98 / Základy finančního řízení podniku
■■ Příklad (rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením) Vypočtěte konečný zůstatek vkladu 100 000 Kč při roční úrokové sazbě 6 % p.a. a následujících předpokladech: a) Doba úročení je 12 měsíců a úroky jsou připisovány ročně. b) Doba úročení je 12 měsíců a úroky jsou připisovány měsíčně. Řešení příkladu a) Délka úrokového období je jeden rok a doba úročení je tedy rovna délce úrokového období. Proto aplikujeme koncept jednoduchého úročení. Konečný zůstatek vkladu za jeden rok činí: K1 = 100 000 · (1 + 0,06) = 106 000 Kč b) Délka úrokového období je jeden měsíc. Úroková sazba vztažená k délce úrokového období je 6 % / 12 = 0,5 % p.m. Proto aplikujeme koncept složeného úročení. Konečný zůstatek vkladu za 12 měsíců činí: K12 = 100 000 · (1 + 0,005)12 = 106 167,8 Kč Výpočet můžeme rozepsat i podrobněji: ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●
Zůstatek na konci 1. měsíce: 100 000 · (1 + 0,005) = 100 500 Kč. Zůstatek na konci 2. měsíce: 100 500 · (1 + 0,005) = 101 002,5 Kč. Zůstatek na konci 3. měsíce: 101 002,5 · (1 + 0,005) = 101 507,5 Kč. Zůstatek na konci 4. měsíce: 101 507,5 · (1 + 0,005) = 102 015,1 Kč. Zůstatek na konci 5. měsíce: 102 015,1 · (1 + 0,005) = 102 525,1 Kč. Zůstatek na konci 6. měsíce: 102 525,1 · (1 + 0,005) = 103 037,8 Kč. Zůstatek na konci 7. měsíce: 103 037,8 · (1 + 0,005) = 103 552,9 Kč. Zůstatek na konci 8. měsíce: 103 552,9 · (1 + 0,005) = 104 070,7 Kč. Zůstatek na konci 9. měsíce: 104 070,7 · (1 + 0,005) = 104 591,1 Kč. Zůstatek na konci 10. měsíce: 104 591,1 · (1 + 0,005) = 105 114,0 Kč. Zůstatek na konci 11. měsíce: 105 114,0 · (1 + 0,005) = 105 639,6 Kč. Zůstatek na konci 12. měsíce: 105 639,6 · (1 + 0,005) = 106 167,8 Kč.
Jelikož v průběhu roku došlo v situaci b) díky aplikaci konceptu složeného úročení k úročení dosud naběhlých úroků, je zůstatek v situaci b) na konci roku vyšší než v situaci a), přestože předpokládaná doba úročení je stejná.
■■ Příklad (rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením) Počáteční investice je 100 000 Kč, úroková sazba 10 % p.a. Jaká bude hodnota této investice za 1 rok za předpokladu ročního připisování úroků? Jaká by byla hodnota této investice za dva měsíce za předpokladu ročního připisování úroků? Jaká bude hodnota investice za dva měsíce za předpokladu měsíčního připisování úroků?
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS256229
Koncept časové hodnoty peněz / 99 Řešení příkladu Je-li úrokové období 1 rok (tedy úroky jsou připisovány jedenkrát ročně), pak pokud na počátku uložíme 100 000 Kč, budeme za 1 rok mít částku: 100 000 + 100 000 · 0,1 = 110 000 Kč . Tento vztah také může mít tvar: 100 000 · (1 + 0,1) = 110 000 Kč. Za 2 měsíce budeme mít na účtu: 100 000 + 100 000 · 0,1 / 365 · 60 = 101 643,8 Kč. Toto rovněž můžeme vyjádřit ve tvaru 100 000 · (1 + 0,1 · 60 / 365) = 101 643,8 Kč. Bude-li úrokové období 1 měsíc (tedy úroky jsou připisovány jedenkrát měsíčně), pak je vhodné přepočítat roční úrokovou sazbu na příslušnou délku úrokového období – tedy na jeden měsíc. Roční úroková sazba 10 % p.a. odpovídá měsíční úrokové sazbě 10 % / 12 = 0,833 % p.m. Pokud na počátku uložíme 100 000 Kč, budeme mít za jeden měsíc na účtu: 100 000 + 100 000 · 0,1 / 12 · 1 = 100 833,3 Kč. Pokud bude za předpokladu měsíčního připisování úroků trvat úložka dva měsíce, pak je splněn předpoklad, že doba úročení je delší než úrokové období a je třeba aplikovat koncept složené ho úročení. Za dva měsíce tedy budeme mít na účtu: 100 833,333 + 100 833,333 · 0,1/12 · 1 = = 101 673,61 Kč. Toto také můžeme vyjádřit ve tvaru 100 000 · (1 + 0,1/12)2 = 101 673,61 Kč.
