https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1.
1) 12x = 0; - лінійне рівняння.
2) 4x + 2y = 9; - має дві змінні, тому не є рівнянням з
3) 7x = x2; - не лінійне, оскільки містить x2 (це квадратне рівняння).
4) 0x = 12; - суперечливе рівняння (немає розв’язків), але не лінійне, бо коефіцієнт біля x дорівнює 0.
5) 1 х – 7 = 0; - не лінійне, оскільки містить 1 х (дробова залежність).
6) 0x = 0. - тотожність (вірне для всіх x), але не є власне рівнянням.
2. Яке із чисел є коренем рівняння x2 – x = 2x + 4:
1) 0; 2) –1; 3) 1;
4) 2; 5) 4; 6) –3?
x2 – x = 2x + 4
x2 – x – 2x – 4 = 0
x2 3x – 4 = 0
(x 4)(x + 1) = 0
x – 4 = 0 ⇒ x = 4
x + 1 = 0 ⇒ x = 1
Тобто коренями є x = 4 і x = 1.
Відповідь: 2 і 5.
3. Яке із чисел є коренем рівняння x2 – 3x = x + 5:
1) 1; 2) 0; 3) –1;
4) 3; 5) 5; 6) –2?
x2 3x = x + 5
x2 3x – x – 5 = 0
x2 4x – 5 = 0
(x 5)(x + 1) = 0
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
x + 1 = 0 ⇒ x = 1
Тобто коренями є x = 5 і x = 1.
Відповідь: 3 і 5.
4. Розв’яжіть рівняння: 1) 4х = -8
4х : 4 = -8 : 4
х = -2
3) 7 – (3х + 2) = 5 7 – 3х – 2 = 5 5 – 3х = 5 -3х = 0 х = 0 5) 8 – 2х = -(4х + 3) 8 – 2х = -4х – 3 -2х + 4х = -3 – 8 2х = -11
х = − 11 2 = −5 1 2
2) 9х – 13 = 3х + 5
9х – 3х = 5 + 13
6х = 18
х = 3 4) 1 8 х = 1 1 8 1 8 х = 9 8 х = 9
6) 3(х – 3) = 4х + 21
3х – 9 = 4х + 21
3х – 4х = 21 + 9 -х = 30
х = -30
1) -5х = -20
-5х : (-5) = -20 : (-5)
х = 4
2) 7х – 11 = 2х + 1
7х – 2х = 1 + 11
5х = 12
9x + 36 = 0
9х = -36
= -4
3x
3x
2x = 12 x = 6
3x = 3 ⋅ 6 = 18 (т.) Відповідь: 18
на 6
2x + 6 = 48
2x = 42
x = 21 (н.) Відповідь:
5x = 2(x + 9)
5x = 2x + 18
5x 2x = 18
3x = 18
x = 6 (км/год) –
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3) 9 – (5х + 1) = 10
9 – 5х – 1 = 10 8 – 5х = 10 -5х = 10 – 8
5х = 2
5) 7 – 3х = -(2х – 7)
7 – 3х = -2х + 7 -3х = -2х -3х + 2х = 0 -х = 0 х = 0
6) 9(х – 1) = 8х + 13
9х – 9 = 8х + 13
9х – 8х = 13 + 9 х = 22
+ 72 = 0
= -72 х = -4
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
x + 8 кг, відповідно:
2(x + 8) = 3x
2x + 16 = 3x
16 = 3x 2x x = 16 (кг) – маса ящика зі сливами.
16 + 8 = 24 (кг) – маса ящика з яблуками.
Відповідь: 16 кг; 24 кг.
Розв’яжіть
+ 5y та
2х 5 3 = 5х+1 9
9(2х – 5) = 3(5х + 1)
18х – 45 = 15х + 3
18х – 15х = 3 + 45
3х = 48
х = 16 7(у + 3) – 9(у – 1) = 24 7у + 21 – 9у + 9 = 24 -2у + 30 = 24
2у = 24 – 30 -2у = -6 у = 3
100х + 5у = 100 ⋅ 16 + 5 ⋅ 3 = 1600 + 15 = 1615 (рік
академія») 12. Розв’яжіть рівняння 2х 1 3 = 3+4х 7 і
7(2х – 1) = 3(3 + 4х) 14х – 7 = 9 + 12х 14х – 12х = 9 + 7
2х = 16
х = 8
200х + 11у = 200 ⋅ 8 + 11 ⋅ 10 = 1600 + 110 =
13. Розв’яжіть рівняння: 1) ǀхǀ - 2 = 9
ǀхǀ = 9 + 2
ǀхǀ = 11
– 2) – 3(у + 5) = 11
– 14 – 3у – 15 = 11 4у – 29 = 11 4у = 11 + 29 4у = 40 у = 10
х = 11 або х = -11 3) ǀх - 2ǀ= 3 х – 2 = 3 або х – 2 = -3 х = 5 х = -1
2) 5 - ǀхǀ = 7 -ǀхǀ = 7 – 5
ǀхǀ = 2
= -2
2х – 1 = 0
2х = 1
хибне 4) ǀ2х - 1ǀ = 0
ǀ5х + 2ǀ = 3 5х + 2 = 3 або 5х + 2 = -3 х = 1 5 х = -1
х = 1 2 = 0,5 6) 1 3 ǀх - 2ǀ + 3 = 7 ǀх - 2ǀ + 9 = 21 ǀх - 2ǀ = 21 – 9
- 2ǀ = 12
– 2 = 12 або х – 2 = -12
= 14 х = -10
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5x + 12 = 52
5x = 40
x = 8 (см) – перша сторона.
3x = 3 ⋅ 8 = 24 (см) – друга сторона.
x + 12 = 8 + 12 = 20 (см) – третя сторона.
Відповідь: 8 см; 24 см; 20 см.
15. В одному
третьому. Скільки
x + 6
відповідно:
(x + 6) + x + 2(x + 6) = 66
(x + 6) + x + 2x + 12 = 66
4x + 18 = 66
4x = 48
x = 12 (кг) – другий мішок.
x + 6 = 12 + 6 = 18 (кг) – перший мішок.
2(x + 6) = 2(12 + 6) = 36 (кг) – третій мішок.
Відповідь: 18 кг; 12 кг; 36 кг.
16. За якого значення a рівняння x + a = 9 і 4x – a = 3x
1) x + a = 9 ⇒ x = 9 a
2) 4x – a = 3x ⇒ 4x 3x = a ⇒ x = a
Тепер прирівняємо вирази для x з обох рівнянь:
9 – a = a
9 = 2a
а = 9 2 = 4,5
Відповідь: а = 4,5.
17. За якого значення b рівняння x – b = 7 і 5x + b = 4x мають однакові корені?
1) x – b = 7 ⇒ x = b + 7
2) 5x + b = 4x ⇒ 5x 4x = b ⇒ x = b
Тепер прирівняємо вирази для x з
рівнянь: b + 7 = b
b + b = 7
2b = 7
b = 7 2 = 3,5
Відповідь: b = -3,5.
вирази
18. Подайте у вигляді степеня: 1) c3c5 = с3+5 = с8; 2) m9mm15 = m9+15 = m24; 3) p12 : p3 = р12-3 = р9; 4) (x9)7 = х9⋅7 = х63
19. Подайте у вигляді степеня: 1) p7p2 = p7+2 = p9; 2) tt2t3 = t2+3 = t5; 3) c15 : c5 = c15−5 = c10; 4) (a3)8 = a3⋅8 = a24
20. Виконайте множення: 1) p(x – 2) = p ⋅ x – p ⋅ 2 = px 2p
2) –c(m – 4) = c ⋅ m + c ⋅ 4 = cm + 4c
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3) x(c – 3 – d) = x ⋅ c – x ⋅ 3 – x ⋅ d = xc 3x xd
21. Виконайте множення:
1) t(3 – c) = t ⋅ 3 – t ⋅ c = 3t tc
2) – x(p – 2) = x ⋅ p + x ⋅ 2 = xp + 2x
3) a(t – b – 9) = a ⋅ t – a ⋅ b – a ⋅ 9 = at – ab 9a
22. Знайдіть значення виразу:
1) (–3)4 = 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81
2) (–6)3 = -63 = -(6 ⋅ 6 ⋅ 6) = -216
3) 0,1 ⋅ 103 = 10-1 ⋅ 103 = 102 = 100
4) (2,6 – 2,7)2 = (-0,1)2 = � 1 10�2 = 1 100 = 0,01
23. Знайдіть значення виразу:
1) (–2)4 = 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
2) (–5)3 = -53 = -(5 ⋅ 5 ⋅ 5) = -125
3) 0,2 ⋅ 53 = 5-1 ⋅ 53 = 52 = 25
4) (1,5 – 1,8)2 = (-0,3)2 = � 3 10�2 = 9 100 = 0,09
24. Перетворіть вираз на многочлен:
1) 4a2(3 – a) = 4a2 ⋅ 3 4a2 ⋅ a = 12a2 4a3
2) 7(x – 2) – 2(x – 7) = 7x – 14 2x + 14 = 5x
3) (x – 5)(x + 3) = x2 + 3x 5x – 15 = x2 2x 15
4) – 5c2(8 – c3 + c) = 5c2 ⋅ 8 + 5c2 ⋅ c3 5c2 ⋅ c = 40c2 + 5c5 5c3
5) 4(2x – 3) – (8x – 9) = 8x 12 8x + 9 = 3
6) (2b – a)(a + b) = 2b ⋅ a + 2b ⋅ b – a ⋅ a – a ⋅ b = 2ab + 2b2 a2 – ab = ab + 2b2 a2
25. Перетворіть на многочлен вираз:
1) 7b2(b – 3) = 7b2 ⋅ b 7b2 ⋅ 3 = 7b3 21b2
2) 4(b – 3) – 2(2b + 1) = 4b – 12 4b – 2 = 14
3) (m + 2)(m – 4) = m2 4m + 2m – 8 = m2 2m 8
4) –2x3(4 – x2 + x) = 2x3 ⋅ 4 + 2x3 ⋅ x2 2x3 ⋅ x = 8x3 + 2x5 2x4
5) 3(2c – 6) – (5c – 18) = 6c – 18 5c + 18 = c 6) (3x + y)(x – y) = 3x ⋅ x 3x ⋅ y + y ⋅ x – y ⋅ y = 3x2 3xy + xy y2 = 3x2 2xy y2
26. Подайте у вигляді многочлена:
1) (b – 6)2 = (b 6)(b 6) = b2 12b + 36
2) (7x + 2)2 = (7x + 2)(7x + 2) = 49x2 + 28x + 4
3) (4a – 1)2 – 16a2 = (16a2 8a + 1) 16a2 = 8a + 1
4) (p – 3)(p + 3) = p2 9
5) (7 + x)(x – 7) = 7x – 49 + x2 7x = x2 49 6) (2y – 3)(2y + 3) + 9 = 4y2 – 9 + 9 = 4y2
27. Подайте у вигляді многочлена:
1) (с + 5)2 = (c + 5)(c + 5) = c2 + 10c + 25
2) (8b – 3)2 = (8b 3)(8b 3) = 64b2 48b + 9
3) (4x + 3)2 – 9 = (16x2 + 24x + 9) – 9 = 16x2 + 24x
4) (c + 2)(c – 2) = c2 4
5) (m – 9)(9 + m) = (m 9)(m + 9) = m2 81
6) (5p – 2)(5p + 2) – 25p2 = (25p2 4) 25p2 = 4
28. Розкладіть на множники:
1) 4a + 12b = 4(a + 3b)
2) 15ac – 20a = 5a(3c 4)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3) a(c – x) + 9c – 9x = a(c x) + 9(c x) = (c x)(a + 9)
4) –7c2 – 21c5 = 7c2(1 + 3c3)
5) a3 + a7 – a5 = a3(1 + a4 a2) = a3(1 + a2(a2 1))
6) 5a + 5b – ay – yb = 5(a + b) y(a + b) = (a + b)(5 y)
29. Розкладіть на множники:
1) 9x – 18y = 9(x 2y)
2) 4 xm + 6m = 2m(2x + 3)
3) m(x – p) + 3x – 3p = m(x p) + 3(x p) = (x p)(m + 3)
4) –2x3 – 8x5 = 2x3(1 + 4x2)
5) b2 – b5 + b3 = b2(1 b3 + b) = b2(b b3 + 1)
6) 7 c + 7n – cx – xn = 7(c + n) x(c + n) = (c + n)(7 x)
30. Знайдіть
1) 256 : 27 ⋅ 8 = 256 ∙ 1 27 ∙ 8
256 = 28, отже: 28 : 27 ⋅ 8 = 28-7 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16
3) 0,59 ⋅ 29 = �12�9
1) (x2 – 3x)(x + 1) – x2(x – 2) = 3x (x2 3x)(x + 1) = x2(x + 1) 3x(x + 1) = x3 + x2 3x2 3x =
(x3 2x2 3x) (x3 2x2) = x3 2x2
2) (2a – 3)2 – (4a – 1) (a + 3) = 23a + 12 (2a 3)2 = (2a 3)(2a 3) = 4a2 12a + 9 (4a 1)(a + 3) = 4a(a + 3) 1(a + 3) = 4a2 + 12a – a – 3 = 4a2 + 11a – 3
(4a2 12a + 9) (4a2 + 11a 3) = 4a2 12a + 9 4a2 11a + 3= 23a + 12
33. Перетворіть на многочлен стандартного
1) m2(m + 3) – (m2 + 4m)(m – 1) = 4m m2(m + 3) = m3 + 3m2 (m2 + 4m)(m 1) = m2(m 1) + 4m(m 1) = m3 m2 + 4m2 4m = m3 + 3m2 4m (m3 + 3m2) (m3 + 3m2 4m) = m3 + 3m2 m3 3m2 + 4m = 4m 2) (9x – 1)(x + 3) – (3x – 2)2 = 38x 7 (9x 1)(x + 3) = 9x(x + 3) 1(x + 3) = 9x2 + 27x – x – 3 = 9x2 + 26x – 3 (3x 2)2 = (3x 2)(3x 2) = 9x2 6x 6x + 4 = 9x2 12x + 4 (9x2 + 26x 3) (9x2 12x + 4) = 9x2 + 26x – 3 9x2 + 12x – 4 = 38x – 7 34.
(9x – 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
(9x 1)(4x + 2) = 9x(4x + 2) 1(4x + 2) = 9x ⋅ 4x + 9x ⋅ 2 – 1 ⋅ 4x – 1 ⋅ 2 = 36x2 + 18x 4x – 2 = 36x2 + 14x – 2
(6x 7)(6x +7) = 6x(6x + 7) 7(6x + 7) = 6x ⋅ 6x + 6x ⋅ 7 – 7 ⋅ 6x – 7 ⋅ 7 = 36x2 + 42x 42x –49 = 36x2 – 49
(36x2 + 14x 2) (36x2 49) 36x2 + 14x – 2 36x2 + 49 = 14x + 47
14(−3) + 47 = 42 + 47 = 5
Відповідь:
= 16a2 – 9 (8a 7)(2a
= 16a2 22a + 7
(16a2 9) (16a2 22a + 7) 16a2 – 9 16a2 + 22a – 7 = 22a – 16
1) 6a3 – 2a2 – 12a = 2a(a 1)(3a + 2)
2) x5 – 3x3 – 2x2 + 6 = (x2 3)(x3 2)
3) –4x2 + 20x – 25 = (2x 5)2
4) 0,36p8 – c10x12 = 0,36 �р8 с10 х12 �
5) 64m3c9 + t30
вийде.
6) c2 + 2cd + d2 – 25 = (c + d 5)(c + d + 5)
37.
1) 8p4 – 4p5 + 12p = 4p(2p3 p4 + 3)
2) a5 – 2a2 – 3a3 + 6 = (a2 3)(a3 2)
3) –9m2 – 6m – 1
Не існує простого
4) 0,49m4 – t16p2 = 0,49(m4 t16p2)
5) 125a6 – b9 = (5a3)2 і b9 = (b4,5)2
6) a2 – 2ax + x2 – 36 = (a – x 6)(a – x + 6)
38. Розв’яжіть рівняння:
1) 4x2 – x = 0
х(4х – 1) = 0
х = 0 або 4х – 1 = 0
х = 0 х = 1 4
2) 25x2 + 10x + 1 = 0
(5х + 1)2 = 0
5х + 1 = 0
5х = -1
х = 1 5 = 0,2
3) (x – 1)2 – 4 = 0
(х – 1 – 2)(х – 1 + 2) = 0
(х – 3)(х + 1) = 0
х – 3 = 0 або х + 1 = 0
х = 3 х + 1 = 0
х = 3 х = -1
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
39. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x2 + x = 0
х(2х + 1) = 0
х = 0 або 2х + 1 = 0
х = 0 х = − 1 2 = −0,5
40.
2) 36x2 – 12x + 1 = 0
(6х – 1)2 = 0
6х – 1 = 0
6х = 1 х = 1 6
12) + n є непарним числом. (2n 3)(5n 1) = 10n2 2n 15n + 3 = 10n2 17n + 3
2n(5n 12) = 10n2 24n (10n2 17n + 3) (10n2 24n) + n 10n2 17n + 3 10n2 + 24n + n (10n2 10n2) + (−17n + 24n + n) + 3 = 8n + 3 Для будь-якого натурального nnn вираз 8n + 3 є
3) (x + 2)2 – 9 = 0
(х + 2 – 3)(х + 2 + 3) = 0
(х – 1)(х + 5) = 0
х – 1 = 0 або х + 5 = 0
х = 1 х = -5
. 41. Доведіть, що якщо m – натуральне число, то
(3m + 2)(4m – 1) – 2m(6m – 7) + m є парним числом. (3m + 2)(4m 1) = 12m2 3m + 8m – 2 = 12m2 + 5m – 2 2m(6m 7) = 12m2 14m (12m2 + 5m 2) (12m2 14m) + m 12m2 + 5m – 2 12m2 + 14m + m (12m2 12m2) + (5m + 14m + m) – 2 = 20m – 2 Для будь-якого натурального mmm
20m 2
42. Виконайте множення (m2 – 2m + 3)(m2 + m – 5). (m2 – 2m + 3)(m2 + m – 5) = m2 ⋅ (m2 + m – 5) – 2m ⋅ (m2 + m –
43. Відомо, що 2xy2 = 5. Знайдіть
1) xy2 = 2�������� 2 2 = 5 2 =
–
3) –4x2y4 = (2���� ���� 2 )2 = (5)2 = 25 4) 8x3y6 = (2���� ���� 2 )3 = (5)3 = 125
Відомо, що 5ab2 = 7.
1) m = 2p – 9;
2) 4x – 9 = 9
3) у = 2х х 3
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
4) 36 : 9 – 4 = 0; не є функцією
5) c = n2 – n3; функція
Незалежна змінна (аргумент): n
Залежна змінна: c
6) 2 x – 9 > 3; не є функцією
46. (Усно.) Чи є лінійною функція:
1) у = 2х2; Не є лінійною, оскільки містить x2,
2) y = 2x; Лінійна функція.
3) y = 2; Лінійна функція.
x.
4) у = 1 2х 3; Не є лінійною, оскільки змінна x знаходиться в знаменнику.
5) y = 2x – 3; Лінійна функція.
6) y = 2x2 – 3; Не є лінійною, оскільки містить x2.
47. Функцію задано формулою y = 3 – 2x. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює –4; 1,5;
Якщо х = -4, то:
y = 3 2(−4) = 3 + 8 = 11
Якщо х = 1,5, то:
y = 3 2(1,5) = 3 – 3 = 0
2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює –7; 5.
Якщо у = -7, то:
7 = 3 2x
7 – 3 = 2x
10 = 2x
x = 5
Якщо у = 5, то:
5 = 3 2x
5 – 3 = 2x
2 = 2x
x = 1
48. Функцію задано формулою y = 4x – 5. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює –1,5; 6;
Якщо х = -1,5, то:
y = 4(−1,5) – 5 = 6 – 5 = 11
Якщо х = 6, то:
y = 4(6) – 5 = 24 – 5 = 19
2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює –9; 1.
Якщо у = -9, то:
9 = 4x 5
9 + 5 = 4x
4 = 4x
x = 1
Якщо у = 1, то:
1 = 4x 5
1 + 5 = 4x
6 = 4x
x = 6 : 4 = 1,5
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) у = 3х – 6, усі числа
D(y) = (−∞; +∞)
3) у = 5
3х 6, усі числа, крім х = 2
D(y) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞)
50. Знайдіть область визначення функції:
1) у = 2х + 4, усі числа
D(y) = (−∞; +∞)
3) у = 7 2х+4, усі числа, крім х = 2
2) у = 3х 6 5 , усі числа
D(y) = (−∞; +∞)
4) у = 7 х+6, усі числа, крім х = 6
D(y) = (−∞; 6) ∪ (−6; +∞)
2) у = 2х+4 7 , усі числа D(y) = (−∞; +∞)
D(y) = (−∞; 2) ∪ (−2; +∞) 4) у = 9 х 4,
51. Не виконуючи побудови
1) у = 7х
0 = 7x x =
1) значення y, якщо x = –3,5; –1; 0,5;
Якщо x = –3,5, то y ≈ -2.
Якщо x = –1, то y ≈ 2,5.
Якщо x = 0,5, то y ≈ 2.
2) значення x, якщо y = –0,5; 2; 2,5;
Якщо y = –0,5, x ≈ -3 та x ≈ 2
Якщо y = 2, x ≈ -1,5 та x ≈ 1.
Якщо y = 2,5, x ≈ -1.
3) нулі функції; Нулі функції
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
-4 ≤ x < -3, -0,5 < x < 2. На інтервалах x ∈ (–4; –2) та x ∈ (1,5; -2).
56. На
знайдіть:
1) значення y, якщо x = –1; –0,5; 2,5; Якщо x = –1, y ≈ 0.
Якщо x = –0,5, y ≈ –1.
Якщо x = 2,5, y ≈ –2,5.
2) значення x, якщо y = –3; –2; 1; Коли y = –3, x ≈ 2.
Коли y = –2, x ≈ 3.
Коли y = 1, x ≈ –2 та x ≈ 4.
3) нулі функції; x ≈ –1, x ≈ 3,5.
4) значення аргументу, для яких
На інтервалах x ∈ (–3; –1) та x ∈ (3,5; 5).
5) значення аргументу, для яких функція
На інтервалах x ∈ (–1; 3,5).
57. Не виконуючи побудови, знайдіть
графіка функції:
1) y = 0,5x – 4
Щоб знайти точку
0 = 0,5x – 4
0,5x = 4
х = 4
0,5 = 8
Отже, точка перетину з
Щоб знайти
= 0,5(0) – 4 = 4
точка
2) y = 16 – x2
0 = 16 x2
x2 = 16
x = ±4
y = 16 (0)2 = 16 Отже, точка
x це (8, 0).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) y = 3 – 2x Щоб знайти
0 = 3 2x
2x = 3
х = 3 2
Отже, точка перетину з віссю x це (3 2, 0).
Щоб знайти точку
y = 3 2(0) = 3
Отже, точка
з віссю y це (0, 3). 2) y = x2 + 2x
Щоб знайти точку перетину
0 = x2 + 2x
x(x + 2) = 0
Отже, x = 0 або x = 2.
Точки перетину з віссю x це (0, 0) і (−2, 0).
Щоб знайти точку
y = (0)2 + 2(0) = 0
61. (Усно.)
1) (6; 1); - належить.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2) (8; –2); - не належить.
3) (1; –6); - не належить. 4) (3; 4); - належить.
62. (Усно.) Чи є розв’язком
1) (4; 3); - не є розв’язком 2) (3; 2); - є розв’язком 3) (4; 1); - не є розв’язком
63. Побудуйте графік рівняння: 1) x – y = 4;
+ y = 3; 2) x – 0,5y = 2;
1) � 3���� = 12,
2���� + 3���� = 2;
х = 12 : 3 = 4
2(4) + 3y = 2
8 + 3y = 2
3y = 6 y = 2
Відповідь: (4; -2)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2) � ���� = ���� 2, 4���� 3���� = 5; 4(y 2) 3y = 5
4y – 8 3y = 5 y – 8 = 5 y = 3 x = 3 – 2 = 1
Відповідь: (1; 3) 3) � 3���� + ���� = 3, 4���� + 5���� = 7. y = 3 3x 4x + 5(3 3x) = 7 4x + 15 15x = 7 11x + 15 = 7 11x = 22 x = 2 y = 3 3(2) = 3 – 6 = 3
68. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1) � 4���� = 8,
5���� + 2���� = 1;
у = (-8) : 4 = -2
5x + 2(−2) = 1
5x – 4 = 1
5x = 5
x = 1
Відповідь: (1; -2)
69. Розв’яжіть способом
1) � 3���� + ���� = 2, 2���� ���� = 3;
(3x + y) + (2x y) = 2 + 3
3x + 2x + y – y = 5
5x = 5
x = 1
3(1) + y = 2
3 + y = 2
y = 1
Відповідь: (1; -1)
2) � ���� = ���� + 3, 2���� 3���� = 8; 2x 3(x + 3) = 8
2x 3x – 9 = 8
x – 9 = 8
x = 1
x = 1
y = 1 + 3 = 2
Відповідь: (2; -3)
Відповідь: (-1; 2) 3) � ���� 2���� = 5, 3���� + 5���� = 4.
2) � 2���� + 3���� = 1, 2���� 4���� = 13; (2x + 3y) (2x 4y) = 1 (−13) 2x + 3y 2x + 4y = 1 + 13 7y = 14 y = 2 2x + 3(2) = 1 2x + 6 = 1
2 x = 5
х = 5 2
Відповідь: ( 5 2; 2)
70. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:
1) � ���� + 3���� = 1, −���� + 4���� = 6; (x + 3y) + (−x + 4y) = 1 + 6
x – x + 3y + 4y = 7
7y = 7
y = 1
x + 3(1) = 1
x + 3 = 1
x = 2
Відповідь: (-2; 1)
2) � 3���� 5���� = 11, 4���� 5���� = 13; (4x 5y) (3x 5y) = 13 11
4x 3x 5y + 5y = 2
x = 2
3(2) 5y = 11
6 5y = 11
5y = 5
у = 1
Відповідь: (2; 1)
x = 2y + 5
3(2y + 5) + 5y = 4
6y + 15 + 5y = 4
11y + 15 = 4
11y = 11 y = 1
x = 2(−1) + 5 = 2 + 5 = 3
Відповідь: (3; -1)
3) �4���� 3���� = 11, 5���� + 9���� = 1. 12x 9y = 33 (12x 9y) + (5x + 9y) = 33 + 1 12x + 5x 9y + 9y = 34
17x = 34
x = 2
4(2) 3y = 11
8 3y = 11 3y = 3 y = 1
Відповідь: (2; -1)
3) �4���� 3���� = 15, 8���� + 5���� = 19.
