Issuu

А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір

АЛГЕБРА Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Харків «Гімназія» 2009

УДК 373:512 ББК 22.141я721 М52

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Лист від 19.06.2009 р. № 1/11-4350)

Відповідальний за випуск Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України Н. С. Прокопенко

ISBN 978-966-474-059-0

Від авторів Любі дев’ятикласники! Ми маємо надію, що ви не розчарувалися, обравши нелегкий шлях навчатися в математичному класі. У цьому навчальному році ви продовжите вивчати математику за поглибленою про грамою. Ми сподіваємося, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Підручник розділено на шість параграфів, кожний з яких скла дається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується при кладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв’язання. До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позна чено зірочкою (*)). Якщо після виконання домашніх завдань залишається віль ний час і ви хочете знати більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, є непростим. Але тим цікавіше випробувати свої сили! Бажаємо успіху! Шановні колеги! Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з поглибленим вивченням математики — робота нелегка. Організація такого навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор мує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається. У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний ма теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати не можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зруч ніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість 3

Від авторів

реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні. Червоним кольором позначено номери задач, що рекоменду ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно. Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути викорис таний для організації роботи математичного гуртка і факульта тивних занять. Бажаємо творчого натхнення й терпіння.

n° n• n•• n*  n (m)



Умовні позначення завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень; завдання, що відповідають достатньому рівню навчаль них досягнень; завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень; задачі для математичних гуртків і факультативів; задачі, у яких отримано результат, що може бути ви користаний при розв’язуванні інших задач; задача, яка пропонується в різних пунктах для роз в’язування різними способами (номер m вказує місце знаходження цієї задачі в іншому пункті); закінчення доведення теореми; рубрика «Коли зроблено уроки».

§ 1.

Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу

1. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу

1.1. Які множини є рівними: 1) A = {x | x = 5n – 1, n ∈ }; 3) C = {x | x = 5n + 4, n ∈ }; 2) B = {x | x = 10n + 9, n ∈ }; 4) D = {x | x = 10n – 1, n ∈ }? 1.2. Яка множина є перетином множин A і B, якщо A — множина прямокутників, B — множина описаних чотирикутників? 1.3. Яка множина є перетином множин A і B, якщо A — множина ромбів, B — множина вписаних чотирикутників? 1.4. Яка множина є об’єднанням множин A і B, якщо A = {x | x = 4n, n ∈ }, B = {x | x = 4n + 2, n ∈ }? 1.5. Яка множина є об’єднанням множин A і B, якщо A = {x | x = 6n, n ∈ }, B = {x | x = 6n – 3, n ∈ }? 1.6. Замість знака * запишіть знак c або o так, щоб утворилася правильна рівність: 1) A * ∅ = A; 2) A * ∅ = ∅. 1.7. Відомо, що A ⊂ B. Замість знака * запишіть знак c або o так, щоб утворилася правильна рівність: 1) A * B = B; 2) A * B = A. 1.8. Використовуючи діаграми Ейлера, проілюструйте такі влас тивості операцій над множинами: 1) (A c B) c C = A c (B c C); 2) A o (B c C) = (A o B) c (A o C). 5

§ 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу

1.9. Використовуючи діаграми Ейлера, проілюструйте такі влас тивості операцій над множинами: 1) (A o B) o C = A o (B o C); 2) A c (B o C) = (A c B) o (A c C). 1.10. У класі 35 учнів. З них 20 відвідують математичний гурток, 11 — гурток з фізики, а 10 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки фізиків захоплюються математикою? 1.11. Квадрату, площа якого дорівнює 6 см2, належать три мно гокутники, площа кожного з яких дорівнює 3 см2. Доведіть, що серед цих многокутників знайдуться два, площа спільної частини яких не менша ніж 1 см2. 1.12. Яких п’ятицифрових чисел більше: тих, у яких цифри за писано у порядку зростання, чи тих, у яких цифри записано у порядку спадання? 1.13. Знайдіть область визначення виразу: 1)

1 ; 2x 2 − x − 1

1 2 x− x −1

;

x +1 . 1 1 − x 2x + 1

1.14. Побудуйте графік функції: 1) y =

x −1 9x 2 − 6x + 1 2x 2 + 5x + 2 . ; 2) y = ; 3) y = x −1 +1− x 3x − 1 x+2

1.15. Скоротіть дріб: 1) 2)

3x 2 − 10x + 3 ; x 2 − 4x + 3 3

4 2 3) a +2 9a + 25 ;

a +a+5

9x + 3x + 3x + 1 ; 3x 2 − 2x − 1

x + x70 + ... + x + 1 . x 23 + x 22 + ... + x + 1

1.16. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких є цілим чис лом значення виразу: 1)

2n + 11 ; n+3

1.17. Спростіть вираз: 1 1 + x (x + 4)

(x + 4) (x + 8)

n 3 − 3n 2 + 2n − 3 . n2 + 2

1 1 + . (x + 8) (x + 12) (x + 12) (x + 16)

1.18. Спростіть вираз: 1) 2)

(

)

2x 2x 4x 2 + 14x + : 2 ; 1 − 3y 3y + 1 9y + 1 − 6y 3

2y 2xy + 4y x −y  ; + 2y  4 − 2y − 2x + xy (x − y) (x 2 − 4) 

1. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу

(

1 1 2 + + a2 b2 a + b 1 1 + 2 a b + c 1+ b 4) 1 1 − a b+c

(

( 1a + 1b )) : (a ab+ b) ; 2

)

+ c2 − a2 . 2bc

1.19. Спростіть вираз: −1  x2   y2  − y  • x + 1)   ; x + y x−y   2)

( a8 + 61a + 13 )•( a12+a2 )

(

x y − y x

)(

x y + −2 y x

( xx ++ 79 ) + ( x −1

−1

•(3a + 2) −1;

)  (1 + ) −1

−2

y x   ; x x − y

x +7 x+5 + 2 + 81 − 18x x − 81

)( ) x+3 x−9

−2

1.20. Розв’яжіть систему нерівностей:  2x − 1 < 1 + 4x,  3x − 1 + x + 1 l 4x + 1 ,  3  4 3 4 2) 3x − 6 > −2 (1 − x), 1)    5x − 2 + x − 8 m x ; 3 (2x − 1) > 1 − 2x.  2 3 1.21. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність: 1) ax + 2 > x; 2) ax + a2 l 2x + 4. 1.22. Розв’яжіть нерівність: 1) (x + 1)2 (x – 2) l 0; 2) (x + 1) (x – 2)2 > 0;

3) | x2 – 4 | (x – 1) l 0; 4) | x2 – 9 | (x + 2) < 0.

1.23. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність: 1) | x2 – 4x + 3 | (x – a) l 0; 2) | x2 + 3x + 2 | (x – a) < 0. 1.24. Розв’яжіть рівняння: 1) | | x – 1 | – 1 | = 2; 2) | 2x – 1 | = x + 2;

4) | x – 4 | + | x + 1 | = 5; 5) | x + 2 | – | x – 1 | = 3;

3) | 3x – 2 | = | 2x – 3 |;

1.25. Розв’яжіть нерівність: 1) | 3x – 4 | < 2; 2) | x – 2 | < –2x;

x +1 − x −1 = 1. x

3) | 4x + 5 | > x + 8; 4) | x | – | x – 3 | m 2x. 7

§ 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу

1.26. Побудуйте графік функції: x 3 + 2x 2 ; 1) f (x) = x+2

2) f (x) =

x4 − x2 ; x2 − 1

x 2, ÿêùî x < 2,  3) f (x) =  1  2 x + 3, ÿêùî x l 2 .

1.27. Побудуйте графік рівняння: 1)

y − x2 = 0; x2 − x

y + x2 = 0; y+x

y2 − x 4 = 0. x2 − 1

1.28. Розв’яжіть рівняння: 1) x 2 − 3x + 2 + x 2 + x − 2 = 0; 3) (x 2 + 3x − 4) ( x − 2 ) = 0. 2) (x 2 − 4x + 3) x − 2 = 0; 1.29. Знайдіть усі пари чисел (x; y), які задовольняють рівняння: 1) x 2 − 4x + y − 2 = 0; 3) x + y + x 2 − 1 + y 2 − 1 = 0. x 2 − 6x + 5 + y 2 − y − 2 = 0;

1.30. Для кожного значення параметра a розв’яжіть рівняння: 1) (a − 1) x − 3 = 0; 3) (x 2 + 4x − 5) ( x − a ) = 0. 2) (x 2 − 4x + 3) x − a = 0; 1.31. Спростіть вираз: 1)

14 − 6 5 + 14 + 6 5 ;

43 + 6 50 − 43 − 6 50 ; 4)

1.32. Спростіть вираз: 1) a − 2 + 2 a − 3; 2)

2x − 2 x 2 − 4 , якщо x > 2;

2a − 4 + 2 a 2 − 4a + 3 − a − 1; x + 3 + 2 x + 2 −1

x+2

1.33. Спростіть вираз: 1)

(

a a +b b a+

b ) (a − b)

2 b a+

−

ab ; a−b

 a+ b  a+ b 2) a :  +b: ; 2 b a    2a b  8

6 − 17 − 12 2 ; 3 + 5 − 13 + 48 .

1. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу 2

1 + x 1 − x 1+x  1+x  − − 3)   −  ;  1+x 1+ x   1+x 1− x  4)

x+y − x− y

x−y x+ y

x− y + x+y

x+ y x−y

•

y−

xy + x

2 xy

1.34. Відомо, що x1 і x2 — корені рівняння 2x2 – x – 5 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1) x12 + x22;

x1 x2 + ; x2 x1

x12 x22 + . x2 x1

1.35. Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за відповідні корені рівняння x2 + 4x – 7 = 0. 1.36. При яких значеннях параметра a сума коренів рівняння x2 – (a2 + 2a) x – a = 0 дорівнює 3? 1.37. При яких значеннях параметра a добуток коренів рівняння x2 – 2ax + a2 – a = 0 дорівнює 2? 1.38. Розв’яжіть рівняння: 3 1 3 − = 2 1) 2 2

;

x − 9 9 − 6x + x 2x + 6x 2x − 7 1 1 − = ; 2) 2 x − 9x + 14 x 2 − 3x + 2 x − 1 x 2 − 3x − 6 8x − 2 = −2. 3) x x − 3x − 6

1.39. 1) 2) 3)

Розв’яжіть рівняння: (x – 1) (x – 7) (x – 4) (x + 2) = 40; (12x – 1) (6x – 1) (4x – 1) (3x – 1) = 5; (x + 6) (x + 3) (x – 1) (x – 2) = 12x2;

(

4) 7 x +

) (

)

1 1 − 2 x 2 + 2 = 9; x x

5) x4 – x3 – 10x2 + 2x + 4 = 0; 6) (x2 – x + 1)4 – 10x2 (x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0; 7) (x + 5)4 + (x + 3)4 = 2; 8) x 2 +

9x 2 = 7. (x + 3) 2

1.40. Доведіть, що при будь-якому цілому значенні n значення виразу n (n + 1) (2n + 1) кратне 6. 1.41. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n зна чення виразу

n n2 n3 + + є натуральним числом. 3 2 6

§ 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу

1.42. Чи існують такі натуральні числа n і k, що значення виразу 5n + 1 кратне значенню виразу 5k – 1? 1.43. Натуральне число n > 1 не ділиться націло ні на 2, ні на 3. Доведіть, що число n2 – 1 кратне 24. 1.44. Доведіть, що не існує такого натурального числа p, для якого числа p + 5 і p + 10 є простими. 1.45. Знайдіть усі пари натуральних чисел (m; n) таких, що m! + 12 = n2. 1.46. Знайдіть усі двоцифрові натуральні числа, будь-який на туральний степінь яких закінчується двома цифрами, що утворюють це двоцифрове число. 1.47. Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n дріб 2n 2 + 5n + 3 є нескоротним. 3n 2 + 10n + 8

1.48. Квадратний тричлен x2 + ax + b має цілі корені, більші за 2. Доведіть, що число a + b + 1 — складене. 1.49. Остання цифра десяткового запису числа n2 + 8n дорівнює 4. Яка передостання цифра в записі цього числа?

