https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


























































































SO = OT, RO ≠ OL


сторони: MK і KE, KE і EF, EF і FM, FM і MK. Протилежні






https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


Позначення чотирикутника: MKCA, KCAM, CAMK.
1) M, K, C, A;
2) MK, KC, CA, AM; 3) M і K, K і C, C і A, A і M;
4) M і C, K і A;
5) MK і KC, KC і CA, CA і AM, AM і MK;
6) MK і AC, MA і KC;
7) MC і KA. 6.

MKEF, STOP, QLNR.


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


5x − 20° = 360°;
5x = 380°;

A : ∠B : ∠C : ∠D = 10 :


6
6
x


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кути. Доведіть, що сторони CD і AD теж рівні. Нехай у чотирикутнику ABCD:


AB = BC, ∠ABD = ∠CBD, BD діагональ.
Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них:
1) AB = BC за умовою;
2) ∠ABD = ∠CBD за умовою; 3) BD спільна сторона.
Отже, △ABD = △CBD за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AD = BC = 6 см як відповідні
трикутників.
Відповідь: 6 см.


ABCD: AO = OC, BO = OD, BC = 6 см. Розглянемо трикутники AOD
1) AO = OC за умовою; 2) BO = OD за умовою;
3) ∠AOD = ∠COB як
Отже, △AOD = △COB за двома сторонами і
ними (за I ознакою
Тому AD = BC = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.
Відповідь: 6 см.
18. У чотирикутнику MNKP відомо, що MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°. Знайдіть

K. Нехай у чотирикутнику MNKP: MN = NK, MP = PK, ∠M = 100° Добудовуємо діагональ PN. Розглянемо
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
ABCD.

shkola.in.ua
AB = 8 см, BC = 10 см.
Нехай у чотирикутнику ABCD:
∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD, AB = 8 см, BC = 10 см.
Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них:
1) ∠BAC = ∠CAD за умовою; 2) ∠BCA = ∠ACD за умовою;
3) AC спільна сторона.
Отже, △ABC = △ADC за стороною і двома прилеглими
неї кутами (за I ознакою рівності трикутників).
Тому AB = CD = 8 см, BC = AD = 10 см як відповідні
елементи рівних трикутників.
Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 (см).
Відповідь: 36 см.
20. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси


2 = 22°.
Аналогічно ∠KBO = ∠OBA = 56° : 2 = 28° Розглянемо трикутник AOB. У
OAB +
AOB + ∠OBA = 180°;
∠AOB = 180° − (∠OAB + ∠OBA);
∠AOB =180° − (22° + 28°) = 180° − 50° = 130° .
∠AOB і ∠MOK вертикальні, тому ∠AOB = ∠MOK = 130°.
Розглянемо трикутник AKC.
У ньому ∠CAK + ∠AKC + ∠KAC = 180°;
∠AKC = 180° − (∠CAK + ∠KCA);
∠AKC = 180° − (22° + 80°) = 180° − 102° = 78°.
Розглянемо чотирикутник MOKC.
теоремою
∠OMC + ∠MCK + ∠CKO + ∠KOM = 360°;
∠OMC = 360° − (∠MCK + ∠CKO + ∠KOM);
∠OMC = 360° − (80° + 78° + 130°) = 360° − 288° = 72°.
Відповідь: 72°, 80° , 78° , 130° . 2) розглянемо чотирикутник AOBC.
+ ∠AOB + ∠OBC + ∠BCA = 360°;
∠AOB = 360° − (∠CAO + ∠OBC + ∠BCA);
∠AOB = 360° − (22° + 28° + 80°) = 360° − 130° = 230°;
Відповідь: 22°, 230°, 28°, 80° .
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1) Нехай у трикутнику ABC ∠A=36° , ∠B=72° . AE і BF висоти, проведені
За теоремою про суму кутів трикутника:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C = 180° − (∠A + ∠B); 180° − (36° + 72°) = 180° − 108° = 72°.
Оскільки AE висота, то
∠CEA = ∠BEA = 90° .
Аналогічно ∠CFB = ∠BFA = 90°.
Розглянемо чотирикутник CFHE.
За теоремою про суму кутів чотирикутника:
∠CFH + ∠FHE + ∠HEC + ∠ECF = 360°;
∠FHE = 360° − (90° + 90° + 72°) = 360° − 252° = 108°.
Відповідь: 90°, 108°, 90°, 72°.
2) Розглянемо прямокутний трикутник CEA (∠CEA=90°).
Тоді маємо:
∠CAE + ∠ECA = 90°;
∠CAE = 90° − ∠ECA;
∠CAE = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо прямокутний трикутник CFB (∠CFB = 90°).
Тоді маємо:
∠FBC + ∠FCB = 90°;
∠FBC = 90° − ∠FCB;
∠FBC = 90° − 72° = 18°.
Розглянемо чотирикутник ACBH.
∠CAH + ∠AHB + ∠HBC + ∠BCA = 360°;
∠AHB = 360° − (∠CAH + ∠HBC + ∠BCA);
∠AHB = 360° − (18° + 18° + 72°) = 360° −
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Нехай ABCD заданий чотирикутник, AC його діагональ.
PABC = 36, PADC = 64 см, PABCD = см.
PABCD = AB + BC + CD + AD,
PABC = AB + BC + AC,
PADC = AD + DC + AC,
звідки PABC + PADC = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = (AB + BC + CD + AD) + AC +
AC = PABCD + 2AC;
36 + 64 = 80 + 2AC; 2AC = 20; AC = 10 (см).
Відповідь: 10 см.
23. Чи можуть сторони чотирикутника дорівнювати:
1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?

1) Проведемо у чотирикутнику ABCD діагональ AC.
Розглянемо трикутник ABC.
За нерівністю трикутника маємо: AB < AC + CB.
Аналогічно для трикутника ADC маємо: AC < AD + DC.
Тоді AB < AC + CB < (AD + DC) + CB < AD + DC + CB.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1) Нехай ABCD заданий чотирикутник, ∠A=90° , ∠C=90° , BN і DK бісектриси кутів B і D. Якщо BN бісектриса ∠ABC, то за означенням
бісектриси:
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = x, тоді ∠NBC = x, ∠ABC = 2x.
Розглянемо прямокутний трикутник BAN (∠A=90°).
За властивістю
∠ANB + ∠ABN = 90° ,
звідки ∠ANB = 90° − ∠ABN = 90° − x.
Розглянемо чотирикутник ABCD. За теоремою
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°;
∠D = 360° − (∠A + ∠B + ∠C) = 360° − (90° + 2x + 90°) = 180° − 2x
Оскільки DK
∠ADK = ∠CDK = 1 2 ∠ADC.
Так як ∠D = ∠ADC = 180° − 2x,
то ∠ADK = ∠CDK = 1 2(180° − 2x) = 90° − x. Розглянемо прямокутний
KDC + ∠DKC = 90° ,

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC. Розглянемо прямокутні трикутники BAD (∠A=90°) і BCD (∠C=90°).
У них ∠ABD = ∠CBD, BD спільна сторона (гіпотенуза), тому за ознакою рівності прямокутних трикутників △BAD = △BCD за
гострим кутом. Тому ∠ADB
маємо, що BD бісектриса ∠ADC. 25. Доведіть, що коли бісектриси

1) Нехай у чотирикутнику ABCD, BN і DK
Розглянемо прямі BN і DK та січну BC.
BN
∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.
Нехай ∠ABN = ∠DKC = x.
Якщо DK бісектриса
паралельні прямі BN і DK та січну AD.
За означкою паралельних
Тоді ∠ANB = ∠KDC.
Нехай ∠ANB = ∠KDC = y.
Розглянемо трикутник △ANB. За теоремою

D, BN
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.
Аналогічно за означенням
∠ADB = ∠CDB = 1 2 ∠ADC.
Розглянемо трикутники △BAD і △BCD.
У них ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB за доведенням, BD спільна сторона.
Отже, △BAD = △BCD за стороною і двома прилеглими до неї
рівності трикутників).
Тому ∠A = ∠C як відповідні елементи рівних трикутників.
26. Побудуйте чотирикутник

