Issuu

клас

УДК 371.388:514.11 ББК 22.151,0+я72 Є80

Видано за рахунок коштів видавництва. Продаж дозволено Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України № 205 від 19.03.2008 р.) Видано за ліцензією ПП «АН ГРО ПЛЮС» Р ецензенти:

В. Т. Лисиця, доцент кафедри вищої математики ХНУ ім. В. Н. Каразіна, канд. фіз.-мат. наук; І. С. Маркова, учитель математики вищої категорії гімназії № 46 ім. М. В. Ломоносова м. Харкова, вчитель-методист; головний редактор науково-методичного журналу «Математика в школах України»

Єршова А. П. Є80

Геометрія. 8 клас: Підручник/A. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижановський. — X.: Веста: АН ГРО ПЛЮС, 2008. — 256 с. ISBN 978-966-08-3575-7 Підручник містить обов’язковий обсяг навчального матеріалу, необхідні теоретичні відомості й поняття, велику кількість задач, які полегшують роботу вчителів та учнів. Наприкінці кожного розділу підбиваються підсумки, які надано у вигляді зручних таблиць. Для закріплення теоретичного матеріалу запропоновано низку практичних завдань — від простих до більш складних. Підручник розрахований на учнів 8 класів, учителів та методистів.

УДК 371.388:514.11 ББК22.151.0+Я72

Навчальне видання ЄРШОВА Алла Петрівна ГОЛОБОРОДЬКО Вадим Володимирович КРИЖАНОВСЬКИЙ Олександр Феліксович ЄРШОВ Сергій Володимирович

ГЕОМЕТРІЯ. 8 клас Підручник Редактор H. Н. Томашко. Технічний редактор /. І. Копєйкін. Коректор Е.А. Капустянова Підписано до друку 01.06.2008. Ф ормат70х100/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,64. ТОВ «Веста». Свідоцтво ДК № 2540 від 26.06.2006.61145 Харків, вул. Бакуніна, 8а. Адреса редакції: 61145 Харків, вул. Космічна, 21а. Тел. (057)719-48-65, тел./факс (057)719-58-67. З питань реалізації звертатися за тел.: у Харкові - (057) 712-91-46, 712-91-47; Києві - (044) 599-14-53,417-20-80; Донецьку — (062) 345-98-24; Житомирі — (0412) 41 -27-95; Дніпропетровську — (0562) 39-61 -60, 39-63-54; Львові - (032) 243-08-85; Тернополі - (0352) 26-86-94, 53-32-01, Сімферополі — (0652) 22 -87-01,22-95-30; Миколаєві — (0512) 35-40-39, Рівному — (0362) 23-78-64. E-mail: commerce@ranok.kharkov.ua «Книга поштою»: 61045 Харків, а/с 3355. Тел. (057)717-74-55, (067)546-53-73. E-mail: pochta@ranok.kharkov.ua

www.ranok.com.ua

ISBN 9 7 8 - 9 6 6 - 0 8 - 3 5 7 5 - 7

Надруковано у друкарні ПП «Тріадач-» м. Харків, вул. Киргизька, 19. Тел. 757-98-16,703-12-21, Зам. №9005/08

ЛЮБІ ДРУЗІ! У світі Геометрії ви вже не відчуваєте себе чужинцями: у сьомому класі ви познайомилися з багатьма її визначними пам’ятками, почали оволодівати її мовою й опановувати її закони. Але Геометрію не випадково вважають дивовижною — щоразу нова й непередбачувана, вона відкриває свої найкоштовніші скарби лише тому, хто проникнувся її духом і прагне не зупинятися на досягнутому. У шкільному курсі геометрії можна умовно виділити декілька на прямів. На початковому етапі переважає «геометрія доведень» — ви впер ше зустрілися з поняттям доведення, оволоділи його методами й логікою, навчилися отримувати з одних тверджень інші, обґрунтовувати свої вис новки. Останню частину минулорічного курсу було присвячено «геометрії побудов » — цей напрям поєднує елементи доведення і правила побудови найпростіших фігур за допомогою циркуля і лінійки. Протягом цього нав чального року чільне місце буде відведене «геометрії обчислень». Чимало теорем, які ви будете вивчати, містять формули, що дозволяють отримати нові числові характеристики геометричних фігур. Найважливішою із цих теорем є знаменита теорема Піфагора, зустріч з якою чекає на вас саме у восьмому класі. Однак вивчення геометрії не вичерпується лише обчисленнями. Завдяки цьому підручнику ви дослідите нові геометричні фігури, по глибите свої знання з логіки, набудете досвіду розв’язування задач оригі нальними методами, дізнаєтеся про життя й здобутки визначних учених минулого. Сподіваємося, що кожний крок на шляху пізнання додасть вам упевненості у власних силах і наблизить до нових обріїв науки.

Як користуватися підручником Підручник має чотири розділи, кожний із яких складається з параграфів, а параграфи — з пунктів. У тексті міститься як теоретич ний матеріал, так і приклади розв’язування задач. Найважливіші поняття і факти виділено напівжирним шрифтом. Вправи і задачі, подані в підручнику, поділяються на декілька груп. Усні вправи допоможуть вам зрозуміти, наскільки успішно ви за своїли теоретичний матеріал. Після них можна переходити до графічних вправ, які виконуються в зошиті або на комп’ютері. Далі йдуть письмові вправи. Спочатку перевірте свої знання, виконуючи завдання рівня А. Більш складними є задачі рівня Б. І нарешті, якщо ви добре опанували матеріал і бажаєте виявити свої творчі здібності, на вас чекають задачі

рівня В. Після кожного параграфа в рубриці «Повторення » зазначено, які саме поняття й факти слід пригадати для успішного вивчення нового ма теріалу, і наведено задачі для повторення, що підготують вас до сприйнят тя наступної теми. Розв’язувати всі задачі кожного рівня не обов’язково. Наприкінці кожного розділу подано контрольні запитання й задачі для підготовки до контрольних робіт, завдяки яким ви зможете краще підготуватися до тематичного оцінювання. Додаткові задачі до розділів відкриють вам нові грані геометрії, допоможуть узагальнити вивчений матеріал і відчути красу нестандартного мислення. Підсумкові огляди наприкінці кожного розділу послугують своєрід ним геометричним компасом і допоможуть орієнтуватись у вивченому ма теріалі. Додатки, наведені в кінці підручника, поглиблять ваші знання з окремих вивчених тем, а історичні довідки до розділів познайомлять із деякими цікавими фактами щодо розвитку геометрії та діяльністю видатних учених-геометрів.

Чотирикутник і його елементи Паралелограм і його властивості Ознаки паралелограма Види паралелограмів Трапеція Теорема Фалеса. Середні лінії трикут ника і трапеції Вписані кути Вписані й описані чотирикутники Визначні точки трикутника

У величезному саду геометрії кож ни й може підібрати собі букет за смаком. Д авид Гільберт, німецький м ат ем ат ик

Вивчаючи геометрію в сьомому класі, ви познайомилися з основними властивостями трикутників. Курс геометрії восьмого класу розпочинається з розгляду більш складних фігур — чоти рикутників. Але це не означає, що вже вивчену і, напевно, тро хи забуту за літо тему «Трикутники» не слід згадувати. Навпаки, цей матеріал варто повторити ще навіть до того, як ви прийдете на перший урок геометрії у восьмому класі. Адже саме властивості трикутників є тим ключем, який відчиняє двері у світ Геометрії. Окремі види чотирикутників уже відомі вам із курсу мате матики 5—6 класів. Найбільш уважні й спостережливі могли по мітити, що особливе місце серед чотирикутників посідають ті, які мають паралельні сторони. Саме тому вже найближчим часом вам стануть у пригоді властивості й ознаки паралельних прямих, до ведені в сьомому класі,— цей матеріал також варто пригадати. Серед теорем, які розглядатимуться в цьому розділі, особливу роль відіграє теорема Фалеса — одна з найдавніших теорем геомет рії. З її допомогою ми згодом продовжимо рух шляхом пізнання нових таємниць геометричних фігур.

§1. Чотирикутник і його елементи

§1. Чотирикутник і його елементи 1.1. Означення чотирикутника Із чотирикутником ви вже знайомилися на уроках математики. Дамо строге означення цієї фігури. Означення Чотирикутником називається фігура, яка скла дається з чотирьох точок (вершин чотирикутника) і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають (сторін чотирикутника). При цьому жодні три вер шини не лежать на одній прямій, а жодні дві сторони не перетинаються.

Рис. 1.

Чотирикутник АВСИ

На рисунку 1 зображений чотирикутник із вершинами А , В , С і І) та сторонами А В , В С , СБ та АХ). Кажуть, що дві вершини чотирикутника є сусідніми вершинами, якщо вони сполучені однією стороною; вершини, які не є сусідніми, називають протилежними вершинами. Анало гічно, сторони чотирикутника, які мають спіль ну вершину, є сусідніми сторонами, а сторони, які не мають спільних точок,— протилежними сторонами. На рисунку 1 сторони А В і СБ — сусідні для сторони ВС , а сторона А В — про тилежна ВС ; вершини В і Б — сусідні з вер шиною А , а вершина С — протилежна вер шині А . Чотирикутник позначають, послідовно вка зуючи всі його вершини, причому букви, що стоять поряд, мають позначати сусідні вершини. Наприклад, чотирикутник на рисунку 1 можна позначити А В С Б , ВС БА або СВАВ, але не мож на позначати А В В С або В В С А .

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Означення Діагоналлю чотирикутника називається відрізок,

що сполучає дві протилежні вершини.

У чотирикутнику Р ІЇЗ Т (рис. 2) діагоналя ми є відрізки РВ і і? Т . Означення Периметром чотирикутника називається сума довжин усіх його сторін.

т Рис. 2.

Відрізки Р8 і ЯТ — діагоналі чотирикут ника РґІБТ

Як і для трикутника, периметр чоти рикутника позначають буквою Р : = А В + ВС + СР) + АР) .

1.2. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутника Будь-який чотирикутник обмежує частину площини, яку називають внутрішньою областю цього чотирикутника. На рисунку 3, а, б зображено два чоти рикутники і проведено прямі, на яких лежать сторони цих чотирикутників. У чотирикутнику АВСХ) ці прямі не проходять через внутріш ню область — такий чотирикутник є опуклим (рис. З, а). У чотирикутнику Е Р К М прямі Е М і К М проходять через внутрішню область — цей чотирикутник є неопуклим (рис. З, б). Означення ___________________ Чотирикутник називається опуклим, якщо він ле жить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону. б Рис. 3.

Опуклий і неопуклий чотирикутники

Дійсно, чотирикутник АВСХ) на рисун ку 3, а лежить по один бік від будь-якої з пря мих А В , ВС , СХ> або АХ>. У шкільному курсі геометрії ми будемо розглядати лише опуклі чо тирикутники (якщо інше не оговорене окремо).

§1. Чотирикутник і його елементи

Означення Кутом (внутрішнім кутом) опуклого чотирикут ника при даній вершині називається кут, утворений сусідніми сторонами, що виходять із цієї вершини.

Кути, вершини яких є сусідніми, називають

сусідніми кутами, а кути, вершини яких проти лежні,— протилежними кутами чотирикутника. Т е о р е м а (про суму кутів чотирикутника) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Рис. 4. Сума кутів чоти рикутника дорівнює сумі кутів двох трикутників

Доведення1 □ У даному чотирикутнику проведемо діагональ, яка ділить його на два трикутники (рис. 4). Сума кутів трикутника, як відомо, дорів нює 180°. Очевидно, що сума кутів чотирикут ника складається з кутів цих трикутників, тобто дорівнює 360°. Теорему доведено. ■ Задача Кути чотирикутника АВСЬ, сусідні 3 кутом Іс . рівні, а протилежний кут удвічі більший за куіг С:. зінайдіть ікут с. якщо Z В = 60 о

Розв'язання Кутами, сусіди іміЛ 3 С, є кути В і 0, іа к'утом, протилежним до С, — кут А (див. рис. 1). 1ОскільZB = А = 6 0°. Зс1 умовою задачі, 3160'3 , то киі сумеі кутіїз чотирикутника дорівнює: І°_ с АА +АС: = 36С 2 (>0° = 240 Якщо градусна міра кута іС дорівнює х, 1о градусна ,міра кута А за умовою дорівню є 2х. Звідси маємо: х + 2х = і2 40; 3)< = 240; X = 80і. (Зтже, АС: = *30° Відповідь: 80°. 1 Зазначимо, що дача теорема і її доведення справедливі також і для неопуклих чотирикутників (див. задачу 29).

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 1. Скільки сусідніх вершин має вершина чотирикутника? Скільки протилежних? Назвіть сусідні й протилежні вершини для верши ни В чотирикутника АВСЮ . 2. Скільки сусідніх сторін має сторона чотирикутника? Скільки протилежних? Назвіть сусідні й протилежні сторони для сторо ни АО чотирикутника АВСІ) . 3. Відрізок, який сполучає дві вершини чотирикутника, не є його діагоналлю. Чи можуть дані вершини бути протилежними? С 4 . Вершинами чотирикутника є точки К , І , М , N . а) Відомо, що К М його діагоналі.

і М Ь — сторони чотирикутника. Назвіть

б) Відомо, що К Ь — діагональ чотирикутника. Назвіть вершини, сусідні з вершиною К . в) Даний чотирикутник можна назвати K M L N . Чи можна його назвати M L K N ? 5. Чи існує чотирикутник А В С І), в якому А В - 9 см, ВС = 12 см, АС = 21 см? Відповідь обґрунтуйте. 6. Чи можуть усі кути опуклого чотирикутника бути гострими; тупими; прямими?

7. Чи може опуклий чотирикутник мати три гострі кути; три тупі кути; два прямі кути; три прямі кути і один непрямий? 8 . Чи можуть кути трикутника дорівнювати трьом кутам чотири кутника? Відповідь обґрунтуйте. 10

§ 1 -Чотирикутник і його елементи

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 9. Позначте точки А , В , С і 5 , які не лежать на одній пря мій, і послідовно сполучіть їх відрізками так, щоб утворився чо тирикутник. а) Дайте назву отриманому чотирикутнику і проведіть його діа гоналі. б) Проведіть прямі, які містять сторони чотирикутника. Чи є даний чотирикутник опуклим? в) Виміряйте три кути чотирикутника. Користуючись відповідною теоремою, знайдіть градусну міру четвертого кута. Перевірте отриманий результат вимірюванням. 10. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точ ки А і П , а на другій — точки В і С так, щоб у разі послідовного сполучення цих точок утворився чотирикутник А В С Б . а) Чи є побудований чотирикутник опуклим? Чому? б) Виміряйте зовнішні кути чотирикутника АВСП (по одному при кожній вершині) і обчисліть їх суму.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 11. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо його найменша сторона дорівнює 5 см, а кожна наступна сторона на 2 см більша за попе редню. 12. Периметр чотирикутника дорівнює 20 см. Знайдіть сторони чо тирикутника, якщо одна з них складає 40 % периметра, а три ін ші рівні. 13. Два кути чотирикутника дорівнюють 80° і 100°, а два інші кути мають рівні градусні міри. Знайдіть найбільший кут чотирикутника. 14. Знайдіть кути чотирикутника АВСП , якщо Z A = Z B , ZC = Z ^ ), а сума кутів А і В дорівнює 160°.

РОЗДІЛ 1. Чотири ку тн и ки

15. Якщо три кути чотирикутника є тупими, то четвертий кут — го стрий. Доведіть. 16. Якщо сума трьох кутів чотирикутника дорівнює 270°, то дві сторони чотирикутника перпендикулярні. Доведіть.

Рівень Б 17. Визначте, чи може чотирикутник А В С Б бути опуклим, якщо: а) точки А і Л лежать по різні боки від прямої ВС ; б) пряма А В перетинає пряму С Л ; в) пряма А В перетинає відрізок С І). Виконайте рисунки. 18. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює З дм, а одна сторона менша за кожну з трьох інших на 2 см, 3 см і 5 см відповідно. 19. Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6. Знайдіть пери метр чотирикутника, якщо сума його найбільшої і найменшої сторін дорівнює 18 см. 20. Знайдіть кути чотирикутника, якщо один із них удвічі мен ший за другий, на 20° менший за третій і на 40° менший за че твертий. 21. Знайдіть найменший кут чотирикутника, якщо суми його кутів, узятих по три, дорівнюють 240°, 260° і 280°. Н7С І С;ї. 22. Якщо один із кутів опуклого чотирикутника — гострий, то в цьо му чотирикутнику обов’язково є тупий кут. Доведіть. 23. Один із кутів опуклого чотирикутника дорівнює сумі двох інших кутів. Доведіть, що даний кут є тупим.

Рівень В 24. Периметри чотирикутників ABCD і ABCD1 рівні. Чи може один із цих чотирикутників бути опуклим, а інший — неопуклим? Відповідь підтвердьте рисунком. 25. Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 23 дм. Знайдіть довжину діагоналі А С , якщо периметр трикутника ABC дорів нює 15 дм, а периметр трикутника ADC дорівнює 22 дм. 26. У чотирикутнику три кути рівні, а четвертий кут менший за їх ню суму на 240°. Знайдіть кути чотирикутника.

§1. Чотирикутник і його елементи

27. Доведіть, що діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. 28. Доведіть, що будь-який відрізок із кінцями на сторонах опук лого чотирикутника лежить у внутрішній області цього чоти рикутника. 29. У неопуклому чотирикутнику А В С Б градусною мірою кута при вершині В вважають градусну міру ос кута А В С , якщо хоча б одна з внутрішніх точок відрізків СБ або А Б лежить у внутрішній області кута АВС (рис. 5, а), або (3 6 0 °- а ) , якщо жодна внут рішня точка відрізків СБ та А Б не лежить у внутрішній області кута АВС (рис. 5, б). Доведіть, що сума кутів неопуклого чотири кутника дорівнює 360°.

Рис. 5

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 2

Теоретичний матеріал (7 клас, § 7, 8, 10 • трикутник і його елементи; ( 7 клас, § 13—15 • ознаки рівності трикутників; • властивості й ознаки паралельних прямих. Задачі 30. Відомо, що а) Доведіть, б) Знайдіть 31. На рисунку а) Доведіть, б) Знайдіть

А К М К = А И Р К (рис. 6). що М К || ЛГР . кут Р , якщо І М = 65°. 6 М К = РЛГ, ^ М Ш = Z Р И К . що МІ/1| К Р . МЛГ, якщо К Р = 14 см. Рис. б

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

§ 2. Паралелограм і його властивості (О (О (О (О

2.1. Означення паралелограма

П аралелограм —

Розглянемо на площині дві паралельні пря мі, які перетинаються двома іншими паралельни ми прямими (рис. 7). У результаті такого перетину утворюється чотирикутник, який має спеціальну назву — паралелограм.

в ід г р е ц ь к и х слів «паралелос» — той, що йде по руч, п а ралельний, і «грам ма» — лінія

Означення Паралелограмом називається чотирикутник, про тилежні сторони якого попарно паралельні. Рис.

На рисунку 7 зображено паралелограм А В С Б , у якому А В \\С Б , АОЦБС.

Паралелограм А ВС П

І Задачо

[

На рисунку 8 ДКІ-М = Д М ІЧ К . Доведіть, що чоти рикутник КІ-МІЧ — паралелограм.

+ П 4 4 - - .. ....1.. 1...1- І ... 1- - ■.. ........~ т,

М 7

Ні

Л Рис. 8

і Роц'ямння і

З рівності трикутників КЬМ і МІЧК випливає рів ність кутів: Z l = Z2 і Z3 = Z 4 . Кути 1 і 2 є внут рішніми різносторонніми при прямих КІ. і МИ та січній К М . Аналогічно, кути _3! і 4_є внутрішні ми різносторонніми при прямих 1-М і К ічі та січ ній КМ. За ознакою паралельності прямих маємо: КІ- ЦМІЧ і 1-М || КІЧ . Отже, у чотирикутнику КІ-МІЧ протилежні сторони попарно паралельні, тобто КІ-МІЧ — паралелограм за означенням.

§ 2 .Паралелограм і його властивості

Як і в трикутнику, в паралелограмі можна провести висоти (рис. 9, а, б).

Означення Висотою паралелограма називається спільний перпендикуляр прямих, які містять його протилежні сторони.

б Рис. 9. Висоти парале

лограма

Очевидно, що до однієї сторони паралело грама можна провести безліч висот (рис. 9, а) — усі вони будуть рівні як відстані між паралель ними прямими, а з однієї вершини паралелогра ма можна провести дві висоти до різних сторін (рис. 9, б).

2.2. Властивості паралелограма Безпосередньо з означення паралелогра ма випливає, що будь-які два його сусідні кути є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих, які містять протилежні сторони. Це озна чає, що сума двох сусідніх кут ів паралелограма дорівнює 180 °. Доведемо ще кілька важливих властивостей сторін, кутів і діагоналей паралелограма. Т е о р е м а (властивості паралелограма) У паралелограмі: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рівні; 3) діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Властивості 1 і 2 відображені на рисун ку 10, а, а властивість 3 — на рисунку 10, б. Доведення б Рис. 10. Властивості па ралелограма

□ Проведемо в паралелограмі ABCD діаго наль АС (рис. 11) і розглянемо трикутники ABC і CDА . У них сторона АС — спільна, Z1 = Z 3 як 15

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Рис. 11. Діагональ ділить паралелограм на два рів ні трикутники

Рис. 12. При перетині діагоналей паралелогра ма утворюються рівні трикутники

внутрішні різносторонні при паралельних прямих А В і ВС та січній А С , Z 2 = Z 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих А В і СВ та січній А С . Отже, А А В С - А С Б А за другою ознакою рівності трикутників. Звідси, зокрема, випливає, що А В = СВ , А В = ВС і Z Б = Z D . А оскільки Zl-t-Z2 = ZЗ -l-Z4, то Z A = Z C . От же, властивості 1 і 2 доведено. Для доведення властивості 3 проведемо в па ралелограмі АВ С В діагоналі АС і В В , які пе ретинаються в точці О (рис. 12). Розглянемо трикутники А О Б і С О В . У них А В - В С за доведеним, Z1 = Z З як внутрішні різносторонні при паралельних прямих А В і ВС та січній А С , Z 2 = Z 4 як внутрішні різносто ронні при паралельних прямих А В і ВС та січ ній В В . Отже, А А О В = А С О В за другою озна кою. Звідси випливає, що АО = СО і ВО = ВО , тобто точка О є серединою кожної з діагона лей АС і В В . Теорему доведено повністю. ■ Задача Сума двох: кутІЕ1 піаралелограма дорівню'Є 20С1°. Знайдітіз кути паралелограма.

Розв'язання Нехай ідано гіаралелограм АВСО к;ут ів п<3 двох сусідиііх сума Оскільки ралелограма дорівню«: 180°, то дані кубути лише протилежними. Нехай ТИ Аложутіь ZB + ZD = ;2 00°. Тоді за властивість«0 к;утів іпаріа лелограма ZB = ZC) = 20С)°: 2 = 100°. Сума всіх кутів паралелограма дорівнює 360°, тому Z/^ = ■ АС = (360° -2 0 0 ° ) : 2 ! = 80°.

Відповідь: :В0° і ЮС)°. 16

§2. Паралелограм і його властивості

Задача

Г \

У паралелограмі ABCD бісектриса кута А ділить сторону ВС навпіл. Знайдіть периметр паралело грама, якщо АВ = 6 см.

Розв'язання В 1 І £

л4

з)

>/ X tL

Рис. г

1--

/ /і /

Нехай у паралелограмі АВСЬ бісектриса ку та А перетинає сторону ВС в точці Е , BE = EC (рис. 13). Зазначимо, що Z1 = Z 2 , оскільки АЕ — бісектриса кута BAD, а Zl = Z3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній А Е . Звідси Z2 = Z 3 , тобто за ознакою рівнобедреного трикутника трикутник АВЕ — рівнобедрений з основою АЕ, отже, ВЕ = АВ = 6 см. За умовою BE = EC , тобто ВС = 12 см. Отже, оскіль ки протилежні сторони паралелограма рівні, то Рдвсь =

2 (6 + 12) = 36 (см). Відповідь: 36 см.

Запитання і задачі ф

УСНІ ВПРАВИ 32. Чотирикутник АВСЇЇ — паралелограм. Назвіть: а) сторону, паралельну стороні ВС ; б) сторону, яка дорівнює стороні С І); в) кут, який дорівнює куту А . 33. Чи правильно, що будь-який паралелограм має: а) два кути, сума яких дорівнює 180°; б) два гострі і два тупі кути? 34. У паралелограмі АВСБ ZB < Z C . Порівняйте кути А і В . 17

РОЗДІЛ 1. Чотирикутники

35. У паралелограмі АВСП А В + СВ > А В + ВС . Порівняйте сторо ни ВС і СВ . 36. Діагоналі паралелограма АВСП перетинаються в точці О (див. рис. 12). Назвіть: а) відрізок, який є медіаною трикутника А С П ; б) трикутник, медіаною якого є відрізок А О .

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 37. Проведіть дві паралельні прямі. Позначте на одній із них точ ки А і П і проведіть через ці точки дві інші паралельні прямі, які перетинають другу пряму в точках В і С відповідно. а) Поясніть, чому чотирикутник АВСП є паралелограмом. б) Виміряйте кут А паралелограма АВСП . Користуючись влас тивостями паралелограма, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Проведіть діагональ АС і позначте її середину — точку О . За до помогою лінійки перевірте, чи належить ця точка відрізку В П . 38. Накресліть трикутник А В П . Проведіть через верши ни В і П прямі, паралельні сторонам АП і АВ від повідно. Позначте точку С — точку перетину цих прямих. а) Поясніть, чому чотирикутник АВСП є паралелограмом. б) Проведіть дві висоти паралелограма з вершини В . Чи рівні вони? в) Виміряйте сторони АП та АВ і знайдіть периметр парале лограма. Якою властивістю паралелограма ви скористалися?

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 39. Накресліть у зошиті трикутник і проведіть через кожну його вершину пряму, паралельну протилежній стороні. Скільки парале лограмів утворилося на рисунку? Скільки спільних вершин мають будь-які два паралелограми, що утворилися? 40. Три паралельні прямі перетинаються з двома іншими паралель ними прямими. Скільки паралелограмів утворилося? 18

§ 2 . Паралелограм і його властивості

41. Знайдіть периметр паралелограма А В С В , якщо сторона А В 2

дорівнює 12 см і складає — сторони А В . З 42. Периметр паралелограма дорівнює 24 см. Знайдіть сторони па ралелограма, якщо: а) одна з них на 2 см більша за іншу; б) одна з них утричі менша за іншу; в) сума трьох його сторін дорівнює 17 см. 43. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них дорівнює 110°; б) один із них на 70° менший за інший; в) сума двох його кутів дорівнює 90°; г) діагональ утворює з його сторонами кути 30° і 45°. —^ 44. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) один із них є прямим; б) градусні міри двох його кутів відносяться як 2:7 ; в) різниця двох його кутів дорівнює 40°; г) сума трьох його кутів дорівнює 330°. 45. Точка перетину діагоналей паралелограма віддалена від двох його вершин на 5 см і 8 см. Знайдіть довжини діагоналей парале лограма. 46. У чотирикутнику А В С В А В \\С В , А А В В = А С В В . Доведіть за означенням, що АВ С В — паралелограм. —^ 47. У чотирикутнику УХУХ УХ \ \ УХ , X V + X X = 180°. Доведіть за означенням, що У Х УХ — паралелограм.

Рівень Б 48. На площині дано три точки, які не лежать на одній прямій. Побудуйте паралелограм, трьома вершинами якого є дані точки. Скільки розв’язків має задача? 49. Скільки різних паралелограмів можна утворити з двох рівних різносторонніх трикутників, прикладаючи їх один до одного? 50. Периметр паралелограма АВ С В дорівнює 14 дм, а периметр трикутника АВС — 10 дм. Знайдіть довжину діагоналі А С . —^ 51. Сума трьох сторін паралелограма дорівнює 15 м, а сума трьох інших його сторін — 18 м. Знайдіть периметр паралелограма. 19

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

52. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) бісектриса одного з його кутів перетинає сторону під кутом 35°; б) висота паралелограма утворює з однією з його сторін кут 42°. 53. Знайдіть кути паралелограма, якщо: а) усі його сторони рівні, а діагональ утворює зі стороною кут 25°; б) висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ді лить даний кут у відношенні 1 : 3 . 54. Бісектриса кута 2) паралелограма АВС2) ділить сторону ВС у відношенні 1 : 4, починаючи від точки В . Знайдіть периметр па ралелограма, якщо ВС = 15 см. 55. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 5 см і 6 см. Знайдіть периметр паралелограма. Скільки розв’язків має задача? 56 (опорна). Будь-який відрізок з кінцями на протилежних сторонах паралелограма, який проходить через точку перетину його діагоналей, ділиться цією точкою навпіл. Доведіть. 57. З вершин тупих кутів В і 2) паралелограма АВСИ прове дено перпендикуляри ВАХ і БСХ до сторін А В і ВС відповідно. Доведіть, що чотирикутник А хВСхО — паралелограм. 58. За даними рисунка 14 доведіть, що чотирикутник АВС2) — па ралелограм.

Рівень В 59. Через точку, яка належить стороні рівностороннього трикутни ка, проведені прямі, паралельні двом іншим його сторонам. Визначте периметр паралелограма, що утворився, якщо периметр трикутника дорівнює 18 см. - > 60. У паралелограмі АВС2) бісектриси кутів А і 2) ділять сторону ВС на відрізки завдовжки 5 см, 3 см і 5 см. Знай діть периметр паралелограма. Скільки розв’язків має задача? 61. Знайдіть кути паралелограма, якщо його діагональ перпендику лярна до однієї із сторін і дорівнює половині іншої сторони. 20

§2. Паралелограм і його властивості

62. Знайдіть кути паралелограма, який ділиться діагоналлю на два рівнобедрені прямокутні трикутники (розгляньте два випадки). 63 (опорна). Бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма пер

пендикулярні, а бісектриси двох протилежних кутів паралельні або лежать на одній прямій. Доведіть. 64 (опорна). Кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вер шині. Доведіть. 65. Якщо діагональ ділить чотирикутник на два рівні трикутники, то такий чотирикутник є паралелограмом. Чи правильне таке твер дження? Відповідь обґрунтуйте. —^ 6 6 . Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то всі його сто рони рівні. Доведіть. Сформулюйте й доведіть обернене твердження.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § З Теоретичний матеріал 7 клас, § 8,10,13 • ознаки рівності трикутників; • властивості и ознаки паралельних прямих; • поняття про властивості й ознаки. ; 7 клас, § 14,15 Задачі 67. Доведіть, що пряма, яка проходить через середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, паралельна його основі. 6 8 . У чотирикутнику АВСИ А В = СВ . Які співвідношення необ хідно додати до умови, щоб за даними задачі довести, що чотири кутник АВ С Б — паралелограм? Вис ловіть припущення.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

§ 3. Ознаки паралелограма 3.1. Теореми про ознаки паралелограма Для того щоб скористатися властивостями паралелограма, у багатьох випадках потрібно спочатку переконатися, що даний чотирикутник дійсно є паралелограмом. Це можна довести або за означенням (див. задачу в п. 2.1), або за озна ками — умовами, які гарантують, що даний чо тирикутник — паралелограм. Доведемо ознаки паралелограма, які найчастіше застосовуються на практиці.

Т е о р е м а (ознаки паралелограма) 1) Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. 2) Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чо тирикутник — паралелограм. 3) Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.

Рис. 15. Якщо в чотири кутнику АВСБ АБ\\ВС і А Б = ВС , то АВСБ ~ паралелограм

Доведення □ 1) Нехай у чотирикутнику АВСБ А І)\\В С і А Б = ВС (рис. 15). Проведемо діаго наль АС і розглянемо трикутники АВС і СІМ . Вони мають спільну сторону А С , А Б = ВС за умо вою, А1 = А 2 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих А Б і ВС та січній А С . Отже, А АВС =А С Б А за першою ознакою рів ності трикутників. Із рівності цих трикутників випливає рівність кутів 3 і 4. Але ці кути є вну трішніми різносторонніми при прямих А В і СБ та січній А С . Тоді за ознакою паралельності пря мих АВ ЦСБ . Таким чином, у чотирикутнику АВСБ протилежні сторони попарно паралельні,

§3. Ознаки паралелограма

Рис. 16. Якщо в чо тирикутнику АВСБ АВ = СИ і АЛ = ВС , то АВС£> — паралелограм

Рис. 17. Якщо в чо тирикутнику АВСІ) АО = СО і ВО = БО , то АВСБ — паралелограм

звідки випливає, що АВСВ — паралелограм за означенням. 2) Нехай у чотирикутнику АВСВ АВ = СВ і А В = ВС (рис. 16). Знову проведемо діагональ АС і розглянемо трикутники АВС і СІМ . У цьому випадку вони рівні за третьою ознакою: сторона АС — спільна, АВ = СВ і А В = ВС за умовою. З рівності трикутників випливає рівність кутів 1 і 2, які є внутрішніми різносторонніми при пря мих А В і ВС та січній А С . За ознакою пара лельності прямих А В ЦВ С . Отже, в чотирикутни ку АВСВ сторони А В і ВС паралельні і рівні, і за щойно доведеною ознакою 1 АВСВ — пара лелограм. 3) Нехай у чотирикутнику АВСВ діагоналі перетинаються в точці О , АО = СО і БО = ВО (рис. 17). Розглянемо трикутники АОВ і СОВ . Ці трикутники рівні за першою ознакою: Z1 = Z 2 як вертикальні, а АО - СО і ВО = ВО за умо вою. Отже, рівні і відповідні сторони і кути цих трикутників: АВ = СВ і Z З = Z 4 . Таким чином, АВСВ — паралелограм за ознакою 1. Теорему доведено повністю. ■ Задача У паралелограмі АВСО точки І\Л іі N1 - ■ середини сторін АВ і с;С> відповідно (рис. 18). Доведіть, що чотирикутник МВЫС) — паралелограм.

Рис. 18

Розв'яіання Розглянемо чотирикутник МВЫС) . 1Сторони МІВ і ІМС) паралельні, оскільки лежать Ніа прямих, що містять протилежні сторони паралелогра ма АВСЬ. Крім того, МВ = ИЬ як половини рівних сторін АВ і СЬ паралелограма АВСЬ. Таким чином, у чотирикутнику МВИЬ дві сторони паралельні і рівні. Отже, чотирикутник ААВМЬ — паралелограм.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Спробуйте самостійно знайти інші спосо би розв’язування цієї задачі, які ґрунтуються на застосуванні інших ознак і означення парале лограма.

3.2*. Необхідні й достатні умови1 Кожна з ознак паралелограма вказує на пев ну особливість, наявності якої в чотирикутнику достатньо для того, щоб стверджувати, що він є паралелограмом. Узагалі, в математиці ознаки інакше називають достатніми умовами. Напри клад, перпендикулярність двох прямих третій — достатня умова паралельності даних прямих. На відміну від ознак, властивості паралело грама вказують на ту особливість, яку обов’язково має будь-який паралелограм. Властивості інакше називають необхідними умовами. Пояснимо таку назву прикладом: рівність двох кутів необхідна для того, щоб кути були вертикальними, адже якщо цієї рівності немає, вертикальними такі кути бути не можуть. Отже, необхідні умови (властивості) парале лограма випливають з того, що даний чотири кутник — паралелограм; з достатніх умов (ознак) випливає те, що даний чотирикутник — пара лелограм. Порівнюючи властивості й ознаки парале лограма, неважко помітити, що одна й та сама умова (наприклад попарна рівність протилежних сторін) є і властивістю, і ознакою паралелограма. У такому випадку кажуть, що умова є необхід ною і достатньою. Необхідну і достатню умову інакше називають критерієм. Наприклад, рів ність двох кутів трикутника — критерій рівнобедреного трикутника. 1 Тут і далі зірочкою позначено матеріал, вивчення якого не е обов’язковим.

§3. Ознаки паралелограма

Чимало прикладів необхідних і достатніх умов можна знайти в інших науках і в повсяк денному житті. Усі ми знаємо, що повітря — необ хідна умова для життя людини, але не достат ня (людині для життя потрібно ще багато чого, зокрема їжа). Виграш у лотерею — достатня умова для матеріального збагачення людини, але не необ хідна, адже покращити своє фінансове становище можна і в інший спосіб. Спробуйте самостійно знайти декілька прикладів необхідних і достат ніх умов.

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 69. Діагоналі чотирикутника Б Е Р Е перетинаються в точці О , при чому 1)0 = ОР , ЕО = ОК . Назвіть паралельні сторони чотирикутни ка і поясніть, чому вони паралельні. 70. У чотирикутнику К ЬМ М КЬ || M N і К Ь = М И . Назвіть рівні кути чотирикутника і поясніть, чому вони рівні. 71. У чотирикутнику РД вф кутів Р і 5 .

Р іі =

, Р(? = і?§ . Знайдіть суму

72. У чотирикутнику АВСО АВЦСі). Яке співвідношення між сторонами чотирикутника необхідно додати до умови задачі, щоб довести, що А В С Б — паралелограм? Наведіть усі можливі варіанти відповіді. 25

РОЗДІЛ І. чотирикутники

73. У чотирикутнику А В С Б А А = 30°, /-С = 50°. Чи може даний чотирикутник бути паралелограмом? Яка особливість паралело грама (властивість чи ознака) використовується для розв’язування цієї задачі? 74. Поставте замість крапок слова «необхідно», «достатньо» або «необхідно і достатньо», щоб отримане твердження було пра вильним: а) для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл; б) для того, щоб два кути були суміжними, ..., щоб їхня сума дорівнювала 180°; в) для того, щоб прямі А В і СП були паралельними, ..., щоб чотирикутник А В С Б був паралелограмом.

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 75. Проведіть дві паралельні прямі. Відкладіть на одній із них відрізок A D , а на другій — прямій відрізок ВС , що дорівнює A D , так, щоб відрізки АВ і CD не перетиналися. Побудуйте відріз ки А В і CD . а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку М так, щоб чотирикутник А В М С був паралелограмом. Чи лежать точки М , С і D на одній прямій? -> 76. Накресліть трикутник АВС і проведіть його медіану В О . На промені ВО побудуйте відрізок OD , що дорівнює В О . Сполу чіть точку D з точками А і С . а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом. б) Позначте точку М так, щоб чотирикутник A B D M був паралелограмом. Чи лежать точки М , С і D на одній прямій?

§ 3 -Ознаки паралелограма

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 77. Діагоналі чотирикутника АВ С В перетинаються в точці О . Чи є даний чотирикутник паралелограмом, якщо АО = 4 см, ОС = 40 мм, ВИ = 1,2 дм, О Б = 6 см? Відповідь обґрунтуйте. 78. За даними рисунка 19, а, б доведіть, що чотирикутник АВ С В — паралелограм.

Рис. 19

—^ 79. За даними рисунка 20, а, б доведіть, що чотирикутник АВ С В — паралелограм.

А А О В =А С О Б а

б Рис. 20

80. У чотирикутнику А В С В сторони А В і СВ паралельні. Знай діть периметр чотирикутника, якщо А В = СБ = 9 см, А В = 4 см. У чотирикутнику А В С В А В = СВ , А В = ВС . Знайдіть кути чотирикутника, якщо кут А втричі більший за кут В .

82. Діагоналі паралелограма АВ С В перетинаються в точці О . Точ ки Д і Д — середини відрізків ВО і ВО відповідно. Доведіть, що чотирикутник А В 1СВ1 — паралелограм.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

-»

83> Доведіть, що відрізок, який сполучає середини протилежних сторін паралелограма, ділить даний паралелограм на два чотири кутники, які також є паралелограмами.

Рівень Б 84. У технічному кресленні для побудови паралельних прямих використовують механічну рейсшину (рис. 21). Поясніть принцип її дії. 85. Поясніть, чому вісь С І ) , на якій кріпиться лампа (рис. 22), завжди лишається вертикальною.

Рис. 21

Рис. 22

8 6 . За даними рисунка 23, а, б доведіть, що чотирикутник АВСП — паралелограм.

АЕСР — паралелограм

а Рис. 23

§ 3 .Ознаки паралелограма

87. За даними рисунка 24, а, б доведіть, що чотирикутник А В С Б — паралелограм.

АЕСР — паралелограм а

б Рис. 24

8 8 . У паралелограмі АВСІ) бісектриси кутів В і І) перетинають діагональ АС в точках В І В відповідно. Доведіть, що чотирикут ник ВВВВ — паралелограм. 89. Діагоналі паралелограма АВС£> перетинаються в точці О . Доведіть, що середини відрізків А О , В О , СО і ВО є вершинами іншого паралелограма.

Рівень В 90. За даними рисунка 25, а, б доведіть, що АВ С Б лограм.

К ЬМ К — паралелограм

— парале

КЬМ И — паралелограм

б Рис. 25

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

—^

91. За даними рисунка 26, а, б доведіть, що А В С Б лелограм.

— пара

Рис. 26

92 (опорна). Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Доведіть. 93. Усередині даного кута А позначено точку О . Побудуйте відрі зок з кінцями на сторонах кута, серединою якого є точка О . —^ 94. Точка М міститься всередині кута А , вершина якого недосяж на (рис. 27). Побудуйте промінь з початком у точці М , спрямова ний на точку А .

Рис. 27

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 4 Теоретичний матеріал 7 клас, § 11, 17 * рівнобедрений трикутник; • прямокутний трикутник. Задачі 95. Висоти трикутника А В С , проведені з вершин А і В , перетина ються в точці О , причому АО = ВО . Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений. 96. Прямокутні трикутники АВС і БС В мають спільний катет ВС , а гіпотенузи АС і В В паралельні. Доведіть, що А А В С =А О С В .

ЗО

§4.в и д и паралелограмів

§ 4. Види паралелограмів 4.1. Прямокутник О з н а ч е н н я________________________

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі. В ___________________с

□______________ с Рис. 28.

Прямокутник ABCD

На рисунку 28 зображено прямокут ник ABCD . Оскільки прямокутник є окремим випадком паралелограма, він має всі властивості паралелограма: протилежні сторони прямокут ника паралельні й рівні, протилежні кути рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл і т. д. Однак прямокутник має деякі особливі властиво сті. Доведемо одну з них. Т е о р е м а (властивістьпрямокутника) Діагоналі прямокутника рівні.

Рис. 29. Якщо ABCD — прямокутник, то AC = BD

Доведення □ Нехай дано прямокутник ABCD з діаго налями АС і BD (рис. 29). Трикутники BAD і CDA прямокутні й рівні за двома катетами ( AD спільний, А В = CD як протилежні сторони прямокутника). Звідси випливає рівність гіпоте нуз цих трикутників, тобто АС = B D , що й треба було довести. ■ Має місце й обернене твердження (ознака прямокутника): якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм є прямокутником.

Доведіть це твердження самостійно. Таким чином, можна стверджувати, що рів ність діагоналей паралелограма — необхідна й до статня умова (критерій) прямокутника. 31

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

\ с

■ 'і •

>й

Опорна задача Якщо всі кути чотирикутника прямі1 чотирикутник — прямокутник. ДоведітіЬ.

ТО

цей

Розв'язання Нехай у чотирикутнику АВСЬ / . А - z в і — 4 = В є: внутрішніми од= ZD = 90° (рис. 28). Кути А і 1 носторонніми при прямих Ав і ВС та січній АВ. Оскільки сума цих кутів становить 180°, то за іознакою паралельності прямих Аі Ь | : |ВС. ,Аналогічно доводимо паралельність сторян АВ і СЬ . Отже, за означенням паралелограма АВО) — паролелограм. А оскільки всі кути цього паралелограма прямі, то АВСЬ — прямокутник за означенням.