8x 6y = 30
(8x 6y) (8x + 5y) = 30 19
8x 8x 6y 5y = 11
11y = 11
y = 1
4x 3(−1) = 15
4x + 3 = 15
4x = 12
x = 3
Відповідь: (3; -1)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2���� + ���� = 40
���� + 2���� = 44
4x + 2y = 80
(4x + 2y) (x + 2y) = 80 44
4x – x + 2y 2y = 36
3x = 36 x = 12
2(12) + y = 40
24 + y = 40 y = 16 Відповідь:
3���� + ���� = 44 ���� + 3���� = 68
3(x + 3y) = 3(68)
3x + 9y = 204
(3x + 9y) (3x + y) = 204 44
3x 3x + 9y – y = 160
8y = 160
y = 20
3x + 20 = 44
3x = 24
x = 8
графіка рівняння:
1) 2x – 3y = 24;
2x 3(0) = 24
2x = 24
x = 12
Точка: (12; 0)
2(0) 3y = 24
3y = 24
y = 8
Точка: (0; -8)
2) 0 x + 5y = 15; 5y = 15 y = 3
Точка: (0; 3)
3) –4 x = 12. 4x = 12 x = 3
Точка: (-3; 0)
рівняння:
1) 4x + 5y = 40;
4x + 5(0) = 40
4x = 40
x = 10
Точка: (10; 0)
4(0) + 5y = 40
5y = 40
y = 8
Точка: (0; 8)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2) 2x + 0y = –16; 2x = 16
x = 8
Точка: (-8; 0)
3) 3y = 6. y = 2
Точка: (0; 2)
75. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) � 2���� + 3���� = 0, 4���� 5���� = 22;
4a + 6b = 0
(4a + 6b) (4a 5b) = 0 (−22)
4a 4a + 6b + 5b = 22
11b = 22
b = 2
2a + 3(2) = 0
2a + 6 = 0
2a = 6
a = 3
a = 3, b = 2
3) � 3���� + 5���� = 9, 4���� 3���� = 17.
9x + 15y = 27
20x 15y = 85
(9x + 15y) + (20x 15y) = 27 + (−85)
9x + 20x = 58
29x = 58
x = 2
3(−2) + 5y = 9
6 + 5y = 9
5y = 15
y = 3
x = 2, y = 3
2) � 4���� 5���� = 1, 3���� + 10���� = 42; 8x 10y = 2
(8x 10y) + (3x + 10y) = 2 + 42
8x + 3x = 44 11x = 44
x = 4
4(4) 5y = 1 16 5y = 1 5y = 15
y = 3
x = 4, y = 3
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) � 2���� 3���� = 7,
5���� + 6���� = 4; 4m 6n = 14
15m + 18n = 12
(4m 6n) + (15m + 18n) = 14 + 12
4m + 15m = 26
19m = 26 m = 26 19
2 �26 19� − 3���� = 7 52 19 − 3���� = 7
3���� = 7 52 19
3���� = 133 19 52 19
3���� = 81 19 ���� = 27 19 m = 26 19; n = 27 19 2) � 2���� 3���� = 6, 8���� + 5���� = 24; 10x 15y = 30 24x + 15y = 72 (10x 15y) + (24x + 15y) = 30 + 72 10x + 24x = 102 34x = 102 x = 3
3) � 4���� + 7���� = 5, 5���� − 3���� = 18.
12x + 21y = 15
35x 21y = 126
(12x + 21y) + (35x 21y) = 15 + 126
12x + 35x = 141
47x = 141
x = 3
4(3) + 7y = 5
12 + 7y = 5
7y = 7
y = 1
x = 3, y = 1
1) (vb + vt) ⋅ 2 + (vb vt) ⋅ 3 = 88
2vb + 2vt + 3vb 3vt = 88
(2vb + 3vb) + (2vt 3vt) = 88
5vb – vt = 88
2) (vb + vt) ⋅ 4 = (vb vt) ⋅ 5
4vb + 4vt = 5vb 5vt
4vb 5vb = 5vt 4vt
vb = 9vt
vb = 9vt
2(3) 3y = 6 6 3y = 6 3y = 0 y = 0
x = 3, y = 0
3) 5(9vt) – vt = 88
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
45vt – vt = 88
44vt = 88
vt = 2км/год
4) vb = 9 ⋅ 2 = 18км/год
78. Складіть рівняння
���� = 5 11 2 ( 1) = 6 3 = 2
y – 11 = 2(x (−1))
y – 11 = 2(x + 1)
y – 11 = 2x 2
y = 2x + 9
79. Графік
= 23 2 4 ( 3) = 21 7
y – 2 = 3(x (−3))
y – 2 = 3(x + 3)
y – 2 = 3x + 9
y = 3x + 11
80. За
1) 4x + 3y = 195
1,1x + 0,8y = 53
2) 11x + 8y = 530
3) 8(4x + 3y) = 8(195) ⇒ 32x + 24y = 1560
3(11x + 8y) = 3(530) ⇒ 33x + 24y = 1590
(33x + 24y) (32x + 24y) = 1590 1560 x = 30
4) 4(30) + 3y = 195
120 + 3y = 195
3y = 195 120
3y = 75 y = 25 Відповідь:
1), 3), 4), 6), 7)
2), 5), 8) –
a3 − ab; ���� 17; 17 ���� ; t(t − 1) + ���� ���� ; 1 9 a 1 8 b; 7 ���� 2 + 1 − 5;
є:
6)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
4) x ≠ 0; x ≠ −2;
5) y ≠ 1; y ≠ −6;
6) будь-яке значення m.
1.9. За t
(у км/год).
v = 240 ���� , t (год).
Якщо t = 3 год, то v = 240 3 = 80 км/год;
якщо t = 4 год, то v = 240 4 = 60 км/год.
Відповідь: 80 км/год; 60 км/год.
1.10. Пенсіонерка
1.11.
1) −2; 2) 9; 3) 0,01; 4) −4,9?
1) ���� + 2
2)
3)
8 = 2; x + 2 = −16; x = −18;
+ 2
8 = 9; x + 2 = 72; x = 70;
+ 2
8 = 0,01; x + 2 = 0,08; x = −1,92; 4) ���� + 2
8 = 4,9; x + 2 = −39,2; x = −41,2.
1.12. Для якого
1) −8; 2) 0,25?
1) ���� 1 10 = 8; m – 1 = −80; m = −79; 2) ���� 1 10 = 0,25; m – 1 = 2,5; m = 3,5.
1.13. Для якого значення x дорівнює
1) 4���� 8 ���� = 0; �4���� – 8 = 0, ���� ≠ 0; � ���� = 2, ���� ≠ 0;
2) (���� 1)(���� + 7) ���� + 5 = 0; � ���� – 1 = 0, ���� + 7 = 0, ���� + 5 ≠ 0; � ���� = 1, ���� = – 7, ���� ≠ – 5; 3) ���� (���� + 3) ���� 2 = 0; ����� + 3 = 0, ���� ≠ 0; ����� = – 3,
1) ���� 5���� 7 = 0; � ���� = 0, 5���� – 7 ≠ 0; � ���� = 0, ���� ≠ 7 5 ; 2) (���� + 1)���� ���� 7 = 0; ����� + 1 = 0, ���� ≠ 0; ����� = – 1, ���� ≠ 0;
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3) (���� + 2)(���� 3) ���� + 4 = 0; � ���� + 2 = 0, ���� – 3 = 0, ���� + 4 ≠ 0; � ���� = – 2, ���� = 3, ���� ≠ – 4;
4) ���� + 1 5���� + 5 = 0; � ���� + 1 = 0, 5���� + 5 ≠ 0; ����� = – 1, ���� ≠ – 1. Розв’язків немає.
Відповідь: 1) y = 0; y ≠ 7 5; 2) y = –1; y ≠ 0;
3) y = –2; y = 3; y ≠ –4; 4) розв’язків немає.
1.15. Знайдіть допустимі
1) ���� + 1 (���� 1)(2���� + 7); (a – 1)(2a + 7) ≠ 0; a – 1 ≠ 0 або 2a + 7 ≠ 0; 2a ≠ –7, a ≠ –3,5.
Відповідь: a – будь-яке, крім 1 і –3,5. 2) ���� + 2 ���� 2 7���� ; t2 – 7t ≠ 0; t(t – 7) ≠ 0; t ≠ 0 або t – 7 ≠ 0 t ≠ 7. Відповідь: t – будь-яке, крім 0 і 7.
3) ���� ����2 25; m2 – 25 ≠ 0;
(m – 5)(m + 5) ≠ 0; m – 5 ≠ 0 або m + 5 ≠ 0 m ≠ 5 m ≠ – 5.
Відповідь: m – будь-яке, крім 5 і –5. 4) 5 (���� 9)2 ; (x – 9)2 ≠ 0; x – 9 ≠ 0; x ≠ 9.
1.16. Знайдіть
1) ���� 7 (9 ����)(4���� + 10); (9 – p)(4p + 10); 9 – p ≠ 0 або 4p + 10 ≠ 0, p ≠ 9 4p ≠ –10 p ≠ –2,5
Відповідь: p – будь-яке, крім 9 і –2,5.
3) ���� 4 ���� 2 ; 4 – с2 ≠ 0; (2 – c)(2 + c) ≠ 0; 2 – c ≠ 0 або 2 + c ≠ 0; c ≠ 2 c ≠ –2.
Відповідь: c –
1)
-яке,
Відповідь: x – будь-яке, крім 9.
2) ���� + 2 5���� ����2 ; 5a – a2 ≠ 0; a(5 – a) ≠ 0; a ≠ 0 або 5 – a ≠ 0 a ≠ 5.
Відповідь: a – будь-яке, крім 0 і 5.
2 і –2. 4) ���� (���� + 1)2 ; (a + 1)2 ≠ 0; a + 1 ≠ 0; a ≠ –1. Відповідь: a – будь-яке, крім –1.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2| ≠ 4, |���� – 2| ≠ – 4; � ���� ≠ 6, ���� ≠ – 2.
Відповідь: 1) a ≠ 2; a ≠ 3; 2) x ≠ ±1; 3) m ≠ 1; m ≠ 0; 4) k ≠ 6; k ≠ –2. 1.19. Знайдіть область визначення виразу:
1) x(x + 2) − 4x − 8 ≠ 0; x(x + 2) − 4(x + 2) ≠ 0; (x + 2)(x − 4) ≠ 0; � ���� + 2 ≠ 0, ���� − 4 ≠ 0; ����� ≠ 2, ���� ≠ 4; 2) 4 − |m| ≠ 0; |m| ≠ 4; m ≠ ±4; 3) 1 ���� + 1 ≠ 0; 1 + ���� ���� ≠ 0; �1 + ���� ≠ 0, ���� ≠ 0; ����� ≠ – 1, ���� ≠ 0; 4) |a + 2| − 3 ≠ 0; |a + 2| ≠ 3; � ���� + 2 ≠ 3, ���� + 2 ≠ 3; � ���� ≠ 1, ���� ≠ – 5;
Відповідь: 1) x ≠ −2; x ≠ 4; 2) m ≠ ±4; 3) x ≠ −1; x ≠ 0; 4) a ≠ 1; a ≠ −5.
1.20. Визначте знак дробу:
1) Додатні, так як x > 0, то x7 > 0; y < 0, то y8 > 0; 2) m + 1 > 0, так як m > 0; n < 0, то n7 < 0, то знак дробу від’ємний; 3) p < 0, то |p − 1| > 0; якщо n > 0, то n19 > 0, знак дробу додатній; 4) якщо a < 0, то |a| + 1 > 0; якщо с < 0, то c8 > 0, знак дробу додатній.
Відповідь: 1) додатнє; 2) від’ємне;
1) 7 ����2 + 1, є додатним; 2) 4 ����2 2 є
недодатним.
1) Враховуючи, що a2 + 1 > 0 для будь-якого a, то значення
3) Враховуючи, що a2
1) (a2 + 2a − 7) − (a2 − 4a − 9) = a2 + 2a − 7 − a
2) 3x2y(2x − 3y + 7) = 6x3y − 9x2y2 + 21x2y;
+ 4a + 9 = 6a +
3) (x2 − 2x)(x + 9) = x3 + 9x2 – 2x2 – 18x = x3 + 7x2 − 18x; 4) (x2 − 5)2 + 10x2 = x4 − 10x2 + 25 + 10x2 = x4 + 25.
1.23. Розв’яжіть рівняння:
4x(2x − 7) + 3x(5 − 2x) = 2x2 + 39;
8x2 − 28x + 15x − 6x2 = 2x2 + 39; 2x2 − 13x = 2x2 + 39; −13x = 39;
x = −3. Відповідь: −3.
1.24. Скоротіть дріб:
1.25. Зведіть дріб: 1) 1 8 до знаменника 24; 2) 2 7 до знаменника 28; 3) 4 15 до
знаменника 30; 4) 8 9 до знаменника 63.
1) m3m4 = m3 + 4 = m7; 2) pp7 = p1 + 7 = p8; 3) x9 : x3 = x9 − 3 = x6;
4) (a3)7 = a3 · 7 = a21;
5) b2 · (b3)4 = b2 · b12 = b2 + 12 = b14; 6) (c4)5 : c12 = c20 : c12 = c20 − 12 = c8 .
1) 2a2b · a = 2a3b;
2) 2a2b · b3 = 2a2b4;
3) 2a2b · 2a3 = 4a5b;
4) 2a2b · 8a2b2 = 16a4b3 .
1.28. Розкладіть на множники многочлен:
1) ab – b2 = b(a − b);
2) m7 + m5 = m5(m2 + 1);
3) 8m2 − 4mn = 4m(2m − n);
4) 6a3b + 15a2b2 = 3a2b(2a − 5b);
5) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2; 6) c2 − 10c + 25 = (c − 5)2; 7) x2 − 25 = x2 − 52 = (x − 5)(x + 5);
8) p4 − 49m2 = (p2)2 − (7m)2 = (p2 − 7m)(p2 + 7m);
9) a2 + ab + 7a + 7b = (a2 + ab) + (7a + 7b) =
2a2b
рівняння:
10x + y = xy + (x + y);
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
10x + y = xy + x + y; 9x − xy = 0; x(9 − y) = 0; x = 0 не є розв’язком задачі; 9 − y = 0; y = 9.
Тобто x може бути будь-яке число.
Маємо: 19; 29; 39; 49; 59; 69; 79; 89; 99. Відповідь: 9.
2.1. (Усно.) Скоротіть дріб:
2.2.
m2 + 2mn + n2 = (m + n)2 , то 4 ���� + ���� = 4(���� + ����) (���� + ����)(���� + ����) = 4(���� + ����) (���� + ����)2 = 4���� + 4���� ����2 + 2�������� + ����2 ;
3) Оскільки x2 – y2 = (x – y)(x + y), то
9 ���� ���� = 9(���� + ���� ) (���� ���� )(���� + ���� ) = 9(
2.24. Знайдіть область визначення
1) y = ���� 2 + 6���� 6���� + 36 .Спростимо вираз: ���� 2 + 6����
6���� + 36 = ����(���� + 6) 6(���� + 6) = ���� 6
Тобто маємо y = ���� 6 – пряма, x ≠ −6. Якщо x = 6, то y = 1.
Відповідь: (−6; −1).
2) y = ���� 2 4���� + 4 2 ���� Спростимо вираз: ���� 2 4���� + 4
2 ���� = (���� 2)2 2 ���� = (2 ����)2 2 ���� = 2 x. Тобто маємо y = 2 – x, x ≠ 2. y = 2 – x x 2 0 y 0 2
Відповідь: (2; 0).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2.25. Знайдіть
1) y = ���� 2 5���� 25 5���� .
Спростимо вираз: ���� 2 5����
25 5���� = ���� (���� 5) 5(���� 5) = ���� 5 .
Тобто маємо y = ���� 5 , x ≠ 5.
Якщо x = 5, то y = −1.
Відповідь: (5; −1).
2) y = ���� 2 + 6���� + 9 3 + ����
Спростимо вираз: ���� 2 + 6���� + 9
3 + ���� = (���� + 3)2 ���� + 3 = x + 3.
Тобто маємо y = x + 3, x ≠ −3. y = x + 3 x 0 3 y 3 0
Відповідь: (−3; 0).
2.26. Обчисліть значення виразу:
1) 212 214 = 212 14 = 2 2 = 1 22 = 1 4 ; 2) 39 36 = 39 6 = 33 = 27;
3) 74 49 = 74 72 = 74 2 = 72 = 49; 4)
2.27. Розв’яжіть систему рівнянь:
.
1) ����� + 3���� = 2, | ∙ (– 3) 3���� 2���� = 17; � 3���� 9���� = 6, 3���� 2���� = 17; –11y = 11; y = –1, то маємо x – 3 = 2; x = 5; (5; −1).
2) � 3���� + 2���� = 2, 7���� 2���� = 22; 10���� = 20; ���� = 2, то маємо – 6 + 2y = 2; 2y = 8; y = 4; (−2; 4).
Відповідь: 1) (5; −1); 2) (−2; 4).
2.28. Спростіть вираз: 1) (2x + 3y)2 − (x + 7y)(4x − y) = 4x2 + 12xy + 9y2 − (4x2 − xy + 28xy − 7y2) = = 4x2 + 12xy + 9y2 − 4x2 + xy − 28xy + 7y2 = − 15xy + 16y²; 2) (m + 3)(m2 − 5) − m(m − 4)2 = m3 − 5
2.29. Обчисліть:
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Нехай x – кількість міського населення, тоді x • (1 – 0,38375094) = = x • 0,61624906 – сільське населення.
1) x + x • 0,61624906 = 42 760 516
x • (1 + 0,61624906) = 42 760 516
x = 42 760 516 : 1,61624906
x ≈ 26 456 637 (ос.) – міського населення;
2) 42 760 516 – 26 456 637 = 16 303 879 (ос.) – сільського населення. Відповідь: міського населення – 26 456 637 осіб, сільського – 16 303 879 осіб.
2.31. Катер за течією
3.13.
3.22. Спростіть вираз:
3.23.
3.25.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) 15a3b7 = 3ab5 · 5a2b2;
2) 15a3b7 = −5a2b7 · (−3a);
3) 15a3b7 = −b6 · (−15a3b);
4) 15a3b7 = 15ab · a2b6 . 3.27. 1)
7
1) Для того, щоб
2) Розглянемо суму (a1 – b1) + (a2 – b2) + (a3 – b3) + ... + (a7 – b7). Оскільки
3) Припустимо,
припущення неправильне. 4)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
4.31.
4.42.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Відповідь: Ні.
4.46. Скільки кілограмів солі міститься
5% від 60 = 0,05 · 60 = 3 (кг).
Відповідь: 3 кг солі.
4.47. З двох міст одночасно назустріч
між містами становить s км, швидкості велосипедисток ����1
1)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2) 2660 : 900 : 1000 = 2394000 : 1000 = 2394 (м2)
3)
1.
1)
2)
x,
���� 2 16 |���� +1| 5;
1. |x + 1| – 5 = 0; |x + 1| = 5; x + 1 = –5 або x + 1 = 5; x = –5 – 1 або x = 5 – 1;
x1 = –6, x2 = 4.
x будь-які, крім –6 і 4
2. ���� 2 16 |���� +1| 5 = 0; � ���� 2 16 = 0, |���� + 1| − 5 ≠ 0; �(���� 4)(���� + 4) = 0, ���� ≠ 6, ���� ≠ 4; ����� = 4 або ���� = 4, ���� ≠ 6, ���� ≠ 4.
Відповідь: 1) x будь-які, крім –6 і 4; 2)
Спростіть вираз 3(���� 2���� ) (���� 3)(���� 4) ���� 2 6
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2. ���� +3 ���� 2 9 = 0; ����� + 3 = 0, ���� 2 − 9 ≠ 0;
Зведіть дріб 3 ���� – 2 до знаменника: 1. Оскільки 7a – 14 = 7(a – 2), то 3 ���� 2 = 3 ⋅ 7 7(���� 2) = 21 7���� 14 . 2. Оскільки a2 – 2a = a(a – 2), то 3 ���� 2 = 3���� ���� (���� 2) = 3���� ���� 2 2���� . 3. Оскільки 16 – 8a = 8(2 – a) = –8(a – 2), то 3 ���� 2 = 3 ⋅ ( 8) 8(���� 2) = 24 16 8���� . 4. Оскільки a2 – 4 = (a – 2)(a + 2), то 3 ���� 2 = 3(���� + 2) (���� 2)(���� + 2) = 3���� + 6 ���� 2 4 . 13. Доведіть тотожність 22,5���� 2 2,5���� 2 7,5���� 2 − 2,5�������� = 2,5(9���� 2 ���� 2 ) 2,5(3����2 − �������� ) = (3���� ���� )(3���� + ���� ) ���� (3���� − ���� ) = 3���� + ����
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Міркуючи аналогічно, як у пункті 1. маємо n = 1; n = 2; n = 3; n = 6. ����. ����2 10���� +6
Маємо n = 1; 2; 4; 8; 16 для перевірки.
n = 1; 1 – 10 + 16 1 = 7 — натуральне число;
n = 2; 2 – 10 + 16 2 = 0 — не є натуральним числом;
n = 4; 4 – 10 + 16 4 = –2 — не є натуральним числом;
n = 8; 8 – 10 + 16 8 = 0 — не є натуральним числом;
n = 16; 16 – 10 + 16 16 = 7 — натуральне число.
Отже n = 1 або n = 16.
Відповідь: 1. 1; 2; 2. 1; 2; 3; 6; 3. 1; 16. 26. Побудуйте
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
a = –24; b = –6. 2. ���� ���� 3 + ���� ���� + 3 = 18 ���� 2 9 ;
(���� + 3) + ����(���� − 3) (���� 3)(���� + 3) = 18 ���� 2 9 ; �������� + 3���� + �������� − 3���� ���� 2 9 = 18 ���� 2 9 ; ���� (���� + ���� ) + 3(���� ���� ) ���� 2 9 = 18 ���� 2 9 ;
(���� + ���� ) + (3���� 3���� ) = 18;
+ ���� = 0| ∙ 3 3���� 3���� = 18; � 3���� + 3���� = 0, 3���� − 3���� = 18; 6���� = 18; ���� = 18: 6; ���� = 3; ���� = 3.
Відповідь: a = 3; b = –3. 37. Човен, власна
���� = 12, ���� = 45, то 2�������� ���� 2 9 = 2 ⋅ 45 ⋅ 12 (12 3)(12 + 3) = 2 ⋅ 45 ⋅ 12 9 ⋅ 15 = 8.
2�������� ���� 2 9 ; 8 год.
1) ∠A = 32;
4) ∠D = 59° 30′;
7) ∠L = 89°;
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3) ∠C = 150°; 6) ∠N = 120°; 8) ∠M = 113° 20′
2. Знайдіть кут, суміжний з кутом:
1) 25°; 180° – 25° = 155°
2) 90°; 180° – 90° = 90°
3) 116°. 180° – 116° = 64°
3. Знайдіть кут, суміжний
1) 140°; 180° – 140° = 40°
2) 83°. 180° – 83° = 97° 4.
3 = 70° (як
2) ∠B = 90°;
5) ∠K = 180°;
кути); ∠1 = 180° – ∠3 = 180° – 70° = 110° (як суміжні); ∠2 = ∠3 = 70° (як вертикальні).
1 = 180° – ∠2 = 180° – 115° = 65° (як суміжні);
3 = ∠2 = 115° (як вертикальні).
shkola.in.ua
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
11.
12.
∠2 = 115° (як вертикальні);
∠2 = 180° − 75° = 105° (як суміжні)
∠3 = ∠1 = 75° (як вертикальні кути)
∠4 = ∠2 = 105° (як вертикальні)
∠3 = ∠5 = 75° (як
при m∥n та січній с)
∠2 = ∠8 = 105° (як внутрішні різносторонні
∠7 = ∠5 = 75° (як вертикальні кути)
∠6 = ∠8 = 36° (як вертикальні кути)
130°.
∠2 = 180° − 130° = 50° (як суміжні)
∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути)
2х = 180° + 40°
2х = 220°
х = 110°
х + 0,8х = 180°
1,8х = 180°
х = 100° —
0,8х = 0,8 ∙ 100° = 80° —
9х = 180° ∙ 7
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
х = 5 (см) — літера В
3х = 3 ∙ 5 = 15 (см) — літера Я
2) Нехай AK = х, тоді KB = 2 3 х:
х + 2 3 х = 20
5 3 х = 20
х = 20 ∙ 3 : 5
х = 12 (см) — літера И
2 3 х = 2 3 ∙ 12 = 8 (см) — літера Н
3) Нехай AK = 3х, тоді KB = 7х:
3х + 7х = 20
10х = 20
х = 2
3х = 3 ∙ 2 = 6 (см) — літера І
7х = 7 ∙ 2 = 14 (см) — літера Ц
Прямі AB, MN і CD перетинаються
AB ⊥ MN (мал. 3).
1) ∠DOB, якщо ∠CON = 70°; ∠MOD = ∠CON = 70° (як вертикальні)
∠MOB = 90° (оскільки AB ⊥ MN)
∠DOB = ∠MOB − ∠MOD = 90° − 70° = 20°
2) ∠AOC, якщо ∠DON = 105°.
∠MOC = ∠DON = 105° (як вертикальні)
∠MOA = 90° (оскільки AB ⊥ MN)
∠AOC = ∠MOC − ∠MOA = 105° − 90° = 15°
MN ⊥ KL (мал. 4).
Знайдіть:
1) ∠KOB, якщо ∠NOA = 120°;
∠BOM = ∠NOA = 120° (як вертикальні)
∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL)
∠KOB = ∠BOM − ∠KOM = 120° − 90° = 30°
2) ∠KOA, якщо ∠BON = 40°.
∠AOM = ∠BON = 40° (як вертикальні)
∠KOM = 90° (оскільки MN ⊥ KL)
∠KOA = ∠AOM + ∠KOM = 40° + 90° = 130°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
х + 3х = 180°
4х = 180°
х = 45° — менший кут
3х = 3 ∙ 45° = 135° —
х + 1,25х = 180°
2,25х = 180°
х = 80°
2х = 180° + 30°
2х = 210°
х = 105°
− 30° = 105° − 30° = 75°
2х + 3х = 180°
5х = 180°
х = 36°
3х = 3 ∙ 36° = 108°
2х = 2
36° = 72°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
22. (Усно.) Чи
1) 60°, 60°, 61°;
2) 20°, 70°, 90°;
3) 10°, 100°, 70°;
4) 50°, 60°, 80°?
суму
кутів. У будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180°.
1) 60° + 60° + 61° = 181° � Не існує
2) 20° + 70° + 90° = 180° � � Існує
3) 10° + 100° + 70° = 180° � � Існує
4) 50° + 60° + 80° = 190° � Не існує
23. (Усно.) Чи існує трикутник зі сторонами:
1) 7 см, 2 см, 9 см;
2) 12 см, 10 см, 8 см;
3) 3 см, 4 см, 6 см;
4) 8 см, 8 см, 15 см?
Щоб з’ясувати,
1) 7 + 2 = 9
3) 3 + 4 = 7 > 6
3 + 6 = 9 > 4 4 + 6 = 10 > 3
8 + 8 = 16 > 15
+ 15 = 23 > 8
+ 15 = 23 > 8
5 + 7 + 7 =
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Основа на 3 см менша, тобто: 10 – 3 = 7 (см)
У рівнобедреному трикутнику
P = 7 + 10 + 10 = 27 (см)
Відповідь: 27 см.
26. У трикутнику ABC відрізок BK – медіана, AK = 5 см. Знайдіть KC і AC.
Оскільки BK медіана, то точка K середина відрізка AC: AK = KC
А якщо AK = 5 см, то: KC = 5 (см)
Тоді довжина AC:
AC = AK + KC = 5 + 5 = 10 (см)
Відповідь:
KC = 5 см; AC = 10 см.
27. У трикутнику ABC відрізок CM – бісектриса, ∠ACB = 80°. Знайдіть
кутів ACM і BCM.
28. Доведіть,
Відповідь:
∠ACM = 40°;
∠BCM = 40°.
1) AK = BK — за умовою 2) ∠AKM = ∠BKM — за умовою
3) KM — спільна сторона.
