3���� 2 9=3���� 2 +3���� 9=3���� ���� = −3
10. Розв'яжіть рівняння:
1) 2���� +4 ����− 2 =0
2���� +4=0
2���� = −4 ���� = 2
2) 3 ���� +8 ���� =0
3����− (���� +8) ���� =0
3����−����− 8 ���� =0
2����− 8=0
2���� =8 ���� =4
3) ���� ���� +1 = 4 5
5���� =4(���� +1)
5���� =4���� +4 ���� =4
4) 2���� 2 +8 ����− 1 =2����
2���� 2 +8=2���� (����− 1)
2���� 2 +8=2���� 2 2����
8= 2���� ���� = 4
11. Обчисліть:
3)
2)
Відповідь: 37 років. 20.
2+ 1 ����− 20 + ����− 18 ����− 20 =0;
2(����− 20)+1+ ����− 18 ����− 20 =0;
2����− 40 +1+ ����− 18 ����− 20 =0;
3����− 57 ����− 20 =0;
3����− 57 =0, при ����− 20 ≠ 0;
3���� = 57; ���� = 19.
2) 4 ���� +1 + 3����− 7 ����− 2 =3;
4(����− 2)+(3����− 7)(���� +1) (���� +1)(����− 2) =3;
4����− 8+3���� 2 +3����− 7����− 7 ���� 2 − 2���� + ����− 2 =3;
3���� 2 15 ���� 2 −����− 2 =3;
3���� 2 − 15 =3(���� 2 −����− 2), при ����≠−1, ����≠ 2;
3���� 2 15 =3���� 2 3����− 6; 15 = 3����− 6;
3���� = 15 − 6;
3���� =9; ���� =3.
3) 100���� + 18���� = 100 ⋅ 19 + 18 ⋅ 3= 1900 + 54 = 1954.
3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� i 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2
100���� + 19
1) 3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� ;
3+ 1 ����− 16 = ����− 13 ����− 16 ;
3+ 1 ����− 16 + ����− 13 ����− 16 =0;
3(����− 16)+1+ ����− 13 ����− 16 =0;
3����− 48 +1+ ����− 13 ����− 16 =0;
4����− 60 ����− 16 =0;
4����− 60 =0, при ����≠ 16;
4���� = 60; ���� = 15.
2) 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2;
5(���� +3)+(2����− 1)(���� +1) (���� +1)(���� +3) =2; 5���� + 15 +2���� 2 +2����−����− 1 ���� 2 +3���� + ���� +3 =2;
2���� 2 +6���� + 14 ���� 2 +4���� +3 =2; 2
14 6=8����− 6����; 8=2����; ���� =4.
3)
Відповідь: 1576 рік.
1>0.
Відповідь: ні, не існує. 27.
���� +1)2 ;
3(���� +1)3 (���� +1)3 =3. При ���� =
6(����− 1)3 (���� +1)
(����− 1)3 (���� +1) =6.
При ���� = 2027 значення виразу дорівнює 6.
Відповідь: Валентин Білас посів 6-те місце.
29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння 8 |���� | =6 −���� , використовуючи графічний спосіб розв'язування.
2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його
1)
Точки для ���� =6 −���� :(0;6),(6;0),(2;4),(4;2),( 2;8).
Цілі корені: 2;4.
Якщо ���� = 2, то ���� =( 2)2 =4;
Якщо ���� =0, то ���� =02 =0;
Якщо ���� =7, то ���� =72 = 49.
32. Чи має корені рівняння:
1) ���� 2 =4;
���� =±√4; ���� =±2.
Відповідь: так.
2) ���� 2 = −4;
���� 2 ≥ 0 для будь-якого ���� , а 4<0.
Відповідь: ні.
3) ���� 2 =0;
���� =0.
Відповідь: так.
4) ���� 2 = 10; ���� =±√10.
Відповідь: так.
33. Обчисліть:
1) √25 =5;
2) �0,09 =0,3;
3)�1 11 25 = �36 25 = 6 5 =1,2;
4) √64 2�
8) �2(0,32 +0,41) = �2(0,09 +0,41) = �2 ⋅ 0,5 = √1 =1.