4.2. Ромб в

Означення Ромбом називається паралелограм, у якого всі сто рони рівні.

На рисунку ЗО зображено ромб А В С Б . Він має всі властивості паралелограма, а також деякі додаткові властивості, які ми зараз доведемо.

Т е о р е м а (властивості ромба) Рис. ЗО. Ромб АВСЬ

Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять йо го кути навпіл.

ЦІ властивості ромба відображено на ри сунку 31.

Доведення □ Нехай діагоналі ромба А В С Б перети наються в точці О (рис. 32). Оскільки сторони ромба рівні, то трикутник АВС рівнобедрений 32

§ 4 . види паралелограмів

(О (О (О (О Ромб

—* від гр е ц ь

ко го «ромбос» — б у б о н (у с т а р о д а в н і маси цей у д а р н и й м узи чн ий інструмент мав ф орму ромба)

з основою А С , а за властивістю діагоналей паралелограма точка О — середина А С . Отже, відрізок ВО — медіана рівнобедреного трикут ника, яка водночас є його висотою і бісектрисою. Це означає, що В Б і. А С , тобто діагоналі ром ба перпендикулярні, і А А В Б - А С В Б , тобто В Б — бісектриса кута А В С . Аналогічно доводимо, що діагоналі ромба є бісектрисами й інших його кутів. Теорему до ведено. ■

Рис. 31. Властивості

ромба

Рис. 32. До доведення властивостей ромба

Опорно задачо Якщо всі сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — ромб. Доведіть.

Розв'язання Очевидно, що в чотирикутнику, всі сторони якого рівні, попарно рівними є і протилежні сторони. Отже, за ознакою паралелограма такий чотири кутник — паралелограм, а за означенням ромба, паралелограм, у якого всі сторони рівні, є ромбом.

Розв’язуючи задачі після параграфа, ви до ведете інші ознаки прямокутника і ромба. І

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

4.3. Квадрат и

На рисунку 33 зображено ще один вид па ралелограма — квадрат. Означення Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Рис. 33. Квадрат

(О(О(О(О Квадрат в ід л а т и н с ь ко го «квад ро» — чотири

Інакше можна сказати, що квадрат — це прямокутник, який є ромбом. Дійсно, оскільки квадрат є прямокутником і ромбом і, звісно ж, довільним паралелограмом, то: 1) усі сторони квадрата рівні, а протилежні сторони паралельні; 2) усі кути квадрата прямі; 3) діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, є бісек трисами кутів квадрата і діляться точкою перетину навпіл.

4.4*. Зв'язок між окремими видами паралелограмів. Рівносильні твердження За означеннями довільного паралелограма і його окремих видів ми можемо схематично зобразити зв’язок між ними (рис. 34).

Рис. 34. Діаграма «Види паралелограмів»

§ 4 . Види паралелограмів

На схемі представлені множини парале лограмів, прямокутників і ромбів. Такий спосіб наочного подання множин називають діагра мам и Ейлера —Венна. Діаграма Ейлера—Венна для паралелограмів демонструє, що множини прямокутників і ромбів є частинами (підмножинами) множини паралелограмів, а множина квад ратів — спільною частиною (перерізом) множин прямокутників і ромбів. Діаграми Ейлера—Венна часто застосовують для підтвердження або пере вірки правильності логічних міркувань. Підсумовуючи матеріал цього параграфа, звернемо також увагу на те, що можна було б да ти й інше означення квадрата: квадратом нази вається ромб із прямими кутами. Справді, обидва наведених означення описують одну й ту саму фігуру. Такі означення називають рівносильними. Узагалі, два твердження називаються рівносиль ними, якщо вони або обидва справджуються, або обидва не справджуються. Наприклад, рівносиль ними є твердження «У трикутнику дві сторони рівні» і «У трикутнику два кути рівні», адже оби два вони правильні, якщо розглядається рівнобедрений трикутник, і обидва хибні, якщо йдеться про різносторонній трикутник. Рівносильність двох тверджень також означає, що з будь-якого одного з них випливає інше. Справді, розгляне мо рівносильні твердження «Діагоналі парале лограма рівні» і «Паралелограм має прямі ку ти». З того, що діагоналі паралелограма рівні, випливає, що він є прямокутником, тобто має прямі кути, і навпаки: паралелограм із прями ми кутами є прямокутником, тобто має рівні діагоналі. На цьому прикладі легко відстежити логічні кроки переходу від ознак фігури до її означення і згодом — до властивостей. Такий перехід досить часто доводиться робити в процесі розв’язування задач. 35

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 97. Назвіть види паралелограмів, у яких: а) усі кути рівні; б) усі сторони рівні; в) діагоналі рівні; г) діагоналі перпендикулярні. 98. Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці О (див. рис. 31). Назвіть: а) бісектрису трикутника A B D ; б) висоту трикутника A B C ; в) медіану трикутника B C D . 99. У прямокутнику ABCD А В = 8 см, ВС = 5 см. Знайдіть: а) відстань від точки С до сторони A D ; б) відстань між прямими А В і CD . 100. Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці О . Назвіть усі рівні трикутники, які утворюються при перетині діагоналей. Визначте їх вид. 101. Чи може діагональ прямокутника дорівнювати його стороні? Чи може діагональ ромба дорівнювати його стороні? 102. Чи може прямокутник бути ромбом? У якому випадку? 103. Наведіть контрприклади, які спростовують наведені хибні твер дження: а) чотирикутник, який має два прямих кути,— прямокутник; б) чотирикутник із перпендикулярними діагоналями — ромб; в) чотирикутник із рівними діагоналями — прямокутник; г) чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні й рівні,— квадрат.

§ 4 . Види паралелограмів

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 104. Накресліть дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці О . На одній із прямих відкладіть по різні боки від точки О рівні відрізки ОА і ОС, а на другій прямій — рівні відрізки ОВ і ОБ . Сполучіть точки А , В , С і Б . а) Виміряйте сторони чотирикутника А В С Б і визначте його вид. б) Виміряйте кут А чотирикутника А В С Б . Користуючись вла стивостями цього чотирикутника, знайдіть градусні міри ін ших його кутів. Перевірте отримані результати вимірюванням. в) Виміряйте кути А Б В і СБВ . Виділіть кольором усі пари рівних кутів між діагоналями і сторонами чотирикутника. 105. Накресліть прямокутний трикутник А В Б з гіпотенузою В Б . Проведіть через вершини В і Б прямі, паралельні сторонам А Б і А В відповідно. Позначте точку С — точку перетину цих прямих. а) Виміряйте сторони чотирикутника А В С Б і визначте йо го вид. б) Проведіть діагональ А С . Виміряйте і порівняйте довжини діагоналей чотирикутника. в) Позначте на прямих ВС і А Б точки Сх і Б 1 так, щоб чотирикутник АВС1Б 1 був квадратом.

| Ц ) ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 106. Знайдіть периметр прямокутника А В С Б , якщо АС = 15 см, а периметр трикутника АВС дорівнює 36 см. 107. Знайдіть сторони прямокутника, периметр якого дорів нює 36 см, а одна сторона вдвічі більша за іншу. 108. У прямокутнику А В С Б Z ВАС = 65°. Знайдіть кут між діаго налями прямокутника. 109. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 80°. Знай діть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника. 110. Діагоналі прямокутника А В С Б перетинаються в точці О, причому Z СОБ = 60°, СБ = 8 см. Знайдіть довжину діагоналі. 37

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

111. Знайдіть кути ромба, якщо: а) один із них на 120° більший за інший; б) одна з його діагоналей дорівнює стороні. 112. Знайдіть кути ромба, якщо: а) сума двох із них дорівнює 220°; б) діагональ утворює з однією з його сторін кут 25°. 113. Периметр квадрата дорівнює 40 м. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей квадрата до його сторони. ЧІ4.) Відстань між протилежними сторонами квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть периметр квадрата. 115 (опорна). Якщо один із кут ів паралелограма прямий, то цей паралелограм є прямокутником. Доведіть. •"З*’ 116 (опорна). Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом. Доведіть.

Рівень Б 117. Точка перетину діагоналей прямокутника віддалена від двох його сторін на 3 см і 4 см. Знайдіть периметр прямокутника. —^ Ц І£/ Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону завдо вжки 12 см навпіл. Знайдіть периметр прямокутника. 119. З точки кола проведені дві перпендикулярні хорди, віддалені від центра кола на 3 см і 5 см. Знайдіть довжини цих хорд. 120. Знайдіть кути ромба, якщо: а) кути, утворені його стороною з діагоналями, відносять ся як 1 : 4; б) висота ромба вдвічі менша за сторону. 121. Знайдіть кути ромба, якщо: а) висота, проведена з вершини тупого кута, відтинає від ромба рівнобедрений трикутник; ь б) висота, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону ромба навпіл. 122 . З вершини кута ромба, що дорівнює 120°, проведена діагональ завдовжки 6 см. Знайдіть периметр ромба. - У 1 2 3 Л Діагональ квадрата дорівнює 18 м, а його сторона є діагоналлю іншого квадрата. Знайдіть периметр другого квадрата. 38

§ 4 . Види паралелограмів

124. У рівнобедрений прямокутний трикут ник вписано квадрат так, що дві його вер шини лежать на гіпотенузі, а дві інш і — на катетах (рис. 35). Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо сторона квадрата дорів нює 2 см. —^ 125. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що прямий кут є спіль ним для обох фігур (рис. 36). Знайдіть пери метр квадрата, якщо катет трикутника дорів нює 4 см. Рис. 36 126 (опорна). П аралелограм із перпендикулярними діагоналями є ромбом. Доведіть. —^ 127 (опорна). Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його протилеж них кутів, то цей паралелограм — ромб. Доведіть. 128. Відрізки АС і ВИ — діаметри кола. Доведіть, що АВСИ — прямокутник.

Рівень В 129. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону у відношенні 2 : 1. Знайдіть кути, на які діагональ ділить кут прямокутника. 130. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника пере тинає його сторону під кутом, що дорівнює куту між діагоналями. Знайдіть цей кут. 131. Доведіть, що всі висоти ромба рівні. Сформулюйте і доведіть обернене твердження. 132. З точки перетину діагоналей ромба проведено перпендику ляри до його сторін. Доведіть, що основи цих перпендикулярів є вершинами прямокутника. 133. Якщо діагоналі чотирикутника є бісектрисами його кутів, то цей чотирикутник — ромб. Доведіть. 134. Доведіть, що бісектриси кутів паралелограма, який не є ром бом, перетинаючись, утворюють прямокутник. 135. Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квад ратом, перетинаючись, утворюють квадрат. 39

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 5 Теоретичний матеріал • рівнобедрений трикутник; (7 клас, § 11,17, 20 • прямокутний трикутник; • задачі на побудову. Задачі 136. Пряма, паралельна основі АС рівнобедреного трикутника А В С , перетинає бічні сторони А В і ВС в точках П і Е відповідно. а) Доведіть, що А Е = СВ . б) Знайдіть кути чотирикутника А В Е С , якщо Z B = 8 0 °. 137. У чотирикутнику АВ С В сторони А В і ВС паралельні, а сто рони А В і СВ рівні. Чи обов’язково даний чотирикутник є пара лелограмом? Наведіть контрприклад.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 1 1. Висота паралелограма ділить тупий кут на два кути, різниця яких дорівнює 20°. Знайдіть кути паралелограма. 2. Сума двох сторін паралелограма дорівнює 48 см, а пери метр — 88 см. Знайдіть сторони паралелограма. 3. За даними рисунка доведіть, що в С А В С В — паралелограм. 4. Бісектриса кута паралелограма в ре зультаті перетину з його стороною утво рює кути, градусні міри яких відносять ся як 1 : 3. Визначте вид паралелограма. 5. Доведіть, що ромб є квадратом, якщо його діагоналі утворюють зі стороною рівні кути. 6. Серединний перпендикуляр до діагоналі прямокутника ділить його сторону на частини, одна з яких дорівнює меншій стороні прямокутника. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.

§ 5 .т РапеЦ'я

§ 5. Трапеція 5.1. Означення трапеції < 0 і" 4 ( О ^ Т р а п е ц ія

—

від

гр е ц ь ко го «трапезос» — м а л е н ь ки й дтіл. С п іл ьно ко ре н евим є. сл ов о «тр а пеза»

Як відомо, будь-який паралелограм має дві пари паралельних сторін. Розглянемо тепер чоти рикутник, який має лише одну пару паралельних сторін.

Означення

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

Паралельні сторони трапеції називають її основами, а непаралельні сторони — б іч н и м и сторонами. На рисунку 37 у трапеції АВСО сто

рони АО і ВС є основами, а АВ і СО — біч ними сторонами.

Рис. 37. Трапеція АВСІ)

Кути, прилеглі до однієї бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралель них прямих, на яких лежать основи трапеції. За теоремою про властивість паралельних прямих звідси випливає, що сума кут ів трапеції, при леглих до бічної сторони, дорівнює 180°. На рисунку 37 Z А + Z B = ZC + Z.D = 180° .

Означення Висотою трапеції називається спільний перпенди куляр прямих, що містять її основи.

Очевидно, що в трапеції можна провести безліч висот (рис. 38) — усі вони рівні як відстані між паралельними прямими. Найчастіше під час розв’язування задач висоти проводять із вершин кутів при меншій основі трапеції. 41

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

5.2. Окремі види трапецій Як серед трикутників та паралелограмів, так і серед трапецій виділяються окремі види, які мають додаткові властивості.

Означення Прямокутною

трапецією називається трапе

ція, у якій одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.

Рис. 39. Прямокутна трапеція

На рисунку 39 зображена прямокутна тра пеція. Вона має два прямі кути при меншій біч ній стороні. Ця сторона водночас є й висотою трапеції.

Означення Рівнобедреною трапецією називається трапеція, у якій бічні сторони рівні.

Рис. 40. Рівнобедрена трапеція АВСВ

На рисунку 40 зображена рівнобедрена тра пеція АВ С В з бічними сторонами А В і С В . Іноді рівнобедрену трапецію також називають рів нобічною. Рівнобедрена трапеція, як і рівнобедрений трикутник, має рівні кути при основі. Доведемо це в наступній теоремі.

Т е о р е м а (властивість рівнобедреної трапеції) У рівнобедреній трапеції кути при основі рівні.

Доведення □ Нехай АВ С В — дана трапеція, А В \\В С , АВ =С В . Перед початком доведення зазначимо, що цією теоремою стверджується рівність кутів при кожній із двох основ трапеції, тобто необхідно довести, що А А =А В і Z B = Z C . 42

§5.Трапеція

Рис. 41. Висоти, прове дені з вершин тупих кутів, відтинають від рівнобедреної трапе ції рівні трикутники

Проведемо висоти ВВ1 і СС1 з вершин ту пих кутів і розглянемо прямокутні трикутни ки А В В Х і ВССХ (рис. 41). У них А В = СП як бічні сторони рівнобедреної трапеції, ВВХ= ССХ як відстані м іж паралельними прямими АО і В С . Отже, А А В В Х=ДПСС1 за гіпотенузою і катетом. Звідси випливає, що А А = А Б . Кути трапеції В і С також рівні, оскільки кожний із цих кутів доповнює до 180° кут при більшій основі. Теорему доведено. ■ Має місце також обернене твердження (ознака рівнобедреної трапеції): якщо в трапеції кути при основі рівні, то така трапеція рівнобедрена.

Доведіть цей факт самостійно. Задача Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює біч ній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони! Знайдіте кути трапеції,

Розв'язання Нехай дано рівнобедрену трапецію АВСР, у якій АР || ВС, АВ = ВС = СР , В Р 1 А В (рис. 42). За умовою задачі трикутник....ВСР рівнобедрений з основою І оР . тобто 2р. =| / 2 ; з іншого боку, /А - Z3 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих АР і ВС та січній ВР. Нехай градусна^ міра; кута 1 дорівнює X . тоді в даній трізпеціїі А а =\ zb-\2.x\, кВ 1= АС = х - 9 0 . Оскільки сума кутів, прилеглих до бічної сторони, становить 180°, маємо: 2х + х + 90 = 180; Зх 9 0; Отже,

: а --=АР =60і0, \щ __

г1 іі

Відповідь: 60° і 1120°. 43

>ЗДіЛ І. Чотирикутники

5.3*. Побудова паралелограмів і трапецій Задачі на побудову паралелограмів і тра пецій часто розв’язують методом допоміжного трикутника. Нагадаємо, що для цього необхід но виділити в шуканій фігурі трикутник, який можна побудувати за наявними даними. По будувавши його, отримуємо дві або три верши ни шуканого чотирикутника, а решту вершин знаходимо за даними задачі. Задача Побудуйте паралелоградА 3а ,двома діагоналями і кутом між ними.

(и

в / / >

7І >

і ГИС.

Розв'язання Нехай сі] і сі2 — дані діагоналі паралелограма, а — кут між нимиі.

Аналіз Нехай паралелограм А ВСв побудовано (рис. 43). Тр.Акутник АОВ можна побудувати за двома сторонами і кутом між ними

А А \ АС>= / 4'АОВ = а / ВО = р ? V /• /

Таким чином, ми отримаємо вершини ,А і В шуканого паралелограма. Вершини С і Ь можна дістати, «подвоївши» відрізки АО і ВОі~

Побудова навпіл. 1. Розділимо відрізки а. і 2. Побудуємо трикутник АОВ за двома сторонами і кутом між ними. 3. На променях АО і ВО відкладемо відрізки ОС = АО і ОЬ == в о . Ь і А. 4. Послідовно сполучимо точки в , С і 1

§5. Трапеція

Доведення Чотирикутник АВСС) — паралелограм, оскільки за побудовою його діагоналі АС і ВО точкою перетину діляться навпіл. !/ ціьому паралелограмі АС = с«і. ВО = сІг, ZAOB = а за побудовою.

Дослідження Задача має єдиний розв'язок( за будь-яких значень сІ1( сІг і а .

У деяких випадках для побудови допоміж ного трикутника на рисунку-ескізі необхідно про вести додаткові лінії. Задача і

Побудуйте трапецію за чотирма сторонами.

\ Розв'язання Нехай а і Ь (а < Ь) — основи шуканої трапеції, с і сі — ї ї бічні сторони.

Аналіз Нехай шукану трапецію АВСО побудовано (рис. 44). Проведемо через вершину С пряму СЕ, паралель ну А В. Тоді АВСЕ — паралелограм за означенням,

Еі £і С е/

сі а іІі

и -- а V

Рис. 44

отже, СЕ = АВ = с . Крім того, АЕ = ВС = а , отже, ЕО = Ь - а . Допоміжний трикутник ЕСЬ можна побудувати за трьома сторонами. Після цього для отримання вершин А і В необхідно відкласти на промені ОЕ і на промені з початком С , паралельному О Е , відрізки завдовжки а .

Побудова 1. Побудуємо відрізок Ь - а . 2. Побудуємо трикутник ЕСЬ за трьома сторона ми (ЕС = с , СЬ = сІ, ЕЬ = Ь - а ) .

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

__ __ і__

3. ГГобуДуЄААО промінь, ЯКИк проходить через точ' к У <’ і пара:пельний DE Прі1 цьому побудований промі нь і промін<ь DE мають лежати по с>дин б'ік від прямої CD • 4. На проме ні DE від точки Е ві/зкладеїмо від---- і . П : різок ЕА = а, на промені 3 г очс1ТКОМ С - від ЗІ— і зок СВ = а 5. Спотіуч /ІМ<) ТСЭЧКи А в ----!---дзведення ■ і- : А ьії вс АЕMICE За пс бу ЦОЕІОК3 ВС = <L. AD = ь - -а + а = ь , <: е == с. 0 скізІЬКИ 3а ззначенжїм АВС — па залел ограм, т0 АВ Й : е <= с . (Зтже, . і АBCD - шукана д зап еція. 1 Д<зслідження .. г; Г J ГП— Г Зада на має єди НИІ.і рОЗВЯЗСзк, якщо числ a Э - а , J . . ............. Т~..Г с і d задовольняють нерівність трикутника.

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 138. Чи можуть основи трапеції дорівнювати одна одній? Чому? 139. Чи можуть бути рівними: а) сусідні кути трапеції; б) протилежні кути трапеції? 140. Чи обов’язково кути трапеції, прилеглі до більшої основи, є го стрими? Наведіть приклади. 141. Чи може рівнобедрена трапеція бути прямокутною? 142. Чи може висота трапеції бути більшою за бічну сторону; дорів нювати бічній стороні? 143. Д іагон ал і тр ап ец ії ABCD (.A D \\B C ) перетинаю ться в точці О . а) Чи може трикутник AOD дорівнювати трикутнику ВОС ? б) Чи може трикутник АО В дорівнювати трикутнику DOC ?

§5. Трапеція

144. Чи може точка перетину діагоналей трапеції бути серединою кожної з них; однієї з них?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 145. Накресліть паралелограм АВ С В і проведіть у ньому ви соту С Н . а) Визначте вид трапеції А В С Н . б) Чи є висотою трапеції будь-яка висота паралелограма? На ведіть контрприклад. — 146. Накресліть рівнобедрений трикутник А М О з основою А В . Позначте на стороні А М точку В і проведіть через неї пряму, паралельну А В . Позначте точку С — точку перетину цієї прямої зі стороною М £ ). а) Визначте вид трапеції А В С Б . б) Проведіть діагоналі трапеції. Виміряйте і порівняйте їх дов жини.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 147. Знайдіть невідомі кути: а) трапеції А В С Б з основами А В і ВС , якщо А А = 40° , = 50°; б) рівнобедреної трапеції, один із кутів якої дорівнює 58°; в) прямокутної трапеції, найбільший кут якої утричі більший за найменший кут. 148. Знайдіть невідомі кути: а) рівнобедреної трапеції, в якій висота, проведена з вершини тупого кута, утворює з бічною стороною кут 22°; б) прямокутної трапеції, яку діагональ, проведена з верши ни тупого кута, ділить на два рівнобедрені прямокутні три кутники. 47

і’03ДІЛ І Чотирикутники

149. У рівнобедреній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки завдовжки 6 см і ЗО см. Знайдіть меншу основу трапеції. 150. Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, ділить її на відрізки, один із яких дорівнює 3 см. 151. Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 180°.

Рівень Б 152. Знайдіть кути: а) рівнобедреної трапеції, якщо різниця двох її протилежних кутів дорівнює 80°; б) прямокутної трапеції, в якій діагональ є бісектрисою тупого кута й утворює з меншою бічною стороною кут 35°. 153. Знайдіть кути: а) прямокутної трапеції, якщо відношення найбільшого і най меншого з них дорівнює 3 : 2 ; б) рівнобедреної трапеції, менша основа якої дорівнює бічній стороні і вдвічі менша за більшу основу. 154. У трапеції ABCD через вершину В пров ведено пряму В К , паралельну стороні CD (рис. 45). а) Доведіть, що KBCD — паралелограм. б) Знайдіть периметр трапеції, якщо £> ВС = 4 см, РААВК = 11 см. 155. У рівнобедреній трапеції середина більшої основи сполучена з вершинами меншої основи. При цьому утвори лися три рівносторонні трикутники. Знайдіть: а) кути трапеції; б) периметр трапеції, якщо периметр одного трикутника дорів нює 12 м. 156. Діагональ рівнобедреної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює 60°. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша ос нова дорівнює 15 см. 48

§ 5 . Трапеція

—^ 157. Діагональ рівнобедреної трапеції є бісектрисою її тупо го кута. Знайдіть периметр трапеції, якщо її основи дорівню ють 5 см і 10 см. 158. Доведіть, що бісектриси кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, перпендикулярні. 159. Побудуйте: а) паралелограм за двома сторонами й діагоналлю; б) ромб за стороною і діагоналлю; в) рівнобедрену трапецію за більшою основою, бічною стороною і гострим кутом. 160. Побудуйте: а) ромб за кутом і діагоналлю, протилежною цьому куту; б) прямокутник за діагоналлю і кутом між діагоналями; в) прямокутну трапецію за меншою основою, більшою бічною стороною і більшою діагоналлю.

Рівень В 161. Діагональ ділить рівнобедрену трапецію на два рівнобедрені трикутники. Знайдіть кути трапеції. 162. Довжини бічних сторін трапеції дорівнюють 2а, а довжини основ — 7 а і 9 а. Знайдіть кути трапеції. 163 (опорна). Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні, і навпаки: якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобедрена. Доведіть. —^ 164 (опорна). Діагоналі рівнобедреної трапеції утворюють з Ті основою рівні кути, і навпаки: якщо діагоналі т рапеції утворю ють з Ті основою рівні кути, то трапеція рівнобедрена. Доведіть. 165. Побудуйте: а) паралелограм за стороною, діагоналлю і кутом, протилежним цій діагоналі; б) ромб за висотою і діагоналлю; в) трапецію за основами і діагоналями. —^ 166. Побудуйте: а) прямокутник за діагоналлю й периметром; б) ромб за висотою і гострим кутом; в) рівнобедрену трапецію за різницею основ, бічною стороною і діагоналлю. 49

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ Т ео р е ти ч н и й м атер іал * ознаки паралельних прямих; * властивості паралельних прямих.

З адачі 167. Точки В , Е і і*1 — середини сторін А В , ВС і АС рівностороннього трикутника АВС відповідно. Доведіть, що чотирикут ник А В Е Е — ромб. Назвіть інші ромби, трьома вершинами яких є точки І ) , Е і ^ . 168. Відрізки А В і СЕ — рівні висоти трикутника А В С . Доведіть, що трикутник В В Е рівнобедрений.

Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

§ 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції 6.1. Теорема Фалеса Для подальшого вивчення властивостей тра пеції доведемо важливу теорему.

Т е о р е м а (Фалеса) Паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній із них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на іншій стороні.

Рис. 46. Теорема Фалеса

Рис. 47. До доведення теореми Фалеса

Доведення □ Нехай Ах, А 2, Ад — точки перетину паралельних прямих з однією із сторін даного кута, а В 1, В2, В3 — відповідні точки пере тину цих прямих з іншою стороною кута. До ведемо, що коли АХА2 = А 2А 3 , то ВХВ2 = В2В3 (рис. 46). Проведемо через точку В2 пряму С І), пара лельну А 1А 3 (рис. 47). Чотирикутники А 2А гСВ2 і А3А2В2В — паралелограми за означенням. Тоді А 1А 2 = СВ2, А 2А 3 = В2В , а оскільки А 1А 2 - А ^А ^, то СВ2 - В2В . Розглянемо трикутники ВХВ2С і В3В2£ ) . У них СВ2 = В2В за доведеним, А 1 - А 2 як вер тикальні, а Z З = Z 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих А1В1 і АдВ3 та січній СВ . Отже, Д В ^ С = ДВ3В2В за другою ознакою, звідки ВХВ2 = В2В3 . Теорему доведено. ■ 51

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Зазначимо, що в умові даної теореми замість сторін кута можна розглядати дві довільні прямі, тому теорема Фалеса може формулюватися і так: паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтинають на одній із них рівні відріз ки, відтинають рівні відрізки і на іншій прямій. Задача Поділіть даний івідрізок на п рівних частин. Роїа'яіання Розв'яжемо задачу для п = 3 , тобто поділимо даний відрізок АВ на три рівні частини (рис. 48). Для цього проведемо з точки А довільний пр<0мінь, не доповняльнийі до променя АВ, і відкла-

А В1 В2

Рис. 48. Поділ відрізка на рівні частини

демо на ньому рівні відрізки АС^, С^Сг і С2С3 . Проведемо пряму С3В і паралельні їй прямі через точки С, і Сг . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок АВ на три рівні частини. Аналогічно можна поділити довільний відрізок на будь-яку кількість рівних частин.

6.2. Середня лінія трикутника Теорема Фалеса допомагає дослідити ще од ну визначну лінію в трикутнику. Означення Середньою лінією трикутника називається відрі зок, що сполучає середини двох його сторін.

б Рис. 49. Середня лінія трикутника

На рисунку 49, а відрізок ВЕ — середня лінія трикутника А В С . У будь-якому трикутнику можна провести три середні лінії (рис. 49, б).

§ 6 - Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

Т е о р е м а (властивість середньої лінії трикутника) Середня лінія трикутника паралельна одній із його сторін і дорівнює половині цієї сто рони.

Рис. 50. До доведення властивості середньої лінії трикутника

Доведення □ Нехай Б Е — середня лінія трикут ника АВС (рис. 50). Доведемо спочатку, що Б Е Ц А С . Проведемо через точку В пряму, паралельну А С . За теоремою Фалеса вона перетне відрі зок ВС в його середині, тобто міститиме відрі зок Б Е . Отже, О Е \\А С . Проведемо тепер середню лінію ЕЕ . За щой но доведеним вона буде паралельна стороні А В . Чотирикутник А І)Е Е з попарно паралельними сторонами за означенням є паралелограмом, звід ки Б Е = А Е . А оскільки точка Г — середи на А С , то ОЕ = —А С . 2

Теорему доведено. І Опорна задача (теорема Вариньйона) Середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма. Доведіть. Розв'язання

Рис. 51. Середини сторін чотирикутника АВСИ — вершини паралелограма

Нехай точки К, і, М, N — середини сторін чотири кутника /4ВС5 (рис. 51). Проведемо діагональ ВЬ. Відрізки КИ і МЬ — середні лінії трикутників АВЬ і СВЬ відповідно. За властивістю середньої лінії трикутника вони паралельні стороні ВЬ і дорів нюють ї ї половині, тобто паралельні й рівні між собою. Тоїіі за ознакою паралелограма чотирикут - паралелограм. ник КІ-МИ

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

6.3. Середня лінія трапеції О з н іч е к к я Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

На рисунку 52 відрізок ЕР — середня лінія трапеції А В С Б .

Б Рис. 52. Середня лінія

трапеції

Т е о р е м а (властивість середньої лінії трапеції) Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Доведення

Рис. 53. До доведення властивості середньої лінії трапеції

□ Нехай ЕЕ — середня лінія трапеції А В С Б з основами А І) і ВС (рис. 53). Проведемо пряму ВЕ і позначимо точку Б — точку перетину прямих ВЕ і А Б . Розглянемо трикутники ВЕС і СЕ Б . У них БС = Б Б , оскільки Е — середи на СБ , А 1 = А 2 як вертикальні, а А 3 = А 4 як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і А Б та січній СБ . Отже, А ВЕС =А С Е В за другою ознакою, звідки ВБ = . Тоді за означенням ЕБ — середня лінія трикутни ка А В (?. За властивістю середньої лінії трикут ника ЕЕ ЦА С , тому Е Е \\А Б і Е Е \\В С . Крім того, з доведеної рівності трикутників випливає, що ВС = В С , звідки А С = А Б + Б Б = А Б + ВС . За властивістю середньої л ін ії трикутника

Е Б ——АС = ^ { А Б + ВС ). Теорему доведено.

V \, м

Задача Через точки, які ділять бічну сторону трапеції на три рівні частини, проведено прямі, паралельні основам трапеції. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, що містяться всередині трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 м і 5 м.

§б. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

і__ 1 і Розв'язання Нехай у трапеції АВСЬ АОЦВС, А]4, Ф АД, = Аг В

2 С

(рис. 54). За теоремою Фалеса паралельні пря мі, що проходять через точки А, і Аг, відтина

0 Рис. 54

ють н абічній стороні СЬ рівні відрізки, тобто СД = = Д С . Тоді за означенням А Д — середня лінія трапеції ААгДЬ, АгД — середня лінія трапе ції А,ВСД. Нехай А Д = х м, АгД = у м. За влас тивістю середньої лінії трапеції маємо систему:

х= :

У4 2 .2

2 х -- уу =! = 5, |х = 4, 2у - х = 2; {у = 3.

Відповідь: 3 м і 4 м.

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 169. Відрізок Б Е — середня лінія трикутника АВС (рис. 49, а). а) Визначте вид чотирикутника А Б Е С . б) Назвіть медіану трикутника, що виходить із вершини А . 170. Чи може середня лінія трикутника бути перпендикулярною до його сторони; до двох його сторін? 171. Чи можуть середні лінії трикутника дорівнювати 3 см, 4 см і 10 см? Чому? 172. У трикутнику АВС проведено середню лінію, паралельну стороні АС . У якому відношенні вона ділить медіану В М ; ви соту В Н ? 173. Середини основ трапеції сполучені відрізком. Чи є він середньою лінією трапеції? 55

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

174. Чи може середня лінія трапеції бути меншою за обидві її ос нови; дорівнювати одній з основ? 175. Чи може середня лінія трапеції проходити через точку пере тину діагоналей? Чому?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 176. Накресліть трикутник A B C . Позначте на стороні А В точки А х , А^ і Ад так, щоб вони ділили відрізок А В на чотири рівні частини. Проведіть через ці точки прямі, паралельні стороні А С , і позначте точки їх перетину зі стороною ВС С1, С2 і С3 відповідно. а) Виміряйте і порівняйте довжини відрізків, на які точки Cj, С2 і С3 ділять сторону ВС . б) Виділіть червоним кольором середню лінію трикутника A B C . в) Виділіть синім кольором середню лінію трапеції А А 2С2С . 177. Накресліть трикутник A B C . Позначте точки D , Е і F — се редини сторін А В , ВС і АС відповідно. Сполучіть позначені точки. а) Визначте вид чотирикутника AD E F . б) Визначте вид чотирикутника AJDEC . в) Назвіть усі трикутники, що дорівнюють трикутнику D EF . Запишіть відповідні рівності.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 178. За даними рисунка 55 знайдіть х , якщо а || b .

Рис. 55

179. Через середину П сторони А В трикутника АВС проведено пряму, яка паралельна АС і перетинає сторону ВС в точці Е . Знайдіть ВС , якщо В Е = 8 см. 56

§ 6 . Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

180. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Знайдіть сторони трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника. 181. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 3,5 см. Знайдіть периметр трикутника. 182. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники. 183. Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію з бічни ми сторонами 3 м і 4 м і меншою основою 5 м. Знайдіть периметр трикутника. 184. Діагоналі чотирикутника дорівнюють 18 см і 22 см. Знайдіть периметр паралелограма, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника. 185. Знайдіть: а) середню лінію трапеції з основами 8 см і 12 см; б) основи трапеції, в якій діагональ ділить середню лінію на відрізки завдовжки 3 см і 4 см. 186. Знайдіть: а) середню лінію рівнобедреної трапеції з бічною стороною 5 см і периметром 26 см; б) основи трапеції, якщо одна з них більша за іншу на 6 см, а середня лінія трапеції дорівнює 5 см. 187. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямо кутника. 188. Доведіть, що середини сторін прямокутника є вершинами ромба.

Рівень Б 189. Пряма, яка паралельна основі рівнобедреного трикутника і проходить через середину бічної сторони, відтинає від даного три кутника трапецію. Знайдіть її периметр, якщо периметр даного трикутника дорівнює 26 см, а основа відноситься до бічної сторо ни як 5 : 4. 19Q*. Середні лінії трикутника відносяться як 4 : 5 : 6 . Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 60 см. 191. Доведіть, що вершини трикутника рівновіддалені від прямої, яка містить його середню лінію. 57

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

192. Доведіть, що середини сторін рівнобедреної трапеції є верши нами ромба. 193. Як побудувати трикутник, якщо задано середини його сторін? 194. Як розрізати трикутник на дві частини так, щоб із них можна було скласти паралелограм? 195. Прямокутна трапеція ділиться діагоналлю на рівносторонній трикутник зі стороною а і прямокутний трикутник. Знайдіть се редню лінію трапеції. 196. Кінці діаметра кола віддалені від дотичної до цього кола на 14 см і 20 см. Знайдіть діаметр кола. 197. Точки А і В лежать по один бік від прямої І і віддалені від неї на 7 см і 11 см відповідно. Знайдіть відстань від середини відрізка А В до прямої І . 198. Бічну сторону рівнобедреного трикутника поділено на чоти ри рівні частини. Через точки поділу проведені прямі, паралельні основі трикутника. Знайдіть відрізки цих прямих, що містяться всередині трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см.

Рівень В 199. Точки М і N — середини сторін ВС і A D паралелогра ма ABCD . Доведіть, що прямі A M і CN ділять діагональ BD на три рівні частини. 200. Поділіть даний відрізок у відношенні 3 : 2. 201. Доведіть, що відрізок, який сполучає середини діагоналей трапеції, паралельний основам трапеції і дорівнює їх піврізниці. Розв’яжіть задачу 197 за умови, що точки А і В лежать по різні боки від прямої І . 202. Середина бічної сторони рівнобедреної трапеції з основами а і b (а< Ь ) сполучена з основою її висоти (рис. 56). Доведіть, що: а)

HD =

;

б) A H = M N = ^ ~ . 2

Рис. 56

Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

203. У рівнобедреній трапеції діагональ завдовжки 4 см утворює з основою кут 60°. Знайдіть середню лінію трапеції. 204. а) У трикутнику АВС кожну з бічних сторін АВ і ВС розділено на т рівних частин (рис. 57). Доведіть, що відрізки, які сполучають відповідні точки поділу, паралельні між собою і паралельні сто роні А С . б) Сформулюйте і доведіть аналогічне твердження для трапеції.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 7 Теоретичний матеріал • зовнішній кут трикутника; 7 клас, • коло; • коло, описане навколо трикутника; • геометричне місце точок. Задачі 205. Через вершину рівностороннього трикутника, вписаного в коло, проведено пряму, паралельну його стороні. Доведіть, що ця пряма є дотичною до кола. 206. Зовнішній кут рівнобедреного трикутника дорівнює 80°. Знай діть кути трикутника.

РОЗДІ/1 |..Чотирикутники

§ 7. Вписані кути 7.1. Градусна міра дуги

Рис. 58. Кути на площині

У сьомому класі вивчення властивостей трикутників завершувалося розглядом описаного і вписаного кіл. Але перед тим як розглянути описане і вписане кола для чотирикутника, нам необхідно зупинитися на додаткових властиво стях кутів. До цього часу розглядалися лише кути, градусна міра яких не перевищувала 180°. Роз ширимо поняття кута, ввівши до розгляду кути із градусною мірою, більшою за 180°. На рисунку 58 кут (аЬ) ділить площину на дві частини. Якщо внутрішньою областю ку та (аЬ) вважати частину площини, яка не за штрихована, то градусна міра такого кута дорів нює а . Якщо ж внутрішньою областю даного кута вважати заштриховану частину площини, то градусна міра такого кута дорівнює (360°- а ) . Часто, кажучи «кут», ми будемо мати на ува зі кут разом із його внутрішньою областю, уточ нюючи в разі необхідності, яка саме частина пло щини розглядається як внутрішня область кута. Перейдемо тепер до вимірювання кутів у колі. Означення Центральним кутом у колі називається кут з вер шиною в центрі кола.

На рисунку 59, а, б сторони кута з вершиною в центрі кола О перетинають дане коло в точ ках А і В . При цьому утворюються дві дуги, одна з яких менша за півколо (на ній позначена проміжна точка Ь , рис. 59, а), а інша — більша 60

Вписані кути

за півколо (на ній позначена проміжна точка М , рис. 59, б). Для того щоб уточнити, яку з час тин площини ми розглядаємо як внутрішню об ласть центрального кута, ми будемо вказувати дугу кола, яка відповідає даному центральному куту (тобто міститься всередині нього). На ри сунку 59, а центральному куту А О В , позначе ному дужкою, відповідає дуга A L B , а на ри сунку 59, б — дуга А М В . У випадку, коли про мені ОА і OB доповняльні, відповідна дуга A N В є півколом (рис. 59, в). Означення Градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.

Градусну міру дуги, як і саму дугу, коротко позначають так: и A L B (або и A B ). Наприклад, на рисунку 59, в uA /V ß = 1 8 0 ° , тобто градус на міра півкола становить 180°. Очевидно, що градусна міра дуги всього кола становить 360°.

N В

Рис. 59. Центральний

кут і дуга кола

7.2. Вписаний кут Означення Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло.

На рисунку 60 зображено вписаний кут А В С . Його вершина В лежить на колі, а сторони перетинають коло в точках А і С . Дуга АС (на рисунку вона виділена) лежить все редині цього кута. У такому випадку кажуть, що вписаний кут АВС спирається на дугу А С .

Т е о р е м е (провпинений кут) кут ABC

Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. 61

Чотирикутники

Доведення

□ Нехай у колі з центром О вписаний кут АВС спирається на дугу А С . Доведемо, що

А А В С - — и А С . Розглянемо три випадки роз-

міщення центра кола відносно даного вписаного кута (рис. 61, а—в). 1) Нехай центр кола лежить на одній із сторін даного кута (рис. 61, а). У цьому ви падку центральний кут АОС є зовнішнім ку том при вершині О рівнобедреного трикут ника АО В . За теоремою про зовнішній кут трикутника А А О С - А 1 + А 2 . А оскільки ку ти 1 і 2 рівні як кути при основі рівнобедре ного трикутника, то А А О С = 2 А А В С , тобто

А АВС = —АА О С = — и А С . 2

2) Нехай центр кола лежить усере дині кута АВС (рис. 61, б). Промінь ВО ді лить кут АВС на два кути. За щойно доведе ним А А В В = — ' и А В , 2

АБВС^-иБС,

отже,

А АВС = - ( и А О + иІ>С) = - и А С . 2

3) Аналогічно у випадку, коли центр кола лежить поза вписаним кутом (рис. 60, в),

А АВС = - (и В С - и АО ) = - и АС . Рис. 61. Вимірювання вписаного кута АВС

Теорему доведено. ■ Щ ойно доведену теорему можна сформулю вати інакше. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, який спирається на ту саму дугу.

§ ^ Вписані кути

І__1_М _і Знайдіть кут

Задачо

____)__і і }___

ВЬС, якщо Z B C A = 5 0 o (рис. 62).

Розв'язання Для того щоб знайти кут ВЬС, необхідно знайти градусну міру дуги ВС , на яку він спирається. Але безпосередньо з даних задачі ми можемо знайти лише градусну міру дуги АВ | на яку спи рається кут ВСА: з теореми про вписаний кут иАВ = 2ZBCA = 100°. Зазначимо, що дуги АВ і ВС разом складають півколо, тобто иАВ + иВС = 180°, отже, иВС = 180° -1 0 0 ° = 80° . Тоді за теоремою про вписаний кут ZB[>C = — и ВС = 40°.

Відповідь: 40°.

7.3. Висновки теореми про вписаний кут За кількістю і значущістю висновків теоре ма про вписаний кут є однією з «найбагатших» геометричних теорем. Сформулюємо найбільш важливі з цих висновків. Наслідок 1 Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні.

Справді, за теоремою про вписаний кут гра дусна міра кожного з вписаних кутів на рисун ку 63 вимірюється половиною дуги А В . Наслідок 2 Рис. 63. Вписані кути,

що спираються на ду гу АВ , рівні

Вписаний кут, що спирається на півколо,— пря мий, і навпаки: будь-який прямий вписаний кут спирається на півколо.

Справді, оскільки градусна міра півко ла дорівнює 180°, то кут А В С , що спирається 63

РОЗДІЛ І- Чотирикутники

на півколо, дорівнює 90° (рис. 64). Обґрунтування оберненого твердження проведіть самостійно. Наслідок З

Р и с . 6 4 . Вписаний кут, що спирається на півко ло,— прямий

Центром кола, описаного навколо прямокутно го трикутника, є середина гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, проведена з вер шини прямого кута, дорівнює половині гіпо тенузи.

Перше з наведених тверджень випливає з висновку 2. Якщо у трикутнику АВС кут АВС прямий (рис. 65, а), то дуга А С , на яку спираєть ся цей кут, є півколом. Тоді гіпотенуза АС — діа метр описаного кола, тобто її середина — центр кола. Твердження про довжину медіани випливає з рівності радіусів: ВО = АО = СО = —А С . 2

б Прямокутний трикутник АВС вписа ний у коло Р ис. 65.

