Postup: a) Urˇc´ıme koˇreny charakteristick´e rovnice:
1−λ 2
= (1 − λ)(3 − λ) − 8 = λ2 − 4λ − 5. det (A − λJ2 ) =
4 3−λ
λ2 − 4λ − 5 = 0 ⇒ λ1 = 5, λ2 = −1. b) Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ1 = 5 urˇc´ıme ˇreˇsen´ım soustavy (A − 5J)X = o, −4 2 x1 0 = , 4 −2 x2 0 −4x1 + 2x2 = 0 ⇒ x2 = 2x1 . (Druh´a rovnice je n´asobkem prvn´ı.) Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ1 = 5 jsou vˇsechny vektory tvaru (t, 2t), t ∈ R \ {0}. c) Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ2 = −1 najdeme ˇreˇsen´ım soustavy (A − (-1)J)X = o, 0 2 2 x1 = , x2 0 4 4 2x1 + 2x2 = 0 ⇒ x2 = −x1 . Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ2 = −1 jsou vˇsechny vektory tvaru (t, −t), t ∈ R \ {0}. Line´arnˇe nez´avisl´e vlastn´ı vektory matice A jsou napˇr. (1, 2) a (1, −1). Pˇ r´ıklad 8.6. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice:
98
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS210591
2 4 1 A = 4 2 −1 . 0 0 6 Postup: a) Urˇc´ıme koˇreny charakteristick´e rovnice (determinant poˇc´ıt´ame rozvojem podle 3. ˇra´dku):
2−λ
4 1
det (A − λJ3 ) =
4 2 − λ −1
=
0 0 6−λ
= (−1)6 (6 − λ) (2 − λ)2 − 16 = (6 − λ) (λ2 − 4λ − 12) . ˇ s´ıme: Reˇ (6 − λ) [(λ + 2)(λ − 6)] = 0 ⇒ λ1,2 = 6, λ3 = −2. b) Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ1 = 6 urˇc´ıme ze soustavy: (A − 6J)X = o, 0 x1 −4 4 1 4 −4 −1 x2 = 0 , 0 x3 0 0 0 −4x1 + 4x2 + x3 = 0 ⇒ x3 = 4x1 − 4x2 . (Druh´a rovnice je n´asobkem prvn´ı.) ˇ sen´ı vyj´adˇr´ıme pomoc´ı dvou parametr˚ Reˇ u s = x1 , t = x2 , s, t ∈ R, takˇze vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ1 = 6 jsou vˇsechny nenulov´e vektory tvaru (s, t, 4s − 4t). Zvol´ıme-li dva line´arnˇe nez´avisl´e vektory, napˇr. (1, 0, 4), (0, 1, −4), pak vˇsechny vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e k λ1 tvoˇr´ı line´arn´ı obal tˇechto dvou vektor˚ u, ale bez nulov´eho vektoru. c) Vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ3 = −2 najdeme ˇreˇsen´ım soustavy: (A − (-2)J)X = o, 99
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS210591
0 4 4 1 x1 4 4 −1 x2 = 0 . 0 x3 0 0 8
Uprav´ıme Gaussovou eliminac´ı: 4 4 1 0 4 4 1 0 4 4 −1 0 ∼ 0 0 2 0 0 0 8 0 a dost´av´ame: x3 = 0, x2 = −x1 , takˇze vlastn´ı vektory k ˇc´ıslu λ3 = −2 jsou vˇsechny vektory tvaru (t, −t, 0), t ∈ R \ {0}. Pˇ r´ıklad 8.7. Pro eukleidovskou normu matice A plat´ı: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||. Pomoc´ı tohoto vztahu dokaˇzte, ˇze pro kaˇzd´e vlastn´ı ˇc´ıslo λ matice A (tedy i pro jej´ı spektr´aln´ı polomˇer) plat´ı odhad: |λ| ≤ ||A||. Postup: Mˇejme λ ∈ C libovoln´e vlastn´ı ˇc´ıslo matice A a X vlastn´ı vektor pˇr´ısluˇsn´ y k ˇc´ıslu λ, takˇze plat´ı λX = AX. Pak z vlastnosti normy: |λ| ||X|| = ||λX|| = ||AX|| ≤ ||A|| ||X||, ⇒ |λ| ≤ ||A||, ⇒ ρ = max{|λi |, i = 1, ..., k} ≤ ||A||.
100
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS210591