h-8-hm-me

Page 1


https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

SO = OT, RO ≠ OL

сторони: MK і KE, KE і EF, EF і FM, FM і MK. Протилежні

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Позначення чотирикутника: MKCA, KCAM, CAMK.

1) M, K, C, A;

2) MK, KC, CA, AM; 3) M і K, K і C, C і A, A і M;

4) M і C, K і A;

5) MK і KC, KC і CA, CA і AM, AM і MK;

6) MK і AC, MA і KC;

7) MC і KA. 6.

MKEF, STOP, QLNR.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

5x − 20° = 360°;

5x = 380°;

A : ∠B : ∠C : ∠D = 10 :

6

6

x

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

кути. Доведіть, що сторони CD і AD теж рівні. Нехай у чотирикутнику ABCD:

AB = BC, ∠ABD = ∠CBD, BD діагональ.

Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них:

1) AB = BC за умовою;

2) ∠ABD = ∠CBD за умовою; 3) BD спільна сторона.

Отже, △ABD = △CBD за двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників).

Тому AD = BC = 6 см як відповідні

трикутників.

Відповідь: 6 см.

ABCD: AO = OC, BO = OD, BC = 6 см. Розглянемо трикутники AOD

1) AO = OC за умовою; 2) BO = OD за умовою;

3) ∠AOD = ∠COB як

Отже, △AOD = △COB за двома сторонами і

ними (за I ознакою

Тому AD = BC = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.

Відповідь: 6 см.

18. У чотирикутнику MNKP відомо, що MN = NK, MP = PK, ∠M = 100°. Знайдіть

K. Нехай у чотирикутнику MNKP: MN = NK, MP = PK, ∠M = 100° Добудовуємо діагональ PN. Розглянемо

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

ABCD.

shkola.in.ua

AB = 8 см, BC = 10 см.

Нехай у чотирикутнику ABCD:

∠BAC = ∠CAD, ∠BCA = ∠ACD, AB = 8 см, BC = 10 см.

Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них:

1) ∠BAC = ∠CAD за умовою; 2) ∠BCA = ∠ACD за умовою;

3) AC спільна сторона.

Отже, △ABC = △ADC за стороною і двома прилеглими

неї кутами (за I ознакою рівності трикутників).

Тому AB = CD = 8 см, BC = AD = 10 см як відповідні

елементи рівних трикутників.

Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

20. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси

2 = 22°.

Аналогічно ∠KBO = ∠OBA = 56° : 2 = 28° Розглянемо трикутник AOB. У

OAB +

AOB + ∠OBA = 180°;

∠AOB = 180° − (∠OAB + ∠OBA);

∠AOB =180° − (22° + 28°) = 180° − 50° = 130° .

∠AOB і ∠MOK вертикальні, тому ∠AOB = ∠MOK = 130°.

Розглянемо трикутник AKC.

У ньому ∠CAK + ∠AKC + ∠KAC = 180°;

∠AKC = 180° − (∠CAK + ∠KCA);

∠AKC = 180° − (22° + 80°) = 180° − 102° = 78°.

Розглянемо чотирикутник MOKC.

теоремою

∠OMC + ∠MCK + ∠CKO + ∠KOM = 360°;

∠OMC = 360° − (∠MCK + ∠CKO + ∠KOM);

∠OMC = 360° − (80° + 78° + 130°) = 360° − 288° = 72°.

Відповідь: 72°, 80° , 78° , 130° . 2) розглянемо чотирикутник AOBC.

+ ∠AOB + ∠OBC + ∠BCA = 360°;

∠AOB = 360° − (∠CAO + ∠OBC + ∠BCA);

∠AOB = 360° − (22° + 28° + 80°) = 360° − 130° = 230°;

Відповідь: 22°, 230°, 28°, 80° .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1) Нехай у трикутнику ABC ∠A=36° , ∠B=72° . AE і BF висоти, проведені

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°;

∠C = 180° − (∠A + ∠B); 180° − (36° + 72°) = 180° − 108° = 72°.

Оскільки AE висота, то

∠CEA = ∠BEA = 90° .

Аналогічно ∠CFB = ∠BFA = 90°.

Розглянемо чотирикутник CFHE.