Відзначимо ще один цікавий факт: медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотену зи, ділить даний трикутник на два рівнобедрені трикутники зі спільною бічною стороною. Із цьо го, зокрема, випливає, що кути, на які медіана ділить прямий кут, дорівнюють гострим кутам трикутника (рис. 65, б). Як приклад застосування висновків теореми про вписаний кут розглянемо інше розв’язання тієї самої задачі, яку ми щойно розгляну ли в п. 7.2. Задача Знайдіть кут ВЬС, якщо ZB СА = 50° (див. рис. 62). Розв'язання Проведемо хорду А В (рис. 66). Оскільки вписаний кут /4ВС спирається на півколо, то за висновком 2 ААВС = 90і°. Отже, трикутник АВС прямокутний,

СО

0 О

ІГ>

о;

§7. Вписані кути

висновком 1 ZB СА = тоді ZBAC кути ВАС і ЕІйС ріівні, оскільки обидва вони спіА раються на дугу В<7. Отже, ZBЬC = ZBAC ж 40°

Відповідь: 40°.

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 207. Визначте, чи е вписаний кут АВС гострим, прямим або тупим, якщо: а) дуга АВС менша за півколо; б) дуга АВС більша за півколо; в) дуга АВС дорівнює півколу. 208. Сторона вписаного кута проходить через центр кола (див. рис. 61, а). Чи може даний кут бути тупим; прямим? 209. Три футболісти пробивають штраф ні удари по воротах із точок А , В і С (рис. 67). У кого з них кут обстрілу воріт найбільший? 210. Чи можуть два вписані кути дорівню вати один одному, якщо вони не спирають ся на одну дугу? 211. Чи можуть вписані кути АВС і А В 1С не дорівнювати один одному? Наведіть кис ь/ приклад. 212. Чи може: а) кут, сторони якого перетинають коло в кінцях діамет ра, бути гострим; б) кут із вершиною на колі, сторони якого перетинають коло в кінцях діаметра, бути гострим? 213. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10. Чи може висота, проведена до неї, дорівнювати 6? Відповідь об ґрунтуйте. 65

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 214. Накресліть коло з центром у точці О і позначте на ньому точки А , В і С . а) Виділіть двома кольорами два кути, утворені променями ОА і ОС. б) Яким кольором виділено кут, що вдвічі більший за кут ABC? в) Позначте на колі точку D так, щоб вписані кути ABC і ADC були рівні. —^ 215. Накресліть коло з центром О і проведіть його діаметр А В . а) Позначте на колі точку С і виміряйте кут А С В . Поясніть отриманий результат. б) Накресліть і виділіть червоним кольором центральний кут, який удвічі більший за кут A B C .

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А

216. У колі побудовано центральний кут. Знайдіть градусні міри дуг, які утворилися, якщо: а) одна з них більша за іншу на 120°; б) вони відносяться як 2 : 7 . —^ 217. Знайдіть градусну міру дуги, яка складає: 5 а) чверть кола; б) третину кола; в) — кола. 18

218. За даними рисунка 68, а—в знайдіть градусну міру х (точ ка О — центр кола).

б Рис. 68

-------------------------------q §7. Вписані кути

219. За даними рисунка 69, а—в знайдіть градусну міру х (точ ка О — центр кола).

Рис. 69

220. На колі позначено точки А , В , С і D . Знайдіть кут A B C , якщо Z ADC = а . Скільки розв’язків має задача? 221. На колі позначено точки А , В і С , причому хорда АС дорів нює радіусу кола. Знайдіть кут A B C . Скільки розв’язків має задача? 222. Трикутник ABC вписаний у коло, центр якого лежить на відріз ку АВ. Знайдіть: а) кут В, якщо Z A - 65°; б) медіану, проведену з вершини С , якщо АВ = 12 см. 223. Відрізок АС — діаметр кола з центром О , а точка В лежить на цьому колі. Знайдіть: а) кут між хордами ВА і ВС ; б) відрізок АС , якщо ВО = 5 см. 224. Доведіть, що бісектриса вписаного кута ділить навпіл дугу, на яку він спирається.

Рівень Б 225. За даними рисунка 70, а, б знайдіть кут х (точка О — центр кола).

Рис. 70

РОЗДІЛ І. Чотири кутники

226. За даними рисунка 71, а, б знайдіть кут х (точка О — центр кола).

Рис. 71

227. Хорда АС ділить коло на дві дуги, градусні міри яких відно сяться як 11 : 7. Знайдіть кут А В С , якщо точка В лежить на біль шій дузі. 228. Знайдіть кути вписаного трикутника, якщо його верши ни ділять коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 3 : 4 : 5 . 229. Сторона рівнобедреного трикутника, вписаного в коло, стягує дугу в 100°. Знайдіть кути трикутника. Скільки розв’язків має задача? 230 (опорна). К ут м іж хордою і дотичною до кола, проведеною через кінець хорди, вимірюється половиною дуги, яка лежить усередині цього кута. Доведіть.

231 (опорна). а) Дуги кола, я кі містяться м іж двома паралельними хор дами, рівні. Доведіть. б) Рівні хорди стягують дуги з однаковою градусною мірою, і навпаки: дуги з однаковою градусною мірою стягуються рівними хордами. Доведіть.

232. Хорда кола стягує кут 100°. Знайдіть кут між дотичними, проведеними через кінці цієї хорди. 233. На колі позначено точки А , В і С , причому АС — діаметр кола, /.В С А - 60°, ВС = 4 см. Знайдіть радіус кола. —^ 234. Знайдіть менший катет прямокутного трикутника, якщо його медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 9 см і утворює з гіпо тенузою кут 60°. 68

§7. Вписані кути

Рівень В 235 (опорна). Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить усередині трикутника, а центр кола, опи саного навколо тупокутного т рикутника ,— поза трикутником.

Доведіть. 236 (опорна). К ут із вершиною всередині кола вимірюється півсумою дуг, одна з яких міститься м іж сторонами цього кута, а інша — м іж їх продовженнями. Доведіть.

237 (опорна). К ут м іж двома січними, я к і перетинаються зовні кола, вимірюється піврізницею більшої і меншої дуг, я кі містять ся м іж його сторонами. Доведіть. 238. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висотою, проведеною до гіпотенузи. 239. Побудуйте трикутник за стороною, протилежним кутом і ви сотою, проведеною з вершини цього кута. 240. Знайдіть геометричне місце вершин прямих кутів, сторони яких проходять через кінці відрізка А В . —^ 241. Знайдіть геометричне місце точок, із яких даний відрізок А В видно під заданим кутом а . 242. Точка А лежить поза даним колом з центром О . Побудуйте дотичну до даного кола, яка проходить через точку А .

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 8 Т е о р е ти ч н и й м атер іал • • •

описане і вписане кола; властивість відрізків дотичних; теорема про бісектрису кута.

7 клас, п. 21.3,22.2

Задачі 243. У рівнобедрений трикутник із кутом при основі 40° вписано коло. Знайдіть кут між радіусами, проведеними в точки дотику кола з бічними сторонами трикутника. 244. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 9 см, починаючи від основи. 69

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

§ 8.'Вписані й описані чотирикутники 8.1. Вписані чотирикутники Означення Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Рис. 72. Чотирикутник

ABCD вписано в коло

Чотирикутник АВСИ на рисунку 72 є впи саним у коло. Інакше кажуть, що коло описане навколо чотирикутника. Як відомо, навколо будь-якого трикутни ка можна описати коло. Для чотирикутника це можна зробити не завжди. Доведемо властивість і ознаку вписаного чотирикутника.

Т е о р е м а (про вписаний чотирикутник) 1) Сума протилежних кутів вписаного чотири кутника дорівнює 180° (властивість вписаного чотирикутника).

2) Якщо сума протилежних кутів чотирикут ника дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло (ознака вписаного чотирикутника).

Доведення □ 1) Властивість. Нехай чотирикутник ABCD вписаний у коло (рис. 72). За теоремою про вписаний кут

Z A = - u

Отже,

B C D , Z C =—u D A B . 2

Z A + Z C = —{ у BCD + uD A B ) = —•360° = 2

= 180°. Аналогічно доводимо, що Z B + Z D - 180°. 70

§ 8 . Вписані й описані чотирикутники

Рис. 73. До доведення від супротивного ознаки вписаного чотирикутника

2)* Ознака. Нехай у чотирикутнику АБСБ Z Б + Z Б = 180°. Опишемо коло навколо три кутника АВС і доведемо від супротивного, що вер шина Б не може лежати ані всередині цього кола, ані поза ним. Нехай точка Б лежить усередині кола, а точка Е — точка перетину променя АО з дугою АС (рис. 73). Тоді чотирикутник АВС Е — вписаний. За умовою Z Б -l-Z Б = 180°, а за щойно доведеною властивістю вписаного чотирикутни ка Z Б + Z Б = 180°, тобто Z Б = Z Б . Але кут О чотирикутника АБСБ — зовнішній кут трикут ника СББ , і за теоремою про зовнішній кут три кутника він має бути більший за кут Е . Отже, ми отримали суперечність, тобто точка Б не мо же лежати всередині кола. Аналогічно можна довести, що точка Б не може лежати поза ко лом. Тоді точка Б лежить на колі, тобто навко ло чотирикутника АВСБ можна описати коло. Теорему доведено. ■

Наслідок 1 Навколо будь-якого прямокутника можна опи сати коло. Якщо паралелограм вписаний у коло, то він є прямокутником. Рис. 74. Прямокутник, вписаний у коло

Прямокутник, вписаний у коло, зображено на рисунку 74.

Наслідок 2 Навколо рівнобедреної трапеції можна опи сати коло. Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівно бедрена.

Рис. 75. Рівнобедрена трапеція, вписана в коло

Рівнобедрена трапеція, вписана в коло, зоб ражена на рисунку 75. Приклади розв’язування задач про вписані чотирикутники подано в п. 8.4. 71

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

8.2. Описані чотирикутники Означення

Чотирикутник називається описаним навколо ко ла, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. Чотирикутник А В С В на рисунку 76 є опи саним навколо кола. Інакше кажуть, що коло вписане в чотирикутник. Виявляється, що не в будь-який чотири кутник можна вписати коло. Доведемо відповідні властивість і ознаку. Т е о р е м а (про описаний чотирикутник) 1) В описаному чотирикутнику суми проти лежних сторін рівні (властивість описаного чотирикутника).

2) Якщо в чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло (ознака описаного чотирикутника).

Рис. 76. Чотирикутник

АВС£> описано навколо кола

Доведення □ 1) Власт ивіст ь. Нехай сторони чо тирикутника А В С В дотикаються до впи саного кола в точках К , Ь, М та N (рис. 76). За властивістю відрізків дотичних АК =А В , В К = ВЬ, СЬ = СМ, В М =В В . З урахуванням позначень на рисунку, А В + СІ) = а+Ь + с + сі —А В + ВС . 2)* Ознака. Нехай у чотирикутнику АВ С В з найменшою стороною А В А В + СВ = А В + В С . Оскільки за теоремою про бісектрису кута точ ка О (точка перетину бісектрис кутів А і В ) рівновіддалена від сторін А В , ВС і А В , то мож на побудувати коло з центром О , яке дотикається до цих трьох сторін (рис. 77, а). Доведемо від су противного, що це коло дотикається також до сто рони СВ.

§8 Вписані й описані чотирикутники

Рис. 77. До доведення ознаки описаного чотири кутника

навколо кола Л \

Припустімо, що це не так. Тоді пря ма СП або не має спільних точок із колом, або є січною кола. Розглянемо перший випадок (рис. 77, б). Проведемо через точку С дотичну до кола, яка перетинає сторону АО в точці 0 1. Тоді за властивістю описаного чотирикутника А В С Д ВС + А 0 1 = АВ + С Д . Але за умовою ВС + АО = АВ + СЬ . Віднімаючи від другої рів ності першу, маємо: АО - АО[ = СО - С 01, тобто ОО, = СО - С Д , що суперечить нерівності три кутника для трикутника С Д О . Таким чином, наше припущення хибне. Аналогічно можна довести, що пряма СО не може бути січною кола. Отже, коло дотикається до сторони СО , тобто чотирикутник АВСО опи саний. Теорему доведено. ■

Зауваження. Нагадаємо, що в даній теоремі розглядаються лише опуклі чотирикутники. Наслідок . __________ У будь-який ромб можна вписати коло. Якщо в паралелограм вписано коло, то він є ромбом.

Ромб, описаний навколо кола, зображено на рисунку 78. Задача У рівнобедрену трапецію з бічною стороною 6 см вписано коло. Знайдіть середню лінію трапеції. Розв'язання Нехай АВСЬ — дана рівнобедрена трапеція з основами АЬ і ВС. За властивістю описаного чотирикутника А В+ СО = А0 + вс = і;і см. Середня Л І Н І Я трапеції дорівнює --------- -, тобто дорівнює 6 см.

Відповідь: 6 см.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

8.3*. Геометричні софізми

(С(ОсО(О Софізм

— від г р е ц ь к о го «соф ізма» — вигадка, в и верт, головоломка

Багатьом із вас, мабуть, відома давньо грецька байка про Ахіллеса, який ніяк не може наздогнати черепаху. Історія математики знає чи мало прикладів того, як хибні твердження і по милкові результати видавалися за правильні, а їх спростування ставало поштовхом до справжніх математичних відкриттів. Але навіть помилки і невдачі можуть стати математикам у пригоді. Ці помилки залишилися в підручниках і посібниках у вигляді софізмів — заздалегідь хибних твер джень, доведення яких на перший погляд зда ються правильними, але насправді такими не є. Пошук і аналіз помилок, які містяться в цих доведеннях, часто викривають причини непоро зумінь у розв’язуванні інших задач. Тому в про цесі навчання геометрії софізми інколи є навіть більш повчальними й корисними, ніж «безпомил кові» задачі й доведення. Розглянемо приклад геометричного софізму, пов’язаного зі вписаними чотирикутниками.

Коло має два центри. «Доведення»

D Рис. 79

Позначимо на сторонах довільного кута В точки А і С та проведемо через ці точки перпен дикуляри до сторін ВА і ВС відповідно (рис. 79). Ці перпендикуляри мають перетинатися (адже якщо вони були б паралельні, то паралельними були б і сторони даного кута — обґрунтуйте це самостійно). Позначимо точку перетину перпен дикулярів D. Через точки A, D і С, які не лежать на од ній прямій, проведемо коло (це можна зробити, оскільки коло, описане навколо трикутника ADC, існує і є єдиним). Позначимо точки Е і F — точки

§8. Вписані й описані чотирикутники

перетину цього кола зі сторонами кута В. Пря мі кути ЕАЕ і ЕСЕ є вписаними в коло. Отже, за висновком теореми про вписані кути, відрізки ДЕ і ДЕ є діаметрами кола, які мають спільний кінець Д, але не збігаються. Тоді їх середини 0 1 і 0 2 є двома різними центрами одного кола, тобто коло має два центри. Помилка цього «доведення» полягає в непра вильності побудов на рисунку 79. У чотирикут нику АВСД Z A + Z C = Z B + Z D = 1 8 0 °, тобто він є вписаним у коло. Це означає, що в ході побудов коло, проведене через точки А , Д і С, обов’язково пройде через точку В. У такому разі відрізки ДЕ і ДЕ збігатимуться з відрізком ДВ, середина якого і є єдиним центром побудованого кола. Хибність твердження «Коло має два цент ри» пропонуємо довести самостійно. Серед задач до цього і наступних пара графів ви знайдете інші приклади геометрич них софізмів і зможете самостійно потренува тися в їх спростуванні. Сподіваємось, що до свід, якого ви при цьому набудете, допоможе уникнути подібних помилок під час подальшого розв’язування задач.

8.4*. Чотирикутник і коло в задачах. Метод допоміжного кола У ході розв’язуванні задач про кола і чоти рикутники іноді доцільно використовувати спе ціальні підходи. Один із них полягає в розгляді вписаного трикутника, вершини якого є вершинами даного вписаного чотирикутника. 75

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Задача Знайдіть периметр рівнобедреної трапеції, діа гональ якої перпендикулярна до бічної сторони й утворює з основою кут 30°, якщо радіус кола, описаного навколо трапеції, дорівнює 8 см.

Розв'язання Нехай дано вписану трапецію

А. К:---------- —і)) и

АВСО,

А0 | | ВС(

ло, описане навколо трапеції, є водночас описаним навколо прямокутного трикутника АВЬ , отже, його центромл є середина гіпотенузи Аі 0 . Тоді А0 =: 2Й = 16 см. Із трикутника АВО АВ = і8 с:м як катет, протилежний до кута 30°. <Оскільки в прямокутйому трикутнику АВО ZA = 60 °, то кути при біль-

Рис. 80

шій основі трапеції дорівнюють 60°. ZA0B = z c в o як внутрішні різносторонні при паралельних прямих АО і ВС та січній В 0 . Отже, в трикутнику ВСО два кути гзівні, тобто 1він є рівнобедреним з основою ВО, звідки ВС - С\> = А В = 8 с:м. Тоді Р гАВС0 = 16 + 8 + 8 + 8 ==40 (см). Відповідь: 40 см.

Особливо цікавим і нестандартним є за стосування кола (як описаного, так і вписано го) під час розв’язування задач, в умовах яких

\ \ А

л С

Задача

г в

Рис. 81

Із точки 0 , яка лежить на катеїгі ЗС прямокутного трикутника 4ВС , проведено перпендик уляр 0Е до гіпотенузи АВ (рис. зі). Доведіті>, що Z0C Е = Z0 AE.

§8. Вписані й описані чотирикутники

Розв'язання АСОЕ ZAC0 + ZAED = 180°, <зтже,

У чотирикутнику навколо нього можна описати коло. У цьому колі вписані кути ОСЕ і ОАЕ спиратимуться на одну й ту саму дугу, і за наслідком теореми про вписаний кут ZDCE = кО АЕ.

Метод розв’язування задач за допомогою до даткової побудови описаного або вписаного кола називають методом допоміжного кола.

Запитання і задачі

ф УСНІ ВПРАВИ 245. У який прямокутник можна вписати коло? Навколо якого ромба можна описати коло? 246. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, який має лише один прямий кут; лише два прямі кути? 247. Чи можна описати коло навколо прямокутної трапеції? 248. Трапеція АВСБ (АОЦБС) описана навколо В С кола (рис. 82). Як побудувати точку М , щоб три кутник А М Б був описаний навколо того самого кола? 249. У трапеції три сторони рівні. Чи можна в та ку трапецію вписати коло? Чи можна навколо такої трапеції описати коло?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 250. Накресліть коло з центром О і позначте на ньому точки А , В , С і Б так, щоб при їхньому послідовному сполученні утворився вписаний чотирикутник АВСБ . Виміряйте кути А і В цього чоти рикутника. Користуючись властивостями вписаного чотирикутника, обчисліть градусні міри кутів С і Б . Перевірте отримані результати вимірюванням. 77

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

—^ 251. Накресліть коло з центром О і проведіть до нього чотири до тичні так, щоб при їхньому попарному перетині утворився описаний чотирикутник АВСЛ . Виміряйте довжини сторін А В , ВС і СВ цього чотирикутника. Користуючись властивостями описаного чоти рикутника, обчисліть довжину сторони А В . Перевірте отриманий результат вимірюванням.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 252. Визначте, чи можна описати коло навколо чотирикутни ка АВ С В , якщо кути А, В, С і В дорівнюють відповідно: а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°. 253. Знайдіть невідомі кути: а) вписаного чотирикутника, якщо два його кути дорівню ють 46° і 125°; б) вписаної трапеції, якщо один із її кутів дорівнює 80°; в) вписаного чотирикутника, діагоналі якого точкою перетину діляться навпіл. —^ 2 5 4 Знайдіть невідомі кути: а) вписаного чотирикутника АВ С В , якщо кути А і С рівні, а кут В дорівнює 50°; б) вписаної трапеції, якщо сума двох з них дорівнює 230°. 255 (опорна). Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину його діагоналей. Доведіть. 256. Із точки С , що лежить усередині гострого кута А , проведено перпендикуляри СВ і СВ до сторін кута. Доведіть, що навколо чотирикутника А В С В можна описати коло. - > 257. В опуклому чотирикутнику АВ С В А А + А С = А В + А Б . До ведіть, що навколо цього чотирикутника можна описати коло. 258. Знайдіть периметр: а) описаного чотирикутника, три послідовні сторони якого дорівнюють 7 см, 9 см і 8 см; б) описаної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють З СМ і 11 см. 78

§ 8 . Вписані й описані чотирикутники

—^ 259. Рівнобедрена трапеція описана навколо кола. Знайдіть: а) бічну сторону трапеції, якщо її середня лінія дорів нює 7 см; б) середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 16 см. 260. Радіус кола, вписаного у квадрат, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр квадрата.

Рівень Б 261. Чотирикутник ABCD вписаний у коло, центр якого лежить на стороні A D . Знайдіть кути чотирикутника, якщо Z АСВ = 20° , Z D B C = 10°. —^ 262. Знайдіть кути трапеції, якщо центр кола, описаного навко ло неї, лежить на більшій основі, а кут між діагоналями дорів нює 70°. 263. У трикутнику ABC висоти А А г і СС1 перетинаються в точці D . Доведіть, що точки A j , В, Сг, D лежать на одно му колі. 264. Якщо бісектриси кутів чотирикутника, перетинаючись, утво рюють чотирикутник, то навколо утвореного чотирикутника можна описати коло. Доведіть. 265 (опорна). а) Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його діагоналей, а радіус кола дорівнює половині висоти ромба. Доведіть. б) Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює половині Ті висоти. Доведіть. 266. Рівнобе^ені трикутники ABC і ADC мають спільну осно ву АС (точки В і D лежать по різні боки від прямої А С ). До ведіть, що в чотирикутник ABCD можна вписати коло. —^ 267. Сторони чотирикутника дорівнюють 4 м, 9 м, 8 м і 5 м. На звіть пари протилежних сторін цього чотирикутника, якщо в нього можна вписати коло. 268. Діагональ ромба, що виходить із вершини кута 60°, дорів нює 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб. —^ 269. Знайдіть середню лінію прямокутної трапеції, в якій біль ша бічна сторона дорівнює 10 см, а радіус вписаного кола дорів нює 3 см. 79

РОЗДШ І. Чо ти р и ку тн и ки ____

____ ________

______

270. Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна основі, ділить даний трикутник на трапецію і трикутник із периметром 24 см. Основа даного трикутника дорівнює 12 см. Доведіть, що в отриману трапецію можна вписати коло. 271. Із точки А , що лежить поза колом з центром О , проведені дотичні А В і АС до цього кола ( В і С — точки дотику). Доведіть, що в чотирикутник АВОС можна вписати коло.

Рівень В 272 (опорна). Якщо трапеція ABCD (AD \\BC ) описана навколо кола з центром О, то: а) точка О — точка перетину бісектрис кут ів трапеції; б) трикут ники АОВ і COD прямокутні. Доведіть. 273. Якщо сторону чотирикутника, що сполучає дві його вершини, видно з двох інших вершин під рівними кутами, то навколо цього чотирикутника можна описати коло. Доведіть. 274. З вершини тупого кута ромба ABCD проведено висоти В М і B N , причому відрізок M N вдвічі менший за діагональ B D . Знайдіть кути ромба. 275. На гіпотенузі А В прямокутного трикутника ABC поза трикут ником побудовано квадрат A B D E , діагоналі якого перетинаються в точці К . Знайдіть кут А С К . 276. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: зовнішній кут трикутника дорівнює внутрішньому куту, не суміжному з ним. «Доасяем«'» Розглянемо чотирикутник ABCD, у якому ZB + ZD = 180° Іс (рис. 83). Через точки А, В і С проведемо коло, яке перетне / ґ сторони AD і CD в деяких точках Е і F. Сполучивши точки п \ Y Е і С, отримуємо чотирикутник АВСЕ, вписаний в дане коло. М ь ^D У— Е За властивістю вписаного чотирикутника ZB + ZE = 180°. A v Але за умовою ZB + ZD = 180°, отже, ZD = Z E . Це ознаРис s-ц_| чає, що кут СЕА, який є зовнішнім кутом трикутника CDE, дорівнює внутрішньому куту CDE цього трикутника, тобті0 зовнішній кут трикутника дорівнює внутрішньому куту, не суміжному 3 ним.

§ 8 . Вписані й описані чотирикутники

277. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: у

ко лі

хорда,

я к а

не

проходит ь

через

цент р,

д о р ів н ю є

д іа

м ет ру.

«Доведення »

діаметр юла з центром С ( рис . 8 4). Проведемо через точку А довільну хорду АС і позначимо / С> Ті середину — точку Е . Проведемо через точки В і Ь зв и"'! С. хорду ВІЕ сполучимс точки Е с1 Е\ івні як верУ трикутниках АЬВ і ССЕ кути при вершині ти кальні, ZBAb-ZCEb як вписан і кути , що спираються на одну й ту саму дугу ВС, а / ІЬ = СС> за побудовою. Рис. 84 кутами, і двома трикутники рівні за стороною Отже, ці звідки АВ = ЕС , тобто діаметр кола дорівнює хорді яка не П р О Х О Д И І ь нерез Нехай А В

центр кола.

278. Побудуйте ромб за діагоналлю і радіусом вписаного кола. —^ 279. Побудуйте рівнобедрену трапецію за бічною стороною і радіу сом вписаного кола.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 9 Теоретичний матеріал • медіана, бісектриса і висота трикутника; ( 7 клас^ • описане і вписане кола для трикутника. Задачі 280. Один із кутів трикутника дорівнює 60°. Під яким кутом пере тинаються бісектриси двох інших його кутів? 281. Один із кутів трикутника дорівнює 60°. Під яким кутом пере тинаються висоти, проведені до сторін цього кута?

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

§ 9*. Визначні точки трикутника 9.1. Точка перетину медіан У сьомому класі під час вивчення вписаного й описаного кіл трикутника розглядалися дві його визначні точки — точка перетину бісектрис (інак ше її називають інцентром трикутника) і точка перетину серединних перпендикулярів до сторін. Розглянемо ще дві визначні точки три кутника.

Т е о р е м а (про точку перетину медіан трикутника) Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2:1, почи наючи від вершини трикутника.

Рис. 85. Медіани трикут ника перетинаються в од ній точці

Доведення □ Нехай у трикутнику АВС проведено медіани А О , ВО і СЕ (рис. 85). Доведемо, що вони перетинаються в деякій точці О , причому А О : ОВ = В О : ОР = С О : ОЕ = 2 : 1 . Нехай О — точка перетину медіан АО і С Е , точки К І М — середини відрізків АО і СО відповідно. Відрізок Е В — середня лінія трикутника АВС , і за властивістю середньої лінії Е В = —А С . Крім того, К М — середня лінія трикутника А О С , і за тією

трикутника 1 2 0 ЦАС,

самою властивістю К М \\А С , К М - —АС . Отже, в чотирикутнику К Е В М

дві сторони па

ралельні й рівні. Таким чином, К Е В М — па ралелограм, і його діагоналі К В і Е М точкою перетину діляться навпіл. Отже, А К - КО = ОВ , 82

§9. Визначні точки трикутника

СМ = М О = О Е , тобто точка О ділить медіани А Х і СЕ у відношенні 2 : 1 . Аналогічно доводимо, що і третя медіа на В-Р точкою перетину з кожною з медіан АХ) і СЕ ділиться у відношенні 2 : 1. А оскільки така точка поділу для кожної з медіан єдина, то всі три медіани перетинаються в одній точці. ■

Рис. 86. Точка перетину медіан — центр мас три кутника

Точку перетину медіан трикутника інакше називають центроїдом, або центром мас три кутника. У доречності такої назви можна переко натися, провівши експеримент: виріжте з картону довільний трикутник, проведіть у ньому медіани і спробуйте втримати трикутник у рівновазі, по клавши його на голку або гострий олівець у точці перетину медіан (рис. 86).

X \ > о

Задачоі Якщо в трикутнику дві медіани рівні, то вії-н рівне3бедрени й. Доведіть.

Е,

Э/

\р

А‘ Рис

)

Розв’язання у’ трикутнику' Нехаїй АВС медіани АЬ і С:е рівні і перетинаються в точці 0 (рис. 87). ОскільРозглянемо) трикутники АОЕ і СОЬ рівних медіан АЬ ки точка і0 ділитіь к;ожну 3 1 2 / і СЕ У відношенні :1, тс1 \0 = СО, ЕО = ЬО. Крім того, ZAOE = ЕСОС) іяк вертикальні. С)тже, ДАОЕ =: ДСОЬ за першою ознако«з. ;Звідси випливає, що А,Е =:СС). Але за означенням медіани ці відрізкиі — половини АВ і СЕ!. іОтже, АіВ = СВ , тобто трикугсторін ^ ник ,АВ<” }іівнобедрений.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

9.2. Точка перетину висот Т е о р е м а (про тонку перетину висот три кутника) г Висоти трикутника (або їх продовження) пе ретинаються в одній точці. Доведення

Рис. 88. Висоти трикут ника АВС перетинають ся в одній точці

□ Нехай А О , ЯР і СЕ — висоти три кутника АВС (рис. 88). Провівши через верши ни трикутника прямі, паралельні протилежним сторонам, дістанемо трикутник А 1В1С1 , сторо ни якого перпендикулярні до висот трикутни ка А В С . За побудовою чотирикутники СгВСА і В1АВС — паралелограми, звідки СгА = ВС і ВС = АВ1. Отже, точка А — середина відріз ка В1С1. Аналогічно доводимо, що В — середина А 1С1 і С — середина А1В1. Таким чином, висоти А О , ВЕ і СЕ ле жать на серединних перпендикулярах до сторін трикутника АЛВ1С1, які перетинаються в одній точці за наслідком теореми про коло, описане навколо трикутника. ■ Точку перетину висот (або їх продовжень) інакше називають орт оцент ром трикутника. Таким чином, визначними точками трикут ника є: • точка перетину бісектрис — центр кола, впи саного в трикутник; • точка перетину серединних перпендикулярів до сторін — центр кола, описаного навколо трикутника; • точка перетину медіан — ділить кож ну з ме діан у віднош енні 2 : 1 , починаючи від вер шини трикутника; • точка перетину висот (або їх продовжень).

§ 9 . Визначні точки трикутника

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 282. Які з визначних точок трикутника можуть лежати поза три кутником? 283. Чи може ортоцентр трикутника збігатися з його вершиною? 284. Як розміщені визначні точки в рівносторонньому трикутнику?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 285. Накресліть трикутник А В С , проведіть його медіани АО і С Е . Позначте точку О — точку їх перетину. а) Виміряйте довжини відрізків АО , ОП і СО . Користуючись теоремою про точку перетину медіан трикутника, обчисліть наближено довжину відрізка О Е . Перевірте отриманий ре зультат вимірюванням. б) Проведіть промінь ВО і позначте точку , у якій він пе ретинає сторону А С . У якому відношенні ця точка ділить сторону АС ? 286. Накресліть трикутник А В С , проведіть його висоти АО і С Е . Позначте точку О — точку перетину цих висот (або їх продовжень). Проведіть промінь В О . Під яким кутом він перетинає пряму АС ? Чому?

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 287. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику всі чотири визначні точки лежать на одній прямій. Яка це пряма? 288. У трикутнику точка перетину медіан збігається з ортоцентром. Доведіть, що даний трикутник — рівносторонній. 289. Точка перетину медіан трикутника ділить одну з медіан на відрізки, різниця яких становить 3 см. Знайдіть довжину цієї медіани. 85

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

Рівень Б 290. Точка Н — ортоцентр трикутника A B C . Доведіть, що точ ка А — ортоцентр трикутника Н ВС . 291. Точки D, Е, F — середини сторін трикутника A B C . Доведіть, що точка перетину медіан трикутника DEF збігається з точкою перетину медіан трикутника A B C . 292. Дано паралелограм ABCD. Доведіть, що точки перетину медіан трикутників ABC і CDA лежать на діагоналі BD і ділять її на три рівні частини.

Рівень В 293. Відстань від центра кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, до його основи дорівнює 5 см, а радіус цього кола дорівнює 7 см. Знайдіть довжини відрізків, на які точка перетину медіан ділить медіану, проведену до основи. 294. Побудуйте трикутник за трьома медіанами. —^ 295. Центр кола, описаного навколо трикутника, є ортоцентром трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника. До ведіть.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 10 Теоретичний матеріал •

пропорції;

•

рівність трикутників

•

теорема Фалеса.

Задачі 296. У прямокутному трикутнику АВС (А В = 90°) через середи ну катета А В проведено пряму, паралельну медіані В М . Знай діть довжини відрізків, на які ця пряма ділить гіпотенузу, якщо В М = 6 см. х +1 25 297. Знайдіть х з пропорції: а) 5,4 : х = 2, 7:7, 2 ; б) 144

§9. Визначні точки трикутника

Задачі для підготовки до контрольної роботи N2 2 1. У рівнобедреній трапеції протилежні кути відносяться як 2 : 7 . Знайдіть кути трапеції. 2. За даним рисунком знайдіть А В 1, якщо Д С Х\\В2С2, АСХ=С 1С2 , А В 2 = 12 см.

3. Середня лінія відтинає від даного трикутника трикутник, пери метр якого дорівнює 17 см. Знайдіть периметри даного трикутника і трикутника, утвореного його середніми лініями. 4. У рівнобедреній трапеції з кутом 45° відрізки, що сполучають середину більшої основи з вершинами тупих кутів, перпендикулярні до бічних сторін. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см. 5. За даними рисунка знайдіть кут х .

6. У рівнобедрену трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на відрізки у відношенні 9 : 16. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо середня лінія трапеції дорівнює 50 см.

Підсумки ПІДСУМКОВИЙ ОГЛЯД РОЗДІЛУ І

Опуклий чотирикутник

Неопуклий чотирикутник

Теорема про суму кут ів чот ирикут ника Сума кутів чотирикутника дорів нює 360°: а + Р + у + 5 = 360°

Паралелограмом називається чоти рикутник, протилежні сторони яко го попарно паралельні Властивості паралелограма

Ознаки паралелограма

Якщо дві про тилежні сторони чотирикутника паралельні й рів ні, то цей чоти рикутник — па ралелограм

Протилежні сто рони паралело грама рівні

Якщо протилеж ні сторони чоти рикутника попар но рівні, то цей чотирикутник — паралелограм

Підсумки

Протилежні ку ти паралелогра ма рівні

Якщо протилеж ні кути чотири кутника попарно рівні, то цей чо тирикутник — паралелограм

Діагоналі пара лелограма точ кою перетину ді ляться навпіл

Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотири кутник — пара лелограм

ВИДИ ПАРАЛЕЛОГРАМІВ П рямокут ником називається паралелограм, у якого всі кути прямі

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторо ни рівні □

Квадратом називається прямокутник, у якого всі сто рони рівні □___ ___ с Властивість прямокутника

Ознака прямокутника

Якщо всі кути чотири кутника рівні, то цей чо Діагоналі прямокут тирикутник є прямокут ника рівні □____ ____с ником С

Підсумки

і/

Ознака ромба

Властивості ромба

\ \ 1- А ’

Д іа го н а л і ромба перпендикулярні і ділять його кути навпіл

Л.

7 /

Якщо всі сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник є ромбом

< Властивості квадрата

Усі сторони квадрата рівні, а протилежні сторони пара лельні

С Усі кути квадрата прямі □___ ___ с

Діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, є бісектрисами його кутів і точкою перетину діляться навпіл

Основа

1-1

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

Висотою т рапеції називається спільний пер пендикуляр до прямих, що містять її основи

Підсумки

\ \ □__________ А

П рямокут ною трапецією називається трапеція, у якій одна з бічних сторін перпендикулярна до основ Рівнобедреною трапецією називається трапе ція, у якій бічні сторони рівні

Властивість рівнобедреної трапеції

Ознака рівнобедреної трапеції

У рівнобедреній трапеції кути при основі рівні

Якщо в трапеції кути при основі рівні, то така трапеція рівнобедрена

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній із них рівні відрізки, відти нають рівні відрізки і на іншій стороні

СЕРЕДНІ ЛІНІЇ ТРИКУТНИКА І ТРАПЕЦІЇ

Середньою лінією т рикут ника називається відрізок, що сполучає середини двох його сторін

Середньою лінією т рапеції нази вається відрізок, що сполучає сере дини бічних сторін трапеції

Властивість середньої лінії трикутника

Властивість середньої лінії трапеції

Середня лінія трикутника пара лельна одній із його сторін і дорів нює половині цієї сторони

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі 91

Підсумки КУТИ В КОЛІ

Ц ент ральним кут ом у колі називається кут із вершиною в центрі кола

Градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетина ють це коло. Теорема про вписаний кут Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається Наслідки теореми про вписаний кут

Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні

Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий, і навпаки: будь-який прямий впи саний кут спирається на півколо Центром кола, описаного навколо прямокут ного трикутника, є середина гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, проведе на з вершини прямого кута, дорівнює поло вині гіпотенузи 92

Підсумки

ВПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Чотирикутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі

Властивість вписаного чотирикутника

Ознака вписаного чотирикутника

Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорів нює 180°, то навколо нього можна описати коло

Якщо паралелограм вписа ний у коло, то він є прямо кутником

Навколо будь-якого пря мокутника можна описати коло

Якщо трапеція вписана в ко ло, то вона рівнобедрена

Навколо рівнобедреної тра пеції можна описати коло

ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

3 11

Чотирикутник називається описаним навко ло кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола

Підсумки

Властивість описаного чотирикутника

Ознака описаного чотирикутника

В описаному чотирикут нику суми протилежних сторін рівні

Якщо в опуклому чотири кутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього мож на вписати коло

а+с-Ь+д

Якщо в паралелограм впи сано коло, то він є ромбом

Точка перети ну медіан (центр мас)

Точка перети ну висот або їх продовжень (ортоцентр)

У будь-який ромб можна вписати коло

Точка перети ну бісектрис (інцентр) — центр вписаного кола

Точка перети ну серединних перпендику ляр ів — центр описаного кола

Теорема про точку перетину медіан т рикут ника Медіани трикутника перетинаються в одній точці і ді ляться нею у відношенні 2 : 1 , починаючи від вершини трикутника Теорема про точку перетину висот т рикут ника Висоти трикутника (або їх продовження) перетинають ся в одній точці 94

Підсумки

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ І 1. Накресліть опуклий чотирикутник А В С Б . Назвіть його сто рони і діагоналі. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів опуклого чотирикутника. 2. Дайте означення паралелограма. Сформулюйте і доведіть влас тивості паралелограма. 3. Сформулюйте і доведіть ознаки паралелограма. 4. Дайте означення прямокутника. Сформулюйте і доведіть влас тивості прямокутника. 5. Дайте означення ромба. Сформулюйте і доведіть властивості ромба. 6. Дайте означення квадрата. Назвіть властивості квадрата. 7. Дайте означення трапеції. Назвіть окремі види трапецій, які вам відомі. Які властивості вони мають? 8 . Сформулюйте і доведіть теорему Фалеса. 9. Дайте означення середньої лінії трикутника. Сформулюйте і до ведіть властивість середньої лінії трикутника. 10. Дайте означення середньої лінії трапеції. Сформулюйте і до ведіть властивість середньої лінії трапеції. 11. Дайте означення центрального кута в колі. Як пов’язана гра дусна міра дуги кола з градусною мірою відповідного центрально го кута? 12. Дайте означення вписаного кута. Сформулюйте і доведіть тео рему про вписаний кут. 13. Сформулюйте наслідки теореми про вписаний кут. 14. Дайте означення чотирикутника, вписаного в коло. Сформулюй те і доведіть властивість вписаного чотирикутника. Сформулюйте ознаку вписаного чотирикутника. 15. Дайте означення чотирикутника, описаного навколо кола. Сфор мулюйте і доведіть властивість описаного чотирикутника. Сформу люйте ознаку описаного чотирикутника.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ І 298. Якщо в опуклому чотирикутнику не всі кути рівні, то хоча б один із них гострий. Доведіть. 299. Знайдіть кути паралелограма, якщо один із них дорівнює сумі двох інших. Чи може такий паралелограм бути ромбом; квадратом? 300. Діагональ квадрата АВСН дорівнює 7 см. Пряма, яка прохо дить через точку А перпендикулярно до діагоналі А С , перетинає прямі ВС і СН в точках Е і і*1. Знайдіть ЕЕ . 301. Знайдіть кути трикутника, якщо дві його середні лінії перпен дикулярні й рівні. 302. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, точкою перетину діляться навпіл. 303. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 12 см, а тупий кут трапеції втричі більший за гострий. Знайдіть висоту трапеції. 304. Пряма, що проходить через вершину тупого кута трапеції, ді лить її на ромб і рівносторонній трикутник. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 60 см. 305. У трикутнику АВС висота В Н ділить сторону АС на відріз ки А Н = 2 см, НС = 6 см. Відрізок А М — медіана трикутни ка А В С , відрізок М Н — висота трикутника А М С . Знайдіть відрізки АН і Б С . 3 0 6 . Дано трапецію, яка є вписаною в коло й описаною навколо кола. Знайдіть: а) кути трапеції, якщо сума трьох із них дорівнює 300°; б) сторони трапеції, якщо її периметр дорівнює 16 см. 307. За рисунком 89 доведіть: В С а) властивість середньої лінії тра пеції АВСН (АН\\ВС); б) якщо в чотирикутнику АВСН відрізок, що сполучає середини сторін А В і СН , дорівнює півсумі сторін АН і ВС , то АВСН — трапеція або паралелограм. 308. Якщо діагоналі рівнобедреної трапеції перпендикулярні, то її висота дорівнює півсумі основ. Доведіть.

Підсумки

Задачі підвищеної складності 309. Пряма проходить через вершину В паралелограма ABCD . Вершини А і С віддалені від цієї прямої на відстані a i e від повідно. Знайдіть відстань від точки D до даної прямої. Розгляньте два випадки. 310. Точки М і N — середини сторін ВС і CD паралелогра ма ABCD . Доведіть, що точка перетину прямих B N і D M лежить на діагоналі А С . 311. Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні. Через середини сторін А В і AD проведені прямі, перпендикулярні до протилежних сторін CD і ВС відповідно. Доведіть, що точка перетину цих прямих належить прямій А С . 312. Доведіть, що бісектриси кутів при бічній стороні трапеції пе ретинаються на її середній лінії. 313. Через точку площини проведено три прямі так, що кут між будьякими двома з них дорівнює 60°. Доведіть, що основи перпенди кулярів, проведених із будь-якої точки площини до цих прямих, є вершинами рівностороннього трикутника. 314. Відрізки А В і АС — відрізки дотичних до кола, проведених з точки А . Доведіть, що центр кола, вписаного в трикутник A B C , лежить на даному колі. 315. Знайдіть кути рівнобедреної трапеції, у якій бічна сторона дорівнює меншій основі, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. 316. Дано гострокутний трикутник ABC і точку М таку, що В М J_ А В , CM _L АС . Доведіть, що точка М лежить на колі, опи саному навколо трикутника A B C . 317. Якщо сума кутів при основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що сполучає середини основ трапеції, дорівнює їх піврізниці. а) Доведіть дане твердження. б) Сформулюйте і доведіть обернене твердження.

