https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
сторони: MK і KE, KE і EF, EF і FM, FM і MK. Протилежні
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Позначення чотирикутника: MKCA, KCAM, CAMK.
1) M, K, C, A;
2) MK, KC, CA, AM; 3) M і K, K і C, C і A, A і M;
4) M і C, K і A;
5) MK і KC, KC і CA, CA і AM, AM і MK;
6) MK і AC, MA і KC;
7) MC і KA. 6.
є чотирикутники MKEF, STOP, QLNR.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x, ∠C = x + 20°, ∠D = x − 40°.
x + 2x + x + 20° + x − 40° = 360°;
5x − 20° = 360°;
5x = 380°; x = 76°.
Отже, ∠A = 76°, тоді ∠B = 2 ⋅ 76° = 152°, ∠C = 76° + 20° = 96°, ∠D = 76° − 40° = 36°.
Відповідь: 76°, 152°, 96°, 36°.
10x + 21x + 2x + 3x = 360°;
36x = 360°; x = 10°.
Тоді ∠A = 10 ⋅ 10° = 100°,
∠B = 21 ⋅ 10° = 210°,
∠C = 2 ⋅ 10° = 20°,
∠D = 3 ⋅ 10° = 30°.
Оскільки
x + 5x + 7x + 8x = 360°,
x = 360°,
= 15°.
∠A = 4 ⋅ 15° = 60°,
B = 5 ⋅ 15° = 75°,
C = 7 ⋅ 15° = 105°,
D = 8 ⋅ 15° = 120°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
що сторони CD і AD теж рівні. Нехай у чотирикутнику ABCD:
AB = BC, ∠ABD = ∠CBD, BD діагональ.
Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них:
1) AB = BC за умовою;
2) ∠ABD = ∠CBD за умовою; 3) BD спільна сторона.
Отже, △ABD = △CBD за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AD = BC = 6 см як відповідні
рівних трикутників.
Відповідь: 6 см. 17. Діагоналі
ABCD: AO = OC, BO = OD, BC = 6 см. Розглянемо трикутники AOD
1) AO = OC за умовою; 2) BO = OD за умовою;
3) ∠AOD = ∠COB як
Отже, △AOD = △COB за двома сторонами
(за I ознакою
Тому AD = BC = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.
Відповідь: 6 см. 18. У чотирикутнику MNKP відомо, що MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°. Знайдіть
Нехай у чотирикутнику MNKP: MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°.
Добудовуємо діагональ PN.
Розглянемо трикутники NMP і NKP. У них:
1) MN = NK за умовою; 2) MP = PK за умовою; 3) PN спільна сторона.
Отже, △NMP = △NMP за трьома сторонами
трикутників). Тому ∠K = ∠M = 100° як відповідні елементи рівних
Відповідь: 100°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABCD.
AB = 8 см, BC = 10 см.
Нехай у чотирикутнику ABCD:
∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD, AB = 8 см, BC = 10 см.
Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них:
1) ∠BAC = ∠CAD за умовою; 2) ∠BCA = ∠ACD за умовою;
3) AC спільна сторона.
Отже, △ABC = △ADC за стороною і двома прилеглими до
неї кутами (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AB = CD = 8 см, BC = AD = 10 см як відповідні
елементи рівних трикутників.
Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
20. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси
AK
= 44° : 2 = 22°.
Аналогічно ∠KBO = ∠OBA = 56° : 2 = 28°.
Розглянемо трикутник AOB. У ньому ∠OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180°;
∠AOB = 180° − (∠OAB + ∠OBA);
∠AOB =180° − (22° + 28°) = 180° − 50° = 130°.
∠AOB і ∠MOK вертикальні, тому ∠AOB = ∠MOK = 130°.
Розглянемо трикутник AKC.
У ньому ∠CAK + ∠AKC + ∠KAC = 180°;
∠AKC = 180° − (∠CAK + ∠KCA);
∠AKC = 180° − (22° + 80°) = 180° − 102° = 78°.
Розглянемо чотирикутник MOKC.
∠OMC + ∠MCK + ∠CKO + ∠KOM = 360°;
∠OMC = 360° − (∠MCK + ∠CKO + ∠KOM);
∠OMC = 360° − (80° + 78° + 130°) = 360° − 288° = 72°.
Відповідь: 72°, 80°, 78°, 130°.
2) розглянемо чотирикутник AOBC.
∠AOB + ∠OBC + ∠BCA = 360°;
∠AOB = 360° − (∠CAO + ∠OBC + ∠BCA);
∠AOB = 360° − (22° + 28° + 80°) = 360° − 130° = 230°;
Відповідь: 22°, 230°, 28°, 80°.
CAO +
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) Нехай у трикутнику ABC ∠A=36°, ∠B=72°. AE і BF висоти, проведені
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C = 180° − (∠A + ∠B); 180° − (36° + 72°) = 180° − 108° = 72°.
Оскільки AE висота, то
∠CEA = ∠BEA = 90°.
Аналогічно ∠CFB = ∠BFA = 90°.
Розглянемо чотирикутник CFHE.
За теоремою про суму кутів чотирикутника:
∠CFH + ∠FHE + ∠HEC + ∠ECF = 360°;
∠FHE = 360° − (90° + 90° + 72°) = 360° − 252° = 108°.
Відповідь: 90°, 108°, 90°, 72°.
2) Розглянемо прямокутний трикутник CEA (∠CEA=90°).
Тоді маємо:
∠CAE + ∠ECA = 90°;
∠CAE = 90° − ∠ECA;
∠CAE = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо прямокутний трикутник CFB (∠CFB = 90°).
Тоді маємо:
∠FBC + ∠FCB = 90°;
∠FBC = 90° − ∠FCB;
∠FBC = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо чотирикутник ACBH.
∠CAH + ∠AHB + ∠HBC + ∠BCA = 360°;
∠AHB = 360° − (∠CAH + ∠HBC + ∠BCA);
∠AHB = 360° − (18° + 18° + 72°) = 360° − 108° =
18°, 72°, 18°, 252°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD заданий чотирикутник, AC його діагональ.
PABC = 36, PADC = 64 см, PABCD = см.
PABCD = AB + BC + CD + AD,
PABC = AB + BC + AC,
PADC = AD + DC + AC,
звідки PABC + PADC = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = (AB + BC + CD + AD) + AC +
AC = PABCD + 2AC;
36 + 64 = 80 + 2AC; 2AC = 20; AC = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
23. Чи можуть сторони чотирикутника дорівнювати:
1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?
1) Проведемо у чотирикутнику ABCD діагональ AC.
Розглянемо трикутник ABC.
За нерівністю трикутника маємо: AB < AC + CB.
Аналогічно для трикутника ADC маємо: AC < AD + DC.
Тоді AB < AC + CB < (AD + DC) + CB < AD + DC + CB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) Нехай ABCD заданий чотирикутник, ∠A=90°, ∠C=90°, BN і DK бісектриси кутів B і D. Якщо BN бісектриса ∠ABC, то за означенням
бісектриси:
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = x, тоді ∠NBC = x, ∠ABC = 2x.
Розглянемо прямокутний трикутник BAN (∠A=90°).
За властивістю
∠ANB + ∠ABN = 90°,
звідки ∠ANB = 90° − ∠ABN = 90° − x.
Розглянемо чотирикутник ABCD.
За теоремою
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°;
∠D = 360° − (∠A + ∠B + ∠C) = 360° − (90° + 2x + 90°) = 180° − 2x
Оскільки DK бісектриса ∠ADC, то
∠ADK = ∠CDK = 1 2 ∠ADC.
Так як ∠D = ∠ADC = 180° − 2x,
то ∠ADK = ∠CDK = 1 2(180° − 2x) = 90° − x.
Розглянемо прямокутний трикутник KCD (
властивістю гострих
∠KDC + ∠DKC = 90°, звідки ∠KDC = 90°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.
Розглянемо прямокутні трикутники BAD (∠A=90°) і BCD (∠C=90°).
У них ∠ABD = ∠CBD, BD спільна сторона (гіпотенуза), тому за ознакою рівності прямокутних трикутників △BAD = △BCD
гострим кутом. Тому ∠ADB =
маємо, що BD бісектриса ∠ADC. 25. Доведіть, що коли бісектриси
1) Нехай у чотирикутнику ABCD, BN і DK
BN і DK та січну BC.
BN
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = ∠DKC = x.
Якщо DK бісектриса
паралельні
За ознакою паралельних
Тоді ∠ANB = ∠KDC.
Нехай ∠ANB = ∠KDC = y.
Розглянемо трикутник △ANB. За теоремою
A + ∠ANB + ∠ABN = 180°;
A = 180° − (∠ABN + ∠ANB) = 180° − (x + y). Отже, ∠A = ∠C = 180° − (x + y),
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.
Аналогічно за означенням
∠ADB = ∠CDB = 1 2 ∠ADC.
Розглянемо трикутники △BAD і △BCD.
У них ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB за доведенням, BD спільна сторона.
Отже, △BAD = △BCD за стороною і двома прилеглими до неї
рівності трикутників).
Тому ∠A = ∠C як відповідні елементи рівних трикутників.
26. Побудуйте чотирикутник
Дано:
AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
P1A1K1 = α
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Дано:
AB = a, BC = b, AD = c сторони чотирикутника ABCD, AC = d, BD = e діагоналі чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку A.
З точки A проводжу коло радіуса AB = a, яке перетне пряму m у точці B.
З точки A проводжу коло радіуса AD = c, а з точки B коло радіуса BD = e, які
перетнуться у точці D
Сполучаю відрізком точки A і D.
радіуса AC = d, які перетнуться у точці C.
Сполучаю відрізком точки B і C. Проводжу відрізок DC.
побудований чотирикутник ABCD
AB = a, BC = b, AD = c, AC = d, BD = e за
AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Дано:
AB = a, BC = b, AD + CD = c, ∠P1A1K1 = α і ∠N1B1M1 = β кути чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку B. З точки B проводжу коло радіуса AB =
сторони кута, наприклад у точках
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
паралельності прямих маємо, що
паралельні.
31. У чотирикутнику ABCD ∠C = 110°, ∠D = 70°. Доведіть, що BC || AD.
Нехай ABCD чотирикутник,
ознакою паралельності
1) BC і AD;
2) AB і CD?
3) BD спільна
△ADB = △
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB
і ∠ABD = ∠CDB. За ознакою паралельності
що прямі AB і CD паралельні.
34. Відрізок BK бісектриса трикутника ABC. Пряма DK паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці D, ∠BDK = 116°. Знайдіть кут BKD.
Нехай ABC заданий трикутник, BK бісектриса ∠ABC, KD ∥ AB, D ∈ BC, ∠BDK=116°.
Розглянемо паралельні прямі AB і KD та січну BD.
За ознакою паралельних прямих маємо, що ∠ABD + ∠BDK = 180° як внутрішні
односторонні, звідки ∠ABD = 180° − ∠BDK = 180° − 116° = 64°.
Оскільки BK бісектриса, ∠ABC, то
∠ABC, звідки ∠KBC = 64° : 2 = 32°.
Розглянемо трикутник KBD.
За теоремою
∠KBD + ∠BDK + ∠BKD = 180°;
∠ABK = ∠KBC = 1 2
∠BKD = 180° − (∠KBD + ∠BDK) = 180° − (32° + 116°) = 180° − 148° = 32°.
Відповідь: 32°.
35.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
а. Неправильні довжини сторін, бо в паралелограма протилежні сторони рівні;
б. неправильні величини кутів, бо при паралельних прямих і січній внутрішні
різносторонні кути мають бути рівними;
в. неправильні величини протилежних
неправильні довжини
і 8 см ; 2. 16 см і 4 см ; 3. 12 см і 6 см ?
1. P = 2(a + b);
P = 2·(14 + 8) = 2·22 = 44 см;
44 см > 40 см не вистачить.
2. P = 2(a + b);
P = 2·(16 + 4) = 2·20 = 40 см;
40 см = 40 см вистачить.
3. P = 2(q + b);
P = 2·(12 + 6) = 2·18 = 36 см;
36 см < 40 см вистачить.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
28x = 112; x = 4.
Отже, одна сторона паралелограма дорівнює
5·4 = 20 см,
а інша 9·4 = 36 см.
Відповідь: 1. 22 см; 34 см; 2. 20 см; 36 см.
41. Знайдіть сторони паралелограма, якщо одна з
периметр паралелограма дорівнює 96 см .
Нехай одна сторона паралелограма дорівнює x см, тоді інша 5x см.
Периметр паралелограма дорівнює
2(x + 5x) = 12x (см), що за умовою
Рівняння: 12x = 96; x = 8
Отже, одна сторона паралелограма
дорівнює 96 см.
8 см, а інша 5·8 = 40 см.
Відповідь: 8 см; 40 см.
42. У паралелограмі ABCD дано:
Оскільки ABCD паралелограм, то протилежні сторони рівні: AB = CD = 6 см. Діагоналі паралелограма
AC = 10 см ⇒ AO = OC = 10 : 2 = 5 см; BD = 8 см ⇒ BO = OD = 8 : 2 = 4 см.
Розглянемо трикутник COD: PCOD = CO + CD + DO = 5 + 6 + 4 = 15 см.
Відповідь: 15 см.
43. Доведіть,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. Нехай дано паралелограм ABCD, ∠A = 70°.
Тоді ∠A = ∠C = 70° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки
∠B = 180° − ∠A; ∠B = 180° − 70° = 110°.
Тоді ∠B = ∠D = 110° як протилежні кути паралелограма.
2. Нехай дано паралелограм ABCD, у якому сума двох кутів дорівнює 100°.
можуть бути сусідніми, оскільки їх сума дорівнює 180°. Тому ці кути є протилежними
кутами паралелограма: ∠A + ∠C = 100°; ∠A = ∠C = 100° : 2 = 50°. ∠A і ∠B − сусідні кути, тому їх сума дорівнює 180°: ∠A +
Тоді ∠B = ∠D = 130°.
3. Нехай
кутами паралелограма: ∠B − ∠A = 20°; ∠B = 20° + ∠A.
Нехай дано паралелограм ABCD, у якому два
відносяться як 3:7.
кутами паралелограма: нехай ∠A = 3x, ∠B = 7x. Рівняння: 3x + 7x = 180°; 10x = 180°; x = 18°. Тоді ∠A = 3·18° = 54°; ∠B = 7·18° = 126°.
Тоді ∠A = ∠C = 54°, ∠B = ∠D = 126°
Відповідь:
1. 70°, 110°, 70°, 110°; 2. 50°, 130°, 50°, 130°; 3. 80°, 100°, 80°, 100°; 4. 54°, 126°, 54°, 126°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠A = x, ∠B = x + 24°.
Рівняння: x + x + 24° = 180°; 2x = 156°; x = 78°.
Тоді ∠A = 78°; ∠B = 78° + 24° = 102°.
Тоді ∠A = ∠C = 78°, ∠B = ∠D = 102° як протилежні.
Відповідь:
1. 60°, 120°, 60°, 120°; 2. 78°, 102°, 78°, 102°.
46. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 35°. Через довільну точку,
BC, проведено дві прямі, паралельні сторонам AB і AC трикутника.
дано паралелограм
Розглянемо чотирикутник AMKN.
Тоді ∠A = ∠MKN = 35° як
звідки ∠ANK = 180° − ∠A = 180° − 35° = 145°.
Тоді ∠ANK = ∠AMK = 145° як протилежні
паралелограма. Відповідь: паралелограм; 35°, 145°, 35°, 145°.
47. Знайдіть кути паралелограма ABCD (рис. 27), якщо ∠ABD = 68°, ∠ADB = 47°. Нехай дано паралелограм ABCD, ∠ABD = 68°, ∠ADB = 47°.
трикутник ABD.
A + ∠ABD + ∠ADB = 180°,
∠A = 180° − (∠ABD + ∠ADB) = 180° − (68° + 47°) = 180° − 115° = 65°.
B = 180° − ∠A = 180° − 65° = 115°.
∠B = ∠D = 115°
65°, 115°, 65°, 115°.
BCD = 56°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AC діагональ, ∠BAC = 32°, ∠BCD = 56°.
∠A = ∠C = 56° як протилежні кути паралелограма.
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD;
∠CAD = ∠BAD − ∠BAC;
∠CAD = 56° − 32° = 24°.
∠C + ∠D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки
∠D = 180° − ∠C = 180° − 56° = 124°.
Відповідь: 24°, 124°.
49. Бісектриси кутів A і B паралелограма ABCD перетинаються
кута M трикутника ABM.
Нехай дано паралелограм ABCD, AM і BM
Оскільки AM бісектриса ∠A, то
∠ABM = ∠MBC = 1 2 ∠ABC. ∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх
трикутник ABM.
теоремою
∠ABM + ∠BAM + ∠BMA = 180°; ∠BMA = 180° − ∠ABM − ∠BAM;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = CD = 6 см, BC = AD = 10 см, тому
16 см.
BK
що AK = 4 см, KD = 6 см.
Нехай дано паралелограм ABCD, BK – висота, AK = 4 см, KD = 6 см, ∠ABK = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник AKB (∠K = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Тому AK = 1 2 AB, звідки AB = 2AK = 2·4 = 8 см.
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠A + ∠ABK
∠ABK = 90° − 30° = 60°.
∠A = ∠C = 60° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма,
60° = 120°.
∠B = ∠D = 120° як протилежні кути паралелограма.