: △AKM = △BKM.
29. Доведіть, що △ACK = △BCK (мал. 6), якщо CK ⊥ AB і ∠ACK = ∠BCK.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1)
2)
3)
∠A + ∠B + ∠C = 180° х + 100° + х = 180°
2х = 180° − 100°
2х = 80°
х = 40°
Відповідь: 40°.
∠A + ∠B = ∠BCM Підставляємо:
∠A + 60° = 110°
∠A = 110° − 60°
∠A = 50° Відповідь: 50°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
= 10 см;
2) AB, якщо AC = 4 см.
A
= 90° 60° = 30°;
AC = 1 2 AB.
1) AC = 1 2 AB = 1 2 ∙ 10 = 5 (см); 2) AB = 2AC = 2 ∙ 4 = 8 (см).
Відповідь: 1) 5 см; 2) 8 см.
35. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠A = 30°. Знайдіть:
1) AB, якщо BC = 8 дм; 2) BC, якщо AB = 18 см.
BC = 1 2 AB ⇒ AB = 2BC
1) AB = 2BC = 2 ∙ 8 = 16 (дм); 2) BC = 1 2 AB = 1 2 ∙ 18 = 9 (см). Відповідь: 1) 16 дм; 2) 9 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 45 см.
Позначимо сторони трикутника так:
Нехай перша сторона (найменша) x;
Друга сторона 3x;
Третя сторона x + 10.
Периметр: x + 3x + (x + 10) = 45
Розв’яжемо рівняння: x + 3x + x + 10 = 45
5x + 10 = 45
5x = 35 x = 7
Знаходимо сторони:
Перша сторона: x = 7 см
Друга: 3x = 21 см
Третя: x + 10 = 17 см
Відповідь: 7 см, 21 см, 17 см. 39. Одна
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Друга — x + 3
Третя — 2x
Периметр: x + (x + 3) + 2x = 35
Розв’яжемо рівняння:
x + x + 3 + 2x = 35
4x + 3 = 35
4x = 32
x = 8
Знайдемо сторони:
Перша сторона: x = 8 см
Друга: x + 3 = 11 см
Третя: 2x = 16 см
Відповідь: 8 см, 11 см, 16 см.
40. На малюнку 7 AB = BD, AC = CD. Доведіть, що BC – бісектриса кута ABD.
Розглянемо трикутники △ABC і △DBC:
BC — спільна сторона;
AB = BD — за умовою;
AC = CD — за умовою.
Отже, трикутники рівні за трьома сторонами (згідно
третьою ознакою рівності трикутників):
△ABC = △DBC. Із рівності трикутників випливає, що відповідні
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Підставимо в рівняння:
x + (x 20) = 120
2x 20 = 120
2x = 140
x = 70
Отже:
∠C = 70° літера О
∠B = 50° літера Л
2) Нехай ∠C = x, тоді ∠B = 2x
x + 2x = 120
3x = 120
x = 40
Отже:
∠C = 40° літера И
∠B = 80° літера Р
3) Нехай ∠B = x, тоді ∠C = 3x
x + 3x = 120
4x = 120
x = 30
Отже:
∠B = 30° літера П
∠C = 90° літера К
Один із кутів трикутника
Перший кут x
кут x + 20
кут 2x
трикутника:
x + (x + 20) + 2x = 180°
4x + 20 = 180°
4x = 160°
x = 40°
x = 40° Другий: x + 20 = 60° Третій: 2x = 80° Відповідь: 40°, 60°, 80°.
— x + 26°.
x + (x + 26) = 90°
2x + 26° = 90°; 2x = 64°
x = 32° — менший кут
x + 26° = 32 + 26° = 58° —
Нехай більший кут — x, тоді менший — 0,8x
x + 0,8x = 90°
1,8x = 90°
x = 50° — більший кут
0,8x = 0,8 ∙ 50° = 40° — менший кут
44. Знайдіть
1) один із
5x
5x = 5 ∙ 15° = 75°
3x і 2x
3x + 2x = 90°
5x = 90°; x = 18°
2x = 2 ∙ 18° = 36° — менший кут
3x = 3 ∙ 18° = 54° — більший кут
45. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AB проведено висоту CK. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника ACK дорівнює 30 см і CK = 12 см.
Периметр трикутника ACK:
AK + CK + AC = 30
AK + 12 + AC = 30
AK + AC = 18
У трикутнику ABC: AB = 2 ∙ AK; AC = BC
Отже: P△ABC = AB + AC + BC = 2 ∙ AK + 2 ∙ AC
Підставимо з попереднього:
2 ∙ AK + 2 ∙ AC = 2(AK + AC) = 2 ∙ 18 = 36 см
Відповідь: 36 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Дано: △ABC рівнобедрений, з основою BC ⇒
AB = AC (бо в рівнобедреному
сторони рівні)
AM медіана до основи BC ⇒
Точка M середина відрізка BC, тобто:
BM = MC = BC 2
Периметр △ABC = 32 см
AM = 8 см
Потрібно знайти периметр трикутника ABM.
Розв’язок:
Позначимо AB = AC = x, а BC = y
Тоді периметр △ABC дорівнює:
x + x + y = 32
2x + y = 32
y = 32 2x
Знайдемо сторону BM
Оскільки M середина BC, то:
BM = y 2 = 32 2x 2 = 16 x
Периметр △ABM це сума сторін:
AB + BM + AM = x + (16 x) + 8 = 16 + 8 = 24 см.
Відповідь: 24 см.
47. Знайдіть кути
Скільки випадків слід розглянути?
В рівнобедреному трикутнику
назвемо їх x.
За умовою: або y = x + 24°, або x = y + 24°. Сума кутів трикутника дорівнює 180°:
Випадок 1:
2x + y = 180° та y = x + 24°
Підставимо:
2x + (x + 24°) = 180°
3x = 156°
x = 52°
y = 52 + 24 = 76°
Кути: 52°, 52°, 76°
Відповідь:
Випадок 2:
2x + y = 180 та x = y + 24
y = x - 24
Підставимо:
2x + (x - 24) = 180
3x = 204
x = 68
y = 68 - 24 = 44
Кути: 68°, 68°, 44°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1: 52°, 52°, 76°; Випадок 2: 68°, 68°, 44°.
на 3 см менша від третьої?
Позначимо сторони трикутника як:
a друга сторона;
b = a + 4 перша сторона (на 4 см більша за другу);
c = b + 3 = a + 4 + 3 = a + 7 третя сторона (на 3 см більша за першу).
Периметр трикутника дорівнює 20 см, тобто:
a + b + c = 20
Підставляємо b і c через a:
a + (a + 4) + (a + 7) = 20
3a + 11 = 20
3a = 9
a = 3
Тоді:
b = 3 + 4 = 7
c = 3 + 7 = 10
Отже, сторони: 3 см, 7 см, 10 см
Перевірка існування трикутника
За нерівністю трикутника, сума
1. 3 + 7 = 10 �
2. 3 + 10 = 13 > 7 � �
3. 7 + 10 = 17 > 3 � �
Відповідь: не існує.
49. (Усно.) Знайдіть:
1) діаметр кола, якщо
а) r = 6 см
d = 2 ∙ 6 = 12 см; б) r = 7 дм
d = 2 ∙ 7 = 14 дм.
2) радіус
а) d = 4 дм
r = 4 2 = 2 дм;
б) d = 5 см
r = 5 2 = 2,5 см.
50. Знайдіть градусну
1) 80°;
= 80° : 2 = 40° 2) Якщо центральний
∠BAC = 200° : 2 = 100°
Відповідь: 1. 40°; 2. 100°
BOC = 200°, то
1) 50°;
2) 110°.
BOC – центральний
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) ∠C = ∠D = 46°, тоді
COD
∠O = 180° - (∠C + ∠D) = 180° - (46° + 46°) = 88°.
2) ∠C = ∠D = x, тоді
96° + x + x = 180°
2x = 84° x = 42°
Відповідь: 1. ∠O = 88°; 2. ∠D = 42°.
53. На малюнку 8 точка O
1) кута C, якщо ∠O = 94°;
2) кута O, якщо ∠D = 44°.
1) Нехай ∠C = ∠D = x, тоді:
x + x + 94° = 180°
Трикутник COD рівнобедрений, оскільки OC = OD (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику
C + ∠D +∠O = 180°
2x = 86° x = 43° 2) Оскільки ∠D = ∠C = 44°, то: 44° + 44° + ∠O = 180° ∠O = 180° - 88° = 92°
Відповідь: 1. ∠C = 43°; 2. ∠O = 92°.
54. На
1) ∠OBA, якщо ∠ABC = 62°; 2) ∠DBA, якщо ∠OBA = 30°.
∠OBC = ∠DBO = 90°.
1) ∠OBA = ∠OBC − ∠ABC = 90° − 62° = 28°;
2) ∠DBA = ∠DBO + ∠OBA = 90° + 30° = 120°.
Відповідь:
1. ∠OBA = 28°
2. ∠DBA = 120°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) ∠ABC, якщо ∠OBA = 32°; 2) ∠OBA, якщо ∠DBA = 136°. Дотична
56. Точки
1) внутрішній дотик;
d = R r = 8 - 5 = 3 см
2)
1. 3 см; 2. 13 см.
проведений
кола), тому
∠OBC = ∠DBO = 90°.
1) ∠ABC = ∠OBC – ∠OBA = 90° – 32° = 58°;
2) ∠OBA = ∠DBA – ∠DBO = 136° – 90° = 46°.
Відповідь:
1. ∠ABC = 58°
2. ∠OBA = 46°
CAD та CBD вписані, відповідно
◡CBD = 2∠CAD = 2 ∙ 76 = 152°
Тоді, ◡CAD = 360° − ◡CBD = 360° − 152° = 208° ∠CBD = ◡CAD : 2 = 208° : 2 = 104° Відповідь:
d = R − r = 7 − 4 = 3 см
1. 11 см; 2. 3 см. 59. На
10 точка O – центр кола, ∠COB = 40°. Знайдіть ∠CAB. Із рисунка видно, що ∠COB центральний кут, що спирається на дугу CB, ∠CAB — вписаний кут, що також спирається на ту саму дугу CB. Вписаний кут, що спирається на ту саму дугу, що й центральний, удвічі менший за центральний (згідно теореми про вписаний кут):
∠CAB = ∠COB : 2 = 40° : 2 = 20°
Відповідь: ∠CAB = 20°.
60. На малюнку 10 точка O – центр кола, ∠ACO = 21°. Знайдіть ∠COB. OC = OB (як радіуси), тому △ACO рівнобедрений. Оскільки у рівнобедреного трикутника
рівні, то ∠ACO = ∠CAO = 21°. ∠COB — центральний
Пряма
2x = 50°
BOM = 130°.
OMB
оскільки OM = OB (радіуси кола). Загальна властивість: У рівнобедреному
180°: ∠MOB + ∠OBM +∠OMB = 180° Нехай ∠OBM = ∠OMB = x,
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
кола), тому ∠OMK = 90°.
Тоді
∠OMB = ∠OMK − ∠BMK = 90° – 70° = 20°.
Трикутник OMB рівнобедрений, оскільки OM = OB (радіуси кола).
Загальна властивість: У рівнобедреному трикутнику кути
трьох кутів дорівнює 180°:
∠MOB + ∠OBM +∠OMB = 180°
∠MOB + 20° + 20° = 180°
∠MOB = 140°
Відповідь: ∠MOB = 140°
63. Відстань
1) внутрішній дотик;
Позначимо:
R більший радіус
r менший радіус
d відстань між центрами радіусів
тоді R = 5x, r = 3x
При внутрішньому дотику:
R - r = d
5x - 3x = 16
2x = 16
x = 8
Тоді:
R = 5x = 40 см, r = 3x = 24 см
2) зовнішній дотик.
При зовнішньому дотику:
R + r = d
5x + 3x = 16
8x = 16
x = 2
Тоді:
R = 5x = 10 см, r = 3x = 6 см
основі рівні (∠OBM =
Відповідь: 1) 40 см, 24 см; 2) 10 см, 6 см.
64. Прямі AB і AC дотикаються
AB = 4 см, ∠OAC = 30°.
AB = AC (катети), АО – спільна сторона (гіпотенуза), то ΔВОA =
ознаки рівності прямокутних трикутників за катетом і гіпотенузою).
У рівних трикутників відповідні елементи рівні, тому ∠OAB = ∠OAC = 30°.
Розглянемо трикутник ABC. В ньому AD – медіана, бісектриса і висота, отже трикутники
CDA та BDA – прямокутні, сторони AB і AC – гіпотенузи.
Катет, прямокутного трикутника, що
гіпотенузи (згідно властивості прямокутних трикутників)
BD = AB : 2 = 4 : 2 = 2 см
CD = AC : 2 = 4 : 2 = 2 см
Тоді
BC = BD + CD = 2 + 2 = 4 см
Відповідь: 4 см. 65. Коло, вписане
ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 2 см, AK = 5 см.
BL = KB = 2 см, AM = AK = 5 см, CM = CL = 5 см.
PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 5 см + 2 см + 2 см + 5 см + 5 см + 5 см = 24 см.
Відповідь: 24 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 4 см, AK = 3 см.
За властивістю дотичних, проведених
точки до кола, маємо: BL = KB = 4 см, AM = AK = 3 см, CM = CL = 3 см.
PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 3 см + 4 см + 4 см + 3 см + 3 см + 3 см = 20 см.
Відповідь: 20 см.
∠AOB – центральний кут;
∠ACB – вписаний кут;
відповідного центрального кута (це випливає із теореми про вписаний кут),
тоді:
∠ACB = ∠AOB : 2 = 100° : 2 = 50°
Кути при основі рівнобедреного
трикутника рівні:
∠CBA = ∠CAB = x
Сума кутів трикутника рівна 180°:
∠ACB + ∠CBA + ∠CAB = 180°
50° + х + х = 180°
2х = 130°
х = 65°
Відповідь: 65°, 65°, 50°.
∠AOB – центральний кут; ∠ACB – вписаний кут;
◡ACB = ∠AOB = 100°
◡ALB = 360° − ◡ACB = = 360° − 100° = 260°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
вписаний кут):
∠ACB = ◡ALB : 2 = 260° : 2 = 130°
трикутника рівні:
∠CBA = ∠CAB = (180° − ∠ACB) : 2 = = (180° − 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°
Відповідь: 25°, 25°, 130°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5.4
5.5 Чи
1. 70°, 90°, 100° і 120°;
2. 130°, 60°, 70° і 100°?
1. 70° + 90° + 100° + 120° = 380°
Відповідь: ні.
2. 130° + 60° + 70° + 100° = 360°.
Відповідь: так.
5.6 Чи можуть кути
1. 140°, 60°, 90° і 70°;
2. 120°, 110°, 80° і 60°?
1. 140° + 60° + 90° + 70° = 360°.
Відповідь: так.
2. 120° + 110° + 80° + 60° = 370°.
Відповідь: ні.
5.7 Знайдіть четвертий
1. 150°, 110° і 80°;
2. 80°, 60° і 30°.
Яким
1. 360° − (150° + 110° + 80°) = 20°.
2. 360° − (80° + 60° + 30°) = 190°.
1. 20°, 70° і 80°;
2. 120°, 50° і 40°. Яким
1. 360° − (20° + 70° + 80°) = 190°.
2. 360° − (120° + 50° + 40°) = 150°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5.9
P = 34 + 25 + 40 + 70 = 169 (мм).
5.10
52 мм.
P = 80 + 70 + 63 + 52 = 265 (мм).
5.11
1. гострими;
2. прямими; 3. тупими?
1. Ні, оскільки в цьому випадку сума
2. Так, бо 4 · 90° = 360°.
3. Ні, оскільки в цьому випадку сума
5.12 Один з кутів чотирикутника дорівнює
невідомі кути чотирикутника. (360° − 120°) : 3 = 80°.
Відповідь: 80°; 80°; 80°.
5.13 Периметр
невідомі сторони чотирикутника, якщо вони
собою рівні. (60 − 24) : 3 = 12 (см).
Відповідь: 12 см; 12 см; 12 см.
5.14 У чотирикутнику ABCD BC = CD і ∠ ACB = ∠ ACD. Доведіть, що ∠ B = ∠ D.
1. BC = CD (за умовою); ∠ACB = ∠ACD (за умовою). AC — спільна сторона трикутників ABC і ADC. Тому ΔABC = ΔADC (за першою ознакою).
2. Оскільки ΔABC = ΔADC, то ∠B = ∠D, що й треба було довести.
5.15 У чотирикутнику ABCD ∠ BAC = ∠ ACD, ∠ BCA = ∠ CAD. Доведіть, що AB = CD. 1. ∠BAC = ∠ACD; ∠BCA = ∠CAD (за умовою); AC спільна сторона трикутників ABC і CDA. Тому ΔABC = ΔCDA (за другою ознакою).
5.16
2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то AB = CD, що й треба
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
x = 2,5.
2. Тоді сторони чотирикутника:
4 · 2,5 = 10 (см);
5 · 2,5 = 12,5 (см);
8 · 2,5 = 20 (см);
9 · 2,5 = 22,5 (см).
Відповідь: 10 см, 12,5 см, 20 см, 22,5 см.
5.17 Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 4, 5, 7 і 8.
1. Нехай кути чотирикутника дорівнюють 4x, 5x, 7x і 8x.
Тоді 4x + 5x + 7x + 8x = 360°; 24x = 360°; x = 15°.
2. Тоді кути чотирикутника:
4 · 15° = 60°;
5 · 15° = 75°;
7 · 15° = 105°;
8 · 15° = 120°.
Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°.
5.18 Знайдіть
1. Нехай
7���� + 5���� 2 = 6
2. Тоді 90° + 7x + 5x + 6x = 360°; 18x = 270°; x = 15°.
3. Отже, невідомі
7 · 15° = 105°;
5 · 15° = 75°;
6 · 15° = 90°.
Відповідь: 105°, 75°, 90°. 5.19
2.
3.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
третя — 3 · 3 = 9 (см),
четверта — 2 · 3 = 6 (см).
Відповідь: 21 см, 9 см, 6 см.
5.20
1.
2.
5.23
5.24
AB = BC = 6 см;
∠B = 50°;
AD1 = AD2 = 4 см; CD1 = CD2 = 3 см.
AB = AD = 5 см;
∠A = 70°;
BC1 = BC2 = 4 см;
DC1 = DC2 = 3 см. 5.25
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. 2.
AB = BC; AD = DC (за умовою), BD — спільна сторона трикутників ABD і CBD. Тому ΔABD = ΔCBD.
1. Оскільки ΔABD = ΔCBD, то ∠ABD = ∠CBD і ∠ADB = ∠CDB. Отже, діагональ BD ділить навпіл як кут B, так і кут D.
2. BO — бісектриса рівнобедреного трикутника, що проведена до основи. Тому BO є
також і висотою.
Отже, BO ⊥ AC, а тому BD ⊥ AC, тобто
З ΔABD: BD = PΔABD − (AB + AD).
З ΔBCD: BD = PΔBCD − (BC + CD). Додаємо
BD + BD = PΔABD + PΔBCD − (AB + AD + BC + CD);
2BD = PΔABD + PΔBCD − PABCD; 2BD = 20 + 21 − 29;
2BD = 12;
BD = 6.
Відповідь: 6 см. 5.27
Нехай ∠1 = 70°, тоді:
∠2 = 180° − 70° = 110° (властивість суміжних кутів);
∠3 = ∠1 = 70° (як вертикальні);
∠4 = ∠2 = 110° (як вертикальні);
∠5 = ∠2 = 110° (як відповідні) або
∠5 = ∠4 = 110° (як внутрішні різносторонні);
∠6 = ∠3 = 70° (як відповідні);
∠7 = ∠5 = 110° (як вертикальні);
∠8 = ∠6 = 70° (як відповідні).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Випадок 1.
В ΔABC AB = BC, ∠B = 70°.
Кути при основі рівні, тоді
∠A = ∠C = (180° − ∠B) : 2 = (180° − 70°) : 2 = 55°.
Випадок 2.
В ΔABC AB = BC, ∠A = 70°.
∠C = ∠A = 70° як кути при основі.
∠B = 180° − (∠A + ∠C);
∠B = 180° − 2 · 70° = 40°.
Відповіді:
1. 55°, 55°, 70°; 2. 70°, 70°, 40°.
5.29 У прямокутному трикутнику
5.30
У ΔABC ∠C = 90°, ∠B = 60°, CD
CD = АВ : 2 = AD = BD. ∠A = 90° − ∠B = 30°. Тоді BC —
меншого кута. За умовою CD + BC = 10 см.
У ΔBCD CD = BD, ∠B = 60°, тоді ΔBCD — рівносторонній, CD = BC = 10 см : 2 = 5 см.
AB = 2CD = 2 · 5 см = 10 см.
Відповідь: 10 см.
5.31
2. ∠1 > ∠4;
3. ∠3 = 120°, ∠4 = 121°;
4. ∠2 = 60°, ∠4 = 119°;
5. ∠1 = ∠4 = 122°;
6. ∠3 = ∠4?
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1, 5, 6 прямі a і b паралельні. 2, 3, 4 — прямі a і b перетинаються.
5.32 1. Доведіть, що △ABC = △CDA, якщо AB = CD і ∠BAC = ∠ACD.
2. Доведіть, що BC = AD і ∠BCA = ∠CAD.
3. Чи паралельні прямі BC і AD?
1. AB = CD; ∠BAC = ∠ACD (за умовою).
AC — спільна сторона трикутників ABC і CDA.
Тому ΔABC = ΔCDA (за першою ознакою).
2. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то BC = AD і ∠BCA = ∠CAD.
3. Оскільки ∠BCA = ∠CAD, і ці кути — внутрішні різносторонні, утворені
то
1. 2 · (150 + 200) = 2 · 350 = 700 (м) —
2. (700 м · 4) : 16 = 2,8 км : 16 = 0,175 год = = 0,175 · 60 хв = 10,5 хв = 10
3. (700 м · 3) : 14 = 2,1 км : 14 = 0,15 год = = 0,15 · 60 хв
BC і AD
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Отже, кути будуть: 110°, 70°, 110°, 70°.
6.7 Знайдіть
3 см більша за неї.
1. 12 + 3 = 15 (см) — друга сторона;
2. P = 2(12 + 15) = 54 (см).
Відповідь: 54 см.
6.8 Знайдіть периметр
удвічі менша.
1. 18 : 2 = 9 (см) — друга сторона;
2. P = 2(18 + 9) = 54 (см).
Відповідь: 54 см.
6.9 Розв'яжіть
ABCD (згідно
1. ∠A + ∠C = 120° ⇒ 2∠A = 120° ⇒
∠A = 60°, ∠B = 120°.
2. ∠A = ∠B + 20° і ∠A + ∠B = 180° ⇒
∠B = 80°, ∠A = 100°.
: ∠A + ∠B = 180°, ∠A = ∠C.
3. ∠A = 1 3 ∠B, ∠A + ∠B = 180° ⇒
∠B = 135°, ∠A = 45°.
4. ∠A : ∠B = 3 : 2 ⇒ 5k = 180° ⇒
∠A = 108°, ∠B = 72°.
1. ∠B + ∠D = 200°; ∠B = ∠D = 200° 2 = 100°.
Тоді ∠A = ∠C = 180° − 100° = 80°.
2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 40°.
Маємо x + x + 40 = 180;
2x = 140; x = 70.
Отже, ∠A = ∠C = 70°;
∠B = ∠D = 70° + 40° = 110°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x.
Маємо x + 2x = 180;
3x = 180; x = 60.
Отже, ∠A = ∠C = 60°;
∠B = ∠D = 60° · 2 = 120°.
4. Оскільки ∠A : ∠B = 4 : 5, то можна
позначити
∠A = 4x, ∠B = 5x
Маємо 4x + 5x = 180;
9x = 180; x = 20.
Отже, ∠A = ∠C = 4 · 20° = 80°;
∠B = ∠D = 5 · 20° = 100°.
6.11
ABCD ∠ BAD = 80°, ∠ ACD = 50°. Знайдіть
6.12
1. ∠BCD = ∠BAD = 80°.
2. ∠ACB = ∠BCD − ∠ACD = 80° − 50° = 30°.
3. ∠ABC = 180° − ∠BAD = 180° − 80° = 100°.
Відповідь: ∠ACB = 30°; ∠ABC = 100°.
1. ∠ABC = 180° − (35° + 40°) = 105°.
2. ∠CDA = ∠ABC = 105°.
3. ∠BAD = ∠BCD = 180° − 105° = 75°. Відповідь: ∠BAD = ∠BCD = 75°; ∠ABC = ∠CDA = 115°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. Нехай AB = x см, тоді BC = (x + 4) см.
Маємо 2(x + x + 4) = 40; 2x + 4 = 20; 2x = 16; x = 8 (см).
Отже, AB = CD = 8 (см); BC = AD = 8 + 4 = 12 (см).
Відповідь: 8 см; 10 см.
2. Оскільки AB : BC = 3 : 7, то можна
позначити AB = 3x, BC = 7x.
Маємо 2(3x + 7x) = 40; 10x = 20; x = 2 (см).
Отже, AB = CD = 3 · 2 = 6 (см); BC = AD = 7 · 2 = 14 (см).
Відповідь: 6 см; 14 см.
6.15 Периметр паралелограма дорівнює 36 дм. Знайдіть його сторони, якщо:
1. одна з них на 2 дм менша від другої;
2. одна з них у 5 разів більша за другу.
P = 2(a + b), де a і b — сторони паралелограма.
1. Менша сторона x дм, більша сторона
— (x + 2) дм.
P = 2(x + x + 2) = 4x + 4.
За умовою 4x + 4 = 36, 4x = 32, x = 8.
8 + 2 = 10 (дм).
Відповідь: 8 дм, 10 дм.
2. Менша сторона x дм, більша сторона
— 5x дм.
P = 2(x + 5x) = 12x 12x = 36, x = 3.
3 · 5 = 15 (дм).
Відповідь: 3 дм, 15 дм.
6.16 О
BD = 20см, AB = 15 см, а периметр трикутника AOB
32 см.
1. OB = BD 2 = 20 2 = 10 (см).
2. AO = PΔAOB − (AB + BO) = 32 − (15 + 10) = 7 (см).
3. AC = 2 · AO = 2 · 7 = 14 (см).
Відповідь: 14 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2.17 У чотирикутнику ABCD ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4. Доведіть, що ABCD —
1. ∠BAD = ∠2 + ∠3; ∠BCD = ∠1 + ∠4. Але ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4, тому ∠BAD = ∠BCD.
2. ∠B = 180° − (∠1 + ∠3); ∠D = 180° − (∠2 + ∠4).
Оскільки ∠2 = ∠1, ∠3 = ∠4, то ∠B = ∠D.
3. Оскільки у чотирикутнику ABCD протилежні кути попарно рівні, то він є паралелограмом, що й треба було довести.
6.18 △ ABC = △ CDA. Доведіть, що ABCD — паралелограм.
1. Оскільки ΔABC = ΔCDA, то AB = CD і BC = DA.
2. У чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, то він є паралелограмом, що й треба було довести.
6.19 Побудуйте паралелограм за двома сторонами
точку
C.
і діагональ утворюють трикутник. Побудуємо ΔABD, у якого
∠BAK = ∠KAD за умовою.
Тоді ∠BAD = 2∠BAK = 2 · 48° = 96°.
∠B = 180° − ∠BAD = 180° − 96° = 84°. Відповідь: 96°, 84°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
BMA = ∠MAD (як
AD || BC і січній AM), а ∠BAM = ∠MAD (за означенням бісектриси).
