řešení Laplaceovy rovnice nemůže mít lokální extrém v prázdném prostoru (viz článek 1.2.7), plyne odtud, že ϕ′ musí být všude rovno nule, a tedy ϕ1 = ϕ2. Řešení Laplaceovy rovnice hledáme obvykle metodami matematické fyziky, které zde nemůžeme podrobně rozebírat. Často přitom využíváme právě jednoznačnosti řešení této úlohy, tedy okolnosti, že řešení je okrajovými podmínkami plně určeno. Uvažme například libovolné elektrostatické pole. Vyplňme dále část prostoru vodivým prostředím tak, aby povrch vodivého tělesa byl totožný s některou ekvipotenciální plochou původního pole. Předpokládejme dále, že celý náboj, který byl původně uzavřen v uvažované ekvipotenciální ploše, přejde na naše vodivé těleso. Je zřejmé, že původní pole splňuje na tomto vodiči okrajovou podmínku 1. Z věty o jednoznačnosti potenciálu pak plyne, že původní pole ve vnějším prostoru zůstane zachováno i po zařazení vodiče. Okrajovou podmínku 1 na určité vodivé ploše můžeme tedy někdy výhodně nahradit rozložením myšlených nábojů v té části prostoru, kde nás řešení základní úlohy elektrostatiky nezajímá. Tomuto přístupu se říká metoda elektrostatického zobrazení. (O jejím použití viz příklady 1.4.7a až c.) 1.4.5 KAPACITA A KONDENZÁTOR
Uvažujme izolované vodivé těleso nesoucí náboj Q. Potenciál vytvořený tímto tělesem v okolním prostoru označíme ϕ(r). Ptáme se, jak se změní potenciál, jestliže na uvažované těleso přivedeme nový náboj Q´ = AQ, kde A je konstanta. Podle předchozího článku je hledaný potenciál určen vztahem ϕ´(r) = A ϕ(r), neboť zřejmě splňuje všechny požadované podmínky. Platí tedy vztah Q′ Q = = konst . ′ ϕ (r ) ϕ (r )
(1.192)
Poměr mezi velikostí náboje na uvažovaném tělese a hodnotou potenciálu v daném bodě je tedy funkcí pouze geometrických parametrů tělesa a daného bodu. Speciálně, označíme-li ϕ0 hodnotu potenciálu na povrchu tělesa odpovídající náboji Q, můžeme psát C=
Q . ϕ0
(1.193)
Veličina C, která rovněž závisí pouze na geometrických parametrech daného izolovaného tělesa (jeho velikosti a tvaru), se nazývá jeho kapacita. Kapacita osamoceného vodiče vyjadřuje tedy jeho schopnost shromažďovat elektrický náboj. Těleso o menší kapacitě bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso o větší kapacitě. V Mezinárodní soustavě jednotek bude mít jednotkovou kapacitu těleso, které se nábojem jednoho coulombu přivede na potenciál jednoho voltu. Tato jednotka se – 98 –
nazývá farad (F). Jelikož je pro praktické použití příliš velká, užívá se hlavně odvozených jednotek mikrofarad (µF), 1 µF = 10–6 F, popř. nanofarad (nF), l nF = 10–9 F, či pikofarad (pF), l pF = 10–12 F. Nyní rozšíříme naše úvahy o vztahu mezi náboji a potenciály na soustavu nabitých vodičů. Uvažme nejdříve dvě vodivá tělesa, z nichž jedno nese náboj Q1 a druhé je nenabité. Je-li první těleso v prostoru osamoceno, bude pro jeho potenciál (0) platit Q1 = C01 ϕ01 , kde C01 je jeho kapacita. Zaujme-li nyní druhé, nenabité, těleso žádanou polohu v prostoru, nastane situace znázorněná na obr. 1.51 a na druhém tělese dojde k rozdělení indukovaných nábojů. Současně se musí ovšem přerozdělit náboj Q1 na povrchu prvního tělesa, aby obě tělesa měla opět konstantní potenciál. Nové elektrostatické pole této soustavy bude mít v prostoru potenciál daný funkcí (1) (1) ϕ(r) a potenciály obou těles budou ϕ01 , ϕ02 . Změníme nyní náboj Q1 na hodno(1) (1) ′ tu Q1 = AQ1. Funkce ϕ′(r) = A ϕ(r) nabývá na obou tělesech hodnot Aϕ01 , Aϕ02 a zřejmě vyhovuje okrajovým podmínkám pro novou hodnotu náboje Q′. Podle věty o jednoznačnosti popisuje tedy tato funkce nový průběh potenciálu. Podobně jako v případě jediného tělesa musí tedy existovat konstanty dané pouze geometrickým uspořádáním, které určují úměrnost mezi potenciály těles a nábojem Q1. Označíme je B11, B21 a zmíněnou úměrnost zapíšeme ve tvaru (1) ϕ01 = B11 Q1 ,
(1) ϕ02 = B21 Q1 .