За теоремою про суму кутів чотирикутника:

∠CFH + ∠FHE + ∠HEC + ∠ECF = 360°;

∠FHE = 360° − (90° + 90° + 72°) = 360° − 252° = 108°.

Відповідь: 90°, 108°, 90°, 72°.

2) Розглянемо прямокутний трикутник CEA (∠CEA=90°).

Тоді маємо:

∠CAE + ∠ECA = 90°;

∠CAE = 90° − ∠ECA;

∠CAE = 90° − 72° = 18°.

Розглянемо прямокутний трикутник CFB (∠CFB = 90°).

Тоді маємо:

∠FBC + ∠FCB = 90°;

∠FBC = 90° − ∠FCB;

∠FBC = 90° − 72° = 18°.

Розглянемо чотирикутник ACBH.

∠CAH + ∠AHB + ∠HBC + ∠BCA = 360°;

∠AHB = 360° − (∠CAH + ∠HBC + ∠BCA);

∠AHB = 360° − (18° + 18° + 72°) = 360° −

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Нехай ABCD заданий чотирикутник, AC його діагональ.

PABC = 36, PADC = 64 см, PABCD = см.

PABCD = AB + BC + CD + AD,

PABC = AB + BC + AC,

PADC = AD + DC + AC,

звідки PABC + PADC = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC) = (AB + BC + CD + AD) + AC +

AC = PABCD + 2AC;

36 + 64 = 80 + 2AC; 2AC = 20; AC = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

23. Чи можуть сторони чотирикутника дорівнювати:

1) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2) 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?

1) Проведемо у чотирикутнику ABCD діагональ AC.

Розглянемо трикутник ABC.

За нерівністю трикутника маємо: AB < AC + CB.

Аналогічно для трикутника ADC маємо: AC < AD + DC.

Тоді AB < AC + CB < (AD + DC) + CB < AD + DC + CB.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1) Нехай ABCD заданий чотирикутник, ∠A=90° , ∠C=90° , BN і DK бісектриси кутів B і D. Якщо BN бісектриса ∠ABC, то за означенням

бісектриси:

∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.

Нехай ∠ABN = x, тоді ∠NBC = x, ∠ABC = 2x.

Розглянемо прямокутний трикутник BAN (∠A=90°).

За властивістю

∠ANB + ∠ABN = 90° ,

звідки ∠ANB = 90° − ∠ABN = 90° − x.

Розглянемо чотирикутник ABCD. За теоремою

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°;

∠D = 360° − (∠A + ∠B + ∠C) = 360° − (90° + 2x + 90°) = 180° − 2x

Оскільки DK

∠ADK = ∠CDK = 1 2 ∠ADC.

Так як ∠D = ∠ADC = 180° − 2x,

то ∠ADK = ∠CDK = 1 2(180° − 2x) = 90° − x. Розглянемо прямокутний

KDC + ∠DKC = 90° ,

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC. Розглянемо прямокутні трикутники BAD (∠A=90°) і BCD (∠C=90°).

У них ∠ABD = ∠CBD, BD спільна сторона (гіпотенуза), тому за ознакою рівності прямокутних трикутників △BAD = △BCD за

гострим кутом. Тому ∠ADB

маємо, що BD бісектриса ∠ADC. 25. Доведіть, що коли бісектриси

1) Нехай у чотирикутнику ABCD, BN і DK

Розглянемо прямі BN і DK та січну BC.

BN

∠ABN = ∠NBC = 1 2 ∠ABC.

Нехай ∠ABN = ∠DKC = x.

Якщо DK бісектриса

паралельні прямі BN і DK та січну AD.

За означкою паралельних

Тоді ∠ANB = ∠KDC.

Нехай ∠ANB = ∠KDC = y.

Розглянемо трикутник △ANB. За теоремою

D, BN

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC.

Аналогічно за означенням

∠ADB = ∠CDB = 1 2 ∠ADC.

Розглянемо трикутники △BAD і △BCD.

У них ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB за доведенням, BD спільна сторона.

Отже, △BAD = △BCD за стороною і двома прилеглими до неї

рівності трикутників).

Тому ∠A = ∠C як відповідні елементи рівних трикутників.

