Чотирикутники
1. (Усно.) Чи існує чотирикутник з кутами:
1)80°, 90°, 90° і 110°;
2)70°, 80°, 100° і 110°?
Сума кутів будь-якого чотирикутника
суму кутів чотирикутника).
1) 80° + 90° + 90° + 110° = 370°
Оскільки 370° ≠ 360°, то такого чотирикутника не існує.
2) 70° + 80° + 100° + 110° = 360°
Оскільки сума кутів
Відповідь:
1 Не існує;
2. Існує.
2. Чи можна навколо
1) ∠A = 20°, ∠C = 140°;
2) ∠B = 80°, ∠D = 100°?
Навколо чотирикутника
1. ∠A + ∠C = 20° + 140° = 160°
Оскільки 160°
2.
1.
3.
1) ∠K = 60°, ∠M = 120°;
2) ∠L = 70°, ∠N = 130°?
Навколо чотирикутника
180° (властивість
1. ∠K + ∠M = 60° + 120° = 180°
Оскільки сума протилежних
чотирикутника описати можна.
2. ∠L + ∠N = 70° + 130° = 200°
Оскільки 200° ≠ 180°, то
Відповідь:
1. Можна;
2. Не можна.
4. (Усно.) На малюнку
����1 ����1 ∥ ����2 ����2 ∥ ����3 ����3 (за умовою).
1.
∠���� =
Тоді
7.
1)
2)
���� + ���� = 180∘
(����− 20∘ ) + ���� = 180∘
2����− 20∘ = 180∘
2���� = 200∘
���� = 100∘
���� = 100∘ 20∘ = 80∘
Кути паралелограма: 80∘ , 100∘ , 80∘ , 100∘ .
3. Нехай ���� =3����
Оскільки
���� + ���� =180∘
3���� + ���� = 180∘
4���� = 180∘
���� = 45∘
���� = 135∘
Кути паралелограма: 135∘ , 45∘ , 135∘ , 45∘ .
Відповідь:
1. 30° і 50°;
2. 80° і 100°;
3. 135° і 45°.
8. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знайдіть:
1) ∠3, якщо ∠8 = 40°;
2) ∠2, якщо ∠9 = 110°;
3) ∠10, якщо ∠1 = 35°. ABCD – прямокутник, тому
1. У вершині B:
∠8 + ∠7 = 90° (як частини прямого кута)
40° + ∠7 = 90°
∠7 = 50°.
Оскільки BC ∥ AD, то ∠7 = ∠3 (як
паралельних прямих і січній BD).
Отже, ∠3 = 50°.
різносторонні
2. Розглянемо трикутник AOD (O — точка перетину діагоналей).
У прямокутнику діагоналі
AO = DO.
Отже, трикутник AOD — рівнобедрений, тому
∠2 = ∠3.
Кути ∠2, ∠3 і ∠9 утворюють трикутник AOD, тому
∠2 + ∠3 + ∠9 = 180°.
Підставимо ∠3 = ∠2:
∠2 + ∠2 + 110° = 180°
2∠2 = 70°
∠2 = 35°.
Отже,
∠2 = 35°.
3. Розглянемо трикутник ABO.
AO = BO.
Отже, трикутник ABO —
∠1 = ∠8.
Оскільки ∠1 = 35°, то
∠8 = 35°. Сума
∠1 + ∠8 + ∠12 = 180°
35° + 35° + ∠12 = 180°
∠12 = 110°.
Кути ∠12 і ∠10 — вертикальні, тому
∠10 = 110°.
Відповідь:
1. ∠3 = 50°;
2. ∠2 = 35°;
3. ∠10 = 110°.
9. ABCD – прямокутник (мал. 2). Знайдіть:
1) ∠7, якщо ∠4 = 50°;
2) ∠6, якщо ∠11 = 120°;
3) ∠12, якщо ∠5 = 46°.
ABCD – прямокутник, тому
1. Оскільки AB ∥ CD, то ∠8 = ∠
паралельних прямих і січній
∠8 = 50°.
∠7 + 50° = 90°
∠7 = 40°.
2. Розглянемо трикутник BCO.
OB = OC.
∠7 = ∠6.
Сума кутів трикутника:
∠7 + ∠6 + ∠11 = 180°.
Підставимо ∠7 = ∠6:
∠6 + ∠6 + 120° = 180°
2∠6 = 60°
∠6 = 30°.
3. Розглянемо трикутник COD.
У прямокутнику діагоналі рівні і перетинаються навпіл, тому
CO = DO.
Отже, трикутник COD — рівнобедрений, тому
∠5 = ∠4.
∠4 = 46°.