§ 2.

Доведення нерівностей

2. Основні методи доведення нерівностей Очевидно, що нерівності a2 l 0, –a2 – 1 < 0, | a | + | b | l 0, (a – b)4 l 0 виконуються при всіх значеннях змінних, які до них входять. Нерівність x2 – 8xy + 17y2 l 0 також виконується при будьяких значеннях змінних x і y, хоча цей факт не настільки оче видний. У його справедливості слід переконатися. У таких випадках говорять, що потрібно довести нерівність x2 – 8xy + 17y2 l 0. Маємо: x2 – 8xy + 17y2 = x2 – 8xy + 16y2 + y2 = (x – 4y)2 + y2. Вираз (x – 4y)2 + y2 набуває тільки невід’ємних значень. Отже, при будь-яких значеннях змінних x і y є правильною нерівність x2 – 8xy + 17y2 l 0. Для доведення нерівностей використовують різні прийоми. Наприклад, нерівність x2 – 8xy + 17y2 l 0 ми довели, виділивши квадрат двочлена. Розглянемо ще кілька прийомів доведення нерівностей. Метод різниці Цей прийом полягає в тому, що розглядають різницю лівої та правої частин нерівності і доводять, що ця різниця набуває зна чень постійного знака при будь-яких значеннях змінних. Приклад 1 Доведіть нерівність: a2b2 + a2 + b2 + 4 l 6ab. Розв’язання. Розглянемо різницю лівої і правої частин не рівності: a2b2 + a2 + b2 + 4 – 6ab = a2b2 – 4ab + 4 + a2 – 2ab + b2 = = (ab – 2)2 + (a – b)2. При будь-яких значеннях a і b ця різниця набуває тільки невід’ємних значень, отже, нерівність, що доводиться, є пра вильною. 11

§ 2. Доведення нерівностей

Приклад 2 Доведіть, що коли a > b > c, то a2 b2 + > a + 2b + c. a−b b−c

Розв’язання. Маємо:

(

) (

)

a2 b2 a2 b2 b2 c2 + − (a + 2b + c) = − (a + b) + − (b + c) = + . a−b b−c a−b b−c a−b b−c

Оскільки з умови a > b > c випливає, що a – b > 0, b – c > 0 і b + c2 ≠ 0, то 2

b2 c2 + > 0. a−b b−c

Метод спрощення нерівності У ряді випадків спрощення виразів, які утворюють нерівність, робить цю нерівність очевидною. Приклад 3 Доведіть нерівність: 1 1 1 + + ... + < 1, де n ∈ . n (n + 1) 1•2 2•3

Розв’язання. Маємо:

(

) (

)

(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1− + − + ... + − =1− . n (n + 1) n n +1 n +1 1•2 2•3 2 2 3

< 1 і стає Нерівність, що доводиться, набуває вигляду 1 − n +1 очевидною. Метод, у якому застосовуються міркування «від супротивного»  Приклад 4 Доведіть нерівність: a + b • b + a l a + a • b + b. Розв’язання. Нехай нерівність, що доводиться, є неправиль ною, тобто існують такі значення a і b, при яких є правильною нерівність

a + b • b + a < a + a • b + b . Звідси:

(a +

b ) (b + a ) < ( a + a ) (b + b ) ;

a a + b b < a b + b a; (a − b) ( a − b ) < 0. Остання нерівність є неправильною, оскільки при a l 0 і b l 0 різниці a – b і a − b мають однакові знаки або дорів нюють нулю. Отримана суперечність означає, що задана нерів ність є правильною. Метод застосування очевидної нерівності Цей прийом полягає в такому: задану нерівність отримують у результаті перетворення очевидної нерівності чи додавання або множення кількох очевидних нерівностей. 12

2. Основні методи доведення нерівностей

 Приклад 5 Доведіть нерівність: a2 + b2 + c2 l ab + bc + ca. Розв’язання. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0. 2 Звідси a – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 l 0; a2 + b2 + c2 l ab + bc + ca. Приклад 6 Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0, то (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc. Розв’язання. Для невід’ємних значень a, b і c виконуються такі три очевидні нерівності:

( ( (

a − b ) l 0, 2

b − c ) l 0, 2

c − a ) l 0. 2

Звідси a + b l 2 ab, b + c l 2 bc, c + a l 2 ca. Оскільки обидві частини кожної з цих нерівностей набувають невід’ємних значень, то можна застосувати теорему про почленне множення нерівностей. Маємо: (a + b) (b + c) (c + a) l 8 a 2b2c2 . Оскільки a l 0, b l 0, c l 0, то a 2b2c2 = abc. Отримуємо, що (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc. Приклад 7 Доведіть, що для будь-якого n ∈ , n l 2, викону ється нерівність: 1 1 1 1 + + ... + > . n +1 n +2 2n 2

Розв’язання. Оскільки з двох звичайних дробів з однаковими чисельниками більшим є той, у якого знаменник менший, то можна записати n очевидних нерівностей: 1 1 > ; n + 1 2n 1 1 > ; n + 2 2n

... 1 1 l . 2n 2n

§ 2. Доведення нерівностей

Застосовуючи теорему про почленне додавання нерівностей, отримаємо: 1 1 1 1 1 1 n 1 + + ... + > + + ... + = = . n +1 n +2 2n  2n 2 n  2 n 2n 2 n äîäàíê³â

Метод застосування раніше доведеної нерівності Нерідко раніше доведена нерівність може бути використана для доведення іншої, більш складної нерівності. ¾¾ Застосування нерівності a2 + b2 l 2ab Приклад 8 Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a+b b+c c+a 1 1 1 + + m + + . a b c a2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2

Розв’язання. Маємо: 1 1 a+b a+b m = + ; 2ab 2b 2a a2 + b2 1 1 b+c b+c m = + ; 2bc 2c 2b b2 + c2 1 1 c+a c+a m = + . 2ca 2a 2c c2 + a2

Звідси a+b b+c c+a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + m + + + + + = + + . 2b 2a 2c 2b 2a 2c a b c a2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2

¾¾ Застосування нерівності a2 + b2 + c2 l ab + bc + ac

Приклад 9 Доведіть нерівність a4 + b4 + c4 l abc (a + b + c). Розв’язання. Маємо: a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 l a2b2 + b2c2 + c2a2 = = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 l (ab) (bc) + (bc) (ca) + (ca) (ab) = = ab2c + bc2a + ca2b = abc (a + b + c). 2.1.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність: 1) (y + 5) (y – 2) l 3y – 10; 3) a (a – 2) l –1; 2) 8m2 – 6m + 1 m (3m – 1)2; 4) (b + 7)2 > 14b + 40. 2.2.° Доведіть нерівність: 1) (2a – 5)2 m 6a2 – 20a + 25; 2) a2 + 4 l 4a. 2.3.° Доведіть нерівність: 1) 2a2 – 8a + 16 > 0; 2) 4b2 + 4b + 3 > 0; 3) a2 + ab + b2 l 0; 4) 9x2 – 6xy + 5y2 l 0; 5) (3a + 2) (2a – 4) – (2a – 5)2 > 3 (4a – 12); 14

2. Основні методи доведення нерівностей

6) a (a – 3) > 5 (a – 4); 7) (a – b) (a + 5b) m (2a + b) (a + 4b) + ab. 2.4.° Доведіть нерівність: 1) 28a – 32 m 7a2 – 4; 2) 16x2 – 8xy + 2y2 l 0; 3) 3 (b – 1) < b (b + 1); 4) (4p – 1) (p + 1) – (p – 3) (p + 3) > 3 (p2 + p). 2.5.° Доведіть, що: 1) коли a l 6, то a3 – 6a2 + a – 6 l 0; 2) коли a l b, то ab (b – a) m a3 – b3. 2.6.° Доведіть, що коли x l 4, то x3 – 4x2 + 2x – 8 l 0. 2.7.° Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною не рівність

1 a2 m . a +1 2 4

a+b < b. 2 a+b+c < c. 2.9.° Доведіть, що коли a < b < c, то a < 3

2.8.° Доведіть, що коли a < b, то a <

2.10.° Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильною нерівність: 1) a2 + b2 + 6a – 4b + 13 l 0; 2) x2 – 2x + y2 + 10y + 28 > 0; 3) 2m2 – 6mn + 9n2 – 6m + 9 l 0; 4) a2 + b2 + c2 + 12 l 4 (a + b + c); 5) a2b2 + a2 + b2 + 1 l 4ab; 6) 2a2 + b2 + c2 l 2a (b + c). 2.11.° Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильною нерівність: 1) a2 + b2 – 16a + 14b + 114 > 0; 2) x2 + y2 + 10 l 6x – 2y; 3) c2 + 5d2 + 4cd – 4d + 4 l 0; 4) a2 + b2 + c2 l 2 (a + b + c) – 3.  2.12.° Доведіть, що коли a ∈ [0; 1], то a l a2.  2.13.° Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то a3 + b3 l a2b + b2a.  2.14.° Доведіть нерівність a4 + b4 l a3b + b3a.  2.15.° Доведіть, що:

a a+k < ; b b+k a a+k . 2) коли a l b > 0, k > 0, то l b b+k

1) коли 0 < a < b, k > 0, то

§ 2. Доведення нерівностей

2.16.• Доведіть, що при будь-яких значеннях x, y і z хоча б один з виразів x2 + 2xy + z2, y2 + 2yz + x2, z2 + 2zx + y2 набуває невід’ємних значень.  2.17.• Доведіть, що: 1) коли x m 1 і y m 1, то xy + 1 l x + y; 2) коли x l 1 і y l 1, то xy + 1 l x + y.  2.18.• Доведіть, що: 1)

a2 l 2a − b, де b > 0; b

a3 l 3a − 2b, де a > 0, b > 0. b2

2.19.• Доведіть, що коли x > 0 і y > 0, то

x3 + y3 x+y l . 2 x2 + y2

 2.20.• Доведіть нерівність an + 1 + bn + 1 l anb + bna, де n — непарне натуральне число.  2.21.• Для a > 0, b > 0 доведіть нерівність an + 1 + bn + 1 l l anb + bna, де n — парне натуральне число.  2.22.• Доведіть, що при b > 0 виконується нерівність a3 b la− . 2 a + b2 2

2.23.• Доведіть, що при a > 0 і b > 0 виконується нерівність 2 a b + m . 3 b + 2a a + 2b

 2.24.• Доведіть, що коли x > 0, y > 0, то

a2 b2 (a + b) 2 + l . x y x+y

 2.25.• Відомо, що x ∈ [0; 1] і y ∈ [0; 1]. Доведіть, що 1 1 2 + m . 1 + xy 1 + x2 1 + y2

2.26.• Доведіть нерівність a8 + a6 – 4a4 + a2 + 1 l 0. 2.27.• Доведіть нерівність x8 + x6 – 2x3 + x2 + 1 > 0. 2.28. • Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0 і d l 0, то (a + c) (b + d) l ab + cd.  2.29.• Доведіть, що при n ∈  виконується нерівність: 1 1 ; . 1) 2 n − 2 n − 1 > 2) 2 n + 1 − 2 n < n

2.30.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то 1 1 1 1 1 1 3 + + > + + > . a b c a+b b+c c+a a+b+c

2.31.• Доведіть, що коли x ∈ [0; 1] і y ∈ [0; 1], то y x + m 1. 1+ y 1+x

2. Основні методи доведення нерівностей a b a+b + > . 1+a 1+b 1+a +b

2.32.• Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то

2.33.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c + + > 1. a+b b+c c+a

2.34.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c + + < 2. a+b b+c c+a

2.35.• Доведіть нерівність a4 + b4 + c4 + d4 l 4abcd. 2.36.• Доведіть нерівність (a4b4 + 36) (4a4 + 9b4) l 144a4b4. 2.37.• Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то a (1 + b2) + b (1 + a2) l 4ab. 2.38.• Доведіть нерівність x4 + 4y4 + 5 l 8xy. 2.39.• Доведіть, що коли y l 0, то x4 + 4y3 + y + 2x2 + 1 l 8xy. 2.40.• Доведіть, що коли b l 0, то a4 + b3 + b + 1 l 4ab. 2.41.• Доведіть нерівність a2 + b2 + 1 l ab + b + a. 2.42.• Доведіть нерівність 4a2 + b2 + 1 l 2ab + 2a + b. 2.43.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то 1 1 1 + + l a b c

1 1 + + ab bc

1 . ca

2.44.• Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0, то a + b + c l ab + bc + ca.

