Skip to main content

h-9-al-is

Page 1


3���� 2 9=3���� 2 +3���� 9=3���� ���� = −3

10. Розв'яжіть рівняння:

1) 2���� +4 ����− 2 =0

2���� +4=0

2���� = −4 ���� = 2

2) 3 ���� +8 ���� =0

3����− (���� +8) ���� =0

3����−����− 8 ���� =0

2����− 8=0

2���� =8 ���� =4

3) ���� ���� +1 = 4 5

5���� =4(���� +1)

5���� =4���� +4 ���� =4

4) 2���� 2 +8 ����− 1 =2����

2���� 2 +8=2���� (����− 1)

2���� 2 +8=2���� 2 2����

8= 2���� ���� = 4

11. Обчисліть:

3)

2)

Відповідь: 37 років. 20.

2+ 1 ����− 20 + ����− 18 ����− 20 =0;

2(����− 20)+1+ ����− 18 ����− 20 =0;

2����− 40 +1+ ����− 18 ����− 20 =0;

3����− 57 ����− 20 =0;

3����− 57 =0, при ����− 20 ≠ 0;

3���� = 57; ���� = 19.

2) 4 ���� +1 + 3����− 7 ����− 2 =3;

4(����− 2)+(3����− 7)(���� +1) (���� +1)(����− 2) =3;

4����− 8+3���� 2 +3����− 7����− 7 ���� 2 − 2���� + ����− 2 =3;

3���� 2 15 ���� 2 −����− 2 =3;

3���� 2 − 15 =3(���� 2 −����− 2), при ����≠−1, ����≠ 2;

3���� 2 15 =3���� 2 3����− 6; 15 = 3����− 6;

3���� = 15 − 6;

3���� =9; ���� =3.

3) 100���� + 18���� = 100 ⋅ 19 + 18 ⋅ 3= 1900 + 54 = 1954.

3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� i 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2

100���� + 19

1) 3+ 1 ����− 16 = ����− 13 16 −���� ;

3+ 1 ����− 16 = ����− 13 ����− 16 ;

3+ 1 ����− 16 + ����− 13 ����− 16 =0;

3(����− 16)+1+ ����− 13 ����− 16 =0;

3����− 48 +1+ ����− 13 ����− 16 =0;

4����− 60 ����− 16 =0;

4����− 60 =0, при ����≠ 16;

4���� = 60; ���� = 15.

2) 5 ���� +1 + 2����− 1 ���� +3 =2;

5(���� +3)+(2����− 1)(���� +1) (���� +1)(���� +3) =2; 5���� + 15 +2���� 2 +2����−����− 1 ���� 2 +3���� + ���� +3 =2;

2���� 2 +6���� + 14 ���� 2 +4���� +3 =2; 2

14 6=8����− 6����; 8=2����; ���� =4.

3)

Відповідь: 1576 рік.

1>0.

Відповідь: ні, не існує. 27.

���� +1)2 ;

3(���� +1)3 (���� +1)3 =3. При ���� =

6(����− 1)3 (���� +1)

(����− 1)3 (���� +1) =6.

При ���� = 2027 значення виразу дорівнює 6.

Відповідь: Валентин Білас посів 6-те місце.

29. 1) Знайдіть цілі корені рівняння 8 |���� | =6 −���� , використовуючи графічний спосіб розв'язування.

2) Спробуйте розв’язати рівняння аналітично та знайти його

1)

Точки для ���� =6 −���� :(0;6),(6;0),(2;4),(4;2),( 2;8).

Цілі корені: 2;4.

Якщо ���� = 2, то ���� =( 2)2 =4;

Якщо ���� =0, то ���� =02 =0;

Якщо ���� =7, то ���� =72 = 49.

32. Чи має корені рівняння:

1) ���� 2 =4;

���� =±√4; ���� =±2.

Відповідь: так.

2) ���� 2 = −4;

���� 2 ≥ 0 для будь-якого ���� , а 4<0.

Відповідь: ні.

3) ���� 2 =0;

���� =0.

Відповідь: так.

4) ���� 2 = 10; ���� =±√10.

Відповідь: так.