Сума кутів трикутника COD дорівнює 180°:
∠5 + ∠4 + ∠10 = 180°
46° + 46° + ∠10 = 180°
∠10 = 88°.
Кути ∠10 і ∠12 — вертикальні, тому
∠12 = 88°.
Відповідь:
1) ∠7 = 40°;
2) ∠6 = 30°;
3) ∠12 = 88°.
10. ABCD – ромб (мал. 3). Знайдіть:
1) ∠1, якщо ∠2 = 50°;
2) ∠3, якщо ∠1 = 46°.
ABCD – ромб, тому AB = BC = CD = AD, протилежні сторони паралельні, а діагональ BD ділить кути B і D навпіл.
1. Оскільки AB ∥ CD, то
∠ABC + ∠BCD = 180°.
∠B + 50° = 180°
∠B = 130°.
У ромбі діагональ BD ділить кут B навпіл, тому
∠1 = ∠B : 2 = 130° : 2 = 65°.
Отже, ∠1 = 65°.
2. У ромбі діагональ BD ділить кут B навпіл, тому
∠B = 2·∠1.
∠B = 2 46° = 92°.
У ромбі (як у паралелограмі) протилежні
∠D = ∠B = 92°.
Кут ∠3 — зовнішній до кута D, тому
∠D + ∠3 = 180°.
92° + ∠3 = 180°
∠3 = 88°.
Відповідь:
1) ∠1 = 65°; 2) ∠3 = 88°.
11. ABCD – ромб (мал. 3). Знайдіть:
1) ∠2, якщо ∠1 = 48°;
2) ∠1, якщо ∠3 = 50°.
ABCD – ромб, тому AB = BC = CD = AD,
рівні, тому
1. Знайти ∠2, якщо ∠1 = 48°.
Оскільки BD — бісектриса кута B, то
∠B = 2 ∠1 = 2 48° = 96°.
У ромбі (як у паралелограмі) сусідні
∠B + ∠C = 180°
96° + ∠C = 180°
∠C = 84°.
Кут ∠2 — це кут при вершині C, тому
∠2 = 84°.
2. Знайти ∠1, якщо ∠3 = 50°.
Кут ∠3 — зовнішній до кута D, тому
∠D + ∠3 = 180°.
∠D + 50° = 180°
∠D = 130°.
У ромбі протилежні кути рівні,
∠B = ∠D = 130°.
BD — бісектриса кута B, тому
∠1 = ∠B : 2 = 130° : 2 = 65°.
Відповідь:
1) ∠2 = 84°;
2) ∠1 = 65°.
1) 7 : 4 : 3 : 6;
2) 5 : 8 : 4 : 2?
7x + 3x = 10x
4x + 6x = 10x.
Оскільки суми протилежних
вписати можна.
2. Нехай сторони дорівнюють
5x, 8x, 4x, 2x.
Перевіримо суми протилежних сторін:
5x + 4x = 9x
8x + 2x = 10x.
Оскільки 9x
Відповідь:
1. Можна;
2. Не можна.
Оскільки ���� = 20 см, то
�������� + �������� 2 = 20
�������� + �������� = 40
1. �������� �������� = 4
Маємо систему: ��������� + �������� = 40 �������� �������� = 4
Додаємо рівняння:
� 2�������� =44
�������� = �������� 4 ��������� = 22 �������� = 18
Отже: �������� = 22 см, �������� = 18 см.
За таблицею: 22 → С, 18 → Т.
2. �������� = �������� 4
Підставимо в �������� + �������� = 40:
�������� 4 + �������� = 40
5�������� 4 = 40 �������� = 32 �������� =8
Отже: �������� =8 см, �������� = 32 см.
За таблицею: 8 → Б, 32 → Н.
3. �������� ∶ �������� = 3 ∶ 2
Нехай �������� =3���� , �������� = 2����
3���� +2���� = 40
5���� = 40 ���� =8
�������� = 24, �������� = 16
Отже: �������� = 24 см, �������� = 16 см. За таблицею: 24 → І, 16 → У.
Відповідь:
2.
4���� 3 = 28
���� = 21
���� =7
Основи: 7 см і 21 см.
3. Нехай ���� =3���� , ���� =4���� .
3���� +4���� = 28
7���� = 28 ���� =4
���� = 12, ���� =16
Основи: 12 см і 16 см.
Відповідь:
1) 12 см і 16 см;
2) 7 см і 21 см;
3) 12 см і 16 см.
15. У паралелограмі ABCD
BK = 4 см і KC = 6
ABCD — паралелограм, тому
AD ∥ BC, AB ∥ CD.
