98
KAPITOLA 2. TROCHA TEORIE
hodnota smˇerodatn´e odchylky pak urˇcuje pˇresnost v´aˇzen´ı. V´ ybˇ erov´ y pr˚ umˇ er spoˇc´ıtan´ y z n´ ahodn´eho v´ ybˇeru X1 , . . . , Xn je roven n
¯= 1 X Xi . n i=1
(2.51)
Jak jiˇz v´ıme (viz (2.33)), stˇredn´ı hodnota souˇctu n´ahodn´ ych veliˇcin je rovna souˇctu stˇredn´ıch hodnot tˇechto n´ ahodn´ ych veliˇcin, takˇze pouˇzijeme-li tak´e (2.20), snadno dostaneme n n 1 1 ¯ =E EX Xi = E Xi = µ. (2.52) n i=1 n i=1 Je zˇrejm´e, ˇze pr˚ umˇer opravdu odhaduje stˇredn´ı hodnotu µ, kter´e v t´eto ¯ spoˇc´ıtan´ souvislosti m˚ uˇzeme ˇr´ıkat populaˇ cn´ı pr˚ umˇ er. Pr˚ umˇer X y z n´ahodn´eho v´ ybˇeru m´ a stˇredn´ı hodnotu rovnou parametru µ. Je to tedy nestrann´ y (t´eˇz nevych´ ylen´ y) odhad parametru µ. Pˇri v´ ypoˇctu rozptylu nejprve zopakujeme postup pouˇzit´ y pˇri v´ ypoˇctu rozptylu binomick´eho rozdˇelen´ı. Rozptyl souˇctu nez´ avisl´ych n´ahodn´ ych veliˇcin Xi je roven souˇctu jejich rozptyl˚ u, tedy nσ 2 . Kdyˇz pouˇzijeme vztah (2.26) pro rozptyl konstantn´ıho n´ asobku n´ ahodn´e veliˇciny, dostaneme n n 1 1 σ2 ¯ = var 1 var(X) Xi = 2 var(Xi ) = 2 nσ 2 = , (2.53) n i=1 n i=1 n n pˇr´ıpadnˇe pro smˇ erodatnou odchylku pr˚ umˇ eru, kter´a se v t´eto souvislosti naz´ yv´ a tak´e stˇ redn´ı chyba pr˚ umˇ eru (standardn´ı chyba pr˚ umˇ eru, standard error), ¯ = √σ . S.E.(X) (2.54) n Pokud bychom tedy pr˚ umˇer poˇc´ıtali opakovanˇe vˇzdy z nov´ ych n´ahodn´ ych v´ ybˇer˚ u, podle posledn´ıch dvou vzoreˇck˚ u budou tyto pr˚ umˇery kol´ısat m´enˇe, neˇz kol´ısaj´ı jednotliv´e n´ ahodn´e veliˇciny. Proto i pr˚ umˇer z troj´ıho v´aˇzen´ı bude pˇresnˇejˇs´ım odhadem skuteˇcn´e hmotnosti v´ aˇzen´eho pˇredmˇetu, neˇz je jedin´e v´ aˇzen´ı. Pˇresnˇejˇs´ı pˇredstavu z´ısk´ ame zaveden´ım pojmu interval spolehlivosti ve 3. kapitole na str. 109. Nutno poznamenat, ˇze pod stˇredn´ı chybou pr˚ umˇeru se zpravidla souˇcasnˇe tak´e ch´ ape odhad tohoto v´ yrazu, tedy statistika ¯ = √S , S.E.(X) n
(2.55)
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS190713
´ ´I LIMITN´I VETA ˇ 2.5. CENTRALN
99
kter´ a pouˇz´ıv´ a v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku S=
n
1 ¯ 2 (Xi − X) n − 1 i=1
(2.56)