Отже, AB = BM = 5 см.
BC = BM + MC = 5 см + 7 см = 12 см.
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (5 + 12) = 2 · 17 = 34 (см).
Відповідь: 34 см.
6.23 У паралелограмі ABCD AB = 4 см, BC = 12 см. Бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці P. Знайдіть BP і PC.
∠BPA = ∠PAD (як внутрішні різносторонні при AD || BC і січній AP);
∠BAP = ∠PAD (за означенням бісектриси).
Тоді ∠BAP = ∠BPA, тобто ΔABP — рівнобедрений, BP = AB = 4 см. BC = BP + PC, PC = BC − BP = 12 см − 4 см = 8 см.
Відповідь: 4 см, 8 см.
6.24 Побудуйте паралелограм за стороною і діагоналями. Припустимо, що ABCD шуканий паралелограм, O точка перетину його діагоналей.
Тоді у нього
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
6.26 На сторонах AD і BC паралелограма ABCD
CDK.
що BMDK — паралелограм.
1. ABCD паралелограм, тому AB = CD, ∠ABM = ∠KDC.
2. ∠ABM = ∠KDC (за умовою). Тому ΔABM = ΔCDK (за другою ознакою). Отже, AM = CK.
3. Оскільки AM = CK і AD = BC, то MD = BK.
4. MD = BK і MD || BK. Оскільки дві сторони чотирикутника BMDK паралельні й рівні, то за ознакою BMDK є
паралелограмом, що й треба було довести.
6.27 На сторонах AD і BC паралелограма ABCD позначено точки M і K так, що AM = KC. Доведіть, що BMDK — паралелограм.
1. ABCD паралелограм, тому AD = BC; AD || BC.
2. За умовою AM = KC.
3. BK = BC − KC; MD = AD − AM. Тому BK = MD.
4. BK || MD і BK = MD. Оскільки дві сторони чотирикутника BMDK паралельні
ознакою BMDK є паралелограмом, що
6.28 Доведіть, що бісектриси
A і B, то ∠BAM = 1 2 ∠A, ∠ABM
AB = 2AK = 2 · 3 см = 6 см
AD = AK + KD = 3 см + 5 см = 8 см.
BC = AD = 8 см.
BK ⊥ AD — висота. З ΔABK (∠K = 90°) ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°.
PABCD = 2(AB + AD) = 2 · (6 + 8) = 28 (см). Відповідь: 28 см.
6.30 У паралелограмі ABCD AB = 6 см, ∠ B = 120°.
BK
30°.
ABCD паралелограм, тоді ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 180° − ∠B = 180° − 120° = 60°.
BK ⊥ AD — висота.
З ΔABK ∠ABK = 90° − ∠A= 90° − 60° = 30°.
AK = 1 2 AB = 1 2 · 6 см = 3 см як катет, що лежить проти кута 30°.
AD = 2AK = 2 · 3 см = 6 см за умовою.
PABCD = 2(AB + AD) = 2 · (6 + 6) = 24 (см).
Відповідь: 24 см.
6.31 У паралелограмі ABCD з вершини
A
LAK = 140°. Знайдіть кут C паралелограма. ABCD паралелограм. AL ⊥ BC, AK ⊥ CD його висоти.
Оскільки BC || AD, AB || CD, то AL ⊥ AD, AK ⊥ AB.
∠LAK = ∠LAD + ∠DAK,
∠DAK = ∠LAK − ∠LAD = 140° − 90° = 50°.
Аналогічно, ∠LAB = ∠LAK − ∠BAK = 140° − 90° = 50°.
∠BAD = ∠LAK – (∠LAB + ∠DAK) = 140° − (50° + 50°) = 40°.
∠C = ∠BAD = 40° як протилежні кути паралелограма.
Відповідь: 40°.
6.32 У паралелограмі ABCD
BK. Тому ΔABK — рівнобедрений, AB = AK = x см.
Тоді KD = (x – 1) см, AD = (2x − 1) см. Периметр паралелограма
(x + 2x – 1) · 2, що за
40 см. (AB + BC) = 40 см.
(x + 2x – 1) · 2 = 40;
3x – 1 = 20; 3x = 21;
x = 7.
Отже, AB = AK = 7 см, AD = 7 + 7 – 1 = 13 (см). BC = AD = 13 см; CD = AB = 7 см.
Відповідь: 7 см, 13 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
що BK : KC = 3 : 7.
A. ∠BAK = ∠KAD.
∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні
∠BAK = ∠BKA, трикутник ABK — рівнобедрений, AB = BK.
Нехай x — коефіцієнт пропорційності.
Тоді BK = 3x, KC = 7x, BC = 3x + 7x = 10x.
PABCD = 2(AB = BC) = 2(3x + 10x) = 26x.
За умовою 26x = 78,
x = 3. AB = BK = 3 · 3 = 9 (см); BC = 10 · 3 = 30 (см).
Відповідь: 9 см, 30 см. 6.35
тоді
∠A = ∠C = 5x,
∠B = ∠D = 7x.
5x + 7x = 180; 12x = 180; x = 15.
Отже, ∠D = 7 · 15° = 105°.
KBND = 360°:
∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°;
∠KBN + 90° + 105° + 90° = 360°; ∠KBN = 360° − 285° = 75°.
75°.
2. ABCD паралелограм. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD
A : ∠B = 5 : 7.
∠A = ∠C = 5x, ∠B = ∠D = 7x.
5x + 7x = 180;
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
12x = 180; x = 15.
∠C = 5 · 15° = 75°.
Сума кутів чотирикутника AMCN дорівнює 360°:
∠A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°;
∠A + 90° + 75° + 90° = 360°;
∠A + 255° = 360°;
∠A = 105°.
Відповідь: 105°.
6.36 Один з кутів
1. гострого кута;
2. тупого кута. Нехай менший
Сума гострого і тупого кутів дорівнює 180°:
x + x + 12 = 180;
2x = 168;
x = 84.
Отже, в паралелограмі ABCD:
∠A = ∠C = 84°;
∠B = ∠D = 84° + 12° = 96°.
1. AM ⊥ BC, AN ⊥ CD висоти, проведені з вершини
гострого кута A.
Сума кутів чотирикутника AMCN дорівнює 360°:
∠A + ∠M + ∠C + ∠N = 360°;
∠A + 90° + 84° + 90° = 360°;
∠A + 264° = 360°;
∠A = 96°.
Відповідь: 96°.
2. BK ⊥ AD, BN ⊥ CD висоти, проведені
тупого кута B.
чотирикутника KBND дорівнює 360°:
∠KBN + ∠BND + ∠NDK + ∠BKD = 360°;
∠KBN + 90° + 96° + 90° = 360°;
∠KBN + 276° = 360°;
∠KBN = 84°.
84°.
одній точці. Доведення аналогічне до доведення п. 1.
1. Нехай AH1, BH2, CH3 висоти гострокутного трикутника ABC.
Проведемо через вершини трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам.
Одержимо трикутник A1B1C1.Чотирикутник ABA1C паралелограм (за побудовою).
Тому BA1 = AC. Аналогічно ACBC1 паралелограм і C1B = AC.
Отже, C1B = BA1, точка B середина A1C1.
Оскільки BH2 ⊥ AC і AC || A1C1, то BH2 ⊥ A1C₁.
Тому BH2 належить серединному перпендикуляру до сторони A1C1 трикутника A1B1C1
Аналогічно AH1 і CH3 належать серединним перпендикулярам до двох інших
цього трикутника. Як
перетинаються в одній точці. Отже, AH1, BH2 і CH3
2. Якщо Δ
перетинаються в точці C.
3. Якщо Δ
1. 90° − 20° = 70°;
2. 90° − 65° = 25°.
6.39
4,7 < c < 9,7. Отже, c = 9 см. Відповідь: 9 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
6.41 Чи можна побудувати
∠BCD зовнішній кут трикутника ABC.
Нехай ∠A = x, тоді ∠BCD = 2x за умовою.
∠BCA = 180° − 2x (як суміжний з ∠BCD).
Сума кутів ΔABC дорівнює 180°:
∠B = 180° − (∠A + ∠BCA);
∠B = 180° − (x + (180° − 2x));
∠B = 180° − x − 180° + 2x = x.
Отже, ∠B = ∠A, значить, ΔABC — рівнобедрений.
60° між рівними сторонами?
Припустимо, що ABCD шуканий чотирикутник, BD — його діагональ.
AB = AD = 6 см, ∠A = 60°.
Тоді ΔABD — рівносторонній, BD = 6 см.
В ΔBCD: BC + CD = 4 см + 2 см = 6 см.
Маємо: BC + CD = BD, що суперечить нерівності трикутника. Відповідь: ні, не можна.
6.42 Знайдіть периметр і площу прямокутника, сторони
1. 5 см і 7 см;
2. 2 дм і 14 см.
1. a = 5 см, b = 7 см.
P = 2(5 + 7) = 24 см;
S = 5 · 7 = 35 см2 .
6.43 1. Фермер
1) 0,5 · 0,5 · 0,4 = 0,25 · 0,4 = 0,1 (м2) —
2. a = 2 дм = 20 см, b = 14 см. P = 2(20 + 14) = 68 см;
S = 20 · 14 = 280 см2 .
3) 12 · 8 · 2,5 = 12 · 20 = 240 (м2) —
4) 240 · 800 = 192 000 (кг) = 192 (т) —
192 · 6000 = 1 152 000 (грн)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1.
2. Українська поетеса,
3. Український письменник, поет, публіцист,
діяч (1856-1916).
4. Відома спортсменка, рекордсменка
5. Політичний діяч
6.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
7.6
BO = CO = 1 2 BD = 6 см. PΔABC = BD + 2BO = 8 + 2 · 6 = 20 (см).
Відповідь: 20 см.
7.7 O — точка перетину діагоналей
ABCD. AC = 12 см,
Тому BD = AC = 12 см, BO = AO = 12 : 2 = 6 см.
PΔAOB = AB + 2AO;
AB = PΔAOB − 2AO.
AB = 16 − 2 · 6 = 16 − 12 = 4 (см).
Відповідь: 4 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. Нехай BC = x см, тоді AB = (x + 2) см.
P = (x + (x + 2)) · 2 = (2x + 2) · 2 = 4x + 4.
За умовою, 4x + 4 = 40; x + 1 = 10; x = 9.
Отже, BC = 9 см, AB = 9 + 2 = 11 см.
2. Нехай x коефіцієнт пропорційності.
Тоді AB = 2x, BC = 3x.
P = (2x + 3x) · 2 = 10x.
За умовою, 10x = 40; x = 4.
AB = 2 · 4 = 8 см, BC = 3 · 4 = 12 см.
1. Нехай a = x см, тоді b = (x − 5) см.
P = (a + b) · 2 = (x + x − 5) · 2 = (2x − 5) · 2 = 4x − 10.
За умовою 4x − 10 = 50; 4x = 60; x = 15.
a = 15 см,
b = 15 − 5 = 10 (см).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Відповідь: 15 см, 10 см.
2. Нехай x коефіцієнт пропорційності.
Тоді a = 4x,
b = x.
P = (4x + x) · 2 = 10x.
За умовою 10x = 50;
x = 5.
a = 4 · 5 = 20 (см),
b = 5 см.
Відповідь: 20 см, 5 см.
7.13 (
кути.
7.14 Знайдіть за малюнком:
1. ∠3, якщо ∠8 = 50°; 2. ∠2, якщо ∠10 = 41°.
7.15 Знайдіть за малюнком:
1 = ∠5 = ∠4 = ∠8;
2 = ∠6 = ∠7 = ∠3; ∠9 = ∠
1. Якщо ∠8 = 50°, то ∠3 = 90° – 50° = 40°.
2. Якщо ∠10 = 41°, то ∠2 = 10 : 2 = 41° : 2 = 20,5°. Відповідь: 1. 40°; 2. 20,5°.
1. ∠5, якщо ∠2 = 40°; 2. ∠12, якщо 3 = 32°. 1. Якщо ∠2 = 40°, то ∠5 = 90° – 40° = 50°.
7.16
2. Якщо ∠3 = 32°, то ∠12 = 2 · ∠3 = 2 · 32° = 64°. Відповідь: 1. 50°; 2. 64°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
7.17
x + x + 20 = 90; 2x = 70; x = 35°
35° + 20° = 55° —
Відповідь: 35°, 55°.
У прямокутнику ABCD AC і BD — діагоналі, O — точка їх перетину, AB < BC.
1. Нехай ∠AOB = x, тоді ∠ABO = x − 15°. ∠OAB = ∠ABO як кути при основі
рівнобедреного ΔAOB (AO = BO як половини рівних діагоналей).
Сума кутів трикутника 180°.
x + x + 15 + x − 15 = 180;
3x – 30 = 180;
3x = 210;
x = 70.
∠AOB = 70°;
∠ABO = 70° – 15° = 55°.
Відповідь: 55°.
2. Нехай ∠ABO = x, тоді ∠BOC = x + 50°.
∠AOB = 180° − (x + 50°) = 130° − x (як суміжні).
∠OAB = ∠ABO як
Сума кутів трикутника 180°:
x + x + 130 − x = 180;
x + 130 = 180;
x = 50.
∠ABO = 50°.
Відповідь: 50°.
ΔAOB (AO = BO як
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2.
ABCD — прямокутник, AC і BD — діагоналі, O — точка їх перетину, BC > AB.
1. Нехай ∠CBO = x, тоді ∠BOC = x + 90°.
∠OBC = ∠OCB як кути при основі рівнобедреного ΔBOC (BO = CO як половини рівних
діагоналей). Сума кутів трикутника 180°:
x + x + x + 90 = 180;
3x = 90;
x = 30.
∠OBC = 30°.
Відповідь: 30°.
2. Нехай ∠CBO = x, тоді ∠AOB = x + 40°.
Тоді ∠BOC = 180° − ∠AOB = 180° − (x + 40°) = 180° − x − 40° = 140° − x
(∠AOB і ∠COB — суміжні).
∠BCO = ∠CBO як кути при основі рівнобедреного трикутника BOC (BO = CO як
половини рівних діагоналей).
x + x + 140 − x = 180;
x = 180 – 140;
x = 40.
∠CBO = 40°.
Відповідь: 40°.
7.20 У прямокутнику ABCD
CAB = 70°. Знайдіть ∠ DOE. ABCD — прямокутник, O
BE = AE; ∠CAB = 70°.
У ΔAOB AO = BO
Значить, OE ⊥ AB.
У ΔAOE ∠AOE = 90° − ∠OAE = 90° − 70° = 20°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
∠BOE = ∠AOE = 20°.
∠DOE = ∠DOB = ∠BOE (як суміжні).
∠DOE = 180° − 20° = 160°.
Відповідь: 160°.
7.21 У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. OP — бісектриса
трикутника AOB, ∠ DOP = 130°. Знайдіть ∠ CAB.
ABCD — прямокутник, O — точка перетину його діагоналей; OP — бісектриса ΔAOB; ∠DOP = 130°.
ΔAOB — рівнобедрений, AO = BO як половини рівних діагоналей.
Тоді бісектриса OP є медіаною і висотою.
∠BOP = 180° − ∠DOP = 180° − 130° = 50° (як суміжні).
∠AOP = ∠BOP = 50° за умовою.
З ΔAOP (∠P = 90°) ∠OAP = 90° − 50° = 40°.
Отже, ∠CAB = 40°.
Відповідь: 40°.
7.22 У паралелограмі
відрізках AO і OC позначено точки M і N так, що OM = OB, ON = OD. Доведіть, що
BMDN — прямокутник.
ABCD — паралелограм, O — точка перетину його діагоналей.
OM = OB, ON = OD.
ΔBON = ΔMOD за двома сторонами і
(BO = MO, DO = NO за умовою, ∠BON = ∠MOD як
BO = OD за властивістю
Тоді MO = BO = ON = OD і BDО = MN.
Трикутники MOD і BON — рівнобедрені, їх
що BN = MD, ∠BNO = ∠DMO,
(AD || BC, AD = BC).
ABCD — прямокутник за ознакою, як паралелограм, який має прямий кут.
7.24 Перпендикуляри, проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до його сусідніх сторін, дорівнюють 4 см і 9 см. Визначте периметр прямокутника.
ABCD прямокутник.
NO ⊥ BC, MO ⊥ AB,
тоді NO || AB, MO || BC за ознакою паралельності прямих.
MBNO — паралелограм за означенням.
У ΔAOB BO = AO, тоді висота OM є медіаною:
AB = 2BM = 2 · 4 см = 8 см.
Аналогічно BC = 2BN = 2 · 9 см = 18 см.
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 18) = 2 · 26 = 52 (см).
Відповідь: 52 см.
7.25 Бісектриса
периметр
Тоді ∠BAK = ∠BKA,
ABCD
AK —
BK = KC.
∠BKA = ∠KAD як
AK.
у ΔABK AB = BK = 1 2 BC = 20 см : 2 = 10 см.
A.
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (10 + 20) = 2 · 30 = 60 см.
Відповідь: 60 см. 7.26
Тоді ∠BAK = ∠BKA,
у ΔABK AB = BK = 8 дм.
BC = 2BK = 16 дм.
A. BK = KC.
∠BKA = ∠KAD
січній AK.
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (8 + 16) = 2 · 24 = 48 (дм).
Відповідь: 48 дм.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°:
1. OK = a Знайдіть: DB і AB;
2. AC = m. Знайдіть: AK і CD.
1. ∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD.
ΔABO — рівнобедрений, AO = OB за властивістю діагоналей прямокутника.
Тоді ∠ABO = ∠OAB = 60° як кути при основі.
∠AOB = 180° − 2 · 60° = 60°.
ΔAOB — рівносторонній. Висота BK є медіаною.
AO = 2AK = 2a.
AB = AO = 2a;
BD = 2BO = 2 · 2a = 4a.
Відповідь: 4a і 2a.
2. В ΔACD (∠D = 90°) ∠CAD = 90° − 60° = 30°.
Тоді CD = 1 2 AC = 1 2 m як катет, протилежний куту 30°.
∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD.
ΔABO — рівнобедрений (AO = BO за властивістю діагоналей прямокутника) з
при основі.
Тоді ΔAOB — рівносторонній.
AB = BO = AO = ���� 2 .
BK — висота і медіана.
AK = 1 2 AO = 1 2 · ���� 2 = ���� 4 .
Відповідь: ���� 4 ; ���� 2
60°
7.28 На малюнку ABCD — прямокутник, BK ⊥ AC, ∠ ACD = 60°, AB = b. Знайдіть BD і OK.
∠BAC = ∠ACD = 60° як внутрішні різносторонні при AB || CD і січній BD.
ΔAOB — рівнобедрений (AO = BO за властивістю
при основі.
Тоді ΔAOB — рівносторонній.
AB = BO = AO = b.
BD = 2BO = 2
7x = 35; x = 5.
KN = 2 · 5 = 10 (см).
KL = 3 · 5 = 15 (см).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
x коефіцієнт
Тоді KL = 3x, KN = 2x.
В ΔABC ∠B = ∠C = 45°.
Тоді ΔBKN і ΔMLC також
NK = BK = ML = LC = 2x.
BC = BK + KL + LC = 2x + 3x + 2x = 7x або 35 см за умовою.
P = 2(KN + KL) = 2 · (10 + 15) = 50 (см).
Відповідь: 50 см.
7.30 У рівнобедрений
прямокутник, який має з трикутником
7.31 З вершини
В ΔABC (∠A = 90°) AB = AC = 20 см, AKMN прямокутник, ΔKBM і ΔMNC — прямокутні і рівнобедрені (KM = KB, MN = NC).
AK = MN, AN = KM так як AKMN – прямокутник.
Отже, KA + KM = KA + KB = AN + NC = AN + NM = 20 см.
PAKMN = 2 · 20 = 40 (см).
Відповідь: 40 см.
паралелограма, якщо BK = 1 2 AB.
ABCD — паралелограм, BK ⊥ AD, BK = 1 2 AB.
В ΔABK (∠K = 90°) BK = 1 2 AB за умовою,
тоді ∠A = 30°.
∠C = ∠A = 30° як протилежні.
∠B = 180° − ∠A = 180° − 30° = 150°;
∠D = ∠B = 150°.
Відповідь: 30°; 150°; 30°; 150°.
7.32
����
2 + x = 180;
3x = 360; x = 120.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
120° : 2 = 60°.
Відповідь: 60°.
2. Нехай x — сума трьох
Тоді четвертий
3 + x = 360;
4x = 360 · 3; x = 270.
270° : 3 = 90°.
Відповідь: 90°.
7.33
NK || BC і NM || AB. BKNM — паралелограм.
KM точкою P ділиться навпіл. Отже, KM — шукана пряма.
7.34 Дано: AB = BC = CD = DA. Довести: ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D. ΔABD = ΔCBD
PN =
трьома
(AB = BC = CD = AD за умовою,
A = ∠C.
ΔABC = ΔABC,
20 см · x = 200 см
x = 200 : 20
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
8.9 Діагональ ромба
20° · 2 = 40°.
Відповідь: 40°.
8.10 У ромбі ABCD кут A дорівнює 36°. Знайдіть кути трикутника AOB, де O — точка перетину діагоналей.
8.11
трикутника BOC .
ABCD ромб, ∠A = 36°, O — точка перетину діагоналей. ∠BAO = ∠DAO = 1 2 ∠A = 18°,
BOA = 90° за властивістю діагоналей ромба.
∠ABO = 90° − ∠BAO = 90° − 18° = 72°.
Відповідь: 18°, 90°, 72°.
8.12
∠BOC = 90°, ∠OBC = 1 2 ∠B = 1 2 · 118° = 59°.
∠BCO = 90° − ∠OBC = 90° − 59° = 31°.
Відповідь: 90°, 59°, 31°.
28 см.
8.13
ромба: 16 см : 2 = 8 см.
P = 4 · 8 см = 32 см. Відповідь: 32 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
8.14 ABCD — ромб, ∠ 2 = 66°. Знайдіть ∠ 1 .
∠B = 180° − ∠2 = 180° − 66° = 114°.
∠1 = 1 2 ∠B = 1 2 · 114° = 57°.
Відповідь: 57°.
8.15 ABCD — ромб, ∠ 1 = 58°. Знайдіть ∠ 2 .
∠B = 2 · ∠1 = 2 · 58° = 116°. ∠2 = 180° − ∠B = 180° − 116° = 64°.
Відповідь: 64°.
8.16 ABCD — ромб, ∠ 1 = 55°.
Знайдіть ∠ 3 . ∠BDC = ∠1, оскільки ∠B = ∠D, ∠1 = 1 2 ∠B,
∠BDC = 1 2 ∠D.
Тоді ∠D = 2∠BDC = 2 · 55° = 110°.
∠3 = 180° − ∠D = 180° − 110° = 70° (суміжні кути).
Відповідь: 70°.
8.17 ABCD — ромб, ∠ 3 = 50°.
Знайдіть ∠ 1 .
∠D = 180° − ∠3 = 180° − 50° = 130° (суміжні кути).
∠B = ∠D як протилежні кути ромба.
∠1 = 1 2 ∠B = 1 2 · 130° = 65° за властивістю діагоналей ромба.
Відповідь: 65°.
8.18 У ромбі ABCD, AB = BD. Знайдіть кути ромба.
8.19 (Усно)
ABCD ромб, AB = BD за умовою.
Але AB = BC = CD = AD.
Тоді ΔABD — рівносторонній.
∠A = 60°.
∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°
∠C = ∠A = 60°.
∠D = ∠B = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
2.
1.
протилежні, тому рівні.
∠A = ∠C = 80° : 2 = 40°.
Тоді ∠B = ∠D = 180° − 40° = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
2. Оскільки дані кути не рівні, то
Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = (x + 20)°.
x + x + 20 = 180;
2x = 160;
x = 80.
∠A = ∠C = 80°, ∠B = ∠D = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
8.21 Знайдіть кути ромба, якщо:
1. сума двох його кутів дорівнює 210°;
2. один з них на 50° менший від другого.
1. Сума даних кутів не дорівнює 180°, отже, ці кути не можуть бути сусідніми. Вони
протилежні, тому рівні.
∠B = ∠D = 2 ∠105°. Тоді ∠A = ∠C = 180° − 105° = 75°.
Відповідь: 75°, 105°, 75°, 105°.
2. Оскільки кути не рівні, то вони не протилежні, а сусідні. Їх
∠A = x°;
тоді ∠B = (x + 50)°; x + x + 50 = 180;
2x = 130; x = 65.
∠A = ∠C = 65°;
∠B = ∠D = 65° + 50° = 115°.
Відповідь: 65°, 115°, 65°, 115°.
8.22 (Усно)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
10°.
2x + 2(x + 10) = 180;
4x + 20 = 180;
4x = 160; x = 40.
ABCD ромб. Сторона AB утворює з діагоналями
BAC і ABD.
Нехай ∠BAC = x, тоді ∠ABD = x + 10°.
∠A = 2x, ∠B = 2(x + 10°) за властивостями діагоналей ромба.
∠A + ∠B = 180° як сусідні.
Отже, ∠A = ∠C = 2 · 40° = 80°; ∠B = ∠D = 2 · (40° + 10°) = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
8.24 Знайдіть
як 2 : 3. Нехай x коефіцієнт пропорційності, тоді ∠CAD = 2x, ∠BDA = 3x. ∠A = 2∠CAD = 4x; ∠D = 2∠BDA = 6x.
8.25 Побудуйте ромб:
4x + 6x = 180; 10x = 180; x = 18.
∠A = ∠C = 4 · 18° = 72°;
∠B = ∠D = 6 · 18° = 108°.
Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°.
1. за стороною і діагоналлю; 2. за діагоналями.
1. План побудови: 1. Побудувати трикутник ABD за трьома сторонами AB = AD = a, BD = d. Для цього провести пряму, вибрати на
точку A. Побудувати коло радіуса a з центром A, воно перетне пряму в точці D. Побудувати коло радіуса d з центром D. B — точка перетину двох кіл.
2. Провести два кола з центрами B і D радіуса a. C — точка їх перетину.
3. ABCD — ромб. AB = BC = CD = AD = a, BD = d.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
8.26
2. План побудови: 1. a ⊥ b.
2. OB = OD = 1 2 d1, OA = OC = 1 2 d2
3. ABCD — ромб, BD = d1, AC = d2.
8.27
8.28
BK = DL.
8.29
План побудови:
1. ∠A = α.
2. AB = a, AD = a.
3. Коло
4. ABCD — шуканий ромб.
ромба).
ABCD ромб, ∠
(AD = BC
що DL = BK.
AK ⊥ BC, AP ⊥ CD, ∠KAP = 110°.
BC || AD, AK ⊥ BC, тоді AK ⊥ AD.
∠KAP = ∠KAD + ∠DAP,
∠DAP = ∠KAP − ∠KAD = 110° − 90° = 20°.
Аналогічно, ∠KAB = 20°.
∠BAD = ∠KAP − (∠KAB + ∠DAP) = = 110° − (20° + 20°) = 70°.
∠C = ∠A = 70°, ∠B = ∠D = 180° − 70° = 110°.
Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
8.31
1. кути ромба;
ABCD ромб, ∠B тупий. BK ⊥ AD, BP ⊥ CD. Сума
чотирикутника KBPD дорівнює 360°:
∠K + ∠KBP + ∠P + ∠D = 360°,
∠D = 360° − (∠K + ∠KBP + ∠P) = = 360° − (90° + 50° + 90°) = 360° − 230° = 130°.