Дано:
AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
P1A1K1 = α
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Дано:
AB = a, BC = b, AD = c сторони чотирикутника ABCD, AC = d, BD = e діагоналі чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку A.
З точки A проводжу коло радіуса AB = a, яке перетне пряму m у точці B.
З точки A проводжу коло радіуса AD = c, а з точки B коло радіуса BD = e, які
перетнуться у точці D
Сполучаю відрізком точки A і D.
радіуса AC = d, які перетнуться у точці C.
Сполучаю відрізком точки B і C. Проводжу відрізок DC.
побудований чотирикутник ABCD
AB = a, BC = b, AD = c, AC = d, BD = e

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Дано:
AB = a, BC = b, AD + CD = c, ∠P1A1K1 = α і ∠N1B1M1 = β кути чотирикутника.
Побудувати: чотирикутник ABCD.
Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку B. З точки B
сторони кута, наприклад у точках
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

паралельності прямих маємо, що ∠1 + ∠3 = 20° + 170° = 190° ≠ 180°, тому
паралельні.
31. У чотирикутнику ABCD ∠C = 110°, ∠D = 70°. Доведіть, що BC || AD.
Нехай ABCD чотирикутник,
ознакою паралельності

1) BC і AD;
2) AB і CD?

∠C і ∠D
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
3) BD спільна
△ADB = △
і ∠ABD = ∠CDB. За ознакою паралельності
що прямі AB і CD паралельні.
34. Відрізок BK бісектриса трикутника ABC. Пряма DK паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці D, ∠BDK = 116°. Знайдіть кут BKD.

Нехай ABC заданий трикутник, BK бісектриса ∠ABC, KD ∥ AB, D ∈ BC, ∠BDK=116°.
Розглянемо паралельні прямі AB і KD та січну BD.
За ознакою паралельних прямих маємо, що ∠ABD + ∠BDK = 180° як внутрішні
односторонні, звідки ∠ABD = 180° − ∠BDK = 180° − 116° = 64°.
Оскільки BK бісектриса, ∠ABC, то
∠ABC, звідки ∠KBC = 64° : 2 = 32°.
Розглянемо трикутник KBD.
За теоремою
∠KBD + ∠BDK + ∠BKD = 180°;
∠ABK = ∠KBC = 1 2
∠BKD = 180° − (∠KBD + ∠BDK) = 180° − (32° + 116°) = 180° − 148° = 32°.
Відповідь: 32°.
35.





https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

см і 8 см ; 2. 16 см і 4 см ; 3. 12 см і 6 см ?
1. P= 2(���� + ���� );
P= 2(14 +8) = 2 ⋅ 22 = 44(см);
44 см > 40 см − не вистачить;
2. P= 2(���� + ���� );
P= 2(16 +4)= 2 ⋅ 20 = 40(см);
40 см = 40 см − вистачить;
3. P= 2(���� + ���� ); ���� = 2(12 + 6) = 2 ⋅ 18 = 36(см);
36 см < 40 см − вистачить.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
2(5���� + 9���� ) = 28���� (см), що за умовою задачі
Рівняння: 28����= 112;
����= 4.
Отже, одна сторона паралелограма дорівнює
5⋅ 4 = 20(см),
а інша −9⋅ 4 = 36( см).
Відповідь: 1. 22 см; 34 см; 2. 20 см; 36 см.
41. Знайдіть сторони паралелограма, якщо
периметр паралелограма дорівнює 96 см .
112 см.
Нехай одна сторона паралелограма дорівнює ���� см, тоді інша − 5���� см.
Периметр паралелограма дорівнює
2(���� + 5����)= 12���� (см), що за умовою задачі дорівнює 96 см.
Рівняння: 12����= 96; ����= 8
Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 8 (см), а інша −5⋅ 8 = 40 (см).
Відповідь: 8 см; 40 см.
42. У паралелограмі ���������������� відомо, що �������� =6 см, �������� = 10 см, �������� = 8 см,
AO = OC = 1 2 AC = 10 ∶ 2 =5 (см), BO = OD = = 1 2 BD = 8 ∶ 2 = 4 (см).
Тоді PCOD = OC + CD + OD =5 + 6 +4 = 15(см). Відповідь: 15 см.