34. Обчисліть:
1) √36 =6;
2) �0,49 =0,7;
3)�2 1 4 = �9 4 = 3 2 =1,5;
4) √100 +5�0,64 = 10 +5 ⋅ 0,8= 10 +4= 14;
5) − 10�0,09 = −10 ⋅ 0,3= −3;
6) 8�3 1 16 =8�49 16 =8 ⋅ 7 4 = 14;
7) �152 92 = √225 81 = √144 = 12; 8) �8(0,42 +0,34) = �8(0,16 +0,34) = �8 ⋅ 0,5 = √4 =2.
35. Знайдіть
√13 +6,79
1) √15 +7,383 ≈ 3,873 +7,383 = 11,256; 2) 13 − √26 ≈ 13 − 5,099 =7,901;
3) √3 + √2 ≈ 1,732 +1,414 =3,146.
37. Обчисліть:
1) ( √17)2 = 17; 2) 2,9+(√3)2 =2,9+3=5,9;
3) √100 ⋅ 64 = 10 ⋅ 8= 80;
3) ���� 2 +0,07 =0,08;
���� 2 =0,08 − 0,07;
���� 2 =0,01;
���� =±�0,01;
����1 =0,1, ����2 = −0,1.
4) 2���� 2 = 12;
���� 2 = 12:2;
���� 2 =6;
���� =±√6;
����1 = √6, ����2 = √6.
5) √���� =3;
���� =32 ;
���� =9.
6) √���� =0;
���� =02 ;
���� =0.
7) √���� +3=8;
√���� =8 − 3;
√���� =5;
���� =52 ;
���� = 25.
8) 1 3 √���� =5;
√���� =5 ∶ ( 1 3);
√���� =5 ⋅ (−3);
√���� = 15;
40. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 = 64;
���� =±√64;
����1 =8, ����2 = 8.
2)���� 2 = 64; рівняння не має розв’язків,
3) ���� 2 +5=7;
���� 2 =7 − 5;
���� 2 =2;
���� =±√2;
����1 = √2, ����2 = √2.
4) 1 4 ���� 2 =0;
���� 2 =0: 1 4 ;
���� 2 =0;
���� =0.
5) √���� =1;
���� =12 ;
���� =1.
6) √���� = −8;
7) √���� 2=3; √���� =3+2;
√���� =5;
���� =52 ;
���� = 25.
8) 4√���� =8;
4) 0,1√200���� = �0,12 ⋅ 200���� = �0,01 ⋅ 200���� = √2����.
45. Розв'яжіть рівняння:
1) 4√���� − 12 =0;
4√���� = 12;
√���� = 12 ∶ 4;
√���� =3;
���� =32 ;
���� =9.
2) 20 √����− 3 = 10;
10 ⋅ √����− 3 = 20;
√����− 3 = 20 ∶ 10;
√����− 3 =2;
����− 3=22 ;
����− 3=4;
���� =4+3;
���� =7.
3) (����− 5)2 = 36;
����− 5=6 або ����− 5= −6;
����1 =6+5, ����2 = 6+5;
����1 = 11, ����2 = 1.
4) (����− 9)2 = −4; рівняння
5) ����− 1 5 = 7 ���� +1 ;
(����− 1)(���� +1)=5 ⋅ 7;
���� 2 1= 35;
���� 2 = 35 +1;
,
(���� 9)2 ≥ 0
���� 2 = 36;
���� =±√36;
����1 =6, ����2 = −6.
6) (2����− 1)2 +(2���� +1)2 = 18;
4���� 2 − 4���� +1+4���� 2 +4���� +1= 18;
8���� 2 +2= 18;
8���� 2 = 18 2;
8���� 2 = 16;
���� 2 = 16 ∶ 8;
���� 2 =2;
���� =±√2;
����1 = √2, ����2 = √2.
46. Розв'яжіть рівняння:
1) 5√���� + 15 =0;
5√���� = 15;
√���� = −15 ∶ 5;
√���� = 3;
не має розв’язків,
2) 15 √���� +2 =3;
3 ⋅ √���� +2 = 15;
√���� +2 = 15 ∶ 3;
√���� +2 =5;
���� +2=52 ;
���� +2= 25;
���� = 25 2;
���� = 23.
3) (���� +9)2 =0;
���� +9=0;
���� = 9.
4) (����− 3)2 = 49;
����− 3=7 або ����− 3= 7;
����1 =7+3, ����2 = 7+3;
����1 = 10, ����2 = −4.