∠KAD = ∠BKA
∠KAD = ∠KAB.
Отже
∠BKA = ∠KAB.
Тому трикутник ABK — рівнобедрений, і
AB = BK.
BK = 4 см, тому
AB = 4 см.
Знайдемо сторону BC:
BC = BK + KC
BC = 4 + 6 = 10 см.
У паралелограмі протилежні сторони
AD = BC = 10 см.
Периметр паралелограма:
P = 2(AB + BC)
P = 2(4 + 10)
P = 28 см.
Відповідь: 28 см.
16. У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 7 см. Бісектриса кута B
перетинає AD у точці M. Знайдіть AM і MD.
ABCD — паралелограм, тому
AB ∥ CD, BC ∥ AD, AB = CD, BC = AD.
BM — бісектриса кута B, тому
∠ABM = ∠MBC.
Оскільки BC ∥ AD, то
∠MBC = ∠BMA (як внутрішні різносторонні
BC і AD та січній BM).
Отже
∠ABM = ∠BMA.
Тому трикутник ABM — рівнобедрений, і
AB = AM.
AB = 4 см, тому
AM = 4 см.
Знайдемо AD:
AD = BC = 7 см.
MD = AD − AM
MD = 7 − 4 = 3 см.
Відповідь: AM = 4 см, MD = 3 см.
17. Знайдіть
цей кут:
1) на 30° менший
2)
Тоді
∠AOB = 180° 2x (сума кутів трикутника).
∠BOC = 180° ∠AOB (як суміжні). Тому
∠BOC = 2x.
1. Кут між стороною AB і діагоналлю AC на 30° менший
діагоналями, що лежить проти меншої сторони. Це гострий кут між
діагоналями (180° 2x). Тоді
x = (180° 2x) 30° .
x = 150° 2x
3x = 150° .
x = 50°
2. Кут між стороною AB і
діагоналями, що
x = 2x 70° .
x = 70°
Відповідь:
1) 50°
2) 70
1)
Нехай ABCD — прямокутник, AC і BD — його діагоналі, O — точка їх перетину. Потрібно знайти кут ∠CAD (кут між більшою стороною AD і
діагоналлю AC). Нехай ∠CAD = x.
У прямокутнику діагоналі рівні і
AO = DO (властивість діагоналей прямокутника). Отже, трикутник AOD —
рівнобедрений.
Тому ∠ADO = ∠CAD = x (властивість рівнобедреного трикутника).
Тоді ∠AOD = 180° 2x (сума кутів трикутника).
Кути ∠AOD і ∠AOB — суміжні, тому ∠AOB = 2x.
Отже, один кут між діагоналями дорівнює 2x, а інший — 180° − 2x.
1. Кут між стороною AD і діагоналлю AC на 60° менший від кута
діагоналями, який
діагоналями (180° − 2x).
x = (180° − 2x) − 60°
x = 120° − 2x
3x = 120°
x = 40°.
2. Кут між стороною
діагоналями,
діагоналями (2x).
x = 2x − 20°
x = 20°.
Відповідь:
1) 40°;
2) 20°.
19.
ABCD — ромб.
Сторона AB утворює з діагоналями кути ∠BAC і ∠ABD.
Нехай ∠BAC = x, тоді ∠ABD = x + 20° (за умовою).
У ромбі діагоналі
∠A = 2x
∠B = 2(x + 20)
Сусідні кути ромба суміжні:
∠A + ∠B = 180°
2x + 2(x + 20) = 180
2x + 2x + 40 = 180
4x + 40 = 180
4x = 140 x = 35
Тоді:
∠A = 2 · 35° = 70°
∠B = 2(35° + 20°) = 110°
Отже,
∠A = ∠C = 70°
∠B = ∠D = 110°.
Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
тому:
ABCD — ромб.
Сторона AB
Нехай
∠BAC = x,
∠ABD = 4x (за відношенням 1 : 4).
У ромбі
∠A = 2x
∠B = 2 · 4x = 8x
Сусідні кути ромба суміжні:
∠A + ∠B = 180°
2x + 8x = 180
10x = 180
x = 18
Тоді:
∠A = 2 · 18° = 36°
∠B = 8 · 18° = 144°
Отже,
∠A = ∠C = 36°
∠B = ∠D = 144°.
Відповідь: 36°, 144°, 36°, 144°.
21.
△ABD — рівнобедрений (AD = BD за умовою).
∠DAB = ∠DBA = (180° − ∠BDA) : 2 = (180° − 20°) : 2 = 160° : 2 = 80°.
∠CDA = ∠DAB = 80° (як кути
∠CBD = ∠CDA − ∠BDA = 80° − 20° = 60°.