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
кути, тому іх сума дорівнює 180∘ : ∠A +
130∘ . Тоді ∠B=∠D= 130∘ 3.
можуть бути протилежними,
80∘ , звідки ∠A=∠C= 80∘ як протилежні. Тоді ∠B= 20∘ + 80∘ = 100∘ ; ∠B=∠D= 100∘ як протилежні.
паралелограма:
3���� +7����= 180∘ ; 10����= 180∘ ; ����= 18∘ .
∠A=∠C= 54∘ , ∠B=∠D=
1. 70∘ , 110∘ , 70∘ , 110∘ ;
2. 50∘ , 130∘ , 50∘ , 130∘ ;
3. 80∘ , 100∘ , 80∘ , 100∘ ;
4. 54∘ , 126∘ , 54∘ , 126∘ .

Тоді ∠A=∠C= 60∘ , ∠B=∠D= 120∘ як
2.
Тому ці кути є сусідніми кутами паралелограма:
Нехай ∠A=���� , ∠B=���� + 24∘ .
Рівняння: ���� + ���� + 24∘ = 180∘ ;
2����= 156∘ ; ����= 78∘ .
Тоді ∠A= 78∘ ;
∠B= 78∘ + 24∘ = 102∘ .
Тоді ∠A=∠C= 78∘ ,
∠B=∠D= 102∘ як протилежні.
Biдповідь: 1. 60∘ , 120∘ , 60∘ , 120∘ ; 2. 78∘ , 102∘ , 78∘ , 102∘ .

дано паралелограм ABCD,
∠A= 35∘ , K∈ BC, KM|AC, KN|AB.
Розглянемо чотирикутник AMKN. Оскільки KM|AC, KN|AB, то
∠A= ∠MKN = 35∘
∠A + ∠ANK= 180∘ як
∠ANK= 180∘ −∠A=


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠ABD= 68∘ , ∠ADB = 47∘ . Розглянемо трикутник ABD. За теоремою
∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180∘ ,
звідки ∠A= 180∘ (∠ABD + ∠ADB)= 180∘ (68∘ + 47∘ ) =
Тоді ∠A=∠C= 65∘ як протилежні кути
∠A + ∠B= 180∘ як сума сусідніх
65∘ = 115∘ .
Тоді ∠B=∠D= 115∘ як протилежні кути


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
дорівнювати 16 см ?
Нехай дано паралелограм ����������������, �������� =6 см, �������� = 10 см, �������� діагональ.
Розглянемо трикутник ������������ У ньому не виконується нерівність трикутника �������� < �������� + �������� ; 16 < 6 + 10; 16 < 16.
У паралелограма �������� = �������� =6 см, �������� = �������� = 10 см, тому
дорівнювати 16 см.
Відповідь: Не може.


�������� = �������� =3 см.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
− рівнобедрений,
�������� = 2�������� = 2 ⋅3=6 (см).
Розглянемо рівнобедрений трикутник
Тоді ∠����=∠������������ = 45∘
Оскільки в рівнобедреному трикутнику, висота,
бісектрисою, то
∠������������ = 2∠������������ = 2 ⋅ 45∘ = 90∘ .
Розглянемо паралельні прямі �������� і �������� та січну �������� . Маємо:


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html





https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
половині гіпотенузи. Тому �������� = 1 2 �������� .
Нехай �������� =���� см, тоді �������� = 2���� см.
Рівняння: �������������������� = 2(���� +2���� );
36 =6���� ;
����=6.
Отже, �������� =6 см, ?���� = 2 ⋅6= 12( см).
�������� = �������� =6 см і �������� = �������� = 12 см


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
Нехай �������� =3���� см,
тоді �������� =5���� см.
�������� = �������� + �������� ;
�������� =3���� + 5����= 8���� (см).
�������� = �������� =3���� см.
Рівняння: 2(3���� +8���� ) = 66;
22����= 66; ����=3
Tому �������� =3⋅3=9 (см),
�������� = 8 ⋅3= 24 (см).
Oтже, �������� = �������� =9 см,
�������� = �������� = 24 см.
Відповідь: �������� = �������� =9 см, �������� = �������� = 24 см