Історична довідка Переважна більшість теоретичних положень, пов'язаних із чотири кутником, була відома ще в Давній Греції. Наприклад, паралело грам згадується в роботах Евкліда під назвою «паралельнолінійна площа». Більшість властивостей чотирикутників були встановлені на практиці і тільки згодом доведені теоретично. О дним із творців ідеї геом етричного доведення по праву визнано давньогрецького вченого Ф а леса Мілетського (бл. 6 2 5 -5 4 7 рр. до н. е.). Його вважали першим серед славетних «семи мудреців» Еллади. М еханік і астроном, філософ і гро м ад ський діяч, Фалес значно збагатив тогочасну науку. Саме він позна йом и в гре ків із д осягненням и єгиптян у геом етрії та астроном ії. За свідчен ням історика Геродота, Ф алес передбачив за темнення Сонця, що сталося 28 травня 585 р. до н. е. Він дав перші уявлення про е л е ктр и ку і магнетизм. Досягнення Фалеса в геом етрії Ф а л е с М іл е т с ь ки й не вичерпую ться теоремою , що має йо го ім'я. й . Стверджують, що Фалес відкрив теорему про вер тикальні кути, довів рівність кутів при основі рівнобедреного тр и кутн и ка, обґрунтував, що кут, який спирається на півколо, прямий, і першим описав коло навколо прямокутного трикутника. Фалесу приписують і д о ведення другої ознаки рівності трикутників, на основі якої він створив далекомір для визначення відстані до кораблів на морі.

У молоді роки Ф алес побував у Єгипті. За легендою, він здивував єгипетських ж е р ців, вимірявши висоту піраміди Хеопса за д о помогою подібності трикутників (про неї у наступному розділі).

Вивчаючи визначні точки трикутника, неможливо не згадати імена ще кількох учених. Теорему про перетин висот трикутника довів у XV столітті нім ецький математик Регіомонтан - на його честь цю теорему іноді називають задачею Регіомонтана. В идатний н ім е ц ь к и й уч е н и й Леонард Ейлер (1707-1783), який установив зв'язок м іж визначними точками трикутника, був унікальною історичною пос таттю свого часу. Геометрія і механіка, оптика і баліс тика, астрономія і теорія музики, математична фізика і суднобудування - ось далеко не повний перелік галузей, які він збагатив своїми відкриттями. Перу Ейлера належать понад 800 наукових праць, причому за статистичними підрахунками він робив у середньому один винахід за тиждень! Людина надзвичайної широти інтересів, Ейлер був академіком Берлінської і Санкт-Петербурзької академій наук і істотно вплинув на розвиток світової науки. Недарма французький математик П. Лаплас, розмірковуючи про вчених свого покоління, стверджував, що Ейлер - «учитель усіх нас».

М . В. О стр о гр ад сь ки й

Серед українських математиків вагомий вне сок у дослідження властивостей чотирикутників зробив Михайло Васильович Остроградський (1801-1862). Цей видатний учений, професор Харківського університету, здобув світове ви знання завдяки роботам з математичної фізики, математичного аналізу, аналітичної механіки. Та лановитий педагог і методист, Остроградський створив «Підручник з елементарної геометрії», який, зокрема, містив низку цікавихі і складних задач на побудову вписаних і описаних чотири кутників і обчислення їх площ.

РОЗДІЛ І. Чотирикутники

ТЕМАТИКА ПОВІДОМЛЕНЬ ТА РЕФЕРАТІВ ДО РОЗДІЛУ І 1. Дельтоїд і його властивості. 2. Побудова опуклих чотирикутників. 3. Фалес Мілетський і давньогрецька наука. 4. Леонард Ейлер — унікальна постать світової науки. 5. Геометричні місця точок, пов’язані з колом. 6. Точки Ейлера. Коло дев’яти точок. Теорема Фейербаха. 7. Додаткові відомості про вписані й описані чотирикутники. Тео рема Симпсона. 8 . Особливі види трикутників (ортоцентричний, педальний, різни цевий, трикутник Наполеона).

РЕКО М ЕНДО ВАНІ ДЖ ЕРЕЛА ІН Ф О Р М А Ц ІЇ 1. Математична хрестоматія. Т. 1, 2.— К.: Рад. пік., 1970. 2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.- М.: Просвещение, 1982. 3. Бевз Г. П. Геометрія трикутника.— К.: Генеза, 2005. 4. Бевз Г. П. Геометрія чотирикутника.— X.: Основа, 2003. 5. Бевз Г. П. Геометрія кіл.— X.: Основа, 2004. 6. Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії.— К.: Факт, 2000. 7. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр у задачах.— К.: Рад. шк., 1991. 8 . Прасолов В. В. Задачи по геометрии. Ч. 1, 2.— М.: Наука, 1986. 9. Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9 —11 кл.: От учебной задачи к твор ческой.— М.: Дрофа, 1996. 10. Никулин А. В., Кукуш А. Г., Татаренко Ю. С. Геометрия на плос кости (Планиметрия).— Мн.: Попурри, 1996. 11. Інтернет-бібліотека МЦНМО. http : //ilib.mirrorO.mccme.ru/

Подібні трикутники Ознаки подібності трикутників Подібність прямо кутних трикутників Теорема Піфагора та ї ї наслідки Застосування подібності чтрикутників

Геометрія володіє двома скарбами: один із них — це теорема Піфагора, а другий — поділ відрізка в середньому і крайньому відношенні... Перший можна порівняти з мірою золота, а другий більше нагадує коштовний камінь.

Йоганн Кеплер, німецький астроном і математик У цьому розділі ви почнете знайомство з подібністю фігур. Відношення подібності є однією з найважливіших характеристик евклідової геометрії. Прояви подібності часто зустрічаються і в по всякденному житті. Наприклад, авіамоделі літаків подібні до реаль них машин, а репродукції класичних картин подібні до оригіналів. В основі теорії подібності лежить узагальнення теореми Фалеса. Завдяки властивостям подібних трикутників встановлюється чима ло важливих геометричних співвідношень. Зокрема, за допомогою подібності буде доведена славетна теорема Піфагора. Щоправда, таке доведення не є класичним, адже за часів Піфагора деякі геометричні факти, які ми будемо розглядати, ще не були відкриті. Але сьогод ні навіть звичайний школяр може оволодіти знаннями, невідомими великому Піфагорові.

§10. Подібні трикутники

§ 10. Подібні трикутники 10.1. Узагальнена теорема Фалеса Пригадаємо деякі поняття, пов’язані з діленням і пропорціями, які знадобляться для подальших міркувань. Відношенням відрізків завдовжки а і Ь називається частка їх довжин, тобто

а число — . ь .

Інакше кажучи, відношення — вказує, скільки разів відрізок о ь і його частини вкладаються у відрізку а . Дійсно, якщо відрізок Ь прий няти за одиницю вимірювання, то дане відношення дорівнюватиме довжині відрізка а .

а с якщо — = — . b d Наприклад, відрізки завдовжки 8 см і 12 см пропорційні відрізкам 10 см Відрізки завдовжки а і с пропорційні відрізкам завдовжки

b i d ,

і 15 см, оскільки — = — = 0 ,8 . 10

Сформулюємо узагальнення теореми Фалеса для нерівних відрізків, які відтинаються паралельними прямими на сторонах кута.

Т е о р е м а (про пропорційні відрізки) Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторо. . . .

нах цього кута пропорційні відрізки:

АВ

а с

= — - , або — = — . вс вд ь а

Твердження теореми ілюструє рисунок 90. Наведемо міркування, на яких ґрунтується доАВ

ведення цієї теореми. Відношення ----- вказує, ВС

Рис. 90. Паралельні пря мі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки

скільки разів відрізок ВС вкладається у відрізАВ

ку А В , а відношення ---- - — скільки разів 103

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

відрізок В1С1 вкладається у відрізку А В 1. Теоре ма Фалеса встановлює відповідність між проце сами вимірювання відрізків А В і АВ г . Справді, прямі, паралельні ВВ 1, «переводять» рівні відріз ки на одній стороні кута в рівні відрізки на ін шій стороні: відрізок А В «переходить» у відрізок А В 1, десята частина відрізка А В — у десяту частину відрізка АВХ і т. д. Тому, якщо відрі зок ВС вкладається у відрізку А В п разів, то відрізок Б,С, вкладається у відрізку А В Х також п разів. Повне доведення цієї теореми подано в До датку 1.

Зауваження. а

„

О скільки а+Ь

с + сі

сі

—= — ,

то

—-І-1 = — + 1 , тобто ------= -------, і висновок даної Ь

сі

АС

А В

А В 1

теореми можна записати у вигляді ---- = — - . На таку рівність ми також будемо посилатися як на теорему про пропорційні відрізки. 1

\ \

Дано відрізки а,

Л и

\Я У А л У \ Пґ с с\ X

\ \

Рис. 9і

Задача с. Побудуйте відрізок ;к =

Ьс

Розв'язання Побудуємо довільний нерозгорнутий кут 0 і відкладемо на одній його стороні відрізки 0/-і = а і А В і = іь, а на іншій стороні — відрізок ОС == с (рис. 91). Проведемо пряму АС і пряму, (іка паралельна А С , проходить через точку В і перетинає другу сторону кута В 'точці Ь . За теоремою пре) пропорційні дрізки

ОА _ ОС АВ

відрізок СЬ

104

Ь,

, звідки

СР

— шуканий.

А В- ос СЬ - ОА

Ь •с а

с )тж е,

§10 Подібні трикутники

Зазначимо, що величина х є четвертим членом пропорції а :Ь = с : х . Тому побудований відрізок називають чет верт им пропорційним відрізком.

10.2.Означення подібних трикутників Рівні фігури можна уявити як фігури, що мають однакову форму й однакові розміри. Але в повсякденному житті часто зустрічаються речі, які мають однакову форму, але різні розміри: на приклад, чайне блюдце і тарілка, однакові моделі взуття різних розмірів тощо. У геометрії фігури однакової форми прийнято називати подібними. Наприклад, подібними один до одного є будь-які два квадрати, будь-які два кола. Введемо спочат ку поняття подібних трикутників. Означення Два трикутники називаються подібними, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого і відповідні сторони цих трикутників пропорційні.

На рисунку 92 зображено подібні трикут ники АВС і АуВ ^ . Подібність цих трикутни ків коротко позначають так: Д А В С <Х>А А 1В1С1. У цьому записі, як і в записі%)івності трикут ників, назви трикутників будемо впорядковува ти так, щоб вершини рівних кутів указувались у порядку відповідності. Це означає: якщо Д А В С ^ Д Д В ^ , то Д А = Д Д , Д В = Д В 1г Рис. 92. Подібні трикутники

А С = А С 1, - ^ - = —

АД

де,

=—

де,

=к

Число к , що дорівнює відношенню відповід них сторін подібних трикутників, називають ко ефіцієнтом подібності.

105

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Опорт задача

Відношенні* периметрів подібних трикутників д<Эрівнює коефіцієнту подібності Доведіть.

> V)

Розв'язанні) А А В О ДАДС, з коефіцієнтом

Нехай НОСТІ

к.

е означає, що

тс АВ =--МРі р

РА6]^,

АВ

ВС

АС

А,В,

в,с,

АС,

ВС = кВіС1 АС = кА,^ А^В^ + кВ1С1■+■кА1С1 АВ. + В.С. + АС

кР Р.

подіб-

к, тоб-

Маємо:

•

Зазначимо також, що відношення відповід н и х л ін ій н и х елем ент ів (медіан , бісектрис , висот тощо) подібних т рикут ників дорівнює коефіцієнту подібності. Доведіть це самостійно.

Запитання і задачі ф

УСНІ ВПРАВИ 318. Відомо, що А А В С ° ° А К М М . Назвіть відповідно рівні кути цих трикутників. 319. Трикутник АВС і трикутник з вершинами Б , Е, ^ подібні, АВ

ВС

АС

ЕР

№

ЕО

причому ---- = ----- = ----- . Закінчіть запис А А В С ™ А . .. .

320. Чи рівні будь-які два подібні трикутники? Чи подібні будь-які два рівні трикутники? Назвіть відповідний коефіцієнт подібності. 321. Чи можуть бути подібними прямокутний і тупокутний трикут ники? 322. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 0,25. У скільки разів сто рони одного трикутника більші за відповідні сторони іншого? 106

§10.Подібні трикутники

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ

323. Накресліть трикутник А В С . Позначте на стороні А В точку В так, щоб А В : В В = 2 : 1 . Проведіть через точку В пряму, паралель ну стороні А С , і позначте точку Е — точку перетину цієї прямої зі стороною ВС . Виміряйте відрізок В Е та обчисліть довжину відрізка ЕС за теоремою про пропорційні відрізки. Перевірте отри маний результат вимірюванням. - > У324. Накресліть трикутник АВС і проведіть у ньому середню лінію В Е , паралельну АС. Назвіть подібні трикутники, які утво рилися на рисунку.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 325. Визначте, чи є відрізки завдовжки а і & пропорційними відрізкам c i d , якщо: а) а = 8 см, Ь = 24 см, с - 4 см, d = 12 см; б) а = 9 см, &= 14 см, с = 7 см, d = 18 см. 326. На рисунку 93 A A B C ^ A A jB jCj . За даними рисунка знай діть х і у . - > 327. На рисунку 94 А А В С <Х>А А 1В1С1. За даними рисунка знай діть х і у .

Рис. 93

Рис. 94

328. Пряма К М паралельна стороні АС трикутника АВС (рис. 95). Знайдіть відрі зок М С , якщо: а) А К = 2 см, К В = 6 см, В М = 9 см; б) А К : К В = 2 : 3 , ВС = 10 см.

А Рис. 95

107

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

329. Пряма К М паралельна стороні АС трикутника АВС (див. рис. 95). Знайдіть відрізок А В , якщо А К = 6 см, В М : М С = 4 : 3 . 330. Відомо, що А А В С ^ А Б Е Р . Знайдіть: а) кут С , якщо Z.A = 4 5 °, ^ £ = 110°; б) кут Л , якщо А В = 8 0 °, Z A = Z C . ■ 331. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо в подіб ному йому трикутнику різниця найбільшого і найменшого кутів дорівнює 70°.? 332. Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см, 4 см і 5 см. Знайдіть сторони трикутника, подібного даному, якщо: а) його периметр дорівнює 46 см; б) його найменша сторона дорівнює найбільшій стороні даного трикутника. 333. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 12 см і 10 см. Знай діть периметр трикутника, подібного даному, якщо його найбільша сторона дорівнює 8 см. 334. Доведіть за означенням, що будь-які два рівносторонні трикут ники подібні. 335. Доведіть від супротивного, що тупокутний і рівносторонній трикутники не можуть бути подібними.

Рівень Б 336. Пряма М И паралельна основам трапе ції АВСЛ (рис. 96). Знайдіть: а) сторону СЛ , якщо А М : А В = 4 : 5 , СЇУ = 3 см; б) сторону А В , якщо А М : ЇУЛ = 3 : 2 , СЇУ = 2 см, А М = 9 см. 337. Пряма М И паралельна основам трапеції АВСЛ (див. рис. 96). Знайдіть сторону А В , якщо А М - М В = 1 см, СтУ: СЛ = 3 : 7 . 338. За даними рисунка 97, а, б знайдіть х , якщо а \\Ь .

Рис. 97

108

§10. Подібні трикутники

339. Відомо, що А А В С ^ А Б Е Р , причому ZZ) = 7 0 ° , А В = 5 5 °. Доведіть, що А В = АС . —^ 340. Відомо, що А А В С ^ А К М И , причому Z A + Z M = 9 0 ° . До ведіть, що АВ — найбільша сторона трикутника А В С . 341. Доведіть, що трикутник з вершинами в серединах сторін да ного трикутника подібний даному. Чому дорівнює коефіцієнт по дібності? 342. У трикутнику АВС точки В і Е — середини сторін АВ і ВС відповідно. Доведіть, що А А В С ^ А Б В Е , і знайдіть коефіцієнт подібності.

Рівень В 343. Кожен із двох нерівних, але подібних трикутників має сторони завдовжки 12 см і 18 см. Знайдіть невідомі сторони цих трикутників. —^ 344. Трикутники зі сторонами а, Ь, с і Ь, с, й подібні. Доведіть, що коефіцієнт подібності не може дорівнювати 2. 345. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: відріз ки паралельних прямих, що містяться між сторонами кута, рівні. «Д оведення»

Нехай

АВ

СЬ

— відрізки паралельних прямих,

які перетинають сторони кута О ремою

про

пропорційні

(|рис. 98). За тео-

відрізки

АО

со

ЕЮ

С >° '

А О Ь О = В О С О . Помножимо обидві частини цієї рівності на відмінну від нуля різницю АВ - с АО ЬО (А В -С Ь )

в / %

(

Рис. 98

В О С О (А В -С й ),

АО ЬО А В -А О ЬО СЬ = ВО СО А В -В О с с >ах Перенесемо перший член правої частини рівності ліворуч, а другий член лівої частини — праворуч: АО ЬО А В -В О СО АВ = АО ЬО О 5 - В 0 СО О Х або (АО Ь О -В О С О )А В = (А О Ь О -В О СО) ОХ Розділивши обидві частини останньої рівності на вираз у дужках, маємо АВ = СЬ, тобто відрізки паралельних прямих, що містяться між сторонами кута, рівні.

109

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

346. Діагональ АС ділить трапецію А В С В (АОЦВС) на два подібні трикутники АВС і АС В . Знайдіть А С , якщо ВС = 4 см, А В = 9 см. —^ 347. Діагональ АС трапеції АВС Б (А В || ВС) дорівнює стороні СВ і ділить трапецію на два подібні трикутники АВС і АСВ. Знайдіть периметр трапеції, якщо А В - 9 см, СВ = 12 см.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 11 Теоретичний матеріал •

ознаки рівності трикутників;

•

трапеція.

Задачі 348. Через вершину трикутника проведено пряму, яка ділить даний трикутник на два рівні трикутники. Визначте вид даного трикутни ка. Чи може така пряма розділити трикутник на два нерівні, але подібні трикутники? Висловіть припущення. 349. Діаметр АС перетинає хорду В В в точці К , яка ділить хор ду навпіл. Доведіть рівність трикутників АВС і А В С . Чи можуть хорди АВ і СВ бути паралельними, якщо точка К не є цент ром кола?

§11.Ознаки подібності трикутників

§ 11. Ознаки подібності трикутників 11.1. Подібність трикутників за двома кутами Для встановлення подібності двох три кутників, як і для встановлення їх рівності, не обов’язково перевіряти всі співвідношення сторін і кутів згідно з означенням — достатньо перевірити лише деякі з них. Які саме? Відповідь на це запитання дають три ознаки подібності три кутників. Т е о р е м а (ознака подібності трикутників за двома кутами) Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Рис. 99. До доведення подібності трикутників за двома кутами

Доведення □ Н ехай дано три к утн и к и АВС і А 1В1С1, в яких Z A = Z A 1, Z B = Z B 1 (рис. 99). Доведемо подібність цих трикутників. Із теоре ми про суму кутів трикутника вочевидь випли ває, що ZC = ZC1 . Відкладемо на промені А В відрізок А В 2 , що дорівнює А1В1, і проведемо пряму В2С2 , паралельну ВС . Тоді Z B = Z B 2 як відповідні кути при паралельних прямих, тому А А В 2С2 = А А 1В1С1 за другою ознакою, звідки АС2 = А ХСХ. За теоремою про пропорційні відрізки АВ

АС

АВ

АС

А в, _

де,

----- = ------ , отже, -------= -------. Аналогічно доводиав2

ас2

АВ

ВС

мо, що ------ = -------. Таким чином, за означенням АА Де, подібних трикутників А А В С ^ А А ^ А і . Теорему доведено. ■ 111

РОЗДІЛ II. Подібність тр и кутників. Теорема Піфагора

С \

Задача Точка перетину діагоналей тоапені' ділить ОДНУ відрізки іавдовжкі. 4 СЛЛ і 7 см Менша основа трапеції ДОРІВНЮЄ 8 сл/і . 3 найдіть : є р є д н ю лінійэ трапеції.

3 НИХ (■іа

ЧУ

К іИ в

----1

/ и

ч ч

*ис . 100

\ М п

Розв'язання Нехай у трапец ії АВСЬ ( А Ь Ш діагонал перетинаються В точці 0 , ВС •= 8 см (рис. 1 0 0 ) . Розглянемо трикутники АОЬ і СОВ. У ни:< кути при вершині 0 рівні як вертикальні, Z l = / 2 ЯУ внутріші- і різносторонні при паралельних прямих АЬ і в с та січній АС Отже, ДАОЬ<^ДСОВ за двома кутами . 3 відси випливс

ває. що

сю

тс В0 < 0 Ь г \и -

во

Оскількі4 за умовою £ІС < АІ

отже , Ею

вс Д О

8 7

во

1л

4 см, ОЬ

= 1Т

Еі + 14

Тоді

(С м).

Середня лінія трапеці' ' дорівнює півсул/(І тоотс

с:м.

основ,

11 (.см;.

Відповідь: 11 см.

11.2. Подібність трикутників за двома сторонами і кутом м іж ними Т е о р е м а (ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними) Якщо дві сторони одного трикутника про порційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні. 112

§11 Ознаки подібності трикутників

Доведення □ Нехай дано трикутники АВС і А1В1С1,

в яких Z A = Z А ,

АВ

АС

АА

------ = ------- (рис. 101). До-

ведемо подібність цих трикутників. Відкладемо на промені А В відрізок А В 2, що дорівнює А 1В1, і проведемо пряму В2С2 , паралельну ВС . Тоді Z B = Z B 2 як відповідні кути при паралель них прямих, тому Рис. 101. До доведення

ма

подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними

кутами.

Звідси АВ

А А В 2С2™ ААВС АВ

АС

----- = ------ , Щ Щ

за дво-

а оскільки

АС

АВ„ - А.В. і ------- = ------, то А С , = АС, . Тоді АД де, А А В 2С2 = А А 1В\Сї за першою ознакою рівності трикутників, отже, Д А В С °°Д А 1В1С1 за двома кутами. Теорему доведено. ■

І_У

\ МV

Гом

■і . І Зааача Пряма, яка перетинає сторони ВА і ВС трикутника АВС, ділить кожну з них у відношенні т : п , починаючи від вершини В. Доведіть, що ця пряма паралельна АС . Розв'язання Нехай пряма к перетинає сторони ВА і ВС трикутника АВС в точках Д, і відповідно (рис. 102).

л fe А1 / ,

\С , \

Оскільки

за умовою

задачі А, А

Аг

Рис• іи ^

С,С

_ ЛІ п

т0

ВД = ВС, = т Тод. трикутники АВС і ДВС, ВА ВС т + п подібні за двома с т о і з о н а м и і к у т о м м і ж н и м и Із подібності трикутників випливає, що ZB А1С1 = Z А. Але ці кути є відповідними при прямих к і АС та січній А В. Отже, к II АС з а ознакою паралельності прямих.

113

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

11.3. Подібність трикутників за трьома сторонами Т е о р е м а (ознака подібності трикутників за трьома сторонами) Якщо три сторони одного трикутника про порційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Доведення

□

Нехай у трикутниках АВС і А ХВХСХ

^ = ВС- = —— (рис. 103). Доведемо подібність АА ВА АА

Рис. 103. До доведення подібності трикутників за трьома сторонами

цих трикутників. Як і в попередніх теоремах, відкладемо на промені А В відрізок А В 2, що дорівнює А ХВ Х, і проведемо пряму В2С2 , пара лельну ВС . Тоді А В = ZB2 як відповідні кути при паралельних прямих, тому Д А В 2С2шД АВС п .

АВ

ВС

АС

АВг

В2С2

АС2

за двома кутами. Звідси ----- = --------------- , а оскільки А В „ = А В ,, то ------ = -------. Враховуючи, АА в 2с 2 АВ

ВС

ААі

В,С,

що ------ = -------, маємо В„С, = Б,С, . Аналогічно доводимо, що АС2 = А ХСХ. Тоді А А В 2С2 = А А ХВХСХ за третьою ознакою рівності трикутників, отже, А А В С с^ А А хВхСх за двома кутами. Теорему до ведено. ■ Отже, для доведення всіх трьох ознак подіб ності трикутників використано один і той самий підхід, а кожна з ознак подібності спирається на певну ознаку рівності трикутників. 114

§11. Ознаки подібності трикутників

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 350. У трикутниках АВС і А.В.С,

АВ

вс

= й . Яку рівність т необхідно додати до умови, щоб можна було довести подібність цих трикутників? Назвіть усі можливі варіанти відповіді. АВ вс АС 351. Дано трикутники АВС і К М И , в яких — - = ад

К ії\

МІV

МК

Назвіть кут трикутника К М И , що дорівнює куту С . Чому ці ку ти рівні?

352. Дано трикутники АВС і К М И , в яких

ВС

- і А В - АМ .

АГК

Назвіть кут трикутника А В С , що дорівнює куту М . Чому ці ку ти рівні? ^ '* і '*/ 7 *■ 353. Чи можуть бути подібними: а) прямокутний і рівнобедрений трикутники; б) прямокутний і рівносторонній трикутники; ■^в) трикутник із кутом 50° і трикутник із кутом 100°; г) трикутник із кутом 60° і трикутник із кутом 120°? 354. Чи подібні рівнобедрені трикутники, якщо вони мають: а) по рівному гострому куту; б) по рівному тупому куту? 355. Два подібні трикутники мають спільний кут. Чи обов’язково їх сторони, протилежні цьому куту, паралельні? Наведіть контрприклад.

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 356. Накресліть трапецію і проведіть її діагоналі. а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на ри сунку. За якою ознакою можна довести їх подібність? б) Виміряйте довжини відрізків однієї діагоналі, на які вона ділиться точкою перетину діагоналей. Виміряйте довжину однієї з основ трапеції і обчисліть довжину другої основи, користуючись подібністю трикутників. Перевірте отриманий результат вимірюванням. 115

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

—^ 357. Нарисуйте трикутник і проведіть пряму, яка паралельна одній з його сторін і перетинає дві інші сторони. а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на рисунку. За якою ознакою можна довести їх подібність? б) Виміряйте кути, під якими дана пряма перетинає сторони трикутника, і знайдіть усі кути даного трикутника.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 358. На рисунку 104, а—в знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.

Рис. 104

—^ 359. За даними рисунка 105, а—в доведіть подібність трикутни ків АВС і А1В1С1.

Рис. 105

116

§11. Ознаки подібності трикутників

3 6 0 . Визначте відстань на місцевості від точки А до недосяжної точки В (рис. 106), якщо СА = 60 м, СВ = 90 м, СВ = 20 м, СЕ = ЗО м, В Е = 40 м. Про- а ведіть необхідні доведення. 361. Продовження бічних сторін А В і СВ трапеції АВ С В перетинаються в точці О . а) Доведіть, що А А О В ^ А В О С . б) Знайдіть А В , якщо ВС = 4 см, ОВ = 6 см, ОА = 9 см. - » / 3 6 2 . Діагоналі трапеції АВ С В (А В || ВС) перетинаються в точці О . а) Доведіть, що А А О В ^ А С О В . б) Знайдіть ВС , якщо АО = 16 см, АО : ОС = 4 : 3 . 3 6 3 . Визначте, чи подібні трикутники зі сторонами: а) 3, 4, 6 і 9, 15, 18; б ) 2, З, 3 і 8, 12, 12. 364. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при основах. Основа одного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона 6 см. Знай діть периметр другого трикутника, якщо його основа дорівнює 4 см. “» 3 6 5 . Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути, протилежні основам. Периметри цих трикутників дорівнюють відповідно 15 см і 10 см. Знайдіть сторони другого трикутника, якщо бічна сторона першого трикутника дорівнює 6 см. 3 6 6 . Доведіть, що будь-які два рівнобедрені прямокутні трикутни ки подібні. —» 367. Доведіть, що відношення відповідних середніх ліній подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності.

Рівень Б 3 6 8 . На рисунку 107, а—в знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. в

Рис. 107

117

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

369. На рисунку 108, а—в знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність. В

Рис. 108

370. У трикутник АВС вписано ромб А К Ь М

—^

118

(рис. 109). Знайдіть периметр ромба, якщо В К = 4 см, МС = 9 см. 371. Діагоналі трапеції точкою перетину діляться у відношенні 3 : 7. Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см. 372 . У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС кут В дорівнює 36°, АО — бісектриса трикутника. Доведіть, що А А В С ^А С А О . 373. На одній стороні нерозгорнутого кута О відкладені відрізки ОА = 9 см і ОВ = 12 см, а на іншій стороні — відрізки ОС = 6 см і ОВ = 18 см. Чи подібні трикутники ОАС і ОВО ? Чи подібні трикутники ОВС і ОІ)А? 374. Доведіть, що відношення відповідних медіан подібних трикут ників дорівнює коефіцієнту подібності. ?75. Доведіть, що відношення відповідних бісектрис подібних три кутників дорівнює коефіцієнту подібності. 376. Через вершину найбільшого кута різностороннього трикутни ка необхідно провести пряму, яка відтинає від даного трикутника подібний трикутник. Скількома способами це можна зробити? Як зміниться відповідь, якщо в умові задачі розглянути іншу вершину трикутника? Проведіть дослідження. 377. Через точку на стороні довільного трикутника необхідно про вести пряму, яка відтинає від даного трикутника подібний три кутник. Скількома способами це можна зробити? Як зміниться відповідь, якщо в умові задачі замість довільного трикутника роз глянути прямокутний? Проведіть дослідження.

§11. Ознаки подібності трикутників

Рівень В 378. Відрізок із кінцями на бічних сторонах трапеції паралельний її основам і проходить через точку перетину діагоналей. Знайдіть довжину цього відрізка, якщо основи трапеції дорівнюють а і Ь . 379. У трапеції через точку, яка ділить бічну сторону у відношен ні т : п , починаючи від меншої основи, проведено пряму, паралель ну основам. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься всередині трапеції, якщо її основи дорівнюють а і Ь (а < Ь) . 380 (опорна). Пряма, яка проходить через точку перетину діа гоналей трапеції і точку перетину продовжень Ті бічних сторін, ділить основи трапеції навпіл. Доведіть. —^ 381. Відрізок МАГ має кінці на сторонах А В і АС трикутника АВС і паралельний стороні ВС . Доведіть, що медіана трикутника, про ведена із вершини А , ділить цей відрізок навпіл. 382. Через деяку вершину рівнобедреного трикутника проведено пряму, яка ділить даний трикутник на два нерівні рівнобедрені трикутники, один із яких подібний до даного. Знайдіть кути три кутника. Скільки розв’язків має задача? —^ 383. Через точку всередині довільного трикутника необхідно провес ти пряму, яка відтинає від даного трикутника подібний трикутник. Скількома способами це можна зробити? Проведіть дослідження. Узагальніть у вигляді дослідження результати розв’язування задач № 376, 377, 382 і 383.

( § ) ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 12 Теоретичний матеріал • перпендикуляр до прямої; • прямокутний трикутник. Задачі 384. У прямокутному трикутнику кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 20°. Знайдіть гострі кути три кутника. 385. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і радіусом опи саного кола. 119

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

§ 12. Подібність прямокутних трикутників 12.1. Ознаки подібності прямокутних трикутників Ознаки подібності прямокутних трикутників є висновками відповід них ознак подібності довільних трикутників. Найбільш важливою ознакою подібності прямокутних трикутників є така. Якщо два прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні.

Дійсно, оскільки в прямокутному трикутнику один кут прямий, ця ознака випливає з ознаки подібності трикутників за двома кутами. Інші ознаки подібності прямокутних три кутників сформулюйте і доведіть самостійно (за дачі 395, 413).

Задача У трикутнику АВС з гострим ніутом В прове-

\ \

дено висоти

В ( /

х \

N\ ^

і СС,

(рис. 110). Доведіть, що

Роїв'яіаиня Розглянемо) прямокутні трикутники А В , А, і ісвс;. Вони мають спільний гострий кут В, отже, подібні. Із цього випливає, що відповідні катети і гіпотенузи цих трикутників пропорційні,

_ ВА

1обто

вс Рис. 110

120

А/

д.А ,В С ^ А А В С .

вс

Розглянемо> тепер трикутники ДВСі і АВС. Вони також маюті5 спільний кут ІВ , а за щойно доведеним сторони,, прилеглі до цього кута, пропорційні. Отже, Д Д В С ^ Д А В С зсі двома пропорційними сторонами і кутом між ними.

§12. Подібність прямокутних трикутників

П2.2. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику Подібність трикутників дозволяє встанови ти низку співвідношень між довжинами деяких відрізків у трикутнику і колі (такі співвідношен ня називають метричними). Спочатку введемо декілька допоміжних понять.

Число х

називається середнім пропорційним

між числами а і Ь , якщо — = — , тобто х 2 - а Ь . х

Рис. 111. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику АВС з катета ми ВС = а і АС = Ь та гіпотенузою А В = с про ведемо висоту СП і позначимо її Нс (рис. 111). Відрізки А В і Б В , на які ця висота ділить гі потенузу, називають проекціями катетів на гіпо тенузу. Проекції катетів а і Ь на гіпотенузу с позначають ас і Ьс відповідно.

Т е о р е м а (метричні співвідношення в пря мокутному трикутнику) У прямокутному трикутнику: 1) висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпо тенузу:

К 2 = ас А; 2) катет є середнім пропорційним між гіпоте нузою і його проекцією на гіпотенузу:

а 2 =с ас і Ь2 =.с^Ьс: 3) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу: с

121

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Доведення

□ За ознакою подібності прямокутних трикутників А А С Б ^ А А В С (ці трикутники ма ють спільний гострий кут А ) , А С В Б ^ А А В С (ці трикутники мають спільний гострий кут С) і А А С Б ^ А С В Б (гострі кути цих трикутників дорівнюють гострим кутам трикутника А В С ). Із подібності трикутників СВБ і АС Б маєВБ

СБ

АБ

Кс

Ьс

мо: -----= ----- , або — = — , звідки п

=а о .

Із подібності трикутників СВБ і АВС маєВБ

ВС

АВ

мо: -----= ----- , або

а .а

— = — , звідки а с

а -с а .

Аналогічно з подібності трикутників АС Б і АВС дістанемо Ь2 -с -Ь с . І нарешті, з подібності трикутників АС Б

АВС к

маємо:

СБ

ВС

АС

АВ

аЬ

або

% ь

ЗВІДК И

Теорему доведено. ■ У ході доведення теореми ми встановили цікавий факт: висота прямокутного т рикут ника ділить його на два подібні т рикут ники, кожен із яки х подібний даному т рикут нику. Серед усіх видів трикутників таку властивість має лише прямокутний. Задача

Знайдіть периметр прямокутного трикутника, в яко му катет дорівнює 15 см, а його проекція на гі потенузу дорівнює 9 см. Розв'язання Рис. 112

122

:Ч

Нехай у трикутнику АВС АС = 90° АС = 15 см, АЬ = 9 см (рис. 112).

СОТАВ,

§12. Подібність прямокутних трикутників

— —

-------- ---- ---- ----

Т і

— — [— — т;- т - - |— ,— ' — і— і— За метр ичним С П І В В І Д Н О Ш Є Н Н ям У трикуі ни КУ АВС АСг -= А В / Ч) тобто 1іВ, звідки А в = 25 см, .і . ! І тоді 0 і = АВ - А й - =16 см. Зс <співвідношенням В<? ~ А з в Ь маємс>: ВС = V25 16 = 20 (см •Отже, Рдя,

__ [__

4 15 + 20 + 25 = ()0

__ —

(см). і

Відповідь: 6С см.

Запитання і задачі ф

УСНІ ВПРАВИ 386. Чи подібні два прямокутні трикутники, якщо: -а) вони мають спільний кут; +б) вони мають спільний гострий кут; ■^в) один із них має кут 20°, а інший — кут 70°; -г) один із них має кут 50°, а катет другого вдвічі менший за гі потенузу? 387. Чи може висота прямокутного трикутника, проведена до гіпо тенузи, бути меншою за кожну з проекцій катетів на гіпотенузу; дорівнювати проекції катета на гіпотенузу? 388. Відрізки ас і Ьс — проекції катетів а і Ь прямокутного три кутника на гіпотенузу. Порівняйте: а) а і Ь , якщо ас <ЬС; б) ас і Ьс , якщо а > Ь . 389. Чи можуть бути подібними нерівні прямокутні трикутники зі спільною гіпотенузою; зі спільним катетом? 390. Для побудови четвертого пропорційного відрізка х = ~

учень

запропонував побудувати прямокутний трикутник із катетами а і & та гіпотенузою с і провести в ньому висоту Лс , яка дорівнюва тиме х . Інший учень стверджує, що цей спосіб хибний. Хто з уч нів правий? 123

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 391. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть його висо ту з вершини прямого кута. Виділіть кольором проекції катетів на гіпотенузу і виміряйте їх довжини. Користуючись метричними співвідношеннями, обчисліть наближено: а) довжину проведеної висоти; б) довжини катетів. Перевірте отримані результати вимірюванням. * 392. Накресліть прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою А В . Позначте на катеті АС точку М і проведіть до гіпотенузи пер пендикуляр МЇУ. Із точки N проведіть до катета АС перпенди куляр М К . Назвіть три трикутники, подібні трикутнику АВС , і запишіть їх подібність.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ1 Рівень А 1 393. На рисунку 113, а, б знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.

А В С Б — паралелограм а

б Рис. 113

1 Усі задачі параграфів 12—14 можуть бути розв’язані без застосування формули коренів квадратного рівняння. Відповідні задачі, які розв’язуються за допомогою квадратних рівнянь, подаються наприкінці розділу в рубриці «Додаткові задачі».

124

§ 1 2 .Подібність прямокутних трикутників

394. На рисунку 114, а, б знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.

А В С Л — прямокутник

б Рис. 114

395. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності прямокутних три кутників за двома катетами. 396. Спостерігач, що перебуває в точ Л ці А , бачить кінець жердини В і верхню точку вежі Л , причому точки А , В і Л розміщені на одній прямій (рис. 115). Визнач те висоту вежі, якщо ВС = 4 м, АС - 6 м, А Е = 90 м. Рис. 115 —^ 397. Висота дерева дорівнює 9,2 м, а довжина тіні людини, зріст якої 1,8 м, дорівнює 2,7 м. Знайдіть довжину тіні дерева. 398. У прямокутному трикутнику АВС (АС = 90°) проведено ви соту СЛ (див. рис. 111). Знайдіть: а) С Л , якщо АО - 4 см, ЛВ = 25 см; б) АС і ВС , якщо А В = 50 см, АЛ = 18 см. 399. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, висота якого ді лить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4,5 см і 8 см. 400. Доведіть, що відношення відповідних висот подібних трикут ників дорівнює коефіцієнту подібності.

125

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Рівень Б 401. У прямокутний трикутник вписано квад В рат (рис. 116). а) Знайдіть на рисунку 116 подібні три кутники і доведіть їх подібність. б) Знайдіть сторону квадрата, якщо В К - 9 см, М С = 4 см. 402. Два кола з радіусами 4 см і 6 см дотика ються зовні. їх спільна дотична, яка не прохо дить через точку дотику кіл, перетинає лінію Рис. 116 центрів у точці А . Знайдіть відстані від точ ки А до центрів кіл. 403. Відрізки В К і В М — висоти паралелограма АВ С В , прове дені з вершини кута В до сторін А В і СВ відповідно. Знайдіть В К , якщо В М - 4 см, А В : СВ = 2 : 3 . 404. Доведіть, що проекції катетів на гіпотенузу прямокутного триа

а2

кутника відносяться як квадрати катетів: — = ——. Ьс * 405. За даними рисунка 111 виразіть ас та Ьс через а, Ь і с. 406. Висота прямокутного трикутника дорівнює 24 см і ділить гі потенузу у ^відношенні 9 : 16, Знайдіть катети трикутника. -> \1 407. Точка С ділить діайет|) кола А В на відрізки АС = 10 см і СВ = 8 см. Відрізок СВ — перпендикуляр до А В . Визначте роз міщення точки В відносно даного кола, якщо СВ = 9 см. 408. Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедреного трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки завдов жки 2,25 см і 4 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до бічної сторони. —^ 409. Точка дотику кола, вписаного в ромб, ділить сторону ромба на відрізки завдовжки 20 см і 5 см. Знайдіть висоту ромба.

Рівень В 410. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, ді лить сторону у відношенні 1 : 7. У якому відношенні ця висота ділить діагональ паралелограма? 126

§12. Подібність прямокутних трикутників

411. У паралелограмі ABCD перпендикуляр А К , проведений до діа гоналі BD , перетинає сторону ВС в точці М . Знайдіть В М : М С , якщо В К : K D = 3 : 7 . Чи зміниться відповідь, якщо К — довільна точка відрізка BD ? 412. Відрізки А М і A N — висоти паралелограма A B C D , проведені до сторін ВС і CD відповідно. Доведіть, що A M A N ™ A A B C . 413. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності прямокутних три кутників за гіпотенузою і катетом.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 13 Теоретичний матеріал • прямокутний трикутник; • співвідношення м іж сторонами трикутниі Задачі 414. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відно шенні 1 : 4. У скільки разів ця висота менша за гіпотенузу? 415. Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 36°. Знайдіть кути, під якими катети видно із центра описаного кола.

РОЗДІЛ II. Подібність тр и кутників. Теорема Піфагора

§ 13. Теорема Піфагора та ї ї висновки 13.1. Теорема Піфагора Сформулюємо і доведемо одну з найважливі ших теорем геометрії — теорему Піфагора. Т е о р е м а (Піфагора) У прямокутному трикутнику квадрат гіпотену зи дорівнює сумі квадратів катетів:

с2 = а 2 + Ь2. Доведення

ь/ А / ь / с

аС

V----- _____ ^

Рис. 117. До доведення теореми Піфагора

□ Згідно з доведеними метричними спів відношеннями в прямокутному трикутнику з катетами а і Ь та гіпотенузою с (рис. 117) ^

2 = с а с, 7 Ь 2 = с - Ьс.

Додаючи ці рівності почленно, маємо: а 2 +Ь2 - с ас +с-Ьс = с (ас +Ьс) = с2 . Теорему дове дено. ■ Співвідношення між катетами і гіпотенузою прямокутного трикутника було відоме ще задовго до Піфагора. Але саме Піфагорові вдалося довес ти його, спираючись на поняття площі (до цього доведення ми повернемось у наступному розділі). Усього ж нині відомо донад 150 способів дове дення теореми Піфагора. З деякими з них ви зможете познайомитися в п. 18.3. Доведення, яке ми розглянули, є по суті ал гебраїчним. Власне, важливість теореми Піфагора полягає, зокрема, в тому, що вона значно роз ширює можливості застосування алгебри в гео метрії. За її допомогою можна знайти будь-яку

128

§13. Теорема Піфагора та ї ї наслідки

сторону прямокутного трикутника, знаючи дві інші сторони. Наприклад, якщо а = 5 , 6 = 1 2 , то що

с - V52 + 1 2 2 = 7 2 5 + 144 = Т Ї69 = 1 3 . с = 17,

6= 15,

то

Як

а = >/і72 - 1 5 2 =

= 7(17 + 1 5 )(1 7 -1 5 ) = УІ32-2 = Т б4 = 8 . Теорема Піфагора дозволяє використовува ти для розв’язування геометричних задач й ін ші алгебраїчні прийоми, наприклад складання рівнянь.

Задача

Сторони трикутника дорівнюють 13 :м 20 :м і 21 см. Знайдіть висоту трикутника. проведену до найбільшої СТОРОНИ.

Розв'язання

В 1з/

XН

21 -х

по

Нехай ВН - - в исота трикутникс АВС , в якому АВ = ІЗ см, ВС = 20 см, АС = 21 см (рис. 118). Оскільки АС найбільша сторона трикутника, т0 точка Н лежить на цій стороні (доведіть де самостійно). Приймемо довжину відрізка АН за х , тоді НС -=(2 1 -х ) см. За теоремою Пісрагора з прямокутного трикутника АВН ВН2 = а в 2 - а н 2 / тобтс в н 2 = і З2 -- х 2 , а з прямокутного трикутн Ика ВСН ВН2 = ВС2 - ЄН2, тобто ВН 2 = 20 - ( 2 1 - х )2Прирівнюючи два вирази для ВН2 , маємо: 1 6 9 -х 2 = 4 0 0 - ( 2 1 - х ) 2; 1 6 9 - х 2 = 400 - 441 + 42х - х 42х = 2 1 0 ; х =5. Таки \л чином, АН = 5 см. Тоді з трикутника АВН за теоремою Піфагора ВН = л/132 - 5 2 = 112 (см).