AD = AK + KD = 4 + 6 = 10 см.
Оскільки ABCD паралелограм, то
AB = DC = 8 см,
AD = BC = 10 см.
Тоді PABCD = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 2·18 = 36 см.
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; 36 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Маємо: ∠ABD = ∠BDC = 90° як
Відповідь: 6 см; 45°, 90°.
ABCD
7 см,
C =
Нехай дано паралелограм ABCD, ∠C = 30°, BH висота, BH = 7 см, периметр паралелограма = 46 см.
Розглянемо прямокутний трикутник BHC (∠H = 90°). За властивістю прямокутного
трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Тому BH = 1 2BC, звідки BC = 2·BH = 2·7 = 14 см.
AD = BC = 14 см як протилежні сторони паралелограма.
Периметр паралелограма: P = 2(AB + BC);
AB + BC = 46 : 2 = 23 см.
AB = 23 − BC = 23 − 14 = 9 см.
DC = AB = 9 см як протилежні сторони паралелограма.
Відповідь: AD = BC = 14 см, DC = AB = 9 см. 54. Дано паралелограм ABCD і трикутник MKN.
рівності ∠A = ∠M, ∠B = ∠K, ∠C =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AC і BD діагоналі, O точка їх перетину.
Розглянемо трикутники MOC і NOA. У них:
1. AO = OC за властивістю діагоналей паралелограма;
2. ∠AON = ∠COM як вертикальні;
3. ∠OCM = ∠OAN як внутрішні різносторонні при паралельних
AC.
Отже, △MOC = △NOA за стороною і
AC.
Розглянемо трикутник ABC.
теоремою про суму кутів
= 180° − (160° + 10°) = 10°.
Оскільки ∠BAC = ∠BCA = 10°, то трикутник
AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6 см. Відповідь: AB = BC = CD = AD = 6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
звідки ∠BDA = 180° − (∠A + ∠ABD) = 180° − (50° + 65°) = 65°.
Оскільки ∠ABD = ∠BDA, то трикутник ABD рівнобедрений, звідки AB = AD = 8 см.
PABCD = 2(AB + AD) = 2(8 + 8) = 2·16 = 32 см.
Відповідь: 32 см.
59. Знайдіть кути паралелограма ABCD, якщо BD ⟂ AB і BD = AB.
Нехай дано паралелограм ABCD, BD діагональ, BD ⟂ AB, BD = AB.
Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник ABD (∠ABD = 90°, AB = BD).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:
∠BAD = ∠BDA;
∠BAD + ∠BDA = 90°,
звідки ∠BAD = ∠BDA = 90° : 2 = 45°.
∠A = ∠C = 45° як протилежні кути паралелограма.
∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки
∠B = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°.
Тоді ∠B = ∠D = 135° як протилежні кути паралелограма.
Відповідь: 45°, 135°, 45°, 135°.
60. Діагональ паралелограма
паралелограм ABCD, BD − діагональ, ∠ADB = 30°, ∠ABD = 90°, PABCD = 36 см. ∠BDC =
AB і DC та січній BD.
Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠ABD = 90°).
За властивістю прямокутного трикутника катет, який
гіпотенузи. Тому AB = 1 2 AD.
Нехай AB = x см, тоді AD = 2x см.
Рівняння: PABCD = 2(x + 2x); 36 = 6x; x = 6.
Отже, AB = 6 см, AD = 2·6 = 12 см.
CD = AB = 6 см і BC = AD = 12 см як протилежні
CD = AB = 6 см; BC = AD = 12 см.
= EF.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, BD діагональ, BD ∥ EK.
Чотирикутник BEFD паралелограм, бо BE ∥ DF, EF ∥ BD.
Тоді BD = EF як протилежні сторони паралелограма.
Чотирикутник BMKD паралелограм, бо BD ∥ MK, BM ∥ DK.
Тоді BD = MK як протилежні сторони паралелограма.
Оскільки BD = EF і BD = MK, то MK = EF.
62. Паралельно діагоналі AC паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає
відрізки AB і BC у точках M і N, а прямі AD і CD у
P і K
що PM = NK.
Нехай дано паралелограм ABCD, BD − діагональ, PK∥AC.
Чотирикутник AMKC − паралелограм,
AM∥CK, MK∥AC.
Тоді MK = AC як протилежні
паралелограм, бо AP∥CN, PN∥AC.
Тоді PN = AC як протилежні сторони
Оскільки PN = PM + MN, MK = MN + NK, то PM = NK. 63. Один із кутів, утворених
APNC −
MK = PN.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = 12 см, MC = 16 см.
Нехай дано паралелограм ABCD, AM бісектриса, AB = 12 см, MC = 16 см.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні.
Якщо AM бісектриса ∠BAD, то за означенням бісектриси ∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD.
Тоді ∠BAM = ∠BMA, звідси трикутник ABM рівнобедрений, тому AB = BM = 12 см. BC = BM + MC; BC = 12 + 16 = 28 см.
PABCD = 2(AB + BC) = 2(12 + 28) = 2·40 = 80 см.
Відповідь: 80 см.
65.
66 см .
Нехай дано паралелограм ABCD, AM бісектриса, BM:MC = 3:5, PABCD = 66 см. Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні.
Якщо AM бісектриса ∠BAD, то за означенням бісектриси
∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD.
Тоді ∠BAM = ∠BMA, звідси випливає, що трикутник ABM рівнобедрений (AB = BM).
Нехай BM = 3x см, тоді MC = 5x см.
BC = BM + MC; BC = 3x + 5x = 8x см. AB = BM = 3x см.
Рівняння:
2(3x + 8x) = 66; 22x = 66; x = 3.
Тому AB = 3·3 = 9 см, BC = 8·3 = 24 см.
Отже, AB = CD = 9 см, BC = AD = 24 см.
Відповідь: AB = CD = 9 см, BC = AD = 24 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
88 см.
Нехай дано паралелограм ABCD, BK бісектриса, CK = 5KD, PABCD = 88 см.
Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну BK.
Тоді ∠ABK = ∠BKC як внутрішні різносторонні.
Якщо BK бісектриса ∠ABC, то за означенням бісектриси ∠CBK = ∠KBA = 1 2 ∠ABC.
Тоді ∠CBK = ∠BKC, звідси випливає, що трикутник BCK рівнобедрений (BC = CK).
Нехай KD = x см, тоді CK = 5x см.
CD = CK + KD = 5x + x = 6x см.
CK = BC = 5x см.
Рівняння:
2(5x + 6x) = 88; 22x = 88; x = 4.
Тому BC = 5·4 = 20 см,
CD = 6·4 = 24 см.
Отже, AB = CD = 24 см,
BC = AD = 20 см.
Відповідь: AB = CD = 24 см, BC = AD = 20 см. 67.
MK;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3) MD = MK + KD = 4 + 6 = 10 см. (Ч)
4) ВС = АD = АК + КD = 10 + 6 = 16 см. (К)
5) РАВСD = 2 • (6 + 16) = 44 см. (О)
Відповідь: Дичко Людмила.
68. Кут між висотою BH
24°. Знайдіть кути паралелограма.
Нехай дано паралелограм ABCD, BH − висота, BM − бісектриса ∠ABC, ∠HBM = 24°.
Розглянемо прямокутний трикутник BHM (∠BHM = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠BMH + ∠HBM = 90°,
звідки ∠BMH = 90° − ∠HBM;
∠BMH = 90° − 24° = 66°.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну BM.
Тоді ∠CBM = ∠AMB = 66° як внутрішні різносторонні.
Якщо BM − бісектриса ∠ABC, то за означенням бісектриси ∠
звідки
∠ABC = 2∠ABM = 2·66° = 132°.
∠B = ∠D = 132° як протилежні
паралелограма. ∠A + ∠B = 180° як сума сусідніх
∠A = 180° − ∠B;
∠A = 180° − 132° = 48°.
Тоді ∠A = ∠C = 48°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABC = (90° − x) + ∠NBM + (90° − x);
∠ABC = 180° − 2x + ∠NBM.
∠A + ∠ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма,
звідки
x + 180° − 2x + ∠NBM = 180°;
∠NBM = x.
Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його гострому куту.
70. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма.
Нехай дано паралелограм ABCD, AN і AM − висоти.
прямокутного трикутника маємо: ∠NBA + ∠BAN = 90°,
звідки
ADC + ∠ADM = 180° як суміжні,
∠ADM = 180° − ∠ADC;
∠ADM = 180° − x.
Розглянемо прямокутний трикутник AMD
трикутника маємо:
∠MAD + ∠ADM = 90°,
звідки ∠MAD = 90° − ∠ADM; ∠MAD = 90° − (180° − x) = x − 90°.
∠BAD + ∠ABC = 180°
∠NAM = ∠NAB + ∠BAD + ∠DAM;
∠NAM = (x − 90°) + 180° − x + (x − 90°); ∠NAM = x.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
куту (див. № 69), тому ∠BAN = ∠BCM = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник ANB (∠N = 90°).
BN = 1/2 AB, звідки AB = 2BN; AB = 2·4 = 8 см.
Розглянемо прямокутний трикутник BMC (∠M = 90°).
який
30°,
Тому BM = 1 2 BC, звідки BC = 2BM; BC = 2·6 = 12 см.
Тоді PABCD = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 2·20 = 40 см.
Відповідь: 40 см.
72. Висоти паралелограма, проведені з
Тоді ∠NBA + ∠ABC = 180° як суміжні, звідки ∠NBA = 180° − ∠ABC; ∠NBA = 180° − 150° = 30°.
Розглянемо прямокутний
трикутника катет, який лежить
Тому AN = 1 2 AB, звідки AN = 10 : 2 = 5 см. ∠ABC = ∠ADC = 150° як
ADC + ∠
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано рівнобедрений трикутник ABC (AB = BC), DM ∥ AB, DM ∥ BC.
Оскільки DM ∥ AB, DN ∥ BC, то чотирикутник BMDN паралелограм, звідки ND = BM, DM = NB як протилежні сторони паралелограма.
Тоді PBMDN = BM + MD + DN + BN = 2(BN + ND).
Розглянемо паралельні прямі BC і ND та січну AC. Маємо: ∠NDA = ∠BCA як відповідні.
∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника.
Тому ∠NDA = ∠BAC, звідки слідує, що трикутник NDA рівнобедрений (NA = ND).
BN + ND = BN + NA = BA.
Тоді PBMDN = 2(BN + ND) = 2AB.
Нехай дано трикутник ABC, MN ∥ AC, MP ∥ BC, PN ∥ AB. У результаті такої
PAMBC = 2(AC + BC), PBNCA = 2(AB + AC), PABCP = 2(AB + BC).
Тоді
AMBC, BNCA і ABCP.
PAMBC + PBNCA + PABCP = 2(AC + BC) + 2(AB + AC) + 2(AB + BC) = 4(AB + BC + AC).
PABC = AB + BC + AC.
Тоді PABC = 100 : 4 = 25 см.
Biдповідь: 25 см .
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай дано паралелограм ABCD, AM і DM − бісектриси сусідніх
A та D. Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну AM. Тоді ∠BMA = ∠MAD як
різносторонні. Якщо AM − бісектриса ∠BAD, то за означенням бісектриси ∠BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD, звідки ∠BMA = ∠BAM, тому трикутник ABM − рівнобедрений (AB = BM). Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну DM. Тоді ∠CMD = ∠MDA як
внутрішні різносторонні. Якщо DM − бісектриса ∠CDA, то за
∠CDM = ∠MDA = 1 2 ∠CDA, звідки ∠CDM = ∠CMD, тому трикутник CMD − рівнобедрений (CD = CM). Так як AB = CD, BC = AD, то CM = AB, BC = AD = 2AB.
Отже, AB : AD = AB : 2AB = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2.
77. На стороні BC паралелограма ABCD існує така точка M, що BM = MD = CD. Знайдіть кути паралелограма, якщо AD = BD.
Нехай дано паралелограм ABCD, BM = MD = CD, AD = BD. Нехай ∠C = x, ∠MBD = y.
Тоді ∠A = ∠C = x як протилежні
BDA – рівнобедрений, тому ∠ABD = ∠A = x.
як DM = DC, то трикутник DMC – рівнобедрений,
різносторонні.
DB =
AD і BC та січну BD. Маємо: ∠MBD = ∠BDA = y як
AD і BC та січну MD. Маємо: ∠CMD = ∠MDA = x як
∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180°, x + y + x = 180°, 2x + y = 180°.
∠ABC = ∠ABD + ∠CBD; ∠ABC = x + y.
∠ADC = ∠ADB + ∠BDM + ∠MDC;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ADC = y + y + 180° − 2x = 3y.
Оскільки ∠ABC = ∠ADC як
то x + y = 3y; x = 2y.
Звідки 2·2y + y = 180°; 5y = 180°; y = 36°; x = 2·36° = 72°.
Отже, ∠A = ∠C = 72°; ∠B = ∠D = 180° − 72° = 108°, бо сума
паралелограма дорівнює 180°.
Відповідь: ∠A = ∠C = 72°; ∠B = ∠D = 108°.
78. Iз вершини B паралелограма ABCD опустили
точку A проведено пряму
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
дорівнюють
Тоді ∠KBC = ∠BAD = 60° як відповідні.
∠BAC = ∠BCD = 60° як протилежні кути паралелограма.
Тоді ∠ABC = ∠ADC = (360° − 2·60°) : 2 = 240° : 2 = 120°. Звідси слідує, що ∠KBC + ∠CBA = 60° + 120° = 180°, тобто ∠ABK розгорнутий. Тому ∠ABC = ∠MBK = 120° як вертикальні.
∠MAD = ∠MAB + ∠BAD = 60° + 60° = 120°;
∠DCK = ∠DCB + ∠BCK = 60° + 60° = 120°. Розглянемо трикутники MAD, DCK і MBK.
1. MB = MA = CD
2. AD = KC = BK
3. ∠MAD = ∠DCK = ∠KBM = 120°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
C
BC = 5AC. На
1.
відрізок AB = 24 см, C ∈ AB, BC = 5AC, AB = 4BD. Нехай точка C лежить між точками A та B (див. рис.). Якщо AB = 4BD, 4BD = 24 ⇒ BD = 6 см.
AB = AC + CB; AB = AC + 5AC; AB = 6AC;
6AC = 24 ⇒ AC = 4 см.
CD = AB − (AC + DB);
CD = 24 − (4 + 6) = 24 − 10 = 14 см.
2.
A (див. рис.). Якщо AB = 4BD, 4BD = 24 ⇒ BD = 6 см.
AB = BC − AC;
AB = 5AC − AC; AB = 4AC;
4AC = 24 ⇒ AC = 6 см.
AD = AB − DB;
AD = 24 − 6 = 18 см.
CD = CA + AD;
CD = 6 + 18 = 24 см.
14 см
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
цього кола.
O центрі
Розглянемо трикутники AOB і COD. У них:
1. AO = OC як радіуси; 2. BO =
тоді AO = OC = BO = OD як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, у чотирикутнику BCKM BC ∥ MK і BC = MK, звідки слідує, що BCKM −
паралелограм.
88. Відрізок AO - медіана трикутника ABD, відрізок BO - медіана трикутника ABC. Доведіть, що чотирикутник ABCD - паралелограм.
Нехай ABCD − чотирикутник, AO − медіана трикутника ABD, BO − медіана трикутника ABC.
Оскільки AO − медіана, то за означенням медіани BO = OD.
Аналогічно, оскільки BO − медіана, то AO = OC.
Тоді в чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці O й діляться точкою перетину навпіл, а
89. Два кола мають
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, AM = CK.
Оскільки ABCD − паралелограм, то AB ∥ DC і AB = DC як протилежні сторони
паралелограма.
Тоді MB ∥ DK.
AB = AM + MB; DC = DK + KC.
Так як AM = CK, то MB = DK.
Отже, у чотирикутнику MBKD MB ∥ DK і MB = DK, тому він є паралелограмом.
92. На діагоналі AC паралелограма ABCD позначили точки M і K так, що AM = CK.
Доведіть, що чотирикутник MBKD паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, M ∈ AC, K ∈ AC, AM = KC.
Оскільки ABCD − паралелограм, то його
Тому BO = OD, AO = OC.
AO = AM + MO, OC = OK + KC.
Так як за умовою AM = KC, то маємо, що MO = OK.
Розглянемо чотирикутник MBKD.
У ньому діагоналі MK і BD перетинаються і точкою
тому MBKD − паралелограм.
93. На сторонах паралелограма ABCD (рис. 39) відклали рівні відрізки AM, BK, CE і DF. Доведіть, що чотирикутник MKEF - паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, AM = BK = CE = DF.
Оскільки ABCD − паралелограм, то KC = AF і MB = DE як різниці рівних
Розглянемо трикутники KCE і FAM. У
1. KC = AF (за доведеним вище);
2. CE = AM (за умовою);
3. ∠C = ∠A (як протилежні
KE = MF як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо трикутники MBK і EDF. У них:
1. MB = DE (за доведеним вище);
2. BK = DF (за умовою);
3. ∠B = ∠D (як протилежні кути паралелограма).
Отже, ΔMBK = ΔEDF за двома сторонами і кутом
трикутників).
(за
Тому MK = FE як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, у чотирикутнику MKEF маємо KE = MF і MK = FE, тому він є паралелограмом. 94. У трикутнику ABC на продовженні медіани AM за точку M відклали відрізок MK, який дорівнює відрізку AM. Визначте вид чотирикутника ABKC.
