Potom existují reálná čísla p, r taková, že f (c) < p < r < f (c + β). Podle tvrzení 6.21 pro každé n ∈ IN a pro každé α je . f (c) = fn (c + α), tedy fn (c + α) < r. Buď k nejmenší přirozené číslo takové, že pro každé n > k, |x| < k1 , je c + x ∈ I, 1 fn (c + x) < r. Zřejmě k ∈ FN, neboť je-li m ∈ IN, |x| < m , je fm (c + x) < r. To 1 ale znamená, že pro každé |x| < k , x náležející do světa A, je f (c + x) ≤ r. Podle Prvního zákona expanze tato vlastnost však platí i ve světě C, a tedy také f (c + β) ≤ r, což je spor. Tvrzení 6.23 P (Záměna limit, záměna limity a součtu). Nechť posloupnost {fn } (resp. řada fn ) je stejnoměrně P konvergentní v bodě c. Nechť pro každé x ∈ I je posloupnost {fn (x)} (resp. řada fn (x)) konvergentní. Nechť pro každé n ∈ FN existuje lim fn (x). Potom platí x→c
lim lim fn (x) = lim lim fn (x)
resp.
n→∞ x→c ∞ X
x→c n→∞ ∞ X
lim fn (x) = lim
n=1
x→c
x→c
n=1
fn (x) .
Důkaz. Funkce fn pozměníme tak, že v bodě c položíme fn (c) = lim fn (x), x→c
načež použijeme předcházející tvrzení 6.22. Tvrzení 6.24 (Věta o záměně limity a derivace (o záměně součtu a derivace)). Nechť {fn } je posloupnost taková, že pro každé x ∈ I a každé n jsou definovány ′ derivace Nechť pro každé takové x jsou posloupnosti {fn (x)}, {fn′ (x)} (resp. P fn (x). P řady fn (x), fn′ (x)) konvergentní, f (x) = lim fn (x) n→∞
(resp. f (x) =
∞ X
fn (x) ),
n=1
g(x) = lim fn′ (x). n→∞
Nechť posloupnost {fn′ } (resp. řada Pak platí
P
fn′ ) je stejnoměrně konvergentní v bodě c.
f ′ (c) = g(c) (resp. f ′ (c) =
∞ X
fn′ (c) ).
n=1
Navíc posloupnost {fn } (resp. řada 98
P
fn ) je stejnoměrně konvergentní v bodě c.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220144
6. Řady funkcí
Důkaz. Nechť I je interval všech x takových reálných čísel, že x + c ∈ I. Pro x ∈ I položíme fn (c + x) − fn (c) f (c + x) − f (c) hn (x) = , h(x) = . x x Zřejmě lim hn (x) = h(x),
n→∞
lim hn (x) = fn′ (c),
x→0
lim h(x) = f ′ (c).
x→0
Dokážeme, že posloupnost {hn (x)} je stejnoměrně konvergentní v bodě 0. Platí hn (x) − hm (x) =
1 · ((fn (c + x) − fm (c + x)) − (fn (c) − fm (c))) . x
Podle Lagrangeovy věty o přírůstku funkce existuje y takové, že 0 < y < x (popřípadě x < y < 0) a platí . ′ hn (x) − hm (x) = ±(fn′ (c + y) − fm (c + y)) = 0,
. . tedy hn (x) = hm (x), pokud m, n ∈ IN, x = 0. Podle předcházejícího tvrzení 6.23 tedy platí lim lim hn (x) = lim lim hn (x), n→∞ x→0
x→0 n→∞
tedy lim f ′ (x) n→∞ n
= lim h(x) = f ′ (c). x→0
Protože pro každé m, n ∈ IN je
. fn (c + α) − fm (c + α) = α · (hn (α) − hm (α)) + fn (c) − fm (c) = 0,
je posloupnost {fn } stejnoměrně konvergentní v bodě c. Nechť {gn } je rovněž posloupnost funkcí definovaných na I, {an } posloupnost reálných čísel. (Posloupnosti {gn } a {an } náležejí P P P do světa A.) Řekneme, že řada gn (resp. řada an ) je majorantou řady fn na I, jestliže pro každé x ∈ I a každé n je |fn (x)| ≤ gn (x) (resp. |fn (x)| ≤ an ). P P P Tvrzení 6.25. Nechť řada gn je majorantou řady fn naPI. Nechť řada gn je stejnoměrně konvergentní v bodě c. Potom rovněž řada fn je stejnoměrně konvergentní v bodě c. Důkaz. Buď m < n. Potom
n
n n
X
X X
fk (c + α) ≤ |fk (c + α)| ≤ gk (c + α).
k=m
k=m
k=m
Pro m, n ∈ INPje poslední, a tedy i první člen této nerovnosti nekonečně malé číslo. A tedy řada fn je stejnoměrně konvergentní v bodě c. 99 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220144
P P Tvrzení 6.26. an je konvergentní a je majorantou řady fn na I. P Nechť řada Potom řada fn je stejnoměrně konvergentní v každém vnitřním bodě intervalu I náležejícím do světa A. Důkaz. Buď m < n. Potom
n
n n
X
X X
f (c + α) ≤ |f (c + α)| ≤ ak .
k k
k=m
k=m
k=m
Je-li c vnitřním bodem intervalu I, m, n ∈ IN, pak je opět P poslední, a tedy i první člen této nerovnosti číslo nekonečně malé. A tedy řada fn je stejnoměrně konvergentní v bodě c. Poznámka. (i) Všechna zde uvedená tvrzení lze nasnadě jsoucím způsobem vyslovit a dokázat pro limitu, spojitost a derivaci zprava či zleva. Přitom v prvním z těchto případů může být c též dolní (a ve druhém může být c též horní) koncový bod intervalu I. (ii) Nasnadě jsoucím způsobem lze definovat stejnoměrnou konvergenci v bodě c zprava či zleva, vyslovit a dokázat tomu odpovídající tvrzení. P (iii) Stejnoměrná konvergence posloupnosti {fn } (resp. řady fn ) P není závislá na změně konečně mnoha členů posloupnosti {fn } (resp. řady fn ).
100 Ukázka elektronické knihy, UID: KOS220144