Геометрия 9 класс Мерзляк 2009 by sloven

УДК 373:512 ББК 22.151я721 М52

Издано за счет государственных средств Продажа запрещена Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (Приказ от 02.02.2009 г. № 56) Ответственные за подготовку к изданию: Главный специалист Министерства образования и науки Украины Н. С. Прокопенко Методист высшей категории Института инновационных технологий и содержания образования О. А. Литвиненко Эксперты, которые провели экспертизу и рекомендовали учебник к изданию: О. В. Горелова, учитель-методист общеобразовательной школы № 10 г. Измаила Одесской области Е. М. Петечук, методист Закарпатского института последипломного педагогического образования Е. Н. Синюкова, преподаватель кафедры геометрии Южноукраинского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского г. Одессы, кандидат физикоматематических наук, доцент В. В. Шарко, заведующий отделом топологии Института математики НАН Украины, доктор физикоматематических наук, профессор Т. Н. Хмара, ведущий научный сотрудник лаборатории математического и физического образования Института педагогики АПН Украины, кандидат педагогических наук

КВМ 978-966-474-020-0

ОТ АВТОРОВ

Дорогие девятиклассники! В этом учебном году вы продолжите изучение геометрии. Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую науку, а значит, с интересом будете овладевать новыми знаниями, и этому будет способствовать учебник, который вы держите в руках. Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой. Учебник разделен на шесть параграфов, каждый из ко торых состоит из пунктов. В пунктах изложен теоретиче ский материал. Особое внимание обращайте на текст, вы деленный жирным шрифтом. Также обращайте внимание на слова, напечатанные курсивом. Как правило, изложение теоретического материала за вершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформле ния решения. К каждому пункту подобраны задачи для самостоятель ного решения, к которым мы советуем приступать только после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи (особенно те, которые обозначены «звез дочкой» (*)). Свои знания можно проверить, решая задачи в тестовой форме из рубрики «Проверь себя». Если после выполнения домашних заданий остается сво бодное время и вы хотите знать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда сделаны уроки». Материал, изложенный там, непрост. Но тем интереснее испытать свои силы! Дерзайте! Желаем успеха! 3

Уважаемые коллеги! Мы надеемся, что этот учебник станет надежным по мощником в вашем нелегком и благородном труде, и будем искренне рады, если он вам понравится. В книге собран обширный и разнообразный дидактиче ский материал. Однако за один учебный год все задачи решить невозможно, да в этом и нет необходимости. Вместе с тем намного удобнее работать, когда есть значительный запас задач. Это дает возможность реализовать принципы уровневой дифференциации и индивидуального подхода в обучении. Красным цветом отмечены номера задач, которые реко мендуются для домашней работы, синим цветом — номера задач, которые с учетом индивидуальных особенностей уча щихся класса на усмотрение учителя можно решать устно. Материал рубрики «Когда сделаны уроки» можно ис пользовать для работы математического кружка и факуль тативных занятий. Желаем творческого вдохновения и терпения.

п п п" п

О- »

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ задания, соответствующие начальному и среднему уровням учебных достижений; задания, соответствующие достаточному уровню учебных достижений; задания, соответствующие высокому уровню учебных достижений; задачи для математических кружков и факультативов; задачи, в которых получен результат, который можно использовать при решении других задач; доказательство теоремы, соответствующее достаточному уровню учебных достижений; доказательство теоремы, соответствующее высокому уровню учебных достижений;

доказательство теоремы, не обязательное для изучения; окончание доказательства теоремы. 4

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В этом параграфе вы узнаете, что представляют собой синус, косинус и тангенс угла а, где 0° < а < 180°. Вы научитесь по двум сторонам треугольника и углу между ними находить третью сторону, а также по стороне и двум приле жащим кней углам находить две другие стороны треугольника. В8 классе вы научились решать прямоугольные треугольники. Изучив материал этого параграфа, вы сможете решать любые треугольники. Вы узнаете о новых формулах, с помощью которых можно на ходить площадь треугольника.

1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° д о 180° Перед изучением этого пункта рекомендуем повторить содержание пункта 14 на с. 249. Понятия «синус», «косинус» и «тангенс» острого угла вам знакомы из курса геометрии 8 класса. Расширим эти понятия для любого угла а, где 0° < а < 180°. В верхней полуплоскости координатной плоскости рас смотрим полуокружность с центром в начале координат, радиус которой равен 1 (рис. 1). Такую полуокружность называют единичной. Будем говорить, что углу а (0° < а < 180°) соответствует точка М единичной полуок ружности, если Z МОА = а, где точки О и А имеют соот ветственно координаты (0; 0) и (1; 0) (рис. 1). Например, на рисунке 1 углу, равному 90°, соответствует точка С; углу, равном у 180°, — точка В; углу, равному 0°, — точка А. 5

§ 1. Решение треугольников

Пусть а — острый угол. Ему соответствует некоторая точка М (х ; у) дуги АС (рис. 2). Из прямоугольного тре угольника ОМИ имеем: ON MN cos а = sin а = ом' ОМ ' Поскольку ОМ = 1, ON = х, M N - у, то cos а = х, sin а = у. Итак, косинус и синус острого угла а — это соответствен но абсцисса и ордината точки М единичной полуокружности, соответствующей углу а. Полученный результат подсказывает, как определить синус и косинус любого угла а, где 0° < а < 180°. О п р е д е л е н и е . К о с и н у с о м и с и н у с о м угла а (0° < а < 180°) называют соответственно абсциссу х и ор динату у точки М единичной полуокружности, соответ ствующей углу а (рис. 3). Пользуясь таким определением, м ожно, например, записать: sin 0 ° = 0, cos0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = -1 .

Рис. 2

Рис.

Если М (х ; у) — произвольная точка единичной полу окружности, то -1 < х < 1 и 0 < у < 1. Следовательно, для любого угла а, где 0° < а < 180°, имеем: 0 < sin а < 1, -1 < cosa < 1. Если а — тупой угол, то абсцисса точки единичной по луокружности, соответствующей этому углу, отрицательна. Следовательно, косинус тупого угла является отрицатель 6

1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°

ным числом. Понятно, что справедливо и такое утвержде ние: если cos а < 0, то а — тупой или развернутый угол. Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что для любого острого угла а sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а Эти формулы остаются справедливыми и для а = 0°, и для а = 90° (убедитесь в этом самостоятельно). Пусть углам а и 180° - а, где а Ф 0°, а Ф 90° и а Ф 180°, соответствуют точки М (я; ; у х) и N (х ; у 2) единичной по луокружности (рис. 4).

Прямоугольные треугольники ОМ М 1 и ONN1 равны по ги потенузе и острому углу (ON = ОМ = 1, Z М ОМ л = Z NON1 = = а). Отсюда У2 = У1 и х 2 = - x v Следовательно, sin (180° - а) = sin а, cos (180° - а) = - cos а Убедитесь самостоятельно, что эти равенства остаются верными для а = 0°, а = 90°, а = 180°. Если а — острый угол, то, как вы знаете из курса гео метрии 8 класса, справедливо тождество sin2 а + cos2 а = 1, которое остается верным для а = 0°, а = 90°, а = 180° (убе дитесь в этом самостоятельно). 7

—i \j

§ 1. Решение треугольников

Пусть а — тупой угол. Тогда угол 180° - а является острым. Имеем: sin12 а + cos2 а = (sin (180° - а))2 + (-cos (180° - а))2 = = sin2 (180° - а) + cos2 (180° - а) = L Следовательно, равенство sin2 а + cos2 а = 1 выполняется для всех 0° < а < 180°. О п р е д е л е н и е . Т а н г е н с о м угла а, где 0° < а < 180° и а Ф 90°, называют отношение tg a =

sin а cos а

, то есть

sin а cos а

Поскольку cos 90° = 0, то tg a не определен для а = 90°. Очевидно, что каждому углу a (0° < a < 180°) соответ ствует единственная точка единичной полуокружности. Значит, каждому углу а соответствует единственное число, которое является значением синуса (косинуса, тангенса для а Ф 90°). Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса) от величины угла является функциональной. Функции / (a) = sin a, g (а) = cos a, h (а) = tg a , соответ ствующие этим функциональным зависимостям, называют тригонометрическими функциями угла а. О—* З а д а ч а . Докажите, что tg(180° - a) = - t g a . Реш ение _ sin(180°-a) _ sina _ sina tg (180°- a ) = - t g a. cos(180°-a) -cos a a Пр и м е р . Найдите sin 120°, cos 120°, t g l2 0 Р е ш е н и е . Имеем: sin 120° = sin (180° -6 0 °) = sin 60° = — ; cos 120° = cos (180° - 60°) = -c o s 60° = tg 120° = tg (180°-60°) = - tg 60° = S . 1. Какую полуокружность называют единичной? 2. Поясните, в каком случае говорят, что углу а соответствует точка М единичной полуокружности. 8

1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°

3. Что называют синусом угла а, где 0° < а < 180°? 4. Что называют косинусом угла а, где 0° < а < 180°? 5. Чему равен sin0°? cos 0°? sin90°? cos90°? sin180°? cos180°? 6 . В каких пределах находятся значения sin а, если 0° < а < 180°? 7. В каких пределах находятся значения cos а, если 0°<а<180°? 8 . Каким числом, положительным или отрицательным, является синус острого угла? синус тупого угла? косинус острого угла? косинус тупого угла? 9. Каким углом является угол а, если cos а < О7 10. Чему равен sin (180° - а)? cos (180° - а)? 11. Как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла? 12. Что называют тангенсом угла а, где 0° < а < 180° и < хф 90°? 13. Почему tga не определен для а = 90°? 14. Какое общее название имеют функции / (a) = sina, g (a) = cosa и h (a) =tga? ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

1.° Начертите единичную полуокружность, взяв за еди ничный отрезок пять клеточек тетради. Постройте угол, вершиной которого является начало координат, а одной из сторон — положительная полуось х : 2) 3) 4) 5) 6)

косинус которого равен -0 ,4 ; синус которого равен 0,6; синус которого равен 1; косинус которого равен 0; косинус которого равен -1 .

УПРАЖНЕНИЯ 2.° Чему равен: 1) sin(180° - а), если s in a = -;

З2

2) cos(180° - a), если cosa = 0,7; 9

§ 1 . Решение треугольников

V 3) соз(180° - а), если с о за = -

;

4) tg(180o - а), если tg а = -5? 3. ° Углы а и В смежные, со эа = - —. 6 1) Найдите сое В2) Какой из углов а и В является острым, а какой — ту пым? 4 . ° Найдите значение выражения: 1) 2 в т 9 0 ° + З соб 0°; 4) 6 t g l 8 0 o + б е т 180°; 2) З в тО 0 - 5 сое 180°; 5) соз2165° + з т 2165°; 3) tg 2 3 o• tg 0 o• t g l 0 6 o; 6) 81п(' +81п90° cos 0 ° -cos 90° 5. ° Вычислите: 1) 4 cos 90° + 2 cos 180°; 2) cos0° - cos 180° + sin 90°. 6 Чему равен синус угла, если его косинус равен: 1) 1; 2) 0 ? 7 Чему равен косинус угла, если его синус равен: 1) 1; 2) 0 ? 8 . ° Найдите sin 135°, cos 135°, tg l3 5 ° . 9 . ° Найдите sin 150°, cos 150°, tg !5 0 °. 10. ° Существует ли угол а, для которого: 1) s in a = - ;

оч c o sa = — л/з ; 3) 5

5) cosa = 1,001;

2) sin a = 0,3;

4) cosa = -0 ,9 9 ;

л/б. 6) s in a = — ?

11.* Найдите: 1) cosa, если s in a = - и 0° < a < 90°; 5 2) cosa, если s in a = - и 90° < a < 180°; 3 c 3) cosa, если s in a = — ; 4 4) sin a , если cosa = -0 ,8 . 12.* Найдите: 14 5; 1) cosa, если s m a = — 2) sin a , если c o sa = - . 6

1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°

1 3 / Верно ли утверждение (ответ обоснуйте): 1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла; 2) существует угол, синус и косинус которого равны; 3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю; 4) косинус угла треугольника может быть равным от рицательному числу; 5) синус угла треугольника может быть равным отри цательному числу; 6) косинус угла треугольника может быть равным нулю; 7) синус угла треугольника может быть равным нулю; 8) косинус угла треугольника может быть равным -1 ; 9) синус угла треугольника может быть равным 1; 10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла; 11) косинус развернутого угла меньше косинуса угла, отличного от развернутого; 12) синусы смежных углов равны; 13) косинусы неравных смежных углов являются про тивоположными числами; 14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы; 15) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы; 16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла? 1 4 / Сравните с нулем значение выражения: 1) sin 110° cos 140°; 3) sin 128° cos2 130° tg92°; 2) s in 80° cos 100° cos 148°; 4) sin 70° cos90° tg l0 4 ° . 1 5 / В треугольнике ABC известно, что Z В = 60°, точ ка О — центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла АОС? 1 6 / Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь ник ABC, cos Z ВОС = - л

Найдите угол А треугольника.

1 7 / Найдите значение выражения: 1) 2 sin 120° + 4 cos 150° - 2 tg l3 5 °; 2) cos 120° - 8 sin2150° + 3 cos90° cos 162°; 3) cos 180° (sin 135° tg60° - cos 135°)2. 11

§ 1. Решение треугольников

18. * Чему равно значение выражения: 1) 2 в т 1 5 0 ° - 4 сое 120°; 2) 8т 9 0 ° 0^ 150° сое 135° - 1^120о сов135°)2? 19. * Найдите значение выражения, не пользуясь табли цами и калькулятором: віп18°

’ віпівг0’

сое 18°

сое 1 6 2 ° ’

СОБІЗІ0 ’

4£-18° 3)

4£-162'

20.* Вычислите: віп28°

' віпібг0’

сое 49°

4£-12° 3)

Ь £ І6 8 С

21. * Найдите сумму квадратов синусов всех углов пря моугольного треугольника. 22. * Найдите сумму квадратов косинусов всех углов пря моугольного треугольника. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 23. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найди те диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма. 24. Прямая СЕ параллельна боковой стороне АВ трапеции АВСБ и делит основание АО на отрезки АЕ и Б Е такие, что АЕ = 7 см, БЕ = 10 см. Найдите среднюю линию трапеции. ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ 25. Две стороны треугольника равны 8 см и 11 см. Может ли угол, противолежащий стороне длиной 8 см, быть: 1) тупым; 2) прямым? Ответ обоснуйте. 26. В треугольнике АВС проведена высота В Б, Z А = 60°, Z С = 45°, АВ - 10 см. Найдите сторону ВС. 27. Найдите высоту В Б треугольника АВС и проекцию стороны АВ на прямую АС, если Z ВАС = 150°, АВ = 1 2 см. 12

2. Iеорема косинусов

2. Теорема косинусов Из первого признака равенства треугольников следует, что две стороны и угол между ними однозначно определяют треугольник. А значит, по указанным элементам можно, например, найти третью сторону треугольника. Как это сделать, показывает следующая теорема. Т е о р е м а 2.1 ( т е о р е м а к о с и н у с о в ) . К ва др а т ст ороны т р еуго л ьн и к а р а вен сум м е квадрат ов д вух други х сторон м инус удвоенное произведение этих сто рон и косинуса у гл а между ними. В Д о к а за т ел ьст во . © Рассмотрим тре угольник АВС. Докажем, например, что ВС2 = А В 2 + АС2 - 2АВ -АС • cosA. Возможны три случая: 1) угол А — острый; 2) угол А — тупой; 3) угол А — прямой. • Рассмотрим первый случай. Если Z А < 90°, то тогда хотя бы один из углов В и С является острым. Пусть, на пример, Z С < 90°. Проведем высоту BD (рис. 5). Из Д ABD получаем: BD = АВ • sin A, AD = АВ • cos А. Из ABDC получаем: ВС2 = BD2 + CD2 = = BD2 + (АС - AD)2 = АВ2-sin2А + (АС - АВ- cos А)2 = = АВ2• sin2 А + АС2 - 2АС •АВ • cos А + АВ2• cos2 А = = АВ2• (sin2 А + cos2А) + АС2 - 2АС •АВ • cos А = = АВ2 + АС2 - 2AB-AC-cos А. Если Z С > 90°, то Z В < 90°. Тогда надо провести высо ту треугольника АВС из вершины С. Дальнейшее доказа тельство аналогично рассмотренному. • Для случая, когда угол А — тупой, В проведем высоту BD треугольника АВС (рис. 6). Из Д A B D получаем: BD = АВ х х sin Z BAB = А В -s in (180° - Z ВАС) = = А В • sinZ ВАС, АВ = А В • cosZ BAD = = АВ • cos (180° - Z ВАС) = = -А В -cosZ ВАС. 13

1Ж V -

§ 1 . Решение треугольников

Из Д BDC получаем: ВС2 = BD2 + CD2 = BD2 + (АС + AD)2 = = АВ2• sin2 Z ВАС + (АС - АВ • cos Z ВАС)2 = = А В 2 + АС2 - 2А В-АС • cosZ ВАС. В • Если угол А — прямой (рис. 7), то cosA = 0. Доказываемое равенство прини мает вид ВС2 = А В 2 + АС2 и выражает теорему Пифагора для треРис. 7 угольника ABC (Z А = 90°). А Та часть доказательства, в которой рассмотрен случай, когда Z А — прямой, показывает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов. Поэтому тео рема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Если воспользоваться обозначением для сторон и углов треугольника АВС (см. форзац), то, например, для сторо ны а можно записать: а2 - Ь2 + с2 - 2be cos а. С помощью теоремы косинусов, зная три стороны тре угольника, можно определить, является ли он остроуголь ным, тупоугольным или прямоугольным. Т е о р е м а 2.2 ( с л е д с т в и е и з т е о р е м ы к о с и н у с о в). П уст ь а, Ъ и с — ст ороны т реугольн и ка АВС, причем а — его наибольш ая сторона. Если а2 < Ъ2 + с2, то т реугольни к ост роугольны й. Если а2 > Ъ2 + с2, то т реугольник т упоугольны й. Если а2 - Ъ2 + с2, то т ре угольник прям оугольны й. Д о к а за т ел ь ст во . © Имеем: а2 = Ъ2 + с2 - 2&ccosa. Отсюда 2be cos а = Ъ2 + с2 - а2. Пусть а2 < Ъ2 + с2. Тогда Ь2 + с2 - а2 > 0. Следовательно, 2be cos а > 0, то есть cos а > 0. Поэтому угол а — острый. Поскольку а — наибольшая сторона треугольника, то против нее лежит наибольший угол, который, как мы до казали, является острым. Следовательно, в этом случае треугольник является остроугольным. Пусть а 2 > Ъ2 + с2. Тогда Ъ2 + с2 - а2 < 0, а значит, 2&ccosa < 0, то есть cos а < 0. Следовательно, угол а — тупой. 14

2. Iеорема косинусов

Пусть а2 - Ъ2 + с2. Тогда 2be cos а = 0, то есть cos а = 0. Отсюда а = 90°. А О—ш З а д а ч а . Докажите, что сумма квадратов диаго налей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Р е ш е н и е . На рисунке 8 изображен параллелограмм ABCD. Пусть АВ = CD - а, ВС = AD - Ь, В Ъ с Z B A D = а, тогда Z ADC = 180° - а. Из Д ABD по теореме косинусов BD2 = а2 + Ь2 - 2ab cos а. (1) Из Д ACD по теореме косинусов АС2 = а2 + Ъ2 - 2ab cos (180° - а) или АС2 = а2 + Ь2 + 2a5cosa. (2) Сложив равенства (1) и (2), получим BD2 + АС2 = 2 а2 + 2Ъ*ш П р и м е р 1. В треугольнике АВС сторона АВ на 4 см больше стороны ВС, Z В = 120°, АС = 14 см. Найдите сто роны АВ и ВС. Р е ш е н и е . По теореме косинусов АС2 = А В 2 + ВС2 - 2АВ-ВС cos В. Пусть ВС = х см, х > 0, тогда АВ = (х + 4) см. Имеем: 142 = (х + 4)2 + х 2 - 2х (х + 4) cos 120°; 196 = х 2 + 8х + 1б + х 2 - 2 х (х + 4) • 196 = 2х2 + 8х + 16 + х (х + 4); Зх2 + 12х - 180 = 0; х2 + 4х - 60 = 0; х х = 6; х2 = -1 0 . Корень х 2 = -1 0 не удовлетворяет условию х > 0. Следовательно, ВС = 6 см, АВ = 10 см. О т в е т : 10 см, 6 см. П р и м е р 2. На стороне АС треугольника АВС отметили точку D так, что CD : AD = 1 : 2 . Найдите отрезок BD, если АВ = 14 см, ВС - 13 см, АС = 15 см. 15

§ 1. Решение треугольников

Рис. 9

Р е ш е н и е . По теореме косинусов из А АВС (рис. 9): АВ2 - АС2 + ВС2 - 2АС-ВС со вС, отсюда п

АС2 + ВС2 - А В 2 2А С -В С

152 + 1 3 2 - 1 4 2 2 -15 -13

225 + 1 6 9 -1 9 6 2 -15 -13

33 65

Поскольку СП : АО = 1 : 2, то СО = —АС = 5 см. Тогда из Д ВСО: ВО2 = ВС2 + С 02-2В С -СО- соэ С = = 132+ 52- 2 - 1 3 - 5 - — = 128. 65

Следовательно, ВО = -у/128 = 8 >/2 (см). О т в е т : 8л/2

см.

П р и м е р 3. Две стороны треугольника равны 23 см и 30 см, а медиана, проведенная к большей из известных сторон, — 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Р е ш е н и е . Пусть в треугольнике АВС (рис. 10) АС = 23 см, ВС = 30 см, отрезок А М — медиана, А М = 10 см. На продолжении отрезка А М за точку М отложим от резок МО, равный медиане А М . Тогда АО = 20 см. В четырехугольнике АВОС диагонали АО и ВС точкой М пересечения делятся пополам (ВМ = МС по условию, А М = МО по построению). Следовательно, четырехугольник АВОС — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма имеем: АО2 + ВС2 = 2 (АВ2 + АС2). Тогда 202 + 30« = 2 (АВ2 + 232); 16

2. Іеорема косинусов

400 + 900 = 2 (AB2 + 529); A B 2 = 121; AB = 11 см. О т в е т : 11 см. * 1. Сформулируйте теорему косинусов. 2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами а, Ьис, где а - его наибольшая сто рона, если: 1) а2< Ь2+ с2; 2) а2 >Ь2+ с2; 3) а2 = Ь2+ с2? 3. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма? УПРАЖНЕНИЯ 28.” Найдите неизвестную сторону треугольника АВС, если: 1) АВ = 5 см, ВС = 8 см, ZB = 60°; 2 ) АВ = 3 см, АС = 2^2 см, ZA = 135°, 29. Найдите неизвестную сторону треугольника DEF, если: 1) DE = 4 см, DF = 2 у/ з c m , ZD = 30°; 2) DF = 3 см, EF = 5 см, Z F = 120°. 30. ° Стороны треугольника равны 12 см, 20 см и 28 см. Найдите наибольший угол треугольника. 31. Стороны треугольника равны VÎ8 см, 5 см и 7 см. Найдите средний по величине угол треугольника. 32. ° Установите, остроугольным, прямоугольным или ту поугольным является треугольник, стороны которого равны: 1) 5 см, 7 см и 9 см; 3) 10 см, 15 см и 18 см. 2) 5 см, 12 см и 13 см; 33. ° Стороны треугольника равны 7 см, 8 см и 12 см. Верно ли утверждение, что данный треугольник — остро угольный? 34. ° Докаж ите, что треугольник со сторонами 8 см, 15 см и 17 см является прямоугольным. 17

§ 1. Решение треугольников

35. ° Стороны параллелограмма равны 2у[2 см и 5 см, а один из углов равен 45°. Найдите диагонали параллело грамма. 36. ° В трапеции АВСН (ВС || АО) известно, что ВС = 3 см, АН = 10 см, СН = 4 см, / Н = 60°. Найдите диагонали тра пеции. 37. ° На стороне АВ равностороннего треугольника АВС отмечена точка Н так, что АН : ПВ = 2 : 1 . Найдите отрезок СН, если АВ = 6 см. 38. ° На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отмечена точка М так, что А М : В М = 1 : 3 . Найдите от резок СМ, если АС = ВС = 4 см. 39. * Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен

Найдите третью сторону тре-

угольника. Сколько решений имеет задача? 40. * В треугольнике АВС известно, что / С = 90°, АС = = 20 см, ВС = 15 см. На стороне АН отметили точку М так, что В М - 4 см. Найдите длину отрезка СМ. 4 1. * На продолжении гипотенузы АН прямоугольного равнобедренного треугольника АВС за точку В отметили точку В так, что ВВ = ВС. Найдите отрезок СВ, если катет треугольника АВС равен а. 42. * В треугольнике АВС известно, что / С = 90°, АН = = 13 см, АС = 1 2 см. На продолжении гипотенузы АН за точку В отметили точку В так, что ВВ = 26 см. Найдите длину отрезка СВ. 4 3. * Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях а и Ъ от концов гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника. 44. *Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, ВС = а, АС = Ъ, Z АОВ = 120°. Найдите сторону АВ. 45. * Две стороны треугольника, угол между которыми равен 60°, относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника. 18

2. Iеорема косинусов

46. Две стороны треугольника относятся как 1 : 2-у/з и об разуют угол, равный 30°. Третья сторона треугольника равна 2 л/7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника. 47. * Сумма двух сторон треугольника, образующих угол 120°, равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника. 48. * Две стороны треугольника, угол между которыми равен 120°, относятся как 5 : 3. Найдите стороны треуголь ника, если его периметр равен 30 см. 49. * Две стороны треугольника равны 16 см и 14 см, а угол, противолежащий меньшей из известных сторон, равен 60°. Найдите неизвестную сторону треугольника. 50»* Две стороны треугольника равны 15 см и 35 см, а угол, противолежащий большей из известных сторон, равен 120°. Найдите периметр треугольника. 51. * На стороне ВС треугольника АВС отметили точку В так, что СВ = 14 см. Найдите отрезок АВ, если АВ - 37 см, ВС - 44 см и АС = 15 см. 52. * На стороне АВ треугольника ЛВС отметили точку К , а на продолжении стороны ВС за точку С — точку М . Най дите отрезок М К , если АВ = 15 см, ВС = 7 см, АС = 13 см, А К = 8 см, МС = 3 см. 53. * Одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, а угол между этими сторонами составляет 60°. Докажите, что данный треугольник является прямоугольным. 54. * Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен 120°. 55. * Докажите, что если квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату разности двух других сторон, то противолежащий этой стороне угол равен 60°. 56. * Две стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей — 12 см. Найдите вторую диагональ параллелограмма. 57. * Диагонали параллелограмма равны 13 см и 11 см, а одна из сторон — 9 см. Найдите периметр параллело грамма. 19

§ 1. Решение треугольников

5 8 / Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см, а одна из сторон на 2 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма. 5 9 / Стороны параллелограмма равны 11 см и 23 см, а его диагонали относятся как 2 : 3 . Найдите диагонали парал лелограмма. 60.” В трапеции АВСВ (АО || ВС) известно, что АВ = 5 см, ВС = 9 см, АО = 16 см, соэ А = —. Найдите сторону СВ тра пеции. 61. " В трап ец и и А В С В (АВ || ВС) из ве стно, что АВ = у115 см, ВС = 6 см, СВ = 4 см, А В = 1 1 см. Найдите косинус угла В трапеции. 62. " Найдите диагональ АС четырехугольника А В С В , если около него можно описать окружность, и АВ = 3 см, ВС - 4 см, СВ - 5 см, А В - 6 см. 63. ’ Можно ли описать окружность около четырехугольни ка АВСВ, если АВ = 4 см, АО = 3 см, ВВ = 6 см и / С = 30°? 64. " Докажите, что против большего угла параллелограм ма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 65. " Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вер шины его наибольшего угла. 66. " Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона — 20 см. Найдите биссектрису треуголь ника, проведенную из вершины угла при его основании. 67. " Стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его большей стороне. 68. " Основание равнобедренного треугольника равно 4л/2 см, а медиана, проведенная к боковой стороне, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника. 6 9. " Две стороны треугольника равны 12 см и 14 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 7 см. Найди те неизвестную сторону треугольника. 70. " В треугольнике АВС известно, что АВ - ВС, Z АВС = = 120°. На продолжении отрезка АВ за точку В отметили 20

2. Iеорема косинусов

точку Б так, что В Б - 2АВ. Докажите, что треугольник АС Б равнобедренный. 71.“ Докажите, что тс =^л12а2+ 2Ь2 - с 2, где а, Ъ и с — стороны треугольника, тс — медиана треугольника, про веденная к стороне с. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 72. В окружности проведены диаметр АС и хорда АВ, рав ная радиусу окружности. Найдите углы треугольника АВС. 73. Один из углов, образовавшихся при пересечении бис сектрисы угла параллелограмма с его стороной, равен одному из углов параллелограмма. Найдите углы параллелограмма. 74. В треугольник АВС вписан параллелограмм АБЕЕ так, что угол А у них общий, а точки Б , Е и Б принадлежат соответственно сторонам АВ, ВС и АС треугольника. Най дите стороны параллелограмма А БЕ Е , если АВ = 8 см, АС = 12 см, А Б : АЕ = 2 : 3. ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ

75. Найдите угол АБС (рис. 11), если Z АВС - 140°. 76. Найдите угол АВС (рис. 12), если Z АБС = 43°. D

Рис. 11

равен Б, А АВС - а (рис. 13). Найдите хорду АС. Обновите в памяти содержание пункта 8 на с. 247. 21

§ 1. Решение треугольников

В. Теорема синусов Из второго признака равенства треугольников следует, что сторона и два прилежащ их к ней угла однозначно определяют треугольник. Следовательно, по указанным элементам можно найти две другие стороны треугольника. Как это сделать, подсказывает такая теорема. Т е о р е м а 3.1 ( т е о р е м а с и н у с о в ) . Стороны т ре угольника пропорциональны синусам противолеж ащих углов. Л е м м а . Х орда окруж ности ра вн а произведению диа м ет ра на синус любого вписанного угл а , опирающ егося на эт у хорду. Д о к а з а т е л ь с т в о . © На ри сунке 14 отрезок МЫ — хорда окружности с центром в точке О. Проведем диаметр М Р . Тогда А М И Р = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр. Пусть величина вписанного угла М РИ равна а. Тогда из прямоугольного треугольника М РИ получаем М И = М Р віпа. (1) Все вписанные углы, опираю щиеся на хорду МЫ, равны а или 180° - а. Следовательно, их синусы равны. Поэтому полученное равенство (1) спра ведливо для всех вписанных углов, опирающихся на хор ду МАГ. А Теперь мы можем доказать теорему синусов. Д о к а за т ел ь ст во . © Пусть в треугольнике АВС извест но, что АВ = с, ВС - а, СА - Ъ. Докажем, что а sin A

Ь _ sin В

с sin С*

Пусть радиус описанной окружности треугольника АВС равен R. Тогда по лемме а - 2B sinA , b = 2 B sin B , с - 2R sin С. Отсюда 22

3. Теорема синусов

-^ - =J ^ =^ = 2 R sin A

sin В

sin С

▲

С л е д с т в и е . Радиус описанной окружности т реуголь ника можно вычислит ь по ф орм уле R=

а 2 sin а ’

где а — сторона т реугольника, а — противолежащий ей угол. П р и м е р 1. В треугольнике АВС известно, что АС = = S см, ВС = 1 см, Z В = 45°. Найдите угол А. Р е ш е н и е . По теореме синусов ВС _ АС sin A sin В

Тогда имеем: 1 2' Поскольку ВС < АС, то Z А < Z В. Следовательно, Z А — 1 острый. Отсюда, учитывая, что sin А = получаем А А = 30°. 2’ О т в е т : 30°. П р и м е р 2. В треугольнике АВС известно, что АС см, ВС = 1 см, Z 4 = 30°. Найдите угол В. Р е ш е н и е . Имеем: С ВС _ АС .

ВС sin В

1 - sin 45°

sin А = ---------АС

sin A „

sin В ’

АС sin А ВС

у2 2

sin В = ----------= — . Так как ВС < АС, то Z А < Z В. Тогда угол В может быть как острым, так и тупым. Отсюда Z В - 45° или Z В = 180р - 45° = 135°. О т в е т : 45° или 135°. П р и м е р 3. На стороне АВ треугольника АВС (рис. 15) отметили точку В так, что Z ВВС = у, АВ = т. Найдите ВВ, если А А = а, Z В = [3. 23

IX V -

§ 1 . Решение треугольников

Р е ш е н и е . A BDC — внешний угол треугольника ADC. Тогда Z ACD + Z А = Z BDC, отсюда Z ACD - у - ос. Из Д ADC по теореме синусов: CD _ АР sin Z CAD ~ sin Z ACD ' AD sin Z CAD

Следовательно, CD = sin. ACD Из Д BCD: BD sin Z BCD

BD =

CD sin Z BCD sin. CBD

О т вет :

m sin a sin ( y - a )

CD sin Z CBD

m sin a sin (180° - (P + y)) sin P sin ( y - a )

m sin a sin (P + y) sin P sin ( y - a )

П р и м е р 4. Отрезок ВО — бис сектриса треугольника АВС, А В - 30°, А С - 105°. Найдите радиус окружности, описанной около треВ угольника АВС, если радиус окруж ности, описанной около треугольни ка ВОС, равен 8>/б см. Р е ш е н и е . Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника в Ь с (рис. 16), В1 = 8\[б см. Z CBD = - А АВС = 15е Из Д BDC: ABDC = 180° (Z CBD + А С ) = 180° гг,

Тогда

-ВС

sin

z BDC = 2Rv

(15° + 105°) = 60°

отсюда

ВС = 2Rx sin Z BDC = 2 ■8^6 sin 60° = 2442 ( c m ). Из Д ABC: A A = 180° - ( Z ABC + A C ) = 180° - (30° + 105°) = 45°. Пусть R — искомый радиус окружности, описанной око ло треугольника АВС. ВС Тогда ВС = 2R, отсюда R =

2 sin А

sin А

О т в е т : 24 см. 24

24 2 sin 45е

= 24 (см).

3. Теорема синусов

* 1. Как найти хорду окружности, если известны диаметр окруж ности и вписанный угол, опирающийся на эту хорду? 2. Сформулируйте теорему синусов. 3. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника со стороной а и противолежащим этой стороне углом а?

УПРАЖНЕНИЯ 78. ° Найдите сторону ВС треугольника АВС, изображен ного на рисунке 17 (длины отрезков даны в сантиметрах). 79. ° Найдите угол А треугольника АВС, изображенного на рисунке 18 (длины отрезков даны в сантиметрах). В В

С Рис. 17

Рис. 18

80. ° Найдите сторону АВ треугольника АВС, если АС = = л/б см, А В = 120°, А С = 45°. 81. ° В треугольнике АВС известно, что АВ = 12 см, ВС = 10 см, БтА = 0,2. Найдите синус угла С треугольника. 82. ° В треугольнике БЕЕ известно, что ВЕ = 16 см, А Е = = 50°, А В = 38°. Найдите неизвестные стороны треугольника. 83. ° В треугольнике М К Р известно, что К Р = 8 см, А К = = 106°, А Р = 32°. Найдите І, неизвестные стороны треу гольника. 84. ° Для нахож дения расстояния от точки А до колокольни В, располо женной на другом берегу речки (рис. 19), с помо щью вех, рулетки и при25

§ 1. Решение треугольников

бора для измерения углов (теодолита) отметили на местности точку С такую, что Z ВАС = 42°, Z АСВ = 64°, АС = 20 м. Как найти расстояние от А до В ? Найдите это расстояние. 85. ° В треугольнике АВС известно, что ВС - а, А А - а, Z С = у. Найдите АВ и АС. 86. ° Диагональ параллелограмма равна й и образует с его сторонами углы а и | 3 . Найдите стороны параллелограмма. 87. ° Найдите угол А треугольника АВС, если: 1) АС = 2 см, ВС = 1 см, АВ = 135°; 2) АС = 42 см, ВС = 4 3 см, АВ = 45°, Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте. 88. ° Существует ли треугольник АВС такой, что в т А = = 0,4, АС = 18 см, ВС = 6 см? Ответ обоснуйте. 89. ° В треугольнике БЕЕ известно, что ВЕ = 8 см, в т Р = = 0,16. Найдите радиус окружности, описанной около тре угольника БЕЕ. 90. ° Радиус окружности, описанной около треугольника М К Р , равен 5 см, т пМ = 0,7. Найдите сторону КР. 91. * На продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В отметили точку Б . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСБ, если Z АВС = 60°, Z АБС = 45°, а радиус окружности, описанной около тре угольника АВС, равен 4 см. 92. * Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АОС, где О — точка пересечения бис сектрис треугольника АВС, если Z АВС = 60°. 93. * По рисунку 20 найдите А Б , если СБ = а. 94. * По рисунку 21 найдите АС, если В Б = т.

Рис. 20

Рис. 21

3. Теорема синусов

9 5 / На стороне АВ треугольника ЛВС отметили точку М так, что А А М С = ср. Найдите отрезок СМ, если АВ = с, А А = а, А АСВ = у. 9 6 / В треугольнике АВС известно, что А А = а, А В = $. На стороне ВС отметили точку О так, что А АОВ = ср, АО = = тп. Найдите сторону ВС. 9 7 / Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых обратно пропорцио нальны синусам прилежащих к этой стороне углов. 9 8 / Две стороны треугольника равны 6 см и 12 см, а вы сота, проведенная к третьей стороне, — 4 см. Найдите ра диус окружности, описанной около данного треугольника. 9 9 / Найдите радиус окружности, описанной около равно бедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 10 см. 1 0 0 / Сторона треугольника равна 24 см, а радиус опи санной окружности — 8л/з см. Чему равен угол треуголь ника, противолежащий данной стороне? 1 0 1 / Трасса для велосипедистов имеет форму треуголь ника, два угла которого равны 50° и 100°. Меньшую сторо ну этого треугольника один из велосипедистов проезжает за 1 ч. За какое время он проедет всю трассу? Ответ пред ставьте в часах с точностью до десятых. 102. ” В треугольнике АВС известно, что АС - Ь, А А - а, А С = у. Найдите биссектрису ВХ> треугольника. 103. ” Основание равнобедренного треугольника равно а, противолежащий ему угол равен а. Найдите биссектрису тре угольника, проведенную из вершины угла при основании. 104. ” Докажите, пользуясь теоремой синусов, что бис сектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам1. 105. ” Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, опи санной около трапеции. 1 Напомним, что этот факт с использованием теоремы о пропорцио нальных отрезках был доказан в учебнике: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полон ский, М. С. Якир. «Геометрия. 8 класс». — X.: Гимназия, 2008.

§ 1. Решение треугольников

106.” Отрезок СБ — биссектриса треугольника АВС, в котором А А - а, А В - [3. Через точку Б проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точ ке Е, причем АЕ ~ а. Найдите СЕ. 107. ” Медиана А М треугольника АВС равна т и образу ет со сторонами АВ и АС углы а и р соответственно. Най дите стороны АВ и АС. 108. ” Медиана СБ треугольника АВС образует со сторо нами АС и ВС углы а и р соответственно, ВС - а. Найдите медиану СБ. 109. ” Высоты остроугольного треугольника АВС пере секаются в точке Н . Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АН В, ВНС, АНС и АВС, равны. 110. ” Дороги, соединяющие села А, В и С (рис. 22), об разуют треугольник, причем дорога из села А в село С за асфальтирована, а дороги из села А в село В и из села В в село С — грунтовые. Дороги, ведущие из села А в села В и С, образуют угол в 15°, а дороги, ведущие из села В в села А и С, — угол в 5°. Скорость движения автомобиля по ас фальтированной дороге в 2 раза больше скорости его дви жения по грунтовой. Какой путь выбрать водителю авто мобиля, чтобы как можно скорее добраться из села А в село В?

111." Дороги из сел А и В сходятся у развилки С (рис. 23). Дорога из села А до развилки образует с дорогой в село В угол в 30°, а дорога из села В с дорогой в село А — угол в 70°. Одновременно из села А в направлении развил28

3. Теорема синусов

ки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села В — автобус со скоростью 60 км/ч. Кто из них первым доедет до развилки?

112. Биссектрисы углов Б и С прямоугольника АВСБ пересекают сторону АО в точках М и К соответственно. Докажите, что В М - СК. 113. На рисунке 24 БЕ || АС, ЕК || АВ. В Укажите, какие треугольники на этом рисунке подобны. 114. На стороне АВ квадрата АВСБ отметили точку К , а на стороне СБ — точку М так, что А К : К В = 1 : 2 , Б М : МС = 3 : 1 . Найдите сторону ква драта, если М К = 1 3 см. ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ 115. Решите прямоугольный треугольник: 1) по двум катетам а = 7 см и Ъ = 35 см; 2) по гипотенузе с = 17 см и катету а = 8 см; 3) по гипотенузе с = 4 см и острому углу а = 50°; 4) по катету а = 8 см и противолежащему углу а = 42°. Обновите в памяти содержание пункта 15 на с. 249-250.

§ 1. Решение треугольников

Решение треугольников Решить треугольник — это значит найти неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам. В 8 классе вы научились решать прямоугольные тре угольники. Теоремы косинусов и синусов позволяют решить любой треугольник. П р и м е р 1. Решите треугольник (рис. 25) по стороне а = 12 см и двум углам ß = 36°, у = 119°. Р е ш е н и е . Имеем: а = 180° - (ß + у) = 180° - 155° = 25°. По теореме синусов: Ь _ а sinß а sin ß sin а

12 sin 36° sin 25°

1 2 -0 ,5 8 8 0,423

с _ sin у

sin а ’

= 16,7 (см);

а sin а ’

a sin y _ 12 sin 119° _ 12 sin 61° sin а sin 25° sin 25°

1 2 -0 ,8 7 5 0,423

24,8 (см).

О т в е т : Ъ ~ 16,7 см, с ~ 24,8 см; а = 25°. Заметим, что значения тригонометрических функций были найдены по таблице, расположенной на с. 268 учеб ника. Их также можно было найти с помощью микрокаль кулятора. П р и м е р 2. Решите треугольник (рис. 25) по двум сто ронам а = 14 см, Ъ = 8 см и углу у = 38° между ними. Р е ш е н и е . По теореме косинусов: с2 — а 2 + Ь2 — 2abcosy - 196 + 64 - 2 - 1 4 - 8 c o s 38° ~ - 260 - 224-0,788 = 83,488; с ~ 9,1 см. Далее имеем: а2 - Ь2 + с2 - 2be cos а; ,2 , С2 CL2 О п лоо cos а = -----------я=-0,338. 26с Найдем угол а х такой, что co sa 1 = 0,338. 30

4. Решение треугольников

Число 0,338 отсутствует в таблице значений косинусов, ближайшим к нему является число 0,342. Тогда получаем а х ~ 70°. Отсюда а = 180° - а х « 110°. (3 = 180° - (а + у) « 180° - 148° = 32°. О т в е т : с ~ 9,1 см, а ~ 110°, [3 ~ 32°. П р и м е р 3. Решите треугольник (рис. 25) по трем сто ронам а - 7 см, Ь - 2 см, с - 8 см. Р е ш е н и е . Имеем: а2 - Ь2 + с2 - 2Ъс сое а, отсюда о, 2+, с2 - а 2 4 + 6 4 - 4 9 -0,594. Тогда а ~ 54° cos а = 2Ьс

sin а

Ь :, sinp

2 - 2-8

6 sin а а

sm p = -

2 sin 54° 7

2 -0 ,8 0 9 7

0,231.

Поскольку Ъ является наименьшей стороной данного треугольника, то угол [3 — острый, [3 ~ 13°. Тогда у = 180° - (а + (3) - 180° - 67° = 113°. О т в е т : а ~ 54°, [3 ~ 13°, у ~ 113°. П р и м е р 4. Решите треугольник (рис. 25) по двум сто ронам и углу, противолежащему одной из сторон: 1) а - 17 см, b = 6 см, а = 156°; 2) b - 7 см, с - 8 см, [3 = 65°; 3) а = 6 см, Ъ = Ъ см, [3 = 50°. Р еш ение. а _ ъ 1) sin а s in p ’ sin (3 =

6 sin а а

6 sin 156° 17

6 sin 24° 17

6 -0 ,4 0 7 17

0,144.

Так как угол а данного треугольника тупой, то угол [3 — острый, [3 ~ 8°. Тогда у = 180° - (а + (3) ~ 16°. sin a

sin у

С=

a s in y sin a

a sin 16° sin 156°

1 7 -0 ,2 7 6 0,407

11,5 (см).

О т в е т : [3 ~ 8°, у ~ 16°, с ~ 11,5 см. с sin Р

8 sin 65°

2 ) sinp sin у sm у = что невозможно. О т в е т : задача не имеет решения. 31

8 • 0,906

1,035 >1,

§ 1. Решение треугольников

sin а

sinp

sm а

; sin Р ь

6 sin 50° 5

6 • 0,766

0,919.

Возможны два случая: а = 67° или а = 180° - 67° = 113°. Рассмотрим случай, когда а = 67°: у = 180° - (а + (3) - 180° - 117° = 63°; Ь _ с sinp sin у *

_ b sin у _ 5 sin 63° _ 5 • 0,891 sin p sin 50° 0,766

= 5,8 (см).

При а = 113° получаем: Y = 180° - (а + (3) - 180° - 163° = 17°; b sin у sin Р

5 sin 17° sin 50°

5- 0, 29 2 0,766

= 1,9 (см).

О т в е т : а = 67°, у = 63°, с = 5,8 см или а = 113°, у = 17°, с = 1,9 см. 3

— Что означает решить треугольник?

116. ° Решите треугольник по стороне и двум углам1: 1) а = 10 см, (3 = 20°, у - 85°; 2) Ъ = 16 см, а = 40°, р = 110°. 117. ° Решите треугольник по стороне и двум углам: 1) Ъ = 9 см, а = 35°, у = 70°; 2) с = 14 см, р = 132°, у = 24°. 118. ° Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними: 1) Ъ = 18 см, с - 22 см, а = 76°; 2) а - 20 см, 5 = 15 см, у - 104°. 119. ° Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними: 1) а - 8 см, с - 6 см, [3 = 15°; 2) Ь - 7 см, с - 5 см, а = 145°. 1 В задачах №№ 116-124 приняты обозначения: а, б и с — стороны треугольника, а, Р и у — углы, противолежащие соответственно сторонам а, Ь и с.