Нехай ABC − заданий трикутник, AM − його медіана.
що AM = MK.
діагоналі AK і BC перетинаються
ABKC − паралелограм.
95. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB ∥ CD, ∠
ABCD - паралелограм.
Нехай ABCD − чотирикутник, AB ∥ CD, ∠A = ∠C. Розглянемо паралельні прямі AB
та січну BD.
Тоді ∠ABD = ∠CDB як внутрішні
Розглянемо трикутник ABD.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠ABD + ∠BDA = 180°; ∠BDA = 180° − (∠A + ∠ABD).
Аналогічно розглянемо трикутник BCD.
За теоремою про суму кутів трикутника
∠C +
CDB + ∠DBC = 180°; ∠DBC = 180° − (∠C + ∠CDB).
∠A = ∠
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, AM − бісектриса кута A, CK − бісектриса кута C.
Тоді AB = CD як протилежні сторони паралелограма, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D як протилежні
кути паралелограма. Крім того, AB ∥ CD, BC ∥ AD.
Оскільки AM − бісектриса, то за означенням бісектриси ∠BAM =
Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну AM.
Тоді ∠KAM = ∠BMA як внутрішні різносторонні.
Тоді ∠BAM = ∠MAK і ∠KAM = ∠BMA, звідки ∠BAM = ∠BMA.
Аналогічно, якщо CK − бісектриса, то за означенням
∠DCB.
Якщо ∠BAD = ∠BCD, то ∠BMA = ∠MCK.
Розглянемо паралельні прямі AM і CK та січну MC.
∠DCK = ∠KCM = 1 2
маємо: ∠BMA = ∠MCK як відповідні, звідки AM ∥ CK, MC ∥ AK. Тоді одержимо, що чотирикутник AMCK − паралелограм.
97. На рисунку чотирикутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − паралелограм, ∠BEC = ∠DFA.
Оскільки AB ∥ CD як протилежні сторони паралелограма, то AE ∥ CF.
Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну AF.
Тоді ∠BAF = ∠AFD як внутрішні різносторонні кути. Оскільки ∠BEC = ∠DFA за
умовою, то ∠BAF = ∠BEC. Але вони є відповідними кутами при прямих EC і AF та
січній AB, звідки EC ∥ AF. Отже, у чотирикутнику AECF AE ∥ CF і
чотирикутник − паралелограм. 99. Побудуйте паралелограм:
1. за двома сторонами та кутом між ними;
2. за двома
1. 1. Дано: AB = a, AD = b − сторони паралелограма ABCD, ∠
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
промінь BO та на його продовженні відкладаю OD = BO, одержую вершину D паралелограма. Сполучаю відрізками точки B і C, точки A і D та точки D і C. Отже, побудований паралелограм ABCD − шуканий, бо в ньому AB = a, AC = b, BD = c за
побудовою.
3. Дано: AB = a − сторона паралелограма ABCD, AC = b − діагональ паралелограма
ABCD, ∠P1A1K1 = α − кут між стороною AB і діагоналлю AC паралелограма.
Побудувати: паралелограм ABCD.
Будую довільну пряму m
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Дано: AC = a, BD = b
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AD і BC та січну BD.
Маємо: ∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні. Розглянемо трикутники AED і CFB. У них:
1. BC = AD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. ∠EAD = ∠FCB як половини рівних протилежних кутів паралелограма;
3. ∠ADB = ∠CBD за доведеним вище. Отже, трикутник AED = трикутник CFB за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників).
Тому AE = CF як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо трикутники BAE і DCF. У них:
1. AB = CD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. AE = CF за доведеним вище;
3. ∠BAE = ∠DCF як половини рівних протилежних кутів паралелограма. Отже, трикутник BAE = трикутник DCF за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).
Тому FD = BE як відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну BD. Маємо: ∠CBE = ∠ADF як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники BEC і DFA. У них:
1. BC = AD як протилежні сторони паралелограма ABCD;
2. FD = BE за доведеним вище;
3. ∠CBE = ∠ADF за доведеним вище. Отже, трикутник BEC = трикутник DFA за
сторонами і кутом між
Тому AF = EC як відповідні
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай MNKP − паралелограм, NP − діагональ, O − середина NP, A ∈ MN, B ∈ KP.
Розглянемо паралельні прямі MN і KP (як сторони паралелограма) та січну NP. Маємо:
∠MNO = ∠KPO як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники AON і BOP. У них:
1. NO = PO за умовою;
2. ∠NOA = ∠POB як вертикальні;
3. ∠ANO = ∠BPO за доведеним вище. Отже, трикутник AON = трикутник BOP за стороною і двома прилеглими
AO = OB,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
105. Точки M,N,K і P - середини сторін AB,BC,CD і AD
AN,BK,CP і DM, - паралелограм.
Нехай ABCD − паралелограм, точки M, N, K і P − середини сторін AB, BC, CD і AD відповідно. Оскільки ABCD − паралелограм, то AB ∥ CD, BC ∥ AD, AB = CD, BC = AD як протилежні сторони, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма.
Розглянемо трикутники ABN і CDP. У них:
1. AB = CD за доведеним вище;
2. BN = PD як половини рівних сторін паралелограма;
3. ∠B = ∠D за доведеним вище. Отже, трикутник ABN = трикутник CDP за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).
елементи рівних трикутників.
1) BC = AD за
2) AM = CK як
3) ∠C = ∠A за доведеним вище.
Отже, трикутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Дано: BP = a, BF = b − висоти паралелограма ABCD, BD = c
Побудувати: паралелограм ABCD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, AK і BM − бісектриси, які перетинаються під кутом 74°.
AK − бісектриса кута A, то за означенням ∠BAK = ∠KAC = 1 2 ∠BAC. Якщо BM −
бісектриса кута B, то за означенням ∠ABM = ∠MBK = 1 2 ∠ABC. Кут BOK − зовнішній
трикутника ABO, тому ∠OBA + ∠BAO = 74°.
Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°;
∠BCA = 180° − (∠ABC + ∠CAB);
∠BCA = 180° − (2∠OBA + 2∠BAO) = 180° − 2(∠OBA + ∠BAO) = = 180° − 2·74° = 180° − 148° = 32°.
Відповідь: 32°.
109. Кут,
Нехай ABC − рівнобедрений трикутник (AB = BC), AM
= 120°.
AC = 2 AM; AC = 2 · 8 = 16 (см).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, діагоналі AC і BD перетинаються в точці O, ∠ABD = 64°.
Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину поділяються навпіл: AO = OC = BO = OD.
Тому трикутник AOB − рівнобедрений (AO = BO). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ABO = ∠OAB = 64°.
∠AOD − зовнішній кут при вершині O трикутника AOB, тому ∠AOD = ∠ABO + ∠BAO;
∠AOD = 64° + 64° = 128°.
∠AOD + ∠COD = 180° як суміжні, звідки ∠COD = 180° − ∠AOD;
∠COD = 180° − 128° = 52°.
Відповідь: 52°, 128°.
115. Діагоналі прямокутника ABCD (рис. 46) перетинаються в точці O, ∠ADB = 30°, BD = 10 см. Знайдіть
трикутника AOB.
Нехай ABCD − прямокутник, діагоналі
= 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, AC − діагональ, M ∈ AC, K ∈ AC, AM = KC. Розглянемо
паралельні прямі BC і AD (як протилежні сторони прямокутника) та січну AC.
Маємо: ∠BCK = ∠DAM як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники BKC і DMA. У них:
1. BC = DA як протилежні сторони прямокутника;
2. KC = MA за умовою;
3. ∠BCK = ∠DAM за доведеним вище.
Отже, трикутник BKC = трикутник DMA за двома
ознакою рівності трикутників). Тому BK = MD як
рівних трикутників. Розглянемо паралельні прямі AB і CD (як протилежні сторони
прямокутника) та січну AC.
Маємо: ∠DCK = ∠BAM як внутрішні різносторонні.
Розглянемо трикутники CKD і AMB. У них:
1. CD = AB як протилежні сторони прямокутника;
2. KC = MA за умовою;
3. ∠DCK = ∠BAM за доведеним вище.
Отже, трикутник CKD = трикутник AMB за
ознакою рівності
(за I
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
і
(як
внутрішні різносторонні. Звідси ∠ABE = ∠CDF як суміжні з рівними кутами.
Розглянемо трикутники ABE і CDF. У них:
1. AB = CD як протилежні сторони прямокутника;
2. BE = DF за умовою;
3. ∠ABE = ∠CDF за доведеним вище. Отже, трикутник ABE = трикутник CDF за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників). Тому AE = CF як відповідні елементи рівних
трикутників. Оскільки в чотирикутнику AECF EC = AF і AE = CF, то цей чотирикутник –
паралелограм.
119. Точка M – середина сторони BC прямокутника ABCD, MA ⟂
Нехай ABCD − прямокутник, BM = MC, MA ⟂ MD, PABCD = 36 см.
Розглянемо прямокутні трикутники ABM і DCM (∠B = ∠C = 90°). У них:
1. BM = MC за умовою; 2. AB = DC як протилежні сторони прямокутника. Отже, трикутник ABM = трикутник
DCM за двома катетами. Тому AM =
Оскільки
MAD = ∠MDA = 45°.
Далі ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD; ∠BAM = ∠BAD − ∠MAD; ∠BAM = 90° − 45° = 45°.
Розглянемо
трикутника ∠BAM + ∠BMA = 90°; ∠BMA = 90° − ∠BAM; ∠BMA = 90° − 45° = 45°, тому
(AB = BM).
BC = 2BM = 2AB. PABCD = 2(AB + BC); 36 = 2(AB + 2AB); 36 = 6AB; AB = 6 см. Тоді BC = 2 · 6 = 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BAM = ∠MAD = 1 2 ∠BAD = 90° : 2 = 45°; якщо DM − бісектриса ∠CDA, то
AM
бісектриси ∠CDM = ∠MDA = 1 2 ∠CDA = 90° : 2 = 45°.
Розглянемо прямокутні трикутники ABM (∠ABM = 90°) і DCM (∠DCM = 90°). У них: 1. AB = CD як протилежні сторони прямокутника; 2. ∠BAM = ∠CDM = 45° за доведеним вище.
Отже, трикутник ABM = трикутник DCM за катетом і гострим кутом. Тому BM = MC як
відповідні елементи рівних трикутників.
Розглянемо прямокутний трикутник ABM (∠B = 90°).
За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ∠BAM + ∠BMA = 90°; ∠BMA = 90° − ∠BAM; ∠BMA = 90° − 45° = 45°, тому трикутник ABM − рівнобедрений
(AB = BM).
BC = 2BM = 2AB. PABCD = 2(AB + BC); 30 = 2(AB + 2AB); 30 = 6AB; AB = 5 см.
Тоді BC = 2 · 5 = 10 см.
Відповідь: 5 см, 10 см.
121. Побудуйте прямокутник:
1. за двома сторонами; 2.
1. Дано: AB = a, AD = b - сторони прямокутника ABCD. Побудувати: прямокутник ABCD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. AB = DC
трикутник BAP = трикутник CDK
∠ABP + ∠APB = 90°; ∠ABP = 90° − ∠APB; ∠ABP = 90° − 45° = 45°, тому трикутник BAP − рівнобедрений (PA = BA).
Оскільки PA = BA і PA = DK, то DK = BA.
Нехай AB = 3x см, тоді BC = 5x см.
PK = PA + AD + DK; PK = BA + AD + BA = 2BA + AD.
AD = BC = 5x см як протилежні сторони прямокутника.
Рівняння: 55 = 2·3x + 5x; 55 = 11x; x = 5.
Тоді AB = 3·5 = 15 см, BC = 5·5 = 25 см.
Відповідь: 15 см, 25 см.
125. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = BC = 6 см. Прямокутник CMKN
побудовано так, що точка M належить
AB. Знайдіть
Нехай ABC − рівнобедрений прямокутний
прямокутного трикутника ∠NKB + ∠NBK = 90°; ∠NKB = 90° − ∠NBK;
NKB = 90° − 45° =
PCMKN = 2(CM + MK) = 2(CM + MA) = 2CA.
PCMKN = 2 · 6 = 12 см.
Відповідь: 12 см.
126. Серединний
(KN = NB).
BM:AM = 1:2.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BAM = 30°.
прямокутного трикутника маємо, що ∠BMA = 90° − ∠BAM = 90° − 30° = 60°.
∠BMA − зовнішній кут трикутника AMC, тому ∠BMA = ∠MAC + ∠MCA.
Проте ∠MAC = ∠MCA як кути при основі рівнобедреного трикутника, тому
∠MAC = ∠MCA = 30°.
∠BAC = ∠BAM + ∠MAC; ∠BAC = 30° + 30° = 60°.
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD; ∠CAD = ∠BAD − ∠BAC; ∠CAD = 90° − 60° = 30°.
Відповідь: 60°, 30°.
127. У прямокутнику ABCD відомо, що ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. Знайдіть відстань від точки C до діагоналі BD.
Нехай ABCD − прямокутник, ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. ∠BCA + ∠DCA = 90°.
Нехай ∠BCA = x, тоді ∠DCA = 5x.
Рівняння: x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.
Отже, ∠BCA = 15°, а ∠DCA = 5 · 15° = 75°. Розглянемо рівнобедрений трикутник COD (CO = DO як половини рівних діагоналей прямокутника). ∠OCD = ∠ODC = 75° як кути
при основі рівнобедреного трикутника.
∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180°; ∠COD = 180° − (∠OCD + ∠ODC);
∠COD = 180° − (75° + 75°) = 30°.
OC = 1 2 AC; OC = 1 2 · 18 = 9 см як
Розглянемо прямокутний трикутник OKC (∠OK
проти кута 30°, маємо: CK = 1 2 OC; CK = 1 2 · 9 = 4,5 см.
4,5 см.
Доведіть, що
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠CDT = ∠TDA = 1 2 ∠D.
Але оскільки ∠A = ∠C і ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма, то
∠BAE = ∠EAD = ∠BCF = ∠FCD;
∠ABO = ∠OBC = ∠CDT = ∠TDA.
Розглянемо паралельні прямі BC і AD (як сторони паралелограма) та січну AB.
Маємо: ∠BAD + ∠ABC = 180° як внутрішні односторонні,
звідки 2∠BAE + 2∠ABO = 180°; ∠BAE + ∠ABO = 90°.
Розглянемо трикутник ABK.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°;
∠AKB = 180° − (∠BAK + ∠ABK);
∠AKB = 180° − 90° = 90°.
Тоді ∠MKP = ∠AKB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна довести, що ∠MNP = 90°.
Розглянемо трикутник AMD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠AMD + ∠MDA + ∠MAD = 180°;
∠AMD = 180° − (∠MDA + ∠MAD);
∠AMD = 180° − 90° = 90°, тому ∠KMN = 90°.
Аналогічно можна довести, що ∠KPN = 90°. Отже, в чотирикутнику
прямі, тому цей чотирикутник − прямокутник.
даній стороні.
Дано: AB = a
1. Дано: AC = a − діагональ прямокутника ABCD, AB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) P = 2(a + b) = 2(80 + 65) = 2 ∙ 145 = 290 (м)
2) 2 ∙ 2 + 1 = 5 (м) загальна довжина проходів;
Отже, довжина, яку треба огородити:
3) 290 – 5 = 285 (м) довжина, яку треба
4) 285 : 10 = 28,5 ≈ 29 (шт) необхідна кількість рулонів;
5) 29 ∙ 850 = 24,650 (грн) мінімальна
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, ∠C = 48°, AK і BM
трикутник CMB (∠CMB = 90°). За
∠MCB + ∠MBC = 90°; ∠MBC = 90° − ∠MCB; ∠MBC = 90° − 48° = 42°.
Розглянемо
OKB (∠OKB = 90°).
прямокутного трикутника ∠KOB + ∠KBO = 90°; ∠KOB = 90° − ∠KBO;
∠KOB = 90° − 42° = 48°.
Відповідь: 48°.
134. Відрізок AD- бісектриса трикутника ABC.
паралельна прямій AD і
AB у точці E. Визначте вид трикутника ACE. Нехай ABC − трикутник, AD − бісектриса, CE ∥
138.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AC ромба ABCD (рис. 49)
Нехай ABCD − ромб, AC − діагональ, ∠CAD = 42°. Оскільки діагональ AC ромба є бісектрисою його кутів, то ∠CAB = ∠CAD = 42°.
Тоді ∠BAD = 2∠CAD; ∠BAD = 2·42° = 84°.
За властивістю кутів ромба, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠BAD + ∠D = 180°; ∠D = 180° − ∠BAD; ∠D = 180° − 84° = 96°. Протилежні кути ромба рівні, тому ∠BCD = ∠BAD = 84°, ∠B = ∠D = 96°.
Відповідь: 84°, 96°, 84°, 96°. 140. У ромбі ABCD відомо, що кут C
AOB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
то AB = BC = CD = AD = 24 : 4 = 6 см. Розглянемо
трикутник AED (∠AED = 90°).
AD, тому ∠ADE = 30°. За властивістю кутів ромба,
сторони, маємо, що ∠D + ∠C = 180°; ∠C = 180° − ∠D; ∠C = 180° − 30° = 150°.
Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°.
143. Знайдіть периметр ромба ABCD, якщо кут A = 60°, діагональ BD = 9 см.
