Issuu

KAPITOLA 4. ZÁKLADNÍ PROBLÉMY MECHANIKY

√ Při pádu z malé výšky h ≪ R, s < h a dostáváme známý vztah vz = − 2gs. Volný pád (i z nekonečna) končí dopadem na zemský povrch konečnou rychlostí vd . Přitom z = R, takže podle (4.3) r r z0 − R h = − 2gR . (4.5) vd = − 2gR z0 R+h √ Při pádu z malé výšky dostáváme vd = − 2gh, při pádu z velké výšky h ≫ R p (4.6) vd = − 2gR,

která se nazývá druhou kosmickou rychlostí a má velikost 11, 2 km · s−1 . Minimálně touž rychlostí byste museli vrhnout těleso svisle vzhůru, aby již nedopadlo zpět na zemský povrch. Závislost průběhu volného pádu z libovolné výšky na zem (zákon pohybu) a celkovou dobu pohybu dostaneme integrací vztahu (4.2). Provedeme separaci proměnných z a t a zintegrujeme s použitím substituce ξ 2 = z/z0 :

t=−

√

z0 z

1 p dz = − 2 R 2gR (z0 − z)

2z03 g

√ Zz/z0 1

ξ2

1 p dξ = 2 R 1−ξ

z03 2g

z z0

z 1− z0

+ arccos

# z . (4.7) z0

Poznámka. Při integrování jsme použili následující úpravu a metodu per partes: Z Z p Z Z Z Z p 1 − ξ2 − 1 dξ ξ2 dξ ξ2 p p p p p dξ = − dξ = − 1 − ξ 2 dξ + = −ξ 1 − ξ 2 − . dξ + 2 2 2 2 1−ξ 1−ξ 1−ξ 1 − ξ2 1−ξ

Těleso padající z výšky h dopadne na zemský povrch při z = R podle (4.7) za dobu

1 tR = R

" # r R+h √ R Rh + (R + h) arccos . 2g R+h

Při pádu z velké výšky h ≫ R se bude arccos blížit π/2 a s h3 π . tR = 2 2gR2

(4.8)

(4.9)

√ V přiblížení malých výšek h ≪ R použijeme vztah arccos x=arcsin 1 − x2 a rozklad funkce arcsin do mocninné řady. V přiblížení prvního členu máme "µ ¶ # r r r 3/2 R h h h ≈ arcsin = + O arccos R+h R R R a po dosazení do (4.8) dostaneme známý vztah tR =

2h/g.

Volný pád v odporujícím prostředí Zatím jsme uvažovali o volném pádu ve vakuu, kde se neuplatní odpor prostředí. Při pohybu těles v zemské atmosféře působí ovšem vedle síly tíhové též síla odporová, která závisí na rychlosti. Není to tedy síla konzervativní, nelze ji vyjádřit pomocí potenciální energie a uplatnit zákon zachování mechanické energie. Část kinetické energie se totiž přeměňuje na energii tepelného pohybu, atmosféra i těleso se zahřívají, a tím přesně vzato vycházíme za rámec mechaniky. Protože zemská atmosféra nezanedbatelné hustoty obklopuje Zemi jen do výšky několika desítek kilometrů (!), můžeme se omezit na pád z malé výšky h. Odporová síla při pádu větších těles (velké dešťové kapky, kroupy, kámen, padák) bývá nejčastěji úměrná druhé mocnině rychlosti (Newtonův odpor). Je rovna Fz = 12 CSρv 2 , kde ρ je hustota prostředí, S příčný průřez tělesa a C tvarový faktor (např. pro těleso aerodynamického tvaru . . . C = 0, 03, kulového tvaru C = 0, 48, pro padák C = 1, 33. Zvláštní situace nastává při dopadu meteoroidu na zemský povrch. Takové těleso se pohybuje převážnou část své dráhy ve vakuu a je podrobeno odporové síle

