98
Matematika v ekonomii a ekonomice
−1 0
|A33 | =
2 −1
= 1.
Tedy podle vˇety 3.16.1 dostáváme B=
|A11 | |A|
−|A21 | |A|
|A31 | |A|
−|A12 | |A|
|A22 | |A|
−|A32 | |A|
|A13 | |A|
−|A23 | |A|
|A33 | |A|
.
Dosazením vypoˇcítaných hodnot za jednotlivé determinanty dostáváme
0 −2 −1
A−1 = B = −2 −1
0 . 1 −2 −1
Zkoušku správnosti výpoˇctu provedeme výpoˇctem A · B, B · A. Zjistíme, že oba tyto souˇciny ˇ jsou rovny jednotkové matici I. Rešením systému A · x = b je pak x = A−1 · b (násobíme −1 rovnici A · x = b zleva maticí A ). Proved’me zkoušku správnosti výpoˇctu:
0 −2 −1
1 0 · −1 = 1 . −2 −1 0 x = A−1 · b = 1 1 1 −2 −1
ˇ sen´e pˇr´ıklady a aplikace 3.17 Reˇ Šifrování. Souˇcasné bankovnictví využívá k ochranˇe citlivých údaj˚u složité šifrovací systémy. Bˇehem dlouhé historie kryptografie (šifrování) vyvinuli lidé mnoho druh˚u jednoduchých i složitých kód˚u a šifer, které však byly nakonec vždy kryptoanalytiky prolomeny. Jistˇe jste se setkali s takzvanou transpoziˇcní šifrou, ve které zprávu zašifrujeme „promícháním“ znak˚u ve slovˇe. Napˇríklad slovo „EKONOMIE“ m˚užeme pomocí transpoziˇcní šifry zapsat jako „FLPOPNJF“ (každé písmeno jsme nahradili sousedním písmenem abecedy). Transpoziˇcní šifra se dá velmi snadno prolomit, proto se vyvinuly složité systémy založené na matematice (napˇr. v bankovnictví se dnes používá asymetrické šifrování). Jednoduchou šifru, kterou bez pomoci poˇcítaˇce neprolomíme tak jednoduše, m˚užeme vytvoˇrit pomocí matic. V následujícím textu si ukážeme, jak zašifrovat a opˇet rozšifrovat zprávu „PRODAVEJTE“, kterou má tajnˇe obdržet pouze jeden obchodník na burze. 1. Nejprve každému písmenu pˇriˇradíme celé cˇ íslo. Kódovací tabulku zná odesílatel i pˇríjemce zprávy. V praxi je samozˇrejmˇe vhodnˇejší pˇriˇrazovat písmen˚um cˇ íslice náhodnˇe. My pro jednoduchost budeme kódovat písmena podle jejich poˇradí v abecedˇe. Zprávu „PRODAVEJ“ zašifrujeme jako „16 18 15 4 1 22 5 10“.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213531
Maticová algebra
99
2. Tuto sérii cˇ ísel pˇrepíšeme do matice typu (m, n). Obˇe strany, odesílatel i pˇríjemce, musí vidˇet, jakého typu tato matice je. V našem pˇrípadˇe se domluvíme na matici typu (3, 3). Volné prvky vyplníme mezerami, kterým pˇriˇradíme cˇ íslo 0: 16 18 15 Z = 4 1 22 . 5 10 0 3. K zašifrování potˇrebujeme také klíˇc, který v maticovém šifrování musí znát obˇe strany. Použijeme zde klíˇc 1 2 1 K = 2 1 1 . 2 2 1 4. Zprávu nyní zašifrujeme pomocí klíˇce tak, že vynásobíme matici Z maticí K. Zašifrovanou zprávu oznaˇcíme S 82 80 49 S = Z · K = 50 53 27 . 65 60 35 5. Obchodníkovi na burze pošleme zprávu „82 80 49 50 53 27 65 60 35“. Nyní si popíšeme opaˇcný postup, který povede k dešifrování naší zprávy. 1. Obchodník obdržel zprávu „82 80 49 50 53 27 65 60 35“. Zná systém pˇriˇrazení cˇ ísel jednotlivým písmen˚um, ví, že je matice zprávy typu (3,3) a zná klíˇc 1 2 1 K = 2 1 1 . 2 2 1 2. Z ˇretˇezce zprávy vytvoˇrí zpˇet zašifrovanou zprávu 82 80 49 S = 50 53 27 . 25 20 15 3. Protože S = Z · K, získáme Z jako Z = S · K−1 . Nalezne proto dešifrovací matici −1 0 1 K−1 = 0 −1 1 . 2 2 −3 4. Nyní už m˚uže zprávu dešifrovat
Z = S · K−1
16 = 4 5
18 15 1 22 . 10 0
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213531
100
Matematika v ekonomii a ekonomice 5. Matici rozložíme na zprávu „16 18 15 4 1 22 5 10 0“ a pomocí tabulky získáme zprávu „PRODAVEJ“. Pˇríklad 97. Od slavného investora Warrena Buffetta jste dostali zašifrovanou zprávu „62 65 76 42 115 135 140 96 64 83 84 45 67 56 72 41 94 82 108 59“. Rozšifrujte tuto zprávu (ruˇcnˇe nebo pomocí Excelu), pokud víte, že matice zprávy je typu (5, 4), tabulka znak˚u je A = 1, B = 2, . . . , Z = 26 a matice klíˇce je 1 2 2 1 2 2 2 1 K= 2 1 2 1 . 2 2 2 2 ˇ Rešení: Pˇrepíšeme zprávu do matice S typu (5, 4): 62 65 76 42 115 135 140 96 64 83 84 45 67 56 72 41 94 82 108 59 Vypoˇcítáme inverzní matici K−1 : −1 1 0 0 0 1 −1 0 . = 1 −1 1 −0, 5 0 −1 0 1
K−1
Vynásobíme matici zašifrované zprávy maticí dešifrovacího klíˇce Z = S · K−1 : 14 9 11 4 25 14 5 26 3 Z= 20 18 1 . 5 10 16 5 14 9 26 5 Zprávu rozepíšeme „14 9 11 4 25 14 5 26 20 18 1 3 5 10 16 5 14 9 26 5“ a s pomocí tabulky vyluštíme zprávu „NIKDY NEZTRACEJ PENIZE“. Pˇríklad 98. Pˇredstavme si ekonomiku státu Ruritánie2 , kde se vyrábí pouze cˇ tyˇri druhy zboží. Poptávané množství po i-tém statku závisí nejen na cenˇe tohoto statku, ale také na cenách všeho ostatního zboží. Pro každé zboží známe údaje o poptávaném množství a závislosti na cenách Pi , tyto údaje m˚užeme zapsat do soustavy cˇ tyˇr lineárních rovnic o cˇ tyˇrech neznámých: Q1 Q2 Q3 Q4 2
= = = =
−80 −140 −80 30
+4Q2 +4Q1 +2Q1
+3Q3 +10Q3
+3Q2
+2Q4 +Q4 +4Q4
−2Q3 .
S fiktivní zemí Ruritánie se v ekonomii setkáme stejnˇe cˇ asto jako s Robinsonem a Pátkem. Z román˚u si Ruritánii vyp˚ujˇcil pro svou práci Teorie penˇez a úvˇeru velký ekonom rakouské školy Ludwig von Mises. Není bez zajímavosti, že toto literární království bylo zasazeno do stˇrední Evropy, a proto jej ˇrada autor˚u ztotožˇnovala s cˇ eskými zemˇemi.
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS213531