17. Limitn v ety Nyns e jiz zacneme za yvat limitnsmi zaksny prs ps ls pns ti nahsonych velicin V o kazech oeme vy zsvat na leo jscs technicke lemma L a am a Koyz ksmplexns cs la an k 2 C prs k = 1 2 kn , kn 2 N , n 2 N pln js kn X
pak plats
k=1
an k ;;;;;; n!+1! a 2 C lim p
kn X
n!+1 k=1
lim+1 n!
kn Y k=1
jan k j < +1 n!lim+1
kn X k=1
jan k j2 = 0
(1 + an k ) = ea :
D uka Psrsvname s cin expsnencials
Y ( kn ) (X ) kn mY kn ;1 X kn (1 + an k ) ; exp X an k an k (1 + an k ) (1 + an m ; expfan mg) exp k=1 m=1 k=1 k=1 ( kn k=)m+1 +1 k m ; 1 j n X XY X ja j (1 + jan k j) (anj!m) exp k=m+1 n k j=2 m=1 k=1 ! (X ) kn mY kn ;1 X jan m j2
expfjan k jg
m=1 k=1 kn 1 X
! (X kn
expfjan m jg exp
2
)
k=m+1
jan k j
= 2 jan m j exp jan k j ;;;;;; n!+1! 0 : m=1 k=1 Tvrzens lemmat je jiz oskazans, ne st' exp
(X kn k=1
2
)
a an k ;;;;;; n!+1! e :
QED
Nyns j me jiz chspni oskazsvat limitns vety V ta am 2 (Ps s s Necht' prs kazoe n 2 N j s oany realne n v Xn insmickym rszoelensm Bi(pn n) Koyz npn ;;;;;; n!+1! , koe 0 < < +1, pstsm D Xn ;;;;;; n!+1! X L(X) = Po( ) : (De nice insmickehs rszoelens Bi(p n) a Psi snsva rszoelens Po( ) j s veoeny v kapitsle 20 )
D uka Prs t 2 R plats
;
;
;
;
P^ Xn (t) = pn eit + qn n = 1 + pn eit ; 1 n :
Pslszme an k = pn eit ; 1 a sverme preopsklaoy lemmat 17 1 n X k=1 n X k=1 n X k=1
;
;
an k = npn eit ; 1 ! eit ; 1
jan k j = npn eit ; 1 ! 2 eit ; 1
jan k j2 = np2n eit ; 1 2 4 n1 (npn )2 ! 0 : 98
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518125
Z lemmatu
dostavame bodovou konvergenci charakteristickych funkc ; pro kazde t 2 R : P^ Xn (t ! exp eit ; Limitn funkce je charakteristickou funkc Poissonova rozdelen s intenzitou Podle vety 5 2 dostavame pozadovanou konvergenci nahodnych velicin v distribuci QED Pro statisticke uvahy maj velkou d ulezitost limitn vety pro soucty nezavislych realnych nahodnych velicin nebo realnych nahodnych vektor u Takovymto vetam se r ka centraln limitn vety (dale jen CLV Tuto problematiku temer beze zbytku res Fellerova{Lindebergova CLV V eta 17.3 (Fellerova-Lindebergova CLV)z Necht' pro kazde n 2 N je dano kn 2 N a pravdepodobnostn prostor ( n An Pn , na kterem jsou de novany nezavisle realne n v
Xn 1 Xn 2 : : : Xn kn 2 L 2 (( n An Pn Jestlize plat i kn X k=1
ii pro kazde " > 0 potom
EBXn 1 ] = EBXn 2 ] = : : : = EBXn kn ] = 0:
Var(Xn k ;;;;;; n!+1!