Нехай ABCD − ромб, BD = 9 см, ∠A = 60°. Розглянемо рівнобедрений трикутник BAD (AB = AD як сторони ромба). Оскільки кут
дорівнює 60°, то цей трикутник − рівносторонній,
∠ABD = ∠ADB = 60° і AB = AD = BD = 9 см.
Тоді PABCD = 4AB; PABCD = 4 · 9 = 36 см.
Відповідь: 36 см.
144. Кут D ромба
ABCD
ADC (AD = DC як
властивістю кутів
∠CAD = x, тоді ∠D = 8x.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо прямокутний трикутник BOA (∠BOA = 90°, бо діагоналі ромба
перпендикулярні).
Нехай ∠OAB = 2x, тоді ∠OBA = 7x. За властивістю гострих кутів прямокутного
трикутника маємо: ∠OAB + ∠OBA = 90°; 2x + 7x = 90°; 9x = 90°; x = 10°.
Отже, ∠OAD = 2·10° = 20°, ∠OBA = 7·10° = 70°.
Тоді ∠A = ∠C = 2·20° = 40°, ∠B = ∠D = 2·70° = 140°.
Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.
146. Точки M і K - відповідно середини сторін AB і BC ромба ABCD. Доведіть, що MD = KD.
Нехай ABCD − ромб, точки M і K − відповідно середини сторін AB і BC.
Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD.
Так як M і K − відповідно середини сторін AB і BC, то AM = MB = BK = KC як половини рівних відрізків. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба.
Розглянемо трикутники AMD і CKD. У них:
1. AD = CD як сторони ромба;
2. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба;
3. AM = KC як половини рівних сторін ромба.
Отже, трикутник AMD = трикутник CKD
147. Точки E і F - відповідно
Доведіть, що
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − ромб, BM і BN − відповідно висоти, проведені до сторін AD і CD. Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD. Так як BM і BN − висоти, то ∠BMA = ∠BNC = 90°. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба.
Розглянемо прямокутні трикутники AMB і CNB. У них:
1. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба;
2. AB = BC як сторони ромба. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △AMB = △CNB
кутом. Тому BM = BN як відповідні
Нехай ABCD − ромб, BM −
ABD. Так як AM = MD і BM − висота, то
Тоді PABCD = 4AB = 4 · 4 = 16 см. Оскільки AB = AD як сторони
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кутів, тому ∠BDM = ∠BDN = 1 2 ∠ADC.
Так як BM і BN − висоти, то ∠BMD = ∠BND = 90°.
BMD і BND. У них:
1. ∠BDM = ∠BDN за доведеним вище;
2. BD − спільна сторона.
Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △BMD = △BND
гострим кутом.
Тому ∠MBD = ∠NBD як відповідні елементи
151. На сторонах AB і AD ромба ABCD
Доведіть, що ∠CEF = ∠CFE.
Нехай ABCD − ромб, E ∈ AB, F ∈ AD, AE = AF.
Оскільки в ромба всі сторони рівні, то AB = BC = CD = AD. Так як AE = AF, то BE = DF як різниці рівних
Розглянемо трикутники CBE і CDF. У них:
1. CB = CD як сторони ромба;
2. BE = DF за раніше доведеним;
3. ∠B = ∠D як
Отже, △CBE = △CDF
трикутників). Тому CE = CF
і
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
154. Побудуйте
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
точках D і B. Сполучаю відрізками
BD − бісектриса, то
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠KBO = ∠PBO.
Розглянемо прямокутні трикутники POB і KOB (∠POB = ∠KOB = 90°). У них:
1. BO − спільна сторона;
2. ∠KBO = ∠PBO за доведеним вище.
Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △POB = △KOB за катетом і
гострим кутом. Тому KO = OP і KB = PB як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутні трикутники BOP і DOK (∠BOP = ∠DOK = 90°). У них:
1. BO = OD, бо KP − серединний перпендикуляр BD;
2. OP = KO за доведеним вище. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників △BOP = △DOK за двома катетами. Тому KD = BP як відповідні елементи рівних трикутників. Аналогічно з рівності
трикутників BOK і DOP можна довести, що KB = DP. Оскільки
чотирикутнику BKDP всі сторони рівні,
що AD = 9 см, ∠BDA = 30°. На сторонах BC і AD позначено відповідно
= 90° − 60° = 30°.
KD = x см, тоді KC = 2x см. AK = KC як сторони ромба. AD = AK + KD.
Рівняння: x + 2x = 9; 3x = 9; x = 3.
Отже, KD = 3 см, тоді KC = 2·3 = 6 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кута дає точку B. Будую пряму l таку, що вона проходить через
точку O. На
OD = BO. Аналогічно на
m відкладаю OC = AO. Сполучаю точки A і D, B і C та C і D.
2. Дано: a = d1 − d2 різниця
ромба. Побудувати: ромб ABCD.
Схема побудови.
Будую довільну пряму
3.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
5. Дано: a = d1 + d2 − сума діагоналей ромба ABCD,
6. Дано:
161. Дано точки M, N і K. Побудуйте ромб ABCD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − заданий трикутник, AD = AB, CE = BC, DE = 18 см, ∠BDA = 15°, ∠BEC = 36°.
Розглянемо рівнобедрений трикутник DAB (AD = AB). За властивістю
рівнобедреного трикутника маємо: ∠ABD = ∠ADB = 15°. Кут BAC
вершині A трикутника DAB, тому ∠BAC = ∠ADB + ∠ABD = 15° + 15° = 30°.
Розглянемо рівнобедрений трикутник ECB (CE = BC). За властивістю
маємо: ∠CBE = ∠BEC = 36°. Кут BCA зовнішній
C трикутника BCE, тому ∠BCA = ∠CBE + ∠BEC = 36° + 36° = 72°.
У трикутнику ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°; ∠ABC = 180° − (30° + 72°) = 78°.
Оскільки AD = AB і CE = BC, то AB + AC + BC = AD + AC + CE = DE = 18 см.
Відповідь: 30°, 78°, 72°; 18 см.
164. На аркуші
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD - прямокутник, AB = AD. У прямокутнику AB = CD і AD = BC як
протилежні сторони. Оскільки AB = AD, то AB = BC = CB = AD, а якщо в прямокутника всі сторони рівні, то він ϵ квадратом. 167. Діагональ BD квадрата ABCD
CAK. Нехай ABCD − квадрат, AC − діагональ,
AKB і ∠AKC суміжні, тому ∠AKB +
AKC +
KCA + ∠CAK = 180°; ∠CAK = 180° − (106° + 45°) = 29°. Відповідь: 29°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді ∠BAD = ∠BAK + ∠KAD; ∠KAD = ∠BAD − ∠BAK; ∠KAD = 90° − 30° = 60°.
Відповідь: 60°.
170. Чи є правильним твердження:
1. будь-який квадрат є паралелограмом;
Так;
2. будь-який ромб є квадратом;
Ні, бо у ромба не завжди кути дорівнюють по 90°;
3. будь-який прямокутник є квадратом;
Ні, бо не в будь-якого прямокутника всі сторони рівні;
4. будь-який квадрат є прямокутником;
Так;
5. будь-який квадрат є ромбом;
Так;
6. якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником; Ні;
7. якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то він є ромбом;
Ні;
8. існує ромб, який є прямокутником; Так;
9.
10. якщо
Так;
11.
Так;
12.
Так.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
утворився, є квадратом.
Нехай ABC − прямокутний трикутник, ∠ABC = 90°, BN − бісектриса ∠ABC, MN ∥ BC, NK ∥ AB. Оскільки MN ∥ BC і NK ∥ AB, то MNKB − паралелограм. Так як ∠ABC = 90°, то MNKB є прямокутником. Оскільки BN − бісектриса ∠ABC і водночас діагональ
прямокутника MNKB, то цей прямокутник є квадратом. 173. Точки M, K, N, P є відповідно серединами сторін AB, BC, CD і AD квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник MKNP квадрат.
Нехай ABCD − квадрат, M ∈ AB, AM = MB, K ∈ BC, BK = KC, N ∈ CD, CN = ND, P ∈
AD, AP = PD. Оскільки ABCD − квадрат, то AB = BC = CD = AD як сторони квадрата.
Тоді AM = MB = BK = KC = CN = ND = AP = PD як половини рівних відрізків.
Розглянемо прямокутні трикутники MAP, MBK, NCK, NDP (∠MAP = ∠MBK = ∠NCK = ∠NDP = 90°). У них:
1. AM = MB = CN = ND за доведеним вище; 2. BK = KC = AP = PD за доведеним вище.
Отже, за ознакою рівності
трикутників. Тоді MKNP − ромб. Розглянемо
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − прямокутний трикутник, ∠C = 90°, AC = BC = 14 см. Оскільки AC = BC, то трикутник ABC
∠CAB = ∠CBA = 45°.
Розглянемо трикутник EFB. У ньому ∠EFB = 90° як суміжний з
квадрата) EFC, ∠FBE = 45°. За
∠BEF + ∠FBE = 90°; ∠BEF = 90° − 45° = 45°.
Тому трикутник EFB − прямокутний і рівнобедрений (FE = FB). CF = DE як сторони
квадрата.
Тоді CF + FE = CF + FB = CB.
Аналогічно CD + DE = AC.
Тому PCDEF = CF + FE + CD + DE = CB + AC = 2AC = 2 · 14 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
175. У квадраті ABCD позначено точку M так, що трикутник AMB рівносторонній.
Доведіть, що трикутник CMD рівнобедрений.
Оскільки трикутник AMB − рівносторонній, то ∠ABM = ∠BAM = ∠AMB = 60°.
∠CBM + ∠MBA = ∠ABC; ∠CBM = ∠ABC − ∠MBA; ∠CBM = 90° − 60° = 30°.
Аналогічно ∠DAM = 30°.
Розглянемо трикутники BMC і AMD. У них:
1. BC = AD як сторони квадрата;
2. BM = AM як сторони рівностороннього трикутника;
3. ∠CBM = ∠DAM за доведеним вище.
Отже, △BMC = △AMD за двома
трикутників). Тому MC = MD
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AV = AD + DM + ML + LS + SV.
Оскільки сторони кожного
AB + BC + CD = 3AD; DE + EF + FM = 3DM; MN + NK + KL = 3ML; LP + PO + OS = 3LS;
SQ + QT + TV = 3SV.
Тоді 3(AD + DM + ML + LS + SV) = 3AV = 3 · 16 = 48 см. 178.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BAM + ∠MAB + ∠AMB = 180°;
∠AMB = 180° − (45° + 45°) = 90°.
∠KMN = ∠AMB = 90° як вертикальні. Аналогічно можна показати, що ∠NPK = 90°.
Розглянемо трикутник AND.
∠NAD + ∠NDA + ∠AND = 180°;
∠AND = 180° − (45° + 45°) = 90°.
Аналогічно можна показати, що ∠BKC = 90°.
Отже, в чотирикутнику MNPK всі кути прямі, тобто він є прямокутником.
Розглянемо прямокутні трикутники BMA і CPD. У них:
1. AB = CD як сторони прямокутника;
2. ∠BAM = ∠CDP за доведеним вище.
Отже, △BMA = △CPD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому AM = DP як відповідні
елементи рівних трикутників.
У рівнобедреному трикутнику AND AN = DN, тому AN = AM + MN → MN = AN − AM; DN = DP + PN → PN = DN − DP,
звідки MN = PN як різниці рівних
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABCD. Схема побудови. Нехай AB = BC = CD = AD =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − квадрат, точка O лежить у квадраті, ∠OAD = ∠ODA = 15°. Припустимо, що твердження доведене, тобто трикутник BOC − рівносторонній. Тоді виконуються
співвідношення BO = OC = BC і ∠BOC = ∠OCB = ∠OBC = 60°.
Тоді за аксіомою вимірювання кутів ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC; ∠ABO = ∠ABC − ∠OBC,
∠ABO = 90° − 60° = 30°.
Аналогічно ∠DCO = 30°.
Розглянемо трикутники AOB і DOC. У них:
1. ∠ABO = ∠DCO за доведеним вище;
2. BO = CO як сторони рівнобедреного трикутника;
3. AB = DC як сторони квадрата.
Отже, трикутник AOB = трикутнику DOC за
ознакою рівності трикутників). Тому AB = BO = CO = CD як
елементи рівних трикутників. Тоді трикутники ABO і DCO − рівнобедрені
30°.
Тоді кути при основі дорівнюють по (180° − 30°)
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∠BAM = ∠KAD = x, тоді
∠AMB = ∠AKD = 90° − x.
∠BAD = ∠BAM + ∠MAE + ∠EAD;
∠EAD = ∠BAD − (∠BAM + ∠MAE);
∠EAD = 90° − 2x.
∠EAK = ∠EAD + ∠DAK;
∠EAK = 90° − 2x + x = 90° − x.
Розглянемо трикутник EAK.
У ньому ∠EAK = ∠EKA = 90° − x. Тому
Тоді AE = ED + DK = ED + BM = BM + DE.
186. Підлога
CDE як
∠BAE = ∠DCM як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Розглянемо трикутник ABE.
∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°;
∠BAE = 180° − (∠ABE + ∠BEA);
∠BAE = 180° − (x + x) = 180° − 2x.
CED = ∠CDE = y.
Розглянемо трикутник CDE. За теоремою
маємо:
∠DCM = ∠CED + ∠CDE;
∠DCM = y + y = 2y.
Тому 180° − 2x = 2y; 2x + 2y = 180°;
x + y = 90°.
За аксіомою вимірювання кутів
∠AEC = ∠BEA + ∠BED + ∠DEC;
∠BED = ∠AEC − (∠BEA + ∠DEC);
∠BED = 180° − (x + y) = 180° − 90° = 90°.
Отже, ∠BED = 90°, тому BE ⟂ DE.
188. На рисунку EF∥AD, BF = KF, CF = DF. Доведіть,
Розглянемо трикутники BCF і KDF. У них:
1. BF = KF за умовою;
2. CF = DF за умовою;
3. ∠CFB = ∠DFK як вертикальні.
Отже, трикутник BCF = трикутнику KDF
ознакою рівності трикутників). Тому
сторонами і кутом між ними (за I
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Так,
Ні, бо точка
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 1 2 ⋅ 12 =6( см).
Відповідь: 3 см, 4 см, 6 см.
194. Точки M і K - середини сторін AB і AC трикутника ABC відповідно. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника MAK дорівнює 17 см .
Нехай ABC − трикутник, PMAK = 17 см, точки M і K − середини
M − середина AB, то AB = 2AM, аналогічно AC = 2AK. За теоремою
трикутника MK = 1 2BC; BC = 2MK.
PABC = AB + BC + AC = 2AM + 2MK + 2AK = 2(AM + MK + AK) = 2PMAK = 2·17 = 34
Відповідь: 34 см . 195.
ABC. Нехай ABC − трикутник, MN, MP і NP
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
DE = DF = EF
Тоді:
1
2 AC = 1 2 AB = 1 2 BC ⇒ AC = AB = BC
Отже, такий
трикутнику.
197. Доведіть, що
Нехай ABC − трикутник, MN, MP і NP − середні
то AM = MB, BN = NC, AP = PC.
теоремою
MN = 1 2 AC; MP = 1 2 BC; NP = 1 2 AB.
Тоді AM = MB = NP, BN = NC = MP, AP = PC = MN.
Тоді △MBN = △PNC = △NPM = △AMP
трикутників).
198. Точки E і F - відповідно
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трикутника маємо, що EF ∥ BC. Якщо BC ⟂ AM і EF ∥ BC, то AM ⟂ EF.
Нехай ABC − трикутник,
AB = BC, тобто трикутник
AB = BC = (46 − 12) : 2 = 34 : 2 = 17 см.
17 см, 17 см, 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − чотирикутник, AC + BD = 28 см.
PMNKP = MN + NK + KP + MP. За теоремою
MN = 1 2 AC;
NK = 1 2 BD;
KP = 1 2 AC;
MP = 1 2 BD.
Тоді
PMNKP = 1 2 AC + 1 2 BD + 1 2 AC +
Нехай ABCD − ромб, AC і BD − діагоналі, AC = 14 см, BD = 8 см, M, N, P і K −
відповідно середини сторін ромба AB, BC, CD і AD. MN − середня лінія трикутника ABC, тому MN ∥ AC і MN = 1 2 AC; MN = 14 : 2 = 7 см.
Аналогічно:
NP ∥ BD і NP = 1 2 BD; NP = 8 : 2 = 4 см;
PK ∥ AC і PK = 1 2 AC; PK = 14 : 2 = 7 см;
MK ∥ BD і MK = 1 2 BD; MK = 8 : 2 = 4 см.
з того, що MN ∥ AC, NP ∥ BD, PK ∥ AC і MK ∥ BD, випливає, що MN ∥ PK, NP ∥ MK, тому чотирикутник MNPK
AC ⟂ BD як
MNP = 90°, тому він є прямокутником.
Прямокутник; 7 см, 4 см, 7 см, 4 см.
MNPK
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − прямокутник, AC і BD − діагоналі, AC = BD = 12 см, M, N, P і K −
відповідно середини сторін прямокутника AB, BC, CD і AD. MN − середня лінія трикутника ABC, тому MN ∥ AC і MN = 1 2 AC; MN = 12 : 2 = 6 см.