Евідповідь: 12 см. 129

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

13.2. Теорема, обернена до теореми Піфагора Поряд із теоремою Піфагора не менш важли вою є обернена теорема. Цю теорему можна роз глядати як ознаку прямокутного трикутника.

Т е о р е м а (обернена до теореми Піфагора) Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник прямокутний: якщо А С 2 +ВС2 = А В 2 . то Z C = 90°.

б Р и с . 1 1 9 . До доведення теореми, оберненої до тео реми Піфагора

Доведення □ Нехай у трикутнику АВС (рис. 119, а) А С 2 + ВС2 = А В 2 . Доведемо, що кут С прямий. Розглянемо прямокутний трикутник А1В1С1 з прямим кутом Сг , у якому А 1С1 = А С , В 1С1 = ВС (рис. 119, б). За теоремою Піфагора А1В 2 = А гС 2 + ВгС 2 , а з урахуванням рівностей двох сторін трикутників, що розглядаються, А 1В 2 = А С 2 + ВС2 = А В 2 , тобто А 1В1 = А В . Тоді Д А 1В1С1 = А А В С за трьома сторонами, звідки ZC = ZC1 = 9 0 °. ■

З доведеної теореми, зокрема, випливає, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним: З2 + 42 = 52. Про це знали ще давні єгиптяни: для побудови прямих кутів на місцевості вони ділили мотузку на 12 рівних частин, зв’язували її кінці, а потім за допомогою кілків натягували її так, Р и с . 1 2 0 . Єгипетський щоб дістати прямокутний трикутник (рис. 120). трикутник Саме тому прямокутні трикутники зі сторона ми, пропорційними числам 3, 4 і 5, називають єгипетськими т рикут никам и. Узагалі, трійки чисел а, Ь, с, для яких справджується рівність а2 + Ь2 = с2, прийнято називати піфагоровими трій ками, а трикутники, довжини сторін яких є піфагоровими трійками,— пі фагоровими т рикут никами. Спробуйте самостійно скласти декілька піфагорових трійок чисел (допоможе в цьому розв’язання задачі № 443). 130

§13.Теорема Піфагора та ї ї наслідки

13.3. Перпендикуляр і похила

Рис. 121. Перпендику ляр і похила

(О(О(О(С Проекція —

від латинського «проектіо» — кидан ня вперед

Рис. 122. Властивості похилих

Нехай точка А не лежить на прямій а , А В — перпендикуляр до цієї прямої (рис. 121). Будь-який відрізок, який сполучає точку А з точкою прямої а і не збігається з перпен дикуляром, називають похилою до прямої а . На рисунку 121 відрізок АС — похила до пря мої а , точка С — основа похилої. При цьому відрізок ВС прямої а , обмежений основами перпендикуляра і похилої, називають проекцією похилої АС на дану пряму. Поняття похилої та її проекції взаємо пов’язані з поняттям перпендикуляра до пря мої: неможливо вказати проекцію даної похилої, не побудувавши перпендикуляра. Очевидно, що перпендикуляр і похила, проведені з однієї точки, разом із проекцією похилої утворюють прямокут ний трикутник, у якому похила є гіпотенузою. Сформулюємо властивості перпендикуляра, похилих і проекцій. Нехай з однієї точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі. Тоді: 1) будь-яка похила більша за перпендику ляр і більша за свою проекцію на дану пряму (рис. 122, о); 2) рівні похилі мають рівні проекції, і навпа ки: якщо проекції двох похилих рівні, то рівні й самі похилі (рис. 122, б); 3) більша похила має більшу проекцію, і на впаки: з двох похилих більша та, яка має біль шу проекцію (рис. 122, в).

Усі ці властивості випливають з теореми Піфагора (самостійно поясніть чому). Але деякі з них можна також дістати і з інших властивос тей прямокутного трикутника. 131 >

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 416. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника удвічі більший за квадрат катета. Чому дорівнюють гострі кути трикутника? 417. Яку градусну міру має найбільший кут трикутника зі сторо нами 6, 8 і 10? Чому? 418. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 4 см, а діаго наль 5 см. Визначте вид паралелограма. 419. У трикутнику АВС А А = 90°. Назвіть: а) похилу до прямої А В , проведену з точки С ; б) проекцію похилої ВС на пряму А С . 420. Відрізки а1 і а2 — проекції похилих і 12, проведених з од нієї точки до однієї прямої. Порівняйте: а) ^ і 12, якщо ах <а2\ б) аг і а2, якщо ^ = 12. 421. Дві похилі до однієї прямої мають рівні проекції. Чи обов’язково ці похилі рівні? 422. Скільки рівних похилих до даної прямої можна провести з точ ки, яка не лежить на цій прямій?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 423. Накресліть прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см. Обчисліть за теоремою Піфагора довжину його гіпотенузи. Перевірте отриманий результат вимірюванням. 424. Побудуйте трикутник зі сторонами 2,5 см, 6 см і 6,5 см. Виміряйте найбільший кут трикутника. Обґрунтуйте отриманий результат за допомогою теореми, оберненої до теореми Піфагора.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 425. У прямокутному трикутнику з катетами а і & та гіпотену зою с знайдіть: а) с , якщо а = 7 , Ь - 24; в) а , якщо Ь = 3\[3 , с = 6 .

132

б) Ь , якщо а = у/і7 , с = 9 ;

§13. Теорема Піфагора та ї ї наслідки

4 2 6 .3 точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть довжину: а) похилої, якщо її проекція дорівнює 9 см, а перпендикуляр має довжину 40 см; б) перпендикуляра, якщо похила та її проекція дорівнюють відповідно 29 см і 20 см. 427. У прямокутнику знайдіть: а) діагональ, якщо сторони дорівнюють 10 см і 24 см; б) периметр, якщо діагональ дорівнює 10 см, а одна із сторін 6 см. 428. У рівнобедреному прямокутному трикутнику знайдіть: а ) г і п о т е н у з у , я к щ о к а т е т д о р і в н ю є 4 с м ; 2 уі2 с м ; а с м ; б) катет, якщо гіпотенуза дорівнює 10 см; \І2 см; с см.

429. У квадраті знайдіть: а) діагональ, якщо сторона дорівнює а ; б) сторону, якщо діагональ дорівнює сі. 430. Визначте, чи є прямокутним трикутник зі сторонами: а) 4, 5, 6; б) 5, 12, 13; в) 2, 77 , ТГз ; г) 6, 8, 7 Ї 0 . —^ 431. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Який кут утворює з найменшою стороною бісектриса найбільшого кута? 432. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бісектриса, проведена до основи, дорівнює 6 см. 433. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторона — 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до основи. 434. Діагоналі паралелограма дорівнюють 16 см і 30 см, а сторо на — 17 см. Доведіть, що даний паралелограм є ромбом. —^ 435. Знайдіть периметр ромба з діагоналями 10 м і 2л/ГГ м.

Рівень Б 436. Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть довжину третьої сторони. Скільки розв’язків має задача? 437. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо: а) катети відносяться як 3 : 4, а гіпотенуза дорівнює 45 см; б) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см, а проекція одного з катетів на гіпотенузу має довжину 16 см. 133

РОЗДІЛ II. Подібність т рикутників. Теорема Піфагора

438. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо: а) катет і гіпотенуза відносяться як 12 : 13, а другий катет дорівнює 10 см; б) проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 18 см і 32 см. 439. У рівносторонньому трикутнику знайдіть: а) висоту, якщо сторона дорівнює 6 см; 2V3 см; а см; б) сторону, якщо висота дорівнює 1 см; Зл/З см; h см. 440. Знайдіть висоту ромба, якщо вона ділить сторону на відрізки завдовжки 6 см і 4 см, починаючи від вершини гострого кута. 441. Висота рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 1 см і 12 см, починаючи від основи. Знай діть основу трикутника. 442. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 20 см і 25 см. Знайдіть медіану і висоту, проведені до найбільшої сторони. 443. Якщо т і л — натуральні числа, то числа 2 т п , т 2- п 2 і т 2 + я 2 складають піфагорову трійку. Доведіть. 444. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см, а висота 12 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло? 445. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 21 см і 28 см, а біль ша бічна сторона — 25 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло? 4 4 6 .3 точки до прямої проведено перпендикуляр завдовжки 8 см і дві похилі з довжинами 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між осно вами похилих. Скільки розв’язків має задача? 447. Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі сторонами: а) 15, 41 і 52; б) 10, 17 і 21. N - » 448. З точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі, різ ниця довжин яких складає 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо проекції похилих дорівнюють 8 см і 20 см. 449. Точка кола віддалена від кінців діаметра на 15 см і 20 см. Знайдіть відстань від даної точки до діаметра. - > 450. На колі позначено точки А , В і С так, що A B = 9 см, ВС = 40 см, АС = 41 см. Знайдіть радіус кола. 134

§13. Теорема Піфагора та ї ї наслідки

Рівень В 451. Два кола з радіусами 4 см і 9 см дотикаються зовні. Знайдіть відстань між точками дотику спільної дотичної до даних кіл.

452. Два кола дотикаються зовні. Відстані від точки дотику А цих кіл до точок В і С дотику даних кіл з їх спільною зовнішньою дотичною дорівнюють відповідно 5 см і 12 см. Знайдіть В С . 453. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 1 м і 7 з м. Знайдіть середню лінію трапеції. 454. Медіана і висота, проведені до гіпотенузи прямокутного три кутника, дорівнюють відповідно 25 см і 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник. 455. Доведіть, що квадрат висоти рівнобедреної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку її основ. 456. Якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, то суми квад ратів довжин його протилежних сторін рівні. Доведіть. Сформулюйте і доведіть'обернене твердження.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 14 Т е о р е ти ч н и й м атер іал • •

дотична до кола; геометричні місця точок.

7 клас, § 20, 22

Зад ачі 457. На катеті А В прямокутного трикутника АВС [А А - 90°) позначена точка К . Відрізок К М — перпендикуляр до гіпотену зи В С , причому К М = А К . Доведіть, що СК — бісектриса три кутника А В С . 458. У гострокутному трикутнику АВС А В > В С , ВИ — висота трикутника. Порівняйте довжини відрізків АО і П С . Чи змінить ся відповідь, якщо ВИ — бісектриса трикутника? Висловіть при пущення.

135

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

§ 14. Застосування подібності трикутників 14.1. Властивість бісектриси трикутника В

Т е о р е м а (властивість бісектриси трикутника) Бісектриса трикутника ділить протилежну сто рону на відрізки, пропорційні двом іншим сто ронам.

<*! Л Ь1

Рис. 123. Властивість бісектриси трикутника

За даними рисунка 123 це означає, що ах а

\ ~ ь ■ Доведення

□

Нехай

— бісектриса трикутни-

ка ABC . Доведемо, що -----= ----- . DC

/ А^

\ Е Х\ \ ^ > Р

Рис. 124. До доведення властивості бісектриси трикутника

ВС

У випадку, коли А В = ВС , твердження теореми очевидне, оскільки бісектриса BD вод ночас є медіаною. Розглянемо випадок, коли А В ФВ С . Проведемо перпендикуляри А Е і CF до прямої BD (рис. 124). Прямокутні трикутни ки AD E і CDF подібні, оскільки їх гострі кути при вершині D рівні як вертикальні. Із подібАЕ AD . ності цих трикутників маємо: -----= ------. 3 інCF

шого боку, прямокутні трикутники А В Е і CBF також подібні, оскільки мають рівні гострі кути -з • АВ АЕ при вершині• ВD . Звідси випливає, що -----= ----. ВС

136

§14. Застосування подібності трикутників

Порівнюючи цю рівність із попередньою, отримуєАО

АВ

ВС

мо: -----= ----- , що и треба було довести. ■

Задача Знайдіть периметр прямокутного трикутника, ;якщо його бісектриса Д І Л И Т І ь гіпотенузу’ н<з відрізки1 завдовжки 1Еі СМ і 2СІ СМ.

\ V

в /

А\ \

\ в

Ч С

РИС. 12Ь

Розв'язання — Неха й ВП бісектриса прямокутного трикутника А В С з гіпотенузою А С . де>= :15 СМ, С>С =- 2С) СМ За властивістю оісектрисИ 'трикутника (рис. АО Ло тобто ДЕ1: ВС = 15 : 2С) = З х 1. Тоді, :якиЮ ВС ОС ВС:= 4 х с:м, і 3а 'теоремою МіфіаАВ = Зх СМ, ТО 1 маємо: гора /А 2. (Зх) і = 35 25х = 122!5 ; х=7 АП 0 СМ ВС = с О СМ, де - І35 СМ, Отже , АЬ —с. тоді ?АВС = і84 СМ.

в ідповідь: 841 СМ.

14.2*. Метричні співвідношення в колі Т е о р е м а (про пропорційність відрізків хорд) Добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні. Рис. 126. До доведення пропорційності відрізків хорд

За даними рисунка 126 це означає, що А М ■В М = СМ П М .

137

РОЗДІЛ II Подібність трикутників. Теорема Піфагора Доведення

□ Нехай хорди АВ і СВ перетинаються в точці М . Проведемо хорди АС і В В . Три кутники А С М і Б В М подібні за двома кутами: Z С = Z В як вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, а кути при вершині М рівні як вертикальні. Із подібності трикутників випливає, що

БМ

ВМ

, тобто А М ■В М = СМ ■Б М . ■

Т е о р е м а (про пропорційність відрізків січної і дотичної) Добуток січної на ї ї зовнішню частину дорів нює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки.

За даними рисунка 127 це означає, що СВ СА = С Б 2. Рис. 127. До доведення пропорційності відрізків січної і дотичної

Доведення

□ Нехай з точки С до кола проведено січ ну, яка перетинає коло в точках А і В , і до тичну СВ ( В — точка дотику). Проведемо хор ди А В і В В . Трикутники ВСВ і ВСА подібні за двома кутами: вони мають спільний кут С , а кути СВВ і СВА обидва вимірюються полови ною дуги А В (див. опорну задачу № 230). Отже, .

СВ

СБ

СВ

СА

з подібності трикутників маємо ---- = ----- , тобто

СВ СА = С Б 2. Ш Наслідок Добутки відрізків січних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

Рис. 128. Пропорцій ність відрізків січних

138

За даними рисунка 128 це означає, що РА РВ = РС Р Б ..

§14. Застосування подібності трикутників

14.3*. Метод подібності Подібність трикутників дає ключ до розв’язання задач на доведення й обчислення, які містять співвідношення між добутками деяких відрізків. Для цього відповідні рівності перетворюють на пропорції, завдяки яким можна довести подібність відповідних трикутників. ІД З а д а ч а Діагоналі

чотирикутника

ABCD

перетинаються

Т в|точці О. АО • BQ = СО • Ь Q._

LL1 ..І..І.Т j-JlIa lL Розв'язання Перепишемо дану рівність у вигляді пропорції — 4 — . Елементи цієї пропорції є відповідними CO

АО

■ t-

сторонами трикутників ВОС і DOA (рис. 128). Оскіль ки ZBOC = ZDOA як вертикальні, то ці трикут ники подібні за двома пропорційними сторонами й кутом між ними, тому ZC B 0 = Z A D 0 . Але кути СВО і ADO внутрішні різносторонні при прямих СВ і AD та січній BD. Отже, за ознакою паралельності прямих в с II AD-!

I— J

1; І.:.,і.

І Li

L !

Подібність трикутників може використовуватись не тільки як інстру мент геометричних доведень чи обчислень, але й як засіб для розв’язування задач на побудову. Метод подібності для розв’язування задач на побудову полягає в побудові допоміжної фігури, подібної шуканій. Задача Побудуйте трикутник за двома кутами і бісеі<тр лсою, проведеною 3 вершини третього кутеі.

Розв'язання

Y •.

Аналіз Звернемо увагу на те, що два дані кути (нехай вони дорівнююп сх і Р ) визначають ерорму шуканого трикутника, а довжина даної бісектриси (нехай вона

139

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

С А

1) — його розміри. При цьому шуканий трикутник буде подібним будь-якому трикутнику з кута-

дорівнює

спочатку довільний трикутник з кутами а і (3, прово димо в ньому бісектрису та, користуючись подібністю трикутників, будуємо шуканий трикутник (рис. 130).

Побудова 1. Побудуємо трикутник А Д С , у якому Z A l = а , ^В,= (3. 2. Побудуємо бісектрису кута С. 3. Відкладемо на побудованій бісектрисі відрізок СЬ = /. 4 . Проведемо через точку 0 пряму, паралельну А ^ ,. Нехай А і В — точ ки Ті перетину зі сторонами кута С. Трикутник АВС шуканий.

Доведення Оскільки за побудовою АВ ||'А1В1, то ZA = Z A 1 , ZB = ZB 1 як відповідні кути при паралельних прямих. Отже, в трикутнику АВС СЬ — бісектриса і СЬ=1 за побудовою, ZA = а , ZB = р .

Дослідження Задача має єдиний розв'язок за умови а + (3 < 180° і жодного, якщо а + (3 ^ 180°.

Отже, під час розв’язування задач на побудову методом подібності варто дотримуватись такого плану. 1. Виділити з умов задачі ті, що визначають форму шуканої фігури. 2. Побудувати за цими даними фігуру, подібну шуканій. 3. Використовуючи умови задачі, які визначають розміри шуканої фігури, побудувати цю фігуру. Серед задач на побудову, пов’язаних із подібністю, однією з найбільш цікавих є задача поділу відрізка на дві частини так, щоб одна з них бу ла середнім пропорційним між другою частиною і всім відрізком. Такий поділ відрізка називають поділом у середньому і крайньому відношенні, або золотим перерізом. Докладніше про такий поділ ви можете дізнатися в Додатку 2.

140

§14. Застосування подібності трикутників

Запитання і задачі

ф УСНІ ВПРАВИ 459. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону у відношенні 1 : 2 . Чи можуть кути, прилеглі до цієї сторони, бути рівними? Чому?

460. Чи може бісектриса рівнобедреного трикутника ділити бічну сторону у відношенні 2 : 1, починаючи від основи? Якій теоремі це суперечить?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 461. Накресліть трикутник АВС і проведіть його бісектрису B D . Виміряйте відрізки А В , AD і D C . За допомогою властивості бі сектриси трикутника обчисліть довжину сторони ВС . Перевірте отриманий результат вимірюванням. —^ 462. Побудуйте трикутник ABC зі сторонами А В = 6 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. Позначте на стороні ВС точку D так, щоб BD = 3 см. Сполучіть точки А і D . Виміряйте кути BAD і C A D . Обґрунтуйте отриманий результат. ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 463. Відрізок ВО — бісектриса трикутника А В С . Знайдіть: а) А В , якщо ВС = 8 см, АІ) = 3 см, ВС = 2 см; б) АО і £>С, якщо АВ = 9 см, ВС = 6 см, АС = 10 см. 464. Бісектриса рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 2 см і 4 см, починаючи від основи трикут ника. Знайдіть основу трикутника. 465. Відрізок В В — бісектриса трикутника А В С . Знайдіть сторо ни трикутника, якщо АО = 8 см, ОС = 12 см, а периметр трикут ника дорівнює 45 см. 466. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, різниця яких дорівнює 5 см. Знайдіть сторони три кутника, якщо відношення катетів дорівнює 3 : 4 . 141

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

—^

467. Бісектриса прямокутного трикутника ділить його катет на відрізки завдовжки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трикутника.

Рівень Б 468. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить ви соту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 16,5 см і 27,5 см. Знай діть відрізки, на які ця бісектриса ділить бічну сторону трикутника. —^ 469. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до осно ви як 5 : 6. Бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, різниця яких дорівнює 4 см. Знайдіть пе риметр трикутника. 470. У результаті перетину двох хорд одна з них ділиться на відріз ки завдовжки 6 см і 16 см, а друга — у відношенні 3 : 2 . Знайдіть довжину другої хорди. 471. У результаті перетину хорди з діаметром кола хорда ділиться на відрізки завдовжки 3 см і 4 см, а діаметр — у відношенні 1 : 3 . Знайдіть радіус кола. 472. Січна, проведена з точки А , перетинає коло в точках В і С , причому А В = 4 см, ВС = 5 см. Знайдіть довжину відрізка дотичної, проведеної до кола з точки А . і / Аг А0 473. З точки поза колом, віддаленої від найближчої точки кола на 24 см, проведено дотичну до кола. Знайдіть радіус кола, якщо відрізок дотичної дорівнює 36 см.

Рівень В 474. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см. Точка на цьо му катеті віддалена від гіпотенузи й іншого катета на 8 см. Знайдіть периметр трикутника. —^ 475. Точка на катеті прямокутного трикутника рівновіддалена від другого катета й гіпотенузи. Перпендикуляр, проведений із даної точки до гіпотенузи трикутника, ділить її на відрізки 3 см і 12 см. Знайдіть периметр трикутника. 476. У трикутнику АВС для висоти СВ і відрізків А В і ВВ, на які вона ділить сторону АВ, міє місце співвідношення СВ2 = А В • ВВ. Доведіть, що кут АСВ прямий. 477. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС до сторони ВС проведено висоту АВ. Доведіть, що 2ВС ■ВС = АС2. 142

§14 Застосування подібності трикутників

478. Побудуйте трикутник: а) за двома кутами і висотою, проведеною з вершини третього кута; б) за кутом, бісектрисою цього кута і відношенням сторін, які утворюють даний кут. —^ 479. Побудуйте трикутник за двома кутами і бісектрисою, проведе ною з вершини меншого з них.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 15 Теоретичний матеріал • означення трикутника; • сума кутів трикутника;

7 клас, § 7,16

. „

8 клас, § 1

• чотирикутник і його елементи. Задачі 480. Доведіть, що периметр паралелограма більший за суму довжин його діагоналей. 481. Два кути трикутника дорівнюють 10° і 70°. Знайдіть кут між висотою і бісектрисою, проведеними з вершини третього кута.

Задачі для підготовки до контрольної роботи №3 « „

А ___

1. За рисунком доведіть подібність трикутників \ ></ А В Е і Б С Е , якщо АВЦ СБ . . Х еК . 2. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, С^—-------------—^2) а одна із сторін 5 см. Знайдіть діагональ прямокутника. 3. Сторони трикутника пропорційні числам 21, 20 і 29. Доведіть, що даний трикутник прямокутний. 4. Із точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі за вдовжки 17 см і 10 см. Проекції похилих відносяться як 2 : 5 . Знайдіть довжину перпендикуляра. 5. У прямокутному трикутнику бісектриса ділить гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см. На які відрізки ділить гіпотенузу висота трикутника? 6. У колі проведено дві рівні хорди, що перетинаються. Доведіть, що відрізки першої хорди відповідно дорівнюють відрізкам другої хорди.

Підсумки ПІДСУМКОВИЙ ОГЛЯД РОЗДІЛУ II

ШШ

ТЕОРЕМА ПРО ПРОПОРЦІЙНІ ВІДРІЗКИ

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторонах цього кута пропорційні відрізки: а с Ь <і ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

Два трикутники називаються подіб ними, якщо кути ОДНОГО з них від повідно дорівнюють кутам іншого і відповідні сторони цих трикутни ків пропорційні

ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Ознака подібності трикутників за двома кутами Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикут ники подібні

Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом м іж ними Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутни ки подібні

Ознака подібності трикутників за трьома сторонами Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні

144

Підсумки

ОЗНАКА ПОДІБНОСТІ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ Якщо два прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні

МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ В ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ Висота, проведена до гіпотенузи, є се реднім пропорційним між проекція ми катетів на гіпотенузу: Ь2 = ас Ьс Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гі потенузу: а 2- с ас і Ь2 = с Ь с Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів, поділено, аЬ му на гіпотенузу: пс - — с

ТЕОРЕМА ПІФАГОРА ТА ЇЇ НАСЛІДКИ Теорема Піфагора У прямокутному трикутнику квадрат гіпотену зи дорівнює сумі квадратів катетів:

Ь 1

, г^2 с 2 = а 2 +Ь

Теорема, обернена до теореми Піфагора А

Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник прямокутний: \

якщо А С 2 + ВС2 = А В 2,

то

ZC = 90°

145

Підсумки

ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА

Нехай з однієї точки до прямої проведено пер пендикуляр і похилі. Тоді: • будь-яка похила більша за перпендикуляр і більша за свою проекцію на дану пряму;

Проекція похилої

рівні похилі мають рівні проекції, і навпа ки: якщо проекції двох похилих рівні, то рівні й самі похилі

більша похила має більшу проекцію, і на впаки: з двох похилих більша та, яка має більшу проекцію

ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ ТРИКУТНИКА

Бісектриса трикутника ділить протилежну сто рону на відрізки, пропорційні двом іншим сто ронам: о, а ~Ь~Х~~Ь

146

Підсумки

МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У КОЛІ

Добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні: А М В М = СМ Б М

Добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки: СВ СА = С В2

Добутки відрізків січних, проведених з однієї точки до кола, рівні: РА ■РВ - РС ■РХ)

147

РОЗДІЛ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ II 1. Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки. 2. Дайте означення подібних трикутників. 3. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за двома кутами. 4. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за двома сторонами й кутом між ними. 5. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за трьома сторонами. 6. Сформулюйте ознаки подібності прямокутних трикутників. 7. Сформулюйте і доведіть метричні співвідношення у прямокут ному трикутнику. 8 . Сформулюйте і доведіть теорему Піфагора. 9. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора. 10. Сформулюйте властивості перпендикуляра та похилих, проведе них з однієї точки до прямої. 11. Сформулюйте властивість бісектриси трикутника.

ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ II 482. Катет прямокутного трикутника дорівнює б, а проекція іншого катета на гіпотенузу дорівнює 5. Знайдіть гіпотенузу трикутника. 483. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а діагональ — 17 см. Знайдіть сторони прямокутника. 484. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника з периметром 16 см, якщо медіана, проведена до основи, дорівнює 4 см. 485. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 25 см. Знайдіть катети трикутника, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорів нює 12 см. 486. Периметр трикутника дорівнює 27 см. Обчисліть його сто рони, якщо бісектриса ділить одну з них на відрізки завдовж ки 4 см і 5 см. 487. Периметр рівнобедреної трапеції дорівнює 1 м, а різниця основ складає 14 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трапецію. 148

Підсумки

488. Катет прямокутного трикутника дорівнює 32 см. Точка, що лежить на цьому катеті, віддалена від кінців гіпотенузи на 25 см. Знайдіть периметр трикутника. 489. Прямокутний трикутник із катетами о і & та гіпотенузою с подібний прямокутному трикутнику з катетами ах і \ та гіпоте нузою с1. Доведіть, що аах + Ь \ —ссх. 490. Користуючись рисунками 131, а, б, доведіть теорему про точку перетину медіан трикутника ще двома способами. В

Рис. 131

491. На рисунку 132 відрізок В Б — бісектриса трикутника А В С , СМ || В Б . Користуючись цим рисунком і теоремою про пропорційні відрізки, доведіть властивість бісектриси трикутника. 492. На рисунку 133 СМ — бісектриса зовнішнього кута трикут ника АВС , В Б || СМ . Користуючись цим рисунком і теоремою про пропорційні відрізки, доведіть, що А М : В М = А С : ВС . М

Рис. 132

Рис. 133

493. Побудуйте трикутник за кутом, медіаною, проведеною з його вершини, і відношенням сторін, прилеглих до даного кута. 149

РОЗДІЛ II Подібність трикутників. Теорема Піфагора

Задачі підвищеної складності 494. У трикутнику АВС на сторонах ВС і АС позначено точки А х і В1 відповідно. Відрізки А А Х і ВВХ перетинаються в точці О. Знайдіть: а) АО : А хО, якщо А В Х: В ХС = 2 :1 , В А Х = А ХС; б) ВА Х: А ХС, якщо АО : ОАх = 4 : 1 , А В Х: В ХС = 2 : 1 ; в) ВА Х: А ХС і А В Х: В ХС, якщо АО : ОАх = 4 : 1 , ВО : ОВх = 7 : 4 . 495. У трикутнику АВС медіана А М ділить висоту В Н у відно шенні 3 : 1 , починаючи від вершини В . У якому відношенні дана висота ділить дану медіану? 496. Основи трапеції дорівнюють б см і 12 см. Середини кож ної з основ сполучені з кінцями іншої основи. Знайдіть відстань між точками перетину проведених відрізків. 497. Дано рівнобедрений трикутник з основою 6 м і бічною сто роною 9 м. Відрізки якої довжини треба відкласти від вершини на бічних сторонах, щоб при сполученні їх кінців отримати три кутник із периметром 16 м, подібний до даного? 498. Основи трапеції дорівнюють а і Ь (а < Ь) . Через точку пе ретину продовжень бічних сторін проведено пряму, паралельну ос новам. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься між продовженнями діагоналей. 499. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сторона — 54 см. До бічних сторін проведено висоти. Знайдіть дов жину відрізка, кінцями якого є основи цих висот. 500. Доведіть, що квадрат найменшої медіани прямокутного трикут ника в 5 разів менший за суму квадратів двох інших медіан. 501. Три кола з радіусами 1, 2 і 3 дотикаються одне до одного зовні. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центри цих кіл, і радіус кола, яке проходить через точки їх дотику. 502. Усередині прямокутника АВС Л позначено точку М , причо му М А = а , М В = Ь , М С = с . Знайдіть М£>. 503. Знайдіть геометричне місце точок, сума квадратів відстаней від яких до даних точок А і В стала.

150

Підсумки

504 (теорема Птолемея). Добуток діагоналей вписаного чотири кутника дорівнює сумі добутків двох пар його протилежних сторін: с11 с12 = ас+Ь(і (рис. 134). Доведіть.

505 (опорна). Квадрат бісектриси кут а при вершині т рикут ника дорівнює р ізн и ц і між добутком бічних сторін і добут ком відрізків, на які ця бісектриса ділить основу: Іс2 ~ а Ь - т п (рис. 135). Доведіть.

Рис. 135

Історична довідка Теорії подібності тр и кутн и ків присвячений шостий розділ «Начал» Евкліда. Цікаво, що, наприклад, у гео метрії Лобачевського не існує подібних трикутників, які не були б рівними. Виявляється, що аксіома па ралельних прямих в евклідовій геометрії рівносильна припущ енню про існування подібних, але нерівних трикутників. Ц ентральне місце в е в кл ід о в ій ге о м е тр ії п о с і дає теорем а П іф агора. Піфагор Самоський (бл. 5 8 0 -5 0 0 рр. до н. е.) три вал и й час п р о ж и в у Єгипті й Вавилоні, потім оселився в місті Кротон (гре цькій колонії на півдні Італії) і заснував так званий п і ф а горійський союз. Вважається, що саме від піф агорійців іде сл о во «математика» (грецьке «матема» означає «наука», «пізнання»). Властивості трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 були відомі давнім єгиптя нам і китайським ученим. Піфагор почав дослідж увати інші прямокутні три кутн и ки із цілочисловим и сторонами. Розглянувши рівнобедрений

п р я м о кутн и й т р и к у т н и к з о д и н и ч н и м и катетами, він побачив, що довж ина його гіпотенузи не вира жається цілим числом — так було в ід кри то ірр а ціональні числа. Згодом Піфагору вдалося довести, що сума площ квадратів, побудованих на катетах прям окутного трикутника, дорівню є площі квадрата, побудованого на гіпотенузі — саме так виглядала те орема Піфагора в класичному формулюванні. За ле гендою, на честь свого відкриття він приніс богам у жертву сто биків. Сьогодні достеменно невідомо, які з відкриттів піфа горійців належать самому Піфагорові, а які — його П іф аго р учням. Узагалі, школа Піфагора існувала достатньо закрито і відокремлено від громади. Це породило ненависть до піфа горійців, і школа була розгромлена, а сам він мусив утекти і в дорозі був убитий. Після смерті Піфагора його учні розбрелися по всій Греції і почали пош ирювати його вчення, яке дійш ло і до наших днів.

Піф агорійський союз був одночасно і філософською ш ко лою, і науковим товариством, і релігійним братством, і на віть політичною партією. Дослідження піфагорійців охоплю вали й арифметику, і філософію, і музику, і астрономію. 153 __ /

Подібність трикутників. Теорема Піфагора

І ТЕМАТИКА ПОВІДОМЛЕНЬ ТА РЕФЕРАТІВ ДО РОЗДІЛУ II 1. Піфагор Самоський — учений, філософ, громадський діяч. 2. Архімед і його здобутки в геометрії. Задачі про арбелос. 3. Пропорційні відрізки в трапеції. 4 . Теореми Чеви і Менелая та їх наслідки. 5. «Золотий переріз» в архітектурі й мистецтві. 6. Прикладне застосування подібності трикутників. Пропорційний циркуль. РЕКОМЕНДОВАНІ ДЖЕРЕЛА ІНФОРМАЦІЇ

1. Математична хрестоматія. Т. 1, 2.— К.: Рад. шк., 1970. 2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 3. Бевз Г. П. Геометрія трикутника.— К.: Генеза, 2005. 4 . Бевз Г. П. Геометрія кіл.— X.: Основа, 2004. 5. Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії.— К.: Факт, 2000. 6. Литцман В. Теорема Пифагора.— М.: Физматгиз, 1960. 7. Еленьский Щ. По следам Пифагора.— М.: Детгиз, 1961. 8 . Філіпповський Г. Б., Білецький Ю. О. Фігури на піску.— X.: Основа, 2003. 9. Прасолов В. В. Задачи по геометрии. Ч. 1.— М.: Наука, 1986. Ю.Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9.— М.: Дрофа, 1997. 11. Никулин А. В., Кукуш А. Г., Татаренко Ю. С. Геометрия на плос кости (Планиметрия).— Мн.: Попурри, 1996. 12. Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirrorO.mccme.ru/

оо

Означення многокутника Площа многокутника Площі прямокутника й паралелограма Площі трикутника і трапеції Застосування площ

Математика, відокремлюючи лінію від пло щ і і площу від тіла, стверджує, що реальне лиш е тіло, а л ін ія і площ а — абстракції.

Олександр Герцен, російський письменник До цього часу в теоремах і задачах розглядалися лише числові характеристики окремих елементів геометричних фігур — довжини сторін, градусні міри кутів тощо. На відміну від них площа характеризує фігуру в цілому, тобто залежить як від її форми, так і від розмірів. У повсякденному житті ми маємо справу з площами кож ного дня — вимірюємо наші помешкання і присадибні ділянки, лісові масиви і сільськогосподарські угіддя. Обчисленням площ ви займалися і на уроках математики в молодших класах. Проте дати строге з наукової точки зору означення площі не така вже й проста річ, і відповідна математична теорія була створена значно пізніше від багатьох відомих теорем. У цьому розділі ми узагальнимо відомості про многокутники і їх площі. Завдяки цьому ваш математичний багаж поповниться чималою кількістю нових формул, які необхідно знати і вміти за стосовувати. З цього приводу дамо вам таку пораду: засвоїти будьяку формулу значно простіше, якщо зрозуміти і запам’ятати спосіб її отримання. Більш того, відкриємо вам маленьку професійну таємницю: іноді навіть фахівці-математики не запам’ятовують певні формули, а виводять їх подумки в разі необхідності. І буде дуже добре, якщо такої математичної ерудиції вдасться набути і вам.

§ 15.Означення многокутника

§ 15. Означення многокутника 15.1. Ламана і многокутник У попередніх розділах розглядалися озна чення трикутника і чотирикутника. Для означен ня многокутника з довільним числом сторін вве демо поняття ламаної. Означення Ламаною називається фігура, яка складається з точок Ах, А^ , різками.

А п , послідовно сполучених від

На рисунку 136 зображ ено ламану А 1А 2...А п . Точки А х, А^, ..., А п називаються вершинами ламаної, а відрізки А ХА 2, А 2А3 , ..., А„п —1,А„п — ланкам и ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. Ламана називається замкненою, якщо її кінці збігаються.

Очевидно, що проста замкнена лама на А 1А 2А 3 я в л я є собою трикутник, а проста замкнена ламана А 1А 2А 3А 4 , ланки якої не ле жать на одній прямій, — чотирикутник. Са ме ці спостереження і обґрунтовують таке означення. Означення Многокутником називається проста замкнена ла мана, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій.У

У цьому випадку вершини ламаної є вер шинами многокутника, а її ланки — сторона ми многокут ника. На рисунку 137 зображено 157

; і ДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

многокутник А 1А 2...А п , який має п вершин (і, відповідно, ті сторін). Такий многокутник на зивають п-кутником. Означення Периметром многокутника називається сума дов жин усіх його сторін.

Діагоналлю многокутника називається відрізок, що сполучає дві несусідні вершини. Многокутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону. б Рис. 138. Опуклий і неопуклий много кутники

На рисунку 138, а зображено опуклий мно гокутник, а на рисунку 138, б — неопуклий. Далі ми будемо розглядати лише опуклі многокутники. Означення Кутом (внутрішнім кутом) опуклого многокут ника при даній вершині називається кут між сторо нами, що сходяться в цій вершині.

Зовнішнім

кутом

опуклого

многокутника

при даній вершині називається кут, суміжний з його внутрішнім кутом при цій вершині.

Будь-який внутрішній кут опуклого много кутника менший за 180°. Означення Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.

Рис. 139. Вписаний і описаний многокутники

На рис. 139, а зображено вписаний много кутник, а на рис. 139, б — описаний.

158

Означення многокутник;.

15.2. Сума кутів опуклого многокутника Як ви знаєте, сума кутів трикутника дорів нює 180°, а сума кутів чотирикутника — 360° Неважко передбачити, що сума кутів опуклого многокутника має залежати від кількості його сторін. Ця залежність виражається такою тео ремою. Т е о р е м а (про суму кутів опуклого л-кутника) Сума кутів опуклого «-кутника дорівнює 180° ( п - 2) Доведення

Рис. 140. До доведення теореми про суму кутів опуклого «-кутника

□ Нехай дано опуклий я-кутник А іА 2...А п (рис. 140). Позначимо всередині нього довільну точку О і сполучимо її з вершинами А х, А 2 , А , , ..., А п . При цьому утворюється я трикут ників. Звернемо увагу на те, що сума кутів даного многокутника дорівнює сумі кутів цих трикутників без суми кутів при вершині О . Оскільки сума кутів цих трикутників при вер шині О складає 360°, то шукана сума кутів многокутника дорівнює 180° я - 360° , тобто 1 8 0 °(я -2 ). ■ Задача Доведіть, що сума зовнішніх кутів опуклого п -кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. Розв'язання

Оскільки зовнішній кут многокутника за означенням є суміжним із відповідним внутрішнім кутом, то сума цих двох кутів дорівнює 180°. Таким чином, сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів дорівнює 180° п. Щоб отримати суму зовнішніх кутів, віднімемо від цієї суми суму внутрішніх кутів: 180° п -1 8 0 ° (п -2 ) = 360°.

159

РОЗДІЛ III. М ногокутники . Площі м ногокутників

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 506. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини семикутника? 507. Чи може діагональ шестикутника ділити його: а) на два трикутники; б) на два чотирикутники; в) на трикутник і п’ятикутник? 508. Діагональ відтинає від п’ятикутника чотирикутник. Який вид має частина, що лишилася? 509. Чи може опуклий п’ятикутник мати чотири гострі кути; чо тири прямі кути; чотири тупі кути? 510. Чи можуть чотири кути опуклого п’ятикутника дорівнювати відповідно чотирьом кутам опуклого чотирикутника?

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 511. Накресліть опуклий п’ятикутник. а) Проведіть усі діагоналі п’ятикутника. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини? б) Яка фігура утворилася при попарному перетині діа гоналей? в) Виміряйте кути п’ятикутника і обчисліть їх суму. Перевірте отриманий результат, користуючись відповідною теоремою. —^ 512. Накресліть опуклий шестикутник. а) Проведіть червоним кольором діагональ, яка ділить даний шестикутник на два чотирикутники. Скільки існує таких діагоналей? б) Проведіть синім кольором діагональ, яка ділить даний ш естикутник на трикутник' і п ’ятикутник. Установіть залежність м іж кількістю кутів опуклого многокутника і сумарною кількістю кутів многокутників, на які він ділиться діагоналлю. 160

§15. Означення многокутника

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 513. Знайдіть суму кутів опуклого: а) шестикутника;

б) дванадцятикутника.

514. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів “4

якого дорівнює: а) 540°; б) 900°; в) 1260°. 515. Усі кути опуклого восьмикутника рівні. Знайдіть їх градусну міру. 516. Два кути опуклого п’ятикутника прямі, а решта три рівні. Знайдіть їх градусну міру. 517. П’ять кутів опуклого шестикутника дорівнюють 120°. Доведіть, що в цьому шестикутнику всі кути рівні.

Рівень Б 518. Визначте, чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: а) 1620°; б) 1350°; в) 1980°. У випадку ствердної відповіді вкажіть кількість його сторін. 519. Діагональ ділить опуклий многокутник на п’ятикутник і чо тирикутник. Визначте вид даного многокутника і знайдіть суму його кутів. 520. Три кути опуклого многокутника дорівнюють 80°, а решта — по 160°. Визначте кількість сторін многокутника. 521. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, кожен кут якого дорівнює: а) 60°; б) 108°; в) 120°. - > 522. Усі кути опуклого многокутника прямі. Доведіть, що він є пря мокутником.

Рівень В 523. Визначте кількість діагоналей я-кутника. 524. Доведіть, що опуклий многокутник не може мати більше ніж три гострі кути. 161

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі м ногокутників

*" ^ 525. У рівносторонньому п’ятикутнику кути при одній стороні пря мі. Знайдіть решту кутів. 526 (о п о р н а). Довжина будь-якої сторони многокутника менша за суму довжин решти сторін. Доведіть. 527. Периметр опуклого многокутника дорівнює 20 см. Чи може його діагональ дорівнювати 10 см? Відповідь обґрунтуйте.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 16 Теоретичний матеріал • площі прямокутника і квадрата; • паралелограм і його види.

Задачі 528. Через середину сторони А В паралелограма АВСП проведено пряму, перпендикулярну до прямої ВС . Доведіть рівність трикут ників, утворених цією прямою, відрізками сторони А В та прями ми ВС і А В . 529. Доведіть, що сума висот паралелограма менша за його пе риметр.

§16. Площа многокутника. Площі прямокутника і паралелограма

§ 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма 16.1. Поняття площі многокутника Поняття площі добре зрозуміле на рів ні повсякденного досвіду: ми вимірюємо площу спортивного майданчика або садової ділянки, розраховуємо за площею кількість шпалер або килимового покриття для ремонту кімнати і т. д. Спробуємо надати уявленням про площу певну математичну строгість. Домовимось, що під площею многокутника ми будемо розуміти площу його внутрішньої об ласті, тобто скінченної частини площини, обмеже ної многокутником. Як і у випадку вимірювання довжин відрізків, вимірювання площ ґрунтується на порівнянні даної фігури з фігурою, площу якої прийнято за одиницю вимірювання. За одиницю вимірювання площ приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірювання відрізків. Наприклад, якщо за одиницю вимірюван ня відрізків прийнято 1 мм, 1 см або 1 м, то за одиницю вимірювання площ приймають пло щу квадрата зі стороною 1 мм, 1 см або 1 м. Площа такого квадрата називається квадратним міліметром (мм2), квадратним сантиметром (см2) або квадратним метром (м2) відповідно. З курсу математики відомі й інші одиниці площі: ар (пло ща квадрата зі стороною 10 м), гектар (площа квадрата зі стороною 100 м) тощо. При обраній одиниці вимірювання площа кожного многокутника виражається додатним 163

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

Рис. 141. Вимірювання площі за допомогою па летки

числом, яке показує, скільки разів одиниця вимірювання площі і її частини вкладають ся в даному многокутнику. Зазвичай площа по значається буквою 8 . Для визначення наближеного значення пло щі можна використовувати палетку — прозору плівку з квадратною сіткою (рис. 141). Наклавши її на дану фігуру, площу визначають звичайним підрахунком кількості одиничних квадратів, які вмістилися в цій фігурі. Однак на практиці за стосовувати такий спосіб незручно. Тому для ви значення площі многокутника зазвичай вимірю ють лише деякі пов’язані з ним відрізки, а потім обчислюють площу за відповідними формулами. Виведення цих формул ґрунтується на властиво стях площ, які ми зараз розглянемо. Перш за все зазначимо, що коли два мно гокутники рівні, то одиниця вимірювання пло щі і її частини вкладаються в кожному з них однакову кількість разів, тобто має місце така властивість.

