2 = �� 2 − 20; 22 − (�� 2 − 20) = �� ; 22 −�� 2 + 20 −�� =0; �� 2 + ��− 42 =0; ��1 = −7<0; ��2 =6; Отже, √�� 2 + 20 =6; �� 2 + 20 = 36; �� 2 = 36 20; �� 2 = 16; �� =±4.

Відповідь: 4;4

47. Розв’яжіть рівняння: 1. |2�� 2 +4��− 5| = |�� 2 + �� |; �2�� 2 +4��− 5= �� 2 + �� , 2�� 2 +4��− 5= −(�� 2 + �� );

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

2�� 2 −�� 2 +4��−��− 5=0, 2�� 2 + �� 2 +4�� + ��− 5=0; �� 2 +3��− 5=0, 3�� 2 +5��− 5=0;

1) �� 2 +3��− 5=0;

D=9 4·1·( 5)=9+ 20 = 29; �� = −3± √29 2 ;

2) 3�� 2 +5��− 5=0; D= 25 4·3·( 5)= 25 + 60 = 85; �� = 5± √85 6 .

Відповідь: −3±√29 2 ; −5±√85 6

2. 3�� 2 − 4=5|��− 1|;

1) 3�� 2 4=5(��− 1), якщо ��− 1 ≥ 0; 3�� 2 4=5��− 5, якщо ��≥ 1; 3�� 2 +5��− 4+5=0, якщо ��≥ 1; 3�� 2 5�� +1=0, якщо ��≥ 1. D= 25 +4·3·1= 25 12 = 13; �� = 5± √13 6 ; ��1 = 5+ √13 6 >1; ��2 = 5 − √13 6 ≈ 0,2<1 (не є коренем);

2) 3�� 2 4= 5(��− 1), якщо ��− 1<0; 3�� 2 4= 5�� +5=0, якщо �� <1;

3�� 2 +5��− 9=0, якщо �� <1; D= 25 4·3·( 9)= 25 + 108 = 133; �� = 5± √133 6 ; ��1 = 5+

є коренем);

= −5 − √133 6 <1.

5+√13 6 ; −5−√133 6 .

(��− 2��) 3��(��− 2��) =0; (��− 2��)(��− 3��) =0; ��− 2�� =0 або ��− 3�� = 0; 2�� = �� або 3�� = �� ;

= 1 2 ��

�� = 1 3 ��

2(7��− 2) =5��− 6, 2(7��− 2) =5��− 6, 2(5��− 6) =7��− 2, 2(5��− 6) =7��− 2;

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

Маємо �2280 �� 9� (2�� +5) = 4080; 4560 18�� + 11400 �� 45 = 4080; 11400

�� 18�� + 435 =0; 18�� 2 435��− 11400 =0.

�� = ( 435)2 4 ⋅ 18 ⋅ ( 11400)= 1010025;

��1 = 40 (кг);

��2 <0 — не задовольняє умову.

Отже, всього привезли до магазину 2 ⋅ 40 +5= 85 (кг).

Відповідь: 85 кг.

51. Загадали

числа відняли квадрат числа,

цифра

10 ⋅ �� + 7.

10�� +7 −�� 2 − 0,75 · (10�� +7 −�� 2 ) = �� ; 10�� +7 −�� 2 7,5��− 5,25 +0,75�� 2 −�� =0; 0,25�� 2 +1,5�� +1,75 =0;

25�� 2 150��− 175 =0; �� 2 6��− 7=0; �� =7 або �� = 1; (умові

7.

З

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

MD = 12�� ; AD = 12 ⋅ 1 6 =2(км);

MB = 15(��− 1); AB = AD + BD = AD +(MB MD)=2+(15(��− 1) 12�� ) =2+ 15��− 15 12�� =3��− 13.

Маємо рівняння: ��

��− 2 =6��; 15(��− 1) ��− 2 =6(3��− 13); �2(3�� 13)(��− 2)=5(��− 1), ��≠ 2;

6�� 2 12��− 26�� + 52 5�� +5=0; 6�� 2 43�� + 57 =0;

D=( 43)2 4·6· 57 = 1849 1368 = 481;

��1 = 43 + √481 40 ≈ 5,4; ��2 = 43 √481 40 =1,8.

�� = 6AB =6(3��− 13)=6(3·5,4 13)= 19,2< 50 умові задачі

; 2. Нехай

A

B

(��1 + ��2 )

=0,2·5=1; �� +0,8=1+0,8=1,8; �� +1,25 =1+1,25 =2,25.

Відповідь: 1,8 год; 2,25 год.

55. По двох взаємно

��2 = 265 65

https://shkola.in.ua/2398-hdz-alhebra-8-klas-ister-2016.html

5) =2; 2�� 2 5��− 10�� + 25 −�� 2 +5�� 2(2��− 5) =2; �� 2 10�� + 25 =8��− 20, ��≠ 2,5; �� 2 − 18�� + 45 =0; ��1 = 15; ��2 =3; �� =3 умові

не задовольняє. ��− 5= 15 5= 10.

3 : 1 ��− 24 = 2(��− 24) 3 час, за який заповнює 2 3 басейну І кран; 1 3 : 1 �� = �� 3

час. за який заповнить 1 3 басейну II кран. Маємо рівняння:

2(��− 24) 3 + �� 3 = �� (��− 24) 2��− 24 + 33; 2��− 48 + �� 3 �� (��− 24) 2��− 24 = 33; (3��− 48)(2��− 24) 3�� (��− 24) 3(2��− 24) = 33; �6�� 2 72��− 96�� + 1152 3�� 2 + 72��− 198�� + 2376 =0, ��≠ 12; 3�� 2 294�� + 3528 =0;D= 86 436 42336 = 44 100; ��1 = 294 + 210 6 = 84; ��2 = 294 210 6 = 84 6 = 14; �� = 14 – умові задачі не задовольняє; ��− 24 = 84 24 = 60.

Відповідь: за 84 хв; за 60 хв.

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook