98
4.5 Charakteristiky polohy
jezdı´ v pravidelny´ch intervalech de´lky 30 minut; d) naprˇ. pocˇet hodu˚, v nichzˇ na minci padne lı´c, opakujeme-li hod n-kra´t. 3. a) f (x): 1/4 pro 1 < x < 5, 0 jinak; b) 0,5; 0,5; 0,25; 0; 4. a) c = 2; b) F(x): 0 pro x ≤ 0, 2x−x2 pro 0 < x < 1, 1 pro x ≥ 1; c) 0,25; 0,9375; 5. a) c = 3; b) F(x): 0 pro x ≤ 1, 1 − 1/x3 pro x > 1; c) 0,125; 0,296; 0,088;
a) Urcˇete funkci hustoty te´to na´hodne´ velicˇiny a zobrazte ji graficky. b) Vypocˇ´ıtejte pravdeˇpodobnosti P(X < 2), P(1 < X < 3), P(x > 4). Rˇesˇenı´. 1. a) diskre´tnı´: M = {3, 4, 5, . . . , 18}; b) spojita´: M = = h0, 5); c) diskre´tnı´: M = {0, 1, 2, . . . , 50}; d) diskre´tnı´: M = {0, 1, 2, . . . }; e) spojita´: M = (0, ∞); f) spojita´: M = (0, 100). 2. a) naprˇ. vy´kon ve vrhu koulı´; b) naprˇ. pocˇet hodu˚ kostkou, ktere´ je trˇeba prove´st, dokud nepadne sˇestka; c) naprˇ. doba cˇeka´nı´ na autobus, ktery´
6. c = 1, f (x): 0 pro x ≤ 0, x−1
x2
x − 2σ 2 e σ2
pro x > 0;
7. a) f (x): 12 e− 2 pro x > 1, 0 pro x ≤ 1; b) 0,393; 0,632; 0,223.
4.5 Charakteristiky polohy Distribucˇnı´ funkce, resp. pravdeˇpodobnostnı´ funkce nebo funkce hustoty pravdeˇpodobnosti poda´va´ u´plnou informaci o pravdeˇpodobnostnı´m chova´nı´ na´hodne´ velicˇiny. Zna´me-li tyto funkce, vı´me, jaky´ch hodnot mu˚zˇe tato na´hodna´ velicˇina naby´vat a jake´ jsou pravdeˇpodobnosti odpovı´dajı´cı´ teˇmto hodnota´m. V praxi je uzˇitecˇne´ zna´t neˇjake´ koncentrovaneˇjsˇ´ı a prˇehledneˇjsˇ´ı vyja´drˇenı´ te´to informace. K takove´mu popisu se pouzˇ´ıvajı´ cˇ´ıselne´ hodnoty oznacˇovane´ jako cˇ´ıselne´ charakteristiky. Budeme mluvit o charakteristika´ch polohy, variability a koncentrace. O takovy´chto charakteristika´ch jsme vsˇak uzˇ pojedna´vali v kapitole 2 – Popisna´ statistika. Proto bude nutne´ ozrˇejmit, jaky´ je mezi nimi rozdı´l. V popisne´ statistice jsme o teˇchto cˇ´ıselny´ch charakteristika´ch hovorˇili v souvislosti s rozdeˇlenı´m cˇetnostı´. Protozˇe vy´chodiskem byla nameˇrˇena´ nebo zjisˇteˇna´ – tedy empiricka´ – data, popis rozdeˇlenı´ cˇetnostı´ a urcˇenı´ cˇ´ıselny´ch charakteristik oznacˇ´ıme jako empiricky´ model. Nynı´ se budeme zaby´vat stejny´mi cˇ´ıselny´mi charakteristikami, ale v souvislosti s rozdeˇlenı´m pravdeˇpodobnostı´ sledovane´ na´hodne´ velicˇiny. A v te´to souvislosti popis rozdeˇlenı´ pravdeˇpodobnostı´ a urcˇenı´ cˇ´ıselny´ch charakteristik oznacˇ´ıme jako teoreticky´ model. A pra´veˇ vztahu mezi teoreticky´m a empiricky´m modelem se budeme veˇnovat v dalsˇ´ıch cˇa´stech ucˇebnice. V te´to podkapitole se zacˇneˇme veˇnovat charakteristika´m polohy. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ımi charakteristikami polohy jsou strˇednı´ hodnota, kvantily (naprˇ. media´n, hornı´ a dolnı´ kvartil) a modus. Definice 4.5.1 Strˇednı´ hodnota E(X) na´hodne´ velicˇiny X s oborem hodnot M je v prˇ´ıpadeˇ diskre´tnı´ na´hodne´ velicˇiny definova´na vztahem E(X) =
∑ xp(x),
(4.3)
x∈M
pro spojitou na´hodnou velicˇinu je definova´na vztahem Z
E(X) =
x f (x)dx,
(4.4)
M
za prˇedpokladu, zˇe uvedena´ rˇada, resp. integra´l konverguje absolutneˇ.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS226150
99
4.5 Charakteristiky polohy
Obr. 4.5 Kvantil xP