( ab ) + ( bc ) + ( ac ) l ac + bc + ab . a b c a b c 2.46. Доведіть нерівність ( ) + ( ) + ( ) l + + . b c a b c a 2.45.• Доведіть нерівність •

2.47.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то bc ac ab + + l a + b + c. a b c

2.48.•• Відомо, що a2 + b2 + c2 = 1. Доведіть, що (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 m 3. 2.49.•• Відомо, що xy l 2. Доведіть, що (x – 2)2 + (y + 2)2 l 8. 2.50.•• Доведіть нерівність a2 + b2 + ab l 3 (a + b – 1). 2.51.•• Доведіть, що при будь-яких значеннях a, b і c хоча б одна з нерівностей a − b2 m

1 1 1 , b − c2 m , c − a 2 m є правильною. 4 4 4

2.52.•• Доведіть, що при будь-яких додатних значеннях a, b і c хоча б одна з нерівностей a (1 − b) m є правильною. 17

1 1 1 , b (1 − c) m , c (1 − a) m 4 4 4

§ 2. Доведення нерівностей

2.53.•• Доведіть, що коли x > 0 і y > 0, то

y x 1 + m . xy x 4 + y2 y4 + x2

2.54.•• Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то y2 x2 z2 + 2 + 2 l 1. x + 2yz y + 2xz z + 2xy 2

2.55.•• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і

1 1 1 + + = 1, то a b c

a b c 1 + + m . 2 a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a2

2.56.•• Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і ab + bc + ac l a + b + c. Доведіть, що a + b + c l 3. 2.57.•• Відомо, що a > 0, b > 0 і ab l a + b. Доведіть, що a + b l 4. 2.58.•• Доведіть, що коли x ∈ [0; 1] і y ∈ [0; 1], то (x + y + 1)2 l 4 (x2 + y2). 2.59.•• Доведіть нерівність

1 1 1 + + ... + < 2, де n ∈ . n +1 n +2 3n + 1

2.60.* Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0 і xyz = 1, то xy 2 yz2 zx 2 + 3 + 3 l 1. 3 x +2 y +2 z +2

2.61.* Доведіть нерівність a2 + b2 + c2 + d2 + e2 l (a + b + c + d) e. 2.62.* Доведіть нерівність (n!)2 l nn, де n ∈ . 2.63.* Доведіть нерівність

n 1 2 + + ... + < 1, де n ∈ . (n + 1) ! 2! 3!

2.64.* Доведіть нерівність 1•1! + 2•2! + ... + n•n! < (n + 1)!, де n ∈ . 1 1 1 + + ... + < 1, де n ∈ . (n + 1) 2 2 2 32 1 3 5 2n − 1 1 < , де n ∈ . 2.66.* Доведіть нерівність • • • ... • 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n − 1 1 > , де n ∈ , n > 1. 2.67.* Доведіть нерівність • • • ... • 2 4 6 2n 2 n

2.65.* Доведіть нерівність

2.68.* Доведіть нерівність 1 + 1+ 2

1 3+

+ ... +

1 2n − 1 +

2n + 1 − 1 , де n ∈ . 2

2n , де n ∈ . 2

2.69.* Доведіть нерівність 1 + 1+ 2

1 3+

+ ... +

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського

Значення виразів

a2 + b2 a + b , , 2 2

ab,

2 називають від 1 1 + a b

повідно середнім квадратичним, середнім арифметичним, серед нім геометричним, середнім гармонічним чисел a і b. Ці величини називають «середніми», оскільки при 0 < a m b виконуються нерівності: am

a2 + b2 a+b m b, a m m b, a m 2 2

ab m b, a m

2 m b. 1 1 + a b

Зв’язок між «середніми» виражають такі три теореми. Т е о р е м а 3.1. При будь-яких значеннях a і b виконується нерівність a2 + b2 a+b l . 2 2

(*)

Д о в е д е н н я. Маємо:

a2 + b2 l 2ab; 2a2 + 2b2 l 2ab + a2 + b2; 2a2 + 2b2 l (a + b)2; a2 + b2 (a + b) 2 l ; 2 4 a2 + b2 l 2

(a + b) 2 ; 4

a+b a2 + b2 l . 2 2 a2 + b2 a+b l .  2 2

Оскільки | a + b | l a + b, то

Зауважимо, що в нерівності (*) рівність досягається тоді й тіль ки тоді, коли a = b і a l 0. Доведіть цей факт самостійно. Т е о р е м а 3.2 (н е р і в н і с т ь К о ш і д л я д в о х ч и с е л). При будь-яких невід’ємних значеннях a і b виконується нерівність

a+b l 2

ab .

(**)

Д о в е д е н н я. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерів ності: 19

§ 2. Доведення нерівностей a+b − 2

ab =

a + b − 2 ab = 2

(

a − b) . 2 2

При будь-яких невід’ємних значеннях a і b ця різниця на буває невід’ємних значень. Отже, нерівність, що доводиться, є правильною.  Зауважимо, що в нерівності (**) рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = b і a l 0. Доведіть цей факт самостійно. Н а с л і д о к. Якщо a > 0, то a +

1 1 l 2, причому a + = 2 a a

тоді й тільки тоді, коли a = 1. Д о в е д е н н я. До додатних чисел a і

1 застосуємо нерівність a

Коші: a+ 2

1 a l

a•

1 1 = 1. Звідси a + l 2. a a

Рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = ванням того, що a > 0, отримуємо a = 1. 

1 . З ураху a

При розв’язуванні цілої низки задач у попередньому пункті, а також при доведенні теореми 3.1 ми використовували нерів ність a2 + b2 l 2ab. Цю нерівність також можна розглядати як наслідок з нерівності Коші. Справді, оскільки a2 l 0 і b2 l 0, то можна записати a2 + b2 l 2

a 2b2 . Звідси a 2 + b2 l 2 a 2b2 = 2 ab l 2ab.

Т е о р е м а 3.3. Якщо ab > 0, то ab l

2 . 1 1 + a b

Д о в е д е н н я. Якщо a < 0 і b < 0, то

(***) 2 < 0 і 1 1 + a b

ab > 0.

У цьому разі нерівність, що доводиться, стає очевидною. Нехай a > 0 і b > 0. Застосуємо нерівність Коші до додатних чисел

1 1 і : a b 1 1 + a b l 2

1 1 • = a b

1 . ab

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського

Оскільки обидві частини цієї нерівності при a > 0 і b > 0 на бувають додатних значень, то справедливою є така нерівність: 2 m 1 1 + a b

ab. 

Зауважимо, що в нерівності (***) рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = b і a > 0. Доведіть цей факт самостійно. Теореми 3.1–3.3 дозволяють дійти висновку, що при a > 0 і b > 0 є справедливим такий ланцюжок нерівностей: a2 + b2 a+b l l 2 2

ab l

2 1 1 + a b

Проілюструємо застосування теорем 3.1–3.3 на прикладах. Приклад 1 Доведіть нерівність x 2 + (1 − y)2 + (1 − x)2 + y 2 l 2. Розв’язання. Скориставшись нерівністю (*), можна записати: x 2 + (1 − y)2 = 2 •

x 2 + (1 − y) 2 l 2

2•

x +1− y ; 2

(1 − x)2 + y 2 = 2 •

(1 − x) 2 + y 2 l 2

2•

1−x + y . 2

Звідси x 2 + (1 − y)2 + (1 − x)2 + y 2 l 2

( x + 21 − y + 1 − x2 + y ) =

Приклад 2 Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то

(a + 1b ) (b + 1a ) l 4.

Розв’язання. Застосовуючи нерівність Коші, можна записати: a+ 2 b+ 2

Звідси a +

1 b l 1 a l

a ; b b . a

a b 1 1 l 2 , b + l 2 . Тоді b b a a

(a + 1b ) (b + 1a ) l 4 21

a b • = 4. b a

§ 2. Доведення нерівностей

Приклад 3 Знайдіть найбільше значення виразу ab, якщо відо мо, що a > 0, b > 0 і 2a + b = 3. Розв’язання. Маємо: ab m

3 2a + b = l 2 2

2ab. Звідси

3 2

2ab m ;

9 . 8

Остання нерівність ще не дозволяє зробити висновок, що най 9 . Необхідно також пока 8 9 зати, що існують такі значення a і b, при яких ab = . 8

більше значення виразу ab дорівнює

У записаній нерівності Коші для чисел 2a і b рівність досяга ється лише тоді, коли 2a = b. Тепер потрібні значення a і b можна знайти, розв’язавши систему 2a = b,  2a + b = 3. Звідси a =

3 3 , b= . 4 2

Отже, найбільше значення виразу ab дорівнює

9 . 8

Приклад 4 Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a4 b4 c4 + + l a 2 + b2 + c2. bc ca ab

Розв’язання. Маємо:

a4 a4 + bc l 2 •bc = 2a 2. Звідси bc bc a4 l 2a 2 − bc. bc

Міркуючи аналогічно, отримуємо, що b4 l 2b2 − ca; ca c4 l 2c2 − ab. ab

Застосувавши теорему про почленне додавання нерівностей, отримуємо: a4 b4 c4 + + l 2a 2 + 2b2 + 2c2 − ab − bc − ca = bc ca ab

= (a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) l a2 + b2 + c2. Тут ми скористалися тим, що a2 + b2 + c2 l ab + bc + ca (див. приклад 5 п. 2). Приклад 5 Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0. Доведіть нерівність a b c 3 + + l . b+c c+a a+b 2

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського

Розв’язання. Введемо позначення: b + c = 2x, c + a = 2y, a + b = 2z. Звідси a + b + c = x + y + z, a = y + z – x, b = x + z – y, c = x + y – z. Маємо:

y+z−x x+z−y x+y−z a b c + + = + + = 2x 2y 2z b+c c+a a+b x z x y 1 y x = + −1+ + −1+ + −1 = y y z z 2 x z

(

) (

)

1 x y 1 y z 1 x z 3 + + + + + − l 2 y x 2 z y 2 z x 2 1 1 1 3 3 3 l •2 + •2 + •2 − = 3 − = . 2 2 2 2 2 2

Приклад 6 Доведіть, що коли x l 1, y l 1, z l 1 і то

1 1 1 3 + + = , x y z 2

x − 1 + y − 1 + z − 1 l 3. Розв’язання. Запишемо нерівність (***) у такому вигляді:

ab l

2ab . a+b

Маємо:

x − 1 = (x − 1) •1 l

2 (x − 1)•1 2x − 2 2 = =2− . x −1+1 x x

Міркуючи аналогічно, отримуємо, що y −1 l 2 −

2 , y

2 z 2 2 2 3 z −1 l 6 − + + = 6 − 2• = 3. x y z 2

z −1 l 2 − .