26. Побудуйте чотирикутник

Дано:

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

P1A1K1 = α

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Дано:

AB = a, BC = b, AD = c сторони чотирикутника ABCD, AC = d, BD = e діагоналі чотирикутника.

Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку A.

З точки A проводжу коло радіуса AB = a, яке перетне пряму m у точці B.

З точки A проводжу коло радіуса AD = c, а з точки B коло радіуса BD = e, які

перетнуться у точці D

Сполучаю відрізком точки A і D.

радіуса AC = d, які перетнуться у точці C.

Сполучаю відрізком точки B і C. Проводжу відрізок DC.

побудований чотирикутник ABCD

AB = a, BC = b, AD = c, AC = d, BD = e

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Дано:

AB = a, BC = b, AD + CD = c, ∠P1A1K1 = α і ∠N1B1M1 = β кути чотирикутника.

Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку B. З точки B

сторони кута, наприклад у точках

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

паралельності прямих маємо, що ∠1 + ∠3 = 20° + 170° = 190° ≠ 180°, тому

паралельні.

31. У чотирикутнику ABCD ∠C = 110°, ∠D = 70°. Доведіть, що BC || AD.

Нехай ABCD чотирикутник,

ознакою паралельності

1) BC і AD;

2) AB і CD?

∠C і ∠D

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

3) BD спільна

△ADB = △

і ∠ABD = ∠CDB. За ознакою паралельності

що прямі AB і CD паралельні.

34. Відрізок BK бісектриса трикутника ABC. Пряма DK паралельна стороні AB і перетинає сторону BC у точці D, ∠BDK = 116°. Знайдіть кут BKD.

Нехай ABC заданий трикутник, BK бісектриса ∠ABC, KD ∥ AB, D ∈ BC, ∠BDK=116°.

Розглянемо паралельні прямі AB і KD та січну BD.

За ознакою паралельних прямих маємо, що ∠ABD + ∠BDK = 180° як внутрішні

односторонні, звідки ∠ABD = 180° − ∠BDK = 180° − 116° = 64°.

Оскільки BK бісектриса, ∠ABC, то

∠ABC, звідки ∠KBC = 64° : 2 = 32°.

Розглянемо трикутник KBD.

За теоремою

∠KBD + ∠BDK + ∠BKD = 180°;

∠ABK = ∠KBC = 1 2

∠BKD = 180° − (∠KBD + ∠BDK) = 180° − (32° + 116°) = 180° − 148° = 32°.

Відповідь: 32°.

35.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

см і 8 см ; 2. 16 см і 4 см ; 3. 12 см і 6 см ?

1. P= 2(���� + ���� );

P= 2(14 +8) = 2 ⋅ 22 = 44(см);

44 см > 40 см − не вистачить;

2. P= 2(���� + ���� );

P= 2(16 +4)= 2 ⋅ 20 = 40(см);

40 см = 40 см − вистачить;

3. P= 2(���� + ���� ); ���� = 2(12 + 6) = 2 ⋅ 18 = 36(см);

36 см < 40 см − вистачить.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

2(5���� + 9���� ) = 28���� (см), що за умовою задачі

Рівняння: 28����= 112;

����= 4.

Отже, одна сторона паралелограма дорівнює

5⋅ 4 = 20(см),

а інша −9⋅ 4 = 36( см).

Відповідь: 1. 22 см; 34 см; 2. 20 см; 36 см.

41. Знайдіть сторони паралелограма, якщо

периметр паралелограма дорівнює 96 см .

112 см.

Нехай одна сторона паралелограма дорівнює ���� см, тоді інша − 5���� см.

Периметр паралелограма дорівнює

2(���� + 5����)= 12���� (см), що за умовою задачі дорівнює 96 см.

Рівняння: 12����= 96; ����= 8

Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 8 (см), а інша −5⋅ 8 = 40 (см).

Відповідь: 8 см; 40 см.

42. У паралелограмі ���������������� відомо, що �������� =6 см, �������� = 10 см, �������� = 8 см,

AO = OC = 1 2 AC = 10 ∶ 2 =5 (см), BO = OD = = 1 2 BD = 8 ∶ 2 = 4 (см).