Strˇednı´ hodnota je take´ v literaturˇe nazy´vana´ ocˇeka´vana´ hodnota, je neˇkdy oznacˇova´na jako µ. Prˇedstavuje cˇ´ıslo, ktere´ charakterizuje polohu hodnot na´hodne´ velicˇiny na cˇ´ıselne´ ose s ohledem na jejich pravdeˇpodobnosti. Uvedeme nynı´ strucˇneˇ neˇktere´ jejı´ vlastnosti: 1. strˇednı´ hodnota konstanty k je rovna te´to konstanteˇ, tedy E(k) = k, 2. strˇednı´ hodnota soucˇinu konstanty k a na´hodne´ velicˇiny X je rovna soucˇinu konstanty k a strˇednı´ hodnoty na´hodne´ velicˇiny X, tedy E(k X) = k E(X),
(4.5)
3. strˇednı´ hodnota soucˇtu na´hodny´ch velicˇin X1 , X2 , . . . , Xn je rovna soucˇtu strˇednı´ch hodnot teˇchto velicˇin, tedy E(X1 + X2 + · · · + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) + · · · + E(Xn ),
(4.6)
4. jsou-li na´hodne´ velicˇiny X1 , X2 , . . . , Xn neza´visle´ (viz pozna´mka 4.5.2), pak strˇednı´ hodnota jejich soucˇinu je rovna soucˇinu jejich strˇednı´ch hodnot, tedy E(X1 X2 · · · Xn ) = E(X1 ) · E(X2 ) · · · E(Xn ). Pozna´mka 4.5.2 Na´hodne´ velicˇiny X1 , X2 , . . . , Xn jsou neza´visle´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jsou neza´visle´ jevy {X1 ≤ x1 }, {X2 ≤ x2 }, . . . , {Xn ≤ xn } pro libovolna´ rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 , . . . , xn . Definice 4.5.3 100P% kvantil xP na´hodne´ velicˇiny se spojitou rostoucı´ distribucˇnı´ funkcı´ F(x) je takova´ hodnota na´hodne´ velicˇiny, pro kterou platı´ F(xP ) = P,
0 < P < 1.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS226150
100
4.5 Charakteristiky polohy
Kvantil x0,50 se nazy´va´ media´n Me(X), platı´ tedy P(X ≤ Me(X)) = P(X ≥ Me(X)) = 0,50. Kvantil x0,25 se nazy´va´ dolnı´ kvartil, kvantil x0,75 je hornı´ kvartil. Vybrane´ kvantily du˚lezˇity´ch rozdeˇlenı´ jsou tabelova´ny. Definice 4.5.4 Modus Mo(X) na´hodne´ velicˇiny X je hodnota te´to velicˇiny, ve ktere´ ma´ pravdeˇpodobnostnı´ funkce p(x) maximum (pro diskre´tnı´ na´h. velicˇinu), resp. hodnota, ve ktere´ ma´ funkce hustoty f (x) maximum (pro spojitou na´h. velicˇinu). Modus nemusı´ by´t rozdeˇlenı´m pravdeˇpodobnosti urcˇen jednoznacˇneˇ, na´hodna´ velicˇina mu˚zˇe mı´t dva i vı´ce modu˚. Prˇ´ıklad 4.5.5 Urcˇete strˇednı´ hodnotu a modus na´hodne´ velicˇiny uda´vajı´cı´ pocˇet vystrˇeleny´ch na´boju˚ (viz prˇ´ıklad 4.3.2), je-li 0,6 · 0,4x−1 pro x = 1, 2, p(x) = 0,42 x = 3, 0 jinak. Rˇesˇenı´. Strˇednı´ hodnota je pro diskre´tnı´ na´hodnou velicˇinu da´na vztahem (4.3). Pokud ma´ diskre´tnı´ na´hodna´ velicˇina konecˇny´ obor hodnot M = {x1 , x2 , . . . , xn }, lze vztah (4.3) vyja´drˇit ve tvaru n
E(X) =
∑ xp(x) = ∑ xi p(xi ).
x∈M
i=1
Potom mu˚zˇeme psa´t 3
E(X) = ∑ xi p(xi ) = 1 · 0,6 · 0,40 + 2 · 0,6 · 0,41 + 3 · 0,42 = 1,56. i=1
Modus urcˇuje hodnotu na´hodne´ velicˇiny s nejveˇtsˇ´ı pravdeˇpodobnostı´, cozˇ je v nasˇem prˇ´ıpadeˇ Mo(X) = 1, nebot’ nejveˇtsˇ´ı hodnota pravdeˇpodobnostnı´ funkce je p(1) = 0,6. Prakticky lze vy´sledky interpretovat takto: strˇednı´ hodnota 1,56 prˇedstavuje „pru˚meˇrny´“ pocˇet vystrˇeleny´ch na´boju˚, pokud budeme dany´ pokus neusta´le opakovat; modus 1 vyjadrˇuje skutecˇnost, zˇe nejcˇasteˇji bude vystrˇelen 1 na´boj. Prˇ´ıklad 4.5.6 Na´hodna´ velicˇina X ma´ rozdeˇlenı´ popsane´ funkcı´ hustoty pravdeˇpodobnosti (viz prˇ´ıklad 4.4.2) 12x2 (1 − x) pro 0 < x < 1, f (x) = 0 jinak. Urcˇete strˇednı´ hodnotu a modus te´to na´hodne´ velicˇiny. Rˇesˇenı´. Strˇednı´ hodnota je pro spojitou na´hodnou velicˇinu da´na vztahem (4.4), mu˚zˇeme tedy psa´t 1 4 Z1 Z1 x5 3 x 2 − = = 0,6. E(X) = x f (x)dx = x · 12x (1 − x)dx = 12 4 5 0 5 0
0
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS226150