4. Решение треугольников

120. ° Решите треугольник по трем сторонам: 1) а = 4 см, b - 5 см, с - 7 см; 2) а - 26 см, b - 19 см, с - 42 см. 121. Решите треугольник по трем сторонам: 1) а = 5 см, b = 6 см, с = 8 см; 2) а - 21 см, b - 17 см, с = 32 см. 122. ° Решите треугольник, в котором: 1) а = 10 см, b - 3 см, Р = 10 °, угол а — острый; 2 ) а = 10 см, b - 3 см, [3 = 10 °, угол а — тупой. 123. * Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон: 1) а - 7 см, b - 11 см, Р = 46°; 2) b = 15 см, с = 17 см, Р = 32°; 3) а - 7 см, с = 3 см, у = 27°. 1 2 4 / Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон: 1) а - 23 см, с —30 см, у = 102°; 2) а - 18 см, Ъ = 2Ъ см, а = 36°. 1 2 5 / В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 20 см, Z А = 70°. Найдите: 1) сторону АС; 2) медиану СМ; 3) бис сектрису AD; 4) радиус описанной окружности треугольни ка АВС. 126. Диагональ АС равнобокой трапеции ABCD (ВС | Il A D ) равна 8 см, Z CAD = 38°, Z BAD - 72°. Найдите: 1 ) стороны трапеции; 2 ) радиус описанной окружности треугольника АВС. 127. ” Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боко вые стороны — 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции. 4^^У П РА Ж Н Е Н И Я для повторения 128. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пере секает его сторону AD в точке М , а продолжение стороны CD за точку D — в точке К . Найдите длину отрезка DK, если А М = 8 см, а периметр параллелограмма равен 50 см. 33

§ 1. Решение треугольников

129. Периметр одного из двух подобных треугольников на 18 см меньше периметра другого треугольника, а наи большие стороны этих треугольников равны 5 см и 8 см. Найдите периметры данных треугольников.

ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ н о в о й ТЕМЫ 130. Точка М — середина стороны СБ прямоугольника АВСБ (рис. 26), АВ = 6 см, АО = 5 см. Чему равна площадь треугольника А СМ ? 131. На стороне АС треугольника АВС отметили точку -О так, что А АВВ - а. Докажите, что площадь треугольника

ABC S = —АС BD sin а. 2

Обновите в пам яти содержание пункта 17 на с. 250.

КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ

Тригонометрия — наука об измерении треугольников Вы знаете, что древние путешественники ориентирова лись по звездам и планетам. Они могли достаточно точно определить положение корабля в океане или каравана в пу стыне по расположению светил на небосклоне. При этом одним из ориентиров служила высота над горизонтом, на которую поднималось то или иное небесное светило в дан ной местности в данный момент времени. Понятно, что непосредственно измерить эту высоту не возможно. Поэтому ученые стали разрабатывать методы косвенных измерений. Здесь существенную роль играло решение треугольника, две вершины которого лежали на поверхности Земли, а третья являлась звездой или плане той (рис. 27) — знакомая вам задача № 94. 34

Когда сделаны уроки

Для реш ения подобны х задач древним астрономам не обходимо было научиться на ходить взаимосвязи м еж ду элементами треугольника. Так возникла три гон ом ет рия — наука, изучающая за висимость между сторонами и углами треугольника. Тер мин «тригонометрия» (от гре ческих слов «тригоном» — треугольник и «метрео» — из мерять) означает «измерение треугольников». На рисунке 28 изображен центральный угол АОВ, рав ный 2а. Из прямоугольного треугольника ОМВ имеем: М В = ОВвіпа. Следовательно, если в единичной окружно сти измерить половины длин хорд, на которые опираются центральные углы с величинами 2°, 4°, 6 °, ..., 180°, то тем самым мы вычислим значения синусов углов 1°, 2°, 3°, ..., 90° соответственно. Измеряя длины полухорд, древнегреческий астроном Гиппарх (II в. до н. э.) составил первые тригонометрические таблицы. Понятия «синус» и «косинус» появляются в тригономе трических трактатах индийских ученых в IV-V вв. В X в. арабские ученые оперировали понятием «тангенс», которое возникло из потребностей гномоники — учения о солнечных часах (рис. 29).

Рис. 29

§ 1 . Решение треугольников

Леонард Эйлер (1707-1783)

Выдающийся математик, физик, механик, астроном

В Европе первый трактат по тригонометрии «Пять книг о треугольниках всех видов», автором которого был немец кий ученый Региомонтан (1436-1476), был опубликован в 1533 г. Этот ж е ученый открыл и теорему танген сов: а-Ь а +Ь

Ь- с Ь+ с

с-а с +а

1«

у-а 2

где а, б и с — стороны треугольника, а, [3 и у — углы треугольника, противолежащие соответственно сторонам а, Ъ и с. Современный вид тригонометрия приобрела в работах выдающегося математика Леонарда Эйлера (1707-1783).

5. Формулы для нахождения площади треугольника Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что площадь 5 треугольника можно вычислить по формулам в = - а к п =-Ы гь = - с к г, 2

где а, б и с — стороны треугольника, ка, кь, кс — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. 36

5. Формулы для нахождения площади треугольника

Теперь у нас появилась возможность получить еще несколько формул для нахождения площади треуголь ника. Т е о р е м а 5.1. Площ адь т реугольника равн а половине п р о и звед ен и я д в у х его ст орон и си н уса у г л а меж ду ними. Д о к а з а т е л ь с т в о . © Докаж ем , что площадь 5 тре угольника АВС можно вычислить по формуле S = -a b sin у, 2 ' где а и Ь — стороны треугольника, у — угол между ними. Возможны три случая: 1) угол у — острый (рис. 30); 2) угол у — тупой (рис. 31); 3) угол у — прямой. На рисунках 30 и 31 проведем высоту ВИ треугольника АВС. Тогда 5 = -В Т »-АС = -В О -Ъ . 2

Из А В DC в первом случае BD - a sin у, а во втором BD = - a sin (180° - у) - a sin у. Отсюда для двух первых случаев имеем <S= -a& siny. 2 ' Если угол С — прямой, то sin у = 1. Для прямоугольного треугольника АВС с катетами а и Ъ имеем:S S = - a b = - a b sin 90° = - a b sin у. ▲ 2

§ 1. Решение треугольников

Т е о р е м а 5.2 ( ф о р м у л а Г е р о н а 1). П л о щ а дь S т реугольника АВС можно вычислит ь по ф орм уле S = y jp ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) , где а,Ъ , с — стороны т реугольника, р — его полуперимет р. Д о к а за т ел ь ст во . © Имеем: S = - a b sin у. Отсюда S 2 = -ja 2fc2 sin 2y. По теореме косинусов с2 - а2 + Ъ2 - 2ab cosy. а +Ь - с

Отсюда cos у = -----------Так как sin 2 у - 1 - cos2 у - (1 - cosy) (1 + cosy), то имеем: S 2 = ^ a 2b2(1 -c o s y)(l + cos у) = /

2 . 2

’ « V I-"

•'

2аЪ

,М

а 2 +, о, 2 - с 2аЬ

1 2,1 2 , 2аЬ —а 2 - Ъ 2 + с2 2аЬ + а 2 + Ь2 - с 2 а Ь •-------------------

2аЬ

= ^ ( c2- ( a - b)2)((a + b)2~ c2) = с - а + Ь ' с + а - Ь _ а + Ь - с _ а + Ь+ с _ (а + Ь + с ) - 2 а _ (а + Ъ+ с)- 2Ь _ (а + Ь + с)- 2с _ а + Ь + с _ “ 2 2 2 2 ~ 2р-2а

= ~ ^ ‘

2р-2Ь

2р-2с

2р

...

2------- 2-------- f = P ( P - a) ( P - b) ( P ~ c)-

Отсюда S = Vр ( р - а ) ( р - Ь ) ( р - с ) . А

1Г е р о н А л е к с а н д р и й с к и й — древнегреческий ученый, живший в I в. н. э.

5. Формулы для нахождения площади треугольника

Т е о р е м а 5.3. П лощ адь 5 т реугольника АВС можно вычислит ь по ф орм уле а _ abc

h ~4B’ где а,Ъ, с — стороны т реугольника, И — р ади ус описан ной окруж ности т реугольника АВС. Д о к а за т ел ьст во . © Имеем: S = —be sin а.

Из леммы пункта 3 следует, что яш а = 0

1, 2

а 2R

Тогда

аЬс AR

S = -Ьс sm а = —Ьс---- = — . А Заметим, что доказанная теорема позволяет находить радиус описанной окружности треугольника по формуле R —а^с ~ 4S

Т е о р е м а 5.4. П лощ адь т реугольни ка р а вн а произ ведению его полуперим ет ра на ради ус вписанной окруж ности. В

Д о к а з а т е л ь с т в о . © На ри сунке 32 изображен треугольник АВС, в который вписана окруж ность радиуса г. Докажем, что S = р г,

где 5 — площадь данного тре угольника, р — его полупериметр. Пусть точка О — центр вписанной окружности, которая касается сторон треугольника АВС в точках М , N и Р. Пло щадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольни ков АОВ, ВОС, СОА. Это удобно записать в такой форме: О_ О

АО В

ВО С

о СОА'

Проведем радиусы в точки касания. Получаем: ОМ _1_АВ, О!V 1 ВС, ОР 1 СА. Отсюда: 39

§ 1. Решение треугольников

V S Ao r

= ~ ОМ • АВ = - г • АВ;

8 вос= -О Ы -В С = ~г-В С ; вос 2 2 «

С0А

= ~О Р -А С = ~ г-А С . 2

Следовательно, лс , 1 л + ВС + АС 8о =1 - Г ‘АВ + - Г тзп ‘ВС, +1 - Г ‘АС = гАВ ----------------рг.

Вышесказанное обобщает такая теорема. Т е о р е м а 5.5. П лощ адь описанного м ногоугольн ика р авн а произведению его полуперим ет ра на ра ди ус впи санной окружности.

Рис. 33

Докаж ите эту теорему самостоятельно (рис. 33). Заметим, что теорема 5.5 позволяет нахо дить радиус вписанной окружности много угольника по формуле г=— Р

З а д а ч а 1. Докажите, что площадь S параллело грамма можно вычислить по формуле S - ab sin а, где а и Ъ — соседние стороны па раллелограмм а, а — угол между ними. Р е ш е н и е . Рассмотрим паралле лограмм ABCD, в котором АВ - а, AD - b, Z BAD ~ а (рис. 34). Про ведем диагональ BD. Поскольку Д ABD = Д CBD, то запишем: SABCD = 2

= 2 • - a b sin a = ab sin a. 40

5. Формулы для нахождения площади треугольника

О—ш З а д а ч а 2. Докажите, что пло щадь выпуклого четырехугольника р а в на половине произведения его диагона лей и синуса угла между ними. Р е ш е н и е . Пусть угол между диаго налями АС и BD четы рехугольника ABCD равен ф. На рисунке 35 Z АОВ = = ф. Тогда Z ВОС = Z AOD = 180° - ф и Z COD = ф. Имеем: Я —с +Я +Я +Я

= - ОБ • ОА • sin ф+ ^ОБ • ОС • sin (180° - ф) + + ±ОС-ОБ-sin ф+ ±ОБ-ОА- sin (180°-<р) = = ^ ОВ (ОА + ОС) • sin ф + ^ OD (ОС + ОА) • sin ф = = ^ О В -А С - sin ф + | 0 Б- А С- э т ф = = ^AC(OB + OD)- s in ф = “ А С • ББ • s in ф. П р и м е р . Стороны треугольника равны 17 см, 65 см и 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, ра диусы его вписанной и описанной окружностей. Р е ш е н и е . Пусть а = 17 см, Ъ - 65 см, с = 80 см. Полупериметр треугольника р = 17 + 65 + 80 _ g i (см), его площадь z S = y lp ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) = V 8 1 (8 1 -1 7 )(8 1 -6 5 )(8 1 -8 0 ) = = 7 8 1 - 6 4 - 1 6 = 9 - 8 - 4 = 288 (см2). Наименьшей высотой треугольника является высота й, проведенная к его наибольшей стороне с. гп

1 г, , 25 2 • 288 _ _ , Так как 5о = -с/г, то /г =— = ------= 7,2 (см).ч 2

Радиус вписанной окружности г = —= 41

288

= — (см).

§ 1 . Решение треугольников

Радиус описанной окружности аЬс _ 17-65-80 17-65-5 4-18 45 ~~ 4-288 32 5525 О т в е т : 7,2 см, — см, СМ. ’ ’ 9 72

5525 (см). 72

1. Как можно найти площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними? 2. Запишите формулу Герона для вычисления площади треуголь ника. 3. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности? 4. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус вписанной окружности? 5. Как можно найти радиус описанной окружности треугольника, если известны площадь треугольника и его стороны? 6 . Как можно найти радиус вписанной окружности треугольника, если известны площадь треугольника и его стороны? 7. Чему равна площадь описанного многоугольника?

132. ° Найдите площадь треугольника АВС, если: 1) АВ = 12 см, АС = 9 см, ^ А = 30°; 2) АС = 3 см, ВС = 6л/2 см, Z С = 135°. 133. Найдите площадь треугольника ВЕР, если: 1) Б Е = 7 см, ББ = 8 см, / й = 60°; 2) Б Е = 10 см, ЕБ = 6 см, А Е = 150°. 134. ° Площадь треугольника МКЫ равна 75 см2. Найди те сторону М К , если КЫ = 15 см, Z К = 30°. 135. ° Найдите угол между данными сторонами треуголь ника АВС, если: 1) АВ = 12 см, ВС - 10 см, площадь треугольника равна 30л/з см2; 2) АВ - 14 см, АС = 8 см, площадь треугольника равна 56 см2. 42

5. Формулы для нахождения площади треугольника

136. ' Площадь треугольника АВС равна 18 см2, АС = 8 см, ВС - 9 см. Найдите угол С. 137. ° Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 16 см и углом 15° при основании. 138. ° Найдите площадь треугольника со сторонами: 1) 13 см, 14 см, 15 см; 2) 2 см, 3 см, 4 см. 139. ° Найдите площадь треугольника со сторонами: 1) 9 см, 10 см, 17 см; 2) 4 см, 5 см, 7 см. 140. ° Найдите наименьшую высоту треугольника со сто ронами 13 см, 20 см и 21 см. 141. Найдите наибольшую высоту треугольника со сто ронами 11 см, 25 см и 30 см. 142. ° Периметр треугольника равен 32 см, а радиус впи санной окружности — 1,5 см. Найдите площадь треуголь ника. 143. ° Площадь треугольника равна 84 см2, а его пери метр — 72 см. Найдите радиус вписанной окружности тре угольника. 144. ° Найдите радиусы вписанной и описанной окруж ностей треугольника со сторонами: 1) 5 см, 5 см и 6 см; 2) 25 см, 29 см и 36 см. 145. ° Найдите радиусы вписанной и описанной окруж ностей треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. 146. ° Найдите площадь параллелограмма по его сторонам а и Ъ и углу а между ними, если: 1) а = 5у2 см, Ъ = 9 см, а = 45°; 2) а = 10 см, Ь - 18 см, а = 150°. 147. ° Чему равна площадь параллелограмма, стороны которого равны 7 см и 12 см, а один из углов — 120°? 148. ° Найдите площадь ромба со стороной 9л/3 см и углом 60°. 149. ° Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь четырехугольника. 150. ° Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого равны Зл/З см и 4 см, а угол между ними — 60°. 43

§ 1. Решение треугольников

151. ° Найдите боковую сторону равнобедренного тре угольника, площадь которого равна 36 см2, а угол при вершине — 30°. 152. * Какой треугольник с двумя данными сторонами имеет наибольшую площадь? 153. * Может ли площадь треугольника со сторонами 4 см и 6 см быть равной: 1) 6 см2; 2) 14 см2; 3) 12 см2? 154. ’ Две соседние стороны параллелограмма соответ ственно равны двум соседним сторонам прямоугольника. Чему равен острый угол параллелограмма, если его пло щадь в два раза меньше площади прямоугольника? 155. * Найдите отношение площадей S l и S 2 треугольни ков, изображенных на рисунке 36 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 36

156. * Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС, пло щадь треугольника ABD равна 12 см2, а треугольника ACD — 20 см2, Найдите отношение стороны AB к стороне АС. 157. * Найдите площадь треугольника, сторона которого равна а, а прилежащие к ней углы равны ß и у. 158. * Радиус окружности, описанной около треугольника, равен В, а два угла равны а и ß. Найдите площадь тре угольника. 159. * В треугольнике АВС известно, что АС - b, Z А - а, Z В - ß. Найдите площадь треугольника. 160. * В треугольнике АВС угол А равен а, а высоты BD и СЕ равны соответственно hl и hr Найдите площадь тре угольника АВС. 161. * Отрезок В М — высота треугольника АВС, В М - h, Z А - а, Z АВС = ß. Найдите площадь треугольника АВС. 162. * В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединен с вершинами 44

5. Формулы для нахождения площади треугольника

треугольника. Найдите площади образовавшихся при этом треугольников. 163. " Отрезок А Б — биссектриса треугольника АВС, АВ = 6 см, АС = 8 см, ABAC = 120°. Найдите биссектрису AD. 164. " Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см. 165. '* Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагона ли — 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции. 166. " Отрезки В М и СК — высоты остроугольного тре угольника ABC, Z А = 45°. Найдите отношение площадей треугольников А М К и АВС. 167. " Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон. 168. " Вершины треугольника соединены с центром впи санной в него окружности. Проведенные отрезки разбивают данный треугольник на треугольники, площади которых равны 26 см2, 28 см 2 и 30 см2. Найдите стороны данного треугольника. 169." Докажите, что — + — + — = Л1

1г2

7г3

Где к , к и к — вы1 2

соты треугольника, г — радиус вписанной окружности. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 170. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо угольника на его диагональ, делит его угол в отношении 4 : 5 . Определите угол между этим перпендикуляром и дру гой диагональю. 171. Средняя линия М К трапеции АВСБ (ВС || АО) рав на 56 см. Через середину М стороны АВ проведена прямая, которая параллельна стороне СБ и пересекает основание АО в точке Е так, что АЕ : Е Б = 5 : 8 . Найдите основания трапеции. 172. Отрезок СБ — биссектриса треугольника АВС. Через точку Б проведена прямая, которая параллельна прямой АС и пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите Б Е , если АС - 16 см, ВС - 24 см. 45

§ 1. Решение треугольников

ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ 173. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника. 174. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1080°; 2 ) 1200 °? 175. Существует ли многоугольник, каждый угол кото рого равен: 1) 72°; 2) 171°? 176. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте): 1 ) если все стороны многоугольника, вписанного в окру жность, равны, то и все его углы также равны; 2 ) если все углы многоугольника, вписанного в окруж ность, равны, то и все его стороны также равны; 3) если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы также равны; 4) если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также рав ны? КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ

Вневписанная окружность треугольника Проведем биссектрисы двух внешних углов с вершинами А и С В треугольника АВС (рис. 37). Пусть О — точка пересечения этих бис сектрис. Эта точка равноудалена от прямых АВ, ВС и АС. Проведем три перпендикуляра: ОМ 1 А В , О К 1 АС, 01V 1 ВС. Очевидно, что ОМ = О К = ОЫ. Следовательно, существует окруж ность с центром в точке О, кото рая касается стороны треугольни ка и продолжений двух других его сторон. Такую окружность назы вают вневписанной (рис. 37). 46

Когда сделаны уроки

Так как ОМ - ОА, то точка О принадлежит биссектрисе угла АВС. Очевидно, что любой треугольник имеет три вневписанные окружности. На рисунке 38 их центры обозначены Оа, Ов, Ос. Радиусы этих окружностей обозначим соответствен но г , г , г . По свойству касательных, проведенных к окружности через одну точку, имеем: СК = СИ, А К = А М (рис. 37). Тогда АС - СА + А М . Следовательно, периметр треуголь ника АВС равен сумме В М + ВЫ. Однако В М = ВЫ. Тогда В М - ВЫ - р , где р — полупериметр треугольника АВС. Имеем: ^А В С = ^О А В

^О С В ~ &

оас

= -О М ■А В + -О А • В С - - О К • АС = 2

,ч

а + Ь + с~2Ь

2р-2Ь

= 2 гь(с + а-Ъ ) = гь ------- -------= гь- ^ — = гъ(р-Ъ).

Аналогично можно показать, что га = 8 , гс = —^~ р - а

р-с

§ 1. Решение треугольников

1. Докажите, что - = —+ — где г — радиус вписанной Г Га ГЬ Гс окружности треугольника АВС. 2. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника 5 = г .• г, где г, — радиус вневписанной окружности, касаю щейся гипотенузы треугольника, г — радиус вписанной окружности данного треугольника. 3. В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что ее отрезок внутри треугольника равен Ъ. Найдите площадь треугольника, который эта касательная отсекает от равно стороннего треугольника. 4. В четырехугольнике ABCD диагональ BD перпендику лярна стороне AD, A ADC = 135°, A BAD - A BCD = 60°. Докажите, что диагональ АС является биссектрисой угла BAD. Указание. Докажите, что точка С — центр вневписанной окружности треугольника ABD. 5. В треугольнике АВС угол В равен 120°. Отрезки АА, СВ и В К — биссектрисы треугольника АВС. Докажите, что угол А1КВ равен 90°. Указание. На продолжении стороны АВ за точку В от метим точку М . Тогда А МВС - А КВС = 60°, то есть ВС — биссектриса внешнего угла М В К треугольника АВК. Отсюда следует, что точка N — центр вневписанной окружности треугольника А ВК . Аналогично можно доказать, что точ ка В — центр вневписанной окружности треугольника ВСК. 6. Сторона квадрата АВСВ равна 1 см. На сторонах АВ и ВС отметили точки М и N соответственно так, что пери метр треугольника М ВИ равен 2 см. Найдите величину угла М ВА. Указание. Докажите, что точка В — центр вневписанной окружности треугольника М ВА. 48

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 1

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 1 1. Какое из равенств верно? A) cos (180° - а) = sin а; В) sin (180° - а) = cos а; Б) cos(180° - а) = cosa; Г) sin(180° - а) = sin a. 2. Какое из неравенств верно? A) sin 100° cos 110° » 0; В) sin 100° cos 110° < 0 ; Б) sin 100° cos 10° < 0; Г) sin 100° cos 90° > 0, 3. Найдите третью сторону треугольника, если две его стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120 °. А) -у/97 см; Б) 7 см; В) 9 см; Г) -у/32 см. 4. Какой вид треугольника со А) острый; Б) тупой;

угла, лежащего против большей стороны сторонами 4 см, 7 см и 9 см? В) прямой; Г) невозможно установить.

5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен 60°, а третья сто рона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны тре угольника? А) 16 см; Б) 14 см; В) 18 см; Г) 15см. 6 . Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равен периметр парал лелограмма? А) 25 см; Б) 30 см; В) 40 см; Г) 50 см.

7. В треугольнике АВС известно, что АВ - 8 см, Z С = = 30°, Z А = 45°. Найдите сторону ВС. А) 8л/2 см; Б) 4>/2 см; В) 16л/2 см; Г) 12v2 см. 8 . Найдите отношение АС : ВС сторон треугольника АВС, если Z А = 120°, Z В = 30°.

А)

Б) 73;

В)

Г) -JL

9. В треугольнике ABC АВ = 4\/2 см, Z С = 135°. Найди те диаметр окружности, описанной около треугольника. А) 4 см; Б) 8 см; В) 16 см; Г) 2 см. 49

§ 1. Решение треугольников

10. Какое наибольшее значение может принимать пло щадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см? А) 96 см2; В) 24 см2; Б) 48 см2; Г) невозможно установить. 11. Найдите сумму длин радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см. А) 36 см; Б) 30 см; В) 32,5 см; Г) 38,5 см. 12. Две стороны треугольника равны 11 см и 23 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 10 см. Най дите неизвестную сторону треугольника. А) 15 см; Б) 30 см; В) 25 см; Г) 20 см.

итоги

В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: > единичная полуокружность; > синус, косинус, тангенс угла от 0 ° до 180°; • вы узнали, что значит решить треугольник; • вы научились решать треугольники; • вы изучили: > некоторые свойства тригонометрических функций; > теорему косинусов; > теорему синусов; > формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника; > формулы для нахождения площади треугольника; > формулу для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Вэтом параграфе вы узнаете, какие многоугольники называют правильными. Изучите свойства правильных многоугольников. Научитесь с помощью циркуля и линейки строить некоторые их виды. Научитесь находить радиусы вписанной и описанной окруж ностей правильного многоугольника, длину дуги окружности, площадь частей круга.

6. Правильные многоугольники и их свойства О п р е д е л е н и е . Многоугольник называют п р а в и л ь н ы м, если у него все стороны равны и все углы равны. С некоторыми правильными многоугольниками вы уж е знако мы: равносторонний треуголь ник — это правильный треуголь ник, квадрат — это правильный четырехугольник. На рисунке 39 изображены правильные пятиугольник и восьмиугольник. Ознакомимся с некоторыми свойствами, которыми об ладают все правильные п-угольники. Т е о р е м а 6.1. П равильны й м ногоугольник являет ся вы пуклы м м ногоугольником . С доказательством этой теоремы вы можете ознакомить ся на с. 61. ™

„

180° ( п- 2 ) п

Каждый угол правильного п-угольника равен ------------ . Действительно, поскольку сумма углов выпуклого п-уголь ника равна 180°(п - 2 ) и все они равны, то каждый из них 180° (п - 2 ) п

равен ----- -------. 51

§ 2 . Правильные многоугольники

В правильном треугольнике существует точка, равноуда ленная от всех его вершин и от всех его сторон. Это точка пересечения биссектрис правильного треугольника. Точка пересечения диагоналей квадрата также обладает аналогич ным свойством. То, что в любом правильном многоуголь нике существует точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон, подтверждает такая теорема. Т е о р е м а 6 . 2 . Любой правильный многоугольник явля ется одновременно вписанным и описанным, причем цен т ры описанной и вписанной окружностей совпадают. Д о к а з а т е л ь с т в о . © На ри сунке 40 изображен правильный п-угольник А 1А,2Аг ..Ап. Проведем биссектрисы углов и А . Пусть О — точка их пересечения. Соеди ним точки О и А 3. Так как в тре»1 угольниках ОА4А 2 и ОАД,, Z 2 = - А З , А хА 2 = А.-Д3 и ОА2 — общая сторона, то эти треугольники рав ны по первому признаку равенства треугольников. Кроме того, углы 1 и 2 равны как половины равных углов. Отсюда треугольник ОАД.2 — равнобедренный, следовательно, равнобедренным является треугольник ОА-Д3. Поэтому ОА1 = ОА2 = ОА3. Соединяя точку О с вершинами А 4, А ь, ..., А п А п, ана логично можно показать, что ОА„ = ОАл = ... = ОА , = ОА . Таким образом, для многоугольника А 4А.2А3...А п суще ствует точка, равноудаленная от всех его вершин. Это точ ка О — центр описанной окружности. Так как равнобедренные треугольники О А Д 2, ОА^А3, ОАдА4, ..., ОАп 4А п, ОА А^ равны, то равны и их высоты, проведенные из вершины О. Отсюда делаем вывод: точка О равноудалена от всех сторон многоугольника. Следователь но, точка О — центр вписанной окружности. А Точку, которая является центром описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, называют цен тром правильного многоугольника. 52

6. Правильные многоугольники и их свойства

На рисунке 41 изображен фраг мент правильного п-угольника с центром О и стороной АВ, длину которой обозначим ап. Угол АО В называют центральны м углом правильного многоугольника. Понятно, что А АОВ = ^^~. п

В равнобедренном треугольни1яо°

ке АОВ проведем высоту ОМ. Тогда Z АОМ = Z ВОМ = ----- , п

А М = М В = — . Из Д ОМВ 2

оВ=

м в = ---- ^ ---- и 180 ° „ . 180 ° в т ----- 2в т ----.

ом =,

МВ 180 °

21«

-----п

180 °

Отрезки ОВ и ОМ — радиусы описанной и вписанной окружностей правильного п-угольника. Если их длины обо значить и г соответственно, то полученные результаты можно записать в виде формул:

Подставив в эти формулы вместо п числа 3, 4, 6 , получим формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей для правильных треугольника, четырехуголь ника и шестиугольника со стороной а:

Го = ----3 6

_ ал/ 3 3 ал/3

Радиус вписанной окружности

п =4 а ьо <£ ьо|

-/То -

п - 3

!ээ

Количество сторон правильного п-угольника Радиус описанной окружности

Г/к ~ 2

п - 6 о= а ал/3

Г&~ 2

§ 2 . Правильные многоугольники

Из сказанного следует, что сторона правильного шести угольника равна радиусу его описанной окружности. От сюда получаем простой алгоритм построения правильного шестиугольника: от произвольной точки М окружности надо последовательно откладывать хорды, равные радиусу (рис. 42). Таким образом получаем вершины правильного шестиугольника. Соединив через одну вершины правильного шестиуголь ника, получим правильный треугольник (рис. 43). Для построения правильного четырехугольника доста точно в окружности провести два перпендикулярных диа метра АС и В Б (рис. 44). Тогда четырехугольник АВСБ — квадрат (докажите это самостоятельно).

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Если уже построен правильный п-угольник, то легко по строить правильный 2п-угольник. Для этого надо найти середины всех сторон п-угольника и провести радиусы опи санной окружности через полученные точки. Тогда концы радиусов и вершины данного п-угольника будут вершинами правильного 2п-угольника. На рисунках 45 и 46 показано построение правильных 8 -угольника и 12 -угольника.

Рис. 45

Рис. 46

6. Правильные многоугольники и их свойства

П р и м е р 1. Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: 1) 177°; 2) 155°? В случае утвердитель ного ответа укажите вид многоугольника. Реш ение 1) Пусть п — количество сторон искомого правильного многоугольника. С одной стороны, сумма его углов равна 180° (п - 2). С другой стороны, эта сумма равна 177°п. Сле довательно, 180° (п - 2) = 177°п; 180°п - 360° = 177°п; п = 120. О т в е т : существует, это — стодвадцатиугольник. 2) Имеем: 180°(п - 2) = 155°п; 25°п = 360°; п = 14,4, что невозможно, так как п должно быть натуральным числом. О т в е т : не существует. П р и м е р 2. В окружность вписан правильный тре угольник со стороной 18 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. Р е ш е н и е . Радиус окружности, опи санной около правильного треугольни ка, вычисляется по формуле R3 = af , где а — сторона треугольника (рис. 47). Следовательно, R3 = ^ ^ ß - = бл/З (см). О

По условию радиус окружности, вписанной в правиль ный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, то есть r6 = R S =б>/3 см. п, &V3 , Так как г6 = — , где о — сторона правильного шестиуголь2 iV q

2 • 6 л /з

. п /

ника, то о = -т^ = — -j=— = 12 (см). V3 V3 О т в е т : 12 см.

1. Какой многоугольник называют правильным? 2. Какое другое название имеет правильный треугольник? 55

§ 2 . Правильные многоугольники

3. Какое другое название имеет правильный четырехугольник? 4. Около какого правильного многоугольника можно описать окружность? 5. Вкакой правильный многоугольник можно вписать окружность? 6 . Как расположены друг относительно друга центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника? 7. Что называют центром правильного многоугольника? 8 . Запишите формулы радиусов вписанной и описанной окруж ностей правильного л-уголычика, треугольника, четырех угольника, шестиугольника. 9. Опишите построение правильного шестиугольника. 10. Опишите построение правильного четырехугольника. 11. Как, имея построенный правильный л-угольник, можно по строить правильный 2л-угольник? ^ ^ ■ »ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 177. ° Начертите окружность, радиус которой равен 3 см. Постройте вписанный в эту окружность: 1 ) правильный шестиугольник; 2 ) правильный треугольник; 3) правильный двенадцатиугольник. 178. ° Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Постройте вписанный в эту окружность: 1) правильный четырехугольник; 2 ) правильный восьмиугольник.

1 7 9 . ° Найдите углы правильного n -угольника, если: 1) п = 6 ; 2) п = 9; 3) п = 15. 180. ° Найдите углы правильного: 1) восьмиугольника; 2 ) десятиугольника; 3) двадцатичетырехугольника. 181. ° Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен: 1) 60°; 2) 160°; 3) 171°? 182. ° Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен: 1) 90°; 2) 108°; 3) 175°? 183. ° Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: 1) 140°; 2) 150°? 56

6. Правильные многоугольники и их свойства

184.

° Сколько сторон имеет правильный многоугольник,

если угол, смежный с углом многоугольника, составляет ^ угла многоугольника? 185. Определите количество сторон правильного много угольника, если его угол на 168° больше смежного с ним угла. 186. ° Сколько сторон имеет правильный вписанный мно гоугольник, если градусная мера дуги описанной окруж ности, которую стягивает сторона многоугольника, равна: 1) 90°; 2) 45°; 3) 24°? 187. ° Найдите количество сторон правильного много угольника, центральный угол которого равен: 1 ) 120 °; 2 ) 60°; 3) 72°. 188. ° Пусть а3 — сторона правильного треугольника, R и г — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в санти метрах): аз

бТз 4>/3 2

189 / Пусть а 4 — сторона квадрата, R и г — соответствен но радиусы описанной и вписанной его окружностей. За полните таблицу (размеры даны в сантиметрах): а4

§ 2 . Правильные многоугольники

190. ° Высота правильного треугольника равна 15 см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности? 191. ' Диагональ квадрата равна бл/2 см. Чему равен ра диус: 1) описанной окружности; 2 ) вписанной окружности? 192. ° Радиус окружности равен 12 см. Найдите сторону вписанного в эту окружность правильного: 1 ) шестиуголь ника; 2 ) двенадцатиугольника. 193. Радиус окружности равен 8 л/З см. Найдите сторо ну описанного около этой окружности правильного ше стиугольника. О—* 194.° Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиу са окружности, вписанной в этот треугольник. 195. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, на 4 см больше радиуса вписанной окруж ности. Найдите радиусы вписанной и описанной окруж ностей и сторону треугольника. 196. ° Сторона правильного многоугольника равна а, ра диус описанной окружности равен Я. Найдите радиус впи санной окружности. 197. ° Радиусы вписанной и описанной окружностей пра вильного многоугольника равны соответственно г и В. Найдите сторону многоугольника. 1 9 8 / Сторона правильного многоугольника равна а, ра диус вписанной окружности равен г. Найдите радиус опи санной окружности. 199. ° Около окружности описан правильный шестиуголь ник со стороной 4л/з см. Найдите сторону квадрата, впи санного в эту окружность. 200. В окружность вписан квадрат со стороной б-у/2 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности. 201. ° Диаметр круга равен 16 см. Можно ли из него вы резать квадрат со стороной 12 см? 202. ° Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, попереч 58

6. Правильные многоугольники и их свойства

ным сечением которого является правильный треугольник со стороной 15 см? 203. ' Каким должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, попереч ным сечением которого является квадрат со стороной 14 см? 204. * Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого на 36° больше его центрального угла? 205. * Угол между радиусами вписанной окружности пра вильного многоугольника, проведенными в точки касания этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20°. Найдите количество сторон многоугольника. 206. * Докажите, что все диагонали правильного пяти угольника равны. 207. * Докажите, что каждая диагональ правильного пя тиугольника параллельна одной из его сторон. 208. * Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в дру гую окружность. Длина этой хорды равна а. Найдите рас стояние между центрами окружностей, если они лежат: 1) по разные стороны от хорды; 2 ) по одну сторону от хорды. 209. ’ Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольни ка, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна а. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат: 1 ) по разные стороны от хорды; 2 ) по одну сторону от хорды. 210. * В окружность вписан и около нее описан правиль ный треугольник. Найдите отношение сторон этих тре угольников. 211. * В окружность вписан и около нее описан правиль ный шестиугольник. Найдите отношение сторон этих ше стиугольников. 212. * Докажите, что сторона правильного восьмиуголь ника равна Ял12-4% , где II — радиус его описанной окруж ности. 59

§ 2 . Правильные многоугольники

213.

’ Докажите, что сторона правильного двенадцати

угольника равна 2 —Тз, где Я — радиус его описанной окружности. 214. ' Какой размер проема должен быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой имеют форму пра вильного шестиугольника (рис. 48), если ширина грани гайки равна 25 мм, а зазор между гранями гайки и клю ча — 0,5 мм?

215. " Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен К. 216. ’ Найдите диагонали и площадь правильного ше стиугольника, сторона которого равна а. 217. " Углы квадрата со стороной 6 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного восьмиугольника. 218. ' Углы правильного треугольника со стороной 24 см срезали так, что получили правильный шестиугольник. Найдите сторону полученного шестиугольника. 219. " Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна а. 220. " В правильном двенадцатиугольнике, длина сторо ны которого равна а, последовательно соединили середины шести сторон, взятых через одну. Найдите сторону образо вавшегося при этом правильного шестиугольника. 221. "' В правильном восьмиугольнике, длина стороны которого равна а, последовательно соединили середины четырех сторон, взятых через одну. Найдите сторону об разовавшегося при этом квадрата. 60

Когда сделаны уроки

222. * Форму каких равных правильных многоугольников могут иметь дощечки паркета, чтобы ими можно было вы стлать пол? 223. * Нарисован правильный шестиугольник, длина сто роны которого равна 1. Пользуясь только линейкой, по стройте отрезок длиной -у/7. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 224. Окружность разделена на 5 равных дуг: иА В = и ВС - u CD - u DE - u АЕ. Найдите: 1) Z ВАС; 2) Z ВАВ; 3) Z ВАЕ; 4) Z CAD; 5) Z DAE. 225. На одной стороне угла с вершиной в точке А отме тили точки В ж С (точка В лежит между точками А и С), а на другой — точки D и Е (точка D лежит между точками А и В), причем АВ = 28 см, ВС - 8 см, AI) - 24 см, АЕ = 42 см, BE = 21 см. Найдите CD. 226. Основание равнобедренного тупоугольного треуголь ника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите площадь треугольника. 227. Через точку А к окружности проведены две каса тельные. Расстояние от точки А до точки касания равно 12 см, а расстояние между точками касания — 14,4 см. Найдите радиус окружности. КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ

О построении правильных «.-угольников Докажем, что любой правильный п-угольник является выпуклым многоугольником. Для этого достаточно пока зать, что в любом многоугольнике есть хотя бы один угол, меньший 180°. Тогда из того, что в правильном «-угольнике все углы равны, будет следовать, что каждый из них мень ше 180°, то есть многоугольник будет выпуклым. Рассмотрим произвольный многоугольник и пря мую а, не имеющую с ним общих точек (см. ри сунок). Из каждой вершины многоугольника опустим перпендикуляр на прямую а. 61

§ 2 . Правильные многоугольники

Сравнив длины этих перпендикуляров, мы сможем выбрать вершину многоугольника, наименее удаленную от прямой а (если таких вершин несколько, то выберем любую из них). Пусть этим свойством обладает вершина А. Через точку А про ведем прямую Ь, параллельную прямой а. Тогда угол А мно гоугольника лежит в одной полуплоскости относительно пря мой Ъ. Следовательно, А А < 180°. Вы умеете с помощью циркуля и линейки строить пра вильный 4-угольник, а значит, и 8 -угольник, 16-угольник, 32-угольник, то есть любой 2"-угольник (п — натуральное, п > 1). Умение строить правильный треугольник дает возмож ность построить следующую цепочку из правильных много угольников: 6 -угольник, 12-угольник, 24-угольник и т. д., то есть любой 3 • 2"-угольник (п — натуральное). Задачу построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки изучали еще древнегреческие геометры. В частности, помимо указанных выше многоугольников, они умели строить правильные 5-угольник и 15-угольник — за дача довольно непростая. Древние ученые, умевшие строить любой из правильных п-угольников, где п = 3, 4, 5, 6 , 8 , 10, пытались решить эту задачу и для п = 7, 9. Им это не удалось. Вообще, более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. Лишь в 1796 г. великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) смог доказать, что циркулем и линейкой по строить правильные 7-угольник и 9-угольник нельзя. В 1801 г. Гаусс показал, что циркулем и линейкой можно построить пра вильный п-угольник тогда и только тогда, когда п = 2к, где /ее М, к > 1 , или п - 2к•р гр 2•... - р , где к — целое неотрицатель ное число, р1? р2, ..., р 8 — разные простые числа вида 2 2”'+ 1, которые называют простыми числами Ферма1. Сейчас известны лишь пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Гауссу удалось построить правильный 17-угольник. Он при давал этому открытию столь большое значение, что завещал увековечить 17-угольник на своем надгробии. На могильной плите Гаусса этого рисунка нет, но сам памятник стоит на семнадцатиугольном постаменте. 1 П ь е р Ф е р м а (1 601-1665) — французский математик, один из основателей теории чисел.

7. Длина окружности. Площадь круга

7. Длина окружности. Площадь круга На рисунке 49 изображены правильные 4-угольник, 8 -угольник и 16-угольник, вписанные в окружность.

Мы видим, что при увеличении количества сторон пра вильного п-угольника его периметр Р все меньше и меньше отличается от длины С описанной окружности. Так, для нашего примера можно записать: С - Р 4 > С - Р 8 > С - Р 16 и т. д. При неограниченном увеличении количества сторон пра вильного многоугольника его периметр будет как угодно мало отличаться от длины окружности. Это означает, что разность С - Р можно сделать меньшей, чем, например, 10 6, 10 9, и вообще меньшей любого положительного числа. Рассмотрим два правильных п-угольника со сторонами ап и а'п и радиусами описанных окружностей й п й 1 соот ветственно (рис. 50). Тогда их периметры Р и Р' вычис ляют по формулам: Г)

180 °

Р„ = п ■ап = п • 2м э т -----, п 180 Р „ = п -а „ = п ■2К э т -----. П /

} /

•

Отсюда

Рп = 2^ К 2В' ' (*) Это равенство справедливо при любом значении п (п — натуральное, п > 3). При неограниченном увеличении зна 63

§ 2 . Правильные многоугольники

чения п периметры Р и Р' соответственно будут сколь угодно мало отличаться от длин С и С' описанных окруж ностей. Тогда при неограниченном увеличении п отношение Р п -у будет сколь угодно мало отличаться от отношения —. п Р 2,11

С учетом равенства (*) приходим к выводу, что число — 7 сколь угодно мало отличается от числа —. А это значит, С С

2Д 2Д

С 2Д

С' 2Д

ЧТО —у = ——у ИЛИ — = у — •

Последнее равенство означает, что для всех окруж но стей отношение длины окруж ности к диам ет ру есть одно и то же число. Вы знаете, что это число принято обозначать греческой буквой л (читают: «пи»). Из равенства — = к получаем формулу для вычисления 2М длины окружности: С = 2лВ Число л иррациональное, а значит, оно может быть пред ставлено в виде конечной десятичной дроби лишь прибли женно. Обычно при решении задач в качестве приближен ного значения л принимают число 3,14. Великий древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), выразив через диаметр описанной окружности периметр правильного 96-угольника, установил, что 3 ^ < л < 3 ^ . От сюда и следует, что л ~ 3,14. С помощью современных компьютеров и специальных программ можно вычислить число л с огромной точностью. Приведем запись числа л с 47 цифрами после запятой: л - 3,14159265358979323846264338327950288419716939937... . В 1992 г. число л вычислили с точностью до 1 011 196 691 цифры после запятой. Этот факт был занесен в Книгу ре кордов Гиннесса. Само число в книге не приведено, так как для этого понадобилось бы более тысячи страниц. 64

7. Длина окружности. Площадь круга

Найдем формулу для вычисления длины дуги окруж ности с градусной мерой п°. Поскольку градусная мера всей окружности равна 360°, то длина дуги в 1° р ав н а----

360

nR 180'

Тогда длина I дуги в п° вычисляется по формуле , _ кЯп ~ 180

Выведем формулу для вычисления площади круга. Опять-таки, обратимся к рисунку 49. Мы видим, что при увеличении количества сторон правильного п-угольника его площадь 5 все меньше и меньше отличается от площади 5 круга. При неограниченном увеличении количества сто рон его площадь стремится к О площади круга. На ри сун к е 51 и зобр аж ен фрагмент правильного п-уголь ника с центром в точке О, со стороной А В = ап и радиусом описанной окружности, равным И. Опустим перпендикуляр ОМ на сторону АВ. Имеем: S Anrt = - AB- ОМ = - а , -E c o s — . А0В

Поскольку радиусы, проведенные в вершины правиль ного п-угольника, разбивают его на п равных треугольни ков, то площадь п-угольника Sn в п раз больше площади треугольника АОВ. Тогда с с D 180° Sn = п ■SA0B = -1п ■ап *E cos — .

Отсюда S n =^Pn . R c o s ^ f ,

(**)

где Р — периметр данного правильного п-угольника. При неограниченном увеличении значения п величина 180° й ----будет сколь угодно мало отличаться от 0ло , а следова-

§ 2 . Правильные многоугольники

180° п

тельно, c o s----- будет стремиться к 1. Периметр Р будет 11

стремиться к длине С окружности, а площадь S n — к пло щади S круга. Отсюда с учетом равенства (**) можно за писать Б = - С • Б. 2 Из этого равенства получаем формулу для нахождения площади круга: S = nR2 На рисунке 52 радиусы ОА и ОБ делят круг на две части, закрашенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с радиусами ОА и ОБ называют круговым сектором или просто сектором. Понятно, что круг радиуса Б можно разделить на 360 равных секторов, каждый из которых будет содержать дугу в 1°. Площадь такого сектора равна - — . Тогда площадь 5 360

сектора, содержащего дугу окружности в п , вычисляется по формуле:

На рисунке 53 хорда АБ делит круг на две части, закра шенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с хордой АВ называют круговым сегментом или просто сегмен том. Хорду АВ при этом называют основанием сегмента. Чтобы найти площадь сегмента, закрашенного синим цветом (рис. 54), надо из площади сектора, содержащего хорду АБ, вычесть площадь треугольника АОВ (точка О —

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

7. Длина окружности. Площадь круга

центр круга). Чтобы найти площадь сегмента, закрашенно го желтым цветом, надо к площади сектора, не содержаще го хорду АВ, прибавить площадь треугольника АОВ. Если хорда АВ является диаметром круга, то она делит круг на два сегмента, которые называют полукругами. Площадь 5 полукруга вычисляют по формуле 5 = ---- , где Я — радиус круга. П р и м е р 1. Длина дуги окружности, радиус которой 25 см, равна л см. Найдите градусную меру дуги. кЯп 1 8 ог получаем п ■ Р е ш е н и е . Из формулы 1= . Сле 180

лД

180 л л -25

довательно, искомая градусная мера п

= 7,2°.