Тоді PCOD = OC + CD + OD =5 + 6 +4 = 15(см). Відповідь: 15 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

кути, тому іх сума дорівнює 180∘ : ∠A +

130∘ . Тоді ∠B=∠D= 130∘ 3.

можуть бути протилежними,

80∘ , звідки ∠A=∠C= 80∘ як протилежні. Тоді ∠B= 20∘ + 80∘ = 100∘ ; ∠B=∠D= 100∘ як протилежні.

паралелограма:

3���� +7����= 180∘ ; 10����= 180∘ ; ����= 18∘ .

∠A=∠C= 54∘ , ∠B=∠D=

1. 70∘ , 110∘ , 70∘ , 110∘ ;

2. 50∘ , 130∘ , 50∘ , 130∘ ;

3. 80∘ , 100∘ , 80∘ , 100∘ ;

4. 54∘ , 126∘ , 54∘ , 126∘ .

Тоді ∠A=∠C= 60∘ , ∠B=∠D= 120∘ як

2.

Тому ці кути є сусідніми кутами паралелограма:

Нехай ∠A=���� , ∠B=���� + 24∘ .

Рівняння: ���� + ���� + 24∘ = 180∘ ;

2����= 156∘ ; ����= 78∘ .

Тоді ∠A= 78∘ ;

∠B= 78∘ + 24∘ = 102∘ .

Тоді ∠A=∠C= 78∘ ,

∠B=∠D= 102∘ як протилежні.

Biдповідь: 1. 60∘ , 120∘ , 60∘ , 120∘ ; 2. 78∘ , 102∘ , 78∘ , 102∘ .

дано паралелограм ABCD,

∠A= 35∘ , K∈ BC, KM|AC, KN|AB.

Розглянемо чотирикутник AMKN. Оскільки KM|AC, KN|AB, то

∠A= ∠MKN = 35∘

∠A + ∠ANK= 180∘ як

∠ANK= 180∘ −∠A=

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

∠ABD= 68∘ , ∠ADB = 47∘ . Розглянемо трикутник ABD. За теоремою

∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180∘ ,

звідки ∠A= 180∘ (∠ABD + ∠ADB)= 180∘ (68∘ + 47∘ ) =

Тоді ∠A=∠C= 65∘ як протилежні кути

∠A + ∠B= 180∘ як сума сусідніх

65∘ = 115∘ .

Тоді ∠B=∠D= 115∘ як протилежні кути

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

дорівнювати 16 см ?

Нехай дано паралелограм ����������������, �������� =6 см, �������� = 10 см, �������� діагональ.

Розглянемо трикутник ������������ У ньому не виконується нерівність трикутника �������� < �������� + �������� ; 16 < 6 + 10; 16 < 16.

У паралелограма �������� = �������� =6 см, �������� = �������� = 10 см, тому

дорівнювати 16 см.

Відповідь: Не може.

�������� = �������� =3 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

− рівнобедрений,

�������� = 2�������� = 2 ⋅3=6 (см).

Розглянемо рівнобедрений трикутник

Тоді ∠����=∠������������ = 45∘

Оскільки в рівнобедреному трикутнику, висота,

бісектрисою, то

∠������������ = 2∠������������ = 2 ⋅ 45∘ = 90∘ .

Розглянемо паралельні прямі �������� і �������� та січну �������� . Маємо:

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

половині гіпотенузи. Тому �������� = 1 2 �������� .

Нехай �������� =���� см, тоді �������� = 2���� см.

Рівняння: �������������������� = 2(���� +2���� );

36 =6���� ;

����=6.

Отже, �������� =6 см, ?���� = 2 ⋅6= 12( см).

�������� = �������� =6 см і �������� = �������� = 12 см

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Нехай �������� =3���� см,

тоді �������� =5���� см.

�������� = �������� + �������� ;

�������� =3���� + 5����= 8���� (см).

�������� = �������� =3���� см.

Рівняння: 2(3���� +8���� ) = 66;

22����= 66; ����=3

Tому �������� =3⋅3=9 (см),

�������� = 8 ⋅3= 24 (см).

Oтже, �������� = �������� =9 см,

�������� = �������� = 24 см.