Тоді

x −1 + y −1 +

(

)

Т е о р е м а 3.4 (н е р і в н і с т ь К о ш і — Б у н я к о в с ь к о г о). При будь-яких значеннях a1, a2, ..., an, b1, b2, ... , bn виконується нерівність (a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) 2 m (a12 + a22 + ... + an2 ) (b12 + b22 + ... + bn2 ). Л е м а. Якщо квадратний тричлен ax2 + bx + c, де a > 0, при всіх значеннях x набуває невід’ємних значень, то його дискримінант D недодатний. Д о в е д е н н я. Припустимо, що для даного квадратного три члена D > 0. Тоді квадратний тричлен має два різні корені x1 і x2 і можна записати ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2). За умовою a (x – x1) (x – x2) l 0 при будь-якому значенні змінної x, а отже, і при x =

x1 + x2 . 2

§ 2. Доведення нерівностей

Огюстен Луї Коші (1789–1857) Видатний французький математик, автор понад 800 наукових праць.

Маємо: a

(

x1 + x2 − x1 2

)(

Віктор Якович Буняковський (1804–1889) Видатний математик ХІХ ст. Народився на Віннич чині. Протягом багатьох років був віце-президентом Петер бурзької академії наук.

)

x1 + x2 − x2 l 0. Звідси 2

a (x2 – x1) (x1 – x2) l 0. (1) Оскільки a > 0 і (x2 – x1) (x1 – x2) < 0, то нерівність (1) є неправильною. Отже, припущення про те, що D > 0, також не правильне.  Д о в е д е н н я т е о р е м и. Якщо a1 = a2 = ... = an = 0, то не рівність, що доводиться, є очевидною. Розглянемо випадок, коли хоча б одне з чисел a1, a2, ..., an не дорівнює 0. При будь-якому значенні змінної x виконується нерівність (a1x – b1)2 + (a2x – b2)2 + ... + (anx – bn)2 l 0. Цю нерівність можна перетворити до такого вигляду:

( a12 + a22 + ... + an2 ) x2 − 2 (a1b1 + a2b2 + ... + anbn) x + b12 + b22 + ... + bn2 l 0. Ліва частина останньої нерівності — це квадратний тричлен з додатним старшим коефіцієнтом. Цей квадратний тричлен на буває невід’ємних значень при будь-яких значеннях змінної x. Отже, за лемою його дискримінант D недодатний. 24

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського

Маємо: D = 4 (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 − 4 ( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... + bn2 ) . Оскільки D m 0, то (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 m ( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... + bn2 ) .  Якщо a1 = a2 = ... = an = 0, то рівність у нерівності Коші— Буняковського досягається при будь-яких значеннях b1, b2, ..., bn. Розглянемо випадок, коли хоча б одне з чисел a1, a2, ..., an не дорівнює 0. Покажемо, що в нерівності Коші—Буняковського рівність досягається тоді й тільки тоді, коли існує таке число k, що ви конуються рівності b1 = ka1, b2 = ka2, ..., bn = kan. (2) Легко показати (зробіть це самостійно), що коли виконується умова (2), то нерівність Коші—Буняковського перетворюється на рівність. Доведемо обернене твердження. Нехай (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 = ( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... + bn2 ) . Це означає, що квадратне рівняння ( a + a22 + ... + an2 ) x2 − 2 (a1b1 + a2b2 + ... + anbn) x + b12 + b22 + ... + bn2 = 0 2 1

має єдиний корінь. Нехай цей корінь дорівнює k. Тоді число k є коренем рівняння (a1x – b1)2 + (a2x – b2)2 + ... + (anx – bn)2 = 0. Отже, виконуються рівності a1k = b1, a2k = b2, ..., ank = bn.  Приклад 7 Доведіть нерівність (a1 + a2 + ... + an )2 m n ( a12 + a22 + ... + an2 ) . Розв’язання. Застосовуючи нерівність Коші—Буняковського, запишемо: (a1 + a2 + ... + an)2 = (a1•1 + a2•1 + ... + an•1)2 m 2 m ( a12 + a22 + ... + an2 ) (1 + 12  + ... + 12) = n ( a12 + a22 + ... + an2 ) .   n äîäàíê³â

З доведеної нерівності можна отримати таку нерівність: a12 + a22 + ... + an2 a + a2 + ... + an l 1 . n n

Вирази, записані в лівій і правій частинах цієї нерівності, називають відповідно середнім квадратичним і середнім ариф метичним чисел a1, a2, ..., an. Ця нерівність є узагальненням нерівності (*). 25

§ 2. Доведення нерівностей

Приклад 8 Для додатних чисел a, b і c доведіть нерівність: (a 3 + b3 + c3)

( 1a + 1b + 1c ) l (a + b + c) . 2

 ; ; Розв’язання. До наборів чисел ( a a; b b; c c ) і   b c  a застосуємо нерівність Коші—Буняковського: 2 2 2 2 2 2 ( a a ) + ( b b ) + ( c c )   1  +  1  +  1   l  a   b   c   1

(

)

a a b b c c  l + +  . b c   a Звідси (a 3 + b3 + c3)

( 1a + 1b + 1c ) l (a + b + c) . 2

Приклад 9 Розв’яжіть рівняння 3x + x 2 − 3x + 1 = 2 x − 1 . Розв’язання. Перепишемо ліву частину рівняння так: 3 • x + 1• x 2 − 3x + 1.

До наборів ( 3; 1) і ( x; x 2 − 3x + 1 ) застосуємо нерівність Коші—Буняковського:

(

3 • x + 1• x 2 − 3x + 1 ) m 2

Звідси

(

((

3 ) + 12 2

) ((

)

x ) + ( x 2 − 3x + 1 ) . 2

3x + x 2 − 3x + 1 ) m 4 (x 2 − 2x + 1); 2

3x + x 2 − 3x + 1 m 2 x − 1 ; 3x + x 2 − 3x + 1 m 2 x − 1 . У цій нерівності рівність досягається тоді й тільки тоді, коли існує таке число k, що  3 = k x, x x 2 − 3x + 1 = . . Звідси  1 3 1 = k x 2 − 3x + 1. Отримане рівняння рівносильне заданому.  x = x 2 − 3x + 1, 3x 2 − 10x + 3 = 0, x = 3,   Маємо:  3  x = 1 . l ; x 0  x l 0;  3 Відповідь: 3;

1 . 3

3.1.° Доведіть, що коли m > 0, x > 0, y > 0, то mx +

y l 4m

xy.

3.2.° Відомо, що xy = 1, x > 0, a > 0, b > 0. Доведіть нерівність ax + by l 2 ab. 26

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського a 25b 5 + l . 16b a 2 y 3x 2 + l . 3.4.° Для додатних чисел x і y доведіть нерівність y 27x 3

3.3.° Для додатних чисел a і b доведіть нерівність

3.5.° Доведіть нерівність (x + y) (xy + 16) l 16xy, де x l 0, y l 0. 3.6.° Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то (a + b)

( 1a + 1b ) l 4.

3.7.° Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то (a3 + b) (b3 + a) l 4a2b2. 3.8.° Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то

1 bc

) (b

1 ca

) (c

)

1 l 8. ab

3.9.° Доведіть, що коли x l 0, y l 0, то (x + 1) (y + 1) (xy + 1) l 8xy. a2 + 4 l 2 x2 + 6 l 3.11.° Доведіть нерівність 4

3.10.° Доведіть нерівність

a 2 + 3. x 2 + 2.

(

3.12.° При a > 0 доведіть нерівність 2 a +

)

1 + a 2 l 4a. a

1 l 1. x2 + 1 1 1 + > 1. 3.14.° Доведіть нерівність a 2 + b2 + 2 a + 2 b2 + 1

3.13.° Доведіть нерівність x 2 +

3.15.° Відомо, що a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1. Доведіть, що | ac + bd | m 1. 3.16.° Відомо, що a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1. Доведіть, що | ac – bd | m 1. 3.17.° Доведіть нерівність

1 + a 2 • 1 + b2 l 1 + ab .

3.18.° Дано: a2 + b2 + c2 = 1, x2 + y2 + z2 = 1. Доведіть, що –1 m m ax + by + cz m 1. 3.19.° Дано: a2 + b2 + c2 = 1, x2 + y2 + z2 = 3. Доведіть, що − 3 m ax + by + cz m 3. 3.20.• Доведіть, що коли добуток двох додатних чисел є сталим, то їх сума буде найменшою тоді, коли ці числа рівні. 3.21.• Доведіть, що коли сума двох додатних чисел є сталою, то їх добуток буде найбільшим тоді, коли ці числа рівні. 3.22.• Відомо, що x > 0 і xy = 12. Знайдіть найменше значення виразу x + 3y. 3.23.• Знайдіть найменше значення виразу 5a + 2b, якщо a > 0 і ab = 10. 27

§ 2. Доведення нерівностей

3.24.• Знайдіть найбільше значення виразу xy, якщо x > 0, y > 0 і x + 3y = 6. 3.25.• Відомо, що a > 0, b > 0 і 3a + 4b = 24. Знайдіть найбільше значення виразу ab. 3.26.• Знайдіть найменше значення виразу x 2 +

16 . x2

3.27.• Відомо, що x > 0. Знайдіть найменше значення виразу x 2 + 10x + 16 . x x , якщо x > 0. 9x 2 + 1 x . 3.29.• Знайдіть найбільше значення виразу 4x 2 + 3x + 1 a2 + 2 •

3.28.• Знайдіть найбільше значення виразу

3.30. Доведіть нерівність

3.31.• Доведіть нерівність 3.32.• Доведіть нерівність

a2 + 1

l 2.

a2 + 5 1 < . 2 a2 + 6 2 a +3 a2 + 2

> 2.

3.33.• Відомо, що a1 > 0, a2 > 0, ..., an > 0, a1a2...an = 1. Доведіть нерівність (1 + a1) (1 + a2) ... (1 + an) l 2n. 3.34.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то b+c c+a a+b + + l 6. a b c

3.35.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то a b c d + + + l 4. b c d a

3.36.• Для додатних чисел a і b доведіть нерівність a2 + 1 b2 + 1 + l 4. b a

3.37.• Для додатних чисел a і b доведіть нерівність (a + 1) 2 (b + 1) 2 + l 8. b a

3.38.• Відомо, що a ∈ [0; 1], b ∈ [0; 1], a + b l ність

(1 − a) (1 − b) m

3 . 4

1 . Доведіть нерів 2

3.39. • Відомо, що | a | m 1 і | b | m 1. Доведіть нерівність ab + (1 − a 2) (1 − b2) m 1. 28

3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського

3.40.• Відомо, що a + b = 1. Доведіть, що a 2 + b2 l

1 . 2

3.41.• Відомо, що a + b = 2. Доведіть, що a4 + b4 l 2. 3.42.• Доведіть, що коли a4 + b4 = 2, то | a + b | m 2. 3.43.• Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і a + b + c = 1. Доведіть не рівність

ab bc ca 1 + + m . a+b b+c c+a 2

3.44.• Доведіть, що a 1 − b2 + b 1 − a 2 m 1. 3.45.• Доведіть, що коли x + y + z = 1, то x 2 + y 2 + z2 l 3.46.• Відомо, що a1 + a2 + ... + an = n. Доведіть, що

1 . 3

a12 + a22 + ... + an2 l n. 3.47.• Доведіть, що коли a2 + b2 + c2 = 1, то a + b + c m 3. 3.48.• Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 3x + 4y, якщо x2 + y2 = 1. 3.49. • Знайдіть найменше значення виразу a 2 + b 2, якщо 5a – 12b = 13. 3.50.• Доведіть нерівність (1 + a + a2 + a3)2 m 4 (1 + a2 + a4 + a6). 3.51.• Доведіть нерівність (a 4 + b 4 + c 4 ) •

(

)

1 1 1 + + l (a + b + c)2. a 2 b2 c2

3.52. Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то (a + b + c)

( 1a + 1b + 1c ) l 9.