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 90∘ −����
+ ∠������������ = 180∘ як сума
���� + 180∘ 2���� + ∠������������ = 180∘ ;
=���� .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
∠������������ = 90∘ −∠������������;
= 90∘ (180∘ −���� ) =����− 90∘ . ∠������������ + ∠������������ = 180∘ як суміжні,
∠������������ = 180∘ −∠������������ ;
= 180∘ −���� Розглянемо
трикутника маємо:
+ ∠������������ = 90∘ , звідки
= 90∘ −∠������������ ;
= 90∘ (180∘ −���� ) =����− 90∘ .
+ ∠������������


; ∠������������ = 180∘ 150∘ = 30∘ .
катет, який лежить

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
різносторонні.
внутрішні різносторонні. За теоремою
= 180∘ ; ���� + ���� + ����= 180∘ ; 2
=���� +
;
=∠������������ + ∠������������ + ∠������������ ; ∠������������ =���� + ���� + 180∘ 2����=3����.
���� + ����=3����;
����= 2����;
звідки 2 ⋅ 2���� + ����= 180∘ ; 5����= 180∘ ; ����= 36∘ ; ����= 2 ⋅ 36∘ = 72∘ . Отже, ∠����=∠���� = 72∘ ; ∠���� =∠����
180∘ .
∠����=∠���� = 72∘ ; ∠���� =∠���� = 108∘ .


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

6 (см).
�������� = �������� + ��������;
�������� = �������� + 5�������� ;
�������� =6�������� ;
6�������� = 24;
�������� = 4( см).
�������� = �������� (�������� + �������� );
�������� = 24 (4 + 6)= 24 10 = 14( см);
2. нехай точка ���� не належить
���� (див. рис.). Якщо �������� = 4��������,4�������� = 24; �������� =6 (см).
�������� = �������� �������� ; �������� =5�������� �������� ;
�������� = 4�������� ;
4�������� = 24; �������� =6 (см).
�������� = �������� ��������; �������� = 24 −6 = 18 (см).
�������� = �������� + �������� ;
�������� =6 + 18 = 24 (см).
Відповідь: 14 см або 24 см .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html




https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html




https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html






https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

теоремою про суму
+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;
= 180∘ (∠���� + ∠������������
+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;
= 180∘ (∠����

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

106. Побудуйте паралелограм:
1.
1.
діагональ. Побудувати: паралелограм

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

3.


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


+ ∠���� + ∠������������ = 180∘ Тоді ∠������������ + ∠���� = 180∘ −∠������������ ;
+ ∠���� = 180∘ 120∘ = 60∘ ;
=∠���� = 60∘ :2 = 30∘ .
Розглянемо трикутник ������������ . Оскільки ��������
кута 30∘ , маємо: �������� = 2�������� ; �������� = 2 ⋅ 8 = 16 (см).
Відповідь: 16 см.


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
111.

112.



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
= �������� + �������� + ��������; ���������������� =5 + 5 + 5= 15( см).

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 90∘ −∠������������;
�������� = 2�������� = 2��������. �������������������� = 2(�������� + �������� );
36 = 2(�������� +2�������� );
36 =6��������; �������� =6( см).
Тоді �������� = 2 ⋅6= 12( см).

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
90∘ −∠������������; ∠������������ = 90∘ 45∘ = 45∘ , тому трикутник ������������ − рівнобедрений (
= 2(�������� + �������� );
30 = 2(�������� +2�������� );
30 =6��������; �������� =5( см )
Тоді �������� = 2 ⋅5= 10( см).
.

Відповідь: 5 см, 10 см. 121.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


A = (x, 0)
B = (0, y) Тоді
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
= 90∘ −∠������������;
∠������������ = 90∘ 45∘ = 45∘ ,
�������� = �������� i �������� = �������� , то �������� = ��������
Нехай �������� =3���� см, тоді �������� =5���� см.
�������� = �������� + �������� + �������� ; �������� = �������� + �������� + �������� = 2�������� + �������� . �������� = �������� =5���� см як
Рівняння: 55 = 2 ⋅3���� + 5���� ;
55 = 11���� ; ����=5
Тоді �������� =3⋅5= 15( см), �������� =5⋅5= 25( см).
Відповідь: 15 см, 25 см.