∠B = ∠D = 130°, ∠A = ∠C = 180° − 130° = 50°.
Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°.
2. периметр ромба. ABCD ромб, BD
діагональ, BD = a см, BK ⊥ AD, ∠KBD = 30°.
1. З △BКD ∠BDK = 90° − ∠KBD = 90° − 30° = 60°.
Тоді ∠D = 2 · ∠KBD = 2 · 60° = 120° (за властивістю діагоналі ромба).
∠B = ∠D = 120°, ∠A = ∠C = 180° − ∠D = 180° − 120° = 60°.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
2. Рівнобедрений трикутник
AB = AD = BD = a см, PABCD = 4a см.
Відповідь: 4a см.
8.32 У ромбі висота,
Знайдіть:
1. кути ромба;
2. периметр ромба, якщо
є рівностороннім.
BK ⊥ AD, AK = KD. У △ABD AB = AD за означенням ромба.
AB = BD.
A = ∠C = 60°. ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.
AB = AD = BC = CD = b см. PABCD = 4b см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1 випадок
ABCD — ромб, тому AB = BC = CD = AD.
AM = CN за умовою.
∠BAM = ∠DAM = ∠BCN = ∠DCN за властивістю ромба.
Тоді △AMB = △AMD = △CNB = △CND за двома сторонами і
кутом між ними.
Звідси BM = BN = DN = DM.
∠BNC = ∠DNC = ∠BMA = ∠DMA, тоді ∠BNM = ∠DNM = ∠BMN = ∠DMN як суміжні з рівними кутами, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих BN і MD та BM і ND та січній MN.
Тоді BN || MD, BM || ND.
MBND — паралелограм, у якого
2 випадок
ABCD — ромб, AC — його діагональ, AM = CN.
△ABM = △CDN за двома сторонами і кутом між
З рівності трикутників BM = DN, ∠BMA = ∠DNC. Ці
різносторонні
Тоді BM || DN. У чотирикутнику BMDN
BM і DN і січній NM.
Отже, BMDN — паралелограм. Аналогічно, △ABM = △CBN
між ними.
Тому BM = BN. Паралелограм BMDN, у
8.34 Доведіть, що середини сторін
вершинами ромба. ABCD прямокутник. Точки M, N, P, K середини його сторін.
△MBN = △PCN = △PDK = △MAK за двома катетами (протилежні сторони прямокутника
випливає, що MN = NP = PK = MK.
MNPK — паралелограм (протилежні
BMN = ∠A = 60°, ∠NKC = ∠A = 60° як
Тоді △MBN і △KNC — рівносторонні.
MN = BN = MB, KC = KN = NC.
PAMNK = 4AM, 4AM = 40 см, AM = 10 см.
8.36 Сторони
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
PABC = AM + MB + NC + AK + KC = 6AM = 60 см. Відповідь: 60 см.
5 : 2 .
15 см.
Нехай x коефіцієнт пропорційності. Тоді менша сторона дорівнює 2x см, а більша — 5x см.
За умовою: 5x − 2x = 15 3x = 15 x = 5
Периметр паралелограма: (2x + 5x) · 2 = 14x 14 · 5 = 70 (см).
Відповідь: 70 см.
8.37 Один із
1. (p − 1) см;
2. p см;
3. (p + 1) см?
2.
2p − p = p.
AB = 2CM = 2 · 5 см = 10 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ABCD чотирикутник. AK, BM і DN бісектриси кутів A, B і D відповідно.
DN ⊥ AK, BM ⊥ AK за умовою.
Тоді BM || DN за ознакою (дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні).
∆APN = ∆ADP за спільним катетом AP і гострим кутом (∠NAP = ∠DAP за умовою).
Звідси ∆ANP = ∆ADP.
∠ANP = ∠NDC внутрішні різносторонні при прямих AB || CD і січній ND.
За ознакою AB || CD.
MBDN паралелограм за означенням. ∠NBM = ∠NDM = ∠CBM, ∠NBM = ∠BMC як
внутрішні різносторонні. Тоді ∆MCB = ∆NAD за стороною
BC = AD, ∠A = ∠C, AB = CD.
ABCD паралелограм.
Відповідь: паралелограм.
8.40 Знайдіть
1. 5 см; 2. 2,1 дм; 3. 3 4 м; 4. 11 2 дм.
P = 4a, S = a2 .
1. P = 4 · 5 = 20 (см); S = 5 · 5 = 25 (см2).
3. P = 43 4 = 3 (м);
S = (3 4)2 = 9 16 (м2).
8.41 Кімната
2. P = 4 · 2,1 = 8,4 (дм); S = 2,12 = 4,41 (дм2).
4. P = 4 · 11 2 = 6 (дм); S = (11 2)2 = (3 2)2 = 9 4 = 21 4 (дм2).
5%.
1. 2 · (5 · 3) + 2 · (3,5 · 3) = 2 · 15 + 2 · 10,5 = 30 + 21 = 51 (м2) –
51 – 51 · 1 6 = 51 – 8,5 = 42,5 (м2)
10 · 0,5 = 5 (м2) –
рулону
42,5 : 5 = 8,5 = 9 – рулонів.
2. 9 · 180 = 1620 (грн) – вартість шпалер
1620 грн · 5% = 1620 · (100% − 5%) = 1620 · 95% = 1620 · 0,95 = 1539 (грн)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
OK < AK − OA ; OK < AK − OD − DA ; OK + OD < AK − DA ; d < AK − DA .
Оскільки DA > O, то очевидно, що d < AK. § 9.
9.1 Периметр квадрата дорівнює 24 см. Знайдіть
P = 4a , де a — сторона квадрата.
a = P : 4;
a = 24 см : 4 = 6 см. Відповідь: 6 см.
9.2
P = 4 · 5 дм = 20 дм.
9.3 (Усно) На малюнку
AB = BC = CD = AD ;
OA = OB = OC = OD ;
AC = BD . 9.4
9.6
AO = 3 см,
AC = 2AO = 6 см,
BD = AC = 6 см,
AC + BD = 6 см + 6 см = 12 см.
12 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
9.7 Сума
ABCD квадрат, O точка
AC + BD = 16 см,
AC = BD , тоді AC = 16 : 2 = 8 см.
AO = 1 2 AC = 8 : 2 = 4 см.
Відповідь: 4 см.
12 см.
квадрата. P = 2 · 12 см = 24 см.
9.8
a = 15 : 3 = 5 дм, P = 4a = 4 · 5 = 20 дм.
9.9
1.
2.
3.
1.
3.
9.11
P = 4a , за умовою 4a – a = 18 см,
3a = 18 см, a = 6 см.
P = 4a = 6 · 4 = 24 см.
9.12
9.13
ABCD прямокутник, AB = BC . Протилежні сторони прямокутника рівні.
Тоді AB = CD , BC = AD , а значить, AB = BC = CD = AD .
ABCD — квадрат.
є квадратом.
ABCD ромб, ∠A = 90°. Тоді ∠C = ∠A = 90° як
протилежні;
∠B = 180° − ∠C = 180° − 90° = 90° як суміжні;
∠D = ∠B = 90° як протилежні.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Отже, ABCD — квадрат.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5.
1. Так; 2. Ні; 3. Ні; 4. Так; 5. Ні; 6. Так.
9.15 ABCD — квадрат, EF ⊥ BD. Знайдіть ∠ BFE . У ∆EBF, ∠ABD = ∠ FBD = 45° за властивістю
квадрата. Висота є бісектрисою, тоді ∆EBF — рівнобедрений (EB = FB). ∠BFE = 45° (кут при основі рівнобедреного прямокутного трикутника). Відповідь: ∠BFE = 45°.
9.16 ABCD — квадрат, ∠ BOC = 70°. Знайдіть ∠ OKA . У ∆AOK
9.17 Побудуйте квадрат: 1. за його периметром; 2. за його діагоналлю.
∠OKA = 180° − (∠AOK + ∠OAK) = 180° − (70° + 45°) = 65°. Відповідь: 65°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2.
1.
2.
3. Відкласти відрізки OA = OB = OC = OD = 1 2 d .
4. ABCD — шуканий квадрат.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ABCD квадрат, O
⊥ AB — відстань від точки O
PABCD = 32 см, тоді AB = 32 : 4 = 8 см.
В ∆ABO OA = OB, OA ⊥ OB за
OK – висота і медіана, AK = KB = 1 2 AB = 4 см.
∆OBK — рівнобедрений, AK = OK = 4 см.
Відповідь: 4 см.
9.21 ABCD — квадрат, AE = FC. Доведіть, що BEDF — ромб.
∆ABE = ∆CBF = ∆CDF = ∆ADE рівні за двома
між ними (AB = BC = CD = AD, AE = CF за умовою, ∠BAE = ∠BCF = ∠DCF = ∠DAE за властивістю діагоналей).
Тоді BE = BF = DE = DF, EBFD — паралелограм і ромб (протилежні сторони попарно рівні). 9.22 ABCD — квадрат, AE = AF = CG = CH. Доведіть, що EFGH —
OK
∆AEF = ∆CHG за
(AE = AF = CG = CH за умовою).
Тоді EF = HG. Оскільки сторони
рівні, то EB = BH = GD = DF.
Тому ∆EBM = ∆GDF за двома катетами, звідки EH = FG. EFGH — паралелограм (протилежні
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
У ∆ABC кут C = 90°, CA = CB = b см, CMNK квадрат, вписаний у ∆ABC. ∆ABC — прямокутний і рівнобедрений.
Тоді ∠CAB = ∠CBA = 45°.
У ∆NKB ∠NKB = 90° як суміжний із прямим кутом,
∠NBK = 45°, тоді ∠BNK = 90° − 45° = 45°.
∆NKB — прямокутний і рівнобедрений, NK = BK.
MN = CK, як протилежні сторони квадрата.
Отже, катет дорівнює двом сторонам квадрата.
PCMNK = 2CB = 2b (см).
Відповідь: 2b см.
9.25 У рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (∠ C
так, що точки K
LK ⊥ AB за умовою, тоді в ∆ALK, ∠
MB.
PLNMK = 12 см, тоді MK = 12 : 4 = 3 см.
AB = AK + KM + MB = 3MK = 3 · 3 = 9 см.
Відповідь: 9 см.
вершини трикутників, які не
квадрата.
Розглянемо трикутники ABK, BCP, CDT, DAN. Оскільки вони рівносторонні
квадрата, то BK = BP = CP = CT = DT = DN = AN = AK і
всі кути цих трикутників дорівнюють 60°. У квадрата ABCD ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Тоді ∠KBP = ∠PCT = ∠TDN = ∠NAK = = 360° − (90° + 60° + 60°) = 150°.
∆AKP = ∆PCT = ∆TDN = ∆NAK за двома сторонами і
кутом між ними.
Тоді KP = PT = TN = NK і KPTN — ромб.
∠KPT = ∠KPB + ∠BPC + ∠TCP, де ∠BPC = 60°,
∠KPB = ∠TPC (із рівності трикутників) і
∠KPB = ∠TPC = 180° 150° 2 = 15°
Тоді ∠KPT = 15° + 60° + 15° = 90°.
Ромб, у якого один з кутів прямий, є квадратом.
Отже, KPTN — квадрат.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
тому ∠C = 2 ∠BCA = 2 · 30° = 60°.
∠A = ∠C = 60° як протилежні.
∠B = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°.
∠D = ∠B = 120° як протилежні.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.
9.28 У чотирикутнику ABCD ∠ A : ∠ B : ∠ C : ∠ D = 1 : 3 : 4 : 10.
чотирикутника. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
Нехай x коефіцієнт пропорційності.
Тоді кути ∠A = x, ∠B = 3x, ∠C = 4x, ∠D = 10x. x + 3x + 4x + 10x = 360; 18x = 360; x = 20.
∠A = 20°, ∠B = 3 · 20° = 60°, ∠C = 4 · 20° = 80°, ∠D = 10 · 20° = 200°.
Оскільки D > 180°, то чотирикутник неопуклий.
9.29 Бісектриса кута B у прямокутнику ABCD ділить сторону AD
так, що AK : KD = 3 : 5. Знайдіть сторони прямокутника, якщо
110 см.
ABCD прямокутник, бісектриса AK
у точці K.
BK : KC = 3 : 5.
Тоді BK = 3x, KC = 5x.
∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AK. Тоді ∠BKA = ∠BAK, ∆ABK рівнобедрений, AB = BK = 3x.
CD = AB = 3x, AD = BC = 3x + 5x = 8x як протилежні сторони прямокутника.
PABCD = 2(AB + BC) = 2(3x + 5x) = 22x
За умовою 22x = 110, x = 5
Тоді AB = CD = 3 · 5 = 15 (см),
BC = AD = 5 · 8 = 40 (см).
Відповідь: 15 см; 40 см.
9.30. Виконайте множення: 1) 4 5 ⋅ 15 16 = 4 15 5 16 = 64
9.31.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2,
1. 12 · (12 · 0,35) = 12 · 4,2 = 50,4 (м2) –
2. 3 · 2 · 1,7 = 6 · 1,7 = 10,2 (м2) –
3. 10,2 : 50,4 = 0,2024 – відношення площин.
9.33. О 12−й
A. AB Б. BD В. BC Г. AD
Відповідь: Б. BD
2. Знайдіть
A. 125° Б. 135° В. 145° Г. 155°
180° – 35° = 145°
Відповідь: В. 145°
3. Знайдіть
4 см Б. 6 см В. 9 см Г. 12 см
a = P : 4 = 36 : 4 = 9 (см).
Відповідь: В. 9 см.
4.
A. 5 см Б. 6 см В. 7 см Г. 8 см
1. Нехай AB = x см, тоді AD = x + 2 (см).
2. Тоді 2(x + x + 2) = 24;
2x + 2 = 12;
2x = 10; x = 5 (см).
Відповідь: A. 5 см.
5. ABCD ромб, ∠ A = 50°. Знайдіть ∠ ABD :
A. 55° Б. 50° В. 75° Г. 65°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 50° = 130°. ����. ∠ABD = ∠ABC 2 = 130° 2 = 65°.
Відповідь: Г. 65°.
6. Укажіть правильне твердження: A. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, то він є ромбом.
Б. Відношення периметра ромба до його сторони є сталим для всіх ромбів.
В. Якщо діагоналі чотирикутника рівні, то
7.
2, 3, 5 і 8:
A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160°
1. Позначимо кути 2x; 3x; 5x і 8x.
Тоді 2x + 3x + 5x + 8x = 360°;
18x = 360°; x = 20°.
2. Найбільший кут чотирикутника 8 · 20° = 160°.
Відповідь: Г. 160°.
8. Висоти, що проведено з вершин тупого кута паралелограма, утворюють
30°. Знайдіть тупий кут паралелограма:
A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160°
яких дорівнює 40°:
A. 25° Б. 30° В. 50° Г. 60°
Нехай у паралелограмі ABCD BK ⊥ AD, BL ⊥ CD, ∠KBL = 30°. Тоді із чотирикутника BKLD маємо: ∠KDL = 360° − ∠KBL − ∠BKD − ∠BLD = = 360° − 90° − 90° − 30° = 150°. Відповідь: В. 150°.
У ромбі ABCD ∠BAO − ∠ABO = 40°.
Нехай ∠ABO = x°,
тоді ∠BAO = x° + 40° і з трикутника ABO маємо:
x + x + 40 = 90.
Звідси 2x + 40 = 90; 2x = 50;
x = 25.
Отже, ∠ABO = 25°.
Відповідь: A. 25°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
паралелограма і AK : KB = 1 : 3. Оскільки ABCD — паралелограм, то DC || AB, DK — січна при прямих DC і AB.
Отже, ∠AKD = ∠KDC як внутрішні різносторонні
паралельних прямих і січній.
Тоді трикутник AKD — рівнобедрений з основою DK, оскільки ∠ADK = ∠KDC.
AK = AD = x см, KB = 3x см.
За умовою задачі 2(x + 4x) = 60,
тоді x + 4x = 30;
5x = 30;
x = 6.
Отже, AD = 6 (см), AB = 4 · 6 = 24 (см).
Відповідь: Б. 24 см.
11. З вершини тупого кута A ромба ABCD проведено висоту AK . ∠ CAK = 30°, AC = 6 см. Знайдіть периметр ромба.
A. 18 см Б. 24 см В. 30 см Г. 36 см
Тоді ∠D = 180° − 60° − 60° = 60°,
Нехай ABCD ромб, у якого AK ⊥ CD, тобто AK — висота, ∠CAK = 30°, AC = 6 см.
Із трикутника ACK маємо: ∠ACK = 90° − ∠CAK = 90° − 30° = 60°.
Оскільки трикутник ACD — рівнобедрений, то ∠CAD = 60°.
отже, трикутник ACD є рівностороннім і за умовою AC = 6 см, то периметр ромба дорівнюватиме 4AB = 24 см.
Відповідь: Б. 24 см.
12. У трикутнику △ABC (∠ C = 90°, AC = BC) вписано квадрат KLMN так, що K ∈ AB, L ∈ AB, M ∈ CB, N ∈ AC. Знайдіть периметр квадрата, якщо AB = 12 см. A. 24 см Б. 20 см В. 12 см Г. 16 см
Нехай ABC даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, KNML — квадрат. AB = 12 см. У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику AKN, де ∠AKN = 90° (оскільки KNML — квадрат), теж ∠ANK = ∠KAN = 45°. Таким чином, трикутник AKN — рівнобедрений, AK = KN.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Аналогічно в трикутнику LMB, де ∠MLB = 90°, ∠LMB = ∠B = 45° і LM = LB.
Оскільки AB = 12 см, то KL = 12 : 3 = 4 (см).
Отже, PKNML = 4KL = 16 см.
Відповідь: Г.
13.
кута AOB. Установіть
1. ∠ABO; 2. ∠AOB; 3. ∠OAD
Градусна міра кута
A. 36∘ Б. 48∘ B. 54∘ Г. 72∘ У трикутнику AOB
За умовою ∠ABO = ∠AOB – 18°: x = (180° – 2x) – 18°
3x = 162° x = 54°.
∠OAB = ∠ABO = x.
Тоді ∠AOB = 180° – 2x.
Отже, ∠AOB = 180° – 2 ∙ 54° = 72°.
У прямокутнику ∠BAD = 90°, тому ∠OAD = 90° – ∠OAB = 90° – 54° = 36°. Відповідь: 1. ∠ABO = 54° → В; 2. ∠AOB = 72° → Г; 3. ∠OAD = 36° → А
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Нехай x см менша сторона, тоді (x + 1) см
От римуємо рівняння: (x + x + 1) · 2 = 18;
x + x + 1 = 9;
2x + 1 = 9;
2x = 8;
x = 4,
тоді x + 1 = 5.
сторона.
Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника
дорівнюють 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.
Відповідь: 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.
5. ABCD ромб, ∠ ABD = 50°. Знайдіть кути ромба.
У ромбі ABCD ∠ABD = 50°, тоді
∠ABC = 2∠ABD = 2 · 50° = 100° за властивістю
∠BAD = 180° − ∠ABC = 180° − 100° = 80°.
Оскільки протилежні
рівні, то в ромбі ABCD
∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 80°, ∠D = 100°.
Відповідь: ∠A = 80°, ∠B = 100°, ∠C = 80°, ∠D = 100°.
ромба.
∠ ABD = ∠ BDC, AB = DC. Доведіть, що ABCD паралелограм. Оскільки ∠ABD = ∠CDB
ABCD паралелограм.
Позначимо кути даного чотирикутника
Оскільки
Отримуємо: 15x = 360, x = 24. Тоді: 2x° = 48°, 3x° = 72°, 4x° = 96°, 6x° = 144°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ромбі ABCD AM ⊥ CD, AK ⊥ BC, ∠KAM = 120°.
дорівнює 120°, знаходимо:
∠KCM = 360° − 2 · 90° − 120° = 60°.
Звідси за властивістю протилежних кутів ромба ∠BAD =
∠BCD = 60°.
∠ABC = ∠ADC = 180° − 60° = 120°.
Отже, кути ромба: 120°; 60°; 120°; 60°.
Відповідь: 120°; 60°; 120°; 60°.
9. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC так, що BK : KC = 4 : 3. Знайдіть сторону паралелограма, якщо
Нехай у паралелограмі ABCD AK бісектриса кута A паралелограма. Нехай BK = 4x см, KC = 3x см.
Оскільки ABCD — паралелограм, то BC || AD, AK — січна при прямих BC і AD.
Отже, ∠AKB = ∠KAD як внутрішні різносторонні при
паралельних прямих і січній.
Тоді трикутник AKB — рівнобедрений з основою AK, оскільки ∠BAK = ∠BKA.
BK = AB = 4x см, BC = 7x см.
Оскільки периметр паралелограма дорівнює 88 см, то маємо рівняння: 2(4x + 7x) = 88,
то маємо: 11x = 44, x = 4.
Отже, сторони паралелограма дорівнюють: AB = CD = 16 см, AD = BC = 28 см.
Відповідь: 16 см, 28 см, 16 см, 28 см. 10. У рівнобедрений
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Таким чином, трикутник BKN рівнобедрений, BK = KN.
Аналогічно в трикутнику LMC, де ∠MLC = 90°,
∠LMC = ∠C = 45°, і LM = LC.
Оскільки BC = 23 см,
то KN = (23 − 2) : 3 = 7 см,
KL = KN + 2 = 9 см.
Отже, PKLMN = 2(7 + 9) = 32 см.
Відповідь: 32 см.
11. З вершини тупого кута B ромба ABCD проведено висоту BM, ∠ DBM = 30°. Периметр ромба дорівнює 40 см. Знайдіть меншу
ромба. Нехай ABCD ромб, у якого BM ⊥ AD, тобто
BM висота, ∠DBM = 30°. Із трикутника DBM маємо: ∠BDM = 90° − ∠DBM = 90° − 30° = 60°.
Тоді ∠A = 180° − 60° − 60° = 60°.
Оскільки трикутник ABD рівнобедрений, то ∠ABD = 60°.
Оскільки трикутник ABD є рівностороннім і за умовою PABCD = 40 см, то AB = 10 см, і тоді менша діагональ ромба дорівнюватиме 10 см.
Відповідь: 10 см. Вправи для повторення теми 2 1.
Вершини A, M, C, N;
Сторони AM, MC, CN, AN;
Кути AMC, MCN, CNA, NAM.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5x = 300; x = 60.
∠1 = 60°,
∠2 = 60° + 10° = 70°,
∠3 = 60° + 50° = 110°,
∠4 = 2 · 60° = 120°.
Відповідь: 60°, 70°, 110°, 120°.
6. Усі сторони чотирикутника між собою рівні. Доведіть, що сума будь−яких двох сусідніх кутів цього чотирикутника дорівнює 180°. ABCD чотирикутник, AB = BC = CD = AD. Проводимо діагональ BD. ΔABD = ΔCBD за трьома сторонами. З рівності трикутників ∠ABD = ∠CDB.
У ΔABD ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°,
∠A + ∠CDB + ∠ADB = 180°,
7. Накресліть паралелограм KMTL, у
8. На малюнку
B = 180° за умовою.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
збігаються.
Нехай ∠A = ∠C = α, тоді ∠B = ∠D = 180° − α.
∠NBM + ∠BMD + ∠D + ∠BND = 360°; ∠NBM = 360° − (∠BMD + ∠D + ∠BND);
∠NBM = 360° − (90° + 180° − α + 90°) = = 360° − (360° − α) = α.
Отже, кут між висотами, проведеними з кута B, дорівнює куту A. 16. Доведіть, що бісектриси протилежних кутів паралелограма або паралельні, або
Нехай AF — бісектриса кута BAD, CN — бісектриса кута BCD.
Тоді ∠FAD = 1 2 ∠BAD, ∠BCN = 1 2 ∠BCD.
∠BAD = ∠BCD (за властивістю протилежних кутів паралелограма).
Отже, їх половини також рівні: ∠FAD = ∠BCN. BC || AD (за означенням паралелограма).
Значить, ∠FAD = ∠AFB (як внутрішні різносторонні кути при BC || AD і січній BC).
∠FAD = ∠BCN, ∠FAD = ∠AFB, тоді ∠BCN = ∠AFB.
А оскільки ці
AF і CN і січній BC, то AF || CN (за ознакою паралельності прямих).
Якщо всі сторони паралелограма
B, дорівнює куту A. Тобто, ∠A = ∠C = ∠MBK.
У
в ΔBKC BK = 1 2 BC = 1 2 · 20 = 10 (см). Відповідь: 4 см, 10 см.
3.
4.
6.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
∠BKA = ∠KAD = 1 2 ∠A = 45° як
NKC = ∠BKA = 45° як вертикальні. У ΔKNC ∠KNC = 180° – (∠NKC + ∠NCK) = = 180° – (45° + 90°) = 45°.
45°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2. 1. Побудувати
A. 2.
3.
4.
ньому відрізок DB = d.
5. ABCD
3. 1. Розділити дану діагональ навпіл.
2. Побудувати ∠O = α.
3. На сторонах кута O та на їх продовженнях
4. ABCD — шуканий прямокутник.
23. Бісектриса кута A прямокутника ABCD
Тоді ∠AMD = ∠DAM,
△ADM AD = DM = 5 см.
DC = DM + MC = 5 + 2 = 7 (см).
PABCD = 2(AD + CD) = 2 · (5 + 7) = 24 (см).
Відповідь: 24 см. 24.
OM ⊥ BC, ON ⊥ AB
OM = 1 2 AB.
AB = 20M, AD = 20N. Нехай OM = x см, тоді ON = (x + 2) см.
PABCD = 2(AB + AD) = 2(2x + 2(x + 2)) = 4x + 4x + 8 = 8x + 8; 8x + 8 = 56; 8x = 48; x = 6,
AB = 2 · 6 = 12 (см);
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
AD = 2 · (6 + 2) = 16 (см).
Відповідь: 12 см, 6 см.
25. Перпендикуляр, проведений
дорівнює a см.
ABCD прямокутник, AC = a діагональ, BK ⊥ AC; AK : KC = 1 : 3. Нехай O — точка перетину діагоналей. AO = OC, тому AK = KO = 1 4 a см.
Отже, в △ABO висота BK є медіаною, тоді за ознакою рівнобедреного трикутника AB = BO. Але BO = AO,
тому AB = BO = OA, △ABO — рівносторонній.
∠ABK = 1 2 ∠ABO = 1 2 · 60° = 30°.
AB = 2AK = 2 · 1 4 a = ���� 2 (см) (катет проти кута 30°).
Відповідь: ���� 2 см.
26. Бісектриси кутів A і D прямокутника ABCD перетинають його
і K відповідно. BL = 7 см, LK = 2 см. Знайдіть периметр прямокутника ABCD. Скільки
випадків слід розглянути?
Можливі два випадки. ∠BLA = ∠LAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AL.
За умовою ∠BAL = ∠LAD, тому ∠BAL = ∠BLA.
△ABL — рівнобедрений (за ознакою), AB = BL = 7 см.
Аналогічно, у △KCD KC = CD = 7 см.
1 випадок: BC = AD = BL + KC − KL = 7 + 7 − 2 = 12 (см).
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 12) = 38 (см).
2 випадок: BC = AD = BL + LK + KC = 7 + 7 + 2 = 16 (см).
PABCD = 2(AB + BC) = 2 · (7 + 16) = 46 (см). Відповідь: 38 см
46 см.
B = ∠D = 180° − ∠A = 180° − 50° =130°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
— 180°. 2x + 3x = 180; 5x = 180; x = 36.