Аналогічно NP ∥ BD і NP = 1 2 BD; NP = 12 : 2 = 6 см; PK ∥ AC і PK = 1 2 AC; PK = 12 : 2 = 6 см;
MK ∥ BD і MK = 1 2 BD; MK = 12 : 2 = 6 см.
Отже, з того, що MN ∥ AC, NP ∥ BD, PK ∥ AC і MK ∥ BD, випливає, що MN ∥ PK, NP ∥ MK, тому чотирикутник MNPK − паралелограм. Оскільки MN = NP = PK = MK = 6 см, паралелограм MNPK є ромбом.
Відповідь: Ромб; 6 см, 6 см, 6 см, 6 см. 206. Доведіть, що вершини трикутника рівновіддалені
середня лінія.
2. ∠PMA = ∠OMB як вертикальні.
△APM = △MOB
елементи рівних трикутників.
прямокутні трикутники
AP = BO як
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, M ∈ AB, AM = 3BM, K ∈ BC, CK = 3BK, AC = 16 см. Виконаємо добудову:
середню лінію трикутника NP ∥ AC і NP = 1 2 AC; NP = 1 2 · 16 = 8 см.
Точки M і N − середини відповідно відрізків BN і BP.
трикутника BNP.
теоремою про середню
NP ∥ AC і MK ∥ NP, то MK ∥ AC. 208. Кути BAD і BCE - зовнішні кути трикутника
MK, якщо периметр
Нехай ABC − трикутник, PABC = 18 см, AM і CK
Розглянемо прямокутні трикутники
1. MA − спільна сторона;
2. ∠DAM = ∠MAB, бо AM − бісектриса кута BAD.
Отже, △AMD = △AMB за катетом і гострим
відповідні елементи рівних трикутників.
Тому DM = MB і DA = AB як
Розглянемо прямокутні трикутники CKB і CKE (∠CKB = ∠CKE
1. CK − спільна сторона;
2. ∠ECK = ∠KCB, бо CK − бісектриса кута BCE.
Отже, △CKB = △CKE за
рівних трикутників.
DM = MB і BK = KE, то MK − середня
трикутника DBE. DE = DA + AC + CE = AB + AC + BC = PABC.
теоремою
9 см.
209. Побудуйте трикутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
аналогічно описаному вище, побудувати DO ⟂ k.
Проводжу коло з центром у точці K радіуса MN. У результаті
DO одержую точки A і C.
Будую промені AM і CN, які в
Отже, трикутник ABC − шуканий за побудовою.
210. Побудуйте паралелограм
Дано: M, N і K − середини сторін
ABCD. Схема побудови.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді ∠CQR = ∠CBD. Отже, BD ∥ QR за властивістю
BD, то AC ⟂ QR.
AC ⟂
Нехай AC ∩ QR = G. Так як точки M і N − відповідно середини сторін AB і AD, то MN − середня лінія трикутника ABD, звідки MN ∥ BD. Але BD ∥ QR, тому MN ∥ QR.
Тоді ∠LNM = ∠LRQ як відповідні кути при паралельних прямих MN і QR та січній LR. У той же час NL ⟂ BC, тому RL ⟂ QC. Отже, RL − висота трикутника QCR. Таким чином, QK ⟂ CR, CG ⟂ QR, RL ⟂ QC, тобто QK, CG і RL − висоти трикутника QCR, тому вони перетинаються в одній точці − точці O, звідки випливає, що O ∈ CR, тобто O ∈ AC. 212. Сторони AB і CD опуклого чотирикутника ABCD рівні. Через середини
AC і BD проведено пряму, яка перетинає сторони AB і
Доведіть, що ∠BMN = ∠CNM. Нехай ABCD − опуклий чотирикутник, AC і BD −
середини діагоналей AC і BD, M ∈ AB, N ∈ CD, AB = CD. Виконаємо добудову: позначимо точку K як середину сторони BC і
точками E і F. Тоді EK − середня лінія трикутника ABC, FK
BCD. Оскільки AB = CD за умовою, то EK = FK, тому трикутник EKF − рівнобедрений. За властивістю
Розглянемо паралельні прямі AB і EK та січну ME. Тоді ∠BME =
Аналогічно ∠CNF = ∠KFE.
Тоді ∠BMN = ∠CNM.
дотику).
Проведемо радіус OB у точку
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
214. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠B = 32°, AK - бісектриса трикутника.
точку K
M.
AKM.
Нехай ABC − рівнобедрений трикутник, AB = BC, ∠B = 32°, AK − бісектриса, KM ∥ AB. За властивістю кутів
BAC = ∠BCA = (180° − 32°) : 2 = 74°.
Оскільки AK − бісектриса, то ∠BAK = ∠KAC = 74° : 2 = 37°.
Розглянемо паралельні прямі AB і KM та
внутрішні різносторонні.
Відповідь: 37°
215. Діагональ BD паралелограма
бісектрисою. Розглянемо прямокутний трикутник CMB (∠CMB = 90°).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
M,
AM = MB = BN = NC = AK = KC = 0,5 см.
цих трикутників міститься принаймні
більша за 0,5 см.
Висоти: 1. BE, MN, PK, FD; 2. DF, KC, EM, PB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
трапеція DBAE (основи: DB і EA,
трапеція ABCK (основи: AK і BC,
сторони: DE і BA );
AB і KC); трапеція AMCD (основи: AD і MC, бічні сторони: AM і DC). 220. Чи є чотирикутник ABCD,
a. Так; основи: AD і BC, бічні сторони: AB і CD;
в. Так, основи: AD і BC, бічні сторони: AB і CD. 221. Периметр рівнобічної трапеції
Нехай ABCD
PABCD = AB + BC + CD + AD;
AB = CD = PABCD (BC + AD) 2
AB = CD = 52 − (13 + 21) 2 =9(см)
Відповідь: 9 см.
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), PABCD = 49 см, AB = 5,6 см, CD = 7,8 см. PABCD = AB + BC + CD + AD.
Нехай менша основа BC = x см, тоді AD = (x + 7,4) см.
Рівняння:
5,6 + x + 7,8 + x + 7,4 = 49; 2x = 28,2; x = 14,1.
-
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, BC = 14,1 см, тоді AD = 14,1 + 7,4 = 21,5 см.
Відповідь: 14,1 см, 21,5 см.
223. Доведіть, що сума кутів трапеції, прилеглих
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC). Розглянемо паралельні прямі AD і BC та січну
DAB +
224.
∠A = 180° − 132° = 48°;
звідки ∠C = 180° − ∠D; ∠C = 180° − 24° = 156°;
2. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 38°. ∠A + ∠B =
сторони. Рівняння: x + x + 38° = 180°; 2x = 142°; x = 71°.
Отже, ∠A = 71°, ∠B = 71° + 38° = 109°.
Відповідь: 1. 48°, 156°; 2. 71°, 109°.
225. Знайдіть кути трапеції ABCD,
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC).
∠C : ∠D = 8 : 7.
Нехай ∠C = 8x, тоді ∠D = 7x. ∠C +
8x + 7x = 180°; 15x = 180°; x = 12°.
Отже, ∠C = 8·12° = 96°,
∠D = 7·12° = 84°.
Відповідь: 96°, 84°.
226.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), ∠A = 46°.
∠A + ∠B = 180° як кути трапеції,
∠B = 180° − 46° = 134°; ∠D = ∠A =
трапеції.
Відповідь: 134°, 46°, 134°.
227. Знайдіть
∠C − ∠A = 20°.
Нехай ∠A = x, тоді ∠C = x + 20°.
∠B = ∠C як кути, прилеглі
до бічної сторони. Рівняння: x + x + 20° = 180°; 2x = 160°; x = 80°.
Отже, ∠A = ∠D = 80°, ∠B = ∠C = 80° + 20° = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.
∠B = 180° − ∠
1.
1.
3. так;
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. діагоналі трапеції
1. ∠A = ∠D за умовою; 2. BE = CF як висоти трапеції.
Отже, △BEA = △CFD
рівних трикутників,
BEA і CFD (∠BEA = ∠CAB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Перевіримо
Нехай ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
Оскільки ∠A + ∠B = 180° і ∠C + ∠D = 180° як
∠D і ∠B = ∠C.
BEA і CFD (∠BEA = ∠CFD = 90°). У них:
1. ∠A = ∠D за доведеним вище;
2. BE = CF як висоти трапеції. Отже, △BEA = △CFD
233. Середня
Відповідь: Трапеція; 15 см. 234. Висота рівнобічної
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція
(AD ∥ BC, AB = CD), ∠BAF = 60°, AB = CD = 18 см, AD + BC = 50 см.
Добудуємо висоти BF і CK. Розглянемо прямокутний трикутник AFB. За властивістю
гострих кутів прямокутного трикутника
∠BAF + ∠ABF = 90°;
∠ABF = 90° − ∠BAF;
∠ABF = 90° − 60° = 30°.
Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:
AF = 1 2 AB;
AF = 1 2 · 18 = 9 см.
Розглянемо прямокутні трикутники BFA і CKD (∠BFA = ∠CKD = 90°). У них:
1. ∠A = ∠D як кути при основі рівнобічної трапеції; 2. AB = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції.
Отже, трикутник BFA = трикутнику CKD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому AF = KD = 9 см як відповідні елементи рівних трикутників.
За аксіомою вимірювання відрізків
BC + AD = BC + AF + FK + KD.
Чотирикутник FBCK − прямокутник, тому BC = FK. Тоді
BC = FK = BC+AD−(AF+KD) 2 = 50−(9+9) 2 = 16 см.
Отже, BC = 16 см, AD = 2AF + FK; AD = 2 · 9 + 16 = 34 см.
Відповідь: 16 см, 34 см.
236. Основи прямокутної
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
KD = AD − AK;
KD = 24 − 10 = 14 см.
Тоді AB = 14 см.
Відповідь: 14 см .
237. Основи
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD ∥ BC), BC = 7 см, AD = 15 см, ∠KDC = 60°.
Добудуємо висоту CK. Чотирикутник ABCK − прямокутник, тому AB = KC і BC = AK. Розглянемо
трикутник CKD (
CKD = 90°).
∠KCD + ∠KDC = 90°;
∠KCD = 90° − ∠KDC;
∠KCD = 90° − 60° = 30°.
За аксіомою вимірювання відрізків
AD = AK + KD;
KD = AD − AK;
KD = 15 − 7 = 8 см.
За властивістю
KD = 1 2 CD;
CD = 2KD;
CD = 2·8 = 16 см.
Відповідь: 16 см.
238. Основи
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), BC = 5 см, MN = 8 см.
MN = AD + BC 2 ⇒ AD = 2MN BC =2 ⋅ 8 5= 11 (см)
11 см.
основи трапеції.
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), AD > BC на 8 см, MN = 17 см.
лінії трапеції MN = AD+BC 2 .
Нехай BC = ���� см, тоді AD =(���� +8)(см).
Рівняния: 17 = ���� +8+ ���� 2 ⇒ 2
Oтже, BC = 13 см, AD = 13 + 8 = 21 (см).
Відповідь: 13 см, 21 см . 241. Основи трапеції
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), BC:AD = 3:4, MN = 14 см. За
трапеції MN = AD+BC 2 .
Нехай BC =3���� см, тоді AD =4���� см.
Рівняння: 14 = 3���� +4���� 2 ⇒ 7���� = 28; ���� =4 Отже, BC = 3⋅4 = 12 (см), AD = 4⋅4 = 16 (см). Відповідь: 12 см, 16 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD - прямокутна трапеція (AD∥BC, AB⊥AD), CK - висота, AK = 7 см, KD = 5
см.
Оскільки BC∥AK, BA⊥AK, CK⊥AK, то чотирикутник ABCK - прямокутник.
Тоді BC = AK = 7 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD = 7 + 5 = 12 (см).
За властивістю середньої лінії трапеції MN = AD + BC 2 = 12 +7 2 =9,5(см)
Відповідь: 9,5 см 243. Середня
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD∥BC, AB⊥AD), MN − середня
MN = 9 см, AK:KD = 2:1. Оскільки BC∥AK, BA⊥AK, CK⊥AK, то чотирикутник ABCK −
прямокутник. Тоді BC = AK.
За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD.
Нехай KD = x см, тоді BC = AK = 2x см, AD = 2x + x = 3x см.
За властивістю середньої лінії трапеції MN = AD+BC 2 .
Рівняння: 9 = 3���� +2���� 2 ; 5x = 18; x = 3,6.
Тоді BC = 2·3,6 = 7,2 см, AD = 3·3,6 = 10,8 см. Відповідь: 7,2 см, 10,8 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD;
∠BAD = 20° + 50° = 70°.
∠A = ∠D = 70° як кути при основі рівнобічної
Розглянемо трикутник ACD.
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180°;
∠ACD = 180° − (∠CAD + ∠ADC);
∠ACD = 180° − (50° + 70°) = 60°.
Відповідь: 50°, 60°.
245. У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, AB ⟂ AD, BC = CD, ∠ABD = 80°.
кути трапеції.
Нехай ABCD − прямокутна трапеція (AD ∥ BC, AB ⟂ AD), BC = CD, ∠ABD = 80°.
За аксіомою вимірювання кутів ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC;
∠DBC = ∠ABC − ∠ABD = 90° − 80° = 10°.
∠ADB = ∠DBC = 10° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та
січній BD. Трикутник BCD − рівнобедрений
теоремою
∠ADC = ∠ADB + ∠BDC;
∠ADC = 10° + 10° = 20°.
Відповідь: 90°, 90°, 160°, 20°.
BD,
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), BC = 6 см, BM ∥ CD, PABM = 16 см.
Оскільки BC ∥ MD і BM ∥ CD, то чотирикутник BCDM − паралелограм.
Тому MD = BC = 6 см, BM = CD.
PABCD = AB + BC + CD + AM + MD = AB + BC + BM + AM + MD; PABM = AB + BM + AM,
тому PABCD = PABM + BC + MD;
PABCD = 16 + 6 + 6 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
247. Через
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), CE ∥ AB, ∠D = 35°, ∠DCE = 65°.
∠D + ∠C = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції, тому ∠C = 180° − ∠D;
∠C = 180° − 35° = 145°.
Розглянемо трикутник ECD. За теоремою про суму кутів трикутника
∠CED + ∠ECD + ∠CDE = 180°;
∠CED = 180° − (∠ECD + ∠CDE);
∠CED = 180° − (65° + 35°) = 80°.
Оскільки AB ∥ EC за побудовою, то ∠A = ∠CED = 80° як
паралельних прямих AB і CE та січній AE.
∠AEC + ∠CED = 180°;
∠AEC = 180° − ∠CED;
∠AEC = 180° − 80° = 100°, тому ∠B = 100°.
Відповідь: 80°, 100°, 145°, 35°.
248. Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (AB = CD) перетинаються
що AO = OD і BO = OC.
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD),
= O.
Розглянемо трикутники ABD і ACD.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD ∥ BC, AB = CD), AC і BD − діагоналі, AC ∩ BD = O, ∠COD = 60°, BF − висота, BF = h.
Кути COD і DOA − суміжні, тому
∠COD + ∠DOA = 180°;
∠DOA = 180° − ∠COD;
∠DOA = 180° − 60° = 120°.
Трикутник AOD − рівнобедрений, бо AO = DO як частини діагоналей рівнобічної
трапеції, які перетинаються в точці O.
Тоді ∠OAD = ∠ODA як кути при основі рівнобедреного трикутника, звідки
∠OAD = ∠ODA = (180° − 120°) : 2 = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник BFD (∠BFD = 90°).
За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:
BF = 1 2 BD; BD = 2BF = 2h.
Отже, діагоналі рівнобічної трапеції дорівнюють 2h.
Сторони трапеції
Нехай ABCD − трапеція (AD ∥ BC), a,
рівнобічна. Нехай AB = BC = CD = a, тоді AD = 2a.
Проведемо висоту BF.
Тоді BF = AD−BC 2 = 2����−����
прямокутний
∠BAF + ∠ABF = 90°; ∠BAF = 90° − ∠ABF;
∠BAF =
ABC = 180° −
ABC = 180° − 60° =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Пояснення:
1.
2. Проведемо висоту
(позначимо його x).
3. Оскільки трапеція
4. Якщо висота
5. Отже,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
стороною та діагоналлю. Дано: AD = a − основа рівнобедреної трапеції ABCD, AC
бічна сторона. Побудувати: рівнобедрену трапецію ABCD. Схема побудови. Будую
AB = CD = c
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому AF = AD−BC 2 ; BC = AD − 2AF; BC = 10 − 2·3 = 4 см.
MN = AD + BC 2 = 10 +4 2 =7 (см)
Відповідь: 7 см.
256. Діагональ рівнобічної
лінію трапеції.
Нехай ABCD – рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB=CD), AC=14 см, ∠CAF=60°.
ACF=90°−∠CAF; ∠ACF=90°−60°=30°.
Тоді за властивістю
рівнобічній трапеції
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AE = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC.
EN, FM і KP, якщо AD = 19 см, BC = 11 см.
Нехай ABCD - трапеція (AD∥BC),
AE = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC, AD = 19cм, BC = 11cм.
AF = AE + EF; FB = FK + KB, звідки AF = FB,
можна показати, що M - середина
трапеції ABCD. За
�������� = �������� +��������
2 = 19+11 2 = 15 (см).
AE = EF, тобто точка E − середина
�������� = �������� +��������
2 = 19+15 2 = 17 (см).
FK = KB, тобто точка K -
KP - середня
�������� = ��������+��������
2 = 15+11
2 = 13 (см).