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;
= 180∘ (∠������������ + ∠������������ );
= 180∘ (75∘ + 75∘ ) = 30∘ . �������� =
5( см).
Відповідь: 4,5 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

даній стороні.


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

кількість сітки?
1) P = 2(a + b) = 2(80 + 65) = 2 ∙ 145 = 290 (м) периметр прямокутника;
2) 2 ∙ 2 + 1 = 5 (м) загальна
довжина, яку треба огородити:
3) 290 - 5 = 285 (м) довжина, яку треба
4) 285 : 10 = 28,5 ≈ 29 (шт)
5) 29 ∙ 850 = 24,650 (грн) мінімальна
Відповідь: 24 650 грн
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Тому такий чотирикутник за ознакою є паралелограмом. А


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
142. Знайдіть кути ромба, якщо
Нехай ���������������� − ромб, �������������������� = 24 см, �������� =3 см. Оскільки
+ ∠���� = 180∘ ; ∠���� = 180∘ −∠���� ; ∠���� = 180∘ 30∘ = 150∘ :
30∘

60∘ , то

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
���� + ���� +8����= 180∘ ;
10����= 180∘ ; ����= 18∘ .
Отже, ∠������������ = 18∘ .

кути ромба.
Нехай ���������������� − ромб, �������� і �������� − діагоналі,
перпендикулярні).
Нехай ∠������������ = 2����
2���� +7����= 90∘ ;
9����= 90∘ ; ����= 10∘ .
Отже,
∠���� = ∠���� = 2 ⋅ 70∘ = 140∘ . Відповідь: 40∘ , 140∘ , 40∘ , 140∘ .
,

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

рівнобедрений (�������� = �������� = 4 см)
Тоді �������������������� = 4�������� = 4 ⋅ 4 = 16 (см).
Оскільки �������� = �������� як сторони паралелограма, то трикутиик ������������
властивістю рівностороннього трикутника ∠����= 60∘ .
= 120∘

1.
2.
3.
https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

154. Побудуйте ромб:
1.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Нехай �������� =���� см, тоді �������� = 2
�������� = �������� + �������� .
Рівняння: ���� +2����=9; 3����=9; ����=3.
Отже, �������� =3 см,
тоді �������� = 2 ⋅3=6 (см).
Відповідь: 6 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

2.
4.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
=∠������������ + ∠������������ ;
∠������������ =36∘ + 36∘ = 72∘ . Розглянемо
+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;
= 180∘ (∠������������ + ∠������������);
= 180∘ (30∘ + 72∘ ) = 78∘ .
���������������� = �������� + �������� + �������� = �������� + �������� + �������� = �������� = 18(см).
30∘ , 78∘ , 72∘ ; 18 см.



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html



https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
; ∠������������ = 90∘ 30∘ = 60∘ .
Відповідь: 60∘ .

170. Чи є правильним твердження:
1. будь-який квадрат є паралелограмом;
2. будь-який ромб є квадратом;
3. будь-який прямокутник є квадратом;
4. будь-який квадрат є прямокутником;
5. будь-який квадрат є ромбом;
6. якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником;
7. якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні,
8. існує ромб, який є прямокутником;
9.
4. так;
5. так;


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

трикутники ������������ i ������������ (∠������������ =∠������������ )


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html





https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html
= 180∘ − (���� + ���� ) = 180∘ − 2���� .
∠������������ =∠������������ + ∠������������ ; ∠������������ = ���� + ����= 2����.
Тому 180∘ − 2����= 2����;
2���� +2����= 180∘ ; ���� + ����= 90∘ .
∠������������ =∠������������ + ∠������������ + ∠������������ ;
∠������������ =∠������������ (∠������������ + ∠������������ );
∠������������ = 180∘ (���� + ����)= 180∘ 90∘ = 90∘ . Отже, ∠������������ = 90∘ , тому �������� ⊥ �������� .


Розглянемо трикутники
1. �������� = �������� за умовою; 2. �������� = �������� за умовою; 3. ∠������������ =∠������������ як вертикальні. Отже, △ ������������ =△������������
трикутників). Тому