33. Обчисліть:

1) √25 =5;

2) �0,09 =0,3;

3)�1 11 25 = �36 25 = 6 5 =1,2;

4) √64 2�

8) �2(0,32 +0,41) = �2(0,09 +0,41) = �2 ⋅ 0,5 = √1 =1.

34. Обчисліть:

1) √36 =6;

2) �0,49 =0,7;

3)�2 1 4 = �9 4 = 3 2 =1,5;

4) √100 +5�0,64 = 10 +5 ⋅ 0,8= 10 +4= 14;

5) − 10�0,09 = −10 ⋅ 0,3= −3;

6) 8�3 1 16 =8�49 16 =8 ⋅ 7 4 = 14;

7) �152 92 = √225 81 = √144 = 12; 8) �8(0,42 +0,34) = �8(0,16 +0,34) = �8 ⋅ 0,5 = √4 =2.

35. Знайдіть

√13 +6,79

1) √15 +7,383 ≈ 3,873 +7,383 = 11,256; 2) 13 − √26 ≈ 13 − 5,099 =7,901;

3) √3 + √2 ≈ 1,732 +1,414 =3,146.

37. Обчисліть:

1) ( √17)2 = 17; 2) 2,9+(√3)2 =2,9+3=5,9;

3) √100 ⋅ 64 = 10 ⋅ 8= 80;

3) ���� 2 +0,07 =0,08;

���� 2 =0,08 − 0,07;

���� 2 =0,01;

���� =±�0,01;

����1 =0,1, ����2 = −0,1.

4) 2���� 2 = 12;

���� 2 = 12:2;

���� 2 =6;

���� =±√6;

����1 = √6, ����2 = √6.

5) √���� =3;

���� =32 ;

���� =9.

6) √���� =0;

���� =02 ;

���� =0.

7) √���� +3=8;

√���� =8 − 3;

√���� =5;

���� =52 ;

���� = 25.

8) 1 3 √���� =5;

√���� =5 ∶ ( 1 3);

√���� =5 ⋅ (−3);

√���� = 15;

40. Розв'яжіть рівняння:

1) ���� 2 = 64;

���� =±√64;

����1 =8, ����2 = 8.

2)���� 2 = 64; рівняння не має розв’язків,

3) ���� 2 +5=7;

���� 2 =7 − 5;

���� 2 =2;

���� =±√2;

����1 = √2, ����2 = √2.

4) 1 4 ���� 2 =0;

���� 2 =0: 1 4 ;

���� 2 =0;

���� =0.

5) √���� =1;

���� =12 ;

���� =1.

6) √���� = −8;

7) √���� 2=3; √���� =3+2;

√���� =5;

���� =52 ;

���� = 25.

8) 4√���� =8;

4) 0,1√200���� = �0,12 ⋅ 200���� = �0,01 ⋅ 200���� = √2����.

45. Розв'яжіть рівняння:

1) 4√���� − 12 =0;

4√���� = 12;

√���� = 12 ∶ 4;

√���� =3;

���� =32 ;

���� =9.

2) 20 √����− 3 = 10;

10 ⋅ √����− 3 = 20;

√����− 3 = 20 ∶ 10;

√����− 3 =2;

����− 3=22 ;

����− 3=4;

���� =4+3;

���� =7.

3) (����− 5)2 = 36;

����− 5=6 або ����− 5= −6;

����1 =6+5, ����2 = 6+5;

����1 = 11, ����2 = 1.

4) (����− 9)2 = −4; рівняння

5) ����− 1 5 = 7 ���� +1 ;

(����− 1)(���� +1)=5 ⋅ 7;

���� 2 1= 35;

���� 2 = 35 +1;

,

(���� 9)2 ≥ 0

���� 2 = 36;

���� =±√36;

����1 =6, ����2 = −6.

6) (2����− 1)2 +(2���� +1)2 = 18;

4���� 2 − 4���� +1+4���� 2 +4���� +1= 18;

8���� 2 +2= 18;

8���� 2 = 18 2;

8���� 2 = 16;

���� 2 = 16 ∶ 8;

���� 2 =2;

���� =±√2;

����1 = √2, ����2 = √2.