Відповідь: 17 см,15 см, 13 см. 259. Основи рівнобічної
BC:AD
AC.
AFMD.
FBCM.
BC = 2x
68 = AB + BC + CD + AD.
68 = 5x + 2x + 5x + 5x
17x = 68
x = 4
Тоді:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BC = 2·4 = 8 см
AB = CD = AD = 5·4 = 20 см
Відповідь: BC = 8 см, AB = CD = AD = 20 см.
260. У трапеції ���������������� відомо, що �������� = �������� , �������� = 24 см, ∠������������ = = ∠������������ ,
60 см .
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), BD − діагональ, ∠ADB = ∠CDB, AD = 24 см, PABCD = 60 см.
∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні при паралельних
BC і AD та січній BD.
Тому ∠CDB = ∠ADB = ∠CBD,
звідки випливає, що трикутник BCD − рівнобедрений
Тоді AB = BC = CD.
PABCD = AB + BC + CD + AD.
Рівняння:
60 = AB + BC + CD + 24
AB + BC + CD = 36
AB = BC = CD = 36 : 3 = 12 см
Відповідь: AB = BC = CD = 12 см.
261. Діагональ рівнобічної
бічній стороні.
BD (BC = CD).
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), AC − діагональ, AC ⟂ CD, BC = AB.
∠BCA = ∠CAD як внутрішні
AC.
BAC = ∠BCA
ABC. Тому нехай ∠BCA = ∠CAD = ∠BAC = x.
∠CAD + ∠CDA = 90° x + 2x = 90°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠B = 180° − ∠A
∠B = 180° − 60° = 120°.
∠B = ∠C = 120° як кути при основі рівнобедреної трапеції.
Відповідь: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°. 262. У рівнобічній трапеції ABCD діагональ AC перпендикулярна
CD, відрізок CM - висота трапеції, AB = 8 см, ∠D = 60°. Знайдіть: 1. основу AD; 2. відрізок MD; 3. середню лінію трапеції; 4. основу BC; 5. периметр трапеції.
трапеції AB = CD = 8 см.
1. У трикутнику ACD кут С = 90°,
= 60°, тоді ∠A = 90° - 60° = 30°.
лежить проти кута 30°: AD = CD ∙ 2 = 8 ∙ 2 = 16 см. (Л)
2. У трикутнику CMD кут M = 90°,
∠D = 60°, тоді ∠C = 90° - 60°
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція (AD∥BC, AB = CD), AC і BD − діагоналі, AC ⟂ BD.
Розглянемо трикутники ABD і DCA. У них:
1. AD − спільна сторона;
2. AB = CD як бічні сторони рівнобічної трапеції;
3. ∠BAD = ∠CDA як кути при основі рівнобедреної трапеції.
Отже, △ABD = △DCA за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності
трикутників).
Тому ∠BDA = ∠CAD як відповідні
Розглянемо прямокутний трикутник AOD (∠AOD = 90°).
Оскільки ∠ODA = ∠OAD за раніше
прямокутного трикутника
∠ODA = ∠OAD = 45°.
Проведемо висоту BF.
За властивістю гострих
∠BDF + ∠FBD = 90°
∠FBD = 90° − ∠BDF
∠FBD = 90° − 45° = 45°
Тому BF = FD як бічні сторони
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
що трикутник AOD
∠ODA + ∠OAD + ∠AOD = 180°;
∠AOD = 180° − (∠ODA + ∠OAD);
∠AOD = 180° − (45° + 45°) = 90°,
тобто AO ⟂ OD, або AC ⟂ BD.
265. Діагональ
45°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠CAD + ∠D + ∠ACD = 180°; x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
Тому ∠A = ∠D = 2·36° = 72°.
∠DAB + ∠ABC = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції, звідки
∠ABC = 180° − ∠DAB;
∠ABC = 180° − 72° = 108°.
Тому ∠B = ∠C = 108°.
Відповідь: ∠A = ∠D = 72°, ∠B = ∠C = 108°.
267. У трапеції ABCD (BC∥AD) відомо, що AC⊥BD, ∠CAD = 30°, BD = 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Нехай ABCD − трапеція (AD∥BC), AC ⟂ BD, ∠CAD = 30°, BD = 8 см.
Розглянемо прямокутний трикутник AOD (∠AOD = 90°). У ньому катет OD
проти кута 30°, тому DO = 1 2 AD; AD = 2DO.
∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні
AC, звідки випливає, що ∠BCA = ∠CAD = 30°.
Розглянемо прямокутний трикутник BOC (∠BOC = 90°).
кута 30°, тому BO = 1 2 BC; BC = 2BO.
За властивістю середньої
MN = AD+BC 2 = 2DO+2BO 2 = DO + BO = BD.
Отже, MN = BD =8 см.
Відповідь: 8 см.
268. Доведіть,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Умова. У трапеції ABCD з основами AD∥BC діагоналі рівні: AC = BD. Довести, що трапеція рівнобічна (AB = CD).
Доведення.
Опустимо перпендикуляри з C і D на пряму AD: CF⊥AD, BE⊥AD.
Розглянемо два прямокутні трикутники: ∆ACF та ∆DBE.
Їхні гіпотенузи рівні: AC = BD (за умовою).
Один катет у них теж рівний: CF = BE це спільна
AD і BC.
Отже, ∆ACF = ∆DBE за гіпотенузою і катетом. Звідси AF = DE.
Тепер розглянемо прямокутні трикутники ∆ABE і ∆DCF.
З рівності AF = DE випливає AE = DF, бо AE = AF − FE і DF = DE − FE. Отже, у
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Дано: AD = a − основа трапеції ABCD, LR = h − висота трапеції, AC = b, BD = c −
діагоналі. Побудувати: трапецію ABCD. Схема побудови. Будую довільну пряму m і
коло радіуса AD = a, яке перетне пряму
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
272. Побудуйте трапецію:
1. за основами та діагоналями; 2. за бічними сторонами, середньою
3. за бічними сторонами, висотою та
1. Дано: AD = a, BC = b − основи трапеції ABCD, AC = c, BD = d − діагоналі.
Побудувати: трапецію ABCD.
Схема побудови. Будую
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3. Дано: AB = a, CD = b − бічні сторони трапеції ABCD, RL = h − висота трапеції, AC = c − діагональ. Побудувати: трапецію ABCD. Схема побудови. Будую
m, яка проходить через точку R. Будую
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB і CD − діаметри. Розглянемо трикутники AOC і BOD. У них: 1. AO = BO як радіуси; 2. CO = DO як радіуси; 3. ∠AOC = ∠BOD як вертикальні. Отже, трикутник AOC = трикутнику BOD за двома сторонами і кутом між ними (за першою ознакою рівності трикутників). Тому AC = BD і ∠
рівних трикутників. Оскільки
(O; R) − коло, AB − діаметр, AC
AOC − рівнобедрений,
∠COB
хорда. Оскільки OA = OC як радіуси,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB ⟂ OC, CK = KO. Оскільки OB = OC як радіуси, то трикутник OCB − рівнобедрений з основою CB. У ньому BK − висота та медіана, бо BK ⟂ OC і CK = KO. Тоді OB = BC, отже OC = OB = BC, тому трикутник OCB − рівносторонній, звідки ∠COB = ∠BCO = 60°. Аналогічно можна показати, що трикутник OCA − рівносторонній, звідки ∠AOC = ∠OCK = 60°.
За аксіомою вимірювання кутів:
1. ∠AOB = ∠AOC + ∠COB; ∠AOB = 60° + 60° = 120°;
2. ∠ACB = ∠BCO + ∠OCK; ∠ACB = 60° + 60° = 120°.
Відповідь: 1. 120°; 2. 120°. 278. Многокутник розбито
ACB = 360°.
Рівняння:
x + x + 80° = 360°;
2x = 280°; x = 140°.
Отже, ∪AB = 140°, тоді
∪ACB = 140° + 80° = 220°.
Відповідь: 140°, 220°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ∪AB = 7x, тоді ∪ACB = 11x. Градусна
∪AB + ∪ACB = 360°.
Рівняння: 7x + 11x = 360°; 18x = 360°; x = 20°.
Отже, ∪AB = 7 20° = 140°, тоді ∪ACB = 11·20° = 220°.
Відповідь: 140°, 220°.
282. Знайдіть градусну міру
год; 3) за 8 год; 4) за 30 хв; 5) за 12 год.
1. 360° : 12 · 2 = 60°;
2. 360° : 12 · 5 = 150°;
3. 360° : 12 · 8 = 240°;
4. 360° : 12 · 0,5 = 15°;
5. 360° : 12 · 12 = 360°.
Відповідь: 1. 60°; 2. 150°; 3. 240°; 4. 15°; 5. 360°.
283. Які з кутів,
360°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠DBA = 1 2 · 60° = 30°.
Відповідь: 1. 40°; 2. 35°; 3. 160°; 4. 30°.
285. Обговоріть
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AB = 74°, ∠ABC = 68°.
∠ABC − вписаний у коло
Тоді ∠ABC = 1 2 ∪AC, звідки ∪AC = 2∠ABC; ∪AC = 2·68° = 136°.
Градусна міра всього кола дорівнює 360°.
∪AB + ∪BC + ∪AC = 360°;
∪BC = 360° − (∪AB + ∪AC);
∪BC = 360° − (74° + 136°) = 150°.
Відповідь: 150°.
288. На
∪AB = 64°, ∪BC = 92°.
Градусна міра всього кола дорівнює 360°.
∪AB + ∪BC + ∪AC = 360°;
∪AC = 360° − (∪AB + ∪BC);
∪AC = 360° − (64° + 92°) = 204°.
ABC − вписаний в
∠ABC = 1 2 ∪AC; ∠ABC = 1 2 · 204° = 102°.
Відповідь: 102°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Отже, ∠ABC = 25°,
тоді ∠AOC = 25° + 25° = 50°.
Відповідь: 50°, 25°.
290.
∪AKB : ∪AMB = 3 : 7.
Нехай ∪AKB = 3x, тоді ∪AMB = 7x.
Градусна
360°. ∪AKB + ∪AMB = 360°.
Рівняння: 3x + 7x = 360°; 10x = 360°; x = 36°.
Отже, ∪AKB = 3·36° = 108°, тоді ∪AMB = 7·36° = 252°.
∠AMB − вписаний у коло
∠AMB = 1 2 · 108° = 54°.
Аналогічно ∠AKB = 1 2 ∪AMB; ∠AKB = 1 2 · 252° = 126°.
Відповідь: 54°, 126°. 291. На рисунку
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AB = CD. Розглянемо трикутники AOB і COD. У них:
1. AO = CO як радіуси;
2. BO = DO як радіуси;
3. AB = CD за умовою.
Отже, ΔAOB = ΔCOD за трьома сторонами
∠AOB = ∠COD як відповідні
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Рівняння:
x + 2x + 3x = 360°; 6x = 360°; x = 60°.
Отже, ∪AB = 60°, тоді ∪BC = 2·60° = 120°; ∪AC = 3·60° = 180°.
∠BCA − вписаний у коло кут, що спирається на
∠BCA = 1 2 ∪AB; ∠BCA = 1 2 · 60° = 30°.
Аналогічно
∠BAC = 1 2 ∪BC; ∠BAC = 1 2 · 120° = 60°;
∠ABC = 1 2 ∪AC; ∠ABC = 1 2 · 180° = 90°.
Відповідь: 30°, 60°, 90°. 295.
причому ∪AB = 70°.
(O; R) − коло, ABC −
Тому ∠BCA = 1 2 ∪AB; ∠BCA = 1 2 · 70° = 35°.
Аналогічно ∠BAC = 1 2 · 70° = 35°.
За теоремою про суму
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B = 180° − (∠A + ∠C);
∠B = 180° − (35° + 35°) = 110°.
Відповідь: 35°, 35°, 110°.
296. Кінці діаметрів AC і BD
чотирикутник ABCD.
1.
2.
AB. Тому
чотирикутника ABCD.
дуги AB, BC, CD і AD, якщо ∠ABD = 80°.
Нехай (O; R) − коло, AC і BD − діаметри, ∠ABD = 80°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
то ∠ADC = 90°. Аналогічно ∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = 90°, тому чотирикутник ABCD − прямокутник.
2. ∠ABD − вписаний у коло кут, що спирається
AD. ∪AD = ∠AOD.
Тому ∠ABD = 1 2 ∠AOD; ∠AOD = 2∠ABD; ∠AOD = 2 80° = 160°.
Тоді ∪AD = 160°.
∠BOC = ∠AOD = 160° як вертикальні.
Тому аналогічно ∪BC = 160°.
∠BOC і ∠COD − суміжні, тому
∠BOC + ∠COD = 180°;
∠COD = 180° − ∠BOC;
∠COD = 180° − 160° = 20°.
∠AOB = ∠COD = 20° як вертикальні.
Тому ∪CD = ∪AB = 20°.
Відповідь: 20°, 160°, 20°, 160°.
297. Гострий кут прямокутного
Нехай (O; R) − коло, ABC –
= 180°.
∠CAB − вписаний у
∪CB = 2∠CAB; ∪CB = 2·32° = 64°. За властивістю
∠A + ∠C = 90°;
∠C = 90° − ∠A;
∠C = 90° − 32° = 58°.
∠ACB − вписаний
∪AB = 2∠ACB; ∪AB = 2 58° = 116°.
R = 1 2 AC;
R = 1
2 · 12 = 6 см.
Biдповідь: 64°, 180°, 116°; 6 см.
298.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, ∠ABC = 90°. ∠ABC − вписаний у коло кут, що спирається
AC, ∠AOC − відповідний йому центральний кут, що спирається
Тоді ∠ABC = 1 2 ∠AOC; ∠AOC = 2∠ABC; ∠AOC = 2·90° = 180°.
Отже, ∠AOC є розгорнутим, тому AB − діаметр. 299. Хорди AB і CD
M.
що ∠AMC = 1 2 (∪AC +
∪BD).
Нехай (O; R) − коло, AB і CD − хорди, AB ∩
∠AMC = ∠MBC + ∠MCB.
∠MBC − вписаний у коло кут, що
MBC =
∠AMC = 1 2 (∪
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
BAC.
Нехай (O; R) − коло, ∪BMC = 100°. Проведемо радіус OB. Оскільки OB − радіус,
проведений у точку дотику прямої AB до кола, то OB ⟂ AB, ∠OBA = 90°.
Так як ∪BMC = 100°, то ∠BOC = 100°.
Розглянемо прямокутний трикутник ABO. За властивістю зовнішнього кута трикутника
маємо:
∠BOC = ∠A + ∠ABO; ∠A = ∠BOC − ∠ABO; ∠A = 100° − 90° = 10°.
Відповідь: 10°.
302. Бісектриса кута B трикутника ABC
∠ABD = ∠ACD = 40°
∠DBC і ∠DAC −
∠DBC = ∠DAC = 40°.
Розглянемо трикутник ADC.
∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180°;
∠ADC = 180° − (∠DAC + ∠ACD);
∠ADC = 180° − (40° + 40°) = 100°.
Відповідь: 40°, 40°, 100°. 303.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, ABC − вписаний рівносторонній трикутник, ∪AM = 2∪CM.
Оскільки ABC − рівносторонній трикутник, то ∠ABC = ∠BCA = ∠BAC = 60°.
∠BMA і ∠BCA − вписані в
∠BMA = ∠BCA = 60°.
∠BAC і ∠BMC − вписані в
∠BAC = ∠BMC = 60°.
∠CAM і ∠CBM − вписані в коло кути, що спираються
∠CAM = ∠CBM = 60°.
За аксіомою вимірювання
Оскільки ∠ABC = 60°, то ∪AMC = 2·60° = 120°.
∪AMC = ∪AM + ∪MC.
Нехай ∪CM = x, тоді ∪AM = 2x.
Рівняння: x + 2x = 120°; 3x = 120°; x = 40°.
Отже, ∪CM = 40°, тоді ∪AM = 2 40° = 80°.
Тоді ∠MAC = 40° : 2 = 20°, ∠ACM = 80° : 2 = 40°.
Відповідь: 120°, 20°, 40°.
304. Коло, побудоване
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) − коло, AC − діаметр, ∠ACK = ∠BCK. ∠AKC −
спирається на діаметр, тому ∠AKC = 90°, CK ⟂ AB, CK − висота трикутника ABC.
Оскільки ∠ACK = ∠BCK, то CK − бісектриса трикутника ABC. Якщо CK є висотою
бісектрисою, то трикутник ABC − рівнобедрений
звідки AK = KB.
306. Доведіть, що
рівні.
AB, тому CK є й медіаною,
Аналогічно
∠CMD = 1 2 ∪CD;
∠CMB = 1 2 ∪BC.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому ∠AMD = ∠CMD = ∠CMB. 308.
Нехай (O; R)
ABC − рівнобедрений, то
∠BAC = ∠BCA = (180° − 56°) : 2 = 62°.
∠ABM − вписаний у коло кут, що спирається
Тоді ∠ABM = 1 2 ∪ANM, ∪ANM = 2∠ABM; ∪ANM = 2·56° = 112°.
Так як AB − діаметр, то
∪ANB = ∪ANM + ∪BM = 180°;
∪BM = 180° − ∪ANM;
∪BM = 180° − 112° = 68°.
∠BAN − вписаний у коло кут, що
Тоді ∠BAN = 1 2 ∪BMN, ∪BMN = 2∠BAN;
∪BMN = 2·62° = 124°.