5) 3 ����− 2 = ���� +2 4 ;
(����− 2)(���� +2)=3 ⋅ 4;
���� 2 4= 12;
���� 2 = 12 +4;
���� 2 = 16;
���� =±√16;
����1 =4, ����2 = 4.
6) (3���� +1)2 +(3����− 1)2 = 56;
9���� 2 +6���� +1+9���� 2 − 6���� +1= 56;
18���� 2 +2= 56;
18���� 2 = 56 − 2;
18���� 2 = 54;
���� 2 = 54 ∶ 18;
���� 2 =3;
���� =±√3;
����1 = √3, ����2 = √3.
1) ���� 2 =3���� ;
у 0 1 2 4
Для ���� =3 0,25���� : х 0 4
3 2
Точка перетину: (4;2).
Відповідь: ���� =4. 52.
1) ���� 2 = 2���� ;
Відповідь: ����1 =0, ����2 = 2.
2) √���� =5 4���� ;
Для ���� = √���� :
shkola.in.ua
59. Випишіть коефіцієнти ���� , ���� і
1) 3���� 2 +4����− 7=0;
���� =3, ���� =4, ���� = 7.
2) 4���� 2 +8=0;
���� =4, ���� =0, ���� =8.
3) 4����−���� 2 +9=0;
���� = 1, ���� =4, ���� =9.
4) 5���� 2 =0;
���� =5, ���� =0, ���� =0.
5) 9����−���� 2 =0;
���� = −1, ���� =9, ���� =0.
6) 9+8����−���� 2 =0;
���� = −1, ���� =8, ���� =9.
60. Знайдіть,
1) ���� 2 +2����− 3=0;
����1 + ����2 = −2; ����1 ⋅����2 = −3.
2) ���� 2 2���� =0;
����1 + ����2 =2; ����1 ⋅����2 =0.
3) −���� 2 +9����− 8=0;
���� 2 9���� +8=0;
����1 + ����2 =9; ����1 ⋅����2 =8.
4) 2���� 2 4����− 7=0;
���� 2 2����− 3,5=0;
����1 + ����2 =2; ����1 ⋅����2 = 3,5.
5) 5���� 2 8���� +1=0;
���� 2 1,6���� +0,2=0;
����1 + ����2 =1,6; ����1 ⋅����2 =0,2.
6) 6���� 2 12 =0;
���� 2 − 2=0;
����1 + ����2 =0; ����1 ⋅����2 = 2.
61. Розв'яжіть
1) 7���� 2 28 =0;
7���� 2 = 28;
���� 2 =4;
���� =±2.
2) 4���� 2 8���� =0;
4���� (����− 2)=0;
����1 =0, ����2 =2.
3) 9���� 2 =0;
���� 2 =0;
���� =0.
4) 2���� 2 + 18 =0;
2���� 2 = 18;
���� 2 = 9;
коренів немає.
5) 4���� 2 2���� =0;
2���� (2���� +1)=0;
����1 =0, ����2 = 0,5.
6) 0,2���� 2 +0,6���� =0;
0,2���� (���� +3)=0;
����1 =0, ����2 = −3.
62. Розв'яжіть неповні квадратні рівняння:
1) 4���� 2 + 12���� =0;
4���� (���� +3)=0;
����1 =0, ����2 = −3.
2) 4���� 2 36 =0;
4���� 2 = 36;
���� 2 =9;
���� =±3.
3) −���� 2 +2���� =0;
−���� (����− 2)=0;
����1 =0, ����2 =2.
4) 7���� 2 =0;
���� 2 =0;
���� =0.
5) 3���� 2 + 27 =0;
3���� 2 = 27;
���� 2 = 9; коренів немає.
6) 0,3���� 2 3���� =0; 0,3���� (����− 10)=0;
����1 =0, ����2 = 10.
63. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 4���� +3=0;
���� =(−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3= 16 − 12 =4;
����1 = 4 2 2 =1;
����2 = 4+2 2 =3;
2) 3���� 2 +2����− 5=0;
���� =22 4 ⋅ 3 ⋅ ( 5)=4+ 60 = 64;
����1 = 2 8 6 = −1 2 3 ;
����2 = −2+8 6 =1;
3) ���� 2 − 10���� + 25 =0;
(����− 5)2 =0; ����− 5=0;
���� =5;
4) 2���� 2 =4 7���� ;
2���� 2 +7����− 4=0;
���� =72 4 ⋅ 2 ⋅ ( 4)= 49 + 32 = 81;
����1 = 7 9 4 = 4;
����2 = −7+9 4 =0,5;
5) ���� 2 =5����− 7;
���� 2 5���� +7=0;
���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7= 25 28 = 3;
���� <0;
коренів немає;
6) 2���� = ���� 2 8;
���� 2 − 2����− 8=0;
���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36;
����1 = 2 6 2 = 2;
����2 = 2+6 2 =4.
64. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 −����− 2=0;
���� =(−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9;
����1 = 1 3 2 = 1;
����2 = 1+3 2 =2;
2) 2���� 2 3����− 5=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49;
����1 = 3 7 4 = −1;
����2 = 3+7 4 =2,5;
3) ���� 2 + 12���� + 36 =0;
(���� +6)2 =0;
���� +6=0;
���� = −6;
4) 3���� =5���� 2 2;
5���� 2 − 3����− 2=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 5 ⋅ ( 2)=9+ 40 = 49;
����1 = 3 7 10 = −0,4;
����2 = 3+7 10 =1;
5) ���� 2 +2=3���� ;
���� 2 3���� +2=0;
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2=9 − 8=1;
����1 = 3 1 2 =1;
����2 = 3+1 2 =2;
6) 3���� = ���� 2 +7;
���� 2 3���� +7=0;
���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7=9 28 = 19;
���� <0;
сторона. ����⋅ (���� +4)= 96
���� 2 +4����− 96 =0
���� =42 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−96)= 16 + 384 =
����⋅ (���� +5)= 300
���� 2 +5����− 300 =0 ���� =52 4 ⋅ 1 ⋅ ( 300)= 25 + 1200 = 1225 ����1 = 5+ √1225 2 = 5+ 35 2 = 30 2 =
умову) ���� +5= 15 +5= 20 (м) ���� =2 ⋅ (15 + 20)=2 ⋅ 35 = 70 (м)
70 м
���� 2 8����− 9=0
���� =(−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−9)= 64 + 36 = 100
����1 = 8+ 10 2 =9
����2 = 8 − 10 2 = 1 (не задовольняє ����≥ 0)
���� 2 =9
����1,2 =±3
Відповідь: −3;3
2) ���� 4 + 10���� 2 +9=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.
���� 2 + 10���� +9=0
���� = 102 4 ⋅ 1 ⋅ 9= 100 36 = 64
����1 = 10 +8 2 = 1<0
����2 = 10 8 2 = 9<0
Рівняння не має коренів.
Відповідь: коренів немає
3) ���� 4 − 6���� 2 +8=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.
���� 2 − 6���� +8=0
���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 8= 36 32 =4
����1 = 6+2 2 =4
����2 = 6 2 2 =2
���� 2 =4 ⇒����1,2 =±2 ���� 2
2;2; √2; √2
1) ���� 4 3���� 2 4=0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0
���� 2 3����− 4=0 ���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25 ����1 = 3+5 2 =4
= 3 − 5 2 = 1 (не
0) ���� 2 =4
����1,2 =±2
Відповідь: 2;2
2) ���� 4 4���� 2 +3=0 Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0 ���� 2 4���� +3=0
2 =3 ⇒����1,2 =±√3 ���� 2 =1 ⇒����3,4 =±1
−√3; √3; −1;1
3) ���� 4 + 10���� 2 + 25 =0
Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0
2 + 10���� + 25 =0
1) ���� 2 + ����− 2
3 =0 ���� 2 + ����− 2=0 ���� =12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9 ����1 = 1+3 2 =1; ����2 = 1 3 2 = 2 ����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3
Відповідь: 1; 2
2) ���� 2 +4����− 5 ����− 1 =0 ���� 2 +4����− 5=0
=42 4 ⋅ 1 ⋅ ( 5)= 16 + 20 = 36
= 4+6 2 =1; ����2 = 4 6 2 = 5
1 ≠ 0 ⇒����≠ 1 Відповідь: 5
3) ���� 2 ����− 2 = 2���� ����− 2 ���� 2 =2���� ���� 2 2���� =0
���� (����− 2)=0 ����1 =0; ����2 =2 ����− 2 ≠ 0 ⇒����≠ 2