∠CBD = ∠BDA = 20° (як внутрішні різносторонні
У △BCD
∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 100°, 80°.
22. У рівнобічній
ABCD — трапеція, AB = BC = CD, ∠BCA = 25°.
△ABC — рівнобедрений за умовою, тоді
∠BAC = ∠BCA = 25°.
∠CAD = ∠BCA = 25° (як внутрішні
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 25° + 25° = 50°.
∠D = ∠BAD = 50° (як кути при
трапеції).
BC ∥ AD і січній BD).
BC ∥ AD і січній AC)
∠B = ∠C = 180° ∠BAD = 180° − 50° = 130°.
Відповідь: 50°, 130°, 130°, 50°.
23. Сторони трикутника відносяться як 4 : 2 : 3.
периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 45 см.
Нехай сторони даного трикутника: 4x, 2x, 3x.
Середня лінія трикутника
Периметр цього трикутника:
2x + x + 1,5x = 4,5x.
За умовою
4,5x = 45
x = 10.
Тоді сторони даного трикутника:
4x = 40 см
2x = 20 см
3x = 30 см. Відповідь: 20 см, 30 см, 40 см.
Сторони трикутника середніх
Нехай вони дорівнюють: 4x, 7x, 5x.
Кожна середня лінія
відносяться як 4 : 7 : 5.
трикутника, тому сторони даного трикутника: 8x, 14x, 10x.
Периметр даного трикутника:
8x + 14x + 10x = 32
32x = 32 x = 1.
Отже сторони трикутника:
8 см, 14 см, 10 см.
Відповідь: 8 см, 14 см, 10 см.
25. Два кути паралелограма
∠A : ∠B = 4 : 5.
Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді
∠A = ∠C = 4x,
∠B = ∠D = 5x.
Сума сусідніх кутів паралелограма
4x + 5x = 180°
9x = 180°
x = 20.
∠C = 4 · 20° = 80°.
Сума кутів чотирикутника AECF
∠A + ∠E + ∠C + ∠F = 360°
∠A + 90° + 80° + 90° = 360°
∠A + 260° = 360°
∠A = 100°.
Відповідь: 100°.
26. Один з
ABCD — паралелограм.
BK ⟂ AD, BN
∠A = x,
∠B = x + 40°.
Сума сусідніх
x + (x + 40°) = 180°
2x + 40° = 180°
2x = 140°
x = 70°.
Тоді
∠A = 70°,
∠B = 110°,
∠D = 110°.
Розглянемо чотирикутник KBND.
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°:
∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°
∠KBN + 90° + 110° + 90° = 360°
∠KBN + 290° = 360°
∠KBN = 70°.
Відповідь: 70°.
27. У рівнобедрений
Тоді
CK = KL = LM = MC = x. Катети трикутника:
AC = CK + KA = x + KA,
BC = CM + MB = x + MB.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то KA = MB.
Трикутники AKL і MBL — прямокутні.
KL ∥ AC і LM ∥ BC, тому
∠KAL = ∠MBL = 45°.
Отже трикутники AKL і MBL — рівнобедрені прямокутні, тому
KA = KL = x,
MB = LM = x.
Тоді
AC = CK + KA = x + x = 2x.
За умовою AC = 4, тому
2x = 4,
x = 2.
Периметр квадрата:
P = 4x = 4 · 2 = 8 см.
Відповідь: 8 см.
28. У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано
квадрат KLMN так, що
M і N – катетам. Периметр
20 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
Сторона квадрата:
KL = KN = LM = MN = 20 : 4 = 5 см.
У △ABC
∠A = ∠B = 45°.
Розглянемо трикутники AKN і BLM.
Вони прямокутні та рівнобедрені, тому
AK = KN = 5,
BL = LM = 5.
Гіпотенуза трикутника:
AB = AK + KL + LB
AB = 5 + 5 + 5
AB = 15 см.
Відповідь: 15 см.
29. Основи
У трапеції ABCD (BC ∥ AD) BC = 12 см, AD = 20 см. MN — середня лінія, AC і BD — діагоналі; K і P — точки перетину діагоналей із середньою лінією. У △ABC M — середина AB, MK ∥ BC (частина середньої лінії), тому за теоремою Фалеса K — середина AC.
Отже, MK — середня лінія △ABC.
MK = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 см
Аналогічно у △BCD PN — середня лінія.
PN = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 см.
MN = 1 2 (BC + AD) = 1 2 (12 + 20) = 16 см.
KP = MN − (MK + PN) = 16 − (6 + 6) = 4 см.
Відповідь: 6 см, 4 см, 6 см.