jednoduchý: Má být δσ = 0 za podmínky ∑ δρr = 0, která plyne z normování matice hustoty. Variací (9.7.2) dostáváme ∑(1 + ln ρr )δρr = 0 a s použitím δρ1 = − ∑ δρr r ≠1
∑ (ln ρr − ln ρ1 )δρr = 0.
r ≠1
Tyto variace δρr v počtu N - 1 jsou již nezávislé, proto ln ρr − ln ρ1 = 0 pro r ≠ 1, všechny váhy ρr jsou si rovny a tedy rovny 1/N. Na druhém pólu stojí matice hustoty pro čisté stavy. Ty mají všechny váhy ρr nulové, až na jedinou, která je rovna jedné. Protože 1× ln 1 = 0, dostáváme, že σ = 0.1 Entropie čistého stavu je rovna nule. Ostatní smíšené stavy jsou někde mezi těmito extrémy: 0 ≤ σ[ρÆ ] ≤ ln N .
(9.7.5) *****
Pro konvexní lineární kombinace (9.3.5) stavových operátorů lze dokázat, že σ[ sρÆ 1 + (1 − s )ρÆ 2 ] ≥ s ⋅ σ[ρÆ 1 ] + (1 − s ) ⋅ σ[ρÆ 2 ], 0 < s < 1.
(9.7.6)
Tato nerovnost je charakteristická pro funkce konkávní2; názorně znamená, že tětiva spojující koncové body v grafu funkce proměnné s se nachází pod samotným grafem. Fyzikálně řečeno, postupným směšováním stavů entropie roste. Např. lineární kombinací matic hustoty čistých stavů dostaneme stav smíšený s entropií různou od nuly, zatímco lineární kombinace nulových entropií obou čistých stavů je ovšem nula. Uveďme ještě jeden poměrně překvapivý, ale důležitý výsledek, Kleinovu nerovnost: − Tr ρÆ ln ρÆ ≤ − Tr ρÆ ln ρÆ ′, ρÆ , ρÆ ′ matice hustoty
(9.7.7)
a rovnost platí jen když ρÆ = ρÆ ′. Například vztah (9.7.6) lze z Kleinovy nerovnosti snadno odvodit3. º Poznámky (a) Funkcionál σ[ρÆ ] = − Tr ρÆ ln ρÆ není jediný funkcionál s dosud uvedenými vlastnostmi. Snadno lze nahlédnout, že právě tak použitelný by byl funkcionál σ 2 [ρÆ ] = Tr ρÆ (1 − ρÆ ), se kterým jsme se vlastně již setkali při důkazu kritéria čistého stavu (9.3.3-B). Jinou možností by byly například tzv. Rényiho entropie 1
Definujeme 0ln(0)=0 ve shodě s lim x ln( x ) = 0.
2
Blízkost termínů konvexní a konkávní nás nesmí splést: konvexní kombinace operátorů znamená, že tato kombinace spadá do množiny přípustných stavových operátorů. Konkávní se v daném případě vztahuje na průběh funkce σ( s ) podél spojnice. Analogické nerovnosti platí i v klasické statistice a teorii informace. Pravděpodobně první, kdo takovou nerovnost ve fázovém prostoru odvodil a využil, byl sám Gibbs.
3
x →0
– 98 –
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214842
H α [ρÆ ] = (1 − α) −1 ln Tr ρÆ α , α ≥ 0. (b) Von Neumannova konstrukce směšovací entropie má různá zobecnění. Kupříkladu ke každému rozkladu matice hustoty tvaru (9.1.7) můžeme psát směšovací entropii Λ〉 , pΛ }] = − ∑ pΛ ln pΛ . σ[{| Λ
(9.7.8)
Bylo dokázáno, že platí σ [{| Λ〉 , pΛ }] ≥ σ [{| r 〉, ρr }] = σ[ρÆ ]
(9.7.9)
takže von Neumannova entropie je ze všech směšovacích entropií tohoto typu ta nejmenší. » Entropie a informace v kvantové fyzice. Abychom vyjasnili obsah definice (9.7.1), začneme od její shanonnovské podoby (9.7.2), a to i s jejím informačním základem. Matice hustoty daného stavu vzniká jeho přípravou, tedy opakovaným měřením za stálých podmínek. Výsledkem měření jsou pak stavy | r〉 s pravděpodobnostmi ρr , ∑ ρr = 1. Provedeme-li tedy celkem n měření, budou rozložena s čet nostmi nr , ∑ nr = n. Tyto četnosti jsou ovšem samy náhodné veličiny, avšak podle zákona velkých čísel budou se při n → ∞ kumulovat kolem asymptotických hodnot nr nρr . Dané rozložení četností se může realizovat mnohokrát, protože jednotlivé nezávislé události „pří prava/měření“ se mohou uskutečnit v různých pořadích, na kterých nezáleží. Příslušné kombi nační číslo je n!/ Πnr ! a s použitím toho, že n je velké, dává mu Stirlingova formule podobu n! ∏ nr !
e n ln n−n n[ln n −1−∑ {( nr / n )ln nr + nr / n}] n[ ln n −∑ {( nr / n )ln nr ] =e =e . nr ln nr − nr ∏e
(9.7.10)
Dle (5.1.5) pro n 1 je nr / n ≅ ρr a opakovaným použitím normovací podmínky ∑ ρr = 1 n! ∏ nr !
r
e
− n ∑ ρr ln ρr
nσ
= e .