О т в е т : 7,2°. П р и м е р 2. В окружность с центром О, радиус которой равен 8 см, вписан правильный вось миугольник А ВС БЕ РМ К (рис. 55). Найдите площади сектора и сегмен та, содержащих дугу АВ. Р е ш е н и е . Z АОВ — централь ный угол правильного восьмиугольодпо

ника, А А О В = ^ - = 45й. 8

Тогда площадь сектора, которую требуется найти, 5

л • 8 •45 360

= 8 л (см123), площадь сегмента Зоегм = 5 оект-

алов

= 8 к - ^ О А 2ят А АОВ

8 л -16>/2 (см2).

О т в е т : 8 п см2, (8 л -1 6 \/2 ) см2.

1. Какое отношение обозначают буквой к? 2. Назовите приближенное значение числа к с точностью до сотых. 3. По какой формуле вычисляют длину окружности? 67

§ 2 . Правильные многоугольники

4. По какой формуле вычисляют длину дуги окружности? 5. По какой формуле вычисляют площадь круга? 6 . Поясните, какую геометрическую фигуру называют круговым сектором. 7. По какой формуле вычисляют площадь кругового сектора? 8 . Поясните, какую геометрическую фигуру называют круговым сегментом. 9. Поясните, как можно найти площадь кругового сегмента.

УПРАЖНЕНИЯ 228. ° Найдите длину окружности, диаметр которой равен: 1) 1,2 см; 2) 3,5 см. 229. Найдите длину окружности, радиус которой равен: 1) 6 см; 2) 1,4 м. 230. ° Найдите площадь круга, радиус которого равен: 1) 4 см; 2) 14 дм. 231. ° Найдите площадь круга, диаметр которого равен: 1) 20 см; 2) 3,2 дм. 232. ° Найдите площадь круга, длина окружности кото рого равна I. 233. ° Вычислите площадь поперечного сечения дерева, которое в обхвате составляет 125,6 см. 234. ° Как изменится длина окружности, если ее радиус: 1 ) увеличить в 2 раза; 2 ) уменьшить в 3 раза? 235. ° Радиус окружности увеличили на 1 см. На сколько увеличилась при этом длина окружности? 236. ° Самый большой оптический телескоп (рефлектор) в Украине находится в Крымской астрономической обсер ватории. Диаметр его зеркала равен 2,6 м. Самый большой в мире оптический телескоп находится в обсерватории Ка лифорнийского университета на Гавайях (США). Диаметр его зеркала составляет 10 м. Во сколько раз длина обода американского телескопа больше длины обода украинского? Ответ округлите до десятых. 237. ° Вычислите длину красной линии, изображенной на рисунке 56. 68

7. Длина окружности. Площадь круга

а)

б) Рис. 56

238. ' Как изменится площадь круга, если его радиус: 1) увеличить в 4 раза; 2) уменьшить в 5 раз? 239. ° Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изо браженной на рисунке 57.

Рис. 57

240. ° Вычислите площадь заш трихованной фигуры (рис. 58), если длина стороны клеточки равна а. 241. ° Блинчик, диаметр которого равен 30 см, стоит столько же, сколько два блинчика, диаметр которых 20 см. Если толщина всех блинчиков одинакова, то в каком случае покупатель съест больше: когда купит один большой блин чик или два меньших? 242. ° Найдите длину окружности, описанной около пра вильного треугольника со стороной а. 243. Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороной а. 69

§ 2 . Правильные многоугольники

а)

б) Рис. 58

244. ° Найдите площадь круга, описанного около квадра та со стороной а. 245. ° Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной а. 246 . " Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной а. 247. ° Найдите площадь круга, описанного около прямо угольника со сторонами а и Ъ. 248. ° Найдите площадь круга, описанного около равно бедренного треугольника с боковой стороной Ъ и углом а при основании. 249 . Найдите длину окружности, описанной около пря моугольника со стороной а и углом а между данной сторо ной и диагональю прямоугольника. 250. ° Радиус окружности равен 8 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна: 1) 4°; 2) 18°; 3) 160°; 4) 320°. 251. ° Длина дуги окружности равна 12л см, а ее градус ная мера — 27°. Найдите радиус окружности. 252. ° Длина дуги окружности радиусом 24 см равна Зл см. Найдите градусную меру дуги. 253. ° Вычислите длину дуги экватора Земли, градусная мера которой равна 1 °, если радиус экватора приближенно равен 6400 км. 70

7. Длина окружности. Площадь круга

254. ° Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна: 1) 15°; 2) 144°; 3) 280°. 25 5. ° Площадь сектора составляет — площади круга. 8

Найдите градусную меру его дуги. 256. ° Площадь сектора равна 6 л дм2. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус круга равен 12 дм. 5тт 4

257. ° Площадь сектора равна — см2, а градусная мера дуги этого сектора составляет 75°. Найдите радиус круга, частью которого является данный сектор. 258. ° Может ли сектор круга быть его сегментом? 259. ° Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 5 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 45°; 2) 150°; 3) 330°. 260. ° Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60°; 2) 300°. 261. * Колеса автомобиля имеют диаметр 65 см. Он дви жется с такой скоростью, что колеса делают ежесекундно 6 оборотов. Найдите скорость автомобиля в километрах в час. Ответ округлите до десятых. 262. * Найдите длину дуги, которую описывает часовая стрелка длиной 6 см за 1 ч. 263. * Найдите длину дуги, которую описывает минутная стрелка длиной 24 см за 40 мин. 264. * Радиус окружности увеличили на а. Докажите, что длина окружности увеличится на величину, не зависящую от радиуса данной окружности. 265. * Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 50° и 100°. Найдите длины дуг, на кото рые делят описанную окружность треугольника его вер шины. 266. * Сторона треугольника равна 5л/3 см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 25°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. 267. * На катете АС прямоугольного треугольника АВС ( А С - 90°) как на диаметре построена окружность. Найди 71

§ 2 . Правильные многоугольники

те длину дуги этой окружности, принадлежащей треуголь нику, если Z А = 24°, АС = 20 см. 2 6 8 / Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. На высоте треугольника, проведенной к основа нию и равной 27 см, как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги окружности, принадлежащей треуголь нику. 2 6 9 / Отрезок АВ разбили на п отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это дей ствие повторили, разбив данный отрезок на т отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, получен ных в первом и втором случаях. 2 7 0 / Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диа метре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, постро енных на его катетах как на диаметрах. 2 7 1 / Две трубы, диаметры ко торых равны 30 см и 40 см, надо заменить одной трубой с такой же N. пропускной способностью. Каким N. должен быть диаметр этой трубы? И N4 2 7 2 / На сколько процентов увеличится площадь круга, если его радиус увеличить на 10 %? 2 7 3 / В круг вписан квадрат со стороной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основа Рис. 59 нием которых является сторона квадрата. 2 7 4 / Из листа жести, имеющего форму круга, вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести пошло в отходы? 2 7 5 / В круг вписан правильный треугольник со сторо ной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основани ем которых является сторона треугольника. 2 7 6 / В круговой сектор, радиус которого равен К, а цен тральный угол составляет 60°, вписан круг. Найдите пло щадь этого круга. 72

7. Длина окружности. Площадь круга

277,” Найдите площадь розетки (заштрихованной фигу ры), изображенной на рисунке 60, если сторона квадрата АВС Б равна а.

Рис. 62

278. " При построении четырех дуг с центрами в верши нах квадрата АВСБ и радиусами, равными стороне а ква драта, образовалась фигура, ограниченная красной линией (рис. 61). Найдите длину этой линии. 279. ” (Задача Гиппократа1). Около прямоугольника опи сали окружность и на каждой его стороне как на диаметре построили полуокружность (рис. 62). До кажите, что сумма площадей закрашенных фигур (луночек Гиппократа) равна площа ди прямоугольника. 280. ” Два квадрата со сторонами 1 см имеют общий центр (рис. 63). Докажите, что площадь их общей части больше, чем —.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 281. Найдите сторону ромба, если его высота равна 6 см, а угол между стороной ромба и одной из диагоналей равен 15°. 282. Биссектриса угла А прямоугольника АВСБ делит его сторону ВС на отрезки В М и МС длиной 10 см и 14 см 1 Г и п п о к р а т Х и о с с к и й — древнегреческий геометр (V в. до н. э.).

§ 2 . Правильные многоугольники

соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника? 283. Сумма углов при большем основании трапеции рав на 90°, Докажите, что расстояние между серединами осно ваний трапеции равно полуразности оснований. ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ 284. Чему равно расстояние между точками А и В коор динатной прямой, если: 1) А (3) и В (7); 3) А (-2 ) и В ( - 6 ); 2) А (-2 ) и В (4); 4) А (а) и В ( 6)? 285. Начертите на координатной плоскости отрезок АВ, найдите по рисунку координаты середины отрезка и срав ните их со средним арифметическим соответствующих координат точек А и В, если: 1) А (-1; - 6 ), В (5; - 6 ); 3) А (3; -5 ), В (-1; 3). 2) А (3; 1), В (3 ; 5); 286. Постройте на координатной плоскости треугольник АВС и найдите его стороны, если А (5; -1), В (-3; 5), С (-3; -1). 287. В какой координатной четверти находится точка: 1) А (3; -4); 2) В (-3; 1); 3) С (-4; -5); 4) В (1; 9)? 288. В какой координатной четверти находится точка М, если: 1 ) ее абсцисса положительна, а ордината отрицательна; 2 ) произведение ее абсциссы и ординаты — отрицатель ное число; 3) ее абсцисса и ордината отрицательны? 289. Что можно сказать о координатах точки А, если: 1) точка А лежит на оси абсцисс; 2) точка А лежит на биссектрисе четвертого координат ного угла; 3) точка А лежит на оси ординат; 4) точка А лежит на биссектрисе третьего координатного угла; 5) точка А лежит на биссектрисе первого координатного угла? 74

7. Длина окружности. Площадь круга

290. Укажите координаты вершин прямоугольника АВС-0 (рис. 64).

в) Рис. 64

§ 2.

Правильные многоугольники

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 2 1. Найдите количество сторон правильного многоуголь ника, если его угол равен 170°. А) 30; В) 36; Б) 32; Г) такого многоугольника не существует. 2. Чему равен центральный угол правильного десяти угольника? А) 18°; Б) 36°; В) 144°; Г) 10°. 3. Какой наибольший центральный угол может иметь правильный многоугольник? А) 90°; В) 150°; Б) 120°; Г) указать невозможно. 4. Найдите длину дуги окружности, градусная мера ко торой равна 207°, если радиус окружности — 4 см. А) 4,6л см; Б) 4,6 см; В) 23л см; Г) 23 см. 5. Какую часть площади круга составляет площадь сек тора, центральный угол которого равен 140°? Г) — . А) - ; Б) — ; В) — ; 9 12 7 15 18 6. В окружность вписан правильный шестиугольник, сторона которого равна а. Найдите сторону треугольника, описанного около этой окружности. А)

; В) ал/3; Г) 2а>/3. 2 7. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 12 см? А) 6 см; Б) 6 -у/З см; В) 2>/з см; Г) 12 см. 8. Вписанный в окружность угол, равный 40°, опирается на дугу длиной 8 см. Какова длина данной окружности? 3

Б) ^

А) 36 см; Б) 72л см; В) 72 см; Г) 36л см. 9. Какой должна быть длина хорды окружности, радиус которой равен К, чтобы длины дуг, на которые концы этой хорды делят окружность, относились как 2 : 1 ? А) К;

Б) 2К;

В) 76

Г) Д>/3.

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 2

10. На рисунке изображен вписан ный в окружность треугольник АВС, Z А = 30°, ВС - а. Чему равна площадь сегмента, основание которого стягива ет дугу ВАС? .. а2( 2я + Зл/з) а2{юп + 3л/з) А ) ------ Г2------ 5 В ) ------- Г2------- 5 а2{2п-з4з) Б) ------ ---------’

а2(10л-3л/з) Г) ------- 77;-------•

11. В треугольнике АВС известно, что А А - 20°, Z С = = 30°, АС = 14 см. Окружность с центром в точке А касает ся прямой ВС. Найдите длину дуги этой окружности, при надлежащей треугольнику АВС. . ч

А) ’

7п

— см; 18

т-,4 7п

Б) — см; ’

7п 12

В) — см;

’

-р,ч 7я

Г) — см. ’

12. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 6л/з см, а радиус вписанной в него окружности — 9 см. Сколько сторон имеет многоуголь ник? А) 6 ; Б) 12; В) 9; Г) 18.

§ 2 . Правильные многоугольники

ИТОГИ

■

В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: Р* правильный многоугольник; > центр правильного многоугольника; > центральный угол правильного многоугольника; > круговой сектор; > круговой сегмент; > основание сегмента; • вы изучили: > свойства правильного многоугольника; > формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей правильного много угольника; > формулы для вычисления длины окружности и длины дуги окружности; > формулы для вычисления площади круга и площади сектора; • вы ознакомились со способом нахождения площади сегмента.

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ В этом параграфе вы расширите свои знания о координатной плоскости. Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов. Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности. Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпен дикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось орди нат) с общим началом отсчета (рис. 65). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить ко ординаты точки, отмеченной на координатной плоскости. Договоримся координатную Ул в плоскость с осью х (осью аб 3 к 3 сцисс) и осью у (осью ординат) «6 & называть плоскостью ху. 2 Л О Координаты точки на пло 1 О скости ху называют декарто Ось абсцисс Н------1------1---выми координатами в честь -3 -2 -1 ф р ан ц узск ого м атем атика Рене Декарта (см. рассказ на -2с. 105-106). Вы знаете, как находить -3 расстояние между двумя точ ками, заданными своими коРис, 65 -

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

ордин атам и на к оорди н атн ой А в прямой: для точек А (хД и В (х2) —нх„ (рис. 6 6 ) имеем: АВ - | х 2 - х х \. Рис. 66 Научимся находить расстояние между точками А (хх; г/Д и В (х2; у2), заданными на плоско сти ху. Рассмотрим случай, когда отрезок АВ не перпендикуля рен ни одной из координатных осей (рис. 67). Через точки А п В проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник АСВ. Очевидно, что ВС = \ хХ29 - х, ~1 |, АС = \ у 2 - у х |. Отсюда А В 2 = ВС2 + АС2 = \ х2 - х г \2 + |2 — 4+ У2 - У1 Г = (*2 _- *VДІ 2:! + (у 2 -- уДV! Тогда формулу расстояния меж ду точками А (х,; г/Д и В (х2; у 2) можно записать так: (л*

і ,

АВ = ^{х2- х ])2+ {у2- у ])2 Докажите самостоятельно, что эта ф орм ула остается верной и для случая, когда отрезок АВ перпендикулярен одной из осей координат. Пусть А (хд г/Д и В (х2; у 2) — точки плоскости ху. На учимся находить координаты (х0; у 0) точки М — середины отрезка АВ. Опять-таки рассмотрим слу чай, когда отрезок АВ не пер пендикулярен ни одной из коор динатных осей (рис. 6 8 ). Будем считать, что х 2 > х х (случай, когда х 2 < х 1? рассматривается аналогично). Через точки А, М и В проведем прямые, перпен дикулярные оси абсцисс, кото рые пересекут эту ось соответ80

8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами.

ственно в точках Л,, М, и В,. По теореме Фалеса Л 1М 1 = = то есть | х0 - х г | = | х2 - х0 |. Так как х2 > х0 > х г, то можем записать: х0 - х г = х 2 - х0. Отсюда

Аналогично можно показать, что „ _ У1 + У-2

У0

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок АВ перпен дикулярен одной из осей координат (докажите это само стоятельно). П р и м е р 1. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (-1; 7), В (1; 3) и С (5; 5) является равнобедрен ным прямоугольным. Р е ш е н и е . Найдем длины сторон данного треугольника: ЛВ = 7(1+ 1)2 + ( 3 - 7 )2 = 7 4 + 16 = 720; ВС = 7 (5 -1 )2 + ( 5 - 3 )2 = л/16 + 4 =720; АС = 7(5 + 1)2 + ( 5 - 7 )2 =л/Зб + 4 = 7 4 0 . Следовательно, АВ = ВС, то есть А ЛВС — равнобедренный. Так как АВ 2 + ВС2 = 20 + 20 = 40 = АС2, то Д ЛВС — прямоугольный. П р и м е р 2. Точка М (2; -5 ) — середина отрезка АВ, Л (-1; 3). Найдите координаты точки В. Р е ш е н и е . Обозначим (хв; у в) — координаты точки В, (хА; уА) — координаты точки Л, (хм; у и) — координаты точки М. „

Поскольку

х.+ хп

- 1 + х„

= хм, то имеем ------ —= 2; -1 + хв = 4;

= 5. Аналогично Уа * Ув = ум; ^ ^ - = -5; у в = -1 3 . О т в е т : В (5; -1 3 ). 81

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

П р и м е р 3. Докажите, что четырехугольник АВСБ с вершинами в точках А (2; - 1 ) , В (1; 3), С (-3 ; 2) и Б ( - 2 ; - 2 ) является прямоугольником. Р е ш е н и е . Пусть точка М — середина диагонали АС. Тогда ^

Ус _ - 1 + 2

= -0,5;

= 0,5.

Следовательно, М (-0 ,5 ; 0,5). Пусть точка К — середина диагонали ВВ. Тогда 3-2 х, _ ^В_^ == -0,5; ук = = 0,5, 2

.ЙГ(-0,5; 0,5). Следовательно, точки М и К совпадают. То есть диаго нали четырехугольника АВСБ имеют общую середину. От сюда следует, что АВСБ — параллелограмм. Далее, АС = д/(-3 - 2)12 + (2 + 1)2 = л/34, Б£> = д/(-2 - 1)2 + (-2 - З)2 = Т34. Следовательно, диагонали параллелограмма АВСБ рав ны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.

1. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты? 2. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты его концов?

291. ° Найдите расстояние между точками А и В, если: 1) А (10; 14), В (5; 2); 2) А (-1; 2), В (4; -3 ). 292. Найдите расстояние между точками С и Б , если: 1) С (-2; -4 ), Б (4; -12); 2) С (6 ; 3), Б (7; -1 ). 293. ° Вершинами треугольника являются точки А (-1; 3), В(5; 9), С(6 ; 2). Докажите, что ААВС — равнобедренный. 82

8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами.

294. ° Докажите, что точка М (0; -1 ) является центром окружности, описанной около треугольника АВС, если А (6 ; - 9 ) , Б ( - 6 ; 7), С (8 ; 5). 295. Докажите, что углы Б и С треугольника АВС равны, если А (5; -7 ), Б (-3; 8 ), С (- 1 0 ; - 1 5 ) . 296. ° Найдите координаты середины отрезка ВС, если: 1) Б (5; 4), С (3; 2); 2) Б (-2; -1 ), С (-1; 7). 297. ° Точка С — середина отрезка АВ. Найдите коорди наты точки Б, если: 1) А (3; -4 ), С (2; 1); 2) А (-1; 1), С (0,5; -1 ). 298. ° Точка К — середина отрезка АО. Заполните таб лицу: Точка

Координаты точки ( - 8 ; 2)

(-3; 1)

( - 1 ; -3 )

(-9; 2) (-4; 6 )

(і; 2 )

299. ° Найдите длину медианы В М треугольника, верши нами которого являются точки А (3; -2 ), В (2; 3) и С (7; 4). 300. Даны точки А (-2; 4) и Б (2; - 8 ). Найдите расстоя ние от начала координат до середины отрезка АВ. 301. * Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (2; 7), Б (-1; 4), С (1; 2) является прямоугольным. 302. ’ Точки А (-1 ; 2) и Б (7; 4) являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты: 1) (7; 2); 2) (2; -3)? 303. * Лежат ли на одной прямой точки: 1) А (-2; -7 ), Б (-1; -4 ) и С (5; 14); 2) Б (-1; 3), Е (2; 13) и Б (5; 21)? В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими. 304. * Докажите, что точки М (-4; 5), N (-10; 7) и К (8 ; 1) лежат на одной прямой, и укажите, какая из них лежит между двумя другими. 305. * При каком значении х расстояние между точками С (3; 2) и Б (х ; -1 ) равно 5? 83

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

3 0 6 / На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек А (-1; -1 ) и В (2; 4). 3 0 7 / Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудаленной от точек D (-2; -3 ) и Е (4; 1). 3 0 8 / Найдите координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении 1 : 3, считая от точки А, если А (5; -3 ) и В (-3; 7). 309/ Четырехугольник ABCD — параллелограмм, А (-5; 1), В (-4; 4), С (-1; 5). Найдите координаты вершины D. 3 1 0 Ч еты рехугольник A BC D — параллелограмм, А (-2; -2 ), С (4; 1), D (-1; 1). Найдите координаты верши ны В. 3 1 1 / Докажите, что четырехугольник ABCD с вершина ми в точках А (-2; 8 ), В (3; -3 ), С (6 ; 2) и D (1; 13) являет ся параллелограммом. 3 1 2 / Докажите, что четырехугольник ABCD с вершина ми в точках А (-3; -2 ), В (-1; 2), С (1; -2 ) и D (-1; - 6 ) является ромбом. 3 1 3 / Докажите, что четырехугольник ABCD с вершина ми в точках А (-2; 6 ), В ( - 8 ; -2 ), С (0; - 8 ) и D (6 ; 0) явля ется квадратом. 3 1 4 / Точки D (1; 4) и Е (2; 2) — середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. Найдите коорди наты вершин А и С, если В (-3; -1 ). 3 15/ Найдите длину отрезка, концы которого принадлежат осям координат, а серединой является точка М (-3; 8 ). 316. " Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А (2; -3 ) и В (-2; 3). 317. " Найдите координаты вершины Е равностороннего треугольника DEF, если D ( - 6 ; 0) и F (2; 0). 318. " В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, А (5; 9), С (1; -3 ), модули координат точки В равны. Най дите координаты точки В. 319. " Найдите координаты всех точек С оси абсцисс та ких, что А АВС — равнобедренный, если А (1; 1), В (2; 3). 320. ” Найдите координаты всех точек В оси ординат таких, что А АВС — прямоугольный, если А (1; 3), С (3; 7). 84

9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 321. В треугольнике АВС известно, что А С = 90°, АВ = = 9 см, ВС = 3 см. На гипотенузе АВ отметили точку М так, что А М : М В = 1 : 2 . Найдите СМ. 322. Найдите углы ромба, если угол между высотой и диагональю ромба, проведенными из одной вершины, равен 28°. 323. Диагональ ВО параллелограмма АВСВ равна 24 см, точка Е — середина стороны ВС. Найдите отрезки, на ко торые прямая АЕ делит диагональ ВВ. ГОТОВИМСЯ К ИЗУЧЕНИЮ НОВОЙ ТЕМЫ ш 324. Точка А (1; - 6 ) — центр окружности, точка В (10; 6 ) принадлежит этой окружности. Чему равен радиус окруж ности? 325. Отрезок СВ — диаметр окружности. Найдите координа ты центра окружности и ее радиус, если С (6 ; -4), В (-2; 10). 326. Какая фигура является графиком уравнения: 1) у = 1; 3) х = -2 ; 5) ху = 1; 2) г/ = Зх - 4; 4) (х + 2 )2 + (у - З)2 = 0; 6) у = 7 х ?

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Координаты (х; у) каждой точ ки параболы, изображенной на рисунке 69, являются решением уравнения у = X й. И наоборот, каждое решение уравнения с дву мя переменными у = хй является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае го ворят, что уравнение параболы, изображ енной на рисунке 69, имеет вид у = X й. 85

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Вообще, у р а в н е н и е м ф и г у р ы Е, заданной на плоско сти ху, называют уравнение с двумя переменными х н у , имеющее два свойства: 1) если точка принадлежит фигуре Р, то ее координаты являются решением данного уравнения; 2) любое решение (ж; у) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Е. Например, уравнение прямой, изображенной на рисун ке 70, имеет вид у = 2х - 1, а уравнение гиперболы, изо браженной на рисунке 71,

Также принято гово-

рить, что, например, уравнения у = 2 л: - 1 и У = ~ задают прямую и гиперболу соответственно.

Рис. 70

Рис. 71

Если данное уравнение является уравнением фигуры Е, то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса 7? с центром в точке А (а; Ъ). Пусть М (х ; у) — произвольная точка данной окружности (рис. 72). Тогда А М = 7? или > /(х -а )2+ (у -Ь )2 =7?. Отсюда (х - а)2 + (у - Ъ)2 = К2. (*) Мы показали, что координаты (х; у) произвольной точки М окруж ности являются решением уравнения (*). Теперь покажем, что любое ре 86

9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности

шение уравнения (х - а)2 + (у - Ь)2 = К2, где Я > О, является координатами точки, принадлежащей данной окружности. Пусть пара (хф г/х) — произвольное решение уравнения (*). Имеем: (х 1 - а)2 + (уг - Ъ)2 = К2. Отсюда У1(х1- а ) 2+ (у1-Ь)2 = Я. Эта равенство показывает, что точка N (хг; г/х) удалена от центра окружности А (а; Ъ) на расстояние, равное ра диусу окружности, а следовательно, точка N (хх; у А при надлежит данной окружности. Итак, мы доказали такую теорему. Т е о р е м а 9 . 1 . Уравнение (х - а)2 + (у - Ъ)2 = Я 2, где Я > О, являет ся уравнением окруж ности с цент ром в точке А(а; Ь) и радиусом Я. Если центром окружности является начало координат, то а = Ь = 0. Уравнение окружности, изображенной на ри сунке 73, имеет вид: х2 + у 2 = К2. П р и м е р 1. Составьте уравнение окружности, диаметром которой являет ся отрезок АВ, если А (-5; 9), В (7; -3). Р е ш е н и е . Так как центр окруж ности является серединой диаметра, то можем найти координаты (а; Ъ) центра С окружности:

Следовательно, С (1; 3). рис 73 Радиус окружности Я = АС. Тогда Я2 = (1 + 5)2 + (3 - 9 )2 = 72. Следовательно, искомое уравнение является таким: (х - I )2 + (у - З)2 = 72. П р и м е р 2. Докажите, что уравнение х 2 + у 2 + 6 х - 14у + 50 = 0 задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности. 87

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Р е ш е н и е . Представим данное уравнение в виде (х - а)2+ + (у - ъу = К1 2:3 х 2 + 6 х + 9 + у 2 - Ыу + 49 + 50 - 58 = 0; (х + З )2 + (у - 7)2 = 8 . Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке (-3; 7) и радиусом \/ 8 . П р и м е р 3. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (-2; -3 ), В (1; 3) и С (5; 1) является прямоуголь ным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника АВС. Р е ш е н и е . Найдем квадраты сторон данного треуголь ника: А В 2 = (1 + 2 )2 + (3 + З )2 = 45; АС2 = (5 + 2 )2 + (1 + З)2 = 65; ВС2 = (5 - I )2 + (1 - З )2 = 20. Так как А В 2 + ВС2 = АС2, то данный треугольник явля ется прямоугольным с прямым углом при вершине В. Цен тром описанной окружности является середина гипотенузы АС — точка (1,5; -1 ), радиус окружности Я = ^АС = ^ ~ Следовательно, искомое уравнение имеет вид: ( х - 1 , 5 )2 + (г/ + 1)2 = ^ .

1. Что называют уравнением фигуры, заданной на плоскости ху! 2. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в точке (а; Ь) и радиусом Д? 3. Какой вид имеет уравнение окружности с центром в начале ко ординат и радиусом Д?

327.° Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус: 1) (х - 8)2 + (у - З)2 = 25; 3) х 2 + у 2 = 7; 2) (х + 5)2 + у 2 = 9; 4) х 2 + (у + I )2 = 3. 88

9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности

328. ° Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра А и радиус В: 1) А (3; 4), В = 4; 3) А (7; - 6 ), В = у/2; 2) А (-2; 0), В = 1; 4) А (0; 5), В = \[1. 329. ° Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра В и радиус В: 1) В (-1; 9), В = 9; 2) В ( - 8 ; - 8 ), В = 7 з. 330. ° Определите координаты центра и радиус окруж ности, изображенной на рисунке 74, и запишите уравнение этой окружности.

в)

г) Рис. 74

331. ° Радиус окружности с центром в точке А равен 4 (рис. 75). Составьте уравнение этой окружности. 332. ° Постройте на координатной плоскости окружность, уравнение которой имеет вид: 1) х 2 + у 2 = 4; 2) (х + I)2 + (у - 2)2 = 25. 333. ° Постройте на координатной плоскости окружность по ее уравнению (х - 4)2 + у 2 = 9.

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Рис. 75

334. ° Окружность задана уравнением (х + 6)2 + (у - I )2 = = 10. Выясните, какие из точек А (-3 ; 0), В (-5 ; -2 ) , С (1; 0), -О (-4; 3), Е (-7; -3 ), Л (-9; 0) лежат: 1) на окруж ности; 2 ) внутри окружности; 3) вне окружности. 335. ° Принадлежит ли окружности (х - 2 )2 + (у + 2 )2 = = 100 точка: 1) А (8 ; - 8 ); 2) В (6 ; -9); 3) С (-3; 7); 4) Л (-4; 6 )? 336. ° Составьте уравнение окружности с центром в точке М (-3; 1), проходящей через точку К (-1; 5). 337. ° Составьте уравнение окружности, диаметром кото рой является отрезок АВ, если А (2; -7 ), В (-2; 3). 338. *Докажите, что отрезок АВ является диаметром окруж ности (х - 5)2 + (у + 4 )2 = 17, если А (1; -5 ), В (9; -3). 3 3 9 / Докажите, что отрезок СЛ является хордой окруж ности х 2 + (у - 9 )2 = 169, если С (5; -3 ), Л (-12; 4). 3 4 0 / Составьте уравнение окружности, центром которой является точка Р ( - 6 ; 7) и которая касается оси ординат, 341. Составьте уравнение окружности, центр которой находится на прямой у = - 5 и которая касается оси абсцисс в точке 8 ( 2 ; 0 ). 3 4 2 / Сколько существует окружностей, радиусы которых равны 3\/5, центры принадлежат оси ординат и которые проходят через точку (3; 5)? Запишите уравнение каждой такой окружности. 3 4 3 / Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс и которая проходит через точки А (-4; 1) и В (8 ; 5). 90

9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности

344. ' Докажите, что окружность (х + 6)2 + (у - З )2 = 36: 1) касается оси ординат; 2 ) пересекает ось абсцисс; 3) не имеет общих точек с прямой у = 10 . 345. ” Установите, является ли данное уравнение уравне нием окружности. В случае утвердительного ответа укажи те координаты центра и радиус В этой окружности: 1) х 2 + 2х + у 2 - 10у - 23 = 0; 2) х 2 - 12* + у 2 + Ау + 40 = 0; 3) х 2 + у 2 + 6у + 8 х + 34 = 0; 4) х 2 + у 2 - 4х - 14у + 51 = 0. 346. ' Докажите, что данное уравнение является уравне нием окружности, и укажите координаты центра и радиус В этой окружности: 1) х 2 + у 2 + 16у + 60 = 0 ; 2) х 2 + у 2 - 8х + Ау + 15 = 0. 347. ” Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (-1 ; -2 ), В (-1 ; 2), С (5; 2) является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около этого треугольника. 348. ” Составьте уравнение окружности, радиус которой равен 5 и которая проходит через точки С (-1; 5) и Л (6 ; 4). 349. “ Составьте уравнение окружности, радиус которой равен ТГо и которая проходит через точки М (-2; 1) и К (-4; -1). 350. ” Составьте уравнение окружности, которая касает ся координатных осей и прямой у = -4 . 351. ” Составьте уравнение окружности, касающейся ко ординатных осей и прямой х = 2 . 352. * Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: 1 М ( - 3 ; 7), В ( - 8 ; 2), С ( - 6 ; -2); 2) М (-1; 10), N (12; -3 ), К (4; 9). У ^^У П Р А Ж Н Е Н И Я ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 353. Биссектриса угла В параллелограмма АВСЛ пере секает его сторону AD в точке Е, АВ = ВЕ = 12 см, Е Б = = 18 см. Найдите площадь параллелограмма. 91

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

354. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо угольника на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите периметр прямоугольника. 355. В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Одна из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, один из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

10. Уравнение прямой В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того, чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноуда ленных от двух точек. Пусть а — данная прямая. Выберем две точки А (х х; г/Д и В (х 2| у 2) так, чтобы прямая а была серединным перпендикуля ром отрезка АВ (рис. 76). Пусть М (х ; у) — произвольная точка прямой а. Тогда МА = МВ, то есть 7 (х - х 1)2+ ( у - у 1)2 = у ] ( х - х 2)2+ ( у - у 2)2. (*) Мы показали, что координаты (х ; у) произвольной точ ки М прямой а являются решением уравнения (*). Теперь покажем, что любое решение уравнения (*) являет ся координатами точки, принадлежащей данной прямой а. Пусть (х0; у 0) — произвольное решение уравнения (*).

Имеем: 7 (х0- х 1)2+ (у0- у 1)2 = ^(х0- х 2)2+ (у0- у 2)2. Это равен ство означает, что точка ЛДх0; у 0) равноудалена от точек А (хх; г/Д и В (х 2; у 2), следовательно, точка N принадлежит серединному перпендикуляру отрезка АВ, то есть прямой а. Итак, мы доказали, что уравнение (*) и есть уравнение данной прямой а. Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравне ние прямой выглядит гораздо проще, а именно: ах + Ъу = с, 92

10. Уравнение прямой

где а, Ь, с — некоторые числа, причем а и Ъ не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение (*) можно преоб разовать к такому виду. Имеем: (х - х х)2 + (у - у х)2 = (х - х 2)2 + (у - у 2)2. Возведя все двучлены в квадрат и приведя подобные слагаемые, получим: 2 (х2- х г)х + 2 (у2- у 1)у = х'2+ у 2 - х * - у * .

Обозначив 2 ( х 2 - х х) = а, 2 (у2 - г/х) = Ъ, х'2+ у 2 - х * - у * = с, получим уравнение ах + Ьу = с. Поскольку точки А (хх; г/х) и В (х2; у 2) различны, то хотя бы одна из разностей х 2 - х х и у 2 - у 1 не равна нулю. Сле довательно, числа а и Ъ не равны нулю одновременно. Итак, мы доказали такую теорему. Т е о р е м а 10.1. Уравнение прям ой имеет вид ах + Ьу - с, где а, Ь и с — некоторые числа, причем а и Ъ не равн ы нулю одновременно. З а м е ч а н и е . Верно и такое утверждение: любое уравнение вида ах + Ъу = с, где а, Ъ и с — некоторые числа, причем а и Ь не рав Рис. 77 ны нулю одновременно, яв ляется уравнением прямой. Если а = Ъ = с = 0, то графиком уравнения ах + Ъу = с яв ляется вся плоскость ху. Если а = 6 = 0 и е # 0 , то уравне ние не имеет решений. Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида ах + Ьу = с называют линейным уравнением с двумя пере менными. Схема, изображенная на рисунке 77, иллюстри рует вышесказанное. Также на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без до казательства тот факт, что графиком линейной функции у = кх + р является прямая. Сейчас мы это можем дока зать. 93

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Действительно, перепишем уравнение у = кх + р так: - к х + у = р. Мы получили уравнение вида ах + Ъу = с для случая, когда а = - к , Ь = 1 , с = р. А любую ли прямую на плоскости можно задать уравне нием вида у = кх + р? Ответ на этот вопрос отрицательный. Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может иметь уравнение вида у = кх + р. Вместе с тем, если в уравнении прямой ах + Ъу = с по ложить Ъ = 0, то его можно переписать так: х = —. Мы поа лучили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикаль ной. Также отметим, что если Ъ Ф 0, то уравнение прямой ах + Ъу = и

можно записать так: у = -

- Х

+ - . Обозначив ъ

~ —= к, —= р, получим уравнение у = кх + р. Ъ

Следовательно, если Ь = О и а ФО, то уравнение прямой ах + Ъу = с задает вертикальную прямую; если Ь ФО, то это уравнение задает невертикальную прямую. Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде у = кх + р. Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте. Уравнение

Значения а, Ь, с

График

ах + Ъу = с

Ъ Ф 0, а и с — любые

невертикальная прямая

ах + Ъу = с

Ъ = 0, а Ф 0, с — любое

вертикальная прямая

ах + Ъу = с

а = Ъ= с = 0

вся координатная плоскость

ах + Ъу = с

а = Ь = 0, с ^ О

—

10. Уравнение прямой

П р и м е р 1. Составьте уравнение прямой, проходящей ч ерез точки: 1) А ( - 3 ; 5) и В ( - 3 ; - 6 ); 2) С ( 6 ; 1) и £>(-18;-7). Решение 1) Так как данные точки имеют равные абсциссы, то прямая АВ является вертикальной и ее уравнение имеет вид х = -3 . О т в е т : х = -3 . 2) Так как данные точки имеют разные абсциссы, то прямая СП не является вертикальной, и можно воспользо ваться уравнением прямой в виде у = кх + р. Подставив координаты точек С и О в уравнение у = = кх + р, получаем систему уравнений: 6 к + р = 1, -18й + р = -7 .

П р и м е р 2. Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой 5х + 12 у = -6 0 и осями коорди нат. Р е ш е н и е . Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат. С осью абсцисс: 5х = -6 0 , х = -1 2 . С осью ординат: 12у = -6 0 , у = -5 . Следовательно, данная прямая и оси координат огра ничивают прямоугольный тре угольник АОВ (рис. 78) такой, ук что А ( - 1 2 ; 0), В (0; - 5 ) , О (0; 0). Тогда ОА = 12, ОВ = 5, АВ = \1А 02+ ВО2 =13. Искомый периметр Р = ОА + ОВ + АВ = = 30, площадь 5 = ~ОА ■ОВ = 30. О т в е т : Р = 30, 5 = 30.

Рис. 78

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Какой вид имеет уравнение прямой на плоскости ху1 Как принято называть прямую, все точки которой имеют одина ковые абсциссы? Как расположена эта прямая относительно оси абсцисс? В каком виде удобно записывать уравнение невертикальной прямой? Любое ли линейное уравнение с двумя переменными является уравнением прямой? Любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида у = кх + р7 При каком условии уравнение прямой ах + Ьу = с является уравнением вертикальной прямой? невертикальной прямой? УПРАЖНЕНИЯ 356. Какие из данных уравнений являются уравнениями прямой: 1) 2х - 3у = 5; 4) 2х = 5; 7) Ох + Оу = 0; 2) 2х - Зу = 0; 5) - 3 у = 5; 8 ) Ох + Оу = 5? 3) 2 х 2 - З у = Ь\ 6 ) 2 х + 0у = 0 ; 357. ° Найдите координаты точек пересечения прямой 4х - 5у = 20 с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка: 1) А (10; 4); 2) В ( 6 ; 1); 3) С (-1 ,5 ; 5,2); 4) В (-1; 5)? 358. ° Найдите координаты точек пересечения прямой Зх + 4г/ = 12 с осями координат. Какая из точек М (-2; 4) и К (8 ; -3 ) принадлежит этой прямой? 359. ° Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (6 ; -3 ) и перпендикулярной оси х. Какие коорди наты имеет точка пересечения этой прямой с осью х? 360. ° Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В (5; - 8 ) и перпендикулярной оси у. Какие коорди наты имеет точка пересечения этой прямой с осью у ? 361. ° Составьте уравнение прямой, проходящей через точку С (-4; 9) параллельно: 1) оси абсцисс; 2) оси орди нат. 96

10. Уравнение прямой

36 2. ° Составьте уравнение прямой, проходящей через точки: 1) А (1; -3 ) и В (-2; -9); 3) Е (-4; -1 ) и Б (9; -1); 2) С (3; 5 ) и й (3; -10); 4) М (3; -3 ) и К ( - 6; 12). 36 3. ° Составьте уравнение прямой, проходящей через точки: 1) А (2; -5 ) и В (-3; 10); 2) С (6; -1 ) и Б (24; 2). 364. ° Найдите координаты точки пересечения прямых: 1) у = Зх - 7 и у = 5х + 9; 2) 2х - 7у = -1 6 и 6 х + 11 у = 16. 365. ° Найдите координаты точки пересечения прямых: 1) у = -Ах + 1 и у = 2х - 11; 2) Зх + 2у = 10 и х - 8у = 12. 366. * Точки А (-6; -1 ), В (1; 2) и С (-5; -8 ) — вершины треугольника АВС. Составьте уравнение прямой, содержа щей медиану А К треугольника. 367. * Точки А (-3; -4 ), В (-2; 2), С (1; 3) и Б (3; -2 ) — вершины трапеции АВСБ (ВС || АБ). Составьте уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции. 368. * Абсциссы середин боковых сторон трапеции равны. Верно ли утверждение, что основания трапеции перпенди кулярны оси абсцисс? 369. * Найдите периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой Ах - 3у = 12. 370. * Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой 7у - 2х = 28. 371. * Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми Зх + 2у = 6 и у = - ^ х и осью ординат. 372. * Докажите, что окружность (х - 5)2 + (у - 5)2 = 9 и прямая х + у = 7 пересекаются, и найдите координаты их точек пересечения. 373. * Докажите, что прямая х + у = 5 является касатель ной к окружности (х - 3)2 + (у + 2)2 = 8, и найдите коор динаты точки касания. 374. * Докажите, что окружность (х - А)2 + (у - 2)2 = 1 и прямая Зх + у = 3 не имеют общих точек. 97

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

375. ” Найдите расстояние от начала координат до прямой Ъ х - 2 у = 10. 376. ” Найдите расстояние от начала координат до прямой х + у = -8 . 377. " Найдите длину хорды окружности (х + I)2 + (у ~ - 2)2 = 25, лежащей на прямой у = Зх. 378. " Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки А (1; -7 ) и В (-3; 5). 379. " Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки С (2; 3) и Б (-5; -2 ). 380. " Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки А (3; 6). 381. * Найдите координаты точки, равноудаленной от осей координат и от точки В (-4; 2). 382. * Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А (2; 0) и В (4; 0), центр которой принадлежит пря мой 2х + 3 у = 18. 383. * Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 6.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 384. Диагонали параллелограмма равны 6л/2 см и 8 см, а угол между ними составляет 45°. Найдите стороны парал лелограмма. 385. Одна из сторон треугольника на 15 см больше дру гой, а высота, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки длиной 32 см и 7 см. Найдите периметр треуголь ника. 386. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите ради ус окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а вы сота — 12 см.

11. Угловой коэффициент прямой

11. Угловой коэффициент прямой Рассмотрим уравнение у = кх. Оно задает невертикаль ную прямую, проходящую через начало координат. Покажем, что прямые у = кх и у = кх + Ъ, где Ь Ф 0, параллель ны. Точки О (0; 0) и С (1; к) при надлежат прямой у = кх, а точки А (0; Ь) и В (1; к + Ъ) принадлежат прямой у = кх + Ъ (рис. 79). Легко убедиться (сделайте это самостоя тельно), что середины диагона лей АС и ОВ четырехугольника ОАВС совпадают. Следовательно, ОАВС — параллелограмм. Отсюда АВ || ОС. Теперь мы можем сделать такой вывод: если кг = к2 и Ьг ФЬ2, то прямые у = кгх + Ъг и у = к2х + + Ь2 параллельны (1). Пусть прямая у = кх пересекает единичную полуокруж ность в точке М (х0; у 0) (рис. 80). Угол АОМ называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если прямая у = кх совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным 0°. Если прямая у = кх образует с положительным направ лением оси абсцисс угол а, то естественно считать, что и прямая у = кх + Ъ, парал лельная прямой у = кх, также образует угол а с положитель ным направлением оси аб сцисс. Рассмотрим прямую М О, уравнение которой имеет вид у = кх (рис. 80). Если Z МОА = = а, то ^ сх = ^ ^ = ^ . 99

Так

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

Отсюда k = tg а. Таким образом, для прямой у = kx + Ъ получаем, что k = tg a , где а — угол, который образует эта прямая с положитель ным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент k называют угловым коэффициентом этой прямой. Из сказанного следует, что если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положитель ным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом, если прям ы е у = ktx + bt и у = к2х + Ь2 параллельны , то kt —k2 (2). Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему. Т е о р е м а 11.1. П рям ы е у —ktx + bt u у = k2x + b2 па рал л ел ьн ы т огда и только т огда, когда k t = k2 и bt Ф Ъ2. П р и м е р . Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку А (-4; 3) и параллельна прямой у = 0,5х - 4. Р е ш е н и е . Пусть уравнение искомой прямой у = kx + р. Так как эта прямая и прямая у = 0,5х - 4 параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть k = 0,5. Следовательно, имеем у = 0,5х + р. Учитывая, что дан ная прямая проходит через точку А (-4 ; 3), получаем: 0,5 • (-4 ) + р = 3, отсюда р = 5. Искомое уравнение имеет вид: у = 0,5х + 5.

1. Поясните, что называют углом между прямой и положительным направлением оси абсцисс. 2. Чему считают равным угол между прямой, параллельной оси абсцисс или совпадающей с ней, и положительным направле нием оси абсцисс? 100

11. Угловой коэффициент прямой

3. Что называют угловым коэффициентом прямой? 4. Как связаны угловой коэффициент прямой и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс? 5. Какое необходимое и достаточное условие параллельности двух невертикальных прямых на координатной плоскости?

387.° Чему равен угловой коэффициент прямой: 1) у = 2х - 7; 3) у - х + 10; 5) у - 4; 2) у = -Зх; 4) у = 5 - х; 6) Зх - 2у = 4?

г/ = 2 - 6 х и г / = 600 + 0,6х параллельны? 38 9. ° Какое число надо подставить вместо звездочки, чтобы были параллельными прямые: 1) у = 8х - 14 и у = *х + 2; 2) у = *х - 1 и у = 3 - 4х? 390. ° Каково уравнение прямой, проходящей через на чало координат и параллельной прямой: 1) у = Ых - 11; 2) у = -1 ,1 5 * + 2? 391. * Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; 7), угловой коэффициент которой равен: 1) 4; 2) -3 ; 3) 0. 392. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В (2; - 5 ) , угловой коэффициент которой равен -0 ,5 . 393. * Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М (-1; 9) и параллельной прямой: 1) у = - 7 х + 3; 2) Зх - 4у = -8 . 394. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку

параллельной прямой: 1) у = 9х - 16;

2) 6х + 2у = 7. 395.* Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку А (2; 6) и образует с положительным направ лением оси абсцисс угол: 1) 60°; 2) 120°. 101

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

396. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку В (3; -2 ) и образует с положительным направ лением оси абсцисс угол: 1) 45°; 2) 135°. 3 9 7 / Составьте уравнение прямой, изображенной на ри сунке 81.