1. Рівні многокутники мають рівні площі. Д алі, нехай многокутник складається з декількох частин — інших многокутників, які не мають спільних внутрішніх точок (рис. 142). Якщо ці частини мають площі , 5 2, в3 , то площа всього многокутника дорівнює їх сумі: в = + 3 2 + £ 3 . У цьому полягає друга власти вість площ. Рис. 142. Площа много кутника дорівнює сумі площ його частин

2. Якщо многокутник складений із кількох много кутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників. Третя властивість площ пов’язана з одини цею їх вимірювання.

164

§16. Площа многокутника. Площі прямокутника і паралелограма

3. Площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці площі. Три щойно наведені властивості називають аксіомами площ.

Отже, площа многокутника — це додатна величи на, числове значення якої задовольняє аксіоми площ. Із цього, зокрема, випливає, що кожний многокутник має певну площу, яка однознач но визначається в заданих одиницях вимірю вання.

Означення а

Рис. 143. Рівноскладені многокутники

Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі. Очевидно, що за першою аксіомою площ будь-які два рівні многокутники рівновеликі. Однак не будь-які два рівновеликі многокутники рівні. Якщо розглянути два рівні прямокутні три кутники (рис. 143, а), то, прикладаючи їх рівни ми сторонами один до одного, можна отримати рівнобедрений трикутник (рис. 143, б), парале лограм (рис. 143, в), прямокутник (рис. 143, г) або чотирикутник із попарно рівними сусідніми сторонами — дельтоїд (рис. 143, д). Усі ці фігу ри рівноскладені, тобто складені з одних і тих самих многокутників. За другою аксіомою площ усі утворені та ким способом фігури мають рівні площі. Отже, будь-які рівно скла д ені м ногокут ники р ів н о великі. Цікаво, що має місце й обернене твер дження (теорема Больяї—Гервіна): будь-які два рівновеликі м ногокут ники рівноскладені (на водимо цей факт без доведення). 165

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі м ногокутників

16.2. Площа прямокутника Найпростішою фігурою з точки зору обчис лення площі є прямокутник.

Т е о р е м а (формула площі прямокутника) Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін: S = аЬ, де а і Ь — сторони прямокутника.

б Р и с . 1 4 4 . До обґрунту вання формули площі прямокутника

Наведемо міркування, на яких ґрунтується доведення цієї теореми. Спочатку необхідно розглянути прямокутник зі сторонами l i a . Оскільки у відрізку а оди ниця вимірювання довжини вкладається а разів, то в цьому прямокутнику одиниця вимірювання площі (одиничний квадрат) вкладатиметься та кож а разів (рис. 144, а), тобто площа цього прямокутника дорівнює а . У загальному випадку для прямокутника зі сторонами a і & розмірковуємо так: оскіль ки у відрізку b одиниця вимірювання довжини вкладається b разів, то прямокутник зі сторо нами l i a вкладатиметься в даному прямокут нику також b разів (рис. 144, б). Тоді одиниця вимірювання площі вкладається в даному пря мокутнику ab разів, тобто площа прямокутника дорівнює ab . Повне доведення цієї теореми подається в Додатку 1. Н а с л і д о к (формула площі квадрата) Площа квадрата дорівнює квадрату його сто рони: S = а2,

де а — сторона квадрата. 166

§16. Площа многокутника. Площі прямокутника і паралелограма

16.3. Площа паралелограма За допомогою формули площі прямокутника можна довести формулу площі для довільного паралелограма.

Т е о р е м а (формула площі паралелограма) Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

S — ah , де а — сторона паралелограма, ha — проведена до неї висота. Доведення

Рис. 145. До доведення формули площі парале лограма

□ Нехай ABCD — даний паралело грам, який не є прямокутником (рис. 145). Проведемо його висоти В Н та CF і доведе мо, що = AD ■В Н . Чотирикутник ABCF є прямокутною трапецією, площу якої можна обчислити двома способами — як суму площ паралелограма ABCD і трикутника DCF або як суму площ прямокутника H BCF і трикут ника А В Н : ^ abcF = S ABCD+ S DCF = S HBCF + S ABH . Трикутники А В Н і DCF рівні за гіпотенузою і катетом ( А В = DC як протилежні сторони па ралелограма, B H = CF як відстані між пара лельними прямими). Отже, ці трикутники мають рівні площі. Тоді площі паралелограма ABCD і прямокутника H BCF також рівні, тобто S abcd = ВС ■В Н = AD ■В Н . Теорему доведено. ■

Задачоі Площа паралелограма ідорівнює 3() см2, а довжини його висаг 3| САЛ і 4 см. Знайдіті> периметр паралелограма.

167

РОЗДІЛ III. М но го кутн ики . Площі м ногокутників

Розв'язання \ л

а_____ / Рис. 14 5

Нехай дано паралелограм із площею 5 = 36 см2 і іисотами Иа= 3 см і Иь= 4 см (рис. 146). Оскільки 5 = а • Ь = Ь Ьь, то а = — , тобто а = 36 :3 = 12 (см), а Ь = — , тобто Ь = 3 6 : 4 = 9 (см). Отже, периметр мирш

іи і р и м и

дирю пгис.

у ї с - г у у с. — В

\y i v \j .

ід п о в ід ь

42 см.

Розв’язуючи цю задачу, неважко помітити цікаву закономірність: чим більша сторона па ралелограма, тим менша проведена до неї висо та. До обґрунтування цього факту ми поверне мось у § 18.

Запитання і задачі

УСНІ ВПРАВИ 530. Площі двох многокутників рівні. Чи означає це, що самі мно гокутники також рівні? 531. Два прямокутники мають рівні периметри. Чи є вони рівно великими? 532. Через середини двох протилежних сторін паралелограма прове дено пряму. В якому відношенні вона ділить площу паралелограма? 533. Визначте, які з даних тверджень правильні: а) якщо діагоналі двох квадратів рівні, то ці квадрати рів новеликі; б) два рівновеликі прямокутники рівні; в) два рівновеликі квадрати рівні. 534. Сторона квадрата дорівнює меншій стороні прямокутника. Яка з цих фігур має більшу площу?

168

§ 1( Площа многокутника. Площі прямокутника і паралелограма

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 535. Накресліть паралелограм, який не є прямокутником. а) Проведіть із вершини тупого кута висоту паралелограма. Виміряйте цю висоту і сторону, до якої вона проведена, й обчисліть площу паралелограма. б) Розріжте паралелограм по висоті. Які фігури ви отри мали? в) Прикладіть отримані фігури одна до одної так, щоб утворив ся прямокутник. Чи дорівнює площа прямокутника площі паралелограма? - > 536. На клітчастому папері накресліть паралелограм. а) Підрахуйте приблизну кількість клітинок, які містяться всередині паралелограма. Обчисліть площу однієї клітинки і знайдіть наближене значення площі паралелограма. б) Проведіть необхідні вимірювання й обчисліть площу пара лелограма за відповідною формулою. Порівняйте отримані результати.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 537. Накресліть прямокутник АВСП і побудуйте паралело грам А В ^ Б , рівновеликий даному прямокутнику. 538. Виріжте з паперу два рівні рівнобедрені трикутники і складіть з них: а) ромб; б) паралелограм, відмінний від ромба. Порівняйте площі складених фігур. 539. Знайдіть площу прямокутника А В С Б , якщо: а) А В = 9 см, ВС = 4 см; б) А В : ВС = 5 : 7 , РАВСВ = 48 см; в) А В = 12 см, АС = 13 см. —^ 540. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 25 см. Знайдіть периметр квадрата, рівновеликого даному прямокутнику. 169

РОЗДІЛ III. М но го кутн ики . Площі м ногокутників

541. Діагональ квадрата дорівнює 12л/2 м. Знайдіть площу квадрата. 542. Площа квадрата дорівнює 32 см2. Знайдіть його периметр. 543. Площа прямокутника дорівнює 128 см2. Знайдіть сторони пря мокутника, якщо одна з них удвічі більша за іншу. 544. У паралелограмі зі стороною а , проведеною до неї висотою ка і площею в знайдіть: а) в , якщо а = 10 см, ка = 6 см; б) а , якщо 8 = 48 см2, /іа = 4 см; в) Ла , якщо 5 = 120 см2, а = 24 см. 545. Діагональ паралелограма дорівнює 15 см і перпендикулярна до його сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо інша його сторона дорівнює 17 см. 546. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть його висоти, якщо площа паралелограма дорівнює 96 см2. 547. Сторона паралелограма і проведена до неї висота дорівнюють відповідно 16 см і 9 см. Знайдіть сторону квадрата, рівновеликого даному паралелограму.

Рівень Б 548. Частину стіни, яка має форму прямокутника розміра ми 2,25 м на 1,8 м, необхідно покрити кахелем. Скільки плиток для цього знадобиться, якщо плитка має форму квадрата зі сторо ною 15 см? 549. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відріз ки завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть площу прямокутника. Скільки ^розв’язків має задача? —^ 550; Сторони прямокутника відносяться як 5 : 12. Знайдіть площу прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 26 см. 551. Знайдіть площу паралелограма, якщо: а) його периметр дорівнює 42 см, а довжини висот станов лять 6 см і 8 см; б) його сторона дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 6 см; в) його сторони дорівнюють 8 см і 10 см, а гострий кут — 30°. 170

§16. Площа многокутника. Площі прямокутника і паралелограма

—^ 552. Знайдіть площу паралелограма, якщо: а) його діагональ перпендикулярна до сторони, а висота, прове дена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 9 см; б) його сторони дорівнюють 4 ^2 см і 8 см, а гострий кут — 45°. 553. Площа і периметр ромба дорівнюють відповідно 24 см2 і 24 см. Знайдіть висоту ромба. 554. Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і ЗО см. Знайдіть площу чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного ромба. 555. Висота ромба з тупим кутом 150° дорівнює 5 см. Знайдіть площу ромба. 556. На діагоналі квадрата як на стороні побудовано інший квадрат. Доведіть, що його площа вдвічі більша за площу даного квадрата. 557. Точка, що лежить на діагоналі квадрата, віддалена від двох його сторін на 180 см і 2,2 м. Знайдіть площу квадрата.

Рівень В 558. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а одна з ви сот — 15 см. Знайдіть площу паралелограма. 559. Висоти паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу паралелограма. 560. Знайдіть помилку в «доведенні» геометричного софізму: 64 см2= 65 см2. «Доведення» Розріжемо квадрат зі стороною 8 см так, як показано на рисунку 147, а. Перекладаючи отримані частини в іншому порядку (рис. 147, б), отримаємо прямокутник зі сторонами 13 см .((Егсмі Квадрат і прямокутник є рівноскладеними, тобто мають бути рівновеликими. Але очевидно, що площа квадрата дорівнює 64 см2, а площа прямокутника — 65 см2, тобто 64 см2 = 65 см2.

Рис. 147

РОЗДІЛ НІ. М ногокутники. Площі м ногокутників

561. Діагональ ромба ділить його висоту на відрізки завдовж ки 13 см і 5 см. Знайдіть площу ромба. —^ 562. Знайдіть площу ромба, якщо його висота і менша діагональ дорівнюють відповідно 12 см і 13 см.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 17 Теоретичний матеріал •

відстань м іж паралельними прямими;

•

трапеція.

„і клас, К1, § іо

8 клас, §5

Задачі 563. У рівнобедреній трапеції бісектриса тупого кута паралельна бічній стороні. Знайдіть кути трапеції. На які многокутники дана бісектриса ділить трапецію? 564. У паралелограмі ABCD діагональ BD є висотою, Z A = 45°, AD = 4 см. Знайдіть площі трикутників ABC і B C D .

§17. Площі трикутника і трапеції

§ 17. Площі трикутника і трапеції 17.1. Площа трикутника Т е о р е м а (формула площі трикутника) Площа трикутника дорівнює половині добут ку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони: 5 = —а Ка, 2

де а — сторона трикутника, к а — проведена до неї висота. Доведення

Нехай В Н — висота трикутника АВС

□

(рис. 148). Доведемо, що 8авс= —АС В Н . 2

Проведемо через вершини Б і С

прямі, па

ралельні сторонам трикутника, і позначимо точку Рис. 148. До доведення формули площі трикут ника

їх перетину Б . Таким чином, ми «добудували» трикутник АВС до паралелограма А В Б С , в яко му відрізок В Н

також є висотою, проведеною

до сторони А С . За

формулою

площ і

паралелограма

Бабос = -АС •В Н . Трикутники АВС і БСБ рівні за трьома сторонами (в них сторона ВС спіль на, А В - И С

і АС = Б Б як протилежні сторо

ни паралелограма). Ці трикутники мають рівні площі. Тоді площа трикутника АВС

складає

половину площі паралелограма А В Б С , тобто

Б АВС = —3 АВос - ~ А С ' В Н , що й треба було до2

вести. ■ 173

ОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників Наслідок 1 Площа прямокутного трикутника дорівнює по ловині добутку його катетів: 5

— аЬ.

де а і Ь — катети прямокутного трикутника.

Справді, в прямокутному трикутнику ви сота, проведена до катета, збігається з іншим катетом. Наслідок 2 Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей:

2 де й, і

— діагоналі ромба.

Справді, діагоналі ділять ромб на чотири рів1 . . 1 . ні прямокутні трикутники з катетами —ах і —а2 2

Рис. 149. До обчислення площі ромба

(рис. 149). Користуючись попереднім наслідком, маємо: 8 = 4 - - 0 1 - ( І2= 2 2

1 2

сі1(і 2.

1 2

Наслідок З Площа рівностороннього трикутника зі сторо ною а обчислюється за формулою

Обґрунтуйте цей наслідок самостійно. 174

Ця задача має цікаві узагальнення: якщо висоти двох трикутників рівні, то відно шення площ трикутників дорівнює відношен ню їх основ; якщо основи двох трикутників рівні, то відно шення площ трикутників дорівнює відношен ню їх висот. Доведіть ці твердження самостійно.

17.2. Площа трапеції Часто для обчислення площі деякого много кутника його розбивають на декілька трикутни ків і знаходять шукану площу як суму площ цих трикутників. Саме такий підхід можна застосува ти для виведення формули площі трапеції. Т е о р е м а (формула площі трапеції) Площа трапеції дорівнює добутку півсуми ї ї основ на висоту:

де а і Ь — основи трапеції, к — висота трапеції. 175

4 'і

М ногокутники. Площі многокутників

Доведення □ Нехай дано трапецію А В С Б з основа ми АО і ВС та висотою Н . Діагональ АС ділить її на два трикутники АВС і А С Б (рис. 151). Проведемо висоти цих трикутників А Н і С.Р. Обидві вони є висотами трапеції, тобто дорівню ють Л. Маємо:

Рис. 151. До доведення формули площі трапеції

5 авсв = 8 асо + 5 лвс = -^ А О /г + —ВС ■Л = АО + ВС

а +Ь

= --------------------п = ------------

п.

Теорему доведено. ■ Наслідок

_____

■

Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту.

17.3*. Розв'язування задач на обчислення площ Розв’язування задач на обчислення площ многокутників найчастіше зводиться до пошуку величин окремих елементів фігур, що розгляда ються, і подальшого застосування відповідних формул площ. У багатьох задачах поряд із суто геометрич ними прийомами розв’язування (додаткові побудо ви, застосування рівності фігур тощо) використо вуються і методи алгебри (складання рівнянь або систем рівнянь на основі метричних співвідно шень між елементами фігури). У ході розв’язування особливу увагу слід звертати на те, чи однозначно дані задачі визна чають взаємне розміщення елементів фігури.

176

§17. Площі трикутника і трапеції

Задача Знайдіть площу трапеції, в якій одна з основ до рівнює 24 см, висота 12 см, а бічні сторони 13 см і 20 см.

Розв'язання Нехай ВН і CF — висоти даної трапеції, прове дені з кінців основи ВС до іншої основи. Нехай ВС- 24 см, BH = CF = 12 см. Найпростіше добу дувати трапецію ABCD так, щоб точки Н і F лежали на основі AD. Але цей варіант — лише один із можливих, адже умова задачі не вказує, чи належать точки Н і F відрізку А Ь . Оскіль

А Н

ки з точки поза даною прямою можна провести до цієї прямої дві рівні похилі заданої довжини, то кожну з бічних сторін трапеції можна побудувати двома способами (рис. 152, а—г): AB = AjB = 13 см, CD = CDj=20 см. Отже, дану трапецію за умо вою задачі можна побудувати чотирма різними способами. За побудовою чотирикутник HBCF є прямокутни ком, звідки HF = ВС = 24 см. Далі розглянемо чотири випадки. 1) Для трапеції A BCD) (рис. 152, а): з трикутника АВН за теоремою Пісрагора АН = 5 см, аналогічно з трикутника DCF DF = 16 см; тоді AD = AH + HF + FD = 45 см,

24 + 45 -лВСЬ

Рис. 152. Див. також

с. 178

•12 = 414 (см2).

2) Для трапеції AjBCD (рис. 152, б): з трикутни ка AjBH за теоремою Пісрагора Н = 5 см, аналогіч но з трикутника DCF DF = 16 см; тоді A1D = HF + F D - A 1H = 35 см,

24 + 35 ^ а в о >- '

12 = 354 (см2).

177

РОЗДІЛ III. М ногокутники . Площі многокутників

3) Для трапеції АВО} (рис. 152, в])■ з трикутніЛка і4ВН за теоремою Пісрагора АН ==5 см, 16 см' аналогічно 3 трикутника [}CF тоді AD>і= АН + H F - -І>1F = 13 см, 24 + із . . 2\ ІС = с с с ) dabcd

4) Для трапеції д в а } (рис. 152, г]): з трикутніЛка ДВІН за теоремою Пїфагора ДН ==5 см, t}F: = 116 см; аналогічне5 3 трикутника С тоді Дй 1 .= HF1-Ачн -t}F = 3 ісм, тобто точки Н , / > fГ Розміщені на, прямій У віказаному порядку

/4BCD

-4 + 3 10

,о (см •1C -— 1C)С і2).

ЕІідповідь: 414 ісм2, або 35і1 см2, або 222 сл\2, або 162 СЛ\2.

Щойно розглянута задача наочно демонструє одну з причин, з яких у процесі розв’язування геометричної задачі може виникати багатоваріантність. Але навіть якщо такої ситуації не вини кає, взаємне розміщення елементів фігур потре бує обґрунтування. Задача Основи трапеції дорівнюють 10 см і 35 см, а бічні сторони — 15 см і 20 см. Знайдіть площу трапеції.

о_ х

F 2 5 -х

Рис. 153

178

Перш за все зазначимо, що розв’язування даної задачі фактично зводиться до знаходжен ня висоти трапеції. Отже, нехай дано трапецію АВСП , А ОЦВС, АВ = 15 см, ВС = 10 см, CD - 20 см, AD = 35 см. Природно було б провести, як у попе редній задачі, висоти В Н і CF (рис. 153) і скласти рівняння на основі теореми Піфагора, застосованої до трикутників А В Н і DCF : 152 - х 2 - 202 - ( 2 5 - jc)2 . Таке розв’язання

§17. Площі трикутника і трапеції

дозволить отримати правильну відповідь, але не буде повним, адже належність точок Н і ^ відрізку АО треба обґрунтовувати. Спробуємо уникнути необхідності такого обґрунтування, за стосувавши для розв’язування іншу додаткову побудову. Розв'язання

Проведемо через вершину С пряму СЕ, паралельну (рис. 154). Оскільки за побудовою А ВСЕ — па-

9 -

1 5 /Х 1 ь /

Ал

1()

отже, ЕЬ = 3 5 -1 0 = 25 (см). Сторони трикутника ЕСв пропорційні числам 3, 4, 5, отже, за теоре-

С \2 0 і>

мокутним з гіпотенузою ЕО. За формулою Ь - —

Ри< 154

'І

Г~ГТ '~

знаходимо висоту цього трикутника, яка водно15-20

= 12(см). Отже,

~1 ______

—

-----------і

Як бачимо, цей спосіб набагато більш раціо нальний, зокрема, з точки зору обчислень. Роз глянемо ще одну задачу, для розв’язування якої використовується додаткова побудова. Задача Діагоналі трапеції дорівнюють ЗО см і 40 см і перетинаються під прямим кутом. Знайдіть площу трапеції.

Неважко переконатися, що будь-які спроби використати алгебраїчний підхід у цій задачі при зводять до досить громіздких обчислень. Основна 179

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

складність полягає в тому, що дані відрізки не є сторонами одного трикутника. Спробуємо «виправити» цю ситуацію. Розв'язання

13 /

Аі

““7Є

гаЧ К

*ис. 155

N іV

Нехай дано трапецію АВСЬ , 13 ЯКІЇ/і ^ II в с, А С І ВО, АС = 30 см, ВЬ = 40 см. Проведемо через вершину С пряму СР , Гіаралельну діагоналі Івь (рис . 155). Зрозуміло, що за побудово«:І кут АСР буде прямим, тобто грикутник ,АСІ- гірямокутний із гіпотенузою1 АР. 3 іншого боку, ЬВСР - паралелограм , звідкіи С)Р == в с , СР = ВЬ - ію см. Звернемо увагу на те, ще1 трикутникиі АВС і ЬСР рівновеликі, (оскільки ЬР: = вс , а висоти, проведен і до цих сторіні, <: висотами трапеції. Таким чином, Чвсь = = 5'ась + 5ьср = 5 А С ? , тобто +5 площа трапеї шукана іїї дорівнює: площі трикутника АСР, яка дорівнює півдобутку його катетів: АВС

3Ю ' Ю = 600 (см2). 2 Відповідь: 600 см2.

Запитання і задачі ф УСНІ ВПРАВИ 565. Площа трикутника АВС дорівнює 5 . Чому дорівнює площа паралелограма А В С Б , три вершини якого збігаються з вершинами даного трикутника? 566. За якою формулою доцільно обчислювати площу прямокутного трикутника, якщо відомі: а) довжини гіпотенузи і проведеної до неї висоти; б) довжини двох катетів? 180 V

§17. Площі трикутника і трапеції

567. Два рівновеликі трикутники мають рівні висоти. Чи означає це, що основи даних трикутників також рівні? 568. Дві рівновеликі трапеції мають рівні висоти. Чи означає це, що основи даних трапецій також відповідно рівні? 569. Чи може діагональ трапеції ділити її на два рівновеликі три кутники? Відповідь обґрунтуйте.

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 570. Накресліть гострокутний трикутник і проведіть у ньому висо ту. Проведіть необхідні вимірювання і обчисліть: а) площу даного трикутника; б) площі трикутників, на які даний трикутник ділиться висотою. 571. Накресліть трапецію і проведіть у ній діагональ. Проведіть необхідні вимірювання і обчисліть: а) площу даної трапеції; б) площі трикутників, на які дана трапеція ділиться діагоналлю.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 572. За даними рисунка 156 знайдіть площу трикутника А В С . А

ю а

б б

Р ис. 156

573. Знайдіть площу: а) рівнобедреного трикутника з основою 10 см і бічною сторо ною 13 см; б) трикутника А В С , в якому А В = 17 см, а висота В Н ділить сторону АС на відрізки А Н = 8 см і НС = 2 см. 181

ІУ

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

574. Знайдіть площу: а) прямокутного трикутника з гіпотенузою 20 см і кате том 12 см; б) гострокутного трикутника ABC з висотою А Н = 4 см, якщо В Н = 2 см, ZC = 45°. 575. Площа трикутника дорівнює 150 см2. Знайдіть периметр три кутника, якщо його висоти дорівнюють 15 см, 12 см і 20 см. —^ 576. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його пло ща дорівнює 20 см2, а висота, проведена з вершини прямого ку та, — 4 см. 577. На рисунку 157, а дано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштрихованої фігури. 578. На рисунку 157, б дано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Рис. 157

579. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 м і 20 м. —^ 580. Знайдіть діагоналі ромба, якщо одна з них удвічі більша за ДРУГУ» а площа ромба дорівнює 64 см2. 581. Точка D — середина висоти В Н трикутника A B C . Доведіть, що площа трикутника ADC складає половину площі трикутни ка A B C . —^ 582. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О . Доведіть, що трикутники АО В і AOD рівновеликі. 583. Знайдіть площу трапеції, якщо: а) її основи дорівнюють 4 см і 10 см, а висота 6 см; б) висота трапеції і її середня лінія дорівнюють 8 см. 182

§17. Площі трикутника і трапеції

584. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 16 см, а гострі кути 45°. Знайдіть площу трапеції. 585. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а більша бічна сторона — 5 см. Знайдіть площу трапеції.

Рівень Б 586. Знайдіть площу: а) трикутника АВС з висотою В Н , якщо А В = 13 см, ВС = 15 см, В Н = 12 см, а точка Н лежить на відрізку АС ; б) прямокутного трикутника, гіпотенуза якого ділиться висо тою на відрізки завдовжки 9 см і 4 см; в) рівностороннього трикутника з висотою 2\ІЗ см. —^ 587. Знайдіть площу: а) рівнобедреного трикутника з периметром 16 см і висотою завдовжки 4 см, проведеною до основи; б) прямокутного трикутника з гіпотенузою 20 см і відношен ням катетів 3 : 4 . 588. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть площу трикутника. 589. За даними рисунка 158 виразіть через 5 площу заштрихованої фігури. —^ 590. За даними рисунка 159 виразіть через й площу заштрихованої

Рис. 158

591. Площа ромба дорівнює 24 см2, а одна з його діагоналей 8 см. Знайдіть периметр ромба. —^ 592. Знайдіть площу ромба з периметром 24 см і тупим ку том 150°. 593. Доведіть, що медіани трикутника, перетинаючись, ділять да ний трикутник на шість рівновеликих трикутників. 594. Через вершину А трикутника АВС проведено пряму, пара лельну ВС . Доведіть, що всі трикутники з основою ВС і вершиною на даній прямій рівновеликі. 183

РОЗДІЛ III. М ногокутники . Площі многокутників

595. Доведіть, що діагоналі ділять паралелограм на чотири рівно великі трикутники. 596. Знайдіть площу: а) рівнобедреної трапеції з основами 15 см і 39 см, у якій діа гональ перпендикулярна до бічної сторони; б) прямокутної трапеції з бічними сторонами 12 см і 13 см, діагональ якої є бісектрисою гострого кута. —^ 597. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції з основами 14 см і 50 см та діагоналлю 40 см.

Рівень В 598. Побудуйте трикутник, рівновеликий даній трапеції. —^ 599. Побудуйте паралелограм, рівновеликий даному трикутнику. 600. Площа опуклого чотирикутника з перпендикулярними діаго налями дорівнює половині добутку діагоналей. Доведіть. 601. Через вершину А паралелограма АВС Б проведіть дві прямі, які ділять паралелограм на три рівновеликі частини. —^ 602. У трикутнику АВС медіани ААг , ВВ1 і СС1 перетинаються в точці О . Визначте, яку частину площі трикутника АВС складає: а) площа трикутника АОС ; б) площа чотирикутника ВА1ОС1. 603. За даними рисунка 160 знайдіть площу: а) заштрихованої фігури (рис. 160, а); б) трикутника АВС (рис. 160, б).

Рис. 160

604. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції з бічною стороною 10 см, описаної навколо кола з радіусом 4 см. 605. Бічні сторони і висота трапеції дорівнюють відповідно 25 см, 30 см і 24 см. Знайдіть площу трапеції, якщо бісектриси її тупих кутів перетинаються на більшій основі. 184

§17. Площі трикутника і трапеції

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 18 Теоретичний матеріал • середня лінія трикутника; •

подібність трикутників.

8 клас, § 10, 11

Задачі 606. Точки Б , Е , Е — середини сторін А В , ВС і АС трикутни ка АВС відповідно. Користуючись рівністю трикутників, доведіть, що площа трикутника Б В Е складає третину площі трапеції АІ)ЕС . 607. У трапеції А В С Б основи ВС і А Л дорівнюють 2 см і 8 см відповідно. Діагоналі трапеції перетинаються в точці О . Знайдіть відношення: СО а) —

АС

б)

;

ов ВР

в) відрізків, на які точка О ділить висоту трапеції; г) площ трикутників ВОС і АО В (висловіть припущення).

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

§ 18. Застосування площ 18.1. Відношення площ подібних трикутників Т е о р е м а (про відношення площ подібних трикутників) В ід н о ш е н н я п л о щ п о д іб н и х т р и к у т н и к ів д о р ів н ю є к в а д р а т у к о е ф іц іє н т а п о д іб н о с т і.

Доведення

□

Нехай Д АВС ^ Д А 1В1С1 з коефіцієнАВ

ВС

АС

А, В,

ВС,

ДС,

том к , тобто ------ = ------ = -------= & . Доведемо, що

о АВД Проведемо в даних трикутниках висоти В Н

і В1Н 1 (рис. 161). Прямокутні трикутники А В Н і А 1В1Н 1 подібні, оскільки Д А = ДА1. Це означає, Рис. 161. До доведення теореми про відношення площ подібних трикут ників

ВН

АВ

що ------ = ------- = к , тобто В Н = кВ ,Н , . ВраховуюВД АА чи, що АС —кА 1С1, маємо: 3 АВС _

0,5АС В Н

_ 0,5 кА1С1 Щ Н 1 _

~ О.бДС. Д Я , “

186

0,&А1С1 В1Н і

§18. Застосування площ

А<С... АІ! _ вс = 2. Тоді вс 1 ь'ЛВС Ь - і тобто 1■еоремою

і кутом між НИМИ, причому за

,доведеною

А,І3

4 -

Ь,АВС,

і ' .звідки 5,\ВС = 4 8 = з;2 (’см; ІВС := 4 ^АВС Відповідь: 32 СЛ/І2.

18.2. Метод площ Поняття площі і формули її обчислення можуть застосовуватися навіть у тих задачах, в умовах яких про площу взагалі не йдеться. Розглянемо такий приклад.У Задача

Стопонм пгтплелпгппмп ястівнюють 16 см і і;1 см.

Г Т Л

Висота паралелограма . проведена Д О більшої ст<зоони д о р і в н ю є 3 см. Знайдіть В И С О Т У . проведену де меншої сторони.

\ 1

'Г ч Л ї /

/ь

І.

і. а

*ис. 163

Розв’язання Неха й дано паралелограма зі сторонами а = 1<Ь см 3 см і Ь = 12 см, до яких проведен 0 висоти К і И., довжину якої необхідно знайти (рис. 163 ). За Формулою площі паралелограма «1 = 1 а і Л

Таки*А

а-Ь а

|Ь

ЬИ

Ііь=

ЧИНОМ,

|т -

16 3 12

4 (см)■

Відповідь: 4 см.

У ході розв’язування цієї задачі площа па ралелограма визначалася двома різними спосо бами. Оскільки площа многокутника незалежно від способу її обчислення визначається однозначно, 187

РОЗДІЛ III. М ногокутники . Площі многокутників

то отримані вирази прирівнювалися, завдяки чо му вдалося зв’язати відомі величини із шуканою. Такий метод, заснований на використанні площі як допоміжної величини, називається методом допоміжної площі, або просто методом площ. Зазначимо, що з формул площі парале лограма 8 = а к а =ЬНь і площі трикутника

8 = —а Н = —ЬНи - —с к , 2

випливає

важливе

твердження: у паралелограмі (трикутнику) більшою є висо та, проведена до меншої сторони, меншою — висота, проведена до більшої сторони. Метод площ використовується як у задачах на обчислення, так і для доведення тверджень.

Задача

)

Сума відстаней від точки, взятої всередині рівностороннього трикутника, до його сторін не залежить від вибору точки і дорівнює висоті трикутника. Доведіть.

Ц._| і .... Ром'яіання в а

V м> /

1КЛ

;

Нехай точка М лежить усередині рівностороннього трикутника АВС зі стороною а , М О , МЕ і МЯ — відстані від даної точки до сторін трикут ника (рис. 164). Сполучимо точку М з вершинами трикутника. Площа трикутника АВС дорівнює сумі площ трикутників А М В , ВМС і А М С , у яких відрізки МЬ, МЕ і МР є висотами. Маємо: —а-Ь = —а- МЬ + —а- МЕ + —а-МР = 2

= -а ( М Ь + МЕ + МР). Звідси М Ь + М Е + М Р = Ь , тобто сума відстаней, що розглядаються, дорівнює висоті трикутника і не за лежить від вибору точки М.

188

§18. Застосування площ

18.3*. Інші доведення теореми Піфагора Історично виникнення і доведення теореми Піфагора пов’язані з обчисленням площ. Тому в класичному формулюванні цієї теореми йдеться не про квадрати сторін прямокутного трикутни ка, а про площі відповідних фігур: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Рис. 165. «Піфагорові штани»

Рисунок 165, який наочно втілює це фор мулювання, став своєрідним символом геометрії і серед гімназистів позаминулого століття отри мав назву «Піфагорові штани». Жартівливий вір шик «Пифагоровы штаны на все стороны равны» російські школярі запам’ятовували на все життя. Доведемо теорему Піфагора за допомогою площ. Доведення

□ Нехай дано прямокутний трикутник із катетами а і & та гіпотенузою с (рис. 166, а). Добудуємо його до квадрата зі стороною а + Ь так, як показано на рисунку 166, б. Площа цього квадрата дорівнює (а + Ь) . Побудований квадрат складається із чотирьох рівних прямокутних три кутників із площею —аЬ і чотирикутника зі сто2

а б

ронами завдовжки с , який є квадратом (доведіть це самостійно). Отже, маємо:

Б = (а + Ь)2 = 4 —аЬ + с2;

Рис. 166. До доведення

теореми Піфагора за допо могою площ (див. також с. 190)

а2 + 2аЬ + Ь2 = 2аЬ + с2 , тобто а 2 +Ь2 = с2 . Теорему доведено. ■ 189

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

На рисунках 166, в, г показано інші способи доведення теореми Піфагора за допомогою площ. У трактатах індійського математика XII ст. Бхаскарі один із них супроводжувався лише одним словом: «Дивись!» За галом же нині відомо понад 150 різних способів доведення цієї славетної теореми. Але кожен із вас може винайти і свій власний спосіб.

Рис. 166. Закінчення

Запитання і задачі УСНІ ВПРАВИ 608. Визначте, як зміниться площа трикутника, якщо кожну його сторону: а) збільшити в 4 рази; б) зменшити в 3 рази; в) зменшити в п разів. 609. Визначте, як треба змінити кожну сторону трикутника, щоб його площа: а) зменшилася у 25 разів; б) збільшилася в 49 разів; в) збільшилася в п 2 разів. 610. Відношення площ двох трикутників дорівнює 4. Чи означає це, що дані трикутники подібні з коефіцієнтом 2? 611. У трикутнику зі сторонами а , b і с проведено висоти до цих сторін ha , hb і hc відповідно. Порівняйте: а) сторони трикутника, якщо ha <hb <hc \ б) висоти трикутника, якщо с < а < Ь ; в) сторони a i e , якщо а < Ь , hb >hc . 190

§18. Застосування площ

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 612. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть у ньому серед ню лінію, паралельну одному з катетів. а) Виміряйте катети даного трикутника й обчисліть його площу. б) Користуючись теоремою про площі подібних трикутників, обчисліть площу трикутника, який відтинається від даного середньою лінією. в) Обчисліть площу трикутника, що відтинається від дано го середньою лінією, вимірявши його гіпотенузу і висоту. Порівняйте отримані результати. ";#■ 613. Накресліть довільний трикутник і проведіть його висоти. Виміряйте сторони й висоти трикутника та обчисліть його площу трьома способами. Порівняйте отримані результати.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А АВ

614. Відомо, що А А В С (Х>АА1В1С1, причому ------ = 3 . Знайдіть: АА а) , якщо = 9 см2; б) . ЯКЩ0 Яавс = 9 см2. 615. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 2 см і б см. Знайдіть відношення їх площ. 1/616. Відомо, що А А В С ^ А А ^ В ^ . Знайдіть: а) Сторону АЛВ 1 , якщо 5 ^ 0 = 2 4 см2, 5 АВіСі = 6 см2, А В = 8 см; б) площу трикутника АВС , якщо ВС = 2 см, В1С1 = 6 см, = І »

СМ 2.

617. Катети прямокутного трикутника дорівнюють б см і 8 см. Знайдіть площу трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника. 618. Знайдіть площу трикутника, якщо трикутник, утворений се редніми лініями даного трикутника, має площу 5 см2. 619. Висоти трикутника дорівнюють 21 см, 28 см і 60 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо його найбільша сторона дорівнює 1 м. 191

РОЗДІЛ III. М но го кутн ики . Площі многокутників

620. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 18 см. Знайдіть ^висоту, проведену до меншої з них, якщо висота, проведена до біль шої сторони, дорівнює 4 см. 621. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 4 см, а менша сторона — В см. Знайдіть периметр паралелограма. 622. Користуючись методом площ, доведіть, що в рівнобедреному трикутнику висоти, проведені до бічних сторін, рівні. ■* 623. Доведіть методом площ, що трикутник із рівними висотами є рівностороннім.

Рівень Б 624. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 3, причому площа од ного з них на 24 см2 більша за площу іншого. Знайдіть площі цих трикутників. 625. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 75 м2 і 300 м2. Периметр першого трикутника дорівнює 54 м. Знайдіть периметр другого трикутника. 626. Відповідні сторони двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3. Площа другого трикутника дорівнює 81 см2. Знайдіть пло щу першого трикутника. 627. На плані земельна ділянка має форму трикутника з пло щею 2,5 см2. Знайдіть площу ділянки, якщо масштаб плану 1 :1 0 0 0 . 628. Периметр паралелограма дорівнює 56 см. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 6 см і 8 см. 629. Діагоналі ромба дорівнюють 30 см і 40 см. Користуючись ме тодом площ, знайдіть висоту ромба. ' 630. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо вони відно сяться як 3 :4 , а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см. 631. Доведіть методом площ, що паралелограм із рівними висотами є ромбом. 632. Доведіть методом площ метричне співвідношення у прямокут,

аЬ

йому трикутнику: пс = — .

Рівень В 633. Пряма, паралельна стороні трикутника, ділить його на дві рівновеликі частини. У якому відношенні ця пряма ділить дві інші сторони трикутника? 192

§18. Застосування площ

634.

Побудуйте пряму, паралельну стороні трикутника, яка ді лить площу трикутника у відношенні 9 : 16. 635. Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні його ,

висотам: а :Ь :с = — : — : — . К К К 636. Сума відстаней від точки основи рівнобедреного трикутника до його бічних сторін не залежить від вибору точки. Доведіть.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 19 Теоретичний матеріал • прямокутний трикутник; 7 клас, § 17 • подібність прямокутних трикутників.

8 клас, § 12

Задачі 637. У прямокутному трикутнику АВС А А = 30°, В М — медіана, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник М ВС — рівносторонній. 638. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, в якому бічна сто рона дорівнює 12,6 см, а медіана, проведена до основи,— 6,3 см.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4 1. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів якого дорівнює 1080°. 2. Площа квадрата дорівнює 144 см2. Знайдіть площу прямокутни ка, ширина якого менша за сторону квадрата на 2 см, а довжина більша за сторону квадрата вдвічі. 3. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до осно ви як 5 : 6. Знайдіть площу трикутника, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 8 см. 4. Знайдіть кути ромба, якщо його висота дорівнює 5 см, а пло ща — 50 см2. 5. Висоти даного паралелограма дорівнюють 15 см і 18 см. Знайдіть висоти рівновеликого паралелограма, сторони якого втричі більші за відповідні сторони даного паралелограма. 6. Доведіть, що площа трапеції з бічною стороною с і радіусом вписаного кола г обчислюється за формулою в = 2 с г . 193

Підсумки п ід с у м к о в и й

о гл я д РОЗДІЛУ III М Н О ГО КУТН И К

М ногокут ником називається проста замкнена ламана, сусідні ланки якої не лежать на одній прямій. Многокутник називається опуклим , якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, яка містить його сторону

Сума кутів м ногокутника Сума кутів опуклого п-кутника дорівнює 1 8 0 ° ( п - 2 ) .

Сума зовнішніх кутів опуклого /г-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360° .

Z l + Z 2 + ... + Zrt = 180o(/г-2 ) Вписаний многокутник

Описаний многокутник

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі

Многокутник називається описа ним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола

194

Підсумки

ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ Аксіоми площ 1.

Рівні многокутники мають рівні площі.

Якщо многокутник складений із кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників.

Площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці площі. Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі

Ф ігу р а

Ф о р м у л а пл ощ і

П рямокут ник Б =аЬ, де а і & — сторони прямокутника

Квадрат 5 = а2, де а — сторона квадрата

П аралелограм 5 = ак а, Ла

де а — сторона паралелограма, Іга — проведена до неї висота

195

Підсумки

Трикут ник &=- а К , Сі

де а — сторона трикутника, На — проведена до неї висота П рямокут ний т рикут ник

S = —a b , 2

де а і Ь — катети прямокутного трикутника

Рівносторонній т рикут ник S=

а2у[з

де а — сторона трикутника

Ромб 1

Трапеція а h

S = —d.d 2, 2 де dj і d2 — діагоналі ромба

8 =Ш - Н , де а і Ь — основи трапеції, /г — висота трапеції

Теорема про відношення площ подібних т рикут ників Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності 196

Підсумки

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ III 1. Дайте означення многокутника. Який многокутник називається опуклим? 2. Дайте означення описаного многокутника, вписаного многокут ника. 3. Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів опуклого мно гокутника. 4. Назвіть аксіоми площ. За якими формулами обчислюються пло щі прямокутника і квадрата? 5. Доведіть формулу площі паралелограма. 6. Доведіть формулу площі трикутника. Запишіть формули площ пря мокутного трикутника, рівностороннього трикутника, ромба. 7. Доведіть формулу площі трапеції. 8 . Сформулюйте і доведіть теорему про відношення площ подібних трикутників.

ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ III 639. Доведіть, що серед усіх паралелограмів із даними сторонами найбільшу площу має прямокутник. 640. Паралелограм і трикутник рівновеликі і мають спільну сторо ну. Порівняйте їх висоти, проведені до цієї сторони. 641. Через вершину трикутника проведіть дві прямі, які ділять трикутник на три рівновеликі частини. 642. Користуючись рисунком 167, до ведіть методом площ властивість бісек триси трикутника. 643. Основи трапеції відносяться як 2 : 3, а її площа дорівнює 50 см2. Знай діть площі: а) двох трикутників, на які дана тра пеція ділиться діагоналлю; б) чотирьох трикутників, на які дана трапеція ділиться діаго налями. 197 v

РОЗДІЛ III. М но го кутн ики . Площі многокутників

644 (опорна). Діагоналі ділят ь трапецію на чотири т рикут ники, два з яких рівновеликі, а площ і двох інш их відносяться як квадрати основ. Доведіть. 645. Якщо діагоналі чотирикутника АВСП перетинаються в точці О , причому 8 А0В = 8 соо, то А В С Б — паралелограм або трапеція. Доведіть. 646. Дві сторони трикутника дорівнюють 25 см і 40 см, а висота, проведена до третьої сторони, дорівнює 24 см. Знайдіть площу три кутника. Скільки розв’язків має задача? 647. Дано трикутник А В С . Побудуйте: а) рівнобедрений трикутник з основою А В , рівновеликий три кутнику А В С ; б) прямокутний трикутник з гіпотенузою А В , рівновеликий трикутнику А В С . У якому випадку це зробити неможливо? 648. Розріжте рівнобедрену трапецію на три частини, з яких можна скласти прямокутник.

