KAPITOLA 3. ATOM VODÍKU A STRUKTURA JEHO SPEKTRÁLNÍCH ČAR −1 Pokud bychom tady za 0 + rA dosadili z (3.106), dostali bychom 4 1 p̂ 1 1 = ψ0 | − A − |ψ0 . σ · p̂A , σ · p̂A , − 8 8 rA
(3.108)
Laskavý čtenář se snadno přesvědčí že v případě obecnějšího elektrostatického potenciálu, než je čistě coulombický, je první oprava k nerelativistické energii dána střední hodnotou operátoru Ĥrel = −
p̂4 1 − [σ · p̂, [σ · p̂, eϕ(r)]] . 3 8m 8m2
(3.109)
První člen bychom dostali i poruchovým řešením Kleinovy-Gordonovy rovnice pro skalární částici ve vnějším elektromagnetickém poli. Tento člen vyjadřuje závislost setrvačné hmoty elektronu na jeho rychlosti. Klasicky je možno ho obdržet rozvojem výrazu p2 + m2 m + p2 /(2m) − p4 /(8m3 ) + . . .. Druhý člen obsahuje efekt spinu a je výhodné ho dále upravit [σ · p̂, [σ · p̂, V (r)]] = σi σj [p̂i , [p̂j , V ]] + [σi , σj ] [p̂j , V ] p̂i = = [p̂i , [p̂i , V ]] + 2i ijk σk [p̂j , V ] p̂i = = −∇2 (V ) − 4iŜ · ([p̂, V ] × p̂) .
V první rovnosti jsme použili identitu
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ , kde  = σ, B̂ = p̂ a Ĉ je zbytek. Ve druhé rovnosti jsme použili identitu pro Pauliho matice (1.25). Ve třetí rovnosti jsme využili rovnice (1.54) a (1.24). Pro Coulombův potenciál máme z předposlední rovnice 1 Ŝ · L̂ σ · p̂, σ · p̂, − = −4πδ(r) − 4 3 , (3.110) r r kde v prvním členu jsme použili rovnice (3.7)–(3.9) a v druhém členu rovnice (3.20) a (3.78). Poslední rovnici dosadíme do (3.107), kam z (3.106) vyčíslíme raději naopak člen s energií než s hybností a dostaneme výraz pro opravu k energii vlivem relativistických efektů 2 1 Ŝ · L̂ 1 + πδ(rA ) + 3 (3.111) |ψ0 . 1 = ψ0 | − 0 + 2 rA rA
3.5.2
Jemné štěpení hladiny n = 2
Při nerelativistickém výpočtu je stav atomu vodíku 2p |n = 2, l = 1, m |± šestkrát degenerovaný – třikrát za projekce orbitálního momentu hybnosti (m = −1, 0, 1) a dvakrát za orientace spinu elektronu. Vliv spinu jádra nyní zanedbejme. První dva členy v Ĥ1 , viz (3.111), působí na všechny tyto degenerované hladiny stejně. Jediný 98
3.5. JEMNÁ STRUKTURA člen, který je rozlišuje, je ten poslední. Protože nás v tuto chvíli zajímá jen rozštěpení stavu 2p, počítáme jen výraz 1 Ŝ · L̂ 1 ∞ 2 2 1 1 , 1 Ŝ · L̂ j, m, ,1 = r R2p 3 dr j, m, ψ0 | 3 |ψ0 = 2r 2 0 r 2 2 1 1 1 = j, m, , 1 Ŝ · L̂ j, m, ,1 , (3.112) 48 2 2