(9.7.11)
Větší kombinační číslo vyjadřuje naši větší nejistotu před měřením. Entropie, jak vidíme, je úměrná logaritmu kombinačního čísla a můžeme tedy o ní říci totéž. Proti samotnému kombinačnímu číslu má mnoho výhod. Má konečnou limitu nezávislou na n a pro dva nezávislé paralelní procesy má aditivní vlastnost. Od samotného procesu přípravy je již oddělena a závisí jen na jeho pravděpodobnostním poli {r , ρr }. º Formule pro Shannonovu entropii má prostou motivaci. Striktně vzato, Shannonova entropie H se měří v bitech1: σ = − ∑ ρr ln ρr = − ln 2 ∑ ρr log 2 ρr ≡ 0.69314... × H . 1
Obě entropie se liší jen škálovacím faktorem. Analogicky k jednotce informace „bit“ pro dvojkový logaritmus zavádí se pro entropii s přirozeným logaritmem (logarithmus naturalis) jednotka „nat“. /1/ Matematický aparát a principy kvantové mechaniky – 99 –
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214842
Mějme m-místné binární číslo. Takových čísel je 2m a k určení každého z nich potřebu jeme m bitů informace čili údajů typu ANO/NE, tj. 0 nebo 1. Není-li předem nic známo, je apriorní pravděpodobnost všech těchto čísel stejná, 2–m a tedy H = m. Řekněme, že víme, že poslední bit má hodnotu 0 (sudá čísla). K specifikaci čísla pak potřebujeme jen m - 1 bitů. To nám přesně udává i entropie: H = −2m−1 × (1 / 2m−1 ) log 2 (1 / 2m−1 ) − 2m−1 × 0 ⋅ log 2 (0) = m − 1. Zkusme konečně případ, že číslo je sudé s pravděpodobností p, liché s pravděpodobností 1- p. Cítíme, že potřebujeme něco mezi m - 1 a m bity. Výpočet entropie dává H = −2m−1 × ( p / 2m−1 ) log 2 ( p / 2m−1 ) − 2m−1 × ([1 − p ] / 2m−1 ) log 2 ([1 − p ] / 2m−1 ) = m − 1 + {− p log 2 p − [1 − p ]log 2 [1 − p ]}. Ve složené závorce je entropie spojená s jedním bitem. Nabývá minima 0 pro = p 0= nebo p 1 (číslo s jistotou liché nebo s jistotou sudé), maxima 1 pro p = ½ (nemáme žádnou apriorní informaci). Shrnuto: Shanonnova entropie nám dává apriorní matematickou naději, kolik bitů získáme, je-li nám sděleno jedno z možných čísel ≡ sdělena jedna z možných různých zpráv ≡ nastane jedna z možných disjunktních událostí. » V kvantové teorii je primární von Neumannova entropie v operátorové podobě (9.7.1). Měření, která budeme na stavu ρÆ provádět, typicky nebudou kompatibilní, tj. měřená veličina nebude komutovat se stavovým operátorem. Entropie výsledného stavu bude záviset na celém stavovém operátoru, tedy nejen na pravděpodobnostech ρr , ale i na příslušných projektorech do vlastních stavů | r 〉〈 r |. Měřením dojde tedy ke změně entropie spolu s nevratnou redukcí samotného stavu. Podle § 9.4 je proces úplného měření popsán schématem (9.4.7), které zde poněkud upravené opakujeme ve vhodném značení: ρÆ = ∑ r ρr r měření M r → ρÆ {M } = ∑ u u ρÆ u u ≡ ∑ u wu u Æ u u M = ∑ u Mu u u
(9.7.12)
wu = ∑ u r ρr r u ≡ ∑ K ur ρr r
r
Máme tedy entropii σ[ρÆ ] před měřením (entropii preparační) a entropii σ[ρÆ {M } ] po měření. Tyto entropie nyní porovnáme pomocí Kleinovy nerovnosti (9.7.7). Dostáváme σ[ρÆ ] = − Tr ρÆ lnρÆ
≤ − Tr ρÆ lnρÆ {M } = − Tr ρÆ ∑ u ln wu u = − ∑ wu ln wu = σ[ρÆ {M }] . u
(9.7.13)
u
Měření v kvantové fyzice je tedy spojeno s nárůstem entropie, ve shodě s jeho již dříve diskutovaným nevratným charakterem. (Rovnost nastává jen pro MÆ = φ (ρÆ ), tedy pokud – 100 –
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214842