98
Matematika pro studenty ekonomie
2.6 Zjistěte definiční obor složených funkcí. x x 1 x a) y 4 arcsin , b) y arccos( 3) , c) y arcsin , 2 3 x 1 x 2 6 d) y x arccos , e) y x 2 arcsin , f) y ln x 2 5 x x 3 , x 5
x4 lnx 5 , x 1 1 x 3 i) y x 4 arcsin , j) y ln x 2 5 x arccos , 3 x 1 x k) y 3 x 2 arccos , l) y x 1 ln 2 x x 2 sin( x π ) , x 2 x 3 3 1 1 x 5 arctg 2 x , n) y ln x 2 x , m) y 1 x 12 x x 2 x
g) y ln x 7 x 2 x 6 , h) y
1 ln x 2 5 x 4 . 3x 2.7 Nakreslete graf funkce.
o) y e x 1
a) y x 3 1 , b) y x 1 2 , c) y 1 x 1 , d) y 2
3
e) y 2 e x , f) y ln x 1 , g) y 2 sin ( x
1 3, x 2
π ) , h) y cos ( x ) 1 , 2 4
i) y 2 3 x , j) y log x 3 1 . 2.8 Vypočtěte hodnotu polynomu pomocí Hornerova schématu pro různé hodnoty x. a) P x x 5 3 x 4 5 x 3 15 x 2 4 x 12 , b) P x x 4 3 x 3 4 x 5 . 2.9 Vypočítejte všechny kořeny zadaného polynomu a napište jeho rozklad v R. a) P x x 5 3 x 4 5 x 3 15 x 2 4 x 12 , b) P x x 5 10 x 4 34 x 3 36 x 2 27 x 54 ,
c) P x x 4 3 x 3 4 x , d) P x x 4 14 x 3 41x 2 4 x 60 ,
e) P x x 4 7 x 2 4 x 20 , f) P x x 5 3 x 4 x 3 3 x 2 2 x 6 .
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075
2. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 99
2.2 Limita funkcí 2.2.1 Definice limity Funkce sin x , x jejíž graf je na obr. 2.34, není definovaná v bodě nula. Budeme-li dosazovat za x hodnoty blízké 0, zjistíme, že funkční hodnoty „se velmi málo liší“ od 1 (tab. 2.2). y
x sin x x
– 0,3
– 0,2
–0,15
–0,1
–0,05
0,05
0,1
0,15
0,2
0,3
0,985
0,993
0,996
0,998
0,9996
0,9996
0,998
0,996
0,993
0,985
Tab. 2.2
Fakt, že pro x ležící v dostatečně malém okolí bodu x0 se f(x) „velmi málo liší“ od čísla L, vyjádříme slovy „funkce y= f(x) má v bodě x0 limitu L“ a zapíšeme symbolicky lim f ( x ) L . V našem případě x x0 sin x lim 1. x 0 x Okolí bodu x0 je interval (x0 – , x0 + ), kde 0. Okolí bodu x0 značíme O(x0) a přesněji nazýváme - okolí bodu x0 (obr. 2.33). To, že x O(x0) znamená, že x0 – x x0 + neboli x x 0 , tj., že vzdálenost bodů x, x0 je menší než . Vyloučíme-li z O(x0) bod x0, je vzdálenost bodů x, x0 menší než , ale je větší než 0, neboť nemůže být x = x0. Platí pak 0 x x0 a množinu ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) nazýváme ryzí okolí bodu x0. Interval ( x 0 , x 0 δ ) se nazývá pravé ryzí okolí bodu x0 a značí se O+(x0) (obr. 2.33). Interval ( x 0 δ, x0 ) se nazývá levé ryzí okolí bodu x0 a značí se O –(x0) (obr. 2.33).
Obr. 2.33
Když jsme vysvětlili, co je okolí bodu, můžeme uvést přesnou definici limity funkce.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075
100 Matematika pro studenty ekonomie
Definice 2.22 Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 platí f ( x ) L < ε.
Píšeme lim f ( x ) L .
x x0
Tedy ke každému okolí O(L) existuje ryzí - okolí O(x0) tak, že pro každé x z tohoto ryzího okolí je f(x) O(L) (obr. 2.34). Zápis lim f ( x ) L čteme „limita funkce f pro x jdoucí k x0 je rovna L“. x x0
Použijeme-li v definici 2.22 pouze pravé ryzí okolí resp. levé ryzí okolí, dostaneme definici limity zprava lim f ( x ) L , resp. definici limity zleva lim f ( x ) L . Hovoříx x0
x x0
0
me pak o jednostranných limitách. Symbol x x čteme „pro x jdoucí k x0 zprava“, symbol x x0 „pro x jdoucí k x0 zleva“.
Obr. 2.34
Věta 2.10 Funkce f má v bodě x0 limitu L, právě když lim f ( x ) lim f ( x ) L . x x0
x x0
Funkce na obr. 2.35 nemá v bodě x0 limitu, protože lim f ( x ) L , lim f ( x ) K , K L . x x0
x x0
Obr. 2.35
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS214075