���� =1
����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3
Відповідь: 1
5) ����− 3 8 = ���� ���� +3
(����− 3)(���� +3)=8����
���� 2 9=8����
���� 2 − 8����− 9=0
���� =( 8)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 9)= 64 + 36 = 100
����1 = 8+ 10 2 =9; ����2 = 8 10 2 = 1
���� +3 ≠ 0 ⇒����≠−3
Відповідь: 9; 1
6) 4 ���� = ���� +3
4= ���� (���� +3)
4= ���� 2 +3����
���� 2 +3����− 4=0
���� =32 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25
����1 = −3+5 2 =1; ����2 = −3 − 5 2 = 4
����≠ 0
Відповідь: 1; −4
72. Розв'яжіть рівняння:
1) ���� 2 2����− 8 ���� +1 =0 ���� 2 2����− 8=0 ���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36
����1 = 2+6 2 =4; ����2 = 2 6 2 = 2
���� +1 ≠ 0 ⇒����≠−1
Відповідь: 4; 2
2) ���� 2 − 3����− 4 ����− 4 =0
���� 2 − 3����− 4=0
���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1
����− 4 ≠ 0 ⇒����≠ 4
Відповідь: 1
3) ���� 2 ���� +4 = 16 ���� +4
���� 2 = 16
����1,2 =±4
���� +4 ≠ 0 ⇒����≠−4
Відповідь: 4
4) ���� 2 3���� ����− 5 = 2 5 −����
���� 2 3���� ����− 5 + 2 ����− 5 =0
���� 2 3���� +2=0 ���� =(−3)2 − 4
����− 5 ≠ 0 ⇒����≠ 5
Відповідь: 2;1
5) ���� +2 ���� = 3 ����− 2
(���� +2)(����− 2)=3����
���� 2 4=3����
���� 2 3����− 4=0
���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25
����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1
����≠ 0; ����− 2 ≠ 0 ⇒����≠ 2
Відповідь: 4; 1
6) 5 ���� =6 −����
5= ���� (6 −���� )
5=6����−���� 2
���� 2 6���� +5=0
���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 5= 36 20 = 16
����1 = 6+4 2 =5; ����2 = 6 4 2 =1
����≠ 0
Відповідь: 5;1
���� 2 + �������� 6=0 ?
⋅ ( 1)2 + ���� ⋅ ( 1) 6=0 ���� ⋅ 32 + ���� ⋅ 3 6=0
���� =6 9���� +3���� =6 ����� =6+ ���� 9 ⋅ (6+ ����)+3���� =6
+9���� +3���� =6
���� = 48 ���� = −4 ���� =6+( 4)=2
���� =2, ���� = 4
3���� 2 + �������� + ���� =0 ?
-3
�3 ⋅ ( 3)2 + ���� ⋅ ( 3)+ ���� =0
3 ⋅ 22 + ���� ⋅ 2+ ���� =0
3 ⋅ 9 3���� + ���� =0
3 ⋅ 4+2���� + ���� =0
�27 3���� + ���� =0
12 + 2���� + ���� =0
=3���� 27
12 + 2���� +(3���� 27)=0
12 +2���� +3���� 27 =0
5���� 15 = 0
5���� = 15
=3
=3 ⋅ 3 − 27 =9 − 27 = −18 Відповідь: ���� =3; ���� = 18 75. Розв'яжіть рівняння:
1) (���� +3)(����− 4)= 12 ���� 2 4���� +3����− 12 = 12 ���� 2 −����− 12 + 12 =0 ���� 2 −���� =0 ���� (����− 1)=0
����2 =
3���� 2 10���� +8=0
���� =(−10)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8= 100 − 96 =4
����1 = 10 +2 2 ⋅ 3 = 12 6 =2
����2 = 10 2 6 = 8 6 =1 1 3
2) ���� +3 5 ���� 2 1 10 = 2 5
2(���� +3) (���� 2 1)=2 ⋅ 2
2���� +6 −���� 2 +1=4
−���� 2 +2���� +7 4=0
−���� 2 +2���� +3=0
���� 2 2����− 3=0
���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16
����1 = 2+4 2 =3
����2 = 2 4 2 = 1
3) ���� =2; ���� =3
600���� +2���� = 600 ⋅ 3+2 ⋅ 2= 1800 +4= 1804
5���� 2 + 25 = 24���� + 30