3.53.• Для додатних чисел a1, a2, ..., an доведіть, що 1 1 1 (a1 + a2 + ... + an )  + + ... +  l n 2. a a a  1 2 n  3.54.•• Доведіть нерівність (a + c) (b + d) m a 2 + b2 • c2 + d2 + c2 + b2 • a 2 + d2 . 3.55.•• Доведіть, що коли a + b + c = 3, то 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1 m 6. 3.56.•• Доведіть нерівність

2a + 5 + a − 3 + 25 − 3a < 9.

••

3.57. Розв’яжіть рівняння 2 x − 1 + 5x = (x 2 + 4) (x + 24). 3.58.•• Доведіть, що коли x2 + y2 + z2 = 44, то | 3x – y + z | m 22. 3.59.•• Відомо, що x2 + 3y2 + z2 = 2. Доведіть нерівність 2x + y − z m 4 29

2 . 3

§ 2. Доведення нерівностей

3.60.•• Доведіть, що коли a > 1 і b > 1, то 3.61.•• Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то

a + b −1

b l 4. a −1

a+b l a b + b a. 2

(a + b)

3.62.•• Відомо, що a > 0, b > 0 і a + b = 1. Доведіть, що

(

1 b

) + (b + 1a ) 2

25 . 2

3.63.•• Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то

a 2 + 1 + b2 + 1 l 2 a + b. 3.64.* Доведіть нерівність (a + b − 1)2 + 2c2 + (b + c − 1)2 + 2a 2 + (c + a − 1)2 + 2b2 l 3. 3.65.* На сторонах AB, BC, CD і DA квадрата ABCD відповідно позначили точки M, N, P і Q. Доведіть, що периметр чотири кутника MNPQ не менший від суми діагоналей квадрата. 3.66.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і a + b + c = 1, то (1 + a) (1 + b) (1 + c) l 8 (1 – a) (1 – b) (1 – c). 3.67.* Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність y2 x2 z2 1 + + l (x + y + z). y+z z+x x+y 2

3.68.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то 1 1 4 16 64 + + + l . a b c d a+b+c+d

3.69.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a + b+c

b + c+a

c > 2. a+b

4. Ефективні прийоми доведення нерівностей

Матеріал двох попередніх пунктів переконує нас у тому, що найбільш ефективним методом доведення нерівностей є застосу вання раніше доведеної нерівності. Якщо за допомогою деякої нерівності можна довести цілу низку інших більш складних нерівностей, то таку нерівність на зиватимемо ключовою. Так, нерівності a2 + b2 l 2ab, a2 + b2 + c2 l l ab + bc + ac, нерівності між середніми величинами, нерівність Коші—Буняковського, безумовно, можна віднести до ключових нерівностей. 30

Коли зроблено уроки

У цьому пункті ви ознайомитесь ще з кількома ключовими нерівностями. У задачі 2.18 ви довели нерівність a2 l 2a − b, де b > 0 b

(*)

Зауважимо, що в нерівності (*) рівність досягається лише при a = b. Покажемо, що цю просту нерівність можна віднести до ключових. Приклад 1 (приклад 2 п. 2) Доведіть, що коли a > b > c, то a2 b2 + > a + 2b + c. a−b b−c

Розв’язання. З умови випливає, що a – b > 0 і b – c > 0. Тоді a2 l 2a − (a − b) = a + b, a−b b2 l 2b − (b − c) = b + c. b−c

Зауважимо, що рівності a = a – b і b = b – c виконуються од ночасно лише за умови b = c = 0. Тому в записаних нерівностях рівність одночасно досягатися не може. Звідси

a2 b2 + > a + b + b + c = a + 2b + c. a−b b−c

Приклад 2 (приклад 4 п. 3) Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, a4 b4 c4 + + l a 2 + b2 + c2. то bc ca ab Розв’язання. Маємо: (a 2)2 a4 = l 2a 2 − bc, bc bc (b2)2 b4 = l 2b2 − ac, ac ac (c2)2 c4 = l 2c2 − ab. ab ab Звідси

a4 b4 c4 + + l 2a 2 + 2b2 + 2c2 − ab − bc − ca = bc ca ab

= (a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) l a2 + b2 + c2. Приклад 3 (3.671) Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність y2 x2 z2 1 + + l (x + y + z). y+z z+x x+y 2 1

У задачі 3.67 цю нерівність було запропоновано довести за допомогою нерівності Коші—Буняковського або нерівності Коші.

§ 2. Доведення нерівностей

Розв’язання. Якщо нерівність (*) застосувати таким чином: x2 l 2x − y − z, y+z y2 l 2y − z − x, z+x

z2 l 2z − x − y, x+y то отримаємо y2 x2 z2 + + l 2x − y − z + 2y − z − x + 2z − x − y = 0. y+z z+x x+y

Але для такого результату не потрібне застосування будь-яких ключових задач. Проте це не означає, що нерівність (*) незастосовна для даного прикладу. Маємо:

x2 1 (2x) 2 1 = • l (4x − y − z). y+z 4 y+z 4

Аналогічно показуємо, що y2 1 l (4y − z − x), z+x 4 z2 1 l (4z − x − y). x+y 4

Тепер за допомогою теореми про почленне додавання нерівно стей отримуємо потрібний результат. Нерівність (*) можна узагальнити. Насправді є справедливою така нерівність: (n − k)

an l na n − k − kb n − k, де n ∈ , k ∈ , n l k, a > 0, b > 0. bk

Окремий випадок цієї нерівності, коли n = k + 1, а саме не рівність ak +1 l (k + 1) a − kb, де k ∈ , a > 0 і b > 0 bk

(**)

ви зможете довести в п. 24 (задача 24.17). Зазначимо, що в задачі 2.18 ви довели цю нерівність для n = 2: a3 l 3a − 2b, де a > 0 і b > 0 b2

Коли зроблено уроки

Приклад 4 Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a2 b3 c4 + 2 + 3 l − a + 2b + 2c. b c a

Розв’язання. Застосувавши нерівність (**), запишемо: a2 l 2a − b, b b3 l 3b − 2c, c2 4 c l 4c − 3a. a3

Залишилося застосувати теорему про почленне додавання не рівностей. У задачі 2.24 ви довели таку нерівність: a2 b2 (a + b) 2 + l , де x > 0, y > 0 x y x+y

Застосовуючи цю нерівність, нескладно довести нерівність: a 2 b2 c2 (a + b + c) 2 + + l , де x > 0, y > 0, z > 0 x y z x+y+z

Маємо:

(***)

a 2 b2 c2 (a + b) 2 c 2 (a + b + c) 2 + + l + l . x y z x+y z x+y+z

Нерівність (***) є ключем до розв’язання цілої низки непро стих задач. Розглянемо приклади її застосування. Насамперед покажемо, як, використовуючи нерівність (***), можна довести вже відому вам (див. задачу 3.67 і приклад 3 цього пункту) нерівність. Приклад 5 Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність y2 x2 z2 1 + + l (x + y + z). y+z z+x x+y 2

Розв’язання (x + y + z) 2 (x + y + z) 2 y2 1 x2 z2 + + l = = (x x + y + z). y+z z+x x+y y + z + z + x + x + y 2 (x + y + z) 2

Приклад 6 Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то b c a + + l 1. 2a + b 2b + c 2c + a

Розв’язання b c a b2 c2 a2 + + = + + l 2 2 2a + b 2b + c 2c + a 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2

§ 2. Доведення нерівностей

(a + b + c) 2 (a + b + c) 2 = = 1. 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac (a + b + c) 2 2

Приклад 7 Для додатних чисел x, y, z доведіть нерівність 2 2 2 9 + + l . x+y y+z z+x x+y+z

Розв’язання.

 12 2 2 2 12 12  + + = 2 + + l x+y y+z z+x x + y y + z z +x  l 2•

9 (1 + 1 + 1) 2 = . x+y+y+z+z+x x+y+z

Після того як за допомогою задачі 2.24 ми довели нерівність (***), природно висунути припущення, що має місце така нерівність: x12 x22 x2 (x + x2 + ... + xn ) 2 + + ... + n l 1 , y1 y2 yn y1 + y2 + ... + yn

де y1, y2, ..., yn — додатні числа. Ви навчитеся доводити такі нерівності в п. 24 (див. задачу 24.12). Якщо в останній нерівності покласти x1 = a1b1, x2 = a2b2, ..., xn = anbn, y1 = b12, y2 = b22, ..., yn = bn2, то отримаємо: a12b12 a22b22 a 2b 2 (a b + a b + ... + anbn ) 2 + 2 + ... + n 2 n l 1 1 2 2 22 . 2 b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn2

Звідси a12 + a22 + ... + an2 l

(a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 , b12 + b22 + ... + bn2

( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... + bn2 ) l (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)2. Таким чином, отримано ще один спосіб доведення нерівності Коші—Буняковського. 4.1.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a 2 b2 c2 + + l a + b + c. b c a

4.2.• (2.54) Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то y2 x2 z2 + 2 + 2 l 1. x + 2yz y + 2xz z + 2xy 2

4.3.• Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a4 b4 c4 + + l a + b + c. b3 c3 a 3

4.4.•• Для додатних чисел x, y і z доведіть нерівність x 3 y 3 z3 + + l x 2 + y 2 + z2. y z x

4.5.•• Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0. Доведіть нерівність a2 b2 c2 a+b+c + + l . 3 b + 2c c + 2a a + 2b

Коли зроблено уроки

4.6.•• Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a3 b3 c3 a 2 + b2 + c2 + + l . 2 b+c c+a a+b

4.7.•• Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і d > 0. Доведіть нерівність a2 b2 c2 d2 a+b+c+d + + + l . 3 b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c

4.8.•• Дано: a > 0, b > 0, c > 0, a2 + b2 + c2 = 3. Доведіть, що: 1 1 1 3 + + l . 1 + ab 1 + bc 1 + ac 2

4.9.•• Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то y 1 x z + + l . 2 x + 2y + 3z y + 2z + 3x z + 2x + 3y

4.10.•• (приклад 5 п. 3) Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c 3 + + l . b+c c+a a+b 2

4.11.* Відомо, що x ∈ [0; 1], y ∈ [0; 1], z ∈ [0; 1]. Доведіть не рівність (x + 1) (y + 1) (z + 1) l 8 (x + y) (y + z) (z + x). 4.12.* Відомо, що x ∈ [0; 1], y ∈ [0; 1], z ∈ [0; 1]. Доведіть нерів ність y x z + + m 1. 2 + yz 2 + zx 2 + xy

4.13.* Відомо, що x ∈ [0; 1], y ∈ [0; 1], z ∈ [0; 1]. Доведіть нерів ність 1 1 1 3 + + m . x+y+z 1 + x + yz 1 + y + xz 1 + z + xy

4.14.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то 1 1 1 1 + + m . abc a 3 + b 3 + abc b 3 + c 3 + abc c 3 + a 3 + abc

4.15.* Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0 і a + b + c = 1, то a (b3 + c3) + b (c3 + a3) + c (a3 + b3) l 2abc. 4.16.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і abc = 1, то 1 1 1 1 1 1 + + m + + . a+b b+c c+a a (b 3 + c 3 ) b (c 3 + a 3 ) c (a 3 + b 3 )

4.17.* Для додатних чисел a, b і c доведіть нерівність a3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 + + l a + b + c. a2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2 a3 b3 c3 a+b+c + 2 + 2 l , 4.18.* Доведіть нерівність 2 2 2 2 a +b b +c c + a2

де a > 0, b > 0, c > 0. 35

§ 2. Доведення нерівностей

4.19.* Відомо, що x ∈ [0; 1], y ∈ [0; 1], z ∈ [0; 1]. Доведіть, що: 1 1 1 1 1 1 + + l + + . 1 + xy 1 + yz 1 + zx 1 + x 2 1 + y 2 1 + z2 1 1 1 1 + + + ... + < 2 n, де n ∈ . n 1 2 3 1 1 1 1 + + + ... + > 2 n + 1 − 2, 4.21.* Доведіть нерівність n 1 2 3

4.20.* Доведіть нерівність

де n ∈ .

