KAPITOLA ČTVRTÁ
RIEMANNOVA HYPOTÉZA: OD NESOURODÝCH PRVOČÍSEL K UKÁZNĚNÝM KOŘENŮM Riemannova hypotéza je matematické tvrzení, že prvočísla můžeme popsat pomocí hudby. To, že v prvočíslech zní hudba, je jen poetické vyjádření tohoto tvrzení. Bude to ale hodně postmoderní druh hudby. Michael Berry, Univerzita v Bristolu
Riemann našel průchod z důvěrně známého světa čísel do hájemství matematiky, která by se Řekům jevila nejspíš jako doslova mimozemská, ačkoli oni se studiem prvočísel zabývali již před dvěma tisíciletími. Smíchal prostě jen jakousi nevinnou kombinaci komplexních čísel a zeta funkce, aby náhle zjistil, že elixír, který mu z těchto přísad vyšel, je matematickým pokladem, za kterým se lidstvo pachtí po mnoho generací. Své myšlenky stěsnal do pouze desetistránkového článku, bylo mu ale nepochybně jasné, že jeho nápady otevřou radikálně nové vyhlídky pro studium prvočísel. Riemannova schopnost uvolnit plnou sílu zeta funkce měla původ v rozhodujících objevech, které učinil během svého pobytu v Berlíně a později během svého doktorského studia v Göttingenu. To, co nejvíce ohromilo Gausse, když pročítal Riemannovu doktorskou disertaci, byla neobyčejně silná geometrická intuice, kterou mladý matematik prokázal, když dosazoval do různých funkcí komplexní čísla. Koneckonců Gauss se mohl opřít o svůj vlastní mentální obraz plánku komplexních čísel, který vytvořil předtím, než zboural své koncepční lešení. Riemann při budování své teorie komplexních čísel vycházel zejména z Cauchyho práce, přičemž Cauchy chápal funkce jako nějaké předpisy zadané rovnicí. Riemann vnesl do hry novou myšlenku, že ačkoli na počátku může stát rovnice, nejdůležitější roli stejně hraje graf funkce touto rovnicí dané a jeho geometrické vlastnosti. 98
ÚVOD Potíž spočívá v tom, že graf funkce, do níž dosazujeme komplexní čísla, není cosi, co by bylo možné nakreslit. Aby svůj graf mohl načrtnout, potřeboval by Riemann čtyři rozměry. Jak chápou matematici čtvrtý rozměr? Vášniví čtenáři kosmologické literatury by asi řekli, že čtvrtým rozměrem by mohl být „čas“. Pravdou je, že ať nás zajímá prakticky cokoli, vždy používáme nějaké rozměry, abychom předmět našeho zájmu mohli správně studovat. Ve fyzice používáme tři prostorové dimenze a jednu časovou. Ekonomové zabývající se výzkumem vzájemných vztahů mezi úrokovou mírou, inflací, nezaměstnaností a národním dluhem dovedou národní ekonomiku interpretovat jako čtyřrozměrnou krajinu. Když se vydávají vzhůru po ose úrokové míry, zkoumají, jak se chová ekonomika ve zbývajících třech rozměrech. Takový čtyřrozměrný model naší ekonomiky sice neumíme nakreslit, přesto ale je to krajina, jejíž údolí a kopečky můžeme prozkoumávat. Pro Riemanna byla podobně zadána i funkce zeta, tedy jako cosi, co existuje jen ve čtyřrozměrném prostoru. Dvě složky každého komplexního čísla, které Riemann do své funkce dosazoval, zabraly první dvě dimenze. Třetí a čtvrtou dimenzi pak využil k popisu souřadnic komplexního čísla, které tvořilo výstupní hodnotu funkce. Nesnáz je v tom, že my lidé žijeme pouze v trojrozměrném prostoru, a tedy nemůžeme dost dobře chtít, abychom byli schopni v našem vizuálním světě vnímat takové nové „komplexní grafy“. Matematici vždy využívali jazyk matematiky k vycvičení svého vnitřního zraku, aby jim pomohl podobné struktury „vidět“. Ale i když třeba nemáme k dispozici žádné takové matematické „čočky“, existují jiné způsoby, jak porozumět mnoharozměrným světům. Jeden z nejlepších způsobů, jak na to jít, je pozorovat stín vícerozměrných objektů. Náš vlastní stín je jen dvojrozměrný obraz trojrozměrného těla. Při pohledu z určité perspektivy nedává stín mnoho informací, ale například při pohledu z boku nám může silueta poskytnout dostatek informací o trojrozměrné osobě k tomu, abychom byli schopni rozpoznat její obličej. Obdobným způsobem můžeme sestrojit trojrozměrný stín čtyřrozměrné krajiny, kterou vybudoval Riemann pomocí zeta funkce. Ta v sobě obsahuje dostatek informací k tomu, abychom Riemannovy myšlenky pochopili. Na Gaussově dvojrozměrné mapě jsou zaznamenána čísla, která budeme do zeta funkce dosazovat. Na svislé ose zaznamenáváme, jak velký krok jsme učinili v imaginárním směru, zatímco na vodorovné ose máme reálná čísla. Tuto mapu můžeme položit na stůl. To, co potřebujeme udělat, je vymodelo99
4. RIEMANNOVA HYPOTÉZA: OD NESOURODÝCH PRVOČÍSEL K UKÁZNĚNÝM KOŘENŮM vat krajinu vznášející se v prostoru nad touto mapou. Stín funkce zeta se tak stane fyzickým objektem, na němž budeme moci studovat vrcholy a údolí. Výška krajiny nad každým komplexním číslem ležícím na mapě by měla udávat výslednou hodnotu, kterou obdržíme po dosazení tohoto čísla do funkce zeta. Při takové konstrukci krajiny musí pochopitelně nevyhnutelně dojít k určité ztrátě informace, podobně jako je tomu u stínu, který je nám schopen o trojrozměrném objektu sdělit jen velmi omezené údaje. Budeme-li však takovým předmětem otáčet, pak dostaneme několik různých stínů, které nám odhalí rozličné aspekty zkoumaného předmětu. Podobně je tomu u našich čísel. Máme několik možností, jaký údaj zaneseme do krajiny jakožto výšku nad daným komplexním číslem na mapě položené na stole. Existuje ale jedna možná volba stínu, která obsahuje takové množství informací, že z ní Riemannův odhad lze nahlédnout. Je to perspektiva, která pomáhala Riemannovi, aby se na své cestě po světě za zrcadlem neztratil. Jak tedy tento speciální trojrozměrný stín zeta funkce vypadá? Když Riemann začínal prozkoumávat svou krajinu (obrázek 18), setkal se s několika klíčovými faktory. Postavíme-li se do krajiny a pohlédneme směvýška
sever
východ
Obr. 18: Zeta krajina – Riemann přišel na to, jak tento diagram rozšířit do nových teritorií směrem na západ.
100
Ukázka elektronické knihy