98 kde
Kapitola 3 – Lineárnı́ (ne)závislost & ekvivalentnı́ úpravy
n
s = ∑ e j ⋅ φj = [ φ1
⋯
φi−1
0
φi+1
⋯
T
φn ] .
(3.20)
j=1 j≠i
Tedy
⎡ 1 ⎤ φ1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋱ ⋮ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 φ i−1 ⎢ ⎥ ⎥ 1 P☆,i (s) = ⎢⎢ (3.21) ⎥ ⎢ ⎥ φi+1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋮ ⋱ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ φ 1 n ⎣ ⎦ je jednotková matice, která má navı́c v i-tém sloupci přičtený vektor s. Pěkné je, že jsme tı́m fakticky ještě nepatrně zobecnili tvrzenı́ věty 3.2. Toto zobecněné tvrzenı́ zformulujeme již jen jako důsledek s náznakem důkazu (je totiž zcela analogický důkazům předchozı́m). Důsledek 3.3. Uvažujme matice Pj,☆ (r1 ) = In + ej ⋅ r1T
a
Pj,☆ (r2 ) = In + ej ⋅ r2T ,
kde vektory r1 a r2 majı́ nulovou j-tou složku. Pak platı́ Pj,☆ (r1 ) ⋅ Pj,☆ (r2 ) = Pj,☆ (r1 + r2 ) = Pj,☆ (r2 ) ⋅ Pj,☆ (r1 ). Uvažujme dále matice P☆,i (s1 ) = In + s1 ⋅ eT i
a
P☆,i (s2 ) = In + s2 ⋅ eT i,
kde vektory s1 a s2 majı́ nulovou i-tou složku. Pak platı́ P☆,i (s1 ) ⋅ P☆,i (s2 ) = P☆,i (s1 + s2 ) = P☆,i (s2 ) ⋅ P☆,i (s1 ). Důkaz. Důkaz plyne stejně jako v předchozı́ch přı́padech ihned z faktu, že vektory r1 a r2 majı́ nulovou j-tou složku, tj. platı́ r1T ej = r2T ej = 0. Při vynásobenı́ obou matic se součin druhých členů vynuluje a násobenı́ se po vytknutı́ vektoru ej převede na sčı́tánı́ řádkových vektorů r1T a r2T . Důkaz druhého tvrzenı́ lze provést zcela analogicky. Přı́padně můžeme využı́t zřejmého faktu, že T
(Pj,☆ (r)) = P☆,j (r), tedy že druhé tvrzenı́ je transpozicı́ prvnı́ho tvrzenı́. Tuto sekci zakončı́me dvěma úlohami, ve kterých si prosvištı́me výše dokázaná tvrzenı́.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS528539
99
3.4 Maticový zápis ekvivalentnı́ch úprav Úloha 3.4. Uvažujte matice ⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ a ⎢ ⎢ 0 ⎣
0 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1 0 0 0
0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ d ⎥⎥ 1 ⎥⎦
⎡ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ x ⎢ ⎢ 0 ⎣
a
0 0 0 y 0
0 0 0 z 0
0 0 0 0 0
0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ t ⎥⎥ 0 ⎥⎦
Spočtěte oba jejich součiny. Zkuste jednu z matic obměnit tak, že obecně nenulový řádek posunete, a podı́vejte se, jak to ovlivnı́ oba součiny.
Úloha 3.5. Uvažujte matice ⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣
0 1 0 0 0
a b 1 c d
0 0 0 1 0
0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
⎡ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣
a
0 1 0 0 0
x y 1 z t
0 0 0 1 0
0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
Spočtěte oba jejich součiny. Zkuste jednu z matic obměnit tak, že obecně nenulový sloupec posunete, a podı́vejte se, jak to ovlivnı́ oba součiny.
3.4.4
Přidánı́ & vypuštěnı́ nulového řádku matice
V přı́padě soustav rovnic jsme hovořili o přidánı́ a vypuštěnı́ nulové rovnice jako o v jistém smyslu ekvivalentnı́ úpravě. S takovou úpravou se v maticovém zápisu nebudeme setkávat přı́liš často, bude užitečná spı́š při praktickém (resp. ručnı́m) počı́tánı́ (nemá smysl stále dokola opisovat nulovou rovnici nebo nulový řádek matice). Nicméně i tuto úpravu lze realizovat pomocı́ maticového násobenı́. Jednı́m z důvodů, proč se nı́ nebudeme v maticovém popisu přı́liš setkávat, je to, že matice takové úpravy nenı́ čtvercová. Přı́padné přidánı́ řádku bude realizováno jednotkovou maticı́ In , do které (kamkoliv) vložı́me navı́c jeden nulový řádek, tedy např. ⎡ 1 0 ⎢ ⎢ 0 1 ⎢ ⎢ ⋮ ⋮ In ⎢ [ ]=⎢ ⎢ 0 0 01,n ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎣
⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 ⋮ 1 0 0
0 ⎤⎥ 0 ⎥⎥ ⋮ ⎥⎥ ⎥ ∈ R(n+1)×n . 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎥ 0 ⎥⎦
Součin této matice s maticı́ A ∈ Rn×k nám přidá nulový řádek pod poslednı́ řádek matice A, tedy [
In A ]⋅A=[ ] ∈ R(n+1)×k . 01,n 01,k
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS528539
100
Kapitola 3 – Lineárnı́ (ne)závislost & ekvivalentnı́ úpravy
Zcela analogicky, vložı́me-li extra nulový řádek pod j-tý řádek matice In , součin propašuje tento nulový řádek pod j-tý řádek matice A. ′ Obdobně bude-li mı́t matice A např. poslednı́ řádek nulový, tj. A = [ 0A1,k ], pak maticı́ úpravy bude (např.) jednotková matice In s vyškrtnutým poslednı́m řádkem, ⎡ 1 0 ⋯ 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 ⋯ 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ [ In−1 0n−1,1 ] = ⎢ ⎥ ∈ Rn×(n−1) . ⎢ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 ⋯ 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ (Zde je na mı́stě poznamenat a je dobré si rozmyslet, že to nenı́ jediná možnost, obecně totiž nemusı́ být v poslednı́m sloupci matice úpravy nuly, může tam být cokoliv.) Tedy [ In−1 0n−1,1 ] ⋅ A = A′ ∈ R(n−1)×k . Obdobně bude-li mı́t A nulový j-tý řádek, pak matici úpravy zı́skáme (např.) vyškrtnutı́m j-tého řádku z matice In . Přidánı́, resp. odebránı́ nulového sloupce matice A bychom realizovali násobenı́m nulovým sloupcem doplněnou nebo o nějaký ten sloupec chudšı́ jednotkovou maticı́ Ik zprava.
3.4.5
Permutace řádků matice
V přı́padě permutacı́ řádků matice se odvoláváme na úlohu 2.6, přı́padně v obecnějšı́ rovině na interpretaci součinu matic z obrázku 2.8. Tedy že j-tý řádek součinu je lineárnı́ kombinacı́ řádků matice vpravo (té druhé), přičemž koeficienty této lineárnı́ kombinace jsou složkami j-tého řádku matice vlevo (té prvnı́). Budeme-li tedy chtı́t provést nějakou konkrétnı́ permutaci řádků πc matice A ∈ Rn×k , matici této úpravy dostaneme tak, že tutéž permutaci provedeme s řádky jednotkové matice In a aplikujeme ji zleva. Protože každou permutaci lze složit ze záměn dvojic, stačı́ se detailněji podı́vat jen na matici realizujı́cı́ tuto záměnu. Speciálně budeme-li chtı́t provést záměnu i-tého řádku ai a j-tého řádku aj matice A, j ≠ i, pak bude matice úpravy vypadat takto ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Πj,i = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⋱ 0
1 ⋱
1
0 ⋱
↑ i
↑ j
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ← i ⎥ ⎥ ∈ Rn×n . ⎥ ⎥ ← j ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥⎦
(3.22)
V souladu s již dřı́ve řečeným se jedná o jednotkovou matici, která má prohozený i-tý a j-tý řádek (resp. sloupec, je to totéž). Matici opět můžeme zapsat poněkud
Ukázka elektronické knihy