∪BMN = ∪BM + ∪MN;
∪MN = ∪BMN − ∪BM;
∪MN = 124° − 68° = 56°.
∪AN + ∪BMN = 180°;
∪AN = 180° − 124° = 56°.
Відповідь: ∪AN = 56°; ∪MN = 56°; ∪BM = 68°.
309.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O;R) − коло, AB − діаметр. Проводжу відрізок AC, який перетне
BC, який перетне коло в точці N. ∠AMB і ∠ANB −
що спираються на діаметр, тому ∠AMB = ∠ANB = 90°, звідки випливає, що AN і
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
що BD = MD.
Нехай (O;R) − коло, ABC − вписаний трикутник, DB − дотична, BM − бісектриса.
Оскільки BM − бісектриса, то ∠ABM = ∠MBC = 1 2 ∠ABC. ∠DBA = 1 2 ∪AB за властивістю
кута між дотичною і хордою, проведеною в точку
що спирається на дугу AB.
Тоді ∠BCA = 1 2 ∪AB. Отже, ∠DBA = ∠BCA.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∠DBM = ∠DBA + ∠ABM.
∠BMD − зовнішній кут трикутника BMC, тому
∠BMD = ∠CBM + ∠BCM.
Отже, ∠DBM = ∠BMD,
BM. Тому DB = DM.
313. Дано відрізок AB
BCA
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠BA1C = α, BK = b за побудовою. 315. Побудуйте
до даної сторони.
Дано: BC = a − сторона трикутника ABC, ∠P1M1Q1 =
сторони BC кут, AE = b − медіана, проведена до сторони BC.
побудови.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC прямокутний трикутник (∠ACB = 90°), (O; R) коло, AC діаметр, ED дотична до кола, D ∈ BC. Нехай ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90° Оскільки AC діаметр
кола, то трикутник AEC прямокутний, у якого ∠AEC = 90°, ∠A = α, тому за
властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ∠ACE = 90° − α = β. Отже, ∠ECB = 90° − β = α. Оскільки OA = OC = OE, то трикутник COE рівнобедрений з основою EC. Тому ∠OEC = ∠OCE = β як кути при основі рівнобедреного трикутника. Оскільки ED дотична до кола в точці E, то OE ⟂ ED. Тому ∠OED = 90°. За аксіомою вимірювання кутів ∠OED = ∠OEC + ∠CED, звідки ∠CED = ∠OED − ∠OEC =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (O; R) коло, ABC вписаний трикутник, AD
центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис, то O ∈ AD. Так як AD бісектриса, то ∠BAD = ∠DAC. Тоді ∪DB = ∪DC, звідки DB = DC як хорди, що стягують рівні дуги Розглянемо трикутник BDC, у якого BD = DC, тому трикутник BDC рівнобедрений з основою BC, звідки ∠DBC = ∠DCB.
∠DBC = ∠DCB = α. ∠DBC = ∠DAC як кути, що спираються на одну й ту саму дугу DC. Тому ∠DAC = ∠BAD = α. BO бісектриса кута B, тому нехай ∠CBA = 2β. За аксіомою
DBO = ∠DBC + ∠CBO; ∠DBO = α + β. ∠DOB
трикутника AOB, тому за властивістю зовнішнього кута ∠DOB = ∠BAO + ∠
= α + β.
∠DOB = ∠DBO, звідки маємо, що трикутник BDO рівнобедрений.
DB = DO, звідки DO = DB = DC.
321. Бісектриси кутів A, B і C трикутника ABC перетинають описане
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. Дано: BC = a сторона трикутника ABC, ∠P1M1Q1 =
BC кут, OX = b радіус вписаного
в трикутник кола міститься в точці перетину бісектрис.
Нехай ∠BAO = ∠OAC = ∠1, ∠ABO = ∠OBC = ∠2, ∠ACO
∠BOD = ∠5.
Оскільки ∠5 зовнішній кут трикутника AOB, то ∠5 = ∠1 + ∠2.
Аналогічно ∠4 = ∠1 + ∠3. Додавши
∠5 + ∠4 = 2∠1 + ∠2 + ∠3, тобто
∠BOC = ∠A + 1 2 (∠B + ∠C) = ∠A + 1 2 (180° − ∠A) = 90° − 1 2 ∠A.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
4 + 5 + 4 + 6 = 19 шт. = 100%; 360° : 100% = 3,6° – 1%.
Інформатика: 4 19 • 100% = 21%; 21% • 3,6° = 75,6°.
Фізика: 5 19 • 100% = 26%; 26% • 3,6° = 93,6°.
Хімія: 4 19 • 100% = 21%; 21% • 3,6° = 75,6°.
Математика: 6 • 100% = 32%; 32% • 3,6° = 115,2°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, PABC = 30 см, (O; R) − вписане у нього коло,
AM:MB = 3:2, CN = 5 см.
Нехай AM = 3x см, тоді MB = 2x см. За властивістю дотичних, проведених до кола з
однієї точки, BM = BN = 2x см; AM = AK = 3x см, CN = CK = 5 см.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо:
AB = AM + MB; AB = 3x + 2x = 5x см; BC = BN + NC; BC = (2x + 5) см; AC = AK + KC; AC = (3x + 5) см.
PABC = AB + BC + AC.
Рівняння: 5x + 2x + 5 + 3x + 5 = 30; 10x = 20; x = 2 см.
Отже, AB = 5·2 = 10 см; BC = 2·2 + 5 = 9 см; AC = 3·2 + 5 = 11 см.
Відповідь: 10 см, 9 см, 11 см.
326. До
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − трикутник, (O; R) − вписане у нього коло, P1, P2 і P3 − периметри
трикутників. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, XY = XM, ZY = ZN, EN = EF, PF = PK, HK = HG, DG = DM.
PABC = AD + DM + MX + XB + BZ + ZN + NE + EC + CP + PK + KH + HA =
= (AD + DG + GH + AH) + (XB + BZ + ZY + XY) + (EC + CP + PE + EF) = P1 + P2 + P3
Відповідь: P1 + P2 + P3
327. Установіть вид трикутника,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. 90°, 90°, 80°, 100°; Не можна. Навколо чотирикутника
кутів дорівнює 180°.
∠A + ∠C = 90° + 80° ≠ 180°;
∠B + ∠D = 90° + 100° ≠ 180°;
2. 90°, 80°, 90°, 100°;
Можна. Навколо
180°.
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°;
∠B + ∠D = 80° + 100° = 180°; 3. 50°, 70°, 130°, 110°?
180°.
∠A + ∠C = 50° + 130° = 180°;
∠B + ∠D = 70° + 110° = 180°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1. 3, 8, 11, 6;
Нехай ∠A = 3x, тоді ∠B = 8x, ∠C = 11x, ∠D = 6x.
3x + 11x = 8x + 6x; 14x = 14x.
Отже, навколо такого чотирикутника можна
коло; 2. 4, 5, 4, 2?
Нехай ∠A = 4x, тоді ∠B = 5x, ∠C = 4x, ∠D = 2x.
4x + 4x ≠ 5x + 2x; 8x ≠ 7x.
Отже, навколо такого чотирикутника не можна описати коло.
335. Доведіть, що можна описати коло
1. будь-якого прямокутника; У прямокутнику всі кути дорівнюють по 90°, тому суми протилежних
2. будь-якої рівнобічної трапеції. У рівнобічній трапеції
перетину
= AB =
навпіл, тому OA = OB = OC = OD.
CD = 1 2 AC; AC = 2CD; AC = 2·12 = 24 см.
Тоді AO = 1 2 AC; AO = 1 2 ·24 = 12 см. Відповідь: 12 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді 7x + 12x = 8x + 11x; 19x = 19x.
Отже, вписати коло можна;
2. Нехай AB = 7x см, BC = 12x см, CD = 8x см, AD = 11x см.
Тоді 7x + 8x ≠ 12x + 11x; 15x ≠ 23x.
Отже, вписати коло не можна.
340. Сума двох протилежних сторін чотирикутника, описаного навколо кола, дорівнює 18 см . Знайдіть периметр
Нехай ABCD − чотирикутник, який описано навколо кола. Оскільки чотирикутник
кола, то AB + CD = BC + AD = 18 см.
PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 18 + 18 = 36 см.
Відповідь: 36 см. 341. Бічна
Нехай ABCD - рівнобічна трапеція, AB = CD = 7 см. Оскільки
то AB + CD = BC + AD = 7 + 7 = 14 (см).
PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 14 + 14 = 28 см
Відповідь: 28 см. 342. У чотирикутнику CDEF,
см.
сторону CF.
CD + EF = CF + DE; CF = CD + EF − DE; CF = 6 + 12 − 8 = 10 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
то AB + CD = BC + AD.
то 2AB
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − чотирикутник, навколо якого описано коло, AD − діаметр, ∠ABC = 108°,
∠BCD = 132°.
Оскільки коло описане навколо чотирикутника, то ∠BAD + ∠BCD = 180°;
∠BAD = 180° − ∠BCD; ∠BAD = 180° − 132° = 48°; ∠ABC + ∠ADC = 180°;
∠ADC = 180° − ∠ABC; ∠ADC = 180° − 108° = 72°.
Розглянемо прямокутний трикутник ACD (∠ACD = 90° як вписаний у
спирається на діаметр). За властивістю
∠CAD + ∠ADC = 90°; ∠CAD = 90° − ∠ADC; ∠CAD = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠ABD = 90° як
спирається на діаметр). За
∠BDA + ∠BAD = 90°; ∠BDA = 90° − ∠BAD; ∠BDA = 90° − 48° = 42°.
Відповідь: 48°, 72°, 18°, 42°.
350. Знайдіть кути чотирикутника MNKP,
∠MKP = 58°,
MPN = 34°, ∠KMP = 16°.
∠KMP = 16°.
∠MKP = ∠MNP = 58°, ∠MPN = ∠MKN = 34°, ∠KMP = ∠KNP = 16° як вписані в
кутів ∠MNK = ∠MNP + ∠PNK; ∠MNK = 58° + 16° = 74°;
∠NKP = ∠NKM + ∠MKP; ∠NKP = 34° + 58° = 92°.
NMP + ∠NKP =
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція, навколо якої описано коло (BC ∥ AD, AB = CD), AD
− діаметр, ∠CED = 56°.
Трикутник ACD − прямокутний (∠ACD = 90°), бо ∠ACD − вписаний у коло й спирається
на діаметр.
Розглянемо трикутник CED.
За теоремою про суму кутів трикутника ∠CED + ∠ECD + ∠EDC = 180°;
∠EDC = 180° − (∠CED + ∠ECD); ∠EDC = 180° − (56° + 90°) = 34°.
Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠EAD = ∠EDA.
Кут CED − зовнішній кут трикутника AED, тому ∠CED = ∠EAD + ∠EDA;
∠CED = 2∠EAD; ∠EAD = ∠CED : 2; ∠EAD = 56° : 2 = 28°
За аксіомою вимірювання кутів ∠CDA = ∠CDE + ∠EDA; ∠CDA = 34° + 28° = 62°.
Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠CDA = ∠BAD = 62°
∠CDA + ∠DCB = 180° як кути, прилеглі до бічної
∠DCB = 180° − ∠CDA; ∠DCB = 180° − 62° = 118°
Тоді ∠ABC = ∠DCB = 118° як
Відповідь: 62°, 118°, 62°, 118°. 352. Висоти BM і CK гострокутного
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
вписаного
Нехай ABCD − прямокутна трапеція, CM = 8 см, MD = 50 см,
ON = OK = OP = OM = 20 см.
За аксіомою вимірювання відрізків
CD = CM + MD;
CD = 8 + 50 = 58 см.
NP = AB = 2r = 2·20 = 40 см.
AB + CD = 40 + 58 = 98 см.
Оскільки в трапецію вписано коло, то
AB + CD = BC + AD = 98 см.
Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD);
PABCD = 98 + 98 = 196 см.
Відповідь: 196 см.
354.
завдовжки 3 см і
54 см .
Нехай ABCD − прямокутна трапеція, CM = 3 см, MD = 12 см, PABCD = 54 см.
CD = CM + MD; CD = 3 + 12 = 15 см. PABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD).
то AB + CD = BC + AD. NP = AB = 2r.
PABCD = 2(AB + CD); AB = 1 2 PABCD − CD; AB = 1 2 ∙ 54 − 15 = 27 − 15 = 12 см,
r = AB : 2; r = 12 : 2 = 6 см.
6 см. 355.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABCD − трапеція, вписана в коло, O ∈ AD, AB = BC.
Оскільки навколо трапеції описано коло, то вона є рівнобічною, тому AB = CD = BC.
Розглянемо трикутники AOB, BOC і COD. У них:
1. AB = BC = CD за умовою;
2. AO = BO = CO як радіуси;
3. BO = CO = DO як радіуси.
Отже, △AOB = △BOC = △COD за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників).
Тому ∠AOB = ∠BOC = ∠COD як відповідні елементи рівних трикутників.
Але ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°,
звідки ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 180° : 3 = 60°.
Оскільки трикутники AOB, BOC і COD − рівнобедрені
AB, BC і CD (AO = BO, BO = CO, CO = DO) і ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 60°, то вони рівносторонні.
За аксіомою вимірювання кутів ∠ABC = ∠ABO
Аналогічно ∠BCD = 120°.
Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°. 356.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠KBD = 90° − ∠BDK; ∠KBD = 90° − 60° = 30°.
KD = 1 2 BD; KD = 1 2 d.
Отже, MN = 1 2 d.
Відповідь: 1 2 d.
357.
Нехай ABCD − рівнобічна трапеція,
Розглянемо трикутник AOB. Він рівнобедрений
∠BAO = ∠ABO = 60° як кути при основі рівнобедреного
Тоді ∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°; ∠AOB = 180° − (∠BAO + ∠ABO);
∠AOB = 180° − (60° + 60°) = 60°.
Отже, трикутник AOB − рівносторонній.
Тому r = AO = AB = 6 см.
Відповідь: 6 см.
358. 3 довільної точки M катета AC прямокутного трикутника ABC опущено
перпендикуляр MK на гіпотенузу AB. Доведіть, що ∠MKC = ∠MBC.
Нехай
CMKB.
У ньому ∠MKB + ∠MCB = 90° + 90° = 180°. Тоді ∠MKB + ∠MCB + ∠CMK + ∠CBK
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай CAB − кут, O ∈ ∠CAB, OC ⟂ AC, OB ⟂ AB. Розглянемо чотирикутник ACOB.
У ньому ∠ACO + ∠OBA = 90° + 90° = 180°.
Тоді ∠ACO + ∠COB + ∠OBA + ∠BAC = 360°, звідки ∠COB + ∠BAC = 180°.
Отже, навколо цього чотирикутника можна
коло, що спираються на одну й ту саму ∪OB, тому ∠OAB = ∠OCB. 360. Бісектриси
кут CMK.
Нехай ABC − трикутник, BK і CM − бісектриси, BK∩CM = O, ∠A = 60°.
трикутника
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°; ∠ABC + ∠BCA = 180° − ∠BAC; ∠ABC + ∠BCA = 180° − 60° = 120°.
Оскільки BK і CM − бісектриси, то ∠ABK = ∠KBC = 1 2 ∠ABC;
∠BCM = ∠MCA = 1 2 ∠BCA.
Розглянемо трикутник OBC.
∠OBC + ∠BCO = 1 2 ∠ABC + 1 2 ∠BCA = 1 2 (∠ABC + ∠BCA);
∠OBC + ∠BCO = 1 2 · 120° = 60°.
MOB зовнішній кут трикутника BOC,
MOB суміжний
MOK, тому
AMOK.
MAK + ∠MOK = 180°, то ∠AMO + ∠AKO = 180°,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠OMK = 1 2 ∪OK; ∠CMK = ∠OMK = 1 2 · 60° = 30°.
Відповідь: 30°.
361. Бісектриси MA і KB трикутника MNK перетинаються
точці O, точки A, N, B і O лежать на одному колі. Знайдіть кут N.
Нехай MNK − трикутник, MA і KB − бісектриси, MA∩KB = O. Оскільки MA і KB −
бісектриси, то ∠NMA = ∠AMK = 1 2 ∠NMK = x; ∠NKB = ∠BKM = 1 2 ∠NKM = y.
Розглянемо трикутник MOK.
+
Розглянемо трикутник MNK. У ньому ∠M = ∠NMA + ∠AMK = x + x = 2x;
M +
N +
K = 180°; ∠N = 180° − (∠M + ∠K); ∠N = 180° − (2x + 2y), звідки x + y = 180° − (2x + 2y); 180° = 3(x + y); x + y = 60°.
Відповідь: 60°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай ABC − прямокутний трикутник, ∠C = 90°, ∠APB = 90°.
Розглянемо чотирикутник ACBP. ∠ACB + ∠APB = 90° + 90° = 180°. Тоді ∠PAC + ∠PBC = 180°, тобто
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
AE = CF.
Нехай ABC − трикутник, AD − бісектриса, ED ∥ AC, EF ∥ BC.
Оскільки AD − бісектриса, то ∠EAD = ∠DAC.
∠DAC = ∠EDA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих
AD.
Тоді ∠EAD = ∠EDA і трикутник AED рівнобедрений, звідки AE = DE.
Чотирикутник EDCF − паралелограм (ED ∥ AC, EF ∥ BC), звідки DE = CF.