Задачі підвищеної складності 649. Висоти трикутника дорівнюють 12, 15 і 20. Доведіть, що даний трикутник прямокутний. 650. Доведіть, що площа прямокутного трикутника дорівнює до бутку відрізків, на які точка дотику вписаного кола ділить гіпо тенузу. 651. Відрізки ВВ1 і ССг — висоти гострокутного трикутника А В С , в якому / А = а . Знайдіть площу трикутника АВ1С1, якщо площа трикутника АВС дорівнює 5 . 652. Обчисліть площу трикутника за двома взаємно перпендикуляр ними медіанами та і ть . 653. Доведіть, що: а) площа описаної прямокутної трапеції дорівнює добутку її основ; б) висота описаної рівнобедреної трапеції є середнім пропорцій ним її основ. 198

Підсумки

654. Доведіть, що для трикутника зі сторонами а , b і с та пло_

ab + bc + ас

щею S справджується нерівність /Ь < --------------. 6

655. Сторони трикутника D EF дорівнюють медіанам трикутни ка ABC . Доведіть, що S°EF = —. Sabc 4 656. У трапеції ABCD з основами AD і ВС діагоналі перети наються в точці О . Знайдіть площу трапеції, якщо S BOC - S j , AOD

—

•

657. Доведіть, що площа трапеції ABCD дорівнює добутку бічної сторони А В на перпендикуляр, проведений із середини М другої бічної сторони CD до прямої А В . 658. Усередині трикутника ABC обрано точку М так, що трикут ники А М В , BM C і А М С рівновеликі. Доведіть, що М — точка перетину медіан трикутника ABC .

Історична довідка Обчислення площ м ногокутників є першою серед тих практичних задач, яким геометрія як наука завдячує своєю появою. Однак не завжди уяв лення про вимірювання площ було таким, яким воно є сьогодні. Наприклад, стародавні єгиптяни брали за площу будь-якого трикутника половину добутку двох його сторін. Так само п'ять століть тому вим ірю вали площу трикутника і в Давній Русі. Для площі чотирикутника, який не є квадратом, у Вавилоні використовували формулу добутку півсум його протилежних сторін. У середні в іки для об числення площ і т р и ку тн и ка зі стороною і проведеною до неї висотою, які виражаються цілим числом п , бра ли суму членів натурального ряду від 1 до

, тобто число

п (п + 1^

^П До речі, у той час знали і правильну формулу площі цього трикутника — .

200

її обґрунтував середньовічний математик Герберт, який у X столітті навіть певний час посідав престол Рим ського Папи під іменем Сильвестра II.

Архімед

Давні вавилоняни ще чотири тисячі років тому вміли правильно обчислювати площу квадрата, прямокутни ка, трапеції. Чимало формул площ і об'ємів, з якими ви познайомитеся в старших класах, відкрив знаменитий грецький учений Архімед (бл. 287-212 рр. до н. е.). І все це при тому, що в давні часи навіть не було ал гебраїчної символіки!

* К :-

Сьогодні, володіючи значно ширшими можливостями застосування алгебри в геомет рії, в багатьох задачах ми маємо змогу дати - ^ куди більш прості й зрозумілі розв'язання, ■фт ніж це було можливо в давнину. 201

РОЗДІЛ III. М ногокутники. Площі многокутників

ТЕМАТИКА ПОВІДОМЛЕНЬ ТА РЕФЕРАТІВ ДО РОЗДІЛУ І 1. 2. 3. 4. 5.

Як вимірювали в давнину? (З історії вимірювання площ.) Способи доведення теореми Піфагора. Ділення площ і перетворення рівновеликих фігур. Метод площ у геометричних доведеннях і задачах. Площі і рівноскладені фігури в математичних головоломках.

РЕКОМЕНДОВАНІ ДЖЕРЕЛА ІНФОРМАЦІЇ

1. Математична хрестоматія. Т. 1, 2.— К.: Рад. шк., 1970. 2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 3. Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры.— М.: ГИТТЛ, 1956. 4. Перельман Я. И. Занимательная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959. 5. Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії.— К.: Факт, 2000. 6 . Литцман В. Теорема Пифагора.— М.: Физматгиз, 1960. 7. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.— М.: Оникс, 1994. 8 . Прасолов В. В. Задачи по геометрии. Ч. 1, 2.— М.: Наука, 1986. 9. Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к твор ческой.— М.: Дрофа, 1996. 10. Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirrorO.mccme.ru/

вшвгязотшш трмж®жшмт іШ ІУ іТ іІК ІІ Тригонометричні функції гострого кута Обчислення значень тригонометричних функцій • Розв'язування прямокутних трикутників

ж Я

Заняття геометрією непомітно приводить людський розум до винаходів.

Дені Дідро, французький філософ У цьому розділі ви навчитеся розв’язувати прямокутні три кутники, тобто знаходити їх невідомі сторони й кути за відоми ми. Необхідні для цього теоретичні знання можна почерпнути з розділу математики, спорідненого як з геометрією, так і з ал геброю — з тригонометрії. Власне, саме слово «тригонометрія» в перекладі з грецької означає «вимірювання трикутників». То му відношення сторін прямокутного трикутника, з якими ви по знайомитесь далі, отримали назву тригонометричних функцій. Співвідношення, які будуть застосовуватися в цьому розділі, повною мірою можна вважати проявом подібності трикутників. Узагалі, подібність трикутників, теорема Піфагора і пиоща — це ті три кити, на яких тримається геометрія многокутника. Са ме встановлення взаємозв’язків між цими теоретичними фактами і становить основний зміст курсу геометрії у восьмому класі. /

§19.Тригонометричні ф ункції гострого куга

§ 19. Тригонометричні функції гострого кута 19.1. Синус, косинус і тангенс

Рис. 1 6 8 . До означень тригонометричних функ цій кута а

Як уже було доведено, всі прямокутні три кутники, які мають по рівному гострому куту, подібні. Властивість подібності обумовлює не тіль ки рівність відношень пропорційних сторін цих трикутників, але й рівність відношень між кате тами і гіпотенузою кожного з цих трикутників. Саме ці відношення і будуть предметом нашої подальшої уваги. Нехай дано прямокутний трикутник з ка тетами а і Ь , гіпотенузою с і гострим кутом а (рис. 168). Означення С и н у с о м гострого кута а

(О (О

(О

Синус — латинський переклад арабського слова «джайб» — па > зуха, виріз сукні. Це слово, у свою чергу, походить від ін д ій сь ко го «джива» — т я ти в а л у ка , хо р д а . Саме так синус н а зи вали в д а в н ь о ін д ій с ь ки х м атем атичних трактатах

прямокутного трикутника (позначається в іп а ) називається відношення проти лежного катета до гіпотенузи:

. а в іп а ^ — . с

К о с и н у с о м гострого кута а

прямокутного трикут ника (позначається с о в а ) називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

сова = — . с

Т а н г е н с о м гострого кута а

прямокутного трикут ника (позначається 1 § а ) називається відношення протилежного катета до прилеглого: , а tg а = — .

205

Розв'язування прямокутних трикутників

г г г г Косинус

—

від ла-

Окрім синуса, косинуса і тангенса, розглядають також котангенс гострого кута а прямокутного трикутни ка (позначається с ^ а ) , який дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного: сй^а = — .

— У пере к л а д і з л а ти н сь ко ї «дотичний»

Т а н ге н с

•--

щттвгт чт mmjmmmnrn

V Оскільки катет прямокутного трикутника менший за гіпотенузу, то синус і косинус гостро го кут а менші за одиницю. Покажемо, що значення тригонометричних функцій не залежать від розмірів прямокутно го трикутника. Нехай прямокутні трикутни ки АВС і А1В1С1 мають рівні гострі кути А і А1 (рис. 169). Ці трикутники подібні, звідки АВ

ВС

АА

ВА вс

Ж.

Права й ліва частини цієї рівАА ності за означенням дорівнюють синусам гострих порції,

Р и с . 1 6 9 . Значення три гонометричних функцій кута А не залежать від розмірів трикутника

, або, за основною властивістю про-

АВ

кутів А і Д

відповідно. Маємо: . вс вс, . sin А = -----= - s m A ,, АВ

АД

тобто синус кута А не залежить від вибору три кутника. Аналогічні міркування можна провести і для інших тригонометричних функцій (зробіть це самостійно). Таким чином, тригонометричні ф ункції гострого кут а залежать т ільки від величини кута. Розмірковуючи у «зворотному напрямку», отримуємо ще один важливий факт: якщо зна чення деякої тригонометричної функції для го стрих кутів А і Aj рівні, то Z А = Z А 1. Інакше кажучи, кожному значенню тригонометричної функції відповідає єдиний гострий кут. 206

§19. Тригонометричні фу н кц ії гострого кута

Задача

Знайдіть синус, косинус і тангенс найменшого кута єгипетського трикутника.

\Lі V)

;Розв'язання |

|____

Нехай у трикутнику ABC Z C - 9 0°, АВ = 5 , ВС = 3 , АС = 4 (рис. 170). Оскільки в трикутнику найменший кут лежить проти найменшої сторо ни, то кут А — найменший кут трикутника ABC. За означенням sinA = — , тобто sin А = — = 0 ,6 ;

АВ 4 F•ис . 170

cosA = — , тобто cos А = — = 0,8; tgA = — , тобто А

-р -І

|-^ р Т Л £ р '

tg А = — = 0,75 •

J—^—

Відповідь: 0,6; 0,8; 0,75.

19.2. Тригонометричні тотожності Виведемо співвідношення (тотожності), що виражають залежність між тригонометричними функціями одного кута. Т е о р е м а (основна тригонометрична тотожність) Д л я б у д ь -я к о г о г о с т р о г о к у т а

s in 2 а + c o s 2 а = 1 .

Доведення

□ За означенням синуса і косинуса гострого кута прямокутного трикутника (див. рис. 168) маємо: 2 а +Ь м + а= V є ) ІС )

" \ За теоремою Піфагора чисельник цього дро бу дорівнює с2, тобто sin 2 а + cos2 а = 1. ■

Розв'язування прям окутних трикутників

Наслідок Для будь-якого гострого кута1 а

since = V l - c o s 2a , cos ос = V l - s i n 2 а . Доведемо ще кілька тригонометричних то тожностей. Безпосередньо з означень синуса і косиsin a

cos a

с b

нуса маємо: ------= —: —= -------= — = t g a , тобто tg a =

sin a cos a .

cos a

Аналогічно доводиться, що c t g a = ------ . sin a

Звідси випливає, що t g a • c t g a = l . Задача Знайдіть косинус і тангенс гострого кута прямокут ного трикутника, синус якого дорівнює 0,8. Розв'язання Нехай для

гострого кута а

со5 а - 7 і- з іп 2а ,

тобто

зіпа = 0 ,8 . Тоді соза = 7 і - 0 , 8 2 =

= у Щ б = 0 ,6 . о

•

sin а

0 ,8

Оскільки tg a = ------ , то tg a = — cos а

0 ,6

= —. З

Відповідь: 0,6; — .

1 Нагадаємо, що за означенням тригонометричні функції гострого кута є додатними чис лами.

208

§19. Тригонометричні ф ункції гострого кута

Запитання і задачі Ф

УСНІ ВПРАВИ 659. За рисунком 171 визначте, яка тригонометрична К та К виражається дробом: МІV МИ в) а) б) км ш км 660. У прямокутному трикутнику К М М (рис. 171) К N > М И . Який із гострих кутів трикутника має більший синус; більший косинус; більший тангенс? 661. Чи може синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнювати 0,99; уі2 ; у/б - 2 1 662. Чи може добуток синуса і косинуса одного кута одиниці? А добуток тангенса і котангенса? 663. Чи може тангенс гострого кута прямокутного дорівнювати у[2 ; 0,01; 100?

функція ку

Рис. 171

дорівнювати трикутника

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 664. Накресліть гострий кут. Позначте на одній стороні кута дві точки і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута. а) Виміряйте сторони прямокутних трикутників, що утвори лися, і обчисліть двома способами синус побудованого кута. Порівняйте отримані результати. б) Обчисліть косинус побудованого кута двома способами — за означенням і за основною тригонометричною тотожністю. Порівняйте отримані результати. —^ 665. Накресліть гострий кут. Позначте на різних сторонах кута дві точки і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута. а) Виміряйте сторони прямокутних трикутників, що утворили ся, і обчисліть двома способами синус і косинус побудованого кута. Порівняйте отримані результати. б) Обчисліть тангенс побудованого кута двома способами — за означенням і за відповідною тригонометричною тотожні стю. Порівняйте отримані результати. 209

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямокутних трикутників

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 666 . Накресліть за допомогою транспортира прямокутний трикут ник з гострим кутом 40°. Виміряйте його сторони й обчисліть синус, косинус і тангенс цього кута. 667. Побудуйте прямокутний трикутник А В С , у якому: б) sin А = — . З 6 6 8 . Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Обчисліть синус, косинус і тангенс найменшого кута трикутника. a) t g A = -

669. Визначте, чи можуть синус і косинус одного кута відповідно дорівнювати: 1 , Уз _ -V 1 . З б) - 1 - , 9 З 4 2 а)І 1 670. Знайдіть: 12

а) sin а , якщо cosoc = 13 1 б) cos а , якщо since = - 9 2

15 в) tgoc, якщо since = 17 ’ —^ 671. Знайдіть І^ос, якщо: a) s in a = — ; 5 672. Спростіть вирази:

б) cosoc = — . З

а) 1 - cos2 ос;

б) tgoc-cosoc;

в) 1 + sin 2 ос + cos2 ос .

—^ 673. Спростіть вирази: a) 1 - s i n 2ос; в) 210

sin a cos a cos a

б)

tga sin a

§19. Тригонометричні ф ункції гострого кута

Рівень Б 674. Побудуйте кут 75°. За допомогою додаткових побудов і вимірювань знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс цьо го кута. 675. Побудуйте гострий кут а , якщо: • а =— 5 ; З. а)ч 8іп б) сова = — 8 4 676. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 5 см, а довжина основи 24 см. Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута при основі трикутника. 677. Визначте, чи можуть тангенс і котангенс одного кута від повідно дорівнювати: а) 0,4 і 2,5; б) 1,1 і 0,9; в) 7 5 + 2 і 7 5 - 2 . 678 (опорна). Доведіть, що l + t g 2a = cos

і l + c t g 2oc: s in "

679. Знайдіть значення тригонометричних функцій гострого ку та А , якщо: 7з а) sin A = -----; б) cosA = 0,28; 2

в) tg A = 2 . - —^ 680. Знайдіть: а) c t g a , якщо s in a = 0 ,5;

І ) t g a , якщо cos ос =

681. Спростіть вирази: а)

( l - s i n a )(l + sin a) sin a

б) c o s a - c o s a s in 2 a ;

в) t g a c t g a - c o s 2 a .

682. Спростіть вирази: а)

cos a c tg a

6) sin a cos a ctg a + sin 2 a ;

в) cos2 a + tg 2 a cos2 a . 211

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямоку тн их тр и кутн иків

Рівень В 683. Доведіть, що для будь-якого гострого кута А t g A > єіп А . —^ 684. Доведіть, що для будь-якого гострого кута А с о в А < с ^ А . 685. Спростіть вирази: а) в) —^

віп а

б) і § 2а (1 -8 Іп а )(1 + 8Іпа);

cos а -co s а І + tg 2а І

+ ctg а

6 8 6 . Спростіть вирази: a) (sin а + cos а )2 + (sin а - c o s а )2; б) в)

і -co sa ctg a ; эта tg a c tg a

;-------tg а .

соэ а

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 20 Теоретичний матеріал • нерівність трикутника; •

теорема Піфагора.

7 клас, § 18 7 клас, § 13

Задачі 687. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 120°. Знайдіть бічну сторону трикутника, якщо медіана, проведена до ос нови, менша за неї на 8 см. 6 8 8 . Катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а медіана, проведена до іншого катета, дорівнює 13 см. Знайдіть площу даного трикутника.

212

§ 2 0 . Обчислення значень тригонометричних функцій

§ 20. Обчислення значень тригонометричних функцій 20.1. Формули доповнення Тригонометричні тотожності, які ми роз глянули, встановлюють взаємозв’язок між різни ми тригонометричними функціями одного кута. Спробуємо встановити зв’язок між функціями двох гострих кутів прямокутного трикутника. Т е о р е м а (формули доповнення) Для будь-якого гострого кута а

sin (90° - а ) = cos а , cos (90° - а ) = sin а .

Доведення □ Розглянемо прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою А В (рис. 172). Якщо Z А = а , то Z B = 90° - а . Виразивши синуси і косинуси го стрих кутів трикутника, маємо: jj

АС

sm В = — - , cos А = АВ

АС

, тобто

АВ

sin (90° - а ) = cos а , Рис. 172. До доведення формул доповнення

. вс вс sin А = -----, cosB = , тобто АВ

АВ

c o s ( 9 0 ° - a ) = s in a . Теорему доведено. ■

Наслідок

______________ ________

Для будь-якого гострого кута a

tg (9 0 ° -a ) = c tg a , c tg (9 0 °-a ) = t g a . Зауважимо, що назва «формули доповнення», як і назва «косинус», у якій префікс «ко-» озна чає «додатковий», пояснюється тим, що косинус є синусом кута, який доповнює даний кут до 90°. Аналогічно пояснюється і назва «котангенс». 213 J

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прям окутних трикутників

20.2. Значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° Обчислимо значення тригонометричних функцій кута 30°. Для цього в рівносторонньому трикутнику АВС зі стороною а проведемо висоту В Б , яка є також бісектрисою і медіа ною (рис. 173). У трикутнику А В В . / £ = 90°,

С Рис. 173. До обчислення тригонометричних функ цій кута 30°

Z В = 30°, А В = а , AD = — , і за теоремою Пі2

фагора BD = . пп

а \/з

. Маємо:

АВ

aV 3

л/з

АВ

sm 30° = — - = — :а = —; ono

tg 3 0 ° =

ау[з

_л . BD ayj3 а гг ctg 3 0 = -----= -------: — = V3 . AD 2 2

За допомогою формул доповнення отримуємо значення тригонометричних функцій кута 60°: к sin 60° = sin (90° -3 0 °) = cos 30° = — ; 2

cos60° = cos(900-3 0 °) = sin 3 0 0 = —; 2

tg 6 0 ° = tg (9 0 ° -3 0 °) = ctg 3 0 ° = V3 ;

JZ ctg 6 0 ° = ctg(90° -3 0 °) = tg 3 0 ° = — . Для обчислення значень тригонометрич них функцій кута 45° розглянемо рівнобедрений прямокутний трикутник АВС з катетами 214

§ 2 0 . Обчислення значень тригонометричних функцій

АС = ВС = а (рис. 174). За теоремою Піфагора А В = а\І2 . Маємо: зіп 45° =

ВС _

АВ

сов450 =

ауІ2

АС _ а АВ

Рис. 174. До обчислення тригонометричних функ цій кута 45°

1 _

ауІ2

ВС

АС

\І2

2 _

лІ2

ЛІ2 '

\І2 ' 2

t g 4 5 0 = — = —= 1; .

АС

ВС

„

СІЙ4 5 = ---- = —= 1.

Подамо значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° у вигляді таблиці. Функція

він ос

Кут а 30° і

іг а

с ій

60°

сова

45°

ЛГ 2

2 1

7з

V? 3

л/З

Значення тригонометричних функцій інших кутів можна обчислити за допомогою калькулято ра або спеціальних таблиць (див. Додаток 3). 215

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямокутних трикутників

Запитання і задачі Ф

УСНІ ВПРАВИ 689. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою А В sin В = а . Чому дорівнює косинус кута А ? 690. Чи можуть синус і косинус гострого кута прямокутного три кутника дорівнювати один одному? У якому випадку? 691. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою А В t g A > t g B . Чи може один із цих тангенсів дорівнювати одиниці? 692. Кути а і Р — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть добуток t g a t g p .

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 693. Накресліть прямокутний трикутник. а) Виміряйте катет і гіпотенузу трикутника й обчисліть їх відношення. б) Виділіть червоним кольором кут, синус якого знайдено, і синім кольором — кут, косинус якого знайдено. 694. Накресліть рівносторонній трикутник і проведіть його висоту. Проведіть необхідні вимірювання й обчисліть значення тригономет ричних функцій кутів 30° і 60°. Порівняйте отримані результати з табличними.

| 1 ! ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 695. Знайдіть гострий кут х , якщо: а) s in x = cos36°; б) co sx = sin82°; в) t g x = %/3 ; г) co sx = s in x . 696. Знайдіть гострий кут х , якщо: а) co sх = s in 50°; б) s in x = 0 ,5 ; в) t g x = l . 216

§ 2 0 . Обчислення значень тригонометричних функцій

697. Користуючись калькулятором або таблицями, знайдіть sin 80°, sin 32°, cos 18°, cos 54°, tg65°, tglO 0. 698. Обчисліть: a) sin 3 0 °+ tg 4 5 °; 6) cos30° tg60°; в) V2 s in 4 5 ° -c o s 6 0 ° . 699. Обчисліть: a) V ^ co s3 0 °-co s6 0 °;

6) cos45° sin45°;

в) s in 6 0 ° tg 3 0 ° . 700. Кути А і В — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть: а) sin В і cos В , якщо cos А = 0 ,6 ; б) cos А і t g A , якщо sin B = 0 ,5 . —^ 701. Знайдіть: а) cos а і s i n a , якщо s in (9 0 ° -a ) = 0,8; б) tg (9 0 ? -a ), якщо s in a = -----. 2

Рівень Б 702. Знайдіть гострий кут х , якщо: а) tg x = ctg22°; б) c o s(9 0 ° -x ) = 0 ,5 . —^ 703. Знайдіть гострий кут х , якщо: а) c tg x = tg l4 ° ; б) t g x = c t g x . 704. Кути А і В — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть: а) t g A , якщо sin B = б) s in B , якщо c tg A = V3 ; в) sin 2 А + sin 2 В . —^ 705. Знайдіть: а) s i n a , co sa і t g a , якщо t g ( 9 0 ° - a ) = —; З б) cos2a + cos2(9 0 °- a ) . 706. Сума косинусів гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює Ь . Знайдіть суму синусів цих кутів. 217

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямокутних трикутників

Рівень В 707 (опорна). Під час збільшення гострого кут а синус і тан генс цього кут а зростають, а косинус і котангенс спадають. Доведіть. —^ 708. Порівняйте: а ) э т 2 3 0 і сов 65°; б) і&36° і ^ 6 4 ° . 709. Обчисліть значення виразу 15° ^ 3 0 ° ^ 4 5° ^ 6 0 ° ^ 7 5°. —^ 710. Доведіть, що і§ 1 0 ід 2 ° -... 4§880 ^ 8 9 ° = 1.

ПОВТОРЕННЯ ПЕРЕД ВИВЧЕННЯМ § 21 Теоретичний матеріал • прямокутний трикутник; •

тригонометричні ф ункції гостр<

Задачі 711. Висота рівнобедреного трикутника, проведена до бічної сторо ни, дорівнює 6 см. Знайдіть площу трикутника, якщо кут при його основі дорівнює 75°. 712. Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника, най менша висота якого дорівнює а .

§21 Розв'язування прямокутних трикутників

§ 21. Розв'язування прямокутних трикутників

Рис. 175. Співвідно шення між сторонами й кутами прямокутного трикутника

21.1. Знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника Нехай дано прямокутний трикутник із кате тами а і b , гіпотенузою с і гострими кутами а і Р (рис. 175). Знаючи градусну міру кута а і довжину будь-якої зі сторін трикутника, ми маємо змогу знайти обидві інші його сторони. Правила знахо дження невідомих сторін прямокутного трикут ника безпосередньо випливають з означень триго нометричних функцій і можуть бути узагальнені у вигляді довідкової таблиці.

Ш укана сторона

Правило знаходження

Протилежний катет

Катет, протилежний до кута ос, дорівнює: • добутку гіпотенузи на sin а ; • добутку прилеглого катета на t g a

Прилеглий катет

Гіпотенуза

Формула

a = с sin a a = &tga

Катет, прилеглий до кута a , до рівнює: • добутку гіпотенузи на cos a ;

b = c c o sa

• відношенню протилежного кате та до tga

b= a tga

Гіпотенуза дорівнює: • відношенню протилежного кате та до sin a ; • відношенню прилеглого катета до co sa

c = -----sin a

b c = -----cosa

219

’ О З Д ІЛ IV. Розв'язування прям окутних трикутників

Зауважимо, що для знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника можна викори стовувати і ctg а (відповідні правила і формули отримайте самостійно). Запам’ятовувати зміст довідкової таблиці не обов’язково. Для знаходження невідомої сторо ни прямокутного трикутника можна діяти за та ким планом. 1. Вибрати формулу означення тієї триго нометричної функції даного кута, яка пов’язує шукану сторону з відомою (цей етап можна виконувати усно). 2. Виразити з цієї формули шукану сторону. 3. Провести необхідні обчислення. Задача У прямокутному трикутнику' 3 гiпoтeнyзo^о ]12 м знайдіть катет, прилеглий до н;утсі 6'0°.

Розв'язання Нехай у прямокутному трикутнику (див. рис. 175) а = 6і0° , с = 12 м. Знайдемо катет Ь ь Оскільїи1 с:osa = — , то Ь = с cosa , тобтс3

Ь = 12cos60° = 6 (м).

Відповідь: 6 іW.

21.2. Приклади розв'язування прямокутних трикутників Розв’язат и т рикут ник — це означає знай ти його невідомі сторони й кути за відомими сто ронами й кутами. Прямокутний трикутник можна розв’язати за стороною і гострим кутом або за двома сто ронами. Розглянемо приклади конкретних задач 220

§21 Розв'язування прямокутних трикутників

на розв’язування прямокутних трикутників, ко ристуючись позначеннями рисунка 175. При цьо му домовимось округляти значення тригономет ричних функцій до тисячних, довжини сторін до сотих, а градусні міри кутів до одиниць. Задача 1 Розв'яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою с = 10 і гострим кутом а = 5 0 °.

Розв'язання Оскільки сума гостри>; кутів прямокутного трику тника дорівнює 9ю ° , тс> Р = 9ю ° -5 ()° =:4С)°. а тобто Оскільки то а =- csinc7 , sin а = с а = Ь0sin5<Э° - 1C'•0, 76 6 = 7 ,6 6 . ь то Ь = CCOSCX , Оскільки cos а = с b

= И0cos50° = 10 0 ,643 =: 6,43 .

Задача 2

тобто

Розв'яжіть прямокутний трикутник за катетом іа = 6 і гострим кутом Р = 22°.

Розв'язання ОскількіА сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 910°, то а = 9ю ° -г : 1° =- 6£1°. а а t обто Оскільки cos В = тс) с osp с 6 6 6 ,4 7 . с 0,92;7 сos22° О

Оскільки

tg[5=

то

b == а1Гдр

тобто

Ь = 6tg22° = 6 0 ,40 4 ==2, 42. 221

г ОЗДІЛ IV. Розв'язування прям окутних трикутників

Задача 3 1

Нозвяжіть прямокутнаі трикутник за гіпотенузою = 13 і катетом а = о с

Розвязання Зсі

теоремою

ь=

-5 ‘

Піфагора

Ь=

Г~ї~

-а

тоото

=-12 а

ОСКІЛЬКИ ЫП1ОС—- , то ЗІПСХ — 5

ЗВІДКИ

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівню«: , то Р « уи"=0 /

Задача 4 \ V)

Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетами <3 = 8 і Ь = 15

Розвязання Зсі

■ теоремою

с == 782 +15 І2 ==17 Оскількі\л +9<X = а

Пііфагора ь'

т<з

с = \ Іаг + ь

+дсX=

= 0,5 3 3

тобто ,

ЗВІДКИ

= 2 8 °.

Оскількі/1 сумаі гострих кутів прямокутного трику тника дорівнює■ 90°, то Р *9і0°- - 2 8 !° = 6 2 о #

Окремі кроки розв’язування задач 1—4 можна проводити іншими способами. Але слід зауважити, що у випадку, коли одна з двох сторін трикутника знайдена наближено, застосовувати теорему Піфагора для знаходження третьої сто рони недоречно. 222

§21. Розв'язування прямокутних трикутників

21.В. Прикладні задачі Розглянемо приклади застосування розв’я зування трикутників у практичних задачах. Задачо Знайдіть висоту даного предмета (рис. 176).

Розв'язання На певній відстані від даного предмета оберемо точку А і виміряємо кут ВАС. Оскільки у прямокутному трикутнику АВС

вс ідА = — , то ВС - АС\дА.

Рис. 176

Для визначення висоти предмета необхідно додати до ВС висоту АЬ приладу, за допомогою якого вимірювався кут. Отже, ВЕ = АС\дА +АЬ.

Задача Насип шосейної дороги (рис. 177) має ширину 60 м у верхній частині і 68 м у нижній частині. Знайдіть висоту насипу, якщо кути нахилу укосів до горизонту дорівнюють 60°.

Розв'язання

А Н

Р і)

Рис. 177

Розглянемо рівнобедрену трапецію АВСЬ, у якій А0||ВС, АЬ = 68м, ВС = 60м, ZA = ZЬ = 60o. Проведемо висоти ВН і С?. Оскільки ВС = НЯ і АН = РЬ (доведіть це самостійно), то АН = РЬ = (68 - 60): 2 = 4 (м). У трикутнику АВН ZH = 9 0 o, ZA = 60°, АН = 4м. Оскільки

ВН

їдА = — ,

то

ВН = АН1дА,

тобто

АН

ВН = 4ід60° = 4 7 3 = 6,93 (м). В

ід п о в ід ь

« 6,93 м.

223

J r :$

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прям окутних трикутників

Запитання і задачі Ф

УСНІ ВПРАВИ 713. Чи можна розв’язати прямокутний трикутник за двома сторо нами; за двома кутами? К 714. У прямокутному трикутнику K M N (рис. 178) відомі катет M N і кут К . Виразіть через них другий катет і гіпотенузу трикутника. 715. Користуючись рисунком 178, визначте, які з даних тверджень правильні: a) K N =

;

б) М К = K N s i n a ;

sin a

в) K N = M N tg a ;

г) M N = ------ . ctga

Рис. 178

ГРАФІЧНІ ВПРАВИ 716. Накресліть прямокутний трикутник і виміряйте в ньому гі потенузу і гострий кут. Розв’яжіть даний трикутник. Перевірте отримані результати вимірюванням. —^ 717. Накресліть прямокутний трикутник і виміряйте його катети. Розв’яжіть даний трикутник. Перевірте отримані результати вимірю ванням.

ПИСЬМОВІ ВПРАВИ Рівень А 718. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 7 см є прилег лим до кута 60°. Знайдіть гіпотенузу трикутника. 719. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 20 см, а си нус одного з кутів дорівнює 0,6. Знайдіть катети трикутника. 224

§21. Розв'язування прямокутних трикутників

- > 720. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 8 см, а один із катетів — 4.у[2 см. Знайдіть гострі кути трикутника.

721. Розв’яжіть прямокутний трикутник1 за гіпотенузою і гострим кутом: а) с = 8, а = 30°;

б) с = 10, а = 42°.

722. Розв’яжіть прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом: а) а = 2 , (3 = 45°;

б) а = 4 , а = 18°.

723. Розв’яжіть прямокутний трикутник, якщо: а) с = 12, а = 28°;

б) а = 8 , |3 = 40°.

724. Розв’яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом: а )с = 9л/2, а = 9 ;

б) с - 2 5 , а = 2 4 .

725. Розв’яжіть прямокутний трикутник за двома катетами: а) а = бл/з^, &= б ;

б) а = 9 , Ь = 40 .

—^ 726. Розв’яжіть прямокутний трикутник, якщо: а )а = 6 ,с = 10;

б) а = 5 , Ь - л/ЇТ .

727. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника A B C , про ведена до гіпотенузи. Доведіть, що A D tg A - D C tg C .

728. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника A B C , проBD

ведена до гіпотенузи. Доведіть, що -------= АС cos А . sin А

Рівень Б 729. Діагональ прямокутника дорівнює 10, а кут між діагоналя ми 40°. Знайдіть сторони прямокутника. g

730. Синус кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює — , 17

а висота, проведена до основи,— 16 см. Знайдіть основу трикутника.

731. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Знайдіть ку ти ромба. 1 У задачах 721—726, 738 використовуються позначення рисунка 175. 225

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямокутних трикутників

732. Відрізок ВЛ — висота прямокутного трикутника А В С , про ведена до гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник А В С , якщо: а )Ш ) = 4Тз, Z.DBC = 60°; б) АЛ = 9 , ZC = 10°. —^ 733. Відрізок ВЛ — висота прямокутного трикутника А В С , проведена до гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник А В С , якщо ВЛ = З , ЛС = 4 . 734. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 і 12, а тупий кут 110°. Знайдіть бічні сторони трапеції. 735. У рівнобедреній трапеції кут при основі дорівнює 135°, менша основа і бічна сторона дорівнюють відповідно 8 і 10. Знайдіть сере дню лінію трапеції. 736. Тінь від стовпа заввишки 11 м становить 4,4 м. Виразіть у гра дусах висоту Сонця над горизонтом. —^ 737. Знайдіть кут підйому гірського шосе, якщо на відстані 400 м висота підйому становить 28 м.

Рівень В 738. Розв’яжіть прямокутний трикутник за сумою катетів т і го стрим кутом а .

739. Розв’яжіть прямокутний трикутник за різницею гострих ку тів ф і гіпотенузою с . 740. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відно шенні 1 : 3. Знайдіть гострі кути трикутника. 741. На рисунку 179 показано спосіб вимірювання висоти предме та, основа якого недосяжна. Знайдіть цю висоту, якщо А В = ( і , ZCAD = a , ZC BD = p . С

742. Катети прямокутного трикутника дорівнюють ЗО і 40. Знайдіть кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи. 226

§21, Розв'язування прямокутних трикутників

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4 1. Знайдіть sin А і t g A , якщо cos А _.

=^ ~ . 2

cos2 а

Z. Спростіть вираз ----------------------- . (1 - sin а)(1 + sin а)

3. Обчисліть 2 sin 6 0 ° + 4 co s6 0 0- c t g 3 0 0-2 tg 4 5 ° .

4. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 18 см є проти лежним до кута 60°. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника.

5. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 74 см, а синус одного з кутів — . Знайдіть периметр трикутника. 37

6. Більша бічна сторона описаної прямокутної трапеції дорівнює с , а гострий кут дорівнює а. Доведіть, що середня лінія трапеції дорівнює

c ( l + s in a )

Підсумки ПІДСУМКОВИЙ ОГЛЯД РОЗДІЛУ IV ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ГОСТРОГО КУТА ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА Синус Синусом гострого кута а називається від ношення проти лежного катета до гіпотенузи: а ьта =—

Косинус Косинусом гострого кута а називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи: ь соэа = —

Тангенс Тангенсом гострого кута а називається відношення протилежного катета до прилеглого: , а tg а =—

Котангенс Котангенсом гострого кута ос називається від ношення прилег лого катета до протилежного: , Ь Ы^а =—

Тригонометричні тотожності Формули доповнення в т 2 сс + соэ2 ос = 1 , _ вігі ОС 1#а = вій (9 0 °- а ) = сова сова tgoc•ctgoc = 1 с о 8 (9 0 °-а ) = 8Іпос сова tg (9 0 0-oc) = ctgoc ctgoc = вій а ctg (9 0 o- a ) = t g a Значення тригонометричних функцій деяких кутів а

30°

45°

1 в іп о с

с о в а

60° Я_ 2

t g a

>/£ 3

7з

c tg a

228

Підсумки

■

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

Умова

Задача Задача 1 За гіпотену зою і гострим кутом

Дано: АВ = с, /А =а , А С - 90°. Знайти: А В , АС, ВС.

Задача 2 За катетом і гострим ку том

Дано: ВС = а, А А -а , А С = 90°. Знайти: A B , АВ, АС. Дано: ВС = а, А В =р, АС - 90°. Знайти: А А , АС, АВ.

Задача З За гіпотену зою і катетом

Задача 4 За двома ка тетами

Дано: ВС = а, А В = с, А С = 90°. Знайти: AC, А А , А В .

Дано: ВС = а, АС = Ь, А С = 90°. Знайти: АВ, А А , А В

Схема розв'язання

1. А В = 9 0 ° - а 2. АС = с сова 3. ВС = с з іп а

1. А В = 9 0 ° - а 2. АС = 3. ВС =

а вій а а

tgа

Z A = 9 0 o- p

2. А В -

сов(і

3. АС = аЬё$

1. АС = л1с2 - а 2 а

2. зіп А = — 3. А В = 9 0 ° - А А

1. А В - \ ] а 2 + Ь 2

2. іш А = ь 3. А В = 9 0 ° - А А 229

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прямокутних тр и кутн и ків

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ IV 1. Дайте означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута пря мокутного трикутника.

2. Доведіть основну тригонометричну тотожність. 3. Доведіть формули доповнення.

4. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°. 5. Опишіть розв’язування прямокутного трикутника: а) за б) за в) за г) за

гіпотенузою і гострим кутом; катетом і гострим кутом; гіпотенузою і катетом; двома катетами.

ДОДАТКОВІ ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ IV 743. Сторони паралелограма дорівнюють 4%/2 см і 8 см, а гострий кут 45°. Знайдіть висоти і площу паралелограма.

744. Радіус кола, вписаного в ромб з гострим кутом а, дорівнює г . Знайдіть сторону і площу ромба. 745. Сторона трикутника дорівнює 10, а прилеглі до неї кути 30° і 45°. Знайдіть інші сторони трикутника.

746. Якщо два прямокутні трикутники мають рівні гіпотенузи, то синуси їх гострих кутів пропорційні протилежним катетам, а коси нуси гострих кутів — прилеглим катетам. Доведіть. 747. Бісектриса, проведена з вершини гострого кута а прямокут ного трикутника, дорівнює І . Знайдіть гіпотенузу трикутника.

748. Ескалатор Київського метрополітену має сходинки завширшки 40 см і заввишки ЗО см. Визначте кут нахилу сходів.

749. За 700 м від точки відриву літака від землі розташовані де рева заввишки 24 м. Під яким кутом має підійматися літак, щоб не зачепити дерев? 230

Підсумки

Задачі підвищеної складності 750. Доведіть, що катети прямокутного трикутника і висота, про, . . . 1 1 1 ведена до гіпотенузи, повязані співвідношенням —- = — + /і2 а Ь2

751. У рівнобедреному трикутнику косинус кута при вершині дорів нює а . Знайдіть тангенс кута між основою і висотою, проведеною до бічної сторони.

752. У трикутнику ABC А В = В С , а висота А Е удвічі менша за висоту B D . Знайдіть косинус кута при основі трикутника.

753. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює d , дотика ються зовні. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо кут між їх спільними зовнішніми дотичними дорівнює 2а . 754. Знайдіть s in 75° .

Історична довідка

Птолемей

Необхідність у розв'язуванні три кутн и ків в и н и к ла під час розгляду багатьох практичних задач у зв'язку з потребами географії, астрономії, наві гації. Тому елементи тригоном етрії з'явилися ще в Давньому Вавилоні, де астрономія набу ла значного розвитку. У роботі грець кого вченого Птолемея «Альмагест» (II ст.н.е.), де викладено античну систему світу, містяться елементи сферичної тригонометрії. У

У Давній Греції замість синуса кута а розглядали д о в ж и н у хорди, яка відповідає центральному к у ту 2 а . Дійсно, якщо радіус кола дорівню є одиниці, то s in а вимірюється половиною такої хорди (пере вірте це самостійно). Перші тригонометричні таблиці були складені Гіппархом у II столітті н.е. 232

Синус і косинус як допом іж ні величини використовува лися індійським и математиками у V столітті, а тангенс і котангенс уперше з'явилися в роботах арабського математика X ст. Абу-аль-Вефи. Як окрем ий розділ математики три гон о метрія виділилася у творах персидсько го вченого Насреддіна Тусі (1201-1274), а перш им із європейців систематичне викладення тригонометрії подав німець кий математик і механік Йоганн Мюллер Р е г іо м о н т а н (1436-1476), більш відомий під псевдоні мом Регіомонтан. Сучасну ф орму викладення і сучасну сим воліку тригонометрія набула завдяки Леонардові Ейлеру у XVIII столітті.

лД О крім відомих вам чотирьох тригонометричних функцій іноді розглядаються ще дві: секанс

seca со ва

і косеканс

coseca= 8 1 П < Х

233

РОЗДІЛ IV. Розв'язування прям окутних трикутників

ТЕМАТИКА ПОВІДОМЛЕНЬ ТА РЕФЕРАТІВ ДО РОЗДІЛУ IV 1. З історії розвитку тригонометрії. 2. Тригонометричні тотожності в трикутнику. 3. Геометричні нерівності, пов’язані з тригонометрією. 4 . Застосування тригонометричних функцій під час розв’язування прикладних задач. РЕКОМЕНДОВАНІ ДЖЕРЕЛА ІНФОРМАЦІЇ

1. Математична хрестоматія. Т. 1, 2.— К.: Рад. шк., 1970. 2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 3. Сивашинский И. X. Неравенства в задачах.— М.: Наука, 1967. 4 . Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум.— М.: Наука, 1970. 5. Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії.— К.: Факт, 2000. 6 . Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу.— М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. 7. Прасолов В. В. Задачи по геометрии. Ч. 1, 2.— М.: Наука, 1986. 8 . Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к твор ческой.— М.: Дрофа, 1996. 9. Інтернет-бібліотека МЦНМО. http://ilib.mirrorO.mccme.ru/

ДОДАТКИ Додаток 1. Узагальнена теорема Фалеса та площа прямокутника

Під час доведення деяких геометричних теорем використовується процедура поділу відрізка на певну кількість рівних частин. Це дозволяє дати числові оцінки у вигляді нерівностей і за допомогою них отримати суперечність. У курсі геометрії 8 класу такий підхід доцільно застосувати для до ведення двох наведених нижче теорем.

Т е о р е м а (узагальнена теорема Фалеса)

______ ______ ,

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на сторо нах цього кута пропорційні відрізки.