kn X 2 k=1 kn X k=1
E Xn k I jXn k j "] ;;;;;; !0 n!+1
D Xn k ;;;;;; n!+1! Z L(Z = N(0
:
P
D uka z Over me bodovou konvergenci charakteristickych funkc n v Sn = kkn=1 Xn k , n 2 N Vezmeme t 2 R , t 6= 0 V radku jsou n v nezavisle, a tak podle vety 5 3 plat P^ Sn (t =
kn Y ^
k=1
PXn k (t =
kn Y
k=1
+ P^ Xn k (t ;
:
Polozme
an k := P^ Xn k (t ; 2 = P^ Xn k (0 + t P^ 0Xn k (0 + t2 Re P^ 00Xn k ( n k + i Im P^ 00Xn k ( n k ; 2 2 (cos ( n k Xn k + i sin( n k Xn k = ; t2 E Xn k kde j n k j jtj, j n k j jtj Pri rozpisu se vyuz va toho, ze P^ Xn k (0 = a P^ 0Xn k (0 = i EBXn k ] = 0 Pro tato komplexn c sla over me predpoklady lemmatu h 2 i 2 Evidentne jan k j t2 E Xn k = t Var(Xn k Odtud kn kn X X lim sup jan k j t2 lim sup Var(Xn k = t2 : n!+1 k=1
n!+1 k=1
99
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS518125
2 Prk aaids " > 0 msam
jan k j t2 E Xn2 k I jXn k j<"] + t2 E Xn2 k I jXn k j "]
kn t2"2 + t2 X E Xn2 j I jXn j j "] : j =1
Odttd rk aaids " > 0 dkotsavsam p m ot ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g t2 "2 n!+1 Ttdsi n!p m ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g = 0 +1
3 S kj nsm k kt r dchkisch kikrkvsans dkotsavsam p m ot
kn X
n!+1 k=1
jan k j2
p m+1 ot fjan k j : k = 1 2 : : : kn g p m ot n!
kn X
n!+1 k=1
jan k j = 0 :
4 Z ysvsa j ot kv r t aknv rg nc oktctt cso p an k Prk 0 < " < 2 jtj dkotsavsam kdhad
an k + t2 Var(Xn k ) = t2 E Xn2 k (1 ; cko ( n k Xn k ) ; i o n( n k Xn k )) 2 2 + t2 E X 2 (1 ; cko ( X )) I 3t2 E X 2 I n k n k jXn k j "] jXn k j<"] + n k n k 2 2 2 t + 2 E Xn2 k jo n( n k Xn k )j I jXn k j<"] + t2 (1 ; cko (jtj ") + o n(jtj ")) Var(X ) : 3t2 E X 2 I
Paa
n k jXn k j "]
2
nk
2
X kn kn kn 2 X 2 X t t p m ot an k + 2 Var(Xn k ) p m ot an k + 2 Var(Xn k ) n!+1 k=1 n ! +1 k=1 k=1 k kn n 2 2 X + t (1 ; cko (jtj") + o n(jtj ")) p m ot X 3t p m ot E X2 I Var(X ) n k jXn k j "]
2 n!+1 k=1
= t2 (1 ; cko (jtj") + o n(jtj "))
2
n!+1 k=1
2
nk
rk aaids 0 < " < 2 jtj Prktk
X kn kn kn 2 X t2 : t = 0 a ttdsi p m X p m a + Var (X ) a = ; n k n k n k n!+1 k=1 n!+1 k=1 2 k=1 2
Ov r p jom r d kapady p mmatt 17 1 a taa rk aaids t 2 R pats P^ Sn (t) =
Ftnac
2 e; t2 j
kn Y
k=1
2
; t2 (1 + an k ) ;;;;;; n!+1! e :
charaat r ot cakt ftnacs nkrmsapnshk rkid p ns N(0 1) a taa kdp v ty 15 21 D Sn ;;;;;; n!+1! Z L(Z) = N(0 1) :
QED Strtattr n v r d kapsadans v v t 17 3 rsasam -ochsma (trkjsth pnsakvs ochsma) a kdmsnaa ( ) o trad cn naisyvsa F pp rkva-L nd rgkva kdmsnaa Jd k kdmsnat at rsa j "tsm r\ nttnsa rk patnkot CLV v i St san] aa IV 4 otr 370{392 100
Ukázka elektronické knihy