98
KAPITOLA 4. ZÁPORNÁ ČÍSLA
Speciálně derivace lineární funkce f (x) = x je f ′ (x) = x0 = 1 a derivace konstantní funkce f (x) = c je nulová: f ′ (x) = 0. Lineární funkce je svou vlastní tečnou. Snadno se odvodí vzorce pro derivaci součtu, součinu a podílu funkcí. f (x + ε) + g(x + ε) − f (x) − g(x) ε→0 ε ′ ′ = f (x) + g (x),
(f + g)′ (x) = lim
f (x + ε) · g(x + ε) − f (x) · g(x) ε→0 ε (f (x + ε) − f (x)) · g(x + ε) + f (x) · (g(x + ε) − g(x)) = lim ε→0 ε ′ ′ = f (x) · g(x) + f (x) · g (x),
(f · g)′ (x) = lim
( ) ( )′ f (x + ε) f (x) f 1 (x) = lim · − ε→0 ε g g(x + ε) g(x) (f (x + ε) − f (x)) · g(x) − f (x) · (g(x + ε) − g(x)) ε→0 ε · g(x) · g(x + ε)
= lim
f ′ (x) · g(x) − f (x) · g ′ (x) = . g 2 (x) Odtud pro mocninu se záporným exponentem plyne ( )′ 1 0 − n · xn−1 −n ′ (x ) = = = −nx−n−1 . xn x2n Derivace složené funkce (f ◦ g)(x) = f (g(x)) je (f ◦ g)′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x). Speciálně pro konstantní funkci g(x) = c je (f ◦ g)′ (x) = c · f ′ (cx), (f · g)′ (x) = c · f ′ (x).
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS289003
4.6. INTEGRÁLNÍ POČET
99
Funkce f (x) = x2 + 2bx + c (obr. 4.4) má derivaci f ′ (x) = 2x + 2b. Pro x < −b je f ′ (x) < 0 a f je klesající. Pro x > −b je f ′ (x) > 0 a f je rostoucí. Je-li funkce f ryze monotónní, tedy buď rostoucí, nebo klesající, existuje k ní funkce inverzní g(x) = f −1 (x), pro kterou platí f (g(x)) = x, g(f (x)) = x. Jsou-li obě tyto funkce diferencovatelné, derivací rovnosti f (g(x)) = x dostáváme f ′ (g(x))·g ′ (x) = 1. Z toho plyne vzorec pro derivaci inverzní funkce 1 g ′ (x) = ′ . f (g(x)) 1 √ Například q-tá odmocnina g(x) = q x = x q je inverzní ke q-té mocnině f (x) = xq , takže g ′ (x) =
1 1 q
f ′ (x )
=
1 1 q
q · (x )q−1 p
=
1 1q −1 ·x . q
1
Pro racionální mocninu f (x) = x q = (x q )p je podle vzorce o derivaci složené funkce 1
f ′ (x) = p · (x q )p−1 ·
1 1q −1 p pq −1 ·x = ·x . q q
Pro každý racionální exponent a je tedy (xa )′ = a · xa−1 .
4.6 Integrální počet Operace inverzní k derivaci je integrace. Určitý integrál spojité funkce f (x) v mezích od a do b je plocha rovinného útvaru omezeného osou x, grafem funkce f (x) a svislými úsečkami v bodech a < b. Tuto plochu lze určit jako limitu ploch mnohoúhelníků na obr. 4.9. Interval [a, b] rozdělíme na n intervalů délky b−a s hraničními body xj = a + nj (b − a), n j = 0, 1, . . . , n. Plochu mezi osou x, grafem funkce f (x) a svislými úsečkami v bodech xj , xj+1 aproximujeme plochou obdélníka se stranami a f (xj ). Je-li je funkce f spojitá v intervalu [a, b], pak xj+1 − xj = b−a n
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS289003
100
KAPITOLA 4. ZÁPORNÁ ČÍSLA
plochy součtů těchto obdélníků tvoří cauchyovskou posloupnost. Její limitou je určitý integrál ∫ a
b
n−1 b−a ∑ f (x) dx = lim · f (a + nj (b − a)) n→∞ n j=0
funkce f v mezích od a do b. Základní věta analýzy říká, že operace integrace je inverzní k operaci derivace. Derivace určitého integrálu s proměnnou horní mezí je integrovaná funkce.
a
b
Obrázek 4.9: Určitý integrál. Věta 4.6 (Základní věta analýzy) Předpokládejme, že funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Pro a < y < b položme ∫ y F (y) = f (x) dx. a
Pak F ′ (y) = f (y) pro každé y ∈ (a, b). Důkaz plyne ze spojitosti funkce f (y): F (y + ε) − F (y) 1 F (y) = lim = lim ε→0 ε→0 ε ε ′
∫
y+ε
f (x) dx y
f (y) · ε = f (y). ε→0 ε
= lim
Ze základní věty analýzy plyne, jak lze určitý integrál dané funkce f vypočítat. Je třeba najít funkci F (y), jejíž derivace je daná funkce f .
Ukázka elektronické knihy