∠A = ∠C = 2 · 36° = 72°, ∠B = ∠D = 3 · 36° = 108°. Відповідь: 72°, 108°, 72°, 108°.
У ромбі ABCD з вершини гострого кута A проведено висоти AM і AN. Доведіть, що AM = AN.
ABCD ромб; AN ⊥ BC, AM ⊥ CD висоти. △ABN = △ADM за гіпотенузою і гострим кутом (AB = AD як сторони ромба, ∠NBA = ∠MDA як кути, суміжні з рівними протилежними кутами B і D ромба). З рівності трикутників випливає, що AN = AM.
31. Діагоналі паралелограма
У △BCP ∠CBD = 90° − ∠P = 90° − 40° = 50°.
∠B = ∠D = 2 · 50° = 100°; ∠A = ∠C = 80°. Відповідь: 100°, 80°. 33. Висота ромба
1. ABCD ромб, BK ⊥ AD, BK = 10 см висота.
PABCD = 80 см, тоді AB = BC = CD = AD = 80 : 4 = 20 (см).
30°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Отже, ∠A = 30°, ∠C = ∠A = 30°.
∠B = ∠D = 180° − 30° = 150°.
Відповідь: 30°, 150°.
2. ∠BDK = 1 2 см ∠D = 1 2 см · 150° = 75°.
∠KBD = 180° − (∠BKD + ∠BDK) = 180° − (90° + 75°) = 15°.
Відповідь: 15°.
34. Побудуйте ромб за діагоналлю й висотою.
P = 4 · 3 = 12 (см).
1. Побудуємо прямі x і y. M точка їх перетину.
2. Побудуємо коло з центром M і радіусом h. A — Точка перетину кола з прямою y.
3. Побудуємо коло з центром A і радіусом d. C — Точка
перетину його з прямою x.
4. З'єднаємо точки A і C. Отримаємо діагональ AC, розділимо її навпіл. O — середина AC.
5. Проведемо пряму z ⊥ AC через точку O. B точка перетину кола з прямою z і прямої x.
6. Побудуємо коло з центром A радіусом AB. D —
7. З'єднаємо точки D і C. Отримаємо
△MAN = △PBN = △MDK = △PSK
(AM = BP = CP = DM = AD = BC, AN = BN = CK = DK = AB = CD; ∠MAN = ∠NBP = ∠PCK = ∠MDK = = 360° − (60° + 90° + 60°) = 150°).
MN = PN = KP = KM.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
40.
AA1 = BB1 = CC1 = DD1.
З рівності трикутників
A1B1C1D1.
△A1BB1 = △B1CC1 = △C1DD1 = △D1AA1, за двома катетами (AA1 = BB1 = CC1 = DD1, за умовою, A1B = B1C = C1D = D1A, як частини рівних сторін
відрізків).
Тоді A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1. A1B1C1D — ромб.
∠B1A1D1 = 180° − (∠D1A1A + ∠BA1B1);
∠A1B1C1 = 180° − (∠CB1C1 + ∠BB1A1);
∠B1C1D1 = 180° − (∠B1C1C + ∠DC1D1);
∠C1D1A1 = 180° − (∠C1D1D + ∠A1D1A).
∠BA1B1 = ∠CB1C1 = ∠DC1D1 = ∠A1D1A,
∠BB1A1 = ∠CC1B1 = ∠DD1C1 = ∠AA1D1.
Тоді ∠B1A1D1 = ∠A1B1C1 = ∠B1C1D1 = ∠C1D1A1
Ромб A1B1C1D1, у якого
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
NR = RC = RP, PT = DT = KT.
KS = AS = MS.
PMPNK = 2(MN + NP) = 2 · AC = 2d (см).
Відповідь: 2d см.
ТЕМА 3.
8 (���� + ����) = 3, 1 3 (���� ����) = 5, ����� + ���� = 24, ���� ���� = 15.
2x = 39; x = 19,5.
Тоді y = 24 – 19,5; y = 4,5. ����. ����� 1 3 + ���� 1 2 = 2, | ⋅ 6, ���� 1 2
2���� − 2 + 3���� − 3 = 12, 6���� − 6 − ���� + 1 = 16, �2���� + 3���� = 17, ���� = 6���� − 21.
2x + 3(6x – 21) = 17; 2x + 18x – 63 = 17; 20x = 80; x = 4.
Тоді y = 6 · 4 – 21; y = 3.
Відповідь: 1. (19,5; 4,5); 2. (4;3).
10.29. Побудуйте
функції ���� = ���� 3 8 ���� 2 ���� 2 = (���� 2)(���� 2 + 2���� + 4) ���� 2 ���� 2 = ���� 2 + 2���� + 4 ���� 2 = 2���� + 4;
D(y) = {x – будь-яке, крім 2}.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Початкове число: 2500 = 22 · 54 .
Час: 1 година = 60 хвилин → 60 дій (множення або ділення на 2 чи 5).
1) 10000 = 24 · 54
Потрібно додати 2 двійки (2 множення на 2). Інші 58 дій можна нейтралізувати (множення/ділення на 5, або парами ділення і множення на 2).
Отже, через 60 хвилин можна отримати 10 000.
2) 20000 = 25 · 54
Потрібно додати 3 двійки (3 множення на 2). Залишається 57 операцій, а це
число 20 000 не можна отримати.
Відповідь: 1) Так; 2) Ні
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
(2 ⋅ 4,2 − 1,6)(4,2 + 2 ⋅ 1,6) (4,2 2 ⋅ 1,6)(2 ⋅ 4,2 + 1,6) = 6,8 ⋅ 7,4 1 ⋅ 10 = 50,32
Відповідь: 5,032.
11.18. Спростіть вираз
���� 2
����
11.19. Доведіть тотожність
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1) 40000 · 1,1 = 44000 (грн)
3)
0,7���� + 15
���� + 15 = 0,8
Маємо 0,7x + 15 = 0,8x + 12;
0,1x = 3;
x = 30.
x + 15 = 30 + 15 = 45
Відповідь: 45
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
89 – 412 = (23)9 – (22)12 = 227 – 224 = 224(23 – 1) = 224(8 – 1) = 7 · 224
����. ���� = �2���� + 4, якщо ���� < 0, 4 ���� , якщо ���� ≥ 0.
Графік функції y = 2x + 4 є пряма. x 0 –2 y 4 0
Графік функції y = 4 – x є пряма. x 0 4 y 4 0
=
.
2���� + 5, якщо ���� < – 1, 3, якщо – 1 ≤ ���� ≤ 4, ���� – 1, якщо ���� > 4.
функції y = 2x + 5 є пряма. x –1 –2 y 3 1
Графік функції y = x – 1 є пряма. x 4 5 y 3 4
Графік функції y = 3 є пряма, що проходить через точку (0; 3)
паралельно осі абсцис.
12.35. Для яких значень змінної має зміст вираз:
2 9, x будь-які, крім –3 і 3;
2 4���� , x будь-які, крім 0 і 4;
2 – 4x = 0;
(x – 4) = 0; x = 0
x = 4.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
����. (���� 1)���� ���� + 2 = 0; �����(���� − 1) = 0, ���� + 2 ≠ 0; ����� = 0 або ���� = 1, ���� ≠ −2.
Відповідь: 0; 1. ����. ���� 2 2���� 8 = 0; ���� 2 2���� = 0; ���� (���� 2) = 0; ���� = 0 або ���� 2 = 0; ����1 = 0, ����2 = 2.
Відповідь: 0; 2.
(���� + 2)���� ����2 4 = 0; �(���� + 2)���� = 0, ����2 − 4 ≠ 0; � ���� = 0 або ���� = 2, (���� 2)(���� + 2) ≠ 0; ����� = 0 або ���� = 2, ���� ≠ 2, ���� ≠ −2.
Відповідь: 0. ���� ���� ���� 2 + ���� = 0; � ���� = 0, ���� 2 + ���� ≠ 0; � ���� = 0, ���� (���� + 1) ≠ 0; � ���� = 0, ���� ≠ 0, ���� ≠ 1
Відповідь: рівняння розв’язків не має.
12.37. Розв’яжіть рівняння:
1. 2(x − 3) = 4(x + 7) − 11; 2x − 6 = 4x + 28 − 11; 2x − 4x = 28 – 11 + 6; −2x = 23; ���� = 23 2 = 11 1 2 = 11,5;
2. 5(x − 2) − 7(x + 1) = 9(x − 8); 5x − 10 − 7x − 7 = 9x − 72; 5x − 7x − 9x = −72 + 7 + 10; −11x = −55; x = −55 : (−11); x = 5.
12.38. Розв’яжіть рівняння, використовуючи
����. 2���� 4 7 = 3���� + 1 9 | · 63;
9(2x − 4) = 7(3x + 1); 18x − 36 = 21x + 7; 18x − 21x = 7 + 36;
3x = 43; ���� = 43 3 = 14 1 3 .
Відповідь: 14 1 3 . ����. 2���� 11 5 = 3���� + 17 10 | · 10;
2(2x − 11) = 3x + 17;
4x − 22 = 3x + 17; 4x − 3x = 17 + 22; x = 39.
Відповідь: 39.
12.39. Заробітна
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
13.2. Чи є число 1
1), 3) Ні; 2), 4) Так.
13.3. Чи є число 2 коренем рівняння: 1), 4) Так; 2), 3) Ні.
13.4. Розв’яжіть
13.5.
13.7.
13.8. Знайдіть
Враховуючи, що
5(x – 12) = x;
5x – 60 = x;
4x = 60; x = 60 : 4; x = 15.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1 5 ,
То маємо 15 12 15 = 3 15.
Відповідь: 3 15 .
13.16. Яке число треба
Нехай це число x, то маємо рівняння:
Відповідь: 3.
13.18. Розв’яжіть рівняння: ����. ���� + 4 2���� 1 ���� + 8 2���� + 1 = 0; ���� + 4 2���� 1 = ���� + 8 2���� + 1 ;
⎨ ⎪ ⎧(���� + 4)(2���� + 1) = (2���� 1)(���� + 8), 2���� 1 ≠ 0, ���� ≠ 1 2 , 2���� + 1 ≠ 0; ���� ≠ 1 2 ;
2x2 + x + 8x + 4 = 2x2 + 16x – x – 8; 9x + 4 = 15x – 8; –6x = 12;
x = –12 : (–6); x = 2;
: ���� 12 ���� = 1 5 ;
1 2 ?
2.
Відповідь: 3.
2���� + 6 ���� + 1 + 3���� 7 ���� 2 = 5; (���� 2)(2���� + 6) + (���� + 1)(3���� 7) (���� + 1)(���� 2) = 5 1 ; 2���� 2 + 6���� − 4���� − 12 + 3���� 2 − 7���� + 3���� − 7 (���� + 1)(���� 2) = 5 1 ; 5���� 2 2���� 19 (���� + 1)(���� − 2) = 5 1 ; �5���� 2 2���� 19 = 5(���� + 1)(���� 2), ���� ≠ 2, ���� ≠ 1;
5x2 – 2x – 19 = 5(x2 – x – 2); 5x2 – 2x – 19 = 5x2 – 5x – 10; 5x2 – 2x – 5x2 + 5x = – 10 + 19; 3x = 9; x = 3. ���� 2 ���� + 2 + ���� + 2 ���� 2 = 8 ���� 2 4 ; ���� 2 ���� + 2 + ���� + 2 ���� − 2 − 8 (���� − 2)(���� + 2) = 0;
Нехай ���� 5 ����
1,
5;
x2 – x = x2 + 9x – 5x – 45;
x2 – x – x2 – 9x + 5x = – 45; –5x = –45;
x = 9;
x – 5 = 9 – 5 = 4.
Відповідь: 4 9 . 13.23. Знаменник
Нехай ���� ���� + 3
���� + 8 ���� + 3 1 = ���� + 3 ���� ; ���� + 8 ���� + 2 = ���� + 3 ���� ; ����� (���� + 8) = (���� + 2)(���� + 3), ���� ≠ 0, ���� ≠ 2;
x2 + 8x = x2 + 3x + 2x + 6; x2 + 8x – x2 – 3x – 2x = 6; 3x = 6; x + 3 = 2 + 3 = 5.
Відповідь: 2 5 . 13.24.
����. ���� 2 2 ���� 2 + 2���� = ���� 1 ���� + ���� + 3 ���� + 2 ; ���� 2 2
���� (���� + 2) = (���� 1)(���� + 2) ���� 2 + 3���� ���� (���� + 2) ;
2 2 = ���� 2 + 2���� ���� 2 + ���� 2 + 3���� ,
≠ 0,
≠ 2;
2 + 4���� = 0,
≠ 0,
≠ 2;
2 + 1
(���� + 4) = 0,
0,
2;
= 4. Відповідь: –4. ����.
2 1 = ���� ���� + 1 + 2 ���� 1 ;
2 + 1 (���� 1)(���� + 1) = ���� (���� 1) + 2(���� + 1) ���� (���� + 2) ;
2 + 1 = ���� 2 ���� + 2���� + 2,
1,
(
2 − 2
1) = (���� − 1)(���� + 2) + ���� (���� + 3) ���� (���� 1) ;
2 2 = ���� 2 ���� + 2���� 2 + ���� 2 + 3���� ,
0,
1;
2 + 4���� = 0,
≠ 0, ���� ≠ 1; ����� (���� + 4) = 0, ���� ≠ 0,
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
a – 1 = 0 або a – 1 = 3; a = 1 або a = 4.
Відповідь: a = 1, a = 4.
13.29. Для
= 3 або 2a + 1 = 3, тобто a =
1) 60 · 0,7 = 42 (грн)
2) 42 · 0,5 = 21 (грн)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
3.
Відповідь: В
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
рівняння розв’язків не має. ����. ���� ���� + 3 2 = 0; ���� ���� + 3 = 2; �2(���� + 3) = ���� , 2���� + 3 ≠ 0; �2���� + 6 = ���� , ���� ≠ 3; �2���� ���� = 6, ���� ≠ 3; ����� = 6, ���� ≠ 3.
Відповідь: –6; ����. ���� ���� 3 = 2 ���� ; �2(���� 3) = 5���� , ���� 3 ≠ 0; �2���� 6 = 5���� , ���� ≠ 3; �2���� 5���� = 6, ���� ≠ 3; � 3���� = 6, ���� ≠ 3; ����� = 2, ���� ≠ 3
Відповідь: –2;
. ���� 2 ���� ���� + 2 = ���� 2 8 ���� + 2 ; ���� 2 ���� ���� + 2 ���� 2 8 ���� + 2 = 0; (���� 2 ���� ) (���� 2 8) ���� + 2 = 0; ���� 2 ���� ���� 2 + 8 ���� + 2 = 0; �8 ���� = 0, ���� + 2 ≠ 0; ����� = 8, ���� ≠ −2.
Відповідь: 8;
2
1 3
+ 1 2
+ 1 3
− 5 = 0; (2���� 1)(3���� 5) (2���� + 1)(3���� + 1) (3���� + 1)(3���� 5) = 0;
����² − 10���� − 3���� + 5 − 6����² − 2���� − 3���� − 1 (3���� + 1)(3���� 5) = 0; 18���� + 4 (3���� + 1)(3���� 5) = 0;
7 ���� 2 + 1 ���� 2 = 0; 4���� 7 + 1 ���� 2 = 0; 4���� 6 ���� 2 = 0; �4���� 6 = 0, ���� − 2 ≠ 0; �4���� = 6, ���� ≠ 2;
= 6 4 = 3 2 = 1,5,
Відповідь: 1,5.
. 8 3���� 3 + 2 + ���� ���� 1 = 5 2 2���� 5 18 ; 8 3(���� 1) + 2 + ���� ���� 1 5 2(1 ���� ) + 5 18 = 0; 8 3(���� − 1) + 2 + ���� ���� − 1 + 5 2(���� − 1) + 5 18 = 0; 48 + 18(2 + ���� ) + 45 + 5(���� 1) 18(���� 1) = 0; 48 + 36 + 18���� + 45 + 5���� 5 18(���� 1) = 0;
���� + 124 18(���� − 1) = 0; �23���� + 124 = 0, ���� 1 ≠ 0; �23���� = −124, ���� ≠ 1;
= 124 23 = 5 9 23, ���� ≠ 1; ���� = 5 9 23 Відповідь: −5 9 23 . ���� 2���� ����² 1 = ���� ���� + 1 + ���� ���� 1 ; 2���� (���� 1)(���� + 1) ���� ���� + 1 ���� ���� 1 = 0; 2���� ���� (���� 1) ���� (���� + 1) (���� 1)(���� + 1) = 0; 2���� 2����² (���� 1)(���� + 1) = 0;
2���� (1 − ���� ) = 0, ���� ≠ 1, ���� ≠ 1, ����� = 0 або ���� = 1, ���� ≠ 1, ���� ≠ 1, ���� = 0.
Відповідь: 0.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
80x 160 = 64x + 128;
80x 64x = 128 + 160; 16x = 128; x = 288 : 16; x = 18. Відповідь: 18 км / год．
1)(3���� + 1) = 0; 5(3���� + 1)2 + (3���� − 1)2 − 6(9���� 2 − 1) (3���� 1)2 (3���� + 1)2 = 0; 5(9���� 2 + 6���� + 1)
=
(3���� 1)2 (3���� +
24���� + 12 (3���� 1)2 (3���� + 1)2 = 0;
x = –0,5
–0,5.
14.3
інші кути дорівнюють:
1. 180° − 30° = 150°
2. 180° − 110° = 70°
Відповідь: 150°, 70°. 14.7
Оскільки 100° + 50° = 150° ≠ 180°,
Тоді інші кути дорівнюють:
1. 180° − 100° = 80°
2. 180° − 50° = 130°
Відповідь: 80°, 130°.
14.8
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1.
2.
3.
14.11
2.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. 2 : 3 : 4 : 1;
2. 2 : 3 : 5 : 2?
Сума кутів трапеції дорівнює 360°.
1. 2x + 3x + 4x + x = 360; 10x = 360; x = 36.
∠1 = 2 · 36° = 72°;
∠2 = 3 · 36° = 108°;
∠3 = 4 · 36° = 144°;
∠4 = 36°.
∠1 + ∠2 = 72° + 108° = 180°;
∠3 + ∠4 = 144° + 36° = 180°.
Відповідь: так.
1. 3 : 1 : 2 : 2;
2. 3 : 1 : 2 : 4?
1. 3x + x + 2x + 2x = 360; 8x = 360; x = 45.
∠1 = 3 · 45° = 135°;
∠2 = 45°;
∠3 = ∠4 = 2 · 45° = 90°.
∠1 + ∠2 = 135° + 45° = 180°;
∠3 + ∠4 = 2 · 90° = 180°
Відповідь: так.
2. 2x + 3x + 5x + 2x = 360; 12x = 360; x = 30.
∠1 = 2 · 30° = 60°;
∠2 = 3 · 30° = 90°;
∠3 = 5 · 30° = 150°;
∠4 = 2 · 30° = 60.
Відповідь: ні, бо сума жодної
2. 3x + x + 2x + 4x = 360; 10x = 360; x = 36.
∠1 = 3 · 36° = 108°;
∠2 = 36°;
∠3 = 2 · 36° = 72°;
∠4 = 4 · 36° = 144°. Відповідь: ні, оскільки
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
∆DEC ∠EDC = 180° − (∠DEC + ∠ECD) = 180° − (70° + 40°) = 70°. ∠A = ∠EDC = 70°, ∠B = ∠ECD = 40° як
сторони.
70°, 110°, 140°, 40°.
= 180° − (60° + 40°) = 80°.
CDA = ∠BEA = 40° як
AD.
BCD = 180° − ∠D = 180° − 40° = 140°.
80°, 100°, 140°, 40°.
трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 2
x + 2x = 180;
= 60.
90°, 90°, 120°, 60°. 14.22
x + x + 40 = 180; 2x = 140; x = 70.
∠D = 70°, ∠C = 70° + 40° = 110°.
14.24
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
рівнобічна трапеція.
14.25 У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Більша бічна сторона й більша основа дорівнюють по 16 см. Знайдіть меншу основу.
ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°,
AD = CD = 16 см. Проведемо діагональ AC.
ΔACD рівнобедрений, ∠D = 60°, тоді
∠CAD = ∠DCA = 60°, ΔACD рівносторонній,
AC = AD = CD = 16 см. В ΔABC ∠BAC = ∠A − ∠CAD = 90° − 60° = 30°.
BC = 1 2 AC = 1 2 · 16 см = 8 см як катет проти кута 30°.
Відповідь: 8 см. 14.26 У прямокутній трапеції
18 см.
ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 45°,
BC = AB = 18 см. Проведемо CK ⊥ AD.
ABCD квадрат (всі
рівні).
Звідси CK = AB = AK = 18 см.
ΔCKD прямокутний рівнобедрений, оскільки гострий кут дорівнює 45°. Отже, KD = CK = 18 см.
AD = AK + KD = 18 см + 18 см = 36 см.
Відповідь: 36 см.
ΔABD рівнобедрений (AD = BD за умовою).
∠DAB = ∠DBA = (180° − ∠BDA) : 2 = = (180° − 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.
∠CDA = ∠DAB = 70° як
∠BDC = ∠CDA = 70° − 40° = 30°.
основі.
∠CBD = ∠BDA = 40° як
BD.
В ΔBCD ∠C = ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 70° + 40° = 110°.
Відповідь: 70°, 110°, 110°, 70°.
трапеція, AB = BC = CD, ∠BCA = 20°.
BCA = 20°.
BAC =
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
∠CAD = ∠BCA = 20° як внутрішні різносторонні
BC || AD і січній AC.
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 20° = 40°.
∠D = ∠BAD = 40° як кути при основі.
∠B = ∠C = 180° − ∠BAD = 180° − 40° = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 140°, 40°.
14.29 Діагональ AC трапеції ABCD ділить кут A навпіл. Доведіть, що бічна сторона AB дорівнює основі BC.
ABCD трапеція, AC діагональ, ∠BAC = ∠CAD. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC.
Тоді ∠BAC = ∠BCA, в ΔABC AB = BC.
14.30 O точка перетину бісектрис
рівнобічна. Доведіть це.
2a = 18
a = 9
9 − b = 4
b = 5
Отже, AD = 9 см, BC = 5 см. Відповідь: 9 см, 5 см.
Проведемо CK || BD. BCKD
(CK || BD, BC || AK).
ΔACK рівнобедрений, оскільки AC = BD = CK,
∠CAD = ∠CDA.
CK || BD, ∠BDA = ∠CKD, тоді ∠CAD = ∠CKD.
ΔABD = ΔDCA (AC = BD, BD спільна сторона, ∠CAD = ∠CKD), тоді AB = CD, тобто ABCD рівнобічна трапеція.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
У трапеції ABCD AB = BC = CD, AC ⊥ CD.
У ΔABC ∠BAC = ∠BCA як
трикутника.
∠BCA = ∠CAD як
січній AC.
при AD || BC і
Тоді ∠BAC = ∠CAD, ∠CDA = ∠BAD = 2∠CAD.
Нехай ∠CAD = x, тоді ∠CDA = 2x.
З ΔACD x + 2x = 90;
3x = 90; x = 30.
Тоді ∠BAD = ∠CDA = 2 · 30° = 60°.
∠ABC = ∠BCD = 180 – 60 = 120
Відповідь: 60°, 120°.
14.34 У рівнобічній трапеції ABCD AD
трапеції.
AD = CD, ∠ BAC = 18°.
У ΔACD ∠CAD = ∠ACD (AD = CD за умовою).
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні
AC.
Тоді ∠BCA = ∠CAD = ∠ACD.
Нехай ∠CAD = x, тоді ∠BAD = x + 18°,
∠ABC = ∠BCD = 2x.
x + 18 + 2x = 180;
3x = 162;
x = 54;
∠A = ∠D = 54° + 18° = 72°,
∠B = ∠C = 54° · 254° = 108°.
Відповідь: 72°, 108°. 14.35 Основи
перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції
пряму AD до перетину з CF.
|| BD, і продовжимо
Чотирикутник BCFD паралелограм (BC ||
BD || CF за побудовою). Значить, CF = BD, DF = BC, і AF = AD + BC.
ΔACF прямокутний (оскільки пряма перпендикулярна одній з двох паралельних
то вона перпендикулярна і другій). Оскільки в рівнобічній трапеції діагоналі
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, ∠D = 60°, ∠BCA = 60°. ∠BCA = ∠CAD, як
AD || BC і січній AC. Отже ∠CAD = 60°. Тоді в ΔACD ∠ACD = 180° − 60° − 60° = 60°, тобто ΔACD рівносторонній, а AD = AC = CD.
В ΔABC ∠BAC = 90° − ∠BCA = 90 − 60° = 30°, тоді BC = 1 2 AC як
проти кута 30°. Отже, AD : BC = 2 : 1.
Відповідь: 2 : 1. 14.37 У
гострий.
ABCD трапеція, ∠A = ∠B = 90°, AC ⊥ CD, ∠BCD = 3∠CDA.
Нехай ∠CDA = x, тоді ∠BCD = 3x. x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45.
Отже, ∠CDA = 45°.
У ΔACD ∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = ∠CDA = 45°, ΔACD рівнобедрений.
Проведемо CK ⊥ AD. CK висота і медіана, AK = KD.
ABCK прямокутник, тому BC = AK.
Отже, AD : BC = 2 : 1.
Відповідь: 2 : 1.
14.38 Побудуйте трапецію
сторонами c і d.
Нехай трапеція ABCD має основи AD = a, BC = b і бічні сторони AB = c, CD = d
Проведемо відрізок CE || AB.
В ΔCDE CD = d, CE = c, DE = a − b.
Будуємо ΔCDE за трьома сторонами c, d, a − b.
Продовжуємо відрізок DE на AE = b, отримуємо вершину A трапеції. Проводимо з точки C пряму, паралельну AD
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
У ромбі ABCD BD = 5 см, ∠ABC = ∠ADC = 120°.
Тоді ∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB = 60° (бісектриса ділить кут навпіл).
ΔABD = ΔBCD рівносторонній, AB = BC = CD = AD = BD = 5 см.
PABCD = 4 · 5 см = 20 см.
Відповідь: 20 см.
14.41 Доведіть, що паралелограм, у якого всі висоти рівні, є ромбом. ABCD паралелограм, BK ⊥ AD, BM ⊥ CD. ΔABK = ΔCBM за катетом і гострим кутом (BK = BM за умовою, ∠A = ∠C як протилежні). З рівності трикутників AB = BC. Отже, ABCD ромб, як паралелограм, у якого сусідні сторони рівні.
14.42. З точки A до кола проведено дві дотичні, B і C - точки дотику.
AB і AC дотичних,
8 (см).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Описаний 2, вписаний 4.
15.2
1. ∠ A = 30°; ∠ C = 150°;
2. ∠ B = 90°; ∠ D = 80°?
1. Навколо чотирикутника ABCD
180°. За умовою ∠A + ∠C = 30° + 150° = 180°. Оскільки сума кутів чотирикутника
360°, то сума іншої
Отже, навколо чотирикутника
2. ∠B + ∠D = 90° + 80° = 170° ≠ 180°.
Відповідь: ні.
15.3 Чи може чотирикутник MNKL
1. ∠ M = 20°; ∠ K = 150°;
2. ∠ N = 90°; ∠ L = 90°?
1. ∠M + ∠K = 20° + 150° = 170° ≠ 180°.
Відповідь: ні.
2. ∠N + ∠L = 90° + 90° = 180°.
Відповідь: так.
15.4 Чи
відносяться як:
1. 5 : 3 : 4 : 7;
2. 3 : 2 : 4 : 5?