(1.194)
Obr. 1.51 Rozdělení povrchových nábojů v soustavě nabitého a nenabitého vodivého tělesa.
Opakujeme-li stejnou úvahu pro případ, že první těleso je bez náboje a druhé nese náboj Q2, dokážeme existenci konstant B12, B22 vyjadřujících vztah mezi analogic( 2) ( 2) kými hodnotami potenciálu ϕ01 , ϕ02 a nábojem Q2 . Tedy ( 2) ϕ01 = B12 Q2 ,
( 2) ϕ02 = B22 Q2 .
(1.195)
Obecný případ, ve kterém první těleso nese náboj Q1 a druhé těleso náboj Q2, můžeme považovat za superpozici právě vyšetřovaných speciálních případů. Pro potenciály ϕ 01, ϕ 02 obou těles bude tedy podle (1.194) a (1.195) platit /1/ Elektrostatika – 99 –
(1) ( 2) ϕ01 = ϕ01 + ϕ01 = B11 Q1 + B12 Q2 ,
(1) ( 2) ϕ02 = ϕ02 + ϕ02 = B21 Q1 + B22 Q2 .
(1.196)
Provedený postup můžeme dále reprodukovat pro libovolný počet těles. Uvažujeme-li soustavu složenou z N vodičů nesoucích postupně náboje Q1, Q2,…, QN a označíme-li ϕ01, ϕ02,…,ϕ0N jejich potenciály, můžeme místo (1.196) psát soustavu lineárních vztahů N
ϕ0i =
∑ B Q . ik
(1.197)
k
k =1
Konstanty Bik , které jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodičů, se nazývají potenciálové koeficienty. Potenciálové koeficienty mají některé obecné vlastnosti. V článku 1.4.6 dokážeme z energetické úvahy, že matice Bik je symetrická, tj. že platí Bik = Bki.
(1.198)
Vzájemnou závislost mezi náboji a potenciály vodičů určuje tedy N 2 konstant, z nichž pouze N(N + 1)/2 je nezávislých. Vztahy (1.197) představují soustavu lineárních rovnic o N neznámých Qk s pravou stranou (nehomogenních). Je-li determinant matice Bik nenulový, má tato soustava právě jedno řešení. (To odpovídá fyzikálnímu předpokladu o tom, že náboje a potenciály všech vodičů jsou vzájemně jednoznačně určeny.) Potom můžeme soustavu rovnic (1.197) vyřešit vzhledem ke Qk a napsat Q1 = C11 ϕ01 + C12 ϕ02 + ... + C1N ϕ0 N Q2 = C21 ϕ01 + C22 ϕ02 + ... + C2 N ϕ0 N ..................................................................... QN = C N 1 ϕ01 + C N 2 ϕ02 + ... + C NN ϕ0 N
(1.199)
neboli N
Qi =
∑ C ϕ . ik
0k
(1.199a)
k =1
Diagonální prvky matice Cik, Cii označujeme jako kapacitní koeficienty příslušných vodičů, nediagonálním prvkům Cik, i ≠ k, říkáme influenční koeficienty. Pomocí (1.198) lze snadno ukázat, že matice Cik je opět symetrická. Hodnoty kapacitních i influenčních koeficientů udáváme ve faradech. Kapacitní koeficient Cii daného vodiče je ovšem různý od jeho kapacity C jako osamoceného vodiče. Na osamoceném vodiči kladný náboj vyvolává kladný – 100 –
Ukázka elektronické knihy