Відповіді та вказівки до вправ 1.10. 6. 1.12. Більше тих, у яких цифри записано в порядку спадання. 1.15. 3) a2 – a + 5; 4) x48 + x24 + 1. 1.16. 1) 2; 2) 1. 1.17. 4)

4 2 (1 − 3y) x 2 + xy + y 2 1 . 1.18. 1) ; 2) ; 3) ; y−2 (3y + 1) (2x + 7) ab x (x + 16)

x−y (a + b + c) 2 ; 4) 1. 1.20. 1) 2; 2) (4; +∞). 1.21. 2) Якщо . 1.19. 3) x+y 2bc

a = 2, то x — будь-яке; якщо a > 2, то x l –a – 2; якщо a < 2, то x m –a – 2. 1.22. 1) [2; +∞) c {–1}; 2) (–1; 2) c (2; +∞); 3) [1; +∞) c {–2}; 4) (–∞; –3) c (–3; –2). 1.23. 1) Якщо a m 1, то x l a; якщо 1 < a m 3, то x l a або x = 1; якщо a > 3, то x l a, 3 або x = 1, або x = 3. 1.24. 4) [–1; 4]; 6) 2; –2. 1.25. 4)  − ; + ∞ .  2 1.28. 1) 1; 2) 2; 3; 3) 1; 4. 1.29. 1) (0; 2), (4; 2); 2) (1; –1), (1; 2), (5; –1), (5; 2); 3) (1; –1), (–1; 1). 1.30. 1) Якщо a = 1, то x l 3; якщо a ≠ 1, то x = 3; 2) якщо a < 1, то x = a, або x = 1, або x = 3; якщо 1 m a < 3, то x = a або x = 3; якщо a l 3, то x = a; 3) якщо a < 0 або a = 1, то x = 1; якщо a l 0 і a ≠ 1, то x = 1 або x = a2.

)

1.31. 1) 6; 2) 6 2; 3) 2) 4)

x + 2 − x − 2; 3)

2 + 1; 4)

6+ 2

. 1.32. 1)

a − 3; 4) 1. 1.33. 1) 1; 2) 2ab; 3)

a − 3 + 1;

16x x ; (1 − x 2 ) (x − 1)

x+y . 1.36. a = 1. 1.37. a = 2. 1.38. 1) 9; 2) 0; 3) –3; –1; 2; 6. 2

1.39. 1) 2; 3; 5) −1 ± 3;

5±

89 2

; 2)

1 1 −7 ± 73 1 ; − ; 3) –2; 3; ; 4) ; 2; 2 12 2 2

3 ± 17 1 ± 13 ; 6) 1; –1; 2 ± 3; 7) –4; 8) . 1.42. Не іс 2 2

нують. Вказівка. Скористайтеся тим, що значення виразу 5n + 1 не кратне 4. 1.45. m = 4, n = 6. Вказівка. При m l 5 остання цифра десяткового запису числа m! + 12 дорівнює 2. 1.46. 25; 76. Вказівка. Шукане число n таке, що число (n2 – n) кратне 100. Далі скористайтеся тим, що НСД (n; n – 1) = 1. 1.47. Вказівка. (n + 1) (2n + 3) 2n 2 + 5n + 3 = . Доведіть, що НСД (n + 1; n + 2) = 1, 3n 2 + 10n + 8 (n + 2) (3n + 4)

НСД (n + 1; 3n + 4) = 1, НСД (2n + 3; n + 2) = 1, НСД (2n + 3; 3n + 4) = 1. 1.48. Вказівка. Можна записати x2 + ax + b = (x – x1) × × (x – x2), де x1, x2 ∈ , x1 > 2, x2 > 2. Звідси 1 + a + b = (1 – x1) × × (1 – x2). 1.49. 8. Вказівка. Скористайтеся тим, що дві останні 335

Відповіді та вказівки до вправ

цифри запису числа n2 + 8n + 16 — нулі. 2.10. 1) Вказівка. a2 + b2 + 6a – 4b + 13 = (a2 + 6a + 9) + (b2 – 4b + 4). 2.16. Вказівка. Розгляньте суму даних виразів. 2.17. 1) Вказівка. Скорис тайтеся методом різниці. 2.19. Вказівка. Скористайтеся методом різниці. 2.23. Вказівка. Скористайтеся методом різниці. 2.24. Вказівка. Скористайтеся методом різниці. 2.25. Вказівка. Скорис тайтеся методом різниці. 2.26. Вказівка. Ліву частину нерівності можна записати так: (a8 – 2a4 + 1) + (a6 – 2a4 + a2). 2.28. Вказівка. Скористайтеся методом доведення від супротивного. 2.29. Вказівка. Скористайтеся методом доведення від супротивного. 2.31. Вказівка. Оскільки 0 m x m 1 і 0 m y m 1, то і

x x m 1+ y x+y

y y m . 2.34. Вказівка. Скористайтесь ключовою задачею 1+x y+x

2.15 (1). 2.37. Вказівка. Скористайтеся тим, що 1 + x2 l 2x. 2.38. Вказівка. Скористайтеся тим, що x4 + 4 l 4x2 і 4y4 + 1 l 4y2. 2.39. Вказівка. Доведіть, що 4y3 + y l 4y2 при y l 0. 2.42. Вказівка. Застосуйте нерівність x2 + y2 + z2 l xy + yz + zx для x = 2a, y = b, z = 1. 2.48. Вказівка. Запишіть нерівність, що доводиться, у вигляді 2 (a2 + b2 + c2) – 2 (ab + bc + ac) m 3 (a2 + b2 + c2). 2.49. Вказівка. Маємо: (x – 2)2 + (y + 2)2 – 8 = (x – y)2 – 4 (x – y) + + 2xy. 2.50. Вказівка. Покажіть, що a2 + b2 + ab – 3 (a + b – 1) = = (a – 1)2 + (b – 1)2 + (a – 1) (b – 1). 2.51. Вказівка. Нехай твер дження, що доводиться, хибне. Тоді є правильними нерівності a − b2 −

1 1 1 > 0, b − c2 − > 0, c − a 2 − > 0. Додайте ці нерівності 4 4 4

і отримайте суперечність. 2.52. Вказівка. Зауважимо, що коли є правильною одна з нерівностей a l 1, b l 1, c l 1, то твердження, що доводиться, очевидне. Нехай a < 1, b < 1, c < 1 і є правиль ними нерівності a (1 − b) >

1 1 1 , b (1 − c) > , c (1 − a) > . Звідси 4 4 4

1 . Доведіть, що при 0 < x < 1 викону 64 1 ється нерівність 0 < x (1 − x) m . 2.53. Вказівка. Скористайтеся 4 1 1 m . 2.54. Вказівка. Скорис тим, що при a > 0 і b > 0 2 2ab a + b2

a (1 − a) b (1 − b) c (1 − c) >

тайтеся тим, що 2ab m a2 + b2. 2.56. Вказівка. Доведіть, що (a + + b + c)2 l 3 (ab + bc + ac). 2.58. Вказівка. Оскільки при заданій умові x2 m x і y2 m y, то достатньо довести нерівність (x + y + 1)2 l l 4 (x + y). 2.59. Вказівка. Скористайтеся тим, що 336

1 1 m , n+k n +1

Відповіді та вказівки до вправ

де n ∈ , k ∈ . 2.60. Вказівка. Ліва частина нерівності тотожно дорівнює виразу

xy 2 yz2 y2 zx 2 z2 x2 + + = + + . x 3 + 2xyz y 3 + 2xyz z3 + 2xyz x 2 + 2yz y 2 + 2zx z2 + 2xy

z2 x2 + 2 . Далі див. розв’язання задачі 2.54. 2.61. Вказівка. y + 2zx z + 2xy 2

(

a 2 + b2 + c2 + d2 + e 2 = a 2 +

) (

)

1 2 1 1 1 e + b2 + e 2 + c2 + e 2 + d2 + e 2 . 4 4 4 4

2.62. Вказівка. Скористайтеся тим, що 1•n l n; 2•(n –1) l n; ...; k•(n – k + 1) l n, де n ∈ , k ∈ , 1 m k m n. 2.63. Вказівка. Перетворіть ліву частину нерівності, що доводиться, за допомогою рівності

1 1 k = − , де k ∈ . 2.64. Вказівка. Скорис (k + 1)! k ! (k + 1)!

тайтеся тим, що k•k! = (k + 1)! – k!, k ∈ . 2.65. Вказівка.

1 1 1 1 1 1 + + ... + < + + ... + . Далі див. приклад 3 п.2. n (n + 1) (n + 1)2 1•2 2•3 2 2 32 2 4 6 2n 1 3 5 2n − 1 , B = • • •...• . 2.66. Вказівка. Нехай A = • • •...• 3 5 7 2n + 1 2 4 6 2n 1 . 2.67. Вказівка. Нехай Маємо: A < B. Звідси A 2 < AB = 2n + 1 1 3 5 2n − 1 1 2 4 2n − 2 A = • • •...• , C = • • •...• . Маємо: A > C, 2 4 6 2n 2 3 5 2n − 1 1 1 1 + + ... + A 2 > AC = . 2.68. Вказівка. Нехай S = 4n 1+ 2 3+ 4 1 1 1 1 + ... + , S1 = + + ... + . Очевид 4 2n − 1 + 2n 2+ 3 4+ 5 2n + 2n + 1

1 2n − 1 +

но, що S > S1. Тоді 2S > S + S1. 3.10. Вказівка. a2 + 4 = = (a2 + 3) + 1. 3.16. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші— Буняковського до наборів (a; –b) і (c; d). 3.22. 12. 3.23. 20.

3.24. 3. 3.25. 12. 3.26. 8. 3.27. 18. 3.28. ка.

a2 + 2 2

= a2 + 1 +

1 2

1 1 . 3.29. . 3.30. Вказів6 7

. 3.38. Вказівка.

