1.1. Порівняйте числа a і b, якщо:
1) ����−���� =0,4;
0,4>0, отже ���� > ���� ;
2) ����−���� = 3;
3<0, отже ���� < ����;
3) ����−���� =0;
����−���� =0, отже ���� = ����;
4) ���� +5= ���� ;
����−���� = 5;
5<0, отже ���� < ����
1.2. Яке із чисел, x або y, є більшим, якщо:
1) ����−���� = 8;
8<0, отже ���� < ����;
2) ����−���� = 10;
����−���� = 10 ⟹−(����−����)= 10 ⟹����−���� = 10;
10 <0, отже ���� > ���� ;
3) ����− 6= ����;
����−���� =6;
6>0, отже ���� > ����.
1.3. Відомо, що m < n.
���� < ����⟹����−���� <0; 1)4,6;
4,6>0 − ні; 2) 5,2;
5,2<0 так; 3)0?
0=0 ні.
1.4. Відомо, що b > c. Чи може різниця b - c
���� > ����⟹����−���� >0; 1) 1,6;
1,6<0 ні;
2) 2,7?
2,7>0 так.
точка A
2) ����≥���� і ����≤���� ?
так, якщо ���� = ����.
1.9. Як ви думаєте,
1) ���� 2 >0;
якщо ���� =0, то 02 =0, отже 0>0 ні; 2) ���� 2 +2>0;
���� 2 ≥ 0 ⟹���� 2 +2 ≥ 2, отже 2>0 так;
3) −���� <0;
якщо ���� = 1, то ( 1)=1, отже 1<0 ні;
4) (���� +2)2 ≥ 0; квадрат будь
1) ���� = 1;
4( 1+1)=4 ⋅ 0=0; 1 2= 3;
0> 3, отже 4(���� +1)> ����− 2; 2) ���� =0;
4(0+1)=4 ⋅ 1=4; 0 2= 2; 4> 2, отже 4(���� +1)> ����− 2; 3) ���� =3;
4(3+1)=4 ⋅ 4= 16; 3 2=1;
16 >1, отже 4(���� +1)> ����− 2; 4(���� +1) (����− 2)=4���� +4 −���� +2=3���� +6; якщо ���� = 5, то 3 ⋅ ( 5)+6= 15 +6= 9;
9<0, отже 4(���� +1)< ����− 2 ні.
1.11. Доведіть, що
1) 6����− 5<3(2����− 1);
(6����− 5) − (6����− 3)=6����− 5 − 6���� +3= −2;
2<0 доведено;
2) (���� +3)(���� +1)> ����(���� +4);
(����2 + ���� +3���� +3) (���� 2 +4����)= ���� 2 +4���� +3 −���� 2 4���� =3;
3>0
доведено;
3) (����− 4)(���� +4)> ���� 2 20;
(���� 2 16) (���� 2 20)= ���� 2 16 −���� 2 + 20 =4;
4>0
доведено;
4) 3(����− 4)+2���� <5����− 10; (3����− 12 +2����) (5����− 10)=5����− 12 5���� + 10 = 2;
2<0 доведено;
5) ����(���� +6) −���� 2 <2(3���� +1);
(���� 2 +6����−���� 2 ) (6���� +2)=6����− 6����− 2= 2;
2<0 доведено;
6) (���� +5)(����− 2) ≥ 3����− 10; (���� 2 2���� +5����− 10) (3����− 10)=
; ���� 2 ≥ 0
доведено;
7) ����(����− 2) ≥−1; (����2 − 2���� ) − (−1)= ���� 2 − 2���� +1=(����− 1)2 ; (����− 1)2 ≥ 0 доведено;
8) (���� +7)2 > 14���� + 40; (���� 2 + 14���� + 49) (14���� + 40)= ����
+9; ���� 2 +9>0 доведено.
1.12. Доведіть, що при
1) 5���� + 12 >5(���� +2); (5���� + 12) (5���� + 10)=5���� + 12 5����− 10 =2;
2>0 доведено;
2) (����− 3)(���� +4)< ����(���� +1); (����2 +4����− 3����− 12) (����2 + ����)=
12 <0 доведено;
3) (���� +1)2 > ���� (���� +2); (���� 2 +2���� +1) (���� 2 +2���� )= ���� 2 +2���� +1 −���� 2 2���� =1;
4) ����(���� +8)<(���� +4)2 ; (���� 2 +8����) (���� 2 +8���� + 16)= ���� 2 +8����−���� 2 8����− 16 = 16; 16 <0 доведено; 5) (2����− 5)2 ≤ 6���� 2 20���� + 25; (4����
= (���� 2 +6�������� +9���� 2 ) = (���� +3����)2 ; (���� +3����)2 ≤ 0 доведено;
3) 4���� 2 +4���� +3>0;
(4���� 2 +4���� +1)+2=(2���� +1)2 +2; (2���� +1)2 +2 ≥ 2;
2>0
доведено;
4) ����(����− 3)>5(����− 4); (����2 3����
=(����− 4)2 +4; (����− 4)2 +4 ≥ 4;
4>0 − доведено;
5) 2���� 2 8���� + 16 >0;
2(���� 2 4���� +8)=2(���� 2 4���� +4+4)=2((����− 2)2 +4)=2(����− 2)2 +8;
2(����− 2)2 +8 ≥ 8;
8>0 доведено; 6) ���� 2 + �������� + ���� 2 ≥ 0. ���� 2 +2 ⋅����⋅
. 1.15. Доведіть нерівність: 1) 9���� 2 6�������� +4���� 2 ≥ 0; (9���� 2
1) ����
= 2;
числа: ����− 1, ����, ���� +1;
1.20.
1) ���� 2 + ���� 2 +6����− 4���� + 13 ≥ 0; (���� 2 +6���� +9)+(���� 2 4���� +4)=(���� +3)2 +(����− 2)2 ; (���� +3)2 ≥ 0,(����− 2)2 ≥ 0 ⟹ (���� +3)2 +(����− 2)2 ≥ 0 доведено;
2) ���� 2 2���� + ���� 2 + 10���� + 28 >0; (���� 2 2���� +1)+(���� 2 + 10���� + 25)+2=(����− 1)2 +(���� +5)2 +2; (����− 1)2 ≥ 0,(���� +5)2 ≥ 0 ⟹ (����− 1)2 +(���� +5)2 +2 ≥ 2; 2>0 ⟹ (����− 1)2 +(���� +5)2 +2>0 доведено;
=(����− 2)2 +(����− 2)2 +(����− 2)2 ;
(����− 2)2 ≥ 0,(����− 2)2 ≥ 0,(����− 2)2 ≥ 0 ⟹
⟹ (����− 2)2 +(����− 2)2 +(����− 2)2 ≥ 0 доведено;
1.28.
4���� +4=(����− 2)2 ; (����− 2)2 ≥ 0;
5) ���� 2 + ���� 2 +2>0; ���� 2 ≥ 0, ���� 2 ≥ 0 ⟹���� 2 + ���� 2 +2 ≥ 2;
2>0 ⟹���� 2 + ���� 2 +2>0;
6) ����� 2 +3 >0;
���� 2 ≥ 0 ⟹���� 2 +3 ≥ 3; ����� 2 +3 ≥ √3; √3 >0 ⟹ ����� 2 +3 >0.
= 16����− 80;
пари: (0,1),(2,3),(4,5),…,(998,999).