Щоб у чотирикутник можна
були рівними. Нехай x
1. 5x, 3x, 4x, 7x сторони чотирикутника.
5x + 4x = 9x;
3x + 7x = 10x;
9x ≠ 10x.
3x + 4x = 2x + 5x = 7x
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2. 5x, 4x, 3x, 6x сторони чотирикутника.
5x + 3x = 8x;
4x + 6x = 10x. 8x
∠ C = 133°; ∠ D = 28°.
15.7
∠A + ∠C = 180°,
∠A + 133° = 180°,
∠A = 180° − 133°,
∠A = 47°.
∠B + ∠D = 180°,
∠B + 28° = 180°,
∠B = 180° − 28°,
∠B = 152°.
Відповідь: 47°, 152°.
A = 139°; ∠ B = 48°.
∠A + ∠C = 180°,
139° + ∠C = 180°,
∠C = 180° − 139°,
∠C = 41°.
∠B + ∠D = 180°, 48° + ∠D = 180°,
∠D = 180° − 48°,
∠D = 132°.
Відповідь: 41°, 132°.
AB + CD = BC + AD.
Тоді AB + CD = 1 2 PABCD, 2AB = 1 2 · 16 см.
2AB = 8 см; AB = 4 см.
4 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
CH. У ∆ABC AH1 ⊥ BC, BH2 ⊥ AC, H точка перетину AH1 і BH2. Проведемо HC і
P
HC. Середина P гіпотенузи HC центр описаного навколо прямокутного ∆HH1C кола, а PH = PH1 = PC його радіуси. Аналогічно, точка P центр кола, описаного навколо прямокутника ∆H2HC, і PH = PH2 = PC – радіуси цього кола. Таким чином, точки H, H1, C і H2 рівновіддалені від точки
P і діаметром HC,
навколо чотирикутника HH1CH2. 15.11 Точка M лежить на стороні AB гострокутного трикутника ABC. MP і MK перпендикуляри до сторін AC і BC відповідно. Доведіть, що навколо чотирикутника MPCK можна
CM. В ∆ABC M ∈ AB, MP ⊥ AC, MK ⊥ BC.
гіпотенузи O центр
кола, OM = OK = OC радіус
AB = BC = CD за умовою. Проведемо діагональ AC.
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC.
В ΔABC ∠BAC = ∠BCA як кути
спирається на діаметр AD.
Нехай ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = x.
Сума протилежних кутів
x + x + x + 90 = 180;
3x = 90;
x = 30.
Отже, ∠CAD = 30°.
Тоді в ΔACD (∠C = 90°) CD = 1 2 AD = 1 2 · 2R = R як
PABCD = R + R + R + 2R = 5R.
Відповідь: 5R.
15.13 AB
AIB = a (a > 90°).
ΔABC. ∠ACD = 90°, бо
30°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
В ΔABC AC = BC, I центр вписаного кола. ∠AIB = α. ΔAIB рівнобедрений
бісектрисі, а значить, і висоті, і медіані ΔABC).
∠IAB = ∠IBA = 180° α 2 ;
∠A = ∠B = 2 ∠IAB = 2 180° α 2 = 180° − α;
∠C = 180° − 2(180° − α) = 180° − 2 · 180° + 2α = 2α − 180°. Відповідь: 180° − α, 180° − α, 2α − 180°.
15.14 AB основа рівнобедреного трикутника ABC, O центр описаного кола. ∠ AOB = a (a < 180°). Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки випадків слід розглянути? Можливі два випадки.
I випадок.
Центр описаного кола знаходиться поза трикутником.
∠AOB = ᴗACB = α, тоді
II випадок.
1.
2. 120 · 40 = 4800
3. 4800 : 100 = 48
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
R і r радіуси
R > r.
1. Проведемо коло радіуса R − r з центра O більшого кола.
2. До побудованого кола проведемо дотичну MO1, яка проходить через центр меншого кола.
3. Побудуємо промінь OM, N точка перетину променя OM з колом.
4. З центра O1 проведемо промінь OK, паралельний OM, до перетину з колом.
5. NK спільна зовнішня дотична до даних кіл.
16.1 (Усно) На малюнку A1B1 || A2B2 || A3B3, A1A2 = 4 см, A2A3 = 4 см, B1B2 = 7 см. Знайдіть B2B3
B2B3 = B1B2 = 7 см.
16.2 На малюнку A1B1 || A2B2 || A3B3, B1B2 = B2B3, A2A3 = 5 см. Знайдіть A1A2.
A1A2 = A2A3 = 5 см.
16.3 На малюнку M1N1 || M2N2, OM1 = M1M2, ON1 = 6см. Знайдіть ON2. N1N2 = ON1 = 6 см. ON2 = ON1 + N1N2 = 6 см + 6 см = 12 см.
16.4 На малюнку M1N1 || M2N2, ON1 = 7 см, N1N2 = 7 см, OM1 = 4 см. Знайдіть OM2.
M1M2 = OM1 = 4 см. OM2 = OM1 + M1M2 = 4 см + 4 см = 8 см.
16.5 Поділіть
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Побудова.
Нехай AB даний відрізок.
1. З точки A проведіть довільний промінь AK.
2. На промені AK від точки A відкладають 5 рівних довільних відрізків A1K1 = K1K2 = K2K3 = K3K4 = K4K5
3. Через точки K5 і B проведіть пряму.
4. Через точки K1, K2, K3, K4 проведіть
2. Циркулем
AP1 = AP2 = … = AP7.
3. З’єднай P7 з B.
4. Через P1, P2, …, P6 проведи прямі, паралельні P7B, до перетину з AB у точках A1, …, A6. 16.7
16.8
яких дорівнює 2 : 5. Проводимо довільний промінь AM. Відкладемо на промені AM відрізки AA1 = 2a, A1A2 = 5a, де a деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок A2B. Через точку A1 проведемо пряму, паралельну до відрізка A2B. B1 точка її перетину з відрізком AB.
Маємо: AB1 = 2c, B1B = 5c (за теоремою Фалеса).
Отже, відрізок AB поділено на 2 частини, відношення яких дорівнює 2 : 5.
3 : 2.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
AM. Відкладемо на
AM відрізки AA1 = 3a, A1A2 = 2a, де a деякий одиничний відрізок. Проводимо відрізок A2B.
Через точку A1 проведемо пряму, паралельну до відрізка A2B.
B1 точка її перетину з відрізком AB. Маємо:
AB1 = 3c, B1B = 2c (за теоремою Фалеса).
Отже, відрізок AB поділено на 2 частини, відношення яких дорівнює 3 : 2.
16.9 На малюнку A1A2 = A2A3, A1B1 || A2B2 || A3B3.
A1A2 : B1B2 = 3 : 5, B2B3 – A2A3 = 8 см. Знайдіть A1A2, A2A3, B1B2, B2B3.
A₁A₂
B₁B₂ = A₂A₃
3
За умовою A1A2 : B1B2 = 3 : 5.
Оскільки за теоремою Фалеса A₁A₂ A₂A₃ = B₁B₂ B₂B₃ ,
то A₂A₃
B₂B₃ = 3 5 .
За умовою B2B3 – A2A3 = 8 см.
Нехай A2A3 = x см, тоді B2B3 = (x + 8) см.
B₂B₃ ;
5 = ���� ���� + 8;
5x = 3x + 24;
2x = 24; x = 12.
Отже, A1A2 = A2A3 = 12 (см);
B1B2 = B2B3 = 12 + 8 = 20 (см).
Відповідь: 12 см, 20 см.
16.10 На малюнку ON1 = N1N2, M1N1 || M2N2, ON1 : OM1 = 7 : 4, N1N2 + M1M2 = 33 см.
Знайдіть ON2 і OM2.
За умовою ON1 : OM1 = 7 : 4, тоді N1N2 : M1M2 = 7 : 4.
Нехай N1N2 = x см, тоді M1M2 = (33 – x) см. ���� 33 – ���� = 7 4; 4x = 7(33 − x); 4x = 231 − 7x; 11x = 231, x = 21.
Отже, ON1 = N1N2 = 21 см; OM1 = M1M2 = 33 − 21 = 12 (см). Тоді ON2 = 2 · 21 = 42см; OM2 = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 42 см, 24 см.
16.11 M і N
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
16.12
MBND
(MB || ND, MB = ND як
Розглянемо кут BAC. За теоремою Фалеса AM : MB = AL : LK.
Оскільки AM = MB, то AL = LK.
BN || MD.
Аналогічно CN : ND = CK : LK, звідки CK = LK.
Отже, AL = LK = CK.
Точки E, F і G ділять медіану AD трикутника ABC на чотири рівні частини (AE = EF = FG = GD). Доведіть, що пряма СG
сторону AB у
3 : 2, починаючи від вершини A.
Проведемо через точки E, F і D прямі, паралельні прямій CG. Вони поділять сторону AB на 5 рівних відрізків AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4B.
AA1 = A1A2 = A2A3 = за теоремою Фалеса, застосованою до кута BAD. Розглянемо ∠CBA. За умовою D середина BC; DA4 || GA3 за побудовою, значить, за теоремою Фалеса BA4 = A3A4. Отже, всі п’ять відрізків рівні. Відрізок AA3 містить три таких відрізки, A3B два. Отже, AA3 : A3B = 3 : 2. 16.13 Точки M і N
BN
через точки M і D
BN. Оскільки AM = MN = ND за умовою, то AM1 = M1N1 = N1D1 за теоремою
DAC. Сторони кута ACB
DD1 і NN1. Оскільки CD = DB за умовою, то за теоремою Фалеса CD1 = N1D1. Отже, AM1 = M1N1 = N1D1 = D1C, звідки AN1 = N1C, тобто N1 середина AC, BN1 містить медіану трикутника. 16.14 Точка K середина медіани AD трикутника ABC. Відрізок BK перетинає сторону AC у точці M. Знайдіть AM : MC. За умовою D середина BC, K середина AD.
Проведемо DN || BK. Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону трикутника DAC. AK = KD, значить, AM = MN. Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону кута BCA. За умовою BD = DC, значить, MN = NC.
Отже, AM = MN = NC. Тоді AM : MC = 1 : 2.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
16.17
AB і BC хорди, OK ⊥ AB, OK = 5
O кола до хорди AB; OP ⊥ BC = 7 см
до хорди BC. Чотирикутник KOPB
(три кути прямі);
OP = KB = 7 см, OK = PB = 5 см. За властивістю хорди, перпендикуляр до радіуса, K середина AB, P середина BC. Отже, AB = 2KB = 2 ⋅ 7 = 14 (см), BC = 2BP = 2 ⋅ 5 = 10 (см).
Відповідь: 14 см, 10 см.
8 футів = 243 см = 2,43 м; 8 ярдів = 731 см = 7,31 м S = 2,43 · 7,31 = 17,8 (м2) – площа воріт. Відповідь: площа воріт 17,8 м2 . 16.18 (Всеукраїнська олімпіада з математики, 1976 р.)
трикутника ABC дано точку P таку, що ∠ APB = ∠ ACB + 60°, ∠ BPC = ∠ BAC + 60°, ∠ CPA = ∠ CBA + 60°. Доведіть, що основи перпендикулярів, проведених
сторін трикутника ABC, є вершинами рівностороннього трикутника.
точки P
1. Позначимо через Pa, Pb і P���� основи перпендикулярів, проведених з точки P на сторони ΔABC.
2. Сума кутів неопуклого чотирикутника APBC дорівнює 360°. Тому:
∠PAB + ∠APB + ∠BPC + ∠PCB + ∠CBA = 360°(1).
3. Але ∠APB = ∠ACB + 60°; ∠BPC = ∠BAC + 60°. Підставляючи це в рівність (1) та враховуючи те, що ∠ACB + ∠BAC + ∠CBA = 180°, маємо 180° + ∠PAB + ∠PCB + 60° + 60° = 360°; а, отже, ∠PAB + ∠PCB = 60°.
4. Якщо на AP як на діаметрі побудувати коло, то точки Pb і P���� лежатимуть на ньому (оскільки ∠APbP = ∠APcP = 90°). Тому ∠APbP���� = ∠PAPc (як вписані кути, що спираються на ту саму дугу).
5. Аналогічно ∠PPbPa = ∠PCPa, бо точки Pb і Pa
PC. 6. Маємо ∠PaPbPc = ∠PPbP���� + ∠PPbPa + ∠PAB + ∠PCB = 60°.
7. Аналогічно доводимо, що ∠PbPaPc = 60° і ∠PaPcPb = 60°. Отже, ΔPaPbP���� –
17.3
17.4 KL середня
1. AB = 16 см. Знайдіть KL; 2. KL = 5 дм. Знайдіть AB.
17.5 KL середня
1. KL = 1 2 AB = 1 2 ⋅ 16 см = 8 см; 2. KL = 1 2 AB, AB = 2KL = 2 ⋅ 5 дм = 10 дм.
трикутника ABC.
1. AB = 18 см. Знайдіть KL; 2. KL = 3 дм. Знайдіть AB.
17.6
1. KL = 1 2 AB = 1 2 ⋅ 18 см = 9 см; 2. KL = 1 2 AB, AB = 2KL = 2 ⋅ 3 дм = 6 дм.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
17.9 Сторони
7 ⋅ 2 = 14 (см);
8 ⋅ 2 = 16 (см);
10 ⋅ 2 = 20 (см).
P = 14 + 16 + 20 = 50 (см).
Відповідь: 50 см.
12 : 2 = 6 (дм); 16 : 2 = 8 (дм); 18 : 2 = 9 (дм); P = 6 + 8 + 9 = 23 (дм). Відповідь: 23 дм.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
2.
17.13 Периметр
сторони. Тоді
лініями,
Середня
трикутника,
половині периметра даного трикутника. 24 см : 2 = 12 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Нехай x коефіцієнт
7x
Сторони
P = 8x + 18x + 14x = 40x; 40x = 80; x = 2.
Сторони трикутника: 8 · 2 = 16 (см); 18 · 2 = 36 (см); 14 · 2 = 28 (см). 17.16
інші
слід розглянути? Нехай в ΔABC AC = 10 см, M середина AB, N середина BC, K середина AC. MN не може дорівнювати 6 см, бо MN = 1 2 AC = 1 2 · 10 = 5 (см). Нехай MK = 6 см. Можливі два
випадки:
1. Сторона AB у 1,5 рази більша за BC. BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).
AB = 1,5 · BC = 18 (см).
Відповідь: 12 см і 18 см.
2. Сторона BC у 1,5 рази більша за AB.
BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).
AB = BC : 1,5 = 12 : 1,5 = 8 (см).
Відповідь: 12 см, 8 см.
17.17 E, F, G, H − середини сторін AB, BC, CD і DA опуклого чотирикутника ABCD.
периметр чотирикутника EFGH, якщо AC = 16 см, BD = 10 см.
Проведемо діагоналі AC і BD чотирикутника EFGH.
У ΔABC EF середня лінія, EF || AC, EF = 1 2 AC.
У ΔACD HG середня лінія, HG || AC, HG = 1 2 AC.
Отже, EF = HG = 1 2 AC = 1 2 · 16 см = 8 см. Аналогічно FG середня лінія ΔBCD, EH середня лінія ΔABD, FG || BD, FG = 1 2 BD; EH || BD, EH = 1 2 BD. FG = EH = 1 2 · 10 см = 5 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
PEFGH = 2 · (8 + 5) = 26 (см).
Відповідь: 26 см.
17.18 Діагональ
AC і BD діагоналі прямокутника ABCD; точки M, N, P, і K середини його сторін. MN середня лінія ΔABC, MN = 1 2 AC = 1 2 · 10 см = 5 см.
KP середня лінія ΔACD, KP = 1 2 AC = 1 2 · 10 см = 5 см.
MN || AC, KP || AC, тому MN || KP за ознакою паралельних прямих.
NP середня лінія ΔBCD,
NP = 1 2 BD = 1 2 · 10 см = 5 см (діагоналі прямокутника рівні).
MK середня лінія ΔABD,
MK = 1 2 BD = 1 2 · 10 см = 5 см.
NP || BD, MK || BD, тоді NP || MK.
Отже, MNPК паралелограм за означенням.
NP = MK = KP = MN = 5 см, тому MNPК ромб.
PMNPK = 4 · 5 = 20 см.
Відповідь: 20 см.
17.19 O − точка перетину діагоналей ромба ABCD. Точки M і K − середини сторін AD і DC відповідно. Доведіть, що MK ⊥ OD. В ромбі ABCD BD ⊥ AC як діагоналі. MK середня лінія трикутника ACD. Тоді MK || AC, а значить, MK ⊥ BD і MK ⊥ OD (пряма, перпендикулярна одній з двох
перпендикулярна і другій).
17.20 AK − медіана рівнобедреного трикутника ABC
BC. Точки P і F
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
середня лінія.
M1N1 = 1 2 A1C1;
M2N2 середня лінія.
M2N2 = 1 2 A2C2.
Але A1C1 = A2C2 за умовою, тоді M1N1 = M2N2.
Аналогічно M1P1 = M2P2, N1P1 = N2P2.
Отже, ΔM1N1P1 = ΔM2N2P2 за трьома сторонами.
17.22 Точка M − середина катета AC рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Відстань від точки M до гіпотенузи дорівнює a см. Знайдіть гіпотенузу. У ΔABC ∠C = 90°, AC = BC, M середина AC, MK ⊥ AB, відстань від точки M до гіпотенузи, MK = a. ∠A = ∠B = 45°.
У ΔAMK AK = MK = a. Проведемо MN || BC, тоді за теоремою Фалеса N середина AB, MN середня лінія.
У ΔAMN AM = 1 2 AC, MN = 1 2 BC, тому AM = MN.
ΔAMN рівнобедрений. Висота MK в ньому є медіаною: KN = AK = a. AN = NB, тому AB = 2AN = 2 · 2a = 4a (см).
Відповідь: 4a см.
17.23 Точка K − середина катета BC рівнобедреного
AB = 20 см.
У ΔABC ∠C = 90°, AC = BC, K середина BC, KD ⊥ AB
відстань від точки K до гіпотенузи.
У ΔABC ∠A = ∠B = 45°, ΔKDB рівнобедрений, KD = DB.
Проведемо KP || AC.
За теоремою Фалеса P середина AB, тобто KP середня лінія, KP = 1 2 AC.
Оскільки AC = BC, то KP = 1 2 BC = KP.
ΔBKP рівнобедрений, ∠PKB = 90° (AC ⊥ BC, KP || AC).
В рівнобедреному ΔBKP KD висота, а значить, медіана.
Точка D середина гіпотенузи, тоді KD = PD = BD = 1 2 PB = 1
Відповідь: 5 см.
17.24 Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника. ABCD ромб, O точка перетину діагоналей. Точки M, N, P і K середини сторін.
У ΔABC MN середня лінія, MN || AC, MN = 1 2 AC.
У ΔACD KP середня
|| AD.
AD: AM : MD = 2 :
AD ⊥ BC, KP ⊥ BC як
лінія ΔABD, KP = 1 2 AD = 1 2 · 12 = 6 см.
Відповідь: 6 см.
17.26 Середина бічної сторони
трикутника
K. У ΔKLM KL = KM, KP і MC медіани, B точка перетину медіан.
CD ⊥ LM відстань
основи LM, CD = 9 см.
C
KP медіана, проведена до основи, тоді KP ⊥ LM.
CD ⊥ LM, значить, CD || KP. За теоремою Фалеса D середина LP.
CD середня лінія ΔKLP, CD = 1 2 KP, звідки KP = 2 · CD = 2 · 9 = 18 см.
KB : BP = 2 : 1,
Отже, KB = 18 : 3 · 2 = 12 (см).
Відповідь: 12 см.
LK до
17.27 У трикутнику ABC ∠ A = 40°, ∠ B = 80°, O центр описаного кола. Знайдіть
∠AOB, ∠ BOC, ∠ COA.
17.28
17.29
У ΔABC ∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (40° + 80°) = 60°.
∠C вписаний, ∠C = 1 2 ᴗAmB, ᴗAmB = 2∠C = 2 · 60° = 120°.
∠AOB центральний, він спирається на ту саму дугу.
∠AOB = ᴗAmB = 120°.
Аналогічно, ∠BOC = 2∠A = 2 · 40° = 80°;
∠AOC = 2∠B = 2 · 80° = 160°.
Відповідь: 120°, 80°, 160°.
ABCD ромб, AC і
∠BAC = 30°.
тому ∠A = 2∠BAO = 2 · 30° = 60°.
Отже, ΔABD рівносторонній.
AB = AD = BD = 7 см.
PABCD = 4 · 7 = 28 (см).
Відповідь: 28 см.
BD = 7 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
ABCD
AB = CD, AD = a, BC = b (a > b).
BAD = ∠CDA = 60°. Проведемо BK ⊥ AD
1. CD = 2KD = 2���� ���� 2 = a – b (за
2. PABCD = 2AB + BC + AD = 2(a – b) + b + a = 2
3. AB + CD = BC + AD;
2(a − b) = a + b; 2a − a = 2b + b; a = 3b.
1.
2. 12000 · 50 = 600000 (м3) – 50 каштанів.
Припустимо, що такий трикутник існує: у ΔABC бісектриси AP і CD перпендикулярні. Тоді ∠OAC + ∠OCA = 90°. ∠BAC + ∠BCA = 2(
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
x − 4 = 30; x = 34.
AB = 34 см, CD = 34 − 8 = 26 (см).
2. AB = x см, CD = 4x см.
MN = ���� + 4���� 2 = 2,5���� .
2,5x = 30; x = 12.
AB = 12 см, CD = 4 · 12 = 48 (см).
3. Нехай CD = 2x, AB = 3x.
MN = 2���� + 3���� 2 = 5���� 2 = 2,5����.
2,5x = 30; x = 12.
CD = 2 · 12 = 24 (см), AB = 3 · 12 = 36 (см).
Відповідь:
1.
2. одна з них утричі більша за другу; 3. їх відношення дорівнює 3 : 5.
1. BC = x см, AD = (x + 2) см;
MN = ���� + ���� + 2 2 = x + 1;
x + 1 = 16; x = 15.
BC = 15 (см), AD = 15 + 2 = 17 (см).
Відповідь: 15 см, 17 см.
2. BC = x см, AD = 3x см.
MN = ���� + 3���� 2 = 2���� .
2x = 16; x = 8.
BC = 8 (см), AD = 3 · 8 = 24 (см).
Відповідь: 8 см, 24 см.
3. BC = 3x, AD = 5x.
MN = 3���� + 5���� 2 = 8���� 2 = 4x;
4x = 16;
x = 4.
BC = 3 · 4 = 12 (см), AD = 5 · 4 = 20 (см).
Відповідь: 12 см, 20 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1
10 · 2 = 20 (см).
Pтр = 7 + 9 + 20 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
52 − (10 + 12) = 30 (см)
30 : 2 = 15 (см)
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
EF середня лінія трапеції ABCD, EF || AD, EF || BC. В ΔABD E середина AB, EN || AD, за теоремою
N середина BD, N середня лінія ΔABD.
EN = 1 2 AD, AD = 2EN = 2 · 5 = 10 (см).
В ΔBCD FN середня лінія.
FN = 1 2 BC, BC = 2FN = 2 · 3 = 6 (см).
Відповідь: 10 см, 6 см.
18.14 MN – середня лінія трапеції ABCD, яка перетинає діагональ AC у точці K. Знайдіть MK і KN, якщо основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. MN середня лінія трапеції, MN || AD, MN || BC. У ΔABC M середина AB, MK || AD, тоді K середина
AC, MK середня лінія ΔABC.
MK = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 (см).
KN середня лінія ΔACD, KN = 1 2 AD = 1 2 · 18 = 9 (см).
Відповідь: 6 см, 9 см. 18.15 У трапеції ABCD AD = 30 см, BC = 12 см
AB. EF || AD, оскільки AD || BC, то EF || BC, тоді за теоремою Фалеса F середина CD. EF середня лінія трапеції. EF = AD + BC 2 = 30 + 12 2 = 42 2 = 21 (см). За умовою T середина AE. TK || AD за умовою. Оскільки AD || EF, то TK || EF. Тоді за теоремою Фалеса K середина DF, TK
трапеції AEKD (EF || AD). TK = EF + AD 2 = 21 + 30 2 = 51 2 = 25,5 (см)
Відповідь: 21 см, 25,5 см.
18.16 У трапеції ABCD M – середина бічної сторони AB, N – середина MB. Через точки M і N проведено прямі, паралельні BC, які перетинають CD у точках K і L відповідно. MK = 12 см, NL = 8 см.
NL = BC + MK 2 ; 8 = BC + 12 2 ; BC + 12 = 16; BC = 4 см.
Аналогічно, MK середня лінія трапеції ABCD.
MK = AD + BC 2 ; 12 = AD + 4 2 ;
трапеції MBCK.
трапеції. ABCD трапеція, BC || AD. MK || BC, значить, MK || AD. Отже, MBCK трапеція. N середина AB, NL || BC, значить, NL || MK. За теоремою Фалеса NL середня
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
AD + 4 = 24;
AD = 20.
Отже, BC = 4 см, AD = 20 см.
Відповідь: 4 см, 20 см.
18.17
AD. AK = 4 см, BC = 6
ABCD трапеція, BK ⊥ AD висота, AK = 4 см, BC = 6 см.
Проведемо CP ⊥ AD. Чотирикутник KBCP прямокутник (BC || KP, BK || CP, ∠BKP = 90°).
KP = BC = 6 см, PD = AK = 4 см (з рівності трикутників ABK і DCP за гіпотенузою і гострим кутом).
AD = AK + KP + PD = 4 + 6 + 4 = 14 (см).
Середня лінія трапеції дорівнює:
BC + AD 2 = 6 + 14 2 = 20 2 = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
18.19 Точки A і
прямої l.
AA1 ⊥ l, BB1 ⊥ l, MM1
M
AA1 || MM1 || BB1, чотирикутник A1ABB1 трапеція. Точка M1 середина AB. За
A1ABB1. MM1 = AA₁ + BB₁ 2 ; 2MM1 = AA1 + BB1; BB1 = 2MM1 − AA1 = 2 · 5 − 7 = 10 − 7 = 3 (см).
3 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
CC1 = MM₁ + NN₁ 2 = 10 + 16 2 = 13 (см)
Відповідь: 13 см. 18.21 Основи трапеції дорівнюють 6 см і 14 см. Діагоналі трапеції ділять її
три частини. Знайдіть довжини цих частин. У трапеції ABCD (BC || AD) BC = 6 см, AD = 14 см. MN середня лінія, AC і BD діагоналі; K і P точки перетину діагоналей з середньою лінією. У ΔABC M середина AB, MK || BC (як частина середньої лінії), тоді за теоремою Фалеса K середина AC. Отже, MK середня лінія ΔABC,
MK = 1 2 BC = 1 2 · 6 см = 3 см.
Аналогічно, у ΔBCD PN середня лінія, PN = 1 2 BC = 1 2 · 6 см = 3 см.
MN = 1 2 (BC + AD) = 1 2 (6 + 14) = 10 (см).
KP = MN – (MK + PN) = 10 – (3 + 3) = 4 (см).
Відповідь: 3 см, 4 см, 3 см.
18.22 Діагоналі ділять
см. Знайдіть основи трапеції.
частини, довжини
ABCD трапеція (AD || BC), MN середня лінія, AC і
BD діагоналі.
Точки K і P точки
MK = PN = 7 см, KP = 8 см.