46. Розв'яжіть рівняння:

1) 5√���� + 15 =0;

5√���� = 15;

√���� = −15 ∶ 5;

√���� = 3;

не має розв’язків,

2) 15 √���� +2 =3;

3 ⋅ √���� +2 = 15;

√���� +2 = 15 ∶ 3;

√���� +2 =5;

���� +2=52 ;

���� +2= 25;

���� = 25 2;

���� = 23.

3) (���� +9)2 =0;

���� +9=0;

���� = 9.

4) (����− 3)2 = 49;

����− 3=7 або ����− 3= 7;

����1 =7+3, ����2 = 7+3;

����1 = 10, ����2 = −4.

5) 3 ����− 2 = ���� +2 4 ;

(����− 2)(���� +2)=3 ⋅ 4;

���� 2 4= 12;

���� 2 = 12 +4;

���� 2 = 16;

���� =±√16;

����1 =4, ����2 = 4.

6) (3���� +1)2 +(3����− 1)2 = 56;

9���� 2 +6���� +1+9���� 2 − 6���� +1= 56;

18���� 2 +2= 56;

18���� 2 = 56 − 2;

18���� 2 = 54;

���� 2 = 54 ∶ 18;

���� 2 =3;

���� =±√3;

����1 = √3, ����2 = √3.

1) ���� 2 =3���� ;

у 0 1 2 4

Для ���� =3 0,25���� : х 0 4

3 2

Точка перетину: (4;2).

Відповідь: ���� =4. 52.

1) ���� 2 = 2���� ;

Відповідь: ����1 =0, ����2 = 2.

2) √���� =5 4���� ;

Для ���� = √���� :

shkola.in.ua

����

Точка перетину: (1;1).

Відповідь: ���� =1.

53. Розв'яжіть рівняння:

1) �|2���� +1| =3;

|2���� +1|=32 ;

|2���� +1|=9;

2���� +1=9 або 2���� +1= 9; 2���� =8,2���� = 10; ����1 =4, ����2 = 5.

2)�2+ ����� 2 +2 =2;

2+ ����� 2 +2 =22 ;

2+ ����� 2 +2 =4; ����� 2 +2 =4 2;

����� 2 +2 =2;

���� 2 +2=22 ;

���� 2 +2=4;

���� 2 =2;

���� =±√2;

����1 = √2, ����2 = −√2.

3) 3|���� 2 2|+1=4;

3|���� 2 − 2|=4 − 1;

3|���� 2 2|=3;

|���� 2 − 2|=1;

���� 2 2=1 або ���� 2 2= 1;

���� 2 =3, ���� 2 =1;

���� =±√3, ���� =±√1;

����1 = √3, ����2 = √3, ����3 =1, ����4 = 1. 54. Розв'яжіть рівняння:

1) �|2����− 1| =5; |2����− 1|=52 ; |2����− 1|= 25;

2����− 1= 25 або 2����− 1= −25;

2���� = 26,2���� = 24;

����1 = 13, ����2 = 12. 2)�3+ ����� 2 +3 =3; 3+ ����� 2 +3 =32 ;

����� 2 +3 =9;

2 +3 =9 3;

2 +3 =6;

���� 2 +3=62 ;

���� 2 +3= 36;

���� 2 = 33;

���� =±√33;

����1 = √33, ����2 = √33.

3) 5|���� 2 2| 2=8;

5|���� 2 2|=8+2; 5|���� 2 2|= 10;

|���� 2 2|= 10 ∶ 5;

|���� 2 2|=2;

���� 2 2=2 або ���� 2 2= 2;

���� 2 =4, ���� 2 =0;

���� =±√4, ���� =0;

����1 =2, ����2 = 2, ����3 =0.

55. Обчисліть:

Обчисліть:

shkola.in.ua

59. Випишіть коефіцієнти ���� , ���� і

1) 3���� 2 +4����− 7=0;

���� =3, ���� =4, ���� = 7.

2) 4���� 2 +8=0;

���� =4, ���� =0, ���� =8.

3) 4����−���� 2 +9=0;

���� = 1, ���� =4, ���� =9.

4) 5���� 2 =0;

���� =5, ���� =0, ���� =0.

5) 9����−���� 2 =0;

���� = −1, ���� =9, ���� =0.