Відповідь: �������� = �������� =9 см, �������� = �������� = 24 см

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 90∘ −����

+ ∠������������ = 180∘ як сума

���� + 180∘ 2���� + ∠������������ = 180∘ ;

=���� .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

∠������������ = 90∘ −∠������������;

= 90∘ (180∘ −���� ) =����− 90∘ . ∠������������ + ∠������������ = 180∘ як суміжні,

∠������������ = 180∘ −∠������������ ;

= 180∘ −���� Розглянемо

трикутника маємо:

+ ∠������������ = 90∘ , звідки

= 90∘ −∠������������ ;

= 90∘ (180∘ −���� ) =����− 90∘ .

+ ∠������������

; ∠������������ = 180∘ 150∘ = 30∘ .

катет, який лежить

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

різносторонні.

внутрішні різносторонні. За теоремою

= 180∘ ; ���� + ���� + ����= 180∘ ; 2

=���� +

;

=∠������������ + ∠������������ + ∠������������ ; ∠������������ =���� + ���� + 180∘ 2����=3����.

���� + ����=3����;

����= 2����;

звідки 2 ⋅ 2���� + ����= 180∘ ; 5����= 180∘ ; ����= 36∘ ; ����= 2 ⋅ 36∘ = 72∘ . Отже, ∠����=∠���� = 72∘ ; ∠���� =∠����

180∘ .

∠����=∠���� = 72∘ ; ∠���� =∠���� = 108∘ .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

6 (см).

�������� = �������� + ��������;

�������� = �������� + 5�������� ;

�������� =6�������� ;

6�������� = 24;

�������� = 4( см).

�������� = �������� (�������� + �������� );

�������� = 24 (4 + 6)= 24 10 = 14( см);

2. нехай точка ���� не належить

���� (див. рис.). Якщо �������� = 4��������,4�������� = 24; �������� =6 (см).

�������� = �������� �������� ; �������� =5�������� �������� ;

�������� = 4�������� ;

4�������� = 24; �������� =6 (см).

�������� = �������� ��������; �������� = 24 −6 = 18 (см).

�������� = �������� + �������� ;

�������� =6 + 18 = 24 (см).

Відповідь: 14 см або 24 см .

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

теоремою про суму

+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;

= 180∘ (∠���� + ∠������������

+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;

= 180∘ (∠����

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

1.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

106. Побудуйте паралелограм:

1.

1.

діагональ. Побудувати: паралелограм

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

3.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

+ ∠���� + ∠������������ = 180∘ Тоді ∠������������ + ∠���� = 180∘ −∠������������ ;

+ ∠���� = 180∘ 120∘ = 60∘ ;

=∠���� = 60∘ :2 = 30∘ .

Розглянемо трикутник ������������ . Оскільки ��������

кута 30∘ , маємо: �������� = 2�������� ; �������� = 2 ⋅ 8 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

111.

112.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= �������� + �������� + ��������; ���������������� =5 + 5 + 5= 15( см).

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 90∘ −∠������������;

�������� = 2�������� = 2��������. �������������������� = 2(�������� + �������� );

36 = 2(�������� +2�������� );

36 =6��������; �������� =6( см).

Тоді �������� = 2 ⋅6= 12( см).

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

90∘ −∠������������; ∠������������ = 90∘ 45∘ = 45∘ , тому трикутник ������������ − рівнобедрений (

= 2(�������� + �������� );

30 = 2(�������� +2�������� );

30 =6��������; �������� =5( см )

Тоді �������� = 2 ⋅5= 10( см).

.

Відповідь: 5 см, 10 см. 121.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

A = (x, 0)

B = (0, y) Тоді

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 90∘ −∠������������;

∠������������ = 90∘ 45∘ = 45∘ ,

�������� = �������� i �������� = �������� , то �������� = ��������

Нехай �������� =3���� см, тоді �������� =5���� см.

�������� = �������� + �������� + �������� ; �������� = �������� + �������� + �������� = 2�������� + �������� . �������� = �������� =5���� см як

Рівняння: 55 = 2 ⋅3���� + 5���� ;

55 = 11���� ; ����=5

Тоді �������� =3⋅5= 15( см), �������� =5⋅5= 25( см).

Відповідь: 15 см, 25 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;

= 180∘ (∠������������ + ∠������������ );

= 180∘ (75∘ + 75∘ ) = 30∘ . �������� =

5( см).