3 9 8 / Определите, параллельны ли прямые: 1) 2х - Ъу = 9 и Ъу - 2х = 1; 2) 8х + 12у = 15 и 4х + 6у = 9; 3) 7х - 2г/ = 12 и 7х - 3у = 12; 4) Зх + 2у = 3 и 6х + 4у = 6. 3 9 9 / Докажите, что прямые 7 х - 6 у = 3 и 6 у - 7 х = 6 параллельны. 400." Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = 4х + 2 и пересекает прямую у = - 8 х + 9 в точ ке, принадлежащей оси ординат. 4 0 1 /’ Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = Зх + 4 и пересекает прямую у = - 4 х + 16 в точ ке, принадлежащей оси абсцисс. 4 0 2 / Составьте уравнение прямой, которая перпендику лярна прямой у = - х + 3 и проходит через точку А (1; 5).

102

Когда сделаны уроки

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 403. В выпуклом четырехугольнике АВСИ биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О (рис. 82). Докажите, что угол АОВ равен полусумме углов С и Д, В 404. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторо ну ромба на отрезки 7 см и 18 см, счи тая от вершины острого угла. Найдите диагонали ромба. 405. Медианы равнобедренного тре угольника равны 15 см, 15 см и 18 см. Б Найдите площадь треугольника. Рис. 82

КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ

Метод координат Мы часто говорим: прямая у = 2х - 1, парабола у = х 2, окружность х2 + у 2 = 1, тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее урав нения. В этом и состоит суть метода координат. Проиллюстрируем сказанное на таком примере. Из наглядных соображений очевидно, что прямая и ок ружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой и его надо доказывать. Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений [ах + Ъу = с, \ ( х - т ) 2+ ( у - п ) 2 = 7?2, где числа а и Ъ одновременно не равны нулю и І? > 0. Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следова103

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

тельно, для данной системы существует три возможных случая: 1) система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются; 2) система имеет одно реш ение — прямая касается окружности; 3) система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек. С каждым из этих случаев вы встречались, решая зада чи 372-374 соответственно. Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти ГМТ. Зафиксируем на плоскости две точки А и. В. Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место то,, МА л п чек М таких, что ——= 1. Ото серединный перпендикуляр МВ

отрезка АВ. Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки М , для которых

гДе к Ф 1. Решим эту

, 1 задачу для к = - . Плоскость, на которой зафиксированы точки А и В, «пре вратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве на чала отсчета выберем точку А, в качестве единичного от резка — отрезок А В, ось абсцисс проведем так, чтобы точка В имела координаты (1; 0) (рис. 83). Пусть М(х; у ) — произвольная точка искомой фигуры Р. Тогда 2М А = МВ, или 4МА2 = М В 2. Отсюда: 4 (х2 + у 2) = ( х - I)2 + у 2; Зх2 + 2х + 3у 2 - 1;

Р и с. 83

104

Когда сделаны уроки

Следовательно, если точка М (х ; у ) принадлежит фигу ре F, то ее координаты являются решением уравнения (*). Пусть (хх; z/x) — некоторое решение уравнения (*). Тогда легко показать, что 4 (х 12+ у12) = (х1- 1 )2+ г/12. А это означает, что точка N (x x; z/Д такова, что ANA2 = = N B 2 или 2NA = NB. Следовательно, точка N принадлежит фигуре F. Таким образом, уравнением фигуры F является уравне ние (*), то есть фигура F — это окружность с центром в точке О (——*01 и радиусом V 3’ /

Мы решили задачу для частного случая, когда к = - . Можно показать, что искомой фигурой для любого поло жительного k Ф 1 будет окружность. Эту окружность на зывают окружностью Аполлония1. Как строили мост между геометрией и алгеброй Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в ста рину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по резуль татам своих исследований составляли карты, схемы. Во II в. до и. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места рас положения объектов на поверхности Земли. Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (око ло 1323-1392) впервые применил в математике идею Гип парха: он разбил плоскость на клеточки (как разбита стра ница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой. Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В своих трудах эти ученые показали, как, благодаря системе координат, можно переходить от 1 А п о л л о н и й П е р г с к и й (III в. до н. э.) — древнегреческий математик и астроном.

105

Пьер Ферма

Рене Декарт

точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к ал гебре. Несмотря на то, что П. Ферма опубликовал свою работу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Это связано с тем, что Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» изобрел новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита х, у, г , а коэффициенты — первыми: а, Ъ, с, ... . Привычные нам обозначения степеней х ’2, у 3, г ь и т. д. также ввел Р. Декарт.

106

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 3

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 3 1. К акие координаты середины отрезк а А В , если А (-6 ; 7), В (4; -9)? А) (-5; 8); Б) ( - 1 ; - 1 ) ; В) ( - 5 ; - 1 ) ; Г) (-1; 8). 2. Чему равно расстояние между точками С (8; -1 1 ) и Б (2; -3)? А) 100; Б) 10; В) 7296; Г) ТГб4. 3. Какие координаты имеет центр окружности (х - 5)2 + + (у + 9)2 = 16? А) (5; -9); Б) (-5; 9); В) (5; 9); Г) (-5; -9 ). 4. Центром которой из данных окружностей является начало координат? А) х2 + ( у - I)2 = 1; В) х 2 + у 2= 1; Б) (х - I)2 + у 2 = 1; Г) (х - I)2 + (у - I)2 = 1. 5. Найдите радиус окружности, диаметром которой яв ляется отрезок М К , если М (14; 12) и К (-10; 2). А) 26; Б) 13; В) 25; Г) 5. 6. Каковы координаты точки пересечения прямой 5х - Зу = 15 с осью абсцисс? А) (0; -5); Б) (-5; 0); В) (0; 3); Г) (3; 0). 7. Четырехугольник АВСБ — параллелограмм, В (-2; 3), С (10; 9), Б (7; 0). Найдите координаты вершины А. А) (1; 6); Б) (19; -3); В) (-5; -6); Г) (6; 5). 8. Найдите координаты точки оси ординат, равноудален ной от точек А (-3; 4) и В (1; 8). А) (-5; 0); Б) (0; -5); В) (5; 0); Г) (0; 5). 9. Найдите абсциссу точки прямой А В , где А (-7 ; 4), В (9; 12), ордината которой равна 2. А) 8,5; Б) -1 1 ; В) 4; Г) -2 . 10. Найдите расстояние между точкой пересечения пря мых х - г / = 4 и х + 3 г / = 1 2 и точкой М (1; 7). А) 5;

Б) 50;

В) 5^2;

107

Г) 2^5.

§ 3. Декартовы координаты на плоскости

11. Каково уравнение прямой, проходящей через точ ку Р (-1; 6) параллельно прямой у = 2х - 5? А) у = 6 - 5х; В) у = 5х - 6; Б) у = 2х + 8; Г) у = 2х - 8. 12. Чему равен радиус окружности х2 + у 2 + 14у - 12х + + 78 = 0? ' _ А) л/7; Б) 7; В) 14; Г) VI4.

и тоги

В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: > координатная плоскость; > декартовы координаты; > уравнение фигуры; > угол между прямой и положительным направле нием оси абсцисс; > угловой коэффициент прямой; • вы изучили: > формулы нахождения длины отрезка и коорди нат его середины; > уравнение окружности; > уравнение прямой; > необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых; • вы ознакомились с методом координат.

108

ВЕКТОРЫ Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы \ существуют не только в физике, айв геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

12. Понятие вектора Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют ска лярными величинами, или просто скалярами. Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5Н, то из этой информации не ясно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 84). Надо еще знать, в каком направ лении действует сила.

Рис. 84

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными ве личинами, или просто векторами. Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин. 109

§ 4.

Векторы

Есть векторы и в геометрии. Это направленные отрезки. Рассмотрим отрезок АВ. Если мы договоримся точку А считать началом отрезка, а точку В — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и на правлением от точки А к точке В. Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком, или вектором. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозна чают так: АВ (читают: «вектор АВ»). На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 85 изображены век торы АВ, СВ, ММ. Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисун ке 86 изображены векторы а, Ъ, с.

Рис. 86

Договорились вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называть нулевым вектором, или нульвектором, и обозначать 0. Если начало и конец нулевого вектора — это точка А, то его можно обозначить и так: АА. На рисунке нулевой вектор изображают одной точкой. Модулем вектора АВ называют длину отрезка АВ. Мо дуль вектора АВ обозначают так: АВ |, а модуль вектора а — так: | а \. Модуль нулевого вектора считают равным нулю: | б | = 0. О п р е д е л е н и е . Ненулевые векторы называют ко л л и н еа р н ы м и , если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. 110

12. Понятие вектора

На рисунке 87 изображены коллинеарные векторы а, Ъ,

ш.

Тот факт, что векторы а и Ь коллинеарны, обозначают так: а\\Ъ. На рисунке 88 ненулевые коллинеарные векторы а и & одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и обозначают а Т Т Ъ. Понятно, что если а Т Т Ъ и ъПс, то а Т Т с (рис. 89).

Рис. 87

Рис. 88

Рис. 89

На рисунке 90 ненулевые коллинеарные векторы а и Ъ противоположно направлены. Этот факт обозначают так: а Т Т Ъ. О п р е д е л е н и е . Ненулевые векторы называют р а в ны ми, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. На рисунке 91 изображены равные векторы а и Ъ. Это обозначают так: а = Ъ. Равенство ненулевых векторов а и Ь означает, что а Т Т Ъ и | а | = | Ь |. Очевидно, что если а = Ъ и Ъ= с, то а = с. На рисунке 92 изображен вектор а с началом в точке А. Говорят, что вектор а отложен от точки А.

Рис. 90

Рис. 91

Рис. 92

Покажем, как от произвольной точки М отложить век тор, равный данному вектору а. 111

§ 4.

Векторы

Если вектор а нулевой, то искомым вектором будет вектор М М . Теперь рассмотрим случай, когда а Фб. Пусть точка М лежит на прямой, содержащей вектор а (рис. 93). На этой прямой существуют две точки Е и В такие, что М Е = М Е = | а |. На этом рисунке вектор МЕ будет равен вектору а. Его и следует выбрать. Если точка М не принадлежит прямой, содержащей вектор а, то через точку М проведем прямую, ей парал лельную (рис. 94). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

Ясно, что от данной точки можно отложить только один вектор, равный данному. П р и м е р . Дан четырехугольник АВСН. Известно, что АВ = ВС и | АС| = |ВВ»|. Определите вид четырехугольника АВСВ. Р е ш е н и е . Из условия АВ = ВС следует, что АВ || ВС и АВ = ВС. Следовательно, четырехугольник АВСВ — па раллелограмм. Равенство | АС | = | ВВ | означает, что диагонали четырех угольника АВСВ равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

1. Приведите примеры скалярных величин. 2. Какие величины называют векторными? 3. Что в геометрии называют векторами? 4. Какие из величин являются векторными: время, вес, ускорение, импульс, масса, перемещение, путь, площадь, давление? 112

12. Понятие вектора 5. Чем характеризуется направленный отрезок? 6. Какой отрезок называют направленным отрезком, или век тором? 7. Как обозначают вектор с началом в точке А и концом в точке В? 8 . Какой вектор называют нулевым? 9. Что называют модулем вектора АВ? 10. Чему равен модуль нулевого вектора? 11. Какие векторы называют коллинеарными? 12. Как обозначают сонаправленные векторы? противоположно направленные векторы? 13. Какие векторы называют равными?

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 1ч 406. ° Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите векторы АВ, ВА и СВ. 407. ° Проведите прямую а и отметьте на ней точку А. Начертите два сонаправленных вектора, принадлежащих прямой а, концы которых совпадают с точкой А. 408. ° Начертите треугольник АВС. Начертите вектор, сонаправленный с вектором СА, начало которого находит ся в точке В. 409. ° Даны вектор а и точка А (рис. 95). Отложите от точки А вектор, равный вектору а. 410. Даны вектор Ь и точка В (рис. 96). Отложите от точки В вектор, равный вектору Ь. А

Рис. 95

Рис. 96

411.° Отметьте точки А и В. Начертите вектор ВС, рав ный вектору АВ. 113

§ 4.

Векторы

412. ° Начертите вектор а и отметьте точки М и N. От ложите от этих точек векторы, равные вектору а. 413. ' Начертите треугольник АВС и отметьте точку М — середину стороны ВС. От точки М отложите вектор, равный вектору А М , а от точки В — вектор, равный вектору АС. Докажите, что концы построенных векторов совпадают. 414. ' Начертите треугольник АВС. От точек В и С отло жите векторы, соответственно равные векторам АС и АВ. Докажите, что концы построенных векторов совпадают. УПРАЖНЕНИЯ 415. ° Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в вершинах квадрата АВСБ. 416. ° В ромбе АВСБ диагонали пересекаются в точке О. Укажите равные векторы, начала и концы которых нахо дятся в точках А, В, С, Б , О. 417. ° Какие из векторов, изображенных на рисунке 97: 1) равны; 2) сонаправлены; 3) противоположно направлены; 4) коллинеарны?

Рис. 97

418.° Точки М и N — соответственно середины сторон АВ и СБ параллелограмма АВСБ. Укажите векторы, на чала и концы которых находятся в точках А, В, С, Б, М , И: 1) равные вектору АМ; 2) коллинеарные вектору СБ; 3) противоположно направленные с вектором ЫС; 4) сонаправленные с вектором ВС. 114

12. Понятие вектора 419. ° Пусть О — точка пересечения диагоналей паралле лограмма АВСБ. Укажите векторы, начала и концы кото рых находятся в точках А, В, С, Б , О: 1) равные; 2) сонаправленные; 3) противоположно направленные. 420. ° Точки М , У , Р — соответственно середины сторон АВ, ВС, СА треугольника АВС. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках А, В, С, М , У , Р : 1) равные вектору МУ; 2) коллинеарные вектору АВ; 3) противоположно направленные с вектором МР; 4) сонаправленные с вектором СА. 421. ° Верно ли утверждение: 1) если т = п, то | т | = |п|; 2) если т = п, то т\\п; 3) если тФп, то | т | ^ | п | ? О- * 422.° Докажите, что если четырехугольник АВСБ — параллелограмм, то АВ = БС. 423. ° Определите вид четырехугольника А ВСБ, если АВТТВС и ВС || Ж 424. Определите вид четырехугольника АВСБ, если век торы ВС и А Б коллинеарны и | в с | ^ | а о |. 425. ° Найдите модули векторов а и Ь (рис. 98), если сторона клеточки равна 0,5 см. 426. ° В прямоугольнике АВСБ известно, что АВ = 6 см, ВС = 8 см, О — точка пересечения диагоналей. Найдите модули векторов СА, ВО, ОС. 427. ° В прямоугольнике АВСБ диагонали пересекаются в точке О, | АВ | = 5 см, | АО | = 6,5 см. Найдите модули век торов ВБ и АБ. 428. ° Известно, что АВ = БС. Верно ли, что точки А, В, С и Б являются вершинами параллелограмма? 429. Известно, что АВ = БС. Какие еще равные векторы задают точки А , В, С и В? 115

§ 4 . Векторы

4 3 0 / Дан четырехугольник АВСВ. Известно, что АВ = ВС и \АВ\ = \ВС\. Определите в и д четырехугольника АВС-О. 431. Дан четырехугольник АВСВ. Известно, что векторы АВ и СВ коллинеарны и | АС = ВВ . Определите вид четырехугольника АВСВ. 432/' Что следует из равенства АВ = В А ? 4 3 3 / В прямоугольном треугольнике АВС точка М — середина гипотенузы АВ и А В = 30°. Найдите модули векторов АВ и МС, если АС = 2 см. 4 3 4 / В прямоугольном треугольнике АВС ( / С = 90°) медиана СМ равна 6 см. Найдите модули векторов АВ и АС, если / 1 = 30°. 4 3 5 / Известно, что векторы Ь и с неколлинеарны. Век тор а коллинеарен каждому из векторов Ь и с. Докажите, что вектор а является нулевым. 4 3 6 / Известно, что векторы АВ и АС коллинеарны. Докажите, что точки А, В ж С лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки А, В жС лежат на одной прямой, то векторы АВ ж АС коллинеарны? О—ш 4 3 7 / Для четырех точек А, В, С жВ известно, что АВ = СВ. Докажите, что середины отрезков А В ж ВС со впадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков А В жВС совпадают, то АВ = СВ. 4 3 8 / Известно, что МО = ОЫ. Докажите, что точка О — середина отрезка МЫ. Докажите обратное утверждение: если точка О — середина отрезка МЫ, то МО = ОЫ. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 439. Один из углов параллелограмма равен полусум ме трех остальных его углов. Найдите углы параллело грамма. 440. Периметр одного из двух подобных треугольников на 8 см больше периметра другого треугольника. Найдите 116

13. Координаты вектора

периметры данных треугольников, если коэффициент по добия равен 441. На сторонах ВС и АО ромба АВСБ отметили соот ветственно точки М и К такие, что В М : МС = К Б : А К = = 1 : 2 . Найдите М К , если АВ = а, Z АВС = 60°.

13. Координаты вектора Рассмотрим на координатной плоскости вектор а. От начала координат отложим равный ему вектор ОА (рис. 99). Координатами вектора а будем называть координаты точ ки А. Запись а (х; у) означает, что вектор а имеет коорди наты (х; у). Числа х и у называют соответственно первой и второй координатами вектора а. Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов а, Ь и с (рис. 100) имеет координаты ( 2 ; 1).

Рис. 100

Справедливо и обратное утверждение: если соответ ствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы. Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут. Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты (0; 0). 117

§ 4 . Векторы

Т е о р е м а 13.1, Если точки А (дс1; уД и В (х2; у 2) соот ветственно являю т ся началом и концом вект ора а, то числа х 2 - х г и у 2 - у г р а вн ы соот вет ст венно первой и второй координат ам вект ора а. Д о к а за т е л ь с т в о . 0 Если а = О, то теорема очевидна. Пусть теперь а Ф0. Отложим от начала координат вектор ОМ, равный вектору АВ. Если обозначить координаты точки М через (ах; а 2), то требуется доказать, что а 1 = = х 2 ~ -V а 2 = У2 ~ /ЛПоскольку АВ = ОМ, то, воспользовавшись результатом задачи 437, можем сделать вывод, что середины отрезков ОВ и А М совпадают. Координаты середин отрезков ОВ л и /г

( 0 + х,

0 + и, \

I х. + а.

и А М соответственно равны I—— —~ ^ \ и ^ ^ ™

0 + х.,

х, + а.

0 + 1/.,

Т огд а---- + = ^ — 1-, — "

у. + а2 \

^ у

и, + а0 2

± (Эти равенства выполня-

ются и тогда, когда точка О совпадает с точкой В или точ ка А совпадает с точкой М). Отсюда а 1 = х2 - х х, а2 = у 2 - у г ▲ Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор а имеет координаты (ах; а2), то | а | = ^ а '1+ а1 П р и м е р . Даны координаты трех вершин параллело грамма АВСЛ: А (3; -2 ), В (-4; 1), С (-2; -3 ). Найдите ко ординаты вершины Л. Р е ш е н и е . Так как четырехугольник АВСВ — паралле лограмм, то АВ = ЛС. Следовательно, координаты этих векторов равны. Пусть координаты точки Л равны (х ; у). Для нахождения координат векторов АВ и Л С воспользуемся теоремой 13.1. Имеем: АВ (-4 - 3; 1 -(-2 )) = АВ (-7; 3); ЛС ( - 2 - х ; - 3 - у ) . 118

13. Координаты вектора

Отсюда:

Г-7 = - 2 - х ,

[З = - 3 - у ; О т в е т : В (5; -6 ).

Гх = 5, Ь = -6 .

1. Поясните, что называют координатами данного вектора. 2. Что можно сказать о координатах равных векторов? 3. Что можно сказать о векторах, соответствующие координаты которых равны? 4. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? 5. Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

К - А ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 442. ° С помощью циркуля и ли„ у, неики построите точку, координаты ■ которой равны координатам данного вектора а (рис. 101). 443. ° Отложите от начала коор динат векторы а (-3;2), Ь(0;-2), с( 4;0). о 444. ' Отложите от точки М (-1; 2) векторы а (1; -3), Ъ(-2; 0), с (0; -1). Рис. 101

4 4 5 . ° Найдите координаты векторов, изображ енны х на рисунке 102. 4 4 6 . ° Найдите координаты вектора АВ, если: 1) А (2; 3), В (-1; 4); 2) А (3; 0), В (0; -3); 3) А (0; 0), В (-2; -8); 4) А (т ; п), В (р, К). 119

У‘

>к ~а

1 7Т

1 ~С

Р и с. 102

§ 4 . Векторы

447. ° Даны точка А (1; 3) и вектор а ( - 2;1). Найдите ко ординаты точки В такой, что ВА = а. 448. ° Даны точки А (3; -7 ), В (4; -5 ), С (5; 8). Найдите координаты точки П такой, что АВ = СП. 449. ° От точки А (4; -3 ) отложен вектор т (- 1 ;8 ). Най дите координаты конца вектора. 450. ° Даны точки А (3; -4 ), В (-2; 7), С (-4; 16), П (1; 5). Докажите, что СВ = ПА. 451. ° Докажите, что четырехугольник АВСП с вершина ми в точках А (1; -5 ), В (2; 3), С (-3; 1), П (-4; -7 ) явля ется параллелограммом. 4 5 2 . ° Среди векторов

а (3 ;-4 ),

Ь (-4;2),

с (3;>/ГТ),

(I (-2; -4 ) , е (-1; -2> /б), / (-4; 5) найдите те, которые имеют равные модули. 453. ° Даны точки А (1; -4 ), В (-2; 5), С (1 + а; - 4 + Ъ), П (-2 + а; 5 + Ъ). Докажите, что | АС | = | ВП |. 454. ° Модуль вектора а (х ;~ 8) равен 10. Найдите х. 455. ° При каких значениях у модуль вектора &(12;у) равен 13? 456. * Отрезок В М — медиана треугольника с вершинами А (3; -5 ), В (2; -3 ), С (-1; 7). Найдите координаты и модуль вектора ВМ. 457. * Точка В делит сторону ВС прямоугольника АВСП в отношении 1 : 2, считая от вершины В (рис. 103). Най дите координаты векторов АВ и ВП. 458. Точка Е — середина стороны АС прямоугольни ка ОАСП. Н айдите координаты векторов ПВ и ЕО (рис. 104). 459. * Модуль вектора а равен 10. Его первая координата на 2 больше второй. Найдите координаты вектора а. 120

13. Координаты вектора

Рис. 103

4 6 0 / Модуль вектора с равен Найдите координаты вектора с. 461.” Точки А (2; 5) и В (7; 5) ника АВСВ. Модуль вектора ВВ динаты точек С и В. 462/* Точки А (1; 2) и В (1; -6 ) ника АВСВ. Модуль вектора АС динаты вершин В и С.

— вершины прямоуголь равен 13. Найдите коор — вершины прямоуголь равен 17. Найдите коор

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 463. Два равных равнобедренных треугольника АВВ и СВВ (АВ = ВВ = СВ) имеют общую боковую сторону (рис. 105). Определите вид четырехугольника АВСВ. 464. Периметр треугольника равен 48 см, а его биссек триса делит противолежащую сторону на отрезки длиной 5 см и 15 см. Найдите стороны треуголь ника. 465. Боковая сторона равнобокой трапе ции, описанной около окружности, равна а, а один из углов — 60°. Найдите площадь -4 трапеции. Рис. 105

121

§ 4 . Векторы

14. Сложение и вычитание векторов Если тело переместилось из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С, то суммарное перемещение из точки А в точку С естественно представить в виде вектора АС, считая этот вектор суммой векторов АВ и ВС, то есть АВ + БС = АС (рис. 106). Этот пример подсказывает, как ввести понятие «сумма векторов», то есть как сложить два данных вектора а и Ъ. Отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный век тору а. Далее от точки В от ложим вектор ВС, равный век тору Ь. Вектор АС называют суммой векторов а и Ь (рис. 107) и записывают а + Ь = АС. Описанный алгоритм слож ения у двух векторов называют правилом треугольника. Это название связано с тем, что если векторы а и Ь не коллинеарны, то точки А, В и С являются вершина^ ___г С ми треугольника (рис. 107). в По правилу треугольника можно рис Ю7 складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 108 вектор АС равен сумме коллинеарных векторов а и Ъ.

а)

б) Рис. 108

122

14. Сложение и вычитание векторов

Итак, для лю бы х т рех точек А , В и С вы полняет ся равенст во А В + ВС = АС, которое выражает правило тре угольника для сложения векторов. Т е о р е м а 14.1. Если координат ы вект оров а и Ь со ответственно равн ы (at; а2) и (bt; b2), то координат ы вект ора а + Ь равн ы (at + Ъг; а2 + Ь2). Д о к а за т ел ь ст во . 0 Пусть точки А (хх; у г), В (х2; у 2), С (х3; у 3) таковы, что а = AB и Ъ= ВС. Тогда а ( х 2 - х 1; у2 - уД, Ь (х3- х 2; у 3 - у 2); а + Ь = А С ( х 3 - х г; у 3 - у г) = —АС

(х3—х2+ х2 —Х]_9у 3 —у 2 “1“у 2 ~ У\) ~ А С (а^ + b^9 а 2 + Ь2). ^

З а м е ч а н и е . Описывая правило треугольника для на хождения суммы векторов а и Ь, мы отложили вектор а от произвольной точки. Если точку А заменить точкой А , то вместо вектора АС, равного сумме векторов а и Ь, по лучим некоторый вектор А 1С1. Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов АС и А1С1 равны (а1 + а2 + + Ь2), следовательно, АС = А 1С1. Это означает, что сумма векторов а и Ь не зависит от того, от какой точки откла дывается вектор а. Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сло жения чисел. Д л я любых вект оров а, Ъ и с выполняют ся р авен ст ва: 1) а + 0 = а; 2) a + b = b + a (переместительное свойство); 3) (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательное свойство). Для доказательства этих свойств достаточно сравнить со ответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно. Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например, а + Ъ+ с = = (a + b) + c. 123

§ 4 . Векторы

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом. В физике часто приходится складыч вать векторы, отложенные от одной — точки. Так, если к телу приложены силы Б1 и Б2 (рис. 109), то равнодействующая этих сил равна сумме 2? + Б2. Рис. 109 Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллело грамма для сложения векторов. Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов АВ и АЛ (рис. 110). Отложим вектор ВС, равный вектору АЛ. Тогда по правилу треугольника АС = АБ + БС = АБ + АЛ. Поскольку векторы ВС и АЛ равны, то четырехугольник АБСЛ — параллелограмм с диагональю АС. Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов а и Ъ. Отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный вектору а, и вектор АЛ, равный вектору Ъ. Построим параллелограмм АВСИ (рис. 111). Тогда искомая сумма а + Ъ равна вектору АС. О п ределен и е. Р азн ость ю векторов а и Ъ называют та кой вектор с, сумма которого с вектором Ъ равна вектору а.

Рис. 110

Рис. 111

124

Рис. 112

14. Сложение и вычитание векторов

Пишут: с = а-Ъ. Покажем, как построить вектор, равный разности дан ных векторов а и Ь. От произвольной точки О отложим векторы ОА и ОБ, соответственно равные векторам а и Ь (рис. 112). Тогда вектор ВА буде т р а з н о с т ь ю а-Ъ. Де й с т в и т е л ь н о , ОВ + ВА = ОА. Следовательно, по определению разности двух векторов О А -О В = ВА, то есть а-Ъ = ВА. На рисунке 112 векторы ОА и ОВ неколлинеарны. Од нако описанный алгоритм применим и для нахождения разности коллинеарных векторов. На рисунке 113 вектор ВА равен разности коллинеарных векторов а и Ъ.

а)

б) Рис. 113

Следовательно, для любых трех точек О, А и В выпол няется равенство ОА - ОВ = ВА, которое выражает прави ло нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки. Т е о р е м а 14,2. Если координаты векторов а и Ъ со ответственно р а вн ы (аг; а2) и (Ь1; Ь2), то координаты вектора а - Ъ ра вн ы (ах —Ьх; а2 —Ъ2). Докажите эту теорему самостоятельно. Из этой теоремы следует, что для любых векторов а и Ь существует единственный вектор с такой, что а-Ъ = с. О п р е д е л е н и е . Два ненулевы х вектора называют п р о т и в о п о л о ж н ы м и , если их модули равны и векторы противоположно направлены. Если векторы а и Ь противоположны, то говорят, что вектор а противоположный вектору Ь, а вектор Ь — про тивоположный вектору а. 125

§ 4 . Векторы

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору а, обозначают так: -а . Из определения следует, что вектору АВ противополож ным является вектор ВА. Тогда для любых точек А и В вы полняет ся равенст во А В = -В А . Из правила треугольника следует, что

а + (-а) = б. А из этого равенства следует, что если вектор а имеет ко ординаты (ах; а2), то вектор - а имеет координаты (-а х; - а 2). Т е о р е м а 14.3. Д л я лю бы х вект оров а н Ъ вы полня ется равенст во а - Ь = а + (-В). Для доказательства достаточно сравнить соответствую щие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно. Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сло жению: чтобы из вектора а вычесть вектор Ъ, надо к вектору а прибавить вектор -Ь (рис. 114). П р и м е р . Диагонали параллелограмма АВСЮ пересека ются в точке О (рис. 115). Выразите векторы АВ, АІ) и СВ через векторы СО = а и ВО = Ь.

Рис. 114

Рис. 115

Р е ш е н и е . Так как точка О — середина отрезков В Б и АС, то ОА = СО = а и ОВ = ВО = Ь.

126

14. Сложение и вычитание векторов

Имеем: АВ = АО + ОВ = - О А - В О = -а - Ь ; А1) = ОВ - ОА = Ь-а; СВ = - А В = 15А= ОА - 01) = а-Ь . * 1. Опишите правило треугольника для нахождения суммы векторов. 2. Какое равенство выражает правило треугольника для нахожде ния суммы векторов? 3. Чему равны координаты вектора, равного сумме двух данных векторов? 4. Запишите равенства, выражающие свойства сложения векторов. 5. Опишите правило параллелограмма для нахождения суммы двух векторов. 6 . Какой вектор называют разностью двух векторов? 7. Какое равенство выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки? 8 . Чему равны координаты вектора, равного разности двух данных векторов? 9. Какие векторы называют противоположными? 10. Как обозначают вектор, противоположный вектору а? 11. Как можно свести вычитание векторов к сложению векторов? ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Ю 466.° С помощью правила треугольника постройте сумму векторов а и Ь, изображенных на рисунке 116.

Рис. 116

127

§ 4 . Векторы

467. ° С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов а и Ь, изображенных на рисунке 116, а) - г). 468. ° Для векторов а и Ъ, изображенных на рисунке 116, постройте вектор а-Ъ. 469. ° Начертите треугольник АВС. Отложите от точки А вектор, противоположный вектору: 1) АВ; 2) СА; 3) ВС. 470. ° Начертите параллелограмм АБСБ. Постройте век торы БС + БА, БС + БС, ВС + СА, ВС + АГ), АС + Ш. 471. Начертите треугольник МИР. Постройте векторы М Р + Р1V, МЫ + Ш , М И + МР. 472. ° Начертите параллелограмм АВСБ. Постройте век торы Б А -Б С , Б А -Б А , Б А -А Б , А С -Б Б . 473. ° Начертите треугольник АВС. Постройте векторы А С -С В , СА-СБ, В С-СА . 474. ° Отметьте четыре точки М , Ы, Р, ф. Постройте век тор М И + ИР + Р£}. 475. ° Для векторов а, Ъ и с, изображенных на рисунке 117, постройте вектор: 1) а + Ь+ с; 2) а + Ь - с ; 3) - а + Ь+ с.

а)

б)

в)

Рис. 117

476. * Отложите от одной точки три вектора, модули ко торых равны, так, чтобы сумма двух из них была равной третьему вектору. 477. * Отложите от одной точки три вектора, модули ко торых равны, так, чтобы их сумма была равной нульвектору. 128

14. Сложение и вычитание векторов

478. ' Для точек А, В, С, Б , изображенных на рисунке 118, постройте такой вектор х, что•В бы АВ + СВ + CD + х = б. q 479. * Начертите треугольник АВС. Постройте такую точку X , чтобы: А• 1) А Х = В Х + ХС; *D 2) Ш: = х с - х а . Рис. 118

480. ° Дан треугольник АВС. Выразите вектор ВС через векторы: 1) СА и АВ; 2) АВ и АС. 481. ° Дан параллелограмм АВСБ. Выразите векторы АВ, ВС, БА через векторы СА = а, СБ = с. 482. ° Дан параллелограмм АВСБ. Выразите векторы АС, ВБ, ВС через векторы ВА = а, БА = Ь. 483 . ' Дан параллелограмм АВСБ. Выразите векторы ВС, БС, БА через векторы АВ = а, ВБ = Ъ. 484. ' Докажите, что для любых точек А, В, С, Б выпол няется равенство: 1) АВ + ВС = АО + НС; 2) СА - СВ = БА - Т)В; 3) АС + С В - А Б = БВ. 485 . ' Докажите, что для любых точек А, В, С, Б выпол няется равенство: 1) Ш + А € = В Б+Б С; 2) АВ - АО = СВ - СП; 3) Ш - Ш + АС = Б)С. 486.° Точки М VI N — середины соответственно сторон ВА и ВС треугольника АВС. Выразите векторы АМ, ЫС, МЫ, ЫВ через векторы В М = т и ВЫ = п. 129

§ 4 . Векторы

487.° В параллелограмме АВСВ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что ОА + ОВ + ОС + ОВ = 0. 488. ° Даны четырехугольник АВСВ и некоторая точка О. Известно, что АО + ОВ = ВО + ОС. Докажите, что четырех угольник АВСВ — параллелограмм. 489. Даны четырехугольник АВСВ и некоторая точка О. Известно, что О А -О В = ОВ-ОС. Докажите, что четырех угольник АВСВ — параллелограмм. 490. ° Даны векторы а (4;-5) и Ъ{-1;7). Найдите: 1) координаты векторов а + Ъ, а-Ь ; 2) | а + Ь |, | а - Ь ]. 491. Даны точки А (1; -3 ), В (4; 5), С (-2; -1 ), В (3; 0). Найдите: 1) координаты векторов АВ + СВ и А В -С В ; 2) \АВ + СВ\, | а В-СВ>|. 492. ° Сумма векторов а (5 ;-3 ) и Ь(х; 4) равна вектору с (2; у). Найдите х и у. 493. ° Сумма векторов а (х ;-1 ) и Ь(2;у) равна вектору с (-3; 4). Найдите х и у. 494. ° Дан вектор МЫ (3 ;-5). Найдите координаты век тора ЫМ. 495. ° Сторона равностороннего треугольника АВС равна 3 см. Найдите \АВ + ВС\. 496. ° Катет равнобедренного прямоугольного треуголь ника АВС (А С = 90°) равен 4 см. Найдите | АС + СВ|. 497. ° Даны точки N (3; -5 ) и В (4; 1). Найдите | (Ж -О В | и |В 0 + (Ж |, где О — произвольная точка. О—ш 498.* Докажите, что для любых п точек А х, А 2, ..., А выполняется равенство ^1^2 + ^2^3 + ^3^4 + ••• + А„_1А п = А]А„. 499.* Докажите, что для любых точек А, В, С, В, Е вы полняется равенство АВ + ВС + СВ + ВЕ + ЕА = б. 130

14. Сложение и вычитание векторов

500. * Выразите вектор АВ через век торы а, Ъ, с, й (рис. 119). 501. * В параллелограмме АВСБ точки М , И, К — середины соответственно сто рон АВ, ВС и СБ. Выразите векторы ВА и А Б через векторы МЫ = т, К И = п. 502 . * В параллелограмме АВС Б диагонали пересекаются в точке О. Выразите векторы ВА и А Б через векторы БО = а, ОС = Ъ. __503.* Д ан четыре х у гольник А В С Б . Д ок аж и те, что МС + СВ + В Б = М А —БА, где М — произвольная точка. 504 . Четырехугольник АВСБ — параллелограмм. До кажите, что В М + М Б + БС = СБ + АС, где М — произволь ная точка. 505. * Четырехугольник АВСБ — параллелограмм. До кажите, что: 1) А Б - Ш + Б В - Б С = АБ; 2) АВ + Ш .- Б А = б. 506. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. До кажите, что: 1) М В + ВС + М А = 0; 2) М А + АС + М В + Ш = б. 507. * Докажите, что для неколлинеарных векторов а и Ь выполняется неравенство |а + б |< |а | + |б|. 5 08 / Докажите, что для неколлинеарных векторов а и Ь выполняется неравенство |а - б |< |а | + |б|. 509. ” Для ненулевых векторов а и Ь выполняется ра венство |а + б| = |а | + |б |. Докажите, что аТТ&. 510 . * Для ненулевых векторов а и Ь выполняется ра венство | а-Ъ | = | а | + | Ь |. Докажите, что а1Ч&. 511. " Может ли быть нулевым вектором сумма трех век торов, модули которых равны: 1) 5; 2; 3; 2) 4; 6; 3; 3) 8; 9; 18? 512. " Диагонали четырехугольника АВСБ пересекаются в точке О. Известно, что ОА + ОВ + ОС + ОБ = 0. Докажите, что АВСБ — параллелограмм. 131

§ 4 . Векторы

513. ” Векторы M N, PQ и EF попарно неколлинеарны, причем M N + PQ + EF = 0. Докажите, что существует тре угольник, стороны которого равны отрезкам M N, PQ и EF. 514. ” Докажите, что для параллелограмма ABCD и про извольной точки X выполняется равенство X A + XC = X B + XD. 515. ” Даны две точки А и. В. Найдите геометрическое место точек X таких, что | АВ + В Х \ = \ АВ |. 516. ” Даны две точки А и. В. Найдите геометрическое место точек X таких, что | АВ + В Х \ = \ В Х |. 517. * Медианы треугольника АВС пересекаются в точ ке М . Докажите, что М А + М В + МС = б. 518. * На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторо ну построены параллелограммы ААДЗДЗ, ВВ2СГС, CC.jA.jA. Прямые A jA 2, В хВ2, С1С2 попарно непараллельны. Докажи те, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам A jA2, В уВ2 и СХС2.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ^

519. В треугольник АВС вписан параллелограмм CDMK так, что угол С у них общий, а точки D, М и К принадлежат соответственно сторонам АС, АВ и ВС треугольника. Най дите стороны параллелограмма CDMK, если его периметр равен 20 см, АС = 12 см, ВС = 9 см. 520. Три окружности, радиусы которых равны 1 см, 2 см и 3 см, попарно касаются внешне друг друга. Найдите ра диус окружности, проходящей через центры данных окруж ностей. 521. Докажите, что площадь правильного шестиуголь3 ника, вписанного в окружность, составляет — площади 4

правильного шестиугольника, описанного около этой ок ружности. 132

15. Умножение вектора на число

15. Умножение вектора на число Пусть дан ненулевой вектор а. На рисун ке 120 изображены вектор АВ, равный век тору а + а, и вектор СП, равный вектору (-а) + (-а) + (-а). Очевидно, что |А в | = 2 |а | и А В ІТ а ,

Рис. 120

IСП І= ЗІ а I и СП Т і а. Вектор АВ естественно обозначить 2а и считать, что он получен в результате умножения вектора а на число 2. Аналогично можно считать, что вектор СП получен в ре зультате умножения вектора а на число - 3 , и принять обозначение СП = -За. Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умно жение вектора на число». О п р е д е л е н и е . П р ои зв еден и ем ненулевого вектора а и числа &, отличного от нуля, называют такой вектор Ъ, что: 1) | Ь | = | к 11а |; 2) если к > О, то ЪТТ а; если к < О, то ЪТ і а. Пишут: Ь = ка. Если а = 0 или к = 0, то считают, что ка = 0. — — 2 На рисунке 121 изображ ены векторы а, -2а, - а , л/За. Из определения следует, что 1 • а = а, -1 • а = -а . Также из определения следует, что если Ъ= Ъа, то векторы а и Ъ коллиУ за > неарны. Рис. 121 А если векторы а и Ь коллинеарны, то можно ли представить вектор Ь в виде произведения ка ? Ответ дает следующая теорема. 133

§ 4 . Векторы

Т е о р е м а 15.1. Если вект оры а и Ь коллинеарны и а Ф0, то сущ ест вует такое число к, что Ъ= ка. Д о к а за т е л ь с т в о . © Если Ъ= б, то при к = 0 получаем, что Ъ= ка. Если ЪФб, то или а ТТ Ъ, или а 14 &. 1) Пусть аТТ&. Рассмотрим вектор с = ка, где к = 1^1. ^ ^ Iа I Поскольку ^ О, то сТТ а, следовательно, с ТТ Ь. Кроме того, | с | = Дг| а | = ь\. Таким образом, векторы Ь и с сонаправлены и модули их равны. Отсюда Ь = с = ка. 2) Пусть аТТ&. Рассмотрим вектор с = ка, где й = -Ш -. І аI Для этого случая завершите доказательство самостоятель но. А Т е о р е м а 15.2. Если вект ор а имеет координат ы (а 1; а2), то вект ор ка имеет координат ы (йа1; йа2). Д о к а за т е л ь с т в о . ® Если а = б или к = 0, то утвержде ние теоремы очевидно. Пусть а Фб и к Ф 0. Рассмотрим вектор Ь (ка{, ка2). По кажем, что Ъ= ка. Имеем: | Ь | = ^(ка1)2+ (ка2)2 = \к\^а1 + а 2 = | й| | а| . Отложим от начала координат векторы ОА и ОБ, равные соответственно векторам а и Ь. Так как прямая ОА про ходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид ах + Ьу = 0. Этой прямой принадлежит точка А (а1; а2). Тогда а - а г + Ь-а2 = 0. Отсюда а (каг) + Ъ (ка2) = 0. Следовательно, точка В (ках; ка2) также принадлежит прямой ОА, поэтому векторы ОА и ОБ коллинеарны, то есть а || Ъ. При к > 0 числа а1 и ка1 имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа а2 и ка2. Следовательно, при к > 0 точки Аж В лежат в одной 134

15. Умножение вектора на число

четверти (или на одном координатном луче), поэтому век торы ОА и ОБ сонаправлены (рис. 122), то есть аТТ&. При к < О векторы ОА и ОБ будут противоположно на правленными, то есть а Т4- Ъ. Итак, мы получили, что Ъ= ка. А С л е д с т в и е 1. Векторы а (а 1;а 2) и Ъ(к а к а 2) коллинеарны. С л е д с т в и е 2. Е с л и в е к т о р ы а (а 1;а 2) и ЪЦЬ^Ъ^ коллинеарны , при чем аФ 0, то сущ ест вует такое чис ло к, что Ьг —каг и Ь2 = йа2. С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число. Д л я любых чисел к, т и любых вект оров а, Ъ спра ведливы равенст ва: (кт)а = к{та)

(сочетательное свойство);

{к + т )а = ка + та

(первое распределительное свойство);

к{а-\-Ъ) = ка + кЪ

(второе распределительное свойство).

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить со ответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно. Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие суммы векторов, разности векторов и произ ведения векторов на число аналогично тому, как мы это делаем в алгебре. Например, 2 (а -3 ь ) + з(а + ь) = 2а-6Ь + За + ЗЬ = 5а-ЗЬ. О—ж З а д а ч а 1. Докажите, что если ОА = ЮВ, то точ ки О, А и В лежат на одной прямой. Р е ш е н и е . Из условия следует, что векторы ОА и ОБ кол линеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки О. Следовательно, точки О, А и Б лежат на одной прямой. 135

§ 4 . Векторы

З а д а ч а 2. Пусть точка М — середина отрезка АВ и X — произвольная точка (рис, 123). Докажите, что Л

Х М = - ( Х А + ХВ). 2

Р е ш е н и е . Применяя правило тре угольника, запишем: Х М = Х А + АМ; Х М = ХВ + в м . Сложим эти два равенства: 2ХМ = Х А + Х В + А М + В М . Так как векторы А М и ВМ противоположны , то А М + ВМ = 0. Имеем: 2Х М = Х А + ХВ. Отсюда Х М = Н х А а ХВ). П р и м е р 1. Докажите, что сере дины оснований трапеции и точка пересечения продолжений ее боко вых сторон лежат на одной прямой. Р е ш е н и е . Пусть точки М и N — середины оснований ВС и АП трапе ции АВСБ, О — точка пересечения прямых АВ и СБ (рис. 124). Применяя ключевую задачу 2, запишем

Рис. 124

Ш =-(ов+ос), Ш =-{ОА^Ш). 2 2' ' Так как векторы в парах ОБ, ОА и ОС, ОБ коллинеарны, то ОБ = Ю А и ОС = /^ОБ, где к и кг — некоторые числа. Так как Д БОС ~ Д АОБ, то — = — . Следовательно, ОА ОВ к = кг. Имеем: ОМ = -(О Б + ОС) = - ( кОА + кШ) ) = к • -((М + ОБ) = к-ОЫ. 2

Из ключевой задачи 1 следует, что точки О, М , N лежат на одной прямой. 136

15. Умножение вектора на число

П р и м е р 2. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то М А + М В + МС = 0. Р е ш е н и е Ч Пусть отрезки А А 1, д ВВХ, СС1 — медианы треугольника АВС (рис. 125). Имеем:

АА,=-(Ш +АС); 1 2

1щ=ЦвА + ВС);7 1 О сс 1 = - ( с б + с а ).

Отсюда аа

+ Щ 1+ Щ 1 = -2( а в + Ш + ж ?+ с в + а с + с а ) = 6.

Из свойства медиан треугольника следует, что А М = - АА,. Тогда М А = — АА,. 3 1 3 1 Аналогично М В = - - В В 1, МС = --С С 1. Отсюда 3 3 ш ^+Ж в + м с = - - а а , - - в в , - - Щ = - Ц а а , + Ш , + Щ ) = б. 3 1 3 1 3 1 зv 1 1 1> 9

1. Что называют произведением ненулевого вектора а на число кФ 0? 2. Чему равно произведение ка, если к = 0 или а = 0? 3. Что можно сказать о ненулевых векторах а и Ь, если Ь = ка, где к - некоторое число? 4. Известно, что векторы а и Ь коллинеарны, причем аф 0. Как можно выразить вектор Ь через вектор а? 5. Вектор а имеет координаты (ах; а2). Чему равны координаты вектора ка? 1 примера.

В указании к задаче 517 приведен другой способ решения этого

137

§ 4 . Векторы

6 . Что можно сказать о векторах, координаты которых равны

(ах; а2) и (йах; ка2)? 7 . Как связаны между собой соответствующие координаты коллинеарных векторов а(а1;а2) и Ь{Ъ{,Ъ2)1 8 . Запишите сочетательное и распределительные свойства умно жения вектора на число. ^

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

522.