5���� 2 − 24���� + 25 − 30 =0
5���� 2 24����− 5=0 ���� =(−24)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−5)= 576 + 100 = 676
����1 = 24 + 26 2 ⋅ 5 = 50 10 =5
����2 = 24 26 10 = 2 10 = 0,2 2) ���� 2 +2 4 + ����− 3 5 = 13 10
5(���� 2 +2)+4(����− 3)= 13 ⋅ 2
5���� 2 + 10 +4����− 12 = 26
5���� 2 +4����− 2 − 26 =0
5���� 2 +4����− 28 =0 ���� =42 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−28)= 16 + 560 = 576
����3 = 4+ 24 2 ⋅ 5 = 20 10 =2 ����4 = 4 24 10 = 28 10 = 2,8 3) ����1 + ����2 +
����22 =4
Якщо ����2 =2, то ����1 = −1,5 ⋅ 2= −3
Якщо ����2 = 2, то ����1 = 1,5 ⋅ ( 2)=3
За теоремою Вієта ����1 + ����2 = −����:
1) ����1 = 3; ����2 =2 ⇒−3+2= 1 ⇒���� =1
Перевірка ����: ����1 ⋅����2 = −3 ⋅ 2= −6 (вірно)
2) ����1 =3; ����2 = 2 ⇒ 3+( 2)=1 ⇒���� = 1
Перевірка ����: ����1 ⋅����2 =3 ⋅ ( 2)= 6 (вірно)
Відповідь: ����1 = −3; ����2 =2; ���� =1 або ����1 =3; ����2 = −2; ���� = −1
80. Корені ����1 і ����2 рівняння
+ ����2 =3 2����1 +3����2 =5 �����1 =3 −����2 2(3 −����2 )+3����2 =5 6 2����2 +3����2 =5 ����2 =5 6
����2 = 1 ����1 =3 ( 1)=4
За теоремою Вієта:
����1 ⋅����2
=4 ⋅ ( 1)= 4 Відповідь: ����1 =4; ����2 = 1; ���� = 4
81. Скоротіть дроби: 1) 4����− 12 ���� 2 2����− 3 ���� 2 2����− 3=0 ���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16 ����1 = 2+4 2 =3; ����2 = 2 − 4 2 = 1
shkola.in.ua
3=0 або ���� 2 +2����− 3=0
1) ���� 2 + �������� +4=0;
2) ���� ���� 2 +6����− 1=0 ?
1) ���� 2 + �������� +4=0
���� +1=2 ⟹����1 =1
���� +1= 2 ⟹����2 = 3
Відповідь: 1; 3.
2) (���� 2 + ���� )2 4���� 2 4����− 12 =0; (���� 2 + ���� )2 − 4(���� 2 + ���� ) − 12 =0
Нехай ���� 2 + ���� = ���� .
2 − 4����− 12 =0
=( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)= 16 + 48 = 64 ����1 = 4+8 2 =6 ����2 = 4 8 2 = 2
���� 2 + ���� =6 ⟹���� 2 + ����− 6=0 ���� =12 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)= 25 ���� = 1±5 2 ⟹����1 =2, ����2 = −3
���� 2 + ���� = 2 ⟹���� 2 + ���� +2=0
Відповідь: 2; 3.
92. Розв'яжіть рівняння:
1) (����− 2)4 +4(����− 2)2 5=0;
(����− 2)2 = ���� , де ����≥ 0.
����≥ 0 (����− 2)2 =1
����− 2=1 ⟹����1 =3
����− 2= 1 ⟹����2 =1
Відповідь: 3;1.
2) (���� 2 −���� )2 − 5���� 2 +5���� +6=0;
(���� 2 −���� )2 5(���� 2 −���� )+6=0
Нехай ���� 2 −���� = ���� .
���� 2 5���� +6=0
���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 24 =1
����1 = 5+1 2 =3
����2 = 5 1 2 =2
���� 2 −���� =3 ⟹���� 2 −����− 3=0
���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)= 13
���� = 1± √13 2 ⟹����1 = 1+ √13 2 , ����2 = 1 √13 2
���� 2 −���� =2 ⟹���� 2 −����− 2=0 ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=9 ���� = 1±3 2 ⟹����3 =2, ����4 = 1
Відповідь: 1±√13 2 ;2; 1.
1.1. Порівняйте числа: 1) 0,8 i 0,7; 2) 1,2 i 1,25; 3) 1 2 3 i 2 3; 4) 4 7 i 3 7; 5) ���� i 3 ;