Відповідь: 4,5 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

даній стороні.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

кількість сітки?

1) P = 2(a + b) = 2(80 + 65) = 2 ∙ 145 = 290 (м) периметр прямокутника;

2) 2 ∙ 2 + 1 = 5 (м) загальна

довжина, яку треба огородити:

3) 290 - 5 = 285 (м) довжина, яку треба

4) 285 : 10 = 28,5 ≈ 29 (шт)

5) 29 ∙ 850 = 24,650 (грн) мінімальна

Відповідь: 24 650 грн

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Тому такий чотирикутник за ознакою є паралелограмом. А

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

142. Знайдіть кути ромба, якщо

Нехай ���������������� − ромб, �������������������� = 24 см, �������� =3 см. Оскільки

+ ∠���� = 180∘ ; ∠���� = 180∘ −∠���� ; ∠���� = 180∘ 30∘ = 150∘ :

30∘

60∘ , то

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

���� + ���� +8����= 180∘ ;

10����= 180∘ ; ����= 18∘ .

Отже, ∠������������ = 18∘ .

кути ромба.

Нехай ���������������� − ромб, �������� і �������� − діагоналі,

перпендикулярні).

Нехай ∠������������ = 2����

2���� +7����= 90∘ ;

9����= 90∘ ; ����= 10∘ .

Отже,

∠���� = ∠���� = 2 ⋅ 70∘ = 140∘ . Відповідь: 40∘ , 140∘ , 40∘ , 140∘ .

,

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

рівнобедрений (�������� = �������� = 4 см)

Тоді �������������������� = 4�������� = 4 ⋅ 4 = 16 (см).

Оскільки �������� = �������� як сторони паралелограма, то трикутиик ������������

властивістю рівностороннього трикутника ∠����= 60∘ .

= 120∘

1.

2.

3.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

154. Побудуйте ромб:

1.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

Нехай �������� =���� см, тоді �������� = 2

�������� = �������� + �������� .

Рівняння: ���� +2����=9; 3����=9; ����=3.

Отже, �������� =3 см,

тоді �������� = 2 ⋅3=6 (см).

Відповідь: 6 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

2.

4.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

=∠������������ + ∠������������ ;

∠������������ =36∘ + 36∘ = 72∘ . Розглянемо

+ ∠������������ + ∠������������ = 180∘ ;

= 180∘ (∠������������ + ∠������������);

= 180∘ (30∘ + 72∘ ) = 78∘ .

���������������� = �������� + �������� + �������� = �������� + �������� + �������� = �������� = 18(см).

30∘ , 78∘ , 72∘ ; 18 см.

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

; ∠������������ = 90∘ 30∘ = 60∘ .

Відповідь: 60∘ .

170. Чи є правильним твердження:

1. будь-який квадрат є паралелограмом;

2. будь-який ромб є квадратом;

3. будь-який прямокутник є квадратом;

4. будь-який квадрат є прямокутником;

5. будь-який квадрат є ромбом;

6. якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником;

7. якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні,

8. існує ромб, який є прямокутником;

9.

4. так;

5. так;

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

трикутники ������������ i ������������ (∠������������ =∠������������ )

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

https://shkola.in.ua/2406-hdz-heometriia-8-klas-merzliak-2016.html

= 180∘ − (���� + ���� ) = 180∘ − 2���� .

∠������������ =∠������������ + ∠������������ ; ∠������������ = ���� + ����= 2����.

Тому 180∘ − 2����= 2����;

2���� +2����= 180∘ ; ���� + ����= 90∘ .

∠������������ =∠������������ + ∠������������ + ∠������������ ;

∠������������ =∠������������ (∠������������ + ∠������������ );

∠������������ = 180∘ (���� + ����)= 180∘ 90∘ = 90∘ . Отже, ∠������������ = 90∘ , тому �������� ⊥ �������� .

Розглянемо трикутники

1. �������� = �������� за умовою; 2. �������� = �������� за умовою; 3. ∠������������ =∠������������ як вертикальні. Отже, △ ������������ =△������������

трикутників). Тому

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
h-8-hm-me by sloven - Issuu