Так як AE = DE і DE = CF, то AE = CF. 367. Висота BM ромба ABCD, опущена
А. MPQN; Б. QMNP; В. NPMQ; Г. QNPM.
Відповідь: Б.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2. Які кути може мати чотирикутник?
А. Чотири тупих кути; Б. чотири гострих кути; В. два тупих і два прямих кути; Г. два прямих кути, один гострий кут і один тупий кут. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Можливий варіант Г, наприклад:
90° + 90° + 60° + 120° = 360°.
Відповідь: Г.
3. У чотирикутнику кожна
дорівнюють кути чотирикутника?
А. 60°, 60°, 120°, 120°;
Б. 60°, 120°, 90°, 90°;
В. 90°, 90°, 90°, 90°;
Г. 150°, 30°, 150°, 30°.
Якщо у чотирикутнику
А.
4. Бісектриса
А. 5 см,10 см;
Б. 6 см,4 см;
В. 7 см,8 см;
Г. 3 см,12 см.
BC = BE + EC = 2AB
x,
2(x + 2x) = 6x = 30 x = 5 см, 2x = 10 см. Відповідь: А.
2x.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
сторін чотирикутника.
Отже, за цією ознакою чотирикутник є паралелограмом.
Відповідь: В.
6. Яке з даних тверджень неправильне?
А. Чотирикутник, який одночасно є і ромбом, і прямокутником, − квадрат;
Б. паралелограм, у якого діагоналі рівні й перпендикулярні, квадрат;
В. паралелограм,
Г. ромб, у якого
Паралелограм,
В.
А. MN ∥ AC;
Б. MN = 1 2 AC;
В. MN = 1 2 AC, ∠BNM = ∠BAC;
Г. MN = 1 2 AC, ∠BNM = ∠BCA.
За означенням,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
В. 70°; Г. 90°.
За теоремою вписані кути є рівними, якщо
∠CED = ∠CFD = 30°, так як спирається
Розглянемо трикутник ΔCDF. За теоремою
∠DCF + ∠CFD + ∠CDF = 180°
DCF = 180°
Відповідь: В. Готуємося
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1.
значення у формулу:
2(2x + 3x) = 20
2·5x = 20
10x = 20
x = 20 : 10
x = 2
3. Отже,
Знайдемо довжину більшої сторони: 3·2 = 6 см.
Відповідь: 6 см.
3. Діагоналі прямокутника ABCD
Обчисліть периметр трикутника AOD.
O, BC = 8 см, BD = 12 см.
Дано: ABCD прямокутник. AC ∩ BD = O. BC = 8 см. BD = 12 см.
Знайти: PΔAOD (периметр трикутника AOD).
Розв'язання:
1. Розглянемо прямокутник ABCD.
AD = BC = 8 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1.
кут між стороною AB і діагоналлю AC дорівнює половині кута A:
∠BAC = 1 2 ∠A = 1 2 ∙ 40° = 20°.
2.
∠B = 180° − ∠A = 180° − 40° = 140°.
3. Аналогічно, діагональ BD ділить кут B навпіл. Отже, кут між стороною
BD дорівнює:
∠ABD = 1 2 ∠B = 1 2 ∙ 140° = 70°.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
PABC = 2·PMNK = 2·25 = 50 см
Відповідь: 50 см.
6. Одна з основ трапеції дорівнює 20 см , а середня лінія трапеції − 16 см . Знайдіть
трапеції.
Дано: ABCD трапеція (AD∥BC). AD = 20 см (одна з основ). EF = 16 см (середня лінія). Знайти: BC
трапеції,
�������� = �������� + �������� 2 ⇒ 16 = 20 + �������� 2 ⇒
16 ∙ 2 = 20 + BC ⇒ 32 = 20 + BC ⇒ BC = 12 (см)
Відповідь: 12 см.
= CK.
Довести: BM = DK.
Доведення:
AB = CD, оскільки
∠BAC і ∠ACD є внутрішніми
то AB ∥ CD. Діагональ AC є січною.
паралельних прямих AB і CD січною AC. Отже, ∠BAC = ∠ACD. Оскільки точки M і K
діагоналі AC, то ∠BAM = ∠DCK. AM = CK
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Для розв'язання задачі використаємо ключову
кути, що спираються
Знаходимо складові кутів:
Кут ∠CAD і кут ∠CBD спираються на
CAD = ∠CBD = 48°
BAC
∠BAC = ∠BDC = 34° Кут ∠ABD і кут ∠ACD спираються
AD. Отже: ∠ABD = ∠ACD = 52°
Обчислюємо повні кути A і B:
∠A = ∠BAC + ∠CAD = 34° + 48° = 82°
∠B = ∠ABD + ∠CBD = 52° + 48° = 100°
Обчислюємо кути C і D (використовуємо
За властивістю чотирикутника, вписаного
180° (∠A + ∠C = 180° та ∠B + ∠D = 180°).
∠C = 180° − ∠A = 180° − 82° = 98°
∠D = 180° − ∠B = 180° − 100° = 80° Відповідь:
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
PABCD = AD + BC + AB + CD = 18 + 8 + 18 + 18 = 26 + 36 = 62 см
Відповідь: 62 см.
10. Знайдіть радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію,
см і 20 см , а більша бічна сторона − 26 см .
Дано: ABCD прямокутна трапеція (∠A = ∠B = 90°). Основи: AD = 30 см, BC = 20 см.
Більша бічна сторона: CD = 26 см
Знайти: r радіус вписаного кола.
Розв'язання:
Якщо
AD + BC = AB + CD
цій прямокутній
30 + 20 = AB + 26
50 = AB + 26
AB = 50 – 26 = 24 (см)
Отже, висота трапеції h = 24 см.
Оскільки
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Оскільки △ABC рівнобедрений, то кути при основі AC рівні:
∠A = ∠C = 180° −∠B 2 = 180° 40° 2 = 140° 2 =70°
Розглядаємо трикутник △AOM: O центр півкола, M лежить на колі. Отже, OA і OM радіуси, і OA = OM.
Це означає, що △AOM є рівнобедреним. Кут ∠OAM = ∠A = 70°.
Кути при основі AM рівні: ∠AMO = ∠OAM = 70°.
Знайдемо центральний кут ∠AOM:
∠AOM = 180° − (∠OAM + ∠AMO) = 180° − (70° + 70°) = 40°
Розглядаємо трикутник △CON:
Аналогічно, OC і ON радіуси, тому OC = ON, і △CON є рівнобедреним.
Кут ∠OCN = ∠C = 70°.
Знайдемо центральний кут ∠CON:
∠CON = 180° − (70° + 70°) = 40°
Знаходимо градусну міру ∪MN:
Точки A, O, C
MN відповідає центральному
MON = ∠AOC − ∠AOM − ∠
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
m= AD+BC 2 = 8 см. Аналіз трикутників: Нехай O точка
AOD
AD: h1 = AD 2 У прямокутному △BOC
BC: h2 = BC 2
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� ����3 =3 ⋅ 3=9 (см);
����1 ����4 =3���� ����1 ;
����1 ����4 =3 ⋅ 3=9 (см).
Biдповідь: 3 см, 9 см, 9 см.
374. На
5 см. 375. Знайдіть
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� + �������� ; ВС = 18 + 12 = 30 (см). Відповідь: 30 см.
388.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
����1 ����1 = ����2 ����2 +�������� 2 ; ����2 ����2 + �������� =2����1 ����1 . Нехай ����1 ����1 = ���� см, ����2 ����2 = ���� см.
+ 16 =2����; ���� + 28 =2���� ;
+2���� = 16; ∣⋅ 2 2����−���� = 28; � 2���� +4���� = 32; 2����−���� = 28; �3���� = 60; 2����−���� = 28; ����� = 20; 2����− 20 = 28; ����� = 24; ���� = 20.
Oтже, ����1 ����1 = 24 см, ����2 ����2 = 20 см. Відповідь: 24 см, 20 см 394. Сторону �������� трикутника
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 1 2 ⋅ 12 =6( см),
�������� = 1 2 ⋅ 12 =6( см).
�������� = ��������+�������� 2 ; �������� = 22+12 2 = 17 (см).
За властивістю додавання відрізків
�������� = �������� + �������� + �������� ; �������� = ��������− (�������� + �������� );
�������� = 17 − (6 +6) =5( см).
Відповідь: 6 см, 5 см, 6 см.
399. На рисунку �������� ‖��������
Нехай
��������: �������� : �������� = 20: 25: 35 = 4 ∶ 5 ∶ 7,
�������� ∶ �������� ∶ �������� =4 ∶ 5 ∶ 7. Нехай �������� =4���� см, тоді �������� =5���� см,
Отже, �������� =4 ⋅ 3= 12 (см), �������� =5 ⋅ 3= 15( см ), �������� =7 ⋅ 3= 21( см )
Відповідь: 12 см, 15 см, 21 см. 400. Через
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2:1.
Рівняння:
2���� + ���� = 45;
3���� = 45; ���� = 15.
Отже, �������� = 15 см, �������� =2 ⋅ 15 = 30 (см). Розглянемо
Нехай ������������ − трикутник, �������� − бісектриса, �������� =
властивістю бісектриси трикутника �������� �������� = �������� �������� . За аксіомою вимірювання відрізків �������� = �������� + �������� ; �������� = �������� �������� .
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� = (36 ���� )см. 28 20 = ���� 36 −���� ; 28(36 −���� ) = 20���� ;
7(36 −���� ) =5���� ; 252 − 7���� =5���� ; 12���� = 252; ���� = 21.
Oтже, �������� = 21 см, тоді �������� = 36 21 = 15( см).
Biдповідь: 21 см, 15 см 406. У трикутник
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
рівних трикутників,
65 39 = ���� 80 −���� ;
65(80 −���� ) = 39����
см.
42−���� ���� = 11 3 ;
11���� =3(42 −����);
11���� = 126 3����; 14���� = 126; ���� =9
Отже, �������� =9 см.
Відповідь: 9 см. 409.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай
= �������� �������� = �������� �������� =0,3.
Далі �������� �������� =0,3; �������� =0,3�������� ;
�������� =0,3 ⋅ 12 =3,6(см); ��������
�������� =0,3; �������� =0,3��������; �������� =0,3 ⋅ 8=2,4( см);
��������
�������� =0,3; �������� = �������� 0,3 ; �������� = 4,5 0,3 = 15( см).
Відповідь: 3,6 см; 15 см ; 2,4 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
5���� +4���� +7���� = 64; 16���� = 64; ���� =4.
сторони
5 ⋅ 4= 20 (см),
4 ⋅ 4= 16 (см),
7 ⋅ 4= 28 (см);
2. найменшою
сторони
5 ⋅ 6= 30( см),
7 ⋅ 6= 42(см).
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���������������� − ромб, то �������� ‖��������
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
��������
�������� = �������� �������� ; 6 10 = ���� ���� +6 ;
10���� =6(���� +6);
5���� =3���� + 18;
2���� = 18; ���� =9.
Отже, �������� =6 см.
Відповідь: 9 см.
441.
паралелограма) та січній
�������� = �������� + �������� ;
�������� = �������� �������� ;
�������� =2����−���� = ���� ( см).
�������� = �������� + �������� + �������� ;
�������� = ���� + ���� + ���� =3���� (см).
Рівняння: 3���� = 18; ���� =6
Отже, �������� = �������� =6 см, �������� = �������� =2 ⋅ 6= 12 (см).
Biдповідь: �������� = �������� =6
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠������������ = 180∘ − (30∘ + 30∘ ) = 120∘ ;
3.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
1) Розглянемо трикутники
1.
2.
2.
Отже,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай (����; ���� ) − коло, �������� і �������� хорди, ��������
3
1. ∠������������ = ∠������������ як кути, що спираються на одну й ту саму дугу;
2. ∠������������ = ∠������������ як вертикальні.
Отже,
Тому �������� �������� = �������� �������� = �������� �������� .
Нехай �������� = ���� см, тоді �������� =3���� см.
= �������� �������� ; 9 ���� = 3���� 12;
3����⋅���� =9 ⋅ 12; 3���� 2 = 108; ���� 2 = 36; ���� =6.
Отже, �������� = 6cм, тоді �������� =3 ⋅ 6= 18(см). За аксіомою вимірювання
�������� = �������� + �������� ; �������� = 18 +6= 24 (см).
Відповідь: 24 см.
473. Точка
= 16 ⋅ 15 = 240(см2 ).
= �������� + �������� ; �������� = (���� +4)см; �������� = �������� + �������� ;
= �������� �������� ;
�������� = (����− 4) см.
Тоді (���� +4)(����− 4) = 240; ���� 2 16 = = 240; ���� 2 = 256; ���� = 16( см). Відповідь: 16 см .
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тому �������� �������� = �������� �������� = �������� �������� ; �������� �������� = �������� �������� ; �������� ⋅ �������� = ��������⋅ ��������; �������� ⋅ �������� =8 ⋅ 12 = 96(см2 ). За
�������� = �������� + �������� ;
�������� = 11 + �������� ;
�������� = �������� + ��������;
�������� = �������� ��������; �������� = 11 ��������
Тоді (11 + �������� )(11 �������� ) = 96; 121 − ���� ���� 2 = 96; ���� ���� 2 = 25;
�������� =5( см).
Відповідь: 5 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = 18 + 12 = 30( см). Нехай �������� =5���� см, тоді �������� =7���� см.
�������� = �������� + �������� ;
�������� =5���� +7���� = 12���� (см).
Рівняння: 18 ⋅ 30 =5����⋅ 12���� ;
60���� 2 = 540; ���� 2 =9; ���� =3.
�������� = 12 ⋅ 3= 36(см).
Відповідь: 36 см.
479. У колі,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� + �������� ;
�������� = �������� + 16.
Тоді �������� ⋅ �������� = �������� ⋅ ��������;
�������� (�������� + 16) =3 ⋅ 12.
Нехай �������� = ����.
����(���� + 16) = 36;
���� 2 + 16����− 36 =0;
���� = 162 +4 ⋅ 36 = 256 + 144 = 400;
����1 = 16 + 20 2 =2,
����2 = −16−20 2 = 18 − не задовольняє умову.
Отже, �������� =2 см. За
�������� =2+8= 10( см)
Відповідь: 10 см.
480. У трикутник
�������� = �������� + ��������
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Тоді 72 9���� = 24 24−5���� ;
24 ⋅ 9���� = 72(24 5���� );
9���� = 72 15���� ;
24���� = 72; ���� =3. Отже, �������� =9 ⋅ 3= 27(см),
�������� =5 ⋅ 3= 15(см).
15 см; 27 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� = �������� − �������� ;
�������� =3 − 1,8 =1,2(м).
Тоді �������� �������� = �������� �������� ; �������� = �������� �������� �������� ;
�������� = 1,2 ⋅ 39 1,5 = 31,2(м).
�������� = �������� + ��������;
�������� = 31,2 +1,8= 33(м).
Відповідь: 33 м.
483. Поясніть за допомогою
використовуючи подібність трикутників.
Розглянемо трикутники
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� =5���� см, тоді
�������� = �������� + �������� 2 ; 21 = 5���� +2���� 2 ; 7���� = 42; ���� =6
Отже, �������� =5 ⋅ 6= 30 (см), тоді �������� =2 ⋅ 6= 12 (см).
= �������� + �������� ; �������� = �������� �������� ; �������� = 30 12 = 18 (см).
Тоді �������� = �������� = �������� = 18 см.
Відповідь: 18 см.
489. Як два
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
−���� =0,6;
=0,6(48 −���� );
= 28,8 0,6���� ; 1,6���� = 28,8; ���� = 18. Отже, �������� = 18 см, тоді ����1
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���������������� = ���������������� = 32 см.
�������������������� =2(�������� + �������� );
2(�������� + �������� ) = 46; �������� + �������� = 23 (см).
���������������� = �������� + �������� + �������� ;
���������������� = �������� + �������� + �������� ; 32 = 23 + �������� ; ����− ���� =9 (см).
Тоді �������� = 23 ��������; �������� = 23 9= 14 (см).
За властивостями сторін паралелограма �������� = �������� =9 см, �������� = �������� =14 см.
Biдповідь: �������� = �������� =9 см, �������� = �������� = 14 см.
508.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
�������� =2 ⋅ 5= 10 (см). Відповідь: 10 см. 510. На колі позначили
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Відношення,
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
іншої хорди : �������� ⋅ �������� = ��������⋅ ��������
Оскільки �������� = �������� , позначимо довжину цих відрізків як ���� .
4 ⋅ 25 = ����⋅����⇒ 100 = ���� 2 ⇒���� = √100 = 10 см
Отже, �������� = 10 см і �������� = 10 см.
�������� = �������� + �������� = 10 + 10 = 20 см
Відповідь: Г. 20 см.
10. У трикутнику ABC відомо, що AB = 10 см, BC = 4 см, CA = 8 см. На стороні AC
позначено точку D таку, що AD = 6 см. Знайдіть відрізок BD. �������� = �������� − �������� =8 см − 6 см =2 см
Розглянемо △ ������������ і △ ������������ .
Кут ∠���� є спільним для
�������� =2���� ; �������� =3����
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
в рівняння:
2����⋅ 3���� = 24
6���� 2 = 24
���� 2 =4 ⟹���� =2
Довжина хорди �������� : �������� = �������� + �������� =2���� +3���� =5����
�������� =5 ⋅ 2= 10 см
Відповідь: 10 см.