6) 9+8����−���� 2 =0;

���� = −1, ���� =8, ���� =9.

60. Знайдіть,

1) ���� 2 +2����− 3=0;

����1 + ����2 = −2;  ����1 ⋅����2 = −3.

2) ���� 2 2���� =0;

����1 + ����2 =2;  ����1 ⋅����2 =0.

3) −���� 2 +9����− 8=0;

���� 2 9���� +8=0;

����1 + ����2 =9;  ����1 ⋅����2 =8.

4) 2���� 2 4����− 7=0;

���� 2 2����− 3,5=0;

����1 + ����2 =2;  ����1 ⋅����2 = 3,5.

5) 5���� 2 8���� +1=0;

���� 2 1,6���� +0,2=0;

����1 + ����2 =1,6;  ����1 ⋅����2 =0,2.

6) 6���� 2 12 =0;

���� 2 − 2=0;

����1 + ����2 =0;  ����1 ⋅����2 = 2.

61. Розв'яжіть

1) 7���� 2 28 =0;

7���� 2 = 28;

���� 2 =4;

���� =±2.

2) 4���� 2 8���� =0;

4���� (����− 2)=0;

����1 =0, ����2 =2.

3) 9���� 2 =0;

���� 2 =0;

���� =0.

4) 2���� 2 + 18 =0;

2���� 2 = 18;

���� 2 = 9;

коренів немає.

5) 4���� 2 2���� =0;

2���� (2���� +1)=0;

����1 =0, ����2 = 0,5.

6) 0,2���� 2 +0,6���� =0;

0,2���� (���� +3)=0;

����1 =0, ����2 = −3.

62. Розв'яжіть неповні квадратні рівняння:

1) 4���� 2 + 12���� =0;

4���� (���� +3)=0;

����1 =0, ����2 = −3.

2) 4���� 2 36 =0;

4���� 2 = 36;

���� 2 =9;

���� =±3.

3) −���� 2 +2���� =0;

−���� (����− 2)=0;

����1 =0, ����2 =2.

4) 7���� 2 =0;

���� 2 =0;

���� =0.

5) 3���� 2 + 27 =0;

3���� 2 = 27;

���� 2 = 9; коренів немає.

6) 0,3���� 2 3���� =0; 0,3���� (����− 10)=0;

����1 =0, ����2 = 10.

63. Розв'яжіть рівняння:

1) ���� 2 4���� +3=0;

���� =(−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3= 16 − 12 =4;

����1 = 4 2 2 =1;

����2 = 4+2 2 =3;

2) 3���� 2 +2����− 5=0;

���� =22 4 ⋅ 3 ⋅ ( 5)=4+ 60 = 64;

����1 = 2 8 6 = −1 2 3 ;

����2 = −2+8 6 =1;

3) ���� 2 − 10���� + 25 =0;

(����− 5)2 =0; ����− 5=0;

���� =5;

4) 2���� 2 =4 7���� ;

2���� 2 +7����− 4=0;

���� =72 4 ⋅ 2 ⋅ ( 4)= 49 + 32 = 81;

����1 = 7 9 4 = 4;

����2 = −7+9 4 =0,5;

5) ���� 2 =5����− 7;

���� 2 5���� +7=0;

���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7= 25 28 = 3;

���� <0;

коренів немає;

6) 2���� = ���� 2 8;

���� 2 − 2����− 8=0;

���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36;

����1 = 2 6 2 = 2;

����2 = 2+6 2 =4.

64. Розв'яжіть рівняння:

1) ���� 2 −����− 2=0;

���� =(−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9;

����1 = 1 3 2 = 1;

����2 = 1+3 2 =2;

2) 2���� 2 3����− 5=0;

���� =( 3)2 4 ⋅ 2 ⋅ ( 5)=9+ 40 = 49;

����1 = 3 7 4 = −1;

����2 = 3+7 4 =2,5;

3) ���� 2 + 12���� + 36 =0;

(���� +6)2 =0;

���� +6=0;

���� = −6;

4) 3���� =5���� 2 2;

5���� 2 − 3����− 2=0;

���� =( 3)2 4 ⋅ 5 ⋅ ( 2)=9+ 40 = 49;

����1 = 3 7 10 = −0,4;