■■ Příklad (praktická aplikace jednoduchého úročení) Podnik Alabama, a.s. má závazek 50 000 EUR splatný za 6 měsíců. Vzhledem k posilování kurzu EUR vůči Kč uvažuje o zajištění proti pohybu kurzu. Vlastní hotovost bude mít k dispozici až za 6 měsíců, ale hotovost si může opatřit i dříve formou bankovního úvěru s úrokovou sazbou 15 % p.a. a s ročním připisováním úroků. Finanční ředitel má rozhodnout, která z následujících možností je výhodnější: a) Promptní nákup EUR za 25,3 Kč, uložení eur na devizový účet na 6 měsíců při úrokové sazbě 4 % p.a. a úhrada v okamžiku splatnosti (na konci 6. měsíce). b) Nákup EUR za termínovaný kurz 25,6 Kč za 2 měsíce; uložení částky na 4 měsíce na devizový účet za 2,5 % p.a. a úhrada v okamžiku splatnosti (na konci 6. měsíce). c) Nákup EUR za termínovaný kurz 27 Kč za 6 měsíců a hned poté úhrada závazku. Řešení příkladu Ze zadání příkladu je patrné, že podnik může směnit Kč na EUR za promptní (spotový) kurz 25,3 Kč/EUR, který je platný pro okamžitý nákup dnes. Nebo může dnes sjednat nákup, který se uskuteční za dva měsíce, a to za dvouměsíční forwardový (termínovaný) kurz 25,6 Kč/EUR. Poslední možností je sjednat nákup, který se uskuteční za šest měsíců, a to za šestiměsíční for wardový (termínovaný) kurz 27 Kč/EUR. V každém případě má-li se nákup uskutečnit dříve než za šest měsíců, bude si muset podnik peníze zajistit formou bankovního úvěru. Půjčit si v bance za úrokovou sazbu 15 % p.a. a následně peníze uložit za 4 % p.a. (varianta a) nebo za 2,5 % p.a. (varianta b) je samo o sobě nevýhodné, ale podnik tím získává jako výhodu možnost nakoupit EUR za nejlepší promptní (spotový) kurz, případně za dvouměsíční forwardový kurz. Nejdražší nákup uskuteční podnik v případě šestiměsíčního forwardového kurzu. Zde si ale nemusí půjčovat žádné peníze za vysoký úrok (15 % p.a.). Záleží tedy, která z uvedených výhod a nevýhod převáží. Pro výběr nejvhodnější varianty je vždy třeba vzájemné porovnání, které musí být provedeno ke stejnému časovému okamžiku (například z pohledu konce šestého měsíce, kdy již má podnik k dispozici vlastní zdroje financování).
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS256229
100 / Základy finančního řízení podniku Řešení jednotlivých variant je provedeno formou odpovědí na tři základní otázky, které si je nutné v tomto kontextu položit, a to: Varianta a) Otázka 1 Kolik EUR bude podnik nyní potřebovat nakoupit? Na devizovém účtu naběhnou úroky za 6 měsíců, takže není třeba kupovat celou částku 50 000 EUR, postačí pouze částka x, která po šestiměsíčním úročení dosáhne zůstatku 50 000 EUR. Výpočet je následující: x · (1 + 0,04/12 . 6) = 50 000 EUR x = 49 019,6 EUR Jelikož v okamžiku nákupu EUR (tedy nyní) podnik nemá k dispozici vlastní hotovost, musí si na nákup částky 49 019,6 EUR vypůjčit příslušný obnos v Kč. Otázka 2 Kolik si na nákup tohoto množství EUR musí podnik nyní (tedy v okamžiku nákupu EUR za spotový kurz) vypůjčit Kč? 49 019,6 · 25,3 Kč/EUR = 1 240 195,9 Kč Otázka 3 Kolik musí podnik z vlastní hotovosti zaplatit za půjčku 1 240 180,7 Kč na konci 6. měsíce? 1 240 195,9 · (1 + 0,15 / 12 · 6) = 1 333 210,6 Kč Varianta b) V této variantě podnik nebude podnik nyní provádět žádnou transakci, pouze si sjedná dvou měsíční termínovaný kontrakt (tedy nákup EUR za dva měsíce). Nákup EUR proběhne teprve za dva měsíce od nynějšího okamžiku. Otázka 1 Kolik EUR bude podnik potřebovat za dva měsíce nakoupit? Na devizovém účtu na běhnou úroky za 4 měsíce, takže není třeba kupovat celou částku 50 000 EUR, postačí pouze částka x, která po čtyřměsíčním úročení dosáhne zůstatku 50 000 EUR. Výpočet je následující: x · (1 + 0,025 / 12 ·. 4) = 50 000 EUR x = 49 586,8 EUR Jelikož v okamžiku nákupu EUR (tedy za dva měsíce) podnik nemá k dispozici vlastní hotovost, musí si na nákup částky 49 586,8 EUR vypůjčit příslušný obnos v Kč. Otázka 2 Kolik si na nákup částky 49 586,8 EUR musí podnik na konci 2. měsíce vypůjčit Kč? 49 586,8 · 25,6 Kč/EUR = 1 269 422 Kč Otázka 3 Kolik musí podnik z vlastní hotovosti zaplatit za půjčku 1 269 422 Kč na konci 6. měsíce? Jelikož si podnik půjčil až na konci druhého měsíce, zaplatí za půjčku úroky naběhlé za 4 měsíce (od měsíce 2 do měsíce 6), tedy: 1 269 422 · (1 + 0,15/12 · 4) = 1 332 893 Kč Varianta c) Podnik nebude provádět žádnou transakci před okamžikem splatnosti závazku, nyní (tedy na počátku prvního měsíce) musí pouze sjednat šestiměsíční termínovaný kontrakt na nákup 50 000 EUR za termínovaný kurz 27 Kč/EUR. Závazek bude hradit na konci 6. měsíce, kdy již
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS256229