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS234256

4.1. POHYB VOLNÉHO TĚLESA V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ

atmosféry až v posledním, krátkém úseku své dráhy. Přitom se silně zahřeje, zazáří v podobě meteoru (bolidu), většinou se rozpadne na menší části a ty pak nacházíme na Zemi jako meteority. Vzhledem k tomu, že meteoroid se pohybuje rychlostí desítek kilometrů za sekundu, má obrovskou kinetickou energii, může v atmosféře vyvolat ničivou rázovou vlnu s účinky srovnatelnými s jadernou explozí. Také přesnost zásahu balistických a kosmických raket je dána tím, že procházejí atmosférou jen krátce a pohybují se převážně ve vakuu, kde je možno jejich pohyb určit matematicky s velkou přesností. Zapíšeme pohybovou rovnici volného pádu tělesa z výšky h v homogenním tíhovém poli s odporem prostředí, který je úměrný druhé mocnině rychlosti (jednodušší případ úměrnosti první mocnině rychlosti je řešen v úloze 4.3): m¨ z = −mg + Kvz2 (4.10) (osa z směřuje vzhůru). Jak víme, těžká i lehká tělesa padají v tíhovém poli ve vakuu se stejným zrychlením; působí-li odpor prostředí, přestává to platit. Označíme proto k = K/m > 0 a máme z¨ = −g + kvz2

(4.11)

(¨ z < 0 ⇒ kvz2 < g). Separací proměnných a následným integrováním se substitucí ξ =

Zvz 0

Odtud

r 1 dvz = − −g + kvz2 gk

r p g vz = − tgh( gkt), k

√ Zk/gvz 0

Zt 0

dξ 1 =− 1 − ξ2 2

vz dt = h −

k g vz

dostaneme

1 1+ξ ln . gk 1 − ξ

p 1 ln[cosh( gkt)]. k

(4.12)

Rozložíme-li hyperbolické funkce do řad, snadno se přesvědčíme, že pro malý odpor prostředí k → 0 dostáváme 1 vz = −gt + g 2 kt3 + O(kt5 ), 3

1 1 z = h − gt2 + g 2 kt4 + O(kt6 ). 2 12

pBude-li pád trvat dostatečně dlouho (padák), bude se jeho rychlost asymptoticky blížit hodnotě vz → − g/k. Dosadíme-li koeﬁcient k vyplývající ze vztahu pro Newtonův odpor, dostaneme pro rychlost dopadu tělesa na padáku r 2mg v= CSρ a použijeme-li číselné hodnoty m = 100 kg, C = 1, 33, průměr plochy rozevřeného padáku d = 6 m a hustoty vzduchu ρ = 1, 276 kg m−3 , vyjde nám poměrně bezpečná hodnota rychlosti dopadu v ≈ 6, 5 m s−1 .

Pohyb tělesa na rotující Zemi Při studiu volného pádu tělesa jsme považovali svislou přímku vycházející ze středu Země za jednu z os inerciální vztažné soustavy. Přitom jsme ovšem neuvažovali pohyb, zejména rotaci Země, která vyvolává další, setrvačné síly. Vztažná soustava spojená s povrchem Země je tedy neinerciální. Tento problém musel řešit už Galileo, když čelil námitkám, že padající těleso nemůže dopadnout k patě svislice, neboť rotující Země mu během jeho pádu ‘podjede’. Omezíme se na pohyb ve vakuu, v malé oblasti prostoru, v níž můžeme považovat gravitační pole za homogenní, a pohyb za krátkodobý ve srovnání s periodou zemské rotace. Počátek inerciální kartézské vztažné soustavy S, x,y,z umístíme do středu Země a osy namíříme k stálicím. Tím zanedbáme dlouhodobý vliv revoluce Země, tedy jejího oběhu kolem Slunce střední rychlostí 29,7 km s−1 lišící se v přísluní a odsluní maximálně o 0,5 km s−1 . Přitom odchylka od směru pohybu činí v průměru 1◦ za den. Počátek neinerciální vztažné soustavy S’, x’,y’, z’ na povrchu Země umístíme do našeho stanoviště, osu z ′ namíříme svisle vzhůru, osu x′ směrem východním a osu y ′ na sever – viz obr. 4.1. Podotkněme, že na rozdíl od případů rozebíraných v předchozích kapitolách počátky inerciální a neinerciální soustavy nyní nesplývají, ale