����2 = 3+7 10 =1;

5) ���� 2 +2=3���� ;

���� 2 3���� +2=0;

���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2=9 − 8=1;

����1 = 3 1 2 =1;

����2 = 3+1 2 =2;

6) 3���� = ���� 2 +7;

���� 2 3���� +7=0;

���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ 7=9 28 = 19;

���� <0;

сторона. ����⋅ (���� +4)= 96

���� 2 +4����− 96 =0

���� =42 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−96)= 16 + 384 =

����⋅ (���� +5)= 300

���� 2 +5����− 300 =0 ���� =52 4 ⋅ 1 ⋅ ( 300)= 25 + 1200 = 1225 ����1 = 5+ √1225 2 = 5+ 35 2 = 30 2 =

умову) ���� +5= 15 +5= 20 (м) ���� =2 ⋅ (15 + 20)=2 ⋅ 35 = 70 (м)

70 м

���� 2 8����− 9=0

���� =(−8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−9)= 64 + 36 = 100

����1 = 8+ 10 2 =9

����2 = 8 − 10 2 = 1 (не задовольняє ����≥ 0)

���� 2 =9

����1,2 =±3

Відповідь: −3;3

2) ���� 4 + 10���� 2 +9=0

Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.

���� 2 + 10���� +9=0

���� = 102 4 ⋅ 1 ⋅ 9= 100 36 = 64

����1 = 10 +8 2 = 1<0

����2 = 10 8 2 = 9<0

Рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає

3) ���� 4 − 6���� 2 +8=0

Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0.

���� 2 − 6���� +8=0

���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 8= 36 32 =4

����1 = 6+2 2 =4

����2 = 6 2 2 =2

���� 2 =4 ⇒����1,2 =±2 ���� 2

2;2; √2; √2

1) ���� 4 3���� 2 4=0

Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0

���� 2 3����− 4=0 ���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25 ����1 = 3+5 2 =4

= 3 − 5 2 = 1 (не

0) ���� 2 =4

����1,2 =±2

Відповідь: 2;2

2) ���� 4 4���� 2 +3=0 Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0 ���� 2 4���� +3=0

2 =3 ⇒����1,2 =±√3 ���� 2 =1 ⇒����3,4 =±1

−√3; √3; −1;1

3) ���� 4 + 10���� 2 + 25 =0

Нехай ���� 2 = ���� , де ����≥ 0

2 + 10���� + 25 =0

1) ���� 2 + ����− 2

3 =0 ���� 2 + ����− 2=0 ���� =12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2)=1+8=9 ����1 = 1+3 2 =1; ����2 = 1 3 2 = 2 ����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3

Відповідь: 1; 2

2) ���� 2 +4����− 5 ����− 1 =0 ���� 2 +4����− 5=0

=42 4 ⋅ 1 ⋅ ( 5)= 16 + 20 = 36

= 4+6 2 =1; ����2 = 4 6 2 = 5

1 ≠ 0 ⇒����≠ 1 Відповідь: 5

3) ���� 2 ����− 2 = 2���� ����− 2 ���� 2 =2���� ���� 2 2���� =0

���� (����− 2)=0 ����1 =0; ����2 =2 ����− 2 ≠ 0 ⇒����≠ 2

���� =1

����− 3 ≠ 0 ⇒����≠ 3

Відповідь: 1

5) ����− 3 8 = ���� ���� +3

(����− 3)(���� +3)=8����

���� 2 9=8����

���� 2 − 8����− 9=0

���� =( 8)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 9)= 64 + 36 = 100

����1 = 8+ 10 2 =9; ����2 = 8 10 2 = 1

���� +3 ≠ 0 ⇒����≠−3

Відповідь: 9; 1

6) 4 ���� = ���� +3

4= ���� (���� +3)

4= ���� 2 +3����

���� 2 +3����− 4=0

���� =32 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25

����1 = −3+5 2 =1; ����2 = −3 − 5 2 = 4

����≠ 0

Відповідь: 1; −4

72. Розв'яжіть рівняння:

1) ���� 2 2����− 8 ���� +1 =0 ���� 2 2����− 8=0 ���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 8)=4+ 32 = 36