° Даны векторы а, Ь и с (рис. 126). Постройте век

тор: 1) 26; 2) - | с ; 3) |а ; 4) - | а . 523.

° Даны векторы а, Ь и с (рис. 126). Постройте век

тор: 1) |а ; 2) -26; 3) - | с . 524.

° Даны векторы а и Ь (рис. 127). Постройте вектор:

1) 2а+ Ь; 2) | а + 6; 3) а - | б ; 4)

Рис. 126

Рис. 127

525. Постройте два неколлинеарных вектора х и у. От метьте какую-либо точку О. От точки О отложите векторы: 1) 3х + у; 2) х + 2у; 3) - | х + 3у; 4) - 2 х - | у . 526.

° Отметьте на плоскости три точки А, В жС такие, что:

1) АВ = 2АС- 2) АВ = -ЗАС; 3) БС = |А В ; 4) АС = - | М 138

15. Умножение вектора на число

527. * Начертите треугольник АВС. Отметьте точку М — середину стороны АС. 1) От точки М отложите вектор, равный вектору ~СВ. 2) От точки В отложите вектор, равный вектору - В А + -В С . 2

528. Начертите трапецию АВСБ (ВС || АО). Отметьте точку М — середину стороны АВ. От точки М отложите вектор, равный вектору - В С + ^АБ. 529. * Начертите треугольник АВС. Постройте вектор, равный вектору - АС, так, чтобы его начало принадлежало 3 стороне АВ, а конец — стороне ВС.

530. ° Найдите модули векторов 3т и - -т , если | т | = 4. 531. ° Какой из векторов, За или - \ а , сонаправлен с век3 тором а, если аф 0? 532.° Являются ли ненулевые векторы а и Ъ сонаправленными или противоположно направленными, если: 1) Ъ= 2а; 2) а = --Ъ; 3) Ь = -^2а? Найдите отношение 3 Ы 533.° Выразите вектор р из равенства: 1) д = 3р; 2) АС = -2р; 3) \ р = <Г, 4) 2р = Ъд. 534.° В параллелограмме АВСБ диагонали пересекаются в точке О. Выразите: 1) вектор АО через вектор АС; 2) вектор ВБ через вектор ВО; 3) вектор СО через вектор АС. 139

§ 4 . Векторы

535. ° В параллелограмме АВСБ диагонали пересекаются в точке О, АВ = а, АО = Ь. Выразите вектор АО через век торы а и Ь. 536. В параллелограмме А_ВСП на диагонали АС отмети ли точку М так, что А М : МС = 1 : 3 . Выразите вектор МС через векторы а и Ъ, где а = АВ, Ь = АІ). 537. ° В параллелограмме АВСБ точка М — середина стороны ВС, АВ = а, АІ) = Ь. Выразите векторы А М и М В через векторы а и Ъ. 538. В треугольнике АВС точки М и N — середины сто рон АВ и ВС соответственно. Выразите: 1) вектор МІУ через вектор СА; 2) вектор АС через вектор МЫ. 539. ° На отрезке АВ длиной 18 см отметили точку С так, что ВС = 6 см. Выразите: 1) вектор АВ через вектор АС; 2) вектор ВС через вектор АВ; 3) вектор АС через вектор ВС. 540. ° Дан вектор а (-4; 2). Найдите координаты и модули сГ ~ ~1 = 3 авекторов За, а-> ~ 541. ° Дан вектор Ъ{-6; 12). Найдите координаты и модуі — 2^ ли векторов 2Ъ, — Ъ, -Ъ. 6 3 542.

° Дан вектор а (3; -2). Какие из векторов Ь (-3; -2),

с (-6;4), d | - |; - l j ,

е |- 1 ; - - |) , /(-3>/2;2л/2) коллинеарны

вектору а? 543. ° Даны векторы а (3 ;-3 ) и fc(-16;8). Найдите коор-► і і— з^ — 5^ динаты вектора: 1) 2а + -Ь; 2) — а + -Ь; 3) а — Ъ. 2 3 4 8 544,° Даны векторы т ( - 2 ; 4 ) и я (3;-1). Найдите коор динаты вектора: 1) Зт + 2п; 2) ~^т + 2п; 3) т-2>п. 140

15. Умножение вектора на число

5 4 5 / На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметили соответственно точки М н N так, что А М : М В = A N : ЛЮ = = 1 : 2 . Выразите вектор МІУ через вектор СВ. 5 4 6 / Точки О, А и В лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число к, что ОА = к • ОВ. 5 4 7 / На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСВ от метили соответственно точки М и N так, что А М : М В = = 1 : 2 , В1V : АЮ = 2 : 1 . Выразите вектор У М через век торы АВ = а и АВ = Ь. 5 4 8 / На сторонах ВС и СВ параллелограмма АВСВ отме тили соответственно точки В и В так, что ВЕ : ЕС = 3 : 1 , СВ : ВО = 1 : 3 . Выразите вектор ВВ через векторы АВ = а и АВ = Ъ. 5 4 9 / Докажите, что векторы АВ и CD коллинеарны, если А (1; 1), В (3; -2 ), С (-1; 3), В (5; -6 ). 550/ Среди векторов а (1; -2 ), Ь (-3;-6), с (-4; 8), cl (-1; -2 ) укажите пары коллинеарных векторов. 551 Даны векторы т (4; -6 ), п - 1 ; - , к 3;— . Укажи те пары сонаправленных и противоположно направленных векторов. 5 5 2 / Найдите значения х , при которых векторы а (1; х) и Ь

4^ коллинеарны.

5 5 3 / При каких значениях у векторы а (2; 3) и Ъ(-1; у) коллинеарны? 5 5 4 / Дан вектор Ъ(-3; 1). Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору Ь, модуль которого в два раза боль ше модуля вектора Ъ. Сколько решений имеет задача? 5 5 5 / Найдите координаты вектора т, противоположно направленного вектору /г(5;-12), если | т | = 39. 5 5 6 / Найдите координаты вектора а, сонаправленного с вектором Ь (-9; 12), если |а | = 5. 141

§ 4 . Векторы

557. * Докажите, что четырехугольник АВСБ с вершинами А (-1; 2), В (3; 5), С (14; 6), Б (2; -3 ) является трапецией. 558. * Докажите, что точки А (-1; 3), В (4; -7 ), Б (-2; 5) лежат на одной прямой. 559. * Даны векторы а (1;-4), &(0;3), с (2;-17). Найдите такие числа х и у, что с = ха + уЬ. 560. ** В параллелограмме АВСБ диагонали пересекаются в точке О. На стороне ВС отметили точку К так, что В К : КС = 2 : 3 . Выразите вектор ОК через векторы АВ = а и А Б = Ъ. 561. ’ Диагонали четырехугольника АВСБ пересекаются в точке О так, что АО : ОС = 1 : 2 , ВО : ОБ = 4 : 3 . Выра зите векторы АВ, ВС, СБ и БА через векторы ОА = а и ОВ = Ъ. 562. ” На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки К и Б так, что А К : К В = 1 : 2 и ВБ : БС = 2 : 3 . Выразите векторы АС, АБ, КС, КБ через векторы В К = т, СБ = п. 563. ” На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки М н N так, что А М : МС = 1 : 3 и ВЫ : АЮ = 4 : 3 . Выразите векторы ВА, АИ, ВМ, К М через векторы ВЫ = к, А М = р. 564. ” Медианы треугольника АВС пересекаются в точ ке М . Выразите вектор В М через векторы ВА и ВС. 565. ” С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника. О—* 566.” Пусть точки М 1 и М 2 — середины отрезков А 1В 1 и А 2В2 соответственно. Докажите, что

567.” Используя задачу 566, докажите теорему о средней линии трапеции. 142

15. У м н о ж е н и е в е к т о р а н а ч и с л о

568 . * Пусть точки М и N — соответственно середины диагоналей АС и В Б четырехугольника АВСБ. Используя задачу 566, докажите, что МЫ = 1 (А В -Б С ). 569. ” Пусть точки М и N — соответственно середины диагоналей АС и ВО трапеции АВСБ (ВС || А Б ). Используя задачу 566, докажите, что МЫ || А Б. 570. ” На стороне АС треугольника АВС отметили точ ку М так, что А М : МС = 2 : 3 . Докажите, что Ж/П = -Б А + -Б С . 5

571 . " На стороне ВС треугольника АВС отметили точку Б • , т 9«. 1 ]_‘ , ж так, что В Б : БС = 1 : 2 . Докажите, что А Б = - А В + -А С . 572. * Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника. 573. * Пусть точки М 1 и М 2 — середины отрезков А 1В 1 и А 2В2 соответственно. Докажите, что середины отрезков А хА 2, М хМ 2, В 1В2 лежат на одной прямой. 574. * На стороне А Б и на диагонали АС параллелограмма А ВС Б отметили соответственно точки М и N так, что А М = ^ А Б и АИ = ^АС. Докажите, что точки М , N и В лежат на одной прямой.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 575. Меньшее основание и боковая сторона равнобокой трапеции равны 12 см. Чему равна средняя линия трапе ции, если один из ее углов равен 60°? 576. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 16 см, а одна из сторон — 7 см. Найдите угол между диагоналями параллелограмма и его площадь. 577. Найдите длину хорды окружности радиуса В, концы которой разбивают эту окружность на две дуги, длины ко торых относятся как 2 : 1 . 143

§ 4 . Векторы

Применение векторов Применяя векторы к решению задач, часто используют такую лемму. Л ем м а. П уст ь М — т акая точка от резка АВ, что А.1Ы т = Д (рис. 128). Тогда для любой точки X вы полняет ся равенст во: \М =

" Л 1+

т+п

ЛЯ.

Д о к а за т е л ь с т в о . Имеем: Х М - Х А = АМ. Поскольку А М = — АВ, то А М = 111 АВ. т +п

т +п

Запишем Х М - Х А = 111 АВ. т +п

Поскольку АВ = Х В - Х А , то имеем: Х М - Х А = ^ —(Х В -Х А ) ; Х М = Х А ----— Х А + ^ —ХВ; т+п

т+п

Х М = -^— Х А + - ^ —ХВ. А т+ п

т +п

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 пункта 15. П р и м ер 1. Пусть М — точка пересечения медиан тре угольника АВС и X — произвольная точка (рис. 129). До кажите, что Х М = - ( Х А + Х В + ХС). 3

144

Когда сделаны уроки

Р е ш е н и е . Пусть К — середина отрезка АС. Имеем: В М : М К = 2 : 1 . Тогда, используя лемму, можно записать Х М = - Х В + - Х К = - Х В + - - - { Х А + ХС) = 3

3 2

= - ( Х А + Х В + ХС). 3

Докажем одно векторное равенство, связывающее две замечательные1 точки треугольника. Т е о р е м а . Если точка Н — ортоцентр т реугольника АВС, а точка О — центр его описанной окружности, то ОН =ОА + Ш + Ш^

(*)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Опу стим из точки О перпенди куляр О К на сторону АС треугольника АВС (рис. 130). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что В Н = = 2ОК (с. 114). На луче ОК отметим точ ку Р такую, что ОК = КР. Тогда В Н = ОР. Так как В Н || ОР, то четырехугольник НВОР — параллелограмм. По правилу параллело грамма ОН = ОВ + ОР. Поскольку точка К является серединой отрезка АС, то в четырехугольнике АОСР диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда ОР = ОА + ОС. Имеем: ОН = Ш + ОР = ОВ + Ш + Ж . А Обратимся к векторному равенству Х М = - (ХА + Х В + Х С ), 3 где М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Так 1 О замечательных точках треугольника см. в учебнике «Геометрия. 8 класс», с. 113-115.

145

§ 4 . Векторы

как X — произвольная точка, то равенство остается спра ведливым, если в качестве точки X выбрать точку О — центр описанной окружности треугольника АВС. Имеем: 3ОМ = ОА + ОВ + ОС. Учитывая равенство (*), получаем: 3ОМ = ОН. Это равенство означает, что точки О, М и Н лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напом ним, что это замечательное свойство было доказано в учеб нике 8 класса (с. 115), но другим способом.

16. Скалярное произведение векторов Пусть а и Ъ — два ненулевых и несонаправленных век тора (рис. 131). От произвольной точки О отложим векторы ОА и ОБ, соответственно равные векторам а и Ъ. Величину угла АОВ будем называть углом между векторами а и Ь. Угол между векторами а и Ь обозначают так: х ( а ,ь ) . Например, на рисунке 131 Х {а ,ь) = 120°, а на рисунке 132 Z (т, п) = 180°.

п >

Рис. 132

Если векторы а и Ъ сонаправлены, то считают, что х ( а , ь ) = 0°. Если хотя бы один из векторов а или Ь нуле вой, то также считают, что Х.(а,ь) = 0°. Следовательно, для любых векторов а и Ь имеет место неравенство: 0 ° ^ ( а ,& ) < 1 8 0 ° . Векторы а и Ь называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Пишут: а }-Ъ. 146

16. Скалярное произведение векторов

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы Е тело переместилось из точки А в точку В (рис. 133), то совершенная механическая ра бота р ав н а | Е11АВ |соэ (р, где ф = а (е , а в ). Этот факт подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами. О п р е д е л е н и е . Скалярным произв едени ем двух в е к т о р о в называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь обозначают так: а ■Ъ. Имеем: а ■Ъ= \ а \ \ Ъ|соэА (а, Ъ). Если хотя бы один из векторов а или Ь нулевой, то очевидно, что а ■Ь = 0. Пусть а = Ъ. Тогда а -6 = а- а = | а| | а |соэ 0° = | а \'. Скалярное произведение а ■а называют скалярным ква дратом вектора а и обозначают а . I — |2

Следовательно, мы получили, что а = \ а \ , то есть ска лярны й квадрат вект ора равен квадрат у его м одуля. Т е о р е м а 16.1. Скалярное произведение двух ненуле вы х вект оров равно нулю т огда и только т огда, когда эти вект оры перпендикулярны . Д о к а з а т е л ь с т в о . 0 Пусть а 1Ь. Тогда А (а, Ь) = 90° и а -Ь = | а 11Ь соэ 90° = 0. Пусть теперь а-Ъ = 0. Тогда | а \ \ Ь \соэ А (а, Ъ) = 0. Посколь ку |а |^ 0 и |б |^ 0 , то сов, А {а, ь) = 0. Отсюда А(а,Ъ) = 90°, то есть а А. Ь. А 147

§ 4 . Векторы

Т е о р е м а 16.2. С калярное произведение вект оров а (а 1;а2) и Ъ(Ь^Ъ?) можно вычислить по ф орм уле: а-Ъ = atbt + а2Ь2 Д о к а за т ел ь ст во . ® Сначала рассмотрим случай, когда векторы а и Ь неколлинеарны. Отложим от начала координат векторы ОА и ОБ, соответственно равные векторам а и Ь (рис. 134). Получаем, что Z (a, b) = Z АОВ. Применим теорему косинусов к треугольнику АОВ: А В 2 = ОА2 + ОВ2 Рис. 134 - 20А ■ОВ • cos ZA O B . Отсюда ОА-ОВ ■cos Z АОВ = |(О А 2+ ОВ2 - А В 2). Поскольку | а \ = ОА и \ b\ = ОВ, то ОА • ОВ ■cos Z АОВ = а-Ъ. Кроме того, АВ = ОВ - ОА = Ъ-а. Отсюда АВ - а{, Ь2- а 2). Имеем: а •&= -(! а | +|й| - |А В | ). Воспользовавшись фор мулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем: а-Ь = \({а! + а 2) + (Ь'2+ Ь2)-(Ь1- а 1У -(Ь 2- а 2У). Упрощая выражение, записанное в правой части послед него равенства, получаем: а -Ь = аД-ь а2Ь2. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Если а = 0 или Ь = О, то доказываемая формула верна. Рассмотрим случай, когда а Фб и Ъф б. Тогда существует такое число к, что Ъ= ка, то есть Ь1 = ка^, Ъ2 = каг 148

16. Скалярное произведение векторов

Рассмотрим случай, когда k > 0. Тогда z ( a , b ) = 0°. а-Ъ = а •(k a ) = а \ \ka | cos 0° = | k \\ а \ = = k (a l + a2) = a1 ■ka1+ a2 ■ka2 = a1b1+ a2b2. Случай, когда k < 0, рассмотрите самостоятельно. А С л едств и е. Косинус у гл а между ненулевы м и векто ра м и а (а 1;а 2) и b(bt;b2) можно вычислит ь по ф орм уле a1b 1 + a + а 2 • ^ 'bf + ъ2

Д о к а за т ел ь ст во . © Из определения скалярного произ ведения векторов а и Ъ следует, что cos z ( a , b ) = . —.. —.. Вос| а 11ь \ пользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения моду ля вектора по его координатам, получаем формулу (*). А С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов. Д л я любых вект оров а, Ь, с и любого числа k спра ведливы равенст ва: a b = ■а; (ka)-b = k ( a - b ); (a + b)-c = a- c + b- c. Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, за писанные в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно. Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, по привычным правилам, которые вы знаете из курса ал гебры. Например, (а + b) =(а + Ъ) -(а + Ъ) = (а + Ъ) ■а + (а + Ъ) - Ъ= ->-2

- * - — *■

-»--»»

->-2

-*-2

—

-*-2

= а +b - a + a- b + b = a + 2 a- b + b . 149

§ 4 . Векторы

П р и м е р 1. С помощью векторов докажите, что диа гонали ромба перпендикулярны. Р е ш е н и е . На рисунке 135 изображен В ромб АВСБ. Пусть АВ = а, А В = Ь. Очевид но, что |а | = |б|. По правилу параллелограм ма имеем: АС = а + Ь и ВВ = - а + Ь. Отсюда

Рис. 135

АС • В Б = {а + Ь) - { -а + ь) = Ь2- а =\ъ \ —| а | =0. Следовательно, АС А ВБ. П р и м е р 2. Известно, что |а | = 3, |б| = 1, z ( а , &) = 120°. Найдите |2 а -3 б |.

Р е ш е н и е . Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то можно записать: 12а —ЗЬ |2 = (2а —Зь)2. Отсюда | 2а —ЗБ ='](‘2 а-ЗЬ) = = ^4а2- 1 2 а -Ь + 9Ь2 = ^ 4 \ а \ —121а 11&|соэ ^ (а , &)+9|&|" = = >/36 + 18 + 9 =л/бЗ=3>/7. П р и м е р 3. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = = 6>/3см, А АВС = 30°. Найдите длину медианы ВМ. Р е ш е н и е . Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем ВМ = Н В А + ВС) (рис. 136). Отсюда т і 2 = - ( Ш + в с ) 2 = - ( в а 2+2Ш .-В 4

2+ 2| БА11 БС | • соэ ZABC + = ^ 1 6 + 4 8 > /3 - ^ + 108) = 49. Следовательно, В М 2 - 49; В М = 7 см.

150

рис. 136

16. Скалярное произведение векторов

* 1. Опишите, как можно построить угол между двумя ненулевыми и несонаправленными векторами. 2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами? 3. Чему равен угол между векторами а и Ь, если хотя бы один из них нулевой? 4. Как обозначают угол между векторами а и Ь? 5. Вкаких пределах находится угол между любыми векторами а и Ъ1 6 . Какие векторы называют перпендикулярными? 7. Что называют скалярным произведением двух векторов? 8 . Что называют скалярным квадратом вектора? 9. Чему равен скалярный квадрат вектора? 10. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. 11. Что следует из равенства а - Ь = 0, если а ф 0 и Ь ^ О ? 12. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты? 13. Запишите свойства скалярного произведения векторов. К —-Ь ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ EI 578. ° Постройте угол, величина которого равна углу между векторами а и Ь (рис. 137). 579. ° Постройте угол, величина которого равна углу между векторами т и п (рис. 138). 580. ° На рисунке 139 изображен вектор а (длина сторо ны клеточки равна 0,5 см). Отложите от точки А вектор Ь такой, что 16 1= 3 см и z ( a , b ) = 120°. Сколько решений имеет задача?

Рис. 137

Рис. 138

151

Рис. 139

581.° На рисунке 140 изображен равносторонний треуголь ник АВС, медианы которого А М и В К пересекаются в точ ке Б. Найдите угол между векторами: 1) ВА и БС; 2) ВА и АС; 3) ВС и АМ; 4) АВ и АМ; 5) АВ и ВК; 6) А М и ВК; 7) СБ и АБ. 5827 На рисунке 141 изображен квадрат АБСБ, диаго нали которого пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: 1) АВ и БА; 2) АВ и АС; 3) АВ и СА; 4) ББ и СБ; 5) БО и СБ.

Рис. 140

Рис. 141

583.° Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если: = 2, 16 1= 5, К (а ,ь ) = 60°; 1) 2)

= 3, 16 1= 2 уі2, z(a,& ) = 135°;

= 4, |&| = 1, ^ ( а , Ъ) = 0°;

= 1, |&| = б, z(а,& ) = 180°;

= 0,3, ІБI= 0, А(а,&) = 137°.

584.° Найдите скалярное произведение векторов т и п , если: 1) | т | = 7л/2, |п | = 4, z ( m ,/г) = 45°; 2) | т | = 8, | /г | = л/з, Z (т, п) = 150°. 152

16. Скалярное произведение векторов

585. ° Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если: 1) а (2; -1), &(1;-3); 3) а (1;-4), Ь(8; 2). 2) а (-5; 1), Ь(2;7); 586. Найдите скалярное произведение векторов т и. п, если: 1) т (3; -2), п (1; 0);

я (6; 9).

587. ° На рисунке 142 изображен ромб АБСБ, в котором АБ = 6 см, Z АВС = 120°, Найдите скалярное произведение векторов: 1) АВ и АО; 2) АВ и СБ; 3) АБ и БС; 4) БС и БА; 5) НО и АС; 6) ББ и БС; 7) НО и АО. 588. В треугольнике АБС известно, ч т о /С = 90°, Z А = 30°, СВ = 2 см. Най дите скалярное произведение векторов: 1) АС и БС; 2) АС и АБ; 3) СВ и Ж 589. ° Найдите косинус угла между векторами а (1; -2 ) и Ъ(2; -3). 590. ° Какой знак имеет скалярное произведение векто ров, если угол между ними: 1) острый; 2) тупой? 59 1. ° Известно, что скалярное произведение векторов является: 1) положительным числом; 2) отрицательным числом. Определите вид угла между векторами. 592. ' В равностороннем треугольнике АБС, сторона ко торого равна 1, медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М. Вычислите: 1) А4, • ББ,; 2) В М ■М А Г 5 9 3 / Пусть точка О — центр правильного шестиуголь ника АБСБББ, сторона которого равна 1. Вычислите: 1) БА-СБ; 2) АГ)-С1>; 3) АО ■Ш ; 4) АС • СБ. 5 9 4 / При каком значении х векторы а (3; х) и Ь (1; 9) перпендикулярны? 5 9 5 / Известно, что х Ф 0 и у Ф0. Докажите, что векторы а (-х; у) и Ь (у; х) перпендикулярны. 153

§ 4 . Векторы

596.' При каких значениях х векторы а (2х; -3 ) и Ъ(х; 6) перпендикулярны? 5 9 7 / При каком значении у скалярное произведение векторов а (4; у) и Ъ(3; -2 ) равно 14? 5 9 8 / При каких значениях х угол между векторами а (2; 5) и Ь(х; 4): 1) острый; 2) тупой? 5 9 9 / Найдите координаты вектора Ь, коллинеарного вектору а (3 ;-4 ), если а-& = -1 0 0 . 6 0 0 / Известно, что векторы а и b неколлинеарны и | а | = | b | Ф0. При каких значениях х векторы а + хЬ и а-хЪ перпендикулярны? 6 0 1 / Векторы а + Ъ и а-Ъ перпендикулярны. Докажите, что | а | = | b |. 6 0 2 / Известно, что |a | = 3, | b | = 2>/2, z ( a , b ) = 45°. Най дите скалярное произведение (2а-Ъ)-Ь. 603.' Найдите скалярное произведение (a -2 b )-(a + b), если | а | = | Ъ| = 1, z ( a , b ) = 120°. 6 0 4 / Известно, что | а \ = V3, |б| = 1, z ( a , b ) = 150°. Най дите |2а + 5Ь|. 6 0 5 / Известно, что | т \ = 1, |n | = 2, z ( m , n ) = 60°. Найди те | 2т —Зп |. 6 0 6 / Докажите, что четырехугольник ABCD с вершина ми А (3; -2 ), В (4; 0), С (2; 1), Л (1; -1 ) является прямо угольником. 6 0 7 / Докажите, что четырехугольник ABCD с вершина ми А (-1; 4), В (-2; 5), С (-1; 6), D (0; 5) является квадра том. 6 0 8 / Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (1; 6), В (-2; 3), С (2; -1 ). 609. Найдите углы треугольника с вершинами А (0; 6), в ( 4л/3;б), С(3>/3;3). 6 1 0 / Докажите, что для любых двух векторов а и b вы полняется неравенство - | а | | б | < а - 6 < | а | | б | . 154

16. Скалярное произведение векторов

611. * Определите взаимное расположение двух ненулевых векторов а и Ь, если: 1) а-6 = | а| | б| ; 2) а-6 = - | а | | б | . 612. " Найдите угол м еж ду векторами т и п , если (т + 3п)-(т -п) = -11, | т | = 2, |п | = 3. 6 1 3 . ” Найдите угол м еж ду векторами а и Ь, если (а + ь)-(а + 2ь) = - , |а | = |б| = 1. 2

614. " В треугольнике АВС известно, что / С = 90°, АС = 1, ВС = -\/2. Докажите, что медианы АК и СМ перпендикулярны. 615. * В четырехугольнике АВСБ диагонали АС и В Б перпендикулярны и пересекаются в точке О. Известно, что ОВ = ОС = 1, ОА = 2, ОБ = 3. Найдите угол между прямы ми АВ и БС. 616. " В треугольнике АВС проведена медиана ВБ. Изве ди стно, что Д БВС = 90°, ВБ = — АВ. Найдите ААВБ. 617. * На сторонах АВ и ВС треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты АВМН и ВСКР. Докажите, что медиана ВБ треугольника АВС перпендикулярна прямой МР. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ^

■

618. Точка М — середина диагонали АС выпуклого четы рехугольника АВСБ (рис. 143). Докажите, что четырехуголь ники А В М Б и СВМБ равновелики. 619. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ром ба, делит его сторону на отрезки, один из которых на 7 см больше другого. Найдите периметр ромба, если его выв сота равна 24 см. Рис 143 620. На высоте правильного тре угольника со стороной 6 >/з см как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, рас положенной вне треугольника. 155

§ 4 . Векторы

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 4 1. Какая из данных величин является векторной? А) масса; Б) объем; В) скорость; Г) время. 2. Чему равен модуль вектора, совпадают? А) 1; Б) -1 ; В) 3. Дан параллелограмм АВСБ. ется правильным? А ) АВ = ВС; Б) АБ = СО; В)

начало и конец которого 5; Г) 0. Какое из равенств явля БС = ?М; Г) АС = ВЁ>.

4. Известно, что АМ = МВ. Какое из данных утвержде ний верно? A) точка В — середина отрезка АМ; Б) точка А — середина отрезка МВ; B) точка М — середина отрезка АВ; Г) точка М — вершина равнобедренного треугольника АМВ. 5. Даны точки А (-3; 4), В (1; -8 ). Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты вектора АМ. А) (2; -6); Б) (-2; 6); В) (-2; -6); Г) (6; -2 ). 6. При каком значении х векторы а (х; 2) и Ь (-4; 8) коллинеарны? А) -1 ;

Б) 1;

В) 0;

Г) ’ .

7. Какое из данных равенств верно? А) АВ + ВС = СА; В) А В - А С = ВС; Б) Ш + ВС = А1) + 1)С; Г) АВ + ВС + СВ = Ж 8. Дан вектор « ( V 3;-2). Какой из векторов равен векто ру л/з а? А) т ( 1;-2л/з);

В) р(3;-2);

Б) п (-3; -2-у/з);

Г) д{3;-2у[з).

156

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 4

9. Точка М — середина стороны ВС треугольника АВС. Какое из данных равенств верно? А) А М = АВ + АС;

В) А М = - А В + - Ж ; ’ 2 2

Б) А М = АВ + -АС;

Г) А М = - А В - - Ж .

10. Найдите скалярное произведение векторов а (2; -3 ) и 6(3;-2). А) 12; Б) -1 2 ; В) 0; Г) 6. 11. При каком значении х векторы а (2 х ;-3 ) и 6(1; 4) перпендикулярны? А) -6 ; Б) 3; В) 12; Г) 6. 12. Найдите косинус угла между векторами а (5;-12) и 6 (-3; 4). 1 Г) 2' * 1 =

157

§ 4 . Векторы

В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: > направленные отрезки; > вектор; ^ нулевой вектор; > модуль вектора; > коллинеарные векторы; > равные векторы; > координаты вектора; > сумма и разность векторов; ^ умножение вектора на число; > угол между двумя векторами; > скалярное произведение векторов; • вы изучили: > правила треугольника и параллелограмма для сложения двух векторов; > правило вычитания двух векторов; > условия коллинеарности двух векторов; > свойства сложения векторов и умножения век тора на число; > условие перпендикулярности двух векторов; • вы научились применять векторы для решения задач.

158

ГЕО М ЕТРИ Ч ЕС К И Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В этом параграфе вы узнаете, что такое пр еобр азован ие фигуры. Ознакомитесь с некоторыми видами преобразований: параллельным переносом, центральной симметрией, осевой симметрией, поворотом, гомотетией, подобием. Вы научитесь применять свойства преобразований при решении задач и доказательстве теорем.

17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос П р и м е р 1. На рисунке 144 изображены отрезок АВ, пря мая а и точка О, не принадлежащая ни прямой а, ни прямой АВ. Каждой точке X отрезка АВ поставим в соответствие точ ку Х х прямой а так, чтобы точки О Д и ^ лежали на одной прямой. Точке А будет соответствовать точка Ах, точке В — точ ка Бг Понятно, что все такие точки Х 1 образуют отрезок А1Б1. Мы указали правило, с помощью которого каждой точке X отрезка АВ поставлена в соответствие единственная точка отрезка А^Ву В этом случае говорят, что отрезок А 1В 1 получен в результате преобразования отрезка АВ. П р и м е р 2. На рисунке 145 Изображены полуокружность АВ и прямая а, параллельная диаметру АВ. Каждой точке X полуокружности поставим в соответствие точку Х г прямой так,

159

§ 5 . Геометрические преобразования

чтобы прямая XX, была перпендикулярна прямой а. Понятно, что все такие точки X, образуют отрезок А1В1. Будем говорить, что отрезок А1В1 получен в результате преобразования полу окружности АВ. П р и м е р 3. Пусть даны некоторая фигура Ж и вектор а (рис. 146). Каждой точке X фигуры Ж поставим в соответствие точку X , такую, что XX, = а. В результате такого преобразо вания фигуры Ж получили фигуру Рх (рис. 146). Такое преоб разование фигуры Ж называют параллельным переносом на вектор а.

Обобщим приведенные примеры. Пусть задана некоторая фигура В. Каждой точке фигуры В поставим в соответствие (сопоставим) по определенному пра вилу некоторую точку. Все сопоставленные точки образуют фигуру Жг. Говорят, что фигура Жг получена в результате пре образования фигуры Ж. При этом фигуру Рх называют образом фигуры Ж, а фигуру Ж называют прообразом фигуры Г,. Так, в примере 1 отрезок А 1В1 является образом отрезка АВ. Точку X, называют образом точки X. Отрезок АВ — это про образ отрезка А ^ ,. Обратим внимание на то, что в примере 3 фигура Ж равна своему образу Рг Преобразования, описанные в примерах 1 и 2, таким свойством не обладают. Какими же свойствами должно обладать преобразование, чтобы образ и прообраз были равными фигурами? Оказывает ся, что достаточно лишь одного свойства: преобразование должно сохранять расстояние между точками, то есть если А и В — произвольные точки фигуры Ж, а А1 и В, — их образы, то должно выполняться равенство АВ = А ^ . 160

17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

О п р е д е л е н и е . Преобразование фигуры Е, сохраняющее расстояние между точками, называют д в и ж е н и е м ( п е р е м е ще н и е м ) фигуры Е. Если каждой точке X фигуры Е поставлена в соответствие эта же точка X , то такое преобразование фигуры Е называют тождественным. При тождественном преобразовании образом фигуры Е является сама фигура Е. Очевидно, что тождествен ное преобразование является движением. Мы давно используем понятие «равенство фигур», хотя не давали ему строгого определения. На то, что движение связано с равенством фигур, указыва ют следующие свойства движения. Если преобразование является движением, то: • образом прямой является прямая; • образом отрезка является отрезок, равный данному; • образом угла являетсй угол, равный данному; • образом треугольника является треугольник, равный данному; • образом многоугольника является многоугольник, равно великий данному. Эти свойства вы можете доказать на занятиях математиче ского кружка. Свойства движения подсказывают договориться о следую щем определении. О п р е д е л е н и е . Две фигуры называют ра вными, если существует движение, при котором одна из данных фигур является образом другой. Запись Е = Ех означает, что фигуры Е и Ех равны. Если существует движение, при котором фигура Е1 являет ся образом фигуры Е, то обязательно существует движение, при котором фигура Е является образом фигуры Ег Такие движения называют взаимно обратными. Замечание. С пятого класса мы под равными понимали такие фигуры, которые совпадали при наложении. Термин «наложение» интуитивно понятен, и в нашем представлении он связывается с наложением реальных тел. Но геометрические фигуры нельзя наложить в буквальном смысле этого слова. 161

§ 5 . Геометрические преобразования

Теперь наложение фигуры Е на фигуру 2^ можно рассматри вать как движение фигуры 2*1, при котором ее образом будет фигура 2^. Термин «движение» также ассоциируется с определенным физическим действием: изменением положения тела без де формации. Именно с этим связано появление этого термина в математике. Однако в геометрии предметом исследования яв ляется не процесс, происходящий во времени, а лишь свойства фигуры и ее образа. То, что изображенные на рисунке 146 фигуры 2? и Бх равны, понятно из наглядных соображений. Строгое обоснование это го факта дает следующая теорема. Т е о р е м а 17.1 ( с в о й с т в о п а р а л л е л ь н о г о п е р е но с а ) . П араллельны й перенос являет ся движением. % Д оказат ельст во. © Пусть А (х1; у х) и В (яг; у2) — произ вольные точки фигуры ^ (рис. 147), точки А 1 и Б 1 — их соответствующие образы при параллельном переносе на вектор а (т; п). Тогда векторы АА1 и ВВ1 имеют координаты (т; п). Сле довательно, координатами точек А1 и Б1 являются соответственно пары чи сел (х2 + т; ух + п) и (х2 + т; у2 + п). АВ = ^(х2- х 1)г + (у 2 - у х)г; А

В 1

= ^(х2+ т - х 1- т ) 2+ (у2+ п - у 1- п ) 2 = ^(х2- х 1)2+ (у2- у х)2

Итак, мы показали, что АВ = А ХВх, то есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. А С л е д с т в и е . Если фигура /г’1 — образ фигуры Б при па раллельном переносе, то Ех = Г. Это свойство используется при создании тканей, обоев, по крытий для пола и т. п. (рис. 148). Если фигура Е1 является образом фигуры Г при параллель ном переносе на вектор а, то фигура Р является образом фи гуры Рх при параллельном переносе на вектор - а (рис. 149). 162

17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

Рис. 148

Параллельные переносы на векторы а и - а являются взаимно обратными движениями. О-ш З а д а ч а . Каждой точке X (х ; у) фигуры Р ставится в соответствие точка Х г (х + т; у + п), где т и п — заданные числа. Докажите, что такое преобразование фигуры Д является параллельным переносом на вектор а (т; п). Решение. Рассмотрим вектор а(т ;п). Заметим, что коор динаты вектора X X х равны (т; п), то есть X X х = а. Следова тельно, описанное преобразование фигуры ^ — параллельный перенос на вектор а. П р и м е р 4. Точка А 1 (-2; 3) является образом точки А (-1; 2) при параллельном переносе на вектор а. Найдите координаты вектора а и координаты образа точки В (-7; -3). Решение. Из условия следует, что АА1 = а. Отсюда а (-1; 1). Пусть В1 (х; у) ~ образ точки В (-7; -3 ). Тогда ВВ1 = а, то есть х + 7 = - 1 и у + 3 = 1. Отсюда х = -8 , у = -2 . П р и м е р 5. Даны угол АВС и прямая р, не параллельная ни одной с из сторон этого угла (рис. 150). По\ стройте прямую р 1У параллельную \ прямой р, так, чтобы стороны угла отсекали на ней отрезок заданной Рис. 150 длины а. 163

§ 5 . Геометрические преобразования

Р е ш е н и е . Рассмотрим вектор МЫ такой, что МЫ ]| р и | МЫ | = а (рис. 151). Построим луч В ^ , являющийся образом луча ВА при параллельном пере носе на вектор МЫ, так, чтобы лучи ВС и В 1А 1 пересекались в некоторой точке Е. Пусть Р — прообраз точки Е при рассматри ваемом параллельном переносе. Тогда ЕЕ = МЫ, то есть | ЕЕ | = а и ЕЕ || р. Рис. 151 Приведенные рассуждения подсказывают следующий алгоритм построения: 1) найти образ луча ВА при параллельном переносе на век тор МЫ; 2) отметить точку пересечения луча ВС с построенным об разом; 3) через найденную точку провести прямую р х, параллель ную прямой р. Прямая р1 будет искомой.

1. Приведите примеры преобразований фигур. 2. Опишите, что такое преобразование фигуры. 3. Опишите п р ео б р а зо в а н и е фигуры Р, которое называют параллельным переносом на вектор а.

4. В каком случае фигуру Р, называют образом фигуры Р, а фигу ру Р - прообразом фигуры Р,? 5. Какое преобразование фигуры называют движением? 6. Какое преобразование фигуры называют тождественным? 7. Сформулируйте свойства движения. 8 . Какие две фигуры называют равными? 9. Опишите, какие движения называют взаимно обратными. 10. Сформулируйте свойство параллельного переноса. 11. Какими движ ениями являются параллельные переносы на векторы а и - а ?

164

г 17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

.ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 621.° На рисунке 152 изображены угол АОВ и прямая р, не параллельная его сторонам. Каждой точке X стороны ОА поставлена в соответствие такая точка Х г стороны ОВ, что Х Х 1 || р (точке О поставлена в соответствие точка О). Построй те образ точки М и прообраз точки К при данном преобразо вании. Какая фигура является образом луча ОА?

а ________ Рис. 153

622. ° На рисунке 153 изображены отрезок АВ и прямая а. Каждой точке X отрезка АВ поставлено в соответствие осно вание перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую а. Постройте образ точки Е и прообраз точки Е при данном пре образовании. Существуют ли точки прямой а, не имеющие прообраза? Постройте образ отрезка АВ. 623. ° Постройте образы отрезка АВ и луча ОМ при парал лельном переносе на вектор а (рис. 154). 624. ° На рисунке 155 прямая а является образом некоторой прямой при параллельном переносе на вектор т. Постройте прообраз прямой а.

Рис. 155

165

§ 5 . Геометрические преобразования

6 2 5 / Окружность с центром 0 1 является образом окруж ности с центром О при параллельном переносе на вектор а (рис. 156). Отложите вектор а от точки М. 626. ' Постройте образ параболы у = х2 при параллельном переносе на вектор: 1) а(0;2); 2) Б (-1; 0); 3) с(-1;2). Запи шите уравнение образа параболы у = х2. 627. ' Постройте образ окружности х2 + у2 = 4 при параллельном переносе на век тор: 1) а (2; 0); 2) 5(0;-1); 3) с(2;-1). Запишите уравнение образа окружности х2 + у2 = 4. 628. ’ Прямая а касается полуокружности АВ с центром в точке О (рис. 157). Придумайте какое-нибудь преобразование, при котором прямая а является образом полуокружности АВ с «выколотыми» точками А и В. 629. * Придумайте какое-нибудь преобразование, при кото ром отрезок СП является образом отрезка АВ (рис. 158).

630.° Рассмотрим окружность радиуса г с центром в точ ке О. Каждой точке X окружности поставим в соответст вие точку Х х, принадлежащую радиусу О Х, такую, что ОХх = - г. Какая фигура является образом данной окруж2

ности? Является ли движением описанное преобразование? 6 3 1 / Дан угол АОВ (рис. 159). Каждой точке X стороны ОА поставим в соответствие точку Х г, которая принадлежит стороне ОВ и лежит на окружности с центром О радиуса ОХ 166

17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос

(точке О поставим в соответствие точку О). Какая фигура является образом стороны ОА? Докажите, что описанное преобразование яв ляется движением. 632. ° Дан угол M ON. Каждой точке X стороны ОМ поставлена в соответствие такая точка Х г стороны ON, что прямая Х Х г перпендикулярна биссектри се угла M ON (точке О соответствует точка О). Докажите, что описанное преобразование является движением. 633. ° Даны прямая а и отрезок АВ, не имеющий с ней общих точек. Каждой точке X отрезка АВ поставлено в со ответствие основание перпендикуляра, опущенного из точ ки X на прямую а. При каком взаимном расположении прямой а и отрезка АВ описанное преобразование является движением? 634. ° Точки А х и В 1 не принадлежат прямой АВ и явля ются образами соответственно точек А и В при параллель ном переносе. Докажите, что четырехугольник AAJS^B — параллелограмм. 635. ° Точки А 1 и В 1 являются образами соответственно точек А и В при параллельном переносе. Найдите длину отрезка А гВ г, если АВ = 5 см. 636. ° Вектор т параллелен прямой а. Какая фигура является^ образом прямой а при параллельном переносе на вектор т ? 637. ° Дан параллелограмм ABCD. Какой вектор задает параллельный перенос, при котором сторона AD является образом стороны ВС? 638. ° Существует ли параллельный перенос, при котором сторона АВ равностороннего треугольника АВС является образом стороны ВС? 639. ° Найдите точки, являющиеся образами точек А (-2 ; 3) и В (1; -4 ) при параллельном переносе на вектор Н (-1;-3). 640. ° Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки А (1; 3) является точка А 1 (4; 0), а образом точки В (-2 ; 1) — точка В х (1; 4)? 167

§ 5 . Геометрические преобразования

641. ° При параллельном переносе на вектор а (2 ;-1 ) об разом точки А является точка А г (-3 ; 4). Найдите коорди наты точки А. 642. ° Точка М1 (х; 2) является образом точки М (3; у) при параллельном переносе, при котором точка А (2; 3) является образом начала координат. Найдите х н у . 643. *Сколько существует параллельных переносов, при ко торых образом прямой а является: 1) прямая о; 2) прямая Ъ, параллельная прямой а? 644. ° Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принад лежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является окружность. 645. ° Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принад лежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является фигура, состоящая из всех точек сторон ромба. 646. *Известно, что при преобразовании фигуры Р ее образом является эта же фигура Р. Верно ли, что это преобразование является тождественным? 647. ° Даны точки Л (3; -2) и В (5; -4). При параллельном пе реносе образом середины отрезка АВ является точка М1(-4; 3). Найдите образы точек А и В при таком параллельном переносе. 648. ° Точки А (1; 3), В (2; 6), С (-3; 1) являются вершинами параллелограмма АВСП. При параллельном переносе образом точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСП явля ется точка Ог (-2; -4). Найдите образы точек А, В, С и П при таком параллельном переносе. 649. ° Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности х2 + у2 = 1 при параллельном переносе на вектор а (—3; 4). 650. ° Найдите уравнение параболы, являющейся образом пара болы у = х2 при параллельном переносе на вектор а (2 ;-3 ). 651. ’’ Постройте трапецию по основаниям и диагоналям. 652. °° Постройте трапецию по четырем сторонам. 653. ” Постройте отрезок, равный и параллельный данному отрезку АВ, так, чтобы один его конец принадлежал данной прямой, а другой — данной окружности. 168

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

654. " Постройте хорду данной окруж ности, равную и параллельную данному отрезку АВ. 655. * Постройте четырехугольник, у которого противоположные стороны по парно непараллельны, по четырем углам Рис. 160 и двум противоположным сторонам. 656. * В каком месте надо построить мост МЫ через реку, разделяющую два населенных пункта А и В (рис. 160), чтобы путь АМЫВ был кратчайшим (берега реки считаем параллель ными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)? УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 657. Через каждую вершину треугольника проведена пря мая, параллельная противоположной стороне. Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если периметр дан ного треугольника равен 18 см? 658. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (-3; -4), В (0; 3), С (7; 6) и Л (4; -1) является ромбом, и найдите его площадь. 659. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точ ка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот О п р е д е л е н и е . Точки А и А 1 назы ваю т с и м м е т ричны ми отн оси тельно прям ой I, если прямая I являет ся серединным перпендикуляром отрезка А А 1 (рис. 161). Если точка А принадлежит прямой I, то ее считают симметричной самой себе отно сительно прямой I. Например, точки А и А г, ординаты кото рых равны, а абсциссы — противоположные числа, симметричны относительно оси орди нат (рис. 162). Рассмотрим фигуру Р и прямую I. Каж дой точке X фигуры Р поставим в соответ169

§ 5 . Геометрические преобразования

ствие симметричную ей относительно прямой I точку Х г. В результате такого преобразования фигуры ^ получим фигу ру 7^ (рис. 163). Такое преобразование фигуры Г называют осевой симметрией относительно прямой I. Прямую I называ ют осью симметрии. Также говорят, что фигуры ^ и ? ( сим метричны относительно прямой I. А *і іі і ііі і ~хо

У, 1

А т1 11 11 11 *0

Рис. 162

Т е о р е м а 18.1 ( с в о й с т в о о с е в о й с и м м е т р и и ) . Осевая сим м ет рия являет ся движением. Д оказат ельст во. © Выберем систему координат так, что бы ось симметрии совпала с осью ординат. Пусть А (хг; уг) и В (х2; у2) — произвольные точки фигуры Очевидно, что точки А 1 (- х х; уг) и В1 (~х2; у2) — их соответ ствующие образы при осевой симметрии относительно оси ординат. Имеем: АВ = \1(х2 —л^) + (у2 ~~У\) »

В 1

= >/(-*2 - (-^ ))г + (у2 - Ух)2 = ^1(-х2+ х1)2+ (у2- у 1)2 = АВ.