Доведення □ За даними рисунка 180 доведемо три фор мули: 1)

АС

АС,

АВ

АВ,

АВ

АВ,

ВС

ВА Рис. 180. Узагальнена теорема Фалеса

3) *£-= *& СО

С, Д

Доведемо спочатку формулу 1. Нехай відрізок АС можна поділити на п рівних відрізків так, що одна з точок поділу збігається з точкою В , причому на відрізку А В лежить т точок поділу. Тоді, провівши через точки поділу прямі, пара лельні СС1, за теоремою Фалеса отримаємо поділ відрізків АСХ і АВ1 відповідно на п та т рівних відрізків. Отже,

АС АВ

АС

АВ,

„

= — = — - , що и треба

довести. Якщо описаний поділ відрізка АС неможливий, то доведемо формуч

•

тт

„

АС

АВ

АВ,

_ АВ

лу 1 від супротивного. Нехай ---- Ф — - , тобто А В Ф А С -------. АС,

АВ

Розглянемо випадок, коли А В > А С -----L (інший випадок розгляньте АС,

самостійно). 235

Додатки

Відкладемо

на

відр ізк у

АВ

відрізок

АВ

АР = А С ----- - < А В (рис. 181). АС, Розіб’ємо відрізок АС на таку кількість рів них відрізків1, щоб одна з точок поділу X по трапила на відрізок Р В . Проведемо через точки Рис. 181. До доведення поділу прямі, паралельні ССХ. Нехай пряма, яка узагальненої теореми проходить через точку X , перетинає промінь АСХ Фалеса в точці У . Тоді за доведеним

АС

АС,

. Враховуючи, що в цій про-

АР

порції А Х > А Р

АР

АВ

і А У < А В , , маємо: ---- < — - , тобто А Р < А С ------- . АС АС, АС, Ця нерівність суперечить вибору довжини відрізка А Р . Отже, формулу 1 доведено повністю. Доведемо формули 2 та 3. Користуючись позначеннями рисунка 180, за формулою 1 маємо

а +х

с +у

та

а +Ь +х

с + сі + у

а+ х

с+ у

. Розді-

ливши в кожній із цих рівностей чисельник на знаменник, отримаємо: л

1-і— = 1 -1— , тобто — = — ; 1 + X

Звідси

а +х

с ш сі у

а +х

с +у

9 тобто

с +у а с

ким чином, доведено, що — = — та — X У Ь джуються. Теорему доведено повністю. ■

, тобто

а +х

а а +х

с+ у

<і

с +у а с

— = -------- — , або — = — . Тах

, тобто формули 2 та 3 справ-

3 курсу математики 5 класу відомо, що площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін. Так, на рисунку 182 дано прямокутник 3 x 5 , який ділиться на 15 квадратів із площею 1. Отже, за аксіомами площі, його площа дорівнює 15 кв. од., тобто 3 x 5 кв. од. У такий спосіб легко знайти

Рис. 182. Прямокут ник 3x5

1 Довжина кожного з цих відрізків може дорівнювати, наприклад, —РВ 2

236

сі

Додатки

площу прямокутника, у якого довжини сторін виражені будь-якими ц і лими числами. Але справедливість цієї формули за умови, що довжини сторін прямокутника не є цілими числами,— зовсім неочевидна теорема. Доведемо її. Т е о р е м а (формула площі прямокутника) Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін: 5 = аЬ , де а і Ь — сторони прямокутника. Доведення

□ Доведемо спочатку, що площі прямокутників із одним рівним виміром відносяться як довжини інших вимірів. Нехай прямокутники А В С Б та АВ^С^Б мають спільну сторону А В (рис. 183, а).

Рис. 183. До доведення формули площі прямокутника

Розіб’ємо сторону А В на п рівних частин. Нехай на відрізку А В 1 лежить т точок поділу, причому точка поділу В2 має номер т , а точ ка В3 — номер т + 1 . Тоді А В 2< АВ, < АВ Я, звідки — А В < АВ, < -- —- А В , п

. АВ1

т+1

АВ

тобто --- С ----- <

АВі

АВ

--- С -----

. т

1 < — +—

Тепер проведемо через точки поділу прямі, паралельні А В . Вони розділять прямокутник А В С Б на п рівних прямокутників (тобто таких, які суміщаються накладанням). Очевидно, що прямокутник АВ2С2£) міс титься всередині прямокутника А В ^ Б , а прямокутник АВ3С30 містить прямокутник АВ^С^В. 237

Додатки

Отже, 5 А82с2і) ^ ^*АЛіС10 ^ *^АВзС30 ■ ,,

Маємо:

т 0 ... га

^ 0

•ЬАВСВ \ о^цс,в \

т . « --- ^

А В 1С І'°

771

( т +1)

®^в

й,„„„

т +1 га

лвг'в , бачимо, що обидва ці від-

та

. т

на — ( тг

Порівнюючи вирази для ношення містяться між —

---- 1-—

„

тобто відрізняються не більше,

НІЖ

натуральне число). Доведемо від супротивного, що ці відно

шення рівні. Дійсно, якщо це не так, тобто

АВ1

с ^АВСИ

АВ

натуральне число1 п , що — < 8 , тобто 8 = п

= 8 > 0 , то знайдеться таке

О ^АВ1С1й О ^АВСИ

АВ, АВ

< — < 8 . Отримана п

суперечність доводить, що площі прямокутників із одним рівним виміром відносяться як довжини інших вимірів. Розглянемо тепер прямокутники А В С Б зі сторонами а і Ь ; К Ь М И зі сторонами 6 і 1 та квадрат Р()ІІТ зі стороною 1 (рис. 183, б). 8 ^ : — . Оскільки 5 Р(5ДГ = 1 кв. од., Тоді за доведеним кшк - — о 1х 9^ кьми 1 °Я О Я Г А то, перемноживши отримані відношення, маємо 5 ^ ^ = аЬ . Теорему доведено. ■

1 Оберемо п> — > наприклад п -

238

+ 1 , де

діла частина дробу

Додатки

Додаток 2. Золотий переріз

Із давніх-давен люди намагалися пізнати світ через пошук гармонії і досконалості. Одним із питань, яким переймалися ще давні греки, було знаходження найкращого співвідношення нерівних частин одного ціло го. Таким від часів Піфагора вважали гармонічний поділ, під час якого менша частина відноситься до більшої, як більша частина відноситься до всього цілого. Такий поділ відрізка на частини описано в II книзі «На чал» Евкліда і названо поділом у середньому та крайньому відношенні. Розглянемо поділ відрізка А В точкою С , АС

СВ

АВ

при якому ---- = ----- (рис. 184). Нехай довжина відрізка А В дорівнює а , а довжина відрізка СВ дорівТоді

-X X —=—,

+ — + 1 = 0 . Звідси

, тобто - і± 7 б

х 2 + а х - а2 = 0 , Оскільки — > 0 ,

V-------- ~ ______ 7

а Рис. 184. Поділ відрізка АВ у край ньому та середньому відношенні

то геометричний зміст має лише значення

А а -х С

= 0 , 6 . Отже, якщо дов

жина даного відрізка дорівнює 1, то при поділі в крайньому та середньому відношенні його більша частина наближено дорівнює 0,6. Отримане число позначають грецькою буквою ер. Крім того, часто розглядають і відно шення ф = — = — = ^ ^ - = 1,6 • Зазначимо, що Ф — перша буква імені Ф л: 2 давньогрецького скульптора Фідія, який часто використовував такий поділ у своєму мистецтві (зокрема, у славетній статуї Зевса Олімпійського, яку вважали одним із семи чудес світу). В епоху Відродження (XV—XVII ст.) інтерес до гармонічного поділу надзвичайно зріс. Видатний учений і митець Леонардо да Вінчі (1452—1519) назвав такий поділ золотим перерізом, а його сучасник і співвітчизник, італійський монах-математик Лука Пачолі (1445—1514) — божественною пропорцією. Золотий переріз і близькі до нього пропорційні відношен ня складали основу композиційної побудови багатьох витворів світового мистецтва, зокрема архітектури Античності й Відродження. Одна з найвеличніших споруд Давньої Еллади — Парфенон в Афінах (V ст. до н. е.) — містить у собі золоті пропорції (зокрема, відношення висоти і довжини цієї споруди дорівнює (р). 239

Додатки

Отже, дамо означення золотого перерізу. Означення Зо л о ти м п е р е р ізо м називається такий поділ величини на дві нерівні частини,

при якому менша частина відноситься до більшої, як більша частина відноситься до всього цілого.

Інакше кажучи, золотий переріз — це поділ величини у відношен ні ф (або Ф). Побудувати золотий переріз відрізка заданої довжини а за допо могою циркуля і лінійки досить просто: для цього достатньо побудува„

ти прямокутний трикутник із катетами а та — 2

і провести дві дуги з вершин гострих кутів так, як показано на рисунку 185. За теоремою про пропорційність відрізків січної та дотичної

А В 2= А Е А О .

Т о ді

АЕ ЛИ ----- = ------ . АВ АО

Оскільки

за побудовою А В = 2 0 0 = Е Б - а , то А Е = АО - А В . А В -А В

Рис. 185. Побудова зо лотого перерізу відрізка

АВ

і ----------- = — - = ф за означенням золотого переріАВ

АБ АЕ

АС

АВ

зу. Отже, -----= ----- = ф . Переконатися в правильності побудови також можна за допомогою теореми Піфагора (зробіть це самостійно.) Із золотим перерізом пов’язують геометричні фігури, при побудові яких використовуються відношення ф і Ф. Розглянемо деякі з них. Рівнобедрений трикутник називається золот им , якщо дві йо го сторони відносяться в золотому перерізі. Доведемо, що трикут ник з кутами 36°, 72°, 72° (рис. 186, а) є золотим. Дійсно, нехай у трикутнику АВС А А = АС = 72°, А В = 36°, А К — бісектриса. Тоді А К А С = 3 6°, А А К С = 72°, А А В С ™ А С А К за двома кутами. Отже, АВ

АС

КС

ВС-ВК

А В -А С

---- = ----- = ------------= ------------= Ф , тобто трикутник

АВС

— золотий.

І навпаки: якщо в рівнобедреному трикутнику А1В1С1 А С!

Л сі

то такий трикутник подібний до трикутника А В С , тобто має кути 36°, 72°, 72°. ?40

Додатки

Пропонуємо самостійно переконатися, що золотим є також трикутник з ку тами 36°, 36°, 108° (рис. 186, б) і інших золотих трикутників не існує. В

Рис. 186. Золоті трикутники

Золоті трикутники пов’язані з правильним п’ятикутником (тобто опуклим п’ятикутником, що має рівні сторони й рівні кути). У правильному п’ятикутнику: 1) діагональ відноситься до сторони в золотому перерізі; 2) точка перетину діагоналей ділить кожну із них у золотому пе рерізі; 3) діагональ ділить іншу на два відрізки, один із яких ділиться в зо лотому перерізі ще однією діагоналлю. Згідно з позначеннями рисунка 187 це означає, СЕ

СЕ

СІУ

л /б + І

що ---- = ----- = ----- = Ф = --------- . Для доведення цих СД

СЛГ

СМ

властивостей достатньо помітити, що в правильному п ятикутнику всі кути дорівнюють ------ = 108 , отже, трикутники СБЕ, С М В, M D N є золотими. Детальні Рис. 187. Правиль доведення пропонуємо провести самостійно. ний п’ятикутник Діагоналі правильного п’ятикутника утворюють зірку, яка у давнину вважалася символом досконалості й мала містичний зміст. Піфагорійці називали її пентаграмою й обрали втіленням своєї нау кової школи. У наші дні п’ятиконечна зірка — найпоширеніша геометрична фігура на прапорах і гербах багатьох держав (наведіть відповідні приклади з історії та географії). 241

Додатки

Прямокутник називається золотим, якщо його сторони відносять ся в золотому перерізі. Для побудови золотого прямокутника довільний квадрат перегинаємо навпіл (рис. 188, а), проводимо діагональ одного з отриманих прямокутників (рис. 188, б) і радіусом, що дорівнює цій діагоналі, проводимо дугу кола з центром О (рис. 188, в). Отриманий прямокутник ABCD — золотий (переконайтеся в цьому самостійно).

Рис. 188. Побудова золотого прямокутника

Якщо від золотого прямокутника відрізати квадрат зі стороною, що дорівнює меншій стороні прямокутника, то прямокутник, що зали шиться, також буде золотим. Дійсно, на рисунку 189, а маємо — = Ф ,

тоді а - Ь = ЬФ - Ь = b (Ф - 1) = Ьср . Необмежено продовжуючи цей процес (рис. 189, б), можна отримати так звані квадрати, що обертаються, і весь даний прямокутник буде складений із таких квадратів.

а Рис. 189. Побудова золотої спіралі

Через протилежні вершини квадратів прохо дить так звана золот а спіраль, яка часто зустрі чається в природі. Наприклад, за принципом золотої спіралі розміщується насіння в соняшнику; за золо тою спіраллю закручені черепашки равликів, роги 242

Додатки

архарів, павутиння окремих видів павуків, і навіть наша Сонячна система, як і деякі інші галактики. Зазначимо також, що золотий переріз має чимало алгебраїчних властивостей. Відношення ер наближено може бути виражене дроба2

ми —, —, — , — , ..., де 2, 3, 5, 8, 13, ...— так звані числа Фібоначчі1. Наведемо без доведення дві алгебраїчні формули, пов’язані з чис лами ер і Ф: 1) Ф = -------

1 + -----1+

—

Золотий переріз, золоті многокутники і золота спіраль є матема тичним відображенням ідеальних співвідношень у природі. Недарма великий німецький поет Йоганн Вольфганг Ґете вважав їх математич ними символами життя і духовного розвитку.

1 Числа Фібоначчі — це натуральні числа ряду 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., у якому кожне наступне число, починаючи з третього, дорівнює сумі двох по передніх.

243

Додатки

Додаток 3. Таблиця значень тригонометричних функцій

сова 0°< а <45°

Градуси

1,000 1,000 0,999 0,999 0,998

90 89 88 87 86

11,430 9,514 8,144 7,115 6,314

0,996 0,995 0,993 0,990 0,988

85 * 84 83 82 81

0,176 0,194 0,213 0,231 0,249

5,671 5,145 4,705 4,331 4,011

0,985 0,982 0,978 0,974 0,970

80 79 78 77 76

0,259 0,276 0,292 0,309 0,326

0,268 0,287 0,306 0,335 0,344

3,732 3,487 3,271 3,078 2,904

0,966 0,961 0,956 0,951 0,946

75 74 73 72 71

20 21 22 23 24

0,342 0,358 0,375 0,391 0,407

0,364 0,384 0,404 0,424 0,445

2,747 2,605 2,475 2,356 2,246

0,940 0,934 0,927 0,921 0,914

70 69 68 67 66

25 26 27 28 29

0,423 0,438 0,454 0,469 0,485

0,466 0,488 0,510 0,532 0,554

2,145 2,050 1,963 1,881 1,804

0,906 0,899 0,891 0,883 0,875

65 64 63 62 61

Градуси

вігі а 0°< а <45°

tg а 0°< а <45°

0 1 2 3 4

0,000 0,017 0,035 0,052 0,070

5 6 7 8 9

0,087 0,105 0,122 0,139 0,156

0,087 0,105 0,123 0,141 0,158

10 11 12 13 14

0,174 0,191 0,208 0,225 0,242

15 16 17 18 19

244

0°< а <45° — 57,290 28,636 19,081 14,301

Додатки

Продовження таблиці 30 31 32 33 34

0,500 0,515 0,530 0,545 0,559

0,577 0,601 0,625 0,649 0,675

1,732 1,664 1,600 1,540 1,483

0,866 0,857 0,848 0,839 0,829

60 59 58 57 56

35 36 37 38 39

0,574 0,588 0,602 0,616 0,629

0,700 0,727 0,754 0,781 0,810

1,428 1,376 1,327 1,280 1,235

0,819 0,809 0,799 0,788 0,777

55 54 53 52 51

40 41 42 43 44

0,643 0,656 0,669 0,682 0,695

0,839 0,869 0,900 0,933 0,966

1,192 1,150 1,111 1,072 1,036

0,766 0,755 0,743 0,731 0,719

50 49 48 47 46

0,707

1,000

0,707

Градуси

сова 45° < а <90°

45° < а <90°

зіпос 45° < а <90° 45° < а <90°

Градуси

Значення тригонометричних функцій гострих кутів можна наближе но визначати за допомогою спеціальних таблиць. Одну з таких таблиць подано вище. Таблицю складено з урахуванням формул доповнення. У двох крайніх стовпцях вказано градусні міри кутів (у лівому — від 0° до 45°, у пра вому — від 45° до 90°). Між цими стовпцями містяться чотири стовпці значень тригонометричних функцій: 1- й — синуси кутів від 0° до 45° (або косинуси кутів від 45° до 90°); 2- й — тангенси кутів від 0° до 45° (або котангенси кутів від 45° до 90°); 3- й — котангенси кутів від 0° до 45° (або тангенси кутів від 45° до 90°); 4- й — косинуси кутів від 0° до 45° (або синуси кутів від 45° до 90°). Розглянемо кілька прикладів застосування даної таблиці. 1) Визначимо вій 25°. Оскільки 0°<25°<45°, знайдемо в крайньому лі вому стовпці значення 25 і розглянемо відповідний рядок першого стовпця значень. Куту 25° у ньому відповідає число 0,423. Отже, вій 25° = 0,423. 245

Додатки

2) Визначимо sin 72°. Оскільки 45° <72° <90°, знайдемо в крайньо му правому стовпці значення 72 і розглянемо відповідний рядок четвер того стовпця значень. Куту 72° у ньому відповідає число 0,951. Отже, sin 72° - 0,951. 3) Визначимо кут, синус якого дорівнює 0,839. Для цього в першо му або четвертому стовпці значень знайдемо число 0,839. Воно міститься в четвертому стовпці, тобто шуканий кут більший за 45° і менший за 90°. У відповідному рядку правого стовпця значень знаходимо число 57. Отже, шуканий кут наближено дорівнює 57°. 4) Визначимо cos 14°. Оскільки 0° < 14° < 45°, знайдемо в крайньому лівому стовпці значення 14 і розглянемо відповідний рядок четверто го стовпця значень. Куту 14° у ньому відповідає число 0,970. Отже, cos 14° - 0,970. 5) Визначимо кут, тангенс якого дорівнює 0,7. Для цього в друго му або третьому стовпці значень знайдемо число 0,700. Воно міститься в другому стовпці, тобто шуканий кут менший за 45°. У відповідному рядку лівого стовпця значень знаходимо число 35. Отже, шуканий кут наближено дорівнює 35°. З більшою точністю значення тригонометричних функцій можна визначати за «Чотиризначними математичними таблицями» В. М. Брадіса або за допомогою калькулятора.

Відповіді та вказівки

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ

Розділ І. Чотирикутники

11. 32 см. 12. 8 см, 4 см, 4 см, 4 см. 13. 100°. 14. 80°, 80°, 100°, 100°. 17. а) Ні; б) так; в) ні. 18. 5 см, 7 см, 8 см, 10 см. 19. 36 см. 20. 60°, 120°, 80°, 100°. 21. 60°. 25. 7 дм. 26. 100°, 100°, 100°, 60°. 41. 60 см. 42. а) 5 см і 7 см; б) 3 см і 9 см; в) 5 см і 7 см. 43. а) 110° і 70°; б) 55° і 125°; в) 45° і 135°; г) 75° і 105°. 44. а) Усі по 90°; б) 40° і 140°; в) 70° і 110°; г) 30° і 150°. 45. 10 см і 16 см. 48. Три. 49. Три. 50. З дм. 51. 22 м. 52. а) 70° і 110°; б) 48° і 132°. 53. а) 50° і 130°; б) 60° і 120°. 54. 54 см. 55. 32 см або 34 см. 59. 12 см. 60. 42 см або 36 см. 61. 30° і 150°. 62. 45° і 135° або всі по 90°. 65. Ні. 80. 26 см. 81. 45° і 135°. 92. Вказівка. Скористайтеся рівністю 2a + 2ß = 360°, де а і ß — сусідні кути чотирикутника. 93. Вказівка. На промені АО побудуйте відрізок ОС = АО і проведіть через точку С прямі, паралельні сторонам кута. 94. Вказівка. Проведіть прямі M B і M C , паралельні сторонам кута (В і С — точки перетину цих прямих зі сторонами). Промінь М А прой де через середину відрізка ВС . 106. 42 см. 107. 6 см, 12 см. 108. 50°. 109. 40°, 50°. 110. 16 см. 111. а) 30°, 150°; б) 60°, 120°. 112. а) 70°, 110°; б) 50°, 130°. 113. 5 м. 114. 20 см. 117. 28 см. 118. 36 см. 119. 6 см, 10 см. 120. а) 36°, 144°; б) 30°, 150°. 121. а) 45°, 135°; б) 60°, 120°. 122. 24 см. 123. 36 м. 124. 6 см. 125. 8 см. 129. 30°, 60°. 130. 60°. 131. Вказівка. Доведіть окремо рівність висот, проведених до протилежних сторін, і ви сот, проведених до сусідніх сторін. 136. б) 50°, 130°. 143. а) Ні; б) так. 144. Ні; ні. 147. а) ZC = 130°, Z ß = 140°; б) 58°, 122°, 122°; в) 90°, 90°, 135°, 45°. 148. а) 68° і 112°; б) 90°, 90°, 135°, 45°. 149. 24 см. 150. 16 см. 152. а) 50° і 130°; б) 90°, 90°, 110°, 70°. 153. а) 90°, 90°, 108°, 72°; б) 60° і 120°. 154. б) 19 см. 155. а) 60° і 120°; б) 20 м. 156. 75 см. 157. 35 см. 161. 72° і 108°. 162. 60° і 120°. 178. а) 4; б) 8. 179. 16 см. 180. 6 см, 8 см і 10 см. 181. 21 см. 183. 24 см. 184. 40 см. 185. а) 10 см; б) 6 см і 8 см. 186. а) 8 см; б) 2 см і 8 см. 189. 23 см. 190. 16 см, 20 см і 24 см. 193. Спо лучити середини сторін відрізками і провести через вершини отриманого трикутника прямі, паралельні його сторонам. 194. Лінія розрізу є серед ньою лінією трикутника. 195. 0,75а . 196. 34 см. 197. 9 см. 198,9 см, 6 см, З см. 201. 2 см. 202. Вказівка. Доведіть, що A M N H — паралелограм. 247

Відповіді та вказівки

203. 2 см. 206. 40°, 40° і 100°. 213. Ні. Висота не більша за медіану, проведену до гіпотенузи. 216. а) 120°, 240°; б) 80°, 280°. 217. а) 90°; б) 120°; в) 100°. 218. а) 70°; б) 40°; в) 210°. 219. а) 40°; б) 50°; в) 150°. 220. а або 18 0° - а . 221. 30° або 150°. 222. а) 25°; б) 6 см. 223. а) 90°; б) 10 см. 225. а) 55°; б) 120°. 226. а) 120°; б) 55°. 227. 70°. 228. 45°, 60°, 75°. 229. 50°, 50°, 80° або 50°, 65°, 65°. 232. 80°. 233. 4 см. 234. 9 см. 240. Коло з діаметром А В без точок А і В . 241. Рис. 190. 242. Вказів ка. Точка дотику належить колу з діаметром А О . 243. 80°. 244. 50 см. 248. Продовжити бічні сторони до перетину. 249. Ні; так. 252. а) Ні; б) так. 253. а) 134°, 55°; б) 100°, 80°, 100°; в) усі по 90°. 254. а) 90°, 130°, 90°; б) 115° і 65°. 258. а) ЗО см; б) 28 см. 259. а) 7 см; б) 4 см. 260. 24 см. 261. 70°, 100°, 110°, 80°. 262. 55° і 125°. 267. 4м і 9 м, 8 м і 5 м. 268. 6 см. 269. 8 см. 274. 30° і 150°. Вказівка. Опишіть коло навко ло чотирикутника B M D N . 275. 45°. Вказівка. Опишіть коло навколо чо тирикутника А С В К . 276. Вказівка. Спростування аналогічне прикладу, поданому в п. 8.3. 277. Вказівка. Трикутники А В В і СОЕ не рівні, оскільки ознаки рівності трикутників за стороною і двома кутами не існує. 280. 60°. 281. 60°. 289. 9 см. 293. 8 см і 4 см. 294. Вказівка. На рисун ку 191 трикутник АВС шуканий, трикутник АОП допоміжний, АОСП — паралелограм. 296. З см і 9 см. 297. а) 14,4; б) 59. 299. 60° і 120°. 300. 14 см. 301. 90°, 45°, 45°. 303.4 см. 304. 18 см. 305.5 см і 3 см. 306. а)60°, 120°; б) 2 см, 6 см, 4 см, 4 см. 307. б) Вказівка. Про ведіть через точку М середні лінії трикутників АВС і АСИ ; доведіть за нерівністю трикутника, що точки Е , і М лежать на одній прямій. 309. а + с або | а - с | . 310. Вказівка. Медіани трикутника ВСБ перети наються в одній точці. 311. Вказівка. Висоти трикутника з вершинами у серединах відрізків А В , АС і А_0 перетинаються в одній точці.

248

Відповіді та вказівки

312. Вказівка. Дані бісектриси при перетині утворюють прямокутний трикутник, у якому відрізок середньої лінії є медіаною. 313. В казів ка. Доведіть, що вершини шуканого трикутника і точка перетину даних прямих лежать на одному колі. 314. Вказівка. Скористайтеся опорною задачею про кут між дотичною і хордою (§ 7, № 230). 315. 60° і 120°. 316. Вказівка. Доведіть, що чотирикутник А В М С вписаний. Розділ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора 325. а) Так; б) ні. 326. 6; 12. 327. 15; 9. 328. а) 3 см; б) 4 см. 329. 14 см. 330. а) 25°; б) 50°. 331. 20°, 70°. 332. а) 10 см, 16 см, 20 см; б) 5 см, 8 см, 10 см. 333. 19 см. 336. а) 15 см; б) 12 см. 337. 7 см. 338. а) 16; б) 3. 343. 8 см і 27 см. 345. Вказівка. На останньому кроці доведення виконано ділення на нуль. 346. 6 см. 347. 46 см. 348. Рівнобедрений. 349. Ні. 360. 120 м. 361. б) 6 см. 362. б) 12 см. 364. 10 см. 365. 4 см, 4 см, 2 см. 370. 24 см. 371. 6 см і 14 см. 373. Ні; так. 378. —

а +Ь

. 379. Ш Ш . . 382. 36°, 72°, т +п

72° або 36°, 36°, 108°. 384. 35° і 55°. 390. Другий. Трикутник зі сторона ми а, Ь, с може не бути прямокутним або не існувати взагалі. 396. 60 м. 397. 13,8 м. 398. а) 10 см; б) 30 см і 40 см. 399. 30 см. 401. б) 6 см. а2

Ь2

402. 20 см і ЗО см. 403. 6 см. 405. ас = — » Ьс= — . 406. ЗО см і 40 см. 407. Лежить поза колом. 408. 6 см. 409. 20 см. 410. 1: 8. 411. 3 :4. 413. Вказівка. Скористайтесь додатковою побудовою, яка застосовуєть ся для доведення відповідної ознаки рівності прямокутних трикутників. 414. У 2,5 разу. 415. 72°, 108°. 426. а) 41 см; б) 21 см. 427. а) 26 см; б) 28 см. 431. 45°. 432. 36 см. 433. 12 см. 435. 24 м. 436. 10 см або 2>/7 см. 437. а) 27 см і 36 см; б) 15 см, 20 см, 25 см. 438. а) 24 см і 26 см; б) 30 см, 40 см, 50 см. 440. 8 см. 441. \І26 см. 442. 12,5 см і 12 см. 4 4 4 . 52 см; так. 445. 98 см; так. 446. 9 см або 21 см. 447. а) 9; б) 8. 448. 15 см. 449. 12 см. 450. 20,5 см. Вказівка. До ведіть, що трикутник АВС прямокутний. 451. 12 см. 452. 13 см. Вказів ка. Доведіть, що трикутник АВС прямокутний. 453. 1 м. Вказівка. Про ведіть через вершину трапеції пряму, паралельну діагоналі. 454. 10 см. 456. Вказівка. Для доведення оберненого твердження проведіть із двох протилежних вершин чотирикутника перпендикуляри до діагоналі і доведіть, що їх основи збігаються. 463. а) 12 см; б) 6 см і 4 см. 249

Відповіді та вказівки

464. З см. 465. 10 см, 15 см, 20 см. 466. 21 см, 28 см, 35 см. 467. 36 см. 468. 25 см і ЗО см. 469. 64 см. 470. 20 см. 471. 4 см. 472. 6 см. 4 7 3 . 15 см. 474. 72 см. Вказівка. Доведіть, що дана точка лежить на бісек трисі трикутника. 475. 36 см. Вказівка. Доведіть, що дана точка лежить на бісектрисі трикутника. 476. Вказівка. Доведіть подібність трикутни ків АСБ і СВБ. 477. Вказівка. Проведіть висоту ВН і доведіть подіб ність трикутників САБ і СВН. 481. 30°. 482. 9. 483. 8 см і 15 см. 484. 5 см, 5 см, 6 см. 485. 15 см і 20 см. 486. 8 см, 9 см, 10 см. 487. 12 см. 488. 96 см. 494. а) 4 : 1; б) 1 : 1; в) 1 : 2; 4 : 3. 496. 4 см. 497. 6 м і 6 м. 498. —- - ---. 499. 28 см. Вказівка. Доведіть подібність пряЬ -а

мокутних трикутників, які відтинаються від даного трикутника висотами. 501. 2,5 і 1. Вказівка. Центри даних кіл є вершинами прямокут ного трикутника. 502. \Іа2 +с2 - Ь 2 . Вказівка. Проведіть через точ ку М прямі, паралельні сторонам прямокутника. 503. Коло з діа метром А В . 504. Розв’язання. У чотирикутнику А В С Б А В = а , ВС = Ь , СБ = с , А Б = с і , В Б = , АС - <і2 (рис. 192). Побудуємо три кутник А В Е , подібний до трикутника БВС (А 1 = А 2 за побудовою, АЗ = А 4 як вписані кути, що спираються на одну дугу), з подібності маємо:

АЕ

- — , тобто сі. ■А Е = ас . Аналогічно з подібності трикутнис

ків СВЕ і Б В А

маємо ---- = — , тобто сі. ■СЕ = Ьсі . Додамо отримані СЕ

сі

рівності: сіх ■А Е + сіх ■СЕ = ас + Ьсі , тобто йх с12 = ас + Ьсі, що й треба бу ло довести. 505. Розв’я зання. Проведемо в трикутнику АВС бісектрису СЕ і позначимо ВС = а , АС = Ь , ВЬ = т , АЕ = п , С Е - І с (рис. 193).

Рис. 193

250 \

Відповіді та вказівки

Опишемо коло навколо даного трикутника і продовжимо бісектрису СЬ до перетину з колом у точці О . За теоремою про пропорційність хорд має мо В Ь ■АЕ = С Ь■ВЬ або т п = Іс •(СО - І с). З подібності трикутників ВСЕ і £>СА ( А 1 = А 2 за означенням бісектриси, А 3 = А 4 як вписані кути, що ВС

С-0

СИ

аЬ

спираються на одну дугу) маємо: ---- = ----- або — = —— , тобто Сх> = — . сь ас г„ ь і, ґ , \ Підставимо це значення у рівність m- n = la-(CD- І а): т п = Іс —— І або і і2 - a b - т п , що й треба було довести. Розділ III. Многокутники. Площі многокутників

513. а) 720°; б) 1800°. 514. а) 5; б) 7; в) 9. 515. 135°. 516. 120°. 518. а) 11; б) ні; в) 13. 519. Семикутник; 900°. 520. 6. 521. а) 3; б) 5; в) 6. 523.

—— . 525. 150°, 60°, 150°. 526. Вказівка. Скористайтесь 2

нерівністю трикутника. 527. Ні. Вказівка. Скористайтесь нерівністю триv кутника. 539. а) 36 см2; б) 140 см2; в) 60 см2. 540. 60 см. 541. 144 м2. 542. 16л/2 см. 543. 8 см і 16 см. 544. а) 60 см2; б) 12 см; в) 5 см. 545. 120 см2. 546. 8 см і 6 см. 547. 12 см. 548. 180. 549. 21 см2 або 28 см2. 550. 240 см2. 551. а) 72 см2; б) ЗО см2; в) 40 см2. 552. а) 78 см2; б) 32 см2. 553. 4 см. 554. 120 см2. 555. 50 см2. 557. 16 м2. Вказівка. До ведіть, що сума даних відстаней дорівнює стороні квадрата. 558. 180 см2. 559. 384 см2. Вказівка. Даний кут дорівнює гострому куту паралело грама. 560. Вказівка. Розгляньте відношення катетів прямокутних три кутників А В Е і DCE та доведіть, що ці трикутники не є подібними, тобто точка С не лежить на прямій B E . 561. 351 см2. 562. 202,8 см2. 563. 60° і 120°; паралелограм і рівносторонній трикутник. 564. 8 см2. 572. а) 20; б) 24; в) 4л/з . 573. а) 60 см2; б) 75 см2. 574. а) 96 см2; б) 12 см2. 575. 60 см. 576. 10 см. 577. 1 - а . 578. — . 579. 80 м2. 2

580. 8 см і 16 см. 583. а) 42 см2; б) 64 см2. 584. 48 585. 24 см2. 586. а) 84 см2; б) 39 см2; в) 4л/з см2. 587. а) 12 см2; б) 96 588. 294 см2. 589. 2 S . 590. S . 591. 20 см. 592. 18 см2. 596. а) 486 б) 186 см2. 597. 768 см2. 601. Вказівка. Шукані прямі ділять сторони

см2. см2. см2; ВС

і CD у відношенні 1 : 2 , починаючи від вершини С . 602. а) —; б) —. 251

Відповіді та вказівки

603. а) в ! + ^ + 5 з + 8 4 ; б) 7 Я . 604. 80 см2. 605. 1020 см2. 607. а) 1 : 5; б) 4 : 5; в) 1 : 4 . 614. а) 81 см2; б) 1 см2. 615. -1. 616. а) 4 см; б) 2 см2.

617. 6 см2. 618. 20 см2. 619. 210 см. 620. 6 см. 621. 40 см. 624. 27 см2 і 3 см2. 625. 108 м. 626. 36 см2. 627. 250 м2. 628. 12 см і 16 см. 629. 24 см. 630. 15 см і 20 см. 633. 1 : ( л / 2 - і ) . 634. Шукана пряма ділить сторони трикутника у відношенні 3 : 2 або 4 : 1, починаючи Від вер шини, протилежної паралельній їй стороні. 638. 30°, 30°, 120°. 640. Ви сота трикутника вдвічі більша. 643. а) 20 см2, ЗО см2; б) 8 см2, 12 см2, 18 см2, 12 см2. 646. 468 см2 або 300 см2. 647. б) Якщо висота, проведена до А В , більша за —А В . 648. Вказівка. Розрізи мають проходити через 2

середини бічних сторін перпендикулярно до основ. 649. Вказівка. Засто суйте метод площ і обернену теорему Піфагора. 651. Б сов2а . Вказівка. Доведіть, що трикутники АВС і А В гСх подібні з коефіцієнтом с о в а . 2

652. —ГПть . 654. Вказівка. Площа трикутника не перевищує половини з а добутку двох його сторін. 656.

+ \/^7) • Вказівка. Доведіть, що площі

трикутників АО В і ССШ дорівнюють Щ °

• 657. Вказівка. Доведіть,

&АМ В = ~ ^А В С й •

Розділ IV. Розв'язування прямокутних трикутників 66 8 .

_ 8_

15 17

672. а) єіп2 а 676.

б) віпа

сова

— ,

б) віпА = 0,96,

.. 7з .1 5 ...... . 4 75 б) -----; в) — . 671. а) — ; б) ------. 2 8 х з 2 13 в) 2. 673. а) сов2 а ; б) ------ ; в) t g а .

9 — . 670. а) —

2,4.

679.

а)

собА = —, tg A = ^/з, ^ А = -----; 2

24 7

г~

у5

А = — ; в) 8ІпА = —==-, со8А = ——, ^ А = —. 2

680. а) л/з ; б) 1. 681. а) ^ 2а ; б) сов3а ; в) зіп2а . 682. а) віпа; б) 1; в) 1. 685. а) t g a ; б) зіп2а ; в) t g 2a . 686. а) 2; б) в і п а ; 252

Відповіді та вказівки

в) 1. 687. 16 см. 688. 60 см2. 695. а) 54°; б) 8°; в) 60°; г) 45°. 696. а) 40°; б) 30°; в) 45°. 698. а) 1,5; б) 1,5; в) 0,5. 699. а) 1; б) 0,5; в) 0,5. 700. а) 0,6 і 0,8; б) 0,5 і л/з . 701. а) 0,8 і 0,6; б) 1. 702. а) 68°; б) ЗО3. , 3; б) 1. 706. 6 . 703. а) 76°; б) 45°. 704. а) 2; б) — ; в) 1. 705. а) 2 Vю V10 709. 1. 711. 36 см2. 712. а 2 . 718. 14 см. 719. 12 см і 16 см. 720. 45°, 4 5 \ 721. а) (3 = 60°, а = 4 , 6 = 4л/з ; б) (3 = 48°, а - 6 , 6 9 , 6 - 7 , 4 3 . 722. а) а =45% 6 = 2 , с - 2 \І 2 ; б) (3 = 72°, с - 1 2 , 9 4 , 6 - 1 2 , 3 1 . 723. а) [3 = 62°, а = 5, 6 3 , 5 - 1 0 , 6 ; б) ос =50°, с - 1 0 , 4 4 , 5 - 6 , 7 1 . 7 2 4 . а) 6 = 9 , а = Р = 45°; б) 6 = 7 , а - 74°, (3-16°. 725. а) с = 1 2 , а = 60°, (3 = 30°; б) с = 4 1 , ос-13°, (3 = 77°. 726. а) 6 = 8 , а - 37°, (3 - 53°; б) с = 6 , а - 56°, (3 - 34°. 729. - 9,40 і - 3,42. 730. 60 см. 731. - 45° і - 135°. 732. а) АВ = 8 , ВС = 8л/з , АС = 1 6 , Z A = 60°, ZC = 30°; б) £ С - 2 93 ,9 4, А В - 51 ,83, А С - 2 9 8 , 4 8 , ZA = 80°. 733. А В = 3,75 , ВС = 5 , АС = 6 , 2 5 , Z A - 53°, Z C - 37°. 734. - 10,99 і - 11,70. 735. 8 + 5 V 2 . 736. - 68°. 737. - 4°. 738. а =

т .., 6 = — ^— , l + c tg a

1 + tg a

с ---------------- , Р = 90° -о с. Вказівка. Виразіть дві сторони трикутника чеs m a + cosa

рез третю сторону і кут а. 739. a = 4 5 ° - — , ß = 4 5 ° + — , a = csin 4 5 ° - — , 2 2 ^ 2 J

. 740. 30° і 60°. 741. . 742. - 16°. 743. 4 см, ctg a - ctg ß 2г 4r . Вказівка. Проведіть висоту h 4л/2 см, 32 см2. 744. 6 = csin 4 5 ° + -

sin a

і скористайтесь тим, що h = 2 r . 745. 5 л /2 ^ л /3 - і |, ю ( л / 3 - і ) . Вказів-

I cos —

ка. Проведіть висоту до даної сторони і складіть рівняння. 747. /1

_______2_

cos a

748. - 37°. 749. Не менше 2°. 751. ----- — . 752. — . Вказівка. Доведіть І +а і 4 і подібність трикутників АСЕ і BCD. 753. —d(l + s i n a ) , —d ( l - s i n a ) . 2

+V3 )

754. . Вказівка. Побудуйте трикутник із кутами 75°, 45° і 6 0 : та проведіть його найменшу висоту. 253

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК А Аксіоми площ 164—165

Б Бічні сторони трапеції 41, 42

В Вершини — ламаної 157 — многокутника 157 Висота — паралелограма 15 — трапеції 41, 90 Відношення відрізків 103 Відношення площ подібних фігур 103 Властивість — бісектриси трикутника 136 — прямокутника 31 — рівнобедреної трапеції 42 — середньої л ін ії трапеції 54 — середньої л ін ії трикутника 52 — паралелограма 15 — перпендикуляра, похилих і проекцій 131 — ромба 32 Внутріш ня область чотирикутника 8

Г Градусна міра дуги кола 61

д Діагональ — многокутника 158 — чотирикутника 8

І Інцентр 82

254

Квадрат 34, 89 Косинус гострого кута прямокутного трикутника 205 Котангенс гострого кута прямокутного трикутника 206 Кут — внутріш ній опуклого многокутника 158 — вписаний 61 — зовніш ній опуклого многокутника 158 — внутріш ній опуклого чотирикутника 9 — центральний 60 л

Ламана — замкнена 157 — проста 157

М Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику 121 Многокутник 157 — вписаний у коло 158 — описаний навколо кола 158 — опуклий 158

О Ознака подібності трикутників ------------ за двома кутами 111 ------- — за двома сторонами і кутом м іж ними 112 ------------ за трьома сторонами 114 Ознака — прямокутника 31 — рівнобедреної трапеції 43

Ознаки — паралелограма 22 — подібності прямокутних трикутників 120 Ортоцентр 84 Основи трапеції 41 Основна тригонометрична тотожність 207

п Паралелограм 14, 88 Площа — квадрата 166 — многокутника 165 — паралелограма 167 — прямокутника 166 — трапеції 175 — трикутника 173 Подібні трикутники 105 Похила 131 Проекція похилої 131 Пропорційні відрізки 103 Пропорційність — відрізків січної і дотичної 138 — відрізків хорд 137 Прямокутник 31, 89

Р Рівновеликі фігури 165 Розв’язання трикутників 220 Ромб 32

Сума кутів — опуклого п-кутника 159 — чотирикутника 9 Сусідні — вершини чотирикутника 7 — кути чотирикутника 9

Т Тангенс гострого кута прямокутного трикутника 205 Теорема — Піфагора 128 — Ф алеса 51 — обернена до теореми Піфагора 130 Точка перетину — бісектрис трикутника 82 — висот трикутника 84 — медіан трикутника 82 Трапеція 41 — прямокутна 42 — рівнобедрена 42

У Умова — необхідна 24 — достатня 24 — необхідна і достатня 24

Ф Формули доповнення 213

Середня лінія — трапеції 54 — трикутника 52 Синус гострого кута прямокутного трикутника 205 Сторони — многокутника 157 — чотирикутника 7

ц Центроїд 83

ч Чотирикутник 7 — вписаний у коло 70 — описаний навколо кола 72 — опуклий 8

255

ЗМІСТ П ер ед м о в а ........................................................................................................................ З Розділ І. Чотирикутники............................................................................................ 5 § 1. Чотирикутник і його елементи............................................................ 7 § 2. Паралелограм і його властивості................................................. . .. 14 § 3. Ознаки паралелограма.........................................................................22 § 4. Види паралелограмів............................................................................. 31 § 5. Трапеція.................................................................................................... 41 § 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції............ 51 § 7. Вписані к у т и ........................................................................................... 60 § 8. Вписані й описані чотирикутники................................................. 70 § 9*. Визначні точки трикутника............................... 82 П ідсум ки................................................... і ....................................................... 88 Розділ II. Подібність трикутників. Теорема Піфагора...................................101 § 10. Подібні трикутники........................................................................... 103 § 11. Ознаки подібності трикутників...................................................... 111 § 12. Подібність прямокутних трикутників.......................................... 120 § 13. Теорема Піфагора та її наслідки....................................................128 § 14. Застосування подібності трикутників.......................................... 136 П ідсум ки ............................................................................................................. 144 Розділ III. Многокутники. Площі многокутників............................................ 155 § 15. Означення многокутника................... 157 § 16. Площа многокутника. Площі прямокутника й паралелограма....................................................................................163 § 17. Площі трикутника і т р а п ец ії.........................................................173 § 18. Застосування п л ощ ............................................................................. 186 П ідсум ки ............................................................................................................. 194 Розділ IV. Розв’язування прямокутних трикутників.............................. 203 § 19. Тригонометричні функції гострого кута.......................................205 § 20. Обчислення значень тригонометричних ф у н к ц ій .....................213 § 21. Розв’язування прямокутних трикутників..................................... 219 П ідсум ки .......................................................................................... 228 Додатки

..................................................................................................................... 235

Відповіді та вк азівк и ............................................................................................... 247 Предметний покажчик...................................................................

254