У ΔABC M середина AB, MK || BC (як частина середньої лінії), тоді за теоремою Фалеса K середина AC.
Отже, MK середня лінія ΔABC:
MK = 1 2 BC, BC = 2MK = 2 · 7 = 14 (см).
MN = MK + KP + PN = 7 + 8 + 7 = 22 (см).
MN = AD + BC 2 ;
2MN = AD + BC;
AD = 2MN − BC;
AD = 2 · 22 − 14 = 44 − 14 = 30 (см).
Відповідь: 14 см, 30 см.
18.23 У трапеції ABCD (AD || BC)
трапеція (AD || BC), ∠A = 90°, ∠C = 135°, AB = 6 см, AC ⊥ CD.
BCD = ∠BCA + ∠ACD,
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
У ΔABC ∠B = 90°, оскільки ∠A = 90°, a BC || AD, ∠BCA = 45°, тоді ∠BAC = 45°.
ΔABC рівнобедрений (кут при основі рівні).
BC = AB = 6 см. Проведемо CP ⊥ AD.
У ΔACD ∠D = 180° − ∠BCD = 180° − 135° = 45°.
∠ACD = 90°, тоді ∠CAD = 45°. ΔACD рівнобедрений, AC = CD.
Висота CP є медіаною, AP = PD. Але AP = BC, тому AD = 2BC = 2 · 6 = 12 (см).
Середня лінія: AD + BC 2 = 12 + 6 2 = 9 (см).
Відповідь: 9 см.
18.24 Діагональ рівнобічної трапеції
відрізки 4 см і 6 см. Знайдіть периметр трапеції. У трапеції ABCD AB = CD, BD бісектриса кута B, MN середня лінія, P точка перетину діагоналі і середньої лінії, MP = 6 см, PN = 4 см.
MN || BC, MN || AD за означенням середньої лінії. M середина AB за умовою, тоді P середина BD за теоремою Фалеса.
MP = 1 2 AD як середня лінія ΔABD.
AD = 2MP = 2 · 6 = 12 (см).
Аналогічно, в ΔBCD BC = 2PN = 2 · 4 = 8 (см).
∠CBD = ∠BDA як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній BD.
Але ∠CBD = ∠ABD за умовою, тоді ∠ABD = ∠BDA, ΔABD рівнобедрений, AB = AD = 12 см.
PABCD = AD + 2AB + BC = 12 + 2 · 12 + 8 = 44 (см).
Відповідь: 44 см.
18.25 Діагональ рівнобічної
лінію – на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції. ABCD трапеція, AD || BC, AB = CD, MN середня
лінія трапеції. AC діагональ, AC бісектриса кута A. MK = 3 см, KN = 7 см.
У ΔABC M середина AB. MK || BC як частина середньої
лінії трапеції.
Тоді K середина AC за теоремою Фалеса, а MK середня лінія ΔABC, MK = 1 2 BC.
Звідки BC = 2MK = 2 · 3 = 6 (см).
Аналогічно, KN середня лінія ΔACD. KN = 1 2 AD, AD = 2KD = 2 · 7 = 14 (см).
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при BC || AD і січній AC.
Але ∠CAD = ∠BAC за умовою, тоді ∠BCA = ∠BAC і ΔABC рівнобедрений, AB = BC = 6 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 14 = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
18.26 Знайдіть кути M і N чотирикутника MNKL, вписаного в коло, якщо ∠K = 37°, ∠L = 119°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
180°.
∠M = 180° − ∠K = 180° − 37° = 143°.
∠N = 180° − ∠L = 180° − 119° = 61°.
Відповідь: 143°, 61°. 1
A = ∠B = 90°, ∠C = 120°.
AD = 14 см, CD = 8 см (найбільша
сторона,
похила більша за перпендикуляр). Проводимо CK ⊥ AD. ΔBCK прямокутник (BC || AK, AB || CK, ∠A = 90°).
∠DCK = ∠BCD − ∠BCK = 120° − 90° = 30°.
Тоді у ΔCKD KD = 1 2 CD = 1 2 · 8 = 4 (см) (за властивістю
30°).
У прямокутнику ABCD AK = BC = AD − KD = 14 − 4 = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
18.29. Знайдіть значення степеня: 1. (–2)3 = –8; 2. 142 = 196; 3. (–1)11 = –1; 4. 05 = 0;
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
5. (0,3)3 = 0,027;
6. (–0,8)2 = 0,64; ���� � 2 7�2 = 4 49 ; ����. � 1 5�3 = 1 125.
18.30. Обчисліть:
1. 25 – 32 = 32 – 9 = 23; 2. (–1)9 + (–1)8 = –1 + 1 = 0; ����. 42 · � 3 4�2 = 16 · 9 16 = 9; ����. 53 ∶ �5 6� 2 = 125 · 36 25 = 180.
18.31. Подайте у вигляді степеня з:
1) основою 2 числа 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) основою 3 числа 81, 243; 3) основою 5 числа 5, 25, 625; 4) основою 10 числа 100, 10 000.
1. 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 16 = 24; 32 = 25; 128 = 27; 512 = 29 .
2. 81 = 34; 243 = 35 .
3. 5 = 51; 25 = 52; 625 = 54 .
4. 100 = 102; 10000 = 104
18.32. Ширина захвату сівалки
1.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
А. KN і ML
Б. KL і MN
В. KN і MN
Г. ML і MN
A. 3 см
Б. 9 см
B. 12 см
Г. 18 см У рівносторонньому трикутнику
середню
трикутника).
середня лінія = 6 см, то сторона: a = 6 ∙ 2 = 12 (см).
Відповідь: В. 12 см.
3. На малюнку M1N1 || M2
А. 4 см
Б. 8 см
В. 6 см
Г. Знайти неможливо
M1M2 = 1 2 OM2 = 1 2 · 16 = 8 (см).
Відповідь: Б. 8 (см).
4. Чотирикутник ABCD
цього чотирикутника.
А. ∠ C = 80°, ∠ D = 160°
Б. ∠ C = 150°, ∠ D = 80°
В. ∠ C = 20°, ∠ D = 100°
Г. ∠ C = 160°, ∠ D = 80°
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
14 см Г. 16 см
У трикутнику ABC AB = 4 см, BC = 10 см, AC = 10 см. Проведено середні лінії DF, DE, FE.
За теоремою про середню лінію трикутника маємо:
DF = 1 2 AC = 1 2 · 10 = 5 (см), DE = 1 2 BC = 1 2 · 10 = 5 (см), FE = 1 2 AB = 1 2 · 4 = 2 (см).
Тоді
PDFE = DF + FE + DE = 5 + 2 + 5 = 12 (см).
Відповідь: Б. 12 см.
6. Середня лінія трапеції дорівнює 20 см, а її основи відносяться як 2 : 3. Знайдіть довжину
А. 16 см
Б. 24 см
В. 18 см Г. 8 см Нехай BC = 2x см, тоді AD = 3x см
7. У рівнобічній
2 , або 5x = 40; x = 8.
Отже, BC = 2x см = 16 (см).
Відповідь: А. 16 см.
Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD більша основа, BC менша, AB = CD бічні сторони.
Діагональ AC = AD, ∠CAD = 30°. У △ACD, AC = AD. Це означає, що △ACD рівнобедрений з основою CD, а
рівні (∠ACD = ∠ADC). Сума кутів △ACD = 180°: 30° + 2x = 180° x = 75°.
:
∠BCD + ∠CBA = 180° ⇒
∠ABC = ∠BCD = 180° − 75° = 105°
Відповідь: B. 105°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
А. 50 см
Б. 20 см
В. 30 см
Г. 40 см
36 см
24 см В. 27 см
Г. 30 см
ABCD трапеція, описана навколо кола, AB = CD = 10 см, тоді AB + CD = 20 см.
Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію
ABCD, то AB + CD = BC + AD, тоді
PABCD = 20 + 20 = 40 (см).
Відповідь: Г. 40 см.
Нехай ABCD прямокутна трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD. ∠CDA = 60°, BC = 18 см, CD = 18 см (за умовою задачі). Проведемо CH || AD.
Оскільки ∠CDA = 60°, то ∠HCD = 90° − 60° = 30°. Отже, у трапеції ABCD HD = 1 2 CD = 1 2 · 18 = 9 (см) за властивістю
Тоді AD = BC + HD = 18 + 9 = 27 (см). Відповідь: B. 27 см.
А. 32 см Б. 34 см В. 36 см
Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD || BC, MN середня
трапеції ABCD, MK = 4 см, KN = 5 см.
∠BAC = ∠DAC за умовою задачі, тоді:
∠CAD = ∠BCA, як різносторонні
при паралельних прямих AD і BC та січній AC. Оскільки ∠BAC = ∠DAC і ∠CAD = ∠BCA, то
∠BAC = ∠BCA, отже, трикутник ABC рівнобедрений.
AB = BC = 2MK = 2 · 4 = 8 см.
AD = 2KN = 2 · 5 = 10 (см).
PABCD = 3BC + AD = 24 + 10 = 34 (см). Відповідь: Б. 34 см. 11. Точка N середина
AD трикутника ABC. BN
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
AF, якщо AC = 18 см. А. 6 см
Б. 9 см
В. 3 см
Г. 2 см
12 см
6 см
18 см Г. 9 см
BF.
Оскільки BD = DC і DG || BF, то CG = GF (за теоремою Фалеса).
Оскільки DN = NA і DG || NF, то GF = FA (за теоремою Фалеса).
Оскільки CG = GF і GF = FA, то AF = 18 : 3 = 6 (см).
Відповідь: А. 6 см.
Нехай ABC даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB,
AM = MC, MK ⊥ AB, CO ⊥ AB, AB = 36 (см).
У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений.
CO висота, медіана трикутника ABC, CO = AO.
MK середня лінія трикутника ACO, тоді CO = 1 2 AB = 1 2 · 36 = 18 (см).
MK = 1 2 CO = 1 2 · 18 = 9 (см).
Відповідь: Г. 9 см.
13. MN середня лінія трапеції ABCD, MN = 8 см, AB = 10 см. Установіть
(1 3) та їхніми довжинами (А Г).
трапеції: MN = �������� +�������� 2 = 8; AB + DC = 16. За умовою AB = 10, отже DC = 16 – 10 = 6 см.
трикутнику ABD: точка M середина AD, пряма MN ∥ AB. Отже, MN перетинає
точка K.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Тоді сторона: a = 4 ∙ 2 = 8 см.
Периметр: P = 3a = 3 ∙ 8 = 24 см.
Відповідь: 24 см.
3. На малюнку A1B1 || A2B2, OB1 = B1B2, OA1 = 2 см. Знайдіть OA2. OA2 = 2OA1 = 2 · 2 = 4 (см). Відповідь: 4 см.
4. Знайдіть кути A і B чотирикутника ABCD,
якщо ∠C = 140°, ∠D = 70°.
∠A = 180° − ∠C = 180° − 140° = 40° ∠B = 180° − ∠D = 180° − 70° = 110° Відповідь: ∠A = 40°; ∠B = 110°.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
DF, DE, FE.
маємо:
DF = 1 2 BC = 1 2 · 12 = 6 (см),
DE = 1 2 AC = 1 2 · 16 = 8 (см),
FE = 1 2 AB = 1 2 · 10 = 5 (см).
Тоді PDFE = DF + FE + DE = 8 + 5 + 6 = 19 (см).
Відповідь: 19 см.
Нехай BC = x см, тоді AD = (x + 4) см і
маємо: EF = BC + AD 2 ;
звідси: 8 = ���� + ���� + 4 2 ;
або x + 2 = 8; x = 6.
Отже, BC = 6 (см), AD = (x + 4) см = 10 (см).
Відповідь: 6 см і 10 см.
ABCD трапеція, описана
AB = CD, PABCD = 20 см.
ABCD,
то AB + CD = BC + AD = 20 : 2 = 10 (см).
Тоді AB = CD = 10 : 2 = 5 (см).
5 см.
трапеція, AD || BC, AB ⊥ AD.
∠CDA = 60°, AD = 12 см, CD = 12 см за умовою
Проведемо CH ⊥ AD. Оскільки ∠CDA = 60°, то ∠HCD = 90° − 60° = 30°. Отже, у трапеції ABCD: HD = 1 2 CD = 1 2 · 12 = 6 (см) за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°.
Тоді BC = AD − HD = 12 − 6 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
Нехай ABCD рівнобічна трапеція, AD || BC, MK середня
трапеції ABCD, KP = 7 см, PM = 9 см.
∠BCA = ∠DCA за умовою задачі, тоді:
∠CAD = ∠BCA як різносторонні
паралельних прямих AD і BC та січній AC.
Оскільки ∠BCA = ∠DCA і ∠CAD = ∠BCA, то ∠DAC = ∠DCA, отже, трикутник ADC рівнобедрений.
Із рівнобедреного трикутника ADC за теоремою про середню лінію трикутника маємо: AD = DC = 2PM = 18 см.
За теоремою про середню лінію трикутника маємо:
BC = 2KP = 2 · 7 = 14 (см).
Тоді PABCD = BC + 3AD = 14 + 54 = 68 (см).
Відповідь: 68 см.
10. Точки K, L, M ділять медіану BD трикутника ABC
(BK = KL = LM = MD). AM перетинає BC у точці F. Знайдіть CF : FB. Через точки K, L, D проведемо прямі KN, LH, DG, паралельні прямій AM.
Оскільки AD = DC і DG || AM, то CG = GF (за теоремою Фалеса).
Оскільки DM = ML = LK = KB і AM || LH || DG || NK, то
GF = FH = HN = NB (за теоремою Фалеса).
Оскільки CG = GF і GF = FH = HN = NB, то
CF : FB = 2 : 3.
Відповідь: 2 : 3.
11. Точка D середина катета BC рівнобедреного прямокутного
ABC (∠C = 90°). Відстань від точки D до гіпотенузи трикутника
Знайдіть гіпотенузу трикутника.
Нехай ABC даний прямокутний трикутник, у якому ∠C = 90°, AC = CB, DB = DC. DM ⊥ AB, CN ⊥ AB, DM + 15 = AB.
У трикутнику ABC ∠A = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. CN висота, медіана трикутника ABC, CN = AN. MD середня лінія трикутника BCN, тоді
CN = 1 2 AB, MD = 1 2 CN = 1 4 AB.
Отже, 1 4 AB + 15 = AB;
AB + 15 · 4 = 4AB; 3AB = 60;
AB = 20 (см).
Відповідь: 20 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
NMLK:
2
меншій основі. P = 8 + 5 + 2 · 5 = 23 (см).
Відповідь: 23 см.
3.
x + x + 20 = 180;
2x = 160;
x = 80°.
∠A = 80°,
∠B = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°.
У трапеції ABCD ∠A = ∠B = 90°. Проведемо CK ⊥ AD. ABCK прямокутник, CK = AB.
За умовою CD = 2AB = 2CK.
CKD гіпотенуза CD вдвічі більша
означає, що кут D = 30°. ∠BCD = 180° − ∠D = 180° − 30° = 150°.
90°, 90°, 150°, 30°.
Нехай ∠A = 4x,
∠B = 5x, 4x + 5x = 180°; 9x = 180°; x = 20.
Отже, ∠A = 4 · 20° = 80°, ∠B = 5 · 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 100°, 80°.
180°.
CK.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
BC
CD;
CK = KD за умовою;
∠BKC = ∠DKM як
ABCD BC || AD, AB = CD.
BCA = ∠CAD як
BC || AD і січній AC.
за умовою ∠BCA = ∠ACD, тому ∠CAD = ∠ACD, AC основа рівнобедреного △ACD, CD = AD = 10 см.
PABCD = AD + BC + 2CD = 10 + 6 + 2 · 10 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
9. ABCD прямокутна трапеція, ∠D = ∠C = 90°, AD більша основа, ∠BDC = 45°, ∠ABD = 90°, AD = 10 см. Знайдіть BC і CD.
Проведемо BK ⊥ AD.
У △ABD ∠ADB = ∠ADC − ∠BDC = 90° − 45° = 45°.
Тоді ∠BAD = 45° і у △ABD AB = BD.
Висота BK є медіаною, проведеною
B: BK = AK = KD = 1 2 AD = 1 2 · 10 = 5 (см).
CD = BK = 5 см (як відрізки двох перпендикулярів, що містяться
паралельними прямими).
△BCD є рівнобедреним (він
BC = CD = 5 см.
Відповідь: BC = 5 см, CD = 5 см. 10.
AK = FD = 1 2 AB = 1,5 см
KBCF прямокутник (BK || CF, BK = CF, ∠BKF = 90°).
KF = BC = 5 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD = = 3 + 5 + 3 + (1,5 + 5 + 1,5) = 19 (см). Відповідь: 19 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
У △ABC AB = BC, тому ∠BAC = ∠BCA.
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні
AC.
∠CDA = BAD за умовою.
Нехай ∠BCA = x, тоді ∠BAD = 2x.
У △ACD AC = AD за умовою, тоді ∠ACD = ∠ADC = 2x,
∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = x + 2x = 3x.
∠BCD + ∠ADC = 180°.
Маємо рівняння: 3x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
∠A = 2 · 36° = 72°,
∠B = 3 · 36° = 108°.
∠C = ∠B = 108°,
∠D = ∠A = 72°.
Відповідь: 72°, 108°, 108°, 72°.
12. Побудуйте
Припустимо, що трапецію побудовано.
Проведемо через
перетину з основою AD через F. Тоді у △ACF нам
всі сторони: AC = d1, CF = d2, AF = b + a Побудуємо цей трикутник
План побудови:
1. Будуємо пряму, відкладаємо на ній відрізки AB = b в DF = a.
2. Провести коло з центром A радіуса d1.
3. Провести коло з центром F радіуса d2.
4. Точка перетину кіл C.
5. Провести коло з центром D радіуса d2
6. Провести коло з центром
BC = AE, CE = AB.
P△CED = CE + CD + ED = AB + CD + AD − BC = = AB + CD + AD + BC − 2BC = PABCD − 2BC = = 56 – 2 · 10 = 36 (см).
36 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
1. AB = 5 см, BC = 3 см, CD = 4 см, DA = 6 см;
2. AB = 3 дм, BC = 7 дм, CD = 8 дм, DA = 10 дм?
Коло можна вписати
рівні.
1. AB + CD = 5 + 4 = 9 (см); BC + DA = 3 + 6 = 9 (см);
AB + CD = BC + DA.
Відповідь: так.
2. AB + CD = 8 + 3 = 11 (дм); BC + DA = 7 + 10 = 17 (дм);
AB + CD ≠ BC + DA.
Відповідь: ні.
15. Чи можна описати коло навколо чотирикутника,
відносяться як:
1. 2 : 7 : 10 : 5;
2. 3 : 5 : 8 : 4?
1. 2x + 10x = 12x; 7x + 5x = 12x.
Суми пар протилежних кутів рівні.
Відповідь: так.
2. 3x + 8x = 11x; 5x + 4x = 9x; 11x ≠ 9x.
Суми пар
16. ABCD – чотирикутник, описаний навколо кола, AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 10 см.
Знайдіть AD.
AB + CD = 3 + 10 = 13 (см).
Значить, BC + AD = 13 (см).
AD = 13 см − BC = 13 см − 9 см = 4 (см).
Відповідь: 4 см.
17. У чотирикутнику ABCD ∠ABC = 100°, ∠ADC = 80°, ∠BDC = 30°. Знайдіть ∠BAC.
1. Оскільки ∠ABC + ∠ADC = 10° + 80° = 180°, то чотирикутник ABCD є вписаним у коло.
2. Оскільки кути ∠BAC і ∠BDC є кутами,
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
∠A = 3 · 20° = 60°,
∠B = 4 · 20° = 80°,
∠C = 6 · 20° = 120°,
∠D = 5 · 20° = 100°.
Відповідь: 60°, 80°, 120°, 100°.
19.
Знайдіть ∠AOD, якщо ∠BAC = 30°, ∠CAD = 58°. ∠ABC = 90° як вписаний, що спирається на діаметр AC.
Тоді в ΔABC ∠ACB = 90° − ∠BAC = 90° − 30° = 60°.
∠DBC = ∠CAD = 58° як вписані, що спираються
дугу. З ΔBOC ∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = = 180° − (58° + 60°) = 62°.
62°.
дорівнює 180°.
∠D = x, ∠C = 5x.
Тоді x + 5x = 180, 6x = 180, x = 30.
Отже, ∠D = 30°.
Проведемо CK ⊥ AD. CK = AB = a см як відстані
З ΔKCD CK = 1 2 CD,
CD = 2CK = 2a.
Оскільки трапеція
BC + AD = AB + CD = a + 2a = 3a
PABCD = 2 · 3a = 6a (см).
Відповідь: 6a см. До § 16
21. На малюнку прямі A1B1, A2B2 і A3B3
B1B2 = B2B3; A1A3 = B1B3.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
4. Відрізок C9B. 5.
K
1. AB даний відрізок.
2. Промінь AC.
3. На промені AC відкладають 6 рівних
(3 + 1 + 2 = 6):
AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 = C5C6.
4. Відрізок C6B.
5. Через точки C3, C4 провести C3M || C6B, C4N || C6B.
Оскільки AC3 : C3C4 : C4C6 = 3 : 1 : 2, то за теоремою
AM : MN : NB = 3 : 1 : 2.
NP || CM.
NAB AK : KN = 2 : 1
AM
BC ), CE = 3 см, CF = 5 см, EF = 7
CE = 1 2 AC, AC = 2CE = 2 · 3 = 6 (см).
CF = 1 2 BC, BC = 2CF = 2 · 5 = 10 (см).
EF = 1 2 AB, AB = 2EF = 2 · 7 = 14 (см).
PΔABC = AB + BC + AC = 14 + 10 + 6 = 24 (см).
Відповідь: 24 см.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
PΔ = 3 · 4 = 12 (см).
Відповідь: 12 см.
29. Бічна сторона
Нехай a основа, b бічна сторона. PΔ = a + 2b, a = PΔ − 2b, a = 20 − 2 · 7 = 6 (см).
Середня лінія, кінці якої належать бічним сторонам, паралельна основі і дорівнює її половині: 6 см : 2 = 3 (см).
Відповідь: 3 см.
30. Точки D, E, F, відповідно середини сторін AB, BC і CA трикутника ABC. Доведіть, що чотирикутник DEFA паралелограм. DE середня лінія ΔABC за означенням, тому DE || AC. EF середня лінія ΔABC, EF || AB.
Отже, у чотирикутнику ADEF DE || AF, EF || AD. Тоді ADEF паралелограм.
31. Сторона трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть
інші
одна з його середніх ліній дорівнює 5 см, а периметр трикутника, утвореного
середніми лініями, дорівнює 18 см.
Нехай MNP трикутник, утворений середніми
трикутника ABC.
Нехай AC = 12 см. MN || AC, MN = 1 2 AC = 1 2 · 12 = 6 (см).
Нехай MP = 5 см. MP || BC, MP = 1 2 BC, BC = 2MP = 2 · 5 = 10 (см).
PΔMNP = MN + MP + NP, NP = PΔMNP − (MN + MP) = 18 − (6 + 5) = 7 (см).
NP || AB,
NP = 1 2 AB,
AB = 2NP = 2 · 7 = 14 (см).
Відповідь: 10 см, 14 см.
32.
Нехай PAMNP = 22 см, PBNPM = 24 см, PCPMN = 26 см.
PAMNP = 2AM + 2AP = AB + AC, PBNPM = 2BN + 2BM = BC + AB, PCPMN = 2CN + 2CP = BC + AC.
+ AC = 22,
AB + BC = 24, AC + BC = 26; �
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
AB = 22 AC , 22 AC + BC = 24, AC + BC = 26; �
AB = 22 AC , AC + BC = 2, AC + BC = 26;
= 22 AC , 2BC = 28, AC + BC = 26; �AB = 22 AC , BC = 14, AC + 14 = 26; � AB = 10, BC = 14, AC = 12.
Отже, AB = 10 см, BC = 14 см, AC = 12 см.
PΔABC = 10 + 14 + 12 = 36 (см).
MN = 1 2 AC = 1 2 · 12 = 6 (см),
NP = 1 2 AB = 1 2 · 10 = 5 (см),
MP = 1 2 BC = 1 2 · 14 = 7 (см).
PΔMNP = 6 + 5 + 7 = 18 (см).
Відповідь: 36 см, 18 см.
33. Побудуйте
ABCD квадрат, M, N, P, K середини його сторін. AC = BD = d діагоналі квадрата.
У ΔABC NP середня лінія, NP || AC, NP = 1 2 AC = ���� 2 . У ΔADC MK середня лінія, MK || AC, MK = 1 2 AC = ���� 2 . Дві протилежні сторони чотирикутника MNPK паралельні
MNPK паралелограм.
Аналогічно, MN || BD, MN = 1 2 BD = ���� 2 . KP || BD, KP = 1 2 BD = ���� 2 . Отже, MNPK ромб.
MN ⊥ MK (MN || BD, MK || AC, BD ⊥ AC), тоді MNPK квадрат.
PMNPK = 4���� 2 = 2d (см). Відповідь: квадрат.
§ 18
сума основ: 8 см · 2 = 16 см.
Pтр = 16 + 17 = 33 (см).
Відповідь: 33 см. 37.
38.
2a = 30, a = 15, 15 − b = 1, b = 13.
Відповідь: 13 см, 15 см.
MN = 18
Нехай MK = x см, тоді KN = 2x см.
x + 2x = 18;
3x = 18;
x = 6.
Отже, MK = 6 см, KN = 2 · 6 = 12 (см).
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
MN
середина AC.
BC = 2MK = 2 · 6 = 12 (см).
KN середня лінія ΔACD, AD = 2KN = 2 · 12 = 24 (см).
Відповідь: 12 см, 24 см.
40. Середня
Знайдіть основи трапеції. Нехай
основи трапеції, a > b, m її середня лінія. За умовою: m = 3b, a − b = −12. За властивістю середньої
Отже
Відповідь: 6 см, 30 см. 41. Середня
дорівнюють 2 : 3 : 2.
відношення яких
трапеції. MN середня лінія трапеції ABCD, AC і BD її діагоналі.
MP : PK : KN = 2 : 3 : 2.
Нехай MP = 2x, PK = 3x, KN = 2x.
У ΔABC M середина AB, MP || BC (MP частина MN, MN || BC).
Тоді за теоремою Фалеса, P середина AC, MP середня лінія ΔABC, MP = 1 2 BC, BC = 2MP = 2 · 2x = 4x.
В ΔACD PN середня лінія, PN = PK + KN = 3x + 2x = 5x. PN = 1 2 AD, AD = 2PN = 2 · 5x = 10x.
AD : BC = 10x : 4x = 5 : 2.
Відповідь: 5 : 2. 42.
https://shkola.in.ua/3272-hdz-matematyka-8-klas-ister.html
– 60°. Знайдіть середню лінію трапеції. Проведемо BK ⊥ AD, CF ⊥ AD висоти трапеції. У ΔABK ∠ABK = 90° − ∠BAK = 90° − 60° = 30°.
Тоді AK = 1 2 AB = ���� 2 (як катет, що лежить проти кута 30°).
BK || CF (BK ⊥ AD, CF ⊥ AD) BK = CF за гіпотенузою і гострим кутом (AB = CD, ∠A = ∠D за умовою).
Тоді KBCF паралелограм.
BC = KF = AD − (AK + FD) = a − 2���� 2 = a – c
Середня лінія: AD + BC 2 = ���� + ���� – ���� 2 = 2���� – ���� 2 = ���� –���� 2 .
Відповідь: a –���� 2 .