Итак, мы получили, что АВ = А 1В1, то есть осевая симметрия сохраняет расстояние между точками. А С л е д с т в и е . Если фигуры ^ и Г1 симметричны относи тельно прямой, то Г = Гх. О п р е д е л е н и е . Фигуру назы вают с и м м е т р и ч н о й о т н о с и т е ль но п ря мо й I, если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно прямой I, также принадлежит этой фигуре. Прямую I называют осью симметрии фигуры. Также гово рят, что фигура имеет ось симметрии. 170

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

Приведем примеры фигур, имеющих ось симметрии. На рисунке 164 изображен равнобедренный треугольник. Прямая, содержащая его высоту, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника. Любой угол имеет ось симметрии — это прямая, содержа щая его биссектрису (рис. 165). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 166).

Рис. 164

Рис. 165

Рис. 166

Две оси симметрии имеет отрезок: это его серединный пер пендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок (рис. 167). Квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 168). Есть фигуры, имеющие бесконечно много осей симметрии, например, окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии (рис. 169).

Рис. 167

Рис. 168

Рис. 169

Бесконечно много осей симметрии имеет и прямая: сама прямая и любая прямая, ей перпендикулярная, являются осями симметрии. П р и м е р 1. Дан неравнобедренный треугольник АВС. Про вели прямую I, содержащую биссектрису угла С. Потом весь рисунок вытерли, оставив только точки А и В и прямую I. Восстановите треугольник АВС. Р е ш е н и е . Так как прямая I является осью симметрии угла АСВ, то точка Ах — образ точки А при симметрии относитель но прямой I — принадлежит лучу СВ. Тогда пересечением 171

§ 5 . Геометрические преобразования

прямых I и ВАг является вершина С искомого треугольника АВС (рис. 170). П р и м е р 2. Точка О принадлежит острому углу АВС (рис. 171). На сторонах ВА и ВС угла найдите такие точки Е и F, чтобы периметр треугольника ОЕЕ был наименьшим. Решение. Пусть точки 0 1 и 0 2 — образы точки О при сим метриях относительно прямых ВА и ВС соответственно (рис. 172) и прямая 0 10 2 пересекает стороны ВА и ВС в точках Е и ^ соответственно. Докажем, что точки £ и F — искомые.

Рис. 170

Рис. 171

Рис. 172

Заметим, что отрезки ЕОг и ЕО симметричны относительно прямой ВА. Следовательно, Е 0 1 = ЕО. Аналогично FO = FOr Тогда периметр треугольника OEF равен длине отрезка 0 10 2. Пусть К и М — произвольные точки лучей ВА и ВС соот ветственно. Понятно, что КО = К 0 1 и МО = М 0 2. Тогда пери метр треугольника КОМ равен сумме ОгК + К М + М 0 2. Одна ко о гк + к м + м о 2 > о р 2. О п р е д е л е н и е . Точки А и А х называют си м м етри ч ны ми о т н о си т ел ь н о точки О, если точка О является серединой отрезка А А Д рис. 173). Точку О считают симметричной самой себе. Например, точки А и А х, у которых абсциссы и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат (рис. 174). Рассмотрим фигуру F и точку О. Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие симметричную ей относительно точ ки О точку X v В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру Fx (рис. 175). Такое преобразование фигуры F называ ют центральной симметрией относительно точки О. Точку О 172

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

А А

А.

А,

Рис. 173

Рис. 174

Рис. 175

называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры Р и симметричны относительно точки О. Т е о р е м а 18.2 ( свойство ц ен тр ал ьн ой си м м етр и и ). Ц ент ральная сим м ет рия являет ся движением. Д о к а за т ел ьст во . ©.Выберем систему координат так, чтобы центр симметрии совпал с началом координат. Пусть А (Хр у г) и В (х2, у2) — произвольные точки фигуры Р. Точки А (-л^; ~уг) и Вг (- х 2; - у2) — соответственно их образы при центральной симметрии относительно начала координат. Имеем: А А

5 1 = > /(-* 2

~(~хі))2 +(-у2 -(-Уі))2 =

Рис. 176

Следовательно, АВ - А 1В 1, то есть центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. ▲ Следствие. Если фигуры Р и симметричны относи тельно точки, то Р = ^ 1. О п р е д е л е н и е . Фигуру называют с и м м е т р и ч н о й о т н о си тел ь н о точки О, если для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно точки О, также принадлежит этой фигуре. Точку О называют центром симметрии фигуры. Также го ворят, что фигура имеет центр симметрии. Приведем примеры фигур, имеющих центр симметрии. Центром симметрии отрезка является его середина (рис. 176). 173

§ 5 . Геометрические преобразования

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии (рис. 177). Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является ее цен тром симметрии. Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка пря мой, равноудаленной от двух данных, является центром сим метрии рассматриваемой фигуры (рис. 178).

Рис. 178

О“ * З а д а ч а . Докажите, что образом данной прямой I при симметрии относительно точки О, не принадлежащей прямой I, является прямая, параллельная данной. Р е ш е н и е . Так как центральная симметрия — это движе ние, то образом прямой I будет прямая. Для построения прямой достаточно знать две любые ее точки. Выберем на прямой I произвольные точки А и В (рис. 179). Пусть точки А , и В 1 — их образы при центральной симметрии относительно точки О. Тогда прямая А1В1 — образ прямой I. Так как АО = ОАг, ВО = ОВр Z АО В и / А 1ОВ1 равны как вертикальные, то треугольники АОВ и А 1ОВ1 равны по перво му признаку равенства треугольников. Отсюда А 1 = / 2 (рис. 179). Следовательно, I || А 1В1.

174

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

к. •Щ---------------------------------- ------------------------------------------ :-----;-----П р и м е р 3. Точка М принадлежит углу АВС (рис. 180). На сторонах ВА и ВС угла найдите такие точки Е и Г, чтобы точка М была серединой отрезка ЕЕ. Р е ш е н и е . Пусть прямая А1В 1 — образ прямой АВ при центральной симметрии относительно точки М (рис. 181). Обо значим Г — точку пересечения прямых А1В1 и ВС. Найдем прообраз точки Е. Очевидно, что он лежит на прямой АВ. Поэтому достаточно найти точку пересечения прямых ЕМ и АВ. Обозначим эту точку Е. Тогда ясно, что Е и Е — искомые точки. Изучая окружающий мир, мы часто встречаемся с симметрией. Примеры про явления симметрии в природе показаны на рисунке 182. Объекты, имеющие ось или центр симметрии, легко воспринимаются и радуют взгляд. Недаром в Древней Гре ции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота». ★ Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре и технике (рис. 183). Химики и физики говорят о симметрии явлений. Можно най ти проявления симметрии в музыке и поэРис. 182 зии. На рисунке 184 изображены точки О, X, Х 1 и Х 2 такие, что ОХ1 = ОХ2 = ОХ, X Х р Х = X Х 2ОХ = а. Говорят, что точка Х х является образом точки X при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол а. Также

175

§ 5 . Геометрические преобразования

говорят, что точка Х 2 — это образ точки X при повороте во круг центра О по часовой стрелке на угол а. Точку О называют центром поворота, угол а — углом по ворота. Рассмотрим фигуру F, точку О и угол а. Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие точку Х }, являющуюся об разом точки X при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол а (если точка О принадлежит фигуре F, то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру F1 (рис. 185). Такое преобразование фигуры F называют поворотом вокруг центра О против часовой стрелки на угол а. Точку О называют центром пово рота. Аналогично определяют преобразование поворота фигуры F по часовой стрелке на угол а (рис. 186).

Рис. 185

Заметим, что центральная симметрия вокруг центра симметрии на угол 180°. Т е о р е м а 18.8 ( с в о й с т в о п о в о р о т а ) . П оворот я в ляет ся движением. Доказать эту теорему вы можете на за нятиях математического кружка. С л е д с т в и е . Если фигура Ft — образ фигуры F при повороте, то F = Fv Пример 4. На рисунке 187 изображены прямая а и точка О. Постройте образ пря мой а при повороте вокруг точки О против часовойютрелки на угол 45°. 176

18. Осевая

центральная симметрии. Поворот

Р е ш е н и е . Так как поворот — это движение, то образом прямой а будет прямая. Для построения прямой доста точно знать две любые ее точки. Вы берем на прямой а произвольные точки А и В (рис. 187). Пусть точки А1и В 1 — ?их образы при повороте вокруг точки О против часовой стрелки на угол 45°. Тогда прямая А 1В1 — образ прямой а. П р и м е р 5. Точка Р принадлежит углу АВС (рис. 188). Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которо го является точкой Р, а две другие принадлежат сторонам ВА и ВС. Р е ш е н и е . Пусть прямая А 1В1 — образ прямой АВ при по вороте вокруг центра Р против часовой стрелки на угол 60°. Обозначим В1— точку пересечения прямых А 1В1 и ВС. Найдем прообраз точки Р при выполненном повороте. Оче видно, что он лежит на прямой АВ. Поэтому достаточно постро ить угол МРЕ, равный 60°. Пусть прямые МР и АВ пересека ются в точке Е. Эта точка и является прообразом точки ТС Имеем: РЕ = РЕ и Z ЕРЕ = 60°. Следовательно, Д ЕРЕ — равносторонний, а точки Р и Е — искомые.

1. Какие точки называют симметричными относительно прямой I? Как называют прямую П 2. Какие фигуры называют симметричными относительно прямой I? В. Сформулируйте свойство осевой симметрии. 4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно прямой? 5. О какой фигуре говорят, что она имеет ось симметрии? 6 . Приведите примеры фигур, имеющих ось симметрии. 7. Какие точки называют симметричными относительно точки О? Как называют точку О? 8. Какие фигуры называют симметричными относительно точки О? 9. Сформулируйте свойство центральной симметрии. 10. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относитель но точки?

177

§ 5 . Геометрические преобразования

11. 0 какой фигуре говорят, что она имеет центр симметрии? 12. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии. 13. Опишите преобразование поворот вокруг точки. 14. Сформулируйте свойство поворота. 15. Каким свойством обладают фигуры, если одна из них является образом другой при повороте?

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ! 660.° Постройте образы фигур, изображенных на рисун ке 189, при симметрии относительно прямой I.

Рис. 189

661. ° Начертите треугольник. Постройте треугольник, сим метричный ему относительно прямой, содержащей одну из его средних линий. 662. ° Точки А и В симметричны относительно прямой I (рис. 190). Постройте прямую I. А» 663. ° Начертите треугольник АВС и отметь те точку О, не принадлежащую ему. Построй •В те треугольник, симметричный данному от Рис. 190 носительно точки О. 664. ' Начертите треугольник АВС. Построй те треугольник, симметричный данному относительно середи ны стороны АБ. 665. ° Начертите окружность и отметьте на ней точку. По стройте окружность, симметричную данной относительно от меченной точки. 178

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

666. ° Постройте образ отрезка АВ при повороте вокруг цен тра О против часовой стрелки на угол 45° (рис. 191). 667. ° Постройте образ треугольника АВС при повороте во круг центра О по часовой стрелке на угол 90° (рис. 192). 668. * Проведите пересекающиеся прямые а и аг Постройте прямую, относительно которой прямая а1 будет симметрична прямой а. Сколько решений имеет задача? 669. * Проведите параллельные прямые а и аг Постройте прямую, относительно которой прямая а1 будет симметрична прямой а. 670. * Восстановите ромб АВСБ по его вершинам В и С и пря мой I, содержащей его диагональ ВБ (рис. 193).

Рис. 191

Рис. 192

Рис. 193

671. * Восстановите равнобедренный треугольник АВС по вер шине А, точке К, принадлежащей боковой стороне ВС, и прямой, содержащей высоту, проведенную к основанию АВ (рис. 194). 672. * Восстановите параллелограмм АВСБ по его верши нам А и В и точке О пересечения его диагоналей (рис. 195). 673. * Даны две параллельные прямые а и б (рис. 196). Най дите точку, относительно которой прямая а будет симметрич на прямой Ь.

17 9

§ 5 . Геометрические преобразования

6 7 4 / На рисунке 197 изображены два рав В ных отрезка АВ и ВС такие, что Z АВС = 60°. Найдите точку О такую, чтобы отрезок АВ был образом отрезка ВС при повороте вокруг точ ки О против часовой стрелки на угол 120°. 6 7 5 / На рисунке 198 изображены два рав Рис. 197 ных отрезка MN и N K такие, что Z M NK = = 90°. Найдите точку О такую, чтобы отрезок N K был образом отрезка M N при повороте вокруг точки О по часовой стрелке на угол 90°. 6 7 6 / Посмотрите на рисунок 199 через стеклянную про бирку, заполненную водой. Почему некоторые буквы во втором слове оказались перевернутыми, а в первом — нет? 677.“ Окружности с центрами и 0 2 имеют две общие точки (рис. 200). С помощью только циркуля постройте окруж ности, симметричные данным относительно прямой АВ.

СЕЗОН ДОЖДЕЙ

м* Рис. 198

Рис. 199

6 7 8 / Постройте фигуру, не имеющую осей симметрии, об разом которой является сама эта фигуру при повороте вокруг некоторой точки: 1) на угол 90°; 2) на угол 120°. УПРАЖНЕНИЯ 679.' Прямая I проходит через середину отрезка АВ. Обязательно ли точки А и Б явля ются симметричными относительно прямой 11 6 8 0 / На рисунке 201 изображены равно бедренный треугольник АВС и прямая I, содер жащая его высоту, проведенную к основанию АС. Отрезки АМ и САГ — его медианы. Укажите об разы точек А и В, медианы САГ и стороны АС при симметрии относительно прямой I. 180

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

681. ° Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является ее осью симметрии. 682. ° Докажите, что прямая, содержащая медиану равно бедренного треугольника, проведенную к основанию, является его осью симметрии. 683. На рисунке 202 изображены равнобокая трапеция АВСВ и прямая I, проходящая через середины ее осно ваний. Укажите образы точек В и Д диагонали АС и основания ВС при симметрии относительно прямой I. 684. ° Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии. 685. ° Докажите, что прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его ося ми симметрии. 686. ” Точки А у и В1являются соответственно образами точек А п В при осевой симметрии. Известно, что АВ = 5 см. Найди те А 1В1. 687. ° Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии. 688. ° Найдите координаты точек, симметричных точкам А (-2; 1) и В (0; -4 ) относительно осей координат. 689. ° Точки А (х; 3) и В (-2; у ) симметричны относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат. Найдите х и у. 690. Диагонали параллелограмма АВС В пересекаются в точке О (рис. 203). Точка М — середина стороны ВС. Ука жите образы точек А, В и М, стороны СВ, диагонали ВВ при симметрии относительно точки О. 691. ° Докажите, что точка пересечения диагоналей парал лелограмма является его центром симметрии. 692. ° Докажите, что окружность имеет центр симметрии. 693. ° Точки А х и Вг являются образами соответственно точек А и В при симме трии относительно точки, не принадле жащей прямой АВ. Докажите, что четы рехугольник АВАХВХ— параллелограмм. 181

§ 5 . Геометрические преобразования

694. ° Найдите координаты точек, симметричных точкам А (3; -1 ) и В (0; -2 ) относительно: 1) начала координат; 2) точ ки М (2; -3). 695. ° Докажите, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая. 696. ” Точки Л (х; -2 ) и В (1; у) симметричны относительно: 1) начала координат; 2) точки М (-1; 3). Найдите х и у. 697. ° На рисунке 204 изображены фигуры, составленные из равных полукругов. Какие из этих фигур при некотором по вороте вокруг точки С> совпадают со своими образами? О а)

о б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 204

698. ° Медианы равностороннего треугольника АВС пересека ются в точке О (рис. 205). Укажите образы точек С, С1 и О, стороны ВС, медианы ВВ1, отрезка ОСг, треугольника А]В}С1 при повороте вокруг точки О против часовой стрелки на угол 120°. 699. " Точка О — центр правильного шестиугольника АВСБЕР (рис. 206). Укажите образы стороны АР, диагонали ВР, диагонали АН, шестиугольника АВСВВР при повороте вокруг точки О по часовой стрелке на угол: 1) 60°; 2) 120°. 700. ° Диагонали квадрата АВСВ пересекаются в точке О (рис. 207). Укажите образы точек А, О и С, стороны АВ, диа гонали ВВ при повороте вокруг точки О по часовой стрелке на угол 90°.

В Рис. 205

7 0 1 / Образом прямой а при симметрии относительно пря мой I является сама прямая а. Каково взаимное расположение прямых а и I? 182

;

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

!----------;-------------------------------------------------------------------- ;-------7 0 2/ Докажите, что треугольник, имеющий ось симметрии, !является равнобедренным. I 7 0 3 / Докажите, что треугольник, имеющий две оси симме| трии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь \ ровно две оси симметрии? I 704/ Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси i симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом. I 7 0 5 / Докажите, что если четырехугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом. 7 0 6 / Окружности с центрами О, и 0 2 пересекаются в точ ках А я В. Докажите, что точки А и В симметричны относи тельно прямой Ох0 2. 7 0 7 / Точка М принадлежит прямому углу АВС (рис. 208). Точки М х и М 2 — образы точки М при симметрии относитель но прямых ВА и ВС соответственно. Докажите, что точки М х, В, М 2 лежат на одной прямой. 7 0 8 / Найдите координаты точек, симметричных точкам А (-2; 0) и В (3; -1 ) относительно прямой, содержащей бис сектрисы: 1) первого и третьего координатных углов; 2) вто рого и четвертого координатных углов. 7 0 9 / Точки А (х; -1 ) и В (у; 2) симметричны относительно прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего коорди натных углов. Найдите х и у. 710/ Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии. 7 1 1 / Докажите, что луч не имеет центра симметрии. 7 1 2 / Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом. 7 1 3 / Окружности с центрами Ог и 0 2 симметричны относи тельно точки О (рис. 209). Прямая, проходящая через центр

183

§ 5 . Геометрические преобразования

симметрии, пересекает первую окружность в точках А 1 и В 1? а вторую — в точках А2 и В2. Докажите, что А 1В1 = А2ВГ 7 1 4 / Пусть вершина А равностороннего треугольника АВС является центром поворота на угол 120°. Найдите длину от резка BCV где точка С1 — образ точки С при данном повороте, если АВ = 1 см. Сколько решений имеет задача? 7 1 5 / Пусть вершина А квадрата ABCD является центром поворота против часовой стрелки на угол 90°. Найдите длину отрезка CCV где точка С1 — образ точки С при данном пово роте, если АВ = 1 см. 716. “ Точки А п В лежат в разных полуплоскостях относи тельно прямой а. На прямой а найдите такую точку X , чтобы прямая а содержала биссектрису угла А Х В. 717. " Точки А и В лежат в одной полуплоскости относитель но прямой а. Найдите на прямой а такую точку X , чтобы лучи ХА и ХВ образовывали с этой прямой равные углы. 718. " Точки А и В лежат в одной полуплоскости относитель но прямой а. Найдите на прямой а такую точку X , чтобы сумма А Х + ХВ была наименьшей. 719. " Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого: по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпа дают. 720. ” Точки А и С принадлежат острому углу, но не лежат на его сторонах. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы точки В и D лежали на сторонах угла. 721. ” Постройте отрезок, серединой которого является дан ная точка, а концы принадлежат данным непараллельным прямым. 722. " Точка М принадлежит углу АВС и не принадлежит его сторонам. Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь ник, вершиной прямого угла которого является точка М, а две другие принадлежат сторонам ВА и ВС соответственно. 7 2 3 / На стороне ВС равностороннего треугольника АВС от метили точку D. Вне треугольника АВС выбрали точку Е та кую, что треугольник DEC — равносторонний (рис. 210). До кажите, что точка С и середины отрезков BE и AD являются вершинами равностороннего треугольника. 184

18. Осевая и центральная симметрии. Поворот

724. * Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым. 725. * Постройте треугольник АВС по двум сторонам АВ и АС (АВ < АС) и разности углов В и С. 726. * Точки С и В лежат в одной полуплоскости относитель но прямой АВ (рис. 211). На прямой АВ найдите такую точ ку X , чтобы Z А ХС = ^ Z ВХВ. В

727. * Постройте ромб, точкой пересечения диагоналей ко торого является данная точка, а три вершины принадлежат трем данным попарно непараллельным прямым. 728. * На стороне СП квадрата АВСП отметили точку Е. Биссектриса угла ВАЕ пересекает сторону ВС в точке В. Докажите, что АЕ = ВЕ + ЕВ. 729. * В равностороннем треугольнике АВС выбрали точку Р так, что Z АРВ = 150°. Докажите, что существует прямоугольный треугольник, стороны которого равны отрезкам РА, РВ и РС. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 730. Найдите стороны треугольника АВС, если Z A = 30°, Z В = 45°, а высота, проведенная из вершины С, равна 4 см.731. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от то чек А (-2; 4) и В (6; 8). 732. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отноше нии 25 : 12, считая от вершины равнобедренного треугольни ка. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна 1680 см2. 185

ч,

§ 5 . Геометрические преобразования

19. Гомотетия. Подобие фигур На рисунке 212 изображены точки О, ОХ, = 2 ОХ. Говорят, что точка X , — это гомотетии с центром О и коэффициентом На рисунке 213 изображены точки О,

X и Х 1 такие, что образ точки X при 2. X и Х 1 такие, что

ОХ, = - - О Х . Говорят, что точка Х 1 — это образ точки X при ^ 1 гомотетии с центром О и коэффициентом

Рис. 212

Рис. 213

Вообще, если точки О, X и Х г таковы, что ОХ1 = к ОХ, где к ФО, то говорят, что точка Х 1 — это образ точки X при гомо тетии с центром О и коэффициентом к. Точку О называют центром гомотетии, число к — коэффи циентом гомотетии, к Ф0. Рассмотрим фигуру Р и точку О. Каждой точке X фигуры Р поставим в соответствие точку X ,, являющуюся образом точ ки X при гомотетии с центром О и коэффициентом к (если точка О принадлежит фигуре Р, то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры Р получим фигуру Р1 (рис. 214). Такое преобразование фигуры Р называ ют гомотетией с центром О и коэффициентом й. Также гово рят, что фигура Р гомотетична фигуре Р с центром О и коэф фициентом к.

Рис. 214

186

19. Гомотетия. Подобие фигур

Например, на рисунке 215 треугольник А 1В1С1 гомотетичен треугольнику АВС с центром О и коэффициентом, равным -3 . Также можно сказать, что тре угольник АВС гомотетичен тре угольнику А1В1С1 с тем же цен тром, но коэффициентом, рав1 ным — . 3 Отметим, что при к - -1 гомотетия является центральной симметрией относительно центра О (рис. 216). Если к = 1, то гомотетия является тождественным преобразованием. Очевидно, что при к Ф 1 и к Ф -1 гомотетия не является движением.

Рис. 216

Т е о р е м а 19.1. П ри гомотетии ф игуры F с коэффици ентом k все расст ояния между ее т очками изменяю т ся в | k | р а з, то есть если А и В — произвольны е точки ф игуры F, а А г и Вг — их соответст вующ ие образы при гомотетии с коэффициентом k, то A xBt = j k \AB. Д оказат ельст во. © Пусть точка О — центр гомотетии. Тогда ОАг = k OA, ОВх = k ОВ. Имеем: А ^ 1 = Ш х- Ш 1= к Ш - к Ш = к { 0 В - Ш ) = кАВ, то есть, А ХВХ= | к | АВ. А С л е д с т в и е . Если т реугольни к А 1В1С1 гомот ет ичен т реугольнику АВС с коэффициентом гомотетии k, то Д А ^ С ^ А АВС. 187

§ 5 . Геометрические преобразования

Для доказательства этой теоремы достаточно воспользоваться теоремой 19.1 и третьим признаком подобия треугольников. Гомотетия обладает целым рядом других свойств. При гомотетии: • образом прямой является прямая; • образом отрезка является отрезок; • образом угла является угол, равный данному; • образом треугольника является треугольник, подоб ный данному; • образом окружности является окружность; • площадь многоугольника изменяется в к2 раз, где к — коэффициент гомотетии. Эти свойства вы можете доказать на занятиях математиче ского кружка. Перечисленные свойства гомотетии указывают на то, что это преобразование может изменить размеры фигуры, но не меняет ее форму, то есть при гомотетии образ и прообраз яв ляются подобными фигурами. Заметим, что в 8 классе, говоря о подобии фигур, мы давали определение только подобных треугольников. Сейчас определим понятие «подобие фигур», не ограничиваясь треугольниками. На рисунке 217 фигура ^ гомотетична фигуре Г, а фигура Р2 симметрична фигуре Р х относительно прямой I.

Говорят, что фигура Г2 получена из фигуры Г в результате композиции двух преобразований: гомотетии и осевой симме трии. Поскольку Г1 = Г2, то у фигур Г и Г2 одинаковые формы, но разные размеры, то есть они подобны. Говорят, что фигура Р2 получен** из фигуры Г в результате преобразования подобия. 188

19. Гомотетия. Подобие фигур

На рисунке 218 фигура 2^ гомотетична фигуре 2*’, а фигу ра 2^ — образ фигуры 2^ при некотором движении. Рассуждая аналогично, можно утверждать, что фигуры 2'1и 2^ подобны.

Из сказанного следует, что целесообразно принять такое определение. О п р е д е л е н и е . Две фигуры называют п о д о б н ы м и , если одну из них можно получить из другой в результате композиции двух преобразований: гомотетии и движения. Это определение иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 219. Подобие

гомотетия

движение

Рис. 219

Запись 2? 00 2^ означает, что фигуры 2? и 2?1 подобны. Также говорят, что фигура 2?1 — образ фигуры Р при преобразовании подобия. Из приведенного определения следует, что при преобразо вании подобия фигуры 2? расстояния между ее точками из меняются в одно и то же количество раз. Так как тождественное преобразование является движени ем, то из схемы, изображенной на рисунке 219, следует, что гомотетия — частный случай преобразования подобия. Пусть А и В — произвольные точки фигуры В, а точки А1 и Б 1 — их образы при преобразовании подобия. Точки А1 и Вх принадлежат фигуре 2^, которая подобна фигуре Е. Число А В

И= 1 1 называют коэффициентом подобия. Говорят, что фиАВ

гура 25’1 подобна фигуре 2^ с коэффициентом подобия к, а фи гура Е подобна фигуре ЕЛс коэффициентом подобия - 1 1 А 189

§ 5 . Геометрические преобразования

Заметим, что преобразование подобия с коэффициентом к = 1 является движением. Отсюда следует, что движение — частный случай преобразования подобия. С преобразованием подобия мы часто встречаемся в по вседневной жизни. Например, в результате изменения мас штаба карты получается карта, подобная данной. Фотогра фия — это преобразование негатива в подобное изображение на фотобумаге. Перенося в свою тетрадь рисунок, сделанный учителем на доске, вы также выполняете преобразование по добия.

Т е о р е м а 19.2. Отношение площадей подобных много угольников равно квадрату коэффициента подобия. Эту теорему вы можете доказать на занятиях математиче ского кружка. Мы же докажем эту теорему для частного слу чая, рассмотрев подобные треугольники. Д оказат ельст во. 0 Пусть Д А 1В1С1 — образ Д АВС при преобразовании подобия с коэффициентом к (рис. 220). Сторо на А 1С1 — образ стороны АС. Тогда А1С1 = к'АС. Проведем высоты ВВ и В ]В ]. Ясно, что высота В1В 1 — это образ высоты ВВ. Отсюда В1В 1 - к -ВО. Имеем: ^ 1 НАС -НВР

’ АДА -’АВС

АС-ВБ

^г

АС ■В Р

О—т З а д а ч а . Докажите, что обра зом прямой I при гомотетии с цент ром О, не принадлежащим прямой I, яв ляется прямая, параллельная данной. 190

19. Гомотетия. Подобие фигур

Р е ш е н и е . Из свойств гомотетии следует, что образом прямой I будет прямая. Для построения прямой достаточно Знать две любые ее точки. Выберем ■на прямой I произвольные точки А и В (рис. 221). Пусть точки А х й В {) — их образы при гомотетии с центром О и коэффициентом й (рису нок 221 соответствует случаю, когда к > 1). Тогда прямая А ^ — образ Прямой АВ. При доказательстве теоремы 19.1 мы показали, что \А 1В1= кА В . Следовательно, АВ || А 1В 1. ) П р и м е р 1 . В остроугольный треугольник АВС впиши•те квадрат так, чтобы две его вершины лежали соответ ственно на сторонах АВ .и ВС, а две другие — на сторо не АС. Р е ш е н и е . Из произвольной точки М стороны АВ опу стим перпендикуляр М Я на сторону АС (рис. 222). Постро им квадрат М фРА так, чтобы точка Р лежала на луче АС. Пусть луч A N пересекает сторону ВС в точке А х. РассмоАЛ Трим гом отети ю С ц ен тр ом А И к о эф ф и ц и ен том Й= - ^ . Тогда точка А х — образ точки А при этой гомотетии. Обра зом отрезка М А будет отрезок М 1ЛГ1, где точка М х принад лежит лучу АВ, причем М ХА Х !1 М А. Аналогично отрезок А хР г такой, что точка Р х принадлежит лучу А С и М1Р 1 !1 II А Р, будет образом отрезка А Р. Следовательно, отрезки М 1Ы1 и А ХР Х— соседние сторо В ны искомого квадрата. Для за вершения построения осталось опустить перпендикуляр М 1Я1 на сторону АС. П р и м е р 2. Пусть СП — высота прямоугольного тре угольника А ВС (А С = 90°). Найдите радиус г вписанной 191

§ 5 . Геометрические преобразования

окружности треугольника А В С , если радиусы окружно стей, вписанных в треугольники A C D и B C D , соответствен но равны гх и г2. Р е ш е н и е . Так как угол А — общий для прямоугольных треугольников A C D и А В С , то эти треугольники подобны (рис. 223). Пусть коэффициент подобия равен ft,. Очевидно, что к, - —. 1 Г Аналогично Д B C D ™Д А В С с коэф фициентом ftp = —. г Обозначим площади треугольни ков A C D , B C D и А В С соответственно S v S 2 и S. Имеем: Рис. 223

Si S 2

Отсюда

Г,

, 2 +Г0

S1 + S 2 = 1 S

Получаем, что г123456= г,2 + г22, то есть г

2 + Г22.

1. В каком случае говорят, что точка X, является образом точки X при гомотетии с центром О и коэффициентом Ю. 2. Опишите преобразование фигуры Р, которое называют гомоте тией с центром О и коэффициентом /г. 3. Как изменяется расстояние меж ду точками при гомотетии с коэффициентом Ю 4. Сформулируйте свойства гомотетии. 5. Какие фигуры называют подобными? 6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

192

& 4•

■

................

■■

■

19. Гомотетия. Подобие фигур '

----------;-----------

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 733. ° Постройте образ отрезка АВ (рис. 224) при гомотетии с центром О и коэффициентом^ 1) к - 2; 2) к - - - . 2

734. ° Начертите отрезок А В . Постройте А образ этого отрезка при гомотетии с коэф фициентом к и центром: 1) в точке А , к = 3; В 2) в точке В , к = - 2 ; О 3) в середине отрезка А В , к = 2. 7 35. ° Начертите окружность, радиус Рис. 224 которой равен 2 см, и отметьте на ней точ ку А . Постройте образ этой окружности при гомотетии с коэф фициентом к и центром: 1) в центре окружности, к = -

2) в точке А, к = 2, к = - ~ . 2

736. ° Начертите треугольник АВС. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом й и центром: 1) в точке В, к = 3;

4) в середине стороны АВ, й =

2) в точке С, А=

5) в середине стороны АС, Л= - - . 33

3) в точке А, й = - ; 2 737. ° Начертите треугольник АВС. Найдите точку пересече ния его медиан. Постройте образ этого треугольника при го мотетии с центром в точке пересечения его медиан и коэффи циентом: 1) к = 2; 2) к = ~; 3) к = - - . 2

738. ° Начертите параллелограмм АБСП. Точку пересечения его диагоналей обозначьте О. Постройте образ этого паралле лограмма при гомотетии с центром О и коэффициентом: 1) к = 2; 2) к = -2 . 193

§ 5 . Геометрические преобразования

739.° Начертите квадрат АВСВ. Постройте образ этого ква драта при гомотетии с коэффициентом к и центром: 1) в точке А, к =

з 2) в точке В, к = -2; 3) в точке С, ^ = 2. 740.° Ориентируясь по клеточкам, начертите пятиугольник АВСИЕ (рис. 225). Постройте пятиугольник А^И^С^О^Е^, по добный данному с коэффициентом подобия

741/ На рисунке 226 точка А1 — образ точки А при гомотетии с центром О. Постройте образ точки В при этой гомотетии. А.

•О

А•

*В

•В б)

а)

Рис. 226

742." На рисунке 227 точка А х — образ точки А при гомотетии с коэффициентом: А 1) к = 3; 2) к = -2 . Постройте центр гомо тетии. ; 194

Ах Рис. 227

19. Гомотетия. Подобие фигур

743. * На рисунке 228 изображены прямоугольник АВСВ и точки А 1 и В которые являются образами соответственно точек А и И при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника АВС В при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача? 744. * На рисунке 229 изображены прямоугольник АВСВ и точки Ах и С,, являющиеся образами соответственно точек А и С при преобразовании подобия. Постройте образ прямо угольника АВСВ при этом преобразовании. Сколько решений А

1л Рис. 228

Сх Рис. 229

745.’ Постройте образ треугольника АВС при преобразова нии подобия, которое является композицией двух преобразо ваний: гомотетии с центром О и коэффициентом /г = 2 и осевой симметрии относительно прямой I (рис. 230). Укажите коэф фициент подобия.

Рис. 230

746.’ Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Отметьте точку О на расстоянии 4 см от ее центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с цен тром О и коэффициентом й = ^ и поворота с центром О по часовой стрелке на угол 45°. Укажите коэффициент подобия. 195

§ 5 . Геометрические преобразования

7 4 7 / На рисунке 231 изображены две параллельные прямые а и Ъ. По стройте центр гомотетии, при которой прямая Ь является образом прямой а с коэффициентом: 1) к = 2; 2) &= - ; 2

3) к = - ^ . Сколько решений имеет за дача? 7 4 8 / Начертите трапецию АВСІ), основание ВС которой в два раза меньше основания АО. Постройте центр гомотетии, при которой отрезок АО является образом отрезка ВС с коэф фициентом: 1) к = 2; 2) к - -2 .

УПРАЖНЕНИЯ 7 4 9 / В параллелограмме АВСО точка 0 1 — середина сторо ны АО. При гомотетии с центром А точка 0 1 является образом точки О. Найдите коэффициент гомотетии. Укажите, какие точки являются образами точек В и С при этой гомотетии. 7 5 0 / Какие из фигур, изображенных на рисунке 232, со впадают со своими образами при гомотетии с центром О и ко эффициентом к > 0 и к ї 1?

г)

д) Рис. 232

196

19. Гомотетия. Подобие фигур

751.“ Какие из фигур, изображенных на рисунке 233, со впадают со своими образами при гомотетии с центром О и ко эффициентом А < О?

г)

д) Рис. 233

752. ° Медианы треугольника АВС пересекаются в точ ке М (рис. 234). Найдите коэффициент гомотетии с цен тром: 1) в точке В, при которой точка В 1 является образом точки М; 2) в точке М, при которой точка А г является об разом точки А; 3) в точке С, при В которой точка М является об разом точки Су 753. ° Медианы треугольника АВС пересекаю тся в точке М (рис. 234). Укажите коэффици ент и центр гомотетии, при кото рой треугольник А 1В 1С1 является Рис. 234 образом треугольника АВС. 754. ° В треугольнике АВС ме дианы А А у ВВ1 и ССг пересекаются в точке М . Точки К , В и N — середины отрезков А М , В М и СМ соответственно. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник АВС является образом треугольника КРЫ. 755. ° Найдите образы точек А (-2 ; 1), В (3; 0), В (0; -6 ) при гом отетии с центром 0 (0 ; 0) и коэффициентом : 1) к = 2; 2) к = 3; 3) /г = - | ; 4) /е = - | . 756. ” Точка А 1 (-1 ; 2) — образ точки А (-3 ; 6) при гомо тетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии. 197

§ 5 . Геометрические преобразования

757. ° Площади двух подобных треугольников равны 28 см2 и 63 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 8 см. Найдите сторону другого треугольника, соответствую щую данной стороне первого. 758. ° Соответствующие стороны двух подобных треуголь ников равны 30 см и 24 см. Площадь треугольника со сто роной 30 см равна 45 см2. Найдите площадь другого тре угольника. 759. ° Площадь треугольника равна 5 . Чему равна пло щадь треугольника, который отсекает от данного его сред няя линия? 760. ° Площадь треугольника равна 5 . Найдите площадь треугольника, вершины которого — середины средних ли ний данного треугольника. 761. * Отрезок МЫ — средняя линия треугольника АВС (рис. 235). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок АС является образом отрезка МЫ; 2) отрезок МЫ является образом отрезка АС. 762. "Параллельные прямые пересекают стороны угла А в точках М , Ы, Р тд. (2 (рис. 236). Известно, что А М : М Р = = 3 : 1 . Укажите коэффициент и центр гомотетии, при ко торой: 1) отрезок РС? является образом отрезка МЫ; 2) от резок МЫ является образом отрезка Р(?. В

Рис. 235

763.’ Параллельные отрезки ВС и АО таковы, что АО = 3ВС. Сколько существует точек, являющихся центрами гомотетии, при которой образом отрезка ВС является отрезок АО? Для каждой такой точки определите коэффициент гомотетии. 198

19. Гомотетия. Подобие фигур

764. * Окружности с центрами 0 1 и 0 2 соответственно с ра диусами Д и г касаются внешним образом в точке О (рис. 237). Докажите, что окружность с центром Ох является образом окружности с центром 0 2 при гомотетии с центром О и коэф фициентом - —. г 765. * Окружности с центрами 0 1 и 0 2 соответственно с радиусами й и г касаются внутренним образом в точке О (рис. 238). Докажите, что окружность с центром 0 1 является образом окружности с центром 0 2 при гомотетии с центром О І? и коэффициентом —. г

Рис. 237

Рис. 238

766. * Окружность с центром О касается прямой а. Докажи те, что образ этой окружности при гомотетии с центром А, где А — произвольная точка прямой а (рис. 239), касается этой прямой. 767. ' Точка А (2; -3 ) — образ точки В (8; 6) при гомотетии с центром М (4; 0). Найдите коэффициент гомод тетии. 768. * Точка А (-7; 10) — образ Рис. 239 точки В (-1; -2 ) при гомотетии с ко эффициентом -2 . Найдите центр гомотетии. 769. * Точка Ах (х; 4) — образ точки А (-6; у) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом: 1) &= 2) k = -2 . Найдите х и у. 770. * Точка А г(4; у) — образ точки А (я; -4 ) при гомотетии с центром В (1; -1 ) и коэффициентом k = -3 . Найдите х н у . 771. * Средняя линия треугольника отсекает от него трапе цию, площадь которой равна 21 см2. Найдите площадь данно го треугольника. 199

§ 5 . Геометрические преобразования

772.' Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает его сторону АВ в точке М, а сторону ВС — в точ ке К. Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ - 4 см, АС = 8 см, АМ = М К, а площадь треугольника М ВК равна 5 см2. 773/ Продолжения боковых сторон АВ и СП трапеции АВСИ пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если ВС : АП = 3 : 5, а площадь треугольника АЕП равна 175 см2. 7 7 4 / На рисунке 240 изображен план школы. Вычислите, какую площадь занимает школа, если план начерчен в мас штабе 1 : 2000. Длина стороны клеточки равна 0,5 см.

775/' Найдите образ прямой у = 2х + 1 при гомотетии с цен тром в начале координат и коэффициентом: 1) k = 2; 2 )* = - i . 776. *' Найдите образ окружности (х + 2)2 + (у - 4)2 = 4 при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом: 1) k = | ; 2) k = -2 . 777. " Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках А,, А„, В„ В0 (рис. 241). Докажите, что

л р , »АА778. ” Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окруж ности в точках А ., А„, В ,, В , (рис. 242). Докажите, что А,В, I A f i,. 200

19. Гомотетия. Подобие фигур

779." Точка А принадлежит окружности (рис. 243). Найдите геометрическое место точек, являющихся серединами хорд дан ной окружности, одним из концов которых является точка А.

Рис. 241

Рис. 242

Рис. 243

780. " Две окружности касаются внутренним образом, при чем меньшая окружность проходит через центр большей. До кажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам. 781. " Даны треугольник АВС и произвольная точка М . До кажите, что точки, симметричные точке М относительно се редин сторон треугольника АВС, являются вершинами тре угольника, равного данному. 782. ” Постройте треугольник по двум его углам и радиусу описанной окружности. 783. ” Постройте треугольник по двум его углам и радиусу вписанной окружности. 784. ” Впишите в данный треугольник АВС прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 1 , так, чтобы две вершины большей стороны прямоугольника лежали на стороне АС тре угольника, а две другие вершины — на сторонах АВ и ВС. 785. * Отрезок АВ — хорда данной окружности, точка С — произвольная точка этой окружности. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан тре угольника АВС. 786. * Даны две точки А и В и прямая I. Найдите геометри ческое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников АВС, где С — произвольная точка прямой I. 787. * Точка М принадлежит углу АВС, но не принадлежит его сторонам. Постройте окружность, которая касается сторон угла и проходит через точку М . 201

§ 5 . Геометрические преобразования

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 788. Найдите площадь ромба и радиус окружности, вписан ной в ромб, если его диагонали равны 12 см и 16 см. 789. Найдите периметр треугольника, образованного при пересечении прямой Зя + 4у = 24 с осями координат. 790. Две окружности касаются внешним образом в точке А, точки В и С — точки касания с этими окружностями их общей касательной. Докажите, что /.ВАС — прямой. КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ Применение преобразований фигур при решении задач Преобразование фигур — эффективный метод решения целого ряда геометрических задач. Проиллюстрируем это на следующих примерах. П р и м е р 1. На сторонах АВ, ВС и СА остроугольного треугольника АВС найдите такие точки М, JV и Р соответствен но, чтобы периметр треугольника M NP был наименьшим. Р е ш е н и е . Пусть Р — произвольная точка отрезка АС тре угольника АВС, Рг и Р2 — ее образы при симметрии относи тельно прямых АВ и ВС соответственно (рис. 244). Прямая Р ХР2 пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и N. В примере 2 п. 18 мы показали, что периметр треуголь ника MNP является наименьшим при фиксированном поло жении точки Р. Этот периметр равен длине отрезка Р 1Р2Заметим, что EF — средняя линия треугольника РРХРГ Тогда EF = -P .P 2. 2 1 2

Поскольку Z ВЕР + / BFP = = 180°, то точки Р, Е, В, F лежат на одной окружности с диаметром ВР. Отсюда EF = B P ’ sin В. Следовательно, длина отрезка EF будет наименьшей при наи 202

Когда сделаны уроки

меньшей длине отрезка ВР, то есть тогда, когда ВР — высота треугольника АВС. На рисунке 245 отрезок ВР — высота треугольника АВС. Строим искомый треугольник МЫР по знакомому алго ритму. Из построения следует, что периметр любого другого тре угольника, вершины которого лежат на сторонах треугольни ка АВС, больше периметра треугольника МЫР. Поэтому ис комый треугольник является единственным — это построенный треугольник МАР. Этот же треугольник можно получить, проведя высоты из вершин А и С. Следовательно, вершины искомого треугольника — это основания высот данного треугольника АВС. Такой треуголь ник называют ортоцентрическим. ГГр и м е р 2. Пусть точка О — центр правильного га-угольника А хА 2..Л п (рис. 246). Докажите, что ОА1+ ОА2 +... + ОАп =50. Р е ш е н и е . Пусть ОА1+ ОА2 + ... + ОАп = а. Рассмотрим по360°

ворот с центром О на угол ----- , например, против часовой п

стрелки. Очевидно, что при таком преобразовании образом данного га-угольника будет этот же п-угольник. Следовательно, искомая сумма не изменится. А это возможно лишь тогда, когда а = 0.

203

§ 5. Геометрические преобразования

П р и м е р З . Внутри треугольника АВС, все углы которого меньше 120°, найдите такую точку Т, чтобы сумма ТА + ТВ + ТС была наименьшей. Р е ш е н и е . Пусть Т — произвольная точка данного треугольника АВС (рис. 247). Рассмотрим поворот с центром А на угол 60° по часовой стрелке. Пусть точки Тх и Сх — образы точек Г и С соответственно (рис. 247). Так как поворот является дви жением, то ТХСХ = ТС. Очевидно, что тре угольник АТТХявляется равносторонним. Тогда АТ = ТТ1. Имеем: Т А + ТВ + ТС = ТТХ+ ТВ + ТХСХ. Понятно, что сумма ТТХ + ТВ + ТХСХ будет наименьшей, если точки В, Т, Тх, Сх лежат на одной прямой. Поскольку Z 1 = Z 2 = 60°, то это условие будет выполнено тогда, когда Z 3 = Z 4 = 120°. Так как угол АТХСХ— образ угла АТС при указанном пово роте, то должно выполняться условие Z АТС = 120°. Итак, точки В, Т, Тх и Сх будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда Z АТ В = Z АТС = 120°. Отсюда Z ВТС = 120°. Таким образом, сумма ТА + ТВ + + ТС будет наименьшей, если Z АТВ = = Z BTC = Z A T C = 120°. Н айти точку Т м ож н о, наприм ер, по стр о и в ГМ Т, и з к о т о р ы х о т р е зк и АВ А и АС видны под углам и 120° (рис. 248). Рис. 248 Понятно, что если один из углов тре угольника АВС не меньше 120°, то точка пересечения постро енных дуг не будет расположена внутри треугольника. Можно показать, что в треугольнике с углом, не меньшим 120°, точ ка Т, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является наименьшей, совпадает с вершиной тупого угла. Пр и м ё р 4. Отрезки ААХ, ВВХи ССХ— высоты остроуголь ного треугольника АВС. Докажите, что радиус описанной 204

Когда сделаны уроки

окружности треугольника АВС в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника А^В^С^ Р е ш е н и е . Пусть прямые ААХ, ВВХи СС1 пересекают опи санную окружность треугольника АВС соответственно в точках М , N и Р (рис. 249). Докажем, что НАХ= А ХМ , где точка Я — ортоцентр треугольника АВС.

Имеем: / 1 = / 2 = 90° - А АВС. Углы 2 и 3 равны как вписанные, опирающиеся на дугу МВ. Следовательно, / 1 = / 3. Тогда в треугольнике НСМ отрезок СА1 является биссек трисой и высотой, а следовательно, и медианой. Отсюда НАХ= А ХМ. Аналогично Н ВХ= Б ХЯ, ЯСХ= СХР. Теперь понятно, что треугольник МЫР гомотетичен тре угольнику А 1В1С1 с центром Я и коэффициентом 2. Тогда ра диус описанной окружности треугольника МЫР в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника АХБ ХСХ. Осталось заметить, что треугольники МЯВ и АВС вписаны в одну окружность.

