98
KAPITOLA 4.
ZÁKLADNÍ PROBLÉMY MECHANIKY
√ h ≪ R, s < h a dostáváme známý vztah vz = − 2gs.
P°i pádu z malé vý²ky
Volný pád (i z nekone£na) kon£í dopadem na zemský povrch kone£nou rychlostí
vd . P°itom z = R, takºe
podle (4.3)
r vd = − P°i pádu z malé vý²ky dostáváme
která se nazývá
r z0 − R h = − 2gR . 2gR z0 R+h
(4.5)
√ vd = − 2gh, p°i pádu z velké vý²ky h ≫ R p vd = − 2gR,
(4.6)
druhou kosmickou rychlostí a má velikost 11, 2 km · s−1 . Minimáln¥ touº rychlostí byste museli
vrhnout t¥leso svisle vzh·ru, aby jiº nedopadlo zp¥t na zemský povrch. Závislost pr·b¥hu volného pádu z libovolné vý²ky na zem (zákon pohybu) a celkovou dobu pohybu dostaneme integrací vztahu (4.2). Provedeme separaci prom¥nných
Zz t=− z0
√
z0 z
1 p dz = − 2 R 2gR (z0 − z)
s
2z03
√ Zz/z0
g 1
z a t a zintegrujeme s pouºitím substituce ξ 2 = z/z0 :
ξ2
1 p dξ = 2 R 1−ξ
s
"s
z03 2g
z z0
r # z z 1− + arccos . (4.7) z0 z0
Poznámka. P°i integrování jsme pouºili následující úpravu a metodu per partes:
Z
ξ2 p dξ = − 1 − ξ2
Z
T¥leso pada jící z vý²ky
1 − ξ2 − 1 p dξ = − 1 − ξ2
h dopadne na zemský povrch p°i z = R podle (4.7) za dobu
1 tR = R P°i pádu z velké vý²ky
Z p Z Z Z p dξ ξ2 dξ p p p 1 − ξ 2 dξ + = −ξ 1 − ξ 2 − dξ + . 2 2 1−ξ 1−ξ 1 − ξ2
s
" # r R+h √ R . Rh + (R + h) arccos 2g R+h
h ≫ R se bude arccos blíºit π/2 a s π h3 tR = . 2 2gR2
V p°iblíºení malých vý²ek
(4.8)
(4.9)
h ≪ R pouºijeme vztah arccos x=arcsin
√
1 − x2 a rozklad funkce arcsin do mocninné
°ady. V p°iblíºení prvního £lenu máme
r arccos
R ≈ arcsin R+h
r
tR =
p
a po dosazení do (4.8) dostaneme známý vztah
h = R
r
h + O R
"
h R
3/2 #
2h/g .
Volný pád v odporujícím prost°edí Zatím jsme uvaºovali o volném pádu ve vakuu, kde se neuplatní odpor prost°edí. P°i pohybu t¥les v zemské atmosfé°e p·sobí ov²em vedle síly tíhové téº síla odporová, která závisí na rychlosti. Není to tedy síla konzervativní, nelze ji vyjád°it pomocí potenciální energie a uplatnit zákon zachování mechanické energie. ást kinetické energie se totiº p°em¥¬uje na energii tepelného pohybu, atmosféra i t¥leso se zah°ívají, a tím p°esn¥ vzato vycházíme za rámec mechaniky. Protoºe zemská atmosféra nezanedbatelné hustoty obklopuje Zemi jen do vý²ky n¥kolika desítek kilometr·
h. Odporová síla p°i pádu v¥t²ích t¥les (velké de²´ové kapky, kroupy, Fz = 12 CSρv 2 , kde ρ je hustota prost°edí, S p°í£ný pr·°ez t¥lesa a C tvarový faktor (nap°. pro t¥leso aerodynamického tvaru . . . C = 0, 03, kulového tvaru C = 0, 48, pro padák C = 1, 33. Zvlá²tní situace nastává p°i dopadu meteoroidu (!), m·ºeme se omezit na pád z malé vý²ky
kámen, padák) bývá nej£ast¥ji úm¥rná druhé mocnin¥ rychlosti (Newton·v odpor). Je rovna
na zemský povrch. Takové t¥leso se pohybuje p°eváºnou £ást své dráhy ve vakuu a je podrobeno odporové síle