m´ısto populaˇcn´ı smˇerodatn´e odchylky σ. K pojmu stˇredn´ı chyba se znovu vr´ at´ıme na str. 110. Pˇ r´ıklad 2.15 (vˇek matek) Vych´ az´ıme z u ´daj˚ u o vˇeku celkem 10 916 matek, data poch´ azej´ı z konce 80. let 20. stolet´ı. Na obr´azku 2.9 vlevo nahoˇre je uveden histogram vˇsech 10 916 hodnot. Nyn´ı budeme povaˇzovat tˇechto 10 916 hodnot za populaci (z´ akladn´ı soubor), odkud budeme opakovanˇe poˇrizovat n´ ahodn´ y v´ ybˇer rozsahu n. Z kaˇzd´e n-tice pak spoˇc´ıt´ame v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer. To provedeme celkem tis´ıckr´ at a tˇechto tis´ıc pr˚ umˇer˚ u z v´ ybˇer˚ u rozsahu n zn´ azorn´ıme pomoc´ı histogramu. Z dalˇs´ıch histogram˚ u na obr´azku 2.9 je zˇrejm´e, ˇze s rostouc´ım n se zmenˇsuje variabilita pr˚ umˇer˚ u. Tato posledn´ı vlastnost je patrn´ a ze st´ ale se zkracuj´ıc´ıho intervalu, v nˇemˇz se pr˚ umˇery naˇ ıselnou pˇredstavu z´ısk´ ch´ azej´ı. C´ ame z tabulky 2.4. Posledn´ı sloupeˇcek ud´av´a hodnoty zjiˇstˇen´e v populaci, z n´ıˇz prov´ ad´ıme opakovan´e v´ ybˇery, tedy populaˇcn´ı pr˚ umˇer, populaˇcn´ı smˇerodatnou odchylku, populaˇcn´ı ˇsikmost a poˇ adek oznaˇcen´ pulaˇcn´ı ˇspiˇcatost. R´ y sm. odch. teor. pak ud´av´a smˇerodatn´e odchylky v´ ybˇerov´ ych pr˚ umˇer˚ u, jak plynou z v´ ypoˇctu podle (2.54). S rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru n smˇerodatn´e odchylky pr˚ umˇeru klesaj´ı, coˇz znovu dokumentuje, ˇze odhad populaˇcn´ıho pr˚ umˇeru je t´ım pˇresnˇejˇs´ı, ˇc´ım je rozsah v´ ybˇeru, z nˇehoˇz je pr˚ umˇer poˇc´ıt´ an, vˇetˇs´ı. ⃝
Tabulka 2.4: Pˇrehled statistik o chov´ an´ı v´ ybˇerov´ ych pr˚ umˇer˚ u ze simulovan´ ych v´ ybˇer˚ u a populaˇcn´ıch parametr˚ u pˇr´ıkladu o vˇeku matek n = 1 n = 10 n = 100 n = 1000 populace pr˚ umˇer 25,43 25,35 25,39 25,40 25,40 sm. odch. 4,62 1,54 0,48 0,15 4,94 sm. odch. teor. 4,94 1,56 0,49 0,16 4,94 ˇsikmost 0,74 0,28 0,08 0,00 0,77 ˇspiˇcatost 0,29 −0,04 −0,05 0,04 0,19
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS190713
100
KAPITOLA 2. TROCHA TEORIE
populace
n=1
2000
150
Frequency
Frequency
1500
1000
100
500
50
0
0 15
20
25
30
35
40
45
15
20
25
n=10
30
35
40
45
35
40
45
n=100
250 150
150
Frequency
Frequency
200
100
100
50 50
0
0 15
20
25
30
35
40
45
15
20
25
30
ˇ ri histogramy: vlevo nahoˇre histogram vˇeku vˇsech 10 916 Obr´ azek 2.9: Ctyˇ matek, n´ asleduj´ı histogramy vˇzdy tis´ıce pr˚ umˇer˚ u n hodnot n´ahodnˇe vybran´ ych z populace 10 916 hodnot (pˇr´ıklad 2.15)
Ukázka elektronické knihy, UID: KOS190713