����1 = 2+6 2 =4; ����2 = 2 6 2 = 2

���� +1 ≠ 0 ⇒����≠−1

Відповідь: 4; 2

2) ���� 2 − 3����− 4 ����− 4 =0

���� 2 − 3����− 4=0

���� =( 3)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 4)=9+ 16 = 25

����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1

����− 4 ≠ 0 ⇒����≠ 4

Відповідь: 1

3) ���� 2 ���� +4 = 16 ���� +4

���� 2 = 16

����1,2 =±4

���� +4 ≠ 0 ⇒����≠−4

Відповідь: 4

4) ���� 2 3���� ����− 5 = 2 5 −����

���� 2 3���� ����− 5 + 2 ����− 5 =0

���� 2 3���� +2=0 ���� =(−3)2 − 4

����− 5 ≠ 0 ⇒����≠ 5

Відповідь: 2;1

5) ���� +2 ���� = 3 ����− 2

(���� +2)(����− 2)=3����

���� 2 4=3����

���� 2 3����− 4=0

���� =(−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4)=9+ 16 = 25

����1 = 3+5 2 =4; ����2 = 3 5 2 = 1

����≠ 0; ����− 2 ≠ 0 ⇒����≠ 2

Відповідь: 4; 1

6) 5 ���� =6 −����

5= ���� (6 −���� )

5=6����−���� 2

���� 2 6���� +5=0

���� =( 6)2 4 ⋅ 1 ⋅ 5= 36 20 = 16

����1 = 6+4 2 =5; ����2 = 6 4 2 =1

����≠ 0

Відповідь: 5;1

���� 2 + �������� 6=0 ?

⋅ ( 1)2 + ���� ⋅ ( 1) 6=0 ���� ⋅ 32 + ���� ⋅ 3 6=0

���� =6 9���� +3���� =6 ����� =6+ ���� 9 ⋅ (6+ ����)+3���� =6

+9���� +3���� =6

���� = 48 ���� = −4 ���� =6+( 4)=2

���� =2, ���� = 4

3���� 2 + �������� + ���� =0 ?

-3

�3 ⋅ ( 3)2 + ���� ⋅ ( 3)+ ���� =0

3 ⋅ 22 + ���� ⋅ 2+ ���� =0

3 ⋅ 9 3���� + ���� =0

3 ⋅ 4+2���� + ���� =0

�27 3���� + ���� =0

12 + 2���� + ���� =0

=3���� 27

12 + 2���� +(3���� 27)=0

12 +2���� +3���� 27 =0

5���� 15 = 0

5���� = 15

=3

=3 ⋅ 3 − 27 =9 − 27 = −18 Відповідь: ���� =3; ���� = 18 75. Розв'яжіть рівняння:

1) (���� +3)(����− 4)= 12 ���� 2 4���� +3����− 12 = 12 ���� 2 −����− 12 + 12 =0 ���� 2 −���� =0 ���� (����− 1)=0

����2 =

3���� 2 10���� +8=0

���� =(−10)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8= 100 − 96 =4

����1 = 10 +2 2 ⋅ 3 = 12 6 =2

����2 = 10 2 6 = 8 6 =1 1 3

2) ���� +3 5 ���� 2 1 10 = 2 5

2(���� +3) (���� 2 1)=2 ⋅ 2

2���� +6 −���� 2 +1=4

−���� 2 +2���� +7 4=0

−���� 2 +2���� +3=0

���� 2 2����− 3=0

���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16

����1 = 2+4 2 =3

����2 = 2 4 2 = 1

3) ���� =2; ���� =3

600���� +2���� = 600 ⋅ 3+2 ⋅ 2= 1800 +4= 1804

5���� 2 + 25 = 24���� + 30

5���� 2 − 24���� + 25 − 30 =0

5���� 2 24����− 5=0 ���� =(−24)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−5)= 576 + 100 = 676

����1 = 24 + 26 2 ⋅ 5 = 50 10 =5

����2 = 24 26 10 = 2 10 = 0,2 2) ���� 2 +2 4 + ����− 3 5 = 13 10

5(���� 2 +2)+4(����− 3)= 13 ⋅ 2

5���� 2 + 10 +4����− 12 = 26

5���� 2 +4����− 2 − 26 =0

5���� 2 +4����− 28 =0 ���� =42 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−28)= 16 + 560 = 576