kde jsme oddělili radiální a spinově-úhlové stupně volnosti 1 ,1 . r| ψ0 = R2p (r) j, m, 2 Vektor j, m, 12 , 1 je vlastní vektor operátoru Ŝ · L̂, který dále určíme. Způsob značení tohoto vektoru bude objasněn později v oddílu 4.2. Pro působení operátoru Ŝ · L̂ na direktní součin orbitálních |1, m a spinových |± stavů použijeme rovnici (1.35). Pro působení spinových operátorů použijeme rovnice (1.32), (1.33) a (1.34), pro působení orbitálních operátorů použijeme rovnice (3.73), (3.74) a (3.75), kde zaměníme Ŝ za L̂. Potom dostaneme |I = |1, 1 |+ |II = |1, 1 |− |III = |1, 0 |+ |IV = |1, 0 |− |V = |1, −1 |+ |V I = |1, −1 |−
1 |I , 2 1 1 Ŝ · L̂|II = − |II + √ |III , 2 2 1 Ŝ · L̂|III = √ |II , 2 1 Ŝ · L̂|IV = √ |V , 2 1 1 Ŝ · L̂|V = − |V + √ |IV , 2 2 1 Ŝ · L̂|V I = |V I . 2 Ŝ · L̂|I =
Stavy |I a |V I jsou vlastní vektory tohoto operátoru s vlastním číslem 12 . Ostatní se míchají jen po dvojicích (|II s |III a |IV s |V ), takže lze očekávat, že vlastní vektory budou nějaké lineární kombinace každé dvojice. Hledejme koeficienty lineární kombinace, Ŝ · L̂ (c2 |II + c3 |III ) = λ (c2 |II + c3 |III ) , a na levou stranu dosaďme z napočítaných výrazů 1 1 1 c2 √ |III − |II + c3 √ |II = c2 λ|II + c3 λ|III . 2 2 2 Srovnáním koeficientů u každého z ortogonálních vektorů dostaneme vlastní problém − 21 √12 c2 c =λ 2 , √1 c c 0 3 3 2 99
KAPITOLA 3. ATOM VODÍKU A STRUKTURA JEHO SPEKTRÁLNÍCH ČAR který má při požadavku |c2 |2 + |c3 |2 = 1 řešení 1 λ= , 2
1 c2 = √ , 3
λ = −1 ,
a c2 =
Tak dostáváme vlastní stavy II = √1 |II + 2 |III , 3 3
2 , 3
resp.
c3 =
2 3
1 c3 = − √ . 3
III =
1 2 |II − √ |III 3 3
s vlastními čísly 12 resp. −1. Podobně bychom dostali symetrické vztahy pro druhý pár, V = √1 |V + 2 |IV , resp. IV = 2 |V − √1 |IV , 3 3 3 3
opět s vlastními čísly 12 resp. −1. Shrneme nyní, co jsme zjistili. Spin-orbitální interakce štěpí původně šestkrát degenerovaný stav na čtyřikrát degenerovaný stav (kvadruplet) a dvakrát degenerovaný 1 1 1 − (−1) = stav (dublet). Rozštěpení hladiny činí 1 = 48 2 32 v atomových jednotkách. Energii v elektronvoltech získáme návratem k E, totiž ∆E = 1 m(Zα)4 . Frekvenční rozdíl je podle (3.13) ∆ν = R∞ c
∆E Z 4 α2 . = R∞ c α2 16 m2
Pro vodík (Z = 1) vychází ∆νteo = 10949 MHz, experimentální hodnota je [29] ∆νexp (2p3/2 − 2p1/2 ) = 10 969,041 475 (99) MHz .
(3.113)
Opět jsme došli k slušné shodě. Vlnová délka záření vzniklého přechodem mezi těmito podhladinami je pak asi 2,7 cm. V úvodu zmíněné čáry, pozorovatelné ve viditelné části sodíkového spektra jsou ale samozřejmě přechody mezi jednou z podhladin 3p a stavem 3s.
3.5.3
Klasifikace stavů pomocí integrálů pohybu
Stejně jako v případě spin-spinové interakce se můžeme ptát, proč je jedna hladina degenerovaná čtyřikrát a druhá dvakrát. Zaveďme operátor celkového momentu hybnosti a jeho kvadrát, Ĵ = Ŝ + L̂ ,
Ĵ2 = L̂2 + Ŝ2 + 2L̂ · Ŝ .
100 Ukázka elektronické knihy