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS234256

100

KAPITOLA 4. ZÁKLADNÍ PROBLÉMY MECHANIKY

Ω Ω

z’ O’

y’ x’ R

Obrázek 4.1: Vztažná soustava na povrchu Země platí pro ně r ′ = r − R(t), kde R je poloměr Země. Řešení pohybu malého tělesa v takové neinerciální soustavě na povrchu Země znamená obecně integrovat poměrně komplikovaný vztah pro zrychlení (viz např. (3.127)): ˙ × r ′ − 2Ω × v ′ . a′ = ag − A − Ω × (Ω × r ′ ) − Ω (4.13) . Všimněte si, že tento vztah neobsahuje hmotnost tělesa. Zde Ω = 7, 292 · 10−5 s−1 je velikost úhlové rychlosti zemské rotace a zkoumáme-li tedy krátkodobé pohyby, můžeme členy s vyššími mocninami Ω zanedbat. První člen na pravé straně (4.13) představuje zrychlení vyvolané pravými gravitačními silami, tedy působením Země, Slunce, Měsíce a dalších těles sluneční soustavy. Tato síla závisí přesně vzato i na geometrickém tvaru a lokálním rozložení hmoty Země. Druhý člen −A = Ω×(Ω×R) vyjadřuje unášivé zrychlení vyvolané rotací Země, které způsobuje, že počátek naší neinerciální soustavy S ′ obíhá kolem zemské osy. Tomuto pohybu odpovídá stálá odstředivá síla, která míří kolmo od zemské osy rotace, leží v rovině místního poledníku a má velikost R Ω2 cos ϕ′ , kde R je poloměr Země . a ϕ′ geocentrická šířka (Ω2 R = 3, 4 cm s−2 ). Odstředivé zrychlení se vektorově skládá s (pravým) zrychlením gravitačním ve výsledné zrychlení tíhové označované jako g. V malé oblasti prostoru u zemského povrchu můžeme považovat tíhové zrychlení za konstantní. Experimentálně nemáme možnost gravitační a odstředivou sílu od sebe odlišit a můžeme měřit jen výslednou sílu tíhovou. Olovnice nám tak ukazuje nikoli směr do středu Země, ale odchyluje se od něho maximálně o 6′ . (Budeme-li Zemi aproximovat rotačním elipsoidem, až o 11′ ). Astronomickými přístroji nivelovanými pomocí olovnice a vodováhy proto určujeme zeměpisnou (geograﬁckou) šířku ϕ, která se od geocentrické šířky liší. Třetí člen na pravé straně rovnice (4.13) představuje odstředivou sílu v naší soustavě S ′ , obsahuje druhou mocninu Ω a malou hodnotu velikosti r′ a můžeme ho tedy zanedbat. Čtvrtý člen je zrychlení Eulerovo, které by se uplatnilo při zpomalování nebo zrychlování zemské rotace. Tyto změny dnes skutečně sledujeme pomocí atomových hodin, ale jde řádově pouze o milisekundy za rok. Zbývá nám pohybová rovnice s tíhovou a Coriolisovou silou dv ′ = g + 2v ′ × Ω . (4.14) dt Například pohybuje-li se těleso na severní polokouli vodorovně ve směru poledníku ze severu na jih, bude Coriolisova síla o velikosti FC = 2mv ′ Ω sin ϕ odklánět těleso směrem na západ a naopak. Pro pomalu se pohybující tělesa je tato síla přirozeně malá, ale mohou se projevit její dlouhodobé účinky. V klimatologii a meteorologii je s ní třeba rozhodně počítat, protože ovlivňuje směr pohybu pasátních větrů a mořských proudů, smysl otáčení cyklonů a tornád apod. Pohybuje-li se těleso po rovnoběžce, bude Coriolisova síla mířit kolmo k zemské ose rotace, bude se sčítat se silou odstředivou a nebude záviset na zeměpisné šířce ϕ. Vraťme se k řešení pohybové rovnice (4.14). Máme g ≡ (0, 0, −g), Ω ≡ (0, Ω cos ϕ, Ω sin ϕ) . Rozepíšeme nyní rovnici do složek jako x¨′ = 2y˙′ Ω sin ϕ − 2z˙′ Ω cos ϕ, y¨′ = −2x˙′ Ω sin ϕ, z¨′ = −g + 2x˙′ Ω cos ϕ .

Ukázka elektronické knihy, UID: KOS234256