205

§ 5 . Геометрические преобразования

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 5 1. Какой из отрезков может быть образом отрезка АВ при движении (рис. 250)? А) МА; Б) РО; В) ЯР; Г) ВС. 2. Укажите уравнение образа прямой у = 2х при парал лельном переносе на вектор а (0; 1). А) у = 2х + 1; В) у = х + 1; Б) у = 2х - 1; Г) у = х - 1. 3. Какая из прямых, изображенных на рисунке 251, может быть образом прямой а при параллельном перено се? Г) а. В) й;

Рис. 250

Рис. 251

4. Какая фигура имеет только одну ось симметрии? А) квадрат; Б) окружность; В) парабола; Г) отрезок. 5. При каких значениях х и у точки А (-1 ; у) и В (х ; 6) симметричны относительно оси абсцисс? А) х = - 1 , у = 6; В) л; = - 1 , г/ = —6; Б) х = 1, у = -6 ; Г) х = 1, у = 6. 6. Какая фигура имеет центр симметрии? А) треугольник; Б) отрезок; В) трапеция; Г) угол. 7. Какая фигура имеет центр симметрии и ось симме трии? A) равносторонний треугольник; Б) параллелограмм; B) равнобокая трапеция; Г) прямая. 8. При каких значениях х и у точки А (дс; 7) и В (-4 ; у) симметричны относительно начала координат? 206

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 5

А) х = 4, у = -7; В) х = -4 , у = 7; Б) х = 4, у = 7; Г) х = -4 , у = -7 . 9. Точка О — центр правильного восьмиугольника А ВС В Е РКМ (рис. 252). Укажите образ стороны при повороте вокруг точки О по часовой стрелке на угол 135°. А) АВ; Б) ВС; В) АМ; Г) СИ. 10. Продолжения боковых сторон АВ и С£> трапеции АВСБ (рис. 253) пересекаются в точке М . Укажите коэффи циент гомотетии с центром в точке М , при которой отрезок ВС является образом отрезка АО, если АВ : В М = 7 : 2 . А) | ;

Б) С

11. Точка М (б; -3 ) — образ точки N (2; 1) при гомотетии с коэффициентом Укажите координаты центра гомо тетии. А) (5; -2); Б) (8; -1); В) (-5; 2); .Г) (-8; 1). 12. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке Е, а сторону ВС — в точ ке F. Найдите площадь треугольника CEF, если АЕ : ЕС = = 3 : 2, а площадь треугольника АВС равна 75 см2. А) 36 см2; Б) 50 см2; В) 30 см2; Г) 12 см2.

207

§ 5 . Геометрические преобразования

ИТОГИ В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: > преобразование фигуры; > образ и прообраз фигуры; > параллельный перенос; > движение; > тождественное преобразование; > центральная симметрия; > осевая симметрия; > поворот; > гомотетия; > преобразование подобия; • вы узнали: > какие фигуры называют равными; > какие фигуры называют подобными; > в каких случаях говорят, что фигура имеет центр симметрии, ось симметрии; • вы изучили: > свойства движения; > свойства гомотетии; > свойства преобразования подобия; > теорему об отнош ении площ адей подобных многоугольников.

208

Н А Ч А Л Ь Н Ы Е С ВЕД ЕН И Я ПО СТЕРЕОМЕТРИИ При изучении этого параграфа вы ознакомитесь с такими по нятиями: скрещивающиеся прямые, параллельные прямая и плоскость, параллельные плоскости, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикуляр к плоскости, призма, прямая призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Вы изучите формулы для вычисления объемов прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Вы узнаете, что называют площадью поверхности призмы, пирамиды, цилиндра, конуса,, шара, и научитесь их вычислять.

20. Прямые и плоскости в пространстве Вы завершили изучение курса планиметрии — раздела геометрии, изучающего свойства фигур, расположенных в одной плоскости. Однако большинство окружающих нас объектов не являются плоскими. Раздел геометрии, изучаю щий свойства фигур в пространстве, называют стереометрией («стереос» в переводе с греческого — «пространственный»). Курс стереометрии вы будете изучать в 1 0 -1 2 классах. Сейчас вы ознакомитесь с начальными сведениями этого раздела геометрии. В стереометрии наряду с точками и прямыми рассматри вают плоскости. Представление о плоскости дают поверх ность стола, футбольное поле, поверхность водоема в без ветренную погоду. Понятно, что всю плоскость, как и прямую, изобразить нельзя. На рисунках изображают только часть плоскости, чаще всего в виде паралле лограмма (рис. 254). Как правило, плоскости обозначают буквами греческого алфавита: а, (3, у... . Рис. 254 209

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

Вы знаете, что прямая однозначно задается любыми двумя своими точками. Следующие утверждения указыва ют, как однозначно задать плоскость: через три точки, не леж а щие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну / /

• •

через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

У-У

/ /

через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

через прямую и точку, ей не принадлежащую, можно провести плоскость и притом только одну

А-У

уу

То, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну, позволя ет обозначать плоскость любыми тремя ее точками, не ле жащими на одной прямой. Так, на рисунке 255 изображе на плоскость АВС. На рисунке 256 изображена прямая а, пересекающая плоскость а в точке А. Если прямая а и плоскость а не имеют общих точек, то их называют параллельными (рис. 257). Пишут: а || а.

210

20. Прямые и плоскости в пространстве

Прямая а может принадлежать плоскости а (рис. 258), причем справедливо такое утверждение: если, две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принад лежит этой плоскости. На рисунке 259 изображена прямая а, пересекающая плоскость а в точке А так, что она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку А . Говорят, что прямая а перпендикулярна плоско сти ос, и записывают a l a . Представление о прямой, перпендикулярной плоскости, дает вертикально установленная мачта (рис. 260).

Рис. 258

Рис. 259

Пусть прямая а, перпендикулярная плоскости а, пере секает ее в точке А. Выберем на прямой а точку В (рис. 261). Отрезок ВА называют перпендикуляром, опущенным из точки В на плоскость а. Если плоскости а и Р не имеют общих точек, то их на зывают параллельными (рис. 262). Пишут: ос || р.

Рис. 262

211

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

На рисунке 263 плоскости а и (3 пересекаются. Их пере сечением является прямая а. Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые на плоскости пересекаются или параллельны. В пространстве возможен и третий способ расположения двух прямых. На рисунке 264 изображены прямые а и Ъ, которые не пере секаются и не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися.

Рис. 264

Рис. 263

I. Как называют раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве? 2i Как обозначают плоскости? 3. Как однозначно можно задать плоскость? 4. Какие возможны случаи взаимного расположения в простран стве: 1) двух прямых; 2) прямой и плоскости; 3) двух плоско стей? 5. Какие прямую и плоскость называют параллельными? 6 . Как записать, что прямая а и плоскость а параллельны? 7. Какое условие принадлежности прямой плоскости? 8 . В каком случае говорят, что прямая перпендикулярна плоскости? 9. Как записать, что прямая а и плоскость а перпендикулярны? 10. Поясните, что называют перпендикуляром, опущенным из точ ки на плоскость. II. Какие плоскости называют параллельными? 12. Как записать, что плоскости а и р параллельны? 13. Какая геометрическая фигура является пересечением двух плос костей? 14. Какие две прямые называют скрещивающимися?

212

20. Прямые и плоскости в пространстве

УПРАЖНЕНИЯ ■К 791. ° Сколько плоскостей можно провести через две точки: 1) одну; 2) две; 3) бесконечно много; 4) ни одной? 792. ° Сколько плоскостей можно провести через три точки: 1) одну; 3) одну или бесконечно много; 2) бесконечно много; 4) одну или ни одной? 793. ° Сколько плоскостей можно провести через две прямые: 1) одну; 3) одну или ни одной; 2) бесконечно много; 4) одну или бесконечно много? 794. ° Сколько плоскостей можно провести через одну прямую: 1 ) одну; 3) ни одной; 2) бесконечно много; 4) бесконечно много или ни одной? 795. ° Через три точки проведены две плоскости. Как рас положены эти точки? 796. ° Точка Л не принадлежит плоскости а. Сколько суще ствует прямых, проходящих через точку А и параллельных плоскости а: 1) одна; 2) две; 3) бесконечно много; 4) ни одной? 797. ° Верно ли утверждение: 1) если прямая а перпендикулярна прямой Ь, лежащей в плоскости а, то а 1 а; 2) если прямая а не перпендикулярна плоскости а, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости? 798. ° Из точки А опущен перпендикуляр АВ на плоскость а, точка С принадлежит плоскости а. Найдите: 1) АВ, если АС = 13 см, ВС = 5 см; 2) АС, если АВ = 4\/3 см, Z АСВ = 60°. 799. ° Из точки М опущен перпендикуляр М К на плос кость Р, точка Р принадлежит плоскости р. Найдите: 1) МР, если М К = 8 см, КР = 6 см; 2) М К, если МР = 10 см, А М РК = 45°. 800. ° Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку? 801. ° Могут ля три плоскости иметь только одну общую точку? Ответ проиллюстрируйте, приведя пример из окру жающей среды. 213

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

802. ° Прямая а и плоскость а параллельны. Сколько пло скостей, параллельных плоскости а, можно провести через прямую а: 1) одну; 2) две; 3) бесконечно много; 4) ни одной? 803. ° Прямая пересекает одну из двух параллельных пло скостей. Каково взаимное расположение данной прямой и вто рой из плоскостей? 804. ° Известно, что прямая а параллельна каждой из плоско стей а и р. Каким может быть взаимное расположение плоско стей а и Р? 80 5. ° Точка А лежит вне плоско сти а, точки В, С и Б принадлежат плоскости а (рис. 265). Укажите линию пересечения: 1) плоскостей АВС и АСБ; 2) плоскостей а и АВС. 80 6. ° Точка А лежит вне плоско сти а, точки В, С и Б принадлежат плоскости а (рис. 265). Укажите линию пересечения: 1) плоскостей АСИ и АВБ; 2) плоскостей а и АСБ. 807. ° На рисунке 266 укажите изображение: 1) пересекаю щихся прямых; 2) параллельных прямых; 3) скрещивающих ся прямых.

808. ” Прямая а пересекает сторону АС треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых а и АВ, если прямая а не лежит в плоскости АБС? 809. ° Прямая т параллельна стороне DE треугольника DEF. Каково взаимное расположение прямых т и EF, если пря мая т не лежит в плоскости DEFI 214

20. Прямые и плоскости в пространстве

810. ° Верно ли утверждение: 1) если прямая а параллельна прямой Ъ, лежащей в пло скости а, то прямая а параллельна плоскости а; 2) если прямая а не параллельна прямой Ь, лежащей в пло скости а, то прямая а не параллельна плоскости а; 3) если прямая а пересекает плоскость р, а прямая Ъпринад лежит плоскости р, то прямая а пересекает прямую Ь; 4) если две прямые не имеют общих точек, то они парал лельны; 5) если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую; 6) если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой этой плоскости; 7) если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то эти плоскости параллельны; 8) если прямые а и & не пересекаются, то они не лежат в одной плоскости? 811. * Точки А, В, С и I) не лежат в одной плоскости. Како во взаимное расположение прямых АВ и СП? 812. * Точка К лежит вне плоскости треугольника БЕЕ. Ка ково взаимное расположение прямых Б К и ВВ? 813. * Из точки А опущен перпендикуляр АВ на плоскость а, точки С и Б принадлежат плоскости а, АП = 10\/3 см, А АБВ = 60°, А АСВ = 45°. Найдите длину отрезка АС. 814. ’ Из точки В опущен перпендикуляр ВМ на плоскость (3, точки А и С принадлежат плоскости Р, ВС = 17 см,МС = 8см, А ВАМ = 30°. Найдите длину отрезка АМ. 815. * Из точки А опущен перпендикуляр АБ на плоскость а, точки В и С принадлежат плоскости а, АВ = 25 см, АС = = 17 см, ВБ : БС = 5 : 2 . Найдите длину перпендикуляра АН. 816. "Из точки В опущен перпендикуляр ВО на плоскость у, точки А и С принадлежат плоскости у, АВ = 12 см, ВС = 30 см, АО : ОС = 10 : 17. Найдите длину отрезка АО. 817. ” Из точки А опущен перпендикуляр АН на плоскость а, точки В и С принадлежат плоскости а. Найдите расстояние между точками В и С, если АН = 6 см, А АВБ = 45°, А АСБ = = 60°, А ВНС = 150°. 215

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

818.“ Из точки М опущен перпендикуляр МВ на пло скость Р, точки А и С принадлежат плоскости Р, МС = 4\[3 см, А МСВ = 30°, А МАВ = 45°, А АВС = 135°. Найдите расстояние между точками А и С. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 819. Один из углов параллелограмма равен полусумме двух его углов. Найдите углы параллелограмма. 820. Одна из сторон треугольника на 1 см больше второй стороны и на 1 см меньше третьей. Найдите периметр тре угольника, если косинус среднего но величине угла равен - . 3 821. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (1; 2), В (2; -3 ) и С (6; 3) является равнобедренным, и вы числите его площадь.

21. Прямая призма. Пирамида В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рас сматривают геометрические тела. Примерами тел являются многогранники (рис. 267). Поверхность многогранника состо ит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Рис. 267

216

21. Прямая призма. Пирамида

В 5 классе вы познакомились с одним из видов многогран ника — прямоугольным параллелепипедом и его частным видом — кубом. На рисунке 268 изображен прямоугольный параллелепипед А В С Д А ^ С ^ . Прямоугольный параллелепипед является частным видом призмы. Многогранник, изображенный на рисунке 269, является шестиугольной призмой. Две его грани АВСТЖР и А1В1С1В1Е1Р1— равные шестиугольники, лежащие в параллельных плоско стях. Их называют основаниями призмы. Остальные шесть граней — это параллелограммы. Их называют боковыми гра нями призмы.

Рис. 268

Рис. 269

Ребра призмы, принадлежащие основаниям, называют ребра ми оснований призмы, а остальные ребра — боковыми ребрами призмы. Все боковые ребра призмы параллельны и равны. Аналогично можно говорить о /г-угольной призме. Если боковые ребра призмы перпендику лярны плоскости основания, то призму называют прямой. На рисунке 270 изобра жена прямая пятиугольная призма. Боко вые грани прямой призмы являются пря моугольниками. Прямоугольный параллелепипед — это частный вид прямоугольной призмы. Площадь боковой поверхности п р и з мы — это сум м а площ адей всех ее боковы х граней.

217

Рис. 270

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

Т е о р е м а 21.1. Площ адь боковой поверхности/прямой ; призм ы равн а произведению перим ет ра ее основания на длину бокового ребра. Д оказат ельст во. О Пусть щ, а2, ..., ап — стороны основа ния прямой призмы, Л — длина бокового ребра, Р — периметр основания, 5 бок — площадь боковой поверхности. Поскольку боковые грани прямой призмы — прямоугольники, то: S бок . = а XД + а2Д + ... + ап h ~ = (а, + а,2 + __ + а п)' h - Р оси • h. А v 1 Площадь поверхности призмы — это сумма площадей всех ее граней. Обозначив площадь основания Soch, можно записать очевид ную формулу для нахождения площади S поверхности призмы: S = S.бок + 2S оси . Каждое геометрическое тело имеет определенный объем. За единицу объема принимают куб, ребро которого равно едини це длины. Объем V прямой призмы вычисляют по формуле V =S

Д,

где 8 жн — площадь основания призмы, й — длина бокового ребра. Эта формула будет доказана в курсе стереометрии. На рисунке 271 изображен многогранник, одна грань кото рого — многоугольник, а остальные — треугольники, имеющие общую вершину. Такой многогранник называют пирамидой. Эту общую вер шину называют вершиной пирамиды. Грань, не содержащую вершину пира миды, называют основанием пирами ды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию, называют ребрами основания пирами ды, остальные ребра — боковыми ре брами пирамиды. 218

21. Прямая призма. Пирамида

На рисунке 272 изображены треугольная пирамида БАВС и четырехугольная пирамида БАВСИ. Площадь поверхности пирамиды — это сумма площадей всех ее граней. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на пло скость основания, называют1высотой пирамиды. На рисун ке 272 отрезок БО — высота пирамиды.

Объем V пирамиды вычисляют по формуле

где Бжи — площадь основания пирамиды, Л — длина высоты пирамиды. Эта формула будет доказана в курсе стереометрии. Связь между частными видами многогранников иллюстри рует схема, изображенная на рисунке 273.

219

§ 6. Начальные сведения по стереометрии

■ •

'г-ттшишяшяшяшияшвшшшш 1. • Из каких фигур состоит поверхность многогранника? 2. Что называют гранями многогранника? 3. Что называют ребрами многогранника? 4. Что называют вершинами многогранника? 5. Частным видом какого многогранника является прямоугольный параллелепипед? 6 . Каково взаимное расположение плоскостей, в которых лежат основания призмы? 7. Как называют грани призмы, отличные от ее оснований?' 8 . Какой геом етрической ф игурой является боковая грань призмы? 9. Поясните, что называют боковыми ребрами и ребрами осно ваний призмы. 10. Каково взаимное расположение боковых ребер призмы? 11. Какую призму называют прямой? 12. Какой геометрической фигурой является боковая грань прямой призмы? 13. Что такое площадь боковой поверхности призмы? 14. Сформулируйте теорему о площади боковой поверхности пря мой призмы. 15. Что такое площадь поверхности призмы? 16. Что принимают за единицу объема? 17. По какой формуле вычисляют объем прямой призмы? 18. Поясните, какой многогранник называют пирамидой. 19. Что называют вершиной пирамиды? 20. Как называют грань пирамиды, не содержащую вершину пи рамиды? 21. Какие грани пирамиды называют боковыми? 22. Какие ребра пирамиды называют боковыми? 23. Какие ребра пирамиды называют ребрами основания? 24. Что такое площадь поверхности пирамиды? 25. Что называют высотой пирамиды? 26. По какой формуле вычисляют объем пирамиды?

220

21. Прямая призма. Пирамида

ЯМІ'!

/ ' упраж нения

8 2 2 / На рисунке 274 изображен прямоугольный паралле лепипед АВСОА^В^С'Р^. Укажите: 1) основания параллелепипеда; 2) боковые грани параллелепипеда; 3) боковые ребра параллелепипеда; 4) ребра нижнего основания параллелепипеда; 5) ребра, параллельные ребру АВ; 6) ребра, параллельные ребру ВВг; 7) ребра, скрещивающиеся с ребром ВС.

Ві / г

1 1 1

В<

Рис. 275

Рис. 274

8 2 3/ На рисунке 275 изображена прямая призма АВСА^С^. Укажите: 1) основания призмы; 2) боковые грани призмы; 3) боковые ребра призмы; 4) ребра основания призмы; 5) все пары параллельных ребер М призмы. 8 2 4/ На рисунке 276 изображена пи рамида МАВС. Укажите: 1) основание пирамиды; 2) вершину пирамиды; 3) боковые грани пирамиды; 4) боковые ребра пирамиды; Рис. 276 5) ребра основания пирамиды. 221

1я

по стереометрии

825. ° На рисунке 277 изображена пирамида БАВСБ. Укажите: 1) основание пирамиды; 2) вершину пирамиды; 3) боковые грани пирамиды; 4) боковые ребра пирамиды; 5) ребра основания пирамиды. 826. ° Най ности и объем куба с ребром 3 см. 827. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверх ности и объем прямоугольного параллелепипеда АВС13А1Б1С1Х)1 (рис. 274), если АВ = 3 см, ВС = 2 см, ААХ= 5 см. 828. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь по верхности и объем прямой треугольной призмы, основанием которой является правильный треугольник со стороной 6 см, а боковое ребро равно 4 см. 829. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь по верхности и объем прямой четырехугольной призмы, основа нием которой является квадрат со стороной 7 см, а боковое ребро равно 6 см. 830. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь по верхности и объем прямой призмы, изображенной на рисун ке 278 (длины отрезков даны в сантиметрах). 831. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь по верхности и объем прямой призмы, изображенной на рисун ке 279 (длины отрезков даны в сантиметрах).

а)

б) Рис. 279

Рис. 278

222

21. Прямая призма. Пирамида

832. ° Все грани треугольной пирамиды — правильные тре угольники со стороной а. Найдите площадь поверхности пи рамиды. 833. ° Основание пирамиды является квадратом со стороной 6 см, а каждая боковая грань — правильным треугольником. Найдите площадь боковой поверхности и площадь поверхности пирамиды. 834. ° Вычислите объем пирамиды МАВС (рис. 280), основа ние которой — треугольник АВС, ВС = 4,8 см, АК — высота треугольника АВС, АК = 3,5 см, МО — высота пирамиды, МО = 4,5 см. 835. ° Вычислите объем пирамиды МАВСБ (рис. 281), осно вание которой — квадрат АВСБ со стороной 6 см, МЕ — высота пирамиды, МЕ = 7,2 см. М

836. ° Вычислите объем пирамиды АМЫКР (рис. 282), осно вание которой — прямоугольник МЫКР, МЫ = 1,2 см, ЫК - 2,6 см, АО — высота пирами ды, АО = 2,5 см. 837. ° Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 15 см, а ги потенуза — 25 см. Найдите площадь поверхности и объем призмы, если ее боковое ребро равно 9 см. 838.’ Основанием прямой призмы К является равнобокая трапеция с ос нованиями 4 см и 16 см и диагонаРис. 282 223

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

лью 2л/41 см. Найдите площадь боковой поверхности, пло щадь поверхности и объем призмы, если ее боковое ребро равно 17 см. 839. " Основание прямой призмы — равнобедренный тре угольник, основание которого равно 24 ем, а проведенная к нему высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности и объем призмы, если ее боковое ребро равно 7 см. 840. ’ Найдите площадь поверхности и объем куба, если диагональ его грани равна d. 841. ’ Классная комната имеет форму прямоугольного па раллелепипеда, измерения которого равны 8,5 м, 6 м и 3,6 м. Можно ли в этой комнате разместить на урок 30 учащихся, если в соответствии с санитарными нормами на одного учаще гося должно приходиться 6 м3 воздуха? 842. *Поперечное сечение чугунной трубы имеет форму ква драта. Внешняя ширина трубы равна 30 см, а толщина сте нок — 5 см. Найдите массу погонного метра трубы, если плот ность чугуна составляет 7,3 • 103 кг/м3. 843. ’ Поперечное сечение канавы имеет форму равнобокой трапеции, основания которой равны 1 м и 0,8 м, а высота — 0,6 м. Сколько понадобится рабочих, чтобы за 4 ч выкопать такую канаву длиной 15 м, если за час один рабочий выкапы вает 0,75 м3 грунта? 844. * Слиток меди длиной 50 см имеет форму прямой при змы, основанием которой является равнобокая трапеция, па раллельные стороны которой равны 6 см и 14 см, а боковая сторона — 8,5 см. Установите, есть ли внутри слитка пустоты или он является сплошным, если масса слитка равна 32 кг, а плотность меди — 9,0 • 103 кг/м3. 845. ’ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SABC, если SA = SB = SC - S см, Z ASB = Z ASC - Z CSB = 45°. 846. * Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SABCD, если SA = SB = SC = SD = 6 см, Z ASB = Z BSC = = Z CSD = Z ASD = 30°. 847. * Основанием пирамиды является прямоугольный тре угольник с катетами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см. Найдите объем пирамиды. 224

22. Цилиндр. Конус. Шар

848. * Основанием пирамиды является ромб, сторона кото рого равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 11 см. 849. * Основанием пирамиды является треугольник со сто ронами 17 см, 17 см и 16 см. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 20 см. 850. *’ Найдите объем прямой призмы АВСА1В 1С1, если АгВ = d, Z АВАг = P, AB = АС, Z ВАС = а. 851. ** Найдите площадь боковой поверхности и объем пря моугольного параллелепипеда A B C D A JifiJ )^ если АС = т, Z CAD = ос, Z САС1 = 0. 852. ” Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб, AB = a, Z BAD = ос, Z АСАг = 0. Найдите площадь боко вой поверхности и объем призмы. 853. “ Найдите объем треугольной пирамиды, боковые грани которой — равнобедренные прямоугольные треугольники с ка тетом а. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 854. Периметр параллелограмма АВСО равен 48 см, АО = 7 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла В? Найдите отрезки, на которые биссектриса делит сто рону параллелограмма. 855. Два треугольника имеют по две равные стороны, а сум ма углов между соответственно равными сторонами этих тре угольников равна 180°. Докажите, что данные треугольники равновелики. 856. Даны точки А (5; 2), В (-7; 1) и С (1; -5), отрезок АМ — медиана треугольника АВС. Составьте уравнение прямой АМ.

22. Цилиндр. Конус. Шар В повседневной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму цилиндра: консервная банка (рис. 283), хоккейная шайба (рис. 284), колонны здания (рис. 285), бочка (рис. 286). 225

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

Рис. 283

Рис. 284

Рис. 285

Рис. 286

Цилиндр можно представить как тело, полученное в резуль тате вращения прямоугольника АВС£> вокруг одной из его сторон, например, стороны АВ (рис. 287). Прямую АВ назы вают осью цилиндра. Стороны ВС и АО, вращаясь, образуют равные круги, кото рые называют основаниями цилиндра. При вращении стороны СО образуется цилиндрическая поверхность, которую называ ют боковой поверхностью цилиндра. Пусть при вращении прямоугольника от резок СВ занял положение С10 1 (рис. 287). Говорят, что отрезок С10 1 — образ отрезка СО. Все образы отрезка СО называют образующими цилиндра. Все образующие цилиндра равны и параллельны. Кроме того, каждая образую щая перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра. Если боковую поверхность цилиндра раз резать по одной из его образующих, а потом развернуть ее на плоскости, то получим пря моугольник. Одна из его сторон равна обра зующей, а длина другой стороны равна длине окружности, ограничивающей основание цилиндра (рис. 288). Полученный прямоугольник 2я .К называют разверткой боковой поверх ности цилиндра. Площадь боковой поверхности ци линдра 5 6ок равна площади ее разверт ка

Рис. 288

226

22. Цилиндр. Конус. Шар

5 6,к = 2лД^ где Д — радиус основания цилиндра, к — длина его образующей. Площадь 5 поверхности цилиндра равна сум ме площади боковой поверхности и площадей его оснований:

где £>осн— площадь основания цилиндра. Объем V цилиндра вычисляют по формуле V = пВ2к, где Д — радиус основания цилиндра, к — длина его образую щей. Конус можно представить как тело, полученное в результа те вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг одного из его катетов, например, катета АС (рис. 289). Катет ВС, вращаясь, образует круг, который называют основанием конуса. При вращении гипотенузы АВ образуется боковая поверхность конуса. Пусть при вращении треугольника гипотенуза АВ заняла положение АВ1 (рис. 289). Говорят, что АВ1 — образ отрез ка АВ. Все образы отрезка АВ называют образующими конуса. Все образующие конуса равны. Прямую АС называют осью конуса, отрезок АС — высотой конуса, точку А — вершиной конуса. Высота конуса перпен дикулярна плоскости его основания. Если боковую поверхность конуса разрезать по одной из его образующих, а затем развернуть ее на плоскости, то получим сектор. Радиус этого сектора равен длине I образующей конуса, а длина дуги, ограничивающей сек тор, — длине окружности, ограничи вающей основание конуса (рис. 290). 227

§ 6 . Начальные сведения по стереометрии

Полученный сектор называют разверткой боковой поверх ности конуса. ---Площадь боковой поверхности конуса 5 ^ равна площади ___________________ ее развертки: £ бок = к т , где Я — радиус основания конуса, I — длина его образующей. Площадь в поверхности конуса равна сумме площади боко вой поверхности и площади его основания:

где 5 н— площадь основания конуса. Объем V конуса вычисляют по формуле

где Я — радиус основания конуса, Л — длина его высоты. Все точки пространства, удаленные от данной точки на данное расстояние Я, образуют фигуру, которую называют сферой (рис. 291)- Данную точку называют центром сферы, а число Я — радиусом сферы. Любой отрезок, соединяющий центр сферы с точкой сферы, также называют радиусом сферы. На рисунке 291 точка О — центр сферы, Д — радиус. Тело, представляющее часть пространства, ограниченную сферой, вместе со сферой, называют шаром. Сферу, ограничи вающую шар, называют поверхностью шара. Центр и радиус сферы называют также центром и радиусом шара. Шар можно представить как тело, полученное в результате вращения круга вокруг одного из диаметров (рис. 292). Площадь Д поверхности шара, то есть площадь сферы, вы числяют по формуле 5 - 4лД2, ' где Я — радиус шара. 228

22. Цилиндр. Конус. Шар

Объем V шара вычисляют по формуле у = |тсД3, где В — радиус шара.

шшшшяшшшяшшшшшшж

1. Поясните, как можно представить цилиндр как тело вращения. 2. Поясните, что называют основаниями, боковой поверхностью и образующими цилиндра. 3. Каково взаимное расположение образующих цилиндра? 4. Каково взаимное расположение образующих цилиндра и плос костей его оснований? 5. Поясните, что называют осью цилиндра. 6 . Какая геометрическая фигура является разверткой боковой по верхности цилиндра? 7. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности цилиндра? 8 . Чему равна площадь поверхности цилиндра? 9. По какой формуле вычисляют объем цилиндра? .10. Поясните, как можно представить конус как тело вращения. 11. Поясните, что называют основанием, боковой поверхностью и образующими конуса. 12. Поясните, что называют осью, высотой и вершиной конуса. 13. Какая геометрическая фигура является разверткой боковой по верхности конуса?

229

(

6 . Начальные сведения по стереометрии 14. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности конуса? 15. Чему равна площадь поверхности конуса? 16. По какой формуле вычисляют объем конуса? 17. Какую фигуру называют сферой? 18. Что называют центром сферы? 19. Что называют радиусом сферы? 20. Какую фигуру называют шаром? 21. Что называют поверхностью шара? 22. Что называют центром и радиусом шара? 23. Поясните, как можно представить шар как тело вращения. 24. По какой формуле вычисляют площадь поверхности шара? 25. По какой формуле вычисляют объем шара?

УПРАЖНЕНИЯ

I .

857. ° На рисунке 293 изображен цилиндр. Укажите: 1) ось цилиндра; 2) образующую цилиндра; 3) радиус нижнего основания цилиндра; 4) радиус верхнего основания цилиндра. 858. ° Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его обра зующая — 8 см. Найдите площадь боковой поверхности, пло щадь поверхности и объем цилиндра. 859. ° Найдите площадь боковой поверхности, площадь по верхности и объем цилиндра, развертка которого изображена на рисунке 294 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 293

230

22. Цилиндр. Конус. Шар

860. ° На рисунке 295 изображен конус. УкаМ жите: 1) вершину конуса; 2) центр его основания; 3) образующую конуса; 4) радиус основания конура; 5) высоту конуса. 861. ° Радиус основания конуса равен 4 см, а его образующая — 7 см. Найдите площадь боко вой поверхности и площадь поверхности конуса. 862. ° Найдите площадь поверхности конуса, развертка кото рого изображена на рисунке 296 (длины отрезков даны в сан тиметрах). 863. ° Найдите объем конуса, высота которо го равна 12 см, а радиус основания — 3 см. 864. °.Найдите площадь поверхности и объ ем шара, радиус которого равен 3 см. 865. ’ Прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 5 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь поверхности и объ ем цилиндра, образовавшегося при этом. 866. * Образующая цилинд а объем — 150л см3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 867. ’ Масса 10 м медного провода кругового сечения равна 106,8 г. Найдите диаметр провода, если плотность меди со ставляет 8 ,9 -1 03 кг/м3. 868. ’ Определите давление кирпичной колонны цилиндри ческой формы высотой 3 м на фундамент, если диаметр колон ны равен 1,2 м, а масса 1 м3 кирпича равна 1,8 т. 869. * Диаметр основания конуса равен 16 см, а его образую щая — 17 см. Найдите площадь поверхности и объем конуса. 870. ’ Прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса, образовавшегося при этом. 871. ’ Зерно ссыпали в кучу конической формы высотой 1,2 м. Какова масса этой кучи, если радиус ее основания равен 2 м, а масса 1 м3 зерна составляет 750 кг? 231

§ 6. Начальные сведения по стереометрии

872. ’ Жидкость из полного сосуда кониче ской формы, высота которого равна 24 см, а радиус основания — б см, перелили в сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого равен 8 см. Определите высоту уровня жидкости в сосуде цилиндрической формы. 873. * Стог сена имеет форму цилиндра с ко Рис. 297 ническим верхом (рис. 297). Радиус его осно вания равен 1,5 м, высота — 3 м, причем вы сота цилиндрической части стога — 2,4 м. Найдите массу стога, если масса 1 м3 сена составляет 30 кг. 874. ’ Как изменятся площадь поверхности и объем шара, если его радиус увеличить в 2 раза? 875. ’ Радиус одного шара равен 3 см, а другого — А см. Най дите отношение площадей поверхностей й отношение объемов данных шаров. 876. * Внешний диаметр железного пустотелого шара равен 12 см, а внутренний диаметр — 10 см. Найдите массу шара, если плотность железа равна 7,9* 103 кг/м3. 877. ” Отрезок АВ — диаметр основания конуса (рис. 298), Z АМВ = 90°, МО — высота конуса, МО = Л. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. 878. " Отрезок АВ — диаметр основания ко М нуса (рис. 298), Z АМВ = 60°, точка О — центр основания конуса, ОА = Д. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. 879. ” Стороны прямоугольника равны а и Ь, а > Ъ. Он вращается сначала вокруг стороны о, потом — вокруг стороны Ъ. Сравните площади боковых поверхностей и объемы цилиндров, об разовавшихся при этом. 'УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 880. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а его площадь — 210 см2. Найдите третью сторону треугольника. 881. Составьте уравнение окружности, центр которой при надлежит оси абсцисс, радиус равен 5, и которая проходит через точку М(1; 4). 232

Задание в тестовой форме «Проверь себя» № б

ЗАДАНИЕ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» № 6 1. Две прямые не параллельны и не пересекаются. Сколько плоскостей можно провести через эти прямые? А) одну; Б) две; В) ни одной; Г) бесконечно много. 2. Прямые а и Ь параллельны плоскости а. Каково взаимное расположение прямых а и Ь? д г A) обязательно параллельны; ' і Б) обязательно пересекаются; —г~ D, B) обязательно скрещивающиеся; B y. Г) невозможно установить. D 3. На рисунке изображен прямоуголь ный параллелепипед А В С 0А 1В 1С10 1. Какая из данных пар прямых является парой скрещивающих ся прямых? А )А А 1и С С 1; Б ) В С и р В 1; В ) А В и В 1С1; ^ А & и В В ^ 4. Чему равна площадь поверхности прямой призмы, осно ванием которой является правильный треугольник со стороной 2л/3 см, а боковое ребро равно Зл/З см? А) 54 см2;

В) (б4 + 6л/з) см2;

Б) 18 см2; Г) (18 + 6л/з) см2. 5. Основанием прямой призмы является квадрат со стороной 6 см, а площадь боковой поверхности равна 120 см2. Чему равен объем призмы? А) 180 см3; В) 120 см3; Б) 30 см3; Г) невозможно установить. 6. Боковые грани четырехугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с боковой стороной а и углом а при вершине. Найдите площадь боковой поверхности пира миды. A) a2sin а;

Б) - a 2 sin а; В) 4а2sin а; 2

Г) 2а2sin а..

7. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 13 см и 10 см, высота пирамиды равна 9 см. Найдите объем пирамиды. А) 540 см3; Б) 180 см3; В) 360 см3; Г) 195 см3. 233

щу

§ 6. Начальные сведения по стереометрии

8. Площадь основания цилиндра равна 36л см2, а его об разующая — 10 см. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? А) 60 л см2; Б) 120 л см2; В) 180 л см2; Г) 360 л см2. 9. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а площадь боко вой поверхности — 48л см2. Найдите объем цилиндра. А) 24л см3; Б) 288л см3; В) 144л см3; Г) 96л см3. 10. Найдите площадь поверхности конуса, образующая ко торого равна 7 см, а радиус основания — 3 см. А) 30 л см2; Б) 41 л см2; В) 27 л см2; Г) 39 л см2. 11. Площадь поверхности первого шара равна 324л см2, а второго — 144л см2. Найдите отношение радиуса первого шара к радиусу второго. А) 9 : 4 ; Б) 3 : 1; В) 2 : 1; Г) 3 : 2. 12. Радиус основания конуса и радиус шара равны 2 см, а их объемы равны. Найдите высоту конуса. А) 8 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) 12 см.

234

Итоги

ИТОГИ

В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ: • были введены такие понятия: > скрещивающиеся прямые; > параллельные прямая и плоскость; > параллельные плоскости; > прямая, перпендикулярная плоскости; > перпендикуляр к плоскости; > призма; > прямая призма; > пирамида; > цилиндр; > конус; • ■ > сфера; > шар; • вы научились: > вычислять объемы и площади поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара; • вы узнали: > каким образом можно однозначно задать пло скость; > каким может быть взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; > каково условие принадлежности прямой плоскости; > что является пересечением двух плоскостей.

235

Геометрия. 9 класс

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАССА 1. Р еш ен и е треугольни ков

882. Две стороны треугольника равны 4 см и 10 см, а синус угла между ними равен —. Найдите третью сторону треуголь5 ника. 883. В параллелограмме АВСБ АВ - 2 см, AD = 4 см, Z BAD = = 60°. Найдите косинус угла между прямыми АС и BD. 884. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупо угольным является треугольник со сторонами: 1) 4 см, 4 см, 5 см; 2) 5 см, 6 см, 9 см; 3) 5 см, 12 см, 13 см. 885. Одна из сторон треугольника равна 21 см, а две другие стороны относятся как 3 : 8 . Найдите неизвестные стороны треугольника, если угол между ними равен 60°. 886. Одна из сторон треугольника равна 3 см, а вторая сто рона —ур7 см, причем угол, противолежащий второй стороне, равен 60°. Найдите неизвестную сторону треугольника. 887. Одна из сторон параллелограмма на 4 см больше дру гой, а его диагонали равны 12 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма. 888. В параллелограмме АВСБ известно, что АО = а, ВБ = = 4, ВБ 1 АБ. Найдите диагональ АС. 889. В трапеции АВСБ известно, что ВС II АБ, АБ = 8 см, СБ = 4 >/з см. Окружность, проходящая через точки А, В и С, пересекает прямую АБ в точке К, А АКБ - 60°. Найдите ВК. 890. Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны — 6 см и 5 см. Найдите косинусы углов трапеции. 891. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке Б, ВБ = 1 см, АБ - 5 см, А АВС = 120°. Найдите СБ. 892. Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его большей стороне. 893. Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см и образует с этой сто роной угол, равный 60°. 236

Упражнения для повторения курса геометрии 9 класса

894. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC, BD - а, Z А = 45°, Z C = 75°. Найдите AD. 895. Найдите отношение сторон равнобедренного треуголь ника, один из углов в которого равен 120°. 896. В треугольнике АВС известно, что АС = 6^/3 см, ZABC = 60°. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника АВС и точки А и С. 897. Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника. 898. Найдите биссектрису треугольника АВС, проведенную из вершины А, если Z ВАС = а, АС - Ъ, АВ = с. 899. Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пере секает сторону ВС в точке М. Найдите площадь треугольника АВМ, если АВ = 4 см, Z BAD - 60°. 900. Найдите наибольшую высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см. 901. Радиусы двух окружностей равны 17 см и 39 см, а рас стояние между их центрами — 44 см. Найдите длину общей хорды данных окружностей. 902. Вычислите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 см, а диагонали — 11 см и 25 см. 903. Основания трапеции равны 16 см и 44 см, а боковые стороны — 17 см и 25 см. Найдите площадь трапеции. 904. Основания трапеции равны 5 см и 12 см, а диагонали — 9 см и 10 см. Найдите площадь трапеции.2 2. П равильны е м ногоугольни ки

905. Найдите площадь правильного п-угольника, если ра диус вписанной в него окружности равен 6 см, а п равно: 1)3; 2) 4; 3) 6. 906. В окружность вписан квадрат со стороной 4 см. Най дите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. 907. Найдите отношение площадей правильных треуголь ника и шестиугольника, вписанных в одну и ту же окруж ность. 237

Геометрия. 9 класс

908. Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двена дцатиугольника, если сторона полученного шестиугольника равна а. 909. Длина дуги окружности равна 6л см, а ее градусная мера — 24°. Найдите радиус окружности. 910. На катете АС прямоугольного треугольника ABC ( Z С = 90°) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ, если Z А = 42°, АС = 8 см. 911. Сторона квадрата равна 2л/2 см. Найдите длину дуги описанной окружности данного квадрата, концами которой являются две его соседние вершины. 912. Расстояние между центрами двух кругов радиуса R равно R. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов, и длину линии, ограничивающей эту фигуру. 913. Площадь кругового сектора равна 2,4л см2. Найдите гра дусную меру дуги этого сектора, если радиус круга равен 4 см. 914. Диаметр колеса вагона метрополитена равен 78 см. За 2,5 мин колесо делает 1000 оборотов. Найдите скорость поезда метро в километрах в час. Ответ округлите до десятых. 915. Найдите длину окружности, вписанной в сегмент, дли на дуги которого равна т, а градусная мера равна 120°. 916. К окружности, радиус которой равен R, проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите пло щадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей из дуг, концами которых являются точки касания. 3. Д ек артовы к оор д и н аты на плоскости

917. Вершинами треугольника являются точки А (-4; 1), В (-2; 4) и С (0; 1). Докажите, что треугольник АВС — равно бедренный, и найдите его площадь. 918. Найдите координаты точки пересечения серединного пер пендикуляра отрезка АВ с осью абсцисс, если А (5; -3), В (4; 6). 919. Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка CD с осью ординат, если С (2; 1), D (4; -3). 238

Упражнения для повторения курса геометрии 9 класса

920. Докажите, что четырехугольник АВС7) с вершинами в точках А (-12; 6), В (0; 11), С (5; -1), 7) (-7; -6 ) является квадратом. 921. Точка М (5; -2 ) является одним из концов диаметра окружности, точка N (2; 0) — центр окружности. Найдите координаты второго конца диаметра. 922. Установите, лежат ли точки А (-4; -3 ), В (26; 7), С (2; -1 ) на одной прямой. В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими. 923. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки А (5; 1), В (9; -2), С (7; 2), — прямоуголь ный, и составьте уравнение окружности, описанной около него. 924. Установите, является ли отрезок СИ диаметром окруж ности (х + 2)2 + (у ~ З)2 = 52, если С (-8; 7), 7) (4; -1). 925. Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки А(1; 2) и В(3; 6). Принадлежит ли этой окружности точка С (-3; 4)? 926. Окружность с центром в точке М (-5; 3) касается оси ординат. Найдите координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс. 927. Найдите длину линии, заданной уравнением х 2 + у 2 - 2х + 4г/ - 20 = 0. 928. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку Р (-3; 5), угловой коэффициент которой равен 6. 929. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку 5 (-1; 4) и образует угол 135° с положительным направ лением оси абсцисс. 930. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (-3; 1) параллельно прямой 5х + 3у - 6. 931. Найдите уравнение геометрического места цент ров окружностей, проходящих через точки А (-3 ; -2 ) и В (2; 5). 4. Векторы на плоскости

932. Две вершины прямоугольника АВСВ — точки А (3; 2) и В (3; -4). Модуль вектора ВБ равен 10. Найдите координа ты точек С и 7). 239

Геометрия. 9 класс

933. Диагонали параллелограмма АДСД пересекаются в точ ке О (рис. 299). Выразите векторы СД и АД через векторы СО = а и ОВ = Ъ. 934. Четырехугольник АДСД — ^ параллелограмм. Найдите: 1) ДА + СО - СВ; 2) А В - Ы - Д О + СД; 3) А О -Д А -А С . 935. Найдите модуль вектора рис 299 п = З а -2 Ь , где а ( 1; —2), Ь(-1;3). 936. Точки Е и Д — середины сторон АД и ВС параллело грамма АДСД соответственно (рис. 300). Выразите вектор ДД через векторы ВС = а и СО = Ь. 937. На сторонах ДС и СБ параллелограмма АДСД отмене1 2 ны точки М и К соответственно, причем ВМ = —ВС, СК = - СД (рис. 301). Выразите: 4 3 1) векторы А М и А К через векторы АВ = а и АД = Ь; 2) векторы АД и АД через векторы АМ = т и АДГ = п.

Рис. 300

Рис. 301

938. На сторонах АД и ВС треугольника АВС отмечены та кие точки Д и Е соответственно, что АД : ДС = 1 : 2 , ДД : ЕС = = 2 : 1 . Выразите: 1) векторы ДС, АД, АС, АД и СД через векторы ДД = а и АД = Ь; 2) векторы АД, ДС и АС через векторы АД = а и СД = Ь.