����3 = 4+ 24 2 ⋅ 5 = 20 10 =2 ����4 = 4 24 10 = 28 10 = 2,8 3) ����1 + ����2 +

����22 =4

Якщо ����2 =2, то ����1 = −1,5 ⋅ 2= −3

Якщо ����2 = 2, то ����1 = 1,5 ⋅ ( 2)=3

За теоремою Вієта ����1 + ����2 = −����:

1) ����1 = 3; ����2 =2 ⇒−3+2= 1 ⇒���� =1

Перевірка ����: ����1 ⋅����2 = −3 ⋅ 2= −6 (вірно)

2) ����1 =3; ����2 = 2 ⇒ 3+( 2)=1 ⇒���� = 1

Перевірка ����: ����1 ⋅����2 =3 ⋅ ( 2)= 6 (вірно)

Відповідь: ����1 = −3; ����2 =2; ���� =1 або ����1 =3; ����2 = −2; ���� = −1

80. Корені ����1 і ����2 рівняння

+ ����2 =3 2����1 +3����2 =5 �����1 =3 −����2 2(3 −����2 )+3����2 =5 6 2����2 +3����2 =5 ����2 =5 6

����2 = 1 ����1 =3 ( 1)=4

За теоремою Вієта:

����1 ⋅����2

=4 ⋅ ( 1)= 4 Відповідь: ����1 =4; ����2 = 1; ���� = 4

81. Скоротіть дроби: 1) 4����− 12 ���� 2 2����− 3 ���� 2 2����− 3=0 ���� =( 2)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)=4+ 12 = 16 ����1 = 2+4 2 =3; ����2 = 2 − 4 2 = 1

shkola.in.ua

3=0 або ���� 2 +2����− 3=0

1) ���� 2 + �������� +4=0;

2) ���� ���� 2 +6����− 1=0 ?

1) ���� 2 + �������� +4=0

���� +1=2 ⟹����1 =1

���� +1= 2 ⟹����2 = 3

Відповідь: 1; 3.

2) (���� 2 + ���� )2 4���� 2 4����− 12 =0; (���� 2 + ���� )2 − 4(���� 2 + ���� ) − 12 =0

Нехай ���� 2 + ���� = ���� .

2 − 4����− 12 =0

=( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 12)= 16 + 48 = 64 ����1 = 4+8 2 =6 ����2 = 4 8 2 = 2

���� 2 + ���� =6 ⟹���� 2 + ����− 6=0 ���� =12 4 ⋅ 1 ⋅ ( 6)= 25 ���� = 1±5 2 ⟹����1 =2, ����2 = −3

���� 2 + ���� = 2 ⟹���� 2 + ���� +2=0

Відповідь: 2; 3.

92. Розв'яжіть рівняння:

1) (����− 2)4 +4(����− 2)2 5=0;

(����− 2)2 = ���� , де ����≥ 0.

����≥ 0 (����− 2)2 =1

����− 2=1 ⟹����1 =3

����− 2= 1 ⟹����2 =1

Відповідь: 3;1.

2) (���� 2 −���� )2 − 5���� 2 +5���� +6=0;

(���� 2 −���� )2 5(���� 2 −���� )+6=0

Нехай ���� 2 −���� = ���� .

���� 2 5���� +6=0

���� =( 5)2 4 ⋅ 1 ⋅ 6= 25 24 =1

����1 = 5+1 2 =3

����2 = 5 1 2 =2

���� 2 −���� =3 ⟹���� 2 −����− 3=0

���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 3)= 13

���� = 1± √13 2 ⟹����1 = 1+ √13 2 , ����2 = 1 √13 2

���� 2 −���� =2 ⟹���� 2 −����− 2=0 ���� =( 1)2 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2)=9 ���� = 1±3 2 ⟹����3 =2, ����4 = 1

Відповідь: 1±√13 2 ;2; 1.

1.1. Порівняйте числа: 1) 0,8 i 0,7; 2) 1,2 i 1,25; 3) 1 2 3 i 2 3; 4) 4 7 i 3 7; 5) ���� i 3 ;

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook