Obrázek 2.5: Efektivní hranice portfolií a přímka kapitálového trhu Pokud bychom si představili všechna taková portfolia, pak bychom dostali hranici efektivních portfolií, která na obrázku spojuje uvedená tři portfolia A, B a M. Vidíme, že funkce je rostoucí a konkávní. Nyní vložíme do úvahy bezrizikové aktivum, které je na obrázku 2.5 zachyceno kladnou hodnotou ve výši rf na vertikální ose. Představme si všechny kombinace bezrizikové výnosnosti a efektivního portfolia B. Graficky takové kombinace představuje čárkovaná polopřímka. Pokud se podíváme na obrázek pozorněji, snadno vidíme, že si lze však představit kombinace bezirikového aktiva a celé řady efektivních portfolií, která by ležela napravo od B, a která by při dané úrovni rizika přinášela vyšší střední výnosnost. Racionální investor by tedy nevolil portfolia, která jsou dána kombinací bezrizikového aktiva a efektivního portfolia B.
96
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS290086
Nejvyšší střední výnosnosti, kterých lze při libovolné úrovni rizika dosáhnout, jsou představovány kombinacemi bezrizikového aktiva a efektivního portfolia M. V této situaci vidíme, že se polopřímka vedená z rf dotýká hranice efektivních portfolií. Toto portfolio se označuje jako tržní portfolio a jeho kombinace s bezrizikovým aktivem se nazývají přímka kapitálového trhu. Vidíme, že přímka kapitálového trhu je lineární a rostoucí, v poslední částí odvodíme její sklon, což je tzv. Sharpeho poměr.
Obrázek 2.6: Optimální volba při investování na finančním trhu Po vymezení investičních příležitostí, což je přímka kapitálového trhu, je možné přejít k zachycení rozhodovací úlohy. Ve funkci užitku se setkává žádoucí statek s nežádoucím statkem. V takovém případě musí být mezní míra substituce ve spotřebě
97
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS290086
kladná hodnota. Pokud se totiž zvýší objem podstoupeného rizika, celkový užitek klesá. Pokud máme zůstat na stejné hladině užitku, musí dojít k růstu střední hodnoty výnosnosti, která propad užitku vykompenzuje. Současně platí, že s rostoucí výnosností klesá její vzácnost, mezní užitek, a s rostoucím rizikem roste jeho mezní neužitečnost. To znamená, že každá další jednotka podstoupeného rizika musí být při zachování celkového užitku doprovázena relativně vyšším přírůstkem střední výnosnosti. Proto jsou hladiny užitku (indiferenční křivky) v tomto případě zachyceny jako rostoucí a konvexní funkce. Původní portfolio je na obrázku 2.6 označeno jako A. Vidíme, že v této situaci je poměr mezní neužitečnosti rizika a mezního užitku výnosnosti, což je v tomto případě mezní míra substituce ve spotřebě nižší, než je Sharpeho poměr, což je sklon funkce investičních příležitostí. To je situace, která kvalitativně koresponduje s první částí výše uvedeného příkladu. Došli jsme k závěru, že investor bude motivován zvyšovat podstoupené riziko, tedy řečeno logikou grafického zachycení, bude volit portfolia napravo od A, čímž jak vidíme, se bude dostávat na vyšší hladiny užitku. Tato motivace ustane při volbě portfolia B, kdy se mezní míra substituce ve spotřebě vyrovná se Sharpeho poměrem.
2.5.3 Algebraické optimální volby
odvození
a
vysvětlení
podmínky
Prvním krokem je nalezení efektivní hranice portfolií. Úlohu budeme formulovat jako minimalizační. Budeme minimalizovat riziko 𝑛 portfolia 𝑉[𝑟𝑃 ] = ∑𝑛 𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝑐𝑜𝑣[𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 ] při omezení, které bude
dáno úrovní střední výnosnosti portfolia 𝐸[𝑟𝑃 ] = ∑𝑛 𝑖=1 𝑤𝑖 𝐸[𝑟𝑖 ], a za podmínky, že součet vah jednotlivých akcií v portfoliu je jedna.
98 Ukázka elektronické knihy