240

Упражнения для повторения курса геометрии 9 класса

939. Коллинеарны ли векторы МЫ и КР, если М (4; -1), N (-6; 5), К (7; -2), Р (2; 1)? 940. Найдите значение к, при котором векторы а (й; -2) и Ъ(6; 3) коллинеарны. 941. Даны векторы а(3;-2) и Ь(х; 4). При каком значе нии х выполняется равенство а • Ь = 1? 942. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если А (-3; -4), В (2; -3), С (3; 5). Установите вид треугольника. 943. Даны векторы а (2; -1) и Ь (1; -2). Найдите значение т, при котором векторы а + тЬ и Ъ перпендикулярны. 944. Найдите косинус угла между векторами а = 3т + п и Ъ= т - 2 п, если | /п | = | п | = 1 и т 4. п. 945. Даны векторы а (2; -4) и Ъ(-1; 1). Найдите: 1) | а-Ъ |; 2) | 2а + Ь |. 946. Составьте уравнение прямой, которая касается окруж ности с центром М (0; -4 ) в точке А (5; -3). 5. Г еом етр и ч еск и е п р е о б р а зо в а н и я

947. При параллельном переносе образом точки А (3; -2 ) является точка В (5; -3). Какая точка является образом точ ки С (-3; 4) при этом параллельном переносе? 948. Постройте образы точек А (1; -3), В (0; -5 ) и С (2; 1) при параллельном переносе на вектор а (-2; 1). Запишите ко ординаты построенных точек. 949. Даны точки С (7; -4 ) и 7) (-1; 8). При параллельном переносе образом середины отрезка С7) является точка Р (-1; -3). Найдите координаты точек, В являющихся образами точек С и 7). 950. На рисунке 302 СВ = С7), А АСВ = = А АСБ. Докажите, что точки В и 7) симметричны относительно прямой АС. 951. Найдите координаты точек, сим метричных точке К (4; -2 ) относительно ^ А 7) осей координат и начала координат. рис, 302 241

Геометрия. 9 класс

952. Найдите х и у, если точки А (х ; -2 ) и В (3; у) симме тричны относительно оси абсцисс. 953. Даны луч ОА и точка В, ему не принадлежащая. По стройте луч, симметричный данному относительно точки В. 954. Симметричны ли точки М (-3; 10) и N (-1; 6) относи тельно точки К (1; 4)? 955. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности (х + 4)2 + (у - 5)2 = 11 относительно: 1) начала координат; 2) точки М (-3; 3). 956. Даны точки К и О. Постройте точку К , являющуюся образом точки К при повороте вокруг точки О: 1) на угол 130° против часовой стрелки; 2) на угол 40° по часовой стрелке. 957. Даны отрезок АВ и точка О, ему не принадлежащая. Постройте отрезок являющийся образом отрезка АВ при повороте на угол 50° вокруг точки О по часовой стрелке. 958. На какой угол надо повернуть прямоугольник вокруг его центра симметрии, чтобы его образом был этот же пря моугольник? 959. Постройте треугольник, гомотетичный данному тупо угольному треугольнику, если центром гомотетии является центр описанной окружности треугольника, коэффициент го мотетии к = -2 . 960. Образом точки А (8; -2 ) при гомотетии с центром в начале координат является точка В (4; -1 ). Найдите коэффи циент гомотетии. 961. Стороны двух правильных треугольников равны 8 см и 28 см. Чему равно отношение их площадей? 962. Многоугольник Р подобен многоугольнику Р2 с коэф фициентом подобия к. Буквами Р :, Р2, 5 1? Я2 обозначили соот ветственно их периметры и площади. Заполните пустые кле точки в таблице. Л 12

Р2 19

«1 64

36 242

к 16 100 2

Упражнения для повторения курса геометрии 9 класса

963. Прямая, параллельная стороне треугольника длиной 6 см, делит его на две фигуры, площади которых относятся как 1 : 3 . Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника. 964. На стороне ВС квадрата АВСБ отметили точку М так, что ВМ : МС = 1 : 2 . Отрезки АМ и ВБ пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АРБ, если площадь треуголь ника ВРМ равна 27 см2. 965. Продолжения боковых сторон АВ и СБ трапеции АБСБ пересекаются в точке М. Найдите площадь трапеции, если АВ : ВМ = 5 : 3 , АБ > ВС, а площадь треугольника АМБ рав на 32 см2. 966. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС - 13 см, АС = 10 см. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, парал лельная основанию АС, кото рая пересекает стороны АВ и ВС в точках М и К соответ ственно. Вычислите площадь треугольника МВК. 967. На продолжениях медиан А4.1; ВВ1 и СС: треугольника АВС отметили соответственно точки А , В 2 и С2 так, что А1А2 =^А А 1, В1В2 = - В В 1, С,С2 =-С С , (рис. 303). Найдите * 2 2 площадь треугольника А2В2С2, если площадь треугольника АВС равна 1. 6. Н ачальны е с в е д ен и я по ст е р е о м е т р и и

968. Сколько разных плоскостей можно провести через две произвольные точки? 969. Точка А не принадлежит плоскости а. Сколько суще ствует прямых, проходящих через точку А и параллельных плоскости а? 970. Верно ли утверждение, что если две прямые лежат в разных плоскостях, то они скрещивающиеся? 243

Геометрия. 9 класс

971. Прямые а и &параллельны. Как расположена прямая Ь относительно плоскости а, если прямая а пересекает пло скость а? 972. Прямые а и Ь параллельны плоскости а. Можно ли утверждать, что прямые а и &параллельны? 973. Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны 3 см и 4>/2 см, а острый угол — 45°. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объем призмы, если ее боковое ребро равно 6 см. 974. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13 см, а один из ка тетов — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности и объ ем призмы, если ее боковое ребро равно 10 см. 975. Найдите объем треугольной пирамиды, основание ко торой — правильный треугольник со стороной 8 см, а высота пирамиды равна 5 см. 976. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а его образую щая — 6 см. Найдите площадь поверхности и объем ци линдра. 977. Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь поверх ности и объем образовавшегося цилиндра. 978. Радиус основания конуса равен 8 см, а высота — 15 см. Найдите площадь поверхности и объем конуса. 979. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг меньшего катета. Найдите пло щадь поверхности и объем образовавшегося конуса. 980. Полукруг, диаметр которого равен 6 см, вращается вокруг диаметра. Найдите площадь поверхности и объем об разовавшегося шара. 981. Радиус шара увеличили в к раз. Как при этом измени лись площадь поверхности и объем шара?

244

СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА Ч еты рехугольник

1. Параллелограмм. Свойства параллелограмма Параллелограммом называют четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опу щенный из любой точки пря мой, содержащей сторону па раллелограмма, на прямую, содержащую противоположную сторону. На рисунке 304 каждый из отрезков АЕ, С)Е, ВМ, РЫ, СК является высотой параллелограмма АВС-О. 2. Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллело грамм. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 3. Прямоугольник Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот па раллелограмм — прямоугольник. 245

Геометрия. 9 класс

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот паралле лограмм — прямоугольник. 4. Ромб Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектри сами его углов. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. 5. Квадрат Квадратом называют прямоугольник, у которого все сторо ны равны. Также квадрат — это ромб, у которого все углы прямые. 6. Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называют отрезок, соединяю щий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее поло вине. 7. Трапеция Трапецией называют четырехугольник, у которого две сто роны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 305). В трапеции АВСП (ВС || АО) углы А и П называют углами при основании АО, а углы В и С — основание углами при основании ВС. Высотой трапеции называют перпен дикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из основа основание ний, на прямую, содержащую другое Рис. 305 основание. 2 46

Сведения из курса геометрии 8 класса

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 8. Центральные и вписанные углы Центральным углом окружности называют угол с вершиной в центре окружности. Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окруж ность. Вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокруж ность), — прямой. 9. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называют вписанным, если существует окружность, которой принадлежат все его вершины. Если четырехугольник является вписанным, то сумма его противоположных углов равна 180°. Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то он является вписанным. Четырехугольник называют описанным, если существует окружность, которая касается всех его сторон. Если четырехугольник является описанным, то суммы его противоположных сторон равны. Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является описанным. П о д о б и е треугольни ков

10. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных от резках Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. 247

Геометрия. 9 класс

Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. Теорема о пропорциональных отрезках. Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла. Свойство медиан треугольника. Все три медианы треуголь ника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса тре угольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. 11. Подобие треугольников Два треугольника называют подобными, если у них равны углы и соответственные стороны пропорциональны. Лемма о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Р еш ен и е п р я м оугол ь н ы х треугольни ков

12. Метрические соотношения в прямоугольном треуголь нике Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипо тенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и про екции этого катета на гипотенузу. 248

Сведения из курса геометрии 8 класса

СБ2 = АО- БВ; АС2 = А В - АО; ВС2 = А В -Б В . 13. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рис. 306

14. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Синусом острого угла прямоугольного треугольника назы вают отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника на зывают отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника на зывают отношение противолежащего катета к прилежащему. Синус, косинус и тангенс угла зависят только от величины этого угла. вша 1ёа = сова

біп2 а + сов2 а = 1 сов (90° - а) = в іп а бій(90° - а) = сова о О СО II а і

віпа сова

45°

60°

л/З

2 л 3

15. Решение прямоугольных треугольников Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету. 249

Геометрия. 9 класс

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету. Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету. Катет прямоугольного треугольника равен частному от де ления второго катета на тангенс угла, прилежащего к первому катету. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла. Решить прямоугольный треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. П лощ адь м н огоугольн и к а

16. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, соответствующую этой стороне. 17. Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту. Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. 18. Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее осно ваний на высоту. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

2 50

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

„ оч 71з 71з .. п с . 0 12 12 оч Тз5 11. 3) - — или - - — ; 4) 0,6. 12. 1) — и л и -----; 2) - — . ’

15.

16. 120°. 17. 1) 2-У З ; 2) -2 ,5 ; 3) - У з - 2 . 18. 1) 3;

2) о 23. 10 см, 30°, 120°. 26. 5 л/б см. 30. 120°. 31. 45°. 3 7 . 2л/7см . 3 8. 71о см. 3 9. 721 см или 729 см. 40. 13 см. 41. а 4 2 + 7 2 .

42. зТ 89 см. 43. ^/а2+ Ь2+ аЬ72.

44. 7 а 2+ Ь2 -аЬ. 45. 15 см, 24 см. 46. 2 см, 4 7 3 см. 47. 3 см, 5 см. 48. 10 см, 6 см, 14 см. 49. 6 см или 10 см. 50. 75 см. 51. 13 см. 52. 7 7 9 см. 56. 14 см. 57. 34 см. 58. 7 см, 9 см. 59. 20 см, 30 см. 60. 8 см. Указание. Проведите через вер шину В прямую, параллельную стороне СБ, и рассмо247

трите образовавшийся треугольник. 61. — • 62.

СМ.

63. Нет. 65. 10 см. 66. 6 см. 67. 11 см. 68. 6 см. 69. 22 см. 74. 4 см, 6 см. 91. 2Тб см. 92. 6 см. 93. ---- ----------- . cos (р + у) sin у

m sin a sin р sin (а - Р)

& с sin а sin (а + у) sin у sin ф

94. ——— г— . 95. ----------------- —. 96.

т sin а sin <р sin р sin (а + р)

99. Ту см. 100. 60 или 1 2 0 .1 0 1 . 4,5 ч. 102. О

а a cos —

. 98. 9 см.

Ъ sin а sin у а- у sin (а + у) cos

103. ---- ----- у - у . 105. — см. Указание. Искомый радиус sin (45° + ^ )

можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника, сторонами которого являются одно из основании, боковая сторона и диагональ трапеции. 106. Указание. Докажите, что СЕ = DE. 107. 251

2т sin Р sin (а + Р)

a sin а sin Р

2т sin а sin (а + Р)

Геометрия. 9 класс

Указание. На продолжении медианы A M за точку М от метьте точку К такую, что A M = М К , и примените теорему синусов к треугольнику АСК. 108. а sin

+ ^ . Ю9. Указа-

2 sin а

ние. Выразите углы АНВ, ВНС и АНС через углы треуголь ника АВС. 110. Скорее доехать через село С. Указание. Примите расстояние между какими-нибудь двумя селами за а и выразите через а расстояния между другими селами. 111. Автобус. 114. 12 см. 127. 107°, 73°, 132°, 48°. Указа ние. Проведите через одну из вершин верхнего основания прямую, параллельную боковой стороне трапеции, и рас смотрите образовавшийся треугольник. 128. 9 см. 129. 30 см, 48 см. 135. 1) 60° или 120°; 2) 90°. 136. 30° или 150°. 140. 12 см. 141. 24 см. 142. 24 см2. 143. - см. 144. 1) | см, 25 см; оч 145 см. — 2) о8 см, ---8

157. 160.

’

a sin (3 sin у . 2 sin (Р + у)

-t145. лк о 2

158. 2R2sina sinp sin(a + (3). 159. h sin p

2 s in a

145 см. см, ----

162. 51

161. 2 sin a sin (a + P)

c m 2,

ка о к 156. 3 : 5.

bz s in a sin (a + P) 2 sinp

c m 2,

c m 2.

163. — см. Указание. Воспользуйтесь тем, что 8 ААВС = = &&аво + ^ аасб- 164. 360 см2. Указание. Проведите через один из концов верхнего основания трапеции прямую, па раллельную боковой стороне трапеции, и найдите высоту треугольника, который эта прямая отсекает от трапеции. 165. 12л/5 см2. Указание. Пусть АВС-0 — данная трапеция, ВС || АО. Проведите через вершину С прямую, параллельную прямой НО и пересекающую прямую АО в точке Е. Дока ж ите, что треугольник АСЕ и данная трапеция равно§

велики. 166. 1 : 2. Указание.

—АК ■АМ э т Л

ААМК = -----------------= сов2А. ^ аавс

—АС ■АВ э т А 2167

167. 19,5 см. 168. 13 см, 14 см, 15 см. 170. 10°. 171. 91 см, 252

Ответы и указания

21 см . 1 7 2 . 9 ,6 см . 1 9 6 .

л1Л2- ^ -

1 9 7 - 2 ч/#2- г 2

198. Лг2 + — . 202. -1 7 ,4 см. 203. -1 9 ,8 см.

(з + ч /з)

205. 18 сторон. 208. 1) ч£

2) 216.

211.

ач/3; 2а; ^ ч /з^

219. 221.

. 210. 1 :

а ч б + 7 2; г(2 + 4/2)

(з -

204. 5 сторон.

ч/з )

209. 1)

214. 4,4 см. 215.

ч/З : 2 .

2а ч /і

2 # 2 ч/2.

2 1 7. б ( ^ _ 1) см> 2 1 8 . 8 см.

а(ч/2 + і);

а ^ 4 + 2л[2.

220.

а ^2 + ^ \

. 222. Треугольников, или квадратов, или

шестиугольников. Указание. Около одной точки можно уложить столько дощечек, во сколько раз угол при вершине дощ ечки, равный

1800 ( л - 2)

, меньш е 360°, то есть

ОЯЛО. 180° (л - 2 ) 2п 0 360 :------------ = -----г дощечек. Значение выражения п

п- 2

должно быть натуральным числом. Так как = 2-1— — ,то значение выражения л-2

п-2

2п гг- 2

2п

п —2

2п - 4 + 4 гг- 2

должно быть нату-

ральным числом. 223. Указание. Пусть АВСБЕЕ — пра вильный шестиугольник (рис. 307), К — точка пересечения прямых СБ и ЕБ. Тогда АКТ — искомый отрезок. 225. 18 см. 226. 96 см2. 227. 9 см. 252. 22,5°. 25(71-24/2)

257. ч/б см. 259. 1) _

25 (571-3) , СМ2; 3 ) 12

25(1171 + 3) 12

----- — -----

260. 1) _

265.

2л —3 ч/з

3 п

2л см,

см2;

2) Юл

Юл- Зч/з см^ 3 20л

---- с м , ---- см. 3 3 253

Геометрия. 9 класс л /1/1

2 5я 18

3 5я 18

2 Оя 3

л лн

8я 3

о ^о

266. ---- см, ---- см, ---- см. 267. — см. 26 8 . 6л см. 269. 1 : 1 . Указание. Докаж ите, что в обоих случаях сумма длин полуокружностей равна 273.

а (я-2) 8

!(4 я - З л/ з ) 36

274. -1 7 ,3 %. 275.

277. а 2^ - 1 | . 278.

АВ. 271. 50 см. 276.

яД

Указание. Рассмотрите ААЛТО и до

кажите, что он равносторонний. 279. Указание. Сумма площадей всех закрашенных и незакрашенных серпиков равна сумме площадей двух кругов, диаметры которых являются соседними сторонами прямоугольника, а сумма площадей незакрашенных серпиков и прямоугольника рав на площади круга, диаметр которого является диагональю прямоугольника. Покажите, что эти суммы равны. 280. Указание. Общая часть квадра тов содержит круг, радиус которого равен . ОЛОЧ о с о -1 см (рис. 3 0 8 ). 2 8 2 . 130 ---- см, 312 ---- см. 2

’

283. Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллель ные боковым сторонам трапеции. 303. 1) Да, точка В лежит между точками А и С; 2) нет. 305. х —7 или х — 1. 300. (3; 0). 307. (0^ 0,5). 308. (3^ 0,5). 309. (-2; 2). 310. (3; -2 ). 314. А (-5; 3), С (7; 5). 315. 2^73. 3 1 6 . (Зл/З; 2 л /з ) или ( - Зл/З;- 2 л / з ) . 3 1 7 . ( - 2 ; 4 > / з ) или ( - 2 ; - 4 > / з ) . 318. (3; 3) или (-6; 6). Указание. Рассмотрите два случая: В (а; а) или В (а; -а ). 319. (5,5; 0), (3; 0), (-1; 0). Указание. Рассмотрите три случая: АС = ВС, АС = АВ и ВС = АВ. 320. (0; 6), (0; 4), (0; 3,5), (0; 8,5). Указание. Рассмотрите три случая: АС2 + ВС2 = А В 2, А В 2 + ВС2 = АС2, АС2 + А В 2 = ВС2. 321. л/33 см. 322. 56°, 124°. 323. 8 см и 16 см. 342. Две окружности: х 2 + (у - I I )2 = 45 и х2 + + (у + I)2 = 45. 343. (х - З)2 + у 2 = 50. 345. 1) Да, точка (-1; 5) — центр окружности, 7? = 7; 2) нет; 3) нет; 4) да, 254

Ответы и указания

точка (2; 7) — центр окружности, Я = у/2. 346. 1) Точ ка (0; -8 ) — центр окружности, 7? = 2; 2) точка (4; -2 ) — центр о к р уж н ости , 7? = л/б. 3 4 7 . (х - 2 )2 + у 2 = 13. 348. (х - 2)2 + (у I)2 = 25 или (х - З)2+ (у - 8)2= 25. 349. (х + 5)2 + (у 2)2 = 10 или (х + I)2+ (у + 2)2= 10. 350. (х - 2)2 + (у + 2)2 = 4 или (х + 2)2 + (у + 2)2 = 4. Ука зание. Диаметр искомой окружности равен расстоянию между осью абсцисс и прямой у = - 4 , а центр окружности принадлежит биссектрисе третьего или четвертого коорди натного угла. 351. (х - I)2 + (у ~ I)2 = 1 или (х - I)2 + + (у + I)2 = 1. 352. 1) (х + З)2 + (у - 2)2 = 25; 2) (х + I)2 + + (у + 3)2 = 169. 353. 180л/з см2. 354. 70 см. 355. 600 см2. 362. 1) у = 2х - 5; 2) х = 3; 3) у = -1 ; 4) 5х + 3у = 6. 363. 1)у = - З х + 1; 2) х - 6у = 12. 364. 1) (-8 ; -3 1 ); 2) (-1; 2). 365. 1) (2; -7); 2) (4; -1 ). 366. у = -0 ,5 х - 4. 367. у = —х ——. 369. 12. 370. 28. 371. 6. 372. (2; 5), (5; 2). 3 6 373. (5; 0). 375. ——— . Указание. Искомое расстояние равно высоте треугольника, ограниченного осями координат и данной прямой. 376. 4л/2. 377. 3>/Ї0. 378. х - Зу - 2. 379. 7х + 5у = -8 . 380. (3; 3) или (15; 15). 381. (-2; 2) или (-10; 10). 382. (х - З)2 + (у - 4)2 = 17. 383. (у - 4) (у + 4) = 0. 384. 7 Ї0 см, л/58 см. 385. 104 см. 386. 12,5 см. 391. 1) у = = 4х + 19; 2) у = -З х - 2; 4) у = 7. 392. у = -0 ,5 х - 4. 393. 1) у = - 7 х + 2; 2) Зх - 4у = -3 9 . 394. 1) у = 9х + 13; 2) Зх + у = 9. 395. 1) у = х л/з + 6 - 2 -у/З; 2) у = - х л/з + 6 + 2 л/зТ 396. 1) у = х - 5; 2) у = - х + 1.

397. а) у = — + 3; 3

б) у = _ ^ + 2. 398. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет. 400. у = 3 = 4х + 9. 401. у = Зх - 12. 404. 30 см, 40 см. 405. 144 см2. 431. Прямоугольник или равнобокая трапеция. 439. 60°, 120°. 440. 4 см, 12 см. 441. а' ^ . Указание. Проведите 3 через вершину В прямую, параллельную прямой М К . 255

Геометрия. 9 класс

457.

АВ (-2; 2),

Б Б ( 2; 4).

458.

£»£(-4; 6),

Б О (-4 ;-6 ).

459. а (-6 ;-8 ) или а (8; 6). 460. с (у/2-, 42) или с (-у/2 ;- Л ) . 461. С (7; 17), Б (2; 17) или С (7; -7 ), Б (2; -7 ). 462. В (16; 2), С (16; -6 ) или В (-14; 2), С (-14 ; -6 ). 464. 20 см, 7 см, 21 см. 465. а ^ . 511. 1) Да; 2) да; 3) нет. 512. Указание. Покажите, что каждый из векторов ОА + ОС и ОВ + ОБ равен нуль-вектору. 514. Указание. Достаточно показать, что Х А - Х В = Х Б - Х С . 515. Окружность радиуса АВ с цен тром в точке А. 516. Серединный перпендикуляр отрезка АВ. 517. Указание. Пусть А А 1 — медиана треугольника АВС. На продолжении отрезка ААХ за точку А х отложите отр езок А гБ , равны й М А Х. 5 1 8 . У к а з а н и е . И меем: /\7/\ + /1 /г + /; /;,+ В2С1+ с хс 2+ с отсюда А2А1+ Б1Б2+

= о,

/I | д + в 2с^+ с 2а 2 = о,

= б. 519. 4 см, 6 см. 520. 2,5 см.

55 2. - 4 ; 4. 553. - 1 , 5 . 55 5. т (-1 5 ;3 б ). 556. а (-3 ;4 ). 559.x = 2 ,у = -3 .5 6 0 . (Ж = 0 ,5 а -0 ,1 Ь . 564. ВМ = - Ш + -В С . 3 3 566. Указание. М 1М 2 = М 1В1+ В1В2+ В2М 2. С другой сто роны, М 1М 2 = М 1А 1+ А 1А 2+ А 2М 2. Сложите эти равенства. 572. Указание. Пусть отрезки ААХ, Б Б Хи ССХ — медианы треугольникаАВС. Воспользуйтесь тем, что АА1+ ББ1+ СС1 = б. 573. Указание. Воспользуйтесь задачей 566 и ключевой задачей 1 и. 15. 574. Указание. Выразите векторы ВМ и ВЫ через векторы БА и ВС. 575. 18 см. 576. 60°; 24-у/з см2. 577. Бл/3. 593. 1) - ; 2) 1; 3) Ь 4) 0. 596. - 3 и 3. 597. -1 . 2 ^ 599. Ь (-12; 16). 600. - 1 и 1. 602. 4. 603. -0 ,5 . 604. -Л. 605. 2 Л . 608. - , 0, - . 609. 30°, 60°, 90°. 612. 0°. 613. 120°. 5

614. Указание. Пусть СА = а, СВ = Ъ. Тогда СМ = \ а + Л>,

256

Ответы и указания

А К = - а + ^Ь. Найдите СМ • АК. 615. 45°. Указание. Пусть ОВ = Ь, ОС = с. О чевидно, что Ъ-с = 0. Тогда АО = 2с, ВО = ЗЁ. Отсюда АВ = 2с + Ь, ВС = с+ ЗЁ. 616. 30°. У каза ние. ШЗ = |( В А + ВС). Отсюда в о 2 = ^ ( Ш - Ш + в в - в с ) , ВВ = -2 11В В II •IВ А II•сое Z АВВ. 617. Указание. ВВ = -2 (ВА + ВС), I МЕ = МВ + ВЕ. О стал ось п о к а за т ь , что ВВ • М Р = 0. 619. 100 см. 620. 6л см. 633. При АВ || а. 643. 1) Бесконеч но много; 2) бесконечно много. 649. (х + З)2 + (у - 4)2 = 1. 650. у - х 2 - 4х + 1. 651. Указание. Пусть АВСВ — искомая трапеция (ВС || А В). Постройте образ диагонали ВВ при параллельном переносе на вектор ВС. 653. Указание. По стройте образ данной прямой при параллельном переносе на вектор АВ (или ВА). Рассмотрите точки пересечения образа с данной окружностью. Заметим, что если построен ный образ и данная окружность не имеют общих точек, то задача не имеет реш ен и я. 6 5 5 . У к а за н и е . Пусть АВСВ — искомый четырех угольник с данными сторонами АВ и СВ (рис. 309). Рассмотрим парал лельный перенос стороны А В на вектор ВС. Треугольник А^СВ мож но построить по двум сторонам СВ и САХ= ВА и углу А^СВ, равному А В С В - (180° - А АВС). Треугольник АА^В можно построить по стороне А^В и двум прилежащим углам АА^В и А В А г. 656. Указание. Пусть точка А г — образ точки А при параллельном переносе на вектор МЫ. Соедините точ ки А г и В. 657. 36 см. 658. 40. 659. 490 см2. 701. а А I или прямые аи.1 совпадают. 704. Указание. Если четырехуголь ник имеет ось симметрии, то образом любой его вершины является вершина этого же четырехугольника. Выберите некоторую вершину параллелограмма и рассмотрите две 257

Геометрия. 9 класс

возможности: ее образом является или соседняя вершина, или противолежащая. 707. Указание. Углы М^ВА и MBA симметричны относительно прямой AB. Следовательно, Z MJ5A = Z MBA. Аналогично Z М 2ВС = Z МВС. Осталось показать, что Z M 1B M 2 = 180°. 708. 1) АДО; -2 ), Б Д - 1; 3); 2) А 2 (0; 2), Б Д 1; -3 ). 709. х = 2, у = - 1 . 710. Указание. Пусть ААВС имеет центр симметрии. Тогда, например, об разом вершины А является вершина В. Следовательно, центр симметрии — это середина стороны A B. Однако в этом случае образ вершины С не будет принадлежать треугольнику АВС. 712. Указание. При центральной сим метрии образом стороны данного четырехугольника явля ется сторона этого же четырехугольника. Далее восполь зуйтесь ключевой задачей п. 18. 713. У казан ие. При симметрии относительно точки О образы точек А 1 и В 1 при надлежат окружности с центром 0 2. Так как образом пря мой, проходящей через центр симметрии, является эта же прям ая, то образы точек А 1 и В 1 также принадлеж ат прямой А 1В 1. Следовательно, отрезок А 2В 2 — образ отрезка А^В^. 714. 2 см или 1 см. 715. 2 см. Указание. При рассматри ваемом повороте точка В является образом точки D, точка Сх — образом точки С, точка А — образом точки А (рис. 310). Следовательно, ААВСг — образ AADC. Отсюда ZABC, = ZA D C = 90°. Следовательно, точки Cv В, С лежат на одной прямой. 716. Указание. Пусть точка А 1 — образ точки А при симметрии относительно прямой а. Тогда точ ка пересечения прямых а и A B будет искомой. Заметим, что если точки А и В симметричны относительно пря мой а, то задача имеет бесконечно м ного реш ен и й . 7 1 8 . У к а з а н и е . Пусть точка А — образ точки А при симметрии относительно прямой а. Тогда точка пересечения прямых а и АД? будет искомой. 719. Указание. 258

Ответы и указания

Рассмотрите центральную симметрию с центром в точке пересечения диагоналей параллелограмма. 720. Указание. Найдите середину отрезка АС, а далее воспользуйтесь при мером 3 и. 18. 721. Указание. Пусть О — данная точка, ^ и 12 — данные прямые. Построим образ прямой 11 при симметрии относительно точки О. Получим прямую К (рис. 311), которая пересекает прямую 12 в точке Е. Найдем прообраз точки Е при рассматриваемой симметрии. Очевид но, что он должен принадлежать прямой Iг Следовательно, точка, симметричная точке Е относительно точки О, также принадлежит прямой I . 722. Указание. Воспользуйтесь идеей решения примера 5 и. 18. 723. Указание. Рассмотрим поворот с центром в точке С против часовой стрелки на угол 60°. При таком по вороте образами точек Е и В будут соответственно точки П и А. Следо вательно, отрезок АО и его середина К будут соответственно образами отрезк а ВЕ и его середины М . 724. Указание. Пусть , 12, 13 — дан ные параллельные прямые, О — произвольная точка пря мой 12 (рис. 312). Прямая 1[ — образ прямой I при пово роте вокруг точки О против часовой В стрелки на угол 60° — пересекает прямую 13 в точке М . Найдем прооб раз точки М при заданном поворо те. Очевидно, что он принадлежит прямой I . Поэтому достаточно отло жить от луча ОМ угол, равный 60°. 725. У казание. Пусть треугольник А ХВС — образ треугольника АВС при симметрии относительно серединного перпендикуляра отрезка ВС (рис. 313). Треугольник АСА1 можно построить по известным сторонам АС и А ХС (АХС = АВ) и углу АСАХ, равному разности углов В и С. 726. Указание. Пусть точка С симметрична точке С относительно прямой АВ. Постройте окружность с центром 259

Геометрия. 9 класс

в точке Cj, которая касается прямой АВ. Проведите через точку D касательную к построенной окружности. Эта каса тельная пересекает прямую АВ в искомой точке. 727. Ука зание. Пусть О — данная точка, 12 и 13 — данные прямые. Постройте отрезок АС, серединой которого является точ ка О, а концы принадлежат прямым 1Х и 1Г Этот отрезок является одной из диагоналей ромба. Найдите точку пере сечения прямой 13 с серединным перпендикуляром отрез ка АС. 728. Указание. Рассмотрим поворот с центром в точ ке А против часовой стрелки на угол 90°. При этом повороте образом отрезка АП будет отрезок АВ (рис. 314). Пусть Е г — образ точки Е. Тогда треугольник А В Е 1 — об раз треугольника AD E. Отсюда А АВЕ^ = A AD E. Тогда DE = BEV АЕ = A E V Z Е^АВ = Z EAD. Имеем: Z E^AF = = Z Е^АВ + Z BAF = Z EAD + Z FAE = Z FAD. Но Z FAD = = Z E^FA. Следовательно, AAE^F — равнобедренный и А Е 1 = = E^F. 729. Указание. Рассмотрим поворот с центром в точ ке А по часовой стрелке на угол 60° (рис. 315). При этом повороте образом треугольника АВР будет треугольник АСР1 (точка Р х — образ точки Р). Отсюда ZAP^C = Z A P B = 150°. Треугольник А Р Р г — равносторонний. Тогда ZAP^P = 60°. Следовательно, Z Р Р гС = 90°. Осталось заметить, что Р гС = = РВ и Р Р 1 = АР. 732. —

см. 752. 1) 1,5; 2)

3) - . 3

756. - . 757. 12 см. 758. 28,8 см2. 760. — . 761. 1) k = 2, 3

точка В или k = -2 , точка пересечения диагоналей трапеции В

Рис. 315

260

Ответы и указания

АМИС. 766. Указание. Пусть данная окружность касается прямой а в точке М . Точка — образ точки М при гомо тетии с центром А. Так как образом прямой а является эта же прямая, то точка М принадлежит прямой а. Покажите, что образ данной окружности и прямая а имеют только одну общую точку М х. 767.

Указание. По определению

гомотетии МА = кМВ. Найдите координаты векторов МА и МВ. 768. (-3; 2). 769. 1) х = - 3 , у = 8; 2) х = 12, у = -2 . 7 7 0 . х = 0, у = 8. 771. 28 см2. 772. 20 см2. 773. 112 см2. 775. 1) у = 2х + 2; 2) у = 2 х - - |. Указание. Выберите про извольную точку М , принадлежащую данной прямой. Най дите координаты векторов ОМ и ОМ1= 2ОМ. Точка — образ точки М при данной гомотетии. Воспользуйтесь тем, что угловой коэф ф ициент иском ой прямой равен 2. 776. 1) (х + I)2 + (у - 2)2 = 1; 2) (х - 4)2 + (у + 8)2 = 16. 777. Указание. Прямая А 2В2 является образом прямой А 1В 1 при гомотетии с центром в точке касания и коэффициен том, равным отношению большего радиуса к меньшему. 779. Окружность, которая является образом данной окруж ности при гомотетии с центром А и коэффициентом, равным за исключением точки А. 781. Указание. Треугольник с вершинами в полученных точках является образом тре угольника с вершинами в серединах сторон данного тре угольника при гомотетии с центром М и коэффициентом, равным 2. 782. Указание. Постройте произвольный тре угольник, два угла которого равны двум данным углам. Опишите около него окружность. Искомый треугольник является образом построенного треугольника при гомотетии с центром в произвольной точке и коэффициентом, равным отношению данного радиуса к радиусу построенной окруж ности. 784. У казан ие. См. реш ение примера 1 и. 19. 785. Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в середи не отрезка АВ и коэффициентом, равным 786. Прямая, О являющаяся образом прямой I при гомотетии с центром в 261

Геометрия. 9 класс

середине отрезка АВ и коэффици1 ентом, равным —, за исключени ем точки пересечения прямых АВ и I (если такая точка существу ет). 787. У казан ие. Постройте любую окружность, касающуюся Рис. 316 сторон угла (рис. 316). Пусть М — одна из точек пересечения прямой ВМ с построенной окружностью. Рассмотрите го мотетию с центром в точке В и коэффициентом, равным ■~ 7 ~. Задача имеет два реш ения. 788. 96 см2, 4 ,8 см. JdjVl ^

789. 24. 795. Точки лежат на одной прямой. 804. Плоскости могут пересекаться или быть параллельными. 808. Пере секаются или скрещивающиеся. 813. 15л/2 см. 814. 15^3 см. 815. 15 см. 816. 20 см. 817. 2^21 см. 818. 2^12 + зТб см. 819. 90°. 820. 3>/Н) см. 821. 13. 838. 680 см2, 840 см2, 1360 см3. 839. 350 см2, 420 см3. 840. 3 d 2, ^ d 3. 845. 48^2 см2. 846. 36 см2. 850. ^ d 3 sin а sin ß cos2ß. 851. пі2 tgß (since + cosoc); m 3 sin а cos а tgß .

852. 8а2cos ^ tgß;

853. — .854. CD; 7 cm, 10 6

cm. 856. у

2a3 sin а cos ^ tg ß.

0,5x - 0,5. 867. - 1,24 mm.

868. - 60 000 H. 869. 200л см2; 320л см3. 870. 320л см2; 1024л см3. 871. - 3770 кг. 872. 4 ,5 см. 873. - 550 кг. 3

876. ~ 3 кг. 877. nh2yf2; -л /г3. 878. 2лК2; nR з 3

. 880. 25 см

или 39 см. Указание. Найдите синус угла между данными сторонами, а затем — его косинус. 881. (х - 4)2 + у 2 = 25 или (х + 2 )2 + у 2 = 25. 882. 2%[Ї7 см или 2 J a см.

883.

У7 + У 3 - 2 2V2I

. 8 8 5 . 9 см, 24 см. 8 8 6 . 1 см или 2 см. 262

Ответы и указания

887. 36 см. 888. \14а2 + с12. 889. 4 см. Указание. Так как трапеция АВСК является вписанной, то АВ = СК. Тогда А К А С = А А К Б , АС = В К .

890. — ; - — ; 16

-. 8

8 9 1 . л /Ш см. 8 9 2 . 9 ,5 см . 8 9 3 . 12 см . 8 9 4 .

895. 1:1: >/з. 896. 6 см. 897. —з

898.

Ьс si.ii а

-. Ука (6 + с) si.ii зание. Воспользуйтесь формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

8 9 9 . 4л/з см 2.

см.

9 0 0 . 3 см, — см, — см. 9 0 1 . 15 см. 4

902. 132 см2. 903. 450 см2. 904. 36 см2.

906. 6>/з см^

907. 1 : 2. 908. 2а(2-Тз). 909. 45 см. 910.

см.

912. д 2(4л ~ 3 л/ з ) . —пН' 913< 54° 915. Зт> 9 1 9 . д2(3л^ ~ я) . 6

918. (-9; 0). 919. (0; -2 ,5 ). 923. (х - 7)2 + (у + 0,5)2 = 6,25. 924. Да. 925. Да. 926. (-1; 0), (-9; 0). 927. Юл. 928. у = = 6х + 23. 929. у = - х + 3. 930. у = - - х - 4. 943. 3 944.

946. 5х + у - 22

= 0.

963. 3 см или

964. 3 см2. 965. 27,5 см2. 966. — см2. 967. 27

з>/з

5 см.

Указание.

Треугольник А 2В2С2 является образом треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом, равным - —, и центром 4

в точке пересечения медиан треугольника АВС.

263

Геометрия. 9 класс

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» Номер задания

264

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Б оковая пов ер хн ость к он уса 227 -------призмы 217 ------- цилиндра 226 Вектор 109 Вектора координаты 117 — модуль 110 Векторы коллинеарные 110 — перпендикулярные 146 — противоположно направлен ные 111 — противоположные 125 — равные 111 — сонаправленные 111 Вневписанная окружность тре угольника 46 Гомотетия

— — — —

основание 227 образующ ие 227 ось 227 развертка боковой поверх ности 228 Косинус 6 Коэффициент гомотетии 186 — подобия 189 Круговой сегмент 66 — сектор 66 Куб 217 Многогранник 216 Многогранника вершина — грань 216 — поверхность 216 — ребро 216 Направленный отрезок Нуль-вектор 110

186

Д виж ение 161 Д ви ж ен и я взаим но обратны е 161 Декартовы координаты на пло скости 79 Длина дуги окружности 65 — окружности 64 Единичная полуокружность 5 Конус 227 К он уса боковая пов ер хн ость 227 — вершина 227 — высота 227

Образ фигуры 160 Объем конуса 228 — пирамиды 219 — прямой призмы 218 — цилиндра 227 — шара 229 Окружность Аполлония Осевая симметрия 170 Основание сегмента 66 Ось симметрии 170

216

110

105

П араллелепипед прям оуголь ный 217 Параллельный перенос 160

265

Геометрия. 9 класс Перемещение 161 Пирамида 218 Пирамиды боковая грань 218 — боковое ребро 218 — вершина 218 — высота 219 — основание 218 — ребро основания 218 Плоскость 209 Плоскости параллельные 210 Площади подобных фигур 190 Площадь боковой поверхности конуса 228 ----------- призмы 218 ----------- цилиндра 227 — круга 66 — кругового сегмента 66 сектора 66 — поверхности конуса 228 ------- пирамиды 219 ------- призмы 218 ------- шара 228 — сферы 228 Поверхность шара 228 Поворот 176 Подобные фигуры 189 Полукруг 67 Правило параллелограмма 124 — треугольника 122 П равильны й многоугольник 51 Преобразование подобия 189 — тождественное 161 — фигуры 159 Призма 217 — прямая 217 Призмы боковая грань 217 — боковое ребро 217

— основание 217 — ребро основания 217 Прообраз фигуры 160 Прямые скрещивающиеся 212 Равные фигуры 161 Радиус сферы 228 — шара 228 Разность векторов 124 Реш ение треугольников

Свойство коллинеарных векто ров 135 Свойства гомотетии 188 — параллельного переноса 162 Симметрия относительно пря мо 170 ------- точки 172 Синус 6 Скаляр 109 С калярны й квадрат вектора 147 Скалярное произведение векто ров 147 Стереометрия 209 Сумма векторов 122 Сфера 228 Тангенс 8 Теорема косинусов 13 — синусов 22 Тригонометрические функции

8 Тригонометрия

Угловой коэффициент прямой

100 Угол м еж ду векторами

2 66

146

Предметный указатель Угол м еж ду прямой и полож и тельным направлением оси абсцисс 99 — поворота 176 У м нож ение вектора на число 133 Уравнение окружности 87 — прямой 93 — фигуры 86 Условие перпендикулярности векторов 147 Фигуры подобные 189 Формула Герона 38 — для н а х о ж ден и я площ ади описанного многоугольника 40 — — — р а д и у с а в п и сан н ой ок р у ж н о сти тр еугольни ка 40 Формулы для нахож дения пло щади треугольника 37

— — — р а д и у с а о п и са н н о й о к р уж н ости тр еугольн и к а 23, 39 Центр гомотетии 186 — поворота 176 — правильного многоугольни ка 52 — симметрии 173 — сферы 228 — шара 228 Центральный угол правильного многоугольника 53 Цилиндр 225 Цилиндра боковая поверхность 226 — образующ ие 226 — основания 226 — ось 226 — развертка боковой поверх ности 226 Шар

267

228

П РИЛ ОЖ ЕН ИЕ

Таблица значений тригонометрических функций Величина угла (в градусах)

Синус

Косинус

Тангенс

Величина угла (в градусах)

Синус

Косинус

Тангенс

0 1 2 3 4

0,000 0,017 0,035 0,052 0,070

1,000 1,000 0,999 0,999 0,998

0,000 0,017 0,035 0,052 0,070

46 47 48 49 50

0,719 0,731 0,743 0,755 0,766

0,695 0,682 0,669 0,656 0,643

1,036 1,072 1,111 1,150 1,192

5 6 7 8 9

0,087 0,105 0,122 0,139 0,156

0,996 0,995 0,993 0,990 0,988

0,087 0,105 0,123 0,141 0,158

51 52 53 54 55

0,777 0,788 0,799 0,809 0,819

0,629 0,616 0,602 0,588 0,574

1,235 1,280 1,327 1,376 1,428

10 11 12 13 14

0,174 0,191 0,208 0,225 0,242

0,985 0,982 0,978 0,974 0,970

0,176 0,194 0,213 0,231 0,249

56 57 58 59 60

0,829 0,839 0,848 0,857 0,866

0,559 0,545 0,530 0,515 0,500

1,483 1,540 1,600 1,664 1,732

15 16 17 18 19

0,259 0,276 0,292 0,309 0,326

0,966 0,961 0,956 0,951 0,946

0,268 0,287 0,306 0,335 0,344

61 62 63 64 65

0,875 0,883 0,891 0,899 0,906

0,485 0,469 0,454 0,438 0,423

1,804 1,881 1,963 2,050 2,145

20 21 22 23 24

0,342 0,358 0,375 0,391 0,407

0,940 0,934 0,927 0,921 0,914

0,364 0,384 0,404 0,424 0,445

66 67 68 69 70

0,914 0,921 0,927 0,934 0,940

0,407 0,391 0,375 0,358 0,342

2,246 2,356 2,475 2,605 2,747

25 26 27 28 29

0,423 0,438 0,454 0,469 0,485

0,906 0,899 0,891 0,883 0,875

0,466 0,488 0,510 0,532 0,554

71 72 73 74 75

0,946 0,951 0,956 0,961 0,966

0,326 0,309 0,292 0,276 0,259

2,904 3,078 3,271 3,487 3,732

30 31 32 33 34

0,500 0,515 0,530 0,545 0,559

0,866 0,857 0,848 0,839 0,829

0,577 0,601 0,625 0,649 0,675

76 77 78 79 80

0,970 0,974 0,978 0,982 0,985

0,242 0,225 0,208 0,191 0,174

4,011 4,331 4,705 5,145 5,671

35 36 37 38 39

0,574 0,588 0,602 0,616 0,629

0,819 0,809 0,799 0,788 0,777

0,700 0,727 0,754 0,781 0,810

81 82 83 84 85

0,988 0,990 0,993 0,995 0,996

0,156 0,139 0,122 0,105 0,087

6,314 7.115 8,144 9,514 11,430

40 41 42 43 44

0,643 0,656 0,669 0,682 0,695

0,766 0,755 0,743 0,731 0,719

0,839 0,869 0,900 0,933 0,966

86 87 88 89 90

0,998 0,999 0,999 1,000 1,000

0,070 0,052 0,035 0,017 0,000

14,301 19,081 28,636 57,290

0,707

1,000

268

С О Д ЕРЖ А Н И Е

От авторов...................................................................................... 3 Условные обозначения................................................................ 4 § 1. Р еш ен и е т р е у г о л ь н и к о в ..................................................... 5 1. Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180° . . . . 5 2. Теорема косинусов....................................................... 13 3. Теорема синусов........................................................... 22 4. Решение треугольников............................................ 30 • Тригонометрия — наука об измерении треугольников........................................................... 34 5. Формулы для нахождения площади треугольника................................................................ 36 • Вневписанная окружность треугольника . . . . 46 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 1 ........... 49 § 2. П равильны е м н о г о у г о л ь н и к и ........................................ 51 6. Правильные многоугольники и их свойства . . 51 • О построении правильных п-угольников............61 7. Длина окружности. Площадь к р у г а .......................63 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 2 .......... 76 § 3. Д ек артовы к оор д и н аты на п л о с к о с т и ........................ 79 8. Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезк а............................... 79 9. Уравнение фигуры. Уравнение окружности . . . 85 10. Уравнение прямой..........................................................92 11. Угловой коэффициент п рям ой ..................................99 • Метод координат................................................... 103 • Как строили мост между геометрией и алгеброй................................................................ 105 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 3 ......... 107 269

Содержание

§ 4. В екторы ............................................................................... 109 12. Понятие век тора....................................................... 109 13. Координаты вектора................................................ 117 14. Сложение и вычитание векторов........................ 122 15. Умножение вектора на ч и сл о ............................... 133 • Применение векторов.......................................... 144 16. Скалярное произведение векторов...................... 146 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 4 ............156 § 5. Геометрические преобразования............................... 159 17. Движение (перемещение) фигуры. Параллельный перенос............................................ 159 18. Осевая и центральная симметрии. Поворот. . . 169 19. Гомотетия. Подобие ф и г у р ................................... 186 • Применение преобразований фигур при решении з а д а ч ................................................. 202 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 5 ............206 § 6. Начальные сведения по стер еом етр и и .......................209 20. Прямые и плоскости в пространстве.................... 209 21. Прямая призма. П ирамида......................................216 22. Цилиндр. Конус. Ш а р ...............................................225 Задание в тестовой форме «Проверь себя» № 6 ............233 Упражнения для повторения курса геометрии 9 к ласса .......................................................................................... 236 Сведения из курса геометрии 8 класса............................... 245 Ответы и у к а за н и я .................................................................. 251 Ответы к заданиям в тестовой форме «Проверь себя»............................................................................. 264 Предметный у к а з а т е л ь ..........................................................265 Приложение. Таблица значений тригонометрических функций.......................................................................................... 268

270

Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено

Навчальне видання

МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович ЯКІР Михайло Семенович

ГЕОМЕТРІЯ Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Російською мовою)

Редактор Г. Ф. В и со ц ьк а Художник С. Е . К у л и н и ч Комп’ютерна верстка О. О. У далое Коректор Т. Є. Ц е н т а

Підписано до друку 12.08.2009. Формат 60x90/16. Гарнітура шкільна. Папір офсетний. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 17,00. Обл.-вид. арк. 14,50. Наклад 61 050 прим. Зам. № 390. Свідоцтво ДК № 644 від 25.10.2001 р. ТОВ ТО «Гімназія», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел.: (057) 719-17-26, 719-46-80, факс: (057) 758-83-93 Віддруковано з готових діапозитивів у друкарні ПП «Модем» Тел. (057) 758-15-80

М ерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. М52 Геометрия: Учебн. для 9 кл. общеобразовательных учеб ных заведений. — X.: Гимназия, 2009. — 272 с.: ил. ГЗВХ 978-966-474-020-0. УДК 373:512 ББК 22.151я721