(1 − a) (1 − b) m

a +1 a +1 1−a +1−b a) (1 − b) m . 3.40. Вказівка. І спосіб. Скористайтеся тим, що 2 (x + y) 2 x2 + y2 l . ІІ спосіб. Застосуйте нерівність Коші—Буняков 2

ського до наборів (1; 1) і (a; b). 3.43. Вказівка. Скористайтеся тим, що середнє гармонічне чисел a і b не більше за їх середнє арифметичне. 3.44. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші— Буняковського до наборів ( a; 1 − a 2 ) і ( 1 − b2 ; b ) . 3.45. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші—Буняковського до наборів (1; 1; 1) 337

1−a +1−b . 2

Відповіді та вказівки до вправ

і (x; y; z). 3.48. 5, –5. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші— Буняковського до наборів (3; 4) і (x; y). 3.49. 1. 3.51. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші—Буняковського до наборів (a2; b2; c2) і

( 1a ; 1b ; 1c ) . 3.54. Вказівка. (a + c) (b + d) = ab + ad + cb + cd =

= (ad + bc) + (cd + ba). 3.55. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші— Буняковського до наборів ( 3a + 1; 3b + 1; 3c + 1 ) і (1; 1; 1). 3.57. 5. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші—Буняковського до наборів (2; x) і ( x − 1; 5 ) . Далі скористайтеся умовою досягнен ня рівності в нерівності Коші—Буняковського. 3.58. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші—Буняковського до наборів (x; y; z) і (3; –1; 1). 3.59. Вказівка.

2x + y − z m x 2 + 3y 2 + z2 × 22 +  

 + (−1)2 . 3.60. Вказівка. І спосіб. m x 2 + 3y 2 + z2 × 22 +    3 1

− 1 = (b − 1) •1 m

b −1+1 b = . ІІ спосіб. 2 2

a + b −1

b − 1 = (b − 1) •1 m

b l2 a −1

b −1+1 2

a b • l 4. a −1 b −1

3.61. Вказівка. Маємо: a + b l 2 ab . Також, порівнюючи середнє квадратичне і середнє арифметичне чисел писати 1 + b

) ( 2

1 + b+ a

a+b l 2

1 1 a+ +b+ ) ( b a . )l 2

a+ b . 3.62. Вказівка. 2

a і b, можна за

(

1 b

) ( 2

+ b+

1 a

1 a+ + ( b ) 2 2

b > 0, зівка.

Далі скористайтеся тим, що з умови a > 0,

a + b = 1 a2 + 1 = 2 •

випливає

нерівність ab m

a2 + 1 a +1 l 2• . 2 2

1 . 4

3.63. Вка-

3.64. Вказівка. Маємо:

(1 − a − b)2 + c2 + c2 + (1 − b − c)2 + a 2 + a 2 + (1 − c − a)2 + b2 + b2 =  (1 − a − b)2 + c2 + c2 (1 − b − c) 2 + a 2 + a 2 (1 − c − a) 2 + b 2 + b 2  = 3 + + . 3 3 3   Далі порівняйте середнє квадратичне трьох чисел з їх середнім арифметичним. 3.65. Вказівка. Нехай сторона квадрата дорів нює 1. Скористаємось позначеннями, показаними на рисунку. Залишилося довести нерівність

x 2 + (1 − y)2 + y 2 + (1 − z)2 + z2 + (1

+ y 2 + (1 − z)2 + z2 + (1 − t)2 + t 2 + (1 − x)2 l 2 2. Далі див. приклад 1 п. 3. 3 . 6 6 . В к а з і в к а . 1 + a = 2 − b − c = (1 − b) + (1 − c) l 2 (1 − b) (1 − c). 338

Відповіді та вказівки до вправ

3.67. Вказівка. І спосіб. Застосуйте нерівність Коші—Буняковського до y x z  і ; ; наборів  x+z x + y   y+z

y + z ; x + z ; x + y ) . ІІ спосіб. У силу нерівності Коші 2

y+z 4

3.69. Вказівка.

то

P z

1–t

Рис. до задачі 3.65

1 1 4 + l . a b a+b

a = b+c

1–z

1–x

ка. Оскільки при a > 0 і b > 0 a+b m , 1 1 2 + a b

l x і т. д. 3.68. Вказів-

(

x y+z

1–yN

2a •1 2a a •1 l b + c = . 4.1. Вказівb+c a a+b+c +1 b+c

ка. І спосіб. Скористайтеся нерівністю (*) з п. 4. ІІ спосіб. Ско ристайтесь нерівністю (***) п. 4. 4.3. Вказівка. Скористайтеся нерівністю (**) з п. 4. 4.4. Вказівка.

x 3 y 3 z3 (x 2 ) 2 (y 2 ) 2 (z2 ) 2 + + = + + . y z x yx zy xz

4.5. Вказівка. І спосіб. Скористайтеся нерівністю (***) з п. 4. ІІ спосіб.

(

)

1 (3a) 2 a2 b2 c2 (3b) 2 (3c) 2 + + = + + . Далі b + 2c c + 2a a + 2b 9 b + 2c c + 2a a + 2b

скористайтеся нерівністю (*) з п. 4. 4.6. Вказівка. І спосіб. a3 b3 c3 (a 2 ) 2 (b 2 ) 2 (c 2 ) 2 + + = + + . b + c c + a a + b ab + ac bc + ba ca + cb

Далі скористай-

теся нерівністю (***) з п. 4. ІІ спосіб.

a3 b3 c3 + + = b+c c+a a+b

(

)

1 (2a 2 ) 2 (2b 2 ) 2 (2c 2 ) 2 + + . Далі скористайтеся нерівністю (*) 4 ab + ac bc + ba ca + cb

з п. 4. 4.8. Вказівка.

1 1 1 12 12 12 + + = + + . 1 + ab 1 + bc 1 + ac 1 + ab 1 + bc 1 + ac

Далі скористайтеся нерівністю (***) з п. 4. 4.9. Вказівка. Ліву частину нерівності подайте у вигляді

y2 x2 z2 + 2 + 2 . x + 2yx + 3zx y + 2zy + 3xy z + 2xz + 3yz 2

y2 z2 + 2 . Далі скористайтеся нерівністю (***) з п. 4 і не 2zy + 3xy z + 2xz + 3yz

рівністю a2 + b2 + c2 l ab + bc + ac. 4.11. Вказівка. Скориставшись ключовою задачею 2.17(1), можна записати, що (x + 1) (y + 1) = = xy + 1 + x + y l 2 (x + y). 4.12. Вказівка. За допомогою клю 339

Відповіді та вказівки до вправ

чової задачі 2.17(1) і умови x ∈ [0; 1] можна записати, x x x x = m m . 4.14. Вказівка. Скорис 2 + yz 1 + yz + 1 1 + y + z x+y+z

що

тавшись ключовою задачею 2.13, можна записати, що c 1 1 1 m 2 = = . 4.15. Вкаa 3 + b 3 + abc a b + b 2a + abc ab (a + b + c) abc (a + b + c)

зівка. Скористайтеся ключовою задачею 2.13. 4.16. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею 2.13. 4.17. Вказівка. Скорис тайтеся задачею 2.19. 4.18. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею 2.22. 4.19. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею 2.25. 4.20. Вказівка. Скориставшись задачею 2.29 (1), можна за писати:

1 < 2 1 − 2 0; 1

1 < 2 2 − 2 1; 2

1 < 2 3 − 2 2; ...; 3

1 < 2 n − 2 n − 1. 4.21. Вказівка. Скористайтеся задачею n

2 . 2 9 ( 2 ) . 5 . 1 0 . 2 ) ( – ∞; – 7 ) c ( – 7 ; 7 ) c ( 7 ; + ∞) ; 4) [4; 6) c (6; +∞). 5.21. 3) {1} c [2; +∞); 4) {–1} c [3; +∞); 5) (–2; 0) c (0; +∞); 6) [0; +∞). 5.22. 3) (–3; –1) c (–1; +∞); 2 4) {–4} c [3; +∞); 5) {–5} c [–2; +∞); 6) (0; +∞). 5.23. 1)  ; + ∞ ; 3 23 3 3 2) −∞; −  ; 3) −∞; c ; + ∞ ; 4) (–∞; +∞); 5) (–∞; –6] c [6; +∞). 8  2 2 19 23 2 2  5.24. 1)  ; + ∞ ; 2) −∞; −  ; 3) −∞; c ; + ∞ ; 4) (–∞; +∞);  20 12  5 5 5) (–∞; –4] c [4; +∞). 5.25. Див. рисунок. 5.26. 1) [–4; 1]; 1 1 2)  − ; 2 ; 3) [–3; 2]; 4) [–2; 2]; 5) [–4; 4]; 6) ( −∞; − 1] c  ; + ∞ .  2  4 5.27. 1) [–10; 0]; 2) [–27; 3]; 3) [–1; 1]; 4) [–1; 1]; 5) [0; 1]; 1 6) −∞; −  c [1; + ∞ ) . 5.28. 1) ; 2) (–∞; 0) c [1; +∞); 3)  \ ; 9 4)  \ ; 5) . 5.29. 1) {1}; 2) {0; 1}; 3) . 5.30. 1) {0; 1}; 2) {0}. 5.31. 3) Див. рисунок. Вказівка. D (y) = [–1; 2), E (y) = {0; 1}. 5.32. 2) Див. рисунок. Вказівка. D (y) = , E (y) = {0}. 5.33. 1) Див. рисунок; 2) див. рисунок. 5.34. 1) Див. рисунок; 2) див. рисунок. 5.35. Див. рисунок. Вказівка. Скористайтеся тим, що коли x ∈ ,

(

( ) ( ) (

)

(

) (

)

(

то x2 ≡ r (mod 5) тільки при r ∈ {0; 1; 4}. 5.37. f (x) = 5.38. g (x) = 13 – 3x. 5.39. f (x) =

1 7 x+ . 3 3

1 − x. Вказівка. Оскільки рів 3

ність, задана в умові, виконується при всіх x, то замість x під ставте –x. Отримаємо f (–x) + 2f (x) = –x + 1. Із системи f (x) + 2 f (−x) = x + 1, 1 знаходимо f (x) = − x. Залишилося пере  3 f ( − x ) + 2 f ( x ) = − x + 1  340

Алгебра. 9 клас

Додаток 1 Зміст програми з алгебри (9 клас) для класів з поглибленим вивченням математики Затверджено Міністерством освіти і науки України (лист № 1/11-2151 від 30.05.2008 р.) Структура програми Програма подана у формі таблиці, яка містить дві частини: зміст навчального матеріалу і вимоги до підготовки учнів. У частині «Зміст навчального матеріалу», яка оформлена прямим шрифтом, включено зміст програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Текст, оформлений курсивом, містить навчальний матеріал, який вивчається у класах з поглибленим рівнем математики. Програма передбачає можливість вивчення змісту курсу з різним степенем повноти. Додаткові питання і теми, узяті в квадратні дужки, можна не вивчати, що дозволяє вчителеві залежно від конкретних умов варіювати об’єм матеріалу, який вивчається, і відповідно ступінь поглиблення і розширення курсу. 9-й клас. Алгебра (175 год. І семестр — 80 год, 5 год на тиждень, ІІ семестр — 95 год, 5 год на тиждень) К-ть год. 10

Зміст навчального матеріалу

Державні вимоги до рівня підготовки учнів

Тема 1. повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу 8 класу Тема 2. Доведення нерівностей

Основні методи доведення нерівностей. Нерівність Коші для двох чисел та її застосування. Нерівності між середніми величинами двох додатних чисел (се реднє гармонічне, середнє геометричне, середнє арифметичне, середнє квадра тичне). [Нерівність КошіБуняковського.] Метод використання відомих нерівностей.

Описує основні методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності. Доводить нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел. Розв’язує вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

374

Додатки К-ть год.

Зміст навчального матеріалу

Державні вимоги до рівня підготовки учнів

Тема 3. Квадратична функція

Функції. Властивості функ цій: парність і непарність, зростання і спадання, нулі і проміжки знакосталості, найбільше і найменше зна чення функції. [Використан ня властивостей функцій для розв’язування рівнянь і нерівностей.] Перетворення графіків функ цій: f (x)  f (x) + b, f (x)   f (x + a), f (x)  kf (x),  f (x)  f (kx), f (x)  f (–x),   f (x)  | f (x) |, f (x)  f (| x |). [Функції y = [x] і y = {x} та їх графіки.] Квадратична функція, її графік і властивості. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів. Задачі на дослідження властивостей квадратного тричлена з параметрами. Графічні прийоми розв’язу вання задач з параметрами.

Формулює означення: функції, парної та непарної функцій, зро стаючої та спадної функцій, нуля функції, проміжку зростання і про міжку спадання функції, проміжку знакосталості функції, найбільшого і найменшого значень функції. Описує алгоритми: побудови графіка квадратичної функції, перетворення графіків функцій (f (x)  f (x) + b, f (x)  f (x + a), f (x)  kf (x), f (x)   f (kx), f (x)  f (–x), f (x)   | f (x) |, f (x)  f (| x |)). Розв’язує вправи, що передбачають: побудову графіка квадратичної функції, побудову графіків функцій з використанням зазначених вище перетворень, розв’язування нерівностей методом інтервалів.

Тема 4. Системи рівнянь і нерівностей

Рівняння з двома змінними. Графік рівняння з двома змінними. Рівносильні системи рівнянь. Система — наслідок даної. Методи розв’язування систем рівнянь. Нерівність з двома змінними. Графік нерівності з двома змінними. Системи нерівностей з двома змінними. Геометрична інтерпретація розв’язків системи нерівностей з двома змінними. Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь і нерівностей.

Формулює означення: розв’язку рівняння (нерівності) з двома змін ними, графіка рівняння (нерівності) з двома змінними, рівносильних систем рівнянь (нерівностей) з двома змінними. Описує графічний метод розв’я зування систем рівнянь з двома змінними. Розв’язує вправи, що передбачають розв’язання систем двох рівнянь з двома змінними методами підстановки, додавання, заміни змінних, побудову графіків рівнянь і нерівностей з двома змінними, скла дання і розв’язання систем рівнянь з двома змінними як математичних моделей реальних ситуацій.

375

Алгебра. 9 клас К-ть год.

Зміст навчального матеріалу

Державні вимоги до рівня підготовки учнів

Тема 5. Елементи прикладної математики

Математичне моделювання. Відсоткові розрахунки. Фор мула складних відсотків. Комбінаторні правила дода вання і множення. Основні формули комбінаторики. Розміщення, сполучення (комбінації), перестановки. Випадкова подія. Ймовір ність випадкової події. Статистичне і класичне означення ймовірності. Обчислення ймовірностей за допомогою формул ком бінаторики. Статистичні дані. Способи подання даних. Частота. Вибірка. Середні значення.

Наводить приклади математичних мо делей реальних ситуацій, випадкових подій, подання статистичних даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Описує поняття: випадкова подія, ймо вірність випадкової події, частота, се реднє значення статистичних вимірювань. Формулює комбінаторні правила до давання і множення; означення по нять: перестановка, сполучення (ком бінації), розміщення, ймовірність ви падкової події. Розв’язує вправи, що передбачають використання формули обчислення складних відсотків, формул для обчис лення перестановок, сполучень і роз міщень, знаходження ймовірності ви падкової події, знаходження частоти, моди і медіани статистичної вибірки.

Тема 6. Послідовності Числові послідовності. Описує способи задання числових Способи задання числових послідовностей, метод математичної послідовностей. Формула індукції. Формулює означення і властивості ари n-го члена. Рекурентний фметичної та геометричної прогресій. спосіб задання Доводить властивості арифметичної та послідовностей. Арифметична і геометрична геометричної прогресій, формули n-го прогресії та їх властивості. члена і суми n перших членів ариф метичної та геометричної прогресій. Формули n-го члена і Має уявлення про суму членів не суми n перших членів скінченної геометричної прогресії прогресій. Нескінченна (q<1) як про границю послідовності. геометрична прогресія. Розв’язує вправи, що передбачають Уявлення про границю послідовності. [Сумування знаходження членів прогресії; задан ня прогресій за даними їх членами послідовностей.] або співвідношеннями між ними; об Метод математичної числення сум перших n членів ариф індукції та його метичної та геометричної прогресій; застосування. запис періодичного десяткового дро бу у вигляді звичайного; використан ня формул n-го члена і суми n пер ших членів прогресій для знахо дження невідомих елементів про гресій; використання метода математичної індукції.

Тема 7. Повторення і систематизація навчального матеріалу

376

Додатки

Додаток 2 Орієнтовне календарне планування з алгебри (9 клас) для класів з поглибленим вивченням математики

№

Зміст навчального матеріалу

Кількість годин

Тема 1. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу (10 год) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Повторення й систематизація навчального матеріалу Контрольна робота № 1 Тема 2. Доведення нерівностей (15 год)

9 1

Основні методи доведення нерівностей Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші-Буняковського Контрольна робота № 2 Тема 3. Квадратична функція (45 год)

Функція Зростання і спадання функцій. Найбільше і найменше значення функції Парні і непарні функції Контрольна робота № 3 Як побудувати графіки функцій y = kf (x) і y = f (kx), якщо відомо графік функції y = f (x) Як побудувати графіки функцій y = f (x) + b і y = f (x + a), якщо відомо графік функції y = f (x) Як побудувати графіки функцій y = f (| x |) і y = | f (x) |, якщо відомо графік функції y = f (x) Квадратична функція, її графік і властивості Контрольна робота № 4 Розв’язування квадратних нерівностей Метод інтервалів. Розв’язування раціональних нерівностей Розміщення нулів квадратичної функції відносно заданої точки Контрольна робота № 5

377

7 1

4 4 1 3 3 4 5 1 6 5 5 1

Алгебра. 9 клас

№

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Зміст навчального матеріалу

Кількість годин

Тема 4. Системи рівнянь і нерівностей з двома змінними (33 год) Рівняння з двома змінними та його графік Графічні методи розв’язування систем рівнянь із двома змінними Розв’язування систем рівнянь з двома змінними методом підстановки і методами додавання та множення Метод заміни змінних та інші способи розв’язу вання систем рівнянь з двома змінними Контрольна робота № 6 Нерівності з двома змінними Системи нерівностей з двома змінними Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь і систем нерівностей Контрольна робота № 7 Тема 5. Елементи прикладної математики (25 год) Математичне моделювання Відсоткові розрахунки Метод математичної індукції Контрольна робота № 8 Основні правила комбінаторики. Перестановки Розміщення Сполуки (комбінації) Частота та ймовірність випадкової події Класичне означення ймовірності Обчислення ймовірностей за допомогою правил комбінаторики Початкові відомості про статистику Контрольна робота № 9 Тема 6. Числові послідовності (32 год) Числові послідовності Арифметична прогресія Сума n перших членів арифметичної прогресії 378

4 4 4 5 1 4 5 5 1 2 3 3 1 3 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5

Додатки

№

Зміст навчального матеріалу

43 Контрольна робота № 10 44 Геометрична прогресія 45 Сума n перших членів геометричної прогресії Уявлення про границю послідовності. Сума не46 скінченної геометричної прогресії, у якої | q | < 1 47 Підсумовування 48 Контрольна робота № 11 Тема 7. Повторення і систематизація навчального матеріалу (15 год) 49 Повторення навчального матеріалу 50 Контрольна робота № 12

379

Кількість годин 1 5 4 5 4 1

14 1

Зміст

Від авторів . ...................................................................... 3 § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу

1. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу . .............. 5

§ 2. Доведення нерівностей

2. Основні методи доведення нерівностей........................11 3. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші—Буняковського ..............................................19 4. • Ефективні прийоми доведення нерівностей .............30

§ 3. Квадратична функція

5. Функція..................................................................37 •• З історії розвитку поняття функції..........................48 6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції......................................................52 7. Парні і непарні функції.............................................65 8. Як побудувати графіки функцій y = kf (x), y = f (kx), якщо відомо графік функції y = f (x)..........................70 9. Як побудувати графіки функцій y = f (x) + b і y = f (x + a), якщо відомо графік функції y = f (x).......81 10. Як побудувати графіки функцій y = f ( | x | ) і y = | f (x) |, якщо відомо графік функції y = f (x)..........................96 11. Квадратична функція, її графік і властивості............ 104 12. Розв’язування квадратних нерівностей..................... 116 13. Метод інтервалів. Розв’язування раціональних нерівностей............................................................... 125 380

Зміст

14. Розміщення нулів квадратичної функції відносно заданої точки......................................................... 135 •• Парабола............................................................... 142

§ 4. Системи рівнянь і нерівностей з двома змінними 15. Рівняння з двома змінними та його графік................ 147 16. Графічні методи розв’язування систем рівнянь з двома змінними........................................................... 155 17. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними методом підстановки і методами додавання та множення.................................................................... 160 18. Метод заміни змінних та інші способи розв’язування систем рівнянь з двома змінними ............................ 169 19. Нерівності з двома змінними .................................. 180 20. Системи нерівностей з двома змінними .................... 187 21. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь і систем нерівностей................................................ 194

§ 5. Елементи прикладної математики 22. Математичне моделювання...................................... 206 23. Відсоткові розрахунки............................................. 214 24. Метод математичної індукції................................... 219 •• Різні схеми застосування методу математичної індукції.................................................................. 228 25. Основні правила комбінаторики. Перестановки.......... 233 26. Розміщення............................................................ 241 27. Сполуки (комбінації)............................................... 244 28. Частота та ймовірність випадкової події.................... 250 29. Класичне означення ймовірності.............................. 256 •• Спочатку була гра.................................................. 266 30. Обчислення ймовірностей за допомогою правил комбінаторики............................................................. 268 31. Початкові відомості про статистику.......................... 273 381

Зміст

§ 6. Числові послідовності 32. Числові послідовності............................................. 286 •• Про кролів, соняшники, соснові шишки і золотий переріз................................................................... 293 33. Арифметична прогресія........................................... 297 34. Сума n перших членів арифметичної прогресії.......... 305 35. Геометрична прогресія............................................ 311 36. Сума n перших членів геометричної прогресії........... 319 37. Уявлення про границю послідовності. Сума нескінченної геометричної прогресії, у якої | q | < 1.............. 323 38. Сумування............................................................. 331 Відповіді та вказівки до вправ........................................... 335 Предметний покажчик...................................................... 373

382

Навчальне видання МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович ЯКІР Михайло Семенович

АЛГЕБРА Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики

Редактор Г. Ф. Висоцька Художник С. Е. Кулинич Комп’ютерна верстка О. О. Удалов Коректор Т. Є. Цента

Підписано до друку 21.07.2009. Формат 60 90/16. Гарнітура шкільна. Папір офсетний. Друк офсетний. Умовн. друк. арк. 24,00. Тираж 5000 прим. Замовлення № 368.

Свідоцтво ДК № 644 від 25.10.2001 р. ТОВ ТО «Гімназія», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел.: (057) 758-83-93, 719-17-26, факс: (057) 719-17-26 Віддруковано з готових діапозитивів у друкарні ПП «Модем», Тел. (057) 758-15-80

М52

Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: Підручн. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 384 с.: іл. ISBN 978-966-474-059-0. УДК 373:512 ББК 22.141.я721